1 Functions and Limits

1.1 Real Numbers and Basic Inequalities

Definition 记 \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\) 分别为自然数, 整数, 有理数和实数集.

Remark 实数系最关键的结构有三类:

  1. 代数结构: 对加, 减, 乘, 除(除数非零)封闭.
  2. 序结构: 任意两个实数可比较大小.
  3. 完备性: 每个非空且有上界的实数子集都有上确界.

Definition 设 \(S \subseteq \mathbb R\).

  • 若存在 \(M\) 使得对任意 \(x \in S\) 都有 \(x \le M\), 则称 \(M\) 是 \(S\) 的上界.
  • 所有上界中最小的一个称为上确界, 记作 \(\sup S\).
  • 下界与下确界定义完全类似.

Remark 完备性是极限理论的基础. 单调有界序列必收敛, 介值性和最值性都依赖于它.

Proposition 三角不等式:

\[|a+b| \le |a| + |b|, \qquad ||a|-|b|| \le |a-b|.\]

Proposition 对正数 \(a_1,\cdots,a_n\), 有

\[\frac{n}{\sum_{k=1}^n a_k^{-1}} \le \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k} \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\le\sqrt{\frac1n\sum_{k=1}^n a_k^2}.\]

Remark 有理数与无理数都在实数轴上稠密: 任意两个不同实数之间都存在有理数和无理数.

1.2 Functions and Elementary Functions

Definition 函数是从定义域到陪域的单值映射.

Definition 常用分类:

  • 单射: 不同输入对应不同输出.
  • 满射: 值域等于陪域.
  • 双射: 既单又满, 因而存在反函数.

Definition 初等函数由常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数经过有限次四则运算和复合得到.

Example 常见特殊函数:

  • 符号函数 \(\operatorname{sgn} x\).
  • Dirichlet 函数.
  • Gauss 取整函数 \(\lfloor x \rfloor\).
  • 集合的特征函数 \(\chi_E(x)\).

Remark 研究函数时常关心的性质包括:

  • 有界性.
  • 单调性.
  • 奇偶性.
  • 周期性.
  • 可逆性.

Definition 上述特殊函数的具体形式为

\[\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x\lt0,\end{cases} \qquad D(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,\\0,&x\notin\mathbb Q,\end{cases}\]\[\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\},\qquad \chi_E(x)=\begin{cases}1,&x\in E,\\0,&x\notin E.\end{cases}\]

Riemann 函数在 \([0,1]\) 上定义为

\[R(x)=\begin{cases}1/q,&x=p/q\text{ 为最简分数},\ q>0,\\0,&x\notin\mathbb Q.\end{cases}\]

其中 \(R(0)=R(1)=1\). 对周期函数, 只有当正周期集合存在最小元时才称其为最小正周期; 正周期的下确界不一定是正周期.

1.3 Limits of Sequences

Definition 数列 \(\{a_n\}\) 收敛到 \(A\), 是指

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |a_n - A| \lt \epsilon.\]

记作 \(\lim_{n\to\infty} a_n = A\).

Theorem 收敛数列的极限唯一, 且收敛数列一定有界.

Theorem 极限的四则运算:

若 \(a_n \to A\), \(b_n \to B\), 则

\[a_n \pm b_n \to A \pm B, \qquad a_n b_n \to AB, \qquad \frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}\ (B \neq 0).\]

Theorem 单调收敛原理:

  • 单调递增且有上界的数列收敛.
  • 单调递减且有下界的数列收敛.

Theorem 夹逼定理:

若从某项起 \(c_n \le a_n \le b_n\), 且 \(b_n \to A\), \(c_n \to A\), 则 \(a_n \to A\).

Theorem 子列判别:

若 \(a_n \to A\), 则任意子列都收敛到 \(A\). 反过来, 若能找到两个极限不同的子列, 则原数列发散.

Example 常用极限:

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{n\to\infty} q^n = 0 \quad (|q|\lt1).\]

Remark 处理递推数列时, 常见路线是:

  1. 先证单调.
  2. 再证有界.
  3. 由单调收敛定理推出极限存在.
  4. 最后把递推式取极限求极限值.

Proposition 若 \(a_n\to A\), \(b_n\to B\) 且 \(A>B\), 则从某项起 \(a_n>b_n\). 反之, 若从某项起 \(a_n\ge b_n\), 则只能推出 \(A\ge B\).

