Music on Square's Blog

Music and Mathematics - 1

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Sound and Musical Notation

1.1 Physical Properties of Sound

频率与音高 (pitch) 相关, 但音高属于听觉感知.

年轻、听力正常的人常用约 20 Hz–20 kHz 表示可听频率范围; 实际上限随年龄、声级和听觉条件改变.
常用调音标准取 A₄ 为 440 Hz.
人耳对频率的感知不是线性的, 同样的频率间隔在音高上的间隔并不一致

声压、数字电平与响度是不同的量: 声压级 SPL 以空气中声压为参照; dBFS 以数字系统满刻度为参照; LUFS 是经过频率加权和时间统计的响度指标, 不能互换.

空气中的声压级约定参考声压为 \(p_0 = 2\times 10^{-5}\,\text{Pa}\) (20 μPa). 这是固定参考值, 不是每个人、每个频率的实际听阈; 听阈还随频率和测量条件改变.
声压级 \[L_p=20\log_{10}\left(\frac{p_{\mathrm{rms}}}{p_0}\right)\]
这里 \(p_{\mathrm{rms}}>0\) 为声压相对静压的波动在指定时间窗内的均方根 (RMS), \(L_p\) 的单位为 dB. 主观响度还依赖频谱、持续时间和听觉条件, 并非声压级的同义词.

持续时间对应时值 (duration).

音色 (timbre) 与频谱、起音和随时间变化的包络等有关.

Attack 起音、Decay 衰减、Sustain 保持电平、Release 释放. 在常见 ADSR 合成器中, A、D、R 控制相应阶段的时长, S 控制按键保持期间的电平, 而不是独立设定的持续时长.

频谱图 (spectrogram) 通常以时间为横轴、频率为纵轴, 用颜色或亮度表示各短时窗内的谱幅度或功率, 常取对数刻度. 可先分帧、加窗, 再作短时 Fourier 变换; 对整段波形作一次 Fourier 变换所得的频谱, 本身没有时间轴.

1.2 Musical Pitch System

乐音是持续有规律的振动产生的声音;噪音是由无规律的、起伏不定的振动产生的声音. 20世纪以来, 噪音的运用越来越被重视.

音乐中所使用的、具有固定音高的全体乐音构成一个集合(set), 称作乐音体系. 其中的元素(elements)称作音级. 全体音级从低到高的排列称为音列.

在这里讨论的十二半音体系中, 音列中相邻音级相差一个半音 (semitone). 在标准键盘上, 任意两个相邻琴键 (包括白键和黑键) 相差一个半音; 隔开一个键则相差一个全音 (whole tone). 十二平均律还要求各半音的频率比相同, 其他律制不必满足这一点.

音级基本的音名只有七个, 即 CDEFGAB, 称为7个基本音级, 对应键盘的白键, 在每一个八度(octave)中循环使用.

键盘上的异名等音

其他的变化音级由变音记号(accidental) + 基本音级记录

升号\(\sharp\): 升半音
降号\(\flat\): 降半音
重升号𝄪: 升全音
重降号𝄫: 降全音
还原号\(\natural\): 把已经升/降的音换原为基本音级

唱名: 给每个音级赋予不同音节, 也称为阶名唱法. 固定唱名法: CDEFGAB<->do re mi fa sol la si 首调唱名法: do可以是音列中任一音节, 之后的唱名按原先音程(mi->fa, si->do为半音, 其余间隔为全音, 即唱一个大调音阶).

1.3 Notation

五线谱

五线谱读法

音符与休止符的相对与绝对时值

音符 / 对应休止符	全音符时值的比例	四分音符为一拍时
全音符	1	4 拍
二分音符	1/2	2 拍
四分音符	1/4	1 拍
八分音符	1/8	1/2 拍
十六分音符	1/16	1/4 拍

假定以四分音符为一拍, 全音符为4拍.

音符 / 对应休止符	全音符时值的比例	四分音符为一拍时
全音符	1	4 拍
二分音符	1/2	2 拍
四分音符	1/4	1 拍
八分音符	1/8	1/2 拍
十六分音符	1/16	1/4 拍

速度 (tempo) 常用 BPM 表示, 即每分钟指定拍单位的次数. 拍单位须由速度标记给出, 不一定是四分音符; 在指定单位下, 每拍时长为 \(60/\mathrm{BPM}\) 秒.

附点音符: 附一点音符时值为基本音符时值的 1.5 倍; 附二点音符时值为基本音符时值的 1.75 倍; 以此类推.

谱号、调号

五线谱的音高需要通过谱号 clef 决定. 常用的有treble 𝄞, alto 𝄡, bass 𝄢

treble(G谱号): 圆圈中心在二线, 对应G₄.
alto(C谱号): 中心在三线, 对应C₄. 若更改中心在四线位置, 则称为次中音(tenor clef)
bass(F谱号): 冒号在四线, 对应F₃.

调号与变音记号:

在乐谱每一行开始处, 记在谱号后面的变音记号叫做调号(key signature). 调号中的变音记号, 在未改变调号之前, 对乐谱中所有同名音, 不论哪个八度都有效.
记在音符音头前的变音记号叫做临时变音记号
- 其作用范围为变音记号之后, 一小节之内, 同高度的音;
- 加变音记号的音用延音线连结起来时, 到下一小节的继续有效;
- 同一小节内已升高或降低了的音有改变时, 应另记变音记号.
注意调号、变音记号并不叠加, 都是在谱号决定的音高的基础上改变.

谱表staff

treble、bass、alto、tenor等都是单谱表.
用连谱号连结的若干谱表构成联合谱表: 由花括号连结的高音谱表和低音谱表构成大谱表(grand staff), 通常用于钢琴记谱; 由方括号连结的四声部合唱谱; 乐队总谱.

1.4 Interval

音程即音级的间距, 高的称为冠音, 低的称为根音.

同时发声的音之间的音程称为和声音程; 反之, 称为旋律音程.

音程的名称

度数: 按音名 C–D–E–F–G–A–B 计数, 含起止两个音名, 对应五线谱上的级数. 先忽略升降号, 不能直接数实际发声的白键: 例如 C–D♯ 为二度, C–E♭ 为三度, 虽可在平均律键盘上等音.
半音数: 半音数决定度数的纯、小、大、增、减.

由半音数判定音程名称之前, 将度数分为两组:

完全音程: 包括一度、四度、五度、八度
- 基础: 纯的完全音程分别对应0、5、7、12个半音
- 变化: 减少和增加半音被称为减/增 ~ 度(一度无减除外)
大小音程: 包括二度、三度、六度、七度
- 基础: 小 ~ 度->1、3、8、10个半音; 大 ~ 度->2、4、9、11个半音
- 变化: 小 ~ 度减少半音称为减 ~ 度; 大 ~ 度增加半音被称为增 ~ 度

度数	减	小	纯	大	增
一度	-	-	0	-	1
二度	0	1	-	2	3
三度	2	3	-	4	5
四度	4	-	5	-	6
五度	6	-	7	-	8
六度	7	8	-	9	10
七度	9	10	-	11	12
八度	11	-	12	-	13

其中加粗的称为自然音程. 从自然音程出发改变半音数得到变化音程. 注意同一半音数间隔有多个音程称谓.

e.g. \(\flat\)G - A和G - \(\sharp\)A都是增二度.

协和音程与不协和音程

在常见基础乐理的音程分类中通常认为:

纯一/四/五/八度音程、大小三/六度音程属于协和音程(consonant interval)
- 完全协和音程: 几个纯音程
- 不完全协和音程: 大小三/六度
二/七度音程、其他所有增、减音程都属于不协和音程(dissonant interval)

在传统对位与功能和声中, 纯四度在低音上方常按不协和音程处理, 因此上面的基础分类不能代替具体声部与和声语境. 对谐波音色, 简单整数频率比常对应较多重合的分音, 有助于解释部分协和感; 不能据此对所有音色与语境作统一排序.

音程纯五度纯四度大六度大三度小三度小六度小七度大二度大七度小二度增四度（三全音）

比例 3:2 4:3 5:3 5:4 6:5 8:5 9:5 9:8 15:8 16:15 45:32

上表是纯律频率比的例子, 不是十二平均律的精确比值. 十二平均律中相隔 \(n\) 个半音的频率比为 \(2^{n/12}\).

拍音与粗糙度可以解释部分协和感: 接近的频率或分音会产生振幅起伏, 感知还依赖音区、音色及听觉频带. 不能用固定的“每秒若干拍音”阈值给所有音程分类; 和声语境也会改变协和与不协和的功能.

音程	纯五度	纯四度	大六度	大三度	小三度	小六度	小七度	大二度	大七度	小二度	增四度（三全音）
比例	3:2	4:3	5:3	5:4	6:5	8:5	9:5	9:8	15:8	16:15	45:32

1.5 Meter and Rhythm

节奏、旋律、和声是音乐的三大要素. 由于单有节拍和节奏就可以构成音乐作品, 故而节拍和节奏是构成音乐的第一要素.

1.5.1 Meter

拍 (beat) 是音乐中可感知的基本律动; 节拍 (meter) 是拍在强弱层级上的组织. 小节 (measure) 用小节线划分, 拍号 (time signature) 标示其时值结构.

拍号	常用基本拍	每小节拍数	分组
2/4	四分音符	2	强、弱
3/4	四分音符	3	强、弱、弱
4/4	四分音符	4	强、弱、次强、弱
6/8	附点四分音符	2	两组各三个八分音符

3/4 与 6/8 都可容纳六个八分音符, 但前者常分为 \(2+2+2\), 后者为 \(3+3\). 英文 simple / compound meter 按基本拍通常二分还是三分区分, 不应只按拍号分子是否为合数判断. 中文教材的单拍子、复拍子分类另有约定, 使用时需说明分组.

1.5.2 Asymmetric Meter

五拍、七拍常按 \(2+3\)、\(3+2\) 或 \(2+2+3\) 等不等长组组织. 拍号分子为素数并不意味着不能分组. Paul Desmond 的 Take Five 是五拍子的典型例子.

1.5.3 Rhythm

“节奏,谓或作或止,作则奏之, 止则节之”. 节奏(rhythm)是由音符的不同时值(duration)组合构成的模式.

