Classical Mechanics on Square's Blog

Classical Mechanics - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Lagrangian Mechanics

优势: Lagrangian 是一个标量; 动力学方程形式不受坐标影响; 处理约束系统简便; 便于说明对称性与守恒律之间的联系.

1.1 Constraints, Degrees of Freedom, and Generalized Coordinates

1.1.1 Constraints and Their Classification

Definition 位形: 物理系统在空间中的分布,形状

Definition 约束(constraint): 限制系统位形及其变化

可解约束/不可解约束

可解约束: 可部分解脱,又称单侧约束不可解约束: 不可解脱,又称双侧约束
完整约束(holonomic constraint)/非完整约束(几何约束+可积微分约束/不可积微分约束)

线性微分约束(Pfaffian constraint)
\[f_i\,\mathrm{d}x_i=0,\quad i=0,\cdots ,n,\quad x_0=t\]
在三维局部坐标中, 对处处非零且至少 \(C^1\) 光滑的 Pfaff 1-form \(\omega=f_i\,\mathrm{d}x_i\), 存在非零积分因子 \(\mu\) 使 \(\mu\omega=\mathrm{d}U\), 当且仅当
\[\mathbf{f}·(\nabla\times\mathbf{f})=0\]
Proof¹ 若 \(\mu\omega=\mathrm{d}U\), 则 \(\nabla\times(\mu\mathbf{f})=0\). 展开并点乘 \(\mathbf{f}\) 得 \(\mu\mathbf{f}\cdot(\nabla\times\mathbf{f})=0\), 因而必要性成立. 反之, \(\omega\wedge\mathrm{d}\omega=0\) 在三维中恰好等价于 \(\mathbf{f}\cdot(\nabla\times\mathbf{f})=0\). 局部 Frobenius 定理于是保证 \(\omega=h\,\mathrm{d}U\), 其中 \(h\ne0\); 取 \(\mu=h^{-1}\) 即得充分性.
定常(scleronomous constraint)/非定常约束(rheonomous constraint)(是否含时)

1.1.2 Degrees of Freedom and Generalized Coordinates

Definition 自由度: 对完整约束系统, 指局部确定位形所需的独立坐标数, 记为 \(n_f\). 运动状态还需给定相应速度; 对非完整系统, 应另外区分位形维数与允许速度空间的维数.

Definition 广义坐标: 能唯一确定系统位形的独立坐标 \(\{q_\alpha\mid \alpha=1,2,\cdots,s\}\)

完整系统的位形流形局部为 \(s\) 维, 无额外速度约束时其位置与速度组成 \(2s\) 维状态空间. 若有 \(m\) 个独立的非完整仿射速度约束, 每点允许速度空间的维数为 \(s-m\), 但不能因此把位形流形降为 \(s-m\) 维; 所有位形是否可达还取决于约束的具体结构.

\(N\) 质点系统, \(k\) 个约束

\[f_m(\mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_N,t)=0,m=1,\cdots,k\]

引入 \(\{q_\alpha\}\) 得到坐标变换方程

\[\dot{\mathbf{r}}_i=\dot{\mathbf{r}}_i(q,\dot q,t)=\sum_\alpha\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial t}\]

进而得到两个 Lagrange 关系

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial\dot{ q_\alpha}}=\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\\ &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}=\left.\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial q_\alpha}\right|_{\dot q,t} \end{aligned}\right.\]

Proof 后一式证明左右都等于 \(\partial_\alpha\partial_\beta\mathbf{r}_i\dot q_\beta+\partial_t\partial_\alpha\mathbf{r}_i\).(左侧对 \(\partial_\alpha\mathbf{r}_i\) 求全导数, 右侧利用上式中 \(\dot{\mathbf{r}}_i(q,\dot q,t)\)).

对定常约束,总可找到 \(\{q_\alpha\}\),使 \(\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1,\cdots,q_s),i=1,\cdots,N\).

1.2 Principle of Virtual Work, d’Alembert’s Principle, and Lagrange Equations

1.2.1 Principle of Virtual Work

考虑 \(N\) 个质点组成的系统, 受 \(k\) 个局部独立的完整约束, \(n_f=s=3N-k\).

Definition 虚位移: 瞬时约束所允许的所有假想位移 \(\delta\mathbf{r}_i=\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\)(\(\delta t=0\),为等时变分)

变分无穷小, 需要满足体系的瞬时约束, 无需满足运动方程. 定常约束 \(\mathrm{d}\mathbf{r}_i\in M=\{\delta\mathbf{r}_i\}\)(非定常系统一般 \(\mathrm{d}\mathbf{r}_i\notin M=\{\delta\mathbf{r}_i\}\))

Definition 理想约束: 约束力的虚功和为 0(光滑的刚性平面,不可伸长绳,刚性杆,纯滚动约束等).

静力平衡时, Newton 方程给出 \(\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i^a+\mathbf{F}_i^c=0,\forall i(=1,\cdots,N)\) 静力平衡要求合力虚功为 0:

\[\sum\limits_{i=1}^N(\mathbf{F}_i^a+\mathbf{F}_i^c)·\delta \mathbf{r}_i=0\]

Theorem 理想系统在静力平衡时, 由理想约束消去约束力的虚功, 得虚功原理: \(\sum\limits_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\delta \mathbf{r}_i=0\)

Definition 广义力 \(Q_\alpha=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\).

Corollary 对完整理想系统, 虚功原理写为:

\[0=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\delta \mathbf{r}_i=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\sum_{\alpha=1}^{s}\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha=\sum_{\alpha=1}^{s}Q_\alpha·\delta q_\alpha\]

由 \(\delta q_\alpha\) 各自独立, 故 \(\forall\alpha,Q_\alpha=0\).

Remark 完整理想保守系统的虚功原理

\[0=Q_\alpha=\sum_{i=1}^N(-\frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_i})·\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}=-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}\]

Remark 在平衡点, 刚度矩阵 \(\mathbf{K}\) 正定是局部稳定的充分条件, 其中 \(k_{ij}=\partial^2 V/(\partial q_i\partial q_j)\). 退化极小值的 Hessian 可以仅半正定, 此时还需考察高阶项.

1.2.2 Method of Lagrange Multipliers

Example 在约束 \(g(x,y)=x^2+y^2-1=0\) 下, 求 \(f(x,y)=x+y\) 的极值.

Solution 取极值时两图线相切

\[\nabla f=\lambda\nabla g\]

\(\lambda\) 称为 Lagrange 乘子(对微分性质良好的图线一般有此结论) 引入 \(h=h(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)\),取极值要求

\[\begin{cases} \partial_x h=\partial_x f-\lambda\partial_x g=0\\ \partial_y h=\partial_y f-\lambda\partial_y g=0\\ \partial_\lambda h=-g=0(已满足) \end{cases}\]

1.2.3 d’Alembert’s Principle and Lagrange Equations

以 Newton 运动方程为起点, 将惯性项移到力的一侧:

\[\mathbf{F}_i^a+\mathbf{F}_i^c-m_i\ddot{\mathbf{r}}_i=0\]

最后一项称 D’Alembert 惯性力

Theorem d’Alembert 原理: 对理想系统, 将上述方程投影到允许的虚位移上, 约束力的虚功和为零, 得到 Lagrange-d’Alembert 方程(理想系统的动力学普遍方程):

\[\sum\limits_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i^a-m_i\ddot{\mathbf{r}_i})·\delta\mathbf{r}_i=0\]

Corollary 对完整理想系统, 取独立广义坐标, 得到 Lagrange 方程:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}=Q_\alpha,\ \ \alpha=1,\cdots,s\]

Proof 已知 \(\sum\limits_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i^a-m_i\ddot{\mathbf{r}_i})·\delta\mathbf{r}_i=0,\delta\mathbf{r}_i=\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\),只需考察

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\right)-\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\right) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial q_\alpha} \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\]

以及

\[\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\delta \mathbf{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{s}Q_\alpha·\delta q_\alpha\]

代入得(第二类)Lagrange 方程,Q.E.D. Remark 若主动力均为保守力, 有 \(Q_\alpha=-\partial_\alpha V\), 此时的 Lagrange 方程:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0,\ \ \alpha=1,\cdots,s\]

其中 \(L=T-V\) 称 Lagrangian.

1.2.4 Properties of the Lagrangian

任意性
- 可相差任意非零的常数乘子, 对应于运动方程关于 \(L\) 线性齐次. 零乘子会抹去运动方程; 负乘子则会交换作用量的极大与极小.
- 可相差任意作为时间全导数的求和项,即进行规范变换(gauge transformation): \(L\implies L'=L+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(q,t)\) 后,运动方程不发生变化(即 Lagrangian 具有规范不变性)
可加性

两个独立的封闭体系 \(A,B\) 组成的体系的 Lagrangian 为 \(L=L_A+L_B\)

1.2.5 Free Particle

惯性系 S 中,选择笛卡尔坐标为广义坐标.时空的均匀性要求 Lagrangian 仅依赖于质点速度 \(\mathbf{v}\),而空间的各向同性要求 Lagrangian 仅会依赖于速度大小 \(v\),即 \(L=L(v^2)\) 考虑另一个惯性系 S’相对 S 以无穷小速度 \(\boldsymbol{\epsilon}\) 运动,则 \(\mathbf{v}'=\mathbf{v}-\boldsymbol{\epsilon}\),于是

\[L'=L(v'^2)=L(v^2-2\mathbf{v}·\boldsymbol{\epsilon}+\epsilon^2)\cong L(v^2)-2\frac{\partial L}{\partial(v^2)}\mathbf{v}·\boldsymbol{\epsilon}\]

由力学规律在 Galileo 变换下不变,\(L'\) 与 \( L(v^2)\) 等价,故有

\[L'-L(v^2)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\mathbf{r},t)=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}·\mathbf{v}+\frac{\partial f}{\partial t}\]

上式微分展开对 \(\mathbf{v}\) 线性依赖,故 \(\frac{\partial L}{\partial(v^2)}=\text{const}\implies L=\frac m 2v^2\),\(m\) 被定义为质点质量. 代入 Lagrange 方程 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v})=0\implies\mathbf{v}=\text{const}\)(惯性定律)

1.2.6 Noninertial Frames

考虑自由质点在非惯性参考系中的运动考虑惯性系 \(S_0\), 质点速度记为 \(\mathbf{v}_0\), \(L=\frac m 2v_0^2\).

考虑平动非惯性系 S, 相对 \(S_0\) 的速度为 \(\mathbf{V}(t)\),\(\mathbf{v}=\mathbf{v}_0-\mathbf{V}\),则

\[\begin{aligned} L=&\frac m 2(v^2+2\mathbf{v}·\mathbf{V}+V^2)\\ \cong&\frac m 2v^2-m\dot{\mathbf{V}}·\mathbf{r}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{r}·\mathbf{V}+\int^t\frac12mV^2\,\mathrm{d}t) \end{aligned}\]

最后一项可由规范变换舍去,以 \(S\) 系中参量为广义坐标,Lagrange 方程为

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v})=-m\dot{\mathbf{V}}\]

方程右侧项即为平移惯性力

考虑相对 S 以 \(\boldsymbol{\Omega}(t)\) 定点转动的转动非惯性系 S’,将两个参考系的公共参考点选在转轴上,\(\mathbf{v}=\mathbf{v}'+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}'\),代入 S 系参量表示的 Lagrangian 中

\[L=\frac{m}{2} v^2-m \dot{\mathbf{V}} \cdot \mathbf{r}=\frac{m}{2} v^{\prime 2}+m \mathbf{v}' \cdot(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}')+\frac{m}{2}(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}')^2-m \dot{\mathbf{V}} \cdot \mathbf{r}'\]\[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}'}&=m\mathbf{v}'+m\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}'\\ \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}'}&=m\mathbf{v}'\times\boldsymbol{\Omega}+m(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}')\times\boldsymbol{\Omega}-m\dot{\mathbf{V}} \end{aligned}\]

以 \(\mathbf{r}'\) 为广义坐标,Lagrange 方程:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v}')=-2m\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}'-m\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times \mathbf{r}')-m\dot{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{r}'-m\dot{\mathbf{V}}\]

方程右边的四项分别为:科氏力,惯性离心力,切向惯性力和平移惯性力, 为转动非惯性系下的有效力.

1.2.7 Systems of Particles

存在相互作用的质点系:\(L=\sum_i\frac 12m_iv_i^2-V(\mathbf{r}_1,\cdots)\) Lagrange 方程:\(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_i}\)

上述模型用同一时刻的位置决定、与速度无关的势能描述相互作用, 由此得到 Newton 力学的运动方程. 这是额外的模型假设, 不能仅由 Galileo 相对性原理推出: 相对位置和相对速度在共同 Galileo boost 下均不变, 因而 Galileo 不变性本身也允许依赖相对速度的相互作用.

考虑约束存在,引入坐标变换之后,动能函数

\[\begin{aligned} T & =\frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta} a_{\alpha \beta}(q,t) \dot{q}_\alpha \dot{q}_\beta+\sum_\alpha a_\alpha(q,t) \dot{q}_\alpha+\frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\partial_t \mathbf{r}_i\right)^2 \\ & =T^{(2)}+T^{(1)}+T^{(0)} \end{aligned}\]

几项分别为广义速度的二次,一次和零次齐次函数,其中

\[a_{\alpha\beta}=\sum\limits_i m_i\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\beta},a_\alpha=\sum\limits_i m_i\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial t}\]

考虑外场存在: 稳定约束下整体封闭的系统 \(A+B\),且其 Lagrangian:\(L=T_A+T_B-V(q_A,q_B)\) 若已知 \(q_B(t)\),\(A\) 在给定外场下:\(L_A=T_A(q_A,\dot q_A)-V(q_A,t)\)

2 Symmetry and Conservation Laws

2.1 Hamilton’s Principle

2.1.1 Calculus of Variations

变分法主要用于处理泛函(:函数 \(\implies\) 实数)极值问题(常可通过泛函的类似性简化问题)

Theorem 泛函极值问题的 Euler-Lagrange 方程(以下暂且讨论单自由度) 为使泛函积分 \(I=\int_{x_A}^{x_B}f(y,y',x)\,\mathrm{d}x\) 在固定 \(y_A=y(x_A),y_B=y(x_B)\) 时取极值

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

此即 Euler-Lagrange 方程 Proof 采用等 \(x\) 变分方法

以下仅作一阶变分,极值的存在及其属性(极大还是极小)还取决于二阶变分的符号,这一般会对应复杂的计算.很多情形我们可以由物理情况判断极值的属性(极大或极小),从而作出简化.

定义试探函数族 \(\overline y=\overline y(x,\epsilon)=y(x)+\delta y(x)\),其中 \(\delta y\) 为函数的等 \(x\) 变分,满足

\(\delta y(x_A)=\delta y(x_B)=0\)(端点固定)
\(\delta(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(\delta y)\)(\(\mathrm{d}\) 为与 \(\mathrm{d}x\) 对应的微分)
\(\overline y(x,0)=y(x)\)(\(\epsilon=0\) 对应极值路径)
\(\overline y(x,\epsilon)\in C^2\)(直到二阶导存在且连续)

极值条件为

\[\begin{aligned} 0=\delta I=&\int_{x_A}^{x_B}[\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)]\,\mathrm{d}x\\ =&\left.\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right|_{x_A}^{x_B}+\int_{x_A}^{x_B}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\,\mathrm{d}x \\ =&\int_{x_A}^{x_B}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对任意的 \(\delta 𝑦\) 如上等式都成立,故要求有

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

Remark 对多自由度体系采用固定的端点的等 \(x\) 变分,极值条件为对各项的求和,又由 \(\delta y_\alpha\) 两两独立,故有 Euler-Lagrange 方程组

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y_\alpha'}-\frac{\partial f}{\partial y_\alpha}=0,\forall\alpha=1,2,\cdots,s\]

积分号与一阶变分的交换是积分号下求导的问题. 例如, 在固定有限区间内, 若 \(f\in C^2\), 路径族 \(\overline y(x,\epsilon)\) 对 \((x,\epsilon)\) 足够光滑, 并在共同紧集内取值, 则 \(\epsilon\) 导数受可积函数控制, 因而可交换积分与一阶变分. 仅有每条路径连续可微不足以保证交换; 完整约束或保守性也不是这个分析条件的替代.

2.1.2 Principle of Least Action

严格地讲, 应该为作用量极值原理. 一般我们认为可以有两种等价的表述:

Postulate Hamilton 原理对于可由 Lagrangian \(L(q,\dot q,t)\) 描述的完整理想体系, 真实的运动使得给定初末态位形 \((t_1,q^{(1)})\) 和 \((t_2,q^{(2)})\) 的路径作用量(action):

\[S[q(t)]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)\,\mathrm{d}t\]

取驻值, 故也常称最小作用量原理. 驻值不保证极小: 对具有正定速度 Hessian 的通常自然 Lagrangian, 足够短且无共轭点的区段可取局部极小; 更长区间或一般 Lagrangian 则需检查二阶变分.

从而对完整理想系统, 可以用 Euler–Lagrange 方程给出力学体系的运动方程(Lagrange 方程):

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0,\forall\alpha=1,2,\cdots,s\]

在速度无关势能模型中, Lagrangian 为 \(L=T-V\), 可在惯性系中给出 Newton 力学的运动方程. 对于不能由该势能描述的广义力, 对作用量有相应要求
\[\delta S+\int_{t_1}^{t_2}\sum_\alpha Q_\alpha\delta q_\alpha\,\mathrm{d}t=0\]
其中 \(Q_\alpha\) 给出尚未包含在 \(L\) 中的广义力. 分部积分后得到 \(\mathrm{d}(\partial L/\partial\dot q_\alpha)/\mathrm{d}t-\partial L/\partial q_\alpha=Q_\alpha\), 因而外力虚功前取正号.

Lagrangian 是广义坐标及广义速度的函数,而相应的运动方程是时间相关的二阶微分方程,这反映了: 当速度 Hessian 非奇异时, 给定 \(q,\dot q\) 与时间, 运动方程可局部解出加速度 \(\ddot q\). 还需通常的光滑性条件保证初值问题的局部唯一性; 奇异 Lagrangian 则需另外处理约束.

选取光滑、单调且 \(\mathrm{d}t/\mathrm{d}\lambda\ne0\) 的新参数 \(\lambda=\lambda(t)\) 可以建立等价变分问题, 但须同时变换速度与积分测度:
\[L_\lambda=L\!\left(q,\frac{\mathrm{d}q/\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}t/\mathrm{d}\lambda},t\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}.\]

Postulate Maupertuis 原理对于能量守恒的系统(同时要求约束是完整且理想的), 真实运动使得路径的简约作用量的在 \(\Delta\) 变分意义下取驻值, 即

\[\Delta I[C]\equiv\Delta\int_Cp_i\,\mathrm{d}q_i=\Delta\int_{t_1}^{t_2}p_i\dot{q}_i\,\mathrm{d}t=0\]

\(\Delta\) 变分与等时变分 \(\delta\) 的关系为

\[\Delta q(t)=q(t+\Delta t,\alpha) - q(t,0)\simeq\dot{q}(t,0)\Delta t+\delta q(t)\]

Maupertuis 原理中变分与端点移动的几何示意.

Proof 考虑作用量的 \(\Delta\) 变分:

\[\begin{aligned} \Delta\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t &=\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2}L[t,q(t,\alpha),\dot{q}(t,\alpha)]\,\mathrm{d}t-\int_{t_1}^{t_2}L[t,q(t,0),\dot{q}(t,0)]\,\mathrm{d}t\\ &=L[t_2,\alpha]\Delta t_2-L[t_1,\alpha]\Delta t_1+\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t\\ &=L[t_2,0]\Delta t_2-L[t_1,0]\Delta t_1+\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

最后一步由一阶近似得到. 利用

\[\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)\right\}\delta q_i\,\mathrm{d}t+\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\delta q_i\right]_{t_1}^{t_2}\]

代入作用量变分, 并把等时变分变为 \(\Delta\) 变分得到

\[\Delta\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t=\int_{t_1}^{t_2}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)\right\}\delta q_i\,\mathrm{d}t+\left[p_i\Delta q_i-H\Delta t\right]\bigg|_{t_1}^{t_2}\]

考虑限制条件:

\(H(q,p)=E=\mathrm{const}\) 守恒在真实路径上成立
所取变分使得所有变化路径上 \(H(q+\Delta q,p+\Delta p)=E\)
变化路径在初末端点 \(\Delta q(t_{1/2})=0\)(不要求 \(\Delta t=0\))

从而

\[\Delta\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t=\Delta\int_{t_1}^{t_2}\left(p_i\dot{q}_i-H\right)\,\mathrm{d}t=\Delta\int_{t_1}^{t_2}p_i\,\mathrm{d}q_i-H(\Delta t_2-\Delta t_1)\]

根据 Hamiltonian 的定义, 可以得到简约作用量变分为 0 的结论:

\[\Delta\int_{t_1}^{t_2}p_i\,\mathrm{d}q_i=0\]

最短路径原理: 约束与时间无关、势场与速度无关时, 动能可表为 \[2T=2(E-V)=\sum_{ij}A_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j=\sum_ip_i\dot{q}_i\] 定义路径长度(位形流形上) \[(\mathrm{d}s)^2=A_{ij}\mathrm{d}q_i\mathrm{d}q_j\] 根据 Maupertuis 原理有 \[\Delta\int_Cp_i\,\mathrm{d}q_i=\Delta\int_{t_1}^{t_2}2T\,\mathrm{d}t=\Delta\int_{s_1}^{s_2}\sqrt{2(E-V)}\,\mathrm{d}s=0\] 与 Fermat 原理类比可以得到粒子的等效折射率 \(n=\sqrt{2(E-V)}\), 粒子运动路径为变折射率介质中的光线路径.

2.1.3 Least Action Principle for Nonholonomic Systems

设有 \(s\) 个广义坐标及 \(m\) 个独立的仿射速度约束

\[f_l(q,\dot q,t)=\sum_{\alpha=1}^s a_{l\alpha}(q,t)\dot q_\alpha+a_{lt}(q,t)=0,\qquad l=1,\cdots,m\]

约束矩阵在所讨论区域秩为 \(m\), 因而每一点允许速度的仿射空间维数为 \(s-m\); 对不可积约束, 这不等于把构型空间降为 \(s-m\) 维.

对完整约束 \(F_l(q,t)=0\), 可将路径限制在约束面上, 或对作用量加入乘子 \(\mu_l F_l\) 并变分, 得到约束力方程. 若用速度形式, 应先取等价的恰当表达 \(f_l=\mathrm{d}F_l/\mathrm{d}t\). 此时
\[\frac{\partial f_l}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial f_l}{\partial\dot q_\alpha}=0\]
对 \(L+\sum_l\lambda_l f_l\) 作独立变分后, 可通过重新定义乘子与完整约束的结果对应. 对一般 Pfaffian 表达, 不能未经等价变换就认定此恒等式成立.
对理想非完整约束, 采用 Lagrange–d’Alembert 原理: 实际速度满足 \(f_l=0\), 固定时间的虚位移满足
\[\sum_\alpha a_{l\alpha}\delta q_\alpha=0,\qquad \delta q_\alpha(t_1)=\delta q_\alpha(t_2)=0\]
这些虚位移通常不是一族都满足速度约束的路径的变分. 在允许虚位移下令 \(\delta\int L\,\mathrm{d}t=0\), 得
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}+\sum_{l=1}^m\lambda_l a_{l\alpha}=0,\qquad f_l=0\]
这里沿用广义约束力 \(Q_\alpha^{\mathrm c}=-\sum_l\lambda_l a_{l\alpha}\) 的符号. 约束力对允许虚位移不作功, 不代表对实际位移一定不作功.

Remark 若直接对增广作用量 \(\int(L+\sum_l\lambda_l f_l)\,\mathrm{d}t\) 作独立变分, 则得到变分约束(vakonomic)方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha} =\sum_l\lambda_l\left(\frac{\partial f_l}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial f_l}{\partial\dot q_\alpha}\right)-\sum_l\dot\lambda_l\frac{\partial f_l}{\partial\dot q_\alpha}\]

它一般不同于理想非完整系统的 Lagrange–d’Alembert 方程. 应区分两种变分问题, 而不是笼统断言非完整系统没有变分表述; 相关讨论另见².

2.2 Symmetry and Conservation Laws

2.2.1 Generalized Momentum and Its Conservation Law

Definition 广义动量

\[p_\alpha=\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha},\alpha=1,2,\cdots,s\]

这样 Lagrange 方程写作

\[\dot{p_\alpha}=\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\]

因此, 如 \(L\) 不显含某个 \(q_\alpha\), 即在对应的(相)空间平移操作下不变. 则称其为循环坐标, 此时对应的 \(p_\alpha=\mathrm{const}\).

循环坐标的产生一般和某种对称性相联系. e.g.

外场轴对称 \(V=V(r,\theta)\),可以得出 \(\varphi\) 为循环坐标,广义动量 \(p_\varphi=J_z=\mathrm{const}\)

外场球对称,角动量 \(\mathbf{J}\) 守恒

根据对称性选取广义坐标,使得循环坐标尽可能多,可以方便地给出运动积分.

2.2.2 Energy Conservation

Theorem 能量守恒定律若体系具有时间平移不变性, 即 \(\partial_tL=0\), 则有能量守恒:

\[E=\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha-L=\mathrm{const}\]

Proof 由 \(\partial_tL=0\)

\[\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}= \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\ddot q_\alpha= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\right)\dot q_\alpha+\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\ddot q_\alpha= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha\right)\]

移项发现守恒量

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha-L\right)=0\]

\(E\) 对 \(L\) 线性依赖, 故 \(E\) 也具有可加性

考虑稳定约束下的保守系的 Lagrangian, 动能项只有 \[T^{(2)}=\frac{1}{2} \sum\limits_{\alpha, \beta} a_{\alpha \beta}(q) \dot{q}_\alpha \dot{q}_\beta\] 利用 Euler 齐次函数定理得到 \[\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha=2T\] 守恒量 \(E=2T-(T-V)=T+V\), 即为牛顿力学中的机械能
考虑不稳定约束下的保守系, 动能 \[T=T^{(2)}+T^{(1)}+T^{(0)}\] 此时 \[\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha=2T^{(2)}+T^{(1)}\] \(E=T^{(2)}-T^{(0)}+V\) 为广义能量, 但含时约束下不一定守恒. 沿运动方程有 \(\mathrm{d}E/\mathrm{d}t=-\partial L/\partial t\); 只有右侧为零时才得到守恒量.

Definition Hamilton 函数假设速度 Hessian \(\partial^2L/(\partial\dot q_\alpha\partial\dot q_\beta)\) 非奇异, 可局部由 \(p_\alpha=\partial L/\partial\dot q_\alpha\) 解出速度. 将 \(p_\alpha,q_\alpha\) 看作独立变量, 定义 Hamiltonian

\[H=H(p,q,t)=\sum_\alpha p_\alpha\dot q_\alpha-L\]

\[\begin{aligned} \mathrm{d}H=&\dot q_\alpha\,\mathrm{d}p_\alpha+p_\alpha\,\mathrm{d}\dot q_\alpha-(p_\alpha\,\mathrm{d}\dot q_\alpha+\dot p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha+\partial_tL\,\mathrm{d}t)\\ =&\dot q_\alpha\,\mathrm{d}p_\alpha-\dot p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-\partial_tL\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

故有一组 Hamilton 正则方程

\[\dot q_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad \dot p_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha},\quad \partial_tH=-\partial_tL\]

Remark 能量守恒定律(另一表述) 若哈密顿量不显含时间, 则其本身为体系的运动积分, 即能量 \(E=H(q,p,t)\).

2.2.3 Linear and Angular Momentum Conservation

Theorem 动量守恒定律若体系具有空间平移不变性(空间的均匀性), 则有系统总动量守恒

\[\mathbf{P}=\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i=\sum_i\mathbf{p}_i=\mathrm{const}\]

Proof 无穷小变换记作

\[\begin{aligned} \mathbf{r}_i&\to\mathbf{r}_i+\delta\mathbf{r}_i\\ (\delta\mathbf{r}_i)_\text{平移}&=\delta\mathbf{r}_0,\delta t=0 \end{aligned}\]

其中 \(\delta\mathbf{r}_0\) 是与 \(\mathbf{r}_i\) 无关的全局性无穷小平移变量. 相应真实轨道 Lagrangian 的变分为

\[\begin{aligned} \delta L& =\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha+\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\delta\dot{q}_\alpha \\ &=\sum_\alpha\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)\delta q_\alpha+\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\Big(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha\Big) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\delta q_\alpha\right)} \end{aligned}\]

对于速度无关势 \(V=V(q,t)\) 情形

\[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}=\frac\partial{\partial\dot{q}_\alpha}\left(\sum_i\frac12m_i\dot{\mathbf{r}}_i^2\right)=\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial\dot{q}_\alpha}=\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\]

无穷小平移变换下, Lagrangian 不变, 对应于(下式对变换不含 \(t\),速度无关势均成立)

\[\delta L=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\right)}\cdot\delta\mathbf{r}_0= \frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}\cdot\delta\mathbf{r}_0 =0\]

Theorem 角动量守恒定律若体系具有空间转动不变性(空间的各向同性), 则有系统总角动量守恒

\[\mathbf{J}=\sum_im_i\mathbf{r}_i\times\dot{\mathbf{r}}_i=\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i=\mathrm{const}\]

Proof \(\left(\delta\mathbf{r}_i\right)_\text{转动}=\delta\mathbf{\varphi}\times\mathbf{r}_i,\left(\delta\mathbf{v}_i\right)_\text{转动}=\delta\mathbf{\varphi}\times\mathbf{v}_i\),相应真实轨道 Lagrangian 在速度无关势情形下的变分同上无穷小转动变换下,Lagrangian 不变,对应于

\[\begin{aligned} \delta L =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl(\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\cdot(\delta\mathbf{\varphi}\times\mathbf{r}_i)\biggr)\\ =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl(\sum_im_i\mathbf{r}_i\times\dot{\mathbf{r}}_i\biggr)\cdot\delta\mathbf{\varphi}\\ =&\frac{\mathrm{d}\mathbf{J}}{\mathrm{d}t}\cdot\delta\mathbf{\varphi}=0 \end{aligned}\]

2.2.4 Scale Transformations

Definition 尺度变换: \(\mathbf{r}'=\lambda_1\mathbf{r}\ ,\ t'=\lambda_2t\)

尺度变换下齐次函数意义非凡, 如果力学系统的势能正好是各个粒子坐标的 \(k\) 次齐次函数, 则

\[V(\lambda_i\mathbf{r}_i)=\lambda_1^kV(\mathbf{r}_i)\]

那么可以选取 \(\lambda_2=\lambda_1^{1-\frac k2}\), 使系统的 Lagrangian 整体乘一个因子 \(\lambda_1^k\),从而运动方程不变, 与原先有几何上类似的轨道, 运行的特征时间与轨道尺度的比例也是固定的, 具体来说为 \(\frac{t'}{t}=\left(\frac{l'}{l}\right)^{1-\frac k2}\).

