Optics - 1

1 Geometrical Optics

---

1.1 Huygens and Fermat Principles

---

Postulate Huygens’ principle. 传播波前上每一点都可看作发出球面次波的新波源, 稍后时刻的波前是这些次波的包络

• 次波中心与其次波面上的包络线切点的连线给出该处波矢方向.

• Huygens principle 导出折射定律

  \[\frac{\sin i_1}{\sin i_2}=\frac{u_1}{u_2}=\frac{n_2}{n_1}\]

  反射类似.

• 不足: 不能给出光振幅、光强和位相的传播规律, 也没有说明次波之间如何相干叠加. 改进: Huygens-Fresnel principle 补入次波相干叠加、振幅与位相因子, 因此可处理衍射和干涉强度 \(\implies\) 光场衍射理论

Definition 光程. 对固定频率, 采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\) 约定, 从 \(Q\) 向 \(P\) 传播的空间相位增加. 下式 \(u_i=c/n_i\) 为相速度; \(\Delta t=L/c\) 是非色散介质的传播时间, 在色散介质中不能直接用它表示脉冲延迟.

\[\begin{aligned} \phi(P)-\phi(Q) &=\sum_i\frac{2\pi}{\lambda_i}l_i =\frac{2\pi}{\lambda_0}\sum_in_il_i =k_0L(QP),\\ \Delta t &=\sum_i\frac{l_i}{u_i} =\frac{1}{c}\sum_in_il_i =\frac{1}{c}L(QP). \end{aligned}\]

• 平面反射/折射光束具有等光程性

Postulate Fermat’s Principle. 固定频率的几何光学中, 光线沿相位光程取平稳值的路径传播

\[\delta\int_Q^P n(\mathbf{r})\,ds=0\]

• 波动解释: 实际路径附近, 光程(或者说相位)随路径的一阶变化为零, 相邻路径次波在该点相位几乎相同, 叠加后相干增强; 若偏离平稳路径, 相位随路径快速变化, 各路径贡献在短波长极限下大幅相消; 有限波长仍可留下衍射贡献.

• 平稳值可以是极小、极大或常数光程

  • 常见情况取极小值(光在均匀介质中直线传播、反射、折射定律)
  • 理想成像对应常数光程(物像等光程, 注意区分实/虚)
  • 个别现象取极大值.

• Fermat principle 推导折射定律: 设界面上一点横坐标为 \(x\), 光程

  \[L=n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}\]

  令 \(dL/dx=0\), 得

  \[n_1\sin i=n_2\sin r\]

• Example 双曲透镜聚焦平行光

  

  等光程透镜的轴截面示意图; \(r=\overline{MF}\), \(r_0=\overline{O^{\prime}F}\). 曲线外形为示意, 不用于量取曲率或光程.

  Solution

  \[\overline{MF}=n\cdot\overline{HO^{\prime}}+\overline{O^{\prime}F} \implies r\left(\theta\right) =\frac{\left(1-n\right)r_0}{1-n\cos\theta} =\frac{n(1/n-1)r_0}{1-n\cos\theta}\]

  这里取外界为空气、透镜相对折射率 \(n>1\), \(r_0>0\), 并选取 \(r(\theta)>0\) 的透射物理支(本式对应 \(\cos\theta>1/n\)); 光线还须满足可透射的折射条件. 这是一条双曲线, 旋转后为旋转双曲面; 球面只能在傍轴近似下聚焦.

Remark 波动光学的历史.

• 1690 年 Huygens 在《光论》一书中正式提出了光的波动说.
• 一个世纪后, Fresnel 以前者的次波假设为基础, 结合 干涉 原理, 建立了波动光学的定量形式.
• Thomas Young 通过 双缝干涉 实验为波动光学的发展作出了开创性工作.
• 1850 年法国科学家 Fizeau 和 Foucault 通过实验 证明光在水中的速度小于在空气中的速度, 使得光的波动说无可辩驳地得以确立.
• 后来 Hertz 证实了电磁波的存在, 并证明其速度与光速相同, 因而指出光是一种电磁现象, 人们用他的名字作为振荡频率的单位.

1.2 Refraction at a Spherical Surface

---

Notation 光由左向右传播.

• 物距 \(s\) 以顶点左侧的实物为正, 像距 \(s'\) 以右侧的实像为正; 虚物、虚像取负.
• 曲率半径 \(r\) 以曲率中心在顶点右侧为正.
• 物方与像方折射率分别为 \(n,n'\), 横向坐标向上为正.

Proposition 球面折射傍轴成像. 先取实物、实像, 光线在界面处高度为 \(h\), 球面矢高 \(\Delta\simeq h^2/(2r)\). 要求 \(h\ll |s|,|s'|,|r|\).

球面折射的实物、实像几何. 原图底部的 \(x\) 标记对应本文的像距 \(s^{\prime}\), 即 \(\overline{OQ^{\prime}}\); 图示曲率中心在顶点右侧, 因而 \(r>0\).

\[\begin{aligned} L&=n\sqrt{(s+\Delta)^2+h^2}+n'\sqrt{(s'-\Delta)^2+h^2}\\ &=ns+n's'+\frac{h^2}{2}\left[\frac ns+\frac{n'}{s'}+\frac{n-n'}r\right]+O(h^4). \end{aligned}\]

同一物点发出的傍轴光线应有相同光程, 因而二次项系数为零:

\[\frac ns+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}\equiv\Phi.\]

所得有向距离公式也适用于虚物或虚像. 反射情形须另按反射光轴建立符号约定, 不把介质折射率直接设为 \(-1\).

当 \(\Phi\ne0\) 时, 得到有限焦距的 Gauss 成像公式; \(\Phi=0\) 时应保留前面的光焦度形式或取极限.

\[\frac{f}{s}+\frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}=1,\qquad f=\frac{n}{n^{\prime}-n}r=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{n^{\prime}-n}r=\frac{n^{\prime}}{\Phi}\]

• 横向放大率: 利用过 \(O\) 点的光线的角放大率 \(W = n/n^{\prime}\), 可以得到

  \[V=\frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{s^{\prime}/n^{\prime}}{s/n}\]

• Lagrange-Helmholtz const: 傍轴条件下

  \[ynu=y^{\prime}n^{\prime}u^{\prime}=\mathrm{const},\qquad u\approx h/s\]

  这里取傍轴小倾角 \(u\), 光线沿向右传播轴向上倾斜(逆时针)为正, 与 \(y\) 向上为正及后文传递矩阵约定一致. 对轴上实物点, 入射 \(u\approx h/s\), 出射 \(u^{\prime}\approx-h/s^{\prime}\).

Definition Aplanatic Point. (界面是两个点的 Apollonian circle) 下图取 \(n>n^{\prime}\), \(r\) 是正的球面几何半径, \(\overline{QC},\overline{Q^{\prime}C}\) 是到球心的几何长度, 不同于从顶点量起的有向物距和像距.

\[\overline{QC}=\frac{n^{\prime}}{n}r,\qquad \overline{Q^{\prime}C}=\frac{n}{n^{\prime}}r\]

1.3 Cardinal Points and Lens Systems

---

理想成像要求物方空间每一点都能严格成像, 亦即物方的每个同心光束转化为像方的一个同心光束. 满足这种理想成像要求的光具组叫做理想光具组.

高斯光学: 研究近轴区成像的理想光学系统.

Remark 理想成像的共线变换. 有如下性质:

1. 物方每个点对应像方一个点(共轭点)
2. 物方每条直线对应像方一条直线(共轭线)
3. 物方每个平面对应像方一个平面(共轭面)
4. 光轴上任何一点的共轭点仍在光轴上
5. 任何垂直于光轴的平面, 其共轭面仍与光轴垂直
6. 在垂直于光轴的同一平面内横向放大率相同
7. 在垂直于光轴的不同平面内横向放大率一般不等

1.3.1 Cardinal Points and Planes

理想光具组物像之间的共轭关系完全由几对特殊的点和面所决定

• 焦点和焦面

  • 与无穷远像平面共轭的平面为物方焦面 \(\mathscr{F}\), 其轴上点是为物方焦点 \(F\).
  • 与无穷远物平面共轭的平面为像方焦面 \(\mathscr{F}^{\prime}\), 其轴上点是为像方焦点 \(F^{\prime}\).

• 主点和主面: 横向放大率等于1的一对共轭面, 叫做主面. 主面不一定在透镜的两界面之间

  • 属于物方的叫做物方主面 \(\mathscr{H}\), 其轴上点是为物方主点 \(H\)
  • 属于像方的叫做像方主面 \(\mathscr{H}^{\prime}\), 其轴上点是为像方主点 \(H^{\prime}\)

  当透镜的厚度趋于 0 时, 透镜的两顶点和两主点都重合在一起, 成为光心, 即薄透镜本身所在的平面就是主面, 光心就是主点.

距离的规定:

• 物距是物方主点到轴上物点的距离, 像距是像方主点到轴上像点的距离.
• 物方焦距是物方主点到物方焦点的距离, 像方焦距是像方主点到像方焦点的距离

Definition 节点. 光轴上角放大率等于 1 的共轭点 \(N,N^{\prime}\). 入射光线或其延长线通过 \(N\) 时, 出射光线或其延长线通过 \(N^{\prime}\), 两者平行, 不要求位于同一直线上. 当物像方折射率相同, 节点分别与主点重合.

