Mathematical Physics Methods - 1

数学物理方法笔记（一）

Sep 14, 202640 minutes read

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1 Analytic Functions

1.1 Complex Derivatives

Definition 连续设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的邻域有定义, 且 \(\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)\), 则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续

在有界闭区域 \(\bar G\) 连续的函数:

其绝对值 \(|f(z)|\) 有界, 并达到最大值和最小值.
在 \(G\) 上一致连续.

Definition 复导数

\[f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\]

若极限存在, 则称在 \(z\) 点可导.

Theorem 可导的必要条件(C-R 方程)

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\]

Theorem 可导的充要条件 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\) 在 \(z_0\) 复可导的充要条件是: \(u,v\) 在该点作为实变量函数可微, 且满足 C-R 方程.

可微的充分条件: \(\partial_xu,\partial_yu, \partial_xv, \partial_y v\) 存在且连续.

Theorem 可导的充分条件满足 C-R, 且 \(\partial_xu,\partial_yu, \partial_xv, \partial_y v\) 在 \(z_0\) 连续, 则函数在 \(z_0\) 可导.

Proof

\[\begin{aligned} \Delta w &=\Delta u+\mathrm{i}\Delta v\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial y}\right)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(-\frac{\partial v}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial x}\right)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+\mathrm{i}\Delta y)+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z+o(|\Delta z|) \end{aligned}\]

故复导数为

\[f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}\]

可导必连续

1.2 Analytic Functions

Definition 解析函数/全纯函数在区域 \(G\) 处处可导, 则为 \(G\) 内解析函数(不要求导数连续, 因为可导则各阶导数连续)

解析函数的实部/虚部为调和函数(可由 C-R 求导得出)
\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0(或记作\partial_z\partial_{\bar z})\]
点解析性: 在点的邻域解析. 不解析的点为奇点.

**解析函数由实推虚/由虚推实: **

\(u(x,y)=u(\frac{z+\bar z}{2},\frac{z-\bar z}{2\mathrm{i}})\), 再通过 \(\partial_{\bar z}f=0,\mathrm{Im}v(z,\bar z)=0\) 猜得结果. 对于含参的情况, 可以先由 \(\nabla^2 u=0\) 求出参数.

1.3 Elementary Functions

幂函数 \(\to\) 多项式/有理函数

\[(z^n)^{\prime}=nz^{n-1}\]

指数函数

\[\mathrm{e}^z\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y),\quad (\mathrm{e}^z)^{\prime}=\mathrm{e}^z\]

三角函数

\[\sin z\equiv\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos z\equiv\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\]

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}=\cos z+\mathrm{i}\sin z,\quad\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}},\quad \cos z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2}\]

\[(\sin z)^{\prime}=\cos z,\quad (\cos z)^{\prime}=-\sin z\]

双曲函数

\[\sinh z=\frac{\mathrm{e}^z-\mathrm{e}^{-z}}{2},\quad \cosh z=\frac{\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{-z}}{2}\]

\[(\sinh z)^{\prime}=\cosh z,\quad (\cosh z)^{\prime}=\sinh z\]

\[\sinh z=-\mathrm{i}\sin\mathrm{i}z,\quad \cosh z=\cos\mathrm{i}z\]

1.4 Multi-valued Functions

多值函数化为单值函数, 需要规定自变量的辐角变化范围, 从而限制函数值的变化范围(取单值分支) 一种割线作法(+辐角取值)唯一确定一个单值分支

对数函数

\[w=\ln z=\ln|z|+\mathrm{i}\arg z\quad0\leq\arg z\lt2\pi\]

其解析区域

\[全平面\mathbb{C}{\setminus} 正实轴\, [0,+\infty)=\mathbb{C}\setminus\{z|\arg z=0\}\]

根式函数

\[w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\theta}{n}+\mathrm{i}\sin\frac{\theta}{n}\right),\quad 0\leq\arg z\lt2\pi\]

解析区域

\[\text{全平面}\mathbb{C}\setminus\{z|\arg z=0\}\]

幂函数

\[z^\alpha\equiv\mathrm{e}^{\alpha\ln z}\]

选定 \(\ln z\) 的分支即可定义 \(z^\alpha\) 的一个解析分支. 当 \(\alpha\in\mathbb{Z}\) 时它单值; 当 \(\alpha=p/q\) 为既约非整数有理数时有 \(q\) 个分支; 其余 \(\alpha\) 有无穷多个分支.

判断多值性 猜测支点后设 \(z=a+\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 观察 \(\varepsilon\to 0\) 时, \(\theta\) 变化一周之后函数值的变化. 对 \(\infty\), 换元 \(z=\frac{1}{t}\), 观察 \(t\to 0\) 的行为. 绕无穷远一周(\(z=\infty\) 逆向)等效于正向绕 \(t=0\) 一周.

2 Complex Integration

2.1 Complex Integration

Definition 复变积分

\[\begin{aligned}\int_Cf(z)\mathrm{d}z&\equiv\int_C(u+\mathrm{i}v)(\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y)\\&=\int_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+\mathrm{i}\int_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)\end{aligned}\]

若 \(f(z)\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的连续函数, 则复变积分一定存在
\[ \left|\int_Cf(z)\mathrm{d}z\right|\leq\int_C|f(z)||\mathrm{d}z|=\int_C\sqrt{u^2+v^2}\mathrm{d}s\le Ml,\quad M=\sup |f(z)| \]
路径参数化:\(z=z(t)=x(t)+\mathrm{i}y(t);a\leq t\leq b\), 且 \(x(t),y(t)\) 有连续导数, 且 \(z^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)+\mathrm{i}y^{\prime}(t)\neq0\), 则
\[\int_Cf(z)\mathrm{d}z=\int_a^b[u(x(t),y(t))+\mathrm{i}v(x(t),y(t))][x^{\prime}(t)+\mathrm{i}y^{\prime}(t)]\mathrm{d}t=\int_a^bf(z(t))z^{\prime}(t)\mathrm{d}t\]
一般来讲, 复变积分数值依赖于积分路径本身
Definition 不定积分设 \(f(z)\) 及 \(\Phi(z)\) 是区域 \(G\) 内的连续函数, 若在 \(G\) 内有 \(\Phi^\prime(z)=f(z)\), 那么函数 \(\Phi(z)\) 称为 \(f(z)\) 在区域 \(G\) 内的一个不定积分或原函数
- \(\Phi(z)\) 显然为 \(G\) 内解析函数
- 除去可能相差一个常数外,原函数是唯一确定的
Theorem 设 \(C\) 的端点 \(a,b\); \(f\) 的某个原函数为 \(\Phi\),
\[\int_Cf\mathrm{d}z=\Phi(b)-\Phi(a)\]
Theorem 设 \(f\) 连续. 积分 \(\int_Cf\)d\(z\) 在区域 \(G\) 内仅与 \(C\) 的端点有关, 则 \(f\) 在 \(G\) 内的原函数 \(F(z)\) 存在.
\[F(z)=\int_{z_0}^zf(z)\mathrm{d}z\]
\(z_0\) 为区域内的任意参考点. Theorem 复变积分与路径无关 \(\equiv\) 围道积分恒为零 \(\equiv\) 函数的原函数存在

圆环积分的一些换元: \(\bar z=\frac{a^2}{z},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\frac{a^2}z}{\mathrm{2i}}; |\mathrm{d}z|=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{i}\frac{z}{r}}\). 有点难想的积分 \(\int_0^\infty\cos(x^2)\mathrm{d}x=\int_0^\infty\sin(x^2)\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\).

正实轴、辐角 \(\pi/4\) 的射线及半径 \(R\) 的圆弧组成的扇形闭合围道. 正向路径为 \(0\to R\), 沿逆时针圆弧至 \(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\), 再沿射线返回 0; 原图未画方向箭头.

2.2 Cauchy Theorem

Theorem 单连通区域的 Cauchy 定理如果函数 \(f(z)\) 在单连通区域 \(G\) 中解析, 则沿 \(G\) 中任何一个简单闭合围道 \(C\) 有

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0\]

Theorem 复连通区域的 Cauchy 定理如果 \(f(z)\) 是复连通区域 \(\overline{G}\) 中的 (单值)解析函数, 则

\[\oint_{C_0}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\oint_{C_i}f(z)\mathrm{d}z\]

其中 \(C_0,C_1,C_2,...,C_n\) 是构成复连通区域 \(\overline{G}\) 的边界的各个(分段光滑)闭合围道, \(C_1,C_2,...,C_n\) 都包含在 \(C_0\) 的内部. 默认为正向.

2.3 Large/Small Arc Theorems

Theorem 小圆弧定理若函数 \(f(z)\) 在 \(z=a\) 的空心邻域内连续, 且当 \(\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2,|z-a|\to0\) 时, \((z-a)f(z)\) 一致趋近于 \(k\), 则

\[\lim_{\delta\to0}\int_{C_\delta}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}k(\theta_2-\theta_1)\]

其中 \(C_\delta\) 是以 \(a\) 为圆心, \(\delta\) 为半径, 夹角为 \(\theta_2-\theta_1\) 的圆弧, 即 \(C_\delta=\{|z-a|=\delta\&\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2\}\).

Theorem 大圆弧定理设 \(f(z)\) 在 \(z=\infty\) 的邻域内连续, 当 \(\theta_1\leq\arg z\leq\theta_2,z\to\infty\) 时, \(zf(z)\) 一致地趋近于 \(K\),则

\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\]

其中 \(C_R\) 是以原点为圆心, \(R\) 为半径, 夹角为 \(\theta_2-\theta_1\) 的圆弧, 即 \(C_R=\{|z|=R\&\theta_1\leq\arg z\leq\theta_2\}\).

2.4 Cauchy Integral Formula

Theorem Cauchy 积分公式设 \(C\) 为一简单闭合围道, \(G\) 为其内部, \(a\) 为 \(G\) 内一点. 若 \(f(z)\) 是区域 \(\overline{G}\) 上的 (单值)解析函数, 则

\[f(a)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z\]

其中围道积分沿 \(C\) 的正向即逆时针方向.

Theorem 无界区域的 Cauchy 积分公式如果 \(f(z)\) 在简单闭合围道 \(C\) 上及 \(C\) 外解析, 且

\[\lim_{z\to\infty}f(z)=0\]

则 Cauchy 积分公式

\[f(a)=\frac1{2\pi\text{i}}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z\]

仍然成立,此处 \(a\) 为 \(C\) 外一点,积分路线 \(C\) 逆向.

2.5 Higher-Order Derivatives of Analytic Functions

Theorem 高阶导数公式

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

设 \(f(x)\) 是区域 \(G\) 内的解析函数, 则在区域 \(G\) 内 \(f(z)\) 的任何阶导数都存在, 并且 \(f^{(n)}(z)\) 也是区域内的解析函数.

2.6 Cauchy-type Integrals and Analyticity of Parametric Integrals

Theorem Morera 摩列拉定理设 \(f(z)\) 在区域 \(G\) 内连续. 如果对 \(G\) 中的任何闭合围道 \(C\), 都有

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0.\]

则 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析.

Theorem 含参量积分的解析性: 设

\(f(t,z)\) 是 \(t\) 和 \(z\) 的连续函数, \(t\in[a,b],z\in G\),
对于 \([a,b]\) 上的任何 \(t\),\(f(t,z)\) 是 \(G\) 内的解析函数,

则 \(F(z)=\int_a^bf(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 内是解析的, 且

\[F^{\prime}(z)=\int_a^b\frac{\partial f(t,z)}{\partial z}\mathrm{d}t\]

2.7 Poisson Integral

上半平面的 Poisson 公式 对于区域 \(\overline{G}\) 上的解析函数 \(f(z)\), 边界上的数值就完全决定了函数在 \(G\) 内任意一点的值. 当 \(f(z)\) 在上半平面解析时, 如图取一个特殊的围道:

上半平面 Poisson 公式使用的半圆闭合围道示意图.

令 \(\zeta=\xi+\mathrm{i}\eta\), 就有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{-R}^{R}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi+\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{C_{R}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta.\]

若 \(z\) 在上半平面趋于 \(\infty\) 时 \(f(z)\) 一致地趋于 0, 则根据大圆弧定理可知

\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=0\Longrightarrow f(z)=\dfrac{1}{2\pi\text{i}}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

此结果说明, 由 \(f(z)\) 在实轴上的值, 可以唯一地决定它在上半平面任意一点的数值. 进一步令 \(z=x+iy, f(z)=u+iv\), 还可以单独地写出 \(f(z)\) 的实部与虚部:

\[u(x,y)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)v(\xi,0)+yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi,\]

\[v(x,y)=-\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)u(\xi,0)-yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\]

对于其共轭点 \(\bar z\), 同理有

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)u(\xi,0)+yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi=0,\]

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)v(\xi,0)-yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi=0\]

对应的实部和虚部相减, 得到

\[\begin{aligned}u(x,y)&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\xi-x)v(\xi,0)}{(\xi-x)^{2}+y^{2}}\mathrm{d}\xi\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\end{aligned},\qquad \begin{aligned}v(x,y)&=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\xi-x)u(\xi,0)}{(\xi-x)^{2}+y^{2}}\mathrm{d}\xi\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\end{aligned}\]

圆内区域的 Poisson 公式 取圆内点 \(z\) 及其共轭点 \(z^*=\frac{R^2}{\bar z}\), 同样操作得到

\[\begin{aligned}&u(r,\phi)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{u(a,\theta)}{a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\phi-\theta)}\mathrm{d}\theta\\&v(r,\phi)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{v(a,\theta)}{a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\phi-\theta)}\mathrm{d}\theta\end{aligned}\]

3 Complex Series

3.1 Complex Series

Definition 序列极限给定序列 \(\{z_n\}\),如果存在复数 \(z,\forall\epsilon>0,\exists N(\epsilon)>0\),使当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(|z_n-z|\lt\epsilon\) (即 \(z_n\) 属于 \(z\) 的 \(\epsilon\)-邻域).则称 \(z_n\) 收敛于 \(z\),记为 \(\lim_{n\to\infty}z_n=z\).

Theorem 序列收敛的 Cauchy 充要条件 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使得 \(\forall n, m>N\),有 \(|z_m-z_n|\lt\epsilon\)

Definition 复数级数 \(\{u_n\}\) 为一序列, 则 \(\sum_{n=0}^\infty u_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots\) 被称为复数级数.

Definition 部分和与级数和
\[S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n\]
为部分和, 若 \(\{S_n\}\) 收敛, 则称级数 \(\sum u_n\) 收敛, \(S=\lim_{n\to\infty}S_n\) 称为级数 \(\sum u_n\) 的和; 反之称级数发散.
Theorem 级数收敛的 Cauchy 充要条件 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使得 \(\forall n>N, p\in Z_+\),有 \(|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|\lt\epsilon\).
Theorem 级数收敛的必要条件: \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\).

Definition 绝对收敛级数(级数收敛的充分条件) \(\sum|u_n|\) 收敛, 则称 \(\sum u_n\) 绝对收敛.

Theorem 绝对收敛判别:

比较判别: 若 \(|u_n| \lt v_n\), 而 \(\sum v_n\) 收敛, 则 \(\sum|u_n|\) 收敛(即 \(\sum u_n\) 绝对收敛). 若 \(|u_n|>v_n\), 而 \(\sum v_n\) 发散, 则 \(\sum|u_n|\) 发散(但 \(\sum u_n\) 不一定发散).
经常用几何级数 \(1+\rho+\rho^2+\cdots+\rho^n+\cdots\quad\rho>0\) 作为比较级数. 当 \(\rho\lt1\) 时, 几何级数收敛到 \(\frac1{1-\rho}\). 当 \(\rho\geq1\) 时, 级数发散.
比值判别: 若存在常数 \(\rho\lt1\) 使得 \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\leq\rho\lt1\), 则级数绝对收敛; 若大于 1, 则级数本身发散.
根式判别: 若 \(|u_n|^{\frac{1}{n}}\leq\rho\lt1\), 则级数绝对收敛; 若大于 1, 则级数本身发散.
D’Alembert 判别法: 若 \(\lim_{n\to\infty}\sup\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\lt1\), 则级数绝对收敛; 若 \(\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|>1\), 级数发散.
Cauchy 判别法: 若 \(\lim_{n\to\infty}\sup|u_n|^{\frac{1}{n}}\lt1\), 则级数绝对收敛; 若 \(\limsup_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}>1\), 则级数发散; 等于 1 时此判别法不能判断.
积分判别法: 设 \(f(x)\) 为连续、单调下降的正函数, 且 \(f(n)=a_n\), 则正项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 与 \(\int_1^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 同为收敛或发散. Proof 作两种图得到 \(\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x\lt\sum_{n=1}^\infty a_n\lt\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x+a_1\).

Theorem 绝对收敛性质: 重排仍收敛/乘积仍收敛/拆分仍收敛. e.g.\(\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty u_{2n}+\sum_{n=0}^\infty u_{2n+1}\).

3.2 Double Series

Definition 二重级数

\[\begin{matrix} &a_{11}+&a_{12}+&a_{13}+&a_{14}+&\cdots+&a_{1n}+&\cdots\\ +&a_{21}+&a_{22}+&a_{23}+&a_{24}+&\cdots+&a_{2n}+&\cdots\\ +&&&\vdots\\ +&a_{m1}+&a_{m2}+&a_{m3}+&a_{m4}+&\cdots+&a_{mn}+&\cdots\\ +&&&\vdots \end{matrix}\]

Definition 二重级数部分和
\[S_{mn}=\sum_{\begin{array}{l}1\leq k\leq m\\1\leq l\leq n\end{array}}a_{kl}\]
若 \(\lim_{m, n\to\infty}S_{mn}=S\), 则称二重级数收敛.
一般地讲, 逐行/逐列求和结果可以不同(不可交换). e.g.
\[a_{kl}=\frac{1}{k+1}\left(\frac{k}{k+1}\right)^l-\frac{1}{k+2}\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^l\]\[S_{mn}=\sum_{l=1}^n\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^l-\frac{1}{m+2}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)^l\right]\]\[-S'= S''=\frac 12\]
则对此二重级数, 其级数和不存在.

