7 Multiple Integrals

7.1 Double Integrals

Lemma 设平面有界闭区域 \(D\) 由有限条曲线段围成,其中每一条曲线段都可以由一个连续的一元显式函数所表示,则称 \(D\) 是可求面积的,也称 \(D\) 有面积. Notation 分割细化度指标 \(||\sigma||=\max\limits_{1\le i\le n}\{\operatorname{diam}(\Delta\sigma_{i})\}\),即最大分割区域的直径.

Definition 有界可求面积闭区域 \(D\) 上的二重积分. 将 \(D\) 分成小区域 \(\Delta\sigma_i\), 面积记为 \(|\Delta\sigma_i|\), 样点 \((x_i,y_i)\in\Delta\sigma_i\). 若以下极限存在且与分割和样点选取无关, 则称 \(f\) 在 \(D\) 上可积:

\[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\lim_{\|\sigma\|\to0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)|\Delta\sigma_i|,\qquad \text{也记作 }\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

  • 在有界可求面积闭区域 \(D\) 上可积的函数 \(f(x,y)\) 必在 \(D\) 上有界.

  • 被积函数和积分区域具有单调性和可加性,前者的数学表述: 若 \(D_1\subset D_2, f( x, y) \geqslant 0, ( x, y) \in D_2\),则

    \[\iint_{D_{1}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le\iint_{D_{2}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\]

    若 \(f(x,y)\leqslant g(x,y),(x,y)\in D\), 则

    \[\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le\iint_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma.\]

  • 绝对值估计:

    \[\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\le\iint_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\]

  • 累次积分法: 以下设 \(f\) 连续, 且 \(D\) 分别具有公式所用的两种简单区域表示; 一般区域须先分片. 有时原函数性质使其中一种积分次序更方便.

    \[\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\]

  • 换元法:若存在区域 \(D'\) 到 \(D\) 的双射 \(\begin{cases}x=x(\xi,\eta)\\y=y(\xi,\eta)\end{cases}\) 满足

    1. 函数 \(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta)\) 都有连续的偏导数
    2. \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\xi,\eta)}\ne 0,(\xi,\eta)\in D'\).

    则有

    \[\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D^{\prime}}f(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))|J|\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\]

    常用的极坐标换元法 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\) 满足 \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r\), 即 \(\mathrm{d}\sigma=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\), 其中 \(r\ge0\). 原点和角度切缝上的退化可作为零面积边界处理; 其余参数点须避免重复覆盖.

  • 对可分离变量的情况:

    \[\iint_{[a_1,a_2]\times[b_1,b_2]}f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_{a_1}^{a_2}f(x)\cdot\left(\int_{b_1}^{b_2}g(y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\left(\int_{a_1}^{a_2}f(x)\mathrm{d}x\right)\left(\int_{b_1}^{b_2}g(y)\mathrm{d}y\right)\]

曲面面积: 以下设图形曲面连续可微, 参数曲面分片正则且无重复覆盖; 各参数片分别积分再求和.

\[\begin{aligned} S &=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\iint_{D^{\prime}}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\iint_{D^{\prime}}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &A=\frac{{\partial}(y,z)}{{\partial}(u,v)},\ B=\frac{{\partial}(z,x)}{{\partial}(u,v)},\ C=\frac{{\partial}(x,y)}{{\partial}(u,v)},\quad (A,B,C)=\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial v}\\ &\left\{\begin{array}{l}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}\right. \end{aligned}\]

7.2 Triple Integrals

Definition 三维有界可求体积区域 \(\Omega\) 上的三重积分, 其中 \(\lambda=\max_i\operatorname{diam}(\Delta\Omega_i)\), \(\Delta V_i\) 为小区域体积. 极限须与分割和样点选取无关:

\[\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\lim_{\lambda\to0}\sum_if(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i\]

  • 累次积分:先一后二/先二后一

  • 三重积分换元法:若存在区域 \(\Omega'\) 到 \(\Omega\) 的双射 \(\left\{\begin{gathered}x=x(u,v,w)\\y=y(u,v,w)\\z=z(u,v,w)\end{gathered}\right.\) 满足

    1. 函数 \(x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)\) 都有连续的偏导数
    2. \(J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\ne0,(u,v,w)\in \Omega'\).

    对连续的 \(f\), 有

    \[\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm{d}V=\iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\]

    常见换元(除零体积边界外避免重复覆盖):

    1. 柱坐标换元:\(J=\frac{{\partial}(x,y,z)}{{\partial}(r,\theta,z)}=r\), 即 \(\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\), \(r\ge0\).
    2. 球坐标换元:\(x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi\), \(r\ge0, 0\le\varphi\le\pi\). 此时 \(J=\frac{{\partial}(x,y,z)}{{\partial}(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin\varphi\), 即 \(\mathrm{d}V=r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\).

被积函数只含三个变量其中一个时, 先在内层计算另外两个变量的积分再计算第三个变量往往更方便.

建议记忆的积分:

\[I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x,\quad n\in\mathbb{N}_0\]

\[I_n=\left\{\begin{aligned} \frac{(n-1)!!}{n!!}, &\quad n \text{ 奇},\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, &\quad n \text{ 偶} \end{aligned}\right.=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\]

其中 \(0!!=(-1)!!=1\). Gamma 函数式还适用于实数 \(n>-1\), 但奇偶分支只用于非负整数.

7.3 Curve Integrals

Definition 曲线积分 第一型曲线积分(标量函数关于弧长的积分): 设 \(L\) 分段光滑, \(f\) 连续, \(\lambda=\max_i\Delta s_i\), 样点位于对应小弧段.

\[\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta s_i,\]

  • 曲线写作 \(y=y(x)\) 时:

    \[\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s =\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2}\mathrm{d}x\]

  • 曲线作参数化 \((x(t),y(t))\), \(t\in[\alpha,\beta]\), 且无重复描绘(分段光滑)时:

    \[\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\mathrm{d}t\]

第二型曲线积分(向量场的有向线积分): 取 \(L\) 的方向, \(\boldsymbol{t}\) 为该方向的单位切向量; \(\boldsymbol{F}=(P,Q)\) 连续. 按曲线方向取各弧段的端点增量, 则

\[\begin{aligned} \int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} &=\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}(x_i,y_i)\cdot(\Delta x_i,\Delta y_i)\\ &=\int_L\left(\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\boldsymbol{t}\right)\mathrm{d}s \end{aligned}\]

  • 曲线写作 \(y=y(x)\) 时:

    \[\int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_a^b\left[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime}(x)\right]\mathrm{d}x\]

  • 曲线作参数化 \((x(t),y(t))\) 时:

    \[\int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta\left[P(x(t),y(t))x^{\prime}(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime}(t)\right]\mathrm{d}t\]

Theorem 设有界闭区域 \(D\) 的边界 \(L=\partial D\) 由有限条逐段光滑简单闭曲线组成, \(P,Q\) 在包含 \(D\) 的开邻域上连续可微. 取正向 \(L^+\): 沿边界行进时区域在左侧(外边界逆时针, 洞的边界顺时针). 则有 Green 公式

\[\oint_{\partial D^+}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} =\iint_D(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol \sigma,\quad \oint_{L^+}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

Green 公式不要求 \(D\) 单连通, 但须计入全部边界分量. 内部或边界上有未消除奇点时不能直接套用上述定理. 其通量形式为

\[\oint_{L^+}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}s=\oint_{L^+}P\,\mathrm{d}y-Q\,\mathrm{d}x=\iint_D\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

其中 \(\boldsymbol{n}\) 是平面边界的外单位法向量.

