Mathematics on Square's Blog

Music and Mathematics - 1

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Sound and Musical Notation

1.1 Physical Properties of Sound

频率与音高 (pitch) 相关, 但音高属于听觉感知.

年轻、听力正常的人常用约 20 Hz–20 kHz 表示可听频率范围; 实际上限随年龄、声级和听觉条件改变.
常用调音标准取 A₄ 为 440 Hz.
人耳对频率的感知不是线性的, 同样的频率间隔在音高上的间隔并不一致

声压、数字电平与响度是不同的量: 声压级 SPL 以空气中声压为参照; dBFS 以数字系统满刻度为参照; LUFS 是经过频率加权和时间统计的响度指标, 不能互换.

空气中的声压级约定参考声压为 \(p_0 = 2\times 10^{-5}\,\text{Pa}\) (20 μPa). 这是固定参考值, 不是每个人、每个频率的实际听阈; 听阈还随频率和测量条件改变.
声压级 \[L_p=20\log_{10}\left(\frac{p_{\mathrm{rms}}}{p_0}\right)\]
这里 \(p_{\mathrm{rms}}>0\) 为声压相对静压的波动在指定时间窗内的均方根 (RMS), \(L_p\) 的单位为 dB. 主观响度还依赖频谱、持续时间和听觉条件, 并非声压级的同义词.

持续时间对应时值 (duration).

音色 (timbre) 与频谱、起音和随时间变化的包络等有关.

Attack 起音、Decay 衰减、Sustain 保持电平、Release 释放. 在常见 ADSR 合成器中, A、D、R 控制相应阶段的时长, S 控制按键保持期间的电平, 而不是独立设定的持续时长.

频谱图 (spectrogram) 通常以时间为横轴、频率为纵轴, 用颜色或亮度表示各短时窗内的谱幅度或功率, 常取对数刻度. 可先分帧、加窗, 再作短时 Fourier 变换; 对整段波形作一次 Fourier 变换所得的频谱, 本身没有时间轴.

1.2 Musical Pitch System

乐音是持续有规律的振动产生的声音;噪音是由无规律的、起伏不定的振动产生的声音. 20世纪以来, 噪音的运用越来越被重视.

音乐中所使用的、具有固定音高的全体乐音构成一个集合(set), 称作乐音体系. 其中的元素(elements)称作音级. 全体音级从低到高的排列称为音列.

在这里讨论的十二半音体系中, 音列中相邻音级相差一个半音 (semitone). 在标准键盘上, 任意两个相邻琴键 (包括白键和黑键) 相差一个半音; 隔开一个键则相差一个全音 (whole tone). 十二平均律还要求各半音的频率比相同, 其他律制不必满足这一点.

音级基本的音名只有七个, 即 CDEFGAB, 称为7个基本音级, 对应键盘的白键, 在每一个八度(octave)中循环使用.

键盘上的异名等音

其他的变化音级由变音记号(accidental) + 基本音级记录

升号\(\sharp\): 升半音
降号\(\flat\): 降半音
重升号𝄪: 升全音
重降号𝄫: 降全音
还原号\(\natural\): 把已经升/降的音换原为基本音级

唱名: 给每个音级赋予不同音节, 也称为阶名唱法. 固定唱名法: CDEFGAB<->do re mi fa sol la si 首调唱名法: do可以是音列中任一音节, 之后的唱名按原先音程(mi->fa, si->do为半音, 其余间隔为全音, 即唱一个大调音阶).

1.3 Notation

五线谱

五线谱读法

音符与休止符的相对与绝对时值

音符 / 对应休止符	全音符时值的比例	四分音符为一拍时
全音符	1	4 拍
二分音符	1/2	2 拍
四分音符	1/4	1 拍
八分音符	1/8	1/2 拍
十六分音符	1/16	1/4 拍

假定以四分音符为一拍, 全音符为4拍.

音符 / 对应休止符	全音符时值的比例	四分音符为一拍时
全音符	1	4 拍
二分音符	1/2	2 拍
四分音符	1/4	1 拍
八分音符	1/8	1/2 拍
十六分音符	1/16	1/4 拍

速度 (tempo) 常用 BPM 表示, 即每分钟指定拍单位的次数. 拍单位须由速度标记给出, 不一定是四分音符; 在指定单位下, 每拍时长为 \(60/\mathrm{BPM}\) 秒.

附点音符: 附一点音符时值为基本音符时值的 1.5 倍; 附二点音符时值为基本音符时值的 1.75 倍; 以此类推.

谱号、调号

五线谱的音高需要通过谱号 clef 决定. 常用的有treble 𝄞, alto 𝄡, bass 𝄢

treble(G谱号): 圆圈中心在二线, 对应G₄.
alto(C谱号): 中心在三线, 对应C₄. 若更改中心在四线位置, 则称为次中音(tenor clef)
bass(F谱号): 冒号在四线, 对应F₃.

调号与变音记号:

在乐谱每一行开始处, 记在谱号后面的变音记号叫做调号(key signature). 调号中的变音记号, 在未改变调号之前, 对乐谱中所有同名音, 不论哪个八度都有效.
记在音符音头前的变音记号叫做临时变音记号
- 其作用范围为变音记号之后, 一小节之内, 同高度的音;
- 加变音记号的音用延音线连结起来时, 到下一小节的继续有效;
- 同一小节内已升高或降低了的音有改变时, 应另记变音记号.
注意调号、变音记号并不叠加, 都是在谱号决定的音高的基础上改变.

谱表staff

treble、bass、alto、tenor等都是单谱表.
用连谱号连结的若干谱表构成联合谱表: 由花括号连结的高音谱表和低音谱表构成大谱表(grand staff), 通常用于钢琴记谱; 由方括号连结的四声部合唱谱; 乐队总谱.

1.4 Interval

音程即音级的间距, 高的称为冠音, 低的称为根音.

同时发声的音之间的音程称为和声音程; 反之, 称为旋律音程.

音程的名称

度数: 按音名 C–D–E–F–G–A–B 计数, 含起止两个音名, 对应五线谱上的级数. 先忽略升降号, 不能直接数实际发声的白键: 例如 C–D♯ 为二度, C–E♭ 为三度, 虽可在平均律键盘上等音.
半音数: 半音数决定度数的纯、小、大、增、减.

由半音数判定音程名称之前, 将度数分为两组:

完全音程: 包括一度、四度、五度、八度
- 基础: 纯的完全音程分别对应0、5、7、12个半音
- 变化: 减少和增加半音被称为减/增 ~ 度(一度无减除外)
大小音程: 包括二度、三度、六度、七度
- 基础: 小 ~ 度->1、3、8、10个半音; 大 ~ 度->2、4、9、11个半音
- 变化: 小 ~ 度减少半音称为减 ~ 度; 大 ~ 度增加半音被称为增 ~ 度

度数	减	小	纯	大	增
一度	-	-	0	-	1
二度	0	1	-	2	3
三度	2	3	-	4	5
四度	4	-	5	-	6
五度	6	-	7	-	8
六度	7	8	-	9	10
七度	9	10	-	11	12
八度	11	-	12	-	13

其中加粗的称为自然音程. 从自然音程出发改变半音数得到变化音程. 注意同一半音数间隔有多个音程称谓.

e.g. \(\flat\)G - A和G - \(\sharp\)A都是增二度.

协和音程与不协和音程

在常见基础乐理的音程分类中通常认为:

纯一/四/五/八度音程、大小三/六度音程属于协和音程(consonant interval)
- 完全协和音程: 几个纯音程
- 不完全协和音程: 大小三/六度
二/七度音程、其他所有增、减音程都属于不协和音程(dissonant interval)

在传统对位与功能和声中, 纯四度在低音上方常按不协和音程处理, 因此上面的基础分类不能代替具体声部与和声语境. 对谐波音色, 简单整数频率比常对应较多重合的分音, 有助于解释部分协和感; 不能据此对所有音色与语境作统一排序.

音程纯五度纯四度大六度大三度小三度小六度小七度大二度大七度小二度增四度（三全音）

比例 3:2 4:3 5:3 5:4 6:5 8:5 9:5 9:8 15:8 16:15 45:32

上表是纯律频率比的例子, 不是十二平均律的精确比值. 十二平均律中相隔 \(n\) 个半音的频率比为 \(2^{n/12}\).

拍音与粗糙度可以解释部分协和感: 接近的频率或分音会产生振幅起伏, 感知还依赖音区、音色及听觉频带. 不能用固定的“每秒若干拍音”阈值给所有音程分类; 和声语境也会改变协和与不协和的功能.

音程	纯五度	纯四度	大六度	大三度	小三度	小六度	小七度	大二度	大七度	小二度	增四度（三全音）
比例	3:2	4:3	5:3	5:4	6:5	8:5	9:5	9:8	15:8	16:15	45:32

1.5 Meter and Rhythm

节奏、旋律、和声是音乐的三大要素. 由于单有节拍和节奏就可以构成音乐作品, 故而节拍和节奏是构成音乐的第一要素.

1.5.1 Meter

拍 (beat) 是音乐中可感知的基本律动; 节拍 (meter) 是拍在强弱层级上的组织. 小节 (measure) 用小节线划分, 拍号 (time signature) 标示其时值结构.

拍号	常用基本拍	每小节拍数	分组
2/4	四分音符	2	强、弱
3/4	四分音符	3	强、弱、弱
4/4	四分音符	4	强、弱、次强、弱
6/8	附点四分音符	2	两组各三个八分音符

3/4 与 6/8 都可容纳六个八分音符, 但前者常分为 \(2+2+2\), 后者为 \(3+3\). 英文 simple / compound meter 按基本拍通常二分还是三分区分, 不应只按拍号分子是否为合数判断. 中文教材的单拍子、复拍子分类另有约定, 使用时需说明分组.

1.5.2 Asymmetric Meter

五拍、七拍常按 \(2+3\)、\(3+2\) 或 \(2+2+3\) 等不等长组组织. 拍号分子为素数并不意味着不能分组. Paul Desmond 的 Take Five 是五拍子的典型例子.

1.5.3 Rhythm

“节奏,谓或作或止,作则奏之, 止则节之”. 节奏(rhythm)是由音符的不同时值(duration)组合构成的模式.

Georges Bizet - Carmen act.1: Habanera

2/4, 时值最短的为十六分音符/休止符, 故而可以抽象出节奏型(不含音高):

将上面的 2/4 节奏重复两个小节, 以十六分音符为网格单位, 得到 16 个位置 \(0,1,\ldots,15\). 记发声起点 (onset) 为 1, 其余为 0:

\[[\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ |\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ ]\]

2 Vibration and Overtones

发声方式

气鸣乐器aerophone: 边棱、唇鸣、簧鸣
弦鸣乐器chordophone: 弓弦、弹拨、击打
体鸣乐器idiophone: 木琴、打击乐器
膜鸣乐器membranophone: 鼓、kazoo
电鸣乐器electrophone

2.1 Consonance and the Overtone Series

e.g.1 对于张力与线密度均匀、忽略弯曲刚度的小振幅理想弦, 两端固定时 \(f_n=nf_1\) (\(n=1,2,\ldots\)), 构成基音和谐波列. 基音以上的成分称为泛音; 本模型中 \(n=2\) 为第一泛音. 真实弦的刚度等因素可使泛音偏离整数倍频.

对于理想谐波列, 若基频为 C2, 则第 \(n\) 个谐波的频率为 \(nf_1\). 下表的比值统一相对于基频, 音名只表示附近的十二平均律音高.

谐波序号	频率比	附近音名	说明
1	1:1	C2	基音
2	2:1	C3	八度
3	3:1	G3	相对 C3 为纯五度
4	4:1	C4	两个八度
5	5:1	E4	相对 C4 为纯律大三度
6	6:1	G4	相对 C4 为纯五度
7	7:1	B♭4 附近	低于平均律 B♭4
8	8:1	C5	三个八度
9	9:1	D5	相对 C5 为 9:8
10	10:1	E5	相对 C5 为 5:4
11	11:1	F5 与 F♯5 之间	不等于平均律中的任一音
12	12:1	G5	相对 C5 为 3:2
13	13:1	A♭5 与 A5 之间	接近但低于平均律 A5

自然铜管乐器可利用接近谐波列的共振模式发声; 真实乐器的共振与可演奏音域还受管形、吹口等影响.

2.2 Pizzicato

取弦长 \(L>0\), 均匀张力 \(T>0\)、线密度 \(\mu>0\), 忽略阻尼与弯曲刚度, 波速 \(c=\sqrt{T/\mu}\). 理想弦满足小振幅波动方程, 两端固定, 初始速度为零:

\[u_{tt}=c^2u_{xx},\quad u(0,t)=u(L,t)=0,\quad u_t(x,0)=0.\]

在 \(0\lt x_0\lt L\) 处拨高 \(h\) (折线各段斜率须足够小), 释放时的折线位形为

\[\phi(x)=\begin{cases} hx/x_0,&0\le x\le x_0,\\ h(L-x)/(L-x_0),&x_0\le x\le L. \end{cases}\]

固定端要求空间本征函数为 \(\sin(n\pi x/L)\). 将初始位形作 Fourier 正弦展开, 利用正交性得到

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L},\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\]

分段积分给出

\[a_n=\frac{2hL^2}{n^2\pi^2x_0(L-x_0)}\sin\frac{n\pi x_0}{L}.\]

这里用到 \(\int x\sin(kx)\,dx=-x\cos(kx)/k+\sin(kx)/k^2\); 两段在 \(x_0\) 处的余弦项相消, 端点的正弦项为零. 因而中央拨弦 \(x_0=L/2\) 时

\[a_n=\frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2},\]

只激发奇数序号的谐波. 若在中央轻触制音, 可近似抑制中央不为节点的模式, 留下偶数序号谐波. 中央拨弦改变初始位形, 轻触制音则添加近似节点约束; 两者不是同一种操作.

2.3 Wind Instruments

Woodwind: piccolo, flute, oboe, clarinet, bassoon
Brass: trumpet, horn, trombone, tuba

木管五重奏: flute, oboe, clarinet, bassoon, horn(虽然horn是铜管)

下列公式采用均匀圆柱形空气柱、线性无损声波的理想模型, \(v\) 为声速, \(L\) 为有效管长, 模序号 \(n=1,2,\ldots\). 开口近似为声压节点、空气位移波腹; 闭口相反. 真实管乐器须考虑端部修正, 不能把声压与位移的节点混淆.

开管(两侧开口):
\[f_n=\frac{nv}{2L}\]
可以得到所有自然泛音.

长笛可近似为开管; 对给定有效管长, 第二共振约为基频的两倍, 超吹可得到高八度. 基频随指法和有效管长改变.
闭管(一侧开口):
\[f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{(2n-1)v}{4L}\]
共振频率为基频的奇数倍: \(f_1,3f_1,5f_1,\ldots\), 即只保留奇数序号谐波. 若按实际存在的泛音依次编号, \(3f_1\) 是第一泛音, 不能称为“仅有偶次泛音”.

单簧管的圆柱形管体可近似为一端闭管, 首个较高共振约为基频的三倍, 超吹得到高十二度. 此为理想模型, 真实频率还需端部修正.

3 Temperaments and Tuning Systems

Q 乐音体系是有限多音级构成的集合, 律学(Temperament)要回答的问题是

如何确定绝对音高(absolute pitch)
如何确定一个八度内不同音级的相对音高(relative pitch)

即说明乐音体系的集合是如何确定的, 分别对应什么音高.

在采用八度频率比 1:2 的十二音体系中, 确定一个八度内 12 个音级的相对频率后, 再指定任意一个音级的基准频率, 就确定了其余音高. 十二音是本节的选择, 不是所有律制必有的音级数.

3.1 The Sanfen Sunyi Method(三分损益)

凡將起五音(五声音阶):

凡首, 先主一而三之, 四開以合九九, 以是生黃鐘小素之首, 以成宫: \(3^4 = 81\)
三分而益之以一, 為百有八, 為徵: \(81\times\frac{4}{3} = 108\)
不無有三分而去其乘, 適足, 以是生商: \(108\times\frac{2}{3} = 72\)
有三分, 而復于其所, 以是成羽: \(72\times\frac{4}{3} = 96\)
有三分, 去其乘, 適足, 以是成角: \(96\times\frac{2}{3} = 64\)

在理想弦的张力与线密度相同的条件下, 基频与有效弦长成反比. 再将徵、羽弦长除以 2, 就得到以宫为基准的五声音阶 (此处用 C₄ 作现代音名参照, 不表示古代固定标准音高):

宫	商	角	徴	羽
81	72	64	54	48

Rem 这里的数值不是音高, 而是弦长的比值. 频率比为其倒数.

但是\(81:64 \ne 1.25\), 不符合理想大三度的简单整数比.

变宫: \(64\times\frac{4}{3}=\frac{256}{3}\approx 85\)
变徴: \(\frac{256}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{512}{9}\approx 57\)

变宫对应弦长除以 2, 得到七声音阶(雅乐音阶/古音阶):

宫	商	角	变徵	徵	羽	变宫
81	72	64	512/9	54	48	128/3

十二律

序号	连续五度音名	原始频率比
0	C	\((3/2)^{0}\)
1	G	\((3/2)^{1}\)
2	D	\((3/2)^{2}\)
3	A	\((3/2)^{3}\)
4	E	\((3/2)^{4}\)
5	B	\((3/2)^{5}\)
6	F♯	\((3/2)^{6}\)
7	C♯	\((3/2)^{7}\)
8	G♯	\((3/2)^{8}\)
9	D♯	\((3/2)^{9}\)
10	A♯	\((3/2)^{10}\)
11	E♯	\((3/2)^{11}\)
12	B♯	\((3/2)^{12}\)

排列得到

律名	现代音名参照
黄钟	C
大吕	C♯
太簇	D
夹钟	D♯
姑洗	E
仲吕	F
蕤宾	F♯
林钟	G
夷则	G♯
南吕	A
无射	B♭
应钟	B

按上面的连续纯五度构造, 第 11 步记为 E♯, 第 12 步记为 B♯. 十二个纯五度与七个八度的频率比相差

\[\frac{(3/2)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}>1.\]

将第 12 步折回到 C 上方一八度时, 频率比为 \(3^{12}/2^{18}>2\), 因而略高于 C 的精确高八度, 不能把此 B♯ 与 C′ 精确等同. 这里的五度链与律名表采用现代音名参照, 不能将链中 E♯ 直接认作表中仲吕 F 的同一精确频率.

3.2 Generation by Fifths(五度相生)

毕达哥拉斯学派采用3:2作为生律比, 得到12音名(与三分损益法相同):

序号	连续五度音名	原始频率比
0	C	\((3/2)^{0}\)
1	G	\((3/2)^{1}\)
2	D	\((3/2)^{2}\)
3	A	\((3/2)^{3}\)
4	E	\((3/2)^{4}\)
5	B	\((3/2)^{5}\)
6	F♯	\((3/2)^{6}\)
7	C♯	\((3/2)^{7}\)
8	G♯	\((3/2)^{8}\)
9	D♯	\((3/2)^{9}\)
10	A♯	\((3/2)^{10}\)
11	E♯	\((3/2)^{11}\)
12	B♯	\((3/2)^{12}\)

三度音程出现问题(C : E): \(\frac{3^4}{2^6}\approx1.265625>1.25\).

同样对于\(\boldsymbol\sharp{\rm E}\)上纯五度的\(\boldsymbol\sharp{\rm B}\), 有\(\frac{3^{12}}{2^{19}} > 1\), 得到毕达哥拉斯音差, 与现代律制仍不同.

反过来不断乘以\(\frac{2}{3}\) 或 \(\frac{4}{3}\), 也可以降五度相生的音, 但是与升五度相生的音并不完全重合.

3.3 Just Intonation

纯律添加了理想大三度的比例

三和弦	比例
C–E–G	1 : 5/4 : 3/2 = 4:5:6
F–A–C′	4/3 : 5/3 : 2 = 4:5:6
G–B–D′	3/2 : 15/8 : 9/4 = 4:5:6

音名	相对 C 的纯律频率比
C	1
D	9/8
E	5/4
F	4/3
G	3/2
A	5/3
B	15/8
C′	2

纯律下正三和弦(C-E-G、F-A-C’、G-B-D’)都符合理想的简单整数比4:5:6, 这对多声部音乐具有重要意义.
五度音程D-A比例为\(\frac{40}{27}=\frac{80}{54}\lt \frac{81}{54} = \frac{3}{2}\), 比理想的纯五度要"窄"
大二度有两种比例: C-D、F-G、A-B为9:8; D-E, G-A为10:9
syntonic comma音差: C出发, 升4个纯五度, 降2个八度和1个大三度, 回到的地方略高于C:
\[\left(\frac{3}{2}\right)^4\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{4}{5}=\frac{81}{80}=1.0125\]
产生谐调音差.
modulation转调对于之前的七声音阶, 若要转为以D为基准1, 则对于其上纯五度的A, 比例为
\[\frac{5}{3}\div\frac{9}{8}=\frac{5}{3}\times\frac{8}{9}=\frac{40}{27}\approx1.48\lt \frac{3}{2}\]

3.4 Meantone Temperament

C上方五度为\(\frac{3}{2}f\), 八度为\(2f\), 若想按五度相生, 经过\(n\)次后得到比C高\(m\)个八度的音级, 需要满足

\[\left(\frac{3}{2}\right)^n\cdot f=2^m\cdot f\]

当 \(m,n\) 为正整数时没有解: 等式等价于 \(3^n=2^{m+n}\), 与素因数分解唯一性矛盾. 因此由精确纯五度生成的有限音高循环不能同时精确闭合于八度; 这不是说有理频率比无法构成任何律制.

音程复合对应频率比相乘. 因此等分一个音差应在对数音高上等分, 即对频率比取几何平均.

四分之一音差中全音律 (quarter-comma meantone): 将之前的 syntonic comma 在对数音高上平均分给四个连续五度:

\[a = \frac{81}{80},\quad d = \sqrt[4]{a}\Longrightarrow\frac{3}{2}\div\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{5}\]

用\(\sqrt[4]{5}\)作为生律元素, 依次得到6个音级:

\[\begin{matrix} &\mathrm{C} &\mathrm{G} &\mathrm{D} &\mathrm{A} &\mathrm{E} &\mathrm{B}\\ &1 &\sqrt[4]{5} &\frac{\sqrt{5}}{2} &\frac{\sqrt[4]{5^3}}{2} &\frac{5}{4} &\frac{5\sqrt[4]{5}}{4} \end{matrix}\]

由 C’ 与 F 相差一个同样收窄的五度, 从而

\[\begin{matrix} &\mathrm{C} &\mathrm{D} &\mathrm{E} &\mathrm{F} &\mathrm{G} &\mathrm{A} &\mathrm{B}\\ &1 &\frac{\sqrt{5}}{2} &\frac{5}{4} &\frac{2\sqrt[4]{5^3}}{5} &\sqrt[4]{5} &\frac{\sqrt[4]{5^3}}{2} &\frac{5\sqrt[4]{5}}{4} \end{matrix}\]

纯律中两种不同大二度的几何平均
\[\sqrt{\frac{9}{8}\times\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt5}{2}\]
恰好为此处的大二度
可在所选音高集合支持的调之间转调, 但不能同时保证任意调中所有五度与三度都纯正
考虑半音与全音: 小二度B-C'
\[\begin{aligned} 2\div\frac{5\sqrt[4]{5}}{4}&=\frac{8}{5\sqrt[4]{5}}=\frac{8\sqrt[4]{5^3}}{25}\\ \left(\frac{8\sqrt[4]{5^3}}{25}\right)^2&=\frac{64}{125}\sqrt5>\frac{\sqrt5}{2}\end{aligned}\]
两个半音略"宽"于全音.

3.5 Equal Temperament

设一个八度之间有12个半音, 相应的音级分别对应频率

\[f_0,f_1,f_2,\ldots,f_{11},f_{12}=2f_0\]

使其构成等比数列, 则公比为\(\sqrt[12]{2}\), 得到十二平均律.

朱载堉的“新法密率”给出了十二平均律的精密数值计算. 下表用现代音名作对应参照, 不表示各历史律制具有完全相同的频率.
\[\begin{array}{cccccccccccccc} \text{黄} & \text{大} & \text{太} & \text{夹} & \text{姑} & \text{仲} & \text{蕤} & \text{林} & \text{夷} & \text{南} & \text{无} & \text{应} & \text{黄} \\ \text{钟} & \text{吕} & \text{蔟} & \text{钟} & \text{洗} & \text{吕} & \text{宾} & \text{钟} & \text{则} & \text{吕} & \text{射} & \text{钟} & \text{钟} \\ \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{正} \\ \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} \\ \text{C} & \sharp\text{C} & \text{D} & \sharp\text{D} & \text{E} & \text{F} & \sharp\text{F} & \text{G} & \sharp\text{G} & \text{A} & \sharp\text{A} & \text{B} & \text{C}^\prime \\ \end{array}\]

3.6 Cents

取正频率 \(f_1,f_2\), 音分在对数坐标下表示有向音程, 从 \(f_1\) 到 \(f_2\) 的音分数为

\[1200\log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)\]

平均律的半音频率比换算为音分即为100 cents.

音高差别的辨别阈值随音区、时长、音色、训练和测试条件改变, 不把某个固定音分数作为所有听者的统一阈值.

绝对音高标准

A₄ = 440Hz

MIDI note number 给音符编号. 在采用十二平均律且 A4=440 Hz 的常用调音约定下, 可将编号 n 换算为频率 (MIDI 本身并不禁止其他调音):

\[f=440\cdot2^{(n-69)/12}\]

4 Modes, Scales and Chords

4.1 Modes & Scales

若干音级围绕着某一个有稳定感的中心音级, 按照一定的音程关系组织在一起构成的乐音体系称为调式mode, 例如大调式、小调式、中国民族调式……调式中具有稳定感的中心音级称为主音tonic.

调式音阶从主音开始, 而其主音可以位于任何一个音级.

4.1.1 Modes

自然大调 natural major

由两个相同的四声音阶以一个全音相接; 每个四声音阶内部的三个音程依次为

大二度、大二度、小二度

I	II	III	IV	V	VI	VII
主音	上主音	中音	下属音	属音	下中音	导音
tonic	supertonic	mediant	subdominant	dominant	submediant	leading note

e.g. C大调音阶

自然小调 natural minor

由两个不同的四声音阶结合而成, 两个四声音阶的音程分别为

大二度、小二度、大二度-->大二度-->小二度、大二度、大二度

e.g. A小调音阶

和声小调 harmonic minor & 旋律小调 melodic minor

将自然小调的第 VII 级下主音升高半音, 使其成为距主音半音的导音, 得到和声小调; 再升高第 VI 级得到古典旋律小调的上行形式.

e.g.1 A为主音的和声小调音阶

e.g.2 A为主音的旋律小调音阶

古典教学中, 旋律小调下行通常恢复 VI、VII 级, 与自然小调一致; 爵士语境常上下行都保留升高的 VI、VII 级.

4.1.2 Circle of Fifths

升号调

按照五度循环的规律, 依次考虑主音为

\[\rm C,G,D,A,E,B,\sharp F,\sharp C\]

的大调音阶, 每顺行五度, 需要将一个音级升高半音, 如图

大调	调号
C	无
G	F♯
D	F♯, C♯
A	F♯, C♯, G♯
E	F♯, C♯, G♯, D♯
B	F♯, C♯, G♯, D♯, A♯
F♯	F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯
C♯	F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯, B♯

新增升号顺序: F–C–G–D–A–E–B.

降号调

对称的, 按反方向的五度循环依次考虑主音为

\[\rm C,F,\flat B,\flat E,\flat A,\flat D,\flat G,\flat C\]

的大调音阶, 每逆行五度, 需要将一个音级降低半音, 如图

大调	调号
C	无
F	B♭
B♭	B♭, E♭
E♭	B♭, E♭, A♭
A♭	B♭, E♭, A♭, D♭
D♭	B♭, E♭, A♭, D♭, G♭
G♭	B♭, E♭, A♭, D♭, G♭, C♭
C♭	B♭, E♭, A♭, D♭, G♭, C♭, F♭

新增降号顺序: B–E–A–D–G–C–F.

调号 key signature

从而可以根据调式, 将需要升高或降低的变音记号统一写在谱号右侧, 称为调号.

C 大调无升降号. 新增升号的顺序为 F–C–G–D–A–E–B; 新增降号的顺序相反, 为 B–E–A–D–G–C–F.

等音调

\(\rm B\)大调和\(\rm \flat C\)大调的音阶中, 各个音级都是等音的, 在按平均律调律的键盘乐器上, 这两个调的音阶完全一致, 但在五线谱上标记为不同的音名. 使用至多七个升号或降号记谱的 15 种大调调号中, 有三对等音调

\[\rm B\&\flat C,\quad \sharp F\&\flat G,\quad \sharp C\&\flat D\]

关系大/小调&平行大/小调

A小调与C大调都全部由基本音级构成, 无需使用升降号变化音级.

每个大调都对应一个调号相同的小调. 这一组大&小调被称为关系大小调. 具有相同主音的大小调被称为平行大小调.

标注时常用大写字母标注大调, 小写字母标注小调.

和声/旋律小调对于导音/下中音的升高不算在对于调号的变化内, 认为是临时变音记号.

近关系调 closely related keys

24个大小调式的家族有关系远近之分, 每个调式有五个近关系调

常用的近关系调包括关系大小调, 以及调号相差一个升降号的大小调. 例如 C 大调对应 a 小调、G 大调、e 小调、F 大调、d 小调. 这里按调号与自然调式来描述, 不把“共享一个和弦”作为充分条件.

Rem 七个自然音 C、D、E、F、G、A、B 在五度圈上构成连续链 F–C–G–D–A–E–B. 固定这些音类, 主音沿这条链从 F 移到 B 时, 依次得到下列七个调式. “亮、暗”是比较调式色彩的一种教学描述, 不是由圆周方向决定的普遍听觉定律:

Lydian —— 色调最亮
Ionian / Natural Major —— 标准明亮
Mixolydian
Dorian —— 明暗平衡点
Aeolian / Natural Minor —— 标准暗淡
Phrygian
Locrian —— 色调最暗

在移到同一主音比较时, 由 Locrian 向 Lydian 每步升高一个特定音级, 反向则降低一个音级, 因而常按 Lydian 到 Locrian 描述由亮到暗. 实际感知还依赖音区、节奏、音色与和声语境; 换画法或换音集合时不能只读“顺时针/逆时针”.

4.2 Chords

三个及以上不同音高的乐音, 按一定的音程关系结合起来, 成为和弦. 和声学是研究和弦的构成、连接及其在音乐作品中具体应用的理论, 是主调音乐的基础.

传统和弦按照三度叠置原则构建.

三和弦 triad

按照三度音程关系叠置的三个音构成三和弦, 三个音分别称为根音、三音、五音(冠音).

三度音程分别取大三度/小三度可以得到四种和弦.

三度结构	名称
大三 + 小三	大三和弦maj
小三 + 大三	小三和弦min
大三 + 大三	增三和弦 aug
小三 + 小三	减三和弦 dim

在常见调性和声中, 大、小三和弦通常按协和和弦处理, 增、减三和弦通常需要结合声部进行讨论其倾向. 这里是和声语境中的分类.

还有sus2/sus4的说法, 即将三音替换为二音/四音的和弦, 但不属于传统三和弦范畴.

七和弦 seventh chord

根音<-三度->三音<-三度->五音<-三度->七音

三度结构	命名结构	名称	简称
小三 + 小三 + 小三	减三、减七	减减七和弦	减七和弦
小三 + 小三 + 大三	减三、小七	减小七和弦	半减七和弦
小三 + 大三 + 小三	小三、小七	小小七和弦	小七和弦
小三 + 大三 + 大三	小三、大七	小大七和弦
大三 + 小三 + 小三	大三、小七	大小七和弦	属七和弦
大三 + 小三 + 大三	大三、大七	大大七和弦	大七和弦
大三 + 大三 + 小三	增三、大七	增大七和弦

增增七和弦, 由于增七度在十二平均律下与纯八度等音, 此和弦被认为"退化"为三和弦.

Rem 𝄪和𝄫在和弦记谱中的作用 e.g.1 B上的增三和弦, 如果记作\(\rm B,\sharp D,G\), 不符合三度叠置 e.g.2 C上的减减七和弦

和弦	按三度叠置的拼写
B 增三和弦	B–D♯–F𝄪
C 减七和弦	C–E♭–G♭–B𝄫

和弦的转位

以根音为低音的和弦为原位和弦, 其余为转位和弦.

三和弦的转位:

三音作低音被称为第一转位/六和弦(低音与高音相差六度)
五音作低音被称为第二转位/四六和弦(低音与中/高音分别相差四/六度)

位置	以 C 大三和弦为例
原位	C–E–G
第一转位	E–G–C
第二转位	G–C–E

七和弦的转位:

三音作低音被称为第一转位/五六和弦
五音作低音被称为第二转位/三四和弦
七音作低音被称为第三转位/二和弦

位置	以 G 属七和弦为例
原位	G–B–D–F
第一转位	B–D–F–G
第二转位	D–F–G–B
第三转位	F–G–B–D

在调式音阶上, 以任一音级作根音, 按照三度叠置原则选取音阶内的音级, 可以构成和弦.

和弦标记

罗马数字表示根音在调式音阶中的级数.
用大、小写区分和弦的结构: 根音到三音为大三度音程的用大写字母, 根音到三音为小三度音程的用小写字母.
用上标\(^\circ\)和\(^+\)分别表示减三和弦和增三和弦；大、小三和弦不加上标.
用下标\(_6\)和\(_{\begin{matrix}6\\4\end{matrix}}\)分别表示三和弦的第一转位和第二转位.

可以给出各类调式的三和弦列

调式\根音	I	II	III	IV	V	VI	VII
自然大调	大	小	小	大	大	小	减
自然小调旋律小调下行	小	减	大	小	小	大	大
和声小调	小	减	增	小	大	大	减
旋律小调上行	小	小	增	大	大	减	减

和弦的调性功能 function

在调式的I, IV, V上构成的和弦分别称为主和弦、下属和弦、属和弦, 统称为正三和弦.

I 具有稳定性, 给人以完成感; 它与属和弦等的关系共同确立调性.
V 常具有导向主和弦的倾向. 以 C 大调为例, \(\rm V_7=\{G,B,D,F\}\) 中 \(\rm B-F\) 的减五度 (三全音) 及导音等声部倾向加强了这种功能.
IV具有链接和过渡的作用.

在常见大调功能和声中, 可用以下组别作初步归纳:

主功能 T: I, 以及某些语境中的 vi、iii.
下属或前属功能 S: IV、ii.
属功能 D: V、vii°.

功能依赖前后文、低音和声部进行, 不能仅凭共享音把每个和弦固定分配到某个组.

和声进行 harmonic progression

在一定和声范围内进行和弦连接. 体现和弦的相互关系、功能关系和音响色彩. 和声进行的规律是一个逐步演化的历史过程.

正格进行: I -> V -> I
变格进行: I -> IV -> I
复式进行: I -> IV -> V -> I

大调式的和弦进行

图中主和弦I后面标注 possible 的箭头表明任意和弦都可以在I之后出现. 前面给出的正格进行、变格进行和复式进行均包括在图中.

对于小调式的乐曲, 除了各级和弦的属性(大、小、增、减等)需要做相应调整外, 其和弦进行与图中描述的基本一致.

从不协和和弦出发, 链接到较为协和的和弦的和弦进行, 被称为resolution.

主和弦是调性稳定的参照, 但局部进行可以停在属和弦、采用阻碍终止或转调, 不要求每段都立即解决到 I.

Tristan Chord

Wagner 的 Tristan und Isolde, WWV. 90 于 1865 年首演. 前奏中的 Tristan 和弦及后续半音化进行不断推迟稳定解决, 同时承担声音色彩、声部进行与戏剧表达的作用; 不能据此断言作品中的和弦不再具有任何调性功能.

这种悬置在全剧结尾的 Liebestod 中获得长程解决, 全剧终止于 B 大调. “始终没有解决”若包括结尾就不准确. 参见 LA Phil 的前奏与 Liebestod 作品说明.

Blues

除了特有的音阶和节奏, Blues的和声进行也有其特点.

标准的12-bar blues分为三个乐句, 其基本和声进行为

1	2	3	4
I	I	I	I
IV	IV	I	I
V	IV	I	I/V

其中的各级和弦可以是三和弦,也可以是七和弦以及它们的转位. 为方便反复吟唱, 最后一小节的和弦常变成V, 以便更好地连接到下一轮的I.

Music and Mathematics - 2

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

5 Rhythm and Circular Patterns

5.1 Circular Rhythm Models

5.1.1 Evenness and Onset Placement

Maurice Ravel - Boléro(莫里斯·拉威尔: 波莱罗舞曲)

Boléro — 作品介绍（LA Phil）

波莱罗的固定节奏型可在统一网格上表示: 两个 3/4 小节共 36 格, 每个四分音符占 6 格, 发声位置着色.

古巴颂节奏型: 2-3/3-2 Son Cubano. 同样可以标记其onset序列

1	+	2	+	3	+	4	+	\|	1	+	2	+	3	+	4	+
		●		●				\|	●			●			●

1	+	2	+	3	+	4	+	\|	1	+	2	+	3	+	4	+
●			●			●		\|			●		●

Arturo Márquez - Danzón No. 2(阿图罗·马尔克斯: 第二号舞曲)

Danzón No. 2 — 作曲家说明（LA Phil）

可在这部作品中观察击木 (claves) 等乐器承担节奏型的方式. Danzón、Son 及 clave 的具体用法须结合谱面与段落分析, 不能仅因使用 claves 就把整段判定为同一个 Son 型; 上面的 2-3/3-2 表是独立的节奏模型.

先取一个明确的近似均匀模型: 在 16 个等分位置放置 5 个起拍, 第一个固定为 0; 其余第 \(j\) 个起拍取理想位置 \(16j/5\) 的向下或向上整数近似 (\(j=1,2,3,4\)). 四次独立选择给出下表 16 个候选.

这里的“均衡”指上述取整构造, 不等同于文献中要求各阶音程间距均匀的严格 maximal evenness. “五个起拍”也不等于“五拍子”; 此处周期长度仍为 16 个网格单位.

# 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 ● ● ● ● ●

2 ● ● ● ● ●

3 ● ● ● ● ●

4 ● ● ● ● ●

5 ● ● ● ● ●

6 ● ● ● ● ●

7 ● ● ● ● ●

8 ● ● ● ● ●

9 ● ● ● ● ●

10 ● ● ● ● ●

11 ● ● ● ● ●

12 ● ● ● ● ●

13 ● ● ● ● ●

14 ● ● ● ● ●

15 ● ● ● ● ●

16 ● ● ● ● ●

line 3: Son; line 4: Bossa-Nova; line 7: Rumba.

由于固定节奏型反复出现, 可以认为循环移位只改变起始相位, 可用于比较同一个周期节奏的不同表示. 自然地将节奏型表示为圆周上的点:

对于 Son 的起拍集合, 可以逐项检查没有两个起拍相隔半个周期, 即不存在同时发声的对径点 (antipodal points). 这样的节奏型被称作具有节奏奇性(rhythmic oddity). 节奏奇性是关于周期起拍集合的组合性质. 它可辅助分析这种节奏的分布, 但切分与活力的听感还依赖强弱拍、重音及演奏语境, 不能仅由“无对径点”推出.

5.1.2 Metric Properties of Rhythm

通过时值间隔组成的距离序列进行度量:

Son 的距离序列为 \((3,3,4,2,4)\), Fume-fume 的为 \((2,2,3,2,3)\) (后者周期为 12). 轮廓只保留相邻间隔的增减关系, 会丢失间隔大小. 两个节奏可以轮廓相同而听感不同; 轮廓同构不代表听觉上不可区分.

定义第 \(i\) 项轮廓为第 \(i+1\) 个间隔减第 \(i\) 个间隔的符号 (下标循环). 两者的轮廓 (contour) 均等于

\[[\ 0,\ +,\ -,\ +,\ -\ ]\]

所以称两者是轮廓同构的. 由于零点的任意性, 在可以循环移位操作转换的轮廓也是同构的.

各个起拍之间的间隔中点形成一个与发声的节奏型对偶的节奏, 称作原来节奏型的影子(shadow):

Son与其Shadow

影子相邻间隔等于原相邻两间隔的平均: \(e_i=(d_i+d_{i+1})/2\). 对 Son 得 \((3,3.5,3,3,3.5)\), 故其轮廓为\([\ +,\ -,\ 0,\ +,\ -\ ]\), 与Son达成轮廓同构.

对本文的 16 行候选表逐项计算, 第 3、6、12 行与各自影子的轮廓同构; 这三行均为 Son 的循环移位, 因而只形成一个循环等价类. “唯一”仅指该候选族中的循环等价类, 不是有标号表中的唯一一行, 也不是对任意节奏集合的定理. 取整候选族、节奏奇性与影子轮廓的定义参见 Toussaint 的 The Rhythm that Conquered the World, pp. 3–9. 文献的表序与本文不同, 应按起拍集合对应.

6 Melody and Symmetry

6.1 Symmetry in Melody

旋律的变化

旋律是一系列不同音高和时值的组合. 一段旋律转瞬即逝, 只有不断地呈现、反复地强调, 才能达到强烈的艺术感染力. 重复并不是一成不变, 而是在一次次的重复中不断变化、发展. 旋律的变化和发展可以在音乐的不同方面和层次发生, 比如节奏、声部、音色、曲式、和声等.

Transposition 严格移调(exact): 将旋律中的每一个音的音级都上升或下降相同的音程; 调性移调(tonal): 适当调整升高或降低的音程, 以符合目标调式的音阶结构. e.g. 音级\(\rm C,E,G\).
- 作为严格移调升高四个半音, 得到\(\rm E,\sharp G,B\).
- 如果在 C 大调音阶内进行调性移调, 则取对应音级, 得到\(\rm E, G, B\) Rem 调性移调需要根据目标调式音阶结构确定.
Retrograde 在横轴为时间、纵轴为音高的图上, 逆行是关于竖直轴的反射, 改变音符事件的先后顺序. 若包含时值, 须明确是否连同每个音的时值一起逆序; 后文音列模型只记录音类顺序.
Inversion 在同一坐标约定下, 严格倒影是关于水平音高轴的反射, 即相对于给定轴音高将上行音程变为同样大小的下行音程, 时间位置不变. 选择不同轴音高会得到不同旋律; 调性倒影可能为了调式结构调整音程大小.

在理想时间–音高坐标中, 严格移调、逆行与严格倒影可用平移、反射描述. 调性变换可能调整音程, 不一定保持严格的几何距离.

Tonal Music 传统音乐大多基于调式体系, 调性音乐中总有一个主音tonic使得其他音与其形成一定关系. 旋律的对称变换需要考虑调式音阶的结构, 所以往往受到一定限制.

从浪漫主义到印象主义

Tristan 和弦 (\(\rm F,B,\sharp D,\sharp G\)) 及其半音化声部进行常用于讨论 Wagner 对稳定解决的延缓与和声色彩的扩展. 它对后来的作曲有重要影响, 但不能将这段音乐简单等同于完全取消调性或所有和声功能.

Twelve-tone technique

作曲家有意识地采用数学变换(群论)的思想进行音乐创作的探索实践. Schönberg的十二音技术可以看作是打破传统的调式音阶的一种探索.

6.2 From Pitch to Pitch-Class Space

以十二平均律半音为单位给音高编号. 为避免有限乐器音域在移调后越界, 数学模型先取所有整数 \(\mathbb Z\); 八度等价关系定义为

\[x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad x-y\in12\mathbb Z.\]

这是等价关系: \(x-x=0\), \(x-y\) 与 \(y-x\) 同为 12 的倍数, 而两个这样的差相加仍为 12 的倍数. 每个等价类由所有相差整数个八度的音高组成. 商集

\[\mathscr{PC}=\mathbb Z/12\mathbb Z=\{0,1,\ldots,11\}\]

称为音类空间 (pitch-class space). 固定 C 为 0 时, C♯/D♭ 为 1, …, B 为 11. 这里采用等音等价, 不保留谱面拼写和八度位置.

同余类的和定义为 \([a]+[b]=[a+b]\). 若代表元分别改为 \(a+12u,b+12v\), 和只改变 \(12(u+v)\), 因而定义与代表元选择无关. 后文直接用 \(0,\ldots,11\) 表示这些类, 运算均模 12.

6.3 Groups of Musical Transformations

移调与倒影 定义音类上的置换

\[T_n(x)=x+n,\qquad I_n(x)=n-x,\qquad n\in\mathbb Z_{12}.\]

移调是音类集合的置换; 当 \(n\ne0\) 时, 它不保持加法单位元, 因而不是加法群 \(\mathbb Z_{12}\) 的自同构. 这些置换在复合运算下组成群. 约定 \(g\circ h\) 先做 \(h\), 再做 \(g\).

代入定义可逐项得到

\[\begin{aligned} T_m\circ T_n&=T_{m+n},& T_m\circ I_n&=I_{m+n},\\ I_m\circ T_n&=I_{m-n},& I_m\circ I_n&=T_{m-n}. \end{aligned}\]

例如 \(I_m(I_n(x))=m-(n-x)=x+m-n\). 所以 12 个移调与 12 个倒影组成封闭集合, 单位元为 \(T_0\), 逆元分别为 \(T_{-n}\) 与 \(I_n\). 结合律继承自映射复合.

令 \(r=T_1,s=I_0\), 则

\[r^{12}=s^2=e,\qquad srs=r^{-1}.\]

每个元素都可写为 \(r^n\) 或 \(r^ns\), 这 24 个映射两两不同. 它们对应正十二边形的旋转与反射, 故

\[\mathscr D=\langle T_1,I_0\rangle\cong D_{12},\qquad |\mathscr D|=24.\]

本文以 \(D_{12}\) 表示正十二边形的对称群; 有的文献按群阶将它记为 \(D_{24}\).

几何上, \(I_n:x\mapsto n-x\) 的轴位于编号 \(n/2\) 的方向: \(n\) 为偶数时经过一对相对顶点, 为奇数时经过一对相对边的中点. 两类各六条轴, 才构成全部 12 个反射.

逆行逆行作用于有序音列, 而不是单个音类:

\[\mathcal R(x_0,\ldots,x_{11})=(x_{11},\ldots,x_0).\]

将 \(T_n,I_n\) 逐项作用于音列, 则 \(\mathcal R\) 与它们可交换, 且 \(\mathcal R^2=e\). 逆行改变位置, 逐项音类变换不改变位置, 二者在所有十二音列上的作用相互独立. 因而

\[\mathscr M\cong D_{12}\times C_2,\qquad |\mathscr M|=48.\]

这里 \(C_2\) 由逆行生成. 它不等于正二十四边形的对称群: 后者有 24 阶旋转, 而上述直积的元素阶最多为 12. 群有 48 个操作不代表它作用于某一音列时一定产生 48 个不同结果.

6.4 Twelve-Tone Technique

一个十二音列是 12 个音类各出现一次的有序排列. 以 Schönberg 的钢琴协奏曲 Op.42 所用音列为例, 其开头是 E♭, 而不是 E:

\[(\mathrm{E}\flat,\mathrm B\flat,\mathrm D,\mathrm F,\mathrm E,\mathrm C, \mathrm F\sharp,\mathrm A\flat,\mathrm D\flat,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm G).\]

本例临时以首音 E♭ 为 0, 得到相对编号

\[P_0=(0,7,11,2,1,9,3,5,10,6,8,4).\]

这只是整体改变坐标原点; 恢复 C=0 时应将每项加 3.

音列变换 定义

\[P_n=T_n(P_0),\quad I_n=I_n(P_0),\quad R_n=\mathcal R(P_n),\quad RI_n=\mathcal R(I_n).\]

左侧 \(I_n\) 表示音列, 右侧 \(I_n\) 表示逐项映射 \(x\mapsto n-x\), 由上下文区分. 例如

\[\begin{aligned} P_2&=(2,9,1,4,3,11,5,7,0,8,10,6),\\ I_0&=(0,5,1,10,11,3,9,7,2,6,4,8),\\ R_0&=(4,8,6,10,5,3,9,1,2,11,7,0). \end{aligned}\]

设初始音列第 \(j\) 项为 \(p_j\), 则矩阵

\[M_{ij}=p_j-p_i\pmod{12}\]

第一行为 \(P_0\), 第一列为 \(I_0\). 从左到右读行得到 P 类, 从上到下读列得到 I 类; 反向读取分别得到 R、RI 类. 48 个读法共用这张矩阵, 不是把 48 条音列各占一行.

P / I	0	7	11	2	1	9	3	5	10	6	8	4
0	0	7	11	2	1	9	3	5	10	6	8	4
5	5	0	4	7	6	2	8	10	3	11	1	9
1	1	8	0	3	2	10	4	6	11	7	9	5
10	10	5	9	0	11	7	1	3	8	4	6	2
11	11	6	10	1	0	8	2	4	9	5	7	3
3	3	10	2	5	4	0	6	8	1	9	11	7
9	9	4	8	11	10	6	0	2	7	3	5	1
7	7	2	6	9	8	4	10	0	5	1	3	11
2	2	9	1	4	3	11	5	7	0	8	10	6
6	6	1	5	8	7	3	9	11	4	0	2	10
4	4	11	3	6	5	1	7	9	2	10	0	8
8	8	3	7	10	9	5	11	1	6	2	4	0

轨道与稳定化子 群 \(G\) 作用在集合上时, 定义

\[\operatorname{Orb}(a)=\{g(a):g\in G\},\qquad G_a=\{g\in G:g(a)=a\}.\]

若 \(g(a)=h(a)\), 当且仅当 \(h^{-1}g\in G_a\), 即 \(g,h\) 属于同一个左陪集. 因而每个轨道元素恰对应一个大小为 \(|G_a|\) 的陪集, 得到轨道-稳定化子定理

\[|\operatorname{Orb}(a)|=\frac{|G|}{|G_a|}.\]

音列为什么只有 24 或 48 个不同变体 十二音列包含全部 12 个音类. 保持其每个位置不变的逐项移调只能是 \(T_0\); 倒影若固定全列则要求 \(2x=n\) 对全部音类成立, 不可能. 所以稳定化子除恒等元外, 只能含带逆行的操作.

若两个不同的带逆行操作都固定音列, 将其中一个的逆与另一个复合, 得到固定音列的非恒等逐项操作, 与前段矛盾. 稳定化子故至多含两个元素, 轨道大小只可能是 48 或 24. 全半音音列 \((0,1,\ldots,11)\) 就有 \(I_n=R_{n+1}\), 下标模 12, 所以只有 24 个变体.

对称音列的计数 设音列为 \(a=(a_0,\ldots,a_{11})\), 不预先固定首音.

逆行与倒影复合固定音列, 当且仅当 \[a_i+a_{11-i}=k\pmod{12},\qquad i=0,\ldots,5.\] \(k\) 必须为奇数: 若为偶数, 倒影 \(x\mapsto k-x\) 有两个不动音类, 它们只能与自己配对, 与音列无重复矛盾. 每个奇数 \(k\) 将 12 个音类分成六对; 将六对分配给六组对称位置, 每对再任选方向. 总数为 \[6\cdot6!\cdot2^6=276480.\]
逆行与非零移调复合固定音列, 要求 \(a_i=a_{11-i}+k\). 再交换 \(i\) 与 \(11-i\) 得 \(2k=0\); 排除 \(k=0\) 后只有 \(k=6\). 因此对称位置必须相差三全音, 而不是两项之和恒为 6. 六对相差 6 的音类可给出 \[6!\cdot2^6=46080\] 条音列.

两类不相交, 否则会有两个不同的非恒等稳定化子元素. 所以全部 \(12!\) 条音列中, 有对称性的比例为

\[\frac{276480+46080}{12!}=\frac1{1485}.\]

以上数量允许首音任取; 若固定首音为 0, 两个计数都应除以 12.

7 Pitch-Class Sets and Neo-Riemannian Theory

7.1 From Pitch-Class Sets to Set Classes

Def Pitch-class Set: 若干音类组成的无序集合

一个 n 元 pc 集是\(\mathscr{PC}\)的一个子集合. 也可以写成 n 个模 12 的同余类的集合, 即\(\mathbb{Z}_{12}\)的一个子集合.
子集合如果pc集\(\mathscr{A}\)中的音类都包含在pc集\(\mathscr{B}\)中, 称\(\mathscr{A}\)是\(\mathscr{B}\)的字面上的子集合(literal subset). 如果pc集\(\mathscr{A}\)的在群\(\mathscr{D}\)的某个变换下的像\(\hat g(\mathscr{A})\)是pc集\(\mathscr{B}\)的子集合, 则称\(\mathscr{A}\)是\(\mathscr{B}\)的抽象的子集合(abstract subset).
和弦的pc集 e.g. \(\{0,4,7\}\)一个大三和弦; \(\{\mathrm{F},\mathrm{B},\sharp\mathrm{D},\sharp\mathrm{G}\}=\{5,11,3,8\}\)一个Tristan和弦. 音类集合中的元素无需满足三度叠置.
音阶的pc集 e.g. \(\mathscr{V}=\{\rm \sharp{F},\sharp{G},\sharp{A},\sharp{C},\sharp{D}\}\)是一个五声音阶(pentatonic scale), \(\mathscr{W} = \{\mathrm{C,D,E,\sharp F,\sharp G,\sharp A}\}\)对应一个全音音阶(whole tonic)
正常序 (normal order) 先把音类按圆周顺序展开, 比较各个循环起点产生的首尾跨度, 取跨度最小者. 若并列, 需约定进一步的紧凑性比较规则; 本文采用 Rahn 式的比较: 从左端到倒数第二个、倒数第三个等位置的跨度依次比较, 仍相同时取起音较小者.
将正常序移到首项为 0, 并与倒影后的同类结果比较, 选取相同紧凑性约定下的代表, 得到原型 (prime form). 不同文献的并列处理约定可能不同, 使用 Forte 编号时应与相应表格一致.
例: C 大三和弦 \(\{0,4,7\}\) 的三个展开为 \((0,4,7)\)、\((4,7,12)\)、\((7,12,16)\), 首尾跨度为 7、8、9, 故正常序为 \((0,4,7)\). 倒影集合 \(\{0,5,8\}\) 的正常序为 \((5,8,12)\), 移到 0 得 \((0,3,7)\). 两者跨度同为 7, 但中间项 3 小于 4, 故原型取 \((0,3,7)\), 对应 3-11.
若音类全集有 \(n\) 个元素, 包含空集和全集的 pc set 总数为
\[C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n.\]
本文取 \(n=12\), 因而有 \(2^{12}=4096\) 个字面集合; 这不是移调/倒影等价类的数目.

音类圆周上的pc set

两个音类的距离定义为音类圆周上二者之间要经过的最少间隔数, 对两个不同音类, 满足 \(1\le d\le6\). 若用 \(0,\ldots,11\) 编号, 可直接计算 \(d(x,y)=\min(|x-y|,12-|x-y|)\).

Def 对一个pc set, 定义其距离向量

\[\delta=(\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_6)\]

\(\delta_i\)表示距离为\(i\)的顶点对数目(组合数). 距离向量描述了一个pc set的全部音程含量(total interval-content)

Def 考虑变换群\(\mathscr{D}\)作用在某个pc set\(\mathscr{X}\)上, 一系列pc set就按照其轨道被分成了若干集合类(set class). 例如 \(C_{12}^{3}\)个3-pc就被分为了12个集合类, 其中, 24个大、小和弦对应的 pc set 属于同一个等价类. 按某种约定在每个集合类中选取一个代表, 就得到音类集合表(list of pitch class sets). 这一代表的标准序被称为此集合类的原型(prime form).

比如大、小三和弦对应的就是\(\{\rm C, \flat E. G\}=\{0,3,7\}\)
Allen Forte给集合类的标签形如 k - xx. 前者为音类数目, 后者为编号的序号. 比如上面提到的一个集合类对应的命名就是 3 - 11.
同一个集合类中的 pc 集具有相同的\(\delta\), 但反之不一定成立.
e.g. E减七和弦
\[\mathscr{Y}=\{\mathrm E,\mathrm G,\mathrm B\flat,\mathrm D\flat\}=\{4,7,10,1\}\]
群\(\mathscr{D}\)中, 恰好有4个旋转和4个对称保持其整体不变, 即\(\mathscr{D}\)中保持\(\mathscr{Y}\)不变的稳定化子是8阶子群, 进而得到\(\mathscr{Y}\)在\(\mathscr{D}\)下的轨道长度为
\[|\mathscr{D}|/|\mathscr{D}_{\mathscr Y}| = 3\]

Def 全音程四音集合 (all-interval tetrachord) \(\mathscr{A}\): 距离向量为

\[\delta=(1,1,1,1,1,1)\]

易知\(\mathscr{A}\)包含 6 对距离互不相同的音类. 由总间隔数\(C_n^2 = 6\), 得到其为 4 - chord.
在\(\mathscr{D}\)下只有两类非移调/倒影等价的全音程和弦\(\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2\). 以下两例分别在集合表下记作 4-Z15、4-Z29. 这里是 Z-related (音程向量相同但不属于同一移调/倒影类), 不是集合论中的互补: 四元集合的补集有八个元素. 例如 \(\{0,1,4,6\}\) 与 \(\{0,1,3,7\}\) 都具有该向量, 但不可由移调或倒影互相得到

7.2 Harmonic Progressions and Riemannian Transformations

3-11上的变换

用符号\(\mathscr{S}\)表示24个大、小三和弦对应的pc set组成的集合类(3-11). 定义其上的三种变换:

平行变换: 把任意一个三和弦变为根音相同的平行三和弦, 记作\(P:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(P(C) = c\).

关系变换: 把任意一个三和弦变为其关系调上的三和弦, 记作\(R:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(R(C) = a\).

导音变换: 把小三和弦的冠音升高一个半音, 把大三和弦的根音降低一个半音, 记作\(L:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(L(C) = e\).

统称为Riemann变换.

只改变一个音类, 其他两个音类保持不变, 从而变换前后的和弦共享一个音程(P、R、L 分别保留纯五度、大三度、小三度)——这被称为简约声部进行(Parsimonious Voice Leading).

7.3 Tonnetz

先在平面整数格点 \((a,b)\in\mathbb Z^2\) 上标记音类

\[p(a,b)=7a+4b\pmod{12}.\]

沿两个基方向分别移动纯五度和大三度, 沿其差方向移动小三度. 三角形顶点 \((a,b),(a+1,b),(a,b+1)\) 的音类为 \(\{p,p+7,p+4\}\), 构成大三和弦; 邻接的反向三角形构成小三和弦. 这就是音类三角网格的一种坐标实现.

每对共边三角形共享两个音类, 由 P、R 或 L 变换连接. 若把三角形作为顶点、共边关系作为边, 就得到三价的对偶和弦图. 因而音类三角网格与三和弦六边形图是互为对偶的两种表示, 不应混称为同一组顶点.

平面网格本身不是环面. 在十二平均律下, 还要识别给出相同音类的周期平移:

\[\Lambda=\{(a,b):7a+4b\equiv0\pmod{12}\}.\]

其一组基为 \((4,-1),(0,3)\): 若 \(7a+4b\equiv0\), 先模 4 得 \(a=4q\), 再得 \(b=-q+3r\). 这两个向量围成面积为 12 的基本平行四边形. 将其对边识别, 得到环面 \(\mathbb R^2/\Lambda\), 含 12 个音类顶点和 24 个三和弦面. 这一步依赖十二平均律的音类等价, 不直接适用于保留纯律频率差别的无限音网.

7.4 Neo-Riemannian Theory

用 \((r,+)\) 和 \((r,-)\) 表示根音为 \(r\) 的大、小三和弦. 三个变换可写为

变换	大三和弦的像	小三和弦的像	保留的音程
P	\((r,-)\)	\((r,+)\)	纯五度
R	\((r-3,-)\)	\((r+3,+)\)	大三度
L	\((r+4,-)\)	\((r-4,+)\)	小三度

它们均为对合: \(P^2=R^2=L^2=e\). 注意 R 改变的那个声部移动全音, P 与 L 移动半音; “保留两个音”不意味着每次都只移动半音.

令 \(A=L\circ R\). 对大三和弦, \(A(r,+)=(r-7,+)=(r+5,+)\); 对小三和弦, \(A(r,-)=(r+7,-)\). 由于 5、7 都与 12 互素, \(A\) 的阶恰为 12. 由对合关系又有

\[RAR=A^{-1},\qquad P=R\circ A^3.\]

后一等式可分别代入大、小三和弦验证. 因而 \(P\) 不引入新生成元, 整个群的元素可约为 \(A^j\) 或 \(RA^j\). 前者保持大小调性质, 后者交换性质, 且每类 12 个元素互异, 所以

\[\mathscr N=\langle P,R,L\rangle=\langle A,R\rangle\cong D_{12},\qquad |\mathscr N|=24.\]

它与音类上的 T/I 群抽象同构, 但作用方式不同: PLR 的具体音类移动依赖输入和弦的大小性质. 该模型描述大小三和弦之间的联系, 不涵盖减和弦、七和弦或全部传统和声语法.

Hamiltonian cycle 图上的 Hamiltonian 路访问每个顶点恰好一次; 再以一条边连接最后顶点与首顶点, 得到 Hamiltonian 圈, 闭合记法中只重复首尾顶点.

在 24 个三和弦的 PLR 图中, 交替施加 R、L 可遍历全部顶点后回到起点: 每两步为 A, 大三和弦依次经历全部 12 个根音, 中间的小三和弦也依次经历全部 12 个根音. 于是形成一条 24 边的 Hamiltonian 圈. 它展示保留公共音的连续路径, 不等价于断言任意路径均具有相同听感.

8 Duration Rows and Rhythmic Symmetry

8.1 Duration Rows

巴比特 (Babbitt) 将序列组织扩展到音高以外的参数, 本节着重讨论时值 (duration). 整体序列主义 (Integral Serialism / Total Serialism) 还可以组织力度 (dynamics)、音区 (registers)、音色 (timbre) 等, 但不能据此推断每部具体作品都把所有参数完全序列化.

Composition for Twelve Instruments (1948, revised 1954) 是巴比特的代表作之一. 谱本可从 Wise Music 的作品页查看: 预览封面为 1967 年第二版（校正版）. 编制页注明采用实际音高记谱 (in C), 钢片琴和低音提琴保留通常的八度移位; 读取音类时无需再按移调乐器的通常谱法另作移调.

课程用下面的音类–时值映射说明时值序列的构造; 实际谱面中的休止、连音与各声部进入时间仍须分别读取:

设定零点: 任意选定一个音类作为"零点"(例如取 \(F=0\))
计算差值: 给每个音列中的第 \(i\) 项赋予一个数 \(d_{i}\), 其值等于该音与零点之间相差的半音数(模12), 得到时值序列为 \((d_0, d_1, \ldots, d_{11})\), 其中 \(0 \le d_i \le 11\).
映射规则: 假定以十六分音符为单位 1, 注意在模 12 意义下, 0 = 12. 因此半音数 0 对应时值 12.

相对音类	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
时值单位	12	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

巴比特选取的初始音列 \(P_{0}\) 为

\[[0, 1, 4, 9, 5, 8, 3, 10, 2, 11, 6, 7]\]

由此出发可进行各类变换. 下表采用课程 Lecture 09, pp. 21–22 的音高行式标记; 讲义第 21 页注明表格引自郑艳《结构主义视域下的序列主义音乐研究》(2015), p. 120. 这里用四组分配观察配对与复现, 不据此推断每件乐器每次都从头到尾同步演奏同一条时值序列:

	长笛	双簧管	单簧管	大管	圆号	小号	竖琴	钢片琴	小提琴	中提琴	大提琴	低音提琴
I	P4	R4	I1	RI1	RI9	I9	R0	P0	P8	R8	I5	RI5
II	RI11	I11	R2	P2	P10	R10	I7	RI7	RI3	I3	R6	P6
III	I5	RI5	P8	R8	R4	P4	RI1	I1	I9	RI9	P0	R0
IV	R10	P10	RI7	I7	I3	RI3	P6	R6	R2	P2	RI11	I11

上表共有 48 个音列标记, 对应 24 种行式, 每种出现两次:

包含 6 个移调音列 (\(P_{0, 2, 4, 6, 8, 10}\)) 和 6 个倒影音列 (\(I_{1, 3, 5, 7, 9, 11}\))。
每个音列在表中恰好出现两次。
每次均有相应的 \(R_i\) 和 \(RI_j\) 与之成对出现，形成对称结构。

8.2 Clapping Music & Phase Shift

Steve Reich 的 Clapping Music 由两个击掌声部构成. 一个声部保持固定节奏, 另一个在若干次重复后将节奏循环移动一个最小网格单位, 遍历 12 个相位后重合. 此处的“单位”是节奏网格, 不一定等于指挥的基本拍.

计数问题 在首尾相接的 12 个有标号位置上, 放置 8 次击掌和 4 次休止, 休止不能相邻, 包括位置 11 与位置 0. 忽略循环移动后有多少种?

先数有标号模式. 将一个休止位置标为起点, 四个休止之间的击掌数为正整数 \(b_1,b_2,b_3,b_4\), 满足

\[b_1+b_2+b_3+b_4=8.\]

共有 \(\binom73=35\) 个有序正整数解, 标记起点有 12 种位置. 每个模式恰被标记四次, 所以

\[|\mathcal C|=\frac{12}{4}\binom73=105.\]

Burnside 引理 有限群 \(G\) 作用于有限集合 \(X\) 时, 轨道数为

\[|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.\]

证明只需双计数所有满足 \(g(x)=x\) 的对 \((g,x)\): 按 \(g\) 求和得到右侧分子; 按 \(x\) 求和得到 \(\sum_x|G_x|\). 每条轨道有 \(|G|/|G_x|\) 个点, 稳定化子大小相同, 故每条轨道贡献恰为 \(|G|\).

令 \(\sigma\) 为循环移动一格. 对移动 \(k\) 格的不动模式, 可由长度 \(d=\gcd(12,k)\) 的重复块重复 \(12/d\) 次组成 (最小周期可能更短), 所以该重复次数必须整除休止数 4.

移动格数 \(k\)	基本块及约束	不动模式数
0	任意合法模式	105
1, 5, 7, 11	重复 12 次, 不可有 4 个休止	0
2, 10	重复 6 次, 不可有 4 个休止	0
4, 8	重复 3 次, 不可有 4 个休止	0
3, 9	长度 3, 含一个休止	各 3
6	长度 6 的圆周, 含两个不相邻休止	\(\binom62-6=9\)

因此

\[|\mathcal C/\langle\sigma\rangle|=\frac{105+3+3+9}{12}=10.\]

不能直接算 \(105/12\): 有些节奏具有短周期, 其轨道不到 12 个元素.

用四个休止之间的连续击掌数表示, 十个循环类可取代表

5-1-1-1, 4-2-1-1, 4-1-2-1, 4-1-1-2, 3-3-1-1, 3-2-2-1, 3-1-3-1, 3-2-1-2, 3-1-2-2, 2-2-2-2.

作品采用的 3-2-1-2 没有非平凡循环周期; 2-2-2-2 则具有更强的重复对称性. 这说明两者的相位组合不同, 不需要据此推测作曲家唯一的选择动机.

8.3 Serialism and Minimalism

序列主义可把音高、时值等参数纳入预先组织的序列; 极简主义常借助持续重复和缓慢变化, 让听者追踪相位、织体或和声的变化. 前面的十二音变换与循环节奏分别提供了分析这两种组织方式的数学工具. 它们描述结构, 不直接判定作品的审美价值.

Music and Mathematics - 3

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

9 Algorithmic Composition

9.1 Stochastic Composition

音乐骰子游戏 Musikalisches Würfelspiel

预先准备好若干已编号的音乐片段, 演奏时通过掷骰子决定选用哪个片段.

e.g.1 Kirnberger 《波洛涅兹和小步舞曲作曲常备》游戏的关键在于Kirnberger的精心设计, 使得每一个小节的所有不同旋律都能和前一小节的任何一种旋律衔接.

e.g.2 Haydn(存疑) 《和声游戏: 无需对位知识便可以创作出无穷多小步舞曲和三声中部的简易方法》小步舞曲与中部 (trio) 常按 A–B–A 的整体安排演奏; “trio” 的历史名称不表示所有中部都必须使用两只双簧管和一只 bassoon. 对讲义中所举的中部构造, 若两部分各 8 小节, 每小节可独立选 6 种片段, 则完整选择序列有 \(6^{16}\) 种. 计数依据是课程 Lecture 05, pp. 8–10 展示的 96 个编号片段及两张 6×8 选取表, 不保证所有选择在听觉上互异. Haydn 署名继续保留存疑, 不由讲义中的标题认定作者归属.

随机性与概率 随机变量、随机事件、概率分布、条件概率的基本概念不再赘述

ILLIAC组曲 Lejaren A. Hiller 与 Leonard M. Isaacson 借助 ILLIAC I 制作弦乐四重奏的作曲材料, 进行多组逐渐复杂的程序实验. 随机候选还须经过预先设定的音乐规则筛选, 并由人整理成谱; 不能把整部作品概括为对同一个音级集合的独立均匀抽样.

参见伊利诺伊大学的 ILLIAC Suite 档案说明. 未指定实验、音阶、端点和休止符编码时, “两个八度共 31 个音级”也不足以确定一个可复现的采样模型.

带限随机序列的谱 研究随机旋律时, 必须先指定分析的是随时间变化的音高数值, 还是合成后的声波. 对一个离散音高序列, 功率谱密度描述不同时间变化频率上的方差分布, 不等于声波本身的音频频谱.

模型	在指定频段内的谱密度
白噪声	近似常数
粉红噪声	近似与频率的倒数成正比
棕噪声	近似与频率平方的倒数成正比

粉红噪声在等宽对数频带 (如相邻八度) 中功率相同, 因为 \(\int_f^{2f}\nu^{-1}\,d\nu=\log2\). 幂律只在指定频段内使用, 不能直接扩展到零频和无穷频, 也不是所有音乐必须满足的普遍规律.

9.2 Markov Chains

在同一个概率空间上定义的随机变量族称为随机过程. 这里只讨论离散时间、有限状态空间 \(S\) 上的过程 \(X_0,X_1,\ldots\).

Markov 性质 对具有正概率的历史事件, 要求

\[\Pr(X_{t+1}=j\mid X_0=i_0,\ldots,X_t=i_t) =\Pr(X_{t+1}=j\mid X_t=i_t).\]

条件只包含已经发生的状态, 不包含待预测的 \(X_{t+1}\). 若转移概率不随时间改变, 称为齐次链, 可记

\[P_{ij}=\Pr(X_{t+1}=j\mid X_t=i),\quad P_{ij}\ge0,\quad \sum_jP_{ij}=1.\]

初始分布 \(\pi_0\) 和矩阵 \(P\) 共同决定链; 用行向量表示分布时, \(\pi_{t+1}=\pi_tP\).

Example 只使用 C、D、E 三个音类, 取

\[P=\begin{pmatrix} 1/2&1/2&0\\ 1/4&1/2&1/4\\ 1/2&0&1/2 \end{pmatrix},\qquad \pi_0=(1,0,0).\]

从 C 开始, 下一音为 C、D 的概率各为 \(1/2\), 再下一步的分布为

\[\pi_2=(3/8,1/2,1/8).\]

每一步按当前行采样便得到一条旋律. 若同时研究节奏, 可将状态改为“音类、时值”的组合. 有限状态一阶模型只保留局部转移规律, 不自动保证乐句或和声的长期结构.

高阶模型 对 \(t\ge m-1\), m 阶 Markov 性质为

\[\Pr(X_{t+1}=j\mid X_0,\ldots,X_t) =\Pr(X_{t+1}=j\mid X_{t-m+1},\ldots,X_t).\]

把最近 m 个音组成新状态 \(Y_t=(X_{t-m+1},\ldots,X_t)\), 便可转成一阶链, 但状态数至多增为 \(|S|^m\). 训练数据不足时, 许多历史组合没有样本, 需要平滑、回退或降低阶数.

9.3 Genetic Algorithms

属于进化算法(Evolutionary Algorithm)的一种. 其核心思想是模拟自然选择与遗传机制, 通过"适者生存"的原则, 在解空间中迭代演化出近似最优解.

Step GA的标准流程

Encoding: 将问题的可行解表示为适合遗传操作的individual, 通常用string形式编码.
假定需要考虑的乐音体系包括\(n\)个音级, 且十六分音符为最短时值, 则:
- \(0\)代表休止符
- \(1,2,\ldots,n\) 代表对应的音级
- \(n+1\)代表延长
每个编码位置占一个十六分音符的网格单位. 延长符必须跟在可延长的音后面 (或事先另行定义延长休止的规则), 不能无条件作为首项; 交叉、变异后也须检查或修复这类合法性约束.
Initialize Population: 随机或启发式地生成一个由\(N\)个个体组成的Initial Population.
Fitness Evaluation&Termination Check:
- 使用预先定义的Fitness Function计算个体适应度\(f(i_k)\)，用于衡量该个体在问题中的优劣程度
  
  如何度量一段音乐的"好坏"? 音乐本身规律、统计结果、人机交互、ML……多项加权.
- 若满足终止条件, 如存在\(f(i)>\alpha\)则停止算法并输出最优解; 否则继续下一步.
Evolution:
- Selection: 根据适应度值, 通过轮盘赌算法、锦标赛选择等从当前种群中选择个体作为parents.
  
  Roulette Wheel Selection: 设当前种群为\(\{i_k\mid k=1,\cdots ,N\}\), 其适应度为\(f(i_k)\), 则\(i_l\)成为parent的概率为
  \[\frac{f(i_l)}{\sum_{k=1}^Nf(i_k)}\]
- Crossover/Recombination: 对选中的 parents 按一定 crossover rate 进行配对, 并在其执行交叉操作(如单点交叉、多点交叉、均匀交叉等), 产生 offspring.
- Mutation: 对子代个体按一定 mutation rate 对编码中的某些基因位进行随机改变(如翻转二进制位、扰动实数值等), 以维持种群多样性并避免早熟收敛.
Form New Population 用产生的 offspring 替换或与 parent 组合形成新一代种群(采用代际模型、精英保留策略等)
Return 若已经达到预设迭代次数\(M\), 则停止迭代; 否则回到 Fitness Evaluation, 进行下一轮迭代.

精英保留 (elitism) 可用于形成新一代: 直接保留当前最优的少量个体. 轮盘赌选择需保证适应度非负且总和为正; 若不满足, 应先变换分数或改用锦标赛选择. 遗传算法不保证找到全局最优解.

9.4 Music Information Retrieval

音乐信息检索 (MIR) 包括音高与节拍分析、曲目识别、相似性检索、流派分类等. 以音频分类为例, 先把波形转成能表达目标信息的特征, 再训练并评价模型.

MFCC Mel 频率倒谱系数的一种典型流程为

每帧功率谱经过 Mel 滤波器组得到能量 \(E_m\), 再对其对数作离散余弦变换. 略去归一化常数, 可写为

\[c_q=\sum_{m=0}^{M-1}\log(E_m+\varepsilon) \cos\left[\frac{\pi q}{M}\left(m+\frac12\right)\right].\]

\(\varepsilon>0\) 防止对零取对数. 选择前若干系数概括谱包络; MFCC 不是保存完整旋律与音色的无损音频压缩格式.

若单声道音频有 \(N\) 个样本, 帧长 \(W\)、步长 \(H\) 为正整数, 且仅取完整帧、不作边界补齐, 则帧数为 \(1+\lfloor(N-W)/H\rfloor\) (\(N\ge W\)). 每帧保留 Q 个系数, 输出规模就是“帧数 × Q”. 因而固定 30 秒音频并不能唯一确定特征数量, 还必须说明采样率、帧长、步长与边界处理.

训练、验证与测试数据承担不同作用. 同一曲目的相邻片段不宜随机分散到训练集和测试集, 否则模型可能借助录音特征而非所需音乐规律得到过高分数. 按曲目或演奏者分组取决于实际评价目标.

9.5 Generative Models for Music

音乐生成可以使用符号表示 (音高、起音、时值等事件), 也可以生成波形或时频表示. 两者解决的问题不同: 前者仍需音源合成, 后者需处理更长的序列与音色细节.

Diffusion model 以前向加噪过程和学习到的反向过程建模. 以 DDPM 为例, 训练时随机选择噪声水平, 可以直接采样相应的含噪数据来学习预测噪声; 生成时从噪声出发逐步反向采样. 参见 Ho, Jain 与 Abbeel 的 Denoising Diffusion Probabilistic Models, §§2–3.4; 原论文研究图像生成, 此处借用其训练与采样框架. 模型学习的是数据分布的近似, 不意味着任意噪声输入都对应一首具有完整音乐结构的作品.

GAN 判别器学习区分真实样本和生成样本; 生成器利用判别器的反馈更新. 两者交替优化:

Transformer 注意力把每个位置的查询与可见位置的键比较, 将相应的值加权求和:

\[\operatorname{Attention}(Q,K,V)= \operatorname{softmax}\left(\frac{QK^{\mathsf T}}{\sqrt{d_k}}+M\right)V.\]

这里 \(Q,K,V\) 分别为查询、键、值矩阵, \(d_k\) 为查询与键向量的维数; \(QK^{\mathsf T}\) 的每一行对应该查询对各键的评分. 掩码 \(M\) 与评分矩阵同形, 允许位置取 0, 禁止位置取 \(-\infty\), 每行须至少保留一个位置. softmax 按行计算. 自回归生成时, 掩码禁止读取未来位置; 训练输入还须相对预测目标错开一项, 并通过位置编码等机制提供顺序信息. 训练中可并行计算已知序列各位置的表示; 逐 token 生成仍依赖先前输出, 不能把它描述为所有输出都彼此独立地并行产生.

这些模型并不替代前述节奏、音类与和声分析; 那些结构可以用于设计表示、条件或评价指标.

10 Appendix: Musical Texture

复调音乐 (Polyphony): 指由两个或以上相对独立的旋律声部同时进行、并在节奏与音高上相互作用而形成的音乐形态. 多声部音乐还包含以主旋律与和弦伴奏组织的主调织体 (homophony), 因而多声部不全是复调. 复调强调各声部的独立性与对等性, 常见于文艺复兴、巴洛克时期的复调音乐传统中
赋格(Fugue): 是一种复调体裁或写作方式, 以主题 (subject) 及其答题 (answer) 等材料在不同声部依次进入、模仿并展开. 可通过转调、倒影、逆行、扩大或缩小等对位技术发展素材, 但不要求每部赋格都使用全部这些技术. 巴洛克时期(如巴赫作品)中尤为典型

11 References

王杰, 音乐与数学课程讲义, 2025 年秋季.
Robert Hutchinson, Music Theory for the 21st-Century Classroom: 节拍、音类集合与十二音技术.
Normal Form 与 Prime Form: 紧凑性并列规则的约定.
Godfried Toussaint, Rhythm and Melody: 节奏的几何分析.
Introduction to Speech Processing: MFCC: 对数 Mel 谱与倒谱系数.

Advanced Mathematics - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Functions and Limits

1.1 Real Numbers and Basic Inequalities

Definition 记 \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\) 分别为自然数, 整数, 有理数和实数集.

Remark 实数系最关键的结构有三类:

代数结构: 对加, 减, 乘, 除(除数非零)封闭.
序结构: 任意两个实数可比较大小.
完备性: 每个非空且有上界的实数子集都有上确界.

Definition 设 \(S \subseteq \mathbb R\).

若存在 \(M\) 使得对任意 \(x \in S\) 都有 \(x \le M\), 则称 \(M\) 是 \(S\) 的上界.
所有上界中最小的一个称为上确界, 记作 \(\sup S\).
下界与下确界定义完全类似.

Remark 完备性是极限理论的基础. 单调有界序列必收敛, 介值性和最值性都依赖于它.

Proposition 三角不等式:

\[|a+b| \le |a| + |b|, \qquad ||a|-|b|| \le |a-b|.\]

Proposition 对正数 \(a_1,\cdots,a_n\), 有

\[\frac{n}{\sum_{k=1}^n a_k^{-1}} \le \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k} \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\le\sqrt{\frac1n\sum_{k=1}^n a_k^2}.\]

Remark 有理数与无理数都在实数轴上稠密: 任意两个不同实数之间都存在有理数和无理数.

1.2 Functions and Elementary Functions

Definition 函数是从定义域到陪域的单值映射.

Definition 常用分类:

单射: 不同输入对应不同输出.
满射: 值域等于陪域.
双射: 既单又满, 因而存在反函数.

Definition 初等函数由常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数经过有限次四则运算和复合得到.

Example 常见特殊函数:

符号函数 \(\operatorname{sgn} x\).
Dirichlet 函数.
Gauss 取整函数 \(\lfloor x \rfloor\).
集合的特征函数 \(\chi_E(x)\).

Remark 研究函数时常关心的性质包括:

有界性.
单调性.
奇偶性.
周期性.
可逆性.

Definition 上述特殊函数的具体形式为

\[\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x\lt0,\end{cases} \qquad D(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,\\0,&x\notin\mathbb Q,\end{cases}\]\[\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\},\qquad \chi_E(x)=\begin{cases}1,&x\in E,\\0,&x\notin E.\end{cases}\]

Riemann 函数在 \([0,1]\) 上定义为

\[R(x)=\begin{cases}1/q,&x=p/q\text{ 为最简分数},\ q>0,\\0,&x\notin\mathbb Q.\end{cases}\]

其中 \(R(0)=R(1)=1\). 对周期函数, 只有当正周期集合存在最小元时才称其为最小正周期; 正周期的下确界不一定是正周期.

1.3 Limits of Sequences

Definition 数列 \(\{a_n\}\) 收敛到 \(A\), 是指

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |a_n - A| \lt \epsilon.\]

记作 \(\lim_{n\to\infty} a_n = A\).

