Classical Mechanics - 3

6 Hamilton’s Canonical Equations

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6.1 Hamilton’s Canonical Equations

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6.1.1 Time Evolution of Canonical Coordinates

以下先限于速度 Hessian \(\det(\partial^2L/\partial\dot q_\alpha\partial\dot q_\beta)\ne0\) 的局部正则区域. 从 Lagrange 力学出发, 引入广义动量

\[p_\alpha=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\implies\dot{q}_\alpha=\dot{q}_\alpha(p,q,t)\]

以用 \(\{p_\alpha\}\),\(\{q_\alpha\}\) 为独立变量构建力学体系, 从而使要求解的动力学方程变为一阶. 通过 Legendre 变换构造 Hamilton 函数

\[H(q,p,t)=p_\alpha\dot{q}_\alpha(p,q,t)-L(q,\dot q(p,q,t),t)\]

这样给出的函数不会丢失动力学信息(直接给出一个 \(\overline L(q,p,t)=L(q,\dot q,t)\) 反倒可能丢失信息). 全微分

\[\begin{aligned} \mathrm{d}H& =p_\alpha \mathrm{d}\dot{q}_\alpha+\dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\mathrm{d}q_\alpha-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\mathrm{d}\dot{q}_\alpha-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \\ &=\dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha-\dot{p}_\alpha \mathrm{d}q_\alpha-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

得到 Hamilton 正则方程

\[\left\{\begin{aligned} &\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\\ &\dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\right. ,\quad \partial_tH=-\partial_tL\]

这是 \((q, p)\) 的一阶微分方程, 等价于 Lagrange 方程(\(q\) 的二阶微分方程). 这里 \(p_\alpha,q_\alpha\) 形式对称, 被称为一组共轭正则变量.

• 对 \(N\) 个三维质点, 施加独立完整约束后的 \(s\) 维位形空间, 在固定时刻可局部视为 \(3N\) 维位置空间中的 \(s\) 维微分流形. 每一个点上都有一个 \(s\) 维切空间(广义速度)以及 \(s\) 维余切空间(广义动量), 二者互为对偶空间(dual space)

  • \(s\) 维位形空间的所有点上的切空间构成一个 \(2s\) 维切丛(\(s\) 个坐标表示点的位置, \(s\) 个坐标表示切矢量分量)
  • \(s\) 维位形空间的所有点上的余切空间构成一个 \(2s\) 维余切丛, 即相空间或称相流形(phase manifold). 相流形是一种光滑流形, 称为辛流形(Symplectic manifold): “点"对应系统的"状态”; “几何结构"对应系统的"运动规律”. \(\{p_\alpha\},\{q_\alpha\}\) 为 \(2s\) 维相流形上的坐标.

• 若给定初值, 由演化方程(正则方程), 即可完全确定运动解 \(\{q(t),p(t)\}\)(代表点的相轨道). 在 \(H\) 足够光滑、满足局部解唯一性的区域, 同一时刻和同一相点的初值确定同一个解. 对自治系统, 不同相轨道不相交; 显含时间时, 不同时刻的轨迹投影仍可能经过同一个相点.

  • 若 Hamiltonian 不显含时间, 则轨迹被束缚在一个"能量曲面"上

  • 若 Hamiltonian 显含时间, 可以给出固定时刻的等 \(H\) 面法向量和相流速度

    \[\nabla H=\left(\frac{\partial H}{\partial q_\alpha},\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right),\quad \mathbf{v}=(\dot q_\alpha,\dot p_\alpha)\]

    对相空间变量的内积为 0, 即相流在每一时刻与瞬时等 \(H\) 面相切. 但沿轨道 \(\mathrm{d}H/\mathrm{d}t=\partial_tH\), 因而显含时间时轨道一般不限制在某个固定等 \(H\) 面上.

• 由正则方程得出

  \[\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}\]

  因此当 \(H\) 不显含时间(即 \(L\) 也不显含时间)时, 体系的 Hamilton 守恒(但不一定代表能量守恒).

  在广义坐标的变化下, \(L(q,\dot{q},t)=T-V\) 的形式可能改变, 但值不会变化; 而 \(H(p,q,t)=\dot{q}_ip_i-L\) 的形式和量值都可以变化. 因此, Hamiltonian 可以是能量, 也可以不是; 可以守恒, 也可以不守恒–描述同样的物理.

• 按 \(H\) 与 \(L\) 的变换式, Lagrangian 中不显含的坐标对于 Hamiltonian 也是不显含的可遗坐标, 仍导出守恒的动量.

• 非完整约束、非(广义上的)保守力的情况, 正则方程应变为

  \[\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad \dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}+Q_\alpha+\sum_l\lambda_la_{l\alpha}\]

  注意广义上的保守力只要求能从某个 \(V(q, \dot q,t)\) 导出, 比如电磁势尽管不仅仅依赖于 \(q\), 但仍不破坏原本的正则方程.

6.1.2 General Procedure for Obtaining the Hamiltonian from the Lagrangian

先求 \(p(q,\dot q,t)\), 反解出 \(\dot q(q,p,t)\), 再代入 \(H(q,p,t)=p_\alpha\dot{q}_\alpha(q,p,t)-L(q,\dot q(q,p,t),t)\) 计算起来往往相当繁琐.

Question 我们希望对于形如

\[L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)-V(\mathbf{q},t)\]

的 Lagrangian, 在不涉及具体 \(\mathbf{p}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\) 结构的情况下快速得到 \(H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) 的形式(注意只是绕过反解代入步骤, 一般性的得到形式)

Answer 对由非相对论质点动能及随时间变化的点坐标变换得到的 \(T\), 其速度依赖至多为二次式. 以下假设对称质量矩阵 \(\mathbf M\) 可逆, 写成

\[T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=c(\mathbf{q},t)+\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b}+\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

\[L_0(\mathbf{q}, t) = c(\mathbf{q}, t)-V(\mathbf{q}, t)\]

\[\dot{\mathbf{q}}= \begin{pmatrix} \dot{q}_1\\ \vdots\\ \dot{q}_s \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_s\end{pmatrix},\quad \mathbf{M}= \begin{pmatrix} 2a_{11}&\cdots&2a_{1s}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ 2a_{s1}&\cdots&2a_{ss}\end{pmatrix}\]

满足 \(\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b} = {\mathbf{b}}^{\mathsf{T}}\cdot\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{M}^{\mathsf{T}} = \mathbf{M}\). 得到

\[L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=L_0(\mathbf{q}, t)+\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b}+\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

\[p_{\alpha}=\frac{\partial L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)}{\partial\dot{q}_{\alpha}}\implies \mathbf{p}=\mathbf{b}+\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

从而

\[\begin{aligned} H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) &=\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{p}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\\ &=\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{b})-\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}-L_0(\mathbf{q}, t)\\ &=\frac{1}{2}(\mathbf{p}-\mathbf{b})^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}^{-1}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{b})-L_0(\mathbf{q}, t) \end{aligned}\]

• 由此可以看出为什么不能直接令 \(H=T+V\): 若动能含速度一次项或常数项, 或广义势含速度, 一般不满足此式. 单独显含时间并不破坏这一等式; 例如 \(T=\frac12m\dot q^2\)、\(V=V(q,t)\) 仍给出 \(H=T+V\).

6.2 Hamilton’s Principle on Phase Manifolds

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6.2.1 Deriving the Canonical Equations from Hamilton’s Principle

考虑直接从作用量平稳性质作为第一性原理, 导出 Hamilton 力学的正则方程

Definition 作用量(相轨道泛函):

\[S[q(t),p(t)]=\int_{t_1}^{t_2}[p_\alpha\dot{q}_\alpha-H(q,p,t)]\,\mathrm{d}t=\int_1^2(p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H\,\mathrm{d}t)\]

由 \(\delta S=0\) 导出正则方程时, 作等时变分, 变分范围为:

• 初末态位形 \(\left(t_1,q^{(1)}\right)\) 和 \(\left(t_2,q^{(2)}\right)\) 给定;
• Hamilton 力学中, 变分 \(\delta q\) 与 \(\delta p\) 相互独立.

Remark 在 Lagrange 力学中, 作为衍生变量的 \(\dot{q}\) 的变分 \(\delta\dot{q}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q\), 因此不能视作独立变分.

Theorem 作用量取平稳值给出的相轨道方程便是 \(\mathrm{Hamilton}\) 正则方程.

Proof 等时变分法

\[\begin{aligned} \delta[p_\alpha\dot{q}_\alpha-H(q,p,t)] &=p_\alpha\delta\dot{q}_\alpha+\dot{q}_\alpha\delta p_\alpha-\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\delta p_\alpha-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(p_\alpha\delta q_\alpha)+\left(\dot{q}_\alpha-\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right)\delta p_\alpha-\left(\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha \end{aligned}\]

取平稳值要求 \(\delta S=0\). 利用端点固定及两组变分的独立性, 得到正则方程

\[\left\{\begin{aligned} &\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\\ &\dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\right.\]

• 在 Legendre 变换局部正则的条件下, Lagrange 力学中"位形流形上的平稳作用量原理"与"相流形上的平稳作用量原理"等价. 想要将后者转化为前者, 可认为由变分为 0 解出一个 \(p_\alpha=p_\alpha(q,\dot{q},t)\), 进一步代回作用量得出.

• 正则变量的独立性会给出更大的坐标变换的自由度, 即在一定的所谓正则变换

  \[\begin{cases}q_\alpha^{\prime}=q_\alpha^{\prime}(q,p,t)\\p_\alpha^{\prime}=p_\alpha^{\prime}(q,p,t)\end{cases}\]

  下正则方程仍成立, 甚至可能能由正则变换得到求解运动方程所需的 2s 个运动积分. 将在之后予以讨论.

6.2.2 Canonical Equations and the Symplectic Structure of Phase Space

正则方程的负号, 从哈密顿原理看来, 应该与被积函数第一项的辛势有关

\[\delta\int_{t_1}^{t_2}\left[p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H(q,p,t)\,\mathrm{d}t\right]=0,\quad \Theta=p_\alpha\,\mathrm{d}q^\alpha\]

辛势 \(\Theta\) 是一个 1-form. 其外微分是一个辛形式(一种闭非退化 2-form):

\[\omega=\mathrm{d}\Theta=\mathrm{d}p_\alpha\wedge \mathrm{d}q^\alpha\]

• Notation \(\xi\) 符号 为体现正则共轭变量对偶的性质,可以把它们重新编排为 2s 个坐标 \[(\xi^1,\xi^2,...,\xi^{2s})=(q_1,q_2,...,q_s,p_1,p_2,...,p_s)\] 采用 \(\xi\) 符号将 \(q, p\) 集合在一个变量下, 正则方程记作 \[\dot{\xi}^i=\omega^{ij}\partial_jH,\quad \boldsymbol{\omega}= \begin{pmatrix} \omega^{ij} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{s\times s}&\mathbf1_{s\times s}\\ -\mathbf{1}_{s\times s}&\mathbf{0}_{s\times s} \end{pmatrix}\] 有性质 \(\boldsymbol{\omega}^{-1}=-\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{\mathsf{T}}\). 此处 \((\omega^{ij})\) 是 Poisson 张量的矩阵; 对本节 \(\omega=\mathrm{d}\Theta\) 的约定, \[\omega=\frac12\omega_{ij}\,\mathrm{d}\xi^i\wedge\mathrm{d}\xi^j,\quad (\omega_{ij})=\boldsymbol{\omega}^{-1}.\] 从而也可以将正则方程表示为 \[\omega_{ji}\dot{\xi}^i=\frac{\partial H}{\partial\xi^j}.\]

Definition Hamilton 矢量场: \(\dot{\xi}^i\) 表征了相空间某一点的流速, 可以将其与相应的切方向组合得到一个矢量场

\[X_H = \dot{\xi}^i \partial_i = (\omega^{ij}\partial_j H)\partial_i\]

以下关于一参数群和保能性的陈述先假设 \(H\) 不显含时间. 若 \(X_H\) 在相流形 \((M, \omega)\) 上光滑且完备, 则其积分曲线定义相空间的相流 \(\phi_t:M\to M,t\in\mathbb{R}\)

\[\phi_t(z_0)=z_0+\int_0^tX_H(\phi_\tau(z_0))\,\mathrm{d}\tau,\quad z = (q, p)\]

其微分形式为流方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi_t(z)=X_H\left(\phi_t(z)\right),\quad\phi_0=\mathrm{id}_M\]

• 可加性

  \[\forall s,t\in\mathbb{R},\quad \phi_{s+t}=\phi_s\circ\phi_t,\quad\phi_{-t}=(\phi_t)^{-1}\]

  因此 \(\{\phi_t\mid t\in\mathbb{R}\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 在 \(M\) 上的平滑群作用.

