Classical Mechanics - 4

12 Relativistic Analytical Mechanics

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12.1 Space-Time in Special Relativity

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力学规律与时空观相联系, 不同时空背景(参照系)下物理规律一致. 相对论力学以狭义相对论的时空观为基础, 建立在相对性原理与光速不变原理之上, 其中时空统一在一起构成 Minkowski 时空(Minkowski space-time)

用微分流形(differentiable manifold)的说法重新描述分析力学的空间结构:

• 力学体系的广义坐标构成位形流形(configuration manifold), 其维数等于广义坐标的个数, 完整约束下就等于自由度数. 位形流形一般非平直, 其拓扑结构也可能不是平庸的.
• 每个位形处的广义速度属于该点的切空间; 位形与广义速度的二元组构成位形流形的切丛(tangent bundle).

12.1.1 Minkowski Space-Time

以下采取 \(c=1\) 的单位制,记 \(\gamma_{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{1-|\mathbf{v}|^2}}\).

Definition Minkowski 空间中的时空坐标

1. 逆变矢量

   \[x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(x^0,\mathbf{x})=(t,x,y,z)\]

2. 协变矢量(对偶矢量)

   \[x_\mu=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(-x^0,\mathbf{x})=(-t,x,y,z)\]

两者矢量空间对偶, 可通过升高/降低指标来转换:

\[x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu,x^\mu=\eta^{\mu\nu}x_\nu\]

其中 \(\eta_{\mu\nu}\) 为 Minkowski 时空的度规张量, \(\eta^{\mu\nu}\) 为度规张量的逆

\[\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}\{-1,1,1,1\}\]

有性质

\[\eta^{\mu\nu}=(\eta^{-1})_{\mu\nu},\quad \eta_{\mu\beta}\eta^{\beta\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}\]

其中 \(\delta_{\nu}^{\mu}\) 称为 Kronecker 符号

\[\delta_{\nu}^{\mu}= \left\{\begin{aligned} &1,&&\mu=\nu\\ &0,&&\mu\ne\nu \end{aligned}\right.\]

• 将符号相同的一组协变逆变指标按 Einstein 求和规则求和的操作称为指标的缩并(contraction). 被缩并的指标称为傀标. 由此可定义矢量的内积 \[A\cdot B =\eta^{\mu\nu}A_{\mu}B_{\nu} =-A^0B^0+\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\]

Definition 时空间隔 interval

\[\mathrm{d}s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu= -(\mathrm{d}t)^2+(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2)\]

称为无穷小时空间隔, 对于

• \(\mathrm{d}s^2>0\): 称为类空间隔
• \(\mathrm{d}s^2\lt0\): 称为类时间隔
• \(\mathrm{d}s^2 = 0\): 称为类光间隔

12.1.2 Lorentz Transformations

我们希望得到一个任意可逆光滑的坐标变换

\[x^\mu \mapsto x'^\mu\]

作为同一物理系统的坐标重写. 用张量方程表示物理规律时, 方程具有一般协变性(general covariance); 这不表示任意坐标变换都是物理对称性. 此时, 度规分量发生变换

\[g'_{\mu\nu}(x')= \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x)\]

若进一步要求度规的形式不变

\[g'_{\mu\nu}(x') = g_{\mu\nu}(x')\]

则该变换是时空的等距变换(isometry). 在 Minkowski 时空下, 我们已经给出

\[g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}\{-1,1,1,1\}\]

为常数矩阵. 此时全局等距变换可以写为 Poincaré 变换

\[x^{\prime\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}+ a^\mu\]

如果仅进行齐次变换就得到 Lorentz 变换

\[x^{\prime\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}\]

在这一时空下, 等距变换需要保证四维间隔及其形式在 Lorentz 变换下保持不变, 即要求

\[\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \alpha}\Lambda^\nu_{\ \beta} = \eta_{\alpha\beta}\implies \mathbf{\Lambda}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\eta}\mathbf{\Lambda} = \boldsymbol{\eta}\]

这等价于一个保度规变换. 满足上述条件的变换矩阵构成广义/齐次/正交 Lorentz 群 \(O(1,3)\). \(O(1,3)\) 不是连通的, 而是具有四个连通分支, 可以按照以下两个标准进行分类:

\[\det\Lambda=\pm1,\qquad \Lambda^0{}_{0}\ge1\ \text{或}\ \Lambda^0{}_{0}\le-1\]

1. 恰当 Lorentz 群 \(SO(1,3)\) 满足

   \[\det\Lambda = +1\]

   它仍有两个连通分支. 若进一步要求

   \[\Lambda^{0}{}_{0} \geq 1\]

   则得到保持时间方向(orthochronous)的恒等连通分支 \(SO^+(1,3)\), 即物理常用的恰当正时 Lorentz 群. 其群元可以由六类基本变换的生成元构成:

   1. 1 - 2, 1 - 3, 2 - 3 平面内的转动, 即三维转动, 可以构成转动变换群.
   2. 0 - 1, 0 - 2, 0 - 3 平面内的推促(boost). 固定轴的 boost 构成一参数子群, 但所有方向的纯 boost 合在一起不对乘法封闭.