Kepler 第三定律行星运动中有 \(k=-1\), 代入得到 \(\mathrm{Kepler}\) 第三定律 \(\frac{t'}{t}=\left(\frac{l'}{l}\right)^{\frac 32}\)
位力定理(Virial theorem) 考虑一个多粒子体系在有限的空间范围内运动, 对
\[2T=\sum_i\mathbf{v}_i\cdot\mathbf{p}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_i\mathbf{p}_i\cdot\mathbf{r}_i\right)-\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\dot{\mathbf{p}}_i\]
假设端点项 \([\sum_i\mathbf p_i\cdot\mathbf r_i]_0^{\mathcal T}/\mathcal T\to0\), 再取长时间平均得到
\[2\langle T\rangle=\left\langle\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\frac{\partial U}{\partial\mathbf{r}_i}\right\rangle\]
对 \(k\) 次齐次势能,得到
\[2\langle T\rangle=k\left\langle U\right\rangle\]

2.2.5 Discrete Symmetries

以上讨论的是连续时空变换下的对称性. 以下讨论分立对称变换. 一个系统允许的这些变换可组成相应的时空对称群; 是否具有共形对称性需另行检验, 不能由平移、转动、宇称和时间反演直接推出.

空间反射变换(宇称变换): \(\mathbf{r}\to -\mathbf{r}\) 两次宇称变换等效于没有变换, 故物理量在空间反射变换下往往只能不变(具有正宇称)或者变一个符号(具有负宇称). 由此, 可以对物理量进行分类:

标量: 在空间转动和空间反射下都不变(\(S\),\(L\),\(T\),\(V\) 等)
赝标量: 在空间转动下不变, 在空间反射下变号(取赝矢量与矢量点乘)
矢量: 在空间转动下按照直角坐标一样变换, 在空间反射下变号(\(\mathbf{r}\),\(\mathbf{v}\),\(\mathbf{p}\) 等)
轴矢量(赝矢量): 在空间转动下按照直角坐标一样变换, 在空间反射下不变(\(\mathbf\omega\),\(\mathbf{J}\),\(\mathbf{B}\) 等)

时间反演变换: \(t\to -t\) 如果系统的 Lagrangian 在时间反演变换下不变(\(L(q,\dot{q},t)=L(q,-\dot{q},-t)\)), 则运动方程形式不变. (e.g. Lagrangian 本身并不显含时间且只包含广义速度的偶数次幂) 时间反演对称性意味着系统的运动完全是可逆的.

含广义速度的一次幂本身不证明时间反演破缺或耗散.

Example 例如 \(L=L_0+\mathrm{d}f(q)/\mathrm{d}t\) 含线性速度项, 却与 \(L_0\) 有相同的运动方程.

判断时间反演时还需考虑全导数项及外场的变换; 阻尼须由具体耗散力判断.

2.2.6 Energy-Momentum Relations from Endpoint Variations

把满足运动方程的作用量看作末态时空坐标的函数 \(S=S(t,q)\), 其中 \(t=t_2,q=q(t_2)\), 并固定初始端点. 先在固定积分区间上作等时变分:

\[\begin{aligned} \delta S &=\delta\int_{t_1}^{t}L(q,\dot q,t)\,\mathrm{d}t\\ &=\int_{t_1}^t\sum_\alpha\left(\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha +\frac{\partial L}{\partial\dot q_\alpha}\delta\dot q_\alpha\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\left(\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\delta q_\alpha\right)\Bigg|_1^2+\int_{t_1}^t\sum_\alpha\left[\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\Big)\right]\delta q_\alpha\,\mathrm{d}t \\ &=\left(\sum_\alpha p_\alpha\delta q_\alpha\right)\Bigg|_1^2 \end{aligned}\]

末端时间再改变 \(\Delta t\) 时, 总端点位移满足 \(\Delta q_\alpha=\delta q_\alpha+\dot q_\alpha\Delta t\). 因而在真实轨道上

\[\Delta S=p_\alpha\delta q_\alpha+L\Delta t =p_\alpha\Delta q_\alpha-H\Delta t,\]

即

\[\frac{\partial S}{\partial q_\alpha}=p_\alpha,\qquad \frac{\partial S}{\partial t}=-H.\]

若体系具有时间平移不变性, 则 \(H=E\) 守恒. 对多粒子笛卡尔坐标, \(\nabla_{\mathbf r_i}S=\mathbf p_i\); 若体系在整体平移 \(\mathbf r_i\mapsto\mathbf r_i+\mathbf a\) 下不变, 则 \(\partial S/\partial\mathbf a=\sum_i\mathbf p_i\) 守恒.

Remark 固定末端时间时只保留 \(p_\alpha\delta q_\alpha\); 能量关系来自同时允许末端时间变化的完整端点变分.

2.2.7 Noether’s Theorem

Noether 定理中原轨道与变换后轨道的几何关系.

将 \(\Gamma\) 平移为 \(\Gamma'\), 产生相应时空变换 \(q_\alpha^\prime=q_\alpha^\prime(q,t),t^\prime=t^\prime(q,t)\)(坐标变换的主动观点) 前后两个坐标系统的作用量分别为

\[\begin{aligned} S&=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t),\dot{q}(t),t)\,\mathrm{d}t\\ S^{\prime}&=\int_{t_1^{\prime}}^{t_2^{\prime}}L(q^{\prime}(t^{\prime}),\dot{q}^{\prime}(t^{\prime}),t^{\prime})\,\mathrm{d}t^{\prime}=\int_{t_1}^{t_2}L(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t^{\prime})\frac{\mathrm{d}t^{\prime}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

以下讨论作用量的连续变分对称性: 要求作用量不变或者至多相差一个表面项. 仅有运动方程不变并不足以保证这一条件.

\[\Delta S=S^{\prime}-S=\left.F(q,t)\right|_{t_1}^{t_2}\]

则

\[L(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t^{\prime})\frac{\mathrm{d}t^{\prime}}{\mathrm{d}t}-L(q,\dot{q},t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(q,t)\]

若为连续性对称变换, 即该变换可以用连续性参量加以表征, 可以定义无穷小变换(其中 \(\epsilon\) 为无穷小的变换参数,不依赖时间与各坐标)

\[\begin{cases}q_\alpha^\prime(t^\prime)=q_\alpha(t)+\delta q_\alpha(t)=q_\alpha(t)+\epsilon\cdot\xi_\alpha(q,t)\\t^\prime=t+\delta t=t+\epsilon\cdot\eta(q,t)&\end{cases}\]

故前一式左侧为 \(L(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t^{\prime})-L(q,\dot{q},t)+L(q,\dot{q},t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t\). 由无穷小变换的形式,右侧可以预期 \(F(q,t)=\epsilon\cdot\phi(q,t)\).注意到

\[\begin{aligned} \dot{q}_\alpha^{\prime} &=\frac{\mathrm{d}q_\alpha^{\prime}(t^{\prime})}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t^{\prime}} =\left(\dot{q}_\alpha+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha\right)\left(1-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t\right)\\ &=\dot{q}_\alpha+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha-\dot{q}_\alpha\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t \end{aligned}\]

这样前一式变为

\[\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha+\left(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\dot{q}_\alpha\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(q,t)\]

注意到 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\dot{q}_\alpha-L\Big)=-\frac{\partial L}{\partial t}-\Big(\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\Big)\dot{q}_\alpha \), 消去 \(\frac{\partial L}{\partial t}\) 得

\[\left(\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)(\delta q_\alpha-\dot{q}_\alpha\delta t)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathcal Q,\quad\mathcal Q=p_\alpha\delta q_\alpha-E\delta t-F\]

因为连续性对称变换是整体的, 故守恒量为(对应动力学对称性)

\[Q=\frac1\epsilon \mathcal Q=p_\alpha\xi_\alpha-E\eta-\phi\]

Theorem Noether 定理: 对上述作用量至多改变一个表面项的无穷小整体变换, \(Q\) 沿运动轨道守恒. \(\xi_\alpha,\eta\) 是相应对称变换的生成元.

Remark 上述一阶变分等式可用于判断变换是否为作用量的对称性, 并确定表面项 \(F=\epsilon\phi\). 若变换不涉及时间, 且 Lagrangian 严格不变, 可取 \(\phi=0\), 从而 \(Q=p_\alpha\xi_\alpha\).

Example 常见连续对称性

考虑存在循环坐标 \(q_\gamma\), 其对应的无穷小整体对称性变换 \(\delta q_\alpha=\epsilon\cdot\delta_{\alpha\gamma},\delta t=0\). 代入判别式, 并注意到 \(\frac{\partial L}{\partial q_\gamma}=0\), 可确定 \(F=0\), 即 Lagrangian 不变, 上述是对称性变换, 守恒量
\[Q=p_\alpha\delta_{\alpha\gamma}=p_\gamma\]
定义无穷小整体时间平移变换 \(\delta t=\epsilon ,\delta q_\alpha=0\). 代入判别式, 若 Lagrangian 不显含时间(\(\frac{\partial L}{\partial t}=0\)), 则有 \(F=0\), 上述是对称性变换, 守恒量
\[Q=-E=-\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\dot{q}_\alpha-L\right)\]
整体乘以 \(-1\) 仍为守恒量, 因而通常称 \(E\) 为守恒能量.
对于 \(N\) 个相互作用的粒子组成的孤立保守系, 选取笛卡尔坐标为广义坐标,
\[L=\sum\limits_i\frac12m_iv_i^2-V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_N)\]
\(V\) 仅依赖各粒子间距 \(r_{ij}=|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|\)
- 定义无穷小整体空间平移变换 \(\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_{i}=\epsilon\cdot\mathbf{\tau},\delta t=0\)(\(\mathbf\tau\) 为给定方向向量). \(F=0\), 故变化下 Lagrangian 不变, 守恒量
  \[Q=\left(\sum_i\mathbf{p}_i\right)\cdot\mathbf{\tau}\]
  \(\mathbf\tau\) 是任意的, 故总动量守恒
- 定义无穷小整体空间转动变换 \(\delta_{\mathbf{n}}\mathbf{r}_i=\epsilon\cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{r}_i),\delta t=0\)(\(\mathbf{n}\) 为给定转轴方向向量). \(F=0\), 相应守恒量
  \[Q=\sum_i\mathbf{p}_i\cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{r}_i)=\left(\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i\right)\cdot\mathbf{n}\]
  由 \(\mathbf{n}\) 的任意性可知系统角动量守恒
- 考虑无穷小 Galileo 变换 \(\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_i=-\epsilon\cdot\mathbf{\tau}t ,\delta t=0\)(\(\mathbf{\tau}\) 为参考系变换速度的方向向量). 势能函数在 Galileo 变换下不变, 故
  \[\frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}\cdot\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_i=0\]
  但动能发生变化, 相应
  \[\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_i=-m_i\mathbf{v}_i\cdot\epsilon\mathbf{\tau}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(-\left(\sum_im_i\mathbf{r}_i\right)\cdot\epsilon\mathbf{\tau}\right)}\]
  因此 \(\phi=-(\sum_im_i\mathbf{r}_i)\cdot\mathbf{\tau}\), 守恒量
  \[Q=p_\alpha\xi_\alpha-\phi=\left(\sum_im_i\mathbf{r}_i-\sum_im_i\mathbf{v}_it\right)\cdot\mathbf{\tau}\]
  引入质心的定义, 上面的括号内
  \[\sum_im_i\mathbf{r}_i-\sum_im_i\mathbf{v}_it=m\mathbf{r}_C-m\mathbf{v}_Ct=\mathrm{const}\]
  即 \(\mathbf{v}_C=\dot{\mathbf{r}}_C=\mathrm{const}\).

References

陈滨,《高等动力学》中证明 ↩︎
American Journal of Physics 34, 1202 (1966) ↩︎

Classical Mechanics - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

3 Central Force Fields

3.1 Central Force Fields

3.1.1 Description in the Center-of-Mass Frame

Question 孤立两体 \(m_1,m_2\), 相互作用势能 \(V=V(|\mathbf{r}|),\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\) Answer Lagrangian:

\[L=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{R}}^2+\frac12\mu\dot{\mathbf{r}}^2-V(r)\]

\[M=m_1+m_2,\quad \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\]

质心位矢 \(\mathbf{R}\) 可遗, 不妨取质心系消去对应的动能项, 仅保留相对位矢项, 由 Lagrangian 可以看出体系具有旋转不变性, \(\mathbf{J}=\text{const}\), 轨迹应为平面曲线. 取轨道平面内的极坐标, 令平面法向与非零 \(\mathbf{J}\) 同向, 极轴在轨道平面内选取, Lagrangian 约化为

\[L=\frac12\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)\]

得到运动积分(可由有效势能 \(V_{\text{eff}}(r)\) 判断径向运动特征)

\[J=\mu r^2\dot\theta\]

\[E=\frac12\mu\big(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\big)+V(r)=\frac12\mu\dot{r}^2+\frac{J^2}{2\mu r^2}+V(r)=\frac12\mu\dot{r}^2+V_{\text{eff}}(r)\]

两个速率

\[\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac J{\mu r^2},\quad \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\pm\sqrt{\frac2\mu[E-V(r)]-\frac{J^2}{\mu^2r^2}}\]

正负号分别对应向外与向内的径向运动, 在转向点换支. 运动方程为

\[\mu\ddot{r}=\frac{J^2}{\mu r^3}-V'(r)\]

固定角动量后, 径向 Routh 函数 \(R=L-J\dot\theta=\frac12\mu\dot r^2-V_{\mathrm{eff}}\) 可作为约化 Lagrangian. 不能仅把 \(\dot\theta=J/(\mu r^2)\) 直接代回原 \(L\) 再变分, 否则会得到错误的离心项符号. 关注轨迹, 利用两个速率消去 \(\mathrm{d}t\). 以下两式取向外支; 向内支的右端应乘以 \(-1\), 跨越转向点时须分段积分:

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\theta&=\frac{\frac{J}{r^2}}{\sqrt{2\mu[E-V(r)]-\frac{J^2}{r^2}}}\,\mathrm{d}r\\ \theta-\theta_0&=\int^r\frac{\frac{J}{r^2}}{\sqrt{2\mu[E-V(r)]-\frac{J^2}{r^2}}}\,\mathrm{d}r \end{aligned}\]

运动形式取决于 \(V(r)\) 形式.

3.1.2 Binet Equation

Theorem 对极坐标下运动方程的径向分量

\[\mu(\ddot r-r\dot\theta^2)=F(r)=-V'(r)\]

引入辅助变量 \(u=r^{-1}\), 并作替换

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac J\mu u^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\]

消去 \(t\), 得到 Binet 方程

\[-\frac{J^2}\mu u^2\left(\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u\right)=F\left(\frac{1}{u}\right)\]

方程关于 \(\theta\) 是对称的. 在对称的初始条件下, 方程的解 \(u(\theta)\) 一定是对称的. 在其他初始条件下, 轨迹在满足 \(\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta = \theta_0}=0\) 的 \(\theta_0\) 处是对称的. 这些地方为运动轨迹的拱点, 轨迹在绕拱点矢量的反射下保持不变. 从而求得一对拱点之间的轨迹, 就可以得到全部轨迹.

在这一变量替换下, 相应一阶的速率表达式变为

\[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=\mp\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2}-u^2-\frac{2\mu V(1/u)}{J^2}}\]

并不总能解析积分, 对于幂律力 \(F\propto r^n\), 即 \(V\propto u^{-n-1}\), 解析解存在于:

\(n = 1, -2, -3\), 简单函数积分. 其中前两者分别对应简谐振子和 Kepler 问题.
\(n = 5, 3, 0, -4, -5, -7\), 椭圆函数积分.

3.2 Kepler Problem

Kepler 问题: 质点在有心力下运动, 对应的势能函数 \(V(r)=-\frac\alpha r\)

3.2.1 Orbital Equation of the Kepler Problem

直接积分法:对一般的 \(\alpha\) 由
\[\begin{aligned} \theta-\theta_0 =&\int \mathrm{d}r\,\frac{\frac J{r^2}}{\sqrt{2\mu\left[E+\frac{\alpha}{r}\right]-\frac{J^2}{r^2}}} \\ =&-\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{\mu^2\alpha^2}{J^4}\left(1+\frac{2EJ^2}{\mu\alpha^2}\right)-\left(u-\frac{\mu\alpha}{J^2}\right)^2}}\quad,\quad u=\frac{1}{r}\\ =&\cos^{-1}\frac{p\cdot u-\frac{\alpha}{|\alpha|}}{e} \end{aligned}\]
通解
\[r=\frac p{\frac\alpha{|\alpha|}+e\cos(\theta-\theta_0)}\ ,\ p=\frac{J^2}{\mu|\alpha|}\ ,\ e=\sqrt{1+\frac{2EJ^{2}}{\mu\alpha^{2}}}\]
其中 \(\theta_0\) 可通过选取近日点为极轴方向消去
Binet 方程法
\[-\frac{J^2}\mu u^2\left(\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u\right)=F(r)=-\alpha u^2\implies\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u=\frac{\alpha}{|\alpha|}p^{-1}\]
通解 \(u=\frac ep\cos(\theta-\theta_0)+\frac{\alpha}{|\alpha|p}\), 整理同上. 这里取 \(\alpha\ne0\) 与 \(J\ne0\).

万有引力场:给定 \(\alpha=GMm>0\),有轨道方程 \(r=\frac p{1+e\cos\theta}\)

\(E>0(e>1)\) \(E=0(e=1)\) \(E\lt0(e\lt1)\)

双曲线的一支抛物线椭圆

不闭合不闭合闭合有周期
- 椭圆轨道给定轨道能量 \(E\lt0\) 时,\(J\) 的极大值对应匀速圆周运动
- 椭圆轨道:设其几何参量 \(A,B,C=\sqrt{A^2-B^2}\),由几何关系得到
  \[\begin{cases}A-C=\frac{p}{1+e}\\A+C=\frac{p}{1-e}\end{cases} \implies \begin{cases}e=\frac{C}{A}\\p=\frac{B^2}{A}=A(1-e^2)\end{cases} \implies \begin{cases} E=-\frac{\alpha}{2A}=-\frac{GMm}{2A}\\J=B\sqrt{\frac{\mu \alpha}{A}} =B\sqrt{\frac{Gm^2M^2}{(m+M)A}}\end{cases}\]
- 双曲线轨道:\(C-A=\frac p{1+e},e=\frac CA\implies A=\frac p{e^2-1}=\frac{GMm}{2E}\)
- Kepler 三定律:
  1. 质心为圆锥曲线轨道焦点之一
  2. 面积速度 \(K=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac J{2\mu}\) 恒定,特别地对椭圆有 \(K=\frac B2\sqrt{\frac{G(m+M)}{A}}\)(可由短轴顶点快速导出)
  3. 椭圆轨道周期 \(T=\frac{\pi AB}{K}=\frac{2\pi A^{\frac32}}{\sqrt{G(m+M)}}\)
Coulomb 排斥力场:给定 \(\alpha=-kQq\lt0\),有轨道方程 \(r=\frac p{-1+e\cos\theta}\),为双曲线轨道. 几何关系 \(A+C=\frac p{e-1}\implies A=\frac p{e^2-1}=\frac{kQq}{2E}\)

\(E>0(e>1)\)	\(E=0(e=1)\)	\(E\lt0(e\lt1)\)
双曲线的一支	抛物线	椭圆
不闭合	不闭合	闭合有周期

3.2.2 Laplace-Runge-Lenz Vector

以下取吸引势 \(\alpha\gt0\). 已知角动量守恒, 沿实际轨道考虑如下位移

\[\delta\mathbf{r}=\boldsymbol{\epsilon}\times\mathbf{J},\quad \delta t=0\]

由于 \(\mathbf J\) 依赖速度, 这不是仅依赖 \(q,t\) 的点变换. 以下用运动方程给出沿轨道的守恒量构造, 不能把 \(\dot{\mathbf J}=0\) 当作任意试探路径上的恒等式. 沿实际轨道, Lagrangian 的一阶变化量为

\[\begin{aligned} \delta L &=\mu\dot{\mathbf{r}}\delta\dot{\mathbf{r}}-\frac{\alpha}{r^3}\mathbf{r}\cdot\delta\mathbf{r} =-\frac{\alpha}{r^3}\boldsymbol{\epsilon}\cdot(\mathbf{J}\times\mathbf{r})\\ &=-\frac{\mu \alpha}{r^3}\boldsymbol{\epsilon}\cdot((\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}})\times\mathbf{r})\\ &=-\mu \alpha \boldsymbol{\epsilon}\cdot\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}t} \end{aligned}\]

仅相差一个规范项, 故守恒量

\[\begin{aligned} \mathbf{p}\cdot\delta\mathbf{r}-\left(-\mu \alpha\boldsymbol{\epsilon}\cdot\hat{\mathbf{r}}\right)&=-\boldsymbol{\epsilon}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\mu \alpha\hat{\mathbf{r}})\\ \mathbf{A}&=\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\mu\alpha\hat{\mathbf{r}} \end{aligned}\]

\(\mathbf{A}\) 即 Laplace-Runge-Lenz 矢量. 也可直接用 \(\dot{\mathbf p}=-\alpha\hat{\mathbf r}/r^2\)、\(\dot{\mathbf J}=0\) 与 \(\mu\,\mathrm{d}\hat{\mathbf r}/\mathrm{d}t=-\hat{\mathbf r}\times\mathbf J/r^2\) 验证 \(\dot{\mathbf A}=0\). 这体现平方反比力的动力学对称性. \(\mathbf{A}\) 的方向规定非圆轨道的近拱点位矢, 有界非碰撞轨道的闭合也与此相关.

Laplace-Runge-Lenz 向量与 Kepler 轨道几何的关系示意图.

可由
\[\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=J^2-\mu\alpha r\]
得出轨道方程
\[r=\frac{J^2}{\mu\alpha+A\cos\theta}\]
从而 \(A=\mu\alpha e\), 即其大小与轨道偏心率成正比. 又由
\[\begin{aligned} A^2 &=(\mathbf{p}\times\mathbf{J})^2-2\mu\alpha(\mathbf{p}\times\mathbf{J})\cdot\hat{\mathbf{r}}+\mu^2\alpha^2\\ &=\mu^2\alpha^2+2\mu E J^2 \end{aligned}\]
可得偏心率
\[e=\sqrt{1+\frac{2EJ^{2}}{\mu\alpha^{2}}}\]
若干扰项 \(V(r)= -\frac{\alpha}{r}+\delta V(r)\), 则 \(\mathbf{A}\) 不守恒, 有较小变化率
\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{J}-\mu\alpha\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}(\delta V)}{\mathrm{d}r}\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{J}\]
可用于计算近拱点进动等现象.

3.3 Scattering

Question 相互作用势能 \(V(r)\),且有 \(m_2\gg m_1\),故可认为 \(m_2\) 固定.无穷远处 \(m_1\) 速度为 \(v_0\),瞄准距离 \(b\) Answer

\[E=\frac12m_1v_0^2\]

\[J=m_1v_0b\]

中心力散射中的冲量参数、最近接距离与散射角示意图.

散射角 \(\theta=\pi-2\varphi_0\)(\(r_{\text{min}}\) 由 \(E=\frac{J^2}{2m_1r_{\min}^2}+V(r_{\min})\) 给出)

\[\varphi_0=\int_{r_{\min}}^{+\infty}\mathrm{d}r\,\frac{\frac J{r^2}}{\sqrt{2m_1[E-V(r)]-\frac{J^2}{r^2}}}=\int_{r_{\min}}^{+\infty}\mathrm{d}r\,\frac{\frac b{r^2}}{\sqrt{1-\frac{b^2}{r^2}-\frac{2V(r)}{m_1v_0^2}}}\]

粒子束流入射:令束流强度为常量 \(I\),定义微分散射截面 \(\sigma(\theta)=\frac{\mathrm{d}N}{I\mathrm{d}\Omega\mathrm{d} t}=2\pi b\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\Omega}\right|=\frac b{\sin\theta}|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}|\).

代入 Coulomb 排斥力场,由几何关系 \(\varphi_0=\arccos(e^{-1})\).则有关系 \[\cot\frac\theta2=\tan\varphi_0=\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{2EJ^2}{m_1\alpha^2}}=\frac{m_1v_0^2}{|\alpha|}b\] \[\sigma(\theta)=\frac14{\left(\frac{|\alpha|}{m_1v_0^2}\right)^2}\frac1{\sin^4(\theta/2)}=\frac14{\left(\frac{kQq}{m_1v_0^2}\right)^2}\frac1{\sin^4(\theta/2)}\] 即为 Rutherford 微分散射截面

3.4 Restricted Three-Body Problem

考虑三体系统, 有 \(m_1, m_2\gg m \). 认为两个大质量质点的相对运动应该由二者之间的万有引力决定, 小质量质点的影响可以忽略. 进一步假设:

大质量质点的轨道近似为正圆
三个质点在同一个平面内做二维运动

3.4.1 Equilibrium Points

选择与两大质点同步旋转的非惯性质心系:

\[\Omega^2=\frac{G(m_1+m_2)}{R^3},\quad r_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}R,\quad r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}R\]

本节 \(V\) 与 \(V_{\mathrm{eff}}\) 均表示单位质量的势, 即测试粒子的势能为 \(mV\). 惯性系速度写成 \(\dot{\mathbf{x}}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{x}\), 代入动能, 再用 Lagrange 方程得到

\[L=m\left[\frac{1}{2}\left(\dot{\mathbf{x}}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{x}\right)^2-V(\mathbf{x})\right]\]

\[\ddot{\mathbf{x}}=-2\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf{x}}-\nabla V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x}),\quad V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x})=-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\Omega}\times \mathbf{x})^2+V(\mathbf{x})\]

讨论平衡点, 将 \(V_{\text{eff}}\) 展开得到

\[V_\mathrm{eff}(x,y)=-\frac{1}{2}\Omega^2(x^2+y^2)-\frac{Gm_1}{\sqrt{(x-r_1)^2+y^2}}-\frac{Gm_2}{\sqrt{(x+r_2)^2+y^2}}\]

平衡点 \(\nabla V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x})=0\) 要求

\[\left\{\begin{gathered} \frac{Gm_1(x_L-r_1)}{[(x_L-r_1)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}+\frac{Gm_2(x_L+r_2)}{[(x_L+r_2)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}={\Omega}^2{x}_L\\\frac{Gm_1{y}_L}{[(x_L-r_1)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}+\frac{Gm_2{y}_L}{[(x_L+r_2)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}={\Omega}^2{y}_L \end{gathered}\right.\]

\(y_L = 0\), 得到 L1, L2. L3: \[r_2\frac{R^2(x_L-r_1)}{|x_L-r_1|^3}+r_1\frac{R^2(x_L+r_2)}{|x_L+r_2|^3}=x_L\]

共线 Lagrange 点的图解示意图.

\(y_L\ne 0 \), 得到 L4, L5: 将第二式两边同时除以 \(y_L\), 并乘以 \(x_L\) 与第一式相减, 消去 \(\boldsymbol{\Omega}\) 得到 \[(x_L-r_1)^2+y_L^2=1,\quad (x_L+r_2)^2+y_L^2=1\] 已经取单位长度 \(R = 1\). 从而可以看出在 L4, L5 下, 三个质点构成等边三角形.

3.4.2 Small Mass Ratio

\(\frac{m_2}{m_1} = \epsilon\ll 1\): 取单位长度 \(R=1\),

\[r_1=\frac{\epsilon}{1+\epsilon},\quad r_2=\frac{1}{1+\epsilon}\]

L1, L2: 统一设为
\[x_{L_\pm}=-r_2+\delta_\pm\]
从而
\[-\frac{r_2}{(1-\delta_\pm)^2}\pm\frac{r_1}{\delta_\pm^2}=-r_2+\delta_\pm\]
展开到最低阶解出
\[\delta_\pm=\pm\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{1/3}\implies r_\mathrm{H}=R\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}\]
得到小质量质点的 Hill 半径. 在共转局部动力学中, 这一尺度比较小质量体的引力与大质量体的潮汐作用; 位于 Hill 区域内不等于只受小质量体引力, 也不保证任意卫星轨道长期稳定.
L3:
\[x_{L_3}=1+\delta_3\]
从而
\[\frac{r_2}{(r_2+\delta_3)^2}+\frac{r_1}{(1+r_2+\delta_3)^2}=1+\delta_3\]
展开到最低阶解出
\[\delta_3=\frac{5\epsilon}{12}\]
L4, L5: 仍为等边三角形顶点.