节点的寻找方法: 利用主面性质, 找到平行的一组共轭光线, 其入射、出射光线的延长线与光轴的交点分别是 \(N,N^{\prime}\).

1.3.2 Imaging Relations

以下物距、像距从各自主面量起, 取实物、实像为正. 有限焦距公式要求系统光焦度非零. 令 \(x=s-f\), \(x^{\prime}=s^{\prime}-f^{\prime}\).

• 上图可以看出几何关系 \[\frac{-y^{\prime}}{y}=\frac{f}{x}=\frac{f}{s-f},\qquad \frac{-y^{\prime}}{y}=\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}=\frac{s^{\prime}-f^{\prime}}{f^{\prime}}\] 进而得到 Gauss 公式和 Newton 公式 \[\frac{f}{s}+\frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}=1,\qquad xx^{\prime}=ff^{\prime}\] 横向放大率 \[V = \frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}=-\frac{fs^{\prime}}{f^{\prime}s}\] 其中最后一步利用 \(xx^{\prime}=ff^{\prime}\): \[\frac{s^{\prime}}{s}=\frac{x^{\prime}+f^{\prime}}{x+f} =\frac{ff^{\prime}/x+f^{\prime}}{x+f} =\frac{f^{\prime}}{x}.\] 对轴上共轭点, 选取在两主面处高度同为 \(h\) 的一对共轭傍轴光线, 可以看出角放大率 \[W = \frac{\tan u^{\prime}}{\tan u} = \frac{-h/s^{\prime}}{h/s}=-\frac{s}{s^{\prime}}\] 从而 \(VW = f/f^{\prime}\). 对物像方介质相同的薄透镜成像和单球面成像, 结果分别化为 \(1\) 和 \(n/n^{\prime}\), 后者给出 Helmholtz 公式.

1.3.3 Lens Power

对厚透镜, 物距和像距从主面量起. 两界面光焦度为 \(\Phi_1,\Phi_2\), 镜内折射率为 \(n_L\), 厚度为 \(d\). 有限焦距、主面和前述 Newton 公式取 \(\Phi\ne0\); 光焦度合成式本身也适用于 \(\Phi=0\).

\[\Phi=\Phi_1+\Phi_2-\frac{d}{n_L}\Phi_1\Phi_2,\qquad f=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}.\]

成像关系为 \(f/s+f^{\prime}/s^{\prime}=1\), 横向放大率为 \(V=-fs^{\prime}/(f^{\prime}s)\). 各距离均从相应主点量起, 不把厚透镜的顶点当作主点.

• 空气中的密接薄透镜组

  \[\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \Phi_1+\Phi_2\]

  更多镜片同.

• 对薄透镜, \(\Phi = \Phi_1+\Phi_2\). 特别地, 对于两侧都为空气的情况, 得到

  \[f = \frac{1}{\left(n_L-1\right)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}\]

1.3.4 Ray Diagrams

以下采用两侧介质相同的薄透镜模型, 光心 \(O\) 与主点、节点重合, 过光心的光线方向不变; 一般厚光具组应分别用主面和节点作图.

• 通过物方焦点 \(F\) 与光轴垂直的平面叫物方焦面 \(\mathscr{F}\), 以物方焦面轴外一点 \(P\) 为中心的入射同心光束转化为与光轴成一定倾角的出射平行光束. 倾斜平行光束的方向可由 \(P\) 与光心 \(O\) 的联线来确定, 这联线称为副光轴

  

• 通过像方焦点 \(F^{\prime}\) 与光轴垂直的平面叫像方焦面 \(\mathscr{F}^{\prime}\), 平行光束入射汇聚于像方焦面上一点

  

• 凸透镜

  

• 凹透镜

  

1.3.5 Two-Lens Systems

以下两薄透镜位于同一均匀介质, \(d\) 为光心间距, 光学间隔为 \(\Delta=d-f_1^{\prime}-f_2\). 有限焦距及主点位置公式要求 \(\Delta\ne0\); \(\Delta=0\) 对应无焦系统, 应直接用传递矩阵处理.

几何关系

\[\frac{\overline{M_1O_1}}{\overline{M_2O_2}}=\frac{f_1^{\prime}}{\Delta+f_2}=\frac{\overline{M_3H^{\prime}}}{\overline{M_2O_2}}=\frac{\overline{F^{\prime}H^{\prime}}}{\overline{O_2F^{\prime}}} \implies \overline{F^{\prime}H^{\prime}}=\frac{f_1^{\prime}}{\Delta+f_2}\overline{O_2F^{\prime}}\]

利用 \(L_2\) 的成像公式, 可以得到联合系统的焦点和主点位置, 以及焦距

\[\overline{O_2F^{\prime}}=\frac{f_2^{\prime}\left(f_2+\Delta\right)}{\Delta} \implies f^{\prime}=-\overline{F^{\prime}H^{\prime}}=-\frac{f_1^{\prime}f_2^{\prime}}{\Delta}\]\[l_H^{\prime}=\overline{O_2H^{\prime}}=\frac{f_2^{\prime}\left(f_2+\Delta\right)}{\Delta}+\frac{f_1^{\prime}f_2^{\prime}}{\Delta}=\frac{f_{2}^{\prime}d}{\Delta}\]

同理

\[f=-\frac{f_1f_2}{\Delta},\qquad l_H=\overline{O_1H}=\frac{f_1d}{\Delta}\]

1.4 Ray Transfer Matrices

---

Notation 本节光线状态为 \((nu,y)^{\mathsf T}\), \(u\) 是沿传播轴测量的有向小倾角. 矩阵从右向左作用. 下文 \(\overline{O_iP}\) 为沿统一光轴向右的有向坐标, 而物方距离 \(s\) 向左为正; 二者相差负号.

1.4.1 Elementary Matrices

Definition 单球面折射矩阵.

\[\begin{bmatrix} n'u' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\Phi \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nu \\ y \end{bmatrix}\]

Definition 均匀介质的传递矩阵.

\[\begin{bmatrix} n'u' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{d}{n} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nu \\ y \end{bmatrix}\]

• 均满足行列式为 1.

1.4.2 Imaging with System Matrices

• 对于系统矩阵 \(M_{k1} = R_kT_{\mathrm{k,(k-1)}}R_{\mathrm{k-1}}\cdots R_3T_{32}R_2T_{21}R_1\), 有

  \[M_{A^{\prime}A} =T_{A^{\prime}K}M_{k1}T_{1A} =\begin{bmatrix} M_{11}&M_{12}\\ M_{21}&M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\\frac{s^{\prime}}{n^{\prime}}&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} B&A\\ D&C \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\\frac{s}{n}&1\end{bmatrix}\]

  在当前 \((nu,y)\) 状态约定下定义系统光焦度

  \[\Phi\equiv -A.\]\[n^{\prime}u^{\prime}=M_{11}nu+M_{12}y,\qquad y^{\prime}=M_{21}nu+M_{22}y\]

  考虑成像条件:

  • 像高只取决于物高, 与进入光学系统的角度无关, 即 \(M_{21} = 0\). 从而得到成像关系

    \[s^{\prime}/n^{\prime}=-\frac{D+Cs/n}{B+As/n}\]

  • 进而, 放大率仅由 \(M_{22}\) 决定, \(V = M_{22}\)

  • 利用行列式为 1, 应有 \(M_{11} = 1/V\)

  • 对于 \(M_{12}\), 直接由矩阵乘法可知

    \[M_{12}=A=-\Phi.\]

  故

  \[M_{A^{\prime}A} =\begin{bmatrix} 1/V&-\Phi\\ 0&V \end{bmatrix}\]

  • 对 \(A\ne0\) 的有焦系统, 利用 \(V=1\), 可以得到主面位置

    \[\begin{aligned} V&=M_{22}=C+As^{\prime}/n^{\prime}=1/M_{11}=\frac{1}{B+As/n},\\ s_H&=-\overline{O_1H}=\frac{1-B}{A}n,\qquad s_{H^{\prime}}=\overline{O_kH^{\prime}}=\frac{1-C}{A}n^{\prime} \end{aligned}\]

  • 分别利用

    \[s=\infty,V=0;\qquad s^{\prime}=\infty,V=\infty\]

    结合成像公式, 得到焦面位置和焦距

    \[\begin{aligned} s_{F}&=-\overline{O_{1}F}=-\frac{B}{A}n,\qquad s_{F^{\prime}}^{\prime}=\overline{O_{k}F^{\prime}}=-\frac{C}{A}n^{\prime},\\ f&=-\frac{n}{A}=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=-\frac{n^{\prime}}{A}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}. \end{aligned}\]

1.5 Optical Instruments

---

简化人眼模型常以 \(s_{\mathrm{dv}}=250\,\mathrm{mm}\) 为参考明视距离, 角分辨率数量级为 \(1'\); 实际近点和分辨率随个体及条件变化. 以下镜片计算忽略镜片与眼的距离.

• 近视眼: 放松调节时远点位于眼前有限距离.

  

  远点通过凹透镜被纠正至无穷远, 则 \(s_{\mathrm{fp}} = -1/\Phi\). 眼镜的度数等于 \(100 P\), 其中屈光度 \(P= \Phi\) 单位为 \(D = m^{-1}\).

