Optics on Square's Blog

Optics - 1

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Geometrical Optics

1.1 Huygens and Fermat Principles

Postulate Huygens’ principle. 传播波前上每一点都可看作发出球面次波的新波源, 稍后时刻的波前是这些次波的包络

次波中心与其次波面上的包络线切点的连线给出该处波矢方向.
Huygens principle 导出折射定律
\[\frac{\sin i_1}{\sin i_2}=\frac{u_1}{u_2}=\frac{n_2}{n_1}\]
反射类似.
不足: 不能给出光振幅、光强和位相的传播规律, 也没有说明次波之间如何相干叠加. 改进: Huygens-Fresnel principle 补入次波相干叠加、振幅与位相因子, 因此可处理衍射和干涉强度 \(\implies\) 光场衍射理论

Definition 光程. 对固定频率, 采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\) 约定, 从 \(Q\) 向 \(P\) 传播的空间相位增加. 下式 \(u_i=c/n_i\) 为相速度; \(\Delta t=L/c\) 是非色散介质的传播时间, 在色散介质中不能直接用它表示脉冲延迟.

\[\begin{aligned} \phi(P)-\phi(Q) &=\sum_i\frac{2\pi}{\lambda_i}l_i =\frac{2\pi}{\lambda_0}\sum_in_il_i =k_0L(QP),\\ \Delta t &=\sum_i\frac{l_i}{u_i} =\frac{1}{c}\sum_in_il_i =\frac{1}{c}L(QP). \end{aligned}\]

平面反射/折射光束具有等光程性

Postulate Fermat’s Principle. 固定频率的几何光学中, 光线沿相位光程取平稳值的路径传播

\[\delta\int_Q^P n(\mathbf{r})\,ds=0\]

波动解释: 实际路径附近, 光程(或者说相位)随路径的一阶变化为零, 相邻路径次波在该点相位几乎相同, 叠加后相干增强; 若偏离平稳路径, 相位随路径快速变化, 各路径贡献在短波长极限下大幅相消; 有限波长仍可留下衍射贡献.
平稳值可以是极小、极大或常数光程
- 常见情况取极小值(光在均匀介质中直线传播、反射、折射定律)
- 理想成像对应常数光程(物像等光程, 注意区分实/虚)
- 个别现象取极大值.
Fermat principle 推导折射定律: 设界面上一点横坐标为 \(x\), 光程
\[L=n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}\]
令 \(dL/dx=0\), 得
\[n_1\sin i=n_2\sin r\]
Example 双曲透镜聚焦平行光

等光程透镜的轴截面示意图; \(r=\overline{MF}\), \(r_0=\overline{O^{\prime}F}\). 曲线外形为示意, 不用于量取曲率或光程.

Solution
\[\overline{MF}=n\cdot\overline{HO^{\prime}}+\overline{O^{\prime}F} \implies r\left(\theta\right) =\frac{\left(1-n\right)r_0}{1-n\cos\theta} =\frac{n(1/n-1)r_0}{1-n\cos\theta}\]
这里取外界为空气、透镜相对折射率 \(n>1\), \(r_0>0\), 并选取 \(r(\theta)>0\) 的透射物理支(本式对应 \(\cos\theta>1/n\)); 光线还须满足可透射的折射条件. 这是一条双曲线, 旋转后为旋转双曲面; 球面只能在傍轴近似下聚焦.

Remark 波动光学的历史.

1690 年 Huygens 在《光论》一书中正式提出了光的波动说.
一个世纪后, Fresnel 以前者的次波假设为基础, 结合干涉原理, 建立了波动光学的定量形式.
Thomas Young 通过 双缝干涉 实验为波动光学的发展作出了开创性工作.
1850 年法国科学家 Fizeau 和 Foucault 通过实验 证明光在水中的速度小于在空气中的速度, 使得光的波动说无可辩驳地得以确立.
后来 Hertz 证实了电磁波的存在, 并证明其速度与光速相同, 因而指出光是一种电磁现象, 人们用他的名字作为振荡频率的单位.

1.2 Refraction at a Spherical Surface

Notation 光由左向右传播.

物距 \(s\) 以顶点左侧的实物为正, 像距 \(s'\) 以右侧的实像为正; 虚物、虚像取负.
曲率半径 \(r\) 以曲率中心在顶点右侧为正.
物方与像方折射率分别为 \(n,n'\), 横向坐标向上为正.

Proposition 球面折射傍轴成像. 先取实物、实像, 光线在界面处高度为 \(h\), 球面矢高 \(\Delta\simeq h^2/(2r)\). 要求 \(h\ll |s|,|s'|,|r|\).

球面折射的实物、实像几何. 原图底部的 \(x\) 标记对应本文的像距 \(s^{\prime}\), 即 \(\overline{OQ^{\prime}}\); 图示曲率中心在顶点右侧, 因而 \(r>0\).

\[\begin{aligned} L&=n\sqrt{(s+\Delta)^2+h^2}+n'\sqrt{(s'-\Delta)^2+h^2}\\ &=ns+n's'+\frac{h^2}{2}\left[\frac ns+\frac{n'}{s'}+\frac{n-n'}r\right]+O(h^4). \end{aligned}\]

同一物点发出的傍轴光线应有相同光程, 因而二次项系数为零:

\[\frac ns+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}\equiv\Phi.\]

所得有向距离公式也适用于虚物或虚像. 反射情形须另按反射光轴建立符号约定, 不把介质折射率直接设为 \(-1\).

当 \(\Phi\ne0\) 时, 得到有限焦距的 Gauss 成像公式; \(\Phi=0\) 时应保留前面的光焦度形式或取极限.

\[\frac{f}{s}+\frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}=1,\qquad f=\frac{n}{n^{\prime}-n}r=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{n^{\prime}-n}r=\frac{n^{\prime}}{\Phi}\]

横向放大率: 利用过 \(O\) 点的光线的角放大率 \(W = n/n^{\prime}\), 可以得到
\[V=\frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{s^{\prime}/n^{\prime}}{s/n}\]
Lagrange-Helmholtz const: 傍轴条件下
\[ynu=y^{\prime}n^{\prime}u^{\prime}=\mathrm{const},\qquad u\approx h/s\]
这里取傍轴小倾角 \(u\), 光线沿向右传播轴向上倾斜(逆时针)为正, 与 \(y\) 向上为正及后文传递矩阵约定一致. 对轴上实物点, 入射 \(u\approx h/s\), 出射 \(u^{\prime}\approx-h/s^{\prime}\).

Definition Aplanatic Point. (界面是两个点的 Apollonian circle) 下图取 \(n>n^{\prime}\), \(r\) 是正的球面几何半径, \(\overline{QC},\overline{Q^{\prime}C}\) 是到球心的几何长度, 不同于从顶点量起的有向物距和像距.

\[\overline{QC}=\frac{n^{\prime}}{n}r,\qquad \overline{Q^{\prime}C}=\frac{n}{n^{\prime}}r\]

1.3 Cardinal Points and Lens Systems

理想成像要求物方空间每一点都能严格成像, 亦即物方的每个同心光束转化为像方的一个同心光束. 满足这种理想成像要求的光具组叫做理想光具组.

高斯光学: 研究近轴区成像的理想光学系统.

Remark 理想成像的共线变换. 有如下性质:

物方每个点对应像方一个点(共轭点)
物方每条直线对应像方一条直线(共轭线)
物方每个平面对应像方一个平面(共轭面)
光轴上任何一点的共轭点仍在光轴上
任何垂直于光轴的平面, 其共轭面仍与光轴垂直
在垂直于光轴的同一平面内横向放大率相同
在垂直于光轴的不同平面内横向放大率一般不等

1.3.1 Cardinal Points and Planes

理想光具组物像之间的共轭关系完全由几对特殊的点和面所决定

焦点和焦面
- 与无穷远像平面共轭的平面为物方焦面 \(\mathscr{F}\), 其轴上点是为物方焦点 \(F\).
- 与无穷远物平面共轭的平面为像方焦面 \(\mathscr{F}^{\prime}\), 其轴上点是为像方焦点 \(F^{\prime}\).
主点和主面: 横向放大率等于1的一对共轭面, 叫做主面. 主面不一定在透镜的两界面之间
- 属于物方的叫做物方主面 \(\mathscr{H}\), 其轴上点是为物方主点 \(H\)
- 属于像方的叫做像方主面 \(\mathscr{H}^{\prime}\), 其轴上点是为像方主点 \(H^{\prime}\)
当透镜的厚度趋于 0 时, 透镜的两顶点和两主点都重合在一起, 成为光心, 即薄透镜本身所在的平面就是主面, 光心就是主点.

距离的规定:

物距是物方主点到轴上物点的距离, 像距是像方主点到轴上像点的距离.
物方焦距是物方主点到物方焦点的距离, 像方焦距是像方主点到像方焦点的距离

Definition 节点. 光轴上角放大率等于 1 的共轭点 \(N,N^{\prime}\). 入射光线或其延长线通过 \(N\) 时, 出射光线或其延长线通过 \(N^{\prime}\), 两者平行, 不要求位于同一直线上. 当物像方折射率相同, 节点分别与主点重合.

节点的寻找方法: 利用主面性质, 找到平行的一组共轭光线, 其入射、出射光线的延长线与光轴的交点分别是 \(N,N^{\prime}\).

1.3.2 Imaging Relations

以下物距、像距从各自主面量起, 取实物、实像为正. 有限焦距公式要求系统光焦度非零. 令 \(x=s-f\), \(x^{\prime}=s^{\prime}-f^{\prime}\).

上图可以看出几何关系 \[\frac{-y^{\prime}}{y}=\frac{f}{x}=\frac{f}{s-f},\qquad \frac{-y^{\prime}}{y}=\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}=\frac{s^{\prime}-f^{\prime}}{f^{\prime}}\] 进而得到 Gauss 公式和 Newton 公式 \[\frac{f}{s}+\frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}=1,\qquad xx^{\prime}=ff^{\prime}\] 横向放大率 \[V = \frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}=-\frac{fs^{\prime}}{f^{\prime}s}\] 其中最后一步利用 \(xx^{\prime}=ff^{\prime}\): \[\frac{s^{\prime}}{s}=\frac{x^{\prime}+f^{\prime}}{x+f} =\frac{ff^{\prime}/x+f^{\prime}}{x+f} =\frac{f^{\prime}}{x}.\] 对轴上共轭点, 选取在两主面处高度同为 \(h\) 的一对共轭傍轴光线, 可以看出角放大率 \[W = \frac{\tan u^{\prime}}{\tan u} = \frac{-h/s^{\prime}}{h/s}=-\frac{s}{s^{\prime}}\] 从而 \(VW = f/f^{\prime}\). 对物像方介质相同的薄透镜成像和单球面成像, 结果分别化为 \(1\) 和 \(n/n^{\prime}\), 后者给出 Helmholtz 公式.

1.3.3 Lens Power

对厚透镜, 物距和像距从主面量起. 两界面光焦度为 \(\Phi_1,\Phi_2\), 镜内折射率为 \(n_L\), 厚度为 \(d\). 有限焦距、主面和前述 Newton 公式取 \(\Phi\ne0\); 光焦度合成式本身也适用于 \(\Phi=0\).

\[\Phi=\Phi_1+\Phi_2-\frac{d}{n_L}\Phi_1\Phi_2,\qquad f=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}.\]

成像关系为 \(f/s+f^{\prime}/s^{\prime}=1\), 横向放大率为 \(V=-fs^{\prime}/(f^{\prime}s)\). 各距离均从相应主点量起, 不把厚透镜的顶点当作主点.

空气中的密接薄透镜组
\[\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \Phi_1+\Phi_2\]
更多镜片同.
对薄透镜, \(\Phi = \Phi_1+\Phi_2\). 特别地, 对于两侧都为空气的情况, 得到
\[f = \frac{1}{\left(n_L-1\right)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}\]

1.3.4 Ray Diagrams

以下采用两侧介质相同的薄透镜模型, 光心 \(O\) 与主点、节点重合, 过光心的光线方向不变; 一般厚光具组应分别用主面和节点作图.

通过物方焦点 \(F\) 与光轴垂直的平面叫物方焦面 \(\mathscr{F}\), 以物方焦面轴外一点 \(P\) 为中心的入射同心光束转化为与光轴成一定倾角的出射平行光束. 倾斜平行光束的方向可由 \(P\) 与光心 \(O\) 的联线来确定, 这联线称为副光轴
通过像方焦点 \(F^{\prime}\) 与光轴垂直的平面叫像方焦面 \(\mathscr{F}^{\prime}\), 平行光束入射汇聚于像方焦面上一点
凸透镜
凹透镜

1.3.5 Two-Lens Systems

以下两薄透镜位于同一均匀介质, \(d\) 为光心间距, 光学间隔为 \(\Delta=d-f_1^{\prime}-f_2\). 有限焦距及主点位置公式要求 \(\Delta\ne0\); \(\Delta=0\) 对应无焦系统, 应直接用传递矩阵处理.

几何关系

\[\frac{\overline{M_1O_1}}{\overline{M_2O_2}}=\frac{f_1^{\prime}}{\Delta+f_2}=\frac{\overline{M_3H^{\prime}}}{\overline{M_2O_2}}=\frac{\overline{F^{\prime}H^{\prime}}}{\overline{O_2F^{\prime}}} \implies \overline{F^{\prime}H^{\prime}}=\frac{f_1^{\prime}}{\Delta+f_2}\overline{O_2F^{\prime}}\]

利用 \(L_2\) 的成像公式, 可以得到联合系统的焦点和主点位置, 以及焦距

\[\overline{O_2F^{\prime}}=\frac{f_2^{\prime}\left(f_2+\Delta\right)}{\Delta} \implies f^{\prime}=-\overline{F^{\prime}H^{\prime}}=-\frac{f_1^{\prime}f_2^{\prime}}{\Delta}\]\[l_H^{\prime}=\overline{O_2H^{\prime}}=\frac{f_2^{\prime}\left(f_2+\Delta\right)}{\Delta}+\frac{f_1^{\prime}f_2^{\prime}}{\Delta}=\frac{f_{2}^{\prime}d}{\Delta}\]

同理

\[f=-\frac{f_1f_2}{\Delta},\qquad l_H=\overline{O_1H}=\frac{f_1d}{\Delta}\]

1.4 Ray Transfer Matrices

Notation 本节光线状态为 \((nu,y)^{\mathsf T}\), \(u\) 是沿传播轴测量的有向小倾角. 矩阵从右向左作用. 下文 \(\overline{O_iP}\) 为沿统一光轴向右的有向坐标, 而物方距离 \(s\) 向左为正; 二者相差负号.

1.4.1 Elementary Matrices

Definition 单球面折射矩阵.

\[\begin{bmatrix} n'u' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\Phi \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nu \\ y \end{bmatrix}\]

Definition 均匀介质的传递矩阵.

\[\begin{bmatrix} n'u' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{d}{n} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nu \\ y \end{bmatrix}\]

均满足行列式为 1.

1.4.2 Imaging with System Matrices

对于系统矩阵 \(M_{k1} = R_kT_{\mathrm{k,(k-1)}}R_{\mathrm{k-1}}\cdots R_3T_{32}R_2T_{21}R_1\), 有
\[M_{A^{\prime}A} =T_{A^{\prime}K}M_{k1}T_{1A} =\begin{bmatrix} M_{11}&M_{12}\\ M_{21}&M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\\frac{s^{\prime}}{n^{\prime}}&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} B&A\\ D&C \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\\frac{s}{n}&1\end{bmatrix}\]
在当前 \((nu,y)\) 状态约定下定义系统光焦度
\[\Phi\equiv -A.\]\[n^{\prime}u^{\prime}=M_{11}nu+M_{12}y,\qquad y^{\prime}=M_{21}nu+M_{22}y\]
考虑成像条件:
- 像高只取决于物高, 与进入光学系统的角度无关, 即 \(M_{21} = 0\). 从而得到成像关系
  \[s^{\prime}/n^{\prime}=-\frac{D+Cs/n}{B+As/n}\]
- 进而, 放大率仅由 \(M_{22}\) 决定, \(V = M_{22}\)
- 利用行列式为 1, 应有 \(M_{11} = 1/V\)
- 对于 \(M_{12}\), 直接由矩阵乘法可知
  \[M_{12}=A=-\Phi.\]
故
\[M_{A^{\prime}A} =\begin{bmatrix} 1/V&-\Phi\\ 0&V \end{bmatrix}\]
- 对 \(A\ne0\) 的有焦系统, 利用 \(V=1\), 可以得到主面位置
  \[\begin{aligned} V&=M_{22}=C+As^{\prime}/n^{\prime}=1/M_{11}=\frac{1}{B+As/n},\\ s_H&=-\overline{O_1H}=\frac{1-B}{A}n,\qquad s_{H^{\prime}}=\overline{O_kH^{\prime}}=\frac{1-C}{A}n^{\prime} \end{aligned}\]
- 分别利用
  \[s=\infty,V=0;\qquad s^{\prime}=\infty,V=\infty\]
  结合成像公式, 得到焦面位置和焦距
  \[\begin{aligned} s_{F}&=-\overline{O_{1}F}=-\frac{B}{A}n,\qquad s_{F^{\prime}}^{\prime}=\overline{O_{k}F^{\prime}}=-\frac{C}{A}n^{\prime},\\ f&=-\frac{n}{A}=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=-\frac{n^{\prime}}{A}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}. \end{aligned}\]

1.5 Optical Instruments

简化人眼模型常以 \(s_{\mathrm{dv}}=250\,\mathrm{mm}\) 为参考明视距离, 角分辨率数量级为 \(1'\); 实际近点和分辨率随个体及条件变化. 以下镜片计算忽略镜片与眼的距离.

近视眼: 放松调节时远点位于眼前有限距离.

远点通过凹透镜被纠正至无穷远, 则 \(s_{\mathrm{fp}} = -1/\Phi\). 眼镜的度数等于 \(100 P\), 其中屈光度 \(P= \Phi\) 单位为 \(D = m^{-1}\).
近点过远的简化成像例: 以下设近点超过参考明视距离. 单凭近点过远不能区分远视与调节能力下降.

要让参考明视距离的物体经凸透镜形成位于近点 \(s_{\mathrm{np}}\) 的虚像, 薄透镜公式给出
\[\Phi=\frac{1}{s_{\mathrm{dv}}}-\frac{1}{s_{\mathrm{np}}}>0.\]
距离用米时, \(\Phi\) 的单位为 \(\mathrm{m}^{-1}\); 度数换算仍为 \(100\Phi\), 但不能沿用近视远点的光焦度公式.
放大镜: 放大的正立虚像在明视距离. 对于 \(f\ll s_{\mathrm{dv}}\) 的短焦, 物距
\[s=f-\frac{f^2}{s_{\mathrm{dv}}+f}\approx f\]
视角放大率(相比于没有放大镜)
\[M\approx\frac{y/s}{y/s_{\mathrm{dv}}}=\frac{s_{\mathrm{dv}}}{s}=1+\frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\approx\frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\]
显微镜

上图示意最终虚像在明视距离的情形.

