Music and Mathematics - 1
音乐与数学笔记（一）
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1 Sound and Musical Notation
1.1 Physical Properties of Sound
频率与音高 (pitch) 相关, 但音高属于听觉感知.
- 年轻、听力正常的人常用约 20 Hz–20 kHz 表示可听频率范围; 实际上限随年龄、声级和听觉条件改变.
- 常用调音标准取 A4 为 440 Hz.
- 人耳对频率的感知不是线性的, 同样的频率间隔在音高上的间隔并不一致
声压、数字电平与响度是不同的量: 声压级 SPL 以空气中声压为参照; dBFS 以数字系统满刻度为参照; LUFS 是经过频率加权和时间统计的响度指标, 不能互换.
- 空气中的声压级约定参考声压为 \(p_0 = 2\times 10^{-5}\,\text{Pa}\) (20 μPa). 这是固定参考值, 不是每个人、每个频率的实际听阈; 听阈还随频率和测量条件改变.
- 声压级 \[L_p=20\log_{10}\left(\frac{p_{\mathrm{rms}}}{p_0}\right)\]
- 这里 \(p_{\mathrm{rms}}>0\) 为声压相对静压的波动在指定时间窗内的均方根 (RMS), \(L_p\) 的单位为 dB. 主观响度还依赖频谱、持续时间和听觉条件, 并非声压级的同义词.
持续时间对应时值 (duration).
音色 (timbre) 与频谱、起音和随时间变化的包络等有关.
Attack 起音、Decay 衰减、Sustain 保持电平、Release 释放. 在常见 ADSR 合成器中, A、D、R 控制相应阶段的时长, S 控制按键保持期间的电平, 而不是独立设定的持续时长.
- 频谱图 (spectrogram) 通常以时间为横轴、频率为纵轴, 用颜色或亮度表示各短时窗内的谱幅度或功率, 常取对数刻度. 可先分帧、加窗, 再作短时 Fourier 变换; 对整段波形作一次 Fourier 变换所得的频谱, 本身没有时间轴.
1.2 Musical Pitch System
乐音是持续有规律的振动产生的声音;噪音是由无规律的、起伏不定的振动产生的声音. 20世纪以来, 噪音的运用越来越被重视.
音乐中所使用的、具有固定音高的全体乐音构成一个集合(set), 称作乐音体系. 其中的元素(elements)称作音级. 全体音级从低到高的排列称为音列.
在这里讨论的十二半音体系中, 音列中相邻音级相差一个半音 (semitone). 在标准键盘上, 任意两个相邻琴键 (包括白键和黑键) 相差一个半音; 隔开一个键则相差一个全音 (whole tone). 十二平均律还要求各半音的频率比相同, 其他律制不必满足这一点.
音级基本的音名只有七个, 即 CDEFGAB, 称为7个基本音级, 对应键盘的白键, 在每一个八度(octave)中循环使用.
其他的变化音级由变音记号(accidental) + 基本音级记录
- 升号\(\sharp\): 升半音
- 降号\(\flat\): 降半音
- 重升号𝄪: 升全音
- 重降号𝄫: 降全音
- 还原号\(\natural\): 把已经升/降的音换原为基本音级
唱名: 给每个音级赋予不同音节, 也称为阶名唱法. 固定唱名法: CDEFGAB<->do re mi fa sol la si 首调唱名法: do可以是音列中任一音节, 之后的唱名按原先音程(mi->fa, si->do为半音, 其余间隔为全音, 即唱一个大调音阶).
1.3 Notation
五线谱
音符与休止符的相对与绝对时值
| 音符 / 对应休止符 | 全音符时值的比例 | 四分音符为一拍时 |
|---|---|---|
| 全音符 | 1 | 4 拍 |
| 二分音符 | 1/2 | 2 拍 |
| 四分音符 | 1/4 | 1 拍 |
| 八分音符 | 1/8 | 1/2 拍 |
| 十六分音符 | 1/16 | 1/4 拍 |
假定以四分音符为一拍, 全音符为4拍.
| 音符 / 对应休止符 | 全音符时值的比例 | 四分音符为一拍时 |
|---|---|---|
| 全音符 | 1 | 4 拍 |
| 二分音符 | 1/2 | 2 拍 |
| 四分音符 | 1/4 | 1 拍 |
| 八分音符 | 1/8 | 1/2 拍 |
| 十六分音符 | 1/16 | 1/4 拍 |
速度 (tempo) 常用 BPM 表示, 即每分钟指定拍单位的次数. 拍单位须由速度标记给出, 不一定是四分音符; 在指定单位下, 每拍时长为 \(60/\mathrm{BPM}\) 秒.
附点音符: 附一点音符时值为基本音符时值的 1.5 倍; 附二点音符时值为基本音符时值的 1.75 倍; 以此类推.
谱号、调号
五线谱的音高需要通过谱号 clef 决定. 常用的有treble 𝄞, alto 𝄡, bass 𝄢
- treble(G谱号): 圆圈中心在二线, 对应G4.
