Quantum Many-Body Theory - 3

6 Effective Action Theory and Functional Approaches

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6.1 Effective Action

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以下以热 Green 函数为主, 取虚时 \(0\le\tau\le\hbar\beta\)、\(\iota=-1\), 泛函权重为 \(\mathrm{e}^{-S/\hbar}\); \(\zeta=1\) 表示 Boson, \(\zeta=-1\) 表示 Fermion, 场满足 \(\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)\). 实时间或围线形式取 \(\iota=\mathrm{i}\)、权重 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}S/\hbar}\), 同时须相应选择时间路径、编时规则和初态边界条件, 不能只替换 \(\iota\) 而保留虚时边界条件.

Definition of the effective action

1. 引入与系统耦合的外源 \(\phi\):

   \[S_{\mathrm{ext}}[\psi] = \iota^{-2} \sum_{\alpha\beta} \int \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2\, \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta(\tau_2)\phi_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2).\]

2. 定义生成泛函和连通生成泛函:

   生成泛函基本上是在存在外源时的归一化配分函数:

   \[\begin{aligned} \mathscr{G}[\phi] &= \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\, \exp\!\left[\frac{\iota}{\hbar}(S+S_{\mathrm{ext}})\right] \\ &= \left\langle \exp\!\left[ \frac{1}{\iota\hbar} \int \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2 \sum_{\alpha\beta} \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta(\tau_2)\phi_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2) \right] \right\rangle, \end{aligned}\]

   其中平均定义为

   \[\langle F(\psi^*,\psi)\rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\,F(\psi^*,\psi)\exp\!\left(\frac{\iota}{\hbar}S\right).\]

   连通生成泛函以相对于无相互作用参考系统的巨势差定义:

   \[W[\phi] \equiv \ln \mathscr{G}[\phi] + C \equiv -\beta\bigl(\Omega[\phi]-\Omega_0\bigr),\]

   其中 \(C\equiv \ln Z-\ln Z_0\), \(\Omega_0\) (\(Z_0\)) 是系统在相同温度、化学势和体积下、无相互作用且无外源时的巨势(配分函数). 因而 \(W[\phi]=\ln[Z[\phi]/Z_0]\); \(C\) 与 \(\phi\) 无关, 但一般依赖热力学参数.

   • Green 函数可以通过生成泛函生成:

     \[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = (\zeta\hbar)^n \frac{\delta^n \mathscr{G}[\phi]} {\delta\phi_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta\phi_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \biggr|_{\phi\to 0}.\]

   • 连通生成泛函生成连通 Green 函数:

     \[\mathcal{G}_c^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = (\zeta\hbar)^n \frac{\delta^n W[\phi]} {\delta\phi_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta\phi_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \biggr|_{\phi\to 0}.\]

   两组 Green 函数可以通过累积量展开相关联:

   \[\begin{aligned} \mathcal{G}^{(1)}(12) &= \mathcal{G}_c^{(1)}(12), \\ \mathcal{G}^{(2)}(12;1'2') &= \mathcal{G}_c^{(2)}(12;1'2') + \mathcal{G}(11')\mathcal{G}(22'), \end{aligned}\]

   其中 \(\mathcal{G}(11')\equiv \mathcal{G}^{(1)}(1;1')\), 使用了简写记号 \(1\equiv \alpha_1\tau_1\), \(1'\equiv \alpha_1'\tau_1'\).

   此处对双线性源求导, “连通”按密度双线性块之间的连接定义; 它不同于对单场线性源求导得到的完全连通多粒子函数. 因而上式只减去指定双线性分组的乘积, 不能据此漏掉后续计算中的交换项.

3. 定义与 \(\phi\) 共轭的场:

   \[\mathcal{G}[\phi](11') = \zeta\hbar \frac{\delta W[\phi]}{\delta\phi(1'1)},\]

   这是在存在外源 \(\phi\) 时的单粒子 Green 函数.

4. 有效作用量(Baym-Kadanoff 泛函)通过 Legendre 变换定义:

   \[\begin{aligned} \Gamma[\mathcal{G}] &= -\left\{ W[\phi] - \sum_{11'} \frac{\delta W[\phi]}{\delta\phi(1'1)}\phi(1'1) \right\} = -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar}\operatorname{Tr}[\mathcal{G}\phi] \\ &\equiv -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar} \sum_{\alpha\alpha'} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \mathrm{d}\tau'\, \mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\tau,\tau')\phi_{\alpha'\alpha}(\tau',\tau). \end{aligned}\]

   下面在共轭场映射 \(\phi\to \mathcal{G}[\phi]\) 的局部可逆分支上使用 Legendre 变换. 若选定实源域上 \(W\) 是凸泛函且迹配对为实数, 可进一步采用 Legendre-Fenchel 定义:

   \[\Gamma[\mathcal{G}] = \sup_\phi \left[ -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar}\operatorname{Tr}[\mathcal{G}\phi] \right],\]

   其中 \(\sup\) 表示上确界. 对一般双时源, 上述凸性和全局单值性不能自动保证; 后续方程以选定物理分支上的驻值变换为准.

   有效作用量为系统的物理态赋予一个巨势/自由能, 并导出一个变分原理. 它比 \(W[\phi]\) 具有更好的解析性质, 因此更适合近似. 它为一致地构造各种近似提供了统一基础. 可以设计非微扰或经验方法来构造该泛函.

Variational principle 将有效作用量对 \(\mathcal{G}\) 求导, 我们得到

\[\frac{\delta \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \frac{\zeta}{\hbar}\phi(11').\]

在没有外源的情况下, 它给出变分原理 \(\delta\Gamma[\mathcal{G}] = 0\), 即物理 Green 函数是有效作用量的驻点.

Notation 记零源平衡支上的值为 \(\Gamma_{\mathrm{eq}}(\beta,\mu)\equiv\Gamma[\mathcal{G}_{\mathrm{eq}}]\). 此处 \(\Gamma\) 无量纲, \(\Gamma/\beta\) 具有能量量纲. 由零源时 Legendre 配对项为零,

\[\Omega=\Omega_0+\frac{\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\beta}.\]

参考项只对源和共轭场是常数. 固定体积, 对热力学参数求导时须一并保留它:

\[\begin{aligned} N&=N_0-\frac{1}{\beta} \left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\mu}\right)_\beta,\\ E-\mu N&=E_0-\mu N_0+ \left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\beta}\right)_\mu,\\ S&=S_0+k_{\mathrm{B}}\left[ \beta\left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\beta}\right)_\mu -\Gamma_{\mathrm{eq}}\right]. \end{aligned}\]

这里 \(N_0,E_0,S_0\) 为同一参考系统的平衡量, 导数沿零源平衡支取值. 这些关系直接来自 \(\beta\Omega=-\ln Z\), \(N=-\partial_\mu\Omega\), \(E-\mu N=\partial_\beta(\beta\Omega)\) 和 \(S=-\partial_T\Omega\); 驻值条件消去共轭场变化带来的链式项.

Free effective action 对于无相互作用系统:

\[\begin{aligned} W_0[\phi] &= -\zeta\operatorname{Tr}\bigl[\ln(-\mathcal{G}^{-1})-\ln(-\mathcal{G}_0^{-1})\bigr] \\ &= \zeta\operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}), \end{aligned}\]

其中 \(\mathcal{G}_0\) 和 \(\mathcal{G}\) 分别是在不存在和存在外源 \(\phi\) 时的 Green 函数. 外源是场的双线性项, 因而 Gaussian 泛函积分的二次核由 \(\hbar\mathcal{G}_0^{-1}\) 改为 \(\hbar\mathcal{G}_0^{-1}-\phi\); 对该核求逆得到

\[\mathcal{G}^{-1}=\mathcal{G}_0^{-1}-\frac{\phi}{\hbar}.\]

因此我们有 \(\phi[\mathcal{G}]=\hbar(\mathcal{G}_0^{-1}-\mathcal{G}^{-1})\). 将其代入 Legendre 变换, 我们得到无相互作用系统的有效作用量泛函:

\[\begin{aligned} \zeta\Gamma_0[\mathcal{G}] &= -\operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}) + \operatorname{Tr}(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}-I). \end{aligned}\]

Luttinger-Ward 泛函 我们可以将泛函分解为

\[\Gamma[\mathcal{G}] = \Gamma_0[\mathcal{G}]-\Phi[\mathcal{G}],\]

其中 Luttinger-Ward 泛函 \(\Phi[\mathcal{G}]\) 表征相互作用效应.

Energy functional 与有效作用量泛函成正比:

\[\begin{aligned} \Omega[\mathcal{G}]-\Omega_0 &\equiv \frac{1}{\beta}\Gamma \\ &= -\frac{\zeta}{\beta} \left\{ \operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G})-\operatorname{Tr}(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}-I) \right\} -\frac{1}{\beta}\Phi[\mathcal{G}] \\ &\to -\frac{\zeta}{\beta} \sum_{\mathbf{k}}\sum_{\omega_n} \left\{ \ln\!\bigl[\mathcal{G}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega_n)\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\bigr] -\mathcal{G}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega_n)\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)+1 \right\} -\frac{1}{\beta}\Phi[\mathcal{G}]. \end{aligned}\]

在零温下, 基态能量可以类似地定义为实时 Green 函数的泛函:

\[\begin{aligned} E[G]-W_0 &= \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0} \left\{ \zeta\operatorname{Tr}\ln(G_0^{-1}G)-\zeta\operatorname{Tr}(G_0^{-1}G-I)+\Phi[G] \right\} \\ &\to \mathrm{i}\hbar\zeta \sum_{\mathbf{k}} \int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \left\{ \ln\!\bigl[G_0^{-1}(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega)\bigr] -G_0^{-1}(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega)+1 \right\} + \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\Phi[G], \end{aligned}\]

其中 \(W_0\) 是系统在无相互作用极限下的基态能量.

6.2 Irreducible Diagrams and Integral Equations

基于该泛函, 可以推导出一组精确的自洽积分方程. Luttinger-Ward 泛函可以通过求和选定的骨架 Feynman 图来近似构造. 这产生了诸如 GW 近似之类的实用计算方法.

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Vertex functions 顶点函数定义为

\[\Pi^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = \zeta^n \left. \frac{\delta^n \Gamma[\mathcal{G}]} {\delta \mathcal{G}_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta \mathcal{G}_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \right|_{\mathcal{G}\to \mathcal{G}_{\mathrm{phy}}}.\]

这组自洽积分方程可以通过逐阶分析顶点函数来推导.

6.2.1 Self-Energy and Dyson Equation

在没有外源时,

\[\Pi^{(1)} = \zeta\frac{\delta\Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}} = 0,\]

其中已经隐含了 \(\mathcal{G}\to \mathcal{G}_{\mathrm{phy}}\). 利用分解 \(\Gamma[\mathcal{G}]=\Gamma_0[\mathcal{G}]-\Phi[\mathcal{G}]\), 我们得到

\[\Pi^{(1)}(11') = \zeta\frac{\delta \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \mathcal{G}_0^{-1}(11')-\mathcal{G}^{-1}(11')-\zeta\frac{\delta \Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = 0.\]

这里使用了矩阵导数恒等式

\[\frac{\delta\,\operatorname{Tr}\ln \mathcal{G}}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \frac{\delta \ln(\det \mathcal{G})}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \mathcal{G}^{-1}(11').\]

Proper self energy functional 正规自能泛函定义为

\[\frac{\Sigma[\mathcal{G}](11')}{\hbar} \equiv \zeta\frac{\delta \Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)}.\]

Dyson 方程

\[\mathcal{G}^{-1} = \mathcal{G}_0^{-1}-\frac{\Sigma[\mathcal{G}]}{\hbar} \implies \mathcal{G} = \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar^2}\mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0 + \cdots.\]

正规自能图是单粒子不可约的, 即不能通过切割一条粒子线分成两部分:

正规自能 \(\Sigma/\hbar\) 的低阶图, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.72, 原讲义式(6.31). 带箭头实线为裸传播子 \(\mathcal{G}_0\), 虚线为相互作用; (a)–(d) 不含自能插入, (e)–(h) 含自能插入. 骨架展开以完整传播子替代裸传播子, 见下图.

Skeleton diagrams 自能骨架图是不含自能插入的正规自能图, 即不能通过向低阶图的传播子线插入自能子图而生成. 上图前四项是骨架图, 后四项含自能插入.

• 自能图具有两个固定外腿, 按单粒子不可约性和无自能插入来筛选. 不能笼统地把这些开图定义为“切任意两条粒子线均不可分”.

• \(\Phi[\mathcal{G}]\) 则由闭合的两粒子不可约(2PI, two-particle irreducible)真空图组成: 保持相互作用顶点及虚线连接, 切两条内部粒子传播子不能把图分成两个各含相互作用顶点的部分. 对 \(\Phi\) 求导截开一条线, 才生成自能骨架图. 闭合 2PI 图与自能变分的关系可参见 Berges 的非平衡量子场论综述, §2.

• 利用自洽骨架展开, 我们可以构建 \(\Sigma\)(或 \(\mathcal{G}\))的自洽方程.

  

  粗线代表 Green 函数 \(\mathcal{G}\)(而非 \(\mathcal{G}_0\)).

6.2.2 Perturbative Construction of the Luttinger-Ward Functional

Luttinger-Ward 泛函的图可以通过应用自能的 Luttinger-Ward 定义从自能骨架图构造. 它们是闭合, 粗线, 两粒子不可约(骨架)图.