最终像在无穷远时, \(M_e\approx s_{\mathrm{dv}}/f_e\); 下式采用这种放松观察条件. 若最终像在明视距离, 应改用 \(M_e\approx1+s_{\mathrm{dv}}/f_e\), 仅在 \(f_e\ll s_{\mathrm{dv}}\) 时可忽略常数项. 角放大率
\[M \approx V_o M_e \approx -\frac{\Delta}{f_o}\cdot \frac{s_{\mathrm{dv}}}{f_e} = \frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\]
望远镜

角放大率
\[M=\frac{\omega^{\prime}}{\omega}=-\frac{f_o}{f_E},\qquad |M|=\frac{D_o}{D_E}\]
这里取无焦、无渐晕的傍轴望远系统; \(D_o\) 是入瞳直径, \(D_E\) 是出瞳直径, 不能把后者当成目镜镜片的机械口径.

1.6 Optical Aberrations

Definition Aberration. 任何偏离理想成像的现象, 称为像差.

几何像差(非单色->色差, 非近轴->单色像差); 波像差(不是点源球面波)

Theorem Abbe 正弦条件. 在轴上点已消球差的前提下, 傍轴小物点以大孔径光束理想成像的充分必要条件为

\[n_0y_0\sin u_0=n^{\prime} y^{\prime}\sin u^{\prime}\]

其物理含义是保持物像等光程, 并消除傍轴物点宽光束成像中的正弦差.

Proof

上图的几何示意另采用物方大孔径、像方傍轴的小视场条件; 像方傍轴只属于这张图的近似, 不是一般 Abbe 正弦条件的必要前提.

傍轴物点条件下, \(\theta\) 很小, 故

\[L\left(G^{\prime}P^{\prime}\right)\approx L\left(G^{\prime}R^{\prime}\right),\qquad L\left(F^{\prime}P^{\prime}\right)\approx L\left(F^{\prime}Q^{\prime}\right)\]

物像等光程要求

\[\begin{aligned} L\left(PNN^{\prime}P^{\prime}\right)&=L\left(PSS^{\prime}P^{\prime}\right),\qquad L\left(QMM^{\prime}Q^{\prime}\right)=L\left(QTT^{\prime}Q^{\prime}\right),\\ L\left(PNN^{\prime}G^{\prime}\right)&=L\left(RMM^{\prime}G^{\prime}\right),\qquad L\left(PSS^{\prime}F^{\prime}\right)=L\left(QTT^{\prime}F^{\prime}\right) \end{aligned}\]

得到

\[L\left(QR\right)=L\left(Q^{\prime}R^{\prime}\right) \implies n_0y_0\sin u_0=n^{\prime} y^{\prime}\sin u^{\prime}\]

齐明点满足 Abbe 正弦条件

胶合透镜消色差: 对于特定目标波长, 保持光焦度一致.

Example 消色差胶合透镜用冕牌玻璃和火石玻璃做焦距为 \(10.0\,\mathrm{cm}\) 的消色差胶合透镜, 求两透镜焦距. 焦距通常以可见光区域中部的钠光谱 D 线为准, \(\lambda_D = 589.3\,\mathrm{nm}\).

	F 线 486.1 nm	D 线 589.3 nm	C 线 656.3 nm
冕牌玻璃	1.517	1.511	1.509
火石玻璃	1.633	1.621	1.616

Solution 设两薄透镜结构因子为 \(K_1,K_2\)(即两个面的曲率差), 总光焦度(由磨镜者公式)

\[(n_{1D}-1)K_1+(n_{2D}-1)K_2=10.0\,\mathrm{m^{-1}},\]

消色差条件

\[(n_{1F}-n_{1C})K_1+(n_{2F}-n_{2C})K_2=0.\]

代入得 \(K_1=45.7\,\mathrm{m^{-1}}\), \(K_2=-21.5\,\mathrm{m^{-1}}\). D 线下

\[P_1=23.4\,\mathrm{D},\quad P_2=-13.4\,\mathrm{D},\]

因而

\[f_1=4.27\,\mathrm{cm},\qquad f_2=-7.46\,\mathrm{cm}.\]

Remark 目镜消色差. 透镜组光焦度

\[\Phi=-\frac{\Delta}{f_1f_2}=-\frac{d-f_1-f_2}{f_1f_2}=P_1+P_2-P_1P_2d=(n-1)(K_1+K_2)-(n-1)^2K_1K_2d\]

尝试使其不随折射率 \(n\) 变化, 有

\[\frac{dP}{dn}=0\implies d=\frac{K_1+K_2}{2(n-1)K_1K_2}=\frac{P_1+P_2}{2P_1P_2}=\frac{f_1+f_2}{2}\]

从而, 只能对特定波长附近满足消色差.

2 Wave Optics and Diffraction

2.1 Electromagnetic Waves

Postulate Maxwell’s equations.

\[\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{e0},\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\qquad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{j}_0+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\]

其中 \(\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}\), \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\), \(\mathbf{j}_0 = \sigma \mathbf{E}\). 对于自由空间 \(\rho=0,\mathbf{j}=0\):

\[\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.\]

利用 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}\), 可得到真空波动方程. 推广到均匀、各向同性、线性、无源、无耗散的非色散介质时, \(\varepsilon,\mu\) 为常数, \(\sigma=0\), 有以下形式:

\[\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,\qquad \nabla^2\mathbf{H}-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}=0,\qquad u=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\]

可以得到平面波解

\[\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},\quad \mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0,\quad \omega=ku\]

电磁波为横波(利用 \(\nabla\to\mathrm{i}\mathbf{k},\partial_t\to-\mathrm{i}\omega\)), \(\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k}\) 两两垂直, 且 \(B_0=E_0/u\).

Definition Poynting vector.

\[\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H},\qquad \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}+\iint_{\Sigma}\mathbf S\cdot\mathrm{d}\boldsymbol\Sigma=0,\qquad W=\frac12\iiint_V(\mathbf E\cdot\mathbf D+\mathbf B\cdot\mathbf H)\,\mathrm{d}V.\]

这里 \(\Sigma=\partial V\) 取向外法向, 场为实瞬时场, 并沿用上述无耗散、非色散条件. 若存在传导电流, 等式右侧增加 \(-\iiint_V\mathbf j_0\cdot\mathbf E\,\mathrm{d}V\).

Definition 光强.

\[I=\left|\langle\mathbf S\rangle_t\right|=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\,\mathbf E_0\cdot\mathbf E_0^*\approx\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}n|\mathbf E_0|^2\]

最后一步另取 \(\mu_r\approx1\); 真实电场为前述复表示的实部.

2.2 Wavefronts and Phase Screens

\[\tilde{U}(P)=A(P)e^{i\phi(P)}\implies I(P)\propto \left\langle\tilde{U}(P)\cdotp\tilde{U}^*(P)\right\rangle=A^2(P)\]

球面
\[\tilde{U}(r,t)=\frac{A}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kr-\omega t)}\]
柱面
\[\tilde{U}(\rho,t)\simeq\frac{A}{\sqrt{\rho}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\rho-\omega t)},\qquad k\rho\gg1\]

2.2.1 Wavefront Functions

\(U(x,y)\)(仅含振幅和空间相因子)

平面波
\[U(x,y)=Ae^{ik(\cos\theta_x\cdot x+\cos\theta_y\cdot y)}\]
这里 \(\theta_x,\theta_y\) 分别是传播方向与 \(x,y\) 轴的夹角; 若改用相对于轴的余角 \(\theta_1,\theta_2\), 则 \(\cos\theta_x=\sin\theta_1\)、\(\cos\theta_y=\sin\theta_2\).
球面
\[U(x,y)=\frac{A}{r}e^{ikr},\qquad r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+d^2}\]

Assumption 球面波的近似条件

傍轴条件(或称振幅条件): 对横向尺度 \(\rho\), 传播距离 \(z\), 傍轴条件要求
\[z^2\gg\rho^2\]
振幅可用 \(A/z\) 近似. 相位保留二次项还要求被舍去的四次项满足 \(k\rho^4/(8z^3)\ll1\), 此时
\[U(x,y)\approx\frac{A}{z}e^{ik\frac{x^2+y^2}{2z}}\cdot e^{ikz}\]
远场条件(或称相位条件): 远场条件要求
\[z\lambda\gg \rho^2 \implies \frac{2\pi}{\lambda}\frac{\rho^2}{2z}\ll1\]
即二次相位可忽略, 则
\[U(x,y)\approx\frac{A}{z}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\]
球面波近似转为平面波.

Remark 移心球面波. 在上述傍轴条件下, 略去整体相位, 发散和会聚球面波的横向相因子统一写成

\[\exp\left[\pm ik\left(\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{xx_0+yy_0}{z}\right)\right].\]

这里 \(z>0\), 正号对应中心在 \((x_0,y_0,-z)\) 的发散波, 负号对应中心在 \((x_0,y_0,z)\) 的会聚波.

2.2.2 Phase Screens

薄透镜相位函数在傍轴条件下, 忽略吸收时
\[\tilde t_L(x,y) =\exp\left[-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2f}\right].\]
凹透镜与凸透镜形式相同, 但焦距 \(f\) 取负值.
棱镜相位函数: 在傍轴条件下, 忽略吸收时, 光通过棱镜相对真空传播多出的光程差为
\[\delta L\simeq n(d-x)\alpha-(d-x)\alpha =(n-1)(d-x)\alpha.\]
略去与 \(x\) 无关的整体相位, 一维棱镜屏函数可取为
\[\tilde t_P(x)=\exp[-\mathrm{i}k(n-1)\alpha x],\]
二维则 \(\alpha x\to\alpha_1x+\alpha_2y\).

傍轴成像 设入射波来自距离透镜 \(s\) 的傍轴点光源
\[\tilde U_1(x,y)=A_1 \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s}\right]\]

经过薄透镜后
\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=\tilde t_L(x,y)\tilde U_1(x,y)\\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2f}\right] \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s}\right]\\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k \frac{x^2+y^2}{2s'}\right] && s'=\frac{fs}{s-f}. \end{aligned}\]
当 \(s>f>0\) 时, 出射波为会聚球面波; \(0\lt s\lt f\) 时 \(s'\lt 0\), 出射波发散并形成虚像.

则经过棱镜后
\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=A_1 \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s} -\mathrm{i}k(n-1)\alpha x\right] \\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k \frac{[(n-1)s\alpha]^2}{2s}\right] \exp\left[ \mathrm{i}k\frac{[x-(n-1)s\alpha]^2+y^2}{2s} \right]. \end{aligned}\]
第二步配方. 除去整体相位后, 出射波仍为发散球面波, 发散中心移到
\[((n-1)s\alpha,0,-s)\]
因此棱镜在傍轴近似下主要使像点横向偏移, 而不改变其轴向距离.

2.3 Polarization

Definition 偏振态. 对沿 \(z\) 传播的单色平面波, 写作

\[E_x=A_x\cos\omega t,\qquad E_y=A_y\cos(\omega t+\delta).\]

消去时间得到

\[\left(\frac{E_x}{A_x}\right)^2+\left(\frac{E_y}{A_y}\right)^2 -2\frac{E_xE_y}{A_xA_y}\cos\delta=\sin^2\delta.\]

一般为椭圆; \(\delta=0,\pi\) 或一个分量为零时为直线; \(A_x=A_y\) 且 \(\delta=\pm\pi/2\) 时为圆. 圆偏振的左右旋名称须同时约定观察方向和时间因子.

Definition 线偏振度. 旋转线检偏器测得

\[P_L=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}.\]

它只测量线偏振成分. 圆偏振光也有 \(P_L=0\), 因而不能仅凭此式判断完全不偏振; 检测圆偏振成分还需波片.

Proposition Malus 定律.

线偏振光通过检偏器后

\[I=I_0\cos^2\theta\]

自然光先通过理想起偏器后强度变为 \(I_0/2\).

Remark 界面反射的相位. 对非磁性透明介质的正入射, 统一使用同一横向电场正方向. 切向电场和磁场连续分别给出 \(1+r=t\), \(n_1(1-r)=n_2t\), 因而

\[r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},\qquad t=\frac{2n_1}{n_1+n_2},\qquad R=|r|^2,\quad T=\frac{n_2}{n_1}|t|^2,\quad R+T=1.\]

当 \(n_2>n_1\) 时 \(r\lt 0\), 反射电场有 \(\pi\) 相位跃变, 即半波损失. 斜入射须区分 s/p 偏振; 全反射或金属反射的相位一般不是简单的 \(0\) 或 \(\pi\).

2.4 Diffraction Principles

Definition Diffraction. 光波遇到障碍物或孔径时, 偏离几何光学直线传播并绕行的现象称为衍射.

设结构特征尺度为 \(a\).
- 当 \(a\gg\lambda\) 时, 几何光学近似较好.
- 当 \(a\) 与 \(\lambda\) 同量级时, 衍射显著.
- 当 \(a\lesssim\lambda\) 时, 散射与衍射均可能显著, 不能仅凭尺寸给它们划定互斥边界; 下文标量 Kirchhoff 孔径近似通常要求孔径特征尺寸远大于波长.
实际判断近场/远场还依赖传播距离 \(L\). 常用 Fresnel number
\[F=\frac{a^2}{\lambda L}\]
描述衍射场类型: \(F\gtrsim1\) 时为近场 Fresnel 衍射, \(F\ll1\) 时进入远场 Fraunhofer 衍射.
按光源、衍射屏和接收屏之间距离远近, 傍轴衍射可分为两类:
- Fresnel diffraction: 光源、衍射屏、接收屏之间距离有限但远大于波长, 波面曲率和传播距离仍直接影响接收屏上的场分布.
- Fraunhofer diffraction: 光源和接收屏等效在无穷远处, 或用透镜把入射/出射波转化到焦平面. 场分布可按观察方向 \(\theta\) 描述.

Postulate Huygens-Fresnel 原理. 波前上每一点作为次波源, 观察点处光场为所有次波的相干叠加.

\[\begin{aligned} \tilde{U}(P)&=\iint_{\Sigma}\mathrm{d}\tilde{U}(P),\\ \mathrm{d}U(P)&\propto \mathrm{d}S\,U_0(Q)\frac{1}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}f(\theta_0,\theta)\\ \implies\quad \tilde{U}(P)&=K\iint_{\Sigma} f(\theta_0,\theta)\tilde{U}_0(Q)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\,\mathrm{d}S. \end{aligned}\]

相对 Huygens principle, 补入了振幅、相位、倾斜因子和相干叠加, 因此可定量处理衍射.

Example 用 Huygens-Fresnel principle 解释相控阵雷达的工作原理

Solution 相邻阵元引入固定相位延迟 \(\Delta\phi\) 来调控远场中相长干涉的方向, 即主瓣指向.

Proposition Kirchhoff 衍射公式. 下式取均匀介质中的标量近似, \(\Sigma\) 表示照明孔径面, 并采用 Kirchhoff 孔径边界近似; 不能据此处理任意亚波长孔或边缘的矢量近场.

\[\tilde{U}(P)=\frac{-i}{\lambda}\iint_{\Sigma}\frac{(\cos\theta_0+\cos\theta)}{2}\tilde{U}_0(Q)\frac{e^{ikr}}{r}dS\]

2.5 Fresnel Diffraction

Proposition Babinet 原理. 互补屏 \(\tilde{U}_a(P)+\tilde{U}_b(P)=\tilde{U}_0(P)\).

圆孔衍射: 中心亮、暗变化
圆屏衍射: 在理想同轴相干球面波或平面波照明、标量 Fresnel 模型中, 阴影轴心出现 Poisson 亮斑. 扩展非相干光源会使亮斑展宽或衬比度降低.

Poisson 亮斑来自遮挡边缘的相干叠加. 亮斑存在不代表成像系统没有景深或色差限制.

2.5.1 Half-Period Zones

\[\Delta U_1=A_1,\quad\Delta U_2=-A_2,\quad\Delta U_3=A_3,... \implies U(P_0)=\sum_m(-1)^{m+1}A_m\]

其中

\[\begin{aligned} A_m&\propto f(\theta_0,\theta_m)\frac{\Delta\Sigma_m}{r_m},\\ f(0,\theta_m)&=\frac{1}{2}\left(1+\cos\theta_m\right),\qquad d\Sigma=2\pi R^2\sin\alpha d\alpha=\frac{2\pi R}{R+b}rdr\propto r \end{aligned}\]

后一式用到余弦定理. 在小倾角、各带振幅缓变的半波带近似下, 自由光场振幅 \(A_f\approx A_1/2\).

半波带内部相位也改变 \(\pi\), 不能把带内面积贡献全按同相相加. 令带内相位为 \(\varphi\), 缓变振幅近似下

\[\left|\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\right|=2, \qquad \int_0^\pi|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}|\,\mathrm{d}\varphi=\pi.\]

同相估计因此大了 \(\pi/2\) 倍. 螺旋矢量图正是对带内相位积分的几何表示.

对于圆孔/圆屏, 考虑整数波带的情况:

圆孔衍射: 如果最大波带数为 \(2n\) 或 \(2n+1\), 分别由
\[\begin{aligned} \tilde{U}(P_0)&=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots-A_{2n}\approx 0,\\ \tilde{U}(P_0)&=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots+A_{2n+1}\approx A_1=2A_f \end{aligned}\]
得到为暗斑/4倍光强亮斑.
圆屏衍射: 同理
\[\begin{aligned} \tilde{U}(P_0) &=A_{2n+1}-A_{2n+2}+A_{2n+3}+\cdots =A_{1^*}-A_{2^*}+A_{3^*}-A_{4^*}+\cdots\approx A_f,\\ \tilde{U}(P_0) &=-A_{2n+2}+A_{2n+3}-A_{2n+4}+\cdots =-(A_{1^*}-A_{2^*}+A_{3^*}-\cdots)\approx-A_f \end{aligned}\]
得到中心均为亮斑.

2.5.2 On-Axis Circular-Aperture Integral

本段 \(a\) 是球面波振幅常数, \(R\) 是点源至孔中心的距离, \(b\) 是孔中心至轴上观察点的距离, \(\rho\) 是孔半径, \(\kappa=k\). 积分的上限 \(r\) 是对应波前边缘到观察点的距离; 用小角度、缓变振幅模型把它换算为孔半径. 以下光强关系均在这一模型内成立.

\[\begin{aligned} \tilde{U}(b) &=\frac{-i}{\lambda}\frac{2\pi R}{R+b}\cdot\frac{a}{R}e^{i\kappa R}\int_b^{r}e^{i\kappa r}dr\\ &=-\frac{a}{R+b}e^{i\kappa R}\left(e^{i\kappa r}-e^{i\kappa b}\right),\\ I(b) &=\tilde{U}(b)\cdot\tilde{U}(b)^* =4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\kappa\frac{r-b}{2}\right) \end{aligned}\]

傍轴近似下

\[r=b+\frac{1}{2}\frac{(R+b)\rho^2}{Rb}\implies I(b)=4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\rho^2}{\lambda}\cdot\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\right)\]

轴上亮/暗斑取决于 \(\sin\) 后的相位.

