Quantum Many-Body Theory - 2
量子多体理论笔记（二）
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4 Perturbation Theory
4.1 General Strategy
将 Hamiltonian 分解为两部分 \(\hat{K}=\hat{K}_0+\hat{V}\), 其中 \(\hat{K}_0\) 可解. 可对角化 \(\hat{K}_0\) 并写为
\[\hat{K}_0=\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha,\]而 \(\hat{V}(\hat{a}^\dagger,\hat{a})\) 是 Hamiltonian 的剩余部分, 例如相互作用.
Zeroth-order Hamiltonian 恰当选择 \(\hat{K}_0\) 是求解多体问题最关键的一步. 什么才是合适的选择并不总是显而易见的. 例如, 对于具有电子动能与 Coulomb 二体相互作用、并由均匀正电背景保持中性的电子气 Hamiltonian, 至少有如下两种 \(\hat{K}_0\) 选择:
二次量子化 Hamiltonian 的动能部分
\[\hat{K}_0=\sum_{k\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\mu\right)\hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma} \qquad \hat{V} = \frac{e^2}{2\mathcal{V}}\sum_{q\ne 0}\sum_{k\sigma,p\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{k+q,\sigma}^\dagger \hat{a}_{p-q,\sigma'}^\dagger \hat{a}_{p,\sigma'} \hat{a}_{k,\sigma}.\]这是高密度电子液体相的合适选择.
在低密度极限下, 电子形成固体 (Wigner 晶体). Hamiltonian 的一次量子化形式可按电子偏离平衡位置的位移展开为 Taylor 级数. 此时 \(\hat{H}_0\) 应选择为声子的 Hamiltonian, 它代表固体的简谐振动模式: \(\hat H_0=\sum_{\mathbf{q} s}\hbar\omega_{\mathbf{q} s}(\hat b^\dagger_{\mathbf{q} s}\hat b_{\mathbf{q} s}+1/2)\), 其中 \(\mathbf{q},s\) 标记波矢和振动支. 位移展开中三次及更高次的非简谐项给出声子之间的相互作用.
这两种选择代表了电子的两个不同相. 若从 \(\hat{K}_0\) 的不恰当选择出发, 单靠微扰方法永远无法得到正确答案.
将物理量表示为泛函积分:
\[Z = \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S_0[\psi,\psi^*]+S_V[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) = Z_0 \left\langle \exp\!\left( -\frac{S_V[\psi^*,\psi]}{\hbar} \right) \right\rangle_0,\]其中
\[\begin{aligned} S_0[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \psi^*(\tau)\cdot \hbar\partial_\tau \psi(\tau) +\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\psi_\alpha^*(\tau)\psi_\alpha(\tau) \right]\\ S_V[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, V(\psi^*(\tau),\psi(\tau)), \end{aligned}\]可观测量期望
\[\left\langle \hat{F}(\psi^*,\psi)\right\rangle_0 \equiv \frac{1}{Z_0} \int_{\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\hat{F}(\psi^*,\psi).\]将上述相互作用指数按 \(V\) 的幂级数展开:
\[\frac{Z}{Z_0} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n\, \left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0.\]应用公式计算展开
\[\left\langle \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_k}(\tau_k) \psi_{\beta_k}^*(\tau_k')\cdots \psi_{\beta_1}^*(\tau_1') \right\rangle_0 = (-1)^k\sum_P \zeta^P \mathcal{G}_{0\alpha_{P_k}\beta_k}(\tau_{P_k},\tau_k') \cdots \mathcal{G}_{0\alpha_{P_1}\beta_1}(\tau_{P_1},\tau_1'),\]此式由 Gaussian 积分公式导出
\[\frac{ \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \psi_{i_1}\psi_{i_2}\cdots \psi_{i_k} \psi_{j_k}^*\cdots \psi_{j_2}^*\psi_{j_1}^*\, \mathrm{e}^{-\sum_{ij}\psi_i^*S_{ij}\psi_j} }{ \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{-\sum_{ij}\psi_i^*S_{ij}\psi_j} } = \sum_P \zeta^P S^{-1}_{i_{P_k}j_k}\cdots S^{-1}_{i_{P_1}j_1},\]其中 \(S_{ij}^{-1}=-[\mathcal{G}_0]_{ij}\).
Wick’s theorem 本质上是上述公式的重述:
\[\left\langle \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\beta_n}^*(\tau_n')\cdots \psi_{\beta_1}^*(\tau_1') \right\rangle_0 = \sum \text{all complete contractions}.\]- 对所有可能的 \(\psi_i\) 与 \(\psi_j^*\) 配对方式求和 (完全缩并). 每个配对代以因子 \(S_{ij}^{-1}\equiv -\mathcal{G}_0(\alpha_i\tau_i,\beta_j\tau_j')\).
- 完全缩并的符号 \(\zeta^P\) 由将配对的 \(\psi_i\) 和 \(\psi_j^*\) 移至相邻位置的置换 \(P\) 决定.
Convergency 微扰论通常给出渐近级数而非收敛级数, 如下简单示例所示:
\[Z(g) = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/2-gx^4/4} \approx \sum_n g^n Z_n.\]该级数不收敛, 因为对固定 \(g>0\), 当 \(n\to \infty\) 时 \(|g^n Z_n|\sim (4gn/\mathrm{e})^n/\sqrt{n\pi}\to \infty\).
重整求和可为渐近级数定义有限的值, 但不保证原级数收敛. 如下非交错示例须选定主值处方, 且 \(t\to0^+\):
\[\mathcal{P}\!\int_0^\infty \mathrm{d}w\, \frac{\mathrm{e}^{-w/t}}{1-w} \simeq \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^\infty \mathrm{d}w\,w^n\mathrm{e}^{-w/t} = \sum_{n=0}^{\infty} n!t^{n+1}.\]若无论如何都无法使展开收敛, 则应考虑 \(\hat{K}_0\) 的选择不恰当的可能性, 即存在非平庸相的可能性.
4.2 Finite Temperature Formalism
我们计算两体相互作用的展开
\[V\!\bigl(\psi^*(\tau),\psi(\tau)\bigr) = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta\gamma\delta} (\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\, \psi_\alpha^*(\tau)\psi_\beta^*(\tau)\psi_\delta(\tau)\psi_\gamma(\tau),\]将完全缩并用图表示即得到 Feynman 图技术.
4.2.1 Labeled Feynman Diagrams
可用一组图表示 \(\left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0\).
General idea
每个 \(V(\tau_i)\) 由一个具有两条入线和两条出线的顶点表示, 携带矩阵元 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\).
箭头指示矩阵元中态指标的顺序. 缩并, 即 Green 函数, 由传播子(propagator)线表示. 注意箭头方向并不是时序, 而是从产生到湮灭.
对幂级数展开
\[\frac{Z}{Z_0} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n\, \left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0.\]\(n\) 阶项由具有 \(n\) 个顶点 \(\tau\) (看起来像线但其实叫点)和 \(2n\) 条传播子线(注意四个传播子在封闭图平均下来是两条线)的图表示.
以所有可能的方式用传播子线连接相互作用顶点. 画出所有不同的图, 并确定符号和系数.
Distinct labeled diagrams 每个顶点标注时间 \(\tau_i\) 和方向. 每条传播子标注方向. 若两个标注图不能通过变形完全重合 (包括顶点的时间标注和传播子线的方向), 则它们不同.
Signs and coefficients 每个闭合 Fermion 传播子圈贡献符号 \(-1\). \(n\) 阶图具有整体因子 \((-1/\hbar)^n/(2^n n!)\).
Rules for labeled diagrams
画出所有由 \(n\) 个顶点和 \(2n\) 条传播子线连接而成的不同标注图.
为每条传播子线分配态指标, 并包含因子
等时传播子 \(\tau=\tau'\) 解释为 \(\tau'=\tau+0^+\), 因为相互作用处于正规序, 即产生算符在左, 湮灭算符在右.
每个顶点包含因子 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\).
对所有态指标求和, 并对所有时间在区间 \([0,\hbar\beta)\) 上积分.
结果乘以因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \times \frac{1}{2^n} \times \zeta^{n_L} \times (-1)^{2n} = \frac{(-1/\hbar)^n}{2^n n!}\zeta^{n_L},\]其中 \(n_L\) 是闭合 Fermion 圈数. \((-1/\hbar)^n/n!\) 是幂级数展开系数; \(1/2^n\) 是相互作用势中的系数; \(\zeta^{n_L}\) 是Wick 缩并的符号; \((-1)^{2n}\): 每个缩并对应一个 \(-\mathcal{G}\) 因子, 共 \(2n\) 个缩并.
4.2.2 Unlabeled Feynman Diagrams
仅因 \(\tau\) 标签和顶点箭头方向不同而异的标注图给出相同的贡献. 我们可以通过消除这些标签来简化 Feynman 规则.
Symmetry factor \(S\)
共有 \(2^n n!\) 个对称操作: \(n!\) 个时间标签的置换; \(2^n\) 个顶点方向(虚线)的翻转.
并非所有操作都产生不同的标注图. 对给定的标注图, 存在一个仅产生变形的操作子群. 对称因子 \(S\) 为该子群的阶. 因此给出相同值的不同标注图的数量为
\[\frac{2^n n!}{S}.\]因此, 标注图只需计算一次, 再将结果乘以上述因子.
Remark Simple rule for determining \(S\):
- 移除一条传播子线得到一个自能图. 对不同传播子线重复此过程以获得 \(2n\) 个自能图.
- 并非所有得到的自能图都不同, 某个图可能出现多次. 若切开后的图没有保持外腿固定的非平凡自同构, 对称因子 \(S\) 等于该图出现的次数. 一般地, 若该次数为 \(m\), 切开图的对称因子为 \(S_{\mathrm{cut}}\), 则 \(S=mS_{\mathrm{cut}}\).
Example \(n = 2\)
这些 \(S\) 是无标号图的对称因子: 保持费米线方向与相互作用端点连接的重标号数, 不按画面中的距离或弯曲程度计数. 五幅图从左到右为 \(4,2,1,2,4\).
后面两个都要联合操作(旋转), 分别转 180 和 90 度.
Rules for unlabeled diagrams
画出所有不含时间标签和顶点方向的不同图.
乘以因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n}{2^n n!} \times \zeta^{n_L} \times \frac{2^n n!}{S} = \frac{(-1/\hbar)^n}{S}\zeta^{n_L}.\]
4.2.3 Hugenholtz Diagrams
我们可通过消除显式的虚线相互作用线进一步简化图解. 引入对称化或反对称化的矩阵元
\[\{\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta\} \equiv (\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta) + \zeta(\alpha\beta|\hat{v}|\delta\gamma).\]注意矩阵元中 \(\alpha\beta\) 和 \(\gamma\delta\) 的顺序.
Symmetry factor
\[S=2^{n_e}S_D,\]其中 \(S_D\) 是保持图不变的时间标签置换数, \(n_e\) 是等效传播子线对数. 等效对指两条传播子线始于同一顶点, 终于同一顶点, 指向相同方向. 前几个连通的 Hugenholtz 图为:
一阶:
二阶 (连通):
三阶 (连通):
三阶连通 Hugenholtz 图, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.38, 原讲义式(4.29). 图中 \(S_D\) 和 \(n_e\) 用于对称因子, 不能作为闭合传播子圈数 \(n_L\) 使用; 按上排、下排各从左到右的顺序, \(S=2^{n_e}S_D\) 分别为 2, 3, 2, 24, 6.
Remark Simple rule for determining \(S_D\):
- 依次移除一条非等效传播子线以生成一组自能图. 若两条传播子线构成等效对, 则只需移除一次.
- 仅当切开图没有残余的时间标签置换对称性时, \(S_D\) 等于同一图出现的次数; 一般应直接统计保持原图不变的时间标签置换.
\(n_L\) 确定方法:
- 将 Hugenholtz 图展开为任意一个对应的 Feynman 图;
- 按 Feynman 规则写出相互作用矩阵元, 再将 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\) 替换为 \(\{\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta\}\), 从而遍历所有图像;
- 数出新 Feynman 图中的闭合圈数.
\(n_L\) 按选定的 Feynman 展开计数. 若交换顶点入腿或出腿, 必须同时保留(反)对称矩阵元的排列符号; 最终图值不依赖于展开方式.
Overall factor
\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]4.2.4 Frequency and Momentum Representation
对于空间和时间均匀的系统, 在动量/频率表象中计算更为便利. 相应对角 \(\alpha\)-基应解释为平面波基, 即 \(\alpha\to \mathbf{k}\).
Discrete momentum 假设粒子被限制在体积为 \(\mathcal{V}=L_xL_yL_z\) 的矩形盒中, 并满足周期性边界条件. 则允许的动量为
\[\mathbf{k} = 2\pi \left( \frac{n_x}{L_x}, \frac{n_y}{L_y}, \frac{n_z}{L_z} \right), \qquad n_x,n_y,n_z\in\mathbb Z.\]在 \(\mathcal{V}\to\infty\) 极限下, \(\sum_{\mathbf{k}}\mapsto\frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3}\int \mathrm{d}^3k\).
平面波基中的相互作用矩阵元为
\[(\mathbf{k}_1\mathbf{k}_2|\hat{v}|\mathbf{k}_3\mathbf{k}_4) = \frac{1}{\mathcal{V}} \delta_{\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2,\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4}\, \tilde{v}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3).\]这保证动量守恒.