   对于后者, 常见的形式为 0 - 1 boost

   \[\mathbf{\Lambda} = \mathbf{L}_1(\mathbf{v})= \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma v&0&0\\ -\gamma v&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},\quad \gamma = \gamma_{\mathbf{v}}\]

   这是一个对称矩阵. 沿任意速度方向的单个纯 boost 可写为

   \[\mathbf{L}(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\mathbf{v}^{\mathsf T}\\ -\gamma\mathbf{v}&(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}}{v^2}+\mathbf{I} \end{pmatrix}\]

   由 \(-\gamma^2+(-\gamma v)^2\equiv -1\), 可以看出这一矩阵表示保证了间隔不变, 且满足

   \[\mathbf{L}(-\mathbf{v}) = \mathbf{L}^{-1}(\mathbf{v}),\quad \mathbf{L}(\mathbf{0})=\mathbf{I}\]

   一般来讲, boost 是非对易的(转动也不是):

   \[\mathbf{L}_1\mathbf{L}_2\ne\mathbf{L}_2\mathbf{L}_1\]

   且两个 boost 的有序组合往往不再是一个 boost 的形式, 但是可以写成一个 rot + boost:

   \[\mathbf{L}_2\mathbf{L}_1 = \mathbf{A}_W\mathbf{L}_{\mathrm{eff}}\]

   前者被称为 Wigner 转动; 沿加速轨迹连续组合 boost 所产生的转动对应 Thomas 进动. 由于空间转动是齐次 Lorentz 变换的一个子集, 总可以对变换前后的坐标架进行转动, 使得它们的 1 轴方向与相对的常数速度 \(\mathbf{v}\) 平行.

   • 从表示论角度看, 恰当正时 Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) 与 \(SL(2,\mathbb{C})\) 局部同构, 这也是相对论性量子力学下, 自旋表示与 Dirac 旋量结构自然出现的根本原因.

   • 0 - 1 boost 可以改写为(\(\psi\) 为快度)

     \[\Lambda= \begin{pmatrix} \cosh\psi&-\sinh\psi&0&0\\ -\sinh\psi&\cosh\psi&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\]

     其中 \(\psi\) 被称为快度

     \[\psi=\tanh^{-1}v=\frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\]

2. 其余三个连通分支可分别用以下离散变换乘以 \(SO^+(1,3)\) 中的群元表示:

   1. 时间反演(Time reversal)

      \[\mathbf{T} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \det \mathbf{T} = -1,\quad \mathbf{T}^0{}_{0}=-1\]

   2. 空间反射(Parity)

      \[\mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad \det \mathbf{P} = -1,\quad \mathbf{P}^0{}_{0}=1\]

   3. 时空全反演

      \[\mathbf{PT} = -\mathbf{I},\quad \det(\mathbf{PT})=+1,\quad (\mathbf{PT})^0{}_{0}=-1\]

   行列式和 \(\Lambda^0{}_{0}\) 的符号标记四个连通分支; 通过恰当正时 Lorentz 变换和以上三个变换组合就可以构成整个 \(O(1,3)\).

12.1.3 Tensors and Fields

• 在齐次 Lorentz 变换下具有"确定"变换规则的物理量称为张量(Tensor), 其独立指标的个数称为张量的阶数. 其中, 按照变换性质, 又可以分类:

  • 张量: 变换规则

    \[T_{\nu_1\cdots\nu_q}^{\prime\mu_1\cdots\mu_p}=\frac{\partial x^{\prime\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}}\cdots\frac{\partial x^{\prime\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}}\frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\prime\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x^{\prime\nu_q}}T_{\beta_1\cdots\beta_q}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}\]

    比如 \(F^{\mu\nu},T^{\mu\nu}\).

  • 赝张量: 变换规则

    \[P_{\nu_1\cdots\nu_q}^{\prime\mu_1\cdots\mu_p}=\operatorname{sign}(\det\mathbf{\Lambda})\frac{\partial x^{\prime\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}}\cdots\frac{\partial x^{\prime\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}}\frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\prime\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x^{\prime\nu_q}}P_{\beta_1\cdots\beta_q}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}\]

    比如 \(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\).

  对下列低阶例子, 可观察空间反射下的宇称. 表中的 \(\mathbf{J}\) 和 \(\mathbf{B}\) 是三维轴矢量, 并非单独的 Lorentz 四矢量:

Pseudo	阶数	Parity	说明 / 例子
标量	0	偶(不变)	\(m\)
赝标量	0	奇(取反)	\(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\)
向量	1	奇(空间分量取反)	\(x^\mu = (t, \mathbf{x}),p^\mu\)
赝矢量	1	偶(空间分量不变)	\(\mathbf{J},\mathbf{B}\)

• 如果一个物理量是时空点的函数, 则称之为场. 按照其在 Lorentz 变换下的性质, 可分为标量场、矢量场及更高阶张量场等.

• 将对时空的偏微商算符可作用在场上, 构成多指标场. 逆变梯度和协变梯度的算符记作

  \[\partial^\mu=\frac{\partial}{\partial x_\mu}=\left(-\partial_t ,\nabla \right),\quad \partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left(\partial_t ,\nabla \right)\]

在后面, 如无特殊说明, 一般认为 Lorentz 变换仅考虑 boost.

12.1.4 Proper Time and Four-Velocity

四维时空坐标下, 粒子运动线上的无穷小间隔不变量

\[\mathrm{d}s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu= -(\mathrm{d}t)^2+(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2) = -(\mathrm{d}\tau)^2\]

对有质量粒子的类时世界线, \(\mathrm{d}\tau\) 称为固有时间隔, 等于瞬时静止惯性系测得的时间间隔.

4 - 速度

\[u^\mu=\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=\gamma_{\mathbf{u}}(1,\mathbf{u}),\quad \mathbf{u}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\tau}\cdot \frac{1}{\gamma_{\mathbf{u}}}\]

得到 Lorentz 不变量

\[u_{\mu}u^{\mu}=-(\gamma_{\mathbf{u}})^{2}+(\gamma_{\mathbf{u}})^{2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\frac{-1+\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{1-|\mathbf{u}|^{2}}=-1\]

12.2 Motion of Relativistic Particles in External Fields

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12.2.1 Free Relativistic Particles

狭义相对论时空观下, Hamilton 原理仍应在任意惯性参考系成立, 故相对论性粒子的作用量为洛伦兹标量.

