Optics - 2

4 Diffraction from Periodic Structures

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4.1 Translation and Phase Shift

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Proposition 图像位移. 在 Fraunhofer 衍射系统中, 若透过率分布 \(t(x,y)\) 平移为 \(t(x-x_0,y-y_0)\), 则在观察方向 \((\theta_1,\theta_2)\) 上有

\[\tilde U'(\theta_1,\theta_2) =\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\delta_1+\delta_2)} \tilde U(\theta_1,\theta_2), \qquad \delta_1=-kx_0\sin\theta_1,\quad \delta_2=-ky_0\sin\theta_2.\]

Proposition 全同结构的 Fraunhofer 衍射场. 这里假设各单元受到同振幅、同相位的相干照明, 决定全同单元之间如何相干叠加.

第 \(i\) 个单元相对参考单元位移 \((x_i,y_i)\), 则

\[\tilde U(\theta_1,\theta_2) =\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \sum_{i=0}^{N-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k(x_i\sin\theta_1+y_i\sin\theta_2)}.\]

后一项为振幅结构因子; 其模平方给出强度结构因子.

Example 五方孔由中心方孔和四个关于中心对称的方孔组成.

Solution 四个位移为 \((a,a),(a,-a),(-a,-a),(-a,a)\), 利用成对对称项合并, 得

\[\tilde U(\theta_1,\theta_2) =\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \left[ 1+2\cos\{k(a\sin\theta_1+a\sin\theta_2)\} +2\cos\{k(a\sin\theta_1-a\sin\theta_2)\} \right]\]

其中单个方孔

\[\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) =\tilde c\frac{\sin\alpha}{\alpha} \frac{\sin\beta}{\beta}, \qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda}, \quad \beta=\frac{\pi a\sin\theta_2}{\lambda}.\]

以下把共同的光强换算系数吸收进振幅归一化, 写为 \(I(\theta_1,\theta_2)=|\tilde U(\theta_1,\theta_2)|^2\); 若 \(\tilde U\) 直接表示电场, 则光强还需相应介质阻抗因子.

Example 衍射重复单元. 结构单元是宽为 \(a\) 的单缝, 相邻缝的净空宽度依次为 \(a\), \(2a\), \(a\), \(2a\), … , 求衍射场.

Solution 单缝因子为

\[\tilde U_0(\theta)=\tilde c\frac{\sin\alpha}{\alpha}, \qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.\]

中心间距交替为 \(2a,3a\). 将中心相距 \(2a\) 的两条缝作为一组, 组内二级结构因子为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\alpha}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\alpha}=2\cos2\alpha\).

相邻组的周期为 \(5a\), \(N\) 组给出

\[I(\theta)=4I_0 \left( \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right)^2 \left( \frac{\sin5N\alpha}{\sin5\alpha} \right)^2 \cos^2(2\alpha)\]

若题目中的“间距”指缝中心距离 \(a,2a\), 则周期为 \(3a\), 组内因子为 \(2\cos\alpha\), 上式应相应改为 \(4I_0\operatorname{sinc}^2\alpha[\sin(3N\alpha)/\sin(3\alpha)]^2\cos^2\alpha\). 两种几何定义不能混用.

Example 阶梯形透射相位单元

四级等宽台阶从左至右的厚度为 \(4a,3a,2a,a\). 正文略去最低一级共同的透射相位, 因而相对相位写成 \(3\varphi,2\varphi,\varphi,0\). 采用薄相位屏近似, 忽略各级振幅与反射差异.

Solution 把一个阶梯单元的左端取为 \(x=0\), 透射相因子可写成

\[t(x)= \begin{cases} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}\varphi}, & 0\le x\lt d,\\ \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\varphi}, & d\le x\lt 2d,\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}, & 2d\le x\lt 3d,\\ 1, & 3d\le x\lt 4d,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \qquad \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n-1)a.\]

每一级给出同一个单缝因子 \(\sin\alpha/\alpha\), 只是相对位移不同

\[\tilde U(\theta) =\tilde c\,d\frac{\sin\alpha}{\alpha} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}\varphi-\mathrm{i}\alpha} \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)} \right), \qquad \alpha=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.\]

因此强度可写成

\[I(\theta)=I_0 \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \left| 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\delta} \right|^2, \qquad \delta = -2\alpha-\varphi\]

4.2 One-Dimensional Gratings

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Proposition 光栅衍射场. 取第 \(m\) 个单元相对参考单元的位移为 \(x_m=-md\). 于是远场复振幅为等比求和

\[\tilde U(\theta) =\tilde U_0(\theta)\sum_{m=0}^{N-1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\delta} =\tilde U_0(\theta) \frac{\sin N\beta}{\sin\beta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N-1)\beta}, \qquad \beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.\]

单元因子给出包络, 结构因子给出离散主极大及峰宽. 以下峰宽及主峰间零点、次峰的计数取 \(N\geq2\).

• Remark 主极强. 当 \(\beta=m\pi\) 时, 强度结构因子取极限 \(N^2\), 出现主极强(可出现级次受 \(|m|\lambda/d\leq1\) 限制, 且单元因子不能为零). 第 \(m\) 级主峰两侧第一零点的精确方向为

  \[d\sin\theta_m=m\lambda, \qquad d\sin\theta_{m,\pm} =\left(m\pm\frac{1}{N}\right)\lambda.\]

  两侧角宽 \(|\theta_{m,\pm}-\theta_m|\) 一般不完全相等. 若两零点均为可传播方向, 且远离掠射、小角展开成立, 可用共同的近似半角宽度

  \[\Delta\theta_m \simeq\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_m} =\frac{\lambda}{D\cos\theta_m},\qquad D\equiv Nd.\]

  在相同级次和方向下, 光栅有效宽度 \(D\) 越大, 主峰越窄.

• Remark 零点. 结构因子为零要求

  \[\sin N\beta=0,\qquad \sin\beta\neq0\]

  即 \(N\beta=j\pi,j\neq mN\), 则

  \[d\sin\theta_{\mathrm{zero}}=\frac{j\lambda}{N}, \qquad j\in\mathbb{Z},\quad j\notin N\mathbb{Z},\quad \left|\frac{j\lambda}{Nd}\right|\leq1\]

  相邻两个主峰之间有 \(N-1\) 个零点.

• Remark 次极大. 对 \(N\geq2\), 排除主峰和零点后, 强度结构因子的驻点满足

  \[N\cos(N\beta)\sin\beta-\sin(N\beta)\cos\beta=0.\]

  仅在两余弦均不为零时可改写为 \(\tan(N\beta)=N\tan\beta\), 否则须用未除余弦的方程. 相邻两个主峰之间有 \(N-2\) 个结构因子的次极大; 乘上单缝包络后, 总强度峰位可略有移动. 增大 \(N\) 使主峰变窄, 但靠近主峰的次峰相对高度一般趋于非零值, 并不随 \(N\) 无限消失.

• Remark 缺级. 单元因子可使某些主极强落在单缝暗纹上.

Remark 正入射透射光栅的缺点

• 光栅本身可能吸收光能.
• 零级主峰无色散, 不同波长都集中在 \(\theta=0\), 且通常落在单元衍射因子最大处.
• 光强分散到正负各级, 而实际光谱分析通常只需要其中一个序列.

Example 一维光栅刻线密度 \(600\,\mathrm{mm}^{-1}\), 有效宽度 \(D=5\,\mathrm{cm}\), 入射 He-Ne 激光波长 \(\lambda=633\,\mathrm{nm}\). 求一、二级主峰方位角及半角宽度.

Solution 光栅常数满足 \(1/d=600\,\mathrm{mm}^{-1}\). 由光栅公式

\[\sin\theta_1=\lambda/d\approx0.38, \qquad \sin\theta_2=2\lambda/d\approx0.76.\]

\(\theta_1\approx22^\circ19',\theta_2\approx49^\circ26'\). 半角宽度为

\[\begin{aligned} \Delta\theta_1 &=\frac{633\,\mathrm{nm}} {5\,\mathrm{cm}\cos22^\circ19'} \approx1.37\times10^{-5}\,\mathrm{rad} \\ \Delta\theta_2 &=\frac{633\,\mathrm{nm}} {5\,\mathrm{cm}\cos49^\circ26'} \approx1.95\times10^{-5}\,\mathrm{rad} \end{aligned}\]

Example 光栅常数和单缝宽度不变, 光栅只留下一半数目的缝会有何影响?

Solution 这里指保留连续的一半缝, 缝间距仍为原值; 若隔缝遮挡则周期改变, 结论不同. 单缝衍射包络不变, 主极大位置不变. 主极大角宽度增大一倍, 峰值强度为原来的 \(\frac14\), 总透光能量约减半, 光栅分辨本领减半.

4.3 Grating Spectrometers and Blazed Gratings

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4.3.1 Blaze Geometry

每个周期内的槽面法线 \(\hat{\mathbf{n}}\) 与光栅整体法线 \(\hat{\mathbf{N}}\) 夹角为闪耀角 \(\theta_b\), \(a\) 为被照亮槽面的实际宽度, 它在光栅平面上的投影近似为 \(d\), 即 \(a\cos\theta_b\approx d\); 仅在小闪耀角时才有 \(a\approx d\). 若沿 \(\hat{\mathbf{N}}\) 方向正入射, 槽面的镜反射方向为 \(\theta_{\hat{\mathbf{N}}}=2\theta_b\), 而整个光栅的零级方向仍为 \(\theta=0\).

正入射闪耀光栅几何示意图. a 沿槽面量取, d 沿光栅整体平面量取; 槽面法线的倾角为闪耀角, 镜反射方向相对整体法线偏转两倍闪耀角. 回坡简化为竖直线, 图示不代表实际槽形与效率.

\[I(\theta)=I_0 \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2\]

在忽略遮挡、偏振和矢量边界效应的标量槽面模型中, 单元和结构相因子

\[\alpha=\frac{\pi a}{\lambda} \left[\sin(\theta-\theta_b)-\sin\theta_b\right], \qquad \beta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\]

槽面镜反射方向 \(\theta_{\hat{\mathbf{N}}}=2\theta_b\), 相应 \(\alpha=0\), 单槽包络取最大值. 同时若

\[d\sin(2\theta_b)= m\lambda_{m\mathrm b}\]

则第 \(m\) 级在槽面镜反射方向上相干增强. \(m = 1\) 时给出此正入射几何下的一级闪耀波长 \(\lambda_b\). 实际效率还受槽形、遮挡、材料与偏振影响; 目录中常用的 Littrow 闪耀条件为 \(i=\theta=\theta_b\), 对应 \(m\lambda=2d\sin\theta_b\), 与这里的正入射条件不同.