• 泛函导数逐条截开粒子传播子, 外腿次序由 \(\delta/\delta\mathcal{G}(1'1)\) 固定. 本文已在 \(\Sigma/\hbar=\zeta\,\delta\Phi/\delta\mathcal{G}\) 中写出统计因子 \(\zeta\), 不再额外重复乘一次. 将闭环截为开链使闭合 Fermion 圈数减少一, 与此约定相容.
• 对称因子由未标记 Feynman 图的标签等价类计算. 对 \(n\) 条对称二体相互作用虚线, 有 \(2^n n!\) 个标签置换及虚线端点交换; 保持有向粒子线、线种类和连接关系的稳定子群的阶为 \(S_\gamma\), 因而不同标记数为 \(2^n n!/S_\gamma\). 开图还须逐个固定外腿. 这里不使用已合并直接/交换顶点的 Hugenholtz 图计数规则.
• 若某类等价截线构成大小为 \(m\) 的轨道, 截开图的外腿固定对称因子为 \(S_{\mathrm{cut}}\), 轨道-稳定子关系给出 \[m=\frac{S_\gamma}{S_{\mathrm{cut}}}, \qquad \frac{m}{S_\gamma}=\frac{1}{S_{\mathrm{cut}}}.\] 因而求导产生的是开图所需的正确因子, 而不是一般地把所有对称因子变成 1. 只有 \(S_{\mathrm{cut}}=1\) 时才完全抵消.

Example 第一阶交换图和直接环图满足 \(S=2n\), 但任意闭合骨架图不必如此. 下图为三阶反例:

沿左侧有向圈标记 \(a\to b\to a\), 沿右侧有向圈标记 \(c\to d\to e\to f\to c\); 令虚线连接为 \((a,c),(b,e),(d,f)\). 其中 \(c,e\) 分别为右圈的上、下连接点. 保持箭头的自同构只有恒等和同时交换 \(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow e,\ d\leftrightarrow f\), 所以 \(S=2\), 而 \(2n=6\). 六条粒子线分为三个大小为 2 的截线轨道; 每种开图均有 \(S_{\mathrm{cut}}=1\). 这一计数使用原图的箭头与虚线, 不能把右圈反射后逆转粒子箭头也算作对称.

• 低阶图的系数可据此逐图核对; 高阶展开仍须按各图的稳定子计算, 不能套用统一的 \(2n\).
• 由自能的 Luttinger-Ward 定义, \(\Phi[\mathcal{G}]\) 仅确定到与 \(\mathcal{G}\) 无关的常数. 结合 GV (A13.9, A13.14), 可以证明该常数与相互作用无关. 为方便起见, 可将其设为零.

Conserving approximation 对保留相应对称性的近似 Luttinger-Ward 泛函, 用其导数构造自能和响应顶点, 并自洽求解 Dyson 方程, 才能保持原 Hamiltonian 所具有的粒子数, 动量和能量守恒律. 仅在固定 \(\mathcal{G}_0\) 上做一次计算并不自动满足这一结论.

GW approximation 用图的一个子集来近似 Luttinger-Ward 泛函:

GW 泛函的图解, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.73, 原讲义式(6.34)–(6.35). 外侧双环为 Hartree 项, 方括号内第一项为一阶 Fock 图, 其余为直接环图; 原图的完整迹对数已包含 Fock 项.

近似为 Hartree-Fock 项加上直接环图.

\[\Phi_{\mathrm{GW}}[\mathcal{G}] = \Phi_{\mathrm{H}}[\mathcal{G}]+\Phi_{\mathrm{F}}[\mathcal{G}]+\Phi_{\mathrm{ring}}[\mathcal{G}], \qquad \Phi_{\mathrm{ring}}[\mathcal{G}] = -\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \ln\!\left(1-\frac{\iota\zeta}{\hbar}v\mathcal{G}\mathcal{G}\right) +\frac{\iota\zeta}{\hbar}v\mathcal{G}\mathcal{G} \right].\]

这里环项从二阶开始, 一阶交换项由 \(\Phi_{\mathrm{F}}\) 单独计入. 将原图的 \(\iota\zeta v\mathcal{G}\mathcal{G}/\hbar\) 记为 \(A\), 作为形式幂级数,

\[-\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\ln(1-A) =\frac{1}{2}\operatorname{Tr}A +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2n}\operatorname{Tr}A^n.\]

线性项即原图中的 Fock 项. 正文将它单列, 因此在 \(\Phi_{\mathrm{ring}}\) 的括号内加上 \(A\) 以扣除这一项; 两种拆分给出同一个 \(\Phi_{\mathrm{GW}}\), 不能再次把原图的完整迹对数加到 Hartree-Fock 项上. 除了 Hartree 和 Fock 项外, 该近似还包括 Coulomb 相互作用系统中长波发散最严重的直接环图.

6.2.3 Second-Order Vertex Function

应用式 Vertex function 和无外源正规自能的性质, 我们得到

\[\zeta\Pi^{(2)}(12;1'2') = \frac{\delta \Pi^{(1)}(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)} = \mathcal{G}^{-1}(12')\mathcal{G}^{-1}(21') -\zeta\frac{\delta^2\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\delta \mathcal{G}(2'2)}.\]

其中第一项来自 \(-\delta \mathcal{G}^{-1}(11')/\delta \mathcal{G}(2'2)\), 我们利用了矩阵导数恒等式

\[\frac{\delta \mathcal{G}^{-1}(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)} = -\mathcal{G}^{-1}(12')\mathcal{G}^{-1}(21').\]

Irreducible electron-hole interaction 我们定义直接粒子-空穴道中的不可约相互作用 \(I\):

\[I(12;1'2') = \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^{-1} \frac{\delta^2\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\delta \mathcal{G}(2'2)} = \frac{\zeta}{\iota}\frac{\delta \Sigma(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)}.\]

它包括直接粒子-空穴道中两粒子不可约的散射图: 切开承载该道转移动量的粒子、空穴传播子, 不能把图分成该道的两个散射块. 这是指定道的不可约性, 不等于闭合真空图对任意两条线的 2PI 性质; 同一顶点可能在其他道中可约.

它可以解释为粒子与空穴之间的有效相互作用. 注意在涉及奇数次粒子交换的图前有额外的符号 \(\zeta\). 这是由于求导时 Fermi 环数目的变化.

Identity 联系两粒子 Green 函数与二阶顶点的恒等式:

\[\begin{aligned} \delta(12)\delta(1'2') &= \frac{\delta \mathcal{G}(11')}{\delta \mathcal{G}(22')} = \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \frac{\delta \mathcal{G}(11')}{\delta \phi(3'3)} \frac{\delta \phi(3'3)}{\delta \mathcal{G}(22')} \\ &= \hbar^2 \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \frac{\delta^2 W[\phi]}{\delta\phi(3'3)\delta\phi(1'1)} \frac{\delta^2 \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(22')\delta \mathcal{G}(33')} \\ &\equiv \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \mathcal{G}_c^{(2)}(13;1'3')\, \Pi^{(2)}(3'2',32). \end{aligned}\]

这表明顶点是 Green 函数的(矩阵)逆.

Two particle Dyson Equation 将恒等式与本节最开始给出的式子结合, 我们得到

\[\begin{aligned} \mathcal{G}_c^{(2)}(12;1'2') =& \zeta \mathcal{G}(12')\mathcal{G}(21') \\ &+ \frac{\iota}{\hbar}\zeta \!\int\! \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\,\mathrm{d}4\,\mathrm{d}4'\, \mathcal{G}_c^{(2)}(13;1'3')\, I(3'4';34)\, \mathcal{G}(24')\mathcal{G}(42'). \end{aligned}\]

Scattering amplitude 一对粒子与空穴之间的散射振幅 \(\mathcal{T}\) 通过图关系定义.

Bethe-Salpeter equation 粒子-空穴道中的 Bethe-Salpeter 方程将散射振幅与不可约相互作用 \(I\) 联系起来:

\[\begin{aligned} T(12;1'2') =& I(12;1'2') \\ &+ \frac{\iota}{\hbar}\zeta \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\,\mathrm{d}4\,\mathrm{d}4'\, T(13;1'3')\, \mathcal{G}(4'3)\, \mathcal{G}(3'4)\, I(42;4'2'). \end{aligned}\]

6.2.4 Higher-Order Equations

高阶方程可以通过对二体 Dyson 方程连续应用导数 \(\delta/\delta\phi\) 得到. 有用的恒等式:

\[\zeta\hbar\frac{\delta \mathcal{G}_c^{(n)}}{\delta\phi} = \mathcal{G}_c^{(n+1)}, \qquad \zeta\hbar\frac{\delta I^{(n)}}{\delta\phi} = I^{(n+1)}\star \mathcal{G}_c^{(2)}\]

其中

\[I^{(n)} \equiv \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^{-1} \frac{\delta^n\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\cdots\delta \mathcal{G}(n'n)}\]

表示 \(n\) 体有效相互作用.

6.2.5 Other Sources

根据物理情境, 其他选择也是可行的:

1. 线性源 \[S_{\mathrm{ext}} = \iota^{-2}\sum_\alpha\int \mathrm{d}\tau\, \left[ J_\alpha^*(\tau)\psi_\alpha(\tau) + \psi_\alpha^*(\tau)J_\alpha(\tau) \right],\] 对于 Fermions, \(J(\tau)\) 是一个 Grassmann 函数. 这将产生关于 \(\langle\psi_\alpha\rangle\) 和单粒子不可约顶点的泛函. 在可重整化理论中, 这有助于将需要重整化的发散组织到有限种低阶顶点中.
2. 配对源 \[S_{\mathrm{ext}} = \iota^{-2}\sum_{\alpha\beta}\int \mathrm{d}\tau_1\mathrm{d}\tau_2\, \left[ \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta^*(\tau_2)\Delta_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2) + \mathrm{c.c.} \right],\] 该源可能出现在超导系统中. 它将产生关于反常 Green 函数的泛函 \[\mathcal{F}(\alpha\tau,\alpha'\tau') = -\langle\hat{T}[\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)}(\tau')]\rangle,\] 可以类似地定义粒子-粒子道中的不可约有效相互作用. 这一推广对于处理超导系统是必要的.
3. 混合源 不同类型的源可以混合使用. 例如, 为了描述超导系统, 需要同时引入普通源和配对源.

6.3 Density Functional Theory

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密度泛函理论可以理解为一种有效作用量理论. 在密度泛函理论中, 我们只关心系统的平衡密度分布. 因此, 我们选择一个与时间无关的局域势 \(\phi(\mathbf{r})\) 作为外源:

\[S_{\mathrm{ext}} = \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \psi^*(\mathbf{r}\tau)\psi(\mathbf{r}\tau)\,\phi(\mathbf{r}).\]

对外源生成泛函作 Legendre 变换可以定义局域密度的无量纲有效作用量 \(\Gamma[\rho]\). 本节恢复未减去参考项的巨势泛函:

\[\Omega[\rho]\equiv\Omega_0+\frac{\Gamma[\rho]}{\beta}.\]

这里不带密度自变量的 \(\Omega_0=-\beta^{-1}\ln Z_0\) 是给定温度、化学势和体积下的参考标量; 它与下面的无相互作用密度泛函 \(\Omega_0[\rho]\) 不同. 二者在参考系统的零源平衡密度处相等. 局域密度定义为

\[\rho(\mathbf{r}) = \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, \langle \psi^*(\mathbf{r}\tau)\psi(\mathbf{r}\tau)\rangle.\]

Hohenberg-Kohn theorem 在零温、固定粒子数的通常基态密度泛函理论中, 密度确定外势到一个加法常数. 这里使用的有限温度巨正则推广是 Mermin 定理: 在给定 \(T>0\) 和 \(\mu\) 时, 不同局域外势不能产生相同的平衡密度.

• 在允许的密度域上, 巨势泛函 \(\Omega[\rho]\) 是凸的; 有限体系、有限温度及可逆响应等条件下可进一步讨论严格凸性:

  \[\Omega[\alpha\rho_1+(1-\alpha)\rho_2] \le \alpha\,\Omega[\rho_1]+(1-\alpha)\,\Omega[\rho_2], \qquad 0\le \alpha \le 1.\]

Identities 恒等式

\[\frac{\delta \Omega[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})} = -\phi(\mathbf{r}), \qquad \int \mathrm{d}\mathbf{r}_1\, \chi(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\, \frac{\delta^2\Omega[\rho]} {\delta\rho(\mathbf{r}_1)\delta\rho(\mathbf{r}')} = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').\]

其中 \(\chi(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\equiv \delta\rho(\mathbf{r})/\delta\phi(\mathbf{r}_1)\) 是密度响应函数.

Kohn-Sham 方法

• 对可由局域无相互作用势表示的密度, 有效作用量可以分解为

  \[\Omega[\rho]=\Omega_0[\rho]+\Omega_I[\rho],\]

  其中 \(\Omega_0[\rho]\) 是无相互作用系统的泛函, \(\Omega_I[\rho]\) 表征相互作用效应.

• \(\Omega_0[\rho]\) 可以通过求解波动方程来构造

  \[\left[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\right]\psi_i(\mathbf{r}) = \epsilon_i\psi_i(\mathbf{r})\]

  得到本征能量和本征波函数. 巨势为

  \[\Omega_0[\rho] = -\frac{1}{\beta}\sum_i \ln\!\left(1+\mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}\right) -\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}).\]

  \(\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\) 应当是给出给定 \(\rho(\mathbf{r})\) 的那个, 即 \(\sum_i |\psi_i(\mathbf{r})|^2 n_{\mathrm{F}}(\epsilon_i-\mu)=\rho(\mathbf{r})\). 我们有

  \[\frac{\delta \Omega_0[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})} = -\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r}).\]

• 应用上面给出的第一个恒等式, 我们得到

  \[\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r}) = \phi(\mathbf{r})+\frac{\delta \Omega_I[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})}.\]

  将其代入波动方程, 我们得到 Kohn-Sham 方程.