对某些有奇点的积分, 可先证明路径上的被积表达式与一个光滑场相同, 再对该光滑场应用 Green 公式.

Theorem 第二型曲线积分路径无关的充要条件: 考虑 \(I=\int_{\hat{AB}}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\), \(\hat{AB}\) 待定. 设 \(D\) 是连通开区域, \(P,Q\) 在 \(D\) 上连续可微. 称积分具有路径无关性, 若对任意 \(A,B\in D\) 和连接它们的逐段光滑曲线 \(J_1,J_2\subset D\) 有

\[\int_{J_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int_{J_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\]

  1. 当且仅当 \(\forall C\subset D\) 有

    \[\oint_{C^+}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0\]

  2. 若额外要求 \(D\) 单连通,则当且仅当 \(\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)\),即 \(\nabla\times\boldsymbol{F}=0\) 在 \(D\) 上成立

  3. 当且仅当 \(\exists u(x,y),\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\). 这一等价关系不额外要求 \(D\) 单连通. \(u(x,y)\) 称为原函数,可通过不定积分法凑出.

两种求曲线积分的方法: 改变路径法/原函数法

  1. 改变路径时, 注意验证路径无关性
  2. 构造原函数时, 注意验证原函数是否在区域上处处光滑.

对区域内部的孤立奇点, 可挖去包含奇点的小区域, 在剩余的无奇点区域上应用 Green 公式. 外围道正向与小围道逆向共同构成边界; 再直接计算小围道积分并取极限. 不能在仍含奇点的小围道内部直接套用 Green 公式.

Definition 方向余弦

\[\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|\cdot\left(\cos\left(\boldsymbol{a},x\right),\cos\left(\boldsymbol{a},y\right)\right)\]

7.4 Surface Integrals

Definition 曲面积分 第一型曲面积分: 将分片光滑曲面 \(S\) 分成 \(N\) 个小面片 \(S_i\), 面积为 \(\Delta S_i\), 在各片选取样点 \((x_i,y_i,z_i)\). 以下取网格尺度 \(\lambda=\max_i\operatorname{diam}(S_i)\), 令各片直径趋于零. 对连续的 \(f\),

\[\iint_Sf(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{N}f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i\]

  • 显式函数 \(z=g(x,y)\)

    \[\iint_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S= \iint_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+\left(g_x^{\prime}\right)^2+\left(g_y^{\prime}\right)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

  • 参数化

    \[\begin{aligned} \iint_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S &=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}\]\[A(u,v)=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\quad B(u,v)=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\quad C(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\]

    这些系数均在当前积分点 \((u,v)\) 处计算, \((A,B,C)=\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v\), 其中 \(\boldsymbol{r}=(x,y,z)\). 在正则参数片上该向量非零; 积分按无重复覆盖的参数片计算, 多片覆盖时分片求和.

    \[\left\{\begin{array}{l}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}\right.\]

第二型曲面积分: 取可定向曲面 \(S\) 的一致单位法向量 \(\boldsymbol{n}\), 并设向量场 \(\boldsymbol{F}=(P,Q,R)\) 连续. 沿用上述分割和取样点, 可转为第一型曲面积分计算:

\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &=\iint_S\left(P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\\ &=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\boldsymbol{n}(x_i,y_i,z_i)\right)\Delta S_i\\ &=\iint_S(\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}S \end{aligned}\]

  • 显式函数 \(z=g(x,y)\)(注意外微分导致的符号特殊, 以及曲面内/外侧导致的符号选取)

    \[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &=\pm\iint_S \boldsymbol{F}(x,y,g(x,y))\cdot\frac{(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_D\boldsymbol{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}\]

  • 参数化 (\(A,B,C\) 同前)

    \[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} =&\pm\iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\mathrm{d}S\\ =&\pm\iint_{D^{\prime}}[P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A(u,v)+Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B(u,v)\\ &+R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C(u,v)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}\]

球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2\), \(R>0\), 的外单位法向量为 \(\boldsymbol{n}=(x,y,z)/R\). 对椭球面 \(\Phi=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0\), \(a,b,c>0\), 梯度 \(\nabla\Phi=2(x/a^2,y/b^2,z/c^2)\) 指向外侧. 外单位法向量为

\[\boldsymbol{n}=\frac{(x/a^2,y/b^2,z/c^2)}{\sqrt{x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4}}\]

取内侧方向时整体变号. 通量公式中的 \(\boldsymbol{n}\) 必须为单位向量.

对于被积函数只有一个分量的第二型曲面积分,例如只有 \(z\) 分量,则

\[\begin{aligned} \iint_SR(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\iint_S(0,0,R(x,y,z))\cdot\boldsymbol{n}(x,y,z)\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_S(0,0,R(x,y,z))\cdot\frac{(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_S\frac{R(x,y,z)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S=\pm\iint_{D_{(x,y)}}R(x,y,g(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}\]

可以看出变成了曲面投影的积分

三维空间的卦限: 1-4 对应 \(z>0\) 的四个象限, 5-8 对应 \(z\lt0\) 的四个象限

Gauss 公式和 Stokes 公式

  1. Gauss 公式/散度定理(与 Green 公式类似)

    \[\iint_{S^+}\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iiint_\Omega\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V\]
    • 设 \(S=\partial\Omega\) 是分片光滑闭曲面, \(S^+\) 取外侧; \(\boldsymbol{F}\) 在包含 \(\Omega\cup S\) 的开邻域上连续可微.
    • 对内部孤立奇点可挖去小区域, 仅对剩余无奇点区域用 Gauss 公式. 洞边界的法向量指向洞内; 计算这些边界的通量后, 在相关极限存在时令洞缩小.

    可以推广到 n 维,即 Gauss-Green 公式

  2. Stokes 公式

    \[\oint_L \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\iint_{S^+}(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\]
    • 设 \(S\) 是可定向的分片光滑曲面, \(L=\partial S\) 为逐段光滑边界, \(\boldsymbol{F}\) 在包含 \(S\cup L\) 的开邻域上连续可微. \(L\) 的方向与 \(S^+\) 的法向量按右手规则配合.

8 Ordinary Differential Equations

8.1 Concepts

在正则性与局部存在唯一性条件下, n 阶方程的局部通解通常用 n 个独立常数表示. 非线性方程还可能有未被某个通解族包含的奇解, 须单独检验.