• 近点过远的简化成像例: 以下设近点超过参考明视距离. 单凭近点过远不能区分远视与调节能力下降.

  

  要让参考明视距离的物体经凸透镜形成位于近点 \(s_{\mathrm{np}}\) 的虚像, 薄透镜公式给出

  \[\Phi=\frac{1}{s_{\mathrm{dv}}}-\frac{1}{s_{\mathrm{np}}}>0.\]

  距离用米时, \(\Phi\) 的单位为 \(\mathrm{m}^{-1}\); 度数换算仍为 \(100\Phi\), 但不能沿用近视远点的光焦度公式.

• 放大镜: 放大的正立虚像在明视距离. 对于 \(f\ll s_{\mathrm{dv}}\) 的短焦, 物距

  \[s=f-\frac{f^2}{s_{\mathrm{dv}}+f}\approx f\]

  视角放大率(相比于没有放大镜)

  \[M\approx\frac{y/s}{y/s_{\mathrm{dv}}}=\frac{s_{\mathrm{dv}}}{s}=1+\frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\approx\frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\]

• 显微镜

  

  上图示意最终虚像在明视距离的情形.

  最终像在无穷远时, \(M_e\approx s_{\mathrm{dv}}/f_e\); 下式采用这种放松观察条件. 若最终像在明视距离, 应改用 \(M_e\approx1+s_{\mathrm{dv}}/f_e\), 仅在 \(f_e\ll s_{\mathrm{dv}}\) 时可忽略常数项. 角放大率

  \[M \approx V_o M_e \approx -\frac{\Delta}{f_o}\cdot \frac{s_{\mathrm{dv}}}{f_e} = \frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\]

• 望远镜

  

  角放大率

  \[M=\frac{\omega^{\prime}}{\omega}=-\frac{f_o}{f_E},\qquad |M|=\frac{D_o}{D_E}\]

  这里取无焦、无渐晕的傍轴望远系统; \(D_o\) 是入瞳直径, \(D_E\) 是出瞳直径, 不能把后者当成目镜镜片的机械口径.

1.6 Optical Aberrations

---

Definition Aberration. 任何偏离理想成像的现象, 称为像差.

• 几何像差(非单色->色差, 非近轴->单色像差); 波像差(不是点源球面波)

Theorem Abbe 正弦条件. 在轴上点已消球差的前提下, 傍轴小物点以大孔径光束理想成像的充分必要条件为

\[n_0y_0\sin u_0=n^{\prime} y^{\prime}\sin u^{\prime}\]

其物理含义是保持物像等光程, 并消除傍轴物点宽光束成像中的正弦差.

Proof

上图的几何示意另采用物方大孔径、像方傍轴的小视场条件; 像方傍轴只属于这张图的近似, 不是一般 Abbe 正弦条件的必要前提.

傍轴物点条件下, \(\theta\) 很小, 故

\[L\left(G^{\prime}P^{\prime}\right)\approx L\left(G^{\prime}R^{\prime}\right),\qquad L\left(F^{\prime}P^{\prime}\right)\approx L\left(F^{\prime}Q^{\prime}\right)\]

物像等光程要求

\[\begin{aligned} L\left(PNN^{\prime}P^{\prime}\right)&=L\left(PSS^{\prime}P^{\prime}\right),\qquad L\left(QMM^{\prime}Q^{\prime}\right)=L\left(QTT^{\prime}Q^{\prime}\right),\\ L\left(PNN^{\prime}G^{\prime}\right)&=L\left(RMM^{\prime}G^{\prime}\right),\qquad L\left(PSS^{\prime}F^{\prime}\right)=L\left(QTT^{\prime}F^{\prime}\right) \end{aligned}\]

得到

\[L\left(QR\right)=L\left(Q^{\prime}R^{\prime}\right) \implies n_0y_0\sin u_0=n^{\prime} y^{\prime}\sin u^{\prime}\]

• 齐明点满足 Abbe 正弦条件

胶合透镜消色差: 对于特定目标波长, 保持光焦度一致.

Example 消色差胶合透镜 用冕牌玻璃和火石玻璃做焦距为 \(10.0\,\mathrm{cm}\) 的消色差胶合透镜, 求两透镜焦距. 焦距通常以可见光区域中部的钠光谱 D 线为准, \(\lambda_D = 589.3\,\mathrm{nm}\).

	F 线 486.1 nm	D 线 589.3 nm	C 线 656.3 nm
冕牌玻璃	1.517	1.511	1.509
火石玻璃	1.633	1.621	1.616

Solution 设两薄透镜结构因子为 \(K_1,K_2\)(即两个面的曲率差), 总光焦度(由磨镜者公式)

\[(n_{1D}-1)K_1+(n_{2D}-1)K_2=10.0\,\mathrm{m^{-1}},\]

消色差条件

\[(n_{1F}-n_{1C})K_1+(n_{2F}-n_{2C})K_2=0.\]

代入得 \(K_1=45.7\,\mathrm{m^{-1}}\), \(K_2=-21.5\,\mathrm{m^{-1}}\). D 线下

\[P_1=23.4\,\mathrm{D},\quad P_2=-13.4\,\mathrm{D},\]

因而

\[f_1=4.27\,\mathrm{cm},\qquad f_2=-7.46\,\mathrm{cm}.\]

Remark 目镜消色差. 透镜组光焦度

\[\Phi=-\frac{\Delta}{f_1f_2}=-\frac{d-f_1-f_2}{f_1f_2}=P_1+P_2-P_1P_2d=(n-1)(K_1+K_2)-(n-1)^2K_1K_2d\]

尝试使其不随折射率 \(n\) 变化, 有

\[\frac{dP}{dn}=0\implies d=\frac{K_1+K_2}{2(n-1)K_1K_2}=\frac{P_1+P_2}{2P_1P_2}=\frac{f_1+f_2}{2}\]

从而, 只能对特定波长附近满足消色差.

2 Wave Optics and Diffraction

---

2.1 Electromagnetic Waves

---

Postulate Maxwell’s equations.

\[\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{e0},\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\qquad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{j}_0+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\]

其中 \(\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}\), \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\), \(\mathbf{j}_0 = \sigma \mathbf{E}\). 对于自由空间 \(\rho=0,\mathbf{j}=0\):

\[\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.\]

利用 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}\), 可得到真空波动方程. 推广到均匀、各向同性、线性、无源、无耗散的非色散介质时, \(\varepsilon,\mu\) 为常数, \(\sigma=0\), 有以下形式:

\[\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,\qquad \nabla^2\mathbf{H}-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}=0,\qquad u=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\]

可以得到平面波解

\[\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},\quad \mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0,\quad \omega=ku\]

• 电磁波为横波(利用 \(\nabla\to\mathrm{i}\mathbf{k},\partial_t\to-\mathrm{i}\omega\)), \(\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k}\) 两两垂直, 且 \(B_0=E_0/u\).

Definition Poynting vector.

\[\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H},\qquad \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}+\iint_{\Sigma}\mathbf S\cdot\mathrm{d}\boldsymbol\Sigma=0,\qquad W=\frac12\iiint_V(\mathbf E\cdot\mathbf D+\mathbf B\cdot\mathbf H)\,\mathrm{d}V.\]

这里 \(\Sigma=\partial V\) 取向外法向, 场为实瞬时场, 并沿用上述无耗散、非色散条件. 若存在传导电流, 等式右侧增加 \(-\iiint_V\mathbf j_0\cdot\mathbf E\,\mathrm{d}V\).

Definition 光强.

\[I=\left|\langle\mathbf S\rangle_t\right|=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\,\mathbf E_0\cdot\mathbf E_0^*\approx\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}n|\mathbf E_0|^2\]

最后一步另取 \(\mu_r\approx1\); 真实电场为前述复表示的实部.

2.2 Wavefronts and Phase Screens

---

\[\tilde{U}(P)=A(P)e^{i\phi(P)}\implies I(P)\propto \left\langle\tilde{U}(P)\cdotp\tilde{U}^*(P)\right\rangle=A^2(P)\]

• 球面

  \[\tilde{U}(r,t)=\frac{A}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kr-\omega t)}\]

• 柱面

  \[\tilde{U}(\rho,t)\simeq\frac{A}{\sqrt{\rho}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\rho-\omega t)},\qquad k\rho\gg1\]

2.2.1 Wavefront Functions

\(U(x,y)\)(仅含振幅和空间相因子)

• 平面波

  \[U(x,y)=Ae^{ik(\cos\theta_x\cdot x+\cos\theta_y\cdot y)}\]

  这里 \(\theta_x,\theta_y\) 分别是传播方向与 \(x,y\) 轴的夹角; 若改用相对于轴的余角 \(\theta_1,\theta_2\), 则 \(\cos\theta_x=\sin\theta_1\)、\(\cos\theta_y=\sin\theta_2\).

• 球面

  \[U(x,y)=\frac{A}{r}e^{ikr},\qquad r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+d^2}\]

Assumption 球面波的近似条件

• 傍轴条件(或称振幅条件): 对横向尺度 \(\rho\), 传播距离 \(z\), 傍轴条件要求

  \[z^2\gg\rho^2\]

  振幅可用 \(A/z\) 近似. 相位保留二次项还要求被舍去的四次项满足 \(k\rho^4/(8z^3)\ll1\), 此时

  \[U(x,y)\approx\frac{A}{z}e^{ik\frac{x^2+y^2}{2z}}\cdot e^{ikz}\]

• 远场条件(或称相位条件): 远场条件要求

  \[z\lambda\gg \rho^2 \implies \frac{2\pi}{\lambda}\frac{\rho^2}{2z}\ll1\]

  即二次相位可忽略, 则

  \[U(x,y)\approx\frac{A}{z}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\]

  球面波近似转为平面波.

