Mathematical Physics Methods - 3

数学物理方法笔记（三）

Sep 14, 202636 minutes read

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15 Integral Transform Methods

求解偏微分方程的定解问题, 可以使用积分变换, 通过求解原定解的像函数的定解问题, 然后再通过逆变换得到原定解.

15.1 Laplace Transform Method

Laplace 变换常用于求解含时间的偏微分方程定解问题. 对于系数与 \(t\) 无关的偏微分方程, 变换后微分变量的个数比原来减少一个.

Example 1 求解定解问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} &&0\leq x\leq l\\ &\left.u\right|_{t=0}=0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0\\ &\left.u\right|_{x=0}=0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=E\sin\omega t \end{aligned}\]

Solution 作 Laplace 变换(这一步已经包含了时域的初始条件)

\[\mathcal { L } \left\{ u \right\} = U ( x , p ),\quad \mathcal { L } \left\{ \frac { \partial ^{2} u } { \partial t ^{2} } \right\} = p ^{2} U ( x , p ),\quad \mathcal { L } \left\{ \frac { \partial ^{2} u } { \partial x ^{2} } \right\} = \frac { \mathrm { d } ^{2} U ( x , p ) } { \mathrm { d } x ^{2} }\]

定解问题变为单变量 \(x\) 的常微分方程

\[a ^{2} \frac { \mathrm { d } ^{2} U ( x , p ) } { \mathrm { d } x ^{2} } - p ^{2} U ( x , p ) = 0\]

\[\left. U ( x , p ) \right| _ { x = 0 } = 0,\quad \left. \frac { \mathrm { d } U ( x , p ) } { \mathrm { d } x } \right| _ { x = l } = E \frac { \omega } { p ^{2} + \omega ^{2} }\]

通解为

\[U ( x , p ) = C _ { 1 } \cosh { \frac { p x } { a } } + C _ { 2 } \sinh { \frac { p x } { a } }\]

由边界条件得

\[C _ { 1 } = 0,\quad C _ { 2 } = \frac { E \omega a } { p ( p ^{2} + \omega ^{2} ) \cosh \frac { p l } { a } }\]

最终得到

\[U ( x , p ) = \frac { E \omega a } { p ( p ^{2} + \omega ^{2} ) } \frac { \sinh \frac { p x } { a } } { \cosh \frac { p l } { a } }\]

以下取 \(\omega>0\) 且 \(\omega\ne\omega_k\), 即非共振情形. 像函数可能的极点均为简单极点, 位于
\[\pm\mathrm{i}\omega;\quad \pm\mathrm{i}\frac{\pi a}{l}\left(k-\frac{1}{2}\right)\equiv\pm\mathrm{i}\omega_k,\quad k=1,2,3,...\]
\(p=0\) 处由 \(\sinh(px/a)\) 抵消分母的 \(p\), 是可去奇点. 个别观察位置还可能使其他极点可去. 共振时须合并重合极点, 按二阶极点求留数, 下述含 \(\omega_k^2-\omega^2\) 的表达不能直接代入.
存在 \(\gamma>0\), 使得 \(\mathrm{Re}p \geq \gamma\) 时, 第二项一致有界
\[\left|\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{p(x-l)/a}-\mathrm{e}^{-p(x+l)/a}}{1+\mathrm{e}^{-2pl/a}}\right|\lt\frac{2}{1-\mathrm{e}^{-2\gamma l/a}}\]
从而存在 \(k>1\), 使得在此区间内
\[|p^{k}U(p,x)|\text{有界},\quad k=2\]
存在 \(\mu\lt0\), 使得 \(\mathrm{Re}p \leq \mu\) 时, 由对称性仍然可以得到
\[|p^{2}U(p,x)|\text{一致有界}\]
从而有此区间内
\[|U(p,x)|\text{一致有界}\]
存在一组 \(\{\sigma_n\mid \sigma_{n}=\frac{n\pi a}{l}\}\), 使得 \(p=s\pm\mathrm{i}\sigma_{n},s\geq0\) 时,
\[\left|\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{p(x-l)/a}-\mathrm{e}^{-p(x+l)/a}}{1+\mathrm{e}^{-2sl/a}}\right|\lt2\]
\(s\lt0\) 时由于对称性也一样有界.

取高度为 \(\pm\sigma_n\) 且避开有限个强迫极点的矩形闭合路径. 水平边上 \(U=O(\sigma_n^{-3})\), 对 \(t>0\) 利用 \(\int_{-\infty}^{\gamma}\mathrm e^{st}\mathrm ds\lt\infty\), 其积分趋于零; 左边界先趋于负无穷, 指数因子使该边积分消失. 因而可以将 Bromwich 积分化为按这些路径截断的留数和:

\[\begin{aligned} u(x,t) =&\sum\mathrm{res}\left(\frac{E\omega a\mathrm{e}^{pt}}{p(p^2+\omega^2)}\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right)\\ =&0+\frac{Ea}{2\mathrm{i}\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}-\frac{Ea}{2\mathrm{i}\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\\ &+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{E\omega a}{\mathrm{i}\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\frac{a\sin\frac{\omega_kx}{a}}{(-1)^kl}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_kt}-\frac{E\omega a}{\mathrm{i}\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\frac{a\sin\frac{\omega_kx}{a}}{(-1)^kl}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}\right)\\ =&\frac{Ea}{\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\sin\omega t+\frac{2E\omega a^2}{l}\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\sin\frac{\omega_kx}{a}}{\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\sin\omega_kt \end{aligned}\]

Example 2 求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Remark 无界区间的定解问题中, 往往并不明确列出边界条件. 如果将无界区间视为一个物理上的抽象, 那么外界的影响 \(f(x,t)\) 只应发生在有限的空间内, 即

\[\lim_{x\to\pm\infty}f(x,t)=0\]

无穷远处的响应同时也应保持不变

\[\lim_{x\to\pm\infty}u(x,t)=0\]

以下点态推导可取 \(\kappa>0\), 外力空间光滑且支撑在固定有界区间, 时间上为指数阶; 在相应 Laplace 收敛半平面内换序成立. 平方可积 \(f(\cdot,t)\in L^2(\mathbb{R})\) 本身不能推出 \(f(x,t)\to0\) 的逐点极限: 高度固定、宽度可求和且中心趋于无穷远的光滑峰列就是反例. 若只给 \(L^2\) 数据, 应在 \(L^2\) 意义下求解, 不应把点态无穷远条件当成其直接推论.

Solution 做 Laplace 变换, 令

\[\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p),\quad \mathcal{L}\{f(x,t)\}=F(x,p)\]

定解问题变为(注意保留渐进条件)

\[pU(x,p)-\kappa\frac{\mathrm{d}^2U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=F(x,p),\quad \lim_{x\to\pm\infty}U(x,p)=0\]

在 \(\operatorname{Re}p>0\) 内取 \(\operatorname{Re}\sqrt p>0\) 的解析分支. 齐通解为

\[C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

利用常数变易法, 设非齐次方程的解满足

\[U(x,p)=C_1(x)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2(x)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

\[C_1'(x)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2'(x)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)=0\]

代入方程得

\[-\kappa\left[C_1'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\right]=F(x,p)\]

联立求解得

\[C_1'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}F(x,p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right),\quad C_2'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}F(x,p)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

积分并考虑边界条件:

\[C_1(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_x^\infty F(x',p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x'\right)\mathrm{d}x',\quad C_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_{-\infty}^x F(x',p)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x'\right)\mathrm{d}x'\]

最终得到

\[U(x,p)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_{-\infty}^{\infty}F(x',p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

由 Laplace 反演公式

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{p}}\exp(-\alpha\sqrt{p})\right\}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\exp\left(-\frac{\alpha^2}{4t}\right)\]

及卷积定理, 得解

\[u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x'\int_0^t\exp\left[-\frac{(x-x')^2}{4\kappa(t-\tau)}\right]\frac{f(x',\tau)}{\sqrt{t-\tau}}\mathrm{d}\tau\]

Example 3 用 Laplace 变换求解无界弦的波动问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0 &&-\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\\ &\left.u\right|_{t=0}=\phi(x), &&\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x) \end{aligned}\]

Solution 做 Laplace 变换:

\[\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p)\]

为采用下述衰减的 Laplace 解, 可取 \(a>0\) 及光滑紧支撑初值 \(\phi,\psi\). 定解问题化为 (一般光滑初值的 d’Alembert 公式本身不要求无穷远衰减)

\[p^2U(x,p)-p\phi(x)-\psi(x)-a^2\frac{\mathrm{d}^2U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=0\]

\[\lim_{x\to\pm\infty}U(x,p)=0\]

设常数变易解

\[U(x,p)=C_1(x)\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2(x)\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)\]

\[C_1'(x)\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2'(x)\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)=0\]

代入方程得

\[-a^2\left[C_1'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)\right]=p\phi(x)+\psi(x)\]

联立求解

\[\exp\left(\frac{p}{a}x\right)C_1'(x)=-\frac{1}{2a}\phi(x)-\frac{1}{2ap}\psi(x),\quad \exp\left(-\frac{p}{a}x\right)C_2'(x)=\frac{1}{2a}\phi(x)+\frac{1}{2ap}\psi(x)\]

积分并考虑边界条件

\[\begin{aligned} C_1(x)&=\frac{1}{2a}\int_x^\infty\phi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'+\frac{1}{2ap}\int_x^\infty\psi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'\\ C_2(x)&=\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^x\phi(x')\exp\left(\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'+\frac{1}{2ap}\int_{-\infty}^x\psi(x')\exp\left(\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x' \end{aligned}\]

最终得到

\[U(x,p)=\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\phi(x')+\frac{1}{p}\psi(x')\right]\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

利用延迟定理

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p}\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\right\}=H\left(t-\frac{|x-x'|}{a}\right)\]

从而对第二项的反演有

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\psi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\right\}=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(x')\mathrm{d}x'\]

对第一项的反演, 注意到

\[\mathcal{L}\left\{\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\phi(x')\mathrm{d}x'\right\}=\frac{p}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\phi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

最终解为

\[u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(x')\mathrm{d}x'\]

通过这几个例子, 可以看到 Laplace 积分变换法的优势

将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题
绕过边条件的齐次化过程
不需要进行复杂的本征函数展开
可以用于无界区间的定解问题

15.2 Fourier Transform Method

Fourier 变换可对空间变量进行变换. 对于一维无界区间 \((-\infty, \infty)\) 上的函数 \(f(x)\), 如果在任意有限区间上只有有限个极大极小和有限个第一类间断点, 且积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\mathrm{d}x\) 收敛, 则函数 \(f(x)\) 的 Fourier 变换存在,

\[\hat{f}(k)=\mathcal{F}[f(x)]\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

其逆变换

\[f(x)=\mathcal{F}^{-1}[\hat f(k)]\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\]

这里采用了对称系数约定.

Example 用 Fourier 变换求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Solution 假设 \(u(x,t),f(x,t)\) 的 Fourier 变换存在

\[\hat{u}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x,\quad \hat{f}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

定解问题化为

\[\frac{\mathrm{d}\hat{u}(k,t)}{\mathrm{d}t}+\kappa k^{2}\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k,t),\quad \hat{u}(k,0)=0\]

用常数变易法求解该一阶常微分方程

\[\hat{u}(k,t)=\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\int_{0}^{t}\hat{f}(k,\tau)\mathrm{e}^{\kappa k^{2}\tau}\mathrm{d}\tau= \int_0^t\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau )\mathrm{d}\tau\]

计算

\[\begin{aligned} g(x,t) &=\mathcal{F}^{-1}[\hat g(k,t)]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\kappa t\left(k-\frac{\mathrm{i}x}{2\kappa t}\right)^{2}\right]\mathrm{d}k\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\sqrt{\frac{\pi}{\kappa t}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\kappa t}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right] \end{aligned}\]

由卷积定理(对称约定下)

\[\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(f(\cdot,\tau)\star_xg(\cdot,t-\tau)\right)(x)\]

最终得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)\mathrm{d}\tau\\ &=\int_{0}^{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\frac{1}{\sqrt{2\kappa(t-\tau)}}\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{0}^{t}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\frac{\mathrm{d}\tau}{\sqrt{t-\tau}} \end{aligned}\]

与上节用 Laplace 变换得到的解形式一致.

15.3 Fourier-Laplace Mixed Transform Method

对于无界空间中含时间的偏微分方程的定解问题, 若施行两次变换–对 \(x\) 作 Fourier 变换和对 \(t\) 作 Laplace 变换, 往往更为简便

Fourier 变换适用于无界区域问题, Laplace 变换适合处理初值问题.

Example 用 F-L 混合变换法求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Solution 作 Fourier 变换

\[\hat{u}(k,t)=\mathcal{F}[u(x,t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

\[\hat{f}(k,t)=\mathcal{F}[f(x,t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

\[\frac{\mathrm{d}\hat{u}(k,t)}{\mathrm{d}t}+\kappa k^{2}\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k,t),\quad \hat{u}(k,0)=0\]

再作 Laplace 变换

\[\tilde{u}(k,p)=\mathcal{L}\{\hat{u}(k,t)\},\quad \tilde{f}(k,p)=\mathcal{L}\{\hat{f}(k,t)\}\]

\[p\tilde{u}(k,p)+\kappa k^{2}\tilde{u}(k,p)=\tilde{f}(k,p)\]

解得

\[\tilde{u}(k,p)=\frac{1}{p+\kappa k^{2}}\tilde{f}(k,p)\]

先对解进行 Laplace 反演, 利用

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p+\kappa k^{2}}\right\}=\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\]

和 Laplace 变换的卷积定理得到

\[\hat{u}(k,t)=\int_{0}^{t}\hat{f}(k,\tau)\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}(t-\tau)}\mathrm{d}\tau=\int_0^t\hat f(k,\tau)\hat g(k,t-\tau)\mathrm{d}\tau\]

利用

\[g(x,t)=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k=\frac{1}{\sqrt{2\kappa t}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\]

和 Fourier 变换的卷积定理得到

\[\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(f(\cdot,\tau)\star_xg(\cdot,t-\tau)\right)(x)\]

最终得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_{0}^{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\frac{1}{\sqrt{2\kappa(t-\tau)}}\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{0}^{t}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\frac{\mathrm{d}\tau}{\sqrt{t-\tau}} \end{aligned}\]

解的形式与前两种方法一致

15.4 General Discussion of Integral Transform Methods

统一记为

\[F(k)=\int_{a}^{b}K(k,x)f(x)\mathrm{d}x\]

其中 \(K(k,x)\) 是积分变换的核. 常用变换的核函数为:

Laplace	Fourier	正弦	余弦	Hankel	Mellin
\(\mathrm{e}^{-kx}\)	\(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\)	\(\sin kx\)	\(\cos kx\)	\(xJ_{\nu}(kx)\)	\(x^{k-1}\)

对偏微分方程定解问题

\[\left[\mathbf{L}_{1}(x)+\mathbf{L}_{2}(y)\right]u(x,y)=f(x,y)\]

其中 \(\mathbf{L}_{1}(x)\) 和 \(\mathbf{L}_{2}(y)\) 分别为关于 \(x\) 和 \(y\) 的微分算符. 在积分变换

\[U(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)u(x,y)\mathrm{d}x,\quad F(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)f(x,y)\mathrm{d}x\]

下, 方程变为

\[F(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)\left[\mathbf{L}_{1}(x)u(x,y)\right]\mathrm{d}x+\mathbf{L}_{2}(y)U(k,y)\]

在核和未知函数的边条件使分部积分边界项消失时, 通过分部积分可改写为

\[\int_{a}^{b}\left[\mathbf{M}_{1}(x)K(k,x)\right]u(x,y)\mathrm{d}x+\mathbf{L}_{2}(y)U(k,y)=F(k,y)\]

其中 \(\mathbf{M}_{1}(x)\) 是算符 \(\mathbf{L}_{1}(x)\) 的伴算符. 为使结果是关于 \(U(k,y)\) 的微分方程, 需满足特征方程

\[\mathbf{M}_{1}(x)K(k,x)=\lambda K(k,x)\]

此条件限定了可选的变换核 \(K(k,x)\). 例如, 在柱坐标系中求解 Laplace 方程时, 对径向变量 \(r\) 应选用 Hankel 变换.

