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Computational Physics - 1

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Numerical Representation and Errors

1.1 Data Storage and Floating-Point Numbers

位(bit)是二进制存储的最小单位, 取值为 0 或 1. 字节(byte): 常用的数据存储单位, 1 byte = 8 bit.
整型(int): 表示整数; 浮点(float): 表示实数. 数值精度受到存储位数限制, 浮点数常分为单精度浮点数与双精度浮点数.

1.1.1 Single Precision Floating-Point Numbers

以下采用 IEEE 754 的 binary32 格式.¹ 占用 4 byte (32 bit), 正规数具有 24 bit 有效二进制精度, 通常约 7 位十进制有效数字. 字段结构如下.

32 bit 单精度浮点数的字段结构为 S | EEEEEEEE | FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF, 即 1 个符号位, 8 个指数位和 23 个尾数位.

S 为符号位: 0 为正, 1 为负.
E 为指数位, 表示 2 的幂次. 存在 127 的偏移量, 即
\[\text{实际指数}=\text{存储指数}-127\]
除去全 0 (00000000)和全 1 (11111111)(有其他用途), 指数范围为 1 至 254 (00000001 至 11111110), 于是正规数的实际指数范围为 \(-126\sim127\), 正的正规数范围为
\[2^{-126}\leq x\leq (2-2^{-23})2^{127}\]
即约 \(1.1755\times10^{-38}\) 至 \(3.4028\times10^{38}\). 这是可表示数的范围, 不表示其中每个实数都能精确存储.
F 为小数位, FFF...FFF 是 23 bit 字段, \((0.F)_2\) 为其二进制小数值. 对 \(1\leq E\leq254\) 的正规数, 有效数为 \((1.F)_2\), 隐含的前导 1 不另占存储位. 数值为
\[(-1)^S \times (1.F)_2 \times 2^{E-127}\]
一些特殊情况: \(E=0, F\neq0\) 为次正规数(subnormal number), 值为
\[(-1)^S \times 2^{-126} \times (0.F)_2\]
最小正值为 \(2^{-149}\approx1.4013\times10^{-45}\). \(E=0,F=0\) 表示带符号的零 \(+0\) 或 \(-0\). \(E=255, F=0\), 值为
\[(-1)^S\infty\]
\(E=255, F\neq0\) 表示 NaN(not a number), 可用于表示无效运算等产生的非数值结果.

Example 将 \(-5.75\) 转化为单精度浮点数.

Solution 先将 \(-5.75\) 转化为二进制数:

\[(-5.75)_{10}=-(101.11)_2=-(1.0111)_2\times2^2\]

于是得到: 符号位 \(S=1\), 指数位 \(E=10000001\), 小数位 \(F=0111000\cdots 000\)

1.1.2 Double Precision Floating-Point Numbers

以下采用 IEEE 754 的 binary64 格式.² 占用 8 byte (64 bit), 正规数具有 53 bit 有效二进制精度, 通常约 16 位十进制有效数字. 64 bit 分为 1 个符号位, 11 个指数位和 52 个小数位.

\[\text{S}\underbrace{\text{EEE}\cdots\text{EEE}}_{\text{11个 E}}\underbrace{\text{FFF}\cdots\text{FFF}}_{\text{52个 F}}\]

S 为符号位: 0 为正, 1 为负.
E 为指数位, 偏移量为 1023.

F 为 52 bit 小数字段. 对 \(1\leq E\leq2046\) 的正规数, 值为

\[(-1)^S\times(1.F)_2\times2^{E-1023}\]

正的正规数范围为

\[\begin{gathered} 2^{-1022}\quad\text{至}\quad (2-2^{-52})2^{1023} \\ 2.2251\times10^{-308}\quad\text{至}\quad 1.7977\times10^{308} \end{gathered}\]

第二行给出近似十进制范围.

类别	编码条件
次正规数	\(E=0,F\neq0\)
带符号的零	\(E=0,F=0\)
带符号的无穷大	\(E=2047,F=0\)
NaN	\(E=2047,F\neq0\)

次正规数的数值为

\[(-1)^S(0.F)_2 2^{-1022}\]

最小正值为

\[2^{-1074}\approx4.9407\times10^{-324}\]

1.2 Computational Errors

Definition 舍入误差(round-off error). 输入数据的浮点表示及计算结果舍入引起的误差.

Definition 截断误差(truncation error). 例如 Taylor 展开的计算中

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x)\]

其中 Lagrange remainder

\[R_n(x)=\frac{\mathrm{e}^\xi}{(n+1)!}x^{n+1},\qquad \min(0,x)\lt\xi\lt\max(0,x),\quad x\neq0\]

\(x=0\) 时 \(R_n(0)=0\).

2 Linear Algebra Methods

以下矩阵和向量取实数值; 方程组中的系数矩阵为方阵, QR 和 SVD 小节另外讨论矩形矩阵. 复数推广需要把内积和正交分解中的转置改为 Hermitian 共轭转置. 该部分旨在求解线性方程组

\[\mathbf{A} \cdot { \mathbf{x} } = { \mathbf{b} }\]

2.1 Norms *

2.1.1 Vector Norms

向量的范数可以用来测量向量的长度, 定义:

1-范数
\[\|\mathbf{x}\|_1=|x_0|+|x_1|+\cdots+|x_{n-1}|\]
即曼哈顿距离.
2-范数
\[\|\mathbf{x}\|_2=\sqrt{|x_0|^2+|x_1|^2+\cdots+|x_{n-1}|^2}\]
即 Euclidean distance.
\(\infty\)-范数
\[\|\mathbf{x}\|_\infty=\max_{0\leq i\leq n-1}|x_i|\]
\(p\)-范数, \(1\leq p\lt\infty\)
\[\|\mathbf{x}\|_p=(|x_0|^p+|x_1|^p+\cdots+|x_{n-1}|^p)^{1/p}\]

Cauchy-Schwarz inequality:

\[|\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{y}|\leq \|\mathbf{x}\|_2\|\mathbf{y}\|_2\]

三角不等式:

\[\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|\leq \|\mathbf{x}\|+\|\mathbf{y}\|\]

2.1.2 Matrix Norms

\[\begin{aligned} \|\mathbf{A}\|_F&=\sqrt{\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}|a_{ij}|^2},\\ \|\mathbf{A}\|_\infty&=\max_{0\leq i\leq m-1}\sum_{j=0}^{n-1}|a_{ij}|,\\ \|\mathbf{A}\mathbf{z}\|&\leq \|\mathbf{A}\|\cdot\|\mathbf{z}\|. \end{aligned}\]

这里矩阵范数与向量范数须相容, 例如 \(\|\mathbf{A}\mathbf{z}\|_\infty\leq\|\mathbf{A}\|_\infty\|\mathbf{z}\|_\infty\) 和 \(\|\mathbf{A}\mathbf{z}\|_2\leq\|\mathbf{A}\|_F\|\mathbf{z}\|_2\). 诱导 2-范数定义为 \(\|\mathbf{A}\|_2=\max_{\mathbf{z}\neq0}\|\mathbf{A}\mathbf{z}\|_2/\|\mathbf{z}\|_2\); 它通常不等于 Frobenius 范数.

对于可逆方阵, 可以定义条件数:³

\[K(\mathbf{A})=\|\mathbf{A}\|\cdot\|\mathbf{A}^{-1}\|\]

条件数度量问题对输入扰动的敏感性, 与求解算法是否数值稳定是不同的概念. 对诱导 2-范数, \(K_2(\mathbf{A})=\sigma_{\max}/\sigma_{\min}\). 若只扰动右端且 \(\mathbf{b}\neq0\), 则

\[\frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\leq K(\mathbf{A})\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}.\]

可用可逆矩阵 \(\mathbf{M}\) 作左预条件, 求解 \(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{b}\), 目标是改善条件数或迭代收敛, 但一般不能保证条件数接近 1. 对称正定问题使用 CG 时, 还须采用保持其对称正定结构的预条件形式.

2.2 Gaussian Elimination

Gauss 消元法是最经典的求解线性方程组的方法, 考虑线性方程组:

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3\\ w_4 \end{pmatrix}.\]

以下无换行公式要求各步主元非零; 对非奇异方阵可通过主元选取避免零主元. 逐列消元, 先消去第一列:

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & a_{22}-\dfrac{a_{21}a_{12}}{a_{11}} & a_{23}-\dfrac{a_{21}a_{13}}{a_{11}} & a_{24}-\dfrac{a_{21}a_{14}}{a_{11}}\\ 0 & a_{32}-\dfrac{a_{31}a_{12}}{a_{11}} & a_{33}-\dfrac{a_{31}a_{13}}{a_{11}} & a_{34}-\dfrac{a_{31}a_{14}}{a_{11}}\\ 0 & a_{42}-\dfrac{a_{41}a_{12}}{a_{11}} & a_{43}-\dfrac{a_{41}a_{13}}{a_{11}} & a_{44}-\dfrac{a_{41}a_{14}}{a_{11}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ w_2^{(2)}\\ w_3^{(2)}\\ w_4^{(2)} \end{pmatrix}.\]

可以把方程组写成如下形式:

\[\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\ 0 & a_{22}^{(2)} & a_{23}^{(2)} & a_{24}^{(2)}\\ 0 & a_{32}^{(2)} & a_{33}^{(2)} & a_{34}^{(2)}\\ 0 & a_{42}^{(2)} & a_{43}^{(2)} & a_{44}^{(2)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ w_2^{(2)}\\ w_3^{(2)}\\ w_4^{(2)} \end{pmatrix}.\]

则新, 旧系数的关系为:

\[\begin{aligned} &b_{1k}=a_{1k}, &&k=1,2,3,4, &&a_{ik}^{(2)}=a_{ik}-\frac{a_{i1}a_{1k}}{a_{11}}, &&i,k=2,3,4,\\ &y_1=w_1, && &&w_i^{(2)}=w_i-\frac{a_{i1}w_1}{a_{11}}, &&i=2,3,4. \end{aligned}\]

再以此类推, 向前消元, 得到系数的关系:

\[\begin{aligned} &a_{ik}^{(m+1)}=a_{ik}^{(m)}-\frac{a_{im}^{(m)}a_{mk}^{(m)}}{a_{mm}^{(m)}}, &&i,k=m+1,m+2,\cdots,n,\\ &w_i^{(m+1)}=w_i^{(m)}-\frac{a_{im}^{(m)}w_m^{(m)}}{a_{mm}^{(m)}}, &&i=m+1,m+2,\cdots,n. \end{aligned}\]

最终变成上三角矩阵:

\[\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\ 0 & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\ 0 & 0 & b_{33} & b_{34}\\ 0 & 0 & 0 & b_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{pmatrix}.\]

向后回代得到最终的解:

\[x_m=\frac{1}{b_{mm}}\left(y_m-\sum_{k=m+1}^{n}b_{mk}x_k\right),\qquad m=n,n-1,\cdots,1.\]

Partial Pivoting 列主元消元法是 Gauss 消元法的稳定性改进.

每次消元前, 先在第 \(m\) 列的第 \(m\) 行及以下寻找绝对值最大的元素, 将其所在行与第 \(m\) 行交换, 再进行普通 Gauss 消元. 这样可以避免主元 \(a_{mm}^{(m)}\) 太小时放大舍入误差.

2.3 Augmented Matrix Elimination *

增广矩阵把方程 \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{y}\) 的系数和右端合在一起, 对两者同时作相同行变换. 本节初始右端记为 \(\mathbf{y}\):

\[\tilde{\mathbf{A}}=[\mathbf{A},\mathbf{y}] = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & y_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & y_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} & y_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & y_n \end{pmatrix}.\]

第 \(m\) 次消元, 把第 \(m\) 列元素消为零:

\[E_j'=E_j-\frac{a_{jm}^{(m)}}{a_{mm}^{(m)}}E_m,\qquad j=m+1,m+2,\cdots,n.\]

得到上三角方程 \(\mathbf{B}\mathbf{x}=\mathbf{c}\) 后, 从 \(i=n\) 到 \(1\) 依次回代 \(x_i=(c_i-\sum_{j=i+1}^n b_{ij}x_j)/b_{ii}\), 要求主元非零. 右端 \(\mathbf{c}\) 须使用经过同样行变换后的值. 主元选取时也须交换整行, 包括右端列.

2.4 Gauss-Jordan Elimination *

继续消元法是增广矩阵法的变种, 在得到上三角矩阵后继续消元, 得到对角矩阵:

\[\begin{pmatrix} a_{11}^{(1)} & 0 & 0 & \cdots & 0 & w_1^{(1)}\\ 0 & a_{22}^{(2)} & 0 & \cdots & 0 & w_2^{(2)}\\ 0 & 0 & a_{33}^{(3)} & \cdots & 0 & w_3^{(3)}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^{(n)} & w_n^{(n)} \end{pmatrix}.\]

向后回代得到方程的解:

\[x_m=\frac{w_m^{(m)}}{a_{mm}^{(m)}},\qquad m=n,n-1,\cdots,1.\]

这种方法对于求解相似的方程组十分有效:

\[\begin{cases} \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}_1,\\ \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}_2. \end{cases}\]

可以将多个右端同时增广, 或保存并复用完整的行变换来处理新的右端. 仅保存最终对角系数矩阵, 不能直接把未变换的新右端代入. 多个右端也常通过复用 LU 分解来求解.

2.5 LU Decomposition

2.5.1 LU Decomposition

LU 分解法是将系数矩阵 \(\mathbf{A}\) 分解为一个下三角矩阵 \(\mathbf{L}\) 和一个上三角矩阵 \(\mathbf{U}\) 的乘积

\[\mathbf{L}\mathbf{U} = \mathbf{A}\]

设 \(\mathbf{L} \mathbf{y} = \mathbf{b}\), 方程化为 \(\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{y}\). 以下无主元公式要求消元主元非零; 实际计算通常使用部分主元选取, 用置换矩阵 \(\mathbf{P}\) 记录行交换, 左乘表示重排行. 写成 \(\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}\), 并把前代右端改为 \(\mathbf{P}\mathbf{b}\).

对于第一个方程 \(\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}\), 向前回代得到方程的解:
\[\begin{aligned} y_1 &= \frac{b_1}{l_{11}},\\ y_m &= \frac{1}{l_{mm}}\left(b_m-\sum_{k=1}^{m-1}l_{mk}y_k\right), \qquad m=2,3,\cdots,n. \end{aligned}\]
对于第二个方程 \(\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\), 向后回代得到方程的解:
\[\begin{aligned} x_n &= \frac{y_n}{\beta_{nn}},\\ x_m &= \frac{1}{\beta_{mm}}\left(y_m-\sum_{k=m+1}^{n}\beta_{mk}x_k\right), \qquad m=n-1,n-2,\cdots,1. \end{aligned}\]

Doolittle 算法求解 \(\mathbf{L}\) 和 \(\mathbf{U}\): 按照行优先的顺序计算 \(\mathbf{L}\) 和 \(\mathbf{U}\) 的元素. 不妨将 \(\mathbf{L}\) 的对角元素都设为 1(这是合理的, 因为可以把 \(\mathbf{U}\) 的对角元乘一个相应的系数). 即

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \alpha_{21} & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & \cdots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_{11} & \beta_{12} & \beta_{13} & \cdots & \beta_{1n}\\ 0 & \beta_{22} & \beta_{23} & \cdots & \beta_{2n}\\ 0 & 0 & \beta_{33} & \cdots & \beta_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta_{nn} \end{pmatrix}.\]

对于第 1 行, 先计算 \(\mathbf{U}\) 的第一行元素
\[\beta_{1j}=a_{1j},\qquad j=1,2,\cdots,n.\]
因为 \(\mathbf{L}\) 的第一行元素为 \((1,0,0,\cdots,0)\).

再求解 \(\mathbf{L}\) 的第一列:
\[\alpha_{i1}\beta_{11} = a_{i1} \implies \alpha_{i1} = \frac{a_{i1}}{\beta_{11}}, \qquad i=1,2,\cdots,n.\]
再从 2 到 \(n-1\), 依次进行递推. 先求 \(\mathbf{U}\) 的第 \(i\) 个对角元素.
\[a_{ii} = \sum_{k=1}^{i-1}\alpha_{ik}\beta_{ki}+\beta_{ii} \implies \beta_{ii} = a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1}\alpha_{ik}\beta_{ki}.\]
再求 \(\mathbf{U}\) 的第 \(i\) 行非对角元素:
\[a_{ij} = \sum_{k=1}^{i-1}\alpha_{ik}\beta_{kj}+\beta_{ij} \implies \beta_{ij} = a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}\alpha_{ik}\beta_{kj}, \qquad j=i+1,i+2,\cdots,n.\]
下面来求 \(\mathbf{L}\) 的第 \(i\) 列元素
\[a_{ji}=\sum_{k=1}^{i-1}\alpha_{jk}\beta_{ki}+\alpha_{ji}\beta_{ii} \implies \alpha_{ji}=\frac{1}{\beta_{ii}}\left(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}\alpha_{jk}\beta_{ki}\right), \qquad j=i+1,i+2,\cdots,n.\]
最后求 \(\mathbf{U}\) 的第 \(n\) 个对角元素.
\[a_{nn} = \sum_{k=1}^{n-1}\alpha_{nk}\beta_{kn}+\beta_{nn} \implies \beta_{nn} = a_{nn}-\sum_{k=1}^{n-1}\alpha_{nk}\beta_{kn}.\]

Remark Gauss 消元与 LU 的关系: 不换行的 Gauss 消元中, 消元后的上三角矩阵就是 \(\mathbf{U}\). 第 \(j\) 列消元时使用的乘数

\[m_{ij}=\frac{a_{ij}^{(j)}}{a_{jj}^{(j)}},\qquad i=j+1,\cdots,n\]

填入 \(\mathbf{L}\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列, 且 \(\mathbf{L}\) 的对角元为 1. 因此, 从 Gauss 消元过程可以直接读出 \(\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}\): \(\mathbf{U}\) 是消元结果, \(\mathbf{L}\) 记录消元乘数.

Remark 由 LU 分解求逆矩阵和行列式: 若 \(\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}\), 则

\[\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{U}^{-1}\mathbf{L}^{-1}, \qquad \det(\mathbf{A})=\det(\mathbf{L})\det(\mathbf{U}).\]

对于 Doolittle 分解, \(\mathbf{L}\) 是单位下三角矩阵, 因此 \(\det(\mathbf{L})=1\), 从而

\[\det(\mathbf{A})=\det(\mathbf{U})=\prod_{i=1}^{n}\beta_{ii}.\]

若 \(\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}\), 则须计入行置换符号:

\[\det(\mathbf{A})=\det(\mathbf{P})\prod_{i=1}^{n}\beta_{ii}.\]

2.5.2 LU Decomposition for Tridiagonal Matrices

对于三对角矩阵 \(\mathbf{A}\), 可以写作

\[\mathbf{A}= \begin{pmatrix} b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0\\ a_2 & b_2 & c_2 & \cdots & 0\\ 0 & a_3 & b_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix}\]

以三对角矩阵为系数矩阵的线性方程组 \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{f}\):

\[a_i x_{i-1}+b_i x_i+c_i x_{i+1}=f_i,\qquad i=1,2,\cdots,n.\]

其中 \(a_1=0, c_n=0\).

可以作针对三对角矩阵的一类特殊的 LU 分解(称为 Thomas algorithm)

\[\mathbf{A} =\mathbf{L}\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \alpha_2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \alpha_3 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \beta_2 & c_2 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \beta_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta_n \end{pmatrix}.\]

即 \(\mathbf{L}\) 仅有下次对角, 且主对角为 \(1\), \(\mathbf{U}\) 仅有与 \(\mathbf{A}\) 一致的上次对角. 递推关系为

\[\beta_1 = b_1,\qquad \alpha_i = \frac{a_i}{\beta_{i-1}}\qquad \beta_i = b_i-\alpha_i c_{i-1},\qquad i=2,3,\cdots,n.\]

该无主元递推要求所有主元 \(\beta_i\neq0\); 严格对角占优或对称正定等条件可保证不出现零主元. 一般非奇异三对角矩阵仍可能需要主元选取. Thomas 算法复杂度为 \(O(n)\).

2.6 LDL Transpose Decomposition *

对于对称正定矩阵, 可以作 \(\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^{\mathsf{T}}\) 分解. 若 \(\mathbf{A}\) 满足

\[\begin{aligned} \mathbf{A} &= \mathbf{A}^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{x} &>0,\qquad \forall \mathbf{x}\neq\mathbf{0}, \end{aligned}\]

则可写成

\[\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^{\mathsf{T}}.\]

其中 \(\mathbf{L}\) 为单位下三角矩阵, \(\mathbf{D}\) 为正对角矩阵. 这里仅讨论对称正定情形; 一般不定对称矩阵可能需要置换及含 \(2\times2\) 块的 \(\mathbf{D}\). 三维情形下:

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ l_{21} & 1 & 0\\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & 0\\ 0 & d_{22} & 0\\ 0 & 0 & d_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & l_{21} & l_{31}\\ 0 & 1 & l_{32}\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

2.7 Cholesky Decomposition

对于对称正定矩阵 \(\mathbf{A}\), 即

\[\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\mathsf{T}},\qquad \mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{x} >0,\qquad \forall \mathbf{x}\neq\mathbf{0}\]

Cholesky 分解 利用下三角矩阵 \(\mathbf{L}\) 分解

\[\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{L}^{\mathsf{T}}\]

Example 三维 Cholesky 分解.

Solution 考虑

\[\mathbf{L}\mathbf{L}^{\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0\\ l_{21} & l_{22} & 0\\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} & l_{31}\\ 0 & l_{22} & l_{32}\\ 0 & 0 & l_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} & l_{11}l_{31}\\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2+l_{22}^2 & l_{21}l_{31}+l_{22}l_{32}\\ l_{11}l_{31} & l_{21}l_{31}+l_{22}l_{32} & l_{31}^2+l_{32}^2+l_{33}^2 \end{pmatrix}\]

第一列:
\[l_{11} = \sqrt{a_{11}},\qquad l_{i1} = \frac{a_{i1}}{l_{11}},\qquad i=2,3,\cdots,n.\]
第 \(m\) 列:
\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m}l_{mk}^2 &= a_{mm} \implies l_{mm}=\sqrt{a_{mm}-\sum_{k=1}^{m-1}l_{mk}^2},\\ \sum_{k=1}^{m}l_{ik}l_{mk} &= a_{im} \implies l_{im}=\frac{1}{l_{mm}}\left(a_{im}-\sum_{k=1}^{m-1}l_{ik}l_{mk}\right),\\ &\qquad i=m+1,m+2,\cdots,n. \end{aligned}\]

2.8 Jacobi Iteration

Jacobi 迭代是求解线性方程组 \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的一种迭代方法.

Notation 把矩阵拆成对角部分和非对角部分. 记

\[\mathbf{A}=\mathbf{D}+\mathbf{L}+\mathbf{U},\]

其中 \(\mathbf{D}\) 是对角部分, \(\mathbf{L}\) 是严格下三角部分, \(\mathbf{U}\) 是严格上三角部分:

\[D_{ij}=a_{ij}\delta_{ij}, \qquad L_{ij}= \begin{cases} a_{ij}, & i>j,\\ 0, & i\leq j, \end{cases} \qquad U_{ij}= \begin{cases} a_{ij}, & i\lt j,\\ 0, & i\geq j. \end{cases}\]

要求对角元非零.
对迭代矩阵 \(\mathbf{B}_J=-\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U})\), 误差满足 \(\mathbf{e}^{(k)}=\mathbf{B}_J^k\mathbf{e}^{(0)}\). 因而对任意初值收敛等价于谱半径 \(\rho(\mathbf{B}_J)\lt 1\); 严格行对角占优给出 \(\|\mathbf{B}_J\|_\infty\lt 1\), 是一个易检验的充分条件. 对称正定本身并不保证 Jacobi 收敛.
下述相邻迭代差只是停止指标, 还应检查残差 \(\|\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}\|\le\mathrm{atol}+\mathrm{rtol}\|\mathbf{b}\|\), 并设置最大迭代次数.

把线性方程组的第 \(i\) 个方程写作
\[a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ii}x_i+\cdots+a_{in}x_n = b_i \implies x_i = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,\,j\neq i}^{n}a_{ij}x_j\right).\]
代入一组初始值(例如 \((0,0,0,\cdots,0)\)), 得到第一轮迭代的结果. 继续迭代, 直到满足某个收敛条件为止. 递推关系为
\[x_i^{(k)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,\,j\neq i}^{n}a_{ij}x_j^{(k-1)}\right),\qquad i=1,2,\cdots,n.\]
相邻迭代差的停止指标(例), 仅在 \(\|\mathbf{x}^{(k)}\|_\infty\neq0\) 时使用:
\[\frac{\|\mathbf{x}^{(k)}-\mathbf{x}^{(k-1)}\|_{\infty}}{\|\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}}\lt 10^{-3}\]

从而

\[\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \implies \mathbf{x} =\mathbf{D}^{-1}\mathbf{b} -\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U})\mathbf{x}.\]

迭代关系的矩阵形式为

\[\mathbf{x}^{(k)} = \mathbf{D}^{-1}\mathbf{b} - \mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U})\mathbf{x}^{(k-1)}\]

2.9 Steepest Descent Method

最速下降法是求解线性方程组 \(\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的一种迭代方法, 适用于系数矩阵 \(\mathbf{A}\) 为对称正定矩阵的情况. 它的思路是把求解线性方程组转化为求解一个二次函数的最小值问题.

定义二次函数

\[g(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{b}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}\]

梯度 \(\nabla g(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{b}\). \(\nabla g=0\) 的位置即为原本方程组的解.

考虑寻找最小值. 给定 \(\mathbf{x}^{(0)}\), 若初始残差 \(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}^{(0)}=0\), 则已得到解; 否则最速下降法取 \(\mathbf{v}^{(1)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}^{(0)}\), 并在每步使用新的非零残差作为方向.

考虑沿试探方向的移动
\[g(\mathbf{x}+t\mathbf{v}) = g(\mathbf{x})-t\langle \mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x},\mathbf{v}\rangle +\frac{1}{2}t^2\langle \mathbf{v},\mathbf{A}\mathbf{v}\rangle.\]
其中内积 \(\langle \mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x},\mathbf{v}\rangle=\mathbf{b}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}-\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{v}\).
上式看作一个关于步长 \(t\) 的二次函数, 其最小值点为
\[\hat{t}=\frac{\langle \mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x},\mathbf{v}\rangle}{\langle \mathbf{v},\mathbf{A}\mathbf{v}\rangle}\]
当 \(\langle\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x},\mathbf{v}\rangle\neq0\) 时严格降低函数值; 若该内积为零, 最优步长为零, 不能仅由 \(\mathbf{v}\neq0\) 推出严格下降.
再进行迭代:
\[t_k=\frac{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle}, \qquad \mathbf{x}^{(k)}=\mathbf{x}^{(k-1)}+t_k\mathbf{v}^{(k)}\]
可以用残差来定义新方向:
\[\mathbf{v}^{(k+1)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}^{(k)}\]

2.10 Conjugate Gradient Method

前面的最速下降法每次迭代的方向都是残差的方向, 可能会出现振荡的情况.

共轭梯度法的搜索方向不仅依赖于残差的方向, 还依赖于上一次迭代的搜索方向, 最终使得每次迭代的搜索方向都是共轭的.

Definition A-共轭: 对于非零向量 \(\mathbf{v}\) 和 \(\mathbf{w}\), 如果满足

\[\langle \mathbf{v},\mathbf{A}\mathbf{w}\rangle=0\]

则称 \(\mathbf{v}\) 和 \(\mathbf{w}\) 是 A-共轭的.

共轭梯度法 要求满足

这里假设 \(\mathbf{A}\) 为实对称正定矩阵, 初始方向为残差. 下列正交与共轭关系在精确算术中成立, 从而最多 \(n\) 步求解 \(n\) 维问题; 浮点舍入会破坏这些关系, 应以实际残差验收. 非正定矩阵不能直接使用此处的算法保证.

共轭
\[\langle \mathbf{v}^{(i)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(j)}\rangle=0,\qquad i\neq j.\]
残差正交
\[\langle \mathbf{r}^{(i)},\mathbf{r}^{(j)}\rangle=0,\qquad i\neq j.\]
残差与旧方向正交
\[\langle \mathbf{r}^{(k)},\mathbf{v}^{(j)}\rangle=0,\qquad j=1,2,\cdots,k.\]

递推公式为

\[\mathbf{v}^{(k+1)}=\mathbf{r}^{(k)}+s_k\mathbf{v}^{(k)}\]

由共轭条件 \(\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k+1)}\rangle=0\), 得到
\[\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{r}^{(k)}\rangle +s_k\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle = 0\]
解得
\[s_k=-\frac{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{r}^{(k)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle}\]
再选择合适的步长 \(t_{k}\) 以保证残差条件 \(\langle \mathbf{r}^{(i)}, \mathbf{r}^{(j)} \rangle = 0\). 利用最速下降法的结果
\[\begin{aligned} t_k &=\frac{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle} =\frac{\langle \mathbf{r}^{(k-1)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle} +s_{k-1}\frac{\langle \mathbf{v}^{(k-1)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle}\\ &=\frac{\langle \mathbf{r}^{(k-1)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle}. \end{aligned}\]
已知
\[\mathbf{r}^{(k)} =\mathbf{r}^{(k-1)}-\mathbf{A}\left(\mathbf{x}^{(k)}-\mathbf{x}^{(k-1)}\right) =\mathbf{r}^{(k-1)}-t_k\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\]
从而
\[\langle \mathbf{r}^{(k)},\mathbf{r}^{(k)}\rangle =\langle \mathbf{r}^{(k-1)},\mathbf{r}^{(k)}\rangle -t_k\langle \mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)},\mathbf{r}^{(k)}\rangle =-t_k\langle \mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)},\mathbf{r}^{(k)}\rangle,\]
故可以用残差写
\[s_k =\frac{\langle \mathbf{r}^{(k)},\mathbf{r}^{(k)}\rangle}{\langle \mathbf{r}^{(k-1)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}, \qquad t_k =\frac{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle}\]
最终按顺序的递推关系为
\[\begin{aligned} t_k &=\frac{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}{\langle \mathbf{v}^{(k)},\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)}\rangle}\\ \mathbf{x}^{(k)} &= \mathbf{x}^{(k-1)}+t_k\mathbf{v}^{(k)},\\ \mathbf{r}^{(k)} &= \mathbf{r}^{(k-1)}-t_k\mathbf{A}\mathbf{v}^{(k)},\\ s_k &=\frac{\langle \mathbf{r}^{(k)},\mathbf{r}^{(k)}\rangle}{\langle \mathbf{r}^{(k-1)},\mathbf{r}^{(k-1)}\rangle}\\ \mathbf{v}^{(k+1)} &= \mathbf{r}^{(k)}+s_k\mathbf{v}^{(k)}. \end{aligned}\]
初值 \(\mathbf{r}^{(0)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{v}^{(1)}=\mathbf{r}^{(0)}\). 初始或更新后的残差为零时立即停止, 不再计算下一个步长; 浮点计算按相对及绝对残差容限和最大迭代次数停止.⁴

Example 考虑线性方程组两步共轭梯度法

\[\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\]

Solution 先初始化, 设 \(\mathbf{x}_0=(2,1)^{\mathsf{T}}\).

初始化. 残差:
\[\mathbf{r}_0=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}_0 = \binom{1}{2} - \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \binom{2}{1} = \binom{-8}{-3}\]
搜索方向:
\[\mathbf{v}_1=\mathbf{r}_0=\binom{-8}{-3}\]
第一步. 步长:
\[t_1=\frac{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{r}_0\rangle}{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{A}\mathbf{v}_1\rangle}=\frac{73}{331}\]
更新解:
\[\mathbf{x}_1=\binom{2}{1}+\frac{73}{331}\binom{-8}{-3}=\binom{78/331}{112/331}\approx\binom{0.2356}{0.3384}\]
残差:
\[\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_0-t_1\mathbf{A}\mathbf{v}_1 = \binom{-8}{-3} -\frac{73}{331} \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \binom{-8}{-3} =\binom{-93/331}{248/331} \approx\binom{-0.2810}{0.7492}\]
系数:
\[s_1=\frac{\langle \mathbf{r}^{(1)},\mathbf{r}^{(1)}\rangle}{\langle \mathbf{r}^{(0)},\mathbf{r}^{(0)}\rangle}=\frac{961}{109561}\approx0.0088\]
搜索方向:
\[\mathbf{v}_2=\mathbf{r}_1+s_1\mathbf{v}_1 = \binom{-93/331}{248/331} +\frac{961}{109561}\binom{-8}{-3} =\binom{-38471/109561}{79205/109561} \approx\binom{-0.3511}{0.7229}\]
第二步. 步长:
\[t_2=\frac{\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{r}_1\rangle}{\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{A}\mathbf{v}_2\rangle}=\frac{331}{803}\approx0.4122\]
更新解:
\[\mathbf{x}_2 =\binom{78/331}{112/331} +\frac{331}{803}\binom{-38471/109561}{79205/109561} =\binom{1/11}{7/11} \approx\binom{0.0909}{0.6364}\]

2.11 QR Decomposition

QR 分解法

\[\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}\]

其中 \(\mathbf{Q}\) 为正交矩阵, \(\mathbf{R}\) 为上三角矩阵. 于是线性方程组可以写作

\[\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\implies \mathbf{R}\mathbf{x}=\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{b}\]

以下解方程的公式针对实非奇异方阵. 对一般 \(m\times n\) 实列满秩矩阵 \((m\geq n)\), 可用薄 QR 分解, 其中 \(\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q}=\mathbf{I}_n\), 但矩形 \(\mathbf{Q}\) 不是方阵正交矩阵. 若方程不相容, \(\mathbf{R}\mathbf{x}=\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{b}\) 给出最小二乘解. 下面的逐列归一化要求列向量线性无关; 浮点实现通常选用 Householder 或 modified Gram-Schmidt 来改善正交性保持.

Gram-Schmidt 正交化 对一组列向量

\[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n\]

可以将矩阵列向量组 (\(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_n\)) 变换成正交列向量组 (\(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_n\)).

\[\begin{aligned} &\mathbf{u}_1=\mathbf{a}_1, &&\mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|},\\ &\mathbf{u}_2=\mathbf{a}_2-\langle \mathbf{a}_2,\mathbf{e}_1\rangle\mathbf{e}_1, &&\mathbf{e}_2=\frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|},\\ &\mathbf{u}_n=\mathbf{a}_n-\sum_{j=1}^{n-1}\langle \mathbf{a}_n,\mathbf{e}_j\rangle\mathbf{e}_j, &&\mathbf{e}_n=\frac{\mathbf{u}_n}{\|\mathbf{u}_n\|}. \end{aligned}\]

故如果视

\[\mathbf{A}=(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n), \qquad \mathbf{Q}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n)\]

从而 \(\mathbf{A}\) 的列向量在 \(\mathbf{Q}\) 给出的正交基下的展开可以写为矩阵形式

\[\begin{aligned} \mathbf{a}_k &= \sum_{j=1}^{k}\langle \mathbf{a}_k,\mathbf{e}_j\rangle\mathbf{e}_j \implies \mathbf{A} =(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n)\mathbf{R}=\mathbf{Q}\mathbf{R}\\ \mathbf{R} &= \begin{pmatrix} \langle \mathbf{a}_1,\mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{a}_2,\mathbf{e}_1\rangle & \cdots & \langle \mathbf{a}_n,\mathbf{e}_1\rangle\\ 0 & \langle \mathbf{a}_2,\mathbf{e}_2\rangle & \cdots & \langle \mathbf{a}_n,\mathbf{e}_2\rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \langle \mathbf{a}_n,\mathbf{e}_n\rangle \end{pmatrix} \end{aligned}\]

Example 对矩阵作 QR 分解

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Solution 记 \(\mathbf{A}=(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3)\). Gram-Schmidt 正交化给出

\[\begin{aligned} \mathbf{u}_1&=\mathbf{a}_1=(1,1,0)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{e}_1&=\frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{u}_2&=\mathbf{a}_2-\langle \mathbf{a}_2,\mathbf{e}_1\rangle\mathbf{e}_1 =\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{e}_2&=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{u}_3&=\mathbf{a}_3-\langle \mathbf{a}_3,\mathbf{e}_1\rangle\mathbf{e}_1-\langle \mathbf{a}_3,\mathbf{e}_2\rangle\mathbf{e}_2 =\frac{2}{3}(-1,1,1)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{e}_3&=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]

得到

\[\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0 & 0 & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}.\]

2.12 SVD Decomposition *

任意 \(m\times n\) 实矩阵 \(\mathbf{A}\) 均可作 SVD(singular value decomposition):⁵

\[\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}\]

其中 \(\mathbf{U}\) 为 \(m \times m\) 正交矩阵, \(\mathbf{V}\) 为 \(n \times n\) 正交矩阵, \(\mathbf{D}\) 为 \(m \times n\) 对角矩阵, 对角线上的元素为 \(\mathbf{A}\) 的奇异值 \(\sigma_i\). 可以将 \(\mathbf{U}\) 的列向量称为左奇异向量, \(\mathbf{V}\) 的列向量称为右奇异向量.

\[\begin{aligned} \mathbf{U}\mathbf{U}^{\mathsf{T}}&=\mathbf{I}_m,\qquad \mathbf{V}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}=\mathbf{I}_n,\\ D_{ij}&= \begin{cases} \sigma_i\delta_{ij}, & i\leq r,\\ 0, & i>r, \end{cases} \qquad r=\min(m,n),\qquad \sigma_1\geq\cdots\geq\sigma_r\geq0. \end{aligned}\]

仅当 \(m=n\) 且所有奇异值非零时, 普通逆矩阵为

\[\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{V}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{U}^{\mathsf{T}}.\]

一般矩形或秩亏矩阵使用 Moore-Penrose 伪逆 \(\mathbf{A}^{+}=\mathbf{V}\mathbf{D}^{+}\mathbf{U}^{\mathsf{T}}\). 其中 \(\mathbf{D}^{+}\) 为 \(n\times m\) 矩阵, 非零奇异值取倒数, 零奇异值仍取零; \(\mathbf{x}=\mathbf{A}^{+}\mathbf{b}\) 给出最小范数的最小二乘解.⁶

为抑制小奇异值对噪声的放大, 可作截断 SVD 正则化, 令 \(\epsilon\geq0\), 并定义

\[\begin{aligned} \mathbf{A}_{\epsilon}^{+}&=\mathbf{V}\mathbf{D}_{\epsilon}^{+}\mathbf{U}^{\mathsf{T}},\\ \left(\mathbf{D}_{\epsilon}^{+}\right)_{ii}&= \begin{cases} 1/\sigma_i, & \sigma_i>\epsilon,\\ 0, & \sigma_i\leq\epsilon, \end{cases} \qquad i=1,\cdots,r, \end{aligned}\]

其他元素为零. 阈值常相对最大奇异值设置; 截断改变了所求问题, 并不保证消除噪声, 也不能把含零奇异值的 \(\mathbf{D}_{\epsilon}\) 当成可逆矩阵.

2.13 Sherman-Morrison Formula *

Sherman-Morrison 公式提供了一种计算矩阵的逆的方法.

设 \(\mathbf{A}\) 为一个可逆矩阵, \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\) 为同维列向量, 考虑矩阵

\[\mathbf{B}=\mathbf{A}+\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\]

的逆矩阵. 以下要求 \(1+\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\neq0\), 等价于更新后的 \(\mathbf{B}\) 仍可逆. 这是秩不超过 1 的更新.

\[\begin{aligned} \left(\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)_{ij} &= u_i v_j,\\ \left(\mathbf{A}+\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)^{-1} &=\left(\mathbf{I}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)^{-1}\mathbf{A}^{-1}. \end{aligned}\]

先考虑 Neumann 级数展开, 要求 \(\rho(\mathbf{M})\lt1\). 对下式的秩-1 矩阵, 收敛条件为 \(|\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}|\lt1\):

\[\begin{aligned} (\mathbf{I}-\mathbf{M})^{-1} &=\mathbf{I}+\mathbf{M}+\mathbf{M}^2+\mathbf{M}^3+\cdots,\\ \left(\mathbf{I}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)^{-1} &=\mathbf{I}-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}} +\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}-\cdots. \end{aligned}\]

定义

\[\lambda=\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}.\]

在 \(|\lambda|\lt1\) 时, 上述级数求和给出

\[\begin{aligned} \left(\mathbf{A}+\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)^{-1} &=\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1} \left(1-\lambda+\lambda^2-\cdots\right)\\ &=\mathbf{A}^{-1}-\frac{\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}}{1+\lambda},\\ \left(\mathbf{A}+\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)^{-1} &=\mathbf{A}^{-1}-\frac{\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}}{1+\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}}. \end{aligned}\]

结果其实只需 \(1+\lambda\neq0\). 令 \(\mathbf{M}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\), 则 \(\mathbf{M}^2=\lambda\mathbf{M}\), 可以直接验证

\[(\mathbf{I}+\mathbf{M})\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{M}}{1+\lambda}\right) =\mathbf{I}+\mathbf{M}-\frac{\mathbf{M}+\mathbf{M}^2}{1+\lambda}=\mathbf{I}.\]

因此 Sherman-Morrison 公式在级数不收敛但分母非零时仍成立. 考虑方程组:

\[\left(\mathbf{A}+\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{x}=\mathbf{b}\]

已知方程组的解:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{y}&=\mathbf{b},\\ \mathbf{A}\mathbf{z}&=\mathbf{u}. \end{aligned}\]

方程的解为:

\[\mathbf{x}=\mathbf{y}-\frac{\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{y}}{1+\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{z}}\mathbf{z}\]

Appendix

A.1 Scientific Computing Environment

GNU/Linux

GNU/Linux 提供类 Unix 开发环境, 可作为科学计算的工作平台.

GNU/Linux 文件系统层级的简化示例, 不是完整目录清单. 实际目录、挂载点和符号链接随发行版与配置而变; 目录用途可对照 Filesystem Hierarchy Standard 3.0.

Ubuntu 基于 Debian; amd64(x86-64)、arm64(AArch64) 和 ppc64el(PowerPC64 little-endian) 属于不同架构, arm64 不属于 PowerPC. 具体支持范围取决于发行版本.⁷

Shared Toolchain

Linux 的静态库以 .a 为后缀, 由一系列目标文件组成, 在编译时被链接到可执行文件中. Windows 的静态库以 .lib 为后缀.
Linux 的动态库以 .so 为后缀, 在运行时被加载到内存中, 可以被多个程序共享使用. Windows 的动态库以 .dll 为后缀.
C++ 适合高性能实现, 数据结构组织和大型工程; Fortran 仍常见于传统科学计算程序; Python 适合原型设计, 数据处理, 可视化和脚本化实验流程.
NumPy 是 Python 科学计算的基础数组库; CERN ROOT 是高能物理中常见的数据分析框架; 现代工作流中优先使用 git 追踪代码与结果.

References

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in C++.

Oracle, Numerical Computation Guide, 2.2.2 Single Format, Tables 2-2 and 2-3. ↩︎
Oracle, Numerical Computation Guide, 2.2.3 Double Format, Tables 2-4 and 2-5. ↩︎
LAPACK Authors, LAPACK Users’ Guide, How to Measure Errors, vector and matrix norms, and condition numbers. ↩︎
J. R. Shewchuk, An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain, Sections 8, 11 and 12. ↩︎
NumPy Developers, numpy.linalg.svd, full and reduced SVD dimensions. ↩︎
NumPy Developers, numpy.linalg.pinv, Moore-Penrose inverse and singular-value cutoff. ↩︎
Ubuntu Project, Supported architectures. ↩︎

Computational Physics - 2

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

3 Interpolation Methods

3.1 Lagrange Interpolation

考虑拟合一个函数, 其中 \(n+1\) 个互异节点的函数值已知:

\[y_0=f(x_0),\quad y_1=f(x_1),\quad \cdots,\quad y_n=f(x_n)\]

Lagrange interpolation 要求拟合函数 \(P(x)\) 的每个点都经过插值点:

\[P(x_k)=f(x_k),\quad k=0,1,2,\cdots,n\]

Lagrange interpolation 函数 \(P(x)\):

\[P(x)=\sum_{k=0}^n f(x_k)L_{n,k}(x)\]

插值基函数:

\[\begin{aligned} L_{n,k}(x) &= \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_n)}\\ &= \prod_{0\leq i\leq n,\, i\neq k} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}. \end{aligned}\]

可以看到

\[L_{n,k}(x_i)= \begin{cases} 1, & k = i,\\ 0, & k \neq i. \end{cases}\]

若 \(f\in C^{n+1}\) 于包含插值节点和 \(x\) 的闭区间, 插值余项为

\[R_n(x)=f(x)-P_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n}(x-x_i),\]

其中 \(\xi\) 位于这些点之间. 误差估计通常写成

\[|R_n(x)| \leq \frac{\max_\xi |f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!} \left|\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\right|.\]

Example \(f(x)=x^{-1}\), 计算插值误差. 插值点为 \(x_0=2,x_1=2.75,x_2=4\). 相应函数值为

\[f(2)=\frac12,\qquad f(2.75)=\frac{4}{11},\qquad f(4)=\frac14.\]

Solution 三个 Lagrange 基函数:

\[\begin{aligned} L_0(x) &=\frac{(x-2.75)(x-4)}{(2-2.75)(2-4)} =\frac{(x-\frac{11}{4})(x-4)}{\frac32},\\ L_1(x) &=\frac{(x-2)(x-4)}{(2.75-2)(2.75-4)} =-\frac{16}{15}(x-2)(x-4),\\ L_2(x) &=\frac{(x-2)(x-2.75)}{(4-2)(4-2.75)} =\frac{2}{5}(x-2)(x-\frac{11}{4}). \end{aligned}\]

因此

\[\begin{aligned} P(x) &=\frac12 L_0(x)+\frac{4}{11}L_1(x)+\frac14 L_2(x)\\ &=\frac{1}{3}(x-\frac{11}{4})(x-4) -\frac{64}{165}(x-2)(x-4) +\frac{1}{10}(x-2)(x-\frac{11}{4})\\ &=\frac{1}{22}x^2-\frac{35}{88}x+\frac{49}{44} \end{aligned}\]

这里有三个插值点, 所以 \(n=2\), 需要三阶导数. 因为 \(f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\), 二次插值的余项为

\[R(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) = -\xi^{-4}(x-2)(x-2.75)(x-4).\]

在 \(x,\xi\in [2,4]\) 上, 对右侧两项取极值得到

\[|R(x)|\leq \frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16} =\frac{9}{256}\approx 0.03516.\]

图 3.1 采用本节倒数函数例题的三个节点 2、2.75、4. 左图叠加原函数与二次插值多项式, 黑点表示插值节点; 右图单独显示原函数减插值多项式的误差, 三个节点处误差为零. 右图纵轴是实际误差, 不是前文给出的统一误差上界. 由本节例题直接计算绘制.

Example 证明

\[\sum_{k=0}^{n}\frac{x_k^n}{(x_k-x_0)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_n)}=1\]

Solution 对 \(p(x)=x^n\) 作 \(n\) 次 Lagrange 插值. 因 \(p\) 为 \(n\) 次多项式, 插值多项式即为自身

\[x^n = \sum_{k=0}^{n} x_k^n L_k(x), \qquad L_k(x)=\frac{\prod_{j\ne k}(x-x_j)}{\prod_{j\ne k}(x_k-x_j)}\]

比较两边 \(x^n\) 的最高次项系数. 左边为 1, \(L_k(x)\) 的最高次项系数为

\[\frac{1}{\prod_{j\ne k}(x_k-x_j)}\]

因此

\[\sum_{k=0}^{n} \frac{x_k^n}{\prod_{j\ne k}(x_k-x_j)} = 1\]

3.2 Hermite Interpolation *

Hermite interpolation 是 Lagrange interpolation 的升级版, 不仅要求拟合函数和原函数在插值点的函数值相同, 还要求在插值点的斜率相同. 插值函数为

\[H_{2n+1}(x)=\sum_{i=0}^n f(x_i)H_{n,i}(x)+\sum_{i=0}^n f'(x_i)\hat H_{n,i}(x)\]

\(H_{n,i}(x)\) 为了处理函数值:

\[\begin{aligned} H_{n,i}(x) &= \left[1-2(x-x_i)L'_{n,i}(x_i)\right]L_{n,i}^2(x),\\ H_{n,i}(x_i) &= 1,\qquad H'_{n,i}(x_i)=0. \end{aligned}\]

\(\hat{H}_{n,i}\left(x\right)\) 为了处理导数:

\[\begin{aligned} \hat H_{n,i}(x) &= (x-x_i)L_{n,i}^2(x),\\ \hat H_{n,i}(x_i) &= 0,\qquad \hat H'_{n,i}(x_i)=1. \end{aligned}\]

若节点互异且 \(f\in C^{2n+2}\) 于包含节点和 \(x\) 的闭区间, Hermite 插值余项为:

\[f(x)=H_{2n+1}(x)+\frac{(x-x_0)^2\cdots(x-x_n)^2}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(\xi)\]

3.3 Cubic Spline Interpolation

Runge phenomenon 是数值分析中的一个经典问题, 指的是在等距节点下, 使用高次多项式插值时, 插值多项式在区间两端会出现剧烈振荡, 导致插值误差反而比低次多项式更大, 甚至完全不收敛于原函数.

想要减小 Runge phenomenon, 可以使用低次分段插值方法, 比较经典的方法是三次样条插值.

函数有 \(n+1\) 个数据点, 节点满足 \(x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n\), 记 \(h_i=x_{i+1}-x_i>0\), 分为 \(n\) 个区间. 考虑第 \(i\) 个区间, 用三次多项式函数拟合:

\[S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3,\quad i=0,1,\cdots,n-1\]

一共有 \(4n\) 个系数.

插值条件
\[\begin{aligned} S_i(x_i)=f_i &\implies a_i=f_i,\\ S_i(x_{i+1})=f_{i+1} &\implies a_i+b_i h_i+c_i h_i^2+d_i h_i^3=f_{i+1}. \end{aligned}\]
给出了 \(2n\) 个方程, 若消去 \(f\) 可以得到
\[a_{i+1} = a_i+b_i h_i+c_i h_i^2+d_i h_i^3\]
一阶导数连续
\[S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1}) \implies b_i+2c_i h_i+3d_i h_i^2 = b_{i+1}.\]
给出 \(n-1\) 个方程.
二阶导数连续
\[S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1}) \implies c_i+3d_i h_i = c_{i+1}.\]
给出 \(n-1\) 个方程.
边界条件: 要根据实际情况来确定. 常用的是 (1) 自然样条边界条件: 两端二阶导数为 \(0\).
\[\begin{aligned} S_0''(x_0)=0 &\implies c_0=0,\\ S_{n-1}''(x_n)=0 &\implies c_{n-1}+3d_{n-1}h_{n-1}=0. \end{aligned}\]
(2) 固定边界条件:
\[\begin{aligned} S_0'(x_0)=f_0' &\implies b_0=f_0',\\ S_{n-1}'(x_n)=f_n' &\implies b_{n-1}+2c_{n-1}h_{n-1}+3d_{n-1}h_{n-1}^2=f_n'. \end{aligned}\]

3.3.1 Coefficient Relations

已知方程:

\[\begin{aligned} a_{i+1} &= a_i+b_i h_i+c_i h_i^2+d_i h_i^3,\\ b_{i+1} &= b_i+2c_i h_i+3d_i h_i^2,\\ c_{i+1} &= c_i+3d_i h_i. \end{aligned}\]

消去 \(d_{i}\) 和 \(b_{i}\), 过程中得到

\[d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i},\qquad b_i=\frac{a_{i+1}-a_i}{h_i}-\frac{h_i}{3}(2c_i+c_{i+1})\]

结果为

\[h_{i-1}c_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)c_i+h_i c_{i+1} =\frac{3}{h_i}(a_{i+1}-a_i)-\frac{3}{h_{i-1}}(a_i-a_{i-1})\]

上述内部节点方程适用于 \(i=1,\cdots,n-1\). 这里把 \(a_n=f_n\) 和 \(c_n=S_{n-1}^{\prime\prime}(x_n)/2\) 作为右端点的记号, 并非再增加一个区间多项式. 已知 \(a_i=f_i\), 加上两个边界条件即可求解 \(c_i\).

3.3.2 Boundary Conditions

自然样条: \(S''(x_0)=S''(x_n)=0\), 令 \(\mathbf{c}=(c_0,c_1,\cdots,c_n)^{\mathsf{T}}\). 自然样条对应的三对角线性方程组为
\[\begin{cases} c_0=0,\\ h_{i-1}c_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)c_i+h_i c_{i+1} =\dfrac{3}{h_i}(a_{i+1}-a_i)-\dfrac{3}{h_{i-1}}(a_i-a_{i-1})\\ c_n=0. \end{cases}\]
固定边界条件: 这里 \(a=x_0\), \(b=x_n\) 表示区间端点, 并给定端点一阶导数:
\[S'(x_0)=f'(a),\qquad S'(x_n)=f'(b).\]
左端点 \(x_0\): 利用 \(S_0(x_1) = a_1\) 且 \(S_0^{\prime}(x_0) = f^{\prime}(a)\)
\[b_0 =\frac{a_1-a_0}{h_0}-\frac{h_0}{3}(2c_0+c_1), \qquad b_0=f'(a),\]
消去 \(b_0\) 得到
\[2h_0c_0+h_0c_1 = \frac{3}{h_0}(a_1-a_0)-3f'(a).\]
右端点 \(x_n\): 利用 \(S_{n-1}(x_n)=a_n\) 且 \(S_{n-1}'(x_n)=f'(b)\). 由
\[a_n=a_{n-1}+b_{n-1}h_{n-1}+c_{n-1}h_{n-1}^2+d_{n-1}h_{n-1}^3\]
以及 \(d_{n-1}=(c_n-c_{n-1})/(3h_{n-1})\), 得
\[b_{n-1} =\frac{a_n-a_{n-1}}{h_{n-1}} -\frac{h_{n-1}}{3}(2c_{n-1}+c_n), \qquad b_{n-1}+h_{n-1}(c_{n-1}+c_n)=f'(b).\]
消去 \(b_{n-1}\) 得到
\[h_{n-1}c_{n-1}+2h_{n-1}c_n = 3f'(b)-\frac{3}{h_{n-1}}(a_n-a_{n-1}).\]
于是固定边界条件对应的三对角线性方程组为
\[\begin{cases} 2h_0c_0+h_0c_1 =\dfrac{3}{h_0}(a_1-a_0)-3f'(a),\\ h_{i-1}c_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)c_i+h_i c_{i+1} =\dfrac{3}{h_i}(a_{i+1}-a_i)-\dfrac{3}{h_{i-1}}(a_i-a_{i-1}), \quad i=1,\cdots,n-1,\\ h_{n-1}c_{n-1}+2h_{n-1}c_n =3f'(b)-\dfrac{3}{h_{n-1}}(a_n-a_{n-1}). \end{cases}\]

解出 \(c_i\) 后, 由

\[d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i},\qquad b_i=\frac{a_{i+1}-a_i}{h_i}-\frac{h_i}{3}(2c_i+c_{i+1})\]

恢复每个区间上的 \(S_i(x)\).

3.4 Akima Interpolation *

Akima 插值用局部数据确定节点斜率, 再构造分段三次 Hermite 多项式. 它保证函数及一阶导数连续, 一般不保证二阶导数连续, 因而与上一节的三次样条条件不同.¹

\[S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3\]

需要四个方程来确定四个系数:

\[\begin{aligned} S_i(x_i)&=f_i,\qquad S_i(x_{i+1})=f_{i+1},\\ S_i'(x_i)&=t_i,\qquad S_i'(x_{i+1})=t_{i+1}. \end{aligned}\]

定义割线斜率和权重:

\[\begin{aligned} m_i &= \frac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i},\\ w_{i-1} &= |m_{i+1}-m_i|,\\ w_i &= |m_{i-1}-m_{i-2}|. \end{aligned}\]

\(w_{i-1}\) 是右侧差分, \(w_i\) 是左侧差分. 节点一阶导数 \(t_i=S'(x_i)\) 取为

\[t_i=\frac{w_{i-1}m_{i-1}+w_i m_i}{w_{i-1}+w_i}\]

一些其他的代替方案:

\(m_{i-2}=m_{i-1},m_i\neq m_{i+1}\) 时, 取左边的稳定坡度值
\[t_i=m_{i-1}\]
\(m_i=m_{i+1},m_{i-2}\neq m_{i-1}\) 时, 取右侧的稳定坡度值
\[t_i=m_i\]
\(m_{i-1}=m_i\) 时, 取共同的坡度值
\[t_i=m_{i-1}=m_i\]
\(m_{i-2}=m_{i-1}\neq m_i=m_{i+1}\) 时, 取平均值
\[t_i=\frac{m_{i-1}+m_i}{2}\]

节点斜率 \(t_i\) 用到四个割线斜率 \(m_{i-2},m_{i-1},m_i,m_{i+1}\), 涉及五个节点. 当两个权重均为零时, 采用上面的共同坡度或平均值规则. 对至少三个节点, 边界缺少的割线斜率可按下式外推; 只有两个节点时可直接采用线性插值:

\[\begin{aligned} m_{-1} &= 2m_0-m_1,\\ m_{-2} &= 2m_{-1}-m_0,\\ m_n &= 2m_{n-1}-m_{n-2},\\ m_{n+1} &= 2m_n-m_{n-1}. \end{aligned}\]

Example 拟合函数

\[y=a+b(x-x_1)+c(x-x_1)^2+d(x-x_1)^3,\quad x\in[x_1,x_2]\]

边界条件:

\[\begin{aligned} y(x_1)&=y_1,\qquad y(x_2)=y_2,\\ y'(x_1)&=t_1,\qquad y'(x_2)=t_2. \end{aligned}\]

Solution 求解出系数:

\[\begin{aligned} a &= y_1,\\ b &= t_1,\\ c &= \frac{1}{x_2-x_1}\left[\frac{3(y_2-y_1)}{x_2-x_1}-2t_1-t_2\right],\\ d &= \frac{1}{(x_2-x_1)^2}\left[t_1+t_2-\frac{2(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right]. \end{aligned}\]

3.5 Rational Function Interpolation *

分数多项式插值可通过分母描述某些极点结构, 在合适的函数及节点上可能比多项式插值更准确. 但它也可能引入伪极点, 不能普遍保证避免 Runge phenomenon 或优于多项式插值. 一种方法是经过给定数据点, 即有理函数插值. 已知函数的 \(m+1\) 个点的数值 \((x_i, y_i)\), \(i=1,2,\cdots,m+1\). 插值函数:

\[R_{i(i+1)\cdots(i+m)}(x)=\frac{P_\mu(x)}{Q_\nu(x)} =\frac{p_0+p_1x+\cdots+p_\mu x^\mu}{1+q_1x+\cdots+q_\nu x^\nu}\]

其中 \(m=\mu+\nu\), 其数值应根据实际情况选取, \(P_{\mu}(x)\), \(Q_{\nu}(x)\) 为两个多项式. 确定系数:

\[\begin{aligned} R(x_i)&=\frac{P_\mu(x_i)}{Q_\nu(x_i)}=y_i,\\ P_\mu(x_i)-y_i Q_\nu(x_i)&=0,\\ \sum_{j=0}^{\mu}p_j x_i^j-y_i\left(1+\sum_{k=1}^{\nu}q_k x_i^k\right)&=0. \end{aligned}\]

这是关于未知系数的线性方程组. 需要检查该归一化下方程组是否有解, 并确保 \(Q_\nu(x_i)\ne0\); 交叉相乘所得等式本身不排除节点处 \(P_\mu=Q_\nu=0\) 的未定义情形:

\[\begin{aligned} p_0+x_1p_1+\cdots+x_1^\mu p_\mu-y_1x_1q_1-\cdots-y_1x_1^\nu q_\nu &= y_1,\\ p_0+x_2p_1+\cdots+x_2^\mu p_\mu-y_2x_2q_1-\cdots-y_2x_2^\nu q_\nu &= y_2,\\ &\cdots\\ p_0+x_{m+1}p_1+\cdots+x_{m+1}^\mu p_\mu-y_{m+1}x_{m+1}q_1-\cdots-y_{m+1}x_{m+1}^\nu q_\nu &= y_{m+1}. \end{aligned}\]

3.6 Padé Approximation *

Padé 近似是另一种分式多项式插值方法, 已知函数 \(f(x)\) 的 Taylor expansion, 我们要构造有理函数, 使其 Taylor expansion 在 \(x=0\) 处与 \(f(x)\) 匹配到尽可能高的阶数. 拟合函数:

\[R(x)=\frac{a_0+a_1x+\cdots+a_m x^m}{1+b_1x+\cdots+b_n x^n}\]

\(f(x)\) 在原点的 Taylor 系数已知, 或给定相应形式幂级数. 约定 \(c_k=0\) 当 \(k\lt0\), 并令 \(b_0=1\). 下述系数匹配以这个归一化的线性方程组存在解为前提:

\[f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k x^k\]

要求两个展开的前 \(m+n+1\) 项完全相同, 即

\[\begin{aligned} \frac{a_0+a_1x+\cdots+a_m x^m}{1+b_1x+\cdots+b_nx^n} &=c_0+c_1x+\cdots+c_{m+n}x^{m+n}+\cdots,\\ (1+b_1x+\cdots+b_nx^n)(c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots) &=a_0+a_1x+\cdots+a_m x^m+O(x^{m+n+1}). \end{aligned}\]

各阶系数一般满足

\[a_k=\sum_{i=0}^{\min(k,n)}b_i c_{k-i},\qquad 0\leq k\leq m.\]

下面的一阶、二阶示例只在相应次数的系数存在时使用; 若某个 \(b_i\) 超过分母次数, 则取其为零.

零阶项:

\[a_0=c_0\]

一阶项:

\[a_1=c_1+b_1c_0\]

二阶项:

\[\begin{aligned} a_2 &= c_2+b_1c_1+b_2c_0,\\ &\cdots\\ a_m &= c_m+\sum_{i=1}^{\min(m,n)}b_i c_{m-i}. \end{aligned}\]

\(x^{m+1}\) 到 \(x^{m+n}\) 的系数都为零, 因为右边没有 \(m+1\) 阶以上的多项式项.

\[\begin{pmatrix} c_{m-n+1} & c_{m-n+2} & \cdots & c_m\\ c_{m-n+2} & c_{m-n+3} & \cdots & c_{m+1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_m & c_{m+1} & \cdots & c_{m+n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_n\\ b_{n-1}\\ \vdots\\ b_1 \end{pmatrix} =- \begin{pmatrix} c_{m+1}\\ c_{m+2}\\ \vdots\\ c_{m+n} \end{pmatrix}\]

4 Numerical Differentiation and Integration

4.1 First-Derivative Formulas

若 \(h>0\) 且 \(f\in C^2[x_0,x_0+h]\), 最简单的一阶微分公式是向前差分公式, 其中 \(\xi\in(x_0,x_0+h)\):

\[f'(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\frac{h}{2}f''(\xi)\]

截断误差精度为一阶, 误差相对较大. 考虑其他微分公式来提高精度.