由于虚时间上的(反)周期性, Green 函数可展开为
\[\mathcal{G}_{0\alpha}(\tau,\tau') \to \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\tau-\tau') = \frac{1}{\hbar\beta} \sum_{\omega_n} \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n)\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}, \qquad \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar}.\]其中 \(\omega_n\) 是 Matsubara 频率.
内部时间积分导致每个顶点处频率守恒. 在具有 \(n\) 个顶点的连通图中, 仅有 \(n-1\) 个频率/动量守恒因子是独立的.
Diagram rules
为每条传播子线分配动量和频率, 使之在每个顶点处守恒, 并包含因子
对于起点和终点在同一顶点的传播子, 附加因子 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta}\).
每个顶点包含因子
动量表象的相互作用顶点, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.39, 原讲义式(4.39)–(4.40). 入射动量为 \(\mathbf{k}_1,\mathbf{k}_2\), 出射动量为 \(\mathbf{k}_3,\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3\). 上图为直接顶点, 下图为合并直接与交换项的 Hugenholtz 顶点; 图中省略守恒因子和自旋指标.
Remark 若相互作用不作用于自旋, 显式保留自旋指标时, 下图的势因子为
\[\tilde v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3)\delta_{\sigma_1\sigma_3}\delta_{\sigma_2\sigma_4} +\zeta\tilde v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)\delta_{\sigma_1\sigma_4}\delta_{\sigma_2\sigma_3}.\]这里采用平移不变且满足 \(\tilde v(\mathbf{q})=\tilde v(-\mathbf{q})\) 的二体势, 动量守恒已令 \(\mathbf{k}_4=\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3\); 守恒因子仍按上文规则计入, 此处只写势与自旋部分. 对于 Fermion, \(\zeta=-1\); 两项的自旋选择条件不能省去后仍当作一般自旋顶点使用.
对每个独立动量/频率进行积分和求和
\[\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n}\int \frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d}.\]乘以整体因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]乘以额外因子 \((\hbar\beta\mathcal{V})^{n_c}\), 由整体平移不变性(冗余守恒量)给出. 其中 \(n_c\) 是图中的连通部分数.
Example 写出一阶和二阶(连通) Hugenholtz 图在动量-频率表象中的表达式.
Solution 记 \(j=(\mathbf k_j,\omega_{n_j})\)，\(\mathcal G_0(j)=\mathcal G_0(\mathbf k_j,\mathrm{i}\omega_{n_j})\). 一阶 Hugenholtz 图为
\[\mathcal{D}_1 =(\hbar\beta V) \left(-\frac{1}{2\hbar}\right) \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^2 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2}{(2\pi)^{2d}} \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{n_1}+\omega_{n_2})\eta} \left[v(\mathbf{0})+\zeta v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)\right]\]二阶两类 Hugenholtz 图可写成
\[\begin{aligned} \mathcal{D}_{21} &=(\hbar\beta V)\frac{1}{2\hbar^2} \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^3 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2},\omega_{n_3}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_3}{(2\pi)^{3d}} \\ &\quad\times \left[v(\mathbf{0})+\zeta v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_1)\right] \left[v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)+\zeta v(\mathbf{0})\right] \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)^2\mathcal{G}_0(3) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{n_1}+\omega_{n_3})\eta} \\ \mathcal{D}_{22} &=(\hbar\beta V)\frac{1}{8\hbar^2} \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^3 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2},\omega_{n_3}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_3}{(2\pi)^{3d}} \\ &\quad\times \left[v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3)+\zeta v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)\right]^2 \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)\mathcal{G}_0(3)\mathcal{G}_0(4) \end{aligned}\]其中 \(4=(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3,\omega_{n_1}+\omega_{n_2}-\omega_{n_3})\); 两式各有三组独立的内部动量和频率.
Example 求均匀体系中直接环图(\(S = 2n\))之和在频率-动量表象中的表达式
Solution 定义单个bubble, 他们共享差值 \((\mathbf{q},\nu_m)\)
\[\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) =\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}}{(2\pi)^d} \mathcal{G}_0(\mathbf{k}+\mathbf{q},\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\nu_m) \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)\]第 \(n\) 阶直接环图
\[\begin{aligned} \mathcal{D}^{(n)}_{\mathrm{ring}} &=\hbar\beta V \cdot \frac{(-1/\hbar)^n\zeta^n}{2n} \cdot \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \left[ v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]^n \\ &=V\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \frac{1}{2n} \left[ -\frac{\zeta}{\hbar}v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]^n. \end{aligned}\]按微扰阶数先作形式幂级数求和, 得到 (将其视为通常数项级数时, 要求 \(|\zeta v\Pi_0/\hbar|\lt1\); 交换求和与频率、动量积分还需可积控制)
\[\mathcal{D}_{\mathrm{ring}} =-\frac{V}{2}\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \ln\left[ 1+\frac{\zeta}{\hbar}v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]\]对数分支从零耦合处连续选定. 超出级数收敛范围时, 此式是指定分支的延拓或重求和, 不能仅凭形式求和断言收敛; 频率和动量迹仍须按模型所需的正则化处理. 等价地, 利用平移不变性, \(\hat{v}\hat{\Pi}_0\) 在 \((\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m)\) 表象中为对角算符:
\[\langle \mathbf{q},\nu_m|\hat{v}\hat{\Pi}_0|\mathbf{q}',\nu_m'\rangle = v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \delta_{\mathbf{q}\mathbf{q}'}\delta_{\nu_m\nu_m'}.\]因此可将环图和写成 trace-log:
\[\mathcal{D}_{\mathrm{ring}} = -\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathbf{q},\nu_m} \ln\left[ 1+\frac{\zeta}{\hbar}\hat{v}\hat{\Pi}_0 \right],\]其中 trace 包含动量态计数:
\[\operatorname{Tr}_{\mathbf{q},\nu_m}F(\hat{v}\hat{\Pi}_0) = V\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d}\, F\!\left(v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m)\right).\]Lemma Matsubara 频率求和公式
\[S(x) =\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n}\frac{e^{\mathrm{i}\omega_n\epsilon}}{\mathrm{i}\omega_n-x} =-\frac{\zeta e^{\epsilon x}}{e^{\hbar\beta x}-\zeta},\qquad 0\lt \epsilon\lt \hbar\beta.\]Proof 取避开 Matsubara 极点和 \(x\) 的大矩形围道, 对
\[f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\epsilon z}}{(z-x)(\mathrm{e}^{\hbar\beta z}-\zeta)}\]应用留数定理. Matsubara 极点的留数为 \(\zeta\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\epsilon}/[\hbar\beta(\mathrm{i}\omega_n-x)]\), 因为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\hbar\beta}=\zeta\) 且 \(1/\zeta=\zeta\). 另一极点的留数为 \(\mathrm{e}^{\epsilon x}/(\mathrm{e}^{\hbar\beta x}-\zeta)\).
取矩形上下边位于相邻 Matsubara 极点的中间. 由于 \(0\lt \epsilon\lt \hbar\beta\), 右半平面有 \(\mathrm{e}^{-(\hbar\beta-\epsilon)\operatorname{Re}z}\) 衰减, 左半平面有 \(\mathrm{e}^{\epsilon\operatorname{Re}z}\) 衰减. 上下边沿实部方向的绝对积分一致有界, 再乘 \(1/(z-x)\) 给出随围道高度趋零的贡献. 因而围道积分趋于零, 得
\[\zeta S(x)+\frac{\mathrm{e}^{\epsilon x}}{\mathrm{e}^{\hbar\beta x}-\zeta}=0.\]乘以 \(\zeta\) 即得结论. \(x\) 不得与求和极点重合; 例如 Bose 情形的 \(x=0\) 须另行处理零模.
4.2.5 The Linked Cluster Theorem
巨势由所有连通图之和决定:
\[\Omega = -\frac{1}{\beta}\ln Z = \Omega_0 -\frac{1}{\beta}\sum(\text{all connected graphs}).\]Proof 将每种连通真空图的完整权重(含顶点展开系数和内部对称因子)记为 \(C_\gamma\). 任意真空图唯一分解成连通分量. 若同一连通图出现 \(m_\gamma\) 次, 交换这些相同分量给出 \(1/m_\gamma!\), 因而按微扰阶数逐阶有
\[\frac{Z}{Z_0} =\prod_\gamma\sum_{m_\gamma=0}^{\infty}\frac{C_\gamma^{m_\gamma}}{m_\gamma!} =\exp\!\left(\sum_\gamma C_\gamma\right).\]取对数即得 \(\ln Z=\ln Z_0+\sum_\gamma C_\gamma\). 这是形式幂级数恒等式, 不要求证明整个微扰级数收敛, 也无需假设整数复制数的任意解析延拓. 对带外腿的归一化平均, 不接触任何外腿的真空分量同样指数化, 并与分母 \(Z/Z_0\) 抵消.
4.2.6 Green’s Functions
Green 函数可表示为泛函积分:
\[\begin{aligned} &\mathcal{G}^{(n)} (\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n; \alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') \\ &\quad = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\hat{a}_{\alpha_n}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^\dagger(\tau_n')\cdots\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(\tau_1') \right] \right\rangle \\ &\quad = (-1)^n \frac{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]Green 函数的计算与 \(\ln Z\) 类似:
- 只有连通图对 Green 函数有贡献. 此处 “连通” 指图的每一部分都与外顶点相连.
- 外腿带固定标签, 会去掉可交换外腿带来的因子; 内部仍可能有保持外腿不动的图自同构, 因而一般不能断言对称因子恒为 1. 以下图规则仍需按所用顶点和缩并计数约定计算权重.
Diagram rules 对于 \(r\) 阶图:
画出所有不同的连通图, 由 \(n\) 条外向传播子 \(\alpha_i\tau_i\), \(n\) 条内向传播子 \(\alpha_i^{\prime}\tau_i^{\prime}\) 和 \(r\) 个相互作用顶点组成. 总共 \(n+2r\) 条传播子.
单粒子 Green 函数的连通图展开, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.41, 原讲义式(4.46). 带箭头实线为传播子, 虚线为二体相互作用. 图下 1 为一阶项, \(2^{\prime}\) 为两个一阶正规自能的串接, 2 为二阶正规自能项; 这些分组标记不是对称因子.
赋予顶点和传播子通常的因子.
对所有内部单粒子指标求和, 并将 \(r\) 个内部时间在区间 \([0,\hbar\beta]\) 上积分.
结果乘以因子
\[\frac{1}{S}\left(-\frac{1}{\hbar}\right)^r \zeta^P \zeta^{n_L},\]其中 \(S\) 为保持外腿固定的图对称因子, \(n_L\) 为闭合传播子圈数, \(P\) 为外向粒子相对于内向粒子的置换. 对于两粒子 Green 函数, 因子 \(\zeta^P\) 生成通常的直接项和交换项.
Proper self-energy 单粒子 Green 函数的图可组织成正规自能插入的链. 记 \(\Sigma\) 为正规自能,
\[\mathcal{G} = \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar^2}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0 + \cdots = \mathcal{G}_0+\frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}.\]以上乘积应理解为矩阵乘积或卷积. 所得方程为 Dyson 方程, 其解为
\[\mathcal{G} = \left(I-\frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\right)^{-1}\mathcal{G}_0.\]这是重整求和的一个例子.
4.3 Zero Temperature Formalism
当多体基态与非相互作用基态有非零重叠时, 可以对零温度 Fermion 系统发展实时间形式体系.
对具有 Bose-Einstein 凝聚的零温 Boson 系统, 必须显式处理凝聚场和反常传播子, 不能直接套用这里的正常态 Fermi 海展开. 是否凝聚取决于维数、相互作用和模型.
4.3.1 Ground-State Energy and Green’s Function
我们寻找以下量的零温度对应物:
- 基态能表达式 \[Z = \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S_0[\psi,\psi^*]+S_V[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) = Z_0 \left\langle \exp\!\left( -\frac{S_V[\psi^*,\psi]}{\hbar} \right) \right\rangle_0,\]
- Green 函数 \[\begin{aligned} &\mathcal{G}^{(n)} (\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n; \alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') \\ &\quad = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\hat{a}_{\alpha_n}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^\dagger(\tau_n')\cdots\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(\tau_1') \right] \right\rangle \\ &\quad = (-1)^n \frac{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]
Ground-state energy 在同一固定粒子数 \(N_0\) 的扇区内, 令 \(|\Phi_n\rangle\) 和 \(W_n\) 为 \(\hat{H}_0\) 的本征态和本征能量, \(|\Psi_n\rangle\) 和 \(E_n\) 为完整 Hamiltonian \(\hat{H}\) 的本征态和本征能量. 基本关系为
\[\frac{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}_0 T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } = \sum_n |\langle\Phi_0|\Psi_n\rangle|^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_n-W_0)T_0/\hbar} \xrightarrow [\operatorname{Im}T_0\to -\infty]{} |\langle\Phi_0|\Psi_0\rangle|^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_0-W_0)T_0/\hbar}.\]该关系仅当 \(|\Phi_0\rangle\) 不与 \(|\Psi_0\rangle\) 正交, 且 \(|\Psi_0\rangle\) 非简并时成立.