对于 \(\rho_m\), 由 \[\rho_m=R\cdot\sqrt{1-\cos^2\alpha_m},\qquad \cos\alpha_m=\frac{R^2+(R+b)^2-(b+m\frac{\lambda}{2})^2}{2R(R+b)}\] 保留一阶近似得 \[\rho_m=\sqrt{m}\cdot\rho_1,\qquad \rho_1=\sqrt{\frac{Rb\lambda}{R+b}}\] 进一步得到类似于成像公式的形式 \[m=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\cdotp\frac{\rho_m^2}{\lambda} \implies \frac{1}{R}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f_m}, \qquad f_m = \frac{\rho_m^2}{m\lambda}\] 可以由"物距"和"像距"得到波带数. 从而 \[I(b;\rho = \rho_m) =4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\frac{m\pi}{2}\right)\] 这与半波带法的整数带结论一致.

2.5.3 Zone Plates and Examples

对于非整数波带, 使用螺旋式曲线图解法

Example 求 \(m = 1.5\) 时的光强

Solution

\[A_{1.5}=\sqrt{2}A_f\implies I_{1.5}=\left(\sqrt{2}A_{f}\right)^{2}=2I_{f}\]

Example 给出 \(m = 1.5\) 在特殊波带片下的光强图解

白色部分透光: 第一半波带开放半个方位角, 从 \(m=1\) 到 \(m=1.5\) 的环带开放四分之一方位角. 在轴对称照明与半波带振幅缓变近似下, 这些比例乘在复振幅上, 而非直接乘在光强上.

Solution 取图中第一半波带的完整振幅为 \(2\mathrm{i}A_f\), 则完整的后续半环带增量为 \(-A_f-\mathrm{i}A_f\). 两块透光区域相加给出

\[\tilde U=\frac12(2\mathrm{i}A_f)+\frac14(-A_f-\mathrm{i}A_f) =\frac{A_f}{4}(-1+3\mathrm{i}), \qquad I=\frac58 I_f.\]

整体相位的选择不影响这个光强比.

Babinet 原理的体现: 矢量图上 \(\vec{A}_d=\vec{A}_f-\vec{A}_h\).
Poisson 亮斑的解释: 遮挡有限面积波前等于 clip 掉螺旋前面的一部分, 不影响亮斑的尾部指向螺旋中心.

Remark 应用包括遮挡奇数或偶数带的波带片、对奇偶带补偿 \(\pi\) 的浮雕型波带片, 以及去掉 \(2m\pi\) 相位差所对应厚度的 Fresnel 透镜.

2.6 Fraunhofer Diffraction and Resolution

平面波正入射时, 忽略共同传播因子, 孔径场 \(U_a(x,y)\) 的远场振幅为

\[\tilde U(\theta_x,\theta_y)\propto\iint U_a(x,y)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_x+y\sin\theta_y)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\]

这是后续平移相位、光栅结构因子和 Fourier 光学共同使用的负号约定. 宽为 \(a\) 的均匀单缝给出 \(\int_{-a/2}^{a/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx\sin\theta}\,\mathrm{d}x=a\sin\alpha/\alpha\), 从而得到下式.

Remark 单缝.

\[A(\theta)=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}\implies I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,\qquad \alpha=\frac{\pi}{\lambda}a\sin\theta\]

在 \(\alpha\) 坐标中, 以相邻零点之间的距离为宽度, 中央主峰宽 \(2\pi\), 其他峰宽 \(\pi\)(\(\alpha=m\pi\), \(m\ne0\) 时为零点). 换成角度或屏幕坐标后的二倍关系另需小角度近似.
矩孔也是可以直接外推的
\[I(\theta_1,\theta_2)= I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 ,\qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda},\quad \beta=\frac{\pi b\sin\theta_2}{\lambda}\]
两个角是接收光屏上点在两个面的投影相对于透镜光心方位的夹角.

Remark 圆孔.

\[I\left(\theta\right)=I_0\left(\frac{2J_1(x)}{x}\right)^2,\qquad x=\frac{\pi\cdot D\sin\theta}{\lambda}\]

\(D\) 为圆孔直径. 第一零点为 \(x_0\simeq3.831706\simeq1.22\pi\), 因而

\[\sin\theta_0\simeq1.22\frac{\lambda}{D},\qquad\theta_0\simeq1.22\frac{\lambda}{D}\quad(\theta_0\ll1)\]

即为 Airy 斑(圆孔 Fraunhofer 衍射中央亮斑)的半角宽.

Rayleigh 分辨判据: 可分辨的最小角度 \(\delta\theta_m = \theta_0\).
显微镜的分辨本领
\[\begin{aligned} \theta_0&\approx1.22\frac{\lambda_0}{n^{\prime}D},\\ \delta y_m^{\prime} &\approx s^{\prime}\theta_0 \approx1.22\frac{\lambda_0}{n^{\prime}D/s^{\prime}} \approx0.61\frac{\lambda_0}{n^{\prime}\sin u^{\prime}}\\ \implies \delta y_{0m}&=0.61\frac{\lambda_0}{N.A.},\qquad \mathrm{N.A.}=n_0\sin u_0 \end{aligned}\]
定义数值孔径 \(\mathrm{N.A.}\). 上面用 \(D/(2s^{\prime})\approx\sin u^{\prime}\) 的推导为傍轴推导. 大孔径时, \(0.61\lambda_0/\mathrm{NA}\) 的标量 Airy 模型推广还须采用满足 Abbe 正弦条件的理想成像系统; 实际高 NA 矢量场、像差和瞳函数会改变点扩散图样.

仅增大放大倍数试图看到小于分辨本领的细节是徒劳的. 比如对于简单的望远镜, 物镜口径可以认为直接决定了最小可分辨的星体角间距.

油浸和大孔径可提高数值孔径, 但 \(\mathrm{NA}\le n_0\), 上限取决于介质及系统设计. Rayleigh 两点判据给出 \(0.61\lambda_0/\mathrm{NA}\); Abbe 周期结构判据常写作 \(\lambda_0/(2\mathrm{NA})\), 两者不能混称. 电子显微镜使用电子的 de Broglie 波长, 属于不同的成像系统.

Example 透镜的焦距为 \(f\), 通光孔径为 \(D_L\). 物体 \(A\) 距离透镜为 \(s\), \(s>f\). 求 \(A\) 的最小分辨线度、像面上对应的最小分辨线度, 并说明如何看清 \(A\) 的更多细节?

Solution 数值孔径为 \(\mathrm{N.A.}\simeq \sin u\simeq D_L/2s\). Rayleigh 判据下

\[\delta_A\simeq \frac{0.61\lambda}{\mathrm{N.A.}} \simeq \frac{1.22\lambda s}{D_L}, \qquad \delta_A'\simeq \frac{1.22\lambda s'}{D_L}.\]

二者满足几何放大关系: \(\delta_A'=|V|\delta_A\). 用短波长、增大孔径、浸油等理论上都有效.

3 Interference and Coherence

3.1 Two-Beam Interference

Assumption 稳定的单色干涉. 两束单色光形成稳定干涉条纹的常用条件是同频、偏振投影不正交、相位差在观察时间内稳定. 对有限谱宽或部分相干光, 应检查探测平均后的互相关, 不能只用这三个理想单色条件作一般定义.

Remark 如何获得相干光.

普通光源可视为带随机相位的光场. 两个独立普通光源的交叉项通常在探测平均中消失. 获得可见条纹的常用方法, 是从同一随机光场分出两个彼此相关的部分:

分波前法 (Division of Wavefront): 从同一波前上取出两个子波源
分振幅法 (Division of Amplitude): 将同一束光的振幅分成两部分

分光保留了两路之间的相关性, 但是否能看到条纹仍取决于延迟、光源空间尺度、偏振和探测平均时间. 光程差产生相位差, 并可形成相长或相消干涉.

实际观察往往还要求
- 光程差处于具有足够互相关的范围, 并控制光源空间尺度. 单个随机发光光源照明两个孔也可能产生干涉; Young 双孔及后述空间相干性正是例子. 有限相干长度是谱宽及所选衬比度尺度的描述, 并非普遍的硬截止.
- 足够大的衬比度、合适的条纹间距等.

Definition 干涉衬比度(visibility).

\[I = UU^*,\qquad \gamma=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}.\]

相同偏振的标量两束部分相干光, 若单束强度在扫描相位时不变, 有

\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\operatorname{Re}(\mu_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}),\qquad \gamma=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}|\mu_{12}|.\]

\(\mu_{12}\) 是归一化互相干度; 偏振不同时还要计入电场方向的投影.

Example 考虑两束偏振光干涉

Solution s 光完全平行叠加. p 光有夹角

\[I_p = A_{1p}^2 + A_{2p}^2 + 2 A_{1p}A_{2p}\cos\alpha\cos\delta\]

衬比度与 \(I_s\) 相加后计算. 对于傍轴情况, 才可以把自然光干涉看成标量干涉.

Remark Young 干涉.

\[U_{1/2}(x,y)\simeq\frac{A}{D}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kD}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k[(x\mp d/2)^2+y^2]/(2D)}\]

令 \(x_0 = \pm d/2, y_0 = 0\). 光强

\[I(x,y)=(\tilde{U}_1+\tilde{U}_2)\cdot(\tilde{U}_1+\tilde{U}_2)^*=2I_0{\left[1+\cos\left(\frac{2\pi d}{\lambda D}x\right)\right]}\]

空间频率

\[f=\frac{1}{\Delta x} = \frac{d}{\lambda D}\]

提高 Young 干涉的衬比度:
1. 两束光的幅度尽量一致
2. 提高光源单色性
3. 合理调整单缝宽以平衡亮度和清晰度.
4. 光源狭缝应足够窄, 使两干涉缝处有足够大的互相干度

Remark 散斑: 相干光照射粗糙表面时, 多个散射贡献具有不同相位, 在观察点先叠加复振幅, \(U=\sum_j a_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_j}\), 再取 \(I=|U|^2\), 形成明暗随机颗粒. 若各贡献的交叉项被时间或空间平均消去, 仅剩 \(\sum_j|a_j|^2\), 散斑衬比度反而降低.

3.2 Wavefront-Splitting Interferometers

Remark Fresnel 双棱镜. 两个顶角很小的直角棱镜底边相接. 狭缝 S 的光波被折射成两束. 设顶角 \(\alpha\), 折射率 \(n\), 狭缝到棱镜距离 \(B\), 棱镜到屏幕距离 \(C\). 虚光源间距为

\[d = 2(n-1)\alpha B\]

总距离 \(D = B + C\) 下, 条纹间距

\[\Delta x = \frac{D}{d}\,\lambda = \frac{B + C}{2(n-1)\alpha B}\,\lambda\]

Remark Fresnel 双面镜. 由两块夹角接近 180 度的平面镜构成, 两个反射虚像形成一对相干虚光源.

Remark Lloyd 镜.

中心出现暗纹而非亮纹. 这是因为半波损失.

此处采用近似 \(\pi\) 的反射相位. 具体镜面、入射角和偏振态应按反射系数判断, 不能把所有反射都归为半波损失.

Remark 对切透镜. 将一块透镜沿直径剖成两半再横向错开少许, 各自成一实像, 构成相干光源.

3.3 Spatial Coherence

3.3.1 Point-Source Displacement

光源横移 \(\xi\) 导致零级亮纹反向移动 \(\eta = -(D/R)\xi\), 条纹间距 \(\Delta x = D\lambda/d\) 不变. 不对称时的干涉强度分布为

\[I = 4I_0\cos^2\Bigl[\frac{\pi d}{\lambda D}\Bigl(x + \frac{D}{R}\xi\Bigr)\Bigr], \qquad \delta \approx \frac{2\pi}{\lambda}\Bigl(\frac{d}{R}\xi + \frac{d}{D}x\Bigr)\]

3.3.2 Extended Sources

以下采用准单色、傍轴、等强两路模型, 宽度 \(b\) 的线光源视为均匀非相干点源的叠加.

\[\begin{aligned} I(x) &= \int_{-b/2}^{b/2} \frac{4I_0}{b}\cos^2\Bigl[\frac{\pi d}{\lambda D}\Bigl(x + \frac{D}{R}\xi\Bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}\xi \\[4pt] &= 2I_0\Bigl[1 + \frac{\sin u}{u}\cos\Bigl(\frac{2\pi d}{\lambda D}x\Bigr)\Bigr] &&u = \frac{\pi d b}{\lambda R}=\frac{\pi b}{b_0}=\frac{\pi d}{d_0} \end{aligned}\]

衬比度 \(\gamma = \left|\frac{\sin u}{u}\right|\). 首次降为零给出常用的首零点相干尺度和角度(小角度近似下), 不表示此后处处不相干; sinc 旁瓣仍可有非零衬比度.

\[b_0 = \frac{\lambda R}{d},\qquad d_0 = \frac{\lambda R}{b} \implies \Delta\beta_0 \approx \frac{b_0}{R},\qquad \Delta\theta_0 \approx \frac{d_0}{R}\]

二者均满足反比公式

\[d\cdot\Delta\beta_0 \approx \lambda,\qquad b\cdot\Delta\theta_0 \approx \lambda\]

对于面光源, 相干立体角和相干面积

\[\Delta\Omega_0 \approx \frac{\pi}{4}(\Delta\theta_0)^2,\qquad \Delta S_0 = R^2\Delta\Omega_0 \approx d_0^2\]

Definition 空间相干性: 有限宽度光源的相干性, 即非相干有限宽光源波前上空间相近的两点仍可能干涉.

3.3.3 Stellar Interferometry

增大基线 \(d\) 直至条纹首次消失. 上述均匀线源给出 \(d_0\Delta\beta=\lambda\); 对均匀圆盘星体, 圆对称亮度的二维 Fourier 变换给出 \(\gamma=|2J_1(v)/v|\), \(v=\pi d\Delta\beta/\lambda\), 因而 \(d_0\Delta\beta\simeq1.22\lambda\). 系数取决于光源亮度模型.

Michelson 干涉仪是分振幅干涉, Michelson 星体干涉仪是分波面干涉.

巧妙性: 角直径测量由可变间距 \(d\) 控制, 接收仍可用较小口径望远镜完成.

Example 设计一台星体干涉仪, 使其探测的星体孔径角达到 \(\Delta=1\times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\), 星体发射的波长为 600 nm. 探测器用单元宽度约为 \(1.5\ \mu\mathrm{m}\) 的 CCD 探测 (每个干涉周期至少要用 12 个单元来记录), 屏幕距离双孔 (透镜) 2 m.

Solution 星体角分辨率要求外侧有

\[d\sim\frac{\lambda}{\Delta}=6.0\ \mathrm{m}\]

若按均匀圆盘的首零点选基线, 则为 \(7.32\,\mathrm{m}\). CCD 采样要求干涉周期 \(p\ge 12\times1.5\ \mu\mathrm{m}=18\ \mu\mathrm{m}\). 由题目条件, 若成条纹孔距为 \(b\)

\[p=\frac{\lambda L}{b}\implies b\le \frac{\lambda L}{p}=6.7\ \mathrm{cm}\]

则需要中继部分把 \(d\) 缩到 \(b\).

3.4 Temporal Coherence

3.4.1 Two Spectral Lines

设光源含 \(k_1,k_2\) 两个相近波数成分, \(\Delta k=|k_1-k_2|>0\). 每个成分在两臂中的单束强度均为 \(I_0\), 不同频率间的交叉项已被探测平均掉, 两种干涉图叠加强度:

\[I=4I_0\left[1+\cos\left(\frac{\Delta k}{2}\Delta L\right)\cos(k\Delta L)\right], \qquad k=\frac{k_1+k_2}{2}.\]

快振荡项 \(\cos(k\Delta L)\) 给出普通干涉条纹; 慢变项给出衬比度包络 \(\gamma=\left|\cos\left(\frac{\Delta k}{2}\Delta L\right)\right|\). 包络周期

\[\frac{\Delta k}{2}\Delta L_0=\pi\implies \Delta L_0=\frac{2\pi}{\Delta k}\approx \frac{\lambda^2}{|\Delta\lambda|}\]

首次衬比度为零的光程差为 \(\pi/\Delta k=\Delta L_0/2\); \(\Delta L_0\) 是可见度的复现周期, 两者不可混同. 若两条谱线强度不等, 包络最小值一般大于零. 两波长错位半个条纹时, 等强谱线的衬比度降为零. 若 \(\lambda_1,\lambda_2\) 相近

\[N\lambda_1=\left(N-\frac{1}{2}\right)\lambda_2 \implies N\approx \frac{\lambda}{2|\Delta\lambda|}.\]

3.4.2 Finite Spectral Width

对波数作非相干叠加. 若准单色光谱宽度为 \(\Delta k\), 矩形谱近似下衬比度

\[\gamma=\left|\frac{\sin u}{u}\right|,\qquad u=\frac{\Delta k}{2}\Delta L.\]

以矩形谱衬比度首零点定义相干长度

\[L_0=\frac{\pi}{\Delta k/2}\approx\frac{\lambda^2}{|\Delta\lambda|}.\]

由此, 衬比度也可写成

\[\gamma(\Delta L)=\left|\frac{\sin(\pi\Delta L/L_0)}{\pi\Delta L/L_0}\right|, \qquad \gamma(\tau)=\left|\frac{\sin(\pi\tau/\tau_0)}{\pi\tau/\tau_0}\right|.\]

Definition 时间相干性. 由谱宽决定, 谱线越窄, \(\tau_0\) 越大, 时间相干性越好

\[\tau_0\Delta\nu\simeq 1\]

Example Twyman-Green 干涉系统(类似于透射 Newton 环, 中心为亮纹)

中心波长 \(\lambda_0=600\,\mathrm{nm}\) 的准单色照明光, 第 20 条暗条纹处干涉衬比度降到 0.95, 估算准单色光的谱线宽度 \(\Delta\lambda\).

Solution 第 20 条暗条纹处 \(\Delta=19.5\lambda=11.7\ \mu\mathrm{m}\). 用矩形谱线近似, 可见度其中 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\).

\[\gamma \simeq \left|\operatorname{sinc}\left(\pi\frac{\Delta}{L_0}\right)\right| = \left|\operatorname{sinc}\left(\pi\frac{\Delta}{c/\Delta\nu}\right)\right|\]

小量近似得到括号内 \(x\simeq\sqrt{0.30}=0.548\), 从而 \(\Delta\lambda\simeq\lambda_0^2\Delta\nu/c=\lambda_0^2x/(\pi\Delta)\approx5.4\ \mathrm{nm}\).

3.5 Thin-Film Interference

对于厚度为 \(d\), 折射率为 \(n\) 的薄膜 (内部折射角为 \(\theta\)), 上下表面反射光的光程差为

\[\Delta = 2nd\cos\theta\left(+\frac{\lambda}{2}\right)\]

注意考虑是否产生半波损失.