取三个互异节点 \(x_0,x_1,x_2\), 令

\[P_2(x)=\sum_{k=0}^{2}f(x_k)L_k(x),\qquad \omega_3(x)=\prod_{k=0}^{2}(x-x_k).\]

在节点 \(x_i\) 处对插值多项式求导, 得到三点微分近似. 若 \(f\in C^3\) 于包含节点的区间, 则完整公式为

\[\begin{aligned} f'(x_i) &=f(x_0)\frac{2x_i-x_1-x_2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} +f(x_1)\frac{2x_i-x_0-x_2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\ &\quad+f(x_2)\frac{2x_i-x_0-x_1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}+R(x_i),\\ R(x_i)&=\frac{f^{(3)}(\xi_i)}{6}\omega_3'(x_i) =\frac{f^{(3)}(\xi_i)}{6}\prod_{\substack{k=0\\k\ne i}}^2(x_i-x_k). \end{aligned}\]

这里不能把插值余项中的存在性记号 \(\xi\) 直接当作可微函数求导. 余项可独立验证: 取

\[K=\frac{f'(x_i)-P_2'(x_i)}{\omega_3'(x_i)},\qquad \phi(x)=f(x)-P_2(x)-K\omega_3(x).\]

\(\phi\) 在三个节点为零且 \(\phi'(x_i)=0\). 把 \(x_i\) 的重零点计入后, 反复使用 Rolle 定理可得某个 \(\xi_i\) 满足 \(\phi^{(3)}(\xi_i)=0\). 因 \(P_2^{(3)}=0\)、\(\omega_3^{(3)}=6\), 所以 \(K=f^{(3)}(\xi_i)/6\).²

若等间距取点, 即 \(x_1=x_0+h,x_2=x_0+2h\), 得到三个点的微分公式:

\[\begin{aligned} f'(x_0)&=\frac{1}{h}\left[-\frac{3}{2}f(x_0)+2f(x_0+h)-\frac{1}{2}f(x_0+2h)\right]+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\xi_0),\\ f'(x_0+h)&=\frac{1}{h}\left[-\frac{1}{2}f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_0+2h)\right]-\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\xi_1),\\ f'(x_0+2h)&=\frac{1}{h}\left[\frac{1}{2}f(x_0)-2f(x_0+h)+\frac{3}{2}f(x_0+2h)\right]+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\xi_2). \end{aligned}\]

平移得到

端点三点微分公式:
\[f'(x_0)=\frac{1}{2h}\left[-3f(x_0)+4f(x_0+h)-f(x_0+2h)\right]+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\xi_0)\]
中心差分公式:
\[f'(x_0)=\frac{1}{2h}\left[-f(x_0-h)+f(x_0+h)\right]-\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\xi_1)\]
端点三点公式:
\[f'(x_0)=\frac{1}{2h}\left[f(x_0-2h)-4f(x_0-h)+3f(x_0)\right]+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\xi_2)\]

4.2 Second-Derivative Formulas

若 \(f\in C^4\) 于包含 \(x_0-h,x_0+h\) 的区间, 在左右对称点展开

\[\begin{aligned} f(x_0+h)&=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{1}{2}f''(x_0)h^2+\frac{1}{6}f'''(x_0)h^3+\frac{1}{24}f^{(4)}(\xi_1)h^4,\\ f(x_0-h)&=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{1}{2}f''(x_0)h^2-\frac{1}{6}f'''(x_0)h^3+\frac{1}{24}f^{(4)}(\xi_{-1})h^4 \end{aligned}\]

相加消去 Taylor 展开中的奇次导数项

\[f''(x_0)=\frac{1}{h^2}\left[f(x_0-h)-2f(x_0)+f(x_0+h)\right]-\frac{h^2}{24}\left[f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_{-1})\right].\]

因此记二阶中心差分公式为

\[f''(x_0) = \frac{f(x_0-h)-2f(x_0)+f(x_0+h)}{h^2} +O(h^2).\]

4.3 Simpson Formula

由 Lagrange interpolation 公式:

\[\begin{aligned} P_n(x)&=\sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x),\\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &=\int_a^b\sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x)\,\mathrm{d}x +\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)f^{(n+1)}(\xi)\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{i=0}^{n}a_i f(x_i)+\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)f^{(n+1)}(\xi)\,\mathrm{d}x\\ &\approx \sum_{i=0}^{n}a_i f(x_i). \end{aligned}\]

其中

\[a_i=\int_a^b L_i(x)\,\mathrm{d}x\]

选三个等距点:

\[x_0=a,\qquad x_1=\frac{a+b}{2},\qquad x_2=b\]

插值多项式为

\[P_2(x)=L_0(x)f(x_0)+L_1(x)f(x_1)+L_2(x)f(x_2)\]

因此积分可写作:

\[\begin{aligned} \int_a^b P_2(x)\,\mathrm{d}x &=\sum_{k=0}^{2}a_k f(x_k)\\ &=a_0f(x_0)+a_1f(x_1)+a_2f(x_2),\\ L_k(x)&=\prod_{i=0,i\neq k}^{2}\frac{x-x_i}{x_k-x_i},\\ a_0&=\int_a^b L_0(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{6}(b-a). \end{aligned}\]\[\begin{aligned} a_1&=\int_a^b L_1(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{3}(b-a),\\ a_2&=\int_a^b L_2(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{6}(b-a). \end{aligned}\]

得到 Simpson 公式:

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]\]

若 \(f\in C^4[a,b]\), 其余项为

\[R=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x-\int_a^b P_2(x)\,\mathrm{d}x =-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi),\qquad \xi\in(a,b).\]

因此 Simpson 公式对三次及以下多项式精确, 比二次插值本身的次数多一阶.

4.4 Newton-Cotes Formulas

取 \(x_k=a+kh\), \(k=0,\cdots,n\), 共 \(n+1\) 个等距节点, 积分公式为

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&\approx \sum_{k=0}^{n}a_k f(x_k),\\ a_k&=\int_a^b L_k(x)\,\mathrm{d}x =\int_a^b\prod_{i=0,i\ne k}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}\]

定义科特斯系数:

\[c_k=\frac{a_k}{b-a}\]

步长:

\[\begin{aligned} h&=\frac{b-a}{n},\\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &\approx (b-a)\sum_{k=0}^{n}c_k f(x_k) =(b-a)\sum_{k=0}^{n}c_k f(a+kh),\\ c_k &=\frac{1}{b-a}\int_a^b\prod_{i=0,i\ne k}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{nh}\int_0^n\prod_{i=0,i\ne k}^{n}\frac{\lambda-i}{k-i}\,h\,\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{(-1)^{n-k}}{n(n-k)!k!}\int_0^n\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(\lambda-i)\,\mathrm{d}\lambda. \end{aligned}\]

科特斯系数的性质:

对于确定的 \(n\), 有
\[\sum_{k=0}^{n}c_k=1\]
对称性
\[c_k=c_{n-k}\]
闭型 Newton-Cotes 公式从 \(n=8\) 开始会出现负权重. 负权重会增加抵消及数据误差放大的风险, 因而实践中通常采用低阶复合公式; 这不意味着每个高阶公式对每个函数都必然不稳定.

比较常用的是 \(n=4\) 的闭型 Newton-Cotes 公式(Boole 公式). 取 \(h=(b-a)/4\), 若 \(f\in C^6[a,b]\), 可写出求积式及余项:

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &\approx (b-a)\left[\frac{7}{90}f(x_0)+\frac{16}{45}f(x_1)+\frac{2}{15}f(x_2)+\frac{16}{45}f(x_3)+\frac{7}{90}f(x_4)\right],\\ R&=-\frac{8h^7}{945}f^{(6)}(\xi). \end{aligned}\]

4.5 Composite Quadrature Formulas

复合积分公式将积分区间分为若干子区间, 分别利用低阶积分公式, 再把各段积分加起来. 考虑复合 Simpson 公式: 令 \(n\) 为正偶数, \(h=(b-a)/n\), \(x_k=a+kh\), 并假设 \(f\in C^4[a,b]\). 每个 Simpson 面板包含两个长度为 \(h\) 的子区间:

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &=\sum_{k=1}^{n/2}\int_{x_{2k-2}}^{x_{2k}}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^{n/2}\left\{\frac{h}{3}\left[f(x_{2k-2})+4f(x_{2k-1})+f(x_{2k})\right]-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi_k)\right\} \end{aligned}\]

每个 \(\xi_k\) 位于对应面板内. 利用 \(f^{(4)}\) 的连续性合并余项, 同时合并重复节点的权重:

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{h}{3}\left[f(a)+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+f(b)\right] -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi')\]

4.6 Remainder Extrapolation

假设精确值为 \(M\), 用步长 \(h\) 计算近似值为 \(N_1(h)\). 下面以余项具有幂次渐近展开、且系数 \(k_i\) 与 \(h\) 无关为前提; 实际计算按已有光滑性截断展开, 不要求无穷级数收敛:

\[M=N_1(h)+k_1h+k_2h^2+k_3h^3+\cdots\]

换成一半步长:

\[\begin{aligned} M&=N_1\left(\frac{h}{2}\right)+k_1\frac{h}{2}+k_2\frac{h^2}{4}+k_3\frac{h^3}{8}+\cdots,\\ M&=2N_1\left(\frac{h}{2}\right)-N_1(h)-\frac{k_2}{2}h^2-\frac{3k_3}{4}h^3+\cdots. \end{aligned}\]

定义:

\[\begin{aligned} N_2(h)&=2N_1\left(\frac{h}{2}\right)-N_1(h),\\ M&=N_2(h)-\frac{k_2}{2}h^2-\frac{3k_3}{4}h^3+\cdots. \end{aligned}\]

精度从 \(O(h)\) 提高到了 \(O(h^{2})\).

下面考虑只有偶数阶余项的情形:

\[\begin{aligned} M&=N_1(h)+k_1h^2+k_2h^4+k_3h^6+\cdots,\\ M&=N_1\left(\frac{h}{2}\right)+k_1\frac{h^2}{4}+k_2\frac{h^4}{16}+k_3\frac{h^6}{64}+\cdots,\\ 3M&=4N_1\left(\frac{h}{2}\right)-N_1(h)-\frac{3k_2}{4}h^4-\frac{15k_3}{16}h^6+\cdots. \end{aligned}\]

定义:

\[\begin{aligned} N_2(h)&=\frac{1}{3}\left[4N_1\left(\frac{h}{2}\right)-N_1(h)\right],\\ M&=N_2(h)-\frac{k_2}{4}h^4-\frac{5k_3}{16}h^6+\cdots. \end{aligned}\]

下一阶:

\[\begin{aligned} N_3(h)&=\frac{1}{15}\left[16N_2\left(\frac{h}{2}\right)-N_2(h)\right],\\ M&=N_3(h)+\frac{k_3}{64}h^6+\cdots. \end{aligned}\]

考虑复合梯形公式:

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right]+k_1h^2+k_2h^4+k_3h^6+\cdots,\\ N_1(h)&=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right]. \end{aligned}\]

按相同方式逐阶消去偶次误差项, 统一递推为

\[N_i(h)=N_{i-1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{N_{i-1}\left(\frac{h}{2}\right)-N_{i-1}(h)}{4^{i-1}-1}.\]

4.7 Romberg Integration

Romberg algorithm 是一种加速算法, 可以得到更高精度的求积公式. 考虑变步长梯形法, 将积分区间 \([a,b]\) 等分为 \(n\) 个区间, 有 \(n+1\) 个点.

\[x_k=a+kh,\quad h=\frac{b-a}{n},\quad k=0,1,2,\cdots,n\]

积分:

\[T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{h}{2}\left[f(x_k)+f(x_{k+1})\right]\]

对每一个子区间再加一个节点 \(x_{k+1/2}\), 则每一段区间的积分为

\[\frac{h}{4}\left[f(x_k)+2f(x_{k+1/2})+f(x_{k+1})\right]\]

整个区间:

\[\begin{aligned} T_{2n} &=\frac{h}{4}\sum_{k=0}^{n-1}\left[f(x_k)+f(x_{k+1})\right] +\frac{h}{2}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1/2})\\ &=\frac{T_n}{2}+\frac{h}{2}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1/2}). \end{aligned}\]

等间隔取点:

\[h=\frac{b-a}{n},\quad x_{k+1/2}=a+\left(k+\frac{1}{2}\right)h\]

截断误差:

\[\begin{aligned} I-T_n&=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi_n) =-\frac{b-a}{12}\left(\frac{b-a}{n}\right)^2f''(\xi_n),\\ I-T_{2n}&=-\frac{b-a}{12}\left(\frac{b-a}{2n}\right)^2f''(\xi_{2n}). \end{aligned}\]

不同步长对应的 \(\xi_n\) 一般不同, 不能直接令两个余项严格相差四倍. 若 \(f\) 足够光滑, 用 Euler-Maclaurin 型渐近展开

\[I-T_n=k_1h^2+k_2h^4+k_3h^6+\cdots\]

消去最低阶项, 得

\[I-T_{2n}=\frac{T_{2n}-T_n}{3}+O(h^4),\qquad S_n\equiv\frac{4T_{2n}-T_n}{3},\qquad I=S_n+O(h^4).\]

仅在该渐近展开适用且主导项未因抵消消失时, 相邻近似值之差才是可靠的余项估计; 两个近似值接近本身不能保证真误差很小.

这里 \(S_n\) 是由 \(n\) 个宽度为 \(h\) 的 Simpson 面板组成的复合公式, 其节点间距为 \(h/2\), 因而若 \(f\in C^4[a,b]\),

\[\begin{aligned} I-S_n&=-\frac{b-a}{2880}h^4f^{(4)}(\xi_n),\\ I-S_{2n}&=-\frac{b-a}{2880}\left(\frac{h}{2}\right)^4f^{(4)}(\xi_{2n}). \end{aligned}\]

继续外推, 定义

\[C_n\equiv\frac{16S_{2n}-S_n}{15},\qquad I=C_n+O(h^6).\]

\(C_n\) 恰为 \(n\) 个宽度为 \(h\)、节点间距为 \(h/4\) 的 Boole 面板组成的复合公式. 若 \(f\in C^6[a,b]\),

\[\begin{aligned} I-C_n&=-\frac{2(b-a)}{945}\left(\frac{h}{4}\right)^6f^{(6)}(\xi_n),\\ I-C_{2n}&=-\frac{2(b-a)}{945}\left(\frac{h}{8}\right)^6f^{(6)}(\xi_{2n}). \end{aligned}\]

在具有相应高阶渐近展开时, 再消去六阶项得

\[I=\frac{64C_{2n}-C_n}{63}+O(h^8).\]

各阶余项估计所需的光滑性不能从低阶公式自动推出; 例如 \(f\in C^{2m+2}[a,b]\) 足以支持梯形余项展开到 \(h^{2m}\), 剩余为 \(O(h^{2m+2})\).³

4.8 Gaussian Quadrature

Definition 取 \(n+1\) 个合适的点 \(x_{k}, k=0,1,2, \cdots, n\), 使得积分公式

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{k=0}^n a_k f(x_k)\]

对所有不超过 \(2n+1\) 次的多项式精确成立, 就称该求积公式具有 \(2n+1\) 次代数精度. 此时称为 Gaussian quadrature, 对应节点称为 Gauss points; 对一般函数仍有求积余项.

然后确定权重 \(a_k\). 令 Lagrange 基函数为 \[\ell_k(x)=\prod_{\substack{i=0\\i\neq k}}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\] 任意不超过 \(n\) 次的多项式 \(\Pi_n(x)\) 都可以精确写成 \(\Pi_n(x)=\sum_{k=0}^n \Pi_n(x_k)\ell_k(x)\), 对两边积分得 \[\int_a^b \Pi_n(x)\,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^n \Pi_n(x_k)\int_a^b \ell_k(x)\,\mathrm{d}x\] 与上述积分公式比较, 得到 \[a_k=\int_a^b\ell_k(x)\,\mathrm{d}x\]

Theorem 节点 \(x_{k}, k=0,1,2, \cdots, n\) 是 Gauss points 的充分必要条件是, 以这些点为零点的多项式

\[\omega_{n+1}(x)=\prod_{k=0}^n(x-x_k)\]

与任意不超过 \(n\) 次的多项式 \(Q_{n}(x)\) 均正交, 即

\[\int_a^b Q_n(x)\omega_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=0\]

Proof 必要性: 取 \(f=Q_n\omega_{n+1}\), 次数至多 \(2n+1\), 各节点函数值为零, 精确求积即给出正交性. 充分性: 任意次数至多 \(2n+1\) 的多项式均可作带余除法 \(f=q\omega_{n+1}+r\), 其中 \(\deg q,\deg r\le n\). 第一项的积分与节点求和值均为零, 第二项由插值权重精确积分, 故整个公式精确. 对正权重的正交多项式, 节点位于开区间内且互异; 此处权重为 1.

根据这个判据, 构造 Gauss points 的关键是找到满足上述正交性的 \(\omega_{n+1}(x)\). 在 \([-1,1]\) 且权重为 1 的情形下, 可以用 Legendre 多项式来完成这个构造.

Proposition Gauss-Legendre 求积对于 \([-1,1]\) 上的 Gaussian quadrature, 可以取 \(\omega_{n+1}(x)\) 为 \(n+1\) 次 Legendre 多项式 \(P_{n+1}(x)\) 的常数倍. 此时 \(P_{n+1}(x)\) 的零点就是 Gauss-Legendre quadrature 的 Gauss points.

Proof Legendre 多项式在 \([-1,1]\) 上满足正交关系:

\[\int_{-1}^1 P_i(x)P_j(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2i+1}\delta_{ij}\]

因此可以取

\[\omega_{n+1}(x) =\frac{2^{n+1}[(n+1)!]^2}{(2n+2)!}P_{n+1}(x) =\frac{(n+1)!}{(2n+2)!}\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}}(x^2-1)^{n+1}\]

对于不超过 \(n\) 次的多项式 \(Q_{n}(x)\), 可以用 Legendre 多项式展开:

\[Q_n(x)=\sum_{k=0}^n\lambda_k P_k(x) \implies \int_{-1}^1\omega_{n+1}(x)Q_n(x)\,\mathrm{d}x =C(n)\sum_{k=0}^n\lambda_k\int_{-1}^1P_k(x)P_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=0.\]

所以 \(P_{n+1}(x)\) 的零点满足 Gauss points 的正交判据.³

此时, 权重可以给出另解, 即求解线性方程组 \[\sum_{k=0}^{n}a_kP_i(x_k) = \int_{-1}^{1}P_i(x)\,\mathrm{d}x\] 注意此处 \(i\) 的编号从 \(0\) 到 \(n\) 而不是 \(n+1\).

Remark 通过区间变换, 可把其他区间上的积分化为 \([-1,1]\) 上的, 从而可以用Gauss-Legendre quadrature

若积分区间为 \(t \in [a,b]\), 令
\[t=\frac{b-a}{2}x+\frac{b+a}{2}\]
积分区间化为 \(x \in [-1,1]\), 即
\[\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x+\frac{b+a}{2}\right)\,\mathrm{d}x\]
若为无穷区间积分 \(\int_0^\infty f(t)\,\mathrm{d}t\), 令
\[t=\tan\left[\frac{\pi}{4}(1+x)\right]\]
积分区间化为 \(x \in [-1,1]\), 即
\[\begin{aligned} \int_0^\infty f(t)\,\mathrm{d}t &=\int_{-1}^1 t'(x)f(t(x))\,\mathrm{d}x\\ &\approx\sum_{k=0}^n a_k t'(x_k)f(t(x_k)),\\ t'(x)&=\frac{\pi}{4}\sec^2\left[\frac{\pi}{4}(1+x)\right]. \end{aligned}\]

变换后的积分应收敛; \(t(x)\) 在 \(x=1\) 发散, 变换后的被积函数未必满足有限区间 Gauss 余项所需的光滑性.

Example 计算积分

\[\int_{-1}^1x^2\,\mathrm{d}x\]

Solution 考虑两个 Gauss points 的情形, 取二阶 Legendre 多项式

\[P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\]

Gauss points 为 \(x_0=-\frac{1}{\sqrt{3}},x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\), 对应的 Lagrange 基函数为

\[\begin{aligned} \ell_0(x) &=\frac{x-x_1}{x_0-x_1} =\frac{x-\frac{1}{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} =\frac{1-\sqrt{3}x}{2},\\ \ell_1(x) &=\frac{x-x_0}{x_1-x_0} =\frac{x+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} =\frac{1+\sqrt{3}x}{2}. \end{aligned}\]

由权重公式 \(a_k=\int_{-1}^{1}\ell_k(x)\,\mathrm{d}x\) 得

\[a_0 =\int_{-1}^{1}\frac{1-\sqrt{3}x}{2}\,\mathrm{d}x=1, \qquad a_1 =\int_{-1}^{1}\frac{1+\sqrt{3}x}{2}\,\mathrm{d}x=1.\]

代入积分公式

\[\int_{-1}^1x^2\,\mathrm{d}x=a_0x_0^2+a_1x_1^2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\]

Remark 上述 \(a_k\) 也可直接由矩条件得到. 对 2 点 Gauss-Legendre 公式, 要求对 \(1,x\) 精确:

\[\begin{aligned} 2 &= a_0 + a_1,\\ 0 &= a_0x_0 + a_1x_1 = -\frac{a_0}{\sqrt3} + \frac{a_1}{\sqrt3} \end{aligned}\]

解得 \(a_0 = a_1 = 1\), 与 Lagrange 基积分结果一致. 在此权重下, 公式自动对 \(x^2\) 和 \(x^3\) 也精确 — 这正是 \(N\) 个节点的 Gauss 求积具有 \(2N-1\) 次代数精度(本节 \(N=n+1\)): 2 个节点精确到 3 次多项式, 多出的精度由节点位置的 Legendre 根性质保证.

4.9 Weighted Gaussian Quadrature *

很多情况下我们需要处理带权函数的 Gaussian quadrature:

\[\int_a^b \rho(x)f(x)\,\mathrm{d}x\]

以下假设:

\(\rho\geq0\);
所需多项式矩有限;
对所需次数的任意非零多项式 \(q\) 有 \(\int_a^b\rho(x)q(x)^2\,\mathrm{d}x>0\).

这些条件保证相应正交多项式存在.

此时 Gauss points 成立的条件为: 多项式

\[\omega_{n+1}(x)=\prod_{k=0}^n(x-x_k)\]

为区间 \([a,b]\) 上关于权函数 \(\rho(x)\) 的正交多项式:

\[\int_a^b \rho(x)\omega_{n+1}(x)Q_n(x)\,\mathrm{d}x=0\]

各公式使用 \(n+1\) 个节点, 取对应 \(n+1\) 次正交多项式的零点; 对次数至多 \(2n+1\) 的多项式精确, 对一般函数是近似求积. 下面列举常见公式:

Gauss-Laguerre quadrature formula

\(\mathcal{L}_{n}(x)\) 为 Laguerre polynomial:
\[\begin{aligned} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}f(x)\,\mathrm{d}x&\approx\sum_{k=0}^n a_k f(x_k),\\ a_k&=-\frac{1}{(n+1)\mathcal{L}'_{n+1}(x_k)\mathcal{L}_n(x_k)}. \end{aligned}\]\[\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}\mathcal{L}_n(x)^2\,\mathrm{d}x=1\]
递推关系为
\[\begin{aligned} (n+1)\mathcal{L}_{n+1}(x)&=(2n+1-x)\mathcal{L}_n(x)-n\mathcal{L}_{n-1}(x),\\ \mathcal{L}_0(x)&=1,\\ \mathcal{L}_1(x)&=1-x. \end{aligned}\]
Gauss-Hermite quadrature formula
\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}f(x)\,\mathrm{d}x&\approx\sum_{k=0}^n a_k f(x_k),\\ a_k&=\frac{2^{n+1}n!\sqrt{\pi}}{H'_{n+1}(x_k)H_n(x_k)}. \end{aligned}\]
\(H_{n}\left(x\right)\) Hermite polynomial:
\[\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}H_n(x)^2\,\mathrm{d}x=2^n n!\sqrt{\pi}\]
递推关系为
\[\begin{aligned} H_{n+1}(x)&=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x),\\ H_0(x)&=1,\\ H_1(x)&=2x. \end{aligned}\]
Gauss-Chebyshev quadrature formula
\[\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x&\approx\sum_{k=0}^n a_k f(x_k),\\ a_k&=\frac{\pi}{n+1},\qquad x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)},\quad k=0,\cdots,n. \end{aligned}\]

5 Nonlinear Equations

以下讨论复杂方程的求根方法.

5.1 Bisection Method

二分法 利用介值定理. 假设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续且 \(f(a)f(b)\lt 0\); 若端点已经为根则直接返回. 取区间中点 \(p_1=\frac{a+b}{2}\)

如果 \(f(p_{1})\) 与 \(f(a)\) 同号, 说明根在右半区间 \((p_{1}, b)\) 内, 更新 \((a_{2}, b_{2}) = (p_{1}, b)\);
如果 \(f(p_{1})\) 与 \(f(b)\) 同号, 说明根在左半区间 \((a, p_{1})\) 内, 更新 \((a_{2}, b_{2}) = (a, p_{1})\).

若中点恰为根则终止; 通常按区间半宽小于指定误差容限终止, 不应等待浮点函数值精确为零. 每次保留异号区间, 其长度减半, 中点到该区间中至少一个根的距离不超过半区间长.

二分法具有全局线形收敛性, 对于振荡, 不光滑函数具有较好效果.

5.2 Fixed-Point Iteration

不动点法 对待求根函数 \(f(x)\), 寻找一个不动点为其根的函数, 即

\[f(p)=0\implies p=g(p).\]

以化为寻找不动点的问题. 选取初始值 \(p_{0}\), 迭代求解:

\[p_n=g(p_{n-1})\]

若迭代收敛且 \(g\) 在极限点连续, 则极限是它的不动点. 必须在所选定义域保证不动点与原方程的根等价; 一般的 \(g\) 并不自动收敛:

\[p=\lim_{n\to\infty}p_n=\lim_{n\to\infty}g(p_n)=g(p)\]

Remark 对于同一个 \(f(x)\), 有很多不同的 \(g(x)\) 选取方法. \(g(x)\) 的选取和迭代的收敛速度有很大关系.

Theorem 压缩映射定理: 若

\(g\) 将区间 \([a,b]\) 映射到自身
\(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导
存在常数 \(0\leq k\lt1\) 使得 \(|g'(x)| \leq k, \forall x \in (a,b)\)

则对于任意初始值 \(p_0 \in [a,b]\), 由 \(p_n = g(p_{n-1})\) 生成的序列必定收敛到 \([a,b]\) 内的唯一不动点 \(p\).

Example 对于方程

\[f(x)=x^3+4x^2-10=0\]

Solution 尝试以下五种 \(g(x)\) 的取值方法:

\[\begin{aligned} &g_1(x)=x-f(x), &&g_2(x)=\left(\frac{10}{x}-4x\right)^{1/2}, &g_3(x)=\frac{1}{2}(10-x^3)^{1/2},\\ &g_4(x)=\left(\frac{10}{4+x}\right)^{1/2}, &&g_5(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}. \end{aligned}\]

取 \(p_{0}=1.5\).

\(n\)	\(g_1(x)\)	\(g_2(x)\)	\(g_3(x)\)	\(g_4(x)\)	\(g_5(x)\)
0	1.5	1.5	1.5	1.5	1.5
1	-0.875	0.8165	1.286953768	1.348399725	1.373333333
2	6.732	2.9969	1.402540804	1.367376372	1.365262015
3	-469.7	\((-8.65)^{1/2}\)	1.345458374	1.364957015	1.365230014
4	\(1.03\times10^8\)		1.375170253	1.365264748	1.365230013
5			1.360094193	1.365225594
6			1.367846968	1.365230576
7			1.363887004	1.365229942
8			1.365916734	1.365230022
9			1.364878217	1.365230012
10			1.365410062	1.365230014
15			1.365223680	1.365230013
20			1.365230236

第一个函数会发散, 第二个函数会迭代到负数开方而在实数范围内失效. 从第三个到第五个函数, 收敛速度会不断变快.

图 5.1 采用本节三次方程例题的第三、第四种不动点映射, 均从 1.5 出发绘制七次迭代. 从对角线上的当前值竖直到蓝色映射曲线, 再水平返回对角线, 得到下一个值. 两者均交替趋近同一根, 右侧收缩更快; 接近根时的步长会在图上重叠. 红线表示算法步骤, 不表示物理运动轨迹. 由本节例题直接计算绘制.

5.3 Newton Method

5.3.1 Newton Method for Simple Roots

Newton method 是另一种求解方程的方法, 其核心思想为在当前位置用切线近似原函数, 将切线与 \(x\) 轴的交点作为下一个近似根.

对于方程 \(f(p)=0\), 函数 \(f(p)\) 可以 Taylor 展开:

\[f(p)=f(p_0)+(p-p_0)f'(p_0)+\frac{(p-p_0)^2}{2}f''(\xi(p))\]

不考虑二阶微分项:

\[p\approx p_0-\frac{f(p_0)}{f'(p_0)}\equiv p_1\]

迭代:

\[p_n=p_{n-1}-\frac{f(p_{n-1})}{f'(p_{n-1})}\]

Remark 若 \(f\in C^2\) 于单根 \(p\) 的邻域、\(f'(p)\ne0\), 且初值足够接近 \(p\), Newton method 至少二阶局部收敛. 迭代中要求 \(f'(p_{n-1})\ne0\); 初值偏离根较远时可能发散或走出定义域.

Remark Newton method 也可以看作不动点迭代. 对于方程 \(f(x)=0\), 定义 Newton map

\[G(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\]

Newton method 的迭代就是 \(p_n=G(p_{n-1})\). 上一节例子中的 \(g_5\) 正是 Newton map.

5.3.2 Newton Method for Multiple Roots

Newton method 求解多重根问题时, 如果采用前面的公式, 收敛速度将变为线性收敛. 为了恢复平方收敛速度, 可以将问题再转换为求单根问题.

例如对于 \(m\geq2\) 重根 \(f(x)=(x-p)^m q(x)\), 假设 \(q(p)\ne0\) 且 \(q\) 在根的邻域足够光滑. 普通 Newton 法的渐近误差因子为 \(1-1/m\); 若 \(m\) 已知, 可用 \(x_{n+1}=x_n-mf(x_n)/f'(x_n)\) 恢复至少二阶局部收敛. 若不使用重数, 定义

\[\mu(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}\]

将问题转化为求解 \(\mu(x)\) 的单根, 可以计算出

\[\begin{aligned} \mu(x)&=\frac{(x-p)q(x)}{mq(x)+(x-p)q'(x)},\\ g(x)&=x-\frac{\mu(x)}{\mu'(x)} =x-\frac{f(x)f'(x)}{f'(x)^2-f(x)f''(x)}. \end{aligned}\]

在 \(p\) 处对 \(\mu\) 作连续延拓, 有 \(\mu(p)=0\)、\(\mu'(p)=1/m\), 因而它是单根. 对 \(\mu\) 使用 Newton 法, 迭代公式为

\[p_{n+1}=p_n-\frac{f(p_n)f'(p_n)}{f'(p_n)^2-f(p_n)f''(p_n)}\]

计算时要求分母非零; 达到根或残差、步长容限后应停止, 避免在多重根处计算 \(0/0\).

5.4 Secant Method

割线法可以看作 Newton method 的离散化版本: 它避免直接计算导数, 而是用两点连线的斜率来近似切线斜率.

割线法中斜率近似为

\[f'(p_{n-1}) =\lim_{x\to p_{n-1}}\frac{f(x)-f(p_{n-1})}{x-p_{n-1}} \approx\frac{f(p_{n-1})-f(p_{n-2})}{p_{n-1}-p_{n-2}}\]

若 \(f(p_{n-1})\ne f(p_{n-2})\), 代入原迭代式

\[p_n=p_{n-1}-\frac{f(p_{n-1})(p_{n-1}-p_{n-2})}{f(p_{n-1})-f(p_{n-2})}\]

图 5.2 采用 \(f(x)=x^3+4x^2-10\), 左右两栏使用同一函数.

图 5.2 比较同一三次函数的求根步骤. 左: Newton 法在初值 1.5 处作切线, 切线与横轴的交点给出下一次近似. 右: 割线法取两个初值 1.1、1.5, 两个函数值的连线与横轴交于新的近似. 每栏只显示一步, 旨在比较所需信息与几何构造, 不用于比较不同初值下的总收敛速度. 由该函数直接计算绘制.

5.5 Aitken Acceleration *

利用 Aitken 加速算法可以加速收敛. 考虑序列 \(p_0, p_1, p_2, \cdots\), 该序列将收敛为 \(p\). 可以构造一个新的序列, 使其收敛速度变快. 假设对于足够大的 \(n\), 有

\[\begin{aligned} \frac{p_{n+1}-p}{p_n-p} &\approx\frac{p_{n+2}-p}{p_{n+1}-p},\\ p &\approx\frac{p_{n+2}p_n-p_{n+1}^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\\ &=p_n-\frac{(p_{n+1}-p_n)^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}. \end{aligned}\]

当 \(\Delta^2p_n\ne0\) 时可构造新的序列 \(\hat{p}_n\). 对渐近线性误差且极限比值 \(\lambda\ne1\) 的序列, 它可消去主导的几何误差项; 并非任意收敛序列都必然加速:

\[\hat{p}_n=p_n-\frac{(p_{n+1}-p_n)^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\]

如果定义

\[\begin{aligned} \Delta p_n&=p_{n+1}-p_n,\\ \Delta^2p_n&=p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n. \end{aligned}\]

可以写成差分形式:

\[\hat{p}_n=p_n-\frac{(\Delta p_n)^2}{\Delta^2p_n}\]

5.6 Steffensen Method *

Steffensen 方法把 Aitken 加速和不动点迭代结合起来, 每轮都对两步迭代作加速. 若 \(g\) 在不动点 \(p\) 邻域足够光滑、\(g'(p)\ne1\), 初值足够接近且下面的分母非零, 通常可获得至少二阶局部收敛; 它不需要显式导数. 若当前点已为不动点则先终止.

从当前近似 \(p_{0}^{(k)}\) 出发, 先做两步不动点迭代:

\[\begin{aligned} p_1^{(k)}&=g(p_0^{(k)}),\\ p_2^{(k)}&=g(p_1^{(k)}). \end{aligned}\]

这三个点利用 Aitken 公式, 计算出加速度的值作为下一轮的起点:

\[p_0^{(k+1)}=\hat{p}_0^{(k)} =p_0^{(k)}-\frac{(p_1^{(k)}-p_0^{(k)})^2}{p_2^{(k)}-2p_1^{(k)}+p_0^{(k)}}\]

再重复上述步骤即可.

5.7 Qin Jiushao Algorithm *

考虑代数多项式:

\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\]

可以将其写作如下形式:

\[P(x)=(\cdots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots+a_1)x+a_0\]

令

\[\begin{aligned} b_n&=a_n,\\ b_k&=a_k+b_{k+1}x_0,\\ b_0&=P(x_0). \end{aligned}\]

考虑多项式:

\[Q(x)=b_nx^{n-1}+b_{n-1}x^{n-2}+\cdots+b_2x+b_1\]

这个多项式是 \(P(x)\) 除以 \((x-x_0)\) 的商, 余数为 \(b_0\), 即

\[P(x)=(x-x_0)Q(x)+b_0\]

求导:

\[\begin{aligned} P'(x)&=Q(x)+(x-x_0)Q'(x),\\ P'(x_0)&=Q(x_0). \end{aligned}\]

再利用 Newton method:

\[x_1=x_0-\frac{P(x_0)}{P'(x_0)}=x_0-\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\]

收敛到根 \(t\) 时, \(P(t)=0\), 此时对应的 \(b_{0}=0\). 于是

\[P(x)=(x-t)Q(x)\]

\(Q(x)\) 在精确代数下保留除去一次重数后的其他根. 可以继续对 \(Q(x)\) 求根以逐次降阶, 但 Newton 法仍需要合适初值, 也可能遇到复根; 用近似根作降阶会传播舍入误差, 宜回到原多项式检查最终根的残差.

5.8 Brent Method *

Brent 算法是一种混合型求根方法. 假设 \(f\) 在初始区间连续, 两端函数值异号(端点为根则先返回). 它保持括根区间, 在割线、逆二次插值和二分法之间选择, 用步长保护获得可靠的区间收缩.

下面采用 \(a,b\) 为括根端点的记号, 始终保持 \(f(a)f(b)\lt0\)、\(|f(b)|\leq|f(a)|\), 而 \(c\) 保留上一轮的 \(b\). 三个点的函数值互异时, 可通过逆二次插值构造候选点(不同实现对 \(a,b,c\) 的命名可能不同):

\[\begin{aligned} x &=\frac{[y-f(a)][y-f(b)]c}{[f(c)-f(a)][f(c)-f(b)]}\\ &\quad+\frac{[y-f(b)][y-f(c)]a}{[f(a)-f(b)][f(a)-f(c)]}\\ &\quad+\frac{[y-f(c)][y-f(a)]b}{[f(b)-f(c)][f(b)-f(a)]}. \end{aligned}\]

\(y=0\) 时可以求解出对应的 \(x\) 值, 解得

\[\begin{aligned} x&=b+\frac{P}{Q},\\ R&=\frac{f(b)}{f(c)},\qquad S=\frac{f(b)}{f(a)},\qquad T=\frac{f(a)}{f(c)},\\ P&=S[T(R-T)(c-b)-(1-R)(b-a)],\\ Q&=(T-1)(R-1)(S-1). \end{aligned}\]

下面要考虑这个计算出的结果 \(x\) 要不要接受, 一般来说, 接受新值的具体条件:

候选点位于当前括根区间 \((\min(a,b),\max(a,b))\) 内; 端点重排后并不保证 \(a\lt b\);
与上次迭代相比, 区间收缩不会太慢.

若三个函数值不互异, 优先退化为割线候选 \(x=b-f(b)(b-a)/(f(b)-f(a))\); 若候选不安全或分母过小, 使用二分法. 上述区间与步长条件只是保护思路, 完整实现还必须保存前两步长度、检查插值步是否足够缩短以及绝对/相对容限, 不能仅凭区间内条件保证 Brent 的收敛界. 可参照 Netlib 的成熟实现.⁴ 放弃插值时使用二分法:

\[x=\frac{a+b}{2}\]

随后再迭代, 更新三个点: 计算

\[y=f(x)\]

若 \(y=0\) 则返回 \(x\); 否则按异号性更新:

如果 \(f(b)\) 与 \(y\) 同号, 新括根端点为 \((a',b')=(a,x)\).
否则新括根端点为 \((a',b')=(x,b)\).

这里括根区间始终按两端点的最小值与最大值理解; 达到区间宽度容限时也应终止.

如果 \(|f(a')| \lt |f(b')|\), 则需要更换 \(a',b'\), 因为要保持 \(f(b')\) 的绝对值最小. 最后再取 \(c' = b\), 重复上面的过程.

5.9 Newton Method for Nonlinear Systems

考虑非线性方程组 \(\mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{0}\) 的求解. 每一步要求当前 Jacobian 可逆; 若解处 Jacobian 可逆、\(\mathbf{F}\) 在其邻域二阶连续可微且初值足够接近, Newton 法至少二阶局部收敛, 并不保证任意初值都成功:

构造 Jacobian matrix:
\[\mathbf{J}(\mathbf{x})= \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\]
令
\[G(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\mathbf{J}(\mathbf{x})^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{x})\]
迭代公式:
\[\mathbf{x}^{(k)} =G(\mathbf{x}^{(k-1)})=\mathbf{x}^{(k-1)}-\mathbf{J}(\mathbf{x}^{(k-1)})^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k-1)}).\]
在实际的求解过程中, 一般不会直接求解 Jacobian matrix 的逆矩阵. 定义 \(\mathbf{y}=\mathbf{x}^{(k)}-\mathbf{x}^{(k-1)}\), 上式化为
\[\mathbf{J}(\mathbf{x}^{(k-1)})\mathbf{y}=-\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k-1)}).\]
求解该线性方程组即可.

Example 求解非线性方程组

\[\begin{aligned} f_1(x_1,x_2,x_3)&=3x_1-\cos(x_2x_3)-\frac{1}{2},\\ f_2(x_1,x_2,x_3)&=x_1^2-81(x_2+0.1)^2+\sin x_3+1.06,\\ f_3(x_1,x_2,x_3)&=\mathrm{e}^{-x_1x_2}+20x_3+\frac{10\pi-3}{3}. \end{aligned}\]

Solution Jacobian matrix 为:

\[\mathbf{J}(x_1,x_2,x_3)= \begin{pmatrix} 3&x_3\sin(x_2x_3)&x_2\sin(x_2x_3)\\ 2x_1&-162(x_2+0.1)&\cos x_3\\ -x_2\mathrm{e}^{-x_1x_2}&-x_1\mathrm{e}^{-x_1x_2}&20 \end{pmatrix}\]

取定初始值 \(\mathbf{x}^{(0)}=(0.1,0.1,-0.1)^{\mathsf{T}}\), 计算得

\[\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(0)})=(-1.19995000042,-2.26983341665,8.46202534572)^{\mathsf{T}}\]

求解线性方程组:

\[\mathbf{J}(\mathbf{x}^{(0)})\mathbf{y}^{(0)}=-\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(0)})\]

求解得

\[\mathbf{y}^{(0)} =\begin{pmatrix} 0.39986967293\\ -0.08053315146\\ -0.42152047194 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}^{(1)} =\mathbf{x}^{(0)}+\mathbf{y}^{(0)} =\begin{pmatrix} 0.49986967293\\ 0.01946684854\\ -0.52152047194 \end{pmatrix}.\]

继续迭代并检验原方程残差:

\(k\)	\(x_1^{(k)}\)	\(x_2^{(k)}\)	\(x_3^{(k)}\)	\(\Vert \mathbf{F}(\mathbf{x}^{(k)})\Vert _\infty\)
2	0.5000142402	0.0015885914	-0.5235569643	0.0258891
3	0.5000001135	0.0000124448	-0.5235984501	0.000201223
4	0.5000000000	\(7.7579\times10^{-10}\)	-0.5235987756	\(1.2543\times10^{-8}\)
5	0.5000000000	\(3.36\times10^{-18}\)	-0.5235987756	\(1.78\times10^{-15}\)

表中残差用未舍入的迭代值计算. 对应精确解为

\[\boxed{\mathbf x_*=(1/2,0,-\pi/6)^{\mathsf T}},\qquad\mathbf F(\mathbf x_*)=\mathbf0,\]

可直接代入三式验证. 这是该初值收敛到的根, 未据此声称全部根已枚举.

5.10 Quasi-Newton Method: Broyden Method *

如果 Jacobian matrix 很难计算, 则需要用近似矩阵 \(\mathbf{A}\) 来代替. 近似矩阵 \(\mathbf{A}\) 需要满足:

割线条件

对于标量函数 \(f(x)\), 割线近似为:
\[f'(x_1)\approx\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\]
对于向量函数, 自然推广为
\[\mathbf{A}_1(\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}) =\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(1)})-\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(0)})\]
记
\[\begin{aligned} \mathbf{s}_1&=\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)},\\ \mathbf{y}_1&=\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(1)})-\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(0)}). \end{aligned}\]
割线条件可以写作
\[\mathbf{A}_1\mathbf{s}_1=\mathbf{y}_1\]
正交条件

对于任意与 \(\mathbf{s}_1\) 正交的向量 \(\mathbf{z}\).
\[\begin{aligned} \mathbf{s}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{z}&=0,\\ \mathbf{A}_1\mathbf{z}&=\mathbf{A}_0\mathbf{z}. \end{aligned}\]

\(\mathbf{A}_1\) 需要满足秩-1 更新:

\[\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_0+\frac{\mathbf{y}_1-\mathbf{A}_0\mathbf{s}_1}{\lVert\mathbf{s}_1\rVert^2}\mathbf{s}_1^{\mathsf{T}}\]

验证正交条件:

\[\mathbf{A}_1\mathbf{z} =\mathbf{A}_0\mathbf{z} +\frac{\mathbf{y}_1-\mathbf{A}_0\mathbf{s}_1}{\lVert\mathbf{s}_1\rVert^2}(\mathbf{s}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{z}) =\mathbf{A}_0\mathbf{z}\]

于是 \(\mathbf{A}_{i}\) 的迭代公式:

\[\mathbf{A}_i=\mathbf{A}_{i-1}+\frac{\mathbf{y}_i-\mathbf{A}_{i-1}\mathbf{s}_i}{\lVert\mathbf{s}_i\rVert^2}\mathbf{s}_i^{\mathsf{T}}\]

\(\mathbf{x}_{i}\) 的迭代公式:

\[\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{A}_i^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{x}^{(i)})\]

\(\mathbf{x}_{i}\) 的迭代中需要求解 \(\mathbf{A}_{i}\) 的逆矩阵, 根据 Sherman-Morrison 公式:

\[\begin{aligned} (\mathbf{A}+\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}})^{-1} &=\mathbf{A}^{-1}-\frac{\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}}{1+\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}},\\ \mathbf{A}_i^{-1} &=\left(\mathbf{A}_{i-1}+\frac{\mathbf{y}_i-\mathbf{A}_{i-1}\mathbf{s}_i}{\lVert\mathbf{s}_i\rVert^2}\mathbf{s}_i^{\mathsf{T}}\right)^{-1}\\ &=\mathbf{A}_{i-1}^{-1} +\frac{(\mathbf{s}_i-\mathbf{A}_{i-1}^{-1}\mathbf{y}_i)\mathbf{s}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{A}_{i-1}^{-1}}{\mathbf{s}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{A}_{i-1}^{-1}\mathbf{y}_i}. \end{aligned}\]

上述公式用于更新近似逆矩阵, 可节省重复求逆的计算量, 本身不改变算法的收敛阶. 它要求 \(\mathbf{A}_{i-1}\) 可逆且 \(\mathbf{s}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{A}_{i-1}^{-1}\mathbf{y}_i\ne0\); 秩-1 更新还要求 \(\mathbf{s}_i\ne0\). 若分母过小应重建近似矩阵或跳过更新. 也可直接求解 \(\mathbf{A}_i\Delta\mathbf{x}=-\mathbf{F}\) 而不显式求逆.

Example 求解非线性方程组

\[\mathbf{g}(x,y,z)= \begin{pmatrix} x^2+y^2+z^2-3\\ x^2+y^2-z-1\\ x+y+z-3 \end{pmatrix}\]

初始值:

\[\mathbf{x}^{(0)}=(x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})^{\mathsf{T}}=(1,0,1)^{\mathsf{T}}\]

Solution 取 \(\mathbf{A}_0=\mathbf{J}(\mathbf{x}^{(0)})\). Jacobian matrix 为:

\[\mathbf{J}(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2x&2y&2z\\ 2x&2y&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\]\[\begin{aligned} \mathbf{J}(\mathbf{x}^{(0)})(\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)})&=-\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(0)}),\\ \mathbf{x}^{(1)}&=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},1\right)^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]\[\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_0+\frac{\mathbf{y}_1-\mathbf{A}_0\mathbf{s}_1}{\lVert\mathbf{s}_1\rVert^2}\mathbf{s}_1^{\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2}&\frac{1}{2}&2\\ \frac{5}{2}&\frac{1}{2}&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\]

再迭代:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}_1(\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)})&=-\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(1)}),\\ \mathbf{x}^{(2)}&=\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4},1\right)^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]

这两步是迭代示范, 尚未达到最终解. 从前两式相减得 \(z^2+z-2=0\), 故 \(z=1\) 或 \(-2\); 后者使 \(x^2+y^2=-1\), 无实解. 当 \(z=1\) 时, \(x+y=2\)、\(x^2+y^2=2\), 从而

\[\boxed{(x,y,z)=(1,1,1)}\]

是唯一实根. 该根处 Jacobian 的前两列相同, 矩阵奇异; 因而不能直接将要求根处 Jacobian 非奇异的局部超线性收敛结论套用于本例.

6 Optimization Problems *

优化问题是在指定约束或定义域内寻找目标函数的极小或极大值. 本章的梯度法与 Nelder-Mead 法主要用于局部无约束极小化, 一般不保证全局最优; 线性规划在可行且有界时可求全局最优.

6.1 Fletcher-Reeves Algorithm *

FR(Fletcher-Reeves) 算法是非线性共轭梯度法, 常用于大规模无约束优化. 它只使用函数值及一阶梯度, 不需要显式计算或存储 Hessian matrix. 对正定二次目标配合精确线搜索时, 它与线性共轭梯度法一致, 搜索方向关于固定 Hessian 共轭; 对一般非线性函数不能直接断言各方向严格共轭.

对于一般可微函数 \(f(x)\), 求解其极小值.

初始化:

\[p_0=-\nabla f(x_0)\]

现在要沿着 \(p_k\) 方向寻找合适的步长 \(t_k\), 使得 \(f(x)\) 下降最多. 迭代公式:

\[x_{k+1}=x_k+t_kp_k\]

定义

\[\beta_{k+1}^{\mathrm{FR}}=\frac{\lVert\nabla f(x_{k+1})\rVert^2}{\lVert\nabla f(x_k)\rVert^2}\]

新方向:

\[p_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+\beta_{k+1}^{\mathrm{FR}}p_k\]

\(t_k>0\) 一般采用一维线搜索来确定, 不必求整条射线上的精确最小值. 为保持 FR 的下降方向, 常用强 Wolfe 条件:

\[\begin{aligned} f(x_k+t_kp_k)&\leq f(x_k)+c_1t_k\nabla f(x_k)^{\mathsf{T}}p_k,\\ |\nabla f(x_k+t_kp_k)^{\mathsf{T}}p_k|&\leq c_2|\nabla f(x_k)^{\mathsf{T}}p_k|,\qquad 0\lt c_1\lt c_2\lt\tfrac12. \end{aligned}\]

若方向不再满足 \(\nabla f(x_k)^{\mathsf{T}}p_k\lt0\), 可重启为 \(p_k=-\nabla f(x_k)\). 梯度已经为零时应停止, 避免计算 \(\beta\) 的零分母.

继续迭代条件:

\[\lVert\nabla f(x_k)\rVert>\varepsilon\]

6.2 Linear Conjugate Gradient Method *

线性共轭梯度法适用于实对称正定矩阵 \(\mathbf{A}\) 所定义的二次函数:

\[f(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{b}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}+c\]

于是

\[\nabla f=0\implies\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{b}=0\]

问题转化为求解线性方程组.

初始化:

\[\begin{aligned} \mathbf{r}_0&=\mathbf{A}\mathbf{x}_0-\mathbf{b},\\ \mathbf{p}_0&=-\mathbf{r}_0. \end{aligned}\]

沿当前方向作精确线搜索. 由

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\mathbf{x}_k+t\mathbf{p}_k) =\langle\mathbf{r}_k,\mathbf{p}_k\rangle+t\langle\mathbf{p}_k,\mathbf{A}\mathbf{p}_k\rangle=0,\]

得到步长

\[t_k=-\frac{\langle\mathbf{r}_k,\mathbf{p}_k\rangle}{\langle\mathbf{p}_k,\mathbf{A}\mathbf{p}_k\rangle}.\]

初始方向为 \(-\mathbf{r}_0\), 所以非零梯度下 \(t_0>0\).

按 \(\mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{x}_k+t_k\mathbf{p}_k\)、\(\mathbf{r}_{k+1}=\mathbf{r}_k+t_k\mathbf{A}\mathbf{p}_k\) 的顺序更新位置和梯度残差, 检查残差容限后再计算方向系数, 并令 \(\mathbf{p}_{k+1}=-\mathbf{r}_{k+1}+\beta_{k+1}\mathbf{p}_k\). 这里 \(\mathbf{r}_k=\mathbf{A}\mathbf{x}_k-\mathbf{b}\); 若改用方程残差 \(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}_k\), 残差及其更新式整体反号, 但实际搜索方向不变.

由共轭条件 \(\langle\mathbf{p}_{k+1},\mathbf{A}\mathbf{p}_k\rangle=0\) 得到相应方向系数. 在精确算术下, 残差互相正交、方向关于 \(\mathbf{A}\) 共轭, 并有

\[t_k=\frac{\lVert\mathbf{r}_k\rVert^2}{\langle\mathbf{p}_k,\mathbf{A}\mathbf{p}_k\rangle},\qquad \beta_{k+1}=\frac{\lVert\mathbf{r}_{k+1}\rVert^2}{\lVert\mathbf{r}_k\rVert^2}.\]

这些步长与方向系数正是 FR 法在正定二次目标和精确线搜索下的形式. \(n\) 维问题至多 \(n\) 步到达解; 浮点计算可能因失去正交性而需要更多步. 达到残差容限后停止, 不应继续计算零方向或零分母.

6.3 Quasi-Newton Optimization *

一维情形可对驻点方程 \(f'(x)=0\) 使用 Newton method. 这不自动判定极小值: 若极限驻点处 \(f''(x)>0\) 则可判定它是严格局部极小值; 迭代还要求分母非零并需局部收敛条件. 公式为:

\[x_{k+1}=x_k-\frac{f'(x_k)}{f''(x_k)}\]

多维情形可以使用 Newton 或 quasi-Newton method. 若 \(f\in C^2\), 在 \(\mathbf{x}_k\) 附近的 Taylor 展开为

\[f(\mathbf{x}_k+\Delta\mathbf{x}_k) =f(\mathbf{x}_k)+\nabla f(\mathbf{x}_k)^{\mathsf{T}}\Delta\mathbf{x}_k +\frac{1}{2}\Delta\mathbf{x}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{H}(\mathbf{x}_k)\Delta\mathbf{x}_k +o(\lVert\Delta\mathbf{x}_k\rVert^2).\]

其中 \(\mathbf{H}\) 为 Hessian matrix:

\[\mathbf{H}(\mathbf{x})= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}\]

一般我们选用近似矩阵 \(\mathbf{B}\) 来代替 Hessian matrix.

\[\nabla f(\mathbf{x}_k+\Delta\mathbf{x}_k)\approx\nabla f(\mathbf{x}_k)+\mathbf{B}_k\Delta\mathbf{x}_k\]

求解线性方程组 \(\mathbf{B}_k\mathbf{p}_k=-\nabla f(\mathbf{x}_k)\), 并通过线搜索选取 \(t_k>0\), 令 \(\Delta\mathbf{x}_k=t_k\mathbf{p}_k\). 迭代为

\[\mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{x}_k+\Delta\mathbf{x}_k.\]

若 \(\mathbf{B}_k\) 对称正定且梯度非零, 则 \(\nabla f(\mathbf{x}_k)^{\mathsf{T}}\mathbf{p}_k\lt0\), 因而 \(\mathbf{p}_k\) 是下降方向. 非凸问题中的不定近似矩阵需要修正或其他步长保护.

但现在近似矩阵 \(\mathbf{B}\) 还是未知的, 需要其他条件去计算得到 \(\mathbf{B}\) 的迭代关系, 不同的算法给出了不同的计算过程.

6.4 Broyden Algorithm *

这里将求非线性方程组的 Broyden 秩-1 更新用于 \(\nabla f=0\), 近似 Jacobian 为 \(\mathbf{B}_k\). 更新满足割线条件 \(\mathbf{B}_{k+1}\mathbf{s}_k=\mathbf{y}_k\), 但通常不保持 \(\mathbf{B}_k\) 的对称性或正定性, 因而不能仅凭它保证极小化的下降方向. 它也不等同于优化中保持对称性的 Broyden 更新族. 更新及逆更新为

\[\begin{aligned} \mathbf{B}_{k+1}&=\mathbf{B}_k+\frac{(\mathbf{y}_k-\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k)\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}}{\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k},\\ \mathbf{B}_{k+1}^{-1}&=\mathbf{B}_k^{-1}+\frac{(\mathbf{s}_k-\mathbf{B}_k^{-1}\mathbf{y}_k)\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k^{-1}}{\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k^{-1}\mathbf{y}_k} \end{aligned}\]

其中

\[\begin{aligned} \mathbf{s}_k&=\Delta(\mathbf{x}_k)=\mathbf{x}_{k+1}-\mathbf{x}_k,\\ \mathbf{y}_k&=\nabla f(\mathbf{x}_{k+1})-\nabla f(\mathbf{x}_k). \end{aligned}\]

上述秩-1 更新要求 \(\mathbf{s}_k\ne0\). 逆更新还要求 \(\mathbf{B}_k\) 可逆且 \(\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k^{-1}\mathbf{y}_k\ne0\); 分母过小时不应直接使用.

6.5 BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) Algorithm *

BFGS 算法对 Hessian 近似作秩-2 更新. 以下假设 \(\mathbf{B}_k\) 对称正定且 \(\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k>0\), 其中 \(\mathbf{s}_k=\mathbf{x}_{k+1}-\mathbf{x}_k\)、\(\mathbf{y}_k=\nabla f(\mathbf{x}_{k+1})-\nabla f(\mathbf{x}_k)\). 这两个条件保证下式分母非零, 并使更新后的矩阵仍对称正定:

\[\mathbf{B}_{k+1}=\mathbf{B}_k+\alpha\mathbf{u}\mathbf{u}^{\mathsf{T}}+\beta\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}\]

选择

\[\mathbf{u}=\mathbf{y}_k,\qquad\mathbf{v}=\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k\]

于是割线条件可以写作

\[\mathbf{B}_{k+1}\mathbf{s}_k=\mathbf{y}_k\]

代入 \(\mathbf{B}_{k+1}\) 得

\[\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k +\alpha\mathbf{y}_k(\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k) +\beta(\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k)(\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k) =\mathbf{y}_k\]

可以看到

\[\begin{aligned} \alpha&=\frac{1}{\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k},\\ \beta&=-\frac{1}{\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k}. \end{aligned}\]

得到 \(\mathbf{B}_{k}\) 的迭代公式:

\[\mathbf{B}_{k+1} =\mathbf{B}_k +\frac{\mathbf{y}_k\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}}{\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k} -\frac{\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k^{\mathsf{T}}}{\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k\mathbf{s}_k}\]

逆矩阵:

\[\mathbf{B}_{k+1}^{-1} =\mathbf{B}_k^{-1} +\frac{(\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{y}_k+\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k^{-1}\mathbf{y}_k)\mathbf{s}_k\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}}{(\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{y}_k)^2} -\frac{\mathbf{B}_k^{-1}\mathbf{y}_k\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}+\mathbf{s}_k\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{B}_k^{-1}}{\mathbf{s}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{y}_k}\]

下降方向配合 Wolfe 线搜索可保证 \(\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k>0\): 由 \(\mathbf{s}_k=t_k\mathbf{p}_k\) 和曲率条件得

\[\mathbf{y}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{s}_k =t_k[\nabla f(\mathbf{x}_{k+1})-\nabla f(\mathbf{x}_k)]^{\mathsf{T}}\mathbf{p}_k \geq t_k(c_2-1)\nabla f(\mathbf{x}_k)^{\mathsf{T}}\mathbf{p}_k>0,\qquad0\lt c_2\lt1.\]

若数值计算未满足曲率条件, 应跳过或阻尼该次更新, 不能直接使用零分母或负曲率更新.

6.6 Linear Programming and the Simplex Method *

线性规划问题是在一组线性约束下优化线性目标函数. 标准形式可写为

\[\max z=\mathbf{c}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}, \qquad \mathbf{A}\mathbf{x}\leq \mathbf{b}, \qquad \mathbf{x}\geq 0.\]

可行域是凸多面体. 对上式含非负约束的形式, 若可行且目标有有限最优值, 至少有一个最优解位于顶点. 单纯形法从基本可行解出发作换基, 通常移到目标值更好的相邻顶点; 退化换基也可能保持同一顶点及目标值, 需要防循环规则.

下面的单纯形表采用目标行 \(z-\mathbf{c}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}=0\) 的符号约定. 若 \(\mathbf{b}\geq0\), 松弛变量构成初始基本可行解; 否则应先用第一阶段法等方法寻找基本可行解, 无可行解时终止. 在已有基本可行解的前提下, 步骤为:

把不等式约束加松弛变量, 化为等式约束.
建立初始单纯形表.
进入变量: 目标行中最负的系数所在列.
离开变量: 对进入列正系数作最小非负比值 \(b_i/a_{ij}\). 若该列没有正系数且其目标系数为负, 则目标沿该方向无界. 退化时可采用 Bland 等防循环选取规则.
主元行归一化, 并消去进入列其他元素.
若目标行所有系数非负, 当前解最优; 否则继续迭代.

Example 求

\[\max f=4x_1+6x_2\]

在约束

\[-x_1+x_2\leq 11, \qquad x_1+x_2\leq 27, \qquad 2x_1+5x_2\leq 90, \qquad x_1,x_2\geq0\]

下的最大值.

Solution 加松弛变量:

\[-x_1+x_2+s_1=11, \qquad x_1+x_2+s_2=27, \qquad 2x_1+5x_2+s_3=90.\]

初始单纯形表为

\(x_1\)	\(x_2\)	\(s_1\)	\(s_2\)	\(s_3\)	\(b\)
\(-1\)	1	1	0	0	11
1	1	0	1	0	27
2	5	0	0	1	90
\(-4\)	\(-6\)	0	0	0	0

进入列为 \(x_2\), 因为目标行中 \(-6\) 最负. 比值为

\[\frac{11}{1}=11, \qquad \frac{27}{1}=27, \qquad \frac{90}{5}=18.\]

最小非负比值在第一行, 主元为 1. 对主元列作行变换后继续迭代. 最终单纯形表可化为

\(x_1\)	\(x_2\)	\(s_1\)	\(s_2\)	\(s_3\)	\(b\)
0	1	0	\(-2/3\)	\(1/3\)	12
0	0	1	\(7/3\)	\(-2/3\)	14
1	0	0	\(5/3\)	\(-1/3\)	15
0	0	0	\(8/3\)	\(2/3\)	132

因此最优解为

\[(x_1,x_2)=(15,12), \qquad f_{\max}=132.\]

6.7 Nelder-Mead Downhill Simplex Method *

下山单纯形法的核心思路十分直观, 可以理解为在 \(N\) 维空间中构造了一个可以伸缩变形的探针来寻找最低点. 算法计算单纯形每个顶点的函数值, 并通过反射, 扩张, 收缩和缩小四种操作, 让单纯形在解空间中不断移动变形, 逐渐向函数值最小的区域移动.

