Quantum Many-Body Theory - 1

量子多体理论笔记（一）

Sep 14, 202631 minutes read

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1 Second Quantization and Coherent States

1.1 Quantum Mechanics

Hilbert 空间是完备的内积空间, 内积诱导态的范数. 可归一化的物理态具有有限范数; 连续谱的位置和动量本征态则是广义本征态, 以下涉及它们的封闭关系与交叠应按分布理解.
位置和动量本征态满足
\[\hat{\mathbf{r}}|\mathbf{r}\rangle=\mathbf{r}|\mathbf{r}\rangle, \qquad \hat{\mathbf{p}}|\mathbf{p}\rangle=\mathbf{p}|\mathbf{p}\rangle.\]
- 位置和动量基矢满足封闭关系
  \[\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|=1, \qquad \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,|\mathbf{p}\rangle\langle \mathbf{p}|=1.\]
  符号 \(1\) 总表示当前指定空间上的单位算符. 这里的位置基只作用于轨道空间; 若保留自旋, 完整空间为 \(\mathcal{H}_{\mathrm{orb}}\otimes\mathcal{H}_{\mathsf S}\). 对于自旋 \(1/2\) 子空间,
  \[|+\rangle\langle +|+|-\rangle\langle -|=1_{\mathsf S}, \qquad 1=1_{\mathrm{orb}}\otimes 1_{\mathsf S}\]
  因此完整态的封闭关系还须对自旋指标求和.
  故任意态可展开为
  \[|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|\psi\rangle \equiv \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\psi(\mathbf{r}), \qquad \psi(\mathbf{r})\equiv\langle\mathbf{r}|\psi\rangle\]
- 基矢之间的交叠为
  \[\langle \mathbf{r}|\mathbf{r}'\rangle=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), \qquad \langle \mathbf{p}|\mathbf{p}'\rangle=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p}'), \qquad \langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle = \left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{3/2} \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{\hbar}\right).\]
- 在位置表象中, 动量算符以微分形式作用:
  \[\begin{aligned} \langle \mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle &= \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,\langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle \langle \mathbf{p}|\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle \\ &= \left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{3/2} \int \mathrm{d}\mathbf{p}\, \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{\hbar}\right) \mathbf{p}\,\langle \mathbf{p}|\psi\rangle \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla_{\mathbf{r}} \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,\langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle \langle \mathbf{p}|\psi\rangle \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla_{\mathbf{r}}\psi(\mathbf{r}). \end{aligned}\]
对于处在势 \(V(\hat{\mathbf{r}})\) 中的单个粒子, Schrödinger 方程为
\[\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi\rangle = \left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\hat{\mathbf{r}})\right]|\psi\rangle.\]
对不显含时间的 Hamiltonian \(\hat H\), Schrödinger 绘景和 Heisenberg 绘景将相同的时间演化置于不同位置. 以下算符也不显含时间; 若 \(\hat H(t)\) 显含时间, 演化算符应改用时间有序指数.
- 在 Schrödinger 绘景中, 态随时间演化:
  \[|\psi(t)\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}|\psi(0)\rangle.\]
- 在 Heisenberg 绘景中, 算符随时间演化:
  \[\hat{\mathbf{p}}^{(\mathrm{H})}(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} \hat{\mathbf{p}}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}.\]
两者在期望值层面等价:
\[\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat{\mathbf{p}}|\psi(t)\rangle &= \langle\psi(0)| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} \hat{\mathbf{p}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} |\psi(0)\rangle \\ &= \langle \psi(0)|\hat{\mathbf{p}}^{(\mathrm{H})}(t)|\psi(0)\rangle. \end{aligned}\]

1.2 Quantum Statistical Mechanics

1.2.1 Statistical Ensembles

Micro-canonical ensemble 微正则系综描述能量、体积和粒子数固定的孤立系统, 在给定窄能量壳内对允许的微观态赋予等权重. 将长时间平均等同于系综平均还需额外的动力学假设; 固定能量本身不保证量子体系热化.
Canonical ensemble 正则系综中体积和粒子数固定, 系统与温度为 \(T\) 的热库交换能量. 密度算符正比于
\[\hat{\rho}\propto \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}}, \qquad \beta\equiv\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}.\]
算符 \(\mathrm{e}^{-\beta\hat{H}}\) 可理解为虚时演化 \(t=-\mathrm{i}\hbar\beta\).
Grand-canonical ensemble 巨正则系综中体积固定, 系统与温度和化学势分别为 \(T\) 与 \(\mu\) 的库交换能量和粒子. 对粒子数守恒的平衡 Hamiltonian, \([\hat H,\hat N]=0\), 密度算符正比于
\[\hat{\rho}\propto \mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]
巨正则 Hamilton 量为 \(\hat{K}\equiv \hat{H}-\mu\hat{N}\).

Remark 在热力学极限 \(N,\mathcal{V}\to\infty\) 且 \(N/\mathcal{V}\to\rho\) 下, 对稳定、可加且具有适当热力学极限的体系, 匹配温度、化学势与密度后, 三种系综通常给出相同的热力学势关系和体相平衡量. 这不意味着有限体系的概率分布或所有涨落相同: 正则系综的总粒子数涨落为零, 巨正则系综则一般不为零.

临界点与相共存需要分别检查极限和可观测量; 相变或对称性破缺本身不等于系综不等价. 非可加的长程体系则可能出现真正的不等价. 关于等价性的不同层次, 见 Touchette 的综述.

1.2.2 Partition Function

在巨正则系综中, 迹遍历 Fock 空间的所有允许粒子数扇区, 配分函数为

\[Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]

期望值的形式为

\[\langle \hat{R}\rangle=\operatorname{Tr}(\hat{\rho}\hat{R}), \qquad \hat{\rho} = \frac{1}{Z}\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]

令巨正则势为 \(\Omega=-\frac{1}{\beta}\ln Z\). 对仅含体积功与一种粒子数的平衡体系,

\[\mathrm{d}\Omega=-S\,\mathrm{d}T-P\,\mathrm{d}\mathcal{V}-N\,\mathrm{d}\mu.\]

因此各偏导数须保持其余自然变量不变:

\[\begin{aligned} -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_{T,\mathcal{V}} &= \frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[ \hat{N}\,\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})} \right] \equiv N, \\ -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)_{\mu,\mathcal{V}} &= \frac{\langle\hat{H}-\mu\hat{N}\rangle-\Omega}{T} \equiv S, \\ -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mathcal{V}}\right)_{T,\mu} &= P. \end{aligned}\]

在均匀、可加的体相热力学极限下, 固定 \(T,\mu\) 时 \(\Omega\) 与体积成正比, 因而 \(\Omega=-P\mathcal{V}\). 有限体系的表面项等非广延贡献不能由此自动忽略.

1.3 Identical Particles

单粒子形式可推广到多粒子系统: 先构造乘积态, 再投影到物理允许的交换对称性扇区.

Definition 乘积态基矢. 给定正交归一的单粒子基 \(\{|\alpha\rangle\}\), 定义

\[|\alpha_1\ldots \alpha_N) \equiv |\alpha_1\rangle\otimes |\alpha_2\rangle\otimes\cdots\otimes |\alpha_N\rangle.\]

圆括号记法 \(|\ldots)\) 表示未对称化的乘积态基矢.

内积为
\[\begin{aligned} (\alpha_1\ldots\alpha_N|\alpha_1'\ldots\alpha_N') &= \langle \alpha_1|\alpha_1'\rangle \langle \alpha_2|\alpha_2'\rangle\cdots \langle \alpha_N|\alpha_N'\rangle, \\ \psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) &\equiv (\mathbf{r}_1\ldots\mathbf{r}_N|\alpha_1\ldots\alpha_N) = \psi_{\alpha_1}(\mathbf{r}_1) \psi_{\alpha_2}(\mathbf{r}_2)\cdots \psi_{\alpha_N}(\mathbf{r}_N). \end{aligned}\]
封闭关系
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} |\alpha_1\ldots\alpha_N)(\alpha_1\ldots\alpha_N| =1.\]
以下采用通常三维体系中的 Boson/Fermion 交换统计. 对称态和反对称态分别满足:
\[\begin{aligned} \psi(\mathbf{r}_{P1},\mathbf{r}_{P2},\ldots,\mathbf{r}_{PN}) &= \psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N), &&\text{Bosons}, \\ \psi(\mathbf{r}_{P1},\mathbf{r}_{P2},\ldots,\mathbf{r}_{PN}) &= (-1)^P\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N), &&\text{Fermions}. \end{aligned}\]

Definition 物理多体态. 物理多体态通过施加对称化或反对称化投影算符得到:

\[\hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots \alpha_N) = \frac{1}{N!}\sum_P \zeta^P |\alpha_{P1}\rangle\otimes|\alpha_{P2}\rangle\otimes\cdots\otimes|\alpha_{PN}\rangle, \qquad \zeta= \begin{cases} 1, & \text{Bosons},\\ -1, & \text{Fermions}. \end{cases}\]

归一化的投影态为

\[|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \sqrt{\frac{N!}{\prod_\alpha n_\alpha!}}\, \hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots \alpha_N),\]

其中 \(n_\alpha\) 是单粒子态 \(\alpha\) 的占据数. 对 Fermion, 该归一化公式只用于各标签互异的非零投影态; 重复占据同一个单粒子态时, 反对称投影为零. 对应的波函数为

\[\psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}^{(\zeta)}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!\prod_\alpha n_\alpha!}} \sum_P \zeta^P \psi_{\alpha_1}(\mathbf{r}_{P1}) \psi_{\alpha_2}(\mathbf{r}_{P2})\cdots \psi_{\alpha_N}(\mathbf{r}_{PN}).\]

投影算符满足 \(\hat{\mathcal{P}}^2=\hat{\mathcal{P}}\). 物理 Hilbert 空间通过将 \(\hat{\mathcal{P}}\) 作用于乘积态 Hilbert 空间得到.
投影态之间的交叠为
\[\langle \beta_1\ldots \beta_N|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{\prod_\beta n_\beta!\prod_\alpha n_\alpha!}}\, S\!\left(\langle \beta_i|\alpha_j\rangle\right),\]
其中 \(S\) 对 Boson 为积和式 (permanent), 对 Fermion 为行列式:
\[\operatorname{Per}(M)=\sum_P M_{1,P1}M_{2,P2}\cdots M_{N,PN}, \qquad \det(M)=\sum_P (-1)^P M_{1,P1}M_{2,P2}\cdots M_{N,PN}.\]
将 \(\hat{\mathcal{P}}\) 作用于乘积空间的封闭关系得
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} \hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots\alpha_N) (\alpha_1\ldots\alpha_N|\hat{\mathcal{P}} = \hat{\mathcal{P}}.\]
等价地, 在投影 Hilbert 空间中,
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} \frac{\prod_\alpha n_\alpha!}{N!} |\alpha_1\ldots\alpha_N\rangle \langle \alpha_1\ldots\alpha_N| =1_{\mathsf P},\]
其中 \(1_{\mathsf P}\equiv\hat{\mathcal{P}}\) 是投影空间上的单位算符.

1.4 Creation and Annihilation Operators

1.4.1 Basics

Definition 产生算符添加一个粒子.

对于 Boson,
\[a_\alpha^\dagger|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \sqrt{n_\alpha+1}\,|\alpha\,\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle.\]
对于 Fermion,
\[a_\alpha^\dagger|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \begin{cases} |\alpha\,\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle, & \alpha\notin\{\alpha_1,\ldots,\alpha_N\},\\ 0, & \alpha\in\{\alpha_1,\ldots,\alpha_N\}. \end{cases}\]

湮灭算符 \(a_\alpha\) 是 \(a_\alpha^\dagger\) 的伴随算符, 移除一个粒子:

\[a_\alpha|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{n_\alpha}} \sum_{i=1}^{N}\zeta^{i-1}\delta_{\alpha,\alpha_i} |\alpha_1\ldots \alpha_{i-1}\alpha_{i+1}\ldots \alpha_N\rangle.\]

该式适用于 \(n_\alpha\gt0\); 若 \(n_\alpha=0\), 直接定义 \(a_\alpha|\alpha_1\ldots\alpha_N\rangle=0\), 不使用含 \(1/\sqrt{n_\alpha}\) 的表达式.

真空态 \(|0\rangle\) 是归一化的零粒子态, 满足 \(a_\alpha|0\rangle=0\), 不是零矢量. 对称化或反对称化态可由真空构造为
\[|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{\prod_\alpha n_\alpha!}} a_{\alpha_1}^\dagger a_{\alpha_2}^\dagger\cdots a_{\alpha_N}^\dagger|0\rangle.\]
多粒子态的对称性或反对称性蕴含了算符之间的对应关系:
\[\begin{aligned} \left[a_\alpha^\dagger,a_\beta^\dagger\right]_{-} &=0, &&\left[a_\alpha,a_\beta^\dagger\right]_{-} =\delta_{\alpha\beta}, &&\text{Bosons},\\ \left[a_\alpha^\dagger,a_\beta^\dagger\right]_{+} &=0, &&\left[a_\alpha,a_\beta^\dagger\right]_{+} =\delta_{\alpha\beta}, &&\text{Fermions}. \end{aligned}\]
其中下标 \(-\) 表示对易子, \(+\) 表示中间符号相反的反对易子.
基矢变换: 关于两组基矢 \(|\alpha\rangle\) 和 \(|\tilde\alpha\rangle\) 的产生和湮灭算符的关系为
\[a_{\tilde\alpha}^\dagger = \sum_\alpha \langle \alpha|\tilde\alpha\rangle a_\alpha^\dagger, \qquad a_{\tilde\alpha} = \sum_\alpha \langle \tilde\alpha|\alpha\rangle a_\alpha.\]

Definition Fock 空间. 由于产生和湮灭算符改变粒子数, 态空间必须包含所有粒子数扇区:

\[\mathcal{B}=\mathcal{B}_0\oplus\mathcal{B}_1\oplus\cdots, \qquad \mathcal{F}=\mathcal{F}_0\oplus\mathcal{F}_1\oplus\cdots.\]

这里 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{F}\) 分别表示 Boson 和 Fermion 的 Fock 空间. 其封闭关系为

\[|0\rangle\langle 0| +\sum_{N=1}^{\infty}\sum_{\alpha_1\ldots \alpha_N} \frac{\prod_\alpha n_\alpha!}{N!} |\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle \langle \alpha_1\ldots \alpha_N| =1.\]

Notation 数表示: 用每个单粒子态中的粒子数标记态 \(|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle \Longrightarrow |n_1n_2\ldots\rangle\).