Definition 定域性.
- 点光源照明, 反射光视为来源于虚像 \(S_1, S_2\), 为非定域干涉.
- 扩展光源照明, 不同点源的干涉仅在错位最小的部分区域可见, 为定域干涉.
  
  膜越薄, 上下表面反射光的错位夹角 \(\beta\) 越小, 定域面越靠近薄膜, 光源极限宽度 \(b_0\) 越大. 限制条件为 \(b\cdot\beta \lt \lambda\).

Definition 等倾干涉. 薄膜平行, 光程差取决于 \(\theta\). 同一条纹对应同一倾角. 扩展光源照明时, 条纹定域于无穷远.

形状: 经透镜汇聚为同心圆环. 中心处 \(\theta = 0\), 对应干涉级次最高(光程差最大).

膜厚 \(d\) 增大时, 同一 \(\Delta\) 对应的 \(\cos\theta\) 减小, \(\theta\) 增大, 条纹外扩; 反之同理.
面光源照明时, 只要入射角 \(i\) 相同就汇聚到同一个干涉环, 不会破坏等倾条纹.

Definition 等厚干涉. 薄膜楔角 \(\alpha\) 极小, 垂直入射时 \(\Delta \approx 2nd + \lambda/2\)(注意半波损失), 取决于膜厚 \(d\). 条纹定域于薄膜表面附近.

形状: 相邻条纹厚度差 \(\Delta d = \frac{\lambda}{2n}\), 对应水平间距 \(\Delta l = \frac{\lambda}{2n\alpha}\).

膜很薄时, 局部光程差只允许少数可见波长满足亮纹条件, 因而可出现鲜艳色彩; 膜较厚时, 多个波长可同时满足亮纹条件, 非相干叠加使颜色饱和度下降, 甚至条纹消失.
判断上方平板倾斜方向的办法: 垫入已知薄片/用白光找零级条纹.

3.5.1 Newton Rings

平凸透镜与平板玻璃间形成空气薄膜. 以反射式为例, 要考虑半波损失. 亮纹和暗纹条件分别为

\[2h= \begin{cases} \left(m-\frac{1}{2}\right)\lambda, & \text{亮纹},\\ m\lambda, & \text{暗纹}. \end{cases}\]

中心触点处 \(h=0\), 为暗斑. 设透镜曲率半径为 \(R\), 条纹半径为 \(r\). 空气膜厚度由球冠几何给出

\[h=R-\sqrt{R^2-r^2} =R\left[1-\sqrt{1-\left(\frac{r}{R}\right)^2}\right] \approx \frac{r^2}{2R}\qquad (r\ll R).\]

代入条纹条件得

\[r_m^2= \begin{cases} \left(m-\frac{1}{2}\right)R\lambda, & \text{亮纹},\\ mR\lambda, & \text{暗纹}. \end{cases}\]

故

\[R=\frac{r_{m+n}^2-r_m^2}{n\lambda} =\frac{D_{m+n}^2-D_m^2}{4n\lambda}.\]

该式与起始级次 \(m\) 无关, 可减小中心接触不理想带来的误差.

透射 Newton 环与反射 Newton 环互补: 反射中心暗, 透射中心亮. Remark 条纹比较

条纹	对应量	定域位置	由中心向外的级次
Newton 环	膜厚	膜附近	增大
等倾干涉环	倾角	无穷远	降低

3.5.2 Observation Examples

Example 肥皂膜和蝴蝶翅膀的彩色分别如何产生?

Solution 肥皂膜彩色来自白光薄膜干涉; 蝴蝶翅膀的结构色来自微纳周期结构的干涉、衍射和选择性散射.

Example 近视眼能否看清等倾条纹和等厚条纹?

Solution 等倾条纹定域于无穷远, 近视眼远点有限, 不容易看清. 等厚条纹定域在薄膜表面附近, 观察距离合适时可以看清.

3.6 Michelson Interferometer

Definition Michelson 干涉仪. \(G_1\) 背面镀半反半透膜, \(G_2\) 与 \(G_1\) 厚度和折射率相同.

补偿板作用: 补偿色散; 白光照明时, 便于精确找到等光程位置.
两束光分别可看作由 \(M_2\) 和 \(M_1'\) 反射. \(M_2\) 与 \(M_1'\) 夹角决定条纹形态.
- \(M_2\parallel M_1'\): 等倾圆条纹. 不同波长的同级条纹一般不重合; 零光程差位置为各波长共有, 白光只能在零光程差给出清晰定位.
  - 动臂平移 \(l\) 时, 光程差变化 \(\Delta L=2nl\). 若条纹变化 \(N\) 次
    \[2nl=N\lambda\]
    增大 \(l\) 时吐出条纹(特定级次角度变大), 减小 \(l\) 吞入条纹(特定级次角度变小).
  - 测长要求波长稳定、计数准确. 可用测长范围由光谱形状、两臂延迟及所需衬比度共同决定. 若仅以频率矩形谱的可见度首零点作为尺度, 取窄带且折射率在谱宽内近似不变, 则
    \[L_0 = \frac{c}{\Delta\nu}\simeq\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} \implies l_0=\frac{L_0}{2n}\]
    这里 \(\lambda\) 为中心真空波长, \(\Delta\lambda>0\) 为波长谱宽; \(l_0\) 是从等光程位置量起的首零点位移尺度, 不是普遍的测量硬截止. 实际应按可见度 \(\mathcal{V}=(I_{\max}-I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})\) 是否达到测量所需阈值确定工作范围.
- \(M_2\) 与 \(M_1'\) 微倾: 等厚直条纹. 条纹疏密由两虚镜夹角决定.

Remark Michelson-Morley 实验. 若实验室相对以太速度为 \(v\), 经典速度合成预言两臂往返时间不同: \[t_{\parallel}=\frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v} \approx \frac{2l}{c}\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right)\] \[t_{\perp}=\frac{2l}{\sqrt{c^2-v^2}} \approx \frac{2l}{c}\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)\] 光程差预期为 \[\Delta L_0=c(t_{\parallel}-t_{\perp})\approx l\left(\frac{v}{c}\right)^2.\] 干涉仪旋转 \(90^\circ\) 后光程差反号, 条纹移动对应 \(\delta(\Delta L)=2\Delta L_0\).

Example 用钠光(\(589.3\ \mathrm{nm}\))观察 Michelson 干涉条纹. 干涉场中有 12 个亮环, 且中心是亮的; 移动 \(M_1\), 吞 (吐) 了 10 环, 场还存在 5 个亮环. 试求:

镜面 \(M_1\) 移动的距离 \(\Delta h\).
开始时中心亮斑的干涉级 \(k_0\), 相应的等效空气膜厚 \(h_0\).

Solution

中心吞吐 10 环, 则 \(\Delta h=\frac{10\lambda}{2}=5\lambda\simeq2.95\ \mu\mathrm{m}\).
设视场边缘半角为 \(\theta_m\), 初始中心级次 \(k_0=2h_0/\lambda\). 可见亮环数等于中心到视场边缘的级差
\[2h_0(1-\cos\theta_m)\simeq12\lambda \qquad 2(h_0-\Delta h)(1-\cos\theta_m)\simeq5\lambda.\]
解得 \(h_0\simeq5.05\ \mu\mathrm{m},k_0\simeq17.1\).

前例把可见环数近似为连续级差, 所得只是估算. 中心亮纹的严格级次必须为整数; 若只给整数环数而不给视场边缘在相邻条纹间的位置, 就不能把 \(17.1\) 当作精确干涉级. 精确求解还需边缘角度或边缘相位信息.

3.7 Fabry-Perot Interferometer

Definition Fabry-Perot(FP) 干涉仪. 两块高反平行板构成 FP 腔. 本节取相同、无吸收的两镜, 两侧介质相同, 腔内折射率在所考察窄谱段近似不变, 并把固定的反射相位纳入相位参考. \(\lambda\) 是真空波长. 相邻透射光的光程差和相位差为

\[\Delta L=2nh\cos\theta,\qquad \delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta L=\frac{4\pi nh\cos\theta}{\lambda}.\]

取两侧介质相同, \(r=-r'\), 无吸收时 \(r^2+tt'=1\), \(R=r^2\), 有透射光振幅和光强

\[\tilde U_T=\frac{Att'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta/2}}{1-r'^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}}, \qquad I_T = \frac{I_0}{1+F_A\sin^2(\delta/2)}, \quad F_A=\frac{4R}{(1-R)^2}\]

无吸收时 \(I_R=I_0-I_T\). \(R\) 越大, 透射峰越尖锐. 峰值条件为 \(\delta_m=2m\pi\implies 2nh\cos\theta_m=m\lambda\).

由于 \(\delta\) 同时依赖 \(nh\)、\(\lambda\) 和 \(\theta\), FP 可用于等倾干涉环的精细分辨, 也可作为选频腔.

3.7.1 Spectral Range and Finesse

Definition 自由光谱范围. 对于正入射, 若 \(\lambda_+\) 的 \(m\) 级峰与 \(\lambda_-\) 的 \(m+1\) 级峰重合, 即

\[m\lambda_+=(m+1)\lambda_-=2nh\]

得到自由光谱范围

\[\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}} \approx\frac{\lambda^2}{2nh}, \qquad \Delta\nu_{\mathrm{FSR}}=\frac{c}{2nh}.\]

精细分辨采用半高全宽(FWHM, full width at half maximum)作为谱线宽度尺度. 半高点存在要求 \(F_A\ge1\), 即 \(R\ge3-2\sqrt2\); 更低反射率时谷值仍高于半峰, 不能如此定义独立峰的 FWHM.

以峰中心为相位零点, 理想 Airy 线形的相位全宽及精细度为

\[\varepsilon=4\arcsin\frac{1-R}{2\sqrt R},\qquad\mathcal F=\frac{2\pi}{\varepsilon}.\]

高反射率、窄线宽下, 同级峰的波长半高全宽近似为

\[\delta\lambda_{\min}\approx\frac{\lambda}{\pi m}\frac{1-R}{\sqrt R}\]

精细度定义为自由光谱范围与谱线宽度之比

\[\mathcal F\approx \frac{\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}}{\delta\lambda_{\min}} \approx \frac{\pi\cdot m\lambda\cdot\sqrt R}{2nh(1-R)} \approx\frac{\pi\sqrt R}{1-R} =\frac{\pi\sqrt{F_A}}{2}\]

即在窄谱段近似下 \(\delta\lambda_{\min}\approx\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F\). 色分辨本领

\[R_c\equiv\frac{\lambda}{\delta\lambda_{\min}} \approx\pi m\frac{\sqrt R}{1-R}\approx m\mathcal{F}.\]

\(h\gg\lambda\) 时级次很大, 所以 FP 可分辨超精细谱线结构.

3.7.2 Angular Fringes

半高全角宽可以由相位全宽 \(\varepsilon\)
\[I_T\left(\pm\frac{\varepsilon}{2}\right)=\frac{I_0}{2} \implies \varepsilon=\frac{2\pi}{\mathcal F}\approx\frac{2(1-R)}{\sqrt R}\]
得到
\[\Delta\theta_m\approx \frac{\lambda/\mathcal{F}}{2 nh\sin\theta_m}\]
上述角宽线性化要求 \(\theta_m\neq0\) 且 \(\Delta\theta_m\ll|\theta_m|\). 中央峰处 \(\sin\theta_m=0\), 必须保留 \(\cos\theta\approx1-\theta^2/2\) 的二次项, 不能套用此式.

近邻谱线角间距由
\[\frac{\delta}{2} = m\pi \implies \delta\theta_m\approx\frac{m\,\delta\lambda}{2nh\sin\theta_m}\]
得到.

3.7.3 Frequency Selection

正入射非单色平行光时, 多光束相干叠加表现为光谱滤波. 峰值波长和纵模频率满足

\[2nh=m\lambda_m,\qquad \nu_m=m\frac{c}{2nh}, \qquad \Delta\nu=\frac{c}{2nh}.\]

单峰的半高全宽由相位宽度 \(\varepsilon\approx\frac{2\pi}{\mathcal F}\) 容易得到谱宽为

\[\Delta\nu_m\approx \frac{\Delta\nu_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal{F}}, \qquad \Delta\lambda_m\approx\frac{\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal{F}}\]

3.8 Optical Coatings

3.8.1 Single-Layer Reflection

取透明、非磁性介质, \(\lambda\) 为真空波长. 介质 \(n_0\)、薄膜 \(n_1\)、基底 \(n_2\), 膜厚 \(d_1\), 膜内折射角 \(\theta_1\). 斜入射时各 \(r_{ij},t_{ij}\) 须使用同一 s/p 偏振及一致的场方向约定; 以下平方折射率等效基底关系另取正入射. 反射系数

\[r = r_{01}+t_{01}t_{10}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}\sum_{m=0}^\infty(r_{10}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1})^m = \frac{r_{01}+r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}} {1+r_{01}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}}, \qquad \delta_1=\frac{4\pi}{\lambda}n_1d_1\cos\theta_1\]

正入射时, 利用 \(r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}\) 反射率可写成

\[R=\frac{(n_0-n_2)^2\cos^2(\delta_1/2)+\left(\dfrac{n_0n_2}{n_1}-n_1\right)^2\sin^2(\delta_1/2)} {(n_0+n_2)^2\cos^2(\delta_1/2)+\left(\dfrac{n_0n_2}{n_1}+n_1\right)^2\sin^2(\delta_1/2)}.\]

3.8.2 Antireflection Coatings

Remark 单层增透膜. 对常见 \(n_0\lt n_2\) 的透明介质, 取 \(n_0\lt n_1\lt n_2\) 可在设计波长降低反射率. 正入射下取 \(\lambda/4\) 波膜 \(n_1d_1=\lambda_0/4\)

\[R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2, \qquad n_{\text{eff}}=\frac{n_1^2}{n_2}\]

全增透条件 \(n_1=\sqrt{n_0n_2}\).

Remark 双层增透膜. 把下层 \(\lambda/4\) \(n_2\) 波膜和 \(n_3\) 基底看成等效基底

\[n'_{\mathrm{eff}}=\frac{n_2^2}{n_3}\]

在等效基底上镀 \(\lambda/4\) 波膜 \(n_1\), 全增透条件

\[n_1=\sqrt{n_0n'_{\mathrm{eff}}}\]

3.8.3 High-Reflection Coatings

沿用 \(n_0\lt n_2\) 的条件, 若 \(n_1>n_2\), \(\lambda/4\) 波膜使反射相长, 单层 \(\lambda/4\) 增反在 \(\lambda_0\) 处有

\[R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2\]

\(n_1 \gg n_2\) 时, \(R_{\lambda_0}\sim 1\).

Remark 多层高反射膜. 光学厚度均为 \(\lambda_0/4\) 的高、低折射率膜交替组成.

对于

\[G(HL)^pHA,\]

字母按基底到入射侧排列:

\(G\) 是基底;
\(H,L\) 是高、低折射率层;
\(A\) 是入射介质, \(n_0=n_A\);
\(p\) 为非负整数.

在正入射设计波长处逐层外推得到等效折射率

\[n_\mathrm{eff}=\frac{n_H^2}{\left(\frac{n_L}{n_H}\right)^{2p}n_G}=\left(\frac{n_H}{n_L}\right)^{2p}\frac{n_H^2}{n_G}, \qquad R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2\]

在 \(n_\mathrm{eff}\ge n_0\) 的高反支路上, 折射率比 \(n_H/n_L\) 越大、膜层数越多, 设计波长处反射率越高. 若起初 \(n_\mathrm{eff}\lt n_0\), 增加层数会先接近匹配点而降低反射率, 不能笼统宣称单调增加.

Optics - 2

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

4 Diffraction from Periodic Structures

4.1 Translation and Phase Shift

Proposition 图像位移. 在 Fraunhofer 衍射系统中, 若透过率分布 \(t(x,y)\) 平移为 \(t(x-x_0,y-y_0)\), 则在观察方向 \((\theta_1,\theta_2)\) 上有

\[\tilde U'(\theta_1,\theta_2) =\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\delta_1+\delta_2)} \tilde U(\theta_1,\theta_2), \qquad \delta_1=-kx_0\sin\theta_1,\quad \delta_2=-ky_0\sin\theta_2.\]

Proposition 全同结构的 Fraunhofer 衍射场. 这里假设各单元受到同振幅、同相位的相干照明, 决定全同单元之间如何相干叠加.

第 \(i\) 个单元相对参考单元位移 \((x_i,y_i)\), 则

\[\tilde U(\theta_1,\theta_2) =\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \sum_{i=0}^{N-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k(x_i\sin\theta_1+y_i\sin\theta_2)}.\]

后一项为振幅结构因子; 其模平方给出强度结构因子.

Example 五方孔由中心方孔和四个关于中心对称的方孔组成.

Solution 四个位移为 \((a,a),(a,-a),(-a,-a),(-a,a)\), 利用成对对称项合并, 得

\[\tilde U(\theta_1,\theta_2) =\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \left[ 1+2\cos\{k(a\sin\theta_1+a\sin\theta_2)\} +2\cos\{k(a\sin\theta_1-a\sin\theta_2)\} \right]\]

其中单个方孔

\[\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) =\tilde c\frac{\sin\alpha}{\alpha} \frac{\sin\beta}{\beta}, \qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda}, \quad \beta=\frac{\pi a\sin\theta_2}{\lambda}.\]

以下把共同的光强换算系数吸收进振幅归一化, 写为 \(I(\theta_1,\theta_2)=|\tilde U(\theta_1,\theta_2)|^2\); 若 \(\tilde U\) 直接表示电场, 则光强还需相应介质阻抗因子.

Example 衍射重复单元. 结构单元是宽为 \(a\) 的单缝, 相邻缝的净空宽度依次为 \(a\), \(2a\), \(a\), \(2a\), … , 求衍射场.

Solution 单缝因子为

\[\tilde U_0(\theta)=\tilde c\frac{\sin\alpha}{\alpha}, \qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.\]

中心间距交替为 \(2a,3a\). 将中心相距 \(2a\) 的两条缝作为一组, 组内二级结构因子为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\alpha}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\alpha}=2\cos2\alpha\).

相邻组的周期为 \(5a\), \(N\) 组给出

\[I(\theta)=4I_0 \left( \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right)^2 \left( \frac{\sin5N\alpha}{\sin5\alpha} \right)^2 \cos^2(2\alpha)\]

若题目中的“间距”指缝中心距离 \(a,2a\), 则周期为 \(3a\), 组内因子为 \(2\cos\alpha\), 上式应相应改为 \(4I_0\operatorname{sinc}^2\alpha[\sin(3N\alpha)/\sin(3\alpha)]^2\cos^2\alpha\). 两种几何定义不能混用.

Example 阶梯形透射相位单元

四级等宽台阶从左至右的厚度为 \(4a,3a,2a,a\). 正文略去最低一级共同的透射相位, 因而相对相位写成 \(3\varphi,2\varphi,\varphi,0\). 采用薄相位屏近似, 忽略各级振幅与反射差异.