Remark 移心球面波. 在上述傍轴条件下, 略去整体相位, 发散和会聚球面波的横向相因子统一写成

\[\exp\left[\pm ik\left(\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{xx_0+yy_0}{z}\right)\right].\]

这里 \(z>0\), 正号对应中心在 \((x_0,y_0,-z)\) 的发散波, 负号对应中心在 \((x_0,y_0,z)\) 的会聚波.

2.2.2 Phase Screens

1. 薄透镜相位函数 在傍轴条件下, 忽略吸收时

   \[\tilde t_L(x,y) =\exp\left[-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2f}\right].\]

   凹透镜与凸透镜形式相同, 但焦距 \(f\) 取负值.

2. 棱镜相位函数: 在傍轴条件下, 忽略吸收时, 光通过棱镜相对真空传播多出的光程差为

   \[\delta L\simeq n(d-x)\alpha-(d-x)\alpha =(n-1)(d-x)\alpha.\]

   略去与 \(x\) 无关的整体相位, 一维棱镜屏函数可取为

   \[\tilde t_P(x)=\exp[-\mathrm{i}k(n-1)\alpha x],\]

   二维则 \(\alpha x\to\alpha_1x+\alpha_2y\).

傍轴成像 设入射波来自距离透镜 \(s\) 的傍轴点光源

\[\tilde U_1(x,y)=A_1 \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s}\right]\]

• 经过薄透镜后

  \[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=\tilde t_L(x,y)\tilde U_1(x,y)\\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2f}\right] \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s}\right]\\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k \frac{x^2+y^2}{2s'}\right] && s'=\frac{fs}{s-f}. \end{aligned}\]

  当 \(s>f>0\) 时, 出射波为会聚球面波; \(0\lt s\lt f\) 时 \(s'\lt 0\), 出射波发散并形成虚像.

• 则经过棱镜后

  \[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=A_1 \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s} -\mathrm{i}k(n-1)\alpha x\right] \\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k \frac{[(n-1)s\alpha]^2}{2s}\right] \exp\left[ \mathrm{i}k\frac{[x-(n-1)s\alpha]^2+y^2}{2s} \right]. \end{aligned}\]

  第二步配方. 除去整体相位后, 出射波仍为发散球面波, 发散中心移到

  \[((n-1)s\alpha,0,-s)\]

  因此棱镜在傍轴近似下主要使像点横向偏移, 而不改变其轴向距离.

2.3 Polarization

---

Definition 偏振态. 对沿 \(z\) 传播的单色平面波, 写作

\[E_x=A_x\cos\omega t,\qquad E_y=A_y\cos(\omega t+\delta).\]

消去时间得到

\[\left(\frac{E_x}{A_x}\right)^2+\left(\frac{E_y}{A_y}\right)^2 -2\frac{E_xE_y}{A_xA_y}\cos\delta=\sin^2\delta.\]

一般为椭圆; \(\delta=0,\pi\) 或一个分量为零时为直线; \(A_x=A_y\) 且 \(\delta=\pm\pi/2\) 时为圆. 圆偏振的左右旋名称须同时约定观察方向和时间因子.

Definition 线偏振度. 旋转线检偏器测得

\[P_L=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}.\]

它只测量线偏振成分. 圆偏振光也有 \(P_L=0\), 因而不能仅凭此式判断完全不偏振; 检测圆偏振成分还需波片.

Proposition Malus 定律.

线偏振光通过检偏器后

\[I=I_0\cos^2\theta\]

自然光先通过理想起偏器后强度变为 \(I_0/2\).

Remark 界面反射的相位. 对非磁性透明介质的正入射, 统一使用同一横向电场正方向. 切向电场和磁场连续分别给出 \(1+r=t\), \(n_1(1-r)=n_2t\), 因而

\[r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},\qquad t=\frac{2n_1}{n_1+n_2},\qquad R=|r|^2,\quad T=\frac{n_2}{n_1}|t|^2,\quad R+T=1.\]

当 \(n_2>n_1\) 时 \(r\lt 0\), 反射电场有 \(\pi\) 相位跃变, 即半波损失. 斜入射须区分 s/p 偏振; 全反射或金属反射的相位一般不是简单的 \(0\) 或 \(\pi\).

2.4 Diffraction Principles

---

Definition Diffraction. 光波遇到障碍物或孔径时, 偏离几何光学直线传播并绕行的现象称为衍射.

• 设结构特征尺度为 \(a\).

  • 当 \(a\gg\lambda\) 时, 几何光学近似较好.
  • 当 \(a\) 与 \(\lambda\) 同量级时, 衍射显著.
  • 当 \(a\lesssim\lambda\) 时, 散射与衍射均可能显著, 不能仅凭尺寸给它们划定互斥边界; 下文标量 Kirchhoff 孔径近似通常要求孔径特征尺寸远大于波长.

• 实际判断近场/远场还依赖传播距离 \(L\). 常用 Fresnel number

  \[F=\frac{a^2}{\lambda L}\]

  描述衍射场类型: \(F\gtrsim1\) 时为近场 Fresnel 衍射, \(F\ll1\) 时进入远场 Fraunhofer 衍射.

• 按光源、衍射屏和接收屏之间距离远近, 傍轴衍射可分为两类:

  • Fresnel diffraction: 光源、衍射屏、接收屏之间距离有限但远大于波长, 波面曲率和传播距离仍直接影响接收屏上的场分布.
  • Fraunhofer diffraction: 光源和接收屏等效在无穷远处, 或用透镜把入射/出射波转化到焦平面. 场分布可按观察方向 \(\theta\) 描述.

Postulate Huygens-Fresnel 原理. 波前上每一点作为次波源, 观察点处光场为所有次波的相干叠加.

\[\begin{aligned} \tilde{U}(P)&=\iint_{\Sigma}\mathrm{d}\tilde{U}(P),\\ \mathrm{d}U(P)&\propto \mathrm{d}S\,U_0(Q)\frac{1}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}f(\theta_0,\theta)\\ \implies\quad \tilde{U}(P)&=K\iint_{\Sigma} f(\theta_0,\theta)\tilde{U}_0(Q)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\,\mathrm{d}S. \end{aligned}\]

• 相对 Huygens principle, 补入了振幅、相位、倾斜因子和相干叠加, 因此可定量处理衍射.

Example 用 Huygens-Fresnel principle 解释相控阵雷达的工作原理

Solution 相邻阵元引入固定相位延迟 \(\Delta\phi\) 来调控远场中相长干涉的方向, 即主瓣指向.

Proposition Kirchhoff 衍射公式. 下式取均匀介质中的标量近似, \(\Sigma\) 表示照明孔径面, 并采用 Kirchhoff 孔径边界近似; 不能据此处理任意亚波长孔或边缘的矢量近场.

\[\tilde{U}(P)=\frac{-i}{\lambda}\iint_{\Sigma}\frac{(\cos\theta_0+\cos\theta)}{2}\tilde{U}_0(Q)\frac{e^{ikr}}{r}dS\]

2.5 Fresnel Diffraction

---

Proposition Babinet 原理. 互补屏 \(\tilde{U}_a(P)+\tilde{U}_b(P)=\tilde{U}_0(P)\).

• 圆孔衍射: 中心亮、暗变化

• 圆屏衍射: 在理想同轴相干球面波或平面波照明、标量 Fresnel 模型中, 阴影轴心出现 Poisson 亮斑. 扩展非相干光源会使亮斑展宽或衬比度降低.

  Poisson 亮斑来自遮挡边缘的相干叠加. 亮斑存在不代表成像系统没有景深或色差限制.

2.5.1 Half-Period Zones

\[\Delta U_1=A_1,\quad\Delta U_2=-A_2,\quad\Delta U_3=A_3,... \implies U(P_0)=\sum_m(-1)^{m+1}A_m\]

其中

\[\begin{aligned} A_m&\propto f(\theta_0,\theta_m)\frac{\Delta\Sigma_m}{r_m},\\ f(0,\theta_m)&=\frac{1}{2}\left(1+\cos\theta_m\right),\qquad d\Sigma=2\pi R^2\sin\alpha d\alpha=\frac{2\pi R}{R+b}rdr\propto r \end{aligned}\]

后一式用到余弦定理. 在小倾角、各带振幅缓变的半波带近似下, 自由光场振幅 \(A_f\approx A_1/2\).

半波带内部相位也改变 \(\pi\), 不能把带内面积贡献全按同相相加. 令带内相位为 \(\varphi\), 缓变振幅近似下

\[\left|\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\right|=2, \qquad \int_0^\pi|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}|\,\mathrm{d}\varphi=\pi.\]

同相估计因此大了 \(\pi/2\) 倍. 螺旋矢量图正是对带内相位积分的几何表示.