对于 Boson,
\[\begin{aligned} a_\alpha|n_1n_2\ldots\rangle &= \sqrt{n_\alpha}\,|n_1n_2\ldots (n_\alpha-1)\ldots\rangle,\\ a_\alpha^\dagger|n_1n_2\ldots\rangle &= \sqrt{n_\alpha+1}\,|n_1n_2\ldots (n_\alpha+1)\ldots\rangle. \end{aligned}\]
对于 Fermion, 需要单粒子标记的参考排序. 符号因子计算在排序中位于 \(\alpha\) 之前的占据态数目, 因为 Fermionic 算符需要反对易来穿过这些产生算符:
\[\begin{aligned} a_\alpha|n_1n_2\ldots\rangle &= \begin{cases} (-1)^{\sum_{j=1}^{\alpha-1}n_j} |n_1n_2\ldots (n_\alpha\to 0)\ldots\rangle, & n_\alpha=1,\\ 0, & n_\alpha=0, \end{cases} \\ a_\alpha^\dagger|n_1n_2\ldots\rangle &= \begin{cases} (-1)^{\sum_{j=1}^{\alpha-1}n_j} |n_1n_2\ldots (n_\alpha\to 1)\ldots\rangle, & n_\alpha=0,\\ 0, & n_\alpha=1. \end{cases} \end{aligned}\]

Definition 场算符: 场算符是位置基矢下的产生和湮灭算符. 记 \(\phi_\alpha(\mathbf{r})\equiv\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle\), 则

\[\hat{\psi}(\mathbf{r})^\dagger = \sum_\alpha \langle \alpha|\mathbf{r}\rangle a_\alpha^\dagger =\sum_\alpha \phi_\alpha^*(\mathbf{r})a_\alpha^\dagger, \qquad \hat{\psi}(\mathbf{r}) = \sum_\alpha \langle \mathbf{r}|\alpha\rangle a_\alpha =\sum_\alpha \phi_\alpha(\mathbf{r})a_\alpha.\]

场算符满足 \[\left[\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} = \left[\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} =0,\qquad \left[\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').\]

1.4.2 Second quantization

二次量子化将物理量用产生和湮灭算符表示.

Definition 数算符 \(\hat{n}_\alpha=\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\).

Definition 单体算符: \(\hat{U}=\sum_i \hat{u}_i=\sum_{\alpha\beta}\langle \alpha|\hat{u}|\beta\rangle a_\alpha^\dagger a_\beta.\), 例如

\[\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\nabla^2\hat{\psi}(\mathbf{r}), \qquad \hat{U} = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,U(\mathbf{r}) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]

Definition 两体算符: 对交换对称的两粒子相互作用, \(\hat{V}=(1/2)\sum_{i\neq j}\hat{v}_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta\gamma\delta}(\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\,a_\alpha^\dagger a_\beta^\dagger a_\delta a_\gamma\). 第一量子化的求和排除粒子自作用; 因子 \(1/2\) 消去有序粒子对的重复计数. 注意态指标的次序, 以及矩阵元是在两粒子乘积态中计算的. 在场算符形式下, 相互作用为

\[\hat{V} = \frac{1}{2}\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}')\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]

Remark 正规序: 产生算符置于湮灭算符左侧. 满足正规序的算符记为 \(\hat{A}(a_{\alpha}^{\dagger}, a_{\alpha})\) 或 \(\hat{A}(\hat{\psi}_{\alpha}^{\dagger}, \hat{\psi}_{\alpha})\).

将一个给定算符等价地改写成正规序时, 必须保留对易关系产生的附加项及 Fermion 交换符号. 例如 \(a_\alpha a_\alpha^\dagger=1+\zeta a_\alpha^\dagger a_\alpha\); 仅重排得到的正规序操作 \(:\!\hat A\!:\) 通常不等于原算符 \(\hat A\).

1.4.3 Second Quantized Hamiltonians

从"万有 Hamiltonian"出发, 可以推导出适用于不同物理环境的各种模型 Hamiltonian. 这些模型的层次结构如下所示:

多体模型 Hamiltonian 的层次结构, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), §1.4.2, p.7. 红色式号沿用原讲义编号, 不对应本文公式编号.

Remark 图顶端的 \(\hat{K}\) 含电子化学势项, 表示 \(\hat{H}-\mu\hat{N}_{\mathrm{e}}\). 图中离子间 Coulomb 求和隐含排除 \(i=j\) 的自作用项. 模型间的箭头包含各自的投影或近似; 仅忽略 Umklapp 过程并不能自动去掉 Bloch 态的形状因子, 也不能自动恢复自由电子色散.

Remark 本节及后续章节涉及 Coulomb 和电磁相互作用时采用 Gaussian/CGS 单位制, 因此 \(v(r)=e^2/r\). 其余量仍显式保留 \(\hbar\), \(m\), \(e\), \(c\), 并非 atomic units.

Degenerate electron gas
\[\begin{aligned} \hat{H} =& -\frac{\hbar^2}{2m}\sum_\sigma \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\nabla^2\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) +\sum_\sigma \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, V_b(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})\\ &+\frac{1}{2}\sum_{\sigma\sigma'} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, \frac{e^2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_{\sigma'}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\psi}_{\sigma'}(\mathbf{r}')\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) \end{aligned}\]
这里 \(V_b(\mathbf{r})\) 表示均匀正电荷背景(jellium 模型)产生的电子势能. 在波矢基 \(\varphi_{\mathbf{k}}=\mathcal{V}^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}\) 下, 将背景势能、背景自能与电子相互作用合并, 采用中性体系去除 \(\mathbf{q}=0\) 分量的约定并略去参考能量常数后, Hamiltonian 为
\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k},\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} +\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq 0}\sum_{\mathbf{k},\sigma,\mathbf{p},\sigma'} v_q\, \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2,\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q}/2,\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q}/2,\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2,\sigma},\]
其中 \(\epsilon_{\mathbf{k}}=\hbar^2 k^2/(2m)\), \(v_q=4\pi e^2/q^2\). 去除 \(q=0\) 分量使用了整体电中性与上述能量约定.
Proof 先计算非零波矢的电子相互作用项, 背景相关项按上述中性约定处理. 对电子场作平面波展开:
\[\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}, \qquad \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger.\]
动能项给出
\[\begin{aligned} \hat{H}_0 &= \sum_\sigma\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\\ &= \sum_\sigma\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}} \frac{\hbar^2p^2}{2m} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{p}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\hbar^2k^2}{2m} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}. \end{aligned}\]
周期盒中去除零模后的 Coulomb 核使用 Fourier 展开
\[v_{\neq0}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq0} v_q\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}, \qquad v_q=\frac{4\pi e^2}{q^2}.\]
非零波矢的系数可用 Poisson 方程得到. \(v_{\neq0}\) 表示中性周期体系中的核, 不应把去零模的级数直接等同于有限周期盒中的自由空间势. 代入相互作用项后, 两个空间积分分别给出动量守恒:
\[\begin{aligned} \hat{H}_{\mathrm{int}} &= \frac{1}{2\mathcal{V}^3} \sum_{\mathbf{q}\neq0}v_q \sum_{\sigma\sigma'} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}\mathbf{k}'\mathbf{p}'} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}'\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}'\sigma} \times \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}'+\mathbf{q}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}} \int \mathrm{d}\mathbf{r}'\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{p}'-\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{r}'}\\ &= \frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq0} \sum_{\mathbf{k},\sigma,\mathbf{p},\sigma'} v_q\, \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q},\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q},\sigma}. \end{aligned}\]
最后重定义求和变量 \(\mathbf{k}\to\mathbf{k}+\mathbf{q}/2\), \(\mathbf{p}\to\mathbf{p}-\mathbf{q}/2\), 即得到上式中的对称动量形式. 有限周期盒中, 重定义后的中心动量求和格点须随 \(\mathbf{q}\) 相应平移, 以保证每个算符的动量仍是允许值.
Electrons in solids 固体中的电子感受到周期性晶格势. Bloch 态 \(\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 与 Wannier 态 \(w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i)\) 的关系为
\[w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\mathbf{k}\in \mathrm{B.Z.}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}_i}\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}), \qquad \varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\mathbf{R}_i} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}_i}w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i).\]
动量守恒律修改为 \(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1'+\mathbf{k}_2'+\mathbf{K}\), 其中 \(\mathbf{K}\) 为倒格矢. 当 \(|\mathbf{K}|\neq 0\) 时, 这导致 Umklapp 散射过程.
Quantum geometry effect 将相互作用投影到一个由归一化 Bloch 态组成的孤立能带, 选择光滑局部规范, 并在长波长近似下忽略带间过程与倒格矢局域场项时, 电子气 Hamiltonian 中的相互作用矩阵元含有形状因子:
\[\frac{4\pi e^2}{q^2} \rightarrow \frac{4\pi e^2}{q^2} \langle u_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}\rangle \langle u_{\mathbf{p}-\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{p}+\mathbf{q}/2}\rangle,\]
其中 \(u_{\mathbf{k}}\) 表示导带(能带指标 \(n\))的 Bloch 波函数 \(\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 的周期部分. 对于 \(q\to 0\),
\[\langle u_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}\rangle \approx \exp\!\left( \mathrm{i}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}\cdot \mathbf{q} -\frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta}G_{\alpha\beta}(\mathbf{k})q_\alpha q_\beta +O(q^3) \right).\]
因此, 相互作用矩阵元受到 Berry 联络和量子度量 (quantum metric) 修正
\[\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\mathrm{i}\langle u_{\mathbf{k}}|\partial_{\mathbf{k}}u_{\mathbf{k}}\rangle, \qquad G_{\alpha\beta}(\mathbf{k}) = \operatorname{Re} \left[ \langle \partial_{k_\alpha}u_{\mathbf{k}}|\partial_{k_\beta}u_{\mathbf{k}}\rangle -A_{k_\alpha}A_{k_\beta} \right].\]
Tight-binding models Tight-binding 模型是在 Wannier 基下二次量子化的 Hamiltonian. 一般的单带 tight-binding Hamiltonian 可写为
\[\hat{H} = -\sum_{ij,\sigma}t_{ij}\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{j\sigma} +\sum_{ii'jj',\sigma\sigma'} U_{ii'jj'}\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{i'\sigma'}^\dagger \hat{a}_{j'\sigma'}\hat{a}_{j\sigma}.\]
这里约定 \(U_{ii'jj'}\equiv\frac12(w_iw_{i'}|\hat v|w_jw_{j'})\), 已吸收两体算符中的 \(1/2\), 不能再把它直接当作未除以二的 Coulomb 矩阵元. 以下 direct 与 exchange 项取不同格点, 并保留有序格点对求和; 同格点项单独归入局域相互作用. 记 \(\hat{n}_i=\sum_\sigma \hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{i\sigma}\).
- Direct coupling:
  \[U_{ii'ii'}=V_{ii'}, \qquad \hat{H}_{\mathrm{direct}}=\sum_{i\neq i'}V_{ii'}\,\hat{n}_i\hat{n}_{i'}.\]
  同格点的正规序项为 \(U_{iiii}\hat n_i(\hat n_i-1)\), 不是 \(U_{iiii}\hat n_i^2\).
- Exchange coupling:
  \[J_{ij}\equiv U_{ijji}, \qquad \hat{H}_{\mathrm{exchange}} = -2\sum_{i\neq j}J_{ij} \left( \hat{\mathbf{S}}_i\cdot \hat{\mathbf{S}}_j+\frac{1}{4}\hat{n}_i\hat{n}_j \right),\]
  其中 \(\hat{\mathbf{S}}_i\) 是以 \(\hbar\) 为单位的无量纲自旋算符; 实际角动量为 \(\hbar\hat{\mathbf{S}}_i\):
  \[\hat{\mathbf{S}}_i = \frac{1}{2}\sum_{\sigma\sigma'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{\boldsymbol{\tau}}_{\sigma\sigma'} \hat{a}_{i\sigma'}, \qquad \hat{\tau}_x= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\tau}_y= \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i}\\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\tau}_z= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.\]
  Proposition 局域自旋算符在每个格点上满足与普通角动量算符相同的 \(SU(2)\) 代数.
  Proof 对数守恒双线性算符, 有
  \[\left[ \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'}, \hat{a}_{j\lambda}^\dagger\hat{a}_{j\lambda'} \right] = \delta_{ij} \left( \delta_{\sigma'\lambda} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} - \delta_{\lambda'\sigma} \hat{a}_{i\lambda}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'} \right).\]
  将其代入自旋算符定义, 并使用 \([\tau^\alpha,\tau^\beta]=2\mathrm{i}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\tau^\gamma\):
  \[\begin{aligned} \left[\hat{S}_i^\alpha,\hat{S}_j^\beta\right] &= \frac{1}{4}\delta_{ij} \sum_{\sigma\sigma'\lambda\lambda'} \tau^\alpha_{\sigma\sigma'}\tau^\beta_{\lambda\lambda'} [\hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'}, \hat{a}_{i\lambda}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'}] \\ &= \frac{1}{4}\delta_{ij} \sum_{\sigma\lambda'} [\tau^\alpha,\tau^\beta]_{\sigma\lambda'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} \\ &= \frac{\mathrm{i}}{2}\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} \sum_{\sigma\lambda'} \tau^\gamma_{\sigma\lambda'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} \\ &= \mathrm{i}\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\hat{S}_i^\gamma. \end{aligned}\]
  因此每个格点上的 \(\hat{\mathbf{S}}_i\) 满足 \(SU(2)\) 代数.
Hubbard model 具有良好局域原子轨道的单带 tight-binding 模型可近似为
\[\hat{H} = -t\sum_{\langle ij\rangle,\sigma} \left[\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{j\sigma}+\mathrm{H.c.}\right] +U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow}.\]
其中 \(\langle ij\rangle\) 表示每条最近邻无向键只计一次, \(\mathrm{H.c.}\) 补上反向跃迁. 按上述矩阵元约定, 同格点的两个相反自旋项给出 \(U=2U_{iiii}\). 记总电子数算符 \(\hat N_e\equiv\sum_i\hat n_i\), 相互作用部分也可写为
\[\hat{H}_U \equiv U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow} = -\frac{2U}{3}\sum_i |\hat{\mathbf{S}}_i|^2+\frac{U\hat N_e}{2}.\]
仅在固定 \(N_e\) 的粒子数扇区内, 最后一项才是可略去的能量常数; 巨正则处理中它会改变化学势的对应关系.
Proof 只需在单个格点上证明算符恒等式. 省略格点指标, 并使用 Pauli 矩阵恒等式. 这里 \(a,b,c,d\in\{\uparrow,\downarrow\}\)
\[\boldsymbol{\tau}_{ab}\cdot\boldsymbol{\tau}_{cd} = 2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}.\]
由 \(\hat{\mathbf{S}}=\frac{1}{2}\sum_{ab}\hat{a}_a^\dagger\boldsymbol{\tau}_{ab}\hat{a}_b\),
\[\begin{aligned} |\hat{\mathbf{S}}|^2 &= \frac{1}{4} \sum_{abcd} (\boldsymbol{\tau}_{ab}\cdot\boldsymbol{\tau}_{cd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_b\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_d\\ &= \frac{1}{4} \sum_{abcd} (2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}) \hat{a}_a^\dagger(\delta_{bc}-\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_b)\hat{a}_d\\ &= \frac14\sum_{abd} (2\delta_{ad}\delta_{bb}-\delta_{ab}\delta_{bd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_d - \frac14\sum_{abcd} (2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_b\hat{a}_d \\ &= \hat{n} -\frac{1}{4}\hat{n} -\frac{1}{2} \left( \hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\downarrow\hat{a}_\uparrow + \hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\uparrow\hat{a}_\downarrow \right) + \frac{1}{4} \left( \hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow\hat{a}_\downarrow + \hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow\hat{a}_\uparrow \right)\\ &= \frac{3}{4}\hat{n} -\frac{3}{2}\hat{n}_\uparrow\hat{n}_\downarrow. \end{aligned}\]
注意其中 \(\sum_a\delta_{aa} = 2\),且 \(\hat{n}\equiv \hat{n}_\uparrow+\hat{n}_\downarrow\). 因此
\[\hat{n}_\uparrow\hat{n}_\downarrow = \frac{1}{2}\hat{n}-\frac{2}{3}|\hat{\mathbf{S}}|^2.\]
Anderson impurity model Anderson 杂质模型描述导带电子与杂质之间的相互作用:
\[\hat{H} = \sum_\sigma \epsilon_f \hat{f}_\sigma^\dagger \hat{f}_\sigma +U\hat{n}_{f\uparrow}\hat{n}_{f\downarrow} +\sum_{k\sigma}\left(V_k \hat{f}_\sigma^\dagger \hat{a}_{k\sigma}+\mathrm{h.c.}\right) +\sum_{k\sigma}\epsilon_k \hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma}.\]
Kondo model Kondo 模型描述导带电子与局域自旋之间的相互作用:
\[\hat{H} = \sum_{k\sigma}\epsilon_k \hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma} -J\hat{\mathbf{S}}^{(i)}\cdot \hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}.\]
这里 \(\hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}\) 表示杂质位置的导带电子自旋. Anderson 杂质模型约化为低能 Kondo 模型需要局域矩条件 \(\epsilon_f\lt\mu\lt\epsilon_f+U\), 且杂化能量、\(k_{\mathrm B}T\) 与所考察的激发能远小于空占据及双占据的电荷激发能 \(\mu-\epsilon_f\) 与 \(\epsilon_f+U-\mu\). 此时可通过 Schrieffer–Wolff 变换消去虚电荷涨落, 得到交换项以及一般存在的势散射项; 上式只展示交换部分.
\(U\to\infty\) 本身不保证局域矩条件. 保留本节的 \(-J\hat{\mathbf{S}}^{(i)}\cdot\hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}\) 记号时, 反铁磁交换对应 \(J\lt0\). Kondo 屏蔽也是理解重 Fermion 晶格体系的重要机制, 但单杂质模型不包含完整的晶格相干效应.
Phonons 声子(phonon) 是晶格振动模式的量子. 写 \(\mathbf{R}_i=\mathbf{R}_i^{(0)}+\mathbf{u}_i\), 其中 \(\mathbf{R}_i^{(0)}\) 是总有效晶格势 \(V_{\mathrm{eff}}\) 的稳定平衡位置. \(V_{\mathrm{eff}}\) 包含建立平衡所需的电子贡献等, 不能仅用裸离子 Coulomb 排斥保证晶格稳定. 在平衡点一阶导数为零, 对小位移作展开:
\[V_{\mathrm{eff}}(\{\mathbf{R}_i^{(0)}+\mathbf{u}_i\}) = V_{\mathrm{eff}}^{(0)} +\frac{1}{2}\sum_{ij,\alpha\beta} D_{i\alpha,j\beta}u_{i\alpha}u_{j\beta}+O(u^3), \qquad D_{i\alpha,j\beta}\equiv \left.\frac{\partial^2 V_{\mathrm{eff}}}{\partial u_{i\alpha}\partial u_{j\beta}}\right|_{\mathbf{u}=0}.\]
裸离子两体势中的求和须取 \(i\neq j\) 以排除自作用. 取各原子质量均为 \(M\), 略去常数并保留二阶项, 得到可对角化的谐振 Hamiltonian:
\[\hat{H}_p = -\frac{\hbar^2}{2M}\sum_i \nabla_{\mathbf{u}_i}^2 +\frac{1}{2}\sum_{ij,\alpha\beta} D_{i\alpha,j\beta}u_{i\alpha}u_{j\beta}.\]
利用谐振子的阶梯算符,
\[\hat{H}_p = \sum_{n,\mathbf{q}}\hbar \omega_{n\mathbf{q}} \left(\hat{c}_{n\mathbf{q}}^\dagger \hat{c}_{n\mathbf{q}}+\frac{1}{2}\right).\]
阶梯算符可理解为 Bosonic 的产生和湮灭算符.
Electron-phonon coupling 电子-声子耦合来自电子-离子势对位移的一阶变化. 对这里采用的裸 Coulomb 势, 令 \(v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{s})=-Ze^2/|\mathbf{s}|\), 则
\[\hat H_{\mathrm{e-ion}} \equiv \sum_i \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}) =\hat H_{\mathrm{e-ion}}^{(0)}+\hat H_{\mathrm{el-ph}}+O(u^2).\]
静态项 \(\hat H_{\mathrm{e-ion}}^{(0)}\) 已归入平衡晶格势; 一阶耦合单独为
\[\hat H_{\mathrm{el-ph}} =\sum_i\mathbf{u}_i\cdot\int\mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat\psi^\dagger(\mathbf{r})\mathbf{M}(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i^{(0)})\hat\psi(\mathbf{r}), \qquad \mathbf{M}(\mathbf{s})\equiv-\nabla_{\mathbf{s}}v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{s}) =-\frac{Ze^2\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}.\]
利用波矢基和阶梯算符, 相互作用化为
\[\hat{H}_{\mathrm{el-ph}} = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k},\mathbf{q}} M_{\mathbf{q}}\, \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}}\hat{c}_{\mathbf{q}} +\mathrm{h.c.}\]
其中 \(M_{\mathbf{q}}\) 是电子-声子耦合的矩阵元.