15.5 Hankel Transform

Hankel 变换

\[\hat{u}(p)=\int_{0}^{\infty}u(r)J_{\nu}(pr)r\mathrm{d}r\]

反演式

\[u(r)=\int_{0}^{\infty}\hat{u}(p)J_{\nu}(pr)p\mathrm{d}p\]

Hankel 变换与 Fourier 变换

考虑二维 Fourier 变换(\(\mathbf{r}=(r,\theta), \mathbf{p}=(p,\phi)\))

\[\begin{aligned} \hat{f}(\mathbf{p}) &= \frac{1}{2\pi} \int f(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}^2\mathbf{r} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} f(r,\theta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta\\ f(\mathbf{r}) &= \frac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\mathbf{p}) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}^2\mathbf{p} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \hat{f}(p,\phi) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} p \mathrm{d}p \mathrm{d}\phi \end{aligned}\]

对角度部分展开为 Fourier 级数:

\[\begin{aligned} f(r,\theta) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n(r) \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}, & f_n(r) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(r,\theta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta} \mathrm{d}\theta \\ \hat{f}(p,\phi) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}_n(p) \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}, & \hat{f}_n(p) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \hat{f}(p,\phi) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\phi} \mathrm{d}\phi \end{aligned}\]

利用 Bessel 函数展开

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(pr) \mathrm{i}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n(\theta-\phi)}\]

代入并利用正交性, 得到第 \(n\) 阶分量的关系

\[\begin{aligned} \hat{f}_n(p) &= (-\mathrm{i})^n \int_0^\infty f_n(r) J_n(pr) r \mathrm{d}r \\ f_n(r) &= \mathrm{i}^n \int_0^\infty \hat{f}_n(p) J_n(pr) p \mathrm{d}p \end{aligned}\]

此即 \(n\) 阶 Hankel 变换与 \(n\) 阶 Hankel 逆变换.

Lemma 1 Hankel 变换公式设函数

\[f(x) = x^{\nu}(a^2-x^2)^{\mu}H(a-x),\quad \mu>-1,\quad\nu>-1,\quad a>0,\ k>0\]

其 \(\nu\) 阶 Hankel 变换为

\[F_{\nu}(k) = \int_{0}^{a}x^{\nu+1}(a^{2}-x^{2})^{\mu}J_{\nu}(kx)\mathrm{d}x = 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)\]

Proof 利用 Bessel 函数级数展开

\[J_{\nu}(kx) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{kx}{2}\right)^{\nu+2m}\]

代入 Hankel 变换

\[\begin{aligned} F_{\nu}(k) &= \int_{0}^{a}x^{\nu+1}(a^2-x^2)^{\mu}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{kx}{2}\right)^{\nu+2m}\mathrm{d}x\\ &= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{k}{2}\right)^{\nu+2m}\int_{0}^{a}x^{2\nu+2m+1}(a^2-x^2)^{\mu}\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对积分项作变量替换 \(t=x^2/a^2\):

\[\begin{aligned} \int_{0}^{a}x^{2\nu+2m+1}(a^2-x^2)^{\mu}\mathrm{d}x &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}\int_{0}^{1}t^{\nu+m}(1-t)^{\mu}\mathrm{d}t\\ &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}B(\nu+m+1,\mu+1)\\ &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}\frac{\Gamma(\nu+m+1)\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+\nu+m+2)} \end{aligned}\]

代入得

\[F_{\nu}(k) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+1)a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2m!\Gamma(\mu+\nu+m+2)}\left(\frac{k}{2}\right)^{\nu+2m}\]

观察 Bessel 函数的级数表示

\[J_{\nu+\mu+1}(ak) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+\mu+m+2)}\left(\frac{ak}{2}\right)^{\nu+\mu+2m+1}\]

整理可得

\[F_{\nu}(k) = 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)\]

QED.

Lemma 2 Bessel 函数积分公式对实参数 \(\mu>\nu>-1\), \(a,b>0\), \(a\ne b\), 有(右侧在 \(b>a\) 时定义为 0; \(a=b\) 需单独取极限):

\[\int_{0}^{\infty}t^{1-\mu+\nu}J_{\mu}(at)J_{\nu}(bt)\mathrm{d}t = \frac{b^{\nu}(a^{2}-b^{2})^{\mu-\nu-1}}{2^{\mu-\nu-1}a^{\mu}\Gamma(\mu-\nu)}H(a-b)\]

Proof 由 Lemma 1 及 Hankel 逆变换关系

\[f(x) = \int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)J_{\nu}(xk)k\mathrm{d}k\]

代入 \(f(x)\) 和 \(F_{\nu}(k)\) 的表达式

\[\begin{aligned} x^{\nu}(a^2-x^2)^{\mu}H(a-x) &= \int_{0}^{\infty}2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)J_{\nu}(xk)k\mathrm{d}k\\ &= 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}\Gamma(\mu+1)\int_{0}^{\infty}J_{\nu}(xk)J_{\nu+\mu+1}(ak)k^{-\mu}\mathrm{d}k \end{aligned}\]

令 \(\mu'=\mu+\nu+1\),\(x=b\),\(k=t\), 整理得

\[\int_{0}^{\infty}t^{1-\mu'+\nu}J_{\nu}(bt)J_{\mu'}(at)\mathrm{d}t = \frac{b^{\nu}(a^2-b^2)^{\mu'-\nu-1}}{2^{\mu'-\nu-1}a^{\mu'}\Gamma(\mu'-\nu)}\]

将 \(\mu'\) 换回 \(\mu\), 并考虑 \(H(a-b)\) 函数, 即得结论. QED.

Lemma 3 对偶积分方程一般解考虑对偶积分方程

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}f(t)J_{\nu}(xt)\mathrm{d}t = x^{-\nu}M(x) &&0\lt x\lt1\\ &\int_{0}^{\infty}f(t)J_{\nu}(xt)t\mathrm{d}t = 0 &&x>1 \end{aligned}\]

其解为

\[f(t) = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi(x)J_{\nu-1/2}(xt)\mathrm{d}x\]

其中

\[\xi(x) = x^{-2\nu}M(0) + x^{1-2\nu}\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y\]

特别地, 当 \(\nu=0\) 时, 简化为

\[\begin{aligned} f(t) &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\xi(x)\cos(xt)\mathrm{d}x\\ \xi(x) &= M(0) + x\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y \end{aligned}\]

Proof 设

\[f(t) = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi(x)J_{\nu-1/2}(xt)\mathrm{d}x\]

分部积分得

\[f(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi t}}\left[\xi(1)J_{\nu+1/2}(t)-\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi'(x)J_{\nu+1/2}(xt)\mathrm{d}x\right]\]

当 \(x>1\) 时,由 Lemma 2

\[\int_{0}^{\infty}t^{1/2}J_{\nu}(xt)J_{\nu+1/2}(yt)\mathrm{d}t = 0,\quad (y\leq1)\]

故第二个方程自动满足. 代入第一个方程, 利用 Bessel 函数乘积公式:

\[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{x}y^{2\nu}(x^2-y^2)^{-1/2}\xi(y)\mathrm{d}y = M(x)\]

令 \(x^2=t\), \(y^2=u\), 并记 \(\widetilde\xi(u)=\xi(\sqrt u)\), \(\widetilde M(t)=M(\sqrt t)\), 则

\[\frac{1}{\pi}\int_{0}^{t}u^{\nu-1/2}(t-u)^{-1/2}\widetilde\xi(u)\mathrm{d}u = \widetilde M(t)\]

设 \(Q(u)=u^{\nu-1/2}\widetilde\xi(u)\), 对两边作 Laplace 变换.由于

\[\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} = \sqrt{\frac{\pi}{p}},\quad \mathcal{L}\{Q(t)\} = q(p),\quad \mathcal{L}\{\widetilde M(t)\} = m(p)\]

根据卷积定理

\[\frac{1}{\pi}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{p}}\cdot q(p) = m(p)\]

解得

\[q(p) = \sqrt{\pi p}\cdot m(p)\]

利用 \(q(p)=\sqrt{\pi/p}\,[p\,m(p)]=\sqrt{\pi/p}\,[\mathcal{L}\{\widetilde M'(t)\}+\widetilde M(0)]\) 及卷积定理, 反演得

\[Q(t) = \widetilde M(0)t^{-1/2} + \int_{0}^{t}(t-u)^{-1/2}\widetilde M'(u)\mathrm{d}u\]

因此

\[\xi(x) = x^{-2\nu}M(0) + x^{1-2\nu}\int_{0}^{x}(x^2-y^2)^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y\]

当 \(\nu=0\) 时, 利用

\[\sqrt{\frac{2t}{\pi}}J_{-1/2}(xt) = \frac{2}{\pi\sqrt{x}}\cos(xt)\]

可得特殊形式. QED.

Example 求解带电导体圆盘的静电势. 采用柱坐标系, 定解问题为

\[\begin{aligned} &\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 &&0\lt r\lt\infty,\ z>0\\ &\left.u\right|_{z=0,0\leq r\lt a}=u_0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{z=0,r>a}=0\\ &\left.u\right|_{r=0}\text{有界}, &&\lim_{r\to\infty}u=0 &\lim_{z\to\infty}u=0 \end{aligned}\]

Solution 作零阶 Hankel 变换

\[\hat{u}(p,z)=\int_{0}^{\infty}u(r,z)J_0(pr)r\mathrm{d}r\]

还需控制分部积分的边界项, 点态 \(u\to0\) 本身不够. 对 \(p>0,z>0\), 要求变换积分收敛并有

\[\left[rJ_0(pr)\partial_ru-r\partial_rJ_0(pr)u\right]_{r=0}^{r=\infty}=0.\]

本例电势在轴上正则, \(\partial_ru=O(r)\); 无穷远有 \(u=O(r^{-1})\)、\(\partial_ru=O(r^{-2})\), 配合 Bessel 渐近行为, 边界项消失. 因而可得

\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)J_0(pr)r\mathrm{d}r=-p^2\hat{u}(p,z)\]

因此,方程和边界条件变换为

\[\frac{\mathrm{d}^2\hat{u}(p,z)}{\mathrm{d}z^2}-p^2\hat{u}(p,z)=0,\quad \lim_{z\to\infty}\hat{u}(p,z)=0\]

解得

\[\hat{u}(p,z)=A(p)\mathrm{e}^{-pz}\]

难点在于处理 \(z=0\) 平面上混合边界条件. 先进行 Hankel 逆变换:

\[u(r,z)=\int_{0}^{\infty}A(p)\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)p\mathrm{d}p\]

将此式代入边界条件, 得到系数 \(A(p)\) 的对偶积分方程:

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}A(p)J_0(pr)p\mathrm{d}p=u_0 &&0\leq r\lt a\\ &\int_{0}^{\infty}A(p)J_0(pr)p^2\mathrm{d}p=0 &&r>a \end{aligned}\]

令 \(f(p)=pA(p)\), \(M(r)=u_0\), 并应用 Lemma 3

\[\begin{aligned} \xi(r) &= u_0\\ pA(p) &= \frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{a}\cos(rp)\mathrm{d}r = \frac{2u_0\sin(ap)}{\pi p} \end{aligned}\]

解得

\[A(p) = \frac{2u_0\sin(ap)}{\pi p^2}\]

代入解式, 得到带电导体圆盘的静电势:

\[\begin{aligned} u(r,z) &= \int_{0}^{\infty}A(p)\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)p\mathrm{d}p\\ &= \frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)\frac{\sin(ap)}{p}\mathrm{d}p\\ &= \frac{2u_0}{\pi}\arcsin\frac{2a}{\sqrt{z^2+(r+a)^2}+\sqrt{z^2+(r-a)^2}} \end{aligned}\]

其中最后一行利用了积分公式

\[\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)\frac{\sin(ap)}{p}\mathrm{d}p = \arcsin\frac{2a}{\sqrt{z^2+(r+a)^2}+\sqrt{z^2+(r-a)^2}}\]

以上讨论的主要都是无界或半无界区间上的积分变换, 它们的共同特点是变量 \(k\) 的取值连续. 对于有界区间(含周期性)上的积分变换, \(k\) 只能取离散值. 可将变换核记为 \(K_n(x)\), 常见例子有:

有限正弦变换	有限余弦变换	Legendre 变换
\(\sin nx\)	\(\cos nx\)	\(P_n(x)\)

这些积分变换的核恰好是定义在各自区间上的本征函数, 体现了 Sturm-Liouville 理论的统一框架.

16 Green Function Method

本章将讨论偏微分方程的 Green 函数方法.

Theorem Green 第二公式 (散度定理的推论). 例如取 \(V\) 为有界区域, 边界 \(\Sigma\) 分片光滑, \(u,v\in C^2(\overline V)\), 则

\[\iiint_{V}\left[u(\mathbf{r})\nabla^{2}v(\mathbf{r})-v(\mathbf{r})\nabla^{2}u(\mathbf{r})\right]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{\Sigma}[u\nabla v-v\nabla u]\cdot\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}\]

其中 \(\Sigma\) 是体积 \(V\) 的边界面, 规定边界面的外法线方向为正. 对含点源的 Green 函数, 应先挖去源点的小邻域并保留其边界项, 再取极限; 等价地在分布意义下使用公式.

16.1 Basic Concepts of Green Functions

先通过静电场的例子引入 Poisson 方程第一边值问题的 Green 函数.