设目标函数 \(f:\mathbb R^n\to\mathbb R\), 取 \(n+1\) 个仿射无关顶点 \(x_1,\cdots,x_{n+1}\) 构成初始单纯形. 本节 \(x_i\in\mathbb R^n\) 表示整个顶点向量, 而非函数的第 \(i\) 个自变量.

首先对顶点函数值排序:

\[f(x_1)\leq f(x_2)\leq\cdots\leq f(x_{n+1})\]

\(f(x_{n+1})\) 是最大的, 因此是最差点. 计算除最差点以外的其余 \(n\) 个点的中心:

\[x_0=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]

反射
\[x_r=x_0+\alpha(x_0-x_{n+1})\]
若 \(f(x_1) \leq f(x_r) \lt f(x_n)\), 用 \(x_{n+1} \rightarrow x_r\), 重复过程;

若 \(f(x_r) \lt f(x_1)\), 进行扩张操作; 若 \(f(x_r) \geq f(x_n)\), 进行收缩操作.
扩张
\[x_e=x_0+\gamma(x_r-x_0)\]
若 \(f(x_{e})\lt f(x_{r})\), 则用 \(x_{e}\) 替换 \(x_{n+1}\), 说明扩张成功; 否则扩张失败, 保留反射点, 用 \(x_{r}\) 替换 \(x_{n+1}\), 重复过程.
收缩

有两种情况:

(a) 如果 \(f(x_{r})\lt f(x_{n+1})\), 说明反射点比最差点更好, 进行外部收缩:
\[x_c=x_0+\rho(x_r-x_0)\]
若 \(f(x_{c}) \leq f(x_{r})\), 则用 \(x_{c}\) 替换 \(x_{n+1}\), 重复过程; 否则收缩失败, 进行缩小操作.

(b) 如果 \(f(x_{r}) \geq f(x_{n+1})\), 说明反射点比最差点更差, 进行内部收缩:
\[x_c=x_0+\rho(x_{n+1}-x_0)\]
若 \(f(x_{c})\lt f(x_{n+1})\), 则用 \(x_{c}\) 替换 \(x_{n+1}\), 重复过程; 否则收缩失败, 进行缩小操作.
缩小

如果收缩失败, 说明当前单纯形的形状不理想, 需要进行缩小操作:
\[x_i=x_1+\sigma(x_i-x_1),\qquad i=2,3,\cdots,n+1\]
然后重复上述过程.

参数的选择有一个经典值:

\[\alpha=1,\qquad\gamma=2,\qquad\rho=0.5,\qquad\sigma=0.5\]

这些默认值在很多实际问题中表现良好, 但在特定问题中可能需要调整. 实现时同时检查单纯形直径和顶点函数值差, 并设置最大迭代或函数评估次数. 即使单纯形缩到一点, 也不能一般地据此证明已到达驻点或全局极小值; Nelder-Mead 有收敛到非极小点的反例.⁵

References

SciPy, Akima1DInterpolator, C1 光滑性说明及 Notes 中的节点导数权重公式. ↩︎
NIST, DLMF §3.4 Differentiation, 插值微分与三点公式. ↩︎
NIST, DLMF §3.5 Quadrature, Simpson、Romberg 与 Gaussian 求积. ↩︎ ↩︎
Netlib, zeroin.f, Brent 算法的实现, 包含割线退化、逆二次插值及步长保护. ↩︎
J. C. Lagarias, J. A. Reeds, M. H. Wright and P. E. Wright, Convergence Properties of the Nelder-Mead Simplex Method in Low Dimensions, SIAM Journal on Optimization 9(1), 112–147 (1998), 引言及算法描述. ↩︎

Computational Physics - 3

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

7 Eigenvalue Problems

在解决实际物理问题的过程中, 经常需要求解矩阵的本征值和本征向量, 例如在量子力学中, 哈密顿算符的本征值对应系统的能量, 而本征向量则对应系统的状态. 本征值问题可以写作

\[\mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\]\[\begin{aligned} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &= \lambda x_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &= \lambda x_{2},\\ &\vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n &= \lambda x_n, \end{aligned}\]\[\Longrightarrow (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{x} = 0\]

即要求行列式:

\[\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0\]

求出方程的根, 得到本征值

\[\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\]

每个本征值对应一个或多个线性无关的本征向量.

本征值满足关系:

\[\begin{aligned} \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n &= \operatorname{tr}(\mathbf{A}),\\ \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n &= \det(\mathbf{A}). \end{aligned}\]

实对称矩阵正交相似于对角矩阵, 即存在一个正交矩阵 \(\mathbf{S}\) 使得

\[\mathbf{S}^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{S} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)\]

其中 \(\mathbf{S}\) 为正交矩阵, 它就是由 \(\mathbf{A}\) 的本征向量组成的矩阵. 对于实对称矩阵, 所有的本征值都是实数, 并且对应的本征向量可以选择为相互正交的. \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\) 即为 \(\mathbf{A}\) 的本征值.

7.1 Jacobi Method

Jacobi 方法是求解实对称矩阵本征值问题的经典算法. 它通过一系列的旋转操作来逐步将矩阵对角化. 其中每一次旋转可以看作是一个二维平面内的旋转, 目的是消除矩阵中的一对非对角元素.

旋转矩阵:

\[\mathbf{S}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \cos\theta & \cdots & \sin\theta & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & -\sin\theta & \cdots & \cos\theta & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\]

可以看到

\[\begin{aligned} s_{kk} &= s_{ll} = \cos\theta,\\ s_{kl} &= -s_{lk} = \sin\theta,\\ s_{ii} &= 1,\quad i \neq k,l,\\ s_{ij} &= 0,\quad i \neq j,\quad (i,j)\notin\{(k,l),(l,k)\}. \end{aligned}\]

其中 \(\theta\) 为旋转角度, 旋转作用于第 \(k\) 行和第 \(l\) 行. 通过选择合适的 \(\theta\), 可以将矩阵 \(\mathbf{A}\) 中的第 \(k\) 行第 \(l\) 列的元素消除为零. 下面来计算这个合适的角度 \(\theta\).

考虑矩阵

\[\mathbf{B} = \mathbf{S}^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{S}\]

矩阵 \(\mathbf{B}\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为

\[\begin{aligned} b_{ii} &= a_{ii},\quad i \neq k,l,\\ b_{ik} &= a_{ik}\cos\theta - a_{il}\sin\theta,\quad i \neq k,l,\\ b_{il} &= a_{il}\cos\theta + a_{ik}\sin\theta,\quad i \neq k,l,\\ b_{kk} &= a_{kk}\cos^2\theta + a_{ll}\sin^2\theta - 2a_{kl}\sin\theta\cos\theta,\\ b_{ll} &= a_{ll}\cos^2\theta + a_{kk}\sin^2\theta + 2a_{kl}\sin\theta\cos\theta,\\ b_{kl} &= (a_{kk} - a_{ll})\sin\theta\cos\theta + a_{kl}(\cos^2\theta - \sin^2\theta). \end{aligned}\]

要消除第 \(k\) 行第 \(l\) 列的元素, 即 \(b_{kl}=0\), 可以得到

\[\tan 2\theta = \frac{2a_{kl}}{a_{ll} - a_{kk}}\]

当 \(a_{kk}=a_{ll}\) 且 \(a_{kl}\neq0\) 时, 可取 \(\theta=\pi/4\); 若 \(a_{kl}=0\), 则无需旋转. 通过不断选择当前矩阵中绝对值最大的非对角元素进行旋转, 可以逐步将矩阵对角化, 最终得到其本征值.

7.2 Householder Transformation

对于实对称矩阵 \(\mathbf{A}\), 存在相似变换:

\[\mathbf{S}_1^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{S}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & e_1 & 0 & \cdots & 0\\ e_1 & a'_{22} & a'_{23} & \cdots & a'_{n2}\\ 0 & a'_{32} & a'_{33} & \cdots & a'_{n3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a'_{n2} & a'_{n3} & \cdots & a'_{nn} \end{pmatrix}\]

即将矩阵 \(\mathbf{A}\) 的第一列(除前两个元素外)消除为零. 以此类推, 最后可以得到一个三对角矩阵:

\[\mathbf{S}^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{S} = \begin{pmatrix} a_{11} & e_1 & 0 & \cdots & 0\\ e_1 & a'_{22} & e_2 & \cdots & 0\\ 0 & e_2 & a''_{33} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^{(n-1)}_{nn} \end{pmatrix}\]

下面按步骤构造 Householder 矩阵 \(\mathbf{S}\) 来实现上述相似变换.

定义 Householder 反射矩阵
\[\mathbf{P} = \mathbf{I} - 2\mathbf{w}\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\]
其中 \(\mathbf{w}\) 是单位向量 \(\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\mathbf{w} = 1\).
构造分块矩阵
\[\mathbf{S}_1 = \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}}\\ \mathbf{0} & \mathbf{P} \end{pmatrix}\]
对原矩阵 \(\mathbf{A}\) 作相似变换:
\[\mathbf{S}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{S}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & \mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{P}\\ \mathbf{P}\mathbf{v} & \mathbf{A}' \end{pmatrix}\]
其中
\[\mathbf{v} = \left(a_{21}, a_{31}, \cdots, a_{n1}\right)^{\mathsf{T}}.\]
若 \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\), 该列无需消元, 直接取 \(\mathbf{S}_1=\mathbf{I}\), 跳过本次反射的构造. 以下推导假设 \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\).
选取 \(\mathbf{w}\), 使 \(\mathbf{v}\) 的后 \(n-2\) 个元素被消去:
\[\mathbf{P}\mathbf{v} = (\alpha, 0, 0, \cdots, 0)^{\mathsf{T}} = \alpha\mathbf{e},\]
其中 \(\mathbf{e}=(1,0,0,\cdots,0)^{\mathsf{T}}\), \(\alpha\) 为某个实数.
利用 Householder 反射保持向量范数的性质求 \(\alpha\):
\[(\mathbf{P}\mathbf{v})^{\mathsf{T}}\mathbf{P}\mathbf{v} = \alpha^2 = \mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{v} = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 \implies \alpha^2 = \sum_{i=2}^n a_{i1}^2.\]
由反射公式反推 \(\mathbf{w}\):
\[\mathbf{P}\mathbf{v} = \mathbf{v} - 2\mathbf{w}(\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}) = \alpha\mathbf{e} \implies \mathbf{v} - \alpha\mathbf{e} = 2\mathbf{w}(\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}).\]
因此
\[\mathbf{w} = \frac{\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e}}{2\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}}.\]
令 \(\beta=\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}\), 求出归一化因子:
\[\beta = \mathbf{w}^{\mathsf{T}}\mathbf{v} = \frac{(\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e})^{\mathsf{T}}\mathbf{v}}{2\beta} \implies 2\beta^2 = (\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e})^{\mathsf{T}}\mathbf{v}.\]
又因为
\[\mathbf{e}^{\mathsf{T}}\mathbf{v} = a_{21}, \qquad \mathbf{v}^{\mathsf{T}}\mathbf{v} = \alpha^2 \implies 2\beta^2 = \alpha^2 - \alpha a_{21} \implies \beta = \pm \sqrt{\frac{\alpha^2 - \alpha a_{21}}{2}}.\]
为避免相减消去有效数字, 当 \(a_{21}\geq0\) 时取 \(\alpha=-\|\mathbf{v}\|_2\), 否则取 \(\alpha=\|\mathbf{v}\|_2\). 这样也明确了 \(a_{21}=0\) 时的选择. 由此得到
\[\mathbf{P} = \mathbf{I} - 2\mathbf{w}\mathbf{w}^{\mathsf{T}} \implies \mathbf{P} = \mathbf{I} - 2\frac{(\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e})(\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e})^{\mathsf{T}}}{(\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e})^{\mathsf{T}}(\mathbf{v} - \alpha\mathbf{e})}.\]
第一次 Householder 相似变换为
\[\mathbf{A}^{(2)} = \mathbf{S}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{S}_1.\]

下面按步骤写出第 \(k\) 次 Householder 迭代, 其中 \(k=1,\cdots,n-2\).

在当前矩阵 \(\mathbf{A}^{(k)}\) 中, 计算待消去列的范数:
\[\alpha^2 = \sum_{i=k+1}^n \left(a_{ik}^{(k)}\right)^2.\]
若该范数为零, 直接取 \(\mathbf{S}_k=\mathbf{I}\), 令 \(\mathbf{A}^{(k+1)}=\mathbf{A}^{(k)}\), 然后处理下一列; 不计算本步的归一化因子或反射向量. 否则, 当 \(a_{k+1,k}^{(k)}\geq0\) 时取 \(\alpha\) 为负的列范数, 否则取正值.
计算归一化因子
\[\beta = \pm \sqrt{\frac{\alpha^2 - \alpha a_{k+1,k}^{(k)}}{2}}.\]
构造向量 \(\mathbf{w}^{(k)}\). 为不改变前面已经消好的列, 令其前 \(k\) 个元素为零, 后续元素与第一次构造相同:
\[\begin{aligned} w_1^{(k)} &= w_2^{(k)} = \cdots = w_k^{(k)} = 0,\\ w_{k+1}^{(k)} &= \frac{a_{k+1,k}^{(k)} - \alpha}{2\beta},\\ w_i^{(k)} &= \frac{a_{ik}^{(k)}}{2\beta},\quad i = k+2, k+3, \cdots, n. \end{aligned}\]
定义第 \(k\) 次 Householder 反射矩阵
\[\mathbf{P}^{(k)} = \mathbf{I} - 2\mathbf{w}^{(k)}\left(\mathbf{w}^{(k)}\right)^{\mathsf{T}}\]
由于 \(\mathbf{w}^{(k)}\) 已是前 \(k\) 个分量为零的 \(n\) 维向量, \(\mathbf{P}^{(k)}\) 已在前 \(k\) 个坐标上保持不变. 因此直接取相似变换矩阵
\[\mathbf{S}_k = \mathbf{P}^{(k)}.\]
施加相似变换并累积所有 Householder 变换:
\[\begin{aligned} \mathbf{A}^{(k+1)} &= \mathbf{S}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{(k)}\mathbf{S}_k\\ &= \mathbf{S}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{S}_{k-1}^{\mathsf{T}}\cdots\mathbf{S}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{S}_1\cdots\mathbf{S}_{k-1}\mathbf{S}_k. \end{aligned}\]

实对称矩阵最终可以化为三对角矩阵;

非对称矩阵可以化为上 Hessenberg 矩阵, 即第一条次对角线以下的元素全为零.

7.3 QR Decomposition

QR 迭代利用正交相似变换求解本征值问题. 对于一个实对称矩阵 \(\mathbf{A}\), 可以进行 QR 分解:

\[\mathbf{A} = \mathbf{Q} \mathbf{R}\]

其中 \(\mathbf{Q}\) 是一个正交矩阵, \(\mathbf{R}\) 是一个上三角矩阵. 通过交换 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 的位置, 可以得到一个新的矩阵. 定义

\[\mathbf{A}^{(k+1)} = \mathbf{R}^{(k)}\mathbf{Q}^{(k)}\]

于是

\[\mathbf{A}^{(k+1)} = \left(\mathbf{Q}^{(k)}\right)^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{(k)}\mathbf{Q}^{(k)}\]

Proposition QR 迭代保持本征值不变.

Proof 因为 \(\mathbf{Q}^{(k)}\) 为正交矩阵, 所以 \(\left(\mathbf{Q}^{(k)}\right)^{\mathsf{T}}=\left(\mathbf{Q}^{(k)}\right)^{-1}\). 由

\[\mathbf{A}^{(k+1)} = \left(\mathbf{Q}^{(k)}\right)^{-1} \mathbf{A}^{(k)} \mathbf{Q}^{(k)}\]

可知, \(\mathbf{A}^{(k+1)}\) 与 \(\mathbf{A}^{(k)}\) 相似, 因此本征值不变.

无位移 QR 的收敛需要谱分离和初始子空间的适当条件, 不能仅由相似性保证. 对实对称矩阵, 在收敛时极限为对角矩阵; 若有正负等模本征值, 迭代可能停留在非对角块, 例如 \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). 一般实非对称矩阵有复共轭本征值时, 实 QR 的目标是含 \(2\times2\) 对角块的实 Schur 形式.

对于实对称矩阵, 通常先将其化为三对角矩阵, 然后再进行 QR 迭代, 这样可以提高效率. 这一步通常采用 Householder 相似变换; Jacobi 旋转本身则提供逐步对角化的另一种算法.

常见旋转/反射方法的作用如下:

Jacobi 旋转: 针对实对称矩阵的特定非对角元素, 用相似变换逐步对角化.
Givens 旋转: 更一般的二维旋转, 可用于任何矩阵的 QR 分解, 用来消除指定元素.
Householder 变换: 通过反射一次消去一列中的多个元素, 也可用于 QR 分解.

旋转矩阵的形式与 Jacobi 旋转是一样的:

最终使得

\[(\mathbf{S}\mathbf{A})_{ij} = 0\]

于是问题又变为如何求解合适的旋转角度 \(\theta\), 这是相对简单的. 我们的旋转目标是:

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{jj}\\ a_{ij} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} r\\ 0 \end{pmatrix},\\ r &= \sqrt{a_{ij}^2 + a_{jj}^2}. \end{aligned}\]

可以得到

\[\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{a_{ij}}{a_{jj}},\\ \sin\theta &= \frac{a_{ij}}{\sqrt{a_{ij}^2+a_{jj}^2}},\\ \cos\theta &= \frac{a_{jj}}{\sqrt{a_{ij}^2+a_{jj}^2}}. \end{aligned}\]

若 \(r=0\), 两个待处理分量均为零, 直接取单位旋转; 否则用上述 \(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\) 构造旋转, 不必先计算可能分母为零的 \(\tan\theta\).

Example 考虑矩阵

\[\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\]

Solution 构造 Givens 旋转矩阵 \(\mathbf{S}_{1}\), 使得 \((\mathbf{S}_{1}\mathbf{A})_{21}=0\).

\[\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{1}{3},\\ \mathbf{S}_1 &= \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]\[\begin{aligned} \mathbf{A}_2 &= \mathbf{S}_1\mathbf{A}_1\\ &= \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \sqrt{10} & \frac{3\sqrt{10}}{5} & \frac{\sqrt{10}}{10}\\ 0 & \frac{4\sqrt{10}}{5} & \frac{3\sqrt{10}}{10}\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

再把 \((3,2)\) 元素变为 0, 过程同理

\[\mathbf{A}_3 = \mathbf{S}_2\mathbf{A}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{10} & \frac{3\sqrt{10}}{5} & \frac{\sqrt{10}}{10}\\ 0 & 2.7203 & 1.9851\\ 0 & 0 & 2.4412 \end{pmatrix}\]

于是可以进行 QR 分解:

\[\mathbf{Q} = \mathbf{S}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{S}_2^{\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} 0.94868 & -0.29409 & 0.11625\\ 0.31623 & 0.88226 & -0.34874\\ 0 & 0.36761 & 0.92998 \end{pmatrix}\]

迭代:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}^{(2)} &= \mathbf{R}\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} 3.6 & 0.86023 & 0\\ 0.86023 & 3.12973 & 0.89740\\ 0 & 0.89740 & 2.27027 \end{pmatrix},\\ &\cdots\\ \mathbf{A}^{(13)} &= \begin{pmatrix} 4.4139 & 0.01941 & 0\\ 0.01941 & 3.0003 & 0.00095\\ 0 & 0.00095 & 1.5858 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

对本例的实对称矩阵, 迭代逐渐趋于对角矩阵. 有限次迭代的对角元只是本征值的近似; 精确本征值为 \(3+\sqrt2,3,3-\sqrt2\), 与 \(\mathbf A^{(13)}\) 的对角元一致到相应精度.

若用 Householder 变换作 QR 分解, 唯一的区别只是左乘矩阵:

\[\mathbf{P}_n\mathbf{P}_{n-1}\cdots\mathbf{P}_1\mathbf{A}\]

因为 QR 分解需要把 \(\mathbf{A}\) 化为上三角矩阵而不是上 Hessenberg 矩阵, 所以初始向量 \(\mathbf{v}\) 应包括第一项:

\[\mathbf{v} = (a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{n1})^{\mathsf{T}}\]

7.4 Shifted QR Decomposition *

标准的 QR 迭代:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}^{(k)} &= \mathbf{Q}^{(k)}\mathbf{R}^{(k)},\\ \mathbf{A}^{(k+1)} &= \mathbf{R}^{(k)}\mathbf{Q}^{(k)}. \end{aligned}\]

上 Hessenberg 结构可降低每次 QR 迭代的成本, 但本身不保证次对角元全部趋于零. 在可对角化、模有严格间隔且初始子空间适当的情形, 按 \(|\lambda_1|>\cdots>|\lambda_n|\) 排序后, 相邻子空间的渐近收缩因子为

\[b_j \sim \left|\frac{\lambda_{j+1}}{\lambda_j}\right|,\qquad j=1,\cdots,n-1.\]

如果两个特征值很接近, 收敛就会很慢, 需要加速. 带位移的 QR 迭代通过引入一个位移参数 \(\sigma\) 来加速收敛: 首先还是先做预处理, 得到上 Hessenberg 矩阵

\[\mathbf{A}_0 = \mathbf{S}_{n-2}^{\mathsf{T}}\cdots\mathbf{S}_1^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{S}_1\cdots\mathbf{S}_{n-2}\]

再进行迭代:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}_k-\sigma_k\mathbf{I} &= \mathbf{Q}_k\mathbf{R}_k,\\ \mathbf{A}_{k+1} &= \mathbf{R}_k\mathbf{Q}_k+\sigma_k\mathbf{I}. \end{aligned}\]

对固定的位移 \(\sigma\), 按移后模 \(|\lambda_1-\sigma|>\cdots>|\lambda_n-\sigma|\) 重新排序, 在上述收敛条件下相邻子空间的渐近收缩因子变为

\[b_j(\sigma) \sim \left|\frac{\lambda_{j+1}-\sigma}{\lambda_j-\sigma}\right|.\]

若要从右下角隔离目标本征值, 取位移接近该目标, 使它对应较小的移后模; 因而缩小的是比值的分子. 逐步更新位移时不能直接把固定比值当作统一的全局收敛速率. 对实对称三对角矩阵, 常用 Wilkinson 位移: 选取当前矩阵 \(\mathbf{A}^{(k)}\) 右下角的 \(2\times2\) 子矩阵:

\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a_{n-1,n-1}^{(k)} & a_{n-1,n}^{(k)}\\ a_{n,n-1}^{(k)} & a_{nn}^{(k)} \end{pmatrix}\]

计算该子矩阵的两个特征值 \(\mu_{1}, \mu_{2}\), 选择更靠近 \(a_{nn}^{(k)}\) 的特征值作为位移参数 \(\sigma_{k}\), 即

\[\sigma_k = \begin{cases} \mu_1, & |\mu_1-a_{nn}^{(k)}|\lt |\mu_2-a_{nn}^{(k)}|,\\ \mu_2, & \text{otherwise}. \end{cases}\]

对于一般实非对称上 Hessenberg 矩阵, 该子矩阵可能有复共轭本征值; 若要保持实运算, 通常采用包含两个共轭位移的 Francis 双位移 QR, 并以实 Schur 形式为目标.

7.5 Generalized Eigenvalue Problems *

对于两个矩阵 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\), 广义特征值问题可以写作

\[\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda\mathbf{B}\mathbf{x}\]

如果 \(\mathbf{B}\) 是可逆的, 可以通过变换将其转化为标准特征值问题:

\[\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\]

但是 \(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\) 不一定是对称矩阵, 不能直接套用对称矩阵本征算法. 数值实现通常通过求解线性方程组而避免显式形成逆矩阵. 当 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\) 对称且 \(\mathbf{B}\) 正定时, 可以利用 Cholesky 分解:

\[\mathbf{B} = \mathbf{L}\mathbf{L}^{\mathsf{T}}\]

将原问题转化为

\[\mathbf{L}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{L}^{-\mathsf{T}}\mathbf{y} = \lambda\mathbf{y}\]

其中

\[\mathbf{y} = \mathbf{L}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}\]

7.6 SVD Decomposition *

本节取 \(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}\); 非方阵没有通常意义的本征值问题, 但任意实矩阵都可以作 SVD 分解:

\[\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}\]

其中 \(\mathbf{U}\) 是一个 \(m \times m\) 的正交矩阵, \(\mathbf{V}\) 是一个 \(n \times n\) 的正交矩阵, \(\mathbf{D}\) 是一个 \(m \times n\) 的对角矩阵, 对角线上的元素为 \(\mathbf{A}\) 的奇异值.

如果 \(\mathbf{A}\) 是对称正定矩阵, 那么 \(\mathbf{U}=\mathbf{V}\), SVD 分解就退化为特征值分解, 此时 \(\mathbf{D}\) 的对角线元素即为 \(\mathbf{A}\) 的本征值.

SVD 分解可以按以下步骤构造:

构造 \(n \times n\) 对称半正定矩阵 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\):
\[\begin{aligned} \mathbf{A}^{\mathsf{T}} &= \mathbf{V}\mathbf{D}^{\mathsf{T}}\mathbf{U}^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A} &= \mathbf{V}\mathbf{D}^{\mathsf{T}}\mathbf{D}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]
对 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\) 对角化. 其特征向量就是 SVD 中的右奇异向量 \(\mathbf{V}\), 特征值满足
\[\mathbf{D}^{\mathsf{T}}\mathbf{D} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n).\]
取奇异值
\[\omega_i=\sqrt{\lambda_i}.\]
设 \(r=\min(m,n)\), \(k=\operatorname{rank}(\mathbf{A})\), 则前 \(k\) 个奇异值为正, 后面的奇异值为零.
对每个非零奇异值, 构造左奇异向量
\[\mathbf{u}_i = \frac{1}{\omega_i} \mathbf{A}\mathbf{v}_i, \qquad i=1,2,\cdots,k.\]
这些列向量正交归一:
\[\mathbf{u}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{u}_j = \frac{1}{\omega_i\omega_j} \mathbf{v}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{v}_j = \delta_{ij}.\]
补全 \(\mathbf{U}\) 为正交矩阵. 选取 \(m-k\) 个向量, 使它们与已有 \(k\) 列共同组成线性无关组, 再作 Gram-Schmidt 正交化.
构造 \(m\times n\) 对角矩阵 \(\mathbf{D}\):
\[D_{ij} = \begin{cases} \omega_i, & i=j\leq r,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}\]

Remark 上述 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\) 构造用于理解 SVD; 对满列秩矩阵有 \(\kappa_2(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A})=\kappa_2(\mathbf{A})^2\), 会放大小奇异值的数值误差. 实际算法通常直接双对角化 \(\mathbf{A}\), 避免显式形成 Gram 矩阵.

Example 对矩阵作 SVD 分解

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

Solution 首先计算 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\):

\[\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]

求出 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}} \mathbf{A}\) 的特征值和特征向量, 得到

\[\begin{aligned} \lambda_1&=5, \qquad \lambda_2=2, \qquad \lambda_3=1,\\ \mathbf{V} &= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{6}}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\ \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

于是得到奇异值:

\[\omega_1=\sqrt{5}, \qquad \omega_2=\sqrt{2}, \qquad \omega_3=1.\]

计算前三个左奇异向量:

\[\begin{aligned} \mathbf{u}_1 &= \frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{A}\mathbf{v}_1 = \left(\frac{\sqrt{30}}{15},\frac{\sqrt{30}}{15},\frac{\sqrt{30}}{10},\frac{\sqrt{30}}{15},\frac{\sqrt{30}}{10}\right)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{u}_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{A}\mathbf{v}_2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{6},0,-\frac{\sqrt{6}}{6},0\right)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{A}\mathbf{v}_3 = \left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]

取两个补全向量

\[\mathbf u_4=\frac1{\sqrt2}(0,1,0,-1,0)^{\mathsf T},\qquad \mathbf u_5=\frac1{\sqrt5}(1,1,-1,1,-1)^{\mathsf T}.\]

它们属于 \(\ker\mathbf A^{\mathsf T}\), 彼此及与前三列正交归一. 因而完整分解为

\[\mathbf U=(\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3,\mathbf u_4,\mathbf u_5),\quad \mathbf D=\begin{pmatrix}\sqrt5&0&0\\0&\sqrt2&0\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf A=\mathbf U\mathbf D\mathbf V^{\mathsf T}.\]

也可以保留前三列得到约化 SVD \(\mathbf A=\mathbf U_r\operatorname{diag}(\sqrt5,\sqrt2,1)\mathbf V^{\mathsf T}\).

SVD 分解可以用于图像压缩:

一张 \(N \times N\) 的灰度图像可以看作矩阵 \(\mathbf{A}\), 矩阵元对应像素亮度.
只保留前 \(k\) 个奇异值及其奇异向量, 其余奇异值置零, 得到秩为 \(k\) 的近似矩阵 \(\mathbf{A}_k\).
调整 \(k\) 可以在图像质量和存储空间之间权衡.

7.7 Power Method

幂法是一种简单而有效的迭代方法, 用于求解矩阵的主特征值(即绝对值最大的特征值)及其对应的特征向量. 假设一个 \(n \times n\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n\), 对应的特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\), 其中 \(|\lambda_1| > |\lambda_2| \geq \cdots \geq |\lambda_n|\).

取初始向量 \(\mathbf{x}\), 要求其在本征向量基中的系数 \(\beta_1\neq0\). 对一般非对称矩阵, 这不等价于 \(\mathbf{x}\) 不与右本征向量 \(\mathbf{v}_1\) 正交; 只有本征基正交时才可这样判断. 可以将初始向量表示为

\[\mathbf{x} = \beta_1\mathbf{v}_1 + \beta_2\mathbf{v}_2 + \cdots + \beta_n\mathbf{v}_n = \sum_{i=1}^{n} \beta_i\mathbf{v}_i.\]

左乘 \(\mathbf{A}\):

\[\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{x} &= \sum_{i=1}^{n} \beta_i\lambda_i\mathbf{v}_i,\\ \mathbf{A}^{2}\mathbf{x} &= \sum_{i=1}^{n} \beta_i\lambda_i^{2}\mathbf{v}_i,\\ &\cdots\\ \mathbf{A}^{k}\mathbf{x} &= \sum_{i=1}^{n} \beta_i\lambda_i^{k}\mathbf{v}_i. \end{aligned}\]

写作

\[\mathbf{A}^{k}\mathbf{x} = \lambda_1^{k} \sum_{i=1}^{n} \beta_i \left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^{k} \mathbf{v}_i.\]

由于 \(|\lambda_1|>|\lambda_2|\geq\cdots\geq|\lambda_n|\), 当 \(k\) 足够大时, \(\left(\frac{\lambda_i}{\lambda_1}\right)^k\to0\) (\(i=2,3,\cdots,n\)), 因此求和只有第一项有贡献:

\[\mathbf{A}^{k}\mathbf{x} \sim \lambda_1^{k} \beta_1\mathbf{v}_1, \qquad k\to\infty.\]

幂法通常采用无穷范数归一化条件

\[\left\| \mathbf{x}^{(k)} \right\|_{\infty} = 1\]

即每个迭代向量的最大分量绝对值为 1, 以避免数值溢出. 算法步骤如下:

任取一个初始向量 \(\mathbf{x}^{(0)}\), 满足 \(\|\mathbf{x}^{(0)}\|_{\infty}=1\).
重复计算并归一化:
\[\begin{aligned} \mathbf{y}^{(k)} = \mathbf{A}\mathbf{x}^{(k)}, \qquad \mathbf{x}^{(k+1)} &= \frac{\mathbf{y}^{(k)}}{\|\mathbf{y}^{(k)}\|_{\infty}}. \end{aligned}\]
选取 \(\mathbf{x}^{(k)}\) 最大分量对应的指标 \(m_k\), 估计本征值:
\[\mu^{(k)} = \frac{(\mathbf{A}\mathbf{x}^{(k)})_{m_k}}{x_{m_k}^{(k)}}.\]

如果 \(\mathbf{x}^{(0)}\) 恰好是特征向量, 则 \(\mathbf{A}\mathbf{x}^{(0)}=\lambda\mathbf{x}^{(0)}\), 任意非零分量都满足 \((\mathbf{A}\mathbf{x}^{(0)})_m/x_m^{(0)}=\lambda\).

由本节前面的本征向量展开, 可以进一步写出分量比估计. 在第 \(k\) 步选取 \(\mathbf{x}^{(k)}\) 最大分量对应的指标 \(m_k\), 有

\[\mu^{(k)} = \lambda_1 \frac{ \beta_1v_{1,m_k} + \sum_{i=2}^{n} \beta_i(\lambda_i/\lambda_1)^{k+1} v_{i,m_k} }{ \beta_1v_{1,m_k} + \sum_{i=2}^{n} \beta_i(\lambda_i/\lambda_1)^k v_{i,m_k} }.\]

可以看到, 当 \(k\to\infty\) 时, \(\mu^{(k)}\to\lambda_1\), \(\mathbf{x}^{(k)}\) 的方向趋于 \(\mathbf{v}_1\), 最终迭代得到最大特征值.

Example 求矩阵的最大本征值

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}.\]

规定初始向量 \(\mathbf{x}_0=(1,1)^{\mathsf{T}}\). 连续迭代得到

\[\begin{aligned} \mathbf{x}_1 &= \begin{pmatrix}-5\\13\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}_2 &= \begin{pmatrix}-29\\61\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}_3 &= \begin{pmatrix}-125\\253\end{pmatrix},\\ \mathbf{x}_4 &= \begin{pmatrix}-509\\1021\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}_5 &= \begin{pmatrix}-2045\\4093\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}_6 &= \begin{pmatrix}-8189\\16381\end{pmatrix}. \end{aligned}\]

最大本征值:

\[\lambda_1^{(1)}=\frac{61}{13}=4.6923,\quad \lambda_1^{(2)}=\frac{253}{61}=4.1475,\quad \lambda_1^{(3)}=\frac{1021}{253}=4.0356\]\[\lambda_1^{(4)}=\frac{4093}{1021}=4.0088,\qquad \lambda_1^{(5)}=\frac{16381}{4093}=4.0022.\]

本例的精确特征多项式为 \((\lambda-4)(\lambda-1)\), 故主本征值为 \(4\), 对应方向可取 \((-1,2)^{\mathsf T}\). 上述比值趋于 \(4\), 并非第五个比值已经等于精确值.

对于对称矩阵, 可以直接用 Rayleigh quotient 来估计特征值:

\[\mu^{(k)} = \frac{ (\mathbf{x}^{(k)})^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}^{(k)} }{ (\mathbf{x}^{(k)})^{\mathsf{T}} \mathbf{x}^{(k)} }.\]

如果用 2-范数归一化条件, 即 \(\|\mathbf{x}^{(k)}\|_2 = 1\), 则可以写作

\[\mu^{(k)} = (\mathbf{x}^{(k)})^{\mathsf{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}^{(k)} = (\mathbf{x}^{(k)})^{\mathsf{T}} \mathbf{y}^{(k)}.\]

在对称矩阵中, Rayleigh 商的本征值误差对邻近本征向量的方向误差是二阶的; 但幂法的方向收敛仍受 \(|\lambda_2/\lambda_1|\) 控制, 谱间隔小时可能很慢. 负主本征值或复相位可使归一化向量逐步变号或变相位, 收敛应理解为本征方向的收敛.

7.8 Inverse Power Method

反幂法是幂法的一种变体, 用于计算离某个给定位移 \(q\) 最近的特征值及其特征向量. 反幂法不是直接对 \(\mathbf{A}\) 做幂法, 而是对 \((\mathbf{A}-q\mathbf{I})^{-1}\) 做幂法. 这里要求 \(q\) 不等于任何本征值.

若 \(\mathbf{A}\) 的特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\), 则 \((\mathbf{A}-q\mathbf{I})^{-1}\) 的特征值为

\[\frac{1}{\lambda_1-q}, \frac{1}{\lambda_2-q}, \cdots, \frac{1}{\lambda_n-q}\]

且特征向量保持不变. 对可对角化矩阵, 若离 \(q\) 最近的本征值唯一, 且初始向量在其本征向量基中的系数非零, 才有对应的主方向收敛保证; 等距的多个本征值可能阻止单方向收敛.

对 \((\mathbf{A}-q\mathbf{I})^{-1}\) 做幂法, 会找到模最大的特征值, 这等价于找到离 \(q\) 最近的 \(\lambda_i\). 过程和幂法完全一样, 只不过每次迭代都要解线性方程组:

\[(\mathbf{A}-q\mathbf{I})\mathbf{y}^{(k)} = \mathbf{x}^{(k)}\]

以避免显式求解逆矩阵.

本征值:

\[\lambda = q + \frac{1}{\mu}\]

7.9 Wielandt Deflation

Remark 已经用幂法求出矩阵 \(\mathbf{A}\) 的最大特征值 \(\lambda_1\) 和对应特征向量 \(\mathbf{v}_1\) 后, 若继续直接用幂法, 仍会收敛到 \(\lambda_1\). Wielandt deflation 的目标是构造新矩阵, 消除 \(\lambda_1\), 让 \(\lambda_2\) 成为新矩阵中的主特征值.

Definition 取向量 \(\mathbf{x}\) 满足

\[\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_1=1\]

并构造

\[\mathbf{B} = \mathbf{A} - \lambda_1\mathbf{v}_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\]

Proof 消去主本征值. 由 \(\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_1=1\) 可得

\[\mathbf{B}\mathbf{v}_1 = \mathbf{A}\mathbf{v}_1 - \lambda_1\mathbf{v}_1(\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_1) = \lambda_1\mathbf{v}_1-\lambda_1\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}\]

\(\mathbf{v}_1\) 是 \(\mathbf{B}\) 属于本征值 \(0\) 的本征向量.

Proof 保留其他本征值. 对于 \(\lambda_i\neq0\), 构造向量

\[\mathbf{w}_i = \mathbf{v}_i - \frac{\lambda_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_i}{\lambda_i} \mathbf{v}_1\]

其中 \(\mathbf{v}_i\) 是 \(\mathbf{A}\) 的第 \(i\) 个特征值 \(\lambda_i\) 对应的特征向量. 记

\[\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{w}_i = \mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_i \left(1-\frac{\lambda_1}{\lambda_i}\right).\]

代入 \(\mathbf{B}\mathbf{w}_i\) 可得

\[\begin{aligned} \mathbf{B}\mathbf{w}_i &= \mathbf{A}\mathbf{w}_i - \lambda_1\mathbf{v}_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{w}_i\\ &= \lambda_i\mathbf{v}_i - \frac{\lambda_1^2\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_i}{\lambda_i}\mathbf{v}_1 - \lambda_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_i \left(1-\frac{\lambda_1}{\lambda_i}\right)\mathbf{v}_1\\ &= \lambda_i\mathbf{v}_i - \lambda_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_i\mathbf{v}_1 = \lambda_i\mathbf{w}_i. \end{aligned}\]

所以 \(\lambda_{i}\) 也是 \(\mathbf{B}\) 的本征值, 对应的本征向量为 \(\mathbf{w}_{i}\).

Remark 降阶问题. 一种构造 \(\mathbf{x}\) 的方法是选取 \(v_{1i}\neq0\) 的分量, 令

\[\mathbf{x} = \frac{1}{\lambda_1 v_{1i}} \begin{pmatrix} a_{i1}\\ a_{i2}\\ \vdots\\ a_{in} \end{pmatrix}\]

其中 \(a_{ij}\) 是矩阵 \(\mathbf{A}\) 的元素. 此时

\[\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\lambda_1 v_{1i}} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}v_{1j} = \frac{1}{\lambda_1 v_{1i}}(\mathbf{A}\mathbf{v}_1)_i = \frac{1}{\lambda_1 v_{1i}}\lambda_1 v_{1i} = 1\]

作用后 \(\mathbf{B}\) 的第 \(i\) 行元素全为 \(0\). 删除第 \(i\) 行和第 \(i\) 列, 对降阶矩阵继续用幂法, 就可以求出 \(\lambda_2\).

Example

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1\\ -1 & 3 & -2\\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}\]

Solution 幂法求出 \(\lambda_1=6\), 对应的特征向量为 \(\mathbf{v}_1=(1,-1,1)^{\mathsf{T}}\). 构造向量 \(\mathbf{x}\):

\[\begin{aligned} \mathbf{x} &= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix},\\ \mathbf{v}_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}} &= \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6}\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix},\\ \mathbf{B} &= \mathbf{A} - \lambda_1\mathbf{v}_1\mathbf{x}^{\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 3 & 2 & -1\\ -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

删除第一行和第一列:

\[\mathbf{B}' = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]

再次用幂法求出 \(\lambda_2=3\), 降阶矩阵的特征向量为 \(\mathbf v'_2=(1,-1)^{\mathsf T}\). 插回被删除的零分量, 得 \(\mathbf w=(0,1,-1)^{\mathsf T}\), 它是 \(\mathbf B\) 的特征向量. 原矩阵的向量须再恢复:

\[\mathbf v_2=\mathbf w+\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}(\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf w)\mathbf v_1 =\frac13(2,1,-1)^{\mathsf T}.\]

因此可取 \(\mathbf A\) 的本征向量为 \((2,1,-1)^{\mathsf T}\), 直接检验 \(\mathbf A\mathbf v_2=3\mathbf v_2\). 降阶向量不能直接当作原矩阵的本征向量.

7.10 Krylov Subspace Methods

Krylov 子空间方法用于高效求解大型稀疏矩阵的特征值或线性方程组, 而不需要直接处理 \(n \times n\) 的完整矩阵.

Definition Krylov 矩阵. 设 \(\mathbf{A}\) 是 \(n \times n\) 大规模系数矩阵, \(\mathbf{b}\) 是 \(n\) 维列向量, 定义 \(n\) 阶 Krylov 矩阵 \(\mathbf{K}\):

\[\mathbf{K} = \left( \mathbf{b}\quad \mathbf{A}\mathbf{b}\quad \mathbf{A}^2\mathbf{b}\quad \cdots\quad \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{b} \right)\]

这些列张成 Krylov 子空间, 不要求它们全部线性无关:

\[\mathcal{K}_n(\mathbf{A}, \mathbf{b}) = \operatorname{span}\{\mathbf{b}, \mathbf{A}\mathbf{b}, \mathbf{A}^{2}\mathbf{b}, \cdots, \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{b}\}.\]

这个子空间是 \(\mathbf{A}\)-不变的:

\[\mathbf{A}\mathcal{K}_n(\mathbf{A}, \mathbf{b}) \subseteq \mathcal{K}_n(\mathbf{A}, \mathbf{b})\]

左乘 \(\mathbf{A}\) 得到

\[\mathbf{A}\mathbf{K} = \left( \mathbf{A}\mathbf{b}\quad \mathbf{A}^2\mathbf{b}\quad \mathbf{A}^3\mathbf{b}\quad \cdots\quad \mathbf{A}^n\mathbf{b} \right)\]

Proposition Hessenberg 约化. 以下假设 \(\mathbf{K}\) 的 \(n\) 列线性无关, 从而 \(\mathbf{K}\) 可逆. \(\mathbf{A}\mathbf{K}\) 的前 \(n-1\) 列正好是 \(\mathbf{K}\) 的第 2 列到第 \(n\) 列. 最后一列 \(\mathbf{A}^{n}\mathbf{b}\) 可写成 \(\mathbf{K}\) 各列的线性组合:

\[\mathbf{A}^n\mathbf{b} = c_1\mathbf{b} + c_2\mathbf{A}\mathbf{b} + c_3\mathbf{A}^2\mathbf{b} + \cdots + c_n\mathbf{A}^{n-1}\mathbf{b} = \mathbf{K}\mathbf{c}\]

其中

\[\mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n)^{\mathsf{T}}\]

因此

\[\mathbf{A}\mathbf{K}=\mathbf{K}\mathbf{G}\]

其中

\[\mathbf{G} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & c_1\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & c_2\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_3\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_n \end{pmatrix}\]

\(\mathbf{G}\) 是一个上 Hessenberg 矩阵. 于是

\[\mathbf{A}=\mathbf{K}\mathbf{G}\mathbf{K}^{-1}\]

因此 \(\mathbf{A}\) 与 \(\mathbf{G}\) 相似, 具有相同的特征值. \(\mathbf{G}\) 是稀疏矩阵, 求解其特征值比直接求解 \(\mathbf{A}\) 更容易.

Remark 数值构造. 直接形成幂向量矩阵 \(\mathbf{K}\) 并求 \(\mathbf{G}\) 往往病态. 下面的 QR 分解说明正交基下的等价关系; 浮点实现应在每步生成新方向时立即正交化, 而不是先形成完整的 \(\mathbf{K}\) 再分解. 这种逐步构造将在 Lanczos 与 Arnoldi 迭代中实现. 理论上写作

\[\mathbf{K}=\mathbf{Q}\mathbf{R}\]

\(\mathbf{Q}\) 为正交矩阵, \(\mathbf{R}\) 为上三角矩阵.

\[(\mathbf{Q}\mathbf{R})^{-1}\mathbf{A}(\mathbf{Q}\mathbf{R}) = \mathbf{G}\]

两边左乘 \(\mathbf{R}\), 再右乘 \(\mathbf{R}^{-1}\), 得

\[\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q} = \mathbf{R}\mathbf{G}\mathbf{R}^{-1}\]

记作 \(\mathbf{T}\):

\[\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q} = \mathbf{R}\mathbf{G}\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{T}\]

\(\mathbf{T}\) 是一个上 Hessenberg 矩阵, 且与 \(\mathbf{A}\) 相似, 具有相同的特征值. 对 \(\mathbf{T}\) 进行 QR 迭代, 就可以求出 \(\mathbf{A}\) 的特征值.

7.11 Lanczos Iteration

Proposition 如果 \(\mathbf{A}\) 为对称矩阵, Lanczos 迭代会把 Krylov 子空间中的投影压缩成一个三对角矩阵:

\[\mathbf{T} = \mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & 0 & \cdots & 0\\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \cdots & 0\\ 0 & \beta_2 & \alpha_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix}\]

这个三对角矩阵 \(\mathbf{T}\) 可以通过 Lanczos 迭代来构造. 将 Lanczos 基写作:

\[\mathbf{Q} = \left( \mathbf{q}_1\quad \mathbf{q}_2\quad \cdots\quad \mathbf{q}_n \right)\]

在完整正交基下, \(\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{Q}\mathbf{T}\) 可以写作:

\[\mathbf{A}\mathbf{q}_i = \beta_{i-1}\mathbf{q}_{i-1} + \alpha_i\mathbf{q}_i + \beta_i\mathbf{q}_{i+1}\]

其中 \(\beta_0=0\), \(\mathbf{q}_0=\mathbf{0}\).

Proof 三项递推及投影关系:

\(\mathbf{Q}\) 的列向量两两正交, 满足
\[\mathbf{q}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{q}_j=\delta_{ij}.\]
三项递推左乘 \(\mathbf{q}_i^{\mathsf{T}}\) 得到对角元; 减去已知的两项后, 以残量范数归一化得到下一基向量. 具体公式和零残量处理统一列在下方迭代步骤中.
若迭代步数 \(m=n\), 则得到精确分解:
\[\mathbf{T}=\mathbf{V}\mathbf{E}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}, \qquad \mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{V}\mathbf{E}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}.\]
若只迭代 \(m\lt n\) 步, 令 \(\mathbf{Q}_m=(\mathbf{q}_1,\cdots,\mathbf{q}_m)\). 在精确算术和基向量正交的条件下, 有
\[\mathbf{A}\mathbf{Q}_m =\mathbf{Q}_m\mathbf{T}_m+\mathbf{r}_m\mathbf{e}_m^{\mathsf{T}}, \qquad \mathbf{T}_m=\mathbf{Q}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}_m.\]
其中 \(\mathbf{e}_m\in\mathbb{R}^m\) 是第 \(m\) 个标准基向量, \(\mathbf{r}_m\) 是最后一步尚未归一化的残量, 满足 \(\mathbf{Q}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{r}_m=\mathbf{0}\) 和 \(\|\mathbf{r}_m\|_2=\beta_m\). 若 \(\beta_m>0\), 则 \(\mathbf{r}_m=\beta_m\mathbf{q}_{m+1}\); 若子空间已经闭合, 则 \(\mathbf{r}_m=\mathbf{0}\), 无需构造下一基向量. 完整基下残量也为零.

\(\mathbf{T}_m\) 是 \(\mathbf{A}\) 在当前 Krylov 子空间上的投影矩阵, 投影关系本身是精确的. 用它的本征对近似原矩阵的本征对时, 取 \(\mathbf{T}_m\mathbf{y}=\theta\mathbf{y}\), \(\|\mathbf{y}\|_2=1\), 则 Ritz 值为 \(\theta\), 对应的 Ritz 向量为
\[\mathbf{x}=\mathbf{Q}_m\mathbf{y}.\]
其本征方程残量为
\[\mathbf{A}\mathbf{x}-\theta\mathbf{x} =\mathbf{r}_m\mathbf{e}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{y}, \qquad \|\mathbf{A}\mathbf{x}-\theta\mathbf{x}\|_2 =\beta_m\left|\mathbf{e}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{y}\right|.\]
可用该残量是否达到所需容差判断本征对的近似精度; 浮点计算中还应注意基向量的正交性损失.

Remark Lanczos 迭代步骤:

初始化. 取一个非零初始向量 \(\mathbf{q}_1\), 归一化到 \(\|\mathbf{q}_1\|_2=1\); 再令 \(\mathbf{q}_0=\mathbf{0}\), \(\beta_0=0\).
计算对角元. 在第 \(i\) 步, 先求
\[\alpha_i=\mathbf{q}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{q}_i.\]
形成残量. 将当前向量投影到已知基上并减去:
\[\mathbf{v} = \mathbf{A}\mathbf{q}_i - \alpha_i\mathbf{q}_i - \beta_{i-1}\mathbf{q}_{i-1}.\]
先计算残量范数:
\[\beta_i=\|\mathbf{v}\|_2.\]
若 \(\beta_i=0\), 说明当前 Krylov 子空间已经闭合, 令实际步数 \(m=i\) 并终止递推, 不再除以 \(\beta_i\). 否则, 仅在需要继续迭代时计算
\[\mathbf{q}_{i+1}=\frac{\mathbf{v}}{\beta_i}.\]
浮点实现应根据矩阵尺度和精度设定近零容差, 并在归一化前判断. 按容差终止表示数值上近似闭合, 应保留最后的残量范数用于精度检查; 必要时进行重正交化.
组装结果. 迭代 \(m\) 步后得到三对角矩阵 \(\mathbf{T}_m\), 其对角元是 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\), 次对角元是 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_{m-1}\).
提取结果. 解
\[\mathbf{T}_m\mathbf{y}=\theta\mathbf{y}\]
得到 Ritz 值 \(\theta\) 和归一化特征向量 \(\mathbf{y}\); 对应的 \(\mathbf{A}\) 的 Ritz 向量, 即近似本征矢, 为
\[\mathbf{x}=\mathbf{Q}_m\mathbf{y}.\]
判断结果. 在精确算术下, 完整基给出全部精确本征对; 若在 \(m\lt n\) 时子空间已经闭合, 则得到该不变子空间内的精确本征对, 不代表获得全部谱. 一般截断时按上述 Ritz 残量检查目标本征对的精度. 若 \(\mathbf{q}_1\) 在最大本征方向上有非零投影, 最大 Ritz 值会随子空间扩展收敛到 \(\lambda_{\max}(\mathbf{A})\).

Example

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5\\ 2 & 3 & 5\\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}\]

Solution 作两步 Lanczos 迭代:

初始化:
\[\mathbf{q}_0=\mathbf{0}, \qquad \mathbf{q}_1=(1,0,0)^{\mathsf{T}}, \qquad \beta_0=0.\]
第一步迭代:
\[\alpha_1=3, \qquad \mathbf{v}_1=(0,2,5)^{\mathsf{T}} \implies \beta_1=\sqrt{29}, \qquad \mathbf{q}_2=\frac{1}{\sqrt{29}}(0,2,5)^{\mathsf{T}}.\]
第二步给出投影矩阵的第二个对角元:
\[\alpha_2=\mathbf{q}_2^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{q}_2=\frac{112}{29}.\]
两步后的三对角矩阵为
\[\mathbf{T}_2 = \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{29}\\ \sqrt{29} & \frac{112}{29} \end{pmatrix}.\]

得到本征值的近似值:

\[\lambda_1 \approx 8.83, \qquad \lambda_2 \approx -1.97\]

7.12 Arnoldi Iteration *

Arnoldi 迭代将 Krylov 正交基的构造推广到实非对称矩阵, 在 \(m\) 维子空间内得到上 Hessenberg 投影矩阵 \(\mathbf{H}_m=\mathbf{Q}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}_m\). 只有构成完整 \(n\) 维正交基时, \(\mathbf{H}_n\) 才与 \(\mathbf{A}\) 相似; 一般截断投影的本征值只是 Ritz 值. 完整基下设矩阵:

\[\begin{aligned} \mathbf{H} &= \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & \cdots & h_{2n}\\ 0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & h_{nn} \end{pmatrix},\\ \mathbf{H} &=\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q},\\ \mathbf{A}\mathbf{q}_{j} &=\sum_{i=1}^{\min(j+1,n)}h_{ij}\mathbf{q}_{i},\qquad j=1,\cdots,n. \end{aligned}\]

第一列:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{q}_1 &= h_{11}\mathbf{q}_1+h_{21}\mathbf{q}_2,\\ h_{11} &= \mathbf{q}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{q}_1,\\ \mathbf{v}_1 &= \mathbf{A}\mathbf{q}_1-h_{11}\mathbf{q}_1,\\ h_{21} &= \|\mathbf{v}_1\|_2,\\ \mathbf{q}_2 &= \frac{\mathbf{v}_1}{h_{21}}. \end{aligned}\]

第二列:

\[\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{q}_2 &= h_{12}\mathbf{q}_1+h_{22}\mathbf{q}_2+h_{32}\mathbf{q}_3,\\ h_{12} &= \mathbf{q}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{q}_2,\\ h_{22} &= \mathbf{q}_2^{\mathsf{T}}\mathbf{A}\mathbf{q}_2,\\ \mathbf{v}_2 &= \mathbf{A}\mathbf{q}_2-h_{12}\mathbf{q}_1-h_{22}\mathbf{q}_2,\\ h_{32} &= \|\mathbf{v}_2\|_2,\\ \mathbf{q}_3 &= \frac{\mathbf{v}_2}{h_{32}}. \end{aligned}\]

以上除法仅在对应残量范数非零时执行. 若 \(h_{j+1,j}=0\), 则当前子空间已经闭合, 停止递推; 浮点实现应在归一化前按尺度设置近零容差, 必要时重正交化.

迭代 \(m\lt n\) 步时, 保留末残量 \(\mathbf{r}_m\), 有

\[\mathbf{A}\mathbf{Q}_m=\mathbf{Q}_m\mathbf{H}_m+\mathbf{r}_m\mathbf{e}_m^{\mathsf{T}},\qquad \mathbf{Q}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{r}_m=\mathbf{0},\qquad \|\mathbf{r}_m\|_2=h_{m+1,m}.\]

取 \(\mathbf{H}_m\mathbf{y}=\theta\mathbf{y}\), \(\|\mathbf{y}\|_2=1\), 对应 Ritz 向量为 \(\mathbf{x}=\mathbf{Q}_m\mathbf{y}\), 其残量满足

\[\|\mathbf{A}\mathbf{x}-\theta\mathbf{x}\|_2=h_{m+1,m}|\mathbf{e}_m^{\mathsf{T}}\mathbf{y}|.\]

这可检查本征方程残量; 对非正规矩阵, 小残量本身不保证本征值的前向误差同样小, 还取决于谱的条件性.

7.13 DMRG Algorithm

DMRG(density-matrix renormalization group) 在低纠缠的一维系统中, 通过保留最重要的子空间来求低能态. 对链的一个切分, 归一化态的 Schmidt 分解为

\[|\psi\rangle=\sum_{\alpha=1}^{r}s_\alpha|\alpha_L\rangle|\alpha_R\rangle,\qquad s_1\geq s_2\geq\cdots\geq0,\qquad\sum_\alpha s_\alpha^2=1.\]

约化密度矩阵的本征值为 \(s_\alpha^2\). 保留最大的 \(D\) 项, 得给定态的最佳未归一化 Schmidt 秩 \(D\) 近似, 平方范数误差为丢弃权重 \(w_{\mathrm{disc}}=\sum_{\alpha>D}s_\alpha^2\). 归一化后按 \(F=|\langle\psi|\psi_D\rangle|^2\) 定义的保真度为 \(1-w_{\mathrm{disc}}\), 但这个单次截断指标不等于最终能量误差.

现代实现将波函数写为矩阵乘积态 MPS(matrix product state)

\[\psi_{s_1\cdots s_L}=A^{s_1}_1A^{s_2}_2\cdots A^{s_L}_L,\]

开边界的首末虚指标维数为 1, 中间键维数限制为 \(D\). Hamiltonian 可表示为矩阵乘积算符, 避免构造整个 \(d^L\) 维矩阵.

初始化符合粒子数或自旋对称性的 MPS, 建立左右环境.
在其余张量固定时, 对一个或两个相邻格点求有效 Hamiltonian 的最低本征向量, 可调用 Lanczos 或 Davidson 方法.
双格点向量作奇异值分解, 根据最大键维数与丢弃权重阈值截断, 移动正交中心并更新环境.
左右往返扫描, 增加键维数, 直到能量、局域可观测量和截断指标稳定.

Remark 规范化基下的局部问题是普通本征问题; 非正交基需处理范数矩阵. 精确局部最小化降低当前子问题能量, 但双格点截断后能量不必逐步单调. 固定键维数的优化可能困于局部极小, 应改变初态并检查 \(\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2\), 与小系统精确对角化比较. 临界长链、二维映射和实时演化常需更大键维数; DMRG 并不是对任意多体态的无损压缩.¹

8 Monte Carlo Methods

Monte Carlo 方法用随机抽样近似积分、期望值和随机过程. 其优势是误差主要随样本数缩放, 在高维问题中常比规则网格积分更可行.

8.1 Probability and Statistics Background

概率密度函数 \(p(x)\)

描述随机连续变量 \(X\) 在 \(x\) 附近的概率密度, 满足归一化条件

\[\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\,\mathrm{d}x=1\]

对于独立变量, 有

\[p(x,y)=p(x)p(y)\]

累积分布函数 \(P(x)\)

给出随机变量取值不超过 \(x\) 的概率

\[P(x)=\int_{-\infty}^{x}p(t)\,\mathrm{d}t\]

期望值 \(E[f(x)]\)

\[E[f(x)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)p(x)\,\mathrm{d}x\]

\(n\) 阶中心矩

\[\langle (x-\langle x\rangle)^n\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}(x-\langle x\rangle)^n p(x)\,\mathrm{d}x\]

\(n=2\) 时给出方差.

中心极限定理

设 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 是独立同分布的随机变量, 具有有限期望值 \(\mu\) 和有限非零方差 \(0\lt\sigma^2\lt\infty\), 定义样本均值:

\[z=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]

中心极限定理是标准化变量的分布收敛:

\[\frac{\sqrt{n}(z-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{\mathrm{d}}\mathcal{N}(0,1).\]

因此大样本时可用 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2/n)\) 近似样本均值分布; 均值本身在 \(n\to\infty\) 时集中于 \(\mu\). 若存在且适用局部密度近似, 可写

\[p(z)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma/\sqrt{n}} \exp\left[-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2/n}\right].\]

仅有中心极限定理并不保证任意离散分布拥有该概率密度, 也不保证尾部的相对误差小.

随机数生成器

一个良好的随机数生成器应该满足:

均匀性: 生成的数列在 [0,1] 上服从均匀分布;
独立性: 连续随机数之间的相关性可以忽略不计;
周期长: 数列重复的周期尽可能大, 避免短时间内循环;
速度快: 算法计算效率高.

计算机生成的随机数本质上是通过确定性的递推公式产生的, 因此是伪随机数. 只要初值 (种子) 相同, 序列就会重复, 这就引入了周期性.

下面给出四种常见的伪随机数生成算法:

Logistic 映射
\[x_{i+1}=r x_i(1-x_i)\]
在一定的参数下可以产生混沌序列, 但是分布不均匀, 不常用作标准随机数生成器.
线性同余生成器 (LCG)
\[N_i=(aN_{i-1}+c)\bmod m\]
这是一种经典且快速的方法, 但周期受限于 \(m\).
带记忆的线性同余
\[N_i=(aN_{i-1}+cN_{i-j})\bmod m\]
使用了更早的状态, 可以延长周期.
减法的生成器
\[N_i=(N_{i-3}-N_{i-1})\bmod (2^{31}-1)\]

8.2 Hit-or-Miss Sampling

随机投点法是一种简单的 Monte Carlo 方法, 用于估计几何图形的面积或体积. 基本思想是, 在一个已知面积或体积的区域内随机投点, 统计落在目标图形内的点的比例, 从而估计目标图形的面积或体积.

这里假设 \(0\leq f(x)\leq1\), \(x\in[0,1]\), 从而曲线下方的目标区域完整包含在单位正方形内.

在矩形区域 \([0,1] \times [0,1]\) 内随机均匀投点 \(N\) 次, 每个点的坐标 \((x_i, y_i)\) 独立取值;
判断每个点是否落在曲线 \(y=f(x)\) 下方的区域 \(\Omega\) 内, 即条件 \(y_{i} \leq f(x_{i})\) 是否成立.
设 \(n\) 为满足条件的点数, 则曲线下面积的 Monte Carlo 估计值为
\[I=\frac{n}{N}\]

图中红点仅标出曲线下的命中点.

\(n\) 是命中数, \(N\) 是单位正方形内全部均匀投点数, 包括未在图中标出的未命中点; 不能把可见红点数同时当作分子和分母.

8.3 Expectation-Value Estimation

设 \(X_i\) 是从归一化分布 \(p\) 独立抽取的样本. 期望值与样本估计量应区分:

\[\mu_f=\mathbb{E}_p[f(X)]=\int f(x)p(x)\,\mathrm{d}x, \qquad \bar f_N=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N f(X_i).\]

样本已经服从 \(p\), 因而均值中不能再乘一次 \(p(X_i)\). 若总体方差有限, 则

\[\sigma_f^2=\mathbb{E}_p[f^2]-\mu_f^2,\qquad \operatorname{Var}(\bar f_N)=\frac{\sigma_f^2}{N}.\]

用样本估计方差与标准误差时, 可取

\[s_f^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(f(X_i)-\bar f_N)^2, \qquad \widehat{\mathrm{SE}}(\bar f_N)=\frac{s_f}{\sqrt N}.\]

这是独立样本的误差公式. 对平稳 MCMC 样本, 若自相关可求和且相应中心极限定理成立, 用 \(N_{\mathrm{eff}}\simeq N/[1+2\sum_{k\ge1}\rho_f(k)]\) 替代 \(N\), 其中 \(\rho_f(k)\) 是观测量 \(f\) 的滞后自相关. 尚未热化或未遍历不同模态造成的偏差不会被这个标准误差自动包含.