1.5 Coherent States

相干态是湮灭算符的本征态:

\[\hat{a}_\alpha|\phi\rangle=\phi_\alpha|\phi\rangle.\]

对 Boson, 产生算符没有非零的、可归一化的右本征态. 单模展开 \(|\psi\rangle=\sum_n c_n|n\rangle\) 后, \(a^\dagger|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle\) 的真空分量及递推关系迫使所有 \(c_n=0\).
对 Fermion, \(a_\alpha^2=(a_\alpha^\dagger)^2=0\), 因而普通复数本征值只能为零; 例如单模 \(a^\dagger|1\rangle=0\). Fermion 相干态是在 Grassmann 系数扩展中定义的形式态, 其奇变量满足 \(\phi_\alpha\phi_\beta+\phi_\beta\phi_\alpha=0\), 不能当作带非零复数本征值的普通 Fock 态.

1.5.1 Boson Coherent States

Definition Boson 相干态. 若模式数无限, 以下 Fock 态要求 \(\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2\lt\infty\).

\[|\phi\rangle = \exp\!\left(\sum_\alpha \phi_\alpha a_\alpha^\dagger\right)|0\rangle.\]

交叠 \(\langle \phi|\phi'\rangle=\exp(\phi^*\cdot \phi')\). 本节采用未归一化的相干态, \(\langle\phi|\phi\rangle=\mathrm{e}^{\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2}\); 归一化时乘以 \(\mathrm{e}^{-\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2/2}\). 不同相干态仍不正交, 它们是过完备的.
封闭关系 \(\int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle \phi|=1\), 其中
\[\mathrm{d}\mu(\phi) = \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\phi_\alpha^*\,\mathrm{d}\phi_\alpha}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left(-\sum_\alpha |\phi_\alpha|^2\right) \equiv \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_\alpha)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_\alpha)}{\pi} \exp\!\left(-\sum_\alpha |\phi_\alpha|^2\right).\]
复测度约定 \(\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi=2\mathrm{i}\,\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi)\), 以下保持这个方向.
Proof 单模情形下,
\[|\phi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle, \qquad \mathrm{d}\mu(\phi) = \frac{\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi}{2\pi\mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-|\phi|^2}.\]
令 \(\phi=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 则
\[\begin{aligned} \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle\phi| &= \sum_{mn} \frac{|m\rangle\langle n|}{\sqrt{m!n!}} \int \frac{\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi}{2\pi\mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-|\phi|^2}\phi^m(\phi^*)^n\\ &= \sum_{mn} \frac{|m\rangle\langle n|}{\sqrt{m!n!}} \int_0^\infty \mathrm{d}(r^2)\,\mathrm{e}^{-r^2}(r^2)^{(m+n)/2} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(m-n)\theta}\\ &= \sum_n \frac{|n\rangle\langle n|}{n!} \int_0^\infty \mathrm{d}(r^2)\,\mathrm{e}^{-r^2}(r^2)^n = \sum_n |n\rangle\langle n|. \end{aligned}\]
多个相互独立的模式逐模因子化, 因而
\[\int \mathrm{d}\mu(\{\phi_\alpha\})\,|\{\phi_\alpha\}\rangle \langle\{\phi_\alpha\}| = \sum_{\{n_\alpha\}}|\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|\]
对 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_N\) 的求和计数的是有序标签. 对于固定的占据数组态 \(\{n_\alpha\}\), 同一个物理态会出现 \(N!/\prod_\alpha n_\alpha!\) 次. 固定 \(N\) 粒子完备关系中的因子 \(\prod_\alpha n_\alpha!/N!\) 正是用来消去这个简并计数. 因此固定 \(N\) 的完备关系可写为
\[\sum_{\{n_\alpha\};\sum_\alpha n_\alpha=N} |\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|=\hat 1_{\mathsf{N}}.\]
对所有 \(N\) 求和得到
\[\sum_{\{n_\alpha\}}|\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|=\hat 1\]
迹 \(\operatorname{Tr}\hat{A}=\sum_n \langle n|\hat{A}|n\rangle=\int \mathrm{d}\mu(\phi)\,\langle \phi|\hat{A}|\phi\rangle\).
相干态表示
\[|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle \phi|\psi\rangle \equiv \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle \psi(\phi^*),\]
\(\psi(\phi^*)\equiv \langle \phi|\psi\rangle\) 关于 \(\phi^*\) 是反全纯函数.
算符表示
\[a_\alpha \rightarrow \frac{\partial}{\partial \phi_\alpha^*}, \qquad a_\alpha^\dagger \rightarrow \phi_\alpha^*.\]
Proof
\[\begin{aligned} \langle \phi|a_\alpha|\psi\rangle &= \int \mathrm{d}\mu(\phi')\,\langle \phi|a_\alpha|\phi'\rangle\langle \phi'|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi')\,\phi_\alpha' \mathrm{e}^{\phi^*\cdot \phi'}\psi(\phi'^*) = \frac{\partial}{\partial \phi_\alpha^*}\psi(\phi^*)\\ \langle \phi|a_\alpha^\dagger|\psi\rangle &= \phi_\alpha^*\langle \phi|\psi\rangle \equiv \phi_\alpha^*\psi(\phi^*) \end{aligned}\]
Remark 由此可以对 \(\psi(\phi^*)\) 建立"Schrödinger 方程", 即将 \(\langle\phi|\) 左乘 \(|\psi\rangle\) 满足的 Schrödinger 方程.
由封闭关系可得再生核
\[\psi(\phi'^*) = \langle\phi^{\prime}|\psi\rangle = \int\mathrm{d}\mu(\phi)\, \langle\phi^{\prime}|\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi)\, \mathrm{e}^{\phi'^*\cdot \phi}\, \psi(\phi^*).\]
正规序算符的矩阵元 \(\langle \phi|\hat{A}(a^\dagger,a)|\phi'\rangle=A(\phi^*,\phi')\,\mathrm{e}^{\phi^*\cdot \phi'}\).

粒子数的平均值和方差

\[\bar{N} \equiv \frac{\langle \phi|\hat{N}|\phi\rangle}{\langle \phi|\phi\rangle} = \sum_\alpha |\phi_\alpha|^2, \qquad (\Delta N)^2 \equiv \frac{\langle \phi|(\hat{N}-\bar{N})^2|\phi\rangle}{\langle \phi|\phi\rangle} = \bar{N}.\]

在极限 \(\bar{N}\to \infty\) 下, \(\Delta N/\bar{N}\to0\), 总粒子数的相对涨落变小. 当所考察模式具有大占据数, 且相关场可观测量的相对涨落可忽略时, 相干态可用于描述经典场; 总粒子数很大本身不保证每个模式或任意可观测量都满足这一条件. 例如, 大振幅声子相干态可描述经典声波, 光子(photon)相干态可描述经典电磁波.