Theorem 若二重级数绝对收敛, 则三个求和

\[\sum_{k,l=0}^\infty a_{kl},\quad\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{kl},\quad\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty a_{kl}\]

都收敛, 且和相同. (即绝对收敛的二重级数具有可交换性).

对角求和: \[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{kl}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^na_{n-l,l}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{n+l,l}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^\infty a_{n+l,l}\]

3.3 Function Series

Definition 函数级数

\[u_1(z)+u_2(z)+\cdots+u_n(z)+\cdots\]

点收敛性: \(\sum u_k(z_0)\) 收敛, 则称级数在 \(z=z_0\) 处收敛. 外推得到区域收敛性, 同时级数和为单值函数.
逐点收敛: \(\forall\varepsilon>0,\exists N(z),\quad\mathrm{s.t.~}\forall n>N(z)\mathrm{~,~}p\geq1\mathrm{~,~}|\sum_{k=n+1}^{n+p}w_k|\lt\varepsilon\).

Definition 一致收敛若 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)\) 与 \(z\) 无关. 使得当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(\forall z\in G\)

\[\left|S(z)-\sum_{k=1}^nu_k(z)\right|\lt\epsilon\]

则称 \(\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\) 在 \(G\) 内一致收敛.

闭一致收敛:在区域 \(G\) 内的任一闭圆盘中一致收敛.
Theorem 一致收敛 Cauchy 充要条件若 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)\) 与 \(z\) 无关. 使得当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(\forall p\in Z_+,z\in G\)
\[\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(z)\right|\lt\epsilon\]
Weierstrass M 判别法:若在区域 \(G\) 内 \(|u_k(z)|\lt a_k\), \(a_k\) 与 \(z\) 无关且 \(\sum a_k\) 收敛,则 \(\sum u_k\) 在 \(G\) 内绝对且一致收敛
次序交换:
- 若 \(u_k(z)\) 连续, \(\sum u_k(z)\) 一致收敛, 则 \(S(z)=\sum u_k(z)\) 在 \(G\) 内也连续, 可以逐项求极限
  \[\lim_{z\to z_0}\sum_{k=1}^\infty u_k(z)=\sum_{k=1}^\infty u_k(z_0)=\sum_{k=1}^\infty\lim_{z\to z_0}u_k(z)\]
- 若 \(u_k(z)\) 是区域 \(G\) 内一条分段光滑曲线 \(C\) 上的连续函数, 则对于 \(C\) 上的一致收敛级数 \(\sum u(z)\), 可以逐项求积分
  \[\int_C\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^\infty\int_Cu_k(z)\mathrm{d}z\]
- Weierstrass 定理: 若 \(u_k\) 在 \(G\) 内解析, \(\sum u_k(z)\) 在 \(G\) 内闭一致收敛, 则 \(S(z)\) 是 \(G\) 内的解析函数, 可以逐项求导数
  \[S^{(p)}(z)=\left(\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\right)^{(p)}=\sum_{k=1}^\infty u_k^{(p)}(z)\]
  且级数的导数也在 \(G\) 内闭一致收敛.

3.4 Power Series

Definition 幂级数

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+\cdots+c_n(z-a)^n+\cdots\]

Theorem Abel 第一定理如果 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在某点 \(z_0\) 收敛, 则在 \(|z-a|\lt|z_0-a|\) 的圆内绝对收敛, 在 \(|z-a|\leq r\lt|z_{0}-a|\) 的闭圆内一致收敛. Corollary 若 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在某点 \(z_1\) 发散, 则在圆外 \(|z-a|>|z_1-a|\) 处处发散.

Definition 收敛圆、收敛半径从 \(a\) 到 \(\infty\) 的一条直线上, 幂级数的收敛性有三种可能:

在 \(z=a\) 为 \(c_0\), 在其他点都发散(全平面除 \(a\) 点都发散)
直线上所有点都收敛(全平面收敛)
从 \(a\) 到 \(A\) 处处收敛, \(A\) 到 \(\infty\) 处处发散, \(A\) 点不确定性质(按 Abel 定理可以得到收敛圆, 半径 \(|A-a|\))

幂级数在收敛圆内任意闭圆盘内一致收敛, 收敛圆内幂级数代表解析函数

求收敛半径

Cauchy-Hadamard 公式: 当 \(\lim_{n\to\infty}\sup|c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}\lt1\) 时, 级数绝对收敛, 当 \(\lim_{n\to\infty}\sup |c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}>1\) 时, 级数发散不论 \(\lim_{n\to\infty}|c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}\) 是否存在, 都有
\[|z-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sup|c_n|^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{1}{c_n}\right|^{\frac{1}{n}}\]
存在性由 lim superior 保证 Corollary 幂级数与其导数的收敛半径一致 Proof 由于导数为
\[\sum_{n=1}^\infty na_nz^{n-1}\]
故证明 \(\lim_{n\to\infty}\sup\sqrt[n]{n}=1\) 即可. 对于解析函数, 其解析邻域内一定有泰勒级数展开表示.
D’Alembert 判别法: 若下述极限存在, 则
\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(z-a)^{n+1}}{c_n(z-a)^n}\right|\begin{cases}\lt1&\text{级数绝对收敛}\\>1&\text{级数发散}\\=1& 判别法实效\end{cases}\]
即
\[|z-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\]
对于级数的求和结果 \(f(z)\) 可以解析地确定的情况, 直接找出其结果的奇点即可
对于不连续的, Example \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{3n+2}}z^{4n+1}\),
\[R=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{2^{3n+2}}{(-1)^n}\right|^{\frac{1}{4n+1}}=\lim_{n\to\infty}\inf 2^{\frac{3}{4}+\frac{5}{16n+4}}=\sqrt[4]{8}\]
同理, 对于周期性的, 可以对周期中每一个求完取最小.

Theorem Abel 第二定理

Abel 第二定理中通过扇形区域逼近边界点的几何示意图.

若幂级数 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在收敛圆内收敛到 \(f(z)\), 且在收敛圆圆周上某点 \(z_0\) 也收敛, 级数和为 \(S(z_0)\), 则当 \(z\) 由收敛圆内趋于 \(z_0\) 时, 只要保持在朝向圆内的非切向区域内, 例如固定 \(C>1\) 并满足 \(|z-z_0|\le C(R-|z-a|)\), 其中 \(R\) 为收敛半径, \(f(z)\) 就趋于 \(S(z_0)\).

Theorem Dirichlet 判别法: 对于级数

\[\sum_{k=1}^\infty a_kb_k\]

若单调序列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\lim_{k\to\infty}a_k=0\), 又级数 \(\sum b_k\) 的部分和有界, 则级数收敛.

Theorem Simpson’s dissection 设 \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛半径为 \(R\), \(k\) 为正整数, \(m\in\{0,\cdots,k-1\}\). 对 \(|x|\lt R\), 有

\[\sum_{n=0}^\infty a_{kn+m}x^{kn+m}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\cdot\delta_{n\equiv m({\mathrm{mod}}k)}=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{-mj}f(\omega^jx),\]

其中 \(\omega=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/k}\) 是 \(k\) 次本原单位根. Proof 利用 \(\omega\) 的完备性

\[\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{j\ell}= \begin{cases}k&\mathrm{if}\,\ell\equiv0({\mathrm{mod}}k),\\0&\mathrm{else}\end{cases}\]

Example 求级数和 \(S(z)=\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{z^{6k+1}}{6k+1}-\frac{z^{6k+5}}{6k+5}\right],\quad -\frac{\pi}{3}\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}\)(提示:\(\ln(1-z)=-z-\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}-\cdots,\quad|z|\lt1\)) Solve 级数的收敛区域为 \(|z|\lt1\). 如果 \(S(z)\) 在 \(z=\mathrm{e}^\mathrm{i\theta}\) 时收敛, 则

\[\cos\theta-\frac{\cos5\theta}{5}+\frac{\cos7\theta}{7}-\frac{\cos11\theta}{11}+-\cdots=\mathrm{Re}S(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}).\]

在收敛圆 \(|z|\lt1\) 内, 级数 \(S(z)\) 绝对收敛, 我们可以把它拆成两个级数

\[S(z)=S_1(z)-S_5(z),\quad S_l(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^{6k+l}}{6k+l}.\]

利用 Simpson’s dissection 定理, 得

\[S_l(z)=-\frac16\sum_{j=1}^6\omega^{-lj}\ln(1-z\omega^j),\]\[S_{1}(z)=-\frac{1}{6}\sum_{j=1}^{6}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi j/3}\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3}),\quad S_{5}(z)=-\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3}\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3})\]

\[\begin{aligned}S(z)=&\frac{\mathrm{i}}{3}\sum_{j=1}^6\sin(\pi j/3)\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3})\\=&\frac{\mathrm{i}}{2\sqrt{3}}\ln\frac{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3})}{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}4\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}5\pi/3})}\\=&\frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}\ln\frac{(1+z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3})}{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1+z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3})}\quad|z|\lt1\end{aligned}\]

在 \(|z|=1\) 的圆周上, 设 \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 级数趋于

\[\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{\mathrm{e}^{(6k+1)\mathrm{i}\theta}}{6k+1}-\frac{\mathrm{e}^{(6k+5)\mathrm{i}\theta}}{6k+5}\right]\]

先验证边界级数收敛: 当 \(\theta\ne0\) 且 \(-\pi/3\lt\theta\lt\pi/3\) 时, \(\mathrm{e}^{6\mathrm{i}\theta}\ne1\), 两个子级数分别由 Dirichlet 判别法收敛; 当 \(\theta=0\) 时, 按原来的成组次序, 每组为 \(4/[(6k+1)(6k+5)]\), 其和收敛. 上式对数取在圆内由 \(S(0)=0\) 确定的连续解析分支, 不能任意合并为主对数. 沿径向趋于 \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 对数内的比值为负实数, 其连续辐角在这个开弧上为 \(\pi\) (由 \(\theta=0\) 处跟踪分支确定). 由 Abel 定理并取实部, 得到

\[\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{\cos(6k+1)\theta}{6k+1}-\frac{\cos(6k+5)\theta}{6k+5}\right]=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\]

这里不能推出整个复级数和在开弧上有界: 虚部在靠近 \(\theta=\pm\pi/3\) 时具有对数发散, 两个端点处的复级数也发散.

3.5 Analyticity of Improper Integrals with Parameters

Theorem 设

\(f(t,z)\) 是 \(t, z\) 的连续函数, \(t\ge a, z\in G\).
\(\forall t\ge a\), \(f(t,z)\) 是 \(G\) 内的解析函数.
\(\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 中闭一致收敛, 即对 \(G\) 内任意闭圆盘区域, \(\forall\epsilon>0,\exists T(\epsilon)\), 当 \(T_{2}>T_{1}>T(\epsilon)\) 时, 有 \[\left|\int_{T_1}^{T_2}f(t,z)\mathrm{d}t\right|\lt\epsilon\]

则 \(F(z)=\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 内是解析的, 且

\[F^{\prime}(z)=\int_a^\infty\frac{\partial f(t,z)}{\partial z}\mathrm{d}t\]

Theorem 无穷积分/瑕积分一致收敛的充分条件若 \(\exists \phi(t)\), 使得 \(|f(t,z)|\lt\phi(t), z\in\overline G\), 而且 \(\int_a^\infty\phi(t)\mathrm{d}t\) 收敛, 则 \(\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(\overline G\) 上绝对且一致收敛.

3.6 Divergent Series and Asymptotic Series

Definition \(O/o\). 设 \(f(z)\) 和 \(\phi(z)\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi(z)\neq0\), 若 \(z\to z_0\) 时, \(f(z)/\phi(z)\) 有界, 则记为

\[f(z)=O\left(\phi(z)\right),\quad z\to z_0\]

若 \(\lim_{z\to z_0}f(z)/\phi(z)=0\), 则记为

\[f(z)=o\left(\phi(z)\right),\quad z\to z_0\]

Definition 渐近序列设函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi_n(z)\neq0\)(\(z_0\) 点可以除外), 若对于所有的 \(n\), 有

\[\phi_{n+1}(z)=o\left(\phi_n(z)\right),\quad z\to z_0\]

则称函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 为 \(z\to z_0\) 时的一个渐近序列.

Definition 渐近级数若

\[\left[f(z)-\sum_{n=0}^ma_n\phi_n(z)\right]=o\left(\phi_m(z)\right), \quad \forall m\in\mathbb{N},\quad z\to z_0\]

则称 \(\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\) 是函数 \(f(z)\) 相对于 \(\{\phi_n(z)\}\) 的渐近级数, 记为

\[f(z)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\]

\(z\) 越接近 \(z_0\), 有限和 \(\sum_{n=0}^m a_n\phi_n(z)\)(称为 \(z\to z_0\) 时 \(f(z)\) 的渐近近似)越逼近于 \(f(z)\). 它区别于通常的级数展开,例如幂级数展开
\[f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n+\cdots\]
后者是 \(z\) 点固定, 而级数的项数越多越准确, 即
\[\lim_{N\to\infty}\left[f(z)-\sum_{n=0}^Nu_n(z)\right]=0.\]
在渐近级数的定义中, 并未要求级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\phi_n(z)\) 收敛. 渐近展开级数可以(而且常常)不是收敛级数. 因此, 对于一定的 \(z\), 并不能通过多取项数(即增大 \(N\))来改善近似程度.

4 Local Expansions of Analytic Functions

4.1 Taylor Expansion

Theorem Taylor 展开设函数 \(f(z)\) 在 \(|z-a|\lt R\) 内解析, 则对圆内任何 \(z\) 点, \(f(z)\) 可以展开为

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\]

对于复变函数, 解析性就足以保证 Taylor 级数收敛.
Taylor 形式的展开是唯一的
若 Taylor 级数的最大收敛半径为有限值 \(R\), 则其收敛圆周上至少有一个不可去奇点; 否则可延拓到更大的圆盘. 任意先行选定的解析圆盘边界不必有奇点.

基本初等函数的展开

\[\mathrm{e}^{z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!},\quad |z|\lt\infty;\qquad \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n,\quad \left|z\right|\lt1;\]

\[\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad |z|\lt\infty;\qquad \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad |z|\lt\infty;\]

\[\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n,\quad \left|z\right|\lt1;\qquad (1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}z^n,\quad |z|\lt1.\]

Taylor 级数求法

有理函数: 分式拆分法
\[\begin{aligned} \frac{1}{1-3z+2z^2}&=\frac{1}{(1-z)(1-2z)}=-\frac{1}{1-z}+\frac{2}{1-2z} \\&=-\sum_{n=0}^\infty z^n+2\sum_{n=0}^\infty(2z)^n =\sum_{n=0}^\infty(2^{n+1}-1)z^n \end{aligned},\quad|z|\lt\frac{1}{2}\]
化为简单函数求导:
\[\begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^2}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{1}{1-z}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}z^n \\&=\sum_{n=1}^\infty nz^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)z^n\end{aligned},\quad|z|\lt1\]
化为简单函数积分: 对多值函数 \(\ln(1+z)\) 在 \(z=0\) 邻域的展开, 规定割线从 \(-1\) 到 \(-\infty\)
\[\begin{aligned} \ln(1+z)-\ln(1+z)|_{z=0}&=\int_0^z\frac{1}{1+z}=\int_0^z\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\mathrm{d}z\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n\end{aligned},\quad |z|\lt1\]
Remark Taylor 展开由展开中心的解析函数芽决定. 收敛半径由该函数芽到最近不可去奇点的距离决定, 奇点可以是极点、本性奇点或枝点; 人为割线本身不限制 Taylor 级数的收敛半径. 仅规定中心函数值, 一般不足以确定解析函数芽.
级数相乘:
\[\begin{aligned}\frac{1}{1-3z+2z^2}&=\frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-2z}\\ &=\sum_{k=0}^\infty z^k\cdot\sum_{l=0}^\infty2^lz^l =\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty2^lz^{k+l}\end{aligned}\]
设 \(n=k+l\), 则
\[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty2^lz^{k+l}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^n2^lz^n=\sum_{n=0}^\infty(2^{n+1}-1)z^n\]
待定系数法: (1) 对函数 \(f(z)=\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}\), 定义 \(f(0)=\lim_{z\to0}f(z)=1\), 则函数在 \(|z|\lt2\pi\) 范围解析. 设(这是 Bernoulli 数的生成函数)
\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n\]
移项得到
\[1=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}z^k\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l!}z^{l-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}z^k\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{(l+1)!}z^l\]
令 \(n=k+l\) 得到
\[1=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!(n-k+1)!}z^n\]
故对于系数有(Bernoulli 数)
\[\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!(n-k+1)!}=\begin{cases}1&n=0\\0&n\neq0&&\end{cases}\]
可以简单地得到 \(B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}\), 考虑到
\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\frac{z}{2}\left(\frac{\mathrm{e}^z+1}{\mathrm{e}^z-1}-1\right)=\frac{z}{2}\frac{\mathrm{e}^{z/2}+\mathrm{e}^{-z/2}}{\mathrm{e}^{z/2}-\mathrm{e}^{-z/2}}-\frac{z}{2}\]
第一项为偶函数, 展开时只有 \(z\) 的偶数次幂, 则 \(B_{2n+1}=0, n>0\). 对于偶数次项有递推式
\[\sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{B_{2k}}{(2k)!(n-2k+1)!}=\frac{n-1}{2(n+1)!}\]\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=1-\frac{1}{2}z+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n},\quad |z|\lt2\pi\]
(2) 对 \((1+z)^\alpha\) 在 \(z=0\) 的邻域
\[[(1+z)^\alpha]^{\prime}=\frac{\alpha}{1+z}(1+z)^\alpha\]
设 \((1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\) 得到
\[(1+z)\sum_{n=0}^\infty nc_nz^{n-1}=\alpha\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty(n+1)c_{n+1}z^n=\sum_{n=0}^\infty(\alpha-n)c_nz^n\]
比较系数得到 \((n+1)c_{n+1}=(\alpha-n)c_n\), 那么
\[c_{0}=f(0)=(1+z)^{\alpha}|_{z=0},\quad c_{1}=\alpha c_0,\quad c_{2}=\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}c_0,\cdots, c_n=\binom{\alpha}{n}c_0\]
\[\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots[\alpha-(n-1)]}{n!},\quad \alpha\in\mathbb{R}\]
\[(1+z)^\alpha=(1+z)^\alpha|_{z=0}\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}z^n\]

4.2 Isolation of Zeros and Uniqueness of Analytic Functions

Definition 零点称 \(z=a\) 为 \(f(z)\) 的零点当 \(f(z)\) 在 \(a\) 解析且 \(f(a)=0\).

