Music and Mathematics - 2
音乐与数学笔记（二）
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5 Rhythm and Circular Patterns
5.1 Circular Rhythm Models
5.1.1 Evenness and Onset Placement
Maurice Ravel - Boléro(莫里斯·拉威尔: 波莱罗舞曲)
波莱罗的固定节奏型可在统一网格上表示: 两个 3/4 小节共 36 格, 每个四分音符占 6 格, 发声位置着色.
古巴颂节奏型: 2-3/3-2 Son Cubano. 同样可以标记其onset序列
| 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + | | | 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ● | ● | | | ● | ● | ● |
| 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + | | | 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ● | ● | ● | | | ● | ● |
Arturo Márquez - Danzón No. 2(阿图罗·马尔克斯: 第二号舞曲)
可在这部作品中观察击木 (claves) 等乐器承担节奏型的方式. Danzón、Son 及 clave 的具体用法须结合谱面与段落分析, 不能仅因使用 claves 就把整段判定为同一个 Son 型; 上面的 2-3/3-2 表是独立的节奏模型.
先取一个明确的近似均匀模型: 在 16 个等分位置放置 5 个起拍, 第一个固定为 0; 其余第 \(j\) 个起拍取理想位置 \(16j/5\) 的向下或向上整数近似 (\(j=1,2,3,4\)). 四次独立选择给出下表 16 个候选.
这里的“均衡”指上述取整构造, 不等同于文献中要求各阶音程间距均匀的严格 maximal evenness. “五个起拍”也不等于“五拍子”; 此处周期长度仍为 16 个网格单位.
# 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 ● ● ● ● ● 2 ● ● ● ● ● 3 ● ● ● ● ● 4 ● ● ● ● ● 5 ● ● ● ● ● 6 ● ● ● ● ● 7 ● ● ● ● ● 8 ● ● ● ● ● 9 ● ● ● ● ● 10 ● ● ● ● ● 11 ● ● ● ● ● 12 ● ● ● ● ● 13 ● ● ● ● ● 14 ● ● ● ● ● 15 ● ● ● ● ● 16 ● ● ● ● ● line 3: Son; line 4: Bossa-Nova; line 7: Rumba.
由于固定节奏型反复出现, 可以认为循环移位只改变起始相位, 可用于比较同一个周期节奏的不同表示. 自然地将节奏型表示为圆周上的点:
对于 Son 的起拍集合, 可以逐项检查没有两个起拍相隔半个周期, 即不存在同时发声的对径点 (antipodal points). 这样的节奏型被称作具有节奏奇性(rhythmic oddity). 节奏奇性是关于周期起拍集合的组合性质. 它可辅助分析这种节奏的分布, 但切分与活力的听感还依赖强弱拍、重音及演奏语境, 不能仅由“无对径点”推出.
5.1.2 Metric Properties of Rhythm
通过时值间隔组成的距离序列进行度量:
Son 的距离序列为 \((3,3,4,2,4)\), Fume-fume 的为 \((2,2,3,2,3)\) (后者周期为 12). 轮廓只保留相邻间隔的增减关系, 会丢失间隔大小. 两个节奏可以轮廓相同而听感不同; 轮廓同构不代表听觉上不可区分.
定义第 \(i\) 项轮廓为第 \(i+1\) 个间隔减第 \(i\) 个间隔的符号 (下标循环). 两者的轮廓 (contour) 均等于
\[[\ 0,\ +,\ -,\ +,\ -\ ]\]所以称两者是轮廓同构的. 由于零点的任意性, 在可以循环移位操作转换的轮廓也是同构的.
各个起拍之间的间隔中点形成一个与发声的节奏型对偶的节奏, 称作原来节奏型的影子(shadow):
影子相邻间隔等于原相邻两间隔的平均: \(e_i=(d_i+d_{i+1})/2\). 对 Son 得 \((3,3.5,3,3,3.5)\), 故其轮廓为\([\ +,\ -,\ 0,\ +,\ -\ ]\), 与Son达成轮廓同构.