- alto(C谱号): 中心在三线, 对应C4. 若更改中心在四线位置, 则称为次中音(tenor clef)
- bass(F谱号): 冒号在四线, 对应F3.
调号与变音记号:
- 在乐谱每一行开始处, 记在谱号后面的变音记号叫做调号(key signature). 调号中的变音记号, 在未改变调号之前, 对乐谱中所有同名音, 不论哪个八度都有效.
- 记在音符音头前的变音记号叫做临时变音记号
- 其作用范围为变音记号之后, 一小节之内, 同高度的音;
- 加变音记号的音用延音线连结起来时, 到下一小节的继续有效;
- 同一小节内已升高或降低了的音有改变时, 应另记变音记号.
- 注意调号、变音记号并不叠加, 都是在谱号决定的音高的基础上改变.
谱表staff
- treble、bass、alto、tenor等都是单谱表.
- 用连谱号连结的若干谱表构成联合谱表: 由花括号连结的高音谱表和低音谱表构成大谱表(grand staff), 通常用于钢琴记谱; 由方括号连结的四声部合唱谱; 乐队总谱.
1.4 Interval
音程即音级的间距, 高的称为冠音, 低的称为根音.
同时发声的音之间的音程称为和声音程; 反之, 称为旋律音程.
音程的名称
- 度数: 按音名 C–D–E–F–G–A–B 计数, 含起止两个音名, 对应五线谱上的级数. 先忽略升降号, 不能直接数实际发声的白键: 例如 C–D♯ 为二度, C–E♭ 为三度, 虽可在平均律键盘上等音.
- 半音数: 半音数决定度数的纯、小、大、增、减.
由半音数判定音程名称之前, 将度数分为两组:
- 完全音程: 包括一度、四度、五度、八度
- 基础: 纯的完全音程分别对应0、5、7、12个半音
- 变化: 减少和增加半音被称为减/增 ~ 度(一度无减除外)
- 大小音程: 包括二度、三度、六度、七度
- 基础: 小 ~ 度->1、3、8、10个半音; 大 ~ 度->2、4、9、11个半音
- 变化: 小 ~ 度减少半音称为减 ~ 度; 大 ~ 度增加半音被称为增 ~ 度
| 度数 | 减 | 小 | 纯 | 大 | 增 |
|---|---|---|---|---|---|
| 一度 | - | - | 0 | - | 1 |
| 二度 | 0 | 1 | - | 2 | 3 |
| 三度 | 2 | 3 | - | 4 | 5 |
| 四度 | 4 | - | 5 | - | 6 |
| 五度 | 6 | - | 7 | - | 8 |
| 六度 | 7 | 8 | - | 9 | 10 |
| 七度 | 9 | 10 | - | 11 | 12 |
| 八度 | 11 | - | 12 | - | 13 |
其中加粗的称为自然音程. 从自然音程出发改变半音数得到变化音程. 注意同一半音数间隔有多个音程称谓.
e.g. \(\flat\)G - A和G - \(\sharp\)A都是增二度.
协和音程与不协和音程
在常见基础乐理的音程分类中通常认为:
- 纯一/四/五/八度音程、大小三/六度音程属于协和音程(consonant interval)
- 完全协和音程: 几个纯音程
- 不完全协和音程: 大小三/六度
- 二/七度音程、其他所有增、减音程都属于不协和音程(dissonant interval)
在传统对位与功能和声中, 纯四度在低音上方常按不协和音程处理, 因此上面的基础分类不能代替具体声部与和声语境. 对谐波音色, 简单整数频率比常对应较多重合的分音, 有助于解释部分协和感; 不能据此对所有音色与语境作统一排序.
音程 纯五度 纯四度 大六度 大三度 小三度 小六度 小七度 大二度 大七度 小二度 增四度（三全音） 比例 3:2 4:3 5:3 5:4 6:5 8:5 9:5 9:8 15:8 16:15 45:32 上表是纯律频率比的例子, 不是十二平均律的精确比值. 十二平均律中相隔 \(n\) 个半音的频率比为 \(2^{n/12}\).
拍音与粗糙度可以解释部分协和感: 接近的频率或分音会产生振幅起伏, 感知还依赖音区、音色及听觉频带. 不能用固定的“每秒若干拍音”阈值给所有音程分类; 和声语境也会改变协和与不协和的功能.
1.5 Meter and Rhythm
节奏、旋律、和声是音乐的三大要素. 由于单有节拍和节奏就可以构成音乐作品, 故而节拍和节奏是构成音乐的第一要素.
1.5.1 Meter
拍 (beat) 是音乐中可感知的基本律动; 节拍 (meter) 是拍在强弱层级上的组织. 小节 (measure) 用小节线划分, 拍号 (time signature) 标示其时值结构.
| 拍号 | 常用基本拍 | 每小节拍数 | 分组 |
|---|---|---|---|
| 2/4 | 四分音符 | 2 | 强、弱 |
| 3/4 | 四分音符 | 3 | 强、弱、弱 |
| 4/4 | 四分音符 | 4 | 强、弱、次强、弱 |
| 6/8 | 附点四分音符 | 2 | 两组各三个八分音符 |
3/4 与 6/8 都可容纳六个八分音符, 但前者常分为 \(2+2+2\), 后者为 \(3+3\). 英文 simple / compound meter 按基本拍通常二分还是三分区分, 不应只按拍号分子是否为合数判断. 中文教材的单拍子、复拍子分类另有约定, 使用时需说明分组.