Theorem Cesàro 均值定理: 若 \(a_n\to A\), 则

\[\frac1n\sum_{k=1}^n a_k\longrightarrow A.\]

Proof 给定 \(\epsilon>0\), 取 \(N\) 使 \(k\ge N\) 时 \(|a_k-A|\lt\epsilon/2\). 将有限首段与尾段分开,

\[\left|\frac1n\sum_{k=1}^n a_k-A\right| \le\frac1n\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-A|+\frac\epsilon2\lt\epsilon\]

当 \(n\) 足够大时成立.

Definition Euler 常数记为

\[\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right).\]

该序列单调递减且有下界, 所以极限存在. 因而调和和满足 \(\sum_{k=1}^n k^{-1}=\ln n+\gamma+o(1)\).

Example 对固定 \(a>0\), \(k>0\), \(0\lt|q|\lt1\),

\[\frac{a^n}{n!}\to0,\qquad n^kq^n\to0,\qquad a^{1/n}\to1.\]

若 \(|q|>1\), 则 \(|q^n|\to+\infty\); 只有 \(q>1\) 才有 \(q^n\to+\infty\). 常用 Stirling 渐近公式为

\[n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n.\]

1.4 Limits of Functions

Definition 设 \(a\) 是函数 \(f\) 定义域 \(D\) 的聚点, 即任意去心邻域内都有 \(D\) 中的点. 若

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\in D,\ 0\lt|x-a|\lt\delta \Longrightarrow |f(x)-A|\lt\epsilon,\]

则称 \(\lim_{x\to a} f(x) = A\).

Definition 还可以定义:

  • 单侧极限 \(\lim_{x\to a\pm 0} f(x)\).
  • 无穷远处极限 \(\lim_{x\to \pm\infty} f(x)\).
  • 无穷大极限 \(\lim_{x\to a} f(x) = \infty\).

Theorem 函数极限的序列判别:

\[\lim_{x\to a} f(x) = A\]

当且仅当对任意满足 \(x_n\in D\), \(x_n \to a\) 且 \(x_n \neq a\) 的点列, 都有 \(f(x_n) \to A\).

Remark 这个判别既是证明极限存在的重要工具, 也是证明极限不存在最直接的方法.

Example 两个重要极限:

\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e.\]

Definition 在同一极限过程中:

  • \(f=o(g)\) 表示 \(f/g\to0\);
  • \(f=O(g)\) 表示邻域内存在常数 \(C\) 使 \(|f|\le C|g|\).
  • 若 \(f/g\to c\neq0\), 则两者同阶;
  • 若 \(c=1\), 则 \(f\sim g\).

使用比值时须在去心邻域内有 \(g\neq0\). \(O(g)\) 本身不要求比值存在非零极限.

Theorem 若 \(f(x)\to A\), 且 \(g\) 在 \(A\) 连续, 则 \(g(f(x))\to g(A)\). 若仅知道 \(\lim_{y\to A}g(y)=B\), 则还须保证 \(f(x)\neq A\) 最终成立, 或补充 \(g(A)=B\), 才能推出相应复合极限.

1.5 Continuity

Definition 设 \(a\in D\). 若对任意 \(\epsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 使 \(x\in D\) 且 \(|x-a|\lt\delta\) 时都有 \(|f(x)-f(a)|\lt\epsilon\), 则称 \(f\) 在 \(a\) 处连续. 当 \(a\) 是 \(D\) 的聚点时, 这等价于 \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\); 孤立点处自动连续.

Definition 间断点分为:

  • 可去间断点.
  • 跳跃间断点.
  • 第二类间断点.

Proposition 连续函数在一点附近具有局部有界性. 若该点函数值非零, 则还具有保号性: 附近函数值与该点同号.

Theorem 若 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续, 则:

  1. \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界.
  2. \(f\) 在 \([a,b]\) 上取得最大值和最小值.
  3. \(f\) 具有介值性.

Corollary 若 \(f(a)f(b) \lt 0\), 则存在 \(\xi \in (a,b)\) 使 \(f(\xi) = 0\).

Proposition 连续性对有限次和、差、积以及分母非零的商封闭. 连续函数的复合仍连续; 区间上连续且严格单调的函数, 其反函数在值域上连续且严格单调.

Definition 若存在 \(L\ge0\), 对所有 \(x,y\in D\) 都有

\[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|,\]

称 \(f\) 满足 Lipschitz 条件. 若对某个 \(0\lt\alpha\lt1\) 有

\[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|^\alpha,\]

则称满足 \(\alpha\) 阶 Hölder 条件. 两者都推出一致连续; 普通连续性不保证存在这样的全局常数.