4.3.2 Dispersion and Resolution

• Definition 角色散率. 定义 \(D_\theta=\delta\theta/\delta\lambda\), 由光栅公式 \(d\sin\theta_m=m\lambda\) 微分得

  \[D_\theta=\frac{m}{d\cos\theta_m}.\]

• Definition 线色散率. 在以目标衍射方向为光轴、像面垂直于该方向的相机中, 小角变化对应局部像面位移 \(\delta l\simeq f\delta\theta\), 因而

  \[D_l \simeq fD_\theta =\frac{fm}{d\cos\theta_m}.\]

• Definition 色分辨本领. 定义 \(R=\lambda/\delta\lambda_{\min}\). 其中 \(\delta\lambda_{\min}\) 为刚能分辨的最小波长差. 两条谱线的角间隔为 \(\delta\theta_m=|D_\theta|\delta\lambda\); 第 \(m\) 级主峰半角宽度为\(\Delta\theta_m=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_m}\). 按 Rayleigh 型判据, 令 \(\delta\theta_m=\Delta\theta_m\), 得

  \[R=|m|N\qquad (m\neq0).\]

  这里假设理想、均匀相干照明的 \(N\) 条刻线及非零单元因子, 不计狭缝、像差和探测器的额外展宽. 若采用斜入射的一般光栅方程 \(d(\sin i+\sin\theta)=m\lambda\), 由 \(|\sin i+\sin\theta|\leq2\) 得几何上界

  \[R\leq\frac{2dN}{\lambda}=\frac{2D}{\lambda}.\]

  等号对应理想掠射极限, 一般实际工作角度达不到; 固定正入射时则有更小的上界 \(R\leq D/\lambda\).

Remark

1. 闪耀光栅单槽衍射的主能量方向与目标非零衍射级重合, 能量集中到一个主要级次.
2. 与透射式光栅相比, 反射式闪耀光栅的优点在于光栅效率高、可做大口径、材料吸收小, 且适合指定工作级次的场景.

4.3.3 Spectrometer Comparison

比较各器件的分光原理、分辨本领和测量范围.

1. 棱镜用材料色散 \(n(\lambda)\) 分光. 分辨本领由 \(\mathrm dn/\mathrm d\lambda\)、棱镜尺寸和入射光束宽度决定. 无级次重叠, 但通常分辨率较低.
2. FP 为多光束等倾干涉选频, \(2nh\cos\theta=m\lambda\). \(R_{c,m}=m\mathcal F\) 由级次和精细度决定. 分辨率高, 但自由光谱范围小, 且易级次重叠.
3. 光栅为周期结构衍射分光, \(d(\sin \theta_i+\sin\theta_o)=m\lambda\). \(R=|m|N\) 由非零级次和被照亮刻线数决定, 对特定光栅尺度和波长有理论极限. 测量范围受级次重叠、光栅尺度和角色散限制.

4.3.4 Doublet Resolution Example

Example 中心波长 \(600\ \mathrm{nm}\)、间距 \(0.05\ \mathrm{nm}\) 的双线光谱. 正入射, 光栅频率 300 线/mm, 透镜焦距 30 cm, 相机光轴对准一级中心谱线. 求

1. 分辨一级双线所需的最小照亮宽度.
2. 一级角色散率及双线角间隔.
3. 接收面上的双线间隔及相应分辨线数.
4. 光栅记录材料的空间分辨率要求.

Solution

1. 光栅分辨本领为 \(R_c=mN\). 一阶光谱中 \(m=1\), 分辨双线要求

   \[N_{\min}=R_c=\frac{\lambda}{\Delta\lambda} =\frac{600}{0.05}=1.2\times10^4.\]

   光栅频率 \(g=300\,\mathrm{mm}^{-1}\), 因而最小照亮宽度

   \[D_{\min}=\frac{N_{\min}}{g} =\frac{1.2\times10^4}{300}\,\mathrm{mm} =40\,\mathrm{mm}=4.0\,\mathrm{cm}.\]

2. 光栅常数 \(d=\frac{1}{g}=3.33\times10^{-3}\,\mathrm{mm}\). 一阶衍射角满足

   \[\sin\theta_1=\frac{\lambda}{d}=0.18\]

   角色散率为 \(D_\theta=1/(d\cos\theta_1)\). 两谱线的角间隔为

   \[\Delta\theta \simeq\frac{\Delta\lambda}{d\cos\theta_1} \simeq1.525\times10^{-5}\,\mathrm{rad}.\]

3. 焦平面上的空间间隔为

   \[\Delta x\simeq f\Delta\theta \simeq0.30\times1.525\times10^{-5}\,\mathrm{m} \simeq4.57\,\mu\mathrm{m}.\]

   若以可分辨间隔的倒数估计记录分辨率, 接收屏所需分辨线数约为

   \[\frac{1}{\Delta x} \simeq2.2\times10^2\,\mathrm{line/mm}.\]

4. 光栅记录材料至少应能记录 \(300\,\mathrm{line/mm}\) 的结构, 与接收屏分辨谱线的要求不同.

4.4 Two-Dimensional Gratings

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Proposition 二维 Fraunhofer 衍射. 周期分别为 \(d_1,d_2\), 单元数为 \(N_1,N_2\),

\[\delta_x=\frac{2\pi d_1\sin\theta_1}{\lambda}, \qquad \delta_y=\frac{2\pi d_2\sin\theta_2}{\lambda}\]

远场振幅为二维结构因子的乘积:

\[\begin{aligned} \tilde U(\theta_1,\theta_2) &=\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \sum_{q=0}^{N_2-1} \sum_{p=0}^{N_1-1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(p\delta_x+q\delta_y)} &&\\ &=\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N_1-1)\beta_1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N_2-1)\beta_2} \frac{\sin N_1\beta_1}{\sin\beta_1} \frac{\sin N_2\beta_2}{\sin\beta_2}, \end{aligned}\]

\[\beta_1=\frac{\pi d_1\sin\theta_1}{\lambda}, \qquad \beta_2=\frac{\pi d_2\sin\theta_2}{\lambda}.\]

这里 \(\sin\theta_1,\sin\theta_2\) 是观察方向沿两个孔径轴的横向方向余弦. 主极强方向由二维结构因子给出:

\[\begin{cases} d_1\sin\theta_1=m\lambda,\\ d_2\sin\theta_2=n\lambda, \end{cases} \qquad m,n=0,\pm1,\pm2,\cdots\]

两式还须共同满足 \((m\lambda/d_1)^2+(n\lambda/d_2)^2\leq1\), 才有实数纵向波数; 单元因子为零时该级缺失. 固定另一横向方向余弦, 远离传播截止且主峰足够窄时, 对应近似半角宽度分别为

\[\Delta\theta_{1m} \simeq\frac{\lambda}{D_1\cos\theta_{1m}}, \qquad \Delta\theta_{2n} \simeq\frac{\lambda}{D_2\cos\theta_{2n}},\qquad D_i\equiv N_id_i.\]

4.5 X-Ray Diffraction

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Proposition Bragg 公式. 对间距为 \(d\) 的平行晶面族, 单色平行 X 射线以掠射角 \(\theta\) 入射. 按反射定律方向散射时相干增强条件为

\[2d\sin\theta=m\lambda,\qquad m=1,2,\cdots\]

并非任意波长都能满足 Bragg 条件.

Remark 观察 X 射线衍射的两种方法.

• Laue method: 用连续谱 X 射线照射单晶, 当某些允许晶面的 Bragg 波长落在光源谱宽内, 且结构因子不消光时, 得到 Laue 斑点.
• Debye method: 用单色 X 射线照射粉末, 形成 Debye 环.

Remark 粉末衍射(powder diffraction). 对粉末衍射给出的衍射角, 先通过 Bragg 条件得到

\[\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\lambda}{2d_{hkl}}, \qquad d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}\]

这里 \(\alpha=2\theta\) 为总散射角, 该式按一阶 Bragg 反射写出, \(\mathbf{G}=\mathbf{G}_{hkl}\). \(\mathbf{G}\) 的形式根据具体晶系确定, 晶体基元还可使某些反射消光.

Remark 比较二维 Fraunhofer 衍射, 共面衍射和三维晶体衍射.

1. 二维 Fraunhofer 衍射: 远场复振幅为屏函数 \(t(x,y)\) 的二维 Fourier 变换.

2. 共面衍射: 周期结构与入射、出射光线同在一个平面, 需同时有横向和深度方向相干. 级次比普通二维衍射更受限制.

3. 三维晶体衍射: 散射矢量必须等于倒易晶格矢量

   \[\mathbf{k}_s-\mathbf{k}_i=\mathbf{G}_{hkl}.\]

   对 \(\mathbf{G}_{hkl}\) 本身, 等价于 \(2d_{hkl}\sin\theta=\lambda\); 若把同一晶面族的第 \(m\) 级单独编号, 则散射矢量应为 \(m\mathbf{G}_{hkl}\), 对应 \(2d_{hkl}\sin\theta=m\lambda\). 三维条件最多, 衍射斑选择性最强.

5 Fourier Optics

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5.1 Transmission Functions

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Definition 屏函数.

\[\tilde t(x,y)=t(x,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(x,y)}.\]

• 若 \(\varphi(x,y)\approx\mathrm{const}\), 只有振幅函数 \(t(x,y)\) 起作用, 称为振幅型衍射屏.

• 若 \(t(x,y)\approx\mathrm{const}\), 只有相位函数 \(\varphi(x,y)\) 起作用, 称为相位型衍射屏.

  常见的有线性因子的棱镜型, 和二次型的透镜型.

