Advanced Mathematics on Square's Blog

Advanced Mathematics - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Functions and Limits

1.1 Real Numbers and Basic Inequalities

Definition 记 \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\) 分别为自然数, 整数, 有理数和实数集.

Remark 实数系最关键的结构有三类:

代数结构: 对加, 减, 乘, 除(除数非零)封闭.
序结构: 任意两个实数可比较大小.
完备性: 每个非空且有上界的实数子集都有上确界.

Definition 设 \(S \subseteq \mathbb R\).

若存在 \(M\) 使得对任意 \(x \in S\) 都有 \(x \le M\), 则称 \(M\) 是 \(S\) 的上界.
所有上界中最小的一个称为上确界, 记作 \(\sup S\).
下界与下确界定义完全类似.

Remark 完备性是极限理论的基础. 单调有界序列必收敛, 介值性和最值性都依赖于它.

Proposition 三角不等式:

\[|a+b| \le |a| + |b|, \qquad ||a|-|b|| \le |a-b|.\]

Proposition 对正数 \(a_1,\cdots,a_n\), 有

\[\frac{n}{\sum_{k=1}^n a_k^{-1}} \le \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k} \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\le\sqrt{\frac1n\sum_{k=1}^n a_k^2}.\]

Remark 有理数与无理数都在实数轴上稠密: 任意两个不同实数之间都存在有理数和无理数.

1.2 Functions and Elementary Functions

Definition 函数是从定义域到陪域的单值映射.

Definition 常用分类:

单射: 不同输入对应不同输出.
满射: 值域等于陪域.
双射: 既单又满, 因而存在反函数.

Definition 初等函数由常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数经过有限次四则运算和复合得到.

Example 常见特殊函数:

符号函数 \(\operatorname{sgn} x\).
Dirichlet 函数.
Gauss 取整函数 \(\lfloor x \rfloor\).
集合的特征函数 \(\chi_E(x)\).

Remark 研究函数时常关心的性质包括:

有界性.
单调性.
奇偶性.
周期性.
可逆性.

Definition 上述特殊函数的具体形式为

\[\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x\lt0,\end{cases} \qquad D(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,\\0,&x\notin\mathbb Q,\end{cases}\]\[\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\},\qquad \chi_E(x)=\begin{cases}1,&x\in E,\\0,&x\notin E.\end{cases}\]

Riemann 函数在 \([0,1]\) 上定义为

\[R(x)=\begin{cases}1/q,&x=p/q\text{ 为最简分数},\ q>0,\\0,&x\notin\mathbb Q.\end{cases}\]

其中 \(R(0)=R(1)=1\). 对周期函数, 只有当正周期集合存在最小元时才称其为最小正周期; 正周期的下确界不一定是正周期.

1.3 Limits of Sequences

Definition 数列 \(\{a_n\}\) 收敛到 \(A\), 是指

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |a_n - A| \lt \epsilon.\]

记作 \(\lim_{n\to\infty} a_n = A\).

Theorem 收敛数列的极限唯一, 且收敛数列一定有界.

Theorem 极限的四则运算:

若 \(a_n \to A\), \(b_n \to B\), 则

\[a_n \pm b_n \to A \pm B, \qquad a_n b_n \to AB, \qquad \frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}\ (B \neq 0).\]

Theorem 单调收敛原理:

单调递增且有上界的数列收敛.
单调递减且有下界的数列收敛.

Theorem 夹逼定理:

若从某项起 \(c_n \le a_n \le b_n\), 且 \(b_n \to A\), \(c_n \to A\), 则 \(a_n \to A\).

Theorem 子列判别:

若 \(a_n \to A\), 则任意子列都收敛到 \(A\). 反过来, 若能找到两个极限不同的子列, 则原数列发散.

Example 常用极限:

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{n\to\infty} q^n = 0 \quad (|q|\lt1).\]

Remark 处理递推数列时, 常见路线是:

先证单调.
再证有界.
由单调收敛定理推出极限存在.
最后把递推式取极限求极限值.

Proposition 若 \(a_n\to A\), \(b_n\to B\) 且 \(A>B\), 则从某项起 \(a_n>b_n\). 反之, 若从某项起 \(a_n\ge b_n\), 则只能推出 \(A\ge B\).

Theorem Cesàro 均值定理: 若 \(a_n\to A\), 则

\[\frac1n\sum_{k=1}^n a_k\longrightarrow A.\]

Proof 给定 \(\epsilon>0\), 取 \(N\) 使 \(k\ge N\) 时 \(|a_k-A|\lt\epsilon/2\). 将有限首段与尾段分开,

\[\left|\frac1n\sum_{k=1}^n a_k-A\right| \le\frac1n\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-A|+\frac\epsilon2\lt\epsilon\]

当 \(n\) 足够大时成立.

Definition Euler 常数记为

\[\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right).\]

该序列单调递减且有下界, 所以极限存在. 因而调和和满足 \(\sum_{k=1}^n k^{-1}=\ln n+\gamma+o(1)\).

Example 对固定 \(a>0\), \(k>0\), \(0\lt|q|\lt1\),

\[\frac{a^n}{n!}\to0,\qquad n^kq^n\to0,\qquad a^{1/n}\to1.\]

若 \(|q|>1\), 则 \(|q^n|\to+\infty\); 只有 \(q>1\) 才有 \(q^n\to+\infty\). 常用 Stirling 渐近公式为

\[n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n.\]

1.4 Limits of Functions

Definition 设 \(a\) 是函数 \(f\) 定义域 \(D\) 的聚点, 即任意去心邻域内都有 \(D\) 中的点. 若

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\in D,\ 0\lt|x-a|\lt\delta \Longrightarrow |f(x)-A|\lt\epsilon,\]

则称 \(\lim_{x\to a} f(x) = A\).

Definition 还可以定义:

单侧极限 \(\lim_{x\to a\pm 0} f(x)\).
无穷远处极限 \(\lim_{x\to \pm\infty} f(x)\).
无穷大极限 \(\lim_{x\to a} f(x) = \infty\).

Theorem 函数极限的序列判别:

\[\lim_{x\to a} f(x) = A\]

当且仅当对任意满足 \(x_n\in D\), \(x_n \to a\) 且 \(x_n \neq a\) 的点列, 都有 \(f(x_n) \to A\).

Remark 这个判别既是证明极限存在的重要工具, 也是证明极限不存在最直接的方法.

Example 两个重要极限:

\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e.\]

Definition 在同一极限过程中:

\(f=o(g)\) 表示 \(f/g\to0\);
\(f=O(g)\) 表示邻域内存在常数 \(C\) 使 \(|f|\le C|g|\).
若 \(f/g\to c\neq0\), 则两者同阶;
若 \(c=1\), 则 \(f\sim g\).

使用比值时须在去心邻域内有 \(g\neq0\). \(O(g)\) 本身不要求比值存在非零极限.

Theorem 若 \(f(x)\to A\), 且 \(g\) 在 \(A\) 连续, 则 \(g(f(x))\to g(A)\). 若仅知道 \(\lim_{y\to A}g(y)=B\), 则还须保证 \(f(x)\neq A\) 最终成立, 或补充 \(g(A)=B\), 才能推出相应复合极限.

1.5 Continuity

Definition 设 \(a\in D\). 若对任意 \(\epsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 使 \(x\in D\) 且 \(|x-a|\lt\delta\) 时都有 \(|f(x)-f(a)|\lt\epsilon\), 则称 \(f\) 在 \(a\) 处连续. 当 \(a\) 是 \(D\) 的聚点时, 这等价于 \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\); 孤立点处自动连续.

Definition 间断点分为:

可去间断点.
跳跃间断点.
第二类间断点.

Proposition 连续函数在一点附近具有局部有界性. 若该点函数值非零, 则还具有保号性: 附近函数值与该点同号.

Theorem 若 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续, 则:

\(f\) 在 \([a,b]\) 上有界.
\(f\) 在 \([a,b]\) 上取得最大值和最小值.
\(f\) 具有介值性.

Corollary 若 \(f(a)f(b) \lt 0\), 则存在 \(\xi \in (a,b)\) 使 \(f(\xi) = 0\).

Proposition 连续性对有限次和、差、积以及分母非零的商封闭. 连续函数的复合仍连续; 区间上连续且严格单调的函数, 其反函数在值域上连续且严格单调.

Definition 若存在 \(L\ge0\), 对所有 \(x,y\in D\) 都有

\[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|,\]

称 \(f\) 满足 Lipschitz 条件. 若对某个 \(0\lt\alpha\lt1\) 有

\[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|^\alpha,\]

则称满足 \(\alpha\) 阶 Hölder 条件. 两者都推出一致连续; 普通连续性不保证存在这样的全局常数.

Proof 闭区间上最值定理可由完备性证明. 若 \(f\) 无界, 可取 \(x_n\in[a,b]\) 使 \(|f(x_n)|>n\); 收敛子列与连续性立即给出矛盾, 故 \(f\) 有界. 令 \(M=\sup f([a,b])\), 取 \(x_n\) 使 \(f(x_n)\to M\). 由有界数列的收敛子列定理, 有子列 \(x_{n_k}\to x_*\in[a,b]\), 连续性给出 \(f(x_*)=M\). 最小值同理.

介值定理可取 \(f(a)\lt\eta\lt f(b)\) 并令 \(c=\inf\{x\in[a,b]:f(x)>\eta\}\). 连续性排除 \(f(c)>\eta\) 和 \(f(c)\lt\eta\), 所以 \(f(c)=\eta\).

2 Foundations of Calculus

2.1 Derivatives

Definition 导数定义为

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\]

若该极限存在.

Remark 左导数和右导数都存在且相等时, 函数才在该点可导.

Theorem 可导必连续, 反之不成立.

Theorem 若 \(f,g\) 在 \(x_0\) 可导, 则

\[(f\pm g)' = f' \pm g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g(x_0)\neq0).\]

Theorem 链式法则: 若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导, \(g\) 在 \(f(x_0)\) 可导, 则

\[(g\circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0).\]

Theorem 反函数求导:

若 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续且严格单调, \(x_0\) 是 \(I\) 的内点, 且 \(f'(x_0)\neq 0\), 则

\[(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}, \qquad y_0 = f(x_0).\]

Example 常用导数:

\[(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}.\]

Example 其余常用导数为

\[\begin{aligned} (\tan x)'&=\frac1{\cos^2x},& (\cot x)'&=-\frac1{\sin^2x},\\ (\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}},&(\arccos x)'&=-\frac1{\sqrt{1-x^2}},\\ (\arctan x)'&=\frac1{1+x^2},&(a^x)'&=a^x\ln a,\\ (\log_a x)'&=\frac1{x\ln a}. \end{aligned}\]

各式须位于相应函数的可导区间; 指数底数 \(a>0\), 对数另要求 \(a\neq1\), \(x>0\). 取值在 \((0,\pi)\) 的 \(\operatorname{arccot}x\) 的导数为 \(-1/(1+x^2)\).

Proposition 对正整数 \(n\),

\[\begin{aligned} (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+n\pi/2),\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+n\pi/2),\\ (x^{-1})^{(n)}&=(-1)^n n!x^{-n-1},\\ (\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}. \end{aligned}\]

Example 求 \(y=\arctan x\) 在原点的高阶导数.