6.4 FRG-DFT Theory

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将密度泛函理论推广到虚时依赖的密度时, 引入局域源

\[S_{\mathrm{ext}}=\int\mathrm{d}X\,\phi(X)n_\psi(X), \qquad X=(\mathbf{r},\tau), \qquad \int\mathrm{d}X=\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\int\mathrm{d}\mathbf{r}.\]

本节使用自旋求和密度

\[\hat n(X)=\sum_\sigma\hat\psi_\sigma^\dagger(X)\hat\psi_\sigma(X), \qquad n_\psi(X)=\sum_\sigma\psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau+\epsilon) \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau), \qquad \epsilon>0.\]

创建场的微小时间后移继承原 Hamiltonian 的真空正规序. 最终定义 \(\rho(X)=\langle\hat n(X)\rangle\).

Notation 生成泛函与归一化: 取无量纲的 \(W,\Gamma\), 且使用与 \(\lambda\) 无关的参考配分函数 \(Z_0[0]\):

\[\begin{aligned} W_\lambda[\phi]&=\ln\frac{Z_\lambda[\phi]}{Z_0[0]}, &\rho(X)&=-\hbar\frac{\delta W_\lambda}{\delta\phi(X)},\\ \Gamma_\lambda[\rho]&=-W_\lambda[\phi] -\frac1\hbar\int\mathrm{d}X\,\phi(X)\rho(X), &\frac{\delta\Gamma_\lambda}{\delta\rho(X)}&=-\frac{\phi(X)}{\hbar}. \end{aligned}\]

固定 \(\rho\) 对 \(\lambda\) 求导时, \(\partial_\lambda\phi\) 的两项相消, 因而 \(\partial_\lambda\Gamma_\lambda=-\partial_\lambda W_\lambda\). 若把 \(W\) 每次归一化为 \(\ln[Z_\lambda[\phi]/Z_\lambda[0]]\), 则必须补回依赖 \(\lambda\) 的常数才能保留能量流.

对静态密度, 恢复绝对巨势泛函并转为固定密度的自由能泛函:

\[\begin{aligned} \Omega_\lambda[\rho]&=\Omega_0[0]+\frac{\Gamma_\lambda[\rho]}{\beta},\\ F_\lambda[\rho]&=\Omega_\lambda[\rho] +\mu\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

其中 \(\Omega_0[0]=-\beta^{-1}\ln Z_0[0]\), 此处 \([0]\) 表示零外源. 固定 \(\beta,\mu,\rho\) 时, \(\partial_\lambda F_\lambda=\beta^{-1}\partial_\lambda\Gamma_\lambda\), 所以流方程给出 \(F_1[\rho]-F_0[\rho]=(\Gamma_1[\rho]-\Gamma_0[\rho])/\beta\). 零温基态能量来自恢复参考项及 \(\mu N\) 后的 \(F\), 而 \(\Gamma/\beta\) 单独给出相对参考的巨势.

Definition 密度连通核: 对分离的时间, 定义

\[C_\lambda(X,Y) =\left\langle T_\tau\,\delta\hat n(X)\delta\hat n(Y)\right\rangle_{\lambda,\phi} =\hbar^2\frac{\delta^2W_\lambda}{\delta\phi(X)\delta\phi(Y)} =-\hbar\chi_\lambda^{\mathrm{T}}(X,Y).\]

这里 \(\chi_\lambda^{\mathrm{T}}(X,Y)=\delta\rho(X)/\delta\phi(Y)\), 平均取产生指定 \(\rho\) 的外源. 在响应映射可逆的源/密度子空间中, 对 \(\rho=-\hbar W_\lambda^{(1)}\) 求导可得

\[\int\mathrm{d}Y\,C_\lambda(X,Y) \frac{\delta^2\Gamma_\lambda}{\delta\rho(Y)\delta\rho(Z)} =\delta(X-Z).\]

所以 \(C_\lambda=(\Gamma_\lambda^{(2)})^{-1}\). 密度响应的零模须先约束或投影, 再在剩余子空间取逆.

Proposition 等时配对密度: 正规序两体算符满足

\[\sum_{\sigma\sigma'} \hat\psi_\sigma^\dagger(\mathbf{r}) \hat\psi_{\sigma'}^\dagger(\mathbf{r}') \hat\psi_{\sigma'}(\mathbf{r}') \hat\psi_\sigma(\mathbf{r}) =\hat n(\mathbf{r})\hat n(\mathbf{r}') -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\hat n(\mathbf{r}).\]

接触项来自正则反对易关系中的 \(\delta_{\sigma\sigma'}\), 自旋求和后为总密度 \(\rho\), 不再乘自旋简并度. 因而

\[P_\lambda(X,Y) =\rho(X)\rho(Y)+C_\lambda(X^+,Y) -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X), \qquad \tau_Y=\tau_X.\]

其中 \(X^+=(\mathbf{r},\tau+\eta)\), \(\eta>\epsilon>0\); 先在固定 \(\eta\) 下取 \(\epsilon\to0^+\), 再取 \(\eta\to0^+\), 保证得到密度乘积的时间顺序. \(P_\lambda\) 是正规序配对密度, \(C_\lambda\) 是密度连通关联; 两者的等时值不能共用一个未注明处方的 \(\mathcal{G}_c^{(2)}\). 以两个密度双线性项分组, 正规序等时的连通配对部分为 \(P_\lambda-\rho\rho=C_\lambda(X^+,Y)-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X)\).

Proposition 流方程: 用 \(\lambda\) 标度正规序相互作用,

\[S_{\mathrm{int},\lambda} =\frac{\lambda}{2} \sum_{\sigma\sigma'} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau+\epsilon) \psi_{\sigma'}^*(\mathbf{r}',\tau+\epsilon) \psi_{\sigma'}(\mathbf{r}',\tau)\psi_\sigma(\mathbf{r},\tau).\]

固定密度下, \(-\partial_\lambda W_\lambda=\langle\partial_\lambda S_{\mathrm{int},\lambda}\rangle/\hbar\). 将配对密度关系与逆 Hessian 代入, 得到闭合的密度流方程

\[\partial_\lambda\Gamma_\lambda[\rho] =\frac{1}{2\hbar} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \left[ \rho(X)\rho(Y) +(\Gamma_\lambda^{(2)})^{-1}(X^+,Y) -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X) \right], \qquad Y=(\mathbf{r}',\tau).\]

空间接触项与其余两项使用同一空间调节, 在相消之后再取连续空间极限, 尤其不能单独计算 Coulomb 的 \(v(0)\).

单个自旋轨道给出一个直接核对: \(\hat n^2=\hat n\), \(C(0^+)=\rho(1-\rho)\), 所以 \(P=\rho^2+C-\rho=0\), 与该轨道不能容纳两个 Fermion 一致. 省略接触项便会得到错误的自作用.

这称为密度泛函的 FRG 流方程. 原则上从 \(\Gamma_0\) 积分到 \(\Gamma_1\) 可得相互作用密度泛函; 实际求解还需选择受控的截断. 这里的源号、\(\hbar\) 和正规序时间处方均已显式给出. 可对照 Yokota 与 Naito 的 FRG-DFT 推导, §II.A, 式 (2)–(8); 该文使用原子单位及与本文相反符号的密度源.

6.5 Landau Fermi-Liquid Theory

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Motivation 金属 / Helium III 液体的物理性质表明, 即使这些系统中的相互作用相当强, 电子 / Helium III 原子的行为也类似于独立粒子.

Basic idea 相互作用 Fermion 系统的低激发态可以通过以下方式构造:

1. 制备无相互作用理想 Fermi 液体的低激发态, 例如在 Fermi 能级以上/以下添加一个电子/空穴;
2. 以足够慢的速度开启相互作用: 必须在态被完全衰减之前开启. 这是可能的, 因为 Fermi 面附近的电子/空穴衰减非常慢;对于 3D 系统, 衰减率正比于 \((|\mathbf{k}|-k_{\mathrm{F}})^2\).

Energy functional 相互作用 Fermion 系统的能量是无相互作用理想系统的占据数 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 的泛函:

• 根据 6.1 末尾, 能量是实时 \(G\) 的泛函.

• 假设 \(G\) 可以通过从无相互作用基态 \(|\Phi_0\rangle\) 出发的绝热微扰展开确定, 该基态为填充的 Fermi 海. 为了建立 Landau Fermi 液体理论, 还需要假设此绝热对应对于低激发态也有效, 即 \(|\Phi_0\rangle\to|\Phi_n\rangle\); 这不是基态展开自动保证的结论.

• 无相互作用系统中低激发态的 Green 函数 \(G_0\) 可以写为

  \[G_0(\mathbf{k},\omega) = \begin{cases} \dfrac{1}{\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta}, & \mathcal{N}_{\mathbf{k}}=1,\\[0.8ex] \dfrac{1}{\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta}, & \mathcal{N}_{\mathbf{k}}=0. \end{cases}\]

  其中 \(\{\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\}\) 是低激发态的动量占据数. 注意 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\neq n_{\mathbf{k}}\equiv \langle \hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}}\rangle\) 不是相互作用系统的动量占据数.

• \(G\) 是 \(G_0\) 的泛函, 前提是微扰展开收敛. 因此, 能量是 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 的泛函.

6.5.1 Phenomenological Approach

对于基态组态 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}=\theta(k_{\mathrm{F}}-|\mathbf{k}|)\) 的小偏离, 能量泛函可以按 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}\) 展开为 Taylor 级数. 至二阶:

\[E[\mathcal{N}] = E_0 + \sum_{\mathbf{k}\sigma} \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\,\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\, \delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

Effective mass \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 是准粒子能量, 即向系统基态添加/从系统基态移除一个粒子所需的能量. 在费米面附近, 它可以参数化为:

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\approx \mu+\hbar v_{\mathrm{F}}^*(|\mathbf{k}|-k_{\mathrm{F}}), \qquad v_{\mathrm{F}}^* = \frac{\hbar k_{\mathrm{F}}}{m^*}.\]

其中 \(v_{\mathrm{F}}^*\) 是有效 Fermi 速度. 有效质量可能与裸电子质量差别很大.

Local quasiparticle energy 是在存在其他激发的情况下添加/移除一个粒子所需的能量

\[\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma} = \frac{\delta E}{\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}} = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

准粒子的能量因其他激发的存在而改变.

Quasiparticle density of states 由有效质量修正 \(N^*(0)=\frac{m^*}{m}N(0)\). 它可以通过测量低温热容来确定:

\[c_{\mathrm{v}}(T) = \frac{\pi^2}{3}N^*(0)k_{\mathrm{B}}^2T.\]

Proof

1. 首先需要将理论推广到有限温度. 无相互作用系统的熵为

   \[S = -k_{\mathrm{B}}\sum_{\mathbf{k}\sigma} \left[ \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\ln \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} + \bigl(1-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\bigr)\ln\bigl(1-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\bigr) \right],\]

   在绝热开启相互作用时保持不变. 通过极小化巨势

   \[\Omega[\mathcal{N}] = E[\mathcal{N}]-TS-\mu\sum_{\mathbf{k}\sigma}\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma},\]

   我们得到

   \[\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} = \left\{\exp\!\left[\beta\bigl(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}-\mu\bigr)\right]+1\right\}^{-1}.\]

   注意它由 \(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}\) 而非 \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 决定. \(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}\) 由于 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}\) 而有一个修正.

2. 在固定粒子数、各向同性三维 Landau 模型中, 若态密度及相互作用函数在 Fermi 面附近光滑且采用常规 Sommerfeld 展开, \(\delta\mathcal N\) 的积分矩从 \(O(T^2)\) 开始. 因而能量泛函中显式的二次相互作用项为 \(O(T^4)\), 得到:

   \[E[\mathcal{N}]\approx E_0+\sum_{\mathbf{k}\sigma}\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}+O(T^4).\]

   因此在求线性热容主项时可以忽略该高阶项. 这里的 \(T^4\) 并非任意相互作用 Fermi 液体的普遍修正阶数; 非解析低能修正可能包含对数因子, 参见 Chubukov、Maslov 与 Millis 的原始研究.

3. 因此, 在线性热容主项上可视为自由准粒子气体, 但使用的是有效质量决定的 \(N^*(0)\), 相互作用对这一主项的影响并未消失.

Landau Fermi-liquid parameters 对于各向同性系统, \(f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}=f_{\sigma\sigma'}(\cos\theta)\), 其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 之间的夹角(\(|\mathbf{k}|\approx |\mathbf{k}'|\approx k_{\mathrm{F}}\)). 系统可以用一组离散参数表征:

\[F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}} = \frac{\mathcal{V} N^*(0)}{4} \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x\, \bigl[f_{\uparrow\uparrow}(x)\pm f_{\uparrow\downarrow}(x)\bigr]P_l(x).\]

其中 \(P_l(x)\) 是 Legendre 多项式, \(N^*(0)\) 为单位体积、包含两个自旋分量的准粒子态密度. 本文的 \(F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}}\) 未乘 \(2l+1\); 若用展开系数定义的常见约定, 相应参数为 \((2l+1)F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}}\).

Compressibility

\[\frac{1}{K} = \rho^2 \frac{\partial \mu}{\partial \rho} = \frac{\rho k_{\mathrm{F}}}{3}\frac{\partial \mu}{\partial k_{\mathrm{F}}},\]

当 Fermi 波矢从 \(k_{\mathrm{F}}\) 变为 \(k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}}\) 时, Fermi 能量改变为

\[\delta\mu = \tilde{\mathcal{E}}_{k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}},\sigma}-\mathcal{E}_{k_{\mathrm{F}},\sigma} = v_{\mathrm{F}}^*\hbar\delta k_{\mathrm{F}}+\sum_{\mathbf{k}'\sigma'}f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'},\]

其中在 \(k_{\mathrm{F}}\) 和 \(k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}}\) 之间的薄壳层中 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=1\). 这导致:

\[\frac{K}{K_0} = \frac{m^*/m}{1+F_0^{\mathrm{s}}}.\]

压缩率可以通过测量声速 \(v_{\mathrm{s}}=1/\sqrt{nmK}\) 来确定.