3.4.3 Linear Stability

平衡点附近 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_0+\boldsymbol{\delta}\)

\[V_\mathrm{eff}(\mathbf{x})=V_\mathrm{eff}(\mathbf{x}_0)+\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{K}\cdot\boldsymbol{\delta},\quad \nabla V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x}_0)=0\]

\[\ddot{\boldsymbol{\delta}}+2\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\boldsymbol{\delta}}+\mathbf{K}\cdot\boldsymbol{\delta}=0\]

代入试探解

\[\boldsymbol{\delta}(t)=\mathbf{A}\mathrm{e}^{\kappa t}\]

得到

\[\mathbf{K}^{\prime}\cdot\mathbf{A}=0,\quad \mathbf{K}^{\prime}=\begin{bmatrix}\kappa^2&-2\kappa\Omega\\2\kappa\Omega&\kappa^2\end{bmatrix}+\mathbf{K}\]

为得到非平庸的解, 要求 \(|\mathbf{K}'|=0\). 分别讨论:

L1, L2, L3: 由
\[\left\{\begin{aligned} \partial_x^2V_{\mathrm{eff}}&=\frac{Gm_1[y^2-2(x-r_1)^2]}{[(x-r_1)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}+\frac{Gm_2[y^2-2(x+r_2)^2]}{[(x+r_2)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}-\Omega^2\\ \partial_y^2V_{\mathrm{eff}}&=\frac{Gm_1[(x-r_1)^2-2y^2]}{[(x-r_1)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}+\frac{Gm_2[(x+r_2)^2-2y^2]}{[(x+r_2)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}-\Omega^2\\ \partial_x\partial_yV_{\mathrm{eff}}&=\frac{3Gm_1y(r_1-x)}{[(x-r_1)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}-\frac{3Gm_2y(r_2+x)}{[(x+r_2)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}} \end{aligned}\right.\]
对于 \(y = 0\) 的 L1~3, 通过结果正负可以设
\[\mathbf{K}= \begin{bmatrix} -\omega_x^2&0\\ 0&\omega_y^2 \end{bmatrix}\]
从而
\[\kappa^4+\kappa^2(4\Omega^2-\omega_x^2+\omega_y^2)-\omega_x^2\omega_y^2=0\]
有 \(\kappa^2>0\) 的发散解.
L4, L5: \(x_L=r_1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-r_2,y_L=\pm\frac{\sqrt3}{2}\), 代入得到
\[\mathbf{K}= -\frac{3\Omega^2}{4} \begin{bmatrix} 1&\pm\sqrt{3}\lambda\\ \pm\sqrt{3}\lambda&3 \end{bmatrix},\quad \lambda=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\]
从而
\[\kappa^4+\kappa^2\Omega^2+\frac{27}{16}(1-\lambda^2)\Omega^4=0\]
当 \(27m_1m_2/(m_1+m_2)^2\lt1\) 时, 两个 \(\kappa^2\) 均为不同的负实数, 得到线性稳定的振动. 先前 \(m_2/m_1\ll1\) 的情形满足这一条件; 等号处的简并情形须另行分析.

4 Small Oscillations

4.1 Small Oscillations of Multi-Degree-of-Freedom Systems

考虑 \(n\) 自由度保守体系在稳定平衡位置附近的小振动, 取定常约束. 设 Lagrangian: \(L=\frac12a_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j-V(q)\), 平衡位形 \(\{q_{i0}\}\), 位移 \(x_{i}=q_{i}-q_{i0}\). 定义质量矩阵和刚度矩阵

\[m_{ij}=m_{ji}=a_{ij}(q_0)\approx a_{ij}(q),\quad k_{ij}=\partial_i\partial_jV(q_0)=k_{ji}\]

以下先假设:

质量矩阵 \(\mathbf m\) 正定;
平衡点为势能的非退化局部极小值, 从而刚度矩阵 \(\mathbf k\) 正定.

小振动近似下的 Lagrangian 为

\[L=\frac12m_{ij}\dot{x}_i\dot{x}_j-\frac12k_{ij}x_ix_j\]

线性化运动方程为 \(m_{ij}\ddot{x}_j+k_{ij}x_j=0\).

Remark 上述正定性条件与稳定性的关系:

仅有稳定性不保证 Hessian 正定: 退化极小值可以具有零频模式, 需要保留高阶势能判断.
简要判断是否正定: 惯量矩阵和刚度矩阵的所有顺序主子式均大于 0.

取简谐试探解 \(x_j=\eta_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\),代入得特征方程:

\[(\mathbf{k}-\omega^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}=0\]

为使 \(\boldsymbol{\eta}\) 非 0,要求 \(\det(\mathbf{k}-\omega^2\mathbf{m})=0\),根为 \(\omega_i^2\).

Proposition 在上述两个矩阵均正定的条件下, \(\omega_i^2\) 均为正实数. 能量守恒本身不能排除指数增长, 例如倒置谐振子的能量守恒但平衡点不稳定. Proof 由上可知 \(\boldsymbol{\eta}^{*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega^{2}\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}=0\),故 \(\omega^2=\frac{k_{ij}\eta_i^*\eta_j}{m_{ij}\eta_i^*\eta_j}\).由 \(k_{ij}\) 为实对称矩阵容易得到 \(\left(k_{ij}\eta_i^*\eta_j\right)^*=k_{ij}\eta_i\eta_j^*=k_{ij}\eta_i^*\eta_j\),故分子为实数;同理分母也为实数.故 \(\omega^2\) 为实数.又由 \(\mathbf{k},\mathbf{m}\) 实正定,\(\omega^2>0\).

非简并情形,即特征方程的实根各不相同,对某一 \(\omega_i\),对应的本征矢量由 \((\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(i)}=0\) 给出

Proposition \(\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{m}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=m_i\delta^{ij}\ ,\ \boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{k}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=m_i\omega_i^2\delta^{ij}\),其中 \(m_i>0,i=1,2,...,n\) Proof 由 \((\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(i)}=0\) 转置得到 \(\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})=0\),两式联立得到
\[\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(j)}=0\ ,\ \boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega_j^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(j)}=0\]
故 \((\omega_j^2-\omega_i^2)\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{m}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=0,i\neq j\),第一式得证.将 \(\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{m}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=m_i\delta^{ij}\) 代回上式得到第二式

不同本征值对应的本征矢量线性无关(且在上一个 proposition 的意义下正交)则通解为
\[\mathbf{x}=\operatorname{Re}\sum_i\tilde A_i\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_it}\]
实向量 \(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}\) 满足归一化条件 \(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)T}\mathbf{m}\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(j)}=\delta^{ij}\).
简正模式与简正坐标:由上面的 proposition,可知 \(\mathbf{m},\mathbf{k}\) 可同时被对角化.考虑到归一化条件,设模态矩阵
\[\mathbf{A}=(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(1)},\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(2)},\cdots,\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(n)})\]
满足 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{A}=\mathbb 1,\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{k}\mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\omega_1^2,\omega_2^2,\cdots,\omega_n^2\}\)

第一个式子是归一化条件的另一形式,用于求出 \(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}\) 形式后快速得出归一化系数

作坐标变换 \(\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{Q},\)(\(\mathbf{Q}= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{x}\))得到一组简正坐标 \(Q_i\) 使得
\[L=\sum_i\frac12(\dot{Q}_i^2-\omega_i^2Q_i^2)\ ,\ \ddot{Q}_i+\omega_i^2Q_i=0\]
属于不同特征频率的振动完全变成相互独立的单个自由度的振动
- 第 \(i\) 个简正频率 \(\omega_i\) 对应第 \(i\) 个简正模式,其特解 \(Q_j=A_i\cos(\omega_it+\varphi_i)\delta_{ij}\)
  
  对于简并情形,仍可以证明存在非退化的模态矩阵 \(\mathbf{A}\) 使得可以以 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{A}=\mathbb 1,\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{k}\mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\omega_1^2,\omega_2^2,\cdots,\omega_n^2\}\) 的形式同时对角化 \(\mathbf{m},\mathbf{k}\).
初值问题的求解:给定初值
\[\mathbf{x}_0=(x_1(0),x_2(0),\cdots,x_n(0))^{\mathsf{T}}\]

\[\mathbf{v}_0=(\dot{x}_1(0),\dot{x}_2(0),\cdots,\dot{x}_n(0))^{\mathsf{T}}\]
改写通解为 \(\mathbf{x}(t)=\sum_i\widetilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}(C_i\cos\omega_it+D_i\sin\omega_it)\),则初值代入得到
\[\mathbf{x}_0=\mathbf{A}\mathbf{C}\ ,\ \mathbf{C}=(C_1,C_2,\cdots,C_n)^{\mathsf{T}}\]

\[\mathbf{v}_0=\mathbf{A}\boldsymbol{\Omega} \mathbf{D}\ ,\ \mathbf{D}=(D_1,D_2,\cdots,D_n)^{\mathsf{T}}\ ,\ \boldsymbol{\Omega}=\mathrm{diag}\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}\]
则可解出待定系数
\[\mathbf{C}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}_0=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{x}_0\]

\[\mathbf{D}=\boldsymbol{\Omega}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}_0=\boldsymbol{\Omega}^{-1}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{v}_0\ ,\ \boldsymbol{\Omega}^{-1}=\mathrm{diag}\{\frac{1}{\omega_1},\frac{1}{\omega_2},\cdots,\frac{1}{\omega_n}\}\]

若 \(\mathbf k\) 仅半正定, 零频模式的线性化解为 \(Q_i(t)=Q_i(0)+\dot Q_i(0)t\), 不能代入上文含 \(1/\omega_i\) 的式子. 非零频模式仍按上述方法求解; 零频模式的实际稳定性须结合约束、对称性或高阶项分析.

4.2 Anharmonic Effects

Question 同上,考虑更高阶的修正 Answer 将 Lagrangian 展开至三阶,得到非谐项(微扰项)

\[L=\frac12(m_{ij}\dot{x}_i\dot{x}_j-k_{ij}x_ix_j)+\frac12n_{ijk}\dot{x}_i\dot{x}_jx_k-\frac13l_{ijk}x_ix_jx_k\]

采用线性近似下得到的简正坐标,得到 Lagrangian 和运动方程(\(f_i(Q,\dot{Q},\ddot{Q})\) 是 \(Q,\dot Q,\ddot Q\) 的二次齐次函数)

\[L=\frac12\big(\dot{Q}_i\dot{Q}_i-\omega_i^2Q_iQ_i\big)+\frac12\lambda_{ijk}\dot{Q}_i\dot{Q}_jQ_k-\frac13\mu_{ijk}Q_iQ_jQ_k\ ,\ \ddot{Q}_i+\omega_i^2Q_i=f_i(Q,\dot{Q},\ddot{Q})\]

猜微扰展开解:\(Q_i=Q_i^{(1)}+Q_i^{(2)}\),使得一阶的 \(Q_i^{(1)}=A_i\cos(\omega_it+\phi_i)\)(\(A_i\) 为展开意义下的"小量") \(A^2\) 阶下二阶的 \(Q_i^{(2)}\) 满足

\[\ddot{Q}_i^{(2)}+\omega_i^2Q_i^{(2)}=f_i(Q^{(1)},\dot{Q}^{(1)},\ddot{Q}^{(1)})\]

由于 \(f_i\) 二次齐次,右侧会出现组合频率 \(\omega_j\pm\omega_k\),故二阶下除简正频率外还会出现组合频率(含零频和倍频)的振动.

若组合频率与某个简正频率重合, 扰动解可能出现随时间增长的长期项. 多模系统的内共振可在二阶已出现; 不应仅按微扰阶数排除这种情形. 对非共振的单模周期运动, 长期项通常反映未计入的频率修正. 由
\[\cos(\omega_i+\Delta\omega_i)t\approx\cos(\omega_it)-t\Delta\omega_i\sin(\omega_it)\]
可通过消去相应共振项确定频率修正 \(\Delta\omega_i^{(k)}\). 多模内共振还可能导致模式间能量交换, 一般需引入缓变振幅或多尺度方程, 不能只用频率修正处理.

非线性方程的解一般不具有线性叠加性.

5 Rigid-Body Dynamics

5.1 Description of Rigid-Body Motion

5.1.1 Rotation Matrices

Definition 正常三维转动矩阵是行列式为 1 的三阶正交方阵(\(\det \mathbf{A}=\det \mathbf{A}^{\mathsf{T}}=1, \mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}=\mathbb 1\))

Theorem Euler 定理: 一个正常转动(rotation)的三维转动矩阵一定存在本征值 \(+1\), 其对应的本征矢量给出不变的转轴方向.

Proof 对正常转动矩阵有 \((\mathbf{A}-\mathbb 1)\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbb 1-\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\),故

\[\det(A-\mathbb 1)=\det(\mathbb 1-A^{\mathsf{T}})=\det(\mathbb 1-A)\]

又由三维矩阵有 \(\det(\mathbf{A}-\mathbb 1)\equiv(-1)^3\det(\mathbb 1- \mathbf{A})\),两者对比得 \(\det(\mathbf{A}-\mathbb 1)=0\),故有本征值 1

Definition 无穷小转动矩阵(属于正常转动)\(\mathbf{A}=\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon}\), 其中 \(\epsilon\) 为无穷小反对称矩阵,反对称性证明:

\[\mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbb 1\implies\mathbb 1=(\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon})(\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon})^{\mathsf{T}}=\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon}+\boldsymbol{\epsilon}^{\mathsf{T}}\implies\boldsymbol{\epsilon}^{\mathsf{T}}=-\boldsymbol{\epsilon}\]

有限大转动一般不满足交换律,而无穷小转动矩阵的乘积在一阶小的水平上可交换:
\[\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2=\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon}_1+\boldsymbol{\epsilon}_2=\mathbf{A}_2\mathbf{A}_1\]
\(\mathrm{d}\mathbf{\theta}=(\mathrm{d}\theta_1,\mathrm{d}\theta_2,\mathrm{d}\theta_3)=\mathrm{d}\theta\,\mathbf{n}\) 为无穷小角位移. 矢量 \(\mathbf{x}\) 在无穷小转动下的变化量 \(\delta\mathbf{x}=\mathrm{d}\mathbf{\theta}\times\mathbf{x}=-\epsilon_{ijk}\mathrm{d}\theta_kx_j\mathbf{e}_i\). 时间演化下,引入角速度与角加速度 \(\mathbf{\omega}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{\theta}}{\mathrm{d}t}\ ,\ \mathbf{\beta}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}\)(是三维线性空间的赝矢量),则刚体上点有
\[\mathbf{v}=\mathbf{v}_C+\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\ ,\ \mathbf{a}=\mathbf{a}_C+\mathbf{\beta}\times\mathbf{r}+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})\]
任选基点也可以得到相同形式
\(3\times 3\) 的反对称矩阵有三个独立元素,可由 \(\epsilon_{ij}=-\epsilon_{ijk}\mathrm{d}\theta_k\) 进行参量化.
考虑到上式,也可将无穷小转动矩阵表示为 \(\mathbf{A}=\mathbb 1+\mathrm{d}\mathbf{\theta}\cdot\mathbf{K}\),\(\mathbf{K}=(K_1,K_2,K_3)\),其中
\[K_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&+1&0\end{pmatrix},\quad K_2=\begin{pmatrix}0&0&+1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\quad K_3=\begin{pmatrix}0&-1&0\\+1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]
为 \(SO(3)\) 的生成元(generator),有对易关系
\[[K_{i},K_{j}] = \varepsilon_{ijk}K_{k}\]

Notation 可将正常转动矩阵写作 \(\mathbf{R}_{\mathbf{n}(\theta)}=\mathrm{e}^{\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}}\). Proof 固定 \(\mathbf{n}\) 的无穷小转动 \(\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\mathrm{d}\theta)=1+\mathrm{d}\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}\).由 \(SO(2)\) 为阿贝尔群

\[\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta+\mathrm{d}\theta)=\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\mathrm{d}\theta)=\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)+\mathrm{d}\theta\, \mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}\]

故

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_{\mathbf{n}}}{\mathrm{d}\theta}=\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}.\]

由 \(\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(0)=\mathbb 1\) 积分得出

\[\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)=\mathrm{e}^{\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}}=\mathbb 1+\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}+\frac1{2!}\left(\theta\,\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}\right)^2+\cdots\]

特别地,\(\mathbf{R}_z(\theta)=\mathrm{e}^{\theta K_3}=\cdots=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).

5.1.2 Euler Angles

Definition Euler 角本体坐标系 \(O-xyz\) 方便描述刚体几何参量, 惯性坐标系 \(O-XYZ\) 坐标轴固定,方便描述矢量的微商等. 两者的关系可由一三参量矩阵描述,三个参量称为 Euler 角(以下采用 \(ZXZ\) 约定) Notation 通过如下步骤由 \(O-XYZ\) 转变到 \(O-xyz\)

\[XYZ\overset{R_{\mathbf{Z}}(\phi\in[0,2\pi))}{\implies} X_1Y_1Z_1(X_1Y_1Z)\overset{R_{\mathbf{X}_1}(\theta\in[0,\pi])}{\implies} X_2Y_2Z_2(X_1Y_2Z_2)\overset{R_{\mathbf{Z}_2}(\psi\in[0,2\pi))}{\implies} xyz(xyZ_2)\]

Euler 角对应的坐标系旋转序列示意图.

转动矩阵(被动观点,坐标架旋转)\(\mathbf{A}:(\hat{\mathbf{X}},\hat{\mathbf{Y}},\hat{\mathbf{Z}})'\implies(\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}})\)

\[\begin{aligned}\mathbf{A}=&\begin{pmatrix}\cos\psi&\sin\psi&0\\-\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta\\0&-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}\cos\psi\cos\phi-\cos\theta\sin\phi\sin\psi&\cos\psi\sin\phi+\cos\theta\cos\phi\sin\psi&\sin\theta\sin\psi\\-\sin\psi\cos\phi-\cos\theta\sin\phi\cos\psi&-\sin\psi\sin\phi+\cos\theta\cos\phi\cos\psi&\sin\theta\cos\psi\\\sin\theta\sin\phi&-\sin\theta\cos\phi&\cos\theta\end{pmatrix} \end{aligned}\]\[\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbf{A}(\phi\to-\psi,\theta\to-\theta,\psi\to-\phi)\]

描述刚体运动时,取 \(\mathbf{J}\) 的方向为惯性坐标系的 \(Z\) 轴,通常称 \(\psi\) 为自转(spin)角,\(\theta\) 为章动(nutation)角,\(\phi\) 为进动(precession)角

Theorem Euler 运动学方程: 刚体的角速度可视为三个欧拉角独立变化的线性叠加

\[\mathbf{\omega}=\dot{\phi}\hat{\mathbf{Z}}+\dot{\theta}\hat{\mathbf{X}}_1+\dot{\psi}\hat{\mathbf{z}}\]

利用 \(\hat{\mathbf{Z}}=\sin\theta\sin\psi\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta\cos\psi\hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}}\ ,\ \hat{\mathbf{X}}_1=\cos\psi\hat{x}-\sin\psi\hat{y}\),得到 Euler 刚体运动方程

\[\begin{cases}\omega_x=\sin\theta\sin\psi\dot{\phi}+\cos\psi\dot{\theta}\\\omega_y=\sin\theta\cos\psi\dot{\phi}-\sin\psi\dot{\theta}\\\omega_z=\cos\theta\dot{\phi}+\dot{\psi}\end{cases}\]

可将惯性坐标系中得到的角速度投影到本体坐标系上

5.1.3 Unit Quaternions and Double Cover

当 \(\theta=0\) 时, 上述转动矩阵只依赖于 \(\phi+\psi\), 两个 Euler 角不再独立; 这就是 Euler 角坐标的万向节锁死. 它是参数化的坐标奇点, 不是刚体转动本身的奇点.

为得到无此坐标奇点的表示, 引入 Pauli 矩阵

\[\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\\\mathrm{i}&0\end{pmatrix},\quad \sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\]

并把三维矢量写成 Hermitian 无迹矩阵

\[X=\mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\sigma},\]

并取单位四元数对应的 \(SU(2)\) 矩阵

\[U=q_0\mathbb 1-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\boldsymbol{\sigma},\qquad q_0^2+\mathbf{q}^2=1.\]

变换

\[X\mapsto X'=UXU^\dagger\]

保持 Hermitian 性、无迹性和 \(\det X=-|\mathbf{x}|^2\), 因而在 \(\mathbf{x}\) 空间诱导正交变换. 由 \(SU(2)\) 的连通性且恒等元对应 \(\det R=1\), 该变换属于 \(SO(3)\). 若转轴为 \(\mathbf{n}\)、转角为 \(\vartheta\), 可取

\[q_0=\cos\frac{\vartheta}{2},\qquad \mathbf{q}=\mathbf{n}\sin\frac{\vartheta}{2}.\]

每个三维转动都有轴角表示, 所以上式也给出映射的满射性. \(U\) 与 \(-U\) 诱导同一个转动. 若 \(UXU^\dagger=X\) 对所有无迹 Hermitian 矩阵成立, 则 \(U\) 与三个 Pauli 矩阵都对易, 只能是标量矩阵; 再由 \(\det U=1\) 得 \(U=\pm\mathbb1\). 因而核恰有两个元素, \(SU(2)\to SO(3)\) 是二重覆盖. 单位四元数用四个参数和一个归一化约束描述三个独立转动自由度, 适合跨越 Euler 角的坐标奇点.

5.2 Kinetic Energy, Angular Momentum, and Inertia Tensor of a Rigid Body

刚体的转动动能 \(T_{\text{rot}}=\frac 12\sum\limits_\alpha m_\alpha(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_\alpha)^2=\frac 12\sum\limits_{i,j\in\{1,2,3\}} I_{ij}\omega_i\omega_j\) Definition (质心参考点)转动惯量张量 \(I_{ij}=\sum\limits_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2\delta_{ij}-r_{\alpha,i}r_{\alpha,j})\),为二阶对称张量,其矩阵形式

\[\sum_{\alpha} m_\alpha \begin{pmatrix} y_{\alpha}^2 + z_{\alpha}^2 & -x_{\alpha} y_{\alpha} & -x_{\alpha} z_{\alpha} \\ -x_{\alpha} y_{\alpha} & x_{\alpha}^2 + z_{\alpha}^2 & -y_{\alpha} z_{\alpha} \\ -x_{\alpha} z_{\alpha} & -y_{\alpha} z_{\alpha} & x_{\alpha}^2 + y_{\alpha}^2 \end{pmatrix}\]

对角元称为对应轴的转动惯量.

(质心参考点)角动量 \(\mathbf{J}=\sum\limits_\alpha m_\alpha\mathbf{r}_\alpha\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_\alpha)=\mathbf{I}\cdot\mathbf{\omega}\),如此可将转动动能记为 \(T_{\text{rot}}=\frac12\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{J}=\frac12\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{\omega}\) 对刚体上一般参考点 \(Q\), 若角动量与动能仅取相对 \(Q\) 的转动部分, 可相应使用 \(\mathbf I_Q\). 总动能还包含基点平动及交叉项; 总角动量也不总等于 \(\mathbf I_Q\boldsymbol\omega\). 质心分解时交叉项消失, 得到柯尼希定理.
平行轴定理: 对相对质心位矢为 \(\mathbf{R}\) 的点 \(Q\) 的转动惯量 \(I_{Q,ij}=I_{C,ij}+m_{\text{tot}}(R^2\delta_{ij}-R_iR_j)\)
总可通过正常转动 \(\mathbf{A}\) 实现惯量张量的对角化, 即 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}} \mathbf{I}\mathbf{A}=\mathbf{D}=\mathrm{diag}\{I_1,I_2,I_3\}\) 原坐标系通过转动 \(\mathbf{A}\)(主轴变换)使坐标轴变为惯量主轴(彼此垂直),对应主转动惯量.
- 主轴对刚体固定,对应于本体坐标系.选择质心为参考点得到中心惯量主轴:
  \[T_{\text{rot}}=\frac12\sum_iI_i\omega_i^2,\quad \mathbf{J}=\sum_{i}I_{i}\omega_{i}\mathbf{e}_{i}\]
- \(\mathbf{I}\) 的对角化步骤: 求解特征方程 \(\mathbf{I}\mathbf{X}_i=I_i\mathbf{X}_i\),特征值即为主转动惯量; 将特征向量正交归一化 \(\mathbf{X}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{X}_j=\delta_{ij}\); 得到主轴变换 \(\mathbf{A}=(\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3)\)
- 刚体的对称面的法线为主轴
- 刚体的旋转对称轴为主轴 Proof 设 \(z\) 轴为刚体的 \(n\ge2\) 次旋转对称轴,对给定的 \(z\),在平面内取 \(n\) 个质量均为 \(\delta m\) 的对称质元,第 \(l\) 个坐标 \((\rho,\varphi+\frac{2l\pi}{n},z)\),由 \(\sum_{l=1}^n\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\varphi+\frac{2l\pi}{n}\right)}=0\),则 \(\sum x_lz=\sum y_lz=0\),故 \(z\) 轴为主轴
- 对方向余弦为 \((\alpha,\beta,\gamma)\) 的转轴 \(OX\) 的转动惯量: 由 \(\mathbf{r}=(x,y,z)\) 处质元到转轴的距离为 \(R=\sqrt{r^2-(\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}\),则有
  \[\begin{aligned} I_X &=\sum\delta mR^2=\sum\delta m[(x^2+y^2+z^2)-(\alpha x+\beta y+\gamma z)^2]\\ &=\alpha^2I_{11}+\beta^2I_{22}+\gamma^2I_{33}+2\alpha\beta I_{12}+2\beta\gamma I_{23}+2\alpha\gamma I_{13} \end{aligned}\]
  取 \(OX\) 上 \(Q\) 点使得 \(\overline{OQ}=\frac 1{\sqrt{I_{X}}}\),则 \(Q\) 点的方程构成惯量椭球(取主轴坐标可看出椭球主轴即为惯量主轴):
  \[x^2I_{11}+y^2I_{22}+z^2I_{33}+2xyI_{12}+2yzI_{23}+2xzI_{13}=1\]
  任一过 \(O\) 点转轴在椭球上半径 \(\overline{OQ}\) 的平方倒数即为过此轴的转动惯量若刚体存在 \(n\ge 3\) 次对称 \(z\) 轴,则惯量椭球旋转对称,\(x,y\) 可在保证正交的前提下任意选取.

5.3 Dynamics of Rigid Bodies

选取中心惯量主轴组成的本体坐标系,由角动量定理 \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{J}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}\ ,\ \mathbf{J}=\sum_{i}I_{i}\omega_{i}\mathbf{e}_{i}\),利用 \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}_i}{\mathrm{d}t}=\mathbf{\omega}\times\mathbf{e}_i\) 推出 Euler 动力学方程

\[\begin{cases}I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=M_1\\I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1=M_2\\I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2=M_3\end{cases}\]

由动力学方程中起决定性作用的仅有主转动惯量,故等效为均质椭球,或陀螺 \(I_i\) 两两不相等的陀螺为不对称陀螺;有两个相等的被称为对称陀螺;三个均相等的被称为球形陀螺(匀质正四面体,匀质正方体等)

5.4 Free Asymmetric Top (Euler Top)

欧拉方程

\[\begin{cases}I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=0\\I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1=0\\I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2=0\end{cases}\]

运动积分

\[\begin{cases}T=\frac12(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2)=\frac{J_1^2}{2I_1}+\frac{J_2^2}{2I_2}+\frac{J_3^2}{2I_3}\\J^2=J_1^2+J_2^2+J_3^2\end{cases}\]

假定 \(I_1\lt I_2\lt I_3\),\(\mathbf{J}\) 的端点在球面(角动量)与椭球面(动能)的交线上运动(显然有 \(2TI_1\leq J^2\leq2TI_3\))

体坐标角动量空间中, 固定角动量平方的球面与固定动能的椭球面相交.

图中 \(\Pi_i\) 对应正文的 \(J_i\), 图中 \(E\) 对应正文的 \(T\).

Theorem 网球拍定理(Dzhanibekov effect) 绕主轴 \(1,3\) 的转动稳定,而绕主轴 \(2\) 的转动不稳定(\(J^2\) 接近 \(2TI_2\) 时,\(J_2\) 在 \(\left(-\sqrt{2TI_2},\sqrt{2TI_2}\right)\) 不断变化). 无外力矩时, 角动量在惯性系中守恒, 但这并不意味着瞬时转轴方向固定. 中间轴转动的小扰动不稳定性由下述线性化证明给出.

Proof 图中的交线提供几何解释; 稳定性可直接由 Euler 方程线性化验证.

线性化时取以下条件:

无外力矩;
\(I_1\lt I_2\lt I_3\);
在第 \(i\) 主轴匀速转动 \(\omega_i=\Omega\ne0\) 附近加入小的横向扰动.

其余两轴记为 \(j,k\), 消去一个扰动分量得

\[\delta\ddot\omega_j= \Omega^2\frac{(I_i-I_j)(I_k-I_i)}{I_jI_k}\,\delta\omega_j.\]

对 \(i=1,3\), 系数为负, 横向扰动作振荡; 对 \(i=2\), 系数为正, 存在指数增长模, 故中间轴转动不稳定. 这里的线性稳定性结论针对小扰动; 翻转的完整运动仍由守恒量交线或下述椭圆积分描述.

约化为单积分 由运动积分的表达式得到

\[\begin{cases}\omega_1=\pm\sqrt{\frac{(2TI_3-J^2)-I_2(I_3-I_2)\omega_2^2}{I_1(I_3-I_1)}}\triangleq f_1(\omega_2)\\\omega_3=\pm\sqrt{\frac{(J^2-2TI_1)-I_2(I_2-I_1)\omega_2^2}{I_3(I_3-I_1)}}\triangleq f_3(\omega_2)\end{cases}\]

在 \(f_1,f_3\) 符号固定的一段轨道上, 代入 Euler 方程并分离变量得到

\[t-t_0=\frac{I_2}{I_3-I_1} \int_{\omega_2(t_0)}^{\omega_2(t)} \frac{\mathrm{d}\omega_2}{f_1(\omega_2)f_3(\omega_2)}.\]

该椭圆积分的反函数给出 \(\omega_2(t)\), 再代回得到 \(\omega_1(t),\omega_3(t)\); 显式形式可写成 Jacobi 椭圆函数.

考虑对称欧拉陀螺 \(I_1=I_2\lt I_3\),由运动方程得 \(\omega_3\) 不变,令 \(\Omega=\frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}}\omega_{3}=\mathrm{const}\),有 \[\begin{cases}\omega_1=A\cos(\Omega t+\varphi_0)\\\omega_2=A\sin(\Omega t+\varphi_0)\end{cases}\] 总角速度大小 \(\omega=\sqrt{A^2+\omega_3^2}=\mathrm{const}\),进行规则进动(由 \(\cos\theta=\frac{I_3\omega_3}J=\mathrm{const}\),没有章动) 此外可由 \(\mathbf{\omega}=\dot{\phi}\hat{\mathbf{Z}}+\dot{\psi}\hat{\mathbf{z}}\) 得到 \(\mathbf{J},\mathbf{\omega},\hat{\mathbf{z}}\) 共面. 由 \(I_1\dot{\phi}\sin\theta=J\sin\theta\), 对 \(\sin\theta\ne0\) 的情形有进动角速度 \(\dot{\phi}=J/I_1\).