Solution 把一个阶梯单元的左端取为 \(x=0\), 透射相因子可写成

\[t(x)= \begin{cases} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}\varphi}, & 0\le x\lt d,\\ \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\varphi}, & d\le x\lt 2d,\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}, & 2d\le x\lt 3d,\\ 1, & 3d\le x\lt 4d,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \qquad \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n-1)a.\]

每一级给出同一个单缝因子 \(\sin\alpha/\alpha\), 只是相对位移不同

\[\tilde U(\theta) =\tilde c\,d\frac{\sin\alpha}{\alpha} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}\varphi-\mathrm{i}\alpha} \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)} \right), \qquad \alpha=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.\]

因此强度可写成

\[I(\theta)=I_0 \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \left| 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\delta} \right|^2, \qquad \delta = -2\alpha-\varphi\]

4.2 One-Dimensional Gratings

Proposition 光栅衍射场. 取第 \(m\) 个单元相对参考单元的位移为 \(x_m=-md\). 于是远场复振幅为等比求和

\[\tilde U(\theta) =\tilde U_0(\theta)\sum_{m=0}^{N-1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\delta} =\tilde U_0(\theta) \frac{\sin N\beta}{\sin\beta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N-1)\beta}, \qquad \beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.\]

单元因子给出包络, 结构因子给出离散主极大及峰宽. 以下峰宽及主峰间零点、次峰的计数取 \(N\geq2\).

Remark 主极强. 当 \(\beta=m\pi\) 时, 强度结构因子取极限 \(N^2\), 出现主极强(可出现级次受 \(|m|\lambda/d\leq1\) 限制, 且单元因子不能为零). 第 \(m\) 级主峰两侧第一零点的精确方向为
\[d\sin\theta_m=m\lambda, \qquad d\sin\theta_{m,\pm} =\left(m\pm\frac{1}{N}\right)\lambda.\]
两侧角宽 \(|\theta_{m,\pm}-\theta_m|\) 一般不完全相等. 若两零点均为可传播方向, 且远离掠射、小角展开成立, 可用共同的近似半角宽度
\[\Delta\theta_m \simeq\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_m} =\frac{\lambda}{D\cos\theta_m},\qquad D\equiv Nd.\]
在相同级次和方向下, 光栅有效宽度 \(D\) 越大, 主峰越窄.
Remark 零点. 结构因子为零要求
\[\sin N\beta=0,\qquad \sin\beta\neq0\]
即 \(N\beta=j\pi,j\neq mN\), 则
\[d\sin\theta_{\mathrm{zero}}=\frac{j\lambda}{N}, \qquad j\in\mathbb{Z},\quad j\notin N\mathbb{Z},\quad \left|\frac{j\lambda}{Nd}\right|\leq1\]
相邻两个主峰之间有 \(N-1\) 个零点.
Remark 次极大. 对 \(N\geq2\), 排除主峰和零点后, 强度结构因子的驻点满足
\[N\cos(N\beta)\sin\beta-\sin(N\beta)\cos\beta=0.\]
仅在两余弦均不为零时可改写为 \(\tan(N\beta)=N\tan\beta\), 否则须用未除余弦的方程. 相邻两个主峰之间有 \(N-2\) 个结构因子的次极大; 乘上单缝包络后, 总强度峰位可略有移动. 增大 \(N\) 使主峰变窄, 但靠近主峰的次峰相对高度一般趋于非零值, 并不随 \(N\) 无限消失.
Remark 缺级. 单元因子可使某些主极强落在单缝暗纹上.

Remark 正入射透射光栅的缺点

光栅本身可能吸收光能.
零级主峰无色散, 不同波长都集中在 \(\theta=0\), 且通常落在单元衍射因子最大处.
光强分散到正负各级, 而实际光谱分析通常只需要其中一个序列.

Example 一维光栅刻线密度 \(600\,\mathrm{mm}^{-1}\), 有效宽度 \(D=5\,\mathrm{cm}\), 入射 He-Ne 激光波长 \(\lambda=633\,\mathrm{nm}\). 求一、二级主峰方位角及半角宽度.

Solution 光栅常数满足 \(1/d=600\,\mathrm{mm}^{-1}\). 由光栅公式

\[\sin\theta_1=\lambda/d\approx0.38, \qquad \sin\theta_2=2\lambda/d\approx0.76.\]

\(\theta_1\approx22^\circ19',\theta_2\approx49^\circ26'\). 半角宽度为

\[\begin{aligned} \Delta\theta_1 &=\frac{633\,\mathrm{nm}} {5\,\mathrm{cm}\cos22^\circ19'} \approx1.37\times10^{-5}\,\mathrm{rad} \\ \Delta\theta_2 &=\frac{633\,\mathrm{nm}} {5\,\mathrm{cm}\cos49^\circ26'} \approx1.95\times10^{-5}\,\mathrm{rad} \end{aligned}\]

Example 光栅常数和单缝宽度不变, 光栅只留下一半数目的缝会有何影响?

Solution 这里指保留连续的一半缝, 缝间距仍为原值; 若隔缝遮挡则周期改变, 结论不同. 单缝衍射包络不变, 主极大位置不变. 主极大角宽度增大一倍, 峰值强度为原来的 \(\frac14\), 总透光能量约减半, 光栅分辨本领减半.

4.3 Grating Spectrometers and Blazed Gratings

4.3.1 Blaze Geometry

每个周期内的槽面法线 \(\hat{\mathbf{n}}\) 与光栅整体法线 \(\hat{\mathbf{N}}\) 夹角为闪耀角 \(\theta_b\), \(a\) 为被照亮槽面的实际宽度, 它在光栅平面上的投影近似为 \(d\), 即 \(a\cos\theta_b\approx d\); 仅在小闪耀角时才有 \(a\approx d\). 若沿 \(\hat{\mathbf{N}}\) 方向正入射, 槽面的镜反射方向为 \(\theta_{\hat{\mathbf{N}}}=2\theta_b\), 而整个光栅的零级方向仍为 \(\theta=0\).

正入射闪耀光栅几何示意图. a 沿槽面量取, d 沿光栅整体平面量取; 槽面法线的倾角为闪耀角, 镜反射方向相对整体法线偏转两倍闪耀角. 回坡简化为竖直线, 图示不代表实际槽形与效率.

\[I(\theta)=I_0 \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2\]

在忽略遮挡、偏振和矢量边界效应的标量槽面模型中, 单元和结构相因子

\[\alpha=\frac{\pi a}{\lambda} \left[\sin(\theta-\theta_b)-\sin\theta_b\right], \qquad \beta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\]

槽面镜反射方向 \(\theta_{\hat{\mathbf{N}}}=2\theta_b\), 相应 \(\alpha=0\), 单槽包络取最大值. 同时若

\[d\sin(2\theta_b)= m\lambda_{m\mathrm b}\]

则第 \(m\) 级在槽面镜反射方向上相干增强. \(m = 1\) 时给出此正入射几何下的一级闪耀波长 \(\lambda_b\). 实际效率还受槽形、遮挡、材料与偏振影响; 目录中常用的 Littrow 闪耀条件为 \(i=\theta=\theta_b\), 对应 \(m\lambda=2d\sin\theta_b\), 与这里的正入射条件不同.

4.3.2 Dispersion and Resolution

Definition 角色散率. 定义 \(D_\theta=\delta\theta/\delta\lambda\), 由光栅公式 \(d\sin\theta_m=m\lambda\) 微分得
\[D_\theta=\frac{m}{d\cos\theta_m}.\]
Definition 线色散率. 在以目标衍射方向为光轴、像面垂直于该方向的相机中, 小角变化对应局部像面位移 \(\delta l\simeq f\delta\theta\), 因而
\[D_l \simeq fD_\theta =\frac{fm}{d\cos\theta_m}.\]
Definition 色分辨本领. 定义 \(R=\lambda/\delta\lambda_{\min}\). 其中 \(\delta\lambda_{\min}\) 为刚能分辨的最小波长差. 两条谱线的角间隔为 \(\delta\theta_m=|D_\theta|\delta\lambda\); 第 \(m\) 级主峰半角宽度为\(\Delta\theta_m=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_m}\). 按 Rayleigh 型判据, 令 \(\delta\theta_m=\Delta\theta_m\), 得
\[R=|m|N\qquad (m\neq0).\]
这里假设理想、均匀相干照明的 \(N\) 条刻线及非零单元因子, 不计狭缝、像差和探测器的额外展宽. 若采用斜入射的一般光栅方程 \(d(\sin i+\sin\theta)=m\lambda\), 由 \(|\sin i+\sin\theta|\leq2\) 得几何上界
\[R\leq\frac{2dN}{\lambda}=\frac{2D}{\lambda}.\]
等号对应理想掠射极限, 一般实际工作角度达不到; 固定正入射时则有更小的上界 \(R\leq D/\lambda\).

Remark

闪耀光栅单槽衍射的主能量方向与目标非零衍射级重合, 能量集中到一个主要级次.
与透射式光栅相比, 反射式闪耀光栅的优点在于光栅效率高、可做大口径、材料吸收小, 且适合指定工作级次的场景.

4.3.3 Spectrometer Comparison

比较各器件的分光原理、分辨本领和测量范围.

棱镜用材料色散 \(n(\lambda)\) 分光. 分辨本领由 \(\mathrm dn/\mathrm d\lambda\)、棱镜尺寸和入射光束宽度决定. 无级次重叠, 但通常分辨率较低.
FP 为多光束等倾干涉选频, \(2nh\cos\theta=m\lambda\). \(R_{c,m}=m\mathcal F\) 由级次和精细度决定. 分辨率高, 但自由光谱范围小, 且易级次重叠.
光栅为周期结构衍射分光, \(d(\sin \theta_i+\sin\theta_o)=m\lambda\). \(R=|m|N\) 由非零级次和被照亮刻线数决定, 对特定光栅尺度和波长有理论极限. 测量范围受级次重叠、光栅尺度和角色散限制.

4.3.4 Doublet Resolution Example

Example 中心波长 \(600\ \mathrm{nm}\)、间距 \(0.05\ \mathrm{nm}\) 的双线光谱. 正入射, 光栅频率 300 线/mm, 透镜焦距 30 cm, 相机光轴对准一级中心谱线. 求

分辨一级双线所需的最小照亮宽度.
一级角色散率及双线角间隔.
接收面上的双线间隔及相应分辨线数.
光栅记录材料的空间分辨率要求.

Solution

光栅分辨本领为 \(R_c=mN\). 一阶光谱中 \(m=1\), 分辨双线要求
\[N_{\min}=R_c=\frac{\lambda}{\Delta\lambda} =\frac{600}{0.05}=1.2\times10^4.\]
光栅频率 \(g=300\,\mathrm{mm}^{-1}\), 因而最小照亮宽度
\[D_{\min}=\frac{N_{\min}}{g} =\frac{1.2\times10^4}{300}\,\mathrm{mm} =40\,\mathrm{mm}=4.0\,\mathrm{cm}.\]
光栅常数 \(d=\frac{1}{g}=3.33\times10^{-3}\,\mathrm{mm}\). 一阶衍射角满足
\[\sin\theta_1=\frac{\lambda}{d}=0.18\]
角色散率为 \(D_\theta=1/(d\cos\theta_1)\). 两谱线的角间隔为
\[\Delta\theta \simeq\frac{\Delta\lambda}{d\cos\theta_1} \simeq1.525\times10^{-5}\,\mathrm{rad}.\]
焦平面上的空间间隔为
\[\Delta x\simeq f\Delta\theta \simeq0.30\times1.525\times10^{-5}\,\mathrm{m} \simeq4.57\,\mu\mathrm{m}.\]
若以可分辨间隔的倒数估计记录分辨率, 接收屏所需分辨线数约为
\[\frac{1}{\Delta x} \simeq2.2\times10^2\,\mathrm{line/mm}.\]
光栅记录材料至少应能记录 \(300\,\mathrm{line/mm}\) 的结构, 与接收屏分辨谱线的要求不同.

4.4 Two-Dimensional Gratings

Proposition 二维 Fraunhofer 衍射. 周期分别为 \(d_1,d_2\), 单元数为 \(N_1,N_2\),

\[\delta_x=\frac{2\pi d_1\sin\theta_1}{\lambda}, \qquad \delta_y=\frac{2\pi d_2\sin\theta_2}{\lambda}\]

远场振幅为二维结构因子的乘积:

\[\begin{aligned} \tilde U(\theta_1,\theta_2) &=\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \sum_{q=0}^{N_2-1} \sum_{p=0}^{N_1-1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(p\delta_x+q\delta_y)} &&\\ &=\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N_1-1)\beta_1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N_2-1)\beta_2} \frac{\sin N_1\beta_1}{\sin\beta_1} \frac{\sin N_2\beta_2}{\sin\beta_2}, \end{aligned}\]

\[\beta_1=\frac{\pi d_1\sin\theta_1}{\lambda}, \qquad \beta_2=\frac{\pi d_2\sin\theta_2}{\lambda}.\]

这里 \(\sin\theta_1,\sin\theta_2\) 是观察方向沿两个孔径轴的横向方向余弦. 主极强方向由二维结构因子给出:

\[\begin{cases} d_1\sin\theta_1=m\lambda,\\ d_2\sin\theta_2=n\lambda, \end{cases} \qquad m,n=0,\pm1,\pm2,\cdots\]

两式还须共同满足 \((m\lambda/d_1)^2+(n\lambda/d_2)^2\leq1\), 才有实数纵向波数; 单元因子为零时该级缺失. 固定另一横向方向余弦, 远离传播截止且主峰足够窄时, 对应近似半角宽度分别为

\[\Delta\theta_{1m} \simeq\frac{\lambda}{D_1\cos\theta_{1m}}, \qquad \Delta\theta_{2n} \simeq\frac{\lambda}{D_2\cos\theta_{2n}},\qquad D_i\equiv N_id_i.\]

4.5 X-Ray Diffraction

Proposition Bragg 公式. 对间距为 \(d\) 的平行晶面族, 单色平行 X 射线以掠射角 \(\theta\) 入射. 按反射定律方向散射时相干增强条件为

\[2d\sin\theta=m\lambda,\qquad m=1,2,\cdots\]

并非任意波长都能满足 Bragg 条件.

Remark 观察 X 射线衍射的两种方法.

Laue method: 用连续谱 X 射线照射单晶, 当某些允许晶面的 Bragg 波长落在光源谱宽内, 且结构因子不消光时, 得到 Laue 斑点.
Debye method: 用单色 X 射线照射粉末, 形成 Debye 环.

Remark 粉末衍射(powder diffraction). 对粉末衍射给出的衍射角, 先通过 Bragg 条件得到

\[\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\lambda}{2d_{hkl}}, \qquad d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}\]

这里 \(\alpha=2\theta\) 为总散射角, 该式按一阶 Bragg 反射写出, \(\mathbf{G}=\mathbf{G}_{hkl}\). \(\mathbf{G}\) 的形式根据具体晶系确定, 晶体基元还可使某些反射消光.

Remark 比较二维 Fraunhofer 衍射, 共面衍射和三维晶体衍射.

二维 Fraunhofer 衍射: 远场复振幅为屏函数 \(t(x,y)\) 的二维 Fourier 变换.
共面衍射: 周期结构与入射、出射光线同在一个平面, 需同时有横向和深度方向相干. 级次比普通二维衍射更受限制.
三维晶体衍射: 散射矢量必须等于倒易晶格矢量
\[\mathbf{k}_s-\mathbf{k}_i=\mathbf{G}_{hkl}.\]
对 \(\mathbf{G}_{hkl}\) 本身, 等价于 \(2d_{hkl}\sin\theta=\lambda\); 若把同一晶面族的第 \(m\) 级单独编号, 则散射矢量应为 \(m\mathbf{G}_{hkl}\), 对应 \(2d_{hkl}\sin\theta=m\lambda\). 三维条件最多, 衍射斑选择性最强.

5 Fourier Optics

5.1 Transmission Functions

Definition 屏函数.

\[\tilde t(x,y)=t(x,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(x,y)}.\]

若 \(\varphi(x,y)\approx\mathrm{const}\), 只有振幅函数 \(t(x,y)\) 起作用, 称为振幅型衍射屏.
若 \(t(x,y)\approx\mathrm{const}\), 只有相位函数 \(\varphi(x,y)\) 起作用, 称为相位型衍射屏.

常见的有线性因子的棱镜型, 和二次型的透镜型.
若振幅和相位都随 \((x,y)\) 变化, 则为相幅型衍射屏.

Definition 窗函数. 实际光学元件都有有限孔径, 因而屏函数通常等于理想变换函数与窗函数的乘积

\[t_w= \begin{cases} 1, & \text{窗口内},\\ 0, & \text{窗口外}. \end{cases}\]

当窗口较小时, 有限孔径本身会引入衍射效应.

5.2 Fourier Transforms and Fraunhofer Diffraction

Definition 周期屏函数的 Fourier 展开. 对周期屏函数, 取周期为 \(d\), \(f_n=n/d\); 透过率可写成 Fourier 级数

\[t(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(2\pi f_nx)+b_n\sin(2\pi f_nx)] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi f_nx}\]

理想无限周期屏的 Fourier 变换按分布意义为离散 Delta 谱. 实际有限窗会把谱点展宽为窗函数的 Fourier 变换, 不应把有限光栅的主峰看成无宽度的点.

Definition 非周期屏函数的 Fourier 积分. 非周期屏函数可以用 Fourier 积分表示:

\[g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} G(f)\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi fx}\,\mathrm{d}f \Longleftrightarrow G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi fx}\,\mathrm{d}x.\]

这里 \(f\) 按每单位长度的周期数计量, 因而正、逆变换都不含 \(1/\sqrt{2\pi}\); 角空间频率 \(q=2\pi f\) 才使用另一套归一化. 取 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\). 对可积且频谱可积的函数, 逆变换在连续点逐点成立; 更一般的有限能量场按 \(L^2\) 意义理解. 此时频谱面上是连续的频谱图.

Remark 对宽度为 \(a\)、高度为 \(A\) 的矩形函数, 连续频谱包络为 \(G(f)=Aa\,\operatorname{sinc}(\pi fa)\).

常用远场分频装置是透镜. 后焦面衍射斑与图像空间频率一一对应, 即图像的 Fourier 频谱面, 也称 Fourier 面; Fraunhofer 衍射斑称为谱斑.

