Solar System - 1

1 Introduction and Celestial Orbits

1.1 Measuring the Earth–Moon–Sun System

远航船只的船身先消失、月食时地影的圆弧等现象支持球形地球模型. 单次观测并不能排除所有替代解释, 需要结合不同地点和时刻的观测.

埃拉托色尼利用赛伊尼与亚历山大港的正午太阳高度差估计地球大小. 假设太阳光近似平行、两地接近同一经线, 两地地心角等于太阳天顶角之差 \(\theta\). 若沿子午线的距离为 \(s\), 则

\[R_E=\frac{s}{\theta},\qquad C_E=\frac{2\pi s}{\theta}.\]

其中角度以弧度计. 得到约 6400 km 的量是地球半径, 不是直径; 历史估计的精度还取决于所用长度单位及地理近似.

地球大小确定后, 可结合月食几何和月球角直径估计月球大小与距离. 若月球角直径为 \(\delta\simeq0.5^\circ\), 小角近似给出

\[D_M\simeq\frac{2R_M}{\delta}\simeq229R_M.\]

实际平均月地距离约为 221 个月球半径; 上式采用粗略角直径, 只作数量级估计. “月出约两分钟”也能估计角直径, 但必须知道月球相对于地平线的垂直角速度; 它受纬度、赤纬、月球自身运动和折射影响, 不能一律用每天一周的转速替代.

测量太阳系尺度还需要视差或测距. 金星凌日法比较不同地点看到的凌日轨迹和接触时刻, 结合地球基线、轨道相对尺度及几何模型反演日地距离. 现代方法还包括行星雷达测距和航天器测距; IAU 于 2012 年把天文单位定义为精确的 149 597 870 700 m, 不再靠每次观测重新定义. IAU: Measuring the Universe

1.2 From Geocentric Models to Kepler’s Laws

恒星的周日运动可以由地球自转解释. 地心体系曾用均轮、本轮等描述行星运动, 包括逆行; 日心体系则把许多逆行现象解释为地球与其他行星公转时的相对运动.

伽利略观测的两个例子具有不同的逻辑作用:

• 木星四颗大卫星表明, 天体不必都绕地球运动.
• 金星完整的盈亏变化不符合经典托勒密体系中金星始终位于日地之间的安排, 但也与某些地日心混合模型相容; 它本身并非日心说的唯一决定性证明.

开普勒三定律: 行星轨道为以太阳为一个焦点的椭圆; 日行星连线扫过的面积与时间成正比; 对同一中心天体, 轨道半长轴的三次方与周期平方近似成正比.

在牛顿二体模型中, 相对运动满足

\[\ddot{\boldsymbol r}=-\frac{G(M+m)}{r^3}\boldsymbol r.\]

中心力使单位约化质量的角动量 \(h=|\boldsymbol r\times\dot{\boldsymbol r}|\) 守恒, 因而面积速度为 \(h/2\). 对非径向运动 \(h>0\), 令 \(u=1/r\), 把径向运动方程改写为极角 \(\varphi\) 的方程, 得

\[\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u=\frac{G(M+m)}{h^2}, \qquad r=\frac{h^2/[G(M+m)]}{1+e\cos(\varphi-\varphi_0)}.\]

对束缚椭圆轨道 \(0\le e\lt 1\), 半通径为 \(a(1-e^2)\), 故有 \(h^2=G(M+m)a(1-e^2)\). 椭圆面积为 \(\pi ab\), 且 \(b=a\sqrt{1-e^2}\)、\(h^2=G(M+m)a(1-e^2)\), 所以

\[T=\frac{2\pi ab}{h},\qquad T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}.\]

当 \(m\ll M\) 时可忽略小天体质量. 由轨道观测首先确定的是引力参数 \(GM\); 再结合实验测得的 \(G\) 才得到质量. 木星的质量可同样由卫星的轨道尺度和周期反演.

1.3 Discoveries and the Definition of a Planet

谷神星由皮亚齐发现, 观测中断后, 高斯的轨道计算帮助观测者重新找到它. 提丢斯–博德关系曾启发对火星与木星之间天体的搜索, 但它是经验数列, 不是引力定律的推论; 海王星等天体不遵从该关系.

天王星在被确认为行星以前曾被记录为恒星. 它缓慢的天球运动使识别困难, 但其发现不能仅归因于“周期长”; 望远镜中可分辨的圆盘、持续观测和轨道计算同样重要. 天王星的轨道残差后来推动了对海王星的预测和寻找.