5.5 Fixed-Point Motion of a Symmetric Top

Lagrange 陀螺: 均匀外场下作定点转动的对称陀螺(\(O\) 点处完整理想陀螺 \(l=\overline{OC}\))

Lagrange 陀螺的几何、 Euler 角与受力方向示意图.

\[\begin{aligned} L &=\frac12I_1^{\prime}(\omega_1^2+\omega_2^2)+\frac12I_3\omega_3^2-mgl\cos\theta\\ &=\frac12I_1^{\prime}\big(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\sin^2\theta\big)+\frac12I_3\big(\dot{\phi}\cos\theta+\dot{\psi}\big)^2-mgl\cos\theta\quad,I_1^\prime=I_1+ml^2. \end{aligned}\]

运动积分有

\[\begin{cases} p_\psi=\frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}=I_3(\dot{\phi}\cos\theta+\dot{\psi})=J_3\\ p_\phi=\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}=(I_1^{\prime}\sin^2\theta+I_3\cos^2\theta)\dot{\phi}+I_3\cos\theta\dot{\psi}=J_Z\\ E=\frac12I_1^{\prime}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\sin^2\theta)+\frac12I_3(\dot{\phi}\cos\theta+\dot{\psi})^2+mgl\cos\theta \end{cases}\]

由前两式解出

\[\begin{cases}\dot{\phi}=\frac{J_Z-J_3\cos\theta}{I_1^{\prime}\sin^2\theta}\\\dot{\psi}=\frac{J_3}{I_3}-\frac{J_Z-J_3\cos\theta}{I_1^{\prime}\sin^2\theta}\cos\theta\end{cases}\]

代入 \(E\) 消去 \(\dot\phi,\dot\psi\),得到 \(E=\frac12I_1^{\prime}\dot{\theta}^2+\frac{(J_Z-J_3\cos\theta)^2}{2I_1^{\prime}\sin^2\theta}+\frac{J_3^2}{2I_3}+mgl\cos\theta\).改写为

\[E^{\prime}=\frac12I_1^{\prime}\dot{\theta}^2+V_{\mathrm{eff}}(\theta)\ ,\ V_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{(J_Z-J_3\cos\theta)^2}{2I_1^{\prime}\sin^2\theta}-mgl(1-\cos\theta)\]

由 \(V_{\text{eff}}\) 的形式看出 \(\theta\in[\theta_1,\theta_2]\),极值由 \(E^\prime=V_{\text{eff}}(\theta)\) 给出.如运动过程中 \(\dot\phi\) 不变号,则称为正常章动.结果仍有 Jacobi 椭圆函数.

快速陀螺(回转仪):自转角速度很大,设初始 \(\theta=\theta_1,\dot{\theta}_1=0\text{ , }\dot{\phi}_1=0=\frac{J_Z-J_3\cos\theta_1}{I_1^{\prime}\sin^2\theta_1}\), 且 \(\theta_2\) 有
\[\frac{(J_Z-J_3\cos\theta_2)^2}{2I_1^{\prime}\sin^2\theta_2}-mgl(1-\cos\theta_2)=-mgl(1-\cos\theta_1)\]
运动积分
\[J_3=I_3\dot{\psi}_1\ ,\ J_Z=I_3\cos\theta_1\dot{\psi}_1\]
则有角度变化范围与 \(J_3^2\) 成反比:
\[\cos\theta_1-\cos\theta_2=\frac{2I_1^{\prime}mgl\sin^2\theta_2}{I_3^2\dot{\psi}_1^2}\approx\frac{2I_1^{\prime}mgl\sin^2\theta_1}{I_3^2\dot{\psi}_1^2}\ll1\]
进动角速度与 \(J_3\) 成反比:
\[\dot{\phi}_2=\frac{J_Z-J_3\cos\theta_2}{I_1^{\prime}\sin^2\theta_2}=\frac{I_3\dot{\psi}_1(\cos\theta_1-\cos\theta_2)}{I_1^{\prime}\sin^2\theta_2}\approx\frac{2mgl}{I_3\dot{\psi}_1}\]
考虑无章动的纯进动解, 即 \(\dot\theta = 0, \dot\phi = \mathrm{const}\). 无章动要求:
\[\frac{\mathrm{d}V_{\text{eff}}}{\mathrm{d}\theta}=0\implies mgl=\dot{\phi}(I_3\omega_3-I_1^{\prime}\dot{\phi}\cos\theta_0)\]
以下取 \(0\lt\theta_0\lt\pi/2\) 与 \(\omega_3\gt0\). 有两个不同的实数解要求
\[\omega_3\gt\frac{2}{I_3}\sqrt{mglI_1^{\prime}\cos\theta_0}\]
在 \((I_3\omega_3)^2\gg4mglI_1^{\prime}\cos\theta_0\) 的快陀螺极限下, 慢进动的近似解为
\[\dot{\phi}\simeq\frac{mgl}{I_3\omega_3}\ll\frac{I_3\omega_3}{I_1^{\prime}\cos\theta_0}\]
快进动的近似解为
\[\dot{\phi}\simeq\frac{I_3\omega_3}{I_1^{\prime}\cos\theta_0}\gg \frac{mgl}{I_3\omega_3}\]
稳定性须在固定 \(J_Z,J_3\) 下由 \(V_{\mathrm{eff}}''(\theta_0)\) 判断, 不能仅凭进动快慢把快分支判为不稳定.
磁偶极子的进动: \(m = \gamma L\), 从而
\[V = -\gamma LB\cos\theta\]
与重力势能对比, 得到
\[\dot{\phi}\simeq-\frac{\gamma LB}{L}=-\gamma B\]
取慢进动解, 得到 Larmor 进动.

Classical Mechanics - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

6 Hamilton’s Canonical Equations

6.1 Hamilton’s Canonical Equations

6.1.1 Time Evolution of Canonical Coordinates

以下先限于速度 Hessian \(\det(\partial^2L/\partial\dot q_\alpha\partial\dot q_\beta)\ne0\) 的局部正则区域. 从 Lagrange 力学出发, 引入广义动量

\[p_\alpha=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\implies\dot{q}_\alpha=\dot{q}_\alpha(p,q,t)\]

以用 \(\{p_\alpha\}\),\(\{q_\alpha\}\) 为独立变量构建力学体系, 从而使要求解的动力学方程变为一阶. 通过 Legendre 变换构造 Hamilton 函数

\[H(q,p,t)=p_\alpha\dot{q}_\alpha(p,q,t)-L(q,\dot q(p,q,t),t)\]

这样给出的函数不会丢失动力学信息(直接给出一个 \(\overline L(q,p,t)=L(q,\dot q,t)\) 反倒可能丢失信息). 全微分

\[\begin{aligned} \mathrm{d}H& =p_\alpha \mathrm{d}\dot{q}_\alpha+\dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\mathrm{d}q_\alpha-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\mathrm{d}\dot{q}_\alpha-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \\ &=\dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha-\dot{p}_\alpha \mathrm{d}q_\alpha-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

得到 Hamilton 正则方程

\[\left\{\begin{aligned} &\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\\ &\dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\right. ,\quad \partial_tH=-\partial_tL\]

这是 \((q, p)\) 的一阶微分方程, 等价于 Lagrange 方程(\(q\) 的二阶微分方程). 这里 \(p_\alpha,q_\alpha\) 形式对称, 被称为一组共轭正则变量.

对 \(N\) 个三维质点, 施加独立完整约束后的 \(s\) 维位形空间, 在固定时刻可局部视为 \(3N\) 维位置空间中的 \(s\) 维微分流形. 每一个点上都有一个 \(s\) 维切空间(广义速度)以及 \(s\) 维余切空间(广义动量), 二者互为对偶空间(dual space)
- \(s\) 维位形空间的所有点上的切空间构成一个 \(2s\) 维切丛(\(s\) 个坐标表示点的位置, \(s\) 个坐标表示切矢量分量)
- \(s\) 维位形空间的所有点上的余切空间构成一个 \(2s\) 维余切丛, 即相空间或称相流形(phase manifold). 相流形是一种光滑流形, 称为辛流形(Symplectic manifold): “点"对应系统的"状态”; “几何结构"对应系统的"运动规律”. \(\{p_\alpha\},\{q_\alpha\}\) 为 \(2s\) 维相流形上的坐标.
若给定初值, 由演化方程(正则方程), 即可完全确定运动解 \(\{q(t),p(t)\}\)(代表点的相轨道). 在 \(H\) 足够光滑、满足局部解唯一性的区域, 同一时刻和同一相点的初值确定同一个解. 对自治系统, 不同相轨道不相交; 显含时间时, 不同时刻的轨迹投影仍可能经过同一个相点.
- 若 Hamiltonian 不显含时间, 则轨迹被束缚在一个"能量曲面"上
- 若 Hamiltonian 显含时间, 可以给出固定时刻的等 \(H\) 面法向量和相流速度
  \[\nabla H=\left(\frac{\partial H}{\partial q_\alpha},\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right),\quad \mathbf{v}=(\dot q_\alpha,\dot p_\alpha)\]
  对相空间变量的内积为 0, 即相流在每一时刻与瞬时等 \(H\) 面相切. 但沿轨道 \(\mathrm{d}H/\mathrm{d}t=\partial_tH\), 因而显含时间时轨道一般不限制在某个固定等 \(H\) 面上.
由正则方程得出
\[\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}\]
因此当 \(H\) 不显含时间(即 \(L\) 也不显含时间)时, 体系的 Hamilton 守恒(但不一定代表能量守恒).

在广义坐标的变化下, \(L(q,\dot{q},t)=T-V\) 的形式可能改变, 但值不会变化; 而 \(H(p,q,t)=\dot{q}_ip_i-L\) 的形式和量值都可以变化. 因此, Hamiltonian 可以是能量, 也可以不是; 可以守恒, 也可以不守恒–描述同样的物理.
按 \(H\) 与 \(L\) 的变换式, Lagrangian 中不显含的坐标对于 Hamiltonian 也是不显含的可遗坐标, 仍导出守恒的动量.
非完整约束、非(广义上的)保守力的情况, 正则方程应变为
\[\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad \dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}+Q_\alpha+\sum_l\lambda_la_{l\alpha}\]
注意广义上的保守力只要求能从某个 \(V(q, \dot q,t)\) 导出, 比如电磁势尽管不仅仅依赖于 \(q\), 但仍不破坏原本的正则方程.

6.1.2 General Procedure for Obtaining the Hamiltonian from the Lagrangian

先求 \(p(q,\dot q,t)\), 反解出 \(\dot q(q,p,t)\), 再代入 \(H(q,p,t)=p_\alpha\dot{q}_\alpha(q,p,t)-L(q,\dot q(q,p,t),t)\) 计算起来往往相当繁琐.

Question 我们希望对于形如

\[L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)-V(\mathbf{q},t)\]

的 Lagrangian, 在不涉及具体 \(\mathbf{p}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\) 结构的情况下快速得到 \(H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) 的形式(注意只是绕过反解代入步骤, 一般性的得到形式)

Answer 对由非相对论质点动能及随时间变化的点坐标变换得到的 \(T\), 其速度依赖至多为二次式. 以下假设对称质量矩阵 \(\mathbf M\) 可逆, 写成

\[T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=c(\mathbf{q},t)+\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b}+\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

\[L_0(\mathbf{q}, t) = c(\mathbf{q}, t)-V(\mathbf{q}, t)\]

\[\dot{\mathbf{q}}= \begin{pmatrix} \dot{q}_1\\ \vdots\\ \dot{q}_s \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_s\end{pmatrix},\quad \mathbf{M}= \begin{pmatrix} 2a_{11}&\cdots&2a_{1s}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ 2a_{s1}&\cdots&2a_{ss}\end{pmatrix}\]

满足 \(\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b} = {\mathbf{b}}^{\mathsf{T}}\cdot\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{M}^{\mathsf{T}} = \mathbf{M}\). 得到

\[L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=L_0(\mathbf{q}, t)+\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b}+\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

\[p_{\alpha}=\frac{\partial L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)}{\partial\dot{q}_{\alpha}}\implies \mathbf{p}=\mathbf{b}+\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

从而

\[\begin{aligned} H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) &=\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{p}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\\ &=\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{b})-\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}-L_0(\mathbf{q}, t)\\ &=\frac{1}{2}(\mathbf{p}-\mathbf{b})^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}^{-1}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{b})-L_0(\mathbf{q}, t) \end{aligned}\]

由此可以看出为什么不能直接令 \(H=T+V\): 若动能含速度一次项或常数项, 或广义势含速度, 一般不满足此式. 单独显含时间并不破坏这一等式; 例如 \(T=\frac12m\dot q^2\)、\(V=V(q,t)\) 仍给出 \(H=T+V\).

6.2 Hamilton’s Principle on Phase Manifolds

6.2.1 Deriving the Canonical Equations from Hamilton’s Principle

考虑直接从作用量平稳性质作为第一性原理, 导出 Hamilton 力学的正则方程

Definition 作用量(相轨道泛函):

\[S[q(t),p(t)]=\int_{t_1}^{t_2}[p_\alpha\dot{q}_\alpha-H(q,p,t)]\,\mathrm{d}t=\int_1^2(p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H\,\mathrm{d}t)\]

由 \(\delta S=0\) 导出正则方程时, 作等时变分, 变分范围为:

初末态位形 \(\left(t_1,q^{(1)}\right)\) 和 \(\left(t_2,q^{(2)}\right)\) 给定;
Hamilton 力学中, 变分 \(\delta q\) 与 \(\delta p\) 相互独立.

Remark 在 Lagrange 力学中, 作为衍生变量的 \(\dot{q}\) 的变分 \(\delta\dot{q}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q\), 因此不能视作独立变分.

Theorem 作用量取平稳值给出的相轨道方程便是 \(\mathrm{Hamilton}\) 正则方程.

Proof 等时变分法

\[\begin{aligned} \delta[p_\alpha\dot{q}_\alpha-H(q,p,t)] &=p_\alpha\delta\dot{q}_\alpha+\dot{q}_\alpha\delta p_\alpha-\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\delta p_\alpha-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(p_\alpha\delta q_\alpha)+\left(\dot{q}_\alpha-\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right)\delta p_\alpha-\left(\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha \end{aligned}\]

取平稳值要求 \(\delta S=0\). 利用端点固定及两组变分的独立性, 得到正则方程

\[\left\{\begin{aligned} &\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\\ &\dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\right.\]

在 Legendre 变换局部正则的条件下, Lagrange 力学中"位形流形上的平稳作用量原理"与"相流形上的平稳作用量原理"等价. 想要将后者转化为前者, 可认为由变分为 0 解出一个 \(p_\alpha=p_\alpha(q,\dot{q},t)\), 进一步代回作用量得出.
正则变量的独立性会给出更大的坐标变换的自由度, 即在一定的所谓正则变换
\[\begin{cases}q_\alpha^{\prime}=q_\alpha^{\prime}(q,p,t)\\p_\alpha^{\prime}=p_\alpha^{\prime}(q,p,t)\end{cases}\]
下正则方程仍成立, 甚至可能能由正则变换得到求解运动方程所需的 2s 个运动积分. 将在之后予以讨论.

6.2.2 Canonical Equations and the Symplectic Structure of Phase Space

正则方程的负号, 从哈密顿原理看来, 应该与被积函数第一项的辛势有关

\[\delta\int_{t_1}^{t_2}\left[p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H(q,p,t)\,\mathrm{d}t\right]=0,\quad \Theta=p_\alpha\,\mathrm{d}q^\alpha\]

辛势 \(\Theta\) 是一个 1-form. 其外微分是一个辛形式(一种闭非退化 2-form):

\[\omega=\mathrm{d}\Theta=\mathrm{d}p_\alpha\wedge \mathrm{d}q^\alpha\]

Notation \(\xi\) 符号为体现正则共轭变量对偶的性质,可以把它们重新编排为 2s 个坐标 \[(\xi^1,\xi^2,...,\xi^{2s})=(q_1,q_2,...,q_s,p_1,p_2,...,p_s)\] 采用 \(\xi\) 符号将 \(q, p\) 集合在一个变量下, 正则方程记作 \[\dot{\xi}^i=\omega^{ij}\partial_jH,\quad \boldsymbol{\omega}= \begin{pmatrix} \omega^{ij} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{s\times s}&\mathbf1_{s\times s}\\ -\mathbf{1}_{s\times s}&\mathbf{0}_{s\times s} \end{pmatrix}\] 有性质 \(\boldsymbol{\omega}^{-1}=-\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{\mathsf{T}}\). 此处 \((\omega^{ij})\) 是 Poisson 张量的矩阵; 对本节 \(\omega=\mathrm{d}\Theta\) 的约定, \[\omega=\frac12\omega_{ij}\,\mathrm{d}\xi^i\wedge\mathrm{d}\xi^j,\quad (\omega_{ij})=\boldsymbol{\omega}^{-1}.\] 从而也可以将正则方程表示为 \[\omega_{ji}\dot{\xi}^i=\frac{\partial H}{\partial\xi^j}.\]

Definition Hamilton 矢量场: \(\dot{\xi}^i\) 表征了相空间某一点的流速, 可以将其与相应的切方向组合得到一个矢量场

\[X_H = \dot{\xi}^i \partial_i = (\omega^{ij}\partial_j H)\partial_i\]

以下关于一参数群和保能性的陈述先假设 \(H\) 不显含时间. 若 \(X_H\) 在相流形 \((M, \omega)\) 上光滑且完备, 则其积分曲线定义相空间的相流 \(\phi_t:M\to M,t\in\mathbb{R}\)

\[\phi_t(z_0)=z_0+\int_0^tX_H(\phi_\tau(z_0))\,\mathrm{d}\tau,\quad z = (q, p)\]

其微分形式为流方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi_t(z)=X_H\left(\phi_t(z)\right),\quad\phi_0=\mathrm{id}_M\]

可加性
\[\forall s,t\in\mathbb{R},\quad \phi_{s+t}=\phi_s\circ\phi_t,\quad\phi_{-t}=(\phi_t)^{-1}\]
因此 \(\{\phi_t\mid t\in\mathbb{R}\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 在 \(M\) 上的平滑群作用.
生成元: \(X_H\) 即为这一单参数群的生成元
\[X_H(z)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}\phi_t(z)\]
若 \(X_H\) 的积分曲线对任意初值都在整个 \(t\in\mathbb{R}\) 上有定义, 则称其为完备(complete)向量场. 显含时间的 Hamiltonian 一般给出二参数演化映射 \(\phi_{t,t_0}\), 而不是上述一参数群.
保辛性: 利用内积符号
\[\iota_X:\Omega^k(M)\to\Omega^{k-1}(M)\implies (\iota_X\omega)(v)=\omega(X,v)\]
可以重述 Hamilton 矢量场的定义为
\[\iota_{X_H}\omega=-\mathrm{d}H\]
进而有沿 Hamilton 矢量场的 Lie 导数(用到了任意微分形式的二阶外微分为 0 的性质)
\[\mathcal{L}_{X_H}\omega=\mathrm{d}(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}\mathrm{d}\omega=-\mathrm{d}^2H+0=0\]
从而沿流的拉回不随时间变化. 对于初值 \(\omega\), 有
\[\phi_t^*\omega=\omega\]
保能性: 对不显含时间的 Hamiltonian,
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H\left(\phi_t(z)\right)=X_H(H)=\iota_{X_H}\mathrm{d}H=-\omega(X_H,X_H)=0\]
即 \(H\circ\phi_t=H\).

7 Time Evolution and Poisson Brackets

7.1 Poisson Bracket

经典力学: Poisson Bracket\(\implies\) 量子力学: 共轭括号/对易子, 对运动积分的讨论是一致的

Definition Poisson 括号定义为(属于一种辛内积):

\[[A,B]=\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\frac{\partial B}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\frac{\partial B}{\partial q_\alpha}=(\partial_iA)\omega^{ij}(\partial_jB)\]

Hamilton 力学中力学量 \(A=A(q,p,t)\) 对时间的全导数

\[\dot{A} =\partial_tA+\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} =\partial_tA+\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\dot p_\alpha =\partial_tA+[A,H]\]

这一结构也可以利用矢量场的记号写为

\[X_B(A)=[A,B]=\omega(X_B,X_A)=\omega^{ij}(\partial_jB)\partial_i A\]

7.2 Properties of Poisson Brackets

常数 Poisson 括号为零: \([A,c]=0,\forall c=\mathrm{const}\).
反交换: \([A,B]=-[B,A]\)(特例:\([A,A]=0\))
双线性: \(\forall a,b=\mathrm{const}\)
\[[aA+bB,C] = a[A, C] + b[B, C]\]
莱布尼兹法则: \([A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\)
时间偏导法则: \(\partial_t[A,B]=[\partial_tA,B]+[A,\partial_tB]\)
基本 Poisson 括号:
\[[q_\alpha,q_\beta]=0,\quad [p^\alpha,p^\beta]=0,\quad [q^\alpha,p_\beta]=\delta_\beta^\alpha \implies [\xi^i,\xi^j]=\omega^{ij}\]
正则坐标与力学量的 Poisson 括号:
\[[q_\alpha,A]=\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\ ,\ [p_\alpha,A]=-\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\]
Jacobi 恒等式:
\[[A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0\]
Proof 在正则坐标中记常数反对称 Poisson 矩阵为 \(\mathbf J=(\omega^{ij})\), 则 \([B,C]=(\nabla B)^{\mathsf T}\mathbf J\nabla C\)、\(X_A=\mathbf J\nabla A\). 对 \(A\in C^2\), 记 \(\mathbf M=DX_A=\mathbf J\operatorname{Hess}A\), 有
\[\mathbf M\mathbf J+\mathbf J\mathbf M^{\mathsf T}=0.\]
对括号直接求导, 此恒等式消去导数作用到 \(X_A\) 的额外项, 得
\[X_A([B,C])=[X_A(B),C]+[B,X_A(C)]\]
即
\[[[B,C],A]=[[B,A],C]+[B,[C,A]]\]
利用反交换律容易得到结果.

8 Canonical Transformations

8.1 Canonical Transformations

8.1.1 Four Types of Canonical Transformations

Hamilton 力学下, 广义坐标和广义动量视为独立变量, 完全可以独立选择

Question 寻找变换 \((q,p)\implies(Q(q,p,t),P(q,p,t))\),使得正则方程形式不变(\(H\mapsto H'=H'(P,Q,t)\)):

\[\dot{Q}_{\alpha}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial P_{\alpha}}\ ,\ \dot{P}_{\alpha}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial Q_{\alpha}}\]

Answer 从平稳作用量出发, 在局部可用生成函数表示的区域有:

\[\delta S=\delta\int\left(p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H\,\mathrm{d}t\right)=0,\quad \delta S'=\delta\int\left(P_\alpha\,\mathrm{d}Q_\alpha-H^{\prime}\,\mathrm{d}t\right)=0\]

一般的标度变换(即被积函数成倍数关系)导出的变换形式较为平庸(尺度变换, 仅改变变量尺度而不改变物理本质), 例如平方反比有心力下的尺度变换:

\[r\mapsto\lambda r,\quad p_r\mapsto\lambda^\alpha p_r,\quad\theta\mapsto\theta,\quad p_\theta\mapsto\lambda^\beta p_\theta,\quad t\mapsto\lambda^\gamma t\]

可以导出

\[K=\frac{1}{2m}\left(\lambda^{2\alpha}p_r^2+\frac{\lambda^{2\beta}p_\theta^2}{\lambda^2r^2}\right)-\frac{k}{\lambda r}\propto H\]

进而有 \(\alpha = -1/2, \beta = 1/2, \gamma = 3/2\).

对于正则变换, 即两个被积函数之差为函数全微分的形式:

\[\begin{aligned} P_\alpha\dot Q_\alpha-H^\prime+\dot F_1&=p_\alpha \dot q_\alpha-H\\ \mathrm{d}F_1&=p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-P_\alpha\,\mathrm{d}Q_\alpha+(H^{\prime}-H)\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

这样的变换称为 Type 1 正则变换, \(F_1=F_1(q,Q,t)\) 被称为 Type 1 正则变换的生成函数(母函数)

也可等价的写为 \(p_\alpha=\frac{\partial F_1}{\partial q_\alpha} , P_\alpha=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_\alpha} , H^{\prime}=H+\frac{\partial F_1}{\partial t}\)(生成函数形式已知, 推未知的坐标)

Type 1	Type2	Type3	Type4
\(F_1=F_1(q,Q,t)\)	\(F_2=F_2(q,P,t)\)	\(F_3=F_3(p,Q,t)\)	\(F_4=F_4(p,P,t)\)
\(p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i},P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}\)	\(p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i},Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i}\)	\(q_i=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i},P_i=-\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}\)	\(q_i=-\frac{\partial F_4}{\partial p_i},Q_i=\frac{\partial F_4}{\partial P_i}\)

几种形式可通过 Legendre 变换互相转化,如 Type 1 到 Type 2:

\[\mathrm{d}F_2=\mathrm{d}(F_1+P_\alpha Q_\alpha)=p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha+Q_\alpha\,\mathrm{d}P_\alpha+(H^{\prime}-H)\,\mathrm{d}t\]

生成函数变为 \(F_2(q,P,t)=F_1+Q_\alpha P_\alpha\), 变换方式不变.

不是所有正则变换都有四类生成函数对应, 例如 \(F_1,F_4\) 为保证变量的独立性, 不可能导出恒等变换, 而相应 \(F_2=q_\alpha P_\alpha\)、\(F_3=-p_\alpha Q_\alpha\) 则可以导出恒等变换. 但这并不改变正则变换的等价性: 由于坐标和动量本质上是对偶的, 总可以通过
- 交换坐标和动量: \(Q_\alpha=p_\alpha, P_\alpha=-q_\alpha\)
- 引入平庸标度变换: \(Q_\alpha=\pm q_\alpha, P_\alpha=\pm p_\alpha\)
来选择适合的生成函数坐标片. 但这可能改变所表示变换的组合, 并不保证同一个变换在同一坐标片中具有全部四类母函数; 每次 Legendre 变换还要求相应变量投影局部可逆.
正则变换构成一个群: 存在单位元(恒等变换), 逆元(须交换新旧变量, 并选取相应类型的生成函数), 闭合性(两个正则变换的复合仍为正则变换), 结合律(复合运算满足结合律).

Example 设有一个简单谐振子, Hamiltonian 为

\[H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2\]

尝试将其通过正则变换转化为一个自由粒子系统, 即

\[H' = \frac{P^2}{2m}\]

Solution 选择 Type 2 变换, 尝试不含时间的生成函数 \(F_2(q,P)\). 以下取 \(P>0\)、\(p>0\) 且 \(|m\omega q|\lt P\) 的局部支. 谐振子的闭合轨道不能由全局一一的、与时间无关的正则变换映为自由粒子的非闭合轨道. 利用 \(H\) 和 \(H'\) 的关系, 解出 \(p(q,P)\)

\[\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2q^2 = \frac{P^2}{2m} \implies p = \sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}\]

则生成函数

\[F_2(q, P) = \int \sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q\]

无需积分, 直接写出

\[Q = \frac{\partial F_2}{\partial P} = \int \frac{P}{\sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}}\,\mathrm{d}q= \frac{P}{m\omega} \arcsin\left(\frac{m\omega q}{P}\right)\]

从而可以反解出

\[q = \frac{P}{m\omega} \sin\left(\frac{m\omega Q}{P}\right)\]

进而得到

\[p = P \cos\left(\frac{m\omega Q}{P}\right)\]

8.1.2 Properties of Canonical Transformations

Remark 生成函数的任意性

生成函数可以附加一个以时间为变量的任意函数 \(g(t)\), 而不改变相应变换. (Hamiltonian 也有同样的任意性)

Proposition 正则变换的保辛性

先考虑不显含时间的变换 \(\boldsymbol{\xi}\to\boldsymbol{\eta}\); 下面的链式法则中 \(H\) 在新变量下只是同一函数的重写:

\[\dot{\eta}^i =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\dot{\xi}^j =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\omega^{jk}\frac{\partial H}{\partial\xi^k} =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\omega^{jk}\frac{\partial\eta^l}{\partial\xi^k}\frac{\partial H}{\partial\eta^l} ={\mathcal{J}^i}_{j}\omega^{jk}(\mathcal J^{\mathsf T})_k{}^l\frac{\partial H}{\partial\eta^l}\]

由于变换保证 Hamilton 方程不变, 则

\[\dot{\eta}^i =\omega^{il}\frac{\partial H}{\partial\eta^l}\]

二者比较给出

\[\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}},\quad \mathcal{J}^i{}_j:=\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\]

这说明正则变换是一个保辛的映射, 在流形结构上体现为自同胚映射(通过一个光滑函数建立的一一映射映射到自身).

Corollary 正则变换的直接条件

保辛性条件等价于

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}^{-1}=\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\omega}^{-1} = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}(-\boldsymbol{\omega})\]

若将 Jacobian 和辛形式分块为

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}= \begin{pmatrix} \nabla_{\mathbf{q}}\mathbf{Q}&\nabla_{\mathbf{p}}\mathbf{Q}\\ \nabla_{\mathbf{q}}\mathbf{P}&\nabla_{\mathbf{p}}\mathbf{P} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathcal{J}}^{-1}= \begin{pmatrix} \nabla_{\mathbf{Q}}\mathbf{q}&\nabla_{\mathbf{P}}\mathbf{q}\\ \nabla_{\mathbf{Q}}\mathbf{p}&\nabla_{\mathbf{P}}\mathbf{p} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\omega}= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{s\times s}&\mathbf1_{s\times s}\\ -\mathbf{1}_{s\times s}&\mathbf{0}_{s\times s} \end{pmatrix}\]

并代入, 各部分分别得到的就是正则变换的充要条件, 或者称为直接条件.

\[\begin{aligned} \left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right)_{q,p}&=\left(\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right)_{Q,P},& \left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right)_{q,p}&=-\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i}\right)_{Q,P}\\ \left(\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\right)_{q,p}&=-\left(\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}\right)_{Q,P},& \left(\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right)_{q,p}&=\left(\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right)_{Q,P} \end{aligned}\]

Proposition Poisson 括号在正则变换下的性质

正则变换不改变 Poisson 括号的结果

\[[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}\]

故反过来, 也可以直接利用

\[[Q_\alpha,Q_\beta]_{q,p}=0,\quad [P_\alpha,P_\beta]_{q,p}=0,\quad [Q_\alpha,P_\beta]_{q,p}=\delta_{\alpha\beta}\]

来判断局部可逆的变换是否为正则变换. 单自由度时才简化为 \([Q,P]_{q,p}=1\); 含时变换在每个固定时刻也满足上述保辛条件.