现在我们想计算积分:

\[I=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]

如果是均匀采样, 则

\[\begin{aligned} p(x) &= \frac{1}{b-a},\\ I &\approx \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f(x_i) \end{aligned}\]

多维积分:

\[I\approx \frac{V}{N}\sum_{i=1}^{N}f(x_i)\]

误差估计:

\[\widehat{\mathrm{SE}}(\hat I)=\frac{V s_f}{\sqrt{N}}\]

这里 \(V\) 是积分区域体积, 一维时为 \(b-a\). 独立样本的 \(N^{-1/2}\) 速率不显含维度, 但方差、有效采样效率和计算成本都可能随维度恶化.

Importance Sampling 如果函数 \(f(x)\) 只在很小的区域内显著非零, 均匀采样的效率很低, 此时可以引入采样分布 \(p(x)\).

使用采样分布时须满足:

在被积函数非零的区域有 \(p(x)>0\);
\(f(X)/p(X)\) 有有限方差才能使用上述标准误差.
从 \(p(x)\) 中抽取独立样本 \(x_1, x_2, \cdots, x_N\), 且 \(\int p(x)\,\mathrm{d}x = 1\).

可以用样本均值来估计期望值:

\[\begin{aligned} I &= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \int_a^b \frac{f(x)}{p(x)}p(x)\,\mathrm{d}x\\ &\approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{f(x_i)}{p(x_i)}. \end{aligned}\]

Inverse Transform 直接生成服从 \(p(x)\) 的随机数有时候并不方便, 可以通过变量替换将积分变为均匀分布的形式. 定义累积分布函数:

\[\begin{aligned} y(x) &= \int_a^x p(t)\,\mathrm{d}t,\\ \mathrm{d}y &= p(x)\,\mathrm{d}x,\\ I &= \int_a^b p(x)\frac{f(x)}{p(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \int_0^1 \frac{f(x(y))}{p(x(y))}\,\mathrm{d}y\\ &\approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \frac{f(x(y_i))}{p(x(y_i))}. \end{aligned}\]

当 \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\) 时, \(y\) 从 0 到 1.

Example 如果取

\[\begin{aligned} p(x) &= \mathrm{e}^{-x},\\ \mathrm{d}y(x) &= p(x)\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x,\\ y(x) &= \int_0^x \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = 1-\mathrm{e}^{-x},\\ x(y) &= -\ln(1-y). \end{aligned}\]

求积分:

\[\begin{aligned} I &= \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}G(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \int_0^1 G(-\ln(1-y))\,\mathrm{d}y\\ &\approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}G(x(y_i)). \end{aligned}\]

8.4 One-Dimensional Random Walk

建立一维随机行走模型: 在一维直线上, 质点每一步可以向左或向右移动, 步长为 \(l\). 向右的概率为 \(R\), 向左的概率为 \(L\), 满足 \(R + L = 1\). 假设各步独立, 每一步的位移 \(\Delta x_i=\pm l\), 如下图所示.

一维随机游走格点. 来源: 课程讲义.

原图左侧第二个负坐标的标记省略了步长因子, 应读作 \(-2l\); 上方修正版已补上该因子.

首先考虑对称的情形, 即 \(R=L=\frac{1}{2}\).

经过 \(n\) 步之后的总位移:

\[\begin{aligned} x(n) &= \sum_{i=1}^{n}\Delta x_i,\\ \langle x(n)\rangle &= \sum_{i=1}^{n}\langle \Delta x_i\rangle\\ &= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{2}l-\frac{1}{2}l\right) = 0,\\ \sigma_n^2 &= \langle x(n)^2\rangle\\ &= \left\langle \sum_{i=1}^{n}\Delta x_i \sum_{j=1}^{n}\Delta x_j \right\rangle\\ &= \sum_{i=1}^{n}\langle \Delta x_i^2\rangle + \sum_{i\neq j}\langle \Delta x_i\Delta x_j\rangle = nl^2. \end{aligned}\]

如果是非对称情形:

\[\begin{aligned} \langle x(n)\rangle &= n(R-L)l,\\ \sigma_n^2 &= n[l^2-(R-L)^2l^2]\\ &= 4nRLl^2. \end{aligned}\]

8.5 Markov Processes

Markov 过程是一种随机过程, 满足无记忆性, 即未来状态仅依赖于当前状态, 而与过去的状态无关.

Transition Matrix 定义转移概率矩阵 \(\mathbf{W}_{ij}(\varepsilon)\) 为在时间 \(\varepsilon\) 内从格点 \(j\) 转移到格点 \(i\) 的概率. 对于一维对称随机行走:

\[W_{ij}(\varepsilon) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & |i-j|=1,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}\]

8.5.1 Time Evolution

经过一个时间步长 \(\varepsilon\) 后, 粒子到达格点 \(i\) 的概率 \(w_i(t+\varepsilon)\) 等于: 从上一位置 \(j\) 转移到 \(i\) 的概率, 乘以粒子在 \(t\) 时刻位于 \(j\) 的概率, 再对所有 \(j\) 求和:

\[w_i(t+\varepsilon) = \sum_j W_{ij}(\varepsilon)w_j(t)\]

多步演化:

\[\begin{aligned} w_i(2\varepsilon) &= \sum_j W_{ij}w_j(\varepsilon) = \sum_j W_{ij}\sum_k W_{jk}w_k(0)\\ &= \sum_k\sum_j W_{ij}W_{jk}w_k(0) = \sum_k (\mathbf{W}^2)_{ik}w_k(0). \end{aligned}\]

以此类推:

\[w_i(n\varepsilon) = \sum_k(\mathbf{W}^n)_{ik}w_k(0)\]

n-Step Transition 先考虑只保留格点 \(1,2,3,4\) 的有限系统. 下列矩阵把出界粒子从这四个格点中移除, 相当于吸收至未显式列出的边界外状态. 右移矩阵 \(\mathbf{R}\) 与左移矩阵 \(\mathbf{L}\) 分别为

\[\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

转移矩阵为

\[\mathbf{W} = \frac{1}{2}(\mathbf{R}+\mathbf{L})\]

2 步转移矩阵对应四种走法: 向左移 2 步, 向右移 2 步, 以及左右各一步的两种顺序.

\[\mathbf{W}^2 = \frac{1}{4} (\mathbf{R}^2+\mathbf{L}^2+\mathbf{R}\mathbf{L}+\mathbf{L}\mathbf{R}).\]

在这个有限系统中,

\[\mathbf{R}\mathbf{L}=\operatorname{diag}(0,1,1,1),\qquad \mathbf{L}\mathbf{R}=\operatorname{diag}(1,1,1,0),\]

因此两矩阵不交换, 不能合并交叉项或直接使用二项式展开; \(\mathbf{W}\) 的端点列和为 \(1/2\), 内部列和为 \(1\), 四个格点中的总概率会随出界而减少.

以下另取无限晶格 \(i,j\in\mathbb{Z}\), 左右移算符互逆且交换, 满足 \(\mathbf{R}\mathbf{L}=\mathbf{L}\mathbf{R}=\mathbf{I}\). 此时才可用二项式定理

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

可将 \(n\) 步转移矩阵写作

\[\mathbf{W}^n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mathbf{R}^{n-k}\mathbf{L}^k\]

也可等价写为

\[\mathbf{W}^n = \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mathbf{L}^{n-2k} = \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}C_n^k\mathbf{R}^{2k-n}\]

由于

\[\begin{aligned} (\mathbf{R}^m)_{ij} &= \delta_{i,j+m},\\ (\mathbf{L}^m)_{ij} &= \delta_{i+m,j}. \end{aligned}\]

从起点 \(j\) 出发, 经过 \(n\) 步后到达位置 \(i\) 的概率为

\[W_{ij}^{n} = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n+i-j}{2}}\]

其中 \(\frac{n+i-j}{2}\) 必须是整数, 且满足 \(0 \leq \frac{n+i-j}{2} \leq n\).

8.5.2 Diffusion Equation

假设粒子从 \(x=0\) 出发, 初始分布为

\[w_j(0)=\delta_{j0}\]

经过 \(n\) 步, 到达格点 \(i\) 的概率为

\[w_i(n\varepsilon) = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n+i}{2}}\]

Continuum Limit 组合数递推给出

\[\begin{aligned} \binom{n+1}{k} &= \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1},\\ \binom{n+1}{\frac{n+1+i}{2}} &= \binom{n}{\frac{n+i+1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+i-1}{2}},\\ \frac{1}{2^{n+1}}\binom{n+1}{\frac{n+1+i}{2}} &= \frac{1}{2^{n+1}}\binom{n}{\frac{n+i+1}{2}} + \frac{1}{2^{n+1}}\binom{n}{\frac{n+i-1}{2}}. \end{aligned}\]

注意到

\[\begin{aligned} \frac{1}{2^{n+1}}\binom{n+1}{\frac{n+1+i}{2}} &= w_i[(n+1)\varepsilon],\\ \frac{1}{2^{n+1}}\binom{n}{\frac{n+i+1}{2}} &= \frac{1}{2}w_{i+1}(n\varepsilon),\\ \frac{1}{2^{n+1}}\binom{n}{\frac{n+i-1}{2}} &= \frac{1}{2}w_{i-1}(n\varepsilon). \end{aligned}\]

因此

\[w_i[(n+1)\varepsilon] = \frac{1}{2}w_{i+1}(n\varepsilon) + \frac{1}{2}w_{i-1}(n\varepsilon)\]

令

\[\begin{aligned} x&=il,\qquad t=n\varepsilon,\\ p_l(x,t)&=\frac{w_i(n\varepsilon)}{l},\\ p_l(x,t+\varepsilon) &= \frac{1}{2}p_l(x+l,t)+\frac{1}{2}p_l(x-l,t). \end{aligned}\]

这是无限晶格上的离散扩散关系. 若将 \(p_l\) 在各宽度为 \(l\) 的格点单元内作常值延拓, 则 \(\int p_l(x,t)\,\mathrm{d}x=\sum_iw_i(t)=1\). 移项得到

\[\frac{p_l(x,t+\varepsilon)-p_l(x,t)}{\varepsilon} = \frac{l^2}{2\varepsilon} \frac{p_l(x+l,t)-2p_l(x,t)+p_l(x-l,t)}{l^2}.\]

每步必移动的晶格游走保留奇偶性, 因而这个离散密度不在所有格点上逐点趋于光滑函数. 连续极限应理解为概率分布的弱收敛, 或先在相邻格点上作粗粒化后得到光滑密度 \(w(x,t)\). 对光滑尺度的差分作 Taylor 展开, 再取扩散尺度极限

当

\[\varepsilon\to 0, \qquad l\to 0, \qquad \frac{l^2}{2\varepsilon}\to D\]

可以写作:

\[\frac{\partial w}{\partial t} = D\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\]

这就是一维扩散方程, 其中 \(D\) 为扩散系数.

方差:

\[\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2=2Dt\]

在无限长线上, 初始密度为 \(w(x,0)=\delta(x)\), 对 \(t>0\) 有归一化的 Gaussian 解:

\[w(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)\]

8.5.3 Finite-State Equilibrium

Example 转移矩阵

\[\mathbf{W} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{2}{3}\\ \frac{3}{4} & \frac{5}{8} & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\]\[\mathbf{w}(0)=(1,0,0)^{\mathsf{T}}\]

Solution 时间演化:

\[\begin{aligned} \mathbf{w}(\varepsilon) &= \mathbf{W}\mathbf{w}(0) = \left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},0\right)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{w}(2\varepsilon) &= \mathbf{W}\mathbf{w}(\varepsilon) = \left(\frac{5}{32},\frac{21}{32},\frac{3}{16}\right)^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]

平衡态满足

\[\mathbf{w}(\infty)=\mathbf{W}\mathbf{w}(\infty)\]

即

\[\begin{aligned} W_{11}w_1(\infty)+W_{12}w_2(\infty)+W_{13}w_3(\infty) &= w_1(\infty),\\ W_{21}w_1(\infty)+W_{22}w_2(\infty)+W_{23}w_3(\infty) &= w_2(\infty),\\ W_{31}w_1(\infty)+W_{32}w_2(\infty)+W_{33}w_3(\infty) &= w_3(\infty). \end{aligned}\]

再加归一化条件

\[\sum_i w_i(\infty)=1\]

解得

\[\mathbf{w}(\infty) = \left(\frac{4}{15},\frac{8}{15},\frac{1}{5}\right)^{\mathsf{T}}\]

这个有限状态例子的转移矩阵不可约且有自环, 因而非周期, 从任意初态收敛到唯一平稳分布. 一般 Markov 链不能无条件断言收敛. 对本例可对角化的 \(\mathbf{W}\), 将初始分布按本征向量展开:

\[\mathbf{w}(0)=\sum_i \alpha_i\mathbf{v}_i\]

经过 \(t\) 步后:

\[\mathbf{w}(t) = \mathbf{W}^t\mathbf{w}(0) = \sum_i\lambda_i^t\alpha_i\mathbf{v}_i\]

有限状态随机矩阵总有本征值 \(1\), 且所有本征值满足 \(|\lambda_i|\leq1\). 若链不可约且非周期, 则 \(1\) 是单本征值, 其余本征值才满足 \(|\lambda_i|\lt1\). 可约链可能有多个平稳分布, 周期链可能有其他单位模本征值, 例如两状态交替链有 \(\lambda=-1\). 对本例, 当 \(t\to\infty\) 时, 只有 \(\lambda_i=1\) 的项保留:

\[\mathbf{w}(\infty) \propto \text{eigenvector corresponding to eigenvalue }1\]

对于刚才的例子, 对角化得到特征值

\[\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{48}(5-\mathrm{i}\sqrt{311}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{48}(5+\mathrm{i}\sqrt{311}) \end{pmatrix}\]

特征矢量为

\[\begin{aligned} \mathbf{v}_1 &= \begin{pmatrix} \frac{4}{3}\\ \frac{8}{3}\\ 1 \end{pmatrix},\\ \mathbf{v}_2 &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{12}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{311}}{12}\\ -\frac{11}{12}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{311}}{12}\\ 1 \end{pmatrix},\\ \mathbf{v}_3 &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{12}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{311}}{12}\\ -\frac{11}{12}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{311}}{12}\\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

将第一个特征矢量归一化, 得到

\[\mathbf{w}(\infty) = \left(\frac{4}{15},\frac{8}{15},\frac{1}{5}\right)^{\mathsf{T}}\]

8.5.4 Continuous-Time Rates

先区分连续时间转移速率与离散时间转移概率. 若 \(\Gamma(j\to i)\) 表示连续时间速率, 则主方程为

\[\frac{\mathrm{d}w_i}{\mathrm{d}t} = \sum_{j\neq i}\left[\Gamma(j\to i)w_j-\Gamma(i\to j)w_i\right].\]

平稳条件只要求总流入与总流出相等:

\[\sum_{j\neq i}\Gamma(j\to i)w_j=\sum_{j\neq i}\Gamma(i\to j)w_i.\]

若进一步要求 \(\Gamma(j\to i)w_j=\Gamma(i\to j)w_i\) 对每一对状态成立, 才得到细致平衡. 以下 Metropolis 更新使用离散时间提议和转移概率.

8.6 Metropolis Algorithm

逐对相等是细致平衡, 它是目标分布保持不变的充分而非必要条件. 从任意初态收敛还需要遍历性: 有限状态链通常要求不可约和非周期; 满足细致平衡却困在某个子集的链并不能正确采样整个目标分布.

当直接知道 \(W\) 很困难时(分布复杂、维度高、归一化常数未知等), Metropolis 算法通过对称提议分布与接受概率构造满足细致平衡条件的转移矩阵, 从而使采样分布收敛到目标分布.

将转移矩阵分解:

\[W(j\to i)=q(j\to i)A(j\to i),\qquad i\neq j.\]

这里提议概率满足 \(\sum_iq(j\to i)=1\). 转移矩阵的对角元还要包含所有拒绝后留在原态的概率:

\[W(j\to j)=q(j\to j)A(j\to j)+\sum_iq(j\to i)[1-A(j\to i)].\]

其中 \(q(j\to i)\) 是提议分布(如对称随机行走), \(A(j\to i)\) 是接受概率.

考虑所有可能转移后, 状态 \(i\) 的分布更新为:

\[w_i(t+1) = \sum_j\left[ w_j(t)q(j\to i)A(j\to i) + w_i(t)q(i\to j)(1-A(i\to j)) \right]\]

第一项为接受后到达 \(i\) 的概率, 第二项为从 \(i\) 提议转移但被拒绝而留在原态的概率. 离散时间演化的差分为

\[w_i(t+1)-w_i(t) = \sum_j\left[ w_j(t)q(j\to i)A(j\to i) - w_i(t)q(i\to j)A(i\to j) \right]\]

平衡时, 满足:

\[w_i(t+1)=w_i(t)\]

即

\[\sum_j w_jq(j\to i)A(j\to i) = \sum_j w_iq(i\to j)A(i\to j)\]

细致平衡条件是更强的条件, 每一项分别相等:

\[w_jq(j\to i)A(j\to i) = w_iq(i\to j)A(i\to j)\]

等价于:

\[\begin{aligned} \frac{W(j\to i)}{W(i\to j)} &= \frac{w_i}{w_j},\\ \frac{q(j\to i)A(j\to i)}{q(i\to j)A(i\to j)} &= \frac{w_i}{w_j}. \end{aligned}\]

Metropolis 算法通常取对称提议:

\[q(j\to i)=q(i\to j)\]

并设:

\[A(j\to i) = \min\left(1,\frac{w_i}{w_j}\right)\]

对于非对称提议分布 \(q(j\to i)\neq q(i\to j)\), 接受概率应取更一般的 Metropolis-Hastings 形式:

\[A(j\to i) = \min\left( 1, \frac{w_iq(i\to j)}{w_jq(j\to i)} \right).\]

完整算法流程为:

选取初始状态 \(i\).
由当前状态 \(i\) 按提议分布抽取候选状态 \(j\sim q(i\to j)\).
计算接受概率
\[A(i\to j) = \min\left( 1, \frac{w_jq(j\to i)}{w_iq(i\to j)} \right).\]
抽取 \(u\sim U(0,1)\).
若 \(u\leq A(i\to j)\), 则接受候选状态 \(j\); 否则停留在 \(i\).
丢弃前面若干步 burn-in, 对后续样本做统计平均.

当提议分布对称时, 上式退化为普通 Metropolis 接受率 \(\min(1,w_j/w_i)\).

8.6.1 Equilibrium Statistical Physics Application

在温度 \(T\) 下, 系统处于微观态 \(i\) 的概率满足 Boltzmann 分布:

\[w_i=\frac{\mathrm{e}^{-\beta E_i}}{Z}, \qquad \beta=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}\]

期望值:

\[\langle O\rangle = \sum_i O_iw_i = \frac{\sum_i O_i\mathrm{e}^{-\beta E_i}}{Z}\]

直接计算期望值需要遍历所有状态, 这通常是难以实现的. Metropolis 算法只需要考虑能量差:

\[\frac{w_i}{w_j} = \mathrm{e}^{-\beta(E_i-E_j)}\]

接收概率:

\[A(j\to i) = \min\left(1,\mathrm{e}^{-\beta(E_i-E_j)}\right) = \begin{cases} 1, & E_i\leq E_j,\\ \mathrm{e}^{-\beta(E_i-E_j)}, & E_i>E_j. \end{cases}\]

新状态能量更低或相等, 总是接受; 若能量更高, 则以概率 \(\mathrm{e}^{-\beta(E_{i}-E_{j})}\) 接受.

8.7 MCMC Integration *

可以用 MCMC(Markov chain Monte Carlo) 方法来计算高维积分. 在 Bayesian 统计中, 后验分布是在给定观测数据后, 某个参数或一组参数的概率分布. Bayes 定理给出:

\[P(\theta|D) = \frac{P(D|\theta)P(\theta)}{P(D)}\]

其中 \(P(\theta|D)\) 为后验分布, \(P(D|\theta)\) 为似然函数, \(P(\theta)\) 为先验分布, \(P(D)\) 为边际似然或证据.

以掷硬币为例. 设硬币正面的概率为 \(p\), 先验分布取为 \([0,1]\) 上的均匀分布:

\[P(p) = \begin{cases} 1, & 0\leq p\leq 1,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}\]

如果抛 10 次硬币得到 7 次正面、3 次反面, 似然函数为

\[P(D|p) = \binom{10}{7}p^7(1-p)^3\]

因此后验分布满足

\[P(p|D)\propto p^7(1-p)^3\]

这是一个 Beta 分布. 后验分布的期望值为

\[E(p|D) = \int_0^1 pP(p|D)\,\mathrm{d}p = \frac{2}{3}\]

实际的后验分布期望值在高维参数空间中通常难以解析求解, 此时可以使用 MCMC 近似计算. MCMC 积分通过构造一条平稳分布等于后验分布 \(p(\theta|D)\) 的 Markov 链, 再从链上抽取大量样本:

\[\int g(\theta)p(\theta|D)\,\mathrm{d}\theta \approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}g(\theta_i)\]

独立直接采样没有序列自相关, 但复杂目标分布往往难以直接抽取. Markov 链样本通常相关, 正相关会降低有效样本量, 负相关也可能提高它. 使用 MCMC 积分还要求目标分布确为平稳分布, 链满足相应遍历条件, 且观测量可积; 误差估计另需中心极限定理及自相关求和等条件, 不能只凭任意更新规则保证正确性.

8.8 Hamiltonian Monte Carlo *

HMC(Hamiltonian Monte Carlo) 是对 Metropolis 算法的一种改进, 通过引入动量变量和 Hamilton 动力学更高效地探索状态空间. 将目标分布 \(\pi(q)\) 视作势能分布:

\[\pi(q)\propto \mathrm{e}^{-U(q)}\]

引入辅助动量变量 \(p\), 通常取独立正态分布:

\[\pi(p)\propto \mathrm{e}^{-K(p)}, \qquad K(p)=\frac{p^2}{2m}\]

联合分布为

\[\pi(q,p) = \pi(q)\pi(p) \propto \mathrm{e}^{-H(q,p)}, \qquad H(q,p)=U(q)+K(p)\]

Hamilton 方程为

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} &= \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m},\\ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} &= -\frac{\partial H}{\partial q} = -\frac{\partial U}{\partial q}. \end{aligned}\]

这里为简明取一维变量和 \(m>0\). 每次 HMC 更新先独立刷新 \(p\sim\mathcal{N}(0,m)\), 再用可逆且保持相空间体积的积分器生成轨迹. 常用蛙跳(leapfrog) 方法, 步长 \(h\) 的一步为

\[\begin{aligned} p_{1/2}&=p-\frac{h}{2}U'(q),\\ q_1&=q+\frac{h}{m}p_{1/2},\\ p_1&=p_{1/2}-\frac{h}{2}U'(q_1). \end{aligned}\]

重复固定步数后翻转末动量, 得到可逆的确定性提议 \((q',p')\); 然后按能量差接受或拒绝. 若拒绝, 保留原位置; 最后只记录位置作为目标分布的样本. 接受概率为

\[A = \min\left(1,\mathrm{e}^{-H(q',p')+H(q,p)}\right)\]

精确 Hamilton 流守恒能量, 此时接受率为 \(1\); 数值轨迹一般不精确守恒能量, 上述 Metropolis 步用于修正积分误差. 仅有能量差接受率不能修正任意不保持体积或不可逆的离散映射, 仍需满足提议的条件和链的遍历性.²

8.9 Quantum Monte Carlo *

QMC (Quantum Monte Carlo) 用 Monte Carlo 方法估计多体系统的基态能量.

Proposition 变分上界. 根据变分原理, 对任意依赖参数 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的试探波函数 \(\phi(\mathbf{R},\boldsymbol{\alpha})\), 能量期望值满足

\[E_0 \leq \frac{\int \phi^*(\mathbf{R})\hat{H}\phi(\mathbf{R})\,\mathrm{d}\mathbf{R}} {\int|\phi(\mathbf{R})|^2\,\mathrm{d}\mathbf{R}}\]

其中 \(\mathbf{R}\) 是所有 \(N\) 个粒子的坐标. 通过优化参数 \(\boldsymbol{\alpha}\) 使能量期望值最小化, 可以得到接近基态的波函数.

Definition 局部能量. 一般多体问题的 Hamiltonian 可写作

\[\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^{N}\nabla_i^2 + \sum_i V_{\mathrm{onebody}}(\mathbf{r}_i) + \sum_{i\lt j}V_{\mathrm{int}}(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|)\]

定义局部能量

\[E_L(\mathbf{R}) = \frac{\hat{H}\phi(\mathbf{R})}{\phi(\mathbf{R})}\]

代入 Hamiltonian 得

\[E_L(\mathbf{R}) = \frac{ -\frac{\hbar^2}{2m}\sum_i\nabla_i^2\phi(\mathbf{R}) }{\phi(\mathbf{R})} + \sum_iV_{\mathrm{onebody}}(\mathbf{r}_i) + \sum_{i\lt j}V_{\mathrm{int}}(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|)\]

Remark 变分 Monte Carlo 的迭代流程:

选定含参数的 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\phi\).
用 Monte Carlo 方法从概率密度
\[P(\mathbf{R}) = \frac{|\phi(\mathbf{R})|^2}{\int|\phi(\mathbf{R})|^2\,\mathrm{d}\mathbf{R}}\]
中抽取样本, 并估计
\[\langle \hat{H}\rangle = \int P(\mathbf{R})\frac{\hat{H}\phi(\mathbf{R})}{\phi(\mathbf{R})}\,\mathrm{d}\mathbf{R}\]
调整参数 \(\boldsymbol{\alpha}\), 使 \(\langle \hat{H}\rangle\) 最小化.

采样后即可直接计算积分:

\[\langle \hat{H}\rangle = \int P(\mathbf{R})E_L(\mathbf{R})\,\mathrm{d}\mathbf{R} \approx \frac{1}{N_{\mathrm{s}}}\sum_{k=1}^{N_{\mathrm{s}}}E_L(\mathbf{R}_k)\]

这里 \(N_{\mathrm{s}}\) 是样本数, 与粒子数 \(N\) 不同; Markov 采样的标准误差应按局部能量的自相关作修正.

Remark Metropolis 采样. 下面考虑如何从 \(P(\mathbf{R})\propto|\phi(\mathbf{R})|^2\) 中取样. 使用 Metropolis 算法时, 取对称的位移提议分布; 如果当前构型为 \(\mathbf{R}\), 提议新构型 \(\mathbf{R}_p=\mathbf{R}+\Delta\mathbf{R}\), 计算比值:

\[w = \frac{P(\mathbf{R}_p)}{P(\mathbf{R})} = \frac{|\phi(\mathbf{R}_p)|^2}{|\phi(\mathbf{R})|^2}\]

若 \(w\geq 1\), 总是接受; 若 \(w\lt 1\), 以概率 \(w\) 接受, 否则拒绝.

Example 一维谐振子. 以下取无量纲单位, 原势能参数固定为 \(k=2\):

\[\hat{H}=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+x^2\]

Solution 严格求解波函数为

\[\phi_0(x) = \frac{1}{\pi^{1/4}}\mathrm{e}^{-x^2/2}\]

试探波函数取 \(\alpha>0\):

\[\phi(x) = \frac{\sqrt{\alpha}}{\pi^{1/4}}\mathrm{e}^{-x^2\alpha^2/2}\]

局部能量为

\[E_L(x)=\alpha^2+x^2(1-\alpha^4)\]

于是

\[\langle \hat{H}\rangle = \int |\phi(x)|^2E_L(x)\,\mathrm{d}x = \frac{\alpha^2}{2}+\frac{1}{2\alpha^2}\]

\(\alpha=1\) 时达到最小值, 得到基态能量 \(E_0=1\). 解析积分时必须将波函数归一化; 如果用 Monte Carlo 算法, 则无需显式处理归一化常数.

8.10 Diffusion Monte Carlo

DMC(diffusion Monte Carlo) 的核心思想是虚时投影加扩散分支. 令 \(\tau\) 具有能量倒数的量纲, 对 \(H=-D\nabla_R^2+V\), \(D=\hbar^2/(2m)\), 有

\[\partial_\tau\Phi=-(H-E_T)\Phi=D\nabla_R^2\Phi-(V-E_T)\Phi.\]

本征态展开给出 \(\Phi(\tau)=\sum_n c_n\exp[-(E_n-E_T)\tau]\phi_n\). 若初态与目标基态重叠非零, 长虚时抑制高能分量. \(E_T\) 调节整体归一化, 不改变理想投影的本征态.

短时间动能传播是方差 \(2D\Delta\tau\) 的 Gaussian 随机位移; 势能传播用分支或权重 \(\exp[-(V-E_T)\Delta\tau]\) 实现. 对正的引导函数 \(\Psi_T\), 令 \(f=\Psi_T\Phi\), 改写为

\[\partial_\tau f=D\nabla_R^2f-\nabla_R\cdot(\vec v_Df)-(E_L-E_T)f,\qquad \vec v_D=2D\nabla_R\ln\Psi_T,\qquad E_L=\frac{H\Psi_T}{\Psi_T}.\]

因此每一步包括漂移、扩散和依据局域能量的权重更新. 引导函数接近本征态时 \(E_L\) 涨落较小, 分支噪声减弱. 长时间采样的是混合分布 \(\Psi_T\Phi_0\), 而不是自动得到 \(|\Phi_0|^2\); 能量混合估计有特殊性质, 一般不对易可观测量仍有试探态偏差.

费米波函数变号使正权重抽样困难. 固定节点近似把试探节点作为零边界, 在各节点区域内投影. 对实局域 Hamiltonian, 理想固定节点能量是相应费米基态能量的上界; 节点错误不会随时间步减小而消失. 数值验收应分别检查时间步外推、群体大小、热化与自相关、节点依赖, 并用可解的小系统作基准.³

References

Ulrich Schollwöck, The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states. ↩︎
Radford M. Neal, MCMC using Hamiltonian dynamics. ↩︎
Julien Toulouse, Roland Assaraf and C. J. Umrigar, Introduction to the variational and diffusion Monte Carlo methods. ↩︎

Computational Physics - 4

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

9 Ordinary Differential Equations

初值问题: 在某个时间点给定系统的状态, 求解系统在未来时间的演化
边值问题: 在空间或时间的边界上给定系统的状态, 求解系统在整个区域内的行为

9.1 Euler Method

考虑一阶常微分方程的初值问题

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=f(t,y),\qquad a\leq t\leq b,\qquad y(a)=\alpha .\]

在等间距网格
\[t_i=a+i h,\qquad i=0,1,\cdots,N,\qquad h=\frac{b-a}{N}\]
上, 数值解记为 \(w_i\approx y(t_i)\). 在 \((t_i,t_{i+1})\) 上, 对精确解作 Taylor 展开:
\[\begin{aligned} y(t_{i+1}) &= y(t_i)+h y'(t_i)+\frac{h^2}{2}y''(\xi_i)\\ &= y(t_i)+h f(t_i,y(t_i))+\frac{h^2}{2}y''(\xi_i) \qquad \xi_i\in(t_i,t_{i+1}) \end{aligned}\]
Euler 法忽略余项, 并把精确值 \(y(t_i)\) 替换为数值近似 \(w_i\), 得到直接递归迭代
\[w_0=\alpha,\qquad w_{i+1}=w_i+h f(t_i,w_i),\qquad i=0,1,\cdots,N-1.\]

9.2 Higher-Order Taylor Expansion

Euler 法是 Taylor 法的一阶截断. 若保留更高阶导数, 有

\[\begin{aligned} y(t_{i+1}) &=y(t_i)+h y'(t_i)+\frac{h^2}{2!}y''(t_i)+\cdots+\frac{h^n}{n!}y^{(n)}(t_i) +\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}y^{(n+1)}(\xi_i)\\ &=y(t_i)+h T^{(n)}(t_i,y(t_i)) +\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n)}(\xi_i,y(\xi_i)) \end{aligned}\]

数值格点中
\[T^{(n)}(t_i,w_i) =f(t_i,w_i)+\frac{h}{2}f'(t_i,w_i)+\cdots+\frac{h^{n-1}}{n!}f^{(n-1)}(t_i,w_i)\]
\(f',f'',\cdots\) 表示沿解轨道的全导数. 于是 \(n\) 阶 Taylor 迭代为
\[w_0=\alpha,\qquad w_{i+1}=w_i+hT^{(n)}(t_i,w_i),\qquad i=0,1,\cdots,N-1\]
局部截断误差
\[\tau_{i+1}(h)=\frac{y(t_{i+1})-y(t_i)-hT^{(n)}(t_i,y(t_i))}{h}=\frac{h^n}{(n+1)!}f^{(n)}(\xi_i,y(\xi_i))\]
按这里除以 \(h\) 的定义, 量级为 \(O(h^n)\); 未除以 \(h\) 的单步缺陷为 \(O(h^{n+1})\). 若导数充分光滑且 \(f\) 对 \(y\) 满足 Lipschitz 条件, 固定积分区间上的全局误差为 \(O(h^n)\).

Example 考虑初值问题

\[y'=y-t^2+1,\qquad 0\leq t\leq 2,\qquad y(0)=0.5.\]

精确解为 \(y(t)=(t+1)^2-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t}\).

Solution 取二阶 Taylor 法时(注意全导数)

\[T^{(2)}(t_i,w_i) =w_i-t_i^2+1+\frac{h}{2}(w_i-t_i^2+1-2t_i)\]

取步长 \(h=0.2\), \(t_i=0.2i\), 则

\[\begin{aligned} w_{i+1} &=w_i+0.2\left[\left(1+\frac{0.2}{2}\right)(w_i-0.04i^2+1)-0.04i\right]\\ &=1.22w_i-0.0088i^2-0.008i+0.22. \end{aligned}\]

高阶 Taylor 法可以显著减小截断误差, 但代价是需要计算 \(f\) 沿解轨道的高阶全导数. 因此实际上常不如 Runge-Kutta 类方法方便.

9.3 Runge-Kutta Methods

Runge-Kutta 方法的思想是用若干次函数值计算来代替 Taylor 法中的显式高阶导数.

9.3.1 Midpoint Method

从二阶 Taylor 展开出发

\[T^{(2)}(t,y)=f(t,y)+\frac{h}{2}f'(t,y),\]

其中沿解曲线的全导数为

\[f'(t,y)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(t,y) =\frac{\partial f}{\partial t}(t,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)y'(t) =\frac{\partial f}{\partial t}(t,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)f(t,y).\]

若用一个移位函数值 \(a_1 f(t+\alpha_1,y+\beta_1)\) 近似 \(T^{(2)}\), 由一阶展开
\[a_1 f(t+\alpha_1,y+\beta_1) \approx a_1 f(t,y)+a_1\alpha_1\frac{\partial f}{\partial t}(t,y) +a_1\beta_1\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)\]
与 \(T^{(2)}\) 的系数比较可取
\[a_1=1,\qquad \alpha_1=\frac{h}{2},\qquad \beta_1=\frac{h}{2}f(t,y).\]
以对其到 1 阶全导数.
忽略余项时得到二阶中点法
\[w_{i+1}=w_i+h f\left(t_i+\frac{h}{2},w_i+\frac{h}{2}f(t_i,w_i)\right).\]

9.3.2 Improved Euler Method

另一个二阶形式是改进 Euler 法. 由

\[y''(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t,y) =f_t(t,y)+f_y(t,y)y' =f_t+f_y f\]

可得

\[y(t+h)=y(t)+h f+\frac{h^2}{2}(f_t+f_y f)+O(h^3).\]

尝试取两个函数值的线性组合作为增率函数:
\[\begin{aligned} \Phi &\equiv a_1 f(t,y)+a_2 f(t+\alpha h,y+\beta h f)\\ &=(a_1+a_2)f+a_2\alpha hf_t+a_2\beta hf_yf+\mathcal{O}(h^2) \end{aligned}\]
比较系数, 取 \(a_1=a_2=1/2,\alpha=\beta=1\). 于是
\[\Phi=\frac{1}{2}f(t,y)+\frac{1}{2}f(t+h,y+h f).\]
结果上, 改进 Euler 法使用初始斜率和 Euler 预测端点斜率的平均:
\[w_{i+1}=w_i+\frac{h}{2}\left[f(t_i,w_i)+f(t_{i+1},w_i+h f(t_i,w_i))\right].\]

9.3.3 Third-Order Runge-Kutta Method

更高阶 Runge-Kutta 法继续把 Taylor 目标中的导数信息换成多次函数值. 例如三阶目标为

\[T^{(3)}(t,y)=f(t,y)+\frac{h}{2}f'(t,y)+\frac{h^2}{6}f''(t,y).\]

经过推导可得到三阶公式

\[\begin{aligned} w_0&=\alpha,\\ k_1&=h f(t_i,w_i),\\ k_2&=h f\left(t_i+\frac{h}{3},w_i+\frac{k_1}{3}\right),\\ k_3&=h f\left(t_i+\frac{2h}{3},w_i+\frac{2k_2}{3}\right),\\ w_{i+1}&=w_i+\frac{1}{4}(k_1+3k_3), \end{aligned}\]

其中 \(i=0,1,\cdots,N-1\).

9.3.4 Fourth-Order Runge-Kutta Method

经典四阶 Runge-Kutta 方法, 也就是 RK4, 为

\[\begin{aligned} w_0&=\alpha,\\ k_1&=h f(t_i,w_i),\\ k_2&=h f\left(t_i+\frac{h}{2},w_i+\frac{k_1}{2}\right),\\ k_3&=h f\left(t_i+\frac{h}{2},w_i+\frac{k_2}{2}\right),\\ k_4&=h f(t_{i+1},w_i+k_3),\\ w_{i+1}&=w_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}\]

RK4 在一般初值问题中使用广泛, 因为它不需要显式求高阶导数, 同时具有四阶精度. 对向量初值问题, 将 \(w_j,f,k_s\) 换成向量即可使用相同权重; 每个 stage 必须使用同一中间状态计算全部分量, 不能逐分量更新后混用新旧状态.

9.4 Predictor-Corrector Adams Methods *

多步法利用多个历史点来外推或插值 \(f(t,y)\), 再对一步区间上的积分进行近似. 与单步 RK(Runge-Kutta) 法相比, 它在每一步可以复用过去已经计算过的斜率, 但需要若干初始点启动.

9.4.1 Adams-Moulton Fourth-Order Implicit Method

三步四阶隐式 Adams-Moulton 格式为

\[\begin{aligned} w_0&=\alpha,\qquad w_1=\alpha_1,\qquad w_2=\alpha_2,\\ F_i&=f(t_i,w_i),\\ w_{i+1}&=w_i+\frac{h}{24}(9F_{i+1}+19F_i-5F_{i-1}+F_{i-2}). \end{aligned}\]

这里 \(w_{i+1}\) 同时出现在左边和右边, 因而是 implicit method.

9.4.2 Adams-Bashforth Third-Order Explicit Method

相应的三步显式 Adams-Bashforth 格式为

\[\begin{aligned} w_0&=\alpha,\qquad w_1=\alpha_1,\qquad w_2=\alpha_2,\\ F_i&=f(t_i,w_i),\\ w_{i+1} &=w_i+\frac{h}{12}(23F_i-16F_{i-1}+5F_{i-2}). \end{aligned}\]

9.4.3 Adams-Bashforth Fourth-Order Explicit Method

四步显式 Adams-Bashforth 格式为

\[\begin{aligned} w_0&=\alpha,\qquad w_1=\alpha_1,\qquad w_2=\alpha_2,\qquad w_3=\alpha_3,\\ F_i&=f(t_i,w_i),\\ w_{i+1} &=w_i+\frac{h}{24}(55F_i-59F_{i-1}+37F_{i-2}-9F_{i-3}). \end{aligned}\]

实际计算时, 可以先用四阶 Runge-Kutta 方法计算 \(w_0,w_1,w_2,w_3\). 之后用四步 Adams-Bashforth 作 predictor:

\[w_{4p}=w_3+\frac{h}{24}(55F_3-59F_2+37F_1-9F_0).\]

再用三步隐式 Adams-Moulton 作 corrector, 把未知的 \(w_4\) 先由 predictor \(w_{4p}\) 代入右端:

\[F_{4p}=f(t_4,w_{4p}),\qquad w_4=w_3+\frac{h}{24}(9F_{4p}+19F_3-5F_2+F_1).\]

下一步使用修正值重新计算 \(F_4=f(t_4,w_4)\), 再继续推进. 这里只作一次校正, 因而整个 predictor-corrector 递推是显式的, 并没有严格求解隐式 Adams-Moulton 方程. 在 \(f\) 光滑、启动值具有四阶精度的条件下, 它仍保持四阶精度, 但稳定域与完全求解的隐式格式不同.

9.5 Extended Fourth-Order Runge-Kutta Method *

常微分方程组的初值问题写成

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t} =\mathbf{f}(t,\mathbf{u}), \qquad \mathbf{u}(a)=\boldsymbol{\alpha}, \qquad \mathbf{u}=(u_1,\cdots,u_m)^{\mathsf{T}}, \qquad a\leq t\leq b.\]

单变量 RK4 的四个 stage 和权重可直接推广到向量. 设

\[\mathbf{w}_j=(w_{1,j},\cdots,w_{m,j})^{\mathsf{T}} \approx \mathbf{u}(t_j), \qquad \mathbf{w}_0=\boldsymbol{\alpha}.\]

按 stage 定义

\[\begin{aligned} \mathbf{k}_1&=h\mathbf{f}(t_j,\mathbf{w}_j),\\ \mathbf{k}_2&=h\mathbf{f}\left(t_j+\frac{h}{2},\mathbf{w}_j+\frac{\mathbf{k}_1}{2}\right),\\ \mathbf{k}_3&=h\mathbf{f}\left(t_j+\frac{h}{2},\mathbf{w}_j+\frac{\mathbf{k}_2}{2}\right),\\ \mathbf{k}_4&=h\mathbf{f}(t_j+h,\mathbf{w}_j+\mathbf{k}_3). \end{aligned}\]

递推公式为

\[\mathbf{w}_{j+1} =\mathbf{w}_j+\frac{1}{6}(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4).\]

第 \(\ell\) 个分量就是原来的 \(k_{s,\ell}\) 公式. 由于 \(\mathbf{k}_2\), \(\mathbf{k}_3\), \(\mathbf{k}_4\) 都依赖前一 stage 中所有变量的增量, 方程组必须按 stage 整体推进.

9.6 Higher-Order Ordinary Differential Equations

高阶方程

\[y^{(m)}(t)=f(t,y,y',\cdots,y^{(m-1)}),\qquad a\leq t\leq b,\]

初值

\[y(a)=\alpha_1,\qquad y'(a)=\alpha_2,\qquad \cdots\qquad y^{(m-1)}(a)=\alpha_m\]

也可化为一阶.

令 \[u_1(t)=y(t),\qquad u_2(t)=y'(t),\qquad \cdots,\qquad u_m(t)=y^{(m-1)}(t),\] 则 \[\begin{cases} u_1'=u_2,\\ u_2'=u_3,\\ \cdots\\ u_{m-1}'=u_m,\\ u_m'=f(t,u_1,u_2,\cdots,u_m). \end{cases}\] 相应初值为 \[u_1(a)=\alpha_1,\qquad u_2(a)=\alpha_2,\qquad \cdots,\qquad u_m(a)=\alpha_m.\]

Example 将二阶方程化为一阶系统

\[y''-2y'+2y=\mathrm{e}^{2t}\sin t,\qquad 0\leq t\leq 1,\qquad y(0)=-0.4,\qquad y'(0)=-0.6\]

Solution 取

\[u_1(t)=y(t),\qquad u_2(t)=y'(t),\]

得到

\[\begin{aligned} u_1'(t)&=u_2(t),\\ u_2'(t)&=\mathrm{e}^{2t}\sin t-2u_1(t)+2u_2(t), \end{aligned} \qquad u_1(0)=-0.4,\quad u_2(0)=-0.6.\]

试用 \(h=0.1\) 的四阶 Runge-Kutta 求第一步, 初始值为 \(w_{1,0}=-0.4\), \(w_{2,0}=-0.6\), \(t_0=0\). stage 增量为

\[\mathbf{F}(t,\mathbf{u}) = \begin{pmatrix} u_2\\ \mathrm{e}^{2t}\sin t-2u_1+2u_2 \end{pmatrix}.\]

代入 RK4 stage 后得到

\[\begin{aligned} \mathbf{k}_1&=(-0.06,\,-0.04)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{k}_2&=(-0.062,\,-0.03247644756)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{k}_3&=(-0.06162382238,\,-0.03152409232)^{\mathsf{T}},\\ \mathbf{k}_4&=(-0.06315240923,\,-0.02178637294)^{\mathsf{T}}. \end{aligned}\]

因此

\[\mathbf{w}_1 =\mathbf{w}_0+\frac{1}{6}(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4) =(-0.4617333423,\,-0.6316312421)^{\mathsf{T}}.\]

9.7 Stiff Differential Equations

stiff equations 包含衰减尺度相差很大的模式, 因而真实解中快速衰减的分量可能很小, 但显式格式仍会被这些快模态的稳定性限制住. 此时显式方法需要极小步长, 否则很容易发散不收敛. 隐式方法的稳定性更适合处理此类问题.

对测试方程 \(y'=\lambda y\), 令 \(z=h\lambda\), 显式 Euler 的放大因子为 \(R(z)=1+z\), 稳定条件为 \(|1+z|\le1\); 隐式 Euler 为 \(R(z)=(1-z)^{-1}\), 在整个左半平面稳定且 \(z\to-\infty\) 时趋于零. 因而负实快模态会严格限制显式 Euler 的步长, 而隐式 Euler 可以将其强烈衰减.

9.7.1 Implicit Trapezoidal Method

隐式梯形法使用梯形公式近似:

\[w_0=\alpha,\qquad w_{j+1}=w_j+\frac{h}{2}\left[f(t_{j+1},w_{j+1})+f(t_j,w_j)\right].\]

因为 \(w_{j+1}\) 出现在右端, 每一步需要求解

\[F(w)=w-w_j-\frac{h}{2}\left[f(t_{j+1},w)+f(t_j,w_j)\right]=0.\]

Newton method 的迭代写为

\[w_{j+1}^{(k)} =w_{j+1}^{(k-1)}-\frac{F(w_{j+1}^{(k-1)})}{F'(w_{j+1}^{(k-1)})}, \qquad F'(w)=1-\frac{h}{2}f_y(t_{j+1},w).\]

对测试方程 \(y'=\lambda y\), 梯形法的放大因子为 \(R(z)=(1+z/2)/(1-z/2)\), 其中 \(z=h\lambda\). 当 \(\operatorname{Re}z\le0\) 时有 \(|R(z)|\le1\), 即 A 稳定; 但 \(z\to-\infty\) 时 \(R(z)\to-1\), 对极快衰减模式可能产生数值振荡, 不具备 L 稳定性.

9.7.2 Gear Method *

Gear 方法使用后向差分公式 BDF(backward differentiation formula). 以下取固定步长 \(h\), 并把当前值的系数归一为 1. 一般写成

\[\mathbf{y}_{n+k}-h\beta_k\mathbf{f}(x_{n+k},\mathbf{y}_{n+k})=\mathbf{g}_{n+k}, \qquad \mathbf{g}_{n+k}=-\sum_{j=0}^{k-1}\alpha_j\mathbf{y}_{n+j}.\]

固定步长 BDF 在 1–6 阶满足零稳定性; 其中一阶和二阶为 A 稳定, 三至六阶为 \(A(\alpha)\) 稳定, 稳定域包含负实轴周围的扇形区域, 但不包含整个左半平面, 不能对所有左半平面特征值任意取步长. 更高阶 BDF 不满足零稳定性.¹

二阶和三阶例子为

\[\begin{aligned} y_{n+2}&=\frac{4y_{n+1}-y_n+2hf_{n+2}}{3},\\ y_{n+3}&=\frac{18y_{n+2}-9y_{n+1}+2y_n+6hf_{n+3}}{11}. \end{aligned}\]

对向量问题, 当前步未知量可用 Newton method 求解:

\[\mathbf{y}_{n+k}^{[s+1]} =\mathbf{y}_{n+k}^{[s]} -\left[\mathbf{I}-h\beta_k\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{y}}(x_{n+k},\mathbf{y}_{n+k}^{[s]})\right]^{-1} \left[\mathbf{y}_{n+k}^{[s]}-h\beta_k\mathbf{f}(x_{n+k},\mathbf{y}_{n+k}^{[s]})-\mathbf{g}_{n+k}\right].\]

9.8 Stability of Explicit and Implicit Euler Methods

Example 测试方程

\[y'=-cy,\qquad c>0 \implies y(t)=y_0\mathrm{e}^{-ct}.\]

Solution 显式差分给出

\[y_{n+1}=y_n+h y_n'=(1-ch)y_n \implies y_n=(1-ch)^n y_0.\]

若要求固定步长下数值解随 \(n\to\infty\) 衰减, 必须有 \(0\lt ch\lt 2\). 这是绝对稳定条件; 对固定时间区间逼近精确解的收敛则指 \(h\to0\). \(c\) 很大时, 显式 Euler 法要求步长 \(h\) 很小, 否则会不稳定.

而隐式差分给出

\[y_{n+1}=y_n+h y_{n+1}'=y_n-chy_{n+1} \implies y_{n+1}=\frac{y_n}{1+ch},\qquad y_n=\frac{y_0}{(1+ch)^n}.\]

因此隐式 Euler 法对该测试方程无条件稳定, 更适合刚性方程.

Example 上例推广到线性系统 \(\mathbf{y}'=-\mathbf{C}\mathbf{y}\).

Solution 先求严格解: 若 \(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{T}=\operatorname{diag}(\lambda_0,\cdots,\lambda_{N-1})\), 令

\[\mathbf{z}=\mathbf{T}^{-1}\mathbf{y} \implies \mathbf{z}'=-\operatorname{diag}(\lambda_0,\cdots,\lambda_{N-1})\mathbf{z}\]

解为

\[\mathbf{y}(x)=\mathbf{T}\operatorname{diag}\left(\mathrm{e}^{-\lambda_0 x},\cdots,\mathrm{e}^{-\lambda_{N-1}x}\right)\mathbf{T}^{-1}\mathbf{y}_0.\]

当所有 \(\lambda_i\) 的实部为正时, 连续系统稳定. 刚性系统的特征值实部相差很大, 因而显式方法的步长会被最大特征值限制.

显式差分满足
\[\mathbf{y}_{n+1}=(\mathbf{I}-h\mathbf{C})\mathbf{y}_n,\qquad \mathbf{y}_n=(\mathbf{I}-h\mathbf{C})^n\mathbf{y}_0.\]
若沿特征向量展开
\[\mathbf{y}_0=\sum_{i=0}^{N-1}\alpha_i\boldsymbol{\xi}_i \implies \mathbf{y}_n=\sum_{i=0}^{N-1}\alpha_i(1-h\lambda_i)^n\boldsymbol{\xi}_i.\]
稳定条件为 \(|1-h\lambda_i|\lt 1\); 若特征值均为正实数, 则化为
\[|1-h\lambda_i|\lt 1 \implies h\lt \frac{2}{\lambda_{\max}}.\]
隐式差分则给出
\[\mathbf{y}_{n+1}=(\mathbf{I}+h\mathbf{C})^{-1}\mathbf{y}_n, \qquad |1+h\lambda_i|^{-1}\lt 1,\qquad i=0,\cdots,N-1.\]
没有最大特征值步长限制.

9.9 Linear Shooting Method

考虑二阶线性边值问题

\[y''=p(x)y'+q(x)y+r(x),\qquad a\leq x\leq b, \qquad y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta.\]

打靶法把未知初始斜率 \(y'(a)\) 视为待定参数 \(t\), 通过调整 \(t\) 使解命中右端边界, 从而把边值问题转化为初值问题.

在线性情形, 可用叠加原理将原解拆成两部分:

非齐次特解 \(y_1\): 满足原方程, 取零初始斜率
\[y_1''=p(x)y_1'+q(x)y_1+r(x),\qquad y_1(a)=\alpha,\quad y_1'(a)=0.\]
齐次补解 \(y_2\): 满足齐次方程, 取单位初始斜率
\[y_2''=p(x)y_2'+q(x)y_2,\qquad y_2(a)=0,\quad y_2'(a)=1.\]

则任意组合

\[y(x)=y_1(x)+t\cdot y_2(x)\]

都满足原方程和左边界 \(y(a)=\alpha\) (因为 \(y_2(a)=0\)), 且初始斜率恰好是 \(y'(a)=t\). 代入右边界:

\[y(b)=y_1(b)+t\,y_2(b)=\beta \;\Longrightarrow\; t=\frac{\beta-y_1(b)}{y_2(b)}.\]

若 \(y_2(b)\ne0\), 原问题的唯一解为

\[y(x)=y_1(x)+\frac{\beta-y_1(b)}{y_2(b)}\,y_2(x).\]

若 \(y_2(b)=0\), 则 \(\beta\ne y_1(b)\) 时无解, \(\beta=y_1(b)\) 时初始斜率不能由右边界唯一确定, 存在一族解. 这些结论假设两个初值问题在整个区间上存在唯一解.

实际计算时分别算出 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\), 再按上式混合. 这就是线性打靶法.

9.10 Nonlinear Shooting Method *

考虑二阶非线性边值问题

\[y''=f(x,y,y'),\qquad a\leq x\leq b, \qquad y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta.\]

由于 \(x=a\) 处的导数未知, 设初始斜率 \(y'(a)=t\) 为待定参数, 转化为初值问题

\[y''=f(x,y,y'),\qquad y(a)=\alpha,\qquad y'(a)=t.\]

目标是调节 \(t\), 使数值解出的 \(y(b,t)\) 满足

\[F(t)=y(b,t)-\beta=0.\]

割线法:
\[t_k=t_{k-1} -\frac{F(t_{k-1})(t_{k-1}-t_{k-2})} {F(t_{k-1})-F(t_{k-2})}, \qquad k=2,3,\cdots.\]
Newton method
\[t_k=t_{k-1}-\frac{F(t_{k-1})}{F'(t_{k-1})}\]
但需要知道解对初始斜率的灵敏度. 对 \(y''(x,t)=f(x,y(x,t),y'(x,t))\) 关于参数 \(t\) 求导, 得
\[\frac{\partial y''}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial t}.\]
令
\[z(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}(x,t), \qquad F'(t)=z(b,t),\]
则灵敏度方程为
\[z''(x,t)=f_y(x,y,y')z(x,t)+f_{y'}(x,y,y')z'(x,t), \qquad a\leq x\leq b.\]
由于 \(y(a,t)=\alpha\) 不依赖 \(t\), 而 \(y'(a,t)=t\), 初值为
\[z(a,t)=0,\qquad z'(a,t)=1.\]
于是 Newton 递推可写为
\[t_k=t_{k-1}-\frac{F(t_{k-1})}{z(b,t_{k-1})}.\]
在每个试探 \(t\) 下, 同时求解 \(y(b,t)\) 和 \(z(b,t)\), 再用它们修正 \(t\). 因此 shooting method 把边值问题转化为一系列初值问题.

9.11 Numerov Method *

Numerov 方法针对

\[y''(x)=f(x)y(x)\]

这种不含一阶导数的二阶方程.

从 Taylor 展开到六阶开始:
\[y(x+h)+y(x-h)=2y(x)+h^2y''(x)+\frac{h^4}{12}y^{(4)}(x)+\frac{h^6}{360}y^{(6)}(x)+O(h^8).\]
引入辅助函数
\[w(x)=\left[1-\frac{h^2}{12}f(x)\right]y(x).\]
用中心差分近似
\[y^{(4)}(x)\approx\frac{y''(x+h)-2y''(x)+y''(x-h)}{h^2},\]
可得 Numerov 递推
\[w(x+h)+w(x-h)-2w(x)=h^2f(x)y(x)+O(h^6).\]
起点公式为
\[2h y'(0)=\left[1-\frac{h^2}{6}f(h)\right]y(h)-\left[1-\frac{h^2}{6}f(-h)\right]y(-h)+O(h^5).\]
递推在起点给出
\[\left[1-\frac{h^2}{12}f(h)\right]y(h)+\left[1-\frac{h^2}{12}f(-h)\right]y(-h) =\left[2+\frac{5h^2}{6}f(0)\right]y(0)+O(h^6).\]
将该式乘以 \(1-h^2f(-h)/6\), 将起点导数式乘以 \(1-h^2f(-h)/12\), 再相加以消去 \(y(-h)\). 假设 \(f\) 在起点两侧充分光滑且下式的 \(B\ne0\), 得 \(y(h)=A/B+O(h^5)\), 其中
\[\begin{aligned} A&=\left[2+\frac{5h^2}{6}f(0)\right]\left[1-\frac{h^2}{6}f(-h)\right]y(0)+2h y'(0)\left[1-\frac{h^2}{12}f(-h)\right],\\ B&=\left[1-\frac{h^2}{12}f(h)\right]\left[1-\frac{h^2}{6}f(-h)\right]+\left[1-\frac{h^2}{12}f(-h)\right]\left[1-\frac{h^2}{6}f(h)\right]. \end{aligned}\]

Numerov 方法也可用于

\[y''(x)+k(x)y(x)=F(x),\qquad a\leq x\leq b, \qquad y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta.\]

二阶导数可写作 \[y''(x)=\frac{y(x+h)+y(x-h)-2y(x)}{h^2}-\frac{h^2}{12}y^{(4)}(x)+O(h^4).\] 由 \(y''(x)=-k(x)y(x)+F(x)\), 得 \[y^{(4)}(x)=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\left(ky-F\right).\] 中心差分近似给出 \[g_i=k_i y_i-F_i,\qquad \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(ky-F)_i \approx\frac{g_{i+1}-2g_i+g_{i-1}}{h^2}.\] 代入并整理, 得递推公式 \[\left(1+\frac{h^2}{12}k_{i+1}\right)y_{i+1} -2\left(1-\frac{5h^2}{12}k_i\right)y_i +\left(1+\frac{h^2}{12}k_{i-1}\right)y_{i-1} =\frac{h^2}{12}(F_{i+1}+10F_i+F_{i-1})+O(h^6).\]

9.12 Green Function Method *

Green 函数法把线性边值问题 \(L_xu(x)=f(x)\) 写成线性响应形式.

若 \(G(x,s)\) 满足 \(L_xG(x,s)=\delta(x-s)\) 并满足同类齐次边界条件, 则解可以写为

\[u(x)=\int G(x,s)f(s)\,\mathrm{d}s.\]

Example

\[-u''(x)=f(x),\qquad x\in(0,1),\qquad u(0)=u(1)=0\]

Solution 作不定积分得到

\[\begin{aligned} u(x) &= c_1+c_2x-\int_0^x\left(\int_0^y f(z)\,\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}y\\ &= c_1+c_2x-\int_0^x (x-z)f(z)\,\mathrm{d}z \end{aligned}\]

由边条件得

\[c_1=0, \qquad c_2=\int_0^1 (1-y)f(y)\,\mathrm{d}y.\]

于是

\[\begin{aligned} u(x) &= x\int_0^1(1-y)f(y)\,\mathrm{d}y-\int_0^x(x-y)f(y)\,\mathrm{d}y\\ &= \int_0^1G(x,y)f(y)\,\mathrm{d}y, \qquad G(x,y)= \begin{cases} y(1-x), & 0\leq y\leq x\\ x(1-y), & x\leq y\leq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

\(G\) 受边条件
\[G(0,y)=G(1,y)=G(x,0)=G(x,1)=0\]
约束, 且在 \(x=y\) 处连续. 在 \(x=y\) 处导数有跳跃
\[\left.\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x}\right|_{x=y+\varepsilon} -\left.\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x}\right|_{x=y-\varepsilon} =-1\]
它可以用齐次方程 \(-u''=0\) 的两个解重新表达:
1. \(u_\lt (x)=x\) 从左端出发, 满足左边界条件 \(u_\lt (0)=0\).
2. \(u_>(x)=1-x\) 从右端出发, 满足右边界条件 \(u_>(1)=0\).
当 \(y\leq x\) 时, \(G=y(1-x)=u_\lt (y)\,u_>(x)\); 当 \(x\leq y\) 时, \(G=x(1-y)=u_\lt (x)\,u_>(y)\). 归一化因子来自 \(L_xG(x,y)=\delta(x-y)\). 由 \(a_2=-1\)
\[G(x,y)=\frac{1}{a_2(y)W(y)}\begin{cases} u_\lt (y)\,u_>(x), & y\leq x\\ u_\lt (x)\,u_>(y), & x\leq y \end{cases}\]
其中 Wronskian 为
\[W(y)=u_\lt (y)u_>'(y)-u_\lt '(y)u_>(y) =y\cdot(-1)-1\cdot(1-y)=-1.\]

Green 函数由两个分别满足左右边界条件的齐次解拼成, 在源点 \(x=y\) 处通过 Wronskian 匹配. 并受导数跳跃条件约束.

在数值计算中, 若齐次方程不含一阶导数项, 可用 Numerov 分别从左向右积分得到 \(u_\lt \), 从右向左积分得到 \(u_>\). 若含一阶导数项, 须先通过变量变换消去该项, 或直接用适用的一阶系统积分法. 在齐次边值问题没有非零解的条件下, 计算 Wronskian 后在网格上构造 \(G(x_i,x_j)\), 最后用求积近似

\[u(x_i)\approx \sum_j w_jG(x_i,x_j)f(x_j).\]

一般的二阶线性边值问题 考虑

\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} +a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +a_0(x)y=f(x), \qquad B_a[y]=0,\qquad B_b[y]=0.\]

其中 \(B_a,B_b\) 表示左右端的线性边界条件

Dirichlet 边界条件对应 \(B_a[y]=y(a)\), \(B_b[y]=y(b)\);
Robin 边界条件可写成 \(B_a[y]=\alpha_a y(a)+\beta_a y'(a)\), \(B_b[y]=\alpha_b y(b)+\beta_b y'(b)\).