Example 1 考虑有界空间的静电场. 设金属壳表面接地, 金属壳内电荷分布为 \(\rho(\mathbf{r})\). 则静电势满足 Poisson 方程, 其定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &u|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

Solution 静电势满足电势叠加原理, 可以对 \(u\) 和 \(\rho\) 进行线性组合满足相同的 Poisson 方程和边界条件

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})=-\frac{\alpha_{1}\rho_{1}(\mathbf{r})+\alpha_{2}\rho_{2}(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &\left.(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})\right|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

由于电荷密度分布可以等价地表示为 \(\delta\) 函数的线性组合

\[\rho(\mathbf{r})=\int\rho(\mathbf{r}^{\prime})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

对于每一个 \(\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\) 电荷分布, 设有唯一的解 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=-\frac{\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}{\epsilon_0}\\ &\left.G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\right|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

线性叠加得到定解问题的解

\[u(\mathbf{r})=\int G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

\(G(\mathbf{r}; \mathbf{r}^{\prime})\) 的物理意义为 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 处的单位点电荷在 \(\mathbf{r}\) 产生的电势.

Example 2 无界空间电势

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &u|_{r\rightarrow\infty}=0 \end{aligned}\right.\]

说明其解为 Green 函数

的线性叠加.

Solution 单位点电荷在无界空间产生的静电势为

\[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\]

容易验证它确实是满足 Green 函数的方程, 因为

\[\nabla^{2}\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\mathbf{r})\]

由单位点电荷电势(Green 函数)可以叠加得到最后的解

\[u(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

Definition Green 函数: 设 \(\mathcal{L}\) 是定义在 \(\Omega\sub\mathbb{R}^n\) 上的一个线性微分算子, 对于定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}u(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}),&&\mathbf{x}\in\Omega\\ &\mathcal{B}u=g,&&\mathrm{on~}\partial\Omega\mathrm{~or~initial~surface} \end{aligned}\right.\]

其中 \(\mathcal{B}\) 是边界算子, 若存在函数 \(G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}),&&\mathbf{x}\in\Omega\\ &\mathcal{B}G=0,&&\mathrm{on~}\partial\Omega\mathrm{~or~initial~surface} \end{aligned}\right.\]

则称 \(G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})\) 为算子 \(\mathcal{L}\) 在边界条件 \(\mathcal{B}G=0\) 下的 Green 函数. 当齐次定解问题唯一可解时, 相应定解问题的解为

\[u(\mathbf{x})=\int_\Omega G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})f(\mathbf{x}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{x}^{\prime}+u_g(\mathbf{x}),\qquad \mathcal{L}u_g=0,\quad\mathcal{B}u_g=g\]

其中 \(u_g\) 承担非齐次边界或初始数据; 当 \(g=0\) 时 \(u_g=0\). 它的具体积分表示依赖算子与边界条件, 不能统一写成同一个表面积分.

Remark

算子 \(\mathcal{L}\) 不仅限于 Laplace 算子, 也不一定局限于稳定问题的算子, 而可以是更一般的线性微分算子
\[-\nabla^2,\quad \frac{\partial}{\partial t}-\kappa\nabla^2,\quad \frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\nabla^2,\quad \nabla^2+k^2\]
对于含时的微分算子和边界条件, 相应辅助 Green 函数也引入含时项. e.g.
\[\partial_tu(x,t)-\kappa\partial_x^2u(x,t)=f(x,t),\quad x\in\mathbb{R},\mathrm{~}t>0\]
对应的 \(G(x,t;x',t')\) 满足
\[\left(\partial_t-\kappa\partial_x^2\right)G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime})\]
取推迟 Green 函数时要求 \(G(x,t;x',t')=0\) 对所有 \(t\lt t'\) 成立. 对热算子, 跨越源时刻积分得到跳跃 \(G(t'^+)-G(t'^-)=\delta(x-x')\); 对时间最高阶系数为 1 的波动算子, 则 \(G\) 连续而 \(\partial_tG(t'^+)-\partial_tG(t'^-)=\delta(x-x')\). 这些等式均在空间分布意义下成立.
在某些特殊情形下, 这样定义的 Green 函数可能无解
- \(\mathcal{L}\) 具有零特征值, 比如 Neumann 边值问题的 Laplace 算子, Green 函数仅在满足一定条件下存在. 此时应该引入修正 Green 函数或投影到正交补空间.
由于 \(\delta\) 是广义函数. Green 函数通常在分布意义或弱解意义下定义. 在 \(\mathbf{x}\neq\mathbf{x}^{\prime}\) 处, \(G\) 满足齐次方程 \(\mathcal{L}G=0\), 这会简化求解在 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\prime}\) 处, \(G\) 具有奇性, 其强度由 \(\delta\) 的积分性质决定.
Green 函数代表了系统对单位点源的响应, 因此在物理上有重要意义.

Example 3 Poisson 方程

\[\nabla^{2}u=-\rho(\mathbf{r})\]

的第一、二、三类边界条件可以统一地写为

\[\left[\alpha{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta u\right]_{\Sigma}=g\]

其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是不同时为零的实数, \(g\) 是体积 \(V\) 的边界 \(\Sigma\) 上的给定函数.

Solution 先假定齐次边值问题没有非零解, 从而逆算子存在. 对 Robin 条件 \(\alpha\ne0\), \(\beta/\alpha>0\) 是一个充分条件: 齐次调和解满足

\[\int_V|\nabla u|^2\mathrm{d}V+\frac\beta\alpha\int_\Sigma u^2\mathrm{d}\Sigma=0,\]

故只能为零. 负系数并不自动保证可逆; 例如半径 \(a\) 的球中 \(u=x_1\) 在 \(\beta/\alpha=-1/a\) 时就是非零齐次解. 以下普通 Green 表示只适用于可逆情形, 纯 Neumann 情形含常数零模, 须另行满足相容条件. 相应的 Green 函数的定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\\ &\left[\alpha{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta G\right]_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

以 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\) 乘 Poisson 方程, \(u(\mathbf{r})\) 乘 Green 函数方程, 相减, 然后在体积 \(V\) 中求积分, 得

\[\iiint_{V}[G\nabla^{2}u(r)-u(r)\nabla^{2}G]\mathrm{d}\mathbf{r} =-\iiint_{V}G\rho\mathrm{d}\mathbf{r}+\iiint_{V}u(\mathbf{r})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}\]

左边的积分应用 Green 公式化为面积分, 移项, 得

\[u(\mathbf{r}^{\prime}) =\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r} +\iint_{\Sigma}\left(G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial u(\mathbf{r})}{\partial n}-u(\mathbf{r})\frac{\partial G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma\]

其中 \(\frac{\partial}{\partial n}\) 代表沿 \(\Sigma\) 的外法线的方向导数.

对于第一类边值问题
\[\alpha=0;\beta=1\implies u(\mathbf{r}^{\prime})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}-\iint_{\Sigma}g\frac{\partial G}{\partial n}\mathrm{d}\Sigma\]
若 \(\alpha\neq0\), 以 \(G\) 乘边界条件, 得
\[\left[\alpha G{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta Gu\right]_{\Sigma}=Gg\]
以 \(u\) 乘 Green 函数边界条件, 得
\[\left[\alpha u{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta Gu\right]_{\Sigma}=0\]
两式相减, 得
\[\alpha\left[G{\frac{\partial u}{\partial n}}-u{\frac{\partial G}{\partial n}}\right]_{\Sigma}=Gg\]
代入面积分公式, 得
\[u(\mathbf{r}^{\prime})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r} +\frac{1}{\alpha}\iint_{\Sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})g(\mathbf{r})\mathrm{d}\Sigma\]
对于第二边值问题, \(\alpha=1, \beta=0\), 满足原始点源方程和齐次 Neumann 边条件的普通 Green 函数不存在: 由 Green 公式
\[\iiint_{V}\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}=\iint_{\Sigma}\nabla G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\cdot\mathrm{d}\Sigma =\iint_{\Sigma}\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\mathrm{d}\Sigma=0\]
可是, 将 Poisson 方程积分, 又得到
\[\iiint_{V}\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}=-\iiint_V\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime)\mathrm{d}\mathbf{r}=-1\]
得到了相互矛盾的结果. 对原问题 \(\nabla^2u=-\rho\)、\(\partial_nu=g\), 必须满足兼容条件
\[\int_V\rho\,\mathrm{d}V+\int_\Sigma g\,\mathrm{d}\Sigma=0.\]
在连通有界区域内, 解只确定到加法常数. 可取零均值修正 Green 函数
\[\nabla^2G_N=-\delta(\mathbf r-\mathbf r')+\frac1{|V|},\quad \partial_nG_N=0,\quad\int_VG_N\,\mathrm{d}V=0,\]
得到
\[u(\mathbf r')-\overline u= \int_VG_N(\mathbf r;\mathbf r')\rho(\mathbf r)\mathrm{d}V+ \int_\Sigma G_N(\mathbf r;\mathbf r')g(\mathbf r)\mathrm{d}\Sigma, \qquad\overline u=|V|^{-1}\int_Vu\,\mathrm{d}V.\]
这正是在常数零模的正交补上使用逆算子.
将定解问题
\[\nabla^{2}G=-\frac{1}{\epsilon_{0}}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}),\quad \left.\frac{\partial G}{\partial n}\right|_{\Sigma}=0\]
视作稳态传热问题, 则此结论的物理意义容易看出: 点热源位于 \(\mathbf{r}^\prime\), 绝热边条件下, 由于热量无法耗散, 这样的温度场不可能是稳定的.

16.2 Properties of Green Functions for Steady-state Problems

16.2.1 Symmetry of Green Functions

对于上一个例子, 如果视为静电场满足的 Poisson 方程(相差一些 \(\epsilon_0\) 系数), \(G(\mathbf{r}; \mathbf{r}^{\prime})\) 代表的是位于 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点的点源在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场, 积分中 \(\rho(\mathbf{r})\) 是在 \(\mathbf{r}\) 点的源, 这使得解释这个积分的物理意义时发生了困难. 如果可以证明上述 Green 函数具有对称性

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=G(\mathbf{r}^{\prime};\mathbf{r})\]

物理上讲, 这意味着位于 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点的点源, 在一定的边界条件下在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场, 等于位于 \(\mathbf{r}\) 点的同样强度的点源, 在相同的边界条件下在 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点产生的场. 因此, 在把 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 对调后, 可得

\[u(\mathbf{r})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} +\iint_{\Sigma}\left(G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial u(\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}-u(\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\]

这个式子的物理意义很清楚: 右边第一个积分代表在体积 \(V\) 中的分布源 \(\rho(\mathbf{r}^{\prime})\) 在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场的总和; 第二个积分则是在边界面上的源所产生的场.

Proof 考虑比 Laplace 算子更一般的 Helmholtz 算子

\[\mathcal{L}:=-\nabla^2-\lambda,\quad\lambda\in\mathbb{R}\]

相应的 Green 函数满足方程

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}) ,&&\mathbf{r}\in V\\ &\left[\alpha\frac{\partial G}{\partial n}+\beta G\right]_\Sigma=0, &&\alpha,\beta\in\mathbb{R},\alpha^2+\beta^2>0 \end{aligned}\right.\]

\(\alpha\) 和 \(\beta\) 不同时为零. 对于

\[G_1(\mathbf{r})=G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1),\quad G_2(\mathbf{r})=G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2),\quad \mathbf{r}_1\neq\mathbf{r}_2\in V\]

满足

\[-\nabla^2G_1-\lambda G_1=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)\]

\[-\nabla^2G_2-\lambda G_2=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)\]

\[\alpha\frac{\partial G_i}{\partial n}+\beta G_i=0\quad\mathrm{on~}\Sigma,\quad i=1,2\]

使用之前的技巧, 考虑积分

\[I =\int_V\left(G_2\left.\mathcal{L}G_1-G_1\left.\mathcal{L}G_2\right)\right)\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_V\left[G_2\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)-G_1\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)\right]\mathrm{d}\mathbf{r} =G_2(\mathbf{r}_1)-G_1(\mathbf{r}_2)\right.\]

另一方面, 展开 \(\mathcal L\), 得到

\[\begin{aligned} I &=\int_V\left[G_2(-\nabla^2G_1-\lambda G_1)-G_1(-\nabla^2G_2-\lambda G_2)\right]\mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\int_V\left(-G_2\nabla^2G_1+G_1\nabla^2G_2\right)\mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\int_{\Sigma}\left(G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}-G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma \end{aligned}\]

综上

\[G(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)-G(\mathbf{r}_2;\mathbf{r}_1)=\int_\Sigma\left(G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1)\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2)}{\partial n}-G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2)\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1)}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma\]

对称性只需要证明右侧为 0. 代入齐次 Robin 条件

\[\frac{\partial G_i}{\partial n}=-\frac{\beta}{\alpha}G_i,\quad \mathrm{if~}\alpha\ne 0\]

则边界项

\[G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}-G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}=G_1\left(-\frac{\beta}{\alpha}G_2\right)-G_2\left(-\frac{\beta}{\alpha}G_1\right)=0\]

对于 \(\beta\ne 0\), 反过来使其为分母即可. 这就证明了相应 Green 函数的对称性; 算子的自伴性还需在满足这些边条件的适当定义域上确立. 对于 Neumann 问题的修正 Green 函数, 对称性仍可成立, 但需要重新定义.

Remark 这样的对称性并非所有 Green 函数都具有. 在本节实系数、实自伴边界条件且逆算子存在的情形, Green 函数具有上述对称性; 复 Hilbert 空间中的对应关系为 \(G(\mathbf r;\mathbf r')=\overline{G(\mathbf r';\mathbf r)}\).

16.2.2 Behavior of Green Functions near Point Sources

考虑静电场 Poisson 方程第一边值问题的 Green 函数. 在空间 \(V\) 中的点电荷, 必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布. 因此, Green 函数 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 在区域 \(V\) 内可以分解为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') + g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\]

\(G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 是无界空间中单位点电荷(位于 \(\mathbf{r}'\))所产生的电势, 满足 \[G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|},\quad \nabla^2 G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') = - \frac{1}{\epsilon_0}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\] 它在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 处发散(具有库仑奇性), 在 \(V \setminus \{\mathbf{r}'\}\) 上光滑
\(g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 是由边界 \(\Sigma\) 上的感生电荷所等效产生的电势, 它在整个区域 \(V\) 内(包括 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 附近)是调和函数, 即 \[\nabla^2 g(\mathbf{r};\mathbf{r}') = 0, \quad \mathbf{r} \in V\] 且其具体形式由边界条件决定(例如第一类边界条件要求 \(g|_\Sigma = -G_0|_\Sigma\)) Remark 虽然感生电荷分布在边界 \(\Sigma\) 上, 但其在 \(V\) 内产生的电势 \(g\) 并非由体分布源驱动, 而是一个正则的调和函数. 因此, 不应将 \(g\) 的方程写为含 \(\delta_\Sigma\) 的非齐次方程, 其"源"仅作为边界条件的等效体现.

对于第三类边界条件, 同样可作此分解, 只是 \(g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 需满足相应的 Robin 条件.