Georges Bizet - Carmen act.1: Habanera

2/4, 时值最短的为十六分音符/休止符, 故而可以抽象出节奏型(不含音高):

将上面的 2/4 节奏重复两个小节, 以十六分音符为网格单位, 得到 16 个位置 \(0,1,\ldots,15\). 记发声起点 (onset) 为 1, 其余为 0:

\[[\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ |\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ ]\]

2 Vibration and Overtones

发声方式

气鸣乐器aerophone: 边棱、唇鸣、簧鸣
弦鸣乐器chordophone: 弓弦、弹拨、击打
体鸣乐器idiophone: 木琴、打击乐器
膜鸣乐器membranophone: 鼓、kazoo
电鸣乐器electrophone

2.1 Consonance and the Overtone Series

e.g.1 对于张力与线密度均匀、忽略弯曲刚度的小振幅理想弦, 两端固定时 \(f_n=nf_1\) (\(n=1,2,\ldots\)), 构成基音和谐波列. 基音以上的成分称为泛音; 本模型中 \(n=2\) 为第一泛音. 真实弦的刚度等因素可使泛音偏离整数倍频.

对于理想谐波列, 若基频为 C2, 则第 \(n\) 个谐波的频率为 \(nf_1\). 下表的比值统一相对于基频, 音名只表示附近的十二平均律音高.

谐波序号	频率比	附近音名	说明
1	1:1	C2	基音
2	2:1	C3	八度
3	3:1	G3	相对 C3 为纯五度
4	4:1	C4	两个八度
5	5:1	E4	相对 C4 为纯律大三度
6	6:1	G4	相对 C4 为纯五度
7	7:1	B♭4 附近	低于平均律 B♭4
8	8:1	C5	三个八度
9	9:1	D5	相对 C5 为 9:8
10	10:1	E5	相对 C5 为 5:4
11	11:1	F5 与 F♯5 之间	不等于平均律中的任一音
12	12:1	G5	相对 C5 为 3:2
13	13:1	A♭5 与 A5 之间	接近但低于平均律 A5

自然铜管乐器可利用接近谐波列的共振模式发声; 真实乐器的共振与可演奏音域还受管形、吹口等影响.

2.2 Pizzicato

取弦长 \(L>0\), 均匀张力 \(T>0\)、线密度 \(\mu>0\), 忽略阻尼与弯曲刚度, 波速 \(c=\sqrt{T/\mu}\). 理想弦满足小振幅波动方程, 两端固定, 初始速度为零:

\[u_{tt}=c^2u_{xx},\quad u(0,t)=u(L,t)=0,\quad u_t(x,0)=0.\]

在 \(0\lt x_0\lt L\) 处拨高 \(h\) (折线各段斜率须足够小), 释放时的折线位形为

\[\phi(x)=\begin{cases} hx/x_0,&0\le x\le x_0,\\ h(L-x)/(L-x_0),&x_0\le x\le L. \end{cases}\]

固定端要求空间本征函数为 \(\sin(n\pi x/L)\). 将初始位形作 Fourier 正弦展开, 利用正交性得到

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L},\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\]

分段积分给出

\[a_n=\frac{2hL^2}{n^2\pi^2x_0(L-x_0)}\sin\frac{n\pi x_0}{L}.\]

这里用到 \(\int x\sin(kx)\,dx=-x\cos(kx)/k+\sin(kx)/k^2\); 两段在 \(x_0\) 处的余弦项相消, 端点的正弦项为零. 因而中央拨弦 \(x_0=L/2\) 时

\[a_n=\frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2},\]

只激发奇数序号的谐波. 若在中央轻触制音, 可近似抑制中央不为节点的模式, 留下偶数序号谐波. 中央拨弦改变初始位形, 轻触制音则添加近似节点约束; 两者不是同一种操作.

2.3 Wind Instruments

Woodwind: piccolo, flute, oboe, clarinet, bassoon
Brass: trumpet, horn, trombone, tuba

木管五重奏: flute, oboe, clarinet, bassoon, horn(虽然horn是铜管)

下列公式采用均匀圆柱形空气柱、线性无损声波的理想模型, \(v\) 为声速, \(L\) 为有效管长, 模序号 \(n=1,2,\ldots\). 开口近似为声压节点、空气位移波腹; 闭口相反. 真实管乐器须考虑端部修正, 不能把声压与位移的节点混淆.

开管(两侧开口):
\[f_n=\frac{nv}{2L}\]
可以得到所有自然泛音.

长笛可近似为开管; 对给定有效管长, 第二共振约为基频的两倍, 超吹可得到高八度. 基频随指法和有效管长改变.
闭管(一侧开口):
\[f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{(2n-1)v}{4L}\]
共振频率为基频的奇数倍: \(f_1,3f_1,5f_1,\ldots\), 即只保留奇数序号谐波. 若按实际存在的泛音依次编号, \(3f_1\) 是第一泛音, 不能称为“仅有偶次泛音”.

单簧管的圆柱形管体可近似为一端闭管, 首个较高共振约为基频的三倍, 超吹得到高十二度. 此为理想模型, 真实频率还需端部修正.

3 Temperaments and Tuning Systems

Q 乐音体系是有限多音级构成的集合, 律学(Temperament)要回答的问题是

如何确定绝对音高(absolute pitch)
如何确定一个八度内不同音级的相对音高(relative pitch)

即说明乐音体系的集合是如何确定的, 分别对应什么音高.

在采用八度频率比 1:2 的十二音体系中, 确定一个八度内 12 个音级的相对频率后, 再指定任意一个音级的基准频率, 就确定了其余音高. 十二音是本节的选择, 不是所有律制必有的音级数.

3.1 The Sanfen Sunyi Method(三分损益)

凡將起五音(五声音阶):

凡首, 先主一而三之, 四開以合九九, 以是生黃鐘小素之首, 以成宫: \(3^4 = 81\)
三分而益之以一, 為百有八, 為徵: \(81\times\frac{4}{3} = 108\)
不無有三分而去其乘, 適足, 以是生商: \(108\times\frac{2}{3} = 72\)
有三分, 而復于其所, 以是成羽: \(72\times\frac{4}{3} = 96\)
有三分, 去其乘, 適足, 以是成角: \(96\times\frac{2}{3} = 64\)

在理想弦的张力与线密度相同的条件下, 基频与有效弦长成反比. 再将徵、羽弦长除以 2, 就得到以宫为基准的五声音阶 (此处用 C₄ 作现代音名参照, 不表示古代固定标准音高):

宫	商	角	徴	羽
81	72	64	54	48

Rem 这里的数值不是音高, 而是弦长的比值. 频率比为其倒数.

但是\(81:64 \ne 1.25\), 不符合理想大三度的简单整数比.

变宫: \(64\times\frac{4}{3}=\frac{256}{3}\approx 85\)
变徴: \(\frac{256}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{512}{9}\approx 57\)

变宫对应弦长除以 2, 得到七声音阶(雅乐音阶/古音阶):

宫	商	角	变徵	徵	羽	变宫
81	72	64	512/9	54	48	128/3

十二律

序号	连续五度音名	原始频率比
0	C	\((3/2)^{0}\)
1	G	\((3/2)^{1}\)
2	D	\((3/2)^{2}\)
3	A	\((3/2)^{3}\)
4	E	\((3/2)^{4}\)
5	B	\((3/2)^{5}\)
6	F♯	\((3/2)^{6}\)
7	C♯	\((3/2)^{7}\)
8	G♯	\((3/2)^{8}\)
9	D♯	\((3/2)^{9}\)
10	A♯	\((3/2)^{10}\)
11	E♯	\((3/2)^{11}\)
12	B♯	\((3/2)^{12}\)

排列得到

律名	现代音名参照
黄钟	C
大吕	C♯
太簇	D
夹钟	D♯
姑洗	E
仲吕	F
蕤宾	F♯
林钟	G
夷则	G♯
南吕	A
无射	B♭
应钟	B

按上面的连续纯五度构造, 第 11 步记为 E♯, 第 12 步记为 B♯. 十二个纯五度与七个八度的频率比相差

\[\frac{(3/2)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}>1.\]

将第 12 步折回到 C 上方一八度时, 频率比为 \(3^{12}/2^{18}>2\), 因而略高于 C 的精确高八度, 不能把此 B♯ 与 C′ 精确等同. 这里的五度链与律名表采用现代音名参照, 不能将链中 E♯ 直接认作表中仲吕 F 的同一精确频率.

3.2 Generation by Fifths(五度相生)

毕达哥拉斯学派采用3:2作为生律比, 得到12音名(与三分损益法相同):

序号	连续五度音名	原始频率比
0	C	\((3/2)^{0}\)
1	G	\((3/2)^{1}\)
2	D	\((3/2)^{2}\)
3	A	\((3/2)^{3}\)
4	E	\((3/2)^{4}\)
5	B	\((3/2)^{5}\)
6	F♯	\((3/2)^{6}\)
7	C♯	\((3/2)^{7}\)
8	G♯	\((3/2)^{8}\)
9	D♯	\((3/2)^{9}\)
10	A♯	\((3/2)^{10}\)
11	E♯	\((3/2)^{11}\)
12	B♯	\((3/2)^{12}\)

三度音程出现问题(C : E): \(\frac{3^4}{2^6}\approx1.265625>1.25\).

同样对于\(\boldsymbol\sharp{\rm E}\)上纯五度的\(\boldsymbol\sharp{\rm B}\), 有\(\frac{3^{12}}{2^{19}} > 1\), 得到毕达哥拉斯音差, 与现代律制仍不同.

反过来不断乘以\(\frac{2}{3}\) 或 \(\frac{4}{3}\), 也可以降五度相生的音, 但是与升五度相生的音并不完全重合.