• 生成元: \(X_H\) 即为这一单参数群的生成元

  \[X_H(z)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}\phi_t(z)\]

  若 \(X_H\) 的积分曲线对任意初值都在整个 \(t\in\mathbb{R}\) 上有定义, 则称其为 完备(complete)向量场. 显含时间的 Hamiltonian 一般给出二参数演化映射 \(\phi_{t,t_0}\), 而不是上述一参数群.

• 保辛性: 利用内积符号

  \[\iota_X:\Omega^k(M)\to\Omega^{k-1}(M)\implies (\iota_X\omega)(v)=\omega(X,v)\]

  可以重述 Hamilton 矢量场的定义为

  \[\iota_{X_H}\omega=-\mathrm{d}H\]

  进而有沿 Hamilton 矢量场的 Lie 导数(用到了任意微分形式的二阶外微分为 0 的性质)

  \[\mathcal{L}_{X_H}\omega=\mathrm{d}(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}\mathrm{d}\omega=-\mathrm{d}^2H+0=0\]

  从而沿流的拉回不随时间变化. 对于初值 \(\omega\), 有

  \[\phi_t^*\omega=\omega\]

• 保能性: 对不显含时间的 Hamiltonian,

  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H\left(\phi_t(z)\right)=X_H(H)=\iota_{X_H}\mathrm{d}H=-\omega(X_H,X_H)=0\]

  即 \(H\circ\phi_t=H\).

7 Time Evolution and Poisson Brackets

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7.1 Poisson Bracket

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经典力学: Poisson Bracket\(\implies\) 量子力学: 共轭括号/对易子, 对运动积分的讨论是一致的

Definition Poisson 括号定义为(属于一种辛内积):

\[[A,B]=\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\frac{\partial B}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\frac{\partial B}{\partial q_\alpha}=(\partial_iA)\omega^{ij}(\partial_jB)\]

Hamilton 力学中力学量 \(A=A(q,p,t)\) 对时间的全导数

\[\dot{A} =\partial_tA+\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} =\partial_tA+\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\dot p_\alpha =\partial_tA+[A,H]\]

这一结构也可以利用矢量场的记号写为

\[X_B(A)=[A,B]=\omega(X_B,X_A)=\omega^{ij}(\partial_jB)\partial_i A\]

7.2 Properties of Poisson Brackets

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1. 常数 Poisson 括号为零: \([A,c]=0,\forall c=\mathrm{const}\).

2. 反交换: \([A,B]=-[B,A]\)(特例:\([A,A]=0\))

3. 双线性: \(\forall a,b=\mathrm{const}\)

   \[[aA+bB,C] = a[A, C] + b[B, C]\]

4. 莱布尼兹法则: \([A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\)

5. 时间偏导法则: \(\partial_t[A,B]=[\partial_tA,B]+[A,\partial_tB]\)

6. 基本 Poisson 括号:

   \[[q_\alpha,q_\beta]=0,\quad [p^\alpha,p^\beta]=0,\quad [q^\alpha,p_\beta]=\delta_\beta^\alpha \implies [\xi^i,\xi^j]=\omega^{ij}\]

7. 正则坐标与力学量的 Poisson 括号:

   \[[q_\alpha,A]=\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\ ,\ [p_\alpha,A]=-\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\]

8. Jacobi 恒等式:

   \[[A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0\]

   Proof 在正则坐标中记常数反对称 Poisson 矩阵为 \(\mathbf J=(\omega^{ij})\), 则 \([B,C]=(\nabla B)^{\mathsf T}\mathbf J\nabla C\)、\(X_A=\mathbf J\nabla A\). 对 \(A\in C^2\), 记 \(\mathbf M=DX_A=\mathbf J\operatorname{Hess}A\), 有

   \[\mathbf M\mathbf J+\mathbf J\mathbf M^{\mathsf T}=0.\]

   对括号直接求导, 此恒等式消去导数作用到 \(X_A\) 的额外项, 得

   \[X_A([B,C])=[X_A(B),C]+[B,X_A(C)]\]

   即

   \[[[B,C],A]=[[B,A],C]+[B,[C,A]]\]

   利用反交换律容易得到结果.

8 Canonical Transformations

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8.1 Canonical Transformations

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8.1.1 Four Types of Canonical Transformations

Hamilton 力学下, 广义坐标和广义动量视为独立变量, 完全可以独立选择

Question 寻找变换 \((q,p)\implies(Q(q,p,t),P(q,p,t))\),使得正则方程形式不变(\(H\mapsto H'=H'(P,Q,t)\)):

\[\dot{Q}_{\alpha}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial P_{\alpha}}\ ,\ \dot{P}_{\alpha}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial Q_{\alpha}}\]

Answer 从平稳作用量出发, 在局部可用生成函数表示的区域有:

\[\delta S=\delta\int\left(p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H\,\mathrm{d}t\right)=0,\quad \delta S'=\delta\int\left(P_\alpha\,\mathrm{d}Q_\alpha-H^{\prime}\,\mathrm{d}t\right)=0\]

一般的标度变换(即被积函数成倍数关系)导出的变换形式较为平庸(尺度变换, 仅改变变量尺度而不改变物理本质), 例如平方反比有心力下的尺度变换:

\[r\mapsto\lambda r,\quad p_r\mapsto\lambda^\alpha p_r,\quad\theta\mapsto\theta,\quad p_\theta\mapsto\lambda^\beta p_\theta,\quad t\mapsto\lambda^\gamma t\]

可以导出

\[K=\frac{1}{2m}\left(\lambda^{2\alpha}p_r^2+\frac{\lambda^{2\beta}p_\theta^2}{\lambda^2r^2}\right)-\frac{k}{\lambda r}\propto H\]

进而有 \(\alpha = -1/2, \beta = 1/2, \gamma = 3/2\).

对于正则变换, 即两个被积函数之差为函数全微分的形式:

\[\begin{aligned} P_\alpha\dot Q_\alpha-H^\prime+\dot F_1&=p_\alpha \dot q_\alpha-H\\ \mathrm{d}F_1&=p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-P_\alpha\,\mathrm{d}Q_\alpha+(H^{\prime}-H)\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

这样的变换称为 Type 1 正则变换, \(F_1=F_1(q,Q,t)\) 被称为 Type 1 正则变换的生成函数(母函数)

也可等价的写为 \(p_\alpha=\frac{\partial F_1}{\partial q_\alpha} , P_\alpha=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_\alpha} , H^{\prime}=H+\frac{\partial F_1}{\partial t}\)(生成函数形式已知, 推未知的坐标)

Type 1	Type2	Type3	Type4
\(F_1=F_1(q,Q,t)\)	\(F_2=F_2(q,P,t)\)	\(F_3=F_3(p,Q,t)\)	\(F_4=F_4(p,P,t)\)
\(p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i},P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}\)	\(p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i},Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i}\)	\(q_i=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i},P_i=-\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}\)	\(q_i=-\frac{\partial F_4}{\partial p_i},Q_i=\frac{\partial F_4}{\partial P_i}\)

几种形式可通过 Legendre 变换互相转化,如 Type 1 到 Type 2:

\[\mathrm{d}F_2=\mathrm{d}(F_1+P_\alpha Q_\alpha)=p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha+Q_\alpha\,\mathrm{d}P_\alpha+(H^{\prime}-H)\,\mathrm{d}t\]

生成函数变为 \(F_2(q,P,t)=F_1+Q_\alpha P_\alpha\), 变换方式不变.

• 不是所有正则变换都有四类生成函数对应, 例如 \(F_1,F_4\) 为保证变量的独立性, 不可能导出恒等变换, 而相应 \(F_2=q_\alpha P_\alpha\)、\(F_3=-p_\alpha Q_\alpha\) 则可以导出恒等变换. 但这并不改变正则变换的等价性: 由于坐标和动量本质上是对偶的, 总可以通过

  • 交换坐标和动量: \(Q_\alpha=p_\alpha, P_\alpha=-q_\alpha\)
  • 引入平庸标度变换: \(Q_\alpha=\pm q_\alpha, P_\alpha=\pm p_\alpha\)

  来选择适合的生成函数坐标片. 但这可能改变所表示变换的组合, 并不保证同一个变换在同一坐标片中具有全部四类母函数; 每次 Legendre 变换还要求相应变量投影局部可逆.

• 正则变换构成一个群: 存在单位元(恒等变换), 逆元(须交换新旧变量, 并选取相应类型的生成函数), 闭合性(两个正则变换的复合仍为正则变换), 结合律(复合运算满足结合律).

Example 设有一个简单谐振子, Hamiltonian 为

\[H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2\]

尝试将其通过正则变换转化为一个自由粒子系统, 即

\[H' = \frac{P^2}{2m}\]

Solution 选择 Type 2 变换, 尝试不含时间的生成函数 \(F_2(q,P)\). 以下取 \(P>0\)、\(p>0\) 且 \(|m\omega q|\lt P\) 的局部支. 谐振子的闭合轨道不能由全局一一的、与时间无关的正则变换映为自由粒子的非闭合轨道. 利用 \(H\) 和 \(H'\) 的关系, 解出 \(p(q,P)\)

\[\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2q^2 = \frac{P^2}{2m} \implies p = \sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}\]

则生成函数

\[F_2(q, P) = \int \sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q\]

无需积分, 直接写出

\[Q = \frac{\partial F_2}{\partial P} = \int \frac{P}{\sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}}\,\mathrm{d}q= \frac{P}{m\omega} \arcsin\left(\frac{m\omega q}{P}\right)\]

从而可以反解出

\[q = \frac{P}{m\omega} \sin\left(\frac{m\omega Q}{P}\right)\]

进而得到

\[p = P \cos\left(\frac{m\omega Q}{P}\right)\]

8.1.2 Properties of Canonical Transformations

Remark 生成函数的任意性

生成函数可以附加一个以时间为变量的任意函数 \(g(t)\), 而不改变相应变换. (Hamiltonian 也有同样的任意性)

Proposition 正则变换的保辛性

先考虑不显含时间的变换 \(\boldsymbol{\xi}\to\boldsymbol{\eta}\); 下面的链式法则中 \(H\) 在新变量下只是同一函数的重写:

\[\dot{\eta}^i =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\dot{\xi}^j =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\omega^{jk}\frac{\partial H}{\partial\xi^k} =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\omega^{jk}\frac{\partial\eta^l}{\partial\xi^k}\frac{\partial H}{\partial\eta^l} ={\mathcal{J}^i}_{j}\omega^{jk}(\mathcal J^{\mathsf T})_k{}^l\frac{\partial H}{\partial\eta^l}\]

由于变换保证 Hamilton 方程不变, 则

\[\dot{\eta}^i =\omega^{il}\frac{\partial H}{\partial\eta^l}\]

二者比较给出

\[\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}},\quad \mathcal{J}^i{}_j:=\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\]

这说明正则变换是一个保辛的映射, 在流形结构上体现为自同胚映射(通过一个光滑函数建立的一一映射映射到自身).

Corollary 正则变换的直接条件

保辛性条件等价于

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}^{-1}=\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\omega}^{-1} = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}(-\boldsymbol{\omega})\]

若将 Jacobian 和辛形式分块为

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}= \begin{pmatrix} \nabla_{\mathbf{q}}\mathbf{Q}&\nabla_{\mathbf{p}}\mathbf{Q}\\ \nabla_{\mathbf{q}}\mathbf{P}&\nabla_{\mathbf{p}}\mathbf{P} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathcal{J}}^{-1}= \begin{pmatrix} \nabla_{\mathbf{Q}}\mathbf{q}&\nabla_{\mathbf{P}}\mathbf{q}\\ \nabla_{\mathbf{Q}}\mathbf{p}&\nabla_{\mathbf{P}}\mathbf{p} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\omega}= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{s\times s}&\mathbf1_{s\times s}\\ -\mathbf{1}_{s\times s}&\mathbf{0}_{s\times s} \end{pmatrix}\]

并代入, 各部分分别得到的就是正则变换的充要条件, 或者称为直接条件.

\[\begin{aligned} \left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right)_{q,p}&=\left(\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right)_{Q,P},& \left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right)_{q,p}&=-\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i}\right)_{Q,P}\\ \left(\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\right)_{q,p}&=-\left(\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}\right)_{Q,P},& \left(\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right)_{q,p}&=\left(\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right)_{Q,P} \end{aligned}\]

Proposition Poisson 括号在正则变换下的性质

正则变换不改变 Poisson 括号的结果

\[[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}\]

故反过来, 也可以直接利用

\[[Q_\alpha,Q_\beta]_{q,p}=0,\quad [P_\alpha,P_\beta]_{q,p}=0,\quad [Q_\alpha,P_\beta]_{q,p}=\delta_{\alpha\beta}\]

来判断局部可逆的变换是否为正则变换. 单自由度时才简化为 \([Q,P]_{q,p}=1\); 含时变换在每个固定时刻也满足上述保辛条件.