• 若振幅和相位都随 \((x,y)\) 变化, 则为相幅型衍射屏.

Definition 窗函数. 实际光学元件都有有限孔径, 因而屏函数通常等于理想变换函数与窗函数的乘积

\[t_w= \begin{cases} 1, & \text{窗口内},\\ 0, & \text{窗口外}. \end{cases}\]

当窗口较小时, 有限孔径本身会引入衍射效应.

5.2 Fourier Transforms and Fraunhofer Diffraction

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Definition 周期屏函数的 Fourier 展开. 对周期屏函数, 取周期为 \(d\), \(f_n=n/d\); 透过率可写成 Fourier 级数

\[t(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(2\pi f_nx)+b_n\sin(2\pi f_nx)] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi f_nx}\]

理想无限周期屏的 Fourier 变换按分布意义为离散 Delta 谱. 实际有限窗会把谱点展宽为窗函数的 Fourier 变换, 不应把有限光栅的主峰看成无宽度的点.

Definition 非周期屏函数的 Fourier 积分. 非周期屏函数可以用 Fourier 积分表示:

\[g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} G(f)\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi fx}\,\mathrm{d}f \Longleftrightarrow G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi fx}\,\mathrm{d}x.\]

这里 \(f\) 按每单位长度的周期数计量, 因而正、逆变换都不含 \(1/\sqrt{2\pi}\); 角空间频率 \(q=2\pi f\) 才使用另一套归一化. 取 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\). 对可积且频谱可积的函数, 逆变换在连续点逐点成立; 更一般的有限能量场按 \(L^2\) 意义理解. 此时频谱面上是连续的频谱图.

Remark 对宽度为 \(a\)、高度为 \(A\) 的矩形函数, 连续频谱包络为 \(G(f)=Aa\,\operatorname{sinc}(\pi fa)\).

常用远场分频装置是透镜. 后焦面衍射斑与图像空间频率一一对应, 即图像的 Fourier 频谱面, 也称 Fourier 面; Fraunhofer 衍射斑称为谱斑.

5.3 Sinusoidal Gratings

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Remark 余弦光栅的制备. 两束平面波的入射角为 \(\theta_1,\theta_2\), 在干板上干涉时, 条纹强度可写成

\[I(x,y)=I_0[1+\gamma\cos(2\pi fx+\phi_0)], \qquad f=\frac{\sin\theta_1-\sin\theta_2}{\lambda}.\]

对薄振幅光栅, 在记录材料的线性工作区内, 显影、定影后的振幅透过率(非强度透过率)与曝光量近似成线性关系. 曝光时间固定时可写为:

\[t(x,y)=\alpha+\beta I(x,y) =t_0+t_1\cos(2\pi fx+\phi_0).\]

Proposition 单一余弦光栅的衍射. 设平面波正入射, 经过余弦光栅后

\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=\tilde U_0+\tilde U_{+1}+\tilde U_{-1}\\ \tilde U_0 &=A_1t_0\\ \tilde U_{+1} &=\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi fx+\phi_0)} =\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\sin\theta_{+1}x+\mathrm{i}\phi_0} &&\sin\theta_{+1}=f\lambda \\ \tilde U_{-1} &=\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(2\pi fx+\phi_0)} =\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\sin\theta_{-1}x-\mathrm{i}\phi_0} &&\sin\theta_{-1}=-f\lambda. \end{aligned}\]

对理想无限光栅, 三项分别表示 \(0\) 级及横向波数为 \(\pm2\pi f\) 的分量; 只有 \(|f|\lambda\leq1\) 时, \(\pm1\) 级才有实数传播方向. 有限孔径使各谱分量展宽. \(\pm1\) 级衍射斑的方位角与余弦光栅的空间频率一一对应.

• Remark 组合规则. 余弦光栅的组合只需看透过率中的空间频率:

  • 透过率相加时, 频谱就是各空间频率分量并列出现.
  • 密接薄屏相乘时, 三角函数乘积会产生和频、差频分量.

  每个正空间频率 \(f\) 的余弦分量在 \(f\lambda\leq1\) 时对应一对传播方向 \(\sin\theta=\pm f\lambda\); 超过截止时为隐失分量.

5.4 Talbot Self-Imaging

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Definition Talbot effect. 单色平面波垂直照射周期性物体时, 在物体后方某些距离处可重新出现周期图样, 称为光栅自成像或 Talbot 效应.

对周期为 \(d\) 的一维光栅, 衍射级满足

\[\sin\theta_m=m\frac{\lambda}{d}, \qquad m=0,\pm1,\pm2,\cdots\]

采用空间相因子 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\) 时, 第 \(m\) 级相对零级的相位差为 \(k_0z(\cos\theta_m-1)\); 其相位落后量记为

\[\Delta\varphi_m =k_0z(1-\cos\theta_m), \qquad k_0=\frac{2\pi}{\lambda}.\]

若要求相位重新相干, 有 \(k_0z(1-\cos\theta_m)=2\pi n\), 即

\[z_{n,m} =n\frac{\lambda}{1-\cos\theta_m} =n\frac{\lambda} {1-\sqrt{1-\left(m\lambda/d\right)^2}} \approx n\frac{2d^2}{m^2\lambda}.\]

若 \(\pm1\) 级存在, 按所有整数 Fourier 级次共同复相得到通常采用的 Talbot 距离

\[z_T=\frac{2d^2}{\lambda}.\]

在傍轴近似下, 所有有显著振幅的级次均满足 \(|m|\lambda/d\ll1\) 时, \(z_T\) 使它们复相:

\[z_T\simeq z_{1,\pm1}\simeq z_{4,\pm2}\simeq z_{9,\pm3}\simeq\cdots.\]

这是 Fresnel 近似下的复相; 非傍轴级次的精确纵向波数不再与 \(m^2\) 成正比, 因而一般不能同时严格复相. 在 \(z_T\) 的整数倍处出现原周期自成像; 在分数倍位置可出现平移或反相的子像.

5.5 Evanescent Waves

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Definition 隐失波. 对余弦型结构, 空间频率 \(f\) 对应一对 \(\pm1\) 级平面波. 其衍射角满足

\[\sin\theta_{\pm1}=\pm f\lambda=\pm \frac{f}{f_c}, \qquad f_c=\frac{1}{\lambda}.\]

\(f_c\) 为载波频率.

• 对 \(f\geq0\), 当 \(f\lt f_c\) 时, \(\pm1\) 级衍射波可以作为传播平面波离开衍射屏.
• 当 \(f=f_c\) 时为掠射截止, \(k_z=0\), 不向 \(z>0\) 输送法向功率.
• 当 \(f>f_c\) 时, 不存在实数传播角. 故超精细(超高频)结构对应衍射隐失波; 有符号频率时判断条件为 \(|f|>f_c\).

设 \(+1\) 级波写成

\[U_{+1}(x,y,z)=A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_xx+k_yy+k_zz)}, \qquad k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2 =\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 =(2\pi f_c)^2.\]

在 \(z=0\) 的衍射屏面上, 余弦光栅 \(\cos(2\pi fx)\) 调制要求

\[U_{+1}(x,y,0)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi fx}, \qquad k_x=2\pi f,\quad k_y=0.\]

当 \(f>f_c\) 时, \(k_z=\sqrt{k_0^2-(k_x^2+k_y^2)}=2\pi\sqrt{f_c^2-f^2}=\mathrm{i}k'_z\). 于是

\[U_{\pm1}(x,y,z) =A\mathrm{e}^{-k'_zz} \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}2\pi fx}.\]

只存在于衍射屏附近. 有效深度为

\[z_e=\frac{1}{k'_z},\]

其值为 \(z_e=[2\pi\sqrt{f^2-f_c^2}]^{-1}\). 接近传播截止时可远大于波长, 极高频时则远小于波长, 不能统一取为一个波长.

5.6 Abbe Imaging and Spatial Filtering

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Postulate Abbe 成像原理.

1. 分频: 物为一系列不同空间频率的集合. 相干入射光经过物平面后发生 Fraunhofer 衍射. 物的空间频率成分被分到频谱面(物镜后焦面)上不同位置的衍射光斑.
2. 合成: 频谱面上的衍射光斑作为次波源, 在像面上再叠加成像.

Remark 前节讨论介质中的传播截止; 本节讨论系统有限孔径造成的通带限制. 正入射相干照明下, 有限孔径成像系统对场振幅起低通滤波作用. 空气中的傍轴系统截止空间频率为

\[f_M=\frac{\sin\theta_M}{\lambda} \simeq\frac{D}{2F\lambda}.\]

这里 \(D\) 为孔径直径, \(F\) 为焦距. 对正入射照明的周期物体, 若周期小于 \(1/f_M\), 非零衍射级不能通过. 这不是任意两点或任意照明条件下的统一分辨率公式; 非相干强度成像的传递函数是瞳函数的自相关, 截止频率可达 \(2\mathrm{NA}/\lambda_0\).

Definition 空间滤波. 在频谱面上放置合适光阑就可以实现滤波.

Remark 以黑白光栅为物时, 放行更多远离中心高级次则边缘更锐利.

5.7 Optical Information Processing

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Definition 4f 系统. 光信息处理常采用 \(4f\) 系统. 物平面坐标为 \((x,y)\), 第一透镜后焦面为频谱面 \((u,v)\), 第二透镜后的像平面为 \((x',y')\). 在傍轴近似下, 频谱面坐标与物平面空间频率满足

\[u=F\lambda f_x,\qquad v=F\lambda f_y.\]

同理, 第二次 Fourier 变换把频谱面上的空间频率映射到像平面:

\[x'=F\lambda f_u,\qquad y'=F\lambda f_v.\]

两片等焦距透镜依次完成两次同号 Fourier 变换, 无滤波时得到倒像 \(U_I(x',y')\propto U_o(-x',-y')\). 下文移位运算均相对于这个未滤波像定义; 若把像面坐标反向, 也可用一次正变换与一次逆变换描述同一系统. Remark 频谱面调制的两类作用. 频谱面调制可以改变频谱振幅, 也可以改变频谱相位.

1. 改变振幅时, 可实现选频、低通、高通或边缘增强;
2. 改变相位时, 可通过移位副本的相干叠加实现图像相加、相减或微分近似.

