Mathematical Physics Methods on Square's Blog

Mathematical Physics Methods - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Analytic Functions

1.1 Complex Derivatives

Definition 连续设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的邻域有定义, 且 \(\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)\), 则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续

在有界闭区域 \(\bar G\) 连续的函数:

其绝对值 \(|f(z)|\) 有界, 并达到最大值和最小值.
在 \(G\) 上一致连续.

Definition 复导数

\[f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\]

若极限存在, 则称在 \(z\) 点可导.

Theorem 可导的必要条件(C-R 方程)

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\]

Theorem 可导的充要条件 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\) 在 \(z_0\) 复可导的充要条件是: \(u,v\) 在该点作为实变量函数可微, 且满足 C-R 方程.

可微的充分条件: \(\partial_xu,\partial_yu, \partial_xv, \partial_y v\) 存在且连续.

Theorem 可导的充分条件满足 C-R, 且 \(\partial_xu,\partial_yu, \partial_xv, \partial_y v\) 在 \(z_0\) 连续, 则函数在 \(z_0\) 可导.

Proof

\[\begin{aligned} \Delta w &=\Delta u+\mathrm{i}\Delta v\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial y}\right)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(-\frac{\partial v}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial x}\right)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+\mathrm{i}\Delta y)+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z+o(|\Delta z|) \end{aligned}\]

故复导数为

\[f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}\]

可导必连续

1.2 Analytic Functions

Definition 解析函数/全纯函数在区域 \(G\) 处处可导, 则为 \(G\) 内解析函数(不要求导数连续, 因为可导则各阶导数连续)

解析函数的实部/虚部为调和函数(可由 C-R 求导得出)
\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0(或记作\partial_z\partial_{\bar z})\]
点解析性: 在点的邻域解析. 不解析的点为奇点.

**解析函数由实推虚/由虚推实: **

\(u(x,y)=u(\frac{z+\bar z}{2},\frac{z-\bar z}{2\mathrm{i}})\), 再通过 \(\partial_{\bar z}f=0,\mathrm{Im}v(z,\bar z)=0\) 猜得结果. 对于含参的情况, 可以先由 \(\nabla^2 u=0\) 求出参数.

1.3 Elementary Functions

幂函数 \(\to\) 多项式/有理函数

\[(z^n)^{\prime}=nz^{n-1}\]

指数函数

\[\mathrm{e}^z\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y),\quad (\mathrm{e}^z)^{\prime}=\mathrm{e}^z\]

三角函数

\[\sin z\equiv\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos z\equiv\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\]

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}=\cos z+\mathrm{i}\sin z,\quad\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}},\quad \cos z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2}\]

\[(\sin z)^{\prime}=\cos z,\quad (\cos z)^{\prime}=-\sin z\]

双曲函数

\[\sinh z=\frac{\mathrm{e}^z-\mathrm{e}^{-z}}{2},\quad \cosh z=\frac{\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{-z}}{2}\]

\[(\sinh z)^{\prime}=\cosh z,\quad (\cosh z)^{\prime}=\sinh z\]

\[\sinh z=-\mathrm{i}\sin\mathrm{i}z,\quad \cosh z=\cos\mathrm{i}z\]

1.4 Multi-valued Functions

多值函数化为单值函数, 需要规定自变量的辐角变化范围, 从而限制函数值的变化范围(取单值分支) 一种割线作法(+辐角取值)唯一确定一个单值分支

对数函数

\[w=\ln z=\ln|z|+\mathrm{i}\arg z\quad0\leq\arg z\lt2\pi\]

其解析区域

\[全平面\mathbb{C}{\setminus} 正实轴\, [0,+\infty)=\mathbb{C}\setminus\{z|\arg z=0\}\]

根式函数

\[w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\theta}{n}+\mathrm{i}\sin\frac{\theta}{n}\right),\quad 0\leq\arg z\lt2\pi\]

解析区域

\[\text{全平面}\mathbb{C}\setminus\{z|\arg z=0\}\]

幂函数

\[z^\alpha\equiv\mathrm{e}^{\alpha\ln z}\]

选定 \(\ln z\) 的分支即可定义 \(z^\alpha\) 的一个解析分支. 当 \(\alpha\in\mathbb{Z}\) 时它单值; 当 \(\alpha=p/q\) 为既约非整数有理数时有 \(q\) 个分支; 其余 \(\alpha\) 有无穷多个分支.

判断多值性 猜测支点后设 \(z=a+\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 观察 \(\varepsilon\to 0\) 时, \(\theta\) 变化一周之后函数值的变化. 对 \(\infty\), 换元 \(z=\frac{1}{t}\), 观察 \(t\to 0\) 的行为. 绕无穷远一周(\(z=\infty\) 逆向)等效于正向绕 \(t=0\) 一周.

2 Complex Integration

2.1 Complex Integration

Definition 复变积分

\[\begin{aligned}\int_Cf(z)\mathrm{d}z&\equiv\int_C(u+\mathrm{i}v)(\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y)\\&=\int_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+\mathrm{i}\int_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)\end{aligned}\]

若 \(f(z)\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的连续函数, 则复变积分一定存在
\[ \left|\int_Cf(z)\mathrm{d}z\right|\leq\int_C|f(z)||\mathrm{d}z|=\int_C\sqrt{u^2+v^2}\mathrm{d}s\le Ml,\quad M=\sup |f(z)| \]
路径参数化:\(z=z(t)=x(t)+\mathrm{i}y(t);a\leq t\leq b\), 且 \(x(t),y(t)\) 有连续导数, 且 \(z^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)+\mathrm{i}y^{\prime}(t)\neq0\), 则
\[\int_Cf(z)\mathrm{d}z=\int_a^b[u(x(t),y(t))+\mathrm{i}v(x(t),y(t))][x^{\prime}(t)+\mathrm{i}y^{\prime}(t)]\mathrm{d}t=\int_a^bf(z(t))z^{\prime}(t)\mathrm{d}t\]
一般来讲, 复变积分数值依赖于积分路径本身
Definition 不定积分设 \(f(z)\) 及 \(\Phi(z)\) 是区域 \(G\) 内的连续函数, 若在 \(G\) 内有 \(\Phi^\prime(z)=f(z)\), 那么函数 \(\Phi(z)\) 称为 \(f(z)\) 在区域 \(G\) 内的一个不定积分或原函数
- \(\Phi(z)\) 显然为 \(G\) 内解析函数
- 除去可能相差一个常数外,原函数是唯一确定的
Theorem 设 \(C\) 的端点 \(a,b\); \(f\) 的某个原函数为 \(\Phi\),
\[\int_Cf\mathrm{d}z=\Phi(b)-\Phi(a)\]
Theorem 设 \(f\) 连续. 积分 \(\int_Cf\)d\(z\) 在区域 \(G\) 内仅与 \(C\) 的端点有关, 则 \(f\) 在 \(G\) 内的原函数 \(F(z)\) 存在.
\[F(z)=\int_{z_0}^zf(z)\mathrm{d}z\]
\(z_0\) 为区域内的任意参考点. Theorem 复变积分与路径无关 \(\equiv\) 围道积分恒为零 \(\equiv\) 函数的原函数存在

圆环积分的一些换元: \(\bar z=\frac{a^2}{z},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\frac{a^2}z}{\mathrm{2i}}; |\mathrm{d}z|=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{i}\frac{z}{r}}\). 有点难想的积分 \(\int_0^\infty\cos(x^2)\mathrm{d}x=\int_0^\infty\sin(x^2)\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\).

正实轴、辐角 \(\pi/4\) 的射线及半径 \(R\) 的圆弧组成的扇形闭合围道. 正向路径为 \(0\to R\), 沿逆时针圆弧至 \(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\), 再沿射线返回 0; 原图未画方向箭头.

2.2 Cauchy Theorem

Theorem 单连通区域的 Cauchy 定理如果函数 \(f(z)\) 在单连通区域 \(G\) 中解析, 则沿 \(G\) 中任何一个简单闭合围道 \(C\) 有

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0\]

Theorem 复连通区域的 Cauchy 定理如果 \(f(z)\) 是复连通区域 \(\overline{G}\) 中的 (单值)解析函数, 则

\[\oint_{C_0}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\oint_{C_i}f(z)\mathrm{d}z\]

其中 \(C_0,C_1,C_2,...,C_n\) 是构成复连通区域 \(\overline{G}\) 的边界的各个(分段光滑)闭合围道, \(C_1,C_2,...,C_n\) 都包含在 \(C_0\) 的内部. 默认为正向.

2.3 Large/Small Arc Theorems

Theorem 小圆弧定理若函数 \(f(z)\) 在 \(z=a\) 的空心邻域内连续, 且当 \(\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2,|z-a|\to0\) 时, \((z-a)f(z)\) 一致趋近于 \(k\), 则

\[\lim_{\delta\to0}\int_{C_\delta}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}k(\theta_2-\theta_1)\]

其中 \(C_\delta\) 是以 \(a\) 为圆心, \(\delta\) 为半径, 夹角为 \(\theta_2-\theta_1\) 的圆弧, 即 \(C_\delta=\{|z-a|=\delta\&\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2\}\).

Theorem 大圆弧定理设 \(f(z)\) 在 \(z=\infty\) 的邻域内连续, 当 \(\theta_1\leq\arg z\leq\theta_2,z\to\infty\) 时, \(zf(z)\) 一致地趋近于 \(K\),则

\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\]

其中 \(C_R\) 是以原点为圆心, \(R\) 为半径, 夹角为 \(\theta_2-\theta_1\) 的圆弧, 即 \(C_R=\{|z|=R\&\theta_1\leq\arg z\leq\theta_2\}\).

2.4 Cauchy Integral Formula

Theorem Cauchy 积分公式设 \(C\) 为一简单闭合围道, \(G\) 为其内部, \(a\) 为 \(G\) 内一点. 若 \(f(z)\) 是区域 \(\overline{G}\) 上的 (单值)解析函数, 则

\[f(a)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z\]

其中围道积分沿 \(C\) 的正向即逆时针方向.

Theorem 无界区域的 Cauchy 积分公式如果 \(f(z)\) 在简单闭合围道 \(C\) 上及 \(C\) 外解析, 且

\[\lim_{z\to\infty}f(z)=0\]

则 Cauchy 积分公式

\[f(a)=\frac1{2\pi\text{i}}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z\]

仍然成立,此处 \(a\) 为 \(C\) 外一点,积分路线 \(C\) 逆向.

2.5 Higher-Order Derivatives of Analytic Functions

Theorem 高阶导数公式

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

设 \(f(x)\) 是区域 \(G\) 内的解析函数, 则在区域 \(G\) 内 \(f(z)\) 的任何阶导数都存在, 并且 \(f^{(n)}(z)\) 也是区域内的解析函数.

2.6 Cauchy-type Integrals and Analyticity of Parametric Integrals

Theorem Morera 摩列拉定理设 \(f(z)\) 在区域 \(G\) 内连续. 如果对 \(G\) 中的任何闭合围道 \(C\), 都有

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0.\]

则 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析.

Theorem 含参量积分的解析性: 设

\(f(t,z)\) 是 \(t\) 和 \(z\) 的连续函数, \(t\in[a,b],z\in G\),
对于 \([a,b]\) 上的任何 \(t\),\(f(t,z)\) 是 \(G\) 内的解析函数,

则 \(F(z)=\int_a^bf(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 内是解析的, 且

\[F^{\prime}(z)=\int_a^b\frac{\partial f(t,z)}{\partial z}\mathrm{d}t\]

2.7 Poisson Integral

上半平面的 Poisson 公式 对于区域 \(\overline{G}\) 上的解析函数 \(f(z)\), 边界上的数值就完全决定了函数在 \(G\) 内任意一点的值. 当 \(f(z)\) 在上半平面解析时, 如图取一个特殊的围道:

上半平面 Poisson 公式使用的半圆闭合围道示意图.

令 \(\zeta=\xi+\mathrm{i}\eta\), 就有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{-R}^{R}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi+\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{C_{R}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta.\]

若 \(z\) 在上半平面趋于 \(\infty\) 时 \(f(z)\) 一致地趋于 0, 则根据大圆弧定理可知

\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=0\Longrightarrow f(z)=\dfrac{1}{2\pi\text{i}}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

此结果说明, 由 \(f(z)\) 在实轴上的值, 可以唯一地决定它在上半平面任意一点的数值. 进一步令 \(z=x+iy, f(z)=u+iv\), 还可以单独地写出 \(f(z)\) 的实部与虚部:

\[u(x,y)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)v(\xi,0)+yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi,\]

\[v(x,y)=-\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)u(\xi,0)-yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\]

对于其共轭点 \(\bar z\), 同理有

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)u(\xi,0)+yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi=0,\]

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)v(\xi,0)-yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi=0\]

对应的实部和虚部相减, 得到

\[\begin{aligned}u(x,y)&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\xi-x)v(\xi,0)}{(\xi-x)^{2}+y^{2}}\mathrm{d}\xi\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\end{aligned},\qquad \begin{aligned}v(x,y)&=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\xi-x)u(\xi,0)}{(\xi-x)^{2}+y^{2}}\mathrm{d}\xi\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\end{aligned}\]

圆内区域的 Poisson 公式 取圆内点 \(z\) 及其共轭点 \(z^*=\frac{R^2}{\bar z}\), 同样操作得到

\[\begin{aligned}&u(r,\phi)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{u(a,\theta)}{a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\phi-\theta)}\mathrm{d}\theta\\&v(r,\phi)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{v(a,\theta)}{a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\phi-\theta)}\mathrm{d}\theta\end{aligned}\]

3 Complex Series

3.1 Complex Series

Definition 序列极限给定序列 \(\{z_n\}\),如果存在复数 \(z,\forall\epsilon>0,\exists N(\epsilon)>0\),使当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(|z_n-z|\lt\epsilon\) (即 \(z_n\) 属于 \(z\) 的 \(\epsilon\)-邻域).则称 \(z_n\) 收敛于 \(z\),记为 \(\lim_{n\to\infty}z_n=z\).

Theorem 序列收敛的 Cauchy 充要条件 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使得 \(\forall n, m>N\),有 \(|z_m-z_n|\lt\epsilon\)

Definition 复数级数 \(\{u_n\}\) 为一序列, 则 \(\sum_{n=0}^\infty u_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots\) 被称为复数级数.

Definition 部分和与级数和
\[S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n\]
为部分和, 若 \(\{S_n\}\) 收敛, 则称级数 \(\sum u_n\) 收敛, \(S=\lim_{n\to\infty}S_n\) 称为级数 \(\sum u_n\) 的和; 反之称级数发散.
Theorem 级数收敛的 Cauchy 充要条件 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使得 \(\forall n>N, p\in Z_+\),有 \(|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|\lt\epsilon\).

Theorem 级数收敛的必要条件: \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\).

Definition 绝对收敛级数(级数收敛的充分条件) \(\sum|u_n|\) 收敛, 则称 \(\sum u_n\) 绝对收敛.

Theorem 绝对收敛判别:

比较判别: 若 \(|u_n| \lt v_n\), 而 \(\sum v_n\) 收敛, 则 \(\sum|u_n|\) 收敛(即 \(\sum u_n\) 绝对收敛). 若 \(|u_n|>v_n\), 而 \(\sum v_n\) 发散, 则 \(\sum|u_n|\) 发散(但 \(\sum u_n\) 不一定发散).

经常用几何级数 \(1+\rho+\rho^2+\cdots+\rho^n+\cdots\quad\rho>0\) 作为比较级数. 当 \(\rho\lt1\) 时, 几何级数收敛到 \(\frac1{1-\rho}\). 当 \(\rho\geq1\) 时, 级数发散.
比值判别: 若存在常数 \(\rho\lt1\) 使得 \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\leq\rho\lt1\), 则级数绝对收敛; 若大于 1, 则级数本身发散.
根式判别: 若 \(|u_n|^{\frac{1}{n}}\leq\rho\lt1\), 则级数绝对收敛; 若大于 1, 则级数本身发散.
D’Alembert 判别法: 若 \(\lim_{n\to\infty}\sup\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\lt1\), 则级数绝对收敛; 若 \(\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|>1\), 级数发散.
Cauchy 判别法: 若 \(\lim_{n\to\infty}\sup|u_n|^{\frac{1}{n}}\lt1\), 则级数绝对收敛; 若 \(\limsup_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}>1\), 则级数发散; 等于 1 时此判别法不能判断.
积分判别法: 设 \(f(x)\) 为连续、单调下降的正函数, 且 \(f(n)=a_n\), 则正项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 与 \(\int_1^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 同为收敛或发散. Proof 作两种图得到 \(\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x\lt\sum_{n=1}^\infty a_n\lt\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x+a_1\).

Theorem 绝对收敛性质: 重排仍收敛/乘积仍收敛/拆分仍收敛. e.g.\(\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty u_{2n}+\sum_{n=0}^\infty u_{2n+1}\).

3.2 Double Series

Definition 二重级数

\[\begin{matrix} &a_{11}+&a_{12}+&a_{13}+&a_{14}+&\cdots+&a_{1n}+&\cdots\\ +&a_{21}+&a_{22}+&a_{23}+&a_{24}+&\cdots+&a_{2n}+&\cdots\\ +&&&\vdots\\ +&a_{m1}+&a_{m2}+&a_{m3}+&a_{m4}+&\cdots+&a_{mn}+&\cdots\\ +&&&\vdots \end{matrix}\]

Definition 二重级数部分和
\[S_{mn}=\sum_{\begin{array}{l}1\leq k\leq m\\1\leq l\leq n\end{array}}a_{kl}\]
若 \(\lim_{m, n\to\infty}S_{mn}=S\), 则称二重级数收敛.

一般地讲, 逐行/逐列求和结果可以不同(不可交换). e.g.
\[a_{kl}=\frac{1}{k+1}\left(\frac{k}{k+1}\right)^l-\frac{1}{k+2}\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^l\]\[S_{mn}=\sum_{l=1}^n\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^l-\frac{1}{m+2}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)^l\right]\]\[-S'= S''=\frac 12\]
则对此二重级数, 其级数和不存在.

Theorem 若二重级数绝对收敛, 则三个求和

\[\sum_{k,l=0}^\infty a_{kl},\quad\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{kl},\quad\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty a_{kl}\]

都收敛, 且和相同. (即绝对收敛的二重级数具有可交换性).

对角求和: \[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{kl}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^na_{n-l,l}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{n+l,l}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^\infty a_{n+l,l}\]

3.3 Function Series

Definition 函数级数

\[u_1(z)+u_2(z)+\cdots+u_n(z)+\cdots\]

点收敛性: \(\sum u_k(z_0)\) 收敛, 则称级数在 \(z=z_0\) 处收敛. 外推得到区域收敛性, 同时级数和为单值函数.
逐点收敛: \(\forall\varepsilon>0,\exists N(z),\quad\mathrm{s.t.~}\forall n>N(z)\mathrm{~,~}p\geq1\mathrm{~,~}|\sum_{k=n+1}^{n+p}w_k|\lt\varepsilon\).

Definition 一致收敛若 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)\) 与 \(z\) 无关. 使得当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(\forall z\in G\)

\[\left|S(z)-\sum_{k=1}^nu_k(z)\right|\lt\epsilon\]

则称 \(\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\) 在 \(G\) 内一致收敛.

闭一致收敛:在区域 \(G\) 内的任一闭圆盘中一致收敛.
Theorem 一致收敛 Cauchy 充要条件若 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)\) 与 \(z\) 无关. 使得当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(\forall p\in Z_+,z\in G\)
\[\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(z)\right|\lt\epsilon\]
Weierstrass M 判别法:若在区域 \(G\) 内 \(|u_k(z)|\lt a_k\), \(a_k\) 与 \(z\) 无关且 \(\sum a_k\) 收敛,则 \(\sum u_k\) 在 \(G\) 内绝对且一致收敛
次序交换:
- 若 \(u_k(z)\) 连续, \(\sum u_k(z)\) 一致收敛, 则 \(S(z)=\sum u_k(z)\) 在 \(G\) 内也连续, 可以逐项求极限
  \[\lim_{z\to z_0}\sum_{k=1}^\infty u_k(z)=\sum_{k=1}^\infty u_k(z_0)=\sum_{k=1}^\infty\lim_{z\to z_0}u_k(z)\]
- 若 \(u_k(z)\) 是区域 \(G\) 内一条分段光滑曲线 \(C\) 上的连续函数, 则对于 \(C\) 上的一致收敛级数 \(\sum u(z)\), 可以逐项求积分
  \[\int_C\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^\infty\int_Cu_k(z)\mathrm{d}z\]
- Weierstrass 定理: 若 \(u_k\) 在 \(G\) 内解析, \(\sum u_k(z)\) 在 \(G\) 内闭一致收敛, 则 \(S(z)\) 是 \(G\) 内的解析函数, 可以逐项求导数
  \[S^{(p)}(z)=\left(\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\right)^{(p)}=\sum_{k=1}^\infty u_k^{(p)}(z)\]
  且级数的导数也在 \(G\) 内闭一致收敛.

3.4 Power Series

Definition 幂级数

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+\cdots+c_n(z-a)^n+\cdots\]

Theorem Abel 第一定理如果 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在某点 \(z_0\) 收敛, 则在 \(|z-a|\lt|z_0-a|\) 的圆内绝对收敛, 在 \(|z-a|\leq r\lt|z_{0}-a|\) 的闭圆内一致收敛. Corollary 若 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在某点 \(z_1\) 发散, 则在圆外 \(|z-a|>|z_1-a|\) 处处发散.

Definition 收敛圆、收敛半径从 \(a\) 到 \(\infty\) 的一条直线上, 幂级数的收敛性有三种可能:

在 \(z=a\) 为 \(c_0\), 在其他点都发散(全平面除 \(a\) 点都发散)
直线上所有点都收敛(全平面收敛)
从 \(a\) 到 \(A\) 处处收敛, \(A\) 到 \(\infty\) 处处发散, \(A\) 点不确定性质(按 Abel 定理可以得到收敛圆, 半径 \(|A-a|\))

幂级数在收敛圆内任意闭圆盘内一致收敛, 收敛圆内幂级数代表解析函数

求收敛半径

Cauchy-Hadamard 公式: 当 \(\lim_{n\to\infty}\sup|c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}\lt1\) 时, 级数绝对收敛, 当 \(\lim_{n\to\infty}\sup |c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}>1\) 时, 级数发散不论 \(\lim_{n\to\infty}|c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}\) 是否存在, 都有
\[|z-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sup|c_n|^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{1}{c_n}\right|^{\frac{1}{n}}\]
存在性由 lim superior 保证 Corollary 幂级数与其导数的收敛半径一致 Proof 由于导数为
\[\sum_{n=1}^\infty na_nz^{n-1}\]
故证明 \(\lim_{n\to\infty}\sup\sqrt[n]{n}=1\) 即可. 对于解析函数, 其解析邻域内一定有泰勒级数展开表示.
D’Alembert 判别法: 若下述极限存在, 则
\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(z-a)^{n+1}}{c_n(z-a)^n}\right|\begin{cases}\lt1&\text{级数绝对收敛}\\>1&\text{级数发散}\\=1& 判别法实效\end{cases}\]
即
\[|z-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\]
对于级数的求和结果 \(f(z)\) 可以解析地确定的情况, 直接找出其结果的奇点即可
对于不连续的, Example \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{3n+2}}z^{4n+1}\),
\[R=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{2^{3n+2}}{(-1)^n}\right|^{\frac{1}{4n+1}}=\lim_{n\to\infty}\inf 2^{\frac{3}{4}+\frac{5}{16n+4}}=\sqrt[4]{8}\]
同理, 对于周期性的, 可以对周期中每一个求完取最小.

Theorem Abel 第二定理

Abel 第二定理中通过扇形区域逼近边界点的几何示意图.

若幂级数 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在收敛圆内收敛到 \(f(z)\), 且在收敛圆圆周上某点 \(z_0\) 也收敛, 级数和为 \(S(z_0)\), 则当 \(z\) 由收敛圆内趋于 \(z_0\) 时, 只要保持在朝向圆内的非切向区域内, 例如固定 \(C>1\) 并满足 \(|z-z_0|\le C(R-|z-a|)\), 其中 \(R\) 为收敛半径, \(f(z)\) 就趋于 \(S(z_0)\).

Theorem Dirichlet 判别法: 对于级数

\[\sum_{k=1}^\infty a_kb_k\]

若单调序列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\lim_{k\to\infty}a_k=0\), 又级数 \(\sum b_k\) 的部分和有界, 则级数收敛.

Theorem Simpson’s dissection 设 \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛半径为 \(R\), \(k\) 为正整数, \(m\in\{0,\cdots,k-1\}\). 对 \(|x|\lt R\), 有

\[\sum_{n=0}^\infty a_{kn+m}x^{kn+m}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\cdot\delta_{n\equiv m({\mathrm{mod}}k)}=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{-mj}f(\omega^jx),\]

其中 \(\omega=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/k}\) 是 \(k\) 次本原单位根. Proof 利用 \(\omega\) 的完备性

\[\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{j\ell}= \begin{cases}k&\mathrm{if}\,\ell\equiv0({\mathrm{mod}}k),\\0&\mathrm{else}\end{cases}\]

Example 求级数和 \(S(z)=\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{z^{6k+1}}{6k+1}-\frac{z^{6k+5}}{6k+5}\right],\quad -\frac{\pi}{3}\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}\)(提示:\(\ln(1-z)=-z-\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}-\cdots,\quad|z|\lt1\)) Solve 级数的收敛区域为 \(|z|\lt1\). 如果 \(S(z)\) 在 \(z=\mathrm{e}^\mathrm{i\theta}\) 时收敛, 则

\[\cos\theta-\frac{\cos5\theta}{5}+\frac{\cos7\theta}{7}-\frac{\cos11\theta}{11}+-\cdots=\mathrm{Re}S(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}).\]

在收敛圆 \(|z|\lt1\) 内, 级数 \(S(z)\) 绝对收敛, 我们可以把它拆成两个级数

\[S(z)=S_1(z)-S_5(z),\quad S_l(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^{6k+l}}{6k+l}.\]

利用 Simpson’s dissection 定理, 得

\[S_l(z)=-\frac16\sum_{j=1}^6\omega^{-lj}\ln(1-z\omega^j),\]\[S_{1}(z)=-\frac{1}{6}\sum_{j=1}^{6}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi j/3}\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3}),\quad S_{5}(z)=-\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3}\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3})\]

\[\begin{aligned}S(z)=&\frac{\mathrm{i}}{3}\sum_{j=1}^6\sin(\pi j/3)\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3})\\=&\frac{\mathrm{i}}{2\sqrt{3}}\ln\frac{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3})}{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}4\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}5\pi/3})}\\=&\frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}\ln\frac{(1+z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3})}{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1+z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3})}\quad|z|\lt1\end{aligned}\]

在 \(|z|=1\) 的圆周上, 设 \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 级数趋于

\[\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{\mathrm{e}^{(6k+1)\mathrm{i}\theta}}{6k+1}-\frac{\mathrm{e}^{(6k+5)\mathrm{i}\theta}}{6k+5}\right]\]

先验证边界级数收敛: 当 \(\theta\ne0\) 且 \(-\pi/3\lt\theta\lt\pi/3\) 时, \(\mathrm{e}^{6\mathrm{i}\theta}\ne1\), 两个子级数分别由 Dirichlet 判别法收敛; 当 \(\theta=0\) 时, 按原来的成组次序, 每组为 \(4/[(6k+1)(6k+5)]\), 其和收敛. 上式对数取在圆内由 \(S(0)=0\) 确定的连续解析分支, 不能任意合并为主对数. 沿径向趋于 \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 对数内的比值为负实数, 其连续辐角在这个开弧上为 \(\pi\) (由 \(\theta=0\) 处跟踪分支确定). 由 Abel 定理并取实部, 得到

\[\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{\cos(6k+1)\theta}{6k+1}-\frac{\cos(6k+5)\theta}{6k+5}\right]=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\]

这里不能推出整个复级数和在开弧上有界: 虚部在靠近 \(\theta=\pm\pi/3\) 时具有对数发散, 两个端点处的复级数也发散.

3.5 Analyticity of Improper Integrals with Parameters

Theorem 设

\(f(t,z)\) 是 \(t, z\) 的连续函数, \(t\ge a, z\in G\).
\(\forall t\ge a\), \(f(t,z)\) 是 \(G\) 内的解析函数.
\(\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 中闭一致收敛, 即对 \(G\) 内任意闭圆盘区域, \(\forall\epsilon>0,\exists T(\epsilon)\), 当 \(T_{2}>T_{1}>T(\epsilon)\) 时, 有 \[\left|\int_{T_1}^{T_2}f(t,z)\mathrm{d}t\right|\lt\epsilon\]

则 \(F(z)=\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 内是解析的, 且

\[F^{\prime}(z)=\int_a^\infty\frac{\partial f(t,z)}{\partial z}\mathrm{d}t\]

Theorem 无穷积分/瑕积分一致收敛的充分条件若 \(\exists \phi(t)\), 使得 \(|f(t,z)|\lt\phi(t), z\in\overline G\), 而且 \(\int_a^\infty\phi(t)\mathrm{d}t\) 收敛, 则 \(\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(\overline G\) 上绝对且一致收敛.

3.6 Divergent Series and Asymptotic Series

Definition \(O/o\). 设 \(f(z)\) 和 \(\phi(z)\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi(z)\neq0\), 若 \(z\to z_0\) 时, \(f(z)/\phi(z)\) 有界, 则记为

\[f(z)=O\left(\phi(z)\right),\quad z\to z_0\]

若 \(\lim_{z\to z_0}f(z)/\phi(z)=0\), 则记为

\[f(z)=o\left(\phi(z)\right),\quad z\to z_0\]

Definition 渐近序列设函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi_n(z)\neq0\)(\(z_0\) 点可以除外), 若对于所有的 \(n\), 有

\[\phi_{n+1}(z)=o\left(\phi_n(z)\right),\quad z\to z_0\]

则称函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 为 \(z\to z_0\) 时的一个渐近序列.

Definition 渐近级数若

\[\left[f(z)-\sum_{n=0}^ma_n\phi_n(z)\right]=o\left(\phi_m(z)\right), \quad \forall m\in\mathbb{N},\quad z\to z_0\]

则称 \(\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\) 是函数 \(f(z)\) 相对于 \(\{\phi_n(z)\}\) 的渐近级数, 记为

\[f(z)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\]

\(z\) 越接近 \(z_0\), 有限和 \(\sum_{n=0}^m a_n\phi_n(z)\)(称为 \(z\to z_0\) 时 \(f(z)\) 的渐近近似)越逼近于 \(f(z)\). 它区别于通常的级数展开,例如幂级数展开
\[f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n+\cdots\]
后者是 \(z\) 点固定, 而级数的项数越多越准确, 即
\[\lim_{N\to\infty}\left[f(z)-\sum_{n=0}^Nu_n(z)\right]=0.\]
在渐近级数的定义中, 并未要求级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\phi_n(z)\) 收敛. 渐近展开级数可以(而且常常)不是收敛级数. 因此, 对于一定的 \(z\), 并不能通过多取项数(即增大 \(N\))来改善近似程度.

4 Local Expansions of Analytic Functions

4.1 Taylor Expansion

Theorem Taylor 展开设函数 \(f(z)\) 在 \(|z-a|\lt R\) 内解析, 则对圆内任何 \(z\) 点, \(f(z)\) 可以展开为

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\]

对于复变函数, 解析性就足以保证 Taylor 级数收敛.
Taylor 形式的展开是唯一的
若 Taylor 级数的最大收敛半径为有限值 \(R\), 则其收敛圆周上至少有一个不可去奇点; 否则可延拓到更大的圆盘. 任意先行选定的解析圆盘边界不必有奇点.

基本初等函数的展开

\[\mathrm{e}^{z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!},\quad |z|\lt\infty;\qquad \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n,\quad \left|z\right|\lt1;\]

\[\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad |z|\lt\infty;\qquad \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad |z|\lt\infty;\]

\[\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n,\quad \left|z\right|\lt1;\qquad (1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}z^n,\quad |z|\lt1.\]

Taylor 级数求法

有理函数: 分式拆分法
\[\begin{aligned} \frac{1}{1-3z+2z^2}&=\frac{1}{(1-z)(1-2z)}=-\frac{1}{1-z}+\frac{2}{1-2z} \\&=-\sum_{n=0}^\infty z^n+2\sum_{n=0}^\infty(2z)^n =\sum_{n=0}^\infty(2^{n+1}-1)z^n \end{aligned},\quad|z|\lt\frac{1}{2}\]
化为简单函数求导:
\[\begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^2}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{1}{1-z}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}z^n \\&=\sum_{n=1}^\infty nz^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)z^n\end{aligned},\quad|z|\lt1\]
化为简单函数积分: 对多值函数 \(\ln(1+z)\) 在 \(z=0\) 邻域的展开, 规定割线从 \(-1\) 到 \(-\infty\)
\[\begin{aligned} \ln(1+z)-\ln(1+z)|_{z=0}&=\int_0^z\frac{1}{1+z}=\int_0^z\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\mathrm{d}z\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n\end{aligned},\quad |z|\lt1\]
Remark Taylor 展开由展开中心的解析函数芽决定. 收敛半径由该函数芽到最近不可去奇点的距离决定, 奇点可以是极点、本性奇点或枝点; 人为割线本身不限制 Taylor 级数的收敛半径. 仅规定中心函数值, 一般不足以确定解析函数芽.
级数相乘:
\[\begin{aligned}\frac{1}{1-3z+2z^2}&=\frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-2z}\\ &=\sum_{k=0}^\infty z^k\cdot\sum_{l=0}^\infty2^lz^l =\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty2^lz^{k+l}\end{aligned}\]
设 \(n=k+l\), 则
\[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty2^lz^{k+l}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^n2^lz^n=\sum_{n=0}^\infty(2^{n+1}-1)z^n\]
待定系数法: (1) 对函数 \(f(z)=\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}\), 定义 \(f(0)=\lim_{z\to0}f(z)=1\), 则函数在 \(|z|\lt2\pi\) 范围解析. 设(这是 Bernoulli 数的生成函数)
\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n\]
移项得到
\[1=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}z^k\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l!}z^{l-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}z^k\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{(l+1)!}z^l\]
令 \(n=k+l\) 得到
\[1=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!(n-k+1)!}z^n\]
故对于系数有(Bernoulli 数)
\[\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!(n-k+1)!}=\begin{cases}1&n=0\\0&n\neq0&&\end{cases}\]
可以简单地得到 \(B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}\), 考虑到
\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\frac{z}{2}\left(\frac{\mathrm{e}^z+1}{\mathrm{e}^z-1}-1\right)=\frac{z}{2}\frac{\mathrm{e}^{z/2}+\mathrm{e}^{-z/2}}{\mathrm{e}^{z/2}-\mathrm{e}^{-z/2}}-\frac{z}{2}\]
第一项为偶函数, 展开时只有 \(z\) 的偶数次幂, 则 \(B_{2n+1}=0, n>0\). 对于偶数次项有递推式
\[\sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{B_{2k}}{(2k)!(n-2k+1)!}=\frac{n-1}{2(n+1)!}\]\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=1-\frac{1}{2}z+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n},\quad |z|\lt2\pi\]
(2) 对 \((1+z)^\alpha\) 在 \(z=0\) 的邻域
\[[(1+z)^\alpha]^{\prime}=\frac{\alpha}{1+z}(1+z)^\alpha\]
设 \((1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\) 得到
\[(1+z)\sum_{n=0}^\infty nc_nz^{n-1}=\alpha\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty(n+1)c_{n+1}z^n=\sum_{n=0}^\infty(\alpha-n)c_nz^n\]
比较系数得到 \((n+1)c_{n+1}=(\alpha-n)c_n\), 那么
\[c_{0}=f(0)=(1+z)^{\alpha}|_{z=0},\quad c_{1}=\alpha c_0,\quad c_{2}=\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}c_0,\cdots, c_n=\binom{\alpha}{n}c_0\]

\[\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots[\alpha-(n-1)]}{n!},\quad \alpha\in\mathbb{R}\]

\[(1+z)^\alpha=(1+z)^\alpha|_{z=0}\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}z^n\]

4.2 Isolation of Zeros and Uniqueness of Analytic Functions

Definition 零点称 \(z=a\) 为 \(f(z)\) 的零点当 \(f(z)\) 在 \(a\) 解析且 \(f(a)=0\).

Theorem 零点的孤立性设 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析且不恒为 0, \(a\) 为其零点, 则必能找到一个 \(|z-a|\lt\rho\), 在其中 \(a\) 为唯一零点. Proof 在零点 \(z=a\) 邻域展开得到

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n,\quad a_0=0\]

设最低阶非零系数为 \(a_m, m\in\mathbb{Z}_+\), 则

\[\begin{aligned} f(z)&=\sum_{n=m}^\infty a_n(z-a)^n=(z-a)^m\sum_{n=m}^\infty a_n(z-a)^{n-m}\\&=(z-a)^m\sum_{n=0}^\infty a_{m+n}(z-a)^n=(z-a)^m\phi(z)\end{aligned}\]

\(\phi(z)\) 在 \(z\) 的邻域 \(|z-a|\lt R\) 内解析, 且 \(\phi(a)=a_m\ne 0\). 为保证 \(\phi(z)\) 的连续性有

\[\forall\varepsilon>0,\exists\rho>0,\quad \mathrm{s.t.}\,|\phi(z)-\phi(a)|\lt\varepsilon, \ |z-a|\lt\rho\]

不妨取

\[\varepsilon=\frac{\left|\phi(a)\right|}{2},\quad \mathrm{s.t.}\, |\phi(z)|>|\phi(a)|-\varepsilon=\frac{1}{2}|\phi(a)|>0\]

则 \(0\lt|z-a|\lt\rho\) 内无零点.

Corollary 设函数 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析, 若 \(f(z)\) 在 \(G\) 的一个子区域内恒为 0, 则 \(f(z)=0\) 在 \(G\) 内成立.

区域内为 0 还可替换为:

\(|z-a|\lt R\) 中存在无穷多个互异零点 \(\{z_n\}\), \(\lim_{n\to\infty}z_n=a, z_n\ne a\). (无穷多点的趋于 \(a\) 的零点序列)

一段弧 \(l\) 上为 0

同理还可以推出 Theorem 解析函数的唯一性定理 \(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 在共同的解析区域 \(G\) 内, 若

\[\exists \{z_n\}\subset G\quad\text{互异},\quad \mathrm{s.t.}\,f_1(z_n)=f_2(z_n)\]

且 \(\{z_n\}\) 的一个聚点(极限点)落在 \(G\) 内, 则在 \(G\) 内 \(f_1(z)\equiv f_2(z)\).

4.3 Laurent Expansion

Definition Laurent series 设函数 \(f(z)\) 在带状区域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 解析, 则在此区域可以如下展开

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-b)^n,\quad a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

\(C\) 是环域内绕内圆一周的任意曲线. 其中非负幂项(正则部分)的收敛范围为 \(|z-b|\lt R_2\), 负幂项(主要部分)的收敛范围为 \(|z-b|>R_1\). Proof 对于环域内任意一点 \(z\), 存在 \(r_1\) 和 \(r_2\) 满足

\[R_1\lt r_1\lt|z-b|\lt r_2\lt R_2\]

Laurent 展开所对应的环域与辅助围道示意图.

在环域 \(r_1\lt|z-b|\lt r_2\) 内取 \(z\) 的一个邻域, 设其边界为 \(C_0\), 则

\[f(z)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_0}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

又由复连通 Cauchy 定理

\[\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi=\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi+\oint_{C_0}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

\[\Longrightarrow f(z)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi-\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

对于 \(|\xi-b|=r_2\) 的围道, 由 \(|z-b|\lt r_2\)

\[\frac1{\xi-z}=\frac1{(\xi-b)-(z-b)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-b)^n}{(\xi-b)^{n+1}}\]

对于 \(|\xi-b|=r_1\) 的围道, 由 \(|z-b|>r_1\)

\[\frac1{\xi-z}=\frac1{(\xi-b)-(z-b)}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(\xi-b)^n}{(z-b)^{n+1}}\]

则

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty(z-b)^n\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi+\sum_{n=0}^\infty(z-b)^{-n-1}\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{-n}}\mathrm{d}\xi\]

由复连通区域的 Cauchy 定理, 在环域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 内各个被积函数解析, 故积分围道 \(|\xi-b|=r_2\) 和 \(|\xi-b|=r_1\) 都可换成环域内绕内圆的任意一条简单闭合曲线.将两求和合并后得

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty(z-b)^n\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

Laurent series 的正项并不同于 Taylor series, 即使是正幂项系数
\[a_n\neq\frac{1}{n!}f^{(n)}(b)\]
Laurent 展开具有唯一性 Proof 设函数在环域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 内还有另一个 Laurent 展开式 \(f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n'(z-b)^n\),则
\[(z-b)^{-k-1}f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}(z-b)^{n-k-1}\]
沿环域内绕内圆一周的任一围道 \(C\) 积分
\[\begin{aligned}\oint_C(z-b)^{-k-1}f(z)\mathrm{d}z&=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}\oint_C(z-b)^{n-k-1}\mathrm{d}z\\&=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}2\pi\mathrm{i}\delta_{nk}=2\pi\mathrm{i}a_k^{\prime}\end{aligned}\]
所以
\[a_k^{\prime}=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(z)}{(z-b)^{k+1}}\mathrm{d}z=a_k\]
Q.E.D.
对 Laurent 级数的最大收敛环域, 若外圆半径 \(R_2\ne \infty\), 则函数 \(f(z)\) 在外圆上一定有奇点. 同样, 若内圆半径 \(R_1\ne 0\), 函数在内圆上也一定有奇点.特殊情况 \(R_1=0\): 若 Laurent 级数主要部分不为零, 则 \(z=b\) 为 \(|z-b|\lt R_2\) 内的唯一奇点(孤立奇点); 若 Laurent 级数主要部分为零, 则函数在 \(|z-b|\lt R_2\) 内解析, \(z=b\) 为可去奇点.
收敛范围 \(r\lt|z|\lt R,\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sup|a_n|^{1/n}},\quad r=\lim_{n\to \infty}\sup|a_{-n}|^{1/n}\)(比值判别: \(r=(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{-n-1}}{a_{-n}}\right|)\))

Example 1 \(\frac{1}{z(z-1)}\) 在 \(|z|=0\) 与 \(|z|=1\) 之外的幂级数展开 Solution \(\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}\),

\(0\lt|z|\lt1\). 第二项作 Taylor 展开, 总地得到 Laurent 展开式
\[\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}-\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^\infty z^n=-\sum_{n=-1}^\infty z^n\]
\(|z|>1\), 即. 第二项视 \(\frac 1z\) 为变量
\[\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n=-\infty}^{-2}z^n\]

Example 2 \(\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}\) 在 \(0\lt|t|\lt\infty\) 内的幂级数展开. Solution \(\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}=\mathrm{e}^{zt/2}\mathrm{e}^{-z/2t}\), 两项分别展开为 Taylor 和 Laurent 级数

\[\mathrm{e}^{zt/2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^kt^k,\qquad \mathrm{e}^{-z/2t}=\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{l!}\left(\frac{z}{2}\right)^l\left(\frac{1}{t}\right)^l\]

则

\[\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{k!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{k+l}t^{k-l}\]

设 \(k-l=n\), 又

\[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\cdots=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\cdots+\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^\infty\cdots\]\[\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\} =\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{(n+l)!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}t^n +\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^{\infty}\frac{(-1)^l}{(n+l)!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}t^n =\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n\]

其中

\[J_n(z)=\left\{\begin{aligned}\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{l!(n+l)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}&n\geq0\\\sum_{l=-n}^\infty\frac{(-1)^l}{l!(n+l)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}&n\lt0&\end{aligned}\right.\]

为 n 阶(第一类)Bessel 级数.

4.4 Isolated Singularities of Single-valued Functions

Definition 设 \(b\) 为 \(f(z)\) 的奇点, 若 \(\exists r>0\), 使得 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt r\) 解析, 则称 \(b\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点, 否则为非孤立奇点.

分类: 存在孤立奇点的一个环域 \(0\lt|z-b|\lt R\), 在环域内 \(f(z)\) 可以展开为 Laurent 级数, 若
1. 展开式不含负幂, 称为可去奇点
2. 展开式只含有限负幂, 称为极点
3. 展开式含无穷多负幂项, 称为本性奇点

(1)可去奇点 Laurent 级数退化为 Taylor 级数,

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n\]

级数在收敛圆内解析, 重定义,

\[f(b)=a_0=\lim_{z\to b}\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n=\lim_{z\to b}f(z)\]

则奇点可以去掉. Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 函数的可去奇点的充要条件是存在为有限值的

\[\lim_{z\to b}f(z)\]

等价于存在 \(\delta>0\) 使得函数在 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 有界 \(|f(z)|\lt M\).
等价于 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0\).

Proof 取 \(\rho\lt\delta\) 估算 Laurent 级数的系数

\[a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=\rho}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi,\quad |a_n|\lt\frac{1}{2\pi}\frac{M}{\rho^{n+1}}2\pi\rho=\frac{M}{\rho^n}\]

对 \(n\lt0\), 令 \(\rho\to0\) 得 \(a_n=0\), 所以 Laurent 级数没有负幂项, 奇点可去. 反向由解析延拓的连续性得有界性和有限极限. 若只知 \((z-b)f(z)\to0\), 则 \(F(z)=(z-b)f(z)\) 可去且延拓值 \(F(b)=0\); 因而 \(F(z)=(z-b)h(z)\), 其中 \(h\) 解析, 于是 \(f=h\) 在 \(b\) 可去. (2)极点 若 \(a_{-m}\) 为最低阶的非零系数, 则 \(b\) 为 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶极点

\[f(z)=\sum_{n=-m}^\infty a_n(z-b)^n=(z-b)^{-m}\phi(z),\qquad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n-m}(z-b)^n\]

\(\phi(z)\) 为 \(|z-b|\lt R\) 内的解析函数, 且 \(\phi(b)\ne 0\). \(\lim_{z\to b}f(z)=\infty\). Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 的极点的充要条件是

\[\lim_{z\to b}f(z)=\infty\]

即 \(\forall M>0\), \(\exists\delta>0\), 当 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 时, \(|f(z)|>M\).

等价于 \(z_0\) 是 \(\frac{1}{f(z)}\) 的 \(m\) 阶零点
等价于 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{m+1}f(z)=0\) 且 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\)

Proof 由定义, \(\lim_{z\to b}f(z)=\infty\) 即 \(\lim_{z\to b}\frac1{f(z)}=0\). 再任取 \(M>0\), \(\exists\delta\), 使得 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 时, \(|f(z)|>M\). 即在 \(|z-b|\lt\delta\) 内, \(f(z)\neq0\), 所以 \(\frac1{f(z)}\) 在此邻域内解析(包括 \(b\) 点, \(b\) 点为可去奇点).进一步 \(,b\) 为其零点 (且为孤立零点), 设其为 \(m\) 阶零点. 则

\[\dfrac{1}{f(z)}=(z-b)^mg(z),\quad g(b)\neq0\]

即

\[f(z)=(z-b)^{-m}\frac1{g(z)}=(z-b)^{-m}\phi(z), \quad \phi(b)=\frac1{g(b)}\neq0\]

\(b\) 为 \(m\) 阶极点.

(3)本性奇点 Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点的充要条件是: \(\forall A\in\mathbb{C}\), \(\exists \{z_n|z_n\to b\}\), 使得 \(f(z_n)\to A\). (可以构造趋于 \(b\) 的序列使函数值趋于任意值)

判断时只需要判断是否趋于一个确定的值.
或者可以判断不是可去奇点或极点

Theorem Casorati-Weierstrass 定理设 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点, 令 \(D\) 是 \(z_0\) 的某个邻域, 使得 \(f(z)\) 在 \(U=D\backslash\{z_0\}\) 上解析. 则 \(f(z)\) 在 \(U\) 上的取值是在 \(\mathbb{C}\) 中处处稠密的, 即对于 \(\mathbb{C}\) 中任何复数, \(f(z)\) 在 \(U\) 上都可无限逼近. Proof 用反证法, 设

\[\exists\alpha\in\mathbb{C},s>0\qquad \mathrm{s.t.}\,|f(z)-\alpha|>s\:,\quad\forall z\in U\]

定义函数

\[g(z)=\frac1{f(z)-\alpha}\:,\]

显然 \(g(z)\) 在 \(U\) 上是解析函数且有界, 因此按照有界可去奇点判据, \(z_0\) 最多是 \(g(z)\) 的可去奇点, 因此可将 \(g(z)\) 延拓成 \(D\) 上的解析函数. 因此, 可对 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 附近做泰勒展开

\[g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\]

若 \(g(z_0)\ne0\), 则 \(f=1/g+\alpha\) 在 \(z_0\) 可去. 若 \(g(z_0)=0\), 由于 \(g\) 在穿孔邻域内非零, 它不恒为零, 故 \(z_0\) 为其有限阶零点, 从而 \(f\) 在 \(z_0\) 为极点. 两种情形都与 \(z_0\) 为本性奇点矛盾.