对于其他类型的稳定问题, 也可类似讨论. 例如, Helmholtz 方程

\[(\nabla^2 + k^2) G = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

的自由空间 Green 函数(满足出射波条件)在 \(\mathbf{r} \to \mathbf{r}'\) 附近的行为为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') \sim \frac{1}{4\pi} \frac{\cos(k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

其奇性结构与 Poisson 方程相同(\(\sim 1/r\)), 只是附加了振荡因子.

Remark 以上两个问题还可以进一步说明, Green 函数在点源处的奇性依赖于空间维数. 例如一维情形, Green 函数本身连续, 但一阶导数在源点有跳跃; 在二维情形, 奇性为对数型. 以二维静电场 Poisson 方程第一边值问题为例, Green 函数 \(G(x, y; x', y')\) 的定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) G = - \frac{\delta(x - x') \delta(y - y')}{\epsilon_0}, \quad (x,y) \in S\\ &G|_C = 0 \end{aligned}\right.\]

仿照之前三维情形的讨论, 可将其分解为

\[G(x,y; x', y') = -\frac{1}{2\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{R} \right) + g(x,y; x', y'),\]

其中第一项是无界二维空间中单位点电荷的电势, 它在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 处对数发散; 第二项 \(g\) 在区域 \(S\) 内是调和函数, 且满足 \(g|_C = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{R} \right)\) 以抵消边界上的自由空间电势.

16.3 Green Function of the Helmholtz Equation in Unbounded 3D Space

Example 求三维无界空间中 Helmholtz 方程的 Green 函数,即在三维无界空间中求解

\[(\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

此时尚未指定无穷远处的边界条件, 形式解因而还不唯一.

Solution 1 由于在无界空间中, 平移坐标系使源点 \(\mathbf{r}'\) 位于原点:

\[(\nabla^2 + k^2) g(\mathbf{r}) = -\delta(\mathbf{r}),\quad G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = g(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

由球对称性, 取径向 \(\delta(r)\) 的归一化为 \(\int_0^\infty\delta(r)\varphi(r)\mathrm{d}r=\varphi(0)\), 作代换 \(g(\mathbf{r}) = f(r), \delta(\mathbf{r}) = \frac{\delta(r)}{4\pi r^2}\), 得

\[\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left( r^2 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r} \right) + k^2 f = -\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}\]

当 \(r \neq 0\) 时, 容易得到 Euler 方程的通解

\[f(r) = A \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k r}}{r} + B \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k r}}{r}\]

在 \(r=0\) 附近对小球体积积分, \(k^2\int_{|\mathbf r|\lt \rho}g\,\mathrm dV=O(\rho^2)\to0\), 因而

\[\lim_{\rho\to0^+}\int_{|\mathbf r|\lt\rho}\nabla^2g\,\mathrm dV=-1\]

又由

\[\int_{|\mathbf{r}|\lt\rho} \nabla^2 g \,\mathrm{d}V= \oint_{|\mathbf{r}|=\rho} \nabla g \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 4\pi \rho^2 \left. \frac{\partial f}{\partial r} \right|_{r=\rho}\]

取 \(\rho \to 0^+\) 得到

\[A + B = \frac{1}{4\pi}\]

以下取实数 \(k>0,\omega>0\), 并使用时间因子 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\). “发散波”和“汇聚波”按这一相位约定判断. 考虑具体边界条件

要求无穷远处为发散波(物理上对应辐射条件), 则 \(B=0\), 得到 Green 函数为 \[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.\]
要求无穷远处为汇聚波, 则 \(A=0\), 得到 Green 函数为 \[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.\]

若改用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\), 同一实出射场的复振幅应取共轭, 空间因子相应改为 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}\), \(R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\):

\[\mathrm{Re}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kR}}{4\pi R} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right] = \mathrm{Re}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}}{4\pi R} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right].\]

所以时间因子的正负本身不决定是否为物理解; 它须与空间相位及辐射处方成套使用. 当 \(k=0\) 时, 出射波解退化为 Poisson 方程的自由空间 Green 函数 \(G = \frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\).

Solution 2 (Fourier 变换法) 对 \((\nabla^2 + k^2) G = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 作 Fourier 变换

\[\hat{G}(\mathbf{p}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}\mathbf{r}\]

\[(-p^2 + k^2) \hat{G} = -\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}'}\]

得到

\[\hat{G}(\mathbf{p}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}'}}{p^2 - k^2}.\]

反演得

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{p^2 - k^2} \mathrm{d}\mathbf{p}\]

令 \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'\), 在 \(\mathbf{p}\) -空间球坐标系下积分

\[\begin{aligned} G &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p R \cos\theta}}{p^2 - k^2} p^2 \sin\theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}p \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{1}{\mathrm{i}R} \int_0^\infty \frac{p}{p^2 - k^2} \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p R} \right] \mathrm{d}p \\ &= \frac{1}{\mathrm{i}(2\pi)^2 R} \int_{-\infty}^\infty \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i}pR}}{p^2 - k^2} \mathrm{d}p \end{aligned}\]

取 Cauchy 主值, 求留数容易得到

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\cos(k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

这与之前的结果不同, 因为取主值积分, 相当于取了一定的无穷远条件. 为满足辐射条件, 将 \(k\) 替换为 \(k + \mathrm{i}\eta, \eta > 0\), 积分结果为

\[G = \frac{1}{\mathrm{i}(2\pi)^2 R} \lim_{\eta \to 0^+} \int \frac{p\mathrm{e}^{\mathrm{i}pR}}{p^2 - (k + \mathrm{i}\eta)^2} \mathrm{d}p\]

在复 \(p\) -平面上,极点 \(p = \pm (k + \mathrm{i}\eta)\) 位于实轴两侧, 得

\[\int_{-\infty}^\infty \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R}}{p^2 - (k + \mathrm{i}\eta)^2} \mathrm{d}p = 2\pi \mathrm{i} \cdot \left.\left( \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R}}{p + (k + \mathrm{i}\eta)} \right)\right|_{p = k + \mathrm{i}\eta} = \mathrm{i}\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k + \mathrm{i}\eta)R}\]

最终得到

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

若取 \(k - \mathrm{i}\eta,\eta > 0\), 得到汇聚波解 \(\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\).

讨论: 在本节负时间相位与无穷远处为发散波的要求下, 解的渐近形式含 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kR}\) 因子. 在 \(k\to k + \mathrm{i}\eta\) 时, 解中含有额外的衰减因子 \(\mathrm{e}^{-\eta R}\), 这保证了 Green 函数
\[\int|G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})|\mathrm{d}\mathbf{r}\]
在每个 \(\eta>0\) 时绝对收敛, 可作普通 Fourier 变换; \(\eta\to0^+\) 的辐射解不再属于 \(L^1\), 该极限应按分布理解.
此外, \(\eta \to 0^+\) 的极限对应 Sommerfeld 辐射条件 \(\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \left( \frac{\partial G}{\partial r} - \mathrm{i}k G \right) = 0\), 也可以说明解的物理合理性.

改用正时间相位表示同一出射场时, 应选取空间振幅 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}/(4\pi R)\), Fourier 积分中的处方为 \(k\to k-\mathrm{i}\eta\), 辐射条件中的算符相应为 \(\partial_r+\mathrm{i}k\).

16.4 Green Function for the Dirichlet Problem of Poisson Equation in a Disk

Example 圆内 Poisson 方程第一边值问题

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u(\mathbf{r}) = -\rho(\mathbf{r}), &&|\mathbf{r}| \lt a \\ &u|_{|\mathbf{r}|=a} = f(\phi) \end{aligned}\right.\]

相应的 Green 函数满足

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), &&|\mathbf{r}| \lt a \\ &G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{|\mathbf{r}|=a} = 0 \end{aligned}\right.\]

并应该满足正则边条件:

\[G(\mathbf{0};\mathbf{r}')\text{ 有界}\ (\mathbf r'\ne\mathbf0),\quad G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{\phi=0} = G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{\phi=2\pi},\quad \frac{\partial G}{\partial\phi}(\mathbf{r};\mathbf{r}')\bigg|_{\phi=0} = \frac{\partial G}{\partial\phi}(\mathbf{r};\mathbf{r}')\bigg|_{\phi=2\pi}\]

Solution 1 采用平面极坐标 \((r,\phi)\). 已知二维自由空间中

\[\nabla^{2}\ln|\mathbf{r}| = 2\pi\delta(\mathbf{r}),\]

故令

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = v(\mathbf{r};\mathbf{r}') + w(\mathbf{r};\mathbf{r}'),\quad v(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\]

则 \(w\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} \nabla^{2}w(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= 0, &&|\mathbf{r}| \lt a \\ w(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{|\mathbf{r}|=a} & = \frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\big|_{|\mathbf{r}|=a} \end{aligned}\right.\]

由分离变量法. \(w\) 的通解为

\[w(r,\phi;\mathbf{r}') = C_0 + \sum_{m=1}^{\infty} r^m \left[ C_{m1}\cos(m\phi) + C_{m2}\sin(m\phi) \right].\]

利用对数恒等式

\[\ln[1 + t^2 - 2t\cos\theta] = -2\sum_{m=1}^{\infty} \frac{t^m}{m} \cos(m\theta),\quad |t| \lt 1\]

令 \(r_\lt = \min(r,r'),r_> = \max(r,r')\), 有

\[\begin{aligned} \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| &= \frac{1}{2}\ln\left[r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\phi-\phi')\right] \\ &= \ln r_> - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r_\lt}{r_>}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \\ &= \ln r_> - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r_\lt}{r_>}\right)^m \left[ \cos(m\phi)\cos(m\phi') + \sin(m\phi)\sin(m\phi') \right]. \end{aligned}\]

在边界 \(r = a\), 代入 \(r_\lt = r'\), \(r_> = a\), 得到

\[\begin{aligned} w(a,\phi;\mathbf{r}') &= \frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\big|_{r=a} \\ &= \frac{1}{2\pi}\left[ \ln a - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \right] \\ &= \frac{\ln a}{2\pi} - \frac{1}{2\pi}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \left[ \cos(m\phi)\cos(m\phi') + \sin(m\phi)\sin(m\phi') \right]. \end{aligned}\]

对比得系数

\[\begin{aligned} C_0 &= \frac{\ln a}{2\pi}, \\ C_{m1} &= -\frac{1}{2\pi} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \frac{\cos(m\phi')}{a^m}\\ C_{m2} &= -\frac{1}{2\pi} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \frac{\sin(m\phi')}{a^m} \end{aligned}\]

从而得到解

\[\begin{aligned} w(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= \frac{\ln a}{2\pi} - \frac{1}{2\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{rr'}{a^2}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \ln a + \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{rr'}{a^2}\right)^2 - 2\frac{rr'}{a^2}\cos(\phi-\phi')\right) \right] \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \ln\left| \mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \right| - \ln\frac{a}{r'} \right], \end{aligned}\]

Green 函数为

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + \frac{1}{2\pi} \left[ \ln\left| \mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \right| - \ln\frac{a}{r'} \right] \\ &= -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}'' \right| + \ln\frac{a}{r'} \right],\quad \mathbf{r}'' = \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \end{aligned}\]

当 \(r'=0\) 时取极限 \(G(\mathbf r;\mathbf0)=-\ln(r/a)/(2\pi)\). 当 \(r'>0\) 时, 其中 \(\mathbf{r}''\) 是 \(\mathbf{r}'\) 关于圆 \(|\mathbf{r}|=a\) 的反演点. 利用此之前关于 Poisson 方程定解问题的 Green 函数及其对称性的讨论, 可得原问题的解

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r}) &= \iint_{|\mathbf{r}'|\lt a} \rho(\mathbf{r}') G(\mathbf{r};\mathbf{r}') \,\mathrm{d}\mathbf{r}' - \int_0^{2\pi} f(\phi') \left. \frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}')}{\partial r'} \right|_{r'=a} a\,\mathrm{d}\phi' \\ &= -\frac{1}{2\pi} \iint_{|\mathbf{r}'|\lt a} \rho(\mathbf{r}') \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left|\mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}'\right| + \ln\frac{a}{r'} \right] \mathrm{d}\mathbf{r}' \\ &+ \frac{a^2-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(\phi')}{a^2+r^2-2ar\cos(\phi-\phi')} \,\mathrm{d}\phi' \end{aligned}\]

当 \(\rho(\mathbf{r}) = 0\) 时,得到圆内 Laplace 方程第一边值问题的 Poisson 公式:

\[u(\mathbf{r}) = \frac{a^2-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(\phi')}{a^2+r^2-2ar\cos(\phi-\phi')} \,\mathrm{d}\phi'\]

Solution 2 (电像法) 将 Green 函数的求解考虑为物理背景下的静电学问题. 当在接地导体圆内放置点电荷后, 圆周上会产生感应电荷. 圆内任意点的电势是点电荷和感应电荷电势的叠加. 前者满足 Poisson 方程但不满足边界条件, 后者在圆内满足 Laplace 方程.

Remark 圆外点电荷产生的电势在圆内满足 Laplace 方程!! 因此, 边界上的感应电荷可用圆外电荷等效替代, 这种方法在电动力学中称为电像法.

对于本问题的 Green 函数, 考虑在圆外放置一个像电荷. 由对称性, 该像电荷应该位于真实电荷所在半径的延长线上. 设真实电荷位于 \(\mathbf{r}'\), 像电荷位置为 \(\mathbf{r}_1\), 电量为 \(e\). 以下沿用本节数学归一化 \(\nabla^2G=-\delta\); 单位物理电荷的电势为 \(G/\epsilon_0\). 则 Green 函数为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + e\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| + C \right]\]

边界条件要求

\[\left.(\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + e\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| + C) \right|_{r=a} = 0\]

在极坐标系中, 边界条件化为

\[\begin{aligned} 0 &=\ln\left[a^2+r'^2-2ar'\cos(\phi-\phi')\right] + e\ln\left[a^2+r_1^2-2ar_1\cos(\phi-\phi')\right] + 2C\\ &=2\ln a + \ln\left[1+\left(\frac{r'}{a}\right)^2-2\frac{r'}{a}\cos(\phi-\phi')\right] + 2e\ln r_1 + e\ln\left[1+\left(\frac{a}{r_1}\right)^2-2\frac{a}{r_1}\cos(\phi-\phi')\right] + 2C \end{aligned}\]

该式对任意 \(\phi\in[0,\pi]\) 成立. 同样利用对数恒等式得

\[2\ln a + 2e\ln r_1 + 2C-2\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\left[\left(\frac{r'}{a}\right)^m + e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m\right]\cos m(\phi-\phi') = 0\]

从而有

\[\left\{\begin{aligned} \ln a + e\ln r_1 + C &= 0\\ \left(\frac{r'}{a}\right)^m + e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m &= 0,\quad m=1,2,3,\cdots \end{aligned}\right.\]

解得

\[e = -1,\quad r_1 = \frac{a^2}{r'},\quad C = \ln\frac{a}{r'}\]

代入得 Green 函数

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left|\mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}'\right| + \ln\frac{a}{r'} \right] \\ &= -\frac{1}{4\pi} \left\{ \ln\left[r^2+r'^2-2rr'\cos(\phi-\phi')\right]-\ln\left[r^2+\left(\frac{a^2}{r'}\right)^2-2r\frac{a^2}{r'}\cos(\phi-\phi')\right] + 2\ln\frac{a}{r'} \right\} \end{aligned}\]

电像法虽非普遍适用, 但在具有高度对称性的问题中极为有效.