Spin susceptibility

\[\chi = \frac{1}{2}g\mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial (n_\uparrow-n_\downarrow)}{\partial B},\]

在存在外磁场时, 准粒子能量变为

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}(B) = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{1}{2}g\mu_{\mathrm{B}} B \sigma.\]

我们有

\[\frac{\chi}{\chi_0} = \frac{m^*/m}{1+F_0^{\mathrm{a}}}.\]

Mass renormalization 对于具有 Galilean 不变性的各向同性连续体系:

\[\frac{m^*}{m} = 1+F_1^{\mathrm{s}}.\]

Proof

• 从一个系统具有无穷小速度 \(\mathbf{v}\) 的参考系观察. 根据 Galilean 变换, 准粒子的能量为 \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\hbar\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}\).

• 也可以视为 Fermi 海移动了波矢 \(m\mathbf{v}/\hbar\) 的系统. 准粒子能量的变化包括:

1. \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 随 \(\mathbf{k}\to \mathbf{k}+m\mathbf{v}/\hbar\) 的变化:

   \[(\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma})_1 = \frac{\hbar^2\mathbf{k}}{m^*}\cdot \delta\mathbf{k} = \hbar\frac{m}{m^*}\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}.\]

2. 移动的分布诱导了 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\), 从而产生相互作用修正:

   \[(\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma})_2 = \sum_{\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

• 移动的分布在零温 Fermi 面上有 \[\delta\mathcal N_{\mathbf k'\sigma'}=\frac m\hbar\,\mathbf v\cdot\hat{\mathbf k}'\,\delta(k'-k_{\mathrm F}).\] 角积分仅保留 \(l=1\) 的自旋对称分量. 按本节未乘 \(2l+1\) 的参数约定, 得 \[(\delta\mathcal E_{\mathbf k\sigma})_2=\hbar\frac m{m^*}F_1^{\mathrm s}\,\mathbf v\cdot\mathbf k, \qquad |\mathbf k|=k_{\mathrm F}.\] 令两种考虑的总能量变化相等, 即 \[\hbar\mathbf v\cdot\mathbf k=\hbar\frac m{m^*}(1+F_1^{\mathrm s})\mathbf v\cdot\mathbf k,\] 对任意小 \(\mathbf v\) 成立, 从而 \(m^*/m=1+F_1^{\mathrm s}\). 若采用含 \(2l+1\) 的展开系数约定, 右侧相应为 \(1+F_1^{\mathrm s}/3\).

6.5.2 Microscopic Underpinning

Notation 本小节采用绝对能量频率: 自由极点在 \(\hbar\omega=\epsilon_{\mathbf{k}}\), 占据积分上限为 \(\mu/\hbar\). 与前面以化学势为零点的频率相差 \(\mu/\hbar\); 比较传播子和自能时须同时平移频率参数. \(\Sigma\) 仍具有能量量纲, 且 Fermion 的 \(G^\lt=\mathrm{i}fA\), 因而粒子数由 \(-\mathrm{i}G^\lt\) 积分得到.

Spectral function 相互作用系统中的准粒子没有确定的能量-动量关系. 相反, 它由谱函数描述

\[A_\sigma(\mathbf{k},\omega) = -2\,\operatorname{Im} G_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = -2\hbar\, \frac{\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)} {[\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)]^2+[\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)]^2}.\]

它给出添加或移除动量为 \(\hbar\mathbf{k}\) 的粒子的谱权重密度. 对单个自旋态有 \(\int\mathrm{d}\omega\,A_\sigma/(2\pi)=1\); 实际添加和移除的权重还分别包含占据因子 \(1-f\) 和 \(f\).

Quasiparticle energy 由方程确定

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = \epsilon_{\mathbf{k}\sigma} + \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

Coherent peak 谱函数在准粒子能量附近有一个尖锐的峰(相干峰):

\[A_\sigma(\mathbf{k},\omega) = Z_{\mathbf{k}\sigma}\, \frac{\tau_{\mathbf{k}\sigma}^{-1}} {(\omega-\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar)^2+(2\tau_{\mathbf{k}\sigma})^{-2}} + A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega),\]\[\frac{1}{Z_{\mathbf{k}\sigma}} = 1-\frac{1}{\hbar} \left.\frac{\partial \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)}{\partial \omega}\right|_{\hbar\omega=\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}, \qquad \frac{\hbar}{2\tau_{\mathbf{k}\sigma}} = Z_{\mathbf{k}\sigma} \left| \operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) \right|.\]

\(Z_{\mathbf{k}\sigma}\) 称为准粒子权重. 在费米面附近, 有 \(\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right)\propto (\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}-\mu)^2\).

Fermi surface Fermi 液体具有存在 Fermi 面的性质, 该面由方程定义:

\[\mu-\epsilon_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}-\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k}_{\mathrm{F}},\frac{\mu}{\hbar}\right) = 0,\]

其中 Fermi 能量 \(E_{\mathrm{F}}=\mu\) 由总粒子数确定:

\[N = \sum_{\mathbf{k}}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega)\theta\!\left(\frac{\mu}{\hbar}-\omega\right).\]

粒子数公式中 \(A=\sum_\sigma A_\sigma\) 包含全部自旋分量. 这些方程在动量空间中定义了一个 \(d-1\) 维曲面.

Luttinger theorem Fermi 面(Fermi 海)所包围的体积与相同密度的无相互作用 Fermi 液体的相同.

该体积计数用于零温、粒子数守恒且保持平移对称性的常规 Fermi 液体, 并须计入全部自旋或能带分量; 在晶格中还涉及满带的整数计数. 时间反演对称性不是一般的必要前提. 外轨道磁场、对称性破缺或分数化相需要另行分析, 不能仅用 Berry 曲率修正来否定通常的零场计数.

Effective mass

\[\left.\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\mathrm{d}k}\right|_{|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}\sigma}} = \frac{\hbar^2 k_{\mathrm{F}\sigma}}{m^*}, \qquad \frac{m}{m^*} = Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma} \left( 1+\frac{m}{\hbar^2 k_{\mathrm{F}\sigma}} \left.\frac{\partial \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\mu/\hbar)}{\partial k}\right|_{|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}} \right).\]

动量占据数 \(n_{\mathbf{k}\sigma}\) 在 \(|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}\) 处有一个大小为 \(Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\) 的不连续跳跃.

Proof 在费米面附近, \(\operatorname{Im}\Sigma^{\mathrm{r}}\to 0\), 我们有

\[\begin{aligned} A_\sigma(\mathbf{k},\omega) &\to 2\pi\delta\!\left[ \omega-\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}+\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)}{\hbar} \right] +A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega) \\ &= 2\pi Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\delta\!\left(\omega-\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) +A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]

动量占据数由下式确定

\[n_{\mathbf{k}\sigma} = -\mathrm{i}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}G_\sigma^\lt (\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^{\mu/\hbar}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,A_\sigma(\mathbf{k},\omega).\]

对于位于 Fermi 海内 (\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}}\le \mu\)) 和外 (\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}}\gt \mu\)) 的两个 \(\mathbf{k}\), \(A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega)\) 的差异可忽略, 积分的差值为 \(Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\).

Landau energy functional: 基态能量泛函式可以重写为

\[E[\mathcal{N}_{\mathbf{k}}]-E_0 = \mathrm{i}\hbar\sum_{\mathbf{k}}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \left[ \ln\!\left(1-\frac{1}{\hbar}G_0(\mathbf{k},\omega)\Sigma(\mathbf{k},\omega)\right) +\frac{1}{\hbar}\Sigma(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega) \right] +\frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\Phi[G],\]

其中 \(\Sigma\) 是 \(G\) 的泛函, \(G=G[G_0]\) 被视为 \(G_0\) 的泛函. \(G_0\) 由 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 确定.

Quasiparticle energy 我们可以证明本节开始定义的准粒子能量正是总能量对离散准粒子占据数的导数 \(\epsilon_\alpha=\partial E/\partial n_\alpha\):

• 考虑 Fermi 面附近的一个 \(\mathbf{k}\), 将其 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 从 \(0\) 变为 \(1\). 这引起了 Green 函数 \(G_0(\mathbf{k},\omega)\) 的变化

  \[\frac{\hbar}{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}+\mathrm{i}\hbar\eta} \to \frac{\hbar}{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i}\hbar\eta}.\]

• 能量的变化:

  \[\begin{aligned} \delta E &= \delta E_0 -\hbar\sum_{\mathbf{k}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}}\, \delta\ln\!\left[ 1-\frac{1}{\hbar}G_0(\mathbf{k},\omega)\Sigma(\mathbf{k},\omega) \right] \\ &= \epsilon_{\mathbf{k}} -\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{\pi}\, \operatorname{Im}\ln\!\left[ \frac{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\Sigma(\mathbf{k},\omega)-\mathrm{i}\hbar\eta} {\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i}\hbar\eta} \right], \end{aligned}\]

  其中我们使用了变分原理 \(\delta E[G]/\delta G=0\), 这意味着能量的变化完全来自 \(G_0\) 的变化.

• 在费米面附近, \(\Sigma\) 近似为实数. 注意 \(\operatorname{Im}\ln(x-\mathrm{i}\eta)=-\pi\theta(-x)\), 我们有

  \[\delta E \approx \epsilon_{\mathbf{k}} +\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega \left[ \theta\!\left(\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}}}{\hbar}-\omega\right) -\theta\!\left(\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}}{\hbar}-\omega\right) \right] = \mathcal{E}_{\mathbf{k}}.\]

Interaction parameters \(f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\) 可以通过考察局域准粒子能量随 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\) 的变化来确定. 以下自能及其占据数变分取准粒子壳上的实部; 在 Fermi 面极限中虚部消失.

\[\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma} = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = \epsilon_{\mathbf{k}\sigma}+\Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) +\delta \Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

• 这导致:

  \[\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = Z_{\mathbf{k}\sigma}\delta\Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

• 与局域准粒子能量的变化式比较, 我们得到

  \[f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} = Z_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\delta\Sigma_\sigma(\mathbf{k},\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar)}{\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}}.\]

Notation 前向顶点的两个极限: 上面的占据数变分对应具有有限前向顶点的常规 Fermi 液体的动态前向顶点. 令

\[K=(\mathbf{k},\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar,\sigma), \qquad K'=(\mathbf{k}',\mathcal{E}_{\mathbf{k}'\sigma'}/\hbar,\sigma'), \qquad Q=(\mathbf{q},\nu),\]

并将 §6.2.3 的完整、截肢粒子-空穴顶点写为

\[\mathcal{T}_{KK'}(Q) =T(K+Q/2,K'-Q/2;K-Q/2,K'+Q/2).\]

这里 \(Q\) 不改变自旋, 已除去动量-频率守恒的整体 delta 函数, 且保留本文的相互作用矩阵元约定. 费米面上外频率为 \(\mu/\hbar\); 下述动态/静态指转移频率 \(\nu\), 不改变本小节的绝对能量频率约定.

\[\begin{aligned} T^\omega(K,K')&\equiv \lim_{\nu\to0}\lim_{\mathbf{q}\to0}\mathcal{T}_{KK'}(\mathbf{q},\nu),\\ T^q(K,K')&\equiv \lim_{\mathbf{q}\to0}\lim_{\nu\to0}\mathcal{T}_{KK'}(\mathbf{q},\nu). \end{aligned}\]

动态极限先令 \(v_{\mathrm{F}}^*|\mathbf{q}|/|\nu|\to0\), 再令 \(\nu\to0\); 静态极限先令 \(|\nu|/(v_{\mathrm{F}}^*|\mathbf{q}|)\to0\), 再令 \(\mathbf{q}\to0\). 两者一般不交换. 费米面上的低能粒子-空穴传播子在静态极限留下有限贡献, 在动态极限消失.

Proposition Landau 相互作用与散射幅: 取离散占据数和总能量归一化, \(f\) 具有能量量纲并按 \(1/\mathcal{V}\) 缩放:

\[f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} =\frac{Z_{\mathbf{k}\sigma}Z_{\mathbf{k}'\sigma'}}{\mathcal{V}} T^\omega(K,K'), \qquad |\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}\sigma}, \qquad |\mathbf{k}'|=k_{\mathrm{F}\sigma'}.\]

若用单位体积能量与连续动量积分, 常写为 \(\mathfrak{f}=\mathcal{V} f=ZZ'T^\omega\). 同样归一化的静态准粒子前向散射幅为

\[\mathfrak{a}_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} =Z_{\mathbf{k}\sigma}Z_{\mathbf{k}'\sigma'}T^q(K,K').\]

它由动态顶点继续重求和费米面上的粒子-空穴传播得到, 因而一般不同于 \(\mathfrak{f}\). 两个极限的微观关系可参见 Chubukov、Klein 与 Maslov, §II.A, 式 (2.4)–(2.6).

\(I=\zeta\,\delta\Sigma/(\iota\,\delta G)\) 是粒子-空穴道不可约核, \(T\) 是其 Bethe-Salpeter 方程的完整解. 动态极限只去掉该道的低能奇异粒子-空穴部分, 仍含高能重求和, 所以不能一般地把 \(T^\omega\) 换成 \(I\). 一阶、对称且自旋无关的相互作用给出 \(\mathfrak{f}_{\sigma\sigma'}=v(0)-\delta_{\sigma\sigma'}v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')+O(v^2)\), 可核对直接项、交换项和体积因子. 长程 Coulomb 的宏观 Hartree 部分须按电中性约定单独处理.