以下考虑 \(m>0\) 的自由粒子与类时世界线, 取仅依赖一阶速度且重参数化不变的作用量

\[S=-\alpha\int \left|\,\mathrm{d}s\right|\]

其中 \(\alpha(>0)\) 为 Lorentz 标量.

三维形式

对于指定参考系, 显然有

\[S =-\int\alpha\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,\mathrm{d}t\]

\(\mathbf{v}\) 为粒子在指定参考系中的速度. 可看出 Lagrangian(三维)

\[L=-\alpha\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\]

由经验可认定 \(\alpha=m\), 则对相对论性自由粒子有

• 相对论性动量

  \[\mathbf{p} =\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}\]

• 运动方程

  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^{2}}}\right) =0 \implies \mathbf{p}=\mathrm{const}\]

• \(\partial_t L=0\), 故有能量守恒

  \[E=\mathbf{p}\cdot\mathbf{v}-L =\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} =\mathrm{const}\]

四维协变形式

对有质量粒子取任意沿未来方向单调增加的参数 \(\tau\), 定义 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau\). 固有时另记为 \(\sigma\), 满足 \(\mathrm{d}\sigma=\sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau\). 将作用量写为

\[S = -m \int \sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau\]

定义四维 Lagrangian

\[L_\tau(x,u) \equiv -m\sqrt{-u^\mu u_\mu},\quad L_\tau = L\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\]

它关于 \(u^{\mu}\) 一次齐次, 保证了重参数化不变性, 满足约束

\[L_\tau - u_\mu\frac{\partial L_\tau}{\partial u_\mu} = 0\]

共轭动量与 Euler–Lagrange 方程为

\[p_\mu=\frac{\partial L_\tau}{\partial u^\mu}=\frac{m u_\mu}{\sqrt{-u^\nu u_\nu}},\qquad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=0\]

得到协变的运动方程

\[\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\sigma^2}=0\]

只有在固有时规范 \(\tau=\sigma\) 下才有 \(u^\mu u_\mu=-1\)、\(p^\mu=mu^\mu\). 用三维速度 \(\mathbf v=\mathrm{d}\mathbf x/\mathrm{d}t\) 表示四动量,

\[p^\mu=m\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\sigma}=(E,\mathbf p),\qquad E=\gamma_{\mathbf v}m,\quad \mathbf p=\gamma_{\mathbf v}m\mathbf v\]

得到 Lorentz 不变量

\[p_\mu p^\mu=-E^2+\mathbf{p}^2=-m^2\]

\(m\) 为粒子的静质量.

一次齐次性使正则 Hamiltonian 为零:

\[H_\tau = p_\mu u^\mu - L_\tau = 0\]

此时 Legendre 变换退化, 动量受质量壳约束 \(\phi=(p_\mu p^\mu+m^2)/2=0\). 不能先将 Hamiltonian 置零再套普通正则方程. 采用总 Hamiltonian 和一阶作用量

\[H_{\mathrm T}=e(\tau)\phi,\qquad S_1=\int\left[p_\mu\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}-e(\tau)\phi\right]\,\mathrm{d}\tau\]

变分得到

\[\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=e p^\mu,\qquad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=0,\qquad \phi=0\]

乘子 \(e\) 表示参数选择的自由度; 固有时规范取 \(e=1/m\). 对正能量分支取坐标时规范 \(x^0=t\), 解约束得 \(p_0=-\sqrt{m^2+\mathbf p^2}\), 从而约化 Hamiltonian 为 \(H=-p_0=\sqrt{m^2+\mathbf p^2}\). 零正则 Hamiltonian 不表示物理运动或能量为零.

• 动量中心系(CoM)

  以总四动量为未来类时的二体碰撞为例

  \[P^\mu\equiv p_1^\mu+p_2^\mu=(E_{\mathrm{tot}},\mathbf{P}),\quad s\equiv P^\mu P_\mu=-E_{\mathrm{tot}}^2+\mathbf{P}^2\]

  考虑到 \(s\) 为 Lorentz 不变量, 所以在 CoM 下应该有

  \[P^{\prime\mu}=(\sqrt{-s},\mathbf{0})\]

  原参考系到 CoM 的 boost 要求有

  \[\mathbf{V} = \frac{\mathbf{P}}{E_{\mathrm{tot}}}\]
  • 对于撞击固定靶粒子: \[p_1^\mu=\left(E_1,\mathbf{p}_1\right),\quad p_2^\mu=(m_2,\mathbf{0})\] CoM 质量 \[s\equiv P_\mu P^\mu=-(E_1+m_2)^2+|\mathbf{p}_1|^2=-(m_1^2+m_2^2+2m_2E_1)\] 考虑到 CoM 系要求 \(\mathbf{P}^{\prime} = 0\), 故 \[P^{\prime x}=\gamma_{\mathbf{V}}\left(P^x-VP^0\right)=0\implies V = \frac{P^x}{P^0}=\frac{|\mathbf{p}_1|}{E_1+m_2}\] 若末态只有一个静质量为 \(m_3\) 的粒子, 四动量守恒要求 \[m_3^2=m_1^2+m_2^2+2m_2E_1\] 这一单粒子末态要求的入射总能量为 \[E_1=\frac{m_3^2-m_1^2-m_2^2}{2m_2},\qquad E_1\ge m_1.\] 对多粒子末态, 若其静质量之和为 \(M\), 由末态不变质量至少为 \(M\) 得到运动学阈值 \[E_{1,\mathrm{th}}=\max\left(m_1,\frac{M^2-m_1^2-m_2^2}{2m_2}\right).\] 当 \(M\ge m_1+m_2\) 时, 阈值处末态在 CoM 中无相对运动.