冥王星是在寻找假想 Planet X 的过程中发现的, 但它太小, 不能解释当时所设想的巨大摄动. 旅行者 2 号于 1989 年 8 月 25 日飞掠海王星; 后续采用修订后的海王星质量等参数, 早先的部分轨道残差得到消除. NASA: Voyager 2

2006 年 IAU 对太阳系行星的定义包含三个条件: 绕太阳公转; 自身引力使其接近流体静力学平衡形状; 清除了轨道附近的区域. 最后一条指轨道邻域的动力学主导地位, 不是附近绝对没有其他天体. 矮行星满足前两条、未满足第三条, 且不是卫星. “未发生核聚变”不属于这份太阳系行星定义的正式三条件. IAU: 2006 Resolutions B5 and B6

冥王星与阋神星的比较需要区分质量和尺寸: 阋神星质量更大, 冥王星直径略大. NASA: Kuiper Belt Facts 冥卫一 Charon 的质量约为冥王星的八分之一, 两者共同质心位于冥王星之外, 但不因此自动成为两颗正式行星.

1.4 Three-Body Dynamics and Lagrange Points

三体系统一般不能化为独立的开普勒椭圆, 但不代表每条轨道都混沌. 平面圆型限制性三体问题中可以同时出现周期轨道、准周期运动与混沌区域. 层级三星系统由于内外轨道尺度差异大, 常可用受摄动的二体模型描述; 长期稳定性仍取决于偏心率、倾角和质量比.

在圆型限制性三体模型的共转坐标系中, 两个主天体和一个质量可忽略的小天体之间存在五个平衡位置. 这些位置称为拉格朗日点. 它们是引力与旋转坐标系惯性项共同作用的平衡, 不是引力为零的位置.

L1、L2、L3 在连心线上, 在线性扰动下不稳定. L4、L5 与两个主天体构成等边三角形. 对两个质量均为正的主天体, 令 \(0\lt \mu=m_2/(m_1+m_2)\le1/2\), 三角点的线性稳定条件为

\[27\mu(1-\mu)\lt 1, \qquad \mu\lt \frac{1-\sqrt{23/27}}{2}\simeq0.03852.\]

这一条件可由线性化得到. 取两主天体间距、总质量引力参数和共转角速度为单位, 有效势为

\[U=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}, \qquad \ddot x-2\dot y=U_x,\quad\ddot y+2\dot x=U_y.\]

在三角点 \(x=1/2-\mu\)、\(y=\pm\sqrt3/2\) 处, \(r_1=r_2=1\). 二阶导数为 \(U_{xx}=3/4\)、\(U_{yy}=9/4\)、\(U_{xy}=\pm3\sqrt3(1-2\mu)/4\). 代入扰动 \((\xi,\eta)\propto e^{\lambda t}\), 行列式条件给出

\[\lambda^4+\lambda^2+\frac{27}{4}\mu(1-\mu)=0.\]

令 \(q=\lambda^2\), 要使两个不同的 \(q\) 都为负实数, 需判别式 \(1-27\mu(1-\mu)>0\); 两根和为 \(-1\)、积为正则保证其均为负. 此时线性解由有界振荡组成. 临界重根须另行分析, 线性结论也不自动构成非线性长期稳定性的证明. NASA: Lagrange Points

这一结果适用于理想圆型限制性模型; 不能直接当成真实太阳系中无限期稳定的保证. 木星特洛伊小行星在 L4、L5 附近作振荡运动, 并非固定在一个几何点上.

2 Tides

2.1 Differential Gravity and Ocean Tides

地球和地表物体都受到月球引力. 潮汐加速度是局部引力减去地球中心引力后的差, 而非月球的全部引力. 对地心附近位移 \(\boldsymbol x\), 取月球方向单位向量 \(\boldsymbol n\), 当 \(|\boldsymbol x|\ll D\) 时,

\[\boldsymbol a_{\mathrm{tide}}\simeq \frac{GM}{D^3}\left[3(\boldsymbol n\cdot\boldsymbol x)\boldsymbol n-\boldsymbol x\right].\]

沿连心线的梯度是 \(2GM/D^3\), 垂直方向为 \(-GM/D^3\). 因而平衡潮模型有近月和背月两个隆起. 真实潮汐还受海岸形状、水深、海盆共振和地球自转影响.

• 大潮: 朔或望附近, 日地月近似共线, 日月潮汐作用增强; 不只发生在日月位于地球同一侧时.
• 小潮: 上弦或下弦附近, 日月方向近似垂直, 总潮差较小.