  1. n 阶方程的通解写为 \(y=y(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)\). 参数取允许的特定值时, 得到一个特解/积分曲线.
  2. n 个待定系数应是独立的,即 \(\frac{\partial(y,y^{\prime},\cdots,y^{(n-1)})}{\partial(C_{1},C_{2},\cdots,C_{n})}\ne 0\).

8.2 First-Order ODEs

8.2.1 Separable Type

\[f(x)\mathrm{d}x+g(y)\mathrm{d}y=0\]

可以直接不定积分得到隐式结果. 从原方程分离变量时, 任何除去的零因子对应的常值解或其他解须代回原方程检验. 常见可化为可分离变量的类型有:

  1. \(y^{\prime}=h(ax+by+c)\). 当 \(b\ne0\) 时令 \(z=ax+by+c\), 得到 \(z^{\prime}=a+bh(z)\), 求出 \(z\) 后恢复 \(y\). 当 \(b=0\) 时直接积分 \(y'=h(ax+c)\).
  2. \(y^{\prime}=h\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)\), 只在分母非零的区域求解. 当系数行列式非零时, 求解 \(\left\{\begin{array}{l}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{array}\right.\), 得到 \((x_0,y_0)\). 换元 \(u=x-x_0,v=y-y_0\), 得到 \(v(u)\) 的齐次方程.
    • 系数行列式为零时, 从非零系数对中选取 \((a_j,b_j)\), 设 \(z=a_jx+b_jy\); 两个线性式均化为 \(z\) 的仿射函数, 可按上一类处理. 若两个系数对均为零, 则原方程右端为常数(仍须分母非零).
    • 当 \(c_1=c_2=0\) 时, 可重定义右端函数, 将方程写为 \(y'=\tilde h(y/x)\). 在 \(x\ne0\) 的区间令 \(z=y/x\), 得 \(z'=(\tilde h(z)-z)/x\); 分离时须保留 \(\tilde h(z)=z\) 的常值 \(z\) 解.

8.2.2 First-Order Linear ODE Type

  1. 非齐次一阶

    \[y^{\prime}+P(x)y=Q(x)\]

    设 \(P,Q\) 在所考察区间连续, 取其中任意基点 \(x_0\). 左右同乘 \(\exp(\int P(x)\,\mathrm{d}x)\) 从而得到

    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y\cdot\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x})=Q(x)\cdot\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\]\[y(x)=\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^xP(s)\,\mathrm{d}s}\left(C+\int_{x_0}^x Q(t)\mathrm{e}^{\int_{x_0}^tP(s)\,\mathrm{d}s}\,\mathrm{d}t\right)\]

  2. Bernoulli 方程

    \[y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^\alpha\]

    当 \(\alpha\ne0,1\) 时, 在 \(y\ne0\) 且实数幂有定义的区间, 两边同乘 \(y^{-\alpha}\), 换元 \(z=y^{1-\alpha}\), 得

    \[z'+(1-\alpha)P(x)z=(1-\alpha)Q(x)\]

    \(\alpha=0,1\) 时原方程已是线性方程. 变换中排除的 \(y=0\) 须代回原方程单独检验.

  3. 自变量互换型:

    \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{P(y)x+Q(y)}\quad \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-P(y)x=Q(y)\]

8.2.3 Exact Equations (Total Differential Equations)

\[P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\]

其中左侧是某个原函数 \(u(x,y)\) 的全微分, 且 \(\partial_yP=\partial_xQ\)(即曲线积分路径无关, 对单连通区域上的方程), 得到通解为 \(u(x,y)=C\)

8.2.4 Non-Exact Differential Equations

\[M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0\]

需要寻找积分因子 \(\mu(x,y)\), 化为恰当的 \(M\mu\,\mathrm{d}x+N\mu\,\mathrm{d}y=0\). 以下假设 \(M,N\) 连续可微; 所列比值只在相应分母非零的区域使用.

  1. 若 \(F=\frac{\partial_yM-\partial_xN}{N}\) 与 \(y\) 无关(只与 \(x\) 有关), 则 \(\mu=\exp\left(\int F(x)\mathrm{d}x\right)\) 是可行的积分因子. 若 \(G=-\frac{\partial_{y}M-\partial_{x}N}{M}\) 与 \(x\) 无关(只与 \(y\) 有关), 则 \(\mu=\exp\left(\int G(y)\mathrm{d}y\right)\) 是可行的积分因子
  2. 观察法.

积分因子往往不止一种.

8.2.5 Reducible Type

  1. \(G(x,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0\). 先求 \(p(x)=y'\) 再积分.

  2. 自治方程 \(H(y,y',y'')=0\). 在 \(y'\ne0\) 的局部区间以 \(y\) 为自变量, 令 \(p(y)=y'\),

    \[y''=p(y)\cdot p^\prime(y)\]

    之后解 \(p(y)\) 的一阶方程, 再解 \(y'=p(y)\). 常值解须另行检验; 含转折点的解可在相邻单调区间求解并核对连接.

8.3 General Theory of ODEs

8.3.1 Initial Value Problems

8.3.1.1 First-Order ODE Initial Value Problem
\[\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=f(x,y)\\y\left(x_{0}\right)=y_{0} \end{array}\right. \qquad(x,y)\in R.\]

\(R=[x_0-a,x_0+a]\times[y_0-b,y_0+b]\), \(a,b>0\).

Theorem 解的局部存在唯一性: 若 \(f(x,y)\) 在 \(R\) 连续, 且对 \(y\) 满足一致 Lipschitz 条件, 即存在 \(L\ge0\), 对所有同一 \(x\) 下的 \((x,y_1),(x,y_2)\in R\), 有

\[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|\]

则初值问题在区间 \([x_0-h,x_0+h]\) 存在唯一解 \(y=y(x)\), 其中

\[h=\min\left(a,\frac{b}{M}\right),\quad M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|\]

当 \(M=0\) 时取 \(h=a\), 唯一解为 \(y(x)=y_0\).

  • 若 \(\partial_y f(x,y)\) 存在且有界, 那么 Lipschitz 条件一定成立.

Definition Picard 序列 对于满足解的局部存在唯一性的问题,

\[y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,y(s))\,\mathrm{d}s\]

由于 \(y(s)\) 待定, 可逐次逼近

\[\begin{cases}\phi_0(t)=y_0,\\\phi_{n+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,\phi_n(s))\,\mathrm{d}s\quad(n\geq0)&\end{cases}\]
8.3.1.2 Second-Order Linear ODE Initial Value Problem
\[\begin{cases} y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x),\quad x\in[a,b],\\ y\left(x_0\right)=y_0,\quad y^{\prime}\left(x_0\right)=y_1, \end{cases}\]

\(x_0\in[a,b]\). Theorem 若 \(p(x),q(x),f(x)\) 在 \([a,b]\) 都连续, 那么二阶线性方程初值问题存在唯一解 \(y=y(x)\).