1.5.2 Grassmann Algebra

Definition Grassmann 代数: Grassmann 代数由一组生成元 \(\{\xi_\alpha\}\), \(\alpha=1,\ldots,n\) 定义, 它们反对易:

\[\xi_\alpha\xi_\beta+\xi_\beta\xi_\alpha=0.\]

显然有 \(\xi_\alpha^2=0\).

Definition Grassmann 数: Grassmann 代数中的元素是以下有序单项式的复系数线性组合, 不仅包含一次生成元:

\[\{1,\xi_\alpha,\xi_{\alpha_1}\xi_{\alpha_2},\ldots,\xi_{\alpha_1}\xi_{\alpha_2}\cdots \xi_{\alpha_n}\}.\]

各单项式的指标严格递增, 因而 \(n\) 个独立生成元张成 \(2^n\) 维代数. 按生成元个数的奇偶性区分偶元素和奇元素: 偶元素与所有元素对易, 奇元素彼此反对易; 并非任意两个 Grassmann 数都反对易.

在该 \(2^n\) 维空间上作左乘可得到一个忠实的 \(2^n\times2^n\) 矩阵表示. 对不要求忠实的表示, 不能由此推断矩阵维数下限.
共轭:
\[(\xi_\alpha)^*=\xi_\alpha^*, \qquad (\xi_\alpha^*)^*=\xi_\alpha, \qquad (\lambda \xi_\alpha)^*=\lambda^*\xi_\alpha^*, \qquad (\xi_{\alpha_1}\cdots \xi_{\alpha_n})^* = \xi_{\alpha_n}^*\cdots \xi_{\alpha_1}^*.\]
Remark 应将 \(\xi_\alpha\) 和 \(\xi_\alpha^*\) 视为两个独立的 Grassmann 变量.

Definition Grassmann 函数: 由于 \(\xi_\alpha^2=0\), 存在截断

\[f(\xi)=f_0+f_1\xi, \qquad A(\xi^*,\xi)=a_0+a_1\xi+\bar{a}_1\xi^*+a_{12}\xi^*\xi.\]

Definition Grassmann 导数: 以下均采用左导数. 它是奇算子, 对齐次奇偶性的多项式 \(F\), 以 \(|F|=0\) 表示偶元素、\(|F|=1\) 表示奇元素, 分级 Leibniz 规则为

\[\frac{\partial}{\partial\xi}(FG) =\left(\frac{\partial F}{\partial\xi}\right)G +(-1)^{|F|}F\frac{\partial G}{\partial\xi}.\]

例如

\[\frac{\partial}{\partial \xi}(\xi^*\xi)=-\xi^*, \qquad \frac{\partial}{\partial \xi^*}(\xi^*\xi)=\xi\]

Definition Grassmann 积分: 积分由以下规则定义

\[\int \mathrm{d}\xi\,1=0, \qquad \int \mathrm{d}\xi\,\xi=1, \qquad \int \mathrm{d}\xi^*\,1=0, \qquad \int \mathrm{d}\xi^*\,\xi^*=1.\]

Berezin 积分等于相应的左导数. 多重积分按固定测度顺序从右向左执行; 本节约定 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi^*\xi=-1\), 因而 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi^*\xi}=1\). 使用这些规则时须保持上述测度排序.

Remark \(\xi_\alpha\) 和 \(\xi_\alpha^*\) 是独立变量, 因而交叉积分已由上述规则确定, 例如 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\xi=0\). 不同的积分算子彼此反对易, 积分算子穿过其他奇变量时也须保留负号.
Proposition 对任意 Grassmann 多项式 \(A(\xi^*,\xi)\), 有
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, e^{-\xi^*\xi} \left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A =0.\]
Proof 按 Grassmann 多项式展开 \(A(\xi^*,\xi)=a_0+a_1\xi+\bar{a}_1\xi^*+a_{12}\xi^*\xi\). 由 \(\xi^2=(\xi^*)^2=0\) 和 \(\xi\xi^*=-\xi^*\xi\), 得
\[e^{-\xi^*\xi}\left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A = (1-\xi^*\xi)\left(\xi A-\frac{\partial A}{\partial\xi^*}\right) = -\bar{a}_1+(a_0-a_{12})\xi.\]
右边没有 \(\xi^*\xi\) 项, 因而按 Grassmann 积分规则,
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, e^{-\xi^*\xi} \left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A =0.\]

Dirac 函数 \(\delta(\xi,\xi')=-(\xi-\xi')\). 筛选性质(记得 \(\xi\) 和 \(\xi^{\prime}\) 交换反对称, 以及平方截断)

\[\int \mathrm{d}\xi'\,\delta(\xi,\xi')f(\xi')=-\int \mathrm{d}\xi'\,(\xi-\xi')(f_0+ f_1\xi')=f_0 + f_1\xi = f(\xi)\]

标量积: 积分测度 \(\mathrm{e}^{-\xi^*\xi}\)

\[\begin{aligned} \langle f|g\rangle &\equiv \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi}f^*(\xi)g(\xi^*) \\ &= \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, (1-\xi^*\xi)(f_0^*+f_1^*\xi)(g_0+g_1\xi^*) \\ &= -\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi^*\xi\,f_0^*g_0 +\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi\xi^*\,f_1^*g_1 \\ &= f_0^*g_0+f_1^*g_1. \end{aligned}\]

1.5.3 Fermion Coherent States

Definition Fermion 相干态: 令

\[|\xi\rangle = \exp\!\left(-\sum_\alpha \xi_\alpha a_\alpha^\dagger\right)|0\rangle = \prod_\alpha (1-\xi_\alpha a_\alpha^\dagger)|0\rangle.\]

取 Hermitian 共轭得到

\[\langle\xi|=\langle0|\exp\!\left(-\sum_\alpha a_\alpha\xi_\alpha^*\right) =\langle0|\prod_\alpha(1-a_\alpha\xi_\alpha^*).\]

每个乘积因子均为偶元素, 所以不同模的这些因子对易; 真空 bra 只出现一次. 结合奇变量与 Fermion 算符的反对易规则, 有

\[a_\alpha|\xi\rangle=\xi_\alpha|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|a_\alpha^\dagger=\langle \xi|\xi_\alpha^*, \qquad a_\alpha^\dagger|\xi\rangle = -\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha}|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|a_\alpha = \frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\langle \xi|.\]

Remark \(\xi\), \(\xi^*\), \(a\) 和 \(a^\dagger\) 反对易, 且 \((\xi a)^\dagger=a^\dagger \xi^*\).

交叠 \(\langle \xi|\xi'\rangle=\mathrm{e}^{\xi^*\cdot \xi'}\).
封闭关系 \(\int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\,\mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}|\xi\rangle\langle \xi|=1\).
算符的迹
\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}\hat{A} &= \sum_n \langle n|\hat{A}|n\rangle = \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} \sum_n \langle n|\xi\rangle\langle \xi|\hat{A}|n\rangle \\ &= \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} \sum_n \langle -\xi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\xi\rangle \\ &\equiv \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}\,\langle -\xi|\hat{A}|\xi\rangle. \end{aligned}\]
额外的负号来自恒等式
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi} g(\xi)f(\xi^*) = \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi} f(-\xi^*)g(\xi).\]
相干态表示
\[|\psi\rangle = \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} |\xi\rangle\langle \xi|\psi\rangle \equiv \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} |\xi\rangle \psi(\xi^*)\]
注意 \(\psi(\xi^*) = \langle\xi|\psi\rangle\). 且有 \(\langle \xi|a_\alpha|\psi\rangle=\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\psi(\xi^*),\langle \xi|a_\alpha^\dagger|\psi\rangle=\xi_\alpha^*\psi(\xi^*)\).
正规序算符的矩阵元 \(\langle \xi|\hat{A}(a^\dagger,a)|\xi'\rangle=\mathrm{e}^{\xi^*\cdot\xi'}A(\xi^*,\xi')\).

Boson 相干态和 Fermion 相干态可用统一记号总结 \(|\xi\rangle=\exp\!\left(\zeta\sum_\alpha \xi_\alpha \hat{a}_\alpha^\dagger\right)|0\rangle\). 它们的基本运算为
\[\hat{a}_\alpha|\xi\rangle=\xi_\alpha|\xi\rangle, \qquad \hat{a}_\alpha^\dagger|\xi\rangle = \zeta\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha}|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|\hat{a}_\alpha^\dagger = \langle \xi|\xi_\alpha^*, \qquad \langle \xi|\hat{a}_\alpha = \frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\langle \xi|.\]
相应封闭关系, 迹公式和相干态表示为
\[1=\int \mathrm{d}\mu(\xi)\,|\xi\rangle\langle\xi|, \qquad \operatorname{Tr}\hat{A} = \int \mathrm{d}\mu(\xi)\,\langle \zeta\xi|\hat{A}|\xi\rangle, \qquad |\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\xi)\,|\xi\rangle\psi(\xi^*)\]
其中
\[\mathrm{d}\mu(\xi) = \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\xi_\alpha^*\,\mathrm{d}\xi_\alpha}{\mathcal{N}}\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}, \qquad \mathcal{N} = \begin{cases} 2\pi\mathrm{i}, & \text{Bosons},\\ 1, & \text{Fermions}, \end{cases} \qquad \xi^*\cdot\xi'\equiv\sum_\alpha \xi_\alpha^*\xi_\alpha'\]

1.5.4 Gaussian Integrals

复变量 设 \(H\) 为具有正定 Hermitian 部分的矩阵.

\[\int \prod_i \frac{\mathrm{d}z_i^*\,\mathrm{d}z_i}{2\pi \mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-z^\dagger H z+J^\dagger z+z^\dagger J} = [\det H]^{-1}\mathrm{e}^{J^\dagger H^{-1}J}.\]

Grassmann 变量

\(\{\eta_i,\eta_i^*\}\) 和 \(\{J_i,J_i^*\}\) 都是相互反对易的 Grassmann 奇变量, \(H\) 的矩阵元为普通复数. 该含源公式要求 \(H\) 可逆, 但不必正定; 无源积分 \(J=0\) 等于 \(\det H\), 对奇异矩阵也成立.

\[\int \prod_i \mathrm{d}\eta_i^*\,\mathrm{d}\eta_i\, \mathrm{e}^{-\eta^\dagger H\eta+J^\dagger \eta+\eta^\dagger J} = [\det H]\,\mathrm{e}^{J^\dagger H^{-1}J}.\]

Grassmann 变量的线性变换 \[\int \prod_i \mathrm{d}\zeta_i^*\,\mathrm{d}\zeta_i\,P(\zeta^*,\zeta) = \frac{\partial(\eta^*,\eta)}{\partial(\zeta^*,\zeta)} \int \prod_i \mathrm{d}\eta_i^*\,\mathrm{d}\eta_i\, P\!\left(\zeta^*(\eta^*,\eta),\zeta(\eta^*,\eta)\right).\] 这里的偏导记号表示可逆线性变换的 Jacobian 行列式, 且变换前后保持相同的变量与测度排序. 例如把所有 starred/unstarred 坐标合为 \(\boldsymbol\zeta=A\boldsymbol\eta\) 时, 测度因子为 \((\det A)^{-1}\), 即上述 \(\partial(\eta^*,\eta)/\partial(\zeta^*,\zeta)\). 一变量情形 \(\zeta=a\eta\) 给出 \(\mathrm{d}\zeta=a^{-1}\mathrm{d}\eta\), 可直接用 \(\int\mathrm{d}\zeta\,\zeta=1\) 检查方向.

扩展到 Boson, 可以写为统一形式
\[\int \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\xi_\alpha^*\,\mathrm{d}\xi_\alpha}{\mathcal{N}}\, \exp\!\left[ -\sum_{\alpha\beta}\xi_\alpha^*H_{\alpha\beta}\xi_\beta +\sum_\alpha(\eta_\alpha^*\xi_\alpha+\xi_\alpha^*\eta_\alpha) \right] = [\det H]^{-\zeta} \exp\!\left[ \sum_{\alpha\beta}\eta_\alpha^* \left(H^{-1}\right)_{\alpha\beta} \eta_\beta \right].\]

2 Green’s Functions

根据平衡(equilibrium)、零温、实时与否, 选择合适的 Green 函数

Green 函数的常用计算路径, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), §2.4, p.25. 红色式号沿用原讲义编号.

Remark 此图展示常用计算路线, 不表示各类 Green 函数只在某一种温度或状态下存在. 平衡态的实时间关联函数也可定义在有限温度; 热 Green 函数经适当的频率解析延拓可给出相应的实时间响应, 而围道形式同时容纳实时间分支和初始热态的虚时间分支.

2.1 Green’s Functions and Observables

引入 Green 函数是因为准粒子谱, 谱权重以及许多实验可观测物理量都可以用它们表示. 编时(Time-ordered) Green 函数尤其方便用于微扰论和泛函积分.

2.1.1 Time-Ordered Green’s Functions

Notation 本章平衡态单粒子 Green 函数的约定如下:

采用 \(K=H-\mu N\) 生成时间演化, 频率零点位于化学势; 上标 \((H)\) 仅表示 Heisenberg 绘景.
实时间函数含前因子 \(-\mathrm{i}\), 热 Green 函数含前因子 \(-1\), 均不另除以 \(\hbar\).

因此自由传播子的频域分母为

\[\omega-(\epsilon-\mu)/\hbar,\]

后面 Dyson 方程中的能量自能须以 \(\Sigma/\hbar\) 出现.