Theorem 收敛数列的极限唯一, 且收敛数列一定有界.

Theorem 极限的四则运算:

若 \(a_n \to A\), \(b_n \to B\), 则

\[a_n \pm b_n \to A \pm B, \qquad a_n b_n \to AB, \qquad \frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}\ (B \neq 0).\]

Theorem 单调收敛原理:

单调递增且有上界的数列收敛.
单调递减且有下界的数列收敛.

Theorem 夹逼定理:

若从某项起 \(c_n \le a_n \le b_n\), 且 \(b_n \to A\), \(c_n \to A\), 则 \(a_n \to A\).

Theorem 子列判别:

若 \(a_n \to A\), 则任意子列都收敛到 \(A\). 反过来, 若能找到两个极限不同的子列, 则原数列发散.

Example 常用极限:

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{n\to\infty} q^n = 0 \quad (|q|\lt1).\]

Remark 处理递推数列时, 常见路线是:

先证单调.
再证有界.
由单调收敛定理推出极限存在.
最后把递推式取极限求极限值.

Proposition 若 \(a_n\to A\), \(b_n\to B\) 且 \(A>B\), 则从某项起 \(a_n>b_n\). 反之, 若从某项起 \(a_n\ge b_n\), 则只能推出 \(A\ge B\).

Theorem Cesàro 均值定理: 若 \(a_n\to A\), 则

\[\frac1n\sum_{k=1}^n a_k\longrightarrow A.\]

Proof 给定 \(\epsilon>0\), 取 \(N\) 使 \(k\ge N\) 时 \(|a_k-A|\lt\epsilon/2\). 将有限首段与尾段分开,

\[\left|\frac1n\sum_{k=1}^n a_k-A\right| \le\frac1n\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-A|+\frac\epsilon2\lt\epsilon\]

当 \(n\) 足够大时成立.

Definition Euler 常数记为

\[\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right).\]

该序列单调递减且有下界, 所以极限存在. 因而调和和满足 \(\sum_{k=1}^n k^{-1}=\ln n+\gamma+o(1)\).

Example 对固定 \(a>0\), \(k>0\), \(0\lt|q|\lt1\),

\[\frac{a^n}{n!}\to0,\qquad n^kq^n\to0,\qquad a^{1/n}\to1.\]

若 \(|q|>1\), 则 \(|q^n|\to+\infty\); 只有 \(q>1\) 才有 \(q^n\to+\infty\). 常用 Stirling 渐近公式为

\[n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n.\]

1.4 Limits of Functions

Definition 设 \(a\) 是函数 \(f\) 定义域 \(D\) 的聚点, 即任意去心邻域内都有 \(D\) 中的点. 若

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\in D,\ 0\lt|x-a|\lt\delta \Longrightarrow |f(x)-A|\lt\epsilon,\]

则称 \(\lim_{x\to a} f(x) = A\).

Definition 还可以定义:

单侧极限 \(\lim_{x\to a\pm 0} f(x)\).
无穷远处极限 \(\lim_{x\to \pm\infty} f(x)\).
无穷大极限 \(\lim_{x\to a} f(x) = \infty\).

Theorem 函数极限的序列判别:

\[\lim_{x\to a} f(x) = A\]

当且仅当对任意满足 \(x_n\in D\), \(x_n \to a\) 且 \(x_n \neq a\) 的点列, 都有 \(f(x_n) \to A\).

Remark 这个判别既是证明极限存在的重要工具, 也是证明极限不存在最直接的方法.

Example 两个重要极限:

\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e.\]

Definition 在同一极限过程中:

\(f=o(g)\) 表示 \(f/g\to0\);
\(f=O(g)\) 表示邻域内存在常数 \(C\) 使 \(|f|\le C|g|\).
若 \(f/g\to c\neq0\), 则两者同阶;
若 \(c=1\), 则 \(f\sim g\).

使用比值时须在去心邻域内有 \(g\neq0\). \(O(g)\) 本身不要求比值存在非零极限.

Theorem 若 \(f(x)\to A\), 且 \(g\) 在 \(A\) 连续, 则 \(g(f(x))\to g(A)\). 若仅知道 \(\lim_{y\to A}g(y)=B\), 则还须保证 \(f(x)\neq A\) 最终成立, 或补充 \(g(A)=B\), 才能推出相应复合极限.

1.5 Continuity

Definition 设 \(a\in D\). 若对任意 \(\epsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 使 \(x\in D\) 且 \(|x-a|\lt\delta\) 时都有 \(|f(x)-f(a)|\lt\epsilon\), 则称 \(f\) 在 \(a\) 处连续. 当 \(a\) 是 \(D\) 的聚点时, 这等价于 \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\); 孤立点处自动连续.

Definition 间断点分为:

可去间断点.
跳跃间断点.
第二类间断点.

Proposition 连续函数在一点附近具有局部有界性. 若该点函数值非零, 则还具有保号性: 附近函数值与该点同号.

Theorem 若 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续, 则:

\(f\) 在 \([a,b]\) 上有界.
\(f\) 在 \([a,b]\) 上取得最大值和最小值.
\(f\) 具有介值性.

Corollary 若 \(f(a)f(b) \lt 0\), 则存在 \(\xi \in (a,b)\) 使 \(f(\xi) = 0\).

Proposition 连续性对有限次和、差、积以及分母非零的商封闭. 连续函数的复合仍连续; 区间上连续且严格单调的函数, 其反函数在值域上连续且严格单调.

Definition 若存在 \(L\ge0\), 对所有 \(x,y\in D\) 都有

\[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|,\]

称 \(f\) 满足 Lipschitz 条件. 若对某个 \(0\lt\alpha\lt1\) 有

\[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|^\alpha,\]

则称满足 \(\alpha\) 阶 Hölder 条件. 两者都推出一致连续; 普通连续性不保证存在这样的全局常数.

Proof 闭区间上最值定理可由完备性证明. 若 \(f\) 无界, 可取 \(x_n\in[a,b]\) 使 \(|f(x_n)|>n\); 收敛子列与连续性立即给出矛盾, 故 \(f\) 有界. 令 \(M=\sup f([a,b])\), 取 \(x_n\) 使 \(f(x_n)\to M\). 由有界数列的收敛子列定理, 有子列 \(x_{n_k}\to x_*\in[a,b]\), 连续性给出 \(f(x_*)=M\). 最小值同理.

介值定理可取 \(f(a)\lt\eta\lt f(b)\) 并令 \(c=\inf\{x\in[a,b]:f(x)>\eta\}\). 连续性排除 \(f(c)>\eta\) 和 \(f(c)\lt\eta\), 所以 \(f(c)=\eta\).

2 Foundations of Calculus

2.1 Derivatives

Definition 导数定义为

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\]

若该极限存在.

Remark 左导数和右导数都存在且相等时, 函数才在该点可导.

Theorem 可导必连续, 反之不成立.

Theorem 若 \(f,g\) 在 \(x_0\) 可导, 则

\[(f\pm g)' = f' \pm g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g(x_0)\neq0).\]

Theorem 链式法则: 若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导, \(g\) 在 \(f(x_0)\) 可导, 则

\[(g\circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0).\]

Theorem 反函数求导:

若 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续且严格单调, \(x_0\) 是 \(I\) 的内点, 且 \(f'(x_0)\neq 0\), 则

\[(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}, \qquad y_0 = f(x_0).\]

Example 常用导数:

\[(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}.\]

Example 其余常用导数为

\[\begin{aligned} (\tan x)'&=\frac1{\cos^2x},& (\cot x)'&=-\frac1{\sin^2x},\\ (\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}},&(\arccos x)'&=-\frac1{\sqrt{1-x^2}},\\ (\arctan x)'&=\frac1{1+x^2},&(a^x)'&=a^x\ln a,\\ (\log_a x)'&=\frac1{x\ln a}. \end{aligned}\]

各式须位于相应函数的可导区间; 指数底数 \(a>0\), 对数另要求 \(a\neq1\), \(x>0\). 取值在 \((0,\pi)\) 的 \(\operatorname{arccot}x\) 的导数为 \(-1/(1+x^2)\).

Proposition 对正整数 \(n\),

\[\begin{aligned} (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+n\pi/2),\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+n\pi/2),\\ (x^{-1})^{(n)}&=(-1)^n n!x^{-n-1},\\ (\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}. \end{aligned}\]

Example 求 \(y=\arctan x\) 在原点的高阶导数.

Solution 由 \((1+x^2)y'=1\) 求导 \(n\) 次得, 对 \(n\ge1\),

\[(1+x^2)y^{(n+1)}+2nxy^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0.\]

结合 \(y'(0)=1\), \(y''(0)=0\), 可递推得到

\[y^{(n)}(0)=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\(-1)^{(n-1)/2}(n-1)!,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}\]

2.2 Differentials

Definition 若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导, 则增量可以写成

\[\Delta f = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x).\]

其中线性主部

\[\mathrm{d}f = f'(x_0)\,\mathrm{d}x\]

称为微分.

Remark 微分不是增量本身, 而是增量的一阶线性近似.

Theorem 积分中值定理: 若 \(f\in C[a,b]\), \(a\lt b\), 则存在 \(\xi\in[a,b]\), 使

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).\]

Proof 由 \(m\le f(x)\le M\) 积分得平均值位于 \([m,M]\), 再由介值定理得结论.

3 Computation and Applications of Integrals

3.1 Rational Functions

Definition 有理函数是两个多项式之比.

Remark 处理有理函数不定积分的基本路线是:

先做多项式除法, 化成多项式加真分式.
再将真分式拆成部分分式.
对每类标准项逐一积分.

Example 常见标准项:

\[\frac{A}{(x-a)^m}, \qquad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} \quad (p^2-4q\lt0).\]

Theorem 若实系数多项式分母分解为不同一次因子 \((x-a_i)^{m_i}\) 和不同不可约二次因子 \(q_j(x)^{n_j}\), 则真分式唯一分解为

\[\frac{P(x)}{Q(x)} =\sum_i\sum_{k=1}^{m_i}\frac{A_{ik}}{(x-a_i)^k} +\sum_j\sum_{k=1}^{n_j}\frac{B_{jk}x+C_{jk}}{q_j(x)^k}.\]

每个重因子从一次幂到最高次幂都要保留. 通分后比较多项式系数即可求未知系数.

Proposition 对 \(q(x)=x^2+px+q_0\), \(p^2-4q_0\lt0\), 令 \(z=x+p/2\), \(a^2=q_0-p^2/4>0\), 则

\[\int\frac{Ax+B}{q(x)^n}\,\mathrm{d}x =\frac A2\int\frac{\mathrm{d}(z^2+a^2)}{(z^2+a^2)^n} +\left(B-\frac{Ap}2\right)I_n, \qquad I_n=\int\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+a^2)^n}.\]

第一项直接积分; 第二项由分部积分得到

\[I_1=\frac1a\arctan\frac za,\qquad I_n=\frac{z}{2a^2(n-1)(z^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1},\quad n\ge2.\]

各不定积分相差的常数统一并入最终积分常数.

3.2 Rational Expressions of Trigonometric Functions

Algorithm 对三角函数有理式 \(R(\sin x,\cos x)\), 常用三种策略:

万能代换 \(t=\tan \dfrac{x}{2}\).
若关于 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 具有奇偶结构, 令 \(t=\cos x\) 或 \(t=\sin x\).
若表达式适合以 \(\tan x\) 表示, 令 \(t=\tan x\).

Example 万能代换给出

\[\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \mathrm{d}x = \frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t.\]

Remark 特殊代换有明确的代数判据. 若 \(R(-u,v)=-R(u,v)\), 则可提取 \(\sin x\), 令 \(t=\cos x\). 若 \(R(u,-v)=-R(u,v)\), 则可提取 \(\cos x\), 令 \(t=\sin x\). 若 \(R(-u,-v)=R(u,v)\), 则令 \(t=\tan x\), 利用 \(\cos^2x=1/(1+t^2)\) 化为有理式. 应在代换可逆且无奇点的区间内计算.

3.3 Irrational Integrals and Symmetry Tricks

Remark 对含根式积分, 常通过代换把根式有理化. 常见思路包括:

令根式内部整体等于新变量的幂.
对二项式微分式 \(x^m(a+bx^n)^p\) 使用恰当幂代换.

Remark 对定积分, 对称性往往比硬算更高效. 常用技巧包括:

奇偶性.
区间关于中点的对称.
配对变换 \(x \mapsto a-x\).

Example 设 \(a>0\), \(f\) 在 \([0,a]\) 可积, 且分母 \(f(x)+f(a-x)\) 不为零、下式被积函数可积, 则

\[\int_0^a \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\,\mathrm{d}x = \frac{a}{2}.\]

Proof 将积分中的 \(x\) 换为 \(a-x\), 与原式相加后被积函数恒为 \(1\), 因而积分的两倍为 \(a\). 单独要求 \(f\) 可积不足以排除分母为零.

Proposition 对根式有理函数积分

\[\int R\left(x,\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\,\mathrm{d}x,\]

取 \(t^m=(ax+b)/(cx+d)\), 当 \(ad-bc\neq0\) 时有

\[x=\frac{dt^m-b}{a-ct^m},\qquad \mathrm{d}x=\frac{m(ad-bc)t^{m-1}}{(a-ct^m)^2}\,\mathrm{d}t.\]

所得被积函数是 \(t\) 的有理式; 应选择根式有定义且代换单值的区间. 当 \(ad-bc=0\) 时根式在定义域上为常数, 单独处理.

Proposition 对二项微分式 \(\int x^m(a+bx^n)^p\,\mathrm{d}x\), 设 \(m,n,p\in\mathbb Q\), \(n\neq0\). 令 \(t=x^n\), \(q=(m+1)/n-1\), 得

\[\frac1n\int t^q(a+bt)^p\,\mathrm{d}t.\]

在实幂分支固定的区间内, 以下三种情形可有理化:

\(p\in\mathbb Z\): 取 \(t=z^s\), 其中 \(s\) 是 \(q\) 的分母.
\(q\in\mathbb Z\): 若 \(p=\mu/\lambda\), 取 \(a+bt=z^\lambda\).
\(p+q\in\mathbb Z\): 若 \(p=\mu/\lambda\), 取 \((a+bt)/t=z^\lambda\).

对 \(ab\neq0\) 的非退化二项微分式, 初等可积的判据正是上述三种情形至少有一种成立. 退化情形直接化为幂函数积分.

4 Mean Value Theorems

4.1 Differential Mean Value Theorems

Theorem Fermat 定理:

若 \(x_0\) 是函数 \(f\) 定义域的内点, \(f\) 在 \(x_0\) 可导并取得局部极值, 则 \(f'(x_0)=0\).

Theorem Rolle 定理:

若 \(f \in C[a,b]\), 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(f(a)=f(b)\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\).

Theorem Lagrange 中值定理:

若 \(f \in C[a,b]\) 且在 \((a,b)\) 可导, 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使

\[f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Theorem Cauchy 中值定理:

若 \(f,g \in C[a,b]\), 在 \((a,b)\) 可导, 且 \(g'(x)\neq 0\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]

Theorem Darboux 定理:

导函数虽然不必连续, 但一定具有介值性.

Corollary 在区间上, 若 \(f'\equiv0\), 则 \(f\) 为常数; 若 \(f'=g'\), 则 \(f-g\) 为常数.

Proof Rolle 定理由闭区间最值定理及内点极值的 Fermat 必要条件得到. 对 \(f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)\) 应用 Rolle 定理即得 Lagrange 定理. 对 \((g(b)-g(a))(f(x)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))\) 应用同一定理即得 Cauchy 定理.

Darboux 定理只需考察 \(h(x)=f(x)-\eta x\). 若 \(h'(a)\lt0\lt h'(b)\), 两端都不是 \(h\) 的最小值点, 故最小值在内点取得并满足 \(h'=0\); 导数顺序相反时改用最大值.

4.2 L’Hospital’s Rule

Theorem 在趋向 \(a\) 的某个单侧去心区间内, 设 \(f,g\) 可导且 \(g'\neq0\). 若 \(f,g\to0\), 或 \(|g|\to\infty\), 并且导数商有广义极限 \(L\in\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}\), 则

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

无穷远处极限有相应版本; 双侧结论要求两侧同值. 若导数商极限不存在, 不能据此判断原商发散.

Remark L’Hospital 法则不是万能化简器. 先判断是否真的满足定理假设, 再决定是否使用.

4.3 Taylor’s Formula

Theorem 若 \(f\) 在 \(x_0\) 的邻域内具有足够多阶导数, 则

\[f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x).\]

常见余项形式:

Peano 余项: \(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\).
Lagrange 余项: 若 \(f\) 在连接 \(x_0\) 与 \(x\) 的闭区间上有 \(n\) 阶连续导数, 且在其内部有 \(n+1\) 阶导数, 则当 \(x\neq x_0\) 时存在两点之间的 \(\xi\), 使 \[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.\]

Example 常见等价无穷小:

\[\sin x \sim x, \qquad 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad \mathrm{e}^x-1\sim x.\]

Remark 等价无穷小只适合放在乘除结构里替换, 不能在加减结构中直接乱换.

Proposition 若在连接 \(x_0\) 与 \(x\) 的区间上 \(f\in C^{n+1}\), 则 Cauchy 余项为

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(x-\eta)^n(x-x_0),\]

其中 \(\eta\) 位于两点之间. Peano 余项只需 \(f\) 在 \(x_0\) 具有 \(n\) 阶导数; 不可把较弱条件直接用于含 \(n+1\) 阶导数的余项.

Example 当 \(x\to0\) 时, 常用 Maclaurin 展开为

\[\begin{aligned} \mathrm e^x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n),\\ \sin x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2}),\\ \cos x&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}),\\ \ln(1+x)&=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+o(x^n),\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{k=0}^{n}\binom\alpha kx^k+o(x^n). \end{aligned}\]

其中 \(\binom\alpha0=1\), \(\binom\alpha k=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)/k!\). 展开可先对已知展开作有限次代数运算; 对余项求导须另有光滑性和误差控制.

4.4 Monotonicity, Convexity, and Extrema

Theorem 若 \(f'(x)\ge 0\) 在区间上恒成立, 则 \(f\) 单调不减; 若 \(f'(x)>0\), 则严格递增. 单调递减情形类似.

Theorem 若 \(f''(x)\ge 0\), 则函数是凸的; 若 \(f''(x)\le 0\), 则函数是凹的.

Remark 求极值常用流程:

求驻点和不可导点.
用一阶导符号表或二阶导判别.
若题目要求最值, 还要检查边界点.

Definition 区间上的凸函数满足

\[f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y),\qquad0\le t\le1.\]

若 \(f\) 可导, 等价于图像不低于任一点的切线: \(f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\). 凹函数取反向不等式.

Proposition 若内点 \(x_0\) 为二阶可导函数的极小值点, 则 \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)\ge0\). 若 \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\), 则为严格极小值点. 极大值相应反号; \(f''(x_0)=0\) 不能判定.

Definition 若至少一个单侧极限满足 \(|f(x)|\to\infty\) \((x\to c)\), 则 \(x=c\) 是垂直渐近线. 若在某一无穷远方向上

\[a=\lim\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim(f(x)-ax)\]

均有限, 则 \(y=ax+b\) 是该方向的渐近线; \(a=0\) 时为水平渐近线. 绘图应综合定义域、间断点、零点、单调区间、极值、凹凸性、拐点及渐近线.

4.5 Curvature of Curves

对平面曲线 \(y=y(x)\), 曲率可写为

\[\kappa = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}.\]

若使用弧长参数 \(s\), 则曲率是单位切向量 \(\mathbf T=\mathrm{d}\mathbf r/\mathrm{d}s\) 对弧长的变化率

\[\kappa = \left|\frac{\mathrm{d} \mathbf T}{\mathrm{d}s}\right|.\]

Remark 曲率刻画了曲线弯曲的强弱, 曲率半径为 \(\rho = 1/\kappa\).

Proposition 对正则平面参数曲线 \((x(t),y(t))\), 曲率为

\[\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.\]

对二阶连续可微的极坐标曲线 \(r=r(\theta)\), 在 \(r^2+(r')^2>0\) 的正则点有

\[\kappa=\frac{|r^2+2(r')^2-rr''|}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}.\]

第二式的撇表示对 \(\theta\) 求导. 曲率为零时没有有限曲率半径.

5 Vector Algebra and Analytic Geometry in Space

5.1 Planes and Lines in Space

Definition 向量的数量积和向量积分别定义为

\[\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta, \qquad |\mathbf a \times \mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta.\]

当两向量非零时, \(\theta\) 为它们的夹角. 向量积垂直于两向量, 方向由右手定则确定; 平行时向量积为零. 任一向量为零时, 数量积和向量积均为零.

Theorem 过点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 且非零法向量为 \((A,B,C)\) 的平面方程为

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Definition 空间直线可写成

\[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n},\]

其中 \((l,m,n)\) 是非零方向向量. 对称式只适用于相应分母非零的分量; 通用形式为 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t(l,m,n)\), 方向分量为零时对应坐标保持不变.

Remark 平面与平面的夹角由法向量决定, 直线与直线的夹角由方向向量决定.

Proposition 三个不共线点 \(P_i=(x_i,y_i,z_i)\) 确定的平面满足

\[\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{vmatrix}=0.\]

点 \(P_0\) 到平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 的距离为

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]

两个平行平面写成同一法向量系数时, 距离为 \(|D_1-D_2|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\). 点 \(P\) 到直线 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v\) 的距离为 \(|(\mathbf r_P-\mathbf r_0)\times\mathbf v|/|\mathbf v|\).

Theorem 若两个平面 \(F_1=0\), \(F_2=0\) 相交成直线, 则所有经过该直线的平面组成平面束

\[\lambda F_1+\mu F_2=0,\qquad(\lambda,\mu)\neq(0,0).\]

5.2 Space Curves and Surfaces

空间曲线常用参数方程表示:

\[\mathbf r(t) = (x(t),y(t),z(t)).\]

曲面常见表示方式有:

显式方程 \(z=f(x,y)\).
隐式方程 \(F(x,y,z)=0\).
参数方程 \(\mathbf r(u,v)\).

Remark 参数表示在求切向量, 法向量和面积元时尤其方便.

Example 取 \(a,b,c>0\), 常见二次曲面为

椭圆锥面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0\).
椭球面: \(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\).
单叶双曲面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1\).
双叶双曲面: \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1\).
椭圆抛物面: \(z=x^2/a^2+y^2/b^2\).
双曲抛物面: \(z=x^2/a^2-y^2/b^2\).

通过坐标平面截线与对称性可辨认形状和主轴方向.

5.3 Tangent Lines and Arc Length

若空间曲线写成 \(\mathbf r(t)\), 且 \(\mathbf r'(t_0)\neq 0\), 则过 \(\mathbf r(t_0)\) 的切线方向由 \(\mathbf r'(t_0)\) 给出.

若曲线在积分区间上分段连续可微, 则弧长公式为:

\[s = \int_{\alpha}^{\beta} |\mathbf r'(t)|\,\mathrm{d}t.\]

若平面曲线写成 \(y=y(x)\), 则

\[s = \int_a^b \sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x.\]

6 Differential Calculus of Multivariable Functions

6.1 Multivariable Functions and Limits

Definition 二元函数是形如 \(f:D\subseteq\mathbb R^2\to\mathbb R\) 的映射. 多元函数情形完全类似.

Definition 设 \((x_0,y_0)\) 是定义域 \(D\) 的聚点. 若

\[\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall(x,y)\in D,\ 0\lt\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt\delta \Longrightarrow |f(x,y)-A|\lt\epsilon,\]

则称

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=A.\]

Remark 多元极限存在时, 沿任意路径趋近都必须得到同一极限. 因此"找两条路径"是判断极限不存在的常用方法.

Definition 开集的每一点都有完全包含于该集合的邻域; 闭集包含其全部极限点. 区域是非空连通开集, 边界记为 \(\partial D\). 在一般定义域上, 极限只考察属于定义域的趋近点.

Remark 极坐标 \(x-x_0=r\cos\theta\), \(y-y_0=r\sin\theta\) 有助于估计二元极限, 但要获得与 \(\theta\) 无关的误差界. 仅对每个固定角度取极限不足以证明全面极限存在.

Definition 累次极限为

\[\lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0}f(x,y)\right),\qquad \lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0}f(x,y)\right).\]

两者可能不同, 即使都存在且相同也不保证全面极限存在. 若全面极限存在, 且相应内层极限在去心邻域内存在, 则对应累次极限等于全面极限.

6.2 Continuity and Partial Derivatives

Definition 连续性按定义域内的 \(\epsilon\)-\(\delta\) 条件定义, 与一元情形相同, 将距离换为 Euclidean 距离. 在定义域的聚点 \((x_0,y_0)\) 处, 若

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0),\]

则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续.

Definition 偏导数定义为

\[f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},\]\[f_y(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y\to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.\]

Remark 连续, 可微, 存在偏导三者之间的关系不是等价的:

可微 \(\Rightarrow\) 连续.
可微 \(\Rightarrow\) 偏导存在.
偏导存在不一定连续, 也不一定可微.

Theorem 在非空紧集上连续的实值函数有界并取得最大值和最小值; 在连通集上连续的实值函数具有介值性. 讨论边界连续性时, 趋近点限制在函数的定义域内.

Theorem 若混合偏导数 \(f_{xy},f_{yx}\) 在该点附近连续, 则 \(f_{xy}=f_{yx}\).

6.3 Total Differential and Chain Rule

Definition 若

\[\Delta f = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho), \qquad \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\]

则称 \(f\) 在该点可微, 且

\[\mathrm{d}f = A\,\mathrm{d}x + B\,\mathrm{d}y.\]

Theorem 若 \(f_x\) 和 \(f_y\) 在该点附近连续, 则 \(f\) 在该点可微, 且

\[\mathrm{d}f = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y.\]

Theorem 链式法则:

若 \(u=u(x,y)\), \(v=v(x,y)\) 在考察点可微, 且 \(f(u,v)\) 在对应点可微, 令 \(z=f(u,v)\), 则

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\]\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.\]

Proposition 一阶微分具有形式不变性. 对可微复合函数 \(z=f(u(x,y),v(x,y))\), 仍有 \(\mathrm{d}z=f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v\). 若 \(x,y\) 为独立变量, \(f\in C^n\), 则

\[\mathrm{d}^nf=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{\partial^nf}{\partial x^{n-k}\partial y^k}(\mathrm{d}x)^{n-k}(\mathrm{d}y)^k.\]

该高阶形式按固定增量计算; 对非线性换元不能忽略新变量的高阶微分.

6.4 Directional Derivatives and Gradient

Definition 沿单位向量 \(\mathbf n=(\cos\alpha,\cos\beta)\) 的方向导数定义为

\[D_{\mathbf n}f(\mathbf x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf x_0+h\mathbf n)-f(\mathbf x_0)}h.\]

若 \(f\) 在该点可微, 则有 \(D_{\mathbf n}f=\nabla f\cdot\mathbf n\). 仅有偏导存在不能保证此公式成立.

其中

\[\nabla f = (f_x,f_y)\]

称为梯度.

Remark 在可微点, 非零梯度方向是函数增长最快的方向, 最大方向导数等于 \(|\nabla f|\). 梯度为零时, 所有方向导数均为零, 没有唯一的增长最快方向.

6.5 Taylor Formula and Extremum Problems

若 \(f\) 足够光滑, 则在点 \((x_0,y_0)\) 附近有二阶 Taylor 展开

\[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) = f(x_0,y_0) + f_x \Delta x + f_y \Delta y + \frac{1}{2}\left(f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2\right) + o(\rho^2).\]

Theorem 对无约束极值问题, 若 \(f\) 在内点取得极值且可微, 则

\[f_x = 0,\qquad f_y = 0.\]

二阶判别常用

\[D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2.\]

若 \(D>0\) 且 \(f_{xx}>0\), 则为极小值.
若 \(D>0\) 且 \(f_{xx}\lt0\), 则为极大值.
若 \(D\lt0\), 则为鞍点.

Remark 二阶判别要求在驻点附近有连续二阶偏导数; \(D=0\) 时不能判定. 最值还须检查边界和不可微点.

Theorem 设连接 \(\mathbf x_0\) 与 \(\mathbf x_0+\mathbf h\) 的线段位于 \(f\in C^{n+1}\) 的区域内. 记固定方向微分算符 \(D_{\mathbf h}=h_1\partial_x+h_2\partial_y\), 则存在 \(0\lt\theta\lt1\), 使

\[f(\mathbf x_0+\mathbf h) =\sum_{k=0}^n\frac{D_{\mathbf h}^kf(\mathbf x_0)}{k!} +\frac{D_{\mathbf h}^{n+1}f(\mathbf x_0+\theta\mathbf h)}{(n+1)!}.\]

Proof 对一元函数 \(F(t)=f(\mathbf x_0+t\mathbf h)\) 在 \(t=0\) 展开到 \(t=1\) 即得. \(n=0\) 给出多元微分中值定理.

6.6 Implicit Function Theorem and Lagrange Multipliers

Theorem 一元隐函数存在定理:

若 \(F(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 附近连续可微, 且

\[F(x_0,y_0)=0, \qquad F_y(x_0,y_0)\neq 0,\]

则在该点附近可将方程 \(F(x,y)=0\) 唯一解为 \(y=y(x)\).

Theorem 条件极值问题

\[f(x,y,z)\quad \text{subject to}\quad g(x,y,z)=0\]

若 \(f,g\) 在候选点附近连续可微, \(f\) 在约束上于该点取得局部极值且 \(\nabla g\neq0\), 则存在 Lagrange 乘子 \(\lambda\), 使

\[\nabla f = \lambda \nabla g.\]

Remark 几何上, 当 \(\nabla f\) 也非零时, 这表示目标函数等值面与约束面在极值点处相切. 目标梯度为零时, 目标等值集可能不是正则曲面.

Proposition 一元隐函数的导数由恒等式 \(F(x,y(x))=0\) 求导得到

\[y'=-\frac{F_x}{F_y}.\]

若 \(F\in C^1\), \(F(x_0,y_0,z_0)=0\), \(F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0\), 则局部唯一确定 \(z=f(x,y)\), 且

\[f_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad f_y=-\frac{F_y}{F_z}.\]

各偏导在相应隐函数图像上取值.

Theorem 设 \(F(x,u,v),G(x,u,v)\) 连续可微, 在 \((x_0,u_0,v_0)\) 同时为零, 且

\[J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}\neq0.\]

则局部唯一确定连续可微函数 \(u(x),v(x)\). 对方程组求导后,

\[\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix},\]

由 \(J\neq0\) 可唯一求出导数.

Theorem 若映射 \((u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v))\) 连续可微, 且在一点的 Jacobian 行列式非零, 则该点附近存在唯一连续可微的逆映射. 对应点处有

\[\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^{-1},\]

这里两边表示 Jacobian 行列式, 右边是数值倒数; 对 Jacobian 矩阵则为矩阵求逆.

Remark Lagrange 乘子条件要求约束梯度在候选点非零. 多个独立约束 \(g_1=\cdots=g_m=0\) 时, 要求它们的梯度线性无关, 并解

\[\nabla f=\sum_{i=1}^m\lambda_i\nabla g_i,\qquad g_i=0.\]

这是必要条件, 不是充分条件. 约束奇异点必须另查, 且受约束极值不意味着增广函数对所有变量同时取得无约束极值.

Appendix

A.1 Common Equivalent Infinitesimals

以下均取 \(x\to0\); 最后一式中的 \(a\) 为固定非零实数.

\[\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x, \quad \ln(1+x)\sim x, \quad \mathrm{e}^x - 1 \sim x, \quad (1+x)^a - 1 \sim ax.\]

A.2 Problem-Solving Checklist

极限题: 先判型, 再看夹逼, 等价无穷小, Taylor, L’Hospital.
单调与极值: 先求导, 再做符号分析.
定积分: 优先看换元, 分部积分, 对称性.
多元极限: 优先查路径依赖.
条件极值: 先列约束, 再做 Lagrange 乘子.

Advanced Mathematics - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

7 Multiple Integrals

7.1 Double Integrals

Lemma 设平面有界闭区域 \(D\) 由有限条曲线段围成,其中每一条曲线段都可以由一个连续的一元显式函数所表示,则称 \(D\) 是可求面积的,也称 \(D\) 有面积. Notation 分割细化度指标 \(||\sigma||=\max\limits_{1\le i\le n}\{\operatorname{diam}(\Delta\sigma_{i})\}\),即最大分割区域的直径.

Definition 有界可求面积闭区域 \(D\) 上的二重积分. 将 \(D\) 分成小区域 \(\Delta\sigma_i\), 面积记为 \(|\Delta\sigma_i|\), 样点 \((x_i,y_i)\in\Delta\sigma_i\). 若以下极限存在且与分割和样点选取无关, 则称 \(f\) 在 \(D\) 上可积:

\[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\lim_{\|\sigma\|\to0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)|\Delta\sigma_i|,\qquad \text{也记作 }\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

在有界可求面积闭区域 \(D\) 上可积的函数 \(f(x,y)\) 必在 \(D\) 上有界.
被积函数和积分区域具有单调性和可加性,前者的数学表述: 若 \(D_1\subset D_2, f( x, y) \geqslant 0, ( x, y) \in D_2\),则
\[\iint_{D_{1}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le\iint_{D_{2}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\]
若 \(f(x,y)\leqslant g(x,y),(x,y)\in D\), 则
\[\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\le\iint_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma.\]
绝对值估计:
\[\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\le\iint_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\]
累次积分法: 以下设 \(f\) 连续, 且 \(D\) 分别具有公式所用的两种简单区域表示; 一般区域须先分片. 有时原函数性质使其中一种积分次序更方便.
\[\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\]
换元法:若存在区域 \(D'\) 到 \(D\) 的双射 \(\begin{cases}x=x(\xi,\eta)\\y=y(\xi,\eta)\end{cases}\) 满足
1. 函数 \(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta)\) 都有连续的偏导数
2. \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\xi,\eta)}\ne 0,(\xi,\eta)\in D'\).
则有
\[\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D^{\prime}}f(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))|J|\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\]
常用的极坐标换元法 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\) 满足 \(J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r\), 即 \(\mathrm{d}\sigma=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\), 其中 \(r\ge0\). 原点和角度切缝上的退化可作为零面积边界处理; 其余参数点须避免重复覆盖.
对可分离变量的情况:
\[\iint_{[a_1,a_2]\times[b_1,b_2]}f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_{a_1}^{a_2}f(x)\cdot\left(\int_{b_1}^{b_2}g(y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\left(\int_{a_1}^{a_2}f(x)\mathrm{d}x\right)\left(\int_{b_1}^{b_2}g(y)\mathrm{d}y\right)\]

曲面面积: 以下设图形曲面连续可微, 参数曲面分片正则且无重复覆盖; 各参数片分别积分再求和.
\[\begin{aligned} S &=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\iint_{D^{\prime}}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\iint_{D^{\prime}}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &A=\frac{{\partial}(y,z)}{{\partial}(u,v)},\ B=\frac{{\partial}(z,x)}{{\partial}(u,v)},\ C=\frac{{\partial}(x,y)}{{\partial}(u,v)},\quad (A,B,C)=\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial v}\\ &\left\{\begin{array}{l}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}\right. \end{aligned}\]

7.2 Triple Integrals

Definition 三维有界可求体积区域 \(\Omega\) 上的三重积分, 其中 \(\lambda=\max_i\operatorname{diam}(\Delta\Omega_i)\), \(\Delta V_i\) 为小区域体积. 极限须与分割和样点选取无关:

\[\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\lim_{\lambda\to0}\sum_if(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i\]

累次积分:先一后二/先二后一
三重积分换元法:若存在区域 \(\Omega'\) 到 \(\Omega\) 的双射 \(\left\{\begin{gathered}x=x(u,v,w)\\y=y(u,v,w)\\z=z(u,v,w)\end{gathered}\right.\) 满足
1. 函数 \(x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)\) 都有连续的偏导数
2. \(J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\ne0,(u,v,w)\in \Omega'\).
对连续的 \(f\), 有
\[\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm{d}V=\iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\]
常见换元(除零体积边界外避免重复覆盖):
1. 柱坐标换元:\(J=\frac{{\partial}(x,y,z)}{{\partial}(r,\theta,z)}=r\), 即 \(\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\), \(r\ge0\).
2. 球坐标换元:\(x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi\), \(r\ge0, 0\le\varphi\le\pi\). 此时 \(J=\frac{{\partial}(x,y,z)}{{\partial}(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin\varphi\), 即 \(\mathrm{d}V=r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\).

被积函数只含三个变量其中一个时, 先在内层计算另外两个变量的积分再计算第三个变量往往更方便.

建议记忆的积分:

\[I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x,\quad n\in\mathbb{N}_0\]

\[I_n=\left\{\begin{aligned} \frac{(n-1)!!}{n!!}, &\quad n \text{ 奇},\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, &\quad n \text{ 偶} \end{aligned}\right.=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\]

其中 \(0!!=(-1)!!=1\). Gamma 函数式还适用于实数 \(n>-1\), 但奇偶分支只用于非负整数.

7.3 Curve Integrals

Definition 曲线积分第一型曲线积分(标量函数关于弧长的积分): 设 \(L\) 分段光滑, \(f\) 连续, \(\lambda=\max_i\Delta s_i\), 样点位于对应小弧段.

\[\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta s_i,\]

曲线写作 \(y=y(x)\) 时:
\[\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s =\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2}\mathrm{d}x\]
曲线作参数化 \((x(t),y(t))\), \(t\in[\alpha,\beta]\), 且无重复描绘(分段光滑)时:
\[\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\mathrm{d}t\]

第二型曲线积分(向量场的有向线积分): 取 \(L\) 的方向, \(\boldsymbol{t}\) 为该方向的单位切向量; \(\boldsymbol{F}=(P,Q)\) 连续. 按曲线方向取各弧段的端点增量, 则

\[\begin{aligned} \int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} &=\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}(x_i,y_i)\cdot(\Delta x_i,\Delta y_i)\\ &=\int_L\left(\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\boldsymbol{t}\right)\mathrm{d}s \end{aligned}\]

曲线写作 \(y=y(x)\) 时:
\[\int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_a^b\left[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime}(x)\right]\mathrm{d}x\]
曲线作参数化 \((x(t),y(t))\) 时:
\[\int_L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta\left[P(x(t),y(t))x^{\prime}(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime}(t)\right]\mathrm{d}t\]

Theorem 设有界闭区域 \(D\) 的边界 \(L=\partial D\) 由有限条逐段光滑简单闭曲线组成, \(P,Q\) 在包含 \(D\) 的开邻域上连续可微. 取正向 \(L^+\): 沿边界行进时区域在左侧(外边界逆时针, 洞的边界顺时针). 则有 Green 公式

\[\oint_{\partial D^+}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} =\iint_D(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol \sigma,\quad \oint_{L^+}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

Green 公式不要求 \(D\) 单连通, 但须计入全部边界分量. 内部或边界上有未消除奇点时不能直接套用上述定理. 其通量形式为

\[\oint_{L^+}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}s=\oint_{L^+}P\,\mathrm{d}y-Q\,\mathrm{d}x=\iint_D\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

其中 \(\boldsymbol{n}\) 是平面边界的外单位法向量.

对某些有奇点的积分, 可先证明路径上的被积表达式与一个光滑场相同, 再对该光滑场应用 Green 公式.

Theorem 第二型曲线积分路径无关的充要条件: 考虑 \(I=\int_{\hat{AB}}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\), \(\hat{AB}\) 待定. 设 \(D\) 是连通开区域, \(P,Q\) 在 \(D\) 上连续可微. 称积分具有路径无关性, 若对任意 \(A,B\in D\) 和连接它们的逐段光滑曲线 \(J_1,J_2\subset D\) 有

\[\int_{J_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int_{J_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\]

当且仅当 \(\forall C\subset D\) 有
\[\oint_{C^+}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0\]
若额外要求 \(D\) 单连通,则当且仅当 \(\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)\),即 \(\nabla\times\boldsymbol{F}=0\) 在 \(D\) 上成立
当且仅当 \(\exists u(x,y),\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\). 这一等价关系不额外要求 \(D\) 单连通. \(u(x,y)\) 称为原函数,可通过不定积分法凑出.

两种求曲线积分的方法: 改变路径法/原函数法

改变路径时, 注意验证路径无关性

构造原函数时, 注意验证原函数是否在区域上处处光滑.

对区域内部的孤立奇点, 可挖去包含奇点的小区域, 在剩余的无奇点区域上应用 Green 公式. 外围道正向与小围道逆向共同构成边界; 再直接计算小围道积分并取极限. 不能在仍含奇点的小围道内部直接套用 Green 公式.

Definition 方向余弦

\[\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|\cdot\left(\cos\left(\boldsymbol{a},x\right),\cos\left(\boldsymbol{a},y\right)\right)\]

7.4 Surface Integrals

Definition 曲面积分第一型曲面积分: 将分片光滑曲面 \(S\) 分成 \(N\) 个小面片 \(S_i\), 面积为 \(\Delta S_i\), 在各片选取样点 \((x_i,y_i,z_i)\). 以下取网格尺度 \(\lambda=\max_i\operatorname{diam}(S_i)\), 令各片直径趋于零. 对连续的 \(f\),

\[\iint_Sf(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{N}f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i\]

显式函数 \(z=g(x,y)\)
\[\iint_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S= \iint_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+\left(g_x^{\prime}\right)^2+\left(g_y^{\prime}\right)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]
参数化
\[\begin{aligned} \iint_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S &=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}\]\[A(u,v)=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\quad B(u,v)=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\quad C(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\]
这些系数均在当前积分点 \((u,v)\) 处计算, \((A,B,C)=\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v\), 其中 \(\boldsymbol{r}=(x,y,z)\). 在正则参数片上该向量非零; 积分按无重复覆盖的参数片计算, 多片覆盖时分片求和.
\[\left\{\begin{array}{l}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}\right.\]

第二型曲面积分: 取可定向曲面 \(S\) 的一致单位法向量 \(\boldsymbol{n}\), 并设向量场 \(\boldsymbol{F}=(P,Q,R)\) 连续. 沿用上述分割和取样点, 可转为第一型曲面积分计算:

\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &=\iint_S\left(P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\\ &=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\boldsymbol{n}(x_i,y_i,z_i)\right)\Delta S_i\\ &=\iint_S(\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}S \end{aligned}\]

显式函数 \(z=g(x,y)\)(注意外微分导致的符号特殊, 以及曲面内/外侧导致的符号选取)
\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &=\pm\iint_S \boldsymbol{F}(x,y,g(x,y))\cdot\frac{(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_D\boldsymbol{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}\]
参数化 (\(A,B,C\) 同前)
\[\begin{aligned} \iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} =&\pm\iint_S\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\mathrm{d}S\\ =&\pm\iint_{D^{\prime}}[P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A(u,v)+Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B(u,v)\\ &+R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C(u,v)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}\]

球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2\), \(R>0\), 的外单位法向量为 \(\boldsymbol{n}=(x,y,z)/R\). 对椭球面 \(\Phi=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0\), \(a,b,c>0\), 梯度 \(\nabla\Phi=2(x/a^2,y/b^2,z/c^2)\) 指向外侧. 外单位法向量为
\[\boldsymbol{n}=\frac{(x/a^2,y/b^2,z/c^2)}{\sqrt{x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4}}\]
取内侧方向时整体变号. 通量公式中的 \(\boldsymbol{n}\) 必须为单位向量.

对于被积函数只有一个分量的第二型曲面积分,例如只有 \(z\) 分量,则
\[\begin{aligned} \iint_SR(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\iint_S(0,0,R(x,y,z))\cdot\boldsymbol{n}(x,y,z)\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_S(0,0,R(x,y,z))\cdot\frac{(-g_x^{\prime},-g_y^{\prime},1)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S\\ &=\pm\iint_S\frac{R(x,y,z)}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\mathrm{d}S=\pm\iint_{D_{(x,y)}}R(x,y,g(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}\]
可以看出变成了曲面投影的积分

三维空间的卦限: 1-4 对应 \(z>0\) 的四个象限, 5-8 对应 \(z\lt0\) 的四个象限

Gauss 公式和 Stokes 公式

Gauss 公式/散度定理(与 Green 公式类似)
\[\iint_{S^+}\boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iiint_\Omega\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V\]
- 设 \(S=\partial\Omega\) 是分片光滑闭曲面, \(S^+\) 取外侧; \(\boldsymbol{F}\) 在包含 \(\Omega\cup S\) 的开邻域上连续可微.
- 对内部孤立奇点可挖去小区域, 仅对剩余无奇点区域用 Gauss 公式. 洞边界的法向量指向洞内; 计算这些边界的通量后, 在相关极限存在时令洞缩小.
可以推广到 n 维,即 Gauss-Green 公式
Stokes 公式
\[\oint_L \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\iint_{S^+}(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\]
- 设 \(S\) 是可定向的分片光滑曲面, \(L=\partial S\) 为逐段光滑边界, \(\boldsymbol{F}\) 在包含 \(S\cup L\) 的开邻域上连续可微. \(L\) 的方向与 \(S^+\) 的法向量按右手规则配合.

8 Ordinary Differential Equations

8.1 Concepts

在正则性与局部存在唯一性条件下, n 阶方程的局部通解通常用 n 个独立常数表示. 非线性方程还可能有未被某个通解族包含的奇解, 须单独检验.

n 阶方程的通解写为 \(y=y(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)\). 参数取允许的特定值时, 得到一个特解/积分曲线.
n 个待定系数应是独立的,即 \(\frac{\partial(y,y^{\prime},\cdots,y^{(n-1)})}{\partial(C_{1},C_{2},\cdots,C_{n})}\ne 0\).

8.2 First-Order ODEs

8.2.1 Separable Type

\[f(x)\mathrm{d}x+g(y)\mathrm{d}y=0\]

可以直接不定积分得到隐式结果. 从原方程分离变量时, 任何除去的零因子对应的常值解或其他解须代回原方程检验. 常见可化为可分离变量的类型有:

\(y^{\prime}=h(ax+by+c)\). 当 \(b\ne0\) 时令 \(z=ax+by+c\), 得到 \(z^{\prime}=a+bh(z)\), 求出 \(z\) 后恢复 \(y\). 当 \(b=0\) 时直接积分 \(y'=h(ax+c)\).
\(y^{\prime}=h\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)\), 只在分母非零的区域求解. 当系数行列式非零时, 求解 \(\left\{\begin{array}{l}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{array}\right.\), 得到 \((x_0,y_0)\). 换元 \(u=x-x_0,v=y-y_0\), 得到 \(v(u)\) 的齐次方程.
- 系数行列式为零时, 从非零系数对中选取 \((a_j,b_j)\), 设 \(z=a_jx+b_jy\); 两个线性式均化为 \(z\) 的仿射函数, 可按上一类处理. 若两个系数对均为零, 则原方程右端为常数(仍须分母非零).
- 当 \(c_1=c_2=0\) 时, 可重定义右端函数, 将方程写为 \(y'=\tilde h(y/x)\). 在 \(x\ne0\) 的区间令 \(z=y/x\), 得 \(z'=(\tilde h(z)-z)/x\); 分离时须保留 \(\tilde h(z)=z\) 的常值 \(z\) 解.

8.2.2 First-Order Linear ODE Type

非齐次一阶
\[y^{\prime}+P(x)y=Q(x)\]
设 \(P,Q\) 在所考察区间连续, 取其中任意基点 \(x_0\). 左右同乘 \(\exp(\int P(x)\,\mathrm{d}x)\) 从而得到
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y\cdot\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x})=Q(x)\cdot\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\]\[y(x)=\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^xP(s)\,\mathrm{d}s}\left(C+\int_{x_0}^x Q(t)\mathrm{e}^{\int_{x_0}^tP(s)\,\mathrm{d}s}\,\mathrm{d}t\right)\]
Bernoulli 方程
\[y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^\alpha\]
当 \(\alpha\ne0,1\) 时, 在 \(y\ne0\) 且实数幂有定义的区间, 两边同乘 \(y^{-\alpha}\), 换元 \(z=y^{1-\alpha}\), 得
\[z'+(1-\alpha)P(x)z=(1-\alpha)Q(x)\]
\(\alpha=0,1\) 时原方程已是线性方程. 变换中排除的 \(y=0\) 须代回原方程单独检验.
自变量互换型:
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{P(y)x+Q(y)}\quad \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-P(y)x=Q(y)\]

8.2.3 Exact Equations (Total Differential Equations)

\[P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\]

其中左侧是某个原函数 \(u(x,y)\) 的全微分, 且 \(\partial_yP=\partial_xQ\)(即曲线积分路径无关, 对单连通区域上的方程), 得到通解为 \(u(x,y)=C\)

8.2.4 Non-Exact Differential Equations

\[M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0\]

需要寻找积分因子 \(\mu(x,y)\), 化为恰当的 \(M\mu\,\mathrm{d}x+N\mu\,\mathrm{d}y=0\). 以下假设 \(M,N\) 连续可微; 所列比值只在相应分母非零的区域使用.

若 \(F=\frac{\partial_yM-\partial_xN}{N}\) 与 \(y\) 无关(只与 \(x\) 有关), 则 \(\mu=\exp\left(\int F(x)\mathrm{d}x\right)\) 是可行的积分因子. 若 \(G=-\frac{\partial_{y}M-\partial_{x}N}{M}\) 与 \(x\) 无关(只与 \(y\) 有关), 则 \(\mu=\exp\left(\int G(y)\mathrm{d}y\right)\) 是可行的积分因子
观察法.

积分因子往往不止一种.

8.2.5 Reducible Type

\(G(x,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0\). 先求 \(p(x)=y'\) 再积分.
自治方程 \(H(y,y',y'')=0\). 在 \(y'\ne0\) 的局部区间以 \(y\) 为自变量, 令 \(p(y)=y'\),
\[y''=p(y)\cdot p^\prime(y)\]
之后解 \(p(y)\) 的一阶方程, 再解 \(y'=p(y)\). 常值解须另行检验; 含转折点的解可在相邻单调区间求解并核对连接.

8.3 General Theory of ODEs

8.3.1 Initial Value Problems

8.3.1.1 First-Order ODE Initial Value Problem

\[\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=f(x,y)\\y\left(x_{0}\right)=y_{0} \end{array}\right. \qquad(x,y)\in R.\]

\(R=[x_0-a,x_0+a]\times[y_0-b,y_0+b]\), \(a,b>0\).

Theorem 解的局部存在唯一性: 若 \(f(x,y)\) 在 \(R\) 连续, 且对 \(y\) 满足一致 Lipschitz 条件, 即存在 \(L\ge0\), 对所有同一 \(x\) 下的 \((x,y_1),(x,y_2)\in R\), 有

\[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|\]

则初值问题在区间 \([x_0-h,x_0+h]\) 存在唯一解 \(y=y(x)\), 其中

\[h=\min\left(a,\frac{b}{M}\right),\quad M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|\]

当 \(M=0\) 时取 \(h=a\), 唯一解为 \(y(x)=y_0\).

若 \(\partial_y f(x,y)\) 存在且有界, 那么 Lipschitz 条件一定成立.

Definition Picard 序列对于满足解的局部存在唯一性的问题,

\[y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,y(s))\,\mathrm{d}s\]

由于 \(y(s)\) 待定, 可逐次逼近

\[\begin{cases}\phi_0(t)=y_0,\\\phi_{n+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,\phi_n(s))\,\mathrm{d}s\quad(n\geq0)&\end{cases}\]

8.3.1.2 Second-Order Linear ODE Initial Value Problem

\[\begin{cases} y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x),\quad x\in[a,b],\\ y\left(x_0\right)=y_0,\quad y^{\prime}\left(x_0\right)=y_1, \end{cases}\]

\(x_0\in[a,b]\). Theorem 若 \(p(x),q(x),f(x)\) 在 \([a,b]\) 都连续, 那么二阶线性方程初值问题存在唯一解 \(y=y(x)\).

8.3.2 Second-Order Linear Equations

先用线性代数语言总结:

在系数连续且最高阶系数非零的区间内, n 阶齐次线性方程的解集构成 n 维线性空间, 非齐次方程的解集构成 n 维仿射空间

以下设 \(p,q\) 在区间 \([a,b]\) 连续. 对二阶线性齐次微分方程 \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), 可通过 Wronski 行列式判断两解 \(\varphi_1,\varphi_2\) 的线性无关性:

\[W(x)=\left|\left.\begin{array}{ll}\varphi_1(x)&\varphi_2(x)\\\varphi_1^{\prime}(x)&\varphi_2^{\prime}(x)\end{array}\right.\right|\]

线性无关的充要条件是存在 \(x_0\in[a,b]\) 使 \(W(x_0)\ne0\). 对上述同一齐次方程的两解, 这等价于 \(W\) 在区间内处处非零.

Proposition 二阶线性齐次微分方程有两组线性无关的解, 且任意齐通解都包含在 \(C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\) 内. Proof 取两解分别满足
\[\varphi_1(x_0)=1,\quad\varphi_1'(x_0)=0,\qquad \varphi_2(x_0)=0,\quad\varphi_2'(x_0)=1\]
于是 \(W(x_0)=1\), 两解线性无关. 对任意初值 \((y_0,y_1)\), \(y_0\varphi_1+y_1\varphi_2\) 满足该初值; 由唯一性它就是对应解, 故这两解张成整个解空间.

Proposition \(W(x)\) 只要一点非 0 则处处非 0. 可以从证明其逆否命题入手: 只要一点为 0 则处处为 0 Proof \(W(x)=\varphi_1(x)\varphi_2^{\prime}(x)-\varphi_1^{\prime}(x)\varphi_2(x)\), 其一阶导
\[\begin{aligned} W'(x)&=\varphi_1(x)\varphi_2''(x)-\varphi_1''(x)\varphi_2(x)\\ &=\varphi_1(x)(-p(x)\varphi_2'(x)-q(x)\varphi_2(x))-(-p(x)\varphi_1'(x)-q(x)\varphi_1(x))\varphi_2(x)\\ &=-p(x)(\varphi_1(x)\varphi_2'(x)-\varphi_1'(x)\varphi_2(x))=-p(x)W(x) \end{aligned}\]
其中用到了对二阶导的约束(即齐次线性方程), 则
\[W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp(s)\mathrm{d}s\right)\]
若 \(x_0\) 为其零点, 则 \(W(x)\) 恒为 0.

对线性无关的两解, \(W(x)\ne0\) 还说明它们不能有相同的零点, 也不能在同一点同时满足一阶导数为零.

Wronski 行列式法求第二个线性无关解: 选 \(W(x_0)\ne0\), 在 \(\varphi_1(x)\ne0\) 的子区间内,
\[\varphi_2=\varphi_1(x)\int^x\frac{W(z)}{[\varphi_1(z)]^2}\mathrm{d}z\]

对二阶非齐次线性方程, 找到一个特解 \(y^*(x)\) 后, 加上齐通解则可以得到通解 \(y^*(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\).

8.3.2.1 Second-Order Constant-Coefficient Nonhomogeneous Linear Equations

\[y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=f(x)\]

8.3.3 Method of Undetermined Coefficients

先假设特解形式, 再匹配系数.

\(f(x)=P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\quad a_0\neq0\). 设特解形式为
\[Q_{n}(x)=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_{n},\quad b_{0}\neq0\]
- \(q\ne 0\)(即 0 不是特征根), 各次联立即可
- \(q=0\), 特解形式为 \(Q(x)=xQ_n(x)\)
  - \(p\ne 0\)(即 0 是单特征根), 同理联立定出特解.
  - \(p=0\)(即 0 是重特征根), 特解形式为 \(R(x)=x^2Q_n(x)\).
\(f\left(x\right)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\). 若
- \(\alpha\) 不是特征根, 特解为 \(y=Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\);
- \(\alpha\) 是单特征根, 特解为 \(y=xQ_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\);
- \(\alpha\) 为重特征根, 特解为 \(y=x^{2}Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\).
\(f(x)=a\cos\beta x+b\sin\beta x, \quad \beta\ne 0\). 设特解 \(y\left(x\right)=A\cos\beta x+B\sin\beta x\),
\[\begin{cases}(q-\beta^2)A+p\beta B=a\\-p\beta A+(q-\beta^2)B=b\end{cases},\quad \Delta=(q-\beta^{2})^{2}+p^{2}\beta^{2}\]
- \(\Delta\ne 0\), 特解如前
- \(\Delta=0\)(或说 \(\mathrm{i}\beta\) 是特征根), 特解为 \(y\left(x\right)=x\left(A\mathrm{cos}\beta x+B\mathrm{sin}\beta x\right)\).
\(f(x)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}(a\cos\beta x+b\sin\beta x),\quad\beta\ne0\). 在实系数二阶方程中:
- \(\alpha\pm\mathrm{i}\beta\) 不是特征根, 特解为 \(\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]\);
- \(\alpha\pm\mathrm{i}\beta\) 是特征根, 特解为 \(x\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]\).

8.3.4 Variation of Parameters

先求齐次方程通解, 再将常数变为待定函数.

\[y(x)=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\]

直接假设其特解形式为

\[\hat{y}(x)=C_1(x)\varphi_1(x)+C_2(x)\varphi_2(x)\]

同时需要增加限制条件得到唯一的选取方式

\[C_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2(x)=0\]

从而得到确定系数形式的方程组

\[\left\{\begin{aligned} C_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2(x)&=0\\ C_1^{\prime}(x)\varphi_1^{\prime}(x)+C_2^{\prime}(x)\varphi_2^{\prime}(x)&=f(x) \end{aligned}\right.\]

可以通过上述方程组解出 \(C_1'(x), C_2'(x)\), 分别不定积分得到结果

8.3.5 General Solution of n-th Order Constant-Coefficient Homogeneous Linear Equations

\[y^{(n)}(x)+p_1y^{(n-1)}(x)+\cdots+p_{n-1}y^{\prime}(x)+p_ny(x)=0\]

可以带入试探解 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) 后得到特征方程

\[\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\lambda+p_n=0\]

通过因式分解(大概)解出特征值 \(\lambda\):

单实根 \(\lambda\) 对应函数 \(\mathrm{e} ^{\lambda x}\).
m 重实根 \(\lambda\) 对应 \(m\) 个函数 \(\mathrm{e}^{\lambda x},x\mathrm{e}^{\lambda x},\cdots,x^{m-1}\mathrm{e}^{\lambda x}\).
单复根对 \(a\pm b\mathrm{i}\), \(b\ne0\), 对应两个实解 \(\mathrm{e}^{ax}\cos(bx),\mathrm{e}^{ax}\sin(bx)\).
m 重复根对 \(a\pm b\mathrm{i}\), \(b\ne0\), 对应 \(2m\) 个实解
\[x^j\mathrm{e}^{ax}\cos(bx),\quad x^j\mathrm{e}^{ax}\sin(bx),\qquad j=0,1,\cdots,m-1\]

共轭根成对原理: 对实系数多项式, 若 \(a+b\mathrm{i}\) 是根, 则 \(a-b\mathrm{i}\) 也是根. 共轭指数解通过线性组合给出上述余弦和正弦解.

8.3.6 First-Order Constant-Coefficient Linear ODE Systems

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a_1x+a_2y+f_1(t)\\ &\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b_1x+b_2y+f_2(t) \end{aligned}\right.\]

当 \(a_2\ne0\) 且 \(f_1\) 可微时, 可由第一个方程解出 \(y=(x'-a_1x-f_1)/a_2\), 代入第二个方程得到关于 \(x\) 的二阶常系数非齐次线性方程, 再恢复 \(y\). 此法不要求 \(b_2\ne0\); 若 \(a_2=0\), 可先解独立的 \(x\) 方程, 再解 \(y\) 的一阶线性方程.

8.3.7 Euler Equations

\[a_{0}x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy^{\prime}+a_{n}y=0\]

进行替换

\[x= \begin{cases} \mathrm{e}^t,\quad x>0,\\ -\mathrm{e}^{t},\quad x\lt0 \end{cases}\]

则可以逐次归纳出

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\]

\[x^k\frac{\mathrm{d}^ky}{\mathrm{d}x^k}=D_t(D_t-1)\cdots(D_t-k+1)y,\qquad D_t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t},\quad t=\ln|x|\]

带入得到方程化为常系数线性微分方程

\[b_0\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}t^n}+b_1\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+b_{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+b_ny=0\]

9 Infinite Series

9.1 Numerical Series

交错级数: Leibniz 判别法一般项级数: Dirichlet-Abel 判别法皆不适用: 结合技术具体特点使用收敛性定义/Cauchy 准则研究

Definition 数项级数: 对给定序列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\), 称其部分和 \(S_n=\sum_{k=1}^na_k\) 构成数项级数 \(\{S_n\}_{n=1}^\infty\).

部分和收敛, 则称级数收敛.
- 必要条件: \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).
- 充要条件(Cauchy 准则):
  \[\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N,\qquad \mathrm{s.t.}\ \forall n>m>N, \left|\sum_{k=m+1}^na_k\right|\lt\varepsilon\]
等比级数 \(\sum_{n=1}^\infty q^n\) 和 \(p\)-级数 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) 对于判断收敛性有重要指导意义.
收敛级数加减、数乘、改变有限项、在保持项次序的前提下将连续有限项分组, 仍收敛. 加括号与重排不同: 绝对收敛级数可任意重排而保持和, 条件收敛级数重排可改变和或使其发散. 发散级数加括号后可能收敛, 但这不证明原级数收敛.
收敛的数项级数 \(S=\left\{\{a_n\}_{n=1}^\infty:\sum_{n=1}^\infty a_n\text{收敛}\right\}\) 构成一个线性空间, 可以将 \(\{a_n\}\) 视作无穷维向量.

正项级数的收敛判据

直接比较法: 存在某个 \(N\) 使得大于此 \(N\) 的项求和小于某个已知收敛级数(等比/p-级数)
量级比较法: 设 \(\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c\), 若
- \(c\) 是正实数, 则两个数项级数收敛性相同
- \(c=0\), \(\sum a_n\) 收敛则 \(\sum b_n\) 收敛, \(\sum b_n\) 发散则 \(\sum a_n\) 发散
- \(c=+\infty\), \(\sum b_n\) 收敛则 \(\sum a_n\) 收敛, \(\sum a_n\) 发散则 \(\sum b_n\) 发散
D’Alembert 判据: 设 \(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\) 存在(不存在时判别法实效), 则 \(l\lt1\), 级数收敛; \(l>1\), 级数发散; \(l=1\), 判别法失效, 再尝试使用 Raabe 判据.
Raabe 判据(D’Alembert 判据的补充): 设 \(\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=l\) 存在(\(l=1\) 或不存在时判别法失效), 则 \(l>1\), 级数收敛; \(l\lt1\), 级数发散(即看相对下降速率够不够快)
Cauchy 判据: 设 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=l\) 存在, 若 \(l>1\), 级数发散; \(l\lt1\), 级数收敛.; \(l=1\) 时判别法失效.
积分判别法: \(\sum a_n\) 与 \(\int_1^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\) 收敛性一致, 当 \(f\) 在每个有限子区间可积, 非负且 \(f(n)=a_n\), 并在充分大的 \(x\) 上单调递减.

一般项级数的收敛

绝对收敛: 级数绝对收敛 \(\Rightarrow\) 级数收敛; 绝对收敛重排之后仍然绝对收敛.
条件收敛: 不满足绝对收敛, 但是级数收敛

Leibniz 判据(判断交错级数 \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^nu_n\) 的充分条件): 若 \(u_n\) 单调下降且 \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\), 那么交错级数收敛.

Dirichlet-Abel 判据(用于乘积形式的一般项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_nb_n\)):

Abel 判据: 若 \(a_n\) 单调有界, 且 \(\sum b_n\) 收敛, 则 \(\sum a_nb_n\) 收敛. (对 \(b_n\) 要求更高)

Abel 变换: \(\sum_{k=1}^na_kb_k=\sum_{k=1}^na_k\left(B_k-B_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_k-a_{k+1}\right)B_k+a_nB_n,\quad B_k=\sum_{l=1}^k b_l\).
Dirichlet 判据: 若 \(a_n\to 0\) 且 \(a_n\) 单调, 且 \(\sum b_n\) 部分和有界, 则 \(\sum a_nb_n\) 收敛(对 \(a_n\) 要求更高)

特别记忆:\(\sum\sin n ,\sum\cos n\) 部分和有界, 可以通过积化和差拆分, 或取 \(\sum \mathrm{e}^{\mathrm{i}n}\) 的虚/实部.
\[|\sin n|\ge\sin^2n=\frac{1-\cos2n}{2}\]

(1)建议记忆的结论(渐进级数):
\[H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n\sim\ln n,\qquad H_n-\ln n\to\gamma\]
以下夹逼先得到 \(H_n\sim\ln n\); 再由 \(H_n-\ln n\) 单调递减且有下界, 可知常数 \(\gamma\) 存在:
\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\leq H_n\leq1+\int_1^n\frac{1}{x}\mathrm{d}x\]
(2)通过合适放缩得到渐进性质对于判断敛散性十分有用, 例:
\[\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty(-1)^k b_k,\quad b_k=\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1}\frac{1}{n^p},\quad p>0,\qquad \frac{2k+1}{((k+1)^2-1)^p}\le b_k\le\frac{2k+1}{k^{2p}}\\ \Longrightarrow b_k\sim\frac{2}{k^{2p-1}} \end{gathered}\]

9.2 Function Series

可把函数形式地视为无穷维向量, 写为 \(f(x)=\langle x|f\rangle\). 函数序列 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) 收敛要求对每个 \(t\in[a,b]\), \(\lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t)\) 存在, 即逐点收敛. \(f\) 称为极限函数; 逐点收敛缺乏对整个区间收敛速率的统一控制.

连续函数的极限不一定连续.
函数序列的收敛性和函数的定义域有关.
函数序列的一致收敛 \(f_n\rightrightarrows f\):
\[\forall \varepsilon>0, \exists N\in \N^*,\quad \mathrm{s.t.}\ \forall x\in[a,b],n>N,\quad |f_n(x)-f(x)|\lt\varepsilon\]
- 逐点收敛是一致收敛的必要条件
函数序列一致收敛的判据
1. 极值判别法(充要条件): \(\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|=0\).
2. 判断一致收敛(充分条件):
  \[\exists\{a_n|a_n>0,\lim_{n\to\infty}a_n=0\}_{n=0}^{\infty}, \quad \mathrm{s.t.}\ \forall n\in \N^*,x\in[a,b],\quad |f_n(x)-f(x)|\lt a_n\]
3. 判断不一致收敛(充分条件):
  \[\exists\{x_n|x_n\in[a,b]\}_{n=1}^{\infty},\quad \mathrm{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}\left[f_n(x_n)-f(x_n)\right]\ne0 或不存在\]
一致收敛函数序列的性质
- (连续的传递性) \(f_n(x)\) 连续 \(\to\) \(f(x)\) 连续
- 若 \(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积, 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可积:
  \[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\mathrm{d}x\]
导数的传递 若 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 连续可微, \(\{f_n(x_0)\}\) 在某点 \(x_0\in[a,b]\) 收敛, 且导函数序列 \(f_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛, 则 \(f_n\) 一致收敛到连续可微函数 \(f\), 并有
\[\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=f'(t),\quad t\in(a,b)\]
端点导数理解为相应单侧导数. 仅 \(f_n\) 一致收敛不足以交换极限与求导.
函数序列的一致有界: 存在一致界 \(M\) 使得 \(\forall n\in\N^*,x\in[a,b]\), \(|f_n(x)|\leq M\). 若每个 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 有界且 \(f_n\) 一致收敛, 则该序列一致有界; 一致收敛于 0 是其特例.

Definition 函数项级数: 定义为部分和序列 \(S_n(x)=\sum u_k(x)\) 的逐点极限

\[S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nu_k(x)\]

函数项级数的一致收敛 必要条件: 若函数项级数一致收敛, 则函数序列 \(u_{n}\rightrightarrows0\)(一致收敛于 0 函数)

充要条件(Cauchy 准则):
\[\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*,\qquad \forall n\ge m>N,\ x\in[a,b],\quad \left|\sum_{k=m}^n u_k(x)\right|\lt\varepsilon\]

函数项级数(不)一致收敛的判据

强级数判别法(Weierstrass M-判据): 若 \(|u_k(x)|\lt a_k\), \(a_k\) 与 \(x\) 无关且 \(\sum a_k\) 收敛,则 \(\sum u_k\) 绝对且一致收敛

Dirichlet-Abel 判据: 用于乘积形式的函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)\), 形式与之前类似

	Dirichlet	Abel
\(a_n(x)\)	\(\{a_n(x)\}\) 在区间内关于 \(n\) 递减且一致收敛为 0	\(\{a_n(x)\}\) 在区间内一致有界且关于 \(n\) 单调
\(b_n(x)\)	\(\sum b_n\) 的部分和在区间内一致有界	\(\sum b_n(x)\) 在区间内一致收敛

不一致收敛的判别法:
\[\exists \{x_n|x_n\in[a,b]\}_{n=1}^{\infty},\quad \mathrm{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}u_n(x_n)\ne0 或不存在\]
一致比值判据: 若存在 \(0\le q\lt1\) 和 \(N\), 使对所有 \(x\in[a,b]\) 及 \(n\ge N\), \(|u_{n+1}(x)|\le q|u_n(x)|\), 且 \(u_N\) 有界, 则级数一致绝对收敛. 仅对逐点比值极限 \(l(x)\) 检查 \(\sup_x l(x)\lt1\) 还不充分.

一致收敛函数项级数的性质:
- (连续性传递) 若每项 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 连续, 则一致收敛的和函数 \(S=\sum_{n=1}^\infty u_n\) 在 \([a,b]\) 连续.
- (可逐项求积分) \(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积 \(\to\) \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积:
  \[\int_a^b\left(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\right)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_a^bu_n(x)\mathrm{d}x\]
导数的传递 若每项 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 连续可微, \(\sum u_n(x_0)\) 在某点 \(x_0\) 收敛, 且导函数项级数 \(\sum u_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛, 则原级数一致收敛到连续可微的 \(S\), 并有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\right)=\sum_{n=1}^\infty u_n'(x),\qquad x\in(a,b)\]
端点取单侧导数.

9.3 Power Series

幂级数的开收敛区间 \((a-R,a+R)\) 包含在收敛域中; 在开区间内可逐项求导、逐项积分, 并在每个紧子区间一致收敛. 两个边界点的敛散性和交换运算条件须单独判定.

求幂级数收敛半径

Cauchy-Hadamard 公式: 令 \(L(x)=\limsup_{n\to\infty}|c_n(x-a)^n|^{1/n}\). 若 \(L(x)\lt1\), 级数绝对收敛; 若 \(L(x)>1\), 级数发散; \(L(x)=1\) 时该判据不决定敛散性. 不论普通根值极限是否存在, 都有
\[|x-a|\begin{cases}\lt R&\text{级数绝对收敛}\\>R&\text{级数发散}\end{cases},\quad R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}}=\liminf_{n\to\infty}|c_n|^{-1/n}\]
采用扩展实数约定 \(1/0=+\infty\), \(1/(+\infty)=0\), 且零系数的 \(|c_n|^{-1/n}\) 记为 \(+\infty\). Corollary 幂级数与其导数的收敛半径一致
D’Alembert 判别法: 若下述极限存在, 则
\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right|\begin{cases}\lt1&\text{级数绝对收敛}\\>1&\text{级数发散}\\=1&\text{判别法失效}\end{cases}\]
即
\[|x-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\]
若级数和在展开中心附近有复解析延拓, 收敛半径是展开中心到最近的不可去复奇点的距离; 不能只找实轴奇点. 若该解析分支在整个复平面解析, 则 \(R=+\infty\).
对于只有稀疏幂次的级数, Example \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{3n+2}}x^{4n+1}\),
\[R=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{2^{3n+2}}{(-1)^n}\right|^{\frac{1}{4n+1}}=\lim_{n\to\infty}\inf 2^{\frac{3}{4}+\frac{5}{16n+4}}=\sqrt[4]{8}\]
同理, 对于周期性的, 可以对周期中每一组求完取最小.

求导和积分不会改变收敛半径, 只会改变边界性质, 可能可以用于简化收敛区间运算, 不能用于计算收敛域边界的敛散性.

Theorem Abel 定理: 给定收敛半径为 \(R\) 的 \(\sum a_nx^n\), 这里“闭一致收敛”指在所列区间的每个闭子区间上一致收敛.

幂级数在 \((-R,R)\) 内闭一致收敛.
当 \(0\lt R\lt\infty\) 时, 若在 \(x=R\) 收敛, 则在 \((-R,R]\) 内闭一致收敛, 且和函数在 \(R\) 左连续; \(-R\) 同理.

Theorem Taylor 级数设 \(f(x)\) 在 \((-R,R)\) 实解析. 则存在 \(0\lt r\le R\), 使得在 \(|x|\lt r\) 有以 0 为中心的展开:

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]

Taylor 形式的展开是唯一的. 实解析只保证局部展开; 例如 \(1/(1+x^2)\) 在整个实轴解析, 但其 0 点 Taylor 级数的收敛半径为 1. 在收敛边界的单点收敛性以及是否收敛到原函数, 需要单独确定.
求幂级数的级数和, 一个重要的技巧的将所求级数化为初等函数对应的级数的求导/积分形式, 然后交换求和号和积分/导数(靠注意力凑一下, 比如拆分为几个初等函数和/积).
求 Taylor 展开中, 试着先求导/积分来简化展开也是方便的技巧.

\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \cos x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,&x\in(-\infty,+\infty)\\ \tan^{-1}x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}+\cdots,&x\in[-1,1]\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,&x\in(-1,1]\\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,&x\in(-1,1) \end{aligned}\]

10 Improper Integrals and Integrals with Parameters

10.1 Improper Integrals

无穷积分: 设 \(f\) 在相关区间的每个有限子区间可积. 无穷积分是变上限积分的极限, 因此移动有限的积分下限(对趋于 \(-\infty\) 的积分为移动有限上限)不影响尾部收敛性; 若移动时跨过瑕点, 须另外检查该瑕积分. Theorem 无穷积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛的充要条件

\[\forall \varepsilon>0,\ \exists X_0>1\qquad \mathrm{s.t.}\ \forall X_2>X_1>X_0,\ \left|\int_{X_1}^{X_2}f(x)\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon\]

对于双侧无穷积分, 其收敛需两侧无穷积分均收敛
无穷积分收敛不能推出 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), 还需要额外限制条件: Theorem 若无穷积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛且 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 单调, 那么 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\).

判断无穷积分收敛性

直接计算正常积分, 看函数极限收敛性.
非负函数无穷积分收敛的充要条件: \(I(X)=\int_{1}^{X}f(x)\mathrm{d}x\) 有界.
比较判别法(非负函数):

不等式型若存在 \(C>0\) 使得 \(f(x)\leq Cg(x)\) 对 \([1,\infty)\) 成立, 则

\(f(x)\) 积分发散时, \(g(x)\) 积分发散; \(g(x)\) 积分收敛时, \(f(x)\) 积分收敛.
极限型如果极限 \(\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=c\), 那么 \(c\) 有限非 0, 敛散性相同; \(c=\infty\), 结果与不等式型同; \(c=0\) 结果与不等式型相反.

Dirichlet-Abel 判别法: 被积函数拆分为乘积 \(f(x)=a(x)b(x)\).

	Dirichlet	Abel
\(a(x)\)	单调趋于 0	单调有界(不要求增减性)
\(b(x)\)	\({I(X)=\int_1^Xb(x)}\) 有界	\(\int_{1}^{+\infty}b(x)\mathrm{d}x\) 收敛

Dirichlet 判别法常用 \(b(x)=\sin(px)\) 或 \(\cos(px)\), \(p\ne0\), 因其积分的原函数有界; 衰减单调因子放在 \(a(x)\). Abel 判别法可用已知收敛的 \(b(x)=1/x^p\) 或 \(1/[x(\ln x)^p]\), 其中 \(p>1\), 后者从 \(x\ge\mathrm{e}\) 开始考察.

与无穷级数类似, 无穷积分也有绝对收敛和条件收敛的概念.

计算方法: 直接计算原函数/换元/分部积分/换为已知特殊积分或函数(Gauss 积分/Dirichlet 积分/\(\Gamma\) 函数/\(\Beta\) 函数)/含参变量积分

Gauss 积分:
\[\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
平方, 换极坐标计算

Dirichlet 积分:
\[\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\]
直接用复积分得到或利用含参变量无穷积分的特定值得出.

\(\Gamma\) 函数
\[\begin{gathered} \Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x,\quad \Gamma(a+1)=a\Gamma(a),a>0\\ \Gamma(1)=1,\quad \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi \end{gathered}\]
\(\Beta\) 函数
\[\begin{gathered} B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\mathrm{d}x,\qquad p,q>0\\ B(p,q)=B(q,p),\quad \mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \end{gathered}\]

瑕积分

有限闭区间 \([a,b]\) 上的积分, 但被积函数不再有界. 比如无界的瑕点为 \(x=a\), 则瑕积分定义为

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{X\to a+0}\int_X^bf(x)\mathrm{d}x\]

对于其他类型含瑕点的积分, 拆出含瑕点的部分, 任意部分发散则称瑕积分发散(尽管主值可能存在)

判断瑕积分收敛性

比较判别法: 常用比较积分为
\[\int_1^{+\infty}x^{-p}\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{1}{p-1},&p>1,\\+\infty,&p\le1,\end{cases}\qquad \int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{1}{1-p},&p\lt1,\\+\infty,&p\ge1.\end{cases}\]
Dirichlet-Abel 判别法: 类似, 不过是改为趋于瑕点

10.2 Integrals with Parameters

Definition 含参变量变限积分

\[I(y)=\int_{u(y)}^{v(y)}g(x,y)\mathrm{d}x\]

连续性传递 若 \(g(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 连续, 函数 \(u(y), v(y)\) 是在 \([c,d]\) 定义且取值在 \([a,b]\) 的连续函数, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 连续:
\[\lim_{y\to y_0}\int_{u(y)}^{v(y)}g(x,y)\mathrm{d}x=\int_{u(y_0)}^{v(y_0)}\lim_{y\to y_0}g(x,y)\mathrm{d}x\]
可积性传递 在上述连续性假设下, \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 可积. 当上下限为常数 \(u(y)=\psi,v(y)=\phi\), 且 \(\psi,\phi\in[a,b]\), \(\alpha,\beta\in[c,d]\) 时, 可交换积分次序:
\[\int_\alpha^\beta{\left(\int_{\psi}^{\phi}g(x,y)\mathrm{d}x\right)}\mathrm{d}y=\int_{\psi}^{\phi}{\left(\int_\alpha^\beta g(x,y)\mathrm{d}y\right)}\mathrm{d}x\]
可导性传递 若 \(g(x,y),\partial_yg(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 连续, 且 \(u(y),v(y)\) 在 \([c,d]\) 上可微, 则 \(I(y)\) 在 \((c,d)\) 上可导:
\[I^{\prime}(y)=\int_{u(y)}^{v(y)}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x+g(v(y),y)v^{\prime}(y)-g(u(y),y)u^{\prime}(y)\]

Definition 含参变量无穷积分. 以下假设对每个参数 \(y\), \(g(x,y)\) 在任意有限 \(x\) 子区间可积:

\[I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\]

一致收敛定义 \(\forall \varepsilon>0\), \(\exists X_0(\varepsilon)=\mathrm{const}\), \(\mathrm{s.t.}\forall y\in [c,d]\),
\[\left|\int_X^{+\infty}g(x,y)\,\mathrm{d}x\right|=\left|I(y)-\int_1^Xg(x,y)\,\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon,\quad\forall X>X_0\]
一致收敛充要条件(Cauchy 准则) 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 一致收敛的充要条件: \(\forall \varepsilon>0, \exists X_0=\mathrm{const},\mathrm{s.t.}\forall y\in[c,d]\),
\[\left|\int_{X_1}^{X_2}g(x,y)\,\mathrm{d}x\right|\lt\varepsilon,\quad\forall X_2>X_1>X_0\]
M-判别法 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 若存在非负函数 \(M\), 在 \([1,+\infty)\) 的每个有限子区间可积, 使得对所有 \(x\ge1,y\in[c,d]\), \(|g(x,y)|\le M(x)\), 且 \(\int_{1}^{+\infty}M(x)\mathrm{d}x\) 收敛, 则 \(I(y)\) 一致收敛.

参数范围无界时, 可先在每个紧参数区间证明一致收敛, 从而逐点使用连续性、求导等局部结论. 这只得到局部一致收敛, 不能直接推出整个无界参数域上一致收敛.
不一致收敛判别 一般只能由定义的逆否命题判别: 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 定义, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 收敛, 若存在积分下限序列 \(\{X_n\}_{n=1}^{+\infty}\) 和参数序列 \(\{y_n\}\in[c,d]\), 使得 \(\lim_{n\to+\infty}X_n=+\infty\), 且 \(\lim_{n\to+\infty}\left|\int_{X_n}^{+\infty}g(x,y_n)\mathrm{d}x\right|\ne0\)(含发散), 那么 \(I(y)\) 不一致收敛.