相应齐次方程

\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} +a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +a_0(x)y=0\]

设对应的齐次边值问题没有非零解. 取两个齐次解 \(y_1,y_2\), 使 \(y_1\) 满足 \(a\) 端边界条件, \(y_2\) 满足 \(b\) 端边界条件. 由常数变易法(variation of parameters)可写为

\[y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x),\]

可得

\[y(x)= \int_a^x \frac{y_1(s)y_2(x)f(s)}{W(y_1,y_2)(s)}\,\mathrm{d}s + \int_x^b \frac{y_1(x)y_2(s)f(s)}{W(y_1,y_2)(s)}\,\mathrm{d}s.\]

因此进一步给出解的叠加表示为

\[y(x)=\int_a^b G(x,s)f(s)\,\mathrm{d}s, \qquad G(x,s)= \begin{cases} \displaystyle \frac{y_1(s)y_2(x)}{W(y_1,y_2)(s)}, & a\leq s\leq x\leq b,\\[8pt] \displaystyle \frac{y_1(x)y_2(s)}{W(y_1,y_2)(s)}, & a\leq x\leq s\leq b, \end{cases}\]

Green 函数 \(G\) 是线性响应函数, 与外场 \(f\) 无关; 源项只通过最后的积分进入解.

9.13 Finite-Difference Method for ODEs

考虑边值问题

\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=r(x),\qquad a\leq x\leq b, \qquad y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta.\]

取 \(h=\frac{b-a}{N},x_n=a+nh\), 记
\[y_n=y(x_n),\qquad p_n=p(x_n),\qquad q_n=q(x_n),\qquad r_n=r(x_n).\]
中心差分公式为
\[y'(x_n)=\frac{y_{n+1}-y_{n-1}}{2h}+O(h^2), \qquad y''(x_n)=\frac{y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}}{h^2}+O(h^2).\]
代入微分方程并整理为
\[\ell_i y_{i-1}+d_i y_i+u_i y_{i+1}=r_i,\qquad i=1,\cdots,N-1.\]
其中
\[\ell_i=\frac{1}{h^2}-\frac{p_i}{2h},\qquad d_i=-\frac{2}{h^2}+q_i,\qquad u_i=\frac{1}{h^2}+\frac{p_i}{2h}.\]
边界条件给出 \(y_0=\alpha,y_N=\beta\). 剩余未知量 \(\mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_{N-1})^{\mathsf{T}}\) 化为三对角线性方程组
\[\begin{pmatrix} d_1&u_1&0&\cdots&0\\ \ell_2&d_2&u_2&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ell_{N-2}&d_{N-2}&u_{N-2}\\ 0&\cdots&0&\ell_{N-1}&d_{N-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\\vdots\\y_{N-2}\\y_{N-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1-\ell_1\alpha\\r_2\\\vdots\\r_{N-2}\\r_{N-1}-u_{N-1}\beta \end{pmatrix}\]
的求解问题.

10 Partial Differential Equations

10.1 Finite-Difference PDEs

偏微分方程包含多个独立变量. Poisson 方程、Schrödinger 方程等多变量问题常通过离散化转化为矩阵方程.

Example 二维 Poisson 方程

\[-\Delta u=f(x,y),\qquad f_{ij}=f(x_i,y_j).\]

Solution 在矩形网格上取步长 \(h_x,h_y\). 对内部点 \((x_i,y_j)\), 二阶中心差分给出

\[\left(\frac{2}{h_x^2}+\frac{2}{h_y^2}\right)U_{ij} -\frac{U_{i-1,j}+U_{i+1,j}}{h_x^2} -\frac{U_{i,j-1}+U_{i,j+1}}{h_y^2} =f_{ij}.\]

其中 \(U_{ij}\approx u(x_i,y_j)\) 替代了精确值. 已经舍去截断误差.

这就是五点差分格式: 每个内部点只与上下左右四个邻点耦合.

如果有混合导数, 将变为九点格式.

若进一步取 \(h_x=h_y=h\), 则

\[4U_{ij}-U_{i-1,j}-U_{i+1,j}-U_{i,j-1}-U_{i,j+1}=h^2 f_{ij}.\]

内部格点可以投影为一维未知量. 对 \((m-1)\times(n-1)\) 个内部点取
\[k=i+(m-1)(j-1)\]
若把 \(h^2\) 乘到右端, 所有内部未知量组成向量 \(\mathbf{U}\), 离散方程写为
\[\mathbf{A}\mathbf{U}=\mathbf{F}.\]
五点差分格式给出分块三对角系数.

例如对 \(4\times 4\) 二维网格的 \(3\times3\) 个内部点按行投影时,
\[\begin{aligned} x_1&=U_{11},& x_2&=U_{21},& x_3&=U_{31},\\ x_4&=U_{12},& x_5&=U_{22},& x_6&=U_{32},\\ x_7&=U_{13},& x_8&=U_{23},& x_9&=U_{33}. \end{aligned}\]
对这个例子
\[\mathbf{A}= \begin{bmatrix} \mathbf{B}&-\mathbf{I}&0\\ -\mathbf{I}&\mathbf{B}&-\mathbf{I}\\ 0&-\mathbf{I}&\mathbf{B}\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 4&-1&0\\ -1&4&-1\\ 0&-1&4 \end{bmatrix}\]
边界条件进入矩阵或右端项.
- Dirichlet 条件直接给出边界值;
- Neumann 条件可用虚拟点或单边差分转化为内部点关系;
- mixed 条件则把函数值和法向导数一起纳入离散方程.
Example 左边界 \(x=x_0\) 的 Neumann 条件.

Solution 这里定义 \(u_x(x_0,y)=g(x_0,y)\), 因而可用外部虚拟点表示为
\[\frac{U_{1,j}-U_{-1,j}}{2h}=g(x_0,y_j) \quad\Longrightarrow\quad U_{-1,j}=U_{1,j}-2h\,g(x_0,y_j).\]
边界点的五点方程
\[4U_{0,j}-U_{-1,j}-U_{1,j}-U_{0,j+1}-U_{0,j-1} =h^2 f(x_0,y_j)\]
消去虚拟点后得到
\[4U_{0,j}-2U_{1,j}-U_{0,j+1}-U_{0,j-1} =h^2 f(x_0,y_j)-2h\,g(x_0,y_j).\]
若给定的是外法向导数 \(\partial_nu=g_n\), 左边界上 \(g=-g_n\), 因而右端改为 \(h^2f+2hg_n\).

Example 求解

\[-\Delta u=f(x,y) =-2\cos \pi y+\pi^2(1+x)^2\cos \pi y,\qquad 0\lt x,y\lt 1,\]

边界为

\[\begin{aligned} u(x,0)&=(1+x)^2,& u(x,1)&=-(1+x)^2,\\ u(0,y)&=\cos\pi y,& u(1,y)&=4\cos\pi y, \end{aligned} \qquad h=\frac14.\]

精确解是 \(u(x,y)=(1+x)^2\cos\pi y\).

Solution 内部节点五点方程同前. 对于 Dirichlet 边界点

在 \((x_1,y_1)=(1/4,1/4)\)
\[4U_{1,1}-U_{0,1}-U_{2,1}-U_{1,0}-U_{1,2} =h^2 f\left(\frac14,\frac14\right),\]
代入 \(U_{0,1}=\cos(\pi/4)\), \(U_{1,0}=(1+1/4)^2\) 得
\[4U_{1,1}-U_{2,1}-U_{1,2} =h^2 f\left(\frac14,\frac14\right) +\cos\frac{\pi}{4}+\left(1+\frac14\right)^2.\]
\((x_2,y_1)=(1/2,1/4)\)
\[-U_{1,1}+4U_{2,1}-U_{3,1}-U_{2,2} =h^2 f\left(\frac12,\frac14\right)+\left(1+\frac12\right)^2.\]
\((x_3,y_1)=(3/4,1/4)\)
\[-U_{2,1}+4U_{3,1}-U_{3,2} =h^2 f\left(\frac34,\frac14\right) +4\cos\frac{\pi}{4}+\left(1+\frac34\right)^2.\]

其余六个节点也按相同五点格式列式, 代入已知边界值, 得到九元线性方程组. 因外力及边界关于 \(y=1/2\) 反对称, 离散解满足 \(U_{i,2}=0\)、\(U_{i,3}=-U_{i,1}\). 上面的前三式因此闭合为

\[\begin{pmatrix}4&-1&0\\-1&4&-1\\0&-1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}U_{1,1}\\U_{2,1}\\U_{3,1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix},\]

其中 \(b_1,b_2,b_3\) 分别为前三式已给出的右端. 求解得全部内部值 (行对应 \(y_j\), 列对应 \(x_i\)):

\[(U_{i,j})_{j,i=1}^{3}\approx \begin{pmatrix} 1.1187788720&1.6123673475&2.1876760876\\ 0&0&0\\ -1.1187788720&-1.6123673475&-2.1876760876 \end{pmatrix}.\]

这是五点格式的离散解. 与精确连续解在九个内部节点处比较, 最大绝对误差约为 \(0.02216157\); 两者不应混为同一个解.

二维、三维问题的网格点数随维度快速增长, 很难单靠缩小格点间距提高精度.

实际计算要同时利用边界条件、对称性和物理量子数改进微分算符.

10.2 Fourier Derivative Operators and FFT(Fast Fourier Transform)

Fourier 变换可以用来数值求解导数. 在周期性边界条件下, 可把导数计算从实空间转换到 Fourier 空间.

考虑一维等间距格点, 均匀分布在 \([-L/2,L/2)\) 上

\[x_i=-\frac{L}{2}+i\Delta x =\left(i-\frac{N}{2}\right)\Delta x,\qquad i=0,1,\cdots,N-1,\]

其中 \(L=N\Delta x\), 以下取偶数 \(N\). 周期边界条件为 \(f(x+L)=f(x)\).

FFT 中的未折叠频率索引为
\[k_n=\frac{2\pi n}{L},\qquad n=0,1,\cdots,N-1.\]
标准 FFT 排列把 \(n\ge N/2\) 解释为负频率:²
\[k_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{L}, & n=0,1,\cdots,N/2-1,\\[4pt] \dfrac{2\pi(n-N)}{L}, & n=N/2,\cdots,N-1, \end{cases} \qquad \Delta k=\frac{2\pi}{L}.\]
其中 Nyquist 模 \(n=N/2\) 的正负频率在网格上不可区分. 实数三角插值采用对称的余弦 Nyquist 模: 奇数阶求导时该模的乘子取 0, 偶数阶时保留 \((\mathrm{i}k_{N/2})^m\).
DFT(discrete Fourier transform) 为
\[\hat f(k_n)=\sum_{i=0}^{N-1} \exp(-\mathrm{i}k_nx_i)f(x_i) \Longleftrightarrow f(x_i)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \exp(\mathrm{i}k_nx_i)\hat f(k_n).\]
连续 Fourier 变换中的求导对应乘以 \((\mathrm{i}k)^m\). 对有限格点, 以下等式给出由样本构造的三角插值函数 \(f_N\) 的导数, 并按上述规则处理 Nyquist 模; 只有当原函数属于该插值空间时, 它才等于原函数的精确导数. 一般光滑周期函数须以增加 \(N\) 检查谱近似的收敛. 因此
\[f_N^{(m)}(x_i) =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \exp(\mathrm{i}k_nx_i)\mu_n^{(m)} \sum_{j=0}^{N-1}\exp(-\mathrm{i}k_nx_j)f(x_j) =\sum_{j=0}^{N-1}D_{ij}^{(m)}f(x_j)\]
其中
\[\mu_n^{(m)}=\begin{cases} 0, & n=N/2,\quad m\text{ 为奇数},\\ (\mathrm{i}k_n)^m, & \text{其余情形}, \end{cases}\]

\[D_{ij}^{(m)} =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \exp[\mathrm{i}k_n(x_i-x_j)]\mu_n^{(m)}.\]
- 一阶微分矩阵元为
  \[D_{ij}^{(1)} =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \exp[\mathrm{i}k_n(x_i-x_j)]\mu_n^{(1)}.\]
  对上述实数三角插值, 将 Nyquist 乘子设为 0 后, 一阶微分矩阵为
  \[D_{ij}^{(1)} =-\frac{2\Delta k}{N} \sum_{n=1}^{N/2-1}n\sin[k_n\Delta x(i-j)].\]
- 同理二阶微分矩阵元为
  \[D_{ij}^{(2)} =-\frac{2(\Delta k)^2}{N} \sum_{n=1}^{N/2-1}n^2\cos[k_n\Delta x(i-j)] -\frac{(\Delta k)^2}{N} \left(\frac{N}{2}\right)^2 \cos\!\left[\frac{N\Delta k\,\Delta x}{2}(i-j)\right].\]

Remark 对于 Nyquist 样本 \(f_i=(-1)^i\), 有 \(D^{(1)}\mathbf{f}=0\), 而 \(D^{(2)}\mathbf{f}=-(\pi/\Delta x)^2\mathbf{f}\). 因而此约定下 \(D^{(2)}\ne(D^{(1)})^2\), 二阶导数应直接乘以 \(-k^2\) 计算.³

Example 利用 FFT 求解波动型方程

\[\partial_t^2 u = C(x,t)\,\partial_x^2 u\]

Solution 时间上差分推进, 空间上用 FFT 做谱微分.

记 \(u_j^n \approx u(x_j,t_n)\), 每个时刻的流程为:

对 \(u^n(x)\) 作 FFT, 得到 \(\widehat u_k^n\);
在 Fourier 空间中乘以 \(-k^2\): \[\widehat{u_{xx}}(k,t_n) = -k^2\,\hat u_k^n;\]
逆 FFT 回到实空间, 得到 \(u_{xx}(x_j,t_n)\);
在实空间乘变系数: \[F_j^n = C(x_j,t_n)\,u_{xx}(x_j,t_n).\]

时间推进分两步:

构造第一层 \(u_j^1\): 由 Taylor 展开
\[u_j^1 = u_j^0 + \Delta t\,v(x_j) + \frac{\Delta t^2}{2}F_j^0, \qquad v(x)=u_t(x,0);\]
对 \(n\ge 1\) 用中心差分
\[u_j^{n+1} = 2u_j^n - u_j^{n-1} + \Delta t^2 F_j^n.\]

Proposition 对于常系数 \(C=c^2>0\), 每个 Fourier 模是频率 \(c|k|\) 的振子; 非零模保持有界的稳健步长条件为

\[c\Delta t\max_n|k_n|\lt2.\]

偶数网格下 \(\max|k_n|=\pi/\Delta x\), 因而

\[c\Delta t/\Delta x\lt2/\pi.\]

等号处最高频模的特征方程为 \((G+1)^2=0\); 除非该模的起步满足 \(u^1=-u^0\), 否则会出现 \((-1)^n(A+Bn)\) 的线性增长, 实际步长须留裕量.

Remark 变系数时须检查离散空间算符的谱, 不能直接把有限差分波动方程的 \(c\Delta t/\Delta x\le1\) 套到谱微分上.

因为 \(C(x,t)\) 依赖空间位置, 方程在 Fourier 空间中不能完全逐模对角化, 因此采用"频域求导, 实空间乘系数"的混合实现. FFT 最适合周期边界条件; 非周期问题须选择匹配边界条件的基, 例如齐次 Dirichlet/Neumann 条件可分别用正弦/余弦展开.

10.3 Basis Expansion Methods *

基矢展开法的计算目标是把微分方程或本征值问题转化为有限维矩阵问题.

以 Schrödinger 方程 \(\hat H|\psi\rangle=E|\psi\rangle\) 为例. 选一组正交归一基 \(\{|\phi_j\rangle\}\), 展开

\[|\psi\rangle=\sum_j c_j|\phi_j\rangle.\]

代入本征值方程并左乘 \(\langle\phi_i|\), 得

\[\sum_j H_{ij}c_j=Ec_i, \qquad H_{ij}=\langle\phi_i|\hat H|\phi_j\rangle.\]

若基不正交归一, 则须保留重叠矩阵 \(S_{ij}=\langle\phi_i|\phi_j\rangle\), 求解 \(\sum_jH_{ij}c_j=E\sum_jS_{ij}c_j\), 并按 \(\mathbf{c}^\dagger\mathbf{S}\mathbf{c}=1\) 归一化.

计算流程:

选择基函数 \(\{|\phi_j\rangle\}\), 例如谐振子基、平面波基、DVR(discrete variable representation) 基等.
计算矩阵元 \(H_{ij}\).
截断到有限维矩阵.
对角化矩阵, 得到近似本征值和展开系数.

10.4 DVR(Discrete Variable Representation) *

DVR(discrete variable representation) 构造一组特殊正交基, 使波函数展开系数正比于格点值, 并把内积写成加权求和. 设投影算符为 \(P\), 网格点为 \(x_\alpha\), 定义未归一化 DVR 态

\[|\Delta_\alpha\rangle=P|x_\alpha\rangle.\]

若

\[\langle\Delta_\alpha|\Delta_\beta\rangle=N_\alpha\delta_{\alpha\beta},\]

则归一化 DVR 基为

\[|F_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{N_\alpha}}|\Delta_\alpha\rangle.\]

核心性质:

\[\langle F_\alpha|F_\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}, \qquad F_\beta(x_\alpha)=\sqrt{N_\alpha}\delta_{\alpha\beta}.\]

以下假设 \(P\) 是正交投影, \(\{|F_\alpha\rangle\}\) 张成其像空间, 且 \(P|\psi\rangle=|\psi\rangle\) (内积中的 \(\phi\) 也属于该子空间). 因此

\[\langle F_\alpha|\psi\rangle=\frac{\psi(x_\alpha)}{\sqrt{N_\alpha}}, \qquad |\psi\rangle=\sum_\alpha\frac{\psi(x_\alpha)}{\sqrt{N_\alpha}}|F_\alpha\rangle.\]

内积可写为

\[\langle\phi|\psi\rangle =\sum_\alpha\frac{1}{N_\alpha}\phi^*(x_\alpha)\psi(x_\alpha) =\sum_\alpha\omega_\alpha\phi^*(x_\alpha)\psi(x_\alpha), \qquad \omega_\alpha=N_\alpha^{-1}.\]

从正交基构造 DVR: 若

则

\[\Delta_\alpha(x)=\sum_n\phi_n(x)\phi_n^*(x_\alpha), \qquad \langle\Delta_\alpha|\Delta_\beta\rangle =\sum_n\phi_n(x_\alpha)\phi_n^*(x_\beta).\]

若取 \(\phi_n(x)=\sqrt{W(x)}P_n(x)\), 其中 \(P_n\) 在权重 \(W\) 下正交归一, 保留 \(n=0,\cdots,M-1\), 且 \(x_\alpha\) 取 \(P_M\) 的 \(M\) 个零点. 记对应的 Gauss 权为 \(\lambda_\alpha\), 即

\[\int W(x)Q(x)\,\mathrm{d}x=\sum_\alpha\lambda_\alpha Q(x_\alpha),\qquad \deg Q\le2M-1.\]

由于 \(\sum_\alpha\lambda_\alpha P_n(x_\alpha)P_m(x_\alpha)=\delta_{nm}\), 方阵的正交性给出 \(\sum_{n=0}^{M-1}P_n(x_\alpha)P_n(x_\beta)=\delta_{\alpha\beta}/\lambda_\alpha\). 因而 \(N_\alpha=W(x_\alpha)/\lambda_\alpha\), 位置内积的求积权为 \(w_\alpha=\omega_\alpha=\lambda_\alpha/W(x_\alpha)\), 并有

\[\sum_n\phi_n(x_\alpha)\phi_n^*(x_\beta)=N_\alpha\delta_{\alpha\beta}.\]

归一化 DVR 基可写为

\[F_\alpha(x)=\sqrt{w_\alpha}\sum_n\sqrt{W(x)W(x_\alpha)}P_n(x)P_n(x_\alpha).\]

在 DVR 基下, 势能矩阵近似对角:

\[\langle F_\alpha|V|F_\beta\rangle \approx\sum_kw_kF_\alpha^*(x_k)V(x_k)F_\beta(x_k) =\delta_{\alpha\beta}V(x_\alpha).\]

平面波 DVR 例子: 取动量截断 \(p\in[-p_0,p_0]\),

\[P=\int_{-p_0}^{p_0}|p\rangle\langle p|\,\mathrm{d}p, \qquad x_\alpha=\frac{\pi\hbar}{p_0}\alpha,\qquad \alpha\in\mathbb{Z}.\]

未归一化基为

\[|\Delta_\alpha\rangle =\int_{-p_0}^{p_0}\mathrm{d}p\,|p\rangle \frac{\exp(-\mathrm{i}px_\alpha/\hbar)}{\sqrt{2\pi\hbar}}.\]

内积为

\[\langle\Delta_\alpha|\Delta_\beta\rangle =\int_{-p_0}^{p_0}\mathrm{d}p\, \frac{\exp[\mathrm{i}p(x_\alpha-x_\beta)/\hbar]}{2\pi\hbar} =\frac{p_0}{\pi\hbar} \frac{\sin[p_0(x_\alpha-x_\beta)/\hbar]}{p_0(x_\alpha-x_\beta)/\hbar} =\frac{p_0}{\pi\hbar}\delta_{\alpha\beta}.\]

归一化基为

\[|F_\alpha\rangle=\sqrt{\frac{\pi\hbar}{p_0}}|\Delta_\alpha\rangle.\]

位置表象:

\[F_\alpha(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi\hbar p_0}} \frac{\sin[p_0(x-x_\alpha)/\hbar]}{(x-x_\alpha)/\hbar} =\sqrt{\frac{p_0}{\pi\hbar}}\, \mathrm{sinc}\left(\frac{p_0(x-x_\alpha)}{\hbar}\right).\]

这里 \(\mathrm{sinc}(z)\equiv\sin z/z\), 并以连续极限定义 \(\mathrm{sinc}(0)=1\). 以下展开针对动量支撑在 \([-p_0,p_0]\) 内的带限波函数; 无限网格的正交与完备性不等于有限截断后可精确表示任意波函数.

动量表象与波函数展开:

\[\langle p|F_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{2p_0}}\exp(-\mathrm{i}px_\alpha/\hbar), \qquad |\psi\rangle=\sum_\alpha |F_\alpha\rangle\sqrt{\frac{\pi\hbar}{p_0}}\psi(x_\alpha).\]

10.5 FEM(Finite-Element Method) *

有限元法适合复杂几何边界. 基本流程:

将区域剖分为互不重叠的小单元.
在每个单元上用低阶多项式近似待求场量.
用变分原理或加权残量法把微分方程离散为代数方程组.
组装全局矩阵并求解.

Delaunay 三角剖分常用于生成三角网格: 最大化最小角、避免瘦长三角形、三角形并集为点集凸包.

10.5.1 Variational Formulation

考虑二维 Poisson 方程

\[\nabla^2\phi(\mathbf{r})=f(\mathbf{r}), \qquad \mathbf{r}\in\Omega.\]

本节沿用 \(\nabla^2\phi=f\) 的符号约定. 以下先取给定 Dirichlet 边界, 使允许变分在边界上为零. 对应变分泛函可写为

\[J[\phi]=\int_\Omega\left[\frac12(\nabla\phi)^2+f\phi\right]\,\mathrm{d}^2r, \qquad \delta J=0.\]

在三角单元上, 线性插值为

\[\phi(x,y)=a_i+b_ix+c_iy,\]

二次插值可写为

\[\phi(x,y)=a_i+b_ix+c_iy+d_ixy+e_ix^2+f_iy^2.\]

10.5.2 Area Coordinates

以下将顶点 \(a,b,c\) 按逆时针顺序编号, 并令 \(A>0\) 为三角形面积, 从而后面的行列式为 \(2A\). 自然坐标 \(\xi_a,\xi_b,\xi_c\) 定义为面积比:

\[\xi_a=\frac{A_a}{A}, \qquad \xi_b=\frac{A_b}{A}, \qquad \xi_c=\frac{A_c}{A}, \qquad \xi_a+\xi_b+\xi_c=1.\]

顶点处满足 \(\xi_a=1,\xi_b=\xi_c=0\) 及循环关系.

坐标变换:

\[\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&1\\x_a&x_b&x_c\\y_a&y_b&y_c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\xi_a\\\xi_b\\\xi_c\end{pmatrix}.\]

逆变换:

\[\begin{pmatrix}\xi_a\\\xi_b\\\xi_c\end{pmatrix} =\frac{1}{2A} \begin{pmatrix} x_by_c-x_cy_b&y_b-y_c&x_c-x_b\\ x_cy_a-x_ay_c&y_c-y_a&x_a-x_c\\ x_ay_b-x_by_a&y_a-y_b&x_b-x_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix},\]

其中

\[2A= \begin{vmatrix}1&1&1\\x_a&x_b&x_c\\y_a&y_b&y_c\end{vmatrix}.\]

单元内函数值:

\[\phi(x,y)=\xi_a\phi_a+\xi_b\phi_b+\xi_c\phi_c.\]

面积坐标积分公式:

\[\int_A\xi_a^k\xi_b^l\xi_c^m\,\mathrm{d}\Omega =2A\frac{k!l!m!}{(k+l+m+2)!}.\]

10.5.3 Element Matrices and Assembly

代入线性插值得

\[\nabla\phi=\nabla\xi_a\phi_a+\nabla\xi_b\phi_b+\nabla\xi_c\phi_c.\]

于是单元泛函化为

\[J[\phi] =\frac12\boldsymbol{\phi}^{\mathsf{T}}\mathbf{K}\boldsymbol{\phi} +\mathbf{r}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\phi},\]

其中

\[\boldsymbol{\phi}=(\phi_a,\phi_b,\phi_c)^{\mathsf{T}}, \qquad K_{ij}=\int_A\nabla\xi_i\cdot\nabla\xi_j\,\mathrm{d}\Omega, \qquad r_i=\int_A f\xi_i\,\mathrm{d}\Omega.\]

变分后得到线性方程组

\[\mathbf{K}\boldsymbol{\phi}=-\mathbf{r}.\]

因为本节采用 \(\nabla^2\phi=f\), 泛函中源项的符号为 \(+f\phi\), 驻值条件给出 \(\mathbf{K}\boldsymbol{\phi}+\mathbf{r}=0\). 若改写为 \(-\nabla^2\phi=f\), 则泛函应改用 \(-f\phi\), 才得到 \(\mathbf{K}\boldsymbol{\phi}=\mathbf{r}\). 全局组装后还须施加边界条件; 单个三角元的刚度矩阵有常数零模, 不能单独求逆.

自然坐标梯度:

\[\nabla\xi_a=\frac{1}{2A}(y_b-y_c,x_c-x_b),\]\[\nabla\xi_b=\frac{1}{2A}(y_c-y_a,x_a-x_c), \qquad \nabla\xi_c=\frac{1}{2A}(y_a-y_b,x_b-x_a).\]

令

\[\mathbf{b}=(y_b-y_c,y_c-y_a,y_a-y_b)^{\mathsf{T}}, \qquad \mathbf{c}=(x_c-x_b,x_a-x_c,x_b-x_a)^{\mathsf{T}}.\]

单元刚度矩阵为

\[\mathbf{K}=\frac{1}{4A}(\mathbf{b}\mathbf{b}^{\mathsf{T}}+\mathbf{c}\mathbf{c}^{\mathsf{T}}).\]

等价地, 记 \(y_{ab}=y_a-y_b\), \(y_{bc}=y_b-y_c\), \(y_{ca}=y_c-y_a\), 以及 \(x_{ab}=x_a-x_b\), \(x_{bc}=x_b-x_c\), \(x_{ca}=x_c-x_a\), 则

\[\mathbf{K}=\frac{1}{4A} \begin{pmatrix} y_{bc}^2+x_{bc}^2&y_{bc}y_{ca}+x_{bc}x_{ca}&y_{bc}y_{ab}+x_{bc}x_{ab}\\ y_{ca}y_{bc}+x_{ca}x_{bc}&y_{ca}^2+x_{ca}^2&y_{ca}y_{ab}+x_{ca}x_{ab}\\ y_{ab}y_{bc}+x_{ab}x_{bc}&y_{ab}y_{ca}+x_{ab}x_{ca}&y_{ab}^2+x_{ab}^2 \end{pmatrix}.\]

若源项也用线性插值

\[f(\mathbf{r})=\xi_af_a+\xi_bf_b+\xi_cf_c,\]

则载荷向量为

\[r_a=2A\left(\frac{f_a}{12}+\frac{f_b}{24}+\frac{f_c}{24}\right),\]\[r_b=2A\left(\frac{f_b}{12}+\frac{f_c}{24}+\frac{f_a}{24}\right), \qquad r_c=2A\left(\frac{f_c}{12}+\frac{f_a}{24}+\frac{f_b}{24}\right).\]

对每个三角元计算 \(\mathbf{K}\) 和 \(\mathbf{r}\), 再组装成全局刚度矩阵和载荷向量, 最后求解全局线性方程组.

11 Dynamical Equations

11.1 One-Dimensional Diffusion Equation

一维扩散方程为

\[\frac{\partial u}{\partial t} =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, \qquad 0\lt x\lt L.\]

初始条件为 \(u(x,0)=g(x)\). 有限区间还须给定边界条件; 以下差分矩阵取齐次 Dirichlet 边界 \(u(0,t)=u(L,t)=0\). 为说明扩散核, 先单独考虑全空间 \(x\in\mathbb{R}\): 单位点源 \(\delta\) 函数的基本解为

\[w(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right).\]

在全空间且初值满足积分收敛条件时, 解为基本解与初始条件的卷积

\[u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}w(x-x',t)g(x')\,\mathrm{d}x'.\]

有限区间的齐次 Dirichlet 问题则用满足边界条件的正弦展开:

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{e}^{-(n\pi/L)^2t},\qquad b_n=\frac{2}{L}\int_0^L g(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x.\]

例如 \(g\in L^2(0,L)\) 时, 正弦基的完备性保证初值在 \(L^2\) 意义恢复, 而 \(t>0\) 的指数衰减保证解平滑. 下文回到该有限区间问题.

11.1.1 Finite-Difference Method

记 \(u_{i,j}=u(x_i,t_j)\), 时间差分和空间差分分别为

\[\frac{\partial u}{\partial t} \approx\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}, \qquad \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \approx\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}.\]

定义 \(\alpha=\frac{\Delta t}{\Delta x^2}\), 得到递推公式

\[u_{i,j+1}=\alpha u_{i-1,j}+(1-2\alpha)u_{i,j}+\alpha u_{i+1,j}.\]

对 Fourier 模 \(u_{i,j}=G^j\mathrm{e}^{\mathrm{i}i\vartheta}\), 放大因子为 \(G=1-4\alpha\sin^2(\vartheta/2)\). 要求所有模式满足 \(|G|\le1\), 即 \(0\le\alpha\le1/2\). 若扩散系数为 \(D\), 应改用 \(\alpha=D\Delta t/\Delta x^2\).
第一步为 \(u_{i,1}=\alpha g(x_{i-1})+(1-2\alpha)g(x_i)+\alpha g(x_{i+1})\).

11.1.2 Crank-Nicolson Scheme

Crank-Nicolson 格式中, 时间导数采用向后差分, 空间二阶导数取两个时间层的加权平均:

\[\frac{\partial u}{\partial t} \approx\frac{u_{i,j}-u_{i,j-1}}{\Delta t}, \qquad \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \approx \theta\left.\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right|_{t=t_j} +(1-\theta)\left.\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right|_{t=t_{j-1}}.\]

离散后得到

\[\theta\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta x^2} +(1-\theta)\frac{u_{i-1,j-1}-2u_{i,j-1}+u_{i+1,j-1}}{\Delta x^2} =\frac{u_{i,j}-u_{i,j-1}}{\Delta t}.\]

\(\theta=0\) 时为显式格式; \(\theta=1\) 时为全隐式格式; \(\theta=1/2\) 时为 Crank-Nicolson 格式.

取 \(\theta=1/2\), 并令 \(\alpha=\Delta t/\Delta x^2\), 整理得

\[-\alpha u_{i-1,j}+2(1+\alpha)u_{i,j}-\alpha u_{i+1,j} =\alpha u_{i-1,j-1}+2(1-\alpha)u_{i,j-1}+\alpha u_{i+1,j-1}.\]

可以记为

\[(2\mathbf{I}+\alpha\mathbf{B})\mathbf{u}_j =(2\mathbf{I}-\alpha\mathbf{B})\mathbf{u}_{j-1}, \qquad \mathbf{B}= \begin{pmatrix} 2&-1&0&\cdots&0\\ -1&2&-1&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&-1&2&-1\\ 0&\cdots&0&-1&2 \end{pmatrix},\]

则递推关系

\[\mathbf{u}_j =(2\mathbf{I}+\alpha\mathbf{B})^{-1}(2\mathbf{I}-\alpha\mathbf{B})\mathbf{u}_{j-1}.\]

实现时求解三对角方程组, 不显式构造逆矩阵. 对 Fourier 模, Crank-Nicolson 放大因子为 \(G=[1-2\alpha\sin^2(\vartheta/2)]/[1+2\alpha\sin^2(\vartheta/2)]\), 任意 \(\alpha\ge0\) 均满足 \(|G|\le1\). 无条件稳定不等于任意步长都准确: 大步长使高频模式趋近 \(G=-1\), 可能出现缓慢衰减的数值振荡. 光滑解的全局误差为 \(O(\Delta t^2+\Delta x^2)\).

11.2 Wave Equation

11.2.1 One-Dimensional Wave Equation

一维波动方程为

\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =\frac{\partial^2u}{\partial t^2}.\]

定解条件为

\[u(x,0)=g(x), \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0, \qquad u(0,t)=u(1,t)=0.\]

中心差分为
\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \approx\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}, \qquad \frac{\partial^2u}{\partial t^2} \approx\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta t^2}.\]
得到递推公式
\[u_{i,j+1}=2u_{i,j}-u_{i,j-1} +\frac{\Delta t^2}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}).\]
初速度条件给出自然边界条件
\[\frac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2\Delta t}=0, \qquad u_{i,1}=u_{i,-1}.\]
代入递推公式可得
\[u_{i,1}=g(x_i) +\frac{\Delta t^2}{2\Delta x^2} \left[g(x_{i+1})-2g(x_i)+g(x_{i-1})\right].\]

一维格式的 Fourier 放大因子满足 \(G^2-2[1-2r^2\sin^2(\vartheta/2)]G+1=0\), 其中 \(r=c\Delta t/\Delta x\). 常系数问题的稳定步长要求 \(r\le1\), 本文取 \(c=1\). 该约束是所有网格模式的要求, 不能仅靠某个平滑初值下的短时间测试判断稳定性.

11.2.2 Two-Dimensional Wave Equation

二维波动方程为

\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} =\frac{\partial^2u}{\partial t^2}, \qquad (x,y)\in(0,1)\times(0,1).\]

定解条件为初值 \(u(x,y,0)=g(x,y)\), 初速度 \(u_t(x,y,0)=0\), 边界取零值.

离散化取
\[t_l=l\Delta t, \qquad x_i=i\Delta x, \qquad y_j=j\Delta y, \qquad \Delta x=\Delta y=h.\]
中心差分为
\[u_{xx}\approx\frac{u_{i+1,j}^{l}-2u_{i,j}^{l}+u_{i-1,j}^{l}}{h^2}, \quad u_{yy}\approx\frac{u_{i,j+1}^{l}-2u_{i,j}^{l}+u_{i,j-1}^{l}}{h^2}, \quad u_{tt}\approx \frac{u_{i,j}^{l+1}-2u_{i,j}^{l}+u_{i,j}^{l-1}}{\Delta t^2}.\]
代入得到递推公式
\[u_{i,j}^{l+1}=2u_{i,j}^{l}-u_{i,j}^{l-1} +\frac{\Delta t^2}{h^2} \left(u_{i+1,j}^{l}+u_{i-1,j}^{l}+u_{i,j+1}^{l}+u_{i,j-1}^{l}-4u_{i,j}^{l}\right).\]
零初速给出 \(u_{i,j}^{-1}=u_{i,j}^{1}\), 因而
\[u_{i,j}^{1}=g(x_i,y_j) +\frac{\Delta t^2}{2h^2} \left[g(x_{i+1},y_j)+g(x_{i-1},y_j)+g(x_i,y_{j+1})+g(x_i,y_{j-1})-4g(x_i,y_j)\right].\]

二维格式同理要求 \(c^2\Delta t^2(\Delta x^{-2}+\Delta y^{-2})\le1\). 本节 \(c=1\), 等间距网格下即 \(\Delta t/h\le1/\sqrt2\).

11.3 Time Evolution in Quantum Mechanics *

取 \(\hbar=m=1\) 的单位, 考虑 Schrödinger 方程

\[\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) =\left[-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)+\epsilon(t)x\right]\psi(x,t).\]

空间二阶导数用中心差分:

\[\frac{\partial^2\psi_j}{\partial x^2} \approx \frac{\psi_{j+1}-2\psi_j+\psi_{j-1}}{\Delta x^2}.\]

于是离散 Hamiltonian 为三对角矩阵:

\[(\mathbf{H}\boldsymbol{\psi})_j =-\frac{1}{2\Delta x^2} (\psi_{j+1}-2\psi_j+\psi_{j-1}) +\left[V(x_j)+\epsilon(t)x_j\right]\psi_j.\]

即

\[H_{jj}=\frac{1}{\Delta x^2}+V(x_j)+\epsilon(t)x_j, \qquad H_{j,j\pm1}=-\frac{1}{2\Delta x^2}.\]

时间推进可用 Crank-Nicolson 形式:

\[\left(\mathbf{I}+\frac{\mathrm{i}\Delta t}{2}\mathbf{H}^{n+1/2}\right) \boldsymbol{\psi}^{n+1} = \left(\mathbf{I}-\frac{\mathrm{i}\Delta t}{2}\mathbf{H}^{n+1/2}\right) \boldsymbol{\psi}^n.\]

因此每一步只需求解一个复数三对角线性方程组. 左右两侧矩阵的非零元为

\[U_{jj}^{\pm} =1\pm\frac{\mathrm{i}\Delta t}{2} \left[\frac{1}{\Delta x^2}+V(x_j)+\epsilon(t_{n+1/2})x_j\right], \qquad U_{j,j\pm1}^{\pm} =\mp\frac{\mathrm{i}\Delta t}{4\Delta x^2}.\]

其中左端使用 \(U^+\), 右端使用 \(U^-\).

当势能为实数, 且边界离散保持 \(\mathbf H^{n+1/2}\) 为 Hermitian 矩阵时, 该推进保持离散范数. 令 \(a=\Delta t/2\), 每个实特征值 \(E\) 对应的推进因子为 \((1-\mathrm{i}aE)/(1+\mathrm{i}aE)\), 模长为 1; 正交特征向量展开因而给出 \(\Delta x\sum_j|\psi_j^{n+1}|^2=\Delta x\sum_j|\psi_j^n|^2\). 此结论不消除时间离散的相位误差, 实际计算还应检查步长收敛及线性求解残差.

References

L. F. Shampine and M. W. Reichelt, The MATLAB ODE Suite, §3, 固定步长 BDF 的阶数与稳定性. ↩︎
NumPy, numpy.fft.fftfreq, 偶数长度的标准频率排列. ↩︎
Steven G. Johnson, Notes on FFT-based differentiation, 三角插值与 Nyquist 模的奇偶阶求导; SciPy, fftpack.diff, 奇数阶 Nyquist 乘子约定. ↩︎

Optics - 1

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Geometrical Optics

1.1 Huygens and Fermat Principles

Postulate Huygens’ principle. 传播波前上每一点都可看作发出球面次波的新波源, 稍后时刻的波前是这些次波的包络

次波中心与其次波面上的包络线切点的连线给出该处波矢方向.
Huygens principle 导出折射定律
\[\frac{\sin i_1}{\sin i_2}=\frac{u_1}{u_2}=\frac{n_2}{n_1}\]
反射类似.
不足: 不能给出光振幅、光强和位相的传播规律, 也没有说明次波之间如何相干叠加. 改进: Huygens-Fresnel principle 补入次波相干叠加、振幅与位相因子, 因此可处理衍射和干涉强度 \(\implies\) 光场衍射理论

Definition 光程. 对固定频率, 采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\) 约定, 从 \(Q\) 向 \(P\) 传播的空间相位增加. 下式 \(u_i=c/n_i\) 为相速度; \(\Delta t=L/c\) 是非色散介质的传播时间, 在色散介质中不能直接用它表示脉冲延迟.

\[\begin{aligned} \phi(P)-\phi(Q) &=\sum_i\frac{2\pi}{\lambda_i}l_i =\frac{2\pi}{\lambda_0}\sum_in_il_i =k_0L(QP),\\ \Delta t &=\sum_i\frac{l_i}{u_i} =\frac{1}{c}\sum_in_il_i =\frac{1}{c}L(QP). \end{aligned}\]

平面反射/折射光束具有等光程性

Postulate Fermat’s Principle. 固定频率的几何光学中, 光线沿相位光程取平稳值的路径传播

\[\delta\int_Q^P n(\mathbf{r})\,ds=0\]

波动解释: 实际路径附近, 光程(或者说相位)随路径的一阶变化为零, 相邻路径次波在该点相位几乎相同, 叠加后相干增强; 若偏离平稳路径, 相位随路径快速变化, 各路径贡献在短波长极限下大幅相消; 有限波长仍可留下衍射贡献.
平稳值可以是极小、极大或常数光程
- 常见情况取极小值(光在均匀介质中直线传播、反射、折射定律)
- 理想成像对应常数光程(物像等光程, 注意区分实/虚)
- 个别现象取极大值.
Fermat principle 推导折射定律: 设界面上一点横坐标为 \(x\), 光程
\[L=n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}\]
令 \(dL/dx=0\), 得
\[n_1\sin i=n_2\sin r\]
Example 双曲透镜聚焦平行光

等光程透镜的轴截面示意图; \(r=\overline{MF}\), \(r_0=\overline{O^{\prime}F}\). 曲线外形为示意, 不用于量取曲率或光程.

Solution
\[\overline{MF}=n\cdot\overline{HO^{\prime}}+\overline{O^{\prime}F} \implies r\left(\theta\right) =\frac{\left(1-n\right)r_0}{1-n\cos\theta} =\frac{n(1/n-1)r_0}{1-n\cos\theta}\]
这里取外界为空气、透镜相对折射率 \(n>1\), \(r_0>0\), 并选取 \(r(\theta)>0\) 的透射物理支(本式对应 \(\cos\theta>1/n\)); 光线还须满足可透射的折射条件. 这是一条双曲线, 旋转后为旋转双曲面; 球面只能在傍轴近似下聚焦.

Remark 波动光学的历史.

1690 年 Huygens 在《光论》一书中正式提出了光的波动说.
一个世纪后, Fresnel 以前者的次波假设为基础, 结合干涉原理, 建立了波动光学的定量形式.
Thomas Young 通过 双缝干涉 实验为波动光学的发展作出了开创性工作.
1850 年法国科学家 Fizeau 和 Foucault 通过实验 证明光在水中的速度小于在空气中的速度, 使得光的波动说无可辩驳地得以确立.
后来 Hertz 证实了电磁波的存在, 并证明其速度与光速相同, 因而指出光是一种电磁现象, 人们用他的名字作为振荡频率的单位.

1.2 Refraction at a Spherical Surface

Notation 光由左向右传播.

物距 \(s\) 以顶点左侧的实物为正, 像距 \(s'\) 以右侧的实像为正; 虚物、虚像取负.
曲率半径 \(r\) 以曲率中心在顶点右侧为正.
物方与像方折射率分别为 \(n,n'\), 横向坐标向上为正.

Proposition 球面折射傍轴成像. 先取实物、实像, 光线在界面处高度为 \(h\), 球面矢高 \(\Delta\simeq h^2/(2r)\). 要求 \(h\ll |s|,|s'|,|r|\).

球面折射的实物、实像几何. 原图底部的 \(x\) 标记对应本文的像距 \(s^{\prime}\), 即 \(\overline{OQ^{\prime}}\); 图示曲率中心在顶点右侧, 因而 \(r>0\).

\[\begin{aligned} L&=n\sqrt{(s+\Delta)^2+h^2}+n'\sqrt{(s'-\Delta)^2+h^2}\\ &=ns+n's'+\frac{h^2}{2}\left[\frac ns+\frac{n'}{s'}+\frac{n-n'}r\right]+O(h^4). \end{aligned}\]

同一物点发出的傍轴光线应有相同光程, 因而二次项系数为零:

\[\frac ns+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}\equiv\Phi.\]

所得有向距离公式也适用于虚物或虚像. 反射情形须另按反射光轴建立符号约定, 不把介质折射率直接设为 \(-1\).

当 \(\Phi\ne0\) 时, 得到有限焦距的 Gauss 成像公式; \(\Phi=0\) 时应保留前面的光焦度形式或取极限.

\[\frac{f}{s}+\frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}=1,\qquad f=\frac{n}{n^{\prime}-n}r=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{n^{\prime}-n}r=\frac{n^{\prime}}{\Phi}\]

横向放大率: 利用过 \(O\) 点的光线的角放大率 \(W = n/n^{\prime}\), 可以得到
\[V=\frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{s^{\prime}/n^{\prime}}{s/n}\]
Lagrange-Helmholtz const: 傍轴条件下
\[ynu=y^{\prime}n^{\prime}u^{\prime}=\mathrm{const},\qquad u\approx h/s\]
这里取傍轴小倾角 \(u\), 光线沿向右传播轴向上倾斜(逆时针)为正, 与 \(y\) 向上为正及后文传递矩阵约定一致. 对轴上实物点, 入射 \(u\approx h/s\), 出射 \(u^{\prime}\approx-h/s^{\prime}\).

Definition Aplanatic Point. (界面是两个点的 Apollonian circle) 下图取 \(n>n^{\prime}\), \(r\) 是正的球面几何半径, \(\overline{QC},\overline{Q^{\prime}C}\) 是到球心的几何长度, 不同于从顶点量起的有向物距和像距.

\[\overline{QC}=\frac{n^{\prime}}{n}r,\qquad \overline{Q^{\prime}C}=\frac{n}{n^{\prime}}r\]

1.3 Cardinal Points and Lens Systems

理想成像要求物方空间每一点都能严格成像, 亦即物方的每个同心光束转化为像方的一个同心光束. 满足这种理想成像要求的光具组叫做理想光具组.

高斯光学: 研究近轴区成像的理想光学系统.

Remark 理想成像的共线变换. 有如下性质:

物方每个点对应像方一个点(共轭点)
物方每条直线对应像方一条直线(共轭线)
物方每个平面对应像方一个平面(共轭面)
光轴上任何一点的共轭点仍在光轴上
任何垂直于光轴的平面, 其共轭面仍与光轴垂直
在垂直于光轴的同一平面内横向放大率相同
在垂直于光轴的不同平面内横向放大率一般不等

1.3.1 Cardinal Points and Planes

理想光具组物像之间的共轭关系完全由几对特殊的点和面所决定

焦点和焦面
- 与无穷远像平面共轭的平面为物方焦面 \(\mathscr{F}\), 其轴上点是为物方焦点 \(F\).
- 与无穷远物平面共轭的平面为像方焦面 \(\mathscr{F}^{\prime}\), 其轴上点是为像方焦点 \(F^{\prime}\).
主点和主面: 横向放大率等于1的一对共轭面, 叫做主面. 主面不一定在透镜的两界面之间
- 属于物方的叫做物方主面 \(\mathscr{H}\), 其轴上点是为物方主点 \(H\)
- 属于像方的叫做像方主面 \(\mathscr{H}^{\prime}\), 其轴上点是为像方主点 \(H^{\prime}\)
当透镜的厚度趋于 0 时, 透镜的两顶点和两主点都重合在一起, 成为光心, 即薄透镜本身所在的平面就是主面, 光心就是主点.

距离的规定:

物距是物方主点到轴上物点的距离, 像距是像方主点到轴上像点的距离.
物方焦距是物方主点到物方焦点的距离, 像方焦距是像方主点到像方焦点的距离

Definition 节点. 光轴上角放大率等于 1 的共轭点 \(N,N^{\prime}\). 入射光线或其延长线通过 \(N\) 时, 出射光线或其延长线通过 \(N^{\prime}\), 两者平行, 不要求位于同一直线上. 当物像方折射率相同, 节点分别与主点重合.

节点的寻找方法: 利用主面性质, 找到平行的一组共轭光线, 其入射、出射光线的延长线与光轴的交点分别是 \(N,N^{\prime}\).

1.3.2 Imaging Relations

以下物距、像距从各自主面量起, 取实物、实像为正. 有限焦距公式要求系统光焦度非零. 令 \(x=s-f\), \(x^{\prime}=s^{\prime}-f^{\prime}\).

上图可以看出几何关系 \[\frac{-y^{\prime}}{y}=\frac{f}{x}=\frac{f}{s-f},\qquad \frac{-y^{\prime}}{y}=\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}=\frac{s^{\prime}-f^{\prime}}{f^{\prime}}\] 进而得到 Gauss 公式和 Newton 公式 \[\frac{f}{s}+\frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}=1,\qquad xx^{\prime}=ff^{\prime}\] 横向放大率 \[V = \frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}=-\frac{fs^{\prime}}{f^{\prime}s}\] 其中最后一步利用 \(xx^{\prime}=ff^{\prime}\): \[\frac{s^{\prime}}{s}=\frac{x^{\prime}+f^{\prime}}{x+f} =\frac{ff^{\prime}/x+f^{\prime}}{x+f} =\frac{f^{\prime}}{x}.\] 对轴上共轭点, 选取在两主面处高度同为 \(h\) 的一对共轭傍轴光线, 可以看出角放大率 \[W = \frac{\tan u^{\prime}}{\tan u} = \frac{-h/s^{\prime}}{h/s}=-\frac{s}{s^{\prime}}\] 从而 \(VW = f/f^{\prime}\). 对物像方介质相同的薄透镜成像和单球面成像, 结果分别化为 \(1\) 和 \(n/n^{\prime}\), 后者给出 Helmholtz 公式.

1.3.3 Lens Power

对厚透镜, 物距和像距从主面量起. 两界面光焦度为 \(\Phi_1,\Phi_2\), 镜内折射率为 \(n_L\), 厚度为 \(d\). 有限焦距、主面和前述 Newton 公式取 \(\Phi\ne0\); 光焦度合成式本身也适用于 \(\Phi=0\).

\[\Phi=\Phi_1+\Phi_2-\frac{d}{n_L}\Phi_1\Phi_2,\qquad f=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}.\]

成像关系为 \(f/s+f^{\prime}/s^{\prime}=1\), 横向放大率为 \(V=-fs^{\prime}/(f^{\prime}s)\). 各距离均从相应主点量起, 不把厚透镜的顶点当作主点.

空气中的密接薄透镜组
\[\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \Phi_1+\Phi_2\]
更多镜片同.
对薄透镜, \(\Phi = \Phi_1+\Phi_2\). 特别地, 对于两侧都为空气的情况, 得到
\[f = \frac{1}{\left(n_L-1\right)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}\]

1.3.4 Ray Diagrams

以下采用两侧介质相同的薄透镜模型, 光心 \(O\) 与主点、节点重合, 过光心的光线方向不变; 一般厚光具组应分别用主面和节点作图.

通过物方焦点 \(F\) 与光轴垂直的平面叫物方焦面 \(\mathscr{F}\), 以物方焦面轴外一点 \(P\) 为中心的入射同心光束转化为与光轴成一定倾角的出射平行光束. 倾斜平行光束的方向可由 \(P\) 与光心 \(O\) 的联线来确定, 这联线称为副光轴
通过像方焦点 \(F^{\prime}\) 与光轴垂直的平面叫像方焦面 \(\mathscr{F}^{\prime}\), 平行光束入射汇聚于像方焦面上一点
凸透镜
凹透镜

1.3.5 Two-Lens Systems

以下两薄透镜位于同一均匀介质, \(d\) 为光心间距, 光学间隔为 \(\Delta=d-f_1^{\prime}-f_2\). 有限焦距及主点位置公式要求 \(\Delta\ne0\); \(\Delta=0\) 对应无焦系统, 应直接用传递矩阵处理.

几何关系

\[\frac{\overline{M_1O_1}}{\overline{M_2O_2}}=\frac{f_1^{\prime}}{\Delta+f_2}=\frac{\overline{M_3H^{\prime}}}{\overline{M_2O_2}}=\frac{\overline{F^{\prime}H^{\prime}}}{\overline{O_2F^{\prime}}} \implies \overline{F^{\prime}H^{\prime}}=\frac{f_1^{\prime}}{\Delta+f_2}\overline{O_2F^{\prime}}\]

利用 \(L_2\) 的成像公式, 可以得到联合系统的焦点和主点位置, 以及焦距

\[\overline{O_2F^{\prime}}=\frac{f_2^{\prime}\left(f_2+\Delta\right)}{\Delta} \implies f^{\prime}=-\overline{F^{\prime}H^{\prime}}=-\frac{f_1^{\prime}f_2^{\prime}}{\Delta}\]\[l_H^{\prime}=\overline{O_2H^{\prime}}=\frac{f_2^{\prime}\left(f_2+\Delta\right)}{\Delta}+\frac{f_1^{\prime}f_2^{\prime}}{\Delta}=\frac{f_{2}^{\prime}d}{\Delta}\]

同理

\[f=-\frac{f_1f_2}{\Delta},\qquad l_H=\overline{O_1H}=\frac{f_1d}{\Delta}\]

1.4 Ray Transfer Matrices

Notation 本节光线状态为 \((nu,y)^{\mathsf T}\), \(u\) 是沿传播轴测量的有向小倾角. 矩阵从右向左作用. 下文 \(\overline{O_iP}\) 为沿统一光轴向右的有向坐标, 而物方距离 \(s\) 向左为正; 二者相差负号.

1.4.1 Elementary Matrices

Definition 单球面折射矩阵.

\[\begin{bmatrix} n'u' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\Phi \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nu \\ y \end{bmatrix}\]

Definition 均匀介质的传递矩阵.

\[\begin{bmatrix} n'u' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{d}{n} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nu \\ y \end{bmatrix}\]

均满足行列式为 1.

1.4.2 Imaging with System Matrices

对于系统矩阵 \(M_{k1} = R_kT_{\mathrm{k,(k-1)}}R_{\mathrm{k-1}}\cdots R_3T_{32}R_2T_{21}R_1\), 有
\[M_{A^{\prime}A} =T_{A^{\prime}K}M_{k1}T_{1A} =\begin{bmatrix} M_{11}&M_{12}\\ M_{21}&M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\\frac{s^{\prime}}{n^{\prime}}&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} B&A\\ D&C \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\\frac{s}{n}&1\end{bmatrix}\]
在当前 \((nu,y)\) 状态约定下定义系统光焦度
\[\Phi\equiv -A.\]\[n^{\prime}u^{\prime}=M_{11}nu+M_{12}y,\qquad y^{\prime}=M_{21}nu+M_{22}y\]
考虑成像条件:
- 像高只取决于物高, 与进入光学系统的角度无关, 即 \(M_{21} = 0\). 从而得到成像关系
  \[s^{\prime}/n^{\prime}=-\frac{D+Cs/n}{B+As/n}\]
- 进而, 放大率仅由 \(M_{22}\) 决定, \(V = M_{22}\)
- 利用行列式为 1, 应有 \(M_{11} = 1/V\)
- 对于 \(M_{12}\), 直接由矩阵乘法可知
  \[M_{12}=A=-\Phi.\]
故
\[M_{A^{\prime}A} =\begin{bmatrix} 1/V&-\Phi\\ 0&V \end{bmatrix}\]
- 对 \(A\ne0\) 的有焦系统, 利用 \(V=1\), 可以得到主面位置
  \[\begin{aligned} V&=M_{22}=C+As^{\prime}/n^{\prime}=1/M_{11}=\frac{1}{B+As/n},\\ s_H&=-\overline{O_1H}=\frac{1-B}{A}n,\qquad s_{H^{\prime}}=\overline{O_kH^{\prime}}=\frac{1-C}{A}n^{\prime} \end{aligned}\]
- 分别利用
  \[s=\infty,V=0;\qquad s^{\prime}=\infty,V=\infty\]
  结合成像公式, 得到焦面位置和焦距
  \[\begin{aligned} s_{F}&=-\overline{O_{1}F}=-\frac{B}{A}n,\qquad s_{F^{\prime}}^{\prime}=\overline{O_{k}F^{\prime}}=-\frac{C}{A}n^{\prime},\\ f&=-\frac{n}{A}=\frac{n}{\Phi},\qquad f^{\prime}=-\frac{n^{\prime}}{A}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}. \end{aligned}\]

1.5 Optical Instruments

简化人眼模型常以 \(s_{\mathrm{dv}}=250\,\mathrm{mm}\) 为参考明视距离, 角分辨率数量级为 \(1'\); 实际近点和分辨率随个体及条件变化. 以下镜片计算忽略镜片与眼的距离.

近视眼: 放松调节时远点位于眼前有限距离.

远点通过凹透镜被纠正至无穷远, 则 \(s_{\mathrm{fp}} = -1/\Phi\). 眼镜的度数等于 \(100 P\), 其中屈光度 \(P= \Phi\) 单位为 \(D = m^{-1}\).
近点过远的简化成像例: 以下设近点超过参考明视距离. 单凭近点过远不能区分远视与调节能力下降.

要让参考明视距离的物体经凸透镜形成位于近点 \(s_{\mathrm{np}}\) 的虚像, 薄透镜公式给出
\[\Phi=\frac{1}{s_{\mathrm{dv}}}-\frac{1}{s_{\mathrm{np}}}>0.\]
距离用米时, \(\Phi\) 的单位为 \(\mathrm{m}^{-1}\); 度数换算仍为 \(100\Phi\), 但不能沿用近视远点的光焦度公式.
放大镜: 放大的正立虚像在明视距离. 对于 \(f\ll s_{\mathrm{dv}}\) 的短焦, 物距
\[s=f-\frac{f^2}{s_{\mathrm{dv}}+f}\approx f\]
视角放大率(相比于没有放大镜)
\[M\approx\frac{y/s}{y/s_{\mathrm{dv}}}=\frac{s_{\mathrm{dv}}}{s}=1+\frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\approx\frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\]
显微镜

上图示意最终虚像在明视距离的情形.

最终像在无穷远时, \(M_e\approx s_{\mathrm{dv}}/f_e\); 下式采用这种放松观察条件. 若最终像在明视距离, 应改用 \(M_e\approx1+s_{\mathrm{dv}}/f_e\), 仅在 \(f_e\ll s_{\mathrm{dv}}\) 时可忽略常数项. 角放大率
\[M \approx V_o M_e \approx -\frac{\Delta}{f_o}\cdot \frac{s_{\mathrm{dv}}}{f_e} = \frac{s_{\mathrm{dv}}}{f}\]
望远镜

角放大率
\[M=\frac{\omega^{\prime}}{\omega}=-\frac{f_o}{f_E},\qquad |M|=\frac{D_o}{D_E}\]
这里取无焦、无渐晕的傍轴望远系统; \(D_o\) 是入瞳直径, \(D_E\) 是出瞳直径, 不能把后者当成目镜镜片的机械口径.

1.6 Optical Aberrations

Definition Aberration. 任何偏离理想成像的现象, 称为像差.

几何像差(非单色->色差, 非近轴->单色像差); 波像差(不是点源球面波)

Theorem Abbe 正弦条件. 在轴上点已消球差的前提下, 傍轴小物点以大孔径光束理想成像的充分必要条件为

\[n_0y_0\sin u_0=n^{\prime} y^{\prime}\sin u^{\prime}\]

其物理含义是保持物像等光程, 并消除傍轴物点宽光束成像中的正弦差.

Proof

上图的几何示意另采用物方大孔径、像方傍轴的小视场条件; 像方傍轴只属于这张图的近似, 不是一般 Abbe 正弦条件的必要前提.

傍轴物点条件下, \(\theta\) 很小, 故

\[L\left(G^{\prime}P^{\prime}\right)\approx L\left(G^{\prime}R^{\prime}\right),\qquad L\left(F^{\prime}P^{\prime}\right)\approx L\left(F^{\prime}Q^{\prime}\right)\]

物像等光程要求

\[\begin{aligned} L\left(PNN^{\prime}P^{\prime}\right)&=L\left(PSS^{\prime}P^{\prime}\right),\qquad L\left(QMM^{\prime}Q^{\prime}\right)=L\left(QTT^{\prime}Q^{\prime}\right),\\ L\left(PNN^{\prime}G^{\prime}\right)&=L\left(RMM^{\prime}G^{\prime}\right),\qquad L\left(PSS^{\prime}F^{\prime}\right)=L\left(QTT^{\prime}F^{\prime}\right) \end{aligned}\]

得到

\[L\left(QR\right)=L\left(Q^{\prime}R^{\prime}\right) \implies n_0y_0\sin u_0=n^{\prime} y^{\prime}\sin u^{\prime}\]

齐明点满足 Abbe 正弦条件

胶合透镜消色差: 对于特定目标波长, 保持光焦度一致.

Example 消色差胶合透镜用冕牌玻璃和火石玻璃做焦距为 \(10.0\,\mathrm{cm}\) 的消色差胶合透镜, 求两透镜焦距. 焦距通常以可见光区域中部的钠光谱 D 线为准, \(\lambda_D = 589.3\,\mathrm{nm}\).

	F 线 486.1 nm	D 线 589.3 nm	C 线 656.3 nm
冕牌玻璃	1.517	1.511	1.509
火石玻璃	1.633	1.621	1.616

Solution 设两薄透镜结构因子为 \(K_1,K_2\)(即两个面的曲率差), 总光焦度(由磨镜者公式)

\[(n_{1D}-1)K_1+(n_{2D}-1)K_2=10.0\,\mathrm{m^{-1}},\]

消色差条件

\[(n_{1F}-n_{1C})K_1+(n_{2F}-n_{2C})K_2=0.\]

代入得 \(K_1=45.7\,\mathrm{m^{-1}}\), \(K_2=-21.5\,\mathrm{m^{-1}}\). D 线下

\[P_1=23.4\,\mathrm{D},\quad P_2=-13.4\,\mathrm{D},\]

因而

\[f_1=4.27\,\mathrm{cm},\qquad f_2=-7.46\,\mathrm{cm}.\]

Remark 目镜消色差. 透镜组光焦度

\[\Phi=-\frac{\Delta}{f_1f_2}=-\frac{d-f_1-f_2}{f_1f_2}=P_1+P_2-P_1P_2d=(n-1)(K_1+K_2)-(n-1)^2K_1K_2d\]

尝试使其不随折射率 \(n\) 变化, 有

\[\frac{dP}{dn}=0\implies d=\frac{K_1+K_2}{2(n-1)K_1K_2}=\frac{P_1+P_2}{2P_1P_2}=\frac{f_1+f_2}{2}\]

从而, 只能对特定波长附近满足消色差.