4.5 Analytic Continuation

Definition 解析延拓设函数 \(f_1(z)\) 在区域 \(G_1\) 内解析, 函数 \(f_2(z)\) 在区域 \(G_2\) 内解析. 而在 \(G_1\) 和 \(G_2\) 的公共区域 \(G_1\cap G_2(\neq\varnothing)\) 内, \(f_1(z)\equiv f_2(z)\), 则可在区域 \(G_1\cup G_2\) 内定义

\[f(z)=\begin{cases}f_1(z)&z\in G_1\\f_2(z)&z\in G_2\end{cases}\]

\(f(z)\) 为 \(G_1\cup G_2\) 内的单值解析函数. 这样函数 \(f_1(z)\) 或 \(f_2(z)\) 的解析范围被扩展了. 我们称 \(f_2(z)\) 为 \(f_1(z)\) 在 \(G_2\) 内的解析延拓; 反之同理. \(f(z)\) 则称为 \(f_1(z)\) 及 \(f_2(z)\) 在 \(G_1\cup G_2\) 内的解析延拓.

要将函数从 \(z_1\) 附近向外延拓, 只要研究其幂级数展开式能否能延拓. 函数的有限表达式难以由幂级数和求出的情况, 可以用幂级数来延拓幂级数: 在 \(z_1\) 和 \(z_2\) 解析的函数 \(f_1(z)\) 的幂级数展开式
\[f_1(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(1)}(z-z_1)^n,\quad |z-z_1|\lt r_1\]

\[f_2(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(2)}(z-z_2)^n,\quad |z-z_2|\lt r_2;,\quad a_n^{(2)}=\frac{f_1^{(n)}(z_2)}{n!}\]
1. \(r_2>r_1-|z_1-z_2|\). \(f_1(z)\) 由 \(z_1\) 沿 \(z_2\) 的方向延拓到收敛圆外.
2. \(r_2=r_1-|z_1-z_2|\). 两圆相切处为奇点, 无论如何延拓都不可能解析.

解析延拓与多值函数

沿重叠区域逐片解析延拓的示意图. 每次拼接在相应连通重叠片上取相同函数值; 绕枝点后返回原邻域, 可能得到不同的解析分支. 重叠本身不产生多值性.

\(f\) 在 \(G\) 上解析, 沿一条路径逐片延拓到 \(G_1,G_2,\ldots\). 每一步在用于拼接的连通重叠片上与前一步相等. 若路径绕过枝点后返回原邻域, 返回的函数芽可能与出发时不同; 这反映延拓结果依赖路径, 不能据此说任意重叠片上的两个延拓函数都可不相等.

所以, 若 \(z_1\) 为奇点, 我们可以绕它一圈做解析延拓:

若在 \(G\cap G_2\) 上 \(f(z)=f_2(z)\), 则函数在相应环域上单值解析. 若 \(z_1\) 是该单值函数的孤立奇点, 其类型应由 Laurent 展开判断: 可去奇点、极点或本性奇点.
若在 \(G\cap G_2\) 上 \(f(z)\neq f_2(z)\), 则函数不可解析延拓到绕 \(z_1\) 点的环域, 函数为多值函数. 化为单值函数, 环域内必存在不解析的割线. \(z_1\) 为函数的枝点.

Definition 解析函数先定义在一个小的区域, 再通过解析延拓推广到整个 Riemann 面, 同时找出函数的奇点(孤立奇点, 枝点, 非孤立奇点), 如此定义得到全局解析函数.

全局解析函数在 Riemann 面上每一点的值是确定的, 它的奇点及其性质也是确定的.
一个全局解析函数可能无法定义在整个复平面. 解析延拓能否实现, 取决于函数的奇点分布: 如果在幂级数的收敛圆的边界上充满了奇点, 那么函数将无法解析延拓出去.

4.6 Bernoulli Numbers and Euler Numbers

将 \(t/(\mathrm{e}^t-1)\) 在 \(t=0\) 展开, 用待定系数法得到 Bernoulli 数

\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n,\quad |z|\lt2\pi;\]

\[\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{B_{2k}}{(2k)!(n-2k+1)!}=\frac{1}{2n!},\quad n\ge1, \quad B_0=1;\quad B_1=-\frac{1}{2}\]

Bernoulli 数还可以用于其他展开式

\[\begin{aligned} \frac{z}{2}\cot\frac{z}{2} =\frac{\mathrm{i}z}{2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z/2}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z/2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z/2}} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}\frac{\mathrm{B}_{2n}}{(2n)!}z^{2n} ,&|z|\lt2\pi;\\ \frac{z}{2}\tan\frac{z}{2} =\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}-z\cot z &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n-1}\frac{2^{2n}-1}{(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n},&|z|\lt\pi;\\ z\csc z =\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\tan\frac{z}{2} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n-1}\frac{2\left(2^{2n-1}-1\right)}{(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\pi;\\ \ln\frac{\sin z}{z} &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n}\frac{2^{2n-1}}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\pi;\\ \ln\cos z &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n}\frac{2^{2n-1}(2^{2n}-1)}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\frac{\pi}{2};\\ \ln\frac{\tan z}{z} &=\sum_{n=1}^\infty(-)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n-1}-1)}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &\left|z\right|\lt\frac{\pi}{2}.\end{aligned}\]

类似地可以得到 Euler 数

\[\frac{2\mathrm{e}^{z/2}}{\mathrm{e}^z+1}=\mathrm{sech}\frac{z}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm{E}_n}{n!}\left(\frac{z}{2}\right)^n,\quad|z|\lt\pi;\]

\[\sum_{l=0}^n\frac{(2n)!}{(2l)!(2n-2l)!}\mathrm{E}_{2l}=0,\quad n\ge 1,\quad E_0=1;\quad E_{2l+1}=0,\quad l\in \mathbb{N}\]

4.7 Convergence of Infinite Products

Definition 无穷乘积与部分乘积给定一个无穷乘积 \(\prod_{n=1}^\infty b_n\), 我们定义其第 \(n\) 个部分乘积(partial product)为:

\[p_n=\prod_{k=1}^nb_k=b_1\cdot b_2\cdots b_n\]

Definition 无穷乘积的收敛与发散对于无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty}b_n\), 我们根据其因子的性质和部分乘积序列 \(\{p_n\}\) 的行为, 定义其收敛性如下:

发散到零(无穷零因子) 如果无穷多个因子 \(b_n\) 等于 0, 我们称该无穷乘积发散到零
收敛情况
1. (无零因子)如果没有因子 \(b_n\) 等于 0, 我们讨论部分乘积序列 \(p_n\) 的极限:
  - 如果 \(p_{n}\to p\neq0\) 当 \(n\to\infty\), 我们称该无穷乘积收敛, 并且其值为 p. 记作: \(\prod_{n=1}^\infty b_n=p\).
  - 如果 \(p_n\to 0\) 当 \(n\to \infty\), 我们称该无穷乘积发散到 0.
2. (有限零因子)如果只有有限个因子 \(b_n\) 等于 0, 这意味着存在一个正整数 \(N\), 使得 \(\forall n>N\), 都有 \(b_n\neq0\). 这时称无穷乘积 \(\prod_{n=1}^\infty b_n\) 收敛, 当尾部乘积 \(\prod_{n=N+1}^\infty b_n\) 按照无零因子的要求收敛到一个非 0 的极限. 此时无穷乘积的值定义为:
  \[\prod_{n=1}^\infty b_n=b_1\cdot b_2\cdots b_N\cdot\left(\prod_{n=N+1}^\infty b_n\right)\]
  这种情况下收敛的无穷乘积的值总是 0.
发散情况如果一个无穷乘积不满足上述收敛条件, 我们就称它发散. 包括 \(p_n\) 趋于无穷、 \(p_n\) 振荡不收敛、尾部乘积发散或发散到零的情况.

Definition 若 \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|)\) 收敛, 则称无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 绝对收敛
Theorem 若 \(a_n\ge0\), 则 \(\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛当且仅当 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 对 \(\prod_{n=1}^\infty(1-a_n)\), 在 \(0\le a_n\lt1\) 的条件下同样成立. Proof 收敛的非零尾部乘积要求 \(a_n\to0\). 对充分大的 \(n\), \(a_n\le1/2\), 有 \[\frac{a_n}{2}\le\ln(1+a_n)\le a_n,\qquad a_n\le-\ln(1-a_n)\le2a_n.\] 将尾部乘积取对数, 由比较判别法得到结论. 若只有有限个 \(a_n=1\), 按上面的有限零因子定义, 应越过这些因子后检验尾部乘积; 无穷多个零因子仍为发散到零.

4.8 Weierstrass Factorization Theorem

核心思想: 通过添加指数因子来确保收敛性(零点增长不够快时). 通过一个整函数的零点与一个描述零点之外的增长行为等信息的指数因子构造出这个函数

Theorem Weierstrass 因子分解定理. 设 \(f(z)\) 是一个不恒为零的整函数, 在 \(z=0\) 有一个 \(m\) 阶零点(如果 \(f(0)\neq0\), 则 \(m=0\)).

设 \(f(z)\) 的其它非零零点为 \(z_1, z_2, z_3, \cdots\) (计入重数), 并按模长排序, 满足

\[\begin{gathered} 0\lt | z_1| \leq | z_2| \leq \cdots \\ \lim _{n\to \infty }| z_n| = \infty \end{gathered}\]

则存在一个整数序列 \(\{ k_n|k_n\ge 0\} _{n= 1}^{\infty }\), 使得 \(\forall R>0\) 时级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{R}{z_n}\right|^{k_n+1}\]

收敛. 此时 \(f(z)\) 可以写为

\[f(z)=z^m\mathrm{e}^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\mathrm{e}^{P_n(z)}\]

其中 \(g(z)\) 是整函数, 多项式为

\[P_n(z)=\sum_{j=1}^{k_n}\frac1j\left(\frac{z}{z_n}\right)^j,\]

当 \(k_n=0\) 时为空和 \(P_n=0\). 若非零零点只有有限个, 相应乘积为有限乘积.

\(\{k_n\}\) 的选取保证规范乘积在任一紧子集上收敛. 若存在固定 \(k\ge0\) 使 \(\sum_n|z_n|^{-k-1}\) 收敛, 可以取所有 \(k_n=k\). 一种总可行的选择是 \(k_n=n-1\): 对任意固定 \(R>0\), 充分大的 \(n\) 有 \(R/|z_n|\le1/2\), 故尾部受 \(\sum_n2^{-n}\) 控制. 其他选择须另行验证上述绝对收敛条件.
对给定的 \(f\), 记非零零点的规范乘积为 \(W(z)\), 则
\[g'(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac mz-\frac{W'(z)}{W(z)}.\]
零点处的极点主部相消, 右侧延拓为整函数. Mittag-Leffler 定理给出的是主部的实现, 仅凭零点不能唯一确定整函数余项; 任意整函数指数因子都保持同一零点分布.

4.9 Mittag-Leffler Theorem

Theorem Mittag-Leffler 定理对于亚纯函数 \(f(z)\), 若满足:

极点分布: 组成一个单增序列 \(\{a_n\}\), 满足 \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty\) 且 \(a_1\neq0\). (即极点不可以有聚点)
围道序列: 有一系列围道 \(\{C_m\}\), 满足
- 包含 \(f(z)\) 的前 \(m\) 个极点 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)
- \[ \lim_{m\to\infty}R_m=\infty,\quad\lim_{m\to\infty}l_m=\infty,\quad \frac{l_m}{R_m}有界 \]
  其中 \(l_m\) 为 \(C_m\) 的周长, \(R_m\) 为到原点的距离
增长性条件: 存在最小的 \(p\in \mathbb{N}\), 使得在 \(C_m\) 上 \(|z^{-p}f(z)|\) 一致有上界 \(M\)(\(M\) 与 \(m\) 无关)

则可以写作:

\[f(z)=\sum_{k=0}^p\frac{z^k}{k!}f^{(k)}(0)+\sum_{n=1}^\infty\left[G_n\left(\frac{1}{z-a_n}\right)-\varphi_{n,p}(z)\right]\]

其中 \(G_n[(z-a_n)^{-1}]\) 是 \(f(z)\) 在 \(z=a_n\) 处洛朗展开的主部(负幂项), \(\varphi_{n, p}(z)\) 是 \(G_n[(z-a_n)^{-1}]\) 在 \(z=0\) 处 Taylor 展开的前 \(p+1\) 项

\[\varphi_{n,p}(w)=\sum_{k=0}^p\frac{w^k}{k!}\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}z^k}G_n[(z-a_n)^{-1}]\Big|_{z=0}\]

特别地, 当 \(p=0\) 且均为一阶极点的情况, 展开为 \[f(z)=f(0)+\sum_{k=1}^\infty b_k\left(\frac{1}{z-a_k}+\frac{1}{a_k}\right)\]

4.10 Argument Principle

Theorem 设 \(C\) 是一条分段光滑的简单闭合围道 (按逆时针方向). 设函数 \(f(z)\) 在 \(C\) 上及其内部是亚纯函数, 并且在 \(C\) 上没有零点和极点. 令 \(Z\) 为 \(f(z)\) 在 \(C\) 内部的零点数目(计入重数), \(P\) 为 \(f(z)\) 在 \(C\) 内部的极点数目(计入阶数), 则

\[\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)}dz=Z-P\]

由于 \(\ln f(z)\) 的性质, 定理也可以记作

\[\frac{1}{2\pi}\Delta_C\arg f(z)=Z-P\]

对于没有极点的情况, 可以不断细分区域来定位零点.

5 Residue Theorem

5.1 Residue Theorem

Definition 留数 residue 若 \(b\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点, 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 的环域内有 Laurent 展开

\[f(z)=\sum_{-\infty}^\infty a_n(z-b)^n\]

则 \(f(z)\) 在孤立奇点 \(b\) 的留数为

\[\mathrm{res}f(b)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|z-b|=r}f(z)\mathrm{d}z\]

Theorem 留数定理若在闭合围道积分 \(\oint_Cf(z)\mathrm{d}z\) 的围道内部, 被积函数除有限几个孤立奇点 \(\{b_k\}\) 外解析, 对每个奇点作小圆 \(\{\gamma_k\}\) 包围, 则根据复连通区域的 Cauchy 定理

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{\gamma_k}f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_{k=1}^n\mathrm{res}f(b_k)\]

留数的计算 对于可去奇点, 留数为 0, 不予考虑

一阶极点对于一阶奇点, 在其某一空心邻域内可以表示为
\[f(z)=\frac{1}{z-b}\phi(z),\quad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n(z-b)^n,\quad \phi(b)\ne 0\]
则留数
\[\mathrm{res}f(b)=\alpha_0=\phi(b)=\lim_{z\to b}(z-b)f(z)\]

一种常见情况为 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\), \(P(z),Q(z)\) 在 \(b\) 点及其邻域解析, \(b\) 是 \(Q(z)\) 的一阶零点, 则
\[\mathrm{res}f(b)=\lim_{z\to b}(z-b)\frac{P(z)}{Q(z)}=P(b)\cdot\lim_{z\to b}\frac{z-b}{Q(z)}=\frac{P(b)}{Q^{\prime}(b)}\]
m 阶极点(留数公式)
\[f(z)=(z-b)^{-m}\phi(z),\quad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n(z-b)^n,\quad \phi(b)\ne 0\]

\[\begin{aligned} \mathrm{res}f(b)&=\alpha_{m-1}=\frac{1}{(m-1)!}\phi^{(m-1)}(b)\\ &=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to b}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-b)^mf(z)] \end{aligned}\]
本性奇点本性奇点, 只能使用 Laurent 展开求系数 \(a_{-1}\); 高阶极点有时求展开系数比留数公式更简单. 例如用待定系数法之后逐项比较

对无穷远点,

作变换 \(t=\frac{1}{z}\) 得到(无穷远性质一般可由此体现)
\[\begin{aligned} \mathrm{res}f(\infty) &=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C^{\prime}}f(z)\mathrm{d}z =-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(1/t)}{t^{2}}\mathrm{d}t\\ &=-\frac{f(1/t)}{t^2}\quad 在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t^{-1}项的系数\\ &=-f(1/t)\quad\ \ 在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t^1 项的系数\\ &=-f(z)\qquad\ \ 在 z=\infty 点邻域内幂级数展开中 z^{-1}项的系数 \end{aligned}\]

若围道积分在围道半径趋于 \(\infty\) 时不发散, 且奇点有限, 则无穷远点的留数等于非 \(\infty\) 的各点留数之和的相反数.

留数求有理函数的部分分式展开: Example
\[\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}=\frac{A}{(z-1)^2}+\frac{B}{z-1}+\frac{C}{z-2}+\frac{D}{z-3}\]\[A=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)(z-2)(z-3)}\right|_{z=1}=\frac 12\]\[B=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=1}=\frac 34\]\[C=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=2}=-1\]\[D=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=3}=\frac 14\]

5.2 Integrals of Rational Trigonometric Functions

\[\begin{aligned} I&=\int_0^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)\mathrm{d}\theta=\oint_{|z|=1}R\left(\frac{z^{2}-1}{2\mathrm{i}z},\frac{z^{2}+1}{2z}\right)\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{i}z}\\ &=2\pi\sum_{|z|\lt1}\mathrm{res}\left\{\frac{1}{z}R\left(\frac{z^{2}-1}{2\mathrm{i}z},\frac{z^{2}+1}{2z}\right)\right\} \end{aligned}\]

5.3 Improper Integrals

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{d}x=\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{0}R(x)\mathrm{d}x+\lim_{B\to\infty}\int_{0}^{B}R(x)\mathrm{d}x.\]

两侧分别收敛时, 也等于对称截断的极限.

对有理函数 \(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\), 在实轴上无极点时, 积分存在判据: \(m-n\ge 2\).

构建围道以应用留数定理

有理函数实轴积分采用的上半平面半圆围道.

对围道有

\[\oint_CR(z)\mathrm{d}z=\int_{-R}^RR(x)\mathrm{d}x+\int_{C_R}R(z)\mathrm{d}z\]

\[\oint_CR(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}R(z)}\]

由大圆弧定理以及 \(m-n\ge2\),

\[\lim_{z\to\infty}zR(z)=\lim_{z\to\infty}z\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}=0\Longrightarrow \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}R(z)\mathrm{d}z=0\]

故

\[\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{d}x=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}R(z)}\]

基本方法

补上适当的积分路径从而形成闭合围道, 用留数定理计算围道积分.
处理补充的路径上的复变积分: 可以直接计算出来/与所要计算的无穷积分相关联

5.4 Improper Integrals with Trigonometric Functions

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x,\quad p>0\]

\[\mathrm{Re}I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\cos px\mathrm{d}x,\quad \mathrm{Im}I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\sin px\mathrm{d}x\]

在实轴上无极点时, 无穷积分存在的充分判据: 对于 \(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) 有 \(m-n\geq1\).

考虑围道积分

\[\begin{aligned} \oint_CR(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z &=\int_{-R}^RR(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x+\int_{C_R}R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}\{R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\}}\end{aligned}\]

Theorem Jordan 引理设 \(|z|\to\infty, 0\leq\arg z\leq\pi\) 时, \(Q(z)\) 一致趋于 0, 则
\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]
Proof 令 \(z=R\mathrm{e}^\mathrm{i\theta}\),
\[\begin{aligned}\left|\int_{C_{R}}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right|&=\left|\int_0^\pi Q(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mathrm{e}^{\mathrm{i}pR(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)}R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{i}\mathrm{d}\theta\right|\\&\leq\int_0^\pi\left|Q(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\right|\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}R\mathrm{d}\theta\end{aligned}\]
当 \(R\) 足够大时
\[\left|\int_{C_{R}}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right|\lt\epsilon R\int_0^\pi\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta\]
又由
\[\int_0^\pi\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta=2\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta\]\[\sin\theta\geq\frac{2\theta}{\pi}\geq0,\quad 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}\]
则
\[ \left|\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right| \lt2\epsilon R\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-pR\cdot\frac{2\theta}{\pi}}\mathrm{d}\theta=2\epsilon R\frac{\pi}{2pR}(1-\mathrm{e}^{-pR}) \lt\frac{\epsilon\pi}{p}\]\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]

对满足 \(m-n\ge1\) 且实轴上无极点的有理函数

\[\lim_{z\to\infty}R(z)=\lim_{z\to\infty}\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}=0\Longrightarrow \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]

\[\Longrightarrow \int_{-\infty}^\infty R(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}\{R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\}}\]

5.5 Improper Integrals with Singularities on the Real Axis

设被积函数在实轴上有奇点,则积分

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x\]

为瑕积分. 假设瑕点是 \(c\), 瑕积分定义为

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta_1\to0}\int_a^{c-\delta_1}f(x)\mathrm{d}x+\lim_{\delta_2\to0}\int_{c+\delta_2}^bf(x)\mathrm{d}x\]

如果这两个极限都不存在, 但是 \(\lim_{\delta\to0}\left[\int_a^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^bf(x)\mathrm{d}x\right]\) 存在,定义瑕积分的主值为

\[\mathrm{v.p.}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta\to0}\left[\int_a^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^bf(x)\mathrm{d}x\right]\]

瑕积分计算 如果瑕积分存在, 则其主值也存在, 且它们一定相等. 考虑

\[\begin{aligned}\text{I}&=\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\\&=\lim_{\begin{gathered}R\to\infty\\\delta\to0\end{gathered}}\left[\int_{-R}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^{R}f(x)\mathrm{d}x\right]\end{aligned}\]

实轴上 \(c\) 点是被积函数的奇点, 必须绕开 \(c\) 点来构成闭合的积分围道

主值积分中绕开实轴奇点的凹陷半圆围道.

\[\begin{aligned} \int_Cf(z)\mathrm{d}z&=\int_{-R}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{C_\delta}f(z)\mathrm{d}z+\int_{c+\delta}^Rf(x)\mathrm{d}x+\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}f(z)} \end{aligned}\]

这里设 \(f(z)\) 时就要特别考虑 \(C_\delta\) 积分的收敛性, 保证能使用小圆弧定理.

5.6 Complex Integrals of Multi-valued Functions

一种常见的多值函数(其中 \(s\) 为实数, \(R(x)\) 为有理函数, 在正实轴上没有奇点)

\[I=\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x\]

不妨设 \(0\lt s\lt1\), 则为了保证积分收敛, 要求:

对于 \(R(x)=P_n(x)/Q_m(x)\) 有 \(m-n\geq1\).
\(x= 0\) 不是 \(R(x)\) 的极点.

由于 \(z^{s-1}\) 为多值函数, 作割线沿正实轴将复平面割开, 并规定沿割线上岸 \(\arg z=0\). 积分路径如图,

带分支割线的幂函数积分所使用的钥匙孔围道.

\[\begin{aligned} \oint_Cz^{s-1}R(z)\mathrm{d}z &=\int_{\delta}^{R}x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x+\int_{C_{R}}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z+\int_R^\delta(x\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi})^{s-1}R(x)\mathrm{d}x+\int_{C_\delta}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{全平面}{\mathrm{res}}\{z^{s-1}R(z)\} \end{aligned}\]

利用积分收敛条件, 有

\[\lim_{z\to\infty}z\cdot z^{s-1}R(z)=0\Longrightarrow\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z=0\]

\[\lim_{z\to0}z\cdot z^{s-1}R(z)=0\Longrightarrow\lim_{\delta\to0}\int_{C_\delta}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z=0\]

故

\[\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x=\frac{2\pi\mathrm{i}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi s}}\sum_{全平面}\mathrm{res}\{z^{s-1}R(z)\}\]

5.7 Other Contour Configurations

Example 1

\[I=\int_0^1\frac{\sqrt[4]{x(1-x)^3}}{(1+x)^3}\mathrm{d}x\]

实积分中的四次根取正值. 为固定割线两岸的相位, 用主对数 \(\operatorname{Log}w\) (\(-\pi\lt\arg w\lt\pi\)) 在割线 \([0,1]\) 外定义

\[F(z)=\frac{\mathrm{e}^{-3\pi\mathrm{i}/4}z}{(1+z)^3} \exp\left[\frac34\operatorname{Log}\frac{z-1}{z}\right].\]

这是原被积函数的一个确定分支, 枝点为 \(0,1\), 外部还有三阶极点 \(-1\). 对 \(0\lt x\lt1\), 上、下岸的边界值为

\[F_+(x)=\frac{\sqrt[4]{x(1-x)^3}}{(1+x)^3},\qquad F_-(x)=\mathrm{e}^{-3\pi\mathrm{i}/2}F_+(x)=\mathrm{i}F_+(x).\]

割线为 [0,1] 的哑铃形围道: 上岸向右, 下岸向左, 绕割线顺时针. 它与逆时针外圆共同构成外部区域的正向边界.

在 \(z\to\infty\) 时, \(F(z)=O(z^{-2})\), 外圆积分为 \(O(R^{-1})\), 且 \(\mathrm{res}F(\infty)=0\). 两端小圆的积分分别为 \(O(\delta^{5/4})\)、\(O(\varepsilon^{7/4})\), 也都趋于零. 外部区域的留数定理因此给出

\[\lim_{\delta,\varepsilon\to0}\oint_CF(z)\mathrm{d}z =\int_0^1F_+(x)\mathrm{d}x-\int_0^1F_-(x)\mathrm{d}x =(1-\mathrm{i})I =2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{res}F(-1).\]

令 \(H(z)=(1+z)^3F(z)\), 在 \(z=-1\) 的解析邻域中有

\[\frac{H'}{H}=\frac{1}{4z}+\frac{3}{4(z-1)},\qquad H(-1)=2^{3/4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\qquad \frac{H''(-1)}{H(-1)}=-\frac{3}{64}.\]

所以

\[\mathrm{res}F(-1)=\frac{H''(-1)}{2} =-\frac{3\,2^{3/4}}{128}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\qquad I=\frac{2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{res}F(-1)}{1-\mathrm{i}} =\frac{3\sqrt[4]{2}}{64}\pi.\]

Example 2

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x,\quad 0\lt\alpha\lt1\]

被积函数 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha z}}{1+\mathrm{e}^{z}}\), 分母 \(Q(z)=1+\mathrm{e}^z\) 为周期函数, 周期为 \(2\pi \mathrm{i}\), 分子在此周期变换下也有良好的性质, 可以采取矩形围道

周期函数留数积分使用的矩形围道示意图.

Solution 取正向矩形围道 \([-R,R]\times[0,2\pi]\). 内部仅有极点 \(\pi\mathrm{i}\), 留数为 \(-\mathrm{e}^{\alpha\pi\mathrm{i}}\). 记实轴截断积分为 \(I_R\), 上边因方向相反贡献 \(-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha}I_R\). 右边被积函数为 \(O(\mathrm{e}^{-(1-\alpha)R})\), 左边为 \(O(\mathrm{e}^{-\alpha R})\), 两边长度固定, 故当 \(0\lt\alpha\lt1\) 时均趋于零. 留数定理给出

\[(1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha})I=-2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\alpha\pi\mathrm{i}}, \qquad \boxed{I=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}}.\]

同样的条件保证实轴两端可积; \(\alpha=0\) 或 \(1\) 时原积分发散.

5.8 Summation of Infinite Series via Residue Theorem

设 \(f(z)\) 是已知函数, 有有限个极点, 且极点都不是整数. 若存在另一个函数 \(G(z)\), 其解析域为 \(\mathbb{C}\setminus\{0,\pm1,\pm2,\cdots\}\), 一阶极点 \(z=0,\pm1,\pm2,\cdots\) 处的留数均为 1. 则对于包含 \(0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm N\) 的围道

\[\oint_{C_N}G(z)f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\left\{\sum_{n=-N}^Nf(n)+\sum_{f(z)\text{的极点}}\mathrm{res~}[G(z)f(z)]\right\}\]

若积分在 \(N\to\infty\) 时的极限值存在, 就可以算出无穷级数 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)\).

一种可能的 \(G(z)\) 取法为
\[G(z)=\pi\cot\pi z\]
Lem 设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 内除有限个孤立奇点外处处解析, 若存在常数 \(R, M>0\), 使得当 \(|z|>R\) 时, \(|zf(z)|\le M\), 则
\[\lim_{N\to\infty}\oint_{C_N}\pi\cot\pi zf(z)\mathrm{d}z=0\]
其中积分围道 \(C_N\) 为正方形, 边界位于 \(N+\frac{1}{2}\) 处. 由此可以证明定理: Definition 用留数计算无穷级数设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 内除有限个非整数的极点外处处解析, 且存在常数 \(R, M>0\), 使得当 \(|z|>R\) 时, \(|zf(z)|\le M\), 则
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}f(n)=-\sum_{f(z)\text{的极点}}\mathrm{res~}\{\pi\cot\pi zf(z)\}\]

对交错级数, 可以考虑另一种取法为
\[G(z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)},\qquad \mathrm{res}\,G(n)=(-1)^n\]

6 Special Functions

6.1 Gamma Function

Definition \(\Gamma\) 函数(积分表达式): \(\mathrm{Re}z>0\) 时, 定义

\[\Gamma(z)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\]

\(t^{z-1}\) 当 \(z\) 不是整数时是 \(t\) 的多值函数, 这时应理解为 \(\arg t=0\).

积分表达式在右半平面 \(\mathrm{Re}z>0\) 代表 \(z\) 的一个解析函数
\(\Gamma\) 函数的解析延拓: 积分拆为
\[\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t=\int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t+\int_1^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\]
第二部分由 \(\mathrm{e}^{-t}\lt\frac{N!}{t^N}\), \(N\) 可以任意大, 故在 \(\mathbb{C}\) 上闭一致收敛, 因此在全平面解析. 对第一部分
\[\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1t^{n+z-1}\mathrm{d}t \\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}\quad(\mathrm{Re}z>0) \end{aligned}\]
右侧除去一阶极点 \(z=0,-1,-2\cdots\) 外收敛且解析, 是左端积分表达式的解析延拓, 则
\[\Gamma(z)=\int_1^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}\]
在全平面除极点外解析.
\[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \]\[\Gamma(1)=1, \quad \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi},\quad \Longrightarrow\quad \Gamma(n+1)=n!\]
互余宗量定理
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}\]
Corollary 全平面无零点 Proof 若 \(z\notin\mathbb{Z}\), 则 \(\Gamma(z)\) 和 \(\Gamma(1-z)\) 均为有限值, 而反射公式右侧非零, 故两者都不为零. 正整数处 \(\Gamma(n)=(n-1)!\ne0\), 非正整数处为极点, 因此全平面无零点.
Stirling 公式(渐近行为) 固定 \(\delta>0\), 当 \(|z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta\) 时成立; \(\ln z\) 取主分支, \(\ln\Gamma(z)\) 取从正实轴连续延拓的解析分支
\[\begin{aligned} \Gamma(z)&\sim z^{z-1/2}\mathrm{e}^{-z}\sqrt{2\pi}\\ \ln\Gamma(z)&\sim(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln2\pi\\ \ln n!&=\ln\Gamma(n+1)\sim n\ln n-n \end{aligned}\]
Proof 最陡下降法得到 \(\Gamma\) 函数的渐进展开(考虑实函数情形)
\[\Gamma(x+1)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^x\mathrm{d}t=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t + x \ln t}\mathrm{d}t,\quad x>0\]
令 \(t = x u\) :
\[\Gamma(x+1) = x^{x+1} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x(u - \ln u)} \, \mathrm{d}u\]
被积函数的指数部分 \(f(u) = u - \ln u\) 在 \(u = 1\) 处取得极小值. 在 \(u = 1\) 附近对 \(f(u)\) 作 Taylor 展开:
\[f(u) \approx 1 + \frac{(u-1)^2}{2} + \cdots.\]
因此, 积分的主要贡献来自 \(u = 1\) 附近的区间(\(x\to\infty\) 时为窄区间). 将积分近似为高斯积分:
\[\Gamma(x+1) \approx x^{x+1} \mathrm{e}^{-x} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}(u-1)^2} \, \mathrm{d}u\]
对 \(x\to\infty\), 积分限可扩展至 \((-\infty, \infty)\), 并利用高斯积分公式:
\[\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}(u-1)^2} \, \mathrm{d}u = \sqrt{\frac{2\pi}{x}}\]
于是得到 \(\Gamma(x+1)\) 的渐近表达式:
\[\Gamma(x+1) \approx x^{x+1} \mathrm{e}^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} = x^x \mathrm{e}^{-x} \sqrt{2\pi x}\]
\(\Gamma(x)\) 的渐近展开为:
\[\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x} \approx x^{x-1/2} \mathrm{e}^{-x} \sqrt{2\pi}\]
倍乘公式
\[\Gamma(2z)=2^{2z-1}\pi^{-\frac12}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})\]
Proof 考虑
\[g(z)=2^{2z-1}\frac{\Gamma(z)\Gamma(z+1/2)}{\Gamma(1/2)\Gamma(2z)}\]
容易由 \(\Gamma\) 函数的性质证明 \(g(z+1)=g(z)\). 由 Stirling 公式得到
\[g(z)=\lim_{n\to\infty}g(z+n)=1\]
Gauss 乘积公式
\[\begin{aligned} &\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\cdots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})\\&=(2\pi)^{(n-1)/2}n^{1/2-nz}\Gamma(nz) \end{aligned}\]

\(\Gamma\) 函数的围道积分表达式

\[\Gamma\left(z\right)=-\frac{1}{2\mathrm{i}\sin\pi z}\int_{C_1} \mathrm{e}^{-t}\left(-t\right)^{z-1}\mathrm{d}t,\quad\left|\arg(-t)\right|\lt\pi\]

\[\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{C_2}\mathrm{e}^{t}t^{-z}\mathrm{d}t,\quad\left|\arg t\right|\lt\pi\]

积分围道分别绕正半轴割线和负半轴割线以及原点.

\(\Gamma\) 函数的无穷乘积表达式

Euler 乘积
\[\Gamma\left(z\right)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}\right\}\]
对 \(z\notin\{0,-1,-2,\ldots\}\) 成立.
Weierstrass 乘积
\[\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=z\mathrm{e}^{\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{z}{n}\right)\mathrm{e}^{-z/n}\right]\]
\(\gamma\) 为 Euler 常数.

6.2 Digamma Function

Definition \(\psi\) 函数

\[\psi(z)=\frac{\mathrm{d}\ln\Gamma(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\]

\(z=0,-1,-2,\cdots\) 是 \(\psi(z)\) 的一阶极点, 留数均为 −1; 除了这些点以外, \(\psi(z)\) 在全平面解析.

递推关系
\[\begin{aligned} \psi(z+1)&=\psi(z)+\frac1z,\\\psi(z+n)&=\psi(z)+\frac1z+\frac1{z+1}+\cdots+\frac1{z+n-1},\quad n=2,3,\cdots \end{aligned}\]
互余宗量关系
\[\begin{aligned} \psi(1-z)&=\psi(z)+\pi\cot\pi z \end{aligned}\]
相反宗量关系
\[\begin{aligned} \psi(z)-\psi(-z)&=-\frac1z-\pi\cot\pi z \end{aligned}\]
渐进行为
\[\begin{aligned} \psi(z)&\sim\ln z-\frac1{2z}-\frac1{12z^2}+\frac1{120z^4}-\frac1{252z^6}+\cdots,\quad |z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta,\quad\delta>0\text{ 固定} \end{aligned}\]
倍乘关系
\[\begin{aligned} \psi(2z)&=\frac12\psi(z)+\frac12\psi\left(z+\frac12\right)+\ln2 \end{aligned}\]
极限性质
\[\begin{aligned} \lim&_{n\to\infty}[\psi(z+n)-\ln n]=0 \end{aligned}\]
利用 \(\psi(z+n)\) 的递推关系和其极限性质可以得到 \(\psi(z)\) 的极限表达式
\[\psi(z)=\lim_{n\to\infty}\left[\ln n-\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}+\cdots+\frac{1}{z+n-1}\right)\right]\]
特别地, \(-\psi(1)\) 被称为 Euler 常数 \(\gamma\). \(\psi(z)\) 可用于求裂项形式为 \(\frac{1}{a+n}\) 形式的级数和.
根据 \(\psi(z+n)\) 的递推关系和 \(\psi(z)\) 的渐进行为得到
\[\psi(z)-\psi(1)=\psi(z+N+1)-\psi(N+2)-\sum_{k=0}^N\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{1+k}\right)=-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{1+k}\right)\]
设 \(z = p/q\), \(p,q\) 为正整数, \(0 \lt p \lt q\). 则
\[\psi(p/q) - \psi(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right)\]
由 Abel 第二定理
\[\psi(p/q) - \psi(1) = \lim_{t \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right) t^{p+nq}\equiv \lim_{t \to 1^-} s(t)\]
利用 Simpson’s dissection 和 \(-\ln(1-t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{n+1}}{n+1}\), 设 \(\omega=\mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{q}}\), 可以求得级数和
\[\psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right)-\ln q+\sum_{k=1}^{q-1}\cos\left(\frac{2\pi kp}{q}\right)\ln\left(2\sin\left(\frac{\pi k}{q}\right)\right)\]\[\psi\left(\frac{1}{2}\right)=-\gamma-2\ln2\]

\[\psi\left(\frac{1}{3}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln3,\quad \psi\left(\frac{2}{3}\right)=-\gamma+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln3\]

\[\psi\left(\frac{1}{4}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}-3\ln2,\quad \psi\left(\frac{3}{4}\right)=-\gamma+\frac{\pi}{2}-3\ln2\]
导数性质: 由递推性质求导
\[\begin{aligned} \psi^{\prime}(z+1)&=\psi^{\prime}(z)-\frac{1}{z^2}\\ \psi^{\prime}(z+n)&=\psi^{\prime}(z)-\left[\frac{1}{z^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(z+n-1)^2}\right],\quad n=2,3,\cdots \end{aligned}\]
由极限表达式求导
\[\psi^{\prime}(z)=\left[\frac{1}{z^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(z+n-1)^2}+\cdots\right]\]
对比得到
\[\lim_{n\to\infty}\psi^{\prime}(z+n)=0.\]
互余宗量关系求导并令 \(z=\frac{1}{2}\) 得到,
\[\psi^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]
倍乘关系求导并令 \(z=\frac 12\) 得到
\[\psi^{\prime}(1)=\frac{1}{3}\psi^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{6}\]
\(\psi'(z)\) 可用于求裂项形式为 \(\frac{1}{(a+n)^2}\) 形式的级数和.

\(\psi\) 函数的积分表达式 (\(\mathrm{Re}z>0\); 其他点由解析延拓定义)

\[\psi(z)=-\gamma+\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d}t\]

Proof

\[\begin{aligned} \psi(z) &=-\frac{1}{z}+\lim_{m\to\infty}\left(\ln m-\sum_{n=1}^m\frac{1}{z+n}\right)\\ &=\lim_{m\to\infty}\left\{\int_0^\infty(\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-mt})\frac{\mathrm{d}t}{t}-\sum_{n=0}^m\int_0^\infty \mathrm{e}^{-(z+n)t}\mathrm{d}t\right\}\\ &=\lim_{m\to\infty}\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\mathrm{e}^{-mt}\left[\frac{1}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}+\mathrm{e}^{-zt}\right]\right\}\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\right\}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

\(\gamma=\int_0^\infty\left\{\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\frac{1}{t}\right\}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\), 故 \(\psi(z)=-\gamma+\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d}t\).

\(\psi\) 函数的渐进展开式

\[\frac{t}{\mathrm{e}^t-1}=1-\frac{t}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}t^{2k}\quad \Longrightarrow \quad \frac{t}{1-\mathrm{e}^{-t}}=1+\frac{t}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}t^{2k}\]

代入 \(\psi(z)=\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\right\}\mathrm{d}t\)(\(\mathrm{Re}z>0\)), 得到

\[\psi(z)\sim\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{t}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-zt}\right\}\mathrm{d}t-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}\int_0^\infty t^{2k-1}\mathrm{e}^{-zt}\mathrm{d}t\]

\[\psi(z)\sim\ln z-\frac{1}{2z}-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{2k}z^{-2k},\quad |z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta,\quad\delta>0\text{ 固定}\]

6.3 Beta Function

Definition 在 \(\mathrm{Re}\ p>0, \mathrm{Re}\ q>0\) 时定义

\[\mathrm{B}(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\mathrm{d}t\]

令 \(t=\sin^2\theta\), 还可以得到 \(\mathrm{B}\) 函数的另一个表达式

\[\mathrm{B}(p,q)=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\mathrm{d}\theta\]

显然的对称性 \(B(p,q)=B(q,p)\)
\(\mathrm{B}\) 函数可以用 \(\Gamma\) 函数表示出来
\[\mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\]
从而把 \(\mathrm{B}\) 函数延拓到 \(p\) 和 \(q\) 的全平面. 可以通过这一表达式得到 \(\Gamma\) 函数的互余宗量定理, 以及倍乘公式的另证 Proof 对于 \(\Gamma(p)\), 令 \(t=x^2\), \(\Gamma(q)\) 同理
\[\Gamma(p)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{p-1}\mathrm{d}t=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}x^{2p-1}\mathrm{d}x\]

\[\Gamma(q)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{q-1}\mathrm{d}t=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-y^2}y^{2q-1}\mathrm{d}y\]\[\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q) &=4\int_0^\infty\int_0^\infty\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=4\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-r^2}(r\sin\theta)^{2p-1}(r\cos\theta)^{2q-1}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\\ &=4\int_0^\infty\mathrm{e}^{-r^2}r^{2(p+q)-1}\mathrm{d}r\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\cos^{2q-1}\mathrm{d}\theta\\&=\Gamma(p+q)\mathrm{B}(p,q) \end{aligned}\]
Proof (互余宗量定理)
\[B(z,1-z)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}{\Gamma(1)}=\Gamma(z)\Gamma(1-z)\]
\(1>\mathrm{Re}z>0\) 时
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_0^1t^{z-1}(1-t)^{-z}\mathrm{d}t\]
令 \(x=\frac{t}{1-t}\)
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{z-1}}{1+x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{\sin\pi z}\]

6.4 Zeta Function

Definition 素数计数函数
\[\pi(x)=\#\{p\leq x\mid p\text{ 是素数}\}\]
Theorem 素数定理
\[\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1\]

一种更好的近似是 \(\mathrm{li}(x)=\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\).

Definition von Mangoldt Function: 对 \(n\ge 1,n\in \mathbb{Z}\)
\[\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p&\text{若}n=p^k\text{ 对于某个素数}p\text{ 和整数}k\geq1\\0&\text{else}\end{cases}\]
Definition Second Chebyshev Function
\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=\sum_{p^k\leq x}\ln p\]

Definition Riemann \(\zeta\) 函数(初始定义为 Dirichlet 级数的收敛部分)

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},\quad Re(s)>1\]

Euler 乘积公式
\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},\quad Re(s)>1\]

\[\Longrightarrow \ln\zeta(s)=-\sum_{p\in \mathbb{P}}\ln\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\]
可以归纳证明 \(\left(\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\right)\zeta(s)=1\), 每一次相乘都移除了含因子 \(p\) 的项; 以及
\[\frac{\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}\]
和 von Mangoldt Explicit Formula(对 \(x>1\) 且不是素数幂)
\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=x-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho}-\ln(2\pi)-\frac{1}{2}\ln(1-x^{-2})\]
其中 \(\sum_{\rho}\) 遍历 \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点, 通常 \(\rho,\bar\rho\) 成对并按 \(|\mathrm{Im}(\rho)|\) 递增的顺序排列, 最后一项与平凡零点有关.
解析延拓后的 \(\zeta\) 函数对 \(s\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}\) 满足函数方程
\[\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)\]
令完备 zeta 函数 \(\xi(s)=\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)\), 有对称的函数方程
\[\xi(s)=\xi(1-s)\]
\(\zeta\) 函数的零点
1. Trivial zeros: \(s=-2, -4, -6,\cdots\)
2. Non-trivial zeros: in the critical strip(\(0\lt\mathrm{Re}(s)\lt1\))
  - \(\mathrm{Re}(s)>1\), 无零点; \(\mathrm{Re}(s)=1\), 无零点(后者等价于素数定理)
  - 关于实轴和 critical line(\(\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}\))对称
Remark The Riemann Hypothesis(尚未证明的猜想): \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点位于 critical line 上.

7 Fourier Transform and the Delta Function

7.1 Fourier Series

Definition Fourier 级数分解对实数域内的周期函数 \(f(t)\), 不妨设 \(f(t)=f(t+2\pi)\), 若在一个周期内只有有限极值和不连续点, 且积分 \(\int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|\mathrm{d}t\) 收敛, 则可以写成无穷级数的形式

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}nt},\qquad c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t\]

在 \(t\) 处收敛于 \(\lim_{\varepsilon\to0_+}\frac{f(t-\varepsilon)+f(t+\varepsilon)}{2}\).

在间断点对应的是逐点收敛而非一致收敛.
令 \(c_0=a_0\). 对于 \(n>0\), 令
\[c_{n}=\frac{a_{n}-\mathrm{i}b_{n}}{2}, \quad c_{-n}=\frac{a_{n}+\mathrm{i}b_{n}}{2}\]
得到另一种常见形式
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\right]\]

\[a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{d}t,\quad a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(mt)\mathrm{d}t,\quad b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(mt)\mathrm{d}t\]

推广到一般周期 \(T\):

周期函数 \(f(t+T)=f(t)\):
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)],\qquad\omega =\dfrac{2\pi}T\]

\[a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t,\qquad b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\]
或者记作
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t},\qquad c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t}\mathrm{d}t\]
非周期函数: 认为 \(T\to+\infty\), 由三角函数的正交性得出频谱
\[f(t)=\int_{0}^{\infty}[a(\omega )\cos(\omega t)+b(\omega )\sin(\omega t)]\,\mathrm{d}\omega\]

\[a(\omega )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,\mathrm{d}t,\qquad b(\omega )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t\]
或者记作
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega,\quad \hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\]

7.2 Fourier Transform

Definition Fourier 变换

\[\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\]

逆变换

\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega\]

当 \(\hat f(\omega)\) 在实轴上有奇点时, 必须另行规定主值或绕极点的处方; 这些处方可以给出不同的分布逆变换.

Remark 这里的系数有很多不同的约定, 例如有的定义中正负号相反, 或者在变换和逆变换中系数对称分配为 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\), 后者是更加对称的定义方式.

为对照响应理论, 若另定义 \(\tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d}t\), 则 \(\tilde f(\omega)=\hat f(-\omega)\). 只有当 \(f(t)\) 为实函数时, 才进一步有 \(\hat f(-\omega)=\hat f(\omega)^*\).

例如因果核 \(f(t)=\theta(t)\mathrm{e}^{-\gamma t}\), \(\gamma>0\), 给出

\[\hat f(\omega)=\frac{1}{\gamma+\mathrm{i}\omega}, \qquad \tilde f(\omega)=\frac{1}{\gamma-\mathrm{i}\omega}.\]

前者的极点在上半平面, 后者的极点在下半平面. 对至多多项式增长的因果核, 负号正变换的 Fourier–Laplace 延拓在下半平面解析, 正号正变换在上半平面解析. 改用正号正变换时须同时作频率反射 \(\omega\mapsto-\omega\), 并相应转换极点位置与绕行处方; 不能只搬用负号正变换的极点处方而保留原频率标签.