7 Phase Transitions and Spontaneous Symmetry Breaking

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7.1 General Theory

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7.1.1 Landau Theory

Landau 理论假设一个序参量 \(m(\mathbf{r})\) 和一个泛函 \(\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T]\), 使得

\[Z = \int \mathcal{D}[m(\mathbf{r})]\,\mathrm{e}^{-\beta \mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T]}.\]

\(\mathcal{L}\) 的形式受系统对称性约束: 它必须在对称操作下不变. 相变发生在 \(\mathcal{L}\) 具有多个简并最小值时.

• 在临界点附近, \(m(\mathbf{r})\to 0\), 可将泛函按 \(m(\mathbf{r})\) 展开为 Taylor 级数. 例如:

  \[\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T] \approx \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{a}{2}|\nabla m(\mathbf{r})|^2 + c_1hm + d_2tm^2 + c_3hm^3 + b_4m^4 \right].\]

  其中 \(t\equiv T-T_{\mathrm{c}}\), \(h\equiv H-H_{\mathrm{c}}\).

• Universality: 由于在临界点附近只有展开式中的少数几项是相关的, 且形式受对称性约束, 因此期望不同物理系统类别共享普适行为.

量子系统的虚时路径积分有 \(d\) 个空间坐标和一个虚时坐标, 但尺度计数一般使用 \(d+z\), 其中动力学指数 \(z\) 由 \(\omega\sim q^z\) 定义; 只有 \(z=1\) 时才有各向同性的 \(d+1\) 维经典类比. 在通常的有限温度静态临界问题中, 非零 Matsubara 模可被积分掉, 长距离行为由零频模控制, 对应 \(d\) 维经典体系. 零温时虚时长度发散, 时间涨落不能这样消去.

Effective action vs. Landau functional 对均匀外场, 明确采用 Hamiltonian 耦合 \(-HM\). 令 \(W(H)=\ln Z(H)\), 则 \(W'(H)=\beta M\). 在可逆的单相区, Legendre 变换为

\[\Gamma(M)=\beta H(M)M-W(H(M)),\qquad F_{\mathrm{eff}}(M)=\Gamma(M)/\beta.\]

直接求导可见含 \(H'(M)\) 的项抵消, 因而

\[\frac{\mathrm{d}F_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}M}=H(M),\qquad \frac{\mathrm{d}^2F_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}M^2} =\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}M}=\frac{1}{\chi},\qquad \chi=\frac{\partial M}{\partial H}\ge0.\]

在固定外场 \(H_0\) 下, 平衡态由 \(F_{\mathrm{eff}}(M)-H_0M\) 的极小值确定. 精确的 \(F_{\mathrm{eff}}\) 是凸的: 共存区须用 Legendre-Fenchel 变换, 热力学极限下可出现线性平段, 而不是平均场双阱. 双阱 Landau 泛函是尚待对序参量涨落积分的粗粒化输入, 不能与已包含这些涨落的精确有效自由能混同. 连续相变中 \(\chi\to\infty\) 对应曲率趋零; 该曲率的符号为正.

Symmetry breaking 尽管 Landau 泛函 \(\mathcal{L}\) 具有全部对称性, 但其最小值可能破缺部分对称性.

• 最小值的稳定子群是系统对称群的一个子群 \(G'\subset G\). 对称操作相连的简并态形成陪集空间 \(G''\equiv G/G'\); 只有 \(G'\) 为正规子群时它才是商群.

• 对称性破缺是热力学极限的结果:

  \[M = \lim_{H\to 0}\lim_{N\to \infty}M(H) \neq \lim_{N\to \infty}\lim_{H\to 0}M(H) = 0.\]

  极限顺序至关重要.

• 对于离散的 \(G''\), 系统被囚禁在其中一个最小值, 隧穿到其他最小值的概率在热力学极限下趋于零. 系统变为非遍历的. 对于连续的 \(G''\), 涨落 (通过集体 Goldstone 模式) 可能破坏也可能不破坏序. 这取决于空间维度和序参量的张量性质.

表中列出代表性的序参量与共轭场. 超流的 \(U(1)\) 指全局相位对称性; 超导的复序参量是固定规范或忽略动力学规范场的 Landau 描述. 表中的“gauge”不能解读为局域规范冗余发生可观测的自发破缺; 参见 Caudy 与 Greensite 关于 Elitzur 定理与剩余规范对称性的讨论.

7.1.2 Mean field theory

平均场近似即是对配分函数的稳相近似:

\[\left. \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta m(\mathbf{r})} \right|_{m(\mathbf{r})\to \bar m} = 0,\qquad Z \sim \mathrm{e}^{-\beta \mathcal{L}[\bar m,H,T]}.\]

假设空间均匀的稳态解, 可得

\[m \propto \begin{cases} \pm (-t)^{1/2}, & T\lt T_{\mathrm{c}},\ h=0, \\ h^{1/3}, & T=T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]

Correlation function Landau 泛函可在稳态解附近展开为二次型:

\[\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H=H_{\mathrm{c}},T] \approx \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{a}{2}|\nabla \delta m(\mathbf{r})|^2 + b|t|\,[\delta m(\mathbf{r})]^2 \right], \qquad b = \begin{cases} d_2, & T\gt T_{\mathrm{c}}, \\ 2d_2, & T\lt T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]

关联函数可确定为

\[\chi_{mm}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \beta\langle \delta m(\mathbf{r})\delta m(\mathbf{r}')\rangle \sim \frac{\mathrm{e}^{-|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/\xi}} {|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{(D-1)/2}} \quad (|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\gg\xi), \qquad \chi_{mm}(\mathbf{q}) \sim \frac{1}{q^2+\xi^{-2}}, \qquad \xi = \sqrt{\frac{a}{2b}}\,|t|^{-1/2}.\]

在临界点, 关联长度发散. 对 \(D>2\) 的 Gaussian 理论, 且在微观截断尺度之外, 有

\[\chi_{mm}(\mathbf{r}) \sim \int \frac{\mathrm{d}^D \mathbf{q}}{(2\pi)^D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}}{q^2} \sim \frac{1}{r^{D-2}}.\]

7.1.3 Fluctuations

\(D_{\mathrm{c}}\) 和 \(D_\ell\) 分别称为 upper critical dimension 和 lower critical dimension.

平均场近似的有效性关键取决于维度 \(D\):

• \(D\gt D_{\mathrm{c}}\): 平均场给出通常的热力学临界指数.
• \(D=D_{\mathrm{c}}\): 非线性项为边缘项; 对通常的 \(\phi^4\) 理论, 平均场幂律伴随对数修正.
• \(D_\ell\lt D\lt D_{\mathrm{c}}\): 临界涨落不可忽略, 平均场临界指数通常不正确.
• \(D\le D_\ell\): 相应的有限温度常规长程序不能由平均场正确判断; 在边界维度还须区分零温转变或二维连续对称性的拓扑相变.

Upper critical dimension 我们考察系统接近临界点时 \(\mathcal{L}\) 中不同项的相对重要性. 将 Landau 泛函重标度为

\[\beta\mathcal{L}[\phi] = \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{1}{2}|\nabla \phi(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2\xi^2}|\phi(\mathbf{r})|^2 + \frac{u_0}{4}|\phi(\mathbf{r})|^4 \right],\]

其中 \(\xi\) 为关联长度, 在临界点发散. 由 \(\beta\mathcal{L}\sim 1\) 可得

\[[\phi] = \xi^{-\frac{D-2}{2}}, \qquad [u_0] = \xi^{D-4}.\]

为考察涨落 \((\phi^4)\) 项的相对重要性, 我们通过以下变换 (当 \(T\gt T_{\mathrm{c}}\) 时) 将泛函化为无量纲形式:

\[\mathbf{r} = \mathbf{x}\xi, \qquad \phi = \tilde{\phi}\,\xi^{-\frac{D-2}{2}}, \qquad u = g\xi^{D-4}\]\[\beta\mathcal{L}[\phi] \to \beta\mathcal{L}[\tilde{\phi}] = \int \mathrm{d}^D x\, \left[ \frac{1}{2}|\nabla \tilde{\phi}(\mathbf{x})|^2 + \frac{1}{2}\tilde{\phi}^2(\mathbf{x}) + \frac{g}{4}\tilde{\phi}^4(\mathbf{x}) \right].\]

对于固定的物理参数 \(u\), 有 \(g=u\xi^{4-D}\). 当系统接近临界点时, \(\xi\to \infty\):

• \(D\gt 4\): \(g\to 0\). \(\tilde{\phi}^4\) 项无关. 平均场理论准确描述临界行为.
• \(D\lt 4\): \(g\to \infty\). \(\tilde{\phi}^4\) 项相关. 平均场理论给出错误的临界行为.
• \(D=4\): 该情形是临界的, 应有修正.

这表明对于 \(\phi^4\) 项, \(D_{\mathrm{c}}=4\), 高于此维度该项无关. 对于其他可能的项:

• \(\phi^n\): \(D_{\mathrm{c}}=\frac{2n}{n-2}\).
• \((\nabla\phi)^n\) 和 \(\phi\nabla^n\phi\) 当 \(n\gt 2\) 时无关.

Lower critical dimension 在低维中, 由于 Goldstone 模式产生的涨落, 平均场近似可能完全失效.

• Mermin-Wagner theorem: 对于有限温度、足够短程相互作用且具有连续内部对称性的体系, 在空间维度 \(d\le2\) 时不存在相应的常规自发长程序. 下述经典泛函中 \(D=d\); 不能直接把此结论套用于零温量子体系或长程相互作用体系.

  一个例子是前面二分量场的系统, 其中 \(\phi\) 是复场, 且当 \(T\lt T_{\mathrm{c}}\) 时:

  \[\phi(\mathbf{r}) \approx |\bar{\phi}|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\mathbf{r})},\]

  在有序侧, 将局域势写为 \(r_0|\phi|^2/2+u_0|\phi|^4/4\), 其中 \(r_0\lt 0\), \(u_0>0\). 极小条件给出 \(|\bar{\phi}|=\sqrt{-r_0/u_0}\). 在远离临界点的长波极限, 振幅模有能隙, 可先忽略其变化; 无能隙的是下面保留的相位模. 泛函变为

  \[\beta\mathcal{L}[\varphi] = \frac{|\bar{\phi}|^2}{2} \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\,|\nabla \varphi(\mathbf{r})|^2 + \mathrm{constant},\]

  即 \(\varphi(\mathbf{r})\) 的激发是无能隙的. 静态泛函仅确定相位梯度的能量代价; 具体动力学色散还需时间导数项. 对具有通常压缩率项的中性超流体才得到线性色散. 这是 Goldstone 模式的特征.

  \(\varphi\) 的涨落为

  \[\chi_{\varphi\varphi}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \sim \int \frac{\mathrm{d}^D \mathbf{q}}{(2\pi)^D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{q^2}.\]

  它在 \(D\le 2\) 时发散.

• Topological excitations 二分量模型可以在二维中存在拓扑激发, 因为 \(\varphi\) 仅定义在模 \(2\pi\) 下. 在 \(\mathbf{r}=0\) 处的拓扑涡旋激发可由如下场描述

  \[\varphi(r,\theta) = \theta,\]

  其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{r}\) 的极角. 由于序参量 \(\phi(\mathbf{r})\) 是单值的, \(|\phi(\mathbf{r})|\) 必须在 \(\mathbf{r}=0\) 处为零. 为最小化能量代价, 除了 \(r\lesssim a\) 的小核区域外 (其中 \(a\) 是由底层微观模型设定的长度尺度), 必须有 \(|\phi(\mathbf{r})|=|\bar{\phi}|\). 更一般地, 简并状态空间的同伦群决定了可以出现何种拓扑激发.

• Kosterlitz-Thouless transition 结果发现, 这个特定的二分量系统在二维中存在相变. 但该相变是拓扑相变: 它没有常规的非零局域序参量; 低温相具有准长程序和有限相位刚度, 高温相为短程无序相. 它们的区别在于关联函数随距离的衰减方式, 是指数衰减还是幂律衰减. 在微观上, 它们的区别在于拓扑涡旋激发是否在系统中增殖:

  • 产生一个涡旋的能量代价为

    \[E_{\mathrm{v}} = \pi J\ln \frac{L}{a},\]

    其中 \(J\equiv |\bar{\phi}|^2/\beta\), \(L\) 是系统大小.

  • 涡旋可在系统任意位置产生. 这导致配分函数中的一个前置因子, 或等价地, 一个熵

    \[S = 2k_{\mathrm{B}} \ln \frac{L}{a}.\]

  • 产生一个涡旋的自由能代价为

    \[F_{\mathrm{v}} = E_{\mathrm{v}}-TS = (\pi J-2k_{\mathrm{B}} T)\ln \frac{L}{a}.\]

    该能量-熵估算给出涡旋解束缚的温度尺度. 裸刚度 \(J\) 会被自旋波和束缚涡旋对重整化; 精确的普适跳变关系使用长尺度刚度 \(J_{\mathrm{R}}(T_{\mathrm{KT}}^-)=2k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{KT}}/\pi\), 不能把裸参数估算当成精确转变温度.