2 Wave Optics and Diffraction

2.1 Electromagnetic Waves

Postulate Maxwell’s equations.

\[\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{e0},\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\qquad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{j}_0+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\]

其中 \(\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}\), \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\), \(\mathbf{j}_0 = \sigma \mathbf{E}\). 对于自由空间 \(\rho=0,\mathbf{j}=0\):

\[\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.\]

利用 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}\), 可得到真空波动方程. 推广到均匀、各向同性、线性、无源、无耗散的非色散介质时, \(\varepsilon,\mu\) 为常数, \(\sigma=0\), 有以下形式:

\[\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,\qquad \nabla^2\mathbf{H}-\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}=0,\qquad u=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\]

可以得到平面波解

\[\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},\quad \mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0,\quad \omega=ku\]

电磁波为横波(利用 \(\nabla\to\mathrm{i}\mathbf{k},\partial_t\to-\mathrm{i}\omega\)), \(\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k}\) 两两垂直, 且 \(B_0=E_0/u\).

Definition Poynting vector.

\[\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H},\qquad \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}+\iint_{\Sigma}\mathbf S\cdot\mathrm{d}\boldsymbol\Sigma=0,\qquad W=\frac12\iiint_V(\mathbf E\cdot\mathbf D+\mathbf B\cdot\mathbf H)\,\mathrm{d}V.\]

这里 \(\Sigma=\partial V\) 取向外法向, 场为实瞬时场, 并沿用上述无耗散、非色散条件. 若存在传导电流, 等式右侧增加 \(-\iiint_V\mathbf j_0\cdot\mathbf E\,\mathrm{d}V\).

Definition 光强.

\[I=\left|\langle\mathbf S\rangle_t\right|=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\,\mathbf E_0\cdot\mathbf E_0^*\approx\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}n|\mathbf E_0|^2\]

最后一步另取 \(\mu_r\approx1\); 真实电场为前述复表示的实部.

2.2 Wavefronts and Phase Screens

\[\tilde{U}(P)=A(P)e^{i\phi(P)}\implies I(P)\propto \left\langle\tilde{U}(P)\cdotp\tilde{U}^*(P)\right\rangle=A^2(P)\]

球面
\[\tilde{U}(r,t)=\frac{A}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kr-\omega t)}\]
柱面
\[\tilde{U}(\rho,t)\simeq\frac{A}{\sqrt{\rho}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\rho-\omega t)},\qquad k\rho\gg1\]

2.2.1 Wavefront Functions

\(U(x,y)\)(仅含振幅和空间相因子)

平面波
\[U(x,y)=Ae^{ik(\cos\theta_x\cdot x+\cos\theta_y\cdot y)}\]
这里 \(\theta_x,\theta_y\) 分别是传播方向与 \(x,y\) 轴的夹角; 若改用相对于轴的余角 \(\theta_1,\theta_2\), 则 \(\cos\theta_x=\sin\theta_1\)、\(\cos\theta_y=\sin\theta_2\).
球面
\[U(x,y)=\frac{A}{r}e^{ikr},\qquad r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+d^2}\]

Assumption 球面波的近似条件

傍轴条件(或称振幅条件): 对横向尺度 \(\rho\), 传播距离 \(z\), 傍轴条件要求
\[z^2\gg\rho^2\]
振幅可用 \(A/z\) 近似. 相位保留二次项还要求被舍去的四次项满足 \(k\rho^4/(8z^3)\ll1\), 此时
\[U(x,y)\approx\frac{A}{z}e^{ik\frac{x^2+y^2}{2z}}\cdot e^{ikz}\]
远场条件(或称相位条件): 远场条件要求
\[z\lambda\gg \rho^2 \implies \frac{2\pi}{\lambda}\frac{\rho^2}{2z}\ll1\]
即二次相位可忽略, 则
\[U(x,y)\approx\frac{A}{z}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\]
球面波近似转为平面波.

Remark 移心球面波. 在上述傍轴条件下, 略去整体相位, 发散和会聚球面波的横向相因子统一写成

\[\exp\left[\pm ik\left(\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{xx_0+yy_0}{z}\right)\right].\]

这里 \(z>0\), 正号对应中心在 \((x_0,y_0,-z)\) 的发散波, 负号对应中心在 \((x_0,y_0,z)\) 的会聚波.

2.2.2 Phase Screens

薄透镜相位函数在傍轴条件下, 忽略吸收时
\[\tilde t_L(x,y) =\exp\left[-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2f}\right].\]
凹透镜与凸透镜形式相同, 但焦距 \(f\) 取负值.
棱镜相位函数: 在傍轴条件下, 忽略吸收时, 光通过棱镜相对真空传播多出的光程差为
\[\delta L\simeq n(d-x)\alpha-(d-x)\alpha =(n-1)(d-x)\alpha.\]
略去与 \(x\) 无关的整体相位, 一维棱镜屏函数可取为
\[\tilde t_P(x)=\exp[-\mathrm{i}k(n-1)\alpha x],\]
二维则 \(\alpha x\to\alpha_1x+\alpha_2y\).

傍轴成像 设入射波来自距离透镜 \(s\) 的傍轴点光源
\[\tilde U_1(x,y)=A_1 \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s}\right]\]

经过薄透镜后
\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=\tilde t_L(x,y)\tilde U_1(x,y)\\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2f}\right] \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s}\right]\\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k \frac{x^2+y^2}{2s'}\right] && s'=\frac{fs}{s-f}. \end{aligned}\]
当 \(s>f>0\) 时, 出射波为会聚球面波; \(0\lt s\lt f\) 时 \(s'\lt 0\), 出射波发散并形成虚像.

则经过棱镜后
\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=A_1 \exp\left[\mathrm{i}k\frac{x^2+y^2}{2s} -\mathrm{i}k(n-1)\alpha x\right] \\ &=A_1 \exp\left[-\mathrm{i}k \frac{[(n-1)s\alpha]^2}{2s}\right] \exp\left[ \mathrm{i}k\frac{[x-(n-1)s\alpha]^2+y^2}{2s} \right]. \end{aligned}\]
第二步配方. 除去整体相位后, 出射波仍为发散球面波, 发散中心移到
\[((n-1)s\alpha,0,-s)\]
因此棱镜在傍轴近似下主要使像点横向偏移, 而不改变其轴向距离.

2.3 Polarization

Definition 偏振态. 对沿 \(z\) 传播的单色平面波, 写作

\[E_x=A_x\cos\omega t,\qquad E_y=A_y\cos(\omega t+\delta).\]

消去时间得到

\[\left(\frac{E_x}{A_x}\right)^2+\left(\frac{E_y}{A_y}\right)^2 -2\frac{E_xE_y}{A_xA_y}\cos\delta=\sin^2\delta.\]

一般为椭圆; \(\delta=0,\pi\) 或一个分量为零时为直线; \(A_x=A_y\) 且 \(\delta=\pm\pi/2\) 时为圆. 圆偏振的左右旋名称须同时约定观察方向和时间因子.

Definition 线偏振度. 旋转线检偏器测得

\[P_L=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}.\]

它只测量线偏振成分. 圆偏振光也有 \(P_L=0\), 因而不能仅凭此式判断完全不偏振; 检测圆偏振成分还需波片.

Proposition Malus 定律.

线偏振光通过检偏器后

\[I=I_0\cos^2\theta\]

自然光先通过理想起偏器后强度变为 \(I_0/2\).

Remark 界面反射的相位. 对非磁性透明介质的正入射, 统一使用同一横向电场正方向. 切向电场和磁场连续分别给出 \(1+r=t\), \(n_1(1-r)=n_2t\), 因而

\[r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},\qquad t=\frac{2n_1}{n_1+n_2},\qquad R=|r|^2,\quad T=\frac{n_2}{n_1}|t|^2,\quad R+T=1.\]

当 \(n_2>n_1\) 时 \(r\lt 0\), 反射电场有 \(\pi\) 相位跃变, 即半波损失. 斜入射须区分 s/p 偏振; 全反射或金属反射的相位一般不是简单的 \(0\) 或 \(\pi\).

2.4 Diffraction Principles

Definition Diffraction. 光波遇到障碍物或孔径时, 偏离几何光学直线传播并绕行的现象称为衍射.

设结构特征尺度为 \(a\).
- 当 \(a\gg\lambda\) 时, 几何光学近似较好.
- 当 \(a\) 与 \(\lambda\) 同量级时, 衍射显著.
- 当 \(a\lesssim\lambda\) 时, 散射与衍射均可能显著, 不能仅凭尺寸给它们划定互斥边界; 下文标量 Kirchhoff 孔径近似通常要求孔径特征尺寸远大于波长.
实际判断近场/远场还依赖传播距离 \(L\). 常用 Fresnel number
\[F=\frac{a^2}{\lambda L}\]
描述衍射场类型: \(F\gtrsim1\) 时为近场 Fresnel 衍射, \(F\ll1\) 时进入远场 Fraunhofer 衍射.
按光源、衍射屏和接收屏之间距离远近, 傍轴衍射可分为两类:
- Fresnel diffraction: 光源、衍射屏、接收屏之间距离有限但远大于波长, 波面曲率和传播距离仍直接影响接收屏上的场分布.
- Fraunhofer diffraction: 光源和接收屏等效在无穷远处, 或用透镜把入射/出射波转化到焦平面. 场分布可按观察方向 \(\theta\) 描述.

Postulate Huygens-Fresnel 原理. 波前上每一点作为次波源, 观察点处光场为所有次波的相干叠加.

\[\begin{aligned} \tilde{U}(P)&=\iint_{\Sigma}\mathrm{d}\tilde{U}(P),\\ \mathrm{d}U(P)&\propto \mathrm{d}S\,U_0(Q)\frac{1}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}f(\theta_0,\theta)\\ \implies\quad \tilde{U}(P)&=K\iint_{\Sigma} f(\theta_0,\theta)\tilde{U}_0(Q)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\,\mathrm{d}S. \end{aligned}\]

相对 Huygens principle, 补入了振幅、相位、倾斜因子和相干叠加, 因此可定量处理衍射.

Example 用 Huygens-Fresnel principle 解释相控阵雷达的工作原理

Solution 相邻阵元引入固定相位延迟 \(\Delta\phi\) 来调控远场中相长干涉的方向, 即主瓣指向.

Proposition Kirchhoff 衍射公式. 下式取均匀介质中的标量近似, \(\Sigma\) 表示照明孔径面, 并采用 Kirchhoff 孔径边界近似; 不能据此处理任意亚波长孔或边缘的矢量近场.

\[\tilde{U}(P)=\frac{-i}{\lambda}\iint_{\Sigma}\frac{(\cos\theta_0+\cos\theta)}{2}\tilde{U}_0(Q)\frac{e^{ikr}}{r}dS\]

2.5 Fresnel Diffraction

Proposition Babinet 原理. 互补屏 \(\tilde{U}_a(P)+\tilde{U}_b(P)=\tilde{U}_0(P)\).

圆孔衍射: 中心亮、暗变化
圆屏衍射: 在理想同轴相干球面波或平面波照明、标量 Fresnel 模型中, 阴影轴心出现 Poisson 亮斑. 扩展非相干光源会使亮斑展宽或衬比度降低.

Poisson 亮斑来自遮挡边缘的相干叠加. 亮斑存在不代表成像系统没有景深或色差限制.

2.5.1 Half-Period Zones

\[\Delta U_1=A_1,\quad\Delta U_2=-A_2,\quad\Delta U_3=A_3,... \implies U(P_0)=\sum_m(-1)^{m+1}A_m\]

其中

\[\begin{aligned} A_m&\propto f(\theta_0,\theta_m)\frac{\Delta\Sigma_m}{r_m},\\ f(0,\theta_m)&=\frac{1}{2}\left(1+\cos\theta_m\right),\qquad d\Sigma=2\pi R^2\sin\alpha d\alpha=\frac{2\pi R}{R+b}rdr\propto r \end{aligned}\]

后一式用到余弦定理. 在小倾角、各带振幅缓变的半波带近似下, 自由光场振幅 \(A_f\approx A_1/2\).

半波带内部相位也改变 \(\pi\), 不能把带内面积贡献全按同相相加. 令带内相位为 \(\varphi\), 缓变振幅近似下

\[\left|\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\right|=2, \qquad \int_0^\pi|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}|\,\mathrm{d}\varphi=\pi.\]

同相估计因此大了 \(\pi/2\) 倍. 螺旋矢量图正是对带内相位积分的几何表示.

对于圆孔/圆屏, 考虑整数波带的情况:

圆孔衍射: 如果最大波带数为 \(2n\) 或 \(2n+1\), 分别由
\[\begin{aligned} \tilde{U}(P_0)&=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots-A_{2n}\approx 0,\\ \tilde{U}(P_0)&=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots+A_{2n+1}\approx A_1=2A_f \end{aligned}\]
得到为暗斑/4倍光强亮斑.
圆屏衍射: 同理
\[\begin{aligned} \tilde{U}(P_0) &=A_{2n+1}-A_{2n+2}+A_{2n+3}+\cdots =A_{1^*}-A_{2^*}+A_{3^*}-A_{4^*}+\cdots\approx A_f,\\ \tilde{U}(P_0) &=-A_{2n+2}+A_{2n+3}-A_{2n+4}+\cdots =-(A_{1^*}-A_{2^*}+A_{3^*}-\cdots)\approx-A_f \end{aligned}\]
得到中心均为亮斑.

2.5.2 On-Axis Circular-Aperture Integral

本段 \(a\) 是球面波振幅常数, \(R\) 是点源至孔中心的距离, \(b\) 是孔中心至轴上观察点的距离, \(\rho\) 是孔半径, \(\kappa=k\). 积分的上限 \(r\) 是对应波前边缘到观察点的距离; 用小角度、缓变振幅模型把它换算为孔半径. 以下光强关系均在这一模型内成立.

\[\begin{aligned} \tilde{U}(b) &=\frac{-i}{\lambda}\frac{2\pi R}{R+b}\cdot\frac{a}{R}e^{i\kappa R}\int_b^{r}e^{i\kappa r}dr\\ &=-\frac{a}{R+b}e^{i\kappa R}\left(e^{i\kappa r}-e^{i\kappa b}\right),\\ I(b) &=\tilde{U}(b)\cdot\tilde{U}(b)^* =4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\kappa\frac{r-b}{2}\right) \end{aligned}\]

傍轴近似下

\[r=b+\frac{1}{2}\frac{(R+b)\rho^2}{Rb}\implies I(b)=4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\rho^2}{\lambda}\cdot\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\right)\]

轴上亮/暗斑取决于 \(\sin\) 后的相位.

对于 \(\rho_m\), 由 \[\rho_m=R\cdot\sqrt{1-\cos^2\alpha_m},\qquad \cos\alpha_m=\frac{R^2+(R+b)^2-(b+m\frac{\lambda}{2})^2}{2R(R+b)}\] 保留一阶近似得 \[\rho_m=\sqrt{m}\cdot\rho_1,\qquad \rho_1=\sqrt{\frac{Rb\lambda}{R+b}}\] 进一步得到类似于成像公式的形式 \[m=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\cdotp\frac{\rho_m^2}{\lambda} \implies \frac{1}{R}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f_m}, \qquad f_m = \frac{\rho_m^2}{m\lambda}\] 可以由"物距"和"像距"得到波带数. 从而 \[I(b;\rho = \rho_m) =4\left(\frac{a}{R+b}\right)^2\sin^2\left(\frac{m\pi}{2}\right)\] 这与半波带法的整数带结论一致.

2.5.3 Zone Plates and Examples

对于非整数波带, 使用螺旋式曲线图解法

Example 求 \(m = 1.5\) 时的光强

Solution

\[A_{1.5}=\sqrt{2}A_f\implies I_{1.5}=\left(\sqrt{2}A_{f}\right)^{2}=2I_{f}\]

Example 给出 \(m = 1.5\) 在特殊波带片下的光强图解

白色部分透光: 第一半波带开放半个方位角, 从 \(m=1\) 到 \(m=1.5\) 的环带开放四分之一方位角. 在轴对称照明与半波带振幅缓变近似下, 这些比例乘在复振幅上, 而非直接乘在光强上.

Solution 取图中第一半波带的完整振幅为 \(2\mathrm{i}A_f\), 则完整的后续半环带增量为 \(-A_f-\mathrm{i}A_f\). 两块透光区域相加给出

\[\tilde U=\frac12(2\mathrm{i}A_f)+\frac14(-A_f-\mathrm{i}A_f) =\frac{A_f}{4}(-1+3\mathrm{i}), \qquad I=\frac58 I_f.\]

整体相位的选择不影响这个光强比.

Babinet 原理的体现: 矢量图上 \(\vec{A}_d=\vec{A}_f-\vec{A}_h\).
Poisson 亮斑的解释: 遮挡有限面积波前等于 clip 掉螺旋前面的一部分, 不影响亮斑的尾部指向螺旋中心.

Remark 应用包括遮挡奇数或偶数带的波带片、对奇偶带补偿 \(\pi\) 的浮雕型波带片, 以及去掉 \(2m\pi\) 相位差所对应厚度的 Fresnel 透镜.

2.6 Fraunhofer Diffraction and Resolution

平面波正入射时, 忽略共同传播因子, 孔径场 \(U_a(x,y)\) 的远场振幅为

\[\tilde U(\theta_x,\theta_y)\propto\iint U_a(x,y)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_x+y\sin\theta_y)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\]

这是后续平移相位、光栅结构因子和 Fourier 光学共同使用的负号约定. 宽为 \(a\) 的均匀单缝给出 \(\int_{-a/2}^{a/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx\sin\theta}\,\mathrm{d}x=a\sin\alpha/\alpha\), 从而得到下式.

Remark 单缝.

\[A(\theta)=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}\implies I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,\qquad \alpha=\frac{\pi}{\lambda}a\sin\theta\]

在 \(\alpha\) 坐标中, 以相邻零点之间的距离为宽度, 中央主峰宽 \(2\pi\), 其他峰宽 \(\pi\)(\(\alpha=m\pi\), \(m\ne0\) 时为零点). 换成角度或屏幕坐标后的二倍关系另需小角度近似.
矩孔也是可以直接外推的
\[I(\theta_1,\theta_2)= I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 ,\qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda},\quad \beta=\frac{\pi b\sin\theta_2}{\lambda}\]
两个角是接收光屏上点在两个面的投影相对于透镜光心方位的夹角.

Remark 圆孔.

\[I\left(\theta\right)=I_0\left(\frac{2J_1(x)}{x}\right)^2,\qquad x=\frac{\pi\cdot D\sin\theta}{\lambda}\]

\(D\) 为圆孔直径. 第一零点为 \(x_0\simeq3.831706\simeq1.22\pi\), 因而

\[\sin\theta_0\simeq1.22\frac{\lambda}{D},\qquad\theta_0\simeq1.22\frac{\lambda}{D}\quad(\theta_0\ll1)\]

即为 Airy 斑(圆孔 Fraunhofer 衍射中央亮斑)的半角宽.

Rayleigh 分辨判据: 可分辨的最小角度 \(\delta\theta_m = \theta_0\).
显微镜的分辨本领
\[\begin{aligned} \theta_0&\approx1.22\frac{\lambda_0}{n^{\prime}D},\\ \delta y_m^{\prime} &\approx s^{\prime}\theta_0 \approx1.22\frac{\lambda_0}{n^{\prime}D/s^{\prime}} \approx0.61\frac{\lambda_0}{n^{\prime}\sin u^{\prime}}\\ \implies \delta y_{0m}&=0.61\frac{\lambda_0}{N.A.},\qquad \mathrm{N.A.}=n_0\sin u_0 \end{aligned}\]
定义数值孔径 \(\mathrm{N.A.}\). 上面用 \(D/(2s^{\prime})\approx\sin u^{\prime}\) 的推导为傍轴推导. 大孔径时, \(0.61\lambda_0/\mathrm{NA}\) 的标量 Airy 模型推广还须采用满足 Abbe 正弦条件的理想成像系统; 实际高 NA 矢量场、像差和瞳函数会改变点扩散图样.

仅增大放大倍数试图看到小于分辨本领的细节是徒劳的. 比如对于简单的望远镜, 物镜口径可以认为直接决定了最小可分辨的星体角间距.

油浸和大孔径可提高数值孔径, 但 \(\mathrm{NA}\le n_0\), 上限取决于介质及系统设计. Rayleigh 两点判据给出 \(0.61\lambda_0/\mathrm{NA}\); Abbe 周期结构判据常写作 \(\lambda_0/(2\mathrm{NA})\), 两者不能混称. 电子显微镜使用电子的 de Broglie 波长, 属于不同的成像系统.

Example 透镜的焦距为 \(f\), 通光孔径为 \(D_L\). 物体 \(A\) 距离透镜为 \(s\), \(s>f\). 求 \(A\) 的最小分辨线度、像面上对应的最小分辨线度, 并说明如何看清 \(A\) 的更多细节?

Solution 数值孔径为 \(\mathrm{N.A.}\simeq \sin u\simeq D_L/2s\). Rayleigh 判据下

\[\delta_A\simeq \frac{0.61\lambda}{\mathrm{N.A.}} \simeq \frac{1.22\lambda s}{D_L}, \qquad \delta_A'\simeq \frac{1.22\lambda s'}{D_L}.\]

二者满足几何放大关系: \(\delta_A'=|V|\delta_A\). 用短波长、增大孔径、浸油等理论上都有效.

3 Interference and Coherence

3.1 Two-Beam Interference

Assumption 稳定的单色干涉. 两束单色光形成稳定干涉条纹的常用条件是同频、偏振投影不正交、相位差在观察时间内稳定. 对有限谱宽或部分相干光, 应检查探测平均后的互相关, 不能只用这三个理想单色条件作一般定义.

Remark 如何获得相干光.

普通光源可视为带随机相位的光场. 两个独立普通光源的交叉项通常在探测平均中消失. 获得可见条纹的常用方法, 是从同一随机光场分出两个彼此相关的部分:

分波前法 (Division of Wavefront): 从同一波前上取出两个子波源
分振幅法 (Division of Amplitude): 将同一束光的振幅分成两部分

分光保留了两路之间的相关性, 但是否能看到条纹仍取决于延迟、光源空间尺度、偏振和探测平均时间. 光程差产生相位差, 并可形成相长或相消干涉.

实际观察往往还要求
- 光程差处于具有足够互相关的范围, 并控制光源空间尺度. 单个随机发光光源照明两个孔也可能产生干涉; Young 双孔及后述空间相干性正是例子. 有限相干长度是谱宽及所选衬比度尺度的描述, 并非普遍的硬截止.
- 足够大的衬比度、合适的条纹间距等.

Definition 干涉衬比度(visibility).

\[I = UU^*,\qquad \gamma=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}.\]

相同偏振的标量两束部分相干光, 若单束强度在扫描相位时不变, 有

\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\operatorname{Re}(\mu_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}),\qquad \gamma=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}|\mu_{12}|.\]

\(\mu_{12}\) 是归一化互相干度; 偏振不同时还要计入电场方向的投影.

Example 考虑两束偏振光干涉

Solution s 光完全平行叠加. p 光有夹角

\[I_p = A_{1p}^2 + A_{2p}^2 + 2 A_{1p}A_{2p}\cos\alpha\cos\delta\]

衬比度与 \(I_s\) 相加后计算. 对于傍轴情况, 才可以把自然光干涉看成标量干涉.

Remark Young 干涉.

\[U_{1/2}(x,y)\simeq\frac{A}{D}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kD}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k[(x\mp d/2)^2+y^2]/(2D)}\]

令 \(x_0 = \pm d/2, y_0 = 0\). 光强

\[I(x,y)=(\tilde{U}_1+\tilde{U}_2)\cdot(\tilde{U}_1+\tilde{U}_2)^*=2I_0{\left[1+\cos\left(\frac{2\pi d}{\lambda D}x\right)\right]}\]

空间频率

\[f=\frac{1}{\Delta x} = \frac{d}{\lambda D}\]

提高 Young 干涉的衬比度:
1. 两束光的幅度尽量一致
2. 提高光源单色性
3. 合理调整单缝宽以平衡亮度和清晰度.
4. 光源狭缝应足够窄, 使两干涉缝处有足够大的互相干度

Remark 散斑: 相干光照射粗糙表面时, 多个散射贡献具有不同相位, 在观察点先叠加复振幅, \(U=\sum_j a_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_j}\), 再取 \(I=|U|^2\), 形成明暗随机颗粒. 若各贡献的交叉项被时间或空间平均消去, 仅剩 \(\sum_j|a_j|^2\), 散斑衬比度反而降低.

3.2 Wavefront-Splitting Interferometers

Remark Fresnel 双棱镜. 两个顶角很小的直角棱镜底边相接. 狭缝 S 的光波被折射成两束. 设顶角 \(\alpha\), 折射率 \(n\), 狭缝到棱镜距离 \(B\), 棱镜到屏幕距离 \(C\). 虚光源间距为

\[d = 2(n-1)\alpha B\]

总距离 \(D = B + C\) 下, 条纹间距

\[\Delta x = \frac{D}{d}\,\lambda = \frac{B + C}{2(n-1)\alpha B}\,\lambda\]

Remark Fresnel 双面镜. 由两块夹角接近 180 度的平面镜构成, 两个反射虚像形成一对相干虚光源.

Remark Lloyd 镜.

中心出现暗纹而非亮纹. 这是因为半波损失.

此处采用近似 \(\pi\) 的反射相位. 具体镜面、入射角和偏振态应按反射系数判断, 不能把所有反射都归为半波损失.

Remark 对切透镜. 将一块透镜沿直径剖成两半再横向错开少许, 各自成一实像, 构成相干光源.

3.3 Spatial Coherence

3.3.1 Point-Source Displacement

光源横移 \(\xi\) 导致零级亮纹反向移动 \(\eta = -(D/R)\xi\), 条纹间距 \(\Delta x = D\lambda/d\) 不变. 不对称时的干涉强度分布为

\[I = 4I_0\cos^2\Bigl[\frac{\pi d}{\lambda D}\Bigl(x + \frac{D}{R}\xi\Bigr)\Bigr], \qquad \delta \approx \frac{2\pi}{\lambda}\Bigl(\frac{d}{R}\xi + \frac{d}{D}x\Bigr)\]

3.3.2 Extended Sources

以下采用准单色、傍轴、等强两路模型, 宽度 \(b\) 的线光源视为均匀非相干点源的叠加.

\[\begin{aligned} I(x) &= \int_{-b/2}^{b/2} \frac{4I_0}{b}\cos^2\Bigl[\frac{\pi d}{\lambda D}\Bigl(x + \frac{D}{R}\xi\Bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}\xi \\[4pt] &= 2I_0\Bigl[1 + \frac{\sin u}{u}\cos\Bigl(\frac{2\pi d}{\lambda D}x\Bigr)\Bigr] &&u = \frac{\pi d b}{\lambda R}=\frac{\pi b}{b_0}=\frac{\pi d}{d_0} \end{aligned}\]

衬比度 \(\gamma = \left|\frac{\sin u}{u}\right|\). 首次降为零给出常用的首零点相干尺度和角度(小角度近似下), 不表示此后处处不相干; sinc 旁瓣仍可有非零衬比度.

\[b_0 = \frac{\lambda R}{d},\qquad d_0 = \frac{\lambda R}{b} \implies \Delta\beta_0 \approx \frac{b_0}{R},\qquad \Delta\theta_0 \approx \frac{d_0}{R}\]

二者均满足反比公式

\[d\cdot\Delta\beta_0 \approx \lambda,\qquad b\cdot\Delta\theta_0 \approx \lambda\]

对于面光源, 相干立体角和相干面积

\[\Delta\Omega_0 \approx \frac{\pi}{4}(\Delta\theta_0)^2,\qquad \Delta S_0 = R^2\Delta\Omega_0 \approx d_0^2\]

Definition 空间相干性: 有限宽度光源的相干性, 即非相干有限宽光源波前上空间相近的两点仍可能干涉.

3.3.3 Stellar Interferometry

增大基线 \(d\) 直至条纹首次消失. 上述均匀线源给出 \(d_0\Delta\beta=\lambda\); 对均匀圆盘星体, 圆对称亮度的二维 Fourier 变换给出 \(\gamma=|2J_1(v)/v|\), \(v=\pi d\Delta\beta/\lambda\), 因而 \(d_0\Delta\beta\simeq1.22\lambda\). 系数取决于光源亮度模型.

Michelson 干涉仪是分振幅干涉, Michelson 星体干涉仪是分波面干涉.

巧妙性: 角直径测量由可变间距 \(d\) 控制, 接收仍可用较小口径望远镜完成.

Example 设计一台星体干涉仪, 使其探测的星体孔径角达到 \(\Delta=1\times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\), 星体发射的波长为 600 nm. 探测器用单元宽度约为 \(1.5\ \mu\mathrm{m}\) 的 CCD 探测 (每个干涉周期至少要用 12 个单元来记录), 屏幕距离双孔 (透镜) 2 m.

Solution 星体角分辨率要求外侧有

\[d\sim\frac{\lambda}{\Delta}=6.0\ \mathrm{m}\]

若按均匀圆盘的首零点选基线, 则为 \(7.32\,\mathrm{m}\). CCD 采样要求干涉周期 \(p\ge 12\times1.5\ \mu\mathrm{m}=18\ \mu\mathrm{m}\). 由题目条件, 若成条纹孔距为 \(b\)

\[p=\frac{\lambda L}{b}\implies b\le \frac{\lambda L}{p}=6.7\ \mathrm{cm}\]

则需要中继部分把 \(d\) 缩到 \(b\).

3.4 Temporal Coherence

3.4.1 Two Spectral Lines

设光源含 \(k_1,k_2\) 两个相近波数成分, \(\Delta k=|k_1-k_2|>0\). 每个成分在两臂中的单束强度均为 \(I_0\), 不同频率间的交叉项已被探测平均掉, 两种干涉图叠加强度:

\[I=4I_0\left[1+\cos\left(\frac{\Delta k}{2}\Delta L\right)\cos(k\Delta L)\right], \qquad k=\frac{k_1+k_2}{2}.\]

快振荡项 \(\cos(k\Delta L)\) 给出普通干涉条纹; 慢变项给出衬比度包络 \(\gamma=\left|\cos\left(\frac{\Delta k}{2}\Delta L\right)\right|\). 包络周期

\[\frac{\Delta k}{2}\Delta L_0=\pi\implies \Delta L_0=\frac{2\pi}{\Delta k}\approx \frac{\lambda^2}{|\Delta\lambda|}\]

首次衬比度为零的光程差为 \(\pi/\Delta k=\Delta L_0/2\); \(\Delta L_0\) 是可见度的复现周期, 两者不可混同. 若两条谱线强度不等, 包络最小值一般大于零. 两波长错位半个条纹时, 等强谱线的衬比度降为零. 若 \(\lambda_1,\lambda_2\) 相近

\[N\lambda_1=\left(N-\frac{1}{2}\right)\lambda_2 \implies N\approx \frac{\lambda}{2|\Delta\lambda|}.\]

3.4.2 Finite Spectral Width

对波数作非相干叠加. 若准单色光谱宽度为 \(\Delta k\), 矩形谱近似下衬比度

\[\gamma=\left|\frac{\sin u}{u}\right|,\qquad u=\frac{\Delta k}{2}\Delta L.\]

以矩形谱衬比度首零点定义相干长度

\[L_0=\frac{\pi}{\Delta k/2}\approx\frac{\lambda^2}{|\Delta\lambda|}.\]

由此, 衬比度也可写成

\[\gamma(\Delta L)=\left|\frac{\sin(\pi\Delta L/L_0)}{\pi\Delta L/L_0}\right|, \qquad \gamma(\tau)=\left|\frac{\sin(\pi\tau/\tau_0)}{\pi\tau/\tau_0}\right|.\]

Definition 时间相干性. 由谱宽决定, 谱线越窄, \(\tau_0\) 越大, 时间相干性越好

\[\tau_0\Delta\nu\simeq 1\]

Example Twyman-Green 干涉系统(类似于透射 Newton 环, 中心为亮纹)

中心波长 \(\lambda_0=600\,\mathrm{nm}\) 的准单色照明光, 第 20 条暗条纹处干涉衬比度降到 0.95, 估算准单色光的谱线宽度 \(\Delta\lambda\).

Solution 第 20 条暗条纹处 \(\Delta=19.5\lambda=11.7\ \mu\mathrm{m}\). 用矩形谱线近似, 可见度其中 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\).

\[\gamma \simeq \left|\operatorname{sinc}\left(\pi\frac{\Delta}{L_0}\right)\right| = \left|\operatorname{sinc}\left(\pi\frac{\Delta}{c/\Delta\nu}\right)\right|\]

小量近似得到括号内 \(x\simeq\sqrt{0.30}=0.548\), 从而 \(\Delta\lambda\simeq\lambda_0^2\Delta\nu/c=\lambda_0^2x/(\pi\Delta)\approx5.4\ \mathrm{nm}\).

3.5 Thin-Film Interference

对于厚度为 \(d\), 折射率为 \(n\) 的薄膜 (内部折射角为 \(\theta\)), 上下表面反射光的光程差为

\[\Delta = 2nd\cos\theta\left(+\frac{\lambda}{2}\right)\]

注意考虑是否产生半波损失.

Definition 定域性.
- 点光源照明, 反射光视为来源于虚像 \(S_1, S_2\), 为非定域干涉.
- 扩展光源照明, 不同点源的干涉仅在错位最小的部分区域可见, 为定域干涉.
  
  膜越薄, 上下表面反射光的错位夹角 \(\beta\) 越小, 定域面越靠近薄膜, 光源极限宽度 \(b_0\) 越大. 限制条件为 \(b\cdot\beta \lt \lambda\).

Definition 等倾干涉. 薄膜平行, 光程差取决于 \(\theta\). 同一条纹对应同一倾角. 扩展光源照明时, 条纹定域于无穷远.

形状: 经透镜汇聚为同心圆环. 中心处 \(\theta = 0\), 对应干涉级次最高(光程差最大).

膜厚 \(d\) 增大时, 同一 \(\Delta\) 对应的 \(\cos\theta\) 减小, \(\theta\) 增大, 条纹外扩; 反之同理.
面光源照明时, 只要入射角 \(i\) 相同就汇聚到同一个干涉环, 不会破坏等倾条纹.

Definition 等厚干涉. 薄膜楔角 \(\alpha\) 极小, 垂直入射时 \(\Delta \approx 2nd + \lambda/2\)(注意半波损失), 取决于膜厚 \(d\). 条纹定域于薄膜表面附近.

形状: 相邻条纹厚度差 \(\Delta d = \frac{\lambda}{2n}\), 对应水平间距 \(\Delta l = \frac{\lambda}{2n\alpha}\).

膜很薄时, 局部光程差只允许少数可见波长满足亮纹条件, 因而可出现鲜艳色彩; 膜较厚时, 多个波长可同时满足亮纹条件, 非相干叠加使颜色饱和度下降, 甚至条纹消失.
判断上方平板倾斜方向的办法: 垫入已知薄片/用白光找零级条纹.

3.5.1 Newton Rings

平凸透镜与平板玻璃间形成空气薄膜. 以反射式为例, 要考虑半波损失. 亮纹和暗纹条件分别为

\[2h= \begin{cases} \left(m-\frac{1}{2}\right)\lambda, & \text{亮纹},\\ m\lambda, & \text{暗纹}. \end{cases}\]

中心触点处 \(h=0\), 为暗斑. 设透镜曲率半径为 \(R\), 条纹半径为 \(r\). 空气膜厚度由球冠几何给出

\[h=R-\sqrt{R^2-r^2} =R\left[1-\sqrt{1-\left(\frac{r}{R}\right)^2}\right] \approx \frac{r^2}{2R}\qquad (r\ll R).\]

代入条纹条件得

\[r_m^2= \begin{cases} \left(m-\frac{1}{2}\right)R\lambda, & \text{亮纹},\\ mR\lambda, & \text{暗纹}. \end{cases}\]

故

\[R=\frac{r_{m+n}^2-r_m^2}{n\lambda} =\frac{D_{m+n}^2-D_m^2}{4n\lambda}.\]

该式与起始级次 \(m\) 无关, 可减小中心接触不理想带来的误差.

透射 Newton 环与反射 Newton 环互补: 反射中心暗, 透射中心亮. Remark 条纹比较

条纹	对应量	定域位置	由中心向外的级次
Newton 环	膜厚	膜附近	增大
等倾干涉环	倾角	无穷远	降低

3.5.2 Observation Examples

Example 肥皂膜和蝴蝶翅膀的彩色分别如何产生?

Solution 肥皂膜彩色来自白光薄膜干涉; 蝴蝶翅膀的结构色来自微纳周期结构的干涉、衍射和选择性散射.

Example 近视眼能否看清等倾条纹和等厚条纹?

Solution 等倾条纹定域于无穷远, 近视眼远点有限, 不容易看清. 等厚条纹定域在薄膜表面附近, 观察距离合适时可以看清.

3.6 Michelson Interferometer

Definition Michelson 干涉仪. \(G_1\) 背面镀半反半透膜, \(G_2\) 与 \(G_1\) 厚度和折射率相同.

补偿板作用: 补偿色散; 白光照明时, 便于精确找到等光程位置.
两束光分别可看作由 \(M_2\) 和 \(M_1'\) 反射. \(M_2\) 与 \(M_1'\) 夹角决定条纹形态.
- \(M_2\parallel M_1'\): 等倾圆条纹. 不同波长的同级条纹一般不重合; 零光程差位置为各波长共有, 白光只能在零光程差给出清晰定位.
  - 动臂平移 \(l\) 时, 光程差变化 \(\Delta L=2nl\). 若条纹变化 \(N\) 次
    \[2nl=N\lambda\]
    增大 \(l\) 时吐出条纹(特定级次角度变大), 减小 \(l\) 吞入条纹(特定级次角度变小).
  - 测长要求波长稳定、计数准确. 可用测长范围由光谱形状、两臂延迟及所需衬比度共同决定. 若仅以频率矩形谱的可见度首零点作为尺度, 取窄带且折射率在谱宽内近似不变, 则
    \[L_0 = \frac{c}{\Delta\nu}\simeq\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} \implies l_0=\frac{L_0}{2n}\]
    这里 \(\lambda\) 为中心真空波长, \(\Delta\lambda>0\) 为波长谱宽; \(l_0\) 是从等光程位置量起的首零点位移尺度, 不是普遍的测量硬截止. 实际应按可见度 \(\mathcal{V}=(I_{\max}-I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})\) 是否达到测量所需阈值确定工作范围.
- \(M_2\) 与 \(M_1'\) 微倾: 等厚直条纹. 条纹疏密由两虚镜夹角决定.

Remark Michelson-Morley 实验. 若实验室相对以太速度为 \(v\), 经典速度合成预言两臂往返时间不同: \[t_{\parallel}=\frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v} \approx \frac{2l}{c}\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right)\] \[t_{\perp}=\frac{2l}{\sqrt{c^2-v^2}} \approx \frac{2l}{c}\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)\] 光程差预期为 \[\Delta L_0=c(t_{\parallel}-t_{\perp})\approx l\left(\frac{v}{c}\right)^2.\] 干涉仪旋转 \(90^\circ\) 后光程差反号, 条纹移动对应 \(\delta(\Delta L)=2\Delta L_0\).

Example 用钠光(\(589.3\ \mathrm{nm}\))观察 Michelson 干涉条纹. 干涉场中有 12 个亮环, 且中心是亮的; 移动 \(M_1\), 吞 (吐) 了 10 环, 场还存在 5 个亮环. 试求:

镜面 \(M_1\) 移动的距离 \(\Delta h\).
开始时中心亮斑的干涉级 \(k_0\), 相应的等效空气膜厚 \(h_0\).

Solution

中心吞吐 10 环, 则 \(\Delta h=\frac{10\lambda}{2}=5\lambda\simeq2.95\ \mu\mathrm{m}\).
设视场边缘半角为 \(\theta_m\), 初始中心级次 \(k_0=2h_0/\lambda\). 可见亮环数等于中心到视场边缘的级差
\[2h_0(1-\cos\theta_m)\simeq12\lambda \qquad 2(h_0-\Delta h)(1-\cos\theta_m)\simeq5\lambda.\]
解得 \(h_0\simeq5.05\ \mu\mathrm{m},k_0\simeq17.1\).

前例把可见环数近似为连续级差, 所得只是估算. 中心亮纹的严格级次必须为整数; 若只给整数环数而不给视场边缘在相邻条纹间的位置, 就不能把 \(17.1\) 当作精确干涉级. 精确求解还需边缘角度或边缘相位信息.

3.7 Fabry-Perot Interferometer

Definition Fabry-Perot(FP) 干涉仪. 两块高反平行板构成 FP 腔. 本节取相同、无吸收的两镜, 两侧介质相同, 腔内折射率在所考察窄谱段近似不变, 并把固定的反射相位纳入相位参考. \(\lambda\) 是真空波长. 相邻透射光的光程差和相位差为

\[\Delta L=2nh\cos\theta,\qquad \delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta L=\frac{4\pi nh\cos\theta}{\lambda}.\]

取两侧介质相同, \(r=-r'\), 无吸收时 \(r^2+tt'=1\), \(R=r^2\), 有透射光振幅和光强

\[\tilde U_T=\frac{Att'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta/2}}{1-r'^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}}, \qquad I_T = \frac{I_0}{1+F_A\sin^2(\delta/2)}, \quad F_A=\frac{4R}{(1-R)^2}\]

无吸收时 \(I_R=I_0-I_T\). \(R\) 越大, 透射峰越尖锐. 峰值条件为 \(\delta_m=2m\pi\implies 2nh\cos\theta_m=m\lambda\).

由于 \(\delta\) 同时依赖 \(nh\)、\(\lambda\) 和 \(\theta\), FP 可用于等倾干涉环的精细分辨, 也可作为选频腔.

3.7.1 Spectral Range and Finesse

Definition 自由光谱范围. 对于正入射, 若 \(\lambda_+\) 的 \(m\) 级峰与 \(\lambda_-\) 的 \(m+1\) 级峰重合, 即

\[m\lambda_+=(m+1)\lambda_-=2nh\]

得到自由光谱范围

\[\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}} \approx\frac{\lambda^2}{2nh}, \qquad \Delta\nu_{\mathrm{FSR}}=\frac{c}{2nh}.\]

精细分辨采用半高全宽(FWHM, full width at half maximum)作为谱线宽度尺度. 半高点存在要求 \(F_A\ge1\), 即 \(R\ge3-2\sqrt2\); 更低反射率时谷值仍高于半峰, 不能如此定义独立峰的 FWHM.

以峰中心为相位零点, 理想 Airy 线形的相位全宽及精细度为

\[\varepsilon=4\arcsin\frac{1-R}{2\sqrt R},\qquad\mathcal F=\frac{2\pi}{\varepsilon}.\]

高反射率、窄线宽下, 同级峰的波长半高全宽近似为

\[\delta\lambda_{\min}\approx\frac{\lambda}{\pi m}\frac{1-R}{\sqrt R}\]

精细度定义为自由光谱范围与谱线宽度之比

\[\mathcal F\approx \frac{\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}}{\delta\lambda_{\min}} \approx \frac{\pi\cdot m\lambda\cdot\sqrt R}{2nh(1-R)} \approx\frac{\pi\sqrt R}{1-R} =\frac{\pi\sqrt{F_A}}{2}\]

即在窄谱段近似下 \(\delta\lambda_{\min}\approx\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F\). 色分辨本领

\[R_c\equiv\frac{\lambda}{\delta\lambda_{\min}} \approx\pi m\frac{\sqrt R}{1-R}\approx m\mathcal{F}.\]

\(h\gg\lambda\) 时级次很大, 所以 FP 可分辨超精细谱线结构.

3.7.2 Angular Fringes

半高全角宽可以由相位全宽 \(\varepsilon\)
\[I_T\left(\pm\frac{\varepsilon}{2}\right)=\frac{I_0}{2} \implies \varepsilon=\frac{2\pi}{\mathcal F}\approx\frac{2(1-R)}{\sqrt R}\]
得到
\[\Delta\theta_m\approx \frac{\lambda/\mathcal{F}}{2 nh\sin\theta_m}\]
上述角宽线性化要求 \(\theta_m\neq0\) 且 \(\Delta\theta_m\ll|\theta_m|\). 中央峰处 \(\sin\theta_m=0\), 必须保留 \(\cos\theta\approx1-\theta^2/2\) 的二次项, 不能套用此式.

近邻谱线角间距由
\[\frac{\delta}{2} = m\pi \implies \delta\theta_m\approx\frac{m\,\delta\lambda}{2nh\sin\theta_m}\]
得到.

3.7.3 Frequency Selection

正入射非单色平行光时, 多光束相干叠加表现为光谱滤波. 峰值波长和纵模频率满足

\[2nh=m\lambda_m,\qquad \nu_m=m\frac{c}{2nh}, \qquad \Delta\nu=\frac{c}{2nh}.\]

单峰的半高全宽由相位宽度 \(\varepsilon\approx\frac{2\pi}{\mathcal F}\) 容易得到谱宽为

\[\Delta\nu_m\approx \frac{\Delta\nu_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal{F}}, \qquad \Delta\lambda_m\approx\frac{\Delta\lambda_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal{F}}\]

3.8 Optical Coatings

3.8.1 Single-Layer Reflection

取透明、非磁性介质, \(\lambda\) 为真空波长. 介质 \(n_0\)、薄膜 \(n_1\)、基底 \(n_2\), 膜厚 \(d_1\), 膜内折射角 \(\theta_1\). 斜入射时各 \(r_{ij},t_{ij}\) 须使用同一 s/p 偏振及一致的场方向约定; 以下平方折射率等效基底关系另取正入射. 反射系数

\[r = r_{01}+t_{01}t_{10}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}\sum_{m=0}^\infty(r_{10}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1})^m = \frac{r_{01}+r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}} {1+r_{01}r_{12}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_1}}, \qquad \delta_1=\frac{4\pi}{\lambda}n_1d_1\cos\theta_1\]

正入射时, 利用 \(r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}\) 反射率可写成

\[R=\frac{(n_0-n_2)^2\cos^2(\delta_1/2)+\left(\dfrac{n_0n_2}{n_1}-n_1\right)^2\sin^2(\delta_1/2)} {(n_0+n_2)^2\cos^2(\delta_1/2)+\left(\dfrac{n_0n_2}{n_1}+n_1\right)^2\sin^2(\delta_1/2)}.\]

3.8.2 Antireflection Coatings

Remark 单层增透膜. 对常见 \(n_0\lt n_2\) 的透明介质, 取 \(n_0\lt n_1\lt n_2\) 可在设计波长降低反射率. 正入射下取 \(\lambda/4\) 波膜 \(n_1d_1=\lambda_0/4\)

\[R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2, \qquad n_{\text{eff}}=\frac{n_1^2}{n_2}\]

全增透条件 \(n_1=\sqrt{n_0n_2}\).

Remark 双层增透膜. 把下层 \(\lambda/4\) \(n_2\) 波膜和 \(n_3\) 基底看成等效基底

\[n'_{\mathrm{eff}}=\frac{n_2^2}{n_3}\]

在等效基底上镀 \(\lambda/4\) 波膜 \(n_1\), 全增透条件

\[n_1=\sqrt{n_0n'_{\mathrm{eff}}}\]

3.8.3 High-Reflection Coatings

沿用 \(n_0\lt n_2\) 的条件, 若 \(n_1>n_2\), \(\lambda/4\) 波膜使反射相长, 单层 \(\lambda/4\) 增反在 \(\lambda_0\) 处有

\[R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2\]

\(n_1 \gg n_2\) 时, \(R_{\lambda_0}\sim 1\).

Remark 多层高反射膜. 光学厚度均为 \(\lambda_0/4\) 的高、低折射率膜交替组成.

对于

\[G(HL)^pHA,\]

字母按基底到入射侧排列:

\(G\) 是基底;
\(H,L\) 是高、低折射率层;
\(A\) 是入射介质, \(n_0=n_A\);
\(p\) 为非负整数.

在正入射设计波长处逐层外推得到等效折射率

\[n_\mathrm{eff}=\frac{n_H^2}{\left(\frac{n_L}{n_H}\right)^{2p}n_G}=\left(\frac{n_H}{n_L}\right)^{2p}\frac{n_H^2}{n_G}, \qquad R_{\lambda_0}= \left( \frac{n_0-n_{\text{eff}}} {n_0+n_{\text{eff}}} \right)^2\]

在 \(n_\mathrm{eff}\ge n_0\) 的高反支路上, 折射率比 \(n_H/n_L\) 越大、膜层数越多, 设计波长处反射率越高. 若起初 \(n_\mathrm{eff}\lt n_0\), 增加层数会先接近匹配点而降低反射率, 不能笼统宣称单调增加.

Optics - 2

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

4 Diffraction from Periodic Structures

4.1 Translation and Phase Shift

Proposition 图像位移. 在 Fraunhofer 衍射系统中, 若透过率分布 \(t(x,y)\) 平移为 \(t(x-x_0,y-y_0)\), 则在观察方向 \((\theta_1,\theta_2)\) 上有

\[\tilde U'(\theta_1,\theta_2) =\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\delta_1+\delta_2)} \tilde U(\theta_1,\theta_2), \qquad \delta_1=-kx_0\sin\theta_1,\quad \delta_2=-ky_0\sin\theta_2.\]

Proposition 全同结构的 Fraunhofer 衍射场. 这里假设各单元受到同振幅、同相位的相干照明, 决定全同单元之间如何相干叠加.

第 \(i\) 个单元相对参考单元位移 \((x_i,y_i)\), 则

\[\tilde U(\theta_1,\theta_2) =\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \sum_{i=0}^{N-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k(x_i\sin\theta_1+y_i\sin\theta_2)}.\]

后一项为振幅结构因子; 其模平方给出强度结构因子.

Example 五方孔由中心方孔和四个关于中心对称的方孔组成.

Solution 四个位移为 \((a,a),(a,-a),(-a,-a),(-a,a)\), 利用成对对称项合并, 得

\[\tilde U(\theta_1,\theta_2) =\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \left[ 1+2\cos\{k(a\sin\theta_1+a\sin\theta_2)\} +2\cos\{k(a\sin\theta_1-a\sin\theta_2)\} \right]\]

其中单个方孔

\[\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) =\tilde c\frac{\sin\alpha}{\alpha} \frac{\sin\beta}{\beta}, \qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda}, \quad \beta=\frac{\pi a\sin\theta_2}{\lambda}.\]

以下把共同的光强换算系数吸收进振幅归一化, 写为 \(I(\theta_1,\theta_2)=|\tilde U(\theta_1,\theta_2)|^2\); 若 \(\tilde U\) 直接表示电场, 则光强还需相应介质阻抗因子.

Example 衍射重复单元. 结构单元是宽为 \(a\) 的单缝, 相邻缝的净空宽度依次为 \(a\), \(2a\), \(a\), \(2a\), … , 求衍射场.

Solution 单缝因子为

\[\tilde U_0(\theta)=\tilde c\frac{\sin\alpha}{\alpha}, \qquad \alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.\]

中心间距交替为 \(2a,3a\). 将中心相距 \(2a\) 的两条缝作为一组, 组内二级结构因子为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\alpha}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\alpha}=2\cos2\alpha\).

相邻组的周期为 \(5a\), \(N\) 组给出

\[I(\theta)=4I_0 \left( \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right)^2 \left( \frac{\sin5N\alpha}{\sin5\alpha} \right)^2 \cos^2(2\alpha)\]

若题目中的“间距”指缝中心距离 \(a,2a\), 则周期为 \(3a\), 组内因子为 \(2\cos\alpha\), 上式应相应改为 \(4I_0\operatorname{sinc}^2\alpha[\sin(3N\alpha)/\sin(3\alpha)]^2\cos^2\alpha\). 两种几何定义不能混用.

Example 阶梯形透射相位单元

四级等宽台阶从左至右的厚度为 \(4a,3a,2a,a\). 正文略去最低一级共同的透射相位, 因而相对相位写成 \(3\varphi,2\varphi,\varphi,0\). 采用薄相位屏近似, 忽略各级振幅与反射差异.

Solution 把一个阶梯单元的左端取为 \(x=0\), 透射相因子可写成

\[t(x)= \begin{cases} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}\varphi}, & 0\le x\lt d,\\ \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\varphi}, & d\le x\lt 2d,\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}, & 2d\le x\lt 3d,\\ 1, & 3d\le x\lt 4d,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \qquad \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n-1)a.\]

每一级给出同一个单缝因子 \(\sin\alpha/\alpha\), 只是相对位移不同

\[\tilde U(\theta) =\tilde c\,d\frac{\sin\alpha}{\alpha} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}\varphi-\mathrm{i}\alpha} \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}(-2\alpha-\varphi)} \right), \qquad \alpha=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.\]

因此强度可写成

\[I(\theta)=I_0 \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \left| 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\delta} \right|^2, \qquad \delta = -2\alpha-\varphi\]

4.2 One-Dimensional Gratings

Proposition 光栅衍射场. 取第 \(m\) 个单元相对参考单元的位移为 \(x_m=-md\). 于是远场复振幅为等比求和

\[\tilde U(\theta) =\tilde U_0(\theta)\sum_{m=0}^{N-1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\delta} =\tilde U_0(\theta) \frac{\sin N\beta}{\sin\beta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N-1)\beta}, \qquad \beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.\]

单元因子给出包络, 结构因子给出离散主极大及峰宽. 以下峰宽及主峰间零点、次峰的计数取 \(N\geq2\).

Remark 主极强. 当 \(\beta=m\pi\) 时, 强度结构因子取极限 \(N^2\), 出现主极强(可出现级次受 \(|m|\lambda/d\leq1\) 限制, 且单元因子不能为零). 第 \(m\) 级主峰两侧第一零点的精确方向为
\[d\sin\theta_m=m\lambda, \qquad d\sin\theta_{m,\pm} =\left(m\pm\frac{1}{N}\right)\lambda.\]
两侧角宽 \(|\theta_{m,\pm}-\theta_m|\) 一般不完全相等. 若两零点均为可传播方向, 且远离掠射、小角展开成立, 可用共同的近似半角宽度
\[\Delta\theta_m \simeq\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_m} =\frac{\lambda}{D\cos\theta_m},\qquad D\equiv Nd.\]
在相同级次和方向下, 光栅有效宽度 \(D\) 越大, 主峰越窄.
Remark 零点. 结构因子为零要求
\[\sin N\beta=0,\qquad \sin\beta\neq0\]
即 \(N\beta=j\pi,j\neq mN\), 则
\[d\sin\theta_{\mathrm{zero}}=\frac{j\lambda}{N}, \qquad j\in\mathbb{Z},\quad j\notin N\mathbb{Z},\quad \left|\frac{j\lambda}{Nd}\right|\leq1\]
相邻两个主峰之间有 \(N-1\) 个零点.
Remark 次极大. 对 \(N\geq2\), 排除主峰和零点后, 强度结构因子的驻点满足
\[N\cos(N\beta)\sin\beta-\sin(N\beta)\cos\beta=0.\]
仅在两余弦均不为零时可改写为 \(\tan(N\beta)=N\tan\beta\), 否则须用未除余弦的方程. 相邻两个主峰之间有 \(N-2\) 个结构因子的次极大; 乘上单缝包络后, 总强度峰位可略有移动. 增大 \(N\) 使主峰变窄, 但靠近主峰的次峰相对高度一般趋于非零值, 并不随 \(N\) 无限消失.
Remark 缺级. 单元因子可使某些主极强落在单缝暗纹上.

Remark 正入射透射光栅的缺点

光栅本身可能吸收光能.
零级主峰无色散, 不同波长都集中在 \(\theta=0\), 且通常落在单元衍射因子最大处.
光强分散到正负各级, 而实际光谱分析通常只需要其中一个序列.

Example 一维光栅刻线密度 \(600\,\mathrm{mm}^{-1}\), 有效宽度 \(D=5\,\mathrm{cm}\), 入射 He-Ne 激光波长 \(\lambda=633\,\mathrm{nm}\). 求一、二级主峰方位角及半角宽度.

Solution 光栅常数满足 \(1/d=600\,\mathrm{mm}^{-1}\). 由光栅公式

\[\sin\theta_1=\lambda/d\approx0.38, \qquad \sin\theta_2=2\lambda/d\approx0.76.\]

\(\theta_1\approx22^\circ19',\theta_2\approx49^\circ26'\). 半角宽度为

\[\begin{aligned} \Delta\theta_1 &=\frac{633\,\mathrm{nm}} {5\,\mathrm{cm}\cos22^\circ19'} \approx1.37\times10^{-5}\,\mathrm{rad} \\ \Delta\theta_2 &=\frac{633\,\mathrm{nm}} {5\,\mathrm{cm}\cos49^\circ26'} \approx1.95\times10^{-5}\,\mathrm{rad} \end{aligned}\]

Example 光栅常数和单缝宽度不变, 光栅只留下一半数目的缝会有何影响?

Solution 这里指保留连续的一半缝, 缝间距仍为原值; 若隔缝遮挡则周期改变, 结论不同. 单缝衍射包络不变, 主极大位置不变. 主极大角宽度增大一倍, 峰值强度为原来的 \(\frac14\), 总透光能量约减半, 光栅分辨本领减半.

4.3 Grating Spectrometers and Blazed Gratings

4.3.1 Blaze Geometry

每个周期内的槽面法线 \(\hat{\mathbf{n}}\) 与光栅整体法线 \(\hat{\mathbf{N}}\) 夹角为闪耀角 \(\theta_b\), \(a\) 为被照亮槽面的实际宽度, 它在光栅平面上的投影近似为 \(d\), 即 \(a\cos\theta_b\approx d\); 仅在小闪耀角时才有 \(a\approx d\). 若沿 \(\hat{\mathbf{N}}\) 方向正入射, 槽面的镜反射方向为 \(\theta_{\hat{\mathbf{N}}}=2\theta_b\), 而整个光栅的零级方向仍为 \(\theta=0\).

正入射闪耀光栅几何示意图. a 沿槽面量取, d 沿光栅整体平面量取; 槽面法线的倾角为闪耀角, 镜反射方向相对整体法线偏转两倍闪耀角. 回坡简化为竖直线, 图示不代表实际槽形与效率.

\[I(\theta)=I_0 \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2\]

在忽略遮挡、偏振和矢量边界效应的标量槽面模型中, 单元和结构相因子

\[\alpha=\frac{\pi a}{\lambda} \left[\sin(\theta-\theta_b)-\sin\theta_b\right], \qquad \beta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\]

槽面镜反射方向 \(\theta_{\hat{\mathbf{N}}}=2\theta_b\), 相应 \(\alpha=0\), 单槽包络取最大值. 同时若

\[d\sin(2\theta_b)= m\lambda_{m\mathrm b}\]

则第 \(m\) 级在槽面镜反射方向上相干增强. \(m = 1\) 时给出此正入射几何下的一级闪耀波长 \(\lambda_b\). 实际效率还受槽形、遮挡、材料与偏振影响; 目录中常用的 Littrow 闪耀条件为 \(i=\theta=\theta_b\), 对应 \(m\lambda=2d\sin\theta_b\), 与这里的正入射条件不同.

4.3.2 Dispersion and Resolution

Definition 角色散率. 定义 \(D_\theta=\delta\theta/\delta\lambda\), 由光栅公式 \(d\sin\theta_m=m\lambda\) 微分得
\[D_\theta=\frac{m}{d\cos\theta_m}.\]
Definition 线色散率. 在以目标衍射方向为光轴、像面垂直于该方向的相机中, 小角变化对应局部像面位移 \(\delta l\simeq f\delta\theta\), 因而
\[D_l \simeq fD_\theta =\frac{fm}{d\cos\theta_m}.\]
Definition 色分辨本领. 定义 \(R=\lambda/\delta\lambda_{\min}\). 其中 \(\delta\lambda_{\min}\) 为刚能分辨的最小波长差. 两条谱线的角间隔为 \(\delta\theta_m=|D_\theta|\delta\lambda\); 第 \(m\) 级主峰半角宽度为\(\Delta\theta_m=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_m}\). 按 Rayleigh 型判据, 令 \(\delta\theta_m=\Delta\theta_m\), 得
\[R=|m|N\qquad (m\neq0).\]
这里假设理想、均匀相干照明的 \(N\) 条刻线及非零单元因子, 不计狭缝、像差和探测器的额外展宽. 若采用斜入射的一般光栅方程 \(d(\sin i+\sin\theta)=m\lambda\), 由 \(|\sin i+\sin\theta|\leq2\) 得几何上界
\[R\leq\frac{2dN}{\lambda}=\frac{2D}{\lambda}.\]
等号对应理想掠射极限, 一般实际工作角度达不到; 固定正入射时则有更小的上界 \(R\leq D/\lambda\).

Remark

闪耀光栅单槽衍射的主能量方向与目标非零衍射级重合, 能量集中到一个主要级次.
与透射式光栅相比, 反射式闪耀光栅的优点在于光栅效率高、可做大口径、材料吸收小, 且适合指定工作级次的场景.

4.3.3 Spectrometer Comparison

比较各器件的分光原理、分辨本领和测量范围.

棱镜用材料色散 \(n(\lambda)\) 分光. 分辨本领由 \(\mathrm dn/\mathrm d\lambda\)、棱镜尺寸和入射光束宽度决定. 无级次重叠, 但通常分辨率较低.
FP 为多光束等倾干涉选频, \(2nh\cos\theta=m\lambda\). \(R_{c,m}=m\mathcal F\) 由级次和精细度决定. 分辨率高, 但自由光谱范围小, 且易级次重叠.
光栅为周期结构衍射分光, \(d(\sin \theta_i+\sin\theta_o)=m\lambda\). \(R=|m|N\) 由非零级次和被照亮刻线数决定, 对特定光栅尺度和波长有理论极限. 测量范围受级次重叠、光栅尺度和角色散限制.

4.3.4 Doublet Resolution Example

Example 中心波长 \(600\ \mathrm{nm}\)、间距 \(0.05\ \mathrm{nm}\) 的双线光谱. 正入射, 光栅频率 300 线/mm, 透镜焦距 30 cm, 相机光轴对准一级中心谱线. 求

分辨一级双线所需的最小照亮宽度.
一级角色散率及双线角间隔.
接收面上的双线间隔及相应分辨线数.
光栅记录材料的空间分辨率要求.