Proof 考虑正则变换 \(\boldsymbol{\xi}\to\boldsymbol{\eta}\), 任意两个函数 \(u,v\) 在旧坐标下的 Poisson 括号为

\[\begin{aligned} {[u,v]}_{\boldsymbol{\xi}} &=\frac{\partial u}{\partial\xi^m}\omega^{mn}\frac{\partial v}{\partial\xi^n}\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial\eta^i}{\mathcal{J}^i}_{m}\right)\omega^{mn}\left((\mathcal{J}^{\mathsf{T}})_{n}{}^{k}\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\right)\\ &=\frac{\partial u}{\partial\eta^i}\left({\mathcal{J}^i}_{m}\omega^{mn}(\mathcal{J}^{\mathsf{T}})_{n}{}^{k}\right)\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\\ &=\frac{\partial u}{\partial\eta^i}\omega^{ik}\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\quad(\because\;\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}})\\ &={[u,v]}_{\boldsymbol{\eta}} \end{aligned}\]

因此对任意力学量 \(u,v\) 都有 \({[u,v]}_{q,p}={[u,v]}_{Q,P}\), Poisson 括号在正则变换下完全不变, 故没必要指定所用变量组.
特别地, 取 \(u=\eta^a\) 、 \(v=\eta^b\), 立即得到基本 Poisson 括号在旧坐标下也等于新坐标下的标准值 \(\omega^{ab}(\boldsymbol{\eta})\).

8.2 Infinitesimal Canonical Transformations

8.2.1 Infinitesimal Canonical Transformations

无穷小正则变换(Infinitesimal Canonical Transformation, ICT)是一种正则变换, 但是 \(p, q\) 改变很小:

\[Q_\alpha=q_\alpha+\delta q_\alpha,\quad P_\alpha=p_\alpha+\delta p_\alpha\]

相应生成函数(以第二类为例)是恒等变换生成函数和一很小量的叠加

\[F_2(q,P,t)=q_\alpha P_\alpha + \epsilon G(q,P,t)\]

相应变化量

\[\begin{aligned} \delta q_\alpha&=\epsilon\frac{\partial G}{\partial P_\alpha}\simeq\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_\alpha}=\epsilon\left[q_\alpha,G\right]\\ \delta p_\alpha&=-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_\alpha}\simeq-\epsilon\frac{\partial G}{\partial Q_\alpha}=\epsilon\left[p_\alpha,G\right] \end{aligned}\]

故某种意义下可以称 \(G\) 为 ICT 的生成元, 使得

\[Q_\alpha=q_\alpha+\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_\alpha}+O(\epsilon^2),\quad P_\alpha=p_\alpha-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_\alpha}+O(\epsilon^2)\]

8.2.2 Time Evolution and Infinitesimal Canonical Transformations

若令 \(G = H(q,p,t)\), \(\epsilon = \delta t\), 可以得到

\[\delta q_\alpha=\epsilon[q_\alpha,H]=\dot{q}_\alpha\delta t,\quad \delta p_\alpha=\epsilon[p_\alpha,H]=\dot{p}_\alpha\delta t\]

Hamiltonian 生成 ICT, 将坐标变换为 \(t+\epsilon\) 时的坐标. 也就是说可以把一个随时间演化的系统在相空间内的移动视作一个连续正则变换. 力学量在无穷小时间演化下有

\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\xi^\alpha}\frac{\mathrm{d}\xi^\alpha}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\xi^\alpha}\left[\xi^\alpha,H\right]=\frac{\partial A}{\partial t}+\left[A,H\right]\]

力学量在 \(t\) 时刻的值 \(f(t)\), 变换为 \(t+ \mathrm{d}t\) 时刻的值 \(f(t+\mathrm{d}t)\).

正则变换的绘景 静态绘景(static view)下, 正则变换视作在相空间中对坐标系的变换. 动态绘景(dynamic view)下, 正则变换将相空间中的点映射其他的点, 认为系统在"主动"地运动.

9 Symmetry and Conservation Laws Revisited

9.1 Continuous Symmetries and Conservation Laws in Hamiltonian Mechanics

9.1.1 Conserved Quantities

物理量的守恒

一般物理量的运动方程

\[\dot{A}=\partial_tA+[A,H]\]

若物理量 \(A=A(q,p)\) 不显含时间, 则作为运动积分的充要条件为 \([A,H]=0\).

Theorem Poisson 定理如 \(A\),\(B\) 是力学系统的运动积分,则 \(C=[A,B]\) 也是该力学系统的运动积分 Proof 用时间偏导法则和 Jacobi 恒等式,

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[A,B]=[\dot A,B]+[A,\dot B]=0.\]

其中 \(\dot A=\partial_tA+[A,H]\)、\(\dot B=\partial_tB+[B,H]\). 因而也覆盖显含时间的运动积分.

对于 Hamiltonian 本身, \(\dot{H}=\partial_tH+[H,H]=\partial_tH\), 故不显含时间的 Hamiltonian 守恒.

构造显含时间的守恒量

令 \(A = A(q, p), H = H(q, p)\), 且有

\[[A,H]\neq0,\quad [[A,H],H]=0\]

可以构造显含时间的

\[B(q,p,t)=A(q,p)-t[A(q,p),H(q,p)]\]

为时间的守恒量

\[\begin{aligned} \dot{B} &=\partial_tB+[B,H]\\ &=[A,H]-[t[A,H],H]-[A,H]\\ &=-t[[A,H],H]=0 \end{aligned}\]

这样的构造对于 \(A(q,p)\) 的限制比较强. 对于不显含时间的 Hamiltonian, 我们可以更一般地构造显含时间的守恒量.

对于任一非守恒的 \(A = A(q,p)\), 可以给出形式化的守恒量

\[B(q,p,t):=\mathrm{e}^{-t\hat H}(A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}(-\hat H)^n(A),\quad\hat H:=[\cdot,H]\]

若某阶嵌套 Poisson 括号为零, 级数才会截断; 一般不会自动截断. 在逆流存在的时间区间内, 几何定义 \(B=A\circ\phi_{-t}\) 直接给出守恒量. 将它表示为上述幂级数时, 还需级数及相关导数适当地收敛, 以允许逐项微分. Proof

\[\dot{B}=\partial_tB+[B,H]=-\hat H\left(\mathrm{e}^{-t\hat H}A\right)+\hat H\left(\mathrm{e}^{-t\hat H}A\right)=0\]

在上述允许逐项微分的条件下, \(B\) 沿系统相轨道保持恒定.

\(B(q, p, t)\) 代表了演化到时刻 \(t\) 时处于状态 \((q, p)\) 的系统, 在初始时刻 \((t=0)\) 时物理量 \(A\) 的取值, 即
\[B(q, p, t) = \mathrm{e}^{-t\hat H} A(q, p) = A(q_{\mathrm{init}}, p_{\mathrm{init}})\]
因为系统沿轨道演化时, 其"初始状态的属性"显然是不随时间改变的, 所以 \(B\) 必然是一个守恒量.

9.1.2 Symmetry-Induced Canonical Transformations

物理量的演化

生成元定义了正则变量的"变换率". 物理量 \(f(q,p,t)\) 在无穷小正则变换前后

\[\delta f=\frac{\partial f}{\partial\xi^{\alpha}}\delta\xi^{\alpha}=\epsilon\frac{\partial f}{\partial\xi^{\alpha}}\left[\xi^{\alpha},G\right]=\epsilon\left[f,G\right]\implies\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda}=\left[f,G\right]\]

从而可以得到形式解

\[f(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda\hat G}f(0),\quad\hat G:=[\cdot,G]\]

这是经典正则流对函数的拉回演化.

Example 自由落体

\[H=\frac{p^2}{2m}+mgz\]

Solution 位置

\[\begin{aligned} z(t) &= \mathrm{e}^{t\hat H}z_0\\ &= z_0 + t[z_0,H]_0 + \frac{t^2}{2!}[[z_0,H],H]_0 + \frac{t^3}{3!}[[[z_0,H],H],H]_0 + \cdots \\ &= z_0 + \frac{p_0}{m}t - \frac{1}{2}gt^2 \end{aligned}\]

高阶项截断.

Remark 这里取 \(G=H\)、\(\lambda=t\), 得到正向 Hamilton 流对物理量的演化. 守恒量 \(B(t)=A\circ\phi_{-t}\) 则是 \(A\) 沿逆 Hamilton 流的拉回; 守恒性来自正、逆流复合为恒等映射.

Hamilton 量的隐式变化与对称正则变换

Hamiltonian 形式上的变化量(只考虑隐式变化)

\[\begin{aligned} H(Q,P,t) - H^\prime(Q,P,t) =&(H(Q,P,t) - H(q,p,t))-(H^\prime(Q,P,t)-H(q,p,t))\\ =&\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i+\frac{\partial H}{\partial t}\cdot0-\epsilon\frac{\partial G}{\partial t}\\ =&-\epsilon\left(\frac{\partial G}{\partial t}+[G,H]\right) =-\epsilon\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G \end{aligned}\]

表示"在新坐标下, \(H\) 需要进行多少修正才能得到能够正确描述物理规律的 \(H^\prime\)". 简单记为

\[\delta_{\mathrm{func}}H=-\epsilon\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}\]

又因为一个使 Hamiltonian 形式不变的 ICT 必然保证物理规律形式和含义不变, 从而为体系的对称连续变换, 反之亦然.

这里把 Hamiltonian 的“形式不变”按严格相等理解. 若两式只相差时间函数, 运动方程仍相同; 可相应调整生成元的时间函数项. 固定这一自由度后, 以下三个关于 ICT 的命题等价:

ICT 为系统的对称变换
ICT 使得 Hamiltonian 形式不变
ICT 的生成元 \(G = G(q, P,t)\simeq G(q,p,t)\) 为系统的守恒量.

空间平移对称性与动量守恒: 使生成元为 \(p_\alpha\), 则相应的变换为空间平移变换
\[\delta q_\beta=\epsilon[q_\beta,p_\alpha]=\epsilon\delta_{\alpha\beta},\quad\delta p_\beta=\epsilon[p_\beta,p_\alpha]=0\]
如果哈密顿量在空间平移下不变
\[[H,p_\alpha]=0\]
这就得到动量守恒
空间旋转对称性与角动量守恒: 绕 \(z\) 轴的空间转动
\[x_i^{\prime}=x_i-\epsilon y_i,\quad y_i^{\prime}=y_i+\epsilon x_i,\quad p_{ix}^\prime=p_{ix}-\epsilon p_{iy},\quad p_{iy}^\prime=p_{iy}+\epsilon p_{ix}\]
可以验证得到生成元 \(G=x_ip_{iy}-y_ip_{ix}=J_z\). 同理, 如果哈密顿量在绕 \(z\) 转动下不变
\[[H,J_z]=0\]
这就得到角动量守恒.
- 进一步可以验证物理量 \(x\) 在 \(\hat J_z\) 诱导下的连续变化
  \[\begin{aligned} x(\theta) &=\mathrm{e}^{\theta\hat J_z}x(0)\\ &=x_0+\theta[x,J_z]_0+\frac{\theta^2}{2!}[[x,J_z],J_z]_0+\frac{\theta^3}{3!}[[[x,J_z],J_z],J_z]_0+\cdots\\ &=x_0-\theta y_0-\frac{\theta^2}{2!}x_0+\frac{\theta^3}{3!}y_0+\frac{\theta^4}{4!}x_0-\cdots\\ &=x_0\cos\theta-y_0\sin\theta\\ y(\theta) &=\mathrm{e}^{\theta\hat{J}_z}y(0)=y_0\cos\theta+x_0\sin\theta \end{aligned}\]
- 对于任意无穷小转动, 生成元 \(G = \mathbf{n}\cdot\mathbf{J}\), 相应空间转动变换
  \[\begin{aligned} \delta\mathbf{r} &=\epsilon[\mathbf{r},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]\\ &=\epsilon(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\cdot [\mathbf{r},\mathbf{p}]\\ &=\epsilon \mathbf{n}\times\mathbf{r}\\ \delta\mathbf{p} &=\epsilon[\mathbf{p},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]\\ &=\epsilon(\mathbf{p}\times\mathbf{n})\cdot [\mathbf{p},\mathbf{r}]\\ &=\epsilon \mathbf{n}\times\mathbf{p} \end{aligned}\]
  从而对任何随系统转动的矢量 \(\mathbf{a} = \mathbf{a}(\mathbf{r},\mathbf{p},t)\) 都应该有
  \[\delta\mathbf{a} = \epsilon[\mathbf{a},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]\]
  另外, 对于标量积
  \[\begin{aligned} \left[\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}\right] &=\mathbf{a}\cdot[\mathbf{b},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]+\mathbf{b}\cdot[\mathbf{a},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]\\ &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{b})+\mathbf{b}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{a})\\ &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{b})+\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{n})\\ &=0 \end{aligned}\]
  在该空间转动下不变.
时间平移对称性与哈密顿量守恒: 如果 \(\partial_t H=0\), 那么时间平移变换
\[\delta q_\alpha=\dot{q}_\alpha\delta t=\epsilon[q_\alpha,H],\quad \delta p_\alpha=\dot{p}_\alpha\delta t=\epsilon[p_\alpha,H]\]
为体系的对称性变换, 从而可以得到对应的生成元 \(H\) 是守恒的.

9.2 Symmetry and Conservation Laws in the Kepler Problem Revisited

9.2.1 Angular Momentum and Its Involution Properties

由
\[[p_i,J_j]=[p_i,\epsilon_{lmj}x_lp_m]=\epsilon_{lmj}[p_i,x_l]p_m=-\epsilon_{lmj}\delta_{il}p_m=\epsilon_{ijm}p_m\]
可以得到
\[[p_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}p_k\]
与 \(x_i\) 的 Poisson 括号
\[[x_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}x_k\]
也可以类似地证明
利用矢量在转动下的性质
\[[\mathbf{J},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]=\mathbf{n}\times\mathbf{J}\]
容易证明
\[[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k\]
利用 Poisson 定理, 可以得到, 如果角动量的两个分量是守恒的, 那么总角动量也守恒.
利用标量积在转动下的性质
\[[J^2,\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]=0\]
可以得到 \(J^2\) 与任何一个分量对易. 角动量的两个分量一般不能直接组成一对共轭正则变量, 因为其括号不是常数 1. 在函数独立的局部区域, \(J^2\) 与 \(J_z\) 可选作两个对合的正则动量; 它们彼此的括号为零, 并不是一对共轭变量.

9.2.2 LRL Vector and Its Properties

对于生成 LRL 矢量时用到的、依赖速度的试探变换
\[\delta\mathbf{r} = \boldsymbol{\epsilon}\times \mathbf{J},\quad \delta t =0\]
若直接在相空间中补以 \(\delta\mathbf p=0\), 得到的变换并不保 Poisson 括号; 沿 Kepler 运动由 \(\dot{\mathbf J}=0\) 得到的速度变分不能自动替代一般相空间变换:
\[[\mathbf{r}^{\prime},\mathbf{p}^{\prime}] =[\mathbf{r},\mathbf{p}]+[\boldsymbol{\epsilon}\times \mathbf{J},\mathbf{p}] =[\mathbf{r},\mathbf{p}]+\boldsymbol{\epsilon}\times[\mathbf{J},\mathbf{p}]+[\boldsymbol{\epsilon},\mathbf{p}]\times \mathbf{J} \neq[\mathbf{r},\mathbf{p}]\]
从而不是正则变换. 我们尝试通过 LRL 矢量
\[\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{J} - \frac{m\alpha}{r}\mathbf{r}\]
给出相应的对称性正则变换. 取 \(H=p^2/(2m)-\alpha/r\)、\(r\ne0\), 首先在 Hamilton 力学框架下验证 \(\mathbf A\) 是守恒量:
\[\begin{aligned} \left[A_{k},H\right] &=\left[\epsilon_{ijk}p_iJ_j-\frac{m\alpha x_k}{r},H\right]\\ &=\epsilon_{ijk}\left[p_i,H\right]J_j-m\alpha\left[\frac{x_k}{r},H\right]\\ &=-\alpha\epsilon_{ijk}\left[p_i,\frac{1}{r}\right]J_j-\alpha\left[\frac{x_k}{r},p_i\right]p_i\\ &=\alpha\epsilon_{ikj}\frac{x_i}{r^3}\cdot \epsilon_{lmj}x_lp_m+\alpha\left(x_k\cdot\frac{x_i}{r^3}-\frac{1}{r}\delta_{ik}\right)p_i\\ &=\alpha\left(\delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl}\right)\frac{x_i}{r^3}x_lp_m+\alpha\left(\frac{x_ix_k}{r^3}-\frac{1}{r}\delta_{ik}\right)p_i\\ &=\alpha\left(\frac{x_ix_i}{r^3}p_k-\frac{x_ip_i}{r^3}x_k\right)+\alpha\left(\frac{x_ip_i}{r^3}x_k-\frac{1}{r}p_k\right)\\ &=0 \end{aligned}\]
令生成元
\[\mathcal{G} = \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{A} = \boldsymbol{\epsilon} \cdot \left( \mathbf{p}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) - \frac{m\alpha}{r}\mathbf{r} \right) = p^2(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) - \frac{m\alpha}{r}(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})\]
相应正则变换
\[\begin{aligned} \delta \mathbf{r} &= \frac{\partial \mathcal{G}}{\partial \mathbf{p}} = 2\mathbf{p}(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})-\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r}\\ \delta \mathbf{p} &= -\frac{\partial \mathcal{G}}{\partial \mathbf{q}} = (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})\mathbf{p} - \left(p^2 - \frac{m\alpha}{r}\right)\boldsymbol{\epsilon} - \frac{m\alpha(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})}{r^3}\mathbf{r} \end{aligned}\]
由矢量在转动下的性质
\[[\mathbf{A},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]=\mathbf{n}\times\mathbf{A}\]
容易得到分量
\[[A_i,J_j]=\epsilon_{ijk}A_k\]
LRL 分量之间的 Poisson 括号
\[[A_i,A_j]=-2mH\epsilon_{ijk}J_k\]
LRL 分量单独不构成闭合 Lie 代数. 在固定非零能量上适当归一化后, 它们与 \(\mathbf J\) 的分量共同构成闭合 Lie 代数; 未归一化的括号包含函数 \(H\). Proof 最后一个
\[\begin{aligned} \left[A_i,A_j\right] &=\underbrace{[(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_i,(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_j]}_{\mathrm{Part}~\mathrm{I}}\\ &\underbrace{-m\alpha\left([(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_i,\frac{x_j}{r}]-[(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_j,\frac{x_i}{r}]\right)}_{\mathrm{Part}~\mathrm{II}}\\ &+\underbrace{m^2\alpha^2[\frac{x_i}{r},\frac{x_j}{r}]}_{0} \end{aligned}\]
1. 第一项, 令 \(\mathbf{X} = \mathbf{p}\times\mathbf{J}\), 则
  \[\begin{aligned} \left[X_i, X_j\right] &= \epsilon_{lmj} [X_i, p_l J_m] \\ &= \epsilon_{lmj} \left( p_l [X_i, J_m] + [X_i, p_l] J_m \right) \\ &= \epsilon_{lmj} \left( p_l \epsilon_{imn} X_n + (\delta_{il} p^2 - p_i p_l) J_m \right) \\ &= \epsilon_{ljm} \epsilon_{inm} p_l X_n + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= (\delta_{li} \delta_{jn} - \delta_{ln} \delta_{ji}) p_l X_n + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= p_i X_j - \delta_{ji} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{X}) + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= p_i X_j + \epsilon_{imj} p^2 J_m - p_i X_j \\ &= -\epsilon_{ijm} p^2 J_m \end{aligned}\]
  其中第二行到第三行
  - 用到了之前证明过的 \([X_i,J_j]=\epsilon_{ijk}X_k\), 即旋转性质.
  - 还用到了
    \[[X_i,p_l] = [\epsilon_{iab} p_a J_b, p_l] = \epsilon_{iab} p_a [J_b, p_l] = \epsilon_{iab} p_a \epsilon_{blc} p_c = \delta_{il} p^2 - p_i p_l\]
  第六行到第七行用到了 \(\mathbf{X} = \mathbf{p} \times \mathbf{J}\) 的定义, 从而得到 \(\mathbf{p} \cdot \mathbf{X} = 0\).
2. 第二项, 我们令 \(\mathbf{f} = \frac{\mathbf{x}}{r}\), 则
  \[[X_i, f_j] = [\epsilon_{ikl} p_k J_l, f_j] = \epsilon_{ikl} \left( p_k [J_l, f_j] + [p_k, f_j] J_l \right)\]
  - 前一项: 利用旋转性质
    \[\begin{aligned} \epsilon_{ikl} p_k [J_l, f_j] &= \epsilon_{ikl} \epsilon_{ljm} p_k f_m \\ &= (\delta_{ij} \delta_{km} - \delta_{im} \delta_{kj}) p_k f_m \\ &= \delta_{ij} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{f}) - p_j f_i \end{aligned}\]
  - 后一项: 利用基本 Poisson 括号
    \[\begin{aligned} \epsilon_{ikl} [p_k, f_j] J_l &= -\epsilon_{ikl} \left( \frac{\delta_{kj}}{r} - \frac{x_k x_j}{r^3} \right) J_l \\ &= -\frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} + \frac{x_j}{r^3} (\mathbf{r} \times \mathbf{J})_i \end{aligned}\]
    利用
    \[\mathbf{r} \times \mathbf{J} = \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \mathbf{r}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}) - \mathbf{p} r^2\]
    故后一项为
    \[-\frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} + \frac{x_j x_i (\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})}{r^3} - \frac{p_i x_j}{r}\]
  相减, 对称项 \(\delta_{ij} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{f})\), \(\frac{x_i x_j (\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})}{r^3}\) 显然可消去, 余下部分得到
  \[[X_i, f_j] - [X_j, f_i] = \left( - \frac{p_j x_i}{r} - \frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} - \frac{p_i x_j}{r} \right) - (i \leftrightarrow j) = -\frac{2\epsilon_{ijm} J_m}{r}\]
  其中 \((i \leftrightarrow j)\) 表示交换 \(i\) 和 \(j\) 后的一项.
综合得到结果
\[[A_i,A_j] = -\epsilon_{ijk}(p^2-2m\alpha/r)J_k = -2mH \epsilon_{ijk} J_k\]
与动量、角动量等不同, LRL 矢量的生成函数不属于基本型, 事实上也不是点变换, 不体现点对称性或者说是几何对称性, 而是体现 Kepler 体系的动力学对称性–这一系统满足更高的对称性. LRL 矢量本质上对应了这一体系在四维空间下的旋转对称性. 对于束缚系统, 这体现 \(SO(4)\) 对称性–保证欧式四维向量长度不变: 定义
\[\mathbf{D} = \frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m|E|}}\]
容易证明对于 \(E\lt0\) 的束缚系统
\[[J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k,\quad [D_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}D_k,\quad [D_i,D_j]=\varepsilon_{ijk}J_k\]
这就是四维欧式空间中, 6 个独立的旋转平面分别对应的生成元, 它们构成封闭的 6 维 Lie 代数(进一步讲为 \(SO(4)\) 代数). 对于 \(E>0\) 的非束缚系统, 归一化后体现 \(\mathfrak{so}(1,3)\) 动力学代数: 最后一式的 Poisson 括号变为
\[[D_i,D_j]=-\varepsilon_{ijk}J_k\]
容易看出后者与 Lorentz 群的 Lie 代数同构. 相应的对称群是六维相空间中的对称性正则变换群, 其生成元为 \(\mathbf{J}\) 和 \(\mathbf{A}\) 的分量. 进一步对于束缚轨道, 可以定义
\[\mathbf{B}^{\pm} = \frac{\mathbf{J}\pm\mathbf{D}}{2}\]
从而得到两个独立的 \(SU(2)\) 代数
\[\left[B_i^\pm,B_j^\pm\right]=\epsilon_{ijk}B_k^\pm,\quad\left[B_i^+,B_j^-\right]=0\]
这给出 Lie 代数分解 \(\mathfrak{so}(4)\cong\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\). 两组三分量生成元描述相空间上的动力学变换, 不由此得到一个四维向量表示. 在 \(E=0\) 时不能使用上述归一化, 而 \([A_i,A_j]=0\), 与 \(\mathbf J\) 构成 \(\mathfrak e(3)\) 代数.

9.3 Liouville’s Theorem

9.3.1 Canonical Variables and Liouville’s Theorem

坐标是人为引入的, 而物理意义不依赖于坐标的选取. Hamilton 力学下, 正则变换下的正则不变量(canonical invariants)格外有意义. 我们已经知道正则方程和 Poisson 括号, 作为两个重要的正则不变量. Liouville 定理说明了这样一个事实: 相空间的体元(volume element)也是正则不变量.

Proposition 正则变换下的相空间体元不变. 正则变换下, 相空间坐标的 Jacobian 矩阵为

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}=\frac{\partial(Q,P)}{\partial(q,p)}.\]

由保辛条件

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}=\boldsymbol{\omega}\]

取行列式先得 \((\det\boldsymbol{\mathcal{J}})^2=1\). 实辛群与恒等矩阵连通, 故辛矩阵的行列式为 \(+1\), 因而

\[\mathrm{d}^s Q\,\mathrm{d}^s P =\det\boldsymbol{\mathcal{J}}\,\mathrm{d}^s q\,\mathrm{d}^s p =\mathrm{d}^s q\,\mathrm{d}^s p.\]

即正则变换下, 相空间体积保持不变. 利用 ICT 的观点, 系统按照 Hamilton 方程的演化也可以被认为是发生连续正则变换, 从而也保证相空间体积元不变–这就得到 Liouville 定理的结论.

也可以利用微分形式, 定义相空间体积元为
\[\Omega \equiv \mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 \wedge \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2 \wedge ... \wedge \mathrm{d}p_s \wedge \mathrm{d}q_s =\bigwedge_{i=1}^s \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q_i\]
注意到
\[\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 \wedge \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2 = \frac{1}{2}(\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 + \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2) \wedge (\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 + \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2) = \frac{1}{2!}\omega^{\wedge 2}\]
故一般地有
\[\Omega = \frac{1}{s!}\omega^{\wedge s},\quad \omega = \sum_{\alpha=1}^s \mathrm{d}p_\alpha \wedge \mathrm{d}q_\alpha\]
由正则变换的保辛性, 直接可以得到相空间体元的不变性.
\(2k\) 维面积元也可以由微分形式定义
\[S=\frac{1}{k!}\omega^{\wedge k}\]
故相应 \(2k\) 维曲面上的辛形式积分在正则变换下保持不变. 以下取相空间中的二维曲面 \(D\), 并让它随 Hamilton 流演化. 从而其边缘回路对辛势的积分
\[I= \oint_{\partial D} \Theta = \int_{D} \mathrm{d}\Theta = \int_{D} \omega\]
也不随时间变化.

Theorem Liouville 定理的散度表述

\[\nabla\cdot X_H = 0\]

Proof 正则坐标证明. 利用

\[\mathcal J^i{}_j(t)=\frac{\partial\xi^i(t)}{\partial\xi_0^j},\quad \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mathcal J}}{\mathrm{d}t} =\mathbf A(t)\boldsymbol{\mathcal J},\quad A^i{}_j(t)=\left.\frac{\partial\dot\xi^i}{\partial\xi^j}\right|_{\xi(t)}\]

得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln\mathcal{J}=\mathrm{tr}\left(\frac{\partial \dot{\xi}^k}{\partial\xi^i}\right)=\partial_j\dot{\xi}^j=\nabla\cdot X_H\]

直接由正则方程及 \(H\in C^2\) 得

\[\nabla\cdot X_H=\sum_\alpha\left( \frac{\partial^2H}{\partial q_\alpha\partial p_\alpha} -\frac{\partial^2H}{\partial p_\alpha\partial q_\alpha}\right)=0.\]

再由 \(\mathcal J(0)=1\) 及上述 Jacobian 演化方程得到 \(\mathcal J(t)=1\). 这样先证明散度为零, 再推出体积守恒, 无须预先引用待证结论.

Proof 辛几何证明. 利用辛几何的记号, 对 \(\omega^{\wedge s} = s!\Omega\) 作 Lie 导数, 得到

\[\mathcal{L}_{X_H}(\omega^{\wedge s})=s\omega^{\wedge(s-1)}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega=s\omega^{\wedge(s-1)}\wedge0=0\]

第二个等号用到了保辛性质. 对于处处非 0 的体积形式 \(\Omega\), 向量场的散度定义为

\[\mathcal{L}_X\Omega=\left(\operatorname{div}_\Omega X\right)\Omega\]

故 \(\operatorname{div}_\Omega X_H=0\).

与流体对比, Liouville 定理可以被认为是在等价地说明–Hamilton 流是不可压缩的.

9.3.2 Liouville Equation

考虑系统的大量副本(Hamiltonian 相同)组成的系综, 在 Hamiltonian 诱导的 ICT 下发生演化. 我们可以视其密度为相空间上的一个连续的概率分布

\[\int \rho(q,p,t)\,\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p = 1\]

Theorem Liouville 方程前面给出的系综图景中,有概率守恒的连续性方程:

\[\partial_t\rho+{\nabla}\cdot(\rho\mathbf{v})=0\]

或者记作

\[\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\partial_t\rho+[\rho,H]=0\]

二者是等价的:

\[\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=\partial_i(\rho\dot{\xi}^i)=\partial_i(\rho\omega^{ij}\partial_jH)=\partial_i\rho\omega^{ij}\partial_jH=[\rho,H]\]

Proof 对任意随 Hamilton 流演化的区域 \(D(t)=\phi_t(D_0)\), 概率守恒给出

\[0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{D(t)}\rho\,\mathrm{d}^{2s}\xi =\int_{D(t)}\left[\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)\right] \mathrm{d}^{2s}\xi.\]

由于区域任意, 被积函数处处为零, 得到连续性方程. 再利用 \(\nabla\cdot\mathbf v=0\), 可得沿相流 \(\mathrm{D}\rho/\mathrm{D}t=\partial_t\rho+[\rho,H]=0\).