8.3.2 Second-Order Linear Equations

先用线性代数语言总结:

在系数连续且最高阶系数非零的区间内, n 阶齐次线性方程的解集构成 n 维线性空间, 非齐次方程的解集构成 n 维仿射空间

以下设 \(p,q\) 在区间 \([a,b]\) 连续. 对二阶线性齐次微分方程 \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), 可通过 Wronski 行列式判断两解 \(\varphi_1,\varphi_2\) 的线性无关性:

\[W(x)=\left|\left.\begin{array}{ll}\varphi_1(x)&\varphi_2(x)\\\varphi_1^{\prime}(x)&\varphi_2^{\prime}(x)\end{array}\right.\right|\]

线性无关的充要条件是存在 \(x_0\in[a,b]\) 使 \(W(x_0)\ne0\). 对上述同一齐次方程的两解, 这等价于 \(W\) 在区间内处处非零.

Proposition 二阶线性齐次微分方程有两组线性无关的解, 且任意齐通解都包含在 \(C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\) 内. Proof 取两解分别满足

\[\varphi_1(x_0)=1,\quad\varphi_1'(x_0)=0,\qquad \varphi_2(x_0)=0,\quad\varphi_2'(x_0)=1\]

于是 \(W(x_0)=1\), 两解线性无关. 对任意初值 \((y_0,y_1)\), \(y_0\varphi_1+y_1\varphi_2\) 满足该初值; 由唯一性它就是对应解, 故这两解张成整个解空间.

Proposition \(W(x)\) 只要一点非 0 则处处非 0. 可以从证明其逆否命题入手: 只要一点为 0 则处处为 0 Proof \(W(x)=\varphi_1(x)\varphi_2^{\prime}(x)-\varphi_1^{\prime}(x)\varphi_2(x)\), 其一阶导

\[\begin{aligned} W'(x)&=\varphi_1(x)\varphi_2''(x)-\varphi_1''(x)\varphi_2(x)\\ &=\varphi_1(x)(-p(x)\varphi_2'(x)-q(x)\varphi_2(x))-(-p(x)\varphi_1'(x)-q(x)\varphi_1(x))\varphi_2(x)\\ &=-p(x)(\varphi_1(x)\varphi_2'(x)-\varphi_1'(x)\varphi_2(x))=-p(x)W(x) \end{aligned}\]

其中用到了对二阶导的约束(即齐次线性方程), 则

\[W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp(s)\mathrm{d}s\right)\]

若 \(x_0\) 为其零点, 则 \(W(x)\) 恒为 0.

对线性无关的两解, \(W(x)\ne0\) 还说明它们不能有相同的零点, 也不能在同一点同时满足一阶导数为零.

Wronski 行列式法求第二个线性无关解: 选 \(W(x_0)\ne0\), 在 \(\varphi_1(x)\ne0\) 的子区间内,

\[\varphi_2=\varphi_1(x)\int^x\frac{W(z)}{[\varphi_1(z)]^2}\mathrm{d}z\]

对二阶非齐次线性方程, 找到一个特解 \(y^*(x)\) 后, 加上齐通解则可以得到通解 \(y^*(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\).

8.3.2.1 Second-Order Constant-Coefficient Nonhomogeneous Linear Equations
\[y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=f(x)\]

8.3.3 Method of Undetermined Coefficients

先假设特解形式, 再匹配系数.

  1. \(f(x)=P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\quad a_0\neq0\). 设特解形式为

    \[Q_{n}(x)=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_{n},\quad b_{0}\neq0\]
    • \(q\ne 0\)(即 0 不是特征根), 各次联立即可
    • \(q=0\), 特解形式为 \(Q(x)=xQ_n(x)\)
      • \(p\ne 0\)(即 0 是单特征根), 同理联立定出特解.
      • \(p=0\)(即 0 是重特征根), 特解形式为 \(R(x)=x^2Q_n(x)\).

  2. \(f\left(x\right)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\). 若

    • \(\alpha\) 不是特征根, 特解为 \(y=Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\);
    • \(\alpha\) 是单特征根, 特解为 \(y=xQ_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\);
    • \(\alpha\) 为重特征根, 特解为 \(y=x^{2}Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\).

  3. \(f(x)=a\cos\beta x+b\sin\beta x, \quad \beta\ne 0\). 设特解 \(y\left(x\right)=A\cos\beta x+B\sin\beta x\),

    \[\begin{cases}(q-\beta^2)A+p\beta B=a\\-p\beta A+(q-\beta^2)B=b\end{cases},\quad \Delta=(q-\beta^{2})^{2}+p^{2}\beta^{2}\]
    • \(\Delta\ne 0\), 特解如前
    • \(\Delta=0\)(或说 \(\mathrm{i}\beta\) 是特征根), 特解为 \(y\left(x\right)=x\left(A\mathrm{cos}\beta x+B\mathrm{sin}\beta x\right)\).

  4. \(f(x)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}(a\cos\beta x+b\sin\beta x),\quad\beta\ne0\). 在实系数二阶方程中:

    • \(\alpha\pm\mathrm{i}\beta\) 不是特征根, 特解为 \(\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]\);
    • \(\alpha\pm\mathrm{i}\beta\) 是特征根, 特解为 \(x\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]\).

8.3.4 Variation of Parameters

先求齐次方程通解, 再将常数变为待定函数.

\[y(x)=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\]

直接假设其特解形式为

\[\hat{y}(x)=C_1(x)\varphi_1(x)+C_2(x)\varphi_2(x)\]

同时需要增加限制条件得到唯一的选取方式

\[C_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2(x)=0\]

从而得到确定系数形式的方程组

\[\left\{\begin{aligned} C_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2(x)&=0\\ C_1^{\prime}(x)\varphi_1^{\prime}(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2^{\prime}(x)&=f(x) \end{aligned}\right.\]

可以通过上述方程组解出 \(C_1'(x), C_2'(x)\), 分别不定积分得到结果

8.3.5 General Solution of n-th Order Constant-Coefficient Homogeneous Linear Equations

\[y^{(n)}(x)+p_1y^{(n-1)}(x)+\cdots+p_{n-1}y^{\prime}(x)+p_ny(x)=0\]

可以带入试探解 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) 后得到特征方程

\[\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\lambda+p_n=0\]

通过因式分解(大概)解出特征值 \(\lambda\):

  1. 单实根 \(\lambda\) 对应函数 \(\mathrm{e} ^{\lambda x}\).

  2. m 重实根 \(\lambda\) 对应 \(m\) 个函数 \(\mathrm{e}^{\lambda x},x\mathrm{e}^{\lambda x},\cdots,x^{m-1}\mathrm{e}^{\lambda x}\).

  3. 单复根对 \(a\pm b\mathrm{i}\), \(b\ne0\), 对应两个实解 \(\mathrm{e}^{ax}\cos(bx),\mathrm{e}^{ax}\sin(bx)\).

  4. m 重复根对 \(a\pm b\mathrm{i}\), \(b\ne0\), 对应 \(2m\) 个实解

    \[x^j\mathrm{e}^{ax}\cos(bx),\quad x^j\mathrm{e}^{ax}\sin(bx),\qquad j=0,1,\cdots,m-1\]
  • 共轭根成对原理: 对实系数多项式, 若 \(a+b\mathrm{i}\) 是根, 则 \(a-b\mathrm{i}\) 也是根. 共轭指数解通过线性组合给出上述余弦和正弦解.