Solution

光栅分辨本领为 \(R_c=mN\). 一阶光谱中 \(m=1\), 分辨双线要求
\[N_{\min}=R_c=\frac{\lambda}{\Delta\lambda} =\frac{600}{0.05}=1.2\times10^4.\]
光栅频率 \(g=300\,\mathrm{mm}^{-1}\), 因而最小照亮宽度
\[D_{\min}=\frac{N_{\min}}{g} =\frac{1.2\times10^4}{300}\,\mathrm{mm} =40\,\mathrm{mm}=4.0\,\mathrm{cm}.\]
光栅常数 \(d=\frac{1}{g}=3.33\times10^{-3}\,\mathrm{mm}\). 一阶衍射角满足
\[\sin\theta_1=\frac{\lambda}{d}=0.18\]
角色散率为 \(D_\theta=1/(d\cos\theta_1)\). 两谱线的角间隔为
\[\Delta\theta \simeq\frac{\Delta\lambda}{d\cos\theta_1} \simeq1.525\times10^{-5}\,\mathrm{rad}.\]
焦平面上的空间间隔为
\[\Delta x\simeq f\Delta\theta \simeq0.30\times1.525\times10^{-5}\,\mathrm{m} \simeq4.57\,\mu\mathrm{m}.\]
若以可分辨间隔的倒数估计记录分辨率, 接收屏所需分辨线数约为
\[\frac{1}{\Delta x} \simeq2.2\times10^2\,\mathrm{line/mm}.\]
光栅记录材料至少应能记录 \(300\,\mathrm{line/mm}\) 的结构, 与接收屏分辨谱线的要求不同.

4.4 Two-Dimensional Gratings

Proposition 二维 Fraunhofer 衍射. 周期分别为 \(d_1,d_2\), 单元数为 \(N_1,N_2\),

\[\delta_x=\frac{2\pi d_1\sin\theta_1}{\lambda}, \qquad \delta_y=\frac{2\pi d_2\sin\theta_2}{\lambda}\]

远场振幅为二维结构因子的乘积:

\[\begin{aligned} \tilde U(\theta_1,\theta_2) &=\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \sum_{q=0}^{N_2-1} \sum_{p=0}^{N_1-1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(p\delta_x+q\delta_y)} &&\\ &=\tilde U_0(\theta_1,\theta_2) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N_1-1)\beta_1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(N_2-1)\beta_2} \frac{\sin N_1\beta_1}{\sin\beta_1} \frac{\sin N_2\beta_2}{\sin\beta_2}, \end{aligned}\]

\[\beta_1=\frac{\pi d_1\sin\theta_1}{\lambda}, \qquad \beta_2=\frac{\pi d_2\sin\theta_2}{\lambda}.\]

这里 \(\sin\theta_1,\sin\theta_2\) 是观察方向沿两个孔径轴的横向方向余弦. 主极强方向由二维结构因子给出:

\[\begin{cases} d_1\sin\theta_1=m\lambda,\\ d_2\sin\theta_2=n\lambda, \end{cases} \qquad m,n=0,\pm1,\pm2,\cdots\]

两式还须共同满足 \((m\lambda/d_1)^2+(n\lambda/d_2)^2\leq1\), 才有实数纵向波数; 单元因子为零时该级缺失. 固定另一横向方向余弦, 远离传播截止且主峰足够窄时, 对应近似半角宽度分别为

\[\Delta\theta_{1m} \simeq\frac{\lambda}{D_1\cos\theta_{1m}}, \qquad \Delta\theta_{2n} \simeq\frac{\lambda}{D_2\cos\theta_{2n}},\qquad D_i\equiv N_id_i.\]

4.5 X-Ray Diffraction

Proposition Bragg 公式. 对间距为 \(d\) 的平行晶面族, 单色平行 X 射线以掠射角 \(\theta\) 入射. 按反射定律方向散射时相干增强条件为

\[2d\sin\theta=m\lambda,\qquad m=1,2,\cdots\]

并非任意波长都能满足 Bragg 条件.

Remark 观察 X 射线衍射的两种方法.

Laue method: 用连续谱 X 射线照射单晶, 当某些允许晶面的 Bragg 波长落在光源谱宽内, 且结构因子不消光时, 得到 Laue 斑点.
Debye method: 用单色 X 射线照射粉末, 形成 Debye 环.

Remark 粉末衍射(powder diffraction). 对粉末衍射给出的衍射角, 先通过 Bragg 条件得到

\[\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\lambda}{2d_{hkl}}, \qquad d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}\]

这里 \(\alpha=2\theta\) 为总散射角, 该式按一阶 Bragg 反射写出, \(\mathbf{G}=\mathbf{G}_{hkl}\). \(\mathbf{G}\) 的形式根据具体晶系确定, 晶体基元还可使某些反射消光.

Remark 比较二维 Fraunhofer 衍射, 共面衍射和三维晶体衍射.

二维 Fraunhofer 衍射: 远场复振幅为屏函数 \(t(x,y)\) 的二维 Fourier 变换.
共面衍射: 周期结构与入射、出射光线同在一个平面, 需同时有横向和深度方向相干. 级次比普通二维衍射更受限制.
三维晶体衍射: 散射矢量必须等于倒易晶格矢量
\[\mathbf{k}_s-\mathbf{k}_i=\mathbf{G}_{hkl}.\]
对 \(\mathbf{G}_{hkl}\) 本身, 等价于 \(2d_{hkl}\sin\theta=\lambda\); 若把同一晶面族的第 \(m\) 级单独编号, 则散射矢量应为 \(m\mathbf{G}_{hkl}\), 对应 \(2d_{hkl}\sin\theta=m\lambda\). 三维条件最多, 衍射斑选择性最强.

5 Fourier Optics

5.1 Transmission Functions

Definition 屏函数.

\[\tilde t(x,y)=t(x,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(x,y)}.\]

若 \(\varphi(x,y)\approx\mathrm{const}\), 只有振幅函数 \(t(x,y)\) 起作用, 称为振幅型衍射屏.
若 \(t(x,y)\approx\mathrm{const}\), 只有相位函数 \(\varphi(x,y)\) 起作用, 称为相位型衍射屏.

常见的有线性因子的棱镜型, 和二次型的透镜型.
若振幅和相位都随 \((x,y)\) 变化, 则为相幅型衍射屏.

Definition 窗函数. 实际光学元件都有有限孔径, 因而屏函数通常等于理想变换函数与窗函数的乘积

\[t_w= \begin{cases} 1, & \text{窗口内},\\ 0, & \text{窗口外}. \end{cases}\]

当窗口较小时, 有限孔径本身会引入衍射效应.

5.2 Fourier Transforms and Fraunhofer Diffraction

Definition 周期屏函数的 Fourier 展开. 对周期屏函数, 取周期为 \(d\), \(f_n=n/d\); 透过率可写成 Fourier 级数

\[t(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(2\pi f_nx)+b_n\sin(2\pi f_nx)] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi f_nx}\]

理想无限周期屏的 Fourier 变换按分布意义为离散 Delta 谱. 实际有限窗会把谱点展宽为窗函数的 Fourier 变换, 不应把有限光栅的主峰看成无宽度的点.

Definition 非周期屏函数的 Fourier 积分. 非周期屏函数可以用 Fourier 积分表示:

\[g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} G(f)\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi fx}\,\mathrm{d}f \Longleftrightarrow G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi fx}\,\mathrm{d}x.\]

这里 \(f\) 按每单位长度的周期数计量, 因而正、逆变换都不含 \(1/\sqrt{2\pi}\); 角空间频率 \(q=2\pi f\) 才使用另一套归一化. 取 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\). 对可积且频谱可积的函数, 逆变换在连续点逐点成立; 更一般的有限能量场按 \(L^2\) 意义理解. 此时频谱面上是连续的频谱图.

Remark 对宽度为 \(a\)、高度为 \(A\) 的矩形函数, 连续频谱包络为 \(G(f)=Aa\,\operatorname{sinc}(\pi fa)\).

常用远场分频装置是透镜. 后焦面衍射斑与图像空间频率一一对应, 即图像的 Fourier 频谱面, 也称 Fourier 面; Fraunhofer 衍射斑称为谱斑.

5.3 Sinusoidal Gratings

Remark 余弦光栅的制备. 两束平面波的入射角为 \(\theta_1,\theta_2\), 在干板上干涉时, 条纹强度可写成

\[I(x,y)=I_0[1+\gamma\cos(2\pi fx+\phi_0)], \qquad f=\frac{\sin\theta_1-\sin\theta_2}{\lambda}.\]

对薄振幅光栅, 在记录材料的线性工作区内, 显影、定影后的振幅透过率(非强度透过率)与曝光量近似成线性关系. 曝光时间固定时可写为:

\[t(x,y)=\alpha+\beta I(x,y) =t_0+t_1\cos(2\pi fx+\phi_0).\]

Proposition 单一余弦光栅的衍射. 设平面波正入射, 经过余弦光栅后

\[\begin{aligned} \tilde U_2(x,y) &=\tilde U_0+\tilde U_{+1}+\tilde U_{-1}\\ \tilde U_0 &=A_1t_0\\ \tilde U_{+1} &=\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi fx+\phi_0)} =\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\sin\theta_{+1}x+\mathrm{i}\phi_0} &&\sin\theta_{+1}=f\lambda \\ \tilde U_{-1} &=\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(2\pi fx+\phi_0)} =\frac{1}{2}A_1t_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\sin\theta_{-1}x-\mathrm{i}\phi_0} &&\sin\theta_{-1}=-f\lambda. \end{aligned}\]

对理想无限光栅, 三项分别表示 \(0\) 级及横向波数为 \(\pm2\pi f\) 的分量; 只有 \(|f|\lambda\leq1\) 时, \(\pm1\) 级才有实数传播方向. 有限孔径使各谱分量展宽. \(\pm1\) 级衍射斑的方位角与余弦光栅的空间频率一一对应.

Remark 组合规则. 余弦光栅的组合只需看透过率中的空间频率:
- 透过率相加时, 频谱就是各空间频率分量并列出现.
- 密接薄屏相乘时, 三角函数乘积会产生和频、差频分量.
每个正空间频率 \(f\) 的余弦分量在 \(f\lambda\leq1\) 时对应一对传播方向 \(\sin\theta=\pm f\lambda\); 超过截止时为隐失分量.

5.4 Talbot Self-Imaging

Definition Talbot effect. 单色平面波垂直照射周期性物体时, 在物体后方某些距离处可重新出现周期图样, 称为光栅自成像或 Talbot 效应.

对周期为 \(d\) 的一维光栅, 衍射级满足

\[\sin\theta_m=m\frac{\lambda}{d}, \qquad m=0,\pm1,\pm2,\cdots\]

采用空间相因子 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\) 时, 第 \(m\) 级相对零级的相位差为 \(k_0z(\cos\theta_m-1)\); 其相位落后量记为

\[\Delta\varphi_m =k_0z(1-\cos\theta_m), \qquad k_0=\frac{2\pi}{\lambda}.\]

若要求相位重新相干, 有 \(k_0z(1-\cos\theta_m)=2\pi n\), 即

\[z_{n,m} =n\frac{\lambda}{1-\cos\theta_m} =n\frac{\lambda} {1-\sqrt{1-\left(m\lambda/d\right)^2}} \approx n\frac{2d^2}{m^2\lambda}.\]

若 \(\pm1\) 级存在, 按所有整数 Fourier 级次共同复相得到通常采用的 Talbot 距离

\[z_T=\frac{2d^2}{\lambda}.\]

在傍轴近似下, 所有有显著振幅的级次均满足 \(|m|\lambda/d\ll1\) 时, \(z_T\) 使它们复相:

\[z_T\simeq z_{1,\pm1}\simeq z_{4,\pm2}\simeq z_{9,\pm3}\simeq\cdots.\]

这是 Fresnel 近似下的复相; 非傍轴级次的精确纵向波数不再与 \(m^2\) 成正比, 因而一般不能同时严格复相. 在 \(z_T\) 的整数倍处出现原周期自成像; 在分数倍位置可出现平移或反相的子像.

5.5 Evanescent Waves

Definition 隐失波. 对余弦型结构, 空间频率 \(f\) 对应一对 \(\pm1\) 级平面波. 其衍射角满足

\[\sin\theta_{\pm1}=\pm f\lambda=\pm \frac{f}{f_c}, \qquad f_c=\frac{1}{\lambda}.\]

\(f_c\) 为载波频率.

对 \(f\geq0\), 当 \(f\lt f_c\) 时, \(\pm1\) 级衍射波可以作为传播平面波离开衍射屏.
当 \(f=f_c\) 时为掠射截止, \(k_z=0\), 不向 \(z>0\) 输送法向功率.
当 \(f>f_c\) 时, 不存在实数传播角. 故超精细(超高频)结构对应衍射隐失波; 有符号频率时判断条件为 \(|f|>f_c\).

设 \(+1\) 级波写成

\[U_{+1}(x,y,z)=A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_xx+k_yy+k_zz)}, \qquad k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2 =\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 =(2\pi f_c)^2.\]

在 \(z=0\) 的衍射屏面上, 余弦光栅 \(\cos(2\pi fx)\) 调制要求

\[U_{+1}(x,y,0)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi fx}, \qquad k_x=2\pi f,\quad k_y=0.\]

当 \(f>f_c\) 时, \(k_z=\sqrt{k_0^2-(k_x^2+k_y^2)}=2\pi\sqrt{f_c^2-f^2}=\mathrm{i}k'_z\). 于是

\[U_{\pm1}(x,y,z) =A\mathrm{e}^{-k'_zz} \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}2\pi fx}.\]

只存在于衍射屏附近. 有效深度为

\[z_e=\frac{1}{k'_z},\]

其值为 \(z_e=[2\pi\sqrt{f^2-f_c^2}]^{-1}\). 接近传播截止时可远大于波长, 极高频时则远小于波长, 不能统一取为一个波长.

5.6 Abbe Imaging and Spatial Filtering

Postulate Abbe 成像原理.

分频: 物为一系列不同空间频率的集合. 相干入射光经过物平面后发生 Fraunhofer 衍射. 物的空间频率成分被分到频谱面(物镜后焦面)上不同位置的衍射光斑.
合成: 频谱面上的衍射光斑作为次波源, 在像面上再叠加成像.

Remark 前节讨论介质中的传播截止; 本节讨论系统有限孔径造成的通带限制. 正入射相干照明下, 有限孔径成像系统对场振幅起低通滤波作用. 空气中的傍轴系统截止空间频率为

\[f_M=\frac{\sin\theta_M}{\lambda} \simeq\frac{D}{2F\lambda}.\]

这里 \(D\) 为孔径直径, \(F\) 为焦距. 对正入射照明的周期物体, 若周期小于 \(1/f_M\), 非零衍射级不能通过. 这不是任意两点或任意照明条件下的统一分辨率公式; 非相干强度成像的传递函数是瞳函数的自相关, 截止频率可达 \(2\mathrm{NA}/\lambda_0\).

Definition 空间滤波. 在频谱面上放置合适光阑就可以实现滤波.

Remark 以黑白光栅为物时, 放行更多远离中心高级次则边缘更锐利.

5.7 Optical Information Processing

Definition 4f 系统. 光信息处理常采用 \(4f\) 系统. 物平面坐标为 \((x,y)\), 第一透镜后焦面为频谱面 \((u,v)\), 第二透镜后的像平面为 \((x',y')\). 在傍轴近似下, 频谱面坐标与物平面空间频率满足

\[u=F\lambda f_x,\qquad v=F\lambda f_y.\]

同理, 第二次 Fourier 变换把频谱面上的空间频率映射到像平面:

\[x'=F\lambda f_u,\qquad y'=F\lambda f_v.\]

两片等焦距透镜依次完成两次同号 Fourier 变换, 无滤波时得到倒像 \(U_I(x',y')\propto U_o(-x',-y')\). 下文移位运算均相对于这个未滤波像定义; 若把像面坐标反向, 也可用一次正变换与一次逆变换描述同一系统. Remark 频谱面调制的两类作用. 频谱面调制可以改变频谱振幅, 也可以改变频谱相位.

改变振幅时, 可实现选频、低通、高通或边缘增强;
改变相位时, 可通过移位副本的相干叠加实现图像相加、相减或微分近似.

Example 显色滤波. 黑白底片由不同取向的透射光栅区域组成.

Solution

用白光照明时, 每个光栅区域在频谱面上沿自身空间频率方向产生色散谱线.
在频谱面放置滤波器, 对某一方向的谱线只保留一种颜色, 则像面上对应的物面区域就显示为该颜色.

不同光栅取向把谱线放在不同方向, 谱点位置由本节开头的坐标变换确定. 滤波器选择方向与波长; 中央零级光同时影响像的背景. 颜色仅为示意, 白光中互不相干的不同波长应叠加强度, 不能直接把复振幅相加.

Example 图像加减运算. 在频谱面上插入余弦光栅

\[t(u)=t_0+t_1\cos(2\pi f_0u+\phi_\Delta),\]

可使原图像产生 \(0,\pm1\) 级副本.

Solution 使用本节开头的频谱面坐标对应关系.

若滤波前频谱为 \(\mathscr{F}(f_x,f_y)\), 插入光栅后 \(\mathscr{F}'(f_x,f_y)=\mathscr{F}(f_x,f_y)t(u,v)\). 用余弦指数展开并回到像平面, 可得到
\[\begin{aligned} U'_I(x',y') &=t_0U_I(x',y') +\frac{1}{2}t_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\Delta} U_I(x'-Ff_0\lambda,y')\\ &\quad+\frac{1}{2}t_1\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_\Delta} U_I(x'+Ff_0\lambda,y'). \end{aligned}\]
若输入面上有两幅待比较图像 \(A\) 和 \(B\), 且它们在像面上的位置原本相差 \(2b\), 则频谱面余弦光栅会分别给 \(A\) 和 \(B\) 产生 \(0,\pm1\) 级移位副本. 选择光栅空间频率使一级移位量满足 \(Ff_0\lambda=b\), 就可使 \(A\) 的 \(+1\) 级副本与 \(B\) 的 \(-1\) 级副本在像面上重叠. 也就是要求
\[d_{AB}=2b=2Ff_0\lambda,\]
此时 \(A_{+1}\) 与 \(B_{-1}\) 在像面上重叠. 重叠场可写成
\[U_{ABI} =\frac{1}{2}t_1 \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\Delta}U_{AI} +\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_\Delta}U_{BI} \right],\]
- 当 \(\phi_\Delta=2m\frac{\pi}{2}\) 时得到图像相加; 当 \(\phi_\Delta=(2m+1)\frac{\pi}{2}\) 时得到图像相减.
- 若把光栅沿 \(+u\) 平移 \(\Delta u\), 即 \(t(u)\to t(u-\Delta u)\), 则 \(\Delta\phi_\Delta=-2\pi f_0\Delta u\), 因此可以通过移动频谱面光栅在算法之间切换.

Example 图像微分运算. 图像微分可以看作微小位移下的特殊图像相减:

\[\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} =\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.\]

Solution 在频谱面放入两组接近的斜向余弦光栅:

\[\begin{aligned} t(u,v) &=t_0+t_1\cos[2\pi f_1(u+v)+\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}]\\ &\quad+t_1\cos[2\pi f_2(u+v)+\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}]. \end{aligned}\]

若 \(\Delta f=|f_1-f_2|\ll f_1,f_2\), 则 \(f_1(+1,+1)\) 与 \(f_2(+1,+1)\) 两个像几乎重叠. 当相位差满足

\[(\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}) -(\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}) =(2m+1)\pi,\]

叠加项近似为

\[U_I(x'+\delta x',y'+\delta y')-U_I(x',y'), \qquad (\delta x',\delta y')=(F\lambda\Delta f,F\lambda\Delta f).\]

在只选取这两个相减副本、移位量小于图像变化尺度并除去共同幅度和位移后, 该差分除以 \(F\lambda\Delta f\) 近似 \((\partial_{x'}+\partial_{y'})U_I\), 即对角方向的场振幅微分. 探测到的是其模平方, 可突出这一方向上的边缘.

当相位差为 \(2m\pi\) 时, 两个近邻像相加, 边缘反而变模糊.
由于
\[(\phi_{u\Delta2}+\phi_{v\Delta2}) -(\phi_{u\Delta1}+\phi_{v\Delta1}) =-2\pi(f_2-f_1)(\Delta u+\Delta v),\]
这里把两光栅的初始相位差取为零, 并把上式理解为共同平移引起的相位差变化. 移动光栅即可在相减与相加之间调节; 其他级次若未滤除, 还会给出额外图像背景.

5.8 Zernike Phase Contrast

Definition 零级谱斑相位板. 对一维透明相位物 \(\tilde U_o(x)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(x)}\), 在零级谱斑上放置相位板, 使零级谱斑相移 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\), 透过率为 \(\tau\), 即 \(c_0\to c_0\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\). 新像场为

\[\tilde U'_I(x') \propto \tilde U'_o(x) =c_0\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta} +\sum_{n=-\infty,\ n\ne0}^{+\infty} c_n\exp(\mathrm{i}2\pi f_nx) =c_0(\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}-1) +\tilde U_o(x).\]

选取整体相位使 \(c_0\) 为实数, 并相应从 \(\phi\) 中减去这一背景相位, 则光强为

\[\begin{aligned} I'_I(x') &=\tilde U'_I(x')\tilde U_I'^*(x') \propto (c_0^2+A^2+c_0^2\tau^2-2c_0^2\tau\cos\delta)\\ &+2c_0\tau A[\sin\delta\sin\phi(x') +\cos\delta\cos\phi(x')] -2c_0A\cos\phi(x'). \end{aligned}\]

要得到近似线性的相位读出, 进一步取:

弱相位条件 \(|\phi(x')|\ll1,c_0\simeq A\), 即 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\simeq1+\mathrm{i}\phi\).
零级相移 \(\delta\simeq\frac{\pi}{2}\).
此线性强度公式还要求 \(|\phi|\ll\tau\); 过度衰减零级使二次项不可忽略, 不能据线性式无限提高衬比度.

于是

\[I'_I\propto c_0^2\tau^2 +2c_0^2\tau\phi(x') \propto \tau^2+2\tau\phi(x')\]

所以相对于背景的相位分布被转化为一阶强度变化.

Remark 相衬显微镜用零级光与散射光干涉, 读取透明弱吸收、弱相位物体的相位变化. 普通理想合焦成像没有一阶强度变化; 将零级相移改为 \(-\pi/2\) 可反转上述线性项的符号. 完全遮去零级会丢失一阶强度信号, 因而不能用无限衰减零级来提高线性衬比度.

左图为弱相位场的零级与散射分量; 右图的正负号表示两种相衬片的备选相移, 不是同时存在的两束散射光. 负相衬情形可把整个场乘以共同相位 \(-1\), 从而统一写成 \(\mathrm{i}\tau\pm\mathrm{i}\phi\). 箭头长度不表示实际幅度比例.

Example 洋葱表皮细胞

洋葱表皮没有光吸收, 可以看做纯相位型的衍射屏, 为何在显微镜视场中细胞壁仍然呈现浅灰色?
说明增加相衬片后零级和高级斑的电场矢量变化, 以及导致的在像面上零级斑和高级斑叠加的改变, 分为细胞外的区域 A, 横跨边缘区 B 和中心区 C 讨论. 并说明图像是细胞整体亮度改变从而和背景有所区分还是边缘改变亮度?
请说明要获得衬比度为 1 的最佳的图像, 应当如何设计相衬片? 如何使相衬图像亮暗颠倒?

Solution

完全合焦、无像差、对称实瞳的弱纯相位成像没有一阶强度衬比. 实际可见的灰度可来自离焦、像差、散射、微弱吸收或较强相位的高阶项; 有限孔径本身并不必然产生一阶相位衬比.
理想相衬模型中, A 区为背景, C 区只要相位不同于背景就可有整体亮度变化, B 区连接两者. 不能把均匀细胞内部等同于全场零频分量. 实际相衬环的有限宽度还会引入晕边和内部衬比减弱, 效果依赖物体尺度与照明.
衬比度达到 1 要求某处出射振幅完全相消. 应使用完整复振幅式同时匹配零级的幅度和相位; 当 \(\tau\) 与 \(|\phi|\) 同量级时须保留 \(\phi^2\) 项, 单靠线性衬比公式不能确定最佳相衬片. 零级光的相移由 \(+\pi/2\) 改为 \(-\pi/2\), 即正相衬/负相衬互换.

相衬显微镜不需要对标本染色, 因而可避免染色过程引起的结构改变, 也能观察某些不易染色的透明标本.

6 Holography

6.1 Recording and Reconstruction

6.1.1 Recording

全息记录的基本思想是干涉记录+衍射再现.

取同频、共同偏振且在曝光时间内相对相位稳定的物光波 \(\tilde O\) 与参考光波 \(\tilde R\). 在全息干板 \(H\) 上的相干光

\[\begin{aligned} \tilde U_H(x,y) &=\tilde O(x,y)+\tilde R(x,y)\\ I_H(x,y) &=\tilde U_H\tilde U_H^* =(\tilde O+\tilde R)(\tilde O^*+\tilde R^*)=|\tilde O|^2+|\tilde R|^2+\tilde R^*\tilde O+\tilde R\tilde O^* \end{aligned}\]

在薄振幅全息图的线性记录近似下, 显影、定影后的振幅透过率与固定曝光时间的相干光强近似成线性关系:

\[\tilde t_H(x,y) =t_0+\beta I_H(x,y) =t_0+\beta[|\tilde O|^2+|\tilde R|^2] +\beta \tilde R^*\tilde O +\beta \tilde R\tilde O^*\]

全息图本质上是一张干涉图, 同时包含物光波前和其共轭波前的信息. 之后用照明光照射该全息图时, 可通过衍射再现物光波前及其共轭波前.

6.1.2 Reconstruction

用一准单色光波 \(\tilde R'\) 照射全息图, 产生的衍射场为

\[\tilde U'_H(x,y) =\tilde t_H(x,y)\tilde R' =\tilde T_1\tilde R' +\tilde T_2\tilde O +\tilde T_3\tilde O^*\]

其中系数

\[\tilde T_1 =t_0+\beta[|\tilde O|^2+|\tilde R|^2], \qquad \tilde T_2 =\beta\tilde R'\tilde R^*, \qquad \tilde T_3 =\beta\tilde R'\tilde R\]

三项通常称为 \(0\) 级、物光再现级和共轭再现级. 零级项中 \(|\tilde O|^2\) 一般随位置变化, 并非严格只有一束均匀照射波; 在强而均匀的参考光近似下它才主要表现为未偏转的背景光.

“物光再现”描述波前是否恢复, 不等同于实像. 对发散物光, 原波前再现通常给出虚像, 共轭波则可能在观察侧会聚为实像; 像的位置由二次相位的曲率符号决定.

6.1.3 Illumination Configurations

若照明光和参考光是正入射的全同平面光, 取 \(\phi'_R=\phi_R=0\), 于是
\[\tilde T_2\tilde O=\beta A'_RA_R\tilde O,\qquad \tilde T_3\tilde O^*=\beta A'_RA_R\tilde O^*\]
分别是真实再现的物光波前和伴生的物光共轭波前.

正入射平面参考光的物光支与共轭支.
若照明光和参考光是斜入射的全同平面光, 则 \(\phi'_R=\phi_R\) 为线性相因子. 此时
\[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\phi_R}.\]
\(\tilde T_2\tilde O\) 给出物光波前真实再现, 而 \(\tilde T_3\tilde O^*\) 中的线性相因子等效于棱镜, 使共轭波发生偏转.

离轴平面参考光再现.

共轭支的横向波矢由两倍参考光横向分量减去物光横向分量决定. 小角度偏转按傍轴近似理解, 输出角谱还须满足传播条件. 图中级次标记与正文约定可能不同, 两支再现波按相位项区分.
若照明光和参考光是全同球面光, 则在傍轴近似下 \(\phi'_R=\phi_R\) 为二次相因子. 以下还把孔径内缓慢变化的球面波振幅近似为常数. 因而
\[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\phi_R}.\]
物光相位波前恢复, 幅度还乘以参考波的包络; 在上述振幅近似下为物光波前真实再现. 共轭波则受到一个等效透镜作用, 可能发生放大、缩小和偏转, 也可能由实像变成虚像.

全同球面参考光再现; 像位与放大率取决于物光和参考光曲率.
若照明光和参考光是共轭球面光, 即 \(\phi'_R=-\phi_R\) 为二次相因子, 则
\[\tilde T_2=\beta A'_RA_R\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\phi_R}, \qquad \tilde T_3=\beta A'_RA_R\simeq\mathrm{const}.\]
此时物光波前受到等效透镜作用, 可能放大、缩小和偏转, 也可能由虚像变成实像. 共轭波相位恢复; 若原物光发散、再现波长相同且振幅包络按上面的近似处理, 则共轭波会聚为实像.

共轭球面照明再现.

Remark 图中“原生 +1 级像”与本文级次约定不同. 本文按 \(\tilde T_2\tilde O\) 和 \(\tilde T_3\tilde O^*\) 分别定义 \(+1\) 与 \(-1\) 再现波; 应以相位项和传播方向判断成像.

Remark

比较项	普通照相	全息照相
记录	镜头在底片或探测器上形成物体的像, 记录像面光强, 相位信息基本丢失	物光与相干参考光在记录面干涉, 交叉项编码物光振幅与相位
再现与观察	不恢复原波前, 立体感主要来自透视与明暗线索	参考光或相近照明使全息图衍射再现物光及共轭波前, 可观察三维像、视差与景深

对各物点的物光均覆盖全息片的常见漫射物记录, 全息图板部分缺失后, 剩余区域仍可再现物体的整体像. 若某些物点因遮挡或照明几何未照到剩余区域, 则不能保证再现这些点. 但碎片面积变小等效于孔径变小, 通光量降低、像变暗, 分辨率下降, 噪声和散斑相对更明显, 可观察视角和视场也变小.

6.2 Image Position and Magnification

Assumption 傍轴设定. 设物点、参考点光源和照明点光源分别为

\[O(x_0,y_0,-z_0),\qquad R(x_1,y_1,-z_1),\qquad R'(x',y',-z').\]

记录波长为 \(\lambda_1\), 再现照明波长为 \(\lambda_2\). 以下在同一外部介质中按薄全息图处理, \(z_0,z_1,z'\neq0\), 正值表示点源在 \(z\lt0\) 一侧; 负值可表示片上会聚波的有符号曲率. 孔径远小于各源距离, 忽略缓变振幅及与 \((x,y)\) 无关的整体相位. 傍轴物光、参考光和照明光分别可写成二次相因子形式:

\[\begin{aligned} \tilde O &=A_O\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_1} \left(\frac{x^2+y^2}{2z_0} -\frac{x_0x+y_0y}{z_0}\right) \right],\\ \tilde R &=A_R\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_1} \left(\frac{x^2+y^2}{2z_1} -\frac{x_1x+y_1y}{z_1}\right) \right],\\ \tilde R' &=A'_R\exp\left[ \mathrm{i}\frac{2\pi}{\lambda_2} \left(\frac{x^2+y^2}{2z'} -\frac{x'x+y'y}{z'}\right) \right]. \end{aligned}\]

将这些相因子代入 \(\tilde T_2\tilde O=\beta\tilde R'\tilde R^*\tilde O\) 与 \(\tilde T_3\tilde O^*=\beta\tilde R'\tilde R\tilde O^*\), 可由二次项和线性项读出再现点位置(不考虑全息片性质变化)

Remark 物光再现. 记
\[D_+=z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(z_1z'-z_0z').\]
\(+1\) 级物光再现点为
\[\begin{aligned} x_{+1} &=\frac{x'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(x_0z_1z'-x_1z_0z')} {D_+},\\ y_{+1} &=\frac{y'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(y_0z_1z'-y_1z_0z')} {D_+},\\ z_{+1} &=-\frac{z_0z_1z'}{D_+}. \end{aligned}\]
物光再现的横向放大率为
\[V_{+1}\equiv \frac{\Delta x_{+1}}{\Delta x_0} =\frac{\Delta y_{+1}}{\Delta y_0} =\frac{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}z_1z'}{D_+}.\]
Remark 共轭再现. 记
\[D_-=z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(z_0z'-z_1z').\]
\(-1\) 级物光共轭再现点为
\[\begin{aligned} x_{-1} &=\frac{x'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(x_1z_0z'-x_0z_1z')} {D_-},\\ y_{-1} &=\frac{y'z_0z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}(y_1z_0z'-y_0z_1z')} {D_-},\\ z_{-1} &=-\frac{z_0z_1z'}{D_-}. \end{aligned}\]
物光共轭波再现的横向放大率为
\[V_{-1}\equiv \frac{\Delta x_{-1}}{\Delta x_0} =\frac{\Delta y_{-1}}{\Delta y_0} =\frac{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}z_1z'}{D_-}.\]
Remark 特例.

若 \(D_+=0\) 或 \(D_-=0\), 对应分支的二次相位曲率为零, 出射为平面波, 像位于无穷远; 此时不能把有限像点公式直接代入求值.
- 若参考光和照明光均为正入射平面波, 即 \(z_1\to\infty,z'\to\infty\) 且 \(x_1/z_1,y_1/z_1,x'/z',y'/z'\to0\), 则
  \[\begin{aligned} x_{+1}&=x_0,\quad y_{+1}=y_0,\quad z_{+1}=-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z_0,\\ x_{-1}&=x_0,\quad y_{-1}=y_0,\quad z_{-1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z_0,\\ V_{+1}&=V_{-1}=1. \end{aligned}\]
- 若 \(z_0=z_1=z'\), 则
  \[V_{+1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}, \qquad V_{-1}=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}.\]

Example 参考光和照明光为同一轴上球面波, 物光曲率半径为 \(d>0\), 再现波曲率半径与共轭波曲率半径的绝对值之比为 \(1:2\). 求参考波曲率.

Solution 取屏上球面波相因子 \(\exp(\mathrm{i}k\rho^2/2r)\). 同一参考波再现时, 原物光恢复; 共轭项的曲率满足

\[\frac1{d_c}=\frac2r-\frac1d.\]

若指定 \(d_c=2d\), 则 \(r=4d/3\); 若指定 \(d_c=-2d\), 则 \(r=4d\). 只给距离绝对值的比例不足以在两者间选择, 还需说明共轭波是发散还是会聚.

6.3 Types of Holograms

Definition 同轴与离轴全息.

共轴全息中物光与参考光近似沿同一轴线记录, 再现时物光与共轭光容易沿同轴方向混在一起.
离轴全息使参考光相对物光倾斜入射, 在频谱或再现空间中把不同级次分开, 因而更便于分离真实像、共轭像与零级项.

Definition 薄全息与体全息.

薄全息图的感光层很薄, 干涉条纹主要分布在表面层, 可近似看成二维光栅. 它通常要求单色光记录并用单色光再现; 若用白光照射, 再现像的纵向位置、横向位置和放大率随波长变化, 各色光的 \(+1\) 级衍射波混杂, 图像变得模糊.
体全息图的记录介质足够厚, 干涉强度在介质体内形成三维分布. 例如设两束记录光为 \(\tilde U_1=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz},\tilde U_2=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(x\sin\theta+z\cos\theta)}\). 干涉场强度为
\[\begin{aligned} I(x,y,z) &=(\tilde U_1+\tilde U_2)(\tilde U_1+\tilde U_2)^*\\ &=2A^2\{1+\cos[k(\sin\theta\cdot x+(\cos\theta-1)z)]\}. \end{aligned}\]
线性冲洗后, 三维光强分布转化为吸收系数或折射率呈周期分布的 Bragg 面族.

正文的 \(d\) 是相邻 Bragg 面的法向间距, 不能把截图中的竖直线段直接当作 \(d\). \(\beta\) 是面族相对 \(z\) 轴的倾角; 波长与两记录波的夹角均在记录介质内取值.

设 \(\lambda_0=2\pi/k\) 为记录介质内的波长, \(\theta\) 为两记录波在介质内的夹角. 面间距和倾角为
\[d=\frac{\lambda_0}{2\sin(\theta/2)}, \qquad \beta=\frac{\theta}{2}.\]
对照射光 \(\tilde R'\) 来说, 体全息图就是三维光栅, 衍射主极强满足 Bragg 方程
\[2d\sin\alpha=m\lambda,\qquad m=1,2,\cdots,\]
- 考虑白光沿 \(+z\) 正入射, \(\alpha=\beta=\theta/2\), 此时 \(\lambda_0=m\lambda,\lambda=\lambda_0/m\), 两个波长均在介质内取值. 若记录与再现的折射率相同, 相应真空波长也按相同比例选取. 例如记录真空波长为 \(500\,\mathrm{nm}\), 在上述不变折射率和 \(m=1\) 的条件下, 匹配的再现真空波长仍为 \(500\,\mathrm{nm}\); 有限厚度给出有限波长带宽, 不是绝对单色选择. 这给出体光栅的波长选择性, 但不保证任意体全息图都可用任意白光源清晰再现. 白光再现还要求合适的参考几何和照明角谱; 高阶 Bragg 几何条件也不保证该级有显著耦合, 例如弱正弦折射率调制通常以一阶耦合为主.

Example 体相全息底板, 氦氖激光(633 nm)记录. 记录介质体积各向同性收缩到原来的 80%. 再现光为正入射的白光(380-760 nm). 问再现的像为什么颜色? 再现像和共轭像的位置和横向放大率?

Solution

线缩比为 \(\eta=0.8^{1/3}=0.928\). 假设收缩不改变折射率、再现入射方向与记录参考光相同且选取同一 Bragg 级, 波长满足 \(\lambda'=\eta\lambda_0\approx588\ \mathrm{nm}\), 为黄色附近. 若折射率改变, 还须乘以再现与记录折射率之比.
仅凭体积缩比不能唯一确定两像的位置与放大率, 还需物光、参考光、照明光的几何条件. 作为特例, 对正入射平面参考光与平面再现光, 横向缩放后的二次相位为 \(k_0[(x/\eta-x_0)^2+(y/\eta-y_0)^2]/(2z_0)\). 结合 \(k'=k_0/\eta\), 两个形式再现点为 \((\eta x_0,\eta y_0,\mp\eta z_0)\), 横向放大率均为 \(\eta\), 不因纵向镜像而自动反号. 体全息的 Bragg 选择通常只让其中匹配的一支有效再现.

7 Crystal Optics

7.1 Birefringence

Definition 双折射现象. 在忽略吸收与旋光的线性双折射模型中, 一般入射偏振可激发两个本征模, 其能流方向可分离为两束. 沿光轴传播或只激发一个本征模时, 不出现这种双束分离. 现象: 其中一束在晶体旋转时位置基本固定, 另一束会随晶体旋转而绕固定光束转动.

这两束光都是线偏振光, 且在常见主平面平行情形下偏振方向互相正交.
- \(o\) 光遵守折射定律和反射定律, 并在入射面内传播.
- \(e\) 光的能流方向一般不服从用单一常数折射率写出的 Snell 定律. 波矢仍满足界面切向分量连续, 并结合方向相关的折射率确定折射波法线. \(e\) 光也不一定在入射面内, 因而 \(o\) 光和 \(e\) 光的偏振方向也一般不必互相垂直.
光在晶体中沿某一方向传播可不发生双折射, 此方向为晶体的光轴. 按光轴数目, 晶体可分为单轴晶体(方解石、石英)和双轴晶体(云母、硫磺).

天然方解石晶体的光轴可由两个相对钝角(102度)顶点的连线方向确定.
Definition 主截面与主平面.

图示为局部主平面. \(\mathbf{D}\) 垂直自身波法线, \(e\) 光的 \(\mathbf{E},\mathbf{D}\) 在自身主平面内; 两支主平面不同, 不能由图推出任意几何下两束电场都正交.
- 晶体主截面是光轴与晶体表面入射点法线组成的平面.
- 在本节单轴、无旋光模型中, 光线主平面由晶体中 \(o\) 光或 \(e\) 光的波法线与光轴组成; \(e\) 光射线也位于对应主平面内. 沿光轴时该平面不唯一.
  
  \(o\) 光的振动方向垂直于 \(o\) 光的主平面, \(e\) 光的振动方向平行于 \(e\) 光的主平面. 因此当 \(o\) 光和 \(e\) 光的主平面相互平行时, 两束光的振动方向互相垂直.
- 若入射面与晶体主截面重合, \(e\) 光的偏折仍在入射面内; 若二者不重合, \(e\) 光射线可能不在入射面内, 而 \(o\) 光的偏折总在入射面内.
Definition 传播速度与主折射率.

图示负单轴晶体的波前截面, 不是折射率椭球. 左图的 \(yz\) 面包含沿 \(z\) 的光轴, 两种波前沿光轴相切; 右图的 \(xy\) 面垂直光轴, 截面为不同半径的圆. 对 \(e\) 光, 波前径向射线与波前法线一般不同.
- \(o\) 光沿各个方向折射率相同, 记为 \(n_o\), 因而传播速度也相同, 记为 \(v_o\).
- \(e\) 光沿不同方向的折射率不同, 记为 \(n_{e\theta}\), 传播速度也随方向改变, 记为 \(v_{e\theta}\).
  - 沿光轴方向, \(e\) 光折射率与 \(o\) 光相同, 为 \(n_o\).
  - 沿垂直于光轴方向, \(e\) 光的折射率为 \(n_e\), 对应速度为 \(v_e\).
  \(n_o\) 与 \(n_e\) 称为晶体的主折射率.
Definition 正晶体与负晶体. 单轴晶体分为:
- 正晶体: \(v_o>v_e\), 等价地 \(n_o\lt n_e\), 例如石英.
- 负晶体: \(v_o\lt v_e\), 等价地 \(n_o>n_e\), 例如方解石.
\(o\) 光波前为球面, 半径与 \(1/n_o\) 成正比; \(e\) 光波前为椭球面, 两个主尺度由 \(1/n_o\) 和 \(1/n_e\) 给出. 在光轴方向上, \(o\) 光球面与 \(e\) 光椭球面相切.

对 \(e\) 光, 波面法线方向与光线能流方向一般不同, 需要区分波面法线和光线方向.

Example 方解石(负晶体 \(n_e=1.486,n_o=1.658\)), 光轴平行于入射面

正入射

负单轴晶体的正入射: 界面相位匹配使两支透射波的波矢切向分量为零, 波法线仍沿界面法线; 倾斜光轴下的 \(e\) 光能流方向一般偏离波法线, 而 \(o\) 光不走离. 图中的球面与椭球面为 Huygens 示意波面, 不表示测得的光束截面; 正文折射率数值用于示意, 实际数值随波长变化.
斜入射

负单轴晶体的斜入射: 以空气中传播长度 \(\mathrm{AC}\) 对应的时间构造 Huygens 波面, \(o\) 光为半径 \(\mathrm{AC}/n_o\) 的圆, \(e\) 光椭圆沿光轴的半轴为 \(\mathrm{AC}/n_o\), 垂直光轴的半轴为 \(\mathrm{AC}/n_e\). 从界面点作切线给出折射波前, 能流方向由圆心或椭圆中心到切点的方向确定; \(e\) 光的波法线与能流需分别求出. 图中尺度和折射率为示意.

Example 石英(\(n_e=1.55,n_o=1.54\)), 光轴垂直于入射面

光轴垂直入射面的石英示意: 在本节无旋光的线性双折射模型中, 两支波法线均垂直光轴, 因而入射面内的 Huygens 截面分别为半径 \(\mathrm{AC}/n_o\) 与 \(\mathrm{AC}/n_e\) 的圆. 此几何下各支能流与自身波法线同向, \(e\) 光电场垂直图面, \(o\) 光电场位于图面内; 两支仍因主折射率不同而折射到不同方向.

石英棱镜: 使两个分量空间分开, 若探测区域不重叠就不出现交叉干涉项; 分束本身并不必然使两分量失去互相干性. 这里按线性双折射近似处理石英, 未加入其天然旋光.

7.2 Uniaxial Crystal Relations

7.2.1 Dielectric Tensor and Eigenmodes

以下取均匀、透明、非磁性、局域线性且无旋光的介质, 介电张量为实对称张量; 讨论速度几何时忽略频率色散.

晶体光学各向异性可写为

\[\mathbf{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{E}, \qquad \begin{bmatrix} D_x\\D_y\\D_z \end{bmatrix} =\varepsilon_0 \begin{bmatrix} \varepsilon_x&0&0\\ 0&\varepsilon_y&0\\ 0&0&\varepsilon_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x\\E_y\\E_z \end{bmatrix}.\]

后者为主轴坐标系下的表示, \(\varepsilon_i\) 为相对介电常数. 对单轴晶体, \(\varepsilon_x=\varepsilon_y=n_o^2\), \(\varepsilon_z=n_e^2\), 取 \(z\) 轴为光轴.

对实的瞬时场, Poynting 向量为 \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}\). 对单个线偏振平面波, 时间平均能流 \(\langle\mathbf{S}\rangle\parallel\mathbf{r}\); 用复振幅时应取 \(\langle\mathbf{S}\rangle=\tfrac12\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{H}}^{*})\).
对同一个本征平面波, \(\mathbf{D},\mathbf{H}\perp\mathbf{k}\), 因而其叉积沿波法线 \(\mathbf{k}\parallel\mathbf{N}\); 任意多模叠加场不能直接套用这个单模方向关系.

因此 \(e\) 光中射线方向与波法线方向一般分离.

设光波法线方向 \(\mathbf{k}\) 与光轴 \(z\) 的夹角为 \(\theta\), 其在 \(xy\) 平面内投影与 \(x\) 轴的夹角为 \(\varphi\). 方向余弦为
\[k_1=\sin\theta\cos\varphi,\qquad k_2=\sin\theta\sin\varphi,\qquad k_3=\cos\theta.\]

波法线方向的球坐标: \(\theta\) 从光轴 \(z\) 量起, \(\varphi\) 从 \(xy\) 平面的 \(x\) 轴量起. 此处 \(\mathbf{k}\) 是单位方向, \(k_1,k_2,k_3\) 为方向余弦, 不含有量纲波矢的模; 沿光轴时横向投影为零, 方位角不唯一但不影响方向.

单轴晶体中, \(o\) 光折射率为 \(n=n_o\), \(e\) 光的方向折射率满足
\[\frac{1}{n^2} =\frac{\sin^2\theta}{n_e^2} +\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}\]
当 \(\theta=0\) 时 \(n=n_o\); 当 \(\theta=\pi/2\) 时 \(n=n_e\).

Proof 由轴对称性取 \(\mathbf{k}=(k_x,0,k_z)\). 平面波 Maxwell 方程给出 \(\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times\mathbf E)+(\omega/c)^2\boldsymbol\varepsilon\mathbf E=0\). \(E_y\) 模式满足 \(k^2=n_o^2(\omega/c)^2\); \((E_x,E_z)\) 的二元齐次方程有非零解要求
\[\det\begin{pmatrix} n_o^2(\omega/c)^2-k_z^2&k_xk_z\\ k_xk_z&n_e^2(\omega/c)^2-k_x^2 \end{pmatrix}=0 \implies \frac{k_x^2}{n_e^2}+\frac{k_z^2}{n_o^2}=\left(\frac\omega c\right)^2.\]
代入 \(k_x=(\omega/c)n\sin\theta\), \(k_z=(\omega/c)n\cos\theta\) 即得上式.

7.2.2 Ray and Wave-Normal Geometry

对 \(e\) 光, 令 \(\xi\) 表示射线方向与光轴的夹角, \(\theta\) 表示波法线方向与光轴的夹角. 三个主轴方向的速度为 \((v_x,v_y,v_z)=(v_e,v_e,v_o)\).

波面扩展与射线/法向位移的完整几何见下方的射线与波法线独立图; 保留原位移截图.

在含光轴的截面内, \(e\) 光波面椭圆可写为
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1, \qquad a=v_et,\quad b=v_ot.\]
射线速度与法向速度, 及其关系
\[\mathbf{v}_r=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}, \qquad \mathbf{v}_N=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_N}{\mathrm{d}t}; \qquad v_N(P)=v_r(P)\cos\alpha,\qquad \alpha=\xi-\theta.\]
这里 \(\mathbf{r}_N\) 为原点到相应波前切平面的法向支撑矢量, 其长度 \(r_N=|\mathbf{r}_N|\) 是法向支撑距离. 对固定本征传播方向的同心扩展, 将射线位移投影到波法线便得到 \(\Delta r_N=\Delta r\cos\alpha\).

由椭圆切线斜率得到
\[\tan\theta=-\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} =\frac{b^2x}{a^2z} =\frac{v_o^2}{v_e^2}\tan\xi =\frac{n_e^2}{n_o^2}\tan\xi.\]
当 \(\tan\theta=\frac{n_e}{n_o}\), 即 \(\tan\xi=\frac{n_o}{n_e}\) 时, 分离角取极值. 最大分离角为
\[\tan\alpha_{\mathrm{ext}}=\frac{n_o^2-n_e^2}{2n_on_e},\qquad |\alpha|_{\max}=\arctan\frac{|n_o^2-n_e^2|}{2n_on_e}.\]
\(e\) 光射线速度面为旋转椭球面:
\[\frac{1}{v_r^2(\xi)} =\frac {\cos^2\xi}{v_o^2}+\frac{\sin^2\xi}{{v_e^2}}.\]
法向速度面为旋转卵形面:
\[\frac{1}{n^2} =\frac{\sin^2\theta}{n_e^2} +\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}. \implies v_N^2(\theta) =v_o^2\cos^2\theta+v_e^2\sin^2\theta\]

图中红色矢径沿射线, 绿色矢径为原点到波前切平面的垂足, 后者不必落在波前上. 下图红实线为射线速度椭圆, 绿虚线为法向速度的极坐标曲线, 两个标点对应同一 \(e\) 光模式. 图采用本节的均匀、透明、无色散、非磁性模型, 示意参数为 \(n_o=1.8,n_e=1.4,c=1\), 不代表特定材料测量.

保留原截图.

7.2.3 Wave Surfaces and Refractive-Index Surfaces

一般的等相位面称为波阵面. 下式特指均匀、无色散模型中点源发出的两支 Huygens 波面, 其矢径除以传播时间给出射线速度面; 不能把它等同于任意平面波的等相位平面. 对固定 \(t>0\), 坐标按 \(ct\) 归一化后的写法为
\[\begin{aligned} &o\text{光}&& n_o^2(x^2+y^2+z^2)=1\\ &e\text{光}&& n_e^2(x^2+y^2)+n_o^2z^2=1 \end{aligned}\]
因此 \(o\) 光波阵面为球面, \(e\) 光波阵面为旋转椭球面.
这里的折射率曲面也称 \(n\) 面, 矢径沿波法线且长度等于相位折射率, 相当于在固定频率下将波矢按 \(\omega/c\) 归一化. 它不同于以 \(n_o,n_o,n_e\) 为半轴的折射率椭球(光率体). 本节的 \(n\) 面为
\[\begin{aligned} &o\text{光} &&\frac{x^2+y^2+z^2}{n_o^2}=1,\\ &e\text{光} &&\frac{x^2+y^2}{n_e^2}+\frac{z^2}{n_o^2}=1. \end{aligned}\]
在 \(n\) 面上, \(o\) 光对应半径为 \(n_o\) 的球面, \(e\) 光对应旋转椭球面.

7.2.4 Geometrical Constructions

对给定光波矢 \(\mathbf{K}\), 可用不同几何曲面确定本征模折射率、偏振方向和能流方向.

在单位时间的波阵面上, 矢径表示射线速度, 其倒数不是一般方向的相位折射率. 对给定 \(\mathbf K\), 作法线平行于 \(\mathbf K\) 的切平面; 原点到切平面的距离为 \(v_N\), 从而 \(n=c/v_N\). 原点与切点的连线给出 \(\mathbf S\) 方向.
在折射率曲面上, 折射率大小等于曲面矢径长度. 在含光轴的截面图中, 过 \(\mathbf{K}\) 与曲面的交点作切线, 其法线给出 \(\mathbf{S}\) 方向; 在三维中应使用该点的切平面法线. 此构造依赖单模、透明且忽略色散的假设.

7.3 Wave Plates and Polarizers

Definition 波片. 一定厚度、光轴平行于表面的单轴晶体片.

当光垂直通过波片且光轴平行于表面时, 在晶体内分解为 \(o\) 光和 \(e\) 光. 以下忽略吸收、反射及多次内反射, 取 \(\lambda\) 为真空波长. 设波片厚度为 \(d\), 则光程差为

\[\Delta=(n_o-n_e)d,\qquad \delta=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d.\]

若 \(\delta>0\), 表示 \(o\) 光落后; 若 \(\delta\lt 0\), 表示 \(o\) 光超前.

入射光经过波片

\[\begin{cases} E_o=E_{0o}\cos\omega t\\ E_e=E_{0e}\cos(\omega t+\Delta\varphi) \end{cases} \implies \begin{cases} E_o=E_{0o}\cos\omega t\\ E_e=E_{0e}\cos(\omega t+\Delta\varphi+\delta) \end{cases}\]

因此波片不改变两分量强度, 但改变总相位差 \(\Delta\varphi_{\mathrm{out}}=\Delta\varphi+\delta\), 从而改变偏振态.

偏振片 + \(\lambda/4\) 波片可作为圆偏振片使用.
四分之一波片配合偏振片可用于区分自然光与圆偏振光、部分偏振光与椭圆偏振光.

完全圆偏振光, 或椭圆主轴对齐波片主轴的完全椭圆偏振光, 经过 \(\lambda/4\) 波片后可变为线偏振光, 再转动检偏器可完全消光. 理想波片保持自然光不偏振, 也不改变部分偏振光的偏振度; 后者含不偏振背景, 一般不能完全消光. 仅观察明暗变化不足以区分部分偏振光与完全椭圆偏振光.

7.3.1 Jones Representation

Notation Jones 表示. 对完全偏振的准单色光:

采用 \(\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})\) 的时间约定;
按 \((o,e)\) 排列分量.

主轴坐标中的波片矩阵可取

\[\operatorname{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}),\]

整体相位不影响偏振态.

若改用 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\), 该矩阵应复共轭, 但强度公式不变.

入射线偏振与晶片光轴夹角为 \(\alpha\) 时, 两种检偏的透射比为:

正交检偏: \(\sin^2(2\alpha)\sin^2(\delta/2)\);
平行检偏: \(1-\sin^2(2\alpha)\sin^2(\delta/2)\).

因而 \(\alpha=0,\pi/2\) 时正交检偏均消光; \(\alpha=\pi/4\) 时, 半波片与四分之一波片分别给出透射比 \(1\) 和 \(1/2\).

7.3.2 Polarization Identification

Example 两个 \(P\) 和一个 \(\frac{\lambda}{2}\) 片, 一个 \(\frac{\lambda}{4}\) 片和一个圆偏振片, 用自然光和光屏将其区分开.

Solution

将五个元件两两组合挡在自然光前, 旋转其中一个. 若某一对无论正反均出现完全消光, 两个元件是 \(P\).
将已知的 \(P\) 放在光屏前. 拿剩下的三个未知元件逐个挡在自然光与 \(P\) 之间并旋转. 若某元件其中一面使得光屏出现明暗变化, 该元件就是圆偏振片, 此时圆偏振片放反.
将剩下两个波片分别放在正交偏振片之间, 转到最大透射处, 再仅旋转末端检偏器. 半波片的出射光仍为线偏振光, 检偏器可使其完全消光; 四分之一波片在该位置产生圆偏振光, 转动检偏器时强度不变. 仅数波片转动一周时的消光次数无法区分, 因为两者在主轴对齐起偏方向时都会消光.

Example 设计方案, 利用偏振片, 半波片, \(\lambda/4\) 波片, 按需选用, 可用多片.

区分圆偏振光与自然光.
分别在偏振取向或光轴方向标定/未标定的情况下, 将一个长短轴未知(任意方向)的椭圆偏振光转换成为圆偏振光.

Solution

圆偏振光通过四分之一波片变为线偏振光, 再旋转检偏器可完全消光. 自然光通过理想波片仍为自然光, 检偏器转动时强度不变.
光轴已标定时, 先旋转检偏器找到入射椭圆的长轴, 然后移去检偏器. 将第一片四分之一波片的一条主轴对齐长轴, 两分量相位差变为 \(0\) 或 \(\pi\), 出射光成为线偏振光. 用检偏器确定这束线偏振光的方向, 移去检偏器后, 将第二片四分之一波片主轴与该方向成 \(45^\circ\), 即得圆偏振光.
光轴未标定时, 先把波片放在两片正交偏振片之间, 转到完全消光以标定其两条主轴, 然后按上一步操作. 不必区分快慢轴即可得到某一旋向的圆偏振光; 若要指定旋向, 还需标定快慢轴及观察方向.

7.4 Polarization Interference

偏振干涉装置: \(P_1\) 起偏, 晶片引入两主轴分量的相位差, \(P_2\) 将两分量投影到共同方向后干涉; 需使两分量在观察处相干并空间重合. 图示为装置透视示意, 正交或平行检偏条件以正文定义为准. 正交检偏式中的附加 \(\pi\) 来自投影符号相反, 不另算作晶片的传播相位差.

经 \(P_1\) 起偏后的振幅为 \(A_1\), 光强为 \(I_1=A_1^2\), 晶片光轴与入射偏振方向夹角为 \(\alpha\). 取传播相位差 \(\delta=2\pi(n_o-n_e)d/\lambda\), 忽略吸收、反射及多次内反射; 以下 \(\delta_\perp\) 和 \(\delta_\parallel\) 另包含检偏投影的符号.

当检偏器 \(P_2\perp P_1\) 时, 通过 \(P_2\) 后两束相干分量(\(\pi\) 因子是投影方向相反导致的)
\[\begin{cases} A_{2e}=A_1\cos\alpha\sin\alpha,\\ A_{2o}=A_1\sin\alpha\cos\alpha. \end{cases} \qquad \delta_\perp=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d+\pi\]
出射光强为
\[\begin{aligned} I(P) &=A_{2e}^2+A_{2o}^2+2A_{2e}A_{2o}\cos\delta_\perp\\ &=\frac{1}{2}A_1^2\sin^2 2\alpha\,(1+\cos\delta_\perp). \end{aligned}\]
当检偏器 \(P_1\parallel P_2\) 时, 通过 \(P_2\) 后两束相干分量
\[\begin{cases} A_{2e}=A_1\cos^2\alpha,\\ A_{2o}=A_1\sin^2\alpha, \end{cases} \qquad \delta_\parallel=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d.\]
出射光强为
\[\begin{aligned} I(P) &=A_{2e}^2+A_{2o}^2+2A_{2e}A_{2o}\cos\delta_\parallel\\ &=A_1^2 \left(1-\frac{1}{2}\sin^2 2\alpha +\frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\cos\delta_\parallel\right). \end{aligned}\]
特别地, 当 \(\alpha=\pi/4\) 时, \(I(P)=\frac{1}{2}A_1^2(1+\cos\delta_\parallel)=A_1^2\cos^2\frac{\delta_\parallel}{2}\).

用传播相位差 \(\delta\) 表示, 两种透射率为

\[\frac{I_\perp}{I_1}=\sin^2(2\alpha)\sin^2\frac\delta2,\qquad \frac{I_\parallel}{I_1}=1-\sin^2(2\alpha)\sin^2\frac\delta2.\]

两者明暗互补. 半波片和四分之一波片在 \(\alpha=0,\pi/2\) 的正交检偏下都消光; 在 \(\alpha=\pi/4\) 时分别给出最大透射比 \(1\) 和 \(1/2\), 可用于波片鉴别.

7.4.1 Lyot Filter

晶片 \(C_1\) 至 \(C_6\) 的光轴相互平行, 厚度满足 \(d_m=2^{m-1}d_1\).

六级 Lyot 滤光器; 图中晶片宽度未按实际厚度比例绘制.

偏振片 \(P_1\) 至 \(P_7\) 的透振方向相互平行, 且与晶片光轴方向成 \(45^\circ\). 取 \(I_1\) 为经过 \(P_1\) 后的光强, 忽略吸收及界面反射, 并使各级两本征分量相干且空间重合. 同种晶片的相位差为

\[\delta_m=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d_m=2^{m-1}\delta_1.\]

忽略共同相位后, 单级平行检偏的振幅模比为

\[|A^{\prime}/A|=\left|\cos\frac{\delta}{2}\right|.\]

每一级后均投影到偏振片的透振方向, 因而六级总透过率为

\[\frac{I_7}{I_1} =\prod_{m=1}^{6}\cos^2\frac{\delta_m}{2} =\left[\frac{\sin(32\delta_1)}{64\sin(\delta_1/2)}\right]^2.\]

最后一步由连续使用 \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) 得到. 当 \(\sin(\delta_1/2)=0\) 时, 分式按连续极限取值为 \(1\).

在 \(\delta_1=2\pi q\), \(q\in\mathbb{Z}\) 时, 每片晶片均满足全波条件, 则 \(I_7=I_1\). 厚度逐级加倍使相邻主峰之间的零点增多, 单个透过峰变窄, 但总透过率仍是 \(\delta_1\) 的周期性函数; 这些峰在波长轴上一般不等间隔. 实际选取一条谱线时, 还需附加滤光器隔离目标峰, 可参照 Malherbe 的 Lyot 滤光器说明, 第 3–5 页.

7.4.2 Wedge Plates

晶片厚度不均匀, 形成等厚干涉. 对劈尖晶片, 厚度近似为 \(d\simeq\beta x\), 在 \(P_1\perp P_2\) 情形下,

\[\delta_\perp =\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d+\pi \simeq \frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)\beta x+\pi.\]

相邻等厚条纹间距为

\[\Delta x=\frac{\lambda}{|\beta(n_o-n_e)|}.\]

7.4.3 Convergent-Light Interference

会聚光入射时, 不同方向具有不同倾角 \(\theta\)、方位角及本征相位差. 在两正交本征分量重叠、损耗忽略且可等效为纯波片的近似下, 每个方向仍可用正交偏振系统公式; 其中 \(\alpha\) 为该方向本征轴与起偏方向的夹角, \(\delta(\theta)\) 表示固定方位角下的相位差:

\[I(\delta,\theta) =A_1^2\sin^2(2\alpha) \sin^2\frac{\delta(\theta)}{2}.\]

7.5 Optical Activity and Faraday Rotation

Definition 旋光性. 若光在旋光率为 \(\alpha\) 的旋光物质中传播距离为 \(d\), 振动旋转角为 \(\varphi=\alpha d\).

在圆偏振为本征模、两旋向吸收相同且可忽略线性双折射的情况下, 线偏振光可分解为等振幅的左右圆偏振分量. 以下 \(\lambda\) 为真空波长; 晶体一般方向若同时存在线性双折射, 两本征模不必是圆偏振, 不能仅用两个标量 \(n_L,n_R\) 表示. 对这里的纯旋光模型,

\[\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}_L(t)+\mathbf{E}_R(t), \qquad E_L=E_R=\frac{E_0}{2}.\]

在旋光晶体中, \(v_L\ne v_R\), \(n_L \ne n_R\). 通过厚度为 \(d\) 的晶体后, 两分量相位落后分别为

\[\Delta\varphi_L=\frac{2\pi}{\lambda}n_Ld, \qquad \Delta\varphi_R=\frac{2\pi}{\lambda}n_Rd.\]

晶体后合成的线偏振光矢量, 位于左右旋分量转角的平分线方向.