12.2.2 Coupling of Relativistic Particles to Scalar Fields

标量场 \(\Phi=\Phi(x)\) 下, 不考虑偏导数耦合, 可取正的有效质量 \(M(x)=m\mathrm{e}^{\Phi(x)}\), 并采用作用量

\[S=-m\int \mathrm{e}^{\Phi(x)}\,|\,\mathrm{d}s|\]

若耦合项为 \(\int\partial_\mu\Phi\,\mathrm{d}x^\mu\), 它等于 \(\Phi\) 的端点差, 不影响固定端点下的运动方程.

先用任意参数 \(\lambda\) 写 \(L=-m\mathrm e^\Phi\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\), 其中点表示对 \(\lambda\) 求导. 对坐标变分后再取固有时 \(s\), 得到

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(\mathrm e^\Phi u_\mu)=-\mathrm e^\Phi\partial_\mu\Phi,\qquad u^\mu=\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm ds},\quad u_\mu u^\mu=-1.\]

展开导数并升指标, 得

\[\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d}s^2} =-\left(\eta^{\mu\nu}+u^\mu u^\nu\right)\partial_\nu\Phi,\]

即加速度是场梯度在四速度正交方向上的负投影. 在静态弱场的低速极限下, 其空间分量给出 \(\mathrm{d}^2\mathbf x/\mathrm{d}t^2\simeq-\nabla\Phi\), 与下述 \(V=m\Phi\) 的约定一致.

• 非相对论极限 记 \[\Phi(t,\mathbf{r})=\frac{V(t,\mathbf{r})}{m}\] \[|\mathbf{v}|^2\ll1,\quad |V(t,\mathbf{r})|\ll m\implies \mathrm{e}^{\Phi(t,\mathbf{r})}\approx1+\frac{V(t,\mathbf{r})}{m}\] 去除无关常量, 有 Lagrangian \[L\approx\frac12m\mathbf{v}^2-V(t,\mathbf{r})\]

12.2.3 Relativistic Particles in Electromagnetic Fields

Definition 4 - 矢量场

\[A^\mu=A^\mu(x)=\left(\phi,\mathbf{A}\right)\]

其中 \(\phi, \mathbf{A}\) 分别称为标量势和矢量势.

相对论性带电粒子与电磁场的耦合 相应的作用量应为洛伦兹标量. 这里的耦合为规范耦合(最简单的耦合方式), 其对应的作用量形式为

\[S=-m\int \left|\,\mathrm{d}s\right|+q\int A^\mu\,\mathrm{d}x_\mu\]

其中洛伦兹标量 \(q\) 称电量, 代表粒子与电磁场的耦合强度.

三维形式

指定参考系下, 可以得到 Lagrangian

\[L=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-m\sqrt{1-\mathbf{v}^2}-qU\]

其中标量积

\[U = -\frac{1}{\gamma_{\mathbf{v}}} A^{\mu}u_{\mu} = \phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}\]

为广义势.

\[\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\mathbf{p}+q\mathbf{A},\quad \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}} =-q\nabla\phi +q\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A}) +q(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}\]

用到

\[\nabla\left(\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\right)=\left(\mathbf{g}\cdot\nabla\right)\mathbf{f}+\mathbf{g}\times\left(\nabla\times\mathbf{f}\right)+\left(\mathbf{f}\cdot\nabla\right)\mathbf{g}+\mathbf{f}\times\left(\nabla\times\mathbf{g}\right)\]

又由

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} =\partial_t\mathbf{A} +(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}\]

利用 Lagrange 方程, 得到运动方程

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\]

\[\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial_t\mathbf{A},\quad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\]

其中 \(\mathbf{E}\) 称电场强度, \(\mathbf{B}\) 称磁感应强度.

• 广义动量

  \[\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=\mathbf{p}+q\mathbf{A}(x)\]

• 若为恒定场(\(\partial_tL=0\)), 广义能量守恒

  \[E=\mathbf{P}\cdot\mathbf{v}-L=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}+q\phi\]

  一般情形下体系的 Hamiltonian

  \[H=H(\mathbf{P},\mathbf{r},t)=\mathbf{P}\cdot\mathbf{v}-L=\sqrt{\left(\mathbf{P}-q\mathbf{A}\right)^2+m^2}+q\phi\]

• 规范对称性 对矢量场作规范变换

  \[A^\mu\mapsto A^{\prime\mu}=A^\mu+\partial^\mu\chi\]

  其中 \(\chi=\chi(x)\) 是任意标量场, 则

  \[S\mapsto S'=S+\left.[q\chi(x)]\right|_1^2,\quad \mathbf{E}'=\mathbf{E},\quad \mathbf{B}'=\mathbf{B}\]

  运动方程也不变.

• 非相对论极限 去掉无关常量后有 Lagrangian

  \[L\simeq\frac12mv^2-\left(q\phi(x)-q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(x)\right)\]

  电磁耦合项没有变化,说明电磁场以及电磁相互作用是相对论性的.记后一项括号内为速度相关势:

  \[V=q\phi(t,\mathbf{r})-q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(t,\mathbf{r})\]

  • 正则动量

    \[\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}(t,\mathbf{r})\]

  • 运动方程

    \[m\dot{\mathbf{v}}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\ ,\ \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\phi-\partial_{t}\mathbf{A} \ ,\ \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}\]

四维协变形式

\[S=-m \int \sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau+q\int A^\mu\left(x\right)u_\mu\,\mathrm{d}\tau\]

四维 Lagrangian

\[L_\tau(x,u) \equiv -m\sqrt{-u^\mu u_\mu}+qA^{\mu}u_{\mu}\]