3.3 Just Intonation

纯律添加了理想大三度的比例

三和弦	比例
C–E–G	1 : 5/4 : 3/2 = 4:5:6
F–A–C′	4/3 : 5/3 : 2 = 4:5:6
G–B–D′	3/2 : 15/8 : 9/4 = 4:5:6

音名	相对 C 的纯律频率比
C	1
D	9/8
E	5/4
F	4/3
G	3/2
A	5/3
B	15/8
C′	2

纯律下正三和弦(C-E-G、F-A-C’、G-B-D’)都符合理想的简单整数比4:5:6, 这对多声部音乐具有重要意义.
五度音程D-A比例为\(\frac{40}{27}=\frac{80}{54}\lt \frac{81}{54} = \frac{3}{2}\), 比理想的纯五度要"窄"
大二度有两种比例: C-D、F-G、A-B为9:8; D-E, G-A为10:9
syntonic comma音差: C出发, 升4个纯五度, 降2个八度和1个大三度, 回到的地方略高于C:
\[\left(\frac{3}{2}\right)^4\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{4}{5}=\frac{81}{80}=1.0125\]
产生谐调音差.
modulation转调对于之前的七声音阶, 若要转为以D为基准1, 则对于其上纯五度的A, 比例为
\[\frac{5}{3}\div\frac{9}{8}=\frac{5}{3}\times\frac{8}{9}=\frac{40}{27}\approx1.48\lt \frac{3}{2}\]

3.4 Meantone Temperament

C上方五度为\(\frac{3}{2}f\), 八度为\(2f\), 若想按五度相生, 经过\(n\)次后得到比C高\(m\)个八度的音级, 需要满足

\[\left(\frac{3}{2}\right)^n\cdot f=2^m\cdot f\]

当 \(m,n\) 为正整数时没有解: 等式等价于 \(3^n=2^{m+n}\), 与素因数分解唯一性矛盾. 因此由精确纯五度生成的有限音高循环不能同时精确闭合于八度; 这不是说有理频率比无法构成任何律制.

音程复合对应频率比相乘. 因此等分一个音差应在对数音高上等分, 即对频率比取几何平均.

四分之一音差中全音律 (quarter-comma meantone): 将之前的 syntonic comma 在对数音高上平均分给四个连续五度:

\[a = \frac{81}{80},\quad d = \sqrt[4]{a}\Longrightarrow\frac{3}{2}\div\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{5}\]

用\(\sqrt[4]{5}\)作为生律元素, 依次得到6个音级:

\[\begin{matrix} &\mathrm{C} &\mathrm{G} &\mathrm{D} &\mathrm{A} &\mathrm{E} &\mathrm{B}\\ &1 &\sqrt[4]{5} &\frac{\sqrt{5}}{2} &\frac{\sqrt[4]{5^3}}{2} &\frac{5}{4} &\frac{5\sqrt[4]{5}}{4} \end{matrix}\]

由 C’ 与 F 相差一个同样收窄的五度, 从而

\[\begin{matrix} &\mathrm{C} &\mathrm{D} &\mathrm{E} &\mathrm{F} &\mathrm{G} &\mathrm{A} &\mathrm{B}\\ &1 &\frac{\sqrt{5}}{2} &\frac{5}{4} &\frac{2\sqrt[4]{5^3}}{5} &\sqrt[4]{5} &\frac{\sqrt[4]{5^3}}{2} &\frac{5\sqrt[4]{5}}{4} \end{matrix}\]

纯律中两种不同大二度的几何平均
\[\sqrt{\frac{9}{8}\times\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt5}{2}\]
恰好为此处的大二度
可在所选音高集合支持的调之间转调, 但不能同时保证任意调中所有五度与三度都纯正
考虑半音与全音: 小二度B-C'
\[\begin{aligned} 2\div\frac{5\sqrt[4]{5}}{4}&=\frac{8}{5\sqrt[4]{5}}=\frac{8\sqrt[4]{5^3}}{25}\\ \left(\frac{8\sqrt[4]{5^3}}{25}\right)^2&=\frac{64}{125}\sqrt5>\frac{\sqrt5}{2}\end{aligned}\]
两个半音略"宽"于全音.

3.5 Equal Temperament

设一个八度之间有12个半音, 相应的音级分别对应频率

\[f_0,f_1,f_2,\ldots,f_{11},f_{12}=2f_0\]

使其构成等比数列, 则公比为\(\sqrt[12]{2}\), 得到十二平均律.

朱载堉的“新法密率”给出了十二平均律的精密数值计算. 下表用现代音名作对应参照, 不表示各历史律制具有完全相同的频率.
\[\begin{array}{cccccccccccccc} \text{黄} & \text{大} & \text{太} & \text{夹} & \text{姑} & \text{仲} & \text{蕤} & \text{林} & \text{夷} & \text{南} & \text{无} & \text{应} & \text{黄} \\ \text{钟} & \text{吕} & \text{蔟} & \text{钟} & \text{洗} & \text{吕} & \text{宾} & \text{钟} & \text{则} & \text{吕} & \text{射} & \text{钟} & \text{钟} \\ \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{倍} & \text{正} \\ \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} & \text{律} \\ \text{C} & \sharp\text{C} & \text{D} & \sharp\text{D} & \text{E} & \text{F} & \sharp\text{F} & \text{G} & \sharp\text{G} & \text{A} & \sharp\text{A} & \text{B} & \text{C}^\prime \\ \end{array}\]

3.6 Cents

取正频率 \(f_1,f_2\), 音分在对数坐标下表示有向音程, 从 \(f_1\) 到 \(f_2\) 的音分数为

\[1200\log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)\]

平均律的半音频率比换算为音分即为100 cents.

音高差别的辨别阈值随音区、时长、音色、训练和测试条件改变, 不把某个固定音分数作为所有听者的统一阈值.

绝对音高标准

A₄ = 440Hz

MIDI note number 给音符编号. 在采用十二平均律且 A4=440 Hz 的常用调音约定下, 可将编号 n 换算为频率 (MIDI 本身并不禁止其他调音):

\[f=440\cdot2^{(n-69)/12}\]

4 Modes, Scales and Chords

4.1 Modes & Scales

若干音级围绕着某一个有稳定感的中心音级, 按照一定的音程关系组织在一起构成的乐音体系称为调式mode, 例如大调式、小调式、中国民族调式……调式中具有稳定感的中心音级称为主音tonic.

调式音阶从主音开始, 而其主音可以位于任何一个音级.

4.1.1 Modes

自然大调 natural major

由两个相同的四声音阶以一个全音相接; 每个四声音阶内部的三个音程依次为

大二度、大二度、小二度

I	II	III	IV	V	VI	VII
主音	上主音	中音	下属音	属音	下中音	导音
tonic	supertonic	mediant	subdominant	dominant	submediant	leading note

e.g. C大调音阶

自然小调 natural minor

由两个不同的四声音阶结合而成, 两个四声音阶的音程分别为

大二度、小二度、大二度-->大二度-->小二度、大二度、大二度

e.g. A小调音阶

和声小调 harmonic minor & 旋律小调 melodic minor

将自然小调的第 VII 级下主音升高半音, 使其成为距主音半音的导音, 得到和声小调; 再升高第 VI 级得到古典旋律小调的上行形式.

e.g.1 A为主音的和声小调音阶

e.g.2 A为主音的旋律小调音阶

古典教学中, 旋律小调下行通常恢复 VI、VII 级, 与自然小调一致; 爵士语境常上下行都保留升高的 VI、VII 级.

4.1.2 Circle of Fifths

升号调

按照五度循环的规律, 依次考虑主音为

\[\rm C,G,D,A,E,B,\sharp F,\sharp C\]

的大调音阶, 每顺行五度, 需要将一个音级升高半音, 如图

大调	调号
C	无
G	F♯
D	F♯, C♯
A	F♯, C♯, G♯
E	F♯, C♯, G♯, D♯
B	F♯, C♯, G♯, D♯, A♯
F♯	F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯
C♯	F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯, B♯

新增升号顺序: F–C–G–D–A–E–B.

降号调

对称的, 按反方向的五度循环依次考虑主音为

\[\rm C,F,\flat B,\flat E,\flat A,\flat D,\flat G,\flat C\]

的大调音阶, 每逆行五度, 需要将一个音级降低半音, 如图

大调	调号
C	无
F	B♭
B♭	B♭, E♭
E♭	B♭, E♭, A♭
A♭	B♭, E♭, A♭, D♭
D♭	B♭, E♭, A♭, D♭, G♭
G♭	B♭, E♭, A♭, D♭, G♭, C♭
C♭	B♭, E♭, A♭, D♭, G♭, C♭, F♭

新增降号顺序: B–E–A–D–G–C–F.

调号 key signature

从而可以根据调式, 将需要升高或降低的变音记号统一写在谱号右侧, 称为调号.

C 大调无升降号. 新增升号的顺序为 F–C–G–D–A–E–B; 新增降号的顺序相反, 为 B–E–A–D–G–C–F.

等音调

\(\rm B\)大调和\(\rm \flat C\)大调的音阶中, 各个音级都是等音的, 在按平均律调律的键盘乐器上, 这两个调的音阶完全一致, 但在五线谱上标记为不同的音名. 使用至多七个升号或降号记谱的 15 种大调调号中, 有三对等音调

\[\rm B\&\flat C,\quad \sharp F\&\flat G,\quad \sharp C\&\flat D\]

关系大/小调&平行大/小调

A小调与C大调都全部由基本音级构成, 无需使用升降号变化音级.

每个大调都对应一个调号相同的小调. 这一组大&小调被称为关系大小调. 具有相同主音的大小调被称为平行大小调.

标注时常用大写字母标注大调, 小写字母标注小调.

和声/旋律小调对于导音/下中音的升高不算在对于调号的变化内, 认为是临时变音记号.

近关系调 closely related keys

24个大小调式的家族有关系远近之分, 每个调式有五个近关系调

常用的近关系调包括关系大小调, 以及调号相差一个升降号的大小调. 例如 C 大调对应 a 小调、G 大调、e 小调、F 大调、d 小调. 这里按调号与自然调式来描述, 不把“共享一个和弦”作为充分条件.

Rem 七个自然音 C、D、E、F、G、A、B 在五度圈上构成连续链 F–C–G–D–A–E–B. 固定这些音类, 主音沿这条链从 F 移到 B 时, 依次得到下列七个调式. “亮、暗”是比较调式色彩的一种教学描述, 不是由圆周方向决定的普遍听觉定律:

Lydian —— 色调最亮
Ionian / Natural Major —— 标准明亮
Mixolydian
Dorian —— 明暗平衡点
Aeolian / Natural Minor —— 标准暗淡
Phrygian
Locrian —— 色调最暗

在移到同一主音比较时, 由 Locrian 向 Lydian 每步升高一个特定音级, 反向则降低一个音级, 因而常按 Lydian 到 Locrian 描述由亮到暗. 实际感知还依赖音区、节奏、音色与和声语境; 换画法或换音集合时不能只读“顺时针/逆时针”.