5.3 Sinusoidal Gratings

Remark 余弦光栅的制备. 两束平面波的入射角为 \(\theta_1,\theta_2\), 在干板上干涉时, 条纹强度可写成

\[I(x,y)=I_0[1+\gamma\cos(2\pi fx+\phi_0)], \qquad f=\frac{\sin\theta_1-\sin\theta_2}{\lambda}.\]

对薄振幅光栅, 在记录材料的线性工作区内, 显影、定影后的振幅透过率(非强度透过率)与曝光量近似成线性关系. 曝光时间固定时可写为:

\[t(x,y)=\alpha+\beta I(x,y) =t_0+t_1\cos(2\pi fx+\phi_0).\]

Proposition 单一余弦光栅的衍射. 设平面波正入射, 经过余弦光栅后

\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=\tilde U_0+\tilde U_{+1}+\tilde U_{-1}\\ \tilde U_0 &=A_1t_0\\ \tilde U_{+1} &=\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi fx+\phi_0)} =\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\sin\theta_{+1}x+\mathrm{i}\phi_0} &&\sin\theta_{+1}=f\lambda \\ \tilde U_{-1} &=\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(2\pi fx+\phi_0)} =\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\sin\theta_{-1}x-\mathrm{i}\phi_0} &&\sin\theta_{-1}=-f\lambda. \end{aligned}\]

对理想无限光栅, 三项分别表示 \(0\) 级及横向波数为 \(\pm2\pi f\) 的分量; 只有 \(|f|\lambda\leq1\) 时, \(\pm1\) 级才有实数传播方向. 有限孔径使各谱分量展宽. \(\pm1\) 级衍射斑的方位角与余弦光栅的空间频率一一对应.

Remark 组合规则. 余弦光栅的组合只需看透过率中的空间频率:
- 透过率相加时, 频谱就是各空间频率分量并列出现.
- 密接薄屏相乘时, 三角函数乘积会产生和频、差频分量.
每个正空间频率 \(f\) 的余弦分量在 \(f\lambda\leq1\) 时对应一对传播方向 \(\sin\theta=\pm f\lambda\); 超过截止时为隐失分量.

5.4 Talbot Self-Imaging

Definition Talbot effect. 单色平面波垂直照射周期性物体时, 在物体后方某些距离处可重新出现周期图样, 称为光栅自成像或 Talbot 效应.

对周期为 \(d\) 的一维光栅, 衍射级满足

\[\sin\theta_m=m\frac{\lambda}{d}, \qquad m=0,\pm1,\pm2,\cdots\]

采用空间相因子 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\) 时, 第 \(m\) 级相对零级的相位差为 \(k_0z(\cos\theta_m-1)\); 其相位落后量记为

\[\Delta\varphi_m =k_0z(1-\cos\theta_m), \qquad k_0=\frac{2\pi}{\lambda}.\]

若要求相位重新相干, 有 \(k_0z(1-\cos\theta_m)=2\pi n\), 即

\[z_{n,m} =n\frac{\lambda}{1-\cos\theta_m} =n\frac{\lambda} {1-\sqrt{1-\left(m\lambda/d\right)^2}} \approx n\frac{2d^2}{m^2\lambda}.\]

若 \(\pm1\) 级存在, 按所有整数 Fourier 级次共同复相得到通常采用的 Talbot 距离

\[z_T=\frac{2d^2}{\lambda}.\]

在傍轴近似下, 所有有显著振幅的级次均满足 \(|m|\lambda/d\ll1\) 时, \(z_T\) 使它们复相:

\[z_T\simeq z_{1,\pm1}\simeq z_{4,\pm2}\simeq z_{9,\pm3}\simeq\cdots.\]

这是 Fresnel 近似下的复相; 非傍轴级次的精确纵向波数不再与 \(m^2\) 成正比, 因而一般不能同时严格复相. 在 \(z_T\) 的整数倍处出现原周期自成像; 在分数倍位置可出现平移或反相的子像.

5.5 Evanescent Waves

Definition 隐失波. 对余弦型结构, 空间频率 \(f\) 对应一对 \(\pm1\) 级平面波. 其衍射角满足

\[\sin\theta_{\pm1}=\pm f\lambda=\pm \frac{f}{f_c}, \qquad f_c=\frac{1}{\lambda}.\]

\(f_c\) 为载波频率.

对 \(f\geq0\), 当 \(f\lt f_c\) 时, \(\pm1\) 级衍射波可以作为传播平面波离开衍射屏.
当 \(f=f_c\) 时为掠射截止, \(k_z=0\), 不向 \(z>0\) 输送法向功率.
当 \(f>f_c\) 时, 不存在实数传播角. 故超精细(超高频)结构对应衍射隐失波; 有符号频率时判断条件为 \(|f|>f_c\).

设 \(+1\) 级波写成

\[U_{+1}(x,y,z)=A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_xx+k_yy+k_zz)}, \qquad k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2 =\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 =(2\pi f_c)^2.\]

在 \(z=0\) 的衍射屏面上, 余弦光栅 \(\cos(2\pi fx)\) 调制要求

\[U_{+1}(x,y,0)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi fx}, \qquad k_x=2\pi f,\quad k_y=0.\]

当 \(f>f_c\) 时, \(k_z=\sqrt{k_0^2-(k_x^2+k_y^2)}=2\pi\sqrt{f_c^2-f^2}=\mathrm{i}k'_z\). 于是

\[U_{\pm1}(x,y,z) =A\mathrm{e}^{-k'_zz} \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}2\pi fx}.\]

只存在于衍射屏附近. 有效深度为

\[z_e=\frac{1}{k'_z},\]

其值为 \(z_e=[2\pi\sqrt{f^2-f_c^2}]^{-1}\). 接近传播截止时可远大于波长, 极高频时则远小于波长, 不能统一取为一个波长.

5.6 Abbe Imaging and Spatial Filtering

Postulate Abbe 成像原理.

分频: 物为一系列不同空间频率的集合. 相干入射光经过物平面后发生 Fraunhofer 衍射. 物的空间频率成分被分到频谱面(物镜后焦面)上不同位置的衍射光斑.
合成: 频谱面上的衍射光斑作为次波源, 在像面上再叠加成像.

Remark 前节讨论介质中的传播截止; 本节讨论系统有限孔径造成的通带限制. 正入射相干照明下, 有限孔径成像系统对场振幅起低通滤波作用. 空气中的傍轴系统截止空间频率为

\[f_M=\frac{\sin\theta_M}{\lambda} \simeq\frac{D}{2F\lambda}.\]

这里 \(D\) 为孔径直径, \(F\) 为焦距. 对正入射照明的周期物体, 若周期小于 \(1/f_M\), 非零衍射级不能通过. 这不是任意两点或任意照明条件下的统一分辨率公式; 非相干强度成像的传递函数是瞳函数的自相关, 截止频率可达 \(2\mathrm{NA}/\lambda_0\).

Definition 空间滤波. 在频谱面上放置合适光阑就可以实现滤波.

Remark 以黑白光栅为物时, 放行更多远离中心高级次则边缘更锐利.

5.7 Optical Information Processing

Definition 4f 系统. 光信息处理常采用 \(4f\) 系统. 物平面坐标为 \((x,y)\), 第一透镜后焦面为频谱面 \((u,v)\), 第二透镜后的像平面为 \((x',y')\). 在傍轴近似下, 频谱面坐标与物平面空间频率满足

\[u=F\lambda f_x,\qquad v=F\lambda f_y.\]

同理, 第二次 Fourier 变换把频谱面上的空间频率映射到像平面:

\[x'=F\lambda f_u,\qquad y'=F\lambda f_v.\]

两片等焦距透镜依次完成两次同号 Fourier 变换, 无滤波时得到倒像 \(U_I(x',y')\propto U_o(-x',-y')\). 下文移位运算均相对于这个未滤波像定义; 若把像面坐标反向, 也可用一次正变换与一次逆变换描述同一系统. Remark 频谱面调制的两类作用. 频谱面调制可以改变频谱振幅, 也可以改变频谱相位.

改变振幅时, 可实现选频、低通、高通或边缘增强;
改变相位时, 可通过移位副本的相干叠加实现图像相加、相减或微分近似.

Example 显色滤波. 黑白底片由不同取向的透射光栅区域组成.

Solution

用白光照明时, 每个光栅区域在频谱面上沿自身空间频率方向产生色散谱线.
在频谱面放置滤波器, 对某一方向的谱线只保留一种颜色, 则像面上对应的物面区域就显示为该颜色.

不同光栅取向把谱线放在不同方向, 谱点位置由本节开头的坐标变换确定. 滤波器选择方向与波长; 中央零级光同时影响像的背景. 颜色仅为示意, 白光中互不相干的不同波长应叠加强度, 不能直接把复振幅相加.

Example 图像加减运算. 在频谱面上插入余弦光栅

\[t(u)=t_0+t_1\cos(2\pi f_0u+\phi_\Delta),\]

可使原图像产生 \(0,\pm1\) 级副本.

Solution 使用本节开头的频谱面坐标对应关系.

若滤波前频谱为 \(\mathscr{F}(f_x,f_y)\), 插入光栅后 \(\mathscr{F}'(f_x,f_y)=\mathscr{F}(f_x,f_y)t(u,v)\). 用余弦指数展开并回到像平面, 可得到
\[\begin{aligned} U'_I(x',y') &=t_0U_I(x',y') +\frac{1}{2}t_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\Delta} U_I(x'-Ff_0\lambda,y')\\ &\quad+\frac{1}{2}t_1\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_\Delta} U_I(x'+Ff_0\lambda,y'). \end{aligned}\]
若输入面上有两幅待比较图像 \(A\) 和 \(B\), 且它们在像面上的位置原本相差 \(2b\), 则频谱面余弦光栅会分别给 \(A\) 和 \(B\) 产生 \(0,\pm1\) 级移位副本. 选择光栅空间频率使一级移位量满足 \(Ff_0\lambda=b\), 就可使 \(A\) 的 \(+1\) 级副本与 \(B\) 的 \(-1\) 级副本在像面上重叠. 也就是要求
\[d_{AB}=2b=2Ff_0\lambda,\]
此时 \(A_{+1}\) 与 \(B_{-1}\) 在像面上重叠. 重叠场可写成
\[U_{ABI} =\frac{1}{2}t_1 \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\Delta}U_{AI} +\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_\Delta}U_{BI} \right],\]
- 当 \(\phi_\Delta=2m\frac{\pi}{2}\) 时得到图像相加; 当 \(\phi_\Delta=(2m+1)\frac{\pi}{2}\) 时得到图像相减.
- 若把光栅沿 \(+u\) 平移 \(\Delta u\), 即 \(t(u)\to t(u-\Delta u)\), 则 \(\Delta\phi_\Delta=-2\pi f_0\Delta u\), 因此可以通过移动频谱面光栅在算法之间切换.

Example 图像微分运算. 图像微分可以看作微小位移下的特殊图像相减:

\[\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} =\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.\]

Solution 在频谱面放入两组接近的斜向余弦光栅:

\[\begin{aligned} t(u,v) &=t_0+t_1\cos[2\pi f_1(u+v)+\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}]\\ &\quad+t_1\cos[2\pi f_2(u+v)+\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}]. \end{aligned}\]

若 \(\Delta f=|f_1-f_2|\ll f_1,f_2\), 则 \(f_1(+1,+1)\) 与 \(f_2(+1,+1)\) 两个像几乎重叠. 当相位差满足

\[(\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}) -(\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}) =(2m+1)\pi,\]

叠加项近似为

\[U_I(x'+\delta x',y'+\delta y')-U_I(x',y'), \qquad (\delta x',\delta y')=(F\lambda\Delta f,F\lambda\Delta f).\]

在只选取这两个相减副本、移位量小于图像变化尺度并除去共同幅度和位移后, 该差分除以 \(F\lambda\Delta f\) 近似 \((\partial_{x'}+\partial_{y'})U_I\), 即对角方向的场振幅微分. 探测到的是其模平方, 可突出这一方向上的边缘.

当相位差为 \(2m\pi\) 时, 两个近邻像相加, 边缘反而变模糊.
由于
\[(\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}) -(\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}) =-2\pi(f_2-f_1)(\Delta u+\Delta v),\]
这里把两光栅的初始相位差取为零, 并把上式理解为共同平移引起的相位差变化. 移动光栅即可在相减与相加之间调节; 其他级次若未滤除, 还会给出额外图像背景.

5.8 Zernike Phase Contrast

Definition 零级谱斑相位板. 对一维透明相位物 \(\tilde U_o(x)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(x)}\), 在零级谱斑上放置相位板, 使零级谱斑相移 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\), 透过率为 \(\tau\), 即 \(c_0\to c_0\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\). 新像场为

\[\tilde U'_I(x') \propto \tilde U'_o(x) =c_0\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta} +\sum_{n=-\infty,\ n\ne0}^{+\infty} c_n\exp(\mathrm{i}2\pi f_nx) =c_0(\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}-1) +\tilde U_o(x).\]

选取整体相位使 \(c_0\) 为实数, 并相应从 \(\phi\) 中减去这一背景相位, 则光强为

\[\begin{aligned} I'_I(x') &=\tilde U'_I(x')\tilde U_I'^*(x') \propto (c_0^2+A^2+c_0^2\tau^2-2c_0^2\tau\cos\delta)\\ &+2c_0\tau A[\sin\delta\sin\phi(x') +\cos\delta\cos\phi(x')] -2c_0A\cos\phi(x'). \end{aligned}\]

要得到近似线性的相位读出, 进一步取:

弱相位条件 \(|\phi(x')|\ll1,c_0\simeq A\), 即 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\simeq1+\mathrm{i}\phi\).
零级相移 \(\delta\simeq\frac{\pi}{2}\).
此线性强度公式还要求 \(|\phi|\ll\tau\); 过度衰减零级使二次项不可忽略, 不能据线性式无限提高衬比度.

于是

\[I'_I\propto c_0^2\tau^2 +2c_0^2\tau\phi(x') \propto \tau^2+2\tau\phi(x')\]

所以相对于背景的相位分布被转化为一阶强度变化.

Remark 相衬显微镜用零级光与散射光干涉, 读取透明弱吸收、弱相位物体的相位变化. 普通理想合焦成像没有一阶强度变化; 将零级相移改为 \(-\pi/2\) 可反转上述线性项的符号. 完全遮去零级会丢失一阶强度信号, 因而不能用无限衰减零级来提高线性衬比度.

左图为弱相位场的零级与散射分量; 右图的正负号表示两种相衬片的备选相移, 不是同时存在的两束散射光. 负相衬情形可把整个场乘以共同相位 \(-1\), 从而统一写成 \(\mathrm{i}\tau\pm\mathrm{i}\phi\). 箭头长度不表示实际幅度比例.

Example 洋葱表皮细胞

洋葱表皮没有光吸收, 可以看做纯相位型的衍射屏, 为何在显微镜视场中细胞壁仍然呈现浅灰色?
说明增加相衬片后零级和高级斑的电场矢量变化, 以及导致的在像面上零级斑和高级斑叠加的改变, 分为细胞外的区域 A, 横跨边缘区 B 和中心区 C 讨论. 并说明图像是细胞整体亮度改变从而和背景有所区分还是边缘改变亮度?
请说明要获得衬比度为 1 的最佳的图像, 应当如何设计相衬片? 如何使相衬图像亮暗颠倒?

Solution

完全合焦、无像差、对称实瞳的弱纯相位成像没有一阶强度衬比. 实际可见的灰度可来自离焦、像差、散射、微弱吸收或较强相位的高阶项; 有限孔径本身并不必然产生一阶相位衬比.
理想相衬模型中, A 区为背景, C 区只要相位不同于背景就可有整体亮度变化, B 区连接两者. 不能把均匀细胞内部等同于全场零频分量. 实际相衬环的有限宽度还会引入晕边和内部衬比减弱, 效果依赖物体尺度与照明.
衬比度达到 1 要求某处出射振幅完全相消. 应使用完整复振幅式同时匹配零级的幅度和相位; 当 \(\tau\) 与 \(|\phi|\) 同量级时须保留 \(\phi^2\) 项, 单靠线性衬比公式不能确定最佳相衬片. 零级光的相移由 \(+\pi/2\) 改为 \(-\pi/2\), 即正相衬/负相衬互换.

相衬显微镜不需要对标本染色, 因而可避免染色过程引起的结构改变, 也能观察某些不易染色的透明标本.

6 Holography

6.1 Recording and Reconstruction

6.1.1 Recording

全息记录的基本思想是干涉记录+衍射再现.

取同频、共同偏振且在曝光时间内相对相位稳定的物光波 \(\tilde O\) 与参考光波 \(\tilde R\). 在全息干板 \(H\) 上的相干光

\[\begin{aligned} \tilde U_H(x,y) &=\tilde O(x,y)+\tilde R(x,y)\\ I_H(x,y) &=\tilde U_H\tilde U_H^* =(\tilde O+\tilde R)(\tilde O^*+\tilde R^*)=|\tilde O|^2+|\tilde R|^2+\tilde R^*\tilde O+\tilde R\tilde O^* \end{aligned}\]

在薄振幅全息图的线性记录近似下, 显影、定影后的振幅透过率与固定曝光时间的相干光强近似成线性关系:

\[\tilde t_H(x,y) =t_0+\beta I_H(x,y) =t_0+\beta[|\tilde O|^2+|\tilde R|^2] +\beta \tilde R^*\tilde O +\beta \tilde R\tilde O^*\]

全息图本质上是一张干涉图, 同时包含物光波前和其共轭波前的信息. 之后用照明光照射该全息图时, 可通过衍射再现物光波前及其共轭波前.

6.1.2 Reconstruction

用一准单色光波 \(\tilde R'\) 照射全息图, 产生的衍射场为

\[\tilde U'_H(x,y) =\tilde t_H(x,y)\tilde R' =\tilde T_1\tilde R' +\tilde T_2\tilde O +\tilde T_3\tilde O^*\]

其中系数

\[\tilde T_1 =t_0+\beta[|\tilde O|^2+|\tilde R|^2], \qquad \tilde T_2 =\beta\tilde R'\tilde R^*, \qquad \tilde T_3 =\beta\tilde R'\tilde R\]

三项通常称为 \(0\) 级、物光再现级和共轭再现级. 零级项中 \(|\tilde O|^2\) 一般随位置变化, 并非严格只有一束均匀照射波; 在强而均匀的参考光近似下它才主要表现为未偏转的背景光.

“物光再现”描述波前是否恢复, 不等同于实像. 对发散物光, 原波前再现通常给出虚像, 共轭波则可能在观察侧会聚为实像; 像的位置由二次相位的曲率符号决定.

6.1.3 Illumination Configurations

若照明光和参考光是正入射的全同平面光, 取 \(\phi'_R=\phi_R=0\), 于是
\[\tilde T_2\tilde O=\beta A'_RA_R\tilde O,\qquad \tilde T_3\tilde O^*=\beta A'_RA_R\tilde O^*\]
分别是真实再现的物光波前和伴生的物光共轭波前.

正入射平面参考光的物光支与共轭支.
若照明光和参考光是斜入射的全同平面光, 则 \(\phi'_R=\phi_R\) 为线性相因子. 此时
\[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\phi_R}.\]
\(\tilde T_2\tilde O\) 给出物光波前真实再现, 而 \(\tilde T_3\tilde O^*\) 中的线性相因子等效于棱镜, 使共轭波发生偏转.

离轴平面参考光再现.