对本文的 16 行候选表逐项计算, 第 3、6、12 行与各自影子的轮廓同构; 这三行均为 Son 的循环移位, 因而只形成一个循环等价类. “唯一”仅指该候选族中的循环等价类, 不是有标号表中的唯一一行, 也不是对任意节奏集合的定理. 取整候选族、节奏奇性与影子轮廓的定义参见 Toussaint 的 The Rhythm that Conquered the World, pp. 3–9. 文献的表序与本文不同, 应按起拍集合对应.
6 Melody and Symmetry
6.1 Symmetry in Melody
旋律的变化
旋律是一系列不同音高和时值的组合. 一段旋律转瞬即逝, 只有不断地呈现、反复地强调, 才能达到强烈的艺术感染力. 重复并不是一成不变, 而是在一次次的重复中不断变化、发展. 旋律的变化和发展可以在音乐的不同方面和层次发生, 比如节奏、声部、音色、曲式、和声等.
- Transposition
严格移调(exact): 将旋律中的每一个音的音级都上升或下降相同的音程;
调性移调(tonal): 适当调整升高或降低的音程, 以符合目标调式的音阶结构.
e.g. 音级\(\rm C,E,G\).
- 作为严格移调升高四个半音, 得到\(\rm E,\sharp G,B\).
- 如果在 C 大调音阶内进行调性移调, 则取对应音级, 得到\(\rm E, G, B\) Rem 调性移调需要根据目标调式音阶结构确定.
- Retrograde 在横轴为时间、纵轴为音高的图上, 逆行是关于竖直轴的反射, 改变音符事件的先后顺序. 若包含时值, 须明确是否连同每个音的时值一起逆序; 后文音列模型只记录音类顺序.
- Inversion 在同一坐标约定下, 严格倒影是关于水平音高轴的反射, 即相对于给定轴音高将上行音程变为同样大小的下行音程, 时间位置不变. 选择不同轴音高会得到不同旋律; 调性倒影可能为了调式结构调整音程大小.
在理想时间–音高坐标中, 严格移调、逆行与严格倒影可用平移、反射描述. 调性变换可能调整音程, 不一定保持严格的几何距离.
Tonal Music 传统音乐大多基于调式体系, 调性音乐中总有一个主音tonic使得其他音与其形成一定关系. 旋律的对称变换需要考虑调式音阶的结构, 所以往往受到一定限制.
从浪漫主义到印象主义
Tristan 和弦 (\(\rm F,B,\sharp D,\sharp G\)) 及其半音化声部进行常用于讨论 Wagner 对稳定解决的延缓与和声色彩的扩展. 它对后来的作曲有重要影响, 但不能将这段音乐简单等同于完全取消调性或所有和声功能.
Twelve-tone technique
作曲家有意识地采用数学变换(群论)的思想进行音乐创作的探索实践. Schönberg的十二音技术可以看作是打破传统的调式音阶的一种探索.
6.2 From Pitch to Pitch-Class Space
以十二平均律半音为单位给音高编号. 为避免有限乐器音域在移调后越界, 数学模型先取所有整数 \(\mathbb Z\); 八度等价关系定义为
\[x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad x-y\in12\mathbb Z.\]这是等价关系: \(x-x=0\), \(x-y\) 与 \(y-x\) 同为 12 的倍数, 而两个这样的差相加仍为 12 的倍数. 每个等价类由所有相差整数个八度的音高组成. 商集
\[\mathscr{PC}=\mathbb Z/12\mathbb Z=\{0,1,\ldots,11\}\]称为音类空间 (pitch-class space). 固定 C 为 0 时, C♯/D♭ 为 1, …, B 为 11. 这里采用等音等价, 不保留谱面拼写和八度位置.
同余类的和定义为 \([a]+[b]=[a+b]\). 若代表元分别改为 \(a+12u,b+12v\), 和只改变 \(12(u+v)\), 因而定义与代表元选择无关. 后文直接用 \(0,\ldots,11\) 表示这些类, 运算均模 12.
6.3 Groups of Musical Transformations
移调与倒影 定义音类上的置换
\[T_n(x)=x+n,\qquad I_n(x)=n-x,\qquad n\in\mathbb Z_{12}.\]移调是音类集合的置换; 当 \(n\ne0\) 时, 它不保持加法单位元, 因而不是加法群 \(\mathbb Z_{12}\) 的自同构. 这些置换在复合运算下组成群. 约定 \(g\circ h\) 先做 \(h\), 再做 \(g\).