Gell-Mann and Low theorem 对于 Hamiltonian
\[\hat{H}_\eta(t)=\hat{H}_0+\mathrm{e}^{-\eta |t|}\hat{V}\]它绝热地开启和关闭相互作用, 若 \(\eta\to 0^+\) 时极限
\[|\Psi_\eta^{(\pm)}\rangle = \frac{U_{\eta I}(0,\pm\infty)|\Phi_0\rangle} {\langle \Phi_0|U_{\eta I}(0,\pm\infty)|\Phi_0\rangle}\]存在, 则极限态 \(\lim_{\eta\to0^+}|\Psi_\eta^{(\pm)}\rangle\) 是 \(\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}\) 的本征态. 要将其认作基态, 还须排除绝热路径上的能级交叉. 其中
\[U_{\eta I}(t_1,t_2) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}_0t_1/\hbar} U_\eta(t_1,t_2) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}_0t_2/\hbar}\]是相互作用绘景中的时间演化算符.
时间域重新定义为:
- \(C_\beta\): \(t=-\mathrm{i}\tau\), \(\tau\in[0,\hbar\beta)\), 用于有限温度形式体系;
- \(C_t\): \(t=(1-\mathrm{i}\eta)t_R\), \(\eta=0^+\), \(t_R\in[-T_0/2,T_0/2]\), 用于零温度实时间形式体系.
基态能移为
\[E_0-W_0 = \lim_{T_0\to (1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\ln\frac{\mathcal{Z}}{\mathcal{Z}_0}, \qquad \mathcal{Z} = \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle.\]
Notation 下文的平衡 Green 函数采用 \(K=H-\mu N\) 生成时间演化, \(K_0=H_0-\mu N\). 在固定粒子数 \(N_0\) 的投影振幅中, \(\mathcal{Z}_K=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu N_0T_0/\hbar}\mathcal{Z}_H\), 因而 \(\mathcal{Z}_K/\mathcal{Z}_{K0}=\mathcal{Z}_H/\mathcal{Z}_{H0}\), 基态能移仍为 \(E_0-W_0\). 以下泛函积分中的 \(\mathcal{Z}\)、\(\mathcal{Z}_0\) 和 \(\mathcal{U}\) 均采用 \(K\)、\(K_0\) 生成演化; 上标 \((H)\) 只表示 Heisenberg 绘景.
Functional integrals “配分函数” 可用实时间泛函积分计算:
\[\begin{aligned} \mathcal{Z} &= \langle \Phi_0|\hat{\mathcal{U}}(T_0/2,-T_0/2)|\Phi_0\rangle \\ &= \int \mathrm{d}\mu(\psi_f)\,\mathrm{d}\mu(\psi_i)\, \mathcal{U}\!\left( \psi_f^*,\frac{T_0}{2}; \psi_i,-\frac{T_0}{2} \right) \langle \Phi_0|\psi_f\rangle \langle \psi_i|\Phi_0\rangle \\ &= \mathcal{U}\!\left( 0,\frac{T_0}{2}; 0,-\frac{T_0}{2} \right). \end{aligned}\]为得到最后一行, 须将未占据轨道取 \(b_\alpha=a_\alpha\)、已占据轨道取 \(b_\alpha=a_\alpha^\dagger\), 用这些粒子-空穴算符构造以 \(|\Phi_0\rangle\) 为真空的相干态. 此时两端重叠均为 1, 但 Hamiltonian、粒子数和相互作用也必须改写为 \(b^\dagger,b\) 的正规序多项式, 不能保留原电子场的形式不变. 下文插入原电子算符时, 粒子子空间的 \(a\) 对应 \(b\), 空穴子空间的 \(a\) 对应 \(b^\dagger\).
Perturbative expansion 微扰展开变为
\[\begin{aligned} \mathcal{Z} &= \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left[ \frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_0[\psi^*,\psi] - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \\ &= \mathcal{Z}_0 \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0}, \end{aligned}\]其中
\[\begin{aligned} S_0[\psi^*,\psi] &\equiv \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \Bigl[ \psi^*(t)\cdot\mathrm{i}\hbar\partial_t\psi(t) - K_0(\psi^*,\psi) \Bigr], \\ \mathcal{Z}_0 &\equiv \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S_0[\psi^*,\psi]/\hbar}, \\ \left\langle F\bigl(\hat{a}^\dagger(t_\alpha),\hat{a}(t_\beta)\bigr) \right\rangle_{K_0} &= \frac{1}{\mathcal{Z}_0} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S_0[\psi^*,\psi]/\hbar} F(\psi^*,\psi). \end{aligned}\]这里 \(K_0(\psi^*,\psi)\)、\(V(\psi^*,\psi)\) 和 \(F(\psi^*,\psi)\) 均指完成粒子-空穴重写后的多项式; 例如 \(K_0=(W_0-\mu N_0)+\sum_\alpha|\epsilon_\alpha-\mu|\psi_\alpha^*\psi_\alpha\). 边界条件为 \(\psi^*(T_0/2)=\psi(-T_0/2)=0\).
Green 函数 零温度 \(n\)-粒子 Green 函数为
\[\begin{aligned} &G^{(n)} (\alpha_1t_1,\cdots,\alpha_nt_n; \alpha_1't_1',\cdots,\alpha_n't_n') \\ &\quad = (-\mathrm{i})^n \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(t_n) \psi_{\alpha_n'}^*(t_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_{K_0} }{ \left\langle \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \hat{V}\!\bigl(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0} }. \end{aligned}\]Proof 对于单粒子 Green 函数, 可显式证明
\[\begin{aligned} &-\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_{K_0} }{ \left\langle \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \hat{V}\!\bigl(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0} } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \langle\Phi_0| \hat{T}\!\left[ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\,\hat{K}(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t))} \hat{a}_{\alpha_1}(t_1)\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(t_1') \right] |\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \langle\Phi_0| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/(2\hbar)} \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/(2\hbar)} |\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \sum_{lm} \frac{\langle\Phi_0|\Psi_l\rangle\langle\Psi_m|\Phi_0\rangle} {|\langle\Phi_0|\Psi_0\rangle|^2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_l+E_m-2E_0)T_0/(2\hbar)} \langle\Psi_l| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_m\rangle \\ &\quad = -\mathrm{i}\langle \Psi_0| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_0\rangle. \end{aligned}\]所有 \(l\neq 0\) 或 \(m\neq 0\) 的项在倾斜时间极限下被指数压低. 单粒子情形下的最终结果为
\[G^{(1)}_{\alpha_1\alpha_1'}(t_1,t_1') = -\mathrm{i}\langle \Psi_0| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_0\rangle.\]4.3.2 Diagram Rules
通过以下替换, 可将有限温度 Feynman 图规则适用于零温度实时间形式体系.
Time substitutions
\[\begin{aligned} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau &\rightarrow \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t, & \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} &\rightarrow \int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}, & \hbar\beta &\rightarrow T_0. \end{aligned}\]Overall factor
\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S} \rightarrow \frac{(-\mathrm{i}/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]Green 函数
\[-\mathcal{G}_{0\alpha}(\tau-\tau') \rightarrow \mathrm{i}G_{0\alpha}(t-t'), \qquad -\tilde{\mathcal{G}}_{0\alpha}(\omega_n) \rightarrow \mathrm{i}\tilde{G}_{0\alpha}(\omega),\]其中 \(G_0\) 是实时间自由 Green 函数.
基态能的期望值可从所有连通图得到:
\[E_0-W_0 = \lim_{T_0\to\infty} \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0} \sum(\text{all connected diagrams}).\]4.3.3 Free Fermion Propagators
引入粒子-空穴算符是因为电子湮灭算符并不湮灭非相互作用基态.
对于 \(\epsilon_\alpha\le\mu\), \(\hat{a}_\alpha|\Phi_0\rangle\neq 0\), 因为 \(|\Phi_0\rangle\) 是填充的 Fermi 海而非空态. 定义
\[\hat{b}_\alpha = \begin{cases} \hat{a}_\alpha, & \epsilon_\alpha\gt\mu,\\ \hat{a}_\alpha^\dagger, & \epsilon_\alpha\le\mu. \end{cases}\]则
\[\hat{K}_0 \equiv \hat{H}_0-\mu\hat{N} = \sum_{\epsilon_\alpha\le\mu}(\epsilon_\alpha-\mu) + \sum_\alpha |\epsilon_\alpha-\mu|\,\hat{b}_\alpha^\dagger\hat{b}_\alpha.\]算符 \(\hat{b}_\alpha\) 满足通常的正则代数并湮灭非相互作用基态: \(\hat{b}_\alpha|\Phi_0\rangle=0\).
Generating functional 对于自由 Fermion 传播子,
\[\mathscr{G}_0[J^*,J] = \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{a}_\alpha(t)+\hat{a}_\alpha^\dagger(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0},\]其中对重复的单粒子标签求和. 实时间传播子由下式生成
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t;\alpha't') = -\left. \frac{\delta^2\mathscr{G}_0[J^*,J]} {\delta J_\alpha^*(t)\delta J_{\alpha'}(t')} \right|_{J^*=J=0}.\]Particle and hole sectors 生成泛函分解为粒子部分和空穴部分
\[\begin{aligned} \mathscr{G}_0[J^*,J] &= \mathscr{G}_0^{(+)}[J^*,J]\, \mathscr{G}_0^{(-)}[J^*,J] \\ \mathscr{G}_0^{(+)}[J^*,J] &= \prod_{\epsilon_\alpha\gt\mu} \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{b}_\alpha(t)+\hat{b}_\alpha^\dagger(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0} = \prod_{\epsilon_\alpha\gt\mu} \exp\!\left[ \sum_{jk}J_{\alpha,j}^*(S^{(\alpha)})^{-1}_{jk}J_{\alpha,k} \right], \\ \mathscr{G}_0^{(-)}[J^*,J] &= \prod_{\epsilon_\alpha\le\mu} \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{b}_\alpha^\dagger(t)+\hat{b}_\alpha(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0} = \prod_{\epsilon_\alpha\le\mu} \exp\!\left[ \sum_{jk}J_{\alpha,j}(S^{(\alpha)})^{-1}_{jk}J_{\alpha,k}^* \right]. \end{aligned}\]Gaussian 积分中使用的离散时间二次型矩阵的形式为
\[S^{(\alpha)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{pmatrix}, \qquad a=1-\mathrm{i}\frac{T_0|\epsilon_\alpha-\mu|}{\hbar M}.\]对于 \(\epsilon_\alpha\gt\mu\),
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t_q;\alpha't_r) = \delta_{\alpha\alpha'}(S^{(\alpha)})^{-1}_{qr} = \delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t_q-t_r)/\hbar} \theta(t_q-t_r-0^+).\]对于 \(\epsilon_\alpha\le\mu\),
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t_q;\alpha't_r) = -\delta_{\alpha\alpha'}(S^{(\alpha)})^{-1}_{rq} = -\delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t_q-t_r)/\hbar} \theta(t_r-t_q+0^+).\]额外的负号来自交换空穴部分中的 \(J^*\) 和 \(J\).
合并两部分给出完整的时间域传播子
\[\begin{aligned} \mathrm{i}G_0(\alpha t;\alpha't') &= \delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t-t')/\hbar} \left[ \theta(t-t'-\eta_t)(1-n_\alpha) - \theta(t'-t+\eta_t)n_\alpha \right], \\ n_\alpha &= \theta(\mu-\epsilon_\alpha). \end{aligned}\]Fourier 变换为
\[\tilde{G}_{0\alpha}(\omega) = \int\mathrm{d}t\,G_0(\alpha t;\alpha 0)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}} {\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta_\omega\operatorname{sgn}(\epsilon_\alpha-\mu)}.\]这里 \(\eta_t\to0^+\) 的量纲是时间, \(\eta_\omega\to0^+\) 的量纲是频率. 推导极点约定时用到的阶跃函数 Fourier 表示为
\[\theta(\pm t) = \mp\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega\pm\mathrm{i}\eta_\omega}.\]
4.4 Contour Formalism
围线编时 Green 函数也可表示为泛函积分:
\[\begin{aligned} &G_C^{(n)} (\alpha_1t_1,\cdots,\alpha_nt_n; \alpha_1't_1',\cdots,\alpha_n't_n') \\ &\quad = (-\mathrm{i})^n \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(t_n) \psi_{\alpha_n'}^*(t_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]顶点和缩并计数采用围线上的编时规则, 时间积分沿 Keldysh 围线 \(C=C_1\cup C_2\cup C_\beta\):
- \(C_1\) 从初始时刻 \(t_{\mathrm{i}}\) 向前至观测终点;
- \(C_2\) 返回 \(t_{\mathrm{i}}\);
- \(C_\beta\) 再向下至 \(t_{\mathrm{i}}-\mathrm{i}\hbar\beta\).
各分支的演化生成元为:
- 实时间支由物理 \(H(t)\) 生成演化;
- 虚时支由 \(K_{\mathrm i}=H_{\mathrm i}-\mu N\) 生成.
从而编码初态 \(\rho_{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm{i}}}/Z_{\mathrm{i}}\); 初始平衡态取 \([H_{\mathrm{i}},N]=0\).
因而不能将以 \(K=H-\mu N\) 演化得到的 \(\epsilon-\mu\) 频率零点不加转换地用于非平衡实时间支.
Adiabatic assumption 假设相互作用在 \(t=-T_0/2\to -\infty\) 处为零, 沿 \(C_1\) 绝热开启, 并沿 \(C_2\) 绝热关闭. 若初态为无相互作用系综, 垂直段上的相互作用顶点可省去. 若初态有关联, 仅令相互作用在遥远过去趋零并不自动证明垂直段或初始关联记忆消失; 还需绝热制备和所取极限的条件, 特别是对瞬态问题.