Solution 由 \((1+x^2)y'=1\) 求导 \(n\) 次得, 对 \(n\ge1\),

\[(1+x^2)y^{(n+1)}+2nxy^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0.\]

结合 \(y'(0)=1\), \(y''(0)=0\), 可递推得到

\[y^{(n)}(0)=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\(-1)^{(n-1)/2}(n-1)!,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}\]

2.2 Differentials

Definition 若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导, 则增量可以写成

\[\Delta f = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x).\]

其中线性主部

\[\mathrm{d}f = f'(x_0)\,\mathrm{d}x\]

称为微分.

Remark 微分不是增量本身, 而是增量的一阶线性近似.

Theorem 积分中值定理: 若 \(f\in C[a,b]\), \(a\lt b\), 则存在 \(\xi\in[a,b]\), 使

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).\]

Proof 由 \(m\le f(x)\le M\) 积分得平均值位于 \([m,M]\), 再由介值定理得结论.

3 Computation and Applications of Integrals

3.1 Rational Functions

Definition 有理函数是两个多项式之比.

Remark 处理有理函数不定积分的基本路线是:

先做多项式除法, 化成多项式加真分式.
再将真分式拆成部分分式.
对每类标准项逐一积分.

Example 常见标准项:

\[\frac{A}{(x-a)^m}, \qquad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} \quad (p^2-4q\lt0).\]

Theorem 若实系数多项式分母分解为不同一次因子 \((x-a_i)^{m_i}\) 和不同不可约二次因子 \(q_j(x)^{n_j}\), 则真分式唯一分解为

\[\frac{P(x)}{Q(x)} =\sum_i\sum_{k=1}^{m_i}\frac{A_{ik}}{(x-a_i)^k} +\sum_j\sum_{k=1}^{n_j}\frac{B_{jk}x+C_{jk}}{q_j(x)^k}.\]

每个重因子从一次幂到最高次幂都要保留. 通分后比较多项式系数即可求未知系数.

Proposition 对 \(q(x)=x^2+px+q_0\), \(p^2-4q_0\lt0\), 令 \(z=x+p/2\), \(a^2=q_0-p^2/4>0\), 则

\[\int\frac{Ax+B}{q(x)^n}\,\mathrm{d}x =\frac A2\int\frac{\mathrm{d}(z^2+a^2)}{(z^2+a^2)^n} +\left(B-\frac{Ap}2\right)I_n, \qquad I_n=\int\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+a^2)^n}.\]

第一项直接积分; 第二项由分部积分得到

\[I_1=\frac1a\arctan\frac za,\qquad I_n=\frac{z}{2a^2(n-1)(z^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1},\quad n\ge2.\]

各不定积分相差的常数统一并入最终积分常数.

3.2 Rational Expressions of Trigonometric Functions

Algorithm 对三角函数有理式 \(R(\sin x,\cos x)\), 常用三种策略:

万能代换 \(t=\tan \dfrac{x}{2}\).
若关于 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 具有奇偶结构, 令 \(t=\cos x\) 或 \(t=\sin x\).
若表达式适合以 \(\tan x\) 表示, 令 \(t=\tan x\).

Example 万能代换给出

\[\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \mathrm{d}x = \frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t.\]

Remark 特殊代换有明确的代数判据. 若 \(R(-u,v)=-R(u,v)\), 则可提取 \(\sin x\), 令 \(t=\cos x\). 若 \(R(u,-v)=-R(u,v)\), 则可提取 \(\cos x\), 令 \(t=\sin x\). 若 \(R(-u,-v)=R(u,v)\), 则令 \(t=\tan x\), 利用 \(\cos^2x=1/(1+t^2)\) 化为有理式. 应在代换可逆且无奇点的区间内计算.

3.3 Irrational Integrals and Symmetry Tricks

Remark 对含根式积分, 常通过代换把根式有理化. 常见思路包括:

令根式内部整体等于新变量的幂.
对二项式微分式 \(x^m(a+bx^n)^p\) 使用恰当幂代换.

Remark 对定积分, 对称性往往比硬算更高效. 常用技巧包括:

奇偶性.
区间关于中点的对称.
配对变换 \(x \mapsto a-x\).

Example 设 \(a>0\), \(f\) 在 \([0,a]\) 可积, 且分母 \(f(x)+f(a-x)\) 不为零、下式被积函数可积, 则

\[\int_0^a \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\,\mathrm{d}x = \frac{a}{2}.\]

Proof 将积分中的 \(x\) 换为 \(a-x\), 与原式相加后被积函数恒为 \(1\), 因而积分的两倍为 \(a\). 单独要求 \(f\) 可积不足以排除分母为零.

Proposition 对根式有理函数积分

\[\int R\left(x,\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\,\mathrm{d}x,\]

取 \(t^m=(ax+b)/(cx+d)\), 当 \(ad-bc\neq0\) 时有

\[x=\frac{dt^m-b}{a-ct^m},\qquad \mathrm{d}x=\frac{m(ad-bc)t^{m-1}}{(a-ct^m)^2}\,\mathrm{d}t.\]

所得被积函数是 \(t\) 的有理式; 应选择根式有定义且代换单值的区间. 当 \(ad-bc=0\) 时根式在定义域上为常数, 单独处理.

Proposition 对二项微分式 \(\int x^m(a+bx^n)^p\,\mathrm{d}x\), 设 \(m,n,p\in\mathbb Q\), \(n\neq0\). 令 \(t=x^n\), \(q=(m+1)/n-1\), 得

\[\frac1n\int t^q(a+bt)^p\,\mathrm{d}t.\]

在实幂分支固定的区间内, 以下三种情形可有理化:

\(p\in\mathbb Z\): 取 \(t=z^s\), 其中 \(s\) 是 \(q\) 的分母.
\(q\in\mathbb Z\): 若 \(p=\mu/\lambda\), 取 \(a+bt=z^\lambda\).
\(p+q\in\mathbb Z\): 若 \(p=\mu/\lambda\), 取 \((a+bt)/t=z^\lambda\).

对 \(ab\neq0\) 的非退化二项微分式, 初等可积的判据正是上述三种情形至少有一种成立. 退化情形直接化为幂函数积分.

4 Mean Value Theorems

4.1 Differential Mean Value Theorems

Theorem Fermat 定理:

若 \(x_0\) 是函数 \(f\) 定义域的内点, \(f\) 在 \(x_0\) 可导并取得局部极值, 则 \(f'(x_0)=0\).

Theorem Rolle 定理:

若 \(f \in C[a,b]\), 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(f(a)=f(b)\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\).

Theorem Lagrange 中值定理:

若 \(f \in C[a,b]\) 且在 \((a,b)\) 可导, 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使

\[f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Theorem Cauchy 中值定理:

若 \(f,g \in C[a,b]\), 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(g'(x)\neq 0\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]

Theorem Darboux 定理:

导函数虽然不必连续, 但一定具有介值性.

Corollary 在区间上, 若 \(f'\equiv0\), 则 \(f\) 为常数; 若 \(f'=g'\), 则 \(f-g\) 为常数.

Proof Rolle 定理由闭区间最值定理及内点极值的 Fermat 必要条件得到. 对 \(f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)\) 应用 Rolle 定理即得 Lagrange 定理. 对 \((g(b)-g(a))(f(x)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))\) 应用同一定理即得 Cauchy 定理.

Darboux 定理只需考察 \(h(x)=f(x)-\eta x\). 若 \(h'(a)\lt0\lt h'(b)\), 两端都不是 \(h\) 的最小值点, 故最小值在内点取得并满足 \(h'=0\); 导数顺序相反时改用最大值.

4.2 L’Hospital’s Rule

Theorem 在趋向 \(a\) 的某个单侧去心区间内, 设 \(f,g\) 可导且 \(g'\neq0\). 若 \(f,g\to0\), 或 \(|g|\to\infty\), 并且导数商有广义极限 \(L\in\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}\), 则

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

无穷远处极限有相应版本; 双侧结论要求两侧同值. 若导数商极限不存在, 不能据此判断原商发散.

Remark L’Hospital 法则不是万能化简器. 先判断是否真的满足定理假设, 再决定是否使用.

4.3 Taylor’s Formula

Theorem 若 \(f\) 在 \(x_0\) 的邻域内具有足够多阶导数, 则

\[f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x).\]

常见余项形式:

Peano 余项: \(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\).
Lagrange 余项: 若 \(f\) 在连接 \(x_0\) 与 \(x\) 的闭区间上有 \(n\) 阶连续导数, 且在其内部有 \(n+1\) 阶导数, 则当 \(x\neq x_0\) 时存在两点之间的 \(\xi\), 使 \[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.\]

Example 常见等价无穷小:

\[\sin x \sim x, \qquad 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad \mathrm{e}^x-1\sim x.\]

Remark 等价无穷小只适合放在乘除结构里替换, 不能在加减结构中直接乱换.

Proposition 若在连接 \(x_0\) 与 \(x\) 的区间上 \(f\in C^{n+1}\), 则 Cauchy 余项为

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(x-\eta)^n(x-x_0),\]

其中 \(\eta\) 位于两点之间. Peano 余项只需 \(f\) 在 \(x_0\) 具有 \(n\) 阶导数; 不可把较弱条件直接用于含 \(n+1\) 阶导数的余项.

Example 当 \(x\to0\) 时, 常用 Maclaurin 展开为

\[\begin{aligned} \mathrm e^x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n),\\ \sin x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2}),\\ \cos x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}),\\ \ln(1+x)&=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+o(x^n),\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{k=0}^{n}\binom\alpha kx^k+o(x^n). \end{aligned}\]

其中 \(\binom\alpha0=1\), \(\binom\alpha k=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)/k!\). 展开可先对已知展开作有限次代数运算; 对余项求导须另有光滑性和误差控制.

4.4 Monotonicity, Convexity, and Extrema

Theorem 若 \(f'(x)\ge 0\) 在区间上恒成立, 则 \(f\) 单调不减; 若 \(f'(x)>0\), 则严格递增. 单调递减情形类似.

Theorem 若 \(f''(x)\ge 0\), 则函数是凸的; 若 \(f''(x)\le 0\), 则函数是凹的.

Remark 求极值常用流程:

求驻点和不可导点.
用一阶导符号表或二阶导判别.
若题目要求最值, 还要检查边界点.

Definition 区间上的凸函数满足

\[f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y),\qquad0\le t\le1.\]

若 \(f\) 可导, 等价于图像不低于任一点的切线: \(f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\). 凹函数取反向不等式.

Proposition 若内点 \(x_0\) 为二阶可导函数的极小值点, 则 \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)\ge0\). 若 \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\), 则为严格极小值点. 极大值相应反号; \(f''(x_0)=0\) 不能判定.

Definition 若至少一个单侧极限满足 \(|f(x)|\to\infty\) \((x\to c)\), 则 \(x=c\) 是垂直渐近线. 若在某一无穷远方向上

\[a=\lim\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim(f(x)-ax)\]

均有限, 则 \(y=ax+b\) 是该方向的渐近线; \(a=0\) 时为水平渐近线. 绘图应综合定义域、间断点、零点、单调区间、极值、凹凸性、拐点及渐近线.