代入定义可逐项得到
\[\begin{aligned} T_m\circ T_n&=T_{m+n},& T_m\circ I_n&=I_{m+n},\\ I_m\circ T_n&=I_{m-n},& I_m\circ I_n&=T_{m-n}. \end{aligned}\]例如 \(I_m(I_n(x))=m-(n-x)=x+m-n\). 所以 12 个移调与 12 个倒影组成封闭集合, 单位元为 \(T_0\), 逆元分别为 \(T_{-n}\) 与 \(I_n\). 结合律继承自映射复合.
令 \(r=T_1,s=I_0\), 则
\[r^{12}=s^2=e,\qquad srs=r^{-1}.\]每个元素都可写为 \(r^n\) 或 \(r^ns\), 这 24 个映射两两不同. 它们对应正十二边形的旋转与反射, 故
\[\mathscr D=\langle T_1,I_0\rangle\cong D_{12},\qquad |\mathscr D|=24.\]本文以 \(D_{12}\) 表示正十二边形的对称群; 有的文献按群阶将它记为 \(D_{24}\).
几何上, \(I_n:x\mapsto n-x\) 的轴位于编号 \(n/2\) 的方向: \(n\) 为偶数时经过一对相对顶点, 为奇数时经过一对相对边的中点. 两类各六条轴, 才构成全部 12 个反射.
逆行 逆行作用于有序音列, 而不是单个音类:
\[\mathcal R(x_0,\ldots,x_{11})=(x_{11},\ldots,x_0).\]将 \(T_n,I_n\) 逐项作用于音列, 则 \(\mathcal R\) 与它们可交换, 且 \(\mathcal R^2=e\). 逆行改变位置, 逐项音类变换不改变位置, 二者在所有十二音列上的作用相互独立. 因而
\[\mathscr M\cong D_{12}\times C_2,\qquad |\mathscr M|=48.\]这里 \(C_2\) 由逆行生成. 它不等于正二十四边形的对称群: 后者有 24 阶旋转, 而上述直积的元素阶最多为 12. 群有 48 个操作不代表它作用于某一音列时一定产生 48 个不同结果.
6.4 Twelve-Tone Technique
一个十二音列是 12 个音类各出现一次的有序排列. 以 Schönberg 的钢琴协奏曲 Op.42 所用音列为例, 其开头是 E♭, 而不是 E:
\[(\mathrm{E}\flat,\mathrm B\flat,\mathrm D,\mathrm F,\mathrm E,\mathrm C, \mathrm F\sharp,\mathrm A\flat,\mathrm D\flat,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm G).\]本例临时以首音 E♭ 为 0, 得到相对编号
\[P_0=(0,7,11,2,1,9,3,5,10,6,8,4).\]这只是整体改变坐标原点; 恢复 C=0 时应将每项加 3.
音列变换 定义
\[P_n=T_n(P_0),\quad I_n=I_n(P_0),\quad R_n=\mathcal R(P_n),\quad RI_n=\mathcal R(I_n).\]左侧 \(I_n\) 表示音列, 右侧 \(I_n\) 表示逐项映射 \(x\mapsto n-x\), 由上下文区分. 例如
\[\begin{aligned} P_2&=(2,9,1,4,3,11,5,7,0,8,10,6),\\ I_0&=(0,5,1,10,11,3,9,7,2,6,4,8),\\ R_0&=(4,8,6,10,5,3,9,1,2,11,7,0). \end{aligned}\]设初始音列第 \(j\) 项为 \(p_j\), 则矩阵
\[M_{ij}=p_j-p_i\pmod{12}\]第一行为 \(P_0\), 第一列为 \(I_0\). 从左到右读行得到 P 类, 从上到下读列得到 I 类; 反向读取分别得到 R、RI 类. 48 个读法共用这张矩阵, 不是把 48 条音列各占一行.