8.3.6 First-Order Constant-Coefficient Linear ODE Systems

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a_1x+a_2y+f_1(t)\\ &\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b_1x+b_2y+f_2(t) \end{aligned}\right.\]

当 \(a_2\ne0\) 且 \(f_1\) 可微时, 可由第一个方程解出 \(y=(x'-a_1x-f_1)/a_2\), 代入第二个方程得到关于 \(x\) 的二阶常系数非齐次线性方程, 再恢复 \(y\). 此法不要求 \(b_2\ne0\); 若 \(a_2=0\), 可先解独立的 \(x\) 方程, 再解 \(y\) 的一阶线性方程.

8.3.7 Euler Equations

\[a_{0}x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy^{\prime}+a_{n}y=0\]

进行替换

\[x= \begin{cases} \mathrm{e}^t,\quad x>0,\\ -\mathrm{e}^{t},\quad x\lt0 \end{cases}\]

则可以逐次归纳出

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\]

\[x^k\frac{\mathrm{d}^ky}{\mathrm{d}x^k}=D_t(D_t-1)\cdots(D_t-k+1)y,\qquad D_t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t},\quad t=\ln|x|\]

带入得到方程化为常系数线性微分方程

\[b_0\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}t^n}+b_1\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+b_{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+b_ny=0\]

9 Infinite Series

9.1 Numerical Series

交错级数: Leibniz 判别法 一般项级数: Dirichlet-Abel 判别法 皆不适用: 结合技术具体特点使用收敛性定义/Cauchy 准则研究

Definition 数项级数: 对给定序列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\), 称其部分和 \(S_n=\sum_{k=1}^na_k\) 构成数项级数 \(\{S_n\}_{n=1}^\infty\).

  • 部分和收敛, 则称级数收敛.

    • 必要条件: \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).

    • 充要条件(Cauchy 准则):

      \[\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N,\qquad \mathrm{s.t.}\ \forall n>m>N, \left|\sum_{k=m+1}^na_k\right|\lt\varepsilon\]

  • 等比级数 \(\sum_{n=1}^\infty q^n\) 和 \(p\)-级数 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) 对于判断收敛性有重要指导意义.

  • 收敛级数加减、数乘、改变有限项、在保持项次序的前提下将连续有限项分组, 仍收敛. 加括号与重排不同: 绝对收敛级数可任意重排而保持和, 条件收敛级数重排可改变和或使其发散. 发散级数加括号后可能收敛, 但这不证明原级数收敛.

  • 收敛的数项级数 \(S=\left\{\{a_n\}_{n=1}^\infty:\sum_{n=1}^\infty a_n\text{收敛}\right\}\) 构成一个线性空间, 可以将 \(\{a_n\}\) 视作无穷维向量.

正项级数的收敛判据

  1. 直接比较法: 存在某个 \(N\) 使得大于此 \(N\) 的项求和小于某个已知收敛级数(等比/p-级数)
  2. 量级比较法: 设 \(\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c\), 若
    • \(c\) 是正实数, 则两个数项级数收敛性相同
    • \(c=0\), \(\sum a_n\) 收敛则 \(\sum b_n\) 收敛, \(\sum b_n\) 发散则 \(\sum a_n\) 发散
    • \(c=+\infty\), \(\sum b_n\) 收敛则 \(\sum a_n\) 收敛, \(\sum a_n\) 发散则 \(\sum b_n\) 发散
  3. D’Alembert 判据: 设 \(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\) 存在(不存在时判别法实效), 则 \(l\lt1\), 级数收敛; \(l>1\), 级数发散; \(l=1\), 判别法失效, 再尝试使用 Raabe 判据.
  4. Raabe 判据(D’Alembert 判据的补充): 设 \(\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=l\) 存在(\(l=1\) 或不存在时判别法失效), 则 \(l>1\), 级数收敛; \(l\lt1\), 级数发散(即看相对下降速率够不够快)
  5. Cauchy 判据: 设 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=l\) 存在, 若 \(l>1\), 级数发散; \(l\lt1\), 级数收敛.; \(l=1\) 时判别法失效.
  6. 积分判别法: \(\sum a_n\) 与 \(\int_1^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\) 收敛性一致, 当 \(f\) 在每个有限子区间可积, 非负且 \(f(n)=a_n\), 并在充分大的 \(x\) 上单调递减.

一般项级数的收敛

  1. 绝对收敛: 级数绝对收敛 \(\Rightarrow\) 级数收敛; 绝对收敛重排之后仍然绝对收敛.
  2. 条件收敛: 不满足绝对收敛, 但是级数收敛

Leibniz 判据(判断交错级数 \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^nu_n\) 的充分条件): 若 \(u_n\) 单调下降且 \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\), 那么交错级数收敛.

Dirichlet-Abel 判据(用于乘积形式的一般项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_nb_n\)):

  1. Abel 判据: 若 \(a_n\) 单调有界, 且 \(\sum b_n\) 收敛, 则 \(\sum a_nb_n\) 收敛. (对 \(b_n\) 要求更高)

    Abel 变换: \(\sum_{k=1}^na_kb_k=\sum_{k=1}^na_k\left(B_k-B_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_k-a_{k+1}\right)B_k+a_nB_n,\quad B_k=\sum_{l=1}^k b_l\).

  2. Dirichlet 判据: 若 \(a_n\to 0\) 且 \(a_n\) 单调, 且 \(\sum b_n\) 部分和有界, 则 \(\sum a_nb_n\) 收敛(对 \(a_n\) 要求更高)

    特别记忆:\(\sum\sin n ,\sum\cos n\) 部分和有界, 可以通过积化和差拆分, 或取 \(\sum \mathrm{e}^{\mathrm{i}n}\) 的虚/实部.

    \[|\sin n|\ge\sin^2n=\frac{1-\cos2n}{2}\]

(1)建议记忆的结论(渐进级数):

\[H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n\sim\ln n,\qquad H_n-\ln n\to\gamma\]

以下夹逼先得到 \(H_n\sim\ln n\); 再由 \(H_n-\ln n\) 单调递减且有下界, 可知常数 \(\gamma\) 存在:

\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\leq H_n\leq1+\int_1^n\frac{1}{x}\mathrm{d}x\]

(2)通过合适放缩得到渐进性质对于判断敛散性十分有用, 例:

\[\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty(-1)^k b_k,\quad b_k=\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1}\frac{1}{n^p},\quad p>0,\qquad \frac{2k+1}{((k+1)^2-1)^p}\le b_k\le\frac{2k+1}{k^{2p}}\\ \Longrightarrow b_k\sim\frac{2}{k^{2p-1}} \end{gathered}\]

9.2 Function Series

可把函数形式地视为无穷维向量, 写为 \(f(x)=\langle x|f\rangle\). 函数序列 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) 收敛要求对每个 \(t\in[a,b]\), \(\lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t)\) 存在, 即逐点收敛. \(f\) 称为极限函数; 逐点收敛缺乏对整个区间收敛速率的统一控制.