Remark 非 Hamilton 流的加权不变测度. 流映射 Jacobian 满足 \(\dot{\mathcal{J}}=(\nabla\cdot\dot\xi)\mathcal{J}\)、\(\mathcal{J}(0)=1\). 对自治非 Hamilton 流, 记 \(\kappa(\xi)=\nabla\cdot\dot\xi\). 若存在光滑单值函数 \(W\) 满足 \(\dot\xi\cdot\nabla W=\kappa\), 则 \[\mathcal J=\exp\left(\int_0^t\mathrm{d}\tau\,\kappa(\xi(\tau))\right) =\exp\left(W(\xi(t))-W(\xi(0))\right).\] \[\sqrt{g(t)}\mathrm{d}^{2s}\xi(t)=\sqrt{g(0)}\mathrm{d}^{2s}\xi(0),\quad \sqrt{g(t)}\equiv \mathrm{e}^{-W(\xi(t))}\] 这里 \(\sqrt g=\mathrm e^{-W}\) 表示权密度, 得到的是加权不变测度. 全局单值 \(W\) 的存在并非任意非 Hamilton 系统都满足, 也不能仅由这一密度推断度规曲率.

9.3.3 Stationary Ensembles

若系综分布达到定态, \(\partial_t\rho=0\), 则 \(\rho(q,p)\) 沿 Hamilton 流守恒. 这是定态条件; 热平衡还需相应的统计与物理条件.

将此系综分为两个独立的子系 1+2, \(\rho\,\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p=\rho_1\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}p_1\cdot\rho_2\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}p_2\),得到可加性运动积分

\[\ln\rho=\ln\rho_1+\ln\rho_2\]
若进一步假定相关的独立可加运动积分只需总能量、总动量和总角动量, 并采用相应的热平衡分布, 第 \(i\) 个子系可写为
\[\ln\rho_i=\alpha_i-\beta E_i+\boldsymbol{\gamma}\cdot\mathbf{p}_i+\boldsymbol{\delta}\cdot\mathbf{J}_i\]
\(\alpha_i,\beta,\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\) 为常系数, 且对于给定稳定闭合系统, 所有子系统的 \(\beta,\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\) 应相同. 在不施加总动量、总角动量约束的静止热平衡系综中, 可取 \(\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\delta=0\), 从而
\[\rho=\mathrm e^{\alpha-\beta E}.\]
非零总角动量不能只靠转动坐标轴置零; 旋转平衡一般仍保留相应约束项.

9.3.4 Poincaré Recurrence

Theorem Poincaré 回归定理: 对具有有限不变测度的、演化在该区域内完备的自治 Hamilton 系统, 几乎处处的初始相点会无限多次回到自身任意邻域. 结论是“几乎处处”, 且需要有限测度的不变区域; 仅给出一个有界但可逃出的区域不够.

Proof 固定步长 \(\tau>0\), 令 \(T=\phi_\tau\). 对任意可测集 \(D\), 记 \(R\subset D\) 为从不再返回 \(D\) 的点集. 集合 \(T^nR\) 两两不交, 且保测度, 因此在总测度有限时只能有 \(\mu(R)=0\). 只返回有限次的点按最后一次返回时间分成可数个 \(T^{-n}R\), 也为零测度. 再对流形的一组可数邻域基应用此结论, 得到几乎处处的初值无限次回到自身任意邻域.

Remark 回归定理与热力学第二定律:

回归定理不提供一个普遍的回归时间或它关于粒子数的增长律. 宏观平衡体系中显著涨落的回返通常极慢, 但具体时间依赖模型和回返邻域.
热力学规律是统计规律; 取热力学极限与取无限长时间的次序也不能任意交换.

10 Integrable Systems

10.1 Action-Angle Variables

对自治系统, 如果能够确定一组不显含时间的正则变换, 使得所有正则动量均为运动积分, 所有正则坐标均为循环坐标(积分变量)

\[(q^\alpha,p_\alpha) \to (\phi^\alpha,I_\alpha)\]

这样就可以简单地求解系统的运动

\[\dot{\phi}^\alpha = \frac{\partial H}{\partial I_\alpha} = \omega^\alpha \implies I_\alpha(t) = I_\alpha(0), \quad \phi^\alpha(t) = \phi^\alpha(0) + \omega^\alpha t\]

系统在"拉直"的相流上做简单的"匀速直线运动". 后面的一对正则变量即作用-角变量 \(\{\boldsymbol{\phi},\mathbf{I}\}\). 此时系统的 Hamiltonian 具有简单的形式 \(K=K(\mathbf{I})\), 因为不会显含循环坐标.

10.2 Action-Angle Variables for One-Degree-of-Freedom Systems

作用–角变量的相图.

单自由度系统的振动、转动与作用–角相图. 图中的作用变量 \(J\) 即正文的 \(I\); 角变量周期取 \(2\pi\), 全周期有向面积为 \(2\pi I\).

考虑自治单自由度系统的正则周期轨道, 避开平衡点与分离曲线. 给定 \(H(q,p)=E\), 在各局部动量支上反解 \(p=p(q,E)\), 并沿全周期连续拼接. 对摆动情形, 相流围成的有向面积为

\[A\left(E\right)=\oint p\left(q,E\right)\,\mathrm{d}q\]

由于正则变换保相空间面积, 设角变量 \(\phi\) 的周期为 \(2\pi\), 故相应作用变量为

\[I=I\left(E\right):=\frac{A\left(E\right)}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d}q\]

\[\dot\phi = \frac{\partial H}{\partial I}=\omega(I)=\text{const}\]

\(\omega(I)\) 为周期运动的角频率, 也称为"基本频率". 这时我们已经得到了作用变量, 还需要得到生成函数

相邻轨道间的局部有向面积增量.

图中 \(J\) 即正文的 \(I\). 阴影表示从参考截面到 \(q\) 的局部有向面积增量 \(\delta A_q=\phi\delta I\); 绕完整周期才得到 \(2\pi\delta I\).

考虑两条相近能量曲线从参考截面到 \(q\) 所夹的有向面积 \(\delta A_q\).

\[\delta A_q=\int_0^q\left(p+\delta p\right)\,\mathrm{d}q-\int_0^q p\,\mathrm{d}q=\int_0^q\delta p\,\mathrm{d}q\]

由于 \(E = E(I)\)

\[\delta p=\delta p\left(q,E\left(I\right)\right)\equiv\delta p\left(q,I\right)=\frac{\partial p\left(q,I\right)}{\partial I}\delta I\]

进而

\[\delta A_q=\int_0^q\frac{\partial p\left(q^{\prime},I\right)}{\partial I}\delta I\,\mathrm{d}q^{\prime}=\delta I\frac{\partial}{\partial I}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

在作用–角坐标中同一面积为 \(\delta A_q=\phi\delta I\), 从而

\[\phi=\phi\left(q,I\right)=\frac{\partial}{\partial I}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

与

\[p \equiv \frac{\partial}{\partial q}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

结合, 并与 Type 2 生成函数的变换关系对比, 得到生成函数就是简约作用量.

\[F_2\left(q,I\right):=\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}=W(q,I)\]

利用 Legendre 变换, 还可以得到 Type I 生成函数

\[F_1\left(q,\phi\right)=F_2\left(q,I\right)-\phi I=\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}-\phi I\]

一个周期下

\[\Delta F_2=\oint p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\equiv2\pi I,\quad \Delta F_1=2\pi I-2\pi I=0\]

Example 谐振子

\[H = \frac{1}{2m}(p^2 + m^2\omega^2q^2),\quad \omega^2 \equiv \frac{k}{m}\]

Solution 作用量变量

\[I=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d}q =\frac{4}{2\pi}\int_0^{q_{\max}}\sqrt{2m E-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q =\frac{E}{\omega}\]

这里闭合积分沿相轨道定向进行; 第二式已改在上半支取正根. 容易得到

\[H(I) = \omega I\]

进而有基本频率

\[\dot\phi = \frac{\partial H}{\partial I}=\omega\]

在 \(p=p_+(q)\) 的局部支上, 角变量由简约作用量 \(W(q,I)\) 求导得到

\[\phi(q,I) = \frac{\partial}{\partial I}\int^q \sqrt{2m\omega I-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q =\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m\omega}{2I}}\right)+C\]

跨过转点时应切换动量支并连续拼接 \(\phi\), 才得到模 \(2\pi\) 的全周期角变量.

反解得到

\[\begin{aligned} q(t) &= \sqrt{\frac{2I}{m \omega}} \sin \left( \omega t + \delta \right)\\ p(t) &= \sqrt{2Im\omega} \cos \left( \omega t + \delta \right) \end{aligned}\]

10.3 Liouville-Integrable Systems

可积系统

Definition 以下讨论 \(2s\) 维辛相空间上的自治 Hamilton 系统, 并在所需函数独立的正则区域内陈述结论.

若存在 \(s\) 个两两 Poisson 对易的守恒量 \(C_1=H,C_2,\cdots,C_s\), 且 \(\mathrm{d}C_1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}C_s\ne0\), 则称为 Liouville 可积. 只有 \(s\) 个独立守恒量而不对合, 不足以据此应用 Liouville–Arnold 定理.
对合(involution)即 \([C_\alpha,C_\beta]=0\). 这保证各 Hamilton 流相互交换并保持共同等值面.

对 \(m\le s\) 个独立对合函数, 正则共同等值面满足:
- 维数为 \(2s-m\);
- 限制的辛形式有 \(m\) 维零方向, 由这些函数的 Hamilton 向量场张成.
因此它一般不继承非退化辛结构; 在 \(m=s\) 时, 共同等值面是 Lagrangian 子流形, 辛形式在其上恒为零.
在已具备 Liouville 可积性的基础上, 若还有额外的独立守恒量, 称为超可积. 在非平衡正则点附近, 最多有 \(2s-1\) 个独立守恒量; 达到此数目时称为最大超可积. 各种文献的命名可能不同, 本节采用上述约定.

Proposition \(2s\) 维相空间中,最多存在 \(s\) 个泊松对易的独立守恒量(类比欧氏空间的基矢量). Proof (辛线性代数的简单事实)设相空间为 \(2s\) 维的辛流形, 在某一点考察. 若 \(C_1,\cdots,C_m\) 是 \(m\) 个两两泊松对易的独立函数,则它们相应的哈密顿向量场 \(\{X_{C_a}\}\) 满足

\[\omega(X_{C_\alpha},X_{C_\beta})=-[C_\alpha,C_\beta]=0\]

也就是说, \(\{X_{C_\alpha}\}\) 在该点张成了一个关于辛形式 \(\omega\) 的各向同性子空间(isotropic subspace). 辛空间中任一各向同性子空间的维数上界为 s. 这是辛形式在向量空间上的标准事实:对子空间 \(W\):

\[\omega|_{W}=0\implies \dim W\le s\]

因此 \(m\le s\).

直观地讲, 辛形式将向量与其余切空间配对, 互相对易的守恒量所产生的向量场两两辛正交, 无法超过既定最大各向同性维数.

Remark 仅在一个切空间中选取各向同性子空间, 不能证明其向量基可在邻域内写成两两对易的 Hamilton 向量场, 更不能推出全局单值的独立对合积分. 点依赖线性组合的系数还会给函数的微分带来额外项. 因此不由这一线性代数论证断言全局可积性; 对具体系统应直接核验一组独立对合积分. 下述 Kepler 示例采用这种做法.

Example Kepler 问题的可积性

Solution 自由度 \(s=3\), 相空间维度 \(2s=6\), 故最多可以有 \(2s-1=5\) 个独立的运动常数以保证运动轨迹是一维曲线. \(H, \mathbf{A},\mathbf{J}\) 共 7 个守恒量, 考虑到约束关系

\[\mathbf{A}\cdot\mathbf{J}=0,\quad H = \frac{\mathbf{A}^2-m^2\alpha^2}{2m\mathbf{J}^2}\]

故总共只有 5 个独立分量, 可以选取为

\[\{H,\; J^2,\; J_z,\; A_x,\; A_y\}\]

此外, 要说明 Kepler 系统是 Liouville 可积的, 只需找出 \(s=3\) 个对合的守恒量. 一个常见且自然的选取是

\[\{H, J^2, J_z\}\]

满足对合性质. 故 Kepler 问题描述的系统为最大超可积系统.

10.4 Action-Angle Variables for Liouville-Integrable Systems

10.4.1 Invariant Tori

Theorem Liouville–Arnold 定理: 若 \(s\) 个独立对合积分的一个正则共同等值面的连通分支是紧致的, 则该分支微分同胚于 \(s\) 维环面; 在其邻域可引入作用–角变量. 正则性、连通性和紧致性是这里环面结论的条件, 不能仅由运动有界推出. 角变量一般只在模 \(2\pi\) 的意义下全局定义.

Proof 要点是独立、对易且在紧致分支上完备的 Hamilton 向量场给出局部自由的 \(\mathbb R^s\) 作用, 其离散稳定子形成满秩格点, 从而共同等值面为 \(\mathbb R^s/\Gamma\cong\mathbb T^s\). 单个生成流不必闭合, 该结论也不是由相体积守恒直接推出.

在环面上取 \(2\pi\) 周期角变量, 有 \(\phi(t)=\phi(0)+\boldsymbol\omega t\):

轨道具有公共周期, 当且仅当存在 \(T>0\) 使 \(T\omega^a\in2\pi\mathbb Z\) 对所有分量成立; 非零频率需可公度, 不必互为整数倍.
若不存在非零整数向量 \(\mathbf m\) 使 \(\mathbf m\cdot\boldsymbol\omega=0\), 则轨道在整个环面稠密. 仅有某对频率之比为无理数不足以保证高维环面上的这一性质.
若存在整数共振, 轨道闭包通常是较低维子环面, 维数由频率的有理独立数决定. 全部频率为零时为静止轨道.

不变环面上的辛势积分 不变环面的切空间由守恒量 \(C_a\) 生成的哈密顿矢量场 \(X_{C_\alpha}\) 给出, 且满足:
\[\omega(X_{C_\alpha},X_{C_\beta}) = 0\]
不变环面上的任意切向量 \(u=u^\alpha X_{C_\alpha},v=v^\beta X_{C_\beta}\) 满足 \(\omega(u,v)=0\), 所以辛势的限制是闭形式. 只有对环面内可缩、能围成曲面 \(D\) 的回路, 才能推出以下积分为零. 非平凡回路的周期积分一般非零, 正是作用变量的来源; 路径无关性仅在局部或固定同伦类下成立.
\[I= \oint_{\partial D} \Theta = \int_{D} \mathrm{d}\Theta = \int_{D} \omega = 0\]

10.4.2 Local Canonical Coordinates

Proof 考虑到系统运动总是限制在 \(C_\alpha(q,p)=\text{const}\) 的超曲面, 在满足 \(\det(\partial C/\partial p)\ne0\) 的局部坐标片上, 可由隐函数定理反解得到

\[p_\alpha=p_\alpha(C,q)\]

在该局部坐标片内固定积分路径的同伦类, 对辛势积分

\[W(C,q)=\int_{q_0}^qp_\alpha(C,q)\mathrm{d}q^\alpha\]

显然 \(W(C,q)\) 满足 \(p_\alpha=\frac{\partial W}{\partial q^\alpha}\), 可以定义 \(\phi^{\alpha} = \frac{\partial W}{\partial C_{\alpha}}\), 即认为 \(W(C,q)\) 作为一个 Type 2 生成函数生成正则变换

\[(q^{\alpha},p_{\alpha})\to(\phi^{\alpha},C_{\alpha})\]

得到局部正则共轭变量. 一般守恒量 \(C_\alpha\) 还不是按周期归一化的作用变量, 相应共轭坐标也不必有 \(2\pi\) 周期; 需要下述回路积分定义作用变量.

10.4.3 Action-Angle Construction

对环面 \(\mathbb{T}^s\), 取 s 个独立非平凡回路 \(\{\gamma_a\}\), 定义作用变量

\[I_a = \oint_{\gamma_a}\frac{\Theta}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_a}p_{\alpha}\mathrm{d}q^{\alpha}\]

可以证明其为守恒量

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \oint_{\gamma_a(t)} p\,\mathrm{d}q = \oint_{\gamma_a} \mathcal{L}_{X_{H}}(p\,\mathrm{d}q) = \oint_{\gamma_a} \mathrm{d}(p\,\mathrm{d}q(X_{H})) + \oint_{\gamma_a} \iota_{X_{H}} \omega = 0 + 0\]

进而可以定义角变量

\[F_2(q,I) = W(q, I) = \int^q p_\alpha(q^{\prime},I)\,\mathrm{d}{q^{\prime}}^{\alpha}\implies \phi^a = \frac{\partial F_2}{\partial I_a}\]

有性质

\[\oint_{\gamma_a}\mathrm{d}\phi^b =\oint_{\gamma_a}\frac{\partial^2F_2}{\partial q^\alpha\partial I_b}\,\mathrm{d}q^\alpha =\frac{\partial}{\partial I_b}\oint_{\gamma_a}\frac{\partial F_2}{\partial q^\alpha}\,\mathrm{d}q^\alpha =\frac{\partial}{\partial I_b}\oint_{\gamma_a}p_\alpha\,\mathrm{d}q^\alpha=(2\pi)\frac{\partial I_a}{\partial I_b}=(2\pi)\delta_a{}^b\]

即 \(\phi^a\) 在 \(\gamma_a\) 上以 \(2\pi\) 为一个周期. 由

\[\dot{I}_a = [I_a,H] = 0,\quad \dot{\phi}^a = [\phi^a,H] = \frac{\partial H}{\partial I_a} = \omega^a(I)\]

Example Kepler 问题

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}\]

Solution 以下限于 \(E\lt 0\) 的束缚、非碰撞轨道, 并取相应作用–角坐标正则的局部区域. 采用本节 \(I_a=(2\pi)^{-1}\oint p\,\mathrm{d}q\) 的归一化约定, 并选择 \(z\) 轴方向使 \(J_z\ge0\). 闭合积分均沿相轨道定向; 例如径向积分等于在正动量支上从 \(r_{\min}\) 到 \(r_{\max}\) 积分的两倍. 利用各守恒量和广义动量的表达式, 得到

\[\begin{aligned} I_r &=\frac{1}{2\pi}\oint p_r\,\mathrm{d}r =\frac{1}{\pi}\int_{r_{\min}}^{r_{\max}}\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r =k\sqrt{\frac{m}{-2E}}-J\\ I_\theta &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\theta\,\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\pi}\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta =J-J_z\\ I_\varphi &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi =\frac{1}{2\pi}\oint J_z\,\mathrm{d}\varphi =J_z \end{aligned}\]

反过来可以得到

\[E=-\frac{mk^2}{2(I_r+I_\theta+I_\varphi)^2}\]

进而得到简并的基本频率

\[\omega_{r,\theta,\varphi} =\frac{\partial H}{\partial I_r}=\frac{\partial H}{\partial I_\theta}=\frac{\partial H}{\partial I_\varphi}=\frac{mk^2}{(I_r+I_\theta+I_\varphi)^3} =\frac{1}{k}\sqrt{\frac{(-2E)^3}{m}}\]

考虑生成函数

\[F=(\phi_\varphi-\phi_\theta)I_1+(\phi_\theta-\phi_r)I_2+\phi_rI_3\]

诱导的变换 \((\phi_{r,\theta,\varphi},I_{r,\theta,\varphi})\mapsto(\phi_{1,2,3},I_{1,2,3})\), 变换得到的

\[\begin{aligned} &\phi_1 = \frac{\partial F}{\partial I_1} = \phi_{\varphi} - \phi_{\theta} = \text{const}, &&\phi_2 = \frac{\partial F}{\partial I_2} = \phi_{\theta} - \phi_{r} = \text{const},\\ &&\phi_3 = \frac{\partial F}{\partial I_3} = \phi_{r}\\ &I_r = \frac{\partial F}{\partial\phi_r}=I_3-I_2, &&I_{\theta} = \frac{\partial F}{\partial\phi_\theta}=I_2-I_1, &&I_{\varphi} = \frac{\partial F}{\partial\phi_\varphi}=I_1\implies\\ &I_1=I_\varphi, &&I_2=I_\varphi+I_\theta, &&I_3=I_\varphi+I_\theta+I_r \end{aligned}\]

1,2,3 中则只有一个频率非 0 的方向, 即做平面周期运动. 可以得到

\[E(I) = -\frac{mk^2}{2I_3^2}\]

量子化: 在上述半经典作用量量子化下, 取 Coulomb 强度 \(k=Ze^2\) 的 Gaussian 单位约定, 并以 \(m\) 为约化质量, 尝试量子化条件 \[I_3 = \hbar n\implies E = - \frac{mZ^2 e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\] 得到正确的单电子原子能级. 考虑相对论修正和磁场后分别解除 \(2,1\) 方向的简并度.

10.5 Adiabatic Invariants

绝热变化: 如果一个系统依赖的外参数, 在系统运动的特征时间内变化很小, 则可以认为系统进行绝热变化.

绝热不变量: 慢参数变化下在相应近似阶数内保持不变的量, 称为绝热不变量; 它一般不是严格运动积分.

Proposition 对远离分离曲线、周期保持有限的单自由度正则周期运动, 外参数在一个周期内只发生小变化时, 作用变量是绝热不变量. 下述平均保留慢变的一阶主导贡献.

\[I := \frac{1}{2\pi}\oint p(q;E,\lambda)\mathrm{d}q = I(E,\lambda)\]

Proof 计算变化率

\[\dot{I} = \frac{\partial I}{\partial E}\dot{E} + \frac{\partial I}{\partial \lambda}\dot{\lambda} = (\frac{\partial I}{\partial E}\frac{\partial H}{\partial \lambda} + \frac{\partial I}{\partial \lambda})\dot{\lambda}\]

其中

\[\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial E} &= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial p}{\partial E}\,\mathrm{d}q = \frac{1}{2\pi}\int_0^{T} \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial E}\mathrm{d}t = \frac{T}{2\pi}\\ \frac{\partial I}{\partial \lambda} &= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda}\,\mathrm{d}q = -\frac{1}{2\pi}\int_0^{T} \frac{\partial H}{\partial \lambda}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

故

\[\dot{I} = (\frac{T}{2\pi}\frac{\partial H}{\partial \lambda} - \frac{1}{2\pi}\int_0^T \frac{\partial H}{\partial \lambda}\mathrm{d}t)\dot{\lambda}\]

在足够长的时间尺度下, 取周期平均得到

\[\left\langle\dot I\right\rangle \simeq\left(\frac{T}{2\pi}\left\langle\frac{\partial H}{\partial\lambda}\right\rangle-\frac{T}{2\pi}\left\langle\frac{\partial H}{\partial\lambda}\right\rangle\right)\dot\lambda = 0\]

即作用变量在一个周期之内的平均变化率为零, 因此作用变量在参数变化的时间尺度上近似不变.

对于 Liouville 可积系统, 下述推广限于所需作用–角坐标保持正则, 且相关频率不进入共振或分离曲线的慢变区间. 多自由度时采用角变量的环面平均. 此时 \(H=H(q,p;\lambda(t))\). 可以进行连续正则变换, 不断的生成新的作用-角变量. 由于此时 \(F(q,I;\lambda(t))\) 变为含时的, 故变换后的 Hamiltonian
\[\begin{aligned} K(\phi,I;\lambda(t)) &=H(I;\lambda(t))+\frac{\partial F(q,I;\lambda(t))}{\partial t}\\ &=H(I; \lambda(t))+\frac{\partial F(q,I;\lambda(t))}{\partial\lambda}\dot\lambda\\ &=H(I; \lambda(t))+\Lambda(\phi, I; \lambda(t))\dot \lambda \end{aligned}\]

\[\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right) :=\left.\frac{\partial F\left(q,I,\lambda\right)}{\partial\lambda}\right|_{q=q(\phi,I,\lambda)} =\frac{\partial F(q(\phi,I;\lambda),I;\lambda)}{\partial\lambda}-\frac{\partial F(q,I;\lambda)}{\partial q}\frac{\partial q(\phi,I;\lambda)}{\partial\lambda}\]
这里可以再给出 \(I\) 的运动方程
\[\dot{I}=-\frac{\partial K\left(\phi,I,t\right)}{\partial\phi}=-\dot{\lambda}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\]
说明 \(I\) 本身不是运动常数, 但是只要 \(\lambda\) 绝热变化, 则其周期平均近似不变:
\[\begin{aligned} \left\langle\dot{I}\right\rangle &=-\left\langle\dot{\lambda}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\right\rangle \approx-\dot{\lambda}\left\langle\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\right\rangle\\ & =-\frac{\dot{\lambda}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi} =-\frac{\dot{\lambda}}{2\pi}\left(\left.\Lambda\right|_{\phi=2\pi}-\left.\Lambda\right|_{\phi=0}\right)=0 \end{aligned}\]
其中用到的是 \(\Lambda\) 对角变量的周期性. \(F_2=W\) 本身沿一周增加 \(2\pi I\); 固定 \(I\) 后对慢参数求导, 才得到这里所需的周期函数.
环面 \(\mathbb T^s\) 的形状和位置随慢参数演化; 在上述条件和近似阶数内, 回路定义的作用变量近似不变.
- “形状"变化源自哈密顿量对慢参量的依赖(如谐振子频率变化导致相轨道扁率改变)
- “位置"变化反映了局部坐标系在慢参数空间中的回旋, 积累出几何相位. 在经典系统中, 这对应于 Hannay 角(Hannay, Journal of Physics, A18(1985) 221); 在量子系统中, 对应于 Berry 相位(Berry, Journal of Physics, A18(1985) 15).

Hannay 角

下面的 \(\lambda\) 可代表一组慢参数; 多参数时 \(A\,\mathrm d\lambda\) 理解为各联络分量与 \(\mathrm d\lambda^a\) 的缩并.

角变量在绝热变换下的运动方程:

\[\dot{\phi} =\frac{\partial K}{\partial I} =\omega\left(I,\lambda\right)+\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\dot{\lambda}\]

右侧也有 \(\phi\), 难以直接求解. 仍然考虑周期平均. 令

\[A\left(I,\lambda\right) =\left\langle\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\right\rangle\equiv\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\mathrm{d}\phi\]

得到

\[\left\langle\dot{\phi}\right\rangle=\omega\left(I,\lambda\right)+A\left(I,\lambda\right)\dot{\lambda}\]

在一段时间的演化后, 若 \(\lambda\left(\tau\right)=\lambda\left(0\right)\), 角变量平均变化为

\[\langle\Delta\phi\rangle=\int_0^\tau\omega\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}t+\oint_{\mathcal{C}_\lambda}A\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}\lambda\]

第一项来自直接的时间演化, \(\lambda = \text{const}\) 时也存在; 第二项为 Hannay 角

\[\Delta_\mathrm{H}\phi =\oint_{\mathcal{C}_\lambda}A\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}\lambda =\frac{\partial}{\partial I}\oint\langle \Lambda(I,\lambda)\rangle \mathrm{d}\lambda =-\frac{\partial}{\partial I}\oint\langle p\,\mathrm{d}_{\lambda}q\rangle\]

10.6 Nearly Integrable Systems and Chaotic Systems

Definition 近可积系统考虑可积系统 \(H_0(I)\), 施加微扰使得

\[H(I,\phi) = H_0(I) + \epsilon H_1(I,\phi)\]

Theorem KAM 定理的一个常用版本: 在正则作用域内, 若 \(H_0,H_1\) 为实解析函数, \(\det(\partial^2H_0/\partial I_a\partial I_b)\ne0\), 且所考察频率满足 Diophantine 条件 \[|\mathbf m\cdot\boldsymbol\omega|\ge\gamma|\mathbf m|^{-\tau}, \quad \mathbf m\in\mathbb Z^s\setminus\{\mathbf0\},\quad \gamma>0,\quad\tau>s-1,\] 则在足够小、阈值依赖上述条件的扰动下, 相应的准周期不变环面经变形后仍存在. 在合适的作用域内, 扰动趋零时保留环面的测度可趋近全部体积. 共振环面不受这一版本保证, 可能分裂或出现其他结构, 但并非任意扰动都必然破坏它们.¹

故此系统被称为近可积系统.

在不变环面被扰动破坏的相空间区域, 系统的相空间轨迹可能会对初始条件有极端的敏感性, 甚至出现混沌行为.

对于一般的哈密顿系统, 如果其既不是 Liouville 可积系统或近可积系统, 其对合的守恒量的数目少于自由度数目 s, 那这时候系统的动力学行为往往不再规则, 而是常常会表现出混沌.

11 Hamilton-Jacobi Equation

11.1 Hamilton-Jacobi Equation

求解运动方程 本质上是由 2s 个初始条件

\[\{\bar{q}^1,\bar{q}^2,\cdots,\bar{q}^s,\bar{p}_1,\bar{p}_2,\cdots,\bar{p}_s\}\]

表示任意时刻的坐标和动量

\[q^\alpha\left(t\right)=q^\alpha\left(t,\bar{q},\bar{p}\right),\quad p_\alpha\left(t\right)=p_\alpha\left(t,\bar{q},\bar{p}\right)\]

既然时间演化是正则演化, 可以通过逆演化, 把坐标变化为 2s 个常数.