1.5.2 Asymmetric Meter
五拍、七拍常按 \(2+3\)、\(3+2\) 或 \(2+2+3\) 等不等长组组织. 拍号分子为素数并不意味着不能分组. Paul Desmond 的 Take Five 是五拍子的典型例子.
1.5.3 Rhythm
“节奏,谓或作或止,作则奏之, 止则节之”. 节奏(rhythm)是由音符的不同时值(duration)组合构成的模式.
Georges Bizet - Carmen act.1: Habanera
2/4, 时值最短的为十六分音符/休止符, 故而可以抽象出节奏型(不含音高):
将上面的 2/4 节奏重复两个小节, 以十六分音符为网格单位, 得到 16 个位置 \(0,1,\ldots,15\). 记发声起点 (onset) 为 1, 其余为 0:
\[[\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ |\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ ]\]2 Vibration and Overtones
发声方式
- 气鸣乐器aerophone: 边棱、唇鸣、簧鸣
- 弦鸣乐器chordophone: 弓弦、弹拨、击打
- 体鸣乐器idiophone: 木琴、打击乐器
- 膜鸣乐器membranophone: 鼓、kazoo
- 电鸣乐器electrophone
2.1 Consonance and the Overtone Series
e.g.1 对于张力与线密度均匀、忽略弯曲刚度的小振幅理想弦, 两端固定时 \(f_n=nf_1\) (\(n=1,2,\ldots\)), 构成基音和谐波列. 基音以上的成分称为泛音; 本模型中 \(n=2\) 为第一泛音. 真实弦的刚度等因素可使泛音偏离整数倍频.
对于理想谐波列, 若基频为 C2, 则第 \(n\) 个谐波的频率为 \(nf_1\). 下表的比值统一相对于基频, 音名只表示附近的十二平均律音高.
| 谐波序号 | 频率比 | 附近音名 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1:1 | C2 | 基音 |
| 2 | 2:1 | C3 | 八度 |
| 3 | 3:1 | G3 | 相对 C3 为纯五度 |
| 4 | 4:1 | C4 | 两个八度 |
| 5 | 5:1 | E4 | 相对 C4 为纯律大三度 |
| 6 | 6:1 | G4 | 相对 C4 为纯五度 |
| 7 | 7:1 | B♭4 附近 | 低于平均律 B♭4 |
| 8 | 8:1 | C5 | 三个八度 |
| 9 | 9:1 | D5 | 相对 C5 为 9:8 |
| 10 | 10:1 | E5 | 相对 C5 为 5:4 |
| 11 | 11:1 | F5 与 F♯5 之间 | 不等于平均律中的任一音 |
| 12 | 12:1 | G5 | 相对 C5 为 3:2 |
| 13 | 13:1 | A♭5 与 A5 之间 | 接近但低于平均律 A5 |
自然铜管乐器可利用接近谐波列的共振模式发声; 真实乐器的共振与可演奏音域还受管形、吹口等影响.
2.2 Pizzicato
取弦长 \(L>0\), 均匀张力 \(T>0\)、线密度 \(\mu>0\), 忽略阻尼与弯曲刚度, 波速 \(c=\sqrt{T/\mu}\). 理想弦满足小振幅波动方程, 两端固定, 初始速度为零:
\[u_{tt}=c^2u_{xx},\quad u(0,t)=u(L,t)=0,\quad u_t(x,0)=0.\]在 \(0\lt x_0\lt L\) 处拨高 \(h\) (折线各段斜率须足够小), 释放时的折线位形为
\[\phi(x)=\begin{cases} hx/x_0,&0\le x\le x_0,\\ h(L-x)/(L-x_0),&x_0\le x\le L. \end{cases}\]固定端要求空间本征函数为 \(\sin(n\pi x/L)\). 将初始位形作 Fourier 正弦展开, 利用正交性得到
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L},\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\]分段积分给出
\[a_n=\frac{2hL^2}{n^2\pi^2x_0(L-x_0)}\sin\frac{n\pi x_0}{L}.\]这里用到 \(\int x\sin(kx)\,dx=-x\cos(kx)/k+\sin(kx)/k^2\); 两段在 \(x_0\) 处的余弦项相消, 端点的正弦项为零. 因而中央拨弦 \(x_0=L/2\) 时
\[a_n=\frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2},\]只激发奇数序号的谐波. 若在中央轻触制音, 可近似抑制中央不为节点的模式, 留下偶数序号谐波. 中央拨弦改变初始位形, 轻触制音则添加近似节点约束; 两者不是同一种操作.