Example 显色滤波. 黑白底片由不同取向的透射光栅区域组成.

Solution

1. 用白光照明时, 每个光栅区域在频谱面上沿自身空间频率方向产生色散谱线.
2. 在频谱面放置滤波器, 对某一方向的谱线只保留一种颜色, 则像面上对应的物面区域就显示为该颜色.

不同光栅取向把谱线放在不同方向, 谱点位置由本节开头的坐标变换确定. 滤波器选择方向与波长; 中央零级光同时影响像的背景. 颜色仅为示意, 白光中互不相干的不同波长应叠加强度, 不能直接把复振幅相加.

Example 图像加减运算. 在频谱面上插入余弦光栅

\[t(u)=t_0+t_1\cos(2\pi f_0u+\phi_\Delta),\]

可使原图像产生 \(0,\pm1\) 级副本.

Solution 使用本节开头的频谱面坐标对应关系.

• 若滤波前频谱为 \(\mathscr{F}(f_x,f_y)\), 插入光栅后 \(\mathscr{F}'(f_x,f_y)=\mathscr{F}(f_x,f_y)t(u,v)\). 用余弦指数展开并回到像平面, 可得到

  \[\begin{aligned} U'_I(x',y') &=t_0U_I(x',y') +\frac{1}{2}t_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\Delta} U_I(x'-Ff_0\lambda,y')\\ &\quad+\frac{1}{2}t_1\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_\Delta} U_I(x'+Ff_0\lambda,y'). \end{aligned}\]

• 若输入面上有两幅待比较图像 \(A\) 和 \(B\), 且它们在像面上的位置原本相差 \(2b\), 则频谱面余弦光栅会分别给 \(A\) 和 \(B\) 产生 \(0,\pm1\) 级移位副本. 选择光栅空间频率使一级移位量满足 \(Ff_0\lambda=b\), 就可使 \(A\) 的 \(+1\) 级副本与 \(B\) 的 \(-1\) 级副本在像面上重叠. 也就是要求

  \[d_{AB}=2b=2Ff_0\lambda,\]

  此时 \(A_{+1}\) 与 \(B_{-1}\) 在像面上重叠. 重叠场可写成

  \[U_{ABI} =\frac{1}{2}t_1 \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\Delta}U_{AI} +\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_\Delta}U_{BI} \right],\]
  • 当 \(\phi_\Delta=2m\frac{\pi}{2}\) 时得到图像相加; 当 \(\phi_\Delta=(2m+1)\frac{\pi}{2}\) 时得到图像相减.
  • 若把光栅沿 \(+u\) 平移 \(\Delta u\), 即 \(t(u)\to t(u-\Delta u)\), 则 \(\Delta\phi_\Delta=-2\pi f_0\Delta u\), 因此可以通过移动频谱面光栅在算法之间切换.

Example 图像微分运算. 图像微分可以看作微小位移下的特殊图像相减:

\[\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} =\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.\]

Solution 在频谱面放入两组接近的斜向余弦光栅:

\[\begin{aligned} t(u,v) &=t_0+t_1\cos[2\pi f_1(u+v)+\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}]\\ &\quad+t_1\cos[2\pi f_2(u+v)+\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}]. \end{aligned}\]

若 \(\Delta f=|f_1-f_2|\ll f_1,f_2\), 则 \(f_1(+1,+1)\) 与 \(f_2(+1,+1)\) 两个像几乎重叠. 当相位差满足

\[(\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}) -(\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}) =(2m+1)\pi,\]

叠加项近似为

\[U_I(x'+\delta x',y'+\delta y')-U_I(x',y'), \qquad (\delta x',\delta y')=(F\lambda\Delta f,F\lambda\Delta f).\]

在只选取这两个相减副本、移位量小于图像变化尺度并除去共同幅度和位移后, 该差分除以 \(F\lambda\Delta f\) 近似 \((\partial_{x'}+\partial_{y'})U_I\), 即对角方向的场振幅微分. 探测到的是其模平方, 可突出这一方向上的边缘.

• 当相位差为 \(2m\pi\) 时, 两个近邻像相加, 边缘反而变模糊.

• 由于

  \[(\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}) -(\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}) =-2\pi(f_2-f_1)(\Delta u+\Delta v),\]

  这里把两光栅的初始相位差取为零, 并把上式理解为共同平移引起的相位差变化. 移动光栅即可在相减与相加之间调节; 其他级次若未滤除, 还会给出额外图像背景.

5.8 Zernike Phase Contrast

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Definition 零级谱斑相位板. 对一维透明相位物 \(\tilde U_o(x)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(x)}\), 在零级谱斑上放置相位板, 使零级谱斑相移 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\), 透过率为 \(\tau\), 即 \(c_0\to c_0\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\). 新像场为

\[\tilde U'_I(x') \propto \tilde U'_o(x) =c_0\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta} +\sum_{n=-\infty,\ n\ne0}^{+\infty} c_n\exp(\mathrm{i}2\pi f_nx) =c_0(\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}-1) +\tilde U_o(x).\]

选取整体相位使 \(c_0\) 为实数, 并相应从 \(\phi\) 中减去这一背景相位, 则光强为

\[\begin{aligned} I'_I(x') &=\tilde U'_I(x')\tilde U_I'^*(x') \propto (c_0^2+A^2+c_0^2\tau^2-2c_0^2\tau\cos\delta)\\ &+2c_0\tau A[\sin\delta\sin\phi(x') +\cos\delta\cos\phi(x')] -2c_0A\cos\phi(x'). \end{aligned}\]

要得到近似线性的相位读出, 进一步取:

• 弱相位条件 \(|\phi(x')|\ll1,c_0\simeq A\), 即 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\simeq1+\mathrm{i}\phi\).
• 零级相移 \(\delta\simeq\frac{\pi}{2}\).
• 此线性强度公式还要求 \(|\phi|\ll\tau\); 过度衰减零级使二次项不可忽略, 不能据线性式无限提高衬比度.

于是

\[I'_I\propto c_0^2\tau^2 +2c_0^2\tau\phi(x') \propto \tau^2+2\tau\phi(x')\]

所以相对于背景的相位分布被转化为一阶强度变化.

Remark 相衬显微镜用零级光与散射光干涉, 读取透明弱吸收、弱相位物体的相位变化. 普通理想合焦成像没有一阶强度变化; 将零级相移改为 \(-\pi/2\) 可反转上述线性项的符号. 完全遮去零级会丢失一阶强度信号, 因而不能用无限衰减零级来提高线性衬比度.

左图为弱相位场的零级与散射分量; 右图的正负号表示两种相衬片的备选相移, 不是同时存在的两束散射光. 负相衬情形可把整个场乘以共同相位 \(-1\), 从而统一写成 \(\mathrm{i}\tau\pm\mathrm{i}\phi\). 箭头长度不表示实际幅度比例.

Example 洋葱表皮细胞

1. 洋葱表皮没有光吸收, 可以看做纯相位型的衍射屏, 为何在显微镜视场中细胞壁仍然呈现浅灰色?
2. 说明增加相衬片后零级和高级斑的电场矢量变化, 以及导致的在像面上零级斑和高级斑叠加的改变, 分为细胞外的区域 A, 横跨边缘区 B 和中心区 C 讨论. 并说明图像是细胞整体亮度改变从而和背景有所区分还是边缘改变亮度?
3. 请说明要获得衬比度为 1 的最佳的图像, 应当如何设计相衬片? 如何使相衬图像亮暗颠倒?

Solution

1. 完全合焦、无像差、对称实瞳的弱纯相位成像没有一阶强度衬比. 实际可见的灰度可来自离焦、像差、散射、微弱吸收或较强相位的高阶项; 有限孔径本身并不必然产生一阶相位衬比.
2. 理想相衬模型中, A 区为背景, C 区只要相位不同于背景就可有整体亮度变化, B 区连接两者. 不能把均匀细胞内部等同于全场零频分量. 实际相衬环的有限宽度还会引入晕边和内部衬比减弱, 效果依赖物体尺度与照明.
3. 衬比度达到 1 要求某处出射振幅完全相消. 应使用完整复振幅式同时匹配零级的幅度和相位; 当 \(\tau\) 与 \(|\phi|\) 同量级时须保留 \(\phi^2\) 项, 单靠线性衬比公式不能确定最佳相衬片. 零级光的相移由 \(+\pi/2\) 改为 \(-\pi/2\), 即正相衬/负相衬互换.

相衬显微镜不需要对标本染色, 因而可避免染色过程引起的结构改变, 也能观察某些不易染色的透明标本.

6 Holography

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6.1 Recording and Reconstruction

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6.1.1 Recording

全息记录的基本思想是干涉记录+衍射再现.

取同频、共同偏振且在曝光时间内相对相位稳定的物光波 \(\tilde O\) 与参考光波 \(\tilde R\). 在全息干板 \(H\) 上的相干光

\[\begin{aligned} \tilde U_H(x,y) &=\tilde O(x,y)+\tilde R(x,y)\\ I_H(x,y) &=\tilde U_H\tilde U_H^* =(\tilde O+\tilde R)(\tilde O^*+\tilde R^*)=|\tilde O|^2+|\tilde R|^2+\tilde R^*\tilde O+\tilde R\tilde O^* \end{aligned}\]

在薄振幅全息图的线性记录近似下, 显影、定影后的振幅透过率与固定曝光时间的相干光强近似成线性关系:

\[\tilde t_H(x,y) =t_0+\beta I_H(x,y) =t_0+\beta[|\tilde O|^2+|\tilde R|^2] +\beta \tilde R^*\tilde O +\beta \tilde R\tilde O^*\]

全息图本质上是一张干涉图, 同时包含物光波前和其共轭波前的信息. 之后用照明光照射该全息图时, 可通过衍射再现物光波前及其共轭波前.