Theorem 零点的孤立性设 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析且不恒为 0, \(a\) 为其零点, 则必能找到一个 \(|z-a|\lt\rho\), 在其中 \(a\) 为唯一零点. Proof 在零点 \(z=a\) 邻域展开得到

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n,\quad a_0=0\]

设最低阶非零系数为 \(a_m, m\in\mathbb{Z}_+\), 则

\[\begin{aligned} f(z)&=\sum_{n=m}^\infty a_n(z-a)^n=(z-a)^m\sum_{n=m}^\infty a_n(z-a)^{n-m}\\&=(z-a)^m\sum_{n=0}^\infty a_{m+n}(z-a)^n=(z-a)^m\phi(z)\end{aligned}\]

\(\phi(z)\) 在 \(z\) 的邻域 \(|z-a|\lt R\) 内解析, 且 \(\phi(a)=a_m\ne 0\). 为保证 \(\phi(z)\) 的连续性有

\[\forall\varepsilon>0,\exists\rho>0,\quad \mathrm{s.t.}\,|\phi(z)-\phi(a)|\lt\varepsilon, \ |z-a|\lt\rho\]

不妨取

\[\varepsilon=\frac{\left|\phi(a)\right|}{2},\quad \mathrm{s.t.}\, |\phi(z)|>|\phi(a)|-\varepsilon=\frac{1}{2}|\phi(a)|>0\]

则 \(0\lt|z-a|\lt\rho\) 内无零点.

Corollary 设函数 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析, 若 \(f(z)\) 在 \(G\) 的一个子区域内恒为 0, 则 \(f(z)=0\) 在 \(G\) 内成立.

区域内为 0 还可替换为:
\(|z-a|\lt R\) 中存在无穷多个互异零点 \(\{z_n\}\), \(\lim_{n\to\infty}z_n=a, z_n\ne a\). (无穷多点的趋于 \(a\) 的零点序列)
一段弧 \(l\) 上为 0

同理还可以推出 Theorem 解析函数的唯一性定理 \(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 在共同的解析区域 \(G\) 内, 若

\[\exists \{z_n\}\subset G\quad\text{互异},\quad \mathrm{s.t.}\,f_1(z_n)=f_2(z_n)\]

且 \(\{z_n\}\) 的一个聚点(极限点)落在 \(G\) 内, 则在 \(G\) 内 \(f_1(z)\equiv f_2(z)\).

4.3 Laurent Expansion

Definition Laurent series 设函数 \(f(z)\) 在带状区域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 解析, 则在此区域可以如下展开

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-b)^n,\quad a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

\(C\) 是环域内绕内圆一周的任意曲线. 其中非负幂项(正则部分)的收敛范围为 \(|z-b|\lt R_2\), 负幂项(主要部分)的收敛范围为 \(|z-b|>R_1\). Proof 对于环域内任意一点 \(z\), 存在 \(r_1\) 和 \(r_2\) 满足

\[R_1\lt r_1\lt|z-b|\lt r_2\lt R_2\] Laurent annulus contour

Laurent 展开所对应的环域与辅助围道示意图.

在环域 \(r_1\lt|z-b|\lt r_2\) 内取 \(z\) 的一个邻域, 设其边界为 \(C_0\), 则

\[f(z)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_0}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

又由复连通 Cauchy 定理

\[\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi=\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi+\oint_{C_0}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

\[\Longrightarrow f(z)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi-\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

对于 \(|\xi-b|=r_2\) 的围道, 由 \(|z-b|\lt r_2\)

\[\frac1{\xi-z}=\frac1{(\xi-b)-(z-b)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-b)^n}{(\xi-b)^{n+1}}\]

对于 \(|\xi-b|=r_1\) 的围道, 由 \(|z-b|>r_1\)

\[\frac1{\xi-z}=\frac1{(\xi-b)-(z-b)}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(\xi-b)^n}{(z-b)^{n+1}}\]

则

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty(z-b)^n\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi+\sum_{n=0}^\infty(z-b)^{-n-1}\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{-n}}\mathrm{d}\xi\]

由复连通区域的 Cauchy 定理, 在环域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 内各个被积函数解析, 故积分围道 \(|\xi-b|=r_2\) 和 \(|\xi-b|=r_1\) 都可换成环域内绕内圆的任意一条简单闭合曲线.将两求和合并后得

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty(z-b)^n\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

Laurent series 的正项并不同于 Taylor series, 即使是正幂项系数
\[a_n\neq\frac{1}{n!}f^{(n)}(b)\]
Laurent 展开具有唯一性 Proof 设函数在环域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 内还有另一个 Laurent 展开式 \(f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n'(z-b)^n\),则
\[(z-b)^{-k-1}f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}(z-b)^{n-k-1}\]
沿环域内绕内圆一周的任一围道 \(C\) 积分
\[\begin{aligned}\oint_C(z-b)^{-k-1}f(z)\mathrm{d}z&=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}\oint_C(z-b)^{n-k-1}\mathrm{d}z\\&=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}2\pi\mathrm{i}\delta_{nk}=2\pi\mathrm{i}a_k^{\prime}\end{aligned}\]
所以
\[a_k^{\prime}=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(z)}{(z-b)^{k+1}}\mathrm{d}z=a_k\]
Q.E.D.
对 Laurent 级数的最大收敛环域, 若外圆半径 \(R_2\ne \infty\), 则函数 \(f(z)\) 在外圆上一定有奇点. 同样, 若内圆半径 \(R_1\ne 0\), 函数在内圆上也一定有奇点.特殊情况 \(R_1=0\): 若 Laurent 级数主要部分不为零, 则 \(z=b\) 为 \(|z-b|\lt R_2\) 内的唯一奇点(孤立奇点); 若 Laurent 级数主要部分为零, 则函数在 \(|z-b|\lt R_2\) 内解析, \(z=b\) 为可去奇点.
收敛范围 \(r\lt|z|\lt R,\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sup|a_n|^{1/n}},\quad r=\lim_{n\to \infty}\sup|a_{-n}|^{1/n}\)(比值判别: \(r=(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{-n-1}}{a_{-n}}\right|)\))

Example 1 \(\frac{1}{z(z-1)}\) 在 \(|z|=0\) 与 \(|z|=1\) 之外的幂级数展开 Solution \(\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}\),

\(0\lt|z|\lt1\). 第二项作 Taylor 展开, 总地得到 Laurent 展开式
\[\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}-\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^\infty z^n=-\sum_{n=-1}^\infty z^n\]
\(|z|>1\), 即. 第二项视 \(\frac 1z\) 为变量
\[\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n=-\infty}^{-2}z^n\]

Example 2 \(\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}\) 在 \(0\lt|t|\lt\infty\) 内的幂级数展开. Solution \(\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}=\mathrm{e}^{zt/2}\mathrm{e}^{-z/2t}\), 两项分别展开为 Taylor 和 Laurent 级数

\[\mathrm{e}^{zt/2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^kt^k,\qquad \mathrm{e}^{-z/2t}=\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{l!}\left(\frac{z}{2}\right)^l\left(\frac{1}{t}\right)^l\]

则

\[\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{k!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{k+l}t^{k-l}\]

设 \(k-l=n\), 又

\[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\cdots=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\cdots+\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^\infty\cdots\]\[\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\} =\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{(n+l)!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}t^n +\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^{\infty}\frac{(-1)^l}{(n+l)!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}t^n =\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n\]

其中

\[J_n(z)=\left\{\begin{aligned}\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{l!(n+l)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}&n\geq0\\\sum_{l=-n}^\infty\frac{(-1)^l}{l!(n+l)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}&n\lt0&\end{aligned}\right.\]

为 n 阶(第一类)Bessel 级数.

4.4 Isolated Singularities of Single-valued Functions

Definition 设 \(b\) 为 \(f(z)\) 的奇点, 若 \(\exists r>0\), 使得 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt r\) 解析, 则称 \(b\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点, 否则为非孤立奇点.

分类: 存在孤立奇点的一个环域 \(0\lt|z-b|\lt R\), 在环域内 \(f(z)\) 可以展开为 Laurent 级数, 若
1. 展开式不含负幂, 称为可去奇点
2. 展开式只含有限负幂, 称为极点
3. 展开式含无穷多负幂项, 称为本性奇点

(1)可去奇点 Laurent 级数退化为 Taylor 级数,

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n\]

级数在收敛圆内解析, 重定义,

\[f(b)=a_0=\lim_{z\to b}\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n=\lim_{z\to b}f(z)\]

则奇点可以去掉. Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 函数的可去奇点的充要条件是存在为有限值的

\[\lim_{z\to b}f(z)\]

等价于存在 \(\delta>0\) 使得函数在 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 有界 \(|f(z)|\lt M\).
等价于 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0\).

Proof 取 \(\rho\lt\delta\) 估算 Laurent 级数的系数

\[a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=\rho}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi,\quad |a_n|\lt\frac{1}{2\pi}\frac{M}{\rho^{n+1}}2\pi\rho=\frac{M}{\rho^n}\]

对 \(n\lt0\), 令 \(\rho\to0\) 得 \(a_n=0\), 所以 Laurent 级数没有负幂项, 奇点可去. 反向由解析延拓的连续性得有界性和有限极限. 若只知 \((z-b)f(z)\to0\), 则 \(F(z)=(z-b)f(z)\) 可去且延拓值 \(F(b)=0\); 因而 \(F(z)=(z-b)h(z)\), 其中 \(h\) 解析, 于是 \(f=h\) 在 \(b\) 可去. (2)极点 若 \(a_{-m}\) 为最低阶的非零系数, 则 \(b\) 为 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶极点

\[f(z)=\sum_{n=-m}^\infty a_n(z-b)^n=(z-b)^{-m}\phi(z),\qquad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n-m}(z-b)^n\]

\(\phi(z)\) 为 \(|z-b|\lt R\) 内的解析函数, 且 \(\phi(b)\ne 0\). \(\lim_{z\to b}f(z)=\infty\). Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 的极点的充要条件是

\[\lim_{z\to b}f(z)=\infty\]

即 \(\forall M>0\), \(\exists\delta>0\), 当 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 时, \(|f(z)|>M\).

等价于 \(z_0\) 是 \(\frac{1}{f(z)}\) 的 \(m\) 阶零点
等价于 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{m+1}f(z)=0\) 且 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\)

Proof 由定义, \(\lim_{z\to b}f(z)=\infty\) 即 \(\lim_{z\to b}\frac1{f(z)}=0\). 再任取 \(M>0\), \(\exists\delta\), 使得 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 时, \(|f(z)|>M\). 即在 \(|z-b|\lt\delta\) 内, \(f(z)\neq0\), 所以 \(\frac1{f(z)}\) 在此邻域内解析(包括 \(b\) 点, \(b\) 点为可去奇点).进一步 \(,b\) 为其零点 (且为孤立零点), 设其为 \(m\) 阶零点. 则

\[\dfrac{1}{f(z)}=(z-b)^mg(z),\quad g(b)\neq0\]

即

\[f(z)=(z-b)^{-m}\frac1{g(z)}=(z-b)^{-m}\phi(z), \quad \phi(b)=\frac1{g(b)}\neq0\]

\(b\) 为 \(m\) 阶极点.

(3)本性奇点 Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点的充要条件是: \(\forall A\in\mathbb{C}\), \(\exists \{z_n|z_n\to b\}\), 使得 \(f(z_n)\to A\). (可以构造趋于 \(b\) 的序列使函数值趋于任意值)

判断时只需要判断是否趋于一个确定的值.
或者可以判断不是可去奇点或极点

Theorem Casorati-Weierstrass 定理设 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点, 令 \(D\) 是 \(z_0\) 的某个邻域, 使得 \(f(z)\) 在 \(U=D\backslash\{z_0\}\) 上解析. 则 \(f(z)\) 在 \(U\) 上的取值是在 \(\mathbb{C}\) 中处处稠密的, 即对于 \(\mathbb{C}\) 中任何复数, \(f(z)\) 在 \(U\) 上都可无限逼近. Proof 用反证法, 设

\[\exists\alpha\in\mathbb{C},s>0\qquad \mathrm{s.t.}\,|f(z)-\alpha|>s\:,\quad\forall z\in U\]

定义函数

\[g(z)=\frac1{f(z)-\alpha}\:,\]

显然 \(g(z)\) 在 \(U\) 上是解析函数且有界, 因此按照有界可去奇点判据, \(z_0\) 最多是 \(g(z)\) 的可去奇点, 因此可将 \(g(z)\) 延拓成 \(D\) 上的解析函数. 因此, 可对 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 附近做泰勒展开

\[g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\]

若 \(g(z_0)\ne0\), 则 \(f=1/g+\alpha\) 在 \(z_0\) 可去. 若 \(g(z_0)=0\), 由于 \(g\) 在穿孔邻域内非零, 它不恒为零, 故 \(z_0\) 为其有限阶零点, 从而 \(f\) 在 \(z_0\) 为极点. 两种情形都与 \(z_0\) 为本性奇点矛盾.

4.5 Analytic Continuation

Definition 解析延拓设函数 \(f_1(z)\) 在区域 \(G_1\) 内解析, 函数 \(f_2(z)\) 在区域 \(G_2\) 内解析. 而在 \(G_1\) 和 \(G_2\) 的公共区域 \(G_1\cap G_2(\neq\varnothing)\) 内, \(f_1(z)\equiv f_2(z)\), 则可在区域 \(G_1\cup G_2\) 内定义

\[f(z)=\begin{cases}f_1(z)&z\in G_1\\f_2(z)&z\in G_2\end{cases}\]

\(f(z)\) 为 \(G_1\cup G_2\) 内的单值解析函数. 这样函数 \(f_1(z)\) 或 \(f_2(z)\) 的解析范围被扩展了. 我们称 \(f_2(z)\) 为 \(f_1(z)\) 在 \(G_2\) 内的解析延拓; 反之同理. \(f(z)\) 则称为 \(f_1(z)\) 及 \(f_2(z)\) 在 \(G_1\cup G_2\) 内的解析延拓.

要将函数从 \(z_1\) 附近向外延拓, 只要研究其幂级数展开式能否能延拓. 函数的有限表达式难以由幂级数和求出的情况, 可以用幂级数来延拓幂级数: 在 \(z_1\) 和 \(z_2\) 解析的函数 \(f_1(z)\) 的幂级数展开式
\[f_1(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(1)}(z-z_1)^n,\quad |z-z_1|\lt r_1\]
\[f_2(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(2)}(z-z_2)^n,\quad |z-z_2|\lt r_2;,\quad a_n^{(2)}=\frac{f_1^{(n)}(z_2)}{n!}\]
1. \(r_2>r_1-|z_1-z_2|\). \(f_1(z)\) 由 \(z_1\) 沿 \(z_2\) 的方向延拓到收敛圆外.
2. \(r_2=r_1-|z_1-z_2|\). 两圆相切处为奇点, 无论如何延拓都不可能解析.

解析延拓与多值函数

Analytic continuation across overlapping domains

沿重叠区域逐片解析延拓的示意图. 每次拼接在相应连通重叠片上取相同函数值; 绕枝点后返回原邻域, 可能得到不同的解析分支. 重叠本身不产生多值性.

\(f\) 在 \(G\) 上解析, 沿一条路径逐片延拓到 \(G_1,G_2,\ldots\). 每一步在用于拼接的连通重叠片上与前一步相等. 若路径绕过枝点后返回原邻域, 返回的函数芽可能与出发时不同; 这反映延拓结果依赖路径, 不能据此说任意重叠片上的两个延拓函数都可不相等.

所以, 若 \(z_1\) 为奇点, 我们可以绕它一圈做解析延拓:

若在 \(G\cap G_2\) 上 \(f(z)=f_2(z)\), 则函数在相应环域上单值解析. 若 \(z_1\) 是该单值函数的孤立奇点, 其类型应由 Laurent 展开判断: 可去奇点、极点或本性奇点.
若在 \(G\cap G_2\) 上 \(f(z)\neq f_2(z)\), 则函数不可解析延拓到绕 \(z_1\) 点的环域, 函数为多值函数. 化为单值函数, 环域内必存在不解析的割线. \(z_1\) 为函数的枝点.

Definition 解析函数先定义在一个小的区域, 再通过解析延拓推广到整个 Riemann 面, 同时找出函数的奇点(孤立奇点, 枝点, 非孤立奇点), 如此定义得到全局解析函数.

全局解析函数在 Riemann 面上每一点的值是确定的, 它的奇点及其性质也是确定的.
一个全局解析函数可能无法定义在整个复平面. 解析延拓能否实现, 取决于函数的奇点分布: 如果在幂级数的收敛圆的边界上充满了奇点, 那么函数将无法解析延拓出去.