Proof 闭区间上最值定理可由完备性证明. 若 \(f\) 无界, 可取 \(x_n\in[a,b]\) 使 \(|f(x_n)|>n\); 收敛子列与连续性立即给出矛盾, 故 \(f\) 有界. 令 \(M=\sup f([a,b])\), 取 \(x_n\) 使 \(f(x_n)\to M\). 由有界数列的收敛子列定理, 有子列 \(x_{n_k}\to x_*\in[a,b]\), 连续性给出 \(f(x_*)=M\). 最小值同理.

介值定理可取 \(f(a)\lt\eta\lt f(b)\) 并令 \(c=\inf\{x\in[a,b]:f(x)>\eta\}\). 连续性排除 \(f(c)>\eta\) 和 \(f(c)\lt\eta\), 所以 \(f(c)=\eta\).

2 Foundations of Calculus

2.1 Derivatives

Definition 导数定义为

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\]

若该极限存在.

Remark 左导数和右导数都存在且相等时, 函数才在该点可导.

Theorem 可导必连续, 反之不成立.

Theorem 若 \(f,g\) 在 \(x_0\) 可导, 则

\[(f\pm g)' = f' \pm g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g(x_0)\neq0).\]

Theorem 链式法则: 若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导, \(g\) 在 \(f(x_0)\) 可导, 则

\[(g\circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0).\]

Theorem 反函数求导:

若 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续且严格单调, \(x_0\) 是 \(I\) 的内点, 且 \(f'(x_0)\neq 0\), 则

\[(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}, \qquad y_0 = f(x_0).\]

Example 常用导数:

\[(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}.\]

Example 其余常用导数为

\[\begin{aligned} (\tan x)'&=\frac1{\cos^2x},& (\cot x)'&=-\frac1{\sin^2x},\\ (\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}},&(\arccos x)'&=-\frac1{\sqrt{1-x^2}},\\ (\arctan x)'&=\frac1{1+x^2},&(a^x)'&=a^x\ln a,\\ (\log_a x)'&=\frac1{x\ln a}. \end{aligned}\]

各式须位于相应函数的可导区间; 指数底数 \(a>0\), 对数另要求 \(a\neq1\), \(x>0\). 取值在 \((0,\pi)\) 的 \(\operatorname{arccot}x\) 的导数为 \(-1/(1+x^2)\).

Proposition 对正整数 \(n\),

\[\begin{aligned} (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+n\pi/2),\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+n\pi/2),\\ (x^{-1})^{(n)}&=(-1)^n n!x^{-n-1},\\ (\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}. \end{aligned}\]

Example 求 \(y=\arctan x\) 在原点的高阶导数.

Solution 由 \((1+x^2)y'=1\) 求导 \(n\) 次得, 对 \(n\ge1\),

\[(1+x^2)y^{(n+1)}+2nxy^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0.\]

结合 \(y'(0)=1\), \(y''(0)=0\), 可递推得到

\[y^{(n)}(0)=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\(-1)^{(n-1)/2}(n-1)!,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}\]

2.2 Differentials

Definition 若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导, 则增量可以写成

\[\Delta f = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x).\]

其中线性主部

\[\mathrm{d}f = f'(x_0)\,\mathrm{d}x\]

称为微分.

Remark 微分不是增量本身, 而是增量的一阶线性近似.

Theorem 积分中值定理: 若 \(f\in C[a,b]\), \(a\lt b\), 则存在 \(\xi\in[a,b]\), 使

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).\]

Proof 由 \(m\le f(x)\le M\) 积分得平均值位于 \([m,M]\), 再由介值定理得结论.

3 Computation and Applications of Integrals

3.1 Rational Functions

Definition 有理函数是两个多项式之比.

Remark 处理有理函数不定积分的基本路线是:

  1. 先做多项式除法, 化成多项式加真分式.
  2. 再将真分式拆成部分分式.
  3. 对每类标准项逐一积分.

Example 常见标准项:

\[\frac{A}{(x-a)^m}, \qquad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} \quad (p^2-4q\lt0).\]

Theorem 若实系数多项式分母分解为不同一次因子 \((x-a_i)^{m_i}\) 和不同不可约二次因子 \(q_j(x)^{n_j}\), 则真分式唯一分解为

\[\frac{P(x)}{Q(x)} =\sum_i\sum_{k=1}^{m_i}\frac{A_{ik}}{(x-a_i)^k} +\sum_j\sum_{k=1}^{n_j}\frac{B_{jk}x+C_{jk}}{q_j(x)^k}.\]

每个重因子从一次幂到最高次幂都要保留. 通分后比较多项式系数即可求未知系数.