Fourier 变换的性质 \(\hat f(\omega)\) 的有界性和 \(\mathcal F\) 的线性性质不再赘述

微分定理 I
\[\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}^nf(t)}{\mathrm{d}t^n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=(\mathrm{i}\omega)^n\hat{f}(\omega)\]
微分定理 II
\[\int_{-\infty}^{\infty} t^nf(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{(-\mathrm{i})^n}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}\omega^n}\hat{f}(\omega)\]
位移定理 I/II(也常称为频移定理/延迟定理)
\[\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\epsilon t}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\hat{f}(\omega-\epsilon)\]

\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega \tau}\hat{f}(\omega)\]
伸缩定理/相似定理
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(\alpha t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{|\alpha|}\hat{f}\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)\]
卷积定理
\[(f\star g)(t):=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
卷积的 Fourier 变换为
\[\mathcal{F}[(f \star g)(t)]=\int_{-\infty}^\infty(f \star g)(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\]

对称约定下, 可以选择将卷积变换改为
\[\mathcal{F}[(f\star g)(t)]=\sqrt{2\pi}\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\]
或者也可以选择定义归一化卷积
\[(f\star g)(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
而保持卷积定理形式不变.
积分变换: 对称约定下
\[\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\operatorname{PV}\frac{1}{\mathrm{i}\omega}\hat{f}(\omega)+\pi\hat{f}(0)\delta(\omega)\]
可以视原函数为 \(f(t)\) 与 \(H(t)\) 的卷积, 利用 \(\mathcal{F}[H(t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\pi\delta(k)-\frac{\mathrm{i}}{k}\right)\) 得到.
Plancherel 定理: 对平方可积函数 \(f(t),g(t)\), 有
\[\int_{-\infty}^\infty f(t)g^*(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat{f}(\omega){\hat{g}^*(\omega)}\mathrm{d}\omega\]
从而可以得到 Parseval 定理
\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2\mathrm{d}\omega\]
说明未归一化 Fourier 变换的频域内积需乘 \(1/(2\pi)\); 对称约定下平方范数和内积保持不变.

在对称约定下, Plancherel 定理中 \(2\pi\) 系数消失.

若 \(f,tf,t^2f\) 均可积, 则平均值、 \(t=0\) 的一次矩、 \(t=0\) 的二次矩分别为
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{d}t,\quad \int_{-\infty}^{\infty}tf(t)\mathrm{d}t,\quad D_0(f)=\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)\mathrm{d}t\]
不确定性原理: 如果 \(f(t),tf(t),\omega\hat{f}(\omega)\) 均为平方可积函数, 则
\[D_0(|f|^2)D_0(|\hat{f}|^2)\geq\frac{\pi}{2}\left(\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2\mathrm{d}t\right)^2\]
不动点: 对函数 \(f(\mathbf x)=\mathrm{e}^{-\frac{\left|\mathbf{x}\right|^2}{4m^2}}\), 其变换仍为 Gaussian 函数; 仅在 \(m^2=1/2\) 时, 才在不计常数的意义下为不动点:
\[\hat{f}(\mathbf k)=\int\prod_{i=1}^n\mathrm{d}x_i\mathrm{~e}^{-\frac{x_i^2}{4m^2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_ix_i}=2^n\pi^{n/2}m^n\mathrm{e}^{-m^2|\mathbf k|^2}\]
乘法公式:
\[\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\hat{g}(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(\mathbf x)g(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以得到广义函数的 Fourier 变换性质
\[\langle\mathcal{F}[f],\phi\rangle=\langle f,\mathcal{F}[\phi]\rangle\]
例如
\[\langle\mathcal{F}[\delta^{(n)}],\phi\rangle=\langle\delta^{(n)},\mathcal{F}[\phi]\rangle=\hat{\phi}(\mathbf{0})=\langle1,\phi\rangle\]

7.3 Solving ODEs via Fourier Transform

令 \(D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\), 考虑形如

\[P(D)y(t)=f(t)\]

的常微分方程, 两侧 Fourier 变换后得到

\[P(\mathrm{i}\omega)\hat y(\omega)=\hat f(\omega)\quad \Longrightarrow\quad \hat y(\omega)=\frac{1}{P(\mathrm{i}\omega)}\hat f(\omega)\]

当 \(P(\mathrm{i}\omega)\) 在实轴上无零点且逆变换存在时, 逆变换给出一个特解; 有零点时需另行处理极点处方及齐次解.

\[y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{f}(\omega)}{P(\mathrm{i}\omega)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega\]

7.4 The Delta Function (Distributions)

Remark Fourier 系数与光滑性: 衰减速度反映周期延拓后的光滑性, 但不能不加条件地从一个幂次反推出某阶导数有跳跃. 对 \(2\pi\) 周期函数, 记

\[c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\,\mathrm{d}x.\]

若 \(f\in C^k\) 且其导数按周期相接, 分部积分 \(k\) 次并应用 Riemann-Lebesgue 引理可得
\[c_n=\frac{\widehat{f^{(k)}}_n}{(\mathrm{i}n)^k} =o(|n|^{-k}),\qquad |n|\to\infty.\]
因而周期 \(C^\infty\) 函数的系数比任意幂次衰减更快.
设 \(m\ge0\). 若 \(f,\cdots,f^{(m-1)}\) 连续且周期相接(\(m=0\) 时无此条件), 而 \(f^{(m)}\) 在有限个分段上为 \(C^1\), 各段的 \(f^{(m+1)}\) 可积, 仅在 \(x_j\) 有跳跃, 则
\[c_n= \frac{1}{2\pi(\mathrm{i}n)^{m+1}} \sum_j [f^{(m)}]_{x_j}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx_j} +o(|n|^{-m-1}), \qquad [f^{(m)}]_{x_j}=f^{(m)}(x_j+)-f^{(m)}(x_j-).\]
这里也要计入周期接缝处的跳跃. 这才是函数、一次导数、二次导数的跳跃通常分别给出 \(1/n\), \(1/n^2\), \(1/n^3\) 衰减的条件; 多个跳跃的相位可使某些子序列抵消. 单独的 \(O(|n|^{-s})\) 上界并不刻画跳跃阶数.
若对正负 \(n\) 均有 \(|c_n|\le C\mathrm{e}^{-a|n|}\), \(a>0\), Fourier 级数在复条带 \(|\operatorname{Im}z|\lt a\) 内局部一致收敛, 定义全纯函数, 因而其连续代表在实轴上实解析. 反过来, 周期函数在这样的条带内全纯时, 在每个较窄闭条带上移动积分路径可得相应的指数衰减. \(C^\infty\) 本身不蕴含实解析.

Fourier 系数不区分仅在零测集上不同的函数. 例如 \(\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-\sqrt n}\cos nx\) 可逐项求任意阶导数, 是周期 \(C^\infty\) 函数, 但其系数没有任何正指数衰减界, 所以不是实解析函数.

Remark 从 Fourier 变换到分布: 对普通 \(L^1(\mathbb{R})\) 函数, Fourier 变换趋于零. 常数变换 \(\widehat{\delta}(k)=1\) 的逆变换须在分布意义下理解; 不能把不属于 \(L^2\) 的 \(\delta\) 代入通常的不确定性不等式, 用“二次矩无穷大”来证明它的宽度为零. 下面用测试函数上的极限来定义 \(\delta\):

Definition Dirac \(\delta\) 函数(广义函数定义): 设函数序列 \(\{\delta_n(x)\}\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_n(x)\,\mathrm{d}x=f(0), \qquad f\in C_c^\infty(\mathbb{R})\]

则记

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,\mathrm{d}x \equiv\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)\,\mathrm{d}x=f(0)\]

广义函数语言定义:
\[\delta^{(n)}:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf{x})\mapsto\langle\delta^{(n)},\phi\rangle=\phi(\mathbf{0})\]
从而不可以用局部可积函数直接表示, 可以用局部可积函数的弱 \(*\) 极限表示, 例如
\[\delta_m^{(n)}(\mathbf x)=\frac{m^n}{\pi^{n/2}}\mathrm{e}^{-m^2\mathbf x^2},\quad\Longrightarrow\quad \lim_{m\to\infty}\langle\delta_m^{(n)},\phi\rangle=\langle\delta^{(n)},\phi\rangle,\quad\forall\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\]

导数定义:
\[\langle\delta^{\prime},\phi\rangle=-\langle\delta,\phi^{\prime}\rangle=-\phi^{\prime}(\mathbf 0)\]

函数乘法:
\[\langle\psi\cdot\delta,\phi\rangle=\langle\delta,\psi\cdot\phi\rangle=\psi(\mathbf 0)\phi(\mathbf 0)\]

两者结合可以得到
\[\psi(\mathbf x)\partial^n\delta(\mathbf x)=\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^mn!}{m!(n-m)!}\partial^m\psi(\mathbf 0)\partial^{n-m}\delta(\mathbf x)\]

换元运算: 设 \(\psi(\mathbf x)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上 Jacobi 行列式非 0(保证反函数存在性)的无穷阶连续可微函数, 有 \[\int\delta^{(n)}(\psi(\mathbf x))\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int\delta^{(n)}(\mathbf u)\frac{\phi(\psi^{-1}(\mathbf u))}{|\det J(\psi^{-1}(\mathbf u))|}\mathrm{d}^n\mathbf u\] 由此得到 \[\int\delta^{(n)}(\psi(\mathbf x))\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\sum_{\psi(\mathbf x)=0}\frac{\phi(\mathbf x)}{|\det J(\mathbf x)|}\]

几种可行的极限序列
\[\delta_n(x)=n\mathrm{rect}(nx),\quad \sqrt{\frac{n^2}{\pi}}\mathrm{e}^{-n^2x^2},\quad \frac{n}{\pi}\frac{1}{1+n^2x^2}\]
可以检验其 Fourier 变换
\[\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k0}=1\]
从而得到 Fourier 表示
\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\]

换积分域为 \(-n\) 到 \(n\) 即得到 \(\delta_n(x)=\frac{\sin nx}{\pi x}\), 仍是可行的函数序列, 但是不满足 Dirac 的原始定义:
\[\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)=\begin{cases}\infty&x=0\\0&x\neq0&&\end{cases}\]
定义高维 \(\delta\) 函数:
\[\delta^{n}(\mathbf{x}):=\delta(x_1)\delta(x_2)\cdots\delta(x_n)\]
- 考虑对于不同的坐标, 为保证
  \[\int\delta^n(\mathbf{x}(\mathbf{u})-\mathbf{x}_0)f(\mathbf{u})Jd^n\mathbf{u}=f(\mathbf{u}_0)\]
  应有
  \[\delta^n(\mathbf{x}(\mathbf{u})-\mathbf{x}_0)=\frac{\delta^n(\mathbf{u}-\mathbf{u}_0)}{|\mathbf{J}|},\quad \mathbf{J}=\det\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)\]
- 注意不可以认为 \(\delta^n(\mathbf{x})=\delta(|\mathbf{x}|)\), 因为
  \[\int_{\mathbb{R}^n}\delta(|\mathbf{x}|)f(\mathbf{x})\mathrm{d}^n\mathbf{x}=\int_0^\infty\delta(r)\left[\int_{S^{n-1}}f(r,\Omega)\mathrm{d}\Omega\right]r^{n-1}\mathrm{d}r=0\]
  而不是 \(f(\mathbf{0})\), 二者的积分性质不同.
\(\delta\) 函数的性质必须在积分意义下理解:
1. 由其极限定义可以看出 \(\delta(x)\) 为偶函数, 从而
  \[x\delta(x)=0,\quad \delta(x)=\delta(-x),\quad \delta^{\prime}(-x)=-\delta^{\prime}(x)\]
2. 与阶跃函数有关系:
  \[\delta(x)=\frac{\mathrm{d}H(x)}{\mathrm{d}x},\quad H(x)=\left\{\begin{array}{cc}0&x\lt0\\1&x\geq0\end{array}\right.\]
  可通过对此导数积分证明.
3. 对光滑函数 \(f(x)\) 有
  \[\int_a^bf(x)\delta(x)\mathrm{d}x=f(0)\mathrm{~,~}\quad a\lt0\lt b\]
  
  \[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^{\prime}(x)\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}\delta(x)\\ &=\left.\left[f(x)\delta(x)\right]\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}f^{\prime}(x)\delta(x)\mathrm{d}x\\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}\]
4. 对 \(a\ne0\) 有,
  \[\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\]
  由积分性质容易证明.
5. 若实函数 \(g(x)=0\) 在 \((a,b)\) 有 \(n\) 个不同单根 \(\{x_i\}\), 有
  \[\delta(g(x))=\sum_{i=1}^n\frac{\delta(x-x_i)}{|g^{\prime}(x_i)|}\]

Dirac \(\delta\) 函数严格来讲不是函数, 而是一个广义函数(分布), 在分布理论(Schwartz 分布)中被严格定义, 是一个线性泛函, 属于连续对偶空间, 作用于测试函数空间, 提取测试函数在 0 点的值.

7.5 Computing Improper Integrals via the Delta Function

利用 \(\delta\) 函数的常用积分表达式:

\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\quad\mathrm{or}\quad \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\cos kx\mathrm{d}k\]

Example

\[I=\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin2x}{x^2+x+1}\mathrm{d}x.\]

Solution 引入辅助积分

\[F(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda x}}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x\]

通过辅助积分可以得到

\[-F^{\prime\prime}(\lambda)-\mathrm{i}F^{\prime}(\lambda)+F(\lambda)=2\pi\delta(\lambda)\]

\(\lambda\ne 0\) 时, \(\delta(\lambda)=0\), 方程齐次; \(\lambda=0\), \(F(\lambda)\) 连续, 即 \(\lim_{\epsilon\to+0}[F(0-\epsilon)-F(0+\epsilon)]=0\), 而 \(F'(\lambda)\) 不连续. 由

\[\int_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}\left[F^{\prime\prime}(\lambda)+\mathrm{i}F^{\prime}(\lambda)-F(\lambda)\right]\mathrm{d}\lambda=-2\pi\int_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}\delta(\lambda)\mathrm{d}\lambda=-2\pi\]

考虑到 \(F(\lambda)\) 连续, 可以得到 \(\lim_{\epsilon\to+0}F^{\prime}(\lambda)|_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}=-2\pi\).

由 \(\lambda\ne0\) 时 \(\delta(\lambda)=0\), 则

\[F(\lambda)=\begin{cases}A\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}+B\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}},\quad&\lambda>0\\ C\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}+D\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}},\quad&\lambda\lt0\end{cases}\]

为保证无穷积分 \(F(\lambda)\) 有界, \(A=D=0\). 又由 \(F(\lambda)\) 在 \(\lambda=0\) 连续, 则 \(B=C\); 又由 \(F'(\lambda)\) 在 \(\lambda=0\) 的跃变性质, 得到

\[\frac{-\mathrm{i}-\sqrt{3}}{2}B-\frac{-\mathrm{i}+\sqrt{3}}{2}C=-2\pi\quad \Longrightarrow \quad B=C=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\]

从而得到积分结果

\[F(\lambda)=\left\{\begin{aligned} &\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{-\sqrt{3}\lambda/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/2},&\quad\lambda>0\\ &\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\sqrt{3}\lambda/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/2},&\quad\lambda\lt0 \end{aligned}\right.\quad\Longrightarrow\quad I=\mathrm{Im}F(2)=-\frac{2\pi}{\sqrt3}\mathrm{e}^{-\sqrt3}\sin1\]

8 Laplace Transform

8.1 Laplace Transform

Definition Laplace 变换: 记原函数 \(f(t)\) 经 Laplace 变换得到像函数(\(s\) 为复数)

\[F(p)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\lim_{a\to\infty}\int_0^ae^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]

约定 \(f(t)\) 理解为 \(f(t)H(t)\), 即在 \(t\lt0\) 时规定为 0.

Theorem Laplace 变换存在的充分条件: 若 \(f(t)\) 满足
1. \(f( t)\) 和 \(f^\prime(t)\) 在区间 \(0\leq t\lt\infty\) 上分段连续, 在任何有限区间内的不连续点的数目是有限的;
2. \(f( t)\) 有有限的增长指数, 即存在正数 \(M>0\) 及实数 \(B\)(增长指数), 使 \(\forall t\geq0\), \(|f(t)|\lt M\mathrm{e}^{Bt}\).
则 \(f(t)\) 的 Laplace 变换在 \(\mathrm{Re}\ p>B\) 上存在. 且在此半平面内, 像函数 \(F(p)\) 是解析函数. 这些增长指数 \(B\) 的下确界给出绝对收敛横标的上界; 绝对收敛横标由 \(\int_0^\infty e^{-pt}|f(t)|\,\mathrm{d}t\) 的收敛半平面定义. Lemma Laplace 积分 \(\int _0^\infty \mathrm{e} ^{- pt}f(t)\mathrm{d}t\) 在 \(p=p_0\) 处收敛, 则它在开的半平面 \(\mathrm{Re}p>\mathrm{Re}p_0\) 上亦收敛, 且在此半平面上等于绝对收敛积分
\[(p-p_0)\int_0^\infty g(t;p_0)\mathrm{e}^{-(p-p_0)t}\mathrm{d}t,\]
其中
\[g(t;p_0)=\int_0^tf(\tau)\mathrm{e}^{-p_0\tau}\mathrm{d}\tau\]
Definition 设 \(f(t)\) 满足 Laplace 变换的充分条件, 则存在实数 \(s_0\), 使得
\[\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t \implies \begin{cases}\text{收敛,若 Re}p>s_0\\\text{发散,若 Re}p\lt s_0&&\end{cases}\]
\(s_0\) 称为收敛横标, \(F(p)\) 在 \(\mathrm{Re}p>s_0\) 解析, 且
\[F^{\prime}(p)=-\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}tf(t)\mathrm{d}t\quad p>s_0\]
Definition 正则横标设 \(F(p)\) 在区域 \(\mathrm{Re}p>\gamma\) 解析, 在 \(\mathrm{Re}p=\gamma\) 上有奇点, \(\gamma\) 称为该 Laplace 变换的正则横标.

8.2 Properties of the Laplace Transform

线性变换
\[\begin{aligned}&\mathcal{L}\left\{\alpha_1f_1(t)+\alpha_2f_2(t)\right\}\\=&\alpha_1\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}+\alpha_2\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\\=&\alpha_1F_1(p)+\alpha_2F_2(p)\end{aligned}\]
p-位移(Substitution)(位移定理 I)
\[\mathcal{L}\left\{\mathrm{e}^{p_0t}f(t)\right\}=F(p-p_0)\]
t-位移(Translation/Heaviside Shifting Theorem)(延迟定理/位移定理 II)
\[\mathcal{L}\left\{f(t-\tau)H(t-\tau)\right\}=\mathrm{e}^{-p\tau}F(p),\quad \tau>0\]

推论(\(a>0\), \(\sigma_a\) 为原函数的绝对收敛横标, 以下取 \(\operatorname{Re}s>\max(0,\sigma_a)\)):
\[\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}f(t-na)H(t-na)\right]=\frac{F(s)}{1-\mathrm{e}^{-sa}},\quad\operatorname{Re}s>0\]\[\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nf(t-na)H(t-na)\right]=\frac{F(s)}{1+\mathrm{e}^{-sa}},\quad\operatorname{Re}s>0\]
相似定理
\[\mathcal{L}\left\{f(at)\right\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right),\quad a>0\]
导数的 Laplace 变换(微分定理 I): 若 \(f(t),f'(t)\) 都满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则
\[\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(p)\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=pF(p)-f(0)\]
同理, 对于高阶导数
\[\mathcal{L}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\]

可以用于通过 Laplace 变换求解微分方程.
积分的 Laplace 变换(积分定理 I): 若 \(f(t)\) 满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则 \(\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\) 的变换也存在, 为
\[\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right\}=\frac{F(p)}{p}\]
Proof
\[F(p)=p\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right\}-\int_0^0f(\tau)\mathrm{d}\tau\]
Derivative of a transform(微分定理 II): 当 \(f(t)\) 至少是分段连续的, 且 \(p\) 的选择使得 \(\mathrm{e}^{-pt}f(t)\) 对大的 \(p\) 呈指数收敛时, 积分
\[\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]
是一致收敛的, 并且可以(在积分号下)对 \(p\) 微分. 那么
\[F'(p)=\int_0^\infty(-t)\mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=\mathcal{L}\{-tf(t)\}\]
同理得到
\[\mathcal{L}\{(-t)^nf(t)\}=F^{(n)}(p)\]
Integration of transform(积分定理 II): 要求 \(f(t)/t\) 在 \(t=0\) 附近局部可积, 并取实数 \(s\) 使 \(\int_0^\infty e^{-st}|f(t)|/t\,\mathrm{d}t\lt\infty\), 以保证换序与 \(b\to\infty\) 的极限.

当 \(F(t)\) 至少是分段连续的, 且 \(s\) 的选择使得 \(\mathrm{e}^{-pt}f(t)\) 对大的 \(p\) 呈指数收敛时, 积分
\[F(p)=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]
关于 \(p\) 是一致收敛的, 则可以交换积分顺序:
\[\begin{aligned} \int_s^bF(p)\mathrm{d}p &=\int_s^b\mathrm{d}p\int_0^\infty \mathrm{d}te^{-pt}f(t)\\ &=\int_0^\infty f(t)\left[\int_s^be^{-pt}\mathrm{d}p\right]\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty f(t)\left[-\frac{1}{t}\mathrm{e}^{-pt}\right]_s^b\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{f(t)}{t}\left(\mathrm{e}^{-st}-\mathrm{e}^{-bt}\right)\mathrm{d}t\end{aligned}\]
下限 \(s\) 的选择要足够大, 以使得 \(F(s)\) 在一致收敛区域内, 令 \(b\to\infty\), 得到
\[\int_s^\infty F(p)\mathrm{d}p=\int_0^\infty\frac{f(t)}{t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}\]

推论: 例如在 \(\int_0^\infty |f(t)|/t\,\mathrm{d}t\lt\infty\) 时, 可取 \(s=0\), 并对第二式取 \(s>0\), 以保证下面的换序与尾部积分.
\[\int_0^{\infty}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t=\int_0^{\infty}F(p)\mathrm{d}p\]\[\mathcal{L}\left[\int_t^{+\infty}\frac{f(\tau)}{\tau}\mathrm{d}\tau\right]=\frac{1}{s}\int_0^sF(p)\mathrm{d}p\]
卷积定理: 取
\[F_1(p)=\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}\quad 和\quad F_2(p)=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\]
相乘得到
\[\begin{aligned} F_1(p)F_2(p) &=\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)\mathrm{e}^{-p\tau}\mathrm{d}\tau\int_{0}^{\infty}f_{2}(\nu)\mathrm{e}^{-p\nu}\mathrm{d}\nu\\ &=\int_0^\infty f_1(\tau)\mathrm{d}\tau\int_0^\infty f_2(\nu)\mathrm{e}^{-p(\tau+\nu)}\mathrm{d}\nu\\ &=\int_0^\infty f_1(\tau)\mathrm{d}\tau\int_\tau^\infty f_2(t-\tau)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau \end{aligned}\]
即
\[F_1(p)F_2(p)=\mathcal{L}\left\{\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right\}\]

常见变换

\[\mathcal{L}\{1\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{p}, \quad p > 0\]

\[\mathcal{L}\left\{\mathrm{e}^{kt}\right\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}\mathrm{e}^{kt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{p - k}, \quad p > k\]

\[\mathcal{L}\{\cosh kt\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p - k} + \frac{1}{p + k}\right) = \frac{p}{p^2 - k^2}, \quad p > |k|\]

\[\mathcal{L}\{\sinh kt\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p - k} - \frac{1}{p + k}\right) = \frac{k}{p^2 - k^2}, \quad p > |k|\]

\[\mathcal{L}\{\cos kt\} = \frac{p}{p^2 + k^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sin kt\} = \frac{k}{p^2 + k^2}\]

\[\mathcal{L}\left\{t^n\right\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt} t^n\,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(n+1)}{p^{n+1}}, \quad p > 0,\ n > -1\]

8.3 General Inversion Formula

反演的唯一性问题 设 \(f_1(t),f_2(t)\) 为连续函数, 若

\[\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\]

则 \(f_1(t)\equiv f_2(t)\).

Bromwich 积分

Bromwich 反演与留数求值是两个步骤. 例如, 若 \(f\) 局部可积、在 \(t>0\) 附近分段光滑且为指数阶, 则在收敛半平面内取 \(s\), 有

\[\frac{f(t^+)+f(t^-)}{2}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{s-\mathrm{i}T}^{s+\mathrm{i}T}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p.\]

连续点处左边即 \(f(t)\). 积分通常按这里的对称截断极限理解, 不要求绝对收敛.

若进一步能将 \(F\) 亚纯延拓到闭合路径所围区域, 选取避开极点的一列向左闭合路径 \(C_T\), 且补入路径上的 \(F(p)\mathrm{e}^{pt}\) 积分趋于零, 留数定理才给出

\[f(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{p_j\in\operatorname{Int}C_T}\operatorname{Res}_{p=p_j}\left[\mathrm{e}^{pt}F(p)\right],\qquad t>0\]

这里写在连续点处; 有无限多个极点时, 求和顺序由闭合路径指定, 不能任意重排. 是否能丢掉大圆弧或矩形边须对具体函数估计, 右半平面的解析性本身不足以保证这一点. 若存在分支点与割线, 还须保留割线两侧的积分, 不能只求极点留数.

例如

\[\mathcal{L}\{t^{\alpha-1}\}(p)=\frac{\Gamma(\alpha)}{p^\alpha},\qquad 0\lt\alpha\lt1,\quad\operatorname{Re}p>0.\]

此时竖直线上的绝对积分不收敛, 但 Bromwich 反演仍适用; \(p=0\) 是分支点, 必须选定 \(p^{-\alpha}\) 的分支并计入割线贡献. 这也说明反演公式与纯留数公式的适用条件不同.

反演也可以用原函数的条件表述为下面的定理:

Theorem 设 \(f(t)\) 在 \([0,\infty)\) 的任意有限区间上只有有限个极大极小和有限个第一类间断点.Laplace 积分

\[F(p)=\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]

在直线 \(\mathrm{Re}p=s\) 上绝对收敛. 则

\[\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{s-\mathrm{i}\infty}^{s+\mathrm{i}\infty}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p= \begin{cases} 0,&t\lt0\\ \frac{f(0+)}{2},&t=0\\ \frac{f(t+)+f(t-)}{2},&t>0 \end{cases}\]

更一般地, 积分应理解为积分主值
\[f(t)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\lim_{R\to\infty}\int_{s-\mathrm{i}R}^{s+\mathrm{i}R}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p\]
例如: \(F(p)=\frac1p\) 时,
\[f(t)=\begin{cases}0&t\lt0\\\frac{1}{2}&t=0\\1&t>0\end{cases}\]

Appendix

A.1 Velocity Fields and Complex Analysis

记流速场为

\[\mathbf{V}(x,y)=(u(x,y),v(x,y))\]

对于不可压缩势流, 流速场散度和旋度为 0, 要求

\[0=\partial_xu+\partial_yv,\quad 0=\partial_xv-\partial_yu\]

与 C-R 方程对比, 从而设复速度

\[g(z)=u-iv\]

其原函数为复势(势函数+i 流函数, 流函数与势函数正交, 表征流线簇)

\[\Phi(z)=\varphi+\mathrm{i}\psi\]

\[u=\partial_x\varphi,\quad v=-\partial_x\psi=\partial_y\varphi\Longrightarrow \mathbf V=\nabla\varphi\]

A.2 Computation of Asymptotic Series

渐近序列与渐近级数定义如下:

Definition 渐近序列设函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi_n(z)\neq0\)(\(z_0\) 点可以除外), 若对于所有的 \(n\), 有
\[\phi_{n+1}(z)=o\left(\phi_n(z)\right),\quad z\to z_0\]
则称函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 为 \(z\to z_0\) 时的一个渐近序列.

Definition 渐近级数若在 \(z\) 的某个范围内
\[\left[f(z)-\sum_{n=0}^Na_n\phi_n(z)\right]=o\left(\phi_N(z)\right), \quad \forall N\in\mathbb{N},\quad z\to z_0\]
则称 \(\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\) 是函数 \(f(z)\) 相对于 \(\{\phi_n(z)\}\) 的渐近级数, 记为
\[f(z)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z),\quad \mathrm{as}\ z\to z_0\]

\(z\) 越接近 \(z_0\), 有限和 \(\sum_{n=0}^N a_n\phi_n(z)\)(称为 \(z\to z_0\) 时 \(f(z)\) 的渐近近似)越逼近于 \(f(z)\). 它区别于通常的级数展开,例如幂级数展开
\[f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n+\cdots\]
后者是 \(z\) 点固定, 而级数的项数越多越准确, 即
\[\lim_{N\to\infty}\left[f(z)-\sum_{n=0}^Nu_n(z)\right]=0.\]

在渐近级数的定义中, 并未要求级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\phi_n(z)\) 收敛. 渐近展开级数可以(而且常常)不是收敛级数. 因此, 对于一定的 \(z\), 并不能通过多取项数(即增大 \(N\))来改善近似程度(存在某个 \(N\) 能最佳地逼近原函数).

不同的趋近方式可能会产生完全不同的极限行为, 在 \(\arg z\) 的一定范围内, 渐进展开如果存在即是唯一的, 系数
\[a_m=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{\phi_m(z)}\left[f(z)-\sum_{n=0}^{m-1}a_n\phi_n(z)\right]\]

渐进级数在收敛级数失效的情况下特别有用, 例如在微扰展开或积分近似中.

A.2.1 Integration by Parts Method

第一类:

\[I(x)=\int_x^\infty f(t)\mathrm{e}^{g(t)}\mathrm{d}t\quad x\to\infty\]

不能仅凭 \(g\) 单调就判断主项. 在 \(g'(t)\ne0\)、\(f/g'\) 可微、上端边界项趋零且积分收敛时, 分部积分给出

\[I(x)=-\frac{f(x)}{g'(x)}\mathrm{e}^{g(x)}- \int_x^\infty\mathrm{e}^{g(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{f(t)}{g'(t)}\right)\mathrm{d}t.\]

只有余项相对于第一项为高阶小量时, 才能将第一项作为渐近主项.

Example不完备 \(\Gamma\) 函数

\[\Gamma(-p, x)=\int_x^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{-p-1}\mathrm{d}t,\quad x\to+\infty,\quad p\in\mathbb{R}\text{ 固定}\]

Solve 直接进行分部积分

\[\Gamma(-p, x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}-(p+1)\int_x^{\infty}t^{-p-2}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\]

以此类推得到

\[\Gamma(-p,x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}-\frac{(p+1)\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+2}}+\mathcal{O}\left(\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+3}}\right)\]

仅保留领头项得到

\[\Gamma(-p,x)\sim\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}\]

第二类:

\[I(\lambda)=\int_a^bf(t)\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\mathrm{d}t\quad\mathrm{~}\lambda\to\infty\]

一个充分条件是 \(a\lt b\) 有限, \(f\in C^1[a,b]\)、实值 \(g\in C^2[a,b]\), 且 \(g'\) 始终非零. 此时 \(g\) 严格单调, 主导端点为 \(g\) 较大的端点. 分部积分得到:

\[I(\lambda)=\int_a^bf(t)\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\mathrm{d}t=\left[\frac{f(t)}{\lambda g^{\prime}(t)}\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\right]_a^b-\frac{1}{\lambda}\int_a^b\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{f(t)}{g^{\prime}(t)}\right)\mathrm{d}t\]

因 \(|g'|\) 有正下界, 积分余项为 \(O(\mathrm{e}^{\lambda\max(g(a),g(b))}/\lambda^2)\). 若主导端点 \(t_*\) 满足 \(f(t_*)\ne0\), 才可写成

\[I(\lambda)\sim\left[\frac{f(t)}{\lambda g^{\prime}(t)}\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\right]_a^b.\]

若 \(f(t_*)=0\), 须继续求下一阶, 不能将为零的端点项用作相对渐近主项.

分部积分法要求渐进展开的各项自然形成递减的高阶修正项, 对于某些类型的 \(g(t)\), 没有自然的递减序列, 仍需要通过局部展开(结合尺度变换)提取主要贡献区域的主项, 与极值是否位于边界无关.

A.2.2 Laplace Method

\[I(\lambda)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{e}^{\lambda g(x)}\mathrm{d}x\]

假定区间有限, 实值 \(g\in C^2[x_1,x_2]\) 的唯一全局最大值出现在内部点 \(c\)(\(g^{\prime}(c)=0,g''(c)\lt 0\)), 且 \(f\) 连续、\(f(c)\ne0\), 则积分贡献主要来自于 \(x=c\) 处的峰, 宽度为 \(O(\lambda^{-\frac12})\). 作尺度变换: \(x=c+\lambda^{-\frac 12}y\) 当 \(f,g\) 具有相应高阶导数时, 可进一步将 \(f(x),g(x)\) 在 \(c\) 处展开:

\[f(x)=f(c)+\frac{f^{\prime}(c)}{\sqrt{\lambda}}y+\frac{f^{\prime\prime}(c)}{2\lambda}y^2+\cdots\]

\[g(x)=g(c)+\frac{g^{\prime}(c)}{\sqrt{\lambda}}y+\frac{g^{\prime\prime}(c)}{2\lambda}y^2+\frac{g^{\prime\prime\prime}(c)}{6\lambda^{\frac{3}{2}}}y^3\cdots\]

\[I_{\mathrm{loc}}(\lambda)=\frac{\mathrm{e}^{\lambda g(c)}}{\sqrt\lambda} \int_{-\epsilon\sqrt\lambda}^{\epsilon\sqrt\lambda} f(c+y/\sqrt\lambda)\, \mathrm{e}^{\lambda[g(c+y/\sqrt\lambda)-g(c)]}\,\mathrm{d}y.\]

对足够小的固定 \(\epsilon\), 非退化极大保证局部指数受 \(\mathrm{e}^{-Ky^2}\) 控制, 其中 \(K>0\); 对固定 \(y\), 指数趋于 \(g''(c)y^2/2\). 局部积分由控制收敛得到高斯极限. 在补集上存在 \(\eta>0\) 使 \(g(x)\le g(c)-\eta\), 因而补集贡献为 \(O(\mathrm{e}^{\lambda[g(c)-\eta]})\). 由于远离 \(c\) 的贡献迅速衰减, 我们可以将积分限延伸至 \(\pm\infty\):

\[I(\lambda)\sim\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(c)\mathrm{e}^{\lambda g(c)}}{\sqrt\lambda}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}g''(c)y^2}\mathrm{d}y=f(c) \mathrm{e}^{\lambda g(c)}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda g''(c)}},\quad \lambda\to\infty\]

Example Stirling 公式

\[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^x\mathrm{d}t,\quad x\to\infty\]

Solve

\[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-t+x\ln t}\mathrm{d}t\]

极值点位于 \(t=x\) 处, 再做一次变量替换 \(t=xs\) 得到固定的极值点 \(s=1\):

\[\Gamma(x+1)=x \mathrm{e}^{x\ln x}\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-xs+x\ln s}\mathrm{d}s\sim\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)^{x}\sqrt{2\pi x}\]

这里 \(g(s)=\ln s-s\) 在 \(s=1\) 有唯一非退化最大值. 无界区间的尾部还须单独控制: \(s\to0\) 时 \(\ln s\to-\infty\), 大 \(s\) 时 \(\ln s-s\le-s/2\), 因而两端均比鞍点邻域的贡献小.

A.2.3 Fourier-type Integrals

对于振荡积分

\[I(\omega)=\int_{a}^{b}\mathrm{d}t\,f\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi\left(t\right)},\quad \mathrm{as}\ |\omega|\to\infty\]

(1)若 \(a\lt b\) 有限, \(f\in C^2[a,b]\)、实值 \(\phi\in C^3[a,b]\), 且 \(|\phi'|\) 有正下界, 两次分部积分给出

\[I(\omega)=\left.\frac{f(t)}{\mathrm{i}\omega\phi'(t)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(t)}\right|_a^b+O(|\omega|^{-2}).\]

应使用加性余项; 两个端点贡献可能相消, 因而不能无条件将等式写成相对渐近关系 \(\sim\). (2)例如取 \(f\in C^2[a,b]\)、实值 \(\phi\in C^4[a,b]\), 内部唯一驻点 \(c\) 满足 \(\phi'(c)=0,\phi''(c)\ne0\), 且两端不是驻点. 在 \(c\) 的固定邻域之外, \(|\phi'|\) 有正下界, 由分部积分得到 (Riemann-Lebesgue 引理本身只给趋零, 不给这个速率)

\[I(\omega)=\int_{c-\varepsilon}^{c+\varepsilon}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(t)}\mathrm{d}t+\mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega}\right)\]

当 \(f(c)\ne0\) 时, 在 \(c\) 点附近展开 \(f(t),\phi(t)\):

\[I(\omega) \sim\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(\phi(c)+\frac{1}{2}(t-c)^2\phi''(c))}\mathrm{d}t \sim f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(c)}\left(\frac{2}{|\omega\phi^{\prime\prime}(c)|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\operatorname{sgn}(\omega\phi^{\prime\prime}(c))s^2}\mathrm{d}s\]

将被积部分视作复积分, 记 \(\sigma=\operatorname{sgn}(\omega\phi^{\prime\prime}(c))\). 将积分路径绕 \(s=0\) 旋转 \(\sigma\,45\degree\), 则 \(s=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sigma\pi/4}u\) 使指数成为 \(-u^2\), 得到 Gauss 型积分:

\[I(\omega)= \sqrt{\frac{2\pi}{|\omega|\,|\phi''(c)|}}f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega\phi(c)+\operatorname{sgn}(\omega\phi''(c))\pi/4)}+O(|\omega|^{-1})\]

A.2.4 Method of Steepest Descent

对于复变积分(辐角信息归入 \(g(z)\) 以保证 \(\lambda>0\))

\[I(\lambda)=\int_Cf(z)\mathrm{e}^{\lambda g(z)}\mathrm{d}z,\quad \mathrm{as}\ \lambda\to\infty\]

下面的单鞍点公式要求 \(f,g\) 在路径变形区域内解析, 变形不跨过奇点, 补入的无穷远弧贡献趋零; 变形后的路径经过一个可达的非退化鞍点 \(z_0\), \(g''(z_0)\ne0\)、\(f(z_0)\ne0\), 且该鞍点贡献主导端点和其他鞍点. 在这些条件下, 主要贡献在 \(g'(z)=0\) 附近, 由于解析函数的限制, 解析区域内无法找到最大值点, 因此 \(g'(c)=0\) 处为鞍点, 希望通过路径变形使得其沿最陡下降方向经过鞍点.

设 \(g''(z_0)=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, z-z_0=s\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\), 考察指数部分:

\[\lambda g(z_0)+\frac{\lambda}{2} g^{\prime\prime}(z_0)(z-z_0)^2=\lambda g(z_0)+\frac{\lambda}{2}\rho s^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2\phi)}\]

最陡下降要求指数部分的实部变化最快, 即 \(\theta+2\phi=\pi(\mod 2\pi\ \ )\)(下降最快), 合理取 \(\phi\) 使得沿其一即可. 鞍点近似下可以将积分区域延拓到 \(\pm\infty\)

\[\begin{aligned} I(\lambda) &\sim f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\int_C\mathrm{e}^{\lambda g^{\prime\prime}(z_0)(z-z_0)^2/2}\mathrm{d}z\\ &\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|(x-x_0)^2/2}\mathrm{d}x\\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|}}\left[1+O\left(\lambda^{-1}\right)\right] \end{aligned}\]

保留领头项得到

\[I(\lambda)\sim f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi},\quad \phi=\frac{\pi-\arg[g''(z_0)]}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

其中 \(k\) 必须按原路径的定向选定; 反向穿过鞍点会改变符号, 不能任意选择 \(k\). 这种方法对于评估无法通过实变量技术处理的复积分特别有效. 其关键思想是将积分路径变形, 使其沿着积分值减小最快的路径穿过鞍点, 从而使主要贡献来自这些点的邻域.

Example Airy 函数: 线性微分方程

\[\Psi^{\prime\prime}(x)-x\Psi(x)=0\]

的解. Solve 设

\[\Psi(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\Phi(k)\mathrm{d}k\]

代入得到

\[k^2\Phi(k)+\mathrm{i}\Phi'(k)=0\]

通解为 \(\Phi(k)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k^3/3}\). 以下固定 \(A=1/(2\pi)\), 实轴振荡积分取对称极限, 从而 \(\Psi(x)=\mathrm{Ai}(x)\):

\[\Psi(x)=A\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx+\frac{k^3}{3})}\mathrm{d}k=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(\frac{x}{|x|}u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

其中作代换 \(k=-\mathrm{i}\sqrt{|x|}u\) 复平面上无奇点. (1)对 \(x\to\infty\), 鞍点位于 \(u_0=\pm 1\):

\[\Psi(x)=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

\(u_0=-1\) 起主要贡献, 最速下降辐角 \(\theta=\frac{\pi}{2}\). 鞍点近似得到

\[\mathrm{Ai}(x)\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}x^{\frac{1}{4}}}\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}\]

(2)对 \(x\to-\infty\), 鞍点位于 \(u_0=\pm\mathrm{i}\):

\[\Psi(x)=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(-u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

最速下降方向分别为 \(\theta=\frac{\pi}{4}/\frac{3\pi}{4}\), 鞍点近似得到

\[\mathrm{Ai}(x)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi}|x|^{\frac{1}{4}}}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}|x|^{\frac{3}{2}}\right)\]

A.3 Supplementary Notes on Generalized Functions

Definition 支集设 \(\mathbf x\in \mathbb{R}^n\), 函数 \(\phi(\mathbf x)\) 的支集定义为函数值不为 0 的点构成的集合的闭包, 即

\[\mathrm{supp}\ \phi=\overline{\{\mathbf x\in\mathbb{R}^n|\phi(\mathbf x)\neq0\}}\]

若 \(\phi\) 的支集是一个紧集(在这里等价于有界闭集), 就称函数 \(\phi(\mathbf x)\) 具有紧支集.

Definition 检验函数定义为 \(\mathbb{R}^n\) 上无穷阶连续可微的紧支集函数, 例如

\[j(\mathbf x)= \left\{\begin{aligned} &C_{n}\exp\left(-\frac{1}{1-|\mathbf {x}|^{2}}\right),&|\mathbf x|\lt1\\ & 0,&|\mathbf x|\ge1 \end{aligned}\right.\]

\(C_n\) 为归一化因子, 保证 \(j(\mathbf x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 的积分值为 1.

检验函数空间记作 \(\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\), 是一个线性空间. 若进一步规定收敛性还可以得到拓扑线性空间.

Definition 磨光函数

\[j_\delta(\mathbf x)=\frac{1}{\delta^n}j\left(\frac{\mathbf x}{\delta}\right), \quad \delta>0\]

设 \(\phi(x)\), 是 \(\mathbb{R}^n\) 上可积的紧支集函数, 可以证明函数

\[\phi_\delta(\mathbf x)=(j_\delta\star\phi)(\mathbf x)=\int_{\mathbb{R}^n}j_\delta(\mathbf x-\mathbf y)\phi(\mathbf y)\mathrm{d}^n\mathbf y\]

无穷阶连续可微, 且仍有紧支集, 因此是检验函数. 具体地, 其支集包含于 \(\operatorname{supp}\phi+\operatorname{supp}j_\delta\), 这是两个紧集的 Minkowski 和. 对任意多重指标 \(\alpha\), 光滑核的导数有界而 \(\phi\) 可积, 可以在积分号下求导得到 \(\partial^\alpha\phi_\delta=(\partial^\alpha j_\delta)\star\phi\); 控制收敛同时给出这些导数的连续性.

Definition 广义函数: 连续线性映射

\[f:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf x)\mapsto\langle f,\phi\rangle\]

连续性要求 \(\lim_{k\to\infty}\phi_k=\phi\) 时有
\[\lim_{k\to\infty}\langle f,\phi_k\rangle=\langle f,\phi\rangle\]
可以对广义函数规定加法和数乘得到线性空间(\(\mathcal D(\mathbb{R}^n)\) 的拓扑对偶空间)

广义函数的例子 设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 的任一紧子集上可积, 可以定义对应的广义函数 \(f\) 为

\[f:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf x)\mapsto\langle f,\phi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]

从而可以将广义函数视作局部可积函数的推广, 从而可以类似地定义广义函数的运算:

设 \(f(\mathbf x)\) 的偏导数存在且局部可积, 由
\[\int_{\mathbb{R}^n}\partial_if(\mathbf x)\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=-\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\operatorname{\partial}_i\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以定义广义函数的偏导
\[\langle\partial_if,\phi\rangle=-\langle f,\partial_i\phi\rangle\]
由于检验函数的偏导也是检验函数, 保证了广义函数的定义.
设 \(\psi(\mathbf x)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的无穷阶连续可微函数, 由
\[\int_{\mathbb{R}^n}[\psi(\mathbf x)f(\mathbf x)]\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)[\psi(\mathbf x)\phi(\mathbf x)]\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以定义广义函数的乘法
\[\langle\psi\cdot f,\phi\rangle=\langle f,\psi\cdot\phi\rangle\]
检验函数和无穷阶连续可微函数的乘积也是检验函数, 保证了广义函数的定义.
对广义函数序列 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\), 若存在广义函数 \(f\) 使得
\[\lim_{m\to\infty}\langle f_m,\phi\rangle=\langle f,\phi\rangle,\quad\forall\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\]
就称 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\) 弱 \(*\) 收敛于 \(f\), \(f\) 为 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\) 的弱 \(*\) 极限.

Mathematical Physics Methods - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

9 Power Series Solutions of Second-Order Linear ODEs

Definition 对二阶线性 ODE

\[\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2}+p(z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}+q(z)w=0\]

若 \(p(z),q(z)\) 在 \(z_0\) 解析, 则 \(z_0\) 被称为方程的常点. 若至少有一个在 \(z_0\) 不解析, 则 \(z_0\) 被称为方程的奇点.

9.1 Solutions near Ordinary Points

Theorem 若 \(p(z), q(z)\) 在圆 \(|z-z_0|\lt R\) 内解析, 则此圆内的初值问题

\[\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2}+p(z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}+q(z)w=0\]

\[w(z_0)=C_0,\quad w^{\prime}(z_0)=C_1\]

有唯一的解 \(w(z)\), 且在圆内单值解析.

根据定理, 可以在 \(|z-z_0|\lt R\) 内把 \(p(z),q(z),w(z)\) 分别展开为 Taylor 级数:
\[p(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k,\quad q(z)=\sum_{k=0}^\infty b_k(z-z_0)^k,\quad w(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k\]
由初值条件, \(c_0=C_0, c_1=C_1\). 由待定系数法即可解出各阶系数 \(c_k\).
通解的结构 若 \(w_1(x)\) 和 \(w_2(x)\) 是方程在区域 \(G\) 内两个线性无关的解, 则方程在区域内的通解为 \(k_1w_1(z)+k_2w_2(z)\). 通过 Wronski 行列式判断解是否线性相关.
收敛半径至少为展开点与最邻近方程奇点的距离, 个别解可有更大的收敛半径(可以被推广到 n 阶线性 ODE).

9.2 Structure of Solutions near Isolated Singular Points

如果 \(z_0\) 是方程的孤立奇点, 则 \(z_0\) 点可能是解的奇点(极点/本性奇点, 若解为多值函数, 还可能为枝点). 避开奇点, 我们在 \(z_0\) 的邻域内取一点 \(b\) 为方程的常点. 在 \(b\) 的邻域用幂级数解法, 求出方程在常点 \(b\) 附近的解析解

\[w(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n\]

幂级数的收敛半径为 \(R\), 收敛圆为圆盘 \(D=\{|z-b|\lt R\}\). 我们可以将 \(G\) 内的解析解延拓到更大的区域内.

Theorem 方程 \(w''+p(z)w'+q(z)w=0\) 的解的解析延拓仍为方程的解.

Proof 设 \(w(z)\) 是方程在 \(G\) 内的解. \(w_1(z)\) 为 \(w(z)\) 在 \(G_1\) 内的解析延拓, 即在 \(G\) 和 \(G_1\) 的公共区域 \(g=G\cap G_1\neq0\) 内有 \(w(z)=w_1(z)\). 考虑函数

\[f(z)=w_1''+p(z)w_1'+q(z)w_1\]

为 \(G_1\) 内的解析函数(\(G,G_1\) 不含方程奇点, 故 \(p(z),q(z)\) 解析). 在 \(g\subset G_1\) 内

\[f(z)=w''+p(z)w'+q(z)w=0\]

因此 \(f(z)\) 在 \(G_1\) 内恒为零,即 \(w_1(z)\) 在 \(G_1\) 内满足方程.