4.6 Bernoulli Numbers and Euler Numbers

将 \(t/(\mathrm{e}^t-1)\) 在 \(t=0\) 展开, 用待定系数法得到 Bernoulli 数

\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n,\quad |z|\lt2\pi;\]

\[\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{B_{2k}}{(2k)!(n-2k+1)!}=\frac{1}{2n!},\quad n\ge1, \quad B_0=1;\quad B_1=-\frac{1}{2}\]

Bernoulli 数还可以用于其他展开式

\[\begin{aligned} \frac{z}{2}\cot\frac{z}{2} =\frac{\mathrm{i}z}{2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z/2}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z/2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z/2}} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}\frac{\mathrm{B}_{2n}}{(2n)!}z^{2n} ,&|z|\lt2\pi;\\ \frac{z}{2}\tan\frac{z}{2} =\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}-z\cot z &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n-1}\frac{2^{2n}-1}{(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n},&|z|\lt\pi;\\ z\csc z =\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\tan\frac{z}{2} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n-1}\frac{2\left(2^{2n-1}-1\right)}{(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\pi;\\ \ln\frac{\sin z}{z} &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n}\frac{2^{2n-1}}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\pi;\\ \ln\cos z &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n}\frac{2^{2n-1}(2^{2n}-1)}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\frac{\pi}{2};\\ \ln\frac{\tan z}{z} &=\sum_{n=1}^\infty(-)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n-1}-1)}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &\left|z\right|\lt\frac{\pi}{2}.\end{aligned}\]

类似地可以得到 Euler 数

\[\frac{2\mathrm{e}^{z/2}}{\mathrm{e}^z+1}=\mathrm{sech}\frac{z}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm{E}_n}{n!}\left(\frac{z}{2}\right)^n,\quad|z|\lt\pi;\]

\[\sum_{l=0}^n\frac{(2n)!}{(2l)!(2n-2l)!}\mathrm{E}_{2l}=0,\quad n\ge 1,\quad E_0=1;\quad E_{2l+1}=0,\quad l\in \mathbb{N}\]

4.7 Convergence of Infinite Products

Definition 无穷乘积与部分乘积给定一个无穷乘积 \(\prod_{n=1}^\infty b_n\), 我们定义其第 \(n\) 个部分乘积(partial product)为:

\[p_n=\prod_{k=1}^nb_k=b_1\cdot b_2\cdots b_n\]

Definition 无穷乘积的收敛与发散对于无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty}b_n\), 我们根据其因子的性质和部分乘积序列 \(\{p_n\}\) 的行为, 定义其收敛性如下:

发散到零(无穷零因子) 如果无穷多个因子 \(b_n\) 等于 0, 我们称该无穷乘积发散到零
收敛情况
1. (无零因子)如果没有因子 \(b_n\) 等于 0, 我们讨论部分乘积序列 \(p_n\) 的极限:
  - 如果 \(p_{n}\to p\neq0\) 当 \(n\to\infty\), 我们称该无穷乘积收敛, 并且其值为 p. 记作: \(\prod_{n=1}^\infty b_n=p\).
  - 如果 \(p_n\to 0\) 当 \(n\to \infty\), 我们称该无穷乘积发散到 0.
2. (有限零因子)如果只有有限个因子 \(b_n\) 等于 0, 这意味着存在一个正整数 \(N\), 使得 \(\forall n>N\), 都有 \(b_n\neq0\). 这时称无穷乘积 \(\prod_{n=1}^\infty b_n\) 收敛, 当尾部乘积 \(\prod_{n=N+1}^\infty b_n\) 按照无零因子的要求收敛到一个非 0 的极限. 此时无穷乘积的值定义为:
  \[\prod_{n=1}^\infty b_n=b_1\cdot b_2\cdots b_N\cdot\left(\prod_{n=N+1}^\infty b_n\right)\]
  这种情况下收敛的无穷乘积的值总是 0.
发散情况如果一个无穷乘积不满足上述收敛条件, 我们就称它发散. 包括 \(p_n\) 趋于无穷、 \(p_n\) 振荡不收敛、尾部乘积发散或发散到零的情况.

Definition 若 \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|)\) 收敛, 则称无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 绝对收敛
Theorem 若 \(a_n\ge0\), 则 \(\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛当且仅当 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 对 \(\prod_{n=1}^\infty(1-a_n)\), 在 \(0\le a_n\lt1\) 的条件下同样成立. Proof 收敛的非零尾部乘积要求 \(a_n\to0\). 对充分大的 \(n\), \(a_n\le1/2\), 有 \[\frac{a_n}{2}\le\ln(1+a_n)\le a_n,\qquad a_n\le-\ln(1-a_n)\le2a_n.\] 将尾部乘积取对数, 由比较判别法得到结论. 若只有有限个 \(a_n=1\), 按上面的有限零因子定义, 应越过这些因子后检验尾部乘积; 无穷多个零因子仍为发散到零.

4.8 Weierstrass Factorization Theorem

核心思想: 通过添加指数因子来确保收敛性(零点增长不够快时). 通过一个整函数的零点与一个描述零点之外的增长行为等信息的指数因子构造出这个函数

Theorem Weierstrass 因子分解定理. 设 \(f(z)\) 是一个不恒为零的整函数, 在 \(z=0\) 有一个 \(m\) 阶零点(如果 \(f(0)\neq0\), 则 \(m=0\)).

设 \(f(z)\) 的其它非零零点为 \(z_1, z_2, z_3, \cdots\) (计入重数), 并按模长排序, 满足

\[\begin{gathered} 0\lt | z_1| \leq | z_2| \leq \cdots \\ \lim _{n\to \infty }| z_n| = \infty \end{gathered}\]

则存在一个整数序列 \(\{ k_n|k_n\ge 0\} _{n= 1}^{\infty }\), 使得 \(\forall R>0\) 时级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{R}{z_n}\right|^{k_n+1}\]

收敛. 此时 \(f(z)\) 可以写为

\[f(z)=z^m\mathrm{e}^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\mathrm{e}^{P_n(z)}\]

其中 \(g(z)\) 是整函数, 多项式为

\[P_n(z)=\sum_{j=1}^{k_n}\frac1j\left(\frac{z}{z_n}\right)^j,\]

当 \(k_n=0\) 时为空和 \(P_n=0\). 若非零零点只有有限个, 相应乘积为有限乘积.

\(\{k_n\}\) 的选取保证规范乘积在任一紧子集上收敛. 若存在固定 \(k\ge0\) 使 \(\sum_n|z_n|^{-k-1}\) 收敛, 可以取所有 \(k_n=k\). 一种总可行的选择是 \(k_n=n-1\): 对任意固定 \(R>0\), 充分大的 \(n\) 有 \(R/|z_n|\le1/2\), 故尾部受 \(\sum_n2^{-n}\) 控制. 其他选择须另行验证上述绝对收敛条件.
对给定的 \(f\), 记非零零点的规范乘积为 \(W(z)\), 则
\[g'(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac mz-\frac{W'(z)}{W(z)}.\]
零点处的极点主部相消, 右侧延拓为整函数. Mittag-Leffler 定理给出的是主部的实现, 仅凭零点不能唯一确定整函数余项; 任意整函数指数因子都保持同一零点分布.

4.9 Mittag-Leffler Theorem

Theorem Mittag-Leffler 定理对于亚纯函数 \(f(z)\), 若满足:

极点分布: 组成一个单增序列 \(\{a_n\}\), 满足 \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty\) 且 \(a_1\neq0\). (即极点不可以有聚点)
围道序列: 有一系列围道 \(\{C_m\}\), 满足
- 包含 \(f(z)\) 的前 \(m\) 个极点 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)
- \[ \lim_{m\to\infty}R_m=\infty,\quad\lim_{m\to\infty}l_m=\infty,\quad \frac{l_m}{R_m}有界 \]
  其中 \(l_m\) 为 \(C_m\) 的周长, \(R_m\) 为到原点的距离
增长性条件: 存在最小的 \(p\in \mathbb{N}\), 使得在 \(C_m\) 上 \(|z^{-p}f(z)|\) 一致有上界 \(M\)(\(M\) 与 \(m\) 无关)

则可以写作:

\[f(z)=\sum_{k=0}^p\frac{z^k}{k!}f^{(k)}(0)+\sum_{n=1}^\infty\left[G_n\left(\frac{1}{z-a_n}\right)-\varphi_{n,p}(z)\right]\]

其中 \(G_n[(z-a_n)^{-1}]\) 是 \(f(z)\) 在 \(z=a_n\) 处洛朗展开的主部(负幂项), \(\varphi_{n, p}(z)\) 是 \(G_n[(z-a_n)^{-1}]\) 在 \(z=0\) 处 Taylor 展开的前 \(p+1\) 项

\[\varphi_{n,p}(w)=\sum_{k=0}^p\frac{w^k}{k!}\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}z^k}G_n[(z-a_n)^{-1}]\Big|_{z=0}\]

特别地, 当 \(p=0\) 且均为一阶极点的情况, 展开为 \[f(z)=f(0)+\sum_{k=1}^\infty b_k\left(\frac{1}{z-a_k}+\frac{1}{a_k}\right)\]

4.10 Argument Principle

Theorem 设 \(C\) 是一条分段光滑的简单闭合围道 (按逆时针方向). 设函数 \(f(z)\) 在 \(C\) 上及其内部是亚纯函数, 并且在 \(C\) 上没有零点和极点. 令 \(Z\) 为 \(f(z)\) 在 \(C\) 内部的零点数目(计入重数), \(P\) 为 \(f(z)\) 在 \(C\) 内部的极点数目(计入阶数), 则

\[\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)}dz=Z-P\]

由于 \(\ln f(z)\) 的性质, 定理也可以记作

\[\frac{1}{2\pi}\Delta_C\arg f(z)=Z-P\]

对于没有极点的情况, 可以不断细分区域来定位零点.

5 Residue Theorem

5.1 Residue Theorem

Definition 留数 residue 若 \(b\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点, 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 的环域内有 Laurent 展开

\[f(z)=\sum_{-\infty}^\infty a_n(z-b)^n\]

则 \(f(z)\) 在孤立奇点 \(b\) 的留数为

\[\mathrm{res}f(b)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|z-b|=r}f(z)\mathrm{d}z\]

Theorem 留数定理若在闭合围道积分 \(\oint_Cf(z)\mathrm{d}z\) 的围道内部, 被积函数除有限几个孤立奇点 \(\{b_k\}\) 外解析, 对每个奇点作小圆 \(\{\gamma_k\}\) 包围, 则根据复连通区域的 Cauchy 定理

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{\gamma_k}f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_{k=1}^n\mathrm{res}f(b_k)\]

留数的计算 对于可去奇点, 留数为 0, 不予考虑

一阶极点对于一阶奇点, 在其某一空心邻域内可以表示为
\[f(z)=\frac{1}{z-b}\phi(z),\quad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n(z-b)^n,\quad \phi(b)\ne 0\]
则留数
\[\mathrm{res}f(b)=\alpha_0=\phi(b)=\lim_{z\to b}(z-b)f(z)\]
一种常见情况为 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\), \(P(z),Q(z)\) 在 \(b\) 点及其邻域解析, \(b\) 是 \(Q(z)\) 的一阶零点, 则
\[\mathrm{res}f(b)=\lim_{z\to b}(z-b)\frac{P(z)}{Q(z)}=P(b)\cdot\lim_{z\to b}\frac{z-b}{Q(z)}=\frac{P(b)}{Q^{\prime}(b)}\]
m 阶极点(留数公式)
\[f(z)=(z-b)^{-m}\phi(z),\quad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n(z-b)^n,\quad \phi(b)\ne 0\]
\[\begin{aligned} \mathrm{res}f(b)&=\alpha_{m-1}=\frac{1}{(m-1)!}\phi^{(m-1)}(b)\\ &=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to b}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-b)^mf(z)] \end{aligned}\]
本性奇点本性奇点, 只能使用 Laurent 展开求系数 \(a_{-1}\); 高阶极点有时求展开系数比留数公式更简单. 例如用待定系数法之后逐项比较

对无穷远点,
作变换 \(t=\frac{1}{z}\) 得到(无穷远性质一般可由此体现)
\[\begin{aligned} \mathrm{res}f(\infty) &=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C^{\prime}}f(z)\mathrm{d}z =-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(1/t)}{t^{2}}\mathrm{d}t\\ &=-\frac{f(1/t)}{t^2}\quad 在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t^{-1}项的系数\\ &=-f(1/t)\quad\ \ 在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t^1 项的系数\\ &=-f(z)\qquad\ \ 在 z=\infty 点邻域内幂级数展开中 z^{-1}项的系数 \end{aligned}\]
若围道积分在围道半径趋于 \(\infty\) 时不发散, 且奇点有限, 则无穷远点的留数等于非 \(\infty\) 的各点留数之和的相反数.

留数求有理函数的部分分式展开: Example
\[\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}=\frac{A}{(z-1)^2}+\frac{B}{z-1}+\frac{C}{z-2}+\frac{D}{z-3}\]\[A=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)(z-2)(z-3)}\right|_{z=1}=\frac 12\]\[B=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=1}=\frac 34\]\[C=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=2}=-1\]\[D=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=3}=\frac 14\]

5.2 Integrals of Rational Trigonometric Functions

\[\begin{aligned} I&=\int_0^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)\mathrm{d}\theta=\oint_{|z|=1}R\left(\frac{z^{2}-1}{2\mathrm{i}z},\frac{z^{2}+1}{2z}\right)\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{i}z}\\ &=2\pi\sum_{|z|\lt1}\mathrm{res}\left\{\frac{1}{z}R\left(\frac{z^{2}-1}{2\mathrm{i}z},\frac{z^{2}+1}{2z}\right)\right\} \end{aligned}\]

5.3 Improper Integrals

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{d}x=\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{0}R(x)\mathrm{d}x+\lim_{B\to\infty}\int_{0}^{B}R(x)\mathrm{d}x.\]

两侧分别收敛时, 也等于对称截断的极限.

对有理函数 \(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\), 在实轴上无极点时, 积分存在判据: \(m-n\ge 2\).

构建围道以应用留数定理

有理函数实轴积分采用的上半平面半圆围道.

对围道有

\[\oint_CR(z)\mathrm{d}z=\int_{-R}^RR(x)\mathrm{d}x+\int_{C_R}R(z)\mathrm{d}z\]

\[\oint_CR(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}R(z)}\]

由大圆弧定理以及 \(m-n\ge2\),

\[\lim_{z\to\infty}zR(z)=\lim_{z\to\infty}z\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}=0\Longrightarrow \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}R(z)\mathrm{d}z=0\]

故

\[\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{d}x=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}R(z)}\]

基本方法

补上适当的积分路径从而形成闭合围道, 用留数定理计算围道积分.
处理补充的路径上的复变积分: 可以直接计算出来/与所要计算的无穷积分相关联

5.4 Improper Integrals with Trigonometric Functions

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x,\quad p>0\]

\[\mathrm{Re}I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\cos px\mathrm{d}x,\quad \mathrm{Im}I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\sin px\mathrm{d}x\]

在实轴上无极点时, 无穷积分存在的充分判据: 对于 \(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) 有 \(m-n\geq1\).

考虑围道积分

\[\begin{aligned} \oint_CR(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z &=\int_{-R}^RR(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x+\int_{C_R}R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}\{R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\}}\end{aligned}\]

Theorem Jordan 引理设 \(|z|\to\infty, 0\leq\arg z\leq\pi\) 时, \(Q(z)\) 一致趋于 0, 则
\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]
Proof 令 \(z=R\mathrm{e}^\mathrm{i\theta}\),
\[\begin{aligned}\left|\int_{C_{R}}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right|&=\left|\int_0^\pi Q(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mathrm{e}^{\mathrm{i}pR(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)}R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{i}\mathrm{d}\theta\right|\\&\leq\int_0^\pi\left|Q(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\right|\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}R\mathrm{d}\theta\end{aligned}\]
当 \(R\) 足够大时
\[\left|\int_{C_{R}}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right|\lt\epsilon R\int_0^\pi\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta\]
又由
\[\int_0^\pi\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta=2\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta\]\[\sin\theta\geq\frac{2\theta}{\pi}\geq0,\quad 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}\]
则
\[ \left|\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right| \lt2\epsilon R\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-pR\cdot\frac{2\theta}{\pi}}\mathrm{d}\theta=2\epsilon R\frac{\pi}{2pR}(1-\mathrm{e}^{-pR}) \lt\frac{\epsilon\pi}{p}\]\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]

对满足 \(m-n\ge1\) 且实轴上无极点的有理函数

\[\lim_{z\to\infty}R(z)=\lim_{z\to\infty}\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}=0\Longrightarrow \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]

\[\Longrightarrow \int_{-\infty}^\infty R(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}\{R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\}}\]

5.5 Improper Integrals with Singularities on the Real Axis

设被积函数在实轴上有奇点,则积分

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x\]

为瑕积分. 假设瑕点是 \(c\), 瑕积分定义为

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta_1\to0}\int_a^{c-\delta_1}f(x)\mathrm{d}x+\lim_{\delta_2\to0}\int_{c+\delta_2}^bf(x)\mathrm{d}x\]

如果这两个极限都不存在, 但是 \(\lim_{\delta\to0}\left[\int_a^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^bf(x)\mathrm{d}x\right]\) 存在,定义瑕积分的主值为

\[\mathrm{v.p.}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta\to0}\left[\int_a^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^bf(x)\mathrm{d}x\right]\]

瑕积分计算 如果瑕积分存在, 则其主值也存在, 且它们一定相等. 考虑

\[\begin{aligned}\text{I}&=\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\\&=\lim_{\begin{gathered}R\to\infty\\\delta\to0\end{gathered}}\left[\int_{-R}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^{R}f(x)\mathrm{d}x\right]\end{aligned}\]

实轴上 \(c\) 点是被积函数的奇点, 必须绕开 \(c\) 点来构成闭合的积分围道

主值积分中绕开实轴奇点的凹陷半圆围道.

\[\begin{aligned} \int_Cf(z)\mathrm{d}z&=\int_{-R}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{C_\delta}f(z)\mathrm{d}z+\int_{c+\delta}^Rf(x)\mathrm{d}x+\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}f(z)} \end{aligned}\]

这里设 \(f(z)\) 时就要特别考虑 \(C_\delta\) 积分的收敛性, 保证能使用小圆弧定理.