4.2 Chords

三个及以上不同音高的乐音, 按一定的音程关系结合起来, 成为和弦. 和声学是研究和弦的构成、连接及其在音乐作品中具体应用的理论, 是主调音乐的基础.

传统和弦按照三度叠置原则构建.

三和弦 triad

按照三度音程关系叠置的三个音构成三和弦, 三个音分别称为根音、三音、五音(冠音).

三度音程分别取大三度/小三度可以得到四种和弦.

三度结构	名称
大三 + 小三	大三和弦maj
小三 + 大三	小三和弦min
大三 + 大三	增三和弦 aug
小三 + 小三	减三和弦 dim

在常见调性和声中, 大、小三和弦通常按协和和弦处理, 增、减三和弦通常需要结合声部进行讨论其倾向. 这里是和声语境中的分类.

还有sus2/sus4的说法, 即将三音替换为二音/四音的和弦, 但不属于传统三和弦范畴.

七和弦 seventh chord

根音<-三度->三音<-三度->五音<-三度->七音

三度结构	命名结构	名称	简称
小三 + 小三 + 小三	减三、减七	减减七和弦	减七和弦
小三 + 小三 + 大三	减三、小七	减小七和弦	半减七和弦
小三 + 大三 + 小三	小三、小七	小小七和弦	小七和弦
小三 + 大三 + 大三	小三、大七	小大七和弦
大三 + 小三 + 小三	大三、小七	大小七和弦	属七和弦
大三 + 小三 + 大三	大三、大七	大大七和弦	大七和弦
大三 + 大三 + 小三	增三、大七	增大七和弦

增增七和弦, 由于增七度在十二平均律下与纯八度等音, 此和弦被认为"退化"为三和弦.

Rem 𝄪和𝄫在和弦记谱中的作用 e.g.1 B上的增三和弦, 如果记作\(\rm B,\sharp D,G\), 不符合三度叠置 e.g.2 C上的减减七和弦

和弦	按三度叠置的拼写
B 增三和弦	B–D♯–F𝄪
C 减七和弦	C–E♭–G♭–B𝄫

和弦的转位

以根音为低音的和弦为原位和弦, 其余为转位和弦.

三和弦的转位:

三音作低音被称为第一转位/六和弦(低音与高音相差六度)
五音作低音被称为第二转位/四六和弦(低音与中/高音分别相差四/六度)

位置	以 C 大三和弦为例
原位	C–E–G
第一转位	E–G–C
第二转位	G–C–E

七和弦的转位:

三音作低音被称为第一转位/五六和弦
五音作低音被称为第二转位/三四和弦
七音作低音被称为第三转位/二和弦

位置	以 G 属七和弦为例
原位	G–B–D–F
第一转位	B–D–F–G
第二转位	D–F–G–B
第三转位	F–G–B–D

在调式音阶上, 以任一音级作根音, 按照三度叠置原则选取音阶内的音级, 可以构成和弦.

和弦标记

罗马数字表示根音在调式音阶中的级数.
用大、小写区分和弦的结构: 根音到三音为大三度音程的用大写字母, 根音到三音为小三度音程的用小写字母.
用上标\(^\circ\)和\(^+\)分别表示减三和弦和增三和弦；大、小三和弦不加上标.
用下标\(_6\)和\(_{\begin{matrix}6\\4\end{matrix}}\)分别表示三和弦的第一转位和第二转位.

可以给出各类调式的三和弦列

调式\根音	I	II	III	IV	V	VI	VII
自然大调	大	小	小	大	大	小	减
自然小调旋律小调下行	小	减	大	小	小	大	大
和声小调	小	减	增	小	大	大	减
旋律小调上行	小	小	增	大	大	减	减

和弦的调性功能 function

在调式的I, IV, V上构成的和弦分别称为主和弦、下属和弦、属和弦, 统称为正三和弦.

I 具有稳定性, 给人以完成感; 它与属和弦等的关系共同确立调性.
V 常具有导向主和弦的倾向. 以 C 大调为例, \(\rm V_7=\{G,B,D,F\}\) 中 \(\rm B-F\) 的减五度 (三全音) 及导音等声部倾向加强了这种功能.
IV具有链接和过渡的作用.

在常见大调功能和声中, 可用以下组别作初步归纳:

主功能 T: I, 以及某些语境中的 vi、iii.
下属或前属功能 S: IV、ii.
属功能 D: V、vii°.

功能依赖前后文、低音和声部进行, 不能仅凭共享音把每个和弦固定分配到某个组.

和声进行 harmonic progression

在一定和声范围内进行和弦连接. 体现和弦的相互关系、功能关系和音响色彩. 和声进行的规律是一个逐步演化的历史过程.

正格进行: I -> V -> I
变格进行: I -> IV -> I
复式进行: I -> IV -> V -> I

大调式的和弦进行

图中主和弦I后面标注 possible 的箭头表明任意和弦都可以在I之后出现. 前面给出的正格进行、变格进行和复式进行均包括在图中.

对于小调式的乐曲, 除了各级和弦的属性(大、小、增、减等)需要做相应调整外, 其和弦进行与图中描述的基本一致.

从不协和和弦出发, 链接到较为协和的和弦的和弦进行, 被称为resolution.

主和弦是调性稳定的参照, 但局部进行可以停在属和弦、采用阻碍终止或转调, 不要求每段都立即解决到 I.

Tristan Chord

Wagner 的 Tristan und Isolde, WWV. 90 于 1865 年首演. 前奏中的 Tristan 和弦及后续半音化进行不断推迟稳定解决, 同时承担声音色彩、声部进行与戏剧表达的作用; 不能据此断言作品中的和弦不再具有任何调性功能.

这种悬置在全剧结尾的 Liebestod 中获得长程解决, 全剧终止于 B 大调. “始终没有解决”若包括结尾就不准确. 参见 LA Phil 的前奏与 Liebestod 作品说明.

Blues

除了特有的音阶和节奏, Blues的和声进行也有其特点.

标准的12-bar blues分为三个乐句, 其基本和声进行为

1	2	3	4
I	I	I	I
IV	IV	I	I
V	IV	I	I/V

其中的各级和弦可以是三和弦,也可以是七和弦以及它们的转位. 为方便反复吟唱, 最后一小节的和弦常变成V, 以便更好地连接到下一轮的I.

Music and Mathematics - 2

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

5 Rhythm and Circular Patterns

5.1 Circular Rhythm Models

5.1.1 Evenness and Onset Placement

Maurice Ravel - Boléro(莫里斯·拉威尔: 波莱罗舞曲)

Boléro — 作品介绍（LA Phil）

波莱罗的固定节奏型可在统一网格上表示: 两个 3/4 小节共 36 格, 每个四分音符占 6 格, 发声位置着色.

古巴颂节奏型: 2-3/3-2 Son Cubano. 同样可以标记其onset序列

1	+	2	+	3	+	4	+	\|	1	+	2	+	3	+	4	+
		●		●				\|	●			●			●

1	+	2	+	3	+	4	+	\|	1	+	2	+	3	+	4	+
●			●			●		\|			●		●

Arturo Márquez - Danzón No. 2(阿图罗·马尔克斯: 第二号舞曲)

Danzón No. 2 — 作曲家说明（LA Phil）

可在这部作品中观察击木 (claves) 等乐器承担节奏型的方式. Danzón、Son 及 clave 的具体用法须结合谱面与段落分析, 不能仅因使用 claves 就把整段判定为同一个 Son 型; 上面的 2-3/3-2 表是独立的节奏模型.

先取一个明确的近似均匀模型: 在 16 个等分位置放置 5 个起拍, 第一个固定为 0; 其余第 \(j\) 个起拍取理想位置 \(16j/5\) 的向下或向上整数近似 (\(j=1,2,3,4\)). 四次独立选择给出下表 16 个候选.

这里的“均衡”指上述取整构造, 不等同于文献中要求各阶音程间距均匀的严格 maximal evenness. “五个起拍”也不等于“五拍子”; 此处周期长度仍为 16 个网格单位.

# 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 ● ● ● ● ●

2 ● ● ● ● ●

3 ● ● ● ● ●

4 ● ● ● ● ●

5 ● ● ● ● ●

6 ● ● ● ● ●

7 ● ● ● ● ●

8 ● ● ● ● ●

9 ● ● ● ● ●

10 ● ● ● ● ●

11 ● ● ● ● ●

12 ● ● ● ● ●

13 ● ● ● ● ●

14 ● ● ● ● ●

15 ● ● ● ● ●

16 ● ● ● ● ●

line 3: Son; line 4: Bossa-Nova; line 7: Rumba.

由于固定节奏型反复出现, 可以认为循环移位只改变起始相位, 可用于比较同一个周期节奏的不同表示. 自然地将节奏型表示为圆周上的点:

对于 Son 的起拍集合, 可以逐项检查没有两个起拍相隔半个周期, 即不存在同时发声的对径点 (antipodal points). 这样的节奏型被称作具有节奏奇性(rhythmic oddity). 节奏奇性是关于周期起拍集合的组合性质. 它可辅助分析这种节奏的分布, 但切分与活力的听感还依赖强弱拍、重音及演奏语境, 不能仅由“无对径点”推出.

5.1.2 Metric Properties of Rhythm

通过时值间隔组成的距离序列进行度量:

Son 的距离序列为 \((3,3,4,2,4)\), Fume-fume 的为 \((2,2,3,2,3)\) (后者周期为 12). 轮廓只保留相邻间隔的增减关系, 会丢失间隔大小. 两个节奏可以轮廓相同而听感不同; 轮廓同构不代表听觉上不可区分.

定义第 \(i\) 项轮廓为第 \(i+1\) 个间隔减第 \(i\) 个间隔的符号 (下标循环). 两者的轮廓 (contour) 均等于

\[[\ 0,\ +,\ -,\ +,\ -\ ]\]

所以称两者是轮廓同构的. 由于零点的任意性, 在可以循环移位操作转换的轮廓也是同构的.

各个起拍之间的间隔中点形成一个与发声的节奏型对偶的节奏, 称作原来节奏型的影子(shadow):

Son与其Shadow

影子相邻间隔等于原相邻两间隔的平均: \(e_i=(d_i+d_{i+1})/2\). 对 Son 得 \((3,3.5,3,3,3.5)\), 故其轮廓为\([\ +,\ -,\ 0,\ +,\ -\ ]\), 与Son达成轮廓同构.