对任意参数 \(\tau\), 记 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau\), 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{m u^\mu}{\sqrt{-u^\nu u_\nu}}+qA^\mu\right)-qu_\nu\partial^\mu A^\nu=0.\]

变分后取固有时 \(s\) 为参数, 重新记 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}s\), 则 \(u^\mu u_\mu=-1\), 方程化为

\[m\frac{\mathrm{d}u^\mu}{\mathrm{d}s}+qu_\nu(\partial^\nu A^\mu-\partial^\mu A^\nu)=0.\]

定义场强张量后得到协变形式的运动方程

\[m\frac{\mathrm{d}u^\mu}{\mathrm{d}s}=qF^{\mu\nu}u_\nu,\quad F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\]

其中

\[F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0&E_x&E_y&E_z\\ -E_x&0&B_z&-B_y\\ -E_y&-B_z&0&B_x\\ -E_z&B_y&-B_x&0 \end{pmatrix}\]

为电磁场强张量.

• 广义 4 - 动量

  \[P^{\mu} = p^{\mu}+qA^{\mu}\]

• 规范对称性 变换

  \[A^\mu\mapsto A^{\prime\mu}=A^\mu+\partial^\mu\chi\]

  耦合变为

  \[q\int A^\mu u_\mu\,\mathrm{d}\tau\mapsto q\int(A^\mu+\partial^\mu\chi)u_\mu\,\mathrm{d}\tau=q\int A^\mu u_\mu\,\mathrm{d}\tau+q\int\frac{\mathrm{d}\chi}{\mathrm{d}\tau}\,\mathrm{d}\tau\]

  产生表面项, 不影响运动方程. 同时, 场强张量变化量

  \[\partial^{\mu}(\partial^{\nu}\chi)-\partial^{\nu}(\partial^{\mu}\chi)=0\]

  电磁场本身不受规范变换影响.

Remark 两种度规: 另外一种 Minkowski 度规

\[\eta^{\prime\mu\nu} = \mathrm{diag}\{1, -1, -1 , -1\}\]

也经常使用. 对于电磁场强张量, 由于

\[A^{\prime\mu}=A^\mu,\quad A_\mu^{\prime}=-A_\mu,\quad \partial^{\prime\mu}=-\partial^\mu\]

所以

\[F^{\prime\mu\nu} =\begin{pmatrix} 0&-E_x&-E_y&-E_z\\ E_x&0&-B_z&B_y\\ E_y&B_z&0&-B_x\\ E_z&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}\]

整体取了负号.

13 Introduction to Field Theory

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13.1 Classical Field Theory¹

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13.1.1 Scalar Fields

一维无限长悬珠链

珠子质量为 \(m\), 平衡位形间距为弹簧原长 \(a\), 弹性系数 \(k\). 以各珠沿链方向相对平衡位置的位移 \(\{q_i\}\) 为广义坐标, 引入势能项 \(V_i(q_i)\), 有 Lagrangian

\[\begin{aligned} L =&\sum_i\frac12m\dot{q}_i^2-\sum_i\frac12k(q_{i+1}-q_i)^2-\sum_iV_i(q_i)\\ =&\sum_ia\left[\frac12\frac ma\dot{q}_i^2-\frac12ka\left(\frac{q_{i+1}-q_i}a\right)^2-\frac{V_i}a\right] \end{aligned}\]

取 \(a\to0\) 的极限, 则

\[\begin{aligned} q_i&\to q(t,x),& \dot{q}_i&\to\partial_tq,\\ \frac{q_{i+1}-q_i}{a}&\to\partial_xq,& \sum_i a&\to\int \,\mathrm{d}x\,\\ \frac{m}{a}&\to\lambda,& ka&\to\kappa,\\ \frac{V_i(q_i)}{a}&\to\lambda_V(q) \end{aligned}\]

此极限保持 \(m/a\) 与 \(ka\) 有限. \(\lambda\) 为未形变时的质量线密度, \(\kappa\) 为位移梯度项的弹性系数; 对细杆纵波, 它等于 Young 模量与横截面积的乘积, 对弦的微小横波则等于预张力. \(\lambda_V\) 为仅依赖 \(q\) 的能量线密度. Lagrangian 化为

\[L =\int\left(\frac{1}{2}\lambda(\partial_tq)^2-\frac{1}{2}\kappa(\partial_xq)^2-\lambda_V(q)\right)\,\mathrm{d}x\]

类似地, 对三维均匀各向同性的标量位移模型, 可取

\[L=\iiint\mathcal{L}\,\mathrm{d}^3\mathbf{r},\qquad \mathcal{L}=\frac{1}{2}\rho(\partial_tq)^2-\frac{1}{2}Y(\nabla q)^2-\rho_V(q)\]

\(\mathcal{L}\) 为 Lagrangian 密度.

四维标量场

仅考虑标量场及其一阶导数时, Lagrangian 可写为

\[L=\int\mathcal{L}(\phi,\partial^\mu\phi)\,\mathrm{d}^3\mathbf{r}\]

其中 \(\phi\) 为标量场. 拉氏密度 \(\mathcal L(\phi,\partial^\mu\phi)\) 是 Lorentz 标量, 因为作用量

\[S = \int L\,\mathrm{d}t = \int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x\]

中的四维体积元在 Lorentz 变换下不变. 选取具有正则二次动能项的实标量场模型

\[\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-V(\phi)\]

此处仅使得势能项依赖 \(\phi\).

13.1.2 Field Equations of Motion

连续作用量变分时, 令变分在时空积分区域的整个边界上为零(或空间边界项因足够快的衰减而消失).

Proposition 标量场的平稳作用量条件给出 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} =0\]

Proof 离散悬珠链的连续极限.