16.5 Green Functions for Time-dependent Problems

16.5.1 Green Functions for Wave Equations

Example 1 一维有界弦的波动

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=f(x,t), &&0 \lt x \lt l, \quad t > 0\\ &\left.u(x,t)\right|_{x=0}=\mu(t), &&u(x,t)\big|_{x=l}=\nu(t)\\ &\left.u(x,t)\right|_{t=0}=\phi(x), &&\left.\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x). \end{aligned}\]

Solution 相应的 \(G(x,t;x',t')\) 是瞬时点源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]G(x,t;,x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&0\lt x,x^{\prime}\lt l,\quad t,t^{\prime}>0\\ &G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x=0}=G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x=l}=0, &&G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\partial_t G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0 \end{aligned}\]

的解. 初始条件的物理意义: 驱动力在 \(t=t'\) 时刻出现, 此前弦静止.

\(G(x,t;x',t')\) 的对称性: 对波动算子 \[\mathcal{L}:=\partial_t^2-a^2\partial_x^2\] 将时间延拓到实轴, 记满足上述空间 Dirichlet 边条件的推迟核为 \(G_R\), 超前核为 \(G_A\). 二者分别在观察时间早于、晚于源时间时为零. 取两个源点 \((x_1,t_1),(x_2,t_2)\), 令 \[G_1(x,t)=G_R(x,t;x_1,t_1),\quad G_2(x,t)=G_A(x,t;x_2,t_2)\] 后者满足相同的波动方程、 Dirichlet 边条件, 且满足逆向因果 \[G_2(x,t)=\partial_tG_2(x,t)=0,\quad t>t_2\] 取 \(T_-\lt\min(t_1,t_2)\), \(T_+>\max(t_1,t_2)\), 在区域 \(D=(0,l)\times(T_-,T_+)\) 上考虑积分 \[I=\iint_D\left(G_2\mathcal{L}G_1-G_1\mathcal{L}G_2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}t=G_2(x_1,t_1)-G_1(x_2,t_2)\] 另一方面, 代入 \(\mathcal{L}\) 可以得到 \[I=\int_0^l\left[G_2\partial_tG_1-G_1\partial_tG_2\right]_{T_-}^{T_+}\mathrm{d}x-a^2\int_{T_-}^{T_+}\left[G_2\partial_xG_1-G_1\partial_xG_2\right]_{0}^{l}\mathrm{d}t=0\] 空间端点项由齐次 Dirichlet 条件消失; 在 \(T_-\) 处 \(G_1,\partial_tG_1\) 为零, 在 \(T_+\) 处 \(G_2,\partial_tG_2\) 为零, 所以时间端点项也为零. 可先将点源光滑化再取分布极限理解上述计算. 因而得到推迟核与超前核之间的倒易关系 \[G_R(x_2,t_2;x_1,t_1)=G_A(x_1,t_1;x_2,t_2)\] 对这里时间无关且在时间反演下不变的波动算子, \(G_A(x,t;x',t')=G_R(x,-t;x',-t')\), 才进一步得到原推迟核的时间反演表达. 推迟核本身一般不满足直接交换两个时空点的对称性.

接下来求解 Green 函数, 这里采用两种解法

视作非齐次方程的定解问题, 第一种解法显然是按相应齐次问题的本征函数展开
\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\sin{\frac{n\pi}{l}}x\]
非齐次项展开得到
\[\delta(x-x^{\prime})=\frac{2}{l}\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}x\]
于是 \(T_{n}(t)\) 就满足常微分方程的初值问题
\[T_n^{\prime\prime}(t)+\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^{2}T_{n}(t)=\frac{2}{l}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\delta(t-t^{\prime})\]
\[T_{n}(t\lt t^{\prime})=0,\quad T_{n}^{\prime}(t\lt t^{\prime})=0\]
解得
\[T_{n}(t)=\frac{2}{n\pi a}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}a(t-t^{\prime})H(t-t^{\prime})\]
\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\frac{2}{\pi a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}x\sin\frac{n\pi}{l}a(t-t^{\prime})H(t-t^{\prime})\]
将定解问题作 Laplace 变换. 令
\[\tilde G(x)=\int_{0}^{\infty}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]
相应定解问题
\[\left[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}-\left(\frac{p}{a}\right)^{2}\right]\tilde G(x)=-\frac{1}{a^{2}}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\delta(x-x^{\prime})\]
\[\tilde G(0)=\tilde G(l)=0\]
容易得到解为
\[\tilde G(x) =\left\{\begin{aligned} &\frac{\sinh\frac{p}{a}(l-x^{\prime})\sinh\frac{p}{a}x}{pa\sinh\frac{p}{a}l}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}, &&{x\lt x^{\prime},}\\ &\frac{\sinh\frac{p}{a}x^{\prime}\sinh\frac{p}{a}(l-x)}{pa\sinh\frac{p}{a}l}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}, &&{x^{\prime}\lt x} \end{aligned}\right.\]
对其应用普遍反演公式, 得到与解法 1 相同的结果.

在区域 \(D:0\lt x\lt l,0\lt t\lt+\infty\) 上考虑积分

\[J = \iint_D\left[G\mathcal{L}^{\prime}u-u\mathcal{L}^{\prime}G\right]\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \int_0^t\int_0^l G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})f(x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}-u(x,t)\]

另一方面, 利用

\[G\mathcal{L}^{\prime}u-u\mathcal{L}^{\prime}G=\partial_{t^{\prime}}\left(G\partial_{t^{\prime}}u-u\partial_{t^{\prime}}G\right)-a^2\partial_{x^{\prime}}\left(G\partial_{x^{\prime}}u-u\partial_{x^{\prime}}G\right)\]

代入积分得到

\[\begin{aligned} J =&\int_0^l\left[G\partial_{t^{\prime}}u-u\partial_{t^{\prime}}G\right]|_{t^{\prime}=0}^{+\infty}\mathrm{d}x^{\prime}-a^2\int_0^\infty\left[G\partial_{x^{\prime}}u-u\partial_{x^{\prime}}G\right]|_{x^{\prime}=0}^{l}\mathrm{d}t^{\prime}\\ =&-\int_0^l\left[G(x,t;x',0)\psi(x') - \phi(x')\partial_{t'}G(x,t;x',t')\big|_{t'=0}\right]\mathrm{d}x^{\prime}\\ &+a^2\int_0^\infty\left[\nu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;l,t^{\prime})-\mu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;0,t^{\prime})\right]\mathrm{d}t^{\prime} \end{aligned}\]

联立得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t\int_0^lG(x,t;x^{\prime},t^{\prime})f(x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\\ &\quad+\int_0^l\left[G(x,t;x^{\prime},0)\psi(x^{\prime})-\phi(x^{\prime})\partial_{t^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},0)\right]\mathrm{d}x^{\prime}\\ &\quad-a^2\int_0^t\left[\nu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;l,t^{\prime})-\mu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;0,t^{\prime})\right]\mathrm{d}t^{\prime}. \end{aligned}\]

Example 2 三维无界空间中的波动方程初值问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}u(\mathbf{r},t)}{\partial t^{2}}-a^{2}\nabla^{2}u(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r},t), &&t>0\\ &u(\mathbf{r},t)\big|_{t=0}=\phi(\mathbf{r}), &&\left.\frac{\partial u(\mathbf{r},t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(\mathbf{r}) \end{aligned}\]

Solution 相应的 Green 函数 \(G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}', t')\) 是瞬时点源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2}\nabla^{2}\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&t,t'>0\\ &G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\partial_t G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0 \end{aligned}\]

的解. 接下来求解 Green 函数. 对空间变量作 Fourier 变换

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\iiint G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\mathrm{d}\mathbf{r}\]

将定解问题化为常微分方程的初值问题

\[\left[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}+(ka)^{2}\right]\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}\delta(t-t^{\prime})\]

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r^{\prime}},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\left.\frac{\mathrm{d}\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r^{\prime}},t^{\prime})}{\mathrm{d}t}\right|_{t\lt t^{\prime}}=0\]

解得

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}H(t-t^{\prime})\]

下面作 Fourier 逆变换

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})&=\frac{H(t-t^{\prime})}{(2\pi)^{3}}\iiint\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}\mathrm{d}\mathbf{k}\\ &=\frac{H(t-t^{\prime})}{(2\pi)^{3}}\iiint\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}\mathrm{d}\mathbf{k} \end{aligned}\]

在 \(\mathbf{k}\) 空间的球坐标系中计算上面的积分, 得到

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{H(t-t^{\prime})}{2\pi^{2}a}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\int_{0}^{\infty}\sin ka(t-t^{\prime})\sin k|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|\mathrm{d}k\]

这个积分在通常的意义下是不存在的. 出现这种积分是由于定解问题中的非齐次项也不是通常意义下的函数. 利用积分变换恒等式

\[\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}\left[\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x^{\prime})\sin kx^{\prime}\mathrm{d}x^{\prime}\right]\sin kx\mathrm{d}k\\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x^{\prime})\left[\int_{0}^{\infty}\sin kx^{\prime}\sin kx\mathrm{d}k\right]\mathrm{d}x^{\prime} \end{aligned}\]

这说明

\[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\sin kx^{\prime}\sin kx\mathrm{d}k=\delta(x-x^{\prime}),\quad x, x' > 0\]

代入求出

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{4\pi a}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\delta(|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|-a(t-t^{\prime}))\]

注意这里去掉了函数 \(\eta(t-t^{\prime})\), 因为 \(\delta\) 函数的宗量已经保证了 \(t-t^{\prime}\lt0\) 时 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=0\). 这个解式的物理意义明确: \(t^{\prime}\) 时刻在 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 处发射的信号, \(t\) 时刻一定只到达距 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点为 \(a(t-t^{\prime})\) 的球面上.

利用 Green 函数容易得到原初值问题的解

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t)&=\int_0^t\iiint G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\\ &\quad+\iiint\left[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\psi(\mathbf{r}^{\prime})-\phi(\mathbf{r}^{\prime})\partial_{t^{\prime}}G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t^{\prime}=0}\right]\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} \end{aligned}\]

为对 \(t^\prime \lt t\) 的源项积分与边界项之和

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t)&=\frac{1}{4\pi a^{2}}\iiint_{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert\lt at}\frac{f(\mathbf{r}^{\prime},t-\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert/a)}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\\ &\quad+\frac{1}{4\pi a}\left[\iint_{\Sigma}\frac{\psi(\mathbf{r}^{\prime})}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\Sigma^{\prime}+\frac{\partial}{\partial t}\iint_{\Sigma}\frac{\phi(\mathbf{r}^{\prime})}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\right], \end{aligned}\]

其中 \(\Sigma\) 是以 \(\mathbf{r}\) 点为球心、 \(at\) 为半径的球面 \(|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}|=at\).

16.5.2 Green Functions for Heat Equations

Example 3 三维有界空间热传导方程

\[\begin{aligned} &\frac{\partial u(\mathbf{r},t)}{\partial t}-\kappa\nabla^{2}u(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r},t), &&\mathbf{r}\in V,\quad t>0\\ &u(\mathbf{r},t)\big|_{\Sigma}=\mu(\Sigma,t), &&u(\mathbf{r},t)\big|_{t=0}=\phi(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

Solution 相应的 Green 函数 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\) 是瞬时点热源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial}{\partial t}-\kappa\nabla^{2}\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime}\in V,\quad t,t^{\prime}>0\\ &G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{\Sigma}=0, &&G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t=0}=0 \end{aligned}\]

的解. 由平移不变性质, 容易理解后一项初始条件也可以被写为 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t\lt t^{\prime}}=0\).

\(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\) 的对称性: 对热传导算子 \[\mathcal{L}:=\partial_t-\kappa\nabla^2\] 有界定解问题的 Green 函数 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\). 将核按时间差延拓到任意实时间. 取两个不同源点 \((\mathbf{r}_1,t_1),(\mathbf{r}_2,t_2)\), 令 \[G_1(\mathbf{r},t)=G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}_1,t_1),\quad G_2(\mathbf{r},t)=G(\mathbf{r},-t;\mathbf{r}_2,-t_2)\] 后者满足伴随热方程 \(\mathcal L^*G_2=\delta(\mathbf r-\mathbf r_2)\delta(t-t_2)\), 其中 \(\mathcal L^*=-\partial_t-\kappa\nabla^2\), 同样的 Dirichlet 边条件, 且满足逆向因果 \[G_2(\mathbf{r},t)=\partial_tG_2(\mathbf{r},t)=0,\quad t>t_2\] 在区域 \(D:V\times(0,+\infty)\) 上考虑积分 \[I=\int_D\left(G_2\mathcal{L}G_1-G_1\mathcal{L}^*G_2\right)\mathrm{d}\mathbf{r}\mathrm{d}t=G_2(\mathbf{r}_1,t_1)-G_1(\mathbf{r}_2,t_2)\] 另一方面, 代入 \(\mathcal{L}\) 可以得到 \[I= \int_V[G_1G_2]_{t=0}^{t=+\infty}\mathrm d\mathbf r -\kappa\int_0^\infty\iint_\Sigma\left[G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}-G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}\right]\mathrm{d}\Sigma\mathrm{d}t=0\] 其中用到了二者的边条件. 从而得到相应倒易关系 \[G(\mathbf{r}_2,t_2;\mathbf{r}_1,t_1)=G(\mathbf{r}_1,-t_1;\mathbf{r}_2,-t_2)\] 其中负号保证了时间次序不变, 保证了因果律.