共轭支的横向波矢由两倍参考光横向分量减去物光横向分量决定. 小角度偏转按傍轴近似理解, 输出角谱还须满足传播条件. 图中级次标记与正文约定可能不同, 两支再现波按相位项区分.
若照明光和参考光是全同球面光, 则在傍轴近似下 \(\phi'_R=\phi_R\) 为二次相因子. 以下还把孔径内缓慢变化的球面波振幅近似为常数. 因而
\[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\phi_R}.\]
物光相位波前恢复, 幅度还乘以参考波的包络; 在上述振幅近似下为物光波前真实再现. 共轭波则受到一个等效透镜作用, 可能发生放大、缩小和偏转, 也可能由实像变成虚像.

全同球面参考光再现; 像位与放大率取决于物光和参考光曲率.
若照明光和参考光是共轭球面光, 即 \(\phi'_R=-\phi_R\) 为二次相因子, 则
\[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\phi_R}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}.\]
此时物光波前受到等效透镜作用, 可能放大、缩小和偏转, 也可能由虚像变成实像. 共轭波相位恢复; 若原物光发散、再现波长相同且振幅包络按上面的近似处理, 则共轭波会聚为实像.

共轭球面照明再现.

Remark 图中“原生 +1 级像”与本文级次约定不同. 本文按 \(\tilde T_2\tilde O\) 和 \(\tilde T_3\tilde O^*\) 分别定义 \(+1\) 与 \(-1\) 再现波; 应以相位项和传播方向判断成像.

Remark

比较项	普通照相	全息照相
记录	镜头在底片或探测器上形成物体的像, 记录像面光强, 相位信息基本丢失	物光与相干参考光在记录面干涉, 交叉项编码物光振幅与相位
再现与观察	不恢复原波前, 立体感主要来自透视与明暗线索	参考光或相近照明使全息图衍射再现物光及共轭波前, 可观察三维像、视差与景深

对各物点的物光均覆盖全息片的常见漫射物记录, 全息图板部分缺失后, 剩余区域仍可再现物体的整体像. 若某些物点因遮挡或照明几何未照到剩余区域, 则不能保证再现这些点. 但碎片面积变小等效于孔径变小, 通光量降低、像变暗, 分辨率下降, 噪声和散斑相对更明显, 可观察视角和视场也变小.

6.2 Image Position and Magnification

Assumption 傍轴设定. 设物点、参考点光源和照明点光源分别为

\[O(x_0,y_0,-z_0),\qquad R(x_1,y_1,-z_1),\qquad R'(x',y',-z').\]

记录波长为 \(\lambda_1\), 再现照明波长为 \(\lambda_2\). 以下在同一外部介质中按薄全息图处理, \(z_0,z_1,z'\neq0\), 正值表示点源在 \(z\lt0\) 一侧; 负值可表示片上会聚波的有符号曲率. 孔径远小于各源距离, 忽略缓变振幅及与 \((x,y)\) 无关的整体相位. 傍轴物光、参考光和照明光分别可写成二次相因子形式:

\[\begin{aligned} \tilde O &=A_O\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_1} \left(\frac{x^2+y^2}{2z_0} -\frac{x_0x+y_0y}{z_0}\right) \right],\\ \tilde R &=A_R\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_1} \left(\frac{x^2+y^2}{2z_1} -\frac{x_1x+y_1y}{z_1}\right) \right],\\ \tilde R' &=A'_R\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_2} \left(\frac{x^2+y^2}{2z'} -\frac{x'x+y'y}{z'}\right) \right]. \end{aligned}\]

将这些相因子代入 \(\tilde T_2\tilde O=\beta\tilde R'\tilde R^*\tilde O\) 与 \(\tilde T_3\tilde O^*=\beta\tilde R'\tilde R\tilde O^*\), 可由二次项和线性项读出再现点位置(不考虑全息片性质变化)

Remark 物光再现. 记
\[D_+=z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(z_1z'-z_0z').\]
\(+1\) 级物光再现点为
\[\begin{aligned} x_{+1} &=\frac{x'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(x_0z_1z'-x_1z_0z')} {D_+},\\ y_{+1} &=\frac{y'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(y_0z_1z'-y_1z_0z')} {D_+},\\ z_{+1} &=-\frac{z_0z_1z'}{D_+}. \end{aligned}\]
物光再现的横向放大率为
\[V_{+1}\equiv \frac{\Delta x_{+1}}{\Delta x_0} =\frac{\Delta y_{+1}}{\Delta y_0} =\frac{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}z_1z'}{D_+}.\]
Remark 共轭再现. 记
\[D_-=z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(z_0z'-z_1z').\]
\(-1\) 级物光共轭再现点为
\[\begin{aligned} x_{-1} &=\frac{x'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(x_1z_0z'-x_0z_1z')} {D_-},\\ y_{-1} &=\frac{y'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(y_1z_0z'-y_0z_1z')} {D_-},\\ z_{-1} &=-\frac{z_0z_1z'}{D_-}. \end{aligned}\]
物光共轭波再现的横向放大率为
\[V_{-1}\equiv \frac{\Delta x_{-1}}{\Delta x_0} =\frac{\Delta y_{-1}}{\Delta y_0} =\frac{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}z_1z'}{D_-}.\]
Remark 特例.

若 \(D_+=0\) 或 \(D_-=0\), 对应分支的二次相位曲率为零, 出射为平面波, 像位于无穷远; 此时不能把有限像点公式直接代入求值.
- 若参考光和照明光均为正入射平面波, 即 \(z_1\to\infty,z'\to\infty\) 且 \(x_1/z_1,y_1/z_1,x'/z',y'/z'\to0\), 则
  \[\begin{aligned} x_{+1}&=x_0,\quad y_{+1}=y_0,\quad z_{+1}=-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z_0,\\ x_{-1}&=x_0,\quad y_{-1}=y_0,\quad z_{-1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z_0,\\ V_{+1}&=V_{-1}=1. \end{aligned}\]
- 若 \(z_0=z_1=z'\), 则
  \[V_{+1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}, \qquad V_{-1}=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}.\]

Example 参考光和照明光为同一轴上球面波, 物光曲率半径为 \(d>0\), 再现波曲率半径与共轭波曲率半径的绝对值之比为 \(1:2\). 求参考波曲率.

Solution 取屏上球面波相因子 \(\exp(\mathrm{i}k\rho^2/2r)\). 同一参考波再现时, 原物光恢复; 共轭项的曲率满足

\[\frac1{d_c}=\frac2r-\frac1d.\]

若指定 \(d_c=2d\), 则 \(r=4d/3\); 若指定 \(d_c=-2d\), 则 \(r=4d\). 只给距离绝对值的比例不足以在两者间选择, 还需说明共轭波是发散还是会聚.

6.3 Types of Holograms

Definition 同轴与离轴全息.

共轴全息中物光与参考光近似沿同一轴线记录, 再现时物光与共轭光容易沿同轴方向混在一起.
离轴全息使参考光相对物光倾斜入射, 在频谱或再现空间中把不同级次分开, 因而更便于分离真实像、共轭像与零级项.

Definition 薄全息与体全息.

薄全息图的感光层很薄, 干涉条纹主要分布在表面层, 可近似看成二维光栅. 它通常要求单色光记录并用单色光再现; 若用白光照射, 再现像的纵向位置、横向位置和放大率随波长变化, 各色光的 \(+1\) 级衍射波混杂, 图像变得模糊.
体全息图的记录介质足够厚, 干涉强度在介质体内形成三维分布. 例如设两束记录光为 \(\tilde U_1=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz},\tilde U_2=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(x\sin\theta+z\cos\theta)}\). 干涉场强度为
\[\begin{aligned} I(x,y,z) &=(\tilde U_1+\tilde U_2)(\tilde U_1+\tilde U_2)^*\\ &=2A^2\{1+\cos[k(\sin\theta\cdot x+(\cos\theta-1)z)]\}. \end{aligned}\]
线性冲洗后, 三维光强分布转化为吸收系数或折射率呈周期分布的 Bragg 面族.

正文的 \(d\) 是相邻 Bragg 面的法向间距, 不能把截图中的竖直线段直接当作 \(d\). \(\beta\) 是面族相对 \(z\) 轴的倾角; 波长与两记录波的夹角均在记录介质内取值.

设 \(\lambda_0=2\pi/k\) 为记录介质内的波长, \(\theta\) 为两记录波在介质内的夹角. 面间距和倾角为
\[d=\frac{\lambda_0}{2\sin(\theta/2)}, \qquad \beta=\frac{\theta}{2}.\]
对照射光 \(\tilde R'\) 来说, 体全息图就是三维光栅, 衍射主极强满足 Bragg 方程
\[2d\sin\alpha=m\lambda,\qquad m=1,2,\cdots,\]
- 考虑白光沿 \(+z\) 正入射, \(\alpha=\beta=\theta/2\), 此时 \(\lambda_0=m\lambda,\lambda=\lambda_0/m\), 两个波长均在介质内取值. 若记录与再现的折射率相同, 相应真空波长也按相同比例选取. 例如记录真空波长为 \(500\,\mathrm{nm}\), 在上述不变折射率和 \(m=1\) 的条件下, 匹配的再现真空波长仍为 \(500\,\mathrm{nm}\); 有限厚度给出有限波长带宽, 不是绝对单色选择. 这给出体光栅的波长选择性, 但不保证任意体全息图都可用任意白光源清晰再现. 白光再现还要求合适的参考几何和照明角谱; 高阶 Bragg 几何条件也不保证该级有显著耦合, 例如弱正弦折射率调制通常以一阶耦合为主.

Example 体相全息底板, 氦氖激光(633 nm)记录. 记录介质体积各向同性收缩到原来的 80%. 再现光为正入射的白光(380-760 nm). 问再现的像为什么颜色? 再现像和共轭像的位置和横向放大率?

Solution

线缩比为 \(\eta=0.8^{1/3}=0.928\). 假设收缩不改变折射率、再现入射方向与记录参考光相同且选取同一 Bragg 级, 波长满足 \(\lambda'=\eta\lambda_0\approx588\ \mathrm{nm}\), 为黄色附近. 若折射率改变, 还须乘以再现与记录折射率之比.
仅凭体积缩比不能唯一确定两像的位置与放大率, 还需物光、参考光、照明光的几何条件. 作为特例, 对正入射平面参考光与平面再现光, 横向缩放后的二次相位为 \(k_0[(x/\eta-x_0)^2+(y/\eta-y_0)^2]/(2z_0)\). 结合 \(k'=k_0/\eta\), 两个形式再现点为 \((\eta x_0,\eta y_0,\mp\eta z_0)\), 横向放大率均为 \(\eta\), 不因纵向镜像而自动反号. 体全息的 Bragg 选择通常只让其中匹配的一支有效再现.

7 Crystal Optics

7.1 Birefringence

Definition 双折射现象. 在忽略吸收与旋光的线性双折射模型中, 一般入射偏振可激发两个本征模, 其能流方向可分离为两束. 沿光轴传播或只激发一个本征模时, 不出现这种双束分离. 现象: 其中一束在晶体旋转时位置基本固定, 另一束会随晶体旋转而绕固定光束转动.

这两束光都是线偏振光, 且在常见主平面平行情形下偏振方向互相正交.
- \(o\) 光遵守折射定律和反射定律, 并在入射面内传播.
- \(e\) 光的能流方向一般不服从用单一常数折射率写出的 Snell 定律. 波矢仍满足界面切向分量连续, 并结合方向相关的折射率确定折射波法线. \(e\) 光也不一定在入射面内, 因而 \(o\) 光和 \(e\) 光的偏振方向也一般不必互相垂直.
光在晶体中沿某一方向传播可不发生双折射, 此方向为晶体的光轴. 按光轴数目, 晶体可分为单轴晶体(方解石、石英)和双轴晶体(云母、硫磺).

天然方解石晶体的光轴可由两个相对钝角(102度)顶点的连线方向确定.
Definition 主截面与主平面.

图示为局部主平面. \(\mathbf{D}\) 垂直自身波法线, \(e\) 光的 \(\mathbf{E},\mathbf{D}\) 在自身主平面内; 两支主平面不同, 不能由图推出任意几何下两束电场都正交.
- 晶体主截面是光轴与晶体表面入射点法线组成的平面.
- 在本节单轴、无旋光模型中, 光线主平面由晶体中 \(o\) 光或 \(e\) 光的波法线与光轴组成; \(e\) 光射线也位于对应主平面内. 沿光轴时该平面不唯一.
  
  \(o\) 光的振动方向垂直于 \(o\) 光的主平面, \(e\) 光的振动方向平行于 \(e\) 光的主平面. 因此当 \(o\) 光和 \(e\) 光的主平面相互平行时, 两束光的振动方向互相垂直.
- 若入射面与晶体主截面重合, \(e\) 光的偏折仍在入射面内; 若二者不重合, \(e\) 光射线可能不在入射面内, 而 \(o\) 光的偏折总在入射面内.
Definition 传播速度与主折射率.

图示负单轴晶体的波前截面, 不是折射率椭球. 左图的 \(yz\) 面包含沿 \(z\) 的光轴, 两种波前沿光轴相切; 右图的 \(xy\) 面垂直光轴, 截面为不同半径的圆. 对 \(e\) 光, 波前径向射线与波前法线一般不同.
- \(o\) 光沿各个方向折射率相同, 记为 \(n_o\), 因而传播速度也相同, 记为 \(v_o\).
- \(e\) 光沿不同方向的折射率不同, 记为 \(n_{e\theta}\), 传播速度也随方向改变, 记为 \(v_{e\theta}\).
  - 沿光轴方向, \(e\) 光折射率与 \(o\) 光相同, 为 \(n_o\).
  - 沿垂直于光轴方向, \(e\) 光的折射率为 \(n_e\), 对应速度为 \(v_e\).
  \(n_o\) 与 \(n_e\) 称为晶体的主折射率.
Definition 正晶体与负晶体. 单轴晶体分为:
- 正晶体: \(v_o>v_e\), 等价地 \(n_o\lt n_e\), 例如石英.
- 负晶体: \(v_o\lt v_e\), 等价地 \(n_o>n_e\), 例如方解石.
\(o\) 光波前为球面, 半径与 \(1/n_o\) 成正比; \(e\) 光波前为椭球面, 两个主尺度由 \(1/n_o\) 和 \(1/n_e\) 给出. 在光轴方向上, \(o\) 光球面与 \(e\) 光椭球面相切.

对 \(e\) 光, 波面法线方向与光线能流方向一般不同, 需要区分波面法线和光线方向.

Example 方解石(负晶体 \(n_e=1.486,n_o=1.658\)), 光轴平行于入射面

正入射

负单轴晶体的正入射: 界面相位匹配使两支透射波的波矢切向分量为零, 波法线仍沿界面法线; 倾斜光轴下的 \(e\) 光能流方向一般偏离波法线, 而 \(o\) 光不走离. 图中的球面与椭球面为 Huygens 示意波面, 不表示测得的光束截面; 正文折射率数值用于示意, 实际数值随波长变化.
斜入射

负单轴晶体的斜入射: 以空气中传播长度 \(\mathrm{AC}\) 对应的时间构造 Huygens 波面, \(o\) 光为半径 \(\mathrm{AC}/n_o\) 的圆, \(e\) 光椭圆沿光轴的半轴为 \(\mathrm{AC}/n_o\), 垂直光轴的半轴为 \(\mathrm{AC}/n_e\). 从界面点作切线给出折射波前, 能流方向由圆心或椭圆中心到切点的方向确定; \(e\) 光的波法线与能流需分别求出. 图中尺度和折射率为示意.

Example 石英(\(n_e=1.55,n_o=1.54\)), 光轴垂直于入射面

光轴垂直入射面的石英示意: 在本节无旋光的线性双折射模型中, 两支波法线均垂直光轴, 因而入射面内的 Huygens 截面分别为半径 \(\mathrm{AC}/n_o\) 与 \(\mathrm{AC}/n_e\) 的圆. 此几何下各支能流与自身波法线同向, \(e\) 光电场垂直图面, \(o\) 光电场位于图面内; 两支仍因主折射率不同而折射到不同方向.

石英棱镜: 使两个分量空间分开, 若探测区域不重叠就不出现交叉干涉项; 分束本身并不必然使两分量失去互相干性. 这里按线性双折射近似处理石英, 未加入其天然旋光.

7.2 Uniaxial Crystal Relations

7.2.1 Dielectric Tensor and Eigenmodes

以下取均匀、透明、非磁性、局域线性且无旋光的介质, 介电张量为实对称张量; 讨论速度几何时忽略频率色散.

晶体光学各向异性可写为

\[\mathbf{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{E}, \qquad \begin{bmatrix} D_x\\D_y\\D_z \end{bmatrix} =\varepsilon_0 \begin{bmatrix} \varepsilon_x&0&0\\ 0&\varepsilon_y&0\\ 0&0&\varepsilon_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x\\E_y\\E_z \end{bmatrix}.\]

后者为主轴坐标系下的表示, \(\varepsilon_i\) 为相对介电常数. 对单轴晶体, \(\varepsilon_x=\varepsilon_y=n_o^2\), \(\varepsilon_z=n_e^2\), 取 \(z\) 轴为光轴.

对实的瞬时场, Poynting 向量为 \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}\). 对单个线偏振平面波, 时间平均能流 \(\langle\mathbf{S}\rangle\parallel\mathbf{r}\); 用复振幅时应取 \(\langle\mathbf{S}\rangle=\tfrac12\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{H}}^{*})\).
对同一个本征平面波, \(\mathbf{D},\mathbf{H}\perp\mathbf{k}\), 因而其叉积沿波法线 \(\mathbf{k}\parallel\mathbf{N}\); 任意多模叠加场不能直接套用这个单模方向关系.

因此 \(e\) 光中射线方向与波法线方向一般分离.

设光波法线方向 \(\mathbf{k}\) 与光轴 \(z\) 的夹角为 \(\theta\), 其在 \(xy\) 平面内投影与 \(x\) 轴的夹角为 \(\varphi\). 方向余弦为
\[k_1=\sin\theta\cos\varphi,\qquad k_2=\sin\theta\sin\varphi,\qquad k_3=\cos\theta.\]

波法线方向的球坐标: \(\theta\) 从光轴 \(z\) 量起, \(\varphi\) 从 \(xy\) 平面的 \(x\) 轴量起. 此处 \(\mathbf{k}\) 是单位方向, \(k_1,k_2,k_3\) 为方向余弦, 不含有量纲波矢的模; 沿光轴时横向投影为零, 方位角不唯一但不影响方向.

单轴晶体中, \(o\) 光折射率为 \(n=n_o\), \(e\) 光的方向折射率满足
\[\frac{1}{n^2} =\frac{\sin^2\theta}{n_e^2} +\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}\]
当 \(\theta=0\) 时 \(n=n_o\); 当 \(\theta=\pi/2\) 时 \(n=n_e\).