| P / I | 0 | 7 | 11 | 2 | 1 | 9 | 3 | 5 | 10 | 6 | 8 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 7 | 11 | 2 | 1 | 9 | 3 | 5 | 10 | 6 | 8 | 4 |
| 5 | 5 | 0 | 4 | 7 | 6 | 2 | 8 | 10 | 3 | 11 | 1 | 9 |
| 1 | 1 | 8 | 0 | 3 | 2 | 10 | 4 | 6 | 11 | 7 | 9 | 5 |
| 10 | 10 | 5 | 9 | 0 | 11 | 7 | 1 | 3 | 8 | 4 | 6 | 2 |
| 11 | 11 | 6 | 10 | 1 | 0 | 8 | 2 | 4 | 9 | 5 | 7 | 3 |
| 3 | 3 | 10 | 2 | 5 | 4 | 0 | 6 | 8 | 1 | 9 | 11 | 7 |
| 9 | 9 | 4 | 8 | 11 | 10 | 6 | 0 | 2 | 7 | 3 | 5 | 1 |
| 7 | 7 | 2 | 6 | 9 | 8 | 4 | 10 | 0 | 5 | 1 | 3 | 11 |
| 2 | 2 | 9 | 1 | 4 | 3 | 11 | 5 | 7 | 0 | 8 | 10 | 6 |
| 6 | 6 | 1 | 5 | 8 | 7 | 3 | 9 | 11 | 4 | 0 | 2 | 10 |
| 4 | 4 | 11 | 3 | 6 | 5 | 1 | 7 | 9 | 2 | 10 | 0 | 8 |
| 8 | 8 | 3 | 7 | 10 | 9 | 5 | 11 | 1 | 6 | 2 | 4 | 0 |
轨道与稳定化子 群 \(G\) 作用在集合上时, 定义
\[\operatorname{Orb}(a)=\{g(a):g\in G\},\qquad G_a=\{g\in G:g(a)=a\}.\]若 \(g(a)=h(a)\), 当且仅当 \(h^{-1}g\in G_a\), 即 \(g,h\) 属于同一个左陪集. 因而每个轨道元素恰对应一个大小为 \(|G_a|\) 的陪集, 得到轨道-稳定化子定理
\[|\operatorname{Orb}(a)|=\frac{|G|}{|G_a|}.\]音列为什么只有 24 或 48 个不同变体 十二音列包含全部 12 个音类. 保持其每个位置不变的逐项移调只能是 \(T_0\); 倒影若固定全列则要求 \(2x=n\) 对全部音类成立, 不可能. 所以稳定化子除恒等元外, 只能含带逆行的操作.
若两个不同的带逆行操作都固定音列, 将其中一个的逆与另一个复合, 得到固定音列的非恒等逐项操作, 与前段矛盾. 稳定化子故至多含两个元素, 轨道大小只可能是 48 或 24. 全半音音列 \((0,1,\ldots,11)\) 就有 \(I_n=R_{n+1}\), 下标模 12, 所以只有 24 个变体.
对称音列的计数 设音列为 \(a=(a_0,\ldots,a_{11})\), 不预先固定首音.
- 逆行与倒影复合固定音列, 当且仅当 \[a_i+a_{11-i}=k\pmod{12},\qquad i=0,\ldots,5.\] \(k\) 必须为奇数: 若为偶数, 倒影 \(x\mapsto k-x\) 有两个不动音类, 它们只能与自己配对, 与音列无重复矛盾. 每个奇数 \(k\) 将 12 个音类分成六对; 将六对分配给六组对称位置, 每对再任选方向. 总数为 \[6\cdot6!\cdot2^6=276480.\]
- 逆行与非零移调复合固定音列, 要求 \(a_i=a_{11-i}+k\). 再交换 \(i\) 与 \(11-i\) 得 \(2k=0\); 排除 \(k=0\) 后只有 \(k=6\). 因此对称位置必须相差三全音, 而不是两项之和恒为 6. 六对相差 6 的音类可给出 \[6!\cdot2^6=46080\] 条音列.
两类不相交, 否则会有两个不同的非恒等稳定化子元素. 所以全部 \(12!\) 条音列中, 有对称性的比例为
\[\frac{276480+46080}{12!}=\frac1{1485}.\]以上数量允许首音任取; 若固定首音为 0, 两个计数都应除以 12.