  • 连续函数的极限不一定连续.

  • 函数序列的收敛性和函数的定义域有关.

  • 函数序列的一致收敛 \(f_n\rightrightarrows f\):

    \[\forall \varepsilon>0, \exists N\in \N^*,\quad \mathrm{s.t.}\ \forall x\in[a,b],n>N,\quad |f_n(x)-f(x)|\lt\varepsilon\]
    • 逐点收敛是一致收敛的必要条件

  • 函数序列一致收敛的判据

    1. 极值判别法(充要条件): \(\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|=0\).

    2. 判断一致收敛(充分条件):

      \[\exists\{a_n|a_n>0,\lim_{n\to\infty}a_n=0\}_{n=0}^{\infty}, \quad \mathrm{s.t.}\ \forall n\in \N^*,x\in[a,b],\quad |f_n(x)-f(x)|\lt a_n\]

    3. 判断不一致收敛(充分条件):

      \[\exists\{x_n|x_n\in[a,b]\}_{n=1}^{\infty},\quad \mathrm{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}\left[f_n(x_n)-f(x_n)\right]\ne0 或不存在\]

  • 一致收敛函数序列的性质

    • (连续的传递性) \(f_n(x)\) 连续 \(\to\) \(f(x)\) 连续

    • 若 \(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积, 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可积:

      \[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\mathrm{d}x\]

  • 导数的传递 若 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 连续可微, \(\{f_n(x_0)\}\) 在某点 \(x_0\in[a,b]\) 收敛, 且导函数序列 \(f_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛, 则 \(f_n\) 一致收敛到连续可微函数 \(f\), 并有

    \[\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=f'(t),\quad t\in(a,b)\]

    端点导数理解为相应单侧导数. 仅 \(f_n\) 一致收敛不足以交换极限与求导.

  • 函数序列的一致有界: 存在一致界 \(M\) 使得 \(\forall n\in\N^*,x\in[a,b]\), \(|f_n(x)|\leq M\). 若每个 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 有界且 \(f_n\) 一致收敛, 则该序列一致有界; 一致收敛于 0 是其特例.

Definition 函数项级数: 定义为部分和序列 \(S_n(x)=\sum u_k(x)\) 的逐点极限

\[S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nu_k(x)\]

  • 函数项级数的一致收敛 必要条件: 若函数项级数一致收敛, 则函数序列 \(u_{n}\rightrightarrows0\)(一致收敛于 0 函数)

    充要条件(Cauchy 准则):

    \[\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*,\qquad \forall n\ge m>N,\ x\in[a,b],\quad \left|\sum_{k=m}^n u_k(x)\right|\lt\varepsilon\]

  • 函数项级数(不)一致收敛的判据

    1. 强级数判别法(Weierstrass M-判据): 若 \(|u_k(x)|\lt a_k\), \(a_k\) 与 \(x\) 无关且 \(\sum a_k\) 收敛,则 \(\sum u_k\) 绝对且一致收敛

    2. Dirichlet-Abel 判据: 用于乘积形式的函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)\), 形式与之前类似

      DirichletAbel
      \(a_n(x)\)\(\{a_n(x)\}\) 在区间内关于 \(n\) 递减且一致收敛为 0\(\{a_n(x)\}\) 在区间内一致有界且关于 \(n\) 单调
      \(b_n(x)\)\(\sum b_n\) 的部分和在区间内一致有界\(\sum b_n(x)\) 在区间内一致收敛

    3. 不一致收敛的判别法:

      \[\exists \{x_n|x_n\in[a,b]\}_{n=1}^{\infty},\quad \mathrm{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}u_n(x_n)\ne0 或不存在\]

    4. 一致比值判据: 若存在 \(0\le q\lt1\) 和 \(N\), 使对所有 \(x\in[a,b]\) 及 \(n\ge N\), \(|u_{n+1}(x)|\le q|u_n(x)|\), 且 \(u_N\) 有界, 则级数一致绝对收敛. 仅对逐点比值极限 \(l(x)\) 检查 \(\sup_x l(x)\lt1\) 还不充分.

  • 一致收敛函数项级数的性质:

    • (连续性传递) 若每项 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 连续, 则一致收敛的和函数 \(S=\sum_{n=1}^\infty u_n\) 在 \([a,b]\) 连续.

    • (可逐项求积分) \(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积 \(\to\) \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积:

      \[\int_a^b\left(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\right)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_a^bu_n(x)\mathrm{d}x\]

  • 导数的传递 若每项 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 连续可微, \(\sum u_n(x_0)\) 在某点 \(x_0\) 收敛, 且导函数项级数 \(\sum u_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛, 则原级数一致收敛到连续可微的 \(S\), 并有

    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\right)=\sum_{n=1}^\infty u_n'(x),\qquad x\in(a,b)\]

    端点取单侧导数.

9.3 Power Series

幂级数的开收敛区间 \((a-R,a+R)\) 包含在收敛域中; 在开区间内可逐项求导、逐项积分, 并在每个紧子区间一致收敛. 两个边界点的敛散性和交换运算条件须单独判定.

求幂级数收敛半径

  1. Cauchy-Hadamard 公式: 令 \(L(x)=\limsup_{n\to\infty}|c_n(x-a)^n|^{1/n}\). 若 \(L(x)\lt1\), 级数绝对收敛; 若 \(L(x)>1\), 级数发散; \(L(x)=1\) 时该判据不决定敛散性. 不论普通根值极限是否存在, 都有

    \[|x-a|\begin{cases}\lt R&\text{级数绝对收敛}\\>R&\text{级数发散}\end{cases},\quad R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}}=\liminf_{n\to\infty}|c_n|^{-1/n}\]

    采用扩展实数约定 \(1/0=+\infty\), \(1/(+\infty)=0\), 且零系数的 \(|c_n|^{-1/n}\) 记为 \(+\infty\). Corollary 幂级数与其导数的收敛半径一致

  2. D’Alembert 判别法: 若下述极限存在, 则

    \[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right|\begin{cases}\lt1&\text{级数绝对收敛}\\>1&\text{级数发散}\\=1&\text{判别法失效}\end{cases}\]

    即

    \[|x-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\]

  3. 若级数和在展开中心附近有复解析延拓, 收敛半径是展开中心到最近的不可去复奇点的距离; 不能只找实轴奇点. 若该解析分支在整个复平面解析, 则 \(R=+\infty\).

  4. 对于只有稀疏幂次的级数, Example \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{3n+2}}x^{4n+1}\),

    \[R=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{2^{3n+2}}{(-1)^n}\right|^{\frac{1}{4n+1}}=\lim_{n\to\infty}\inf 2^{\frac{3}{4}+\frac{5}{16n+4}}=\sqrt[4]{8}\]

    同理, 对于周期性的, 可以对周期中每一组求完取最小.

求导和积分不会改变收敛半径, 只会改变边界性质, 可能可以用于简化收敛区间运算, 不能用于计算收敛域边界的敛散性.