Dirichlet-Abel 判别法 先拆分为 \(g(x,y)=a(x,y)b(x,y)\),

	Dirichlet	Abel
\(a(x,y)\)	1. 固定 \(y\), \(a(x,y)\) 关于 \(x\) 单调 2. \(x\to\infty\) 时 \(a(x,y)\) 对 \(y\) 一致趋于 0	1. 固定 \(y\), \(a(x,y)\) 关于 \(x\) 单调 2. 存在同一 \(M\), 对所有 \(x\ge1,y\in[c,d]\), \(\lvert a(x,y)\rvert\le M\)
\(b(x,y)\)	存在同一 \(M\), 对所有 \(X\ge1,y\in[c,d]\), \(\left\lvert\int_1^Xb(x,y)\,\mathrm{d}x\right\rvert\le M\)	\(\int_1^{+\infty}b(x,y)\,\mathrm{d}x\) 在 \(y\in[c,d]\) 一致收敛

一般只对几种简单情况应用:

\(b(x,y)=b(x)\), 使用 Abel 判别法时一致收敛条件变为判断无穷积分收敛.
\(b(x,y)=\sin xy\) 或 \(b(x,y)=\cos xy\), 其中 \(y\in[c,d], d>c>0\), 使用 Dirichlet 判别法时
\[\left|\int_1^X\sin xy\mathrm{d}x\right|=\left|\frac{\cos y-\cos Xy}{y}\right|\leq\frac{2}{c}\]
关于 \(y\) 一致有界.

一致收敛的性质

连续性传递 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 也在 \([c,d]\) 连续
定积分传递 设 \(g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 可积
\[\int_c^dI(y)\mathrm{d}y=\int_c^d\left(\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=\int_1^{+\infty}\left(\int_c^dg(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\]
可导性传递 设 \(g(x,y),\partial_y g(x,y)\) 在矩形区域 \([1,+\infty)\times[c,d]\) 连续, 且 \(I(y)=\int_1^{+\infty}g(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 逐点收敛, 且 \(\int_{1}^{+\infty}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x\) 对 \(y\in[c,d]\) 一致收敛, 那么 \(I(y)\) 在 \((c,d)\) 可导, 端点取单侧导数, 且
\[I^{\prime}(y)=\int_1^{+\infty}\partial_yg(x,y)\mathrm{d}x\]

可构造衰减的含参无穷积分
\[I(y)=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-xy}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad y>0\]
在每个 \(y\in[c,d]\), \(c>0\), 上可用可积指数界交换求导, 得 \(I'(y)=-1/(1+y^2)\). 又 \(I(y)\to0\) 当 \(y\to\infty\), 所以 \(I(y)=\arctan(1/y)\). 在 \(y\in[0,d]\) 上用 Dirichlet 判据控制尾积分, 可令 \(y\to0^+\), 得 \(I(0)=\pi/2\). 不在 \(y=0\) 直接交换求导.

11 Fourier Series

一般周期函数的 Fourier 级数 先记其形式展开(尚未断言逐点等于 \(f\)):

\[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)],\qquad \omega=\frac{2\pi}{T},\quad T>0\]

\[a_{n}=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos(n\omega x)\,\mathrm{d}x,\qquad b_{n}=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin(n\omega x)\,\mathrm{d}x\]

周期延拓:
1. 常规延拓: 在 \([-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\) 定义的函数延拓到 \(\R\).
2. 偶延拓: 将在 \([0,\frac{T}{2}]\) 定义的函数对称为 \([-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\) 的偶函数, 再使用常规延拓.
3. 奇延拓: 将在 \((0,T/2)\) 定义的函数中心对称到 \((-T/2,0)\), 再周期延拓. 为保持严格的奇性和周期性, 取 \(f(0)=f(T/2)=f(-T/2)=0\); 改变这些有限点的值不影响 Fourier 系数, 但其级数仍按左右极限均值收敛.
一般区间上的 Fourier 级数展开
1. \([a,b]\) 平移到 \([-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}]\), 进行常规延拓后展开.
2. \([a,b]\) 平移到 \([0,b-a]\), 进行奇/偶延拓后展开.

(逐点)收敛性理论 对 \(T\) 周期函数 \(f\), 若在一个周期内可分成有限段, 每段连续且单调, 并在分段端点有有限单侧极限(Dirichlet 条件), 或每段可作 \(C^1\) 延拓到该段闭区间, 则 Fourier 级数逐点收敛到:

\[S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\]

在周期接缝 \(x=\pm T/2\), 单侧极限取自周期延拓的两侧, 因而 \(S=(f(-T/2+0)+f(T/2-0))/2\). 连续点有 \(S(x)=f(x)\); 跳点或另行赋值的端点不必如此.

系数理论 若 \(f\) 为实值周期函数, 在一个周期内有界且 Riemann 可积, 则有 Parseval 等式. 正交性先给出 Bessel 不等式; 等式还使用三角函数系在 \(L^2\) 中的完备性:

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k^2+b_k^2\right)=\frac{\omega}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^2(x)\mathrm{d}x\]

二者可能用于证明一些奇奇怪怪的数项级数和.

Linear Algebra

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Linear Systems

1.1 Solving Linear Systems

线性代数最先处理的问题是线性方程组. 例如

\[\left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2,\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3. \end{array} \right.\]

若 \((x_1,x_2,x_3)=(c_1,c_2,c_3)\) 代入后使每个方程都成立, 则称它是该线性方程组的一个解. 基本问题是:

方程组是否有解?
若有解, 如何求出全部解?
不同解之间有什么结构关系?

Definition 一个 \(s \times m\) 矩阵是由 \(s\) 行, \(m\) 列元素组成的表, 记作 \(A=(a_{ij})_{s\times m}\), 其中 \(a_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素. 若 \(s=m\), 则称 \(A\) 为方阵或 \(m\) 阶矩阵.

Definition 对线性方程组 \(A x=b\):

\(A\) 称为系数矩阵.
\((A\mid b)\) 称为增广矩阵.
方程组的解集就是所有满足 \(A x=b\) 的向量 \(x\).

Remark 求解线性方程组的核心思想是通过不改变解集的变形减少未知量之间的耦合, 最终读出每个未知量的值或自由变量.

Definition 初等行变换包括三类:

交换两行.
用非零常数乘一行.
把一行的倍数加到另一行.

Proposition 对增广矩阵做初等行变换不改变原线性方程组的解集.

Definition 若矩阵满足以下条件, 称其为行阶梯形矩阵:

所有零行在底部.
每个非零行的第一个非零元(主元)在上一行主元的右侧.
每个主元下方元素都为 \(0\).

若进一步要求每个主元为 \(1\), 且主元所在列其余元素都为 \(0\), 则称为简化行阶梯形矩阵.

Gaussian 消元的步骤如下:

逐列寻找主元.
用初等行变换把主元下方消成 \(0\).
必要时从下向上消去主元上方元素, 并将主元化为 \(1\), 得到简化行阶梯形矩阵; 也可对阶梯形方程组直接回代求解.

Example 求解

\[\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2+4x_3&=&1,\\ 5x_1+x_2+4x_3&=&5,\\ x_1+3x_2&=&0. \end{array} \right.\]

Solution 其系数矩阵和增广矩阵分别为

\[A= \left( \begin{array}{ccc} 1&1&4\\ 5&1&4\\ 1&3&0 \end{array} \right), \qquad (A\mid b)= \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&4&1\\ 5&1&4&5\\ 1&3&0&0 \end{array} \right).\]

对增广矩阵做初等行变换, 可得到简化行阶梯形矩阵

\[\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1\\ 0&1&0&-\dfrac13\\ 0&0&1&\dfrac1{12} \end{array} \right).\]

因此方程组有唯一解

\[(x_1,x_2,x_3)=\left(1,-\dfrac13,\dfrac1{12}\right).\]

1.2 Solution Cases

设线性方程组经过消元后得到阶梯形方程组, 非零行个数为 \(r\), 未知量个数为 \(n\).

Theorem 阶梯形线性方程组的解有以下情形:

若出现一行形如 \(0 = d\) 且 \(d \neq 0\), 则方程组无解.
若不出现矛盾行, 则方程组有解.
在有解时, 若 \(r=n\), 则没有自由变量, 方程组有唯一解.
在有解时, 若 \(r\lt n\), 则存在自由变量, 方程组有无穷多解.

Remark 自由变量个数为 \(n-r\). 这正是后面"解空间维数"的来源.

Definition 齐次线性方程组是指右端项为零的方程组

\[A x = 0.\]

Proposition 齐次线性方程组总有零解. 若存在一个非零解 \(x_0\), 则对任意 \(k\in\mathbb K\), \(kx_0\) 仍是解; 因而齐次方程组只要有一个非零解, 就有无穷多个非零解.

Corollary 若 \(n\) 元齐次线性方程组的方程个数 \(s\lt n\), 则必有非零解.

1.3 Fields

Definition 设 \(\mathbb K\subseteq\mathbb C\). 若 \(0,1\in\mathbb K\), 且对任意 \(a,b\in\mathbb K\) 有

\[a\pm b\in\mathbb K,\qquad ab\in\mathbb K,\qquad b\neq 0\Longrightarrow \frac{a}{b}\in\mathbb K,\]

则称 \(\mathbb K\) 是一个数域, 或称一个 field.

Example 常见数域包括:

\(\mathbb Q\): 有理数域.
\(\mathbb R\): 实数域.
\(\mathbb C\): 复数域, 是 \(\mathbb C\) 的子集意义下最大的数域.

整数集 \(\mathbb Z\) 对除法不封闭, 因此不是数域.

Proposition 任意数域都包含 \(\mathbb Q\).

Proof 设 \(\mathbb K\) 为数域. 由 \(1\in\mathbb K\) 和加法封闭可得 \(2,3,\cdots,n,\cdots\in\mathbb K\). 由减法封闭可得所有负整数也在 \(\mathbb K\) 中, 因而 \(\mathbb Z\subseteq\mathbb K\). 再由除法封闭可得任意有理数 \(p/q\) \((q\neq 0)\) 都属于 \(\mathbb K\), 所以 \(\mathbb Q\subseteq\mathbb K\).

Remark 大多数线性代数结论都成立于一般数域 \(\mathbb K\) 上, 只是在"正交"“正定"“实对称矩阵"这些主题里, 我们通常回到 \(\mathbb R\).

2 Determinants

行列式计算常用思路如下:

通过初等变形化为上三角形行列式, 再取主对角线元素之积.
利用行或列的线性性拆分行列式; 拆分后若出现相同或成比例的行/列, 对应项为 \(0\).
对含倍角公式的行列式, 可先将倍角升幂展开, 再利用线性性拆分.
当各行元素和相同, 或各行之间有错位、等差、递推等规律时, 可先作行和或逐行作差.
按一行/列或多行/列展开, 通常先把目标行/列化到只含少量非零元素.
使用归纳法、递推法、加边法或升阶法, 将问题化为已知形式.
识别特殊行列式, 例如 Vandermonde 行列式.
计算结束后检查参数取值是否导致特殊情形.

2.1 Permutations and Sign

Definition \(n\) 个不同自然数的一个全排列称为一个 \(n\) 元排列. 通常把 \(1,2,\cdots,n\) 的一个重排写成

\[j_1j_2\cdots j_n.\]

若一对数中较小者排在较大者之前, 则称这一对构成顺序; 若较大者排在较小者之前, 则称这一对构成逆序. 逆序的个数称为逆序数, 记作 \(\tau\).

Example 排列 \(2143\) 有两个逆序, 即 \((2,1)\) 和 \((4,3)\), 因此

\[\tau(2143)=2.\]

Definition 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 交换排列中任意一对数的位置称为一次对换.

Proposition 一次对换会改变 \(n\) 元排列的奇偶性.

Proposition 任意 \(n\) 元排列都可以通过若干次对换变为自然顺序排列. 所需对换次数的奇偶性与该排列逆序数的奇偶性相同.

Proposition 一个 \(n\) 元排列与其逆序排列的逆序数之和等于可构成的二元数组数目:

\[\tau(j_1j_2\cdots j_n)+\tau(j_nj_{n-1}\cdots j_1) = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}.\]

2.2 Determinants of Order n

Definition 对 \(n\) 阶矩阵 \(A=(a_{ij})\), 其行列式记作 \(|A|\) 或 \(\det A\), 定义为

\[|A| = \sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n},\]

其中求和遍历 \(1,2,\cdots,n\) 的所有排列 \(j_1j_2\cdots j_n\). 每一项都从每一行和每一列各取一个元素.

同一个乘积也可以按列指标排列写成

\[(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)} a_{i_1 1}a_{i_2 2}\cdots a_{i_n n}.\]

更一般地, 若 \(i_1,\cdots,i_n\) 与 \(j_1,\cdots,j_n\) 都是 \(1,\cdots,n\) 的排列, 则取自不同行不同列的乘积

\[a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}\]

在完全展开式中的符号由

\[(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\]

决定.

Proposition 上三角 \(n\) 阶行列式的值等于主对角线上 \(n\) 个元素的乘积.

Proposition 行列式对任意一行都是线性的. 特别地:

若第 \(i\) 行所有元素都有公因子 \(k\), 则该行的公因子 \(k\) 可以提出到行列式外.
若第 \(i\) 行可写成两行之和, 则原行列式可拆成两个行列式之和.

列也满足完全相同的性质.

Proposition 交换行列式的任意两行会使行列式变号; 交换任意两列也会使行列式变号.

Corollary 若行列式有两行相同或成比例, 则行列式为 \(0\). 对列也成立.

Corollary 把一行的倍数加到另一行上, 行列式的值不变. 对列也成立.

2.3 Row and Column Expansion

Definition 矩阵 \(A=(a_{ij})\) 的转置矩阵记作 \(A^{\mathsf{T}}\) 或 \(A^t\), 定义为把 \(A\) 的行列互换:

\[(A^{\mathsf{T}})_{ij}=a_{ji}.\]

Proposition 转置不改变行列式:

\[|A^{\mathsf{T}}|=|A|.\]

因此按行得到的行列式性质都可对应转化为按列的性质.

Definition 划去 \(n\) 阶行列式 \(|A|\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列后, 剩下元素按原次序组成的 \((n-1)\) 阶行列式称为 \(a_{ij}\) 的余子式, 记作 \(M_{ij}\).

Definition 代数余子式定义为

\[A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.\]

Theorem 行列式可按第 \(i\) 行展开:

\[|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}.\]

同理也可按任意一列展开.

Proposition 若 \(k \neq i\), 则

\[\sum_{j=1}^n a_{ij} A_{kj} = 0.\]

即一个行列式的第 \(i\) 行元素与另一行 \(k\) 的相应代数余子式乘积之和为 \(0\). 对列也成立.

Example Vandermonde 行列式:

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\leq j\lt i\leq n}(a_i-a_j).\]

Proof 可用数学归纳法并逐行作差计算.

2.4 Cramer’s Rule

Theorem 数域 \(\mathbb K\) 上 \(n\) 个方程的 \(n\) 元线性方程组

\[A x=b\]

有唯一解的充要条件是系数行列式 \(|A|\neq 0\).

Proof 该结论可由消元法得到: \(n\) 阶矩阵的初等行变换不改变其行列式是否为零, 而方程组有唯一解等价于系数矩阵可经初等行变换化为单位矩阵.

Theorem 若 \(A x=b\) 的系数行列式 \(|A|\neq 0\), 则其唯一解为

\[\left( \frac{|B_1|}{|A|}, \frac{|B_2|}{|A|}, \cdots, \frac{|B_n|}{|A|} \right),\]

其中 \(B_j\) 表示把 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为右端列向量 \(b=(b_1,\cdots,b_n)^{\mathsf{T}}\) 得到的矩阵.

Proof 记 \(A_{kj}\) 为 \(A\) 中元素 \(a_{kj}\) 的代数余子式. 因为 \(B_j\) 只把第 \(j\) 列替换为 \(b\), 按第 \(j\) 列展开有

\[|B_j|=\sum_{k=1}^{n} b_k A_{kj}.\]

把候选解 \(x_j=|B_j|/|A|\) 代入第 \(i\) 个方程, 得

\[\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j &= \frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}|B_j|\\ &= \frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^{n}b_k\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}\right)\\ &= \frac{1}{|A|}b_i|A| = b_i. \end{aligned}\]

这里用到 \(i\neq k\) 时 \(\sum_j a_{ij}A_{kj}=0\), 而 \(i=k\) 时 \(\sum_j a_{ij}A_{ij}=|A|\). 因此 Cramer 公式确实给出方程组的解; 又由 \(|A|\neq 0\) 得唯一性.

Remark Cramer 法则理论上很整洁, 但在计算上通常不如消元法高效. 它更适合证明和小规模计算.

2.5 Expansion by k Rows or Columns

Definition 在 \(n\) 阶行列式 \(|A|\) 中任取 \(k\) 行

\[i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_k\]

和 \(k\) 列

\[j_1\lt j_2\lt \cdots\lt j_k,\]

交叉处 \(k^2\) 个元素组成的 \(k\) 阶行列式称为 \(|A|\) 的一个 \(k\) 阶子式, 记作

\[A\binom{i_1,i_2,\cdots,i_k}{j_1,j_2,\cdots,j_k}.\]

若行标与列标相同, 则称为主子式.

Definition 划去这些行和列后, 剩下元素按原次序组成的 \((n-k)\) 阶行列式称为该 \(k\) 阶子式的余子式. 设补行标和补列标分别为

\[\{i_1',i_2',\cdots,i_{n-k}'\} = \{1,2,\cdots,n\}\setminus\{i_1,i_2,\cdots,i_k\},\]\[\{j_1',j_2',\cdots,j_{n-k}'\} = \{1,2,\cdots,n\}\setminus\{j_1,j_2,\cdots,j_k\},\]

且都按从小到大排列. 对应余子式为

\[A\binom{i_1',i_2',\cdots,i_{n-k}'}{j_1',j_2',\cdots,j_{n-k}'}.\]

该余子式乘以符号

\[(-1)^{(i_1+\cdots+i_k)+(j_1+\cdots+j_k)}\]

称为原 \(k\) 阶子式的代数余子式.

Theorem Laplace 定理: 在 \(n\) 阶行列式中选定 \(k\) 行 \(i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_k\), 则这些行形成的所有 \(k\) 阶子式与其代数余子式的乘积之和等于 \(|A|\):

\[\begin{aligned} |A| &= \sum_{1\leq j_1\lt j_2\lt \cdots\lt j_k\leq n} A\binom{i_1,i_2,\cdots,i_k}{j_1,j_2,\cdots,j_k}\\ &\quad\times (-1)^{(i_1+\cdots+i_k)+(j_1+\cdots+j_k)} A\binom{i_1',i_2',\cdots,i_{n-k}'}{j_1',j_2',\cdots,j_{n-k}'}. \end{aligned}\]

按 \(k\) 列展开也有完全类似的公式.

Corollary 块三角行列式满足

\[\begin{vmatrix} A_{k\times k} & 0\\ C_{r\times k} & B_{r\times r} \end{vmatrix} = |A|\,|B|.\]

3 Vector Spaces, Rank, and Solution Structure

3.1 Coordinate Vector Space

Definition \(\mathbb K^n\) 是数域 \(\mathbb K\) 上所有 \(n\) 元有序数组构成的集合. 在逐分量加法和数乘下, 它构成一个 \(n\) 维向量空间, 其元素称为 \(n\) 维向量.

设向量

\[\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\]

则 \(a_i\) 称为 \(\alpha\) 的第 \(i\) 个分量.

Definition \(n\) 元有序数组写成一行

\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)\]

时称为行向量; 写成一列时称为列向量. 在解方程组和线性映射中, 常把未知量写成列向量.

Definition 非空子集 \(U \subseteq \mathbb K^n\) 若对加法和数乘都封闭, 则称 \(U\) 为 \(\mathbb K^n\) 的子空间.

Definition 向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 的所有线性组合组成的集合记作

\[\langle \alpha_1,\cdots,\alpha_s \rangle,\]

称为它们的张成空间.

Proposition 数域 \(\mathbb K\) 上的线性方程组

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s=\beta\]

有解当且仅当

\[\beta\in\langle\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle.\]

3.2 Linear Dependence

Definition 向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) \((s\geq 1)\) 若存在不全为零的标量 \(k_1,\cdots,k_s\in\mathbb K\), 使得

\[k_1 \alpha_1 + \cdots + k_s \alpha_s = 0,\]

则称该向量组线性相关. 若上式只能推出 \(k_1=\cdots=k_s=0\), 则称该向量组线性无关.

Proposition 基本判别:

包含零向量的向量组一定线性相关.
单个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量.
线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出.

Proposition 对列向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\):

\(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性相关当且仅当齐次线性方程组 \[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s=0\] 有非零解.
\(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性无关当且仅当该齐次线性方程组只有零解.

Proposition 对 \(n\) 个 \(n\) 维向量 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\), 以它们为列向量或行向量组成方阵, 则:

向量组线性相关当且仅当该方阵行列式为 \(0\).
向量组线性无关当且仅当该方阵行列式不为 \(0\).

Proposition 设 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表出.

若 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性无关, 则 \(\beta\) 的表出方式唯一.
若 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性相关, 则 \(\beta\) 的表出方式有无穷多种.

Proposition 线性相关和线性无关具有以下稳定性:

若向量组的某个部分组线性相关, 则整个向量组线性相关.
若向量组线性无关, 则它的任意部分组都线性无关.
若向量组线性无关, 把每个向量在相同位置添加同样数量的新分量, 所得延伸组仍线性无关.
若向量组线性相关, 把每个向量去掉相同位置的若干分量, 所得缩短组仍线性相关.

Proposition 若 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性无关, 则 \(\beta\) 不能由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表出的充要条件是

\[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\]

线性无关.

3.3 Rank of a Vector Set

Definition 若向量组的一个部分组本身线性无关, 且从原向量组其余向量中任取一个加入后都变成线性相关, 则称这个部分组为原向量组的一个极大线性无关组.

Definition 若向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 与向量组 \(\beta_1,\cdots,\beta_r\) 可以互相线性表出, 则称这两个向量组等价, 记作

\[\{\alpha_1,\cdots,\alpha_s\}\simeq\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}.\]

向量组等价具有传递性. 向量组与它的任意极大线性无关组等价, 同一向量组的任意两个极大线性无关组也等价.

Proposition 向量 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表出, 当且仅当 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 的一个极大线性无关组线性表出.

Definition 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩, 记作

\[\operatorname{rank}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\}.\]

零向量组的秩规定为 \(0\).

Proposition 向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性无关的充要条件是

\[\operatorname{rank}\{\alpha_1,\cdots,\alpha_s\}=s.\]

因此等价的线性无关向量组所含向量个数相等.

Proposition 若向量组 \(\beta_1,\cdots,\beta_r\) 可由向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表出, 则

\[\operatorname{rank}\{\beta_1,\cdots,\beta_r\} \leq \operatorname{rank}\{\alpha_1,\cdots,\alpha_s\}.\]

等价向量组有相等的秩, 但秩相等的向量组不一定等价.

Proposition 设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) 严格按行主对角占优:

\[|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|, \qquad i=1,\cdots,n.\]

则 \(A\) 的行向量组和列向量组都线性无关, 等价地 \(\operatorname{rank}(A)=n\), 因而 \(|A|\neq 0\).

Proof 以列向量组为例. 若列向量 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 线性相关, 则存在不全为零的 \(k_1,\cdots,k_n\) 使

\[k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0.\]

取 \(|k_l|=\max\{|k_1|,\cdots,|k_n|\}\). 考察第 \(l\) 个分量可得

\[a_{ll}=-\sum_{j\neq l}\frac{k_j}{k_l}a_{lj},\]

从而

\[|a_{ll}| \leq \sum_{j\neq l}\left|\frac{k_j}{k_l}\right|\,|a_{lj}| \leq \sum_{j\neq l}|a_{lj}|,\]

与严格主对角占优矛盾. 因而列向量组线性无关, \(|A|\neq0\), 行向量组也线性无关.

若进一步要求 \(A\) 为实矩阵且所有 \(a_{ii}>0\), 则可用连续变形

\[B(t)= \begin{pmatrix} a_{11} & ta_{12} & \cdots & ta_{1n}\\ ta_{21} & a_{22} & \cdots & ta_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ ta_{n1} & ta_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad 0\leq t\leq 1,\]

\(B(t)\) 在 \(0\leq t\leq1\) 上始终严格按行主对角占优, 故其行列式不为零. 又 \(|B(0)|=\prod_i a_{ii}>0\), 由实值行列式的连续性可得 \(|A|=|B(1)|>0\).

Corollary 对 \(s\times n\) 矩阵 \((s\leq n)\), 若存在一个 \(s\times s\) 子矩阵满足严格主对角占优, 则该矩阵的秩为 \(s\).

3.4 Basis and Dimension

Definition 若子空间 \(U\) 中的向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\) 满足:

线性无关.
\(U\) 中每个向量都可以由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\) 线性表出.

则称其为 \(U\) 的一组基.

Example \(\mathbb K^n\) 的标准基为

\[\varepsilon_1=(1,0,\cdots,0),\quad \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0),\quad \cdots,\quad \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1).\]

Proposition 子空间 \(U\) 的任意一个线性无关向量组都可以扩充为 \(U\) 的一个基.

Proposition 设 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\) 是子空间 \(U\) 的一组基. 对任意 \(\alpha\in U\), 存在唯一一组坐标 \((a_1,\cdots,a_r)\), 使得

\[\alpha=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_r\alpha_r.\]

Definition 非零子空间 \(U\) 的任意一个基所含向量个数称为 \(U\) 的维数, 记作 \(\dim_{\mathbb K}U\) 或 \(\dim U\). 零子空间的维数规定为 \(0\).

Theorem 若 \(\dim U = r\), 则:

\(U\) 中任意 \(r+1\) 个向量线性相关.
\(U\) 中任意 \(r\) 个线性无关向量自动构成一组基.

Theorem 设 \(U,W\) 都是 \(\mathbb K^n\) 的非零子空间, 且 \(U\subseteq W\), 则

\[\dim U\leq \dim W.\]

等号成立当且仅当 \(U=W\).

Proposition 向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 的一个极大线性无关组是其张成空间

\[\langle\alpha_1,\cdots,\alpha_s\rangle\]

的一组基. 因而

\[\dim\langle\alpha_1,\cdots,\alpha_s\rangle = \operatorname{rank}\{\alpha_1,\cdots,\alpha_s\}.\]

Definition 对矩阵 \(A_{s\times n}\), 其列向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 生成的子空间称为 \(A\) 的列空间; 其行向量组 \(\gamma_1,\cdots,\gamma_s\) 生成的子空间称为 \(A\) 的行空间.

列空间和行空间的维数分别等于列向量组和行向量组的秩, 也称为列秩和行秩.

3.5 Rank of a Matrix

Theorem 设 \(J\) 是阶梯形矩阵, 其非零行个数为 \(r\). 则 \(J\) 的行秩和列秩相等, 都等于 \(r\). 并且 \(J\) 的主元所在列构成列向量组的一个极大线性无关组.

Definition 矩阵的列向量组的秩称为列秩, 行向量组的秩称为行秩.

Theorem 任意矩阵 \(A\) 的行秩与列秩相等. 这个共同的数称为矩阵的秩, 记作 \(\operatorname{rank}(A)\).

Definition 若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 满足

\[\operatorname{rank}(A)=n,\]

则称 \(A\) 为满秩矩阵.

Proposition 初等行变换不改变矩阵的秩, 也不改变矩阵列向量组的线性相关关系. 若 \(A\) 经初等行变换得到阶梯形矩阵 \(J\), 则 \(J\) 的主元所在列对应到 \(A\) 的列向量, 构成 \(A\) 的列向量组的一个极大线性无关组.

Theorem 非零矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数.

Proposition 设 \(s\times n\) 矩阵 \(A\) 的秩为 \(r\). 若某个非零 \(r\) 阶子式位于若干指定行和列, 则这些列构成列向量组的一个极大线性无关组, 这些行构成行向量组的一个极大线性无关组.

Proposition 设 \(\operatorname{rank}(A_{m\times n})=r\). 若 \(A_1\) 是由 \(A\) 的 \(s\) 行组成的子矩阵, 则

\[\operatorname{rank}(A_1)\geq r+s-m.\]

Proof 设 \(\operatorname{rank}(A_1)=l\). 取 \(A_1\) 的行向量组的一个极大线性无关组, 并将其扩充为 \(A\) 的行向量组的一个极大线性无关组. 扩充时最多只能加入 \(m-s\) 个不属于 \(A_1\) 的行向量, 因而

\[r-l\leq m-s,\]

即 \(l\geq r+s-m\).

3.6 Rank Criterion for Linear Systems

对数域 \(\mathbb K\) 上由 \(s\) 个方程组成的 \(n\) 元线性方程组

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta,\]

记其系数矩阵和增广矩阵分别为 \(A\) 与 \(\widetilde A=(A\mid \beta)\).

Theorem 方程组有解当且仅当

\[\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\widetilde A).\]

这就是 Rouché-Capelli 判别准则.

Proof 方程组有解等价于 \(\beta\) 可由 \(A\) 的列向量线性表出, 也就等价于把 \(\beta\) 加入列向量组后不增加张成空间维数.

Corollary 若方程组有解, 则:

当 \(\operatorname{rank}(A) = n\) 时, 解唯一.
当 \(\operatorname{rank}(A) \lt n\) 时, 解有无穷多.

Corollary 若要求对所有右端项 \(\beta\in\mathbb K^s\), 只要方程组有解就能保证存在非零解, 其充要条件是

\[\operatorname{rank}(A)\lt n.\]

Proposition 增广矩阵的秩满足

\[\operatorname{rank}(\widetilde A) = \begin{cases} \operatorname{rank}(A), & \text{方程组有解},\\ \operatorname{rank}(A)+1, & \text{方程组无解}. \end{cases}\]

Proof 第一种情形即上面的有解判别. 若方程组无解, 则 \(\beta\notin\langle\alpha_1,\cdots,\alpha_n\rangle\). 取 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 的一个极大线性无关组 \(\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}\), 则

\[\beta,\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}\]

线性无关, 所以增广矩阵的秩为 \(r+1=\operatorname{rank}(A)+1\).

3.7 Structure of Homogeneous Solutions

Definition 数域 \(\mathbb K\) 上 \(n\) 元齐次线性方程组

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0\]

的解集 \(W\) 称为解空间, 其中元素称为解向量.

Proposition \(W\) 是 \(\mathbb K^n\) 的子空间. 即若 \(\gamma,\delta\in W\), 则 \(\gamma+\delta\in W\); 若 \(\gamma\in W\), \(k\in\mathbb K\), 则 \(k\gamma\in W\).

Definition 解空间 \(W\) 的一组基称为该齐次线性方程组的一个基础解系.

Proposition 若 \(\operatorname{rank}(A)=n\), 则

\[W=\{0\},\]

解向量唯一. 若 \(\operatorname{rank}(A)\lt n\), 则 \(W\) 有非零向量, 且 \(W\) 的任一组基都是基础解系.

Theorem 数域 \(\mathbb K\) 上 \(n\) 元齐次线性方程组的解空间维数为

\[\dim W = n-\operatorname{rank}(A).\]

因此基础解系中解向量的个数也是 \(n-\operatorname{rank}(A)\).

Proposition 设 \(n\) 个方程的 \(n\) 元齐次线性方程组满足 \(|A|=0\). 若 \(A_{kl}\neq 0\) 是 \(A\) 的一个代数余子式, 则

\[\eta=(A_{k1},A_{k2},\cdots,A_{kn})^{\mathsf{T}}\]

是一个非零解向量. 当 \(\operatorname{rank}(A)=n-1\) 时, 它可作为一个基础解系.

Corollary 若 \(|A|=0\), 则 \(A\) 的代数余子式组成的矩阵中, 任意两行或两列都线性相关; 其中非零的行或列互相成比例. 若存在非零代数余子式, 行向量间的结论可由上面的基础解系结论推出, 列向量间的结论可对 \(A^{\mathsf{T}}\) 使用同一论证; 若所有代数余子式都为零, 则结论平凡成立.

3.8 Structure of Nonhomogeneous Solutions

Definition 非齐次线性方程组

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta\]

的导出组是对应的齐次线性方程组

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0.\]

记非齐次方程组的解集为 \(U\), 导出组的解空间为 \(W\). 一般 \(U\) 不是 \(\mathbb K^n\) 的子空间, 因为它通常不对加法和数乘封闭.

Proposition 若 \(\gamma,\delta\in U\), 则

\[\gamma-\delta\in W.\]

若 \(\gamma\in U\), \(\eta\in W\), 则

\[\gamma+\eta\in U.\]

Theorem 若非齐次线性方程组有解, 且 \(\gamma_0\) 是它的任一特解, 则其全部解为

\[U=\{\gamma_0+\eta\mid \eta\in W\} = \gamma_0+W.\]

其中 \(W\) 为导出组的解空间. 因此 \(U\) 是子空间 \(W\) 的一个陪集, 也可称为一个 \(W\) 型线性流形.

Corollary 有解的非齐次方程组的解集是仿射子空间, 其仿射维数定义为平移方向空间 \(W\) 的维数:

\[\dim_{\mathrm{aff}}U=\dim W=n-\operatorname{rank}(A).\]

当非齐次方程组解唯一时, 导出组只有零解; 当非齐次方程组有无穷多解时, 导出组必有非零解.

这里 \(A\) 是系数矩阵, \(n\) 是未知量个数. 当右端向量非零时, \(U\) 不含零向量, 不是向量子空间.

求非齐次线性方程组的一般解时, 可按以下步骤:

将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵. 若出现矛盾行则无解; 否则将主元变量写成常数加自由变量的线性组合.
令自由未知量全为零, 得到一个特解 \(\gamma_0\).
写出导出齐次方程组的通解, 并取其基础解系 \(\eta_1,\cdots,\eta_{n-r}\).
写出非齐次方程组的全部解:
\[U=\{\gamma_0+k_1\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}\mid k_i\in\mathbb K\}.\]

Remark 三元线性方程组的解若构成 \(O-x_1x_2x_3\) 中的一条直线, 则其解集的仿射维数为 \(1\), 因而对应系数矩阵的秩为 \(2\). 多元情形类似.

Remark 讨论由线性方程描述的直线、平面或高维仿射子空间的交集时, 将全部约束合并为一个线性方程组, 再以系数矩阵与增广矩阵的秩作为分类依据. 该方法不直接适用于一般非线性曲面:

若秩相等, 则有公共点; 若秩相差 \(1\), 则无公共点.
在有公共点时, 再由秩的大小判断公共点、公共线或公共面等类型.
对两个法向量非零的超平面, 系数行成比例时, 增广行也按同一比例对应则重合, 否则平行且不相交. 一般仿射子空间应使用完整约束组判断.

Remark 求经过给定点的直线、平面或固定次数的代数曲面时, 可先把方程写成未知系数的线性组合 \(\sum_{j=1}^m c_j\phi_j(\mathbf x)=0\), 再将各点代入形成齐次系数方程组 \(Mc=0\). 存在非零系数解当且仅当 \(\operatorname{rank}(M)\lt m\). 只有系数矩阵为方阵时才能直接使用 \(\det M=0\). 这表示关于未知系数的线性问题, 不要求基函数 \(\phi_j\) 关于坐标为线性函数; 还应检查所得方程是否退化.

4 Matrix Algebra

4.1 Matrix Operations

矩阵的加法与数乘按元素逐项定义. 下面重点记录矩阵乘法.

Definition 设 \(A=(a_{ij})_{s\times n}\), \(B=(b_{ij})_{n\times m}\). 它们的乘积 \(C=AB=(c_{ij})_{s\times m}\) 定义为

\[c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.\]

Proposition 矩阵乘法满足结合律:

\[(AB)C=A(BC).\]

它也满足分配律:

\[A(B+C)=AB+AC,\qquad (B+C)D=BD+CD.\]

但矩阵乘法一般不满足交换律, 也一般不满足消去律. 即使 \(AC=BC\) 且 \(C\neq0\), 也不能推出 \(A=B\).

Definition 对矩阵 \(A\):

若存在非零矩阵 \(B\), 使 \(AB=0\), 则称 \(A\) 是左零因子.
若存在非零矩阵 \(C\), 使 \(CA=0\), 则称 \(A\) 是右零因子.

零矩阵是平凡的零因子.

Proposition 单位矩阵满足

\[I_s A_{s\times n}=A_{s\times n},\qquad A_{s\times n}I_n=A_{s\times n}.\]

若 \(kI\) 是数量矩阵, 即主对角元全为 \(k\), 其余元为 \(0\), 则 \(kI\) 与同阶方阵可交换:

\[(kI)A=A(kI).\]

Proposition 若方阵 \(A\) 与 \(B\) 可交换, 则 \((A+B)^n\) 可按二项式定理展开. 若 \(A,B\) 都可逆, 则

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.\]

Remark 矩阵乘法可以从列向量或行向量角度理解. 若

\[A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\]

则 \(AB\) 的第 \(j\) 列是 \(A\) 的列向量按 \(B\) 第 \(j\) 列系数组成的线性组合:

\[AB= \left( \sum_{i=1}^n b_{i1}\alpha_i, \sum_{i=1}^n b_{i2}\alpha_i, \cdots, \sum_{i=1}^n b_{im}\alpha_i \right).\]

等价地, 若 \(B=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_m)\) 是按列分块, 则

\[AB=(A\gamma_1,A\gamma_2,\cdots,A\gamma_m).\]

Example 平面中的转动矩阵常写作

\[\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.\]

4.2 Special Matrices

Definition 对角矩阵记作

\[\operatorname{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n).\]

左乘一个对角矩阵相当于用对角元分别乘对应行; 右乘一个对角矩阵相当于用对角元分别乘对应列.

Definition 基本矩阵 \(E_{ij}\) 是只有第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(1\), 其余元素全为 \(0\) 的矩阵.

Proposition 基本矩阵满足

\[E_{ij}E_{kl} = \begin{cases} E_{il}, & j=k,\\ 0, & j\neq k. \end{cases}\]

因此

\[E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}.\]

左乘 \(E_{ij}\) 相当于把原矩阵第 \(j\) 行搬到第 \(i\) 行, 其余行变为零; 右乘 \(E_{ij}\) 相当于把原矩阵第 \(i\) 列搬到第 \(j\) 列, 其余列变为零.

Definition 上三角矩阵是满足 \(a_{ij}=0\) for \(i>j\) 的方阵; 下三角矩阵是满足 \(a_{ij}=0\) for \(i\lt j\) 的方阵.

Proposition 两个 \(n\) 阶上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵, 且乘积的主对角元等于相应主对角元的乘积.

Proof 若

\[A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n a_{ij}E_{ij}, \qquad B=\sum_{k=1}^n\sum_{l=k}^n b_{kl}E_{kl},\]

则

\[\begin{aligned} AB &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n\sum_{k=1}^n\sum_{l=k}^n a_{ij}b_{kl}E_{ij}E_{kl}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{l=i}^n \left(\sum_{j=i}^l a_{ij}b_{jl}\right)E_{il}. \end{aligned}\]

所以 \(AB\) 仍为上三角矩阵, 且 \((AB)_{ii}=a_{ii}b_{ii}\).

Definition 初等矩阵是单位矩阵经过一次初等行变换或初等列变换得到的矩阵. 常用三类为

\[\begin{aligned} P(j,i(k)) &= I+kE_{ij},\\ P(i,j) &= I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji},\\ P(i(c)) &= I+(c-1)E_{ii}. \end{aligned}\]

其中 \(i\neq j\), \(k\in\mathbb K\), \(c\in\mathbb K\setminus\{0\}\). 左乘初等矩阵相当于作相应的初等行变换; 右乘初等矩阵相当于作相应的初等列变换.

Definition 对称矩阵是满足

\[A^{\mathsf{T}}=A\]

的方阵.

Proposition 若 \(A,B\) 都是对称矩阵, 则 \(AB\) 是对称矩阵的充要条件是 \(A\) 与 \(B\) 可交换.

Proof 因为

\[(AB)^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}=BA,\]

所以 \(AB\) 对称当且仅当 \(BA=AB\).

Definition 反对称矩阵是满足

\[A^{\mathsf{T}}=-A\]

的方阵. 此时 \(a_{ii}=0\).

Proposition 奇数阶反对称矩阵的行列式为 \(0\).

Proof 若 \(n\) 为奇数, 则

\[\det(A)=\det(A^{\mathsf{T}})=\det(-A)=(-1)^n\det(A)=-\det(A).\]

因此 \(\det(A)=0\).

Definition 设 \(A_{ij}\) 是元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式. 矩阵 \(A=(a_{ij})\) 的伴随矩阵为

\[A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}.\]

Proposition 伴随矩阵满足

\[AA^*=A^*A=\det(A)I.\]

4.3 Rank and Determinant of Matrix Products

Theorem 若矩阵乘积 \(AB\) 有定义, 则

\[\operatorname{rank}(AB)\leq \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\}.\]

Proof 若 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\) 按列分块, 则 \(AB\) 的每一列都是 \(A\) 的列向量组的线性组合, 所以

\[\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(A).\]

另一方面, 按行向量理解矩阵乘法可得 \(AB\) 的行向量组由 \(B\) 的行向量组线性表出, 因此

\[\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(B).\]

Theorem 对同阶方阵 \(A,B\), 有

\[\det(AB)=\det(A)\det(B).\]

该结论可由分块矩阵初等变换或对矩阵阶数归纳证明, 并可推广到多个同阶方阵的乘积.

Theorem Binet-Cauchy 公式. 设 \(A=(a_{ij})_{s\times n}\), \(B=(b_{ij})_{n\times s}\), 则

\[\det(AB)= \begin{cases} 0, & s>n,\\ \displaystyle \sum_{1\leq v_1\lt v_2\lt\cdots\lt v_s\leq n} A\binom{1,2,\cdots,s}{v_1,v_2,\cdots,v_s} B\binom{v_1,v_2,\cdots,v_s}{1,2,\cdots,s}, & s\leq n. \end{cases}\]

Proof 若 \(s>n\), 则

\[\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(A)\leq n\lt s,\]

所以 \(\det(AB)=0\). 若 \(s\leq n\), 可对分块行列式

\[\begin{pmatrix} 0 & AB\\ -I & B \end{pmatrix}\]

和

\[\begin{pmatrix} A & 0\\ -I & B \end{pmatrix}\]

分别按指定行列展开并比较, 得到上述求和式.

Corollary 设 \(A=(a_{ij})_{s\times n}\), \(B=(b_{ij})_{n\times t}\). 对任意 \(r\) 阶子式, 有

\[(AB)\binom{i_1,i_2,\cdots,i_r}{j_1,j_2,\cdots,j_r} = \begin{cases} 0, & r>n,\\ \displaystyle \sum_{1\leq v_1\lt v_2\lt\cdots\lt v_r\leq n} A\binom{i_1,i_2,\cdots,i_r}{v_1,v_2,\cdots,v_r} B\binom{v_1,v_2,\cdots,v_r}{j_1,j_2,\cdots,j_r}, & r\leq n. \end{cases}\]

其中 \(i_1\lt\cdots\lt i_r\) 与 \(j_1\lt\cdots\lt j_r\) 分别为所取行指标与列指标.

4.4 Invertible Matrices

Definition 设 \(A\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 阶方阵. 若存在 \(n\) 阶方阵 \(B\), 使

\[AB=BA=I,\]

则称 \(A\) 可逆, 并称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵, 记作 \(A^{-1}\).

Proposition 逆矩阵若存在则唯一.

Proof 若 \(B\) 和 \(B_1\) 都是 \(A\) 的逆矩阵, 则

\[B=BI=BAB_1=IB_1=B_1.\]

Theorem \(A\) 可逆的充要条件是 \(\det(A)\neq0\), 等价地 \(\operatorname{rank}(A)=n\). 此时

\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A^*.\]

Proof 若 \(A\) 可逆, 对 \(AA^{-1}=I\) 取行列式得 \(\det(A)\det(A^{-1})=1\), 故 \(\det(A)\neq0\). 反之若 \(\det(A)\neq0\), 由 \(AA^*=A^*A=\det(A)I\) 得上式.

因此, \(n\) 阶可逆矩阵经初等行变换得到的简化行阶梯形矩阵为单位矩阵.

Proposition 若 \(A,B\) 可逆, 则 \(AB\) 可逆, 且

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.\]

若 \(A\) 可逆, 则 \(A^{\mathsf{T}}\) 也可逆, 且

\[\left(A^{\mathsf{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf{T}}.\]

Example 常见逆矩阵:

\(I^{-1}=I\).
若
\[A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}, \qquad ad-bc\neq0,\]
则
\[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}.\]
初等矩阵的逆为
\[\begin{aligned} P(j,i(k))^{-1} &= P(j,i(-k)),\\ P(i,j)^{-1} &= P(i,j),\\ P(i(c))^{-1} &= P(i(c^{-1})). \end{aligned}\]

Theorem 矩阵 \(A\) 可逆的充要条件是 \(A\) 可以表示为有限个初等矩阵的乘积.

Proof 若 \(A\) 可逆, 则 \(A\) 可通过初等行变换化为 \(I\), 于是 \(A\) 可由对应初等矩阵的逆乘积表示. 反之, 初等矩阵均可逆, 可逆矩阵的乘积仍可逆.

初等行变换法求逆:

\[(A,I)\xrightarrow{\text{elementary row operations}}(I,A^{-1}).\]

Proposition 可逆矩阵左乘或右乘一个矩阵不改变该矩阵的秩.

4.5 Block Matrices

Definition 把矩阵 \(A\) 的行和列分别分成若干组, 从而把 \(A\) 分成若干个子矩阵, 称为矩阵的分块. 由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵.

Proposition 分块转置时既要转置每个块, 也要交换块的位置. 例如

\[\begin{pmatrix} A_1 & A_2\\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}^{\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} A_1^{\mathsf{T}} & A_3^{\mathsf{T}}\\ A_2^{\mathsf{T}} & A_4^{\mathsf{T}} \end{pmatrix}.\]

若 \(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m)\) 按列分块, 则

\[A_{s\times n}B_{n\times m} = A(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m) = (A\beta_1,A\beta_2,\cdots,A\beta_m).\]

Proposition 分块乘法要求左矩阵的列分块与右矩阵的行分块完全匹配. 若 \(A_{ik}\) 为 \(s_i\times n_k\) 块, \(B_{kj}\) 为 \(n_k\times m_j\) 块, 则

\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^t A_{ik}B_{kj},\]

结果块大小为 \(s_i\times m_j\). 各块乘积的次序不能互换.

Definition 分块对角矩阵记作

\[\operatorname{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_s),\]

其中每个对角块都是方阵. 类似地, 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵也要求对角块为方阵.

线性方程组法求逆: 设 \(A\) 可逆, \(A^{-1}\) 的列向量为 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\), \(I\) 的列向量为 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\). 因为

\[AX_j=\varepsilon_j,\]

所以可先解 \(AX=\beta\), 再把解公式中的 \(\beta\) 依次取为 \(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\), 得到 \(A^{-1}\) 的各列.

对矩阵方程:

求 \(AX=B\) 时, 可对增广分块矩阵 \((A,B)\) 作初等行变换. 若 \(A\) 可逆, 则
\[(A,B)\longrightarrow(I,A^{-1}B).\]
求 \(XA=B\) 时, 可转置为
\[A^{\mathsf{T}}X^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}},\]
先求 \(X^{\mathsf{T}}\), 再转置得到 \(X\).

Definition 分块矩阵的初等行变换包括:

交换两个块行.
用可逆矩阵左乘某一块行.
把某一块行左乘一个矩阵后加到另一块行.

分块列变换类似, 但作用在块列上.

Definition 将单位矩阵按相同方式分块后, 经过一次分块初等行变换或列变换得到的矩阵称为分块初等矩阵.

Proposition 分块初等矩阵左乘分块矩阵对应分块初等行变换; 右乘分块矩阵对应分块初等列变换. 这些变换由可逆分块矩阵实现, 因而不改变秩.

例如

\[\begin{pmatrix} \mathstrut I & 0\\ P & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 & A_2\\ A_3 & A_4 \end{pmatrix},\]

得到

\[\begin{pmatrix} A_1 & A_2\\ PA_1+A_3 & PA_2+A_4 \end{pmatrix}.\]

而右乘同一分块初等矩阵给出

\[\begin{pmatrix} A_1 & A_2\\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0\\ P & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1+A_2P & A_2\\ A_3+A_4P & A_4 \end{pmatrix}.\]

Proposition 设 \(A\) 为 \(s\times n\) 矩阵, \(B\) 为 \(n\times s\) 矩阵, 则

\[\det(I_s-AB)=\det(I_n-BA).\]

Proof 由分块初等变换可把

\[\begin{pmatrix} I_n & B\\ A & I_s \end{pmatrix}\]

化为分块三角矩阵, 分别得到两边的行列式表示, 因而相等.

Proposition 设

\[M= \begin{pmatrix} A_1 & A_3\\ 0 & A_2 \end{pmatrix},\]

其中 \(A_1,A_2\) 都是方阵. 则 \(M\) 可逆当且仅当 \(A_1,A_2\) 都可逆. 此时

\[M^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & -A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix}.\]

4.6 Orthogonal Matrices

Definition 实数域上的 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 若满足

\[AA^{\mathsf{T}}=I,\]

则称 \(A\) 为正交矩阵. 此时 \(A^{-1}=A^{\mathsf{T}}\), 因而也有 \(A^{\mathsf{T}}A=I\).

Proposition \(A\) 为正交矩阵当且仅当 \(A\) 的行向量组或列向量组构成 \(\mathbb R^n\) 的一组标准正交基.

Proposition 若 \(A,B\) 都是正交矩阵, 则 \(AB\) 也是正交矩阵. 若 \(A\) 是正交矩阵, 则 \(A^{-1}=A^{\mathsf{T}}\) 也是正交矩阵.

Definition 对 \(\alpha=(a_1,\cdots,a_n)\), \(\beta=(b_1,\cdots,b_n)\in\mathbb R^n\), 定义内积

\[(\alpha,\beta)=\alpha\beta^{\mathsf{T}}=\sum_i a_i b_i.\]

若 \((\alpha,\beta)=0\), 则称 \(\alpha,\beta\) 正交. 向量长度定义为

\[|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}.\]

\(\mathbb R^n\) 配以内积后成为 Euclidean space.

Definition \(n\) 个两两正交的非零向量构成 \(\mathbb R^n\) 的一个正交基. 若每个向量都是单位向量, 则称为标准正交基.

Theorem Schmidt orthogonalization. 设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 是 \(\mathbb R^n\) 中线性无关的向量组. 令

\[\begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1,\\ \beta_2 &= \alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\\ &\vdots\\ \beta_s &= \alpha_s-\sum_{j=1}^{s-1} \frac{(\alpha_s,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}\beta_j. \end{aligned}\]

则 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\) 是与 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 等价的正交向量组. 若进一步令

\[e_i=\frac{\beta_i}{|\beta_i|},\]

则 \(e_1,e_2,\cdots,e_s\) 是标准正交向量组.

5 Similarity, Eigenvalues, and Diagonalization

5.1 Equivalence Relations and Matrix Equivalence

Definition 设 \(S,M\) 是两个集合. 集合

\[S\times M=\{(a,b)\mid a\in S,\ b\in M\}\]

称为 \(S\) 与 \(M\) 的 Cartesian product. 当 \(a_1=a_2\) 且 \(b_1=b_2\) 时, 有 \((a_1,b_1)=(a_2,b_2)\).

Definition 若 \(S\) 非空, 则 \(S\times S\) 的一个子集 \(W\) 称为 \(S\) 上的一个二元关系. 若 \((a,b)\in W\), 则称 \(a,b\) 有关系 \(W\), 记作 \(aWb\) 或 \(a\sim b\).

Definition 若关系 \(\sim\) 对任意 \(a,b,c\in S\) 满足:

reflexivity: \(a\sim a\).
symmetry: \(a\sim b\Rightarrow b\sim a\).
transitivity: \(a\sim b,\ b\sim c\Rightarrow a\sim c\).

则称 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等价关系.

Definition 由 \(a\in S\) 确定的等价类为

\[\bar a=\{x\in S\mid x\sim a\}.\]

它满足:

\(x\in\bar a\) 当且仅当 \(x\sim a\).
\(\bar x=\bar y\) 当且仅当 \(x\sim y\).
任取 \(a,b\in S\), 有 \(\bar a=\bar b\) 或 \(\bar a\cap\bar b=\varnothing\).

Definition 若 \(S\) 是若干非空子集 \(S_i\) 的并集, 且不同 \(S_i\) 互不相交, 则称 \(\{S_i\}\) 是 \(S\) 的一个划分, 记作 \(\pi(S)\). 等价关系的全部等价类构成 \(S\) 的一个划分.

Definition 对 \(S\) 上的等价关系 \(\sim\), 所有等价类组成的集合称为商集, 记作 \(S/\sim\).

若某个量或表达式在同一个等价类中取值相同, 则称它为不变量. 若一组不变量能完全决定等价类, 则称它为完全不变量.

Definition 对数域 \(\mathbb K\) 上的 \(s\times n\) 矩阵 \(A,B\), 若 \(A\) 可通过初等行变换和初等列变换变成 \(B\), 则称 \(A\) 与 \(B\) 相抵或矩阵等价, 记作 \(A\sim B\).

相抵是 \(M_{s\times n}(\mathbb K)\) 上的等价关系; 相抵关系下的等价类称为相抵类.

Proposition \(A\sim B\) 当且仅当存在可逆矩阵 \(P,Q\), 使

\[B=PAQ.\]

Theorem 若 \(\operatorname{rank}(A)=r\), 则 \(A\) 相抵于标准形

\[J_r= \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

即存在可逆矩阵 \(P,Q\), 使

\[PAQ=J_r.\]

因此 \(A\sim B\) 当且仅当 \(\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)\). 秩是相抵关系的完全不变量.

5.2 Matrix Similarity

Definition \(n\) 阶矩阵 \(A=(a_{ij})\) 的迹定义为

\[\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}.\]

Proposition 若 \(AB\) 与 \(BA\) 有定义且都是方阵, 则

\[\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).\]

Proof 设 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵, \(B\) 为 \(n\times m\) 矩阵, 则

\[\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki} = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^m b_{ki}a_{ik} = \operatorname{tr}(BA).\]

Definition 设 \(A,B\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 阶矩阵. 若存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(P\), 使

\[B=P^{-1}AP,\]

则称 \(A\) 与 \(B\) 相似, 记作 \(A\sim B\). 相似关系下的等价类称为相似类.

Proposition 若 \(B_1=P^{-1}A_1P\), \(B_2=P^{-1}A_2P\), 则

\[\begin{aligned} B_1+B_2 &= P^{-1}(A_1+A_2)P,\\ B_1B_2 &= P^{-1}(A_1A_2)P,\\ B_1^m &= P^{-1}A_1^mP. \end{aligned}\]

因此相似矩阵的多项式也相似: 若 \(A\sim B\), 则 \(f(A)\sim f(B)\).

Proposition 相似矩阵可逆性相同. 若 \(B=P^{-1}AP\) 且 \(A\) 可逆, 则

\[B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P.\]

Proposition 相似不变量包括:

rank.
determinant.
trace.
characteristic polynomial.
eigenvalues and their algebraic multiplicities.

其中 trace 的不变性来自

\[\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(APP^{-1}) = \operatorname{tr}(A).\]

5.3 Eigenvalues and Eigenvectors

Definition 设 \(A\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 阶矩阵. 若存在非零列向量 \(\alpha\in\mathbb K^n\) 和 \(\lambda_0\in\mathbb K\), 使

\[A\alpha=\lambda_0\alpha,\]

则称 \(\lambda_0\) 为 \(A\) 的特征值, \(\alpha\) 为 \(A\) 属于 \(\lambda_0\) 的一个特征向量. 零向量不是特征向量.

若 \(k\in\mathbb K\), \(k\neq0\), 则 \(k\alpha\) 仍是属于 \(\lambda_0\) 的特征向量.

求特征值和特征向量:

求特征方程
\[\det(\lambda I-A)=0\]
在 \(\mathbb K\) 中的根. 若无根, 则 \(A\) 在 \(\mathbb K\) 上没有特征值.
对每个根 \(\lambda_j\), 求齐次方程组
\[(\lambda_j I-A)X=0\]
的基础解系. 其张成的解空间称为 \(A\) 属于 \(\lambda_j\) 的特征子空间; 其中全部非零向量都是属于 \(\lambda_j\) 的特征向量.

Proposition 相似矩阵有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值及其代数重数.

Proof 若 \(B=P^{-1}AP\), 则

\[\begin{aligned} \det(\lambda I-B) &= \det(\lambda I-P^{-1}AP)\\ &= \det(P^{-1}(\lambda I-A)P)\\ &= \det(P^{-1})\det(\lambda I-A)\det(P)\\ &= \det(\lambda I-A). \end{aligned}\]

反过来, 特征多项式相同的 \(n\) 阶矩阵不一定相似.

Proposition 特征多项式

\[p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\]

是首项系数为 \(1\) 的 \(n\) 次多项式. 其 \(\lambda^{n-1}\) 的系数为 \(-\operatorname{tr}(A)\), 常数项为 \((-1)^n\det(A)\). 更一般地, \(\lambda^{n-k}\) 的系数是 \((-1)^k\) 乘以 \(A\) 的所有 \(k\) 阶主子式之和.

Theorem Cayley-Hamilton theorem. 若 \(p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\), 则

\[p_A(A)=0.\]

Definition 设 \(\lambda_1\) 是 \(A\) 的一个特征值. 属于 \(\lambda_1\) 的特征子空间的维数称为 \(\lambda_1\) 的几何重数. \(\lambda_1\) 作为特征多项式根的重数称为 \(\lambda_1\) 的代数重数.

Theorem 特征值的几何重数不超过它的代数重数.

Proof 设 \(\lambda_1\) 的特征子空间 \(W_1\) 维数为 \(r\), 取其一组基 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\), 并扩充为 \(\mathbb K^n\) 的一组基

\[\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_{n-r}.\]

令

\[P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_{n-r}).\]

则在该基下

\[P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 I_r & B\\ 0 & C \end{pmatrix}.\]

于是

\[\det(\lambda I-A) = \det(\lambda I-P^{-1}AP) = (\lambda-\lambda_1)^r\det(\lambda I_{n-r}-C).\]

所以 \(\lambda_1\) 的代数重数至少为 \(r\).

5.4 Diagonalization Criteria

Definition 若 \(A\) 相似于一个对角矩阵, 则称 \(A\) 可对角化.

Theorem 数域 \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 可对角化的充要条件是 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\).

此时若 \(A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i\), \(P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\), 则

\[P^{-1}AP= \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n).\]

该对角矩阵称为 \(A\) 的相似标准形; 除主对角元素的排列顺序外唯一.

Proof 若 \(A\sim D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\), 则存在可逆矩阵 \(P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\), 使 \(P^{-1}AP=D\), 即 \(AP=PD\). 于是

\[(A\alpha_1,\cdots,A\alpha_n) = (\lambda_1\alpha_1,\cdots,\lambda_n\alpha_n),\]

所以 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是 \(n\) 个线性无关的特征向量. 反之, 若有这样的特征向量组, 令 \(P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\), 则 \(P\) 可逆且上式成立.

Theorem 属于不同特征值的特征向量线性无关.

更一般地, 若 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\) 是 \(A\) 的不同特征值, 且每个特征子空间中分别取线性无关向量组, 则这些向量合并后仍线性无关.

Proof 对不同特征值个数作数学归纳. 两个特征值情形可反证: 若存在非平凡线性关系, 对等式左乘 \(A\), 再与原式乘以某一特征值后相减, 可减少一个特征值对应的向量组, 与归纳假设矛盾.

Corollary \(A\) 可对角化当且仅当 \(A\) 的属于不同特征值的特征子空间维数之和为 \(n\).

特别地, 若 \(A\) 有 \(n\) 个不同特征值, 则 \(A\) 可对角化.

Theorem \(A\) 可对角化的充要条件还可以表述为:

\(p_A(\lambda)\) 在 \(\mathbb K\) 上完全分裂.
\(A\) 的每个特征值的几何重数等于代数重数.

Proof 若 \(A\) 可对角化, 则

\[A\sim \operatorname{diag}( \underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{r_1}, \cdots, \underbrace{\lambda_m,\cdots,\lambda_m}_{r_m} ),\]

其中 \(r_j\) 是 \(\lambda_j\) 的特征子空间维数. 相似矩阵有相同特征多项式, 故

\[p_A(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)^{r_1}\cdots(\lambda-\lambda_m)^{r_m}.\]

所以每个特征值的代数重数等于几何重数. 反之, 若特征多项式完全分裂且每个特征值的几何重数等于代数重数, 则各特征子空间维数之和为 \(n\), 因而 \(A\) 可对角化.

5.5 Diagonalization of Real Symmetric Matrices

Definition 若存在 \(n\) 阶正交矩阵 \(T\), 使

\[T^{-1}AT=B,\]

则称实矩阵 \(A\) 正交相似于 \(B\). 正交相似是 \(M_n(\mathbb R)\) 上的等价关系.

Theorem 实对称矩阵的特征多项式的每一个复根都是实数.

Proof 设 \(A=A^{\mathsf{T}}\) 是实对称矩阵, \(\lambda_0\in\mathbb C\) 是特征根, 对应非零复向量 \(\alpha\) 满足

\[A\alpha=\lambda_0\alpha.\]

取共轭转置得

\[\alpha^*A=\overline{\lambda_0}\alpha^*.\]

于是

\[\alpha^*A\alpha = \lambda_0\alpha^*\alpha = \overline{\lambda_0}\alpha^*\alpha.\]

因 \(\alpha^*\alpha>0\), 故 \(\lambda_0=\overline{\lambda_0}\), 即 \(\lambda_0\) 为实数.

Theorem 实对称矩阵 \(A\) 属于不同特征值的特征向量正交.

Proof 若 \(A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1\), \(A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2\), 且 \(\lambda_1\neq\lambda_2\), 则

\[\lambda_1(\alpha_1,\alpha_2) =(A\alpha_1,\alpha_2) =(\alpha_1,A\alpha_2) =\lambda_2(\alpha_1,\alpha_2).\]

因此 \((\lambda_1-\lambda_2)(\alpha_1,\alpha_2)=0\), 所以 \((\alpha_1,\alpha_2)=0\).

Theorem 每个实对称矩阵都可正交对角化. 即存在正交矩阵 \(T\), 使

\[T^{-1}AT= \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n).\]

Proof 对矩阵阶数作归纳. 取 \(A\) 的一个实特征值 \(\lambda_1\) 及单位特征向量 \(\eta_1\), 将 \(\eta_1\) 扩充为 \(\mathbb R^n\) 的标准正交基 \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\). 令

\[T_1=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n).\]

则

\[T_1^{-1}AT_1= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & B \end{pmatrix},\]

其中 \(B\) 仍为实对称矩阵. 由归纳假设, 存在正交矩阵 \(T_2\) 使 \(T_2^{-1}BT_2\) 为对角矩阵. 令

\[T=T_1 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & T_2 \end{pmatrix},\]

则 \(T\) 正交且 \(T^{-1}AT\) 为对角矩阵.

实对称矩阵对角化步骤:

求特征多项式 \(\det(\lambda I-A)\) 的全部根 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\), 即 \(A\) 的全部特征值.
对每个特征值 \(\lambda_j\), 求
\[(\lambda_j I-A)X=0\]
的一个基础解系, 再在该特征子空间内 Schmidt 正交化并单位化, 得到标准正交特征向量组.
将所有标准正交特征向量按列排成
\[T=(\eta_{11},\cdots,\eta_{1r_1},\cdots,\eta_{m1},\cdots,\eta_{mr_m}).\]
则
\[T^{-1}AT= \operatorname{diag}( \underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{r_1}, \cdots, \underbrace{\lambda_m,\cdots,\lambda_m}_{r_m} ).\]

Proposition 若 \(n\) 阶实矩阵 \(A\) 正交相似于对角矩阵 \(D\), 则 \(A\) 一定是对称矩阵.

Proof 若 \(T\) 正交且 \(T^{-1}AT=D\), 则 \(A=TDT^{-1}=TDT^{\mathsf{T}}\). 因 \(D^{\mathsf{T}}=D\), 有

\[A^{\mathsf{T}} =(TDT^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} =TD^{\mathsf{T}}T^{\mathsf{T}} =TDT^{\mathsf{T}} =A.\]

Proposition 两个 \(n\) 阶实对称矩阵正交相似的充要条件是它们相似.

Proof 必要性显然. 充分性: 若 \(A\sim B\), 则 \(A,B\) 有相同的特征值及其代数重数. 实对称矩阵都正交相似于按相同重数排列的对角矩阵, 因而 \(A\) 与 \(B\) 正交相似.

6 Quadratic Forms and Positive Definiteness

6.1 Quadratic Forms and Congruence

Definition \(n\) 元二次型是形如

\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j = X^{\mathsf{T}}AX,\]

的齐次二次多项式. 这里

\[X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\mathsf{T}}, \qquad A=(a_{ij}),\qquad a_{ij}=a_{ji}.\]

Definition 设 \(Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^{\mathsf{T}}\), \(C\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵. 变量替换

\[X=CY\]

称为非退化线性替换. 在该替换下,

\[X^{\mathsf{T}}AX = Y^{\mathsf{T}}(C^{\mathsf{T}}AC)Y.\]

Definition 若两个二次型可由非退化线性替换互相得到, 则称它们等价. 若存在可逆矩阵 \(C\), 使

\[B=C^{\mathsf{T}}AC,\]

则称矩阵 \(A\) 与 \(B\) 合同, 记作 \(A\simeq B\).

等价二次型对应合同矩阵. 合同是 \(M_n(\mathbb K)\) 上的等价关系; 合同关系下的等价类称为合同类.

Definition 若 \(A\) 合同于对角矩阵 \(\Lambda\), 则称 \(\Lambda\) 为 \(A\) 的一个合同标准形. 对应二次型只含平方项, 不含交叉项.

Proposition 数域 \(\mathbb K\) 上两个 \(n\) 元二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\) 与 \(Y^{\mathsf{T}}BY\) 等价当且仅当 \(A\simeq B\).

Proposition 对 \(n\) 元实二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\), 若 \(A\) 为实对称矩阵, 则存在正交矩阵 \(T\), 使

\[T^{\mathsf{T}}AT=T^{-1}AT = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n),\]

其中 \(\lambda_i\) 是 \(A\) 的特征值. 此时变量替换 \(X=TY\) 称为正交替换.

Theorem 数域 \(\mathbb K\) 上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 因而任一 \(n\) 元二次型都可化为只含平方项的标准形.

Proof 可对阶数作归纳, 或用成对初等行变换和列变换把对称矩阵化为对角形式. 每一次对 \(A\) 作行变换时, 同时作对应的列变换, 保持变换为合同变换.

用成对初等行/列变换求标准形: 对 \(A\) 作成对的初等行变换和列变换, 同时对 \(I\) 只作其中对应的初等列变换. 若最终把 \(A\) 化为对角矩阵 \(\Lambda\), 并把 \(I\) 变为 \(C\), 则

\[C^{\mathsf{T}}AC=\Lambda.\]

Proposition 数域 \(\mathbb K\) 上 \(n\) 元二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\) 的任一标准形中, 系数非零的平方项个数等于 \(\operatorname{rank}(A)\).

Proposition 反对称矩阵 \(A\) 合同于若干个

\[\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\]

块与若干个零块组成的分块对角矩阵.

Proof 在数域 \(\mathbb K\subseteq\mathbb C\) 上定义交替双线性型 \(b(x,y)=x^{\mathsf T}Ay\). 若 \(A\neq0\), 取 \(u,v\) 使 \(b(u,v)=1\). 两者线性无关, 且该二维子空间上的矩阵为上述非退化块. 对任意 \(w\), 令

\[w_\perp=w+b(v,w)u-b(u,w)v.\]

直接计算得 \(b(u,w_\perp)=b(v,w_\perp)=0\). 因而空间分解为 \(\langle u,v\rangle\) 与其关于 \(b\) 的正交补的直和. 在补空间上重复这一过程, 直到剩余双线性型为零, 即得分块形式. 因此反对称矩阵的秩总为偶数.

6.2 Standard Form and Inertia Law

Theorem 任意实对称矩阵都合同于对角矩阵. 因此任意实二次型都可化为只含平方项的标准形.

Definition 对实二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\), 若其标准形写作

\[d_1y_1^2+\cdots+d_p y_p^2 -d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_r y_r^2, \qquad d_i>0,\]

则作非退化线性替换

\[y_i=\frac{z_i}{\sqrt{d_i}}\quad (i=1,2,\cdots,r), \qquad y_j=z_j\quad (j=r+1,\cdots,n),\]

可化为规范形

\[z_1^2+\cdots+z_p^2 -z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.\]

其中 \(r=\operatorname{rank}(A)\). \(p\) 称为正惯性指数, \(r-p\) 称为负惯性指数, \(2p-r\) 称为符号差.

Theorem 惯性定理: \(n\) 元实二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\) 的规范形唯一.

Proof 设 \(\operatorname{rank}(A)=r\). 若 \(X=CY\) 与 \(X=BZ\) 是两组非退化线性替换, 并得到两个规范形

\[\begin{aligned} X^{\mathsf{T}}AX &=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2,\\ X^{\mathsf{T}}AX &=z_1^2+\cdots+z_q^2-z_{q+1}^2-\cdots-z_r^2, \end{aligned}\]

则 \(Z=B^{-1}CY=GY\), 其中 \(G=(g_{ij})\). 反设 \(p>q\), 取

\[Y=(k_1,\cdots,k_p,0,\cdots,0)^{\mathsf{T}},\]

并要求 \(k_1,\cdots,k_p\) 满足

\[\begin{cases} g_{11}k_1+\cdots+g_{1p}k_p=0,\\ g_{21}k_1+\cdots+g_{2p}k_p=0,\\ \qquad\vdots\\ g_{q1}k_1+\cdots+g_{qp}k_p=0. \end{cases}\]

这是 \(q\) 个方程、\(p\) 个未知量的齐次线性方程组. 因 \(q\lt p\), 存在不全为零的解, 从而可使 \(z_1=\cdots=z_q=0\).

此时:

\(Z\) 变量的规范形小于等于 \(0\);
\(Y\) 变量的规范形为 \(k_1^2+\cdots+k_p^2>0\);

与两者相等矛盾. 因此 \(p\le q\). 同理交换两规范形可得 \(p\ge q\), 故 \(p=q\).

Corollary 等价的实二次型有相同的规范形, 因而有相同的秩和正惯性指数.

Corollary 任一实对称矩阵 \(A\) 合同于

\[\operatorname{diag}( \underbrace{1,\cdots,1}_{p}, \underbrace{-1,\cdots,-1}_{r-p}, \underbrace{0,\cdots,0}_{n-r} ),\]

其中正负元素数量分别由正、负惯性指数决定. 合同的实对称矩阵有相同的秩和正惯性指数.

6.3 Positive Definite Matrices

Definition 设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵. 若对任意非零向量 \(x \in \mathbb R^n\) 都有

\[x^{\mathsf{T}}Ax>0,\]

则称 \(n\) 元二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\) 为正定二次型, 同时称 \(A\) 为正定矩阵.

Theorem \(n\) 元实二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\) 正定当且仅当其正惯性指数 \(p=n\). 等价地:

\(X^{\mathsf{T}}AX\) 的规范形为 \(z_1^2+\cdots+z_n^2\).
任一标准形中的系数均大于 \(0\).
\(A\simeq I_n\), 即 \(A\) 的合同规范形为 \(I_n\).
\(A\) 的合同标准形的主对角元素均大于 \(0\).
对实对称矩阵 \(A\), \(A\) 的全部特征值均大于 \(0\).

Corollary 与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵.

Corollary 与正定二次型等价的实二次型也是正定的, 因为非退化线性替换不改变正定性.

Corollary 正定矩阵的行列式大于 \(0\); 逆命题不成立.

Proof 若 \(A\) 正定, 则 \(A\simeq I_n\), 即存在实可逆矩阵 \(C\) 使

\[A=C^{\mathsf{T}}I_n C=C^{\mathsf{T}}C.\]

因此

\[\det(A)=\det(C)^2>0.\]

Definition \(n\) 阶矩阵 \(A\) 的 \(k\) 阶主子式是行标与列标相同的子式, 记为

\[A_{(i_1,i_2,\cdots,i_k)}^{(i_1,i_2,\cdots,i_k)}.\]

特别地, \(A_{(1,2,\cdots,k)}^{(1,2,\cdots,k)}\) 称为 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子式.

Theorem 正定的充要条件: 实对称矩阵 \(A\) 正定当且仅当 \(A\) 的所有顺序主子式均大于 \(0\).

Definition 实二次型 \(X^{\mathsf{T}}AX\) 或实对称矩阵 \(A\) 还可按符号性分类:

半正定: 对任意 \(\alpha\in\mathbb R^n\), 有 \(\alpha^{\mathsf{T}}A\alpha\ge 0\).
负定: 对任意非零 \(\alpha\in\mathbb R^n\), 有 \(\alpha^{\mathsf{T}}A\alpha\lt 0\).
半负定: 对任意 \(\alpha\in\mathbb R^n\), 有 \(\alpha^{\mathsf{T}}A\alpha\le 0\).
不定: 既不是半正定, 也不是半负定.

7 Abstract Vector Spaces

7.1 Structure of a Vector Space

Definition 集合 \(V\) 对数域 \(\mathbb K\) 上的加法与数乘封闭. 若对任意 \(\alpha,\beta,\gamma\in V\) 与 \(k,l\in\mathbb K\), 满足

\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\);
\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\);
存在零元素 \(0\), 使 \(\alpha+0=\alpha\);
对每个 \(\alpha\), 存在负元素 \(\beta\), 使 \(\alpha+\beta=0\);
\(1\alpha=\alpha\);
\((kl)\alpha=k(l\alpha)\);
\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\);
\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\),

则称 \(V\) 是 \(\mathbb K\) 上的线性空间.

Proposition 线性空间中的零元素唯一, 每个向量的负元素唯一. 并且

\[0\alpha=0,\qquad k0=0,\qquad (-1)\alpha=-\alpha.\]

若 \(k\alpha=0\), 则 \(k=0\) 或 \(\alpha=0\).

Remark \(K^n\) 中的线性表出、线性相关与线性无关、向量组等价、极大线性无关组、秩及其性质, 都可推广到一般线性空间. 含有零向量的向量组线性相关.

Definition \(V\) 中的线性无关向量集 \(S\) 若满足: \(V\) 中任一向量都可由 \(S\) 中有限个向量线性表出, 则称 \(S\) 是 \(V\) 的一组基.

Example

只含零元素的线性空间以空集为基.
\(M_{s\times n}(\mathbb K)\) 的一组基是 \[\{E_{11},E_{12},\cdots,E_{1n},\cdots,E_{s1},E_{s2},\cdots,E_{sn}\}.\]
\(\mathbb K[x]\) 的一组基是 \[\{1,x,x^2,\cdots,x^n,\cdots\}.\]

Theorem 若 \(V\) 是有限维线性空间, 则 \(V\) 的任意两组基所含向量个数相同. 该个数称为 \(V\) 的维数, 记作 \(\dim_{\mathbb K}V\), 简记为 \(\dim V\).

Definition 若 \((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\) 与 \((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\) 都是 \(V\) 的基, 且

\[(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A,\]

则称 \(A\) 为从基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 到基 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 的过渡矩阵.

每个向量 \(\alpha\in V\) 可唯一地由一组基线性表出; 对应的有序系数数组称为 \(\alpha\) 在该基下的坐标.

Proposition 设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基, 且

\[(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A.\]

则 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 是 \(V\) 的一组基当且仅当 \(A\) 是可逆矩阵.

Proof 因 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的基, \(\beta_1,\cdots,\beta_n\) 是 \(V\) 的基当且仅当它们线性无关. 对列向量 \(Z=(k_1,k_2,\cdots,k_n)^{\mathsf{T}}\),

\[k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_n\beta_n = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AZ.\]

由于 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 线性无关, 上式为 \(0\) 当且仅当 \(AZ=0\). 因此 \(\beta_1,\cdots,\beta_n\) 线性无关当且仅当齐次线性方程组 \(AZ=0\) 只有零解, 即 \(\det(A)\ne0\), 也即 \(A\) 可逆.

7.2 Subspaces, Sums, and Direct Sums

Definition 数域 \(\mathbb K\) 上线性空间 \(V\) 的非空子集 \(U\) 若对 \(V\) 的加法与数乘也构成 \(\mathbb K\) 上的线性空间, 则称 \(U\) 是 \(V\) 的线性子空间.

Theorem 非空子集 \(U\subseteq V\) 是 \(V\) 的子空间当且仅当 \(U\) 对 \(V\) 中的加法与数乘封闭.

Proposition 若 \(V\) 有限维且 \(U\) 是 \(V\) 的子空间, 则:

\(\dim U\le \dim V\).
若 \(\dim U=\dim V\), 则 \(U=V\).
\(U\) 的一组基可以扩充成 \(V\) 的一组基.

Definition 由 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 线性组合生成的子空间记为

\[\langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle.\]

向量组的极大线性无关组是其生成子空间的一组基.

Theorem 若 \(V_1,V_2\) 都是 \(V\) 的子空间, 则 \(V_1\cap V_2\) 也是 \(V\) 的子空间. 子空间的交满足交换律与结合律:

\[V_1\cap V_2=V_2\cap V_1,\qquad (V_1\cap V_2)\cap V_3=V_1\cap(V_2\cap V_3).\]

多个子空间的交记为 \(\bigcap_{i=1}^s V_i\).

Definition \(V_1\) 与 \(V_2\) 的和定义为

\[V_1+V_2 = \{\alpha_1+\alpha_2\mid \alpha_1\in V_1,\ \alpha_2\in V_2\}.\]

这是 \(V\) 的一个子空间, 且满足

\[V_1+V_2=V_2+V_1,\qquad (V_1+V_2)+V_3=V_1+(V_2+V_3).\]

若 \(V_1=\langle \alpha_1,\cdots,\alpha_s\rangle\), \(V_2=\langle \beta_1,\cdots,\beta_r\rangle\), 则

\[V_1+V_2 = \langle \alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\cdots,\beta_r\rangle.\]

Theorem 对有限维子空间, 有维数公式:

\[\dim V_1+\dim V_2 = \dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2).\]

等价地,

\[\dim(V_1+V_2) = \dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2).\]

Proof 取 \(V_1\cap V_2\) 的一组基

\[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\]

并分别扩充为 \(V_1,V_2\) 的基:

\[\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\]\[\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}.\]

则 \(V_1+V_2\) 由

\[\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m}\]

张成. 只需证明该向量组线性无关. 若

\[\sum_{i=1}^m c_i\alpha_i +\sum_j d_j\beta_j +\sum_l e_l\gamma_l =0,\]

则

\[\sum_{i=1}^m c_i\alpha_i+\sum_j d_j\beta_j = -\sum_l e_l\gamma_l \in V_1\cap V_2.\]

右侧属于 \(V_1\cap V_2\), 因而可写为 \(\sum_i h_i\alpha_i\). 于是

\[\sum_{i=1}^m(c_i-h_i)\alpha_i+\sum_j d_j\beta_j=0.\]

由 \(V_1\) 的基的线性无关性得 \(d_j=0\) 且 \(c_i=h_i\). 同时

\[\sum_i h_i\alpha_i+\sum_l e_l\gamma_l=0.\]

由 \(V_2\) 的基的线性无关性得 \(h_i=0\) 且 \(e_l=0\), 于是 \(c_i=0\). 因此上述向量组是 \(V_1+V_2\) 的一组基, 维数公式成立.

Corollary 若 \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\), 则 \(V_1\cap V_2=\{0\}\).

Definition 若 \(V_1+V_2\) 中每个向量都可唯一表示为

\[\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\qquad \alpha_1\in V_1,\quad \alpha_2\in V_2,\]

则称 \(V_1+V_2\) 是直和, 记作 \(V_1\oplus V_2\).

Theorem 设 \(V_1,V_2\) 是 \(V\) 的有限维子空间. 下列命题等价:

\(V_1+V_2\) 是直和.
\(V_1+V_2\) 中零向量的表法唯一.
\(V_1\cap V_2=\{0\}\).
\(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\).
\(V_1\) 的一组基与 \(V_2\) 的一组基合起来是 \(V_1+V_2\) 的一组基.

Definition 若 \(V_1,V_2\) 是 \(V\) 的子空间, 且

\[V_1+V_2=V,\qquad V_1+V_2\text{ 是直和},\]

则记作 \(V=V_1\oplus V_2\), 并称 \(V_1\) 是 \(V_2\) 的补空间.

Definition 设 \(V_1,V_2,\cdots,V_s\) 都是 \(V\) 的子空间. 若 \(V_1+V_2+\cdots+V_s\) 中每个向量 \(\alpha\) 都可唯一表示为

\[\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s, \qquad \alpha_i\in V_i\quad (i=1,2,\cdots,s),\]

则称该和为直和, 记作

\[V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s = \bigoplus_{i=1}^s V_i.\]

Theorem 设 \(V_1,\cdots,V_s\) 是 \(V\) 的有限维子空间. 下列命题等价:

\(V_1+V_2+\cdots+V_s\) 是直和.
\(V_1+V_2+\cdots+V_s\) 中零向量的表法唯一.
\(V_i\cap\sum_{j\ne i}V_j=\{0\}\), \(i=1,2,\cdots,s\).
\(\dim(V_1+V_2+\cdots+V_s)=\dim V_1+\dim V_2+\cdots+\dim V_s\).
各 \(V_i\) 的一组基合起来是 \(V_1+V_2+\cdots+V_s\) 的一组基.

7.3 Isomorphism

Definition 设 \(V,V'\) 都是数域 \(\mathbb K\) 上的线性空间. 若 \(V\) 与 \(V'\) 的元素之间存在一一对应 \(\sigma:V\to V'\), 且对任意 \(\alpha,\beta\in V\), \(k\in\mathbb K\), 有

\[\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \qquad \sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha),\]

则称 \(\sigma\) 是 \(V\) 到 \(V'\) 的同构映射, 简称同构. 若存在这样的同构映射, 则称 \(V\) 与 \(V'\) 同构, 记作 \(V\cong V'\).