对于圆孔/圆屏, 考虑整数波带的情况:

• 圆孔衍射: 如果最大波带数为 \(2n\) 或 \(2n+1\), 分别由

  \[\begin{aligned} \tilde{U}(P_0)&=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots-A_{2n}\approx 0,\\ \tilde{U}(P_0)&=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots+A_{2n+1}\approx A_1=2A_f \end{aligned}\]

  得到为暗斑/4倍光强亮斑.

• 圆屏衍射: 同理

  \[\begin{aligned} \tilde{U}(P_0) &=A_{2n+1}-A_{2n+2}+A_{2n+3}+\cdots =A_{1^*}-A_{2^*}+A_{3^*}-A_{4^*}+\cdots\approx A_f,\\ \tilde{U}(P_0) &=-A_{2n+2}+A_{2n+3}-A_{2n+4}+\cdots =-(A_{1^*}-A_{2^*}+A_{3^*}-\cdots)\approx-A_f \end{aligned}\]

  得到中心均为亮斑.

2.5.2 On-Axis Circular-Aperture Integral

本段 \(a\) 是球面波振幅常数, \(R\) 是点源至孔中心的距离, \(b\) 是孔中心至轴上观察点的距离, \(\rho\) 是孔半径, \(\kappa=k\). 积分的上限 \(r\) 是对应波前边缘到观察点的距离; 用小角度、缓变振幅模型把它换算为孔半径. 以下光强关系均在这一模型内成立.

\[\begin{aligned} \tilde{U}(b) &=\frac{-i}{\lambda}\frac{2\pi R}{R+b}\cdot\frac{a}{R}e^{i\kappa R}\int_b^{r}e^{i\kappa r}dr\\ &=-\frac{a}{R+b}e^{i\kappa R}\left(e^{i\kappa r}-e^{i\kappa b}\right),\\ I(b) &=\tilde{U}(b)\cdot\tilde{U}(b)^* =4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\kappa\frac{r-b}{2}\right) \end{aligned}\]

傍轴近似下

\[r=b+\frac{1}{2}\frac{(R+b)\rho^2}{Rb}\implies I(b)=4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\rho^2}{\lambda}\cdot\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\right)\]

轴上亮/暗斑取决于 \(\sin\) 后的相位.

• 对于 \(\rho_m\), 由 \[\rho_m=R\cdot\sqrt{1-\cos^2\alpha_m},\qquad \cos\alpha_m=\frac{R^2+(R+b)^2-(b+m\frac{\lambda}{2})^2}{2R(R+b)}\] 保留一阶近似得 \[\rho_m=\sqrt{m}\cdot\rho_1,\qquad \rho_1=\sqrt{\frac{Rb\lambda}{R+b}}\] 进一步得到类似于成像公式的形式 \[m=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\cdotp\frac{\rho_m^2}{\lambda} \implies \frac{1}{R}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f_m}, \qquad f_m = \frac{\rho_m^2}{m\lambda}\] 可以由"物距"和"像距"得到波带数. 从而 \[I(b;\rho = \rho_m) =4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\frac{m\pi}{2}\right)\] 这与半波带法的整数带结论一致.

2.5.3 Zone Plates and Examples

对于非整数波带, 使用螺旋式曲线图解法

Example 求 \(m = 1.5\) 时的光强

Solution

\[A_{1.5}=\sqrt{2}A_f\implies I_{1.5}=\left(\sqrt{2}A_{f}\right)^{2}=2I_{f}\]

Example 给出 \(m = 1.5\) 在特殊波带片下的光强图解

白色部分透光: 第一半波带开放半个方位角, 从 \(m=1\) 到 \(m=1.5\) 的环带开放四分之一方位角. 在轴对称照明与半波带振幅缓变近似下, 这些比例乘在复振幅上, 而非直接乘在光强上.

Solution 取图中第一半波带的完整振幅为 \(2\mathrm{i}A_f\), 则完整的后续半环带增量为 \(-A_f-\mathrm{i}A_f\). 两块透光区域相加给出

\[\tilde U=\frac12(2\mathrm{i}A_f)+\frac14(-A_f-\mathrm{i}A_f) =\frac{A_f}{4}(-1+3\mathrm{i}), \qquad I=\frac58 I_f.\]

整体相位的选择不影响这个光强比.

• Babinet 原理的体现: 矢量图上 \(\vec{A}_d=\vec{A}_f-\vec{A}_h\).
• Poisson 亮斑的解释: 遮挡有限面积波前等于 clip 掉螺旋前面的一部分, 不影响亮斑的尾部指向螺旋中心.

Remark 应用包括遮挡奇数或偶数带的波带片、对奇偶带补偿 \(\pi\) 的浮雕型波带片, 以及去掉 \(2m\pi\) 相位差所对应厚度的 Fresnel 透镜.

2.6 Fraunhofer Diffraction and Resolution

---

平面波正入射时, 忽略共同传播因子, 孔径场 \(U_a(x,y)\) 的远场振幅为

\[\tilde U(\theta_x,\theta_y)\propto\iint U_a(x,y)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_x+y\sin\theta_y)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\]

这是后续平移相位、光栅结构因子和 Fourier 光学共同使用的负号约定. 宽为 \(a\) 的均匀单缝给出 \(\int_{-a/2}^{a/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx\sin\theta}\,\mathrm{d}x=a\sin\alpha/\alpha\), 从而得到下式.

Remark 单缝.

\[A(\theta)=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}\implies I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,\qquad \alpha=\frac{\pi}{\lambda}a\sin\theta\]

• 在 \(\alpha\) 坐标中, 以相邻零点之间的距离为宽度, 中央主峰宽 \(2\pi\), 其他峰宽 \(\pi\)(\(\alpha=m\pi\), \(m\ne0\) 时为零点). 换成角度或屏幕坐标后的二倍关系另需小角度近似.

• 矩孔也是可以直接外推的

  \[I(\theta_1,\theta_2)= I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 ,\qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda},\quad \beta=\frac{\pi b\sin\theta_2}{\lambda}\]

  两个角是接收光屏上点在两个面的投影相对于透镜光心方位的夹角.

Remark 圆孔.

\[I\left(\theta\right)=I_0\left(\frac{2J_1(x)}{x}\right)^2,\qquad x=\frac{\pi\cdot D\sin\theta}{\lambda}\]

\(D\) 为圆孔直径. 第一零点为 \(x_0\simeq3.831706\simeq1.22\pi\), 因而

\[\sin\theta_0\simeq1.22\frac{\lambda}{D},\qquad\theta_0\simeq1.22\frac{\lambda}{D}\quad(\theta_0\ll1)\]

即为 Airy 斑(圆孔 Fraunhofer 衍射中央亮斑)的半角宽.

• Rayleigh 分辨判据: 可分辨的最小角度 \(\delta\theta_m = \theta_0\).

• 显微镜的分辨本领

  \[\begin{aligned} \theta_0&\approx1.22\frac{\lambda_0}{n^{\prime}D},\\ \delta y_m^{\prime} &\approx s^{\prime}\theta_0 \approx1.22\frac{\lambda_0}{n^{\prime}D/s^{\prime}} \approx0.61\frac{\lambda_0}{n^{\prime}\sin u^{\prime}}\\ \implies \delta y_{0m}&=0.61\frac{\lambda_0}{N.A.},\qquad \mathrm{N.A.}=n_0\sin u_0 \end{aligned}\]

  定义数值孔径 \(\mathrm{N.A.}\). 上面用 \(D/(2s^{\prime})\approx\sin u^{\prime}\) 的推导为傍轴推导. 大孔径时, \(0.61\lambda_0/\mathrm{NA}\) 的标量 Airy 模型推广还须采用满足 Abbe 正弦条件的理想成像系统; 实际高 NA 矢量场、像差和瞳函数会改变点扩散图样.

  仅增大放大倍数试图看到小于分辨本领的细节是徒劳的. 比如对于简单的望远镜, 物镜口径可以认为直接决定了最小可分辨的星体角间距.

  油浸和大孔径可提高数值孔径, 但 \(\mathrm{NA}\le n_0\), 上限取决于介质及系统设计. Rayleigh 两点判据给出 \(0.61\lambda_0/\mathrm{NA}\); Abbe 周期结构判据常写作 \(\lambda_0/(2\mathrm{NA})\), 两者不能混称. 电子显微镜使用电子的 de Broglie 波长, 属于不同的成像系统.

Example 透镜的焦距为 \(f\), 通光孔径为 \(D_L\). 物体 \(A\) 距离透镜为 \(s\), \(s>f\). 求 \(A\) 的最小分辨线度、像面上对应的最小分辨线度, 并说明如何看清 \(A\) 的更多细节?

Solution 数值孔径为 \(\mathrm{N.A.}\simeq \sin u\simeq D_L/2s\). Rayleigh 判据下

\[\delta_A\simeq \frac{0.61\lambda}{\mathrm{N.A.}} \simeq \frac{1.22\lambda s}{D_L}, \qquad \delta_A'\simeq \frac{1.22\lambda s'}{D_L}.\]

二者满足几何放大关系: \(\delta_A'=|V|\delta_A\). 用短波长、增大孔径、浸油等理论上都有效.

3 Interference and Coherence

---

3.1 Two-Beam Interference

---

Assumption 稳定的单色干涉. 两束单色光形成稳定干涉条纹的常用条件是同频、偏振投影不正交、相位差在观察时间内稳定. 对有限谱宽或部分相干光, 应检查探测平均后的互相关, 不能只用这三个理想单色条件作一般定义.