Proposition 对 \(q(x)=x^2+px+q_0\), \(p^2-4q_0\lt0\), 令 \(z=x+p/2\), \(a^2=q_0-p^2/4>0\), 则

\[\int\frac{Ax+B}{q(x)^n}\,\mathrm{d}x =\frac A2\int\frac{\mathrm{d}(z^2+a^2)}{(z^2+a^2)^n} +\left(B-\frac{Ap}2\right)I_n, \qquad I_n=\int\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+a^2)^n}.\]

第一项直接积分; 第二项由分部积分得到

\[I_1=\frac1a\arctan\frac za,\qquad I_n=\frac{z}{2a^2(n-1)(z^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1},\quad n\ge2.\]

各不定积分相差的常数统一并入最终积分常数.

3.2 Rational Expressions of Trigonometric Functions

Algorithm 对三角函数有理式 \(R(\sin x,\cos x)\), 常用三种策略:

  1. 万能代换 \(t=\tan \dfrac{x}{2}\).
  2. 若关于 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 具有奇偶结构, 令 \(t=\cos x\) 或 \(t=\sin x\).
  3. 若表达式适合以 \(\tan x\) 表示, 令 \(t=\tan x\).

Example 万能代换给出

\[\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \mathrm{d}x = \frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t.\]

Remark 特殊代换有明确的代数判据. 若 \(R(-u,v)=-R(u,v)\), 则可提取 \(\sin x\), 令 \(t=\cos x\). 若 \(R(u,-v)=-R(u,v)\), 则可提取 \(\cos x\), 令 \(t=\sin x\). 若 \(R(-u,-v)=R(u,v)\), 则令 \(t=\tan x\), 利用 \(\cos^2x=1/(1+t^2)\) 化为有理式. 应在代换可逆且无奇点的区间内计算.

3.3 Irrational Integrals and Symmetry Tricks

Remark 对含根式积分, 常通过代换把根式有理化. 常见思路包括:

  • 令根式内部整体等于新变量的幂.
  • 对二项式微分式 \(x^m(a+bx^n)^p\) 使用恰当幂代换.

Remark 对定积分, 对称性往往比硬算更高效. 常用技巧包括:

  • 奇偶性.
  • 区间关于中点的对称.
  • 配对变换 \(x \mapsto a-x\).

Example 设 \(a>0\), \(f\) 在 \([0,a]\) 可积, 且分母 \(f(x)+f(a-x)\) 不为零、下式被积函数可积, 则

\[\int_0^a \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\,\mathrm{d}x = \frac{a}{2}.\]

Proof 将积分中的 \(x\) 换为 \(a-x\), 与原式相加后被积函数恒为 \(1\), 因而积分的两倍为 \(a\). 单独要求 \(f\) 可积不足以排除分母为零.

Proposition 对根式有理函数积分

\[\int R\left(x,\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\,\mathrm{d}x,\]

取 \(t^m=(ax+b)/(cx+d)\), 当 \(ad-bc\neq0\) 时有

\[x=\frac{dt^m-b}{a-ct^m},\qquad \mathrm{d}x=\frac{m(ad-bc)t^{m-1}}{(a-ct^m)^2}\,\mathrm{d}t.\]

所得被积函数是 \(t\) 的有理式; 应选择根式有定义且代换单值的区间. 当 \(ad-bc=0\) 时根式在定义域上为常数, 单独处理.

Proposition 对二项微分式 \(\int x^m(a+bx^n)^p\,\mathrm{d}x\), 设 \(m,n,p\in\mathbb Q\), \(n\neq0\). 令 \(t=x^n\), \(q=(m+1)/n-1\), 得

\[\frac1n\int t^q(a+bt)^p\,\mathrm{d}t.\]

在实幂分支固定的区间内, 以下三种情形可有理化:

  1. \(p\in\mathbb Z\): 取 \(t=z^s\), 其中 \(s\) 是 \(q\) 的分母.
  2. \(q\in\mathbb Z\): 若 \(p=\mu/\lambda\), 取 \(a+bt=z^\lambda\).
  3. \(p+q\in\mathbb Z\): 若 \(p=\mu/\lambda\), 取 \((a+bt)/t=z^\lambda\).

对 \(ab\neq0\) 的非退化二项微分式, 初等可积的判据正是上述三种情形至少有一种成立. 退化情形直接化为幂函数积分.

4 Mean Value Theorems

4.1 Differential Mean Value Theorems

Theorem Fermat 定理:

若 \(x_0\) 是函数 \(f\) 定义域的内点, \(f\) 在 \(x_0\) 可导并取得局部极值, 则 \(f'(x_0)=0\).