4.5 Curvature of Curves

对平面曲线 \(y=y(x)\), 曲率可写为

\[\kappa = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}.\]

若使用弧长参数 \(s\), 则曲率是单位切向量 \(\mathbf T=\mathrm{d}\mathbf r/\mathrm{d}s\) 对弧长的变化率

\[\kappa = \left|\frac{\mathrm{d} \mathbf T}{\mathrm{d}s}\right|.\]

Remark 曲率刻画了曲线弯曲的强弱, 曲率半径为 \(\rho = 1/\kappa\).

Proposition 对正则平面参数曲线 \((x(t),y(t))\), 曲率为

\[\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.\]

对二阶连续可微的极坐标曲线 \(r=r(\theta)\), 在 \(r^2+(r')^2>0\) 的正则点有

\[\kappa=\frac{|r^2+2(r')^2-rr''|}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}.\]

第二式的撇表示对 \(\theta\) 求导. 曲率为零时没有有限曲率半径.

5 Vector Algebra and Analytic Geometry in Space

5.1 Planes and Lines in Space

Definition 向量的数量积和向量积分别定义为

\[\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta, \qquad |\mathbf a \times \mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta.\]

当两向量非零时, \(\theta\) 为它们的夹角. 向量积垂直于两向量, 方向由右手定则确定; 平行时向量积为零. 任一向量为零时, 数量积和向量积均为零.

Theorem 过点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 且非零法向量为 \((A,B,C)\) 的平面方程为

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Definition 空间直线可写成

\[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n},\]

其中 \((l,m,n)\) 是非零方向向量. 对称式只适用于相应分母非零的分量; 通用形式为 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t(l,m,n)\), 方向分量为零时对应坐标保持不变.

Remark 平面与平面的夹角由法向量决定, 直线与直线的夹角由方向向量决定.

Proposition 三个不共线点 \(P_i=(x_i,y_i,z_i)\) 确定的平面满足

\[\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{vmatrix}=0.\]

点 \(P_0\) 到平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 的距离为

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]

两个平行平面写成同一法向量系数时, 距离为 \(|D_1-D_2|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\). 点 \(P\) 到直线 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v\) 的距离为 \(|(\mathbf r_P-\mathbf r_0)\times\mathbf v|/|\mathbf v|\).

Theorem 若两个平面 \(F_1=0\), \(F_2=0\) 相交成直线, 则所有经过该直线的平面组成平面束

\[\lambda F_1+\mu F_2=0,\qquad(\lambda,\mu)\neq(0,0).\]

5.2 Space Curves and Surfaces

空间曲线常用参数方程表示:

\[\mathbf r(t) = (x(t),y(t),z(t)).\]

曲面常见表示方式有:

显式方程 \(z=f(x,y)\).
隐式方程 \(F(x,y,z)=0\).
参数方程 \(\mathbf r(u,v)\).

Remark 参数表示在求切向量, 法向量和面积元时尤其方便.

Example 取 \(a,b,c>0\), 常见二次曲面为

椭圆锥面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0\).
椭球面: \(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\).
单叶双曲面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1\).
双叶双曲面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1\).
椭圆抛物面: \(z=x^2/a^2+y^2/b^2\).
双曲抛物面: \(z=x^2/a^2-y^2/b^2\).

通过坐标平面截线与对称性可辨认形状和主轴方向.

5.3 Tangent Lines and Arc Length

若空间曲线写成 \(\mathbf r(t)\), 且 \(\mathbf r'(t_0)\neq 0\), 则过 \(\mathbf r(t_0)\) 的切线方向由 \(\mathbf r'(t_0)\) 给出.

若曲线在积分区间上分段连续可微, 则弧长公式为:

\[s = \int_{\alpha}^{\beta} |\mathbf r'(t)|\,\mathrm{d}t.\]

若平面曲线写成 \(y=y(x)\), 则

\[s = \int_a^b \sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x.\]

6 Differential Calculus of Multivariable Functions

6.1 Multivariable Functions and Limits

Definition 二元函数是形如 \(f:D\subseteq\mathbb R^2\to\mathbb R\) 的映射. 多元函数情形完全类似.

Definition 设 \((x_0,y_0)\) 是定义域 \(D\) 的聚点. 若

\[\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall(x,y)\in D,\ 0\lt\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt\delta \Longrightarrow |f(x,y)-A|\lt\epsilon,\]

则称

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=A.\]

Remark 多元极限存在时, 沿任意路径趋近都必须得到同一极限. 因此"找两条路径"是判断极限不存在的常用方法.

Definition 开集的每一点都有完全包含于该集合的邻域; 闭集包含其全部极限点. 区域是非空连通开集, 边界记为 \(\partial D\). 在一般定义域上, 极限只考察属于定义域的趋近点.

Remark 极坐标 \(x-x_0=r\cos\theta\), \(y-y_0=r\sin\theta\) 有助于估计二元极限, 但要获得与 \(\theta\) 无关的误差界. 仅对每个固定角度取极限不足以证明全面极限存在.

Definition 累次极限为

\[\lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0}f(x,y)\right),\qquad \lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0}f(x,y)\right).\]

两者可能不同, 即使都存在且相同也不保证全面极限存在. 若全面极限存在, 且相应内层极限在去心邻域内存在, 则对应累次极限等于全面极限.

6.2 Continuity and Partial Derivatives

Definition 连续性按定义域内的 \(\epsilon\)-\(\delta\) 条件定义, 与一元情形相同, 将距离换为 Euclidean 距离. 在定义域的聚点 \((x_0,y_0)\) 处, 若

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0),\]

则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续.

Definition 偏导数定义为

\[f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},\]\[f_y(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y\to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.\]

Remark 连续, 可微, 存在偏导三者之间的关系不是等价的:

可微 \(\Rightarrow\) 连续.
可微 \(\Rightarrow\) 偏导存在.
偏导存在不一定连续, 也不一定可微.

Theorem 在非空紧集上连续的实值函数有界并取得最大值和最小值; 在连通集上连续的实值函数具有介值性. 讨论边界连续性时, 趋近点限制在函数的定义域内.

Theorem 若混合偏导数 \(f_{xy},f_{yx}\) 在该点附近连续, 则 \(f_{xy}=f_{yx}\).

6.3 Total Differential and Chain Rule

Definition 若

\[\Delta f = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho), \qquad \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\]

则称 \(f\) 在该点可微, 且

\[\mathrm{d}f = A\,\mathrm{d}x + B\,\mathrm{d}y.\]

Theorem 若 \(f_x\) 和 \(f_y\) 在该点附近连续, 则 \(f\) 在该点可微, 且

\[\mathrm{d}f = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y.\]

Theorem 链式法则:

若 \(u=u(x,y)\), \(v=v(x,y)\) 在考察点可微, 且 \(f(u,v)\) 在对应点可微, 令 \(z=f(u,v)\), 则

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\]\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.\]

Proposition 一阶微分具有形式不变性. 对可微复合函数 \(z=f(u(x,y),v(x,y))\), 仍有 \(\mathrm{d}z=f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v\). 若 \(x,y\) 为独立变量, \(f\in C^n\), 则

\[\mathrm{d}^nf=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{\partial^nf}{\partial x^{n-k}\partial y^k}(\mathrm{d}x)^{n-k}(\mathrm{d}y)^k.\]

该高阶形式按固定增量计算; 对非线性换元不能忽略新变量的高阶微分.

6.4 Directional Derivatives and Gradient

Definition 沿单位向量 \(\mathbf n=(\cos\alpha,\cos\beta)\) 的方向导数定义为

\[D_{\mathbf n}f(\mathbf x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf x_0+h\mathbf n)-f(\mathbf x_0)}h.\]

若 \(f\) 在该点可微, 则有 \(D_{\mathbf n}f=\nabla f\cdot\mathbf n\). 仅有偏导存在不能保证此公式成立.

其中

\[\nabla f = (f_x,f_y)\]

称为梯度.

Remark 在可微点, 非零梯度方向是函数增长最快的方向, 最大方向导数等于 \(|\nabla f|\). 梯度为零时, 所有方向导数均为零, 没有唯一的增长最快方向.

6.5 Taylor Formula and Extremum Problems

若 \(f\) 足够光滑, 则在点 \((x_0,y_0)\) 附近有二阶 Taylor 展开

\[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) = f(x_0,y_0) + f_x \Delta x + f_y \Delta y + \frac{1}{2}\left(f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2\right) + o(\rho^2).\]

Theorem 对无约束极值问题, 若 \(f\) 在内点取得极值且可微, 则

\[f_x = 0,\qquad f_y = 0.\]

二阶判别常用

\[D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2.\]

若 \(D>0\) 且 \(f_{xx}>0\), 则为极小值.
若 \(D>0\) 且 \(f_{xx}\lt0\), 则为极大值.
若 \(D\lt0\), 则为鞍点.

Remark 二阶判别要求在驻点附近有连续二阶偏导数; \(D=0\) 时不能判定. 最值还须检查边界和不可微点.

Theorem 设连接 \(\mathbf x_0\) 与 \(\mathbf x_0+\mathbf h\) 的线段位于 \(f\in C^{n+1}\) 的区域内. 记固定方向微分算符 \(D_{\mathbf h}=h_1\partial_x+h_2\partial_y\), 则存在 \(0\lt\theta\lt1\), 使

\[f(\mathbf x_0+\mathbf h) =\sum_{k=0}^n\frac{D_{\mathbf h}^kf(\mathbf x_0)}{k!} +\frac{D_{\mathbf h}^{n+1}f(\mathbf x_0+\theta\mathbf h)}{(n+1)!}.\]

Proof 对一元函数 \(F(t)=f(\mathbf x_0+t\mathbf h)\) 在 \(t=0\) 展开到 \(t=1\) 即得. \(n=0\) 给出多元微分中值定理.

6.6 Implicit Function Theorem and Lagrange Multipliers

Theorem 一元隐函数存在定理:

若 \(F(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 附近连续可微, 且

\[F(x_0,y_0)=0, \qquad F_y(x_0,y_0)\neq 0,\]

则在该点附近可将方程 \(F(x,y)=0\) 唯一解为 \(y=y(x)\).

Theorem 条件极值问题

\[f(x,y,z)\quad \text{subject to}\quad g(x,y,z)=0\]

若 \(f,g\) 在候选点附近连续可微, \(f\) 在约束上于该点取得局部极值且 \(\nabla g\neq0\), 则存在 Lagrange 乘子 \(\lambda\), 使

\[\nabla f = \lambda \nabla g.\]

Remark 几何上, 当 \(\nabla f\) 也非零时, 这表示目标函数等值面与约束面在极值点处相切. 目标梯度为零时, 目标等值集可能不是正则曲面.

Proposition 一元隐函数的导数由恒等式 \(F(x,y(x))=0\) 求导得到

\[y'=-\frac{F_x}{F_y}.\]

若 \(F\in C^1\), \(F(x_0,y_0,z_0)=0\), \(F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0\), 则局部唯一确定 \(z=f(x,y)\), 且

\[f_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad f_y=-\frac{F_y}{F_z}.\]

各偏导在相应隐函数图像上取值.