对本文的 16 行候选表逐项计算, 第 3、6、12 行与各自影子的轮廓同构; 这三行均为 Son 的循环移位, 因而只形成一个循环等价类. “唯一”仅指该候选族中的循环等价类, 不是有标号表中的唯一一行, 也不是对任意节奏集合的定理. 取整候选族、节奏奇性与影子轮廓的定义参见 Toussaint 的 The Rhythm that Conquered the World, pp. 3–9. 文献的表序与本文不同, 应按起拍集合对应.

6 Melody and Symmetry

6.1 Symmetry in Melody

旋律的变化

旋律是一系列不同音高和时值的组合. 一段旋律转瞬即逝, 只有不断地呈现、反复地强调, 才能达到强烈的艺术感染力. 重复并不是一成不变, 而是在一次次的重复中不断变化、发展. 旋律的变化和发展可以在音乐的不同方面和层次发生, 比如节奏、声部、音色、曲式、和声等.

Transposition 严格移调(exact): 将旋律中的每一个音的音级都上升或下降相同的音程; 调性移调(tonal): 适当调整升高或降低的音程, 以符合目标调式的音阶结构. e.g. 音级\(\rm C,E,G\).
- 作为严格移调升高四个半音, 得到\(\rm E,\sharp G,B\).
- 如果在 C 大调音阶内进行调性移调, 则取对应音级, 得到\(\rm E, G, B\) Rem 调性移调需要根据目标调式音阶结构确定.
Retrograde 在横轴为时间、纵轴为音高的图上, 逆行是关于竖直轴的反射, 改变音符事件的先后顺序. 若包含时值, 须明确是否连同每个音的时值一起逆序; 后文音列模型只记录音类顺序.
Inversion 在同一坐标约定下, 严格倒影是关于水平音高轴的反射, 即相对于给定轴音高将上行音程变为同样大小的下行音程, 时间位置不变. 选择不同轴音高会得到不同旋律; 调性倒影可能为了调式结构调整音程大小.

在理想时间–音高坐标中, 严格移调、逆行与严格倒影可用平移、反射描述. 调性变换可能调整音程, 不一定保持严格的几何距离.

Tonal Music 传统音乐大多基于调式体系, 调性音乐中总有一个主音tonic使得其他音与其形成一定关系. 旋律的对称变换需要考虑调式音阶的结构, 所以往往受到一定限制.

从浪漫主义到印象主义

Tristan 和弦 (\(\rm F,B,\sharp D,\sharp G\)) 及其半音化声部进行常用于讨论 Wagner 对稳定解决的延缓与和声色彩的扩展. 它对后来的作曲有重要影响, 但不能将这段音乐简单等同于完全取消调性或所有和声功能.

Twelve-tone technique

作曲家有意识地采用数学变换(群论)的思想进行音乐创作的探索实践. Schönberg的十二音技术可以看作是打破传统的调式音阶的一种探索.

6.2 From Pitch to Pitch-Class Space

以十二平均律半音为单位给音高编号. 为避免有限乐器音域在移调后越界, 数学模型先取所有整数 \(\mathbb Z\); 八度等价关系定义为

\[x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad x-y\in12\mathbb Z.\]

这是等价关系: \(x-x=0\), \(x-y\) 与 \(y-x\) 同为 12 的倍数, 而两个这样的差相加仍为 12 的倍数. 每个等价类由所有相差整数个八度的音高组成. 商集

\[\mathscr{PC}=\mathbb Z/12\mathbb Z=\{0,1,\ldots,11\}\]

称为音类空间 (pitch-class space). 固定 C 为 0 时, C♯/D♭ 为 1, …, B 为 11. 这里采用等音等价, 不保留谱面拼写和八度位置.

同余类的和定义为 \([a]+[b]=[a+b]\). 若代表元分别改为 \(a+12u,b+12v\), 和只改变 \(12(u+v)\), 因而定义与代表元选择无关. 后文直接用 \(0,\ldots,11\) 表示这些类, 运算均模 12.

6.3 Groups of Musical Transformations

移调与倒影 定义音类上的置换

\[T_n(x)=x+n,\qquad I_n(x)=n-x,\qquad n\in\mathbb Z_{12}.\]

移调是音类集合的置换; 当 \(n\ne0\) 时, 它不保持加法单位元, 因而不是加法群 \(\mathbb Z_{12}\) 的自同构. 这些置换在复合运算下组成群. 约定 \(g\circ h\) 先做 \(h\), 再做 \(g\).

代入定义可逐项得到

\[\begin{aligned} T_m\circ T_n&=T_{m+n},& T_m\circ I_n&=I_{m+n},\\ I_m\circ T_n&=I_{m-n},& I_m\circ I_n&=T_{m-n}. \end{aligned}\]

例如 \(I_m(I_n(x))=m-(n-x)=x+m-n\). 所以 12 个移调与 12 个倒影组成封闭集合, 单位元为 \(T_0\), 逆元分别为 \(T_{-n}\) 与 \(I_n\). 结合律继承自映射复合.

令 \(r=T_1,s=I_0\), 则

\[r^{12}=s^2=e,\qquad srs=r^{-1}.\]

每个元素都可写为 \(r^n\) 或 \(r^ns\), 这 24 个映射两两不同. 它们对应正十二边形的旋转与反射, 故

\[\mathscr D=\langle T_1,I_0\rangle\cong D_{12},\qquad |\mathscr D|=24.\]

本文以 \(D_{12}\) 表示正十二边形的对称群; 有的文献按群阶将它记为 \(D_{24}\).

几何上, \(I_n:x\mapsto n-x\) 的轴位于编号 \(n/2\) 的方向: \(n\) 为偶数时经过一对相对顶点, 为奇数时经过一对相对边的中点. 两类各六条轴, 才构成全部 12 个反射.

逆行逆行作用于有序音列, 而不是单个音类:

\[\mathcal R(x_0,\ldots,x_{11})=(x_{11},\ldots,x_0).\]

将 \(T_n,I_n\) 逐项作用于音列, 则 \(\mathcal R\) 与它们可交换, 且 \(\mathcal R^2=e\). 逆行改变位置, 逐项音类变换不改变位置, 二者在所有十二音列上的作用相互独立. 因而

\[\mathscr M\cong D_{12}\times C_2,\qquad |\mathscr M|=48.\]

这里 \(C_2\) 由逆行生成. 它不等于正二十四边形的对称群: 后者有 24 阶旋转, 而上述直积的元素阶最多为 12. 群有 48 个操作不代表它作用于某一音列时一定产生 48 个不同结果.

6.4 Twelve-Tone Technique

一个十二音列是 12 个音类各出现一次的有序排列. 以 Schönberg 的钢琴协奏曲 Op.42 所用音列为例, 其开头是 E♭, 而不是 E:

\[(\mathrm{E}\flat,\mathrm B\flat,\mathrm D,\mathrm F,\mathrm E,\mathrm C, \mathrm F\sharp,\mathrm A\flat,\mathrm D\flat,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm G).\]

本例临时以首音 E♭ 为 0, 得到相对编号

\[P_0=(0,7,11,2,1,9,3,5,10,6,8,4).\]

这只是整体改变坐标原点; 恢复 C=0 时应将每项加 3.

音列变换 定义

\[P_n=T_n(P_0),\quad I_n=I_n(P_0),\quad R_n=\mathcal R(P_n),\quad RI_n=\mathcal R(I_n).\]

左侧 \(I_n\) 表示音列, 右侧 \(I_n\) 表示逐项映射 \(x\mapsto n-x\), 由上下文区分. 例如

\[\begin{aligned} P_2&=(2,9,1,4,3,11,5,7,0,8,10,6),\\ I_0&=(0,5,1,10,11,3,9,7,2,6,4,8),\\ R_0&=(4,8,6,10,5,3,9,1,2,11,7,0). \end{aligned}\]

设初始音列第 \(j\) 项为 \(p_j\), 则矩阵

\[M_{ij}=p_j-p_i\pmod{12}\]

第一行为 \(P_0\), 第一列为 \(I_0\). 从左到右读行得到 P 类, 从上到下读列得到 I 类; 反向读取分别得到 R、RI 类. 48 个读法共用这张矩阵, 不是把 48 条音列各占一行.

P / I	0	7	11	2	1	9	3	5	10	6	8	4
0	0	7	11	2	1	9	3	5	10	6	8	4
5	5	0	4	7	6	2	8	10	3	11	1	9
1	1	8	0	3	2	10	4	6	11	7	9	5
10	10	5	9	0	11	7	1	3	8	4	6	2
11	11	6	10	1	0	8	2	4	9	5	7	3
3	3	10	2	5	4	0	6	8	1	9	11	7
9	9	4	8	11	10	6	0	2	7	3	5	1
7	7	2	6	9	8	4	10	0	5	1	3	11
2	2	9	1	4	3	11	5	7	0	8	10	6
6	6	1	5	8	7	3	9	11	4	0	2	10
4	4	11	3	6	5	1	7	9	2	10	0	8
8	8	3	7	10	9	5	11	1	6	2	4	0

轨道与稳定化子 群 \(G\) 作用在集合上时, 定义

\[\operatorname{Orb}(a)=\{g(a):g\in G\},\qquad G_a=\{g\in G:g(a)=a\}.\]

若 \(g(a)=h(a)\), 当且仅当 \(h^{-1}g\in G_a\), 即 \(g,h\) 属于同一个左陪集. 因而每个轨道元素恰对应一个大小为 \(|G_a|\) 的陪集, 得到轨道-稳定化子定理

\[|\operatorname{Orb}(a)|=\frac{|G|}{|G_a|}.\]

音列为什么只有 24 或 48 个不同变体 十二音列包含全部 12 个音类. 保持其每个位置不变的逐项移调只能是 \(T_0\); 倒影若固定全列则要求 \(2x=n\) 对全部音类成立, 不可能. 所以稳定化子除恒等元外, 只能含带逆行的操作.

若两个不同的带逆行操作都固定音列, 将其中一个的逆与另一个复合, 得到固定音列的非恒等逐项操作, 与前段矛盾. 稳定化子故至多含两个元素, 轨道大小只可能是 48 或 24. 全半音音列 \((0,1,\ldots,11)\) 就有 \(I_n=R_{n+1}\), 下标模 12, 所以只有 24 个变体.

对称音列的计数 设音列为 \(a=(a_0,\ldots,a_{11})\), 不预先固定首音.