Remark 如何获得相干光.

普通光源可视为带随机相位的光场. 两个独立普通光源的交叉项通常在探测平均中消失. 获得可见条纹的常用方法, 是从同一随机光场分出两个彼此相关的部分:

• 分波前法 (Division of Wavefront): 从同一波前上取出两个子波源
• 分振幅法 (Division of Amplitude): 将同一束光的振幅分成两部分

分光保留了两路之间的相关性, 但是否能看到条纹仍取决于延迟、光源空间尺度、偏振和探测平均时间. 光程差产生相位差, 并可形成相长或相消干涉.

• 实际观察往往还要求
  • 光程差处于具有足够互相关的范围, 并控制光源空间尺度. 单个随机发光光源照明两个孔也可能产生干涉; Young 双孔及后述空间相干性正是例子. 有限相干长度是谱宽及所选衬比度尺度的描述, 并非普遍的硬截止.
  • 足够大的衬比度、合适的条纹间距等.

Definition 干涉衬比度(visibility).

\[I = UU^*,\qquad \gamma=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}.\]

相同偏振的标量两束部分相干光, 若单束强度在扫描相位时不变, 有

\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\operatorname{Re}(\mu_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}),\qquad \gamma=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}|\mu_{12}|.\]

\(\mu_{12}\) 是归一化互相干度; 偏振不同时还要计入电场方向的投影.

Example 考虑两束偏振光干涉

Solution s 光完全平行叠加. p 光有夹角

\[I_p = A_{1p}^2 + A_{2p}^2 + 2 A_{1p}A_{2p}\cos\alpha\cos\delta\]

衬比度与 \(I_s\) 相加后计算. 对于傍轴情况, 才可以把自然光干涉看成标量干涉.

Remark Young 干涉.

\[U_{1/2}(x,y)\simeq\frac{A}{D}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kD}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k[(x\mp d/2)^2+y^2]/(2D)}\]

令 \(x_0 = \pm d/2, y_0 = 0\). 光强

\[I(x,y)=(\tilde{U}_1+\tilde{U}_2)\cdot(\tilde{U}_1+\tilde{U}_2)^*=2I_0{\left[1+\cos\left(\frac{2\pi d}{\lambda D}x\right)\right]}\]

空间频率

\[f=\frac{1}{\Delta x} = \frac{d}{\lambda D}\]

• 提高 Young 干涉的衬比度:
  1. 两束光的幅度尽量一致
  2. 提高光源单色性
  3. 合理调整单缝宽以平衡亮度和清晰度.
  4. 光源狭缝应足够窄, 使两干涉缝处有足够大的互相干度

Remark 散斑: 相干光照射粗糙表面时, 多个散射贡献具有不同相位, 在观察点先叠加复振幅, \(U=\sum_j a_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_j}\), 再取 \(I=|U|^2\), 形成明暗随机颗粒. 若各贡献的交叉项被时间或空间平均消去, 仅剩 \(\sum_j|a_j|^2\), 散斑衬比度反而降低.

3.2 Wavefront-Splitting Interferometers

---

Remark Fresnel 双棱镜. 两个顶角很小的直角棱镜底边相接. 狭缝 S 的光波被折射成两束. 设顶角 \(\alpha\), 折射率 \(n\), 狭缝到棱镜距离 \(B\), 棱镜到屏幕距离 \(C\). 虚光源间距为

\[d = 2(n-1)\alpha B\]

总距离 \(D = B + C\) 下, 条纹间距

\[\Delta x = \frac{D}{d}\,\lambda = \frac{B + C}{2(n-1)\alpha B}\,\lambda\]

Remark Fresnel 双面镜. 由两块夹角接近 180 度的平面镜构成, 两个反射虚像形成一对相干虚光源.

Remark Lloyd 镜.

中心出现暗纹而非亮纹. 这是因为半波损失.

此处采用近似 \(\pi\) 的反射相位. 具体镜面、入射角和偏振态应按反射系数判断, 不能把所有反射都归为半波损失.

Remark 对切透镜. 将一块透镜沿直径剖成两半再横向错开少许, 各自成一实像, 构成相干光源.

3.3 Spatial Coherence

---

3.3.1 Point-Source Displacement

光源横移 \(\xi\) 导致零级亮纹反向移动 \(\eta = -(D/R)\xi\), 条纹间距 \(\Delta x = D\lambda/d\) 不变. 不对称时的干涉强度分布为

\[I = 4I_0\cos^2\Bigl[\frac{\pi d}{\lambda D}\Bigl(x + \frac{D}{R}\xi\Bigr)\Bigr], \qquad \delta \approx \frac{2\pi}{\lambda}\Bigl(\frac{d}{R}\xi + \frac{d}{D}x\Bigr)\]

3.3.2 Extended Sources

以下采用准单色、傍轴、等强两路模型, 宽度 \(b\) 的线光源视为均匀非相干点源的叠加.

\[\begin{aligned} I(x) &= \int_{-b/2}^{b/2} \frac{4I_0}{b}\cos^2\Bigl[\frac{\pi d}{\lambda D}\Bigl(x + \frac{D}{R}\xi\Bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}\xi \\[4pt] &= 2I_0\Bigl[1 + \frac{\sin u}{u}\cos\Bigl(\frac{2\pi d}{\lambda D}x\Bigr)\Bigr] &&u = \frac{\pi d b}{\lambda R}=\frac{\pi b}{b_0}=\frac{\pi d}{d_0} \end{aligned}\]

衬比度 \(\gamma = \left|\frac{\sin u}{u}\right|\). 首次降为零给出常用的首零点相干尺度和角度(小角度近似下), 不表示此后处处不相干; sinc 旁瓣仍可有非零衬比度.

\[b_0 = \frac{\lambda R}{d},\qquad d_0 = \frac{\lambda R}{b} \implies \Delta\beta_0 \approx \frac{b_0}{R},\qquad \Delta\theta_0 \approx \frac{d_0}{R}\]

二者均满足反比公式

\[d\cdot\Delta\beta_0 \approx \lambda,\qquad b\cdot\Delta\theta_0 \approx \lambda\]

对于面光源, 相干立体角和相干面积

\[\Delta\Omega_0 \approx \frac{\pi}{4}(\Delta\theta_0)^2,\qquad \Delta S_0 = R^2\Delta\Omega_0 \approx d_0^2\]

Definition 空间相干性: 有限宽度光源的相干性, 即非相干有限宽光源波前上空间相近的两点仍可能干涉.

3.3.3 Stellar Interferometry

增大基线 \(d\) 直至条纹首次消失. 上述均匀线源给出 \(d_0\Delta\beta=\lambda\); 对均匀圆盘星体, 圆对称亮度的二维 Fourier 变换给出 \(\gamma=|2J_1(v)/v|\), \(v=\pi d\Delta\beta/\lambda\), 因而 \(d_0\Delta\beta\simeq1.22\lambda\). 系数取决于光源亮度模型.

Michelson 干涉仪是分振幅干涉, Michelson 星体干涉仪是分波面干涉.

巧妙性: 角直径测量由可变间距 \(d\) 控制, 接收仍可用较小口径望远镜完成.

Example 设计一台星体干涉仪, 使其探测的星体孔径角达到 \(\Delta=1\times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\), 星体发射的波长为 600 nm. 探测器用单元宽度约为 \(1.5\ \mu\mathrm{m}\) 的 CCD 探测 (每个干涉周期至少要用 12 个单元来记录), 屏幕距离双孔 (透镜) 2 m.

Solution 星体角分辨率要求外侧有

\[d\sim\frac{\lambda}{\Delta}=6.0\ \mathrm{m}\]

若按均匀圆盘的首零点选基线, 则为 \(7.32\,\mathrm{m}\). CCD 采样要求干涉周期 \(p\ge 12\times1.5\ \mu\mathrm{m}=18\ \mu\mathrm{m}\). 由题目条件, 若成条纹孔距为 \(b\)

\[p=\frac{\lambda L}{b}\implies b\le \frac{\lambda L}{p}=6.7\ \mathrm{cm}\]

则需要中继部分把 \(d\) 缩到 \(b\).