2.3 Wind Instruments
- Woodwind: piccolo, flute, oboe, clarinet, bassoon
- Brass: trumpet, horn, trombone, tuba
木管五重奏: flute, oboe, clarinet, bassoon, horn(虽然horn是铜管)
下列公式采用均匀圆柱形空气柱、线性无损声波的理想模型, \(v\) 为声速, \(L\) 为有效管长, 模序号 \(n=1,2,\ldots\). 开口近似为声压节点、空气位移波腹; 闭口相反. 真实管乐器须考虑端部修正, 不能把声压与位移的节点混淆.
开管(两侧开口):
\[f_n=\frac{nv}{2L}\]可以得到所有自然泛音.
长笛可近似为开管; 对给定有效管长, 第二共振约为基频的两倍, 超吹可得到高八度. 基频随指法和有效管长改变.
闭管(一侧开口):
\[f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{(2n-1)v}{4L}\]共振频率为基频的奇数倍: \(f_1,3f_1,5f_1,\ldots\), 即只保留奇数序号谐波. 若按实际存在的泛音依次编号, \(3f_1\) 是第一泛音, 不能称为“仅有偶次泛音”.
单簧管的圆柱形管体可近似为一端闭管, 首个较高共振约为基频的三倍, 超吹得到高十二度. 此为理想模型, 真实频率还需端部修正.
3 Temperaments and Tuning Systems
Q 乐音体系是有限多音级构成的集合, 律学(Temperament)要回答的问题是
- 如何确定绝对音高(absolute pitch)
- 如何确定一个八度内不同音级的相对音高(relative pitch)
即说明乐音体系的集合是如何确定的, 分别对应什么音高.
在采用八度频率比 1:2 的十二音体系中, 确定一个八度内 12 个音级的相对频率后, 再指定任意一个音级的基准频率, 就确定了其余音高. 十二音是本节的选择, 不是所有律制必有的音级数.
3.1 The Sanfen Sunyi Method(三分损益)
凡將起五音(五声音阶):
- 凡首, 先主一而三之, 四開以合九九, 以是生黃鐘小素之首, 以成宫: \(3^4 = 81\)
- 三分而益之以一, 為百有八, 為徵: \(81\times\frac{4}{3} = 108\)
- 不無有三分而去其乘, 適足, 以是生商: \(108\times\frac{2}{3} = 72\)
- 有三分, 而復于其所, 以是成羽: \(72\times\frac{4}{3} = 96\)
- 有三分, 去其乘, 適足, 以是成角: \(96\times\frac{2}{3} = 64\)
在理想弦的张力与线密度相同的条件下, 基频与有效弦长成反比. 再将徵、羽弦长除以 2, 就得到以宫为基准的五声音阶 (此处用 C4 作现代音名参照, 不表示古代固定标准音高):
| 宫 | 商 | 角 | 徴 | 羽 |
|---|---|---|---|---|
| 81 | 72 | 64 | 54 | 48 |
Rem 这里的数值不是音高, 而是弦长的比值. 频率比为其倒数.
但是\(81:64 \ne 1.25\), 不符合理想大三度的简单整数比.
- 变宫: \(64\times\frac{4}{3}=\frac{256}{3}\approx 85\)
- 变徴: \(\frac{256}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{512}{9}\approx 57\)
变宫对应弦长除以 2, 得到七声音阶(雅乐音阶/古音阶):
| 宫 | 商 | 角 | 变徵 | 徵 | 羽 | 变宫 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 81 | 72 | 64 | 512/9 | 54 | 48 | 128/3 |
十二律
| 序号 | 连续五度音名 | 原始频率比 |
|---|---|---|
| 0 | C | \((3/2)^{0}\) |
| 1 | G | \((3/2)^{1}\) |
| 2 | D | \((3/2)^{2}\) |
| 3 | A | \((3/2)^{3}\) |
| 4 | E | \((3/2)^{4}\) |
| 5 | B | \((3/2)^{5}\) |
| 6 | F♯ | \((3/2)^{6}\) |
| 7 | C♯ | \((3/2)^{7}\) |
| 8 | G♯ | \((3/2)^{8}\) |
| 9 | D♯ | \((3/2)^{9}\) |
| 10 | A♯ | \((3/2)^{10}\) |
| 11 | E♯ | \((3/2)^{11}\) |
| 12 | B♯ | \((3/2)^{12}\) |
排列得到
| 律名 | 现代音名参照 |
|---|---|
| 黄钟 | C |
| 大吕 | C♯ |
| 太簇 | D |
| 夹钟 | D♯ |
| 姑洗 | E |
| 仲吕 | F |
| 蕤宾 | F♯ |
| 林钟 | G |
| 夷则 | G♯ |
| 南吕 | A |
| 无射 | B♭ |
| 应钟 | B |
按上面的连续纯五度构造, 第 11 步记为 E♯, 第 12 步记为 B♯. 十二个纯五度与七个八度的频率比相差
\[\frac{(3/2)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}>1.\]将第 12 步折回到 C 上方一八度时, 频率比为 \(3^{12}/2^{18}>2\), 因而略高于 C 的精确高八度, 不能把此 B♯ 与 C′ 精确等同. 这里的五度链与律名表采用现代音名参照, 不能将链中 E♯ 直接认作表中仲吕 F 的同一精确频率.