5.6 Complex Integrals of Multi-valued Functions

一种常见的多值函数(其中 \(s\) 为实数, \(R(x)\) 为有理函数, 在正实轴上没有奇点)

\[I=\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x\]

不妨设 \(0\lt s\lt1\), 则为了保证积分收敛, 要求:

对于 \(R(x)=P_n(x)/Q_m(x)\) 有 \(m-n\geq1\).
\(x= 0\) 不是 \(R(x)\) 的极点.

由于 \(z^{s-1}\) 为多值函数, 作割线沿正实轴将复平面割开, 并规定沿割线上岸 \(\arg z=0\). 积分路径如图,

带分支割线的幂函数积分所使用的钥匙孔围道.

\[\begin{aligned} \oint_Cz^{s-1}R(z)\mathrm{d}z &=\int_{\delta}^{R}x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x+\int_{C_{R}}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z+\int_R^\delta(x\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi})^{s-1}R(x)\mathrm{d}x+\int_{C_\delta}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{全平面}{\mathrm{res}}\{z^{s-1}R(z)\} \end{aligned}\]

利用积分收敛条件, 有

\[\lim_{z\to\infty}z\cdot z^{s-1}R(z)=0\Longrightarrow\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z=0\]

\[\lim_{z\to0}z\cdot z^{s-1}R(z)=0\Longrightarrow\lim_{\delta\to0}\int_{C_\delta}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z=0\]

故

\[\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x=\frac{2\pi\mathrm{i}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi s}}\sum_{全平面}\mathrm{res}\{z^{s-1}R(z)\}\]

5.7 Other Contour Configurations

Example 1

\[I=\int_0^1\frac{\sqrt[4]{x(1-x)^3}}{(1+x)^3}\mathrm{d}x\]

实积分中的四次根取正值. 为固定割线两岸的相位, 用主对数 \(\operatorname{Log}w\) (\(-\pi\lt\arg w\lt\pi\)) 在割线 \([0,1]\) 外定义

\[F(z)=\frac{\mathrm{e}^{-3\pi\mathrm{i}/4}z}{(1+z)^3} \exp\left[\frac34\operatorname{Log}\frac{z-1}{z}\right].\]

这是原被积函数的一个确定分支, 枝点为 \(0,1\), 外部还有三阶极点 \(-1\). 对 \(0\lt x\lt1\), 上、下岸的边界值为

\[F_+(x)=\frac{\sqrt[4]{x(1-x)^3}}{(1+x)^3},\qquad F_-(x)=\mathrm{e}^{-3\pi\mathrm{i}/2}F_+(x)=\mathrm{i}F_+(x).\] Dogbone contour between branch points

割线为 [0,1] 的哑铃形围道: 上岸向右, 下岸向左, 绕割线顺时针. 它与逆时针外圆共同构成外部区域的正向边界.

在 \(z\to\infty\) 时, \(F(z)=O(z^{-2})\), 外圆积分为 \(O(R^{-1})\), 且 \(\mathrm{res}F(\infty)=0\). 两端小圆的积分分别为 \(O(\delta^{5/4})\)、\(O(\varepsilon^{7/4})\), 也都趋于零. 外部区域的留数定理因此给出

\[\lim_{\delta,\varepsilon\to0}\oint_CF(z)\mathrm{d}z =\int_0^1F_+(x)\mathrm{d}x-\int_0^1F_-(x)\mathrm{d}x =(1-\mathrm{i})I =2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{res}F(-1).\]

令 \(H(z)=(1+z)^3F(z)\), 在 \(z=-1\) 的解析邻域中有

\[\frac{H'}{H}=\frac{1}{4z}+\frac{3}{4(z-1)},\qquad H(-1)=2^{3/4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\qquad \frac{H''(-1)}{H(-1)}=-\frac{3}{64}.\]

所以

\[\mathrm{res}F(-1)=\frac{H''(-1)}{2} =-\frac{3\,2^{3/4}}{128}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\qquad I=\frac{2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{res}F(-1)}{1-\mathrm{i}} =\frac{3\sqrt[4]{2}}{64}\pi.\]

Example 2

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x,\quad 0\lt\alpha\lt1\]

被积函数 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha z}}{1+\mathrm{e}^{z}}\), 分母 \(Q(z)=1+\mathrm{e}^z\) 为周期函数, 周期为 \(2\pi \mathrm{i}\), 分子在此周期变换下也有良好的性质, 可以采取矩形围道

周期函数留数积分使用的矩形围道示意图.

Solution 取正向矩形围道 \([-R,R]\times[0,2\pi]\). 内部仅有极点 \(\pi\mathrm{i}\), 留数为 \(-\mathrm{e}^{\alpha\pi\mathrm{i}}\). 记实轴截断积分为 \(I_R\), 上边因方向相反贡献 \(-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha}I_R\). 右边被积函数为 \(O(\mathrm{e}^{-(1-\alpha)R})\), 左边为 \(O(\mathrm{e}^{-\alpha R})\), 两边长度固定, 故当 \(0\lt\alpha\lt1\) 时均趋于零. 留数定理给出

\[(1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha})I=-2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\alpha\pi\mathrm{i}}, \qquad \boxed{I=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}}.\]

同样的条件保证实轴两端可积; \(\alpha=0\) 或 \(1\) 时原积分发散.

5.8 Summation of Infinite Series via Residue Theorem

设 \(f(z)\) 是已知函数, 有有限个极点, 且极点都不是整数. 若存在另一个函数 \(G(z)\), 其解析域为 \(\mathbb{C}\setminus\{0,\pm1,\pm2,\cdots\}\), 一阶极点 \(z=0,\pm1,\pm2,\cdots\) 处的留数均为 1. 则对于包含 \(0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm N\) 的围道

\[\oint_{C_N}G(z)f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\left\{\sum_{n=-N}^Nf(n)+\sum_{f(z)\text{的极点}}\mathrm{res~}[G(z)f(z)]\right\}\]

若积分在 \(N\to\infty\) 时的极限值存在, 就可以算出无穷级数 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)\).

一种可能的 \(G(z)\) 取法为
\[G(z)=\pi\cot\pi z\]
Lem 设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 内除有限个孤立奇点外处处解析, 若存在常数 \(R, M>0\), 使得当 \(|z|>R\) 时, \(|zf(z)|\le M\), 则
\[\lim_{N\to\infty}\oint_{C_N}\pi\cot\pi zf(z)\mathrm{d}z=0\]
其中积分围道 \(C_N\) 为正方形, 边界位于 \(N+\frac{1}{2}\) 处. 由此可以证明定理: Definition 用留数计算无穷级数设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 内除有限个非整数的极点外处处解析, 且存在常数 \(R, M>0\), 使得当 \(|z|>R\) 时, \(|zf(z)|\le M\), 则
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}f(n)=-\sum_{f(z)\text{的极点}}\mathrm{res~}\{\pi\cot\pi zf(z)\}\]

对交错级数, 可以考虑另一种取法为
\[G(z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)},\qquad \mathrm{res}\,G(n)=(-1)^n\]

6 Special Functions

6.1 Gamma Function

Definition \(\Gamma\) 函数(积分表达式): \(\mathrm{Re}z>0\) 时, 定义

\[\Gamma(z)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\]

\(t^{z-1}\) 当 \(z\) 不是整数时是 \(t\) 的多值函数, 这时应理解为 \(\arg t=0\).

积分表达式在右半平面 \(\mathrm{Re}z>0\) 代表 \(z\) 的一个解析函数
\(\Gamma\) 函数的解析延拓: 积分拆为
\[\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t=\int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t+\int_1^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\]
第二部分由 \(\mathrm{e}^{-t}\lt\frac{N!}{t^N}\), \(N\) 可以任意大, 故在 \(\mathbb{C}\) 上闭一致收敛, 因此在全平面解析. 对第一部分
\[\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1t^{n+z-1}\mathrm{d}t \\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}\quad(\mathrm{Re}z>0) \end{aligned}\]
右侧除去一阶极点 \(z=0,-1,-2\cdots\) 外收敛且解析, 是左端积分表达式的解析延拓, 则
\[\Gamma(z)=\int_1^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}\]
在全平面除极点外解析.
\[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \]\[\Gamma(1)=1, \quad \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi},\quad \Longrightarrow\quad \Gamma(n+1)=n!\]
互余宗量定理
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}\]
Corollary 全平面无零点 Proof 若 \(z\notin\mathbb{Z}\), 则 \(\Gamma(z)\) 和 \(\Gamma(1-z)\) 均为有限值, 而反射公式右侧非零, 故两者都不为零. 正整数处 \(\Gamma(n)=(n-1)!\ne0\), 非正整数处为极点, 因此全平面无零点.
Stirling 公式(渐近行为) 固定 \(\delta>0\), 当 \(|z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta\) 时成立; \(\ln z\) 取主分支, \(\ln\Gamma(z)\) 取从正实轴连续延拓的解析分支
\[\begin{aligned} \Gamma(z)&\sim z^{z-1/2}\mathrm{e}^{-z}\sqrt{2\pi}\\ \ln\Gamma(z)&\sim(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln2\pi\\ \ln n!&=\ln\Gamma(n+1)\sim n\ln n-n \end{aligned}\]
Proof 最陡下降法得到 \(\Gamma\) 函数的渐进展开(考虑实函数情形)
\[\Gamma(x+1)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^x\mathrm{d}t=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t + x \ln t}\mathrm{d}t,\quad x>0\]
令 \(t = x u\) :
\[\Gamma(x+1) = x^{x+1} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x(u - \ln u)} \, \mathrm{d}u\]
被积函数的指数部分 \(f(u) = u - \ln u\) 在 \(u = 1\) 处取得极小值. 在 \(u = 1\) 附近对 \(f(u)\) 作 Taylor 展开:
\[f(u) \approx 1 + \frac{(u-1)^2}{2} + \cdots.\]
因此, 积分的主要贡献来自 \(u = 1\) 附近的区间(\(x\to\infty\) 时为窄区间). 将积分近似为高斯积分:
\[\Gamma(x+1) \approx x^{x+1} \mathrm{e}^{-x} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}(u-1)^2} \, \mathrm{d}u\]
对 \(x\to\infty\), 积分限可扩展至 \((-\infty, \infty)\), 并利用高斯积分公式:
\[\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}(u-1)^2} \, \mathrm{d}u = \sqrt{\frac{2\pi}{x}}\]
于是得到 \(\Gamma(x+1)\) 的渐近表达式:
\[\Gamma(x+1) \approx x^{x+1} \mathrm{e}^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} = x^x \mathrm{e}^{-x} \sqrt{2\pi x}\]
\(\Gamma(x)\) 的渐近展开为:
\[\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x} \approx x^{x-1/2} \mathrm{e}^{-x} \sqrt{2\pi}\]
倍乘公式
\[\Gamma(2z)=2^{2z-1}\pi^{-\frac12}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})\]
Proof 考虑
\[g(z)=2^{2z-1}\frac{\Gamma(z)\Gamma(z+1/2)}{\Gamma(1/2)\Gamma(2z)}\]
容易由 \(\Gamma\) 函数的性质证明 \(g(z+1)=g(z)\). 由 Stirling 公式得到
\[g(z)=\lim_{n\to\infty}g(z+n)=1\]
Gauss 乘积公式
\[\begin{aligned} &\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\cdots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})\\&=(2\pi)^{(n-1)/2}n^{1/2-nz}\Gamma(nz) \end{aligned}\]

\(\Gamma\) 函数的围道积分表达式

\[\Gamma\left(z\right)=-\frac{1}{2\mathrm{i}\sin\pi z}\int_{C_1} \mathrm{e}^{-t}\left(-t\right)^{z-1}\mathrm{d}t,\quad\left|\arg(-t)\right|\lt\pi\]

\[\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{C_2}\mathrm{e}^{t}t^{-z}\mathrm{d}t,\quad\left|\arg t\right|\lt\pi\]

积分围道分别绕正半轴割线和负半轴割线以及原点.

\(\Gamma\) 函数的无穷乘积表达式

Euler 乘积
\[\Gamma\left(z\right)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}\right\}\]
对 \(z\notin\{0,-1,-2,\ldots\}\) 成立.
Weierstrass 乘积
\[\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=z\mathrm{e}^{\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{z}{n}\right)\mathrm{e}^{-z/n}\right]\]
\(\gamma\) 为 Euler 常数.

6.2 Digamma Function

Definition \(\psi\) 函数

\[\psi(z)=\frac{\mathrm{d}\ln\Gamma(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\]

\(z=0,-1,-2,\cdots\) 是 \(\psi(z)\) 的一阶极点, 留数均为 −1; 除了这些点以外, \(\psi(z)\) 在全平面解析.

递推关系
\[\begin{aligned} \psi(z+1)&=\psi(z)+\frac1z,\\\psi(z+n)&=\psi(z)+\frac1z+\frac1{z+1}+\cdots+\frac1{z+n-1},\quad n=2,3,\cdots \end{aligned}\]
互余宗量关系
\[\begin{aligned} \psi(1-z)&=\psi(z)+\pi\cot\pi z \end{aligned}\]
相反宗量关系
\[\begin{aligned} \psi(z)-\psi(-z)&=-\frac1z-\pi\cot\pi z \end{aligned}\]
渐进行为
\[\begin{aligned} \psi(z)&\sim\ln z-\frac1{2z}-\frac1{12z^2}+\frac1{120z^4}-\frac1{252z^6}+\cdots,\quad |z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta,\quad\delta>0\text{ 固定} \end{aligned}\]
倍乘关系
\[\begin{aligned} \psi(2z)&=\frac12\psi(z)+\frac12\psi\left(z+\frac12\right)+\ln2 \end{aligned}\]
极限性质
\[\begin{aligned} \lim&_{n\to\infty}[\psi(z+n)-\ln n]=0 \end{aligned}\]
利用 \(\psi(z+n)\) 的递推关系和其极限性质可以得到 \(\psi(z)\) 的极限表达式
\[\psi(z)=\lim_{n\to\infty}\left[\ln n-\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}+\cdots+\frac{1}{z+n-1}\right)\right]\]
特别地, \(-\psi(1)\) 被称为 Euler 常数 \(\gamma\). \(\psi(z)\) 可用于求裂项形式为 \(\frac{1}{a+n}\) 形式的级数和.
根据 \(\psi(z+n)\) 的递推关系和 \(\psi(z)\) 的渐进行为得到
\[\psi(z)-\psi(1)=\psi(z+N+1)-\psi(N+2)-\sum_{k=0}^N\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{1+k}\right)=-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{1+k}\right)\]
设 \(z = p/q\), \(p,q\) 为正整数, \(0 \lt p \lt q\). 则
\[\psi(p/q) - \psi(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right)\]
由 Abel 第二定理
\[\psi(p/q) - \psi(1) = \lim_{t \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right) t^{p+nq}\equiv \lim_{t \to 1^-} s(t)\]
利用 Simpson’s dissection 和 \(-\ln(1-t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{n+1}}{n+1}\), 设 \(\omega=\mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{q}}\), 可以求得级数和
\[\psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right)-\ln q+\sum_{k=1}^{q-1}\cos\left(\frac{2\pi kp}{q}\right)\ln\left(2\sin\left(\frac{\pi k}{q}\right)\right)\]\[\psi\left(\frac{1}{2}\right)=-\gamma-2\ln2\]
\[\psi\left(\frac{1}{3}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln3,\quad \psi\left(\frac{2}{3}\right)=-\gamma+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln3\]
\[\psi\left(\frac{1}{4}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}-3\ln2,\quad \psi\left(\frac{3}{4}\right)=-\gamma+\frac{\pi}{2}-3\ln2\]
导数性质: 由递推性质求导
\[\begin{aligned} \psi^{\prime}(z+1)&=\psi^{\prime}(z)-\frac{1}{z^2}\\ \psi^{\prime}(z+n)&=\psi^{\prime}(z)-\left[\frac{1}{z^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(z+n-1)^2}\right],\quad n=2,3,\cdots \end{aligned}\]
由极限表达式求导
\[\psi^{\prime}(z)=\left[\frac{1}{z^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(z+n-1)^2}+\cdots\right]\]
对比得到
\[\lim_{n\to\infty}\psi^{\prime}(z+n)=0.\]
互余宗量关系求导并令 \(z=\frac{1}{2}\) 得到,
\[\psi^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]
倍乘关系求导并令 \(z=\frac 12\) 得到
\[\psi^{\prime}(1)=\frac{1}{3}\psi^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{6}\]
\(\psi'(z)\) 可用于求裂项形式为 \(\frac{1}{(a+n)^2}\) 形式的级数和.

\(\psi\) 函数的积分表达式 (\(\mathrm{Re}z>0\); 其他点由解析延拓定义)

\[\psi(z)=-\gamma+\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d}t\]

Proof

\[\begin{aligned} \psi(z) &=-\frac{1}{z}+\lim_{m\to\infty}\left(\ln m-\sum_{n=1}^m\frac{1}{z+n}\right)\\ &=\lim_{m\to\infty}\left\{\int_0^\infty(\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-mt})\frac{\mathrm{d}t}{t}-\sum_{n=0}^m\int_0^\infty \mathrm{e}^{-(z+n)t}\mathrm{d}t\right\}\\ &=\lim_{m\to\infty}\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\mathrm{e}^{-mt}\left[\frac{1}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}+\mathrm{e}^{-zt}\right]\right\}\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\right\}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

\(\gamma=\int_0^\infty\left\{\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\frac{1}{t}\right\}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\), 故 \(\psi(z)=-\gamma+\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d}t\).