7 Pitch-Class Sets and Neo-Riemannian Theory
7.1 From Pitch-Class Sets to Set Classes
Def Pitch-class Set: 若干音类组成的无序集合
一个 n 元 pc 集是\(\mathscr{PC}\)的一个子集合. 也可以写成 n 个模 12 的同余类的集合, 即\(\mathbb{Z}_{12}\)的一个子集合.
子集合 如果pc集\(\mathscr{A}\)中的音类都包含在pc集\(\mathscr{B}\)中, 称\(\mathscr{A}\)是\(\mathscr{B}\)的字面上的子集合(literal subset). 如果pc集\(\mathscr{A}\)的在群\(\mathscr{D}\)的某个变换下的像\(\hat g(\mathscr{A})\)是pc集\(\mathscr{B}\)的子集合, 则称\(\mathscr{A}\)是\(\mathscr{B}\)的抽象的子集合(abstract subset).
和弦的pc集 e.g. \(\{0,4,7\}\)一个大三和弦; \(\{\mathrm{F},\mathrm{B},\sharp\mathrm{D},\sharp\mathrm{G}\}=\{5,11,3,8\}\)一个Tristan和弦. 音类集合中的元素无需满足三度叠置.
音阶的pc集 e.g. \(\mathscr{V}=\{\rm \sharp{F},\sharp{G},\sharp{A},\sharp{C},\sharp{D}\}\)是一个五声音阶(pentatonic scale), \(\mathscr{W} = \{\mathrm{C,D,E,\sharp F,\sharp G,\sharp A}\}\)对应一个全音音阶(whole tonic)
正常序 (normal order) 先把音类按圆周顺序展开, 比较各个循环起点产生的首尾跨度, 取跨度最小者. 若并列, 需约定进一步的紧凑性比较规则; 本文采用 Rahn 式的比较: 从左端到倒数第二个、倒数第三个等位置的跨度依次比较, 仍相同时取起音较小者.
将正常序移到首项为 0, 并与倒影后的同类结果比较, 选取相同紧凑性约定下的代表, 得到原型 (prime form). 不同文献的并列处理约定可能不同, 使用 Forte 编号时应与相应表格一致.
例: C 大三和弦 \(\{0,4,7\}\) 的三个展开为 \((0,4,7)\)、\((4,7,12)\)、\((7,12,16)\), 首尾跨度为 7、8、9, 故正常序为 \((0,4,7)\). 倒影集合 \(\{0,5,8\}\) 的正常序为 \((5,8,12)\), 移到 0 得 \((0,3,7)\). 两者跨度同为 7, 但中间项 3 小于 4, 故原型取 \((0,3,7)\), 对应 3-11.
若音类全集有 \(n\) 个元素, 包含空集和全集的 pc set 总数为
\[C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n.\]本文取 \(n=12\), 因而有 \(2^{12}=4096\) 个字面集合; 这不是移调/倒影等价类的数目.
音类圆周上的pc set
两个音类的距离定义为音类圆周上二者之间要经过的最少间隔数, 对两个不同音类, 满足 \(1\le d\le6\). 若用 \(0,\ldots,11\) 编号, 可直接计算 \(d(x,y)=\min(|x-y|,12-|x-y|)\).
Def 对一个pc set, 定义其距离向量
\[\delta=(\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_6)\]\(\delta_i\)表示距离为\(i\)的顶点对数目(组合数). 距离向量描述了一个pc set的全部音程含量(total interval-content)
Def 考虑变换群\(\mathscr{D}\)作用在某个pc set\(\mathscr{X}\)上, 一系列pc set就按照其轨道被分成了若干集合类(set class). 例如 \(C_{12}^{3}\)个3-pc就被分为了12个集合类, 其中, 24个大、小和弦对应的 pc set 属于同一个等价类. 按某种约定在每个集合类中选取一个代表, 就得到音类集合表(list of pitch class sets). 这一代表的标准序被称为此集合类的原型(prime form).
比如大、小三和弦对应的就是\(\{\rm C, \flat E. G\}=\{0,3,7\}\)
Allen Forte给集合类的标签形如 k - xx. 前者为音类数目, 后者为编号的序号. 比如上面提到的一个集合类对应的命名就是 3 - 11.