Proposition 同构映射满足 \(\sigma(0)=0'\).

Proposition \(V\) 中向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 线性相关当且仅当 \(V'\) 中向量组 \(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_s)\) 线性相关.

Corollary 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基, 则 \(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n)\) 是 \(V'\) 的一组基.

Theorem 数域 \(\mathbb K\) 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们维数相同.

Proof 必要性由基在同构下对应为基立即得到. 充分性: 设 \(\dim V=\dim V'=n\). 在 \(V,V'\) 中分别取基

\[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n, \qquad \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n.\]

对任意 \(\alpha=\sum_{i=1}^n a_i\alpha_i\in V\), 定义

\[\sigma(\alpha)=\sum_{i=1}^n a_i\gamma_i.\]

坐标表示唯一, 所以 \(\sigma\) 是一一对应. 若

\[\alpha=\sum_{i=1}^n a_i\alpha_i,\qquad \beta=\sum_{i=1}^n b_i\alpha_i,\]

则

\[\begin{aligned} \sigma(\alpha+\beta) &=\sigma\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\alpha_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\gamma_i\\ &=\sum_{i=1}^n a_i\gamma_i+\sum_{i=1}^n b_i\gamma_i\\ &=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \end{aligned}\]

且

\[\sigma(k\alpha) = \sigma\left(\sum_{i=1}^n(ka_i)\alpha_i\right) = \sum_{i=1}^n(ka_i)\gamma_i = k\sigma(\alpha).\]

因此 \(\sigma\) 是同构, 从而 \(V\cong V'\).

Corollary 数域 \(\mathbb K\) 上任一 \(n\) 维线性空间 \(V\) 都与 \(\mathbb K^n\) 同构.

8 Linear Maps

8.0 Mapping

Definition 设 \(S,S'\) 是两个集合. 若存在法则 \(f\), 使得对任意 \(a\in S\), 都有 \(S'\) 中唯一元素 \(b\) 与之对应, 则称 \(f\) 是 \(S\) 到 \(S'\) 的映射, 记作

\[\begin{aligned} f:S&\to S',\\ a&\mapsto b. \end{aligned}\]

元素 \(b\) 称为 \(a\) 在 \(f\) 下的像, \(a\) 称为 \(b\) 的一个原像. 记 \(b=f(a)\), 也可写作 \(fa\).

Definition \(S\) 称为 \(f\) 的定义域, \(S'\) 称为 \(f\) 的陪域. \(S\) 中所有元素的像组成的集合称为 \(f\) 的值域或像, 记作

\[f(S)=\{f(a)\mid a\in S\},\qquad f(S)\subseteq S'.\]

若 \(f(S)=S'\), 则称 \(f\) 为满射. 若 \(S\) 中不同元素的像也不同, 则称 \(f\) 为单射. 既是单射又是满射的映射称为双射.

Definition 集合 \(S\) 到自身的映射称为 \(S\) 上的变换. 若每个元素都映射到自身, 则称为恒等映射, 记作 \(1_S\). 集合 \(S\) 到数集的映射通常称为 \(S\) 上的函数.

Definition 对相继映射 \(g:S\to S'\) 与 \(f:S'\to S''\), 它们的复合定义为

\[(fg)(a)=f(g(a)),\qquad a\in S.\]

Definition 对映射 \(f:S\to S'\), 若存在 \(g:S'\to S\), 使

\[fg=1_{S'},\qquad gf=1_S,\]

则称 \(f\) 可逆, 并称 \(g\) 为 \(f\) 的逆映射, 记作 \(f^{-1}\).

Theorem 映射 \(f\) 可逆的充分必要条件是 \(f\) 为双射.

8.1 Linear Maps and Operations

Definition 设 \(V,V'\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的线性空间. 映射 \(\mathcal A:V\to V'\) 若对任意 \(\alpha,\beta\in V\), \(k\in\mathbb K\), 满足

\[\mathcal A(\alpha+\beta)=\mathcal A(\alpha)+\mathcal A(\beta), \qquad \mathcal A(k\alpha)=k\mathcal A(\alpha),\]

则称 \(\mathcal A\) 为 \(V\) 到 \(V'\) 的线性映射.

Definition \(V\) 到自身的线性映射称为 \(V\) 上的线性变换. \(V\) 到 \(\mathbb K\) 的线性映射称为 \(V\) 上的线性函数.

Example 特殊线性映射包括零映射 \(\mathbf{0}\), 恒等变换 \(1_V\), 以及数乘变换 \(\alpha\mapsto k\alpha\).

Definition 映射 \(\sigma:V\to V'\) 是同构映射当且仅当 \(\sigma\) 是可逆线性映射.

Theorem 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 是 \(V\) 中线性相关的向量组, 则

\[\mathcal A(\alpha_1),\mathcal A(\alpha_2),\cdots,\mathcal A(\alpha_s)\]

是 \(V'\) 中线性相关的向量组. 反之不一定成立: 线性映射可能把线性无关向量组变成线性相关向量组.

Theorem 若 \(V\) 有限维, \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基, 且

\[\alpha=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_n\alpha_n,\]

则

\[\mathcal A(\alpha) =a_1\mathcal A(\alpha_1) +a_2\mathcal A(\alpha_2) +\cdots +a_n\mathcal A(\alpha_n).\]

因此有限维空间上的线性映射由一组基的像唯一决定.

Proposition 两个有限维线性空间 \(V,V'\) 之间存在可逆线性映射的充分必要条件是 \(\dim V=\dim V'\).

Definition 记数域 \(\mathbb K\) 上 \(V\) 到 \(V'\) 的所有线性映射组成的集合为

\[\operatorname{Hom}(V,V').\]

若线性映射的复合有定义, 则对 \(k\in\mathbb K\) 有

\[k(\mathcal A\mathcal B) =(k\mathcal A)\mathcal B =\mathcal A(k\mathcal B).\]

对 \(V\) 上的线性变换 \(\mathcal A\), 定义 \(\mathcal A^0=\mathcal I\). 若 \(\mathcal A\) 可逆, 则对 \(m\in\mathbb N\) 定义

\[\mathcal A^{-m}=(\mathcal A^{-1})^m.\]

若 \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m\), 则 \(\mathcal A\) 的多项式定义为

\[f(\mathcal A) = a_0\mathcal I+a_1\mathcal A+\cdots+a_m\mathcal A^m.\]

8.2 Matrix Representation of Linear Maps

Definition 设 \(V\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\mathcal A\in\operatorname{Hom}(V,V)\). 取 \(V\) 的一组基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\). 若

\[\begin{cases} \mathcal A\alpha_1=a_{11}\alpha_1+a_{21}\alpha_2+\cdots+a_{n1}\alpha_n,\\ \mathcal A\alpha_2=a_{12}\alpha_1+a_{22}\alpha_2+\cdots+a_{n2}\alpha_n,\\ \qquad\vdots\\ \mathcal A\alpha_n=a_{1n}\alpha_1+a_{2n}\alpha_2+\cdots+a_{nn}\alpha_n, \end{cases}\]

则

\[\mathcal A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.\]

矩阵 \(A=(a_{ij})\) 称为线性变换 \(\mathcal A\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 下的矩阵, 它由 \(\mathcal A\) 唯一决定. 矩阵的第 \(j\) 列是 \(\mathcal A\alpha_j\) 在该基下的坐标.

Definition 更一般地, 对 \(\mathcal A\in\operatorname{Hom}(V,V')\), 若 \(V\) 的基为 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\), \(V'\) 的基为 \(\eta_1,\cdots,\eta_s\), 且

\[\mathcal A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = (\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s)A,\]

则 \(A\in M_{s\times n}(\mathbb K)\) 称为 \(\mathcal A\) 在这两组基下的矩阵.

Proposition 设 \(\dim V=n\), \(\dim V'=s\). 固定 \(V,V'\) 的基后, 映射

\[\begin{aligned} \sigma:\operatorname{Hom}(V,V')&\to M_{s\times n}(\mathbb K),\\ \mathcal A&\mapsto A \end{aligned}\]

是线性同构. 因而

\[\operatorname{Hom}(V,V')\cong M_{s\times n}(\mathbb K), \qquad \dim\operatorname{Hom}(V,V')=sn=(\dim V)(\dim V').\]

特别地,

\[\operatorname{Hom}(V,V)\cong M_n(\mathbb K), \qquad \dim\operatorname{Hom}(V,V)=(\dim V)^2.\]

Proposition 在线性映射复合有定义且基已经固定时, 复合映射的矩阵等于矩阵乘积. 对 \(V\) 上的线性变换, 若 \(\mathcal A,\mathcal B\) 在同一基下的矩阵分别为 \(A,B\), 则 \(\mathcal A\mathcal B\) 的矩阵为 \(AB\).

Proof 记基行向量为 \((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\). 由

\[\mathcal A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A, \qquad \mathcal B(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)B,\]

得

\[(\mathcal A\mathcal B)(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = \mathcal A((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)B) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AB.\]

Proposition 对 \(\mathcal A\in\operatorname{Hom}(V,V)\), \(\mathcal A\) 可逆当且仅当它在任一基下的矩阵 \(A\) 可逆.

Proof 固定一组基并记 \(\sigma(\mathcal A)=A\). 则

\[\begin{aligned} \mathcal A\text{ 可逆} &\Longleftrightarrow \exists\,\mathcal B\in\operatorname{Hom}(V,V),\ \mathcal A\mathcal B=\mathcal B\mathcal A=\mathcal I\\ &\Longleftrightarrow \exists\,B\in M_n(\mathbb K),\ AB=BA=I\\ &\Longleftrightarrow A\text{ 可逆}. \end{aligned}\]

Proposition 设 \(\alpha\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 下的坐标为 \(X\), 即

\[\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)X.\]

若 \(\gamma=\mathcal A\alpha\) 在同一基下的坐标为 \(Y\), 则

\[Y=AX.\]

Proof

\[\gamma = \mathcal A\alpha = \mathcal A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)X = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AX.\]

与 \(\gamma=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)Y\) 比较, 得 \(Y=AX\).

Theorem 设 \(\mathcal A\in\operatorname{Hom}(V,V)\). 若 \(\mathcal A\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 与 \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\) 下的矩阵分别为 \(A,B\), 且从 \(\alpha\)-基到 \(\eta\)-基的过渡矩阵 \(S\) 满足

\[(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)S,\]

则

\[B=S^{-1}AS.\]

因此线性变换在不同基下的矩阵彼此相似.

Proof 由

\[\mathcal A(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) = (\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)B\]

以及

\[\begin{aligned} \mathcal A(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) &=\mathcal A((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)S)\\ &=\mathcal A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)S\\ &=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AS\\ &=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)S^{-1}AS, \end{aligned}\]

比较得 \(B=S^{-1}AS\).

Definition 由于相似矩阵有相同的行列式、秩、迹、特征多项式和特征值, 可把这些量定义为线性变换 \(\mathcal A\) 的行列式、秩、迹、特征多项式和特征值.

Definition 设 \(\mathcal A\in\operatorname{Hom}(V,V)\). 若存在非零向量 \(\xi\in V\) 与 \(\lambda_0\in\mathbb K\), 使

\[\mathcal A\xi=\lambda_0\xi,\]

则称 \(\lambda_0\) 是 \(\mathcal A\) 的特征值, \(\xi\) 是 \(\mathcal A\) 的属于 \(\lambda_0\) 的特征向量.

Proposition 若 \(A\) 是 \(\mathcal A\) 在某组基下的矩阵, \(\xi\) 在该基下的坐标为 \(X\), 则

\[\mathcal A\xi=\lambda_0\xi \quad\Longleftrightarrow\quad AX=\lambda_0X.\]

因此 \(\mathcal A\) 的特征值与它的矩阵表示 \(A\) 的特征值一致, 且特征向量的坐标就是 \(A\) 的对应特征向量.

Proof 若 \(\xi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)X\), 则

\[\mathcal A\xi = \mathcal A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)X = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AX,\]

而

\[\lambda_0\xi = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\lambda_0X.\]

比较坐标即得 \(AX=\lambda_0X\).

Definition \(\mathcal A\) 的属于 \(\lambda_0\) 的特征子空间为

\[V_{\lambda_0} = \{\alpha\in V\mid \mathcal A\alpha=\lambda_0\alpha\}.\]

Definition 若 \(V\) 中存在一组基, 使线性变换 \(\mathcal A\) 在该基下的矩阵为对角矩阵, 则称 \(\mathcal A\) 可对角化.

若 \(\mathcal A\) 可对角化, 取由线性无关特征向量组成的基 \(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\), 则

\[\mathcal A(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n) = (\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n) \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n).\]

该对角矩阵称为 \(\mathcal A\) 的对角标准型.

Theorem 设 \(\mathcal A\in\operatorname{Hom}(V,V)\), \(\dim V=n\), 且 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_s\) 是 \(\mathcal A\) 的全部不同特征值. 则以下命题等价:

\(\mathcal A\) 可对角化.
\(\mathcal A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量.
\(V\) 中存在由 \(\mathcal A\) 的特征向量组成的一组基.
\(\dim V_{\lambda_1}+\dim V_{\lambda_2}+\cdots+\dim V_{\lambda_s}=n\).
\(V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_s}\).

Mathematical Physics Methods - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Analytic Functions

1.1 Complex Derivatives

Definition 连续设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的邻域有定义, 且 \(\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)\), 则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续

在有界闭区域 \(\bar G\) 连续的函数:

其绝对值 \(|f(z)|\) 有界, 并达到最大值和最小值.
在 \(G\) 上一致连续.

Definition 复导数

\[f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\]

若极限存在, 则称在 \(z\) 点可导.

Theorem 可导的必要条件(C-R 方程)

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\]

Theorem 可导的充要条件 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\) 在 \(z_0\) 复可导的充要条件是: \(u,v\) 在该点作为实变量函数可微, 且满足 C-R 方程.

可微的充分条件: \(\partial_xu,\partial_yu, \partial_xv, \partial_y v\) 存在且连续.

Theorem 可导的充分条件满足 C-R, 且 \(\partial_xu,\partial_yu, \partial_xv, \partial_y v\) 在 \(z_0\) 连续, 则函数在 \(z_0\) 可导.

Proof

\[\begin{aligned} \Delta w &=\Delta u+\mathrm{i}\Delta v\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial y}\right)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(-\frac{\partial v}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial x}\right)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+\mathrm{i}\Delta y)+o(|\Delta z|)\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z+o(|\Delta z|) \end{aligned}\]

故复导数为

\[f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}\]

可导必连续

1.2 Analytic Functions

Definition 解析函数/全纯函数在区域 \(G\) 处处可导, 则为 \(G\) 内解析函数(不要求导数连续, 因为可导则各阶导数连续)

解析函数的实部/虚部为调和函数(可由 C-R 求导得出)
\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0(或记作\partial_z\partial_{\bar z})\]
点解析性: 在点的邻域解析. 不解析的点为奇点.

**解析函数由实推虚/由虚推实: **

\(u(x,y)=u(\frac{z+\bar z}{2},\frac{z-\bar z}{2\mathrm{i}})\), 再通过 \(\partial_{\bar z}f=0,\mathrm{Im}v(z,\bar z)=0\) 猜得结果. 对于含参的情况, 可以先由 \(\nabla^2 u=0\) 求出参数.

1.3 Elementary Functions

幂函数 \(\to\) 多项式/有理函数

\[(z^n)^{\prime}=nz^{n-1}\]

指数函数

\[\mathrm{e}^z\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y),\quad (\mathrm{e}^z)^{\prime}=\mathrm{e}^z\]

三角函数

\[\sin z\equiv\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos z\equiv\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\]

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}=\cos z+\mathrm{i}\sin z,\quad\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}},\quad \cos z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2}\]

\[(\sin z)^{\prime}=\cos z,\quad (\cos z)^{\prime}=-\sin z\]

双曲函数

\[\sinh z=\frac{\mathrm{e}^z-\mathrm{e}^{-z}}{2},\quad \cosh z=\frac{\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{-z}}{2}\]

\[(\sinh z)^{\prime}=\cosh z,\quad (\cosh z)^{\prime}=\sinh z\]

\[\sinh z=-\mathrm{i}\sin\mathrm{i}z,\quad \cosh z=\cos\mathrm{i}z\]

1.4 Multi-valued Functions

多值函数化为单值函数, 需要规定自变量的辐角变化范围, 从而限制函数值的变化范围(取单值分支) 一种割线作法(+辐角取值)唯一确定一个单值分支

对数函数

\[w=\ln z=\ln|z|+\mathrm{i}\arg z\quad0\leq\arg z\lt2\pi\]

其解析区域

\[全平面\mathbb{C}{\setminus} 正实轴\, [0,+\infty)=\mathbb{C}\setminus\{z|\arg z=0\}\]

根式函数

\[w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\theta}{n}+\mathrm{i}\sin\frac{\theta}{n}\right),\quad 0\leq\arg z\lt2\pi\]

解析区域

\[\text{全平面}\mathbb{C}\setminus\{z|\arg z=0\}\]

幂函数

\[z^\alpha\equiv\mathrm{e}^{\alpha\ln z}\]

选定 \(\ln z\) 的分支即可定义 \(z^\alpha\) 的一个解析分支. 当 \(\alpha\in\mathbb{Z}\) 时它单值; 当 \(\alpha=p/q\) 为既约非整数有理数时有 \(q\) 个分支; 其余 \(\alpha\) 有无穷多个分支.

判断多值性 猜测支点后设 \(z=a+\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 观察 \(\varepsilon\to 0\) 时, \(\theta\) 变化一周之后函数值的变化. 对 \(\infty\), 换元 \(z=\frac{1}{t}\), 观察 \(t\to 0\) 的行为. 绕无穷远一周(\(z=\infty\) 逆向)等效于正向绕 \(t=0\) 一周.

2 Complex Integration

2.1 Complex Integration

Definition 复变积分

\[\begin{aligned}\int_Cf(z)\mathrm{d}z&\equiv\int_C(u+\mathrm{i}v)(\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y)\\&=\int_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+\mathrm{i}\int_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)\end{aligned}\]

若 \(f(z)\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的连续函数, 则复变积分一定存在
\[ \left|\int_Cf(z)\mathrm{d}z\right|\leq\int_C|f(z)||\mathrm{d}z|=\int_C\sqrt{u^2+v^2}\mathrm{d}s\le Ml,\quad M=\sup |f(z)| \]
路径参数化:\(z=z(t)=x(t)+\mathrm{i}y(t);a\leq t\leq b\), 且 \(x(t),y(t)\) 有连续导数, 且 \(z^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)+\mathrm{i}y^{\prime}(t)\neq0\), 则
\[\int_Cf(z)\mathrm{d}z=\int_a^b[u(x(t),y(t))+\mathrm{i}v(x(t),y(t))][x^{\prime}(t)+\mathrm{i}y^{\prime}(t)]\mathrm{d}t=\int_a^bf(z(t))z^{\prime}(t)\mathrm{d}t\]
一般来讲, 复变积分数值依赖于积分路径本身
Definition 不定积分设 \(f(z)\) 及 \(\Phi(z)\) 是区域 \(G\) 内的连续函数, 若在 \(G\) 内有 \(\Phi^\prime(z)=f(z)\), 那么函数 \(\Phi(z)\) 称为 \(f(z)\) 在区域 \(G\) 内的一个不定积分或原函数
- \(\Phi(z)\) 显然为 \(G\) 内解析函数
- 除去可能相差一个常数外,原函数是唯一确定的
Theorem 设 \(C\) 的端点 \(a,b\); \(f\) 的某个原函数为 \(\Phi\),
\[\int_Cf\mathrm{d}z=\Phi(b)-\Phi(a)\]
Theorem 设 \(f\) 连续. 积分 \(\int_Cf\)d\(z\) 在区域 \(G\) 内仅与 \(C\) 的端点有关, 则 \(f\) 在 \(G\) 内的原函数 \(F(z)\) 存在.
\[F(z)=\int_{z_0}^zf(z)\mathrm{d}z\]
\(z_0\) 为区域内的任意参考点. Theorem 复变积分与路径无关 \(\equiv\) 围道积分恒为零 \(\equiv\) 函数的原函数存在

圆环积分的一些换元: \(\bar z=\frac{a^2}{z},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\frac{a^2}z}{\mathrm{2i}}; |\mathrm{d}z|=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{i}\frac{z}{r}}\). 有点难想的积分 \(\int_0^\infty\cos(x^2)\mathrm{d}x=\int_0^\infty\sin(x^2)\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\).

正实轴、辐角 \(\pi/4\) 的射线及半径 \(R\) 的圆弧组成的扇形闭合围道. 正向路径为 \(0\to R\), 沿逆时针圆弧至 \(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\), 再沿射线返回 0; 原图未画方向箭头.

2.2 Cauchy Theorem

Theorem 单连通区域的 Cauchy 定理如果函数 \(f(z)\) 在单连通区域 \(G\) 中解析, 则沿 \(G\) 中任何一个简单闭合围道 \(C\) 有

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0\]

Theorem 复连通区域的 Cauchy 定理如果 \(f(z)\) 是复连通区域 \(\overline{G}\) 中的 (单值)解析函数, 则

\[\oint_{C_0}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\oint_{C_i}f(z)\mathrm{d}z\]

其中 \(C_0,C_1,C_2,...,C_n\) 是构成复连通区域 \(\overline{G}\) 的边界的各个(分段光滑)闭合围道, \(C_1,C_2,...,C_n\) 都包含在 \(C_0\) 的内部. 默认为正向.

2.3 Large/Small Arc Theorems

Theorem 小圆弧定理若函数 \(f(z)\) 在 \(z=a\) 的空心邻域内连续, 且当 \(\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2,|z-a|\to0\) 时, \((z-a)f(z)\) 一致趋近于 \(k\), 则

\[\lim_{\delta\to0}\int_{C_\delta}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}k(\theta_2-\theta_1)\]

其中 \(C_\delta\) 是以 \(a\) 为圆心, \(\delta\) 为半径, 夹角为 \(\theta_2-\theta_1\) 的圆弧, 即 \(C_\delta=\{|z-a|=\delta\&\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2\}\).

Theorem 大圆弧定理设 \(f(z)\) 在 \(z=\infty\) 的邻域内连续, 当 \(\theta_1\leq\arg z\leq\theta_2,z\to\infty\) 时, \(zf(z)\) 一致地趋近于 \(K\),则

\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\]

其中 \(C_R\) 是以原点为圆心, \(R\) 为半径, 夹角为 \(\theta_2-\theta_1\) 的圆弧, 即 \(C_R=\{|z|=R\&\theta_1\leq\arg z\leq\theta_2\}\).

2.4 Cauchy Integral Formula

Theorem Cauchy 积分公式设 \(C\) 为一简单闭合围道, \(G\) 为其内部, \(a\) 为 \(G\) 内一点. 若 \(f(z)\) 是区域 \(\overline{G}\) 上的 (单值)解析函数, 则

\[f(a)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z\]

其中围道积分沿 \(C\) 的正向即逆时针方向.

Theorem 无界区域的 Cauchy 积分公式如果 \(f(z)\) 在简单闭合围道 \(C\) 上及 \(C\) 外解析, 且

\[\lim_{z\to\infty}f(z)=0\]

则 Cauchy 积分公式

\[f(a)=\frac1{2\pi\text{i}}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z\]

仍然成立,此处 \(a\) 为 \(C\) 外一点,积分路线 \(C\) 逆向.

2.5 Higher-Order Derivatives of Analytic Functions

Theorem 高阶导数公式

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

设 \(f(x)\) 是区域 \(G\) 内的解析函数, 则在区域 \(G\) 内 \(f(z)\) 的任何阶导数都存在, 并且 \(f^{(n)}(z)\) 也是区域内的解析函数.

2.6 Cauchy-type Integrals and Analyticity of Parametric Integrals

Theorem Morera 摩列拉定理设 \(f(z)\) 在区域 \(G\) 内连续. 如果对 \(G\) 中的任何闭合围道 \(C\), 都有

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0.\]

则 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析.

Theorem 含参量积分的解析性: 设

\(f(t,z)\) 是 \(t\) 和 \(z\) 的连续函数, \(t\in[a,b],z\in G\),
对于 \([a,b]\) 上的任何 \(t\),\(f(t,z)\) 是 \(G\) 内的解析函数,

则 \(F(z)=\int_a^bf(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 内是解析的, 且

\[F^{\prime}(z)=\int_a^b\frac{\partial f(t,z)}{\partial z}\mathrm{d}t\]

2.7 Poisson Integral

上半平面的 Poisson 公式 对于区域 \(\overline{G}\) 上的解析函数 \(f(z)\), 边界上的数值就完全决定了函数在 \(G\) 内任意一点的值. 当 \(f(z)\) 在上半平面解析时, 如图取一个特殊的围道:

上半平面 Poisson 公式使用的半圆闭合围道示意图.

令 \(\zeta=\xi+\mathrm{i}\eta\), 就有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{-R}^{R}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi+\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{C_{R}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta.\]

若 \(z\) 在上半平面趋于 \(\infty\) 时 \(f(z)\) 一致地趋于 0, 则根据大圆弧定理可知

\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=0\Longrightarrow f(z)=\dfrac{1}{2\pi\text{i}}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

此结果说明, 由 \(f(z)\) 在实轴上的值, 可以唯一地决定它在上半平面任意一点的数值. 进一步令 \(z=x+iy, f(z)=u+iv\), 还可以单独地写出 \(f(z)\) 的实部与虚部:

\[u(x,y)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)v(\xi,0)+yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi,\]

\[v(x,y)=-\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)u(\xi,0)-yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\]

对于其共轭点 \(\bar z\), 同理有

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)u(\xi,0)+yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi=0,\]

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{(\xi-x)v(\xi,0)-yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi=0\]

对应的实部和虚部相减, 得到

\[\begin{aligned}u(x,y)&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\xi-x)v(\xi,0)}{(\xi-x)^{2}+y^{2}}\mathrm{d}\xi\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{yu(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\end{aligned},\qquad \begin{aligned}v(x,y)&=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\xi-x)u(\xi,0)}{(\xi-x)^{2}+y^{2}}\mathrm{d}\xi\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{yv(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}\mathrm{d}\xi\end{aligned}\]

圆内区域的 Poisson 公式 取圆内点 \(z\) 及其共轭点 \(z^*=\frac{R^2}{\bar z}\), 同样操作得到

\[\begin{aligned}&u(r,\phi)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{u(a,\theta)}{a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\phi-\theta)}\mathrm{d}\theta\\&v(r,\phi)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{v(a,\theta)}{a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\phi-\theta)}\mathrm{d}\theta\end{aligned}\]

3 Complex Series

3.1 Complex Series

Definition 序列极限给定序列 \(\{z_n\}\),如果存在复数 \(z,\forall\epsilon>0,\exists N(\epsilon)>0\),使当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(|z_n-z|\lt\epsilon\) (即 \(z_n\) 属于 \(z\) 的 \(\epsilon\)-邻域).则称 \(z_n\) 收敛于 \(z\),记为 \(\lim_{n\to\infty}z_n=z\).

Theorem 序列收敛的 Cauchy 充要条件 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使得 \(\forall n, m>N\),有 \(|z_m-z_n|\lt\epsilon\)

Definition 复数级数 \(\{u_n\}\) 为一序列, 则 \(\sum_{n=0}^\infty u_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots\) 被称为复数级数.

Definition 部分和与级数和
\[S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n\]
为部分和, 若 \(\{S_n\}\) 收敛, 则称级数 \(\sum u_n\) 收敛, \(S=\lim_{n\to\infty}S_n\) 称为级数 \(\sum u_n\) 的和; 反之称级数发散.
Theorem 级数收敛的 Cauchy 充要条件 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使得 \(\forall n>N, p\in Z_+\),有 \(|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|\lt\epsilon\).

Theorem 级数收敛的必要条件: \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\).

Definition 绝对收敛级数(级数收敛的充分条件) \(\sum|u_n|\) 收敛, 则称 \(\sum u_n\) 绝对收敛.

Theorem 绝对收敛判别:

比较判别: 若 \(|u_n| \lt v_n\), 而 \(\sum v_n\) 收敛, 则 \(\sum|u_n|\) 收敛(即 \(\sum u_n\) 绝对收敛). 若 \(|u_n|>v_n\), 而 \(\sum v_n\) 发散, 则 \(\sum|u_n|\) 发散(但 \(\sum u_n\) 不一定发散).

经常用几何级数 \(1+\rho+\rho^2+\cdots+\rho^n+\cdots\quad\rho>0\) 作为比较级数. 当 \(\rho\lt1\) 时, 几何级数收敛到 \(\frac1{1-\rho}\). 当 \(\rho\geq1\) 时, 级数发散.
比值判别: 若存在常数 \(\rho\lt1\) 使得 \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\leq\rho\lt1\), 则级数绝对收敛; 若大于 1, 则级数本身发散.
根式判别: 若 \(|u_n|^{\frac{1}{n}}\leq\rho\lt1\), 则级数绝对收敛; 若大于 1, 则级数本身发散.
D’Alembert 判别法: 若 \(\lim_{n\to\infty}\sup\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\lt1\), 则级数绝对收敛; 若 \(\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|>1\), 级数发散.
Cauchy 判别法: 若 \(\lim_{n\to\infty}\sup|u_n|^{\frac{1}{n}}\lt1\), 则级数绝对收敛; 若 \(\limsup_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}>1\), 则级数发散; 等于 1 时此判别法不能判断.
积分判别法: 设 \(f(x)\) 为连续、单调下降的正函数, 且 \(f(n)=a_n\), 则正项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 与 \(\int_1^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 同为收敛或发散. Proof 作两种图得到 \(\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x\lt\sum_{n=1}^\infty a_n\lt\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x+a_1\).

Theorem 绝对收敛性质: 重排仍收敛/乘积仍收敛/拆分仍收敛. e.g.\(\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty u_{2n}+\sum_{n=0}^\infty u_{2n+1}\).

3.2 Double Series

Definition 二重级数

\[\begin{matrix} &a_{11}+&a_{12}+&a_{13}+&a_{14}+&\cdots+&a_{1n}+&\cdots\\ +&a_{21}+&a_{22}+&a_{23}+&a_{24}+&\cdots+&a_{2n}+&\cdots\\ +&&&\vdots\\ +&a_{m1}+&a_{m2}+&a_{m3}+&a_{m4}+&\cdots+&a_{mn}+&\cdots\\ +&&&\vdots \end{matrix}\]

Definition 二重级数部分和
\[S_{mn}=\sum_{\begin{array}{l}1\leq k\leq m\\1\leq l\leq n\end{array}}a_{kl}\]
若 \(\lim_{m, n\to\infty}S_{mn}=S\), 则称二重级数收敛.

一般地讲, 逐行/逐列求和结果可以不同(不可交换). e.g.
\[a_{kl}=\frac{1}{k+1}\left(\frac{k}{k+1}\right)^l-\frac{1}{k+2}\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^l\]\[S_{mn}=\sum_{l=1}^n\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^l-\frac{1}{m+2}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)^l\right]\]\[-S'= S''=\frac 12\]
则对此二重级数, 其级数和不存在.

Theorem 若二重级数绝对收敛, 则三个求和

\[\sum_{k,l=0}^\infty a_{kl},\quad\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{kl},\quad\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty a_{kl}\]

都收敛, 且和相同. (即绝对收敛的二重级数具有可交换性).

对角求和: \[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{kl}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^na_{n-l,l}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty a_{n+l,l}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^\infty a_{n+l,l}\]

3.3 Function Series

Definition 函数级数

\[u_1(z)+u_2(z)+\cdots+u_n(z)+\cdots\]

点收敛性: \(\sum u_k(z_0)\) 收敛, 则称级数在 \(z=z_0\) 处收敛. 外推得到区域收敛性, 同时级数和为单值函数.
逐点收敛: \(\forall\varepsilon>0,\exists N(z),\quad\mathrm{s.t.~}\forall n>N(z)\mathrm{~,~}p\geq1\mathrm{~,~}|\sum_{k=n+1}^{n+p}w_k|\lt\varepsilon\).

Definition 一致收敛若 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)\) 与 \(z\) 无关. 使得当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(\forall z\in G\)

\[\left|S(z)-\sum_{k=1}^nu_k(z)\right|\lt\epsilon\]

则称 \(\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\) 在 \(G\) 内一致收敛.

闭一致收敛:在区域 \(G\) 内的任一闭圆盘中一致收敛.
Theorem 一致收敛 Cauchy 充要条件若 \(\forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)\) 与 \(z\) 无关. 使得当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(\forall p\in Z_+,z\in G\)
\[\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(z)\right|\lt\epsilon\]
Weierstrass M 判别法:若在区域 \(G\) 内 \(|u_k(z)|\lt a_k\), \(a_k\) 与 \(z\) 无关且 \(\sum a_k\) 收敛,则 \(\sum u_k\) 在 \(G\) 内绝对且一致收敛
次序交换:
- 若 \(u_k(z)\) 连续, \(\sum u_k(z)\) 一致收敛, 则 \(S(z)=\sum u_k(z)\) 在 \(G\) 内也连续, 可以逐项求极限
  \[\lim_{z\to z_0}\sum_{k=1}^\infty u_k(z)=\sum_{k=1}^\infty u_k(z_0)=\sum_{k=1}^\infty\lim_{z\to z_0}u_k(z)\]
- 若 \(u_k(z)\) 是区域 \(G\) 内一条分段光滑曲线 \(C\) 上的连续函数, 则对于 \(C\) 上的一致收敛级数 \(\sum u(z)\), 可以逐项求积分
  \[\int_C\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^\infty\int_Cu_k(z)\mathrm{d}z\]
- Weierstrass 定理: 若 \(u_k\) 在 \(G\) 内解析, \(\sum u_k(z)\) 在 \(G\) 内闭一致收敛, 则 \(S(z)\) 是 \(G\) 内的解析函数, 可以逐项求导数
  \[S^{(p)}(z)=\left(\sum_{k=1}^\infty u_k(z)\right)^{(p)}=\sum_{k=1}^\infty u_k^{(p)}(z)\]
  且级数的导数也在 \(G\) 内闭一致收敛.

3.4 Power Series

Definition 幂级数

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+\cdots+c_n(z-a)^n+\cdots\]

Theorem Abel 第一定理如果 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在某点 \(z_0\) 收敛, 则在 \(|z-a|\lt|z_0-a|\) 的圆内绝对收敛, 在 \(|z-a|\leq r\lt|z_{0}-a|\) 的闭圆内一致收敛. Corollary 若 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在某点 \(z_1\) 发散, 则在圆外 \(|z-a|>|z_1-a|\) 处处发散.

Definition 收敛圆、收敛半径从 \(a\) 到 \(\infty\) 的一条直线上, 幂级数的收敛性有三种可能:

在 \(z=a\) 为 \(c_0\), 在其他点都发散(全平面除 \(a\) 点都发散)
直线上所有点都收敛(全平面收敛)
从 \(a\) 到 \(A\) 处处收敛, \(A\) 到 \(\infty\) 处处发散, \(A\) 点不确定性质(按 Abel 定理可以得到收敛圆, 半径 \(|A-a|\))

幂级数在收敛圆内任意闭圆盘内一致收敛, 收敛圆内幂级数代表解析函数

求收敛半径

Cauchy-Hadamard 公式: 当 \(\lim_{n\to\infty}\sup|c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}\lt1\) 时, 级数绝对收敛, 当 \(\lim_{n\to\infty}\sup |c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}>1\) 时, 级数发散不论 \(\lim_{n\to\infty}|c_n(z-a)^n|^{\frac{1}{n}}\) 是否存在, 都有
\[|z-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sup|c_n|^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{1}{c_n}\right|^{\frac{1}{n}}\]
存在性由 lim superior 保证 Corollary 幂级数与其导数的收敛半径一致 Proof 由于导数为
\[\sum_{n=1}^\infty na_nz^{n-1}\]
故证明 \(\lim_{n\to\infty}\sup\sqrt[n]{n}=1\) 即可. 对于解析函数, 其解析邻域内一定有泰勒级数展开表示.
D’Alembert 判别法: 若下述极限存在, 则
\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(z-a)^{n+1}}{c_n(z-a)^n}\right|\begin{cases}\lt1&\text{级数绝对收敛}\\>1&\text{级数发散}\\=1& 判别法实效\end{cases}\]
即
\[|z-a|\begin{cases}\lt R&级数绝对收敛\\>R&级数发散\end{cases},\quad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\]
对于级数的求和结果 \(f(z)\) 可以解析地确定的情况, 直接找出其结果的奇点即可
对于不连续的, Example \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{3n+2}}z^{4n+1}\),
\[R=\lim_{n\to\infty}\inf\left|\frac{2^{3n+2}}{(-1)^n}\right|^{\frac{1}{4n+1}}=\lim_{n\to\infty}\inf 2^{\frac{3}{4}+\frac{5}{16n+4}}=\sqrt[4]{8}\]
同理, 对于周期性的, 可以对周期中每一个求完取最小.

Theorem Abel 第二定理

Abel 第二定理中通过扇形区域逼近边界点的几何示意图.

若幂级数 \(\sum c_n(z-a)^n\) 在收敛圆内收敛到 \(f(z)\), 且在收敛圆圆周上某点 \(z_0\) 也收敛, 级数和为 \(S(z_0)\), 则当 \(z\) 由收敛圆内趋于 \(z_0\) 时, 只要保持在朝向圆内的非切向区域内, 例如固定 \(C>1\) 并满足 \(|z-z_0|\le C(R-|z-a|)\), 其中 \(R\) 为收敛半径, \(f(z)\) 就趋于 \(S(z_0)\).

Theorem Dirichlet 判别法: 对于级数

\[\sum_{k=1}^\infty a_kb_k\]

若单调序列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\lim_{k\to\infty}a_k=0\), 又级数 \(\sum b_k\) 的部分和有界, 则级数收敛.

Theorem Simpson’s dissection 设 \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛半径为 \(R\), \(k\) 为正整数, \(m\in\{0,\cdots,k-1\}\). 对 \(|x|\lt R\), 有

\[\sum_{n=0}^\infty a_{kn+m}x^{kn+m}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\cdot\delta_{n\equiv m({\mathrm{mod}}k)}=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{-mj}f(\omega^jx),\]

其中 \(\omega=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/k}\) 是 \(k\) 次本原单位根. Proof 利用 \(\omega\) 的完备性

\[\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{j\ell}= \begin{cases}k&\mathrm{if}\,\ell\equiv0({\mathrm{mod}}k),\\0&\mathrm{else}\end{cases}\]

Example 求级数和 \(S(z)=\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{z^{6k+1}}{6k+1}-\frac{z^{6k+5}}{6k+5}\right],\quad -\frac{\pi}{3}\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}\)(提示:\(\ln(1-z)=-z-\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}-\cdots,\quad|z|\lt1\)) Solve 级数的收敛区域为 \(|z|\lt1\). 如果 \(S(z)\) 在 \(z=\mathrm{e}^\mathrm{i\theta}\) 时收敛, 则

\[\cos\theta-\frac{\cos5\theta}{5}+\frac{\cos7\theta}{7}-\frac{\cos11\theta}{11}+-\cdots=\mathrm{Re}S(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}).\]

在收敛圆 \(|z|\lt1\) 内, 级数 \(S(z)\) 绝对收敛, 我们可以把它拆成两个级数

\[S(z)=S_1(z)-S_5(z),\quad S_l(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^{6k+l}}{6k+l}.\]

利用 Simpson’s dissection 定理, 得

\[S_l(z)=-\frac16\sum_{j=1}^6\omega^{-lj}\ln(1-z\omega^j),\]\[S_{1}(z)=-\frac{1}{6}\sum_{j=1}^{6}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi j/3}\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3}),\quad S_{5}(z)=-\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3}\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3})\]

\[\begin{aligned}S(z)=&\frac{\mathrm{i}}{3}\sum_{j=1}^6\sin(\pi j/3)\ln(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi j/3})\\=&\frac{\mathrm{i}}{2\sqrt{3}}\ln\frac{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3})}{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}4\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}5\pi/3})}\\=&\frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}\ln\frac{(1+z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1-z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3})}{(1-z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(1+z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3})}\quad|z|\lt1\end{aligned}\]

在 \(|z|=1\) 的圆周上, 设 \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 级数趋于

\[\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{\mathrm{e}^{(6k+1)\mathrm{i}\theta}}{6k+1}-\frac{\mathrm{e}^{(6k+5)\mathrm{i}\theta}}{6k+5}\right]\]

先验证边界级数收敛: 当 \(\theta\ne0\) 且 \(-\pi/3\lt\theta\lt\pi/3\) 时, \(\mathrm{e}^{6\mathrm{i}\theta}\ne1\), 两个子级数分别由 Dirichlet 判别法收敛; 当 \(\theta=0\) 时, 按原来的成组次序, 每组为 \(4/[(6k+1)(6k+5)]\), 其和收敛. 上式对数取在圆内由 \(S(0)=0\) 确定的连续解析分支, 不能任意合并为主对数. 沿径向趋于 \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 对数内的比值为负实数, 其连续辐角在这个开弧上为 \(\pi\) (由 \(\theta=0\) 处跟踪分支确定). 由 Abel 定理并取实部, 得到

\[\sum_{k=0}^\infty\left[\frac{\cos(6k+1)\theta}{6k+1}-\frac{\cos(6k+5)\theta}{6k+5}\right]=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\]

这里不能推出整个复级数和在开弧上有界: 虚部在靠近 \(\theta=\pm\pi/3\) 时具有对数发散, 两个端点处的复级数也发散.

3.5 Analyticity of Improper Integrals with Parameters

Theorem 设

\(f(t,z)\) 是 \(t, z\) 的连续函数, \(t\ge a, z\in G\).
\(\forall t\ge a\), \(f(t,z)\) 是 \(G\) 内的解析函数.
\(\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 中闭一致收敛, 即对 \(G\) 内任意闭圆盘区域, \(\forall\epsilon>0,\exists T(\epsilon)\), 当 \(T_{2}>T_{1}>T(\epsilon)\) 时, 有 \[\left|\int_{T_1}^{T_2}f(t,z)\mathrm{d}t\right|\lt\epsilon\]

则 \(F(z)=\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(G\) 内是解析的, 且

\[F^{\prime}(z)=\int_a^\infty\frac{\partial f(t,z)}{\partial z}\mathrm{d}t\]

Theorem 无穷积分/瑕积分一致收敛的充分条件若 \(\exists \phi(t)\), 使得 \(|f(t,z)|\lt\phi(t), z\in\overline G\), 而且 \(\int_a^\infty\phi(t)\mathrm{d}t\) 收敛, 则 \(\int_a^\infty f(t,z)\mathrm{d}t\) 在 \(\overline G\) 上绝对且一致收敛.

3.6 Divergent Series and Asymptotic Series

Definition \(O/o\). 设 \(f(z)\) 和 \(\phi(z)\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi(z)\neq0\), 若 \(z\to z_0\) 时, \(f(z)/\phi(z)\) 有界, 则记为

\[f(z)=O\left(\phi(z)\right),\quad z\to z_0\]

若 \(\lim_{z\to z_0}f(z)/\phi(z)=0\), 则记为

\[f(z)=o\left(\phi(z)\right),\quad z\to z_0\]

Definition 渐近序列设函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi_n(z)\neq0\)(\(z_0\) 点可以除外), 若对于所有的 \(n\), 有

\[\phi_{n+1}(z)=o\left(\phi_n(z)\right),\quad z\to z_0\]

则称函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 为 \(z\to z_0\) 时的一个渐近序列.

Definition 渐近级数若

\[\left[f(z)-\sum_{n=0}^ma_n\phi_n(z)\right]=o\left(\phi_m(z)\right), \quad \forall m\in\mathbb{N},\quad z\to z_0\]

则称 \(\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\) 是函数 \(f(z)\) 相对于 \(\{\phi_n(z)\}\) 的渐近级数, 记为

\[f(z)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\]

\(z\) 越接近 \(z_0\), 有限和 \(\sum_{n=0}^m a_n\phi_n(z)\)(称为 \(z\to z_0\) 时 \(f(z)\) 的渐近近似)越逼近于 \(f(z)\). 它区别于通常的级数展开,例如幂级数展开
\[f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n+\cdots\]
后者是 \(z\) 点固定, 而级数的项数越多越准确, 即
\[\lim_{N\to\infty}\left[f(z)-\sum_{n=0}^Nu_n(z)\right]=0.\]
在渐近级数的定义中, 并未要求级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\phi_n(z)\) 收敛. 渐近展开级数可以(而且常常)不是收敛级数. 因此, 对于一定的 \(z\), 并不能通过多取项数(即增大 \(N\))来改善近似程度.

4 Local Expansions of Analytic Functions

4.1 Taylor Expansion

Theorem Taylor 展开设函数 \(f(z)\) 在 \(|z-a|\lt R\) 内解析, 则对圆内任何 \(z\) 点, \(f(z)\) 可以展开为

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\]

对于复变函数, 解析性就足以保证 Taylor 级数收敛.
Taylor 形式的展开是唯一的
若 Taylor 级数的最大收敛半径为有限值 \(R\), 则其收敛圆周上至少有一个不可去奇点; 否则可延拓到更大的圆盘. 任意先行选定的解析圆盘边界不必有奇点.

基本初等函数的展开

\[\mathrm{e}^{z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!},\quad |z|\lt\infty;\qquad \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n,\quad \left|z\right|\lt1;\]

\[\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad |z|\lt\infty;\qquad \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad |z|\lt\infty;\]

\[\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n,\quad \left|z\right|\lt1;\qquad (1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}z^n,\quad |z|\lt1.\]

Taylor 级数求法

有理函数: 分式拆分法
\[\begin{aligned} \frac{1}{1-3z+2z^2}&=\frac{1}{(1-z)(1-2z)}=-\frac{1}{1-z}+\frac{2}{1-2z} \\&=-\sum_{n=0}^\infty z^n+2\sum_{n=0}^\infty(2z)^n =\sum_{n=0}^\infty(2^{n+1}-1)z^n \end{aligned},\quad|z|\lt\frac{1}{2}\]
化为简单函数求导:
\[\begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^2}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{1}{1-z}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}z^n \\&=\sum_{n=1}^\infty nz^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)z^n\end{aligned},\quad|z|\lt1\]
化为简单函数积分: 对多值函数 \(\ln(1+z)\) 在 \(z=0\) 邻域的展开, 规定割线从 \(-1\) 到 \(-\infty\)
\[\begin{aligned} \ln(1+z)-\ln(1+z)|_{z=0}&=\int_0^z\frac{1}{1+z}=\int_0^z\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\mathrm{d}z\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n\end{aligned},\quad |z|\lt1\]
Remark Taylor 展开由展开中心的解析函数芽决定. 收敛半径由该函数芽到最近不可去奇点的距离决定, 奇点可以是极点、本性奇点或枝点; 人为割线本身不限制 Taylor 级数的收敛半径. 仅规定中心函数值, 一般不足以确定解析函数芽.
级数相乘:
\[\begin{aligned}\frac{1}{1-3z+2z^2}&=\frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-2z}\\ &=\sum_{k=0}^\infty z^k\cdot\sum_{l=0}^\infty2^lz^l =\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty2^lz^{k+l}\end{aligned}\]
设 \(n=k+l\), 则
\[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty2^lz^{k+l}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^n2^lz^n=\sum_{n=0}^\infty(2^{n+1}-1)z^n\]
待定系数法: (1) 对函数 \(f(z)=\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}\), 定义 \(f(0)=\lim_{z\to0}f(z)=1\), 则函数在 \(|z|\lt2\pi\) 范围解析. 设(这是 Bernoulli 数的生成函数)
\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n\]
移项得到
\[1=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}z^k\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l!}z^{l-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}z^k\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{(l+1)!}z^l\]
令 \(n=k+l\) 得到
\[1=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!(n-k+1)!}z^n\]
故对于系数有(Bernoulli 数)
\[\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!(n-k+1)!}=\begin{cases}1&n=0\\0&n\neq0&&\end{cases}\]
可以简单地得到 \(B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}\), 考虑到
\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\frac{z}{2}\left(\frac{\mathrm{e}^z+1}{\mathrm{e}^z-1}-1\right)=\frac{z}{2}\frac{\mathrm{e}^{z/2}+\mathrm{e}^{-z/2}}{\mathrm{e}^{z/2}-\mathrm{e}^{-z/2}}-\frac{z}{2}\]
第一项为偶函数, 展开时只有 \(z\) 的偶数次幂, 则 \(B_{2n+1}=0, n>0\). 对于偶数次项有递推式
\[\sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{B_{2k}}{(2k)!(n-2k+1)!}=\frac{n-1}{2(n+1)!}\]\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=1-\frac{1}{2}z+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n},\quad |z|\lt2\pi\]
(2) 对 \((1+z)^\alpha\) 在 \(z=0\) 的邻域
\[[(1+z)^\alpha]^{\prime}=\frac{\alpha}{1+z}(1+z)^\alpha\]
设 \((1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\) 得到
\[(1+z)\sum_{n=0}^\infty nc_nz^{n-1}=\alpha\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty(n+1)c_{n+1}z^n=\sum_{n=0}^\infty(\alpha-n)c_nz^n\]
比较系数得到 \((n+1)c_{n+1}=(\alpha-n)c_n\), 那么
\[c_{0}=f(0)=(1+z)^{\alpha}|_{z=0},\quad c_{1}=\alpha c_0,\quad c_{2}=\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}c_0,\cdots, c_n=\binom{\alpha}{n}c_0\]

\[\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots[\alpha-(n-1)]}{n!},\quad \alpha\in\mathbb{R}\]

\[(1+z)^\alpha=(1+z)^\alpha|_{z=0}\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}z^n\]

4.2 Isolation of Zeros and Uniqueness of Analytic Functions

Definition 零点称 \(z=a\) 为 \(f(z)\) 的零点当 \(f(z)\) 在 \(a\) 解析且 \(f(a)=0\).

Theorem 零点的孤立性设 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析且不恒为 0, \(a\) 为其零点, 则必能找到一个 \(|z-a|\lt\rho\), 在其中 \(a\) 为唯一零点. Proof 在零点 \(z=a\) 邻域展开得到

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n,\quad a_0=0\]

设最低阶非零系数为 \(a_m, m\in\mathbb{Z}_+\), 则

\[\begin{aligned} f(z)&=\sum_{n=m}^\infty a_n(z-a)^n=(z-a)^m\sum_{n=m}^\infty a_n(z-a)^{n-m}\\&=(z-a)^m\sum_{n=0}^\infty a_{m+n}(z-a)^n=(z-a)^m\phi(z)\end{aligned}\]

\(\phi(z)\) 在 \(z\) 的邻域 \(|z-a|\lt R\) 内解析, 且 \(\phi(a)=a_m\ne 0\). 为保证 \(\phi(z)\) 的连续性有

\[\forall\varepsilon>0,\exists\rho>0,\quad \mathrm{s.t.}\,|\phi(z)-\phi(a)|\lt\varepsilon, \ |z-a|\lt\rho\]

不妨取

\[\varepsilon=\frac{\left|\phi(a)\right|}{2},\quad \mathrm{s.t.}\, |\phi(z)|>|\phi(a)|-\varepsilon=\frac{1}{2}|\phi(a)|>0\]

则 \(0\lt|z-a|\lt\rho\) 内无零点.

Corollary 设函数 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析, 若 \(f(z)\) 在 \(G\) 的一个子区域内恒为 0, 则 \(f(z)=0\) 在 \(G\) 内成立.

区域内为 0 还可替换为:

\(|z-a|\lt R\) 中存在无穷多个互异零点 \(\{z_n\}\), \(\lim_{n\to\infty}z_n=a, z_n\ne a\). (无穷多点的趋于 \(a\) 的零点序列)

一段弧 \(l\) 上为 0

同理还可以推出 Theorem 解析函数的唯一性定理 \(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 在共同的解析区域 \(G\) 内, 若

\[\exists \{z_n\}\subset G\quad\text{互异},\quad \mathrm{s.t.}\,f_1(z_n)=f_2(z_n)\]

且 \(\{z_n\}\) 的一个聚点(极限点)落在 \(G\) 内, 则在 \(G\) 内 \(f_1(z)\equiv f_2(z)\).

4.3 Laurent Expansion

Definition Laurent series 设函数 \(f(z)\) 在带状区域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 解析, 则在此区域可以如下展开

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-b)^n,\quad a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

\(C\) 是环域内绕内圆一周的任意曲线. 其中非负幂项(正则部分)的收敛范围为 \(|z-b|\lt R_2\), 负幂项(主要部分)的收敛范围为 \(|z-b|>R_1\). Proof 对于环域内任意一点 \(z\), 存在 \(r_1\) 和 \(r_2\) 满足

\[R_1\lt r_1\lt|z-b|\lt r_2\lt R_2\]

Laurent 展开所对应的环域与辅助围道示意图.

在环域 \(r_1\lt|z-b|\lt r_2\) 内取 \(z\) 的一个邻域, 设其边界为 \(C_0\), 则

\[f(z)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_0}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

又由复连通 Cauchy 定理

\[\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi=\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi+\oint_{C_0}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

\[\Longrightarrow f(z)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi-\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\mathrm{d}\xi\]

对于 \(|\xi-b|=r_2\) 的围道, 由 \(|z-b|\lt r_2\)

\[\frac1{\xi-z}=\frac1{(\xi-b)-(z-b)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-b)^n}{(\xi-b)^{n+1}}\]

对于 \(|\xi-b|=r_1\) 的围道, 由 \(|z-b|>r_1\)

\[\frac1{\xi-z}=\frac1{(\xi-b)-(z-b)}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(\xi-b)^n}{(z-b)^{n+1}}\]

则

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty(z-b)^n\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_2}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi+\sum_{n=0}^\infty(z-b)^{-n-1}\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=r_1}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{-n}}\mathrm{d}\xi\]

由复连通区域的 Cauchy 定理, 在环域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 内各个被积函数解析, 故积分围道 \(|\xi-b|=r_2\) 和 \(|\xi-b|=r_1\) 都可换成环域内绕内圆的任意一条简单闭合曲线.将两求和合并后得

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty(z-b)^n\cdot\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi\]

Laurent series 的正项并不同于 Taylor series, 即使是正幂项系数
\[a_n\neq\frac{1}{n!}f^{(n)}(b)\]
Laurent 展开具有唯一性 Proof 设函数在环域 \(R_1\lt|z-b|\lt R_2\) 内还有另一个 Laurent 展开式 \(f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n'(z-b)^n\),则
\[(z-b)^{-k-1}f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}(z-b)^{n-k-1}\]
沿环域内绕内圆一周的任一围道 \(C\) 积分
\[\begin{aligned}\oint_C(z-b)^{-k-1}f(z)\mathrm{d}z&=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}\oint_C(z-b)^{n-k-1}\mathrm{d}z\\&=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n^{\prime}2\pi\mathrm{i}\delta_{nk}=2\pi\mathrm{i}a_k^{\prime}\end{aligned}\]
所以
\[a_k^{\prime}=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_C\frac{f(z)}{(z-b)^{k+1}}\mathrm{d}z=a_k\]
Q.E.D.
对 Laurent 级数的最大收敛环域, 若外圆半径 \(R_2\ne \infty\), 则函数 \(f(z)\) 在外圆上一定有奇点. 同样, 若内圆半径 \(R_1\ne 0\), 函数在内圆上也一定有奇点.特殊情况 \(R_1=0\): 若 Laurent 级数主要部分不为零, 则 \(z=b\) 为 \(|z-b|\lt R_2\) 内的唯一奇点(孤立奇点); 若 Laurent 级数主要部分为零, 则函数在 \(|z-b|\lt R_2\) 内解析, \(z=b\) 为可去奇点.
收敛范围 \(r\lt|z|\lt R,\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sup|a_n|^{1/n}},\quad r=\lim_{n\to \infty}\sup|a_{-n}|^{1/n}\)(比值判别: \(r=(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{-n-1}}{a_{-n}}\right|)\))

Example 1 \(\frac{1}{z(z-1)}\) 在 \(|z|=0\) 与 \(|z|=1\) 之外的幂级数展开 Solution \(\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}\),

\(0\lt|z|\lt1\). 第二项作 Taylor 展开, 总地得到 Laurent 展开式
\[\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}-\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^\infty z^n=-\sum_{n=-1}^\infty z^n\]
\(|z|>1\), 即. 第二项视 \(\frac 1z\) 为变量
\[\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n=-\infty}^{-2}z^n\]

Example 2 \(\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}\) 在 \(0\lt|t|\lt\infty\) 内的幂级数展开. Solution \(\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}=\mathrm{e}^{zt/2}\mathrm{e}^{-z/2t}\), 两项分别展开为 Taylor 和 Laurent 级数

\[\mathrm{e}^{zt/2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^kt^k,\qquad \mathrm{e}^{-z/2t}=\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{l!}\left(\frac{z}{2}\right)^l\left(\frac{1}{t}\right)^l\]

则

\[\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{k!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{k+l}t^{k-l}\]

设 \(k-l=n\), 又

\[\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\cdots=\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\cdots+\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^\infty\cdots\]\[\exp\left\{\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right\} =\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{(n+l)!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}t^n +\sum_{n=-\infty}^{-1}\sum_{l=-n}^{\infty}\frac{(-1)^l}{(n+l)!l!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}t^n =\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n\]

其中

\[J_n(z)=\left\{\begin{aligned}\sum_{l=0}^\infty\frac{(-1)^l}{l!(n+l)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}&n\geq0\\\sum_{l=-n}^\infty\frac{(-1)^l}{l!(n+l)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2l}&n\lt0&\end{aligned}\right.\]

为 n 阶(第一类)Bessel 级数.

4.4 Isolated Singularities of Single-valued Functions

Definition 设 \(b\) 为 \(f(z)\) 的奇点, 若 \(\exists r>0\), 使得 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt r\) 解析, 则称 \(b\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点, 否则为非孤立奇点.

分类: 存在孤立奇点的一个环域 \(0\lt|z-b|\lt R\), 在环域内 \(f(z)\) 可以展开为 Laurent 级数, 若
1. 展开式不含负幂, 称为可去奇点
2. 展开式只含有限负幂, 称为极点
3. 展开式含无穷多负幂项, 称为本性奇点

(1)可去奇点 Laurent 级数退化为 Taylor 级数,

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n\]

级数在收敛圆内解析, 重定义,

\[f(b)=a_0=\lim_{z\to b}\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n=\lim_{z\to b}f(z)\]

则奇点可以去掉. Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 函数的可去奇点的充要条件是存在为有限值的

\[\lim_{z\to b}f(z)\]

等价于存在 \(\delta>0\) 使得函数在 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 有界 \(|f(z)|\lt M\).
等价于 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0\).

Proof 取 \(\rho\lt\delta\) 估算 Laurent 级数的系数

\[a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|\xi-b|=\rho}\frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}}\mathrm{d}\xi,\quad |a_n|\lt\frac{1}{2\pi}\frac{M}{\rho^{n+1}}2\pi\rho=\frac{M}{\rho^n}\]

对 \(n\lt0\), 令 \(\rho\to0\) 得 \(a_n=0\), 所以 Laurent 级数没有负幂项, 奇点可去. 反向由解析延拓的连续性得有界性和有限极限. 若只知 \((z-b)f(z)\to0\), 则 \(F(z)=(z-b)f(z)\) 可去且延拓值 \(F(b)=0\); 因而 \(F(z)=(z-b)h(z)\), 其中 \(h\) 解析, 于是 \(f=h\) 在 \(b\) 可去. (2)极点 若 \(a_{-m}\) 为最低阶的非零系数, 则 \(b\) 为 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶极点

\[f(z)=\sum_{n=-m}^\infty a_n(z-b)^n=(z-b)^{-m}\phi(z),\qquad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n-m}(z-b)^n\]

\(\phi(z)\) 为 \(|z-b|\lt R\) 内的解析函数, 且 \(\phi(b)\ne 0\). \(\lim_{z\to b}f(z)=\infty\). Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 的极点的充要条件是

\[\lim_{z\to b}f(z)=\infty\]

即 \(\forall M>0\), \(\exists\delta>0\), 当 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 时, \(|f(z)|>M\).

等价于 \(z_0\) 是 \(\frac{1}{f(z)}\) 的 \(m\) 阶零点
等价于 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{m+1}f(z)=0\) 且 \(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\)

Proof 由定义, \(\lim_{z\to b}f(z)=\infty\) 即 \(\lim_{z\to b}\frac1{f(z)}=0\). 再任取 \(M>0\), \(\exists\delta\), 使得 \(0\lt|z-b|\lt\delta\) 时, \(|f(z)|>M\). 即在 \(|z-b|\lt\delta\) 内, \(f(z)\neq0\), 所以 \(\frac1{f(z)}\) 在此邻域内解析(包括 \(b\) 点, \(b\) 点为可去奇点).进一步 \(,b\) 为其零点 (且为孤立零点), 设其为 \(m\) 阶零点. 则

\[\dfrac{1}{f(z)}=(z-b)^mg(z),\quad g(b)\neq0\]

即

\[f(z)=(z-b)^{-m}\frac1{g(z)}=(z-b)^{-m}\phi(z), \quad \phi(b)=\frac1{g(b)}\neq0\]

\(b\) 为 \(m\) 阶极点.

(3)本性奇点 Theorem 设函数 \(f(z)\) 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 解析, \(b\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点的充要条件是: \(\forall A\in\mathbb{C}\), \(\exists \{z_n|z_n\to b\}\), 使得 \(f(z_n)\to A\). (可以构造趋于 \(b\) 的序列使函数值趋于任意值)

判断时只需要判断是否趋于一个确定的值.
或者可以判断不是可去奇点或极点

Theorem Casorati-Weierstrass 定理设 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点, 令 \(D\) 是 \(z_0\) 的某个邻域, 使得 \(f(z)\) 在 \(U=D\backslash\{z_0\}\) 上解析. 则 \(f(z)\) 在 \(U\) 上的取值是在 \(\mathbb{C}\) 中处处稠密的, 即对于 \(\mathbb{C}\) 中任何复数, \(f(z)\) 在 \(U\) 上都可无限逼近. Proof 用反证法, 设

\[\exists\alpha\in\mathbb{C},s>0\qquad \mathrm{s.t.}\,|f(z)-\alpha|>s\:,\quad\forall z\in U\]

定义函数

\[g(z)=\frac1{f(z)-\alpha}\:,\]

显然 \(g(z)\) 在 \(U\) 上是解析函数且有界, 因此按照有界可去奇点判据, \(z_0\) 最多是 \(g(z)\) 的可去奇点, 因此可将 \(g(z)\) 延拓成 \(D\) 上的解析函数. 因此, 可对 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 附近做泰勒展开

\[g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\]

若 \(g(z_0)\ne0\), 则 \(f=1/g+\alpha\) 在 \(z_0\) 可去. 若 \(g(z_0)=0\), 由于 \(g\) 在穿孔邻域内非零, 它不恒为零, 故 \(z_0\) 为其有限阶零点, 从而 \(f\) 在 \(z_0\) 为极点. 两种情形都与 \(z_0\) 为本性奇点矛盾.

4.5 Analytic Continuation

Definition 解析延拓设函数 \(f_1(z)\) 在区域 \(G_1\) 内解析, 函数 \(f_2(z)\) 在区域 \(G_2\) 内解析. 而在 \(G_1\) 和 \(G_2\) 的公共区域 \(G_1\cap G_2(\neq\varnothing)\) 内, \(f_1(z)\equiv f_2(z)\), 则可在区域 \(G_1\cup G_2\) 内定义

\[f(z)=\begin{cases}f_1(z)&z\in G_1\\f_2(z)&z\in G_2\end{cases}\]

\(f(z)\) 为 \(G_1\cup G_2\) 内的单值解析函数. 这样函数 \(f_1(z)\) 或 \(f_2(z)\) 的解析范围被扩展了. 我们称 \(f_2(z)\) 为 \(f_1(z)\) 在 \(G_2\) 内的解析延拓; 反之同理. \(f(z)\) 则称为 \(f_1(z)\) 及 \(f_2(z)\) 在 \(G_1\cup G_2\) 内的解析延拓.

要将函数从 \(z_1\) 附近向外延拓, 只要研究其幂级数展开式能否能延拓. 函数的有限表达式难以由幂级数和求出的情况, 可以用幂级数来延拓幂级数: 在 \(z_1\) 和 \(z_2\) 解析的函数 \(f_1(z)\) 的幂级数展开式
\[f_1(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(1)}(z-z_1)^n,\quad |z-z_1|\lt r_1\]

\[f_2(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(2)}(z-z_2)^n,\quad |z-z_2|\lt r_2;,\quad a_n^{(2)}=\frac{f_1^{(n)}(z_2)}{n!}\]
1. \(r_2>r_1-|z_1-z_2|\). \(f_1(z)\) 由 \(z_1\) 沿 \(z_2\) 的方向延拓到收敛圆外.
2. \(r_2=r_1-|z_1-z_2|\). 两圆相切处为奇点, 无论如何延拓都不可能解析.

解析延拓与多值函数

沿重叠区域逐片解析延拓的示意图. 每次拼接在相应连通重叠片上取相同函数值; 绕枝点后返回原邻域, 可能得到不同的解析分支. 重叠本身不产生多值性.

\(f\) 在 \(G\) 上解析, 沿一条路径逐片延拓到 \(G_1,G_2,\ldots\). 每一步在用于拼接的连通重叠片上与前一步相等. 若路径绕过枝点后返回原邻域, 返回的函数芽可能与出发时不同; 这反映延拓结果依赖路径, 不能据此说任意重叠片上的两个延拓函数都可不相等.

所以, 若 \(z_1\) 为奇点, 我们可以绕它一圈做解析延拓:

若在 \(G\cap G_2\) 上 \(f(z)=f_2(z)\), 则函数在相应环域上单值解析. 若 \(z_1\) 是该单值函数的孤立奇点, 其类型应由 Laurent 展开判断: 可去奇点、极点或本性奇点.
若在 \(G\cap G_2\) 上 \(f(z)\neq f_2(z)\), 则函数不可解析延拓到绕 \(z_1\) 点的环域, 函数为多值函数. 化为单值函数, 环域内必存在不解析的割线. \(z_1\) 为函数的枝点.

Definition 解析函数先定义在一个小的区域, 再通过解析延拓推广到整个 Riemann 面, 同时找出函数的奇点(孤立奇点, 枝点, 非孤立奇点), 如此定义得到全局解析函数.

全局解析函数在 Riemann 面上每一点的值是确定的, 它的奇点及其性质也是确定的.
一个全局解析函数可能无法定义在整个复平面. 解析延拓能否实现, 取决于函数的奇点分布: 如果在幂级数的收敛圆的边界上充满了奇点, 那么函数将无法解析延拓出去.

4.6 Bernoulli Numbers and Euler Numbers

将 \(t/(\mathrm{e}^t-1)\) 在 \(t=0\) 展开, 用待定系数法得到 Bernoulli 数

\[\frac{z}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n,\quad |z|\lt2\pi;\]

\[\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{B_{2k}}{(2k)!(n-2k+1)!}=\frac{1}{2n!},\quad n\ge1, \quad B_0=1;\quad B_1=-\frac{1}{2}\]

Bernoulli 数还可以用于其他展开式

\[\begin{aligned} \frac{z}{2}\cot\frac{z}{2} =\frac{\mathrm{i}z}{2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z/2}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z/2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z/2}} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}\frac{\mathrm{B}_{2n}}{(2n)!}z^{2n} ,&|z|\lt2\pi;\\ \frac{z}{2}\tan\frac{z}{2} =\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}-z\cot z &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n-1}\frac{2^{2n}-1}{(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n},&|z|\lt\pi;\\ z\csc z =\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\tan\frac{z}{2} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n-1}\frac{2\left(2^{2n-1}-1\right)}{(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\pi;\\ \ln\frac{\sin z}{z} &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n}\frac{2^{2n-1}}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\pi;\\ \ln\cos z &=\sum_{n=1}^{\infty}(-)^{n}\frac{2^{2n-1}(2^{2n}-1)}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &|z|\lt\frac{\pi}{2};\\ \ln\frac{\tan z}{z} &=\sum_{n=1}^\infty(-)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n-1}-1)}{n(2n)!}\mathrm{B}_{2n}z^{2n}, &\left|z\right|\lt\frac{\pi}{2}.\end{aligned}\]

类似地可以得到 Euler 数

\[\frac{2\mathrm{e}^{z/2}}{\mathrm{e}^z+1}=\mathrm{sech}\frac{z}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm{E}_n}{n!}\left(\frac{z}{2}\right)^n,\quad|z|\lt\pi;\]

\[\sum_{l=0}^n\frac{(2n)!}{(2l)!(2n-2l)!}\mathrm{E}_{2l}=0,\quad n\ge 1,\quad E_0=1;\quad E_{2l+1}=0,\quad l\in \mathbb{N}\]

4.7 Convergence of Infinite Products

Definition 无穷乘积与部分乘积给定一个无穷乘积 \(\prod_{n=1}^\infty b_n\), 我们定义其第 \(n\) 个部分乘积(partial product)为:

\[p_n=\prod_{k=1}^nb_k=b_1\cdot b_2\cdots b_n\]

Definition 无穷乘积的收敛与发散对于无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty}b_n\), 我们根据其因子的性质和部分乘积序列 \(\{p_n\}\) 的行为, 定义其收敛性如下:

发散到零(无穷零因子) 如果无穷多个因子 \(b_n\) 等于 0, 我们称该无穷乘积发散到零
收敛情况
1. (无零因子)如果没有因子 \(b_n\) 等于 0, 我们讨论部分乘积序列 \(p_n\) 的极限:
  - 如果 \(p_{n}\to p\neq0\) 当 \(n\to\infty\), 我们称该无穷乘积收敛, 并且其值为 p. 记作: \(\prod_{n=1}^\infty b_n=p\).
  - 如果 \(p_n\to 0\) 当 \(n\to \infty\), 我们称该无穷乘积发散到 0.
2. (有限零因子)如果只有有限个因子 \(b_n\) 等于 0, 这意味着存在一个正整数 \(N\), 使得 \(\forall n>N\), 都有 \(b_n\neq0\). 这时称无穷乘积 \(\prod_{n=1}^\infty b_n\) 收敛, 当尾部乘积 \(\prod_{n=N+1}^\infty b_n\) 按照无零因子的要求收敛到一个非 0 的极限. 此时无穷乘积的值定义为:
  \[\prod_{n=1}^\infty b_n=b_1\cdot b_2\cdots b_N\cdot\left(\prod_{n=N+1}^\infty b_n\right)\]
  这种情况下收敛的无穷乘积的值总是 0.
发散情况如果一个无穷乘积不满足上述收敛条件, 我们就称它发散. 包括 \(p_n\) 趋于无穷、 \(p_n\) 振荡不收敛、尾部乘积发散或发散到零的情况.

Definition 若 \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|)\) 收敛, 则称无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 绝对收敛
Theorem 若 \(a_n\ge0\), 则 \(\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛当且仅当 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 对 \(\prod_{n=1}^\infty(1-a_n)\), 在 \(0\le a_n\lt1\) 的条件下同样成立. Proof 收敛的非零尾部乘积要求 \(a_n\to0\). 对充分大的 \(n\), \(a_n\le1/2\), 有 \[\frac{a_n}{2}\le\ln(1+a_n)\le a_n,\qquad a_n\le-\ln(1-a_n)\le2a_n.\] 将尾部乘积取对数, 由比较判别法得到结论. 若只有有限个 \(a_n=1\), 按上面的有限零因子定义, 应越过这些因子后检验尾部乘积; 无穷多个零因子仍为发散到零.

4.8 Weierstrass Factorization Theorem

核心思想: 通过添加指数因子来确保收敛性(零点增长不够快时). 通过一个整函数的零点与一个描述零点之外的增长行为等信息的指数因子构造出这个函数

Theorem Weierstrass 因子分解定理. 设 \(f(z)\) 是一个不恒为零的整函数, 在 \(z=0\) 有一个 \(m\) 阶零点(如果 \(f(0)\neq0\), 则 \(m=0\)).

设 \(f(z)\) 的其它非零零点为 \(z_1, z_2, z_3, \cdots\) (计入重数), 并按模长排序, 满足

\[\begin{gathered} 0\lt | z_1| \leq | z_2| \leq \cdots \\ \lim _{n\to \infty }| z_n| = \infty \end{gathered}\]

则存在一个整数序列 \(\{ k_n|k_n\ge 0\} _{n= 1}^{\infty }\), 使得 \(\forall R>0\) 时级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{R}{z_n}\right|^{k_n+1}\]

收敛. 此时 \(f(z)\) 可以写为

\[f(z)=z^m\mathrm{e}^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\mathrm{e}^{P_n(z)}\]

其中 \(g(z)\) 是整函数, 多项式为

\[P_n(z)=\sum_{j=1}^{k_n}\frac1j\left(\frac{z}{z_n}\right)^j,\]

当 \(k_n=0\) 时为空和 \(P_n=0\). 若非零零点只有有限个, 相应乘积为有限乘积.

\(\{k_n\}\) 的选取保证规范乘积在任一紧子集上收敛. 若存在固定 \(k\ge0\) 使 \(\sum_n|z_n|^{-k-1}\) 收敛, 可以取所有 \(k_n=k\). 一种总可行的选择是 \(k_n=n-1\): 对任意固定 \(R>0\), 充分大的 \(n\) 有 \(R/|z_n|\le1/2\), 故尾部受 \(\sum_n2^{-n}\) 控制. 其他选择须另行验证上述绝对收敛条件.
对给定的 \(f\), 记非零零点的规范乘积为 \(W(z)\), 则
\[g'(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac mz-\frac{W'(z)}{W(z)}.\]
零点处的极点主部相消, 右侧延拓为整函数. Mittag-Leffler 定理给出的是主部的实现, 仅凭零点不能唯一确定整函数余项; 任意整函数指数因子都保持同一零点分布.

4.9 Mittag-Leffler Theorem

Theorem Mittag-Leffler 定理对于亚纯函数 \(f(z)\), 若满足:

极点分布: 组成一个单增序列 \(\{a_n\}\), 满足 \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty\) 且 \(a_1\neq0\). (即极点不可以有聚点)
围道序列: 有一系列围道 \(\{C_m\}\), 满足
- 包含 \(f(z)\) 的前 \(m\) 个极点 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)
- \[ \lim_{m\to\infty}R_m=\infty,\quad\lim_{m\to\infty}l_m=\infty,\quad \frac{l_m}{R_m}有界 \]
  其中 \(l_m\) 为 \(C_m\) 的周长, \(R_m\) 为到原点的距离
增长性条件: 存在最小的 \(p\in \mathbb{N}\), 使得在 \(C_m\) 上 \(|z^{-p}f(z)|\) 一致有上界 \(M\)(\(M\) 与 \(m\) 无关)

则可以写作:

\[f(z)=\sum_{k=0}^p\frac{z^k}{k!}f^{(k)}(0)+\sum_{n=1}^\infty\left[G_n\left(\frac{1}{z-a_n}\right)-\varphi_{n,p}(z)\right]\]

其中 \(G_n[(z-a_n)^{-1}]\) 是 \(f(z)\) 在 \(z=a_n\) 处洛朗展开的主部(负幂项), \(\varphi_{n, p}(z)\) 是 \(G_n[(z-a_n)^{-1}]\) 在 \(z=0\) 处 Taylor 展开的前 \(p+1\) 项

\[\varphi_{n,p}(w)=\sum_{k=0}^p\frac{w^k}{k!}\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}z^k}G_n[(z-a_n)^{-1}]\Big|_{z=0}\]

特别地, 当 \(p=0\) 且均为一阶极点的情况, 展开为 \[f(z)=f(0)+\sum_{k=1}^\infty b_k\left(\frac{1}{z-a_k}+\frac{1}{a_k}\right)\]

4.10 Argument Principle

Theorem 设 \(C\) 是一条分段光滑的简单闭合围道 (按逆时针方向). 设函数 \(f(z)\) 在 \(C\) 上及其内部是亚纯函数, 并且在 \(C\) 上没有零点和极点. 令 \(Z\) 为 \(f(z)\) 在 \(C\) 内部的零点数目(计入重数), \(P\) 为 \(f(z)\) 在 \(C\) 内部的极点数目(计入阶数), 则

\[\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)}dz=Z-P\]

由于 \(\ln f(z)\) 的性质, 定理也可以记作

\[\frac{1}{2\pi}\Delta_C\arg f(z)=Z-P\]

对于没有极点的情况, 可以不断细分区域来定位零点.

5 Residue Theorem

5.1 Residue Theorem

Definition 留数 residue 若 \(b\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点, 在 \(0\lt|z-b|\lt R\) 的环域内有 Laurent 展开

\[f(z)=\sum_{-\infty}^\infty a_n(z-b)^n\]

则 \(f(z)\) 在孤立奇点 \(b\) 的留数为

\[\mathrm{res}f(b)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|z-b|=r}f(z)\mathrm{d}z\]

Theorem 留数定理若在闭合围道积分 \(\oint_Cf(z)\mathrm{d}z\) 的围道内部, 被积函数除有限几个孤立奇点 \(\{b_k\}\) 外解析, 对每个奇点作小圆 \(\{\gamma_k\}\) 包围, 则根据复连通区域的 Cauchy 定理

\[\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{\gamma_k}f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_{k=1}^n\mathrm{res}f(b_k)\]

留数的计算 对于可去奇点, 留数为 0, 不予考虑

一阶极点对于一阶奇点, 在其某一空心邻域内可以表示为
\[f(z)=\frac{1}{z-b}\phi(z),\quad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n(z-b)^n,\quad \phi(b)\ne 0\]
则留数
\[\mathrm{res}f(b)=\alpha_0=\phi(b)=\lim_{z\to b}(z-b)f(z)\]

一种常见情况为 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\), \(P(z),Q(z)\) 在 \(b\) 点及其邻域解析, \(b\) 是 \(Q(z)\) 的一阶零点, 则
\[\mathrm{res}f(b)=\lim_{z\to b}(z-b)\frac{P(z)}{Q(z)}=P(b)\cdot\lim_{z\to b}\frac{z-b}{Q(z)}=\frac{P(b)}{Q^{\prime}(b)}\]
m 阶极点(留数公式)
\[f(z)=(z-b)^{-m}\phi(z),\quad \phi(z)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n(z-b)^n,\quad \phi(b)\ne 0\]

\[\begin{aligned} \mathrm{res}f(b)&=\alpha_{m-1}=\frac{1}{(m-1)!}\phi^{(m-1)}(b)\\ &=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to b}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-b)^mf(z)] \end{aligned}\]
本性奇点本性奇点, 只能使用 Laurent 展开求系数 \(a_{-1}\); 高阶极点有时求展开系数比留数公式更简单. 例如用待定系数法之后逐项比较

对无穷远点,

作变换 \(t=\frac{1}{z}\) 得到(无穷远性质一般可由此体现)
\[\begin{aligned} \mathrm{res}f(\infty) &=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C^{\prime}}f(z)\mathrm{d}z =-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(1/t)}{t^{2}}\mathrm{d}t\\ &=-\frac{f(1/t)}{t^2}\quad 在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t^{-1}项的系数\\ &=-f(1/t)\quad\ \ 在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t^1 项的系数\\ &=-f(z)\qquad\ \ 在 z=\infty 点邻域内幂级数展开中 z^{-1}项的系数 \end{aligned}\]

若围道积分在围道半径趋于 \(\infty\) 时不发散, 且奇点有限, 则无穷远点的留数等于非 \(\infty\) 的各点留数之和的相反数.

留数求有理函数的部分分式展开: Example
\[\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}=\frac{A}{(z-1)^2}+\frac{B}{z-1}+\frac{C}{z-2}+\frac{D}{z-3}\]\[A=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)(z-2)(z-3)}\right|_{z=1}=\frac 12\]\[B=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=1}=\frac 34\]\[C=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=2}=-1\]\[D=\left.\mathrm{res}\frac{1}{(z-1)^2(z-2)(z-3)}\right|_{z=3}=\frac 14\]

5.2 Integrals of Rational Trigonometric Functions

\[\begin{aligned} I&=\int_0^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)\mathrm{d}\theta=\oint_{|z|=1}R\left(\frac{z^{2}-1}{2\mathrm{i}z},\frac{z^{2}+1}{2z}\right)\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{i}z}\\ &=2\pi\sum_{|z|\lt1}\mathrm{res}\left\{\frac{1}{z}R\left(\frac{z^{2}-1}{2\mathrm{i}z},\frac{z^{2}+1}{2z}\right)\right\} \end{aligned}\]

5.3 Improper Integrals

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{d}x=\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{0}R(x)\mathrm{d}x+\lim_{B\to\infty}\int_{0}^{B}R(x)\mathrm{d}x.\]

两侧分别收敛时, 也等于对称截断的极限.

对有理函数 \(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\), 在实轴上无极点时, 积分存在判据: \(m-n\ge 2\).

构建围道以应用留数定理

有理函数实轴积分采用的上半平面半圆围道.

对围道有

\[\oint_CR(z)\mathrm{d}z=\int_{-R}^RR(x)\mathrm{d}x+\int_{C_R}R(z)\mathrm{d}z\]

\[\oint_CR(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}R(z)}\]

由大圆弧定理以及 \(m-n\ge2\),

\[\lim_{z\to\infty}zR(z)=\lim_{z\to\infty}z\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}=0\Longrightarrow \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}R(z)\mathrm{d}z=0\]

故

\[\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{d}x=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}R(z)}\]

基本方法

补上适当的积分路径从而形成闭合围道, 用留数定理计算围道积分.
处理补充的路径上的复变积分: 可以直接计算出来/与所要计算的无穷积分相关联

5.4 Improper Integrals with Trigonometric Functions

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x,\quad p>0\]

\[\mathrm{Re}I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\cos px\mathrm{d}x,\quad \mathrm{Im}I=\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\sin px\mathrm{d}x\]

在实轴上无极点时, 无穷积分存在的充分判据: 对于 \(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) 有 \(m-n\geq1\).