3.2 Generation by Fifths(五度相生)
毕达哥拉斯学派采用3:2作为生律比, 得到12音名(与三分损益法相同):
| 序号 | 连续五度音名 | 原始频率比 |
|---|---|---|
| 0 | C | \((3/2)^{0}\) |
| 1 | G | \((3/2)^{1}\) |
| 2 | D | \((3/2)^{2}\) |
| 3 | A | \((3/2)^{3}\) |
| 4 | E | \((3/2)^{4}\) |
| 5 | B | \((3/2)^{5}\) |
| 6 | F♯ | \((3/2)^{6}\) |
| 7 | C♯ | \((3/2)^{7}\) |
| 8 | G♯ | \((3/2)^{8}\) |
| 9 | D♯ | \((3/2)^{9}\) |
| 10 | A♯ | \((3/2)^{10}\) |
| 11 | E♯ | \((3/2)^{11}\) |
| 12 | B♯ | \((3/2)^{12}\) |
三度音程出现问题(C : E): \(\frac{3^4}{2^6}\approx1.265625>1.25\).
同样对于\(\boldsymbol\sharp{\rm E}\)上纯五度的\(\boldsymbol\sharp{\rm B}\), 有\(\frac{3^{12}}{2^{19}} > 1\), 得到毕达哥拉斯音差, 与现代律制仍不同.
反过来不断乘以\(\frac{2}{3}\) 或 \(\frac{4}{3}\), 也可以降五度相生的音, 但是与升五度相生的音并不完全重合.
3.3 Just Intonation
纯律添加了理想大三度的比例
| 三和弦 | 比例 |
|---|---|
| C–E–G | 1 : 5/4 : 3/2 = 4:5:6 |
| F–A–C′ | 4/3 : 5/3 : 2 = 4:5:6 |
| G–B–D′ | 3/2 : 15/8 : 9/4 = 4:5:6 |
| 音名 | 相对 C 的纯律频率比 |
|---|---|
| C | 1 |
| D | 9/8 |
| E | 5/4 |
| F | 4/3 |
| G | 3/2 |
| A | 5/3 |
| B | 15/8 |
| C′ | 2 |
纯律下正三和弦(C-E-G、F-A-C’、G-B-D’)都符合理想的简单整数比4:5:6, 这对多声部音乐具有重要意义.
五度音程D-A比例为\(\frac{40}{27}=\frac{80}{54}\lt \frac{81}{54} = \frac{3}{2}\), 比理想的纯五度要"窄"
大二度有两种比例: C-D、F-G、A-B为9:8; D-E, G-A为10:9
syntonic comma音差: C出发, 升4个纯五度, 降2个八度和1个大三度, 回到的地方略高于C:
\[\left(\frac{3}{2}\right)^4\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{4}{5}=\frac{81}{80}=1.0125\]产生谐调音差.
modulation转调 对于之前的七声音阶, 若要转为以D为基准1, 则对于其上纯五度的A, 比例为
\[\frac{5}{3}\div\frac{9}{8}=\frac{5}{3}\times\frac{8}{9}=\frac{40}{27}\approx1.48\lt \frac{3}{2}\]
3.4 Meantone Temperament
C上方五度为\(\frac{3}{2}f\), 八度为\(2f\), 若想按五度相生, 经过\(n\)次后得到比C高\(m\)个八度的音级, 需要满足
\[\left(\frac{3}{2}\right)^n\cdot f=2^m\cdot f\]当 \(m,n\) 为正整数时没有解: 等式等价于 \(3^n=2^{m+n}\), 与素因数分解唯一性矛盾. 因此由精确纯五度生成的有限音高循环不能同时精确闭合于八度; 这不是说有理频率比无法构成任何律制.
音程复合对应频率比相乘. 因此等分一个音差应在对数音高上等分, 即对频率比取几何平均.
四分之一音差中全音律 (quarter-comma meantone): 将之前的 syntonic comma 在对数音高上平均分给四个连续五度:
\[a = \frac{81}{80},\quad d = \sqrt[4]{a}\Longrightarrow\frac{3}{2}\div\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{5}\]用\(\sqrt[4]{5}\)作为生律元素, 依次得到6个音级:
\[\begin{matrix} &\mathrm{C} &\mathrm{G} &\mathrm{D} &\mathrm{A} &\mathrm{E} &\mathrm{B}\\ &1 &\sqrt[4]{5} &\frac{\sqrt{5}}{2} &\frac{\sqrt[4]{5^3}}{2} &\frac{5}{4} &\frac{5\sqrt[4]{5}}{4} \end{matrix}\]由 C’ 与 F 相差一个同样收窄的五度, 从而
\[\begin{matrix} &\mathrm{C} &\mathrm{D} &\mathrm{E} &\mathrm{F} &\mathrm{G} &\mathrm{A} &\mathrm{B}\\ &1 &\frac{\sqrt{5}}{2} &\frac{5}{4} &\frac{2\sqrt[4]{5^3}}{5} &\sqrt[4]{5} &\frac{\sqrt[4]{5^3}}{2} &\frac{5\sqrt[4]{5}}{4} \end{matrix}\]纯律中两种不同大二度的几何平均
\[\sqrt{\frac{9}{8}\times\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt5}{2}\]恰好为此处的大二度
可在所选音高集合支持的调之间转调, 但不能同时保证任意调中所有五度与三度都纯正
考虑半音与全音: 小二度B-C'
\[\begin{aligned} 2\div\frac{5\sqrt[4]{5}}{4}&=\frac{8}{5\sqrt[4]{5}}=\frac{8\sqrt[4]{5^3}}{25}\\ \left(\frac{8\sqrt[4]{5^3}}{25}\right)^2&=\frac{64}{125}\sqrt5>\frac{\sqrt5}{2}\end{aligned}\]两个半音略"宽"于全音.