Proof 考虑正则变换 \(\boldsymbol{\xi}\to\boldsymbol{\eta}\), 任意两个函数 \(u,v\) 在旧坐标下的 Poisson 括号为

\[\begin{aligned} {[u,v]}_{\boldsymbol{\xi}} &=\frac{\partial u}{\partial\xi^m}\omega^{mn}\frac{\partial v}{\partial\xi^n}\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial\eta^i}{\mathcal{J}^i}_{m}\right)\omega^{mn}\left((\mathcal{J}^{\mathsf{T}})_{n}{}^{k}\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\right)\\ &=\frac{\partial u}{\partial\eta^i}\left({\mathcal{J}^i}_{m}\omega^{mn}(\mathcal{J}^{\mathsf{T}})_{n}{}^{k}\right)\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\\ &=\frac{\partial u}{\partial\eta^i}\omega^{ik}\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\quad(\because\;\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}})\\ &={[u,v]}_{\boldsymbol{\eta}} \end{aligned}\]

• 因此对任意力学量 \(u,v\) 都有 \({[u,v]}_{q,p}={[u,v]}_{Q,P}\), Poisson 括号在正则变换下完全不变, 故没必要指定所用变量组.
• 特别地, 取 \(u=\eta^a\) 、 \(v=\eta^b\), 立即得到基本 Poisson 括号在旧坐标下也等于新坐标下的标准值 \(\omega^{ab}(\boldsymbol{\eta})\).

8.2 Infinitesimal Canonical Transformations

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8.2.1 Infinitesimal Canonical Transformations

无穷小正则变换(Infinitesimal Canonical Transformation, ICT)是一种正则变换, 但是 \(p, q\) 改变很小:

\[Q_\alpha=q_\alpha+\delta q_\alpha,\quad P_\alpha=p_\alpha+\delta p_\alpha\]

相应生成函数(以第二类为例)是恒等变换生成函数和一很小量的叠加

\[F_2(q,P,t)=q_\alpha P_\alpha + \epsilon G(q,P,t)\]

相应变化量

\[\begin{aligned} \delta q_\alpha&=\epsilon\frac{\partial G}{\partial P_\alpha}\simeq\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_\alpha}=\epsilon\left[q_\alpha,G\right]\\ \delta p_\alpha&=-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_\alpha}\simeq-\epsilon\frac{\partial G}{\partial Q_\alpha}=\epsilon\left[p_\alpha,G\right] \end{aligned}\]

故某种意义下可以称 \(G\) 为 ICT 的生成元, 使得

\[Q_\alpha=q_\alpha+\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_\alpha}+O(\epsilon^2),\quad P_\alpha=p_\alpha-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_\alpha}+O(\epsilon^2)\]

8.2.2 Time Evolution and Infinitesimal Canonical Transformations

若令 \(G = H(q,p,t)\), \(\epsilon = \delta t\), 可以得到

\[\delta q_\alpha=\epsilon[q_\alpha,H]=\dot{q}_\alpha\delta t,\quad \delta p_\alpha=\epsilon[p_\alpha,H]=\dot{p}_\alpha\delta t\]

Hamiltonian 生成 ICT, 将坐标变换为 \(t+\epsilon\) 时的坐标. 也就是说可以把一个随时间演化的系统在相空间内的移动视作一个连续正则变换. 力学量在无穷小时间演化下有

\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\xi^\alpha}\frac{\mathrm{d}\xi^\alpha}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\xi^\alpha}\left[\xi^\alpha,H\right]=\frac{\partial A}{\partial t}+\left[A,H\right]\]

力学量在 \(t\) 时刻的值 \(f(t)\), 变换为 \(t+ \mathrm{d}t\) 时刻的值 \(f(t+\mathrm{d}t)\).

• 正则变换的绘景 静态绘景(static view)下, 正则变换视作在相空间中对坐标系的变换. 动态绘景(dynamic view)下, 正则变换将相空间中的点映射其他的点, 认为系统在"主动"地运动.

9 Symmetry and Conservation Laws Revisited

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9.1 Continuous Symmetries and Conservation Laws in Hamiltonian Mechanics

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9.1.1 Conserved Quantities

物理量的守恒

一般物理量的运动方程

\[\dot{A}=\partial_tA+[A,H]\]

若物理量 \(A=A(q,p)\) 不显含时间, 则作为运动积分的充要条件为 \([A,H]=0\).

Theorem Poisson 定理 如 \(A\),\(B\) 是力学系统的运动积分,则 \(C=[A,B]\) 也是该力学系统的运动积分 Proof 用时间偏导法则和 Jacobi 恒等式,

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[A,B]=[\dot A,B]+[A,\dot B]=0.\]

其中 \(\dot A=\partial_tA+[A,H]\)、\(\dot B=\partial_tB+[B,H]\). 因而也覆盖显含时间的运动积分.

对于 Hamiltonian 本身, \(\dot{H}=\partial_tH+[H,H]=\partial_tH\), 故不显含时间的 Hamiltonian 守恒.

构造显含时间的守恒量

令 \(A = A(q, p), H = H(q, p)\), 且有

\[[A,H]\neq0,\quad [[A,H],H]=0\]

可以构造显含时间的

\[B(q,p,t)=A(q,p)-t[A(q,p),H(q,p)]\]

为时间的守恒量

\[\begin{aligned} \dot{B} &=\partial_tB+[B,H]\\ &=[A,H]-[t[A,H],H]-[A,H]\\ &=-t[[A,H],H]=0 \end{aligned}\]

这样的构造对于 \(A(q,p)\) 的限制比较强. 对于不显含时间的 Hamiltonian, 我们可以更一般地构造显含时间的守恒量.

对于任一非守恒的 \(A = A(q,p)\), 可以给出形式化的守恒量

\[B(q,p,t):=\mathrm{e}^{-t\hat H}(A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}(-\hat H)^n(A),\quad\hat H:=[\cdot,H]\]

若某阶嵌套 Poisson 括号为零, 级数才会截断; 一般不会自动截断. 在逆流存在的时间区间内, 几何定义 \(B=A\circ\phi_{-t}\) 直接给出守恒量. 将它表示为上述幂级数时, 还需级数及相关导数适当地收敛, 以允许逐项微分. Proof

\[\dot{B}=\partial_tB+[B,H]=-\hat H\left(\mathrm{e}^{-t\hat H}A\right)+\hat H\left(\mathrm{e}^{-t\hat H}A\right)=0\]

在上述允许逐项微分的条件下, \(B\) 沿系统相轨道保持恒定.

\(B(q, p, t)\) 代表了演化到时刻 \(t\) 时处于状态 \((q, p)\) 的系统, 在初始时刻 \((t=0)\) 时物理量 \(A\) 的取值, 即

\[B(q, p, t) = \mathrm{e}^{-t\hat H} A(q, p) = A(q_{\mathrm{init}}, p_{\mathrm{init}})\]

因为系统沿轨道演化时, 其"初始状态的属性"显然是不随时间改变的, 所以 \(B\) 必然是一个守恒量.

9.1.2 Symmetry-Induced Canonical Transformations

物理量的演化

生成元定义了正则变量的"变换率". 物理量 \(f(q,p,t)\) 在无穷小正则变换前后

\[\delta f=\frac{\partial f}{\partial\xi^{\alpha}}\delta\xi^{\alpha}=\epsilon\frac{\partial f}{\partial\xi^{\alpha}}\left[\xi^{\alpha},G\right]=\epsilon\left[f,G\right]\implies\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda}=\left[f,G\right]\]

从而可以得到形式解

\[f(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda\hat G}f(0),\quad\hat G:=[\cdot,G]\]

这是经典正则流对函数的拉回演化.

Example 自由落体

\[H=\frac{p^2}{2m}+mgz\]

Solution 位置

\[\begin{aligned} z(t) &= \mathrm{e}^{t\hat H}z_0\\ &= z_0 + t[z_0,H]_0 + \frac{t^2}{2!}[[z_0,H],H]_0 + \frac{t^3}{3!}[[[z_0,H],H],H]_0 + \cdots \\ &= z_0 + \frac{p_0}{m}t - \frac{1}{2}gt^2 \end{aligned}\]

高阶项截断.

Remark 这里取 \(G=H\)、\(\lambda=t\), 得到正向 Hamilton 流对物理量的演化. 守恒量 \(B(t)=A\circ\phi_{-t}\) 则是 \(A\) 沿逆 Hamilton 流的拉回; 守恒性来自正、逆流复合为恒等映射.

Hamilton 量的隐式变化与对称正则变换

Hamiltonian 形式上的变化量(只考虑隐式变化)

\[\begin{aligned} H(Q,P,t) - H^\prime(Q,P,t) =&(H(Q,P,t) - H(q,p,t))-(H^\prime(Q,P,t)-H(q,p,t))\\ =&\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i+\frac{\partial H}{\partial t}\cdot0-\epsilon\frac{\partial G}{\partial t}\\ =&-\epsilon\left(\frac{\partial G}{\partial t}+[G,H]\right) =-\epsilon\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G \end{aligned}\]

表示"在新坐标下, \(H\) 需要进行多少修正才能得到能够正确描述物理规律的 \(H^\prime\)". 简单记为

\[\delta_{\mathrm{func}}H=-\epsilon\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}\]

又因为一个使 Hamiltonian 形式不变的 ICT 必然保证物理规律形式和含义不变, 从而为体系的对称连续变换, 反之亦然.

这里把 Hamiltonian 的“形式不变”按严格相等理解. 若两式只相差时间函数, 运动方程仍相同; 可相应调整生成元的时间函数项. 固定这一自由度后, 以下三个关于 ICT 的命题等价:

1. ICT 为系统的对称变换
2. ICT 使得 Hamiltonian 形式不变
3. ICT 的生成元 \(G = G(q, P,t)\simeq G(q,p,t)\) 为系统的守恒量.

• 空间平移对称性与动量守恒: 使生成元为 \(p_\alpha\), 则相应的变换为空间平移变换

  \[\delta q_\beta=\epsilon[q_\beta,p_\alpha]=\epsilon\delta_{\alpha\beta},\quad\delta p_\beta=\epsilon[p_\beta,p_\alpha]=0\]

  如果哈密顿量在空间平移下不变

  \[[H,p_\alpha]=0\]

  这就得到动量守恒

• 空间旋转对称性与角动量守恒: 绕 \(z\) 轴的空间转动

  \[x_i^{\prime}=x_i-\epsilon y_i,\quad y_i^{\prime}=y_i+\epsilon x_i,\quad p_{ix}^\prime=p_{ix}-\epsilon p_{iy},\quad p_{iy}^\prime=p_{iy}+\epsilon p_{ix}\]

  可以验证得到生成元 \(G=x_ip_{iy}-y_ip_{ix}=J_z\). 同理, 如果哈密顿量在绕 \(z\) 转动下不变

  \[[H,J_z]=0\]

  这就得到角动量守恒.

  • 进一步可以验证物理量 \(x\) 在 \(\hat J_z\) 诱导下的连续变化

    \[\begin{aligned} x(\theta) &=\mathrm{e}^{\theta\hat J_z}x(0)\\ &=x_0+\theta[x,J_z]_0+\frac{\theta^2}{2!}[[x,J_z],J_z]_0+\frac{\theta^3}{3!}[[[x,J_z],J_z],J_z]_0+\cdots\\ &=x_0-\theta y_0-\frac{\theta^2}{2!}x_0+\frac{\theta^3}{3!}y_0+\frac{\theta^4}{4!}x_0-\cdots\\ &=x_0\cos\theta-y_0\sin\theta\\ y(\theta) &=\mathrm{e}^{\theta\hat{J}_z}y(0)=y_0\cos\theta+x_0\sin\theta \end{aligned}\]

  • 对于任意无穷小转动, 生成元 \(G = \mathbf{n}\cdot\mathbf{J}\), 相应空间转动变换

    \[\begin{aligned} \delta\mathbf{r} &=\epsilon[\mathbf{r},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]\\ &=\epsilon(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\cdot [\mathbf{r},\mathbf{p}]\\ &=\epsilon \mathbf{n}\times\mathbf{r}\\ \delta\mathbf{p} &=\epsilon[\mathbf{p},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]\\ &=\epsilon(\mathbf{p}\times\mathbf{n})\cdot [\mathbf{p},\mathbf{r}]\\ &=\epsilon \mathbf{n}\times\mathbf{p} \end{aligned}\]

    从而对任何随系统转动的矢量 \(\mathbf{a} = \mathbf{a}(\mathbf{r},\mathbf{p},t)\) 都应该有

    \[\delta\mathbf{a} = \epsilon[\mathbf{a},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]\]

    另外, 对于标量积

    \[\begin{aligned} \left[\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}\right] &=\mathbf{a}\cdot[\mathbf{b},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]+\mathbf{b}\cdot[\mathbf{a},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]\\ &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{b})+\mathbf{b}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{a})\\ &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{b})+\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{n})\\ &=0 \end{aligned}\]

    在该空间转动下不变.