Theorem 设 \(F(x,u,v),G(x,u,v)\) 连续可微, 在 \((x_0,u_0,v_0)\) 同时为零, 且

\[J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}\neq0.\]

则局部唯一确定连续可微函数 \(u(x),v(x)\). 对方程组求导后,

\[\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix},\]

由 \(J\neq0\) 可唯一求出导数.

Theorem 若映射 \((u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v))\) 连续可微, 且在一点的 Jacobian 行列式非零, 则该点附近存在唯一连续可微的逆映射. 对应点处有

\[\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^{-1},\]

这里两边表示 Jacobian 行列式, 右边是数值倒数; 对 Jacobian 矩阵则为矩阵求逆.

Remark Lagrange 乘子条件要求约束梯度在候选点非零. 多个独立约束 \(g_1=\cdots=g_m=0\) 时, 要求它们的梯度线性无关, 并解

\[\nabla f=\sum_{i=1}^m\lambda_i\nabla g_i,\qquad g_i=0.\]

这是必要条件, 不是充分条件. 约束奇异点必须另查, 且受约束极值不意味着增广函数对所有变量同时取得无约束极值.

Appendix

A.1 Common Equivalent Infinitesimals

以下均取 \(x\to0\); 最后一式中的 \(a\) 为固定非零实数.

\[\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x, \quad \ln(1+x)\sim x, \quad \mathrm{e}^x - 1 \sim x, \quad (1+x)^a - 1 \sim ax.\]

A.2 Problem-Solving Checklist

极限题: 先判型, 再看夹逼, 等价无穷小, Taylor, L’Hospital.
单调与极值: 先求导, 再做符号分析.
定积分: 优先看换元, 分部积分, 对称性.
多元极限: 优先查路径依赖.
条件极值: 先列约束, 再做 Lagrange 乘子.

Advanced Mathematics - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

7 Multiple Integrals

7.1 Double Integrals

Lemma 设平面有界闭区域 \(D\) 由有限条曲线段围成,其中每一条曲线段都可以由一个连续的一元显式函数所表示,则称 \(D\) 是可求面积的,也称 \(D\) 有面积. Notation 分割细化度指标 \(||\sigma||=\max\limits_{1\le i\le n}\{\operatorname{diam}(\Delta\sigma_{i})\}\),即最大分割区域的直径.

Definition 有界可求面积闭区域 \(D\) 上的二重积分. 将 \(D\) 分成小区域 \(\Delta\sigma_i\), 面积记为 \(|\Delta\sigma_i|\), 样点 \((x_i,y_i)\in\Delta\sigma_i\). 若以下极限存在且与分割和样点选取无关, 则称 \(f\) 在 \(D\) 上可积:

\[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\lim_{\|\sigma\|\to0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)|\Delta\sigma_i|,\qquad \text{也记作 }\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

在有界可求面积闭区域 \(D\) 上可积的函数 \(f(x,y)\) 必在 \(D\) 上有界.
被积函数和积分区域具有单调性和可加性,前者的数学表述: 若 \(D_1\subset D_2, f( x, y) \geqslant 0, ( x, y) \in D_2\),则
\[\iint_{D_{1}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le\iint_{D_{2}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\]
若 \(f(x,y)\leqslant g(x,y),(x,y)\in D\), 则
\[\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le\iint_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma.\]
绝对值估计:
\[\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\le\iint_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\]
累次积分法: 以下设 \(f\) 连续, 且 \(D\) 分别具有公式所用的两种简单区域表示; 一般区域须先分片. 有时原函数性质使其中一种积分次序更方便.
\[\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\]
换元法:若存在区域 \(D'\) 到 \(D\) 的双射 \(\begin{cases}x=x(\xi,\eta)\\y=y(\xi,\eta)\end{cases}\) 满足
1. 函数 \(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta)\) 都有连续的偏导数
2. \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\xi,\eta)}\ne 0,(\xi,\eta)\in D'\).
则有
\[\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D^{\prime}}f(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))|J|\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\]
常用的极坐标换元法 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\) 满足 \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r\), 即 \(\mathrm{d}\sigma=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\), 其中 \(r\ge0\). 原点和角度切缝上的退化可作为零面积边界处理; 其余参数点须避免重复覆盖.
对可分离变量的情况:
\[\iint_{[a_1,a_2]\times[b_1,b_2]}f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_{a_1}^{a_2}f(x)\cdot\left(\int_{b_1}^{b_2}g(y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\left(\int_{a_1}^{a_2}f(x)\mathrm{d}x\right)\left(\int_{b_1}^{b_2}g(y)\mathrm{d}y\right)\]

曲面面积: 以下设图形曲面连续可微, 参数曲面分片正则且无重复覆盖; 各参数片分别积分再求和.
\[\begin{aligned} S &=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\iint_{D^{\prime}}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\iint_{D^{\prime}}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &A=\frac{{\partial}(y,z)}{{\partial}(u,v)},\ B=\frac{{\partial}(z,x)}{{\partial}(u,v)},\ C=\frac{{\partial}(x,y)}{{\partial}(u,v)},\quad (A,B,C)=\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial v}\\ &\left\{\begin{array}{l}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}\right. \end{aligned}\]

7.2 Triple Integrals

Definition 三维有界可求体积区域 \(\Omega\) 上的三重积分, 其中 \(\lambda=\max_i\operatorname{diam}(\Delta\Omega_i)\), \(\Delta V_i\) 为小区域体积. 极限须与分割和样点选取无关:

\[\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\lim_{\lambda\to0}\sum_if(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i\]

累次积分:先一后二/先二后一
三重积分换元法:若存在区域 \(\Omega'\) 到 \(\Omega\) 的双射 \(\left\{\begin{gathered}x=x(u,v,w)\\y=y(u,v,w)\\z=z(u,v,w)\end{gathered}\right.\) 满足
1. 函数 \(x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)\) 都有连续的偏导数
2. \(J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\ne0,(u,v,w)\in \Omega'\).
对连续的 \(f\), 有
\[\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm{d}V=\iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\]
常见换元(除零体积边界外避免重复覆盖):
1. 柱坐标换元:\(J=\frac{{\partial}(x,y,z)}{{\partial}(r,\theta,z)}=r\), 即 \(\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\), \(r\ge0\).
2. 球坐标换元:\(x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi\), \(r\ge0, 0\le\varphi\le\pi\). 此时 \(J=\frac{{\partial}(x,y,z)}{{\partial}(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin\varphi\), 即 \(\mathrm{d}V=r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\).

被积函数只含三个变量其中一个时, 先在内层计算另外两个变量的积分再计算第三个变量往往更方便.

建议记忆的积分:

\[I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x,\quad n\in\mathbb{N}_0\]

\[I_n=\left\{\begin{aligned} \frac{(n-1)!!}{n!!}, &\quad n \text{ 奇},\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, &\quad n \text{ 偶} \end{aligned}\right.=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\]

其中 \(0!!=(-1)!!=1\). Gamma 函数式还适用于实数 \(n>-1\), 但奇偶分支只用于非负整数.

7.3 Curve Integrals

Definition 曲线积分第一型曲线积分(标量函数关于弧长的积分): 设 \(L\) 分段光滑, \(f\) 连续, \(\lambda=\max_i\Delta s_i\), 样点位于对应小弧段.

\[\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta s_i,\]

曲线写作 \(y=y(x)\) 时:
\[\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s =\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2}\mathrm{d}x\]
曲线作参数化 \((x(t),y(t))\), \(t\in[\alpha,\beta]\), 且无重复描绘(分段光滑)时:
\[\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\mathrm{d}t\]

第二型曲线积分(向量场的有向线积分): 取 \(L\) 的方向, \(\boldsymbol{t}\) 为该方向的单位切向量; \(\boldsymbol{F}=(P,Q)\) 连续. 按曲线方向取各弧段的端点增量, 则

\[\begin{aligned} \int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} &=\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}(x_i,y_i)\cdot(\Delta x_i,\Delta y_i)\\ &=\int_L\left(\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\boldsymbol{t}\right)\mathrm{d}s \end{aligned}\]

曲线写作 \(y=y(x)\) 时:
\[\int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_a^b\left[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime}(x)\right]\mathrm{d}x\]
曲线作参数化 \((x(t),y(t))\) 时:
\[\int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta\left[P(x(t),y(t))x^{\prime}(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime}(t)\right]\mathrm{d}t\]

Theorem 设有界闭区域 \(D\) 的边界 \(L=\partial D\) 由有限条逐段光滑简单闭曲线组成, \(P,Q\) 在包含 \(D\) 的开邻域上连续可微. 取正向 \(L^+\): 沿边界行进时区域在左侧(外边界逆时针, 洞的边界顺时针). 则有 Green 公式

\[\oint_{\partial D^+}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} =\iint_D(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol \sigma,\quad \oint_{L^+}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

Green 公式不要求 \(D\) 单连通, 但须计入全部边界分量. 内部或边界上有未消除奇点时不能直接套用上述定理. 其通量形式为

\[\oint_{L^+}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}s=\oint_{L^+}P\,\mathrm{d}y-Q\,\mathrm{d}x=\iint_D\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

其中 \(\boldsymbol{n}\) 是平面边界的外单位法向量.

对某些有奇点的积分, 可先证明路径上的被积表达式与一个光滑场相同, 再对该光滑场应用 Green 公式.

Theorem 第二型曲线积分路径无关的充要条件: 考虑 \(I=\int_{\hat{AB}}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\), \(\hat{AB}\) 待定. 设 \(D\) 是连通开区域, \(P,Q\) 在 \(D\) 上连续可微. 称积分具有路径无关性, 若对任意 \(A,B\in D\) 和连接它们的逐段光滑曲线 \(J_1,J_2\subset D\) 有

\[\int_{J_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int_{J_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\]

当且仅当 \(\forall C\subset D\) 有
\[\oint_{C^+}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0\]
若额外要求 \(D\) 单连通,则当且仅当 \(\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)\),即 \(\nabla\times\boldsymbol{F}=0\) 在 \(D\) 上成立
当且仅当 \(\exists u(x,y),\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\). 这一等价关系不额外要求 \(D\) 单连通. \(u(x,y)\) 称为原函数,可通过不定积分法凑出.

两种求曲线积分的方法: 改变路径法/原函数法

改变路径时, 注意验证路径无关性

构造原函数时, 注意验证原函数是否在区域上处处光滑.

对区域内部的孤立奇点, 可挖去包含奇点的小区域, 在剩余的无奇点区域上应用 Green 公式. 外围道正向与小围道逆向共同构成边界; 再直接计算小围道积分并取极限. 不能在仍含奇点的小围道内部直接套用 Green 公式.