同一个集合类中的 pc 集具有相同的\(\delta\), 但反之不一定成立.
e.g. E减七和弦
\[\mathscr{Y}=\{\mathrm E,\mathrm G,\mathrm B\flat,\mathrm D\flat\}=\{4,7,10,1\}\]群\(\mathscr{D}\)中, 恰好有4个旋转和4个对称保持其整体不变, 即\(\mathscr{D}\)中保持\(\mathscr{Y}\)不变的稳定化子是8阶子群, 进而得到\(\mathscr{Y}\)在\(\mathscr{D}\)下的轨道长度为
\[|\mathscr{D}|/|\mathscr{D}_{\mathscr Y}| = 3\]
Def 全音程四音集合 (all-interval tetrachord) \(\mathscr{A}\): 距离向量为
\[\delta=(1,1,1,1,1,1)\]易知\(\mathscr{A}\)包含 6 对距离互不相同的音类. 由总间隔数\(C_n^2 = 6\), 得到其为 4 - chord.
在\(\mathscr{D}\)下只有两类非移调/倒影等价的全音程和弦\(\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2\). 以下两例分别在集合表下记作 4-Z15、4-Z29. 这里是 Z-related (音程向量相同但不属于同一移调/倒影类), 不是集合论中的互补: 四元集合的补集有八个元素. 例如 \(\{0,1,4,6\}\) 与 \(\{0,1,3,7\}\) 都具有该向量, 但不可由移调或倒影互相得到
7.2 Harmonic Progressions and Riemannian Transformations
3-11上的变换
用符号\(\mathscr{S}\)表示24个大、小三和弦对应的pc set组成的集合类(3-11). 定义其上的三种变换:
- 平行变换: 把任意一个三和弦变为根音相同的平行三和弦, 记作\(P:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(P(C) = c\).
- 关系变换: 把任意一个三和弦变为其关系调上的三和弦, 记作\(R:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(R(C) = a\).
- 导音变换: 把小三和弦的冠音升高一个半音, 把大三和弦的根音降低一个半音, 记作\(L:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(L(C) = e\).
统称为Riemann变换.
- 只改变一个音类, 其他两个音类保持不变, 从而变换前后的和弦共享一个音程(P、R、L 分别保留纯五度、大三度、小三度)——这被称为简约声部进行(Parsimonious Voice Leading).
7.3 Tonnetz
先在平面整数格点 \((a,b)\in\mathbb Z^2\) 上标记音类
\[p(a,b)=7a+4b\pmod{12}.\]沿两个基方向分别移动纯五度和大三度, 沿其差方向移动小三度. 三角形顶点 \((a,b),(a+1,b),(a,b+1)\) 的音类为 \(\{p,p+7,p+4\}\), 构成大三和弦; 邻接的反向三角形构成小三和弦. 这就是音类三角网格的一种坐标实现.
每对共边三角形共享两个音类, 由 P、R 或 L 变换连接. 若把三角形作为顶点、共边关系作为边, 就得到三价的对偶和弦图. 因而音类三角网格与三和弦六边形图是互为对偶的两种表示, 不应混称为同一组顶点.
平面网格本身不是环面. 在十二平均律下, 还要识别给出相同音类的周期平移:
\[\Lambda=\{(a,b):7a+4b\equiv0\pmod{12}\}.\]其一组基为 \((4,-1),(0,3)\): 若 \(7a+4b\equiv0\), 先模 4 得 \(a=4q\), 再得 \(b=-q+3r\). 这两个向量围成面积为 12 的基本平行四边形. 将其对边识别, 得到环面 \(\mathbb R^2/\Lambda\), 含 12 个音类顶点和 24 个三和弦面. 这一步依赖十二平均律的音类等价, 不直接适用于保留纯律频率差别的无限音网.
7.4 Neo-Riemannian Theory
用 \((r,+)\) 和 \((r,-)\) 表示根音为 \(r\) 的大、小三和弦. 三个变换可写为
| 变换 | 大三和弦的像 | 小三和弦的像 | 保留的音程 |
|---|---|---|---|
| P | \((r,-)\) | \((r,+)\) | 纯五度 |
| R | \((r-3,-)\) | \((r+3,+)\) | 大三度 |
| L | \((r+4,-)\) | \((r-4,+)\) | 小三度 |
它们均为对合: \(P^2=R^2=L^2=e\). 注意 R 改变的那个声部移动全音, P 与 L 移动半音; “保留两个音”不意味着每次都只移动半音.