• 时间平移对称性与哈密顿量守恒: 如果 \(\partial_t H=0\), 那么时间平移变换

  \[\delta q_\alpha=\dot{q}_\alpha\delta t=\epsilon[q_\alpha,H],\quad \delta p_\alpha=\dot{p}_\alpha\delta t=\epsilon[p_\alpha,H]\]

  为体系的对称性变换, 从而可以得到对应的生成元 \(H\) 是守恒的.

9.2 Symmetry and Conservation Laws in the Kepler Problem Revisited

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9.2.1 Angular Momentum and Its Involution Properties

• 由

  \[[p_i,J_j]=[p_i,\epsilon_{lmj}x_lp_m]=\epsilon_{lmj}[p_i,x_l]p_m=-\epsilon_{lmj}\delta_{il}p_m=\epsilon_{ijm}p_m\]

  可以得到

  \[[p_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}p_k\]

  与 \(x_i\) 的 Poisson 括号

  \[[x_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}x_k\]

  也可以类似地证明

• 利用矢量在转动下的性质

  \[[\mathbf{J},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]=\mathbf{n}\times\mathbf{J}\]

  容易证明

  \[[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k\]

  利用 Poisson 定理, 可以得到, 如果角动量的两个分量是守恒的, 那么总角动量也守恒.

• 利用标量积在转动下的性质

  \[[J^2,\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]=0\]

  可以得到 \(J^2\) 与任何一个分量对易. 角动量的两个分量一般不能直接组成一对共轭正则变量, 因为其括号不是常数 1. 在函数独立的局部区域, \(J^2\) 与 \(J_z\) 可选作两个对合的正则动量; 它们彼此的括号为零, 并不是一对共轭变量.

9.2.2 LRL Vector and Its Properties

• 对于生成 LRL 矢量时用到的、依赖速度的试探变换

  \[\delta\mathbf{r} = \boldsymbol{\epsilon}\times \mathbf{J},\quad \delta t =0\]

  若直接在相空间中补以 \(\delta\mathbf p=0\), 得到的变换并不保 Poisson 括号; 沿 Kepler 运动由 \(\dot{\mathbf J}=0\) 得到的速度变分不能自动替代一般相空间变换:

  \[[\mathbf{r}^{\prime},\mathbf{p}^{\prime}] =[\mathbf{r},\mathbf{p}]+[\boldsymbol{\epsilon}\times \mathbf{J},\mathbf{p}] =[\mathbf{r},\mathbf{p}]+\boldsymbol{\epsilon}\times[\mathbf{J},\mathbf{p}]+[\boldsymbol{\epsilon},\mathbf{p}]\times \mathbf{J} \neq[\mathbf{r},\mathbf{p}]\]

  从而不是正则变换. 我们尝试通过 LRL 矢量

  \[\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{J} - \frac{m\alpha}{r}\mathbf{r}\]

  给出相应的对称性正则变换. 取 \(H=p^2/(2m)-\alpha/r\)、\(r\ne0\), 首先在 Hamilton 力学框架下验证 \(\mathbf A\) 是守恒量:

  \[\begin{aligned} \left[A_{k},H\right] &=\left[\epsilon_{ijk}p_iJ_j-\frac{m\alpha x_k}{r},H\right]\\ &=\epsilon_{ijk}\left[p_i,H\right]J_j-m\alpha\left[\frac{x_k}{r},H\right]\\ &=-\alpha\epsilon_{ijk}\left[p_i,\frac{1}{r}\right]J_j-\alpha\left[\frac{x_k}{r},p_i\right]p_i\\ &=\alpha\epsilon_{ikj}\frac{x_i}{r^3}\cdot \epsilon_{lmj}x_lp_m+\alpha\left(x_k\cdot\frac{x_i}{r^3}-\frac{1}{r}\delta_{ik}\right)p_i\\ &=\alpha\left(\delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl}\right)\frac{x_i}{r^3}x_lp_m+\alpha\left(\frac{x_ix_k}{r^3}-\frac{1}{r}\delta_{ik}\right)p_i\\ &=\alpha\left(\frac{x_ix_i}{r^3}p_k-\frac{x_ip_i}{r^3}x_k\right)+\alpha\left(\frac{x_ip_i}{r^3}x_k-\frac{1}{r}p_k\right)\\ &=0 \end{aligned}\]

  令生成元

  \[\mathcal{G} = \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{A} = \boldsymbol{\epsilon} \cdot \left( \mathbf{p}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) - \frac{m\alpha}{r}\mathbf{r} \right) = p^2(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) - \frac{m\alpha}{r}(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})\]

  相应正则变换

  \[\begin{aligned} \delta \mathbf{r} &= \frac{\partial \mathcal{G}}{\partial \mathbf{p}} = 2\mathbf{p}(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})-\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r}\\ \delta \mathbf{p} &= -\frac{\partial \mathcal{G}}{\partial \mathbf{q}} = (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})\mathbf{p} - \left(p^2 - \frac{m\alpha}{r}\right)\boldsymbol{\epsilon} - \frac{m\alpha(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})}{r^3}\mathbf{r} \end{aligned}\]

• 由矢量在转动下的性质

  \[[\mathbf{A},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]=\mathbf{n}\times\mathbf{A}\]

  容易得到分量

  \[[A_i,J_j]=\epsilon_{ijk}A_k\]

  LRL 分量之间的 Poisson 括号

  \[[A_i,A_j]=-2mH\epsilon_{ijk}J_k\]

  LRL 分量单独不构成闭合 Lie 代数. 在固定非零能量上适当归一化后, 它们与 \(\mathbf J\) 的分量共同构成闭合 Lie 代数; 未归一化的括号包含函数 \(H\). Proof 最后一个

  \[\begin{aligned} \left[A_i,A_j\right] &=\underbrace{[(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_i,(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_j]}_{\mathrm{Part}~\mathrm{I}}\\ &\underbrace{-m\alpha\left([(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_i,\frac{x_j}{r}]-[(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_j,\frac{x_i}{r}]\right)}_{\mathrm{Part}~\mathrm{II}}\\ &+\underbrace{m^2\alpha^2[\frac{x_i}{r},\frac{x_j}{r}]}_{0} \end{aligned}\]

  1. 第一项, 令 \(\mathbf{X} = \mathbf{p}\times\mathbf{J}\), 则

     \[\begin{aligned} \left[X_i, X_j\right] &= \epsilon_{lmj} [X_i, p_l J_m] \\ &= \epsilon_{lmj} \left( p_l [X_i, J_m] + [X_i, p_l] J_m \right) \\ &= \epsilon_{lmj} \left( p_l \epsilon_{imn} X_n + (\delta_{il} p^2 - p_i p_l) J_m \right) \\ &= \epsilon_{ljm} \epsilon_{inm} p_l X_n + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= (\delta_{li} \delta_{jn} - \delta_{ln} \delta_{ji}) p_l X_n + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= p_i X_j - \delta_{ji} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{X}) + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= p_i X_j + \epsilon_{imj} p^2 J_m - p_i X_j \\ &= -\epsilon_{ijm} p^2 J_m \end{aligned}\]

     其中第二行到第三行

     • 用到了之前证明过的 \([X_i,J_j]=\epsilon_{ijk}X_k\), 即旋转性质.

     • 还用到了

       \[[X_i,p_l] = [\epsilon_{iab} p_a J_b, p_l] = \epsilon_{iab} p_a [J_b, p_l] = \epsilon_{iab} p_a \epsilon_{blc} p_c = \delta_{il} p^2 - p_i p_l\]

     第六行到第七行用到了 \(\mathbf{X} = \mathbf{p} \times \mathbf{J}\) 的定义, 从而得到 \(\mathbf{p} \cdot \mathbf{X} = 0\).

  2. 第二项, 我们令 \(\mathbf{f} = \frac{\mathbf{x}}{r}\), 则

     \[[X_i, f_j] = [\epsilon_{ikl} p_k J_l, f_j] = \epsilon_{ikl} \left( p_k [J_l, f_j] + [p_k, f_j] J_l \right)\]

     • 前一项: 利用旋转性质

       \[\begin{aligned} \epsilon_{ikl} p_k [J_l, f_j] &= \epsilon_{ikl} \epsilon_{ljm} p_k f_m \\ &= (\delta_{ij} \delta_{km} - \delta_{im} \delta_{kj}) p_k f_m \\ &= \delta_{ij} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{f}) - p_j f_i \end{aligned}\]

     • 后一项: 利用基本 Poisson 括号

       \[\begin{aligned} \epsilon_{ikl} [p_k, f_j] J_l &= -\epsilon_{ikl} \left( \frac{\delta_{kj}}{r} - \frac{x_k x_j}{r^3} \right) J_l \\ &= -\frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} + \frac{x_j}{r^3} (\mathbf{r} \times \mathbf{J})_i \end{aligned}\]

       利用

       \[\mathbf{r} \times \mathbf{J} = \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \mathbf{r}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}) - \mathbf{p} r^2\]

       故后一项为

       \[-\frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} + \frac{x_j x_i (\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})}{r^3} - \frac{p_i x_j}{r}\]

     相减, 对称项 \(\delta_{ij} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{f})\), \(\frac{x_i x_j (\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})}{r^3}\) 显然可消去, 余下部分得到

     \[[X_i, f_j] - [X_j, f_i] = \left( - \frac{p_j x_i}{r} - \frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} - \frac{p_i x_j}{r} \right) - (i \leftrightarrow j) = -\frac{2\epsilon_{ijm} J_m}{r}\]

     其中 \((i \leftrightarrow j)\) 表示交换 \(i\) 和 \(j\) 后的一项.

  综合得到结果

  \[[A_i,A_j] = -\epsilon_{ijk}(p^2-2m\alpha/r)J_k = -2mH \epsilon_{ijk} J_k\]

• 与动量、角动量等不同, LRL 矢量的生成函数不属于基本型, 事实上也不是点变换, 不体现点对称性或者说是几何对称性, 而是体现 Kepler 体系的动力学对称性–这一系统满足更高的对称性. LRL 矢量本质上对应了这一体系在四维空间下的旋转对称性. 对于束缚系统, 这体现 \(SO(4)\) 对称性–保证欧式四维向量长度不变: 定义

  \[\mathbf{D} = \frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m|E|}}\]

  容易证明对于 \(E\lt0\) 的束缚系统

  \[[J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k,\quad [D_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}D_k,\quad [D_i,D_j]=\varepsilon_{ijk}J_k\]

  这就是四维欧式空间中, 6 个独立的旋转平面分别对应的生成元, 它们构成封闭的 6 维 Lie 代数(进一步讲为 \(SO(4)\) 代数). 对于 \(E>0\) 的非束缚系统, 归一化后体现 \(\mathfrak{so}(1,3)\) 动力学代数: 最后一式的 Poisson 括号变为

  \[[D_i,D_j]=-\varepsilon_{ijk}J_k\]

  容易看出后者与 Lorentz 群的 Lie 代数同构. 相应的对称群是六维相空间中的对称性正则变换群, 其生成元为 \(\mathbf{J}\) 和 \(\mathbf{A}\) 的分量. 进一步对于束缚轨道, 可以定义

  \[\mathbf{B}^{\pm} = \frac{\mathbf{J}\pm\mathbf{D}}{2}\]

  从而得到两个独立的 \(SU(2)\) 代数

  \[\left[B_i^\pm,B_j^\pm\right]=\epsilon_{ijk}B_k^\pm,\quad\left[B_i^+,B_j^-\right]=0\]

  这给出 Lie 代数分解 \(\mathfrak{so}(4)\cong\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\). 两组三分量生成元描述相空间上的动力学变换, 不由此得到一个四维向量表示. 在 \(E=0\) 时不能使用上述归一化, 而 \([A_i,A_j]=0\), 与 \(\mathbf J\) 构成 \(\mathfrak e(3)\) 代数.

9.3 Liouville’s Theorem

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9.3.1 Canonical Variables and Liouville’s Theorem

坐标是人为引入的, 而物理意义不依赖于坐标的选取. Hamilton 力学下, 正则变换下的正则不变量(canonical invariants)格外有意义. 我们已经知道正则方程和 Poisson 括号, 作为两个重要的正则不变量. Liouville 定理说明了这样一个事实: 相空间的体元(volume element)也是正则不变量.

Proposition 正则变换下的相空间体元不变. 正则变换下, 相空间坐标的 Jacobian 矩阵为

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}=\frac{\partial(Q,P)}{\partial(q,p)}.\]

由保辛条件

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}=\boldsymbol{\omega}\]

取行列式先得 \((\det\boldsymbol{\mathcal{J}})^2=1\). 实辛群与恒等矩阵连通, 故辛矩阵的行列式为 \(+1\), 因而

\[\mathrm{d}^s Q\,\mathrm{d}^s P =\det\boldsymbol{\mathcal{J}}\,\mathrm{d}^s q\,\mathrm{d}^s p =\mathrm{d}^s q\,\mathrm{d}^s p.\]

即正则变换下, 相空间体积保持不变. 利用 ICT 的观点, 系统按照 Hamilton 方程的演化也可以被认为是发生连续正则变换, 从而也保证相空间体积元不变–这就得到 Liouville 定理的结论.