3.4 Temporal Coherence

---

3.4.1 Two Spectral Lines

设光源含 \(k_1,k_2\) 两个相近波数成分, \(\Delta k=|k_1-k_2|>0\). 每个成分在两臂中的单束强度均为 \(I_0\), 不同频率间的交叉项已被探测平均掉, 两种干涉图叠加强度:

\[I=4I_0\left[1+\cos\left(\frac{\Delta k}{2}\Delta L\right)\cos(k\Delta L)\right], \qquad k=\frac{k_1+k_2}{2}.\]

快振荡项 \(\cos(k\Delta L)\) 给出普通干涉条纹; 慢变项给出衬比度包络 \(\gamma=\left|\cos\left(\frac{\Delta k}{2}\Delta L\right)\right|\). 包络周期

\[\frac{\Delta k}{2}\Delta L_0=\pi\implies \Delta L_0=\frac{2\pi}{\Delta k}\approx \frac{\lambda^2}{|\Delta\lambda|}\]

首次衬比度为零的光程差为 \(\pi/\Delta k=\Delta L_0/2\); \(\Delta L_0\) 是可见度的复现周期, 两者不可混同. 若两条谱线强度不等, 包络最小值一般大于零. 两波长错位半个条纹时, 等强谱线的衬比度降为零. 若 \(\lambda_1,\lambda_2\) 相近

\[N\lambda_1=\left(N-\frac{1}{2}\right)\lambda_2 \implies N\approx \frac{\lambda}{2|\Delta\lambda|}.\]

3.4.2 Finite Spectral Width

对波数作非相干叠加. 若准单色光谱宽度为 \(\Delta k\), 矩形谱近似下衬比度

\[\gamma=\left|\frac{\sin u}{u}\right|,\qquad u=\frac{\Delta k}{2}\Delta L.\]

以矩形谱衬比度首零点定义相干长度

\[L_0=\frac{\pi}{\Delta k/2}\approx\frac{\lambda^2}{|\Delta\lambda|}.\]

由此, 衬比度也可写成

\[\gamma(\Delta L)=\left|\frac{\sin(\pi\Delta L/L_0)}{\pi\Delta L/L_0}\right|, \qquad \gamma(\tau)=\left|\frac{\sin(\pi\tau/\tau_0)}{\pi\tau/\tau_0}\right|.\]

Definition 时间相干性. 由谱宽决定, 谱线越窄, \(\tau_0\) 越大, 时间相干性越好

\[\tau_0\Delta\nu\simeq 1\]

Example Twyman-Green 干涉系统(类似于透射 Newton 环, 中心为亮纹)

中心波长 \(\lambda_0=600\,\mathrm{nm}\) 的准单色照明光, 第 20 条暗条纹处干涉衬比度降到 0.95, 估算准单色光的谱线宽度 \(\Delta\lambda\).

Solution 第 20 条暗条纹处 \(\Delta=19.5\lambda=11.7\ \mu\mathrm{m}\). 用矩形谱线近似, 可见度 其中 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\).

\[\gamma \simeq \left|\operatorname{sinc}\left(\pi\frac{\Delta}{L_0}\right)\right| = \left|\operatorname{sinc}\left(\pi\frac{\Delta}{c/\Delta\nu}\right)\right|\]

小量近似得到括号内 \(x\simeq\sqrt{0.30}=0.548\), 从而 \(\Delta\lambda\simeq\lambda_0^2\Delta\nu/c=\lambda_0^2x/(\pi\Delta)\approx5.4\ \mathrm{nm}\).

3.5 Thin-Film Interference

---

对于厚度为 \(d\), 折射率为 \(n\) 的薄膜 (内部折射角为 \(\theta\)), 上下表面反射光的光程差为

\[\Delta = 2nd\cos\theta\left(+\frac{\lambda}{2}\right)\]

注意考虑是否产生半波损失.

• Definition 定域性.

  • 点光源照明, 反射光视为来源于虚像 \(S_1, S_2\), 为非定域干涉.

  • 扩展光源照明, 不同点源的干涉仅在错位最小的部分区域可见, 为定域干涉.

    

    膜越薄, 上下表面反射光的错位夹角 \(\beta\) 越小, 定域面越靠近薄膜, 光源极限宽度 \(b_0\) 越大. 限制条件为 \(b\cdot\beta \lt \lambda\).

Definition 等倾干涉. 薄膜平行, 光程差取决于 \(\theta\). 同一条纹对应同一倾角. 扩展光源照明时, 条纹定域于无穷远.

• 形状: 经透镜汇聚为同心圆环. 中心处 \(\theta = 0\), 对应干涉级次最高(光程差最大).

  膜厚 \(d\) 增大时, 同一 \(\Delta\) 对应的 \(\cos\theta\) 减小, \(\theta\) 增大, 条纹外扩; 反之同理.

• 面光源照明时, 只要入射角 \(i\) 相同就汇聚到同一个干涉环, 不会破坏等倾条纹.

Definition 等厚干涉. 薄膜楔角 \(\alpha\) 极小, 垂直入射时 \(\Delta \approx 2nd + \lambda/2\)(注意半波损失), 取决于膜厚 \(d\). 条纹定域于薄膜表面附近.

• 形状: 相邻条纹厚度差 \(\Delta d = \frac{\lambda}{2n}\), 对应水平间距 \(\Delta l = \frac{\lambda}{2n\alpha}\).

  膜很薄时, 局部光程差只允许少数可见波长满足亮纹条件, 因而可出现鲜艳色彩; 膜较厚时, 多个波长可同时满足亮纹条件, 非相干叠加使颜色饱和度下降, 甚至条纹消失.

• 判断上方平板倾斜方向的办法: 垫入已知薄片/用白光找零级条纹.

3.5.1 Newton Rings

平凸透镜与平板玻璃间形成空气薄膜. 以反射式为例, 要考虑半波损失. 亮纹和暗纹条件分别为

\[2h= \begin{cases} \left(m-\frac{1}{2}\right)\lambda, & \text{亮纹},\\ m\lambda, & \text{暗纹}. \end{cases}\]

中心触点处 \(h=0\), 为暗斑. 设透镜曲率半径为 \(R\), 条纹半径为 \(r\). 空气膜厚度由球冠几何给出

\[h=R-\sqrt{R^2-r^2} =R\left[1-\sqrt{1-\left(\frac{r}{R}\right)^2}\right] \approx \frac{r^2}{2R}\qquad (r\ll R).\]

代入条纹条件得

\[r_m^2= \begin{cases} \left(m-\frac{1}{2}\right)R\lambda, & \text{亮纹},\\ mR\lambda, & \text{暗纹}. \end{cases}\]

故

\[R=\frac{r_{m+n}^2-r_m^2}{n\lambda} =\frac{D_{m+n}^2-D_m^2}{4n\lambda}.\]

该式与起始级次 \(m\) 无关, 可减小中心接触不理想带来的误差.

• 透射 Newton 环与反射 Newton 环互补: 反射中心暗, 透射中心亮. Remark 条纹比较

条纹	对应量	定域位置	由中心向外的级次
Newton 环	膜厚	膜附近	增大
等倾干涉环	倾角	无穷远	降低

3.5.2 Observation Examples

Example 肥皂膜和蝴蝶翅膀的彩色分别如何产生?

Solution 肥皂膜彩色来自白光薄膜干涉; 蝴蝶翅膀的结构色来自微纳周期结构的干涉、衍射和选择性散射.

Example 近视眼能否看清等倾条纹和等厚条纹?

Solution 等倾条纹定域于无穷远, 近视眼远点有限, 不容易看清. 等厚条纹定域在薄膜表面附近, 观察距离合适时可以看清.

3.6 Michelson Interferometer

---

Definition Michelson 干涉仪. \(G_1\) 背面镀半反半透膜, \(G_2\) 与 \(G_1\) 厚度和折射率相同.

• 补偿板作用: 补偿色散; 白光照明时, 便于精确找到等光程位置.

• 两束光分别可看作由 \(M_2\) 和 \(M_1'\) 反射. \(M_2\) 与 \(M_1'\) 夹角决定条纹形态.

  • \(M_2\parallel M_1'\): 等倾圆条纹. 不同波长的同级条纹一般不重合; 零光程差位置为各波长共有, 白光只能在零光程差给出清晰定位.

    • 动臂平移 \(l\) 时, 光程差变化 \(\Delta L=2nl\). 若条纹变化 \(N\) 次

      \[2nl=N\lambda\]

      增大 \(l\) 时吐出条纹(特定级次角度变大), 减小 \(l\) 吞入条纹(特定级次角度变小).

    • 测长要求波长稳定、计数准确. 可用测长范围由光谱形状、两臂延迟及所需衬比度共同决定. 若仅以频率矩形谱的可见度首零点作为尺度, 取窄带且折射率在谱宽内近似不变, 则

      \[L_0 = \frac{c}{\Delta\nu}\simeq\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} \implies l_0=\frac{L_0}{2n}\]

      这里 \(\lambda\) 为中心真空波长, \(\Delta\lambda>0\) 为波长谱宽; \(l_0\) 是从等光程位置量起的首零点位移尺度, 不是普遍的测量硬截止. 实际应按可见度 \(\mathcal{V}=(I_{\max}-I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})\) 是否达到测量所需阈值确定工作范围.

  • \(M_2\) 与 \(M_1'\) 微倾: 等厚直条纹. 条纹疏密由两虚镜夹角决定.

• Remark Michelson-Morley 实验. 若实验室相对以太速度为 \(v\), 经典速度合成预言两臂往返时间不同: \[t_{\parallel}=\frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v} \approx \frac{2l}{c}\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right)\] \[t_{\perp}=\frac{2l}{\sqrt{c^2-v^2}} \approx \frac{2l}{c}\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)\] 光程差预期为 \[\Delta L_0=c(t_{\parallel}-t_{\perp})\approx l\left(\frac{v}{c}\right)^2.\] 干涉仪旋转 \(90^\circ\) 后光程差反号, 条纹移动对应 \(\delta(\Delta L)=2\Delta L_0\).

Example 用钠光(\(589.3\ \mathrm{nm}\))观察 Michelson 干涉条纹. 干涉场中有 12 个亮环, 且中心是亮的; 移动 \(M_1\), 吞 (吐) 了 10 环, 场还存在 5 个亮环. 试求:

1. 镜面 \(M_1\) 移动的距离 \(\Delta h\).
2. 开始时中心亮斑的干涉级 \(k_0\), 相应的等效空气膜厚 \(h_0\).