\(\psi\) 函数的渐进展开式

\[\frac{t}{\mathrm{e}^t-1}=1-\frac{t}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}t^{2k}\quad \Longrightarrow \quad \frac{t}{1-\mathrm{e}^{-t}}=1+\frac{t}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}t^{2k}\]

代入 \(\psi(z)=\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\right\}\mathrm{d}t\)(\(\mathrm{Re}z>0\)), 得到

\[\psi(z)\sim\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{t}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-zt}\right\}\mathrm{d}t-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}\int_0^\infty t^{2k-1}\mathrm{e}^{-zt}\mathrm{d}t\]

\[\psi(z)\sim\ln z-\frac{1}{2z}-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{2k}z^{-2k},\quad |z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta,\quad\delta>0\text{ 固定}\]

6.3 Beta Function

Definition 在 \(\mathrm{Re}\ p>0, \mathrm{Re}\ q>0\) 时定义

\[\mathrm{B}(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\mathrm{d}t\]

令 \(t=\sin^2\theta\), 还可以得到 \(\mathrm{B}\) 函数的另一个表达式

\[\mathrm{B}(p,q)=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\mathrm{d}\theta\]

显然的对称性 \(B(p,q)=B(q,p)\)
\(\mathrm{B}\) 函数可以用 \(\Gamma\) 函数表示出来
\[\mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\]
从而把 \(\mathrm{B}\) 函数延拓到 \(p\) 和 \(q\) 的全平面. 可以通过这一表达式得到 \(\Gamma\) 函数的互余宗量定理, 以及倍乘公式的另证 Proof 对于 \(\Gamma(p)\), 令 \(t=x^2\), \(\Gamma(q)\) 同理
\[\Gamma(p)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{p-1}\mathrm{d}t=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}x^{2p-1}\mathrm{d}x\]
\[\Gamma(q)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{q-1}\mathrm{d}t=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-y^2}y^{2q-1}\mathrm{d}y\]\[\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q) &=4\int_0^\infty\int_0^\infty\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=4\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-r^2}(r\sin\theta)^{2p-1}(r\cos\theta)^{2q-1}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\\ &=4\int_0^\infty\mathrm{e}^{-r^2}r^{2(p+q)-1}\mathrm{d}r\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\cos^{2q-1}\mathrm{d}\theta\\&=\Gamma(p+q)\mathrm{B}(p,q) \end{aligned}\]
Proof (互余宗量定理)
\[B(z,1-z)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}{\Gamma(1)}=\Gamma(z)\Gamma(1-z)\]
\(1>\mathrm{Re}z>0\) 时
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_0^1t^{z-1}(1-t)^{-z}\mathrm{d}t\]
令 \(x=\frac{t}{1-t}\)
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{z-1}}{1+x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{\sin\pi z}\]

6.4 Zeta Function

Definition 素数计数函数
\[\pi(x)=\#\{p\leq x\mid p\text{ 是素数}\}\]
Theorem 素数定理
\[\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1\]
一种更好的近似是 \(\mathrm{li}(x)=\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\).
Definition von Mangoldt Function: 对 \(n\ge 1,n\in \mathbb{Z}\)
\[\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p&\text{若}n=p^k\text{ 对于某个素数}p\text{ 和整数}k\geq1\\0&\text{else}\end{cases}\]
Definition Second Chebyshev Function
\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=\sum_{p^k\leq x}\ln p\]

Definition Riemann \(\zeta\) 函数(初始定义为 Dirichlet 级数的收敛部分)

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},\quad Re(s)>1\]

Euler 乘积公式
\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},\quad Re(s)>1\]
\[\Longrightarrow \ln\zeta(s)=-\sum_{p\in \mathbb{P}}\ln\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\]
可以归纳证明 \(\left(\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\right)\zeta(s)=1\), 每一次相乘都移除了含因子 \(p\) 的项; 以及
\[\frac{\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}\]
和 von Mangoldt Explicit Formula(对 \(x>1\) 且不是素数幂)
\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=x-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho}-\ln(2\pi)-\frac{1}{2}\ln(1-x^{-2})\]
其中 \(\sum_{\rho}\) 遍历 \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点, 通常 \(\rho,\bar\rho\) 成对并按 \(|\mathrm{Im}(\rho)|\) 递增的顺序排列, 最后一项与平凡零点有关.
解析延拓后的 \(\zeta\) 函数对 \(s\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}\) 满足函数方程
\[\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)\]
令完备 zeta 函数 \(\xi(s)=\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)\), 有对称的函数方程
\[\xi(s)=\xi(1-s)\]
\(\zeta\) 函数的零点
1. Trivial zeros: \(s=-2, -4, -6,\cdots\)
2. Non-trivial zeros: in the critical strip(\(0\lt\mathrm{Re}(s)\lt1\))
  - \(\mathrm{Re}(s)>1\), 无零点; \(\mathrm{Re}(s)=1\), 无零点(后者等价于素数定理)
  - 关于实轴和 critical line(\(\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}\))对称
Remark The Riemann Hypothesis(尚未证明的猜想): \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点位于 critical line 上.

7 Fourier Transform and the Delta Function

7.1 Fourier Series

Definition Fourier 级数分解对实数域内的周期函数 \(f(t)\), 不妨设 \(f(t)=f(t+2\pi)\), 若在一个周期内只有有限极值和不连续点, 且积分 \(\int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|\mathrm{d}t\) 收敛, 则可以写成无穷级数的形式

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}nt},\qquad c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t\]

在 \(t\) 处收敛于 \(\lim_{\varepsilon\to0_+}\frac{f(t-\varepsilon)+f(t+\varepsilon)}{2}\).

在间断点对应的是逐点收敛而非一致收敛.
令 \(c_0=a_0\). 对于 \(n>0\), 令
\[c_{n}=\frac{a_{n}-\mathrm{i}b_{n}}{2}, \quad c_{-n}=\frac{a_{n}+\mathrm{i}b_{n}}{2}\]
得到另一种常见形式
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\right]\]
\[a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{d}t,\quad a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(mt)\mathrm{d}t,\quad b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(mt)\mathrm{d}t\]

推广到一般周期 \(T\):

周期函数 \(f(t+T)=f(t)\):
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)],\qquad\omega =\dfrac{2\pi}T\]
\[a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t,\qquad b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\]
或者记作
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t},\qquad c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t}\mathrm{d}t\]
非周期函数: 认为 \(T\to+\infty\), 由三角函数的正交性得出频谱
\[f(t)=\int_{0}^{\infty}[a(\omega )\cos(\omega t)+b(\omega )\sin(\omega t)]\,\mathrm{d}\omega\]
\[a(\omega )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,\mathrm{d}t,\qquad b(\omega )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t\]
或者记作
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega,\quad \hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\]

7.2 Fourier Transform

Definition Fourier 变换

\[\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\]

逆变换

\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega\]

当 \(\hat f(\omega)\) 在实轴上有奇点时, 必须另行规定主值或绕极点的处方; 这些处方可以给出不同的分布逆变换.

Remark 这里的系数有很多不同的约定, 例如有的定义中正负号相反, 或者在变换和逆变换中系数对称分配为 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\), 后者是更加对称的定义方式.

为对照响应理论, 若另定义 \(\tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d}t\), 则 \(\tilde f(\omega)=\hat f(-\omega)\). 只有当 \(f(t)\) 为实函数时, 才进一步有 \(\hat f(-\omega)=\hat f(\omega)^*\).

例如因果核 \(f(t)=\theta(t)\mathrm{e}^{-\gamma t}\), \(\gamma>0\), 给出

\[\hat f(\omega)=\frac{1}{\gamma+\mathrm{i}\omega}, \qquad \tilde f(\omega)=\frac{1}{\gamma-\mathrm{i}\omega}.\]

前者的极点在上半平面, 后者的极点在下半平面. 对至多多项式增长的因果核, 负号正变换的 Fourier–Laplace 延拓在下半平面解析, 正号正变换在上半平面解析. 改用正号正变换时须同时作频率反射 \(\omega\mapsto-\omega\), 并相应转换极点位置与绕行处方; 不能只搬用负号正变换的极点处方而保留原频率标签.

Fourier 变换的性质 \(\hat f(\omega)\) 的有界性和 \(\mathcal F\) 的线性性质不再赘述

微分定理 I
\[\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}^nf(t)}{\mathrm{d}t^n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=(\mathrm{i}\omega)^n\hat{f}(\omega)\]
微分定理 II
\[\int_{-\infty}^{\infty} t^nf(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{(-\mathrm{i})^n}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}\omega^n}\hat{f}(\omega)\]
位移定理 I/II(也常称为频移定理/延迟定理)
\[\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\epsilon t}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\hat{f}(\omega-\epsilon)\]
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega \tau}\hat{f}(\omega)\]
伸缩定理/相似定理
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(\alpha t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{|\alpha|}\hat{f}\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)\]
卷积定理
\[(f\star g)(t):=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
卷积的 Fourier 变换为
\[\mathcal{F}[(f \star g)(t)]=\int_{-\infty}^\infty(f \star g)(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\]
对称约定下, 可以选择将卷积变换改为
\[\mathcal{F}[(f\star g)(t)]=\sqrt{2\pi}\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\]
或者也可以选择定义归一化卷积
\[(f\star g)(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
而保持卷积定理形式不变.
积分变换: 对称约定下
\[\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\operatorname{PV}\frac{1}{\mathrm{i}\omega}\hat{f}(\omega)+\pi\hat{f}(0)\delta(\omega)\]
可以视原函数为 \(f(t)\) 与 \(H(t)\) 的卷积, 利用 \(\mathcal{F}[H(t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\pi\delta(k)-\frac{\mathrm{i}}{k}\right)\) 得到.
Plancherel 定理: 对平方可积函数 \(f(t),g(t)\), 有
\[\int_{-\infty}^\infty f(t)g^*(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat{f}(\omega){\hat{g}^*(\omega)}\mathrm{d}\omega\]
从而可以得到 Parseval 定理
\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2\mathrm{d}\omega\]
说明未归一化 Fourier 变换的频域内积需乘 \(1/(2\pi)\); 对称约定下平方范数和内积保持不变.
在对称约定下, Plancherel 定理中 \(2\pi\) 系数消失.
若 \(f,tf,t^2f\) 均可积, 则平均值、 \(t=0\) 的一次矩、 \(t=0\) 的二次矩分别为
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{d}t,\quad \int_{-\infty}^{\infty}tf(t)\mathrm{d}t,\quad D_0(f)=\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)\mathrm{d}t\]
不确定性原理: 如果 \(f(t),tf(t),\omega\hat{f}(\omega)\) 均为平方可积函数, 则
\[D_0(|f|^2)D_0(|\hat{f}|^2)\geq\frac{\pi}{2}\left(\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2\mathrm{d}t\right)^2\]
不动点: 对函数 \(f(\mathbf x)=\mathrm{e}^{-\frac{\left|\mathbf{x}\right|^2}{4m^2}}\), 其变换仍为 Gaussian 函数; 仅在 \(m^2=1/2\) 时, 才在不计常数的意义下为不动点:
\[\hat{f}(\mathbf k)=\int\prod_{i=1}^n\mathrm{d}x_i\mathrm{~e}^{-\frac{x_i^2}{4m^2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_ix_i}=2^n\pi^{n/2}m^n\mathrm{e}^{-m^2|\mathbf k|^2}\]
乘法公式:
\[\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\hat{g}(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(\mathbf x)g(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以得到广义函数的 Fourier 变换性质
\[\langle\mathcal{F}[f],\phi\rangle=\langle f,\mathcal{F}[\phi]\rangle\]
例如
\[\langle\mathcal{F}[\delta^{(n)}],\phi\rangle=\langle\delta^{(n)},\mathcal{F}[\phi]\rangle=\hat{\phi}(\mathbf{0})=\langle1,\phi\rangle\]

7.3 Solving ODEs via Fourier Transform

令 \(D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\), 考虑形如

\[P(D)y(t)=f(t)\]

的常微分方程, 两侧 Fourier 变换后得到

\[P(\mathrm{i}\omega)\hat y(\omega)=\hat f(\omega)\quad \Longrightarrow\quad \hat y(\omega)=\frac{1}{P(\mathrm{i}\omega)}\hat f(\omega)\]

当 \(P(\mathrm{i}\omega)\) 在实轴上无零点且逆变换存在时, 逆变换给出一个特解; 有零点时需另行处理极点处方及齐次解.

\[y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{f}(\omega)}{P(\mathrm{i}\omega)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega\]

7.4 The Delta Function (Distributions)

Remark Fourier 系数与光滑性: 衰减速度反映周期延拓后的光滑性, 但不能不加条件地从一个幂次反推出某阶导数有跳跃. 对 \(2\pi\) 周期函数, 记

\[c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\,\mathrm{d}x.\]

若 \(f\in C^k\) 且其导数按周期相接, 分部积分 \(k\) 次并应用 Riemann-Lebesgue 引理可得
\[c_n=\frac{\widehat{f^{(k)}}_n}{(\mathrm{i}n)^k} =o(|n|^{-k}),\qquad |n|\to\infty.\]
因而周期 \(C^\infty\) 函数的系数比任意幂次衰减更快.
设 \(m\ge0\). 若 \(f,\cdots,f^{(m-1)}\) 连续且周期相接(\(m=0\) 时无此条件), 而 \(f^{(m)}\) 在有限个分段上为 \(C^1\), 各段的 \(f^{(m+1)}\) 可积, 仅在 \(x_j\) 有跳跃, 则
\[c_n= \frac{1}{2\pi(\mathrm{i}n)^{m+1}} \sum_j [f^{(m)}]_{x_j}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx_j} +o(|n|^{-m-1}), \qquad [f^{(m)}]_{x_j}=f^{(m)}(x_j+)-f^{(m)}(x_j-).\]
这里也要计入周期接缝处的跳跃. 这才是函数、一次导数、二次导数的跳跃通常分别给出 \(1/n\), \(1/n^2\), \(1/n^3\) 衰减的条件; 多个跳跃的相位可使某些子序列抵消. 单独的 \(O(|n|^{-s})\) 上界并不刻画跳跃阶数.
若对正负 \(n\) 均有 \(|c_n|\le C\mathrm{e}^{-a|n|}\), \(a>0\), Fourier 级数在复条带 \(|\operatorname{Im}z|\lt a\) 内局部一致收敛, 定义全纯函数, 因而其连续代表在实轴上实解析. 反过来, 周期函数在这样的条带内全纯时, 在每个较窄闭条带上移动积分路径可得相应的指数衰减. \(C^\infty\) 本身不蕴含实解析.

Fourier 系数不区分仅在零测集上不同的函数. 例如 \(\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-\sqrt n}\cos nx\) 可逐项求任意阶导数, 是周期 \(C^\infty\) 函数, 但其系数没有任何正指数衰减界, 所以不是实解析函数.

Remark 从 Fourier 变换到分布: 对普通 \(L^1(\mathbb{R})\) 函数, Fourier 变换趋于零. 常数变换 \(\widehat{\delta}(k)=1\) 的逆变换须在分布意义下理解; 不能把不属于 \(L^2\) 的 \(\delta\) 代入通常的不确定性不等式, 用“二次矩无穷大”来证明它的宽度为零. 下面用测试函数上的极限来定义 \(\delta\):

Definition Dirac \(\delta\) 函数(广义函数定义): 设函数序列 \(\{\delta_n(x)\}\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_n(x)\,\mathrm{d}x=f(0), \qquad f\in C_c^\infty(\mathbb{R})\]

则记

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,\mathrm{d}x \equiv\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)\,\mathrm{d}x=f(0)\]

广义函数语言定义:
\[\delta^{(n)}:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf{x})\mapsto\langle\delta^{(n)},\phi\rangle=\phi(\mathbf{0})\]
从而不可以用局部可积函数直接表示, 可以用局部可积函数的弱 \(*\) 极限表示, 例如
\[\delta_m^{(n)}(\mathbf x)=\frac{m^n}{\pi^{n/2}}\mathrm{e}^{-m^2\mathbf x^2},\quad\Longrightarrow\quad \lim_{m\to\infty}\langle\delta_m^{(n)},\phi\rangle=\langle\delta^{(n)},\phi\rangle,\quad\forall\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\]
导数定义:
\[\langle\delta^{\prime},\phi\rangle=-\langle\delta,\phi^{\prime}\rangle=-\phi^{\prime}(\mathbf 0)\]
函数乘法:
\[\langle\psi\cdot\delta,\phi\rangle=\langle\delta,\psi\cdot\phi\rangle=\psi(\mathbf 0)\phi(\mathbf 0)\]
两者结合可以得到
\[\psi(\mathbf x)\partial^n\delta(\mathbf x)=\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^mn!}{m!(n-m)!}\partial^m\psi(\mathbf 0)\partial^{n-m}\delta(\mathbf x)\]
换元运算: 设 \(\psi(\mathbf x)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上 Jacobi 行列式非 0(保证反函数存在性)的无穷阶连续可微函数, 有 \[\int\delta^{(n)}(\psi(\mathbf x))\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int\delta^{(n)}(\mathbf u)\frac{\phi(\psi^{-1}(\mathbf u))}{|\det J(\psi^{-1}(\mathbf u))|}\mathrm{d}^n\mathbf u\] 由此得到 \[\int\delta^{(n)}(\psi(\mathbf x))\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\sum_{\psi(\mathbf x)=0}\frac{\phi(\mathbf x)}{|\det J(\mathbf x)|}\]