Theorem Rolle 定理:

若 \(f \in C[a,b]\), 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(f(a)=f(b)\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\).

Theorem Lagrange 中值定理:

若 \(f \in C[a,b]\) 且在 \((a,b)\) 可导, 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使

\[f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Theorem Cauchy 中值定理:

若 \(f,g \in C[a,b]\), 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(g'(x)\neq 0\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]

Theorem Darboux 定理:

导函数虽然不必连续, 但一定具有介值性.

Corollary 在区间上, 若 \(f'\equiv0\), 则 \(f\) 为常数; 若 \(f'=g'\), 则 \(f-g\) 为常数.

Proof Rolle 定理由闭区间最值定理及内点极值的 Fermat 必要条件得到. 对 \(f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)\) 应用 Rolle 定理即得 Lagrange 定理. 对 \((g(b)-g(a))(f(x)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))\) 应用同一定理即得 Cauchy 定理.

Darboux 定理只需考察 \(h(x)=f(x)-\eta x\). 若 \(h'(a)\lt0\lt h'(b)\), 两端都不是 \(h\) 的最小值点, 故最小值在内点取得并满足 \(h'=0\); 导数顺序相反时改用最大值.

4.2 L’Hospital’s Rule

Theorem 在趋向 \(a\) 的某个单侧去心区间内, 设 \(f,g\) 可导且 \(g'\neq0\). 若 \(f,g\to0\), 或 \(|g|\to\infty\), 并且导数商有广义极限 \(L\in\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}\), 则

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

无穷远处极限有相应版本; 双侧结论要求两侧同值. 若导数商极限不存在, 不能据此判断原商发散.

Remark L’Hospital 法则不是万能化简器. 先判断是否真的满足定理假设, 再决定是否使用.

4.3 Taylor’s Formula

Theorem 若 \(f\) 在 \(x_0\) 的邻域内具有足够多阶导数, 则

\[f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x).\]

常见余项形式:

  • Peano 余项: \(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\).
  • Lagrange 余项: 若 \(f\) 在连接 \(x_0\) 与 \(x\) 的闭区间上有 \(n\) 阶连续导数, 且在其内部有 \(n+1\) 阶导数, 则当 \(x\neq x_0\) 时存在两点之间的 \(\xi\), 使 \[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.\]

Example 常见等价无穷小:

\[\sin x \sim x, \qquad 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad \mathrm{e}^x-1\sim x.\]

Remark 等价无穷小只适合放在乘除结构里替换, 不能在加减结构中直接乱换.

Proposition 若在连接 \(x_0\) 与 \(x\) 的区间上 \(f\in C^{n+1}\), 则 Cauchy 余项为

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(x-\eta)^n(x-x_0),\]

其中 \(\eta\) 位于两点之间. Peano 余项只需 \(f\) 在 \(x_0\) 具有 \(n\) 阶导数; 不可把较弱条件直接用于含 \(n+1\) 阶导数的余项.

Example 当 \(x\to0\) 时, 常用 Maclaurin 展开为

\[\begin{aligned} \mathrm e^x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n),\\ \sin x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2}),\\ \cos x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}),\\ \ln(1+x)&=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+o(x^n),\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{k=0}^{n}\binom\alpha kx^k+o(x^n). \end{aligned}\]

其中 \(\binom\alpha0=1\), \(\binom\alpha k=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)/k!\). 展开可先对已知展开作有限次代数运算; 对余项求导须另有光滑性和误差控制.

4.4 Monotonicity, Convexity, and Extrema

Theorem 若 \(f'(x)\ge 0\) 在区间上恒成立, 则 \(f\) 单调不减; 若 \(f'(x)>0\), 则严格递增. 单调递减情形类似.

Theorem 若 \(f''(x)\ge 0\), 则函数是凸的; 若 \(f''(x)\le 0\), 则函数是凹的.

Remark 求极值常用流程:

  1. 求驻点和不可导点.
  2. 用一阶导符号表或二阶导判别.
  3. 若题目要求最值, 还要检查边界点.

Definition 区间上的凸函数满足

\[f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y),\qquad0\le t\le1.\]

若 \(f\) 可导, 等价于图像不低于任一点的切线: \(f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\). 凹函数取反向不等式.

Proposition 若内点 \(x_0\) 为二阶可导函数的极小值点, 则 \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)\ge0\). 若 \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\), 则为严格极小值点. 极大值相应反号; \(f''(x_0)=0\) 不能判定.