Keldysh space 函数 \(A(t,t')\) 属于 Keldysh 空间, 若可写为
\[A(t,t') = A_\delta(t)\delta(t,t') + \theta(t,t')A^>(t,t') + \theta(t',t)A^\lt (t,t').\]此处 \(t\) 和 \(t'\) 都是围线时间, 而 \(A_\delta(t)\), \(A^>(t,t')\), \(A^\lt (t,t')\) 不依赖于其自变量的围线分支. 函数 \(\delta(t,t')\) 和 \(\theta(t,t')\) 分别为围线 delta-函数和围线 Heaviside 函数. 围线 delta-函数仅当两个时间位于同一分支时非零; 特别地, \(\delta(t^{\pm},t'^{\mp})=0\). 推迟和超前分量定义为
\[\begin{aligned} A^r(t,t') &= A_\delta(t)\delta(t-t') + \theta(t-t')\bigl[A^>(t,t')-A^\lt (t,t')\bigr], \\ A^a(t,t') &= A_\delta(t)\delta(t-t') - \theta(t'-t)\bigl[A^>(t,t')-A^\lt (t,t')\bigr]. \end{aligned}\]Convolution 若 \(A(t,t')\) 和 \(B(t,t')\) 属于 Keldysh 空间, 则其围线卷积
\[C(t,t') = \int_C\mathrm{d}t_1\,A(t,t_1)B(t_1,t')\]也属于 Keldysh 空间.
Product 若 \(A(t,t')\) 和 \(B(t,t')\) 属于 Keldysh 空间且其 \(\delta\)-分量恒为零, 则乘积
\[C(t,t') = A(t,t')B(t,t'), \qquad D(t,t') = A(t,t')B(t',t)\]也属于 Keldysh 空间.
Langreth theorem 将围线定义的量用实时间 Green 函数表示. 以下关系忽略了垂直段 \(C_\beta\) 的贡献, 并假设所有量都属于 Keldysh 空间. 围线定义量的 Langreth 平移规则
| Contour | Real axis |
|---|---|
| \(C=\int_C AB\) | \(C^\lt = \int_t [A^r B^\lt + A^\lt B^a]\) \(C^> = \int_t [A^r B^> + A^> B^a]\) \(C^r = \int_t A^r B^r\) \(C^a = \int_t A^a B^a\) |
| \(D=\int_C ABC\) | \(D^\lt = \int_t [A^r B^r C^\lt + A^r B^\lt C^a + A^\lt B^a C^a]\) \(D^> = \int_t [A^r B^r C^> + A^r B^> C^a + A^> B^a C^a]\) \(D^r = \int_t A^r B^r C^r\) \(D^a = \int_t A^a B^a C^a\) |
| \(C(t,t') = A(t,t')B(t,t')\) | \(C^\lt (t,t') = A^\lt (t,t')B^\lt (t,t')\) \(C^>(t,t') = A^>(t,t')B^>(t,t')\) \(C^r(t,t') = A^>(t,t')B^r(t,t') + A^r(t,t')B^\lt (t,t')\) \(C^a(t,t') = A^>(t,t')B^a(t,t') + A^a(t,t')B^\lt (t,t')\) |
| \(D(t,t') = A(t,t')B(t',t)\) | \(D^\lt (t,t') = A^\lt (t,t')B^>(t',t)\) \(D^>(t,t') = A^>(t,t')B^\lt (t',t)\) \(D^r(t,t') = A^\lt (t,t')B^a(t',t) + A^r(t,t')B^\lt (t',t)\) \(D^a(t,t') = A^\lt (t,t')B^r(t',t) + A^a(t,t')B^\lt (t',t)\) |
前两行对应二重和三重围线卷积, 后两行对应点态乘积. 前两行的围线积分解释为
\[C(t,t') = \int \mathrm{d}t_1\,A(t,t_1)B(t_1,t'), \qquad D(t,t') = \int \mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2\, A(t,t_1)B(t_1,t_2)C(t_2,t').\]4.4.1 Dyson Equation in Keldysh’s Formalism
Dyson 方程可推广到围线 Green 函数:
\[G_C = G_{C0} + \frac{1}{\hbar}G_{C0}\Sigma_C G_C.\]此处所有量应解释为矩阵, 乘法应解释为矩阵乘法和卷积. 通过应用 Langreth 规则, 该方程可用实时间 Green 函数表达.
以下采用无初始相互作用关联的实时间轮廓, 或从遥远过去绝热制备的情形. 若初态带有关联并保留虚时支, 还需混合实虚时分量给出的初始关联项. 下式中含 \(G_0^\lt\) 的项保留了初始占据; 只有证明这些记忆项在所取稳态极限消失后, 才可简化为 \(G^\lt=G^r\Sigma^\lt G^a/\hbar\).
Retarded/Advanced Green 函数
\[G^{r/a} = G_0^{r/a} + \frac{1}{\hbar}G_0^{r/a}\Sigma^{r/a}G^{r/a}, \qquad G^{r/a} = \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^{r/a}\Sigma^{r/a}\right)^{-1}G_0^{r/a},\]Lesser Green 函数
\[G^\lt = G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r\right) G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right).\]Proof
应用 Langreth 规则:
\[G^\lt = G_0^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^r}{\hbar}G^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + G_0^\lt \frac{\Sigma^a}{\hbar}G^a,\]求解方程:
\[\begin{aligned} G^\lt &= \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} \left( G_0^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + G_0^\lt \frac{\Sigma^a}{\hbar}G^a \right) \\ &= G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right). \end{aligned}\]有
\[\left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} = G^r(G_0^r)^{-1} = \left(G_0^r+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^rG_0^r\right)(G_0^r)^{-1} = I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r.\]
代入该恒等式后达到最终形式
\[G^\lt = G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r\right) G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right).\]4.5 Summary
为统一虚时间有限温度形式体系和实时间零温度形式体系, 引入
\[\iota= \begin{cases} -1, & \text{热/虚时间}\\ \mathrm{i}, & \text{实时} \end{cases} \implies \iota \mathcal{G}_{0\alpha} = \exp\!\left[ \frac{(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau-\tau')}{\iota\hbar} \right] \left[ (1+\zeta n_\alpha)\theta(\tau-\tau') + \zeta n_\alpha\theta(\tau'-\tau) \right]\]自由 Green 函数写为统一形式. 其中 \(n_\alpha\) 是态 \(\alpha\) 的占据数. 在实时间形式体系中, \(\mathcal{G}_0\) 解释为实时间 \(G_0\), \(\tau\) 解释为 \(t\).
在频率/动量域,
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n) &= \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar}, \qquad \omega_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{\hbar\beta}, & \text{Bosons},\\[4pt] \dfrac{(2n+1)\pi}{\hbar\beta}, & \text{Fermions}. \end{cases} \\ G_0(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1+\zeta n_{\mathbf{k}}} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta} - \frac{\zeta n_{\mathbf{k}}} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta} \\ &= \frac{1} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta\,\operatorname{sgn}(k-k_F)} \qquad (T=0). \end{aligned}\]传播子线/顶点和求和因子汇总
对于零温度形式体系, \(\mathcal{G}_0\) 解释为 \(G_0\), \(\omega_n\) 为连续 \(\omega\), \(\tau\) 为 \(t\).
\(n\) 阶图具有整体因子
\[\frac{1}{S} \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^n \zeta^{n_L},\]其中 \(S\) 为图的对称因子, \(n_L\) 为 Fermion 圈数. 对于 Green 函数, 包含额外因子 \(\zeta^P\), 其中 \(P\) 为外向粒子线相对于内向粒子线的置换. 对称因子的确定方法如下:
- Feynman diagrams: 按图标记的轨道-稳定子计数, 切线得到同一图的次数须与切开图的残余对称因子相乘.
- Hugenholtz diagrams: \(S=2^{n_e}S_D\), 其中 \(n_e\) 为等效传播子线对数, \(S_D\) 为保持图不变的时间标签置换数.
- Green 函数: 固定外腿, 只统计保持这些外腿不动的内部自同构; 对称因子并不普遍等于 1.
在频率/动量表象中, 巨势或基态能的连通闭合图带有额外因子 \(\mathcal{T}_0\mathcal{V}\). 其中时间域跨度为
\[\mathcal{T}_0= \begin{cases} \hbar\beta, & \text{imaginary time},\\ T_0, & \text{real time}. \end{cases}\]巨势或基态能由所有连通图通过下式得到
\[\begin{Bmatrix} \Omega-\Omega_0\\ E_0-W_0 \end{Bmatrix} = \frac{\iota\hbar}{\mathcal{T}_0} \sum(\text{all connected diagrams}).\]
5 Theory of Electron Liquid
5.1 Energy
均匀电子气 (jellium 模型) 的二次量子化 Hamiltonian 为
\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{e^2}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne 0}\sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{p}\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}.\]- 无量纲形式: 选取长度单位为电子间平均距离 \(r_0\) (\(\frac{4\pi}{3}r_0^3N=\mathcal{V}\)), 无量纲密度参数为 \(r_s=\frac{r_0}{a_0}\), 其中 \(a_0=\hbar^2/me^2\) 是 Bohr 半径. \[\hat{H} = \frac{e^2}{2a_0r_s^2} \left[ \sum_{\mathbf{k}\sigma}k^2\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{r_s}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne 0}\sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{p}\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma} \right],\] 体积和动量已按新长度单位缩放: \[\mathcal{V}\to\frac{\mathcal{V}}{r_0^3}=\frac{4\pi N}{3}, \qquad \mathbf{k},\mathbf{p},\mathbf{q}\to \mathbf{k} r_0,\mathbf{p} r_0,\mathbf{q} r_0.\] 反直觉的是, 高密度极限 \(r_s\to 0\) 是非相互作用极限.
5.1.1 Hartree-Fock Approximation
计算 Hamiltonian 关于理想非相互作用电子气基态 (即填充的 Fermi 海) 的期望值, 其中
\[k_F r_0=\frac{1}{\alpha}, \qquad \alpha=\left(\frac{4}{9\pi}\right)^{1/3}.\]Kinetic energy 有
\[\begin{aligned} n_{\mathbf{k}\sigma}^0 &= \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}\right\rangle_0 = \theta(k_F-|\mathbf{k}|),\\ E_0 &= \frac{e^2}{2a_0r_s^2} \sum_{\mathbf{k}\sigma}k^2 n_{\mathbf{k}\sigma}^0 = 2\times\frac{e^2}{2a_0r_s^2} \mathcal{V}\int_0^{1/\alpha}\frac{4\pi k^2\,\mathrm{d}k}{(2\pi)^3}k^2 = \frac{3N}{5\alpha^2r_s^2}\,\mathrm{Ry}. \end{aligned}\]其中 \(\mathrm{Ry}\equiv e^2/2a_0\). 平均电子动能为 \(\epsilon_0=\frac{E_0}{N}\approx\frac{2.21}{r_s^2}\,\mathrm{Ry}\).
Exchange energy 计算第二项期望值时, 有
\[\begin{aligned} \left\langle \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma} \right\rangle_0 & = \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}\right\rangle_0 \left\langle\hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\right\rangle_0 - \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\right\rangle_0 \left\langle\hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}\right\rangle_0 \\ &\quad = \delta_{\mathbf{q},0}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{p}\sigma'}^0 - \delta_{\mathbf{q},\mathbf{p}-\mathbf{k}}\delta_{\sigma\sigma'}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^0. \end{aligned}\]以及
\[\begin{aligned} E_x &= -\frac{e^2}{2a_0r_s} \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne 0}\frac{4\pi}{q^2} \sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^0 = -\frac{3}{2\pi\alpha r_s}N\,\mathrm{Ry} \\ \epsilon_x &= \frac{E_x}{N} \approx -\frac{0.916}{r_s}\,\mathrm{Ry}. \end{aligned}\]注意相互作用中的求和排除 \(q=0\).
Perturbative approach 应用零温度形式体系. 交换能对应于一阶交换图,
应用恒等式
\[\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G_0(\mathbf{k},\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} = \mathrm{i}n_{\mathbf{k}}^0,\]得到前面的 \(E_x\).
Self energy
在本节均匀电子气的 Fourier 约定 \(v(q)=4\pi e^2/q^2\) 下, 正背景抵消 Hartree 项. 交换只发生在同自旋电子之间, 因而自能按自旋对角且不另乘自旋简并因子 2. 记 \(k=|\mathbf k|\)、\(x=k/k_F\), 零温交换自能为
\[\begin{aligned} \Sigma_{\sigma\sigma'}(\mathbf k) &=\delta_{\sigma\sigma'}\Sigma_x(k),\\ \Sigma_x(k) &=-\int_{|\mathbf p|\le k_F}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3} \frac{4\pi e^2}{|\mathbf p-\mathbf k|^2}\\ &=-\frac{e^2}{\pi k}\int_0^{k_F}p\,\mathrm{d}p \ln\left|\frac{p+k}{p-k}\right| =\frac{e^2k_F}{\pi}S(x),\\ S(x)&=-\left[1+\frac{1-x^2}{2x} \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right]. \end{aligned}\]\(p=k\) 处的对数奇点可积. 连续极限给出
\[S(0)=-2,\qquad S(1)=-1,\qquad S(x)\sim-\frac{2}{3x^2}\quad(x\to\infty).\]该自能不依赖频率. 原课程截图 的对数项漏写 \(1/2\), 因而不再作为公式嵌图.