下面用 Green 函数表示原问题的解. 利用倒易关系

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=G(\mathbf{r}^{\prime},-t^{\prime};\mathbf{r},-t)\]

后者满足逆向因果条件

\[G=0,\quad t^{\prime}>t\]

在区域 \(D: V\times(0,+\infty)\) 上考虑积分

\[J = \int_D \left(G\mathcal{L}^{\prime}u - u\mathcal{L}^{\prime *}G\right)\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \int_D G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}- u(\mathbf{r},t)\]

左端为全散度

\[G\mathcal{L}^{\prime}u - u\mathcal{L}^{\prime *}G =\partial_{t^{\prime}}(Gu) - \kappa \nabla^{\prime}\cdot\bigl(G\nabla^{\prime}u - u\nabla^{\prime}G\bigr).\]

积分后仅余边界项:

\[J=\iiint_V[Gu]_{t^{\prime}=0}^{+\infty}\,\mathrm d\mathbf r^{\prime} -\kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma \left[G\frac{\partial u}{\partial n^{\prime}} - u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\right] \mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\]

逐项化简:

\(t^{\prime}\to+\infty\)(\(t^{\prime}>t\)): 逆向因果, 该项为 0.
\(t^{\prime}=0\):
\[-\iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\phi(\mathbf{r}^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]
空间边界: \(G\bigr|_{\Sigma^{\prime}}=0\) , 故仅剩
\[\kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma \mu(\Sigma^{\prime},t^{\prime})\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\]

因果性还允许将所有 \(t^{\prime}\) 上限改为 \(t\)(\(t^{\prime}>t\) 时 \(G=0\)). 综上, 原问题的解为

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t) &= \int_0^t\!\!\iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} \\ &\quad + \iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\phi(\mathbf{r}^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} \\ &\quad - \kappa \int_0^t \iint_\Sigma \mu(\Sigma^{\prime},t^{\prime})\left.\frac{\partial G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{\partial n^{\prime}}\right|_{\Sigma^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} \end{aligned}\]

Example 4 求一维无界空间热传导方程的 Green 函数

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&t,t^{\prime}>0\\ &G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x\rightarrow\pm\infty}\text{有界}, &&G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0(G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t=0}=0) \end{aligned}\]

Solution 将定解问题作 Laplace 变换(可以自动处理因果性). 令

\[\tilde G(x)=\int_{0}^{\infty}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]

相应定解问题

\[\begin{aligned} &\left[p-\kappa\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\right]\tilde G(x)=\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\delta(x-x^{\prime}), &\tilde G(x)|_{x\rightarrow\pm\infty}\text{有界} \end{aligned}\]

其中已经用到第二条边条件. 容易得到解为

\[\tilde G(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\exp\left\{-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}|x-x^{\prime}|\right\}\]

对其实施逆 Laplace 变换, 利用

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{p}}\mathrm{e}^{-\alpha\sqrt{p}}\right\}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\mathrm{e}^{-\alpha^{2}/(4t)}\]

得到

\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi(t-t^{\prime})}}\exp\left\{-\frac{(x-x^{\prime})^{2}}{4\kappa(t-t^{\prime})}\right\}H(t-t^{\prime})\]

16.6 Generalized Green Functions

Poisson 方程第二边值问题不存在满足原始点源方程和齐次 Neumann 边条件的普通 Green 函数; 消去常数零模后可使用修正 Green 函数. 下面从更为普遍的角度来讨论 Green 函数存在的必要条件. 考虑有限区域 \(V\) 内 Helmholtz 问题的普遍边值问题

\[\mathcal{L}u = (-\nabla^{2}-\lambda) u=f,\quad \left[\alpha{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta u\right]_{\Sigma}=0\]

若 \(u_{\lambda}\) 为 \(V\) 内如下齐次方程定解问题的非零解

\[-\nabla^2u_\lambda = \lambda u_\lambda,\quad \left[\alpha\frac{\partial u_{\lambda}}{\partial n}+\beta u_{\lambda}\right]_{\Sigma}=0\]

即 \(\lambda\) 是算符 \(-\nabla^{2}\) 的本征值, \(u_{\lambda}\) 是相应的本征函数. 考虑积分

\[I =\iiint_{V}[u\mathcal{L}u_{\lambda}-u_{\lambda}\mathcal{L}u]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iiint_{V}[u_{\lambda}\nabla^{2}u-u\nabla^{2}u_{\lambda}]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{\Sigma}\left[u_{\lambda}\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial u_{\lambda}}{\partial n}\right]\mathrm{d}\Sigma=0\]

其中已经用到 \(\alpha^2+\beta^2\ne 0\), 时另一方面,

\[0=I=-\iiint_{V}f(\mathbf{r})u_{\lambda}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}\]

说明在本征值为 \(\lambda\) 时, 上述 Helmholtz 问题边值问题有解的必要条件为非齐次项 \(f\) 必须与本征函数 \(u_{\lambda}\) 正交.

这一问题的 Green 函数满足的方程和边界条件为

\[\mathcal{L} G=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}),\quad \left[\alpha{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta G\right]_{\Sigma}=0\]

对于之前给出的一组 \(\lambda, u_{\lambda}\), 考虑积分

\[\iiint_{V}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})u_{\lambda}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=u_{\lambda}(\mathbf{r}^{\prime})\neq0\]

说明 Green 函数不满足有解的必要条件, 因此 Green 函数不存在.

在光滑有界区域和上述实自伴边条件下, 设零空间 \(\ker\mathcal{L}\) 的一组实正交归一基为 \(\{u_{\lambda,j}\}_{j=1}^m\). 简并时必须同时消去全部零模. 定义投影核

\[P_\lambda(\mathbf r,\mathbf r')=\sum_{j=1}^m u_{\lambda,j}(\mathbf r)u_{\lambda,j}(\mathbf r').\]

广义 Green 函数满足

\[\mathcal{L}G_m=\delta(\mathbf r-\mathbf r')-P_\lambda(\mathbf r,\mathbf r'),\qquad\mathcal{B}G_m=0,\qquad \int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r)G_m(\mathbf r,\mathbf r')\mathrm d\mathbf r=0\quad(1\le j\le m).\]

对右端与任一零模取内积, 正交归一性使两项恰好抵消. 在零空间的正交补上, 自伴椭圆算子的离散谱与 \(0\) 分离, 故可逐个除以非零本征值构造逆算子; 上述全部正交条件消除任意零模, 唯一确定此逆的核. 当 \(m=1\) 时, 就是减去单个归一化本征函数的投影.

对原方程, Fredholm 相容条件是

\[\int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r)f(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r=0,\qquad j=1,\ldots,m.\]

必要性来自前面的 Green 恒等式. 反之, 令

\[u_p(\mathbf r)=\int_VG_m(\mathbf r,\mathbf r')f(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'.\]

则满足齐次边条件, 且

\[\mathcal L u_p=f-\sum_{j=1}^m u_{\lambda,j}\int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r')f(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'=f.\]

所以相容条件也充分, 通解为

\[u=u_p+\sum_{j=1}^m A_j u_{\lambda,j}.\]

额外要求 \(u\perp\ker\mathcal L\) 时所有 \(A_j=0\), 得到唯一的最小 \(L^2\) 范数解. 对复本征函数, 投影核的第二因子与相容条件的本征函数均应取复共轭.

17 Calculus of Variations

17.1 Functionals

Definition 泛函泛函是定义在函数空间上的映射. 设 \(y(x)\) 是定义在区间 \([a,b]\) 上的某类变量函数, 泛函 \(J\) 将该函数映射为一个实数(这里只讨论用积分定义的泛函):

\[I[y] = \int_a^b f\bigl(x, y(x), y'(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\]

对于多元函数, 可类似定义:

\[I[\mathbf{y}] = \int_{D} f(\mathbf{x}, \mathbf{y}(\mathbf{x}), \mathbf{y}'(\mathbf{x}))\,\mathrm{d}\mathbf{x}\]

通常要求 \(y(x)\in C^2\), 即具有连续的二阶导数, 且满足一定的边界条件(满足此类条件的函数为可取函数).
泛函与复合函数的区别: 泛函的自变量是函数, 而复合函数的自变量是数值. 对于后者, 给出一个 \(x_0\) 就能确定 \(g\circ f(x_0)\) 的值; 而对于前者, 给出区间上的一个函数 \(y_0(x)\) 才能确定 \(J[y_0(x)]\) 的值.

17.2 Extrema of Functionals

Lemma 变分学基本引理设 \(\phi(x)\) 为连续函数, \(\eta(x)\) 具有连续的二阶导数, 并满足

\[\eta(a) = \eta(b) = 0\]

若对任意这样的 \(\eta(x)\) 都有

\[\int_{a}^{b} \phi(x)\,\eta(x)\,\mathrm{d}x = 0\]

则必有 \(\phi(x)\equiv 0\).

Theorem 泛函极值问题的 Euler-Lagrange 方程为使泛函积分 \(I[y]\) 在固定 \(y_0=y(x_0),y_1=y(x_1)\) 时取极值, 要求 \(f(x,y,y')\) 满足

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

此即 Euler-Lagrange 方程

Proof 定义试探函数族 \(\overline y=\overline y(x,\epsilon)=y(x)+\delta y(x)\),其中 \(\delta y\) 为函数的等 \(x\) 变分, 满足

\(\delta y(x_0)=\delta y(x_1)=0\)(端点固定)
\(\delta(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(\delta y)\)(\(\mathrm{d}\) 为与 \(\mathrm{d}x\) 对应的微分), \(\delta\int_{x_0}^{x_1} \mathrm{d}x\,y=\int_{x_0}^{x_1} \mathrm{d}x\,\delta y\)
\(\overline y(x,0)=y(x)\)(\(\epsilon=0\) 对应极值路径)
\(\overline y(x,\epsilon)\in C^2\)(直到二阶导存在且连续)
线性性等与微分类似的性质不再赘述.

极值条件为

\[\begin{aligned} 0=\delta I=&\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)]\mathrm{d}x\\ =&\left.\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right|_{x_0}^{x_1}+\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x\\ =&\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对任意的 \(\delta 𝑦\) 如上等式都成立, 故要求有

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

多元函数情形

设 \(\mathbf{y}:\,D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), 记分量为 \(y^a(\mathbf{x})\,(a=1,\cdots,m)\), 并记偏导为

\[y^a_{i}(\mathbf{x})=\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\quad(i=1,\cdots,n).\]

定义泛函

\[I[\mathbf{y}]=\int_{D} f\big(\mathbf{x},\,\mathbf{y}(\mathbf{x}),\,\nabla\mathbf{y}(\mathbf{x})\big)\,\mathrm{d}^n x\]

其中 \(f\) 对其各自变量足够光滑. 设在边界 \(\partial D\) 上固定边值, 即试探变分 \(\delta \mathbf{y}\) 满足 \(\delta\mathbf{y}|_{\partial D}=0\). 对 \(\mathbf{y}\) 作变分 \(\mathbf{y}\mapsto\mathbf{y}+\delta\mathbf{y}\), 一阶变分为

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\delta y^a_{i} \right)\mathrm{d}^n x\\ &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\frac{\partial(\delta y^a)}{\partial x^i} \right)\mathrm{d}^n x \end{aligned}\]

其中对重复指标 \(a\) 或 \(i\) 采用求和约定. 对第二项对 \(x^i\) 分部积分并利用 \(\delta y^a|_{\partial D}=0\) 得

\[\delta I =\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right) \right)\delta y^a\,\mathrm{d}^n x\]

由于 \(\delta y^a\) 在 \(D\) 内任意(且在边界为零), 由变分学基本引理得到对每个 \(a\):

\[\frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right)=0\]

可以更紧凑地写为

\[\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}-\operatorname{div}\!\left(\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right)=\mathbf{0}\]

其中 \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\) 是对分量求导的列向量, \(\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\) 是一个 \(m\times n\) 矩阵, 其 \( (a,i)\) 元为 \(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\), 而 \(\operatorname{div}\) 对该矩阵按列取散度(对每个分量 \(a\) 计算 \(\partial_i(\cdot)_{ai}\))

Remark

要求 \(f\) 及其偏导数连续; 变分函数 \(\delta\mathbf{y}\) 在 \(\partial D\) 上为 \(0\)(或紧支撑于 \(D\) 内), 以便消去边界项.
以上仅作一阶变分, 极值的存在及其属性(极大还是极小)还取决于二阶变分的符号, 这一般会对应复杂的计算. 很多情形我们可以由物理情况判断极值的属性(极大或极小), 从而作出简化.
Euler-Lagrange 方程只是极值的必要条件, 不是充分条件. 有些情形下, 可能不存在满足边界条件的解, 或存在多个解(如鞍点等). 这些问题一般需要结合具体情形分析.

Example 利用变分法推导一维波动方程 Solution 取均匀弦的常数线密度 \(\rho>0\) 与张力 \(T>0\). 令标量场为 \(u(\mathbf{x}),\mathbf{x}=(t,x)\) 其中统一了空间坐标与时间参数, 取拉格朗日密度

\[\mathcal{L}(\mathbf{x},u,\nabla u)=\tfrac12[\rho(\partial_t u)^2-T(\partial_x u)^2]\]

直接计算偏导:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u}=0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\nabla u)}= \left(\begin{gathered} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t u)}\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x u)} \end{gathered}\right) = \begin{pmatrix} \rho\,\partial_t u\\[4pt] -\,T\,\partial_x u \end{pmatrix}.\]

对该向量取散度:

\[\operatorname{div}\!\left(\frac{\partial f}{\partial(\nabla u)}\right) =\partial_t(\rho\,\partial_t u)+\partial_x(-T\,\partial_x u) =\rho\,\partial_{tt}u - T\,\partial_{xx}u.\]

将它代入欧拉-拉格朗日向量式, 得到标量方程

\[0 - \big(\rho\,\partial_{tt}u - T\,\partial_{xx}u\big)=0\]

即波动方程

\[\partial_{tt}u = c^2\partial_{xx}u,\quad c=\sqrt{T/\rho}\]

关于边界项: 若 \(u|_{\partial D}\) 固定则边界项消失; 若空间端为自由端, 则由自然边界条件得到

\[T\,\partial_x u\big|_{x=x_0}=0,\qquad T\,\partial_x u\big|_{x=x_1}=0\]

17.3 Constrained Extrema of Functionals

Question 设泛函

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x\]

在边条件和约束条件

\[y(x_0)=a,\quad y(x_1)=b\]

\[I_1[y]=\int_{x_0}^{x_1} g(x, y, y')\,\mathrm{d}x = C\]

下取极值, 求相应的 Euler-Lagrange 方程.

Answer 在约束泛函的一阶变分不恒为零的正规情形, 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\), 构造辅助泛函

\[I_0[y] = I[y] - \lambda I_1[y] = \int_{x_0}^{x_1} \Big(f(x,y,y')-\lambda g(x,y,y')\Big)\,\mathrm{d}x\]

从而原问题的驻值曲线满足辅助泛函的一阶驻值条件. 由 Euler-Lagrange 方程可得

\[\left(\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\right)(f-\lambda g)=0\]

结合边条件与约束条件即可确定 \(y(x)\) 与 \(\lambda\).

对于更高的维度 \[I[\mathbf{y}] = \int_{D} f(\mathbf{x},\mathbf{y},\nabla\mathbf{y})\, \mathrm{d}\mathbf{x} ,\quad x\in D\subset \mathbb{R}^n\] 和更多的约束条件 \[I_k[\mathbf{y}] = \int_\Omega g_k(\mathbf{x},\mathbf{y},\nabla\mathbf{y})\,\mathrm{d}\mathbf{x} = C_k,\quad k=1,2,\cdots,m\] 也可以类似地引入多个拉格朗日乘子来处理 \[I_0[\mathbf{y}] = \int_\Omega \left( f - \sum_{k=1}^m \lambda_k g_k \right)\, \mathrm{d}\mathbf{x}\] 并得到极值条件 \[\mathcal{E}_\mathbf{y}\left(f-\sum_{k=1}^m\lambda_kg_k\right)=\mathbf{0},\quad \mathcal{E}_\mathbf{y}:=\frac{\partial}{\partial\mathbf{y}}-\mathrm{div}\left(\frac{\partial}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right)\]

Example 1 求泛函

\[I[y] = \int_{0}^{1} x (y')^2 \, \mathrm{d}x\]

在边界条件

\[y(0)\ \text{有界},\quad y(1)=0\]

和等周约束(isoperimetric constraint)

\[\int_{0}^{1} x y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

下的驻值曲线.