Definition 方向余弦

\[\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|\cdot\left(\cos\left(\boldsymbol{a},x\right),\cos\left(\boldsymbol{a},y\right)\right)\]

7.4 Surface Integrals

Definition 曲面积分第一型曲面积分: 将分片光滑曲面 \(S\) 分成 \(N\) 个小面片 \(S_i\), 面积为 \(\Delta S_i\), 在各片选取样点 \((x_i,y_i,z_i)\). 以下取网格尺度 \(\lambda=\max_i\operatorname{diam}(S_i)\), 令各片直径趋于零. 对连续的 \(f\),

\[\iint_Sf(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{N}f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i\]

显式函数 \(z=g(x,y)\)
\[\iint_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S= \iint_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+\left(g_x^{\prime}\right)^2+\left(g_y^{\prime}\right)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]
参数化
\[\begin{aligned} \iint_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S &=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}\]\[A(u,v)=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\quad B(u,v)=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\quad C(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\]
这些系数均在当前积分点 \((u,v)\) 处计算, \((A,B,C)=\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v\), 其中 \(\boldsymbol{r}=(x,y,z)\). 在正则参数片上该向量非零; 积分按无重复覆盖的参数片计算, 多片覆盖时分片求和.
\[\left\{\begin{array}{l}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}\right.\]

第二型曲面积分: 取可定向曲面 \(S\) 的一致单位法向量 \(\boldsymbol{n}\), 并设向量场 \(\boldsymbol{F}=(P,Q,R)\) 连续. 沿用上述分割和取样点, 可转为第一型曲面积分计算:

\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &=\iint_S\left(P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\\ &=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\boldsymbol{n}(x_i,y_i,z_i)\right)\Delta S_i\\ &=\iint_S(\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}S \end{aligned}\]

显式函数 \(z=g(x,y)\)(注意外微分导致的符号特殊, 以及曲面内/外侧导致的符号选取)
\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &=\pm\iint_S \boldsymbol{F}(x,y,g(x,y))\cdot\frac{(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_D\boldsymbol{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}\]
参数化 (\(A,B,C\) 同前)
\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} =&\pm\iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\mathrm{d}S\\ =&\pm\iint_{D^{\prime}}[P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A(u,v)+Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B(u,v)\\ &+R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C(u,v)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}\]

球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2\), \(R>0\), 的外单位法向量为 \(\boldsymbol{n}=(x,y,z)/R\). 对椭球面 \(\Phi=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0\), \(a,b,c>0\), 梯度 \(\nabla\Phi=2(x/a^2,y/b^2,z/c^2)\) 指向外侧. 外单位法向量为
\[\boldsymbol{n}=\frac{(x/a^2,y/b^2,z/c^2)}{\sqrt{x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4}}\]
取内侧方向时整体变号. 通量公式中的 \(\boldsymbol{n}\) 必须为单位向量.

对于被积函数只有一个分量的第二型曲面积分,例如只有 \(z\) 分量,则
\[\begin{aligned} \iint_SR(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\iint_S(0,0,R(x,y,z))\cdot\boldsymbol{n}(x,y,z)\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_S(0,0,R(x,y,z))\cdot\frac{(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_S\frac{R(x,y,z)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S=\pm\iint_{D_{(x,y)}}R(x,y,g(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}\]
可以看出变成了曲面投影的积分

三维空间的卦限: 1-4 对应 \(z>0\) 的四个象限, 5-8 对应 \(z\lt0\) 的四个象限

Gauss 公式和 Stokes 公式

Gauss 公式/散度定理(与 Green 公式类似)
\[\iint_{S^+}\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iiint_\Omega\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V\]
- 设 \(S=\partial\Omega\) 是分片光滑闭曲面, \(S^+\) 取外侧; \(\boldsymbol{F}\) 在包含 \(\Omega\cup S\) 的开邻域上连续可微.
- 对内部孤立奇点可挖去小区域, 仅对剩余无奇点区域用 Gauss 公式. 洞边界的法向量指向洞内; 计算这些边界的通量后, 在相关极限存在时令洞缩小.
可以推广到 n 维,即 Gauss-Green 公式
Stokes 公式
\[\oint_L \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\iint_{S^+}(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\]
- 设 \(S\) 是可定向的分片光滑曲面, \(L=\partial S\) 为逐段光滑边界, \(\boldsymbol{F}\) 在包含 \(S\cup L\) 的开邻域上连续可微. \(L\) 的方向与 \(S^+\) 的法向量按右手规则配合.

8 Ordinary Differential Equations

8.1 Concepts

在正则性与局部存在唯一性条件下, n 阶方程的局部通解通常用 n 个独立常数表示. 非线性方程还可能有未被某个通解族包含的奇解, 须单独检验.

n 阶方程的通解写为 \(y=y(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)\). 参数取允许的特定值时, 得到一个特解/积分曲线.
n 个待定系数应是独立的,即 \(\frac{\partial(y,y^{\prime},\cdots,y^{(n-1)})}{\partial(C_{1},C_{2},\cdots,C_{n})}\ne 0\).

8.2 First-Order ODEs

8.2.1 Separable Type

\[f(x)\mathrm{d}x+g(y)\mathrm{d}y=0\]

可以直接不定积分得到隐式结果. 从原方程分离变量时, 任何除去的零因子对应的常值解或其他解须代回原方程检验. 常见可化为可分离变量的类型有:

\(y^{\prime}=h(ax+by+c)\). 当 \(b\ne0\) 时令 \(z=ax+by+c\), 得到 \(z^{\prime}=a+bh(z)\), 求出 \(z\) 后恢复 \(y\). 当 \(b=0\) 时直接积分 \(y'=h(ax+c)\).
\(y^{\prime}=h\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)\), 只在分母非零的区域求解. 当系数行列式非零时, 求解 \(\left\{\begin{array}{l}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{array}\right.\), 得到 \((x_0,y_0)\). 换元 \(u=x-x_0,v=y-y_0\), 得到 \(v(u)\) 的齐次方程.
- 系数行列式为零时, 从非零系数对中选取 \((a_j,b_j)\), 设 \(z=a_jx+b_jy\); 两个线性式均化为 \(z\) 的仿射函数, 可按上一类处理. 若两个系数对均为零, 则原方程右端为常数(仍须分母非零).
- 当 \(c_1=c_2=0\) 时, 可重定义右端函数, 将方程写为 \(y'=\tilde h(y/x)\). 在 \(x\ne0\) 的区间令 \(z=y/x\), 得 \(z'=(\tilde h(z)-z)/x\); 分离时须保留 \(\tilde h(z)=z\) 的常值 \(z\) 解.

8.2.2 First-Order Linear ODE Type

非齐次一阶
\[y^{\prime}+P(x)y=Q(x)\]
设 \(P,Q\) 在所考察区间连续, 取其中任意基点 \(x_0\). 左右同乘 \(\exp(\int P(x)\,\mathrm{d}x)\) 从而得到
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y\cdot\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x})=Q(x)\cdot\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\]\[y(x)=\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^xP(s)\,\mathrm{d}s}\left(C+\int_{x_0}^x Q(t)\mathrm{e}^{\int_{x_0}^tP(s)\,\mathrm{d}s}\,\mathrm{d}t\right)\]
Bernoulli 方程
\[y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^\alpha\]
当 \(\alpha\ne0,1\) 时, 在 \(y\ne0\) 且实数幂有定义的区间, 两边同乘 \(y^{-\alpha}\), 换元 \(z=y^{1-\alpha}\), 得
\[z'+(1-\alpha)P(x)z=(1-\alpha)Q(x)\]
\(\alpha=0,1\) 时原方程已是线性方程. 变换中排除的 \(y=0\) 须代回原方程单独检验.
自变量互换型:
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{P(y)x+Q(y)}\quad \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-P(y)x=Q(y)\]

8.2.3 Exact Equations (Total Differential Equations)

\[P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\]

其中左侧是某个原函数 \(u(x,y)\) 的全微分, 且 \(\partial_yP=\partial_xQ\)(即曲线积分路径无关, 对单连通区域上的方程), 得到通解为 \(u(x,y)=C\)

8.2.4 Non-Exact Differential Equations

\[M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0\]

需要寻找积分因子 \(\mu(x,y)\), 化为恰当的 \(M\mu\,\mathrm{d}x+N\mu\,\mathrm{d}y=0\). 以下假设 \(M,N\) 连续可微; 所列比值只在相应分母非零的区域使用.

若 \(F=\frac{\partial_yM-\partial_xN}{N}\) 与 \(y\) 无关(只与 \(x\) 有关), 则 \(\mu=\exp\left(\int F(x)\mathrm{d}x\right)\) 是可行的积分因子. 若 \(G=-\frac{\partial_{y}M-\partial_{x}N}{M}\) 与 \(x\) 无关(只与 \(y\) 有关), 则 \(\mu=\exp\left(\int G(y)\mathrm{d}y\right)\) 是可行的积分因子
观察法.

积分因子往往不止一种.

8.2.5 Reducible Type

\(G(x,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0\). 先求 \(p(x)=y'\) 再积分.
自治方程 \(H(y,y',y'')=0\). 在 \(y'\ne0\) 的局部区间以 \(y\) 为自变量, 令 \(p(y)=y'\),
\[y''=p(y)\cdot p^\prime(y)\]
之后解 \(p(y)\) 的一阶方程, 再解 \(y'=p(y)\). 常值解须另行检验; 含转折点的解可在相邻单调区间求解并核对连接.

8.3 General Theory of ODEs

8.3.1 Initial Value Problems

8.3.1.1 First-Order ODE Initial Value Problem

\[\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=f(x,y)\\y\left(x_{0}\right)=y_{0} \end{array}\right. \qquad(x,y)\in R.\]

\(R=[x_0-a,x_0+a]\times[y_0-b,y_0+b]\), \(a,b>0\).

Theorem 解的局部存在唯一性: 若 \(f(x,y)\) 在 \(R\) 连续, 且对 \(y\) 满足一致 Lipschitz 条件, 即存在 \(L\ge0\), 对所有同一 \(x\) 下的 \((x,y_1),(x,y_2)\in R\), 有

\[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|\]

则初值问题在区间 \([x_0-h,x_0+h]\) 存在唯一解 \(y=y(x)\), 其中

\[h=\min\left(a,\frac{b}{M}\right),\quad M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|\]

当 \(M=0\) 时取 \(h=a\), 唯一解为 \(y(x)=y_0\).

若 \(\partial_y f(x,y)\) 存在且有界, 那么 Lipschitz 条件一定成立.

Definition Picard 序列对于满足解的局部存在唯一性的问题,

\[y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,y(s))\,\mathrm{d}s\]

由于 \(y(s)\) 待定, 可逐次逼近

\[\begin{cases}\phi_0(t)=y_0,\\\phi_{n+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,\phi_n(s))\,\mathrm{d}s\quad(n\geq0)&\end{cases}\]

8.3.1.2 Second-Order Linear ODE Initial Value Problem

\[\begin{cases} y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x),\quad x\in[a,b],\\ y\left(x_0\right)=y_0,\quad y^{\prime}\left(x_0\right)=y_1, \end{cases}\]

\(x_0\in[a,b]\). Theorem 若 \(p(x),q(x),f(x)\) 在 \([a,b]\) 都连续, 那么二阶线性方程初值问题存在唯一解 \(y=y(x)\).

8.3.2 Second-Order Linear Equations

先用线性代数语言总结:

在系数连续且最高阶系数非零的区间内, n 阶齐次线性方程的解集构成 n 维线性空间, 非齐次方程的解集构成 n 维仿射空间

以下设 \(p,q\) 在区间 \([a,b]\) 连续. 对二阶线性齐次微分方程 \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), 可通过 Wronski 行列式判断两解 \(\varphi_1,\varphi_2\) 的线性无关性:

\[W(x)=\left|\left.\begin{array}{ll}\varphi_1(x)&\varphi_2(x)\\\varphi_1^{\prime}(x)&\varphi_2^{\prime}(x)\end{array}\right.\right|\]

线性无关的充要条件是存在 \(x_0\in[a,b]\) 使 \(W(x_0)\ne0\). 对上述同一齐次方程的两解, 这等价于 \(W\) 在区间内处处非零.