自能重整化电子色散:
\[G_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta\operatorname{sgn}(k-k_F)} \mapsto \frac{1} {\omega-[\epsilon_{\mathbf{k}}+\Sigma(\mathbf{k})-\mu]/\hbar+\mathrm{i}\eta\operatorname{sgn}(k-k_F)}.\]该修正不改变 \(n_{\mathbf{k}}\):
\[n_{\mathbf{k}} = -\mathrm{i}\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G(\mathbf{k},\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} = \theta(k_F-|\mathbf{k}|).\]\(S'(x)\to+\infty\) 当 \(x\to1^\pm\). 这导致 Fermi 速度发散 \(v_F=\left.\hbar^{-1}\frac{\mathrm{d}\tilde{\epsilon}_{\mathbf{k}}}{\mathrm{d}k}\right|_{k=k_F}\to\infty\).
5.1.2 High-Order Contributions
自能的二阶图
\((a)\) 是收敛的; 对三维、零温、未极化 Coulomb 气体, 在 Fermi 面 \(k=k_F\)、\(\omega=0\) 的壳上值与密度无关.
Proof 取两条相互作用线的动量频率为 \((\mathbf{q}_1,\nu_1)\) 和 \((\mathbf{q}_2,\nu_2)\), 并记
\[\mathbf{p}_1=\mathbf{k}-\mathbf{q}_1,\qquad \mathbf{p}_2=\mathbf{k}-\mathbf{q}_1-\mathbf{q}_2,\qquad \mathbf{p}_3=\mathbf{k}-\mathbf{q}_2.\]图 (a) 可写为
\[\begin{aligned} \hbar\Sigma_{a,\sigma\sigma'}^{(2)}(\mathbf{k},\omega) &=\delta_{\sigma\sigma'}\mathrm{i}^2 \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}_1}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\nu_1}{2\pi} \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}_2}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\nu_2}{2\pi} v(q_1)v(q_2) \\ &\quad\times G_0(\mathbf{p}_1,\omega-\nu_1) G_0(\mathbf{p}_2,\omega-\nu_1-\nu_2) G_0(\mathbf{p}_3,\omega-\nu_2). \end{aligned}\]取 \(|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}\) 且 \(\hbar\omega=\xi_{\mathbf{k}}\). 频率积分后, 能量分母只含组合
\[\xi_{\mathbf{k}}-\xi_{\mathbf{p}_1}-\xi_{\mathbf{p}_3}+\xi_{\mathbf{p}_2} =\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{p}_1}-\epsilon_{\mathbf{p}_3}+\epsilon_{\mathbf{p}_2}=\frac{\hbar^2}{m}\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{q}_2.\]令 \(\mathbf{q}_i=k_{\mathrm{F}}\tilde{\mathbf{q}}_i\), \(\mathbf{k}=k_{\mathrm{F}}\tilde{\mathbf{k}}\). 占据数只依赖无量纲变量, 而其余标度为
\[\Sigma_a^{(2)} \sim k_{\mathrm{F}}^6 \left(\frac{e^2}{k_{\mathrm{F}}^2}\right)^2 \left(\frac{m}{\hbar^2 k_{\mathrm{F}}^2}\right) \times I =\frac{me^4}{\hbar^2}I,\]这里 \(k_{\mathrm{F}}^6\) 来自两个动量积分, \((e^2/k_{\mathrm{F}}^2)^2\) 来自两个 Coulomb 势, \(m/(\hbar^2k_{\mathrm{F}}^2)\) 来自能量分母. 因此 \(I\) 只依赖无量纲变量和占据限制, 图 (a) 的 on-shell 值不含 \(k_{\mathrm{F}}\), 从而不含电子密度 \(n=k_{\mathrm{F}}^3/(3\pi^2)\):
\[\Sigma_a^{(2)}(k_{\mathrm{F}},0)\propto \frac{me^4}{\hbar^2}\times \mathrm{const}\]\((b)\) 可解释为对 \(\Sigma(\mathbf{k}, \omega)\) 中传播子线的自能修正. 该修正与 \(\omega\) 无关. 由于不改变 \(n_{\mathbf{k}}\), 它没有影响.
\((c)\) 发散:
这里 \(\chi_0(\mathbf{q},\nu)\) 表示极化气泡:
包含更多极化气泡的高阶图, 例如更长的直接环图
, 发散得更严重.
Re-summation 该发散可通过求和所有直接环图来消除:
这里 \(W(\mathbf{q},\nu)\equiv\frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)}\) 可解释为屏蔽的电子-电子相互作用, 其中介电函数为
\[\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)=1-v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\nu).\]Ground state energy 通过对发散最严重的图进行重整求和来近似:
注意该能量包含交换能 \(E_{\mathrm{x}}\). 总基态能可写为 (单位为 \(\mathrm{Ry}\))
\[\epsilon(r_s) = \frac{E}{N} \approx \frac{2.21}{r_s^2} -\frac{0.916}{r_s} +0.0622\ln r_s -0.094 +O(r_s\ln r_s)+\cdots.\]常数项包含 (a) 的贡献. 奇异展开 (即 \(\propto \ln r_s\)) 是 (c) 中观察到的发散的结果.
5.2 Density Response Function
5.2.1 Basic Properties
Notation
- 本章的外势耦合为 \(H'=\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi(\mathbf{r},t)\hat\rho(\mathbf{r})\), 即正号密度源.
- 若将同一物理扰动写成 \(H'=-\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,f(\mathbf{r},t)\hat\rho(\mathbf{r})\), 则 \(f=-\phi\), 故 \(\delta\langle\hat\rho\rangle/\delta f=-\delta\langle\hat\rho\rangle/\delta\phi\).
- 本章时间 Fourier 正变换采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\); 在保持此变换约定时, 两种响应核的符号差异完全来自外场耦合.
Density response function 描述密度如何响应无穷小的外标量势而变化:
\[\delta\rho(\mathbf{r} t) = \int\mathrm{d}\mathbf{r}' \int\mathrm{d}t'\, \chi^r(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t')\phi(\mathbf{r}' t'), \qquad \chi^r(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t') = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t-t') \langle[\hat{\rho}(\mathbf{r} t),\hat{\rho}(\mathbf{r}' t')]\rangle.\]对于空间和时间均匀的系统, 使用 Fourier 变换形式更为方便
\[\chi^r(\mathbf{q},\omega) = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar\mathcal{V}} \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle[\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t),\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}]\rangle, \qquad \hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t) \equiv \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{r}}_i(t)} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q},\sigma}^\dagger(t)\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}(t).\]Dielectric function 是外势与总屏蔽势之比:
\[\phi_{\mathrm{sc}}(\mathbf{q},\omega) \equiv \phi(\mathbf{q},\omega)+\phi_{\mathrm{ind}}(\mathbf{q},\omega) = \frac{\phi(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)},\]其中 \(\phi_{\mathrm{ind}}(\mathbf{q},\omega)=v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\) 是由受扰电子密度感生的 Coulomb 势:
\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega)=\chi^r(\mathbf{q},\omega)\phi(\mathbf{q},\omega),\]其中 \(\chi^r\) 为密度响应函数. 因此, 消去 \(\phi(\mathbf{q},\omega)\) 得到
\[\frac{1}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}=1+v(\mathbf{q})\chi^r(\mathbf{q},\omega).\]Time-ordered density correlation function 定义为
\[\chi(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t') = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle \hat{T}\bigl[ \Delta\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}' t') \bigr] \right\rangle,\]其中 \(\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\equiv \hat{\rho}(\mathbf{r} t)-\langle\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\rangle\). 热虚时形式为
\[\chi^T(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}' \tau') = -\frac{1}{\hbar} \left\langle \hat{T}_\tau\bigl[ \Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}\tau)\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}' \tau') \bigr] \right\rangle.\]Fluctuation-dissipation theorem 适用于密度关联函数和响应函数.
对 \(\mathbf{q}\ne0\), 均匀系统的密度结构因子为
\[S(\mathbf{q},\omega) = \mathrm{i}\hbar\,\rho_0^{-1}\chi^{>}(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{N} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t)\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}\rangle.\]等价地,
\[S(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{ZN} \sum_{m,n} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_m} \left|\langle m|\hat{\rho}_{\mathbf{q}}|n\rangle\right|^2,\]其中 \(\rho_0\) 为电子密度.
谱函数定义为
\[B(\mathbf{q},\omega) = -2\operatorname{Im}\chi^r(\mathbf{q},\omega) = \mathrm{i}\bigl[\chi^{>}(\mathbf{q},\omega)-\chi^{\lt }(\mathbf{q},\omega)\bigr] = \frac{\rho_0}{\hbar} \bigl(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}\bigr) S(\mathbf{q},\omega),\]满足 \(B(\mathbf{q},\omega)=-B(-\mathbf{q},-\omega)\).
密度响应函数与谱函数的关系为
\[\begin{aligned} \chi(\mathbf{q},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} B(\mathbf{q},\omega_1) \left[ -\frac{n_B(\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta} +\frac{1+n_B(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta} \right], \\ \chi^{r/a}(\mathbf{q},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\omega-\omega_1\pm \mathrm{i}\eta}, \\ \chi^T(\mathbf{q},\omega_n) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}, \\ \operatorname{Re}\chi(\mathbf{q},\omega) &= \operatorname{Re}\chi^{r/a}(\mathbf{q},\omega) = \mathcal{P}\!\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\omega-\omega_1}, \\ \operatorname{Im}\chi(\mathbf{q},\omega) &= -\frac{1}{2} \coth\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) B(\mathbf{q},\omega), \\ \operatorname{Im}\chi^r(\mathbf{q},\omega) &= -\frac{1}{2}B(\mathbf{q},\omega), \qquad \operatorname{Im}\chi^a(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{2}B(\mathbf{q},\omega). \end{aligned}\]其中 \(n_B(\omega)=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)\) 为 Bose 分布函数.
f-sum rules
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\, \omega B(\mathbf{q},\omega) = \frac{\rho_0 q^2}{m}.\]- 推导该求和规则需要使用连续性方程和流-密度对易子: \[\partial_t\hat{\rho}_{\mathbf{q}} +\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{j}}_{\mathbf{q}}=0, \qquad \bigl[\hat{\mathbf{j}}_{\mathbf{q}},\hat{\rho}_{-\mathbf{q}'}\bigr] = \frac{\hbar\mathbf{q}'}{m}\hat{\rho}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'}.\] 也可以建立高阶求和规则.
Stiffness theorem 具有非均匀密度的系统的能量或巨势为
\[E[\rho_{\mathbf{q}}] = E_0 -\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0} \frac{|\delta\rho_{\mathbf{q}}|^2}{2\chi^r(\mathbf{q})} +O(\delta\rho^3),\]其中 \(\chi^r(\mathbf{q})\equiv \chi^r(\mathbf{q},\omega=0)\).
Proof
考虑受外势扰动的系统 \(\hat{H}_\phi=\hat{H}+\frac{1}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}}\delta\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}\phi_{\mathbf{q}}\).
扰动引起密度变化 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}\). 反之, 要产生给定的密度分布 \(\phi_{\mathbf{q}}=\frac{\delta\rho_{\mathbf{q}}}{\chi^r(\mathbf{q})}\).
用 \(\lambda\) 标度扰动并应用 Hellmann-Feynman 定理:
\[E_\phi = E_0 +\int_0^1 \mathrm{d}\lambda \left\langle \frac{\partial \hat{H}_\phi(\lambda)}{\partial\lambda} \right\rangle \approx E_0 +\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}} \chi^r(\mathbf{q})|\phi_{\mathbf{q}}|^2.\]内能则为
\[E[\rho_{\mathbf{q}}] = \langle \hat{H}\rangle = E_\phi -\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}} \chi^r(\mathbf{q})|\phi_{\mathbf{q}}|^2,\]消去 \(\phi_{\mathbf{q}}\) 后即得上述刚度定理.
Proper density response function 表示电子所感受到的总标量势 (包括外势和密度变化产生的 Coulomb 势) 下的本征密度响应:
\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega) \bigl[\phi(\mathbf{q},\omega)+v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\bigr] \equiv \tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)\phi_{\mathrm{sc}}(\mathbf{q},\omega).\]它满足
\[\frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)} = \frac{1}{\chi^r(\mathbf{q},\omega)}+v(\mathbf{q}), \qquad \epsilon(\mathbf{q},\omega)=1-v(\mathbf{q})\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega), \qquad \chi^r(\mathbf{q},\omega)=\frac{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}.\]Compressibility sum rule
\[\lim_{q\to 0}\frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q})} = -\frac{\partial^2[\rho_0\varepsilon_{\mathrm{gs}}(\rho_0)]}{\partial\rho_0^2} = -\frac{1}{\rho_0^2 K},\]其中 \(K\) 为压缩率, \(\varepsilon_{\mathrm{gs}}(\rho_0)\) 为每粒子的基态能. 在二维电子气中, \(K\) 可通过量子电容实验测量, 且可能为负.
Proof 引入长波长密度调制 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}\). 从刚度定理计算 \(\delta E\). 再从局域能量变化加静电能量计算 \(\delta E\):
\[\delta E = \delta\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\varepsilon[\rho(\mathbf{r})] + \frac{1}{2\mathcal{V}}v(\mathbf{q})|\delta\rho_{\mathbf{q}}|^2.\]令两者相等并取 \(q\to 0\) 极限.
5.2.2 Random Phase Approximation (RPA)
随机相位近似假设
\[\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)\approx \chi_0^r(\mathbf{q},\omega),\]其中 \(\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)\) 是理想无相互作用电子气的密度响应函数.