Theorem 若 \(z_0\) 是方程 \(w''+p(z)w'+q(z)w=0\) 的孤立奇点, \(p(z),q(z)\) 在区域 \(0\lt|z-z_0|\lt R\) 内解析. 则在该环域的通用覆盖上, 或沿一条割线选定 \(\ln(z-z_0)\) 分支后的单连通区域内, 方程有两个线性无关的解:

\[\begin{aligned} w_{1}(z) &=(z-z_0)^{\rho_1}\sum_{k=-\infty}^\infty c_k(z-z_0)^k\\ w_{2}(z) &=g\,w_1(z)\ln(z-z_0)+(z-z_0)^{\rho_2}\sum_{k=-\infty}^\infty d_k(z-z_0)^k\end{aligned}\]

其中 \(\rho_1,\rho_2\) 和 \(g\) 为复常数(第二项无需特别记忆, Wronski 行列式法更加方便).

试图用待定系数法定级数的系数时, 由于级数具有无穷多个正幂项系数和无穷多个负幂项系数, 每一个系数递推关系都可能含有无穷多个正幂项系数和无穷多个负幂项系数, 从而无法求解.

9.3 Solutions near Regular Singular Points

Definition 正则解: 如果级数解只有有限个负幂项时, 就可以用待定系数法定解. 这是总可以调整 \(\rho\) 值以将解写为:

\[\begin{aligned} w_{1}(z) &=(z-z_0)^{\rho_1}\sum_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k,&c_0\ne0\\ w_{2}(z) &=g\,w_1(z)\ln(z-z_0)+(z-z_0)^{\rho_2}\sum_{k=0}^\infty d_k(z-z_0)^k,&d_0\ne0 \end{aligned}\]

正则奇点的判定: 若 \(z_0\) 为方程的奇点, 但 \((z-z_0)p(z), (z-z_0)^2q(z)\) 在 \(z_0\) 解析, 则称 \(z_0\) 为正则奇点, 其邻域内的解为正则解.

即 \(z_0\) 最高是 \(p(z)\) 的一阶极点, \(q(z)\) 的二阶极点.

不含对数项的正则解求解 不妨设正则奇点为 \(z=0\), 在其邻域内作 Laurent 展开:

\[p(z)=\sum_{l=0}^\infty a_lz^{l-1},\quad q(z)=\sum_{l=0}^\infty b_lz^{l-2},\quad w(z)=z^\rho\sum_{k=0}^\infty c_kz^k\]

代入方程得到

\[\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)(k+\rho-1)z^{k+\rho-2}+\sum_{l=0}^\infty a_lz^{l-1}\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)z^{k+\rho-1}+\sum_{l=0}^\infty b_lz^{l-2}\sum_{k=0}^\infty c_kz^{k+\rho}=0\]

整理得

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(n+\rho)(n+\rho-1)z^n+\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^n[a_l(n+\rho-l)+b_l]c_{n-l}z^n=0\]

比较 \(z^0\) 系数, 得到指标方程
\[\boxed{\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0}\]
利用
\[\boxed{a_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)p(z),\quad b_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^2q(z)}\]
解出一对 \(\rho_1, \rho_2\)(规定 \(\mathrm{Re}\rho_1\geq\mathrm{Re}\rho_2\))
比较 \(z^n\) 系数, 得到
\[(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+\sum_{l=0}^n[a_l(n+\rho-l)+b_l]c_{n-l}=0\]
提出 \(l=0\) 项, 再由指标方程得到递推关系:
\[n(n+2\rho+a_0-1)c_n+\sum_{l=1}^n[a_l(n+\rho-l)+b_l]c_{n-l}=0\]
只要 \(n+2\rho+a_0-1\neq0\) 就可以递推得到 \(c_n\) 普遍表达式.

正则解不含对数项的条件 利用指标方程, 有韦达定理 \(\rho_1+\rho_2=-a_0+1\), 从而有普遍表达式的判据:
\[n+2\rho+a_0-1=\begin{cases}n+\rho_1-\rho_2&\rho=\rho_1\\n+\rho_2-\rho_1&\rho=\rho_2&&\end{cases}\]

若 \(\rho_1-\rho_2\ne \mathrm{int}\), 可以求出两个线性无关特解

若 \(\rho_1-\rho_2= \mathrm{int}\), 则 \(\rho_2\) 不满足判据, 若:

\(\rho_1=\rho_2\), 不应该得到一个解, 会有含对数项的第二解.

\(\rho_1-\rho_2=m>0\), 则对于第二解的系数 \(c_m^{(2)}\), \(n=m\) 时的递推关系要求(用到 \(\rho_1=m+\rho_2\))
\[0\cdot c_m^{(2)}+\sum_{l=1}^m[a_l(\rho_1-l)+b_l]c_{m-l}^{(2)}=0\]
故
\[\boxed{\sum_{l=1}^m[a_l(\rho_1-l)+b_l]c_{m-l}^{(2)}\begin{cases}\neq0,&无解\\=0,&c_m^{(2)}任意\end{cases}}\]
若此情形无解, 方程第二解也应该含对数项. 若测方程有解, 可以继续求解, 不妨 \(c_m^{(2)}=0\).

第二种情形无解时第二项的求解 固然可以代入对数形式解并定系数. 这里介绍 Wronski 行列式法:
\[W[w_1,w_2]=w_1\frac{\mathrm{d}w_2}{\mathrm{d}z}-w_2\frac{\mathrm{d}w_1}{\mathrm{d}z}=A\exp\left[-\int^zp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\]
又 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{w_2}{w_1}\right)=\frac{1}{w_1^2}W[w_1,w_2]\). 积分得到
\[w_2=Aw_1(z)\int^z\left\{\frac{1}{[w_1(z)]^2}\exp\left[-\int^zp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\right\}\mathrm{d}z+Bw_1(z)\]
不妨令 \(A=1\), \(B=0\), 得到
\[w_2=w_1(z)\int^z\left\{\frac{1}{[w_1(z)]^2}\exp\left[-\int^zp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\right\}\mathrm{d}z\]

9.4 Examples

Bessel 方程

\[\left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0\right.,\quad\mathrm{Re}\nu\geq0\]\[p(x)=\frac{1}{x},\quad q(x)=1-\frac{\nu^2}{x^2}\]

容易判断为正则奇点, 讨论 \(x=0\) 邻域内的正则解.

Solve 设

\[y(x)=x^\rho\sum_{k=0}^\infty c_kx^k\quad c_0\neq0\]

代入得到

\[\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)(k+\rho-1)x^{k+\rho-2}+\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)x^{k+\rho-2}+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)\sum_{k=0}^\infty c_kx^{k+\rho}=0\]

\[\quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=0}^\infty c_k[(k+\rho)^2-\nu^2]x^k+\sum_{k=0}^\infty c_kx^{k+2}=0\]

由低幂次项得到指标方程及其解

\[\rho^2-\nu^2=0\quad \Longrightarrow \quad \rho_1=\nu,\quad\rho_2=-\nu;\quad\mathrm{Re}\rho_1\geq\rho_2\]

考虑第一解, 代入 \(\rho=\nu\), 由 \(x^1\) 系数
\[c_1[(\nu+1)^2-\nu^2]=0\]
故 \(c_1=0\); 由 \(x^n\) 系数
\[c_n[(\nu+n)^2-\nu^2]+c_{n-2}=0, \quad n\ge 2\]
得到递推关系
\[c_n=-\frac{1}{n(n+2\nu)}c_{n-2}\]
从而可以递推得到
\[\begin{aligned}c_{2n}&=(-1)^n\frac{1}{2n(2n-2)\cdots2}\\&\times\frac{1}{(2n+2\nu)(2n-2+2\nu)\cdots(2\nu+2)}c_0\\&=(-1)^n\frac{1}{2^{2n}n!(n+\nu)(n+\nu-1)\cdots(v+1)}c_0\\&=\frac{(-1)^n}{n!}\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(n+\nu+1)}\frac{1}{2^{2n}}c_0\\c_{2n+1}&=0\end{aligned}\]
不妨取 \(c_{0}=\frac{1}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}\), 得到 \(\nu\) 阶 Bessel 函数:
\[y_1(x)=J_\nu(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\]
考虑第二解, 代入 \(\rho=-\nu\), 得到第一阶方程和第 \(n\) 阶递推关系
\[c_1[-2\nu+1]=0\]

\[c_nn(-2\nu+n)+c_{n-2}=0\]
1. \(2\nu\ne\mathrm{int}\): 重复上述过程得到 \(-\nu\) 阶 Bessel 函数
  \[y_2(x)=J_{-\nu}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-\nu}\]
2. \(\nu=0\): 第二解含对数项.
  
  \[y_1=1-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{64}x^4+\cdots\]\[W(x)=\exp[-\int^x\frac{1}{\xi}\mathrm{d\xi}]=\frac{1}{x}\]\[y_2=y_1\int^x\frac{1}{\xi(1-\frac{1}{4}\xi^2+\frac{1}{64}\xi^4+\cdots)^2}\mathrm{d}\xi=y_1\ln x+\cdots\]
3. \(2\nu=1\): \(c_1\) 可任取为 0, 仍有 \(c_{2n+1}=0\), 可以得到 \(-\frac 12\) 阶 Bessel 函数
  \[y_2(x)=J_{-\frac{1}{2}}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\frac{1}{2})}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-\frac{1}{2}}\]
4. \(\nu=m(m=1,2,3\cdots)\): 对 \(c_{2m}\) 的递推项,
  \[c_{2m}\cdot0+c_{2m-2}=0\]
  但显然 \(c_{2m-2}\ne 0\), 矛盾, 说明第二解含有对数项. 实际上这时的 \(-m\) 阶 Bessel 函数为
  \[J_{-m}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-m+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-m}=(-1)^mJ_m(x)\]
5. \(\nu=m+\frac 12\): 得 \(c_1=0\). 由递推关系 \(c_{2m-1}=0\). 而
  \[c_{2m+1}\cdot0+0=0\]
  故 \(c_{2m+1}\) 任意. 不妨取 \(c_{2m+1}=0\), 则仍有 \(c_{2n+1}=0\). 故而
  \[J_{-m-\frac{1}{2}}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-m+\frac{1}{2})}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-m-\frac{1}{2}}\]
  半整数情况可以不含对数项.

可解二阶 ODE 分类:

在 \(\mathbb{C}\) 上都是常点(\(y''+y=0\), 仅无穷远为非正则奇点)
在扩充复平面 \(\mathbb{C}\bigcup\{\infty\}\) 上仅含两个正则奇点 \(x_1,x_2\), 其解一定是基本函数
在扩充复平面 \(\mathbb{C}\bigcup\{\infty\}\) 上仅含三个正则奇点 \(x_1,x_2,x_3\), 常数形式固定 :
\[u''+\frac{p(x)}{\prod(x-x_i)}u'+\frac{q(x)}{\prod(x-x_i)^2}u=0\]
且要求无穷远为常点.

非正则奇点求解:

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

令 \(y(x)=f(x)u(x)\), 带入得到

\[fu''+(2f'+pf)u'+(f''+pf'+qf)u=0\]

令 \(2f'+pf=0\), 即 \(f=\exp[-\frac{1}{2}\int^xp(\xi)\mathrm{d}\xi]\), 则方程形式变为

\[u''+Qu=0,\quad Q=q-\frac{1}{2}p'-\frac{1}{4}p^2\]

之后可以令 \(u=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\), 得到

\[\mathrm{i}\phi^{\prime\prime}-{\phi^{\prime}}^{2}+Q=0\]

假定 \(\phi''\) 很小, 则首阶展开为 \(\phi'\simeq\pm\sqrt Q\), 则

\[\phi\simeq\pm\int^x\sqrt{ Q(\xi)}\mathrm{d}\xi,\quad \phi''\simeq\pm\frac{Q'}{2\sqrt Q}\quad \Longrightarrow\quad \left|\frac{Q'}{2\sqrt Q}\right|\ll|Q|\]

第二阶:

\[\phi'^2\simeq Q\pm\mathrm{i}\frac{Q'}{2\sqrt Q}\quad \Longrightarrow\quad \phi'\simeq \pm\sqrt Q+\frac{\mathrm{i}}{4}\frac{Q'}{Q}+\cdots\]

\[\phi\simeq \pm\int^x \sqrt {Q(\xi)}\mathrm{d}\xi+\frac{\mathrm{i}}{4}\ln Q(x)\]

前两阶代回得到

\[u\simeq C_1 Q^{-\frac{1}{4}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\int^x\sqrt Q\mathrm{d}\xi}+C_2 Q^{-\frac{1}{4}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\int^x\sqrt Q\mathrm{d}\xi}\]

例如对于 Bessel 方程在 \(x=\infty\) 的解, \(f=x^{-\frac{1}{2}}\), 令 \(y=fu\), 则

\[u''+[1-(\frac{n^2}{x^2}-\frac{1}{4x^2})]u=0\]

在无穷远处, 退化为 \(u''+u=0\). 相当于得到 Bessel 函数在 \(\infty\) 的渐进展开:

\[y=\frac{1}{\sqrt x}(A\cos x+B\sin x)\]

10 Separation of Variables

10.1 Separation of Variables

本节取 \(a>0,l>0\).

逐项微分并解释为经典解时, 初值与外力须具有足够光滑性, 并满足固定端的兼容条件, 如 \(\phi(0)=\phi(l)=\psi(0)=\psi(l)=0\); 更高阶兼容条件由方程在端点给出.
若只取能量数据 \(\phi\in H_0^1(0,l)\)、\(\psi\in L^2(0,l)\) 及时间局部可积的 \(L^2\) 外力, 以下展开应理解为能量解, 不能据此保证点态逐项二阶求导.

Example 两端固定弦线的自由振动

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\qquad 0\lt x\lt l,\quad t>0\]

\[u|_{t=0}=\phi(x),\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x),\qquad 0\le x\le l\]

\[u|_{x=0}=u|_{x=l}=0,\qquad t>0\]

Solution

分离变量: 设特解具有分离变量形式
\[u(x,t)=X(x)T(t)\]
代入原方程得到
\[\frac{1}{a^2}\frac{T^{\prime\prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}\]
即
\[T^{\prime\prime}(t)+\lambda a^2T(t)=0,\quad X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\]
带入一组边界条件得到
\[X(0)T(t)=0,\quad X(l)T(t)=0\quad \Longrightarrow\quad X(0)=0,\quad X(l)=0\]
求解 \(X(x)\) 本征问题的非零解
\[\left\{\begin{gathered} X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\\ X(0)=0,\quad X(l)=0 \end{gathered}\right.\]

这里并未限制 \(\lambda\) 为实数. 后续可以证明这类(Sturm-Liouville 型)本征问题中 \(\lambda\) 只能是实数.
- \(\lambda=0\), 通解为 \(X(x)=Ax+B\), 边界条件要求 \(X(x)\equiv0\), 非物理解.
- \(\lambda\ne 0\), 通解为
  \[X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x,\qquad\lambda\neq0\]
  边界条件
  \[X(0)=B=0,\quad X(l)=A\sin\sqrt{\lambda}l=0\]
  非零解要求
  \[\sqrt{\lambda}l=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}_+,\quad \Longrightarrow\quad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2\]
  从而非零解
  \[X_n(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x\]
求特解, 叠加出一般解: 对每一个 \(\lambda_n\), 可以求出
\[T_n(t)=C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\]
由于方程和边界条件都是齐次的, 方程一般解可以直接由特解线性叠加为
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\]
利用正交性定系数: 利用初始条件
\[u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty D_n\sin\frac{n\pi}{l}x=\phi(x),\quad \left.\frac{\partial}{\partial t}u(x,t)\right|_{t=0}=\sum_{n=1}^\infty C_n\cdot\frac{n\pi}{l}a\cdot\sin\frac{n\pi}{l}x=\psi(x)\]
和正交性关系
\[\int_0^lX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=\frac{l}{2}\delta_{nm}\]
分别得到
\[D_n=\frac{2}{l}\int_0^l\phi(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x,\quad C_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l\psi(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x\]

正交性证明: \(n=m\) 时的情况容易算出, 现证明 \(n\ne m\) 的情况: 由本征方程得到
\[X_m\times(X_n''+\lambda_n X_n)-X_n\times(X_m''+\lambda_m X_m)=0\]
从而
\[(\lambda_n-\lambda_m)X_nX_m=(X_nX_m^\prime-X_mX_n^\prime)^\prime\quad\Longrightarrow\quad\]\[(\lambda_n-\lambda_m)\int_0^lX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=\left.\left(X_n(x)X_m^{\prime}(x)-X_m(x)X_n^{\prime}(x)\right)\right|_0^l=0\quad\Longrightarrow\quad\]\[\int_0^lX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=0\]

将驻波解分解为行波解 先将 \(\phi(x), \psi(x)\) 奇延拓, 容易由正交性得到其分解形式
\[\Phi(x)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\sin\frac{n\pi}{l}x,\quad \alpha_n=D_n\]\[\Psi(x)=\sum_{n=1}^\infty\beta_n\sin\frac{n\pi}{l}x,\quad \beta_n=\frac{n\pi a}{l}C_n\]
从而
\[\begin{aligned} u(x,t) =&\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\beta_nl}{n\pi a}\sin\frac{n\pi}{l}at+\alpha_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\\ =&\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\left[\sin\frac{n\pi}{l}(x-at)+\sin\frac{n\pi}{l}(x+at)\right]\\ &+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\beta_nl}{n\pi a}\left[\cos\frac{n\pi}{l}(x-at)-\cos\frac{n\pi}{l}(x+at)\right]\\ =&\frac{1}{2}\left[\Phi(x-at)+\Phi(x+at)\right]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\Psi(x)\mathrm{d}x \end{aligned}\]

10.2 Steady-state Problems in Rectangular Domains

Example 矩形导热区域有边界条件

\[u|_{x=0}=0,\quad u|_{y=0}=f(x),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=a}=\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b}=0(\mathrm{Adiabatic})\]

求解 Laplace 方程

\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\]

Solution 令 \(u(x,y)=X(x)Y(y)\), 带入方程分离变量得到

\[\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)}\]

即

\[X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0,\quad Y^{\prime\prime}(y)-\lambda Y(y)=0\]

带入一组边界条件得到

\[X(0)Y(y)=0,\quad X^{\prime}(a)Y(y)=0\quad \Longrightarrow\quad X(0)=0\quad X^{\prime}(a)=0\]

显然 \(\lambda=0\) 时无非零解, \(\lambda=0\) 非本征值.
\(\lambda\ne0\) 时, 通解为
\[X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x\]
带入边值
\[X(0)=B=0,\quad X^{\prime}(a)=A\sqrt{\lambda}\cos\sqrt{\lambda}a=0\]
非零解要求
\[\sqrt{\lambda}a=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\quad \Longrightarrow \quad \lambda_n=\left(\frac{2n+1}{2a}\pi\right)^2\]
从而本征函数
\[X_n(x)=\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\]

\(X_n\) 代入 Laplace 方程, 得到

\[Y_n(y)=C_n\sinh\frac{2n+1}{2a}\pi y+D_n\cosh\frac{2n+1}{2a}\pi y\]

叠加得到满足 Laplace 方程和齐次边界条件的一般解

\[u_n(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(C_n\sinh\frac{2n+1}{2a}\pi y+D_n\cosh\frac{2n+1}{2a}\pi y\right)\times\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\]

求解叠加系数, 应满足条件

\[\begin{aligned} u|_{y=0}&=\sum_{n=0}^\infty D_n\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x=f(x)\\ \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b} &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2n+1}{2a}\pi\left(C_n\cosh\frac{2n+1}{2a}\pi b+D_n\sinh\frac{2n+1}{2a}\pi b\right)\times\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x =0 \end{aligned}\]

利用正交性

\[\int_0^aX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=\frac{a}{2}\delta_{nm}\]

得到

\[D_n=\frac{2}{a}\int_0^af(x)\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\mathrm{d}x,\quad C_n=-D_n\tanh\frac{2n+1}{2a}\pi b\]

10.3 Multi-variable Boundary Value Problems

Example 矩形介质, 初始温度分布 \(u|_{t=0}=\phi(x,y)\), 四周绝热, 求解导热问题

\[\partial_tu-\kappa\nabla^2u=0\]

\[\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=a}=\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b}=0\]

Solution 令 \(u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)\), 代入方程

\[X(x)Y(y)T^\prime(t)-\kappa\left[X^{\prime\prime}(x)Y(y)T(t)+X(x)Y^{\prime\prime}(y)T(t)\right]=0\quad \Longrightarrow\quad\]

\[\frac{1}{\kappa}\frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=\left[\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}+\frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)}\right]=-\lambda,\quad \frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)}-\lambda=-\mu\]

从而得到(其中 \(\lambda=\mu+\nu\))

\[\begin{gathered} T^{\prime}(t)+\lambda\kappa T(t)=0\\ X^{\prime\prime}(x)+\mu X(x)=0\\ Y^{\prime\prime}(y)+\nu Y(y)=0 \end{gathered}\]

通过边界条件易得

\[X^{\prime}(0)=0\quad X^{\prime}(a)=0\quad Y^{\prime}(0)=0\quad Y^{\prime}(b)=0\]

从而可以求解两个本征值问题. 对于 \(X\),

\(\mu=0\), \(X=Ax+B\), 边界条件要求 \(A=0\), \(B\) 任意, 故 \(\mu_0=0\) 为本征值, 不妨取 \(X_0=1\) 为本征函数.
\(\mu\ne 0\), 通解为
\[X=A\sin\sqrt\mu x+B\cos\sqrt\mu x\]
带入边界条件易得
\[A=0,\quad \sqrt{\mu}\mathrm{~}a=n\pi\]
不妨令 \(B=1\), 则本征值和本征函数(\(n=0\) 的时候得到 \(\mu=0\) 的结果)
\[\mu_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\quad X_n=\cos\frac{n\pi}{a}x\]

对 \(Y\) 同样有

\[\nu_m=\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2,\quad Y_m(y)=\cos\frac{m\pi}{b}y\]

则

\[\lambda_{nm}=\mu_n+\nu_m=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2,\quad T_{nm}=A_{nm}\mathrm{e}^{-\lambda_{nm}\kappa t}\]

从而可以得到特解

\[u_{nm}(x,y,t)=X_n(x)Y_m(y)T_{nm}(t)=A_{nm}\cos\frac{n\pi}{a}x\cos\frac{m\pi}{b}y\cdot\mathrm{e}^{-\lambda_{nm}\kappa t}\]

由 \(t = 0\) 的边界条件和本征函数的正交性

\[\int_0^aX_n(x)X_{n^{\prime}}(x)\mathrm{d}x=\frac{a}{2}(1+\delta_{n0})\delta_{nn^{\prime}},\quad \int_0^bY_m(y)Y_{m^{\prime}}(y)\mathrm{d}y=\frac{b}{2}(1+\delta_{m0})\delta_{mm^{\prime}}\]

可以得到

\[A_{nm}=\frac{4}{ab}\frac{1}{(1+\delta_{n0})(1+\delta_{m0})}\times\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\phi(x,y)\operatorname{cos}\frac{n\pi}{a}x\operatorname{cos}\frac{m\pi}{b}y\mathrm{d}y\mathrm{d}x\]

10.4 Inhomogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions

方程非齐次 方程齐次化, 保证齐次边界条件不变.

Example 1 在外力驱动下的两端固定弦, 初始位形和速度分别为 \(\phi(x), \psi(x)\). 有定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t), \quad &0\lt x\lt l,t>0\\ &u|_{x=0}=0,\quad u|_{x=l}=0, \quad &t\ge 0\\ &u|_{t=0}=\phi(x),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x), \quad &0\leq x\leq l \end{aligned}\right.\]

Solution 对于非齐次方程, 不妨认为已经求得一个特解 \(v(x,t)\), 设 \(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)\), \(w\) 满足齐次方程

\[\frac{\partial^2w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2w}{\partial x^2}=0\]

为分离变量法可用, \(w\) 需满足齐次边界条件 \(w(x,t)|_{x=0}=0,w(x,t)|_{x=l}=0\)(故 \(v\) 应该也满足齐次边界条件), 故

\[w|_{t=0}=\phi(x)-v|_{t=0},\quad\left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x)-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right|_{t=0}\]

由此可以定出 \(w(x,t)\).

对于一般的 \(f(x,t)\), 难以猜出解的形式, 需要使用本征函数展开方法: 由于 \(u(x,t)\) 满足齐次边界条件, 可以将 \(u(x,t)\) 和 \(f(x,t)\) 按齐次问题的本征函数展开

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(t)X_n(x),\quad f(x,t)=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)X_n(x)\]

只需要求出系数 \(u_n(t)\). 带入非齐次方程得到

\[\sum_{n=1}^\infty u_n^{\prime\prime}(t)X_n(x)-a^2\sum_{n=1}^\infty u_n(t)X_n^{\prime\prime}=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)X_n(x)\]

利用 \(X_n^{\prime\prime}(x)+\lambda_nX_n(x)=0\) 消去 \(X_n''\) 得

\[\sum_{n=1}^\infty u_n^{\prime\prime}(t)X_n(x)+a^2\sum_{n=1}^\infty\lambda_nu_n(t)X_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)X_n(x)\]

考虑到本征函数的正交性, 由上式得

\[u_n^{\prime\prime}(t)+\lambda_na^2u_n(t)=f_n(t)\]

由于 \(X_n(x)\) 满足其次边界条件, 其线性叠加 \(u(x,t)\) 也应满足其次边界条件. 再对边界条件展开得到:

\[\sum_{n=1}^\infty u_n(0)X_n(x)=\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty\phi_nX_n(x)\]

\[\sum_{n=1}^\infty u_n^{\prime}(0)X_n(x)=\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty\psi_nX_n(x)\]

从而 \(u_n(0)=\phi_n\)、\(u_n'(0)=\psi_n\). 取 \(X_n=\sin(n\pi x/l)\), \(\omega_n=n\pi a/l\), 各系数为

\[\phi_n=\frac2l\int_0^l\phi(x)X_n(x)\mathrm{d}x,\quad \psi_n=\frac2l\int_0^l\psi(x)X_n(x)\mathrm{d}x,\quad f_n(t)=\frac2l\int_0^lf(x,t)X_n(x)\mathrm{d}x.\]

解受迫振子初值问题, 得

\[u_n(t)=\phi_n\cos\omega_nt+\frac{\psi_n}{\omega_n}\sin\omega_nt+ \int_0^t\frac{\sin[\omega_n(t-\tau)]}{\omega_n}f_n(\tau)\mathrm{d}\tau, \qquad u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)X_n(x).\]

这给出非齐次固定弦问题的完整解.

Example 2 具体地, 令 \(f(x,t)=A_0\sin\omega t,\phi(x)=0, \psi(x)=0\). Solution 1 先取 \(\omega>0\) 且 \(\cos(\omega l/(2a))\ne0\). 试取 \(v(x,t)=g(x)\sin\omega t\), 代入非齐次方程得

\[-\omega^2g(x)-a^2g^{\prime\prime}(x)=A_0\]

齐次边界条件要求 \(g(0)=0,g(l)=0\), 容易求出通解

\[g(x)=-\frac{A_0}{\omega^2}+\frac{A_0}{\omega^2}\frac{\cos(\frac{\omega x}{a}-\frac{\omega l}{2a})}{\cos(\frac{\omega l}{2a})}\]

\(w(x,t)\) 的一般解分离变量给出为

\[w(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right]\sin\frac{n\pi}{l}x\]

\[D_n=0,\quad C_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l[-\omega g(x)]\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x=-\frac{2A_0\omega l^3}{\pi^2a}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\]

从而

\[\begin{aligned} &u(x,t)= -\frac{A_0}{\omega^2}\left[1-\frac{\cos(\frac{\omega x}{a}-\frac{\omega l}{2a})}{\cos(\frac{\omega l}{2a})}\right]\sin\omega t\\ &-\frac{4A_0\omega l^3}{\pi^2a}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\frac{1}{[(2n+1)\pi a]^2-(\omega l)^2}\sin\frac{2n+1}{l}\pi x\sin\frac{2n+1}{l}\pi at \end{aligned}\]

以上过程未能正确处理 \(\omega=\omega_{2k+1}=\frac{(2k+1)\pi a}{l}\) 的共振情形. 可以简单地将 \(g(x)\) 也按 \(\{\sin\frac{n\pi}{l}x\}\) 展开, 并求出 \(\omega\to\omega_{2k+1}\) 时 \(u(x,t)\) 的极限值:
\[u(x,t)=\frac{4A_0l^2}{\pi^2a}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\frac{1}{(\omega_{2n+1}l)^2-(\omega l)^2}\sin\frac{2n+1}{l}\pi x \cdot\left[\omega_{2n+1}l\sin\omega t-\omega l\sin\omega_{2n+1}t\right]\]
从而 \(\omega\to\omega_{2k+1}\) 时, 得到
\[\begin{aligned} u(x,t) &=\frac{4A_0l^2}{\pi^2a}\sum_{n=0,n\ne k}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\frac{1}{(\omega_{2n+1}l)^2-(\omega l)^2}\sin\frac{2n+1}{l}\pi x \cdot\left[\omega_{2n+1}l\sin\omega t-\omega l\sin\omega_{2n+1}t\right]\\ &-\frac{2A_0l}{\pi^2a}\frac{1}{(2k+1)^2}\sin\frac{2k+1}{l}\pi x\left[t\cos\omega_{2k+1}t-\frac{1}{\omega_{2k+1}}\sin\frac{2k+1}{l}\pi at\right] \end{aligned}\]

Solution 2 不直接猜出特解, 使用本征函数展开方法: 考虑齐次形式的方程

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, \quad u|_{x=0}=0,\quad u|_{x=l}=0\]

分离变量 \(u(x,t)=X(x)T(t)\) 得到本征值问题

\[X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0,\quad , X(0)=0,\quad X(l)=0\]

得到本征值和本征函数

\[X_n=\sin\frac{n\pi}{l}x,\quad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2, \quad n=1,2,3,...\]

将非齐次项展开得到

\[A_0\sin\omega t=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)\sin\frac{n\pi}{l}x\Longrightarrow\]

\[f_n(t)=\frac{2}{l}\int_0^lA_0\sin\omega t\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x=\frac{2A_0}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\omega t\]

设解为 \(u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(t)\sin\frac{n\pi}{l}x\), 一同代入非齐次方程和边界条件得到:

\[u_n^{\prime\prime}(t)+\left(\frac{n\pi}{l}a\right)^2u_n(t)=\frac{2A_0}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\omega t,\quad u_n(0)=0\quad u_n^{\prime}(0)=0\]

代入特解 \(\alpha_n\sin \omega t\) 得到

\[\alpha_n=\frac{2A_0l^2}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\]

又由通解 \(u_n(t)=\alpha_n\sin\omega t+A_n\sin\frac{n\pi}{l}at+B_n\cos\frac{n\pi}{l}at\) 代入边界条件, 得到 \(A_n, B_n\), 从而

\[\begin{aligned} u(x,t)= &\frac{4A_0l^2}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\frac{1}{[(2n+1)\pi a]^2-(\omega l)^2}\\ &\times\left[\sin\omega t-\frac{\omega l}{(2n+1)\pi a}\sin\frac{(2n+1)\pi}{l}at\right]\\&\times\sin\frac{2n+1}{l}\pi x\end{aligned}\]

两种方法在非共振情形给出同一个解, 不能将第二种展开与所谓“正解”区分. 偶数模的外力系数为零, 其解始终为零; 即使 \(\omega=\omega_{2k}\), 也无偶数模共振, 此时系数式中的 \(0/0\) 应由未除以频率差的模方程处理. 奇数共振模取上面的极限式.

边界条件非齐次 必须先将非齐次的边界条件齐次化, 否则无法分离变量

Example 3

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad &0\lt x\lt l,t>0\\ &u|_{x=0}=\mu(t),\quad u|_{x=l}=\nu(t),\quad &t\geq0\\ &u|_{t=0}=\phi(x),\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x),\quad &0\leq x\leq l \end{aligned}\]

Solution 令 \(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)\), 选择齐次化函数使其满足

\[v(x,t)|_{x=0}=\mu(t)\quad v(x,t)|_{x=l}=\nu(t)\]

从而使 \(w(x,t)\) 满足非齐次方程和齐次边界条件

\[\frac{\partial^2w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2w}{\partial x^2}=f(x,t)-\left(\frac{\partial^2v}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\right)\]

\[w(x,t)|_{x=0}=0,\quad w(x,t)|_{x=l}=0\]

\[w|_{t=0}=\phi(x)-v|_{t=0},\quad \left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x)-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right|_{t=0}\]

例如取

\[v(x,t)=\left(1-\frac xl\right)\mu(t)+\frac xl\nu(t),\qquad \mu,\nu\in C^2.\]

则 \(w\) 的外力为 \(f-(1-x/l)\mu''-(x/l)\nu''\), 初值为 \(\phi-v(x,0)\)、\(\psi-\partial_tv(x,0)\). 将这三项代入 Example 1 的系数及 Duhamel 公式, 再取 \(u=v+w\), 即得到本例的解; 初边值的端点兼容条件也应满足.

11 Orthogonal Curvilinear Coordinates

11.1 Orthogonal Curvilinear Coordinates

Definition 正交曲面坐标系在某一曲面坐标系中, 记点的坐标为 \((\xi_1, \xi_2, \xi_3)\), 坐标面 \(\xi_i=\mathrm{const}\) 为曲面, 故称坐标系为曲面坐标系. 坐标面交线为坐标线. 坐标线方向的单位矢量为

\[\mathbf{e}_i=\frac{\boldsymbol{\alpha}_i}{|\boldsymbol{\alpha}_i|},\quad \boldsymbol\alpha_i=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\xi_i}\]

若三条坐标线在全空间都相互垂直

\[\boldsymbol\alpha_i\cdot\boldsymbol\alpha_j=0\quad i\neq j\]

则这一曲面坐标系被称为正交曲面坐标系.

Definition 度规: 考虑空间间隔

\[\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\boldsymbol{\alpha}_i\cdot\boldsymbol{\alpha}_j\mathrm{d}\xi_i\mathrm{d}\xi_j\]

可以定义度规 \(g_{ij}=\boldsymbol\alpha_i\cdot\boldsymbol\alpha_j=\sum_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial\xi_i}\frac{\partial x_k}{\partial\xi_j}\), 显然有 \(g_{ij}=g_{ji}\).

对正交曲面坐标系, 定义标度因子 \(h_i=\sqrt{g_{ii}}\), 则
\[\mathrm{d}\mathbf{r}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\xi_i}\mathrm{d}\xi_i=\sum_{i=1}^3\mathbf{e}_ih_i\mathrm{d}\xi_i=\sum_{i=1}^3\mathbf{e}_i\mathrm{d}s_i,\quad \mathrm{d}s^2=\sum_{i=1}^3(\mathrm{d}s_i)^2\]
相应面元和体元表示为
\[\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x_i\mathrm{d}x_j=\mathrm{d}s_i\mathrm{d}s_j=h_ih_j\mathrm{d}\xi_i\mathrm{d}\xi_j\]

\[\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\mathrm{d}s_{1}\mathrm{d}s_{2}\mathrm{d}s_{3}=h_{1}h_{2}h_{3}\mathrm{d}\xi_{1}\mathrm{d}\xi_{2}\mathrm{d}\xi_{3}\]
柱坐标

Definition 正交曲面坐标中的微分算符. 以下取右手定向的正交单位基, \(\mathbf{A}=\sum_i A_i\mathbf{e}_i\), 且 \(\partial_i\equiv\partial/\partial\xi_i\).

\[\nabla f=\sum_i\frac{1}{h_{i}}\partial_{i}f\mathbf{e}^{i}\]

\[\nabla\cdot\mathbf A=\dfrac 1{h_1h_2h_3}[\partial_{1}(h_{2}h_{3}A_{1})+\partial_{2}(h_{3}h_{1}A_{2})+\partial_{3}(h_{2}h_{1}A_{3})]\]

\[\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left|\begin{array}{ccc}h_{1}\mathbf{e}_{1}&h_{2}\mathbf{e}_{2}&h_{3}\mathbf{e}_{3}\\\partial_{1}&\partial_{2}&\partial_{3}\\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}\end{array}\right|\]

\[\nabla^2f=\nabla\cdot(\nabla f)\]

Proof 使用

\[\mathrm{d} f=\nabla f\cdot \mathrm{d}\mathbf r\]

\[\nabla\cdot\mathbf{A}=\lim_{V\to0}\frac{1}{V}\underset{S}{\iint}A_n\mathrm{d}S\]

\[(\nabla\times\mathbf{A})_{i}=\lim_{S_{i}\to0}\frac{1}{S_{i}}\oint A_{s}\mathrm{d}s,\quad i=1,2,3\]

11.2 Steady-state Problems in Circular Domains

Example Laplace 方程定解问题

\[\nabla^2u=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}=0,\quad u|_{r=a}=f(\phi);\quad 0\leq r\leq a, \quad0\leq\phi\leq2\pi\]

极坐标下, 应引入周期性条件. 这里再引入方程奇点的有界性条件

\[u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi},\quad \left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=2\pi},\quad u|_{r=0}\text{有界}\]

Solution 方程和角向边界条件均齐次. 设分离变量解 \(u(r,\phi)=R(r)\Phi(\phi)\), 代入得到

\[\frac{r}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\phi^2}=\lambda\Longrightarrow\]

\[\left\{\begin{aligned} &r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)-\lambda R=0\\ &\frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\phi^2}+\lambda\Phi=0, &\Phi(0)=\Phi(2\pi),\Phi^{\prime}(0)=\Phi^{\prime}(2\pi) \end{aligned}\right.\]

后者为关于 \(\Phi\) 的本征问题, 其解为

\[\Phi(\phi) = \begin{cases} A\phi+B,&\lambda=0\\ A\sin\sqrt{\lambda}\phi+B\cos\sqrt{\lambda}\phi,&\lambda\ne 0 \end{cases}\]

也可使用复的指数表示. 代入周期性条件得到本征值和本征函数:

\[\begin{aligned} \lambda = 0: &B =2\pi A+B,\quad A=A\\ \Longrightarrow &A=0\\ \Longrightarrow &\lambda_{0}=0,\quad \Phi_0(\phi)=1\\\\ \lambda\ne 0: &B=A\sin(\sqrt{\lambda}2\pi)+B\cos(\sqrt{\lambda}2\pi),\quad \sqrt{\lambda}A=\sqrt{\lambda}A\cos(\sqrt{\lambda}2\pi)-\sqrt{\lambda}B\sin(\sqrt{\lambda}2\pi)\\ \Longrightarrow& \begin{vmatrix} \sin(\sqrt{\lambda}2\pi)&\cos(\sqrt{\lambda}2\pi)-1\\ \cos(\sqrt{\lambda}2\pi)-1&-\sin(\sqrt{\lambda}2\pi) \end{vmatrix}=0,\quad \mathrm{s.t.}\ A,B\ne0\\ \Longrightarrow&\lambda_m=m^2,\quad m\in\mathbb{Z}_+,\quad \Phi_{m1}(\phi)=\sin m\phi,\quad \Phi_{m2}(\phi)=\cos m\phi \end{aligned}\]

后者的本征问题出现简并(同一个本征值对应两个线性无关的本征函数). 从而对径向, 得到 Euler 方程:

\[r^2R_m^{\prime\prime}+rR_m^{\prime}-m^2R_m=0\]

可以简单得到其解为

\[R_m =\begin{cases} C_0+D_0\ln r,&m=0\\ C_mr^m+D_mr^{-m},&m\ne 0 \end{cases}\]

合并得到方程的一般解为

\[\begin{aligned}u(r,\phi)&=C_0+D_0\ln r\\ &+\sum_{m=1}^\infty\left(C_{m1}r^m+D_{m1}r^{-m}\right)\sin m\phi\\ &+\sum_{m=1}^\infty\left(C_{m2}r^m+D_{m2}r^{-m}\right)\cos m\phi\end{aligned}\]

考虑到原点处的有界性要求

\[u(r,\phi)=C_0+\sum_{m=1}^\infty r^m\left(C_{m1}\sin m\phi+C_{m2}\cos m\phi\right)\]

利用本征函数的正交性, 可以确定系数

\[\int_0^{2\pi}\Phi_m\Phi_{m'}^*\mathrm{d}\phi=\pi(1+\delta_{m0})\delta_{mm^{\prime}}\]

\[\Longrightarrow \left\{\begin{aligned} C_0&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi)\mathrm{d}\phi\\ C_{m1}&=\frac{1}{a^m\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi)\sin m\phi\mathrm{d}\phi\\ C_{m2}&=\frac{1}{a^m\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi)\cos m\phi\mathrm{d}\phi \end{aligned}\right.\]

还可以进一步整理得到
\[u(r,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi^{\prime})\times\left[1+2\sum_{m=1}^\infty\left(\frac{r}{a}\right)^m\cos m(\phi-\phi^{\prime})\right]\mathrm{d}\phi^{\prime}\]
使用复指数表示 cos, 进而可以通过等比求和得到级数和
\[u(r,\phi)=\frac{a^2-r^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(\phi^{\prime})}{r^2+a^2-2ar\cos(\phi-\phi^{\prime})}\mathrm{d}\phi^{\prime}\]
与 Poisson 积分的结果一致.

方程齐次, 边界条件非齐次, 可以使用分离变量法. 非齐次方程通常不能用单个乘积解直接分离变量. 可以先求特解再处理齐次方程, 也可以直接按齐次边界条件的本征函数展开, 得到受迫模方程; 并不必须先将方程齐次化.

12 Spherical Harmonics

考虑三维 Laplace 方程定解问题

\[\begin{cases}\nabla^2u=0\\u|_{x^2+y^2+z^2=R^2}=f(x,y,z)&\end{cases}\]

换到球坐标系

\[\boxed{ \nabla^2=\frac1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac1{r^2\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial }{\partial\theta}\right)+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} }\]\[\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}=0&\\ &u|_{r=R}=f(\theta,\phi)\\ &u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi},\quad\left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=2\pi}\\ &u|_{\theta=\pi},u|_{\theta=0},u|_{r=0}有界\\ \end{aligned}\right.\]

考虑一个特殊情况: \(f=f(\theta)\), 则

\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)=0\]

代入分离变量解 \(u = R(r)\Theta(\theta)\):

\[\frac{1}{R(r)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)=\lambda\]

从而

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)-\lambda R(r)=0\]

\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)+\lambda\Theta(\theta)=0\]

要求 \(\theta=0/\pi\) 不是解的奇点. 后者被称为 Legendre 方程.

12.1 Solutions of the Legendre Equation

变换 \(x=\cos \theta, y=\Theta\), 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1-x^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+\lambda y=0\]

令 \(\lambda = \nu(\nu+1)\), 展开得到

\[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\nu(\nu+1)y=0\]

由 \(\lambda=\nu(\nu+1)=(-\nu-1)(-\nu)\), 不妨设 \(\mathrm{Re}\,\nu\ge-\frac{1}{2}\)(对于实部小于 \(-\frac{1}{2}\) 的 \(\nu\), 总可重新选取参数为 \(-\nu-1\)).

在常点 \(x=0\) 附近的级数解: 简单代入 Taylor 级数解 \(y(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\) 可以得到递推关系
\[c_{n+2}=\frac{n(n+1)-\nu(\nu+1)}{(n+1)(n+2)}c_n\]
进而有两个线性无关解
\[\begin{aligned} y_1 &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}(-\nu/2)_n((\nu+1)/2)_n}{(2n)!}x^{2n}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}\frac{\Gamma(n-\frac{\nu}{2})\Gamma(n+\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(-\frac{\nu}{2})\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}x^{2n}\\ y_2 &= \sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}((1-\nu)/2)_n(1+\nu/2)_n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}\frac{\Gamma(n-\frac{\nu-1}{2})\Gamma(n+1+\frac{\nu}{2})}{\Gamma(-\frac{\nu-1}{2})\Gamma(1+\frac{\nu}{2})}x^{2n+1} \end{aligned}\]
在 \(|x|\lt1\) 收敛.
在正则奇点 \(x=\pm 1\) 附近的级数解: 令 \(t=x-1\), 设解 \(y(z)=t^\rho\sum_{n=0}^\infty c_nt^n\)
\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\frac{2(t+1)}{t(t+2)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\frac{\nu(\nu+1)}{t(t+2)}y=0\]

\[a_0 = \lim_{t\to0}tp(t) = 1,\quad b_0 = \lim_{t\to0}t^2q(t) = 0\]
故指标方程 \(\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0\) 得到重根 \(\rho_1=\rho_2 = 0\).
- 第一解为 Taylor 级数, 代入得到递推关系
  \[c_n=\frac{(\nu-n+1)(\nu+n)}{2n^2}c_{n-1}\]
  不妨取 \(c_0=1\) 得到第一类 Legendre 函数
  \[P_\nu(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\nu-n+1)_{2n}}{2^n(n!)^2}(x-1)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}(x-1)^n\]
- 第二个线性无关解含对数项, 这里直接给出结果, 即第二类 Legendre 函数
  \[\begin{aligned} Q_{\nu}(z)&=\frac{1}{2}P_\nu(z)\left[\ln\frac{z+1}{z-1}-2\gamma-2\psi(\nu+1)\right]\\&+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\\&\times(z-1)^n\end{aligned}\]
  
  \(z=\pm 1\) 是 \(Q_\nu(z)\) 的枝点, \(z=\infty\) 在 \(\nu\notin\mathbb{N}\) 时也是枝点. 规定:
  \[\arg(z\pm1)=0\quad[\mathrm{Re}z>1,\mathrm{Im}z=0]\]
  通常规定
  \[Q_\nu(x)=\frac{1}{2}[Q_\nu(x+\mathrm{i}0)+Q_\nu(x-\mathrm{i}0)],\quad -1\lt x\lt1\]
  从而
  \[Q_\nu(x\pm\mathrm{i}0)=Q_\nu(x)\mp\frac{\pi\mathrm{i}}{2}P_\nu(x)\]
方程通解为
\[y(x)=AP_\nu(x)+BQ_\nu(x)\]
考虑边界条件, 构成本征值问题. 为保证 \(y(1)\) 有界, 要求 \(B=0\); 再要求 \(P_\nu(-1)\) 有界. \(P_\nu(-1)\) 有界要求 \(\nu=l=0,1,2,\ldots\)(高阶项截断), 得到本征函数和本征值
\[P_l(x)=\sum_{n=0}^l\frac{1}{2^n(n!)^2}\frac{(l+n)!}{(l-n)!}(x-1)^n,\quad \lambda_l=l(l+1)\]

对于 \(\nu\notin\{0,1,2,\ldots\}\) 的情况,
\[P_\nu(-x)=-\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(n-\nu)}{(n!)^2}\times\left(\frac{x+1}{2}\right)^n\]
由 \(\Gamma(z)\) 的渐进表达式得
\[\frac{\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(n-\nu)}{(n!)^2}\sim\frac{1}{n}\]
故求和在 \(x\to 1\) 时发散.

12.2 Properties of Legendre Polynomials

典型低阶项

\[P_0(x)=1,\quad P_1(x)=x,\quad P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\quad P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),\quad\cdots\]

微分表达式(Rodrigues 公式)

\[P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d}x^l}(x^2-1)^l\]

从而可以得到 Legendre 多项式的幂级数展开表达式

\[\boxed{ P_l(x)=\sum_{r=0}^{[l/2]}\frac{(-1)^r}{2^lr!}\frac{(2l-2r)!}{(l-r)!(l-2r)!}x^{l-2r} }\]

奇偶性 由微分表达式容易看出

\[P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\]

特殊点性质

\[P_l(1)=1;\quad P_l(0)= \left\{\begin{aligned} &(-1)^n\frac{(2n)!}{(2n)!!^2},&l=2n\\ &0,&l=2n+1 \end{aligned}\right. \ ,\quad n\in\mathbb{N}\]

后者通过展开 \((x^2-1)^l\) 即可通过微分表达式得到首阶, 或者通过幂级数展开表达式的 \(r = n\) 项也可以得出.