Definition 实时间 Green 函数

\[G^{(n)}(\alpha_1 t_1,\ldots,\alpha_n t_n;\alpha_1' t_1',\ldots,\alpha_n' t_n') = (-\mathrm{i})^n \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1)\cdots \hat{a}_{\alpha_n}^{(H)}(t_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^{(H)\dagger}(t_n')\cdots \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] \right\rangle,\]

其中上标 \((H)\) 表示 Heisenberg 绘景. 零温平衡时也可用泛函积分计算: 先以带收敛因子的长时间演化投影到基态, 再对含算符插入的振幅除以无插入振幅. 初始试探态须与所选基态有非零重叠; 若基态简并, 还须明确所选态或系综, 不能仅凭形式上的长时间极限确定它.

按时间降序重排算符:
\[\hat{T}\!\left[\hat{O}^{(H)}(t_1)\hat{O}^{(H)}(t_2)\cdots \hat{O}^{(H)}(t_n)\right] = \zeta^P \hat{O}^{(H)}(t_{P1})\hat{O}^{(H)}(t_{P2})\cdots \hat{O}^{(H)}(t_{Pn}).\]
\(P\) 是一个置换, 使得时间满足 \(t_{P1}\gt t_{P2}\gt \cdots \gt t_{Pn}\), 并在等时给出正规序.
Remark 单粒子 Green 函数可以理解为添加一个粒子/空穴的传播幅:
\[\begin{aligned} G(\alpha t;\alpha' t') &= -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t') \right] \right\rangle \\ &= -\mathrm{i} \left\{ \begin{array}{ll} \langle \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t')\rangle = \sum_n \rho_n \langle \hat{a}_\alpha^\dagger \Psi_n(t)|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K}(t-t')/\hbar}|\hat{a}_{\alpha'}^\dagger \Psi_n(t')\rangle, & t\gt t',\\[6pt] \zeta\langle \hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t')\hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\rangle = \zeta\sum_n \rho_n \langle \hat{a}_{\alpha'} \Psi_n(t')|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K}(t'-t)/\hbar}|\hat{a}_\alpha \Psi_n(t)\rangle, & t\le t'. \end{array} \right. \end{aligned}\]

上述 \(\Psi_n(t)\) 也由 \(K\) 生成时间演化.

Equation of motion 对于非相互作用系统: 假设 Hamiltonian \(\hat{K}_0=\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\), 我们有

\[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}G_0(\alpha t;\alpha' t') &= \hbar \left\langle \left[\hat{a}_\alpha,\hat{a}_{\alpha'}^\dagger\right]_{-\zeta}\right\rangle \delta(t-t') +(\epsilon_\alpha-\mu)G_0(\alpha t;\alpha' t')\\ &= \hbar\delta_{\alpha\alpha'}\delta(t-t') +(\epsilon_\alpha-\mu)G_0(\alpha t;\alpha' t'), \end{aligned}\]

其中我们利用关系式 \(\mathrm{i}\hbar \partial_t \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)=\left[\hat{a}_\alpha^{(H)}(t),\hat{K}_0\right]=(\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\).

对于相互作用系统, 运动方程与高阶 Green 函数相关, 自身不封闭.
施加边界条件
\[G_0(\alpha t,\alpha' t') = -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'} \begin{cases} 1+\zeta n_\alpha & t\rightarrow t'+0^+,\\ \zeta n_\alpha & t\rightarrow t', \end{cases} ,\qquad n_\alpha\equiv \langle \hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\rangle\]
解为
\[G_0(\alpha t;\alpha' t') = -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\epsilon_\alpha-\mu)(t-t')} \left[\theta(t-t'-\eta_t)(1+\zeta n_\alpha)+\theta(t'-t+\eta_t)\zeta n_\alpha\right],\]
其中时间移位 \(\eta_t\to0^+\) 固定等时取值; 下式另用收敛率 \(\eta_\omega\to0^+\), 二者分别具有时间和频率量纲.
上一步结果 Fourier 变换为
\[\begin{aligned} \tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) &\equiv \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\,G_0(\alpha t;\alpha' t')\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(t-t')}\\ &= \delta_{\alpha\alpha'} \left[ \frac{1+\zeta n_\alpha}{\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta_\omega} -\frac{\zeta n_\alpha}{\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta_\omega} \right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}. \end{aligned}\]
Proof 记 \(s=t-t'\), \(\omega_\alpha=(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar\). 代入上一式得
\[\begin{aligned} \tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) &= -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'} \left[ (1+\zeta n_\alpha)I_+ +\zeta n_\alpha I_- \right],\\ I_+ &= \int_{\eta_t}^\infty \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)s-\eta_\omega s} = \int_{\eta_t}^\infty \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega)s} = \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)\eta_t-\eta_\omega\eta_t}} {\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega},\\ I_- &= \int_{-\infty}^{\eta_t} \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)s+\eta_\omega s} = \int_{-\infty}^{\eta_t} \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega)s} = -\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)\eta_t+\eta_\omega\eta_t}} {\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega}. \end{aligned}\]
这里 \(I_+\) 需要在 \(s\to+\infty\) 加入 \(\mathrm{e}^{-\eta_\omega s}\), 而 \(I_-\) 需要在 \(s\to-\infty\) 加入 \(\mathrm{e}^{+\eta_\omega s}\). 因为 \(\mathrm{e}^{\pm\eta_\omega\eta_t}\to1\) 且 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\alpha\eta_t}\to1\), 分别取两种调节量的零极限即得
\[\tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) = \delta_{\alpha\alpha'} \left[ \frac{1+\zeta n_\alpha}{\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega} -\frac{\zeta n_\alpha}{\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega} \right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}.\]

Definition 虚时间 Green 函数(热 Green 函数): 是虚时 \(t=-\mathrm{i}\tau\), \(\tau\in[0,\hbar\beta)\) 的 Green 函数:

\[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\ldots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\ldots,\alpha_n'\tau_n') = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(\tau_1)\cdots \hat{a}_{\alpha_n}^{(H)}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^{(H)\dagger}(\tau_n')\cdots \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(\tau_1') \right] \right\rangle,\]

其中 \(\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\equiv \mathrm{e}^{\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\hat{a}_\alpha \mathrm{e}^{-\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau},\hat{a}_\alpha^{(H)\dagger}(\tau)\equiv \mathrm{e}^{\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\hat{a}_\alpha^\dagger \mathrm{e}^{-\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\). 如此定义是因为平衡密度矩阵可视为虚时间区间 \(t=-\mathrm{i}\hbar\beta\) 上的时间演化算符.

Remark \(\hat{a}_\alpha^{(H)\dagger}(\tau)\) 与 \(\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\) 不是 Hermitian 共轭. 热 Green 函数可用有限温度平衡系统的泛函积分计算.
(反)周期性 \(\mathcal{G}|_{\tau_i=0}=\zeta \mathcal{G}|_{\tau_i=\hbar\beta}\), 其中 \(\tau_i\) 表示 Green 函数的一个时间变量. Proof
\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\alpha 0;\alpha'\tau') &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\hat{a}_\alpha\right]\\ &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\left(\mathrm{e}^{\beta \hat{K}}\hat{a}_\alpha \mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\right)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\right]\\ &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\hat{a}_\alpha^{(H)}(\hbar\beta)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\right] = \zeta \mathcal{G}(\alpha \hbar\beta;\alpha'\tau'). \end{aligned}\]
Definition Matsubara 频率: 由于周期性, 时不变系统的热 Green 函数可展开为 Fourier 级数
\[\mathcal{G}(\alpha\tau,\alpha'\tau') = \frac{1}{\hbar\beta}\sum_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}\mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\omega_n), \qquad \mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\omega_n) = \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}\mathcal{G}(\alpha\tau,\alpha'\tau').\]
离散频率集合定义为
\[\omega_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{\hbar\beta} & \text{Boson}\\[4pt] \dfrac{(2n+1)\pi}{\hbar\beta} & \text{Fermion}, \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z\]

Equation of motion 非相互作用系统的 Green 函数:

\[\left( -\frac{\partial}{\partial\tau} -\frac{\epsilon_\alpha-\mu}{\hbar} \right)\mathcal{G}_0(\alpha\tau,\alpha'\tau') = \delta_{\alpha\alpha'}\delta(\tau-\tau').\]

解为 \[\mathcal{G}_0(\alpha\tau,\alpha'\tau') = -\delta_{\alpha\alpha'}\mathrm{e}^{-(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau-\tau')/\hbar} \left[\theta(\tau-\tau'-\eta)(1+\zeta n_\alpha)+\zeta\theta(\tau'-\tau+\eta)n_\alpha\right].\]
周期性给出 \[\zeta n_\alpha = \zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}(1+\zeta n_\alpha), \qquad n_\alpha = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}-\zeta},\] 这就是 Bose-Einstein (\(\zeta=1\)) 或 Fermi-Dirac (\(\zeta=-1\)) 分布函数.
Fourier 变换为 \[\mathcal{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega_n) = \delta_{\alpha\alpha'}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta}}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar}.\]

2.1.2 Static Observables

Kinetic
\[\langle\hat{T}\rangle = \mathrm{i}\zeta\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t^+) \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r}} = \mathrm{i}\zeta \mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \frac{\hbar^2k^2}{2m}\, \tilde{G}(\mathbf{k},\omega)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta},\]
这里 \(t^+\equiv t+0^+\), 且
\[G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}' t^+) = -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'t^+) \right] \right\rangle, \qquad \tilde{G}(\mathbf{k},\omega) = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}t\, G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t')\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')+\mathrm{i}\omega(t-t')}.\]
Interaction
\[\begin{aligned} \langle\hat{V}\rangle &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ \left( \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} +\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 +\mu \right) G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r},\;t'=t^+}\\ &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} \left( \hbar\omega-\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
为推导该公式, 我们利用恒等式:
\[\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t)\, \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{\psi}(\mathbf{r}t) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2-\mu \right)\hat{\psi}(\mathbf{r}t) + \int \mathrm{d}\mathbf{r}'\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t) v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}'t)\hat{\psi}(\mathbf{r}t).\]

Total

\[\begin{aligned} E_0 = \langle\hat{T}+\hat{V}\rangle &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ \left( \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 +\mu \right) G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r},\;t'=t^+}\\ &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} \left( \hbar\omega+\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega)\\ &= -\frac{1}{2}\zeta \mathcal{V} \frac{1}{\hbar\beta} \sum_{\omega_n} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta} \left( \mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega_n) \end{aligned}\]

Remark 使用单粒子 Green 函数计算总能可能有风险: 对单粒子性质影响甚微的看似无害的近似, 可能对总能产生不可控的巨大影响.

2.1.3 Response Functions

Linear Responses 线性叠加对多个场的总响应等于各场响应之和

电导率 为计算系统的电导率, 引入外电场, 并确定电流密度的期望值:
- 外电场在 Hamiltonian 中引入微扰:
  \[\Delta \hat{H} = -e\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\hat\rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}), \qquad \hat\rho(\mathbf{r})=\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]
  这里 \(\phi(\mathbf{r})\) 是电势, \(\hat\rho(\mathbf{r})\) 是密度算符.
- 我们需要计算电流密度算符
  \[\hat{\mathbf{j}}(\mathbf{r}) = \frac{\mathrm{i}e\hbar}{2m} \left\{ \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\nabla\hat{\psi}(\mathbf{r}) -\left[\nabla\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\right]\hat{\psi}(\mathbf{r}) \right\},\]
  到电场或 \(\phi(\mathbf{r})\) 的线性阶.
线性响应公式 考虑一个含时无穷小的外场:
\[\hat{H}_U(t)=\hat{H}+\hat{O}\,U(t).\]
- 时间演化算符 \(|\psi(t_f)\rangle=\hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i)|\psi(t_i)\rangle\):
  \[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathcal{U}}(t,t_i) &= \hat{H}_U(t)\hat{\mathcal{U}}(t,t_i)\\ \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i) &= \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\,\hat{H}_U(t) \right]\\ &\equiv \lim_{M\to\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_M)/\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_{M-1})/\hbar} \cdots \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_1)/\hbar}, \\ \epsilon &\equiv \frac{t_f-t_i}{M}, \qquad t_k=t_i+(k-1)\epsilon, \qquad k=1\ldots M \end{aligned}\]
  将时间区间 \([t_i,t_f]\) 划分为无穷小时间片, 整个区间的演化算符由所有小时间片的时间演化累积得到.
- 态的响应
  \[\begin{aligned} \delta |\psi(t)\rangle &= \int_{t_i}^{t}\mathrm{d}t'\,U(t') \left. \frac{\delta \hat{\mathcal{U}}(t,t_i)}{\delta U(t')} \right|_{U\to 0} |\psi(t_i)\rangle,\\ \left. \frac{\delta \hat{\mathcal{U}}(t,t_i)}{\delta U(t')} \right|_{U\to 0} &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \hat{\mathcal{U}}(t,t')\hat{O}\hat{\mathcal{U}}(t',t_i) \bigg|_{U\to 0} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\hat{O}^{(H)}(t'),\\ \hat{O}^{(H)}(t) &\equiv \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\hat{O}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\\ \implies \delta |\psi(t)\rangle &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar} \int_{t_i}^{t}\mathrm{d}t_1\, \hat{O}^{(H)}(t_1)|\psi(t_i)\rangle\,U(t_1). \end{aligned}\]
- 期望值 可观测量 \(\hat{R}\) 在时间 \(t\) 的期望值:
  \[\begin{aligned} \delta R(t) &= \sum_n \rho_n \left[ \langle \psi_n(t)|\hat{R}|\delta\psi_n(t)\rangle +\langle \delta\psi_n(t)|\hat{R}|\psi_n(t)\rangle \right]\\ &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t_1\, \theta(t-t_1) U(t_1)\, \left\langle \left[ \hat{R}^{(H)}(t),\hat{O}^{(H)}(t_1) \right] \right\rangle\\ D_{RO}^{\mathrm{r}}(t,t') &\equiv \frac{\delta R(t)}{\delta U(t')} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t-t') \left\langle \left[ \hat{R}^{(H)}(t),\hat{O}^{(H)}(t') \right] \right\rangle. \end{aligned}\]
  这就得到了推迟响应函数(Kubo 公式) Remark 响应函数是推迟的——因果性. 它不是编时期望值.