2.2 Roche Limits and Rings

把卫星尺度上的差分引力与自身引力比较, 可以得到洛希距离的量纲关系

\[\frac{GM_pR_s}{d^3}\sim G\rho_sR_s, \qquad d\sim R_p\left(\frac{\rho_p}{\rho_s}\right)^{1/3}.\]

具体系数取决于形变、自转与材料强度. 在卫星质量远小于主天体、主天体近似球形时, 对理想、无材料强度、同步自转的流体卫星, 常用近似为

\[d_R\simeq2.44R_p\left(\frac{\rho_p}{\rho_s}\right)^{1/3}.\]

这里 \(d_R\) 是两天体的中心距离. 所谓刚体近似约 1.26 的系数来自不同的简化判据, 不能由上面的量纲估计直接推出流体形变模型的 2.44; 它也不意味着有真实拉伸强度的小岩块必定在该距离被撕裂. 土星主环位于流体卫星难以重新聚集的位置范围内; 卫星破碎是环起源的候选过程, 环的年龄和详细形成史仍需模型与观测约束.

2023 年的年轻环估计将微陨石的污染输入与环内非冰物质含量联系起来. 2024 年提出的抗污染模型则认为, 高速撞击后形成的带电纳米颗粒等可以被移除, 降低污染物的保留率, 使较老的环仍可能显得洁净. 该模拟未直接纳入环颗粒的孔隙、材料强度和颗粒结构等效应; 它提出了年龄反演中的另一种机制, 并未测出环形成的年代. 因而不能仅由环的洁净程度断定年龄. NASA: Young Rings Studies, 2023 Hyodo et al., 2024

2.3 Tidal Locking and Orbital Migration

潮汐形变并不总能立即对准引力来源. 内部耗散造成形变滞后, 使自转与公转交换角动量, 同时把机械能转化为热. 潮汐可以减慢过快的自转, 也可以加快过慢的自转. 对接近圆形的卫星轨道, 同步自转是常见结果; 偏心轨道还可能进入其他自转–轨道共振.

对顺行卫星, 若主天体自转角速度 \(\Omega\) 大于卫星平均运动 \(n\), 角动量通常从主天体自转传向卫星轨道, 卫星向外迁移. 近圆轨道中

\[L_{\mathrm{orb}}\simeq m\sqrt{GMa},\quad E_{\mathrm{orb}}=-\frac{GMm}{2a},\quad n=\sqrt{\frac{GM}{a^3}}.\]

所以向外迁移时轨道角动量和能量增加, 但长期的公转角速度及圆轨道速率下降. “月球获得能量”不能改写成“月球最终公转得越来越快”. 地球的自转则逐渐减慢. NASA: Tidal Locking

若顺行卫星位于同步轨道以内, 通常向内迁移. 逆行的海卫一需要单独讨论角动量方向, 不能套用顺行同步半径判据; 潮汐模型预期其轨道长期衰减. 对地月系统, 遥远未来的双同步状态只是孤立系统理想化推演, 还会受太阳演化等过程影响.

2.4 Resonances, Heating, and Ocean Worlds

偏心轨道上的潮汐形变周期变化, 可维持内部加热. 若没有外部激励, 耗散常使偏心率减小; 共振却可持续激发偏心率. Io、Europa、Ganymede 的周期近似为 1:2:4, 其拉普拉斯共振角受到约束, 使系统不能简单地把每颗卫星当成独立耗散二体系统.

距离不是潮汐加热的唯一控制量. 半径、偏心率、内部结构和耗散效率也重要; 因而不能只按离木星的远近严格排列卫星的地质活动和陨石坑数量. 陨石坑密度同时反映表面年龄及撞击历史.

伽利略号磁场数据支持 Europa 内部存在导电层, 与含盐地下海洋模型相容. 可能的水羽流还需要区分探测证据的强弱. Europa Clipper 于 2024 年 10 月 14 日发射, 2025 年 3 月 1 日完成火星引力辅助; 按 NASA 2026 年 9 月 24 日更新的时间表, 计划 2030 年 4 月抵达木星, 随后通过多次飞掠进一步约束冰壳、海洋和宜居环境; 这项工作不是已经完成的观测. 航天器绕木星而不是长期绕 Europa, 可减少在强辐射区的暴露. NASA: Europa Clipper Mission Timeline

3 Spaceflight and the Space Environment

3.1 Missions and Rocket Propulsion

V-2 火箭是早期高空探测的平台, 1946 年的一次飞行拍摄了来自太空的地球照片; 1957 年 10 月 4 日 Sputnik 1 成为第一颗人造地球卫星. 阿波罗计划使用土星五号将多次载人任务送往月球, 不能写成仅有一次载人离开近地轨道.

航天任务需要协调科学目标、有效载荷、航天器、运载系统、轨道、测控与能源约束. 轨道可达并不等于测量条件合适. NASA: Early V-2 and Two-stage Rocket Flights

设火箭瞬时质量为 \(m\), 喷气相对火箭的速度大小为常量 \(u\), 在一维、忽略外力的短时间内由动量守恒得

\[m\,dv=-u\,dm.\]

因火箭质量减少, \(dm\lt 0\), 正向速度增量为正. 积分得到齐奥尔科夫斯基方程

\[\Delta v=u\ln\frac{m_0}{m_f}.\]

它描述理想速度增量预算. 发射时还要计入重力损失、气动阻力、姿态转弯等. 多级火箭通过抛弃不再需要的结构质量改善后续级的质量比.