Definition 若至少一个单侧极限满足 \(|f(x)|\to\infty\) \((x\to c)\), 则 \(x=c\) 是垂直渐近线. 若在某一无穷远方向上

\[a=\lim\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim(f(x)-ax)\]

均有限, 则 \(y=ax+b\) 是该方向的渐近线; \(a=0\) 时为水平渐近线. 绘图应综合定义域、间断点、零点、单调区间、极值、凹凸性、拐点及渐近线.

4.5 Curvature of Curves

对平面曲线 \(y=y(x)\), 曲率可写为

\[\kappa = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}.\]

若使用弧长参数 \(s\), 则曲率是单位切向量 \(\mathbf T=\mathrm{d}\mathbf r/\mathrm{d}s\) 对弧长的变化率

\[\kappa = \left|\frac{\mathrm{d} \mathbf T}{\mathrm{d}s}\right|.\]

Remark 曲率刻画了曲线弯曲的强弱, 曲率半径为 \(\rho = 1/\kappa\).

Proposition 对正则平面参数曲线 \((x(t),y(t))\), 曲率为

\[\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.\]

对二阶连续可微的极坐标曲线 \(r=r(\theta)\), 在 \(r^2+(r')^2>0\) 的正则点有

\[\kappa=\frac{|r^2+2(r')^2-rr''|}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}.\]

第二式的撇表示对 \(\theta\) 求导. 曲率为零时没有有限曲率半径.

5 Vector Algebra and Analytic Geometry in Space

5.1 Planes and Lines in Space

Definition 向量的数量积和向量积分别定义为

\[\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta, \qquad |\mathbf a \times \mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta.\]

当两向量非零时, \(\theta\) 为它们的夹角. 向量积垂直于两向量, 方向由右手定则确定; 平行时向量积为零. 任一向量为零时, 数量积和向量积均为零.

Theorem 过点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 且非零法向量为 \((A,B,C)\) 的平面方程为

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Definition 空间直线可写成

\[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n},\]

其中 \((l,m,n)\) 是非零方向向量. 对称式只适用于相应分母非零的分量; 通用形式为 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t(l,m,n)\), 方向分量为零时对应坐标保持不变.

Remark 平面与平面的夹角由法向量决定, 直线与直线的夹角由方向向量决定.

Proposition 三个不共线点 \(P_i=(x_i,y_i,z_i)\) 确定的平面满足

\[\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{vmatrix}=0.\]

点 \(P_0\) 到平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 的距离为

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]

两个平行平面写成同一法向量系数时, 距离为 \(|D_1-D_2|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\). 点 \(P\) 到直线 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v\) 的距离为 \(|(\mathbf r_P-\mathbf r_0)\times\mathbf v|/|\mathbf v|\).

Theorem 若两个平面 \(F_1=0\), \(F_2=0\) 相交成直线, 则所有经过该直线的平面组成平面束

\[\lambda F_1+\mu F_2=0,\qquad(\lambda,\mu)\neq(0,0).\]

5.2 Space Curves and Surfaces

空间曲线常用参数方程表示:

\[\mathbf r(t) = (x(t),y(t),z(t)).\]

曲面常见表示方式有:

  • 显式方程 \(z=f(x,y)\).
  • 隐式方程 \(F(x,y,z)=0\).
  • 参数方程 \(\mathbf r(u,v)\).

Remark 参数表示在求切向量, 法向量和面积元时尤其方便.

Example 取 \(a,b,c>0\), 常见二次曲面为

  • 椭圆锥面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0\).
  • 椭球面: \(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\).
  • 单叶双曲面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1\).
  • 双叶双曲面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1\).
  • 椭圆抛物面: \(z=x^2/a^2+y^2/b^2\).
  • 双曲抛物面: \(z=x^2/a^2-y^2/b^2\).

通过坐标平面截线与对称性可辨认形状和主轴方向.

5.3 Tangent Lines and Arc Length

若空间曲线写成 \(\mathbf r(t)\), 且 \(\mathbf r'(t_0)\neq 0\), 则过 \(\mathbf r(t_0)\) 的切线方向由 \(\mathbf r'(t_0)\) 给出.

若曲线在积分区间上分段连续可微, 则弧长公式为:

\[s = \int_{\alpha}^{\beta} |\mathbf r'(t)|\,\mathrm{d}t.\]

若平面曲线写成 \(y=y(x)\), 则

\[s = \int_a^b \sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x.\]

6 Differential Calculus of Multivariable Functions

6.1 Multivariable Functions and Limits

Definition 二元函数是形如 \(f:D\subseteq\mathbb R^2\to\mathbb R\) 的映射. 多元函数情形完全类似.