考虑围道积分

\[\begin{aligned} \oint_CR(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z &=\int_{-R}^RR(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x+\int_{C_R}R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}\{R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\}}\end{aligned}\]

Theorem Jordan 引理设 \(|z|\to\infty, 0\leq\arg z\leq\pi\) 时, \(Q(z)\) 一致趋于 0, 则
\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]
Proof 令 \(z=R\mathrm{e}^\mathrm{i\theta}\),
\[\begin{aligned}\left|\int_{C_{R}}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right|&=\left|\int_0^\pi Q(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mathrm{e}^{\mathrm{i}pR(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)}R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{i}\mathrm{d}\theta\right|\\&\leq\int_0^\pi\left|Q(R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\right|\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}R\mathrm{d}\theta\end{aligned}\]
当 \(R\) 足够大时
\[\left|\int_{C_{R}}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right|\lt\epsilon R\int_0^\pi\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta\]
又由
\[\int_0^\pi\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta=2\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-pR\sin\theta}\mathrm{d}\theta\]\[\sin\theta\geq\frac{2\theta}{\pi}\geq0,\quad 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}\]
则
\[ \left|\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z\right| \lt2\epsilon R\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-pR\cdot\frac{2\theta}{\pi}}\mathrm{d}\theta=2\epsilon R\frac{\pi}{2pR}(1-\mathrm{e}^{-pR}) \lt\frac{\epsilon\pi}{p}\]\[\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}Q(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]

对满足 \(m-n\ge1\) 且实轴上无极点的有理函数

\[\lim_{z\to\infty}R(z)=\lim_{z\to\infty}\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}=0\Longrightarrow \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\mathrm{d}z=0\]

\[\Longrightarrow \int_{-\infty}^\infty R(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}x=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}\{R(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}pz}\}}\]

5.5 Improper Integrals with Singularities on the Real Axis

设被积函数在实轴上有奇点,则积分

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x\]

为瑕积分. 假设瑕点是 \(c\), 瑕积分定义为

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta_1\to0}\int_a^{c-\delta_1}f(x)\mathrm{d}x+\lim_{\delta_2\to0}\int_{c+\delta_2}^bf(x)\mathrm{d}x\]

如果这两个极限都不存在, 但是 \(\lim_{\delta\to0}\left[\int_a^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^bf(x)\mathrm{d}x\right]\) 存在,定义瑕积分的主值为

\[\mathrm{v.p.}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta\to0}\left[\int_a^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^bf(x)\mathrm{d}x\right]\]

瑕积分计算 如果瑕积分存在, 则其主值也存在, 且它们一定相等. 考虑

\[\begin{aligned}\text{I}&=\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\\&=\lim_{\begin{gathered}R\to\infty\\\delta\to0\end{gathered}}\left[\int_{-R}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^{R}f(x)\mathrm{d}x\right]\end{aligned}\]

实轴上 \(c\) 点是被积函数的奇点, 必须绕开 \(c\) 点来构成闭合的积分围道

主值积分中绕开实轴奇点的凹陷半圆围道.

\[\begin{aligned} \int_Cf(z)\mathrm{d}z&=\int_{-R}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{C_\delta}f(z)\mathrm{d}z+\int_{c+\delta}^Rf(x)\mathrm{d}x+\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{上半平面}{\mathrm{res}f(z)} \end{aligned}\]

这里设 \(f(z)\) 时就要特别考虑 \(C_\delta\) 积分的收敛性, 保证能使用小圆弧定理.

5.6 Complex Integrals of Multi-valued Functions

一种常见的多值函数(其中 \(s\) 为实数, \(R(x)\) 为有理函数, 在正实轴上没有奇点)

\[I=\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x\]

不妨设 \(0\lt s\lt1\), 则为了保证积分收敛, 要求:

对于 \(R(x)=P_n(x)/Q_m(x)\) 有 \(m-n\geq1\).
\(x= 0\) 不是 \(R(x)\) 的极点.

由于 \(z^{s-1}\) 为多值函数, 作割线沿正实轴将复平面割开, 并规定沿割线上岸 \(\arg z=0\). 积分路径如图,

带分支割线的幂函数积分所使用的钥匙孔围道.

\[\begin{aligned} \oint_Cz^{s-1}R(z)\mathrm{d}z &=\int_{\delta}^{R}x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x+\int_{C_{R}}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z+\int_R^\delta(x\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi})^{s-1}R(x)\mathrm{d}x+\int_{C_\delta}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z\\ &=2\pi\mathrm{i}\sum_\text{全平面}{\mathrm{res}}\{z^{s-1}R(z)\} \end{aligned}\]

利用积分收敛条件, 有

\[\lim_{z\to\infty}z\cdot z^{s-1}R(z)=0\Longrightarrow\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z=0\]

\[\lim_{z\to0}z\cdot z^{s-1}R(z)=0\Longrightarrow\lim_{\delta\to0}\int_{C_\delta}z^{s-1}R(z)\mathrm{d}z=0\]

故

\[\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\mathrm{d}x=\frac{2\pi\mathrm{i}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi s}}\sum_{全平面}\mathrm{res}\{z^{s-1}R(z)\}\]

5.7 Other Contour Configurations

Example 1

\[I=\int_0^1\frac{\sqrt[4]{x(1-x)^3}}{(1+x)^3}\mathrm{d}x\]

实积分中的四次根取正值. 为固定割线两岸的相位, 用主对数 \(\operatorname{Log}w\) (\(-\pi\lt\arg w\lt\pi\)) 在割线 \([0,1]\) 外定义

\[F(z)=\frac{\mathrm{e}^{-3\pi\mathrm{i}/4}z}{(1+z)^3} \exp\left[\frac34\operatorname{Log}\frac{z-1}{z}\right].\]

这是原被积函数的一个确定分支, 枝点为 \(0,1\), 外部还有三阶极点 \(-1\). 对 \(0\lt x\lt1\), 上、下岸的边界值为

\[F_+(x)=\frac{\sqrt[4]{x(1-x)^3}}{(1+x)^3},\qquad F_-(x)=\mathrm{e}^{-3\pi\mathrm{i}/2}F_+(x)=\mathrm{i}F_+(x).\]

割线为 [0,1] 的哑铃形围道: 上岸向右, 下岸向左, 绕割线顺时针. 它与逆时针外圆共同构成外部区域的正向边界.

在 \(z\to\infty\) 时, \(F(z)=O(z^{-2})\), 外圆积分为 \(O(R^{-1})\), 且 \(\mathrm{res}F(\infty)=0\). 两端小圆的积分分别为 \(O(\delta^{5/4})\)、\(O(\varepsilon^{7/4})\), 也都趋于零. 外部区域的留数定理因此给出

\[\lim_{\delta,\varepsilon\to0}\oint_CF(z)\mathrm{d}z =\int_0^1F_+(x)\mathrm{d}x-\int_0^1F_-(x)\mathrm{d}x =(1-\mathrm{i})I =2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{res}F(-1).\]

令 \(H(z)=(1+z)^3F(z)\), 在 \(z=-1\) 的解析邻域中有

\[\frac{H'}{H}=\frac{1}{4z}+\frac{3}{4(z-1)},\qquad H(-1)=2^{3/4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\qquad \frac{H''(-1)}{H(-1)}=-\frac{3}{64}.\]

所以

\[\mathrm{res}F(-1)=\frac{H''(-1)}{2} =-\frac{3\,2^{3/4}}{128}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\qquad I=\frac{2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{res}F(-1)}{1-\mathrm{i}} =\frac{3\sqrt[4]{2}}{64}\pi.\]

Example 2

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x,\quad 0\lt\alpha\lt1\]

被积函数 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha z}}{1+\mathrm{e}^{z}}\), 分母 \(Q(z)=1+\mathrm{e}^z\) 为周期函数, 周期为 \(2\pi \mathrm{i}\), 分子在此周期变换下也有良好的性质, 可以采取矩形围道

周期函数留数积分使用的矩形围道示意图.

Solution 取正向矩形围道 \([-R,R]\times[0,2\pi]\). 内部仅有极点 \(\pi\mathrm{i}\), 留数为 \(-\mathrm{e}^{\alpha\pi\mathrm{i}}\). 记实轴截断积分为 \(I_R\), 上边因方向相反贡献 \(-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha}I_R\). 右边被积函数为 \(O(\mathrm{e}^{-(1-\alpha)R})\), 左边为 \(O(\mathrm{e}^{-\alpha R})\), 两边长度固定, 故当 \(0\lt\alpha\lt1\) 时均趋于零. 留数定理给出

\[(1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha})I=-2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\alpha\pi\mathrm{i}}, \qquad \boxed{I=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}}.\]

同样的条件保证实轴两端可积; \(\alpha=0\) 或 \(1\) 时原积分发散.

5.8 Summation of Infinite Series via Residue Theorem

设 \(f(z)\) 是已知函数, 有有限个极点, 且极点都不是整数. 若存在另一个函数 \(G(z)\), 其解析域为 \(\mathbb{C}\setminus\{0,\pm1,\pm2,\cdots\}\), 一阶极点 \(z=0,\pm1,\pm2,\cdots\) 处的留数均为 1. 则对于包含 \(0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm N\) 的围道

\[\oint_{C_N}G(z)f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\left\{\sum_{n=-N}^Nf(n)+\sum_{f(z)\text{的极点}}\mathrm{res~}[G(z)f(z)]\right\}\]

若积分在 \(N\to\infty\) 时的极限值存在, 就可以算出无穷级数 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)\).

一种可能的 \(G(z)\) 取法为
\[G(z)=\pi\cot\pi z\]
Lem 设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 内除有限个孤立奇点外处处解析, 若存在常数 \(R, M>0\), 使得当 \(|z|>R\) 时, \(|zf(z)|\le M\), 则
\[\lim_{N\to\infty}\oint_{C_N}\pi\cot\pi zf(z)\mathrm{d}z=0\]
其中积分围道 \(C_N\) 为正方形, 边界位于 \(N+\frac{1}{2}\) 处. 由此可以证明定理: Definition 用留数计算无穷级数设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 内除有限个非整数的极点外处处解析, 且存在常数 \(R, M>0\), 使得当 \(|z|>R\) 时, \(|zf(z)|\le M\), 则
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}f(n)=-\sum_{f(z)\text{的极点}}\mathrm{res~}\{\pi\cot\pi zf(z)\}\]

对交错级数, 可以考虑另一种取法为
\[G(z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)},\qquad \mathrm{res}\,G(n)=(-1)^n\]

6 Special Functions

6.1 Gamma Function

Definition \(\Gamma\) 函数(积分表达式): \(\mathrm{Re}z>0\) 时, 定义

\[\Gamma(z)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\]

\(t^{z-1}\) 当 \(z\) 不是整数时是 \(t\) 的多值函数, 这时应理解为 \(\arg t=0\).

积分表达式在右半平面 \(\mathrm{Re}z>0\) 代表 \(z\) 的一个解析函数
\(\Gamma\) 函数的解析延拓: 积分拆为
\[\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t=\int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t+\int_1^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\]
第二部分由 \(\mathrm{e}^{-t}\lt\frac{N!}{t^N}\), \(N\) 可以任意大, 故在 \(\mathbb{C}\) 上闭一致收敛, 因此在全平面解析. 对第一部分
\[\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1t^{n+z-1}\mathrm{d}t \\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}\quad(\mathrm{Re}z>0) \end{aligned}\]
右侧除去一阶极点 \(z=0,-1,-2\cdots\) 外收敛且解析, 是左端积分表达式的解析延拓, 则
\[\Gamma(z)=\int_1^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}\]
在全平面除极点外解析.
\[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \]\[\Gamma(1)=1, \quad \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi},\quad \Longrightarrow\quad \Gamma(n+1)=n!\]
互余宗量定理
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}\]
Corollary 全平面无零点 Proof 若 \(z\notin\mathbb{Z}\), 则 \(\Gamma(z)\) 和 \(\Gamma(1-z)\) 均为有限值, 而反射公式右侧非零, 故两者都不为零. 正整数处 \(\Gamma(n)=(n-1)!\ne0\), 非正整数处为极点, 因此全平面无零点.
Stirling 公式(渐近行为) 固定 \(\delta>0\), 当 \(|z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta\) 时成立; \(\ln z\) 取主分支, \(\ln\Gamma(z)\) 取从正实轴连续延拓的解析分支
\[\begin{aligned} \Gamma(z)&\sim z^{z-1/2}\mathrm{e}^{-z}\sqrt{2\pi}\\ \ln\Gamma(z)&\sim(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln2\pi\\ \ln n!&=\ln\Gamma(n+1)\sim n\ln n-n \end{aligned}\]
Proof 最陡下降法得到 \(\Gamma\) 函数的渐进展开(考虑实函数情形)
\[\Gamma(x+1)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^x\mathrm{d}t=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t + x \ln t}\mathrm{d}t,\quad x>0\]
令 \(t = x u\) :
\[\Gamma(x+1) = x^{x+1} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x(u - \ln u)} \, \mathrm{d}u\]
被积函数的指数部分 \(f(u) = u - \ln u\) 在 \(u = 1\) 处取得极小值. 在 \(u = 1\) 附近对 \(f(u)\) 作 Taylor 展开:
\[f(u) \approx 1 + \frac{(u-1)^2}{2} + \cdots.\]
因此, 积分的主要贡献来自 \(u = 1\) 附近的区间(\(x\to\infty\) 时为窄区间). 将积分近似为高斯积分:
\[\Gamma(x+1) \approx x^{x+1} \mathrm{e}^{-x} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}(u-1)^2} \, \mathrm{d}u\]
对 \(x\to\infty\), 积分限可扩展至 \((-\infty, \infty)\), 并利用高斯积分公式:
\[\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}(u-1)^2} \, \mathrm{d}u = \sqrt{\frac{2\pi}{x}}\]
于是得到 \(\Gamma(x+1)\) 的渐近表达式:
\[\Gamma(x+1) \approx x^{x+1} \mathrm{e}^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} = x^x \mathrm{e}^{-x} \sqrt{2\pi x}\]
\(\Gamma(x)\) 的渐近展开为:
\[\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x} \approx x^{x-1/2} \mathrm{e}^{-x} \sqrt{2\pi}\]
倍乘公式
\[\Gamma(2z)=2^{2z-1}\pi^{-\frac12}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})\]
Proof 考虑
\[g(z)=2^{2z-1}\frac{\Gamma(z)\Gamma(z+1/2)}{\Gamma(1/2)\Gamma(2z)}\]
容易由 \(\Gamma\) 函数的性质证明 \(g(z+1)=g(z)\). 由 Stirling 公式得到
\[g(z)=\lim_{n\to\infty}g(z+n)=1\]
Gauss 乘积公式
\[\begin{aligned} &\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\cdots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})\\&=(2\pi)^{(n-1)/2}n^{1/2-nz}\Gamma(nz) \end{aligned}\]

\(\Gamma\) 函数的围道积分表达式

\[\Gamma\left(z\right)=-\frac{1}{2\mathrm{i}\sin\pi z}\int_{C_1} \mathrm{e}^{-t}\left(-t\right)^{z-1}\mathrm{d}t,\quad\left|\arg(-t)\right|\lt\pi\]

\[\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{C_2}\mathrm{e}^{t}t^{-z}\mathrm{d}t,\quad\left|\arg t\right|\lt\pi\]

积分围道分别绕正半轴割线和负半轴割线以及原点.

\(\Gamma\) 函数的无穷乘积表达式

Euler 乘积
\[\Gamma\left(z\right)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}\right\}\]
对 \(z\notin\{0,-1,-2,\ldots\}\) 成立.
Weierstrass 乘积
\[\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=z\mathrm{e}^{\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{z}{n}\right)\mathrm{e}^{-z/n}\right]\]
\(\gamma\) 为 Euler 常数.

6.2 Digamma Function

Definition \(\psi\) 函数

\[\psi(z)=\frac{\mathrm{d}\ln\Gamma(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\]

\(z=0,-1,-2,\cdots\) 是 \(\psi(z)\) 的一阶极点, 留数均为 −1; 除了这些点以外, \(\psi(z)\) 在全平面解析.

递推关系
\[\begin{aligned} \psi(z+1)&=\psi(z)+\frac1z,\\\psi(z+n)&=\psi(z)+\frac1z+\frac1{z+1}+\cdots+\frac1{z+n-1},\quad n=2,3,\cdots \end{aligned}\]
互余宗量关系
\[\begin{aligned} \psi(1-z)&=\psi(z)+\pi\cot\pi z \end{aligned}\]
相反宗量关系
\[\begin{aligned} \psi(z)-\psi(-z)&=-\frac1z-\pi\cot\pi z \end{aligned}\]
渐进行为
\[\begin{aligned} \psi(z)&\sim\ln z-\frac1{2z}-\frac1{12z^2}+\frac1{120z^4}-\frac1{252z^6}+\cdots,\quad |z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta,\quad\delta>0\text{ 固定} \end{aligned}\]
倍乘关系
\[\begin{aligned} \psi(2z)&=\frac12\psi(z)+\frac12\psi\left(z+\frac12\right)+\ln2 \end{aligned}\]
极限性质
\[\begin{aligned} \lim&_{n\to\infty}[\psi(z+n)-\ln n]=0 \end{aligned}\]
利用 \(\psi(z+n)\) 的递推关系和其极限性质可以得到 \(\psi(z)\) 的极限表达式
\[\psi(z)=\lim_{n\to\infty}\left[\ln n-\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}+\cdots+\frac{1}{z+n-1}\right)\right]\]
特别地, \(-\psi(1)\) 被称为 Euler 常数 \(\gamma\). \(\psi(z)\) 可用于求裂项形式为 \(\frac{1}{a+n}\) 形式的级数和.
根据 \(\psi(z+n)\) 的递推关系和 \(\psi(z)\) 的渐进行为得到
\[\psi(z)-\psi(1)=\psi(z+N+1)-\psi(N+2)-\sum_{k=0}^N\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{1+k}\right)=-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{1+k}\right)\]
设 \(z = p/q\), \(p,q\) 为正整数, \(0 \lt p \lt q\). 则
\[\psi(p/q) - \psi(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right)\]
由 Abel 第二定理
\[\psi(p/q) - \psi(1) = \lim_{t \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right) t^{p+nq}\equiv \lim_{t \to 1^-} s(t)\]
利用 Simpson’s dissection 和 \(-\ln(1-t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{n+1}}{n+1}\), 设 \(\omega=\mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{q}}\), 可以求得级数和
\[\psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right)-\ln q+\sum_{k=1}^{q-1}\cos\left(\frac{2\pi kp}{q}\right)\ln\left(2\sin\left(\frac{\pi k}{q}\right)\right)\]\[\psi\left(\frac{1}{2}\right)=-\gamma-2\ln2\]

\[\psi\left(\frac{1}{3}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln3,\quad \psi\left(\frac{2}{3}\right)=-\gamma+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln3\]

\[\psi\left(\frac{1}{4}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}-3\ln2,\quad \psi\left(\frac{3}{4}\right)=-\gamma+\frac{\pi}{2}-3\ln2\]
导数性质: 由递推性质求导
\[\begin{aligned} \psi^{\prime}(z+1)&=\psi^{\prime}(z)-\frac{1}{z^2}\\ \psi^{\prime}(z+n)&=\psi^{\prime}(z)-\left[\frac{1}{z^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(z+n-1)^2}\right],\quad n=2,3,\cdots \end{aligned}\]
由极限表达式求导
\[\psi^{\prime}(z)=\left[\frac{1}{z^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(z+n-1)^2}+\cdots\right]\]
对比得到
\[\lim_{n\to\infty}\psi^{\prime}(z+n)=0.\]
互余宗量关系求导并令 \(z=\frac{1}{2}\) 得到,
\[\psi^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]
倍乘关系求导并令 \(z=\frac 12\) 得到
\[\psi^{\prime}(1)=\frac{1}{3}\psi^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{6}\]
\(\psi'(z)\) 可用于求裂项形式为 \(\frac{1}{(a+n)^2}\) 形式的级数和.

\(\psi\) 函数的积分表达式 (\(\mathrm{Re}z>0\); 其他点由解析延拓定义)

\[\psi(z)=-\gamma+\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d}t\]

Proof

\[\begin{aligned} \psi(z) &=-\frac{1}{z}+\lim_{m\to\infty}\left(\ln m-\sum_{n=1}^m\frac{1}{z+n}\right)\\ &=\lim_{m\to\infty}\left\{\int_0^\infty(\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-mt})\frac{\mathrm{d}t}{t}-\sum_{n=0}^m\int_0^\infty \mathrm{e}^{-(z+n)t}\mathrm{d}t\right\}\\ &=\lim_{m\to\infty}\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\mathrm{e}^{-mt}\left[\frac{1}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}+\mathrm{e}^{-zt}\right]\right\}\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\right\}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

\(\gamma=\int_0^\infty\left\{\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\frac{1}{t}\right\}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\), 故 \(\psi(z)=-\gamma+\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d}t\).

\(\psi\) 函数的渐进展开式

\[\frac{t}{\mathrm{e}^t-1}=1-\frac{t}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}t^{2k}\quad \Longrightarrow \quad \frac{t}{1-\mathrm{e}^{-t}}=1+\frac{t}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}t^{2k}\]

代入 \(\psi(z)=\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{1-\mathrm{e}^{-t}}\right\}\mathrm{d}t\)(\(\mathrm{Re}z>0\)), 得到

\[\psi(z)\sim\int_0^\infty\left\{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}-\frac{\mathrm{e}^{-zt}}{t}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-zt}\right\}\mathrm{d}t-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}\int_0^\infty t^{2k-1}\mathrm{e}^{-zt}\mathrm{d}t\]

\[\psi(z)\sim\ln z-\frac{1}{2z}-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{2k}z^{-2k},\quad |z|\to\infty,\ |\arg z|\le\pi-\delta,\quad\delta>0\text{ 固定}\]

6.3 Beta Function

Definition 在 \(\mathrm{Re}\ p>0, \mathrm{Re}\ q>0\) 时定义

\[\mathrm{B}(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\mathrm{d}t\]

令 \(t=\sin^2\theta\), 还可以得到 \(\mathrm{B}\) 函数的另一个表达式

\[\mathrm{B}(p,q)=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\mathrm{d}\theta\]

显然的对称性 \(B(p,q)=B(q,p)\)
\(\mathrm{B}\) 函数可以用 \(\Gamma\) 函数表示出来
\[\mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\]
从而把 \(\mathrm{B}\) 函数延拓到 \(p\) 和 \(q\) 的全平面. 可以通过这一表达式得到 \(\Gamma\) 函数的互余宗量定理, 以及倍乘公式的另证 Proof 对于 \(\Gamma(p)\), 令 \(t=x^2\), \(\Gamma(q)\) 同理
\[\Gamma(p)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{p-1}\mathrm{d}t=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}x^{2p-1}\mathrm{d}x\]

\[\Gamma(q)=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{q-1}\mathrm{d}t=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-y^2}y^{2q-1}\mathrm{d}y\]\[\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q) &=4\int_0^\infty\int_0^\infty\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=4\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-r^2}(r\sin\theta)^{2p-1}(r\cos\theta)^{2q-1}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\\ &=4\int_0^\infty\mathrm{e}^{-r^2}r^{2(p+q)-1}\mathrm{d}r\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\cos^{2q-1}\mathrm{d}\theta\\&=\Gamma(p+q)\mathrm{B}(p,q) \end{aligned}\]
Proof (互余宗量定理)
\[B(z,1-z)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}{\Gamma(1)}=\Gamma(z)\Gamma(1-z)\]
\(1>\mathrm{Re}z>0\) 时
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_0^1t^{z-1}(1-t)^{-z}\mathrm{d}t\]
令 \(x=\frac{t}{1-t}\)
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{z-1}}{1+x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{\sin\pi z}\]

6.4 Zeta Function

Definition 素数计数函数
\[\pi(x)=\#\{p\leq x\mid p\text{ 是素数}\}\]
Theorem 素数定理
\[\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1\]

一种更好的近似是 \(\mathrm{li}(x)=\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\).

Definition von Mangoldt Function: 对 \(n\ge 1,n\in \mathbb{Z}\)
\[\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p&\text{若}n=p^k\text{ 对于某个素数}p\text{ 和整数}k\geq1\\0&\text{else}\end{cases}\]
Definition Second Chebyshev Function
\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=\sum_{p^k\leq x}\ln p\]

Definition Riemann \(\zeta\) 函数(初始定义为 Dirichlet 级数的收敛部分)

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},\quad Re(s)>1\]

Euler 乘积公式
\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},\quad Re(s)>1\]

\[\Longrightarrow \ln\zeta(s)=-\sum_{p\in \mathbb{P}}\ln\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\]
可以归纳证明 \(\left(\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\right)\zeta(s)=1\), 每一次相乘都移除了含因子 \(p\) 的项; 以及
\[\frac{\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}\]
和 von Mangoldt Explicit Formula(对 \(x>1\) 且不是素数幂)
\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=x-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho}-\ln(2\pi)-\frac{1}{2}\ln(1-x^{-2})\]
其中 \(\sum_{\rho}\) 遍历 \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点, 通常 \(\rho,\bar\rho\) 成对并按 \(|\mathrm{Im}(\rho)|\) 递增的顺序排列, 最后一项与平凡零点有关.
解析延拓后的 \(\zeta\) 函数对 \(s\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}\) 满足函数方程
\[\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)\]
令完备 zeta 函数 \(\xi(s)=\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)\), 有对称的函数方程
\[\xi(s)=\xi(1-s)\]
\(\zeta\) 函数的零点
1. Trivial zeros: \(s=-2, -4, -6,\cdots\)
2. Non-trivial zeros: in the critical strip(\(0\lt\mathrm{Re}(s)\lt1\))
  - \(\mathrm{Re}(s)>1\), 无零点; \(\mathrm{Re}(s)=1\), 无零点(后者等价于素数定理)
  - 关于实轴和 critical line(\(\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}\))对称
Remark The Riemann Hypothesis(尚未证明的猜想): \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点位于 critical line 上.

7 Fourier Transform and the Delta Function

7.1 Fourier Series

Definition Fourier 级数分解对实数域内的周期函数 \(f(t)\), 不妨设 \(f(t)=f(t+2\pi)\), 若在一个周期内只有有限极值和不连续点, 且积分 \(\int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|\mathrm{d}t\) 收敛, 则可以写成无穷级数的形式

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}nt},\qquad c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t\]

在 \(t\) 处收敛于 \(\lim_{\varepsilon\to0_+}\frac{f(t-\varepsilon)+f(t+\varepsilon)}{2}\).

在间断点对应的是逐点收敛而非一致收敛.
令 \(c_0=a_0\). 对于 \(n>0\), 令
\[c_{n}=\frac{a_{n}-\mathrm{i}b_{n}}{2}, \quad c_{-n}=\frac{a_{n}+\mathrm{i}b_{n}}{2}\]
得到另一种常见形式
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\right]\]

\[a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{d}t,\quad a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(mt)\mathrm{d}t,\quad b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(mt)\mathrm{d}t\]

推广到一般周期 \(T\):

周期函数 \(f(t+T)=f(t)\):
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)],\qquad\omega =\dfrac{2\pi}T\]

\[a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t,\qquad b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\]
或者记作
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t},\qquad c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t}\mathrm{d}t\]
非周期函数: 认为 \(T\to+\infty\), 由三角函数的正交性得出频谱
\[f(t)=\int_{0}^{\infty}[a(\omega )\cos(\omega t)+b(\omega )\sin(\omega t)]\,\mathrm{d}\omega\]

\[a(\omega )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,\mathrm{d}t,\qquad b(\omega )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t\]
或者记作
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega,\quad \hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\]

7.2 Fourier Transform

Definition Fourier 变换

\[\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\]

逆变换

\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega\]

当 \(\hat f(\omega)\) 在实轴上有奇点时, 必须另行规定主值或绕极点的处方; 这些处方可以给出不同的分布逆变换.

Remark 这里的系数有很多不同的约定, 例如有的定义中正负号相反, 或者在变换和逆变换中系数对称分配为 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\), 后者是更加对称的定义方式.

为对照响应理论, 若另定义 \(\tilde f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d}t\), 则 \(\tilde f(\omega)=\hat f(-\omega)\). 只有当 \(f(t)\) 为实函数时, 才进一步有 \(\hat f(-\omega)=\hat f(\omega)^*\).

例如因果核 \(f(t)=\theta(t)\mathrm{e}^{-\gamma t}\), \(\gamma>0\), 给出

\[\hat f(\omega)=\frac{1}{\gamma+\mathrm{i}\omega}, \qquad \tilde f(\omega)=\frac{1}{\gamma-\mathrm{i}\omega}.\]

前者的极点在上半平面, 后者的极点在下半平面. 对至多多项式增长的因果核, 负号正变换的 Fourier–Laplace 延拓在下半平面解析, 正号正变换在上半平面解析. 改用正号正变换时须同时作频率反射 \(\omega\mapsto-\omega\), 并相应转换极点位置与绕行处方; 不能只搬用负号正变换的极点处方而保留原频率标签.

Fourier 变换的性质 \(\hat f(\omega)\) 的有界性和 \(\mathcal F\) 的线性性质不再赘述

微分定理 I
\[\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}^nf(t)}{\mathrm{d}t^n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=(\mathrm{i}\omega)^n\hat{f}(\omega)\]
微分定理 II
\[\int_{-\infty}^{\infty} t^nf(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{(-\mathrm{i})^n}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}\omega^n}\hat{f}(\omega)\]
位移定理 I/II(也常称为频移定理/延迟定理)
\[\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\epsilon t}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\hat{f}(\omega-\epsilon)\]

\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega \tau}\hat{f}(\omega)\]
伸缩定理/相似定理
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(\alpha t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{|\alpha|}\hat{f}\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)\]
卷积定理
\[(f\star g)(t):=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
卷积的 Fourier 变换为
\[\mathcal{F}[(f \star g)(t)]=\int_{-\infty}^\infty(f \star g)(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\]

对称约定下, 可以选择将卷积变换改为
\[\mathcal{F}[(f\star g)(t)]=\sqrt{2\pi}\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\]
或者也可以选择定义归一化卷积
\[(f\star g)(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
而保持卷积定理形式不变.
积分变换: 对称约定下
\[\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\operatorname{PV}\frac{1}{\mathrm{i}\omega}\hat{f}(\omega)+\pi\hat{f}(0)\delta(\omega)\]
可以视原函数为 \(f(t)\) 与 \(H(t)\) 的卷积, 利用 \(\mathcal{F}[H(t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\pi\delta(k)-\frac{\mathrm{i}}{k}\right)\) 得到.
Plancherel 定理: 对平方可积函数 \(f(t),g(t)\), 有
\[\int_{-\infty}^\infty f(t)g^*(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat{f}(\omega){\hat{g}^*(\omega)}\mathrm{d}\omega\]
从而可以得到 Parseval 定理
\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2\mathrm{d}\omega\]
说明未归一化 Fourier 变换的频域内积需乘 \(1/(2\pi)\); 对称约定下平方范数和内积保持不变.

在对称约定下, Plancherel 定理中 \(2\pi\) 系数消失.

若 \(f,tf,t^2f\) 均可积, 则平均值、 \(t=0\) 的一次矩、 \(t=0\) 的二次矩分别为
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{d}t,\quad \int_{-\infty}^{\infty}tf(t)\mathrm{d}t,\quad D_0(f)=\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)\mathrm{d}t\]
不确定性原理: 如果 \(f(t),tf(t),\omega\hat{f}(\omega)\) 均为平方可积函数, 则
\[D_0(|f|^2)D_0(|\hat{f}|^2)\geq\frac{\pi}{2}\left(\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2\mathrm{d}t\right)^2\]
不动点: 对函数 \(f(\mathbf x)=\mathrm{e}^{-\frac{\left|\mathbf{x}\right|^2}{4m^2}}\), 其变换仍为 Gaussian 函数; 仅在 \(m^2=1/2\) 时, 才在不计常数的意义下为不动点:
\[\hat{f}(\mathbf k)=\int\prod_{i=1}^n\mathrm{d}x_i\mathrm{~e}^{-\frac{x_i^2}{4m^2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_ix_i}=2^n\pi^{n/2}m^n\mathrm{e}^{-m^2|\mathbf k|^2}\]
乘法公式:
\[\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\hat{g}(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(\mathbf x)g(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以得到广义函数的 Fourier 变换性质
\[\langle\mathcal{F}[f],\phi\rangle=\langle f,\mathcal{F}[\phi]\rangle\]
例如
\[\langle\mathcal{F}[\delta^{(n)}],\phi\rangle=\langle\delta^{(n)},\mathcal{F}[\phi]\rangle=\hat{\phi}(\mathbf{0})=\langle1,\phi\rangle\]

7.3 Solving ODEs via Fourier Transform

令 \(D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\), 考虑形如

\[P(D)y(t)=f(t)\]

的常微分方程, 两侧 Fourier 变换后得到

\[P(\mathrm{i}\omega)\hat y(\omega)=\hat f(\omega)\quad \Longrightarrow\quad \hat y(\omega)=\frac{1}{P(\mathrm{i}\omega)}\hat f(\omega)\]

当 \(P(\mathrm{i}\omega)\) 在实轴上无零点且逆变换存在时, 逆变换给出一个特解; 有零点时需另行处理极点处方及齐次解.

\[y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{f}(\omega)}{P(\mathrm{i}\omega)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega\]

7.4 The Delta Function (Distributions)

Remark Fourier 系数与光滑性: 衰减速度反映周期延拓后的光滑性, 但不能不加条件地从一个幂次反推出某阶导数有跳跃. 对 \(2\pi\) 周期函数, 记

\[c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\,\mathrm{d}x.\]

若 \(f\in C^k\) 且其导数按周期相接, 分部积分 \(k\) 次并应用 Riemann-Lebesgue 引理可得
\[c_n=\frac{\widehat{f^{(k)}}_n}{(\mathrm{i}n)^k} =o(|n|^{-k}),\qquad |n|\to\infty.\]
因而周期 \(C^\infty\) 函数的系数比任意幂次衰减更快.
设 \(m\ge0\). 若 \(f,\cdots,f^{(m-1)}\) 连续且周期相接(\(m=0\) 时无此条件), 而 \(f^{(m)}\) 在有限个分段上为 \(C^1\), 各段的 \(f^{(m+1)}\) 可积, 仅在 \(x_j\) 有跳跃, 则
\[c_n= \frac{1}{2\pi(\mathrm{i}n)^{m+1}} \sum_j [f^{(m)}]_{x_j}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx_j} +o(|n|^{-m-1}), \qquad [f^{(m)}]_{x_j}=f^{(m)}(x_j+)-f^{(m)}(x_j-).\]
这里也要计入周期接缝处的跳跃. 这才是函数、一次导数、二次导数的跳跃通常分别给出 \(1/n\), \(1/n^2\), \(1/n^3\) 衰减的条件; 多个跳跃的相位可使某些子序列抵消. 单独的 \(O(|n|^{-s})\) 上界并不刻画跳跃阶数.
若对正负 \(n\) 均有 \(|c_n|\le C\mathrm{e}^{-a|n|}\), \(a>0\), Fourier 级数在复条带 \(|\operatorname{Im}z|\lt a\) 内局部一致收敛, 定义全纯函数, 因而其连续代表在实轴上实解析. 反过来, 周期函数在这样的条带内全纯时, 在每个较窄闭条带上移动积分路径可得相应的指数衰减. \(C^\infty\) 本身不蕴含实解析.

Fourier 系数不区分仅在零测集上不同的函数. 例如 \(\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-\sqrt n}\cos nx\) 可逐项求任意阶导数, 是周期 \(C^\infty\) 函数, 但其系数没有任何正指数衰减界, 所以不是实解析函数.

Remark 从 Fourier 变换到分布: 对普通 \(L^1(\mathbb{R})\) 函数, Fourier 变换趋于零. 常数变换 \(\widehat{\delta}(k)=1\) 的逆变换须在分布意义下理解; 不能把不属于 \(L^2\) 的 \(\delta\) 代入通常的不确定性不等式, 用“二次矩无穷大”来证明它的宽度为零. 下面用测试函数上的极限来定义 \(\delta\):

Definition Dirac \(\delta\) 函数(广义函数定义): 设函数序列 \(\{\delta_n(x)\}\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_n(x)\,\mathrm{d}x=f(0), \qquad f\in C_c^\infty(\mathbb{R})\]

则记

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,\mathrm{d}x \equiv\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)\,\mathrm{d}x=f(0)\]

广义函数语言定义:
\[\delta^{(n)}:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf{x})\mapsto\langle\delta^{(n)},\phi\rangle=\phi(\mathbf{0})\]
从而不可以用局部可积函数直接表示, 可以用局部可积函数的弱 \(*\) 极限表示, 例如
\[\delta_m^{(n)}(\mathbf x)=\frac{m^n}{\pi^{n/2}}\mathrm{e}^{-m^2\mathbf x^2},\quad\Longrightarrow\quad \lim_{m\to\infty}\langle\delta_m^{(n)},\phi\rangle=\langle\delta^{(n)},\phi\rangle,\quad\forall\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\]

导数定义:
\[\langle\delta^{\prime},\phi\rangle=-\langle\delta,\phi^{\prime}\rangle=-\phi^{\prime}(\mathbf 0)\]

函数乘法:
\[\langle\psi\cdot\delta,\phi\rangle=\langle\delta,\psi\cdot\phi\rangle=\psi(\mathbf 0)\phi(\mathbf 0)\]

两者结合可以得到
\[\psi(\mathbf x)\partial^n\delta(\mathbf x)=\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^mn!}{m!(n-m)!}\partial^m\psi(\mathbf 0)\partial^{n-m}\delta(\mathbf x)\]

换元运算: 设 \(\psi(\mathbf x)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上 Jacobi 行列式非 0(保证反函数存在性)的无穷阶连续可微函数, 有 \[\int\delta^{(n)}(\psi(\mathbf x))\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int\delta^{(n)}(\mathbf u)\frac{\phi(\psi^{-1}(\mathbf u))}{|\det J(\psi^{-1}(\mathbf u))|}\mathrm{d}^n\mathbf u\] 由此得到 \[\int\delta^{(n)}(\psi(\mathbf x))\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\sum_{\psi(\mathbf x)=0}\frac{\phi(\mathbf x)}{|\det J(\mathbf x)|}\]

几种可行的极限序列
\[\delta_n(x)=n\mathrm{rect}(nx),\quad \sqrt{\frac{n^2}{\pi}}\mathrm{e}^{-n^2x^2},\quad \frac{n}{\pi}\frac{1}{1+n^2x^2}\]
可以检验其 Fourier 变换
\[\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k0}=1\]
从而得到 Fourier 表示
\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\]

换积分域为 \(-n\) 到 \(n\) 即得到 \(\delta_n(x)=\frac{\sin nx}{\pi x}\), 仍是可行的函数序列, 但是不满足 Dirac 的原始定义:
\[\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)=\begin{cases}\infty&x=0\\0&x\neq0&&\end{cases}\]
定义高维 \(\delta\) 函数:
\[\delta^{n}(\mathbf{x}):=\delta(x_1)\delta(x_2)\cdots\delta(x_n)\]
- 考虑对于不同的坐标, 为保证
  \[\int\delta^n(\mathbf{x}(\mathbf{u})-\mathbf{x}_0)f(\mathbf{u})Jd^n\mathbf{u}=f(\mathbf{u}_0)\]
  应有
  \[\delta^n(\mathbf{x}(\mathbf{u})-\mathbf{x}_0)=\frac{\delta^n(\mathbf{u}-\mathbf{u}_0)}{|\mathbf{J}|},\quad \mathbf{J}=\det\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)\]
- 注意不可以认为 \(\delta^n(\mathbf{x})=\delta(|\mathbf{x}|)\), 因为
  \[\int_{\mathbb{R}^n}\delta(|\mathbf{x}|)f(\mathbf{x})\mathrm{d}^n\mathbf{x}=\int_0^\infty\delta(r)\left[\int_{S^{n-1}}f(r,\Omega)\mathrm{d}\Omega\right]r^{n-1}\mathrm{d}r=0\]
  而不是 \(f(\mathbf{0})\), 二者的积分性质不同.
\(\delta\) 函数的性质必须在积分意义下理解:
1. 由其极限定义可以看出 \(\delta(x)\) 为偶函数, 从而
  \[x\delta(x)=0,\quad \delta(x)=\delta(-x),\quad \delta^{\prime}(-x)=-\delta^{\prime}(x)\]
2. 与阶跃函数有关系:
  \[\delta(x)=\frac{\mathrm{d}H(x)}{\mathrm{d}x},\quad H(x)=\left\{\begin{array}{cc}0&x\lt0\\1&x\geq0\end{array}\right.\]
  可通过对此导数积分证明.
3. 对光滑函数 \(f(x)\) 有
  \[\int_a^bf(x)\delta(x)\mathrm{d}x=f(0)\mathrm{~,~}\quad a\lt0\lt b\]
  
  \[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^{\prime}(x)\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}\delta(x)\\ &=\left.\left[f(x)\delta(x)\right]\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}f^{\prime}(x)\delta(x)\mathrm{d}x\\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}\]
4. 对 \(a\ne0\) 有,
  \[\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\]
  由积分性质容易证明.
5. 若实函数 \(g(x)=0\) 在 \((a,b)\) 有 \(n\) 个不同单根 \(\{x_i\}\), 有
  \[\delta(g(x))=\sum_{i=1}^n\frac{\delta(x-x_i)}{|g^{\prime}(x_i)|}\]

Dirac \(\delta\) 函数严格来讲不是函数, 而是一个广义函数(分布), 在分布理论(Schwartz 分布)中被严格定义, 是一个线性泛函, 属于连续对偶空间, 作用于测试函数空间, 提取测试函数在 0 点的值.

7.5 Computing Improper Integrals via the Delta Function

利用 \(\delta\) 函数的常用积分表达式:

\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\quad\mathrm{or}\quad \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\cos kx\mathrm{d}k\]

Example

\[I=\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin2x}{x^2+x+1}\mathrm{d}x.\]

Solution 引入辅助积分

\[F(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda x}}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x\]

通过辅助积分可以得到

\[-F^{\prime\prime}(\lambda)-\mathrm{i}F^{\prime}(\lambda)+F(\lambda)=2\pi\delta(\lambda)\]

\(\lambda\ne 0\) 时, \(\delta(\lambda)=0\), 方程齐次; \(\lambda=0\), \(F(\lambda)\) 连续, 即 \(\lim_{\epsilon\to+0}[F(0-\epsilon)-F(0+\epsilon)]=0\), 而 \(F'(\lambda)\) 不连续. 由

\[\int_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}\left[F^{\prime\prime}(\lambda)+\mathrm{i}F^{\prime}(\lambda)-F(\lambda)\right]\mathrm{d}\lambda=-2\pi\int_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}\delta(\lambda)\mathrm{d}\lambda=-2\pi\]

考虑到 \(F(\lambda)\) 连续, 可以得到 \(\lim_{\epsilon\to+0}F^{\prime}(\lambda)|_{0-\epsilon}^{0+\epsilon}=-2\pi\).

由 \(\lambda\ne0\) 时 \(\delta(\lambda)=0\), 则

\[F(\lambda)=\begin{cases}A\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}+B\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}},\quad&\lambda>0\\ C\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}+D\mathrm{e}^{\lambda\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}},\quad&\lambda\lt0\end{cases}\]

为保证无穷积分 \(F(\lambda)\) 有界, \(A=D=0\). 又由 \(F(\lambda)\) 在 \(\lambda=0\) 连续, 则 \(B=C\); 又由 \(F'(\lambda)\) 在 \(\lambda=0\) 的跃变性质, 得到

\[\frac{-\mathrm{i}-\sqrt{3}}{2}B-\frac{-\mathrm{i}+\sqrt{3}}{2}C=-2\pi\quad \Longrightarrow \quad B=C=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\]

从而得到积分结果

\[F(\lambda)=\left\{\begin{aligned} &\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{-\sqrt{3}\lambda/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/2},&\quad\lambda>0\\ &\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\sqrt{3}\lambda/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/2},&\quad\lambda\lt0 \end{aligned}\right.\quad\Longrightarrow\quad I=\mathrm{Im}F(2)=-\frac{2\pi}{\sqrt3}\mathrm{e}^{-\sqrt3}\sin1\]

8 Laplace Transform

8.1 Laplace Transform

Definition Laplace 变换: 记原函数 \(f(t)\) 经 Laplace 变换得到像函数(\(s\) 为复数)

\[F(p)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\lim_{a\to\infty}\int_0^ae^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]

约定 \(f(t)\) 理解为 \(f(t)H(t)\), 即在 \(t\lt0\) 时规定为 0.

Theorem Laplace 变换存在的充分条件: 若 \(f(t)\) 满足
1. \(f( t)\) 和 \(f^\prime(t)\) 在区间 \(0\leq t\lt\infty\) 上分段连续, 在任何有限区间内的不连续点的数目是有限的;
2. \(f( t)\) 有有限的增长指数, 即存在正数 \(M>0\) 及实数 \(B\)(增长指数), 使 \(\forall t\geq0\), \(|f(t)|\lt M\mathrm{e}^{Bt}\).
则 \(f(t)\) 的 Laplace 变换在 \(\mathrm{Re}\ p>B\) 上存在. 且在此半平面内, 像函数 \(F(p)\) 是解析函数. 这些增长指数 \(B\) 的下确界给出绝对收敛横标的上界; 绝对收敛横标由 \(\int_0^\infty e^{-pt}|f(t)|\,\mathrm{d}t\) 的收敛半平面定义. Lemma Laplace 积分 \(\int _0^\infty \mathrm{e} ^{- pt}f(t)\mathrm{d}t\) 在 \(p=p_0\) 处收敛, 则它在开的半平面 \(\mathrm{Re}p>\mathrm{Re}p_0\) 上亦收敛, 且在此半平面上等于绝对收敛积分
\[(p-p_0)\int_0^\infty g(t;p_0)\mathrm{e}^{-(p-p_0)t}\mathrm{d}t,\]
其中
\[g(t;p_0)=\int_0^tf(\tau)\mathrm{e}^{-p_0\tau}\mathrm{d}\tau\]
Definition 设 \(f(t)\) 满足 Laplace 变换的充分条件, 则存在实数 \(s_0\), 使得
\[\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t \implies \begin{cases}\text{收敛,若 Re}p>s_0\\\text{发散,若 Re}p\lt s_0&&\end{cases}\]
\(s_0\) 称为收敛横标, \(F(p)\) 在 \(\mathrm{Re}p>s_0\) 解析, 且
\[F^{\prime}(p)=-\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}tf(t)\mathrm{d}t\quad p>s_0\]
Definition 正则横标设 \(F(p)\) 在区域 \(\mathrm{Re}p>\gamma\) 解析, 在 \(\mathrm{Re}p=\gamma\) 上有奇点, \(\gamma\) 称为该 Laplace 变换的正则横标.

8.2 Properties of the Laplace Transform

线性变换
\[\begin{aligned}&\mathcal{L}\left\{\alpha_1f_1(t)+\alpha_2f_2(t)\right\}\\=&\alpha_1\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}+\alpha_2\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\\=&\alpha_1F_1(p)+\alpha_2F_2(p)\end{aligned}\]
p-位移(Substitution)(位移定理 I)
\[\mathcal{L}\left\{\mathrm{e}^{p_0t}f(t)\right\}=F(p-p_0)\]
t-位移(Translation/Heaviside Shifting Theorem)(延迟定理/位移定理 II)
\[\mathcal{L}\left\{f(t-\tau)H(t-\tau)\right\}=\mathrm{e}^{-p\tau}F(p),\quad \tau>0\]

推论(\(a>0\), \(\sigma_a\) 为原函数的绝对收敛横标, 以下取 \(\operatorname{Re}s>\max(0,\sigma_a)\)):
\[\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}f(t-na)H(t-na)\right]=\frac{F(s)}{1-\mathrm{e}^{-sa}},\quad\operatorname{Re}s>0\]\[\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nf(t-na)H(t-na)\right]=\frac{F(s)}{1+\mathrm{e}^{-sa}},\quad\operatorname{Re}s>0\]
相似定理
\[\mathcal{L}\left\{f(at)\right\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right),\quad a>0\]
导数的 Laplace 变换(微分定理 I): 若 \(f(t),f'(t)\) 都满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则
\[\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(p)\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=pF(p)-f(0)\]
同理, 对于高阶导数
\[\mathcal{L}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\]

可以用于通过 Laplace 变换求解微分方程.
积分的 Laplace 变换(积分定理 I): 若 \(f(t)\) 满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则 \(\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\) 的变换也存在, 为
\[\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right\}=\frac{F(p)}{p}\]
Proof
\[F(p)=p\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right\}-\int_0^0f(\tau)\mathrm{d}\tau\]
Derivative of a transform(微分定理 II): 当 \(f(t)\) 至少是分段连续的, 且 \(p\) 的选择使得 \(\mathrm{e}^{-pt}f(t)\) 对大的 \(p\) 呈指数收敛时, 积分
\[\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]
是一致收敛的, 并且可以(在积分号下)对 \(p\) 微分. 那么
\[F'(p)=\int_0^\infty(-t)\mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=\mathcal{L}\{-tf(t)\}\]
同理得到
\[\mathcal{L}\{(-t)^nf(t)\}=F^{(n)}(p)\]
Integration of transform(积分定理 II): 要求 \(f(t)/t\) 在 \(t=0\) 附近局部可积, 并取实数 \(s\) 使 \(\int_0^\infty e^{-st}|f(t)|/t\,\mathrm{d}t\lt\infty\), 以保证换序与 \(b\to\infty\) 的极限.

当 \(F(t)\) 至少是分段连续的, 且 \(s\) 的选择使得 \(\mathrm{e}^{-pt}f(t)\) 对大的 \(p\) 呈指数收敛时, 积分
\[F(p)=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t\]
关于 \(p\) 是一致收敛的, 则可以交换积分顺序:
\[\begin{aligned} \int_s^bF(p)\mathrm{d}p &=\int_s^b\mathrm{d}p\int_0^\infty \mathrm{d}te^{-pt}f(t)\\ &=\int_0^\infty f(t)\left[\int_s^be^{-pt}\mathrm{d}p\right]\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty f(t)\left[-\frac{1}{t}\mathrm{e}^{-pt}\right]_s^b\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{f(t)}{t}\left(\mathrm{e}^{-st}-\mathrm{e}^{-bt}\right)\mathrm{d}t\end{aligned}\]
下限 \(s\) 的选择要足够大, 以使得 \(F(s)\) 在一致收敛区域内, 令 \(b\to\infty\), 得到
\[\int_s^\infty F(p)\mathrm{d}p=\int_0^\infty\frac{f(t)}{t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}\]

推论: 例如在 \(\int_0^\infty |f(t)|/t\,\mathrm{d}t\lt\infty\) 时, 可取 \(s=0\), 并对第二式取 \(s>0\), 以保证下面的换序与尾部积分.
\[\int_0^{\infty}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t=\int_0^{\infty}F(p)\mathrm{d}p\]\[\mathcal{L}\left[\int_t^{+\infty}\frac{f(\tau)}{\tau}\mathrm{d}\tau\right]=\frac{1}{s}\int_0^sF(p)\mathrm{d}p\]
卷积定理: 取
\[F_1(p)=\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}\quad 和\quad F_2(p)=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\]
相乘得到
\[\begin{aligned} F_1(p)F_2(p) &=\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)\mathrm{e}^{-p\tau}\mathrm{d}\tau\int_{0}^{\infty}f_{2}(\nu)\mathrm{e}^{-p\nu}\mathrm{d}\nu\\ &=\int_0^\infty f_1(\tau)\mathrm{d}\tau\int_0^\infty f_2(\nu)\mathrm{e}^{-p(\tau+\nu)}\mathrm{d}\nu\\ &=\int_0^\infty f_1(\tau)\mathrm{d}\tau\int_\tau^\infty f_2(t-\tau)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau \end{aligned}\]
即
\[F_1(p)F_2(p)=\mathcal{L}\left\{\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right\}\]

常见变换

\[\mathcal{L}\{1\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{p}, \quad p > 0\]

\[\mathcal{L}\left\{\mathrm{e}^{kt}\right\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt}\mathrm{e}^{kt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{p - k}, \quad p > k\]

\[\mathcal{L}\{\cosh kt\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p - k} + \frac{1}{p + k}\right) = \frac{p}{p^2 - k^2}, \quad p > |k|\]

\[\mathcal{L}\{\sinh kt\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p - k} - \frac{1}{p + k}\right) = \frac{k}{p^2 - k^2}, \quad p > |k|\]

\[\mathcal{L}\{\cos kt\} = \frac{p}{p^2 + k^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sin kt\} = \frac{k}{p^2 + k^2}\]

\[\mathcal{L}\left\{t^n\right\} = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-pt} t^n\,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(n+1)}{p^{n+1}}, \quad p > 0,\ n > -1\]

8.3 General Inversion Formula

反演的唯一性问题 设 \(f_1(t),f_2(t)\) 为连续函数, 若

\[\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}\]

则 \(f_1(t)\equiv f_2(t)\).

Bromwich 积分

Bromwich 反演与留数求值是两个步骤. 例如, 若 \(f\) 局部可积、在 \(t>0\) 附近分段光滑且为指数阶, 则在收敛半平面内取 \(s\), 有

\[\frac{f(t^+)+f(t^-)}{2}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{s-\mathrm{i}T}^{s+\mathrm{i}T}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p.\]

连续点处左边即 \(f(t)\). 积分通常按这里的对称截断极限理解, 不要求绝对收敛.

若进一步能将 \(F\) 亚纯延拓到闭合路径所围区域, 选取避开极点的一列向左闭合路径 \(C_T\), 且补入路径上的 \(F(p)\mathrm{e}^{pt}\) 积分趋于零, 留数定理才给出

\[f(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{p_j\in\operatorname{Int}C_T}\operatorname{Res}_{p=p_j}\left[\mathrm{e}^{pt}F(p)\right],\qquad t>0\]

这里写在连续点处; 有无限多个极点时, 求和顺序由闭合路径指定, 不能任意重排. 是否能丢掉大圆弧或矩形边须对具体函数估计, 右半平面的解析性本身不足以保证这一点. 若存在分支点与割线, 还须保留割线两侧的积分, 不能只求极点留数.

例如

\[\mathcal{L}\{t^{\alpha-1}\}(p)=\frac{\Gamma(\alpha)}{p^\alpha},\qquad 0\lt\alpha\lt1,\quad\operatorname{Re}p>0.\]

此时竖直线上的绝对积分不收敛, 但 Bromwich 反演仍适用; \(p=0\) 是分支点, 必须选定 \(p^{-\alpha}\) 的分支并计入割线贡献. 这也说明反演公式与纯留数公式的适用条件不同.

反演也可以用原函数的条件表述为下面的定理:

Theorem 设 \(f(t)\) 在 \([0,\infty)\) 的任意有限区间上只有有限个极大极小和有限个第一类间断点.Laplace 积分

\[F(p)=\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]

在直线 \(\mathrm{Re}p=s\) 上绝对收敛. 则

\[\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{s-\mathrm{i}\infty}^{s+\mathrm{i}\infty}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p= \begin{cases} 0,&t\lt0\\ \frac{f(0+)}{2},&t=0\\ \frac{f(t+)+f(t-)}{2},&t>0 \end{cases}\]

更一般地, 积分应理解为积分主值
\[f(t)=\frac1{2\pi\mathrm{i}}\lim_{R\to\infty}\int_{s-\mathrm{i}R}^{s+\mathrm{i}R}F(p)\mathrm{e}^{pt}\mathrm{d}p\]
例如: \(F(p)=\frac1p\) 时,
\[f(t)=\begin{cases}0&t\lt0\\\frac{1}{2}&t=0\\1&t>0\end{cases}\]

Appendix

A.1 Velocity Fields and Complex Analysis

记流速场为

\[\mathbf{V}(x,y)=(u(x,y),v(x,y))\]

对于不可压缩势流, 流速场散度和旋度为 0, 要求

\[0=\partial_xu+\partial_yv,\quad 0=\partial_xv-\partial_yu\]

与 C-R 方程对比, 从而设复速度

\[g(z)=u-iv\]

其原函数为复势(势函数+i 流函数, 流函数与势函数正交, 表征流线簇)

\[\Phi(z)=\varphi+\mathrm{i}\psi\]

\[u=\partial_x\varphi,\quad v=-\partial_x\psi=\partial_y\varphi\Longrightarrow \mathbf V=\nabla\varphi\]

A.2 Computation of Asymptotic Series

渐近序列与渐近级数定义如下:

Definition 渐近序列设函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 在 \(z_0\) 点的邻域内有定义, 且 \(\phi_n(z)\neq0\)(\(z_0\) 点可以除外), 若对于所有的 \(n\), 有
\[\phi_{n+1}(z)=o\left(\phi_n(z)\right),\quad z\to z_0\]
则称函数序列 \(\{\phi_n(z)\}\) 为 \(z\to z_0\) 时的一个渐近序列.

Definition 渐近级数若在 \(z\) 的某个范围内
\[\left[f(z)-\sum_{n=0}^Na_n\phi_n(z)\right]=o\left(\phi_N(z)\right), \quad \forall N\in\mathbb{N},\quad z\to z_0\]
则称 \(\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z)\) 是函数 \(f(z)\) 相对于 \(\{\phi_n(z)\}\) 的渐近级数, 记为
\[f(z)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(z),\quad \mathrm{as}\ z\to z_0\]

\(z\) 越接近 \(z_0\), 有限和 \(\sum_{n=0}^N a_n\phi_n(z)\)(称为 \(z\to z_0\) 时 \(f(z)\) 的渐近近似)越逼近于 \(f(z)\). 它区别于通常的级数展开,例如幂级数展开
\[f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n+\cdots\]
后者是 \(z\) 点固定, 而级数的项数越多越准确, 即
\[\lim_{N\to\infty}\left[f(z)-\sum_{n=0}^Nu_n(z)\right]=0.\]

在渐近级数的定义中, 并未要求级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\phi_n(z)\) 收敛. 渐近展开级数可以(而且常常)不是收敛级数. 因此, 对于一定的 \(z\), 并不能通过多取项数(即增大 \(N\))来改善近似程度(存在某个 \(N\) 能最佳地逼近原函数).

不同的趋近方式可能会产生完全不同的极限行为, 在 \(\arg z\) 的一定范围内, 渐进展开如果存在即是唯一的, 系数
\[a_m=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{\phi_m(z)}\left[f(z)-\sum_{n=0}^{m-1}a_n\phi_n(z)\right]\]

渐进级数在收敛级数失效的情况下特别有用, 例如在微扰展开或积分近似中.

A.2.1 Integration by Parts Method

第一类:

\[I(x)=\int_x^\infty f(t)\mathrm{e}^{g(t)}\mathrm{d}t\quad x\to\infty\]

不能仅凭 \(g\) 单调就判断主项. 在 \(g'(t)\ne0\)、\(f/g'\) 可微、上端边界项趋零且积分收敛时, 分部积分给出

\[I(x)=-\frac{f(x)}{g'(x)}\mathrm{e}^{g(x)}- \int_x^\infty\mathrm{e}^{g(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{f(t)}{g'(t)}\right)\mathrm{d}t.\]

只有余项相对于第一项为高阶小量时, 才能将第一项作为渐近主项.

Example不完备 \(\Gamma\) 函数

\[\Gamma(-p, x)=\int_x^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{-p-1}\mathrm{d}t,\quad x\to+\infty,\quad p\in\mathbb{R}\text{ 固定}\]

Solve 直接进行分部积分

\[\Gamma(-p, x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}-(p+1)\int_x^{\infty}t^{-p-2}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\]

以此类推得到

\[\Gamma(-p,x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}-\frac{(p+1)\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+2}}+\mathcal{O}\left(\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+3}}\right)\]

仅保留领头项得到

\[\Gamma(-p,x)\sim\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{p+1}}\]

第二类:

\[I(\lambda)=\int_a^bf(t)\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\mathrm{d}t\quad\mathrm{~}\lambda\to\infty\]

一个充分条件是 \(a\lt b\) 有限, \(f\in C^1[a,b]\)、实值 \(g\in C^2[a,b]\), 且 \(g'\) 始终非零. 此时 \(g\) 严格单调, 主导端点为 \(g\) 较大的端点. 分部积分得到:

\[I(\lambda)=\int_a^bf(t)\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\mathrm{d}t=\left[\frac{f(t)}{\lambda g^{\prime}(t)}\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\right]_a^b-\frac{1}{\lambda}\int_a^b\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{f(t)}{g^{\prime}(t)}\right)\mathrm{d}t\]

因 \(|g'|\) 有正下界, 积分余项为 \(O(\mathrm{e}^{\lambda\max(g(a),g(b))}/\lambda^2)\). 若主导端点 \(t_*\) 满足 \(f(t_*)\ne0\), 才可写成

\[I(\lambda)\sim\left[\frac{f(t)}{\lambda g^{\prime}(t)}\mathrm{e}^{\lambda g(t)}\right]_a^b.\]

若 \(f(t_*)=0\), 须继续求下一阶, 不能将为零的端点项用作相对渐近主项.

分部积分法要求渐进展开的各项自然形成递减的高阶修正项, 对于某些类型的 \(g(t)\), 没有自然的递减序列, 仍需要通过局部展开(结合尺度变换)提取主要贡献区域的主项, 与极值是否位于边界无关.

A.2.2 Laplace Method

\[I(\lambda)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{e}^{\lambda g(x)}\mathrm{d}x\]

假定区间有限, 实值 \(g\in C^2[x_1,x_2]\) 的唯一全局最大值出现在内部点 \(c\)(\(g^{\prime}(c)=0,g''(c)\lt 0\)), 且 \(f\) 连续、\(f(c)\ne0\), 则积分贡献主要来自于 \(x=c\) 处的峰, 宽度为 \(O(\lambda^{-\frac12})\). 作尺度变换: \(x=c+\lambda^{-\frac 12}y\) 当 \(f,g\) 具有相应高阶导数时, 可进一步将 \(f(x),g(x)\) 在 \(c\) 处展开:

\[f(x)=f(c)+\frac{f^{\prime}(c)}{\sqrt{\lambda}}y+\frac{f^{\prime\prime}(c)}{2\lambda}y^2+\cdots\]

\[g(x)=g(c)+\frac{g^{\prime}(c)}{\sqrt{\lambda}}y+\frac{g^{\prime\prime}(c)}{2\lambda}y^2+\frac{g^{\prime\prime\prime}(c)}{6\lambda^{\frac{3}{2}}}y^3\cdots\]

\[I_{\mathrm{loc}}(\lambda)=\frac{\mathrm{e}^{\lambda g(c)}}{\sqrt\lambda} \int_{-\epsilon\sqrt\lambda}^{\epsilon\sqrt\lambda} f(c+y/\sqrt\lambda)\, \mathrm{e}^{\lambda[g(c+y/\sqrt\lambda)-g(c)]}\,\mathrm{d}y.\]

对足够小的固定 \(\epsilon\), 非退化极大保证局部指数受 \(\mathrm{e}^{-Ky^2}\) 控制, 其中 \(K>0\); 对固定 \(y\), 指数趋于 \(g''(c)y^2/2\). 局部积分由控制收敛得到高斯极限. 在补集上存在 \(\eta>0\) 使 \(g(x)\le g(c)-\eta\), 因而补集贡献为 \(O(\mathrm{e}^{\lambda[g(c)-\eta]})\). 由于远离 \(c\) 的贡献迅速衰减, 我们可以将积分限延伸至 \(\pm\infty\):

\[I(\lambda)\sim\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(c)\mathrm{e}^{\lambda g(c)}}{\sqrt\lambda}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}g''(c)y^2}\mathrm{d}y=f(c) \mathrm{e}^{\lambda g(c)}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda g''(c)}},\quad \lambda\to\infty\]

Example Stirling 公式

\[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^x\mathrm{d}t,\quad x\to\infty\]

Solve

\[\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-t+x\ln t}\mathrm{d}t\]

极值点位于 \(t=x\) 处, 再做一次变量替换 \(t=xs\) 得到固定的极值点 \(s=1\):

\[\Gamma(x+1)=x \mathrm{e}^{x\ln x}\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-xs+x\ln s}\mathrm{d}s\sim\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)^{x}\sqrt{2\pi x}\]

这里 \(g(s)=\ln s-s\) 在 \(s=1\) 有唯一非退化最大值. 无界区间的尾部还须单独控制: \(s\to0\) 时 \(\ln s\to-\infty\), 大 \(s\) 时 \(\ln s-s\le-s/2\), 因而两端均比鞍点邻域的贡献小.

A.2.3 Fourier-type Integrals

对于振荡积分

\[I(\omega)=\int_{a}^{b}\mathrm{d}t\,f\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi\left(t\right)},\quad \mathrm{as}\ |\omega|\to\infty\]

(1)若 \(a\lt b\) 有限, \(f\in C^2[a,b]\)、实值 \(\phi\in C^3[a,b]\), 且 \(|\phi'|\) 有正下界, 两次分部积分给出

\[I(\omega)=\left.\frac{f(t)}{\mathrm{i}\omega\phi'(t)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(t)}\right|_a^b+O(|\omega|^{-2}).\]

应使用加性余项; 两个端点贡献可能相消, 因而不能无条件将等式写成相对渐近关系 \(\sim\). (2)例如取 \(f\in C^2[a,b]\)、实值 \(\phi\in C^4[a,b]\), 内部唯一驻点 \(c\) 满足 \(\phi'(c)=0,\phi''(c)\ne0\), 且两端不是驻点. 在 \(c\) 的固定邻域之外, \(|\phi'|\) 有正下界, 由分部积分得到 (Riemann-Lebesgue 引理本身只给趋零, 不给这个速率)

\[I(\omega)=\int_{c-\varepsilon}^{c+\varepsilon}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(t)}\mathrm{d}t+\mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega}\right)\]

当 \(f(c)\ne0\) 时, 在 \(c\) 点附近展开 \(f(t),\phi(t)\):

\[I(\omega) \sim\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(\phi(c)+\frac{1}{2}(t-c)^2\phi''(c))}\mathrm{d}t \sim f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\phi(c)}\left(\frac{2}{|\omega\phi^{\prime\prime}(c)|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\operatorname{sgn}(\omega\phi^{\prime\prime}(c))s^2}\mathrm{d}s\]

将被积部分视作复积分, 记 \(\sigma=\operatorname{sgn}(\omega\phi^{\prime\prime}(c))\). 将积分路径绕 \(s=0\) 旋转 \(\sigma\,45\degree\), 则 \(s=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sigma\pi/4}u\) 使指数成为 \(-u^2\), 得到 Gauss 型积分:

\[I(\omega)= \sqrt{\frac{2\pi}{|\omega|\,|\phi''(c)|}}f(c)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega\phi(c)+\operatorname{sgn}(\omega\phi''(c))\pi/4)}+O(|\omega|^{-1})\]

A.2.4 Method of Steepest Descent

对于复变积分(辐角信息归入 \(g(z)\) 以保证 \(\lambda>0\))

\[I(\lambda)=\int_Cf(z)\mathrm{e}^{\lambda g(z)}\mathrm{d}z,\quad \mathrm{as}\ \lambda\to\infty\]

下面的单鞍点公式要求 \(f,g\) 在路径变形区域内解析, 变形不跨过奇点, 补入的无穷远弧贡献趋零; 变形后的路径经过一个可达的非退化鞍点 \(z_0\), \(g''(z_0)\ne0\)、\(f(z_0)\ne0\), 且该鞍点贡献主导端点和其他鞍点. 在这些条件下, 主要贡献在 \(g'(z)=0\) 附近, 由于解析函数的限制, 解析区域内无法找到最大值点, 因此 \(g'(c)=0\) 处为鞍点, 希望通过路径变形使得其沿最陡下降方向经过鞍点.

设 \(g''(z_0)=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, z-z_0=s\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\), 考察指数部分:

\[\lambda g(z_0)+\frac{\lambda}{2} g^{\prime\prime}(z_0)(z-z_0)^2=\lambda g(z_0)+\frac{\lambda}{2}\rho s^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2\phi)}\]

最陡下降要求指数部分的实部变化最快, 即 \(\theta+2\phi=\pi(\mod 2\pi\ \ )\)(下降最快), 合理取 \(\phi\) 使得沿其一即可. 鞍点近似下可以将积分区域延拓到 \(\pm\infty\)

\[\begin{aligned} I(\lambda) &\sim f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\int_C\mathrm{e}^{\lambda g^{\prime\prime}(z_0)(z-z_0)^2/2}\mathrm{d}z\\ &\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|(x-x_0)^2/2}\mathrm{d}x\\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|}}\left[1+O\left(\lambda^{-1}\right)\right] \end{aligned}\]

保留领头项得到

\[I(\lambda)\sim f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda|g^{\prime\prime}(z_0)|}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi},\quad \phi=\frac{\pi-\arg[g''(z_0)]}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

其中 \(k\) 必须按原路径的定向选定; 反向穿过鞍点会改变符号, 不能任意选择 \(k\). 这种方法对于评估无法通过实变量技术处理的复积分特别有效. 其关键思想是将积分路径变形, 使其沿着积分值减小最快的路径穿过鞍点, 从而使主要贡献来自这些点的邻域.

Example Airy 函数: 线性微分方程

\[\Psi^{\prime\prime}(x)-x\Psi(x)=0\]

的解. Solve 设

\[\Psi(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\Phi(k)\mathrm{d}k\]

代入得到

\[k^2\Phi(k)+\mathrm{i}\Phi'(k)=0\]

通解为 \(\Phi(k)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k^3/3}\). 以下固定 \(A=1/(2\pi)\), 实轴振荡积分取对称极限, 从而 \(\Psi(x)=\mathrm{Ai}(x)\):

\[\Psi(x)=A\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx+\frac{k^3}{3})}\mathrm{d}k=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(\frac{x}{|x|}u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

其中作代换 \(k=-\mathrm{i}\sqrt{|x|}u\) 复平面上无奇点. (1)对 \(x\to\infty\), 鞍点位于 \(u_0=\pm 1\):

\[\Psi(x)=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

\(u_0=-1\) 起主要贡献, 最速下降辐角 \(\theta=\frac{\pi}{2}\). 鞍点近似得到

\[\mathrm{Ai}(x)\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}x^{\frac{1}{4}}}\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}\]

(2)对 \(x\to-\infty\), 鞍点位于 \(u_0=\pm\mathrm{i}\):

\[\Psi(x)=-\mathrm{i}A\sqrt{|x|}\int_Ce^{|x|^\frac{3}{2}(-u-\frac{u^3}{3})}\mathrm{d}u\]

最速下降方向分别为 \(\theta=\frac{\pi}{4}/\frac{3\pi}{4}\), 鞍点近似得到

\[\mathrm{Ai}(x)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi}|x|^{\frac{1}{4}}}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}|x|^{\frac{3}{2}}\right)\]

A.3 Supplementary Notes on Generalized Functions

Definition 支集设 \(\mathbf x\in \mathbb{R}^n\), 函数 \(\phi(\mathbf x)\) 的支集定义为函数值不为 0 的点构成的集合的闭包, 即

\[\mathrm{supp}\ \phi=\overline{\{\mathbf x\in\mathbb{R}^n|\phi(\mathbf x)\neq0\}}\]

若 \(\phi\) 的支集是一个紧集(在这里等价于有界闭集), 就称函数 \(\phi(\mathbf x)\) 具有紧支集.

Definition 检验函数定义为 \(\mathbb{R}^n\) 上无穷阶连续可微的紧支集函数, 例如

\[j(\mathbf x)= \left\{\begin{aligned} &C_{n}\exp\left(-\frac{1}{1-|\mathbf {x}|^{2}}\right),&|\mathbf x|\lt1\\ & 0,&|\mathbf x|\ge1 \end{aligned}\right.\]

\(C_n\) 为归一化因子, 保证 \(j(\mathbf x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 的积分值为 1.

检验函数空间记作 \(\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\), 是一个线性空间. 若进一步规定收敛性还可以得到拓扑线性空间.

Definition 磨光函数

\[j_\delta(\mathbf x)=\frac{1}{\delta^n}j\left(\frac{\mathbf x}{\delta}\right), \quad \delta>0\]

设 \(\phi(x)\), 是 \(\mathbb{R}^n\) 上可积的紧支集函数, 可以证明函数

\[\phi_\delta(\mathbf x)=(j_\delta\star\phi)(\mathbf x)=\int_{\mathbb{R}^n}j_\delta(\mathbf x-\mathbf y)\phi(\mathbf y)\mathrm{d}^n\mathbf y\]

无穷阶连续可微, 且仍有紧支集, 因此是检验函数. 具体地, 其支集包含于 \(\operatorname{supp}\phi+\operatorname{supp}j_\delta\), 这是两个紧集的 Minkowski 和. 对任意多重指标 \(\alpha\), 光滑核的导数有界而 \(\phi\) 可积, 可以在积分号下求导得到 \(\partial^\alpha\phi_\delta=(\partial^\alpha j_\delta)\star\phi\); 控制收敛同时给出这些导数的连续性.

Definition 广义函数: 连续线性映射

\[f:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf x)\mapsto\langle f,\phi\rangle\]

连续性要求 \(\lim_{k\to\infty}\phi_k=\phi\) 时有
\[\lim_{k\to\infty}\langle f,\phi_k\rangle=\langle f,\phi\rangle\]
可以对广义函数规定加法和数乘得到线性空间(\(\mathcal D(\mathbb{R}^n)\) 的拓扑对偶空间)

广义函数的例子 设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 的任一紧子集上可积, 可以定义对应的广义函数 \(f\) 为

\[f:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R},\quad\phi(\mathbf x)\mapsto\langle f,\phi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]

从而可以将广义函数视作局部可积函数的推广, 从而可以类似地定义广义函数的运算:

设 \(f(\mathbf x)\) 的偏导数存在且局部可积, 由
\[\int_{\mathbb{R}^n}\partial_if(\mathbf x)\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=-\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)\operatorname{\partial}_i\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以定义广义函数的偏导
\[\langle\partial_if,\phi\rangle=-\langle f,\partial_i\phi\rangle\]
由于检验函数的偏导也是检验函数, 保证了广义函数的定义.
设 \(\psi(\mathbf x)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的无穷阶连续可微函数, 由
\[\int_{\mathbb{R}^n}[\psi(\mathbf x)f(\mathbf x)]\phi(\mathbf x)\mathrm{d}^n\mathbf x=\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x)[\psi(\mathbf x)\phi(\mathbf x)]\mathrm{d}^n\mathbf x\]
可以定义广义函数的乘法
\[\langle\psi\cdot f,\phi\rangle=\langle f,\psi\cdot\phi\rangle\]
检验函数和无穷阶连续可微函数的乘积也是检验函数, 保证了广义函数的定义.
对广义函数序列 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\), 若存在广义函数 \(f\) 使得
\[\lim_{m\to\infty}\langle f_m,\phi\rangle=\langle f,\phi\rangle,\quad\forall\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\]
就称 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\) 弱 \(*\) 收敛于 \(f\), \(f\) 为 \(\{f_m\}_{m=1}^\infty\) 的弱 \(*\) 极限.

Mathematical Physics Methods - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

9 Power Series Solutions of Second-Order Linear ODEs

Definition 对二阶线性 ODE

\[\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2}+p(z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}+q(z)w=0\]

若 \(p(z),q(z)\) 在 \(z_0\) 解析, 则 \(z_0\) 被称为方程的常点. 若至少有一个在 \(z_0\) 不解析, 则 \(z_0\) 被称为方程的奇点.

9.1 Solutions near Ordinary Points

Theorem 若 \(p(z), q(z)\) 在圆 \(|z-z_0|\lt R\) 内解析, 则此圆内的初值问题

\[\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2}+p(z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}+q(z)w=0\]

\[w(z_0)=C_0,\quad w^{\prime}(z_0)=C_1\]

有唯一的解 \(w(z)\), 且在圆内单值解析.

根据定理, 可以在 \(|z-z_0|\lt R\) 内把 \(p(z),q(z),w(z)\) 分别展开为 Taylor 级数:
\[p(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k,\quad q(z)=\sum_{k=0}^\infty b_k(z-z_0)^k,\quad w(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k\]
由初值条件, \(c_0=C_0, c_1=C_1\). 由待定系数法即可解出各阶系数 \(c_k\).
通解的结构 若 \(w_1(x)\) 和 \(w_2(x)\) 是方程在区域 \(G\) 内两个线性无关的解, 则方程在区域内的通解为 \(k_1w_1(z)+k_2w_2(z)\). 通过 Wronski 行列式判断解是否线性相关.
收敛半径至少为展开点与最邻近方程奇点的距离, 个别解可有更大的收敛半径(可以被推广到 n 阶线性 ODE).

9.2 Structure of Solutions near Isolated Singular Points

如果 \(z_0\) 是方程的孤立奇点, 则 \(z_0\) 点可能是解的奇点(极点/本性奇点, 若解为多值函数, 还可能为枝点). 避开奇点, 我们在 \(z_0\) 的邻域内取一点 \(b\) 为方程的常点. 在 \(b\) 的邻域用幂级数解法, 求出方程在常点 \(b\) 附近的解析解

\[w(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-b)^n\]

幂级数的收敛半径为 \(R\), 收敛圆为圆盘 \(D=\{|z-b|\lt R\}\). 我们可以将 \(G\) 内的解析解延拓到更大的区域内.

Theorem 方程 \(w''+p(z)w'+q(z)w=0\) 的解的解析延拓仍为方程的解.

Proof 设 \(w(z)\) 是方程在 \(G\) 内的解. \(w_1(z)\) 为 \(w(z)\) 在 \(G_1\) 内的解析延拓, 即在 \(G\) 和 \(G_1\) 的公共区域 \(g=G\cap G_1\neq0\) 内有 \(w(z)=w_1(z)\). 考虑函数

\[f(z)=w_1''+p(z)w_1'+q(z)w_1\]

为 \(G_1\) 内的解析函数(\(G,G_1\) 不含方程奇点, 故 \(p(z),q(z)\) 解析). 在 \(g\subset G_1\) 内

\[f(z)=w''+p(z)w'+q(z)w=0\]

因此 \(f(z)\) 在 \(G_1\) 内恒为零,即 \(w_1(z)\) 在 \(G_1\) 内满足方程.

Theorem 若 \(z_0\) 是方程 \(w''+p(z)w'+q(z)w=0\) 的孤立奇点, \(p(z),q(z)\) 在区域 \(0\lt|z-z_0|\lt R\) 内解析. 则在该环域的通用覆盖上, 或沿一条割线选定 \(\ln(z-z_0)\) 分支后的单连通区域内, 方程有两个线性无关的解:

\[\begin{aligned} w_{1}(z) &=(z-z_0)^{\rho_1}\sum_{k=-\infty}^\infty c_k(z-z_0)^k\\ w_{2}(z) &=g\,w_1(z)\ln(z-z_0)+(z-z_0)^{\rho_2}\sum_{k=-\infty}^\infty d_k(z-z_0)^k\end{aligned}\]

其中 \(\rho_1,\rho_2\) 和 \(g\) 为复常数(第二项无需特别记忆, Wronski 行列式法更加方便).

试图用待定系数法定级数的系数时, 由于级数具有无穷多个正幂项系数和无穷多个负幂项系数, 每一个系数递推关系都可能含有无穷多个正幂项系数和无穷多个负幂项系数, 从而无法求解.

9.3 Solutions near Regular Singular Points

Definition 正则解: 如果级数解只有有限个负幂项时, 就可以用待定系数法定解. 这是总可以调整 \(\rho\) 值以将解写为:

\[\begin{aligned} w_{1}(z) &=(z-z_0)^{\rho_1}\sum_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k,&c_0\ne0\\ w_{2}(z) &=g\,w_1(z)\ln(z-z_0)+(z-z_0)^{\rho_2}\sum_{k=0}^\infty d_k(z-z_0)^k,&d_0\ne0 \end{aligned}\]

正则奇点的判定: 若 \(z_0\) 为方程的奇点, 但 \((z-z_0)p(z), (z-z_0)^2q(z)\) 在 \(z_0\) 解析, 则称 \(z_0\) 为正则奇点, 其邻域内的解为正则解.

即 \(z_0\) 最高是 \(p(z)\) 的一阶极点, \(q(z)\) 的二阶极点.

不含对数项的正则解求解 不妨设正则奇点为 \(z=0\), 在其邻域内作 Laurent 展开:

\[p(z)=\sum_{l=0}^\infty a_lz^{l-1},\quad q(z)=\sum_{l=0}^\infty b_lz^{l-2},\quad w(z)=z^\rho\sum_{k=0}^\infty c_kz^k\]

代入方程得到

\[\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)(k+\rho-1)z^{k+\rho-2}+\sum_{l=0}^\infty a_lz^{l-1}\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)z^{k+\rho-1}+\sum_{l=0}^\infty b_lz^{l-2}\sum_{k=0}^\infty c_kz^{k+\rho}=0\]

整理得

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(n+\rho)(n+\rho-1)z^n+\sum_{n=0}^\infty\sum_{l=0}^n[a_l(n+\rho-l)+b_l]c_{n-l}z^n=0\]

比较 \(z^0\) 系数, 得到指标方程
\[\boxed{\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0}\]
利用
\[\boxed{a_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)p(z),\quad b_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^2q(z)}\]
解出一对 \(\rho_1, \rho_2\)(规定 \(\mathrm{Re}\rho_1\geq\mathrm{Re}\rho_2\))
比较 \(z^n\) 系数, 得到
\[(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+\sum_{l=0}^n[a_l(n+\rho-l)+b_l]c_{n-l}=0\]
提出 \(l=0\) 项, 再由指标方程得到递推关系:
\[n(n+2\rho+a_0-1)c_n+\sum_{l=1}^n[a_l(n+\rho-l)+b_l]c_{n-l}=0\]
只要 \(n+2\rho+a_0-1\neq0\) 就可以递推得到 \(c_n\) 普遍表达式.