6.1.2 Reconstruction

用一准单色光波 \(\tilde R'\) 照射全息图, 产生的衍射场为

\[\tilde U'_H(x,y) =\tilde t_H(x,y)\tilde R' =\tilde T_1\tilde R' +\tilde T_2\tilde O +\tilde T_3\tilde O^*\]

其中系数

\[\tilde T_1 =t_0+\beta[|\tilde O|^2+|\tilde R|^2], \qquad \tilde T_2 =\beta\tilde R'\tilde R^*, \qquad \tilde T_3 =\beta\tilde R'\tilde R\]

三项通常称为 \(0\) 级、物光再现级和共轭再现级. 零级项中 \(|\tilde O|^2\) 一般随位置变化, 并非严格只有一束均匀照射波; 在强而均匀的参考光近似下它才主要表现为未偏转的背景光.

“物光再现”描述波前是否恢复, 不等同于实像. 对发散物光, 原波前再现通常给出虚像, 共轭波则可能在观察侧会聚为实像; 像的位置由二次相位的曲率符号决定.

6.1.3 Illumination Configurations

• 若照明光和参考光是正入射的全同平面光, 取 \(\phi'_R=\phi_R=0\), 于是

  \[\tilde T_2\tilde O=\beta A'_RA_R\tilde O,\qquad \tilde T_3\tilde O^*=\beta A'_RA_R\tilde O^*\]

  分别是真实再现的物光波前和伴生的物光共轭波前.

  

  正入射平面参考光的物光支与共轭支.

• 若照明光和参考光是斜入射的全同平面光, 则 \(\phi'_R=\phi_R\) 为线性相因子. 此时

  \[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\phi_R}.\]

  \(\tilde T_2\tilde O\) 给出物光波前真实再现, 而 \(\tilde T_3\tilde O^*\) 中的线性相因子等效于棱镜, 使共轭波发生偏转.

  

  离轴平面参考光再现.

  共轭支的横向波矢由两倍参考光横向分量减去物光横向分量决定. 小角度偏转按傍轴近似理解, 输出角谱还须满足传播条件. 图中级次标记与正文约定可能不同, 两支再现波按相位项区分.

• 若照明光和参考光是全同球面光, 则在傍轴近似下 \(\phi'_R=\phi_R\) 为二次相因子. 以下还把孔径内缓慢变化的球面波振幅近似为常数. 因而

  \[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\phi_R}.\]

  物光相位波前恢复, 幅度还乘以参考波的包络; 在上述振幅近似下为物光波前真实再现. 共轭波则受到一个等效透镜作用, 可能发生放大、缩小和偏转, 也可能由实像变成虚像.

  

  全同球面参考光再现; 像位与放大率取决于物光和参考光曲率.

• 若照明光和参考光是共轭球面光, 即 \(\phi'_R=-\phi_R\) 为二次相因子, 则

  \[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\phi_R}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}.\]

  此时物光波前受到等效透镜作用, 可能放大、缩小和偏转, 也可能由虚像变成实像. 共轭波相位恢复; 若原物光发散、再现波长相同且振幅包络按上面的近似处理, 则共轭波会聚为实像.

  

  共轭球面照明再现.

  Remark 图中“原生 +1 级像”与本文级次约定不同. 本文按 \(\tilde T_2\tilde O\) 和 \(\tilde T_3\tilde O^*\) 分别定义 \(+1\) 与 \(-1\) 再现波; 应以相位项和传播方向判断成像.

Remark

比较项	普通照相	全息照相
记录	镜头在底片或探测器上形成物体的像, 记录像面光强, 相位信息基本丢失	物光与相干参考光在记录面干涉, 交叉项编码物光振幅与相位
再现与观察	不恢复原波前, 立体感主要来自透视与明暗线索	参考光或相近照明使全息图衍射再现物光及共轭波前, 可观察三维像、视差与景深

• 对各物点的物光均覆盖全息片的常见漫射物记录, 全息图板部分缺失后, 剩余区域仍可再现物体的整体像. 若某些物点因遮挡或照明几何未照到剩余区域, 则不能保证再现这些点. 但碎片面积变小等效于孔径变小, 通光量降低、像变暗, 分辨率下降, 噪声和散斑相对更明显, 可观察视角和视场也变小.

6.2 Image Position and Magnification

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Assumption 傍轴设定. 设物点、参考点光源和照明点光源分别为

\[O(x_0,y_0,-z_0),\qquad R(x_1,y_1,-z_1),\qquad R'(x',y',-z').\]

记录波长为 \(\lambda_1\), 再现照明波长为 \(\lambda_2\). 以下在同一外部介质中按薄全息图处理, \(z_0,z_1,z'\neq0\), 正值表示点源在 \(z\lt0\) 一侧; 负值可表示片上会聚波的有符号曲率. 孔径远小于各源距离, 忽略缓变振幅及与 \((x,y)\) 无关的整体相位. 傍轴物光、参考光和照明光分别可写成二次相因子形式:

\[\begin{aligned} \tilde O &=A_O\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_1} \left(\frac{x^2+y^2}{2z_0} -\frac{x_0x+y_0y}{z_0}\right) \right],\\ \tilde R &=A_R\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_1} \left(\frac{x^2+y^2}{2z_1} -\frac{x_1x+y_1y}{z_1}\right) \right],\\ \tilde R' &=A'_R\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_2} \left(\frac{x^2+y^2}{2z'} -\frac{x'x+y'y}{z'}\right) \right]. \end{aligned}\]

将这些相因子代入 \(\tilde T_2\tilde O=\beta\tilde R'\tilde R^*\tilde O\) 与 \(\tilde T_3\tilde O^*=\beta\tilde R'\tilde R\tilde O^*\), 可由二次项和线性项读出再现点位置(不考虑全息片性质变化)

• Remark 物光再现. 记

  \[D_+=z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(z_1z'-z_0z').\]

  \(+1\) 级物光再现点为

  \[\begin{aligned} x_{+1} &=\frac{x'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(x_0z_1z'-x_1z_0z')} {D_+},\\ y_{+1} &=\frac{y'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(y_0z_1z'-y_1z_0z')} {D_+},\\ z_{+1} &=-\frac{z_0z_1z'}{D_+}. \end{aligned}\]

  物光再现的横向放大率为

  \[V_{+1}\equiv \frac{\Delta x_{+1}}{\Delta x_0} =\frac{\Delta y_{+1}}{\Delta y_0} =\frac{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}z_1z'}{D_+}.\]

• Remark 共轭再现. 记

  \[D_-=z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(z_0z'-z_1z').\]

  \(-1\) 级物光共轭再现点为

  \[\begin{aligned} x_{-1} &=\frac{x'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(x_1z_0z'-x_0z_1z')} {D_-},\\ y_{-1} &=\frac{y'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(y_1z_0z'-y_0z_1z')} {D_-},\\ z_{-1} &=-\frac{z_0z_1z'}{D_-}. \end{aligned}\]

  物光共轭波再现的横向放大率为

  \[V_{-1}\equiv \frac{\Delta x_{-1}}{\Delta x_0} =\frac{\Delta y_{-1}}{\Delta y_0} =\frac{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}z_1z'}{D_-}.\]

• Remark 特例.

  若 \(D_+=0\) 或 \(D_-=0\), 对应分支的二次相位曲率为零, 出射为平面波, 像位于无穷远; 此时不能把有限像点公式直接代入求值.

  • 若参考光和照明光均为正入射平面波, 即 \(z_1\to\infty,z'\to\infty\) 且 \(x_1/z_1,y_1/z_1,x'/z',y'/z'\to0\), 则

    \[\begin{aligned} x_{+1}&=x_0,\quad y_{+1}=y_0,\quad z_{+1}=-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z_0,\\ x_{-1}&=x_0,\quad y_{-1}=y_0,\quad z_{-1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z_0,\\ V_{+1}&=V_{-1}=1. \end{aligned}\]

  • 若 \(z_0=z_1=z'\), 则

    \[V_{+1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}, \qquad V_{-1}=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}.\]

Example 参考光和照明光为同一轴上球面波, 物光曲率半径为 \(d>0\), 再现波曲率半径与共轭波曲率半径的绝对值之比为 \(1:2\). 求参考波曲率.

Solution 取屏上球面波相因子 \(\exp(\mathrm{i}k\rho^2/2r)\). 同一参考波再现时, 原物光恢复; 共轭项的曲率满足

\[\frac1{d_c}=\frac2r-\frac1d.\]

若指定 \(d_c=2d\), 则 \(r=4d/3\); 若指定 \(d_c=-2d\), 则 \(r=4d\). 只给距离绝对值的比例不足以在两者间选择, 还需说明共轭波是发散还是会聚.

6.3 Types of Holograms

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Definition 同轴与离轴全息.

• 共轴全息中物光与参考光近似沿同一轴线记录, 再现时物光与共轭光容易沿同轴方向混在一起.
• 离轴全息使参考光相对物光倾斜入射, 在频谱或再现空间中把不同级次分开, 因而更便于分离真实像、共轭像与零级项.

Definition 薄全息与体全息.

• 薄全息图的感光层很薄, 干涉条纹主要分布在表面层, 可近似看成二维光栅. 它通常要求单色光记录并用单色光再现; 若用白光照射, 再现像的纵向位置、横向位置和放大率随波长变化, 各色光的 \(+1\) 级衍射波混杂, 图像变得模糊.

• 体全息图的记录介质足够厚, 干涉强度在介质体内形成三维分布. 例如设两束记录光为 \(\tilde U_1=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz},\tilde U_2=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(x\sin\theta+z\cos\theta)}\). 干涉场强度为

  \[\begin{aligned} I(x,y,z) &=(\tilde U_1+\tilde U_2)(\tilde U_1+\tilde U_2)^*\\ &=2A^2\{1+\cos[k(\sin\theta\cdot x+(\cos\theta-1)z)]\}. \end{aligned}\]

  线性冲洗后, 三维光强分布转化为吸收系数或折射率呈周期分布的 Bragg 面族.

  

  正文的 \(d\) 是相邻 Bragg 面的法向间距, 不能把截图中的竖直线段直接当作 \(d\). \(\beta\) 是面族相对 \(z\) 轴的倾角; 波长与两记录波的夹角均在记录介质内取值.