Solution 引入拉格朗日乘子λ, 构造辅助泛函

\[I_0[y] = \int_{0}^{1} \left( x (y')^2 - \lambda x y^2 \right) \mathrm{d}x\]

对应的 Euler-Lagrange 方程为

\[\frac{\partial}{\partial y}(x(y')^2 - \lambda x y^2) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial}{\partial y'}(x(y')^2 - \lambda x y^2) = 0 \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) + \lambda x y = 0\]

此方程连同边界条件构成 Sturm-Liouville 本征值问题. 记 \(\mu_i\) 为 \(J_0\) 按升序排列的正零点, 则

\[y_i(x) = C_i J_0(\mu_i x),\quad \lambda_i = \mu_i^2\]

利用约束条件

\[\int_0^1 x y_i^2 \,\mathrm{d}x = C_i^2 \int_0^1 x J_0^2(\mu_i x) \,\mathrm{d}x = C_i^2 \cdot \frac{1}{2} J_1^2(\mu_i) = 1 \implies C_i = \pm\frac{\sqrt{2}}{J_1(\mu_i)}\]

因此驻值函数为

\[y_i(x) = \pm\frac{\sqrt{2}}{J_1(\mu_i)} J_0(\mu_i x),\quad i=1,2,3,\cdots\]

Remark 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\) 后, 方程与齐次边界条件构成本征值问题, 得到无穷多个驻值函数 \(y_i(x)\) 及驻值

\[I[y_i] = \lambda_i = \mu_i^2\]

这些曲线均为条件驻值曲线; \(\pm y_1\) 实现最小值, 其余 \(y_i\) 为鞍点. 相应驻值恰为本征值, 可对 Euler-Lagrange 方程乘以 \(y\) 并积分得到:

\[\int_0^1 x y'^2 \,\mathrm{d}x = \lambda \int_0^1 x y^2 \,\mathrm{d}x = \lambda \cdot 1 = \lambda\]

Example 2 求泛函条件极值问题

\[I[y] = \frac{1}{2} \int_{x_0}^{x_1} \left[ p(x) (y')^2 + q(x) y^2 \right] \mathrm{d}x + \frac{a_0}{2} y^2(x_0) + \frac{a_1}{2} y^2(x_1)\]

\[I_1[y] = \frac{1}{2} \int_{x_0}^{x_1} \rho(x) y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

的必要条件, 其中 \(p(x)>0, \rho(x)>0\).

Solution 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\), 令 \(\delta(I - \lambda I_1) = 0\), 展开为

\[\int_{x_0}^{x_1}\left[py^{\prime}\cdot\delta y^{\prime}+qy\cdot\delta y-\lambda\rho y\cdot\delta y\right]\mathrm{d}x+a_0y(x_0)\delta y(x_0)+a_1y(x_1)\delta y(x_1)=0.\]

取端点变分为 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\), 对第一项分部积分, 得到

\[\int_{x_0}^{x_1}\left[\mathcal{L}-\lambda\rho\right]y\cdot\delta y\mathrm{d}x=0\]

其中 \(\mathcal{L}y=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+qy\). 由变分学基本引理, 对任意 \(\delta y\) 上式成立, 故有

\[[\mathcal{L}-\lambda\rho]y(x)=0,\quad x\in(x_0,x_1)\]

若取端点变分不为零, 则得到自然边界条件 \[\left.py^{\prime}\right|_{x=x_0}=a_0y(x_0),\quad \left.py^{\prime}\right|_{x=x_1}=-a_1y(x_1)\]

17.4 Variational Problems with Free Endpoints

考虑一维情形, 泛函为

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x\]

其中积分限 \(x_0, x_1\) 固定, 初始端点 \((x_0, y_0)\) 完全固定, 即 \(\delta y(x_0) = 0\), 但末端在 \(x = x_1\) 处的纵坐标 \(y_1 = y(x_1)\) 可变.

设试探函数族为 \(\overline{y}(x, \epsilon) = y(x) + \delta y(x)\), 一阶变分为

\[\begin{aligned} \delta I[y] &= \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \delta y + \frac{\partial f}{\partial y'} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y) \right] \mathrm{d}x \\[10pt] &= \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \delta y \right|_{x_0}^{x_1} + \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \right] \delta y \,\mathrm{d}x \\[10pt] &= \left( \frac{\partial f}{\partial y'}\bigg|_{x_1} \right) \delta y(x_1) + \int_{x_0}^{x_1} \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

在极值曲线 \(y(x)\) 上, Euler-Lagrange 方程处处成立, 积分项为零, 因此极值要求

\[\delta I = \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \right|_{x_1} \delta y_1\]

将 \(I\) 视为末端坐标 \(y_1\) 的函数 \(I(x_1, y_1)\), 则

\[\frac{\partial I}{\partial y_1} = \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \right|_{x=x_1}=0\]

才能保证 \(\delta I[y]=0\).

多元函数情形

考虑自由边界(纵向可变, 域固定). 设同样的泛函

\[I[\mathbf{y}]=\int_{D} f\big(\mathbf{x},\,\mathbf{y}(\mathbf{x}),\,\nabla\mathbf{y}(\mathbf{x})\big)\,\mathrm{d}^n x\]

现在域 \(D\) 固定, 但边界上的场值不固定, 即试探变分 \(\delta\mathbf{y}\big|_{\partial D}\) 在边界上任意. 作一阶变分, 得到

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\frac{\partial(\delta y^a)}{\partial x^i} \right)\mathrm{d}^n x \end{aligned}\]

对第二项对 \(x^i\) 作分部积分(高斯散度定理), 得到

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right) \right)\delta y^a\,\mathrm{d}^n x \;+\; \underbrace{\int_{\partial D}\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\;\delta y^a\;n^i\;\mathrm{d}^{n-1}\Sigma}_{\text{边界项}} \end{aligned}\]

其中 \(\mathbf{n}=(n^1,\cdots,n^n)\) 是 \(\partial D\) 的单位外法向.

为使 \(\delta I=0\) 对内部任意 \(\delta y^a\) 以及边界上任意 \(\delta y^a\) 都成立,必须同时满足:

体相极值条件(对任意 \(\delta y^a\) 在 \(D\) 内)
\[\frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right)=0\quad\text{in }D\]
即原来的 Euler-Lagrange 方程, 对每个场分量 \(a\). 可以紧凑地写为
\[\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{y}} - \operatorname{div}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right) = \mathbf{0}\quad\]
自由边界自然边界条件(对边界上任意 \(\delta y^a\))
\[\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\;n^i = 0 \quad\text{on }\partial D,\;\forall a=1,\cdots,m\]
可以紧凑地写为
\[\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0}\quad\]

物理解释 这个自然边界条件正是"在边界上没有(广义)外力"的表现. 例如:

最小曲面: \[f=\sqrt{1+|\nabla y|^2}\implies\mathbf{n}\cdot\nabla y=0\] 平均曲率为零的曲面在自由边界上与固定边界垂直.
静电场 \[f=\frac{1}{2}|\nabla\phi|^2\implies \mathbf{n}\cdot\nabla\phi=0\] 即 Neumann 边界条件 \(\partial_n\phi=0\).
弹性膜自由边缘: 横向应力为零.

Remark

这正是场论与经典力学 Hamilton 主函数情形的完美类比:域 \(D\) 固定 \(\leftrightarrow\) “等时变分”(时间端点固定),场在边界纵向自由 \(\leftrightarrow\) 末端坐标 \(\mathbf{q}(t_2)\) 可变,从而出现边界项 \(\mathbf{p}\cdot\delta\mathbf{q}\),最终给出 \(\mathbf{p}=\nabla_{\mathbf{q}}S\).
若边界只有一部分自由(其余部分固定 \(\delta y^a=0\)),则自然边界条件只在自由部分成立.
若同时允许域 \(D\) 也变(完全自由端点/横向+纵向都可变),会出现更复杂的横截条件(transversality condition),类似于力学中的可动端点在曲面上滑动的情况.

17.5 Variational Formulation of Eigenvalue Problems

将微分方程本征值问题转化为泛函极值或条件极值问题

Example 1 对于常微分方程边值问题

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right] + q(x)y(x) = f(x), &&x_0 \lt x \lt x_1 \\ &y(x_0) = y_0,\quad y(x_1) = y_1 \end{aligned}\right.\]

求相应的泛函, 使其在上述边界条件下取极值的必要条件是上述微分方程

Solution 设试探函数为 \(\overline{y}(x) = y(x) + \delta y(x)\), 其中 \(\delta y\) 为变分, 满足 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\). 利用微分方程构造极值条件

\[\int_{x_0}^{x_1} \left\{ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[p(x)y'] + q(x)y - f(x) \right\} \delta y \, \mathrm{d}x = 0\]

对第一项分部积分, 并利用 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\), 得

\[\int_{x_0}^{x_1} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p y') \delta y \, \mathrm{d}x = - \int_{x_0}^{x_1} p y' \delta y' \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \delta \int_{x_0}^{x_1} p y'^2 \, \mathrm{d}x\]

又注意到

\[\int_{x_0}^{x_1} q(x)y \delta y \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \delta \int_{x_0}^{x_1} q(x) y^2 \, \mathrm{d}x,\quad \int_{x_0}^{x_1} f(x) \delta y \, \mathrm{d}x = \delta \int_{x_0}^{x_1} f(x) y \, \mathrm{d}x.\]

综上, 极值条件可写为

\[\delta \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{1}{2} p (y')^2 - \frac{1}{2} q y^2 + f y \right] \mathrm{d}x = 0.\]

因此所求泛函为

\[J[y] = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{1}{2} p(x) \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^2 - \frac{1}{2} q(x) y^2(x) + f(x) y(x) \right] \mathrm{d}x\]

Example 2 考虑 Helmholtz 方程定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^2 u(\mathbf{r}) + \lambda u(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}), && \mathbf{r} \in D \\ &u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}), && \mathbf{r} \in \partial D \end{aligned}\right.\]

试求其对应的泛函.

Solution 设试探函数为 \(\overline{u}(\mathbf{r}) = u(\mathbf{r}) + \delta u(\mathbf{r})\), 其中 \(\delta u\) 为变分, 满足 \(\delta u|_{\partial D} = 0\). 利用微分方程构造极值条件

\[\int_D \left[ \nabla^2 u(\mathbf{r}) + \lambda u(\mathbf{r}) - \rho(\mathbf{r}) \right] \delta u(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 0\]

对第一项利用散度定理分部积分, 并利用 \(\delta u|_{\partial D} = 0\), 得

\[\int_D \nabla^2 u \, \delta u \, \mathrm{d}\mathbf{r} = - \int_D \nabla u \cdot \nabla(\delta u) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = -\delta \int_D \frac{1}{2} |\nabla u|^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r}\]

后两项同前处理, 得到

\[\delta \int_D \left[ -\frac{1}{2} |\nabla u|^2 + \frac{1}{2} \lambda u^2 - \rho u \right] \mathrm{d}\mathbf{r} = 0\]

因此所求泛函为

\[I[u] = \int_D \left[ -\frac{1}{2} |\nabla u(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2} \lambda u^2(\mathbf{r}) - \rho(\mathbf{r}) u(\mathbf{r}) \right] \mathrm{d}\mathbf{r}\]

17.6 Rayleigh-Ritz Method

变分法在物理学中有两大类应用:

作为基本物理规律的等价表述, 揭示物理本质.
作为求解具体问题的实用近似手段–在变分形式基础上建立高效率的近似方法. Rayleigh-Ritz 方法专门用于求解常微分方程或偏微分方程的本征值问题(即带积分约束的泛函条件极值问题).

Method Rayleigh-Ritz 方法

核心思想: 将本征值问题转换为泛函的条件极值问题, 然后缩小函数的范围, 通过选取适当的试探函数族, 将问题转为确定有限个参数的极值问题.

转换为条件极值问题具体地讲, 对于带权的 Sturm–Liouville 型本征值问题:
\[\mathcal{L} u = \lambda \rho(\mathbf{r}) u, \quad \mathbf{r} \in D,\quad \mathcal{L} = -\nabla \cdot (p(\mathbf{r}) \nabla) + q(\mathbf{r})\]
以下取光滑有界区域, 实系数 \(p,\rho\) 有正下界且有界, \(q\) 有界, 并取齐次 Dirichlet、Neumann 或实 Robin 条件 \(p\partial_nu+\sigma u=0\), 其中 \(\sigma\) 有界. 对应的加权算子 \(\rho^{-1}\mathcal L\) 在 \(L^2_\rho(D)\) 中自伴、下有界且具有紧预解式, 本征值可以由小到大排列. 在算子定义域内, 该问题等价于泛函条件驻值问题:
\[I[u]=\int_Du(\mathcal{L}u)\mathrm{d}\mathbf{r},\quad I_1[u]=\int_D\rho(\mathbf{r})u^2\mathrm{d}\mathbf{r}\]
可以定义 Rayleigh 商
\[R[u] = \frac{I[u]}{I_1[u]} = \frac{\int_D u (\mathcal{L} u) \, \mathrm{d}\mathbf{r}}{\int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r}}\]
求最小本征值 \(\lambda_1\) 的问题可以等价地写为
\[\lambda_1=\min_{u\neq0}\frac{I[u]}{I_1[u]}\Longleftrightarrow\lambda_1=\min_{I_1[u]=1}I[u]\]
即限制 \(I_1[u]=1\), 求 \(I[u]\) 的极值, 从而
\[I[u] = \int_D u (\mathcal{L} u) \, \mathrm{d}\mathbf{r}, \qquad I_1[u] = \int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 1\]
积分分部后, 应在二次型定义域上写为
\[I[u] = \int_D \big( p(\mathbf{r}) |\nabla u|^2 + q(\mathbf{r}) u^2 \big) \, \mathrm{d}\mathbf{r}+\int_{\partial D}\sigma u^2\mathrm dS, \qquad I_1[u] = \int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 1\]
Robin 情形的二次型定义域为 \(H^1(D)\), Neumann 情形令 \(\sigma=0\); Dirichlet 情形取 \(H_0^1(D)\) 并省略边界积分. 试探函数只须满足二次型定义域中的本质边条件, Robin 与 Neumann 条件由驻值时的边界项自然给出. 上式先对光滑函数积分分部, 再按二次型范数闭包延拓.
Remark 实本征值由自伴性保证, 最小值存在还依赖这里的下有界性与紧性; 不能仅由自伴性断言存在最小本征值 \(\lambda_1\). 本征函数对应不同本征值正交于加权内积下:
\[\langle u_i, u_j \rangle_\rho \equiv \int_D \rho(\mathbf{r}) u_i(\mathbf{r}) u_j(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 0, \quad i \neq j\]
Rayleigh–Ritz 方法: 选取二次型定义域中线性无关的实函数 \(\{\phi_k(\mathbf{r})\}_{k=1}^\infty\), 其有限线性组合在二次型范数下稠密. 构造 \(n\) 参数试探函数:
\[u_n(\mathbf{r}) = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k \phi_k(\mathbf{r})\]
代入 Rayleigh 商, 得到矩阵形式
\[I[u_n] = \boldsymbol{\alpha}^{T} \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}, \quad I_1[u_n] = \boldsymbol{\alpha}^{T} \mathbf{B} \boldsymbol{\alpha}\]
\[A_{ij} = \int_D(p\nabla\phi_i\cdot\nabla\phi_j+q\phi_i\phi_j)\,\mathrm d\mathbf r+\int_{\partial D}\sigma\phi_i\phi_j\,\mathrm dS, \quad B_{ij} = \int_D \rho \, \phi_i \phi_j \, \mathrm{d}\mathbf{r}\]
条件极值 \(\delta(I - \lambda I_1) = 0\) 导致广义矩阵本征值问题
\[\mathbf{A} \boldsymbol{\alpha} = \lambda \mathbf{B} \boldsymbol{\alpha}\]
求解得到 \(n\) 个近似本征值 \(\bar{\lambda}_1^{(n)} \le \bar{\lambda}_2^{(n)} \le \cdots \le \bar{\lambda}_n^{(n)}\).
性质与收敛性
- 变分上界定理:
  \[\lambda_k \le \bar{\lambda}_k^{(n)}, \quad k = 1,2,\cdots,n\]
- 极小极大原理给出 \(\lambda_k=\min_{\dim S=k}\max_{0\ne u\in S}R[u]\), 其中 \(S\) 遍历二次型定义域内的子空间. 将它限制在试探空间中只能使极小值增大, 因而得到上述上界.
- 试探空间嵌套且并集在二次型范数下稠密时, 对固定 \(k\), 有 \(\bar\lambda_k^{(n+1)}\le\bar\lambda_k^{(n)}\) 且 \(\bar\lambda_k^{(n)}\to\lambda_k\). 稠密性允许同时逼近前 \(k\) 个本征函数及其能量, 再用极小极大原理得到收敛. 只有 \(L^2\) 完备性不足以保证能量近似.