7.2 Bose-Einstein Condensation and Superfluidity

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7.2.1 Phase Transition

Non-interacting Boson system 对均匀三维理想 Bose 气体, Bose-Einstein 凝聚 (BEC) 指热力学极限下最低能量态 \(\epsilon_a=0\) 的占据满足 \(N_0/N>0\). 在 \(T\lt T_{\mathrm{c}}\) 时:

\[N_0 = N-\sum_{\epsilon_a\gt 0} n_{\mathrm{B}}(\epsilon_a)\to \infty,\]

其中在 \(n_{\mathrm{B}}(\epsilon_a)\) 中化学势 \(\mu\) 设为零. 凝聚体密度为

\[\rho_{\mathrm{c}}(T) = \rho \left[ 1-\left(\frac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right)^{3/2} \right].\]

Interacting Boson system 考虑具有排斥接触相互作用 \(v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=g\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\) 且 \(g\gt 0\) 的 Boson 系统:

\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*] &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ \psi^*(\mathbf{r},\tau) \left( \hbar\partial_\tau-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-\mu \right) \psi(\mathbf{r},\tau) + \frac{g}{2} \bigl[\psi^*(\mathbf{r},\tau)\psi(\mathbf{r},\tau)\bigr]^2 \right]\\ &= \sum_k \psi_k^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} - \mu \right)\psi_k + \frac{g}{2V\hbar\beta} \sum_{kk'q} \psi_{k+q}^*\psi_{k'-q}^*\psi_{k'}\psi_k. \end{aligned}\]

Phase transition 该作用量含 \(d\) 个空间坐标和一个虚时坐标, 但不能据此直接使用各向同性 \(d+1\) 维经典临界指数. 在 \(\mu=0\) 的零温稀薄气体临界点, \(\omega\sim k^2\) 给出 \(z=2\); 通常的有限温度静态转变则由零 Matsubara 模控制. 对于均匀场 \(\psi(\mathbf{r})=\varphi\), 作用量简化为

\[S[\varphi,\varphi^*] = \hbar\beta V \left[ -\mu|\varphi|^2 + \frac{g}{2}|\varphi|^4 \right],\]

它预言了 \(\mu=0\) 处的平均场临界点, 且当 \(\mu\gt 0\) 时有 \(|\bar{\varphi}|^2=\mu/g\).

• 注意化学势应由总粒子数 \(N\) 自洽确定. 因此它是 \(N\) 和 \(T\) 的函数: \(\mu(T,N)\).

7.2.2 Superfluidity

Goldstone mode 中性 BEC 态在热力学极限的破缺对称表述中破坏全局 \(U(1)\) 对称性, 即变换 \(\psi\to \psi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\) 下的不变性. Goldstone 模式是相位 \(\phi\) 的空间调制. 我们引入场的极坐标表示

\[\psi(\mathbf{r},\tau) = \bigl[\rho_{\mathrm{c}}+\rho_1(\mathbf{r},\tau)\bigr]^{1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{r},\tau)},\]

其中 \(\rho_{\mathrm{c}}\equiv |\bar{\varphi}|^2\). 作用量变换为

\[\begin{aligned} S[\rho_1,\phi] &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ -\mu\rho + \frac{g}{2}\rho^2 + \frac{\hbar^2}{8m\rho}|\nabla \rho_1|^2 + \mathrm{i}\hbar\rho\partial_\tau \phi + \frac{\hbar^2 \rho}{2m}|\nabla \phi|^2 \right] \\ &\approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ \frac{g}{2}\rho_1^2 + \frac{\hbar^2}{8m\rho_{\mathrm{c}}}|\nabla \rho_1|^2 + \mathrm{i}\hbar\rho_1\partial_\tau \phi + \frac{\hbar^2 \rho_{\mathrm{c}}}{2m}|\nabla \phi|^2 \right] - \frac{1}{2}\hbar\beta\mu N_{\mathrm{c}} + 2\pi \mathrm{i}\hbar N_{\mathrm{c}} n_\tau, \end{aligned}\]

其中 \(n_\tau\) 是所取空间均匀绕数扇区中相位的时间卷绕数: \(\phi(\mathbf{r},\hbar\beta)=\phi(\mathbf{r},0)+2\pi n_\tau\). 绕数求和约束的是相位共轭的总粒子数; 不能在固定背景且略去密度零模涨落后, 据此断言平均凝聚数 \(N_{\mathrm{c}}\) 必须为整数.

完成对 \(\rho_1\) 的积分后, 作用量变换为

\[S[\phi] = \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{k}}\int \mathrm{d}\tau\, \left[ \left( g+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{4m\rho_{\mathrm{c}}} \right)^{-1} |\hbar \partial_\tau \phi_{\mathbf{k}}(\tau)|^2 + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{m}\rho_{\mathrm{c}} |\phi_{\mathbf{k}}(\tau)|^2 \right],\]

它描述了具有色散关系的集体激发

\[\omega_{\mathbf{k}} = \sqrt{\frac{g\rho_{\mathrm{c}}}{m}|\mathbf{k}|^2+\left(\frac{\hbar|\mathbf{k}|^2}{2m}\right)^2},\]

注意在 \(|\mathbf{k}|\to 0\) 时 \(\omega_{\mathbf{k}}\to 0\).

Remark 虽然该变换看起来无害, 但它实际上是非平凡的. 这是因为泛函积分由其离散时间形式定义. 在泛函积分中直接进行变量替换会导致复杂的离散形式.

单个 Boson 模的精确极分解为

\[\begin{gathered} \hat a=\hat E\sqrt{\hat\rho} \\ \hat E=\sum_{n\ge1}|n-1\rangle\langle n| \end{gathered}\]

由于

\[\hat E^\dagger\hat E=I-|0\rangle\langle0|\]

它不是酉算符. 在数谱 \(n\ge0\) 的整个 Hilbert 空间中, 不能同时假定自伴相位算符和全域正则关系 \([\hat\phi,\hat\rho]=\mathrm{i}\).

在大占据数、可忽略真空边界的量子转子近似中, 可用整数数涨落与周期相位互为 Fourier 共轭,

\[\langle\phi|n\rangle=(2\pi)^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}\]

必须先建立离散时间路径积分并保留正规序和绕数扇区, 再取连续密度近似; 不能把非负整数求和直接视为从零到无穷的连续积分.

Superfluidity 如果凝聚体维持 \(\bar{\phi}(\mathbf{r})\) 的空间梯度, 则流密度为

\[\begin{aligned} \mathbf{j}_s(\mathbf{r}) &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \left( -\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m} \right) \langle \psi^*(\mathbf{r},\tau)\nabla \psi(\mathbf{r},\tau) -[\nabla \psi^*(\mathbf{r},\tau)]\psi(\mathbf{r},\tau) \rangle\\ &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \left\langle \left( \frac{\hbar \rho}{m} \right)\nabla \phi(\mathbf{r}) \right\rangle \approx \frac{\hbar \rho}{m}\nabla \bar{\phi}(\mathbf{r}) \end{aligned}\]

其中我们忽略了涨落效应 (\(T\to 0\)). 流密度由场位形的形变诱导产生. 它类似于弹性力, 即由固体形变诱导的"动量流". 该流是无耗散的, 因此称为超流.

Critical velocity 当 BEC 以均匀速度 \(\mathbf{V}\) 流经管道时, 流体中波矢 \(\mathbf{k}\), 频率 \(\omega_{\mathbf{k}}\) 的激发在实验室系(管道静止)中观测到的频率为

\[\omega_{\mathbf{k}}' = \omega_{\mathbf{k}}+\mathbf{k}\cdot \mathbf{V},\]

管壁可与流体交换动量. 若某个激发满足 \(\omega_{\mathbf{k}}'\lt0\), 产生它可以降低流动能量, 因而该流动出现能量不稳定性. 所有这些单激发频率为正只是相应耗散通道被禁止的条件, 并不排除涡旋成核等其他过程, 也不保证最终流速为零. 这称为 Landau 判据, 给出一个临界速度

\[V_{\mathrm{c}} = \min \left( \frac{\omega_{\mathbf{k}}}{|\mathbf{k}|} \right).\]

对于上述色散关系, 临界速度 \(V_{\mathrm{c}}=\sqrt{g\rho_{\mathrm{c}}/m}\).

Landau 判据给出的临界速度应视为上限. 实验临界速度通常低得多. 一般认为超流性是由涡环激发破坏的.

7.2.3 Bogoliubov Transformation

该问题也可以使用原始场变量处理. 上述作用量近似为 \(k\neq 0\) 时 \(\psi_k\) 和 \(\psi_k^*\) 的双线性形式:

\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*] &\approx -\mu\psi_0^*\psi_0 + \frac{g}{2V\hbar\beta} |\psi_0^*\psi_0|^2 + \sum_{k\neq 0} \psi_k^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} - \mu \right)\psi_k \\ &\quad\ + \frac{g}{2V\hbar\beta} \sum_{k\neq 0} \left[ \psi_k^*\psi_{-k}^*\psi_0^2 + \psi_k\psi_{-k}\psi_0^{*2} + 4\psi_k^*\psi_k|\psi_0|^2 \right]. \end{aligned}\]

平均场近似给出 \(\rho_{\mathrm{c}}\equiv\frac{1}{V\hbar\beta}\psi_0^*\psi_0=\frac{\mu}{g}\).

虽然直接应用 Gauss 积分公式即可, 但我们可以显式进行:

• 将作用量重写为:

  \[S[\psi,\psi^*] \approx S_0 + \frac{1}{2} \sum_{k\neq 0} \Psi_k^\dagger \begin{bmatrix} -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} & g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \\ g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} & \mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} \end{bmatrix} \Psi_k, \qquad \Psi_k \equiv \begin{bmatrix} \psi_k \\ \psi_{-k}^* \end{bmatrix}.\]

  其中设 \(\psi_0=\sqrt{V\hbar\beta\rho_{\mathrm{c}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi/2}\), \(S_0\equiv -\hbar\beta gN_{\mathrm{c}}\rho_{\mathrm{c}}/2\).

• 应用 Bogoliubov 变换以对角化

  \[\Psi_k = \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}}^* \end{bmatrix} \Phi_k \equiv \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}}^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_k \\ \phi_{-k}^* \end{bmatrix}, \qquad |u_{\mathbf{k}}|^2-|v_{\mathbf{k}}|^2=1\]

  • 该变换确保 \(\psi^*\partial_\tau \psi\) 变换为 \(\phi^*\partial_\tau \phi\), 即正则结构不变. 在二次量子化语言中, 该变换保持 Boson 产生和湮灭算符的对易关系.

  • 系数通过求解广义本征值问题得到:

    \[\begin{bmatrix} \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} & g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \\ g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} & \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = E_{\mathbf{k}}\tau_{\mathrm{z}} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]

    结果

    \[E_{\mathbf{k}} = \hbar\omega_{\mathbf{k}} = \hbar \sqrt{ \frac{g\rho_{\mathrm{c}}}{m}|\mathbf{k}|^2 + \left( \frac{\hbar|\mathbf{k}|^2}{2m} \right)^2 }, \qquad \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{ \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2/2m+g\rho_{\mathrm{c}}}{2E_{\mathbf{k}}} + \frac{1}{2} } \\ -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} \sqrt{ \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2/2m+g\rho_{\mathrm{c}}}{2E_{\mathbf{k}}} - \frac{1}{2} } \end{bmatrix}.\]

  • 按准粒子的正规序构造离散时间路径积分, 再取连续极限, 作用量为

    \[S[\psi,\psi^*] \approx S_0 +\frac{\hbar\beta}{2}\sum_{\mathbf{k}\neq0} \left(E_{\mathbf{k}}-\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-g\rho_{\mathrm{c}}\right) + \sum_{k\neq 0} (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+E_{\mathbf{k}})|\phi_k|^2.\]

    接触相互作用的零点和须使用与 \(g\) 的定义一致的紫外正则化. 只讨论激发谱时可暂略该常数, 计算配分函数或基态能量时不能略去.

7.3 Superconductivity

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7.3.1 Introduction

超导态是传导电子的有序态, 表现为无耗散导电和完全抗磁性(Meissner 效应). \( {}^3\mathrm{He} \) 的超流性可视为电中性 Fermion 的"超导".

Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) 理论表明, 超导电性由 Cooper 对(电子的束缚对)的形成诱导. 电子配对的原因是 Fermi 面附近电子间的有效相互作用是吸引的.

Attractive interaction 在常规超导体中由 phonon 媒介:

• 电子-phonon 耦合系统的作用量为

  \[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*,c,c^*] &= \sum_q c_q^*(-\mathrm{i}\hbar\nu_m+\hbar\omega_{\mathbf{q}})c_q \\ &\qquad + \frac{1}{\sqrt{\hbar\beta V}} \sum_q (M_{\mathbf{q}}\rho_{-q}c_q+M_{\mathbf{q}}^*\rho_q c_q^*) + S_e[\psi,\psi^*], \end{aligned}\]

  其中 \(\omega_{\mathbf{q}}\) 是 phonon 色散, \(q\equiv (\mathbf{q},\nu_m)\), \(\rho_q\equiv \sum_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^*\psi_{k+q,\sigma}\), \(S_e\) 表示电子的作用量.

• 完成对 \(c_q\) 和 \(c_q^*\) 的泛函积分:

  \[S[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\hbar\beta V} \sum_q |M_{\mathbf{q}}|^2 D_q \rho_{-q}\rho_q + S_e[\psi,\psi^*],\]

  其中

  \[D_q = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar\nu_n-\hbar\omega_{\mathbf{q}}} + \frac{1}{-\mathrm{i}\hbar\nu_n-\hbar\omega_{\mathbf{q}}} = -\frac{1}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{\omega_{\mathbf{q}}^2+\nu_n^2}.\]

  这给出了由 phonon 媒介的有效 e-e 相互作用

  \[V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\nu_n) = -\frac{|M_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{\omega_{\mathbf{q}}^2+\nu_n^2} \overset{\mathrm{i}\nu_n\to\nu+\mathrm{i}0^+}{\longrightarrow} \frac{|M_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{(\nu+\mathrm{i}0^+)^2-\omega_{\mathbf{q}}^2},\]

  该相互作用在以下条件下为吸引的

  \[\omega_{\mathbf{q}} \gt |\nu| \simeq \frac{|\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}-\epsilon_{\mathbf{k}}|}{\hbar},\]

  即在 Fermi 面附近的一个薄壳层内.