• 也可以利用微分形式, 定义相空间体积元为

  \[\Omega \equiv \mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 \wedge \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2 \wedge ... \wedge \mathrm{d}p_s \wedge \mathrm{d}q_s =\bigwedge_{i=1}^s \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q_i\]

  注意到

  \[\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 \wedge \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2 = \frac{1}{2}(\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 + \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2) \wedge (\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 + \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2) = \frac{1}{2!}\omega^{\wedge 2}\]

  故一般地有

  \[\Omega = \frac{1}{s!}\omega^{\wedge s},\quad \omega = \sum_{\alpha=1}^s \mathrm{d}p_\alpha \wedge \mathrm{d}q_\alpha\]

  由正则变换的保辛性, 直接可以得到相空间体元的不变性.

• \(2k\) 维面积元也可以由微分形式定义

  \[S=\frac{1}{k!}\omega^{\wedge k}\]

  故相应 \(2k\) 维曲面上的辛形式积分在正则变换下保持不变. 以下取相空间中的二维曲面 \(D\), 并让它随 Hamilton 流演化. 从而其边缘回路对辛势的积分

  \[I= \oint_{\partial D} \Theta = \int_{D} \mathrm{d}\Theta = \int_{D} \omega\]

  也不随时间变化.

Theorem Liouville 定理的散度表述

\[\nabla\cdot X_H = 0\]

Proof 正则坐标证明. 利用

\[\mathcal J^i{}_j(t)=\frac{\partial\xi^i(t)}{\partial\xi_0^j},\quad \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mathcal J}}{\mathrm{d}t} =\mathbf A(t)\boldsymbol{\mathcal J},\quad A^i{}_j(t)=\left.\frac{\partial\dot\xi^i}{\partial\xi^j}\right|_{\xi(t)}\]

得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln\mathcal{J}=\mathrm{tr}\left(\frac{\partial \dot{\xi}^k}{\partial\xi^i}\right)=\partial_j\dot{\xi}^j=\nabla\cdot X_H\]

直接由正则方程及 \(H\in C^2\) 得

\[\nabla\cdot X_H=\sum_\alpha\left( \frac{\partial^2H}{\partial q_\alpha\partial p_\alpha} -\frac{\partial^2H}{\partial p_\alpha\partial q_\alpha}\right)=0.\]

再由 \(\mathcal J(0)=1\) 及上述 Jacobian 演化方程得到 \(\mathcal J(t)=1\). 这样先证明散度为零, 再推出体积守恒, 无须预先引用待证结论.

Proof 辛几何证明. 利用辛几何的记号, 对 \(\omega^{\wedge s} = s!\Omega\) 作 Lie 导数, 得到

\[\mathcal{L}_{X_H}(\omega^{\wedge s})=s\omega^{\wedge(s-1)}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega=s\omega^{\wedge(s-1)}\wedge0=0\]

第二个等号用到了保辛性质. 对于处处非 0 的体积形式 \(\Omega\), 向量场的散度定义为

\[\mathcal{L}_X\Omega=\left(\operatorname{div}_\Omega X\right)\Omega\]

故 \(\operatorname{div}_\Omega X_H=0\).

• 与流体对比, Liouville 定理可以被认为是在等价地说明–Hamilton 流是不可压缩的.

9.3.2 Liouville Equation

考虑系统的大量副本(Hamiltonian 相同)组成的系综, 在 Hamiltonian 诱导的 ICT 下发生演化. 我们可以视其密度为相空间上的一个连续的概率分布

\[\int \rho(q,p,t)\,\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p = 1\]

Theorem Liouville 方程 前面给出的系综图景中,有概率守恒的连续性方程:

\[\partial_t\rho+{\nabla}\cdot(\rho\mathbf{v})=0\]

或者记作

\[\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\partial_t\rho+[\rho,H]=0\]

二者是等价的:

\[\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=\partial_i(\rho\dot{\xi}^i)=\partial_i(\rho\omega^{ij}\partial_jH)=\partial_i\rho\omega^{ij}\partial_jH=[\rho,H]\]

Proof 对任意随 Hamilton 流演化的区域 \(D(t)=\phi_t(D_0)\), 概率守恒给出

\[0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{D(t)}\rho\,\mathrm{d}^{2s}\xi =\int_{D(t)}\left[\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)\right] \mathrm{d}^{2s}\xi.\]

由于区域任意, 被积函数处处为零, 得到连续性方程. 再利用 \(\nabla\cdot\mathbf v=0\), 可得沿相流 \(\mathrm{D}\rho/\mathrm{D}t=\partial_t\rho+[\rho,H]=0\).

• Remark 非 Hamilton 流的加权不变测度. 流映射 Jacobian 满足 \(\dot{\mathcal{J}}=(\nabla\cdot\dot\xi)\mathcal{J}\)、\(\mathcal{J}(0)=1\). 对自治非 Hamilton 流, 记 \(\kappa(\xi)=\nabla\cdot\dot\xi\). 若存在光滑单值函数 \(W\) 满足 \(\dot\xi\cdot\nabla W=\kappa\), 则 \[\mathcal J=\exp\left(\int_0^t\mathrm{d}\tau\,\kappa(\xi(\tau))\right) =\exp\left(W(\xi(t))-W(\xi(0))\right).\] \[\sqrt{g(t)}\mathrm{d}^{2s}\xi(t)=\sqrt{g(0)}\mathrm{d}^{2s}\xi(0),\quad \sqrt{g(t)}\equiv \mathrm{e}^{-W(\xi(t))}\] 这里 \(\sqrt g=\mathrm e^{-W}\) 表示权密度, 得到的是加权不变测度. 全局单值 \(W\) 的存在并非任意非 Hamilton 系统都满足, 也不能仅由这一密度推断度规曲率.

9.3.3 Stationary Ensembles

若系综分布达到定态, \(\partial_t\rho=0\), 则 \(\rho(q,p)\) 沿 Hamilton 流守恒. 这是定态条件; 热平衡还需相应的统计与物理条件.

将此系综分为两个独立的子系 1+2, \(\rho\,\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p=\rho_1\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}p_1\cdot\rho_2\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}p_2\),得到可加性运动积分

\[\ln\rho=\ln\rho_1+\ln\rho_2\]

若进一步假定相关的独立可加运动积分只需总能量、总动量和总角动量, 并采用相应的热平衡分布, 第 \(i\) 个子系可写为

\[\ln\rho_i=\alpha_i-\beta E_i+\boldsymbol{\gamma}\cdot\mathbf{p}_i+\boldsymbol{\delta}\cdot\mathbf{J}_i\]

\(\alpha_i,\beta,\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\) 为常系数, 且对于给定稳定闭合系统, 所有子系统的 \(\beta,\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\) 应相同. 在不施加总动量、总角动量约束的静止热平衡系综中, 可取 \(\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\delta=0\), 从而

\[\rho=\mathrm e^{\alpha-\beta E}.\]

非零总角动量不能只靠转动坐标轴置零; 旋转平衡一般仍保留相应约束项.

9.3.4 Poincaré Recurrence

Theorem Poincaré 回归定理: 对具有有限不变测度的、演化在该区域内完备的自治 Hamilton 系统, 几乎处处的初始相点会无限多次回到自身任意邻域. 结论是“几乎处处”, 且需要有限测度的不变区域; 仅给出一个有界但可逃出的区域不够.

Proof 固定步长 \(\tau>0\), 令 \(T=\phi_\tau\). 对任意可测集 \(D\), 记 \(R\subset D\) 为从不再返回 \(D\) 的点集. 集合 \(T^nR\) 两两不交, 且保测度, 因此在总测度有限时只能有 \(\mu(R)=0\). 只返回有限次的点按最后一次返回时间分成可数个 \(T^{-n}R\), 也为零测度. 再对流形的一组可数邻域基应用此结论, 得到几乎处处的初值无限次回到自身任意邻域.

Remark 回归定理与热力学第二定律:

• 回归定理不提供一个普遍的回归时间或它关于粒子数的增长律. 宏观平衡体系中显著涨落的回返通常极慢, 但具体时间依赖模型和回返邻域.
• 热力学规律是统计规律; 取热力学极限与取无限长时间的次序也不能任意交换.

10 Integrable Systems

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10.1 Action-Angle Variables

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对自治系统, 如果能够确定一组不显含时间的正则变换, 使得所有正则动量均为运动积分, 所有正则坐标均为循环坐标(积分变量)

\[(q^\alpha,p_\alpha) \to (\phi^\alpha,I_\alpha)\]

这样就可以简单地求解系统的运动

\[\dot{\phi}^\alpha = \frac{\partial H}{\partial I_\alpha} = \omega^\alpha \implies I_\alpha(t) = I_\alpha(0), \quad \phi^\alpha(t) = \phi^\alpha(0) + \omega^\alpha t\]

系统在"拉直"的相流上做简单的"匀速直线运动". 后面的一对正则变量即作用-角变量 \(\{\boldsymbol{\phi},\mathbf{I}\}\). 此时系统的 Hamiltonian 具有简单的形式 \(K=K(\mathbf{I})\), 因为不会显含循环坐标.

10.2 Action-Angle Variables for One-Degree-of-Freedom Systems

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作用–角变量的相图.

单自由度系统的振动、转动与作用–角相图. 图中的作用变量 \(J\) 即正文的 \(I\); 角变量周期取 \(2\pi\), 全周期有向面积为 \(2\pi I\).

考虑自治单自由度系统的正则周期轨道, 避开平衡点与分离曲线. 给定 \(H(q,p)=E\), 在各局部动量支上反解 \(p=p(q,E)\), 并沿全周期连续拼接. 对摆动情形, 相流围成的有向面积为

\[A\left(E\right)=\oint p\left(q,E\right)\,\mathrm{d}q\]

由于正则变换保相空间面积, 设角变量 \(\phi\) 的周期为 \(2\pi\), 故相应作用变量为

\[I=I\left(E\right):=\frac{A\left(E\right)}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d}q\]

\[\dot\phi = \frac{\partial H}{\partial I}=\omega(I)=\text{const}\]

\(\omega(I)\) 为周期运动的角频率, 也称为"基本频率". 这时我们已经得到了作用变量, 还需要得到生成函数

相邻轨道间的局部有向面积增量.

图中 \(J\) 即正文的 \(I\). 阴影表示从参考截面到 \(q\) 的局部有向面积增量 \(\delta A_q=\phi\delta I\); 绕完整周期才得到 \(2\pi\delta I\).

考虑两条相近能量曲线从参考截面到 \(q\) 所夹的有向面积 \(\delta A_q\).

\[\delta A_q=\int_0^q\left(p+\delta p\right)\,\mathrm{d}q-\int_0^q p\,\mathrm{d}q=\int_0^q\delta p\,\mathrm{d}q\]

由于 \(E = E(I)\)

\[\delta p=\delta p\left(q,E\left(I\right)\right)\equiv\delta p\left(q,I\right)=\frac{\partial p\left(q,I\right)}{\partial I}\delta I\]

进而

\[\delta A_q=\int_0^q\frac{\partial p\left(q^{\prime},I\right)}{\partial I}\delta I\,\mathrm{d}q^{\prime}=\delta I\frac{\partial}{\partial I}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

在作用–角坐标中同一面积为 \(\delta A_q=\phi\delta I\), 从而

\[\phi=\phi\left(q,I\right)=\frac{\partial}{\partial I}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

与

\[p \equiv \frac{\partial}{\partial q}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

结合, 并与 Type 2 生成函数的变换关系对比, 得到生成函数就是简约作用量.

\[F_2\left(q,I\right):=\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}=W(q,I)\]

利用 Legendre 变换, 还可以得到 Type I 生成函数

\[F_1\left(q,\phi\right)=F_2\left(q,I\right)-\phi I=\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}-\phi I\]

一个周期下

\[\Delta F_2=\oint p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\equiv2\pi I,\quad \Delta F_1=2\pi I-2\pi I=0\]

Example 谐振子

\[H = \frac{1}{2m}(p^2 + m^2\omega^2q^2),\quad \omega^2 \equiv \frac{k}{m}\]

Solution 作用量变量

\[I=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d}q =\frac{4}{2\pi}\int_0^{q_{\max}}\sqrt{2m E-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q =\frac{E}{\omega}\]

这里闭合积分沿相轨道定向进行; 第二式已改在上半支取正根. 容易得到

\[H(I) = \omega I\]

进而有基本频率

\[\dot\phi = \frac{\partial H}{\partial I}=\omega\]

在 \(p=p_+(q)\) 的局部支上, 角变量由简约作用量 \(W(q,I)\) 求导得到

\[\phi(q,I) = \frac{\partial}{\partial I}\int^q \sqrt{2m\omega I-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q =\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m\omega}{2I}}\right)+C\]

跨过转点时应切换动量支并连续拼接 \(\phi\), 才得到模 \(2\pi\) 的全周期角变量.