逆行与倒影复合固定音列, 当且仅当 \[a_i+a_{11-i}=k\pmod{12},\qquad i=0,\ldots,5.\] \(k\) 必须为奇数: 若为偶数, 倒影 \(x\mapsto k-x\) 有两个不动音类, 它们只能与自己配对, 与音列无重复矛盾. 每个奇数 \(k\) 将 12 个音类分成六对; 将六对分配给六组对称位置, 每对再任选方向. 总数为 \[6\cdot6!\cdot2^6=276480.\]
逆行与非零移调复合固定音列, 要求 \(a_i=a_{11-i}+k\). 再交换 \(i\) 与 \(11-i\) 得 \(2k=0\); 排除 \(k=0\) 后只有 \(k=6\). 因此对称位置必须相差三全音, 而不是两项之和恒为 6. 六对相差 6 的音类可给出 \[6!\cdot2^6=46080\] 条音列.

两类不相交, 否则会有两个不同的非恒等稳定化子元素. 所以全部 \(12!\) 条音列中, 有对称性的比例为

\[\frac{276480+46080}{12!}=\frac1{1485}.\]

以上数量允许首音任取; 若固定首音为 0, 两个计数都应除以 12.

7 Pitch-Class Sets and Neo-Riemannian Theory

7.1 From Pitch-Class Sets to Set Classes

Def Pitch-class Set: 若干音类组成的无序集合

一个 n 元 pc 集是\(\mathscr{PC}\)的一个子集合. 也可以写成 n 个模 12 的同余类的集合, 即\(\mathbb{Z}_{12}\)的一个子集合.
子集合如果pc集\(\mathscr{A}\)中的音类都包含在pc集\(\mathscr{B}\)中, 称\(\mathscr{A}\)是\(\mathscr{B}\)的字面上的子集合(literal subset). 如果pc集\(\mathscr{A}\)的在群\(\mathscr{D}\)的某个变换下的像\(\hat g(\mathscr{A})\)是pc集\(\mathscr{B}\)的子集合, 则称\(\mathscr{A}\)是\(\mathscr{B}\)的抽象的子集合(abstract subset).
和弦的pc集 e.g. \(\{0,4,7\}\)一个大三和弦; \(\{\mathrm{F},\mathrm{B},\sharp\mathrm{D},\sharp\mathrm{G}\}=\{5,11,3,8\}\)一个Tristan和弦. 音类集合中的元素无需满足三度叠置.
音阶的pc集 e.g. \(\mathscr{V}=\{\rm \sharp{F},\sharp{G},\sharp{A},\sharp{C},\sharp{D}\}\)是一个五声音阶(pentatonic scale), \(\mathscr{W} = \{\mathrm{C,D,E,\sharp F,\sharp G,\sharp A}\}\)对应一个全音音阶(whole tonic)
正常序 (normal order) 先把音类按圆周顺序展开, 比较各个循环起点产生的首尾跨度, 取跨度最小者. 若并列, 需约定进一步的紧凑性比较规则; 本文采用 Rahn 式的比较: 从左端到倒数第二个、倒数第三个等位置的跨度依次比较, 仍相同时取起音较小者.
将正常序移到首项为 0, 并与倒影后的同类结果比较, 选取相同紧凑性约定下的代表, 得到原型 (prime form). 不同文献的并列处理约定可能不同, 使用 Forte 编号时应与相应表格一致.
例: C 大三和弦 \(\{0,4,7\}\) 的三个展开为 \((0,4,7)\)、\((4,7,12)\)、\((7,12,16)\), 首尾跨度为 7、8、9, 故正常序为 \((0,4,7)\). 倒影集合 \(\{0,5,8\}\) 的正常序为 \((5,8,12)\), 移到 0 得 \((0,3,7)\). 两者跨度同为 7, 但中间项 3 小于 4, 故原型取 \((0,3,7)\), 对应 3-11.
若音类全集有 \(n\) 个元素, 包含空集和全集的 pc set 总数为
\[C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n.\]
本文取 \(n=12\), 因而有 \(2^{12}=4096\) 个字面集合; 这不是移调/倒影等价类的数目.

音类圆周上的pc set

两个音类的距离定义为音类圆周上二者之间要经过的最少间隔数, 对两个不同音类, 满足 \(1\le d\le6\). 若用 \(0,\ldots,11\) 编号, 可直接计算 \(d(x,y)=\min(|x-y|,12-|x-y|)\).

Def 对一个pc set, 定义其距离向量

\[\delta=(\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_6)\]

\(\delta_i\)表示距离为\(i\)的顶点对数目(组合数). 距离向量描述了一个pc set的全部音程含量(total interval-content)

Def 考虑变换群\(\mathscr{D}\)作用在某个pc set\(\mathscr{X}\)上, 一系列pc set就按照其轨道被分成了若干集合类(set class). 例如 \(C_{12}^{3}\)个3-pc就被分为了12个集合类, 其中, 24个大、小和弦对应的 pc set 属于同一个等价类. 按某种约定在每个集合类中选取一个代表, 就得到音类集合表(list of pitch class sets). 这一代表的标准序被称为此集合类的原型(prime form).

比如大、小三和弦对应的就是\(\{\rm C, \flat E. G\}=\{0,3,7\}\)
Allen Forte给集合类的标签形如 k - xx. 前者为音类数目, 后者为编号的序号. 比如上面提到的一个集合类对应的命名就是 3 - 11.
同一个集合类中的 pc 集具有相同的\(\delta\), 但反之不一定成立.
e.g. E减七和弦
\[\mathscr{Y}=\{\mathrm E,\mathrm G,\mathrm B\flat,\mathrm D\flat\}=\{4,7,10,1\}\]
群\(\mathscr{D}\)中, 恰好有4个旋转和4个对称保持其整体不变, 即\(\mathscr{D}\)中保持\(\mathscr{Y}\)不变的稳定化子是8阶子群, 进而得到\(\mathscr{Y}\)在\(\mathscr{D}\)下的轨道长度为
\[|\mathscr{D}|/|\mathscr{D}_{\mathscr Y}| = 3\]

Def 全音程四音集合 (all-interval tetrachord) \(\mathscr{A}\): 距离向量为

\[\delta=(1,1,1,1,1,1)\]

易知\(\mathscr{A}\)包含 6 对距离互不相同的音类. 由总间隔数\(C_n^2 = 6\), 得到其为 4 - chord.
在\(\mathscr{D}\)下只有两类非移调/倒影等价的全音程和弦\(\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2\). 以下两例分别在集合表下记作 4-Z15、4-Z29. 这里是 Z-related (音程向量相同但不属于同一移调/倒影类), 不是集合论中的互补: 四元集合的补集有八个元素. 例如 \(\{0,1,4,6\}\) 与 \(\{0,1,3,7\}\) 都具有该向量, 但不可由移调或倒影互相得到

7.2 Harmonic Progressions and Riemannian Transformations

3-11上的变换

用符号\(\mathscr{S}\)表示24个大、小三和弦对应的pc set组成的集合类(3-11). 定义其上的三种变换:

平行变换: 把任意一个三和弦变为根音相同的平行三和弦, 记作\(P:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(P(C) = c\).

关系变换: 把任意一个三和弦变为其关系调上的三和弦, 记作\(R:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(R(C) = a\).

导音变换: 把小三和弦的冠音升高一个半音, 把大三和弦的根音降低一个半音, 记作\(L:\mathscr{S} \to \mathscr{S}\). e.g. \(L(C) = e\).

统称为Riemann变换.

只改变一个音类, 其他两个音类保持不变, 从而变换前后的和弦共享一个音程(P、R、L 分别保留纯五度、大三度、小三度)——这被称为简约声部进行(Parsimonious Voice Leading).

7.3 Tonnetz

先在平面整数格点 \((a,b)\in\mathbb Z^2\) 上标记音类

\[p(a,b)=7a+4b\pmod{12}.\]

沿两个基方向分别移动纯五度和大三度, 沿其差方向移动小三度. 三角形顶点 \((a,b),(a+1,b),(a,b+1)\) 的音类为 \(\{p,p+7,p+4\}\), 构成大三和弦; 邻接的反向三角形构成小三和弦. 这就是音类三角网格的一种坐标实现.

每对共边三角形共享两个音类, 由 P、R 或 L 变换连接. 若把三角形作为顶点、共边关系作为边, 就得到三价的对偶和弦图. 因而音类三角网格与三和弦六边形图是互为对偶的两种表示, 不应混称为同一组顶点.

平面网格本身不是环面. 在十二平均律下, 还要识别给出相同音类的周期平移:

\[\Lambda=\{(a,b):7a+4b\equiv0\pmod{12}\}.\]

其一组基为 \((4,-1),(0,3)\): 若 \(7a+4b\equiv0\), 先模 4 得 \(a=4q\), 再得 \(b=-q+3r\). 这两个向量围成面积为 12 的基本平行四边形. 将其对边识别, 得到环面 \(\mathbb R^2/\Lambda\), 含 12 个音类顶点和 24 个三和弦面. 这一步依赖十二平均律的音类等价, 不直接适用于保留纯律频率差别的无限音网.

7.4 Neo-Riemannian Theory

用 \((r,+)\) 和 \((r,-)\) 表示根音为 \(r\) 的大、小三和弦. 三个变换可写为

变换	大三和弦的像	小三和弦的像	保留的音程
P	\((r,-)\)	\((r,+)\)	纯五度
R	\((r-3,-)\)	\((r+3,+)\)	大三度
L	\((r+4,-)\)	\((r-4,+)\)	小三度

它们均为对合: \(P^2=R^2=L^2=e\). 注意 R 改变的那个声部移动全音, P 与 L 移动半音; “保留两个音”不意味着每次都只移动半音.

令 \(A=L\circ R\). 对大三和弦, \(A(r,+)=(r-7,+)=(r+5,+)\); 对小三和弦, \(A(r,-)=(r+7,-)\). 由于 5、7 都与 12 互素, \(A\) 的阶恰为 12. 由对合关系又有

\[RAR=A^{-1},\qquad P=R\circ A^3.\]

后一等式可分别代入大、小三和弦验证. 因而 \(P\) 不引入新生成元, 整个群的元素可约为 \(A^j\) 或 \(RA^j\). 前者保持大小调性质, 后者交换性质, 且每类 12 个元素互异, 所以

\[\mathscr N=\langle P,R,L\rangle=\langle A,R\rangle\cong D_{12},\qquad |\mathscr N|=24.\]

它与音类上的 T/I 群抽象同构, 但作用方式不同: PLR 的具体音类移动依赖输入和弦的大小性质. 该模型描述大小三和弦之间的联系, 不涵盖减和弦、七和弦或全部传统和声语法.