Theorem Abel 定理: 给定收敛半径为 \(R\) 的 \(\sum a_nx^n\), 这里“闭一致收敛”指在所列区间的每个闭子区间上一致收敛.

  1. 幂级数在 \((-R,R)\) 内闭一致收敛.

  2. 当 \(0\lt R\lt\infty\) 时, 若在 \(x=R\) 收敛, 则在 \((-R,R]\) 内闭一致收敛, 且和函数在 \(R\) 左连续; \(-R\) 同理.

Theorem Taylor 级数 设 \(f(x)\) 在 \((-R,R)\) 实解析. 则存在 \(0\lt r\le R\), 使得在 \(|x|\lt r\) 有以 0 为中心的展开:

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]
  • Taylor 形式的展开是唯一的. 实解析只保证局部展开; 例如 \(1/(1+x^2)\) 在整个实轴解析, 但其 0 点 Taylor 级数的收敛半径为 1. 在收敛边界的单点收敛性以及是否收敛到原函数, 需要单独确定.
  • 求幂级数的级数和, 一个重要的技巧的将所求级数化为初等函数对应的级数的求导/积分形式, 然后交换求和号和积分/导数(靠注意力凑一下, 比如拆分为几个初等函数和/积).
  • 求 Taylor 展开中, 试着先求导/积分来简化展开也是方便的技巧.
\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \cos x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \tan^{-1}x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}+\cdots,&x\in[-1,1]\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,&x\in(-1,1]\\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,&x\in(-1,1) \end{aligned}\]

10 Improper Integrals and Integrals with Parameters

10.1 Improper Integrals

无穷积分: 设 \(f\) 在相关区间的每个有限子区间可积. 无穷积分是变上限积分的极限, 因此移动有限的积分下限(对趋于 \(-\infty\) 的积分为移动有限上限)不影响尾部收敛性; 若移动时跨过瑕点, 须另外检查该瑕积分. Theorem 无穷积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛的充要条件

\[\forall \varepsilon>0,\ \exists X_0>1\qquad \mathrm{s.t.}\ \forall X_2>X_1>X_0,\ \left|\int_{X_1}^{X_2}f(x)\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon\]
  • 对于双侧无穷积分, 其收敛需两侧无穷积分均收敛
  • 无穷积分收敛不能推出 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), 还需要额外限制条件: Theorem 若无穷积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛且 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 单调, 那么 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\).

判断无穷积分收敛性

  1. 直接计算正常积分, 看函数极限收敛性.

  2. 非负函数无穷积分收敛的充要条件: \(I(X)=\int_{1}^{X}f(x)\mathrm{d}x\) 有界.

  3. 比较判别法(非负函数):

  • 不等式型 若存在 \(C>0\) 使得 \(f(x)\leq Cg(x)\) 对 \([1,\infty)\) 成立, 则

    \(f(x)\) 积分发散时, \(g(x)\) 积分发散; \(g(x)\) 积分收敛时, \(f(x)\) 积分收敛.

  • 极限型 如果极限 \(\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=c\), 那么 \(c\) 有限非 0, 敛散性相同; \(c=\infty\), 结果与不等式型同; \(c=0\) 结果与不等式型相反.

  1. Dirichlet-Abel 判别法: 被积函数拆分为乘积 \(f(x)=a(x)b(x)\).

    DirichletAbel
    \(a(x)\)单调趋于 0单调有界(不要求增减性)
    \(b(x)\)\({I(X)=\int_1^Xb(x)}\) 有界\(\int_{1}^{+\infty}b(x)\mathrm{d}x\) 收敛

    Dirichlet 判别法常用 \(b(x)=\sin(px)\) 或 \(\cos(px)\), \(p\ne0\), 因其积分的原函数有界; 衰减单调因子放在 \(a(x)\). Abel 判别法可用已知收敛的 \(b(x)=1/x^p\) 或 \(1/[x(\ln x)^p]\), 其中 \(p>1\), 后者从 \(x\ge\mathrm{e}\) 开始考察.

与无穷级数类似, 无穷积分也有绝对收敛和条件收敛的概念.

计算方法: 直接计算原函数/换元/分部积分/换为已知特殊积分或函数(Gauss 积分/Dirichlet 积分/\(\Gamma\) 函数/\(\Beta\) 函数)/含参变量积分

Gauss 积分:

\[\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\]

平方, 换极坐标计算

Dirichlet 积分:

\[\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\]

直接用复积分得到或利用含参变量无穷积分的特定值得出.

\(\Gamma\) 函数

\[\begin{gathered} \Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x,\quad \Gamma(a+1)=a\Gamma(a),a>0\\ \Gamma(1)=1,\quad \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi \end{gathered}\]

\(\Beta\) 函数

\[\begin{gathered} B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\mathrm{d}x,\qquad p,q>0\\ B(p,q)=B(q,p),\quad \mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \end{gathered}\]

瑕积分

有限闭区间 \([a,b]\) 上的积分, 但被积函数不再有界. 比如无界的瑕点为 \(x=a\), 则瑕积分定义为

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{X\to a+0}\int_X^bf(x)\mathrm{d}x\]
  • 对于其他类型含瑕点的积分, 拆出含瑕点的部分, 任意部分发散则称瑕积分发散(尽管主值可能存在)

判断瑕积分收敛性

  1. 比较判别法: 常用比较积分为

    \[\int_1^{+\infty}x^{-p}\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{1}{p-1},&p>1,\\+\infty,&p\le1,\end{cases}\qquad \int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{1}{1-p},&p\lt1,\\+\infty,&p\ge1.\end{cases}\]

  2. Dirichlet-Abel 判别法: 类似, 不过是改为趋于瑕点

10.2 Integrals with Parameters

Definition 含参变量变限积分

\[I(y)=\int_{u(y)}^{v(y)}g(x,y)\mathrm{d}x\]

  • 连续性传递 若 \(g(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 连续, 函数 \(u(y), v(y)\) 是在 \([c,d]\) 定义且取值在 \([a,b]\) 的连续函数, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 连续:

    \[\lim_{y\to y_0}\int_{u(y)}^{v(y)}g(x,y)\mathrm{d}x=\int_{u(y_0)}^{v(y_0)}\lim_{y\to y_0}g(x,y)\mathrm{d}x\]

  • 可积性传递 在上述连续性假设下, \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 可积. 当上下限为常数 \(u(y)=\psi,v(y)=\phi\), 且 \(\psi,\phi\in[a,b]\), \(\alpha,\beta\in[c,d]\) 时, 可交换积分次序:

    \[\int_\alpha^\beta{\left(\int_{\psi}^{\phi}g(x,y)\mathrm{d}x\right)}\mathrm{d}y=\int_{\psi}^{\phi}{\left(\int_\alpha^\beta g(x,y)\mathrm{d}y\right)}\mathrm{d}x\]

  • 可导性传递 若 \(g(x,y),\partial_yg(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 连续, 且 \(u(y),v(y)\) 在 \([c,d]\) 上可微, 则 \(I(y)\) 在 \((c,d)\) 上可导:

    \[I^{\prime}(y)=\int_{u(y)}^{v(y)}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x+g(v(y),y)v^{\prime}(y)-g(u(y),y)u^{\prime}(y)\]