几种可行的极限序列
\[\delta_n(x)=n\mathrm{rect}(nx),\quad \sqrt{\frac{n^2}{\pi}}\mathrm{e}^{-n^2x^2},\quad \frac{n}{\pi}\frac{1}{1+n^2x^2}\]
可以检验其 Fourier 变换
\[\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k0}=1\]
从而得到 Fourier 表示
\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\]
换积分域为 \(-n\) 到 \(n\) 即得到 \(\delta_n(x)=\frac{\sin nx}{\pi x}\), 仍是可行的函数序列, 但是不满足 Dirac 的原始定义:
\[\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)=\begin{cases}\infty&x=0\\0&x\neq0&&\end{cases}\]
定义高维 \(\delta\) 函数:
\[\delta^{n}(\mathbf{x}):=\delta(x_1)\delta(x_2)\cdots\delta(x_n)\]
- 考虑对于不同的坐标, 为保证
  \[\int\delta^n(\mathbf{x}(\mathbf{u})-\mathbf{x}_0)f(\mathbf{u})Jd^n\mathbf{u}=f(\mathbf{u}_0)\]
  应有
  \[\delta^n(\mathbf{x}(\mathbf{u})-\mathbf{x}_0)=\frac{\delta^n(\mathbf{u}-\mathbf{u}_0)}{|\mathbf{J}|},\quad \mathbf{J}=\det\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)\]
- 注意不可以认为 \(\delta^n(\mathbf{x})=\delta(|\mathbf{x}|)\), 因为
  \[\int_{\mathbb{R}^n}\delta(|\mathbf{x}|)f(\mathbf{x})\mathrm{d}^n\mathbf{x}=\int_0^\infty\delta(r)\left[\int_{S^{n-1}}f(r,\Omega)\mathrm{d}\Omega\right]r^{n-1}\mathrm{d}r=0\]
  而不是 \(f(\mathbf{0})\), 二者的积分性质不同.
\(\delta\) 函数的性质必须在积分意义下理解:
1. 由其极限定义可以看出 \(\delta(x)\) 为偶函数, 从而
  \[x\delta(x)=0,\quad \delta(x)=\delta(-x),\quad \delta^{\prime}(-x)=-\delta^{\prime}(x)\]
2. 与阶跃函数有关系:
  \[\delta(x)=\frac{\mathrm{d}H(x)}{\mathrm{d}x},\quad H(x)=\left\{\begin{array}{cc}0&x\lt0\\1&x\geq0\end{array}\right.\]
  可通过对此导数积分证明.
3. 对光滑函数 \(f(x)\) 有
  \[\int_a^bf(x)\delta(x)\mathrm{d}x=f(0)\mathrm{~,~}\quad a\lt0\lt b\]
  \[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^{\prime}(x)\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}\delta(x)\\ &=\left.\left[f(x)\delta(x)\right]\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}f^{\prime}(x)\delta(x)\mathrm{d}x\\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}\]
4. 对 \(a\ne0\) 有,
  \[\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\]
  由积分性质容易证明.
5. 若实函数 \(g(x)=0\) 在 \((a,b)\) 有 \(n\) 个不同单根 \(\{x_i\}\), 有
  \[\delta(g(x))=\sum_{i=1}^n\frac{\delta(x-x_i)}{|g^{\prime}(x_i)|}\]

Dirac \(\delta\) 函数严格来讲不是函数, 而是一个广义函数(分布), 在分布理论(Schwartz 分布)中被严格定义, 是一个线性泛函, 属于连续对偶空间, 作用于测试函数空间, 提取测试函数在 0 点的值.

7.5 Computing Improper Integrals via the Delta Function

利用 \(\delta\) 函数的常用积分表达式:

\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\quad\mathrm{or}\quad \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\cos kx\mathrm{d}k\]

Example

\[I=\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin2x}{x^2+x+1}\mathrm{d}x.\]

Solution 引入辅助积分

\[F(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda x}}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x\]

通过辅助积分可以得到

\[-F^{\prime\prime}(\lambda)-\mathrm{i}F^{\prime}(\lambda)+F(\lambda)=2\pi\delta(\lambda)\]

\(\lambda\ne 0\) 时, \(\delta(\lambda)=0\), 方程齐次; \(\lambda=0\), \(F(\lambda)\) 连续, 即 \(\lim_{\epsilon\to+0}[F(0-\epsilon)-F(0+\epsilon)]=0\), 而 \(F'(\lambda)\) 不连续. 由

\[\int_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}\left[F^{\prime\prime}(\lambda)+\mathrm{i}F^{\prime}(\lambda)-F(\lambda)\right]\mathrm{d}\lambda=-2\pi\int_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}\delta(\lambda)\mathrm{d}\lambda=-2\pi\]

考虑到 \(F(\lambda)\) 连续, 可以得到 \(\lim_{\epsilon\to+0}F^{\prime}(\lambda)|_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}=-2\pi\).

由 \(\lambda\ne0\) 时 \(\delta(\lambda)=0\), 则

\[F(\lambda)=\begin{cases}A\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}+B\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}},\quad&\lambda>0\\ C\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}+D\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}},\quad&\lambda\lt0\end{cases}\]

为保证无穷积分 \(F(\lambda)\) 有界, \(A=D=0\). 又由 \(F(\lambda)\) 在 \(\lambda=0\) 连续, 则 \(B=C\); 又由 \(F'(\lambda)\) 在 \(\lambda=0\) 的跃变性质, 得到

\[\frac{-\mathrm{i}-\sqrt{3}}{2}B-\frac{-\mathrm{i}+\sqrt{3}}{2}C=-2\pi\quad \Longrightarrow \quad B=C=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\]

从而得到积分结果

\[F(\lambda)=\left\{\begin{aligned} &\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{-\sqrt{3}\lambda/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/2},&\quad\lambda>0\\ &\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\sqrt{3}\lambda/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/2},&\quad\lambda\lt0 \end{aligned}\right.\quad\Longrightarrow\quad I=\mathrm{Im}F(2)=-\frac{2\pi}{\sqrt3}\mathrm{e}^{-\sqrt3}\sin1\]

8 Laplace Transform

8.1 Laplace Transform

Definition Laplace 变换: 记原函数 \(f(t)\) 经 Laplace 变换得到像函数(\(s\) 为复数)

\[F(p)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\lim_{a\to\infty}\int_0^ae^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]

约定 \(f(t)\) 理解为 \(f(t)H(t)\), 即在 \(t\lt0\) 时规定为 0.

Theorem Laplace 变换存在的充分条件: 若 \(f(t)\) 满足
1. \(f( t)\) 和 \(f^\prime(t)\) 在区间 \(0\leq t\lt\infty\) 上分段连续, 在任何有限区间内的不连续点的数目是有限的;
2. \(f( t)\) 有有限的增长指数, 即存在正数 \(M>0\) 及实数 \(B\)(增长指数), 使 \(\forall t\geq0\), \(|f(t)|\lt M\mathrm{e}^{Bt}\).
则 \(f(t)\) 的 Laplace 变换在 \(\mathrm{Re}\ p>B\) 上存在. 且在此半平面内, 像函数 \(F(p)\) 是解析函数. 这些增长指数 \(B\) 的下确界给出绝对收敛横标的上界; 绝对收敛横标由 \(\int_0^\infty e^{-pt}|f(t)|\,\mathrm{d}t\) 的收敛半平面定义. Lemma Laplace 积分 \(\int _0^\infty \mathrm{e} ^{- pt}f(t)\mathrm{d}t\) 在 \(p=p_0\) 处收敛, 则它在开的半平面 \(\mathrm{Re}p>\mathrm{Re}p_0\) 上亦收敛, 且在此半平面上等于绝对收敛积分
\[(p-p_0)\int_0^\infty g(t;p_0)\mathrm{e}^{-(p-p_0)t}\mathrm{d}t,\]
其中
\[g(t;p_0)=\int_0^tf(\tau)\mathrm{e}^{-p_0\tau}\mathrm{d}\tau\]
Definition 设 \(f(t)\) 满足 Laplace 变换的充分条件, 则存在实数 \(s_0\), 使得
\[\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t \implies \begin{cases}\text{收敛,若 Re}p>s_0\\\text{发散,若 Re}p\lt s_0&&\end{cases}\]
\(s_0\) 称为收敛横标, \(F(p)\) 在 \(\mathrm{Re}p>s_0\) 解析, 且
\[F^{\prime}(p)=-\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}tf(t)\mathrm{d}t\quad p>s_0\]
Definition 正则横标设 \(F(p)\) 在区域 \(\mathrm{Re}p>\gamma\) 解析, 在 \(\mathrm{Re}p=\gamma\) 上有奇点, \(\gamma\) 称为该 Laplace 变换的正则横标.

8.2 Properties of the Laplace Transform

线性变换
\[\begin{aligned}&\mathcal{L}\left\{\alpha_1f_1(t)+\alpha_2f_2(t)\right\}\\=&\alpha_1\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}+\alpha_2\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\\=&\alpha_1F_1(p)+\alpha_2F_2(p)\end{aligned}\]
p-位移(Substitution)(位移定理 I)
\[\mathcal{L}\left\{\mathrm{e}^{p_0t}f(t)\right\}=F(p-p_0)\]
t-位移(Translation/Heaviside Shifting Theorem)(延迟定理/位移定理 II)
\[\mathcal{L}\left\{f(t-\tau)H(t-\tau)\right\}=\mathrm{e}^{-p\tau}F(p),\quad \tau>0\]
推论(\(a>0\), \(\sigma_a\) 为原函数的绝对收敛横标, 以下取 \(\operatorname{Re}s>\max(0,\sigma_a)\)):
\[\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}f(t-na)H(t-na)\right]=\frac{F(s)}{1-\mathrm{e}^{-sa}},\quad\operatorname{Re}s>0\]\[\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nf(t-na)H(t-na)\right]=\frac{F(s)}{1+\mathrm{e}^{-sa}},\quad\operatorname{Re}s>0\]
相似定理
\[\mathcal{L}\left\{f(at)\right\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right),\quad a>0\]
导数的 Laplace 变换(微分定理 I): 若 \(f(t),f'(t)\) 都满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则
\[\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(p)\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=pF(p)-f(0)\]
同理, 对于高阶导数
\[\mathcal{L}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\]
可以用于通过 Laplace 变换求解微分方程.
积分的 Laplace 变换(积分定理 I): 若 \(f(t)\) 满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则 \(\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\) 的变换也存在, 为
\[\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right\}=\frac{F(p)}{p}\]
Proof
\[F(p)=p\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right\}-\int_0^0f(\tau)\mathrm{d}\tau\]
Derivative of a transform(微分定理 II): 当 \(f(t)\) 至少是分段连续的, 且 \(p\) 的选择使得 \(\mathrm{e}^{-pt}f(t)\) 对大的 \(p\) 呈指数收敛时, 积分
\[\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]
是一致收敛的, 并且可以(在积分号下)对 \(p\) 微分. 那么
\[F'(p)=\int_0^\infty(-t)\mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=\mathcal{L}\{-tf(t)\}\]
同理得到
\[\mathcal{L}\{(-t)^nf(t)\}=F^{(n)}(p)\]
Integration of transform(积分定理 II): 要求 \(f(t)/t\) 在 \(t=0\) 附近局部可积, 并取实数 \(s\) 使 \(\int_0^\infty e^{-st}|f(t)|/t\,\mathrm{d}t\lt\infty\), 以保证换序与 \(b\to\infty\) 的极限.
当 \(F(t)\) 至少是分段连续的, 且 \(s\) 的选择使得 \(\mathrm{e}^{-pt}f(t)\) 对大的 \(p\) 呈指数收敛时, 积分
\[F(p)=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]
关于 \(p\) 是一致收敛的, 则可以交换积分顺序:
\[\begin{aligned} \int_s^bF(p)\mathrm{d}p &=\int_s^b\mathrm{d}p\int_0^\infty \mathrm{d}te^{-pt}f(t)\\ &=\int_0^\infty f(t)\left[\int_s^be^{-pt}\mathrm{d}p\right]\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty f(t)\left[-\frac{1}{t}\mathrm{e}^{-pt}\right]_s^b\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{f(t)}{t}\left(\mathrm{e}^{-st}-\mathrm{e}^{-bt}\right)\mathrm{d}t\end{aligned}\]
下限 \(s\) 的选择要足够大, 以使得 \(F(s)\) 在一致收敛区域内, 令 \(b\to\infty\), 得到
\[\int_s^\infty F(p)\mathrm{d}p=\int_0^\infty\frac{f(t)}{t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}\]
推论: 例如在 \(\int_0^\infty |f(t)|/t\,\mathrm{d}t\lt\infty\) 时, 可取 \(s=0\), 并对第二式取 \(s>0\), 以保证下面的换序与尾部积分.
\[\int_0^{\infty}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t=\int_0^{\infty}F(p)\mathrm{d}p\]\[\mathcal{L}\left[\int_t^{+\infty}\frac{f(\tau)}{\tau}\mathrm{d}\tau\right]=\frac{1}{s}\int_0^sF(p)\mathrm{d}p\]
卷积定理: 取
\[F_1(p)=\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}\quad 和\quad F_2(p)=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\]
相乘得到
\[\begin{aligned} F_1(p)F_2(p) &=\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)\mathrm{e}^{-p\tau}\mathrm{d}\tau\int_{0}^{\infty}f_{2}(\nu)\mathrm{e}^{-p\nu}\mathrm{d}\nu\\ &=\int_0^\infty f_1(\tau)\mathrm{d}\tau\int_0^\infty f_2(\nu)\mathrm{e}^{-p(\tau+\nu)}\mathrm{d}\nu\\ &=\int_0^\infty f_1(\tau)\mathrm{d}\tau\int_\tau^\infty f_2(t-\tau)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau \end{aligned}\]
即
\[F_1(p)F_2(p)=\mathcal{L}\left\{\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right\}\]

常见变换

\[\mathcal{L}\{1\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{p}, \quad p > 0\]

\[\mathcal{L}\left\{\mathrm{e}^{kt}\right\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}\mathrm{e}^{kt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{p - k}, \quad p > k\]

\[\mathcal{L}\{\cosh kt\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p - k} + \frac{1}{p + k}\right) = \frac{p}{p^2 - k^2}, \quad p > |k|\]

\[\mathcal{L}\{\sinh kt\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p - k} - \frac{1}{p + k}\right) = \frac{k}{p^2 - k^2}, \quad p > |k|\]

\[\mathcal{L}\{\cos kt\} = \frac{p}{p^2 + k^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sin kt\} = \frac{k}{p^2 + k^2}\]

\[\mathcal{L}\left\{t^n\right\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt} t^n\,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(n+1)}{p^{n+1}}, \quad p > 0,\ n > -1\]

8.3 General Inversion Formula

反演的唯一性问题 设 \(f_1(t),f_2(t)\) 为连续函数, 若

\[\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\]

则 \(f_1(t)\equiv f_2(t)\).

Bromwich 积分

Bromwich 反演与留数求值是两个步骤. 例如, 若 \(f\) 局部可积、在 \(t>0\) 附近分段光滑且为指数阶, 则在收敛半平面内取 \(s\), 有

\[\frac{f(t^+)+f(t^-)}{2}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{s-\mathrm{i}T}^{s+\mathrm{i}T}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p.\]

连续点处左边即 \(f(t)\). 积分通常按这里的对称截断极限理解, 不要求绝对收敛.

若进一步能将 \(F\) 亚纯延拓到闭合路径所围区域, 选取避开极点的一列向左闭合路径 \(C_T\), 且补入路径上的 \(F(p)\mathrm{e}^{pt}\) 积分趋于零, 留数定理才给出

\[f(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{p_j\in\operatorname{Int}C_T}\operatorname{Res}_{p=p_j}\left[\mathrm{e}^{pt}F(p)\right],\qquad t>0\]

这里写在连续点处; 有无限多个极点时, 求和顺序由闭合路径指定, 不能任意重排. 是否能丢掉大圆弧或矩形边须对具体函数估计, 右半平面的解析性本身不足以保证这一点. 若存在分支点与割线, 还须保留割线两侧的积分, 不能只求极点留数.

例如

\[\mathcal{L}\{t^{\alpha-1}\}(p)=\frac{\Gamma(\alpha)}{p^\alpha},\qquad 0\lt\alpha\lt1,\quad\operatorname{Re}p>0.\]

此时竖直线上的绝对积分不收敛, 但 Bromwich 反演仍适用; \(p=0\) 是分支点, 必须选定 \(p^{-\alpha}\) 的分支并计入割线贡献. 这也说明反演公式与纯留数公式的适用条件不同.

反演也可以用原函数的条件表述为下面的定理:

Theorem 设 \(f(t)\) 在 \([0,\infty)\) 的任意有限区间上只有有限个极大极小和有限个第一类间断点.Laplace 积分

\[F(p)=\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]

在直线 \(\mathrm{Re}p=s\) 上绝对收敛. 则

\[\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{s-\mathrm{i}\infty}^{s+\mathrm{i}\infty}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p= \begin{cases} 0,&t\lt0\\ \frac{f(0+)}{2},&t=0\\ \frac{f(t+)+f(t-)}{2},&t>0 \end{cases}\]

更一般地, 积分应理解为积分主值
\[f(t)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\lim_{R\to\infty}\int_{s-\mathrm{i}R}^{s+\mathrm{i}R}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p\]
例如: \(F(p)=\frac1p\) 时,
\[f(t)=\begin{cases}0&t\lt0\\\frac{1}{2}&t=0\\1&t>0\end{cases}\]

Appendix

A.1 Velocity Fields and Complex Analysis

记流速场为

\[\mathbf{V}(x,y)=(u(x,y),v(x,y))\]

对于不可压缩势流, 流速场散度和旋度为 0, 要求

\[0=\partial_xu+\partial_yv,\quad 0=\partial_xv-\partial_yu\]

与 C-R 方程对比, 从而设复速度

\[g(z)=u-iv\]

其原函数为复势(势函数+i 流函数, 流函数与势函数正交, 表征流线簇)

\[\Phi(z)=\varphi+\mathrm{i}\psi\]

\[u=\partial_x\varphi,\quad v=-\partial_x\psi=\partial_y\varphi\Longrightarrow \mathbf V=\nabla\varphi\]

A.2 Computation of Asymptotic Series

渐近序列与渐近级数定义如下:
Definition 渐近序列设函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi_n(z)\neq0\)(\(z_0\) 点可以除外), 若对于所有的 \(n\), 有
\[\phi_{n+1}(z)=o\left(\phi_n(z)\right),\quad z\to z_0\]
则称函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 为 \(z\to z_0\) 时的一个渐近序列.
Definition 渐近级数若在 \(z\) 的某个范围内
\[\left[f(z)-\sum_{n=0}^Na_n\phi_n(z)\right]=o\left(\phi_N(z)\right), \quad \forall N\in\mathbb{N},\quad z\to z_0\]
则称 \(\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\) 是函数 \(f(z)\) 相对于 \(\{\phi_n(z)\}\) 的渐近级数, 记为
\[f(z)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z),\quad \mathrm{as}\ z\to z_0\]
\(z\) 越接近 \(z_0\), 有限和 \(\sum_{n=0}^N a_n\phi_n(z)\)(称为 \(z\to z_0\) 时 \(f(z)\) 的渐近近似)越逼近于 \(f(z)\). 它区别于通常的级数展开,例如幂级数展开
\[f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n+\cdots\]
后者是 \(z\) 点固定, 而级数的项数越多越准确, 即
\[\lim_{N\to\infty}\left[f(z)-\sum_{n=0}^Nu_n(z)\right]=0.\]
在渐近级数的定义中, 并未要求级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\phi_n(z)\) 收敛. 渐近展开级数可以(而且常常)不是收敛级数. 因此, 对于一定的 \(z\), 并不能通过多取项数(即增大 \(N\))来改善近似程度(存在某个 \(N\) 能最佳地逼近原函数).
不同的趋近方式可能会产生完全不同的极限行为, 在 \(\arg z\) 的一定范围内, 渐进展开如果存在即是唯一的, 系数
\[a_m=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{\phi_m(z)}\left[f(z)-\sum_{n=0}^{m-1}a_n\phi_n(z)\right]\]
渐进级数在收敛级数失效的情况下特别有用, 例如在微扰展开或积分近似中.