正交性

\[\boxed{\int_{-1}^1P_l(x)P_{l^\prime}(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2l+1}\delta_{ll^{\prime}}}\]

完备性

\[\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{2}P_l(x)P_l(x^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\]

对于任意一个在 \([1-,1]\) 中分段连续的 \(f(x)\), 在有限个不连续点以外, 可以在分布意义下表示为

\[f(x)=\int_{-1}^1f(x^{\prime})\delta(x-x^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\]

代入完备性, 在平方平均意义下得到 Fourier-Legendre 展开; 对 \(f\in L^2([-1,1])\), 由本征函数完备性保证其部分和的 \(L^2\) 极限为 \(f\).

\[f(x)=\sum_{l=0}^\infty\frac{2l+1}{2}P_l(x)\int_{-1}^1f(x^{\prime})P_l(x^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}=\sum_{l=0}^\infty c_lP_l(x)\]

系数(也可由正交性得到)

\[c_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1f(x)P_l(x)\mathrm{d}x\]

生成函数

\[\boxed{ \frac1{\sqrt{1-2tx+t^2}}= \left\{\begin{aligned} &\sum_{l=0}^\infty P_l(x)t^l, &0\le t\lt1\\ &\sum_{l=0}^\infty P_l(x)t^{-(l+1)}, &t>1 \end{aligned}\right. }\]

一般只称前一式为生成函数

奇怪的启发式证明: 取无穷远点为电势零点,(1, 0)处电荷产生的 Coulomb 势为(这是由实验上得出的)
\[U(r,\theta)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac1{\sqrt{1-2rx+r^2}} ,\quad x=\cos\theta\]
分离变量法解对 \(r\ne 1\) 有
\[U(r,\theta)= \left\{\begin{aligned} &\sum\limits_{l=0}^\infty A_lr^lP_l(x),&r\le1\\ &\sum\limits_{l=0}^\infty B_lr^{-(l+1)}P_l(x),&r>1 \end{aligned}\right.\]
对 \(\theta = 0\) 时 \(U(r,\theta)\) 在 \(r\lt1\) 和 \(r>1\) 处的行为分别展开得到 \(A_l=B_l=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\). 两者联立得到结果.

递推关系

\[\boxed{(2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)}\]

\[P_l(x)=P_{l+1}^{\prime}(x)-2xP_l^{\prime}(x)+P_{l-1}^{\prime}(x)\]

\[P_{l+1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)+(l+1)P_l(x)\]

\[P_{l-1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)-lP_l(x)\]

Proof 生成函数两端对 t 求导数并对 \(P_l\) 展开, 对比 \(t^l\) 系数得到

\[(2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)\qquad (1)\]

生成函数两端对 \(x\) 求导数并对 \(P_l,P_l^{\prime}\) 展开, 对比 \(t^{l+1}\) 系数得到

\[P_l(x)=P_{l+1}^{\prime}(x)-2xP_l^{\prime}(x)+P_{l-1}^{\prime}(x)\qquad (2)\]

(1)求导

\[(2l+1)P_l(x)+(2l+1)xP_l^{\prime}(x)=(l+1)P_{l+1}^{\prime}(x)+lP_{l-1}^{\prime}(x)\]

利用(2)分别消去 \(P_{l-1}^\prime, P_{l+1}^\prime\) 得到

\[P_{l+1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)+(l+1)P_l(x)\qquad (3)\]

\[P_{l-1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)-lP_l(x)\qquad (4)\]

Christoffel 型和式

需要的关系式形式

\[a_l(x)u_l(x)+b_l(x)u'_l(x)=c_{l+1}(x)u_{l+1}(x)+c_l(x)u_{l-1}(x)\]

右侧也可以是 \(u'_{l}\), 得到类似的结果. 两侧同时乘 \(u_l(y)\):

\[a_l(x)u_l(x)u_l(y)+b_l(x)u'_l(x)u_l(y)=c_{l+1}(x)u_{l+1}(x)u_l(y)+c_l(x)u_{l-1}(x)u_l(y)\]

\(x,y\) 互换得到另一式, 两式相减得到:

\[[a_l(x)-a_l(y)]u_l(x)u_l(y)+[b_l(x)u_l^{\prime}(x)u_l(y)-b_l(y)u_l^{\prime}(y)u_l(x)]=c_{l+1}(x,y)g_{l+1}(x,y)-c_l(x,y)g_l(x,y)\]

求和得到

\[\sum_l[a_l(x)-a_l(y)]u_l(x)u_l(y)+\sum_l[b_l(x)u_l^{\prime}(x)u_l(y)-b_l(y)u_l^{\prime}(y)u_l(x)]=c_{n+1}(x,y)g_{n+1}(x,y)-c_0(x,y)g_0(x,y)\]

e.g. 利用 \((2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)\), 得到

\[\sum_{l=0}^{n}(2l+1)P_l(x)P_l(y) = \frac{n+1}{x-y}[P_{n+1}(x)P_n(y)-P_{n+1}(y)P_n(x)],\qquad x\ne y.\]

在 \(y=x\) 时取连续极限, 得

\[\sum_{l=0}^{n}(2l+1)P_l(x)^2=(n+1)[P_n(x)P'_{n+1}(x)-P_{n+1}(x)P'_n(x)].\]

12.3 Solutions of the Associated Legendre Equation

对于一般性的 \(u = u(r, \theta,\phi)\), 设分离变量解 \(u(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\), 代入得到

\[\frac{1}{R(r)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right) =\lambda =-\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\phi)}{\mathrm{d}\phi^2}\]

对于角向, 可以得到

\[\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)+\lambda\sin^2\theta=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\phi)}{\mathrm{d}\phi^2}=\mu\]

即

\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)+\left(\lambda-\frac{\mu}{\sin^2\theta}\right)\Theta(\theta)=0\]

\[\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\phi)}{\mathrm{d}\phi^2}+\mu\Phi(\phi)=0\]

边界条件分离变量后为

\[\Theta(0),\Theta(\pi)有界,\quad \Phi(0)=\Phi(2\pi),\quad \Phi^\prime(0) = \Phi^\prime(2\pi)\]

\(\phi\) 向本征问题:
\[\Phi_m(\phi) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\quad \mu_m = m^2,\quad m\in\mathbb{Z}\]
或另一种
\[\Phi_0=1,\quad\Phi_1=\cos m\phi,\quad \Phi_2=\sin m\phi\]

\[\mu_m=m^2,\quad m\in \mathbb{N}\]
\(\theta\) 向本征问题: 令 \(x = \cos\theta,y(x)=\Theta(\theta),\lambda = \nu(\nu+1)\), 得到连带 Legendre 方程
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right]+\left[\nu(\nu+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y(x)=0\]
代入一个很需要注意力的解
\[y(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}v_m(x)\]
得到
\[(1-x^2)v_m^{\prime\prime}-2(m+1)xv_m^{\prime}+[\nu(\nu+1)-m(m+1)]v_m=0\]
导一阶
\[\left(1-x^2\right)\left(v_m^{\prime}\right)^{\prime\prime}-2(m+2)x\left(v_m^{\prime}\right)^{\prime}\left.+[\nu(\nu+1)]-(m+1)(m+2)\right](v_m^{\prime})=0\]
说明 \(v_{m+1}\) 和 \(v_m^\prime\) 遵循同样形式的方程, 即可以通过求导从 \(v_0\) 推出 \(v_m\). 而 \(v_0\) 满足 Legendre 方程, 则连带 Legendre 方程的通解为
\[y(x)=A(1-x^2)^{m/2}P_\nu^{(m)}(x)+B(1-x^2)^{m/2}Q_\nu^{(m)}(x)\]
考虑边界条件: \(y(\pm 1)\) 有界
- \(x=1\): 由于 \(Q_\nu\) 在 \(x=1\) 对数发散, \(Q_\nu^{(m)}\) 则以 \((x-1)^{-m}\) 的方式发散, 为保证 \(y(1)\) 有界, \(B=0\).
- \(x = -1\): \(P_\nu\) 在 \(x=-1\) 也对数发散, 除非 \(\nu = l\in\mathbb{N}\), 截断为多项式 \(P_l\):
  \[y_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)\equiv P_l^m(x),\quad \lambda_l=l(l+1)\quad l\ge m\]
  \(l\ge m \) 保证 \(P_l^{(m)}\) 不为 0. \(P_l^m(x)\) 称为 \(m\) 阶 \(l\) 次连带 Legendre 多项式:
  \[\boxed{ P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}x^{m}}P_l(x) }\]
  
  额外引入的 Condon-Shortley 相位 \((-1)^m\) 是为了后续 \(\pm m\) 关系上的方便, 以及后续简化球谐函数的正交归一性和计算.
  
  对于 \(m\) 为负的情况, 定义:
  \[P_\nu^{-m}(x)=(-)^m\frac{\Gamma(\nu-m+1)}{\Gamma(\nu+m+1)}P_\nu^m(x),\]
  
  \[Q_\nu^{-m}(x)=(-)^m\frac{\Gamma(\nu-m+1)}{\Gamma(\nu+m+1)}Q_\nu^m(x)\]
  满足
  \[P_l^{-m}(x)=\lim_{\nu\to l}P_\nu^{-m}(x),\quad m>l\]
  \(P_l^{-m}(x)\) 在 \(x\to-1\) 时发散, 一般为代数幂发散.
  
  对数发散: \(\nu\notin\mathbb{N}\) 时, 有
  \[P_\nu(x)=\alpha P_\nu(-x)+\beta Q_\nu(-x)\quad\beta\neq0\]
  实际上为
  \[Q_{\nu}(x)=\frac{\pi}{2\sin\nu\pi}[\cos\nu\pi P_{\nu}(x)-P_{\nu}(-x)]\]
球面调和函数(球谐函数): 令 \(S(\theta,\phi) = \Phi(\phi)\Theta(\theta)\), 即
\[S_{lm}(\theta,\phi)=P_l^{|m|}(\cos\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\quad l=0,1,2,...\quad m=0,\pm1,\pm2,...,\pm l\]
或另一种
\[S_{lm1}(\theta,\phi)=P_l^m(\cos\theta)\cos m\phi\quad m=0,1,2,...,l\]

\[S_{lm2}(\theta,\phi)=P_l^m(\cos\theta)\sin m\phi\quad m=1,2,...,l\]

\[l=0,1,2,3,...\]
归一化后得到
\[Y_{l}^{m}\left(\theta,\phi\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m\left(\cos\theta\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\]
或有另一种定义
\[\boxed{ Y_l^m(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi} }\]
径向: 与之前一致,
\[R_l(r)=A_lr^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\]
一个有用的结论:
\[\nabla^2(R(r)Y_l^m(\mathbf{n}))=\left(\frac1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)R(r)\cdot Y_l^m(\mathbf{n})\]

12.4 Properties of Associated Legendre Polynomials and Spherical Harmonics

12.4.1 Associated Legendre Functions

典型低阶项

\[\begin{aligned} &l=0: P_{0}^{0}(\cos\theta)=1 \\ &l=1: P_{1}^{0}(\cos\theta)=\cos\theta ,\quad P_{1}^{1}(\cos\theta)=-\sin\theta ,\quad P_{1}^{-1}(\cos\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta \\ &l=2: P_{2}^{0}(\cos\theta)=\frac{1}{2}(3\cos^{2}\theta-1) ,\\ &\qquad\quad P_{2}^{1}(\cos\theta)=-3\sin\theta\cos\theta,\quad P_2^{-1}=\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta \\ &\qquad\quad P_2^2=3\sin^2\theta ,\quad P_2^{-2}=\frac{1}{8}\sin^2\theta \end{aligned}\]

正交性

\[\boxed{\int_{-1}^1P_l^m(x)P_{l'}^m(x)\mathrm{d}x=\frac2{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{ll'},\quad l,l'=0,1,2,\cdots\quad m=-l,\cdots,l}\]

完备性

\[\sum_{l=|m|}^\infty\frac{2l+1}2\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x)P_l^m(x^{\prime})=\delta(x-x^{\prime}) ,\quad\mathrm{for}-1\lt x,x^{\prime}\lt1\]

线性关系

\[P_l^{-m}(x)=(-)^m\frac{\Gamma(l-m+1)}{\Gamma(l+m+1)}P_l^m(x)\]

12.4.2 Spherical Harmonics

由 \(\theta,\phi\) 对应一个

\[\mathbf{n}=\frac{\mathbf x}{r}=\left(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta\right)\]

可以简记为 \(Y_{l}^{m}(\mathbf{n})\). 立体角元定义为 \(\mathrm{d}\Omega_{\mathbf{n}}\) 或记为 \(\mathrm{d}\mathbf{n}\).

正交性

\[\int\mathrm{d}\Omega_\mathbf{n} {Y_{l}^{m}}^{*}(\mathbf{n}) Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}}(\mathbf{n})=\delta_{ll^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}\]

完备性

\[\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l {Y_{l}^{m}}^{*}(\mathbf{n}^{\prime}) Y_{l}^{m}(\mathbf{n})=\delta(\mathbf{n}-\mathbf{n}^{\prime})=\delta(\cos\theta-\cos\theta^{\prime})\delta(\varphi-\varphi^{\prime})\]

线性关系

\[Y_{l}^{-m}\left(\mathbf{n}\right)=\left(-1\right)^{m} {Y_{l}^{m}}^{*}\left(\mathbf{n}\right)\]

对于另一种约定, 没有 \((-)^m\) 因子.

12.4.3 Addition Theorem

改变坐标极轴方向, 令 \(\gamma=\angle(\mathbf{n},\mathbf{n}^{\prime})\),

\[\cos\gamma=\cos\theta\cos\theta^{\prime}+\sin\theta\sin\theta^{\prime}\cos(\phi-\phi^{\prime})\]\[Y_{l0}(\gamma,\delta)=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\sum_{m=-l}^lY_{lm}(\theta,\phi)Y_{lm}^*(\theta^{\prime},\phi^{\prime})\]

则

\[\begin{aligned} P_{l}(\cos\gamma) &=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_{lm}(\theta,\phi)Y_{lm}^*(\theta^{\prime},\phi^{\prime})\\ &=\sum_{m=-l}^l\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta)P_l^m(\cos\theta^{\prime}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}m(\phi-\phi^{\prime})}\\ &=\sum_{m=-l}^l(-1)^mP_l^m(\cos\theta)P_l^{-m}(\cos\theta^{\prime})\mathrm{e}^{\mathrm{i}m(\phi-\phi^{\prime})}\\ &=P_l(\cos\theta)P_l(\cos\theta^{\prime})+2\sum_{m=1}^l\cos m(\phi-\phi^{\prime})\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta)P_l^m(\cos\theta^{\prime}) \end{aligned}\]

Proof 从 Laplace 方程的解的关系入手. 假设 \(\nabla^2V=0\), 且 \(V(0)\) 有界.

球谐函数加法定理中的角度关系示意图.

在 \((r, \theta,\phi)\) 下, \(V_{lm}(r,\theta,\phi)=r^lY_{lm}(\theta,\phi)\). 将极轴变为 \(z'\), \(\nabla^2U=0\), \(U_{lm}(r,\gamma,\delta)=r^lY_{lm}(\gamma,\delta)\).

出于完备性要求, 一定有

\[Y_{lm}(\gamma,\delta)=\sum_{n=-l}^lA_n(\theta^{\prime},\phi^{\prime})Y_{ln}(\theta,\phi)\qquad (1)\]

\[Y_{lm}(\theta,\phi)=\sum_{n=-l}^lB_n(\theta^\prime,\phi^\prime)Y_{ln}(\gamma,\delta)\qquad (2)\]

考虑 \(m = 0\), 代入(1)有

\[Y_{l0}(\gamma,\delta)=\sum_{m=-l}^{l}A_{m}Y_{lm}(\theta,\phi)\]

\[A_m=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}Y_{l0}(\gamma,\delta)Y_{lm}^*(\theta,\phi)\mathrm{d}\Omega=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}Y_{l0}(\gamma,\delta)\sum_{n=-l}^{l}B_{n}^{*}Y_{ln}^{*}(\gamma,\delta)\mathrm{d}\Omega=B_0^*\]

考虑 \(\gamma = 0\), 即 \(\theta=\theta',\phi=\phi'\), 有

\[Y_{ln}(0,\delta)=\sqrt{\frac{(l-n)!}{(l+n)!}\frac{2l+1}{4\pi}}P_l^n(1)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\delta}=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\delta_{n0}\]

结合(2), 代入 \(\theta=\theta',\phi=\phi'\), 从而

\[B_0=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_{lm}(\theta^{\prime},\phi^{\prime})\]

结合 \(A_m=B_0^*\), 得到结果.

13 Cylindrical Functions

考虑 Helmholtz 方程

\[\nabla^2u+k^2u=0\]

柱坐标系下

\[\boxed{ \nabla^{2}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} }\]\[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}+k^2u=0\]

代入分离变量解 \(u(r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)\), 得到

\[\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\left(k^2-\lambda-\frac{\mu}{r^2}\right)R=0\]

\[\frac{\mathrm{d}^{2}\Theta}{\mathrm{d}\theta^{2}}+\mu\Theta=0,\quad \frac{\mathrm{d}^2Z}{\mathrm{d}z^2}+\lambda Z=0\]

Bessel 方程

对于径向部分, 若 \(k^2-\lambda\neq0\), 可以令

\[x=\sqrt{k^2-\lambda}r,\quad y(x)=R(r),\quad \mu=\nu^2\]

得到 \(\nu\) 阶 Bessel 方程

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y(x)=0\]

属于 Sturm-Liouville 函数, 权重函数 \(\rho(x) = x\).

Bessel 方程的解

\(\nu \notin \mathbb{Z}\), 有两个正则解, 即 \(\pm\nu\) 阶 Bessel 函数
\[\boxed{ J_{\pm\nu}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k\pm\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k\pm\nu} }\]
\(\nu = n\in\mathbb{Z}\),
\[W[J_n(x),J_{-n}(x)]=0\]
故一定有含对数项的第二解. 第一解仍为 Bessel 函数, 负整数阶 \(J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)\); 第二解为 Neumann 函数, 一定含有对数项, 定义为
\[\boxed{ N_\nu(x)=\frac{\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi} }\]
满足
\[W[J_\nu(x),N_\nu(x)]=\frac{2}{\pi x}\]
即总是与 \(J_\nu(x)\) 线性无关. 整数阶取 \(\nu\to n \) 的极限
\[\begin{aligned} N_{n}(x) &=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos\nu\pi J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi}\\ &=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial\nu}-(-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial\nu}\right]_{\nu=n}\\ &=\frac{2}{\pi}J_n(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-n}\\ &-\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}[\psi(n+k+1)+\psi(k+1)]\times\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n} \end{aligned}\]
对于对数函数, 取 \(|\arg x|\lt\pi\) 的分支.

13.1 Properties of Bessel and Neumann Functions

13.1.1 Properties of Integer-Order Bessel Functions

负整数阶
\[J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)\]
奇偶性
\[J_n(-x)=(-1)^nJ_n(x)\]
生成函数
\[\boxed{ \exp\left[\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)t^n }\]
- 若令 \(t = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 可以得到 Jacobi-Anger 展开
  \[\mathrm{e}^{\mathrm{i}x\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\]
- 若令 \(t=\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 可以得到平面波按柱面波的展开
  \[\begin{aligned} \mathrm{e}^{\mathrm{i}x\cos\theta}&=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)\mathrm{i}^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\\&=J_0(x)+\sum_{n=1}^\infty\left[\mathrm{i}^nJ_n(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}+\mathrm{i}^{-n}J_{-n}(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta}\right]\\&=J_0(x)+\sum_{n=1}^\infty\left[\mathrm{i}^nJ_n(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}+\mathrm{i}^{-n}(-1)^nJ_n(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta}\right]\\&=J_0(x)+2\sum_{n=1}^\infty\mathrm{i}^nJ_n(x)\cos n\theta\end{aligned}\]\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_rr\cos\theta-\omega t)}=J_0(k_rr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+2\sum_{n=1}^\infty\mathrm{i}^nJ_n(k_rr)\cos n\theta\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\]
  
  波动方程
  \[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-v^2\nabla^2u=0\]
  平面波解
  \[u(x,y,z,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_xx}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_yy}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_zz}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\]
  柱面波解
  \[u(r,\theta,z,t)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)T(t)=J_n(k_rr)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_zz}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\]
积分表示利用 Jacobi-Anger 展开, 以及 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\) 作为基的正交完备性, 得到
\[J_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x\sin\theta}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\right)^*\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(x\sin\theta-n\theta)\mathrm{d}\theta\]
虚部 \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(x\sin\theta-n\theta)\mathrm{d}\theta\) 被自然地舍去.

13.1.2 Properties of Arbitrary-Order Bessel Functions

渐近行为
- \(x\to 0\) 时
  \[\boxed{ J_\nu(x)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu+O(x^{\nu+2}) }\]
- \(x\to\infty\) 时
  \[\boxed{ J_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\quad\left|\arg x\right|\lt\pi }\]
递推关系
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^\nu J_\nu(x)\right]=x^\nu J_{\nu-1}(x),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}J_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) }\]
从递推关系中分别消去 \(J_\nu(x)\) 和 \(J_{\nu}'(x)\) 得到
\[\boxed{ J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2J_\nu^{\prime}(x),\quad J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_\nu(x) }\]
从而对于整数阶, 可以由 \(J_0(x),J_1(x)\) 推出 \(J_n(x), J_n'(x)\).
Wronski 行列式
\[W[J_\nu(x),J_{-\nu}(x)]=A\exp\left[-\int^xp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\]
Bessel 方程 \(p(x)=\frac{1}{x}\), 从而
\[W[J_\nu(x),J_{-\nu}(x)]=A\exp[-\ln x+B]=\frac{C}{x}\]
接下来求系数. 令 \(x\to 0\),
\[\begin{aligned} W[J_{\nu}(x),J_{-\nu}(x)]&= \begin{vmatrix} \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu}&\frac{1}{\Gamma(1-\nu)}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu}\\ \frac{1}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu-1}\frac{1}{2}&\frac{1}{\Gamma(-\nu)}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu-1}\frac{1}{2} \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(-\nu)}-\frac{1}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)}\right]\\ &=-\frac{2}{x}\frac{1}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)}=-\frac{2}{x}\frac{\sin\pi\nu}{\pi} \end{aligned}\]
从而 \(C=-\frac{2}{\pi}\sin\pi\nu\). (利用 \(x\to\infty\) 的渐进也可以得到)
实数阶 Bessel 函数的零点: \(\nu> -1\) 时
- \(J_\nu\) 有无穷多零点: 由振荡渐近行为容易得出.
- 均为实零点
- 非零零点在实轴上关于原点对称. 对非整数阶, 此处可用偶整函数 \(x^{-\nu}J_\nu(x)\) 的级数判断零点分布, 避免将 \(x^\nu\) 的分支当成奇偶性.
- \(J_\nu\) 的两个相邻正零点之间恰有 \(J_{\nu+1}\) 的一个正零点: Proof 由于均为实零点, 可以利用高数中的 Rolle 定理, 以及递推关系
  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}J_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)\]
  \(J_\nu\) 的两个相邻零点即 \(x^{-\nu}J_\nu\) 的两个相邻零点. 其间至少有一个导数为零的点, 使得 \(J_{\nu+1}=0\). 反向递推关系
  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{\nu+1}J_{\nu+1}(x)]=x^{\nu+1}J_\nu(x)\]
  表明若同一区间有两个 \(J_{\nu+1}\) 零点, Rolle 定理又会给出其间一个 \(J_\nu\) 零点, 矛盾. 两函数也不能有共同的正零点, 否则由递推关系有 \(J_\nu=J'_\nu=0\), 与 Bessel 方程的初值唯一性矛盾. 因而零点严格交错.

13.1.3 Integrals Involving Bessel Functions

被积函数为幂函数与 Bessel 函数之积

\[\int x^\mu J_\nu(x)\mathrm{d}x\]

Solve 利用递推关系

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^\nu J_\nu\right)=x^\nu J_{\nu-1},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{-\nu}J_\nu\right)=-x^{-\nu}J_{\nu+1}\]

有

\[\int x^\mu J_\nu(x)\mathrm{d}x=x^\mu J_{\nu+1}(x)-(\mu-\nu-1)\int x^{\mu-1}J_{\nu+1}(x)\mathrm{d}x\]

\[\int x^\mu J_\nu(x)\mathrm{d}x=-x^\mu J_{\nu-1}(x)+(\mu+\nu-1)\int x^{\mu-1}J_{\nu-1}(x)\mathrm{d}x\]

对于前一递推关系, 若 \(\mu-\nu=2n+1\),
\[\int x^{\mu-n}J_{\nu+n}(x)\mathrm{d}x=\int x^{(\nu+n)+1}J_{\nu+n}(x)\mathrm{d}x=x^{\nu+n+1}J_{\nu+n+1}(x)\]
从而可以 n 次分部积分得出.
对后一递推关系, 若 \(\mu+\nu = 2n+1\),
\[\int x^{\mu - n}J_{\nu - n}(x)\mathrm{d}x=\int x^{-(\nu-n)+1}J_{\nu-n}(x)\mathrm{d}x=-x^{-(\nu-n)+1}J_{\nu-n-1}(x)\]

Bessel 函数的模方

\[\int xJ_\nu^2\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}(J_\nu^2+J_{\nu+1}^2)-\nu xJ_\nu J_{\nu+1}+C\]

Solve 利用 Bessel 方程

\[\frac{1}{x}(xJ_\nu^{\prime})^{\prime}+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)J_\nu=0\]

乘 \(x^2 J_\nu ' \),

\[\frac{1}{2}(xJ_\nu^{\prime})^{2\prime}+\frac{1}{2}x^2(J_\nu^2)^{\prime}-\frac{\nu^2}{2}(J_\nu^2)^{\prime}=0\]

对其积分, 并对第二项分部积分得到

\[\frac{1}{2}(xJ_\nu^{\prime})^2+\frac{1}{2}x^2J_\nu^2-\int xJ_\nu^2\mathrm{d}x+C-\frac{\nu^2}{2}J_\nu^2=0\]

移项得到

\[\boxed{\begin{aligned} \int xJ_\nu^2\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}(xJ_\nu^{\prime})^2+\frac{1}{2}\left(x^2-\nu^2\right)J_\nu^2+C\\ &=\frac{x^2}{2}(J_\nu^2+J_{\nu+1}^2)-\nu xJ_\nu J_{\nu+1}+C \end{aligned}}\]

利用第二个递推关系消去 \(J_\nu'\) 得到第二式.

13.1.4 Properties of Neumann Functions

渐近行为
- \(x\to 0\) 时
  \[\boxed{\begin{aligned} N_\nu(x)&\sim-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu},\quad &\mathrm{Re}\,\nu>0\\ N_0(x)&\sim\frac{2}{\pi}\ln\frac{x}{2},\quad &\nu = 0 \end{aligned}}\]
- \(x\to\infty\) 时
  \[\boxed{ N_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right),\quad\left|\arg x\right|\lt\pi }\]
递推关系
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^\nu N_\nu(x)\right]=x^\nu N_{\nu-1}(x),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}N_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}N_{\nu+1}(x) }\]

13.2 Cylindrical Functions

满足递推关系

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^\nu C_\nu(x)\right]=x^\nu C_{\nu-1}(x)\]

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}C_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}C_{\nu+1}(x)\]

的一系列函数 \(\{C_\nu(x)\}\), 统称为柱函数, 均满足 Bessel 方程.

Proof 两递推式可改写为

\[C_\nu^{\prime}(x)+\frac{\nu}{x}C_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)\tag{1}\]

\[C_\nu^{\prime}(x)-\frac{\nu}{x}C_\nu(x)=-C_{\nu+1}(x)\tag{2}\]

(2)可以写作

\[C_{\nu-1}^{\prime}(x)-\frac{\nu-1}{x}C_{\nu-1}(x)=-C_\nu(x)\]

代入(1), 消去所有非 \(\nu\) 阶项, 得到 Bessel 方程

\[C_{\nu}^{\prime\prime}(x)+\frac{1}{x}C_{\nu}^{\prime}(x)+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)C_{\nu}(x)=0\]

Bessel 函数和 Neumann 函数分别被称为第一类、第二类柱函数.

电磁学中常把两类柱函数组合得到, 得到两类复的柱函数, 即 Hankel 函数:

\[H_{\nu}^{(1)}(x)\equiv J_\nu(x)+\mathrm{i}N_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\exp\left[\mathrm{i}\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\]

\[H_{\nu}^{(2)}(x)\equiv J_\nu(x)-\mathrm{i}N_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\exp\left[-\mathrm{i}\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\]

统称为第三类柱函数.

13.3 Spherical Bessel Functions

考虑球坐标系下的 Helmholtz 方程

\[\nabla^2u+k^2u=0\]

设分离变量解 \(u(r,\theta,\phi)=R(r)S(\theta,\phi)\). 球面上要求角向函数单值且正则, 角向方程为 \(\Delta_{S^2}S=-l(l+1)S\), 其中 \(\Delta_{S^2}=\frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta)+\frac{1}{\sin^2\theta}\partial_\phi^2\), \(l=0,1,2,\ldots\), 解为球谐函数的线性组合. 径向方程为

\[\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\left[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=0\]

进行代换 \(x = kr\), 再分别进行代换 \(y(x) = R(r), v(x)=\sqrt{x}y(x)\) 得到

\[\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\left[1-\frac{l(l+1)}{x^2}\right]y=0\]

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\right)+\left[1-\frac{(l+\frac{1}{2})^2}{x^2}\right]v=0\]

前一式为球 Bessel 方程, 后一式为 \(l+\frac{1}{2}\) 阶 Bessel 方程. 后一方程解为

\[J_{l+\frac{1}{2}}(x),\quad J_{-l-\frac{1}{2}}(x)=(-1)^{l+1}N_{l+\frac{1}{2}}(x)\]

从而球 Bessel 方程的解为

\[\boxed{\begin{aligned} j_{l}(x) &=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{l+\frac{1}{2}}(x)\\ n_{l}(x) &=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}N_{l+\frac{1}{2}}(x)=(-1)^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{-l-\frac{1}{2}}(x) \end{aligned}}\]

分别称为 \(l\) 阶球 Bessel 函数和 Neumann 函数.

零阶
\[j_0(x)=\frac{\sin x}{x},\quad n_0(x)=-\frac{\cos x}{x}\]
递推关系
\[\boxed{\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{l+1}j_l)=x^{l+1}j_{l-1}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{-l}j_l)=-x^{-l}j_{l+1} \end{gathered}}\]
对 \(n_l\) 同样成立.

从而可以得到任意阶球 Bessel 函数
\[\boxed{\begin{gathered} j_l(x)=x^l\left(-\frac{\mathrm{d}}{x\mathrm{d}x}\right)^l\left\{\frac{\sin x}{x}\right\}\\ n_l(x)=x^l\left(-\frac{\mathrm{d}}{x\mathrm{d}x}\right)^l\left\{-\frac{\cos x}{x}\right\} \end{gathered}}\]
球 Hankel 函数
\[h_{l}^{(1)}=j_l(x)+\mathrm{i}n_l(x)\]

\[h_{l}^{(2)}=j_l(x)-\mathrm{i}n_l(x)\]
渐近行为
\[\begin{aligned} j_l(x)&\sim\frac{1}{x}\sin(x-\frac{l\pi}{2})\\ n_l(x)&\sim-\frac{1}{x}\cos(x-\frac{l\pi}{2})\\ h_l^{(1)}(x)&\sim\frac{1}{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x-\frac{l\pi}{2})}\\ h_l^{(2)}(x)&\sim\frac{\mathrm{i}}{x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(x-\frac{l\pi}{2})} \end{aligned}\]

球面波 球面波波动方程的解即为 \(j_l(kr)Y_l^m(\theta,\phi)\). 对于与 \(\phi\) 无关的球面波, \(m = 0\). 例如对于平面波

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr\cos\theta}=\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\mathrm{i}^lj_l(kr)P_l(\cos\theta)\]

Proof 对 \(P_l\) 展开的系数

\[\begin{aligned} c_l(kr) &=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1\mathrm{e}^{\mathrm{i}krx}P_l(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2l+1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}kr)^n}{n!}\int_{-1}^1x^nP_l(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2l+1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}kr)^{l+2n}}{(l+2n)!}\int_{-1}^1x^{l+2n}P_l(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2l+1}{2}\mathrm{i}^l\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(l+2n)!}(kr)^{l+2n}\times\frac{(l+2n)!}{2^{l+2n}n!}\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(n+l+3/2)}\\ &=\frac{2l+1}{2}\mathrm{i}^l\sqrt{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+l+3/2)}\left(\frac{kr}{2}\right)^{l+2n}\\ &=(2l+1)\mathrm{i}^lj_l(kr) \end{aligned}\]

13.4 Eigenvalue Problems of the Bessel Equation

Example 1 求四周固定的圆形薄膜的振动问题平面极坐标系下, 设波速为 \(c\),

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2\left[\frac1r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}\right]=0\]

\[u|_{r=a}=0,\quad u|_{t=0}=f(r,\phi),\quad \frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=g(r,\phi)\]

\[u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi},\quad \frac{\partial u}{\partial\phi}\bigg|_{\phi=0}=\frac{\partial u}{\partial\phi}\bigg|_{\phi=2\pi},\quad u|_{r=0}\text{有界}\]

Solution 取分离变量解 \(u(r,\phi,t)=R(r)\Phi(\phi)T(t)\) 得到

\[T^{\prime\prime}(t)+c^2k^2T(t)=0\]\[\Phi^{\prime\prime}(\phi)+m^2\Phi(\phi)=0\]

\[\Phi(0)=\Phi(2\pi),\quad \Phi^{\prime}(0)=\Phi^{\prime}(2\pi)\]\[\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[r\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right]+\left(k^2-\frac{m^2}{r^2}\right)R(r)=0\]

\[R(0)\text{有界},\quad R(a)=0\]

角向: 本征值和本征函数
\[m^2,\quad\Phi_m(\phi)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\quad m=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]
径向: 方程可化为 Bessel 方程
\[R(r)=CJ_m(kr)+DN_m(kr)\]
为保证 \(R(0)\) 有界, 应该有 \(D = 0\); 为保证 \(R(a)=0\) 且 \(C\ne 0\), 应有
\[J_m(ka)=0\]
设 \(\mu_i^{(m)}\) 是 \(J_m(x)\) 的第 \(i\) 个正零点. 则径向本征值和本征函数
\[k_{mi}^2=\left(\frac{\mu_i^{(m)}}{a}\right)^2,\quad R_{mi}(r)=J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right),\quad i = 1,2,3,\cdots\]
含时:
\[T_{mi}(t)=A_{mi}\cos\omega_{mi}t+B_{mi}\sin\omega_{mi}t,\quad \omega_{mi}=ck_{mi}=\frac{c\mu_i^{(m)}}{a}\]
后一式给出圆形膜的固有频率.

一般解为

\[u(r,\phi,t)=\sum_{i=1}^\infty\sum_{m=-\infty}^\infty J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\times(A_{mi}\cos\omega_{mi}t+B_{mi}\sin\omega_{mi}t)\]

代入初始条件: \[f(r,\phi)=\sum_{i=1}^\infty\sum_{m=-\infty}^\infty A_{mi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\] \[g(r,\phi)=\sum_{i=1}^\infty\sum_{m=-\infty}^\infty\omega_{mi}B_{mi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\] 利用正交关系 \[\int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}\right)^*\mathrm{d}\phi=2\pi\delta_{mn}\] \[\int_0^aJ_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)J_m\left(\frac{\mu_j^{(m)}r}{a}\right)r\mathrm{d}r=\left\|J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\right\|^2\delta_{ij}=\frac{1}{2}a^{2}J_{m+1}^{2}\left(\mu_{i}^{(m)}\right)\delta_{ij}\] 得到 \[A_{mi}=\frac{1}{2\pi\left\|J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\right\|^2}\int_0^a\int_0^{2\pi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\times f(r,\phi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\] \[B_{mi}=\frac{1}{2\pi\left\|J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\right\|^2\omega_{mi}}\int_0^a\int_0^{2\pi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\times g(r,\phi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\]

Example 2 球内热传导问题一均匀球, 半径为 \(a\), 初始温度分布为 \(f(r)\cos\theta\). 若球面温度保持为零度, 求球内各处温度变化的情况.

Solution

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)\right]=0\]

\[u|_{r=0}\text{有界},\quad u|_{r=a}=0,\quad u|_{t=0}=f(r)\cos\theta\]

考虑到问题对称性, 设解为 \(u(r,\theta,t)=R(r)\Theta(\theta)T(t)\), 代入得到

角向
\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}\theta}\right)+\lambda\Theta=0\]

\[\Theta(0)\text{有界 },\quad\Theta(\pi)\text{有界}\]
显然
\[\lambda_l=l(l+1),\quad \Theta_l(\cos\theta)=P_l(\cos\theta)\]
径向
\[\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\left[ k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R(r)=0\]

\[R(0)\text{有界 },\quad R(a)=0\]
考虑边条件, 这里 \(\mu_i^{(l)}\) 为 \(j_l(x)\) 的第 \(i\) 个正零点, 有
\[k_{li}=\frac{\mu_i^{(l)}}{a},\quad R_{li}(r)=j_l\left(\frac{\mu_i^{(l)}r}{a}\right)\]
含时
\[T^{\prime}+\kappa k^2T=0\]
解为
\[T_{li}(t)=A_{li}\mathrm{e}^{-\kappa k_{li}^{2}t}\]

一般解

\[u(r,\theta,t)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{i=1}^\infty A_{li}j_l\left(\frac{\mu_i^{(l)}r}{a}\right)P_l(\cos\theta)\mathrm{e}^{-\kappa k_{li}^2t}\]

代入初始条件
\[f(r)P_1(\cos\theta)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{i=1}^\infty A_{li}j_l\left(\frac{\mu_i^{(l)}r}{a}\right)P_l(\cos\theta)\]

\[\Longrightarrow f(r)=\sum_{i=1}^\infty A_{1i}j_1\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)\]
利用
\[\begin{aligned} \int_0^aj_1^2\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)r^2\mathrm{d}r &=\frac{\pi}{2}\frac{a}{\mu_i^{(1)}}\int_0^aJ_{3/2}^2\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)r\mathrm{d}r =\frac{\pi}{2}\frac{a}{\mu_i^{(1)}}\frac{a^2}{2}J_{3/2}^{\prime2}(\mu_i^{(1)})\\ &=\frac{a^3}{2\mu_i^{(1)}}\left.(\sqrt{x}j_1(x))^{\prime2}\right|_{x=\mu_i^{(1)}} =\frac{a^3}{2}j_1^{\prime2}(\mu_i^{(1)})\\ &=\frac{a^3}{2}j_0^2(\mu_i^{(1)}) \end{aligned}\]
得到
\[u(r,\theta,t)=\sum_{i=1}^\infty A_{1i}j_1\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)P_1(\cos\theta)\exp\left[-\kappa\left(\frac{\mu_i^{(1)}}{a}\right)^2t\right]\]

\[A_{1i}=\frac{\int_0^af(r)j_1\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)r^2\mathrm{d}r}{\frac{a^3}{2}j_0^2(\mu_i^{(1)})}\]

\(\mu_{i}^{(1)}\) 满足
\[\frac{1}{\mu_i^{(1)2}}\left[\sin\mu_i^{(1)}-\mu_i^{(1)}\cos\mu_i^{(1)}\right]=0\Longrightarrow \mu_i^{(1)}=\tan\mu_i^{(1)}\]

13.5 Hypergeometric Functions

Definition 超几何级数

\[\sum c_n,\quad \frac{c_{n+1}}{c_n} = R(n) = \frac{(n+a_1)(n+a_2)\cdots(n+a_p)x}{(n+b_1)(n+b_2)\cdots(n+b_q)(n+1)}\]

\[\Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty c_n=c_0\sum_{n=0}^\infty\frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n}\frac{x^n}{n!}\equiv c_0~_pF_q\left(\begin{array}{c}a_1,...,a_p\\b_1,...,b_q\end{array};x\right)\]

\(x\) 因子是因为多项式不一定是首 1 的. \(n+1\) 因子可能来源于因式分解, 若不是, 只需在分子加一补偿的 \(n+1\) 因子.

初等函数的超几何级数表示 \[\begin{aligned} \mathrm{e}^x &={}_0F_0\left(\begin{array}{c}-\\-\end{array};x\right)\\ \sin x &=x_0F_1\left(\begin{array}{c}-\\3/2\end{array};-x^2/4\right)\\ \cos x &={}_0F_1\left(\begin{array}{c}-\\1/2\end{array};-x^2/4\right)\\ \log(1+x) &=x_2F_1\left(\begin{array}{c}1,1\\2\end{array};-x\right)\\ (1-x)^{-a} &={}_1F_0\left(\begin{array}{c}a\\-\end{array};x\right) \end{aligned}\]

Definition 超几何函数

\[F(\alpha,\beta;\gamma;z)=_2F_1\left(\begin{array}{c}\alpha,\beta\\\gamma\end{array};z\right)\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\beta)}\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)}z^n\]

及其解析延拓.

特殊函数的超几何函数表示. 下列关联 Legendre 公式先取实 \(z>1\), 幂函数取正实底数的通常值, 再解析延拓到 \(\mathbb{C}\setminus(-\infty,1]\). 区间 \(-1\lt x\lt 1\) 内前文的 \(P_l^m(x)\) 使用含 Condon–Shortley 相位的 Ferrers 约定, 不能把割线外公式无说明地直接代入; 参数使 Gamma 因子奇异时按极限理解. \[\begin{aligned} P_n(z) &=F(-n,n+1;1;\frac{1-z}{2})\\ P_\nu(z) &=F(-\nu,\nu+1;1;\frac{1-z}{2})\\ Q_\nu(z) &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)}(2z)^{-\nu-1}\times F(\frac{\nu+1}{2},\frac{\nu}{2}+1;\nu+\frac{3}{2};\frac{1}{z^{2}})\\ P_\nu^\mu(z) &=\frac{1}{\Gamma(1-\mu)}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{\mu/2}\times F(-\nu,\nu+1;1-\mu;\frac{1-z}{2})\\ Q_\nu^\mu(z) &=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mu}\sqrt{\pi}}{2^{\nu+1}}\frac{\Gamma(\nu+\mu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)}z^{-\nu-\mu-1}(z^2-1)^{\mu/2}\\ &\times F(\frac{\nu+\mu+1}{2},\frac{\nu+\mu}{2}+1;\nu+\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}) \end{aligned}\]

超几何方程

\[z(1-z)\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2}+[\gamma-(\alpha+\beta+1)z]\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}-\alpha\beta w=0\]

有三个(正则)奇点 \(\{0, 1,\infty\}\). \(\gamma\notin \mathbb{Z}\) 时, 有两个线性无关解:

\[\begin{aligned}&w_{1}(z)=F(\alpha,\beta;\gamma;z)\\&w_{2}(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1,\beta-\gamma+1;2-\gamma;z)\end{aligned}\]

13.6 Confluent Hypergeometric Functions

注意到超几何级数

\[y={}_pF_q\left(\begin{array}{c}a_1,...,a_p\\b_1,...,b_q\end{array};x\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n}\frac{x^n}{n!}\]

可以认为是方程

\[\left\{\delta(\delta+b_1-1)\cdots(\delta+b_q-1)-x(\delta+a_1)\cdots(\delta+a_p)\right\}y=0,\quad \delta=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\]

的形式解.

若 \(p>2\) 或 \(q>1\), 方程不如二阶微分方程方便.
若只考虑二阶微分方程:
- \(p = 2\), 此时必须有 \(q=1\), 否则所得级数处处发散. 得到的 \({}_2F_1\) 即为超几何函数.
- \(q = 1\), \(p = 0/1\), 此时得到的二阶 ODE 具有一个正则奇点 \(x=0\) 和一个非正则奇点 \(x=\infty\).

合流超几何方程与合流超几何函数

\(p=q=1\) 时得到的二阶 ODE

\[xy^{\prime\prime}+(\gamma-x)y^{\prime}-\alpha y=0\]

称为合流超几何方程, 因为他可以由超几何方程的两个正则奇点合流到 \(\infty\) 得到.

奇点合流: 对于超几何方程
\[x(1-x)y^{\prime\prime}+[\gamma-(\alpha+\beta+1)x]y^{\prime}-\alpha\beta w=0\]
作变换 \(x\mapsto \frac{x}{b}\), 并令 \(\beta = b\to\infty\), 得到合流超几何方程.

合流超几何方程的指标方程的解为 \(\rho_1 = 0, \rho_2 = 1-\gamma\), 则

\(\gamma\notin\mathbb{Z}\) 时, 可以得到两个线性无关的级数解:
\[\begin{aligned}&y_1(x)=F(\alpha;\gamma;x)\\&y_2(x)=x^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1;2-\gamma;x)\end{aligned}\]
其中
\[F(\alpha;\gamma;x)=_1F_1\left(\begin{array}{c}\alpha\\\gamma\end{array};x\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)}x^n\]
即为合流超几何函数, 在全平面解析.
特殊函数的合流超几何函数表示:
- Bessel 函数
  \[J_\nu(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}\left(\frac{z}{2}\right)^\nu F(\nu+\frac{1}{2};2\nu+1;2\mathrm{i}z)\]
- Hermite 多项式
  \[\begin{gathered}H_{2n}(z)=(-1)^n\frac{(2n)!}{n!}F(-n;\frac{1}{2};z^2)\\H_{2n+1}(z)=2z(-1)^n\frac{(2n+1)!}{n!}F(-n;\frac{3}{2};z^2)\end{gathered}\]
- Laguerre 多项式
  \[L_n(z)=F(-n;1;z)\]\[L_n^\mu(z)=\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(n+\mu+1)}{\Gamma(\mu+1)}F(-n;\mu+1;z)\]

14 Summary of Separation of Variables

分离变量法中, 本征问题至关重要:

本征函数的完备性: 定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开?
本征函数的正交性: 定解的叠加系数.

从理论上研究这几个问题, 有助于加深对分离变量法的认识.

14.1 Inner Product Spaces

Definition 内积空间若在数域 \(K\) 上的矢量空间上, 定义一个二元标量值函数 \((\mathbf{x},\mathbf{y})\), 满足:

\((\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{y},\mathbf{x})^*\);
\(( \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} , \mathbf{z} ) = \alpha ^{* }( \mathbf{x} , \mathbf{z} ) + \beta ^{* }( \mathbf{y} , \mathbf{z} )\), 其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是数域 \(K\) 上的标量;
对于任何 \(\mathbf{x}\), \((\mathbf{x},\mathbf{x})\geq0\), 当且仅当 \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 时, \((\mathbf{x},\mathbf{x})=0\).

则称 \((\mathbf{x},\mathbf{y})\) 为 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\) 的内积. 定义了内积的矢量空间称为内积空间.

具有实内积的实矢量空间称为欧氏空间(Euclidean space), 具有复内积的复矢量空间称为酉空间(unitary space). 不论是欧氏空间还是酉空间, 矢量与自身的内积总是实数, 在此基础上才能给出条件 3.
称 \((\mathbf{x},\mathbf{x})^{1/2}=\|\mathbf{x}\|\) 为 \(\mathbf{x}\) 的模. \(\left\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|\) 为 \(\mathbf{x}\) 到 \(\mathbf{y}\) 的距离. 进一步可以定义开球、闭球、内点、聚点、开集、闭集等拓扑概念.
正交性:
- 当且仅当 \((\mathbf{x},\mathbf{y})=0\), 称两矢量正交.
- 若对于所有 \(i, j\), 有 \((\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j)=\delta_{ij}\), 则称 \(\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots\}\) 正交归一.
- 任何一组线性无关的矢量都可以通过 Schmidt 正交化来正交归一化.