3.5 Equal Temperament
设一个八度之间有12个半音, 相应的音级分别对应频率
\[f_0,f_1,f_2,\ldots,f_{11},f_{12}=2f_0\]使其构成等比数列, 则公比为\(\sqrt[12]{2}\), 得到十二平均律.
朱载堉的“新法密率”给出了十二平均律的精密数值计算. 下表用现代音名作对应参照, 不表示各历史律制具有完全相同的频率.
\[\begin{array}{cccccccccccccc} \text{黄} & \text{大} & \text{太} & \text{夹} & \text{姑} & \text{仲} & \text{蕤} & \text{林} & \text{夷} & \text{南} & \text{无} & \text{应} & \text{黄} \\ \text{钟} & \text{吕} & \text{蔟} & \text{钟} & \text{洗} & \text{吕} & \text{宾} & \text{钟} & \text{则} & \text{吕} & \text{射} & \text{钟} & \text{钟} \\ \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{正} \\ \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} \\ \text{C} & \sharp\text{C} & \text{D} & \sharp\text{D} & \text{E} & \text{F} & \sharp\text{F} & \text{G} & \sharp\text{G} & \text{A} & \sharp\text{A} & \text{B} & \text{C}^\prime \\ \end{array}\]
3.6 Cents
取正频率 \(f_1,f_2\), 音分在对数坐标下表示有向音程, 从 \(f_1\) 到 \(f_2\) 的音分数为
\[1200\log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)\]平均律的半音频率比换算为音分即为100 cents.
- 音高差别的辨别阈值随音区、时长、音色、训练和测试条件改变, 不把某个固定音分数作为所有听者的统一阈值.
绝对音高标准
- A4 = 440Hz
MIDI note number 给音符编号. 在采用十二平均律且 A4=440 Hz 的常用调音约定下, 可将编号 n 换算为频率 (MIDI 本身并不禁止其他调音):
\[f=440\cdot2^{(n-69)/12}\]4 Modes, Scales and Chords
4.1 Modes & Scales
若干音级围绕着某一个有稳定感的中心音级, 按照一定的音程关系组织在一起构成的乐音体系称为调式mode, 例如大调式、小调式、中国民族调式……调式中具有稳定感的中心音级称为主音tonic.
调式音阶从主音开始, 而其主音可以位于任何一个音级.
4.1.1 Modes
自然大调 natural major
由两个相同的四声音阶以一个全音相接; 每个四声音阶内部的三个音程依次为
| I | II | III | IV | V | VI | VII |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 主音 | 上主音 | 中音 | 下属音 | 属音 | 下中音 | 导音 |
| tonic | supertonic | mediant | subdominant | dominant | submediant | leading note |
e.g. C大调音阶
自然小调 natural minor
由两个不同的四声音阶结合而成, 两个四声音阶的音程分别为
e.g. A小调音阶
和声小调 harmonic minor & 旋律小调 melodic minor
将自然小调的第 VII 级下主音升高半音, 使其成为距主音半音的导音, 得到和声小调; 再升高第 VI 级得到古典旋律小调的上行形式.
e.g.1 A为主音的和声小调音阶
e.g.2 A为主音的旋律小调音阶
古典教学中, 旋律小调下行通常恢复 VI、VII 级, 与自然小调一致; 爵士语境常上下行都保留升高的 VI、VII 级.
4.1.2 Circle of Fifths
升号调
按照五度循环的规律, 依次考虑主音为
\[\rm C,G,D,A,E,B,\sharp F,\sharp C\]的大调音阶, 每顺行五度, 需要将一个音级升高半音, 如图
| 大调 | 调号 |
|---|---|
| C | 无 |
| G | F♯ |
| D | F♯, C♯ |
| A | F♯, C♯, G♯ |
| E | F♯, C♯, G♯, D♯ |
| B | F♯, C♯, G♯, D♯, A♯ |
| F♯ | F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯ |
| C♯ | F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯, B♯ |
新增升号顺序: F–C–G–D–A–E–B.