Question 能否找到一组恰当的正则变换, 使得 Hamiltonian 为不依赖于变换后的相空间坐标, 或者干脆为常数? 此时, 相轨道退化为一个点. 比如说有 Type 2 生成函数使得

\[H(q^\alpha,p_\alpha,t)+\frac{\partial S(q^\alpha,P_\alpha,t)}{\partial t}=0\]

这一方程被称为 Hamilton-Jacobi 方程, \(S\) 称为 Hamilton 主函数. 此时各个坐标都是常数

\[P_\alpha=a_{\alpha},\quad Q^{\alpha} = \frac{\partial S}{\partial P_{\alpha}} = b^{\alpha}\]

可以直接由 \(\bar q,\bar p\) 得到. 从而可以反演得到原坐标的运动

\[q=q(t,a,b)\quad p=p(t,a,b)\]

Answer 考虑主函数的微分. 由于

\[H\left(t,q,\frac{\partial S}{\partial q}\right)+\frac{\partial S(t,q,a)}{\partial t}=0\]

代入全微分得到

\[\mathrm{d}S=\frac{\partial S}{\partial q_\alpha}\mathrm{d}q_\alpha+\frac{\partial S}{\partial t}\mathrm{d}t=p_\alpha\mathrm{d}q_\alpha-H\mathrm{d}t\]

在固定参数与初始数据、并选定光滑轨道分支的局部区域内, 这给出以 \((q,t)\) 为终点的经典作用量. 不同初始数据确定不同解, 但满足同一 H-J 方程

\[S(q,t)=\int^t[p_\alpha(\tau)\dot q_\alpha(\tau)-H(q_\alpha(\tau),p_\alpha(\tau),\tau)]\,\mathrm{d}\tau\]

物理意义: 哈密顿主函数是从终态逆时间演化到初态的有限时间演化生成函数
假设已经求得某个特解 \(S\left(t,q\right)\). 由隐函数定理, 能够从
\[b = \frac{\partial S(t,q,a)}{\partial a}\]
中反解出所有广义坐标的前提是上式对于 \(\{q^\alpha\}\) 是 s 个独立的方程, 这要求
\[\det\left(\frac{\partial^2S\left(t,q,a\right)}{\partial q^\alpha\partial a_\beta}\right)\neq0\]
即满足可逆性条件. 含有这 \(s\) 个独立参数并满足上述条件的解才称为 H-J 方程的完全积分; 单个无参特解没有这一性质.

11.2 Separation-of-Variables Solutions

哈密顿-雅可比方程是 \(S\left(t,q\right)\) 的非线性方程, 通解往往难以求得. 求解运动所需的是完全积分: 它含有 \(s\) 个独立参数, 且满足混合 Hessian 的非退化条件. 任意单个特解一般不足以反演出系统的全部运动.

如果能够将主函数分离为

\[S(t,q^1,\cdots,q^s,a)=S_1(q^1,a)+S_2(t,q^2,\cdots,q^s,a)\]

代入 H-J 方程得到

\[\frac{\partial S_2}{\partial t} + H\left(q^1, \frac{\partial S_1}{\partial q^1},\ q^\alpha, \frac{\partial S_2}{\partial q^\alpha},\ t\right) = 0,\quad \alpha\ne 1\]

尝试提取出所有只依赖于 \(q^1\) 的项, 得到

\[H_1\left(q^1,\frac{\partial S_1}{\partial q^1}\right)=H^\prime\left(q^{\alpha},\frac{\partial S_2}{\partial q^\alpha},\frac{\partial S_2}{\partial t},t\right)\]

由于右侧不依赖于 \(q^1\), 所以左右两侧都应该是常数–可分离的变量导致了守恒量. 守恒量可为选择分离变量或正则坐标提供线索, 但不保证原坐标中的加法分离.

若某个坐标 \(q^1\) 为循环坐标, 令
\[p_1=H_1\left(q^1,\frac{\partial S_1}{\partial q^1}\right)\]
由于 \(p_1=\partial_1 S = a_1\), 相应主函数的变量分离
\[S =a_1q^1+S_2\]
当 \(H\) 不显含时间时, \(S\) 可将时间分离(考察 \(S\) 作为作用量的性质容易看出)
\[S(t,q^\alpha,a_\alpha)=W(q^\alpha,a_\alpha)-E t\]
代入 H-J 方程得
\[H\left(q^\alpha,\frac{\partial W}{\partial q^\alpha}\right)=E\]
若还能在当前坐标中进行完全的加法变量分离, 可写为(仅有 Liouville 可积性并不保证这组坐标具有此形式)
\[W(q^\alpha,a_\alpha)=\sum_{\beta=1}^s W_\beta(q^\beta,a_1,\cdots,a_s)\]
考察 \(W\) 作为简约作用量的性质, 容易看出
\[p_\beta=\frac{\partial W}{\partial q^\beta}=\frac{\partial W_\beta}{\partial q^\beta}\]
- 相应作用变量和角变量 \[I_\beta= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial W_\beta}{\partial q^\beta}\mathrm{d}q^\beta,\quad \phi^\beta=\frac{\partial W}{\partial I_\beta}=\sum_{\gamma=1}^s\frac{\partial W_\gamma}{\partial I_\beta}\]

Example 1 谐振子

\[H = \frac{1}{2m}(p^2 + m^2\omega^2q^2),\quad \omega^2 \equiv \frac{k}{m}\]

Solution 由于 \(H\) 不含 \(t\), 主函数可以表示为

\[S(q,a,t) = W(q,a) - a t\]

代入 H-J 方程得到

\[\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^2 + m^2\omega^2q^2\right] = a\]

在 \(a>0\) 的正动量局部支上有

\[W=\int\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q\]

广义动量和变换后的广义坐标

\[p=\frac{\partial S}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial q}\left(\int\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q-at\right)=\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2} \tag{1}\]\[Q=b=\frac{\partial S}{\partial a}=\sqrt{\frac{m}{2 a}}\int\frac{\mathrm{d}q}{\sqrt{1-m\omega^2q^2/2 a}}-t=\frac{1}{\omega}\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{m}{2 a}}\omega q\right) - t \tag{2}\]

(2)反解得到

\[q(t)=\sqrt{\frac{2 a}{m\omega^2}}\sin(\omega (t+b))\]

代入(1)得到

\[p(t)=\sqrt{2ma}\cos(\omega (t+b))\]

利用初始条件得到

\[a=E=\frac{1}{2m}\left(\bar{p}^2+m^2\omega^2\bar{q}^2\right),\quad b=\frac{1}{\omega}\operatorname{atan2}(m\omega\bar q,\bar p)\pmod{\frac{2\pi}{\omega}}\]

这里 \(\operatorname{atan2}(y,x)\) 按 \((x,y)\) 所在象限取角. \(a\) 是能量, \(\omega b\) 是初始相位; 跨过转点时切换主函数的动量支并连续拼接相位.

Example 2 Kepler 问题

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}\]

Solution 由于 \(H\) 不显含 \(t\), 故

\[\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2\right]-\frac{k}{r}=a_t\]

又由于 \(H\) 不显含 \(\varphi\), 令

\[W(r,\theta,\varphi) = W_1(r)+W_2(\theta)+a_\varphi\varphi\]

代入并整理

\[r^2\left(\frac{\partial W_1}{\partial r}\right)^2+2mr^2\left(-\frac{k}{r}-a_t\right)=-\left(\frac{\partial W_2}{\partial\theta}\right)^2-\frac{1}{\sin^2\theta}a_\varphi^2\]

左侧仅为 \(r\) 的函数, 右侧仅为 \(\theta\) 的函数, 故均为常数, 令其为 \(-a_\theta^2\), 从而可以得到

\[S(q,a,t) = \int\sqrt{2m\left(a_t+\frac{k}{r}\right)-\frac{a_\theta^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r+ \int\sqrt{a_\theta^2-\frac{a_\varphi^2}{\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta+ a_\varphi\varphi-a_tt\]

显然 \(a_t = E, a_\varphi = p_\varphi = J_z\), 利用

\[p_\theta = \frac{\partial S}{\partial\theta}=\sqrt{a_\theta^2-\frac{a_\varphi^2}{\sin^2\theta}}\]

得到 \(a_\theta = \sqrt{p_\theta^2+\frac{p_\varphi^2}{\sin^2\theta}} = J\).

\[\begin{aligned} b_t &=\frac{\partial S}{\partial a_t}=\frac{\partial}{\partial E}\int\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r-t\\ b_\theta &=\frac{\partial S}{\partial a_\theta}=\frac{\partial}{\partial J}\int\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\mathrm{d}r+\frac{\partial}{\partial J}\int\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta\\ b_\varphi &=\frac{\partial S}{\partial a_\varphi}= \frac{\partial}{\partial J_z}\int\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta+\varphi \end{aligned}\]

上述正根表达式限于 \(r\ne0\)、\(\sin\theta\ne0\) 的正动量局部支; 跨径向或极角转点时须切换相应符号并连续拼接. 对于指定的轨道性质, 可以反解得到运动方程的解.

只记录 \(J\) 和 \(J_z\) 两个常数不足以确定轨道平面. 完整分离解的其他积分常数也记录轨道取向; 还可由中心力直接验证 \(\dot{\mathbf J}=0\), 得到固定的运动平面.

11.3 Wave Mechanics

主函数的波动行为 考虑二维自由质点

\[S(q,a,t) = W(q,a) - a_1t = a_2 x+\sqrt{2mE - a_2^2}\,y-a_1t =\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et\]

等 \(W\) 面与质点运动方向垂直.

波动光学的短波极限 波动方程

\[\nabla^2\phi - \frac{n(\mathbf{r})^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = 0\]

试探解为

\[\phi = \mathrm{e}^{A(\mathbf{r})}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_0[L(\mathbf{r})-ct]},\quad L(\mathbf{r})=\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s\]

\(L(\mathbf{r})\) 为光程. 代入波动方程可以得到关系

\[\begin{gathered} \nabla^2A+(\nabla A)^2+k_0^2[n^2-(\nabla L)^2]=0\\ \nabla^2L+2\nabla A\cdot\nabla L=0 \end{gathered}\]

在折射率及振幅都足够缓变、避开焦散的短波区域, \(\nabla^2A+(\nabla A)^2\) 相对 \(k_0^2n^2\) 可忽略, 从而 \((\nabla L)^2=n^2\).

考虑势场 \(V\) 下的单粒子, 其简约作用量满足 \[(\nabla W)^2=2m(E-V)\] 如果我们把光波相位写作 \[k_0[L-ct] =\frac{2\pi}{\lambda_0}(L-ct) =\frac{1}{\hbar}\left(\frac{h}{\lambda_0}L-{h\nu t}\right)\] 从而可以建立对应 \[\begin{aligned} \hbar k_0\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s &\Longleftrightarrow \int p\,\mathrm{d}q\\ \hbar k_0[L-ct] &\Longleftrightarrow S=W-Et\\ \end{aligned}\] 从而启发我们–找出这样一个"波动力学”, 使得其"短波极限"为经典力学.

波动力学 引入物质波函数

\[\psi(\mathbf r,t)=A(\mathbf r,t)\mathrm e^{\mathrm iS(\mathbf r,t)/\hbar},\quad A,S\in\mathbb R\]

对时间无关的实势, 单频定态可取 \(A=A(\mathbf r)\)、\(S=W-Et\). 在局部非相对论色散及 \(p=|\nabla W|\ne0\) 的区域,

\[u_p=\frac{E}{p},\quad u_g=\frac{p}{m}.\]

对于等 \(S\) 面 \(S = \text{const}\): \[\mathrm{d}S=\nabla W\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}-E\mathrm{d}t=0\] 这就得到了粒子的相速 \[u_n=\frac{E}{|\nabla W|}\] 这里 \(u_n\) 是等相位面沿法线的有向速度; 等相位面本身就是物质波的波前.

以单频定态作波动光学类比, 写下

\[\nabla^2\psi - \frac{1}{u_p^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = 0\]

代入 \(u_p = E/p\), 以及 \(p = \sqrt{2m(E-V)}\), 得到

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi=\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}\]

上述单频类比给出定态 Schrödinger 方程. 一般含时 Schrödinger 方程还需作为量子动力学方程采用, 不能仅由经典 H-J 方程推出. 下面将一般相位–振幅分解代入该方程, 检查其经典极限:

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2A-\frac{1}{\hbar^2}A(\nabla S)^2+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(2\nabla A\cdot\nabla S+A\nabla^2S\right)\right)+VA =\mathrm{i}\hbar\frac{\partial A}{\partial t}-A\frac{\partial S}{\partial t}\]

其实部得到
\[\frac{1}{2m}(\nabla S)^2+V+\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2A}{A}\]
在 \(A\ne0\)、振幅足够缓变且右侧量子势相对所考察能量尺度可忽略的区域, 避开节点和转点, 得到
\[H(q,\nabla S,t)+\partial_t S = 0\]
即 H-J 方程.
其虚部得到
\[\frac{\partial A^2}{\partial t}=-\nabla\cdot\left(A^2\frac{\nabla S}{m}\right)\]
视 \(A\) 为概率幅, 则得到概率密度守恒
\[\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot(\rho v)\]

Appendix

A.1 Exterior Differential

流形上的微分形式

将二重积分时引入的外代数乘法, 即外积 \(\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x\), 推广到对 n-form 的积分:

\[A=\int f(x^1,x^2,...,x^n)\mathrm{d}x^1\wedge \mathrm{d}x^2\wedge...\wedge \mathrm{d}x^n=\int\omega\]

对于 n 个变量, 还可以推广到 k-form

\[\alpha=\frac{1}{k!}\alpha_{i_1i_2...i_k}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_k}\]

任何 k>n 的 k-form 为 0
0-form 是一个 n 元标量函数
2-form 只由系数的反对称部分决定. 对任意系数 \(c_{ij}\),
\[c_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j =\frac12(c_{ij}-c_{ji})\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j.\]
因而可把 2-form 写成 \(\alpha=\frac12\alpha_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge\mathrm{d}x^j\), 其中 \(\alpha_{ji}=-\alpha_{ij}\). 被消去的是系数的对称部分, 一般的 2-form 本身并不为零.
给定非退化度规与定向后, \(k\)-form 与 \((n-k)\)-form 之间由 Hodge 对偶形成一一映射. 这一对应依赖所选度规与定向.

外微分

对于 \(n\) 维空间的一个 \((k-1)\)-form

\[\alpha=\frac{1}{(k-1)!}\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge...\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}\]

定义其外微分

\[\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{(k-1)!}(\partial_j\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}})\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}\]

为 k-form.

对于任意微分形式, 其二阶外微分 \[\mathrm{d}^2\alpha=\frac{1}{(k-1)!}(\partial_i\partial_j\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}})\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}=0\] 总是为 0. (指标交换得到 \(\mathrm{d}^2\alpha = -\mathrm{d}^2\alpha=0\) 证明)

Stokes 公式

考虑 2 元 1-form 的外微分

\[\begin{aligned} \mathrm{d}a &=\mathrm{d}a_x\wedge \mathrm{d}x+\mathrm{d}a_y\wedge \mathrm{d}y\\ &=(\partial_xa_x\mathrm{d}x+\partial_ya_x\mathrm{d}y)\wedge \mathrm{d}x+(\partial_xa_y\mathrm{d}x+\partial_ya_y\mathrm{d}y)\wedge \mathrm{d}y\\ &=\partial_ya_x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x+\partial_xa_y\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\\ &=(\partial_xa_y-\partial_ya_x)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \end{aligned}\]

从而有二维旋度定理的 Green 公式

\[\oint_{\partial D}\left(a_x\mathrm{d}x+a_y\mathrm{d}y\right)=\int_D\left(\partial_xa_y-\partial_ya_x\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

推广到 \(n\) 维空间得到 Stokes 公式

\[\int_{\partial D}a=\int_D\mathrm{d}a\]

保守力与外微分

对于保守力, 其表达式可以认为是一个 1-form, 且它是另一个 0-形式的外微分:

\[F_\mu \mathrm{d}x^\mu=-\mathrm{d}V(x^1,\cdots,x^{3N})\]

通过二阶外微分为 0 可以得到

\[-\mathrm{d}^2V=0=(\partial_\mu F_\nu)\mathrm{d}x^\mu\wedge \mathrm{d}x^\nu=\left[\frac{1}{2}(\partial_\mu F_\nu-\partial_\nu F_\mu)+\frac{1}{2}(\partial_\mu F_\nu+\partial_\nu F_\mu)\right]\mathrm{d}x^\mu\wedge \mathrm{d}x^\nu\]

第二项对指标求和后为 0. 从而有 \(\nabla\times\mathbf{F}=0\), 即旋度为 0. 从而

\[\int_{\partial D}F=\int_D\mathrm{d}F=0\]

保守力回路积分为 0, 即保守力做功与路径无关.

References

Othmane Islah, Kolmogorov–Arnold–Moser theorem. ↩︎

Classical Mechanics - 4

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

12 Relativistic Analytical Mechanics

12.1 Space-Time in Special Relativity

力学规律与时空观相联系, 不同时空背景(参照系)下物理规律一致. 相对论力学以狭义相对论的时空观为基础, 建立在相对性原理与光速不变原理之上, 其中时空统一在一起构成 Minkowski 时空(Minkowski space-time)

用微分流形(differentiable manifold)的说法重新描述分析力学的空间结构:

力学体系的广义坐标构成位形流形(configuration manifold), 其维数等于广义坐标的个数, 完整约束下就等于自由度数. 位形流形一般非平直, 其拓扑结构也可能不是平庸的.
每个位形处的广义速度属于该点的切空间; 位形与广义速度的二元组构成位形流形的切丛(tangent bundle).

12.1.1 Minkowski Space-Time

以下采取 \(c=1\) 的单位制,记 \(\gamma_{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{1-|\mathbf{v}|^2}}\).

Definition Minkowski 空间中的时空坐标

逆变矢量
\[x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(x^0,\mathbf{x})=(t,x,y,z)\]
协变矢量(对偶矢量)
\[x_\mu=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(-x^0,\mathbf{x})=(-t,x,y,z)\]

两者矢量空间对偶, 可通过升高/降低指标来转换:

\[x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu,x^\mu=\eta^{\mu\nu}x_\nu\]

其中 \(\eta_{\mu\nu}\) 为 Minkowski 时空的度规张量, \(\eta^{\mu\nu}\) 为度规张量的逆

\[\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}\{-1,1,1,1\}\]

有性质

\[\eta^{\mu\nu}=(\eta^{-1})_{\mu\nu},\quad \eta_{\mu\beta}\eta^{\beta\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}\]

其中 \(\delta_{\nu}^{\mu}\) 称为 Kronecker 符号

\[\delta_{\nu}^{\mu}= \left\{\begin{aligned} &1,&&\mu=\nu\\ &0,&&\mu\ne\nu \end{aligned}\right.\]

将符号相同的一组协变逆变指标按 Einstein 求和规则求和的操作称为指标的缩并(contraction). 被缩并的指标称为傀标. 由此可定义矢量的内积 \[A\cdot B =\eta^{\mu\nu}A_{\mu}B_{\nu} =-A^0B^0+\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\]

Definition 时空间隔 interval

\[\mathrm{d}s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu= -(\mathrm{d}t)^2+(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2)\]

称为无穷小时空间隔, 对于

\(\mathrm{d}s^2>0\): 称为类空间隔
\(\mathrm{d}s^2\lt0\): 称为类时间隔
\(\mathrm{d}s^2 = 0\): 称为类光间隔

12.1.2 Lorentz Transformations

我们希望得到一个任意可逆光滑的坐标变换

\[x^\mu \mapsto x'^\mu\]

作为同一物理系统的坐标重写. 用张量方程表示物理规律时, 方程具有一般协变性(general covariance); 这不表示任意坐标变换都是物理对称性. 此时, 度规分量发生变换

\[g'_{\mu\nu}(x')= \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x)\]

若进一步要求度规的形式不变

\[g'_{\mu\nu}(x') = g_{\mu\nu}(x')\]

则该变换是时空的等距变换(isometry). 在 Minkowski 时空下, 我们已经给出

\[g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}\{-1,1,1,1\}\]

为常数矩阵. 此时全局等距变换可以写为 Poincaré 变换

\[x^{\prime\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}+ a^\mu\]

如果仅进行齐次变换就得到 Lorentz 变换

\[x^{\prime\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}\]

在这一时空下, 等距变换需要保证四维间隔及其形式在 Lorentz 变换下保持不变, 即要求

\[\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \alpha}\Lambda^\nu_{\ \beta} = \eta_{\alpha\beta}\implies \mathbf{\Lambda}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\eta}\mathbf{\Lambda} = \boldsymbol{\eta}\]

这等价于一个保度规变换. 满足上述条件的变换矩阵构成广义/齐次/正交 Lorentz 群 \(O(1,3)\). \(O(1,3)\) 不是连通的, 而是具有四个连通分支, 可以按照以下两个标准进行分类:

\[\det\Lambda=\pm1,\qquad \Lambda^0{}_{0}\ge1\ \text{或}\ \Lambda^0{}_{0}\le-1\]

恰当 Lorentz 群 \(SO(1,3)\) 满足
\[\det\Lambda = +1\]
它仍有两个连通分支. 若进一步要求
\[\Lambda^{0}{}_{0} \geq 1\]
则得到保持时间方向(orthochronous)的恒等连通分支 \(SO^+(1,3)\), 即物理常用的恰当正时 Lorentz 群. 其群元可以由六类基本变换的生成元构成:
1. 1 - 2, 1 - 3, 2 - 3 平面内的转动, 即三维转动, 可以构成转动变换群.
2. 0 - 1, 0 - 2, 0 - 3 平面内的推促(boost). 固定轴的 boost 构成一参数子群, 但所有方向的纯 boost 合在一起不对乘法封闭.
对于后者, 常见的形式为 0 - 1 boost
\[\mathbf{\Lambda} = \mathbf{L}_1(\mathbf{v})= \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma v&0&0\\ -\gamma v&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},\quad \gamma = \gamma_{\mathbf{v}}\]
这是一个对称矩阵. 沿任意速度方向的单个纯 boost 可写为
\[\mathbf{L}(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\mathbf{v}^{\mathsf T}\\ -\gamma\mathbf{v}&(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}}{v^2}+\mathbf{I} \end{pmatrix}\]
由 \(-\gamma^2+(-\gamma v)^2\equiv -1\), 可以看出这一矩阵表示保证了间隔不变, 且满足
\[\mathbf{L}(-\mathbf{v}) = \mathbf{L}^{-1}(\mathbf{v}),\quad \mathbf{L}(\mathbf{0})=\mathbf{I}\]
一般来讲, boost 是非对易的(转动也不是):
\[\mathbf{L}_1\mathbf{L}_2\ne\mathbf{L}_2\mathbf{L}_1\]
且两个 boost 的有序组合往往不再是一个 boost 的形式, 但是可以写成一个 rot + boost:
\[\mathbf{L}_2\mathbf{L}_1 = \mathbf{A}_W\mathbf{L}_{\mathrm{eff}}\]
前者被称为 Wigner 转动; 沿加速轨迹连续组合 boost 所产生的转动对应 Thomas 进动. 由于空间转动是齐次 Lorentz 变换的一个子集, 总可以对变换前后的坐标架进行转动, 使得它们的 1 轴方向与相对的常数速度 \(\mathbf{v}\) 平行.
- 从表示论角度看, 恰当正时 Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) 与 \(SL(2,\mathbb{C})\) 局部同构, 这也是相对论性量子力学下, 自旋表示与 Dirac 旋量结构自然出现的根本原因.
- 0 - 1 boost 可以改写为(\(\psi\) 为快度)
  \[\Lambda= \begin{pmatrix} \cosh\psi&-\sinh\psi&0&0\\ -\sinh\psi&\cosh\psi&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\]
  其中 \(\psi\) 被称为快度
  \[\psi=\tanh^{-1}v=\frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\]
其余三个连通分支可分别用以下离散变换乘以 \(SO^+(1,3)\) 中的群元表示:
1. 时间反演(Time reversal)
  \[\mathbf{T} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \det \mathbf{T} = -1,\quad \mathbf{T}^0{}_{0}=-1\]
2. 空间反射(Parity)
  \[\mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad \det \mathbf{P} = -1,\quad \mathbf{P}^0{}_{0}=1\]
3. 时空全反演
  \[\mathbf{PT} = -\mathbf{I},\quad \det(\mathbf{PT})=+1,\quad (\mathbf{PT})^0{}_{0}=-1\]
行列式和 \(\Lambda^0{}_{0}\) 的符号标记四个连通分支; 通过恰当正时 Lorentz 变换和以上三个变换组合就可以构成整个 \(O(1,3)\).

12.1.3 Tensors and Fields

在齐次 Lorentz 变换下具有"确定"变换规则的物理量称为张量(Tensor), 其独立指标的个数称为张量的阶数. 其中, 按照变换性质, 又可以分类:
- 张量: 变换规则
  \[T_{\nu_1\cdots\nu_q}^{\prime\mu_1\cdots\mu_p}=\frac{\partial x^{\prime\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}}\cdots\frac{\partial x^{\prime\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}}\frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\prime\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x^{\prime\nu_q}}T_{\beta_1\cdots\beta_q}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}\]
  比如 \(F^{\mu\nu},T^{\mu\nu}\).
- 赝张量: 变换规则
  \[P_{\nu_1\cdots\nu_q}^{\prime\mu_1\cdots\mu_p}=\operatorname{sign}(\det\mathbf{\Lambda})\frac{\partial x^{\prime\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}}\cdots\frac{\partial x^{\prime\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}}\frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\prime\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x^{\prime\nu_q}}P_{\beta_1\cdots\beta_q}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}\]
  比如 \(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\).
对下列低阶例子, 可观察空间反射下的宇称. 表中的 \(\mathbf{J}\) 和 \(\mathbf{B}\) 是三维轴矢量, 并非单独的 Lorentz 四矢量:

Pseudo	阶数	Parity	说明 / 例子
标量	0	偶(不变)	\(m\)
赝标量	0	奇(取反)	\(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\)
向量	1	奇(空间分量取反)	\(x^\mu = (t, \mathbf{x}),p^\mu\)
赝矢量	1	偶(空间分量不变)	\(\mathbf{J},\mathbf{B}\)

如果一个物理量是时空点的函数, 则称之为场. 按照其在 Lorentz 变换下的性质, 可分为标量场、矢量场及更高阶张量场等.
将对时空的偏微商算符可作用在场上, 构成多指标场. 逆变梯度和协变梯度的算符记作
\[\partial^\mu=\frac{\partial}{\partial x_\mu}=\left(-\partial_t ,\nabla \right),\quad \partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left(\partial_t ,\nabla \right)\]

在后面, 如无特殊说明, 一般认为 Lorentz 变换仅考虑 boost.

12.1.4 Proper Time and Four-Velocity

四维时空坐标下, 粒子运动线上的无穷小间隔不变量

\[\mathrm{d}s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu= -(\mathrm{d}t)^2+(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2) = -(\mathrm{d}\tau)^2\]

对有质量粒子的类时世界线, \(\mathrm{d}\tau\) 称为固有时间隔, 等于瞬时静止惯性系测得的时间间隔.

4 - 速度

\[u^\mu=\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=\gamma_{\mathbf{u}}(1,\mathbf{u}),\quad \mathbf{u}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\tau}\cdot \frac{1}{\gamma_{\mathbf{u}}}\]

得到 Lorentz 不变量

\[u_{\mu}u^{\mu}=-(\gamma_{\mathbf{u}})^{2}+(\gamma_{\mathbf{u}})^{2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\frac{-1+\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{1-|\mathbf{u}|^{2}}=-1\]

12.2 Motion of Relativistic Particles in External Fields

12.2.1 Free Relativistic Particles

狭义相对论时空观下, Hamilton 原理仍应在任意惯性参考系成立, 故相对论性粒子的作用量为洛伦兹标量.

以下考虑 \(m>0\) 的自由粒子与类时世界线, 取仅依赖一阶速度且重参数化不变的作用量

\[S=-\alpha\int \left|\,\mathrm{d}s\right|\]

其中 \(\alpha(>0)\) 为 Lorentz 标量.

三维形式

对于指定参考系, 显然有

\[S =-\int\alpha\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,\mathrm{d}t\]

\(\mathbf{v}\) 为粒子在指定参考系中的速度. 可看出 Lagrangian(三维)

\[L=-\alpha\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\]

由经验可认定 \(\alpha=m\), 则对相对论性自由粒子有

相对论性动量
\[\mathbf{p} =\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}\]
运动方程
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^{2}}}\right) =0 \implies \mathbf{p}=\mathrm{const}\]
\(\partial_t L=0\), 故有能量守恒
\[E=\mathbf{p}\cdot\mathbf{v}-L =\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} =\mathrm{const}\]

四维协变形式

对有质量粒子取任意沿未来方向单调增加的参数 \(\tau\), 定义 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau\). 固有时另记为 \(\sigma\), 满足 \(\mathrm{d}\sigma=\sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau\). 将作用量写为

\[S = -m \int \sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau\]

定义四维 Lagrangian

\[L_\tau(x,u) \equiv -m\sqrt{-u^\mu u_\mu},\quad L_\tau = L\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\]

它关于 \(u^{\mu}\) 一次齐次, 保证了重参数化不变性, 满足约束

\[L_\tau - u_\mu\frac{\partial L_\tau}{\partial u_\mu} = 0\]

共轭动量与 Euler–Lagrange 方程为

\[p_\mu=\frac{\partial L_\tau}{\partial u^\mu}=\frac{m u_\mu}{\sqrt{-u^\nu u_\nu}},\qquad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=0\]

得到协变的运动方程

\[\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\sigma^2}=0\]

只有在固有时规范 \(\tau=\sigma\) 下才有 \(u^\mu u_\mu=-1\)、\(p^\mu=mu^\mu\). 用三维速度 \(\mathbf v=\mathrm{d}\mathbf x/\mathrm{d}t\) 表示四动量,

\[p^\mu=m\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\sigma}=(E,\mathbf p),\qquad E=\gamma_{\mathbf v}m,\quad \mathbf p=\gamma_{\mathbf v}m\mathbf v\]

得到 Lorentz 不变量

\[p_\mu p^\mu=-E^2+\mathbf{p}^2=-m^2\]

\(m\) 为粒子的静质量.