Bessel 不等式 考虑 \(n\) 维矢量空间 \(V\), 其中一个任意矢量 \(\mathbf{x}\), 其在一组正交归一的 \(\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_k\}\) 张成的 \(k\) 维子空间上的投影为 \(\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{x}_i\), 故应有

\[\left\|\mathbf{x}-\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{x}_i\right\|^2=(\mathbf{x},\mathbf{x})-\sum_{i=1}^k\alpha_i^*\alpha_i\geq0\]

得到 Bessel 不等式

\[\|\mathbf{x}\|^2\geq\sum_{i=1}^k\left|(\mathbf{x}_i,\mathbf{x})\right|^2\]

由此也可以推出 Schwarz 不等式

\[|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\cdot\|\mathbf{y}\|\]

对于矢量空间 \(V\) 的正交归一基, Bessel 不等式的等号成立, 得到 Parseval 等式

\[\|\mathbf{x}\|^2=\sum_{i=1}^n\left|(\mathbf{x}_i,\mathbf{x})\right|^2\]

它是有限维空间正交归一矢量组完备性的充要条件.

14.2 Function Spaces

14.2.1 Function Spaces and Measurable Functions

函数空间是以函数为元素的矢量空间. 可测性与平方可积性是不同的概念: 可测函数不一定平方可积. 本章只使用平方可积函数组成的空间.

Definition 平方可积函数定义在有限区间 \([a,b]\) 上的可测复值函数 \(f(x)\), 若满足

\[\int_a^b|f(x)|^2\mathrm{d}x\lt\infty\]

则称其为平方可积函数. 将几乎处处相等的函数视为同一个元素, 所得空间记作 \(L^2([a,b])\).

可测函数序列的逐点极限仍可测, 但未必平方可积. \(L^2\) 空间中的收敛专指平方平均收敛.
连续函数序列的逐点极限未必连续; 一致收敛可以保证连续性保留.

平方可积函数的性质

Theorem 对于平方可积函数空间中的两个函数,

\[(f_1,f_2)=\int_a^bf_1^*(x)f_2(x)\mathrm{d}x\]

存在.

Proof 由

\[|f_1(x)|^2+|f_2(x)|^2-2|f_1(x)|\cdot|f_2(x)|=\left[|f_1(x)|-|f_2(x)|\right]^2\geq0\]

得到

\[|f_1^*(x)f_2(x)|=|f_1(x)|\cdot|f_2(x)|\leq\frac{1}{2}\left[|f_1(x)|^2+|f_2(x)|^2\right]\]

从而

\[\int_a^b|f_1^*(x)f_2(x)|\mathrm{d}x\lt\infty\]

可以证明二者内积的存在性.

Theorem 两个平方可积函数之和仍平方可积

Proof 由

\[|f_1(x)+f_2(x)|^2+|f_1(x)-f_2(x)|^2=2{\left[|f_1(x)|^2+|f_2(x)|^2\right]}\]

可以得到

\[\int_a^b|f_1(x)+f_2(x)|^2\mathrm{d}x\leq2\int_a^b|f_1(x)|^2\mathrm{d}x+2\int_a^b|f_2(x)|^2\mathrm{d}x\lt\infty\]

这说明 \(L^2([a,b])\) 对加法封闭; 数乘封闭性可直接验证.

14.2.2 Inner Product Function Spaces

在 \(L^2([a,b])\) 上定义

\[\langle f,g\rangle=\int_a^b f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x.\]

共轭对称性和线性可以直接验证. 对于正定性, 若

\[\langle f,f\rangle=0,\]

则 \(f=0\) 几乎处处. 由于 \(L^2\) 的元素本来就是几乎处处相等的等价类, 这恰好表示 \(f\) 是零元素. 因而 \(L^2([a,b])\) 是内积空间.

内积函数空间的正交性与完备性

Definition 函数空间的完备性: 若对于由空间内的函数组成的所有 Cauchy 序列

\[\{f_i(x)\}:\forall\epsilon>0,\exists N,\quad\mathrm{s.t.}\,\forall p,q>N,\|f_p-f_q\|=\sqrt{(f_p-f_q,f_p-f_q)}\lt\epsilon\]

总存在该空间的函数 \(f(x)\), 使得

\[\lim_{i\to\infty}\|f_i(x)-f(x)\|=0\]

则称该空间为完备的.

Definition Hilbert 空间: 完备的内积空间(并未限制为函数空间)

Theorem \(L^2([a,b])\) 关于上述范数完备, 因而是 Hilbert 空间.
每个 Hilbert 空间都存在完备正交归一集; 在可分 Hilbert 空间 \(L^2([a,b])\) 中可以取为可数集.

Definition 正交归一集的完备性: 若正交归一函数集 \(\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}\) 的线性张成在 Hilbert 空间中稠密, 则称其为完备的. 等价地, 与所有 \(f_\alpha\) 正交的矢量只有零矢量.

对任意 \(f\), 定义 Fourier 系数

\[c_\alpha=\langle f_\alpha,f\rangle.\]

由 Bessel 不等式, 对任意有限子集 \(A'\subset A\),

\[\sum_{\alpha\in A'}|c_\alpha|^2\leq\|f\|^2.\]

因此至多有可数个 \(c_\alpha\neq0\). 将它们编号为 \(c_{\alpha_i}\). 若正交归一集完备, 则

\[\lim_{n\to\infty}\left\|f-\sum_{i=1}^n c_{\alpha_i}f_{\alpha_i}\right\|=0,\]

即级数在 Hilbert 空间范数下收敛. 对 \(L^2\) 而言, 这是平方平均收敛, 并不自动蕴含逐点收敛或一致收敛. 此时 Parseval 等式成立:

\[\|f\|^2=\sum_{\alpha\in A}|c_\alpha|^2 =\sum_{\alpha\in A}|\langle f_\alpha,f\rangle|^2.\]

关于内积的定义, 还可以推广为
\[\langle f_1,f_2\rangle_\rho=\int_a^bf_1^*(x)f_2(x)\rho(x)\,\mathrm{d}x,\quad \rho(x)>0.\]
相应的加权平方可积空间记为 \(L^2_\rho([a,b])\), 其元素满足
\[\int_a^b|f(x)|^2\rho(x)\,\mathrm{d}x\lt\infty.\]

14.3 Eigenvalue Problems of Sturm-Liouville Type Equations

Definition Sturm-Liouville 型方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+[\lambda\rho(x)-q(x)]y=0\]

Sturm-Liouville 问题

在给定区间, 可以对 S-L 问题作出分类:

正则 Sturm-Liouville 问题: 在给定有限闭区间 \([a, b]\), 要求
- \(p(x), q(x), \rho(x)\) 为实函数
- \(p(x) > 0\), \(\rho(x) > 0\) 在整个闭区间 \([a,b]\) 上严格成立
- \(p\in C^1([a,b])\), \(q,\rho\in C([a,b])\)
- 端点 \(a,b\) 均为正则端点(即 \(p(a) > 0, p(b) > 0\)), 满足正则端点的边条件.
\(\rho(x)\) 称为权重函数.
奇异 Sturm-Liouville 问题: 至少有一个奇异端点. 在一般算子理论中, 假设 \(p,\rho>0\) 几乎处处且 \(p^{-1},q,\rho\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b)\). 有限端点附近若 \(p^{-1},|q|,\rho\) 均可积, 称该端点正则; 否则或端点为无穷远时, 称为奇异.

有限端点处 \(p\) 趋于零或系数发散需要具体判断; 这本身也不是 Frobenius 意义下“正则奇异点”的充分条件. 正则奇异/不规则奇异描述微分方程系数的局部行为, Weyl 的极限点/极限圆分类则描述解的加权平方可积性, 二者不能作为互斥的三类端点并列.

Sturm-Liouville 问题的边界/渐近条件

正则端点的边条件(显式、线性、齐次)
- 实分离型边界条件
  \[\begin{aligned} &\alpha_a y(a)+\beta_a p(a)y'(a)=0,&&\quad (\alpha_a,\beta_a)\neq(0,0),\\ &\alpha_b y(b)+\beta_b p(b)y'(b)=0,&&\quad (\alpha_b,\beta_b)\neq(0,0), \end{aligned}\]
  其中系数均为实数. Dirichlet、Neumann 和 Robin 条件都是这一形式的特例.
- 周期型边界条件
  \[y(a)=y(b),\qquad p(a)y'(a)=p(b)y'(b).\]
  若 \(p(a)=p(b)\), 第二式可写为 \(y'(a)=y'(b)\). 一般耦合边界条件还必须使边界形式 \([p(\overline u v'-\overline{u'}v)]_a^b\) 对定义域内任意 \(u,v\) 为零; 仅要求边界矩阵满秩并不足以保证自伴性. 以下完备性证明以实分离型边界条件为主, 周期型情形同理.
奇异端点的定义域与边界条件

对 \(\ell[y]=-(py')'+qy\), 最大定义域取为
\[\mathcal{D}_{\max} =\left\{y\in L^2_\rho(a,b)\mid y,py'\in \operatorname{AC}_{\mathrm{loc}}(a,b), \rho^{-1}\ell[y]\in L^2_\rho(a,b)\right\}.\]
自伴实现是微分表达式 \(\rho^{-1}\ell\) 在此定义域上的适当限制. 在端点 \(c\) 定义边界形式
\[B_c(u,v)=\lim_{x\to c}p(x)\left[u'^*(x)v(x)-u^*(x)v'(x)\right].\]
以下结论在上述实系数和局部可积假设下成立.¹
- 极限圆型(limit circle, LC): 对某个, 因而每个, 非实谱参数 \(z\), 方程 \(\ell[y]=z\rho y\) 的所有局部解都在端点附近属于 \(L^2_\rho\). 平方可积性不能选择解. 采用分离条件时, 每个 LC 端点须指定一个实线性边界条件, 例如对选定的具有非零边界迹的实边界基函数 \(h_c\in\mathcal{D}_{\max}\), 要求 \(B_c(h_c,y)=0\). 两个 LC 端点也可用保持总边界形式的耦合条件.
- 极限点型(limit point, LP): 对非实 \(z\), 端点附近的平方可积解空间是一维. 对任意 \(u,v\in\mathcal{D}_{\max}\), 该端点的 \(B_c(u,v)\) 自动为零, 所以此端不再施加边界条件. 这是定义域层面的结论, 不是“一个平方可积解就是自伴算子”.
- 两端均为 LP 时, 最小算子的闭包自伴, 自伴实现唯一. 若仅一端为 LP, 另一正则或 LC 端点仍须处理, 不能据此断言整个问题的自伴延拓唯一.
有界性可以是某个物理问题选定的端点条件, 但不是所有奇异端点的通则. 无穷远点也须先判定 LP/LC; \(y\in L^2_\rho\) 仅是定义域要求的一部分, 不能单独推出 \(y(x)\to0\) 或确定自伴性.

Definition 正则 Sturm-Liouville 算子

在加权 Hilbert 空间 \(H=L^2_\rho([a,b])\) 中定义微分表达式和算子

\[\ell[y]=-(py')'+qy,\qquad Ay=\frac{1}{\rho}\ell[y].\]

于是 Sturm-Liouville 方程写为普通的算子本征方程

\[Ay=\lambda y.\]

对实分离型边界条件, 取定义域

\[\mathcal{D}(A)=\left\{y\in H^2([a,b])\mid y\text{满足给定的两个边界条件}\right\}.\]

这里必须把权函数除进算子: \(\ell y=\lambda\rho y\) 与 \(Ay=\lambda y\) 等价, 而 \(A=\rho^{-1}\ell\) 才是 \(L^2_\rho\) 中讨论自伴性的算子.

Theorem 正则分离型 Sturm-Liouville 算子的自伴性

上述算子 \(A\) 在 \(H=L^2_\rho([a,b])\) 中自伴, 即 \(A=A^*\), 包括算子作用相同和定义域相同两部分.²

Proof 对 \(u,v\in H^2([a,b])\) 分部积分得到 Lagrange 恒等式

\[\begin{aligned} \langle u,Av\rangle_\rho-\langle Au,v\rangle_\rho &=\int_a^b\left[u^*\ell[v]-\ell[u]^*v\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\left[p\left(u'^*v-u^*v'\right)\right]_a^b. \end{aligned}\]

若 \(u,v\in\mathcal D(A)\), 则在每个端点, 向量 \((y,py')\) 都落在同一个由实边界条件确定的一维子空间中, 因而右侧边界形式为零. 这先证明了 \(A\) 是对称算子, 即 \(A\subset A^*\).

反过来, 若 \(w\in\mathcal D(A^*)\), 先取紧支于 \((a,b)\) 的试探函数, 可由正则微分方程的弱形式推出 \(w\in H^2([a,b])\). 再令 \(v\) 遍历 \(\mathcal D(A)\): 每个端点仍有一个与边界条件相容的自由迹, 所以

\[\left[p\left(w'^*v-w^*v'\right)\right]_a^b=0\]

迫使 \(w\) 在 \(a,b\) 满足与 \(v\) 相同的两个分离型边界条件. 因此 \(\mathcal D(A^*)\subset\mathcal D(A)\). 结合对称性得到 \(\mathcal D(A^*)=\mathcal D(A)\), 故 \(A\) 自伴.

对周期型边界条件, Lagrange 恒等式在 \(a,b\) 两端的贡献互相抵消, 同样得到自伴性. 一般耦合条件必须另行验证其边界形式为零.

本征值的实性与本征函数的正交性

设 \(Ay_i=\lambda_i y_i\). 由自伴性,

\[(\lambda_j-\lambda_i^*)\langle y_i,y_j\rangle_\rho=0.\]

取 \(i=j\) 得 \(\lambda_i=\lambda_i^*\), 所以本征值为实数. 若 \(\lambda_i\neq\lambda_j\), 则

\[\langle y_i,y_j\rangle_\rho=0.\]

若本征值简并, 可在相应有限维本征子空间内作 Schmidt 正交化.

Theorem 正则自伴 Sturm-Liouville 问题的本征函数完备性

上述正则自伴问题存在一组实本征值 \(\{\lambda_n\}\) 和相应的正交归一本征函数 \(\{y_n\}\). 本征函数在 \(L^2_\rho([a,b])\) 中完备. 因而对任意 \(f\in L^2_\rho([a,b])\),

\[f=\sum_{n=1}^\infty c_ny_n,\qquad c_n=\langle y_n,f\rangle_\rho =\int_a^b y_n^*(x)f(x)\rho(x)\,\mathrm{d}x,\]

其中等号表示 \(L^2_\rho\) 范数收敛, 且

\[\|f\|_\rho^2=\sum_{n=1}^\infty|c_n|^2.\]

Proof 正则算子 \(A\) 下有界, 因此可选取一个充分小而不属于 \(A\) 谱的实数 \(\mu\). 正则边值问题

\[(A-\mu I)u=f\]

有 Green 函数 \(G_\mu(x,t)\), 因而其逆算子可写为

\[(R_\mu f)(x)=(A-\mu I)^{-1}f(x) =\int_a^bG_\mu(x,t)f(t)\rho(t)\,\mathrm{d}t.\]

在有限区间的正则问题中, \(G_\mu\) 在闭方形上连续, 仅一阶导数在 \(x=t\) 处有规定的跳跃. 因此 \(G_\mu\) 平方可积, \(R_\mu\) 是紧算子. 又因为 \(A\) 自伴且 \(\mu\) 为实数, \(R_\mu\) 也是自伴算子.

这里引用紧自伴算子的谱定理: Hilbert 空间可分解为其非零本征空间的闭包与核的正交直和. \(R_\mu\) 是逆算子, 所以 \(\ker R_\mu=\{0\}\); 因而 \(R_\mu\) 的正交归一本征函数张成整个 \(H\). 若

\[R_\mu y_n=\kappa_n y_n,\]

则

\[Ay_n=\left(\mu+\frac{1}{\kappa_n}\right)y_n.\]

所以 \(R_\mu\) 与 \(A\) 有相同的本征函数, 这就证明了 Sturm-Liouville 本征函数在 \(L^2_\rho\) 中完备. Parseval 等式随即由 Hilbert 空间的完备正交展开得到.²

收敛方式

对任意 \(f\in L^2_\rho\), 上述展开只保证平方平均收敛, 不自动保证逐点或一致收敛.
若 \(f\in\mathcal D(A)\), 则 \[Af=\sum_{n=1}^\infty\lambda_nc_ny_n\] 也在 \(L^2_\rho\) 中收敛. 因此部分和在 \(A\) 的图范数下收敛. 对有限区间上的正则问题, 图范数控制 \(H^2\) 范数, 从而由一维 Sobolev 嵌入得到函数及其一阶导数的一致收敛.
上述谱定理直接给出 \(L^2_\rho\) 收敛; 在 \(f\in\mathcal D(A)\) 下, 这里进一步证明图范数及一致收敛. 绝对一致收敛还需要另作本征函数系数估计, 本节不予证明.

Remark 对一般方程

\[y''+P(x)y'+[l(x)+\lambda r(x)]y=0,\]

若 \(r(x)>0\) 且各系数足够光滑, Liouville 变换

\[\xi=\int_0^x\sqrt{r(t)}\,\mathrm{d}t,\qquad \eta(\xi)=\Phi(x)y(x),\]

其中

\[\Phi(x)=r(x)^{1/4}\exp\left(\frac12\int_0^xP(t)\,\mathrm{d}t\right),\]

可将方程化为

\[\frac{\mathrm{d}^2\eta}{\mathrm{d}\xi^2}+[\lambda+Q(\xi)]\eta=0.\]

这里 \(Q\) 由 \(P,l,r\) 及其导数组成. 该变换便于研究本征值渐近性质, 但不替代上述自伴定义域与完备性论证.

Example Legendre 方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1-x^2)y'\right]+\lambda y=0, \qquad x\in(-1,1),\qquad \rho=1.\]

在 \(\lambda=0\) 时, 两个独立解为 \(1\) 和 \(\frac12\ln[(1+x)/(1-x)]\). 两者在每个端点附近都平方可积, 所以 \(x=\pm1\) 均为 LC. 在 \(\mathcal{D}_{\max}\) 中选择

\[\lim_{x\to\pm1}(1-x^2)y'(x)=0\]

去掉对数分量, 得到通常的有界端点自伴实现; 它的本征函数为 \(P_n\), 本征值为 \(n(n+1)\). 这是一种选定的自伴实现, 还存在其他端点条件给出的实现.³

Example Bessel 方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy') +\left(\lambda x-\frac{\nu^2}{x}\right)y=0, \qquad x\in(0,R],\qquad \rho=x,\qquad \alpha=|\nu|.\]

在 \(x=0\) 附近, \(\alpha>0\) 的两个解分别以 \(x^\alpha\) 和 \(x^{-\alpha}\) 为主项; \(\alpha=0\) 时为 \(1\) 和 \(\ln x\). 因为

\[\int_0^\epsilon x|x^{-\alpha}|^2\,\mathrm{d}x\lt\infty \iff \alpha\lt1,\]

而常数解与对数解在权重 \(x\) 下都平方可积, 所以 \(0\le\alpha\lt1\) 为 LC, \(\alpha\ge1\) 为 LP.

通常的径向问题选择去掉奇异分量. 对 LC 端点, 可将该选择写成定义域条件

\[\begin{cases} \displaystyle\lim_{x\to0}x\left[x^\alpha y'-\alpha x^{\alpha-1}y\right]=0, &0\lt\alpha\lt1,\\ \displaystyle\lim_{x\to0}xy'=0,&\alpha=0. \end{cases}\]

对于本征解, 这相当于选择有界分支; \(\lambda>0\) 时为 \(J_\alpha(\sqrt{\lambda}\,x)\), 排除 \(Y_\alpha\). 用 \(|\nu|\) 避免把负非整数阶的 \(J_\nu\) 误认为有界分支. LP 情形不在 \(0\) 另加条件, 但正则端点 \(R\) 始终需要一个条件, 如 \(y(R)=0\).

14.4 Degeneracy in Sturm-Liouville Type Equations

Theorem 正则 Sturm-Liouville 问题在实分离型边界条件下的每个本征值都是单本征值.

Proof 反设 \(y_1,y_2\) 是同一本征值的两个线性无关本征函数. Abel 恒等式给出

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{p(x)\left[y_1(x)y_2'(x)-y_2(x)y_1'(x)\right]\right\}=0.\]

实分离型边界条件使大括号中的量在每个端点为零, 所以它在整个区间恒为零. 因而 \(y_1,y_2\) 的 Wronski 行列式恒为零, 两个解线性相关, 与假设矛盾.

周期或其他合适的耦合边界条件不强迫每个端点的 Wronski 行列式分别为零, 因而可能出现简并; 上述单本征值结论只针对实分离型边界条件.

Theorem 若 \(\lambda\rho(x)-q(x)\) 在一对相邻零点之间恒为正, 则解 \(u(x,\lambda)\) 在此区间仅有一个极大(或极小)值. Proof (反证)设有两个极值点 \(x_{1}\) 和 \(x_2\), 期间没有零点, \(u\) 恒正或恒负. 对 S-L 方程从 \(x_1\) 积分到 \(x_2\) 得

\[0=-\left[p(x)u'(x)\right]_{x_1}^{x_2}=\int_{x_1}^{x_2}[\lambda\rho(x)-q(x)]u(x)\mathrm{d}x.\]

左边积分不可能为零, 矛盾.

Theorem Sturm 比较定理设 \(u_1,u_2\) 是同一正则 Sturm-Liouville 方程分别对应于参数 \(\lambda_1\lt\lambda_2\) 的非零实解. 若 \(\zeta\lt\xi\) 是 \(u_1\) 的两个相邻零点, 则开区间 \((\zeta,\xi)\) 内至少有 \(u_2\) 的一个零点.⁴

Proof 记

\[u(x,\lambda_1)\equiv u_1(x),\quad u(x,\lambda_2)\equiv u_2(x)\]

将 \(u_1\) 的方程乘以 \(u_2\), 将 \(u_2\) 的方程乘以 \(u_1\), 两式相减, 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(u_2u_1'-u_1u_2')\right] =(\lambda_2-\lambda_1)\rho u_1u_2.\]

不妨将 \(u_1\) 乘以 \(-1\), 使 \(u_1>0\) 在 \((\zeta,\xi)\) 内. 由解的零点唯一性, 端点零点均为单零点, 所以

\[u_1'(\zeta)>0,\qquad u_1'(\xi)\lt0.\]

反设 \(u_2\) 在 \((\zeta,\xi)\) 内没有零点. 必要时将 \(u_2\) 乘以 \(-1\), 可令 \(u_2>0\) 在开区间内, 且 \(u_2\geq0\) 在闭区间上. 对微分恒等式积分并利用 \(u_1(\zeta)=u_1(\xi)=0\), 得

\[\begin{aligned} &p(\xi)u_2(\xi)u_1'(\xi)-p(\zeta)u_2(\zeta)u_1'(\zeta)\\ &\qquad=(\lambda_2-\lambda_1)\int_\zeta^\xi\rho(x)u_1(x)u_2(x)\,\mathrm{d}x. \end{aligned}\]

由于 \(p>0\), 左侧不大于零; 由于 \(\lambda_2-\lambda_1>0\)、\(\rho>0\) 且 \(u_1u_2>0\) 在开区间内, 右侧严格大于零, 矛盾. 因而 \(u_2\) 在 \((\zeta,\xi)\) 内至少有一个零点.

这个证明比较的是两个相邻零点, 不需要端点满足特定边界条件. 若把区间端点也计作零点, 必须先确认相应解在该端点确实为零; 一般 Neumann 或 Robin 条件不能代替这一要求.

14.5 Revisiting the Separation of Variables

考虑弦的横振动问题. 对于两端固定弦的振动, 定解问题是:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t), \quad 0 \lt x \lt l, t > 0\]

\[u\big|_{x=0} = 0, \quad u\big|_{x=l} = 0, \quad t > 0\]

\[u|_{t=0}=\phi(x),\quad\frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=\psi(x),\quad0\lt x\lt l\]

齐次情形(自由振动)的讨论

对于一个 S-L 方程的本征问题 \(\boldsymbol{\mathcal{L}}X = \lambda \rho X, X(0) = 0, X(l) = 0\), 假设其本征函数正交归一

\[(X_n, X_m) = \int_0^l X_n^*(x) X_m(x) \rho(x) \, \mathrm{d}x = \delta_{nm}\]

定解问题与本征问题边条件一致, 可以将定解问题的解 \(u(x,t)\) 按照本征函数组 \({ X_n(x) }\), \(n = 1, 2, 3, \cdots\) 展开:

\[u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty T_n(t) X_n(x)\]

代入弦振动方程的自由振动情形

\[\sum_{m=1}^\infty T_m^{\prime\prime}(t) X_m(x) - a^2 \sum_{m=1}^\infty T_m(t) X_m^{\prime\prime}(x) = 0\]

\[\Longrightarrow T_n''(t) - a^2 \sum_{m=1}^\infty (X_n, X_m'') T_m(t) = 0\]

再将初始条件也按这一组本征函数展开, 得到

\[T_n(0) = (X_n, \phi), \quad T_n^{\prime}(0) = (X_n, \psi)\]

由以上两式求出 \(T_n(t)\), 也就求出了 \(u(x,t)\). 本征函数的完备性在其中起了关键作用.

非齐次情形的讨论

不同之处只在于要将方程的非齐次项 \(f(x,t)\) 也按本征函数展开, 我们得到的方程组形式变为

\[T_n^{\prime\prime}(t) - a^2 \sum_{m=1}^\infty (X_n, X_m^{\prime\prime}) T_m(t) = (X_n, f)\]

\[T_n(0) = (X_n, \phi), \quad T_n^{\prime}(0) = (X_n, \psi)\]

其中要求 \(f(x,t)\) 作为 \(x\) 的函数与本征函数组 \(\{X_n(x)\}\) 同属相应的平方可积空间, 无须满足未知函数 \(u\) 的边界条件. 非齐次边界条件仍应先对 \(u\) 齐次化.

为了方便 \(T_n(t)\) 的求解, 应该恰当地选择本征函数组 \({X_n(x)}\), 使其满足

\[(X_n, X_m^{\prime\prime}) = -\lambda_n \delta_{nm}\]

即本征函数满足常微分方程

\[-X_n^{\prime\prime}(x) = \lambda_n X_n(x)\]

这样, 非齐次方程组简化为

\[T_n^{\prime\prime}(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t),\]

这种选择保证了分离变量法在操作上的实用性.

References

S. B. Allan et al., Explicit Krein Resolvent Identities for Singular Sturm-Liouville Operators with Applications to Bessel Operators, §2 (maximal/minimal domains, Weyl classification and self-adjoint restrictions). ↩︎
NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.18 Linear Second Order Differential Operators and Eigenfunction Expansions, especially §§1.18(i), 1.18(iv), and 1.18(v). ↩︎ ↩︎
M. Bush, D. Frymark and C. Liaw, Singular Boundary Conditions for Sturm-Liouville Operators via Perturbation Theory, §4 (Jacobi operators, including the Legendre case). ↩︎
Anton Zettl, Sturm-Liouville Theory, Mathematical Surveys and Monographs 121, American Mathematical Society, 2005, DOI: 10.1090/surv/121. ↩︎

Mathematical Physics Methods - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

15 Integral Transform Methods

求解偏微分方程的定解问题, 可以使用积分变换, 通过求解原定解的像函数的定解问题, 然后再通过逆变换得到原定解.

15.1 Laplace Transform Method

Laplace 变换常用于求解含时间的偏微分方程定解问题. 对于系数与 \(t\) 无关的偏微分方程, 变换后微分变量的个数比原来减少一个.

Example 1 求解定解问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} &&0\leq x\leq l\\ &\left.u\right|_{t=0}=0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0\\ &\left.u\right|_{x=0}=0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=E\sin\omega t \end{aligned}\]

Solution 作 Laplace 变换(这一步已经包含了时域的初始条件)

\[\mathcal { L } \left\{ u \right\} = U ( x , p ),\quad \mathcal { L } \left\{ \frac { \partial ^{2} u } { \partial t ^{2} } \right\} = p ^{2} U ( x , p ),\quad \mathcal { L } \left\{ \frac { \partial ^{2} u } { \partial x ^{2} } \right\} = \frac { \mathrm { d } ^{2} U ( x , p ) } { \mathrm { d } x ^{2} }\]

定解问题变为单变量 \(x\) 的常微分方程

\[a ^{2} \frac { \mathrm { d } ^{2} U ( x , p ) } { \mathrm { d } x ^{2} } - p ^{2} U ( x , p ) = 0\]

\[\left. U ( x , p ) \right| _ { x = 0 } = 0,\quad \left. \frac { \mathrm { d } U ( x , p ) } { \mathrm { d } x } \right| _ { x = l } = E \frac { \omega } { p ^{2} + \omega ^{2} }\]

通解为

\[U ( x , p ) = C _ { 1 } \cosh { \frac { p x } { a } } + C _ { 2 } \sinh { \frac { p x } { a } }\]

由边界条件得

\[C _ { 1 } = 0,\quad C _ { 2 } = \frac { E \omega a } { p ( p ^{2} + \omega ^{2} ) \cosh \frac { p l } { a } }\]

最终得到

\[U ( x , p ) = \frac { E \omega a } { p ( p ^{2} + \omega ^{2} ) } \frac { \sinh \frac { p x } { a } } { \cosh \frac { p l } { a } }\]

以下取 \(\omega>0\) 且 \(\omega\ne\omega_k\), 即非共振情形. 像函数可能的极点均为简单极点, 位于
\[\pm\mathrm{i}\omega;\quad \pm\mathrm{i}\frac{\pi a}{l}\left(k-\frac{1}{2}\right)\equiv\pm\mathrm{i}\omega_k,\quad k=1,2,3,...\]
\(p=0\) 处由 \(\sinh(px/a)\) 抵消分母的 \(p\), 是可去奇点. 个别观察位置还可能使其他极点可去. 共振时须合并重合极点, 按二阶极点求留数, 下述含 \(\omega_k^2-\omega^2\) 的表达不能直接代入.
存在 \(\gamma>0\), 使得 \(\mathrm{Re}p \geq \gamma\) 时, 第二项一致有界
\[\left|\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{p(x-l)/a}-\mathrm{e}^{-p(x+l)/a}}{1+\mathrm{e}^{-2pl/a}}\right|\lt\frac{2}{1-\mathrm{e}^{-2\gamma l/a}}\]
从而存在 \(k>1\), 使得在此区间内
\[|p^{k}U(p,x)|\text{有界},\quad k=2\]
存在 \(\mu\lt0\), 使得 \(\mathrm{Re}p \leq \mu\) 时, 由对称性仍然可以得到
\[|p^{2}U(p,x)|\text{一致有界}\]
从而有此区间内
\[|U(p,x)|\text{一致有界}\]
存在一组 \(\{\sigma_n\mid \sigma_{n}=\frac{n\pi a}{l}\}\), 使得 \(p=s\pm\mathrm{i}\sigma_{n},s\geq0\) 时,
\[\left|\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{p(x-l)/a}-\mathrm{e}^{-p(x+l)/a}}{1+\mathrm{e}^{-2sl/a}}\right|\lt2\]
\(s\lt0\) 时由于对称性也一样有界.

取高度为 \(\pm\sigma_n\) 且避开有限个强迫极点的矩形闭合路径. 水平边上 \(U=O(\sigma_n^{-3})\), 对 \(t>0\) 利用 \(\int_{-\infty}^{\gamma}\mathrm e^{st}\mathrm ds\lt\infty\), 其积分趋于零; 左边界先趋于负无穷, 指数因子使该边积分消失. 因而可以将 Bromwich 积分化为按这些路径截断的留数和:

\[\begin{aligned} u(x,t) =&\sum\mathrm{res}\left(\frac{E\omega a\mathrm{e}^{pt}}{p(p^2+\omega^2)}\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right)\\ =&0+\frac{Ea}{2\mathrm{i}\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}-\frac{Ea}{2\mathrm{i}\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\\ &+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{E\omega a}{\mathrm{i}\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\frac{a\sin\frac{\omega_kx}{a}}{(-1)^kl}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_kt}-\frac{E\omega a}{\mathrm{i}\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\frac{a\sin\frac{\omega_kx}{a}}{(-1)^kl}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}\right)\\ =&\frac{Ea}{\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\sin\omega t+\frac{2E\omega a^2}{l}\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\sin\frac{\omega_kx}{a}}{\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\sin\omega_kt \end{aligned}\]

Example 2 求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Remark 无界区间的定解问题中, 往往并不明确列出边界条件. 如果将无界区间视为一个物理上的抽象, 那么外界的影响 \(f(x,t)\) 只应发生在有限的空间内, 即

\[\lim_{x\to\pm\infty}f(x,t)=0\]

无穷远处的响应同时也应保持不变

\[\lim_{x\to\pm\infty}u(x,t)=0\]

以下点态推导可取 \(\kappa>0\), 外力空间光滑且支撑在固定有界区间, 时间上为指数阶; 在相应 Laplace 收敛半平面内换序成立. 平方可积 \(f(\cdot,t)\in L^2(\mathbb{R})\) 本身不能推出 \(f(x,t)\to0\) 的逐点极限: 高度固定、宽度可求和且中心趋于无穷远的光滑峰列就是反例. 若只给 \(L^2\) 数据, 应在 \(L^2\) 意义下求解, 不应把点态无穷远条件当成其直接推论.

Solution 做 Laplace 变换, 令

\[\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p),\quad \mathcal{L}\{f(x,t)\}=F(x,p)\]

定解问题变为(注意保留渐进条件)

\[pU(x,p)-\kappa\frac{\mathrm{d}^2U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=F(x,p),\quad \lim_{x\to\pm\infty}U(x,p)=0\]

在 \(\operatorname{Re}p>0\) 内取 \(\operatorname{Re}\sqrt p>0\) 的解析分支. 齐通解为

\[C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

利用常数变易法, 设非齐次方程的解满足

\[U(x,p)=C_1(x)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2(x)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

\[C_1'(x)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2'(x)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)=0\]

代入方程得

\[-\kappa\left[C_1'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\right]=F(x,p)\]

联立求解得

\[C_1'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}F(x,p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right),\quad C_2'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}F(x,p)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

积分并考虑边界条件:

\[C_1(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_x^\infty F(x',p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x'\right)\mathrm{d}x',\quad C_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_{-\infty}^x F(x',p)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x'\right)\mathrm{d}x'\]

最终得到

\[U(x,p)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_{-\infty}^{\infty}F(x',p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

由 Laplace 反演公式

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{p}}\exp(-\alpha\sqrt{p})\right\}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\exp\left(-\frac{\alpha^2}{4t}\right)\]

及卷积定理, 得解

\[u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x'\int_0^t\exp\left[-\frac{(x-x')^2}{4\kappa(t-\tau)}\right]\frac{f(x',\tau)}{\sqrt{t-\tau}}\mathrm{d}\tau\]

Example 3 用 Laplace 变换求解无界弦的波动问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0 &&-\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\\ &\left.u\right|_{t=0}=\phi(x), &&\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x) \end{aligned}\]

Solution 做 Laplace 变换:

\[\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p)\]

为采用下述衰减的 Laplace 解, 可取 \(a>0\) 及光滑紧支撑初值 \(\phi,\psi\). 定解问题化为 (一般光滑初值的 d’Alembert 公式本身不要求无穷远衰减)

\[p^2U(x,p)-p\phi(x)-\psi(x)-a^2\frac{\mathrm{d}^2U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=0\]

\[\lim_{x\to\pm\infty}U(x,p)=0\]

设常数变易解

\[U(x,p)=C_1(x)\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2(x)\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)\]

\[C_1'(x)\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2'(x)\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)=0\]

代入方程得

\[-a^2\left[C_1'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)\right]=p\phi(x)+\psi(x)\]

联立求解

\[\exp\left(\frac{p}{a}x\right)C_1'(x)=-\frac{1}{2a}\phi(x)-\frac{1}{2ap}\psi(x),\quad \exp\left(-\frac{p}{a}x\right)C_2'(x)=\frac{1}{2a}\phi(x)+\frac{1}{2ap}\psi(x)\]

积分并考虑边界条件

\[\begin{aligned} C_1(x)&=\frac{1}{2a}\int_x^\infty\phi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'+\frac{1}{2ap}\int_x^\infty\psi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'\\ C_2(x)&=\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^x\phi(x')\exp\left(\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'+\frac{1}{2ap}\int_{-\infty}^x\psi(x')\exp\left(\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x' \end{aligned}\]

最终得到

\[U(x,p)=\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\phi(x')+\frac{1}{p}\psi(x')\right]\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

利用延迟定理

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p}\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\right\}=H\left(t-\frac{|x-x'|}{a}\right)\]

从而对第二项的反演有

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\psi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\right\}=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(x')\mathrm{d}x'\]

对第一项的反演, 注意到

\[\mathcal{L}\left\{\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\phi(x')\mathrm{d}x'\right\}=\frac{p}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\phi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

最终解为

\[u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(x')\mathrm{d}x'\]

通过这几个例子, 可以看到 Laplace 积分变换法的优势

将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题
绕过边条件的齐次化过程
不需要进行复杂的本征函数展开
可以用于无界区间的定解问题

15.2 Fourier Transform Method

Fourier 变换可对空间变量进行变换. 对于一维无界区间 \((-\infty, \infty)\) 上的函数 \(f(x)\), 如果在任意有限区间上只有有限个极大极小和有限个第一类间断点, 且积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\mathrm{d}x\) 收敛, 则函数 \(f(x)\) 的 Fourier 变换存在,

\[\hat{f}(k)=\mathcal{F}[f(x)]\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

其逆变换

\[f(x)=\mathcal{F}^{-1}[\hat f(k)]\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\]

这里采用了对称系数约定.

Example 用 Fourier 变换求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Solution 假设 \(u(x,t),f(x,t)\) 的 Fourier 变换存在

\[\hat{u}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x,\quad \hat{f}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

定解问题化为

\[\frac{\mathrm{d}\hat{u}(k,t)}{\mathrm{d}t}+\kappa k^{2}\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k,t),\quad \hat{u}(k,0)=0\]

用常数变易法求解该一阶常微分方程

\[\hat{u}(k,t)=\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\int_{0}^{t}\hat{f}(k,\tau)\mathrm{e}^{\kappa k^{2}\tau}\mathrm{d}\tau= \int_0^t\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau )\mathrm{d}\tau\]

计算

\[\begin{aligned} g(x,t) &=\mathcal{F}^{-1}[\hat g(k,t)]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\kappa t\left(k-\frac{\mathrm{i}x}{2\kappa t}\right)^{2}\right]\mathrm{d}k\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\sqrt{\frac{\pi}{\kappa t}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\kappa t}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right] \end{aligned}\]

由卷积定理(对称约定下)

\[\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(f(\cdot,\tau)\star_xg(\cdot,t-\tau)\right)(x)\]

最终得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)\mathrm{d}\tau\\ &=\int_{0}^{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\frac{1}{\sqrt{2\kappa(t-\tau)}}\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{0}^{t}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\frac{\mathrm{d}\tau}{\sqrt{t-\tau}} \end{aligned}\]

与上节用 Laplace 变换得到的解形式一致.

15.3 Fourier-Laplace Mixed Transform Method

对于无界空间中含时间的偏微分方程的定解问题, 若施行两次变换–对 \(x\) 作 Fourier 变换和对 \(t\) 作 Laplace 变换, 往往更为简便

Fourier 变换适用于无界区域问题, Laplace 变换适合处理初值问题.

Example 用 F-L 混合变换法求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Solution 作 Fourier 变换

\[\hat{u}(k,t)=\mathcal{F}[u(x,t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

\[\hat{f}(k,t)=\mathcal{F}[f(x,t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

\[\frac{\mathrm{d}\hat{u}(k,t)}{\mathrm{d}t}+\kappa k^{2}\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k,t),\quad \hat{u}(k,0)=0\]

再作 Laplace 变换

\[\tilde{u}(k,p)=\mathcal{L}\{\hat{u}(k,t)\},\quad \tilde{f}(k,p)=\mathcal{L}\{\hat{f}(k,t)\}\]

\[p\tilde{u}(k,p)+\kappa k^{2}\tilde{u}(k,p)=\tilde{f}(k,p)\]

解得

\[\tilde{u}(k,p)=\frac{1}{p+\kappa k^{2}}\tilde{f}(k,p)\]

先对解进行 Laplace 反演, 利用

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p+\kappa k^{2}}\right\}=\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\]

和 Laplace 变换的卷积定理得到

\[\hat{u}(k,t)=\int_{0}^{t}\hat{f}(k,\tau)\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}(t-\tau)}\mathrm{d}\tau=\int_0^t\hat f(k,\tau)\hat g(k,t-\tau)\mathrm{d}\tau\]

利用

\[g(x,t)=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k=\frac{1}{\sqrt{2\kappa t}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\]

和 Fourier 变换的卷积定理得到

\[\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(f(\cdot,\tau)\star_xg(\cdot,t-\tau)\right)(x)\]

最终得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_{0}^{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\frac{1}{\sqrt{2\kappa(t-\tau)}}\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{0}^{t}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\frac{\mathrm{d}\tau}{\sqrt{t-\tau}} \end{aligned}\]

解的形式与前两种方法一致

15.4 General Discussion of Integral Transform Methods

统一记为

\[F(k)=\int_{a}^{b}K(k,x)f(x)\mathrm{d}x\]

其中 \(K(k,x)\) 是积分变换的核. 常用变换的核函数为:

Laplace	Fourier	正弦	余弦	Hankel	Mellin
\(\mathrm{e}^{-kx}\)	\(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\)	\(\sin kx\)	\(\cos kx\)	\(xJ_{\nu}(kx)\)	\(x^{k-1}\)

对偏微分方程定解问题

\[\left[\mathbf{L}_{1}(x)+\mathbf{L}_{2}(y)\right]u(x,y)=f(x,y)\]

其中 \(\mathbf{L}_{1}(x)\) 和 \(\mathbf{L}_{2}(y)\) 分别为关于 \(x\) 和 \(y\) 的微分算符. 在积分变换

\[U(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)u(x,y)\mathrm{d}x,\quad F(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)f(x,y)\mathrm{d}x\]

下, 方程变为

\[F(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)\left[\mathbf{L}_{1}(x)u(x,y)\right]\mathrm{d}x+\mathbf{L}_{2}(y)U(k,y)\]

在核和未知函数的边条件使分部积分边界项消失时, 通过分部积分可改写为

\[\int_{a}^{b}\left[\mathbf{M}_{1}(x)K(k,x)\right]u(x,y)\mathrm{d}x+\mathbf{L}_{2}(y)U(k,y)=F(k,y)\]

其中 \(\mathbf{M}_{1}(x)\) 是算符 \(\mathbf{L}_{1}(x)\) 的伴算符. 为使结果是关于 \(U(k,y)\) 的微分方程, 需满足特征方程

\[\mathbf{M}_{1}(x)K(k,x)=\lambda K(k,x)\]

此条件限定了可选的变换核 \(K(k,x)\). 例如, 在柱坐标系中求解 Laplace 方程时, 对径向变量 \(r\) 应选用 Hankel 变换.

15.5 Hankel Transform

Hankel 变换

\[\hat{u}(p)=\int_{0}^{\infty}u(r)J_{\nu}(pr)r\mathrm{d}r\]

反演式

\[u(r)=\int_{0}^{\infty}\hat{u}(p)J_{\nu}(pr)p\mathrm{d}p\]

Hankel 变换与 Fourier 变换

考虑二维 Fourier 变换(\(\mathbf{r}=(r,\theta), \mathbf{p}=(p,\phi)\))

\[\begin{aligned} \hat{f}(\mathbf{p}) &= \frac{1}{2\pi} \int f(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}^2\mathbf{r} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} f(r,\theta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta\\ f(\mathbf{r}) &= \frac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\mathbf{p}) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}^2\mathbf{p} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \hat{f}(p,\phi) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} p \mathrm{d}p \mathrm{d}\phi \end{aligned}\]

对角度部分展开为 Fourier 级数:

\[\begin{aligned} f(r,\theta) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n(r) \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}, & f_n(r) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(r,\theta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta} \mathrm{d}\theta \\ \hat{f}(p,\phi) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}_n(p) \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}, & \hat{f}_n(p) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \hat{f}(p,\phi) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\phi} \mathrm{d}\phi \end{aligned}\]

利用 Bessel 函数展开

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(pr) \mathrm{i}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n(\theta-\phi)}\]

代入并利用正交性, 得到第 \(n\) 阶分量的关系

\[\begin{aligned} \hat{f}_n(p) &= (-\mathrm{i})^n \int_0^\infty f_n(r) J_n(pr) r \mathrm{d}r \\ f_n(r) &= \mathrm{i}^n \int_0^\infty \hat{f}_n(p) J_n(pr) p \mathrm{d}p \end{aligned}\]

此即 \(n\) 阶 Hankel 变换与 \(n\) 阶 Hankel 逆变换.

Lemma 1 Hankel 变换公式设函数

\[f(x) = x^{\nu}(a^2-x^2)^{\mu}H(a-x),\quad \mu>-1,\quad\nu>-1,\quad a>0,\ k>0\]

其 \(\nu\) 阶 Hankel 变换为

\[F_{\nu}(k) = \int_{0}^{a}x^{\nu+1}(a^{2}-x^{2})^{\mu}J_{\nu}(kx)\mathrm{d}x = 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)\]

Proof 利用 Bessel 函数级数展开

\[J_{\nu}(kx) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{kx}{2}\right)^{\nu+2m}\]

代入 Hankel 变换

\[\begin{aligned} F_{\nu}(k) &= \int_{0}^{a}x^{\nu+1}(a^2-x^2)^{\mu}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{kx}{2}\right)^{\nu+2m}\mathrm{d}x\\ &= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{k}{2}\right)^{\nu+2m}\int_{0}^{a}x^{2\nu+2m+1}(a^2-x^2)^{\mu}\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对积分项作变量替换 \(t=x^2/a^2\):

\[\begin{aligned} \int_{0}^{a}x^{2\nu+2m+1}(a^2-x^2)^{\mu}\mathrm{d}x &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}\int_{0}^{1}t^{\nu+m}(1-t)^{\mu}\mathrm{d}t\\ &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}B(\nu+m+1,\mu+1)\\ &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}\frac{\Gamma(\nu+m+1)\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+\nu+m+2)} \end{aligned}\]

代入得

\[F_{\nu}(k) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+1)a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2m!\Gamma(\mu+\nu+m+2)}\left(\frac{k}{2}\right)^{\nu+2m}\]

观察 Bessel 函数的级数表示

\[J_{\nu+\mu+1}(ak) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+\mu+m+2)}\left(\frac{ak}{2}\right)^{\nu+\mu+2m+1}\]

整理可得

\[F_{\nu}(k) = 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)\]

QED.

Lemma 2 Bessel 函数积分公式对实参数 \(\mu>\nu>-1\), \(a,b>0\), \(a\ne b\), 有(右侧在 \(b>a\) 时定义为 0; \(a=b\) 需单独取极限):

\[\int_{0}^{\infty}t^{1-\mu+\nu}J_{\mu}(at)J_{\nu}(bt)\mathrm{d}t = \frac{b^{\nu}(a^{2}-b^{2})^{\mu-\nu-1}}{2^{\mu-\nu-1}a^{\mu}\Gamma(\mu-\nu)}H(a-b)\]

Proof 由 Lemma 1 及 Hankel 逆变换关系

\[f(x) = \int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)J_{\nu}(xk)k\mathrm{d}k\]

代入 \(f(x)\) 和 \(F_{\nu}(k)\) 的表达式

\[\begin{aligned} x^{\nu}(a^2-x^2)^{\mu}H(a-x) &= \int_{0}^{\infty}2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)J_{\nu}(xk)k\mathrm{d}k\\ &= 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}\Gamma(\mu+1)\int_{0}^{\infty}J_{\nu}(xk)J_{\nu+\mu+1}(ak)k^{-\mu}\mathrm{d}k \end{aligned}\]

令 \(\mu'=\mu+\nu+1\),\(x=b\),\(k=t\), 整理得

\[\int_{0}^{\infty}t^{1-\mu'+\nu}J_{\nu}(bt)J_{\mu'}(at)\mathrm{d}t = \frac{b^{\nu}(a^2-b^2)^{\mu'-\nu-1}}{2^{\mu'-\nu-1}a^{\mu'}\Gamma(\mu'-\nu)}\]

将 \(\mu'\) 换回 \(\mu\), 并考虑 \(H(a-b)\) 函数, 即得结论. QED.