Definition 含参变量无穷积分. 以下假设对每个参数 \(y\), \(g(x,y)\) 在任意有限 \(x\) 子区间可积:

\[I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\]

  • 一致收敛定义 \(\forall \varepsilon>0\), \(\exists X_0(\varepsilon)=\mathrm{const}\), \(\mathrm{s.t.}\forall y\in [c,d]\),

    \[\left|\int_X^{+\infty}g(x,y)\,\mathrm{d}x\right|=\left|I(y)-\int_1^Xg(x,y)\,\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon,\quad\forall X>X_0\]

  • 一致收敛充要条件(Cauchy 准则) 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 一致收敛的充要条件: \(\forall \varepsilon>0, \exists X_0=\mathrm{const},\mathrm{s.t.}\forall y\in[c,d]\),

    \[\left|\int_{X_1}^{X_2}g(x,y)\,\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon,\quad\forall X_2>X_1>X_0\]

  • M-判别法 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 若存在非负函数 \(M\), 在 \([1,+\infty)\) 的每个有限子区间可积, 使得对所有 \(x\ge1,y\in[c,d]\), \(|g(x,y)|\le M(x)\), 且 \(\int_{1}^{+\infty}M(x)\mathrm{d}x\) 收敛, 则 \(I(y)\) 一致收敛.

    参数范围无界时, 可先在每个紧参数区间证明一致收敛, 从而逐点使用连续性、求导等局部结论. 这只得到局部一致收敛, 不能直接推出整个无界参数域上一致收敛.

  • 不一致收敛判别 一般只能由定义的逆否命题判别: 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 若存在积分下限序列 \(\{X_n\}_{n=1}^{+\infty}\) 和参数序列 \(\{y_n\}\in[c,d]\), 使得 \(\lim_{n\to+\infty}X_n=+\infty\), 且 \(\lim_{n\to+\infty}\left|\int_{X_n}^{+\infty}g(x,y_n)\mathrm{d}x\right|\ne0\)(含发散), 那么 \(I(y)\) 不一致收敛.

  • Dirichlet-Abel 判别法 先拆分为 \(g(x,y)=a(x,y)b(x,y)\),

    DirichletAbel
    \(a(x,y)\)1. 固定 \(y\), \(a(x,y)\) 关于 \(x\) 单调
    2. \(x\to\infty\) 时 \(a(x,y)\) 对 \(y\) 一致趋于 0    		1. 固定 \(y\), \(a(x,y)\) 关于 \(x\) 单调
    2. 存在同一 \(M\), 对所有 \(x\ge1,y\in[c,d]\), \(\lvert a(x,y)\rvert\le M\)
    \(b(x,y)\)存在同一 \(M\), 对所有 \(X\ge1,y\in[c,d]\), \(\left\lvert\int_1^Xb(x,y)\,\mathrm{d}x\right\rvert\le M\)\(\int_1^{+\infty}b(x,y)\,\mathrm{d}x\) 在 \(y\in[c,d]\) 一致收敛

    一般只对几种简单情况应用:

    1. \(b(x,y)=b(x)\), 使用 Abel 判别法时一致收敛条件变为判断无穷积分收敛.

    2. \(b(x,y)=\sin xy\) 或 \(b(x,y)=\cos xy\), 其中 \(y\in[c,d], d>c>0\), 使用 Dirichlet 判别法时

      \[\left|\int_1^X\sin xy\mathrm{d}x\right|=\left|\frac{\cos y-\cos Xy}{y}\right|\leq\frac{2}{c}\]

      关于 \(y\) 一致有界.

一致收敛的性质

  1. 连续性传递 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 也在 \([c,d]\) 连续

  2. 定积分传递 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 可积

    \[\int_c^dI(y)\mathrm{d}y=\int_c^d\left(\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=\int_1^{+\infty}\left(\int_c^dg(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\]

  3. 可导性传递 设 \(g(x,y),\partial_y g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 逐点收敛, 且 \(\int_{1}^{+\infty}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \((c,d)\) 可导, 端点取单侧导数, 且

    \[I^{\prime}(y)=\int_1^{+\infty}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x\]

    可构造衰减的含参无穷积分

    \[I(y)=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-xy}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad y>0\]

    在每个 \(y\in[c,d]\), \(c>0\), 上可用可积指数界交换求导, 得 \(I'(y)=-1/(1+y^2)\). 又 \(I(y)\to0\) 当 \(y\to\infty\), 所以 \(I(y)=\arctan(1/y)\). 在 \(y\in[0,d]\) 上用 Dirichlet 判据控制尾积分, 可令 \(y\to0^+\), 得 \(I(0)=\pi/2\). 不在 \(y=0\) 直接交换求导.

11 Fourier Series

一般周期函数的 Fourier 级数 先记其形式展开(尚未断言逐点等于 \(f\)):

\[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)],\qquad \omega=\frac{2\pi}{T},\quad T>0\]

\[a_{n}=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos(n\omega x)\,\mathrm{d}x,\qquad b_{n}=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin(n\omega x)\,\mathrm{d}x\]
  • 周期延拓:
    1. 常规延拓: 在 \([-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\) 定义的函数延拓到 \(\R\).
    2. 偶延拓: 将在 \([0,\frac{T}{2}]\) 定义的函数对称为 \([-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\) 的偶函数, 再使用常规延拓.
    3. 奇延拓: 将在 \((0,T/2)\) 定义的函数中心对称到 \((-T/2,0)\), 再周期延拓. 为保持严格的奇性和周期性, 取 \(f(0)=f(T/2)=f(-T/2)=0\); 改变这些有限点的值不影响 Fourier 系数, 但其级数仍按左右极限均值收敛.
  • 一般区间上的 Fourier 级数展开
    1. \([a,b]\) 平移到 \([-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}]\), 进行常规延拓后展开.
    2. \([a,b]\) 平移到 \([0,b-a]\), 进行奇/偶延拓后展开.

(逐点)收敛性理论 对 \(T\) 周期函数 \(f\), 若在一个周期内可分成有限段, 每段连续且单调, 并在分段端点有有限单侧极限(Dirichlet 条件), 或每段可作 \(C^1\) 延拓到该段闭区间, 则 Fourier 级数逐点收敛到:

\[S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\]

在周期接缝 \(x=\pm T/2\), 单侧极限取自周期延拓的两侧, 因而 \(S=(f(-T/2+0)+f(T/2-0))/2\). 连续点有 \(S(x)=f(x)\); 跳点或另行赋值的端点不必如此.

系数理论 若 \(f\) 为实值周期函数, 在一个周期内有界且 Riemann 可积, 则有 Parseval 等式. 正交性先给出 Bessel 不等式; 等式还使用三角函数系在 \(L^2\) 中的完备性:

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^2(x)\mathrm{d}x\]

二者可能用于证明一些奇奇怪怪的数项级数和.