Definition 设 \((x_0,y_0)\) 是定义域 \(D\) 的聚点. 若

\[\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall(x,y)\in D,\ 0\lt\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt\delta \Longrightarrow |f(x,y)-A|\lt\epsilon,\]

则称

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=A.\]

Remark 多元极限存在时, 沿任意路径趋近都必须得到同一极限. 因此"找两条路径"是判断极限不存在的常用方法.

Definition 开集的每一点都有完全包含于该集合的邻域; 闭集包含其全部极限点. 区域是非空连通开集, 边界记为 \(\partial D\). 在一般定义域上, 极限只考察属于定义域的趋近点.

Remark 极坐标 \(x-x_0=r\cos\theta\), \(y-y_0=r\sin\theta\) 有助于估计二元极限, 但要获得与 \(\theta\) 无关的误差界. 仅对每个固定角度取极限不足以证明全面极限存在.

Definition 累次极限为

\[\lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0}f(x,y)\right),\qquad \lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0}f(x,y)\right).\]

两者可能不同, 即使都存在且相同也不保证全面极限存在. 若全面极限存在, 且相应内层极限在去心邻域内存在, 则对应累次极限等于全面极限.

6.2 Continuity and Partial Derivatives

Definition 连续性按定义域内的 \(\epsilon\)-\(\delta\) 条件定义, 与一元情形相同, 将距离换为 Euclidean 距离. 在定义域的聚点 \((x_0,y_0)\) 处, 若

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0),\]

则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续.

Definition 偏导数定义为

\[f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},\]\[f_y(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y\to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.\]

Remark 连续, 可微, 存在偏导三者之间的关系不是等价的:

  • 可微 \(\Rightarrow\) 连续.
  • 可微 \(\Rightarrow\) 偏导存在.
  • 偏导存在不一定连续, 也不一定可微.

Theorem 在非空紧集上连续的实值函数有界并取得最大值和最小值; 在连通集上连续的实值函数具有介值性. 讨论边界连续性时, 趋近点限制在函数的定义域内.

Theorem 若混合偏导数 \(f_{xy},f_{yx}\) 在该点附近连续, 则 \(f_{xy}=f_{yx}\).

6.3 Total Differential and Chain Rule

Definition 若

\[\Delta f = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho), \qquad \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\]

则称 \(f\) 在该点可微, 且

\[\mathrm{d}f = A\,\mathrm{d}x + B\,\mathrm{d}y.\]

Theorem 若 \(f_x\) 和 \(f_y\) 在该点附近连续, 则 \(f\) 在该点可微, 且

\[\mathrm{d}f = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y.\]

Theorem 链式法则:

若 \(u=u(x,y)\), \(v=v(x,y)\) 在考察点可微, 且 \(f(u,v)\) 在对应点可微, 令 \(z=f(u,v)\), 则

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\]\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.\]

Proposition 一阶微分具有形式不变性. 对可微复合函数 \(z=f(u(x,y),v(x,y))\), 仍有 \(\mathrm{d}z=f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v\). 若 \(x,y\) 为独立变量, \(f\in C^n\), 则

\[\mathrm{d}^nf=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{\partial^nf}{\partial x^{n-k}\partial y^k}(\mathrm{d}x)^{n-k}(\mathrm{d}y)^k.\]

该高阶形式按固定增量计算; 对非线性换元不能忽略新变量的高阶微分.

6.4 Directional Derivatives and Gradient

Definition 沿单位向量 \(\mathbf n=(\cos\alpha,\cos\beta)\) 的方向导数定义为

\[D_{\mathbf n}f(\mathbf x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf x_0+h\mathbf n)-f(\mathbf x_0)}h.\]

若 \(f\) 在该点可微, 则有 \(D_{\mathbf n}f=\nabla f\cdot\mathbf n\). 仅有偏导存在不能保证此公式成立.

其中

\[\nabla f = (f_x,f_y)\]

称为梯度.

Remark 在可微点, 非零梯度方向是函数增长最快的方向, 最大方向导数等于 \(|\nabla f|\). 梯度为零时, 所有方向导数均为零, 没有唯一的增长最快方向.

6.5 Taylor Formula and Extremum Problems

若 \(f\) 足够光滑, 则在点 \((x_0,y_0)\) 附近有二阶 Taylor 展开

\[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) = f(x_0,y_0) + f_x \Delta x + f_y \Delta y + \frac{1}{2}\left(f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2\right) + o(\rho^2).\]

Theorem 对无约束极值问题, 若 \(f\) 在内点取得极值且可微, 则

\[f_x = 0,\qquad f_y = 0.\]

二阶判别常用

\[D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2.\]
  • 若 \(D>0\) 且 \(f_{xx}>0\), 则为极小值.
  • 若 \(D>0\) 且 \(f_{xx}\lt0\), 则为极大值.
  • 若 \(D\lt0\), 则为鞍点.