反解得到

\[\begin{aligned} q(t) &= \sqrt{\frac{2I}{m \omega}} \sin \left( \omega t + \delta \right)\\ p(t) &= \sqrt{2Im\omega} \cos \left( \omega t + \delta \right) \end{aligned}\]

10.3 Liouville-Integrable Systems

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可积系统

Definition 以下讨论 \(2s\) 维辛相空间上的自治 Hamilton 系统, 并在所需函数独立的正则区域内陈述结论.

• 若存在 \(s\) 个两两 Poisson 对易的守恒量 \(C_1=H,C_2,\cdots,C_s\), 且 \(\mathrm{d}C_1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}C_s\ne0\), 则称为 Liouville 可积. 只有 \(s\) 个独立守恒量而不对合, 不足以据此应用 Liouville–Arnold 定理.

• 对合(involution)即 \([C_\alpha,C_\beta]=0\). 这保证各 Hamilton 流相互交换并保持共同等值面.

  对 \(m\le s\) 个独立对合函数, 正则共同等值面满足:

  • 维数为 \(2s-m\);
  • 限制的辛形式有 \(m\) 维零方向, 由这些函数的 Hamilton 向量场张成.

  因此它一般不继承非退化辛结构; 在 \(m=s\) 时, 共同等值面是 Lagrangian 子流形, 辛形式在其上恒为零.

• 在已具备 Liouville 可积性的基础上, 若还有额外的独立守恒量, 称为超可积. 在非平衡正则点附近, 最多有 \(2s-1\) 个独立守恒量; 达到此数目时称为最大超可积. 各种文献的命名可能不同, 本节采用上述约定.

Proposition \(2s\) 维相空间中,最多存在 \(s\) 个泊松对易的独立守恒量(类比欧氏空间的基矢量). Proof (辛线性代数的简单事实)设相空间为 \(2s\) 维的辛流形, 在某一点考察. 若 \(C_1,\cdots,C_m\) 是 \(m\) 个两两泊松对易的独立函数,则它们相应的哈密顿向量场 \(\{X_{C_a}\}\) 满足

\[\omega(X_{C_\alpha},X_{C_\beta})=-[C_\alpha,C_\beta]=0\]

也就是说, \(\{X_{C_\alpha}\}\) 在该点张成了一个关于辛形式 \(\omega\) 的各向同性子空间(isotropic subspace). 辛空间中任一各向同性子空间的维数上界为 s. 这是辛形式在向量空间上的标准事实:对子空间 \(W\):

\[\omega|_{W}=0\implies \dim W\le s\]

因此 \(m\le s\).

• 直观地讲, 辛形式将向量与其余切空间配对, 互相对易的守恒量所产生的向量场两两辛正交, 无法超过既定最大各向同性维数.

Remark 仅在一个切空间中选取各向同性子空间, 不能证明其向量基可在邻域内写成两两对易的 Hamilton 向量场, 更不能推出全局单值的独立对合积分. 点依赖线性组合的系数还会给函数的微分带来额外项. 因此不由这一线性代数论证断言全局可积性; 对具体系统应直接核验一组独立对合积分. 下述 Kepler 示例采用这种做法.

Example Kepler 问题的可积性

Solution 自由度 \(s=3\), 相空间维度 \(2s=6\), 故最多可以有 \(2s-1=5\) 个独立的运动常数以保证运动轨迹是一维曲线. \(H, \mathbf{A},\mathbf{J}\) 共 7 个守恒量, 考虑到约束关系

\[\mathbf{A}\cdot\mathbf{J}=0,\quad H = \frac{\mathbf{A}^2-m^2\alpha^2}{2m\mathbf{J}^2}\]

故总共只有 5 个独立分量, 可以选取为

\[\{H,\; J^2,\; J_z,\; A_x,\; A_y\}\]

此外, 要说明 Kepler 系统是 Liouville 可积的, 只需找出 \(s=3\) 个对合的守恒量. 一个常见且自然的选取是

\[\{H, J^2, J_z\}\]

满足对合性质. 故 Kepler 问题描述的系统为最大超可积系统.

10.4 Action-Angle Variables for Liouville-Integrable Systems

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10.4.1 Invariant Tori

Theorem Liouville–Arnold 定理: 若 \(s\) 个独立对合积分的一个正则共同等值面的连通分支是紧致的, 则该分支微分同胚于 \(s\) 维环面; 在其邻域可引入作用–角变量. 正则性、连通性和紧致性是这里环面结论的条件, 不能仅由运动有界推出. 角变量一般只在模 \(2\pi\) 的意义下全局定义.

Proof 要点是独立、对易且在紧致分支上完备的 Hamilton 向量场给出局部自由的 \(\mathbb R^s\) 作用, 其离散稳定子形成满秩格点, 从而共同等值面为 \(\mathbb R^s/\Gamma\cong\mathbb T^s\). 单个生成流不必闭合, 该结论也不是由相体积守恒直接推出.

在环面上取 \(2\pi\) 周期角变量, 有 \(\phi(t)=\phi(0)+\boldsymbol\omega t\):

1. 轨道具有公共周期, 当且仅当存在 \(T>0\) 使 \(T\omega^a\in2\pi\mathbb Z\) 对所有分量成立; 非零频率需可公度, 不必互为整数倍.
2. 若不存在非零整数向量 \(\mathbf m\) 使 \(\mathbf m\cdot\boldsymbol\omega=0\), 则轨道在整个环面稠密. 仅有某对频率之比为无理数不足以保证高维环面上的这一性质.
3. 若存在整数共振, 轨道闭包通常是较低维子环面, 维数由频率的有理独立数决定. 全部频率为零时为静止轨道.

• 不变环面上的辛势积分 不变环面的切空间由守恒量 \(C_a\) 生成的哈密顿矢量场 \(X_{C_\alpha}\) 给出, 且满足:

  \[\omega(X_{C_\alpha},X_{C_\beta}) = 0\]

  不变环面上的任意切向量 \(u=u^\alpha X_{C_\alpha},v=v^\beta X_{C_\beta}\) 满足 \(\omega(u,v)=0\), 所以辛势的限制是闭形式. 只有对环面内可缩、能围成曲面 \(D\) 的回路, 才能推出以下积分为零. 非平凡回路的周期积分一般非零, 正是作用变量的来源; 路径无关性仅在局部或固定同伦类下成立.

  \[I= \oint_{\partial D} \Theta = \int_{D} \mathrm{d}\Theta = \int_{D} \omega = 0\]

10.4.2 Local Canonical Coordinates

Proof 考虑到系统运动总是限制在 \(C_\alpha(q,p)=\text{const}\) 的超曲面, 在满足 \(\det(\partial C/\partial p)\ne0\) 的局部坐标片上, 可由隐函数定理反解得到

\[p_\alpha=p_\alpha(C,q)\]

在该局部坐标片内固定积分路径的同伦类, 对辛势积分

\[W(C,q)=\int_{q_0}^qp_\alpha(C,q)\mathrm{d}q^\alpha\]

显然 \(W(C,q)\) 满足 \(p_\alpha=\frac{\partial W}{\partial q^\alpha}\), 可以定义 \(\phi^{\alpha} = \frac{\partial W}{\partial C_{\alpha}}\), 即认为 \(W(C,q)\) 作为一个 Type 2 生成函数生成正则变换

\[(q^{\alpha},p_{\alpha})\to(\phi^{\alpha},C_{\alpha})\]

得到局部正则共轭变量. 一般守恒量 \(C_\alpha\) 还不是按周期归一化的作用变量, 相应共轭坐标也不必有 \(2\pi\) 周期; 需要下述回路积分定义作用变量.

10.4.3 Action-Angle Construction

对环面 \(\mathbb{T}^s\), 取 s 个独立非平凡回路 \(\{\gamma_a\}\), 定义作用变量

\[I_a = \oint_{\gamma_a}\frac{\Theta}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_a}p_{\alpha}\mathrm{d}q^{\alpha}\]

可以证明其为守恒量

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \oint_{\gamma_a(t)} p\,\mathrm{d}q = \oint_{\gamma_a} \mathcal{L}_{X_{H}}(p\,\mathrm{d}q) = \oint_{\gamma_a} \mathrm{d}(p\,\mathrm{d}q(X_{H})) + \oint_{\gamma_a} \iota_{X_{H}} \omega = 0 + 0\]

进而可以定义角变量

\[F_2(q,I) = W(q, I) = \int^q p_\alpha(q^{\prime},I)\,\mathrm{d}{q^{\prime}}^{\alpha}\implies \phi^a = \frac{\partial F_2}{\partial I_a}\]

有性质

\[\oint_{\gamma_a}\mathrm{d}\phi^b =\oint_{\gamma_a}\frac{\partial^2F_2}{\partial q^\alpha\partial I_b}\,\mathrm{d}q^\alpha =\frac{\partial}{\partial I_b}\oint_{\gamma_a}\frac{\partial F_2}{\partial q^\alpha}\,\mathrm{d}q^\alpha =\frac{\partial}{\partial I_b}\oint_{\gamma_a}p_\alpha\,\mathrm{d}q^\alpha=(2\pi)\frac{\partial I_a}{\partial I_b}=(2\pi)\delta_a{}^b\]

即 \(\phi^a\) 在 \(\gamma_a\) 上以 \(2\pi\) 为一个周期. 由

\[\dot{I}_a = [I_a,H] = 0,\quad \dot{\phi}^a = [\phi^a,H] = \frac{\partial H}{\partial I_a} = \omega^a(I)\]

Example Kepler 问题

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}\]

Solution 以下限于 \(E\lt 0\) 的束缚、非碰撞轨道, 并取相应作用–角坐标正则的局部区域. 采用本节 \(I_a=(2\pi)^{-1}\oint p\,\mathrm{d}q\) 的归一化约定, 并选择 \(z\) 轴方向使 \(J_z\ge0\). 闭合积分均沿相轨道定向; 例如径向积分等于在正动量支上从 \(r_{\min}\) 到 \(r_{\max}\) 积分的两倍. 利用各守恒量和广义动量的表达式, 得到

\[\begin{aligned} I_r &=\frac{1}{2\pi}\oint p_r\,\mathrm{d}r =\frac{1}{\pi}\int_{r_{\min}}^{r_{\max}}\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r =k\sqrt{\frac{m}{-2E}}-J\\ I_\theta &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\theta\,\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\pi}\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta =J-J_z\\ I_\varphi &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi =\frac{1}{2\pi}\oint J_z\,\mathrm{d}\varphi =J_z \end{aligned}\]

反过来可以得到

\[E=-\frac{mk^2}{2(I_r+I_\theta+I_\varphi)^2}\]

进而得到简并的基本频率

\[\omega_{r,\theta,\varphi} =\frac{\partial H}{\partial I_r}=\frac{\partial H}{\partial I_\theta}=\frac{\partial H}{\partial I_\varphi}=\frac{mk^2}{(I_r+I_\theta+I_\varphi)^3} =\frac{1}{k}\sqrt{\frac{(-2E)^3}{m}}\]

考虑生成函数

\[F=(\phi_\varphi-\phi_\theta)I_1+(\phi_\theta-\phi_r)I_2+\phi_rI_3\]

诱导的变换 \((\phi_{r,\theta,\varphi},I_{r,\theta,\varphi})\mapsto(\phi_{1,2,3},I_{1,2,3})\), 变换得到的

\[\begin{aligned} &\phi_1 = \frac{\partial F}{\partial I_1} = \phi_{\varphi} - \phi_{\theta} = \text{const}, &&\phi_2 = \frac{\partial F}{\partial I_2} = \phi_{\theta} - \phi_{r} = \text{const},\\ &&\phi_3 = \frac{\partial F}{\partial I_3} = \phi_{r}\\ &I_r = \frac{\partial F}{\partial\phi_r}=I_3-I_2, &&I_{\theta} = \frac{\partial F}{\partial\phi_\theta}=I_2-I_1, &&I_{\varphi} = \frac{\partial F}{\partial\phi_\varphi}=I_1\implies\\ &I_1=I_\varphi, &&I_2=I_\varphi+I_\theta, &&I_3=I_\varphi+I_\theta+I_r \end{aligned}\]

1,2,3 中则只有一个频率非 0 的方向, 即做平面周期运动. 可以得到

\[E(I) = -\frac{mk^2}{2I_3^2}\]

• 量子化: 在上述半经典作用量量子化下, 取 Coulomb 强度 \(k=Ze^2\) 的 Gaussian 单位约定, 并以 \(m\) 为约化质量, 尝试量子化条件 \[I_3 = \hbar n\implies E = - \frac{mZ^2 e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\] 得到正确的单电子原子能级. 考虑相对论修正和磁场后分别解除 \(2,1\) 方向的简并度.