Proposition 二阶线性齐次微分方程有两组线性无关的解, 且任意齐通解都包含在 \(C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\) 内. Proof 取两解分别满足
\[\varphi_1(x_0)=1,\quad\varphi_1'(x_0)=0,\qquad \varphi_2(x_0)=0,\quad\varphi_2'(x_0)=1\]
于是 \(W(x_0)=1\), 两解线性无关. 对任意初值 \((y_0,y_1)\), \(y_0\varphi_1+y_1\varphi_2\) 满足该初值; 由唯一性它就是对应解, 故这两解张成整个解空间.

Proposition \(W(x)\) 只要一点非 0 则处处非 0. 可以从证明其逆否命题入手: 只要一点为 0 则处处为 0 Proof \(W(x)=\varphi_1(x)\varphi_2^{\prime}(x)-\varphi_1^{\prime}(x)\varphi_2(x)\), 其一阶导
\[\begin{aligned} W'(x)&=\varphi_1(x)\varphi_2''(x)-\varphi_1''(x)\varphi_2(x)\\ &=\varphi_1(x)(-p(x)\varphi_2'(x)-q(x)\varphi_2(x))-(-p(x)\varphi_1'(x)-q(x)\varphi_1(x))\varphi_2(x)\\ &=-p(x)(\varphi_1(x)\varphi_2'(x)-\varphi_1'(x)\varphi_2(x))=-p(x)W(x) \end{aligned}\]
其中用到了对二阶导的约束(即齐次线性方程), 则
\[W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp(s)\mathrm{d}s\right)\]
若 \(x_0\) 为其零点, 则 \(W(x)\) 恒为 0.

对线性无关的两解, \(W(x)\ne0\) 还说明它们不能有相同的零点, 也不能在同一点同时满足一阶导数为零.

Wronski 行列式法求第二个线性无关解: 选 \(W(x_0)\ne0\), 在 \(\varphi_1(x)\ne0\) 的子区间内,
\[\varphi_2=\varphi_1(x)\int^x\frac{W(z)}{[\varphi_1(z)]^2}\mathrm{d}z\]

对二阶非齐次线性方程, 找到一个特解 \(y^*(x)\) 后, 加上齐通解则可以得到通解 \(y^*(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\).

8.3.2.1 Second-Order Constant-Coefficient Nonhomogeneous Linear Equations

\[y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=f(x)\]

8.3.3 Method of Undetermined Coefficients

先假设特解形式, 再匹配系数.

\(f(x)=P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\quad a_0\neq0\). 设特解形式为
\[Q_{n}(x)=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_{n},\quad b_{0}\neq0\]
- \(q\ne 0\)(即 0 不是特征根), 各次联立即可
- \(q=0\), 特解形式为 \(Q(x)=xQ_n(x)\)
  - \(p\ne 0\)(即 0 是单特征根), 同理联立定出特解.
  - \(p=0\)(即 0 是重特征根), 特解形式为 \(R(x)=x^2Q_n(x)\).
\(f\left(x\right)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\). 若
- \(\alpha\) 不是特征根, 特解为 \(y=Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\);
- \(\alpha\) 是单特征根, 特解为 \(y=xQ_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\);
- \(\alpha\) 为重特征根, 特解为 \(y=x^{2}Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\).
\(f(x)=a\cos\beta x+b\sin\beta x, \quad \beta\ne 0\). 设特解 \(y\left(x\right)=A\cos\beta x+B\sin\beta x\),
\[\begin{cases}(q-\beta^2)A+p\beta B=a\\-p\beta A+(q-\beta^2)B=b\end{cases},\quad \Delta=(q-\beta^{2})^{2}+p^{2}\beta^{2}\]
- \(\Delta\ne 0\), 特解如前
- \(\Delta=0\)(或说 \(\mathrm{i}\beta\) 是特征根), 特解为 \(y\left(x\right)=x\left(A\mathrm{cos}\beta x+B\mathrm{sin}\beta x\right)\).
\(f(x)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}(a\cos\beta x+b\sin\beta x),\quad\beta\ne0\). 在实系数二阶方程中:
- \(\alpha\pm\mathrm{i}\beta\) 不是特征根, 特解为 \(\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]\);
- \(\alpha\pm\mathrm{i}\beta\) 是特征根, 特解为 \(x\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]\).

8.3.4 Variation of Parameters

先求齐次方程通解, 再将常数变为待定函数.

\[y(x)=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\]

直接假设其特解形式为

\[\hat{y}(x)=C_1(x)\varphi_1(x)+C_2(x)\varphi_2(x)\]

同时需要增加限制条件得到唯一的选取方式

\[C_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2(x)=0\]

从而得到确定系数形式的方程组

\[\left\{\begin{aligned} C_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2(x)&=0\\ C_1^{\prime}(x)\varphi_1^{\prime}(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2^{\prime}(x)&=f(x) \end{aligned}\right.\]

可以通过上述方程组解出 \(C_1'(x), C_2'(x)\), 分别不定积分得到结果

8.3.5 General Solution of n-th Order Constant-Coefficient Homogeneous Linear Equations

\[y^{(n)}(x)+p_1y^{(n-1)}(x)+\cdots+p_{n-1}y^{\prime}(x)+p_ny(x)=0\]

可以带入试探解 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) 后得到特征方程

\[\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\lambda+p_n=0\]

通过因式分解(大概)解出特征值 \(\lambda\):

单实根 \(\lambda\) 对应函数 \(\mathrm{e} ^{\lambda x}\).
m 重实根 \(\lambda\) 对应 \(m\) 个函数 \(\mathrm{e}^{\lambda x},x\mathrm{e}^{\lambda x},\cdots,x^{m-1}\mathrm{e}^{\lambda x}\).
单复根对 \(a\pm b\mathrm{i}\), \(b\ne0\), 对应两个实解 \(\mathrm{e}^{ax}\cos(bx),\mathrm{e}^{ax}\sin(bx)\).
m 重复根对 \(a\pm b\mathrm{i}\), \(b\ne0\), 对应 \(2m\) 个实解
\[x^j\mathrm{e}^{ax}\cos(bx),\quad x^j\mathrm{e}^{ax}\sin(bx),\qquad j=0,1,\cdots,m-1\]

共轭根成对原理: 对实系数多项式, 若 \(a+b\mathrm{i}\) 是根, 则 \(a-b\mathrm{i}\) 也是根. 共轭指数解通过线性组合给出上述余弦和正弦解.

8.3.6 First-Order Constant-Coefficient Linear ODE Systems

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a_1x+a_2y+f_1(t)\\ &\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b_1x+b_2y+f_2(t) \end{aligned}\right.\]

当 \(a_2\ne0\) 且 \(f_1\) 可微时, 可由第一个方程解出 \(y=(x'-a_1x-f_1)/a_2\), 代入第二个方程得到关于 \(x\) 的二阶常系数非齐次线性方程, 再恢复 \(y\). 此法不要求 \(b_2\ne0\); 若 \(a_2=0\), 可先解独立的 \(x\) 方程, 再解 \(y\) 的一阶线性方程.

8.3.7 Euler Equations

\[a_{0}x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy^{\prime}+a_{n}y=0\]

进行替换

\[x= \begin{cases} \mathrm{e}^t,\quad x>0,\\ -\mathrm{e}^{t},\quad x\lt0 \end{cases}\]

则可以逐次归纳出

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\]

\[x^k\frac{\mathrm{d}^ky}{\mathrm{d}x^k}=D_t(D_t-1)\cdots(D_t-k+1)y,\qquad D_t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t},\quad t=\ln|x|\]

带入得到方程化为常系数线性微分方程

\[b_0\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}t^n}+b_1\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+b_{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+b_ny=0\]

9 Infinite Series

9.1 Numerical Series

交错级数: Leibniz 判别法一般项级数: Dirichlet-Abel 判别法皆不适用: 结合技术具体特点使用收敛性定义/Cauchy 准则研究

Definition 数项级数: 对给定序列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\), 称其部分和 \(S_n=\sum_{k=1}^na_k\) 构成数项级数 \(\{S_n\}_{n=1}^\infty\).

部分和收敛, 则称级数收敛.
- 必要条件: \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).
- 充要条件(Cauchy 准则):
  \[\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N,\qquad \mathrm{s.t.}\ \forall n>m>N, \left|\sum_{k=m+1}^na_k\right|\lt\varepsilon\]
等比级数 \(\sum_{n=1}^\infty q^n\) 和 \(p\)-级数 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) 对于判断收敛性有重要指导意义.
收敛级数加减、数乘、改变有限项、在保持项次序的前提下将连续有限项分组, 仍收敛. 加括号与重排不同: 绝对收敛级数可任意重排而保持和, 条件收敛级数重排可改变和或使其发散. 发散级数加括号后可能收敛, 但这不证明原级数收敛.
收敛的数项级数 \(S=\left\{\{a_n\}_{n=1}^\infty:\sum_{n=1}^\infty a_n\text{收敛}\right\}\) 构成一个线性空间, 可以将 \(\{a_n\}\) 视作无穷维向量.

正项级数的收敛判据

直接比较法: 存在某个 \(N\) 使得大于此 \(N\) 的项求和小于某个已知收敛级数(等比/p-级数)
量级比较法: 设 \(\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c\), 若
- \(c\) 是正实数, 则两个数项级数收敛性相同
- \(c=0\), \(\sum a_n\) 收敛则 \(\sum b_n\) 收敛, \(\sum b_n\) 发散则 \(\sum a_n\) 发散
- \(c=+\infty\), \(\sum b_n\) 收敛则 \(\sum a_n\) 收敛, \(\sum a_n\) 发散则 \(\sum b_n\) 发散
D’Alembert 判据: 设 \(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\) 存在(不存在时判别法实效), 则 \(l\lt1\), 级数收敛; \(l>1\), 级数发散; \(l=1\), 判别法失效, 再尝试使用 Raabe 判据.
Raabe 判据(D’Alembert 判据的补充): 设 \(\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=l\) 存在(\(l=1\) 或不存在时判别法失效), 则 \(l>1\), 级数收敛; \(l\lt1\), 级数发散(即看相对下降速率够不够快)
Cauchy 判据: 设 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=l\) 存在, 若 \(l>1\), 级数发散; \(l\lt1\), 级数收敛.; \(l=1\) 时判别法失效.
积分判别法: \(\sum a_n\) 与 \(\int_1^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\) 收敛性一致, 当 \(f\) 在每个有限子区间可积, 非负且 \(f(n)=a_n\), 并在充分大的 \(x\) 上单调递减.

一般项级数的收敛

绝对收敛: 级数绝对收敛 \(\Rightarrow\) 级数收敛; 绝对收敛重排之后仍然绝对收敛.
条件收敛: 不满足绝对收敛, 但是级数收敛

Leibniz 判据(判断交错级数 \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^nu_n\) 的充分条件): 若 \(u_n\) 单调下降且 \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\), 那么交错级数收敛.