Remark 二阶判别要求在驻点附近有连续二阶偏导数; \(D=0\) 时不能判定. 最值还须检查边界和不可微点.

Theorem 设连接 \(\mathbf x_0\) 与 \(\mathbf x_0+\mathbf h\) 的线段位于 \(f\in C^{n+1}\) 的区域内. 记固定方向微分算符 \(D_{\mathbf h}=h_1\partial_x+h_2\partial_y\), 则存在 \(0\lt\theta\lt1\), 使

\[f(\mathbf x_0+\mathbf h) =\sum_{k=0}^n\frac{D_{\mathbf h}^kf(\mathbf x_0)}{k!} +\frac{D_{\mathbf h}^{n+1}f(\mathbf x_0+\theta\mathbf h)}{(n+1)!}.\]

Proof 对一元函数 \(F(t)=f(\mathbf x_0+t\mathbf h)\) 在 \(t=0\) 展开到 \(t=1\) 即得. \(n=0\) 给出多元微分中值定理.

6.6 Implicit Function Theorem and Lagrange Multipliers

Theorem 一元隐函数存在定理:

若 \(F(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 附近连续可微, 且

\[F(x_0,y_0)=0, \qquad F_y(x_0,y_0)\neq 0,\]

则在该点附近可将方程 \(F(x,y)=0\) 唯一解为 \(y=y(x)\).

Theorem 条件极值问题

\[f(x,y,z)\quad \text{subject to}\quad g(x,y,z)=0\]

若 \(f,g\) 在候选点附近连续可微, \(f\) 在约束上于该点取得局部极值且 \(\nabla g\neq0\), 则存在 Lagrange 乘子 \(\lambda\), 使

\[\nabla f = \lambda \nabla g.\]

Remark 几何上, 当 \(\nabla f\) 也非零时, 这表示目标函数等值面与约束面在极值点处相切. 目标梯度为零时, 目标等值集可能不是正则曲面.

Proposition 一元隐函数的导数由恒等式 \(F(x,y(x))=0\) 求导得到

\[y'=-\frac{F_x}{F_y}.\]

若 \(F\in C^1\), \(F(x_0,y_0,z_0)=0\), \(F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0\), 则局部唯一确定 \(z=f(x,y)\), 且

\[f_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad f_y=-\frac{F_y}{F_z}.\]

各偏导在相应隐函数图像上取值.

Theorem 设 \(F(x,u,v),G(x,u,v)\) 连续可微, 在 \((x_0,u_0,v_0)\) 同时为零, 且

\[J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}\neq0.\]

则局部唯一确定连续可微函数 \(u(x),v(x)\). 对方程组求导后,

\[\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix},\]

由 \(J\neq0\) 可唯一求出导数.

Theorem 若映射 \((u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v))\) 连续可微, 且在一点的 Jacobian 行列式非零, 则该点附近存在唯一连续可微的逆映射. 对应点处有

\[\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^{-1},\]

这里两边表示 Jacobian 行列式, 右边是数值倒数; 对 Jacobian 矩阵则为矩阵求逆.

Remark Lagrange 乘子条件要求约束梯度在候选点非零. 多个独立约束 \(g_1=\cdots=g_m=0\) 时, 要求它们的梯度线性无关, 并解

\[\nabla f=\sum_{i=1}^m\lambda_i\nabla g_i,\qquad g_i=0.\]

这是必要条件, 不是充分条件. 约束奇异点必须另查, 且受约束极值不意味着增广函数对所有变量同时取得无约束极值.

Appendix

A.1 Common Equivalent Infinitesimals

以下均取 \(x\to0\); 最后一式中的 \(a\) 为固定非零实数.

\[\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x, \quad \ln(1+x)\sim x, \quad \mathrm{e}^x - 1 \sim x, \quad (1+x)^a - 1 \sim ax.\]

A.2 Problem-Solving Checklist

  1. 极限题: 先判型, 再看夹逼, 等价无穷小, Taylor, L’Hospital.
  2. 单调与极值: 先求导, 再做符号分析.
  3. 定积分: 优先看换元, 分部积分, 对称性.
  4. 多元极限: 优先查路径依赖.
  5. 条件极值: 先列约束, 再做 Lagrange 乘子.