Lemma 3 对偶积分方程一般解考虑对偶积分方程

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}f(t)J_{\nu}(xt)\mathrm{d}t = x^{-\nu}M(x) &&0\lt x\lt1\\ &\int_{0}^{\infty}f(t)J_{\nu}(xt)t\mathrm{d}t = 0 &&x>1 \end{aligned}\]

其解为

\[f(t) = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi(x)J_{\nu-1/2}(xt)\mathrm{d}x\]

其中

\[\xi(x) = x^{-2\nu}M(0) + x^{1-2\nu}\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y\]

特别地, 当 \(\nu=0\) 时, 简化为

\[\begin{aligned} f(t) &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\xi(x)\cos(xt)\mathrm{d}x\\ \xi(x) &= M(0) + x\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y \end{aligned}\]

Proof 设

\[f(t) = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi(x)J_{\nu-1/2}(xt)\mathrm{d}x\]

分部积分得

\[f(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi t}}\left[\xi(1)J_{\nu+1/2}(t)-\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi'(x)J_{\nu+1/2}(xt)\mathrm{d}x\right]\]

当 \(x>1\) 时,由 Lemma 2

\[\int_{0}^{\infty}t^{1/2}J_{\nu}(xt)J_{\nu+1/2}(yt)\mathrm{d}t = 0,\quad (y\leq1)\]

故第二个方程自动满足. 代入第一个方程, 利用 Bessel 函数乘积公式:

\[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{x}y^{2\nu}(x^2-y^2)^{-1/2}\xi(y)\mathrm{d}y = M(x)\]

令 \(x^2=t\), \(y^2=u\), 并记 \(\widetilde\xi(u)=\xi(\sqrt u)\), \(\widetilde M(t)=M(\sqrt t)\), 则

\[\frac{1}{\pi}\int_{0}^{t}u^{\nu-1/2}(t-u)^{-1/2}\widetilde\xi(u)\mathrm{d}u = \widetilde M(t)\]

设 \(Q(u)=u^{\nu-1/2}\widetilde\xi(u)\), 对两边作 Laplace 变换.由于

\[\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} = \sqrt{\frac{\pi}{p}},\quad \mathcal{L}\{Q(t)\} = q(p),\quad \mathcal{L}\{\widetilde M(t)\} = m(p)\]

根据卷积定理

\[\frac{1}{\pi}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{p}}\cdot q(p) = m(p)\]

解得

\[q(p) = \sqrt{\pi p}\cdot m(p)\]

利用 \(q(p)=\sqrt{\pi/p}\,[p\,m(p)]=\sqrt{\pi/p}\,[\mathcal{L}\{\widetilde M'(t)\}+\widetilde M(0)]\) 及卷积定理, 反演得

\[Q(t) = \widetilde M(0)t^{-1/2} + \int_{0}^{t}(t-u)^{-1/2}\widetilde M'(u)\mathrm{d}u\]

因此

\[\xi(x) = x^{-2\nu}M(0) + x^{1-2\nu}\int_{0}^{x}(x^2-y^2)^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y\]

当 \(\nu=0\) 时, 利用

\[\sqrt{\frac{2t}{\pi}}J_{-1/2}(xt) = \frac{2}{\pi\sqrt{x}}\cos(xt)\]

可得特殊形式. QED.

Example 求解带电导体圆盘的静电势. 采用柱坐标系, 定解问题为

\[\begin{aligned} &\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 &&0\lt r\lt\infty,\ z>0\\ &\left.u\right|_{z=0,0\leq r\lt a}=u_0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{z=0,r>a}=0\\ &\left.u\right|_{r=0}\text{有界}, &&\lim_{r\to\infty}u=0 &\lim_{z\to\infty}u=0 \end{aligned}\]

Solution 作零阶 Hankel 变换

\[\hat{u}(p,z)=\int_{0}^{\infty}u(r,z)J_0(pr)r\mathrm{d}r\]

还需控制分部积分的边界项, 点态 \(u\to0\) 本身不够. 对 \(p>0,z>0\), 要求变换积分收敛并有

\[\left[rJ_0(pr)\partial_ru-r\partial_rJ_0(pr)u\right]_{r=0}^{r=\infty}=0.\]

本例电势在轴上正则, \(\partial_ru=O(r)\); 无穷远有 \(u=O(r^{-1})\)、\(\partial_ru=O(r^{-2})\), 配合 Bessel 渐近行为, 边界项消失. 因而可得

\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)J_0(pr)r\mathrm{d}r=-p^2\hat{u}(p,z)\]

因此,方程和边界条件变换为

\[\frac{\mathrm{d}^2\hat{u}(p,z)}{\mathrm{d}z^2}-p^2\hat{u}(p,z)=0,\quad \lim_{z\to\infty}\hat{u}(p,z)=0\]

解得

\[\hat{u}(p,z)=A(p)\mathrm{e}^{-pz}\]

难点在于处理 \(z=0\) 平面上混合边界条件. 先进行 Hankel 逆变换:

\[u(r,z)=\int_{0}^{\infty}A(p)\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)p\mathrm{d}p\]

将此式代入边界条件, 得到系数 \(A(p)\) 的对偶积分方程:

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}A(p)J_0(pr)p\mathrm{d}p=u_0 &&0\leq r\lt a\\ &\int_{0}^{\infty}A(p)J_0(pr)p^2\mathrm{d}p=0 &&r>a \end{aligned}\]

令 \(f(p)=pA(p)\), \(M(r)=u_0\), 并应用 Lemma 3

\[\begin{aligned} \xi(r) &= u_0\\ pA(p) &= \frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{a}\cos(rp)\mathrm{d}r = \frac{2u_0\sin(ap)}{\pi p} \end{aligned}\]

解得

\[A(p) = \frac{2u_0\sin(ap)}{\pi p^2}\]

代入解式, 得到带电导体圆盘的静电势:

\[\begin{aligned} u(r,z) &= \int_{0}^{\infty}A(p)\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)p\mathrm{d}p\\ &= \frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)\frac{\sin(ap)}{p}\mathrm{d}p\\ &= \frac{2u_0}{\pi}\arcsin\frac{2a}{\sqrt{z^2+(r+a)^2}+\sqrt{z^2+(r-a)^2}} \end{aligned}\]

其中最后一行利用了积分公式

\[\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)\frac{\sin(ap)}{p}\mathrm{d}p = \arcsin\frac{2a}{\sqrt{z^2+(r+a)^2}+\sqrt{z^2+(r-a)^2}}\]

以上讨论的主要都是无界或半无界区间上的积分变换, 它们的共同特点是变量 \(k\) 的取值连续. 对于有界区间(含周期性)上的积分变换, \(k\) 只能取离散值. 可将变换核记为 \(K_n(x)\), 常见例子有:

有限正弦变换	有限余弦变换	Legendre 变换
\(\sin nx\)	\(\cos nx\)	\(P_n(x)\)

这些积分变换的核恰好是定义在各自区间上的本征函数, 体现了 Sturm-Liouville 理论的统一框架.

16 Green Function Method

本章将讨论偏微分方程的 Green 函数方法.

Theorem Green 第二公式 (散度定理的推论). 例如取 \(V\) 为有界区域, 边界 \(\Sigma\) 分片光滑, \(u,v\in C^2(\overline V)\), 则

\[\iiint_{V}\left[u(\mathbf{r})\nabla^{2}v(\mathbf{r})-v(\mathbf{r})\nabla^{2}u(\mathbf{r})\right]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{\Sigma}[u\nabla v-v\nabla u]\cdot\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}\]

其中 \(\Sigma\) 是体积 \(V\) 的边界面, 规定边界面的外法线方向为正. 对含点源的 Green 函数, 应先挖去源点的小邻域并保留其边界项, 再取极限; 等价地在分布意义下使用公式.

16.1 Basic Concepts of Green Functions

先通过静电场的例子引入 Poisson 方程第一边值问题的 Green 函数.

Example 1 考虑有界空间的静电场. 设金属壳表面接地, 金属壳内电荷分布为 \(\rho(\mathbf{r})\). 则静电势满足 Poisson 方程, 其定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &u|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

Solution 静电势满足电势叠加原理, 可以对 \(u\) 和 \(\rho\) 进行线性组合满足相同的 Poisson 方程和边界条件

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})=-\frac{\alpha_{1}\rho_{1}(\mathbf{r})+\alpha_{2}\rho_{2}(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &\left.(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})\right|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

由于电荷密度分布可以等价地表示为 \(\delta\) 函数的线性组合

\[\rho(\mathbf{r})=\int\rho(\mathbf{r}^{\prime})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

对于每一个 \(\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\) 电荷分布, 设有唯一的解 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=-\frac{\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}{\epsilon_0}\\ &\left.G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\right|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

线性叠加得到定解问题的解

\[u(\mathbf{r})=\int G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

\(G(\mathbf{r}; \mathbf{r}^{\prime})\) 的物理意义为 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 处的单位点电荷在 \(\mathbf{r}\) 产生的电势.

Example 2 无界空间电势

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &u|_{r\rightarrow\infty}=0 \end{aligned}\right.\]

说明其解为 Green 函数

的线性叠加.

Solution 单位点电荷在无界空间产生的静电势为

\[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\]

容易验证它确实是满足 Green 函数的方程, 因为

\[\nabla^{2}\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\mathbf{r})\]

由单位点电荷电势(Green 函数)可以叠加得到最后的解

\[u(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

Definition Green 函数: 设 \(\mathcal{L}\) 是定义在 \(\Omega\sub\mathbb{R}^n\) 上的一个线性微分算子, 对于定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}u(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}),&&\mathbf{x}\in\Omega\\ &\mathcal{B}u=g,&&\mathrm{on~}\partial\Omega\mathrm{~or~initial~surface} \end{aligned}\right.\]

其中 \(\mathcal{B}\) 是边界算子, 若存在函数 \(G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}),&&\mathbf{x}\in\Omega\\ &\mathcal{B}G=0,&&\mathrm{on~}\partial\Omega\mathrm{~or~initial~surface} \end{aligned}\right.\]

则称 \(G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})\) 为算子 \(\mathcal{L}\) 在边界条件 \(\mathcal{B}G=0\) 下的 Green 函数. 当齐次定解问题唯一可解时, 相应定解问题的解为

\[u(\mathbf{x})=\int_\Omega G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})f(\mathbf{x}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{x}^{\prime}+u_g(\mathbf{x}),\qquad \mathcal{L}u_g=0,\quad\mathcal{B}u_g=g\]

其中 \(u_g\) 承担非齐次边界或初始数据; 当 \(g=0\) 时 \(u_g=0\). 它的具体积分表示依赖算子与边界条件, 不能统一写成同一个表面积分.

Remark

算子 \(\mathcal{L}\) 不仅限于 Laplace 算子, 也不一定局限于稳定问题的算子, 而可以是更一般的线性微分算子
\[-\nabla^2,\quad \frac{\partial}{\partial t}-\kappa\nabla^2,\quad \frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\nabla^2,\quad \nabla^2+k^2\]
对于含时的微分算子和边界条件, 相应辅助 Green 函数也引入含时项. e.g.
\[\partial_tu(x,t)-\kappa\partial_x^2u(x,t)=f(x,t),\quad x\in\mathbb{R},\mathrm{~}t>0\]
对应的 \(G(x,t;x',t')\) 满足
\[\left(\partial_t-\kappa\partial_x^2\right)G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime})\]
取推迟 Green 函数时要求 \(G(x,t;x',t')=0\) 对所有 \(t\lt t'\) 成立. 对热算子, 跨越源时刻积分得到跳跃 \(G(t'^+)-G(t'^-)=\delta(x-x')\); 对时间最高阶系数为 1 的波动算子, 则 \(G\) 连续而 \(\partial_tG(t'^+)-\partial_tG(t'^-)=\delta(x-x')\). 这些等式均在空间分布意义下成立.
在某些特殊情形下, 这样定义的 Green 函数可能无解
- \(\mathcal{L}\) 具有零特征值, 比如 Neumann 边值问题的 Laplace 算子, Green 函数仅在满足一定条件下存在. 此时应该引入修正 Green 函数或投影到正交补空间.
由于 \(\delta\) 是广义函数. Green 函数通常在分布意义或弱解意义下定义. 在 \(\mathbf{x}\neq\mathbf{x}^{\prime}\) 处, \(G\) 满足齐次方程 \(\mathcal{L}G=0\), 这会简化求解在 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\prime}\) 处, \(G\) 具有奇性, 其强度由 \(\delta\) 的积分性质决定.
Green 函数代表了系统对单位点源的响应, 因此在物理上有重要意义.

Example 3 Poisson 方程

\[\nabla^{2}u=-\rho(\mathbf{r})\]

的第一、二、三类边界条件可以统一地写为

\[\left[\alpha{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta u\right]_{\Sigma}=g\]

其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是不同时为零的实数, \(g\) 是体积 \(V\) 的边界 \(\Sigma\) 上的给定函数.

Solution 先假定齐次边值问题没有非零解, 从而逆算子存在. 对 Robin 条件 \(\alpha\ne0\), \(\beta/\alpha>0\) 是一个充分条件: 齐次调和解满足

\[\int_V|\nabla u|^2\mathrm{d}V+\frac\beta\alpha\int_\Sigma u^2\mathrm{d}\Sigma=0,\]

故只能为零. 负系数并不自动保证可逆; 例如半径 \(a\) 的球中 \(u=x_1\) 在 \(\beta/\alpha=-1/a\) 时就是非零齐次解. 以下普通 Green 表示只适用于可逆情形, 纯 Neumann 情形含常数零模, 须另行满足相容条件. 相应的 Green 函数的定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\\ &\left[\alpha{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta G\right]_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

以 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\) 乘 Poisson 方程, \(u(\mathbf{r})\) 乘 Green 函数方程, 相减, 然后在体积 \(V\) 中求积分, 得

\[\iiint_{V}[G\nabla^{2}u(r)-u(r)\nabla^{2}G]\mathrm{d}\mathbf{r} =-\iiint_{V}G\rho\mathrm{d}\mathbf{r}+\iiint_{V}u(\mathbf{r})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}\]

左边的积分应用 Green 公式化为面积分, 移项, 得

\[u(\mathbf{r}^{\prime}) =\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r} +\iint_{\Sigma}\left(G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial u(\mathbf{r})}{\partial n}-u(\mathbf{r})\frac{\partial G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma\]

其中 \(\frac{\partial}{\partial n}\) 代表沿 \(\Sigma\) 的外法线的方向导数.

对于第一类边值问题
\[\alpha=0;\beta=1\implies u(\mathbf{r}^{\prime})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}-\iint_{\Sigma}g\frac{\partial G}{\partial n}\mathrm{d}\Sigma\]
若 \(\alpha\neq0\), 以 \(G\) 乘边界条件, 得
\[\left[\alpha G{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta Gu\right]_{\Sigma}=Gg\]
以 \(u\) 乘 Green 函数边界条件, 得
\[\left[\alpha u{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta Gu\right]_{\Sigma}=0\]
两式相减, 得
\[\alpha\left[G{\frac{\partial u}{\partial n}}-u{\frac{\partial G}{\partial n}}\right]_{\Sigma}=Gg\]
代入面积分公式, 得
\[u(\mathbf{r}^{\prime})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r} +\frac{1}{\alpha}\iint_{\Sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})g(\mathbf{r})\mathrm{d}\Sigma\]
对于第二边值问题, \(\alpha=1, \beta=0\), 满足原始点源方程和齐次 Neumann 边条件的普通 Green 函数不存在: 由 Green 公式
\[\iiint_{V}\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}=\iint_{\Sigma}\nabla G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\cdot\mathrm{d}\Sigma =\iint_{\Sigma}\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\mathrm{d}\Sigma=0\]
可是, 将 Poisson 方程积分, 又得到
\[\iiint_{V}\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}=-\iiint_V\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime)\mathrm{d}\mathbf{r}=-1\]
得到了相互矛盾的结果. 对原问题 \(\nabla^2u=-\rho\)、\(\partial_nu=g\), 必须满足兼容条件
\[\int_V\rho\,\mathrm{d}V+\int_\Sigma g\,\mathrm{d}\Sigma=0.\]
在连通有界区域内, 解只确定到加法常数. 可取零均值修正 Green 函数
\[\nabla^2G_N=-\delta(\mathbf r-\mathbf r')+\frac1{|V|},\quad \partial_nG_N=0,\quad\int_VG_N\,\mathrm{d}V=0,\]
得到
\[u(\mathbf r')-\overline u= \int_VG_N(\mathbf r;\mathbf r')\rho(\mathbf r)\mathrm{d}V+ \int_\Sigma G_N(\mathbf r;\mathbf r')g(\mathbf r)\mathrm{d}\Sigma, \qquad\overline u=|V|^{-1}\int_Vu\,\mathrm{d}V.\]
这正是在常数零模的正交补上使用逆算子.

将定解问题
\[\nabla^{2}G=-\frac{1}{\epsilon_{0}}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}),\quad \left.\frac{\partial G}{\partial n}\right|_{\Sigma}=0\]
视作稳态传热问题, 则此结论的物理意义容易看出: 点热源位于 \(\mathbf{r}^\prime\), 绝热边条件下, 由于热量无法耗散, 这样的温度场不可能是稳定的.

16.2 Properties of Green Functions for Steady-state Problems

16.2.1 Symmetry of Green Functions

对于上一个例子, 如果视为静电场满足的 Poisson 方程(相差一些 \(\epsilon_0\) 系数), \(G(\mathbf{r}; \mathbf{r}^{\prime})\) 代表的是位于 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点的点源在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场, 积分中 \(\rho(\mathbf{r})\) 是在 \(\mathbf{r}\) 点的源, 这使得解释这个积分的物理意义时发生了困难. 如果可以证明上述 Green 函数具有对称性

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=G(\mathbf{r}^{\prime};\mathbf{r})\]

物理上讲, 这意味着位于 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点的点源, 在一定的边界条件下在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场, 等于位于 \(\mathbf{r}\) 点的同样强度的点源, 在相同的边界条件下在 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点产生的场. 因此, 在把 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 对调后, 可得

\[u(\mathbf{r})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} +\iint_{\Sigma}\left(G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial u(\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}-u(\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\]

这个式子的物理意义很清楚: 右边第一个积分代表在体积 \(V\) 中的分布源 \(\rho(\mathbf{r}^{\prime})\) 在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场的总和; 第二个积分则是在边界面上的源所产生的场.

Proof 考虑比 Laplace 算子更一般的 Helmholtz 算子

\[\mathcal{L}:=-\nabla^2-\lambda,\quad\lambda\in\mathbb{R}\]

相应的 Green 函数满足方程

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}) ,&&\mathbf{r}\in V\\ &\left[\alpha\frac{\partial G}{\partial n}+\beta G\right]_\Sigma=0, &&\alpha,\beta\in\mathbb{R},\alpha^2+\beta^2>0 \end{aligned}\right.\]

\(\alpha\) 和 \(\beta\) 不同时为零. 对于

\[G_1(\mathbf{r})=G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1),\quad G_2(\mathbf{r})=G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2),\quad \mathbf{r}_1\neq\mathbf{r}_2\in V\]

满足

\[-\nabla^2G_1-\lambda G_1=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)\]

\[-\nabla^2G_2-\lambda G_2=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)\]

\[\alpha\frac{\partial G_i}{\partial n}+\beta G_i=0\quad\mathrm{on~}\Sigma,\quad i=1,2\]

使用之前的技巧, 考虑积分

\[I =\int_V\left(G_2\left.\mathcal{L}G_1-G_1\left.\mathcal{L}G_2\right)\right)\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_V\left[G_2\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)-G_1\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)\right]\mathrm{d}\mathbf{r} =G_2(\mathbf{r}_1)-G_1(\mathbf{r}_2)\right.\]

另一方面, 展开 \(\mathcal L\), 得到

\[\begin{aligned} I &=\int_V\left[G_2(-\nabla^2G_1-\lambda G_1)-G_1(-\nabla^2G_2-\lambda G_2)\right]\mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\int_V\left(-G_2\nabla^2G_1+G_1\nabla^2G_2\right)\mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\int_{\Sigma}\left(G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}-G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma \end{aligned}\]

综上

\[G(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)-G(\mathbf{r}_2;\mathbf{r}_1)=\int_\Sigma\left(G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1)\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2)}{\partial n}-G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2)\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1)}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma\]

对称性只需要证明右侧为 0. 代入齐次 Robin 条件

\[\frac{\partial G_i}{\partial n}=-\frac{\beta}{\alpha}G_i,\quad \mathrm{if~}\alpha\ne 0\]

则边界项

\[G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}-G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}=G_1\left(-\frac{\beta}{\alpha}G_2\right)-G_2\left(-\frac{\beta}{\alpha}G_1\right)=0\]

对于 \(\beta\ne 0\), 反过来使其为分母即可. 这就证明了相应 Green 函数的对称性; 算子的自伴性还需在满足这些边条件的适当定义域上确立. 对于 Neumann 问题的修正 Green 函数, 对称性仍可成立, 但需要重新定义.

Remark 这样的对称性并非所有 Green 函数都具有. 在本节实系数、实自伴边界条件且逆算子存在的情形, Green 函数具有上述对称性; 复 Hilbert 空间中的对应关系为 \(G(\mathbf r;\mathbf r')=\overline{G(\mathbf r';\mathbf r)}\).

16.2.2 Behavior of Green Functions near Point Sources

考虑静电场 Poisson 方程第一边值问题的 Green 函数. 在空间 \(V\) 中的点电荷, 必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布. 因此, Green 函数 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 在区域 \(V\) 内可以分解为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') + g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\]

\(G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 是无界空间中单位点电荷(位于 \(\mathbf{r}'\))所产生的电势, 满足 \[G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|},\quad \nabla^2 G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') = - \frac{1}{\epsilon_0}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\] 它在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 处发散(具有库仑奇性), 在 \(V \setminus \{\mathbf{r}'\}\) 上光滑
\(g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 是由边界 \(\Sigma\) 上的感生电荷所等效产生的电势, 它在整个区域 \(V\) 内(包括 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 附近)是调和函数, 即 \[\nabla^2 g(\mathbf{r};\mathbf{r}') = 0, \quad \mathbf{r} \in V\] 且其具体形式由边界条件决定(例如第一类边界条件要求 \(g|_\Sigma = -G_0|_\Sigma\)) Remark 虽然感生电荷分布在边界 \(\Sigma\) 上, 但其在 \(V\) 内产生的电势 \(g\) 并非由体分布源驱动, 而是一个正则的调和函数. 因此, 不应将 \(g\) 的方程写为含 \(\delta_\Sigma\) 的非齐次方程, 其"源"仅作为边界条件的等效体现.

对于第三类边界条件, 同样可作此分解, 只是 \(g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 需满足相应的 Robin 条件.

对于其他类型的稳定问题, 也可类似讨论. 例如, Helmholtz 方程

\[(\nabla^2 + k^2) G = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

的自由空间 Green 函数(满足出射波条件)在 \(\mathbf{r} \to \mathbf{r}'\) 附近的行为为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') \sim \frac{1}{4\pi} \frac{\cos(k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

其奇性结构与 Poisson 方程相同(\(\sim 1/r\)), 只是附加了振荡因子.

Remark 以上两个问题还可以进一步说明, Green 函数在点源处的奇性依赖于空间维数. 例如一维情形, Green 函数本身连续, 但一阶导数在源点有跳跃; 在二维情形, 奇性为对数型. 以二维静电场 Poisson 方程第一边值问题为例, Green 函数 \(G(x, y; x', y')\) 的定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) G = - \frac{\delta(x - x') \delta(y - y')}{\epsilon_0}, \quad (x,y) \in S\\ &G|_C = 0 \end{aligned}\right.\]

仿照之前三维情形的讨论, 可将其分解为

\[G(x,y; x', y') = -\frac{1}{2\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{R} \right) + g(x,y; x', y'),\]

其中第一项是无界二维空间中单位点电荷的电势, 它在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 处对数发散; 第二项 \(g\) 在区域 \(S\) 内是调和函数, 且满足 \(g|_C = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{R} \right)\) 以抵消边界上的自由空间电势.

16.3 Green Function of the Helmholtz Equation in Unbounded 3D Space

Example 求三维无界空间中 Helmholtz 方程的 Green 函数,即在三维无界空间中求解

\[(\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

此时尚未指定无穷远处的边界条件, 形式解因而还不唯一.

Solution 1 由于在无界空间中, 平移坐标系使源点 \(\mathbf{r}'\) 位于原点:

\[(\nabla^2 + k^2) g(\mathbf{r}) = -\delta(\mathbf{r}),\quad G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = g(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

由球对称性, 取径向 \(\delta(r)\) 的归一化为 \(\int_0^\infty\delta(r)\varphi(r)\mathrm{d}r=\varphi(0)\), 作代换 \(g(\mathbf{r}) = f(r), \delta(\mathbf{r}) = \frac{\delta(r)}{4\pi r^2}\), 得

\[\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left( r^2 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r} \right) + k^2 f = -\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}\]

当 \(r \neq 0\) 时, 容易得到 Euler 方程的通解

\[f(r) = A \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k r}}{r} + B \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k r}}{r}\]

在 \(r=0\) 附近对小球体积积分, \(k^2\int_{|\mathbf r|\lt \rho}g\,\mathrm dV=O(\rho^2)\to0\), 因而

\[\lim_{\rho\to0^+}\int_{|\mathbf r|\lt\rho}\nabla^2g\,\mathrm dV=-1\]

又由

\[\int_{|\mathbf{r}|\lt\rho} \nabla^2 g \,\mathrm{d}V= \oint_{|\mathbf{r}|=\rho} \nabla g \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 4\pi \rho^2 \left. \frac{\partial f}{\partial r} \right|_{r=\rho}\]

取 \(\rho \to 0^+\) 得到

\[A + B = \frac{1}{4\pi}\]

以下取实数 \(k>0,\omega>0\), 并使用时间因子 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\). “发散波”和“汇聚波”按这一相位约定判断. 考虑具体边界条件

要求无穷远处为发散波(物理上对应辐射条件), 则 \(B=0\), 得到 Green 函数为 \[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.\]
要求无穷远处为汇聚波, 则 \(A=0\), 得到 Green 函数为 \[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.\]

若改用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\), 同一实出射场的复振幅应取共轭, 空间因子相应改为 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}\), \(R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\):

\[\mathrm{Re}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kR}}{4\pi R} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right] = \mathrm{Re}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}}{4\pi R} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right].\]

所以时间因子的正负本身不决定是否为物理解; 它须与空间相位及辐射处方成套使用. 当 \(k=0\) 时, 出射波解退化为 Poisson 方程的自由空间 Green 函数 \(G = \frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\).

Solution 2 (Fourier 变换法) 对 \((\nabla^2 + k^2) G = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 作 Fourier 变换

\[\hat{G}(\mathbf{p}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}\mathbf{r}\]

\[(-p^2 + k^2) \hat{G} = -\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}'}\]

得到

\[\hat{G}(\mathbf{p}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}'}}{p^2 - k^2}.\]

反演得

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{p^2 - k^2} \mathrm{d}\mathbf{p}\]

令 \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'\), 在 \(\mathbf{p}\) -空间球坐标系下积分

\[\begin{aligned} G &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p R \cos\theta}}{p^2 - k^2} p^2 \sin\theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}p \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{1}{\mathrm{i}R} \int_0^\infty \frac{p}{p^2 - k^2} \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p R} \right] \mathrm{d}p \\ &= \frac{1}{\mathrm{i}(2\pi)^2 R} \int_{-\infty}^\infty \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i}pR}}{p^2 - k^2} \mathrm{d}p \end{aligned}\]

取 Cauchy 主值, 求留数容易得到

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\cos(k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

这与之前的结果不同, 因为取主值积分, 相当于取了一定的无穷远条件. 为满足辐射条件, 将 \(k\) 替换为 \(k + \mathrm{i}\eta, \eta > 0\), 积分结果为

\[G = \frac{1}{\mathrm{i}(2\pi)^2 R} \lim_{\eta \to 0^+} \int \frac{p\mathrm{e}^{\mathrm{i}pR}}{p^2 - (k + \mathrm{i}\eta)^2} \mathrm{d}p\]

在复 \(p\) -平面上,极点 \(p = \pm (k + \mathrm{i}\eta)\) 位于实轴两侧, 得

\[\int_{-\infty}^\infty \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R}}{p^2 - (k + \mathrm{i}\eta)^2} \mathrm{d}p = 2\pi \mathrm{i} \cdot \left.\left( \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R}}{p + (k + \mathrm{i}\eta)} \right)\right|_{p = k + \mathrm{i}\eta} = \mathrm{i}\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k + \mathrm{i}\eta)R}\]

最终得到

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

若取 \(k - \mathrm{i}\eta,\eta > 0\), 得到汇聚波解 \(\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\).

讨论: 在本节负时间相位与无穷远处为发散波的要求下, 解的渐近形式含 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kR}\) 因子. 在 \(k\to k + \mathrm{i}\eta\) 时, 解中含有额外的衰减因子 \(\mathrm{e}^{-\eta R}\), 这保证了 Green 函数
\[\int|G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})|\mathrm{d}\mathbf{r}\]
在每个 \(\eta>0\) 时绝对收敛, 可作普通 Fourier 变换; \(\eta\to0^+\) 的辐射解不再属于 \(L^1\), 该极限应按分布理解.

此外, \(\eta \to 0^+\) 的极限对应 Sommerfeld 辐射条件 \(\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \left( \frac{\partial G}{\partial r} - \mathrm{i}k G \right) = 0\), 也可以说明解的物理合理性.

改用正时间相位表示同一出射场时, 应选取空间振幅 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}/(4\pi R)\), Fourier 积分中的处方为 \(k\to k-\mathrm{i}\eta\), 辐射条件中的算符相应为 \(\partial_r+\mathrm{i}k\).

16.4 Green Function for the Dirichlet Problem of Poisson Equation in a Disk

Example 圆内 Poisson 方程第一边值问题

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u(\mathbf{r}) = -\rho(\mathbf{r}), &&|\mathbf{r}| \lt a \\ &u|_{|\mathbf{r}|=a} = f(\phi) \end{aligned}\right.\]

相应的 Green 函数满足

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), &&|\mathbf{r}| \lt a \\ &G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{|\mathbf{r}|=a} = 0 \end{aligned}\right.\]

并应该满足正则边条件:

\[G(\mathbf{0};\mathbf{r}')\text{ 有界}\ (\mathbf r'\ne\mathbf0),\quad G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{\phi=0} = G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{\phi=2\pi},\quad \frac{\partial G}{\partial\phi}(\mathbf{r};\mathbf{r}')\bigg|_{\phi=0} = \frac{\partial G}{\partial\phi}(\mathbf{r};\mathbf{r}')\bigg|_{\phi=2\pi}\]

Solution 1 采用平面极坐标 \((r,\phi)\). 已知二维自由空间中

\[\nabla^{2}\ln|\mathbf{r}| = 2\pi\delta(\mathbf{r}),\]

故令

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = v(\mathbf{r};\mathbf{r}') + w(\mathbf{r};\mathbf{r}'),\quad v(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\]

则 \(w\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} \nabla^{2}w(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= 0, &&|\mathbf{r}| \lt a \\ w(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{|\mathbf{r}|=a} & = \frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\big|_{|\mathbf{r}|=a} \end{aligned}\right.\]

由分离变量法. \(w\) 的通解为

\[w(r,\phi;\mathbf{r}') = C_0 + \sum_{m=1}^{\infty} r^m \left[ C_{m1}\cos(m\phi) + C_{m2}\sin(m\phi) \right].\]

利用对数恒等式

\[\ln[1 + t^2 - 2t\cos\theta] = -2\sum_{m=1}^{\infty} \frac{t^m}{m} \cos(m\theta),\quad |t| \lt 1\]

令 \(r_\lt = \min(r,r'),r_> = \max(r,r')\), 有

\[\begin{aligned} \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| &= \frac{1}{2}\ln\left[r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\phi-\phi')\right] \\ &= \ln r_> - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r_\lt}{r_>}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \\ &= \ln r_> - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r_\lt}{r_>}\right)^m \left[ \cos(m\phi)\cos(m\phi') + \sin(m\phi)\sin(m\phi') \right]. \end{aligned}\]

在边界 \(r = a\), 代入 \(r_\lt = r'\), \(r_> = a\), 得到

\[\begin{aligned} w(a,\phi;\mathbf{r}') &= \frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\big|_{r=a} \\ &= \frac{1}{2\pi}\left[ \ln a - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \right] \\ &= \frac{\ln a}{2\pi} - \frac{1}{2\pi}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \left[ \cos(m\phi)\cos(m\phi') + \sin(m\phi)\sin(m\phi') \right]. \end{aligned}\]

对比得系数

\[\begin{aligned} C_0 &= \frac{\ln a}{2\pi}, \\ C_{m1} &= -\frac{1}{2\pi} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \frac{\cos(m\phi')}{a^m}\\ C_{m2} &= -\frac{1}{2\pi} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \frac{\sin(m\phi')}{a^m} \end{aligned}\]

从而得到解

\[\begin{aligned} w(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= \frac{\ln a}{2\pi} - \frac{1}{2\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{rr'}{a^2}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \ln a + \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{rr'}{a^2}\right)^2 - 2\frac{rr'}{a^2}\cos(\phi-\phi')\right) \right] \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \ln\left| \mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \right| - \ln\frac{a}{r'} \right], \end{aligned}\]

Green 函数为

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + \frac{1}{2\pi} \left[ \ln\left| \mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \right| - \ln\frac{a}{r'} \right] \\ &= -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}'' \right| + \ln\frac{a}{r'} \right],\quad \mathbf{r}'' = \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \end{aligned}\]

当 \(r'=0\) 时取极限 \(G(\mathbf r;\mathbf0)=-\ln(r/a)/(2\pi)\). 当 \(r'>0\) 时, 其中 \(\mathbf{r}''\) 是 \(\mathbf{r}'\) 关于圆 \(|\mathbf{r}|=a\) 的反演点. 利用此之前关于 Poisson 方程定解问题的 Green 函数及其对称性的讨论, 可得原问题的解

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r}) &= \iint_{|\mathbf{r}'|\lt a} \rho(\mathbf{r}') G(\mathbf{r};\mathbf{r}') \,\mathrm{d}\mathbf{r}' - \int_0^{2\pi} f(\phi') \left. \frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}')}{\partial r'} \right|_{r'=a} a\,\mathrm{d}\phi' \\ &= -\frac{1}{2\pi} \iint_{|\mathbf{r}'|\lt a} \rho(\mathbf{r}') \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left|\mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}'\right| + \ln\frac{a}{r'} \right] \mathrm{d}\mathbf{r}' \\ &+ \frac{a^2-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(\phi')}{a^2+r^2-2ar\cos(\phi-\phi')} \,\mathrm{d}\phi' \end{aligned}\]

当 \(\rho(\mathbf{r}) = 0\) 时,得到圆内 Laplace 方程第一边值问题的 Poisson 公式:

\[u(\mathbf{r}) = \frac{a^2-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(\phi')}{a^2+r^2-2ar\cos(\phi-\phi')} \,\mathrm{d}\phi'\]

Solution 2 (电像法) 将 Green 函数的求解考虑为物理背景下的静电学问题. 当在接地导体圆内放置点电荷后, 圆周上会产生感应电荷. 圆内任意点的电势是点电荷和感应电荷电势的叠加. 前者满足 Poisson 方程但不满足边界条件, 后者在圆内满足 Laplace 方程.

Remark 圆外点电荷产生的电势在圆内满足 Laplace 方程!! 因此, 边界上的感应电荷可用圆外电荷等效替代, 这种方法在电动力学中称为电像法.

对于本问题的 Green 函数, 考虑在圆外放置一个像电荷. 由对称性, 该像电荷应该位于真实电荷所在半径的延长线上. 设真实电荷位于 \(\mathbf{r}'\), 像电荷位置为 \(\mathbf{r}_1\), 电量为 \(e\). 以下沿用本节数学归一化 \(\nabla^2G=-\delta\); 单位物理电荷的电势为 \(G/\epsilon_0\). 则 Green 函数为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + e\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| + C \right]\]

边界条件要求

\[\left.(\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + e\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| + C) \right|_{r=a} = 0\]

在极坐标系中, 边界条件化为

\[\begin{aligned} 0 &=\ln\left[a^2+r'^2-2ar'\cos(\phi-\phi')\right] + e\ln\left[a^2+r_1^2-2ar_1\cos(\phi-\phi')\right] + 2C\\ &=2\ln a + \ln\left[1+\left(\frac{r'}{a}\right)^2-2\frac{r'}{a}\cos(\phi-\phi')\right] + 2e\ln r_1 + e\ln\left[1+\left(\frac{a}{r_1}\right)^2-2\frac{a}{r_1}\cos(\phi-\phi')\right] + 2C \end{aligned}\]

该式对任意 \(\phi\in[0,\pi]\) 成立. 同样利用对数恒等式得

\[2\ln a + 2e\ln r_1 + 2C-2\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\left[\left(\frac{r'}{a}\right)^m + e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m\right]\cos m(\phi-\phi') = 0\]

从而有

\[\left\{\begin{aligned} \ln a + e\ln r_1 + C &= 0\\ \left(\frac{r'}{a}\right)^m + e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m &= 0,\quad m=1,2,3,\cdots \end{aligned}\right.\]

解得

\[e = -1,\quad r_1 = \frac{a^2}{r'},\quad C = \ln\frac{a}{r'}\]

代入得 Green 函数

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left|\mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}'\right| + \ln\frac{a}{r'} \right] \\ &= -\frac{1}{4\pi} \left\{ \ln\left[r^2+r'^2-2rr'\cos(\phi-\phi')\right]-\ln\left[r^2+\left(\frac{a^2}{r'}\right)^2-2r\frac{a^2}{r'}\cos(\phi-\phi')\right] + 2\ln\frac{a}{r'} \right\} \end{aligned}\]

电像法虽非普遍适用, 但在具有高度对称性的问题中极为有效.

16.5 Green Functions for Time-dependent Problems

16.5.1 Green Functions for Wave Equations

Example 1 一维有界弦的波动

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=f(x,t), &&0 \lt x \lt l, \quad t > 0\\ &\left.u(x,t)\right|_{x=0}=\mu(t), &&u(x,t)\big|_{x=l}=\nu(t)\\ &\left.u(x,t)\right|_{t=0}=\phi(x), &&\left.\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x). \end{aligned}\]

Solution 相应的 \(G(x,t;x',t')\) 是瞬时点源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]G(x,t;,x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&0\lt x,x^{\prime}\lt l,\quad t,t^{\prime}>0\\ &G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x=0}=G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x=l}=0, &&G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\partial_t G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0 \end{aligned}\]

的解. 初始条件的物理意义: 驱动力在 \(t=t'\) 时刻出现, 此前弦静止.

\(G(x,t;x',t')\) 的对称性: 对波动算子 \[\mathcal{L}:=\partial_t^2-a^2\partial_x^2\] 将时间延拓到实轴, 记满足上述空间 Dirichlet 边条件的推迟核为 \(G_R\), 超前核为 \(G_A\). 二者分别在观察时间早于、晚于源时间时为零. 取两个源点 \((x_1,t_1),(x_2,t_2)\), 令 \[G_1(x,t)=G_R(x,t;x_1,t_1),\quad G_2(x,t)=G_A(x,t;x_2,t_2)\] 后者满足相同的波动方程、 Dirichlet 边条件, 且满足逆向因果 \[G_2(x,t)=\partial_tG_2(x,t)=0,\quad t>t_2\] 取 \(T_-\lt\min(t_1,t_2)\), \(T_+>\max(t_1,t_2)\), 在区域 \(D=(0,l)\times(T_-,T_+)\) 上考虑积分 \[I=\iint_D\left(G_2\mathcal{L}G_1-G_1\mathcal{L}G_2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}t=G_2(x_1,t_1)-G_1(x_2,t_2)\] 另一方面, 代入 \(\mathcal{L}\) 可以得到 \[I=\int_0^l\left[G_2\partial_tG_1-G_1\partial_tG_2\right]_{T_-}^{T_+}\mathrm{d}x-a^2\int_{T_-}^{T_+}\left[G_2\partial_xG_1-G_1\partial_xG_2\right]_{0}^{l}\mathrm{d}t=0\] 空间端点项由齐次 Dirichlet 条件消失; 在 \(T_-\) 处 \(G_1,\partial_tG_1\) 为零, 在 \(T_+\) 处 \(G_2,\partial_tG_2\) 为零, 所以时间端点项也为零. 可先将点源光滑化再取分布极限理解上述计算. 因而得到推迟核与超前核之间的倒易关系 \[G_R(x_2,t_2;x_1,t_1)=G_A(x_1,t_1;x_2,t_2)\] 对这里时间无关且在时间反演下不变的波动算子, \(G_A(x,t;x',t')=G_R(x,-t;x',-t')\), 才进一步得到原推迟核的时间反演表达. 推迟核本身一般不满足直接交换两个时空点的对称性.

接下来求解 Green 函数, 这里采用两种解法

视作非齐次方程的定解问题, 第一种解法显然是按相应齐次问题的本征函数展开
\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\sin{\frac{n\pi}{l}}x\]
非齐次项展开得到
\[\delta(x-x^{\prime})=\frac{2}{l}\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}x\]
于是 \(T_{n}(t)\) 就满足常微分方程的初值问题
\[T_n^{\prime\prime}(t)+\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^{2}T_{n}(t)=\frac{2}{l}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\delta(t-t^{\prime})\]

\[T_{n}(t\lt t^{\prime})=0,\quad T_{n}^{\prime}(t\lt t^{\prime})=0\]
解得
\[T_{n}(t)=\frac{2}{n\pi a}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}a(t-t^{\prime})H(t-t^{\prime})\]

\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\frac{2}{\pi a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}x\sin\frac{n\pi}{l}a(t-t^{\prime})H(t-t^{\prime})\]
将定解问题作 Laplace 变换. 令
\[\tilde G(x)=\int_{0}^{\infty}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]
相应定解问题
\[\left[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}-\left(\frac{p}{a}\right)^{2}\right]\tilde G(x)=-\frac{1}{a^{2}}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\delta(x-x^{\prime})\]

\[\tilde G(0)=\tilde G(l)=0\]
容易得到解为
\[\tilde G(x) =\left\{\begin{aligned} &\frac{\sinh\frac{p}{a}(l-x^{\prime})\sinh\frac{p}{a}x}{pa\sinh\frac{p}{a}l}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}, &&{x\lt x^{\prime},}\\ &\frac{\sinh\frac{p}{a}x^{\prime}\sinh\frac{p}{a}(l-x)}{pa\sinh\frac{p}{a}l}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}, &&{x^{\prime}\lt x} \end{aligned}\right.\]
对其应用普遍反演公式, 得到与解法 1 相同的结果.

在区域 \(D:0\lt x\lt l,0\lt t\lt+\infty\) 上考虑积分

\[J = \iint_D\left[G\mathcal{L}^{\prime}u-u\mathcal{L}^{\prime}G\right]\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \int_0^t\int_0^l G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})f(x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}-u(x,t)\]

另一方面, 利用

\[G\mathcal{L}^{\prime}u-u\mathcal{L}^{\prime}G=\partial_{t^{\prime}}\left(G\partial_{t^{\prime}}u-u\partial_{t^{\prime}}G\right)-a^2\partial_{x^{\prime}}\left(G\partial_{x^{\prime}}u-u\partial_{x^{\prime}}G\right)\]

代入积分得到

\[\begin{aligned} J =&\int_0^l\left[G\partial_{t^{\prime}}u-u\partial_{t^{\prime}}G\right]|_{t^{\prime}=0}^{+\infty}\mathrm{d}x^{\prime}-a^2\int_0^\infty\left[G\partial_{x^{\prime}}u-u\partial_{x^{\prime}}G\right]|_{x^{\prime}=0}^{l}\mathrm{d}t^{\prime}\\ =&-\int_0^l\left[G(x,t;x',0)\psi(x') - \phi(x')\partial_{t'}G(x,t;x',t')\big|_{t'=0}\right]\mathrm{d}x^{\prime}\\ &+a^2\int_0^\infty\left[\nu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;l,t^{\prime})-\mu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;0,t^{\prime})\right]\mathrm{d}t^{\prime} \end{aligned}\]

联立得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t\int_0^lG(x,t;x^{\prime},t^{\prime})f(x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\\ &\quad+\int_0^l\left[G(x,t;x^{\prime},0)\psi(x^{\prime})-\phi(x^{\prime})\partial_{t^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},0)\right]\mathrm{d}x^{\prime}\\ &\quad-a^2\int_0^t\left[\nu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;l,t^{\prime})-\mu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;0,t^{\prime})\right]\mathrm{d}t^{\prime}. \end{aligned}\]

Example 2 三维无界空间中的波动方程初值问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}u(\mathbf{r},t)}{\partial t^{2}}-a^{2}\nabla^{2}u(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r},t), &&t>0\\ &u(\mathbf{r},t)\big|_{t=0}=\phi(\mathbf{r}), &&\left.\frac{\partial u(\mathbf{r},t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(\mathbf{r}) \end{aligned}\]

Solution 相应的 Green 函数 \(G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}', t')\) 是瞬时点源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2}\nabla^{2}\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&t,t'>0\\ &G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\partial_t G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0 \end{aligned}\]

的解. 接下来求解 Green 函数. 对空间变量作 Fourier 变换

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\iiint G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\mathrm{d}\mathbf{r}\]

将定解问题化为常微分方程的初值问题

\[\left[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}+(ka)^{2}\right]\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}\delta(t-t^{\prime})\]

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r^{\prime}},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\left.\frac{\mathrm{d}\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r^{\prime}},t^{\prime})}{\mathrm{d}t}\right|_{t\lt t^{\prime}}=0\]

解得

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}H(t-t^{\prime})\]

下面作 Fourier 逆变换

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})&=\frac{H(t-t^{\prime})}{(2\pi)^{3}}\iiint\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}\mathrm{d}\mathbf{k}\\ &=\frac{H(t-t^{\prime})}{(2\pi)^{3}}\iiint\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}\mathrm{d}\mathbf{k} \end{aligned}\]

在 \(\mathbf{k}\) 空间的球坐标系中计算上面的积分, 得到

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{H(t-t^{\prime})}{2\pi^{2}a}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\int_{0}^{\infty}\sin ka(t-t^{\prime})\sin k|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|\mathrm{d}k\]

这个积分在通常的意义下是不存在的. 出现这种积分是由于定解问题中的非齐次项也不是通常意义下的函数. 利用积分变换恒等式

\[\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}\left[\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x^{\prime})\sin kx^{\prime}\mathrm{d}x^{\prime}\right]\sin kx\mathrm{d}k\\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x^{\prime})\left[\int_{0}^{\infty}\sin kx^{\prime}\sin kx\mathrm{d}k\right]\mathrm{d}x^{\prime} \end{aligned}\]

这说明

\[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\sin kx^{\prime}\sin kx\mathrm{d}k=\delta(x-x^{\prime}),\quad x, x' > 0\]

代入求出

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{4\pi a}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\delta(|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|-a(t-t^{\prime}))\]

注意这里去掉了函数 \(\eta(t-t^{\prime})\), 因为 \(\delta\) 函数的宗量已经保证了 \(t-t^{\prime}\lt0\) 时 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=0\). 这个解式的物理意义明确: \(t^{\prime}\) 时刻在 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 处发射的信号, \(t\) 时刻一定只到达距 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点为 \(a(t-t^{\prime})\) 的球面上.

利用 Green 函数容易得到原初值问题的解

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t)&=\int_0^t\iiint G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\\ &\quad+\iiint\left[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\psi(\mathbf{r}^{\prime})-\phi(\mathbf{r}^{\prime})\partial_{t^{\prime}}G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t^{\prime}=0}\right]\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} \end{aligned}\]

为对 \(t^\prime \lt t\) 的源项积分与边界项之和

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t)&=\frac{1}{4\pi a^{2}}\iiint_{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert\lt at}\frac{f(\mathbf{r}^{\prime},t-\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert/a)}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\\ &\quad+\frac{1}{4\pi a}\left[\iint_{\Sigma}\frac{\psi(\mathbf{r}^{\prime})}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\Sigma^{\prime}+\frac{\partial}{\partial t}\iint_{\Sigma}\frac{\phi(\mathbf{r}^{\prime})}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\right], \end{aligned}\]

其中 \(\Sigma\) 是以 \(\mathbf{r}\) 点为球心、 \(at\) 为半径的球面 \(|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}|=at\).