Dirichlet-Abel 判据(用于乘积形式的一般项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_nb_n\)):

Abel 判据: 若 \(a_n\) 单调有界, 且 \(\sum b_n\) 收敛, 则 \(\sum a_nb_n\) 收敛. (对 \(b_n\) 要求更高)

Abel 变换: \(\sum_{k=1}^na_kb_k=\sum_{k=1}^na_k\left(B_k-B_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_k-a_{k+1}\right)B_k+a_nB_n,\quad B_k=\sum_{l=1}^k b_l\).
Dirichlet 判据: 若 \(a_n\to 0\) 且 \(a_n\) 单调, 且 \(\sum b_n\) 部分和有界, 则 \(\sum a_nb_n\) 收敛(对 \(a_n\) 要求更高)

特别记忆:\(\sum\sin n ,\sum\cos n\) 部分和有界, 可以通过积化和差拆分, 或取 \(\sum \mathrm{e}^{\mathrm{i}n}\) 的虚/实部.
\[|\sin n|\ge\sin^2n=\frac{1-\cos2n}{2}\]

(1)建议记忆的结论(渐进级数):
\[H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n\sim\ln n,\qquad H_n-\ln n\to\gamma\]
以下夹逼先得到 \(H_n\sim\ln n\); 再由 \(H_n-\ln n\) 单调递减且有下界, 可知常数 \(\gamma\) 存在:
\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\leq H_n\leq1+\int_1^n\frac{1}{x}\mathrm{d}x\]
(2)通过合适放缩得到渐进性质对于判断敛散性十分有用, 例:
\[\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty(-1)^k b_k,\quad b_k=\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1}\frac{1}{n^p},\quad p>0,\qquad \frac{2k+1}{((k+1)^2-1)^p}\le b_k\le\frac{2k+1}{k^{2p}}\\ \Longrightarrow b_k\sim\frac{2}{k^{2p-1}} \end{gathered}\]

9.2 Function Series

可把函数形式地视为无穷维向量, 写为 \(f(x)=\langle x|f\rangle\). 函数序列 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) 收敛要求对每个 \(t\in[a,b]\), \(\lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t)\) 存在, 即逐点收敛. \(f\) 称为极限函数; 逐点收敛缺乏对整个区间收敛速率的统一控制.

连续函数的极限不一定连续.
函数序列的收敛性和函数的定义域有关.
函数序列的一致收敛 \(f_n\rightrightarrows f\):
\[\forall \varepsilon>0, \exists N\in \N^*,\quad \mathrm{s.t.}\ \forall x\in[a,b],n>N,\quad |f_n(x)-f(x)|\lt\varepsilon\]
- 逐点收敛是一致收敛的必要条件
函数序列一致收敛的判据
1. 极值判别法(充要条件): \(\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|=0\).
2. 判断一致收敛(充分条件):
  \[\exists\{a_n|a_n>0,\lim_{n\to\infty}a_n=0\}_{n=0}^{\infty}, \quad \mathrm{s.t.}\ \forall n\in \N^*,x\in[a,b],\quad |f_n(x)-f(x)|\lt a_n\]
3. 判断不一致收敛(充分条件):
  \[\exists\{x_n|x_n\in[a,b]\}_{n=1}^{\infty},\quad \mathrm{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}\left[f_n(x_n)-f(x_n)\right]\ne0 或不存在\]
一致收敛函数序列的性质
- (连续的传递性) \(f_n(x)\) 连续 \(\to\) \(f(x)\) 连续
- 若 \(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积, 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可积:
  \[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\mathrm{d}x\]
导数的传递 若 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 连续可微, \(\{f_n(x_0)\}\) 在某点 \(x_0\in[a,b]\) 收敛, 且导函数序列 \(f_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛, 则 \(f_n\) 一致收敛到连续可微函数 \(f\), 并有
\[\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=f'(t),\quad t\in(a,b)\]
端点导数理解为相应单侧导数. 仅 \(f_n\) 一致收敛不足以交换极限与求导.
函数序列的一致有界: 存在一致界 \(M\) 使得 \(\forall n\in\N^*,x\in[a,b]\), \(|f_n(x)|\leq M\). 若每个 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 有界且 \(f_n\) 一致收敛, 则该序列一致有界; 一致收敛于 0 是其特例.

Definition 函数项级数: 定义为部分和序列 \(S_n(x)=\sum u_k(x)\) 的逐点极限

\[S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nu_k(x)\]

函数项级数的一致收敛 必要条件: 若函数项级数一致收敛, 则函数序列 \(u_{n}\rightrightarrows0\)(一致收敛于 0 函数)

充要条件(Cauchy 准则):
\[\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*,\qquad \forall n\ge m>N,\ x\in[a,b],\quad \left|\sum_{k=m}^n u_k(x)\right|\lt\varepsilon\]

函数项级数(不)一致收敛的判据

强级数判别法(Weierstrass M-判据): 若 \(|u_k(x)|\lt a_k\), \(a_k\) 与 \(x\) 无关且 \(\sum a_k\) 收敛,则 \(\sum u_k\) 绝对且一致收敛

Dirichlet-Abel 判据: 用于乘积形式的函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)\), 形式与之前类似

	Dirichlet	Abel
\(a_n(x)\)	\(\{a_n(x)\}\) 在区间内关于 \(n\) 递减且一致收敛为 0	\(\{a_n(x)\}\) 在区间内一致有界且关于 \(n\) 单调
\(b_n(x)\)	\(\sum b_n\) 的部分和在区间内一致有界	\(\sum b_n(x)\) 在区间内一致收敛

不一致收敛的判别法:
\[\exists \{x_n|x_n\in[a,b]\}_{n=1}^{\infty},\quad \mathrm{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}u_n(x_n)\ne0 或不存在\]
一致比值判据: 若存在 \(0\le q\lt1\) 和 \(N\), 使对所有 \(x\in[a,b]\) 及 \(n\ge N\), \(|u_{n+1}(x)|\le q|u_n(x)|\), 且 \(u_N\) 有界, 则级数一致绝对收敛. 仅对逐点比值极限 \(l(x)\) 检查 \(\sup_x l(x)\lt1\) 还不充分.

一致收敛函数项级数的性质:
- (连续性传递) 若每项 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 连续, 则一致收敛的和函数 \(S=\sum_{n=1}^\infty u_n\) 在 \([a,b]\) 连续.
- (可逐项求积分) \(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积 \(\to\) \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积:
  \[\int_a^b\left(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\right)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_a^bu_n(x)\mathrm{d}x\]
导数的传递 若每项 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 连续可微, \(\sum u_n(x_0)\) 在某点 \(x_0\) 收敛, 且导函数项级数 \(\sum u_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛, 则原级数一致收敛到连续可微的 \(S\), 并有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\right)=\sum_{n=1}^\infty u_n'(x),\qquad x\in(a,b)\]
端点取单侧导数.

9.3 Power Series

幂级数的开收敛区间 \((a-R,a+R)\) 包含在收敛域中; 在开区间内可逐项求导、逐项积分, 并在每个紧子区间一致收敛. 两个边界点的敛散性和交换运算条件须单独判定.

求幂级数收敛半径

Cauchy-Hadamard 公式: 令 \(L(x)=\limsup_{n\to\infty}|c_n(x-a)^n|^{1/n}\). 若 \(L(x)\lt1\), 级数绝对收敛; 若 \(L(x)>1\), 级数发散; \(L(x)=1\) 时该判据不决定敛散性. 不论普通根值极限是否存在, 都有
\[|x-a|\begin{cases}\lt R&\text{级数绝对收敛}\\>R&\text{级数发散}\end{cases},\quad R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}}=\liminf_{n\to\infty}|c_n|^{-1/n}\]
采用扩展实数约定 \(1/0=+\infty\), \(1/(+\infty)=0\), 且零系数的 \(|c_n|^{-1/n}\) 记为 \(+\infty\). Corollary 幂级数与其导数的收敛半径一致
D’Alembert 判别法: 若下述极限存在, 则
\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right|\begin{cases}\lt1&\text{级数绝对收敛}\\>1&\text{级数发散}\\=1&\text{判别法失效}\end{cases}\]
即
\[|x-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\]
若级数和在展开中心附近有复解析延拓, 收敛半径是展开中心到最近的不可去复奇点的距离; 不能只找实轴奇点. 若该解析分支在整个复平面解析, 则 \(R=+\infty\).
对于只有稀疏幂次的级数, Example \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{3n+2}}x^{4n+1}\),
\[R=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{2^{3n+2}}{(-1)^n}\right|^{\frac{1}{4n+1}}=\lim_{n\to\infty}\inf 2^{\frac{3}{4}+\frac{5}{16n+4}}=\sqrt[4]{8}\]
同理, 对于周期性的, 可以对周期中每一组求完取最小.

求导和积分不会改变收敛半径, 只会改变边界性质, 可能可以用于简化收敛区间运算, 不能用于计算收敛域边界的敛散性.

Theorem Abel 定理: 给定收敛半径为 \(R\) 的 \(\sum a_nx^n\), 这里“闭一致收敛”指在所列区间的每个闭子区间上一致收敛.

幂级数在 \((-R,R)\) 内闭一致收敛.
当 \(0\lt R\lt\infty\) 时, 若在 \(x=R\) 收敛, 则在 \((-R,R]\) 内闭一致收敛, 且和函数在 \(R\) 左连续; \(-R\) 同理.

Theorem Taylor 级数设 \(f(x)\) 在 \((-R,R)\) 实解析. 则存在 \(0\lt r\le R\), 使得在 \(|x|\lt r\) 有以 0 为中心的展开:

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]

Taylor 形式的展开是唯一的. 实解析只保证局部展开; 例如 \(1/(1+x^2)\) 在整个实轴解析, 但其 0 点 Taylor 级数的收敛半径为 1. 在收敛边界的单点收敛性以及是否收敛到原函数, 需要单独确定.
求幂级数的级数和, 一个重要的技巧的将所求级数化为初等函数对应的级数的求导/积分形式, 然后交换求和号和积分/导数(靠注意力凑一下, 比如拆分为几个初等函数和/积).
求 Taylor 展开中, 试着先求导/积分来简化展开也是方便的技巧.

\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \cos x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \tan^{-1}x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}+\cdots,&x\in[-1,1]\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,&x\in(-1,1]\\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,&x\in(-1,1) \end{aligned}\]

10 Improper Integrals and Integrals with Parameters

10.1 Improper Integrals

无穷积分: 设 \(f\) 在相关区间的每个有限子区间可积. 无穷积分是变上限积分的极限, 因此移动有限的积分下限(对趋于 \(-\infty\) 的积分为移动有限上限)不影响尾部收敛性; 若移动时跨过瑕点, 须另外检查该瑕积分. Theorem 无穷积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛的充要条件

\[\forall \varepsilon>0,\ \exists X_0>1\qquad \mathrm{s.t.}\ \forall X_2>X_1>X_0,\ \left|\int_{X_1}^{X_2}f(x)\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon\]

对于双侧无穷积分, 其收敛需两侧无穷积分均收敛
无穷积分收敛不能推出 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), 还需要额外限制条件: Theorem 若无穷积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛且 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 单调, 那么 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\).