Scattering experiments 探测粒子(如电子或中子)通过相互作用势 \(v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\) 与多体系统中的微观粒子(如电子或原子)相互作用. 例如电子能量损失谱 (EELS); 中子散射.

探测粒子被多体系统散射的截面与密度关联函数有关. 以下记 \(W\) 为约去探针平面波归一化因子后的跃迁率谱, 它与散射截面成比例; 得到绝对微分截面还须计入探针归一化、末态相空间并除以入射通量. 探测粒子从波矢 \(\mathbf{k}\) 散射到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\),

\[W(\mathbf{q},\omega) = \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger(t)\hat\rho_{\mathbf{q}}\rangle,\]

其中 \(\hat\rho_{\mathbf{q}}=\sum_i \exp(-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{r}}_i)\) 是微观粒子密度算符的 Fourier 变换, \(\hbar\omega=E_\beta-E_\alpha\) 为靶系统吸收的能量, \(v_{\mathbf{q}}\) 是相互作用的 Fourier 变换.

Proof 确定探测粒子从波矢 \(\mathbf{k}\) 散射到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\), 被探测系统从 \(|\alpha\rangle\) 跃迁到 \(|\beta\rangle\) 的跃迁矩阵元:

\[\begin{aligned} T_{\alpha\beta}(\mathbf{q}) &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\langle \beta \left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{r}} \sum_i v(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right| \alpha \right\rangle\\ &= v_{\mathbf{q}} \left\langle \beta \left| \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i} \right| \alpha \right\rangle = v_{\mathbf{q}}\langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle. \end{aligned}\]

该约定的跃迁率由 Fermi 黄金规则确定:

\[\begin{aligned} W_\alpha(\mathbf{q},\omega) =& \frac{2\pi}{\hbar}|v_{\mathbf{q}}|^2 \sum_\beta \delta(E_\beta-E_\alpha-\hbar\omega) \big|\langle \beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle\big|^2 \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \sum_\beta \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_\beta-E_\alpha)t/\hbar} \big|\langle \beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle\big|^2 \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_\beta \mathrm{e}^{\mathrm{i}E_\alpha t/\hbar} \langle\alpha|\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger|\beta\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_\beta t/\hbar} \langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_\beta \langle\alpha|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}\hat{\rho}_\mathbf{q}^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}|\beta\rangle \langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle \alpha|\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger(t)\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle. \end{aligned}\]

这里 \(H\) 是未受探针扰动的靶系统 Hamiltonian. 对初态 \(\alpha\) 求平均得到密度关联公式.

角分辨光电子能谱 (ARPES): 光子将电子激发至多体系统之外:
\[I_{\mathbf{k}}(\omega) \propto \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger(0)\hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\rangle.\]
ARPES 技术测量强度正比于 \(f(\omega)A(\mathbf{k},\omega)\), 其中 \(f(\omega)\) 是 Fermi 分布函数. 面板 (b) 和 (c) 分别展示了非相互作用系统和相互作用 Fermi 液体系统的谱函数.

2.1.4 Species of Green’s Functions

编时 Green 函数
\[G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right] \right\rangle.\]
推迟 Green 函数
\[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i}\theta(t-t') \left\langle \left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right]_{-\zeta} \right\rangle.\]
超前 Green 函数
\[G^{\mathrm{a}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = \mathrm{i}\theta(t'-t) \left\langle \left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right]_{-\zeta} \right\rangle.\]
小于 Green 函数
\[G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i}\zeta \left\langle \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t')\hat{\psi}(\mathbf{r}t) \right\rangle.\]
大于 Green 函数
\[G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i} \left\langle \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right\rangle.\]

关系

\(G^{\mathrm{r}}-G^{\mathrm{a}}=G^{>}-G^{\lt }\).
编时 Green 标准定义
\[G=\theta(t-t^{\prime})G^>+\theta(t^{\prime}-t)G^\lt\]
在不同时间取不同值.
推迟/超前 Green 函数严格定义
\[G^{\mathrm{r}} = \theta(t-t')\left[G^{>}-G^{\lt }\right], \qquad G^{\mathrm{a}} = -\theta(t'-t)\left[G^{>}-G^{\lt }\right].\]
仅在未来/过去有值.
共轭关系
\[G^{\mathrm{a}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = \left[ G^{\mathrm{r}}(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*, \qquad G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\left[ G^{\lt }(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*, \qquad G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\left[ G^{>}(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*.\]

Remark 在平衡系统中, \(G\) 具有系统的微扰论. \(G^{\mathrm{r}/\mathrm{a}}\) 具有更好的解析结构, 并与物理响应相关. \(G^{\lt ,>}\) 与可观测量和散射实验的解释相关.

2.2 Fluctuation-Dissipation Theorem

在平衡系统中, 涨落-耗散定理将不同的 Green 函数联系起来.

2.2.1 Real-Time Green’s Functions

Fourier 表示 为简单起见, 考虑具有空间平移对称性的系统. Green 函数

\[\begin{aligned} G(\mathbf{k},\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')} G(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-0)\\ &= -\mathrm{i}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger \right] \right\rangle. \end{aligned}\]

谱函数

\[\begin{aligned} A(\mathbf{k},\omega) &= \mathrm{i}\left[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)-G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega)\right] = -2\operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)\\ &= \mathrm{i}\left[G^{>}(\mathbf{k},\omega)-G^{\lt }(\mathbf{k},\omega)\right]\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle \hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger -\zeta\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}}(t) \right\rangle. \end{aligned}\]

求和规则:
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}A(\mathbf{k},\omega) = \left\langle \left[ \hat{a}_{\mathbf{k}}(t),\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger(t) \right]_{-\zeta} \right\rangle =1.\]
态密度(每单位体积、每个内部分量, 以频率为变量):
\[\rho_\omega(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}A(\mathbf{k},\omega).\]
换用能量变量 \(\epsilon=\mu+\hbar\omega\), 定义同一内部分量的能量谱态密度 \(D_\epsilon\). 同一谱测度满足
\[\begin{aligned} \rho_\omega(\omega)\,\mathrm{d}\omega &=D_\epsilon(\epsilon)\,\mathrm{d}\epsilon,\\ D_\epsilon(\epsilon) &=\frac{1}{\hbar}\rho_\omega\!\left(\frac{\epsilon-\mu}{\hbar}\right). \end{aligned}\]
在无相互作用极限, \(D_\epsilon(\epsilon)=\int\mathrm{d}^3k\,\delta(\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}})/(2\pi)^3\) 是每体积、每自旋的能量态密度. 体积为 \(\mathcal{V}\) 的整个系统每自旋态密度为 \(\mathcal{V} D_\epsilon\); 两个自旋分量简并时, 每体积的总能量态密度为 \(D_{\mathrm{tot}}=2D_\epsilon\), 整个系统则为 \(2\mathcal{V} D_\epsilon\). 比较不同归一化时须分别检查体积因子、自旋简并度和 \(\mathrm{d}\epsilon=\hbar\,\mathrm{d}\omega\) 的测度换算.
对于非相互作用系统,
\[A(\mathbf{k},\omega)=2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{\hbar}\right).\]
这给出一个能量 \(\epsilon_\mathbf{k}\), 波矢 \(\mathbf{k}\) 的粒子
在一些相互作用电子系统中, Fermi 面附近 \(\mathbf{k}\) 的 \(A(\mathbf{k},\omega)\) 可出现峰-谷-肩 (peak-dip-hump) 结构: \(\omega=0\) 附近的峰(相干峰), 一个谷, 以及高能宽肩(非相干峰). 相干峰的有限宽度对应有限衰减寿命. 一般 Fermi 液体只要求准粒子峰与非相干背景, 不保证分离的谷或肩; 洁净系统在零温 Fermi 面处的峰宽可趋于零.

涨落-耗散关系 在平衡态下, 所有 Green 函数都可以与谱函数关联.

可以建立关系
\[G^{>}(\mathbf{k},\omega) = \zeta\,\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^{\lt }(\mathbf{k},\omega).\]
Proof 对于 \(\hat{K}|n\rangle=K_n|n\rangle\),
\[\begin{aligned} G^{\lt }(\mathbf{k},\omega) &= -\zeta\frac{\mathrm{i}}{Z} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_{n,m} \mathrm{e}^{-\beta K_n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(K_m-K_n)t/\hbar} \langle n|\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger|m\rangle \langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\\ &= -\zeta\frac{\mathrm{i}}{Z} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_n} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2 \\ G^{>}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{\mathrm{i}}{Z} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_m} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2\\ &= -\frac{\mathrm{i}}{Z}\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_n} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2. \end{aligned}\]
因此 \(G^{>}(\mathbf{k},\omega)=\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^{\lt }(\mathbf{k},\omega)\).
应用上述谱函数恒等式, 在 \(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta\ne0\) 时得到以下关系. 对 Boson, 这首先要求 \(\omega\ne0\); 若谱中有零频静态项或凝聚贡献, 须从原始 Lehmann 表示单独保留, 不能在零频处直接除以 \(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1\). KMS 关系在零频仍成立, 但谱函数的差本身不确定两个共同的静态项.
\[\begin{aligned} G^{\lt }(\mathbf{k},\omega) &= -\mathrm{i}\zeta n_\zeta(\omega)A(\mathbf{k},\omega),\\ G^{>}(\mathbf{k},\omega) &= -\mathrm{i}\left[1+\zeta n_\zeta(\omega)\right]A(\mathbf{k},\omega),\\ n_\zeta(\omega) &\equiv \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta}. \end{aligned}\]
Proof 由 \(A=\mathrm{i}(G^>-G^\lt )\) 和上一条关系 \(G^>=\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^\lt \), 有
\[A(\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i} \left(\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1\right) G^\lt (\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i}\zeta \left(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta\right) G^\lt (\mathbf{k},\omega).\]
因此
\[G^\lt (\mathbf{k},\omega) = -\mathrm{i}\zeta n_\zeta(\omega)A(\mathbf{k},\omega), \qquad G^>(\mathbf{k},\omega) = \zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^\lt (\mathbf{k},\omega) = -\mathrm{i}\left[1+\zeta n_\zeta(\omega)\right]A(\mathbf{k},\omega).\]
利用 Green 函数种类之间的关系, 我们有
\[\begin{aligned} G(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} A(\mathbf{k},\omega_1) \left[ -\frac{\zeta n_\zeta(\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta} +\frac{1+\zeta n_\zeta(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta} \right],\\ G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta},\\ G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta}. \end{aligned}\]
Proof 先写出反 Fourier 变换
\[G^{>,\lt }(\mathbf{k},t) = \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_1 t} G^{>,\lt }(\mathbf{k},\omega_1).\]
对推迟 Green 函数,
\[\begin{aligned} G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \theta(t)\left[G^>(\mathbf{k},t)-G^\lt (\mathbf{k},t)\right]\\ &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega_1) \frac{1}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta}, \end{aligned}\]
其中用了 \(G^>-G^\lt =-\mathrm{i}A\) 和 \(t>0\) 半轴的收敛处理
\[\int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1)t-\eta t} = \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta)t} = \frac{\mathrm{i}}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta}.\]
等价地, 对 \(t>0\) 的部分取 \(\omega\to\omega+\mathrm{i}0^+\), 使分母的极点 \(\omega=\omega_1-\mathrm{i}0^+\) 位于下半平面, 从而在上半平面解析.
类似地, 由 \(G^{\mathrm{a}}=-\theta(-t)(G^>-G^\lt )\) 和 \(t\lt 0\) 半轴的收敛处理
\[\int_{-\infty}^0 \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1)t+\eta t} = \int_{-\infty}^0 \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta)t} = -\frac{\mathrm{i}}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta}\]
即对 \(t\lt 0\) 的部分取 \(\omega\to\omega-\mathrm{i}0^+\), 极点 \(\omega=\omega_1+\mathrm{i}0^+\) 位于上半平面. 这给出超前 Green 函数的谱表示.
对编时 Green 函数使用 \(G=\theta(t)G^>+\theta(-t)G^\lt \), 同时保留这两个半轴处方, 再代入
\[G^>=-\mathrm{i}[1+\zeta n_\zeta]A, \qquad G^\lt =-\mathrm{i}\zeta n_\zeta A\]
得到第一式.
实部和虚部:
\[\begin{aligned} \operatorname{Re}G(\mathbf{k},\omega) &= \operatorname{Re}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = \operatorname{Re}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega)\\ &= \mathcal{P} \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1}\\ \operatorname{Im}G(\mathbf{k},\omega) &= -\left[ \tanh\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \right]^{-\zeta} \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
Proof 对上一个 Proof 中确定的极点处方使用 Plemelj 公式
\[\frac{1}{x\pm\mathrm{i}\eta} = \mathcal{P}\frac{1}{x} \mp \mathrm{i}\pi\delta(x).\]
三个谱表示的实部均来自主值积分, 因而相同. 虚部由 \(\delta(\omega-\omega_1)\) 给出:
\[\begin{aligned} \operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2} \left[1+2\zeta n_\zeta(\omega)\right] A(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
最后
\[1+2\zeta n_\zeta(\omega) = \frac{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}+\zeta} {\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta} = \left[ \tanh\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \right]^{-\zeta},\]
得到所列结果.

2.2.2 Thermal Green’s Function and Analytic Continuation

热谱表示 热 Green 函数也可以与谱函数关联:

\[\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}.\]

Proof 在 \(0\lt \tau\lt \hbar\beta\) 内, 热 Green 函数可写成

\[\mathcal{G}(\mathbf{k},\tau) = -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega_1) \frac{\mathrm{e}^{-\omega_1\tau}} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}}.\]

作 Matsubara Fourier 变换,

\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega_n-\omega_1)\tau}\\ &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}} \frac{ \mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega_n-\omega_1)\hbar\beta}-1 }{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}. \end{aligned}\]

由于离散 Matsubara 频率满足 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\hbar\beta}=\zeta\), 分子为 \(-[1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}]\), 从而得到热谱表示.