正则解不含对数项的条件 利用指标方程, 有韦达定理 \(\rho_1+\rho_2=-a_0+1\), 从而有普遍表达式的判据:
\[n+2\rho+a_0-1=\begin{cases}n+\rho_1-\rho_2&\rho=\rho_1\\n+\rho_2-\rho_1&\rho=\rho_2&&\end{cases}\]

若 \(\rho_1-\rho_2\ne \mathrm{int}\), 可以求出两个线性无关特解

若 \(\rho_1-\rho_2= \mathrm{int}\), 则 \(\rho_2\) 不满足判据, 若:

\(\rho_1=\rho_2\), 不应该得到一个解, 会有含对数项的第二解.

\(\rho_1-\rho_2=m>0\), 则对于第二解的系数 \(c_m^{(2)}\), \(n=m\) 时的递推关系要求(用到 \(\rho_1=m+\rho_2\))
\[0\cdot c_m^{(2)}+\sum_{l=1}^m[a_l(\rho_1-l)+b_l]c_{m-l}^{(2)}=0\]
故
\[\boxed{\sum_{l=1}^m[a_l(\rho_1-l)+b_l]c_{m-l}^{(2)}\begin{cases}\neq0,&无解\\=0,&c_m^{(2)}任意\end{cases}}\]
若此情形无解, 方程第二解也应该含对数项. 若测方程有解, 可以继续求解, 不妨 \(c_m^{(2)}=0\).

第二种情形无解时第二项的求解 固然可以代入对数形式解并定系数. 这里介绍 Wronski 行列式法:
\[W[w_1,w_2]=w_1\frac{\mathrm{d}w_2}{\mathrm{d}z}-w_2\frac{\mathrm{d}w_1}{\mathrm{d}z}=A\exp\left[-\int^zp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\]
又 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{w_2}{w_1}\right)=\frac{1}{w_1^2}W[w_1,w_2]\). 积分得到
\[w_2=Aw_1(z)\int^z\left\{\frac{1}{[w_1(z)]^2}\exp\left[-\int^zp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\right\}\mathrm{d}z+Bw_1(z)\]
不妨令 \(A=1\), \(B=0\), 得到
\[w_2=w_1(z)\int^z\left\{\frac{1}{[w_1(z)]^2}\exp\left[-\int^zp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\right\}\mathrm{d}z\]

9.4 Examples

Bessel 方程

\[\left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0\right.,\quad\mathrm{Re}\nu\geq0\]\[p(x)=\frac{1}{x},\quad q(x)=1-\frac{\nu^2}{x^2}\]

容易判断为正则奇点, 讨论 \(x=0\) 邻域内的正则解.

Solve 设

\[y(x)=x^\rho\sum_{k=0}^\infty c_kx^k\quad c_0\neq0\]

代入得到

\[\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)(k+\rho-1)x^{k+\rho-2}+\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)x^{k+\rho-2}+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)\sum_{k=0}^\infty c_kx^{k+\rho}=0\]

\[\quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=0}^\infty c_k[(k+\rho)^2-\nu^2]x^k+\sum_{k=0}^\infty c_kx^{k+2}=0\]

由低幂次项得到指标方程及其解

\[\rho^2-\nu^2=0\quad \Longrightarrow \quad \rho_1=\nu,\quad\rho_2=-\nu;\quad\mathrm{Re}\rho_1\geq\rho_2\]

考虑第一解, 代入 \(\rho=\nu\), 由 \(x^1\) 系数
\[c_1[(\nu+1)^2-\nu^2]=0\]
故 \(c_1=0\); 由 \(x^n\) 系数
\[c_n[(\nu+n)^2-\nu^2]+c_{n-2}=0, \quad n\ge 2\]
得到递推关系
\[c_n=-\frac{1}{n(n+2\nu)}c_{n-2}\]
从而可以递推得到
\[\begin{aligned}c_{2n}&=(-1)^n\frac{1}{2n(2n-2)\cdots2}\\&\times\frac{1}{(2n+2\nu)(2n-2+2\nu)\cdots(2\nu+2)}c_0\\&=(-1)^n\frac{1}{2^{2n}n!(n+\nu)(n+\nu-1)\cdots(v+1)}c_0\\&=\frac{(-1)^n}{n!}\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(n+\nu+1)}\frac{1}{2^{2n}}c_0\\c_{2n+1}&=0\end{aligned}\]
不妨取 \(c_{0}=\frac{1}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}\), 得到 \(\nu\) 阶 Bessel 函数:
\[y_1(x)=J_\nu(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\]
考虑第二解, 代入 \(\rho=-\nu\), 得到第一阶方程和第 \(n\) 阶递推关系
\[c_1[-2\nu+1]=0\]

\[c_nn(-2\nu+n)+c_{n-2}=0\]
1. \(2\nu\ne\mathrm{int}\): 重复上述过程得到 \(-\nu\) 阶 Bessel 函数
  \[y_2(x)=J_{-\nu}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-\nu}\]
2. \(\nu=0\): 第二解含对数项.
  
  \[y_1=1-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{64}x^4+\cdots\]\[W(x)=\exp[-\int^x\frac{1}{\xi}\mathrm{d\xi}]=\frac{1}{x}\]\[y_2=y_1\int^x\frac{1}{\xi(1-\frac{1}{4}\xi^2+\frac{1}{64}\xi^4+\cdots)^2}\mathrm{d}\xi=y_1\ln x+\cdots\]
3. \(2\nu=1\): \(c_1\) 可任取为 0, 仍有 \(c_{2n+1}=0\), 可以得到 \(-\frac 12\) 阶 Bessel 函数
  \[y_2(x)=J_{-\frac{1}{2}}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\frac{1}{2})}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-\frac{1}{2}}\]
4. \(\nu=m(m=1,2,3\cdots)\): 对 \(c_{2m}\) 的递推项,
  \[c_{2m}\cdot0+c_{2m-2}=0\]
  但显然 \(c_{2m-2}\ne 0\), 矛盾, 说明第二解含有对数项. 实际上这时的 \(-m\) 阶 Bessel 函数为
  \[J_{-m}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-m+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-m}=(-1)^mJ_m(x)\]
5. \(\nu=m+\frac 12\): 得 \(c_1=0\). 由递推关系 \(c_{2m-1}=0\). 而
  \[c_{2m+1}\cdot0+0=0\]
  故 \(c_{2m+1}\) 任意. 不妨取 \(c_{2m+1}=0\), 则仍有 \(c_{2n+1}=0\). 故而
  \[J_{-m-\frac{1}{2}}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-m+\frac{1}{2})}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-m-\frac{1}{2}}\]
  半整数情况可以不含对数项.

可解二阶 ODE 分类:

在 \(\mathbb{C}\) 上都是常点(\(y''+y=0\), 仅无穷远为非正则奇点)
在扩充复平面 \(\mathbb{C}\bigcup\{\infty\}\) 上仅含两个正则奇点 \(x_1,x_2\), 其解一定是基本函数
在扩充复平面 \(\mathbb{C}\bigcup\{\infty\}\) 上仅含三个正则奇点 \(x_1,x_2,x_3\), 常数形式固定 :
\[u''+\frac{p(x)}{\prod(x-x_i)}u'+\frac{q(x)}{\prod(x-x_i)^2}u=0\]
且要求无穷远为常点.

非正则奇点求解:

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

令 \(y(x)=f(x)u(x)\), 带入得到

\[fu''+(2f'+pf)u'+(f''+pf'+qf)u=0\]

令 \(2f'+pf=0\), 即 \(f=\exp[-\frac{1}{2}\int^xp(\xi)\mathrm{d}\xi]\), 则方程形式变为

\[u''+Qu=0,\quad Q=q-\frac{1}{2}p'-\frac{1}{4}p^2\]

之后可以令 \(u=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\), 得到

\[\mathrm{i}\phi^{\prime\prime}-{\phi^{\prime}}^{2}+Q=0\]

假定 \(\phi''\) 很小, 则首阶展开为 \(\phi'\simeq\pm\sqrt Q\), 则

\[\phi\simeq\pm\int^x\sqrt{ Q(\xi)}\mathrm{d}\xi,\quad \phi''\simeq\pm\frac{Q'}{2\sqrt Q}\quad \Longrightarrow\quad \left|\frac{Q'}{2\sqrt Q}\right|\ll|Q|\]

第二阶:

\[\phi'^2\simeq Q\pm\mathrm{i}\frac{Q'}{2\sqrt Q}\quad \Longrightarrow\quad \phi'\simeq \pm\sqrt Q+\frac{\mathrm{i}}{4}\frac{Q'}{Q}+\cdots\]

\[\phi\simeq \pm\int^x \sqrt {Q(\xi)}\mathrm{d}\xi+\frac{\mathrm{i}}{4}\ln Q(x)\]

前两阶代回得到

\[u\simeq C_1 Q^{-\frac{1}{4}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\int^x\sqrt Q\mathrm{d}\xi}+C_2 Q^{-\frac{1}{4}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\int^x\sqrt Q\mathrm{d}\xi}\]

例如对于 Bessel 方程在 \(x=\infty\) 的解, \(f=x^{-\frac{1}{2}}\), 令 \(y=fu\), 则

\[u''+[1-(\frac{n^2}{x^2}-\frac{1}{4x^2})]u=0\]

在无穷远处, 退化为 \(u''+u=0\). 相当于得到 Bessel 函数在 \(\infty\) 的渐进展开:

\[y=\frac{1}{\sqrt x}(A\cos x+B\sin x)\]

10 Separation of Variables

10.1 Separation of Variables

本节取 \(a>0,l>0\).

逐项微分并解释为经典解时, 初值与外力须具有足够光滑性, 并满足固定端的兼容条件, 如 \(\phi(0)=\phi(l)=\psi(0)=\psi(l)=0\); 更高阶兼容条件由方程在端点给出.
若只取能量数据 \(\phi\in H_0^1(0,l)\)、\(\psi\in L^2(0,l)\) 及时间局部可积的 \(L^2\) 外力, 以下展开应理解为能量解, 不能据此保证点态逐项二阶求导.

Example 两端固定弦线的自由振动

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\qquad 0\lt x\lt l,\quad t>0\]

\[u|_{t=0}=\phi(x),\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x),\qquad 0\le x\le l\]

\[u|_{x=0}=u|_{x=l}=0,\qquad t>0\]

Solution

分离变量: 设特解具有分离变量形式
\[u(x,t)=X(x)T(t)\]
代入原方程得到
\[\frac{1}{a^2}\frac{T^{\prime\prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}\]
即
\[T^{\prime\prime}(t)+\lambda a^2T(t)=0,\quad X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\]
带入一组边界条件得到
\[X(0)T(t)=0,\quad X(l)T(t)=0\quad \Longrightarrow\quad X(0)=0,\quad X(l)=0\]
求解 \(X(x)\) 本征问题的非零解
\[\left\{\begin{gathered} X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\\ X(0)=0,\quad X(l)=0 \end{gathered}\right.\]

这里并未限制 \(\lambda\) 为实数. 后续可以证明这类(Sturm-Liouville 型)本征问题中 \(\lambda\) 只能是实数.
- \(\lambda=0\), 通解为 \(X(x)=Ax+B\), 边界条件要求 \(X(x)\equiv0\), 非物理解.
- \(\lambda\ne 0\), 通解为
  \[X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x,\qquad\lambda\neq0\]
  边界条件
  \[X(0)=B=0,\quad X(l)=A\sin\sqrt{\lambda}l=0\]
  非零解要求
  \[\sqrt{\lambda}l=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}_+,\quad \Longrightarrow\quad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2\]
  从而非零解
  \[X_n(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x\]
求特解, 叠加出一般解: 对每一个 \(\lambda_n\), 可以求出
\[T_n(t)=C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\]
由于方程和边界条件都是齐次的, 方程一般解可以直接由特解线性叠加为
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\]
利用正交性定系数: 利用初始条件
\[u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty D_n\sin\frac{n\pi}{l}x=\phi(x),\quad \left.\frac{\partial}{\partial t}u(x,t)\right|_{t=0}=\sum_{n=1}^\infty C_n\cdot\frac{n\pi}{l}a\cdot\sin\frac{n\pi}{l}x=\psi(x)\]
和正交性关系
\[\int_0^lX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=\frac{l}{2}\delta_{nm}\]
分别得到
\[D_n=\frac{2}{l}\int_0^l\phi(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x,\quad C_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l\psi(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x\]

正交性证明: \(n=m\) 时的情况容易算出, 现证明 \(n\ne m\) 的情况: 由本征方程得到
\[X_m\times(X_n''+\lambda_n X_n)-X_n\times(X_m''+\lambda_m X_m)=0\]
从而
\[(\lambda_n-\lambda_m)X_nX_m=(X_nX_m^\prime-X_mX_n^\prime)^\prime\quad\Longrightarrow\quad\]\[(\lambda_n-\lambda_m)\int_0^lX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=\left.\left(X_n(x)X_m^{\prime}(x)-X_m(x)X_n^{\prime}(x)\right)\right|_0^l=0\quad\Longrightarrow\quad\]\[\int_0^lX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=0\]

将驻波解分解为行波解 先将 \(\phi(x), \psi(x)\) 奇延拓, 容易由正交性得到其分解形式
\[\Phi(x)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\sin\frac{n\pi}{l}x,\quad \alpha_n=D_n\]\[\Psi(x)=\sum_{n=1}^\infty\beta_n\sin\frac{n\pi}{l}x,\quad \beta_n=\frac{n\pi a}{l}C_n\]
从而
\[\begin{aligned} u(x,t) =&\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\beta_nl}{n\pi a}\sin\frac{n\pi}{l}at+\alpha_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\\ =&\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\left[\sin\frac{n\pi}{l}(x-at)+\sin\frac{n\pi}{l}(x+at)\right]\\ &+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\beta_nl}{n\pi a}\left[\cos\frac{n\pi}{l}(x-at)-\cos\frac{n\pi}{l}(x+at)\right]\\ =&\frac{1}{2}\left[\Phi(x-at)+\Phi(x+at)\right]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\Psi(x)\mathrm{d}x \end{aligned}\]

10.2 Steady-state Problems in Rectangular Domains

Example 矩形导热区域有边界条件

\[u|_{x=0}=0,\quad u|_{y=0}=f(x),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=a}=\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b}=0(\mathrm{Adiabatic})\]

求解 Laplace 方程

\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\]

Solution 令 \(u(x,y)=X(x)Y(y)\), 带入方程分离变量得到

\[\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)}\]

即

\[X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0,\quad Y^{\prime\prime}(y)-\lambda Y(y)=0\]

带入一组边界条件得到

\[X(0)Y(y)=0,\quad X^{\prime}(a)Y(y)=0\quad \Longrightarrow\quad X(0)=0\quad X^{\prime}(a)=0\]

显然 \(\lambda=0\) 时无非零解, \(\lambda=0\) 非本征值.
\(\lambda\ne0\) 时, 通解为
\[X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x\]
带入边值
\[X(0)=B=0,\quad X^{\prime}(a)=A\sqrt{\lambda}\cos\sqrt{\lambda}a=0\]
非零解要求
\[\sqrt{\lambda}a=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\quad \Longrightarrow \quad \lambda_n=\left(\frac{2n+1}{2a}\pi\right)^2\]
从而本征函数
\[X_n(x)=\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\]

\(X_n\) 代入 Laplace 方程, 得到

\[Y_n(y)=C_n\sinh\frac{2n+1}{2a}\pi y+D_n\cosh\frac{2n+1}{2a}\pi y\]

叠加得到满足 Laplace 方程和齐次边界条件的一般解

\[u_n(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(C_n\sinh\frac{2n+1}{2a}\pi y+D_n\cosh\frac{2n+1}{2a}\pi y\right)\times\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\]

求解叠加系数, 应满足条件

\[\begin{aligned} u|_{y=0}&=\sum_{n=0}^\infty D_n\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x=f(x)\\ \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b} &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2n+1}{2a}\pi\left(C_n\cosh\frac{2n+1}{2a}\pi b+D_n\sinh\frac{2n+1}{2a}\pi b\right)\times\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x =0 \end{aligned}\]

利用正交性

\[\int_0^aX_n(x)X_m(x)\mathrm{d}x=\frac{a}{2}\delta_{nm}\]

得到

\[D_n=\frac{2}{a}\int_0^af(x)\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\mathrm{d}x,\quad C_n=-D_n\tanh\frac{2n+1}{2a}\pi b\]

10.3 Multi-variable Boundary Value Problems

Example 矩形介质, 初始温度分布 \(u|_{t=0}=\phi(x,y)\), 四周绝热, 求解导热问题

\[\partial_tu-\kappa\nabla^2u=0\]

\[\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=a}=\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b}=0\]

Solution 令 \(u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)\), 代入方程

\[X(x)Y(y)T^\prime(t)-\kappa\left[X^{\prime\prime}(x)Y(y)T(t)+X(x)Y^{\prime\prime}(y)T(t)\right]=0\quad \Longrightarrow\quad\]

\[\frac{1}{\kappa}\frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=\left[\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}+\frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)}\right]=-\lambda,\quad \frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)}-\lambda=-\mu\]

从而得到(其中 \(\lambda=\mu+\nu\))

\[\begin{gathered} T^{\prime}(t)+\lambda\kappa T(t)=0\\ X^{\prime\prime}(x)+\mu X(x)=0\\ Y^{\prime\prime}(y)+\nu Y(y)=0 \end{gathered}\]

通过边界条件易得

\[X^{\prime}(0)=0\quad X^{\prime}(a)=0\quad Y^{\prime}(0)=0\quad Y^{\prime}(b)=0\]

从而可以求解两个本征值问题. 对于 \(X\),

\(\mu=0\), \(X=Ax+B\), 边界条件要求 \(A=0\), \(B\) 任意, 故 \(\mu_0=0\) 为本征值, 不妨取 \(X_0=1\) 为本征函数.
\(\mu\ne 0\), 通解为
\[X=A\sin\sqrt\mu x+B\cos\sqrt\mu x\]
带入边界条件易得
\[A=0,\quad \sqrt{\mu}\mathrm{~}a=n\pi\]
不妨令 \(B=1\), 则本征值和本征函数(\(n=0\) 的时候得到 \(\mu=0\) 的结果)
\[\mu_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\quad X_n=\cos\frac{n\pi}{a}x\]

对 \(Y\) 同样有

\[\nu_m=\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2,\quad Y_m(y)=\cos\frac{m\pi}{b}y\]

则

\[\lambda_{nm}=\mu_n+\nu_m=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2,\quad T_{nm}=A_{nm}\mathrm{e}^{-\lambda_{nm}\kappa t}\]

从而可以得到特解

\[u_{nm}(x,y,t)=X_n(x)Y_m(y)T_{nm}(t)=A_{nm}\cos\frac{n\pi}{a}x\cos\frac{m\pi}{b}y\cdot\mathrm{e}^{-\lambda_{nm}\kappa t}\]

由 \(t = 0\) 的边界条件和本征函数的正交性

\[\int_0^aX_n(x)X_{n^{\prime}}(x)\mathrm{d}x=\frac{a}{2}(1+\delta_{n0})\delta_{nn^{\prime}},\quad \int_0^bY_m(y)Y_{m^{\prime}}(y)\mathrm{d}y=\frac{b}{2}(1+\delta_{m0})\delta_{mm^{\prime}}\]

可以得到

\[A_{nm}=\frac{4}{ab}\frac{1}{(1+\delta_{n0})(1+\delta_{m0})}\times\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\phi(x,y)\operatorname{cos}\frac{n\pi}{a}x\operatorname{cos}\frac{m\pi}{b}y\mathrm{d}y\mathrm{d}x\]

10.4 Inhomogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions

方程非齐次 方程齐次化, 保证齐次边界条件不变.

Example 1 在外力驱动下的两端固定弦, 初始位形和速度分别为 \(\phi(x), \psi(x)\). 有定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t), \quad &0\lt x\lt l,t>0\\ &u|_{x=0}=0,\quad u|_{x=l}=0, \quad &t\ge 0\\ &u|_{t=0}=\phi(x),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x), \quad &0\leq x\leq l \end{aligned}\right.\]

Solution 对于非齐次方程, 不妨认为已经求得一个特解 \(v(x,t)\), 设 \(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)\), \(w\) 满足齐次方程

\[\frac{\partial^2w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2w}{\partial x^2}=0\]

为分离变量法可用, \(w\) 需满足齐次边界条件 \(w(x,t)|_{x=0}=0,w(x,t)|_{x=l}=0\)(故 \(v\) 应该也满足齐次边界条件), 故

\[w|_{t=0}=\phi(x)-v|_{t=0},\quad\left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x)-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right|_{t=0}\]

由此可以定出 \(w(x,t)\).

对于一般的 \(f(x,t)\), 难以猜出解的形式, 需要使用本征函数展开方法: 由于 \(u(x,t)\) 满足齐次边界条件, 可以将 \(u(x,t)\) 和 \(f(x,t)\) 按齐次问题的本征函数展开

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(t)X_n(x),\quad f(x,t)=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)X_n(x)\]

只需要求出系数 \(u_n(t)\). 带入非齐次方程得到

\[\sum_{n=1}^\infty u_n^{\prime\prime}(t)X_n(x)-a^2\sum_{n=1}^\infty u_n(t)X_n^{\prime\prime}=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)X_n(x)\]

利用 \(X_n^{\prime\prime}(x)+\lambda_nX_n(x)=0\) 消去 \(X_n''\) 得

\[\sum_{n=1}^\infty u_n^{\prime\prime}(t)X_n(x)+a^2\sum_{n=1}^\infty\lambda_nu_n(t)X_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)X_n(x)\]

考虑到本征函数的正交性, 由上式得

\[u_n^{\prime\prime}(t)+\lambda_na^2u_n(t)=f_n(t)\]

由于 \(X_n(x)\) 满足其次边界条件, 其线性叠加 \(u(x,t)\) 也应满足其次边界条件. 再对边界条件展开得到:

\[\sum_{n=1}^\infty u_n(0)X_n(x)=\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty\phi_nX_n(x)\]

\[\sum_{n=1}^\infty u_n^{\prime}(0)X_n(x)=\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty\psi_nX_n(x)\]

从而 \(u_n(0)=\phi_n\)、\(u_n'(0)=\psi_n\). 取 \(X_n=\sin(n\pi x/l)\), \(\omega_n=n\pi a/l\), 各系数为

\[\phi_n=\frac2l\int_0^l\phi(x)X_n(x)\mathrm{d}x,\quad \psi_n=\frac2l\int_0^l\psi(x)X_n(x)\mathrm{d}x,\quad f_n(t)=\frac2l\int_0^lf(x,t)X_n(x)\mathrm{d}x.\]

解受迫振子初值问题, 得

\[u_n(t)=\phi_n\cos\omega_nt+\frac{\psi_n}{\omega_n}\sin\omega_nt+ \int_0^t\frac{\sin[\omega_n(t-\tau)]}{\omega_n}f_n(\tau)\mathrm{d}\tau, \qquad u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)X_n(x).\]

这给出非齐次固定弦问题的完整解.

Example 2 具体地, 令 \(f(x,t)=A_0\sin\omega t,\phi(x)=0, \psi(x)=0\). Solution 1 先取 \(\omega>0\) 且 \(\cos(\omega l/(2a))\ne0\). 试取 \(v(x,t)=g(x)\sin\omega t\), 代入非齐次方程得

\[-\omega^2g(x)-a^2g^{\prime\prime}(x)=A_0\]

齐次边界条件要求 \(g(0)=0,g(l)=0\), 容易求出通解

\[g(x)=-\frac{A_0}{\omega^2}+\frac{A_0}{\omega^2}\frac{\cos(\frac{\omega x}{a}-\frac{\omega l}{2a})}{\cos(\frac{\omega l}{2a})}\]

\(w(x,t)\) 的一般解分离变量给出为

\[w(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right]\sin\frac{n\pi}{l}x\]

\[D_n=0,\quad C_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l[-\omega g(x)]\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x=-\frac{2A_0\omega l^3}{\pi^2a}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\]

从而

\[\begin{aligned} &u(x,t)= -\frac{A_0}{\omega^2}\left[1-\frac{\cos(\frac{\omega x}{a}-\frac{\omega l}{2a})}{\cos(\frac{\omega l}{2a})}\right]\sin\omega t\\ &-\frac{4A_0\omega l^3}{\pi^2a}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\frac{1}{[(2n+1)\pi a]^2-(\omega l)^2}\sin\frac{2n+1}{l}\pi x\sin\frac{2n+1}{l}\pi at \end{aligned}\]

以上过程未能正确处理 \(\omega=\omega_{2k+1}=\frac{(2k+1)\pi a}{l}\) 的共振情形. 可以简单地将 \(g(x)\) 也按 \(\{\sin\frac{n\pi}{l}x\}\) 展开, 并求出 \(\omega\to\omega_{2k+1}\) 时 \(u(x,t)\) 的极限值:
\[u(x,t)=\frac{4A_0l^2}{\pi^2a}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\frac{1}{(\omega_{2n+1}l)^2-(\omega l)^2}\sin\frac{2n+1}{l}\pi x \cdot\left[\omega_{2n+1}l\sin\omega t-\omega l\sin\omega_{2n+1}t\right]\]
从而 \(\omega\to\omega_{2k+1}\) 时, 得到
\[\begin{aligned} u(x,t) &=\frac{4A_0l^2}{\pi^2a}\sum_{n=0,n\ne k}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\frac{1}{(\omega_{2n+1}l)^2-(\omega l)^2}\sin\frac{2n+1}{l}\pi x \cdot\left[\omega_{2n+1}l\sin\omega t-\omega l\sin\omega_{2n+1}t\right]\\ &-\frac{2A_0l}{\pi^2a}\frac{1}{(2k+1)^2}\sin\frac{2k+1}{l}\pi x\left[t\cos\omega_{2k+1}t-\frac{1}{\omega_{2k+1}}\sin\frac{2k+1}{l}\pi at\right] \end{aligned}\]

Solution 2 不直接猜出特解, 使用本征函数展开方法: 考虑齐次形式的方程

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, \quad u|_{x=0}=0,\quad u|_{x=l}=0\]

分离变量 \(u(x,t)=X(x)T(t)\) 得到本征值问题

\[X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0,\quad , X(0)=0,\quad X(l)=0\]

得到本征值和本征函数

\[X_n=\sin\frac{n\pi}{l}x,\quad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2, \quad n=1,2,3,...\]

将非齐次项展开得到

\[A_0\sin\omega t=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)\sin\frac{n\pi}{l}x\Longrightarrow\]

\[f_n(t)=\frac{2}{l}\int_0^lA_0\sin\omega t\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x=\frac{2A_0}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\omega t\]

设解为 \(u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(t)\sin\frac{n\pi}{l}x\), 一同代入非齐次方程和边界条件得到:

\[u_n^{\prime\prime}(t)+\left(\frac{n\pi}{l}a\right)^2u_n(t)=\frac{2A_0}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\omega t,\quad u_n(0)=0\quad u_n^{\prime}(0)=0\]

代入特解 \(\alpha_n\sin \omega t\) 得到

\[\alpha_n=\frac{2A_0l^2}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\]

又由通解 \(u_n(t)=\alpha_n\sin\omega t+A_n\sin\frac{n\pi}{l}at+B_n\cos\frac{n\pi}{l}at\) 代入边界条件, 得到 \(A_n, B_n\), 从而

\[\begin{aligned} u(x,t)= &\frac{4A_0l^2}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\frac{1}{[(2n+1)\pi a]^2-(\omega l)^2}\\ &\times\left[\sin\omega t-\frac{\omega l}{(2n+1)\pi a}\sin\frac{(2n+1)\pi}{l}at\right]\\&\times\sin\frac{2n+1}{l}\pi x\end{aligned}\]

两种方法在非共振情形给出同一个解, 不能将第二种展开与所谓“正解”区分. 偶数模的外力系数为零, 其解始终为零; 即使 \(\omega=\omega_{2k}\), 也无偶数模共振, 此时系数式中的 \(0/0\) 应由未除以频率差的模方程处理. 奇数共振模取上面的极限式.

边界条件非齐次 必须先将非齐次的边界条件齐次化, 否则无法分离变量

Example 3

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad &0\lt x\lt l,t>0\\ &u|_{x=0}=\mu(t),\quad u|_{x=l}=\nu(t),\quad &t\geq0\\ &u|_{t=0}=\phi(x),\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x),\quad &0\leq x\leq l \end{aligned}\]

Solution 令 \(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)\), 选择齐次化函数使其满足

\[v(x,t)|_{x=0}=\mu(t)\quad v(x,t)|_{x=l}=\nu(t)\]

从而使 \(w(x,t)\) 满足非齐次方程和齐次边界条件

\[\frac{\partial^2w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2w}{\partial x^2}=f(x,t)-\left(\frac{\partial^2v}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\right)\]

\[w(x,t)|_{x=0}=0,\quad w(x,t)|_{x=l}=0\]

\[w|_{t=0}=\phi(x)-v|_{t=0},\quad \left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x)-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right|_{t=0}\]

例如取

\[v(x,t)=\left(1-\frac xl\right)\mu(t)+\frac xl\nu(t),\qquad \mu,\nu\in C^2.\]

则 \(w\) 的外力为 \(f-(1-x/l)\mu''-(x/l)\nu''\), 初值为 \(\phi-v(x,0)\)、\(\psi-\partial_tv(x,0)\). 将这三项代入 Example 1 的系数及 Duhamel 公式, 再取 \(u=v+w\), 即得到本例的解; 初边值的端点兼容条件也应满足.

11 Orthogonal Curvilinear Coordinates

11.1 Orthogonal Curvilinear Coordinates

Definition 正交曲面坐标系在某一曲面坐标系中, 记点的坐标为 \((\xi_1, \xi_2, \xi_3)\), 坐标面 \(\xi_i=\mathrm{const}\) 为曲面, 故称坐标系为曲面坐标系. 坐标面交线为坐标线. 坐标线方向的单位矢量为

\[\mathbf{e}_i=\frac{\boldsymbol{\alpha}_i}{|\boldsymbol{\alpha}_i|},\quad \boldsymbol\alpha_i=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\xi_i}\]

若三条坐标线在全空间都相互垂直

\[\boldsymbol\alpha_i\cdot\boldsymbol\alpha_j=0\quad i\neq j\]

则这一曲面坐标系被称为正交曲面坐标系.

Definition 度规: 考虑空间间隔

\[\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\boldsymbol{\alpha}_i\cdot\boldsymbol{\alpha}_j\mathrm{d}\xi_i\mathrm{d}\xi_j\]

可以定义度规 \(g_{ij}=\boldsymbol\alpha_i\cdot\boldsymbol\alpha_j=\sum_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial\xi_i}\frac{\partial x_k}{\partial\xi_j}\), 显然有 \(g_{ij}=g_{ji}\).

对正交曲面坐标系, 定义标度因子 \(h_i=\sqrt{g_{ii}}\), 则
\[\mathrm{d}\mathbf{r}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\xi_i}\mathrm{d}\xi_i=\sum_{i=1}^3\mathbf{e}_ih_i\mathrm{d}\xi_i=\sum_{i=1}^3\mathbf{e}_i\mathrm{d}s_i,\quad \mathrm{d}s^2=\sum_{i=1}^3(\mathrm{d}s_i)^2\]
相应面元和体元表示为
\[\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x_i\mathrm{d}x_j=\mathrm{d}s_i\mathrm{d}s_j=h_ih_j\mathrm{d}\xi_i\mathrm{d}\xi_j\]

\[\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\mathrm{d}s_{1}\mathrm{d}s_{2}\mathrm{d}s_{3}=h_{1}h_{2}h_{3}\mathrm{d}\xi_{1}\mathrm{d}\xi_{2}\mathrm{d}\xi_{3}\]
柱坐标

Definition 正交曲面坐标中的微分算符. 以下取右手定向的正交单位基, \(\mathbf{A}=\sum_i A_i\mathbf{e}_i\), 且 \(\partial_i\equiv\partial/\partial\xi_i\).

\[\nabla f=\sum_i\frac{1}{h_{i}}\partial_{i}f\mathbf{e}^{i}\]

\[\nabla\cdot\mathbf A=\dfrac 1{h_1h_2h_3}[\partial_{1}(h_{2}h_{3}A_{1})+\partial_{2}(h_{3}h_{1}A_{2})+\partial_{3}(h_{2}h_{1}A_{3})]\]

\[\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left|\begin{array}{ccc}h_{1}\mathbf{e}_{1}&h_{2}\mathbf{e}_{2}&h_{3}\mathbf{e}_{3}\\\partial_{1}&\partial_{2}&\partial_{3}\\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}\end{array}\right|\]

\[\nabla^2f=\nabla\cdot(\nabla f)\]

Proof 使用

\[\mathrm{d} f=\nabla f\cdot \mathrm{d}\mathbf r\]

\[\nabla\cdot\mathbf{A}=\lim_{V\to0}\frac{1}{V}\underset{S}{\iint}A_n\mathrm{d}S\]

\[(\nabla\times\mathbf{A})_{i}=\lim_{S_{i}\to0}\frac{1}{S_{i}}\oint A_{s}\mathrm{d}s,\quad i=1,2,3\]

11.2 Steady-state Problems in Circular Domains

Example Laplace 方程定解问题

\[\nabla^2u=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}=0,\quad u|_{r=a}=f(\phi);\quad 0\leq r\leq a, \quad0\leq\phi\leq2\pi\]

极坐标下, 应引入周期性条件. 这里再引入方程奇点的有界性条件

\[u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi},\quad \left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=2\pi},\quad u|_{r=0}\text{有界}\]

Solution 方程和角向边界条件均齐次. 设分离变量解 \(u(r,\phi)=R(r)\Phi(\phi)\), 代入得到

\[\frac{r}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\phi^2}=\lambda\Longrightarrow\]

\[\left\{\begin{aligned} &r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)-\lambda R=0\\ &\frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\phi^2}+\lambda\Phi=0, &\Phi(0)=\Phi(2\pi),\Phi^{\prime}(0)=\Phi^{\prime}(2\pi) \end{aligned}\right.\]

后者为关于 \(\Phi\) 的本征问题, 其解为

\[\Phi(\phi) = \begin{cases} A\phi+B,&\lambda=0\\ A\sin\sqrt{\lambda}\phi+B\cos\sqrt{\lambda}\phi,&\lambda\ne 0 \end{cases}\]

也可使用复的指数表示. 代入周期性条件得到本征值和本征函数:

\[\begin{aligned} \lambda = 0: &B =2\pi A+B,\quad A=A\\ \Longrightarrow &A=0\\ \Longrightarrow &\lambda_{0}=0,\quad \Phi_0(\phi)=1\\\\ \lambda\ne 0: &B=A\sin(\sqrt{\lambda}2\pi)+B\cos(\sqrt{\lambda}2\pi),\quad \sqrt{\lambda}A=\sqrt{\lambda}A\cos(\sqrt{\lambda}2\pi)-\sqrt{\lambda}B\sin(\sqrt{\lambda}2\pi)\\ \Longrightarrow& \begin{vmatrix} \sin(\sqrt{\lambda}2\pi)&\cos(\sqrt{\lambda}2\pi)-1\\ \cos(\sqrt{\lambda}2\pi)-1&-\sin(\sqrt{\lambda}2\pi) \end{vmatrix}=0,\quad \mathrm{s.t.}\ A,B\ne0\\ \Longrightarrow&\lambda_m=m^2,\quad m\in\mathbb{Z}_+,\quad \Phi_{m1}(\phi)=\sin m\phi,\quad \Phi_{m2}(\phi)=\cos m\phi \end{aligned}\]

后者的本征问题出现简并(同一个本征值对应两个线性无关的本征函数). 从而对径向, 得到 Euler 方程:

\[r^2R_m^{\prime\prime}+rR_m^{\prime}-m^2R_m=0\]

可以简单得到其解为

\[R_m =\begin{cases} C_0+D_0\ln r,&m=0\\ C_mr^m+D_mr^{-m},&m\ne 0 \end{cases}\]

合并得到方程的一般解为

\[\begin{aligned}u(r,\phi)&=C_0+D_0\ln r\\ &+\sum_{m=1}^\infty\left(C_{m1}r^m+D_{m1}r^{-m}\right)\sin m\phi\\ &+\sum_{m=1}^\infty\left(C_{m2}r^m+D_{m2}r^{-m}\right)\cos m\phi\end{aligned}\]

考虑到原点处的有界性要求

\[u(r,\phi)=C_0+\sum_{m=1}^\infty r^m\left(C_{m1}\sin m\phi+C_{m2}\cos m\phi\right)\]

利用本征函数的正交性, 可以确定系数

\[\int_0^{2\pi}\Phi_m\Phi_{m'}^*\mathrm{d}\phi=\pi(1+\delta_{m0})\delta_{mm^{\prime}}\]

\[\Longrightarrow \left\{\begin{aligned} C_0&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi)\mathrm{d}\phi\\ C_{m1}&=\frac{1}{a^m\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi)\sin m\phi\mathrm{d}\phi\\ C_{m2}&=\frac{1}{a^m\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi)\cos m\phi\mathrm{d}\phi \end{aligned}\right.\]

还可以进一步整理得到
\[u(r,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\phi^{\prime})\times\left[1+2\sum_{m=1}^\infty\left(\frac{r}{a}\right)^m\cos m(\phi-\phi^{\prime})\right]\mathrm{d}\phi^{\prime}\]
使用复指数表示 cos, 进而可以通过等比求和得到级数和
\[u(r,\phi)=\frac{a^2-r^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(\phi^{\prime})}{r^2+a^2-2ar\cos(\phi-\phi^{\prime})}\mathrm{d}\phi^{\prime}\]
与 Poisson 积分的结果一致.

方程齐次, 边界条件非齐次, 可以使用分离变量法. 非齐次方程通常不能用单个乘积解直接分离变量. 可以先求特解再处理齐次方程, 也可以直接按齐次边界条件的本征函数展开, 得到受迫模方程; 并不必须先将方程齐次化.

12 Spherical Harmonics

考虑三维 Laplace 方程定解问题

\[\begin{cases}\nabla^2u=0\\u|_{x^2+y^2+z^2=R^2}=f(x,y,z)&\end{cases}\]

换到球坐标系

\[\boxed{ \nabla^2=\frac1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac1{r^2\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial }{\partial\theta}\right)+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} }\]\[\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}=0&\\ &u|_{r=R}=f(\theta,\phi)\\ &u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi},\quad\left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=0}=\left.\frac{\partial u}{\partial\phi}\right|_{\phi=2\pi}\\ &u|_{\theta=\pi},u|_{\theta=0},u|_{r=0}有界\\ \end{aligned}\right.\]

考虑一个特殊情况: \(f=f(\theta)\), 则

\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)=0\]

代入分离变量解 \(u = R(r)\Theta(\theta)\):

\[\frac{1}{R(r)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)=\lambda\]

从而

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)-\lambda R(r)=0\]

\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)+\lambda\Theta(\theta)=0\]

要求 \(\theta=0/\pi\) 不是解的奇点. 后者被称为 Legendre 方程.

12.1 Solutions of the Legendre Equation

变换 \(x=\cos \theta, y=\Theta\), 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1-x^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+\lambda y=0\]

令 \(\lambda = \nu(\nu+1)\), 展开得到

\[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\nu(\nu+1)y=0\]

由 \(\lambda=\nu(\nu+1)=(-\nu-1)(-\nu)\), 不妨设 \(\mathrm{Re}\,\nu\ge-\frac{1}{2}\)(对于实部小于 \(-\frac{1}{2}\) 的 \(\nu\), 总可重新选取参数为 \(-\nu-1\)).

在常点 \(x=0\) 附近的级数解: 简单代入 Taylor 级数解 \(y(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\) 可以得到递推关系
\[c_{n+2}=\frac{n(n+1)-\nu(\nu+1)}{(n+1)(n+2)}c_n\]
进而有两个线性无关解
\[\begin{aligned} y_1 &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}(-\nu/2)_n((\nu+1)/2)_n}{(2n)!}x^{2n}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}\frac{\Gamma(n-\frac{\nu}{2})\Gamma(n+\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(-\frac{\nu}{2})\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}x^{2n}\\ y_2 &= \sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}((1-\nu)/2)_n(1+\nu/2)_n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}\frac{\Gamma(n-\frac{\nu-1}{2})\Gamma(n+1+\frac{\nu}{2})}{\Gamma(-\frac{\nu-1}{2})\Gamma(1+\frac{\nu}{2})}x^{2n+1} \end{aligned}\]
在 \(|x|\lt1\) 收敛.
在正则奇点 \(x=\pm 1\) 附近的级数解: 令 \(t=x-1\), 设解 \(y(z)=t^\rho\sum_{n=0}^\infty c_nt^n\)
\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\frac{2(t+1)}{t(t+2)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\frac{\nu(\nu+1)}{t(t+2)}y=0\]

\[a_0 = \lim_{t\to0}tp(t) = 1,\quad b_0 = \lim_{t\to0}t^2q(t) = 0\]
故指标方程 \(\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0\) 得到重根 \(\rho_1=\rho_2 = 0\).
- 第一解为 Taylor 级数, 代入得到递推关系
  \[c_n=\frac{(\nu-n+1)(\nu+n)}{2n^2}c_{n-1}\]
  不妨取 \(c_0=1\) 得到第一类 Legendre 函数
  \[P_\nu(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\nu-n+1)_{2n}}{2^n(n!)^2}(x-1)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}(x-1)^n\]
- 第二个线性无关解含对数项, 这里直接给出结果, 即第二类 Legendre 函数
  \[\begin{aligned} Q_{\nu}(z)&=\frac{1}{2}P_\nu(z)\left[\ln\frac{z+1}{z-1}-2\gamma-2\psi(\nu+1)\right]\\&+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\\&\times(z-1)^n\end{aligned}\]
  
  \(z=\pm 1\) 是 \(Q_\nu(z)\) 的枝点, \(z=\infty\) 在 \(\nu\notin\mathbb{N}\) 时也是枝点. 规定:
  \[\arg(z\pm1)=0\quad[\mathrm{Re}z>1,\mathrm{Im}z=0]\]
  通常规定
  \[Q_\nu(x)=\frac{1}{2}[Q_\nu(x+\mathrm{i}0)+Q_\nu(x-\mathrm{i}0)],\quad -1\lt x\lt1\]
  从而
  \[Q_\nu(x\pm\mathrm{i}0)=Q_\nu(x)\mp\frac{\pi\mathrm{i}}{2}P_\nu(x)\]
方程通解为
\[y(x)=AP_\nu(x)+BQ_\nu(x)\]
考虑边界条件, 构成本征值问题. 为保证 \(y(1)\) 有界, 要求 \(B=0\); 再要求 \(P_\nu(-1)\) 有界. \(P_\nu(-1)\) 有界要求 \(\nu=l=0,1,2,\ldots\)(高阶项截断), 得到本征函数和本征值
\[P_l(x)=\sum_{n=0}^l\frac{1}{2^n(n!)^2}\frac{(l+n)!}{(l-n)!}(x-1)^n,\quad \lambda_l=l(l+1)\]

对于 \(\nu\notin\{0,1,2,\ldots\}\) 的情况,
\[P_\nu(-x)=-\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(n-\nu)}{(n!)^2}\times\left(\frac{x+1}{2}\right)^n\]
由 \(\Gamma(z)\) 的渐进表达式得
\[\frac{\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(n-\nu)}{(n!)^2}\sim\frac{1}{n}\]
故求和在 \(x\to 1\) 时发散.

12.2 Properties of Legendre Polynomials

典型低阶项

\[P_0(x)=1,\quad P_1(x)=x,\quad P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\quad P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),\quad\cdots\]

微分表达式(Rodrigues 公式)

\[P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d}x^l}(x^2-1)^l\]

从而可以得到 Legendre 多项式的幂级数展开表达式

\[\boxed{ P_l(x)=\sum_{r=0}^{[l/2]}\frac{(-1)^r}{2^lr!}\frac{(2l-2r)!}{(l-r)!(l-2r)!}x^{l-2r} }\]

奇偶性 由微分表达式容易看出

\[P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\]

特殊点性质

\[P_l(1)=1;\quad P_l(0)= \left\{\begin{aligned} &(-1)^n\frac{(2n)!}{(2n)!!^2},&l=2n\\ &0,&l=2n+1 \end{aligned}\right. \ ,\quad n\in\mathbb{N}\]

后者通过展开 \((x^2-1)^l\) 即可通过微分表达式得到首阶, 或者通过幂级数展开表达式的 \(r = n\) 项也可以得出.

正交性

\[\boxed{\int_{-1}^1P_l(x)P_{l^\prime}(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2l+1}\delta_{ll^{\prime}}}\]

完备性

\[\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{2}P_l(x)P_l(x^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\]

对于任意一个在 \([1-,1]\) 中分段连续的 \(f(x)\), 在有限个不连续点以外, 可以在分布意义下表示为

\[f(x)=\int_{-1}^1f(x^{\prime})\delta(x-x^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\]

代入完备性, 在平方平均意义下得到 Fourier-Legendre 展开; 对 \(f\in L^2([-1,1])\), 由本征函数完备性保证其部分和的 \(L^2\) 极限为 \(f\).

\[f(x)=\sum_{l=0}^\infty\frac{2l+1}{2}P_l(x)\int_{-1}^1f(x^{\prime})P_l(x^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}=\sum_{l=0}^\infty c_lP_l(x)\]

系数(也可由正交性得到)

\[c_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1f(x)P_l(x)\mathrm{d}x\]

生成函数

\[\boxed{ \frac1{\sqrt{1-2tx+t^2}}= \left\{\begin{aligned} &\sum_{l=0}^\infty P_l(x)t^l, &0\le t\lt1\\ &\sum_{l=0}^\infty P_l(x)t^{-(l+1)}, &t>1 \end{aligned}\right. }\]

一般只称前一式为生成函数

奇怪的启发式证明: 取无穷远点为电势零点,(1, 0)处电荷产生的 Coulomb 势为(这是由实验上得出的)
\[U(r,\theta)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac1{\sqrt{1-2rx+r^2}} ,\quad x=\cos\theta\]
分离变量法解对 \(r\ne 1\) 有
\[U(r,\theta)= \left\{\begin{aligned} &\sum\limits_{l=0}^\infty A_lr^lP_l(x),&r\le1\\ &\sum\limits_{l=0}^\infty B_lr^{-(l+1)}P_l(x),&r>1 \end{aligned}\right.\]
对 \(\theta = 0\) 时 \(U(r,\theta)\) 在 \(r\lt1\) 和 \(r>1\) 处的行为分别展开得到 \(A_l=B_l=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\). 两者联立得到结果.

递推关系

\[\boxed{(2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)}\]

\[P_l(x)=P_{l+1}^{\prime}(x)-2xP_l^{\prime}(x)+P_{l-1}^{\prime}(x)\]

\[P_{l+1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)+(l+1)P_l(x)\]

\[P_{l-1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)-lP_l(x)\]

Proof 生成函数两端对 t 求导数并对 \(P_l\) 展开, 对比 \(t^l\) 系数得到

\[(2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)\qquad (1)\]

生成函数两端对 \(x\) 求导数并对 \(P_l,P_l^{\prime}\) 展开, 对比 \(t^{l+1}\) 系数得到

\[P_l(x)=P_{l+1}^{\prime}(x)-2xP_l^{\prime}(x)+P_{l-1}^{\prime}(x)\qquad (2)\]

(1)求导

\[(2l+1)P_l(x)+(2l+1)xP_l^{\prime}(x)=(l+1)P_{l+1}^{\prime}(x)+lP_{l-1}^{\prime}(x)\]

利用(2)分别消去 \(P_{l-1}^\prime, P_{l+1}^\prime\) 得到

\[P_{l+1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)+(l+1)P_l(x)\qquad (3)\]

\[P_{l-1}^{\prime}(x)=xP_l^{\prime}(x)-lP_l(x)\qquad (4)\]

Christoffel 型和式

需要的关系式形式

\[a_l(x)u_l(x)+b_l(x)u'_l(x)=c_{l+1}(x)u_{l+1}(x)+c_l(x)u_{l-1}(x)\]

右侧也可以是 \(u'_{l}\), 得到类似的结果. 两侧同时乘 \(u_l(y)\):

\[a_l(x)u_l(x)u_l(y)+b_l(x)u'_l(x)u_l(y)=c_{l+1}(x)u_{l+1}(x)u_l(y)+c_l(x)u_{l-1}(x)u_l(y)\]

\(x,y\) 互换得到另一式, 两式相减得到:

\[[a_l(x)-a_l(y)]u_l(x)u_l(y)+[b_l(x)u_l^{\prime}(x)u_l(y)-b_l(y)u_l^{\prime}(y)u_l(x)]=c_{l+1}(x,y)g_{l+1}(x,y)-c_l(x,y)g_l(x,y)\]

求和得到

\[\sum_l[a_l(x)-a_l(y)]u_l(x)u_l(y)+\sum_l[b_l(x)u_l^{\prime}(x)u_l(y)-b_l(y)u_l^{\prime}(y)u_l(x)]=c_{n+1}(x,y)g_{n+1}(x,y)-c_0(x,y)g_0(x,y)\]

e.g. 利用 \((2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)\), 得到

\[\sum_{l=0}^{n}(2l+1)P_l(x)P_l(y) = \frac{n+1}{x-y}[P_{n+1}(x)P_n(y)-P_{n+1}(y)P_n(x)],\qquad x\ne y.\]

在 \(y=x\) 时取连续极限, 得

\[\sum_{l=0}^{n}(2l+1)P_l(x)^2=(n+1)[P_n(x)P'_{n+1}(x)-P_{n+1}(x)P'_n(x)].\]

12.3 Solutions of the Associated Legendre Equation

对于一般性的 \(u = u(r, \theta,\phi)\), 设分离变量解 \(u(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\), 代入得到

\[\frac{1}{R(r)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right) =\lambda =-\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\phi)}{\mathrm{d}\phi^2}\]

对于角向, 可以得到

\[\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)+\lambda\sin^2\theta=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\phi)}{\mathrm{d}\phi^2}=\mu\]

即

\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\right)+\left(\lambda-\frac{\mu}{\sin^2\theta}\right)\Theta(\theta)=0\]

\[\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\phi)}{\mathrm{d}\phi^2}+\mu\Phi(\phi)=0\]

边界条件分离变量后为

\[\Theta(0),\Theta(\pi)有界,\quad \Phi(0)=\Phi(2\pi),\quad \Phi^\prime(0) = \Phi^\prime(2\pi)\]

\(\phi\) 向本征问题:
\[\Phi_m(\phi) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\quad \mu_m = m^2,\quad m\in\mathbb{Z}\]
或另一种
\[\Phi_0=1,\quad\Phi_1=\cos m\phi,\quad \Phi_2=\sin m\phi\]

\[\mu_m=m^2,\quad m\in \mathbb{N}\]
\(\theta\) 向本征问题: 令 \(x = \cos\theta,y(x)=\Theta(\theta),\lambda = \nu(\nu+1)\), 得到连带 Legendre 方程
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right]+\left[\nu(\nu+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y(x)=0\]
代入一个很需要注意力的解
\[y(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}v_m(x)\]
得到
\[(1-x^2)v_m^{\prime\prime}-2(m+1)xv_m^{\prime}+[\nu(\nu+1)-m(m+1)]v_m=0\]
导一阶
\[\left(1-x^2\right)\left(v_m^{\prime}\right)^{\prime\prime}-2(m+2)x\left(v_m^{\prime}\right)^{\prime}\left.+[\nu(\nu+1)]-(m+1)(m+2)\right](v_m^{\prime})=0\]
说明 \(v_{m+1}\) 和 \(v_m^\prime\) 遵循同样形式的方程, 即可以通过求导从 \(v_0\) 推出 \(v_m\). 而 \(v_0\) 满足 Legendre 方程, 则连带 Legendre 方程的通解为
\[y(x)=A(1-x^2)^{m/2}P_\nu^{(m)}(x)+B(1-x^2)^{m/2}Q_\nu^{(m)}(x)\]
考虑边界条件: \(y(\pm 1)\) 有界
- \(x=1\): 由于 \(Q_\nu\) 在 \(x=1\) 对数发散, \(Q_\nu^{(m)}\) 则以 \((x-1)^{-m}\) 的方式发散, 为保证 \(y(1)\) 有界, \(B=0\).
- \(x = -1\): \(P_\nu\) 在 \(x=-1\) 也对数发散, 除非 \(\nu = l\in\mathbb{N}\), 截断为多项式 \(P_l\):
  \[y_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)\equiv P_l^m(x),\quad \lambda_l=l(l+1)\quad l\ge m\]
  \(l\ge m \) 保证 \(P_l^{(m)}\) 不为 0. \(P_l^m(x)\) 称为 \(m\) 阶 \(l\) 次连带 Legendre 多项式:
  \[\boxed{ P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}x^{m}}P_l(x) }\]
  
  额外引入的 Condon-Shortley 相位 \((-1)^m\) 是为了后续 \(\pm m\) 关系上的方便, 以及后续简化球谐函数的正交归一性和计算.
  
  对于 \(m\) 为负的情况, 定义:
  \[P_\nu^{-m}(x)=(-)^m\frac{\Gamma(\nu-m+1)}{\Gamma(\nu+m+1)}P_\nu^m(x),\]
  
  \[Q_\nu^{-m}(x)=(-)^m\frac{\Gamma(\nu-m+1)}{\Gamma(\nu+m+1)}Q_\nu^m(x)\]
  满足
  \[P_l^{-m}(x)=\lim_{\nu\to l}P_\nu^{-m}(x),\quad m>l\]
  \(P_l^{-m}(x)\) 在 \(x\to-1\) 时发散, 一般为代数幂发散.
  
  对数发散: \(\nu\notin\mathbb{N}\) 时, 有
  \[P_\nu(x)=\alpha P_\nu(-x)+\beta Q_\nu(-x)\quad\beta\neq0\]
  实际上为
  \[Q_{\nu}(x)=\frac{\pi}{2\sin\nu\pi}[\cos\nu\pi P_{\nu}(x)-P_{\nu}(-x)]\]
球面调和函数(球谐函数): 令 \(S(\theta,\phi) = \Phi(\phi)\Theta(\theta)\), 即
\[S_{lm}(\theta,\phi)=P_l^{|m|}(\cos\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\quad l=0,1,2,...\quad m=0,\pm1,\pm2,...,\pm l\]
或另一种
\[S_{lm1}(\theta,\phi)=P_l^m(\cos\theta)\cos m\phi\quad m=0,1,2,...,l\]

\[S_{lm2}(\theta,\phi)=P_l^m(\cos\theta)\sin m\phi\quad m=1,2,...,l\]

\[l=0,1,2,3,...\]
归一化后得到
\[Y_{l}^{m}\left(\theta,\phi\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m\left(\cos\theta\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\]
或有另一种定义
\[\boxed{ Y_l^m(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi} }\]
径向: 与之前一致,
\[R_l(r)=A_lr^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\]
一个有用的结论:
\[\nabla^2(R(r)Y_l^m(\mathbf{n}))=\left(\frac1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)R(r)\cdot Y_l^m(\mathbf{n})\]

12.4 Properties of Associated Legendre Polynomials and Spherical Harmonics

12.4.1 Associated Legendre Functions

典型低阶项

\[\begin{aligned} &l=0: P_{0}^{0}(\cos\theta)=1 \\ &l=1: P_{1}^{0}(\cos\theta)=\cos\theta ,\quad P_{1}^{1}(\cos\theta)=-\sin\theta ,\quad P_{1}^{-1}(\cos\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta \\ &l=2: P_{2}^{0}(\cos\theta)=\frac{1}{2}(3\cos^{2}\theta-1) ,\\ &\qquad\quad P_{2}^{1}(\cos\theta)=-3\sin\theta\cos\theta,\quad P_2^{-1}=\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta \\ &\qquad\quad P_2^2=3\sin^2\theta ,\quad P_2^{-2}=\frac{1}{8}\sin^2\theta \end{aligned}\]

正交性

\[\boxed{\int_{-1}^1P_l^m(x)P_{l'}^m(x)\mathrm{d}x=\frac2{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{ll'},\quad l,l'=0,1,2,\cdots\quad m=-l,\cdots,l}\]

完备性

\[\sum_{l=|m|}^\infty\frac{2l+1}2\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x)P_l^m(x^{\prime})=\delta(x-x^{\prime}) ,\quad\mathrm{for}-1\lt x,x^{\prime}\lt1\]

线性关系

\[P_l^{-m}(x)=(-)^m\frac{\Gamma(l-m+1)}{\Gamma(l+m+1)}P_l^m(x)\]

12.4.2 Spherical Harmonics

由 \(\theta,\phi\) 对应一个

\[\mathbf{n}=\frac{\mathbf x}{r}=\left(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta\right)\]

可以简记为 \(Y_{l}^{m}(\mathbf{n})\). 立体角元定义为 \(\mathrm{d}\Omega_{\mathbf{n}}\) 或记为 \(\mathrm{d}\mathbf{n}\).

正交性

\[\int\mathrm{d}\Omega_\mathbf{n} {Y_{l}^{m}}^{*}(\mathbf{n}) Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}}(\mathbf{n})=\delta_{ll^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}\]

完备性

\[\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l {Y_{l}^{m}}^{*}(\mathbf{n}^{\prime}) Y_{l}^{m}(\mathbf{n})=\delta(\mathbf{n}-\mathbf{n}^{\prime})=\delta(\cos\theta-\cos\theta^{\prime})\delta(\varphi-\varphi^{\prime})\]

线性关系

\[Y_{l}^{-m}\left(\mathbf{n}\right)=\left(-1\right)^{m} {Y_{l}^{m}}^{*}\left(\mathbf{n}\right)\]

对于另一种约定, 没有 \((-)^m\) 因子.

12.4.3 Addition Theorem

改变坐标极轴方向, 令 \(\gamma=\angle(\mathbf{n},\mathbf{n}^{\prime})\),

\[\cos\gamma=\cos\theta\cos\theta^{\prime}+\sin\theta\sin\theta^{\prime}\cos(\phi-\phi^{\prime})\]\[Y_{l0}(\gamma,\delta)=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\sum_{m=-l}^lY_{lm}(\theta,\phi)Y_{lm}^*(\theta^{\prime},\phi^{\prime})\]

则

\[\begin{aligned} P_{l}(\cos\gamma) &=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_{lm}(\theta,\phi)Y_{lm}^*(\theta^{\prime},\phi^{\prime})\\ &=\sum_{m=-l}^l\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta)P_l^m(\cos\theta^{\prime}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}m(\phi-\phi^{\prime})}\\ &=\sum_{m=-l}^l(-1)^mP_l^m(\cos\theta)P_l^{-m}(\cos\theta^{\prime})\mathrm{e}^{\mathrm{i}m(\phi-\phi^{\prime})}\\ &=P_l(\cos\theta)P_l(\cos\theta^{\prime})+2\sum_{m=1}^l\cos m(\phi-\phi^{\prime})\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta)P_l^m(\cos\theta^{\prime}) \end{aligned}\]

Proof 从 Laplace 方程的解的关系入手. 假设 \(\nabla^2V=0\), 且 \(V(0)\) 有界.

球谐函数加法定理中的角度关系示意图.

在 \((r, \theta,\phi)\) 下, \(V_{lm}(r,\theta,\phi)=r^lY_{lm}(\theta,\phi)\). 将极轴变为 \(z'\), \(\nabla^2U=0\), \(U_{lm}(r,\gamma,\delta)=r^lY_{lm}(\gamma,\delta)\).

出于完备性要求, 一定有

\[Y_{lm}(\gamma,\delta)=\sum_{n=-l}^lA_n(\theta^{\prime},\phi^{\prime})Y_{ln}(\theta,\phi)\qquad (1)\]

\[Y_{lm}(\theta,\phi)=\sum_{n=-l}^lB_n(\theta^\prime,\phi^\prime)Y_{ln}(\gamma,\delta)\qquad (2)\]

考虑 \(m = 0\), 代入(1)有

\[Y_{l0}(\gamma,\delta)=\sum_{m=-l}^{l}A_{m}Y_{lm}(\theta,\phi)\]

\[A_m=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}Y_{l0}(\gamma,\delta)Y_{lm}^*(\theta,\phi)\mathrm{d}\Omega=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}Y_{l0}(\gamma,\delta)\sum_{n=-l}^{l}B_{n}^{*}Y_{ln}^{*}(\gamma,\delta)\mathrm{d}\Omega=B_0^*\]

考虑 \(\gamma = 0\), 即 \(\theta=\theta',\phi=\phi'\), 有

\[Y_{ln}(0,\delta)=\sqrt{\frac{(l-n)!}{(l+n)!}\frac{2l+1}{4\pi}}P_l^n(1)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\delta}=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\delta_{n0}\]

结合(2), 代入 \(\theta=\theta',\phi=\phi'\), 从而

\[B_0=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_{lm}(\theta^{\prime},\phi^{\prime})\]

结合 \(A_m=B_0^*\), 得到结果.

13 Cylindrical Functions

考虑 Helmholtz 方程

\[\nabla^2u+k^2u=0\]

柱坐标系下

\[\boxed{ \nabla^{2}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} }\]\[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}+k^2u=0\]

代入分离变量解 \(u(r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)\), 得到

\[\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\left(k^2-\lambda-\frac{\mu}{r^2}\right)R=0\]

\[\frac{\mathrm{d}^{2}\Theta}{\mathrm{d}\theta^{2}}+\mu\Theta=0,\quad \frac{\mathrm{d}^2Z}{\mathrm{d}z^2}+\lambda Z=0\]

Bessel 方程

对于径向部分, 若 \(k^2-\lambda\neq0\), 可以令

\[x=\sqrt{k^2-\lambda}r,\quad y(x)=R(r),\quad \mu=\nu^2\]

得到 \(\nu\) 阶 Bessel 方程

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y(x)=0\]

属于 Sturm-Liouville 函数, 权重函数 \(\rho(x) = x\).

Bessel 方程的解

\(\nu \notin \mathbb{Z}\), 有两个正则解, 即 \(\pm\nu\) 阶 Bessel 函数
\[\boxed{ J_{\pm\nu}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k\pm\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k\pm\nu} }\]
\(\nu = n\in\mathbb{Z}\),
\[W[J_n(x),J_{-n}(x)]=0\]
故一定有含对数项的第二解. 第一解仍为 Bessel 函数, 负整数阶 \(J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)\); 第二解为 Neumann 函数, 一定含有对数项, 定义为
\[\boxed{ N_\nu(x)=\frac{\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi} }\]
满足
\[W[J_\nu(x),N_\nu(x)]=\frac{2}{\pi x}\]
即总是与 \(J_\nu(x)\) 线性无关. 整数阶取 \(\nu\to n \) 的极限
\[\begin{aligned} N_{n}(x) &=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos\nu\pi J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi}\\ &=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial\nu}-(-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial\nu}\right]_{\nu=n}\\ &=\frac{2}{\pi}J_n(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-n}\\ &-\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}[\psi(n+k+1)+\psi(k+1)]\times\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n} \end{aligned}\]
对于对数函数, 取 \(|\arg x|\lt\pi\) 的分支.

13.1 Properties of Bessel and Neumann Functions

13.1.1 Properties of Integer-Order Bessel Functions

负整数阶
\[J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)\]
奇偶性
\[J_n(-x)=(-1)^nJ_n(x)\]
生成函数
\[\boxed{ \exp\left[\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)t^n }\]
- 若令 \(t = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 可以得到 Jacobi-Anger 展开
  \[\mathrm{e}^{\mathrm{i}x\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\]
- 若令 \(t=\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 可以得到平面波按柱面波的展开
  \[\begin{aligned} \mathrm{e}^{\mathrm{i}x\cos\theta}&=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)\mathrm{i}^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\\&=J_0(x)+\sum_{n=1}^\infty\left[\mathrm{i}^nJ_n(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}+\mathrm{i}^{-n}J_{-n}(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta}\right]\\&=J_0(x)+\sum_{n=1}^\infty\left[\mathrm{i}^nJ_n(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}+\mathrm{i}^{-n}(-1)^nJ_n(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta}\right]\\&=J_0(x)+2\sum_{n=1}^\infty\mathrm{i}^nJ_n(x)\cos n\theta\end{aligned}\]\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_rr\cos\theta-\omega t)}=J_0(k_rr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+2\sum_{n=1}^\infty\mathrm{i}^nJ_n(k_rr)\cos n\theta\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\]
  
  波动方程
  \[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-v^2\nabla^2u=0\]
  平面波解
  \[u(x,y,z,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_xx}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_yy}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_zz}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\]
  柱面波解
  \[u(r,\theta,z,t)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)T(t)=J_n(k_rr)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_zz}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\]
积分表示利用 Jacobi-Anger 展开, 以及 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\) 作为基的正交完备性, 得到
\[J_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x\sin\theta}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\right)^*\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(x\sin\theta-n\theta)\mathrm{d}\theta\]
虚部 \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(x\sin\theta-n\theta)\mathrm{d}\theta\) 被自然地舍去.

13.1.2 Properties of Arbitrary-Order Bessel Functions

渐近行为
- \(x\to 0\) 时
  \[\boxed{ J_\nu(x)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu+O(x^{\nu+2}) }\]
- \(x\to\infty\) 时
  \[\boxed{ J_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\quad\left|\arg x\right|\lt\pi }\]
递推关系
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^\nu J_\nu(x)\right]=x^\nu J_{\nu-1}(x),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}J_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) }\]
从递推关系中分别消去 \(J_\nu(x)\) 和 \(J_{\nu}'(x)\) 得到
\[\boxed{ J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2J_\nu^{\prime}(x),\quad J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_\nu(x) }\]
从而对于整数阶, 可以由 \(J_0(x),J_1(x)\) 推出 \(J_n(x), J_n'(x)\).
Wronski 行列式
\[W[J_\nu(x),J_{-\nu}(x)]=A\exp\left[-\int^xp(\xi)\mathrm{d}\xi\right]\]
Bessel 方程 \(p(x)=\frac{1}{x}\), 从而
\[W[J_\nu(x),J_{-\nu}(x)]=A\exp[-\ln x+B]=\frac{C}{x}\]
接下来求系数. 令 \(x\to 0\),
\[\begin{aligned} W[J_{\nu}(x),J_{-\nu}(x)]&= \begin{vmatrix} \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu}&\frac{1}{\Gamma(1-\nu)}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu}\\ \frac{1}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu-1}\frac{1}{2}&\frac{1}{\Gamma(-\nu)}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu-1}\frac{1}{2} \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(-\nu)}-\frac{1}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)}\right]\\ &=-\frac{2}{x}\frac{1}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)}=-\frac{2}{x}\frac{\sin\pi\nu}{\pi} \end{aligned}\]
从而 \(C=-\frac{2}{\pi}\sin\pi\nu\). (利用 \(x\to\infty\) 的渐进也可以得到)
实数阶 Bessel 函数的零点: \(\nu> -1\) 时
- \(J_\nu\) 有无穷多零点: 由振荡渐近行为容易得出.
- 均为实零点
- 非零零点在实轴上关于原点对称. 对非整数阶, 此处可用偶整函数 \(x^{-\nu}J_\nu(x)\) 的级数判断零点分布, 避免将 \(x^\nu\) 的分支当成奇偶性.
- \(J_\nu\) 的两个相邻正零点之间恰有 \(J_{\nu+1}\) 的一个正零点: Proof 由于均为实零点, 可以利用高数中的 Rolle 定理, 以及递推关系
  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}J_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)\]
  \(J_\nu\) 的两个相邻零点即 \(x^{-\nu}J_\nu\) 的两个相邻零点. 其间至少有一个导数为零的点, 使得 \(J_{\nu+1}=0\). 反向递推关系
  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{\nu+1}J_{\nu+1}(x)]=x^{\nu+1}J_\nu(x)\]
  表明若同一区间有两个 \(J_{\nu+1}\) 零点, Rolle 定理又会给出其间一个 \(J_\nu\) 零点, 矛盾. 两函数也不能有共同的正零点, 否则由递推关系有 \(J_\nu=J'_\nu=0\), 与 Bessel 方程的初值唯一性矛盾. 因而零点严格交错.

13.1.3 Integrals Involving Bessel Functions

被积函数为幂函数与 Bessel 函数之积

\[\int x^\mu J_\nu(x)\mathrm{d}x\]

Solve 利用递推关系

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^\nu J_\nu\right)=x^\nu J_{\nu-1},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{-\nu}J_\nu\right)=-x^{-\nu}J_{\nu+1}\]

有

\[\int x^\mu J_\nu(x)\mathrm{d}x=x^\mu J_{\nu+1}(x)-(\mu-\nu-1)\int x^{\mu-1}J_{\nu+1}(x)\mathrm{d}x\]

\[\int x^\mu J_\nu(x)\mathrm{d}x=-x^\mu J_{\nu-1}(x)+(\mu+\nu-1)\int x^{\mu-1}J_{\nu-1}(x)\mathrm{d}x\]

对于前一递推关系, 若 \(\mu-\nu=2n+1\),
\[\int x^{\mu-n}J_{\nu+n}(x)\mathrm{d}x=\int x^{(\nu+n)+1}J_{\nu+n}(x)\mathrm{d}x=x^{\nu+n+1}J_{\nu+n+1}(x)\]
从而可以 n 次分部积分得出.
对后一递推关系, 若 \(\mu+\nu = 2n+1\),
\[\int x^{\mu - n}J_{\nu - n}(x)\mathrm{d}x=\int x^{-(\nu-n)+1}J_{\nu-n}(x)\mathrm{d}x=-x^{-(\nu-n)+1}J_{\nu-n-1}(x)\]

Bessel 函数的模方

\[\int xJ_\nu^2\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}(J_\nu^2+J_{\nu+1}^2)-\nu xJ_\nu J_{\nu+1}+C\]

Solve 利用 Bessel 方程

\[\frac{1}{x}(xJ_\nu^{\prime})^{\prime}+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)J_\nu=0\]

乘 \(x^2 J_\nu ' \),

\[\frac{1}{2}(xJ_\nu^{\prime})^{2\prime}+\frac{1}{2}x^2(J_\nu^2)^{\prime}-\frac{\nu^2}{2}(J_\nu^2)^{\prime}=0\]

对其积分, 并对第二项分部积分得到

\[\frac{1}{2}(xJ_\nu^{\prime})^2+\frac{1}{2}x^2J_\nu^2-\int xJ_\nu^2\mathrm{d}x+C-\frac{\nu^2}{2}J_\nu^2=0\]

移项得到

\[\boxed{\begin{aligned} \int xJ_\nu^2\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}(xJ_\nu^{\prime})^2+\frac{1}{2}\left(x^2-\nu^2\right)J_\nu^2+C\\ &=\frac{x^2}{2}(J_\nu^2+J_{\nu+1}^2)-\nu xJ_\nu J_{\nu+1}+C \end{aligned}}\]

利用第二个递推关系消去 \(J_\nu'\) 得到第二式.

13.1.4 Properties of Neumann Functions

渐近行为
- \(x\to 0\) 时
  \[\boxed{\begin{aligned} N_\nu(x)&\sim-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu},\quad &\mathrm{Re}\,\nu>0\\ N_0(x)&\sim\frac{2}{\pi}\ln\frac{x}{2},\quad &\nu = 0 \end{aligned}}\]
- \(x\to\infty\) 时
  \[\boxed{ N_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right),\quad\left|\arg x\right|\lt\pi }\]
递推关系
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^\nu N_\nu(x)\right]=x^\nu N_{\nu-1}(x),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}N_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}N_{\nu+1}(x) }\]

13.2 Cylindrical Functions

满足递推关系

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^\nu C_\nu(x)\right]=x^\nu C_{\nu-1}(x)\]

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-\nu}C_\nu(x)\right]=-x^{-\nu}C_{\nu+1}(x)\]

的一系列函数 \(\{C_\nu(x)\}\), 统称为柱函数, 均满足 Bessel 方程.

Proof 两递推式可改写为

\[C_\nu^{\prime}(x)+\frac{\nu}{x}C_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)\tag{1}\]

\[C_\nu^{\prime}(x)-\frac{\nu}{x}C_\nu(x)=-C_{\nu+1}(x)\tag{2}\]

(2)可以写作

\[C_{\nu-1}^{\prime}(x)-\frac{\nu-1}{x}C_{\nu-1}(x)=-C_\nu(x)\]

代入(1), 消去所有非 \(\nu\) 阶项, 得到 Bessel 方程

\[C_{\nu}^{\prime\prime}(x)+\frac{1}{x}C_{\nu}^{\prime}(x)+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)C_{\nu}(x)=0\]

Bessel 函数和 Neumann 函数分别被称为第一类、第二类柱函数.

电磁学中常把两类柱函数组合得到, 得到两类复的柱函数, 即 Hankel 函数:

\[H_{\nu}^{(1)}(x)\equiv J_\nu(x)+\mathrm{i}N_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\exp\left[\mathrm{i}\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\]

\[H_{\nu}^{(2)}(x)\equiv J_\nu(x)-\mathrm{i}N_\nu(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\exp\left[-\mathrm{i}\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\]

统称为第三类柱函数.

13.3 Spherical Bessel Functions

考虑球坐标系下的 Helmholtz 方程

\[\nabla^2u+k^2u=0\]

设分离变量解 \(u(r,\theta,\phi)=R(r)S(\theta,\phi)\). 球面上要求角向函数单值且正则, 角向方程为 \(\Delta_{S^2}S=-l(l+1)S\), 其中 \(\Delta_{S^2}=\frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta)+\frac{1}{\sin^2\theta}\partial_\phi^2\), \(l=0,1,2,\ldots\), 解为球谐函数的线性组合. 径向方程为

\[\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\left[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=0\]

进行代换 \(x = kr\), 再分别进行代换 \(y(x) = R(r), v(x)=\sqrt{x}y(x)\) 得到

\[\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\left[1-\frac{l(l+1)}{x^2}\right]y=0\]

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\right)+\left[1-\frac{(l+\frac{1}{2})^2}{x^2}\right]v=0\]

前一式为球 Bessel 方程, 后一式为 \(l+\frac{1}{2}\) 阶 Bessel 方程. 后一方程解为

\[J_{l+\frac{1}{2}}(x),\quad J_{-l-\frac{1}{2}}(x)=(-1)^{l+1}N_{l+\frac{1}{2}}(x)\]

从而球 Bessel 方程的解为

\[\boxed{\begin{aligned} j_{l}(x) &=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{l+\frac{1}{2}}(x)\\ n_{l}(x) &=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}N_{l+\frac{1}{2}}(x)=(-1)^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{-l-\frac{1}{2}}(x) \end{aligned}}\]

分别称为 \(l\) 阶球 Bessel 函数和 Neumann 函数.

零阶
\[j_0(x)=\frac{\sin x}{x},\quad n_0(x)=-\frac{\cos x}{x}\]
递推关系
\[\boxed{\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{l+1}j_l)=x^{l+1}j_{l-1}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{-l}j_l)=-x^{-l}j_{l+1} \end{gathered}}\]
对 \(n_l\) 同样成立.

从而可以得到任意阶球 Bessel 函数
\[\boxed{\begin{gathered} j_l(x)=x^l\left(-\frac{\mathrm{d}}{x\mathrm{d}x}\right)^l\left\{\frac{\sin x}{x}\right\}\\ n_l(x)=x^l\left(-\frac{\mathrm{d}}{x\mathrm{d}x}\right)^l\left\{-\frac{\cos x}{x}\right\} \end{gathered}}\]
球 Hankel 函数
\[h_{l}^{(1)}=j_l(x)+\mathrm{i}n_l(x)\]

\[h_{l}^{(2)}=j_l(x)-\mathrm{i}n_l(x)\]
渐近行为
\[\begin{aligned} j_l(x)&\sim\frac{1}{x}\sin(x-\frac{l\pi}{2})\\ n_l(x)&\sim-\frac{1}{x}\cos(x-\frac{l\pi}{2})\\ h_l^{(1)}(x)&\sim\frac{1}{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x-\frac{l\pi}{2})}\\ h_l^{(2)}(x)&\sim\frac{\mathrm{i}}{x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(x-\frac{l\pi}{2})} \end{aligned}\]

球面波 球面波波动方程的解即为 \(j_l(kr)Y_l^m(\theta,\phi)\). 对于与 \(\phi\) 无关的球面波, \(m = 0\). 例如对于平面波

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr\cos\theta}=\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\mathrm{i}^lj_l(kr)P_l(\cos\theta)\]

Proof 对 \(P_l\) 展开的系数

\[\begin{aligned} c_l(kr) &=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1\mathrm{e}^{\mathrm{i}krx}P_l(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2l+1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}kr)^n}{n!}\int_{-1}^1x^nP_l(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2l+1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}kr)^{l+2n}}{(l+2n)!}\int_{-1}^1x^{l+2n}P_l(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2l+1}{2}\mathrm{i}^l\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(l+2n)!}(kr)^{l+2n}\times\frac{(l+2n)!}{2^{l+2n}n!}\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(n+l+3/2)}\\ &=\frac{2l+1}{2}\mathrm{i}^l\sqrt{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+l+3/2)}\left(\frac{kr}{2}\right)^{l+2n}\\ &=(2l+1)\mathrm{i}^lj_l(kr) \end{aligned}\]

13.4 Eigenvalue Problems of the Bessel Equation

Example 1 求四周固定的圆形薄膜的振动问题平面极坐标系下, 设波速为 \(c\),

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2\left[\frac1r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}\right]=0\]

\[u|_{r=a}=0,\quad u|_{t=0}=f(r,\phi),\quad \frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=g(r,\phi)\]

\[u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi},\quad \frac{\partial u}{\partial\phi}\bigg|_{\phi=0}=\frac{\partial u}{\partial\phi}\bigg|_{\phi=2\pi},\quad u|_{r=0}\text{有界}\]

Solution 取分离变量解 \(u(r,\phi,t)=R(r)\Phi(\phi)T(t)\) 得到

\[T^{\prime\prime}(t)+c^2k^2T(t)=0\]\[\Phi^{\prime\prime}(\phi)+m^2\Phi(\phi)=0\]

\[\Phi(0)=\Phi(2\pi),\quad \Phi^{\prime}(0)=\Phi^{\prime}(2\pi)\]\[\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[r\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right]+\left(k^2-\frac{m^2}{r^2}\right)R(r)=0\]

\[R(0)\text{有界},\quad R(a)=0\]

角向: 本征值和本征函数
\[m^2,\quad\Phi_m(\phi)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi},\quad m=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]
径向: 方程可化为 Bessel 方程
\[R(r)=CJ_m(kr)+DN_m(kr)\]
为保证 \(R(0)\) 有界, 应该有 \(D = 0\); 为保证 \(R(a)=0\) 且 \(C\ne 0\), 应有
\[J_m(ka)=0\]
设 \(\mu_i^{(m)}\) 是 \(J_m(x)\) 的第 \(i\) 个正零点. 则径向本征值和本征函数
\[k_{mi}^2=\left(\frac{\mu_i^{(m)}}{a}\right)^2,\quad R_{mi}(r)=J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right),\quad i = 1,2,3,\cdots\]
含时:
\[T_{mi}(t)=A_{mi}\cos\omega_{mi}t+B_{mi}\sin\omega_{mi}t,\quad \omega_{mi}=ck_{mi}=\frac{c\mu_i^{(m)}}{a}\]
后一式给出圆形膜的固有频率.

一般解为

\[u(r,\phi,t)=\sum_{i=1}^\infty\sum_{m=-\infty}^\infty J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\times(A_{mi}\cos\omega_{mi}t+B_{mi}\sin\omega_{mi}t)\]

代入初始条件: \[f(r,\phi)=\sum_{i=1}^\infty\sum_{m=-\infty}^\infty A_{mi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\] \[g(r,\phi)=\sum_{i=1}^\infty\sum_{m=-\infty}^\infty\omega_{mi}B_{mi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\] 利用正交关系 \[\int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}\right)^*\mathrm{d}\phi=2\pi\delta_{mn}\] \[\int_0^aJ_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)J_m\left(\frac{\mu_j^{(m)}r}{a}\right)r\mathrm{d}r=\left\|J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\right\|^2\delta_{ij}=\frac{1}{2}a^{2}J_{m+1}^{2}\left(\mu_{i}^{(m)}\right)\delta_{ij}\] 得到 \[A_{mi}=\frac{1}{2\pi\left\|J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\right\|^2}\int_0^a\int_0^{2\pi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\times f(r,\phi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\] \[B_{mi}=\frac{1}{2\pi\left\|J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\right\|^2\omega_{mi}}\int_0^a\int_0^{2\pi}J_m\left(\frac{\mu_i^{(m)}r}{a}\right)\times g(r,\phi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\phi}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\]

Example 2 球内热传导问题一均匀球, 半径为 \(a\), 初始温度分布为 \(f(r)\cos\theta\). 若球面温度保持为零度, 求球内各处温度变化的情况.