由连续性变换

\[L=\sum_i a\left[ \frac12\frac{m}{a}\dot{q}_i^2 -\frac12 k a\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2 -\frac{V_i}{a} \right] \;\longrightarrow\; \int \,\mathrm{d}x\, \left[ \frac12\lambda(\partial_t q)^2 -\frac12\kappa(\partial_x q)^2 -\lambda_V(q) \right]\]

则 Lagrange 方程里相应的项

\[\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) = a\frac{m}{a}\ddot q_i \;\longrightarrow\; \mathrm{d}x\,\lambda\,\partial_t^2 q = \mathrm{d}x\cdot \partial_t\!\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t q)} \right) \\[6pt] &\frac{\partial L}{\partial q_i} = -a\frac{\partial V_i/\partial q_i}{a} + a\cdot k a \frac{(q_{i+1}-q_i)-(q_i-q_{i-1})}{a^2} \\ &\phantom{\frac{\partial L}{\partial q_i}} \;\longrightarrow\; -\mathrm{d}x\, \frac{\partial \lambda_V}{\partial q} + \mathrm{d}x\cdot \kappa\,\partial_x^2 q = \mathrm{d}x\cdot \left[ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q} - \partial_x\!\left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_x q)} \right) \right] \end{aligned}\]

由此得到上述 Euler-Lagrange 方程在悬珠链连续极限下的形式.

Proof 连续作用量变分. 场的 Euler-Lagrange 方程还可以基于连续场论的平稳作用量原理得到

\[S = \int \,\mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}\big(\phi,\partial_\mu\phi\big)\]

\[\delta S = \int \,\mathrm{d}^4x \left[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \delta(\partial_\mu\phi) \right] =0\]

分部积分得

\[0= \int \,\mathrm{d}^4x\, \left\{ \left[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \right) \right] \delta\phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \delta\phi \right) \right\}\]

由上述边界条件, 表面项对积分值无贡献, 故得到 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} =0\]

Definition 连续系统的 Hamilton 量密度

\[\mathcal{H} = \pi\partial_t\phi - \mathcal{L},\quad \pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\phi)}\]

Proposition 当 \(\mathcal{L}\) 不显含 \(x^\mu\) 时, 平移对称性给出应力能量张量. 在本册的 \((-+++)\) 度规下, 取能量密度与 Hamiltonian 密度一致的约定

\[T^{\mu\nu}=-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi+\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}.\]

对上述实标量场,

\[T^{\mu\nu}=\partial^\mu\phi\partial^\nu\phi+\eta^{\mu\nu}\mathcal{L},\qquad T^{00}=\frac12(\partial_t\phi)^2+\frac12(\nabla\phi)^2+V(\phi)=\mathcal{H}.\]

其分量

1. 00: 对应 Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\)

   \[E=\int \,\mathrm{d}^3x\,T^{00}\]

2. 0i:

   \[P^i=\int \,\mathrm{d}^3x\,T^{0i}\]

3. ij: 空间动量流(应力)的分量. 对电磁场, 通常定义的 Maxwell 应力张量与动量流张量相差一个负号.

其守恒律

\[\begin{aligned} \partial_\mu T^{\mu\nu} &=-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi\right)+\partial^\nu\mathcal{L}\\ &=-\left[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\right]\partial^\nu\phi -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\partial_\mu\partial^\nu\phi-\partial^\nu\partial_\mu\phi\right)\\ &=0. \end{aligned}\]

1. \(\nu = 0\): 能量连续性方程

   \[\partial_tT^{00}+\partial_iT^{i0}=0\]

2. \(\nu = i\): 动量连续性方程

   \[\partial_tT^{0i}+\partial_jT^{ji}=0\]

Example 对于形如

\[\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-\frac12\mu^2\phi^2\]

的拉氏密度,有运动方程

\[\partial^\mu\partial_\mu\phi-\mu^2\phi=0\quad\iff\quad \partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+\mu^2\phi=0\]

即为 Klein-Gordon 方程.

13.1.3 Field Equations of Electromagnetism

从 Lorentz 变换角度, 电磁场 \(A^\mu(x)\) 是一个矢量场, 类比可得矢量场的 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}, \qquad \nu = 0,1,2,3\]

其中 \(\mathcal{L}\) 应满足

1. 为 Lorentz 标量
2. 规范不变
3. 对 \(A^\mu\) 和 \(\partial^\nu A^\mu\) 的依赖最高到二次, 使上述场方程线性, 以保证叠加原理

• 自由电磁场(真空电磁场): 无源, 忽略常系数拓扑项及全散度后, 取标准 Maxwell 拉氏密度

  \[\mathcal{L} = \alpha F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2\alpha(\mathbf{B}^2-\mathbf{E}^2)\]

  代入矢量场场方程, 注意到

  \[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = 2\alpha F^{\rho\sigma} \frac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = 2\alpha F^{\rho\sigma} (\delta^\rho_{\ \mu}\delta^\sigma_{\ \nu} - \delta^\rho_{\ \nu}\delta^\sigma_{\ \mu}) = 4\alpha F^{\mu\nu}\]

  故真空电磁场的场方程为

  \[4\alpha \, \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\]

• 含源电磁场 先仅考虑单个运动点电荷作为源, 作用量的耦合部分

  \[S_{fm} = \int q A_\mu \,\mathrm{d}x^\mu = \int \rho_0 u^\mu A_\mu \,\mathrm{d}V_0 \,\mathrm{d}\tau\]

  在 Lorentz 变换下不变, 规范变换仅产生世界线端点项. 对具有单一局域速度的电荷流, \(\rho_0\) 是局部静止系中的电荷密度, 为 Lorentz 标量. \(\mathrm{d}V_0\) 为随动惯性系中的电荷体元. 引入电流密度四矢

  \[J^\mu = \rho_0 u^\mu \xrightarrow{S\text{系}} (\rho,\mathbf{J}) = \left( \frac{\rho_0}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}, \frac{\rho_0\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} \right)\]