解析延拓 有限温度下的实时 Green 函数可通过解析延拓从热 Green 函数得到:

这里的延拓由谱表示定义: 对实轴外的 \(z\), 取 \(\mathcal{G}(\mathbf{k},z)=\int \mathrm{d}\omega'\,A(\mathbf{k},\omega')/[2\pi(z-\omega')]\). 在谱权重可积的情形, 任意离实轴有正距离的紧集上, 被积函数及其 \(z\) 导数有可积控制, 因而可在积分号下求导. 这给出上下半平面的解析函数, 它们在 Matsubara 点与热 Green 函数一致. 取边界值并用 \((x\pm\mathrm{i}0^+)^{-1}=\operatorname{PV}(1/x)\mp\mathrm{i}\pi\delta(x)\), 即得到以下关系. 实轴极点按分布理解; 有限个含噪 Matsubara 数据并不唯一确定一个谱函数, 不能只用任意插值后作变量替换.

我们有
\[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega+\mathrm{i}\eta}, \qquad G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) = \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega-\mathrm{i}\eta}.\]
有了热 Green 函数的解析形式, 谱函数可由下式确定
\[A(\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i}\left[ \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega+\mathrm{i}\eta} -\left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega-\mathrm{i}\eta} \right].\]
在热平衡、时间平移不变且使用 \(K=H-\mu N\) 生成演化时, 令 \(n_\zeta(\omega)=[\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta]^{-1}\), 则非奇异频率部分满足 \(G^\lt=-\mathrm{i}\zeta n_\zeta A\)、\(G^>=-\mathrm{i}(1+\zeta n_\zeta)A\), 其中 Boson 取 \(\zeta=1\), Fermion 取 \(\zeta=-1\). 对 Boson 的零频静态项或凝聚贡献, 仍须从原始 Lehmann 表示单独保留, 不能仅由谱函数的差恢复.

2.3 Non-equilibrium Green’s Function

引入非平衡 (Keldysh 或时间轮廓编时) Green 函数是因为:

实时 Green 函数直接与物理可观测量相关但难以计算;
解析延拓仅在具有热 Green 函数解析表达式时有用. 数值计算时, 热 Green 函数仅定义在离散 Matsubara 频率上, 此时解析延拓在数值上不稳定;
在非平衡系统中, 例如由超出线性响应区域的强外场驱动的系统, 涨落-耗散关系不适用.

Definition 非平衡 Green 函数: 统一了所有 Green 函数.

Notation 设初始时刻 \(t_{\mathrm i}=-T_0/2\), \(H_{\mathrm i}=H(t_{\mathrm i})\), \(K_{\mathrm i}=H_{\mathrm i}-\mu N\), 初态为 \(\rho_{\mathrm i}=\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm i}}/Z_{\mathrm i}\), \(Z_{\mathrm i}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm i}}\). 初始平衡态要求 \([H_{\mathrm i},N]=0\). 本节实时间支局部改用物理 \(H(t)\) 生成演化, 后续外场不必保持平衡; 虚时支则固定使用初态 \(K_{\mathrm i}\). 轮廓生成元记为

\[\mathscr{H}_C(z)= \begin{cases} H(z), &z\in C_1\cup C_2,\\ K_{\mathrm i}, &z=t_{\mathrm i}-\mathrm{i}\tau\in C_\beta. \end{cases}\]

以下 \(\mathcal U\) 沿相应分支由该生成元定义. 在定态且守粒子数时, 以 \(K=H-\mu N\) 和 \(H\) 生成的单粒子 Green 函数满足 \(G_K(t,t')=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu(t-t')/\hbar}G_H(t,t')\); 此处下标仅区分生成元. 下面实时间 \(G\)、\(G^\gt\)、\(G_C\) 均采用本节的 \(H\) 约定.

观察到所有 Green 函数(如 \(G^{>}\))都可转化为时间轮廓(Time Contour) \(C\) 编时迹, 而后者可用泛函积分计算. 这里的(反)周期性只指初态迹在轮廓起点与虚时支末端的缝合条件, 不能据此对非平衡实时间关联使用 KMS 条件或平衡 FDT.

热 Green 函数: 这里是初态 \(K_{\mathrm i}\) 的平衡虚时函数.
\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\mathbf{r}\tau;\mathbf{r}'\tau') &= -\left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}\tau)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'\tau') \right] \right\rangle\\ &= \begin{cases} -\dfrac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\hbar\beta-\tau)/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\tau-\tau')/\hbar} \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}\tau'/\hbar} \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }, & \tau\gt \tau',\\[12pt] -\zeta\dfrac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\hbar\beta-\tau')/\hbar} \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\tau'-\tau)/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}\tau/\hbar} \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }, & \tau\le \tau', \end{cases}\\ &= -\frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_\tau \exp\!\left( -\frac{1}{\hbar}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\hat{K}_{\mathrm i} \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}\tau)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'\tau') \right] }{ \operatorname{Tr}\!\left[ \exp\!\left( -\frac{1}{\hbar}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\hat{K}_{\mathrm i} \right) \right] }. \end{aligned}\]
其中 \(\hat{\psi}(\mathbf{r}\tau)\) 和 \(\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'\tau')\) 不是 Heisenberg 算符;其时间变量表示它们在时间有序迹中的插入位置.
其他 Green 函数:
\[\begin{aligned} G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= -\mathrm{i} \left\langle \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'t') \right\rangle\\ &= -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0}{2},t\right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\mathcal{U}}(t,t') \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\mathcal{U}}\!\left(t',-\frac{T_0}{2}\right) \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }\\ &= -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0^-}{2}-\mathrm{i}\hbar\beta,-\frac{T_0^-}{2}\right) \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0^-}{2},t^-\right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\mathcal{U}}(t^-,t'^+) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\mathcal{U}}\!\left(t'^+,-\frac{T_0^+}{2}\right) \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }\\ &\equiv -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}t^-)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t'^+) \right] }{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \right] }. \end{aligned}\]
其中时间 \(t^-\) 和 \(t'^+\) 的上标指示时间所属的时间轮廓 \(C\) 的分支.

Definition 轮廓编时 Green 函数

\[G_C(\mathbf{r}t,\mathbf{r}'t') = -\frac{\mathrm{i}}{Z_{\mathrm i}} \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right].\]

轮廓 \(C\) 由两个实时间分支 \(C_1\), \(C_2\) 和一个虚时分支 \(C_\beta\) 构成. 将时间变量分配到实时间分支即可得到实时间 Green 函数:
\[\begin{aligned} G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{11}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'),\\ G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{21}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'),\\ G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{12}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'). \end{aligned}\]
当两点都位于 \(C_\beta\) 上, 用 \(t=t_{\mathrm i}-\mathrm{i}\tau\) 参数化后, \(G_C=\mathrm{i}\mathcal G\); 因子 \(\mathrm{i}\) 来自两者分别采用 \(-\mathrm{i}\) 与 \(-1\) 的定义.
\(G_C\) 的四个实时分量不独立:
\[G_C^{11}+G_C^{22}=G_C^{12}+G_C^{21}.\]

3 Functional Integrals

我们先介绍 Feynman 路径积分. 对于多体系统, 我们介绍相干态泛函积分, 它只是相干基下的"路径积分".

3.1 Feynman Path Integrals

为计算时间演化函数

\[\mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) = \left\langle x_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)/\hbar} \right|x_i\right\rangle,\]

以下以一维 \(x,p\) 推导. \(d\) 维时应同时采用 \(d\) 维积分测度和 \(dM/2\) 次方的归一化因子. 我们如下构造路径积分:

时间切片: 将有限时间区间分为无穷小切片 \(\Delta t=\epsilon\equiv (t_f-t_i)/M\), 并在时间切片之间插入封闭关系:
\[\mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) = \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left\langle x_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{M-1}\right\rangle \left\langle x_{M-1}\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{M-2}\right\rangle \cdots \left\langle x_1\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_i\right\rangle.\]
Trotter 乘积公式: 对于 \(\hat{H}=T(\hat{p})+V(\hat{x})\),
\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} = \lim_{M\to\infty} \left( \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{T}t/(M\hbar)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{V}t/(M\hbar)} \right)^M.\]
计算每个时间切片的演化函数
- 插入完整的动量基矢:
  \[\left\langle x_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle = \int \mathrm{d}p_n\, \langle x_n|p_n\rangle \left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle.\]
- 将 \(\hat{H}\) 表示为正规形式: 将所有 \(\hat{p}\) 排列在所有 \(\hat{x}\) 的左边.
- 对于充分小的 \(\epsilon\),
  \[\left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle \approx \left\langle p_n\left| 1-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \hat{H} \right|x_{n-1}\right\rangle \approx \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H(p_n,x_{n-1})/\hbar} \langle p_n|x_{n-1}\rangle +O(\epsilon^2).\]
- 对 \(p_n\) 积分: 对于 \(\hat{H}=\hat{p}^{2}/2m+V(\hat{x})\) 的系统,
  \[\begin{aligned} \int \mathrm{d}p_n\, \langle x_n|p_n\rangle \left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle &\approx \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p_n\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left[ p_n(x_n-x_{n-1}) -\epsilon\frac{p_n^2}{2m} -\epsilon V(x_{n-1}) \right] \right\}\\ &= \sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon\hbar}} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon}\right)^2 -V(x_{n-1}) \right] \right\}. \end{aligned}\]
Remark 该近似有一定的任意性:
- \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar}\) 还是 \(1-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar\)? —— \(p_n\) 积分应收敛.
- \(V(x_{n-1})\), \(V(x_n)\), 还是 \([V(x_{n-1})+V(x_n)]/2\)? —— 它们在连续极限 \(\epsilon\to 0\) 下等价, 但 \([V(x_{n-1})+V(x_n)]/2\) 对有限 \(\epsilon\) 给出更高精度.
将所有切片上的演化函数串联起来:
\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 -V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x(t)) \right) \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}, \end{aligned}\]
其中隐含 \(x_M=x_f\) 和 \(x_0=x_i\), 且
\[S[x(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t\,L[\dot{x}(t),x(t)]\]
是系统的经典作用量, \(L\) 是 Lagrangian. 连续形式只是离散形式的简记.

Hamiltonian 形式

\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \prod_{k=1}^{M}\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi\hbar}\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ p_k\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon} -\frac{p_k^2}{2m} -V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t),p(t)]\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \bigl(p(t)\dot{x}(t)-H(p(t),x(t))\bigr) \right\}. \end{aligned}\]

注意有 \(M-1\) 个中间位置和 \(M\) 个动量.

Path integral average

\[\begin{aligned} \left\langle O_1(x(t_1))O_2(x(t_2))\right\rangle_S &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, O_1(x(t_1))O_2(x(t_2)) \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}\\ &= \int \mathrm{d}x_1\,\mathrm{d}x_2 \begin{cases} \mathcal{U}(x_f t_f,x_1 t_1)\,O_1(x_1)\,\mathcal{U}(x_1 t_1,x_2 t_2)\,O_2(x_2)\,\mathcal{U}(x_2 t_2,x_i t_i), & t_1\gt t_2,\\[6pt] \mathcal{U}(x_f t_f,x_2 t_2)\,O_2(x_2)\,\mathcal{U}(x_2 t_2,x_1 t_1)\,O_1(x_1)\,\mathcal{U}(x_1 t_1,x_i t_i), & t_1\lt t_2, \end{cases}\\ &\equiv \left\langle x_f\left| \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1(t_1)\hat{O}_2(t_2) \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t\,\hat{H}(t) \right) \right] \right|x_i\right\rangle\\ &= \begin{cases} \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_1)\hat{O}_1\hat{\mathcal{U}}(t_1,t_2)\hat{O}_2\hat{\mathcal{U}}(t_2,t_i) \right|x_i\right\rangle, & t_1\gt t_2,\\[6pt] \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_2)\hat{O}_2\hat{\mathcal{U}}(t_2,t_1)\hat{O}_1\hat{\mathcal{U}}(t_1,t_i) \right|x_i\right\rangle, & t_1\lt t_2, \end{cases}\\ &= \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i) \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(t_1)\hat{O}_2^{(H)}(t_2) \right] \right|x_i\right\rangle. \end{aligned}\]

其中 \(t_f\ge t_1,t_2\ge t_i\). 我们注意到:

上述算符表达式中的 \(\hat{O}_1(t_1)\) 和 \(\hat{O}_2(t_2)\) 不是 Heisenberg 算符. 时间参数仅指示算符应插入的位置.
对还依赖于 \(\hat{p}\) 的算符, 先将算符写成正规形式, 再使用 Hamiltonian 形式的路径积分, 并应用替换 \(\hat{O}(\hat{p},\hat{x})\to O(p_{k+1},x_k)\).
平均是上述算符的矩阵元, 不是 Heisenberg 算符的编时乘积.

Commutation relation

对易关系 \([\hat{x},\hat{p}]=\mathrm{i}\hbar\) 对应路径积分恒等式
\[\mathrm{i}\hbar \langle 1\rangle_S = \langle p_\sigma x_\sigma-p_{\sigma+1}x_\sigma\rangle_S, \qquad \sigma=1,\ldots,M-1.\]
它是一般路径积分恒等式的特例
\[\left\langle \frac{\delta F}{\delta x(\sigma)} \right\rangle_S = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle F\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)} \right\rangle_S, \qquad t_i\lt \sigma\lt t_f.\]

Proof

固定端点的路径积分在 \(x(t)\to x(t)+\eta(t)\), \(\eta(t_i)=\eta(t_f)=0\) 下不变. 恒等式只针对内部时间; 以下假设受调节积分的分部积分边界项为零. 因此,
\[\begin{aligned} 0 &= \int \mathcal{D}[x(t)] \left\{ F[x(t)+\eta(t)]\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)+\eta(t)]/\hbar} -F[x(t)]\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar} \right\}\\ &= \int \mathrm{d}\sigma \int \mathcal{D}[x(t)] \left\{ \frac{\delta F}{\delta x(\sigma)} +\frac{\mathrm{i}}{\hbar}F\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)} \right\} \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}\eta(\sigma) +O(\eta^2). \end{aligned}\]
由于 \(\eta(t)\) 是任意的, 我们得到上述一般恒等式.
这一步在有限切片上取 \(F=x_\sigma\), 用普通偏导 \(\partial x_\sigma/\partial x_\sigma=1\), 而非把连续泛函导数的 \(\delta(0)\) 当成 1. 利用 Hamiltonian 形式, 我们有
\[\langle 1\rangle_S = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle x_\sigma\left[p_\sigma-p_{\sigma+1}-\epsilon V'(x_\sigma)\right] \right\rangle_S.\]
在 \(\epsilon\to 0\) 时得到上述恒等式.