令 \(A=L\circ R\). 对大三和弦, \(A(r,+)=(r-7,+)=(r+5,+)\); 对小三和弦, \(A(r,-)=(r+7,-)\). 由于 5、7 都与 12 互素, \(A\) 的阶恰为 12. 由对合关系又有
\[RAR=A^{-1},\qquad P=R\circ A^3.\]后一等式可分别代入大、小三和弦验证. 因而 \(P\) 不引入新生成元, 整个群的元素可约为 \(A^j\) 或 \(RA^j\). 前者保持大小调性质, 后者交换性质, 且每类 12 个元素互异, 所以
\[\mathscr N=\langle P,R,L\rangle=\langle A,R\rangle\cong D_{12},\qquad |\mathscr N|=24.\]它与音类上的 T/I 群抽象同构, 但作用方式不同: PLR 的具体音类移动依赖输入和弦的大小性质. 该模型描述大小三和弦之间的联系, 不涵盖减和弦、七和弦或全部传统和声语法.
Hamiltonian cycle 图上的 Hamiltonian 路访问每个顶点恰好一次; 再以一条边连接最后顶点与首顶点, 得到 Hamiltonian 圈, 闭合记法中只重复首尾顶点.
在 24 个三和弦的 PLR 图中, 交替施加 R、L 可遍历全部顶点后回到起点: 每两步为 A, 大三和弦依次经历全部 12 个根音, 中间的小三和弦也依次经历全部 12 个根音. 于是形成一条 24 边的 Hamiltonian 圈. 它展示保留公共音的连续路径, 不等价于断言任意路径均具有相同听感.
8 Duration Rows and Rhythmic Symmetry
8.1 Duration Rows
巴比特 (Babbitt) 将序列组织扩展到音高以外的参数, 本节着重讨论时值 (duration). 整体序列主义 (Integral Serialism / Total Serialism) 还可以组织力度 (dynamics)、音区 (registers)、音色 (timbre) 等, 但不能据此推断每部具体作品都把所有参数完全序列化.
Composition for Twelve Instruments (1948, revised 1954) 是巴比特的代表作之一. 谱本可从 Wise Music 的作品页 查看: 预览封面为 1967 年第二版（校正版）. 编制页注明采用实际音高记谱 (in C), 钢片琴和低音提琴保留通常的八度移位; 读取音类时无需再按移调乐器的通常谱法另作移调.
课程用下面的音类–时值映射说明时值序列的构造; 实际谱面中的休止、连音与各声部进入时间仍须分别读取:
设定零点: 任意选定一个音类作为"零点"(例如取 \(F=0\))
计算差值: 给每个音列中的第 \(i\) 项赋予一个数 \(d_{i}\), 其值等于该音与零点之间相差的半音数(模12), 得到时值序列为 \((d_0, d_1, \ldots, d_{11})\), 其中 \(0 \le d_i \le 11\).
映射规则: 假定以十六分音符为单位 1, 注意在模 12 意义下, 0 = 12. 因此半音数 0 对应时值 12.