Proof 由轴对称性取 \(\mathbf{k}=(k_x,0,k_z)\). 平面波 Maxwell 方程给出 \(\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times\mathbf E)+(\omega/c)^2\boldsymbol\varepsilon\mathbf E=0\). \(E_y\) 模式满足 \(k^2=n_o^2(\omega/c)^2\); \((E_x,E_z)\) 的二元齐次方程有非零解要求
\[\det\begin{pmatrix} n_o^2(\omega/c)^2-k_z^2&k_xk_z\\ k_xk_z&n_e^2(\omega/c)^2-k_x^2 \end{pmatrix}=0 \implies \frac{k_x^2}{n_e^2}+\frac{k_z^2}{n_o^2}=\left(\frac\omega c\right)^2.\]
代入 \(k_x=(\omega/c)n\sin\theta\), \(k_z=(\omega/c)n\cos\theta\) 即得上式.

7.2.2 Ray and Wave-Normal Geometry

对 \(e\) 光, 令 \(\xi\) 表示射线方向与光轴的夹角, \(\theta\) 表示波法线方向与光轴的夹角. 三个主轴方向的速度为 \((v_x,v_y,v_z)=(v_e,v_e,v_o)\).

波面扩展与射线/法向位移的完整几何见下方的射线与波法线独立图; 保留原位移截图.

在含光轴的截面内, \(e\) 光波面椭圆可写为
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1, \qquad a=v_et,\quad b=v_ot.\]
射线速度与法向速度, 及其关系
\[\mathbf{v}_r=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}, \qquad \mathbf{v}_N=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_N}{\mathrm{d}t}; \qquad v_N(P)=v_r(P)\cos\alpha,\qquad \alpha=\xi-\theta.\]
这里 \(\mathbf{r}_N\) 为原点到相应波前切平面的法向支撑矢量, 其长度 \(r_N=|\mathbf{r}_N|\) 是法向支撑距离. 对固定本征传播方向的同心扩展, 将射线位移投影到波法线便得到 \(\Delta r_N=\Delta r\cos\alpha\).

由椭圆切线斜率得到
\[\tan\theta=-\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} =\frac{b^2x}{a^2z} =\frac{v_o^2}{v_e^2}\tan\xi =\frac{n_e^2}{n_o^2}\tan\xi.\]
当 \(\tan\theta=\frac{n_e}{n_o}\), 即 \(\tan\xi=\frac{n_o}{n_e}\) 时, 分离角取极值. 最大分离角为
\[\tan\alpha_{\mathrm{ext}}=\frac{n_o^2-n_e^2}{2n_on_e},\qquad |\alpha|_{\max}=\arctan\frac{|n_o^2-n_e^2|}{2n_on_e}.\]
\(e\) 光射线速度面为旋转椭球面:
\[\frac{1}{v_r^2(\xi)} =\frac {\cos^2\xi}{v_o^2}+\frac{\sin^2\xi}{{v_e^2}}.\]
法向速度面为旋转卵形面:
\[\frac{1}{n^2} =\frac{\sin^2\theta}{n_e^2} +\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}. \implies v_N^2(\theta) =v_o^2\cos^2\theta+v_e^2\sin^2\theta\]

图中红色矢径沿射线, 绿色矢径为原点到波前切平面的垂足, 后者不必落在波前上. 下图红实线为射线速度椭圆, 绿虚线为法向速度的极坐标曲线, 两个标点对应同一 \(e\) 光模式. 图采用本节的均匀、透明、无色散、非磁性模型, 示意参数为 \(n_o=1.8,n_e=1.4,c=1\), 不代表特定材料测量.

保留原截图.

7.2.3 Wave Surfaces and Refractive-Index Surfaces

一般的等相位面称为波阵面. 下式特指均匀、无色散模型中点源发出的两支 Huygens 波面, 其矢径除以传播时间给出射线速度面; 不能把它等同于任意平面波的等相位平面. 对固定 \(t>0\), 坐标按 \(ct\) 归一化后的写法为
\[\begin{aligned} &o\text{光}&& n_o^2(x^2+y^2+z^2)=1\\ &e\text{光}&& n_e^2(x^2+y^2)+n_o^2z^2=1 \end{aligned}\]
因此 \(o\) 光波阵面为球面, \(e\) 光波阵面为旋转椭球面.
这里的折射率曲面也称 \(n\) 面, 矢径沿波法线且长度等于相位折射率, 相当于在固定频率下将波矢按 \(\omega/c\) 归一化. 它不同于以 \(n_o,n_o,n_e\) 为半轴的折射率椭球(光率体). 本节的 \(n\) 面为
\[\begin{aligned} &o\text{光} &&\frac{x^2+y^2+z^2}{n_o^2}=1,\\ &e\text{光} &&\frac{x^2+y^2}{n_e^2}+\frac{z^2}{n_o^2}=1. \end{aligned}\]
在 \(n\) 面上, \(o\) 光对应半径为 \(n_o\) 的球面, \(e\) 光对应旋转椭球面.

7.2.4 Geometrical Constructions

对给定光波矢 \(\mathbf{K}\), 可用不同几何曲面确定本征模折射率、偏振方向和能流方向.

在单位时间的波阵面上, 矢径表示射线速度, 其倒数不是一般方向的相位折射率. 对给定 \(\mathbf K\), 作法线平行于 \(\mathbf K\) 的切平面; 原点到切平面的距离为 \(v_N\), 从而 \(n=c/v_N\). 原点与切点的连线给出 \(\mathbf S\) 方向.
在折射率曲面上, 折射率大小等于曲面矢径长度. 在含光轴的截面图中, 过 \(\mathbf{K}\) 与曲面的交点作切线, 其法线给出 \(\mathbf{S}\) 方向; 在三维中应使用该点的切平面法线. 此构造依赖单模、透明且忽略色散的假设.

7.3 Wave Plates and Polarizers

Definition 波片. 一定厚度、光轴平行于表面的单轴晶体片.

当光垂直通过波片且光轴平行于表面时, 在晶体内分解为 \(o\) 光和 \(e\) 光. 以下忽略吸收、反射及多次内反射, 取 \(\lambda\) 为真空波长. 设波片厚度为 \(d\), 则光程差为

\[\Delta=(n_o-n_e)d,\qquad \delta=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d.\]

若 \(\delta>0\), 表示 \(o\) 光落后; 若 \(\delta\lt 0\), 表示 \(o\) 光超前.

入射光经过波片

\[\begin{cases} E_o=E_{0o}\cos\omega t\\ E_e=E_{0e}\cos(\omega t+\Delta\varphi) \end{cases} \implies \begin{cases} E_o=E_{0o}\cos\omega t\\ E_e=E_{0e}\cos(\omega t+\Delta\varphi+\delta) \end{cases}\]

因此波片不改变两分量强度, 但改变总相位差 \(\Delta\varphi_{\mathrm{out}}=\Delta\varphi+\delta\), 从而改变偏振态.

偏振片 + \(\lambda/4\) 波片可作为圆偏振片使用.
四分之一波片配合偏振片可用于区分自然光与圆偏振光、部分偏振光与椭圆偏振光.

完全圆偏振光, 或椭圆主轴对齐波片主轴的完全椭圆偏振光, 经过 \(\lambda/4\) 波片后可变为线偏振光, 再转动检偏器可完全消光. 理想波片保持自然光不偏振, 也不改变部分偏振光的偏振度; 后者含不偏振背景, 一般不能完全消光. 仅观察明暗变化不足以区分部分偏振光与完全椭圆偏振光.

7.3.1 Jones Representation

Notation Jones 表示. 对完全偏振的准单色光:

采用 \(\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})\) 的时间约定;
按 \((o,e)\) 排列分量.

主轴坐标中的波片矩阵可取

\[\operatorname{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}),\]

整体相位不影响偏振态.

若改用 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\), 该矩阵应复共轭, 但强度公式不变.

入射线偏振与晶片光轴夹角为 \(\alpha\) 时, 两种检偏的透射比为:

正交检偏: \(\sin^2(2\alpha)\sin^2(\delta/2)\);
平行检偏: \(1-\sin^2(2\alpha)\sin^2(\delta/2)\).

因而 \(\alpha=0,\pi/2\) 时正交检偏均消光; \(\alpha=\pi/4\) 时, 半波片与四分之一波片分别给出透射比 \(1\) 和 \(1/2\).

7.3.2 Polarization Identification

Example 两个 \(P\) 和一个 \(\frac{\lambda}{2}\) 片, 一个 \(\frac{\lambda}{4}\) 片和一个圆偏振片, 用自然光和光屏将其区分开.

Solution

将五个元件两两组合挡在自然光前, 旋转其中一个. 若某一对无论正反均出现完全消光, 两个元件是 \(P\).
将已知的 \(P\) 放在光屏前. 拿剩下的三个未知元件逐个挡在自然光与 \(P\) 之间并旋转. 若某元件其中一面使得光屏出现明暗变化, 该元件就是圆偏振片, 此时圆偏振片放反.
将剩下两个波片分别放在正交偏振片之间, 转到最大透射处, 再仅旋转末端检偏器. 半波片的出射光仍为线偏振光, 检偏器可使其完全消光; 四分之一波片在该位置产生圆偏振光, 转动检偏器时强度不变. 仅数波片转动一周时的消光次数无法区分, 因为两者在主轴对齐起偏方向时都会消光.

Example 设计方案, 利用偏振片, 半波片, \(\lambda/4\) 波片, 按需选用, 可用多片.

区分圆偏振光与自然光.
分别在偏振取向或光轴方向标定/未标定的情况下, 将一个长短轴未知(任意方向)的椭圆偏振光转换成为圆偏振光.

Solution

圆偏振光通过四分之一波片变为线偏振光, 再旋转检偏器可完全消光. 自然光通过理想波片仍为自然光, 检偏器转动时强度不变.
光轴已标定时, 先旋转检偏器找到入射椭圆的长轴, 然后移去检偏器. 将第一片四分之一波片的一条主轴对齐长轴, 两分量相位差变为 \(0\) 或 \(\pi\), 出射光成为线偏振光. 用检偏器确定这束线偏振光的方向, 移去检偏器后, 将第二片四分之一波片主轴与该方向成 \(45^\circ\), 即得圆偏振光.
光轴未标定时, 先把波片放在两片正交偏振片之间, 转到完全消光以标定其两条主轴, 然后按上一步操作. 不必区分快慢轴即可得到某一旋向的圆偏振光; 若要指定旋向, 还需标定快慢轴及观察方向.

7.4 Polarization Interference

偏振干涉装置: \(P_1\) 起偏, 晶片引入两主轴分量的相位差, \(P_2\) 将两分量投影到共同方向后干涉; 需使两分量在观察处相干并空间重合. 图示为装置透视示意, 正交或平行检偏条件以正文定义为准. 正交检偏式中的附加 \(\pi\) 来自投影符号相反, 不另算作晶片的传播相位差.

经 \(P_1\) 起偏后的振幅为 \(A_1\), 光强为 \(I_1=A_1^2\), 晶片光轴与入射偏振方向夹角为 \(\alpha\). 取传播相位差 \(\delta=2\pi(n_o-n_e)d/\lambda\), 忽略吸收、反射及多次内反射; 以下 \(\delta_\perp\) 和 \(\delta_\parallel\) 另包含检偏投影的符号.

当检偏器 \(P_2\perp P_1\) 时, 通过 \(P_2\) 后两束相干分量(\(\pi\) 因子是投影方向相反导致的)
\[\begin{cases} A_{2e}=A_1\cos\alpha\sin\alpha,\\ A_{2o}=A_1\sin\alpha\cos\alpha. \end{cases} \qquad \delta_\perp=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d+\pi\]
出射光强为
\[\begin{aligned} I(P) &=A_{2e}^2+A_{2o}^2+2A_{2e}A_{2o}\cos\delta_\perp\\ &=\frac{1}{2}A_1^2\sin^2 2\alpha\,(1+\cos\delta_\perp). \end{aligned}\]
当检偏器 \(P_1\parallel P_2\) 时, 通过 \(P_2\) 后两束相干分量
\[\begin{cases} A_{2e}=A_1\cos^2\alpha,\\ A_{2o}=A_1\sin^2\alpha, \end{cases} \qquad \delta_\parallel=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d.\]
出射光强为
\[\begin{aligned} I(P) &=A_{2e}^2+A_{2o}^2+2A_{2e}A_{2o}\cos\delta_\parallel\\ &=A_1^2 \left(1-\frac{1}{2}\sin^2 2\alpha +\frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\cos\delta_\parallel\right). \end{aligned}\]
特别地, 当 \(\alpha=\pi/4\) 时, \(I(P)=\frac{1}{2}A_1^2(1+\cos\delta_\parallel)=A_1^2\cos^2\frac{\delta_\parallel}{2}\).

用传播相位差 \(\delta\) 表示, 两种透射率为

\[\frac{I_\perp}{I_1}=\sin^2(2\alpha)\sin^2\frac\delta2,\qquad \frac{I_\parallel}{I_1}=1-\sin^2(2\alpha)\sin^2\frac\delta2.\]

两者明暗互补. 半波片和四分之一波片在 \(\alpha=0,\pi/2\) 的正交检偏下都消光; 在 \(\alpha=\pi/4\) 时分别给出最大透射比 \(1\) 和 \(1/2\), 可用于波片鉴别.

7.4.1 Lyot Filter

晶片 \(C_1\) 至 \(C_6\) 的光轴相互平行, 厚度满足 \(d_m=2^{m-1}d_1\).

六级 Lyot 滤光器; 图中晶片宽度未按实际厚度比例绘制.

偏振片 \(P_1\) 至 \(P_7\) 的透振方向相互平行, 且与晶片光轴方向成 \(45^\circ\). 取 \(I_1\) 为经过 \(P_1\) 后的光强, 忽略吸收及界面反射, 并使各级两本征分量相干且空间重合. 同种晶片的相位差为

\[\delta_m=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d_m=2^{m-1}\delta_1.\]

忽略共同相位后, 单级平行检偏的振幅模比为

\[|A^{\prime}/A|=\left|\cos\frac{\delta}{2}\right|.\]

每一级后均投影到偏振片的透振方向, 因而六级总透过率为

\[\frac{I_7}{I_1} =\prod_{m=1}^{6}\cos^2\frac{\delta_m}{2} =\left[\frac{\sin(32\delta_1)}{64\sin(\delta_1/2)}\right]^2.\]

最后一步由连续使用 \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) 得到. 当 \(\sin(\delta_1/2)=0\) 时, 分式按连续极限取值为 \(1\).

在 \(\delta_1=2\pi q\), \(q\in\mathbb{Z}\) 时, 每片晶片均满足全波条件, 则 \(I_7=I_1\). 厚度逐级加倍使相邻主峰之间的零点增多, 单个透过峰变窄, 但总透过率仍是 \(\delta_1\) 的周期性函数; 这些峰在波长轴上一般不等间隔. 实际选取一条谱线时, 还需附加滤光器隔离目标峰, 可参照 Malherbe 的 Lyot 滤光器说明, 第 3–5 页.

7.4.2 Wedge Plates

晶片厚度不均匀, 形成等厚干涉. 对劈尖晶片, 厚度近似为 \(d\simeq\beta x\), 在 \(P_1\perp P_2\) 情形下,

\[\delta_\perp =\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d+\pi \simeq \frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)\beta x+\pi.\]

相邻等厚条纹间距为

\[\Delta x=\frac{\lambda}{|\beta(n_o-n_e)|}.\]

7.4.3 Convergent-Light Interference

会聚光入射时, 不同方向具有不同倾角 \(\theta\)、方位角及本征相位差. 在两正交本征分量重叠、损耗忽略且可等效为纯波片的近似下, 每个方向仍可用正交偏振系统公式; 其中 \(\alpha\) 为该方向本征轴与起偏方向的夹角, \(\delta(\theta)\) 表示固定方位角下的相位差:

\[I(\delta,\theta) =A_1^2\sin^2(2\alpha) \sin^2\frac{\delta(\theta)}{2}.\]

7.5 Optical Activity and Faraday Rotation

Definition 旋光性. 若光在旋光率为 \(\alpha\) 的旋光物质中传播距离为 \(d\), 振动旋转角为 \(\varphi=\alpha d\).

在圆偏振为本征模、两旋向吸收相同且可忽略线性双折射的情况下, 线偏振光可分解为等振幅的左右圆偏振分量. 以下 \(\lambda\) 为真空波长; 晶体一般方向若同时存在线性双折射, 两本征模不必是圆偏振, 不能仅用两个标量 \(n_L,n_R\) 表示. 对这里的纯旋光模型,

\[\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}_L(t)+\mathbf{E}_R(t), \qquad E_L=E_R=\frac{E_0}{2}.\]

在旋光晶体中, \(v_L\ne v_R\), \(n_L \ne n_R\). 通过厚度为 \(d\) 的晶体后, 两分量相位落后分别为

\[\Delta\varphi_L=\frac{2\pi}{\lambda}n_Ld, \qquad \Delta\varphi_R=\frac{2\pi}{\lambda}n_Rd.\]

晶体后合成的线偏振光矢量, 位于左右旋分量转角的平分线方向.

旋光方向由 \(n_R-n_L\) 的符号决定. 为固定符号, 在 \((x,y)\) 平面以从 \(+x\) 转向 \(+y\) 为角度正方向, 采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\), 并定义圆基矢 \(\mathbf{e}_R=(\hat{\mathbf{x}}+\mathrm{i}\hat{\mathbf{y}})/\sqrt2\), \(\mathbf{e}_L=(\hat{\mathbf{x}}-\mathrm{i}\hat{\mathbf{y}})/\sqrt2\); 左右旋名称仍须连同观察方向说明. 按这组约定,

\[\varphi =\frac{1}{2}(\Delta\varphi_R-\Delta\varphi_L) =\frac{\pi}{\lambda}(n_R-n_L)d.\]

因此 \(n_R\lt n_L\) 与 \(n_R>n_L\) 给出相反旋向; 左旋/右旋命名需随观察方向约定判定.

Definition Faraday 效应. 磁致旋光效应

在纵向磁场和弱场线性响应下, 磁致旋光的旋转角 \(\beta\) 正比于路程 \(d\) 和沿传播方向的有符号磁场分量 \(B_\parallel\); 均匀介质中

\[\beta=VB_\parallel d.\]

其中 \(V\) 为 Verdet 常量, 由介质性质决定, 也与入射光波长有关.

天然旋光性和 Faraday 磁致旋光效应的区别
- 天然旋光性的右旋和左旋取决于物质结构, 与光传播方向无关. 在同一路径沿原路返回、反射不引入额外偏振变换时, 从固定实验室坐标看, 天然旋光的去程与回程旋转相消, 振动面恢复到原来的方位.
- 磁致旋光的右旋和左旋取决于光相对于磁场的传播方向. 反向传播使相对于光线的左右旋命名反转, 但从固定实验室坐标看, 在同一路径、磁场不变且反射不引入额外偏振变换时, 回程又同向累计旋转 \(\beta\). 因而往返两次总共旋转 \(2\beta\). 若磁场或 Verdet 常量随路径变化, 单程应按 \(\int V B_\parallel\,\mathrm{d}l\) 求取.