  对连续电荷分布, 电荷守恒是四维连续性方程

  \[\partial_\mu J^\mu =\partial_\mu(\rho_0u^\mu) =u^\mu\partial_\mu\rho_0+\rho_0\partial_\mu u^\mu =0.\]

  这不是由 \(\partial_\mu u^\mu=0\) 单独推出的. 对源耦合作规范变换并忽略边界项,

  \[\delta_\chi S_{fm} =\int J^\mu\partial_\mu\chi\,\mathrm{d}^4x =-\int\chi\,\partial_\mu J^\mu\,\mathrm{d}^4x.\]

  因而对任意 \(\chi\) 的规范不变性要求 \(\partial_\mu J^\mu=0\). 利用四维体元的 Lorentz 不变性, 有

  \[S_{fm} = \int \mathcal{L}_{fm}\,\mathrm{d}^3\mathbf{r}\,\mathrm{d}t, \qquad \mathcal{L}_{fm} = J^\mu A_\mu\]

  因此, 总拉氏密度为

  \[\mathcal{L} = \alpha F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + J^\mu A_\mu\]

  含源电磁场的场方程(运动方程)为

  \[4\alpha\,\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\]

  • SI 单位制中恢复 \(c\), 改用

    \[x^0=ct,\qquad A^\mu=(\phi/c,\mathbf{A}),\qquad J^\mu=(c\rho,\mathbf{J}),\qquad F^{0i}=E_i/c.\]

    四维作用量写为 \(S=c^{-1}\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x\), 源项仍为 \(J^\mu A_\mu\). 取

    \[\alpha=-\frac1{4\mu_0}\]

    场方程

    \[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu\]

    这里仍用 \(\eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)\); 结合 \(\mu_0\epsilon_0=c^{-2}\), 前式的负号给出下列 Gauss 定律与 Ampere–Maxwell 定律. 三维形式

    \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \partial_t \mathbf{E} \end{aligned}\]

    另一组 Maxwell 方程由 Bianchi 恒等式

    \[\partial_\rho F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\rho} + \partial_\nu F_{\rho\mu} = 0\]

    推出, 其三维形式为

    \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 \\ \nabla\times\mathbf{E} &= -\partial_t \mathbf{B} \end{aligned}\]

  • Gauss 单位制中, 同样恢复 \(x^0=ct\), 但四势与场强取

    \[A^\mu=(\phi,\mathbf{A}),\quad J^\mu=(c\rho,\mathbf{J}),\quad F^{0i}=E_i,\qquad \mathbf{E}=-\nabla\phi-\frac1c\partial_t\mathbf{A},\quad\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.\]

    源项改为 \(\mathcal{L}_{fm}=J^\mu A_\mu/c\), 取

    \[\alpha = -\frac{1}{16\pi}\]

    场方程为

    \[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\frac{4\pi}{c}J^\nu\]

    三维形式为

    \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= 4\pi\rho \\ \nabla\times\mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} + \frac{1}{c}\partial_t \mathbf{E} \end{aligned}\]

Lorenz 规范与自由电磁波 以下回到 \(c=1\) 的单位制. 在无源区域, 场方程为

\[\partial_\mu F^{\mu\nu}=0.\]

代入 \(F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\) 得

\[\Box A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=0, \qquad \Box\equiv\partial_\mu\partial^\mu.\]

规范变换 \(A^\mu\mapsto A^\mu+\partial^\mu\chi\) 下, 取 \(\chi\) 满足 \(\Box\chi=-\partial_\mu A^\mu\), 即可达到 Lorenz 规范

\[\partial_\mu A^\mu=0,\]

于是四势的每个分量满足

\[\Box A^\mu=0.\]

这就是以光速传播的自由电磁波方程. Lorenz 规范仍保留满足 \(\Box\chi=0\) 的剩余规范自由度.

13.2 One-Dimensional Waves

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13.2.1 One-Dimensional Wave Equation and Its General Solution

考虑一维位移波, 取以下模型条件:

• 小振幅、均匀、无耗散, 不考虑外场;
• 平衡态的质量线密度为 \(\lambda>0\), 梯度项系数为 \(\kappa>0\).

对弦的横波, \(\kappa\) 为预张力; 对细杆的纵波, \(\kappa\) 为 Young 模量与横截面积的乘积. Lagrangian 为

\[L=\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}x=\int\,\mathrm{d}x\,\left[\frac12\lambda(\partial_tq)^2-\frac12\kappa(\partial_xq)^2\right]\]

则其运动方程(波动方程):令 \(u=\sqrt{\frac{\kappa}{\lambda}}\),运用标量场的 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_t\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_tq)}\right)+\partial_x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_xq)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\implies\partial_t^2q-u^2\partial_x^2q=0\]

• 能量线密度:

  \[\lambda_e=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\frac12\lambda(\partial_tq)^2+\frac12 \kappa(\partial_xq)^2\]

  引入平衡态横截面积 \(S_0\), 质量密度 \(\rho=\lambda/S_0\), 以及 \(K=\kappa/S_0\).

  • 对纵向杆波, \(K\) 是 Young 模量, \(P\) 是附加纵向应力;
  • 对弦横波, \(K\) 是预张力除以截面积, \(P\) 表示对应的横向牵引.