Intuitive picture 将电子视为独立粒子, 并用平均感生势 (即 Hartree 近似) 来近似电子-电子相互作用效应:
\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \chi_0^r(\mathbf{q},\omega) \bigl[ \phi(\mathbf{q},\omega)+v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega) \bigr].\]因此介电函数和密度响应函数近似为
\[\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\omega) = 1-v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega), \qquad \chi_{\mathrm{RPA}}^r(\mathbf{q},\omega) = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\omega)} = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}{1-v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}.\]在图形上, RPA 对极化气泡的几何级数求和.
Lindhard function 是无相互作用电子气的密度响应函数:
粒子-空穴气泡由方向相反的两条传播子组成, 图解响应的整体因子为 \(\mathrm{i}/\hbar\). 合并 Fermion 闭圈的负号后, 实时间 Green 函数形式为
\[\chi_0^r(\mathbf{q},\omega) =-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_\sigma \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \int\frac{\mathrm{d}\nu}{2\pi} \left[ G_\sigma^{\lt}(\mathbf{k}+\mathbf{q},\nu+\omega)G_\sigma^a(\mathbf{k},\nu) +G_\sigma^r(\mathbf{k}+\mathbf{q},\nu+\omega)G_\sigma^{\lt}(\mathbf{k},\nu) \right].\]此处各 \(G_\sigma\) 均取无相互作用值. 对于无磁化、自旋简并为 2 的三维电子气, 频率积分给出
\[\chi_0^r(\mathbf{q},\omega) =2\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\hbar(\omega+\mathrm{i}\eta)+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}, \qquad \eta\to0^+.\]因子 2 来自两个相同的自旋分量; 自旋分裂时应分别求和, 不能直接乘 2. 这里 \(\nu,\omega,\eta\) 均采用角频率量纲, 与下文的解析延拓一致.
以上对应 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.57, 原讲义式(5.71)–(5.73). 保留的原始截图右侧式号有裁切, 完整公式以正文为准.
其中 \(f(\epsilon)=1/[\exp[\beta(\epsilon-\mu)]+1]\) 为 Fermi-Dirac 分布函数.
对于各向同性的三维气体, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 则零温 Lindhard 函数可解析求得.
\[\begin{aligned} \chi_0^r(q,\omega) &= N(0)\frac{k_F}{q} \left[ \Psi_3\!\left(\frac{\omega+\mathrm{i}\eta}{qv_F}-\frac{q}{2k_F}\right) -\Psi_3\!\left(\frac{\omega+\mathrm{i}\eta}{qv_F}+\frac{q}{2k_F}\right) \right],\\ \Psi_3(z) &= \frac{z}{2}+\frac{1-z^2}{4}\ln\!\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \longrightarrow_{|z|\to\infty} \frac{1}{3z}+\frac{1}{15z^3}+O(z^{-5}) \end{aligned}\]其中 \(N(0)=mk_F/(\pi\hbar)^2\) 是单位体积、单位能量、包含两个自旋分量的 Fermi 面态密度, 等于单自旋态密度的两倍; \(v_F=\hbar k_F/m\) 为 Fermi 速度. 这里 \(\eta>0\) 具有角频率量纲. 更明确地,
\[\begin{aligned} \frac{\operatorname{Re}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\frac{1}{2} + \frac{1-\nu_-^2}{4\tilde{q}} \ln\!\left|\frac{\nu_--1}{\nu_-+1}\right| - \frac{1-\nu_+^2}{4\tilde{q}} \ln\!\left|\frac{\nu_+-1}{\nu_++1}\right|,\\ \frac{\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= \frac{\pi}{4\tilde{q}} \left[ \theta(1-\nu_+^2)(1-\nu_+^2) -\theta(1-\nu_-^2)(1-\nu_-^2) \right], \\ \tilde{q}&\equiv \frac{q}{k_F}, \qquad \nu_\pm\equiv \frac{\omega}{qv_F}\pm \frac{q}{2k_F}. \end{aligned}\]在有限温度下,
\[\begin{aligned} \frac{\operatorname{Re}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{F(x,T)}{2\tilde{q}} \left[ \ln\!\left|\frac{x-\nu_-}{x+\nu_-}\right| - \ln\!\left|\frac{x-\nu_+}{x+\nu_+}\right| \right],\\ \frac{\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\frac{\pi k_B T}{4\epsilon_F\tilde{q}} \ln\!\left( \frac{1+\exp[\beta(\mu-\nu_-^2\epsilon_F)]} {1+\exp[\beta(\mu-\nu_+^2\epsilon_F)]} \right),\\ F(x,T)&=\frac{x}{\exp[\beta(x^2\epsilon_F-\mu)]+1}, \qquad \epsilon_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}. \end{aligned}\]
虚部也可直接从谱分母的 delta 函数得到. 对三维抛物色散, 先做沿 \(\mathbf{q}\) 方向的角积分, 再令 \(y=k^2/k_F^2\), 有
\[\frac{\operatorname{Im}\chi_0^r}{N(0)} =-\frac{\pi}{4\tilde q}\int_{\nu_-^2}^{\nu_+^2}\frac{\mathrm{d}y}{\exp[\beta(\epsilon_F y-\mu)]+1}.\]用 \(-k_BT\ln[1+\exp(\beta(\mu-\epsilon_F y))]/\epsilon_F\) 作原函数即得上式. \(T\to0\) 时它退化为前面的分段表达式, 且 \(\omega>0\) 时虚部非正, 与本节密度响应的耗散约定一致.
Proof 用热 Green 函数的标准微扰技术推导 Lindhard 函数. 对均匀体系
\[\chi_0^{\mathrm{T}}(x,x') =-\frac{1}{\hbar} \left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}(x)\Delta\hat{\rho}(x') \right\rangle_0 \implies \chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q}, \tau) =-\frac{1}{\hbar V} \left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(\tau) \Delta\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}(0) \right\rangle_0.\]在自由电子基下, disconnected 部分被 \(\Delta\hat{\rho}\) 扣掉. Wick 收缩给出连通部分
\[\left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}(x)\Delta\hat{\rho}(x') \right\rangle_0 =-\sum_\sigma G_0(x,x')G_0(x',x).\]因此只剩粒子-空穴 bubble. 将外部玻色 Matsubara 频率记为 \(\Omega_m\), Fourier 变换得到
\[\chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q}, \mathrm{i}\Omega_m) = \frac{1}{\hbar V}\sum_{\mathbf{k},\sigma} \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} G_0(\mathbf{k}+\mathbf{q},\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\Omega_m) G_0(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)\]代入 \(\mathcal{G}_0=(\mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}}/\hbar)^{-1}\), 记 \(n_F(x)=1/[\mathrm{e}^{\hbar\beta x}+1]\), 利用 Matsubara 频率求和公式
\[\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} \frac{1}{(\mathrm{i}\omega_n-x)(\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\Omega_m-y)} = \frac{n_F(x)-n_F(y)}{\mathrm{i}\Omega_m-(y-x)}.\]于是
\[\chi_0^T(\mathbf{q},\mathrm{i}\Omega_m) = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\mathrm{i}\hbar\Omega_m+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}.\]其中 \(\xi_{\mathbf{k}}=\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu\), 且 \(f(\epsilon)=1/[\mathrm{e}^{\beta(\epsilon-\mu)}+1]\). 解析延拓 \(\mathrm{i}\hbar\Omega_m\to \hbar(\omega+\mathrm{i}\eta)\), \(\eta\to0^+\), 即得上式的 \(\chi_0^r\).
Long-wavelength and static limit Lindhard 函数在 \(q\to 0\) 和 \(\omega\to 0\) 时具有奇异性. 极限值依赖于比值 \(\omega/v_Fq\). 根据取极限的顺序,
\[\lim_{q\to 0}\lim_{\omega\to 0}\chi_0^r(q,\omega) = -N(0), \qquad \lim_{\omega\to 0}\lim_{q\to 0}\chi_0^r(q,\omega)=0.\]在有限但足够小的 \(q\), 动态长波展开为
\[\chi_0^r(q,\omega)\simeq \frac{\rho_0 q^2}{m\omega^2} \left[ 1+\frac{3}{5}\frac{q^2v_F^2}{\omega^2} \right] \qquad \text{for } v_Fq\ll \omega.\]这分别对应于静态极限和动态极限. 在实际中, 非平衡响应计算 (例如电导率) 需要动态极限; 孤立体系的零频响应可能与允许重新热平衡的热力学响应不同.
静态后取长波的极限还可由 \(\delta\rho_0=(\partial\rho_0/\partial\mu)(-\phi)\) 核对: 零温理想电子气有 \(\partial\rho_0/\partial\mu=N(0)\), 其中两个自旋分量已计入, 因而得到 \(-N(0)\).
- 区分孤立(\(\mathrm{iso}\)), 等温(\(T\)) 和等熵(\(\mathrm{ad}\))响应, 并采用本节外势 \(+\phi\rho\) 的负密度响应约定: \[\chi^{\mathrm{iso}} \equiv \lim_{\omega\to 0}\chi^r(\omega), \qquad \chi^T \equiv -\left(\frac{\partial \rho}{\partial \mu}\right)_T, \qquad \chi^{\mathrm{ad}} \equiv -\left(\frac{\partial \rho}{\partial \mu}\right)_S,\] 在相应稳定平衡态和相同热力学约束下, 负响应满足 \(\chi^T\le \chi^{\mathrm{ad}}\le \chi^{\mathrm{iso}}\). 若改定义正响应 \(-\chi\), 不等号反向.
RPA 密度响应与 Lindhard 函数的比较. 左图实线为 RPA, 短虚线为 Lindhard, 长虚线为局域场修正. 右图虚线 Lindhard 曲线按图内标记放大 10 倍以便比较, 实线为 RPA; 实心三角标出 \(\delta\)-函数等离激元峰的位置, 三角高度不是有限的物理峰高. 右图不能按显示高度直接比较两种响应的绝对大小.
Friedel oscillation 屏蔽外势的电子受限于 \(|\mathbf{k}|\le k_F\). 动量空间中的尖锐截断在实空间产生振荡尾部. 对于各向同性静态响应, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 于是
\[\chi_{\mathrm{RPA}}^r(q) = -\frac{N(0)(q/k_F)^2g(q/k_F)} {(q/k_F)^2+[4\pi e^2N(0)/k_F^2]g(q/k_F)}, \qquad g(x) \equiv \frac{1}{2} -\frac{1}{2x} \left(1-\frac{x^2}{4}\right) \ln\!\left|\frac{1-x/2}{1+x/2}\right|.\]对于试探电荷 \(-Ze\), \(\phi_{\mathbf{q}}=4\pi Ze^2/q^2\) 且 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}=\chi_{\mathrm{RPA}}^r(q)\phi_{\mathbf{q}}\). 在实空间中,
\[\delta\rho(\mathbf{r}) = -Z \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}}{(2\pi)^3} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}} \frac{(q_{TF}/k_F)^2g(q/k_F)} {(q/k_F)^2+(q_{TF}/k_F)^2g(q/k_F)} \longrightarrow_{r\equiv |\mathbf{r}|\to\infty} \frac{Z}{\pi}\frac{2\xi}{(4+\xi)^2}\frac{\cos(2k_Fr)}{r^3},\]其中
\[q_{TF} \equiv \sqrt{4\pi e^2N(0)} = \left(\frac{4\alpha r_s}{\pi}\right)^{1/2}k_F, \qquad \xi\equiv \frac{q_{TF}^2}{2k_F^2}.\]这与 Thomas-Fermi 近似不同, 后者预测径向分布为
\[\delta\rho(r)=-\frac{Zq_{TF}^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_{TF}r}.\]低温简并气体中, Fermi 面的热展宽抑制 Friedel 振荡的远距离振幅, 不能一般地将其等同于 Debye 尾部. 在非简并、弱耦合气体的静态长波近似下, 有 Debye 屏蔽形式
\[\delta\rho(r)\simeq -\frac{Zq_D^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_D r}, \qquad q_D\equiv \sqrt{4\pi \rho_0 e^2\beta},\]其中 \(q_D\) 为 Debye 屏蔽波数.
Critique of the RPA
RPA 完全忽略了交换关联效应, 因为它假设电子只感受到平均场 Hartree 势.
它不满足下列将静态长波响应与热力学压缩率联系起来的相互作用求和规则. 在 RPA 中,
\[\frac{1}{\rho_0^2K} = -\lim_{q\to 0}\frac{1}{\tilde{\chi}^r(q)} \approx -\lim_{q\to 0}\frac{1}{\chi_0^r(q)} = \frac{1}{N(0)}.\]这可能与通过对相互作用基态能求导得到的压缩率有较大偏差.
5.2.3 Local Field Correction
密度响应函数的精确图级数可表示为
引入不可约电子-空穴相互作用 \(I\). 在均匀各向同性情形下, 局域场因子依赖于模 \(q\equiv |\mathbf{q}|\).
与 RPA 相比:
- 精确(粗体) Green 函数取代了自由 Green 函数.
- 不可约相互作用 \(I\) 取代了裸相互作用 \(v(\mathbf{q})\).
Remark \(I_{\mathbf{k}\omega\sigma,\mathbf{k}'\omega'\sigma'}(\mathbf{q},\nu)\) 通常不是局域相互作用, 因此不能在实空间中写为 \(I(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\).