Hamiltonian cycle 图上的 Hamiltonian 路访问每个顶点恰好一次; 再以一条边连接最后顶点与首顶点, 得到 Hamiltonian 圈, 闭合记法中只重复首尾顶点.

在 24 个三和弦的 PLR 图中, 交替施加 R、L 可遍历全部顶点后回到起点: 每两步为 A, 大三和弦依次经历全部 12 个根音, 中间的小三和弦也依次经历全部 12 个根音. 于是形成一条 24 边的 Hamiltonian 圈. 它展示保留公共音的连续路径, 不等价于断言任意路径均具有相同听感.

8 Duration Rows and Rhythmic Symmetry

8.1 Duration Rows

巴比特 (Babbitt) 将序列组织扩展到音高以外的参数, 本节着重讨论时值 (duration). 整体序列主义 (Integral Serialism / Total Serialism) 还可以组织力度 (dynamics)、音区 (registers)、音色 (timbre) 等, 但不能据此推断每部具体作品都把所有参数完全序列化.

Composition for Twelve Instruments (1948, revised 1954) 是巴比特的代表作之一. 谱本可从 Wise Music 的作品页查看: 预览封面为 1967 年第二版（校正版）. 编制页注明采用实际音高记谱 (in C), 钢片琴和低音提琴保留通常的八度移位; 读取音类时无需再按移调乐器的通常谱法另作移调.

课程用下面的音类–时值映射说明时值序列的构造; 实际谱面中的休止、连音与各声部进入时间仍须分别读取:

设定零点: 任意选定一个音类作为"零点"(例如取 \(F=0\))
计算差值: 给每个音列中的第 \(i\) 项赋予一个数 \(d_{i}\), 其值等于该音与零点之间相差的半音数(模12), 得到时值序列为 \((d_0, d_1, \ldots, d_{11})\), 其中 \(0 \le d_i \le 11\).
映射规则: 假定以十六分音符为单位 1, 注意在模 12 意义下, 0 = 12. 因此半音数 0 对应时值 12.

相对音类	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
时值单位	12	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

巴比特选取的初始音列 \(P_{0}\) 为

\[[0, 1, 4, 9, 5, 8, 3, 10, 2, 11, 6, 7]\]

由此出发可进行各类变换. 下表采用课程 Lecture 09, pp. 21–22 的音高行式标记; 讲义第 21 页注明表格引自郑艳《结构主义视域下的序列主义音乐研究》(2015), p. 120. 这里用四组分配观察配对与复现, 不据此推断每件乐器每次都从头到尾同步演奏同一条时值序列:

	长笛	双簧管	单簧管	大管	圆号	小号	竖琴	钢片琴	小提琴	中提琴	大提琴	低音提琴
I	P4	R4	I1	RI1	RI9	I9	R0	P0	P8	R8	I5	RI5
II	RI11	I11	R2	P2	P10	R10	I7	RI7	RI3	I3	R6	P6
III	I5	RI5	P8	R8	R4	P4	RI1	I1	I9	RI9	P0	R0
IV	R10	P10	RI7	I7	I3	RI3	P6	R6	R2	P2	RI11	I11

上表共有 48 个音列标记, 对应 24 种行式, 每种出现两次:

包含 6 个移调音列 (\(P_{0, 2, 4, 6, 8, 10}\)) 和 6 个倒影音列 (\(I_{1, 3, 5, 7, 9, 11}\))。
每个音列在表中恰好出现两次。
每次均有相应的 \(R_i\) 和 \(RI_j\) 与之成对出现，形成对称结构。

8.2 Clapping Music & Phase Shift

Steve Reich 的 Clapping Music 由两个击掌声部构成. 一个声部保持固定节奏, 另一个在若干次重复后将节奏循环移动一个最小网格单位, 遍历 12 个相位后重合. 此处的“单位”是节奏网格, 不一定等于指挥的基本拍.

计数问题 在首尾相接的 12 个有标号位置上, 放置 8 次击掌和 4 次休止, 休止不能相邻, 包括位置 11 与位置 0. 忽略循环移动后有多少种?

先数有标号模式. 将一个休止位置标为起点, 四个休止之间的击掌数为正整数 \(b_1,b_2,b_3,b_4\), 满足

\[b_1+b_2+b_3+b_4=8.\]

共有 \(\binom73=35\) 个有序正整数解, 标记起点有 12 种位置. 每个模式恰被标记四次, 所以

\[|\mathcal C|=\frac{12}{4}\binom73=105.\]

Burnside 引理 有限群 \(G\) 作用于有限集合 \(X\) 时, 轨道数为

\[|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.\]

证明只需双计数所有满足 \(g(x)=x\) 的对 \((g,x)\): 按 \(g\) 求和得到右侧分子; 按 \(x\) 求和得到 \(\sum_x|G_x|\). 每条轨道有 \(|G|/|G_x|\) 个点, 稳定化子大小相同, 故每条轨道贡献恰为 \(|G|\).

令 \(\sigma\) 为循环移动一格. 对移动 \(k\) 格的不动模式, 可由长度 \(d=\gcd(12,k)\) 的重复块重复 \(12/d\) 次组成 (最小周期可能更短), 所以该重复次数必须整除休止数 4.

移动格数 \(k\)	基本块及约束	不动模式数
0	任意合法模式	105
1, 5, 7, 11	重复 12 次, 不可有 4 个休止	0
2, 10	重复 6 次, 不可有 4 个休止	0
4, 8	重复 3 次, 不可有 4 个休止	0
3, 9	长度 3, 含一个休止	各 3
6	长度 6 的圆周, 含两个不相邻休止	\(\binom62-6=9\)

因此

\[|\mathcal C/\langle\sigma\rangle|=\frac{105+3+3+9}{12}=10.\]

不能直接算 \(105/12\): 有些节奏具有短周期, 其轨道不到 12 个元素.

用四个休止之间的连续击掌数表示, 十个循环类可取代表

5-1-1-1, 4-2-1-1, 4-1-2-1, 4-1-1-2, 3-3-1-1, 3-2-2-1, 3-1-3-1, 3-2-1-2, 3-1-2-2, 2-2-2-2.

作品采用的 3-2-1-2 没有非平凡循环周期; 2-2-2-2 则具有更强的重复对称性. 这说明两者的相位组合不同, 不需要据此推测作曲家唯一的选择动机.

8.3 Serialism and Minimalism

序列主义可把音高、时值等参数纳入预先组织的序列; 极简主义常借助持续重复和缓慢变化, 让听者追踪相位、织体或和声的变化. 前面的十二音变换与循环节奏分别提供了分析这两种组织方式的数学工具. 它们描述结构, 不直接判定作品的审美价值.

Music and Mathematics - 3

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

9 Algorithmic Composition

9.1 Stochastic Composition

音乐骰子游戏 Musikalisches Würfelspiel

预先准备好若干已编号的音乐片段, 演奏时通过掷骰子决定选用哪个片段.

e.g.1 Kirnberger 《波洛涅兹和小步舞曲作曲常备》游戏的关键在于Kirnberger的精心设计, 使得每一个小节的所有不同旋律都能和前一小节的任何一种旋律衔接.

e.g.2 Haydn(存疑) 《和声游戏: 无需对位知识便可以创作出无穷多小步舞曲和三声中部的简易方法》小步舞曲与中部 (trio) 常按 A–B–A 的整体安排演奏; “trio” 的历史名称不表示所有中部都必须使用两只双簧管和一只 bassoon. 对讲义中所举的中部构造, 若两部分各 8 小节, 每小节可独立选 6 种片段, 则完整选择序列有 \(6^{16}\) 种. 计数依据是课程 Lecture 05, pp. 8–10 展示的 96 个编号片段及两张 6×8 选取表, 不保证所有选择在听觉上互异. Haydn 署名继续保留存疑, 不由讲义中的标题认定作者归属.

随机性与概率 随机变量、随机事件、概率分布、条件概率的基本概念不再赘述

ILLIAC组曲 Lejaren A. Hiller 与 Leonard M. Isaacson 借助 ILLIAC I 制作弦乐四重奏的作曲材料, 进行多组逐渐复杂的程序实验. 随机候选还须经过预先设定的音乐规则筛选, 并由人整理成谱; 不能把整部作品概括为对同一个音级集合的独立均匀抽样.

参见伊利诺伊大学的 ILLIAC Suite 档案说明. 未指定实验、音阶、端点和休止符编码时, “两个八度共 31 个音级”也不足以确定一个可复现的采样模型.

带限随机序列的谱 研究随机旋律时, 必须先指定分析的是随时间变化的音高数值, 还是合成后的声波. 对一个离散音高序列, 功率谱密度描述不同时间变化频率上的方差分布, 不等于声波本身的音频频谱.

模型	在指定频段内的谱密度
白噪声	近似常数
粉红噪声	近似与频率的倒数成正比
棕噪声	近似与频率平方的倒数成正比

粉红噪声在等宽对数频带 (如相邻八度) 中功率相同, 因为 \(\int_f^{2f}\nu^{-1}\,d\nu=\log2\). 幂律只在指定频段内使用, 不能直接扩展到零频和无穷频, 也不是所有音乐必须满足的普遍规律.

9.2 Markov Chains

在同一个概率空间上定义的随机变量族称为随机过程. 这里只讨论离散时间、有限状态空间 \(S\) 上的过程 \(X_0,X_1,\ldots\).

Markov 性质 对具有正概率的历史事件, 要求

\[\Pr(X_{t+1}=j\mid X_0=i_0,\ldots,X_t=i_t) =\Pr(X_{t+1}=j\mid X_t=i_t).\]

条件只包含已经发生的状态, 不包含待预测的 \(X_{t+1}\). 若转移概率不随时间改变, 称为齐次链, 可记

\[P_{ij}=\Pr(X_{t+1}=j\mid X_t=i),\quad P_{ij}\ge0,\quad \sum_jP_{ij}=1.\]

初始分布 \(\pi_0\) 和矩阵 \(P\) 共同决定链; 用行向量表示分布时, \(\pi_{t+1}=\pi_tP\).