电推进的优势是排气速度高、推进剂利用效率高, 缺点是受电功率限制、推力较小. 它不适合直接从地面起飞, 但可在进入太空后长期工作, 并非必须先把探测器送到很远处才开始使用.

3.2 Radiation Belts and Atmospheric Escape

带电粒子在磁场中回旋, 在非均匀磁场中还可发生磁镜反射和漂移, 形成被俘获的粒子群. Explorer 1 等早期任务揭示了地球辐射带. 高计数率下探测器可能饱和, 因此读数接近零不一定意味着粒子通量低.

地球通常用内、外两个主要范艾伦辐射带描述, 但它们不是固定壳层. 强太阳活动期间可形成暂时的额外带状结构; 不能把发现第三条暂态带概括为“现在确认永远有三层”. NASA: Van Allen Probes

南大西洋异常区与地球磁场的不对称、非偶极结构等有关, 使低轨航天器在该区域承受较高的粒子辐射. 航天器防护需结合轨道选择、屏蔽、器件耐辐射性及运行策略. 朱诺号的轨道和电子设备防护就是为木星辐射环境设计的.

离开磁场束缚与逃离行星引力不是同一个判据. 中性粒子不受直接的洛伦兹力约束, 带电粒子沿开放磁力线运动也未必有足够能量逃离引力场. 大气逃逸可包括:

• 金斯逃逸: 外逸层热分布的高速尾部越过引力束缚.
• 光化学逃逸: 反应产生的高能中性粒子逃逸.
• 离子逃逸和极风: 电场、波粒相互作用等加速离子.
• 溅射与电荷交换: 粒子碰撞或电荷态改变产生可逃逸的粒子.

机制的强弱取决于粒子种类、外逸层温度、辐射环境和磁场结构, 不能仅用“有磁场就不会逃逸”来判断.

4 Voyager and Interplanetary Transfers

4.1 Hohmann Transfers

考虑中心质量为 \(M\)、半径分别为 \(r_1\lt r_2\) 的共面圆轨道, 忽略其他天体和有限推力效应. 转移椭圆半长轴为 \(a_t=(r_1+r_2)/2\). 用活力公式

\[v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)\]

分别求转移轨道在两端的速度, 再与圆轨道速度相减:

\[\begin{aligned} \Delta v_1&=\sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right),\\ \Delta v_2&=\sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right),\\ t_t&=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{GM}}. \end{aligned}\]

第一步在内圆轨道上加速进入椭圆, 第二步在外端加速圆化. 地球到火星的实际任务还须匹配会合相位, 并区分日心转移、离开地球和抵达火星的速度预算.

4.2 Gravity Assists

在行星参考系下, 理想双曲线飞掠只改变远处相对速度的方向, 两侧的速率均为 \(v_\infty\). 在日心系中,

\[\boldsymbol v_{\mathrm{in,out}}=\boldsymbol V_p+\boldsymbol u_{\mathrm{in,out}}, \qquad |\boldsymbol u_{\mathrm{in}}|=|\boldsymbol u_{\mathrm{out}}|,\]

所以单位质量的日心动能变化为

\[\Delta\epsilon=\boldsymbol V_p\cdot(\boldsymbol u_{\mathrm{out}}-\boldsymbol u_{\mathrm{in}}).\]

飞掠几何决定加速还是减速, 能量和角动量来自与行星轨道的交换. 不能把引力助推解释成凭空创造能量. 质量比比较必须使用相同的出发轨道、抵达条件及排气速度, 再对各自的总速度增量应用火箭方程; 只比较是否经过木星并不足以确定节省多少推进剂.

4.3 The Voyager Missions and the Heliosphere

旅行者 1 号探访木星和土星; 旅行者 2 号还探访了天王星和海王星. 是两项任务合起来覆盖四颗巨行星, 不是两艘各自都飞掠全部巨行星. 它们分别于 2012 年和 2018 年穿过日球层顶. NASA: Voyager

终止激波处, 太阳风相对于局部波速由超声速转为亚声速; 其外的日鞘延伸至日球层顶, 后者是太阳风主导等离子体与星际介质之间的重要边界. 日球层外是否有经典强弓激波依赖介质参数, 不宜将其作为无条件存在的三层同心边界.

“进入星际空间”在这里指跨越日球层顶, 不意味着已经飞出太阳的引力影响区域, 更不意味着穿越了奥尔特云. 日球层的尺度与形状由太阳风和星际环境控制, 奥尔特云则是远得多的小天体储库概念.