  设 \(\lambda_0=2\pi/k\) 为记录介质内的波长, \(\theta\) 为两记录波在介质内的夹角. 面间距和倾角为

  \[d=\frac{\lambda_0}{2\sin(\theta/2)}, \qquad \beta=\frac{\theta}{2}.\]

  对照射光 \(\tilde R'\) 来说, 体全息图就是三维光栅, 衍射主极强满足 Bragg 方程

  \[2d\sin\alpha=m\lambda,\qquad m=1,2,\cdots,\]
  • 考虑白光沿 \(+z\) 正入射, \(\alpha=\beta=\theta/2\), 此时 \(\lambda_0=m\lambda,\lambda=\lambda_0/m\), 两个波长均在介质内取值. 若记录与再现的折射率相同, 相应真空波长也按相同比例选取. 例如记录真空波长为 \(500\,\mathrm{nm}\), 在上述不变折射率和 \(m=1\) 的条件下, 匹配的再现真空波长仍为 \(500\,\mathrm{nm}\); 有限厚度给出有限波长带宽, 不是绝对单色选择. 这给出体光栅的波长选择性, 但不保证任意体全息图都可用任意白光源清晰再现. 白光再现还要求合适的参考几何和照明角谱; 高阶 Bragg 几何条件也不保证该级有显著耦合, 例如弱正弦折射率调制通常以一阶耦合为主.

Example 体相全息底板, 氦氖激光(633 nm)记录. 记录介质体积各向同性收缩到原来的 80%. 再现光为正入射的白光(380-760 nm). 问再现的像为什么颜色? 再现像和共轭像的位置和横向放大率?

Solution

1. 线缩比为 \(\eta=0.8^{1/3}=0.928\). 假设收缩不改变折射率、再现入射方向与记录参考光相同且选取同一 Bragg 级, 波长满足 \(\lambda'=\eta\lambda_0\approx588\ \mathrm{nm}\), 为黄色附近. 若折射率改变, 还须乘以再现与记录折射率之比.
2. 仅凭体积缩比不能唯一确定两像的位置与放大率, 还需物光、参考光、照明光的几何条件. 作为特例, 对正入射平面参考光与平面再现光, 横向缩放后的二次相位为 \(k_0[(x/\eta-x_0)^2+(y/\eta-y_0)^2]/(2z_0)\). 结合 \(k'=k_0/\eta\), 两个形式再现点为 \((\eta x_0,\eta y_0,\mp\eta z_0)\), 横向放大率均为 \(\eta\), 不因纵向镜像而自动反号. 体全息的 Bragg 选择通常只让其中匹配的一支有效再现.

7 Crystal Optics

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7.1 Birefringence

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Definition 双折射现象. 在忽略吸收与旋光的线性双折射模型中, 一般入射偏振可激发两个本征模, 其能流方向可分离为两束. 沿光轴传播或只激发一个本征模时, 不出现这种双束分离. 现象: 其中一束在晶体旋转时位置基本固定, 另一束会随晶体旋转而绕固定光束转动.

• 这两束光都是线偏振光, 且在常见主平面平行情形下偏振方向互相正交.

  • \(o\) 光遵守折射定律和反射定律, 并在入射面内传播.
  • \(e\) 光的能流方向一般不服从用单一常数折射率写出的 Snell 定律. 波矢仍满足界面切向分量连续, 并结合方向相关的折射率确定折射波法线. \(e\) 光也不一定在入射面内, 因而 \(o\) 光和 \(e\) 光的偏振方向也一般不必互相垂直.

• 光在晶体中沿某一方向传播可不发生双折射, 此方向为晶体的光轴. 按光轴数目, 晶体可分为单轴晶体(方解石、石英)和双轴晶体(云母、硫磺).

  天然方解石晶体的光轴可由两个相对钝角(102度)顶点的连线方向确定.

• Definition 主截面与主平面.

  

  图示为局部主平面. \(\mathbf{D}\) 垂直自身波法线, \(e\) 光的 \(\mathbf{E},\mathbf{D}\) 在自身主平面内; 两支主平面不同, 不能由图推出任意几何下两束电场都正交.

  • 晶体主截面是光轴与晶体表面入射点法线组成的平面.

  • 在本节单轴、无旋光模型中, 光线主平面由晶体中 \(o\) 光或 \(e\) 光的波法线与光轴组成; \(e\) 光射线也位于对应主平面内. 沿光轴时该平面不唯一.

    \(o\) 光的振动方向垂直于 \(o\) 光的主平面, \(e\) 光的振动方向平行于 \(e\) 光的主平面. 因此当 \(o\) 光和 \(e\) 光的主平面相互平行时, 两束光的振动方向互相垂直.

  • 若入射面与晶体主截面重合, \(e\) 光的偏折仍在入射面内; 若二者不重合, \(e\) 光射线可能不在入射面内, 而 \(o\) 光的偏折总在入射面内.

• Definition 传播速度与主折射率.

  

  图示负单轴晶体的波前截面, 不是折射率椭球. 左图的 \(yz\) 面包含沿 \(z\) 的光轴, 两种波前沿光轴相切; 右图的 \(xy\) 面垂直光轴, 截面为不同半径的圆. 对 \(e\) 光, 波前径向射线与波前法线一般不同.

  • \(o\) 光沿各个方向折射率相同, 记为 \(n_o\), 因而传播速度也相同, 记为 \(v_o\).

  • \(e\) 光沿不同方向的折射率不同, 记为 \(n_{e\theta}\), 传播速度也随方向改变, 记为 \(v_{e\theta}\).

    • 沿光轴方向, \(e\) 光折射率与 \(o\) 光相同, 为 \(n_o\).
    • 沿垂直于光轴方向, \(e\) 光的折射率为 \(n_e\), 对应速度为 \(v_e\).

    \(n_o\) 与 \(n_e\) 称为晶体的主折射率.

• Definition 正晶体与负晶体. 单轴晶体分为:

  • 正晶体: \(v_o>v_e\), 等价地 \(n_o\lt n_e\), 例如石英.
  • 负晶体: \(v_o\lt v_e\), 等价地 \(n_o>n_e\), 例如方解石.

• \(o\) 光波前为球面, 半径与 \(1/n_o\) 成正比; \(e\) 光波前为椭球面, 两个主尺度由 \(1/n_o\) 和 \(1/n_e\) 给出. 在光轴方向上, \(o\) 光球面与 \(e\) 光椭球面相切.

  对 \(e\) 光, 波面法线方向与光线能流方向一般不同, 需要区分波面法线和光线方向.

Example 方解石(负晶体 \(n_e=1.486,n_o=1.658\)), 光轴平行于入射面

• 正入射

  

  负单轴晶体的正入射: 界面相位匹配使两支透射波的波矢切向分量为零, 波法线仍沿界面法线; 倾斜光轴下的 \(e\) 光能流方向一般偏离波法线, 而 \(o\) 光不走离. 图中的球面与椭球面为 Huygens 示意波面, 不表示测得的光束截面; 正文折射率数值用于示意, 实际数值随波长变化.

• 斜入射

  

  负单轴晶体的斜入射: 以空气中传播长度 \(\mathrm{AC}\) 对应的时间构造 Huygens 波面, \(o\) 光为半径 \(\mathrm{AC}/n_o\) 的圆, \(e\) 光椭圆沿光轴的半轴为 \(\mathrm{AC}/n_o\), 垂直光轴的半轴为 \(\mathrm{AC}/n_e\). 从界面点作切线给出折射波前, 能流方向由圆心或椭圆中心到切点的方向确定; \(e\) 光的波法线与能流需分别求出. 图中尺度和折射率为示意.

Example 石英(\(n_e=1.55,n_o=1.54\)), 光轴垂直于入射面

光轴垂直入射面的石英示意: 在本节无旋光的线性双折射模型中, 两支波法线均垂直光轴, 因而入射面内的 Huygens 截面分别为半径 \(\mathrm{AC}/n_o\) 与 \(\mathrm{AC}/n_e\) 的圆. 此几何下各支能流与自身波法线同向, \(e\) 光电场垂直图面, \(o\) 光电场位于图面内; 两支仍因主折射率不同而折射到不同方向.

石英棱镜: 使两个分量空间分开, 若探测区域不重叠就不出现交叉干涉项; 分束本身并不必然使两分量失去互相干性. 这里按线性双折射近似处理石英, 未加入其天然旋光.

7.2 Uniaxial Crystal Relations

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7.2.1 Dielectric Tensor and Eigenmodes

以下取均匀、透明、非磁性、局域线性且无旋光的介质, 介电张量为实对称张量; 讨论速度几何时忽略频率色散.

晶体光学各向异性可写为

\[\mathbf{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{E}, \qquad \begin{bmatrix} D_x\\D_y\\D_z \end{bmatrix} =\varepsilon_0 \begin{bmatrix} \varepsilon_x&0&0\\ 0&\varepsilon_y&0\\ 0&0&\varepsilon_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x\\E_y\\E_z \end{bmatrix}.\]

后者为主轴坐标系下的表示, \(\varepsilon_i\) 为相对介电常数. 对单轴晶体, \(\varepsilon_x=\varepsilon_y=n_o^2\), \(\varepsilon_z=n_e^2\), 取 \(z\) 轴为光轴.

• 对实的瞬时场, Poynting 向量为 \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}\). 对单个线偏振平面波, 时间平均能流 \(\langle\mathbf{S}\rangle\parallel\mathbf{r}\); 用复振幅时应取 \(\langle\mathbf{S}\rangle=\tfrac12\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{H}}^{*})\).
• 对同一个本征平面波, \(\mathbf{D},\mathbf{H}\perp\mathbf{k}\), 因而其叉积沿波法线 \(\mathbf{k}\parallel\mathbf{N}\); 任意多模叠加场不能直接套用这个单模方向关系.

因此 \(e\) 光中射线方向与波法线方向一般分离.

• 设光波法线方向 \(\mathbf{k}\) 与光轴 \(z\) 的夹角为 \(\theta\), 其在 \(xy\) 平面内投影与 \(x\) 轴的夹角为 \(\varphi\). 方向余弦为

  \[k_1=\sin\theta\cos\varphi,\qquad k_2=\sin\theta\sin\varphi,\qquad k_3=\cos\theta.\]

  波法线方向的球坐标: \(\theta\) 从光轴 \(z\) 量起, \(\varphi\) 从 \(xy\) 平面的 \(x\) 轴量起. 此处 \(\mathbf{k}\) 是单位方向, \(k_1,k_2,k_3\) 为方向余弦, 不含有量纲波矢的模; 沿光轴时横向投影为零, 方位角不唯一但不影响方向.