| 相对音类 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 时值单位 | 12 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
巴比特选取的初始音列 \(P_{0}\) 为
\[[0, 1, 4, 9, 5, 8, 3, 10, 2, 11, 6, 7]\]由此出发可进行各类变换. 下表采用课程 Lecture 09, pp. 21–22 的音高行式标记; 讲义第 21 页注明表格引自郑艳《结构主义视域下的序列主义音乐研究》(2015), p. 120. 这里用四组分配观察配对与复现, 不据此推断每件乐器每次都从头到尾同步演奏同一条时值序列:
| 长笛 | 双簧管 | 单簧管 | 大管 | 圆号 | 小号 | 竖琴 | 钢片琴 | 小提琴 | 中提琴 | 大提琴 | 低音提琴 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I | P4 | R4 | I1 | RI1 | RI9 | I9 | R0 | P0 | P8 | R8 | I5 | RI5 |
| II | RI11 | I11 | R2 | P2 | P10 | R10 | I7 | RI7 | RI3 | I3 | R6 | P6 |
| III | I5 | RI5 | P8 | R8 | R4 | P4 | RI1 | I1 | I9 | RI9 | P0 | R0 |
| IV | R10 | P10 | RI7 | I7 | I3 | RI3 | P6 | R6 | R2 | P2 | RI11 | I11 |
上表共有 48 个音列标记, 对应 24 种行式, 每种出现两次:
- 包含 6 个移调音列 (\(P_{0, 2, 4, 6, 8, 10}\)) 和 6 个倒影音列 (\(I_{1, 3, 5, 7, 9, 11}\))。
- 每个音列在表中恰好出现两次。
- 每次均有相应的 \(R_i\) 和 \(RI_j\) 与之成对出现，形成对称结构。
8.2 Clapping Music & Phase Shift
Steve Reich 的 Clapping Music 由两个击掌声部构成. 一个声部保持固定节奏, 另一个在若干次重复后将节奏循环移动一个最小网格单位, 遍历 12 个相位后重合. 此处的“单位”是节奏网格, 不一定等于指挥的基本拍.
计数问题 在首尾相接的 12 个有标号位置上, 放置 8 次击掌和 4 次休止, 休止不能相邻, 包括位置 11 与位置 0. 忽略循环移动后有多少种?
先数有标号模式. 将一个休止位置标为起点, 四个休止之间的击掌数为正整数 \(b_1,b_2,b_3,b_4\), 满足
\[b_1+b_2+b_3+b_4=8.\]共有 \(\binom73=35\) 个有序正整数解, 标记起点有 12 种位置. 每个模式恰被标记四次, 所以
\[|\mathcal C|=\frac{12}{4}\binom73=105.\]Burnside 引理 有限群 \(G\) 作用于有限集合 \(X\) 时, 轨道数为
\[|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.\]证明只需双计数所有满足 \(g(x)=x\) 的对 \((g,x)\): 按 \(g\) 求和得到右侧分子; 按 \(x\) 求和得到 \(\sum_x|G_x|\). 每条轨道有 \(|G|/|G_x|\) 个点, 稳定化子大小相同, 故每条轨道贡献恰为 \(|G|\).
令 \(\sigma\) 为循环移动一格. 对移动 \(k\) 格的不动模式, 可由长度 \(d=\gcd(12,k)\) 的重复块重复 \(12/d\) 次组成 (最小周期可能更短), 所以该重复次数必须整除休止数 4.
| 移动格数 \(k\) | 基本块及约束 | 不动模式数 |
|---|---|---|
| 0 | 任意合法模式 | 105 |
| 1, 5, 7, 11 | 重复 12 次, 不可有 4 个休止 | 0 |
| 2, 10 | 重复 6 次, 不可有 4 个休止 | 0 |
| 4, 8 | 重复 3 次, 不可有 4 个休止 | 0 |
| 3, 9 | 长度 3, 含一个休止 | 各 3 |
| 6 | 长度 6 的圆周, 含两个不相邻休止 | \(\binom62-6=9\) |
因此
\[|\mathcal C/\langle\sigma\rangle|=\frac{105+3+3+9}{12}=10.\]不能直接算 \(105/12\): 有些节奏具有短周期, 其轨道不到 12 个元素.
用四个休止之间的连续击掌数表示, 十个循环类可取代表
5-1-1-1, 4-2-1-1, 4-1-2-1, 4-1-1-2, 3-3-1-1, 3-2-2-1, 3-1-3-1, 3-2-1-2, 3-1-2-2, 2-2-2-2.
作品采用的 3-2-1-2 没有非平凡循环周期; 2-2-2-2 则具有更强的重复对称性. 这说明两者的相位组合不同, 不需要据此推测作曲家唯一的选择动机.
8.3 Serialism and Minimalism
序列主义可把音高、时值等参数纳入预先组织的序列; 极简主义常借助持续重复和缓慢变化, 让听者追踪相位、织体或和声的变化. 前面的十二音变换与循环节奏分别提供了分析这两种组织方式的数学工具. 它们描述结构, 不直接判定作品的审美价值.