3.2 Imaginary-Time Path Integrals and the Partition Function

虚时路径积分来自替换 \(t\to -\mathrm{i}\tau\).

Imaginary-Time Path Integrals 可由实时间路径积分作替换 \(t\to -\mathrm{i}\tau\) 得到:

\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f\tau_f,x_i\tau_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,\tau_i}^{x_f,\tau_f} \mathcal{D}[x(\tau)]\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right] \right\}. \end{aligned}\]

其中隐含 \(x_0=x_i\) 和 \(x_M=x_f\); 下文以 \(\mathcal U_E\) 表示这个 Euclidean 核.

配分函数 正是虚时演化算符的迹:
\[Z = \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} = \int \mathrm{d}x\, \left\langle x\left| \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} \right|x\right\rangle = \int \mathrm{d}x\, \mathcal{U}_{E}(x,\hbar\beta;x,0).\]
因此, 其路径积分对 \(\tau\in[0,\hbar\beta)\) 上的所有周期轨迹求和:
\[\begin{aligned} Z &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x(\hbar\beta)=x(0)} \mathcal{D}[x(\tau)]\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right] \right\}. \end{aligned}\]
其中隐含 \(x_0=x_M\), \(\epsilon=\hbar\beta/M\).

Path integral average 在虚时间区间 \([0,\hbar\beta)\) 上对应 Heisenberg 算符虚时有序乘积的热力学期望值:

\[\begin{aligned} \left\langle O_1(x(\tau_1))O_2(x(\tau_2))\right\rangle_S &\equiv \frac{1}{Z} \int \mathrm{d}x \int_{x,0}^{x,\hbar\beta} \mathcal{D}[x(\tau)]\, O_1(x(\tau_1))O_2(x(\tau_2)) \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar}S[x(\tau)]}\\ &= \frac{1}{Z} \int \mathrm{d}x\, \left\langle x\left| \hat{\mathcal{U}}(-\mathrm{i}\hbar\beta,0) \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right|x\right\rangle\\ &= \frac{1}{Z} \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right]\\ &\equiv \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right\rangle. \end{aligned}\]

Classical isomorphism 经典同构将量子粒子映射为具有 \(M\) 个 beads 的经典环状聚合物, 每个珠子对应虚时中一个时刻的粒子.

\[\begin{aligned} H_{\mathrm{iso}}[x(\tau)] &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right]\\ &\approx \frac{1}{M}\sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right]. \end{aligned}\]

其中 \(x_0=x_M\). 第一项成为环状聚合物的弹性能.

上图为 \(M=5\) 的情形. \(M\) 也称为 Trotter 数.

该映射是模拟量子系统的路径积分蒙特卡洛/分子动力学 (PIMC/PIMD) 方法的基础.

Exchange symmetry 全同粒子系统的交换对称性将结果修改为

\[Z = \frac{1}{N!}\sum_P \zeta^P \int_{x_i(\hbar\beta)=x_{P(i)}(0)} \prod_i \mathcal{D}[x_i(\tau)]\, \exp\!\left[ -\frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\,\left[\sum_i\frac{m_i}{2}\dot x_i(\tau)^2+V(\{x_i(\tau)\})\right] \right].\]

Remark 置换端点可以实现交换对称性; Boson PIMC 可采样交换循环. Fermion 的置换符号会导致严重的符号问题, 困难程度取决于具体模型和算法.

3.3 Coherent-State Functional Integrals

相干态泛函积分是相干基而非位置基下的"路径积分". 交换对称性的影响由 Hamiltonian 的二次量子化形式自动处理.

在相干基中, 时间演化函数定义为
\[\mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) = \left\langle \psi_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)/\hbar} \right|\psi_i\right\rangle.\]
应用时间切片并插入相干态的封闭关系:
\[\mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) = \int \prod_{k=1}^{M-1} \left[ \frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\, \mathrm{e}^{-\psi_k^*\cdot\psi_k} \right] \prod_{k=1}^{M} \left\langle \psi_k\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|\psi_{k-1}\right\rangle,\]
其中 \(\psi_M^*=\psi_f^*\), \(\psi_0=\psi_i\).
将二次量子化 Hamiltonian 表达为正规形式: 产生算符放在湮灭算符左边. 时间切片的矩阵元为
\[\left\langle \psi_k\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})/\hbar} \right|\psi_{k-1}\right\rangle \approx \exp\!\left[ \psi_k^*\cdot\psi_{k-1} -\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right].\]
演化函数为:
\[\begin{aligned} \mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ \psi_M^*\cdot \psi_{M-1} -\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}H(\psi_M^*,\psi_{M-1}) \right. \\ &\quad\ \left. +\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M-1} \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi_k^*\cdot\frac{\psi_k-\psi_{k-1}}{\epsilon} -H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \mathrm{e}^{\psi_f^*\cdot \psi_f} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}S[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) \\ S[\psi,\psi^*] &= \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi^*(t)\cdot \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} -H(\psi^*(t),\psi(t)) \right]. \end{aligned}\]
固定的边界只有 \(\psi_M^*=\psi^*(t_f)\equiv \psi_f^*\) 和 \(\psi_0=\psi(t_i)\equiv \psi_i\). 连续简写中的 \(\psi_f\) 是把末片写入一阶作用量时的辅助端点值: 外因子 \(\mathrm e^{\psi_f^*\cdot\psi_f}\) 与末片动能项中的 \(-\psi_M^*\cdot\psi_M\) 相消, 恢复上面的离散公式; 不能再把 \(\psi(t_f)=\psi_f\) 当成额外固定的边界.

Remark

连续形式由离散形式定义. 其他离散形式可能导致错误结果.
场变量 \(\psi\) 和 \(\psi^*\) 可有多个分量 \(\psi^\alpha\), \(\psi^{\alpha*}\). 根据分量指标 \(\alpha\) 的含义, 场解释为:
- 若 \(\alpha\equiv \mathbf{r}\) 表示位置: \(\psi^\alpha\to \psi(\mathbf{r},t)\), \(A\cdot B\equiv \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,A(\mathbf{r},t)B(\mathbf{r},t)\);
- 若 \(\alpha\equiv \mathbf{p}\) 表示动量: \(\psi^\alpha\to \psi_{\mathbf{p}}(t)\), \(A\cdot B\equiv \sum_{\mathbf{p}}A_{\mathbf{p}}(t)B_{\mathbf{p}}(t)\).
多粒子系统映射为量子场-Schrödinger 场:
\[S[\psi,\psi^*] = \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left[ \mathrm{i}\hbar\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \psi^*(\mathbf{r},t)\frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} -H[\psi^*,\psi] \right].\]

3.4 Partition Function and Green’s Functions

各种物理量都可以表示为泛函积分.

Partition function 配分函数正是虚时演化算符的迹. 本段为平衡态 grand canonical 配分函数, \(\epsilon=\hbar\beta/M\); \(H[\psi^*,\psi]\) 表示总 Hamiltonian 的正规序符号, 可以包含非局域空间积分. 利用相干态的迹公式:

\[\begin{aligned} Z &= \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}} = \int \left[\frac{\mathrm{d}\psi^*\,\mathrm{d}\psi}{\mathcal{N}}\right] \mathrm{e}^{-\psi^*\cdot\psi} \left\langle \zeta\psi\left| \mathrm{e}^{-\beta\hat{K}} \right|\psi\right\rangle \\ &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \hbar\psi_k^*\cdot\frac{\psi_k-\psi_{k-1}}{\epsilon} -\mu \psi_k^*\cdot\psi_{k-1} +H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) \\ S[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, \left[ \psi^*(\tau)\cdot(\hbar\partial_\tau-\mu)\psi(\tau) +H(\psi^*(\tau),\psi(\tau)) \right]. \end{aligned}\]

边界条件是相干态迹公式的结果: \(\psi_0=\zeta\psi_M\).

Thermal Green’s functions 热 Green 函数可表示为路径积分平均:

\[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\ldots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\ldots,\alpha_n'\tau_n') = \frac{(-1)^n}{Z} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left(-\frac{S[\psi,\psi^*]}{\hbar}\right)\, \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots \psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1').\]

周期性边界条件 \(\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)\) 隐含成立, \(\psi^*\) 也满足相同的(反)周期条件. 插入点重合时须按离散公式取分裂时间极限.

Contour ordered Green’s function 实时间支用物理 \(H(t)\), 虚时支用初态 \(K_{\mathrm{i}}=H(t_{\mathrm{i}})-\mu N\), 归一化为 \(Z_{\mathrm{i}}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm{i}}}\). 轮廓编时 Green 函数也可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} G_C(\mathbf{r}t,\mathbf{r}'t') &= -\frac{\mathrm{i}}{Z_{\mathrm i}} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \psi(\mathbf{r},t)\psi^*(\mathbf{r}',t') \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_C[\psi,\psi^*] \right),\\ S_C[\psi,\psi^*] &= \int_C \mathrm{d}t\, \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi^*(t)\cdot \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} -\mathscr H_C[\psi^*,\psi;t] \right]. \end{aligned}\]

时间沿轮廓 \(C\) 从 \(t_{\mathrm{i}}\) 向前至观测终点, 再返回 \(t_{\mathrm{i}}\), 最后沿虚时方向到达 \(t_{\mathrm{i}}-\mathrm{i}\hbar\beta\). 初态是 \(\rho_{\mathrm i}=\mathrm e^{-\beta K_{\mathrm i}}/Z_{\mathrm i}\), 后续实时间驱动不要求保持平衡. 在此条件下, 轮廓 \(C\) 两端的场满足(反)周期性边界条件

\[\psi\!\left(-\frac{T_0^+}{2}\right) = \zeta\, \psi\!\left(-\frac{T_0^-}{2}-\mathrm{i}\hbar\beta\right).\]

Non-interacting system

Partition function 配分函数为
\[\begin{aligned} \hat{K}_0 &= \sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\\ Z_0 &= \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{\alpha*}\,\mathrm{d}\psi_k^\alpha}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ -\sum_{k=1}^{M} \psi_k^{\alpha*} \left[ (\psi_k^\alpha-\psi_{k-1}^\alpha) +\frac{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}{M}\psi_{k-1}^\alpha \right] \right\}\\ &\equiv \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{\alpha*}\,\mathrm{d}\psi_k^\alpha}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left[ -\psi^{(\alpha)\dagger}S^{(\alpha)}\psi^{(\alpha)} \right]\\ &= \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha [\det S^{(\alpha)}]^{-\zeta} = \prod_\alpha \left( 1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)} \right)^{-\zeta}. \end{aligned}\]
对 Boson, 上述积分要求每模 \(\epsilon_\alpha-\mu>0\), 有限 \(M\) 取足够大使 \(|a|\lt 1\); 零模或凝聚模须单独处理. Fermion 没有此收敛限制. 其中
\[\begin{aligned} S^{(\alpha)} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & -\zeta a\\ -a & 1 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & -a & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{bmatrix},\\ \psi^{(\alpha)} &= \begin{bmatrix} \psi_1^\alpha\\ \psi_2^\alpha\\ \vdots\\ \psi_M^\alpha \end{bmatrix}, \qquad a = 1-\frac{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}{M}, \\ \det S^{(\alpha)} &= 1-\zeta a^M \to 1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}. \end{aligned}\]
Thermal Green’s function 热 Green 函数:
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0(\alpha\tau_q;\alpha'\tau_r) &= -\delta_{\alpha\alpha'} \frac{\zeta}{Z_0^{(\alpha)}} \left. \frac{\partial^2}{\partial J_q^*\partial J_r} \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{(\alpha)*}\,\mathrm{d}\psi_k^{(\alpha)}}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left[ -\sum_{jk}\psi_j^{(\alpha)*}S_{jk}^{(\alpha)}\psi_k^{(\alpha)} +\sum_i \left(J_i^*\psi_i^{(\alpha)}+\psi_i^{(\alpha)*}J_i\right) \right] \right|_{J=J^*=0}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'}\zeta \left. \frac{\partial^2}{\partial J_q^*\partial J_r} \exp\!\left( \sum_{jk}J_j^*\left[S^{(\alpha)}\right]^{-1}_{jk}J_k \right) \right|_{J=J^*=0}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'} \left(S^{(\alpha)}\right)^{-1}_{qr}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau_q-\tau_r)/\hbar} \left[ \theta(\tau_q-\tau_r)(1+\zeta n_\alpha) +\zeta\theta(\tau_r-\tau_q)n_\alpha \right]. \end{aligned}\]
末行是 \(M\to\infty\) 后非等时 \(q\ne r\) 的结果. 同切片逆矩阵给 \(\mathcal G_{qq}=-(1+\zeta n_\alpha)\), 即 \(0^+\); 正规序密度的插入应使用 \(\psi_k^*\psi_{k-1}\), 对应正规序关联的 \(0^-\) 极限. 其中 \(Z_0^{(\alpha)}\equiv [\det S^{(\alpha)}]^{-\zeta}\).
Matrix formula 配分函数可表示为与基矢选择无关的矩阵形式. 利用矩阵恒等式 \(\det S=\exp(\operatorname{Tr}\ln S)\) 和上述方程, 我们有
\[Z_0 = \exp\!\left[ -\zeta\,\operatorname{Tr}\ln\!\left(-\hat{\mathcal{G}}_0^{-1}\right) \right].\]
\(-\hat{\mathcal{G}}_0^{-1}\) 应解释为类似上面 \(S^{(\alpha)}\) 的矩阵, 其中 \(a\to \hat{a}\equiv 1-\beta(\hat{h}_0-\mu)/M\), 而 \(\hat{h}_0\) 表示单粒子 Hamiltonian 算符.