Example 求

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\lambda y=0,\quad y(0)\text{有界},y(1)=0\]

的最小本征值.

Solution 这等价于条件极值问题

\[I[y] = \int_0^1 \left[ x \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right] \mathrm{d}x, \quad I_1[y] = \int_0^1 x y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

选取试探函数族

\[\phi_k(x) = (1 - x^2)^k, \quad k = 1,2,\cdots\]

满足边界条件. 取 \(n=2\), 试探函数为

\[y_2(x) = \alpha_1 (1 - x^2) + \alpha_2 (1 - x^2)^2\]

相应泛函

\[\begin{aligned} I[y_2]&=\alpha_1^2 + \frac{4}{3}\alpha_1\alpha_2 + \frac{2}{3}\alpha_2^2\\ I_1[y_2]&=\frac{1}{6}\alpha_1^2 + \frac{1}{4}\alpha_1\alpha_2 + \frac{1}{10}\alpha_2^2=1 \end{aligned}\]

从而得到方程组

\[\left\{\begin{aligned} &2\alpha_1 + \frac{4}{3}\alpha_2 - \lambda\left(\frac{1}{3}\alpha_1 + \frac{1}{4}\alpha_2\right)=0 \\ &\frac{4}{3}\alpha_1 + \frac{4}{3}\alpha_2 - \lambda\left(\frac{1}{4}\alpha_1 + \frac{1}{5}\alpha_2\right)=0 \end{aligned}\right.\]

非零解要求

\[\det\begin{vmatrix} 2-\dfrac{\lambda}{3} & \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{4} \\[6pt] \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{4} & \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{5} \end{vmatrix}=0\implies 3\lambda^2-128\lambda+640=0\implies \lambda=\frac{64}{3}\pm\frac{8}{3}\sqrt{34}\]

取较小根得到最小本征值近似值

\[\bar\lambda_1=\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\sqrt{34}\approx5.784128\implies \bar\lambda_1-\lambda_1 = 9.42\times 10^{-4}\]

进而解得归一化的

\[\alpha_1=2\sqrt{12-33\sqrt{2/17}}\approx1.650568,\quad \alpha_2=\sqrt{80-230\sqrt{2/17}}\approx1.053874\]

\[\implies\Delta=\int_0^1 x[y_1(x)-\bar y_1(x)]^2\,\mathrm{d}x\approx1.66\times10^{-5},\quad\]

然而较大根

\[\bar\lambda_2=\frac{64}{3}+\frac{8}{3}\sqrt{34}\approx36.88\implies \bar\lambda_2-\lambda_2 = 6.41\]

误差很大.

Remark 求解高本征值的改进策略(正交化/减基方法): 在原约束之外, 附加解正交于已得到的近似基态的条件

\[\int_0^1 y(x)\,\bar y_1(x)\,x\,\mathrm{d}x=0\]

只有正交于真实基态时, 新约束下的最小值才等于第二本征值. 正交于近似基态只给近似约束, 不自动保证所得值为 \(\lambda_2\) 或提高精度.

18 Summary of Mathematical Physics Equations

18.1 Classification of Second-Order Linear PDEs

我们之前总共讨论了三类 PDE: 波动方程、热传导方程、稳定问题(如拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程). 在下面的内容中, 我们将看到这三类方程在数学上, 分属双曲型, 抛物型, 椭圆型三类. 在两个自变量的情形下,二阶线性 PDE 就只有这三种类型. 对于更多个自变量的情形, 问题要复杂一些, 但讨论的基本方法是一样的.

两个自变量 \((x, y)\) 的二阶线性偏微分方程的普遍形式是

\[a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y} + fu + g = 0\]

其中 \(a,b,c,d,e,f,g\) 是 \(x,y\) 的已知函数. 以下只在主部矩阵处处非零且类型不变的局部邻域中讨论, 并假设系数足够光滑以构造二阶可微的坐标变换. 若下文斜率公式的分母 \(a=0\), 应先作线性坐标旋转使新的该系数非零, 或改用倒数斜率方程; 非零实对称主部总存在非零的方向二次型, 因而可以局部这样选取坐标. 主部完全消失的点及类型改变的界面不由这里的三种标准型覆盖. 作变换

\[\xi = \phi(x,y), \quad \eta = \psi(x,y)\]

为保证 \(\xi,\eta\) 仍是独立变量, 要求

\[\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)} \neq 0\]

在新变量下, 原方程变为

\[A\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2B\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + C\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \Phi = 0\]\[\begin{aligned} A &= a\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2\\ B &= a\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x} + b\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) + c\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}\\ C &= a\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^2\\ \Phi &\equiv \Phi\left(\xi,\eta,u,\frac{\partial u}{\partial\xi},\frac{\partial u}{\partial\eta}\right) =D\frac{\partial u}{\partial\xi} + E\frac{\partial u}{\partial\eta} + Fu + G \end{aligned}\]

容易证明

\[B^2 - AC = \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} - \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 (b^2 - ac) = \left|\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)}\right|^2 (b^2 - ac)\]

我们希望通过适当选取变换, 使 \(A,B,C\) 中一个或几个为 0, 从而简化方程. 考虑:

Theorem 若 \(\phi(x,y)=C\) 是方程 \[a(\mathrm{d}y)^2 - 2b\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x + c(\mathrm{d}x)^2 = 0\] 的一般积分, 则 \(\xi = \phi(x,y)\) 是方程 \[a\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2 = 0\] 的一个特解. Proof 因为 \(\phi(x,y)=C\),所以 \[\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y = 0 \implies \mathrm{d}y = -\frac{\partial\phi/\partial x}{\partial\phi/\partial y}\mathrm{d}x\] 设 \(\partial\phi/\partial y \neq 0\), 代入上述 ODE 得到待证的 PDE.

这启发我们选取新变量 \(\xi,\eta\) 时, 可适当选取 \(\xi = \phi(x,y)\) 使 \(A=0\), 或适当选取 \(\eta = \psi(x,y)\) 使 \(C=0\), 只要能够解出特征方程

\[a\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 - 2b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + c = 0\implies\]

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{b}{a} \pm \frac{1}{a}\sqrt{b^2 - ac}\]

上述斜率式假定 \(a\ne0\). 若 \(a=0\), 应使用未除以 \(a\) 的齐次二次微分式, 或改用 \(\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\) 的坐标图处理竖直方向. 其积分曲线就是原方程的特征线. 根据 \(\Delta = b^2 - ac\) 的符号, 分别有

双曲型(\(\Delta > 0\)): 存在两条实的独立特征线 \(\phi(x,y)=C_1, \psi(x,y)=C_2\), 从而可以取 \(\xi = \phi(x,y), \eta = \psi(x,y)\), 使得 \(A=C=0,B\neq 0\). 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + \Phi = 0\]
再作变换 \(\rho = \xi + \eta,\sigma = \xi - \eta\), 可得标准形式
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \Phi = 0\]
波动方程属于双曲型方程.(这里为了方便起见, 不再区分 \(\Phi\) 的不同形式, 统一记为 \(\Phi\))
椭圆型(\(\Delta\lt0\)): 无实特征方向. 对可作相应复解析延拓的实解析系数, 可局部引入互相共轭的复特征变量; 下面的复变量推导按这一条件理解, 不能直接用于任意仅光滑的系数. 取共轭复变量 \(\xi,\eta\),仍可得到
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + \Phi = 0\]
引入实变量 \(\rho = \xi + \eta, \sigma = \mathrm{i}(\xi - \eta)\), 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \Phi = 0\]
Laplace 方程、 Poisson 方程、 Helmholtz 方程均属椭圆型方程.
抛物型(\(\Delta = 0\), 且 \((a,b,c)\ne(0,0,0)\)): 重根, 只能得到一条特征线 \(\phi(x,y)=C\).
取 \(\xi = \phi(x,y)\) 使 \(A=0\), 又因为非退化实坐标变换只使 \(\Delta\) 乘上非零 Jacobian 的平方, 其符号及是否为零保持不变, 所以
\[B^2 - AC = B^2 = 0\implies B=0.\]
任意选取与 \(\xi\) 独立的 \(\eta = \psi(x,y)\), 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \Phi = 0\]
热传导方程属抛物型方程.

18.2 KdV Equation and Traveling-Wave Solutions

之前讨论的 PDE 定解问题均为线性方程+线性定解条件, 这一类问题解法简单, 均可利用叠加原理. 物理现象的线性描述均为一定范围内的近似. 随着研究的深入, 不可避免地要超出线性范围, 出现非线性 PDE.

本节限于 KdV 方程的构造与衰减行波特解, 不涵盖一般非线性 PDE 的存在唯一性、逆散射方法或多孤子理论.

以一维波动方程为例

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\quad u(x,t)=f(x-at)+g(x+at)\]

考虑其中一个行波 \(u(x,t)=f(x-at)\), 满足的连续性方程

\[\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0\]

其中 \(j = au\) 为波动的流密度. 现在引入流密度与波幅的非线性项, 以及色散项

\[j = au + \frac{\alpha}2{} u^2 +\beta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

连续性方程变为

\[\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}+\beta\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+\alpha u\frac{\partial u}{\partial x}=0\]

以下取 \(\beta>0\)、\(\alpha\ne0\), 进一步作变换

\[\tau=At,\quad\xi=A(x-at),\quad v=Bu;\quad A=\frac{1}{\sqrt{\beta}},\quad B=-\frac{\alpha}{6}\]

变换后色散项和非线性项的系数分别为 \(\beta A^2=1\) 和 \(\alpha/B=-6\), 得到标准的 Korteweg-de Vries 方程(KdV 方程)

\[\frac{\partial v}{\partial \tau} + \frac{\partial^3 v}{\partial \xi^3} - 6v\frac{\partial v}{\partial \xi} = 0\]

KdV 方程描述了非线性介质中弱非线性、弱色散的长波传播现象.

非线性方程的最主要特点是解不再满足叠加原理, 需要特殊的求解技巧(如行波法, 逆散射法等). 以下讨论 KdV 方程的特解. 称 \(\xi,\tau\) 为空间变量和时间变量, 考虑求解

\[v(\xi,\tau)=f(\xi-c\tau)=f(\eta)\]

代入 KdV 方程得到

\[-c\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}+\frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}\eta^3}-6f\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}=0\]

进行一步积分

\[-cf+\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}-3f^2=C_1\]

两端乘以 \(\mathrm{d}f/\mathrm{d}\eta\), 再次积分得到

\[-\frac{c}{2}f^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\right)^2-f^3=C_1f+C_2\]

其中 \(C_1,C_2\) 为积分常数. 考虑渐近条件

\[f,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta},\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\to 0,\quad \eta\to\pm\infty\]

可以得到 \(C_1=C_2=0\), 从而

\[\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\right)^2=f^2[c+2f]\]

对实解, 非零的 \(f\) 必须满足 \(c+2f\ge0\). 以下讨论 \(c>0\) 的两类行波, 不作其他波速下解的分类.

光滑单孤子分支 \(-c/2\le f\lt0\). 在转折点之外,
\[\pm\frac{\mathrm{d}f}{f\sqrt{c+2f}}=\mathrm{d}\eta\]
令
\[z=\sqrt{\frac{c+2f}{c}}\implies\pm\frac{2\mathrm{d}z}{\sqrt{c}(z^2-1)}=\mathrm{d}\eta\]
从而得到
\[z=\left|\tanh\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\right|\]
\[f(\eta) = \frac{c}{2}(z^2-1) = -\frac{c}{2}\operatorname{sech}^2\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\]
对任意 \(c>0\), 得到这样一个光滑单孤子(soliton)解, 波形在传播过程中不变. 在 \(\eta=\eta_0\) 处, \(f=-c/2\)、\(f'=0\), 此处 \(c+2f=0\); 两侧分支在此光滑接合.
奇性行波分支 \(f>0\). 此时仍有 \(c+2f>0\), 令 \(z=\sqrt{(c+2f)/c}>1\), 同一积分给出
\[z=\left|\coth\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\right|\]
从而
\[f(\eta)=\frac{c}{2}\operatorname{csch}^2\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right],\quad \eta\ne\eta_0\]
该解分别在 \(\eta\lt\eta_0\) 和 \(\eta>\eta_0\) 上满足方程, 在各自无穷远端衰减, 但在 \(\eta=\eta_0\) 处有极点, 不是整条实轴上的光滑解. 极点随行波移动, 不能据此断言光滑初值会在有限时间内爆破.

当 \(c+2f\lt0\) 且 \(f\ne0\) 时, 一阶积分右侧为负, 不存在实行波解.