  单轴晶体中, \(o\) 光折射率为 \(n=n_o\), \(e\) 光的方向折射率满足

  \[\frac{1}{n^2} =\frac{\sin^2\theta}{n_e^2} +\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}\]

  当 \(\theta=0\) 时 \(n=n_o\); 当 \(\theta=\pi/2\) 时 \(n=n_e\).

  Proof 由轴对称性取 \(\mathbf{k}=(k_x,0,k_z)\). 平面波 Maxwell 方程给出 \(\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times\mathbf E)+(\omega/c)^2\boldsymbol\varepsilon\mathbf E=0\). \(E_y\) 模式满足 \(k^2=n_o^2(\omega/c)^2\); \((E_x,E_z)\) 的二元齐次方程有非零解要求

  \[\det\begin{pmatrix} n_o^2(\omega/c)^2-k_z^2&k_xk_z\\ k_xk_z&n_e^2(\omega/c)^2-k_x^2 \end{pmatrix}=0 \implies \frac{k_x^2}{n_e^2}+\frac{k_z^2}{n_o^2}=\left(\frac\omega c\right)^2.\]

  代入 \(k_x=(\omega/c)n\sin\theta\), \(k_z=(\omega/c)n\cos\theta\) 即得上式.

7.2.2 Ray and Wave-Normal Geometry

• 对 \(e\) 光, 令 \(\xi\) 表示射线方向与光轴的夹角, \(\theta\) 表示波法线方向与光轴的夹角. 三个主轴方向的速度为 \((v_x,v_y,v_z)=(v_e,v_e,v_o)\).

  波面扩展与射线/法向位移的完整几何见下方的 射线与波法线独立图; 保留原位移截图.

  在含光轴的截面内, \(e\) 光波面椭圆可写为

  \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1, \qquad a=v_et,\quad b=v_ot.\]

  射线速度与法向速度, 及其关系

  \[\mathbf{v}_r=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}, \qquad \mathbf{v}_N=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_N}{\mathrm{d}t}; \qquad v_N(P)=v_r(P)\cos\alpha,\qquad \alpha=\xi-\theta.\]

  这里 \(\mathbf{r}_N\) 为原点到相应波前切平面的法向支撑矢量, 其长度 \(r_N=|\mathbf{r}_N|\) 是法向支撑距离. 对固定本征传播方向的同心扩展, 将射线位移投影到波法线便得到 \(\Delta r_N=\Delta r\cos\alpha\).

  由椭圆切线斜率得到

  \[\tan\theta=-\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} =\frac{b^2x}{a^2z} =\frac{v_o^2}{v_e^2}\tan\xi =\frac{n_e^2}{n_o^2}\tan\xi.\]

  当 \(\tan\theta=\frac{n_e}{n_o}\), 即 \(\tan\xi=\frac{n_o}{n_e}\) 时, 分离角取极值. 最大分离角为

  \[\tan\alpha_{\mathrm{ext}}=\frac{n_o^2-n_e^2}{2n_on_e},\qquad |\alpha|_{\max}=\arctan\frac{|n_o^2-n_e^2|}{2n_on_e}.\]

• \(e\) 光射线速度面为旋转椭球面:

  \[\frac{1}{v_r^2(\xi)} =\frac {\cos^2\xi}{v_o^2}+\frac{\sin^2\xi}{{v_e^2}}.\]

  法向速度面为旋转卵形面:

  \[\frac{1}{n^2} =\frac{\sin^2\theta}{n_e^2} +\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}. \implies v_N^2(\theta) =v_o^2\cos^2\theta+v_e^2\sin^2\theta\]

  图中红色矢径沿射线, 绿色矢径为原点到波前切平面的垂足, 后者不必落在波前上. 下图红实线为射线速度椭圆, 绿虚线为法向速度的极坐标曲线, 两个标点对应同一 \(e\) 光模式. 图采用本节的均匀、透明、无色散、非磁性模型, 示意参数为 \(n_o=1.8,n_e=1.4,c=1\), 不代表特定材料测量.

  保留原截图.

7.2.3 Wave Surfaces and Refractive-Index Surfaces

• 一般的等相位面称为波阵面. 下式特指均匀、无色散模型中点源发出的两支 Huygens 波面, 其矢径除以传播时间给出射线速度面; 不能把它等同于任意平面波的等相位平面. 对固定 \(t>0\), 坐标按 \(ct\) 归一化后的写法为

  \[\begin{aligned} &o\text{光}&& n_o^2(x^2+y^2+z^2)=1\\ &e\text{光}&& n_e^2(x^2+y^2)+n_o^2z^2=1 \end{aligned}\]

  因此 \(o\) 光波阵面为球面, \(e\) 光波阵面为旋转椭球面.

• 这里的折射率曲面也称 \(n\) 面, 矢径沿波法线且长度等于相位折射率, 相当于在固定频率下将波矢按 \(\omega/c\) 归一化. 它不同于以 \(n_o,n_o,n_e\) 为半轴的折射率椭球(光率体). 本节的 \(n\) 面为

  \[\begin{aligned} &o\text{光} &&\frac{x^2+y^2+z^2}{n_o^2}=1,\\ &e\text{光} &&\frac{x^2+y^2}{n_e^2}+\frac{z^2}{n_o^2}=1. \end{aligned}\]

  在 \(n\) 面上, \(o\) 光对应半径为 \(n_o\) 的球面, \(e\) 光对应旋转椭球面.

7.2.4 Geometrical Constructions

对给定光波矢 \(\mathbf{K}\), 可用不同几何曲面确定本征模折射率、偏振方向和能流方向.

• 在单位时间的波阵面上, 矢径表示射线速度, 其倒数不是一般方向的相位折射率. 对给定 \(\mathbf K\), 作法线平行于 \(\mathbf K\) 的切平面; 原点到切平面的距离为 \(v_N\), 从而 \(n=c/v_N\). 原点与切点的连线给出 \(\mathbf S\) 方向.
• 在折射率曲面上, 折射率大小等于曲面矢径长度. 在含光轴的截面图中, 过 \(\mathbf{K}\) 与曲面的交点作切线, 其法线给出 \(\mathbf{S}\) 方向; 在三维中应使用该点的切平面法线. 此构造依赖单模、透明且忽略色散的假设.

7.3 Wave Plates and Polarizers

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Definition 波片. 一定厚度、光轴平行于表面的单轴晶体片.

当光垂直通过波片且光轴平行于表面时, 在晶体内分解为 \(o\) 光和 \(e\) 光. 以下忽略吸收、反射及多次内反射, 取 \(\lambda\) 为真空波长. 设波片厚度为 \(d\), 则光程差为

\[\Delta=(n_o-n_e)d,\qquad \delta=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d.\]

若 \(\delta>0\), 表示 \(o\) 光落后; 若 \(\delta\lt 0\), 表示 \(o\) 光超前.

入射光经过波片

\[\begin{cases} E_o=E_{0o}\cos\omega t\\ E_e=E_{0e}\cos(\omega t+\Delta\varphi) \end{cases} \implies \begin{cases} E_o=E_{0o}\cos\omega t\\ E_e=E_{0e}\cos(\omega t+\Delta\varphi+\delta) \end{cases}\]

因此波片不改变两分量强度, 但改变总相位差 \(\Delta\varphi_{\mathrm{out}}=\Delta\varphi+\delta\), 从而改变偏振态.

• 偏振片 + \(\lambda/4\) 波片可作为圆偏振片使用.

• 四分之一波片配合偏振片可用于区分自然光与圆偏振光、部分偏振光与椭圆偏振光.

  完全圆偏振光, 或椭圆主轴对齐波片主轴的完全椭圆偏振光, 经过 \(\lambda/4\) 波片后可变为线偏振光, 再转动检偏器可完全消光. 理想波片保持自然光不偏振, 也不改变部分偏振光的偏振度; 后者含不偏振背景, 一般不能完全消光. 仅观察明暗变化不足以区分部分偏振光与完全椭圆偏振光.

7.3.1 Jones Representation

Notation Jones 表示. 对完全偏振的准单色光:

• 采用 \(\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})\) 的时间约定;
• 按 \((o,e)\) 排列分量.

主轴坐标中的波片矩阵可取

\[\operatorname{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}),\]

整体相位不影响偏振态.

若改用 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\), 该矩阵应复共轭, 但强度公式不变.

入射线偏振与晶片光轴夹角为 \(\alpha\) 时, 两种检偏的透射比为:

• 正交检偏: \(\sin^2(2\alpha)\sin^2(\delta/2)\);
• 平行检偏: \(1-\sin^2(2\alpha)\sin^2(\delta/2)\).

因而 \(\alpha=0,\pi/2\) 时正交检偏均消光; \(\alpha=\pi/4\) 时, 半波片与四分之一波片分别给出透射比 \(1\) 和 \(1/2\).

7.3.2 Polarization Identification

Example 两个 \(P\) 和一个 \(\frac{\lambda}{2}\) 片, 一个 \(\frac{\lambda}{4}\) 片和一个圆偏振片, 用自然光和光屏将其区分开.

Solution

1. 将五个元件两两组合挡在自然光前, 旋转其中一个. 若某一对无论正反均出现完全消光, 两个元件是 \(P\).
2. 将已知的 \(P\) 放在光屏前. 拿剩下的三个未知元件逐个挡在自然光与 \(P\) 之间并旋转. 若某元件其中一面使得光屏出现明暗变化, 该元件就是圆偏振片, 此时圆偏振片放反.
3. 将剩下两个波片分别放在正交偏振片之间, 转到最大透射处, 再仅旋转末端检偏器. 半波片的出射光仍为线偏振光, 检偏器可使其完全消光; 四分之一波片在该位置产生圆偏振光, 转动检偏器时强度不变. 仅数波片转动一周时的消光次数无法区分, 因为两者在主轴对齐起偏方向时都会消光.