Solution

1. 中心吞吐 10 环, 则 \(\Delta h=\frac{10\lambda}{2}=5\lambda\simeq2.95\ \mu\mathrm{m}\).

2. 设视场边缘半角为 \(\theta_m\), 初始中心级次 \(k_0=2h_0/\lambda\). 可见亮环数等于中心到视场边缘的级差

   \[2h_0(1-\cos\theta_m)\simeq12\lambda \qquad 2(h_0-\Delta h)(1-\cos\theta_m)\simeq5\lambda.\]

   解得 \(h_0\simeq5.05\ \mu\mathrm{m},k_0\simeq17.1\).

前例把可见环数近似为连续级差, 所得只是估算. 中心亮纹的严格级次必须为整数; 若只给整数环数而不给视场边缘在相邻条纹间的位置, 就不能把 \(17.1\) 当作精确干涉级. 精确求解还需边缘角度或边缘相位信息.

3.7 Fabry-Perot Interferometer

---

Definition Fabry-Perot(FP) 干涉仪. 两块高反平行板构成 FP 腔. 本节取相同、无吸收的两镜, 两侧介质相同, 腔内折射率在所考察窄谱段近似不变, 并把固定的反射相位纳入相位参考. \(\lambda\) 是真空波长. 相邻透射光的光程差和相位差为

\[\Delta L=2nh\cos\theta,\qquad \delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta L=\frac{4\pi nh\cos\theta}{\lambda}.\]

取两侧介质相同, \(r=-r'\), 无吸收时 \(r^2+tt'=1\), \(R=r^2\), 有透射光振幅和光强

\[\tilde U_T=\frac{Att'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta/2}}{1-r'^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}}, \qquad I_T = \frac{I_0}{1+F_A\sin^2(\delta/2)}, \quad F_A=\frac{4R}{(1-R)^2}\]

无吸收时 \(I_R=I_0-I_T\). \(R\) 越大, 透射峰越尖锐. 峰值条件为 \(\delta_m=2m\pi\implies 2nh\cos\theta_m=m\lambda\).

由于 \(\delta\) 同时依赖 \(nh\)、\(\lambda\) 和 \(\theta\), FP 可用于等倾干涉环的精细分辨, 也可作为选频腔.

3.7.1 Spectral Range and Finesse

Definition 自由光谱范围. 对于正入射, 若 \(\lambda_+\) 的 \(m\) 级峰与 \(\lambda_-\) 的 \(m+1\) 级峰重合, 即

\[m\lambda_+=(m+1)\lambda_-=2nh\]

得到自由光谱范围

\[\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}} \approx\frac{\lambda^2}{2nh}, \qquad \Delta\nu_{\mathrm{FSR}}=\frac{c}{2nh}.\]

精细分辨采用半高全宽(FWHM, full width at half maximum)作为谱线宽度尺度. 半高点存在要求 \(F_A\ge1\), 即 \(R\ge3-2\sqrt2\); 更低反射率时谷值仍高于半峰, 不能如此定义独立峰的 FWHM.

以峰中心为相位零点, 理想 Airy 线形的相位全宽及精细度为

\[\varepsilon=4\arcsin\frac{1-R}{2\sqrt R},\qquad\mathcal F=\frac{2\pi}{\varepsilon}.\]

高反射率、窄线宽下, 同级峰的波长半高全宽近似为

\[\delta\lambda_{\min}\approx\frac{\lambda}{\pi m}\frac{1-R}{\sqrt R}\]

精细度定义为自由光谱范围与谱线宽度之比

\[\mathcal F\approx \frac{\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}}{\delta\lambda_{\min}} \approx \frac{\pi\cdot m\lambda\cdot\sqrt R}{2nh(1-R)} \approx\frac{\pi\sqrt R}{1-R} =\frac{\pi\sqrt{F_A}}{2}\]

即在窄谱段近似下 \(\delta\lambda_{\min}\approx\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F\). 色分辨本领

\[R_c\equiv\frac{\lambda}{\delta\lambda_{\min}} \approx\pi m\frac{\sqrt R}{1-R}\approx m\mathcal{F}.\]

\(h\gg\lambda\) 时级次很大, 所以 FP 可分辨超精细谱线结构.

3.7.2 Angular Fringes

半高全角宽可以由相位全宽 \(\varepsilon\)

\[I_T\left(\pm\frac{\varepsilon}{2}\right)=\frac{I_0}{2} \implies \varepsilon=\frac{2\pi}{\mathcal F}\approx\frac{2(1-R)}{\sqrt R}\]

得到

\[\Delta\theta_m\approx \frac{\lambda/\mathcal{F}}{2 nh\sin\theta_m}\]

上述角宽线性化要求 \(\theta_m\neq0\) 且 \(\Delta\theta_m\ll|\theta_m|\). 中央峰处 \(\sin\theta_m=0\), 必须保留 \(\cos\theta\approx1-\theta^2/2\) 的二次项, 不能套用此式.

近邻谱线角间距由

\[\frac{\delta}{2} = m\pi \implies \delta\theta_m\approx\frac{m\,\delta\lambda}{2nh\sin\theta_m}\]

得到.

3.7.3 Frequency Selection

正入射非单色平行光时, 多光束相干叠加表现为光谱滤波. 峰值波长和纵模频率满足

\[2nh=m\lambda_m,\qquad \nu_m=m\frac{c}{2nh}, \qquad \Delta\nu=\frac{c}{2nh}.\]

单峰的半高全宽 由相位宽度 \(\varepsilon\approx\frac{2\pi}{\mathcal F}\) 容易得到谱宽为

\[\Delta\nu_m\approx \frac{\Delta\nu_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal{F}}, \qquad \Delta\lambda_m\approx\frac{\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal{F}}\]

3.8 Optical Coatings

---

3.8.1 Single-Layer Reflection

取透明、非磁性介质, \(\lambda\) 为真空波长. 介质 \(n_0\)、薄膜 \(n_1\)、基底 \(n_2\), 膜厚 \(d_1\), 膜内折射角 \(\theta_1\). 斜入射时各 \(r_{ij},t_{ij}\) 须使用同一 s/p 偏振及一致的场方向约定; 以下平方折射率等效基底关系另取正入射. 反射系数

\[r = r_{01}+t_{01}t_{10}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}\sum_{m=0}^\infty(r_{10}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1})^m = \frac{r_{01}+r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}} {1+r_{01}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}}, \qquad \delta_1=\frac{4\pi}{\lambda}n_1d_1\cos\theta_1\]

正入射时, 利用 \(r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}\) 反射率可写成

\[R=\frac{(n_0-n_2)^2\cos^2(\delta_1/2)+\left(\dfrac{n_0n_2}{n_1}-n_1\right)^2\sin^2(\delta_1/2)} {(n_0+n_2)^2\cos^2(\delta_1/2)+\left(\dfrac{n_0n_2}{n_1}+n_1\right)^2\sin^2(\delta_1/2)}.\]

3.8.2 Antireflection Coatings

Remark 单层增透膜. 对常见 \(n_0\lt n_2\) 的透明介质, 取 \(n_0\lt n_1\lt n_2\) 可在设计波长降低反射率. 正入射下取 \(\lambda/4\) 波膜 \(n_1d_1=\lambda_0/4\)

\[R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2, \qquad n_{\text{eff}}=\frac{n_1^2}{n_2}\]

全增透条件 \(n_1=\sqrt{n_0n_2}\).

Remark 双层增透膜. 把下层 \(\lambda/4\) \(n_2\) 波膜和 \(n_3\) 基底看成等效基底

\[n'_{\mathrm{eff}}=\frac{n_2^2}{n_3}\]

在等效基底上镀 \(\lambda/4\) 波膜 \(n_1\), 全增透条件

\[n_1=\sqrt{n_0n'_{\mathrm{eff}}}\]

3.8.3 High-Reflection Coatings

沿用 \(n_0\lt n_2\) 的条件, 若 \(n_1>n_2\), \(\lambda/4\) 波膜使反射相长, 单层 \(\lambda/4\) 增反在 \(\lambda_0\) 处有

\[R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2\]

\(n_1 \gg n_2\) 时, \(R_{\lambda_0}\sim 1\).

Remark 多层高反射膜. 光学厚度均为 \(\lambda_0/4\) 的高、低折射率膜交替组成.

对于

\[G(HL)^pHA,\]

字母按基底到入射侧排列:

• \(G\) 是基底;
• \(H,L\) 是高、低折射率层;
• \(A\) 是入射介质, \(n_0=n_A\);
• \(p\) 为非负整数.

在正入射设计波长处逐层外推得到等效折射率

\[n_\mathrm{eff}=\frac{n_H^2}{\left(\frac{n_L}{n_H}\right)^{2p}n_G}=\left(\frac{n_H}{n_L}\right)^{2p}\frac{n_H^2}{n_G}, \qquad R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2\]

在 \(n_\mathrm{eff}\ge n_0\) 的高反支路上, 折射率比 \(n_H/n_L\) 越大、膜层数越多, 设计波长处反射率越高. 若起初 \(n_\mathrm{eff}\lt n_0\), 增加层数会先接近匹配点而降低反射率, 不能笼统宣称单调增加.