10.5 Adiabatic Invariants

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绝热变化: 如果一个系统依赖的外参数, 在系统运动的特征时间内变化很小, 则可以认为系统进行绝热变化.

绝热不变量: 慢参数变化下在相应近似阶数内保持不变的量, 称为绝热不变量; 它一般不是严格运动积分.

Proposition 对远离分离曲线、周期保持有限的单自由度正则周期运动, 外参数在一个周期内只发生小变化时, 作用变量是绝热不变量. 下述平均保留慢变的一阶主导贡献.

\[I := \frac{1}{2\pi}\oint p(q;E,\lambda)\mathrm{d}q = I(E,\lambda)\]

Proof 计算变化率

\[\dot{I} = \frac{\partial I}{\partial E}\dot{E} + \frac{\partial I}{\partial \lambda}\dot{\lambda} = (\frac{\partial I}{\partial E}\frac{\partial H}{\partial \lambda} + \frac{\partial I}{\partial \lambda})\dot{\lambda}\]

其中

\[\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial E} &= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial p}{\partial E}\,\mathrm{d}q = \frac{1}{2\pi}\int_0^{T} \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial E}\mathrm{d}t = \frac{T}{2\pi}\\ \frac{\partial I}{\partial \lambda} &= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda}\,\mathrm{d}q = -\frac{1}{2\pi}\int_0^{T} \frac{\partial H}{\partial \lambda}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

故

\[\dot{I} = (\frac{T}{2\pi}\frac{\partial H}{\partial \lambda} - \frac{1}{2\pi}\int_0^T \frac{\partial H}{\partial \lambda}\mathrm{d}t)\dot{\lambda}\]

在足够长的时间尺度下, 取周期平均得到

\[\left\langle\dot I\right\rangle \simeq\left(\frac{T}{2\pi}\left\langle\frac{\partial H}{\partial\lambda}\right\rangle-\frac{T}{2\pi}\left\langle\frac{\partial H}{\partial\lambda}\right\rangle\right)\dot\lambda = 0\]

即作用变量在一个周期之内的平均变化率为零, 因此作用变量在参数变化的时间尺度上近似不变.

• 对于 Liouville 可积系统, 下述推广限于所需作用–角坐标保持正则, 且相关频率不进入共振或分离曲线的慢变区间. 多自由度时采用角变量的环面平均. 此时 \(H=H(q,p;\lambda(t))\). 可以进行连续正则变换, 不断的生成新的作用-角变量. 由于此时 \(F(q,I;\lambda(t))\) 变为含时的, 故变换后的 Hamiltonian

  \[\begin{aligned} K(\phi,I;\lambda(t)) &=H(I;\lambda(t))+\frac{\partial F(q,I;\lambda(t))}{\partial t}\\ &=H(I; \lambda(t))+\frac{\partial F(q,I;\lambda(t))}{\partial\lambda}\dot\lambda\\ &=H(I; \lambda(t))+\Lambda(\phi, I; \lambda(t))\dot \lambda \end{aligned}\]
  \[\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right) :=\left.\frac{\partial F\left(q,I,\lambda\right)}{\partial\lambda}\right|_{q=q(\phi,I,\lambda)} =\frac{\partial F(q(\phi,I;\lambda),I;\lambda)}{\partial\lambda}-\frac{\partial F(q,I;\lambda)}{\partial q}\frac{\partial q(\phi,I;\lambda)}{\partial\lambda}\]

  这里可以再给出 \(I\) 的运动方程

  \[\dot{I}=-\frac{\partial K\left(\phi,I,t\right)}{\partial\phi}=-\dot{\lambda}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\]

  说明 \(I\) 本身不是运动常数, 但是只要 \(\lambda\) 绝热变化, 则其周期平均近似不变:

  \[\begin{aligned} \left\langle\dot{I}\right\rangle &=-\left\langle\dot{\lambda}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\right\rangle \approx-\dot{\lambda}\left\langle\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\right\rangle\\ & =-\frac{\dot{\lambda}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi} =-\frac{\dot{\lambda}}{2\pi}\left(\left.\Lambda\right|_{\phi=2\pi}-\left.\Lambda\right|_{\phi=0}\right)=0 \end{aligned}\]

  其中用到的是 \(\Lambda\) 对角变量的周期性. \(F_2=W\) 本身沿一周增加 \(2\pi I\); 固定 \(I\) 后对慢参数求导, 才得到这里所需的周期函数.

• 环面 \(\mathbb T^s\) 的形状和位置随慢参数演化; 在上述条件和近似阶数内, 回路定义的作用变量近似不变.

  • “形状"变化源自哈密顿量对慢参量的依赖(如谐振子频率变化导致相轨道扁率改变)
  • “位置"变化反映了局部坐标系在慢参数空间中的回旋, 积累出几何相位. 在经典系统中, 这对应于 Hannay 角(Hannay, Journal of Physics, A18(1985) 221); 在量子系统中, 对应于 Berry 相位(Berry, Journal of Physics, A18(1985) 15).

Hannay 角

下面的 \(\lambda\) 可代表一组慢参数; 多参数时 \(A\,\mathrm d\lambda\) 理解为各联络分量与 \(\mathrm d\lambda^a\) 的缩并.

角变量在绝热变换下的运动方程:

\[\dot{\phi} =\frac{\partial K}{\partial I} =\omega\left(I,\lambda\right)+\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\dot{\lambda}\]

右侧也有 \(\phi\), 难以直接求解. 仍然考虑周期平均. 令

\[A\left(I,\lambda\right) =\left\langle\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\right\rangle\equiv\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\mathrm{d}\phi\]

得到

\[\left\langle\dot{\phi}\right\rangle=\omega\left(I,\lambda\right)+A\left(I,\lambda\right)\dot{\lambda}\]

在一段时间的演化后, 若 \(\lambda\left(\tau\right)=\lambda\left(0\right)\), 角变量平均变化为

\[\langle\Delta\phi\rangle=\int_0^\tau\omega\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}t+\oint_{\mathcal{C}_\lambda}A\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}\lambda\]

第一项来自直接的时间演化, \(\lambda = \text{const}\) 时也存在; 第二项为 Hannay 角

\[\Delta_\mathrm{H}\phi =\oint_{\mathcal{C}_\lambda}A\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}\lambda =\frac{\partial}{\partial I}\oint\langle \Lambda(I,\lambda)\rangle \mathrm{d}\lambda =-\frac{\partial}{\partial I}\oint\langle p\,\mathrm{d}_{\lambda}q\rangle\]

10.6 Nearly Integrable Systems and Chaotic Systems

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Definition 近可积系统 考虑可积系统 \(H_0(I)\), 施加微扰使得

\[H(I,\phi) = H_0(I) + \epsilon H_1(I,\phi)\]

• Theorem KAM 定理的一个常用版本: 在正则作用域内, 若 \(H_0,H_1\) 为实解析函数, \(\det(\partial^2H_0/\partial I_a\partial I_b)\ne0\), 且所考察频率满足 Diophantine 条件 \[|\mathbf m\cdot\boldsymbol\omega|\ge\gamma|\mathbf m|^{-\tau}, \quad \mathbf m\in\mathbb Z^s\setminus\{\mathbf0\},\quad \gamma>0,\quad\tau>s-1,\] 则在足够小、阈值依赖上述条件的扰动下, 相应的准周期不变环面经变形后仍存在. 在合适的作用域内, 扰动趋零时保留环面的测度可趋近全部体积. 共振环面不受这一版本保证, 可能分裂或出现其他结构, 但并非任意扰动都必然破坏它们.¹

故此系统被称为近可积系统.

在不变环面被扰动破坏的相空间区域, 系统的相空间轨迹可能会对初始条件有极端的敏感性, 甚至出现混沌行为.

对于一般的哈密顿系统, 如果其既不是 Liouville 可积系统或近可积系统, 其对合的守恒量的数目少于自由度数目 s, 那这时候系统的动力学行为往往不再规则, 而是常常会表现出混沌.

11 Hamilton-Jacobi Equation

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11.1 Hamilton-Jacobi Equation

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求解运动方程 本质上是由 2s 个初始条件

\[\{\bar{q}^1,\bar{q}^2,\cdots,\bar{q}^s,\bar{p}_1,\bar{p}_2,\cdots,\bar{p}_s\}\]

表示任意时刻的坐标和动量

\[q^\alpha\left(t\right)=q^\alpha\left(t,\bar{q},\bar{p}\right),\quad p_\alpha\left(t\right)=p_\alpha\left(t,\bar{q},\bar{p}\right)\]

既然时间演化是正则演化, 可以通过逆演化, 把坐标变化为 2s 个常数.

Question 能否找到一组恰当的正则变换, 使得 Hamiltonian 为不依赖于变换后的相空间坐标, 或者干脆为常数? 此时, 相轨道退化为一个点. 比如说有 Type 2 生成函数使得

\[H(q^\alpha,p_\alpha,t)+\frac{\partial S(q^\alpha,P_\alpha,t)}{\partial t}=0\]

这一方程被称为 Hamilton-Jacobi 方程, \(S\) 称为 Hamilton 主函数. 此时各个坐标都是常数

\[P_\alpha=a_{\alpha},\quad Q^{\alpha} = \frac{\partial S}{\partial P_{\alpha}} = b^{\alpha}\]

可以直接由 \(\bar q,\bar p\) 得到. 从而可以反演得到原坐标的运动

\[q=q(t,a,b)\quad p=p(t,a,b)\]

Answer 考虑主函数的微分. 由于

\[H\left(t,q,\frac{\partial S}{\partial q}\right)+\frac{\partial S(t,q,a)}{\partial t}=0\]

代入全微分得到

\[\mathrm{d}S=\frac{\partial S}{\partial q_\alpha}\mathrm{d}q_\alpha+\frac{\partial S}{\partial t}\mathrm{d}t=p_\alpha\mathrm{d}q_\alpha-H\mathrm{d}t\]

在固定参数与初始数据、并选定光滑轨道分支的局部区域内, 这给出以 \((q,t)\) 为终点的经典作用量. 不同初始数据确定不同解, 但满足同一 H-J 方程

\[S(q,t)=\int^t[p_\alpha(\tau)\dot q_\alpha(\tau)-H(q_\alpha(\tau),p_\alpha(\tau),\tau)]\,\mathrm{d}\tau\]

• 物理意义: 哈密顿主函数是从终态逆时间演化到初态的有限时间演化生成函数

• 假设已经求得某个特解 \(S\left(t,q\right)\). 由隐函数定理, 能够从

  \[b = \frac{\partial S(t,q,a)}{\partial a}\]

  中反解出所有广义坐标的前提是上式对于 \(\{q^\alpha\}\) 是 s 个独立的方程, 这要求

  \[\det\left(\frac{\partial^2S\left(t,q,a\right)}{\partial q^\alpha\partial a_\beta}\right)\neq0\]

  即满足可逆性条件. 含有这 \(s\) 个独立参数并满足上述条件的解才称为 H-J 方程的完全积分; 单个无参特解没有这一性质.

11.2 Separation-of-Variables Solutions

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哈密顿-雅可比方程是 \(S\left(t,q\right)\) 的非线性方程, 通解往往难以求得. 求解运动所需的是完全积分: 它含有 \(s\) 个独立参数, 且满足混合 Hessian 的非退化条件. 任意单个特解一般不足以反演出系统的全部运动.

如果能够将主函数分离为

\[S(t,q^1,\cdots,q^s,a)=S_1(q^1,a)+S_2(t,q^2,\cdots,q^s,a)\]

代入 H-J 方程得到

\[\frac{\partial S_2}{\partial t} + H\left(q^1, \frac{\partial S_1}{\partial q^1},\ q^\alpha, \frac{\partial S_2}{\partial q^\alpha},\ t\right) = 0,\quad \alpha\ne 1\]

尝试提取出所有只依赖于 \(q^1\) 的项, 得到

\[H_1\left(q^1,\frac{\partial S_1}{\partial q^1}\right)=H^\prime\left(q^{\alpha},\frac{\partial S_2}{\partial q^\alpha},\frac{\partial S_2}{\partial t},t\right)\]

由于右侧不依赖于 \(q^1\), 所以左右两侧都应该是常数–可分离的变量导致了守恒量. 守恒量可为选择分离变量或正则坐标提供线索, 但不保证原坐标中的加法分离.