Example 设计方案, 利用偏振片, 半波片, \(\lambda/4\) 波片, 按需选用, 可用多片.

1. 区分圆偏振光与自然光.
2. 分别在偏振取向或光轴方向标定/未标定的情况下, 将一个长短轴未知(任意方向)的椭圆偏振光转换成为圆偏振光.

Solution

1. 圆偏振光通过四分之一波片变为线偏振光, 再旋转检偏器可完全消光. 自然光通过理想波片仍为自然光, 检偏器转动时强度不变.
2. 光轴已标定时, 先旋转检偏器找到入射椭圆的长轴, 然后移去检偏器. 将第一片四分之一波片的一条主轴对齐长轴, 两分量相位差变为 \(0\) 或 \(\pi\), 出射光成为线偏振光. 用检偏器确定这束线偏振光的方向, 移去检偏器后, 将第二片四分之一波片主轴与该方向成 \(45^\circ\), 即得圆偏振光.
3. 光轴未标定时, 先把波片放在两片正交偏振片之间, 转到完全消光以标定其两条主轴, 然后按上一步操作. 不必区分快慢轴即可得到某一旋向的圆偏振光; 若要指定旋向, 还需标定快慢轴及观察方向.

7.4 Polarization Interference

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偏振干涉装置: \(P_1\) 起偏, 晶片引入两主轴分量的相位差, \(P_2\) 将两分量投影到共同方向后干涉; 需使两分量在观察处相干并空间重合. 图示为装置透视示意, 正交或平行检偏条件以正文定义为准. 正交检偏式中的附加 \(\pi\) 来自投影符号相反, 不另算作晶片的传播相位差.

经 \(P_1\) 起偏后的振幅为 \(A_1\), 光强为 \(I_1=A_1^2\), 晶片光轴与入射偏振方向夹角为 \(\alpha\). 取传播相位差 \(\delta=2\pi(n_o-n_e)d/\lambda\), 忽略吸收、反射及多次内反射; 以下 \(\delta_\perp\) 和 \(\delta_\parallel\) 另包含检偏投影的符号.

• 当检偏器 \(P_2\perp P_1\) 时, 通过 \(P_2\) 后两束相干分量(\(\pi\) 因子是投影方向相反导致的)

  \[\begin{cases} A_{2e}=A_1\cos\alpha\sin\alpha,\\ A_{2o}=A_1\sin\alpha\cos\alpha. \end{cases} \qquad \delta_\perp=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d+\pi\]

  出射光强为

  \[\begin{aligned} I(P) &=A_{2e}^2+A_{2o}^2+2A_{2e}A_{2o}\cos\delta_\perp\\ &=\frac{1}{2}A_1^2\sin^2 2\alpha\,(1+\cos\delta_\perp). \end{aligned}\]

• 当检偏器 \(P_1\parallel P_2\) 时, 通过 \(P_2\) 后两束相干分量

  \[\begin{cases} A_{2e}=A_1\cos^2\alpha,\\ A_{2o}=A_1\sin^2\alpha, \end{cases} \qquad \delta_\parallel=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d.\]

  出射光强为

  \[\begin{aligned} I(P) &=A_{2e}^2+A_{2o}^2+2A_{2e}A_{2o}\cos\delta_\parallel\\ &=A_1^2 \left(1-\frac{1}{2}\sin^2 2\alpha +\frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\cos\delta_\parallel\right). \end{aligned}\]

  特别地, 当 \(\alpha=\pi/4\) 时, \(I(P)=\frac{1}{2}A_1^2(1+\cos\delta_\parallel)=A_1^2\cos^2\frac{\delta_\parallel}{2}\).

用传播相位差 \(\delta\) 表示, 两种透射率为

\[\frac{I_\perp}{I_1}=\sin^2(2\alpha)\sin^2\frac\delta2,\qquad \frac{I_\parallel}{I_1}=1-\sin^2(2\alpha)\sin^2\frac\delta2.\]

两者明暗互补. 半波片和四分之一波片在 \(\alpha=0,\pi/2\) 的正交检偏下都消光; 在 \(\alpha=\pi/4\) 时分别给出最大透射比 \(1\) 和 \(1/2\), 可用于波片鉴别.

7.4.1 Lyot Filter

晶片 \(C_1\) 至 \(C_6\) 的光轴相互平行, 厚度满足 \(d_m=2^{m-1}d_1\).

六级 Lyot 滤光器; 图中晶片宽度未按实际厚度比例绘制.

偏振片 \(P_1\) 至 \(P_7\) 的透振方向相互平行, 且与晶片光轴方向成 \(45^\circ\). 取 \(I_1\) 为经过 \(P_1\) 后的光强, 忽略吸收及界面反射, 并使各级两本征分量相干且空间重合. 同种晶片的相位差为

\[\delta_m=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d_m=2^{m-1}\delta_1.\]

忽略共同相位后, 单级平行检偏的振幅模比为

\[|A^{\prime}/A|=\left|\cos\frac{\delta}{2}\right|.\]

每一级后均投影到偏振片的透振方向, 因而六级总透过率为

\[\frac{I_7}{I_1} =\prod_{m=1}^{6}\cos^2\frac{\delta_m}{2} =\left[\frac{\sin(32\delta_1)}{64\sin(\delta_1/2)}\right]^2.\]

最后一步由连续使用 \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) 得到. 当 \(\sin(\delta_1/2)=0\) 时, 分式按连续极限取值为 \(1\).

在 \(\delta_1=2\pi q\), \(q\in\mathbb{Z}\) 时, 每片晶片均满足全波条件, 则 \(I_7=I_1\). 厚度逐级加倍使相邻主峰之间的零点增多, 单个透过峰变窄, 但总透过率仍是 \(\delta_1\) 的周期性函数; 这些峰在波长轴上一般不等间隔. 实际选取一条谱线时, 还需附加滤光器隔离目标峰, 可参照 Malherbe 的 Lyot 滤光器说明, 第 3–5 页.

7.4.2 Wedge Plates

晶片厚度不均匀, 形成等厚干涉. 对劈尖晶片, 厚度近似为 \(d\simeq\beta x\), 在 \(P_1\perp P_2\) 情形下,

\[\delta_\perp =\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d+\pi \simeq \frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)\beta x+\pi.\]

相邻等厚条纹间距为

\[\Delta x=\frac{\lambda}{|\beta(n_o-n_e)|}.\]

7.4.3 Convergent-Light Interference

会聚光入射时, 不同方向具有不同倾角 \(\theta\)、方位角及本征相位差. 在两正交本征分量重叠、损耗忽略且可等效为纯波片的近似下, 每个方向仍可用正交偏振系统公式; 其中 \(\alpha\) 为该方向本征轴与起偏方向的夹角, \(\delta(\theta)\) 表示固定方位角下的相位差:

\[I(\delta,\theta) =A_1^2\sin^2(2\alpha) \sin^2\frac{\delta(\theta)}{2}.\]

7.5 Optical Activity and Faraday Rotation

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Definition 旋光性. 若光在旋光率为 \(\alpha\) 的旋光物质中传播距离为 \(d\), 振动旋转角为 \(\varphi=\alpha d\).

在圆偏振为本征模、两旋向吸收相同且可忽略线性双折射的情况下, 线偏振光可分解为等振幅的左右圆偏振分量. 以下 \(\lambda\) 为真空波长; 晶体一般方向若同时存在线性双折射, 两本征模不必是圆偏振, 不能仅用两个标量 \(n_L,n_R\) 表示. 对这里的纯旋光模型,

\[\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}_L(t)+\mathbf{E}_R(t), \qquad E_L=E_R=\frac{E_0}{2}.\]

在旋光晶体中, \(v_L\ne v_R\), \(n_L \ne n_R\). 通过厚度为 \(d\) 的晶体后, 两分量相位落后分别为

\[\Delta\varphi_L=\frac{2\pi}{\lambda}n_Ld, \qquad \Delta\varphi_R=\frac{2\pi}{\lambda}n_Rd.\]

晶体后合成的线偏振光矢量, 位于左右旋分量转角的平分线方向.

旋光方向由 \(n_R-n_L\) 的符号决定. 为固定符号, 在 \((x,y)\) 平面以从 \(+x\) 转向 \(+y\) 为角度正方向, 采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\), 并定义圆基矢 \(\mathbf{e}_R=(\hat{\mathbf{x}}+\mathrm{i}\hat{\mathbf{y}})/\sqrt2\), \(\mathbf{e}_L=(\hat{\mathbf{x}}-\mathrm{i}\hat{\mathbf{y}})/\sqrt2\); 左右旋名称仍须连同观察方向说明. 按这组约定,

\[\varphi =\frac{1}{2}(\Delta\varphi_R-\Delta\varphi_L) =\frac{\pi}{\lambda}(n_R-n_L)d.\]

因此 \(n_R\lt n_L\) 与 \(n_R>n_L\) 给出相反旋向; 左旋/右旋命名需随观察方向约定判定.

Definition Faraday 效应. 磁致旋光效应

在纵向磁场和弱场线性响应下, 磁致旋光的旋转角 \(\beta\) 正比于路程 \(d\) 和沿传播方向的有符号磁场分量 \(B_\parallel\); 均匀介质中

\[\beta=VB_\parallel d.\]

其中 \(V\) 为 Verdet 常量, 由介质性质决定, 也与入射光波长有关.

• 天然旋光性和 Faraday 磁致旋光效应的区别
  • 天然旋光性的右旋和左旋取决于物质结构, 与光传播方向无关. 在同一路径沿原路返回、反射不引入额外偏振变换时, 从固定实验室坐标看, 天然旋光的去程与回程旋转相消, 振动面恢复到原来的方位.
  • 磁致旋光的右旋和左旋取决于光相对于磁场的传播方向. 反向传播使相对于光线的左右旋命名反转, 但从固定实验室坐标看, 在同一路径、磁场不变且反射不引入额外偏振变换时, 回程又同向累计旋转 \(\beta\). 因而往返两次总共旋转 \(2\beta\). 若磁场或 Verdet 常量随路径变化, 单程应按 \(\int V B_\parallel\,\mathrm{d}l\) 求取.