• 在常规 BCS 模型中, 假设声子媒介的有效吸引在 Fermi 面附近宽度 \(\sim\hbar\omega_{\mathrm{D}}\) 的薄壳层内克服屏蔽后的 Coulomb 排斥. \(\omega_{\mathrm{D}}\) 是 Debye 频率. 在通常的绝热金属、远离奇异能带和强非绝热效应的条件下, Migdal 近似用小参数 \(\lambda\hbar\omega_{\mathrm{D}}/\epsilon_{\mathrm{F}}\) 抑制顶点修正, 其中 \(\lambda\) 是无量纲电子-声子耦合强度. 小的声子频率比本身不等同于弱的 BCS 配对耦合; 后面的弱耦合能隙公式还要求 \(gN_1(0)\ll1\).

• BCS 机制可由一个简化的有效模型演示:

  \[\begin{aligned} \hat{H} &= \sum_{\mathbf{k}\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{g}{V} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{k}'\mathbf{q}} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\uparrow}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k},\downarrow}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k}',\downarrow} \hat{a}_{\mathbf{k}'+\mathbf{q},\uparrow}\\ &\equiv \sum_{\mathbf{k}\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{g}{V}\sum_{\mathbf{q}} \hat{\Phi}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{\Phi}_{\mathbf{q}}, && \hat{\Phi}_{\mathbf{q}} \equiv \sum_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\uparrow}\hat{a}_{-\mathbf{k},\downarrow} \end{aligned}\]

  \(\hat{\Phi}_{\mathbf{q}}\) 湮灭一对电子(Cooper 对), 求和 \(\sum_{\mathbf{k}}\) 假定限制在 Fermi 面附近的薄壳层内.

  Cooper 对也是非常规超导(如高 \(T_{\mathrm{c}}\) 铜氧化物)的成因. 然而, 许多人认为在这些系统中吸引相互作用直接来自电子-电子相互作用, 而非电子-phonon 耦合.

7.3.2 Mean-Field Theory

The Landau functional

• 对应于前面的 \(\hat{H}\) 的作用量为

  \[S[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} - \frac{g}{\hbar\beta V} \sum_q \Phi_q^*\Phi_q.\]

• 对吸引配对通道使用复 Gaussian 恒等式. 对 \(g>0\) 和正的离散时间权重 \(a\),

  \[\exp(a g\Phi^*\Phi) =\frac{a}{\pi g}\int\mathrm{d}\operatorname{Re}\Delta\,\mathrm{d}\operatorname{Im}\Delta\, \exp\!\left[-a\left(\frac{|\Delta|^2}{g}+\Phi^*\Delta+\Delta^*\Phi\right)\right].\]

  配方 \(|\Delta+g\Phi|^2/g-g\Phi^*\Phi\) 即证明此式; 归一化由无源二维 Gaussian 积分确定. \(\Phi\) 是偶 Grassmann 配对双线性, 移位可按有限 Grassmann 多项式展开理解. 对每个时空离散点应用此恒等式, 场无关归一化吸收到积分测度中, 得到

  \[S[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*) + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2.\]

  它转化为与配对场耦合的无相互作用电子系统.

• 配分函数可写为

  \[Z = \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\},\]

  其中

  \[\begin{aligned} S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] &\equiv \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*)\\ Z_{\Delta 0} &\equiv \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 \right]. \end{aligned}\]

• 积分掉 \(\psi,\psi^*\):

  \[\begin{aligned} Z &= \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 \right] \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\}\\ &\equiv \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 + W[\Delta,\Delta^*] \right\} \end{aligned}\]

  其中

  \[\begin{aligned} W[\Delta,\Delta^*] &\equiv \ln Z_{\mathrm{e}}, \\ Z_{\mathrm{e}} &= \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\}= Z_0 \left\langle \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*) \right] \right\rangle_0. \end{aligned}\]

• Landau 泛函可定义为

  \[\mathcal{L} = \frac{1}{\hbar^2\beta^2 V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 - \frac{1}{\beta}W[\Delta,\Delta^*].\]

Nambu representation \(S_e\) 描述与配对场 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)\) 耦合的电子系统. 我们引入一个旋量

\[\Psi_k = \begin{bmatrix} \psi_{k\uparrow} \\ \psi_{-k\downarrow}^* \end{bmatrix}.\]

对于均匀配对势 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)=\Delta\equiv |\Delta|\exp(\mathrm{i}\varphi)\), 作用量可重写为

\[S_e[\psi,\psi^*] = -\hbar\sum_k \Psi_k^\dagger \mathscr{G}_k^{-1}\Psi_k, \qquad \mathscr{G}_k^{-1} \equiv \begin{bmatrix} \mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}} & \Delta/\hbar \\ \Delta^*/\hbar & \mathrm{i}\omega_n+\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix},\]

故 Nambu 表示中的 Green 函数.

\[\mathscr{G}_k = -\langle \Psi_k\Psi_k^*\rangle = -\frac{1}{\omega_n^2+\xi_{\mathbf{k}}^2+|\Delta/\hbar|^2} \begin{bmatrix} \mathrm{i}\omega_n+\xi_{\mathbf{k}} & -\Delta/\hbar \\ -\Delta^*/\hbar & \mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]

更一般地, Nambu 表示中的 Green 函数定义为

\[\mathscr{G}(\mathbf{x}\tau,\mathbf{x}'\tau') = -\left\langle \hat{T}_\tau \left[ \hat{\Psi}(\mathbf{x}\tau)\hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x}'\tau') \right] \right\rangle = \begin{bmatrix} -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{x}'\tau')]\rangle & -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{x}'\tau')]\rangle \\ -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{x}'\tau')]\rangle & -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{x}'\tau')]\rangle \end{bmatrix}.\]

非对角元称为反常 Green 函数.

Mean-field approximation 是稳相近似: \(\delta \mathcal{L}/\delta \Delta_q^*=0\). 将 Landau 泛函对均匀 \(\Delta=\Delta_{q=0}/(\hbar\beta V)\) 求导, 我们得到

\[\frac{1}{g}\Delta = \frac{1}{\beta V}\frac{\partial W[\Delta,\Delta^*]}{\partial \Delta^*},\]\[\frac{\partial W[\Delta,\Delta^*]}{\partial \Delta^*} = -\frac{1}{Z_{\mathrm{e}}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \frac{\Phi_{q=0}}{\hbar} \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\} \equiv -\frac{1}{\hbar} \sum_k\langle \psi_{k\uparrow}\psi_{-k\downarrow}\rangle_e = \frac{1}{\hbar}\sum_k [\mathscr{G}_k]_{12}\]

因此, 确定 \(\Delta\) 的自洽方程如下. 这里 \(N_1(0)\) 是单位体积、单个自旋分量在 Fermi 面处的态密度:

\[\frac{1}{g} = \frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_k \frac{1}{\omega_n^2+\xi_{\mathbf{k}}^2+|\Delta/\hbar|^2} \approx N_1(0)\int_0^{\hbar\omega_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}\epsilon\, \frac{\tanh\!\left(\beta\sqrt{\epsilon^2+|\Delta|^2}/2\right)} {\sqrt{\epsilon^2+|\Delta|^2}}.\]

• 在临界温度下, \(\Delta=0\), 方程简化为

  \[\frac{1}{g} = N_1(0)\int_0^{\hbar\omega_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}\epsilon\, \frac{\tanh (\beta\epsilon/2)}{\epsilon} \approx N_1(0)\ln \left( \frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}} \right),\]

  它预言相变发生在

  \[k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}} = \frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\omega_{\mathrm{D}} \mathrm{e}^{-1/N_1(0)g} \approx 1.13\hbar\omega_{\mathrm{D}} \mathrm{e}^{-1/N_1(0)g}.\]

• 也可确定超导能隙的温度依赖关系:

  \[|\Delta(T)| \approx \begin{cases} \Delta(0)-\sqrt{2\pi\Delta(0)k_{\mathrm{B}} T}\,\mathrm{e}^{-\Delta(0)/k_{\mathrm{B}} T}, & T\ll T_{\mathrm{c}}, \\ \pi\left[\dfrac{8}{7\zeta(3)}\right]^{1/2}k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}\left(1-\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right)^{1/2}, & T_{\mathrm{c}}-T\ll T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]\[\frac{\Delta(0)}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}} = \pi \mathrm{e}^{-\gamma} \approx 1.76.\]

  注意零温能隙与临界温度之比是普适常数, 这是弱耦合 BCS 理论的独特预言.

Bogoliubov transformation \(\mathcal{G}_k^{-1}\) 可通过酉变换对角化

\[\Psi_k = \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & -v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} \tilde{\Psi}_k, \qquad |u_{\mathbf{k}}|^2+|v_{\mathbf{k}}|^2=1.\]

它等价于本征值问题

\[\begin{bmatrix} \hbar\xi_{\mathbf{k}} & -\Delta \\ -\Delta^* & -\hbar\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = E_{\mathbf{k}} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]\[E_{\mathbf{k}} = \sqrt{(\hbar\xi_{\mathbf{k}})^2+|\Delta|^2}, \qquad u_{\mathbf{k}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left( 1+\frac{\hbar\xi_{\mathbf{k}}}{E_{\mathbf{k}}} \right) }, \qquad v_{\mathbf{k}} = -\sqrt{ \frac{1}{2} \left( 1-\frac{\hbar\xi_{\mathbf{k}}}{E_{\mathbf{k}}} \right) }\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}.\]

将负能 Nambu 分支重写为正能准粒子并保留正规序常数后, 作用量为

\[S_\Delta[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma}\tilde{\psi}_{k\sigma}^*(-\mathrm{i}\hbar\omega_n+E_{\mathbf{k}})\tilde{\psi}_{k\sigma} + \hbar\beta\left[ V\frac{|\Delta|^2}{g} +\sum_{\mathbf{k}}(\hbar\xi_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}}) \right].\]

它描述了具有能隙谱 \(E_{\mathbf{k}}\) 的 Fermionic 准粒子. \(|\Delta|\) 称为超导能隙.

7.3.3 Effective Field Theory and Anderson-Higgs Mechanism

Landau-Ginzburg theory 可从微观作用量构造有效 Landau 泛函, 按序参量及其空间梯度展开来描述相变. 在极限 \(T\to T_{\mathrm{c}}\), \(\Delta_q=\hbar\beta\Delta_{\mathbf{q}}\delta_{\nu_m,0}\), \(\Delta_q\to 0\) 下, 寻找经典 Landau 泛函:

\[\mathcal{L}[\Delta,\Delta^*] = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{q}} \frac{1}{g}|\Delta_{\mathbf{q}}|^2 -\frac{1}{\beta}W[\Delta,\Delta^*].\]

• Gradient expansion 将 \(W[\Delta,\Delta^*]\) 展开为 \(|\Delta_q|^2\) 的幂级数. 至二阶:

  \[W[\Delta,\Delta^*] \approx W_0 -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \chi_{\Phi\Phi^*}^0(q)|\Delta_q|^2.\]

• Pair correlation function

  \[\begin{aligned} \chi_{\Phi\Phi^*}^0(q) &= -\hbar^2\beta V \frac{\delta^2 W[\Delta,\Delta^*]}{\delta\Delta_q\delta\Delta_q^*}\biggr|_{\Delta\to 0} = -\frac{1}{\hbar^2\beta V}\langle \Delta\Phi_q\Delta\Phi_q^*\rangle_0\\ &= -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_{kk'} \langle \psi_{k+q,\uparrow}^*\psi_{-k,\downarrow}^* \psi_{-k',\downarrow}\psi_{k'+q,\uparrow} \rangle_0. \end{aligned}\]

  这是对关联函数的"Lindhard 函数".

  \[\chi_{\Phi\Phi^*}^0(q,\nu_m) = \frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_k [\mathscr{G}_{k+q}]_{11}[\mathscr{G}_k]_{22} = \frac{1}{\hbar V}\sum_{\mathbf{k}} \frac{1-f(\xi_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2})-f(\xi_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2})} {\mathrm{i}\nu_m-\xi_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}-\xi_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}}.\]

  其中 \(\xi_{\mathbf{k}}\equiv (\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar\), 本式的频率变量分布函数为 \(f(x)=[\mathrm{e}^{\beta\hbar x}+1]^{-1}\). \(N_1(0)=N(0)/2\) 是单位体积、每自旋分量的态密度, \(\nu_m\) 为玻色型 Matsubara 频率.

• Long-wavelength expansion 对于小 \(|\mathbf{q}|\),

  \[\chi_{\Phi\Phi^*}^0(q,0) \approx -N_1(0)\ln\!\left(\frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}}\right) + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}N_1(0)(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2.\]

  Landau-Ginzburg functional 对于 \(\Delta_q=\hbar\beta\Delta_{\mathbf{q}}\delta_{\nu_m,0}\), 有

  \[\frac{1}{\beta}\bigl(W[\Delta,\Delta^*]-W_0\bigr) \approx \frac{N_1(0)}{V} \sum_{\mathbf{q}} \left\{ \ln\!\left(\frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}}\right) - \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2 \right\} |\Delta_{\mathbf{q}}|^2.\]\[\begin{aligned} \mathcal{L}[\Delta,\Delta^*] &\approx \frac{N_1(0)}{V} \sum_{\mathbf{q}} \left\{ \ln\!\frac{T}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2 \right\} |\Delta_{\mathbf{q}}|^2 + \cdots\\ &\approx N_1(0) \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\{ \ln\!\frac{T}{T_{\mathrm{c}}}|\Delta(\mathbf{r})|^2 + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\nabla\Delta(\mathbf{r})|^2 + b|\Delta(\mathbf{r})|^4 \right\}, \end{aligned}\]

  其中第二行添加了非线性项 \(|\Delta(\mathbf{r})|^4\). 系数 \(b\) 可由 \(T\to T_{\mathrm{c}}\) 处能隙的温度依赖确定: \(b=\frac{7\zeta(3)}{16\pi^2}\beta^2\).