• 若某个坐标 \(q^1\) 为循环坐标, 令

  \[p_1=H_1\left(q^1,\frac{\partial S_1}{\partial q^1}\right)\]

  由于 \(p_1=\partial_1 S = a_1\), 相应主函数的变量分离

  \[S =a_1q^1+S_2\]

• 当 \(H\) 不显含时间时, \(S\) 可将时间分离(考察 \(S\) 作为作用量的性质容易看出)

  \[S(t,q^\alpha,a_\alpha)=W(q^\alpha,a_\alpha)-E t\]

  代入 H-J 方程得

  \[H\left(q^\alpha,\frac{\partial W}{\partial q^\alpha}\right)=E\]

• 若还能在当前坐标中进行完全的加法变量分离, 可写为(仅有 Liouville 可积性并不保证这组坐标具有此形式)

  \[W(q^\alpha,a_\alpha)=\sum_{\beta=1}^s W_\beta(q^\beta,a_1,\cdots,a_s)\]

  考察 \(W\) 作为简约作用量的性质, 容易看出

  \[p_\beta=\frac{\partial W}{\partial q^\beta}=\frac{\partial W_\beta}{\partial q^\beta}\]
  • 相应作用变量和角变量 \[I_\beta= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial W_\beta}{\partial q^\beta}\mathrm{d}q^\beta,\quad \phi^\beta=\frac{\partial W}{\partial I_\beta}=\sum_{\gamma=1}^s\frac{\partial W_\gamma}{\partial I_\beta}\]

Example 1 谐振子

\[H = \frac{1}{2m}(p^2 + m^2\omega^2q^2),\quad \omega^2 \equiv \frac{k}{m}\]

Solution 由于 \(H\) 不含 \(t\), 主函数可以表示为

\[S(q,a,t) = W(q,a) - a t\]

代入 H-J 方程得到

\[\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^2 + m^2\omega^2q^2\right] = a\]

在 \(a>0\) 的正动量局部支上有

\[W=\int\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q\]

广义动量和变换后的广义坐标

\[p=\frac{\partial S}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial q}\left(\int\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q-at\right)=\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2} \tag{1}\]\[Q=b=\frac{\partial S}{\partial a}=\sqrt{\frac{m}{2 a}}\int\frac{\mathrm{d}q}{\sqrt{1-m\omega^2q^2/2 a}}-t=\frac{1}{\omega}\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{m}{2 a}}\omega q\right) - t \tag{2}\]

(2)反解得到

\[q(t)=\sqrt{\frac{2 a}{m\omega^2}}\sin(\omega (t+b))\]

代入(1)得到

\[p(t)=\sqrt{2ma}\cos(\omega (t+b))\]

利用初始条件得到

\[a=E=\frac{1}{2m}\left(\bar{p}^2+m^2\omega^2\bar{q}^2\right),\quad b=\frac{1}{\omega}\operatorname{atan2}(m\omega\bar q,\bar p)\pmod{\frac{2\pi}{\omega}}\]

这里 \(\operatorname{atan2}(y,x)\) 按 \((x,y)\) 所在象限取角. \(a\) 是能量, \(\omega b\) 是初始相位; 跨过转点时切换主函数的动量支并连续拼接相位.

Example 2 Kepler 问题

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}\]

Solution 由于 \(H\) 不显含 \(t\), 故

\[\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2\right]-\frac{k}{r}=a_t\]

又由于 \(H\) 不显含 \(\varphi\), 令

\[W(r,\theta,\varphi) = W_1(r)+W_2(\theta)+a_\varphi\varphi\]

代入并整理

\[r^2\left(\frac{\partial W_1}{\partial r}\right)^2+2mr^2\left(-\frac{k}{r}-a_t\right)=-\left(\frac{\partial W_2}{\partial\theta}\right)^2-\frac{1}{\sin^2\theta}a_\varphi^2\]

左侧仅为 \(r\) 的函数, 右侧仅为 \(\theta\) 的函数, 故均为常数, 令其为 \(-a_\theta^2\), 从而可以得到

\[S(q,a,t) = \int\sqrt{2m\left(a_t+\frac{k}{r}\right)-\frac{a_\theta^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r+ \int\sqrt{a_\theta^2-\frac{a_\varphi^2}{\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta+ a_\varphi\varphi-a_tt\]

显然 \(a_t = E, a_\varphi = p_\varphi = J_z\), 利用

\[p_\theta = \frac{\partial S}{\partial\theta}=\sqrt{a_\theta^2-\frac{a_\varphi^2}{\sin^2\theta}}\]

得到 \(a_\theta = \sqrt{p_\theta^2+\frac{p_\varphi^2}{\sin^2\theta}} = J\).

\[\begin{aligned} b_t &=\frac{\partial S}{\partial a_t}=\frac{\partial}{\partial E}\int\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r-t\\ b_\theta &=\frac{\partial S}{\partial a_\theta}=\frac{\partial}{\partial J}\int\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\mathrm{d}r+\frac{\partial}{\partial J}\int\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta\\ b_\varphi &=\frac{\partial S}{\partial a_\varphi}= \frac{\partial}{\partial J_z}\int\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta+\varphi \end{aligned}\]

上述正根表达式限于 \(r\ne0\)、\(\sin\theta\ne0\) 的正动量局部支; 跨径向或极角转点时须切换相应符号并连续拼接. 对于指定的轨道性质, 可以反解得到运动方程的解.

只记录 \(J\) 和 \(J_z\) 两个常数不足以确定轨道平面. 完整分离解的其他积分常数也记录轨道取向; 还可由中心力直接验证 \(\dot{\mathbf J}=0\), 得到固定的运动平面.

11.3 Wave Mechanics

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主函数的波动行为 考虑二维自由质点

\[S(q,a,t) = W(q,a) - a_1t = a_2 x+\sqrt{2mE - a_2^2}\,y-a_1t =\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et\]

等 \(W\) 面与质点运动方向垂直.

波动光学的短波极限 波动方程

\[\nabla^2\phi - \frac{n(\mathbf{r})^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = 0\]

试探解为

\[\phi = \mathrm{e}^{A(\mathbf{r})}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_0[L(\mathbf{r})-ct]},\quad L(\mathbf{r})=\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s\]

\(L(\mathbf{r})\) 为光程. 代入波动方程可以得到关系

\[\begin{gathered} \nabla^2A+(\nabla A)^2+k_0^2[n^2-(\nabla L)^2]=0\\ \nabla^2L+2\nabla A\cdot\nabla L=0 \end{gathered}\]

在折射率及振幅都足够缓变、避开焦散的短波区域, \(\nabla^2A+(\nabla A)^2\) 相对 \(k_0^2n^2\) 可忽略, 从而 \((\nabla L)^2=n^2\).

• 考虑势场 \(V\) 下的单粒子, 其简约作用量满足 \[(\nabla W)^2=2m(E-V)\] 如果我们把光波相位写作 \[k_0[L-ct] =\frac{2\pi}{\lambda_0}(L-ct) =\frac{1}{\hbar}\left(\frac{h}{\lambda_0}L-{h\nu t}\right)\] 从而可以建立对应 \[\begin{aligned} \hbar k_0\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s &\Longleftrightarrow \int p\,\mathrm{d}q\\ \hbar k_0[L-ct] &\Longleftrightarrow S=W-Et\\ \end{aligned}\] 从而启发我们–找出这样一个"波动力学”, 使得其"短波极限"为经典力学.

波动力学 引入物质波函数

\[\psi(\mathbf r,t)=A(\mathbf r,t)\mathrm e^{\mathrm iS(\mathbf r,t)/\hbar},\quad A,S\in\mathbb R\]

对时间无关的实势, 单频定态可取 \(A=A(\mathbf r)\)、\(S=W-Et\). 在局部非相对论色散及 \(p=|\nabla W|\ne0\) 的区域,

\[u_p=\frac{E}{p},\quad u_g=\frac{p}{m}.\]

• 对于等 \(S\) 面 \(S = \text{const}\): \[\mathrm{d}S=\nabla W\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}-E\mathrm{d}t=0\] 这就得到了粒子的相速 \[u_n=\frac{E}{|\nabla W|}\] 这里 \(u_n\) 是等相位面沿法线的有向速度; 等相位面本身就是物质波的波前.

以单频定态作波动光学类比, 写下

\[\nabla^2\psi - \frac{1}{u_p^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = 0\]

代入 \(u_p = E/p\), 以及 \(p = \sqrt{2m(E-V)}\), 得到

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi=\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}\]

上述单频类比给出定态 Schrödinger 方程. 一般含时 Schrödinger 方程还需作为量子动力学方程采用, 不能仅由经典 H-J 方程推出. 下面将一般相位–振幅分解代入该方程, 检查其经典极限:

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2A-\frac{1}{\hbar^2}A(\nabla S)^2+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(2\nabla A\cdot\nabla S+A\nabla^2S\right)\right)+VA =\mathrm{i}\hbar\frac{\partial A}{\partial t}-A\frac{\partial S}{\partial t}\]

• 其实部得到

  \[\frac{1}{2m}(\nabla S)^2+V+\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2A}{A}\]

  在 \(A\ne0\)、振幅足够缓变且右侧量子势相对所考察能量尺度可忽略的区域, 避开节点和转点, 得到

  \[H(q,\nabla S,t)+\partial_t S = 0\]

  即 H-J 方程.

• 其虚部得到

  \[\frac{\partial A^2}{\partial t}=-\nabla\cdot\left(A^2\frac{\nabla S}{m}\right)\]

  视 \(A\) 为概率幅, 则得到概率密度守恒

  \[\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot(\rho v)\]

Appendix

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A.1 Exterior Differential

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流形上的微分形式

将二重积分时引入的外代数乘法, 即外积 \(\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x\), 推广到对 n-form 的积分:

\[A=\int f(x^1,x^2,...,x^n)\mathrm{d}x^1\wedge \mathrm{d}x^2\wedge...\wedge \mathrm{d}x^n=\int\omega\]

对于 n 个变量, 还可以推广到 k-form

\[\alpha=\frac{1}{k!}\alpha_{i_1i_2...i_k}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_k}\]

• 任何 k>n 的 k-form 为 0

• 0-form 是一个 n 元标量函数

• 2-form 只由系数的反对称部分决定. 对任意系数 \(c_{ij}\),

  \[c_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j =\frac12(c_{ij}-c_{ji})\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j.\]

  因而可把 2-form 写成 \(\alpha=\frac12\alpha_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge\mathrm{d}x^j\), 其中 \(\alpha_{ji}=-\alpha_{ij}\). 被消去的是系数的对称部分, 一般的 2-form 本身并不为零.

• 给定非退化度规与定向后, \(k\)-form 与 \((n-k)\)-form 之间由 Hodge 对偶形成一一映射. 这一对应依赖所选度规与定向.

外微分

对于 \(n\) 维空间的一个 \((k-1)\)-form

\[\alpha=\frac{1}{(k-1)!}\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge...\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}\]

定义其外微分

\[\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{(k-1)!}(\partial_j\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}})\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}\]

为 k-form.

• 对于任意微分形式, 其二阶外微分 \[\mathrm{d}^2\alpha=\frac{1}{(k-1)!}(\partial_i\partial_j\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}})\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}=0\] 总是为 0. (指标交换得到 \(\mathrm{d}^2\alpha = -\mathrm{d}^2\alpha=0\) 证明)

Stokes 公式

考虑 2 元 1-form 的外微分

\[\begin{aligned} \mathrm{d}a &=\mathrm{d}a_x\wedge \mathrm{d}x+\mathrm{d}a_y\wedge \mathrm{d}y\\ &=(\partial_xa_x\mathrm{d}x+\partial_ya_x\mathrm{d}y)\wedge \mathrm{d}x+(\partial_xa_y\mathrm{d}x+\partial_ya_y\mathrm{d}y)\wedge \mathrm{d}y\\ &=\partial_ya_x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x+\partial_xa_y\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\\ &=(\partial_xa_y-\partial_ya_x)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \end{aligned}\]

从而有二维旋度定理的 Green 公式

\[\oint_{\partial D}\left(a_x\mathrm{d}x+a_y\mathrm{d}y\right)=\int_D\left(\partial_xa_y-\partial_ya_x\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

推广到 \(n\) 维空间得到 Stokes 公式

\[\int_{\partial D}a=\int_D\mathrm{d}a\]

保守力与外微分

对于保守力, 其表达式可以认为是一个 1-form, 且它是另一个 0-形式的外微分:

\[F_\mu \mathrm{d}x^\mu=-\mathrm{d}V(x^1,\cdots,x^{3N})\]

通过二阶外微分为 0 可以得到

\[-\mathrm{d}^2V=0=(\partial_\mu F_\nu)\mathrm{d}x^\mu\wedge \mathrm{d}x^\nu=\left[\frac{1}{2}(\partial_\mu F_\nu-\partial_\nu F_\mu)+\frac{1}{2}(\partial_\mu F_\nu+\partial_\nu F_\mu)\right]\mathrm{d}x^\mu\wedge \mathrm{d}x^\nu\]

第二项对指标求和后为 0. 从而有 \(\nabla\times\mathbf{F}=0\), 即旋度为 0. 从而

\[\int_{\partial D}F=\int_D\mathrm{d}F=0\]

保守力回路积分为 0, 即保守力做功与路径无关.

References

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