Local field approximation 包含两个激进的近似:
将不可约电子-空穴相互作用近似为
\[I_{\mathbf{k}\omega\sigma,\mathbf{k}'\omega'\sigma'}(\mathbf{q},\nu) \approx \bigl[1-G_{\sigma\sigma'}(q)\bigr]v(\mathbf{q}).\]对 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 的依赖被忽略, 因此不可约有效相互作用被近似为局域相互作用. 对频率的依赖也被忽略, 因此这是一个静态近似.
用无相互作用的 Lindhard 函数代替电子-空穴气泡. 其依据在于精确 Green 函数接近无相互作用 Green 函数, 仅存在小的重整化效应.
因此,
\[\chi^r(\mathbf{q},\omega) \approx \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}, \qquad G_\pm(q)\equiv \frac{G_{\uparrow\uparrow}(q)\pm G_{\uparrow\downarrow}(q)}{2}.\]Example 采用局域密度近似, 并在动态线性响应中采用绝热局域密度近似, 电子满足 Kohn-Sham 方程
\[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})+V_{\mathrm{H}}(\mathbf{r})+V_{\mathrm{xc}}[\rho](\mathbf{r})\right]\psi_i(\mathbf{r}) =\epsilon_i\psi_i(\mathbf{r}),\]其中 \(V(\mathbf{r})\) 是外势, \(V_{\mathrm{H}}(\mathbf{r})\) 是 RPA 中考虑的 Hartree 势, \(V_{\mathrm{xc}}[\rho]\) 是电子密度 \(\rho(\mathbf{r})=\sum_i f_i|\psi_i(\mathbf{r})|^2\) 的交换关联势泛函(需自洽确定), \(f_i\) 为态 \(i\) 的占据数.
- 由 Kohn-Sham 方程描述的均匀电子液体 (\(V=0\)) 的密度响应函数是什么?
- 对应的局域场修正因子 \(G_+(q)\) 是什么?
Solution
均匀电子液体中 \(V=0\), 基态密度为常数 \(\rho_0\). 相应的 Hartree 势与交换关联势在空间中都是常数, 只造成能量零点或化学势的平移, 因而 Kohn-Sham 单粒子谱与自由电子气相同. 对有效势扰动有
\[\delta\rho(\mathbf{q}, \omega) = \chi_{\mathrm{KS}}(\mathbf{q}, \omega) \delta V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q}, \omega)\]故 Kohn-Sham 系统的密度响应就是无相互作用电子气的 Lindhard 函数:
\[\chi_{\mathrm{KS}}(\mathbf{q},\omega)=\chi_0(\mathbf{q},\omega) =2\int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\hbar\omega+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}+\mathrm{i}\eta}.\]对密度涨落 \(\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\), Kohn-Sham 有效势的一阶变化为
\[\delta V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\omega) =\delta V_{\mathrm{ext}}(\mathbf{q},\omega)+v(q)\delta\rho(\mathbf{q},\omega)+\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega).\]均匀体系中线性化交换关联势:
\[\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega) =\frac{\partial V_{\mathrm{xc}}}{\partial\rho}\delta\rho(\mathbf{q},\omega).\]局域场修正定义为
\[\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega) \equiv -v(q)G_+(q)\delta\rho(\mathbf{q},\omega).\]比较两式, 得到
\[G_+(q) =-\frac{q^2}{4\pi e^2} \frac{\partial V_{\mathrm{xc}}}{\partial\rho}.\]
Physical interpretation 电子所感受到的有效势与平均场 Hartree 势不同, 因为电子感受到的静电场必须排除自身的贡献, 而Pauli 不相容原理在电子周围产生交换空穴, 同时Coulomb 排斥产生额外的关联空穴.
为纳入这些效应, 引入自旋为 \(\sigma\) 的电子所感受到的局域有效势:
\[\phi_{\mathrm{eff},\sigma}(\mathbf{q},\omega) = \phi_\sigma(\mathbf{q},\omega) + \sum_{\sigma'} v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\sigma\sigma'}(q)\bigr]\delta\rho_{\sigma'}(\mathbf{q},\omega).\]Determination of \(G(q)\) 人们已发展出多种方法来计算局域场修正因子.
\(r_s=4,10\) 的局域场修正 \(G_+(q)\); 实线为 Ichimaru–Utsumi 插值. 上方 \(r_s=10\) 曲线为展示而作纵向平移, 应读括号内的纵轴刻度; 下方 \(r_s=4\) 曲线读括号外刻度. 两组曲线在画面上的高度差不等于 \(G_+\) 的物理差值.
- \(G(q)\) 的渐近行为已知.
- 一种成功的方法是 Singwi-Tosi-Land-Sjolander 方案, 通常称为 STLS.
- Ichimaru 和 Utsumi 给出了 \(G(q)\) 的插值公式.
Effective interactions 局域场修正引入了超越 RPA 的顶点修正. 在 RPA 中, 两粒子间的有效相互作用总是 \(W(\mathbf{q},\nu)\equiv v(\mathbf{q})/\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)\), 与粒子的性质无关. 引入局域场修正后不再成立.
Test charge-test charge interaction 试探电荷只感受到静电势, 因此两个试探电荷之间的相互作用被介电函数屏蔽:
\[\begin{aligned} W_{tt}(\mathbf{q},\omega) &= \frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}\\ \frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)} &= \frac{1}{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}+v(\mathbf{q})G_+(q)\\ \epsilon(\mathbf{q},\omega) &= 1-v(\mathbf{q})\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega) = 1-\frac{v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1+v(\mathbf{q})G_+(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}. \end{aligned}\]Electron-test charge interaction 试探电荷密度 \(\rho_t(\mathbf{q},\omega)\) 感生出扰动势 \(\phi(\mathbf{q},\omega)=v(\mathbf{q})\rho_t(\mathbf{q},\omega)\) 和电子密度变化 \(\delta\rho(\mathbf{q},\omega)=\chi^r(\mathbf{q},\omega)\phi(\mathbf{q},\omega)\). 电子所感受到的势包含交换关联修正:
\[\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\omega) = \phi(\mathbf{q},\omega) + v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \frac{\phi(\mathbf{q},\omega)} {1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}.\]因此
\[W_{et}(\mathbf{q},\omega) = \frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon_{et}(\mathbf{q},\omega)}, \qquad \epsilon_{et}(\mathbf{q},\omega) = 1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega).\]相应图级数
Electron-electron interaction 定义为不可约电子-电子相互作用, 即在粒子-粒子道中所有不可约图之和.
自旋 \(\uparrow\) 的电子密度 \(\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 对系统施加有效外势:
\[\phi_\uparrow(\mathbf{q},\omega) = v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\uparrow\uparrow}(q)\bigr]\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega), \qquad \phi_\downarrow(\mathbf{q},\omega) = v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\downarrow\uparrow}(q)\bigr]\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega).\]它们产生局域有效势
\[\begin{aligned} \phi_{\mathrm{eff},\downarrow}(\mathbf{q},\omega) &= \left[ \frac{1}{1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} - \frac{1}{1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} \right] \frac{\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)}{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}\\ \phi_{\mathrm{eff},\uparrow}(\mathbf{q},\omega) &= \phi_{\mathrm{eff},\downarrow}(\mathbf{q},\omega) - \frac{2v(\mathbf{q})G_-(q)} {1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} \rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega). \end{aligned}\]上述有效外势已经包含了来自所有其他电子构成的多体介质的交换关联修正. 这些贡献应从有效相互作用中排除. 这相当于分别减去 \(-v(\mathbf{q})G_{\uparrow\uparrow}(q)\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 和 \(-v(\mathbf{q})G_{\downarrow\uparrow}(q)\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\).
在上述局域场近似下, 将得到的有效势除以 \(\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 得到
\[\begin{aligned} W_{\uparrow\uparrow}(\mathbf{q},\omega) &= v(\mathbf{q}) + \bigl[v(\mathbf{q})(1-G_+(q))\bigr]^2\chi^r(\mathbf{q},\omega) + \bigl[v(\mathbf{q})G_-(q)\bigr]^2\chi_s^r(\mathbf{q},\omega), \\ W_{\uparrow\downarrow}(\mathbf{q},\omega) &= v(\mathbf{q}) + \bigl[v(\mathbf{q})(1-G_+(q))\bigr]^2\chi^r(\mathbf{q},\omega) - \bigl[v(\mathbf{q})G_-(q)\bigr]^2\chi_s^r(\mathbf{q},\omega), \end{aligned}\]
其中
\[\chi_s^r(\mathbf{q},\omega) = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}\]是自旋密度算符 \(\hat{S}_z=\hat{\rho}_\uparrow-\hat{\rho}_\downarrow\) 对应的自旋密度响应函数. 这就是 Kukkonen-Overhauser 电子-电子有效相互作用公式.
Kukkonen-Overhauser 有效相互作用的图级数. 第一项是原始相互作用而非不可约相互作用.
5.3 Plasmon
5.3.1 Collective Excitation
对于均匀各向同性电子液体, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 在无外势的情况下, 自持密度模满足
\[\epsilon(q,\omega)\phi_{\mathrm{sc}}(q,\omega)=0.\]应用 RPA 近似和长波长极限给出波方程
\[(\omega^2-\omega_p^2)\phi_{\mathrm{sc}}(q,\omega)=0, \qquad \omega_p=\sqrt{\frac{4\pi \rho_0 e^2}{m}}\]更一般地, 密度波的色散由 \(\epsilon(q,\Omega_q)=0\) 确定.
在小 \(q\) 下, \(\Omega_q\approx \sqrt{\omega_p^2+\frac{3}{5}q^2v_F^2}\).
介电函数的零点也是密度响应函数的极点, 因此它们定义了一种新的准粒子: 等离激元 (plasmon).
Classical picture \(q=0\) 处的等离子体模是电子液体相对于固定正电荷背景的振荡.
- 位移 \(x\) 在系统两端产生两层平行, 符号相反的电荷, \(\rho_{\mathrm{layer}}=\rho_0 x\).
- 这些电荷层产生体电场 \(E=4\pi e\rho_0 x\), 提供回复力.
- 运动方程 \(m\ddot x=-eE=-4\pi e^2\rho_0 x\), 给出频率为 \(\omega_p\) 的振荡.
Electron-hole continuum and damping 当等离激元能激发粒子-空穴对时, 它将受到阻尼. 相关的运动学约束来自能动量守恒.
将一个电子从 \(\mathbf{k}\) 激发到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\) 需要
\[\hbar\Omega_q = \frac{\hbar^2|\mathbf{k}+\mathbf{q}|^2}{2m} -\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} = \frac{\hbar^2q^2}{2m}+\frac{\hbar^2}{m}\mathbf{k}\cdot\mathbf{q}.\]因最大占据动量满足 \(|\mathbf{k}|\le k_F\), 这种激发仅在以下条件成立时可能
\[\max\!\bigl(0,\omega_-(q)\bigr)\le \Omega_q\le \omega_+(q), \qquad \omega_\pm(q)=\frac{\hbar q^2}{2m}\pm v_F q.\]该不等式定义的区域是电子-空穴连续区. 等离激元在其内受到阻尼.
对零温三维抛物色散电子气, 连续区的内部对应 \(\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)\neq 0\), 边界上谱权重可能为零. 非零谱权重意味着波矢和频率为 \((q,\omega)\) 的扰动可通过在非相互作用系统中激发粒子-空穴对被吸收.
5.3.2 Auxiliary Field Approach and Functional Integrals of Plasmons
相互作用电子系统中等离激元的出现也可直接从泛函积分推导. 这提供了对微扰重整求和方法的替代方案.
Action of electrons 引入组合的 Matsubara-动量标签
\[k\equiv (\omega_n,\mathbf{k}), \qquad q\equiv (\nu_m,\mathbf{q}), \qquad \sum_k\equiv \sum_{\omega_n}\sum_{\mathbf{k}}.\]本节所有 \(\sum_q\) 均包含 \(\nu_m\), 并排除空间零模 \(\mathbf{q}=0\).
相互作用电子的作用量为
\[S[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-\mu \right) \psi_{k\sigma} + \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_{kk'q\sigma\sigma'} v(\mathbf{q})\psi_{k+q,\sigma}^*\psi_{k'-q,\sigma'}^*\psi_{k'\sigma'}\psi_{k\sigma},\]Fourier 约定为
\[\psi_{k\sigma} = (\hbar\beta\mathcal{V})^{-1/2} \int \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau).\]相互作用部分可重组为
\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}}\sum_{\nu_m,\mathbf{q}\ne 0} v(\mathbf{q})\rho_{-q}\rho_q, \qquad \rho_q\equiv \sum_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^*\psi_{k+q,\sigma}, \qquad \rho_q=\rho_{-q}^*.\]注意 \(\psi\) 是 Grassmann 变量; 此连续时间简写须继承正规序 Hamiltonian 的时间格点处方. 它不能直接替换为无正规序的等时算符乘积. 在保留完整单粒子空间的有限周期空间格点上, 令 \(\hat n_{\mathbf{q}}\) 为密度的 Fourier 分量, 则
\[\hat H_{\mathrm{int}} =\frac{1}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) :\hat n_{-\mathbf{q}}\hat n_{\mathbf{q}}: =\frac{1}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) \left[\hat n_{-\mathbf{q}}\hat n_{\mathbf{q}}-\hat N\right].\]冒号表示真空正规序. 空间截断先使自作用项有限, 创建场的时间保持比湮灭场晚 \(0^+\), 最后再取连续时间和空间极限. 若改用普通密度乘积做 HS 变换, 须同时保留上式的单体反项.