A.2.1 Integration by Parts Method

第一类:

\[I(x)=\int_x^\infty f(t)\mathrm{e}^{g(t)}\mathrm{d}t\quad x\to\infty\]

不能仅凭 \(g\) 单调就判断主项. 在 \(g'(t)\ne0\)、\(f/g'\) 可微、上端边界项趋零且积分收敛时, 分部积分给出

\[I(x)=-\frac{f(x)}{g'(x)}\mathrm{e}^{g(x)}- \int_x^\infty\mathrm{e}^{g(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{f(t)}{g'(t)}\right)\mathrm{d}t.\]

只有余项相对于第一项为高阶小量时, 才能将第一项作为渐近主项.

Example不完备 \(\Gamma\) 函数

\[\Gamma(-p, x)=\int_x^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{-p-1}\mathrm{d}t,\quad x\to+\infty,\quad p\in\mathbb{R}\text{ 固定}\]

Solve 直接进行分部积分

\[\Gamma(-p, x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}-(p+1)\int_x^{\infty}t^{-p-2}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\]

以此类推得到

\[\Gamma(-p,x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}-\frac{(p+1)\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+2}}+\mathcal{O}\left(\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+3}}\right)\]

仅保留领头项得到

\[\Gamma(-p,x)\sim\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}\]

第二类:

\[I(\lambda)=\int_a^bf(t)\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\mathrm{d}t\quad\mathrm{~}\lambda\to\infty\]

一个充分条件是 \(a\lt b\) 有限, \(f\in C^1[a,b]\)、实值 \(g\in C^2[a,b]\), 且 \(g'\) 始终非零. 此时 \(g\) 严格单调, 主导端点为 \(g\) 较大的端点. 分部积分得到:

\[I(\lambda)=\int_a^bf(t)\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\mathrm{d}t=\left[\frac{f(t)}{\lambda g^{\prime}(t)}\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\right]_a^b-\frac{1}{\lambda}\int_a^b\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{f(t)}{g^{\prime}(t)}\right)\mathrm{d}t\]

因 \(|g'|\) 有正下界, 积分余项为 \(O(\mathrm{e}^{\lambda\max(g(a),g(b))}/\lambda^2)\). 若主导端点 \(t_*\) 满足 \(f(t_*)\ne0\), 才可写成

\[I(\lambda)\sim\left[\frac{f(t)}{\lambda g^{\prime}(t)}\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\right]_a^b.\]

若 \(f(t_*)=0\), 须继续求下一阶, 不能将为零的端点项用作相对渐近主项.

分部积分法要求渐进展开的各项自然形成递减的高阶修正项, 对于某些类型的 \(g(t)\), 没有自然的递减序列, 仍需要通过局部展开(结合尺度变换)提取主要贡献区域的主项, 与极值是否位于边界无关.

A.2.2 Laplace Method

\[I(\lambda)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{e}^{\lambda g(x)}\mathrm{d}x\]

假定区间有限, 实值 \(g\in C^2[x_1,x_2]\) 的唯一全局最大值出现在内部点 \(c\)(\(g^{\prime}(c)=0,g''(c)\lt 0\)), 且 \(f\) 连续、\(f(c)\ne0\), 则积分贡献主要来自于 \(x=c\) 处的峰, 宽度为 \(O(\lambda^{-\frac12})\). 作尺度变换: \(x=c+\lambda^{-\frac 12}y\) 当 \(f,g\) 具有相应高阶导数时, 可进一步将 \(f(x),g(x)\) 在 \(c\) 处展开:

\[f(x)=f(c)+\frac{f^{\prime}(c)}{\sqrt{\lambda}}y+\frac{f^{\prime\prime}(c)}{2\lambda}y^2+\cdots\]

\[g(x)=g(c)+\frac{g^{\prime}(c)}{\sqrt{\lambda}}y+\frac{g^{\prime\prime}(c)}{2\lambda}y^2+\frac{g^{\prime\prime\prime}(c)}{6\lambda^{\frac{3}{2}}}y^3\cdots\]

\[I_{\mathrm{loc}}(\lambda)=\frac{\mathrm{e}^{\lambda g(c)}}{\sqrt\lambda} \int_{-\epsilon\sqrt\lambda}^{\epsilon\sqrt\lambda} f(c+y/\sqrt\lambda)\, \mathrm{e}^{\lambda[g(c+y/\sqrt\lambda)-g(c)]}\,\mathrm{d}y.\]

对足够小的固定 \(\epsilon\), 非退化极大保证局部指数受 \(\mathrm{e}^{-Ky^2}\) 控制, 其中 \(K>0\); 对固定 \(y\), 指数趋于 \(g''(c)y^2/2\). 局部积分由控制收敛得到高斯极限. 在补集上存在 \(\eta>0\) 使 \(g(x)\le g(c)-\eta\), 因而补集贡献为 \(O(\mathrm{e}^{\lambda[g(c)-\eta]})\). 由于远离 \(c\) 的贡献迅速衰减, 我们可以将积分限延伸至 \(\pm\infty\):

\[I(\lambda)\sim\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(c)\mathrm{e}^{\lambda g(c)}}{\sqrt\lambda}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}g''(c)y^2}\mathrm{d}y=f(c) \mathrm{e}^{\lambda g(c)}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda g''(c)}},\quad \lambda\to\infty\]

Example Stirling 公式

\[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^x\mathrm{d}t,\quad x\to\infty\]

Solve

\[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-t+x\ln t}\mathrm{d}t\]

极值点位于 \(t=x\) 处, 再做一次变量替换 \(t=xs\) 得到固定的极值点 \(s=1\):

\[\Gamma(x+1)=x \mathrm{e}^{x\ln x}\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-xs+x\ln s}\mathrm{d}s\sim\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)^{x}\sqrt{2\pi x}\]

这里 \(g(s)=\ln s-s\) 在 \(s=1\) 有唯一非退化最大值. 无界区间的尾部还须单独控制: \(s\to0\) 时 \(\ln s\to-\infty\), 大 \(s\) 时 \(\ln s-s\le-s/2\), 因而两端均比鞍点邻域的贡献小.

A.2.3 Fourier-type Integrals

对于振荡积分

\[I(\omega)=\int_{a}^{b}\mathrm{d}t\,f\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi\left(t\right)},\quad \mathrm{as}\ |\omega|\to\infty\]

(1)若 \(a\lt b\) 有限, \(f\in C^2[a,b]\)、实值 \(\phi\in C^3[a,b]\), 且 \(|\phi'|\) 有正下界, 两次分部积分给出

\[I(\omega)=\left.\frac{f(t)}{\mathrm{i}\omega\phi'(t)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(t)}\right|_a^b+O(|\omega|^{-2}).\]

应使用加性余项; 两个端点贡献可能相消, 因而不能无条件将等式写成相对渐近关系 \(\sim\). (2)例如取 \(f\in C^2[a,b]\)、实值 \(\phi\in C^4[a,b]\), 内部唯一驻点 \(c\) 满足 \(\phi'(c)=0,\phi''(c)\ne0\), 且两端不是驻点. 在 \(c\) 的固定邻域之外, \(|\phi'|\) 有正下界, 由分部积分得到 (Riemann-Lebesgue 引理本身只给趋零, 不给这个速率)

\[I(\omega)=\int_{c-\varepsilon}^{c+\varepsilon}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(t)}\mathrm{d}t+\mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega}\right)\]

当 \(f(c)\ne0\) 时, 在 \(c\) 点附近展开 \(f(t),\phi(t)\):

\[I(\omega) \sim\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(\phi(c)+\frac{1}{2}(t-c)^2\phi''(c))}\mathrm{d}t \sim f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(c)}\left(\frac{2}{|\omega\phi^{\prime\prime}(c)|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\operatorname{sgn}(\omega\phi^{\prime\prime}(c))s^2}\mathrm{d}s\]

将被积部分视作复积分, 记 \(\sigma=\operatorname{sgn}(\omega\phi^{\prime\prime}(c))\). 将积分路径绕 \(s=0\) 旋转 \(\sigma\,45\degree\), 则 \(s=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sigma\pi/4}u\) 使指数成为 \(-u^2\), 得到 Gauss 型积分:

\[I(\omega)= \sqrt{\frac{2\pi}{|\omega|\,|\phi''(c)|}}f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega\phi(c)+\operatorname{sgn}(\omega\phi''(c))\pi/4)}+O(|\omega|^{-1})\]

A.2.4 Method of Steepest Descent

对于复变积分(辐角信息归入 \(g(z)\) 以保证 \(\lambda>0\))

\[I(\lambda)=\int_Cf(z)\mathrm{e}^{\lambda g(z)}\mathrm{d}z,\quad \mathrm{as}\ \lambda\to\infty\]

下面的单鞍点公式要求 \(f,g\) 在路径变形区域内解析, 变形不跨过奇点, 补入的无穷远弧贡献趋零; 变形后的路径经过一个可达的非退化鞍点 \(z_0\), \(g''(z_0)\ne0\)、\(f(z_0)\ne0\), 且该鞍点贡献主导端点和其他鞍点. 在这些条件下, 主要贡献在 \(g'(z)=0\) 附近, 由于解析函数的限制, 解析区域内无法找到最大值点, 因此 \(g'(c)=0\) 处为鞍点, 希望通过路径变形使得其沿最陡下降方向经过鞍点.

设 \(g''(z_0)=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, z-z_0=s\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\), 考察指数部分:

\[\lambda g(z_0)+\frac{\lambda}{2} g^{\prime\prime}(z_0)(z-z_0)^2=\lambda g(z_0)+\frac{\lambda}{2}\rho s^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2\phi)}\]

最陡下降要求指数部分的实部变化最快, 即 \(\theta+2\phi=\pi(\mod 2\pi\ \ )\)(下降最快), 合理取 \(\phi\) 使得沿其一即可. 鞍点近似下可以将积分区域延拓到 \(\pm\infty\)

\[\begin{aligned} I(\lambda) &\sim f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\int_C\mathrm{e}^{\lambda g^{\prime\prime}(z_0)(z-z_0)^2/2}\mathrm{d}z\\ &\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|(x-x_0)^2/2}\mathrm{d}x\\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|}}\left[1+O\left(\lambda^{-1}\right)\right] \end{aligned}\]

保留领头项得到

\[I(\lambda)\sim f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi},\quad \phi=\frac{\pi-\arg[g''(z_0)]}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

其中 \(k\) 必须按原路径的定向选定; 反向穿过鞍点会改变符号, 不能任意选择 \(k\). 这种方法对于评估无法通过实变量技术处理的复积分特别有效. 其关键思想是将积分路径变形, 使其沿着积分值减小最快的路径穿过鞍点, 从而使主要贡献来自这些点的邻域.

Example Airy 函数: 线性微分方程

\[\Psi^{\prime\prime}(x)-x\Psi(x)=0\]

的解. Solve 设

\[\Psi(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\Phi(k)\mathrm{d}k\]

代入得到

\[k^2\Phi(k)+\mathrm{i}\Phi'(k)=0\]

通解为 \(\Phi(k)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k^3/3}\). 以下固定 \(A=1/(2\pi)\), 实轴振荡积分取对称极限, 从而 \(\Psi(x)=\mathrm{Ai}(x)\):

\[\Psi(x)=A\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx+\frac{k^3}{3})}\mathrm{d}k=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(\frac{x}{|x|}u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

其中作代换 \(k=-\mathrm{i}\sqrt{|x|}u\) 复平面上无奇点. (1)对 \(x\to\infty\), 鞍点位于 \(u_0=\pm 1\):

\[\Psi(x)=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

\(u_0=-1\) 起主要贡献, 最速下降辐角 \(\theta=\frac{\pi}{2}\). 鞍点近似得到

\[\mathrm{Ai}(x)\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}x^{\frac{1}{4}}}\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}\]

(2)对 \(x\to-\infty\), 鞍点位于 \(u_0=\pm\mathrm{i}\):

\[\Psi(x)=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(-u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

最速下降方向分别为 \(\theta=\frac{\pi}{4}/\frac{3\pi}{4}\), 鞍点近似得到

\[\mathrm{Ai}(x)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi}|x|^{\frac{1}{4}}}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}|x|^{\frac{3}{2}}\right)\]

A.3 Supplementary Notes on Generalized Functions

Definition 支集设 \(\mathbf x\in \mathbb{R}^n\), 函数 \(\phi(\mathbf x)\) 的支集定义为函数值不为 0 的点构成的集合的闭包, 即

\[\mathrm{supp}\ \phi=\overline{\{\mathbf x\in\mathbb{R}^n|\phi(\mathbf x)\neq0\}}\]

若 \(\phi\) 的支集是一个紧集(在这里等价于有界闭集), 就称函数 \(\phi(\mathbf x)\) 具有紧支集.

Definition 检验函数定义为 \(\mathbb{R}^n\) 上无穷阶连续可微的紧支集函数, 例如

\[j(\mathbf x)= \left\{\begin{aligned} &C_{n}\exp\left(-\frac{1}{1-|\mathbf {x}|^{2}}\right),&|\mathbf x|\lt1\\ & 0,&|\mathbf x|\ge1 \end{aligned}\right.\]

\(C_n\) 为归一化因子, 保证 \(j(\mathbf x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 的积分值为 1.

检验函数空间记作 \(\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\), 是一个线性空间. 若进一步规定收敛性还可以得到拓扑线性空间.

Definition 磨光函数

\[j_\delta(\mathbf x)=\frac{1}{\delta^n}j\left(\frac{\mathbf x}{\delta}\right), \quad \delta>0\]

设 \(\phi(x)\), 是 \(\mathbb{R}^n\) 上可积的紧支集函数, 可以证明函数

\[\phi_\delta(\mathbf x)=(j_\delta\star\phi)(\mathbf x)=\int_{\mathbb{R}^n}j_\delta(\mathbf x-\mathbf y)\phi(\mathbf y)\mathrm{d}^n\mathbf y\]

无穷阶连续可微, 且仍有紧支集, 因此是检验函数. 具体地, 其支集包含于 \(\operatorname{supp}\phi+\operatorname{supp}j_\delta\), 这是两个紧集的 Minkowski 和. 对任意多重指标 \(\alpha\), 光滑核的导数有界而 \(\phi\) 可积, 可以在积分号下求导得到 \(\partial^\alpha\phi_\delta=(\partial^\alpha j_\delta)\star\phi\); 控制收敛同时给出这些导数的连续性.

Definition 广义函数: 连续线性映射

\[f:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf x)\mapsto\langle f,\phi\rangle\]

连续性要求 \(\lim_{k\to\infty}\phi_k=\phi\) 时有
\[\lim_{k\to\infty}\langle f,\phi_k\rangle=\langle f,\phi\rangle\]
可以对广义函数规定加法和数乘得到线性空间(\(\mathcal D(\mathbb{R}^n)\) 的拓扑对偶空间)

广义函数的例子 设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 的任一紧子集上可积, 可以定义对应的广义函数 \(f\) 为

\[f:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf x)\mapsto\langle f,\phi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]

从而可以将广义函数视作局部可积函数的推广, 从而可以类似地定义广义函数的运算:

设 \(f(\mathbf x)\) 的偏导数存在且局部可积, 由
\[\int_{\mathbb{R}^n}\partial_if(\mathbf x)\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=-\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\operatorname{\partial}_i\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以定义广义函数的偏导
\[\langle\partial_if,\phi\rangle=-\langle f,\partial_i\phi\rangle\]
由于检验函数的偏导也是检验函数, 保证了广义函数的定义.
设 \(\psi(\mathbf x)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的无穷阶连续可微函数, 由
\[\int_{\mathbb{R}^n}[\psi(\mathbf x)f(\mathbf x)]\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)[\psi(\mathbf x)\phi(\mathbf x)]\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以定义广义函数的乘法
\[\langle\psi\cdot f,\phi\rangle=\langle f,\psi\cdot\phi\rangle\]
检验函数和无穷阶连续可微函数的乘积也是检验函数, 保证了广义函数的定义.
对广义函数序列 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\), 若存在广义函数 \(f\) 使得
\[\lim_{m\to\infty}\langle f_m,\phi\rangle=\langle f,\phi\rangle,\quad\forall\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\]
就称 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\) 弱 \(*\) 收敛于 \(f\), \(f\) 为 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\) 的弱 \(*\) 极限.