降号调
对称的, 按反方向的五度循环依次考虑主音为
\[\rm C,F,\flat B,\flat E,\flat A,\flat D,\flat G,\flat C\]的大调音阶, 每逆行五度, 需要将一个音级降低半音, 如图
| 大调 | 调号 |
|---|---|
| C | 无 |
| F | B♭ |
| B♭ | B♭, E♭ |
| E♭ | B♭, E♭, A♭ |
| A♭ | B♭, E♭, A♭, D♭ |
| D♭ | B♭, E♭, A♭, D♭, G♭ |
| G♭ | B♭, E♭, A♭, D♭, G♭, C♭ |
| C♭ | B♭, E♭, A♭, D♭, G♭, C♭, F♭ |
新增降号顺序: B–E–A–D–G–C–F.
调号 key signature
从而可以根据调式, 将需要升高或降低的变音记号统一写在谱号右侧, 称为调号.
C 大调无升降号. 新增升号的顺序为 F–C–G–D–A–E–B; 新增降号的顺序相反, 为 B–E–A–D–G–C–F.
等音调
\(\rm B\)大调和\(\rm \flat C\)大调的音阶中, 各个音级都是等音的, 在按平均律调律的键盘乐器上, 这两个调的音阶完全一致, 但在五线谱上标记为不同的音名. 使用至多七个升号或降号记谱的 15 种大调调号中, 有三对等音调
\[\rm B\&\flat C,\quad \sharp F\&\flat G,\quad \sharp C\&\flat D\]关系大/小调&平行大/小调
A小调与C大调都全部由基本音级构成, 无需使用升降号变化音级.
每个大调都对应一个调号相同的小调. 这一组大&小调被称为关系大小调. 具有相同主音的大小调被称为平行大小调.
标注时常用大写字母标注大调, 小写字母标注小调.
- 和声/旋律小调对于导音/下中音的升高不算在对于调号的变化内, 认为是临时变音记号.
近关系调 closely related keys
24个大小调式的家族有关系远近之分, 每个调式有五个近关系调
常用的近关系调包括关系大小调, 以及调号相差一个升降号的大小调. 例如 C 大调对应 a 小调、G 大调、e 小调、F 大调、d 小调. 这里按调号与自然调式来描述, 不把“共享一个和弦”作为充分条件.
Rem 七个自然音 C、D、E、F、G、A、B 在五度圈上构成连续链 F–C–G–D–A–E–B. 固定这些音类, 主音沿这条链从 F 移到 B 时, 依次得到下列七个调式. “亮、暗”是比较调式色彩的一种教学描述, 不是由圆周方向决定的普遍听觉定律:
- Lydian —— 色调最亮
- Ionian / Natural Major —— 标准明亮
- Mixolydian
- Dorian —— 明暗平衡点
- Aeolian / Natural Minor —— 标准暗淡
- Phrygian
- Locrian —— 色调最暗
在移到同一主音比较时, 由 Locrian 向 Lydian 每步升高一个特定音级, 反向则降低一个音级, 因而常按 Lydian 到 Locrian 描述由亮到暗. 实际感知还依赖音区、节奏、音色与和声语境; 换画法或换音集合时不能只读“顺时针/逆时针”.
4.2 Chords
三个及以上不同音高的乐音, 按一定的音程关系结合起来, 成为和弦. 和声学是研究和弦的构成、连接及其在音乐作品中具体应用的理论, 是主调音乐的基础.
传统和弦按照三度叠置原则构建.
三和弦 triad
按照三度音程关系叠置的三个音构成三和弦, 三个音分别称为根音、三音、五音(冠音).
三度音程分别取大三度/小三度可以得到四种和弦.
| 三度结构 | 名称 |
|---|---|
| 大三 + 小三 | 大三和弦maj |
| 小三 + 大三 | 小三和弦min |
| 大三 + 大三 | 增三和弦 aug |
| 小三 + 小三 | 减三和弦 dim |
在常见调性和声中, 大、小三和弦通常按协和和弦处理, 增、减三和弦通常需要结合声部进行讨论其倾向. 这里是和声语境中的分类.
还有sus2/sus4的说法, 即将三音替换为二音/四音的和弦, 但不属于传统三和弦范畴.
七和弦 seventh chord
| 三度结构 | 命名结构 | 名称 | 简称 |
|---|---|---|---|
| 小三 + 小三 + 小三 | 减三、减七 | 减减七和弦 | 减七和弦 |
| 小三 + 小三 + 大三 | 减三、小七 | 减小七和弦 | 半减七和弦 |
| 小三 + 大三 + 小三 | 小三、小七 | 小小七和弦 | 小七和弦 |
| 小三 + 大三 + 大三 | 小三、大七 | 小大七和弦 | |
| 大三 + 小三 + 小三 | 大三、小七 | 大小七和弦 | 属七和弦 |
| 大三 + 小三 + 大三 | 大三、大七 | 大大七和弦 | 大七和弦 |
| 大三 + 大三 + 小三 | 增三、大七 | 增大七和弦 |
增增七和弦, 由于增七度在十二平均律下与纯八度等音, 此和弦被认为"退化"为三和弦.