Example 只使用 C、D、E 三个音类, 取

\[P=\begin{pmatrix} 1/2&1/2&0\\ 1/4&1/2&1/4\\ 1/2&0&1/2 \end{pmatrix},\qquad \pi_0=(1,0,0).\]

从 C 开始, 下一音为 C、D 的概率各为 \(1/2\), 再下一步的分布为

\[\pi_2=(3/8,1/2,1/8).\]

每一步按当前行采样便得到一条旋律. 若同时研究节奏, 可将状态改为“音类、时值”的组合. 有限状态一阶模型只保留局部转移规律, 不自动保证乐句或和声的长期结构.

高阶模型 对 \(t\ge m-1\), m 阶 Markov 性质为

\[\Pr(X_{t+1}=j\mid X_0,\ldots,X_t) =\Pr(X_{t+1}=j\mid X_{t-m+1},\ldots,X_t).\]

把最近 m 个音组成新状态 \(Y_t=(X_{t-m+1},\ldots,X_t)\), 便可转成一阶链, 但状态数至多增为 \(|S|^m\). 训练数据不足时, 许多历史组合没有样本, 需要平滑、回退或降低阶数.

9.3 Genetic Algorithms

属于进化算法(Evolutionary Algorithm)的一种. 其核心思想是模拟自然选择与遗传机制, 通过"适者生存"的原则, 在解空间中迭代演化出近似最优解.

Step GA的标准流程

Encoding: 将问题的可行解表示为适合遗传操作的individual, 通常用string形式编码.
假定需要考虑的乐音体系包括\(n\)个音级, 且十六分音符为最短时值, 则:
- \(0\)代表休止符
- \(1,2,\ldots,n\) 代表对应的音级
- \(n+1\)代表延长
每个编码位置占一个十六分音符的网格单位. 延长符必须跟在可延长的音后面 (或事先另行定义延长休止的规则), 不能无条件作为首项; 交叉、变异后也须检查或修复这类合法性约束.
Initialize Population: 随机或启发式地生成一个由\(N\)个个体组成的Initial Population.
Fitness Evaluation&Termination Check:
- 使用预先定义的Fitness Function计算个体适应度\(f(i_k)\)，用于衡量该个体在问题中的优劣程度
  
  如何度量一段音乐的"好坏"? 音乐本身规律、统计结果、人机交互、ML……多项加权.
- 若满足终止条件, 如存在\(f(i)>\alpha\)则停止算法并输出最优解; 否则继续下一步.
Evolution:
- Selection: 根据适应度值, 通过轮盘赌算法、锦标赛选择等从当前种群中选择个体作为parents.
  
  Roulette Wheel Selection: 设当前种群为\(\{i_k\mid k=1,\cdots ,N\}\), 其适应度为\(f(i_k)\), 则\(i_l\)成为parent的概率为
  \[\frac{f(i_l)}{\sum_{k=1}^Nf(i_k)}\]
- Crossover/Recombination: 对选中的 parents 按一定 crossover rate 进行配对, 并在其执行交叉操作(如单点交叉、多点交叉、均匀交叉等), 产生 offspring.
- Mutation: 对子代个体按一定 mutation rate 对编码中的某些基因位进行随机改变(如翻转二进制位、扰动实数值等), 以维持种群多样性并避免早熟收敛.
Form New Population 用产生的 offspring 替换或与 parent 组合形成新一代种群(采用代际模型、精英保留策略等)
Return 若已经达到预设迭代次数\(M\), 则停止迭代; 否则回到 Fitness Evaluation, 进行下一轮迭代.

精英保留 (elitism) 可用于形成新一代: 直接保留当前最优的少量个体. 轮盘赌选择需保证适应度非负且总和为正; 若不满足, 应先变换分数或改用锦标赛选择. 遗传算法不保证找到全局最优解.

9.4 Music Information Retrieval

音乐信息检索 (MIR) 包括音高与节拍分析、曲目识别、相似性检索、流派分类等. 以音频分类为例, 先把波形转成能表达目标信息的特征, 再训练并评价模型.

MFCC Mel 频率倒谱系数的一种典型流程为

每帧功率谱经过 Mel 滤波器组得到能量 \(E_m\), 再对其对数作离散余弦变换. 略去归一化常数, 可写为

\[c_q=\sum_{m=0}^{M-1}\log(E_m+\varepsilon) \cos\left[\frac{\pi q}{M}\left(m+\frac12\right)\right].\]

\(\varepsilon>0\) 防止对零取对数. 选择前若干系数概括谱包络; MFCC 不是保存完整旋律与音色的无损音频压缩格式.

若单声道音频有 \(N\) 个样本, 帧长 \(W\)、步长 \(H\) 为正整数, 且仅取完整帧、不作边界补齐, 则帧数为 \(1+\lfloor(N-W)/H\rfloor\) (\(N\ge W\)). 每帧保留 Q 个系数, 输出规模就是“帧数 × Q”. 因而固定 30 秒音频并不能唯一确定特征数量, 还必须说明采样率、帧长、步长与边界处理.

训练、验证与测试数据承担不同作用. 同一曲目的相邻片段不宜随机分散到训练集和测试集, 否则模型可能借助录音特征而非所需音乐规律得到过高分数. 按曲目或演奏者分组取决于实际评价目标.

9.5 Generative Models for Music

音乐生成可以使用符号表示 (音高、起音、时值等事件), 也可以生成波形或时频表示. 两者解决的问题不同: 前者仍需音源合成, 后者需处理更长的序列与音色细节.

Diffusion model 以前向加噪过程和学习到的反向过程建模. 以 DDPM 为例, 训练时随机选择噪声水平, 可以直接采样相应的含噪数据来学习预测噪声; 生成时从噪声出发逐步反向采样. 参见 Ho, Jain 与 Abbeel 的 Denoising Diffusion Probabilistic Models, §§2–3.4; 原论文研究图像生成, 此处借用其训练与采样框架. 模型学习的是数据分布的近似, 不意味着任意噪声输入都对应一首具有完整音乐结构的作品.

GAN 判别器学习区分真实样本和生成样本; 生成器利用判别器的反馈更新. 两者交替优化:

Transformer 注意力把每个位置的查询与可见位置的键比较, 将相应的值加权求和:

\[\operatorname{Attention}(Q,K,V)= \operatorname{softmax}\left(\frac{QK^{\mathsf T}}{\sqrt{d_k}}+M\right)V.\]

这里 \(Q,K,V\) 分别为查询、键、值矩阵, \(d_k\) 为查询与键向量的维数; \(QK^{\mathsf T}\) 的每一行对应该查询对各键的评分. 掩码 \(M\) 与评分矩阵同形, 允许位置取 0, 禁止位置取 \(-\infty\), 每行须至少保留一个位置. softmax 按行计算. 自回归生成时, 掩码禁止读取未来位置; 训练输入还须相对预测目标错开一项, 并通过位置编码等机制提供顺序信息. 训练中可并行计算已知序列各位置的表示; 逐 token 生成仍依赖先前输出, 不能把它描述为所有输出都彼此独立地并行产生.

这些模型并不替代前述节奏、音类与和声分析; 那些结构可以用于设计表示、条件或评价指标.

10 Appendix: Musical Texture

复调音乐 (Polyphony): 指由两个或以上相对独立的旋律声部同时进行、并在节奏与音高上相互作用而形成的音乐形态. 多声部音乐还包含以主旋律与和弦伴奏组织的主调织体 (homophony), 因而多声部不全是复调. 复调强调各声部的独立性与对等性, 常见于文艺复兴、巴洛克时期的复调音乐传统中
赋格(Fugue): 是一种复调体裁或写作方式, 以主题 (subject) 及其答题 (answer) 等材料在不同声部依次进入、模仿并展开. 可通过转调、倒影、逆行、扩大或缩小等对位技术发展素材, 但不要求每部赋格都使用全部这些技术. 巴洛克时期(如巴赫作品)中尤为典型

11 References

王杰, 音乐与数学课程讲义, 2025 年秋季.
Robert Hutchinson, Music Theory for the 21st-Century Classroom: 节拍、音类集合与十二音技术.
Normal Form 与 Prime Form: 紧凑性并列规则的约定.
Godfried Toussaint, Rhythm and Melody: 节奏的几何分析.
Introduction to Speech Processing: MFCC: 对数 Mel 谱与倒谱系数.

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Music on Square's Blog

Music and Mathematics - 1

1 Sound and Musical Notation

1.1 Physical Properties of Sound

1.2 Musical Pitch System

1.3 Notation

1.4 Interval

1.5 Meter and Rhythm

1.5.1 Meter

1.5.2 Asymmetric Meter

1.5.3 Rhythm

2 Vibration and Overtones

2.1 Consonance and the Overtone Series

2.2 Pizzicato

2.3 Wind Instruments

3 Temperaments and Tuning Systems

3.1 The Sanfen Sunyi Method(三分损益)

3.2 Generation by Fifths(五度相生)

3.3 Just Intonation

3.4 Meantone Temperament

3.5 Equal Temperament

3.6 Cents

4 Modes, Scales and Chords

4.1 Modes & Scales

4.1.1 Modes

4.1.2 Circle of Fifths

4.2 Chords

4.3 Chords in the modal scale

Music and Mathematics - 2

5 Rhythm and Circular Patterns

5.1 Circular Rhythm Models

5.1.1 Evenness and Onset Placement

5.1.2 Metric Properties of Rhythm

6 Melody and Symmetry

6.1 Symmetry in Melody

6.2 From Pitch to Pitch-Class Space

6.3 Groups of Musical Transformations

6.4 Twelve-Tone Technique

7 Pitch-Class Sets and Neo-Riemannian Theory

7.1 From Pitch-Class Sets to Set Classes

7.2 Harmonic Progressions and Riemannian Transformations

7.3 Tonnetz

7.4 Neo-Riemannian Theory

8 Duration Rows and Rhythmic Symmetry

8.1 Duration Rows

8.2 Clapping Music & Phase Shift

8.3 Serialism and Minimalism

Music and Mathematics - 3

9 Algorithmic Composition

9.1 Stochastic Composition

9.2 Markov Chains

9.3 Genetic Algorithms

9.4 Music Information Retrieval

9.5 Generative Models for Music

10 Appendix: Musical Texture

11 References

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