一次齐次性使正则 Hamiltonian 为零:
\[H_\tau = p_\mu u^\mu - L_\tau = 0\]
此时 Legendre 变换退化, 动量受质量壳约束 \(\phi=(p_\mu p^\mu+m^2)/2=0\). 不能先将 Hamiltonian 置零再套普通正则方程. 采用总 Hamiltonian 和一阶作用量
\[H_{\mathrm T}=e(\tau)\phi,\qquad S_1=\int\left[p_\mu\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}-e(\tau)\phi\right]\,\mathrm{d}\tau\]
变分得到
\[\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=e p^\mu,\qquad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=0,\qquad \phi=0\]
乘子 \(e\) 表示参数选择的自由度; 固有时规范取 \(e=1/m\). 对正能量分支取坐标时规范 \(x^0=t\), 解约束得 \(p_0=-\sqrt{m^2+\mathbf p^2}\), 从而约化 Hamiltonian 为 \(H=-p_0=\sqrt{m^2+\mathbf p^2}\). 零正则 Hamiltonian 不表示物理运动或能量为零.

动量中心系(CoM)

以总四动量为未来类时的二体碰撞为例
\[P^\mu\equiv p_1^\mu+p_2^\mu=(E_{\mathrm{tot}},\mathbf{P}),\quad s\equiv P^\mu P_\mu=-E_{\mathrm{tot}}^2+\mathbf{P}^2\]
考虑到 \(s\) 为 Lorentz 不变量, 所以在 CoM 下应该有
\[P^{\prime\mu}=(\sqrt{-s},\mathbf{0})\]
原参考系到 CoM 的 boost 要求有
\[\mathbf{V} = \frac{\mathbf{P}}{E_{\mathrm{tot}}}\]
- 对于撞击固定靶粒子: \[p_1^\mu=\left(E_1,\mathbf{p}_1\right),\quad p_2^\mu=(m_2,\mathbf{0})\] CoM 质量 \[s\equiv P_\mu P^\mu=-(E_1+m_2)^2+|\mathbf{p}_1|^2=-(m_1^2+m_2^2+2m_2E_1)\] 考虑到 CoM 系要求 \(\mathbf{P}^{\prime} = 0\), 故 \[P^{\prime x}=\gamma_{\mathbf{V}}\left(P^x-VP^0\right)=0\implies V = \frac{P^x}{P^0}=\frac{|\mathbf{p}_1|}{E_1+m_2}\] 若末态只有一个静质量为 \(m_3\) 的粒子, 四动量守恒要求 \[m_3^2=m_1^2+m_2^2+2m_2E_1\] 这一单粒子末态要求的入射总能量为 \[E_1=\frac{m_3^2-m_1^2-m_2^2}{2m_2},\qquad E_1\ge m_1.\] 对多粒子末态, 若其静质量之和为 \(M\), 由末态不变质量至少为 \(M\) 得到运动学阈值 \[E_{1,\mathrm{th}}=\max\left(m_1,\frac{M^2-m_1^2-m_2^2}{2m_2}\right).\] 当 \(M\ge m_1+m_2\) 时, 阈值处末态在 CoM 中无相对运动.

12.2.2 Coupling of Relativistic Particles to Scalar Fields

标量场 \(\Phi=\Phi(x)\) 下, 不考虑偏导数耦合, 可取正的有效质量 \(M(x)=m\mathrm{e}^{\Phi(x)}\), 并采用作用量

\[S=-m\int \mathrm{e}^{\Phi(x)}\,|\,\mathrm{d}s|\]

若耦合项为 \(\int\partial_\mu\Phi\,\mathrm{d}x^\mu\), 它等于 \(\Phi\) 的端点差, 不影响固定端点下的运动方程.

先用任意参数 \(\lambda\) 写 \(L=-m\mathrm e^\Phi\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\), 其中点表示对 \(\lambda\) 求导. 对坐标变分后再取固有时 \(s\), 得到

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(\mathrm e^\Phi u_\mu)=-\mathrm e^\Phi\partial_\mu\Phi,\qquad u^\mu=\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm ds},\quad u_\mu u^\mu=-1.\]

展开导数并升指标, 得

\[\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d}s^2} =-\left(\eta^{\mu\nu}+u^\mu u^\nu\right)\partial_\nu\Phi,\]

即加速度是场梯度在四速度正交方向上的负投影. 在静态弱场的低速极限下, 其空间分量给出 \(\mathrm{d}^2\mathbf x/\mathrm{d}t^2\simeq-\nabla\Phi\), 与下述 \(V=m\Phi\) 的约定一致.

非相对论极限 记 \[\Phi(t,\mathbf{r})=\frac{V(t,\mathbf{r})}{m}\] \[|\mathbf{v}|^2\ll1,\quad |V(t,\mathbf{r})|\ll m\implies \mathrm{e}^{\Phi(t,\mathbf{r})}\approx1+\frac{V(t,\mathbf{r})}{m}\] 去除无关常量, 有 Lagrangian \[L\approx\frac12m\mathbf{v}^2-V(t,\mathbf{r})\]

12.2.3 Relativistic Particles in Electromagnetic Fields

Definition 4 - 矢量场

\[A^\mu=A^\mu(x)=\left(\phi,\mathbf{A}\right)\]

其中 \(\phi, \mathbf{A}\) 分别称为标量势和矢量势.

相对论性带电粒子与电磁场的耦合 相应的作用量应为洛伦兹标量. 这里的耦合为规范耦合(最简单的耦合方式), 其对应的作用量形式为

\[S=-m\int \left|\,\mathrm{d}s\right|+q\int A^\mu\,\mathrm{d}x_\mu\]

其中洛伦兹标量 \(q\) 称电量, 代表粒子与电磁场的耦合强度.

三维形式

指定参考系下, 可以得到 Lagrangian

\[L=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-m\sqrt{1-\mathbf{v}^2}-qU\]

其中标量积

\[U = -\frac{1}{\gamma_{\mathbf{v}}} A^{\mu}u_{\mu} = \phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}\]

为广义势.

\[\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\mathbf{p}+q\mathbf{A},\quad \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}} =-q\nabla\phi +q\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A}) +q(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}\]

用到

\[\nabla\left(\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\right)=\left(\mathbf{g}\cdot\nabla\right)\mathbf{f}+\mathbf{g}\times\left(\nabla\times\mathbf{f}\right)+\left(\mathbf{f}\cdot\nabla\right)\mathbf{g}+\mathbf{f}\times\left(\nabla\times\mathbf{g}\right)\]

又由

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} =\partial_t\mathbf{A} +(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}\]

利用 Lagrange 方程, 得到运动方程

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\]

\[\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial_t\mathbf{A},\quad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\]

其中 \(\mathbf{E}\) 称电场强度, \(\mathbf{B}\) 称磁感应强度.

广义动量
\[\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=\mathbf{p}+q\mathbf{A}(x)\]
若为恒定场(\(\partial_tL=0\)), 广义能量守恒
\[E=\mathbf{P}\cdot\mathbf{v}-L=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}+q\phi\]
一般情形下体系的 Hamiltonian
\[H=H(\mathbf{P},\mathbf{r},t)=\mathbf{P}\cdot\mathbf{v}-L=\sqrt{\left(\mathbf{P}-q\mathbf{A}\right)^2+m^2}+q\phi\]
规范对称性 对矢量场作规范变换
\[A^\mu\mapsto A^{\prime\mu}=A^\mu+\partial^\mu\chi\]
其中 \(\chi=\chi(x)\) 是任意标量场, 则
\[S\mapsto S'=S+\left.[q\chi(x)]\right|_1^2,\quad \mathbf{E}'=\mathbf{E},\quad \mathbf{B}'=\mathbf{B}\]
运动方程也不变.
非相对论极限 去掉无关常量后有 Lagrangian
\[L\simeq\frac12mv^2-\left(q\phi(x)-q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(x)\right)\]
电磁耦合项没有变化,说明电磁场以及电磁相互作用是相对论性的.记后一项括号内为速度相关势:
\[V=q\phi(t,\mathbf{r})-q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(t,\mathbf{r})\]
- 正则动量
  \[\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}(t,\mathbf{r})\]
- 运动方程
  \[m\dot{\mathbf{v}}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\ ,\ \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\phi-\partial_{t}\mathbf{A} \ ,\ \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}\]

四维协变形式

\[S=-m \int \sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau+q\int A^\mu\left(x\right)u_\mu\,\mathrm{d}\tau\]

四维 Lagrangian

\[L_\tau(x,u) \equiv -m\sqrt{-u^\mu u_\mu}+qA^{\mu}u_{\mu}\]

对任意参数 \(\tau\), 记 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau\), 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{m u^\mu}{\sqrt{-u^\nu u_\nu}}+qA^\mu\right)-qu_\nu\partial^\mu A^\nu=0.\]

变分后取固有时 \(s\) 为参数, 重新记 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}s\), 则 \(u^\mu u_\mu=-1\), 方程化为

\[m\frac{\mathrm{d}u^\mu}{\mathrm{d}s}+qu_\nu(\partial^\nu A^\mu-\partial^\mu A^\nu)=0.\]

定义场强张量后得到协变形式的运动方程

\[m\frac{\mathrm{d}u^\mu}{\mathrm{d}s}=qF^{\mu\nu}u_\nu,\quad F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\]

其中

\[F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0&E_x&E_y&E_z\\ -E_x&0&B_z&-B_y\\ -E_y&-B_z&0&B_x\\ -E_z&B_y&-B_x&0 \end{pmatrix}\]

为电磁场强张量.

广义 4 - 动量
\[P^{\mu} = p^{\mu}+qA^{\mu}\]
规范对称性 变换
\[A^\mu\mapsto A^{\prime\mu}=A^\mu+\partial^\mu\chi\]
耦合变为
\[q\int A^\mu u_\mu\,\mathrm{d}\tau\mapsto q\int(A^\mu+\partial^\mu\chi)u_\mu\,\mathrm{d}\tau=q\int A^\mu u_\mu\,\mathrm{d}\tau+q\int\frac{\mathrm{d}\chi}{\mathrm{d}\tau}\,\mathrm{d}\tau\]
产生表面项, 不影响运动方程. 同时, 场强张量变化量
\[\partial^{\mu}(\partial^{\nu}\chi)-\partial^{\nu}(\partial^{\mu}\chi)=0\]
电磁场本身不受规范变换影响.

Remark 两种度规: 另外一种 Minkowski 度规

\[\eta^{\prime\mu\nu} = \mathrm{diag}\{1, -1, -1 , -1\}\]

也经常使用. 对于电磁场强张量, 由于

\[A^{\prime\mu}=A^\mu,\quad A_\mu^{\prime}=-A_\mu,\quad \partial^{\prime\mu}=-\partial^\mu\]

所以

\[F^{\prime\mu\nu} =\begin{pmatrix} 0&-E_x&-E_y&-E_z\\ E_x&0&-B_z&B_y\\ E_y&B_z&0&-B_x\\ E_z&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}\]

整体取了负号.

13 Introduction to Field Theory

13.1 Classical Field Theory¹

13.1.1 Scalar Fields

一维无限长悬珠链

珠子质量为 \(m\), 平衡位形间距为弹簧原长 \(a\), 弹性系数 \(k\). 以各珠沿链方向相对平衡位置的位移 \(\{q_i\}\) 为广义坐标, 引入势能项 \(V_i(q_i)\), 有 Lagrangian

\[\begin{aligned} L =&\sum_i\frac12m\dot{q}_i^2-\sum_i\frac12k(q_{i+1}-q_i)^2-\sum_iV_i(q_i)\\ =&\sum_ia\left[\frac12\frac ma\dot{q}_i^2-\frac12ka\left(\frac{q_{i+1}-q_i}a\right)^2-\frac{V_i}a\right] \end{aligned}\]

取 \(a\to0\) 的极限, 则

\[\begin{aligned} q_i&\to q(t,x),& \dot{q}_i&\to\partial_tq,\\ \frac{q_{i+1}-q_i}{a}&\to\partial_xq,& \sum_i a&\to\int \,\mathrm{d}x\,\\ \frac{m}{a}&\to\lambda,& ka&\to\kappa,\\ \frac{V_i(q_i)}{a}&\to\lambda_V(q) \end{aligned}\]

此极限保持 \(m/a\) 与 \(ka\) 有限. \(\lambda\) 为未形变时的质量线密度, \(\kappa\) 为位移梯度项的弹性系数; 对细杆纵波, 它等于 Young 模量与横截面积的乘积, 对弦的微小横波则等于预张力. \(\lambda_V\) 为仅依赖 \(q\) 的能量线密度. Lagrangian 化为

\[L =\int\left(\frac{1}{2}\lambda(\partial_tq)^2-\frac{1}{2}\kappa(\partial_xq)^2-\lambda_V(q)\right)\,\mathrm{d}x\]

类似地, 对三维均匀各向同性的标量位移模型, 可取

\[L=\iiint\mathcal{L}\,\mathrm{d}^3\mathbf{r},\qquad \mathcal{L}=\frac{1}{2}\rho(\partial_tq)^2-\frac{1}{2}Y(\nabla q)^2-\rho_V(q)\]

\(\mathcal{L}\) 为 Lagrangian 密度.

四维标量场

仅考虑标量场及其一阶导数时, Lagrangian 可写为

\[L=\int\mathcal{L}(\phi,\partial^\mu\phi)\,\mathrm{d}^3\mathbf{r}\]

其中 \(\phi\) 为标量场. 拉氏密度 \(\mathcal L(\phi,\partial^\mu\phi)\) 是 Lorentz 标量, 因为作用量

\[S = \int L\,\mathrm{d}t = \int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x\]

中的四维体积元在 Lorentz 变换下不变. 选取具有正则二次动能项的实标量场模型

\[\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-V(\phi)\]

此处仅使得势能项依赖 \(\phi\).

13.1.2 Field Equations of Motion

连续作用量变分时, 令变分在时空积分区域的整个边界上为零(或空间边界项因足够快的衰减而消失).

Proposition 标量场的平稳作用量条件给出 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} =0\]

Proof 离散悬珠链的连续极限.

由连续性变换

\[L=\sum_i a\left[ \frac12\frac{m}{a}\dot{q}_i^2 -\frac12 k a\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2 -\frac{V_i}{a} \right] \;\longrightarrow\; \int \,\mathrm{d}x\, \left[ \frac12\lambda(\partial_t q)^2 -\frac12\kappa(\partial_x q)^2 -\lambda_V(q) \right]\]

则 Lagrange 方程里相应的项

\[\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) = a\frac{m}{a}\ddot q_i \;\longrightarrow\; \mathrm{d}x\,\lambda\,\partial_t^2 q = \mathrm{d}x\cdot \partial_t\!\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t q)} \right) \\[6pt] &\frac{\partial L}{\partial q_i} = -a\frac{\partial V_i/\partial q_i}{a} + a\cdot k a \frac{(q_{i+1}-q_i)-(q_i-q_{i-1})}{a^2} \\ &\phantom{\frac{\partial L}{\partial q_i}} \;\longrightarrow\; -\mathrm{d}x\, \frac{\partial \lambda_V}{\partial q} + \mathrm{d}x\cdot \kappa\,\partial_x^2 q = \mathrm{d}x\cdot \left[ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q} - \partial_x\!\left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_x q)} \right) \right] \end{aligned}\]

由此得到上述 Euler-Lagrange 方程在悬珠链连续极限下的形式.

Proof 连续作用量变分. 场的 Euler-Lagrange 方程还可以基于连续场论的平稳作用量原理得到

\[S = \int \,\mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}\big(\phi,\partial_\mu\phi\big)\]

\[\delta S = \int \,\mathrm{d}^4x \left[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \delta(\partial_\mu\phi) \right] =0\]

分部积分得

\[0= \int \,\mathrm{d}^4x\, \left\{ \left[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \right) \right] \delta\phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \delta\phi \right) \right\}\]

由上述边界条件, 表面项对积分值无贡献, 故得到 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} =0\]

Definition 连续系统的 Hamilton 量密度

\[\mathcal{H} = \pi\partial_t\phi - \mathcal{L},\quad \pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\phi)}\]

Proposition 当 \(\mathcal{L}\) 不显含 \(x^\mu\) 时, 平移对称性给出应力能量张量. 在本册的 \((-+++)\) 度规下, 取能量密度与 Hamiltonian 密度一致的约定

\[T^{\mu\nu}=-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi+\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}.\]

对上述实标量场,

\[T^{\mu\nu}=\partial^\mu\phi\partial^\nu\phi+\eta^{\mu\nu}\mathcal{L},\qquad T^{00}=\frac12(\partial_t\phi)^2+\frac12(\nabla\phi)^2+V(\phi)=\mathcal{H}.\]

其分量

00: 对应 Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\)
\[E=\int \,\mathrm{d}^3x\,T^{00}\]
0i:
\[P^i=\int \,\mathrm{d}^3x\,T^{0i}\]
ij: 空间动量流(应力)的分量. 对电磁场, 通常定义的 Maxwell 应力张量与动量流张量相差一个负号.

其守恒律

\[\begin{aligned} \partial_\mu T^{\mu\nu} &=-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi\right)+\partial^\nu\mathcal{L}\\ &=-\left[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\right]\partial^\nu\phi -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\partial_\mu\partial^\nu\phi-\partial^\nu\partial_\mu\phi\right)\\ &=0. \end{aligned}\]

\(\nu = 0\): 能量连续性方程
\[\partial_tT^{00}+\partial_iT^{i0}=0\]
\(\nu = i\): 动量连续性方程
\[\partial_tT^{0i}+\partial_jT^{ji}=0\]

Example 对于形如

\[\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-\frac12\mu^2\phi^2\]

的拉氏密度,有运动方程

\[\partial^\mu\partial_\mu\phi-\mu^2\phi=0\quad\iff\quad \partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+\mu^2\phi=0\]

即为 Klein-Gordon 方程.

13.1.3 Field Equations of Electromagnetism

从 Lorentz 变换角度, 电磁场 \(A^\mu(x)\) 是一个矢量场, 类比可得矢量场的 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}, \qquad \nu = 0,1,2,3\]

其中 \(\mathcal{L}\) 应满足

为 Lorentz 标量
规范不变
对 \(A^\mu\) 和 \(\partial^\nu A^\mu\) 的依赖最高到二次, 使上述场方程线性, 以保证叠加原理

自由电磁场(真空电磁场): 无源, 忽略常系数拓扑项及全散度后, 取标准 Maxwell 拉氏密度
\[\mathcal{L} = \alpha F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2\alpha(\mathbf{B}^2-\mathbf{E}^2)\]
代入矢量场场方程, 注意到
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = 2\alpha F^{\rho\sigma} \frac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = 2\alpha F^{\rho\sigma} (\delta^\rho_{\ \mu}\delta^\sigma_{\ \nu} - \delta^\rho_{\ \nu}\delta^\sigma_{\ \mu}) = 4\alpha F^{\mu\nu}\]
故真空电磁场的场方程为
\[4\alpha \, \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\]
含源电磁场先仅考虑单个运动点电荷作为源, 作用量的耦合部分
\[S_{fm} = \int q A_\mu \,\mathrm{d}x^\mu = \int \rho_0 u^\mu A_\mu \,\mathrm{d}V_0 \,\mathrm{d}\tau\]
在 Lorentz 变换下不变, 规范变换仅产生世界线端点项. 对具有单一局域速度的电荷流, \(\rho_0\) 是局部静止系中的电荷密度, 为 Lorentz 标量. \(\mathrm{d}V_0\) 为随动惯性系中的电荷体元. 引入电流密度四矢
\[J^\mu = \rho_0 u^\mu \xrightarrow{S\text{系}} (\rho,\mathbf{J}) = \left( \frac{\rho_0}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}, \frac{\rho_0\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} \right)\]
对连续电荷分布, 电荷守恒是四维连续性方程
\[\partial_\mu J^\mu =\partial_\mu(\rho_0u^\mu) =u^\mu\partial_\mu\rho_0+\rho_0\partial_\mu u^\mu =0.\]
这不是由 \(\partial_\mu u^\mu=0\) 单独推出的. 对源耦合作规范变换并忽略边界项,
\[\delta_\chi S_{fm} =\int J^\mu\partial_\mu\chi\,\mathrm{d}^4x =-\int\chi\,\partial_\mu J^\mu\,\mathrm{d}^4x.\]
因而对任意 \(\chi\) 的规范不变性要求 \(\partial_\mu J^\mu=0\). 利用四维体元的 Lorentz 不变性, 有
\[S_{fm} = \int \mathcal{L}_{fm}\,\mathrm{d}^3\mathbf{r}\,\mathrm{d}t, \qquad \mathcal{L}_{fm} = J^\mu A_\mu\]
因此, 总拉氏密度为
\[\mathcal{L} = \alpha F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + J^\mu A_\mu\]
含源电磁场的场方程(运动方程)为
\[4\alpha\,\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\]
- SI 单位制中恢复 \(c\), 改用
  \[x^0=ct,\qquad A^\mu=(\phi/c,\mathbf{A}),\qquad J^\mu=(c\rho,\mathbf{J}),\qquad F^{0i}=E_i/c.\]
  四维作用量写为 \(S=c^{-1}\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x\), 源项仍为 \(J^\mu A_\mu\). 取
  \[\alpha=-\frac1{4\mu_0}\]
  场方程
  \[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu\]
  这里仍用 \(\eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)\); 结合 \(\mu_0\epsilon_0=c^{-2}\), 前式的负号给出下列 Gauss 定律与 Ampere–Maxwell 定律. 三维形式
  \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \partial_t \mathbf{E} \end{aligned}\]
  另一组 Maxwell 方程由 Bianchi 恒等式
  \[\partial_\rho F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\rho} + \partial_\nu F_{\rho\mu} = 0\]
  推出, 其三维形式为
  \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 \\ \nabla\times\mathbf{E} &= -\partial_t \mathbf{B} \end{aligned}\]
- Gauss 单位制中, 同样恢复 \(x^0=ct\), 但四势与场强取
  \[A^\mu=(\phi,\mathbf{A}),\quad J^\mu=(c\rho,\mathbf{J}),\quad F^{0i}=E_i,\qquad \mathbf{E}=-\nabla\phi-\frac1c\partial_t\mathbf{A},\quad\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.\]
  源项改为 \(\mathcal{L}_{fm}=J^\mu A_\mu/c\), 取
  \[\alpha = -\frac{1}{16\pi}\]
  场方程为
  \[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\frac{4\pi}{c}J^\nu\]
  三维形式为
  \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= 4\pi\rho \\ \nabla\times\mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} + \frac{1}{c}\partial_t \mathbf{E} \end{aligned}\]

Lorenz 规范与自由电磁波 以下回到 \(c=1\) 的单位制. 在无源区域, 场方程为

\[\partial_\mu F^{\mu\nu}=0.\]

代入 \(F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\) 得

\[\Box A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=0, \qquad \Box\equiv\partial_\mu\partial^\mu.\]

规范变换 \(A^\mu\mapsto A^\mu+\partial^\mu\chi\) 下, 取 \(\chi\) 满足 \(\Box\chi=-\partial_\mu A^\mu\), 即可达到 Lorenz 规范

\[\partial_\mu A^\mu=0,\]

于是四势的每个分量满足

\[\Box A^\mu=0.\]

这就是以光速传播的自由电磁波方程. Lorenz 规范仍保留满足 \(\Box\chi=0\) 的剩余规范自由度.

13.2 One-Dimensional Waves

13.2.1 One-Dimensional Wave Equation and Its General Solution

考虑一维位移波, 取以下模型条件:

小振幅、均匀、无耗散, 不考虑外场;
平衡态的质量线密度为 \(\lambda>0\), 梯度项系数为 \(\kappa>0\).

对弦的横波, \(\kappa\) 为预张力; 对细杆的纵波, \(\kappa\) 为 Young 模量与横截面积的乘积. Lagrangian 为

\[L=\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}x=\int\,\mathrm{d}x\,\left[\frac12\lambda(\partial_tq)^2-\frac12\kappa(\partial_xq)^2\right]\]

则其运动方程(波动方程):令 \(u=\sqrt{\frac{\kappa}{\lambda}}\),运用标量场的 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_t\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_tq)}\right)+\partial_x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_xq)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\implies\partial_t^2q-u^2\partial_x^2q=0\]

能量线密度:
\[\lambda_e=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\frac12\lambda(\partial_tq)^2+\frac12 \kappa(\partial_xq)^2\]
引入平衡态横截面积 \(S_0\), 质量密度 \(\rho=\lambda/S_0\), 以及 \(K=\kappa/S_0\).
- 对纵向杆波, \(K\) 是 Young 模量, \(P\) 是附加纵向应力;
- 对弦横波, \(K\) 是预张力除以截面积, \(P\) 表示对应的横向牵引.
能量体密度与牵引为
\[\epsilon=\frac{\lambda_e}{S_0}=\frac{1}{2}\rho(\partial_tq)^2+\frac{1}{2}K(\partial_xq)^2 \ ,\ P=K\cdot\partial_xq\]
令 \(v=\partial_tq\) 为介质振动速度(不同于传播速度 \(u\)), 沿 \(x\) 正向计的能流密度为
\[S=-(K\cdot\partial_x q)\cdot\partial_t q=-Pv\]

求解波动方程:

通解(通积分):将微商算符"分解"
\[(\partial_t^2-u^2\partial_x^2)q=(\partial_t-u\partial_x)(\partial_t+u\partial_x)q=0\]
作变换
\[\begin{cases}\xi=x-ut\\\eta=x+ut\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}x=\frac{1}{2}(\xi+\eta)\\t=\frac{1}{2u}(\eta-\xi) \end{cases}\]\[\partial_\xi q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=\partial_tq\cdot\partial_\xi t+\partial_xq\cdot\partial_\xi x=-\frac1{2u}(\partial_t-u\partial_x)q\]

\[\partial_\eta q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=\partial_tq\cdot\partial_\eta t+\partial_xq\cdot\partial_\eta x=\frac1{2u}(\partial_t+u\partial_x)q\]
与分解式对比有 \(\partial_\xi\partial_\eta\left.q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta)\right)=0\) 依次进行两次不定积分可得
\[q(x,t)=q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=f(\xi)+g(\eta)=f(x-ut)+g(x+ut)\]
第一项为携带振动 \(f\) 以 \(u\) 沿 \(x\) 正向传播的波动,第二项为携带震动 \(g\) 以 \(u\) 沿 \(x\) 负向传播的波动
D’Alembert 解:定解问题需要给出边界条件和初始条件对无界的弦,给出初始条件 \(q(x,0)=\varphi(x)\ ,\ \partial_tq(x,0)=\psi(x)\) 通解代入初始条件得
\[\begin{aligned} f(x)+g(x)=&\varphi(x)\\ g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)=&\frac1u \psi(x)\implies g(x)-f(x)=\frac1u\int_0^x\psi(x^{\prime})\,\mathrm{d}x^{\prime}+c \end{aligned}\]
解出 D’Alembert 解
\[q(x,t)=\frac12[\varphi(x-ut)+\varphi(x+ut)]+\frac1{2u}\int_{x-ut}^{x+ut}\psi(x^{\prime})\,\mathrm{d}x^{\prime}\]
直接代入 \(t=0\) 可得 \(q(x,0)=\varphi(x)\) 与 \(\partial_tq(x,0)=\psi(x)\).
单频谐波解: 取试探解 \(q(x,t)=\tilde{A}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}\ ,\ \tilde{A}=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\)
- 色散关系: \(\omega^2=u^2k^2\). 对向右传播的正频率分支取 \(k>0,\ \omega=uk\).
- 波阻抗:应力波和速度波分别为
  \[P(x,t)=K\cdot\partial_xq=\mathrm{i}kKq(x,t)\ ,\ v(x,t)=\partial_t q =-\mathrm{i}\omega q(x,t)\]
  定义波的复阻抗
  \[Z=-\frac{P(x,t)}{v(x,t)}=\frac{kK}\omega=\frac Ku=\rho u\]
  相应的(实)能流
  \[S(x,t)=\mathrm{Re}\,v\cdot\mathrm{Re}(Zv)=Z(\mathrm{Re}\,v)^2=\omega^2A^2Z\sin^2(kx-\omega t+\varphi)\]
  波的强度即为能流的平均值
  \[I=\bar{S}=\frac12\omega^2A^2Z\]

13.2.2 Reflection and Transmission

两段一维波动介质连接处反射与透射的几何示意.

两段半无限长的无耗散介质相接, 取以下条件:

\(S_0\) 相同, \(\rho_{1,2}\) 与有效系数 \(K_{1,2}>0\) 可不同;
忽略界面薄层的体元质量, 界面不储存能量且无外加横向或纵向集中力;
若为弦横波, 还须满足平衡张力的平衡条件.

令相接处 \(x=0\), 界面上的边界条件为振动连续、应力连续:

\[q(0^-,t)=q(0^+,t)\ ,\ K_1\partial_xq(0^-,t)=K_2\partial_xq(0^+,t)\]

从左侧入射的简谐波在界面上受到反射. 不妨设弦线上的叠加波场为(\(k_{1,2}=\frac{\omega}{u_{1,2}}\))

\[q(x,t)=\begin{cases}\tilde{A}_I\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1x-\omega t)}+\tilde{A}_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-k_1x-\omega t)}&\quad x\lt0\\\tilde{A}_T\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_2x-\omega t)}&\quad x>0\end{cases}\]

再将试探解代入得

\[\begin{aligned} \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}&=\tilde{A}_{T}\\ \mathrm{i}K_{1}k_{1}(\tilde{A}_{I}-\tilde{A}_{R})&=\mathrm{i}K_{2}k_{2}\tilde{A}_{T}\implies Z_{1}(\tilde{A}_{I}-\tilde{A}_{R})=Z_{2}\tilde{A}_{T}\end{aligned}\]

定义复振幅比 \(r_R=\tilde A_R/\tilde A_I\)、\(r_T=\tilde A_T/\tilde A_I\), 并以时间平均能流定义反射率与透射率, 得到(\(Z_2>Z_1\) 时,出现半波损失;有能量守恒 \(R+T=1\))

\[\begin{cases} r_R=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\\ r_T=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2} \end{cases} \ ,\ \begin{cases} R=\frac{Z_1|\tilde{A}_R|^2}{Z_1|\tilde{A}_I|^2}=\left(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\right)^2\\ T=\frac{Z_2|\tilde{A}_T|^2}{Z_1|\tilde{A}_I|^2}=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2} \end{cases}\]

References

参考阅读: Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, 第 11、12 章.

Goldstein 《 Classical Mechanics 》最后一章. ↩︎