• 以下重标度采用均匀三维、各向同性抛物能带的弱耦合模型, 并在系数中取 \(T\simeq T_{\mathrm{c}}\). 习惯上定义"波函数"

  \[F(\mathbf{r}) \equiv \left[ \frac{7\zeta(3)\rho_0}{8\pi^2} \right]^{1/2} \frac{\Delta(\mathbf{r})}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}}.\]

  Landau-Ginzburg 泛函定义为

  \[\mathcal{L}[F,F^*] \approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\{ \frac{\hbar^2}{4m}|\nabla F(\mathbf{r})|^2 + a\frac{(k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}})^2}{\epsilon_{\mathrm{F}0}} \left( \frac{T}{T_{\mathrm{c}}}-1 \right)|F(\mathbf{r})|^2 + \frac{a(k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{c}})^2}{2\epsilon_{\mathrm{F}0}\rho_0}|F(\mathbf{r})|^4 \right\}, \qquad a \equiv \frac{6\pi^2}{7\zeta(3)} \approx 7.04.\]

  Gauge symmetry 在 Nambu 表象下, 该作用量描述了一个具有如下有效 Hamilton 量的系统:

  \[\begin{aligned} \hat{H} &= \begin{bmatrix} \hat{H}_\uparrow-\mu & -\Delta(\mathbf{r}\tau) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}\tau) & -\hat{H}_\downarrow^*+\mu \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2m}\left(-\mathrm{i}\hbar\nabla+\dfrac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2-\mathrm{i}e\varphi-\mu & -\Delta(\mathbf{r}\tau) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}\tau) & -\dfrac{1}{2m}\left(-\mathrm{i}\hbar\nabla-\dfrac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2+\mathrm{i}e\varphi+\mu \end{bmatrix}. \end{aligned}\]

其中系统与 Euclidean 电磁 (EM) 场 \((\mathrm{i}\varphi,\mathbf{A})\) 耦合.

• Remark 在 Euclidean 时空下, 电磁场的标量分量为虚数.

• Hamiltonian 在整体 \(U(1)\) 规范变换下不变

  \[\Delta(\mathbf{r}\tau)\to \Delta(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}, \qquad \Psi(\mathbf{r}\tau)\to \exp\!\left( \mathrm{i}\frac{\phi}{2}\hat{\tau}_3 \right)\Psi(\mathbf{r}\tau).\]

• 在局域 \(U(1)\) 规范变换下也不变

  \[\begin{aligned} \Delta(\mathbf{r}\tau) &\to \Delta(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{r}\tau)},\\ \Psi(\mathbf{r}\tau) &\to \exp\!\left( \mathrm{i}\frac{\phi(\mathbf{r}\tau)}{2}\hat{\tau}_3 \right)\Psi(\mathbf{r}\tau),\\ \varphi(\mathbf{r}\tau) &\to \varphi(\mathbf{r}\tau)-\frac{\hbar}{2e}\partial_\tau \phi(\mathbf{r}\tau),\\ \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau) &\to \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau)-\frac{\hbar c}{2e}\nabla \phi(\mathbf{r}\tau). \end{aligned}\]

• 为使上面的 Landau-Ginzburg 泛函对局域规范变换不变, 需将梯度算符替换为 \(\nabla\to \nabla + (\mathrm{i}2e/\hbar c)\mathbf{A}\), 因为

  \[\left( \nabla+\mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)\Delta(\mathbf{r}) \to \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left[ (\nabla+\mathrm{i}\nabla\phi) + \mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c} \left( \mathbf{A}-\frac{\hbar c}{2e}\nabla\phi \right) \right]\Delta(\mathbf{r}) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left( \nabla+\mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)\Delta(\mathbf{r}).\]

Supercurrent 超导体在长波极限下具有超流响应:

\[\mathbf{j}_s = -\frac{e\hbar}{2m}\rho_{\mathrm{s}} \left( \nabla\phi+\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right).\]

这与前面的超流表达式类似. 由规范对称性, 它必须正比于 \(\nabla\phi+\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A}\).

Superfluid density \(\rho_{\mathrm{s}}\) 可如下确定:

• 电流密度定义为

  \[\begin{aligned} \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau) &= -c\frac{\delta S}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau)} = \frac{\mathrm{i}e\hbar}{2m} \Psi^\dagger(\mathbf{r}\tau)(\overrightarrow\nabla-\overleftarrow\nabla)\Psi(\mathbf{r}\tau) -\frac{e^2}{mc}\rho(\mathbf{r}\tau)\mathbf{A}(\mathbf{r}\tau), \\ \mathbf{j}_q &= -\frac{e\hbar}{m} \sum_k \left( \mathbf{k}+\frac{\mathbf{q}}{2} \right) \Psi_k^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta\hat{\tau}_3}\Psi_{k+q} -\frac{e^2\rho_0}{mc}\mathbf{A}_q. \end{aligned}\]

  Remark 等时乘积如 \(\Psi^\dagger(\mathbf{r}\tau)\Psi(\mathbf{r}\tau)\) 需恰当理解: 为定义物理电流, \(\psi_{\uparrow(\downarrow)}^*\) 的时间应始终比 \(\psi_{\uparrow(\downarrow)}\) 超前无穷小量.

• 电流密度对 \(\mathbf{A}\) 的响应为

  \[\mathbf{j}_s(\mathbf{r}) \equiv \langle \mathbf{j}(\mathbf{r})\rangle \approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathbf{A}(\mathbf{r}').\]

  先写时间分辨响应核 \(K(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}'\tau')\); 上式静态核为对 \(\tau'\) 从零到 \(\hbar\beta\) 的积分:

  \[\begin{aligned} K(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}'\tau') &\equiv \frac{\delta}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}'\tau')} \left[ \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{-S/\hbar} \right]\\ &= \left( \left\langle \frac{\delta \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}'\tau')} \right\rangle + \frac{1}{\hbar c} \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\mathbf{j}(\mathbf{r}'\tau')\rangle - \frac{1}{\hbar c} \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\rangle \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}'\tau')\rangle \right)_{A\to 0}\\ K_q &= -\frac{e^2\langle \rho\rangle}{mc} + \frac{1}{\hbar^2 c\beta V} \langle (\Delta \mathbf{j}_q)(\Delta \mathbf{j}_{-q})\rangle_{A=0}. \end{aligned}\]

• 超流密度由静态横向响应定义: 先取 \(\nu_m=0\), 再令 \(\mathbf{q}\to0\), 并使用垂直于 \(\mathbf{q}\) 的矢量势. 在该弱耦合、均匀三维模型中应用 Wick 定理, 有

  \[\begin{aligned} K_{q\to 0} &= -\frac{e^2}{mc}\rho_{\mathrm{s}}\\ \rho_{\mathrm{s}} &= \rho_0 + \frac{2}{3\hbar^2\beta V} \sum_k \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}\operatorname{Tr}[\mathscr{G}_k \mathscr{G}_k] = \rho_0 - \frac{4}{3\beta V} \sum_k (\mu+\hbar\xi_{\mathbf{k}}) \frac{(\hbar\omega_n)^2-E_{\mathbf{k}}^2}{[(\hbar\omega_n)^2+E_{\mathbf{k}}^2]^2}\\ &= \rho_0 - \frac{\beta\mu N(0)}{3} \int_0^\infty \mathrm{d}\epsilon\, \frac{1}{\cosh^2(\beta E/2)} \approx \rho_0 \begin{cases} 1-\sqrt{2\pi\beta\Delta(0)}\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta(0)}, & T\to 0, \\ 2\left(1-\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right), & T\to T_{\mathrm{c}}. \end{cases} \end{aligned}\]

Effective action of the Goldstone mode 为描述 Goldstone 模的动力学, 设 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)=|\Delta|\exp[\mathrm{i}\phi(\mathbf{r}\tau)]\). 积分掉所有不需要的变量后, 可得 Goldstone 模的作用量:

\[\exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] \right\} \equiv \int \mathcal{D}[|\Delta|,\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*,\mathbf{A},\varphi] \right\}.\]

下面保留低温、各向同性弱耦合模型的长波局域二次项, 并取频率低于破对阈值. 有限温度的热准粒子还可产生非局域和耗散响应; 在 \(T\to T_{\mathrm{c}}\) 时不能直接用这些低温常数描述全部动力学. 此近似下作用量的形式可如下确定:

• 由规范对称性, 作用量必须为以下量的泛函

  \[\tilde{\varphi}(\mathbf{r}\tau) = \frac{\hbar}{2e}\partial_\tau \phi+\varphi, \qquad \tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{r}\tau) = \frac{\hbar c}{2e}\nabla \phi+\mathbf{A}.\]

• 在长波极限下, 有

  \[\begin{aligned} S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] &= \frac{1}{2} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ c_1 \left( \frac{1}{2}\partial_\tau \phi+\frac{e}{\hbar}\varphi \right)^2 + c_2 \left( \frac{1}{2}\nabla\phi+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)^2 +\cdots \right]\\ &= \frac{1}{2\hbar\beta V} \sum_q \left[ c_1 \left( -\frac{\mathrm{i}\nu_m}{2}\phi_q+\frac{e}{\hbar}\varphi_q \right) \left( \frac{\mathrm{i}\nu_m}{2}\phi_{-q}+\frac{e}{\hbar}\varphi_{-q} \right) + c_2 \left( \frac{\mathrm{i}\mathbf{q}}{2}\phi_q+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A}_q \right)\cdot \left( -\frac{\mathrm{i}\mathbf{q}}{2}\phi_{-q}+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A}_{-q} \right) +\cdots \right]. \end{aligned}\]

  • 系数可确定如下:

    \[c_1(q) = \left( \frac{\hbar}{e} \right)^2 (\hbar\beta V)\frac{\delta^2 S_G}{\delta\varphi_q\delta\varphi_{-q}} = \mathrm{i}\frac{\hbar^2}{e}\frac{\delta \rho_q}{\delta\varphi_q} = \frac{1}{\beta V}\langle (\Delta \rho_q)(\Delta \rho_{-q})\rangle_0 \equiv -\hbar^2 \chi_{\rho\rho}(q),\]

    其中 \(\chi_{\rho\rho}(q)\) 是超导系统的密度关联函数, \(\rho_q\equiv \sum_k \Psi_k^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n \eta \hat{\tau}_3}\hat{\tau}_3\Psi_{k+q}\). 在长波极限下, \(\chi_{\rho\rho}(0)\approx -N(0)\), 于是有

    \[c_1 \equiv \lim_{q\to 0} c_1(q) = \hbar^2 N(0).\]

  • 类似地:

    \[c_2(q) = (\hbar\beta V) \left( \frac{\hbar c}{e} \right)^2 \frac{\delta^2 S_G}{\delta \mathbf{A}_q\delta \mathbf{A}_{-q}} = -\left( \frac{\hbar}{e} \right)^2 c\frac{\delta \mathbf{j}_q}{\delta \mathbf{A}_q}.\]

    应用前面的超流表达式, 有

    \[c_2 \equiv \lim_{q\to 0} c_2(q) = \frac{\hbar^2}{m}\rho_{\mathrm{s}}.\]

Anderson-Higgs mechanism 当 Goldstone 模与无质量 (长程) 规范场 (如 EM 场) 耦合时, 它消失并赋予规范场有限质量.

• 超导体与 EM 场耦合的总作用量为

  \[S[\phi,\mathbf{A},\varphi] = S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] + \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \left( \nabla\varphi-\frac{1}{c}\partial_\tau \mathbf{A} \right)^2 + |\nabla\times \mathbf{A}|^2 \right].\]

• 由于 EM 场的作用量是规范不变的, 可进行规范变换. 变换后的作用量不依赖于 \(\phi\), Goldstone 模消失:

  \[S[\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\varphi}] = \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \left( \nabla\tilde{\varphi}-\frac{1}{c}\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}} \right)^2 + |\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}|^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}|^2 + 4\pi e^2 N(0)\tilde{\varphi}^2 \right].\]

• 可将 \(\tilde{\mathbf{A}}\) 分解为横场和纵场分量: \(\tilde{\mathbf{A}}=\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\), 其中 \(\nabla\cdot \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=0\), \(\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}=0\).

  \[\begin{aligned} S[\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\varphi}] = \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \Bigg[ &c^{-2}(\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})^2 + |\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|^2 \\ &+ \left( \nabla\tilde{\varphi}-c^{-1}\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}} \right)^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}|^2 + 4\pi e^2 N(0)\tilde{\varphi}^2 \Bigg]. \end{aligned}\]

  横场分量 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\) 获得质量, 将被屏蔽, 即 Meissner 效应. 纵场分量 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\) 与标量场耦合. 积分掉 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\) 后, 产生类等离子体激元 (plasmon) 模——这就是 Goldstone 模转变而成的模式.

Meissner effect 在无涡旋的平衡 Meissner 态中, 静态磁场向体内指数衰减; 距表面远大于穿透深度时可近似取零. 这不是对混合态或任意外场强度的断言. 对 \(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\) 变分作用量, 得

\[\nabla\times \mathbf{B} \equiv -\nabla^2 \mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s = -\frac{4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}}{mc^2}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \Rightarrow \left( \frac{4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}}{mc^2}-\nabla^2 \right)\mathbf{B}(\mathbf{r}) = 0.\]

这预言了穿透深度 \(\lambda=c(4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}/m)^{-1/2}\).