  能量体密度与牵引为

  \[\epsilon=\frac{\lambda_e}{S_0}=\frac{1}{2}\rho(\partial_tq)^2+\frac{1}{2}K(\partial_xq)^2 \ ,\ P=K\cdot\partial_xq\]

  令 \(v=\partial_tq\) 为介质振动速度(不同于传播速度 \(u\)), 沿 \(x\) 正向计的能流密度为

  \[S=-(K\cdot\partial_x q)\cdot\partial_t q=-Pv\]

求解波动方程:

• 通解(通积分):将微商算符"分解"

  \[(\partial_t^2-u^2\partial_x^2)q=(\partial_t-u\partial_x)(\partial_t+u\partial_x)q=0\]

  作变换

  \[\begin{cases}\xi=x-ut\\\eta=x+ut\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}x=\frac{1}{2}(\xi+\eta)\\t=\frac{1}{2u}(\eta-\xi) \end{cases}\]\[\partial_\xi q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=\partial_tq\cdot\partial_\xi t+\partial_xq\cdot\partial_\xi x=-\frac1{2u}(\partial_t-u\partial_x)q\]
  \[\partial_\eta q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=\partial_tq\cdot\partial_\eta t+\partial_xq\cdot\partial_\eta x=\frac1{2u}(\partial_t+u\partial_x)q\]

  与分解式对比有 \(\partial_\xi\partial_\eta\left.q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta)\right)=0\) 依次进行两次不定积分可得

  \[q(x,t)=q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=f(\xi)+g(\eta)=f(x-ut)+g(x+ut)\]

  第一项为携带振动 \(f\) 以 \(u\) 沿 \(x\) 正向传播的波动,第二项为携带震动 \(g\) 以 \(u\) 沿 \(x\) 负向传播的波动

• D’Alembert 解:定解问题需要给出边界条件和初始条件 对无界的弦,给出初始条件 \(q(x,0)=\varphi(x)\ ,\ \partial_tq(x,0)=\psi(x)\) 通解代入初始条件得

  \[\begin{aligned} f(x)+g(x)=&\varphi(x)\\ g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)=&\frac1u \psi(x)\implies g(x)-f(x)=\frac1u\int_0^x\psi(x^{\prime})\,\mathrm{d}x^{\prime}+c \end{aligned}\]

  解出 D’Alembert 解

  \[q(x,t)=\frac12[\varphi(x-ut)+\varphi(x+ut)]+\frac1{2u}\int_{x-ut}^{x+ut}\psi(x^{\prime})\,\mathrm{d}x^{\prime}\]

  直接代入 \(t=0\) 可得 \(q(x,0)=\varphi(x)\) 与 \(\partial_tq(x,0)=\psi(x)\).

• 单频谐波解: 取试探解 \(q(x,t)=\tilde{A}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}\ ,\ \tilde{A}=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\)

  • 色散关系: \(\omega^2=u^2k^2\). 对向右传播的正频率分支取 \(k>0,\ \omega=uk\).

  • 波阻抗:应力波和速度波分别为

    \[P(x,t)=K\cdot\partial_xq=\mathrm{i}kKq(x,t)\ ,\ v(x,t)=\partial_t q =-\mathrm{i}\omega q(x,t)\]

    定义波的复阻抗

    \[Z=-\frac{P(x,t)}{v(x,t)}=\frac{kK}\omega=\frac Ku=\rho u\]

    相应的(实)能流

    \[S(x,t)=\mathrm{Re}\,v\cdot\mathrm{Re}(Zv)=Z(\mathrm{Re}\,v)^2=\omega^2A^2Z\sin^2(kx-\omega t+\varphi)\]

    波的强度即为能流的平均值

    \[I=\bar{S}=\frac12\omega^2A^2Z\]

13.2.2 Reflection and Transmission

两段一维波动介质连接处反射与透射的几何示意.

两段半无限长的无耗散介质相接, 取以下条件:

• \(S_0\) 相同, \(\rho_{1,2}\) 与有效系数 \(K_{1,2}>0\) 可不同;
• 忽略界面薄层的体元质量, 界面不储存能量且无外加横向或纵向集中力;
• 若为弦横波, 还须满足平衡张力的平衡条件.

令相接处 \(x=0\), 界面上的边界条件为振动连续、应力连续:

\[q(0^-,t)=q(0^+,t)\ ,\ K_1\partial_xq(0^-,t)=K_2\partial_xq(0^+,t)\]

从左侧入射的简谐波在界面上受到反射. 不妨设弦线上的叠加波场为(\(k_{1,2}=\frac{\omega}{u_{1,2}}\))

\[q(x,t)=\begin{cases}\tilde{A}_I\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1x-\omega t)}+\tilde{A}_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-k_1x-\omega t)}&\quad x\lt0\\\tilde{A}_T\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_2x-\omega t)}&\quad x>0\end{cases}\]

再将试探解代入得

\[\begin{aligned} \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}&=\tilde{A}_{T}\\ \mathrm{i}K_{1}k_{1}(\tilde{A}_{I}-\tilde{A}_{R})&=\mathrm{i}K_{2}k_{2}\tilde{A}_{T}\implies Z_{1}(\tilde{A}_{I}-\tilde{A}_{R})=Z_{2}\tilde{A}_{T}\end{aligned}\]

定义复振幅比 \(r_R=\tilde A_R/\tilde A_I\)、\(r_T=\tilde A_T/\tilde A_I\), 并以时间平均能流定义反射率与透射率, 得到(\(Z_2>Z_1\) 时,出现半波损失;有能量守恒 \(R+T=1\))

\[\begin{cases} r_R=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\\ r_T=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2} \end{cases} \ ,\ \begin{cases} R=\frac{Z_1|\tilde{A}_R|^2}{Z_1|\tilde{A}_I|^2}=\left(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\right)^2\\ T=\frac{Z_2|\tilde{A}_T|^2}{Z_1|\tilde{A}_I|^2}=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2} \end{cases}\]

References

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• 参考阅读: Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, 第 11、12 章.