Hubbard-Stratonovich transformation 将相互作用系统映射为粒子与涨落辅助场耦合的等效系统. 对于排斥相互作用, 使用 Gaussian 恒等式
\[\exp\!\left(-\frac{\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho\right) = [\det(2V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left[ -\frac{\epsilon}{2}\phi^\dagger V^{-1}\phi -\frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \right],\]其中 \(\epsilon>0\), \(V\) 为正定 Hermitian 矩阵. 复测度取 \(\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i=2\mathrm{i}\,\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_i)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_i)\), 因而每个复平面的归一化测度为 \(\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_i)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_i)/\pi\). 右边出现因子 \(\mathrm{i}\) 是为了重现左边排斥相互作用的负号.
对于吸引相互作用, 即 \(V\) 负定, 恒等式变为
\[\exp\!\left(-\frac{\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho\right) = [\det(-2V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left[ \frac{1}{2}\epsilon\phi^\dagger V^{-1}\phi -\frac{1}{2}\epsilon\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \right].\]这种情况下 \(\rho\) 与不含额外 \(\mathrm{i}\) 因子的辅助势耦合.
实时间对应形式由带无穷小收敛因子的 Gaussian 解析延拓定义:
\[\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho} = [\det(2\mathrm{i}V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi\mathrm{i}} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon \bigl[ \phi^\dagger V^{-1}\phi -\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \bigr] \right\}.\]也可使用广义的 Hubbard-Stratonovich 恒等式. 例如,
\[\mathrm{e}^{-\epsilon U(\hat{n}_{i\uparrow}-\frac{1}{2})(\hat{n}_{i\downarrow}-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\epsilon U/4}\sum_{s=\pm} \mathrm{e}^{\alpha s(\hat{n}_{i\uparrow}-\hat{n}_{i\downarrow})}, \qquad U\gt 0, \qquad \cosh \alpha=\mathrm{e}^{\epsilon U/2},\]它将 Hubbard 模型映射为电子与 Ising 辅助场耦合.
Electron-auxiliary field coupling action 通过应用 Hubbard-Stratonovich 变换, 得到
\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{int}}/\hbar} &= \frac{1}{Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta\mathcal{V}} \sum_q \left[ \frac{1}{2}\phi_{-q}v^{-1}(\mathbf{q})\phi_q + \mathrm{i}\rho_{-q}\phi_q \right] \right\}, \\ Z_{\phi 0} &\equiv \int \mathcal{D}\phi\,\mathrm{e}^{-S_{\phi 0}[\phi]/\hbar}, \\ S_{\phi 0}[\phi] &\equiv \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q |\mathbf{q}|^2|\phi_q|^2 \equiv \frac{1}{8\pi e^2} \int \mathrm{d}\mathbf{r} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, |\nabla \phi(\mathbf{r},\tau)|^2. \end{aligned}\]其中 \(\phi(\mathbf{r},\tau)\equiv (\hbar\beta\mathcal{V})^{-1}\sum_q \phi_q\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\nu_m\tau+\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}\), \(q\equiv (\nu_m,\mathbf{q})\). 注意因 \(\phi\) 为实数, \(\phi_{-q}=\phi_q^*\), 仅一半 \(\phi_q\) 独立.
作用量变换为
\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*,\phi] &= \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}}\sum_q |\mathbf{q}|^2|\phi_q|^2 + \sum_{kk'\sigma} \psi_{k\sigma}^* \left[ \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-\mu \right)\delta_{kk'} + \frac{\mathrm{i}}{\hbar\beta\mathcal{V}}\phi_{k-k'} \right] \psi_{k'\sigma} \\ &= \int \mathrm{d}\mathbf{r} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \left[ \frac{1}{8\pi e^2}|\nabla\phi(\mathbf{r},\tau)|^2 + \sum_\sigma \psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau) \left( \hbar\partial_\tau-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-\mu+\mathrm{i}\phi \right) \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau) \right] \\ &\equiv S_{\phi 0}[\phi]+S_e[\psi,\psi^*,\phi]. \end{aligned}\]第一项是辅助场的能量, 第二项描述非相互作用电子系统与虚势 \(\mathrm{i}\phi\) 的耦合.
Action of plasmons 可完成关于电子场的泛函积分, 并将配分函数仅表示为辅助场的泛函积分:
\[\begin{aligned} \frac{Z}{Z_0} &= \frac{1}{Z_0Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\mathcal{D}\phi\, \exp\!\left[ -\frac{S_{\phi 0}[\phi]+S_e[\psi,\psi^*,\phi]}{\hbar} \right] \equiv \frac{1}{Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left[ -\frac{S_{\phi 0}[\phi]-\hbar W_0[\mathrm{i}\phi]}{\hbar} \right].\\ \mathrm{e}^{W_0[\mathrm{i}\phi]} &= \frac{1}{Z_0} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp\!\left[-\frac{S_e[\psi,\psi^*,\phi]}{\hbar}\right] \equiv \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \rho(\mathbf{r},\tau)\phi(\mathbf{r},\tau) \right] \right\rangle_0. \end{aligned}\]对于静态 \(\phi\), \(-\beta^{-1}W_0[\mathrm{i}\phi]\) 是非相互作用系统相对 \(\phi=0\) 的巨势变化; 一般虚时依赖 \(\phi\) 时, \(W_0\) 是连通生成泛函.
可将 \(W_0[\mathrm{i}\phi]\) 在 \(\phi=0\) 附近展开:
\[W_0[\mathrm{i}\phi] = \sum_{n=1}^{\infty} \int \mathrm{d}1\cdots \mathrm{d}n \frac{1}{n!} \left. \frac{\delta^nW_0[\mathrm{i}\phi]} {\delta\phi(1)\cdots\delta\phi(n)} \right|_{\phi\to 0} \phi(1)\cdots \phi(n),\]其中 \(\phi(i)\equiv \phi(\mathbf{r}_i,\tau_i)\).
一阶:
\[\left. \frac{\delta W_0[\mathrm{i}\phi]}{\delta\phi(1)} \right|_{\phi\to 0} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle \rho(1)\rangle_0.\]此为时空常数, 因此仅组合零模 \(q=(0,\mathbf{0})\) 有贡献; 它已包含在电荷中性所排除的全部空间零模 \(\mathbf{q}=0\) 中.
二阶:
\[\begin{aligned} \left. \frac{\delta^2W_0[\mathrm{i}\phi]}{\delta\phi(1)\delta\phi(2)} \right|_{\phi\to 0} &= \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\right)^2 \langle(\rho(1)-\rho_0)(\rho(2)-\rho_0)\rangle_0 \\ &\equiv \frac{1}{\hbar}\chi_0^T(1,2). \end{aligned}\]到 \(\phi\) 的二阶, 有非相互作用等离激元的作用量:
\[S_p \equiv S_{\phi 0}[\phi]-\hbar W_0[\mathrm{i}\phi] = \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q |\mathbf{q}|^2 \bigl[1-v(\mathbf{q})\chi_0^T(q)\bigr] |\phi_q|^2 +\cdots.\]对非零 \(\nu_m\) 且 \(v_Fq\ll|\nu_m|\) 的动态长波模式, 应用 \(\chi_0^T(\mathbf{q},\nu_m)\simeq -\rho_0 q^2/(m\nu_m^2)\). 在仅含这些模式的二次作用量中得到
\[S_p \simeq \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q \frac{1}{v(\mathbf{q})\nu_m^2} \bigl[\nu_m^2+\omega_p^2\bigr] |\phi_q|^2.\]
Gaussian determinant 在有限空间和 Matsubara 模式截断下, 二次辅助场核可写为
\[S_{\mathrm{p}}[\phi]=\frac12\sum_q\phi_{-q}A_q\phi_q, \qquad \frac{A_q}{A_{0q}}=1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q).\]这里 \(A_{0q}=v^{-1}(\mathbf{q})/(\hbar\beta\mathcal{V})\). 实场的独立变量是各 Fourier 模式的实、虚分量, 每对 \(q,-q\) 只计一次. 对这些独立实变量作 Gaussian 积分, 再把和写回全部 \(q\), 得到密度涨落行列式
\[\frac{Z_{\mathrm{G}}^{\mathrm{dens}}}{Z_0} =\prod_q\left[\frac{A_q}{A_{0q}}\right]^{-1/2}, \qquad D_{\mathrm{G}} \equiv-\frac1\beta\ln\frac{Z_{\mathrm{G}}^{\mathrm{dens}}}{Z_0} =\frac{1}{2\beta}\sum_q\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right].\]对数分支从 \(v=0\) 连续选取. 这是普通密度涨落核的结果; 要得到原正规序相互作用的修正, 还须核对其一阶项.
Proof 将 \(\chi_0^{\mathrm{T}}\) 按本章密度响应的约定作 Matsubara 反变换. 对非零空间模式, 用独立的密度时间分离 \(\eta>0\) 取等时极限, 得
\[-\frac1\beta\sum_{\nu_m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\nu_m\eta}\chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q},\nu_m) \longrightarrow \frac{1}{\mathcal{V}}C_0(\mathbf{q},0^+), \qquad C_0(\mathbf{q},0^+) =\sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma} \left(1-n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}\right).\]其中 \(n_{\mathbf{k}\sigma}=n_{\mathrm{F}}(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)\), \(N_0=\sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma}\). 先求和再取 \(\eta\to0^+\), 且同一空间截断用于密度关联和自作用项. 因而行列式的一阶贡献为
\[\begin{aligned} D_{\mathrm{G}}^{(1)} &=-\frac{1}{2\beta}\sum_q v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\\ &=\frac{N_0}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) -\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0,\mathbf{k}\sigma} v(\mathbf{q})n_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}. \end{aligned}\]第一项是普通密度乘积中的自作用, 由正规序单体反项在一阶抵消; 第二项就是 Fock 巨势修正
\[\Delta\Omega_{\mathrm{F}}^{(1)} =-\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0,\mathbf{k}\sigma} v(\mathbf{q})n_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}.\]均匀电子气的 Hartree 零模已由电中性背景处理, 不再计入.
因此, 以同一 \(G_0\) 为参照的“完整一阶项 + 二阶起直接环图”RPA 近似应写为
\[\begin{aligned} \Delta\Omega_{\mathrm{RPA}} &=\Delta\Omega_{\mathrm{F}}^{(1)}+\Omega_{\mathrm{ring},c},\\ \Omega_{\mathrm{ring},c} &=\frac{1}{2\beta}\sum_q \left\{\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right] +v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right\}. \end{aligned}\]环关联项从二阶开始, 因为 \(\ln(1-x)+x=-\sum_{n=2}^{\infty}x^n/n\) 在 \(|x|\lt1\) 内成立. 它与未扣除一阶项的 trace-log 不是同一个量, 也不包含所有二阶及更高阶交换图.
在固定密度的组织方式下, 自作用与反项须在同一调节下相消. 若在巨正则 HS 积分中把单体反项吸收到化学势, 相应电子行列式和响应函数也要用平移后的化学势; 不能只在最后从一个使用原 \(\mu\) 的行列式中减去 \(\langle N\rangle_0\), 便把它当作所有阶的精确等式.
零温、固定粒子数时, 对应的直接环关联能可沿虚频轴写为
\[E_{\mathrm{ring},c} =\frac{\hbar\mathcal{V}}{2} \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\nu}{2\pi} \left\{\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu)\right] +v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu)\right\}.\]频率 \(\nu\) 具有角频率量纲, 所以保留 \(\hbar\). 该扣除形式也见 GPAW 的 RPA 关联能定义; 其原子单位表达式需相应恢复 \(\hbar\). 辅助场作用量的三阶及以上项可解释为等离激元之间的相互作用.
5.3.3 Other Collective Excitations
分解相互作用并应用 Hubbard-Stratonovich 变换的方式有多种. 不同的分解对应不同的集体激发.
Direct channel 即上面已写出的密度通道分解, 描述等离激元.
Exchange channel 将相互作用分解为
\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = -\frac{1}{2\mathcal{V}\hbar\beta} \sum_{qkk'\sigma\sigma'} v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\rho_{k'q,\sigma\sigma'}^\dagger \rho_{kq,\sigma\sigma'}, \qquad \rho_{kq,\sigma\sigma'} \equiv \psi_{k\sigma'}^*\psi_{k+q,\sigma}.\]这可进一步重组为自旋密度通道. 在适当磁有序相中可描述自旋波或 magnon; 在顺磁相中通常得到自旋涨落.
Pairing channel 将相互作用分解为
\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\mathcal{V}\hbar\beta} \sum_{qkk'\sigma\sigma'} v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\Phi_{k'q,\sigma\sigma'}^\dagger \Phi_{kq,\sigma\sigma'}, \qquad \Phi_{kq,\sigma\sigma'} \equiv \psi_{k+q,\sigma}\psi_{-k,\sigma'}.\]描述超导体中的 Cooper 对.
Multi-field decomposition 系统在长波区域可能具有多种稳定集体激发. 此时可同时引入多个辅助场, 但须先将原相互作用分配到这些通道, 再对各部分解耦; 不能将同一相互作用的几种完整 HS 表示直接相加.
- 辅助场应在长波极限下给出有意义的低能集体激发, 其特征是具有明确的色散和长寿命.
- 若假设 \(|\mathbf{q}|\) 很小 (长波极限), 不同分解对应的项在原始相互作用作用量中不重叠, 则不同分解的相加不会导致重复计数.