Solution

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)\right]=0\]

\[u|_{r=0}\text{有界},\quad u|_{r=a}=0,\quad u|_{t=0}=f(r)\cos\theta\]

考虑到问题对称性, 设解为 \(u(r,\theta,t)=R(r)\Theta(\theta)T(t)\), 代入得到

角向
\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}\theta}\right)+\lambda\Theta=0\]

\[\Theta(0)\text{有界 },\quad\Theta(\pi)\text{有界}\]
显然
\[\lambda_l=l(l+1),\quad \Theta_l(\cos\theta)=P_l(\cos\theta)\]
径向
\[\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\left[ k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R(r)=0\]

\[R(0)\text{有界 },\quad R(a)=0\]
考虑边条件, 这里 \(\mu_i^{(l)}\) 为 \(j_l(x)\) 的第 \(i\) 个正零点, 有
\[k_{li}=\frac{\mu_i^{(l)}}{a},\quad R_{li}(r)=j_l\left(\frac{\mu_i^{(l)}r}{a}\right)\]
含时
\[T^{\prime}+\kappa k^2T=0\]
解为
\[T_{li}(t)=A_{li}\mathrm{e}^{-\kappa k_{li}^{2}t}\]

一般解

\[u(r,\theta,t)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{i=1}^\infty A_{li}j_l\left(\frac{\mu_i^{(l)}r}{a}\right)P_l(\cos\theta)\mathrm{e}^{-\kappa k_{li}^2t}\]

代入初始条件
\[f(r)P_1(\cos\theta)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{i=1}^\infty A_{li}j_l\left(\frac{\mu_i^{(l)}r}{a}\right)P_l(\cos\theta)\]

\[\Longrightarrow f(r)=\sum_{i=1}^\infty A_{1i}j_1\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)\]
利用
\[\begin{aligned} \int_0^aj_1^2\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)r^2\mathrm{d}r &=\frac{\pi}{2}\frac{a}{\mu_i^{(1)}}\int_0^aJ_{3/2}^2\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)r\mathrm{d}r =\frac{\pi}{2}\frac{a}{\mu_i^{(1)}}\frac{a^2}{2}J_{3/2}^{\prime2}(\mu_i^{(1)})\\ &=\frac{a^3}{2\mu_i^{(1)}}\left.(\sqrt{x}j_1(x))^{\prime2}\right|_{x=\mu_i^{(1)}} =\frac{a^3}{2}j_1^{\prime2}(\mu_i^{(1)})\\ &=\frac{a^3}{2}j_0^2(\mu_i^{(1)}) \end{aligned}\]
得到
\[u(r,\theta,t)=\sum_{i=1}^\infty A_{1i}j_1\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)P_1(\cos\theta)\exp\left[-\kappa\left(\frac{\mu_i^{(1)}}{a}\right)^2t\right]\]

\[A_{1i}=\frac{\int_0^af(r)j_1\left(\frac{\mu_i^{(1)}r}{a}\right)r^2\mathrm{d}r}{\frac{a^3}{2}j_0^2(\mu_i^{(1)})}\]

\(\mu_{i}^{(1)}\) 满足
\[\frac{1}{\mu_i^{(1)2}}\left[\sin\mu_i^{(1)}-\mu_i^{(1)}\cos\mu_i^{(1)}\right]=0\Longrightarrow \mu_i^{(1)}=\tan\mu_i^{(1)}\]

13.5 Hypergeometric Functions

Definition 超几何级数

\[\sum c_n,\quad \frac{c_{n+1}}{c_n} = R(n) = \frac{(n+a_1)(n+a_2)\cdots(n+a_p)x}{(n+b_1)(n+b_2)\cdots(n+b_q)(n+1)}\]

\[\Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty c_n=c_0\sum_{n=0}^\infty\frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n}\frac{x^n}{n!}\equiv c_0~_pF_q\left(\begin{array}{c}a_1,...,a_p\\b_1,...,b_q\end{array};x\right)\]

\(x\) 因子是因为多项式不一定是首 1 的. \(n+1\) 因子可能来源于因式分解, 若不是, 只需在分子加一补偿的 \(n+1\) 因子.

初等函数的超几何级数表示 \[\begin{aligned} \mathrm{e}^x &={}_0F_0\left(\begin{array}{c}-\\-\end{array};x\right)\\ \sin x &=x_0F_1\left(\begin{array}{c}-\\3/2\end{array};-x^2/4\right)\\ \cos x &={}_0F_1\left(\begin{array}{c}-\\1/2\end{array};-x^2/4\right)\\ \log(1+x) &=x_2F_1\left(\begin{array}{c}1,1\\2\end{array};-x\right)\\ (1-x)^{-a} &={}_1F_0\left(\begin{array}{c}a\\-\end{array};x\right) \end{aligned}\]

Definition 超几何函数

\[F(\alpha,\beta;\gamma;z)=_2F_1\left(\begin{array}{c}\alpha,\beta\\\gamma\end{array};z\right)\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\beta)}\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)}z^n\]

及其解析延拓.

特殊函数的超几何函数表示. 下列关联 Legendre 公式先取实 \(z>1\), 幂函数取正实底数的通常值, 再解析延拓到 \(\mathbb{C}\setminus(-\infty,1]\). 区间 \(-1\lt x\lt 1\) 内前文的 \(P_l^m(x)\) 使用含 Condon–Shortley 相位的 Ferrers 约定, 不能把割线外公式无说明地直接代入; 参数使 Gamma 因子奇异时按极限理解. \[\begin{aligned} P_n(z) &=F(-n,n+1;1;\frac{1-z}{2})\\ P_\nu(z) &=F(-\nu,\nu+1;1;\frac{1-z}{2})\\ Q_\nu(z) &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)}(2z)^{-\nu-1}\times F(\frac{\nu+1}{2},\frac{\nu}{2}+1;\nu+\frac{3}{2};\frac{1}{z^{2}})\\ P_\nu^\mu(z) &=\frac{1}{\Gamma(1-\mu)}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{\mu/2}\times F(-\nu,\nu+1;1-\mu;\frac{1-z}{2})\\ Q_\nu^\mu(z) &=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mu}\sqrt{\pi}}{2^{\nu+1}}\frac{\Gamma(\nu+\mu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)}z^{-\nu-\mu-1}(z^2-1)^{\mu/2}\\ &\times F(\frac{\nu+\mu+1}{2},\frac{\nu+\mu}{2}+1;\nu+\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}) \end{aligned}\]

超几何方程

\[z(1-z)\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2}+[\gamma-(\alpha+\beta+1)z]\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}-\alpha\beta w=0\]

有三个(正则)奇点 \(\{0, 1,\infty\}\). \(\gamma\notin \mathbb{Z}\) 时, 有两个线性无关解:

\[\begin{aligned}&w_{1}(z)=F(\alpha,\beta;\gamma;z)\\&w_{2}(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1,\beta-\gamma+1;2-\gamma;z)\end{aligned}\]

13.6 Confluent Hypergeometric Functions

注意到超几何级数

\[y={}_pF_q\left(\begin{array}{c}a_1,...,a_p\\b_1,...,b_q\end{array};x\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n}\frac{x^n}{n!}\]

可以认为是方程

\[\left\{\delta(\delta+b_1-1)\cdots(\delta+b_q-1)-x(\delta+a_1)\cdots(\delta+a_p)\right\}y=0,\quad \delta=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\]

的形式解.

若 \(p>2\) 或 \(q>1\), 方程不如二阶微分方程方便.
若只考虑二阶微分方程:
- \(p = 2\), 此时必须有 \(q=1\), 否则所得级数处处发散. 得到的 \({}_2F_1\) 即为超几何函数.
- \(q = 1\), \(p = 0/1\), 此时得到的二阶 ODE 具有一个正则奇点 \(x=0\) 和一个非正则奇点 \(x=\infty\).

合流超几何方程与合流超几何函数

\(p=q=1\) 时得到的二阶 ODE

\[xy^{\prime\prime}+(\gamma-x)y^{\prime}-\alpha y=0\]

称为合流超几何方程, 因为他可以由超几何方程的两个正则奇点合流到 \(\infty\) 得到.

奇点合流: 对于超几何方程
\[x(1-x)y^{\prime\prime}+[\gamma-(\alpha+\beta+1)x]y^{\prime}-\alpha\beta w=0\]
作变换 \(x\mapsto \frac{x}{b}\), 并令 \(\beta = b\to\infty\), 得到合流超几何方程.

合流超几何方程的指标方程的解为 \(\rho_1 = 0, \rho_2 = 1-\gamma\), 则

\(\gamma\notin\mathbb{Z}\) 时, 可以得到两个线性无关的级数解:
\[\begin{aligned}&y_1(x)=F(\alpha;\gamma;x)\\&y_2(x)=x^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1;2-\gamma;x)\end{aligned}\]
其中
\[F(\alpha;\gamma;x)=_1F_1\left(\begin{array}{c}\alpha\\\gamma\end{array};x\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)}x^n\]
即为合流超几何函数, 在全平面解析.
特殊函数的合流超几何函数表示:
- Bessel 函数
  \[J_\nu(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}\left(\frac{z}{2}\right)^\nu F(\nu+\frac{1}{2};2\nu+1;2\mathrm{i}z)\]
- Hermite 多项式
  \[\begin{gathered}H_{2n}(z)=(-1)^n\frac{(2n)!}{n!}F(-n;\frac{1}{2};z^2)\\H_{2n+1}(z)=2z(-1)^n\frac{(2n+1)!}{n!}F(-n;\frac{3}{2};z^2)\end{gathered}\]
- Laguerre 多项式
  \[L_n(z)=F(-n;1;z)\]\[L_n^\mu(z)=\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(n+\mu+1)}{\Gamma(\mu+1)}F(-n;\mu+1;z)\]

14 Summary of Separation of Variables

分离变量法中, 本征问题至关重要:

本征函数的完备性: 定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开?
本征函数的正交性: 定解的叠加系数.

从理论上研究这几个问题, 有助于加深对分离变量法的认识.

14.1 Inner Product Spaces

Definition 内积空间若在数域 \(K\) 上的矢量空间上, 定义一个二元标量值函数 \((\mathbf{x},\mathbf{y})\), 满足:

\((\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{y},\mathbf{x})^*\);
\(( \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} , \mathbf{z} ) = \alpha ^{* }( \mathbf{x} , \mathbf{z} ) + \beta ^{* }( \mathbf{y} , \mathbf{z} )\), 其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是数域 \(K\) 上的标量;
对于任何 \(\mathbf{x}\), \((\mathbf{x},\mathbf{x})\geq0\), 当且仅当 \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 时, \((\mathbf{x},\mathbf{x})=0\).

则称 \((\mathbf{x},\mathbf{y})\) 为 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\) 的内积. 定义了内积的矢量空间称为内积空间.

具有实内积的实矢量空间称为欧氏空间(Euclidean space), 具有复内积的复矢量空间称为酉空间(unitary space). 不论是欧氏空间还是酉空间, 矢量与自身的内积总是实数, 在此基础上才能给出条件 3.
称 \((\mathbf{x},\mathbf{x})^{1/2}=\|\mathbf{x}\|\) 为 \(\mathbf{x}\) 的模. \(\left\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|\) 为 \(\mathbf{x}\) 到 \(\mathbf{y}\) 的距离. 进一步可以定义开球、闭球、内点、聚点、开集、闭集等拓扑概念.
正交性:
- 当且仅当 \((\mathbf{x},\mathbf{y})=0\), 称两矢量正交.
- 若对于所有 \(i, j\), 有 \((\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j)=\delta_{ij}\), 则称 \(\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots\}\) 正交归一.
- 任何一组线性无关的矢量都可以通过 Schmidt 正交化来正交归一化.

Bessel 不等式 考虑 \(n\) 维矢量空间 \(V\), 其中一个任意矢量 \(\mathbf{x}\), 其在一组正交归一的 \(\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_k\}\) 张成的 \(k\) 维子空间上的投影为 \(\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{x}_i\), 故应有

\[\left\|\mathbf{x}-\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{x}_i\right\|^2=(\mathbf{x},\mathbf{x})-\sum_{i=1}^k\alpha_i^*\alpha_i\geq0\]

得到 Bessel 不等式

\[\|\mathbf{x}\|^2\geq\sum_{i=1}^k\left|(\mathbf{x}_i,\mathbf{x})\right|^2\]

由此也可以推出 Schwarz 不等式

\[|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\cdot\|\mathbf{y}\|\]

对于矢量空间 \(V\) 的正交归一基, Bessel 不等式的等号成立, 得到 Parseval 等式

\[\|\mathbf{x}\|^2=\sum_{i=1}^n\left|(\mathbf{x}_i,\mathbf{x})\right|^2\]

它是有限维空间正交归一矢量组完备性的充要条件.

14.2 Function Spaces

14.2.1 Function Spaces and Measurable Functions

函数空间是以函数为元素的矢量空间. 可测性与平方可积性是不同的概念: 可测函数不一定平方可积. 本章只使用平方可积函数组成的空间.

Definition 平方可积函数定义在有限区间 \([a,b]\) 上的可测复值函数 \(f(x)\), 若满足

\[\int_a^b|f(x)|^2\mathrm{d}x\lt\infty\]

则称其为平方可积函数. 将几乎处处相等的函数视为同一个元素, 所得空间记作 \(L^2([a,b])\).

可测函数序列的逐点极限仍可测, 但未必平方可积. \(L^2\) 空间中的收敛专指平方平均收敛.
连续函数序列的逐点极限未必连续; 一致收敛可以保证连续性保留.

平方可积函数的性质

Theorem 对于平方可积函数空间中的两个函数,

\[(f_1,f_2)=\int_a^bf_1^*(x)f_2(x)\mathrm{d}x\]

存在.

Proof 由

\[|f_1(x)|^2+|f_2(x)|^2-2|f_1(x)|\cdot|f_2(x)|=\left[|f_1(x)|-|f_2(x)|\right]^2\geq0\]

得到

\[|f_1^*(x)f_2(x)|=|f_1(x)|\cdot|f_2(x)|\leq\frac{1}{2}\left[|f_1(x)|^2+|f_2(x)|^2\right]\]

从而

\[\int_a^b|f_1^*(x)f_2(x)|\mathrm{d}x\lt\infty\]

可以证明二者内积的存在性.

Theorem 两个平方可积函数之和仍平方可积

Proof 由

\[|f_1(x)+f_2(x)|^2+|f_1(x)-f_2(x)|^2=2{\left[|f_1(x)|^2+|f_2(x)|^2\right]}\]

可以得到

\[\int_a^b|f_1(x)+f_2(x)|^2\mathrm{d}x\leq2\int_a^b|f_1(x)|^2\mathrm{d}x+2\int_a^b|f_2(x)|^2\mathrm{d}x\lt\infty\]

这说明 \(L^2([a,b])\) 对加法封闭; 数乘封闭性可直接验证.

14.2.2 Inner Product Function Spaces

在 \(L^2([a,b])\) 上定义

\[\langle f,g\rangle=\int_a^b f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x.\]

共轭对称性和线性可以直接验证. 对于正定性, 若

\[\langle f,f\rangle=0,\]

则 \(f=0\) 几乎处处. 由于 \(L^2\) 的元素本来就是几乎处处相等的等价类, 这恰好表示 \(f\) 是零元素. 因而 \(L^2([a,b])\) 是内积空间.

内积函数空间的正交性与完备性

Definition 函数空间的完备性: 若对于由空间内的函数组成的所有 Cauchy 序列

\[\{f_i(x)\}:\forall\epsilon>0,\exists N,\quad\mathrm{s.t.}\,\forall p,q>N,\|f_p-f_q\|=\sqrt{(f_p-f_q,f_p-f_q)}\lt\epsilon\]

总存在该空间的函数 \(f(x)\), 使得

\[\lim_{i\to\infty}\|f_i(x)-f(x)\|=0\]

则称该空间为完备的.

Definition Hilbert 空间: 完备的内积空间(并未限制为函数空间)

Theorem \(L^2([a,b])\) 关于上述范数完备, 因而是 Hilbert 空间.
每个 Hilbert 空间都存在完备正交归一集; 在可分 Hilbert 空间 \(L^2([a,b])\) 中可以取为可数集.

Definition 正交归一集的完备性: 若正交归一函数集 \(\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}\) 的线性张成在 Hilbert 空间中稠密, 则称其为完备的. 等价地, 与所有 \(f_\alpha\) 正交的矢量只有零矢量.

对任意 \(f\), 定义 Fourier 系数

\[c_\alpha=\langle f_\alpha,f\rangle.\]

由 Bessel 不等式, 对任意有限子集 \(A'\subset A\),

\[\sum_{\alpha\in A'}|c_\alpha|^2\leq\|f\|^2.\]

因此至多有可数个 \(c_\alpha\neq0\). 将它们编号为 \(c_{\alpha_i}\). 若正交归一集完备, 则

\[\lim_{n\to\infty}\left\|f-\sum_{i=1}^n c_{\alpha_i}f_{\alpha_i}\right\|=0,\]

即级数在 Hilbert 空间范数下收敛. 对 \(L^2\) 而言, 这是平方平均收敛, 并不自动蕴含逐点收敛或一致收敛. 此时 Parseval 等式成立:

\[\|f\|^2=\sum_{\alpha\in A}|c_\alpha|^2 =\sum_{\alpha\in A}|\langle f_\alpha,f\rangle|^2.\]

关于内积的定义, 还可以推广为
\[\langle f_1,f_2\rangle_\rho=\int_a^bf_1^*(x)f_2(x)\rho(x)\,\mathrm{d}x,\quad \rho(x)>0.\]
相应的加权平方可积空间记为 \(L^2_\rho([a,b])\), 其元素满足
\[\int_a^b|f(x)|^2\rho(x)\,\mathrm{d}x\lt\infty.\]

14.3 Eigenvalue Problems of Sturm-Liouville Type Equations

Definition Sturm-Liouville 型方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+[\lambda\rho(x)-q(x)]y=0\]

Sturm-Liouville 问题

在给定区间, 可以对 S-L 问题作出分类:

正则 Sturm-Liouville 问题: 在给定有限闭区间 \([a, b]\), 要求
- \(p(x), q(x), \rho(x)\) 为实函数
- \(p(x) > 0\), \(\rho(x) > 0\) 在整个闭区间 \([a,b]\) 上严格成立
- \(p\in C^1([a,b])\), \(q,\rho\in C([a,b])\)
- 端点 \(a,b\) 均为正则端点(即 \(p(a) > 0, p(b) > 0\)), 满足正则端点的边条件.
\(\rho(x)\) 称为权重函数.
奇异 Sturm-Liouville 问题: 至少有一个奇异端点. 在一般算子理论中, 假设 \(p,\rho>0\) 几乎处处且 \(p^{-1},q,\rho\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b)\). 有限端点附近若 \(p^{-1},|q|,\rho\) 均可积, 称该端点正则; 否则或端点为无穷远时, 称为奇异.

有限端点处 \(p\) 趋于零或系数发散需要具体判断; 这本身也不是 Frobenius 意义下“正则奇异点”的充分条件. 正则奇异/不规则奇异描述微分方程系数的局部行为, Weyl 的极限点/极限圆分类则描述解的加权平方可积性, 二者不能作为互斥的三类端点并列.

Sturm-Liouville 问题的边界/渐近条件

正则端点的边条件(显式、线性、齐次)
- 实分离型边界条件
  \[\begin{aligned} &\alpha_a y(a)+\beta_a p(a)y'(a)=0,&&\quad (\alpha_a,\beta_a)\neq(0,0),\\ &\alpha_b y(b)+\beta_b p(b)y'(b)=0,&&\quad (\alpha_b,\beta_b)\neq(0,0), \end{aligned}\]
  其中系数均为实数. Dirichlet、Neumann 和 Robin 条件都是这一形式的特例.
- 周期型边界条件
  \[y(a)=y(b),\qquad p(a)y'(a)=p(b)y'(b).\]
  若 \(p(a)=p(b)\), 第二式可写为 \(y'(a)=y'(b)\). 一般耦合边界条件还必须使边界形式 \([p(\overline u v'-\overline{u'}v)]_a^b\) 对定义域内任意 \(u,v\) 为零; 仅要求边界矩阵满秩并不足以保证自伴性. 以下完备性证明以实分离型边界条件为主, 周期型情形同理.
奇异端点的定义域与边界条件

对 \(\ell[y]=-(py')'+qy\), 最大定义域取为
\[\mathcal{D}_{\max} =\left\{y\in L^2_\rho(a,b)\mid y,py'\in \operatorname{AC}_{\mathrm{loc}}(a,b), \rho^{-1}\ell[y]\in L^2_\rho(a,b)\right\}.\]
自伴实现是微分表达式 \(\rho^{-1}\ell\) 在此定义域上的适当限制. 在端点 \(c\) 定义边界形式
\[B_c(u,v)=\lim_{x\to c}p(x)\left[u'^*(x)v(x)-u^*(x)v'(x)\right].\]
以下结论在上述实系数和局部可积假设下成立.¹
- 极限圆型(limit circle, LC): 对某个, 因而每个, 非实谱参数 \(z\), 方程 \(\ell[y]=z\rho y\) 的所有局部解都在端点附近属于 \(L^2_\rho\). 平方可积性不能选择解. 采用分离条件时, 每个 LC 端点须指定一个实线性边界条件, 例如对选定的具有非零边界迹的实边界基函数 \(h_c\in\mathcal{D}_{\max}\), 要求 \(B_c(h_c,y)=0\). 两个 LC 端点也可用保持总边界形式的耦合条件.
- 极限点型(limit point, LP): 对非实 \(z\), 端点附近的平方可积解空间是一维. 对任意 \(u,v\in\mathcal{D}_{\max}\), 该端点的 \(B_c(u,v)\) 自动为零, 所以此端不再施加边界条件. 这是定义域层面的结论, 不是“一个平方可积解就是自伴算子”.
- 两端均为 LP 时, 最小算子的闭包自伴, 自伴实现唯一. 若仅一端为 LP, 另一正则或 LC 端点仍须处理, 不能据此断言整个问题的自伴延拓唯一.
有界性可以是某个物理问题选定的端点条件, 但不是所有奇异端点的通则. 无穷远点也须先判定 LP/LC; \(y\in L^2_\rho\) 仅是定义域要求的一部分, 不能单独推出 \(y(x)\to0\) 或确定自伴性.

Definition 正则 Sturm-Liouville 算子

在加权 Hilbert 空间 \(H=L^2_\rho([a,b])\) 中定义微分表达式和算子

\[\ell[y]=-(py')'+qy,\qquad Ay=\frac{1}{\rho}\ell[y].\]

于是 Sturm-Liouville 方程写为普通的算子本征方程

\[Ay=\lambda y.\]

对实分离型边界条件, 取定义域

\[\mathcal{D}(A)=\left\{y\in H^2([a,b])\mid y\text{满足给定的两个边界条件}\right\}.\]

这里必须把权函数除进算子: \(\ell y=\lambda\rho y\) 与 \(Ay=\lambda y\) 等价, 而 \(A=\rho^{-1}\ell\) 才是 \(L^2_\rho\) 中讨论自伴性的算子.

Theorem 正则分离型 Sturm-Liouville 算子的自伴性

上述算子 \(A\) 在 \(H=L^2_\rho([a,b])\) 中自伴, 即 \(A=A^*\), 包括算子作用相同和定义域相同两部分.²

Proof 对 \(u,v\in H^2([a,b])\) 分部积分得到 Lagrange 恒等式

\[\begin{aligned} \langle u,Av\rangle_\rho-\langle Au,v\rangle_\rho &=\int_a^b\left[u^*\ell[v]-\ell[u]^*v\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\left[p\left(u'^*v-u^*v'\right)\right]_a^b. \end{aligned}\]

若 \(u,v\in\mathcal D(A)\), 则在每个端点, 向量 \((y,py')\) 都落在同一个由实边界条件确定的一维子空间中, 因而右侧边界形式为零. 这先证明了 \(A\) 是对称算子, 即 \(A\subset A^*\).

反过来, 若 \(w\in\mathcal D(A^*)\), 先取紧支于 \((a,b)\) 的试探函数, 可由正则微分方程的弱形式推出 \(w\in H^2([a,b])\). 再令 \(v\) 遍历 \(\mathcal D(A)\): 每个端点仍有一个与边界条件相容的自由迹, 所以

\[\left[p\left(w'^*v-w^*v'\right)\right]_a^b=0\]

迫使 \(w\) 在 \(a,b\) 满足与 \(v\) 相同的两个分离型边界条件. 因此 \(\mathcal D(A^*)\subset\mathcal D(A)\). 结合对称性得到 \(\mathcal D(A^*)=\mathcal D(A)\), 故 \(A\) 自伴.

对周期型边界条件, Lagrange 恒等式在 \(a,b\) 两端的贡献互相抵消, 同样得到自伴性. 一般耦合条件必须另行验证其边界形式为零.

本征值的实性与本征函数的正交性

设 \(Ay_i=\lambda_i y_i\). 由自伴性,

\[(\lambda_j-\lambda_i^*)\langle y_i,y_j\rangle_\rho=0.\]

取 \(i=j\) 得 \(\lambda_i=\lambda_i^*\), 所以本征值为实数. 若 \(\lambda_i\neq\lambda_j\), 则

\[\langle y_i,y_j\rangle_\rho=0.\]

若本征值简并, 可在相应有限维本征子空间内作 Schmidt 正交化.

Theorem 正则自伴 Sturm-Liouville 问题的本征函数完备性

上述正则自伴问题存在一组实本征值 \(\{\lambda_n\}\) 和相应的正交归一本征函数 \(\{y_n\}\). 本征函数在 \(L^2_\rho([a,b])\) 中完备. 因而对任意 \(f\in L^2_\rho([a,b])\),

\[f=\sum_{n=1}^\infty c_ny_n,\qquad c_n=\langle y_n,f\rangle_\rho =\int_a^b y_n^*(x)f(x)\rho(x)\,\mathrm{d}x,\]

其中等号表示 \(L^2_\rho\) 范数收敛, 且

\[\|f\|_\rho^2=\sum_{n=1}^\infty|c_n|^2.\]

Proof 正则算子 \(A\) 下有界, 因此可选取一个充分小而不属于 \(A\) 谱的实数 \(\mu\). 正则边值问题

\[(A-\mu I)u=f\]

有 Green 函数 \(G_\mu(x,t)\), 因而其逆算子可写为

\[(R_\mu f)(x)=(A-\mu I)^{-1}f(x) =\int_a^bG_\mu(x,t)f(t)\rho(t)\,\mathrm{d}t.\]

在有限区间的正则问题中, \(G_\mu\) 在闭方形上连续, 仅一阶导数在 \(x=t\) 处有规定的跳跃. 因此 \(G_\mu\) 平方可积, \(R_\mu\) 是紧算子. 又因为 \(A\) 自伴且 \(\mu\) 为实数, \(R_\mu\) 也是自伴算子.

这里引用紧自伴算子的谱定理: Hilbert 空间可分解为其非零本征空间的闭包与核的正交直和. \(R_\mu\) 是逆算子, 所以 \(\ker R_\mu=\{0\}\); 因而 \(R_\mu\) 的正交归一本征函数张成整个 \(H\). 若

\[R_\mu y_n=\kappa_n y_n,\]

则

\[Ay_n=\left(\mu+\frac{1}{\kappa_n}\right)y_n.\]

所以 \(R_\mu\) 与 \(A\) 有相同的本征函数, 这就证明了 Sturm-Liouville 本征函数在 \(L^2_\rho\) 中完备. Parseval 等式随即由 Hilbert 空间的完备正交展开得到.²

收敛方式

对任意 \(f\in L^2_\rho\), 上述展开只保证平方平均收敛, 不自动保证逐点或一致收敛.
若 \(f\in\mathcal D(A)\), 则 \[Af=\sum_{n=1}^\infty\lambda_nc_ny_n\] 也在 \(L^2_\rho\) 中收敛. 因此部分和在 \(A\) 的图范数下收敛. 对有限区间上的正则问题, 图范数控制 \(H^2\) 范数, 从而由一维 Sobolev 嵌入得到函数及其一阶导数的一致收敛.
上述谱定理直接给出 \(L^2_\rho\) 收敛; 在 \(f\in\mathcal D(A)\) 下, 这里进一步证明图范数及一致收敛. 绝对一致收敛还需要另作本征函数系数估计, 本节不予证明.

Remark 对一般方程

\[y''+P(x)y'+[l(x)+\lambda r(x)]y=0,\]

若 \(r(x)>0\) 且各系数足够光滑, Liouville 变换

\[\xi=\int_0^x\sqrt{r(t)}\,\mathrm{d}t,\qquad \eta(\xi)=\Phi(x)y(x),\]

其中

\[\Phi(x)=r(x)^{1/4}\exp\left(\frac12\int_0^xP(t)\,\mathrm{d}t\right),\]

可将方程化为

\[\frac{\mathrm{d}^2\eta}{\mathrm{d}\xi^2}+[\lambda+Q(\xi)]\eta=0.\]

这里 \(Q\) 由 \(P,l,r\) 及其导数组成. 该变换便于研究本征值渐近性质, 但不替代上述自伴定义域与完备性论证.

Example Legendre 方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(1-x^2)y'\right]+\lambda y=0, \qquad x\in(-1,1),\qquad \rho=1.\]

在 \(\lambda=0\) 时, 两个独立解为 \(1\) 和 \(\frac12\ln[(1+x)/(1-x)]\). 两者在每个端点附近都平方可积, 所以 \(x=\pm1\) 均为 LC. 在 \(\mathcal{D}_{\max}\) 中选择

\[\lim_{x\to\pm1}(1-x^2)y'(x)=0\]

去掉对数分量, 得到通常的有界端点自伴实现; 它的本征函数为 \(P_n\), 本征值为 \(n(n+1)\). 这是一种选定的自伴实现, 还存在其他端点条件给出的实现.³

Example Bessel 方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy') +\left(\lambda x-\frac{\nu^2}{x}\right)y=0, \qquad x\in(0,R],\qquad \rho=x,\qquad \alpha=|\nu|.\]

在 \(x=0\) 附近, \(\alpha>0\) 的两个解分别以 \(x^\alpha\) 和 \(x^{-\alpha}\) 为主项; \(\alpha=0\) 时为 \(1\) 和 \(\ln x\). 因为

\[\int_0^\epsilon x|x^{-\alpha}|^2\,\mathrm{d}x\lt\infty \iff \alpha\lt1,\]

而常数解与对数解在权重 \(x\) 下都平方可积, 所以 \(0\le\alpha\lt1\) 为 LC, \(\alpha\ge1\) 为 LP.

通常的径向问题选择去掉奇异分量. 对 LC 端点, 可将该选择写成定义域条件

\[\begin{cases} \displaystyle\lim_{x\to0}x\left[x^\alpha y'-\alpha x^{\alpha-1}y\right]=0, &0\lt\alpha\lt1,\\ \displaystyle\lim_{x\to0}xy'=0,&\alpha=0. \end{cases}\]

对于本征解, 这相当于选择有界分支; \(\lambda>0\) 时为 \(J_\alpha(\sqrt{\lambda}\,x)\), 排除 \(Y_\alpha\). 用 \(|\nu|\) 避免把负非整数阶的 \(J_\nu\) 误认为有界分支. LP 情形不在 \(0\) 另加条件, 但正则端点 \(R\) 始终需要一个条件, 如 \(y(R)=0\).

14.4 Degeneracy in Sturm-Liouville Type Equations

Theorem 正则 Sturm-Liouville 问题在实分离型边界条件下的每个本征值都是单本征值.

Proof 反设 \(y_1,y_2\) 是同一本征值的两个线性无关本征函数. Abel 恒等式给出

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{p(x)\left[y_1(x)y_2'(x)-y_2(x)y_1'(x)\right]\right\}=0.\]

实分离型边界条件使大括号中的量在每个端点为零, 所以它在整个区间恒为零. 因而 \(y_1,y_2\) 的 Wronski 行列式恒为零, 两个解线性相关, 与假设矛盾.

周期或其他合适的耦合边界条件不强迫每个端点的 Wronski 行列式分别为零, 因而可能出现简并; 上述单本征值结论只针对实分离型边界条件.

Theorem 若 \(\lambda\rho(x)-q(x)\) 在一对相邻零点之间恒为正, 则解 \(u(x,\lambda)\) 在此区间仅有一个极大(或极小)值. Proof (反证)设有两个极值点 \(x_{1}\) 和 \(x_2\), 期间没有零点, \(u\) 恒正或恒负. 对 S-L 方程从 \(x_1\) 积分到 \(x_2\) 得

\[0=-\left[p(x)u'(x)\right]_{x_1}^{x_2}=\int_{x_1}^{x_2}[\lambda\rho(x)-q(x)]u(x)\mathrm{d}x.\]

左边积分不可能为零, 矛盾.

Theorem Sturm 比较定理设 \(u_1,u_2\) 是同一正则 Sturm-Liouville 方程分别对应于参数 \(\lambda_1\lt\lambda_2\) 的非零实解. 若 \(\zeta\lt\xi\) 是 \(u_1\) 的两个相邻零点, 则开区间 \((\zeta,\xi)\) 内至少有 \(u_2\) 的一个零点.⁴

Proof 记

\[u(x,\lambda_1)\equiv u_1(x),\quad u(x,\lambda_2)\equiv u_2(x)\]

将 \(u_1\) 的方程乘以 \(u_2\), 将 \(u_2\) 的方程乘以 \(u_1\), 两式相减, 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(u_2u_1'-u_1u_2')\right] =(\lambda_2-\lambda_1)\rho u_1u_2.\]

不妨将 \(u_1\) 乘以 \(-1\), 使 \(u_1>0\) 在 \((\zeta,\xi)\) 内. 由解的零点唯一性, 端点零点均为单零点, 所以

\[u_1'(\zeta)>0,\qquad u_1'(\xi)\lt0.\]

反设 \(u_2\) 在 \((\zeta,\xi)\) 内没有零点. 必要时将 \(u_2\) 乘以 \(-1\), 可令 \(u_2>0\) 在开区间内, 且 \(u_2\geq0\) 在闭区间上. 对微分恒等式积分并利用 \(u_1(\zeta)=u_1(\xi)=0\), 得

\[\begin{aligned} &p(\xi)u_2(\xi)u_1'(\xi)-p(\zeta)u_2(\zeta)u_1'(\zeta)\\ &\qquad=(\lambda_2-\lambda_1)\int_\zeta^\xi\rho(x)u_1(x)u_2(x)\,\mathrm{d}x. \end{aligned}\]

由于 \(p>0\), 左侧不大于零; 由于 \(\lambda_2-\lambda_1>0\)、\(\rho>0\) 且 \(u_1u_2>0\) 在开区间内, 右侧严格大于零, 矛盾. 因而 \(u_2\) 在 \((\zeta,\xi)\) 内至少有一个零点.

这个证明比较的是两个相邻零点, 不需要端点满足特定边界条件. 若把区间端点也计作零点, 必须先确认相应解在该端点确实为零; 一般 Neumann 或 Robin 条件不能代替这一要求.

14.5 Revisiting the Separation of Variables

考虑弦的横振动问题. 对于两端固定弦的振动, 定解问题是:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t), \quad 0 \lt x \lt l, t > 0\]

\[u\big|_{x=0} = 0, \quad u\big|_{x=l} = 0, \quad t > 0\]

\[u|_{t=0}=\phi(x),\quad\frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=\psi(x),\quad0\lt x\lt l\]

齐次情形(自由振动)的讨论

对于一个 S-L 方程的本征问题 \(\boldsymbol{\mathcal{L}}X = \lambda \rho X, X(0) = 0, X(l) = 0\), 假设其本征函数正交归一

\[(X_n, X_m) = \int_0^l X_n^*(x) X_m(x) \rho(x) \, \mathrm{d}x = \delta_{nm}\]

定解问题与本征问题边条件一致, 可以将定解问题的解 \(u(x,t)\) 按照本征函数组 \({ X_n(x) }\), \(n = 1, 2, 3, \cdots\) 展开:

\[u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty T_n(t) X_n(x)\]

代入弦振动方程的自由振动情形

\[\sum_{m=1}^\infty T_m^{\prime\prime}(t) X_m(x) - a^2 \sum_{m=1}^\infty T_m(t) X_m^{\prime\prime}(x) = 0\]

\[\Longrightarrow T_n''(t) - a^2 \sum_{m=1}^\infty (X_n, X_m'') T_m(t) = 0\]

再将初始条件也按这一组本征函数展开, 得到

\[T_n(0) = (X_n, \phi), \quad T_n^{\prime}(0) = (X_n, \psi)\]

由以上两式求出 \(T_n(t)\), 也就求出了 \(u(x,t)\). 本征函数的完备性在其中起了关键作用.

非齐次情形的讨论

不同之处只在于要将方程的非齐次项 \(f(x,t)\) 也按本征函数展开, 我们得到的方程组形式变为

\[T_n^{\prime\prime}(t) - a^2 \sum_{m=1}^\infty (X_n, X_m^{\prime\prime}) T_m(t) = (X_n, f)\]

\[T_n(0) = (X_n, \phi), \quad T_n^{\prime}(0) = (X_n, \psi)\]

其中要求 \(f(x,t)\) 作为 \(x\) 的函数与本征函数组 \(\{X_n(x)\}\) 同属相应的平方可积空间, 无须满足未知函数 \(u\) 的边界条件. 非齐次边界条件仍应先对 \(u\) 齐次化.

为了方便 \(T_n(t)\) 的求解, 应该恰当地选择本征函数组 \({X_n(x)}\), 使其满足

\[(X_n, X_m^{\prime\prime}) = -\lambda_n \delta_{nm}\]

即本征函数满足常微分方程

\[-X_n^{\prime\prime}(x) = \lambda_n X_n(x)\]

这样, 非齐次方程组简化为

\[T_n^{\prime\prime}(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t),\]

这种选择保证了分离变量法在操作上的实用性.

References

S. B. Allan et al., Explicit Krein Resolvent Identities for Singular Sturm-Liouville Operators with Applications to Bessel Operators, §2 (maximal/minimal domains, Weyl classification and self-adjoint restrictions). ↩︎
NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.18 Linear Second Order Differential Operators and Eigenfunction Expansions, especially §§1.18(i), 1.18(iv), and 1.18(v). ↩︎ ↩︎
M. Bush, D. Frymark and C. Liaw, Singular Boundary Conditions for Sturm-Liouville Operators via Perturbation Theory, §4 (Jacobi operators, including the Legendre case). ↩︎
Anton Zettl, Sturm-Liouville Theory, Mathematical Surveys and Monographs 121, American Mathematical Society, 2005, DOI: 10.1090/surv/121. ↩︎

Mathematical Physics Methods - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

15 Integral Transform Methods

求解偏微分方程的定解问题, 可以使用积分变换, 通过求解原定解的像函数的定解问题, 然后再通过逆变换得到原定解.

15.1 Laplace Transform Method

Laplace 变换常用于求解含时间的偏微分方程定解问题. 对于系数与 \(t\) 无关的偏微分方程, 变换后微分变量的个数比原来减少一个.

Example 1 求解定解问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} &&0\leq x\leq l\\ &\left.u\right|_{t=0}=0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0\\ &\left.u\right|_{x=0}=0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=E\sin\omega t \end{aligned}\]

Solution 作 Laplace 变换(这一步已经包含了时域的初始条件)

\[\mathcal { L } \left\{ u \right\} = U ( x , p ),\quad \mathcal { L } \left\{ \frac { \partial ^{2} u } { \partial t ^{2} } \right\} = p ^{2} U ( x , p ),\quad \mathcal { L } \left\{ \frac { \partial ^{2} u } { \partial x ^{2} } \right\} = \frac { \mathrm { d } ^{2} U ( x , p ) } { \mathrm { d } x ^{2} }\]

定解问题变为单变量 \(x\) 的常微分方程

\[a ^{2} \frac { \mathrm { d } ^{2} U ( x , p ) } { \mathrm { d } x ^{2} } - p ^{2} U ( x , p ) = 0\]

\[\left. U ( x , p ) \right| _ { x = 0 } = 0,\quad \left. \frac { \mathrm { d } U ( x , p ) } { \mathrm { d } x } \right| _ { x = l } = E \frac { \omega } { p ^{2} + \omega ^{2} }\]

通解为

\[U ( x , p ) = C _ { 1 } \cosh { \frac { p x } { a } } + C _ { 2 } \sinh { \frac { p x } { a } }\]

由边界条件得

\[C _ { 1 } = 0,\quad C _ { 2 } = \frac { E \omega a } { p ( p ^{2} + \omega ^{2} ) \cosh \frac { p l } { a } }\]

最终得到

\[U ( x , p ) = \frac { E \omega a } { p ( p ^{2} + \omega ^{2} ) } \frac { \sinh \frac { p x } { a } } { \cosh \frac { p l } { a } }\]

以下取 \(\omega>0\) 且 \(\omega\ne\omega_k\), 即非共振情形. 像函数可能的极点均为简单极点, 位于
\[\pm\mathrm{i}\omega;\quad \pm\mathrm{i}\frac{\pi a}{l}\left(k-\frac{1}{2}\right)\equiv\pm\mathrm{i}\omega_k,\quad k=1,2,3,...\]
\(p=0\) 处由 \(\sinh(px/a)\) 抵消分母的 \(p\), 是可去奇点. 个别观察位置还可能使其他极点可去. 共振时须合并重合极点, 按二阶极点求留数, 下述含 \(\omega_k^2-\omega^2\) 的表达不能直接代入.
存在 \(\gamma>0\), 使得 \(\mathrm{Re}p \geq \gamma\) 时, 第二项一致有界
\[\left|\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{p(x-l)/a}-\mathrm{e}^{-p(x+l)/a}}{1+\mathrm{e}^{-2pl/a}}\right|\lt\frac{2}{1-\mathrm{e}^{-2\gamma l/a}}\]
从而存在 \(k>1\), 使得在此区间内
\[|p^{k}U(p,x)|\text{有界},\quad k=2\]
存在 \(\mu\lt0\), 使得 \(\mathrm{Re}p \leq \mu\) 时, 由对称性仍然可以得到
\[|p^{2}U(p,x)|\text{一致有界}\]
从而有此区间内
\[|U(p,x)|\text{一致有界}\]
存在一组 \(\{\sigma_n\mid \sigma_{n}=\frac{n\pi a}{l}\}\), 使得 \(p=s\pm\mathrm{i}\sigma_{n},s\geq0\) 时,
\[\left|\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{p(x-l)/a}-\mathrm{e}^{-p(x+l)/a}}{1+\mathrm{e}^{-2sl/a}}\right|\lt2\]
\(s\lt0\) 时由于对称性也一样有界.

取高度为 \(\pm\sigma_n\) 且避开有限个强迫极点的矩形闭合路径. 水平边上 \(U=O(\sigma_n^{-3})\), 对 \(t>0\) 利用 \(\int_{-\infty}^{\gamma}\mathrm e^{st}\mathrm ds\lt\infty\), 其积分趋于零; 左边界先趋于负无穷, 指数因子使该边积分消失. 因而可以将 Bromwich 积分化为按这些路径截断的留数和:

\[\begin{aligned} u(x,t) =&\sum\mathrm{res}\left(\frac{E\omega a\mathrm{e}^{pt}}{p(p^2+\omega^2)}\frac{\sinh\frac{px}{a}}{\cosh\frac{pl}{a}}\right)\\ =&0+\frac{Ea}{2\mathrm{i}\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}-\frac{Ea}{2\mathrm{i}\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\\ &+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{E\omega a}{\mathrm{i}\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\frac{a\sin\frac{\omega_kx}{a}}{(-1)^kl}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_kt}-\frac{E\omega a}{\mathrm{i}\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\frac{a\sin\frac{\omega_kx}{a}}{(-1)^kl}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}\right)\\ =&\frac{Ea}{\omega}\frac{\sin\frac{\omega x}{a}}{\cos\frac{\omega l}{a}}\sin\omega t+\frac{2E\omega a^2}{l}\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\sin\frac{\omega_kx}{a}}{\omega_k(\omega_k^2-\omega^2)}\sin\omega_kt \end{aligned}\]

Example 2 求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Remark 无界区间的定解问题中, 往往并不明确列出边界条件. 如果将无界区间视为一个物理上的抽象, 那么外界的影响 \(f(x,t)\) 只应发生在有限的空间内, 即

\[\lim_{x\to\pm\infty}f(x,t)=0\]

无穷远处的响应同时也应保持不变

\[\lim_{x\to\pm\infty}u(x,t)=0\]

以下点态推导可取 \(\kappa>0\), 外力空间光滑且支撑在固定有界区间, 时间上为指数阶; 在相应 Laplace 收敛半平面内换序成立. 平方可积 \(f(\cdot,t)\in L^2(\mathbb{R})\) 本身不能推出 \(f(x,t)\to0\) 的逐点极限: 高度固定、宽度可求和且中心趋于无穷远的光滑峰列就是反例. 若只给 \(L^2\) 数据, 应在 \(L^2\) 意义下求解, 不应把点态无穷远条件当成其直接推论.

Solution 做 Laplace 变换, 令

\[\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p),\quad \mathcal{L}\{f(x,t)\}=F(x,p)\]

定解问题变为(注意保留渐进条件)

\[pU(x,p)-\kappa\frac{\mathrm{d}^2U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=F(x,p),\quad \lim_{x\to\pm\infty}U(x,p)=0\]

在 \(\operatorname{Re}p>0\) 内取 \(\operatorname{Re}\sqrt p>0\) 的解析分支. 齐通解为

\[C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

利用常数变易法, 设非齐次方程的解满足

\[U(x,p)=C_1(x)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2(x)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

\[C_1'(x)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2'(x)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)=0\]

代入方程得

\[-\kappa\left[C_1'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)+C_2'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\right]=F(x,p)\]

联立求解得

\[C_1'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}F(x,p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right),\quad C_2'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}F(x,p)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x\right)\]

积分并考虑边界条件:

\[C_1(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_x^\infty F(x',p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x'\right)\mathrm{d}x',\quad C_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_{-\infty}^x F(x',p)\exp\left(\sqrt{\frac{p}{\kappa}}x'\right)\mathrm{d}x'\]

最终得到

\[U(x,p)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\int_{-\infty}^{\infty}F(x',p)\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

由 Laplace 反演公式

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{p}}\exp(-\alpha\sqrt{p})\right\}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\exp\left(-\frac{\alpha^2}{4t}\right)\]

及卷积定理, 得解

\[u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x'\int_0^t\exp\left[-\frac{(x-x')^2}{4\kappa(t-\tau)}\right]\frac{f(x',\tau)}{\sqrt{t-\tau}}\mathrm{d}\tau\]

Example 3 用 Laplace 变换求解无界弦的波动问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0 &&-\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\\ &\left.u\right|_{t=0}=\phi(x), &&\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x) \end{aligned}\]

Solution 做 Laplace 变换:

\[\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p)\]

为采用下述衰减的 Laplace 解, 可取 \(a>0\) 及光滑紧支撑初值 \(\phi,\psi\). 定解问题化为 (一般光滑初值的 d’Alembert 公式本身不要求无穷远衰减)

\[p^2U(x,p)-p\phi(x)-\psi(x)-a^2\frac{\mathrm{d}^2U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=0\]

\[\lim_{x\to\pm\infty}U(x,p)=0\]

设常数变易解

\[U(x,p)=C_1(x)\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2(x)\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)\]

\[C_1'(x)\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2'(x)\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)=0\]

代入方程得

\[-a^2\left[C_1'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(\frac{p}{a}x\right)+C_2'(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp\left(-\frac{p}{a}x\right)\right]=p\phi(x)+\psi(x)\]

联立求解

\[\exp\left(\frac{p}{a}x\right)C_1'(x)=-\frac{1}{2a}\phi(x)-\frac{1}{2ap}\psi(x),\quad \exp\left(-\frac{p}{a}x\right)C_2'(x)=\frac{1}{2a}\phi(x)+\frac{1}{2ap}\psi(x)\]

积分并考虑边界条件

\[\begin{aligned} C_1(x)&=\frac{1}{2a}\int_x^\infty\phi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'+\frac{1}{2ap}\int_x^\infty\psi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'\\ C_2(x)&=\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^x\phi(x')\exp\left(\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x'+\frac{1}{2ap}\int_{-\infty}^x\psi(x')\exp\left(\frac{p}{a}x'\right)\mathrm{d}x' \end{aligned}\]

最终得到

\[U(x,p)=\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\phi(x')+\frac{1}{p}\psi(x')\right]\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

利用延迟定理

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p}\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\right\}=H\left(t-\frac{|x-x'|}{a}\right)\]

从而对第二项的反演有

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\psi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\right\}=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(x')\mathrm{d}x'\]

对第一项的反演, 注意到

\[\mathcal{L}\left\{\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\phi(x')\mathrm{d}x'\right\}=\frac{p}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\phi(x')\exp\left(-\frac{p}{a}|x-x'|\right)\mathrm{d}x'\]

最终解为

\[u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(x')\mathrm{d}x'\]

通过这几个例子, 可以看到 Laplace 积分变换法的优势

将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题
绕过边条件的齐次化过程
不需要进行复杂的本征函数展开
可以用于无界区间的定解问题

15.2 Fourier Transform Method

Fourier 变换可对空间变量进行变换. 对于一维无界区间 \((-\infty, \infty)\) 上的函数 \(f(x)\), 如果在任意有限区间上只有有限个极大极小和有限个第一类间断点, 且积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\mathrm{d}x\) 收敛, 则函数 \(f(x)\) 的 Fourier 变换存在,

\[\hat{f}(k)=\mathcal{F}[f(x)]\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

其逆变换

\[f(x)=\mathcal{F}^{-1}[\hat f(k)]\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\]

这里采用了对称系数约定.

Example 用 Fourier 变换求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Solution 假设 \(u(x,t),f(x,t)\) 的 Fourier 变换存在

\[\hat{u}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x,\quad \hat{f}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

定解问题化为

\[\frac{\mathrm{d}\hat{u}(k,t)}{\mathrm{d}t}+\kappa k^{2}\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k,t),\quad \hat{u}(k,0)=0\]

用常数变易法求解该一阶常微分方程

\[\hat{u}(k,t)=\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\int_{0}^{t}\hat{f}(k,\tau)\mathrm{e}^{\kappa k^{2}\tau}\mathrm{d}\tau= \int_0^t\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau )\mathrm{d}\tau\]

计算

\[\begin{aligned} g(x,t) &=\mathcal{F}^{-1}[\hat g(k,t)]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\kappa t\left(k-\frac{\mathrm{i}x}{2\kappa t}\right)^{2}\right]\mathrm{d}k\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\sqrt{\frac{\pi}{\kappa t}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\kappa t}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right] \end{aligned}\]

由卷积定理(对称约定下)

\[\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(f(\cdot,\tau)\star_xg(\cdot,t-\tau)\right)(x)\]

最终得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)\mathrm{d}\tau\\ &=\int_{0}^{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\frac{1}{\sqrt{2\kappa(t-\tau)}}\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{0}^{t}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\frac{\mathrm{d}\tau}{\sqrt{t-\tau}} \end{aligned}\]

与上节用 Laplace 变换得到的解形式一致.

15.3 Fourier-Laplace Mixed Transform Method

对于无界空间中含时间的偏微分方程的定解问题, 若施行两次变换–对 \(x\) 作 Fourier 变换和对 \(t\) 作 Laplace 变换, 往往更为简便

Fourier 变换适用于无界区域问题, Laplace 变换适合处理初值问题.

Example 用 F-L 混合变换法求解无界杆的热传导问题

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\quad \left.u\right|_{t=0}=0,\quad -\infty\lt x\lt\infty,\ t>0\]

Solution 作 Fourier 变换

\[\hat{u}(k,t)=\mathcal{F}[u(x,t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

\[\hat{f}(k,t)=\mathcal{F}[f(x,t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x\]

\[\frac{\mathrm{d}\hat{u}(k,t)}{\mathrm{d}t}+\kappa k^{2}\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k,t),\quad \hat{u}(k,0)=0\]

再作 Laplace 变换

\[\tilde{u}(k,p)=\mathcal{L}\{\hat{u}(k,t)\},\quad \tilde{f}(k,p)=\mathcal{L}\{\hat{f}(k,t)\}\]

\[p\tilde{u}(k,p)+\kappa k^{2}\tilde{u}(k,p)=\tilde{f}(k,p)\]

解得

\[\tilde{u}(k,p)=\frac{1}{p+\kappa k^{2}}\tilde{f}(k,p)\]

先对解进行 Laplace 反演, 利用

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p+\kappa k^{2}}\right\}=\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\]

和 Laplace 变换的卷积定理得到

\[\hat{u}(k,t)=\int_{0}^{t}\hat{f}(k,\tau)\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}(t-\tau)}\mathrm{d}\tau=\int_0^t\hat f(k,\tau)\hat g(k,t-\tau)\mathrm{d}\tau\]

利用

\[g(x,t)=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\kappa k^{2}t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}k=\frac{1}{\sqrt{2\kappa t}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{4\kappa t}\right]\]

和 Fourier 变换的卷积定理得到

\[\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k,\tau)\cdot\hat{g}(k,t-\tau)](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(f(\cdot,\tau)\star_xg(\cdot,t-\tau)\right)(x)\]

最终得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_{0}^{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\frac{1}{\sqrt{2\kappa(t-\tau)}}\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi}}\int_{0}^{t}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi,\tau)\exp\left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4\kappa(t-\tau)}\right]\mathrm{d}\xi\right\}\frac{\mathrm{d}\tau}{\sqrt{t-\tau}} \end{aligned}\]

解的形式与前两种方法一致

15.4 General Discussion of Integral Transform Methods

统一记为

\[F(k)=\int_{a}^{b}K(k,x)f(x)\mathrm{d}x\]

其中 \(K(k,x)\) 是积分变换的核. 常用变换的核函数为:

Laplace	Fourier	正弦	余弦	Hankel	Mellin
\(\mathrm{e}^{-kx}\)	\(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\)	\(\sin kx\)	\(\cos kx\)	\(xJ_{\nu}(kx)\)	\(x^{k-1}\)

对偏微分方程定解问题

\[\left[\mathbf{L}_{1}(x)+\mathbf{L}_{2}(y)\right]u(x,y)=f(x,y)\]

其中 \(\mathbf{L}_{1}(x)\) 和 \(\mathbf{L}_{2}(y)\) 分别为关于 \(x\) 和 \(y\) 的微分算符. 在积分变换

\[U(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)u(x,y)\mathrm{d}x,\quad F(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)f(x,y)\mathrm{d}x\]

下, 方程变为

\[F(k,y)=\int_{a}^{b}K(k,x)\left[\mathbf{L}_{1}(x)u(x,y)\right]\mathrm{d}x+\mathbf{L}_{2}(y)U(k,y)\]

在核和未知函数的边条件使分部积分边界项消失时, 通过分部积分可改写为

\[\int_{a}^{b}\left[\mathbf{M}_{1}(x)K(k,x)\right]u(x,y)\mathrm{d}x+\mathbf{L}_{2}(y)U(k,y)=F(k,y)\]

其中 \(\mathbf{M}_{1}(x)\) 是算符 \(\mathbf{L}_{1}(x)\) 的伴算符. 为使结果是关于 \(U(k,y)\) 的微分方程, 需满足特征方程

\[\mathbf{M}_{1}(x)K(k,x)=\lambda K(k,x)\]

此条件限定了可选的变换核 \(K(k,x)\). 例如, 在柱坐标系中求解 Laplace 方程时, 对径向变量 \(r\) 应选用 Hankel 变换.

15.5 Hankel Transform

Hankel 变换

\[\hat{u}(p)=\int_{0}^{\infty}u(r)J_{\nu}(pr)r\mathrm{d}r\]

反演式

\[u(r)=\int_{0}^{\infty}\hat{u}(p)J_{\nu}(pr)p\mathrm{d}p\]

Hankel 变换与 Fourier 变换

考虑二维 Fourier 变换(\(\mathbf{r}=(r,\theta), \mathbf{p}=(p,\phi)\))

\[\begin{aligned} \hat{f}(\mathbf{p}) &= \frac{1}{2\pi} \int f(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}^2\mathbf{r} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} f(r,\theta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta\\ f(\mathbf{r}) &= \frac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\mathbf{p}) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}^2\mathbf{p} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \hat{f}(p,\phi) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} p \mathrm{d}p \mathrm{d}\phi \end{aligned}\]

对角度部分展开为 Fourier 级数:

\[\begin{aligned} f(r,\theta) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n(r) \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}, & f_n(r) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(r,\theta) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta} \mathrm{d}\theta \\ \hat{f}(p,\phi) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}_n(p) \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}, & \hat{f}_n(p) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \hat{f}(p,\phi) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\phi} \mathrm{d}\phi \end{aligned}\]

利用 Bessel 函数展开

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}pr\cos(\theta-\phi)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(pr) \mathrm{i}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n(\theta-\phi)}\]

代入并利用正交性, 得到第 \(n\) 阶分量的关系

\[\begin{aligned} \hat{f}_n(p) &= (-\mathrm{i})^n \int_0^\infty f_n(r) J_n(pr) r \mathrm{d}r \\ f_n(r) &= \mathrm{i}^n \int_0^\infty \hat{f}_n(p) J_n(pr) p \mathrm{d}p \end{aligned}\]

此即 \(n\) 阶 Hankel 变换与 \(n\) 阶 Hankel 逆变换.

Lemma 1 Hankel 变换公式设函数

\[f(x) = x^{\nu}(a^2-x^2)^{\mu}H(a-x),\quad \mu>-1,\quad\nu>-1,\quad a>0,\ k>0\]

其 \(\nu\) 阶 Hankel 变换为

\[F_{\nu}(k) = \int_{0}^{a}x^{\nu+1}(a^{2}-x^{2})^{\mu}J_{\nu}(kx)\mathrm{d}x = 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)\]

Proof 利用 Bessel 函数级数展开

\[J_{\nu}(kx) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{kx}{2}\right)^{\nu+2m}\]

代入 Hankel 变换

\[\begin{aligned} F_{\nu}(k) &= \int_{0}^{a}x^{\nu+1}(a^2-x^2)^{\mu}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{kx}{2}\right)^{\nu+2m}\mathrm{d}x\\ &= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac{k}{2}\right)^{\nu+2m}\int_{0}^{a}x^{2\nu+2m+1}(a^2-x^2)^{\mu}\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对积分项作变量替换 \(t=x^2/a^2\):

\[\begin{aligned} \int_{0}^{a}x^{2\nu+2m+1}(a^2-x^2)^{\mu}\mathrm{d}x &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}\int_{0}^{1}t^{\nu+m}(1-t)^{\mu}\mathrm{d}t\\ &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}B(\nu+m+1,\mu+1)\\ &= \frac{a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2}\frac{\Gamma(\nu+m+1)\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+\nu+m+2)} \end{aligned}\]

代入得

\[F_{\nu}(k) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+1)a^{2\mu+2\nu+2m+2}}{2m!\Gamma(\mu+\nu+m+2)}\left(\frac{k}{2}\right)^{\nu+2m}\]

观察 Bessel 函数的级数表示

\[J_{\nu+\mu+1}(ak) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+\mu+m+2)}\left(\frac{ak}{2}\right)^{\nu+\mu+2m+1}\]

整理可得

\[F_{\nu}(k) = 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)\]

QED.

Lemma 2 Bessel 函数积分公式对实参数 \(\mu>\nu>-1\), \(a,b>0\), \(a\ne b\), 有(右侧在 \(b>a\) 时定义为 0; \(a=b\) 需单独取极限):

\[\int_{0}^{\infty}t^{1-\mu+\nu}J_{\mu}(at)J_{\nu}(bt)\mathrm{d}t = \frac{b^{\nu}(a^{2}-b^{2})^{\mu-\nu-1}}{2^{\mu-\nu-1}a^{\mu}\Gamma(\mu-\nu)}H(a-b)\]

Proof 由 Lemma 1 及 Hankel 逆变换关系

\[f(x) = \int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)J_{\nu}(xk)k\mathrm{d}k\]

代入 \(f(x)\) 和 \(F_{\nu}(k)\) 的表达式

\[\begin{aligned} x^{\nu}(a^2-x^2)^{\mu}H(a-x) &= \int_{0}^{\infty}2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}k^{-\mu-1}\Gamma(\mu+1)J_{\nu+\mu+1}(ak)J_{\nu}(xk)k\mathrm{d}k\\ &= 2^{\mu}a^{\mu+\nu+1}\Gamma(\mu+1)\int_{0}^{\infty}J_{\nu}(xk)J_{\nu+\mu+1}(ak)k^{-\mu}\mathrm{d}k \end{aligned}\]

令 \(\mu'=\mu+\nu+1\),\(x=b\),\(k=t\), 整理得

\[\int_{0}^{\infty}t^{1-\mu'+\nu}J_{\nu}(bt)J_{\mu'}(at)\mathrm{d}t = \frac{b^{\nu}(a^2-b^2)^{\mu'-\nu-1}}{2^{\mu'-\nu-1}a^{\mu'}\Gamma(\mu'-\nu)}\]

将 \(\mu'\) 换回 \(\mu\), 并考虑 \(H(a-b)\) 函数, 即得结论. QED.

Lemma 3 对偶积分方程一般解考虑对偶积分方程

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}f(t)J_{\nu}(xt)\mathrm{d}t = x^{-\nu}M(x) &&0\lt x\lt1\\ &\int_{0}^{\infty}f(t)J_{\nu}(xt)t\mathrm{d}t = 0 &&x>1 \end{aligned}\]

其解为

\[f(t) = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi(x)J_{\nu-1/2}(xt)\mathrm{d}x\]

其中

\[\xi(x) = x^{-2\nu}M(0) + x^{1-2\nu}\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y\]

特别地, 当 \(\nu=0\) 时, 简化为

\[\begin{aligned} f(t) &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\xi(x)\cos(xt)\mathrm{d}x\\ \xi(x) &= M(0) + x\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y \end{aligned}\]

Proof 设

\[f(t) = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi(x)J_{\nu-1/2}(xt)\mathrm{d}x\]

分部积分得

\[f(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi t}}\left[\xi(1)J_{\nu+1/2}(t)-\int_{0}^{1}x^{\nu+1/2}\xi'(x)J_{\nu+1/2}(xt)\mathrm{d}x\right]\]

当 \(x>1\) 时,由 Lemma 2

\[\int_{0}^{\infty}t^{1/2}J_{\nu}(xt)J_{\nu+1/2}(yt)\mathrm{d}t = 0,\quad (y\leq1)\]

故第二个方程自动满足. 代入第一个方程, 利用 Bessel 函数乘积公式:

\[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{x}y^{2\nu}(x^2-y^2)^{-1/2}\xi(y)\mathrm{d}y = M(x)\]

令 \(x^2=t\), \(y^2=u\), 并记 \(\widetilde\xi(u)=\xi(\sqrt u)\), \(\widetilde M(t)=M(\sqrt t)\), 则

\[\frac{1}{\pi}\int_{0}^{t}u^{\nu-1/2}(t-u)^{-1/2}\widetilde\xi(u)\mathrm{d}u = \widetilde M(t)\]

设 \(Q(u)=u^{\nu-1/2}\widetilde\xi(u)\), 对两边作 Laplace 变换.由于

\[\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} = \sqrt{\frac{\pi}{p}},\quad \mathcal{L}\{Q(t)\} = q(p),\quad \mathcal{L}\{\widetilde M(t)\} = m(p)\]

根据卷积定理

\[\frac{1}{\pi}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{p}}\cdot q(p) = m(p)\]

解得

\[q(p) = \sqrt{\pi p}\cdot m(p)\]

利用 \(q(p)=\sqrt{\pi/p}\,[p\,m(p)]=\sqrt{\pi/p}\,[\mathcal{L}\{\widetilde M'(t)\}+\widetilde M(0)]\) 及卷积定理, 反演得

\[Q(t) = \widetilde M(0)t^{-1/2} + \int_{0}^{t}(t-u)^{-1/2}\widetilde M'(u)\mathrm{d}u\]

因此

\[\xi(x) = x^{-2\nu}M(0) + x^{1-2\nu}\int_{0}^{x}(x^2-y^2)^{-1/2}M'(y)\mathrm{d}y\]

当 \(\nu=0\) 时, 利用

\[\sqrt{\frac{2t}{\pi}}J_{-1/2}(xt) = \frac{2}{\pi\sqrt{x}}\cos(xt)\]

可得特殊形式. QED.

Example 求解带电导体圆盘的静电势. 采用柱坐标系, 定解问题为

\[\begin{aligned} &\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 &&0\lt r\lt\infty,\ z>0\\ &\left.u\right|_{z=0,0\leq r\lt a}=u_0 &&\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{z=0,r>a}=0\\ &\left.u\right|_{r=0}\text{有界}, &&\lim_{r\to\infty}u=0 &\lim_{z\to\infty}u=0 \end{aligned}\]

Solution 作零阶 Hankel 变换

\[\hat{u}(p,z)=\int_{0}^{\infty}u(r,z)J_0(pr)r\mathrm{d}r\]

还需控制分部积分的边界项, 点态 \(u\to0\) 本身不够. 对 \(p>0,z>0\), 要求变换积分收敛并有

\[\left[rJ_0(pr)\partial_ru-r\partial_rJ_0(pr)u\right]_{r=0}^{r=\infty}=0.\]

本例电势在轴上正则, \(\partial_ru=O(r)\); 无穷远有 \(u=O(r^{-1})\)、\(\partial_ru=O(r^{-2})\), 配合 Bessel 渐近行为, 边界项消失. 因而可得

\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)J_0(pr)r\mathrm{d}r=-p^2\hat{u}(p,z)\]

因此,方程和边界条件变换为

\[\frac{\mathrm{d}^2\hat{u}(p,z)}{\mathrm{d}z^2}-p^2\hat{u}(p,z)=0,\quad \lim_{z\to\infty}\hat{u}(p,z)=0\]

解得

\[\hat{u}(p,z)=A(p)\mathrm{e}^{-pz}\]

难点在于处理 \(z=0\) 平面上混合边界条件. 先进行 Hankel 逆变换:

\[u(r,z)=\int_{0}^{\infty}A(p)\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)p\mathrm{d}p\]

将此式代入边界条件, 得到系数 \(A(p)\) 的对偶积分方程:

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}A(p)J_0(pr)p\mathrm{d}p=u_0 &&0\leq r\lt a\\ &\int_{0}^{\infty}A(p)J_0(pr)p^2\mathrm{d}p=0 &&r>a \end{aligned}\]

令 \(f(p)=pA(p)\), \(M(r)=u_0\), 并应用 Lemma 3

\[\begin{aligned} \xi(r) &= u_0\\ pA(p) &= \frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{a}\cos(rp)\mathrm{d}r = \frac{2u_0\sin(ap)}{\pi p} \end{aligned}\]

解得

\[A(p) = \frac{2u_0\sin(ap)}{\pi p^2}\]

代入解式, 得到带电导体圆盘的静电势:

\[\begin{aligned} u(r,z) &= \int_{0}^{\infty}A(p)\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)p\mathrm{d}p\\ &= \frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)\frac{\sin(ap)}{p}\mathrm{d}p\\ &= \frac{2u_0}{\pi}\arcsin\frac{2a}{\sqrt{z^2+(r+a)^2}+\sqrt{z^2+(r-a)^2}} \end{aligned}\]

其中最后一行利用了积分公式

\[\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-pz}J_0(pr)\frac{\sin(ap)}{p}\mathrm{d}p = \arcsin\frac{2a}{\sqrt{z^2+(r+a)^2}+\sqrt{z^2+(r-a)^2}}\]

以上讨论的主要都是无界或半无界区间上的积分变换, 它们的共同特点是变量 \(k\) 的取值连续. 对于有界区间(含周期性)上的积分变换, \(k\) 只能取离散值. 可将变换核记为 \(K_n(x)\), 常见例子有:

有限正弦变换	有限余弦变换	Legendre 变换
\(\sin nx\)	\(\cos nx\)	\(P_n(x)\)

这些积分变换的核恰好是定义在各自区间上的本征函数, 体现了 Sturm-Liouville 理论的统一框架.

16 Green Function Method

本章将讨论偏微分方程的 Green 函数方法.

Theorem Green 第二公式 (散度定理的推论). 例如取 \(V\) 为有界区域, 边界 \(\Sigma\) 分片光滑, \(u,v\in C^2(\overline V)\), 则

\[\iiint_{V}\left[u(\mathbf{r})\nabla^{2}v(\mathbf{r})-v(\mathbf{r})\nabla^{2}u(\mathbf{r})\right]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{\Sigma}[u\nabla v-v\nabla u]\cdot\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}\]

其中 \(\Sigma\) 是体积 \(V\) 的边界面, 规定边界面的外法线方向为正. 对含点源的 Green 函数, 应先挖去源点的小邻域并保留其边界项, 再取极限; 等价地在分布意义下使用公式.

16.1 Basic Concepts of Green Functions

先通过静电场的例子引入 Poisson 方程第一边值问题的 Green 函数.

Example 1 考虑有界空间的静电场. 设金属壳表面接地, 金属壳内电荷分布为 \(\rho(\mathbf{r})\). 则静电势满足 Poisson 方程, 其定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &u|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

Solution 静电势满足电势叠加原理, 可以对 \(u\) 和 \(\rho\) 进行线性组合满足相同的 Poisson 方程和边界条件

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})=-\frac{\alpha_{1}\rho_{1}(\mathbf{r})+\alpha_{2}\rho_{2}(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &\left.(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})\right|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

由于电荷密度分布可以等价地表示为 \(\delta\) 函数的线性组合

\[\rho(\mathbf{r})=\int\rho(\mathbf{r}^{\prime})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

对于每一个 \(\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\) 电荷分布, 设有唯一的解 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=-\frac{\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}{\epsilon_0}\\ &\left.G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\right|_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

线性叠加得到定解问题的解

\[u(\mathbf{r})=\int G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

\(G(\mathbf{r}; \mathbf{r}^{\prime})\) 的物理意义为 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 处的单位点电荷在 \(\mathbf{r}\) 产生的电势.

Example 2 无界空间电势

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}\\ &u|_{r\rightarrow\infty}=0 \end{aligned}\right.\]

说明其解为 Green 函数

的线性叠加.

Solution 单位点电荷在无界空间产生的静电势为

\[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\]

容易验证它确实是满足 Green 函数的方程, 因为

\[\nabla^{2}\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\mathbf{r})\]

由单位点电荷电势(Green 函数)可以叠加得到最后的解

\[u(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]

Definition Green 函数: 设 \(\mathcal{L}\) 是定义在 \(\Omega\sub\mathbb{R}^n\) 上的一个线性微分算子, 对于定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}u(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}),&&\mathbf{x}\in\Omega\\ &\mathcal{B}u=g,&&\mathrm{on~}\partial\Omega\mathrm{~or~initial~surface} \end{aligned}\right.\]

其中 \(\mathcal{B}\) 是边界算子, 若存在函数 \(G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}),&&\mathbf{x}\in\Omega\\ &\mathcal{B}G=0,&&\mathrm{on~}\partial\Omega\mathrm{~or~initial~surface} \end{aligned}\right.\]

则称 \(G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})\) 为算子 \(\mathcal{L}\) 在边界条件 \(\mathcal{B}G=0\) 下的 Green 函数. 当齐次定解问题唯一可解时, 相应定解问题的解为

\[u(\mathbf{x})=\int_\Omega G(\mathbf{x};\mathbf{x}^{\prime})f(\mathbf{x}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{x}^{\prime}+u_g(\mathbf{x}),\qquad \mathcal{L}u_g=0,\quad\mathcal{B}u_g=g\]

其中 \(u_g\) 承担非齐次边界或初始数据; 当 \(g=0\) 时 \(u_g=0\). 它的具体积分表示依赖算子与边界条件, 不能统一写成同一个表面积分.

Remark

算子 \(\mathcal{L}\) 不仅限于 Laplace 算子, 也不一定局限于稳定问题的算子, 而可以是更一般的线性微分算子
\[-\nabla^2,\quad \frac{\partial}{\partial t}-\kappa\nabla^2,\quad \frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\nabla^2,\quad \nabla^2+k^2\]
对于含时的微分算子和边界条件, 相应辅助 Green 函数也引入含时项. e.g.
\[\partial_tu(x,t)-\kappa\partial_x^2u(x,t)=f(x,t),\quad x\in\mathbb{R},\mathrm{~}t>0\]
对应的 \(G(x,t;x',t')\) 满足
\[\left(\partial_t-\kappa\partial_x^2\right)G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime})\]
取推迟 Green 函数时要求 \(G(x,t;x',t')=0\) 对所有 \(t\lt t'\) 成立. 对热算子, 跨越源时刻积分得到跳跃 \(G(t'^+)-G(t'^-)=\delta(x-x')\); 对时间最高阶系数为 1 的波动算子, 则 \(G\) 连续而 \(\partial_tG(t'^+)-\partial_tG(t'^-)=\delta(x-x')\). 这些等式均在空间分布意义下成立.
在某些特殊情形下, 这样定义的 Green 函数可能无解
- \(\mathcal{L}\) 具有零特征值, 比如 Neumann 边值问题的 Laplace 算子, Green 函数仅在满足一定条件下存在. 此时应该引入修正 Green 函数或投影到正交补空间.
由于 \(\delta\) 是广义函数. Green 函数通常在分布意义或弱解意义下定义. 在 \(\mathbf{x}\neq\mathbf{x}^{\prime}\) 处, \(G\) 满足齐次方程 \(\mathcal{L}G=0\), 这会简化求解在 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\prime}\) 处, \(G\) 具有奇性, 其强度由 \(\delta\) 的积分性质决定.
Green 函数代表了系统对单位点源的响应, 因此在物理上有重要意义.

Example 3 Poisson 方程

\[\nabla^{2}u=-\rho(\mathbf{r})\]

的第一、二、三类边界条件可以统一地写为

\[\left[\alpha{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta u\right]_{\Sigma}=g\]

其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是不同时为零的实数, \(g\) 是体积 \(V\) 的边界 \(\Sigma\) 上的给定函数.

Solution 先假定齐次边值问题没有非零解, 从而逆算子存在. 对 Robin 条件 \(\alpha\ne0\), \(\beta/\alpha>0\) 是一个充分条件: 齐次调和解满足

\[\int_V|\nabla u|^2\mathrm{d}V+\frac\beta\alpha\int_\Sigma u^2\mathrm{d}\Sigma=0,\]

故只能为零. 负系数并不自动保证可逆; 例如半径 \(a\) 的球中 \(u=x_1\) 在 \(\beta/\alpha=-1/a\) 时就是非零齐次解. 以下普通 Green 表示只适用于可逆情形, 纯 Neumann 情形含常数零模, 须另行满足相容条件. 相应的 Green 函数的定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\\ &\left[\alpha{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta G\right]_{\Sigma}=0 \end{aligned}\right.\]

以 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\) 乘 Poisson 方程, \(u(\mathbf{r})\) 乘 Green 函数方程, 相减, 然后在体积 \(V\) 中求积分, 得

\[\iiint_{V}[G\nabla^{2}u(r)-u(r)\nabla^{2}G]\mathrm{d}\mathbf{r} =-\iiint_{V}G\rho\mathrm{d}\mathbf{r}+\iiint_{V}u(\mathbf{r})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}\]

左边的积分应用 Green 公式化为面积分, 移项, 得

\[u(\mathbf{r}^{\prime}) =\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r} +\iint_{\Sigma}\left(G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial u(\mathbf{r})}{\partial n}-u(\mathbf{r})\frac{\partial G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma\]

其中 \(\frac{\partial}{\partial n}\) 代表沿 \(\Sigma\) 的外法线的方向导数.

对于第一类边值问题
\[\alpha=0;\beta=1\implies u(\mathbf{r}^{\prime})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}-\iint_{\Sigma}g\frac{\partial G}{\partial n}\mathrm{d}\Sigma\]
若 \(\alpha\neq0\), 以 \(G\) 乘边界条件, 得
\[\left[\alpha G{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta Gu\right]_{\Sigma}=Gg\]
以 \(u\) 乘 Green 函数边界条件, 得
\[\left[\alpha u{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta Gu\right]_{\Sigma}=0\]
两式相减, 得
\[\alpha\left[G{\frac{\partial u}{\partial n}}-u{\frac{\partial G}{\partial n}}\right]_{\Sigma}=Gg\]
代入面积分公式, 得
\[u(\mathbf{r}^{\prime})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r} +\frac{1}{\alpha}\iint_{\Sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})g(\mathbf{r})\mathrm{d}\Sigma\]
对于第二边值问题, \(\alpha=1, \beta=0\), 满足原始点源方程和齐次 Neumann 边条件的普通 Green 函数不存在: 由 Green 公式
\[\iiint_{V}\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}=\iint_{\Sigma}\nabla G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\cdot\mathrm{d}\Sigma =\iint_{\Sigma}\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\mathrm{d}\Sigma=0\]
可是, 将 Poisson 方程积分, 又得到
\[\iiint_{V}\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}=-\iiint_V\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime)\mathrm{d}\mathbf{r}=-1\]
得到了相互矛盾的结果. 对原问题 \(\nabla^2u=-\rho\)、\(\partial_nu=g\), 必须满足兼容条件
\[\int_V\rho\,\mathrm{d}V+\int_\Sigma g\,\mathrm{d}\Sigma=0.\]
在连通有界区域内, 解只确定到加法常数. 可取零均值修正 Green 函数
\[\nabla^2G_N=-\delta(\mathbf r-\mathbf r')+\frac1{|V|},\quad \partial_nG_N=0,\quad\int_VG_N\,\mathrm{d}V=0,\]
得到
\[u(\mathbf r')-\overline u= \int_VG_N(\mathbf r;\mathbf r')\rho(\mathbf r)\mathrm{d}V+ \int_\Sigma G_N(\mathbf r;\mathbf r')g(\mathbf r)\mathrm{d}\Sigma, \qquad\overline u=|V|^{-1}\int_Vu\,\mathrm{d}V.\]
这正是在常数零模的正交补上使用逆算子.

将定解问题
\[\nabla^{2}G=-\frac{1}{\epsilon_{0}}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}),\quad \left.\frac{\partial G}{\partial n}\right|_{\Sigma}=0\]
视作稳态传热问题, 则此结论的物理意义容易看出: 点热源位于 \(\mathbf{r}^\prime\), 绝热边条件下, 由于热量无法耗散, 这样的温度场不可能是稳定的.

16.2 Properties of Green Functions for Steady-state Problems

16.2.1 Symmetry of Green Functions

对于上一个例子, 如果视为静电场满足的 Poisson 方程(相差一些 \(\epsilon_0\) 系数), \(G(\mathbf{r}; \mathbf{r}^{\prime})\) 代表的是位于 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点的点源在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场, 积分中 \(\rho(\mathbf{r})\) 是在 \(\mathbf{r}\) 点的源, 这使得解释这个积分的物理意义时发生了困难. 如果可以证明上述 Green 函数具有对称性

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=G(\mathbf{r}^{\prime};\mathbf{r})\]

物理上讲, 这意味着位于 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点的点源, 在一定的边界条件下在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场, 等于位于 \(\mathbf{r}\) 点的同样强度的点源, 在相同的边界条件下在 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点产生的场. 因此, 在把 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 对调后, 可得

\[u(\mathbf{r})=\iiint_{V}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\rho(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} +\iint_{\Sigma}\left(G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial u(\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}-u(\mathbf{r}^{\prime})\frac{\partial G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\]

这个式子的物理意义很清楚: 右边第一个积分代表在体积 \(V\) 中的分布源 \(\rho(\mathbf{r}^{\prime})\) 在 \(\mathbf{r}\) 点产生的场的总和; 第二个积分则是在边界面上的源所产生的场.

Proof 考虑比 Laplace 算子更一般的 Helmholtz 算子

\[\mathcal{L}:=-\nabla^2-\lambda,\quad\lambda\in\mathbb{R}\]

相应的 Green 函数满足方程

\[\left\{\begin{aligned} &\mathcal{L}G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}) ,&&\mathbf{r}\in V\\ &\left[\alpha\frac{\partial G}{\partial n}+\beta G\right]_\Sigma=0, &&\alpha,\beta\in\mathbb{R},\alpha^2+\beta^2>0 \end{aligned}\right.\]

\(\alpha\) 和 \(\beta\) 不同时为零. 对于

\[G_1(\mathbf{r})=G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1),\quad G_2(\mathbf{r})=G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2),\quad \mathbf{r}_1\neq\mathbf{r}_2\in V\]

满足

\[-\nabla^2G_1-\lambda G_1=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)\]

\[-\nabla^2G_2-\lambda G_2=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)\]

\[\alpha\frac{\partial G_i}{\partial n}+\beta G_i=0\quad\mathrm{on~}\Sigma,\quad i=1,2\]

使用之前的技巧, 考虑积分

\[I =\int_V\left(G_2\left.\mathcal{L}G_1-G_1\left.\mathcal{L}G_2\right)\right)\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_V\left[G_2\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)-G_1\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)\right]\mathrm{d}\mathbf{r} =G_2(\mathbf{r}_1)-G_1(\mathbf{r}_2)\right.\]

另一方面, 展开 \(\mathcal L\), 得到

\[\begin{aligned} I &=\int_V\left[G_2(-\nabla^2G_1-\lambda G_1)-G_1(-\nabla^2G_2-\lambda G_2)\right]\mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\int_V\left(-G_2\nabla^2G_1+G_1\nabla^2G_2\right)\mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\int_{\Sigma}\left(G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}-G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma \end{aligned}\]

综上

\[G(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)-G(\mathbf{r}_2;\mathbf{r}_1)=\int_\Sigma\left(G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1)\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2)}{\partial n}-G(\mathbf{r};\mathbf{r}_2)\frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}_1)}{\partial n}\right)\mathrm{d}\Sigma\]

对称性只需要证明右侧为 0. 代入齐次 Robin 条件

\[\frac{\partial G_i}{\partial n}=-\frac{\beta}{\alpha}G_i,\quad \mathrm{if~}\alpha\ne 0\]

则边界项

\[G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}-G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}=G_1\left(-\frac{\beta}{\alpha}G_2\right)-G_2\left(-\frac{\beta}{\alpha}G_1\right)=0\]

对于 \(\beta\ne 0\), 反过来使其为分母即可. 这就证明了相应 Green 函数的对称性; 算子的自伴性还需在满足这些边条件的适当定义域上确立. 对于 Neumann 问题的修正 Green 函数, 对称性仍可成立, 但需要重新定义.