Rem 𝄪和𝄫在和弦记谱中的作用 e.g.1 B上的增三和弦, 如果记作\(\rm B,\sharp D,G\), 不符合三度叠置 e.g.2 C上的减减七和弦
| 和弦 | 按三度叠置的拼写 |
|---|---|
| B 增三和弦 | B–D♯–F𝄪 |
| C 减七和弦 | C–E♭–G♭–B𝄫 |
和弦的转位
以根音为低音的和弦为原位和弦, 其余为转位和弦.
三和弦的转位:
- 三音作低音被称为第一转位/六和弦(低音与高音相差六度)
- 五音作低音被称为第二转位/四六和弦(低音与中/高音分别相差四/六度)
| 位置 | 以 C 大三和弦为例 |
|---|---|
| 原位 | C–E–G |
| 第一转位 | E–G–C |
| 第二转位 | G–C–E |
七和弦的转位:
- 三音作低音被称为第一转位/五六和弦
- 五音作低音被称为第二转位/三四和弦
- 七音作低音被称为第三转位/二和弦
| 位置 | 以 G 属七和弦为例 |
|---|---|
| 原位 | G–B–D–F |
| 第一转位 | B–D–F–G |
| 第二转位 | D–F–G–B |
| 第三转位 | F–G–B–D |
4.3 Chords in the modal scale
在调式音阶上, 以任一音级作根音, 按照三度叠置原则选取音阶内的音级, 可以构成和弦.
和弦标记
罗马数字表示根音在调式音阶中的级数.
用大、小写区分和弦的结构: 根音到三音为大三度音程的用大写字母, 根音到三音为小三度音程的用小写字母.
用上标\(^\circ\)和\(^+\)分别表示减三和弦和增三和弦；大、小三和弦不加上标.
用下标\(_6\)和\(_{\begin{matrix}6\\4\end{matrix}}\)分别表示三和弦的第一转位和第二转位.
可以给出各类调式的三和弦列
| 调式\根音 | I | II | III | IV | V | VI | VII |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 自然大调 | 大 | 小 | 小 | 大 | 大 | 小 | 减 |
| 自然小调 旋律小调下行 | 小 | 减 | 大 | 小 | 小 | 大 | 大 |
| 和声小调 | 小 | 减 | 增 | 小 | 大 | 大 | 减 |
| 旋律小调上行 | 小 | 小 | 增 | 大 | 大 | 减 | 减 |
和弦的调性功能 function
在调式的I, IV, V上构成的和弦分别称为主和弦、下属和弦、属和弦, 统称为正三和弦.
- I 具有稳定性, 给人以完成感; 它与属和弦等的关系共同确立调性.
- V 常具有导向主和弦的倾向. 以 C 大调为例, \(\rm V_7=\{G,B,D,F\}\) 中 \(\rm B-F\) 的减五度 (三全音) 及导音等声部倾向加强了这种功能.
- IV具有链接和过渡的作用.
在常见大调功能和声中, 可用以下组别作初步归纳:
- 主功能 T: I, 以及某些语境中的 vi、iii.
- 下属或前属功能 S: IV、ii.
- 属功能 D: V、vii°.
功能依赖前后文、低音和声部进行, 不能仅凭共享音把每个和弦固定分配到某个组.
和声进行 harmonic progression
在一定和声范围内进行和弦连接. 体现和弦的相互关系、功能关系和音响色彩. 和声进行的规律是一个逐步演化的历史过程.
- 正格进行: I -> V -> I
- 变格进行: I -> IV -> I
- 复式进行: I -> IV -> V -> I
图中主和弦I后面标注 possible 的箭头表明任意和弦都可以在I之后出现. 前面给出的正格进行、变格进行和复式进行均包括在图中.
对于小调式的乐曲, 除了各级和弦的属性(大、小、增、减等)需要做相应调整外, 其和弦进行与图中描述的基本一致.
从不协和和弦出发, 链接到较为协和的和弦的和弦进行, 被称为resolution.
主和弦是调性稳定的参照, 但局部进行可以停在属和弦、采用阻碍终止或转调, 不要求每段都立即解决到 I.
Tristan Chord
Wagner 的 Tristan und Isolde, WWV. 90 于 1865 年首演. 前奏中的 Tristan 和弦及后续半音化进行不断推迟稳定解决, 同时承担声音色彩、声部进行与戏剧表达的作用; 不能据此断言作品中的和弦不再具有任何调性功能.
这种悬置在全剧结尾的 Liebestod 中获得长程解决, 全剧终止于 B 大调. “始终没有解决”若包括结尾就不准确. 参见 LA Phil 的前奏与 Liebestod 作品说明.
Blues
除了特有的音阶和节奏, Blues的和声进行也有其特点.
标准的12-bar blues分为三个乐句, 其基本和声进行为
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| I | I | I | I |
| IV | IV | I | I |
| V | IV | I | I/V |
其中的各级和弦可以是三和弦,也可以是七和弦以及它们的转位. 为方便反复吟唱, 最后一小节的和弦常变成V, 以便更好地连接到下一轮的I.