16.5.2 Green Functions for Heat Equations

Example 3 三维有界空间热传导方程

\[\begin{aligned} &\frac{\partial u(\mathbf{r},t)}{\partial t}-\kappa\nabla^{2}u(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r},t), &&\mathbf{r}\in V,\quad t>0\\ &u(\mathbf{r},t)\big|_{\Sigma}=\mu(\Sigma,t), &&u(\mathbf{r},t)\big|_{t=0}=\phi(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

Solution 相应的 Green 函数 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\) 是瞬时点热源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial}{\partial t}-\kappa\nabla^{2}\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime}\in V,\quad t,t^{\prime}>0\\ &G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{\Sigma}=0, &&G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t=0}=0 \end{aligned}\]

的解. 由平移不变性质, 容易理解后一项初始条件也可以被写为 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t\lt t^{\prime}}=0\).

\(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\) 的对称性: 对热传导算子 \[\mathcal{L}:=\partial_t-\kappa\nabla^2\] 有界定解问题的 Green 函数 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\). 将核按时间差延拓到任意实时间. 取两个不同源点 \((\mathbf{r}_1,t_1),(\mathbf{r}_2,t_2)\), 令 \[G_1(\mathbf{r},t)=G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}_1,t_1),\quad G_2(\mathbf{r},t)=G(\mathbf{r},-t;\mathbf{r}_2,-t_2)\] 后者满足伴随热方程 \(\mathcal L^*G_2=\delta(\mathbf r-\mathbf r_2)\delta(t-t_2)\), 其中 \(\mathcal L^*=-\partial_t-\kappa\nabla^2\), 同样的 Dirichlet 边条件, 且满足逆向因果 \[G_2(\mathbf{r},t)=\partial_tG_2(\mathbf{r},t)=0,\quad t>t_2\] 在区域 \(D:V\times(0,+\infty)\) 上考虑积分 \[I=\int_D\left(G_2\mathcal{L}G_1-G_1\mathcal{L}^*G_2\right)\mathrm{d}\mathbf{r}\mathrm{d}t=G_2(\mathbf{r}_1,t_1)-G_1(\mathbf{r}_2,t_2)\] 另一方面, 代入 \(\mathcal{L}\) 可以得到 \[I= \int_V[G_1G_2]_{t=0}^{t=+\infty}\mathrm d\mathbf r -\kappa\int_0^\infty\iint_\Sigma\left[G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}-G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}\right]\mathrm{d}\Sigma\mathrm{d}t=0\] 其中用到了二者的边条件. 从而得到相应倒易关系 \[G(\mathbf{r}_2,t_2;\mathbf{r}_1,t_1)=G(\mathbf{r}_1,-t_1;\mathbf{r}_2,-t_2)\] 其中负号保证了时间次序不变, 保证了因果律.

下面用 Green 函数表示原问题的解. 利用倒易关系

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=G(\mathbf{r}^{\prime},-t^{\prime};\mathbf{r},-t)\]

后者满足逆向因果条件

\[G=0,\quad t^{\prime}>t\]

在区域 \(D: V\times(0,+\infty)\) 上考虑积分

\[J = \int_D \left(G\mathcal{L}^{\prime}u - u\mathcal{L}^{\prime *}G\right)\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \int_D G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}- u(\mathbf{r},t)\]

左端为全散度

\[G\mathcal{L}^{\prime}u - u\mathcal{L}^{\prime *}G =\partial_{t^{\prime}}(Gu) - \kappa \nabla^{\prime}\cdot\bigl(G\nabla^{\prime}u - u\nabla^{\prime}G\bigr).\]

积分后仅余边界项:

\[J=\iiint_V[Gu]_{t^{\prime}=0}^{+\infty}\,\mathrm d\mathbf r^{\prime} -\kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma \left[G\frac{\partial u}{\partial n^{\prime}} - u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\right] \mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\]

逐项化简:

\(t^{\prime}\to+\infty\)(\(t^{\prime}>t\)): 逆向因果, 该项为 0.
\(t^{\prime}=0\):
\[-\iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\phi(\mathbf{r}^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]
空间边界: \(G\bigr|_{\Sigma^{\prime}}=0\) , 故仅剩
\[\kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma \mu(\Sigma^{\prime},t^{\prime})\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\]

因果性还允许将所有 \(t^{\prime}\) 上限改为 \(t\)(\(t^{\prime}>t\) 时 \(G=0\)). 综上, 原问题的解为

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t) &= \int_0^t\!\!\iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} \\ &\quad + \iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\phi(\mathbf{r}^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} \\ &\quad - \kappa \int_0^t \iint_\Sigma \mu(\Sigma^{\prime},t^{\prime})\left.\frac{\partial G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{\partial n^{\prime}}\right|_{\Sigma^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} \end{aligned}\]

Example 4 求一维无界空间热传导方程的 Green 函数

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&t,t^{\prime}>0\\ &G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x\rightarrow\pm\infty}\text{有界}, &&G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0(G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t=0}=0) \end{aligned}\]

Solution 将定解问题作 Laplace 变换(可以自动处理因果性). 令

\[\tilde G(x)=\int_{0}^{\infty}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]

相应定解问题

\[\begin{aligned} &\left[p-\kappa\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\right]\tilde G(x)=\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\delta(x-x^{\prime}), &\tilde G(x)|_{x\rightarrow\pm\infty}\text{有界} \end{aligned}\]

其中已经用到第二条边条件. 容易得到解为

\[\tilde G(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\exp\left\{-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}|x-x^{\prime}|\right\}\]

对其实施逆 Laplace 变换, 利用

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{p}}\mathrm{e}^{-\alpha\sqrt{p}}\right\}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\mathrm{e}^{-\alpha^{2}/(4t)}\]

得到

\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi(t-t^{\prime})}}\exp\left\{-\frac{(x-x^{\prime})^{2}}{4\kappa(t-t^{\prime})}\right\}H(t-t^{\prime})\]

16.6 Generalized Green Functions

Poisson 方程第二边值问题不存在满足原始点源方程和齐次 Neumann 边条件的普通 Green 函数; 消去常数零模后可使用修正 Green 函数. 下面从更为普遍的角度来讨论 Green 函数存在的必要条件. 考虑有限区域 \(V\) 内 Helmholtz 问题的普遍边值问题

\[\mathcal{L}u = (-\nabla^{2}-\lambda) u=f,\quad \left[\alpha{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta u\right]_{\Sigma}=0\]

若 \(u_{\lambda}\) 为 \(V\) 内如下齐次方程定解问题的非零解

\[-\nabla^2u_\lambda = \lambda u_\lambda,\quad \left[\alpha\frac{\partial u_{\lambda}}{\partial n}+\beta u_{\lambda}\right]_{\Sigma}=0\]

即 \(\lambda\) 是算符 \(-\nabla^{2}\) 的本征值, \(u_{\lambda}\) 是相应的本征函数. 考虑积分

\[I =\iiint_{V}[u\mathcal{L}u_{\lambda}-u_{\lambda}\mathcal{L}u]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iiint_{V}[u_{\lambda}\nabla^{2}u-u\nabla^{2}u_{\lambda}]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{\Sigma}\left[u_{\lambda}\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial u_{\lambda}}{\partial n}\right]\mathrm{d}\Sigma=0\]

其中已经用到 \(\alpha^2+\beta^2\ne 0\), 时另一方面,

\[0=I=-\iiint_{V}f(\mathbf{r})u_{\lambda}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}\]

说明在本征值为 \(\lambda\) 时, 上述 Helmholtz 问题边值问题有解的必要条件为非齐次项 \(f\) 必须与本征函数 \(u_{\lambda}\) 正交.

这一问题的 Green 函数满足的方程和边界条件为

\[\mathcal{L} G=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}),\quad \left[\alpha{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta G\right]_{\Sigma}=0\]

对于之前给出的一组 \(\lambda, u_{\lambda}\), 考虑积分

\[\iiint_{V}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})u_{\lambda}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=u_{\lambda}(\mathbf{r}^{\prime})\neq0\]

说明 Green 函数不满足有解的必要条件, 因此 Green 函数不存在.

在光滑有界区域和上述实自伴边条件下, 设零空间 \(\ker\mathcal{L}\) 的一组实正交归一基为 \(\{u_{\lambda,j}\}_{j=1}^m\). 简并时必须同时消去全部零模. 定义投影核

\[P_\lambda(\mathbf r,\mathbf r')=\sum_{j=1}^m u_{\lambda,j}(\mathbf r)u_{\lambda,j}(\mathbf r').\]

广义 Green 函数满足

\[\mathcal{L}G_m=\delta(\mathbf r-\mathbf r')-P_\lambda(\mathbf r,\mathbf r'),\qquad\mathcal{B}G_m=0,\qquad \int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r)G_m(\mathbf r,\mathbf r')\mathrm d\mathbf r=0\quad(1\le j\le m).\]

对右端与任一零模取内积, 正交归一性使两项恰好抵消. 在零空间的正交补上, 自伴椭圆算子的离散谱与 \(0\) 分离, 故可逐个除以非零本征值构造逆算子; 上述全部正交条件消除任意零模, 唯一确定此逆的核. 当 \(m=1\) 时, 就是减去单个归一化本征函数的投影.

对原方程, Fredholm 相容条件是

\[\int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r)f(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r=0,\qquad j=1,\ldots,m.\]

必要性来自前面的 Green 恒等式. 反之, 令

\[u_p(\mathbf r)=\int_VG_m(\mathbf r,\mathbf r')f(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'.\]

则满足齐次边条件, 且

\[\mathcal L u_p=f-\sum_{j=1}^m u_{\lambda,j}\int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r')f(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'=f.\]

所以相容条件也充分, 通解为

\[u=u_p+\sum_{j=1}^m A_j u_{\lambda,j}.\]

额外要求 \(u\perp\ker\mathcal L\) 时所有 \(A_j=0\), 得到唯一的最小 \(L^2\) 范数解. 对复本征函数, 投影核的第二因子与相容条件的本征函数均应取复共轭.

17 Calculus of Variations

17.1 Functionals

Definition 泛函泛函是定义在函数空间上的映射. 设 \(y(x)\) 是定义在区间 \([a,b]\) 上的某类变量函数, 泛函 \(J\) 将该函数映射为一个实数(这里只讨论用积分定义的泛函):

\[I[y] = \int_a^b f\bigl(x, y(x), y'(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\]

对于多元函数, 可类似定义:

\[I[\mathbf{y}] = \int_{D} f(\mathbf{x}, \mathbf{y}(\mathbf{x}), \mathbf{y}'(\mathbf{x}))\,\mathrm{d}\mathbf{x}\]

通常要求 \(y(x)\in C^2\), 即具有连续的二阶导数, 且满足一定的边界条件(满足此类条件的函数为可取函数).
泛函与复合函数的区别: 泛函的自变量是函数, 而复合函数的自变量是数值. 对于后者, 给出一个 \(x_0\) 就能确定 \(g\circ f(x_0)\) 的值; 而对于前者, 给出区间上的一个函数 \(y_0(x)\) 才能确定 \(J[y_0(x)]\) 的值.

17.2 Extrema of Functionals

Lemma 变分学基本引理设 \(\phi(x)\) 为连续函数, \(\eta(x)\) 具有连续的二阶导数, 并满足

\[\eta(a) = \eta(b) = 0\]

若对任意这样的 \(\eta(x)\) 都有

\[\int_{a}^{b} \phi(x)\,\eta(x)\,\mathrm{d}x = 0\]

则必有 \(\phi(x)\equiv 0\).

Theorem 泛函极值问题的 Euler-Lagrange 方程为使泛函积分 \(I[y]\) 在固定 \(y_0=y(x_0),y_1=y(x_1)\) 时取极值, 要求 \(f(x,y,y')\) 满足

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

此即 Euler-Lagrange 方程

Proof 定义试探函数族 \(\overline y=\overline y(x,\epsilon)=y(x)+\delta y(x)\),其中 \(\delta y\) 为函数的等 \(x\) 变分, 满足

\(\delta y(x_0)=\delta y(x_1)=0\)(端点固定)
\(\delta(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(\delta y)\)(\(\mathrm{d}\) 为与 \(\mathrm{d}x\) 对应的微分), \(\delta\int_{x_0}^{x_1} \mathrm{d}x\,y=\int_{x_0}^{x_1} \mathrm{d}x\,\delta y\)
\(\overline y(x,0)=y(x)\)(\(\epsilon=0\) 对应极值路径)
\(\overline y(x,\epsilon)\in C^2\)(直到二阶导存在且连续)
线性性等与微分类似的性质不再赘述.

极值条件为

\[\begin{aligned} 0=\delta I=&\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)]\mathrm{d}x\\ =&\left.\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right|_{x_0}^{x_1}+\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x\\ =&\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对任意的 \(\delta 𝑦\) 如上等式都成立, 故要求有

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

多元函数情形

设 \(\mathbf{y}:\,D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), 记分量为 \(y^a(\mathbf{x})\,(a=1,\cdots,m)\), 并记偏导为

\[y^a_{i}(\mathbf{x})=\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\quad(i=1,\cdots,n).\]

定义泛函

\[I[\mathbf{y}]=\int_{D} f\big(\mathbf{x},\,\mathbf{y}(\mathbf{x}),\,\nabla\mathbf{y}(\mathbf{x})\big)\,\mathrm{d}^n x\]

其中 \(f\) 对其各自变量足够光滑. 设在边界 \(\partial D\) 上固定边值, 即试探变分 \(\delta \mathbf{y}\) 满足 \(\delta\mathbf{y}|_{\partial D}=0\). 对 \(\mathbf{y}\) 作变分 \(\mathbf{y}\mapsto\mathbf{y}+\delta\mathbf{y}\), 一阶变分为

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\delta y^a_{i} \right)\mathrm{d}^n x\\ &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\frac{\partial(\delta y^a)}{\partial x^i} \right)\mathrm{d}^n x \end{aligned}\]

其中对重复指标 \(a\) 或 \(i\) 采用求和约定. 对第二项对 \(x^i\) 分部积分并利用 \(\delta y^a|_{\partial D}=0\) 得

\[\delta I =\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right) \right)\delta y^a\,\mathrm{d}^n x\]

由于 \(\delta y^a\) 在 \(D\) 内任意(且在边界为零), 由变分学基本引理得到对每个 \(a\):

\[\frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right)=0\]

可以更紧凑地写为

\[\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}-\operatorname{div}\!\left(\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right)=\mathbf{0}\]

其中 \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\) 是对分量求导的列向量, \(\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\) 是一个 \(m\times n\) 矩阵, 其 \( (a,i)\) 元为 \(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\), 而 \(\operatorname{div}\) 对该矩阵按列取散度(对每个分量 \(a\) 计算 \(\partial_i(\cdot)_{ai}\))

Remark

要求 \(f\) 及其偏导数连续; 变分函数 \(\delta\mathbf{y}\) 在 \(\partial D\) 上为 \(0\)(或紧支撑于 \(D\) 内), 以便消去边界项.
以上仅作一阶变分, 极值的存在及其属性(极大还是极小)还取决于二阶变分的符号, 这一般会对应复杂的计算. 很多情形我们可以由物理情况判断极值的属性(极大或极小), 从而作出简化.
Euler-Lagrange 方程只是极值的必要条件, 不是充分条件. 有些情形下, 可能不存在满足边界条件的解, 或存在多个解(如鞍点等). 这些问题一般需要结合具体情形分析.

Example 利用变分法推导一维波动方程 Solution 取均匀弦的常数线密度 \(\rho>0\) 与张力 \(T>0\). 令标量场为 \(u(\mathbf{x}),\mathbf{x}=(t,x)\) 其中统一了空间坐标与时间参数, 取拉格朗日密度

\[\mathcal{L}(\mathbf{x},u,\nabla u)=\tfrac12[\rho(\partial_t u)^2-T(\partial_x u)^2]\]

直接计算偏导:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u}=0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\nabla u)}= \left(\begin{gathered} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t u)}\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x u)} \end{gathered}\right) = \begin{pmatrix} \rho\,\partial_t u\\[4pt] -\,T\,\partial_x u \end{pmatrix}.\]

对该向量取散度:

\[\operatorname{div}\!\left(\frac{\partial f}{\partial(\nabla u)}\right) =\partial_t(\rho\,\partial_t u)+\partial_x(-T\,\partial_x u) =\rho\,\partial_{tt}u - T\,\partial_{xx}u.\]

将它代入欧拉-拉格朗日向量式, 得到标量方程

\[0 - \big(\rho\,\partial_{tt}u - T\,\partial_{xx}u\big)=0\]

即波动方程

\[\partial_{tt}u = c^2\partial_{xx}u,\quad c=\sqrt{T/\rho}\]

关于边界项: 若 \(u|_{\partial D}\) 固定则边界项消失; 若空间端为自由端, 则由自然边界条件得到

\[T\,\partial_x u\big|_{x=x_0}=0,\qquad T\,\partial_x u\big|_{x=x_1}=0\]

17.3 Constrained Extrema of Functionals

Question 设泛函

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x\]

在边条件和约束条件

\[y(x_0)=a,\quad y(x_1)=b\]

\[I_1[y]=\int_{x_0}^{x_1} g(x, y, y')\,\mathrm{d}x = C\]

下取极值, 求相应的 Euler-Lagrange 方程.

Answer 在约束泛函的一阶变分不恒为零的正规情形, 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\), 构造辅助泛函

\[I_0[y] = I[y] - \lambda I_1[y] = \int_{x_0}^{x_1} \Big(f(x,y,y')-\lambda g(x,y,y')\Big)\,\mathrm{d}x\]

从而原问题的驻值曲线满足辅助泛函的一阶驻值条件. 由 Euler-Lagrange 方程可得

\[\left(\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\right)(f-\lambda g)=0\]

结合边条件与约束条件即可确定 \(y(x)\) 与 \(\lambda\).

对于更高的维度 \[I[\mathbf{y}] = \int_{D} f(\mathbf{x},\mathbf{y},\nabla\mathbf{y})\, \mathrm{d}\mathbf{x} ,\quad x\in D\subset \mathbb{R}^n\] 和更多的约束条件 \[I_k[\mathbf{y}] = \int_\Omega g_k(\mathbf{x},\mathbf{y},\nabla\mathbf{y})\,\mathrm{d}\mathbf{x} = C_k,\quad k=1,2,\cdots,m\] 也可以类似地引入多个拉格朗日乘子来处理 \[I_0[\mathbf{y}] = \int_\Omega \left( f - \sum_{k=1}^m \lambda_k g_k \right)\, \mathrm{d}\mathbf{x}\] 并得到极值条件 \[\mathcal{E}_\mathbf{y}\left(f-\sum_{k=1}^m\lambda_kg_k\right)=\mathbf{0},\quad \mathcal{E}_\mathbf{y}:=\frac{\partial}{\partial\mathbf{y}}-\mathrm{div}\left(\frac{\partial}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right)\]

Example 1 求泛函

\[I[y] = \int_{0}^{1} x (y')^2 \, \mathrm{d}x\]

在边界条件

\[y(0)\ \text{有界},\quad y(1)=0\]

和等周约束(isoperimetric constraint)

\[\int_{0}^{1} x y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

下的驻值曲线.

Solution 引入拉格朗日乘子λ, 构造辅助泛函

\[I_0[y] = \int_{0}^{1} \left( x (y')^2 - \lambda x y^2 \right) \mathrm{d}x\]

对应的 Euler-Lagrange 方程为

\[\frac{\partial}{\partial y}(x(y')^2 - \lambda x y^2) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial}{\partial y'}(x(y')^2 - \lambda x y^2) = 0 \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) + \lambda x y = 0\]

此方程连同边界条件构成 Sturm-Liouville 本征值问题. 记 \(\mu_i\) 为 \(J_0\) 按升序排列的正零点, 则

\[y_i(x) = C_i J_0(\mu_i x),\quad \lambda_i = \mu_i^2\]

利用约束条件

\[\int_0^1 x y_i^2 \,\mathrm{d}x = C_i^2 \int_0^1 x J_0^2(\mu_i x) \,\mathrm{d}x = C_i^2 \cdot \frac{1}{2} J_1^2(\mu_i) = 1 \implies C_i = \pm\frac{\sqrt{2}}{J_1(\mu_i)}\]

因此驻值函数为

\[y_i(x) = \pm\frac{\sqrt{2}}{J_1(\mu_i)} J_0(\mu_i x),\quad i=1,2,3,\cdots\]

Remark 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\) 后, 方程与齐次边界条件构成本征值问题, 得到无穷多个驻值函数 \(y_i(x)\) 及驻值

\[I[y_i] = \lambda_i = \mu_i^2\]

这些曲线均为条件驻值曲线; \(\pm y_1\) 实现最小值, 其余 \(y_i\) 为鞍点. 相应驻值恰为本征值, 可对 Euler-Lagrange 方程乘以 \(y\) 并积分得到:

\[\int_0^1 x y'^2 \,\mathrm{d}x = \lambda \int_0^1 x y^2 \,\mathrm{d}x = \lambda \cdot 1 = \lambda\]

Example 2 求泛函条件极值问题

\[I[y] = \frac{1}{2} \int_{x_0}^{x_1} \left[ p(x) (y')^2 + q(x) y^2 \right] \mathrm{d}x + \frac{a_0}{2} y^2(x_0) + \frac{a_1}{2} y^2(x_1)\]

\[I_1[y] = \frac{1}{2} \int_{x_0}^{x_1} \rho(x) y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

的必要条件, 其中 \(p(x)>0, \rho(x)>0\).

Solution 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\), 令 \(\delta(I - \lambda I_1) = 0\), 展开为

\[\int_{x_0}^{x_1}\left[py^{\prime}\cdot\delta y^{\prime}+qy\cdot\delta y-\lambda\rho y\cdot\delta y\right]\mathrm{d}x+a_0y(x_0)\delta y(x_0)+a_1y(x_1)\delta y(x_1)=0.\]

取端点变分为 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\), 对第一项分部积分, 得到

\[\int_{x_0}^{x_1}\left[\mathcal{L}-\lambda\rho\right]y\cdot\delta y\mathrm{d}x=0\]

其中 \(\mathcal{L}y=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+qy\). 由变分学基本引理, 对任意 \(\delta y\) 上式成立, 故有

\[[\mathcal{L}-\lambda\rho]y(x)=0,\quad x\in(x_0,x_1)\]

若取端点变分不为零, 则得到自然边界条件 \[\left.py^{\prime}\right|_{x=x_0}=a_0y(x_0),\quad \left.py^{\prime}\right|_{x=x_1}=-a_1y(x_1)\]

17.4 Variational Problems with Free Endpoints

考虑一维情形, 泛函为

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x\]

其中积分限 \(x_0, x_1\) 固定, 初始端点 \((x_0, y_0)\) 完全固定, 即 \(\delta y(x_0) = 0\), 但末端在 \(x = x_1\) 处的纵坐标 \(y_1 = y(x_1)\) 可变.

设试探函数族为 \(\overline{y}(x, \epsilon) = y(x) + \delta y(x)\), 一阶变分为

\[\begin{aligned} \delta I[y] &= \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \delta y + \frac{\partial f}{\partial y'} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y) \right] \mathrm{d}x \\[10pt] &= \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \delta y \right|_{x_0}^{x_1} + \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \right] \delta y \,\mathrm{d}x \\[10pt] &= \left( \frac{\partial f}{\partial y'}\bigg|_{x_1} \right) \delta y(x_1) + \int_{x_0}^{x_1} \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

在极值曲线 \(y(x)\) 上, Euler-Lagrange 方程处处成立, 积分项为零, 因此极值要求

\[\delta I = \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \right|_{x_1} \delta y_1\]

将 \(I\) 视为末端坐标 \(y_1\) 的函数 \(I(x_1, y_1)\), 则

\[\frac{\partial I}{\partial y_1} = \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \right|_{x=x_1}=0\]

才能保证 \(\delta I[y]=0\).

多元函数情形

考虑自由边界(纵向可变, 域固定). 设同样的泛函

\[I[\mathbf{y}]=\int_{D} f\big(\mathbf{x},\,\mathbf{y}(\mathbf{x}),\,\nabla\mathbf{y}(\mathbf{x})\big)\,\mathrm{d}^n x\]

现在域 \(D\) 固定, 但边界上的场值不固定, 即试探变分 \(\delta\mathbf{y}\big|_{\partial D}\) 在边界上任意. 作一阶变分, 得到

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\frac{\partial(\delta y^a)}{\partial x^i} \right)\mathrm{d}^n x \end{aligned}\]

对第二项对 \(x^i\) 作分部积分(高斯散度定理), 得到

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right) \right)\delta y^a\,\mathrm{d}^n x \;+\; \underbrace{\int_{\partial D}\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\;\delta y^a\;n^i\;\mathrm{d}^{n-1}\Sigma}_{\text{边界项}} \end{aligned}\]

其中 \(\mathbf{n}=(n^1,\cdots,n^n)\) 是 \(\partial D\) 的单位外法向.

为使 \(\delta I=0\) 对内部任意 \(\delta y^a\) 以及边界上任意 \(\delta y^a\) 都成立,必须同时满足:

体相极值条件(对任意 \(\delta y^a\) 在 \(D\) 内)
\[\frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right)=0\quad\text{in }D\]
即原来的 Euler-Lagrange 方程, 对每个场分量 \(a\). 可以紧凑地写为
\[\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{y}} - \operatorname{div}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right) = \mathbf{0}\quad\]
自由边界自然边界条件(对边界上任意 \(\delta y^a\))
\[\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\;n^i = 0 \quad\text{on }\partial D,\;\forall a=1,\cdots,m\]
可以紧凑地写为
\[\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0}\quad\]

物理解释 这个自然边界条件正是"在边界上没有(广义)外力"的表现. 例如:

最小曲面: \[f=\sqrt{1+|\nabla y|^2}\implies\mathbf{n}\cdot\nabla y=0\] 平均曲率为零的曲面在自由边界上与固定边界垂直.
静电场 \[f=\frac{1}{2}|\nabla\phi|^2\implies \mathbf{n}\cdot\nabla\phi=0\] 即 Neumann 边界条件 \(\partial_n\phi=0\).
弹性膜自由边缘: 横向应力为零.

Remark

这正是场论与经典力学 Hamilton 主函数情形的完美类比:域 \(D\) 固定 \(\leftrightarrow\) “等时变分”(时间端点固定),场在边界纵向自由 \(\leftrightarrow\) 末端坐标 \(\mathbf{q}(t_2)\) 可变,从而出现边界项 \(\mathbf{p}\cdot\delta\mathbf{q}\),最终给出 \(\mathbf{p}=\nabla_{\mathbf{q}}S\).
若边界只有一部分自由(其余部分固定 \(\delta y^a=0\)),则自然边界条件只在自由部分成立.
若同时允许域 \(D\) 也变(完全自由端点/横向+纵向都可变),会出现更复杂的横截条件(transversality condition),类似于力学中的可动端点在曲面上滑动的情况.

17.5 Variational Formulation of Eigenvalue Problems

将微分方程本征值问题转化为泛函极值或条件极值问题

Example 1 对于常微分方程边值问题

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right] + q(x)y(x) = f(x), &&x_0 \lt x \lt x_1 \\ &y(x_0) = y_0,\quad y(x_1) = y_1 \end{aligned}\right.\]

求相应的泛函, 使其在上述边界条件下取极值的必要条件是上述微分方程

Solution 设试探函数为 \(\overline{y}(x) = y(x) + \delta y(x)\), 其中 \(\delta y\) 为变分, 满足 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\). 利用微分方程构造极值条件

\[\int_{x_0}^{x_1} \left\{ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[p(x)y'] + q(x)y - f(x) \right\} \delta y \, \mathrm{d}x = 0\]

对第一项分部积分, 并利用 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\), 得

\[\int_{x_0}^{x_1} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p y') \delta y \, \mathrm{d}x = - \int_{x_0}^{x_1} p y' \delta y' \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \delta \int_{x_0}^{x_1} p y'^2 \, \mathrm{d}x\]

又注意到

\[\int_{x_0}^{x_1} q(x)y \delta y \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \delta \int_{x_0}^{x_1} q(x) y^2 \, \mathrm{d}x,\quad \int_{x_0}^{x_1} f(x) \delta y \, \mathrm{d}x = \delta \int_{x_0}^{x_1} f(x) y \, \mathrm{d}x.\]

综上, 极值条件可写为

\[\delta \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{1}{2} p (y')^2 - \frac{1}{2} q y^2 + f y \right] \mathrm{d}x = 0.\]

因此所求泛函为

\[J[y] = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{1}{2} p(x) \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^2 - \frac{1}{2} q(x) y^2(x) + f(x) y(x) \right] \mathrm{d}x\]

Example 2 考虑 Helmholtz 方程定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^2 u(\mathbf{r}) + \lambda u(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}), && \mathbf{r} \in D \\ &u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}), && \mathbf{r} \in \partial D \end{aligned}\right.\]

试求其对应的泛函.

Solution 设试探函数为 \(\overline{u}(\mathbf{r}) = u(\mathbf{r}) + \delta u(\mathbf{r})\), 其中 \(\delta u\) 为变分, 满足 \(\delta u|_{\partial D} = 0\). 利用微分方程构造极值条件

\[\int_D \left[ \nabla^2 u(\mathbf{r}) + \lambda u(\mathbf{r}) - \rho(\mathbf{r}) \right] \delta u(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 0\]

对第一项利用散度定理分部积分, 并利用 \(\delta u|_{\partial D} = 0\), 得

\[\int_D \nabla^2 u \, \delta u \, \mathrm{d}\mathbf{r} = - \int_D \nabla u \cdot \nabla(\delta u) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = -\delta \int_D \frac{1}{2} |\nabla u|^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r}\]

后两项同前处理, 得到

\[\delta \int_D \left[ -\frac{1}{2} |\nabla u|^2 + \frac{1}{2} \lambda u^2 - \rho u \right] \mathrm{d}\mathbf{r} = 0\]

因此所求泛函为

\[I[u] = \int_D \left[ -\frac{1}{2} |\nabla u(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2} \lambda u^2(\mathbf{r}) - \rho(\mathbf{r}) u(\mathbf{r}) \right] \mathrm{d}\mathbf{r}\]

17.6 Rayleigh-Ritz Method

变分法在物理学中有两大类应用:

作为基本物理规律的等价表述, 揭示物理本质.
作为求解具体问题的实用近似手段–在变分形式基础上建立高效率的近似方法. Rayleigh-Ritz 方法专门用于求解常微分方程或偏微分方程的本征值问题(即带积分约束的泛函条件极值问题).

Method Rayleigh-Ritz 方法

核心思想: 将本征值问题转换为泛函的条件极值问题, 然后缩小函数的范围, 通过选取适当的试探函数族, 将问题转为确定有限个参数的极值问题.

转换为条件极值问题具体地讲, 对于带权的 Sturm–Liouville 型本征值问题:
\[\mathcal{L} u = \lambda \rho(\mathbf{r}) u, \quad \mathbf{r} \in D,\quad \mathcal{L} = -\nabla \cdot (p(\mathbf{r}) \nabla) + q(\mathbf{r})\]
以下取光滑有界区域, 实系数 \(p,\rho\) 有正下界且有界, \(q\) 有界, 并取齐次 Dirichlet、Neumann 或实 Robin 条件 \(p\partial_nu+\sigma u=0\), 其中 \(\sigma\) 有界. 对应的加权算子 \(\rho^{-1}\mathcal L\) 在 \(L^2_\rho(D)\) 中自伴、下有界且具有紧预解式, 本征值可以由小到大排列. 在算子定义域内, 该问题等价于泛函条件驻值问题:
\[I[u]=\int_Du(\mathcal{L}u)\mathrm{d}\mathbf{r},\quad I_1[u]=\int_D\rho(\mathbf{r})u^2\mathrm{d}\mathbf{r}\]
可以定义 Rayleigh 商
\[R[u] = \frac{I[u]}{I_1[u]} = \frac{\int_D u (\mathcal{L} u) \, \mathrm{d}\mathbf{r}}{\int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r}}\]
求最小本征值 \(\lambda_1\) 的问题可以等价地写为
\[\lambda_1=\min_{u\neq0}\frac{I[u]}{I_1[u]}\Longleftrightarrow\lambda_1=\min_{I_1[u]=1}I[u]\]
即限制 \(I_1[u]=1\), 求 \(I[u]\) 的极值, 从而
\[I[u] = \int_D u (\mathcal{L} u) \, \mathrm{d}\mathbf{r}, \qquad I_1[u] = \int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 1\]
积分分部后, 应在二次型定义域上写为
\[I[u] = \int_D \big( p(\mathbf{r}) |\nabla u|^2 + q(\mathbf{r}) u^2 \big) \, \mathrm{d}\mathbf{r}+\int_{\partial D}\sigma u^2\mathrm dS, \qquad I_1[u] = \int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 1\]
Robin 情形的二次型定义域为 \(H^1(D)\), Neumann 情形令 \(\sigma=0\); Dirichlet 情形取 \(H_0^1(D)\) 并省略边界积分. 试探函数只须满足二次型定义域中的本质边条件, Robin 与 Neumann 条件由驻值时的边界项自然给出. 上式先对光滑函数积分分部, 再按二次型范数闭包延拓.

Remark 实本征值由自伴性保证, 最小值存在还依赖这里的下有界性与紧性; 不能仅由自伴性断言存在最小本征值 \(\lambda_1\). 本征函数对应不同本征值正交于加权内积下:
\[\langle u_i, u_j \rangle_\rho \equiv \int_D \rho(\mathbf{r}) u_i(\mathbf{r}) u_j(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 0, \quad i \neq j\]
Rayleigh–Ritz 方法: 选取二次型定义域中线性无关的实函数 \(\{\phi_k(\mathbf{r})\}_{k=1}^\infty\), 其有限线性组合在二次型范数下稠密. 构造 \(n\) 参数试探函数:
\[u_n(\mathbf{r}) = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k \phi_k(\mathbf{r})\]
代入 Rayleigh 商, 得到矩阵形式
\[I[u_n] = \boldsymbol{\alpha}^{T} \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}, \quad I_1[u_n] = \boldsymbol{\alpha}^{T} \mathbf{B} \boldsymbol{\alpha}\]

\[A_{ij} = \int_D(p\nabla\phi_i\cdot\nabla\phi_j+q\phi_i\phi_j)\,\mathrm d\mathbf r+\int_{\partial D}\sigma\phi_i\phi_j\,\mathrm dS, \quad B_{ij} = \int_D \rho \, \phi_i \phi_j \, \mathrm{d}\mathbf{r}\]
条件极值 \(\delta(I - \lambda I_1) = 0\) 导致广义矩阵本征值问题
\[\mathbf{A} \boldsymbol{\alpha} = \lambda \mathbf{B} \boldsymbol{\alpha}\]
求解得到 \(n\) 个近似本征值 \(\bar{\lambda}_1^{(n)} \le \bar{\lambda}_2^{(n)} \le \cdots \le \bar{\lambda}_n^{(n)}\).
性质与收敛性
- 变分上界定理:
  \[\lambda_k \le \bar{\lambda}_k^{(n)}, \quad k = 1,2,\cdots,n\]
- 极小极大原理给出 \(\lambda_k=\min_{\dim S=k}\max_{0\ne u\in S}R[u]\), 其中 \(S\) 遍历二次型定义域内的子空间. 将它限制在试探空间中只能使极小值增大, 因而得到上述上界.
- 试探空间嵌套且并集在二次型范数下稠密时, 对固定 \(k\), 有 \(\bar\lambda_k^{(n+1)}\le\bar\lambda_k^{(n)}\) 且 \(\bar\lambda_k^{(n)}\to\lambda_k\). 稠密性允许同时逼近前 \(k\) 个本征函数及其能量, 再用极小极大原理得到收敛. 只有 \(L^2\) 完备性不足以保证能量近似.

Example 求

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\lambda y=0,\quad y(0)\text{有界},y(1)=0\]

的最小本征值.

Solution 这等价于条件极值问题

\[I[y] = \int_0^1 \left[ x \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right] \mathrm{d}x, \quad I_1[y] = \int_0^1 x y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

选取试探函数族

\[\phi_k(x) = (1 - x^2)^k, \quad k = 1,2,\cdots\]

满足边界条件. 取 \(n=2\), 试探函数为

\[y_2(x) = \alpha_1 (1 - x^2) + \alpha_2 (1 - x^2)^2\]

相应泛函

\[\begin{aligned} I[y_2]&=\alpha_1^2 + \frac{4}{3}\alpha_1\alpha_2 + \frac{2}{3}\alpha_2^2\\ I_1[y_2]&=\frac{1}{6}\alpha_1^2 + \frac{1}{4}\alpha_1\alpha_2 + \frac{1}{10}\alpha_2^2=1 \end{aligned}\]

从而得到方程组

\[\left\{\begin{aligned} &2\alpha_1 + \frac{4}{3}\alpha_2 - \lambda\left(\frac{1}{3}\alpha_1 + \frac{1}{4}\alpha_2\right)=0 \\ &\frac{4}{3}\alpha_1 + \frac{4}{3}\alpha_2 - \lambda\left(\frac{1}{4}\alpha_1 + \frac{1}{5}\alpha_2\right)=0 \end{aligned}\right.\]

非零解要求

\[\det\begin{vmatrix} 2-\dfrac{\lambda}{3} & \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{4} \\[6pt] \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{4} & \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{5} \end{vmatrix}=0\implies 3\lambda^2-128\lambda+640=0\implies \lambda=\frac{64}{3}\pm\frac{8}{3}\sqrt{34}\]

取较小根得到最小本征值近似值

\[\bar\lambda_1=\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\sqrt{34}\approx5.784128\implies \bar\lambda_1-\lambda_1 = 9.42\times 10^{-4}\]

进而解得归一化的

\[\alpha_1=2\sqrt{12-33\sqrt{2/17}}\approx1.650568,\quad \alpha_2=\sqrt{80-230\sqrt{2/17}}\approx1.053874\]

\[\implies\Delta=\int_0^1 x[y_1(x)-\bar y_1(x)]^2\,\mathrm{d}x\approx1.66\times10^{-5},\quad\]

然而较大根

\[\bar\lambda_2=\frac{64}{3}+\frac{8}{3}\sqrt{34}\approx36.88\implies \bar\lambda_2-\lambda_2 = 6.41\]

误差很大.

Remark 求解高本征值的改进策略(正交化/减基方法): 在原约束之外, 附加解正交于已得到的近似基态的条件

\[\int_0^1 y(x)\,\bar y_1(x)\,x\,\mathrm{d}x=0\]

只有正交于真实基态时, 新约束下的最小值才等于第二本征值. 正交于近似基态只给近似约束, 不自动保证所得值为 \(\lambda_2\) 或提高精度.

18 Summary of Mathematical Physics Equations

18.1 Classification of Second-Order Linear PDEs

我们之前总共讨论了三类 PDE: 波动方程、热传导方程、稳定问题(如拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程). 在下面的内容中, 我们将看到这三类方程在数学上, 分属双曲型, 抛物型, 椭圆型三类. 在两个自变量的情形下,二阶线性 PDE 就只有这三种类型. 对于更多个自变量的情形, 问题要复杂一些, 但讨论的基本方法是一样的.

两个自变量 \((x, y)\) 的二阶线性偏微分方程的普遍形式是

\[a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y} + fu + g = 0\]

其中 \(a,b,c,d,e,f,g\) 是 \(x,y\) 的已知函数. 以下只在主部矩阵处处非零且类型不变的局部邻域中讨论, 并假设系数足够光滑以构造二阶可微的坐标变换. 若下文斜率公式的分母 \(a=0\), 应先作线性坐标旋转使新的该系数非零, 或改用倒数斜率方程; 非零实对称主部总存在非零的方向二次型, 因而可以局部这样选取坐标. 主部完全消失的点及类型改变的界面不由这里的三种标准型覆盖. 作变换

\[\xi = \phi(x,y), \quad \eta = \psi(x,y)\]

为保证 \(\xi,\eta\) 仍是独立变量, 要求

\[\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)} \neq 0\]

在新变量下, 原方程变为

\[A\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2B\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + C\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \Phi = 0\]\[\begin{aligned} A &= a\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2\\ B &= a\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x} + b\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) + c\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}\\ C &= a\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^2\\ \Phi &\equiv \Phi\left(\xi,\eta,u,\frac{\partial u}{\partial\xi},\frac{\partial u}{\partial\eta}\right) =D\frac{\partial u}{\partial\xi} + E\frac{\partial u}{\partial\eta} + Fu + G \end{aligned}\]

容易证明

\[B^2 - AC = \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} - \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 (b^2 - ac) = \left|\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)}\right|^2 (b^2 - ac)\]

我们希望通过适当选取变换, 使 \(A,B,C\) 中一个或几个为 0, 从而简化方程. 考虑:

Theorem 若 \(\phi(x,y)=C\) 是方程 \[a(\mathrm{d}y)^2 - 2b\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x + c(\mathrm{d}x)^2 = 0\] 的一般积分, 则 \(\xi = \phi(x,y)\) 是方程 \[a\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2 = 0\] 的一个特解. Proof 因为 \(\phi(x,y)=C\),所以 \[\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y = 0 \implies \mathrm{d}y = -\frac{\partial\phi/\partial x}{\partial\phi/\partial y}\mathrm{d}x\] 设 \(\partial\phi/\partial y \neq 0\), 代入上述 ODE 得到待证的 PDE.

这启发我们选取新变量 \(\xi,\eta\) 时, 可适当选取 \(\xi = \phi(x,y)\) 使 \(A=0\), 或适当选取 \(\eta = \psi(x,y)\) 使 \(C=0\), 只要能够解出特征方程

\[a\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 - 2b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + c = 0\implies\]

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{b}{a} \pm \frac{1}{a}\sqrt{b^2 - ac}\]

上述斜率式假定 \(a\ne0\). 若 \(a=0\), 应使用未除以 \(a\) 的齐次二次微分式, 或改用 \(\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\) 的坐标图处理竖直方向. 其积分曲线就是原方程的特征线. 根据 \(\Delta = b^2 - ac\) 的符号, 分别有

双曲型(\(\Delta > 0\)): 存在两条实的独立特征线 \(\phi(x,y)=C_1, \psi(x,y)=C_2\), 从而可以取 \(\xi = \phi(x,y), \eta = \psi(x,y)\), 使得 \(A=C=0,B\neq 0\). 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + \Phi = 0\]
再作变换 \(\rho = \xi + \eta,\sigma = \xi - \eta\), 可得标准形式
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \Phi = 0\]
波动方程属于双曲型方程.(这里为了方便起见, 不再区分 \(\Phi\) 的不同形式, 统一记为 \(\Phi\))
椭圆型(\(\Delta\lt0\)): 无实特征方向. 对可作相应复解析延拓的实解析系数, 可局部引入互相共轭的复特征变量; 下面的复变量推导按这一条件理解, 不能直接用于任意仅光滑的系数. 取共轭复变量 \(\xi,\eta\),仍可得到
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + \Phi = 0\]
引入实变量 \(\rho = \xi + \eta, \sigma = \mathrm{i}(\xi - \eta)\), 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \Phi = 0\]
Laplace 方程、 Poisson 方程、 Helmholtz 方程均属椭圆型方程.
抛物型(\(\Delta = 0\), 且 \((a,b,c)\ne(0,0,0)\)): 重根, 只能得到一条特征线 \(\phi(x,y)=C\).

取 \(\xi = \phi(x,y)\) 使 \(A=0\), 又因为非退化实坐标变换只使 \(\Delta\) 乘上非零 Jacobian 的平方, 其符号及是否为零保持不变, 所以
\[B^2 - AC = B^2 = 0\implies B=0.\]
任意选取与 \(\xi\) 独立的 \(\eta = \psi(x,y)\), 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \Phi = 0\]
热传导方程属抛物型方程.

18.2 KdV Equation and Traveling-Wave Solutions

之前讨论的 PDE 定解问题均为线性方程+线性定解条件, 这一类问题解法简单, 均可利用叠加原理. 物理现象的线性描述均为一定范围内的近似. 随着研究的深入, 不可避免地要超出线性范围, 出现非线性 PDE.

本节限于 KdV 方程的构造与衰减行波特解, 不涵盖一般非线性 PDE 的存在唯一性、逆散射方法或多孤子理论.

以一维波动方程为例

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\quad u(x,t)=f(x-at)+g(x+at)\]

考虑其中一个行波 \(u(x,t)=f(x-at)\), 满足的连续性方程

\[\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0\]

其中 \(j = au\) 为波动的流密度. 现在引入流密度与波幅的非线性项, 以及色散项

\[j = au + \frac{\alpha}2{} u^2 +\beta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

连续性方程变为

\[\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}+\beta\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+\alpha u\frac{\partial u}{\partial x}=0\]

以下取 \(\beta>0\)、\(\alpha\ne0\), 进一步作变换

\[\tau=At,\quad\xi=A(x-at),\quad v=Bu;\quad A=\frac{1}{\sqrt{\beta}},\quad B=-\frac{\alpha}{6}\]

变换后色散项和非线性项的系数分别为 \(\beta A^2=1\) 和 \(\alpha/B=-6\), 得到标准的 Korteweg-de Vries 方程(KdV 方程)

\[\frac{\partial v}{\partial \tau} + \frac{\partial^3 v}{\partial \xi^3} - 6v\frac{\partial v}{\partial \xi} = 0\]

KdV 方程描述了非线性介质中弱非线性、弱色散的长波传播现象.

非线性方程的最主要特点是解不再满足叠加原理, 需要特殊的求解技巧(如行波法, 逆散射法等). 以下讨论 KdV 方程的特解. 称 \(\xi,\tau\) 为空间变量和时间变量, 考虑求解

\[v(\xi,\tau)=f(\xi-c\tau)=f(\eta)\]

代入 KdV 方程得到

\[-c\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}+\frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}\eta^3}-6f\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}=0\]

进行一步积分

\[-cf+\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}-3f^2=C_1\]

两端乘以 \(\mathrm{d}f/\mathrm{d}\eta\), 再次积分得到

\[-\frac{c}{2}f^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\right)^2-f^3=C_1f+C_2\]

其中 \(C_1,C_2\) 为积分常数. 考虑渐近条件

\[f,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta},\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\to 0,\quad \eta\to\pm\infty\]

可以得到 \(C_1=C_2=0\), 从而

\[\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\right)^2=f^2[c+2f]\]

对实解, 非零的 \(f\) 必须满足 \(c+2f\ge0\). 以下讨论 \(c>0\) 的两类行波, 不作其他波速下解的分类.

光滑单孤子分支 \(-c/2\le f\lt0\). 在转折点之外,
\[\pm\frac{\mathrm{d}f}{f\sqrt{c+2f}}=\mathrm{d}\eta\]
令
\[z=\sqrt{\frac{c+2f}{c}}\implies\pm\frac{2\mathrm{d}z}{\sqrt{c}(z^2-1)}=\mathrm{d}\eta\]
从而得到
\[z=\left|\tanh\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\right|\]

\[f(\eta) = \frac{c}{2}(z^2-1) = -\frac{c}{2}\operatorname{sech}^2\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\]
对任意 \(c>0\), 得到这样一个光滑单孤子(soliton)解, 波形在传播过程中不变. 在 \(\eta=\eta_0\) 处, \(f=-c/2\)、\(f'=0\), 此处 \(c+2f=0\); 两侧分支在此光滑接合.
奇性行波分支 \(f>0\). 此时仍有 \(c+2f>0\), 令 \(z=\sqrt{(c+2f)/c}>1\), 同一积分给出
\[z=\left|\coth\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\right|\]
从而
\[f(\eta)=\frac{c}{2}\operatorname{csch}^2\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right],\quad \eta\ne\eta_0\]
该解分别在 \(\eta\lt\eta_0\) 和 \(\eta>\eta_0\) 上满足方程, 在各自无穷远端衰减, 但在 \(\eta=\eta_0\) 处有极点, 不是整条实轴上的光滑解. 极点随行波移动, 不能据此断言光滑初值会在有限时间内爆破.

当 \(c+2f\lt0\) 且 \(f\ne0\) 时, 一阶积分右侧为负, 不存在实行波解.