Remark 这样的对称性并非所有 Green 函数都具有. 在本节实系数、实自伴边界条件且逆算子存在的情形, Green 函数具有上述对称性; 复 Hilbert 空间中的对应关系为 \(G(\mathbf r;\mathbf r')=\overline{G(\mathbf r';\mathbf r)}\).

16.2.2 Behavior of Green Functions near Point Sources

考虑静电场 Poisson 方程第一边值问题的 Green 函数. 在空间 \(V\) 中的点电荷, 必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布. 因此, Green 函数 \(G(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 在区域 \(V\) 内可以分解为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') + g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\]

\(G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 是无界空间中单位点电荷(位于 \(\mathbf{r}'\))所产生的电势, 满足 \[G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|},\quad \nabla^2 G_0(\mathbf{r};\mathbf{r}') = - \frac{1}{\epsilon_0}\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\] 它在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 处发散(具有库仑奇性), 在 \(V \setminus \{\mathbf{r}'\}\) 上光滑
\(g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 是由边界 \(\Sigma\) 上的感生电荷所等效产生的电势, 它在整个区域 \(V\) 内(包括 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 附近)是调和函数, 即 \[\nabla^2 g(\mathbf{r};\mathbf{r}') = 0, \quad \mathbf{r} \in V\] 且其具体形式由边界条件决定(例如第一类边界条件要求 \(g|_\Sigma = -G_0|_\Sigma\)) Remark 虽然感生电荷分布在边界 \(\Sigma\) 上, 但其在 \(V\) 内产生的电势 \(g\) 并非由体分布源驱动, 而是一个正则的调和函数. 因此, 不应将 \(g\) 的方程写为含 \(\delta_\Sigma\) 的非齐次方程, 其"源"仅作为边界条件的等效体现.

对于第三类边界条件, 同样可作此分解, 只是 \(g(\mathbf{r};\mathbf{r}')\) 需满足相应的 Robin 条件.

对于其他类型的稳定问题, 也可类似讨论. 例如, Helmholtz 方程

\[(\nabla^2 + k^2) G = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

的自由空间 Green 函数(满足出射波条件)在 \(\mathbf{r} \to \mathbf{r}'\) 附近的行为为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') \sim \frac{1}{4\pi} \frac{\cos(k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

其奇性结构与 Poisson 方程相同(\(\sim 1/r\)), 只是附加了振荡因子.

Remark 以上两个问题还可以进一步说明, Green 函数在点源处的奇性依赖于空间维数. 例如一维情形, Green 函数本身连续, 但一阶导数在源点有跳跃; 在二维情形, 奇性为对数型. 以二维静电场 Poisson 方程第一边值问题为例, Green 函数 \(G(x, y; x', y')\) 的定解问题为

\[\left\{\begin{aligned} &\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) G = - \frac{\delta(x - x') \delta(y - y')}{\epsilon_0}, \quad (x,y) \in S\\ &G|_C = 0 \end{aligned}\right.\]

仿照之前三维情形的讨论, 可将其分解为

\[G(x,y; x', y') = -\frac{1}{2\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{R} \right) + g(x,y; x', y'),\]

其中第一项是无界二维空间中单位点电荷的电势, 它在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 处对数发散; 第二项 \(g\) 在区域 \(S\) 内是调和函数, 且满足 \(g|_C = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \ln \left( \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{R} \right)\) 以抵消边界上的自由空间电势.

16.3 Green Function of the Helmholtz Equation in Unbounded 3D Space

Example 求三维无界空间中 Helmholtz 方程的 Green 函数,即在三维无界空间中求解

\[(\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

此时尚未指定无穷远处的边界条件, 形式解因而还不唯一.

Solution 1 由于在无界空间中, 平移坐标系使源点 \(\mathbf{r}'\) 位于原点:

\[(\nabla^2 + k^2) g(\mathbf{r}) = -\delta(\mathbf{r}),\quad G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = g(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\]

由球对称性, 取径向 \(\delta(r)\) 的归一化为 \(\int_0^\infty\delta(r)\varphi(r)\mathrm{d}r=\varphi(0)\), 作代换 \(g(\mathbf{r}) = f(r), \delta(\mathbf{r}) = \frac{\delta(r)}{4\pi r^2}\), 得

\[\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left( r^2 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r} \right) + k^2 f = -\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}\]

当 \(r \neq 0\) 时, 容易得到 Euler 方程的通解

\[f(r) = A \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k r}}{r} + B \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k r}}{r}\]

在 \(r=0\) 附近对小球体积积分, \(k^2\int_{|\mathbf r|\lt \rho}g\,\mathrm dV=O(\rho^2)\to0\), 因而

\[\lim_{\rho\to0^+}\int_{|\mathbf r|\lt\rho}\nabla^2g\,\mathrm dV=-1\]

又由

\[\int_{|\mathbf{r}|\lt\rho} \nabla^2 g \,\mathrm{d}V= \oint_{|\mathbf{r}|=\rho} \nabla g \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 4\pi \rho^2 \left. \frac{\partial f}{\partial r} \right|_{r=\rho}\]

取 \(\rho \to 0^+\) 得到

\[A + B = \frac{1}{4\pi}\]

以下取实数 \(k>0,\omega>0\), 并使用时间因子 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\). “发散波”和“汇聚波”按这一相位约定判断. 考虑具体边界条件

要求无穷远处为发散波(物理上对应辐射条件), 则 \(B=0\), 得到 Green 函数为 \[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.\]
要求无穷远处为汇聚波, 则 \(A=0\), 得到 Green 函数为 \[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.\]

若改用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\), 同一实出射场的复振幅应取共轭, 空间因子相应改为 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}\), \(R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\):

\[\mathrm{Re}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kR}}{4\pi R} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right] = \mathrm{Re}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}}{4\pi R} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right].\]

所以时间因子的正负本身不决定是否为物理解; 它须与空间相位及辐射处方成套使用. 当 \(k=0\) 时, 出射波解退化为 Poisson 方程的自由空间 Green 函数 \(G = \frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\).

Solution 2 (Fourier 变换法) 对 \((\nabla^2 + k^2) G = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 作 Fourier 变换

\[\hat{G}(\mathbf{p}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{d}\mathbf{r}\]

\[(-p^2 + k^2) \hat{G} = -\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}'}\]

得到

\[\hat{G}(\mathbf{p}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}'}}{p^2 - k^2}.\]

反演得

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{p^2 - k^2} \mathrm{d}\mathbf{p}\]

令 \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'\), 在 \(\mathbf{p}\) -空间球坐标系下积分

\[\begin{aligned} G &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p R \cos\theta}}{p^2 - k^2} p^2 \sin\theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}p \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{1}{\mathrm{i}R} \int_0^\infty \frac{p}{p^2 - k^2} \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p R} \right] \mathrm{d}p \\ &= \frac{1}{\mathrm{i}(2\pi)^2 R} \int_{-\infty}^\infty \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i}pR}}{p^2 - k^2} \mathrm{d}p \end{aligned}\]

取 Cauchy 主值, 求留数容易得到

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{\cos(k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

这与之前的结果不同, 因为取主值积分, 相当于取了一定的无穷远条件. 为满足辐射条件, 将 \(k\) 替换为 \(k + \mathrm{i}\eta, \eta > 0\), 积分结果为

\[G = \frac{1}{\mathrm{i}(2\pi)^2 R} \lim_{\eta \to 0^+} \int \frac{p\mathrm{e}^{\mathrm{i}pR}}{p^2 - (k + \mathrm{i}\eta)^2} \mathrm{d}p\]

在复 \(p\) -平面上,极点 \(p = \pm (k + \mathrm{i}\eta)\) 位于实轴两侧, 得

\[\int_{-\infty}^\infty \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R}}{p^2 - (k + \mathrm{i}\eta)^2} \mathrm{d}p = 2\pi \mathrm{i} \cdot \left.\left( \frac{p \mathrm{e}^{\mathrm{i} p R}}{p + (k + \mathrm{i}\eta)} \right)\right|_{p = k + \mathrm{i}\eta} = \mathrm{i}\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k + \mathrm{i}\eta)R}\]

最终得到

\[G(\mathbf{r}; \mathbf{r}') = \frac{1}{4\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\]

若取 \(k - \mathrm{i}\eta,\eta > 0\), 得到汇聚波解 \(\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\).

讨论: 在本节负时间相位与无穷远处为发散波的要求下, 解的渐近形式含 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kR}\) 因子. 在 \(k\to k + \mathrm{i}\eta\) 时, 解中含有额外的衰减因子 \(\mathrm{e}^{-\eta R}\), 这保证了 Green 函数
\[\int|G(\mathbf{r};\mathbf{r}^{\prime})|\mathrm{d}\mathbf{r}\]
在每个 \(\eta>0\) 时绝对收敛, 可作普通 Fourier 变换; \(\eta\to0^+\) 的辐射解不再属于 \(L^1\), 该极限应按分布理解.

此外, \(\eta \to 0^+\) 的极限对应 Sommerfeld 辐射条件 \(\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \left( \frac{\partial G}{\partial r} - \mathrm{i}k G \right) = 0\), 也可以说明解的物理合理性.

改用正时间相位表示同一出射场时, 应选取空间振幅 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kR}/(4\pi R)\), Fourier 积分中的处方为 \(k\to k-\mathrm{i}\eta\), 辐射条件中的算符相应为 \(\partial_r+\mathrm{i}k\).

16.4 Green Function for the Dirichlet Problem of Poisson Equation in a Disk

Example 圆内 Poisson 方程第一边值问题

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}u(\mathbf{r}) = -\rho(\mathbf{r}), &&|\mathbf{r}| \lt a \\ &u|_{|\mathbf{r}|=a} = f(\phi) \end{aligned}\right.\]

相应的 Green 函数满足

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^{2}G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), &&|\mathbf{r}| \lt a \\ &G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{|\mathbf{r}|=a} = 0 \end{aligned}\right.\]

并应该满足正则边条件:

\[G(\mathbf{0};\mathbf{r}')\text{ 有界}\ (\mathbf r'\ne\mathbf0),\quad G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{\phi=0} = G(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{\phi=2\pi},\quad \frac{\partial G}{\partial\phi}(\mathbf{r};\mathbf{r}')\bigg|_{\phi=0} = \frac{\partial G}{\partial\phi}(\mathbf{r};\mathbf{r}')\bigg|_{\phi=2\pi}\]

Solution 1 采用平面极坐标 \((r,\phi)\). 已知二维自由空间中

\[\nabla^{2}\ln|\mathbf{r}| = 2\pi\delta(\mathbf{r}),\]

故令

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = v(\mathbf{r};\mathbf{r}') + w(\mathbf{r};\mathbf{r}'),\quad v(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\]

则 \(w\) 满足

\[\left\{\begin{aligned} \nabla^{2}w(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= 0, &&|\mathbf{r}| \lt a \\ w(\mathbf{r};\mathbf{r}')|_{|\mathbf{r}|=a} & = \frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\big|_{|\mathbf{r}|=a} \end{aligned}\right.\]

由分离变量法. \(w\) 的通解为

\[w(r,\phi;\mathbf{r}') = C_0 + \sum_{m=1}^{\infty} r^m \left[ C_{m1}\cos(m\phi) + C_{m2}\sin(m\phi) \right].\]

利用对数恒等式

\[\ln[1 + t^2 - 2t\cos\theta] = -2\sum_{m=1}^{\infty} \frac{t^m}{m} \cos(m\theta),\quad |t| \lt 1\]

令 \(r_\lt = \min(r,r'),r_> = \max(r,r')\), 有

\[\begin{aligned} \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| &= \frac{1}{2}\ln\left[r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\phi-\phi')\right] \\ &= \ln r_> - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r_\lt}{r_>}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \\ &= \ln r_> - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r_\lt}{r_>}\right)^m \left[ \cos(m\phi)\cos(m\phi') + \sin(m\phi)\sin(m\phi') \right]. \end{aligned}\]

在边界 \(r = a\), 代入 \(r_\lt = r'\), \(r_> = a\), 得到

\[\begin{aligned} w(a,\phi;\mathbf{r}') &= \frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\big|_{r=a} \\ &= \frac{1}{2\pi}\left[ \ln a - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \right] \\ &= \frac{\ln a}{2\pi} - \frac{1}{2\pi}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \left[ \cos(m\phi)\cos(m\phi') + \sin(m\phi)\sin(m\phi') \right]. \end{aligned}\]

对比得系数

\[\begin{aligned} C_0 &= \frac{\ln a}{2\pi}, \\ C_{m1} &= -\frac{1}{2\pi} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \frac{\cos(m\phi')}{a^m}\\ C_{m2} &= -\frac{1}{2\pi} \frac{1}{m} \left(\frac{r'}{a}\right)^m \frac{\sin(m\phi')}{a^m} \end{aligned}\]

从而得到解

\[\begin{aligned} w(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= \frac{\ln a}{2\pi} - \frac{1}{2\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left(\frac{rr'}{a^2}\right)^m \cos[m(\phi-\phi')] \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \ln a + \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{rr'}{a^2}\right)^2 - 2\frac{rr'}{a^2}\cos(\phi-\phi')\right) \right] \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \ln\left| \mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \right| - \ln\frac{a}{r'} \right], \end{aligned}\]

Green 函数为

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + \frac{1}{2\pi} \left[ \ln\left| \mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \right| - \ln\frac{a}{r'} \right] \\ &= -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}'' \right| + \ln\frac{a}{r'} \right],\quad \mathbf{r}'' = \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}' \end{aligned}\]

当 \(r'=0\) 时取极限 \(G(\mathbf r;\mathbf0)=-\ln(r/a)/(2\pi)\). 当 \(r'>0\) 时, 其中 \(\mathbf{r}''\) 是 \(\mathbf{r}'\) 关于圆 \(|\mathbf{r}|=a\) 的反演点. 利用此之前关于 Poisson 方程定解问题的 Green 函数及其对称性的讨论, 可得原问题的解

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r}) &= \iint_{|\mathbf{r}'|\lt a} \rho(\mathbf{r}') G(\mathbf{r};\mathbf{r}') \,\mathrm{d}\mathbf{r}' - \int_0^{2\pi} f(\phi') \left. \frac{\partial G(\mathbf{r};\mathbf{r}')}{\partial r'} \right|_{r'=a} a\,\mathrm{d}\phi' \\ &= -\frac{1}{2\pi} \iint_{|\mathbf{r}'|\lt a} \rho(\mathbf{r}') \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left|\mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}'\right| + \ln\frac{a}{r'} \right] \mathrm{d}\mathbf{r}' \\ &+ \frac{a^2-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(\phi')}{a^2+r^2-2ar\cos(\phi-\phi')} \,\mathrm{d}\phi' \end{aligned}\]

当 \(\rho(\mathbf{r}) = 0\) 时,得到圆内 Laplace 方程第一边值问题的 Poisson 公式:

\[u(\mathbf{r}) = \frac{a^2-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(\phi')}{a^2+r^2-2ar\cos(\phi-\phi')} \,\mathrm{d}\phi'\]

Solution 2 (电像法) 将 Green 函数的求解考虑为物理背景下的静电学问题. 当在接地导体圆内放置点电荷后, 圆周上会产生感应电荷. 圆内任意点的电势是点电荷和感应电荷电势的叠加. 前者满足 Poisson 方程但不满足边界条件, 后者在圆内满足 Laplace 方程.

Remark 圆外点电荷产生的电势在圆内满足 Laplace 方程!! 因此, 边界上的感应电荷可用圆外电荷等效替代, 这种方法在电动力学中称为电像法.

对于本问题的 Green 函数, 考虑在圆外放置一个像电荷. 由对称性, 该像电荷应该位于真实电荷所在半径的延长线上. 设真实电荷位于 \(\mathbf{r}'\), 像电荷位置为 \(\mathbf{r}_1\), 电量为 \(e\). 以下沿用本节数学归一化 \(\nabla^2G=-\delta\); 单位物理电荷的电势为 \(G/\epsilon_0\). 则 Green 函数为

\[G(\mathbf{r};\mathbf{r}') = -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + e\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| + C \right]\]

边界条件要求

\[\left.(\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| + e\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| + C) \right|_{r=a} = 0\]

在极坐标系中, 边界条件化为

\[\begin{aligned} 0 &=\ln\left[a^2+r'^2-2ar'\cos(\phi-\phi')\right] + e\ln\left[a^2+r_1^2-2ar_1\cos(\phi-\phi')\right] + 2C\\ &=2\ln a + \ln\left[1+\left(\frac{r'}{a}\right)^2-2\frac{r'}{a}\cos(\phi-\phi')\right] + 2e\ln r_1 + e\ln\left[1+\left(\frac{a}{r_1}\right)^2-2\frac{a}{r_1}\cos(\phi-\phi')\right] + 2C \end{aligned}\]

该式对任意 \(\phi\in[0,\pi]\) 成立. 同样利用对数恒等式得

\[2\ln a + 2e\ln r_1 + 2C-2\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\left[\left(\frac{r'}{a}\right)^m + e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m\right]\cos m(\phi-\phi') = 0\]

从而有

\[\left\{\begin{aligned} \ln a + e\ln r_1 + C &= 0\\ \left(\frac{r'}{a}\right)^m + e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m &= 0,\quad m=1,2,3,\cdots \end{aligned}\right.\]

解得

\[e = -1,\quad r_1 = \frac{a^2}{r'},\quad C = \ln\frac{a}{r'}\]

代入得 Green 函数

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r};\mathbf{r}') &= -\frac{1}{2\pi} \left[ \ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| - \ln\left|\mathbf{r} - \frac{a^2}{r'^2}\mathbf{r}'\right| + \ln\frac{a}{r'} \right] \\ &= -\frac{1}{4\pi} \left\{ \ln\left[r^2+r'^2-2rr'\cos(\phi-\phi')\right]-\ln\left[r^2+\left(\frac{a^2}{r'}\right)^2-2r\frac{a^2}{r'}\cos(\phi-\phi')\right] + 2\ln\frac{a}{r'} \right\} \end{aligned}\]

电像法虽非普遍适用, 但在具有高度对称性的问题中极为有效.

16.5 Green Functions for Time-dependent Problems

16.5.1 Green Functions for Wave Equations

Example 1 一维有界弦的波动

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=f(x,t), &&0 \lt x \lt l, \quad t > 0\\ &\left.u(x,t)\right|_{x=0}=\mu(t), &&u(x,t)\big|_{x=l}=\nu(t)\\ &\left.u(x,t)\right|_{t=0}=\phi(x), &&\left.\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x). \end{aligned}\]

Solution 相应的 \(G(x,t;x',t')\) 是瞬时点源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]G(x,t;,x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&0\lt x,x^{\prime}\lt l,\quad t,t^{\prime}>0\\ &G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x=0}=G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x=l}=0, &&G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\partial_t G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0 \end{aligned}\]

的解. 初始条件的物理意义: 驱动力在 \(t=t'\) 时刻出现, 此前弦静止.

\(G(x,t;x',t')\) 的对称性: 对波动算子 \[\mathcal{L}:=\partial_t^2-a^2\partial_x^2\] 将时间延拓到实轴, 记满足上述空间 Dirichlet 边条件的推迟核为 \(G_R\), 超前核为 \(G_A\). 二者分别在观察时间早于、晚于源时间时为零. 取两个源点 \((x_1,t_1),(x_2,t_2)\), 令 \[G_1(x,t)=G_R(x,t;x_1,t_1),\quad G_2(x,t)=G_A(x,t;x_2,t_2)\] 后者满足相同的波动方程、 Dirichlet 边条件, 且满足逆向因果 \[G_2(x,t)=\partial_tG_2(x,t)=0,\quad t>t_2\] 取 \(T_-\lt\min(t_1,t_2)\), \(T_+>\max(t_1,t_2)\), 在区域 \(D=(0,l)\times(T_-,T_+)\) 上考虑积分 \[I=\iint_D\left(G_2\mathcal{L}G_1-G_1\mathcal{L}G_2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}t=G_2(x_1,t_1)-G_1(x_2,t_2)\] 另一方面, 代入 \(\mathcal{L}\) 可以得到 \[I=\int_0^l\left[G_2\partial_tG_1-G_1\partial_tG_2\right]_{T_-}^{T_+}\mathrm{d}x-a^2\int_{T_-}^{T_+}\left[G_2\partial_xG_1-G_1\partial_xG_2\right]_{0}^{l}\mathrm{d}t=0\] 空间端点项由齐次 Dirichlet 条件消失; 在 \(T_-\) 处 \(G_1,\partial_tG_1\) 为零, 在 \(T_+\) 处 \(G_2,\partial_tG_2\) 为零, 所以时间端点项也为零. 可先将点源光滑化再取分布极限理解上述计算. 因而得到推迟核与超前核之间的倒易关系 \[G_R(x_2,t_2;x_1,t_1)=G_A(x_1,t_1;x_2,t_2)\] 对这里时间无关且在时间反演下不变的波动算子, \(G_A(x,t;x',t')=G_R(x,-t;x',-t')\), 才进一步得到原推迟核的时间反演表达. 推迟核本身一般不满足直接交换两个时空点的对称性.

接下来求解 Green 函数, 这里采用两种解法

视作非齐次方程的定解问题, 第一种解法显然是按相应齐次问题的本征函数展开
\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\sin{\frac{n\pi}{l}}x\]
非齐次项展开得到
\[\delta(x-x^{\prime})=\frac{2}{l}\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}x\]
于是 \(T_{n}(t)\) 就满足常微分方程的初值问题
\[T_n^{\prime\prime}(t)+\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^{2}T_{n}(t)=\frac{2}{l}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\delta(t-t^{\prime})\]

\[T_{n}(t\lt t^{\prime})=0,\quad T_{n}^{\prime}(t\lt t^{\prime})=0\]
解得
\[T_{n}(t)=\frac{2}{n\pi a}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}a(t-t^{\prime})H(t-t^{\prime})\]

\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\frac{2}{\pi a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{l}x^{\prime}\sin\frac{n\pi}{l}x\sin\frac{n\pi}{l}a(t-t^{\prime})H(t-t^{\prime})\]
将定解问题作 Laplace 变换. 令
\[\tilde G(x)=\int_{0}^{\infty}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]
相应定解问题
\[\left[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}-\left(\frac{p}{a}\right)^{2}\right]\tilde G(x)=-\frac{1}{a^{2}}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\delta(x-x^{\prime})\]

\[\tilde G(0)=\tilde G(l)=0\]
容易得到解为
\[\tilde G(x) =\left\{\begin{aligned} &\frac{\sinh\frac{p}{a}(l-x^{\prime})\sinh\frac{p}{a}x}{pa\sinh\frac{p}{a}l}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}, &&{x\lt x^{\prime},}\\ &\frac{\sinh\frac{p}{a}x^{\prime}\sinh\frac{p}{a}(l-x)}{pa\sinh\frac{p}{a}l}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}, &&{x^{\prime}\lt x} \end{aligned}\right.\]
对其应用普遍反演公式, 得到与解法 1 相同的结果.

在区域 \(D:0\lt x\lt l,0\lt t\lt+\infty\) 上考虑积分

\[J = \iint_D\left[G\mathcal{L}^{\prime}u-u\mathcal{L}^{\prime}G\right]\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \int_0^t\int_0^l G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})f(x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}-u(x,t)\]

另一方面, 利用

\[G\mathcal{L}^{\prime}u-u\mathcal{L}^{\prime}G=\partial_{t^{\prime}}\left(G\partial_{t^{\prime}}u-u\partial_{t^{\prime}}G\right)-a^2\partial_{x^{\prime}}\left(G\partial_{x^{\prime}}u-u\partial_{x^{\prime}}G\right)\]

代入积分得到

\[\begin{aligned} J =&\int_0^l\left[G\partial_{t^{\prime}}u-u\partial_{t^{\prime}}G\right]|_{t^{\prime}=0}^{+\infty}\mathrm{d}x^{\prime}-a^2\int_0^\infty\left[G\partial_{x^{\prime}}u-u\partial_{x^{\prime}}G\right]|_{x^{\prime}=0}^{l}\mathrm{d}t^{\prime}\\ =&-\int_0^l\left[G(x,t;x',0)\psi(x') - \phi(x')\partial_{t'}G(x,t;x',t')\big|_{t'=0}\right]\mathrm{d}x^{\prime}\\ &+a^2\int_0^\infty\left[\nu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;l,t^{\prime})-\mu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;0,t^{\prime})\right]\mathrm{d}t^{\prime} \end{aligned}\]

联立得到

\[\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t\int_0^lG(x,t;x^{\prime},t^{\prime})f(x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}x^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\\ &\quad+\int_0^l\left[G(x,t;x^{\prime},0)\psi(x^{\prime})-\phi(x^{\prime})\partial_{t^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},0)\right]\mathrm{d}x^{\prime}\\ &\quad-a^2\int_0^t\left[\nu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;l,t^{\prime})-\mu(t^{\prime})\partial_{x^{\prime}}G(x,t;0,t^{\prime})\right]\mathrm{d}t^{\prime}. \end{aligned}\]

Example 2 三维无界空间中的波动方程初值问题

\[\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}u(\mathbf{r},t)}{\partial t^{2}}-a^{2}\nabla^{2}u(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r},t), &&t>0\\ &u(\mathbf{r},t)\big|_{t=0}=\phi(\mathbf{r}), &&\left.\frac{\partial u(\mathbf{r},t)}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(\mathbf{r}) \end{aligned}\]

Solution 相应的 Green 函数 \(G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}', t')\) 是瞬时点源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2}\nabla^{2}\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&t,t'>0\\ &G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\partial_t G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0 \end{aligned}\]

的解. 接下来求解 Green 函数. 对空间变量作 Fourier 变换

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\iiint G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\mathrm{d}\mathbf{r}\]

将定解问题化为常微分方程的初值问题

\[\left[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}+(ka)^{2}\right]\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}\delta(t-t^{\prime})\]

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r^{\prime}},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=\left.\frac{\mathrm{d}\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r^{\prime}},t^{\prime})}{\mathrm{d}t}\right|_{t\lt t^{\prime}}=0\]

解得

\[\hat G(\mathbf{k},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}H(t-t^{\prime})\]

下面作 Fourier 逆变换

\[\begin{aligned} G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})&=\frac{H(t-t^{\prime})}{(2\pi)^{3}}\iiint\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}\mathrm{d}\mathbf{k}\\ &=\frac{H(t-t^{\prime})}{(2\pi)^{3}}\iiint\frac{\sin ka(t-t^{\prime})}{ka}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})}\mathrm{d}\mathbf{k} \end{aligned}\]

在 \(\mathbf{k}\) 空间的球坐标系中计算上面的积分, 得到

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{H(t-t^{\prime})}{2\pi^{2}a}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\int_{0}^{\infty}\sin ka(t-t^{\prime})\sin k|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|\mathrm{d}k\]

这个积分在通常的意义下是不存在的. 出现这种积分是由于定解问题中的非齐次项也不是通常意义下的函数. 利用积分变换恒等式

\[\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}\left[\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x^{\prime})\sin kx^{\prime}\mathrm{d}x^{\prime}\right]\sin kx\mathrm{d}k\\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x^{\prime})\left[\int_{0}^{\infty}\sin kx^{\prime}\sin kx\mathrm{d}k\right]\mathrm{d}x^{\prime} \end{aligned}\]

这说明

\[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\sin kx^{\prime}\sin kx\mathrm{d}k=\delta(x-x^{\prime}),\quad x, x' > 0\]

代入求出

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{4\pi a}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\delta(|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|-a(t-t^{\prime}))\]

注意这里去掉了函数 \(\eta(t-t^{\prime})\), 因为 \(\delta\) 函数的宗量已经保证了 \(t-t^{\prime}\lt0\) 时 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=0\). 这个解式的物理意义明确: \(t^{\prime}\) 时刻在 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 处发射的信号, \(t\) 时刻一定只到达距 \(\mathbf{r}^{\prime}\) 点为 \(a(t-t^{\prime})\) 的球面上.

利用 Green 函数容易得到原初值问题的解

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t)&=\int_0^t\iiint G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\\ &\quad+\iiint\left[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\psi(\mathbf{r}^{\prime})-\phi(\mathbf{r}^{\prime})\partial_{t^{\prime}}G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t^{\prime}=0}\right]\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} \end{aligned}\]

为对 \(t^\prime \lt t\) 的源项积分与边界项之和

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t)&=\frac{1}{4\pi a^{2}}\iiint_{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert\lt at}\frac{f(\mathbf{r}^{\prime},t-\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert/a)}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\\ &\quad+\frac{1}{4\pi a}\left[\iint_{\Sigma}\frac{\psi(\mathbf{r}^{\prime})}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\Sigma^{\prime}+\frac{\partial}{\partial t}\iint_{\Sigma}\frac{\phi(\mathbf{r}^{\prime})}{\lvert\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\rvert}\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\right], \end{aligned}\]

其中 \(\Sigma\) 是以 \(\mathbf{r}\) 点为球心、 \(at\) 为半径的球面 \(|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}|=at\).

16.5.2 Green Functions for Heat Equations

Example 3 三维有界空间热传导方程

\[\begin{aligned} &\frac{\partial u(\mathbf{r},t)}{\partial t}-\kappa\nabla^{2}u(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r},t), &&\mathbf{r}\in V,\quad t>0\\ &u(\mathbf{r},t)\big|_{\Sigma}=\mu(\Sigma,t), &&u(\mathbf{r},t)\big|_{t=0}=\phi(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

Solution 相应的 Green 函数 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\) 是瞬时点热源问题

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial}{\partial t}-\kappa\nabla^{2}\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime}\in V,\quad t,t^{\prime}>0\\ &G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{\Sigma}=0, &&G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t=0}=0 \end{aligned}\]

的解. 由平移不变性质, 容易理解后一项初始条件也可以被写为 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\big|_{t\lt t^{\prime}}=0\).

\(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\) 的对称性: 对热传导算子 \[\mathcal{L}:=\partial_t-\kappa\nabla^2\] 有界定解问题的 Green 函数 \(G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\). 将核按时间差延拓到任意实时间. 取两个不同源点 \((\mathbf{r}_1,t_1),(\mathbf{r}_2,t_2)\), 令 \[G_1(\mathbf{r},t)=G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}_1,t_1),\quad G_2(\mathbf{r},t)=G(\mathbf{r},-t;\mathbf{r}_2,-t_2)\] 后者满足伴随热方程 \(\mathcal L^*G_2=\delta(\mathbf r-\mathbf r_2)\delta(t-t_2)\), 其中 \(\mathcal L^*=-\partial_t-\kappa\nabla^2\), 同样的 Dirichlet 边条件, 且满足逆向因果 \[G_2(\mathbf{r},t)=\partial_tG_2(\mathbf{r},t)=0,\quad t>t_2\] 在区域 \(D:V\times(0,+\infty)\) 上考虑积分 \[I=\int_D\left(G_2\mathcal{L}G_1-G_1\mathcal{L}^*G_2\right)\mathrm{d}\mathbf{r}\mathrm{d}t=G_2(\mathbf{r}_1,t_1)-G_1(\mathbf{r}_2,t_2)\] 另一方面, 代入 \(\mathcal{L}\) 可以得到 \[I= \int_V[G_1G_2]_{t=0}^{t=+\infty}\mathrm d\mathbf r -\kappa\int_0^\infty\iint_\Sigma\left[G_2\frac{\partial G_1}{\partial n}-G_1\frac{\partial G_2}{\partial n}\right]\mathrm{d}\Sigma\mathrm{d}t=0\] 其中用到了二者的边条件. 从而得到相应倒易关系 \[G(\mathbf{r}_2,t_2;\mathbf{r}_1,t_1)=G(\mathbf{r}_1,-t_1;\mathbf{r}_2,-t_2)\] 其中负号保证了时间次序不变, 保证了因果律.

下面用 Green 函数表示原问题的解. 利用倒易关系

\[G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=G(\mathbf{r}^{\prime},-t^{\prime};\mathbf{r},-t)\]

后者满足逆向因果条件

\[G=0,\quad t^{\prime}>t\]

在区域 \(D: V\times(0,+\infty)\) 上考虑积分

\[J = \int_D \left(G\mathcal{L}^{\prime}u - u\mathcal{L}^{\prime *}G\right)\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \int_D G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}- u(\mathbf{r},t)\]

左端为全散度

\[G\mathcal{L}^{\prime}u - u\mathcal{L}^{\prime *}G =\partial_{t^{\prime}}(Gu) - \kappa \nabla^{\prime}\cdot\bigl(G\nabla^{\prime}u - u\nabla^{\prime}G\bigr).\]

积分后仅余边界项:

\[J=\iiint_V[Gu]_{t^{\prime}=0}^{+\infty}\,\mathrm d\mathbf r^{\prime} -\kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma \left[G\frac{\partial u}{\partial n^{\prime}} - u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\right] \mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\]

逐项化简:

\(t^{\prime}\to+\infty\)(\(t^{\prime}>t\)): 逆向因果, 该项为 0.
\(t^{\prime}=0\):
\[-\iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\phi(\mathbf{r}^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\]
空间边界: \(G\bigr|_{\Sigma^{\prime}}=0\) , 故仅剩
\[\kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma u\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} = \kappa \int_0^\infty \iint_\Sigma \mu(\Sigma^{\prime},t^{\prime})\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime}\]

因果性还允许将所有 \(t^{\prime}\) 上限改为 \(t\)(\(t^{\prime}>t\) 时 \(G=0\)). 综上, 原问题的解为

\[\begin{aligned} u(\mathbf{r},t) &= \int_0^t\!\!\iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} \\ &\quad + \iiint_V G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},0)\phi(\mathbf{r}^{\prime})\,\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime} \\ &\quad - \kappa \int_0^t \iint_\Sigma \mu(\Sigma^{\prime},t^{\prime})\left.\frac{\partial G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{\partial n^{\prime}}\right|_{\Sigma^{\prime}}\,\mathrm{d}\Sigma^{\prime}\mathrm{d}t^{\prime} \end{aligned}\]

Example 4 求一维无界空间热传导方程的 Green 函数

\[\begin{aligned} &\left[\frac{\partial}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), &&t,t^{\prime}>0\\ &G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{x\rightarrow\pm\infty}\text{有界}, &&G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t\lt t^{\prime}}=0(G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})|_{t=0}=0) \end{aligned}\]

Solution 将定解问题作 Laplace 变换(可以自动处理因果性). 令

\[\tilde G(x)=\int_{0}^{\infty}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t\]

相应定解问题

\[\begin{aligned} &\left[p-\kappa\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\right]\tilde G(x)=\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\delta(x-x^{\prime}), &\tilde G(x)|_{x\rightarrow\pm\infty}\text{有界} \end{aligned}\]

其中已经用到第二条边条件. 容易得到解为

\[\tilde G(x)=\frac{1}{2\sqrt{\kappa p}}\mathrm{e}^{-pt^{\prime}}\exp\left\{-\sqrt{\frac{p}{\kappa}}|x-x^{\prime}|\right\}\]

对其实施逆 Laplace 变换, 利用

\[\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{p}}\mathrm{e}^{-\alpha\sqrt{p}}\right\}=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\mathrm{e}^{-\alpha^{2}/(4t)}\]

得到

\[G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\frac{1}{2\sqrt{\kappa\pi(t-t^{\prime})}}\exp\left\{-\frac{(x-x^{\prime})^{2}}{4\kappa(t-t^{\prime})}\right\}H(t-t^{\prime})\]

16.6 Generalized Green Functions

Poisson 方程第二边值问题不存在满足原始点源方程和齐次 Neumann 边条件的普通 Green 函数; 消去常数零模后可使用修正 Green 函数. 下面从更为普遍的角度来讨论 Green 函数存在的必要条件. 考虑有限区域 \(V\) 内 Helmholtz 问题的普遍边值问题

\[\mathcal{L}u = (-\nabla^{2}-\lambda) u=f,\quad \left[\alpha{\frac{\partial u}{\partial n}}+\beta u\right]_{\Sigma}=0\]

若 \(u_{\lambda}\) 为 \(V\) 内如下齐次方程定解问题的非零解

\[-\nabla^2u_\lambda = \lambda u_\lambda,\quad \left[\alpha\frac{\partial u_{\lambda}}{\partial n}+\beta u_{\lambda}\right]_{\Sigma}=0\]

即 \(\lambda\) 是算符 \(-\nabla^{2}\) 的本征值, \(u_{\lambda}\) 是相应的本征函数. 考虑积分

\[I =\iiint_{V}[u\mathcal{L}u_{\lambda}-u_{\lambda}\mathcal{L}u]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iiint_{V}[u_{\lambda}\nabla^{2}u-u\nabla^{2}u_{\lambda}]\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{\Sigma}\left[u_{\lambda}\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial u_{\lambda}}{\partial n}\right]\mathrm{d}\Sigma=0\]

其中已经用到 \(\alpha^2+\beta^2\ne 0\), 时另一方面,

\[0=I=-\iiint_{V}f(\mathbf{r})u_{\lambda}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}\]

说明在本征值为 \(\lambda\) 时, 上述 Helmholtz 问题边值问题有解的必要条件为非齐次项 \(f\) 必须与本征函数 \(u_{\lambda}\) 正交.

这一问题的 Green 函数满足的方程和边界条件为

\[\mathcal{L} G=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}),\quad \left[\alpha{\frac{\partial G}{\partial n}}+\beta G\right]_{\Sigma}=0\]

对于之前给出的一组 \(\lambda, u_{\lambda}\), 考虑积分

\[\iiint_{V}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})u_{\lambda}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=u_{\lambda}(\mathbf{r}^{\prime})\neq0\]

说明 Green 函数不满足有解的必要条件, 因此 Green 函数不存在.

在光滑有界区域和上述实自伴边条件下, 设零空间 \(\ker\mathcal{L}\) 的一组实正交归一基为 \(\{u_{\lambda,j}\}_{j=1}^m\). 简并时必须同时消去全部零模. 定义投影核

\[P_\lambda(\mathbf r,\mathbf r')=\sum_{j=1}^m u_{\lambda,j}(\mathbf r)u_{\lambda,j}(\mathbf r').\]

广义 Green 函数满足

\[\mathcal{L}G_m=\delta(\mathbf r-\mathbf r')-P_\lambda(\mathbf r,\mathbf r'),\qquad\mathcal{B}G_m=0,\qquad \int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r)G_m(\mathbf r,\mathbf r')\mathrm d\mathbf r=0\quad(1\le j\le m).\]

对右端与任一零模取内积, 正交归一性使两项恰好抵消. 在零空间的正交补上, 自伴椭圆算子的离散谱与 \(0\) 分离, 故可逐个除以非零本征值构造逆算子; 上述全部正交条件消除任意零模, 唯一确定此逆的核. 当 \(m=1\) 时, 就是减去单个归一化本征函数的投影.

对原方程, Fredholm 相容条件是

\[\int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r)f(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r=0,\qquad j=1,\ldots,m.\]

必要性来自前面的 Green 恒等式. 反之, 令

\[u_p(\mathbf r)=\int_VG_m(\mathbf r,\mathbf r')f(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'.\]

则满足齐次边条件, 且

\[\mathcal L u_p=f-\sum_{j=1}^m u_{\lambda,j}\int_Vu_{\lambda,j}(\mathbf r')f(\mathbf r')\mathrm d\mathbf r'=f.\]

所以相容条件也充分, 通解为

\[u=u_p+\sum_{j=1}^m A_j u_{\lambda,j}.\]

额外要求 \(u\perp\ker\mathcal L\) 时所有 \(A_j=0\), 得到唯一的最小 \(L^2\) 范数解. 对复本征函数, 投影核的第二因子与相容条件的本征函数均应取复共轭.

17 Calculus of Variations

17.1 Functionals

Definition 泛函泛函是定义在函数空间上的映射. 设 \(y(x)\) 是定义在区间 \([a,b]\) 上的某类变量函数, 泛函 \(J\) 将该函数映射为一个实数(这里只讨论用积分定义的泛函):

\[I[y] = \int_a^b f\bigl(x, y(x), y'(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\]

对于多元函数, 可类似定义:

\[I[\mathbf{y}] = \int_{D} f(\mathbf{x}, \mathbf{y}(\mathbf{x}), \mathbf{y}'(\mathbf{x}))\,\mathrm{d}\mathbf{x}\]

通常要求 \(y(x)\in C^2\), 即具有连续的二阶导数, 且满足一定的边界条件(满足此类条件的函数为可取函数).
泛函与复合函数的区别: 泛函的自变量是函数, 而复合函数的自变量是数值. 对于后者, 给出一个 \(x_0\) 就能确定 \(g\circ f(x_0)\) 的值; 而对于前者, 给出区间上的一个函数 \(y_0(x)\) 才能确定 \(J[y_0(x)]\) 的值.

17.2 Extrema of Functionals

Lemma 变分学基本引理设 \(\phi(x)\) 为连续函数, \(\eta(x)\) 具有连续的二阶导数, 并满足

\[\eta(a) = \eta(b) = 0\]

若对任意这样的 \(\eta(x)\) 都有

\[\int_{a}^{b} \phi(x)\,\eta(x)\,\mathrm{d}x = 0\]

则必有 \(\phi(x)\equiv 0\).

Theorem 泛函极值问题的 Euler-Lagrange 方程为使泛函积分 \(I[y]\) 在固定 \(y_0=y(x_0),y_1=y(x_1)\) 时取极值, 要求 \(f(x,y,y')\) 满足

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

此即 Euler-Lagrange 方程

Proof 定义试探函数族 \(\overline y=\overline y(x,\epsilon)=y(x)+\delta y(x)\),其中 \(\delta y\) 为函数的等 \(x\) 变分, 满足

\(\delta y(x_0)=\delta y(x_1)=0\)(端点固定)
\(\delta(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(\delta y)\)(\(\mathrm{d}\) 为与 \(\mathrm{d}x\) 对应的微分), \(\delta\int_{x_0}^{x_1} \mathrm{d}x\,y=\int_{x_0}^{x_1} \mathrm{d}x\,\delta y\)
\(\overline y(x,0)=y(x)\)(\(\epsilon=0\) 对应极值路径)
\(\overline y(x,\epsilon)\in C^2\)(直到二阶导存在且连续)
线性性等与微分类似的性质不再赘述.

极值条件为

\[\begin{aligned} 0=\delta I=&\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)]\mathrm{d}x\\ =&\left.\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right|_{x_0}^{x_1}+\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x\\ =&\int_{x_0}^{x_1}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对任意的 \(\delta 𝑦\) 如上等式都成立, 故要求有

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

多元函数情形

设 \(\mathbf{y}:\,D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), 记分量为 \(y^a(\mathbf{x})\,(a=1,\cdots,m)\), 并记偏导为

\[y^a_{i}(\mathbf{x})=\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\quad(i=1,\cdots,n).\]

定义泛函

\[I[\mathbf{y}]=\int_{D} f\big(\mathbf{x},\,\mathbf{y}(\mathbf{x}),\,\nabla\mathbf{y}(\mathbf{x})\big)\,\mathrm{d}^n x\]

其中 \(f\) 对其各自变量足够光滑. 设在边界 \(\partial D\) 上固定边值, 即试探变分 \(\delta \mathbf{y}\) 满足 \(\delta\mathbf{y}|_{\partial D}=0\). 对 \(\mathbf{y}\) 作变分 \(\mathbf{y}\mapsto\mathbf{y}+\delta\mathbf{y}\), 一阶变分为

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\delta y^a_{i} \right)\mathrm{d}^n x\\ &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\frac{\partial(\delta y^a)}{\partial x^i} \right)\mathrm{d}^n x \end{aligned}\]

其中对重复指标 \(a\) 或 \(i\) 采用求和约定. 对第二项对 \(x^i\) 分部积分并利用 \(\delta y^a|_{\partial D}=0\) 得

\[\delta I =\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right) \right)\delta y^a\,\mathrm{d}^n x\]

由于 \(\delta y^a\) 在 \(D\) 内任意(且在边界为零), 由变分学基本引理得到对每个 \(a\):

\[\frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right)=0\]

可以更紧凑地写为

\[\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}-\operatorname{div}\!\left(\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right)=\mathbf{0}\]

其中 \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\) 是对分量求导的列向量, \(\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\) 是一个 \(m\times n\) 矩阵, 其 \( (a,i)\) 元为 \(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\), 而 \(\operatorname{div}\) 对该矩阵按列取散度(对每个分量 \(a\) 计算 \(\partial_i(\cdot)_{ai}\))

Remark

要求 \(f\) 及其偏导数连续; 变分函数 \(\delta\mathbf{y}\) 在 \(\partial D\) 上为 \(0\)(或紧支撑于 \(D\) 内), 以便消去边界项.
以上仅作一阶变分, 极值的存在及其属性(极大还是极小)还取决于二阶变分的符号, 这一般会对应复杂的计算. 很多情形我们可以由物理情况判断极值的属性(极大或极小), 从而作出简化.
Euler-Lagrange 方程只是极值的必要条件, 不是充分条件. 有些情形下, 可能不存在满足边界条件的解, 或存在多个解(如鞍点等). 这些问题一般需要结合具体情形分析.

Example 利用变分法推导一维波动方程 Solution 取均匀弦的常数线密度 \(\rho>0\) 与张力 \(T>0\). 令标量场为 \(u(\mathbf{x}),\mathbf{x}=(t,x)\) 其中统一了空间坐标与时间参数, 取拉格朗日密度

\[\mathcal{L}(\mathbf{x},u,\nabla u)=\tfrac12[\rho(\partial_t u)^2-T(\partial_x u)^2]\]

直接计算偏导:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u}=0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\nabla u)}= \left(\begin{gathered} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t u)}\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x u)} \end{gathered}\right) = \begin{pmatrix} \rho\,\partial_t u\\[4pt] -\,T\,\partial_x u \end{pmatrix}.\]

对该向量取散度:

\[\operatorname{div}\!\left(\frac{\partial f}{\partial(\nabla u)}\right) =\partial_t(\rho\,\partial_t u)+\partial_x(-T\,\partial_x u) =\rho\,\partial_{tt}u - T\,\partial_{xx}u.\]

将它代入欧拉-拉格朗日向量式, 得到标量方程

\[0 - \big(\rho\,\partial_{tt}u - T\,\partial_{xx}u\big)=0\]

即波动方程

\[\partial_{tt}u = c^2\partial_{xx}u,\quad c=\sqrt{T/\rho}\]

关于边界项: 若 \(u|_{\partial D}\) 固定则边界项消失; 若空间端为自由端, 则由自然边界条件得到

\[T\,\partial_x u\big|_{x=x_0}=0,\qquad T\,\partial_x u\big|_{x=x_1}=0\]

17.3 Constrained Extrema of Functionals

Question 设泛函

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x\]

在边条件和约束条件

\[y(x_0)=a,\quad y(x_1)=b\]

\[I_1[y]=\int_{x_0}^{x_1} g(x, y, y')\,\mathrm{d}x = C\]

下取极值, 求相应的 Euler-Lagrange 方程.

Answer 在约束泛函的一阶变分不恒为零的正规情形, 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\), 构造辅助泛函

\[I_0[y] = I[y] - \lambda I_1[y] = \int_{x_0}^{x_1} \Big(f(x,y,y')-\lambda g(x,y,y')\Big)\,\mathrm{d}x\]

从而原问题的驻值曲线满足辅助泛函的一阶驻值条件. 由 Euler-Lagrange 方程可得

\[\left(\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\right)(f-\lambda g)=0\]

结合边条件与约束条件即可确定 \(y(x)\) 与 \(\lambda\).

对于更高的维度 \[I[\mathbf{y}] = \int_{D} f(\mathbf{x},\mathbf{y},\nabla\mathbf{y})\, \mathrm{d}\mathbf{x} ,\quad x\in D\subset \mathbb{R}^n\] 和更多的约束条件 \[I_k[\mathbf{y}] = \int_\Omega g_k(\mathbf{x},\mathbf{y},\nabla\mathbf{y})\,\mathrm{d}\mathbf{x} = C_k,\quad k=1,2,\cdots,m\] 也可以类似地引入多个拉格朗日乘子来处理 \[I_0[\mathbf{y}] = \int_\Omega \left( f - \sum_{k=1}^m \lambda_k g_k \right)\, \mathrm{d}\mathbf{x}\] 并得到极值条件 \[\mathcal{E}_\mathbf{y}\left(f-\sum_{k=1}^m\lambda_kg_k\right)=\mathbf{0},\quad \mathcal{E}_\mathbf{y}:=\frac{\partial}{\partial\mathbf{y}}-\mathrm{div}\left(\frac{\partial}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right)\]

Example 1 求泛函

\[I[y] = \int_{0}^{1} x (y')^2 \, \mathrm{d}x\]

在边界条件

\[y(0)\ \text{有界},\quad y(1)=0\]

和等周约束(isoperimetric constraint)

\[\int_{0}^{1} x y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

下的驻值曲线.

Solution 引入拉格朗日乘子λ, 构造辅助泛函

\[I_0[y] = \int_{0}^{1} \left( x (y')^2 - \lambda x y^2 \right) \mathrm{d}x\]

对应的 Euler-Lagrange 方程为

\[\frac{\partial}{\partial y}(x(y')^2 - \lambda x y^2) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial}{\partial y'}(x(y')^2 - \lambda x y^2) = 0 \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) + \lambda x y = 0\]

此方程连同边界条件构成 Sturm-Liouville 本征值问题. 记 \(\mu_i\) 为 \(J_0\) 按升序排列的正零点, 则

\[y_i(x) = C_i J_0(\mu_i x),\quad \lambda_i = \mu_i^2\]

利用约束条件

\[\int_0^1 x y_i^2 \,\mathrm{d}x = C_i^2 \int_0^1 x J_0^2(\mu_i x) \,\mathrm{d}x = C_i^2 \cdot \frac{1}{2} J_1^2(\mu_i) = 1 \implies C_i = \pm\frac{\sqrt{2}}{J_1(\mu_i)}\]

因此驻值函数为

\[y_i(x) = \pm\frac{\sqrt{2}}{J_1(\mu_i)} J_0(\mu_i x),\quad i=1,2,3,\cdots\]

Remark 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\) 后, 方程与齐次边界条件构成本征值问题, 得到无穷多个驻值函数 \(y_i(x)\) 及驻值

\[I[y_i] = \lambda_i = \mu_i^2\]

这些曲线均为条件驻值曲线; \(\pm y_1\) 实现最小值, 其余 \(y_i\) 为鞍点. 相应驻值恰为本征值, 可对 Euler-Lagrange 方程乘以 \(y\) 并积分得到:

\[\int_0^1 x y'^2 \,\mathrm{d}x = \lambda \int_0^1 x y^2 \,\mathrm{d}x = \lambda \cdot 1 = \lambda\]

Example 2 求泛函条件极值问题

\[I[y] = \frac{1}{2} \int_{x_0}^{x_1} \left[ p(x) (y')^2 + q(x) y^2 \right] \mathrm{d}x + \frac{a_0}{2} y^2(x_0) + \frac{a_1}{2} y^2(x_1)\]

\[I_1[y] = \frac{1}{2} \int_{x_0}^{x_1} \rho(x) y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

的必要条件, 其中 \(p(x)>0, \rho(x)>0\).

Solution 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\), 令 \(\delta(I - \lambda I_1) = 0\), 展开为

\[\int_{x_0}^{x_1}\left[py^{\prime}\cdot\delta y^{\prime}+qy\cdot\delta y-\lambda\rho y\cdot\delta y\right]\mathrm{d}x+a_0y(x_0)\delta y(x_0)+a_1y(x_1)\delta y(x_1)=0.\]

取端点变分为 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\), 对第一项分部积分, 得到

\[\int_{x_0}^{x_1}\left[\mathcal{L}-\lambda\rho\right]y\cdot\delta y\mathrm{d}x=0\]

其中 \(\mathcal{L}y=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+qy\). 由变分学基本引理, 对任意 \(\delta y\) 上式成立, 故有

\[[\mathcal{L}-\lambda\rho]y(x)=0,\quad x\in(x_0,x_1)\]

若取端点变分不为零, 则得到自然边界条件 \[\left.py^{\prime}\right|_{x=x_0}=a_0y(x_0),\quad \left.py^{\prime}\right|_{x=x_1}=-a_1y(x_1)\]

17.4 Variational Problems with Free Endpoints

考虑一维情形, 泛函为

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x\]

其中积分限 \(x_0, x_1\) 固定, 初始端点 \((x_0, y_0)\) 完全固定, 即 \(\delta y(x_0) = 0\), 但末端在 \(x = x_1\) 处的纵坐标 \(y_1 = y(x_1)\) 可变.

设试探函数族为 \(\overline{y}(x, \epsilon) = y(x) + \delta y(x)\), 一阶变分为

\[\begin{aligned} \delta I[y] &= \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \delta y + \frac{\partial f}{\partial y'} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y) \right] \mathrm{d}x \\[10pt] &= \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \delta y \right|_{x_0}^{x_1} + \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \right] \delta y \,\mathrm{d}x \\[10pt] &= \left( \frac{\partial f}{\partial y'}\bigg|_{x_1} \right) \delta y(x_1) + \int_{x_0}^{x_1} \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

在极值曲线 \(y(x)\) 上, Euler-Lagrange 方程处处成立, 积分项为零, 因此极值要求

\[\delta I = \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \right|_{x_1} \delta y_1\]

将 \(I\) 视为末端坐标 \(y_1\) 的函数 \(I(x_1, y_1)\), 则

\[\frac{\partial I}{\partial y_1} = \left. \frac{\partial f}{\partial y'} \right|_{x=x_1}=0\]

才能保证 \(\delta I[y]=0\).

多元函数情形

考虑自由边界(纵向可变, 域固定). 设同样的泛函

\[I[\mathbf{y}]=\int_{D} f\big(\mathbf{x},\,\mathbf{y}(\mathbf{x}),\,\nabla\mathbf{y}(\mathbf{x})\big)\,\mathrm{d}^n x\]

现在域 \(D\) 固定, 但边界上的场值不固定, 即试探变分 \(\delta\mathbf{y}\big|_{\partial D}\) 在边界上任意. 作一阶变分, 得到

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a}\,\delta y^a + \frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\,\frac{\partial(\delta y^a)}{\partial x^i} \right)\mathrm{d}^n x \end{aligned}\]

对第二项对 \(x^i\) 作分部积分(高斯散度定理), 得到

\[\begin{aligned} \delta I &=\int_{D}\left( \frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right) \right)\delta y^a\,\mathrm{d}^n x \;+\; \underbrace{\int_{\partial D}\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\;\delta y^a\;n^i\;\mathrm{d}^{n-1}\Sigma}_{\text{边界项}} \end{aligned}\]

其中 \(\mathbf{n}=(n^1,\cdots,n^n)\) 是 \(\partial D\) 的单位外法向.

为使 \(\delta I=0\) 对内部任意 \(\delta y^a\) 以及边界上任意 \(\delta y^a\) 都成立,必须同时满足:

体相极值条件(对任意 \(\delta y^a\) 在 \(D\) 内)
\[\frac{\partial f}{\partial y^a} - \frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\right)=0\quad\text{in }D\]
即原来的 Euler-Lagrange 方程, 对每个场分量 \(a\). 可以紧凑地写为
\[\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{y}} - \operatorname{div}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})}\right) = \mathbf{0}\quad\]
自由边界自然边界条件(对边界上任意 \(\delta y^a\))
\[\frac{\partial f}{\partial y^a_{i}}\;n^i = 0 \quad\text{on }\partial D,\;\forall a=1,\cdots,m\]
可以紧凑地写为
\[\frac{\partial f}{\partial(\nabla\mathbf{y})} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0}\quad\]

物理解释 这个自然边界条件正是"在边界上没有(广义)外力"的表现. 例如:

最小曲面: \[f=\sqrt{1+|\nabla y|^2}\implies\mathbf{n}\cdot\nabla y=0\] 平均曲率为零的曲面在自由边界上与固定边界垂直.
静电场 \[f=\frac{1}{2}|\nabla\phi|^2\implies \mathbf{n}\cdot\nabla\phi=0\] 即 Neumann 边界条件 \(\partial_n\phi=0\).
弹性膜自由边缘: 横向应力为零.

Remark

这正是场论与经典力学 Hamilton 主函数情形的完美类比:域 \(D\) 固定 \(\leftrightarrow\) “等时变分”(时间端点固定),场在边界纵向自由 \(\leftrightarrow\) 末端坐标 \(\mathbf{q}(t_2)\) 可变,从而出现边界项 \(\mathbf{p}\cdot\delta\mathbf{q}\),最终给出 \(\mathbf{p}=\nabla_{\mathbf{q}}S\).
若边界只有一部分自由(其余部分固定 \(\delta y^a=0\)),则自然边界条件只在自由部分成立.
若同时允许域 \(D\) 也变(完全自由端点/横向+纵向都可变),会出现更复杂的横截条件(transversality condition),类似于力学中的可动端点在曲面上滑动的情况.

17.5 Variational Formulation of Eigenvalue Problems

将微分方程本征值问题转化为泛函极值或条件极值问题

Example 1 对于常微分方程边值问题

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right] + q(x)y(x) = f(x), &&x_0 \lt x \lt x_1 \\ &y(x_0) = y_0,\quad y(x_1) = y_1 \end{aligned}\right.\]

求相应的泛函, 使其在上述边界条件下取极值的必要条件是上述微分方程

Solution 设试探函数为 \(\overline{y}(x) = y(x) + \delta y(x)\), 其中 \(\delta y\) 为变分, 满足 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\). 利用微分方程构造极值条件

\[\int_{x_0}^{x_1} \left\{ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[p(x)y'] + q(x)y - f(x) \right\} \delta y \, \mathrm{d}x = 0\]

对第一项分部积分, 并利用 \(\delta y(x_0) = \delta y(x_1) = 0\), 得

\[\int_{x_0}^{x_1} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p y') \delta y \, \mathrm{d}x = - \int_{x_0}^{x_1} p y' \delta y' \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \delta \int_{x_0}^{x_1} p y'^2 \, \mathrm{d}x\]

又注意到

\[\int_{x_0}^{x_1} q(x)y \delta y \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \delta \int_{x_0}^{x_1} q(x) y^2 \, \mathrm{d}x,\quad \int_{x_0}^{x_1} f(x) \delta y \, \mathrm{d}x = \delta \int_{x_0}^{x_1} f(x) y \, \mathrm{d}x.\]

综上, 极值条件可写为

\[\delta \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{1}{2} p (y')^2 - \frac{1}{2} q y^2 + f y \right] \mathrm{d}x = 0.\]

因此所求泛函为

\[J[y] = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{1}{2} p(x) \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^2 - \frac{1}{2} q(x) y^2(x) + f(x) y(x) \right] \mathrm{d}x\]

Example 2 考虑 Helmholtz 方程定解问题

\[\left\{\begin{aligned} &\nabla^2 u(\mathbf{r}) + \lambda u(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}), && \mathbf{r} \in D \\ &u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}), && \mathbf{r} \in \partial D \end{aligned}\right.\]

试求其对应的泛函.

Solution 设试探函数为 \(\overline{u}(\mathbf{r}) = u(\mathbf{r}) + \delta u(\mathbf{r})\), 其中 \(\delta u\) 为变分, 满足 \(\delta u|_{\partial D} = 0\). 利用微分方程构造极值条件

\[\int_D \left[ \nabla^2 u(\mathbf{r}) + \lambda u(\mathbf{r}) - \rho(\mathbf{r}) \right] \delta u(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 0\]

对第一项利用散度定理分部积分, 并利用 \(\delta u|_{\partial D} = 0\), 得

\[\int_D \nabla^2 u \, \delta u \, \mathrm{d}\mathbf{r} = - \int_D \nabla u \cdot \nabla(\delta u) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = -\delta \int_D \frac{1}{2} |\nabla u|^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r}\]

后两项同前处理, 得到

\[\delta \int_D \left[ -\frac{1}{2} |\nabla u|^2 + \frac{1}{2} \lambda u^2 - \rho u \right] \mathrm{d}\mathbf{r} = 0\]

因此所求泛函为

\[I[u] = \int_D \left[ -\frac{1}{2} |\nabla u(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2} \lambda u^2(\mathbf{r}) - \rho(\mathbf{r}) u(\mathbf{r}) \right] \mathrm{d}\mathbf{r}\]

17.6 Rayleigh-Ritz Method

变分法在物理学中有两大类应用:

作为基本物理规律的等价表述, 揭示物理本质.
作为求解具体问题的实用近似手段–在变分形式基础上建立高效率的近似方法. Rayleigh-Ritz 方法专门用于求解常微分方程或偏微分方程的本征值问题(即带积分约束的泛函条件极值问题).

Method Rayleigh-Ritz 方法

核心思想: 将本征值问题转换为泛函的条件极值问题, 然后缩小函数的范围, 通过选取适当的试探函数族, 将问题转为确定有限个参数的极值问题.

转换为条件极值问题具体地讲, 对于带权的 Sturm–Liouville 型本征值问题:
\[\mathcal{L} u = \lambda \rho(\mathbf{r}) u, \quad \mathbf{r} \in D,\quad \mathcal{L} = -\nabla \cdot (p(\mathbf{r}) \nabla) + q(\mathbf{r})\]
以下取光滑有界区域, 实系数 \(p,\rho\) 有正下界且有界, \(q\) 有界, 并取齐次 Dirichlet、Neumann 或实 Robin 条件 \(p\partial_nu+\sigma u=0\), 其中 \(\sigma\) 有界. 对应的加权算子 \(\rho^{-1}\mathcal L\) 在 \(L^2_\rho(D)\) 中自伴、下有界且具有紧预解式, 本征值可以由小到大排列. 在算子定义域内, 该问题等价于泛函条件驻值问题:
\[I[u]=\int_Du(\mathcal{L}u)\mathrm{d}\mathbf{r},\quad I_1[u]=\int_D\rho(\mathbf{r})u^2\mathrm{d}\mathbf{r}\]
可以定义 Rayleigh 商
\[R[u] = \frac{I[u]}{I_1[u]} = \frac{\int_D u (\mathcal{L} u) \, \mathrm{d}\mathbf{r}}{\int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r}}\]
求最小本征值 \(\lambda_1\) 的问题可以等价地写为
\[\lambda_1=\min_{u\neq0}\frac{I[u]}{I_1[u]}\Longleftrightarrow\lambda_1=\min_{I_1[u]=1}I[u]\]
即限制 \(I_1[u]=1\), 求 \(I[u]\) 的极值, 从而
\[I[u] = \int_D u (\mathcal{L} u) \, \mathrm{d}\mathbf{r}, \qquad I_1[u] = \int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 1\]
积分分部后, 应在二次型定义域上写为
\[I[u] = \int_D \big( p(\mathbf{r}) |\nabla u|^2 + q(\mathbf{r}) u^2 \big) \, \mathrm{d}\mathbf{r}+\int_{\partial D}\sigma u^2\mathrm dS, \qquad I_1[u] = \int_D \rho(\mathbf{r}) u^2 \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 1\]
Robin 情形的二次型定义域为 \(H^1(D)\), Neumann 情形令 \(\sigma=0\); Dirichlet 情形取 \(H_0^1(D)\) 并省略边界积分. 试探函数只须满足二次型定义域中的本质边条件, Robin 与 Neumann 条件由驻值时的边界项自然给出. 上式先对光滑函数积分分部, 再按二次型范数闭包延拓.

Remark 实本征值由自伴性保证, 最小值存在还依赖这里的下有界性与紧性; 不能仅由自伴性断言存在最小本征值 \(\lambda_1\). 本征函数对应不同本征值正交于加权内积下:
\[\langle u_i, u_j \rangle_\rho \equiv \int_D \rho(\mathbf{r}) u_i(\mathbf{r}) u_j(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = 0, \quad i \neq j\]
Rayleigh–Ritz 方法: 选取二次型定义域中线性无关的实函数 \(\{\phi_k(\mathbf{r})\}_{k=1}^\infty\), 其有限线性组合在二次型范数下稠密. 构造 \(n\) 参数试探函数:
\[u_n(\mathbf{r}) = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k \phi_k(\mathbf{r})\]
代入 Rayleigh 商, 得到矩阵形式
\[I[u_n] = \boldsymbol{\alpha}^{T} \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}, \quad I_1[u_n] = \boldsymbol{\alpha}^{T} \mathbf{B} \boldsymbol{\alpha}\]

\[A_{ij} = \int_D(p\nabla\phi_i\cdot\nabla\phi_j+q\phi_i\phi_j)\,\mathrm d\mathbf r+\int_{\partial D}\sigma\phi_i\phi_j\,\mathrm dS, \quad B_{ij} = \int_D \rho \, \phi_i \phi_j \, \mathrm{d}\mathbf{r}\]
条件极值 \(\delta(I - \lambda I_1) = 0\) 导致广义矩阵本征值问题
\[\mathbf{A} \boldsymbol{\alpha} = \lambda \mathbf{B} \boldsymbol{\alpha}\]
求解得到 \(n\) 个近似本征值 \(\bar{\lambda}_1^{(n)} \le \bar{\lambda}_2^{(n)} \le \cdots \le \bar{\lambda}_n^{(n)}\).
性质与收敛性
- 变分上界定理:
  \[\lambda_k \le \bar{\lambda}_k^{(n)}, \quad k = 1,2,\cdots,n\]
- 极小极大原理给出 \(\lambda_k=\min_{\dim S=k}\max_{0\ne u\in S}R[u]\), 其中 \(S\) 遍历二次型定义域内的子空间. 将它限制在试探空间中只能使极小值增大, 因而得到上述上界.
- 试探空间嵌套且并集在二次型范数下稠密时, 对固定 \(k\), 有 \(\bar\lambda_k^{(n+1)}\le\bar\lambda_k^{(n)}\) 且 \(\bar\lambda_k^{(n)}\to\lambda_k\). 稠密性允许同时逼近前 \(k\) 个本征函数及其能量, 再用极小极大原理得到收敛. 只有 \(L^2\) 完备性不足以保证能量近似.

Example 求

\[\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)+\lambda y=0,\quad y(0)\text{有界},y(1)=0\]

的最小本征值.

Solution 这等价于条件极值问题

\[I[y] = \int_0^1 \left[ x \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right] \mathrm{d}x, \quad I_1[y] = \int_0^1 x y^2 \, \mathrm{d}x = 1\]

选取试探函数族

\[\phi_k(x) = (1 - x^2)^k, \quad k = 1,2,\cdots\]

满足边界条件. 取 \(n=2\), 试探函数为

\[y_2(x) = \alpha_1 (1 - x^2) + \alpha_2 (1 - x^2)^2\]

相应泛函

\[\begin{aligned} I[y_2]&=\alpha_1^2 + \frac{4}{3}\alpha_1\alpha_2 + \frac{2}{3}\alpha_2^2\\ I_1[y_2]&=\frac{1}{6}\alpha_1^2 + \frac{1}{4}\alpha_1\alpha_2 + \frac{1}{10}\alpha_2^2=1 \end{aligned}\]

从而得到方程组

\[\left\{\begin{aligned} &2\alpha_1 + \frac{4}{3}\alpha_2 - \lambda\left(\frac{1}{3}\alpha_1 + \frac{1}{4}\alpha_2\right)=0 \\ &\frac{4}{3}\alpha_1 + \frac{4}{3}\alpha_2 - \lambda\left(\frac{1}{4}\alpha_1 + \frac{1}{5}\alpha_2\right)=0 \end{aligned}\right.\]

非零解要求

\[\det\begin{vmatrix} 2-\dfrac{\lambda}{3} & \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{4} \\[6pt] \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{4} & \dfrac{4}{3}-\dfrac{\lambda}{5} \end{vmatrix}=0\implies 3\lambda^2-128\lambda+640=0\implies \lambda=\frac{64}{3}\pm\frac{8}{3}\sqrt{34}\]

取较小根得到最小本征值近似值

\[\bar\lambda_1=\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\sqrt{34}\approx5.784128\implies \bar\lambda_1-\lambda_1 = 9.42\times 10^{-4}\]

进而解得归一化的

\[\alpha_1=2\sqrt{12-33\sqrt{2/17}}\approx1.650568,\quad \alpha_2=\sqrt{80-230\sqrt{2/17}}\approx1.053874\]

\[\implies\Delta=\int_0^1 x[y_1(x)-\bar y_1(x)]^2\,\mathrm{d}x\approx1.66\times10^{-5},\quad\]

然而较大根

\[\bar\lambda_2=\frac{64}{3}+\frac{8}{3}\sqrt{34}\approx36.88\implies \bar\lambda_2-\lambda_2 = 6.41\]

误差很大.

Remark 求解高本征值的改进策略(正交化/减基方法): 在原约束之外, 附加解正交于已得到的近似基态的条件

\[\int_0^1 y(x)\,\bar y_1(x)\,x\,\mathrm{d}x=0\]

只有正交于真实基态时, 新约束下的最小值才等于第二本征值. 正交于近似基态只给近似约束, 不自动保证所得值为 \(\lambda_2\) 或提高精度.

18 Summary of Mathematical Physics Equations

18.1 Classification of Second-Order Linear PDEs

我们之前总共讨论了三类 PDE: 波动方程、热传导方程、稳定问题(如拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程). 在下面的内容中, 我们将看到这三类方程在数学上, 分属双曲型, 抛物型, 椭圆型三类. 在两个自变量的情形下,二阶线性 PDE 就只有这三种类型. 对于更多个自变量的情形, 问题要复杂一些, 但讨论的基本方法是一样的.

两个自变量 \((x, y)\) 的二阶线性偏微分方程的普遍形式是

\[a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y} + fu + g = 0\]

其中 \(a,b,c,d,e,f,g\) 是 \(x,y\) 的已知函数. 以下只在主部矩阵处处非零且类型不变的局部邻域中讨论, 并假设系数足够光滑以构造二阶可微的坐标变换. 若下文斜率公式的分母 \(a=0\), 应先作线性坐标旋转使新的该系数非零, 或改用倒数斜率方程; 非零实对称主部总存在非零的方向二次型, 因而可以局部这样选取坐标. 主部完全消失的点及类型改变的界面不由这里的三种标准型覆盖. 作变换

\[\xi = \phi(x,y), \quad \eta = \psi(x,y)\]

为保证 \(\xi,\eta\) 仍是独立变量, 要求

\[\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)} \neq 0\]

在新变量下, 原方程变为

\[A\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2B\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + C\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \Phi = 0\]\[\begin{aligned} A &= a\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2\\ B &= a\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x} + b\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) + c\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}\\ C &= a\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^2\\ \Phi &\equiv \Phi\left(\xi,\eta,u,\frac{\partial u}{\partial\xi},\frac{\partial u}{\partial\eta}\right) =D\frac{\partial u}{\partial\xi} + E\frac{\partial u}{\partial\eta} + Fu + G \end{aligned}\]

容易证明

\[B^2 - AC = \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial y} - \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 (b^2 - ac) = \left|\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)}\right|^2 (b^2 - ac)\]

我们希望通过适当选取变换, 使 \(A,B,C\) 中一个或几个为 0, 从而简化方程. 考虑:

Theorem 若 \(\phi(x,y)=C\) 是方程 \[a(\mathrm{d}y)^2 - 2b\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x + c(\mathrm{d}x)^2 = 0\] 的一般积分, 则 \(\xi = \phi(x,y)\) 是方程 \[a\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2 + 2b\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y} + c\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2 = 0\] 的一个特解. Proof 因为 \(\phi(x,y)=C\),所以 \[\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y = 0 \implies \mathrm{d}y = -\frac{\partial\phi/\partial x}{\partial\phi/\partial y}\mathrm{d}x\] 设 \(\partial\phi/\partial y \neq 0\), 代入上述 ODE 得到待证的 PDE.

这启发我们选取新变量 \(\xi,\eta\) 时, 可适当选取 \(\xi = \phi(x,y)\) 使 \(A=0\), 或适当选取 \(\eta = \psi(x,y)\) 使 \(C=0\), 只要能够解出特征方程

\[a\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 - 2b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + c = 0\implies\]

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{b}{a} \pm \frac{1}{a}\sqrt{b^2 - ac}\]

上述斜率式假定 \(a\ne0\). 若 \(a=0\), 应使用未除以 \(a\) 的齐次二次微分式, 或改用 \(\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\) 的坐标图处理竖直方向. 其积分曲线就是原方程的特征线. 根据 \(\Delta = b^2 - ac\) 的符号, 分别有

双曲型(\(\Delta > 0\)): 存在两条实的独立特征线 \(\phi(x,y)=C_1, \psi(x,y)=C_2\), 从而可以取 \(\xi = \phi(x,y), \eta = \psi(x,y)\), 使得 \(A=C=0,B\neq 0\). 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + \Phi = 0\]
再作变换 \(\rho = \xi + \eta,\sigma = \xi - \eta\), 可得标准形式
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \Phi = 0\]
波动方程属于双曲型方程.(这里为了方便起见, 不再区分 \(\Phi\) 的不同形式, 统一记为 \(\Phi\))
椭圆型(\(\Delta\lt0\)): 无实特征方向. 对可作相应复解析延拓的实解析系数, 可局部引入互相共轭的复特征变量; 下面的复变量推导按这一条件理解, 不能直接用于任意仅光滑的系数. 取共轭复变量 \(\xi,\eta\),仍可得到
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} + \Phi = 0\]
引入实变量 \(\rho = \xi + \eta, \sigma = \mathrm{i}(\xi - \eta)\), 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \Phi = 0\]
Laplace 方程、 Poisson 方程、 Helmholtz 方程均属椭圆型方程.
抛物型(\(\Delta = 0\), 且 \((a,b,c)\ne(0,0,0)\)): 重根, 只能得到一条特征线 \(\phi(x,y)=C\).

取 \(\xi = \phi(x,y)\) 使 \(A=0\), 又因为非退化实坐标变换只使 \(\Delta\) 乘上非零 Jacobian 的平方, 其符号及是否为零保持不变, 所以
\[B^2 - AC = B^2 = 0\implies B=0.\]
任意选取与 \(\xi\) 独立的 \(\eta = \psi(x,y)\), 方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \Phi = 0\]
热传导方程属抛物型方程.

18.2 KdV Equation and Traveling-Wave Solutions

之前讨论的 PDE 定解问题均为线性方程+线性定解条件, 这一类问题解法简单, 均可利用叠加原理. 物理现象的线性描述均为一定范围内的近似. 随着研究的深入, 不可避免地要超出线性范围, 出现非线性 PDE.

本节限于 KdV 方程的构造与衰减行波特解, 不涵盖一般非线性 PDE 的存在唯一性、逆散射方法或多孤子理论.

以一维波动方程为例

\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\quad u(x,t)=f(x-at)+g(x+at)\]

考虑其中一个行波 \(u(x,t)=f(x-at)\), 满足的连续性方程

\[\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0\]

其中 \(j = au\) 为波动的流密度. 现在引入流密度与波幅的非线性项, 以及色散项

\[j = au + \frac{\alpha}2{} u^2 +\beta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

连续性方程变为

\[\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}+\beta\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+\alpha u\frac{\partial u}{\partial x}=0\]

以下取 \(\beta>0\)、\(\alpha\ne0\), 进一步作变换

\[\tau=At,\quad\xi=A(x-at),\quad v=Bu;\quad A=\frac{1}{\sqrt{\beta}},\quad B=-\frac{\alpha}{6}\]

变换后色散项和非线性项的系数分别为 \(\beta A^2=1\) 和 \(\alpha/B=-6\), 得到标准的 Korteweg-de Vries 方程(KdV 方程)

\[\frac{\partial v}{\partial \tau} + \frac{\partial^3 v}{\partial \xi^3} - 6v\frac{\partial v}{\partial \xi} = 0\]

KdV 方程描述了非线性介质中弱非线性、弱色散的长波传播现象.

非线性方程的最主要特点是解不再满足叠加原理, 需要特殊的求解技巧(如行波法, 逆散射法等). 以下讨论 KdV 方程的特解. 称 \(\xi,\tau\) 为空间变量和时间变量, 考虑求解

\[v(\xi,\tau)=f(\xi-c\tau)=f(\eta)\]

代入 KdV 方程得到

\[-c\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}+\frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}\eta^3}-6f\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}=0\]

进行一步积分

\[-cf+\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}-3f^2=C_1\]

两端乘以 \(\mathrm{d}f/\mathrm{d}\eta\), 再次积分得到

\[-\frac{c}{2}f^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\right)^2-f^3=C_1f+C_2\]

其中 \(C_1,C_2\) 为积分常数. 考虑渐近条件

\[f,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta},\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\to 0,\quad \eta\to\pm\infty\]

可以得到 \(C_1=C_2=0\), 从而

\[\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\right)^2=f^2[c+2f]\]

对实解, 非零的 \(f\) 必须满足 \(c+2f\ge0\). 以下讨论 \(c>0\) 的两类行波, 不作其他波速下解的分类.

光滑单孤子分支 \(-c/2\le f\lt0\). 在转折点之外,
\[\pm\frac{\mathrm{d}f}{f\sqrt{c+2f}}=\mathrm{d}\eta\]
令
\[z=\sqrt{\frac{c+2f}{c}}\implies\pm\frac{2\mathrm{d}z}{\sqrt{c}(z^2-1)}=\mathrm{d}\eta\]
从而得到
\[z=\left|\tanh\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\right|\]

\[f(\eta) = \frac{c}{2}(z^2-1) = -\frac{c}{2}\operatorname{sech}^2\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\]
对任意 \(c>0\), 得到这样一个光滑单孤子(soliton)解, 波形在传播过程中不变. 在 \(\eta=\eta_0\) 处, \(f=-c/2\)、\(f'=0\), 此处 \(c+2f=0\); 两侧分支在此光滑接合.
奇性行波分支 \(f>0\). 此时仍有 \(c+2f>0\), 令 \(z=\sqrt{(c+2f)/c}>1\), 同一积分给出
\[z=\left|\coth\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right]\right|\]
从而
\[f(\eta)=\frac{c}{2}\operatorname{csch}^2\left[\frac{\sqrt{c}}{2}(\eta-\eta_0)\right],\quad \eta\ne\eta_0\]
该解分别在 \(\eta\lt\eta_0\) 和 \(\eta>\eta_0\) 上满足方程, 在各自无穷远端衰减, 但在 \(\eta=\eta_0\) 处有极点, 不是整条实轴上的光滑解. 极点随行波移动, 不能据此断言光滑初值会在有限时间内爆破.

当 \(c+2f\lt0\) 且 \(f\ne0\) 时, 一阶积分右侧为负, 不存在实行波解.

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Mathematics on Square's Blog

Music and Mathematics - 1

1 Sound and Musical Notation

1.1 Physical Properties of Sound

1.2 Musical Pitch System

1.3 Notation

1.4 Interval

1.5 Meter and Rhythm

1.5.1 Meter

1.5.2 Asymmetric Meter

1.5.3 Rhythm

2 Vibration and Overtones

2.1 Consonance and the Overtone Series

2.2 Pizzicato

2.3 Wind Instruments

3 Temperaments and Tuning Systems

3.1 The Sanfen Sunyi Method(三分损益)

3.2 Generation by Fifths(五度相生)

3.3 Just Intonation

3.4 Meantone Temperament

3.5 Equal Temperament

3.6 Cents

4 Modes, Scales and Chords

4.1 Modes & Scales

4.1.1 Modes

4.1.2 Circle of Fifths

4.2 Chords

4.3 Chords in the modal scale

Music and Mathematics - 2

5 Rhythm and Circular Patterns

5.1 Circular Rhythm Models

5.1.1 Evenness and Onset Placement

5.1.2 Metric Properties of Rhythm

6 Melody and Symmetry

6.1 Symmetry in Melody

6.2 From Pitch to Pitch-Class Space

6.3 Groups of Musical Transformations

6.4 Twelve-Tone Technique

7 Pitch-Class Sets and Neo-Riemannian Theory

7.1 From Pitch-Class Sets to Set Classes

7.2 Harmonic Progressions and Riemannian Transformations

7.3 Tonnetz

7.4 Neo-Riemannian Theory

8 Duration Rows and Rhythmic Symmetry

8.1 Duration Rows

8.2 Clapping Music & Phase Shift

8.3 Serialism and Minimalism

Music and Mathematics - 3

9 Algorithmic Composition

9.1 Stochastic Composition

9.2 Markov Chains

9.3 Genetic Algorithms

9.4 Music Information Retrieval

9.5 Generative Models for Music

10 Appendix: Musical Texture

11 References

Advanced Mathematics - 1

1 Functions and Limits

1.1 Real Numbers and Basic Inequalities

1.2 Functions and Elementary Functions

1.3 Limits of Sequences

1.4 Limits of Functions

1.5 Continuity

2 Foundations of Calculus

2.1 Derivatives

2.2 Differentials

3 Computation and Applications of Integrals

3.1 Rational Functions

3.2 Rational Expressions of Trigonometric Functions

3.3 Irrational Integrals and Symmetry Tricks

4 Mean Value Theorems

4.1 Differential Mean Value Theorems

4.2 L’Hospital’s Rule

4.3 Taylor’s Formula

4.4 Monotonicity, Convexity, and Extrema

4.5 Curvature of Curves

5 Vector Algebra and Analytic Geometry in Space

5.1 Planes and Lines in Space

5.2 Space Curves and Surfaces

5.3 Tangent Lines and Arc Length

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