判断无穷积分收敛性

直接计算正常积分, 看函数极限收敛性.
非负函数无穷积分收敛的充要条件: \(I(X)=\int_{1}^{X}f(x)\mathrm{d}x\) 有界.
比较判别法(非负函数):

不等式型若存在 \(C>0\) 使得 \(f(x)\leq Cg(x)\) 对 \([1,\infty)\) 成立, 则

\(f(x)\) 积分发散时, \(g(x)\) 积分发散; \(g(x)\) 积分收敛时, \(f(x)\) 积分收敛.
极限型如果极限 \(\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=c\), 那么 \(c\) 有限非 0, 敛散性相同; \(c=\infty\), 结果与不等式型同; \(c=0\) 结果与不等式型相反.

Dirichlet-Abel 判别法: 被积函数拆分为乘积 \(f(x)=a(x)b(x)\).

	Dirichlet	Abel
\(a(x)\)	单调趋于 0	单调有界(不要求增减性)
\(b(x)\)	\({I(X)=\int_1^Xb(x)}\) 有界	\(\int_{1}^{+\infty}b(x)\mathrm{d}x\) 收敛

Dirichlet 判别法常用 \(b(x)=\sin(px)\) 或 \(\cos(px)\), \(p\ne0\), 因其积分的原函数有界; 衰减单调因子放在 \(a(x)\). Abel 判别法可用已知收敛的 \(b(x)=1/x^p\) 或 \(1/[x(\ln x)^p]\), 其中 \(p>1\), 后者从 \(x\ge\mathrm{e}\) 开始考察.

与无穷级数类似, 无穷积分也有绝对收敛和条件收敛的概念.

计算方法: 直接计算原函数/换元/分部积分/换为已知特殊积分或函数(Gauss 积分/Dirichlet 积分/\(\Gamma\) 函数/\(\Beta\) 函数)/含参变量积分

Gauss 积分:
\[\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
平方, 换极坐标计算

Dirichlet 积分:
\[\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\]
直接用复积分得到或利用含参变量无穷积分的特定值得出.

\(\Gamma\) 函数
\[\begin{gathered} \Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x,\quad \Gamma(a+1)=a\Gamma(a),a>0\\ \Gamma(1)=1,\quad \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi \end{gathered}\]
\(\Beta\) 函数
\[\begin{gathered} B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\mathrm{d}x,\qquad p,q>0\\ B(p,q)=B(q,p),\quad \mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \end{gathered}\]

瑕积分

有限闭区间 \([a,b]\) 上的积分, 但被积函数不再有界. 比如无界的瑕点为 \(x=a\), 则瑕积分定义为

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{X\to a+0}\int_X^bf(x)\mathrm{d}x\]

对于其他类型含瑕点的积分, 拆出含瑕点的部分, 任意部分发散则称瑕积分发散(尽管主值可能存在)

判断瑕积分收敛性

比较判别法: 常用比较积分为
\[\int_1^{+\infty}x^{-p}\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{1}{p-1},&p>1,\\+\infty,&p\le1,\end{cases}\qquad \int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{1}{1-p},&p\lt1,\\+\infty,&p\ge1.\end{cases}\]
Dirichlet-Abel 判别法: 类似, 不过是改为趋于瑕点

10.2 Integrals with Parameters

Definition 含参变量变限积分

\[I(y)=\int_{u(y)}^{v(y)}g(x,y)\mathrm{d}x\]

连续性传递 若 \(g(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 连续, 函数 \(u(y), v(y)\) 是在 \([c,d]\) 定义且取值在 \([a,b]\) 的连续函数, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 连续:
\[\lim_{y\to y_0}\int_{u(y)}^{v(y)}g(x,y)\mathrm{d}x=\int_{u(y_0)}^{v(y_0)}\lim_{y\to y_0}g(x,y)\mathrm{d}x\]
可积性传递 在上述连续性假设下, \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 可积. 当上下限为常数 \(u(y)=\psi,v(y)=\phi\), 且 \(\psi,\phi\in[a,b]\), \(\alpha,\beta\in[c,d]\) 时, 可交换积分次序:
\[\int_\alpha^\beta{\left(\int_{\psi}^{\phi}g(x,y)\mathrm{d}x\right)}\mathrm{d}y=\int_{\psi}^{\phi}{\left(\int_\alpha^\beta g(x,y)\mathrm{d}y\right)}\mathrm{d}x\]
可导性传递 若 \(g(x,y),\partial_yg(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 连续, 且 \(u(y),v(y)\) 在 \([c,d]\) 上可微, 则 \(I(y)\) 在 \((c,d)\) 上可导:
\[I^{\prime}(y)=\int_{u(y)}^{v(y)}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x+g(v(y),y)v^{\prime}(y)-g(u(y),y)u^{\prime}(y)\]

Definition 含参变量无穷积分. 以下假设对每个参数 \(y\), \(g(x,y)\) 在任意有限 \(x\) 子区间可积:

\[I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\]

一致收敛定义 \(\forall \varepsilon>0\), \(\exists X_0(\varepsilon)=\mathrm{const}\), \(\mathrm{s.t.}\forall y\in [c,d]\),
\[\left|\int_X^{+\infty}g(x,y)\,\mathrm{d}x\right|=\left|I(y)-\int_1^Xg(x,y)\,\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon,\quad\forall X>X_0\]
一致收敛充要条件(Cauchy 准则) 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 一致收敛的充要条件: \(\forall \varepsilon>0, \exists X_0=\mathrm{const},\mathrm{s.t.}\forall y\in[c,d]\),
\[\left|\int_{X_1}^{X_2}g(x,y)\,\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon,\quad\forall X_2>X_1>X_0\]
M-判别法 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 若存在非负函数 \(M\), 在 \([1,+\infty)\) 的每个有限子区间可积, 使得对所有 \(x\ge1,y\in[c,d]\), \(|g(x,y)|\le M(x)\), 且 \(\int_{1}^{+\infty}M(x)\mathrm{d}x\) 收敛, 则 \(I(y)\) 一致收敛.

参数范围无界时, 可先在每个紧参数区间证明一致收敛, 从而逐点使用连续性、求导等局部结论. 这只得到局部一致收敛, 不能直接推出整个无界参数域上一致收敛.
不一致收敛判别 一般只能由定义的逆否命题判别: 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 若存在积分下限序列 \(\{X_n\}_{n=1}^{+\infty}\) 和参数序列 \(\{y_n\}\in[c,d]\), 使得 \(\lim_{n\to+\infty}X_n=+\infty\), 且 \(\lim_{n\to+\infty}\left|\int_{X_n}^{+\infty}g(x,y_n)\mathrm{d}x\right|\ne0\)(含发散), 那么 \(I(y)\) 不一致收敛.

Dirichlet-Abel 判别法 先拆分为 \(g(x,y)=a(x,y)b(x,y)\),

	Dirichlet	Abel
\(a(x,y)\)	1. 固定 \(y\), \(a(x,y)\) 关于 \(x\) 单调 2. \(x\to\infty\) 时 \(a(x,y)\) 对 \(y\) 一致趋于 0	1. 固定 \(y\), \(a(x,y)\) 关于 \(x\) 单调 2. 存在同一 \(M\), 对所有 \(x\ge1,y\in[c,d]\), \(\lvert a(x,y)\rvert\le M\)
\(b(x,y)\)	存在同一 \(M\), 对所有 \(X\ge1,y\in[c,d]\), \(\left\lvert\int_1^Xb(x,y)\,\mathrm{d}x\right\rvert\le M\)	\(\int_1^{+\infty}b(x,y)\,\mathrm{d}x\) 在 \(y\in[c,d]\) 一致收敛

一般只对几种简单情况应用:

\(b(x,y)=b(x)\), 使用 Abel 判别法时一致收敛条件变为判断无穷积分收敛.
\(b(x,y)=\sin xy\) 或 \(b(x,y)=\cos xy\), 其中 \(y\in[c,d], d>c>0\), 使用 Dirichlet 判别法时
\[\left|\int_1^X\sin xy\mathrm{d}x\right|=\left|\frac{\cos y-\cos Xy}{y}\right|\leq\frac{2}{c}\]
关于 \(y\) 一致有界.

一致收敛的性质

连续性传递 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 也在 \([c,d]\) 连续
定积分传递 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 可积
\[\int_c^dI(y)\mathrm{d}y=\int_c^d\left(\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=\int_1^{+\infty}\left(\int_c^dg(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\]
可导性传递 设 \(g(x,y),\partial_y g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 逐点收敛, 且 \(\int_{1}^{+\infty}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \((c,d)\) 可导, 端点取单侧导数, 且
\[I^{\prime}(y)=\int_1^{+\infty}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x\]

可构造衰减的含参无穷积分
\[I(y)=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-xy}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad y>0\]
在每个 \(y\in[c,d]\), \(c>0\), 上可用可积指数界交换求导, 得 \(I'(y)=-1/(1+y^2)\). 又 \(I(y)\to0\) 当 \(y\to\infty\), 所以 \(I(y)=\arctan(1/y)\). 在 \(y\in[0,d]\) 上用 Dirichlet 判据控制尾积分, 可令 \(y\to0^+\), 得 \(I(0)=\pi/2\). 不在 \(y=0\) 直接交换求导.

11 Fourier Series

一般周期函数的 Fourier 级数 先记其形式展开(尚未断言逐点等于 \(f\)):

\[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)],\qquad \omega=\frac{2\pi}{T},\quad T>0\]

\[a_{n}=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos(n\omega x)\,\mathrm{d}x,\qquad b_{n}=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin(n\omega x)\,\mathrm{d}x\]

周期延拓:
1. 常规延拓: 在 \([-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\) 定义的函数延拓到 \(\R\).
2. 偶延拓: 将在 \([0,\frac{T}{2}]\) 定义的函数对称为 \([-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\) 的偶函数, 再使用常规延拓.
3. 奇延拓: 将在 \((0,T/2)\) 定义的函数中心对称到 \((-T/2,0)\), 再周期延拓. 为保持严格的奇性和周期性, 取 \(f(0)=f(T/2)=f(-T/2)=0\); 改变这些有限点的值不影响 Fourier 系数, 但其级数仍按左右极限均值收敛.
一般区间上的 Fourier 级数展开
1. \([a,b]\) 平移到 \([-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}]\), 进行常规延拓后展开.
2. \([a,b]\) 平移到 \([0,b-a]\), 进行奇/偶延拓后展开.

(逐点)收敛性理论 对 \(T\) 周期函数 \(f\), 若在一个周期内可分成有限段, 每段连续且单调, 并在分段端点有有限单侧极限(Dirichlet 条件), 或每段可作 \(C^1\) 延拓到该段闭区间, 则 Fourier 级数逐点收敛到:

\[S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\]

在周期接缝 \(x=\pm T/2\), 单侧极限取自周期延拓的两侧, 因而 \(S=(f(-T/2+0)+f(T/2-0))/2\). 连续点有 \(S(x)=f(x)\); 跳点或另行赋值的端点不必如此.

系数理论 若 \(f\) 为实值周期函数, 在一个周期内有界且 Riemann 可积, 则有 Parseval 等式. 正交性先给出 Bessel 不等式; 等式还使用三角函数系在 \(L^2\) 中的完备性:

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^2(x)\mathrm{d}x\]

二者可能用于证明一些奇奇怪怪的数项级数和.