旋光方向由 \(n_R-n_L\) 的符号决定. 为固定符号, 在 \((x,y)\) 平面以从 \(+x\) 转向 \(+y\) 为角度正方向, 采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\), 并定义圆基矢 \(\mathbf{e}_R=(\hat{\mathbf{x}}+\mathrm{i}\hat{\mathbf{y}})/\sqrt2\), \(\mathbf{e}_L=(\hat{\mathbf{x}}-\mathrm{i}\hat{\mathbf{y}})/\sqrt2\); 左右旋名称仍须连同观察方向说明. 按这组约定,

\[\varphi =\frac{1}{2}(\Delta\varphi_R-\Delta\varphi_L) =\frac{\pi}{\lambda}(n_R-n_L)d.\]

因此 \(n_R\lt n_L\) 与 \(n_R>n_L\) 给出相反旋向; 左旋/右旋命名需随观察方向约定判定.

Definition Faraday 效应. 磁致旋光效应

在纵向磁场和弱场线性响应下, 磁致旋光的旋转角 \(\beta\) 正比于路程 \(d\) 和沿传播方向的有符号磁场分量 \(B_\parallel\); 均匀介质中

\[\beta=VB_\parallel d.\]

其中 \(V\) 为 Verdet 常量, 由介质性质决定, 也与入射光波长有关.

天然旋光性和 Faraday 磁致旋光效应的区别
- 天然旋光性的右旋和左旋取决于物质结构, 与光传播方向无关. 在同一路径沿原路返回、反射不引入额外偏振变换时, 从固定实验室坐标看, 天然旋光的去程与回程旋转相消, 振动面恢复到原来的方位.
- 磁致旋光的右旋和左旋取决于光相对于磁场的传播方向. 反向传播使相对于光线的左右旋命名反转, 但从固定实验室坐标看, 在同一路径、磁场不变且反射不引入额外偏振变换时, 回程又同向累计旋转 \(\beta\). 因而往返两次总共旋转 \(2\beta\). 若磁场或 Verdet 常量随路径变化, 单程应按 \(\int V B_\parallel\,\mathrm{d}l\) 求取.

Solar System - 1

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Introduction and Celestial Orbits

1.1 Measuring the Earth–Moon–Sun System

远航船只的船身先消失、月食时地影的圆弧等现象支持球形地球模型. 单次观测并不能排除所有替代解释, 需要结合不同地点和时刻的观测.

埃拉托色尼利用赛伊尼与亚历山大港的正午太阳高度差估计地球大小. 假设太阳光近似平行、两地接近同一经线, 两地地心角等于太阳天顶角之差 \(\theta\). 若沿子午线的距离为 \(s\), 则

\[R_E=\frac{s}{\theta},\qquad C_E=\frac{2\pi s}{\theta}.\]

其中角度以弧度计. 得到约 6400 km 的量是地球半径, 不是直径; 历史估计的精度还取决于所用长度单位及地理近似.

地球大小确定后, 可结合月食几何和月球角直径估计月球大小与距离. 若月球角直径为 \(\delta\simeq0.5^\circ\), 小角近似给出

\[D_M\simeq\frac{2R_M}{\delta}\simeq229R_M.\]

实际平均月地距离约为 221 个月球半径; 上式采用粗略角直径, 只作数量级估计. “月出约两分钟”也能估计角直径, 但必须知道月球相对于地平线的垂直角速度; 它受纬度、赤纬、月球自身运动和折射影响, 不能一律用每天一周的转速替代.

测量太阳系尺度还需要视差或测距. 金星凌日法比较不同地点看到的凌日轨迹和接触时刻, 结合地球基线、轨道相对尺度及几何模型反演日地距离. 现代方法还包括行星雷达测距和航天器测距; IAU 于 2012 年把天文单位定义为精确的 149 597 870 700 m, 不再靠每次观测重新定义. IAU: Measuring the Universe

1.2 From Geocentric Models to Kepler’s Laws

恒星的周日运动可以由地球自转解释. 地心体系曾用均轮、本轮等描述行星运动, 包括逆行; 日心体系则把许多逆行现象解释为地球与其他行星公转时的相对运动.

伽利略观测的两个例子具有不同的逻辑作用:

木星四颗大卫星表明, 天体不必都绕地球运动.
金星完整的盈亏变化不符合经典托勒密体系中金星始终位于日地之间的安排, 但也与某些地日心混合模型相容; 它本身并非日心说的唯一决定性证明.

开普勒三定律: 行星轨道为以太阳为一个焦点的椭圆; 日行星连线扫过的面积与时间成正比; 对同一中心天体, 轨道半长轴的三次方与周期平方近似成正比.

在牛顿二体模型中, 相对运动满足

\[\ddot{\boldsymbol r}=-\frac{G(M+m)}{r^3}\boldsymbol r.\]

中心力使单位约化质量的角动量 \(h=|\boldsymbol r\times\dot{\boldsymbol r}|\) 守恒, 因而面积速度为 \(h/2\). 对非径向运动 \(h>0\), 令 \(u=1/r\), 把径向运动方程改写为极角 \(\varphi\) 的方程, 得

\[\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u=\frac{G(M+m)}{h^2}, \qquad r=\frac{h^2/[G(M+m)]}{1+e\cos(\varphi-\varphi_0)}.\]

对束缚椭圆轨道 \(0\le e\lt 1\), 半通径为 \(a(1-e^2)\), 故有 \(h^2=G(M+m)a(1-e^2)\). 椭圆面积为 \(\pi ab\), 且 \(b=a\sqrt{1-e^2}\)、\(h^2=G(M+m)a(1-e^2)\), 所以

\[T=\frac{2\pi ab}{h},\qquad T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}.\]

当 \(m\ll M\) 时可忽略小天体质量. 由轨道观测首先确定的是引力参数 \(GM\); 再结合实验测得的 \(G\) 才得到质量. 木星的质量可同样由卫星的轨道尺度和周期反演.

1.3 Discoveries and the Definition of a Planet

谷神星由皮亚齐发现, 观测中断后, 高斯的轨道计算帮助观测者重新找到它. 提丢斯–博德关系曾启发对火星与木星之间天体的搜索, 但它是经验数列, 不是引力定律的推论; 海王星等天体不遵从该关系.

天王星在被确认为行星以前曾被记录为恒星. 它缓慢的天球运动使识别困难, 但其发现不能仅归因于“周期长”; 望远镜中可分辨的圆盘、持续观测和轨道计算同样重要. 天王星的轨道残差后来推动了对海王星的预测和寻找.

冥王星是在寻找假想 Planet X 的过程中发现的, 但它太小, 不能解释当时所设想的巨大摄动. 旅行者 2 号于 1989 年 8 月 25 日飞掠海王星; 后续采用修订后的海王星质量等参数, 早先的部分轨道残差得到消除. NASA: Voyager 2

2006 年 IAU 对太阳系行星的定义包含三个条件: 绕太阳公转; 自身引力使其接近流体静力学平衡形状; 清除了轨道附近的区域. 最后一条指轨道邻域的动力学主导地位, 不是附近绝对没有其他天体. 矮行星满足前两条、未满足第三条, 且不是卫星. “未发生核聚变”不属于这份太阳系行星定义的正式三条件. IAU: 2006 Resolutions B5 and B6

冥王星与阋神星的比较需要区分质量和尺寸: 阋神星质量更大, 冥王星直径略大. NASA: Kuiper Belt Facts 冥卫一 Charon 的质量约为冥王星的八分之一, 两者共同质心位于冥王星之外, 但不因此自动成为两颗正式行星.

1.4 Three-Body Dynamics and Lagrange Points

三体系统一般不能化为独立的开普勒椭圆, 但不代表每条轨道都混沌. 平面圆型限制性三体问题中可以同时出现周期轨道、准周期运动与混沌区域. 层级三星系统由于内外轨道尺度差异大, 常可用受摄动的二体模型描述; 长期稳定性仍取决于偏心率、倾角和质量比.

在圆型限制性三体模型的共转坐标系中, 两个主天体和一个质量可忽略的小天体之间存在五个平衡位置. 这些位置称为拉格朗日点. 它们是引力与旋转坐标系惯性项共同作用的平衡, 不是引力为零的位置.

圆型限制性三体模型的五个平衡位置; 共线点位置为示意, 不按真实质量比绘制.

L1、L2、L3 在连心线上, 在线性扰动下不稳定. L4、L5 与两个主天体构成等边三角形. 对两个质量均为正的主天体, 令 \(0\lt \mu=m_2/(m_1+m_2)\le1/2\), 三角点的线性稳定条件为

\[27\mu(1-\mu)\lt 1, \qquad \mu\lt \frac{1-\sqrt{23/27}}{2}\simeq0.03852.\]

这一条件可由线性化得到. 取两主天体间距、总质量引力参数和共转角速度为单位, 有效势为

\[U=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}, \qquad \ddot x-2\dot y=U_x,\quad\ddot y+2\dot x=U_y.\]

在三角点 \(x=1/2-\mu\)、\(y=\pm\sqrt3/2\) 处, \(r_1=r_2=1\). 二阶导数为 \(U_{xx}=3/4\)、\(U_{yy}=9/4\)、\(U_{xy}=\pm3\sqrt3(1-2\mu)/4\). 代入扰动 \((\xi,\eta)\propto e^{\lambda t}\), 行列式条件给出

\[\lambda^4+\lambda^2+\frac{27}{4}\mu(1-\mu)=0.\]

令 \(q=\lambda^2\), 要使两个不同的 \(q\) 都为负实数, 需判别式 \(1-27\mu(1-\mu)>0\); 两根和为 \(-1\)、积为正则保证其均为负. 此时线性解由有界振荡组成. 临界重根须另行分析, 线性结论也不自动构成非线性长期稳定性的证明. NASA: Lagrange Points

这一结果适用于理想圆型限制性模型; 不能直接当成真实太阳系中无限期稳定的保证. 木星特洛伊小行星在 L4、L5 附近作振荡运动, 并非固定在一个几何点上.

2 Tides

2.1 Differential Gravity and Ocean Tides

地球和地表物体都受到月球引力. 潮汐加速度是局部引力减去地球中心引力后的差, 而非月球的全部引力. 对地心附近位移 \(\boldsymbol x\), 取月球方向单位向量 \(\boldsymbol n\), 当 \(|\boldsymbol x|\ll D\) 时,

\[\boldsymbol a_{\mathrm{tide}}\simeq \frac{GM}{D^3}\left[3(\boldsymbol n\cdot\boldsymbol x)\boldsymbol n-\boldsymbol x\right].\]

沿连心线的梯度是 \(2GM/D^3\), 垂直方向为 \(-GM/D^3\). 因而平衡潮模型有近月和背月两个隆起. 真实潮汐还受海岸形状、水深、海盆共振和地球自转影响.

大潮: 朔或望附近, 日地月近似共线, 日月潮汐作用增强; 不只发生在日月位于地球同一侧时.
小潮: 上弦或下弦附近, 日月方向近似垂直, 总潮差较小.

望时的大潮几何与弦月附近的小潮几何; 朔时同样可出现大潮. 图中几何与隆起幅度只作示意.

2.2 Roche Limits and Rings

把卫星尺度上的差分引力与自身引力比较, 可以得到洛希距离的量纲关系

\[\frac{GM_pR_s}{d^3}\sim G\rho_sR_s, \qquad d\sim R_p\left(\frac{\rho_p}{\rho_s}\right)^{1/3}.\]

具体系数取决于形变、自转与材料强度. 在卫星质量远小于主天体、主天体近似球形时, 对理想、无材料强度、同步自转的流体卫星, 常用近似为

\[d_R\simeq2.44R_p\left(\frac{\rho_p}{\rho_s}\right)^{1/3}.\]

这里 \(d_R\) 是两天体的中心距离. 所谓刚体近似约 1.26 的系数来自不同的简化判据, 不能由上面的量纲估计直接推出流体形变模型的 2.44; 它也不意味着有真实拉伸强度的小岩块必定在该距离被撕裂. 土星主环位于流体卫星难以重新聚集的位置范围内; 卫星破碎是环起源的候选过程, 环的年龄和详细形成史仍需模型与观测约束.

2023 年的年轻环估计将微陨石的污染输入与环内非冰物质含量联系起来. 2024 年提出的抗污染模型则认为, 高速撞击后形成的带电纳米颗粒等可以被移除, 降低污染物的保留率, 使较老的环仍可能显得洁净. 该模拟未直接纳入环颗粒的孔隙、材料强度和颗粒结构等效应; 它提出了年龄反演中的另一种机制, 并未测出环形成的年代. 因而不能仅由环的洁净程度断定年龄. NASA: Young Rings Studies, 2023 Hyodo et al., 2024

2.3 Tidal Locking and Orbital Migration

潮汐形变并不总能立即对准引力来源. 内部耗散造成形变滞后, 使自转与公转交换角动量, 同时把机械能转化为热. 潮汐可以减慢过快的自转, 也可以加快过慢的自转. 对接近圆形的卫星轨道, 同步自转是常见结果; 偏心轨道还可能进入其他自转–轨道共振.

对顺行卫星, 若主天体自转角速度 \(\Omega\) 大于卫星平均运动 \(n\), 角动量通常从主天体自转传向卫星轨道, 卫星向外迁移. 近圆轨道中

\[L_{\mathrm{orb}}\simeq m\sqrt{GMa},\quad E_{\mathrm{orb}}=-\frac{GMm}{2a},\quad n=\sqrt{\frac{GM}{a^3}}.\]

所以向外迁移时轨道角动量和能量增加, 但长期的公转角速度及圆轨道速率下降. “月球获得能量”不能改写成“月球最终公转得越来越快”. 地球的自转则逐渐减慢. NASA: Tidal Locking

若顺行卫星位于同步轨道以内, 通常向内迁移. 逆行的海卫一需要单独讨论角动量方向, 不能套用顺行同步半径判据; 潮汐模型预期其轨道长期衰减. 对地月系统, 遥远未来的双同步状态只是孤立系统理想化推演, 还会受太阳演化等过程影响.

2.4 Resonances, Heating, and Ocean Worlds

偏心轨道上的潮汐形变周期变化, 可维持内部加热. 若没有外部激励, 耗散常使偏心率减小; 共振却可持续激发偏心率. Io、Europa、Ganymede 的周期近似为 1:2:4, 其拉普拉斯共振角受到约束, 使系统不能简单地把每颗卫星当成独立耗散二体系统.

距离不是潮汐加热的唯一控制量. 半径、偏心率、内部结构和耗散效率也重要; 因而不能只按离木星的远近严格排列卫星的地质活动和陨石坑数量. 陨石坑密度同时反映表面年龄及撞击历史.

伽利略号磁场数据支持 Europa 内部存在导电层, 与含盐地下海洋模型相容. 可能的水羽流还需要区分探测证据的强弱. Europa Clipper 于 2024 年 10 月 14 日发射, 2025 年 3 月 1 日完成火星引力辅助; 按 NASA 2026 年 9 月 24 日更新的时间表, 计划 2030 年 4 月抵达木星, 随后通过多次飞掠进一步约束冰壳、海洋和宜居环境; 这项工作不是已经完成的观测. 航天器绕木星而不是长期绕 Europa, 可减少在强辐射区的暴露. NASA: Europa Clipper Mission Timeline

3 Spaceflight and the Space Environment

3.1 Missions and Rocket Propulsion

V-2 火箭是早期高空探测的平台, 1946 年的一次飞行拍摄了来自太空的地球照片; 1957 年 10 月 4 日 Sputnik 1 成为第一颗人造地球卫星. 阿波罗计划使用土星五号将多次载人任务送往月球, 不能写成仅有一次载人离开近地轨道.

航天任务需要协调科学目标、有效载荷、航天器、运载系统、轨道、测控与能源约束. 轨道可达并不等于测量条件合适. NASA: Early V-2 and Two-stage Rocket Flights

设火箭瞬时质量为 \(m\), 喷气相对火箭的速度大小为常量 \(u\), 在一维、忽略外力的短时间内由动量守恒得

\[m\,dv=-u\,dm.\]

因火箭质量减少, \(dm\lt 0\), 正向速度增量为正. 积分得到齐奥尔科夫斯基方程

\[\Delta v=u\ln\frac{m_0}{m_f}.\]

它描述理想速度增量预算. 发射时还要计入重力损失、气动阻力、姿态转弯等. 多级火箭通过抛弃不再需要的结构质量改善后续级的质量比.

电推进的优势是排气速度高、推进剂利用效率高, 缺点是受电功率限制、推力较小. 它不适合直接从地面起飞, 但可在进入太空后长期工作, 并非必须先把探测器送到很远处才开始使用.

3.2 Radiation Belts and Atmospheric Escape

带电粒子在磁场中回旋, 在非均匀磁场中还可发生磁镜反射和漂移, 形成被俘获的粒子群. Explorer 1 等早期任务揭示了地球辐射带. 高计数率下探测器可能饱和, 因此读数接近零不一定意味着粒子通量低.

地球通常用内、外两个主要范艾伦辐射带描述, 但它们不是固定壳层. 强太阳活动期间可形成暂时的额外带状结构; 不能把发现第三条暂态带概括为“现在确认永远有三层”. NASA: Van Allen Probes

南大西洋异常区与地球磁场的不对称、非偶极结构等有关, 使低轨航天器在该区域承受较高的粒子辐射. 航天器防护需结合轨道选择、屏蔽、器件耐辐射性及运行策略. 朱诺号的轨道和电子设备防护就是为木星辐射环境设计的.

离开磁场束缚与逃离行星引力不是同一个判据. 中性粒子不受直接的洛伦兹力约束, 带电粒子沿开放磁力线运动也未必有足够能量逃离引力场. 大气逃逸可包括:

金斯逃逸: 外逸层热分布的高速尾部越过引力束缚.
光化学逃逸: 反应产生的高能中性粒子逃逸.
离子逃逸和极风: 电场、波粒相互作用等加速离子.
溅射与电荷交换: 粒子碰撞或电荷态改变产生可逃逸的粒子.

机制的强弱取决于粒子种类、外逸层温度、辐射环境和磁场结构, 不能仅用“有磁场就不会逃逸”来判断.

4 Voyager and Interplanetary Transfers

4.1 Hohmann Transfers

考虑中心质量为 \(M\)、半径分别为 \(r_1\lt r_2\) 的共面圆轨道, 忽略其他天体和有限推力效应. 转移椭圆半长轴为 \(a_t=(r_1+r_2)/2\). 用活力公式

\[v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)\]

分别求转移轨道在两端的速度, 再与圆轨道速度相减:

\[\begin{aligned} \Delta v_1&=\sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right),\\ \Delta v_2&=\sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right),\\ t_t&=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{GM}}. \end{aligned}\]

第一步在内圆轨道上加速进入椭圆, 第二步在外端加速圆化. 地球到火星的实际任务还须匹配会合相位, 并区分日心转移、离开地球和抵达火星的速度预算.

4.2 Gravity Assists

在行星参考系下, 理想双曲线飞掠只改变远处相对速度的方向, 两侧的速率均为 \(v_\infty\). 在日心系中,

\[\boldsymbol v_{\mathrm{in,out}}=\boldsymbol V_p+\boldsymbol u_{\mathrm{in,out}}, \qquad |\boldsymbol u_{\mathrm{in}}|=|\boldsymbol u_{\mathrm{out}}|,\]

所以单位质量的日心动能变化为

\[\Delta\epsilon=\boldsymbol V_p\cdot(\boldsymbol u_{\mathrm{out}}-\boldsymbol u_{\mathrm{in}}).\]

飞掠几何决定加速还是减速, 能量和角动量来自与行星轨道的交换. 不能把引力助推解释成凭空创造能量. 质量比比较必须使用相同的出发轨道、抵达条件及排气速度, 再对各自的总速度增量应用火箭方程; 只比较是否经过木星并不足以确定节省多少推进剂.

4.3 The Voyager Missions and the Heliosphere

旅行者 1 号探访木星和土星; 旅行者 2 号还探访了天王星和海王星. 是两项任务合起来覆盖四颗巨行星, 不是两艘各自都飞掠全部巨行星. 它们分别于 2012 年和 2018 年穿过日球层顶. NASA: Voyager

终止激波处, 太阳风相对于局部波速由超声速转为亚声速; 其外的日鞘延伸至日球层顶, 后者是太阳风主导等离子体与星际介质之间的重要边界. 日球层外是否有经典强弓激波依赖介质参数, 不宜将其作为无条件存在的三层同心边界.

“进入星际空间”在这里指跨越日球层顶, 不意味着已经飞出太阳的引力影响区域, 更不意味着穿越了奥尔特云. 日球层的尺度与形状由太阳风和星际环境控制, 奥尔特云则是远得多的小天体储库概念.

Solar System - 2

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5 Mars

5.1 Radiative Equilibrium and Surface Temperature

火星自转周期约 24.6 小时, 自转轴倾角约 25°, 与地球有相似的昼夜和季节尺度. 但其日照、稀薄大气和表面热惯性不同, 造成显著温差.

设太阳光度为 \(L_\odot\), 行星距太阳为 \(D\), 半径为 \(R\), 邦德反照率为 \(A\), 热辐射发射率为 \(\epsilon\). 假设吸收能量在全球均匀再分配, 则

\[(1-A)\frac{L_\odot}{4\pi D^2}\pi R^2 =4\pi R^2\epsilon\sigma T_{\mathrm{eq}}^4.\]

平行入射光按截面积吸收, 均匀温度模型按整个球面向外辐射.

左边用迎光截面积, 右边用全表面积. 取太阳近似黑体, 得

\[T_{\mathrm{eq}}=T_\odot\sqrt{\frac{R_\odot}{2D}} \left(\frac{1-A}{\epsilon}\right)^{1/4}.\]

若 \(D=1.524\) AU、\(A=0.25\)、\(\epsilon=1\), 得到约 210 K. 这是理想有效辐射温度, 不是每处地表温度. 地球约 287 K 的近地表温度包含温室效应的影响, 不能当成这个无温室模型的标尺.

在另一极端——无水平热输运、局部即时平衡——日照面的入射通量还乘以 \(\cos\theta\), 因而有 \(T(\theta)\propto(\cos\theta)^{1/4}\). 该模型不适用于直接预测真实夜间温度: 地表蓄热、大气与地下导热仍在起作用.

测量特定波长的热辐射需要使用普朗克谱和辐射传输模型, 区分反射光、热辐射、发射率和大气吸收. Stefan–Boltzmann 定律是全波段积分关系, 不能单独从任意一个波段读出真实温度.

5.2 Atmosphere, Exploration, and Water Evidence

火星大气主要为二氧化碳, 表面压强约为地球的 0.6%, 随地形、季节变化. 今天没有全球性的内禀磁场, 但部分古老地壳保留磁化信息. 河谷、三角洲、沉积岩与含水矿物为过去的液态水活动提供证据. NASA: Mars Facts

任务	主要意义	推断边界
Mariner 4	1965 年飞掠并传回近距离表面图像	有限覆盖不能代表整个火星的地质史
Mariner 9	1971 年进入火星轨道, 观测火山、峡谷和沙尘暴	形态类比需结合地形和年代信息
Mars 3	1971 年实现软着陆, 随后很快失联	短暂信号不等于完成长期地表探测
Viking	1976 年开始长期地表观测与生命探测试验	化学反应信号不自动等于生命证据
Phoenix	挖掘区浅色物质消失等观测支持浅层水冰	局部水冰不等于表面有稳定液态海洋
Mars Odyssey	中子和伽马射线测量约束近地表氢分布	氢信号需结合矿物及冰的模型解释

宇宙射线与地表物质作用产生中子, 氢对中子的减速很有效; 特征伽马射线还可约束元素组成. 这类观测有助于反演冰或含水物质, 并不是直接拍摄地下水. 冬季极区的二氧化碳霜还会覆盖水冰, 影响季节性观测.

火星大气足以要求隔热和气动减速, 却往往不足以让降落伞独自完成软着陆. 实际方案需结合热防护、降落伞、反推或其他末端减速方式, 且依赖着陆器质量与着陆点高度.

NASA: Mars Mariner Missions 提供早期飞掠与环绕任务的历史资料.

5.3 Liquid Water and Ancient Climate

纯水三相点约为 273.16 K、611 Pa. 纯物质平衡相图中的压强是系统压强; 在水与其他气体混合的大气中, 还须区分总压、饱和水蒸气压与实际水蒸气分压. 沸腾、蒸发和结冰的判据不能混为一谈.

今天火星表面附近的低压、低温和干燥通常不利于大范围长期稳定的纯液态水; 盐、局地热源和地下压力可改变具体条件. 古代流水地貌说明液态水曾经存在, 但不直接证明整个早期火星始终温暖、湿润并拥有稳定海洋. 持续温暖与间歇融水模型都要解释地质记录.

大气二氧化碳可能部分储存在地壳、冰和沉积物中, 部分逃逸到太空. 同位素分馏可提供约束: 较轻同位素通常更易被某些逃逸机制移除. 但由今日同位素比反推流失量, 还需考虑初始组成、补给、混合与具体机制.

5.4 Terrestrial Interiors

类地行星可粗分为金属核、硅酸盐地幔与地壳. “地幔是固体”与“能长期对流”并不矛盾: 在地质时间尺度上固体可通过蠕变流动, 火山活动则涉及局部熔融和岩浆运输.

内禀磁场需要合适的导电流体运动和能量供给. 仅有液态核或仅有自转都不足以保证发电机持续工作. 火星无全球磁场不等于已经完全凝固; 金星缺少显著全球内禀磁场也不能只用自转慢作唯一解释.

地球和水星平均密度相近, 不代表成分相同: 地球更强的自压缩效应提高了平均密度, 水星则具有较高的金属比例. 地球拥有全球活动板块构造, 但“没有地球式板块构造”不等于“没有地质活动”; 2023 年发表的研究比较 Magellan 在 1991 年 2 月和 10 月拍摄的同一火山口, 其形状变化提供了当时火山活动的证据. NASA: Volcanic Activity on Venus

6 Planetary Atmospheres and Habitability

6.1 Retention, Escape, and Climate Feedbacks

半径 \(r\) 处的逃逸速率为

\[v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}.\]

把引力束缚能与外逸层热能比较, 定义金斯参数

\[\lambda=\frac{GMm}{rk_BT}.\]

在金斯逃逸近似中, \(r\)、\(T\) 应取外逸层底部 (exobase) 的半径和温度, 而非直接使用地表温度. 若此处某种粒子的数密度为 \(n\), 速度分布近似各向同性 Maxwell 分布, 且整体外流速率可忽略, 则最概然速率与单位面积的向外逃逸数通量为

\[\begin{aligned} v_{\mathrm{mp}}&=\sqrt{\frac{2k_BT}{m}},\\ \lambda&=\frac{v_{\mathrm{esc}}^2}{v_{\mathrm{mp}}^2},\\ \Phi_J&=\frac{n v_{\mathrm{mp}}}{2\sqrt{\pi}}(1+\lambda)e^{-\lambda}. \end{aligned}\]

这里要对高于逃逸速率且朝外运动的粒子按法向速度加权积分, 而不只是统计高速粒子的比例; 球面上参数均匀时, 总逃逸数率为 \(\dot N=4\pi r^2\Phi_J\). 该式还要求离开外逸层底部后的碰撞可忽略; 非 Maxwell 尾部或显著整体外流需要更完整的动力学模型. Tucker et al., 2012, §2

较大的 \(\lambda\) 使热分布的逃逸尾部受到指数抑制. 这说明轻粒子、较高温度和较弱引力更有利于热逃逸. 当大气发生整体流体外流时, 单粒子金斯模型会失效; 不能用“最概然速率超过逃逸速率”作为一切逃逸的必要条件.

金星与地球质量和大小相近, 但大气演化差异很大. 金星浓厚的二氧化碳大气产生强温室效应; 地球的碳储库还包括海洋、岩石和生物圈. 早期金星是否长期拥有海洋仍有争论, 不应把一种气候模型当成已经观测到的历史.

6.2 Terraforming as a Physical Feasibility Problem

火星改造需要同时解决温度、总压、氧分压、水、辐射、土壤与长期资源循环. 水能短暂融化只满足其中一小部分条件. 阿姆斯特朗极限对应人体温度附近的水沸腾问题, 不是判断一般液态水存在的统一压强阈值.

增加温室气体、降低反照率或使用空间反射器可以作为能量预算的思想实验, 但必须估算可动员的物质总量与持续时间. NASA 于 2018 年介绍的火星二氧化碳储量研究认为, 以当时技术可动员的储量不足以提供所需温室增温; 它不支持“依靠现有技术在百年内完成全球改造”的断言, 也不构成对所有未来方案的可行性证明. NASA: Mars Terraforming Not Possible Using Present-Day Technology

金星方案还要移除或隔离庞大的大气质量并降低热输入. 空间遮阳与高空浮空平台是不同目标: 在较温和的高度停留不等于把整个星球改造成地球. 空气在二氧化碳中具有浮力, 也不消除酸性云层、物资运输和长期维持的问题.

6.3 Titan

土卫六 Titan 的半径略大于水星, 质量却明显较小. 它有浓厚的、以氮为主的大气, 表面压强约为地球的 1.5 倍, 低温下存在甲烷、乙烷参与的湖泊和天气循环. ESA: Facts about Titan NASA: Titan Facts

低温有利于减慢热逃逸, 但大气长期存在还取决于光化学、补给和损失历史. 甲烷被光化学消耗, 因而其补充来源是重要问题. 土星磁层既可能改变太阳风暴露, 也会带来带电粒子作用, 不能只把磁层当成无损保护罩.

7 Giant Planets and Their Moons

7.1 Jupiter

木星约 12 年绕太阳一周, 自转约 10 小时. 快速自转造成显著扁率; 不同纬度云层的转动周期不同. 历史上利用 Io 蚀时变化研究光传播时延, 将天文事件与有限光速联系起来.

木星主要由氢和氦组成. 伽利略大气探针直接取样了有限深度和特定区域的大气, 不能直接测得整个内部结构. 内部存在高压导电氢流体; 引力场、磁场和状态方程共同约束深部模型. 稀释或弥散重元素核是与部分数据相容的模型, 不等于已经拍到了边界清楚的固体核.

Io 火山为木星磁层提供物质; 木星快速自转、磁场及卫星相互作用驱动复杂极光. Ganymede 具有已测得的内禀磁场, 应与其他卫星的感应磁场区分.

7.2 Saturn and Ocean Moons

土星平均密度小于水, 但“可以浮在水上”只是密度类比, 不存在能保持原状态容纳整颗土星的普通水池. 土星环由大量颗粒组成; 环中的共振结构可用于研究卫星引力作用. Cassini Division 的内侧边界与 Mimas 的 2:1 共振有关, 但整片环缝结构不由一个位置的单一共振完全解释.

Enceladus 的南极羽流向 E 环供应物质. Cassini 的取样提供了水、氢和其他化学成分的证据; 其中 2015 年 10 月 28 日飞掠测得的氢在 2017 年报道, 支持研究地下海洋及水–岩反应. 甲烷生成的一种净反应为

\[\mathrm{CO_2+4H_2\longrightarrow CH_4+2H_2O}.\]

氢可作为潜在化学能源, 但这不是已经发现生命的证据, 甲烷也可以有非生物来源. NASA: Enceladus Hydrothermal Activity

Mimas 表面陨石坑很多, Enceladus 则有明显的活跃地表. 两者差异需要比较内部热史、轨道演化和材料耗散. 2024 年 2 月 7 日发表的研究利用 Cassini 测得的 Mimas 轨道进动推断地下海洋; 这是受动力学模型约束的解释, 因而不能再简单用“有很多坑”推出“内部必定冻结”. Lainey et al., 2024

Iapetus 的明暗差异与外来暗物质及冰升华的反馈有关. 自转同步使特定半球长期朝向运动方向; 从地球观测的亮度差异不意味着卫星在较暗时真的消失. 赤道山脊的形成还有多种模型, 包括与早期环或自转演化有关的解释.

7.3 Uranus and Neptune

天王星自转轴倾角约 98°, 季节变化极端; 极点附近可经历持续数十年的日照或黑夜, 但不能把这一结论推广成每个纬度都同样经历 42 年极昼和极夜. 云层活动受季节、热输运与观测波段影响, 冬季也不等于大气活动完全停止.

天王星和海王星的磁场明显倾斜且非简单中心偶极, 反映了与木星不同的内部导电流体和发电机几何. “冰巨星”指形成材料和内部成分分类, 不表示深部全是普通固态冰.

海卫一 Triton 的逆行轨道支持捕获起源. 它具有年轻表面及氮相关的喷发活动; 坑少、特殊地形和喷发现象共同约束地质模型, 不能仅凭一张表面照片确定唯一机制.

7.4 Hydrostatic Structure and Energy Transport

在近似静力平衡的局部大气中,

\[\frac{dP}{dz}=-\rho g.\]

若气体近似理想、温度 \(T\) 和重力加速度 \(g\) 近似不变, 且平均摩尔质量为 \(\mu\), 则 \(\rho=\mu P/(\mathcal RT)\), 因而

\[P(z)=P(z_0)e^{-(z-z_0)/H},\qquad H=\frac{\mathcal RT}{\mu g}.\]

标高 \(H\) 是压强相对参考高度下降到 \(1/e\) 的高度差, 不是固定以一个标准大气压为起点. 深部高压流体偏离理想气体, 需要真实状态方程及随半径变化的重力.

巨行星的内部热源包括形成残余热、缓慢收缩及成分分离等过程. 热量可以由辐射、对流或传导输运. 导电流体运动维持磁场的发电机模型已是研究框架, 但深部流动和各行星磁场的具体结构仍在研究中.

Solar System - 3

Tue, 15 Sep 2026 00:00:00 +0800

8 Accretion and Planet Formation

8.1 Disks and Growth Barriers

分子云核心塌缩形成恒星时, 角动量使部分物质留在盘中. 原行星盘观测支持这一图景, 但盘的出现不等于已经解释尘埃如何跨过反弹、碎裂和径向漂移等增长障碍.

核心吸积模型中, 固体先形成微行星和行星胚胎, 某些核心再吸积大量气体. 盘引力不稳定则可能在足够冷、足够重的盘区快速形成自引力团块; 它的困难是满足失稳和冷却条件, 不能写成其普遍“时间尺度过长”. Gammie, 2001: Nonlinear Outcome of Gravitational Instability in Cooling, Gaseous Disks

8.2 Gravitational Focusing

考虑小粒子从远处以相对速率 \(v_\infty>0\) 接近质量为 \(M\)、半径为 \(R\) 的天体, 忽略其他天体与气体阻力. 在恰好擦过表面的临界轨迹上, 能量和角动量守恒分别给出

\[\frac{v_R^2}{2}-\frac{GM}{R}=\frac{v_\infty^2}{2}, \qquad bv_\infty=Rv_R.\]

消去 \(v_R\), 碰撞截面为

\[\sigma_{\mathrm{coll}}=\pi b^2 =\pi R^2\left(1+\frac{2GM}{Rv_\infty^2}\right).\]

远处粒子数密度为 \(n\) 时, 均匀单速流近似下碰撞率为 \(n\sigma_{\mathrm{coll}}v_\infty\). 若两物体大小都不可忽略, 应使用半径之和与总质量. 很小的相对速度使形式上的聚焦因子变大, 但在原行星盘中还受恒星潮汐、Hill 区和剪切运动限制.

引力聚焦使碰撞参数 b 可以大于天体半径 R; 轨迹只作示意.

动力摩擦来自背景粒子对大质量天体的统计引力反馈, 常使其随机运动能量下降; 它不是机械接触摩擦, 也不能只用某个方向的小颗粒“数量更多”完整解释.

8.3 Hill Radius and Isolation Mass

在近圆轨道、行星胚胎质量远小于恒星质量时, Hill 半径近似为

\[r_H=a\left(\frac{M}{3M_*}\right)^{1/3}.\]

以固体面密度 \(\Sigma\)、总喂养带宽度 \(\Delta a=b r_H\) 建立简化模型. 若胚胎吸收带内全部固体,

\[M_{\mathrm{iso}}\simeq2\pi a\Sigma\Delta a =2\pi b a^2\Sigma\left(\frac{M_{\mathrm{iso}}}{3M_*}\right)^{1/3}.\]

把未知质量的幂移到左侧, 得

\[M_{\mathrm{iso}}= \frac{(2\pi b a^2\Sigma)^{3/2}}{(3M_*)^{1/2}} \propto a^3\Sigma^{3/2}M_*^{-1/2}.\]

\(b\) 表示所采用模型的喂养带总宽度系数. 它不能未经说明固定成 L1 与 L2 的距离; 真实喂养区、多个胚胎相互作用和物质漂移会改变系数及适用范围.

8.4 Snow Lines, Gas Accretion, and Migration

通过把行星物质摊回盘状区域可构造最小质量太阳星云模型, 但它是反演近似, 不是原盘的直接照片. 讨论固体核心时需要区分固体和氢氦气体的面密度.

不同挥发物有不同凝结温度, 因而有不同雪线; 水、氨、甲烷并非在一条共同边界之外同时全部凝固. 雪线外增加的固体储量有利于核心增长, 但增长时间还受盘结构、漂移和碰撞速度控制.

气体包层能否快速增长取决于冷却和供气, 不只取决于逃逸速度. 常说的约十个地球质量的核心门槛也不是普适常数. 原盘在吸积、光致蒸发、风和行星相互作用等过程下消散, 限制巨行星的增长. 行星与盘或其他行星交换角动量还可发生迁移, 改变最终轨道. NASA: How Do Planets Form?

9 Exoplanets

9.1 Radial Velocity and Transits

恒星与行星绕共同质心运动. 径向速度法测量恒星谱线的周期性多普勒位移. 在二体模型中, 恒星径向速度半振幅为

\[K=\left(\frac{2\pi G}{T}\right)^{1/3} \frac{m_p\sin i}{(M_*+m_p)^{2/3}} \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}.\]

其中恒星相对质心的半长轴为 \(a_* = a m_p/(M_*+m_p)\). 椭圆运动的视线速度可写成常量偏移加 \(K[\cos(\nu+\omega)+e\cos\omega]\), \(\nu\) 是真近点角, \(\omega\) 按恒星质心轨道的近心点幅角定义; 行星轨道的近心点幅角与它相差 \(\pi\), 混用会反转速度曲线的符号. 其系数为 \(K=2\pi a_*\sin i/[T\sqrt{1-e^2}]\); 代入二体开普勒第三定律消去 \(a\), 即得上式.

把测得的 \(T\)、\(K\)、\(e\) 组合起来, 精确的二体质量约束是质量函数

\[\begin{aligned} f&=\frac{TK^3(1-e^2)^{3/2}}{2\pi G}\\ &=\frac{m_p^3\sin^3 i}{(M_*+m_p)^2}. \end{aligned}\]

只有进一步取 \(m_p\ll M_*\), 才近似得到 \(m_p\sin i\simeq(fM_*^2)^{1/3}\). 倾角未知时, 在给定恒星质量的条件下, 令 \(\sin i=1\) 可求伴星质量的下限; 质量不可忽略时须保留分母中的 \(m_p\), 不能仍将上面的近似当成精确关系. 行星质量大、周期短时信号往往更容易测量, 但恒星活动也会造成谱线变化. Wright and Gaudi, 2012, §1.2

凌星法观测行星挡住恒星造成的亮度下降. 忽略临边昏暗、污染光和边缘擦掠, 较小的行星盘完全进入恒星盘面时,

\[\delta\simeq\left(\frac{R_p}{R_*}\right)^2.\]

对近圆轨道、随机取向, 凌星几何概率约为 \((R_*+R_p)/a\). 较大行星、较小恒星和较短周期各有探测优势, 但选择红矮星不是凌星搜索的必要条件. 地球凌日深度约 84 ppm, 并非对所有类地行星都统一为 0.1%. NASA: How We Find and Characterize Exoplanets

不含临边昏暗的凌星光变示意; 纵向深度放大, 不代表实际凌星深度.

9.2 Planet Populations and Selection Effects

HD 209458 b 是经典热木星研究对象, 径向速度和凌星观测可以联合约束其质量与半径, 从而求平均密度. 较大的半径表明需要考虑受热及内部能量输运, 不能说其密度“低于任何氢氦行星模型可能达到的值”.

热木星通常指短周期、强辐照的气态巨行星, 不要求质量一定超过木星. 早期探测对它们有明显偏好; 探测样本的数量比例不能直接当成宇宙中的真实发生率.

超级地球和亚海王星首先是观测分类, 并不唯一指定组成或形成史. 岩石比例、挥发物和氢氦包层存在简并. TRAPPIST-1 的七颗近地球大小行星为比较研究提供例子; 位于宜居带只表示在特定大气假设下可能允许表面液态水, 不等于已经发现海洋或生命.

9.3 Atmospheres, Secondary Eclipses, and Phase Curves

凌星时穿过行星边缘大气的恒星光形成透射谱, 不同波长的有效遮挡半径反映吸收、散射、云雾及温度结构. 吸收特征并不直接给出唯一的大气厚度或丰度, 需要辐射传输模型和不确定度分析.

行星运行到恒星背面时发生次级食, 可分离行星的反射光和热辐射贡献. 轨道相位曲线还受昼夜温差、云层和散射相函数影响. 热红外相位峰相对预期位置的偏移可以约束热输运, 但“任何偏移都唯一证明水平风”过于绝对; 偏心率和云分布等也需检验.

10 Small Bodies

10.1 Asteroids, Resonances, and Impacts

主小行星带位于火星和木星之间, 谷神星和灶神星是典型大天体. 有些小行星是高孔隙率的碎石堆, 采样、密度和近距离形态观测可以检验内部结构.

木星的平均运动共振可提高某些主带天体的偏心率, 形成 Kirkwood 间隙并为近地天体提供来源通道. Yarkovsky 效应来自不均匀热辐射的微小反冲, 可缓慢改变轨道半长轴, 把小天体推向共振区域. 并非所有近地天体都只经历一次简单木星散射.

特洛伊天体在行星 L4、L5 附近的共振区域运动; 不只有木星拥有特洛伊天体. 准卫星与行星保持 1:1 共振附近的特殊相对运动, 但主要绕太阳公转, 不等于普通受行星束缚的卫星.

2013 年车里雅宾斯克事件展示了几十米级天体空爆的危害. 约 6600 万年前的 Chicxulub 撞击与白垩纪–古近纪生物大灭绝有关; 铱异常主要与撞击物质的地球化学来源有关, 不能写成高压本身制造了大量铱. 冲击石英等才是另一类记录高压冲击的证据.

10.2 Trans-Neptunian Objects and the Oort Cloud

柯伊伯带包括不同动力学族群, 不能全归为单一共振带. 冥王星绕太阳两周时海王星约绕三周, 共振相位保护了它们, 即使轨道径向范围有交叠也不会简单相撞. 海王星迁移可以改变共振捕获和小天体分布, 但今天的结构还保存了更复杂的动力学历史.

散射盘天体通常具有较高偏心率, 其轨道与海王星相互作用有密切关系. Haumea 的快速自转、形状及碰撞族提供了演化线索, 但不能把所有高密度天体都归因于同一种剥冰碰撞.

奥尔特云是推测的遥远彗星储库, 外部整体分布近似球形; 这说的是轨道取向和空间分布, 不是每颗天体都在准圆轨道上. 行星散射可提高轨道能量, 恒星扰动与银河潮汐可改变近日点和取向, 共同影响远端储库的形成与彗星补给. NASA: Oort Cloud

Sedna 的高近日点使其难以用当前海王星的直接散射简单解释. 早期恒星环境、行星迁移和额外天体等是不同候选机制. NASA 在 2025 年 3 月 12 日更新的资料中仍将第九行星列为未经观测确认的假说; 小样本轨道聚集不能直接写成公认的行星发现. NASA: Hypothetical Planet X

10.3 Comets and Interstellar Objects

彗核由挥发性冰与难挥发尘埃等组成. 接近太阳时, 升华及其他释气过程形成彗发和尾. 尘埃尾受辐射压与轨道运动影响, 常呈弯曲; 离子尾与太阳风及磁场作用, 往往大致背向太阳. 活动距离取决于挥发物种类, 不存在所有彗星统一的 4 AU 开关.

在二体近似下, 椭圆、抛物线和双曲线轨道分别对应负、零、正的单位质量轨道能量. 但要判断星际起源, 必须考虑行星摄动、非引力力和轨道误差, 分析进入行星区前的质心轨道. 瞬时日心偏心率略大于 1 并不够. 2017 年发现的 ʻOumuamua 是首个获确认的星际天体.

长周期彗星可以多次返回, 也可能被抛出、碎裂或耗尽挥发物; “通常都是一次性的”不是一个无条件成立的定义.

10.4 Meteorites and Differentiation

陨石保留了太阳系早期物质和母体演化信息. 熔壳、气印、密度和磁性可以帮助筛查, 但都不是单独的充分必要条件; 有些陨石磁性很弱, 许多地球岩石也有磁性.

南极冰流可使陨石暴露并富集, 干燥寒冷有利于保存; 沙漠也便于识别和寻找. 样品仍需矿物、化学和同位素等实验鉴定.

类型	典型信息	解释限制
球粒陨石	原始固体颗粒与早期星云过程	母体仍可能经历水蚀变和热变质
铁陨石	金属分离、冷却与母体破碎	不能据此认定所有富金属小行星都完全由铁组成
石铁陨石	金属与硅酸盐混合	不同组别来源不同, 不能全部等同于核幔边界样品

短寿命放射性核素 \(^{26}\mathrm{Al}\) 的衰变是早期小天体的重要热源, 形成时间影响其熔融和分异程度. 引力能、撞击和长期放射性加热也应按尺度比较. Psyche 的富金属性质使其适合研究分异, 但其组成和是否为裸露金属核仍待探测检验. 探测器于 2023 年 10 月 13 日发射; 按 NASA 2026 年 5 月 19 日的报告, 已于 5 月 15 日完成火星引力辅助, 计划 2029 年 8 月抵达目标. NASA: Psyche Mission NASA: Mars Flyby Report, 2026

11 The Sun and Stellar Evolution

11.1 Sunspots and the Magnetic Cycle

太阳黑子比周围光球温度低, 因而相对显暗. 强磁场抑制对流能量输运, 有助于维持这种温差; 黑子不是没有发光的洞. 光谱的塞曼效应可测量光球磁场, 不应把黑子磁场观测一概写成日冕测量.

太阳存在较差自转, 赤道附近转得较快; 讨论约 27 天的周期时还要区分地球视角的会合周期与恒星周期. 黑子群常呈双极结构, 两半球的领先极性通常相反, 下一活动周期再反转, 也存在不遵从统计规律的例外.

黑子出现纬度随周期演化, 在时间–纬度图上形成蝴蝶状分布. 活动周期约 11 年, 磁场方向反转后再回到原方向的完整周期约 22 年; 不是“每 22 年才反转一次”. 差速旋转、对流、磁通输运和磁场反馈共同参与太阳发电机, 一张扭转磁力线示意图不能替代完整动力学模型. NASA: Solar Science

11.2 The Corona and Solar Eruptions

日冕温度可达百万 K, 高于可见光球. 日冕高电离态铁的谱线反映高温等离子体, 如 Fe XIV 对应失去 13 个电子的铁离子. 日冕加热研究包括波动耗散、磁重联及湍流等机制, 不宜说某一种已唯一解决全部加热问题.

日冕物质抛射是大尺度等离子体和磁场的抛出, 耀斑是快速能量释放的表现, 二者相关但不是同义词. 日冕仪遮住明亮太阳盘面, 使较暗的外层结构可见; 太阳风、喷发及其与磁层的相互作用共同影响空间天气.

11.3 The Hertzsprung–Russell Diagram

恒星光谱类型通常按 O、B、A、F、G、K、M 排列, 对应由高到低的表面温度. 视亮度还取决于距离和消光; 由视亮度推光度需要距离信息. 星等差遵从

\[m_2-m_1=-2.5\log_{10}\frac{F_2}{F_1}.\]

赫罗图以温度或光谱类型为横轴、光度为纵轴, 温度通常向右减小. 主序星、巨星与白矮星占据不同区域. 根据

\[L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4,\]

低温高光度的巨星需要较大的半径; 高温却低光度的白矮星半径很小. 体积大不自动意味着质量大.

在有限质量范围内, 可用主序星关系 \(L\propto M^{3.5}\) 作估计. 若可用核燃料比例相近, 则主序寿命的量级为

\[t_{\mathrm{MS}}\propto\frac{M}{L}\propto M^{-2.5}.\]

指数不是所有质量范围的普适常数. 星团主序转折点可用于估计年龄, 因为较大质量恒星先离开主序; 还需考虑金属丰度、双星和模型差异.

11.4 Evolution and Remnants

太阳的年龄约 46 亿年, 目前以核心氢聚变为主要能量来源. 未来核心氢耗尽后, 将经历壳层燃烧和红巨星演化, 再经历核心氦燃烧及更晚的壳层阶段, 最终抛出外层并留下白矮星. “停止核心氢燃烧”不等于一切核聚变立刻停止. NASA: Life Cycle of a Sun-like Star

孤立类太阳恒星的主要演化阶段, 各阶段长度不代表持续时间.

低质量恒星的氦核可处于电子简并支撑状态. 简并压强对温度不敏感, 初始氦燃烧加热不能立即通过正常热膨胀调节, 从而产生氦闪; 随后简并被解除, 核心进入较稳定的氦燃烧. 这不是太阳表面瞬间发生超新星式爆炸.

太阳失质量会使行星轨道在缓慢、近各向同性失质量近似下向外扩张, 但红巨星的半径增长和潮汐也会影响行星. 不能仅用某个质量变化比例就确定地球必然幸存.

更大质量恒星可经历更重元素的燃烧, 形成接近铁峰的核心. 铁峰附近核的结合能较高, 继续聚变不能像轻元素燃烧那样提供维持恒星的净能量. 核坍缩还涉及电子俘获、光致蜕变和支撑失稳等过程, 不宜概括成“铁聚变使温度下降所以塌缩”.

白矮星、中子星或黑洞的结局取决于初始质量、失质量、组成、旋转及双星作用, 不能用一条绝对质量分界解释所有情况. 白矮星继续冷却最终成为黑矮星是理论远景, 宇宙尚不足够古老让普通白矮星完成这一过程.

Quantum Many-Body Theory - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

1 Second Quantization and Coherent States

1.1 Quantum Mechanics

Hilbert 空间是完备的内积空间, 内积诱导态的范数. 可归一化的物理态具有有限范数; 连续谱的位置和动量本征态则是广义本征态, 以下涉及它们的封闭关系与交叠应按分布理解.
位置和动量本征态满足
\[\hat{\mathbf{r}}|\mathbf{r}\rangle=\mathbf{r}|\mathbf{r}\rangle, \qquad \hat{\mathbf{p}}|\mathbf{p}\rangle=\mathbf{p}|\mathbf{p}\rangle.\]
- 位置和动量基矢满足封闭关系
  \[\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|=1, \qquad \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,|\mathbf{p}\rangle\langle \mathbf{p}|=1.\]
  
  符号 \(1\) 总表示当前指定空间上的单位算符. 这里的位置基只作用于轨道空间; 若保留自旋, 完整空间为 \(\mathcal{H}_{\mathrm{orb}}\otimes\mathcal{H}_{\mathsf S}\). 对于自旋 \(1/2\) 子空间,
  \[|+\rangle\langle +|+|-\rangle\langle -|=1_{\mathsf S}, \qquad 1=1_{\mathrm{orb}}\otimes 1_{\mathsf S}\]
  因此完整态的封闭关系还须对自旋指标求和.
  
  故任意态可展开为
  \[|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|\psi\rangle \equiv \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\psi(\mathbf{r}), \qquad \psi(\mathbf{r})\equiv\langle\mathbf{r}|\psi\rangle\]
- 基矢之间的交叠为
  \[\langle \mathbf{r}|\mathbf{r}'\rangle=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), \qquad \langle \mathbf{p}|\mathbf{p}'\rangle=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p}'), \qquad \langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle = \left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{3/2} \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{\hbar}\right).\]
- 在位置表象中, 动量算符以微分形式作用:
  \[\begin{aligned} \langle \mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle &= \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,\langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle \langle \mathbf{p}|\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle \\ &= \left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{3/2} \int \mathrm{d}\mathbf{p}\, \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{\hbar}\right) \mathbf{p}\,\langle \mathbf{p}|\psi\rangle \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla_{\mathbf{r}} \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,\langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle \langle \mathbf{p}|\psi\rangle \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla_{\mathbf{r}}\psi(\mathbf{r}). \end{aligned}\]
对于处在势 \(V(\hat{\mathbf{r}})\) 中的单个粒子, Schrödinger 方程为
\[\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi\rangle = \left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\hat{\mathbf{r}})\right]|\psi\rangle.\]
对不显含时间的 Hamiltonian \(\hat H\), Schrödinger 绘景和 Heisenberg 绘景将相同的时间演化置于不同位置. 以下算符也不显含时间; 若 \(\hat H(t)\) 显含时间, 演化算符应改用时间有序指数.
- 在 Schrödinger 绘景中, 态随时间演化:
  \[|\psi(t)\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}|\psi(0)\rangle.\]
- 在 Heisenberg 绘景中, 算符随时间演化:
  \[\hat{\mathbf{p}}^{(\mathrm{H})}(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} \hat{\mathbf{p}}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}.\]
两者在期望值层面等价:
\[\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat{\mathbf{p}}|\psi(t)\rangle &= \langle\psi(0)| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} \hat{\mathbf{p}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} |\psi(0)\rangle \\ &= \langle \psi(0)|\hat{\mathbf{p}}^{(\mathrm{H})}(t)|\psi(0)\rangle. \end{aligned}\]

1.2 Quantum Statistical Mechanics

1.2.1 Statistical Ensembles

Micro-canonical ensemble 微正则系综描述能量、体积和粒子数固定的孤立系统, 在给定窄能量壳内对允许的微观态赋予等权重. 将长时间平均等同于系综平均还需额外的动力学假设; 固定能量本身不保证量子体系热化.
Canonical ensemble 正则系综中体积和粒子数固定, 系统与温度为 \(T\) 的热库交换能量. 密度算符正比于
\[\hat{\rho}\propto \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}}, \qquad \beta\equiv\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}.\]
算符 \(\mathrm{e}^{-\beta\hat{H}}\) 可理解为虚时演化 \(t=-\mathrm{i}\hbar\beta\).
Grand-canonical ensemble 巨正则系综中体积固定, 系统与温度和化学势分别为 \(T\) 与 \(\mu\) 的库交换能量和粒子. 对粒子数守恒的平衡 Hamiltonian, \([\hat H,\hat N]=0\), 密度算符正比于
\[\hat{\rho}\propto \mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]
巨正则 Hamilton 量为 \(\hat{K}\equiv \hat{H}-\mu\hat{N}\).

Remark 在热力学极限 \(N,\mathcal{V}\to\infty\) 且 \(N/\mathcal{V}\to\rho\) 下, 对稳定、可加且具有适当热力学极限的体系, 匹配温度、化学势与密度后, 三种系综通常给出相同的热力学势关系和体相平衡量. 这不意味着有限体系的概率分布或所有涨落相同: 正则系综的总粒子数涨落为零, 巨正则系综则一般不为零.

临界点与相共存需要分别检查极限和可观测量; 相变或对称性破缺本身不等于系综不等价. 非可加的长程体系则可能出现真正的不等价. 关于等价性的不同层次, 见 Touchette 的综述.

1.2.2 Partition Function

在巨正则系综中, 迹遍历 Fock 空间的所有允许粒子数扇区, 配分函数为

\[Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]

期望值的形式为

\[\langle \hat{R}\rangle=\operatorname{Tr}(\hat{\rho}\hat{R}), \qquad \hat{\rho} = \frac{1}{Z}\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]

令巨正则势为 \(\Omega=-\frac{1}{\beta}\ln Z\). 对仅含体积功与一种粒子数的平衡体系,

\[\mathrm{d}\Omega=-S\,\mathrm{d}T-P\,\mathrm{d}\mathcal{V}-N\,\mathrm{d}\mu.\]

因此各偏导数须保持其余自然变量不变:

\[\begin{aligned} -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_{T,\mathcal{V}} &= \frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[ \hat{N}\,\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})} \right] \equiv N, \\ -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)_{\mu,\mathcal{V}} &= \frac{\langle\hat{H}-\mu\hat{N}\rangle-\Omega}{T} \equiv S, \\ -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mathcal{V}}\right)_{T,\mu} &= P. \end{aligned}\]

在均匀、可加的体相热力学极限下, 固定 \(T,\mu\) 时 \(\Omega\) 与体积成正比, 因而 \(\Omega=-P\mathcal{V}\). 有限体系的表面项等非广延贡献不能由此自动忽略.

1.3 Identical Particles

单粒子形式可推广到多粒子系统: 先构造乘积态, 再投影到物理允许的交换对称性扇区.

Definition 乘积态基矢. 给定正交归一的单粒子基 \(\{|\alpha\rangle\}\), 定义

\[|\alpha_1\ldots \alpha_N) \equiv |\alpha_1\rangle\otimes |\alpha_2\rangle\otimes\cdots\otimes |\alpha_N\rangle.\]

圆括号记法 \(|\ldots)\) 表示未对称化的乘积态基矢.

内积为
\[\begin{aligned} (\alpha_1\ldots\alpha_N|\alpha_1'\ldots\alpha_N') &= \langle \alpha_1|\alpha_1'\rangle \langle \alpha_2|\alpha_2'\rangle\cdots \langle \alpha_N|\alpha_N'\rangle, \\ \psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) &\equiv (\mathbf{r}_1\ldots\mathbf{r}_N|\alpha_1\ldots\alpha_N) = \psi_{\alpha_1}(\mathbf{r}_1) \psi_{\alpha_2}(\mathbf{r}_2)\cdots \psi_{\alpha_N}(\mathbf{r}_N). \end{aligned}\]
封闭关系
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} |\alpha_1\ldots\alpha_N)(\alpha_1\ldots\alpha_N| =1.\]
以下采用通常三维体系中的 Boson/Fermion 交换统计. 对称态和反对称态分别满足:
\[\begin{aligned} \psi(\mathbf{r}_{P1},\mathbf{r}_{P2},\ldots,\mathbf{r}_{PN}) &= \psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N), &&\text{Bosons}, \\ \psi(\mathbf{r}_{P1},\mathbf{r}_{P2},\ldots,\mathbf{r}_{PN}) &= (-1)^P\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N), &&\text{Fermions}. \end{aligned}\]

Definition 物理多体态. 物理多体态通过施加对称化或反对称化投影算符得到:

\[\hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots \alpha_N) = \frac{1}{N!}\sum_P \zeta^P |\alpha_{P1}\rangle\otimes|\alpha_{P2}\rangle\otimes\cdots\otimes|\alpha_{PN}\rangle, \qquad \zeta= \begin{cases} 1, & \text{Bosons},\\ -1, & \text{Fermions}. \end{cases}\]

归一化的投影态为

\[|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \sqrt{\frac{N!}{\prod_\alpha n_\alpha!}}\, \hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots \alpha_N),\]

其中 \(n_\alpha\) 是单粒子态 \(\alpha\) 的占据数. 对 Fermion, 该归一化公式只用于各标签互异的非零投影态; 重复占据同一个单粒子态时, 反对称投影为零. 对应的波函数为

\[\psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}^{(\zeta)}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!\prod_\alpha n_\alpha!}} \sum_P \zeta^P \psi_{\alpha_1}(\mathbf{r}_{P1}) \psi_{\alpha_2}(\mathbf{r}_{P2})\cdots \psi_{\alpha_N}(\mathbf{r}_{PN}).\]

投影算符满足 \(\hat{\mathcal{P}}^2=\hat{\mathcal{P}}\). 物理 Hilbert 空间通过将 \(\hat{\mathcal{P}}\) 作用于乘积态 Hilbert 空间得到.
投影态之间的交叠为
\[\langle \beta_1\ldots \beta_N|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{\prod_\beta n_\beta!\prod_\alpha n_\alpha!}}\, S\!\left(\langle \beta_i|\alpha_j\rangle\right),\]
其中 \(S\) 对 Boson 为积和式 (permanent), 对 Fermion 为行列式:
\[\operatorname{Per}(M)=\sum_P M_{1,P1}M_{2,P2}\cdots M_{N,PN}, \qquad \det(M)=\sum_P (-1)^P M_{1,P1}M_{2,P2}\cdots M_{N,PN}.\]
将 \(\hat{\mathcal{P}}\) 作用于乘积空间的封闭关系得
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} \hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots\alpha_N) (\alpha_1\ldots\alpha_N|\hat{\mathcal{P}} = \hat{\mathcal{P}}.\]
等价地, 在投影 Hilbert 空间中,
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} \frac{\prod_\alpha n_\alpha!}{N!} |\alpha_1\ldots\alpha_N\rangle \langle \alpha_1\ldots\alpha_N| =1_{\mathsf P},\]
其中 \(1_{\mathsf P}\equiv\hat{\mathcal{P}}\) 是投影空间上的单位算符.

1.4 Creation and Annihilation Operators

1.4.1 Basics

Definition 产生算符添加一个粒子.

对于 Boson,
\[a_\alpha^\dagger|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \sqrt{n_\alpha+1}\,|\alpha\,\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle.\]
对于 Fermion,
\[a_\alpha^\dagger|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \begin{cases} |\alpha\,\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle, & \alpha\notin\{\alpha_1,\ldots,\alpha_N\},\\ 0, & \alpha\in\{\alpha_1,\ldots,\alpha_N\}. \end{cases}\]

湮灭算符 \(a_\alpha\) 是 \(a_\alpha^\dagger\) 的伴随算符, 移除一个粒子:

\[a_\alpha|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{n_\alpha}} \sum_{i=1}^{N}\zeta^{i-1}\delta_{\alpha,\alpha_i} |\alpha_1\ldots \alpha_{i-1}\alpha_{i+1}\ldots \alpha_N\rangle.\]

该式适用于 \(n_\alpha\gt0\); 若 \(n_\alpha=0\), 直接定义 \(a_\alpha|\alpha_1\ldots\alpha_N\rangle=0\), 不使用含 \(1/\sqrt{n_\alpha}\) 的表达式.

真空态 \(|0\rangle\) 是归一化的零粒子态, 满足 \(a_\alpha|0\rangle=0\), 不是零矢量. 对称化或反对称化态可由真空构造为
\[|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{\prod_\alpha n_\alpha!}} a_{\alpha_1}^\dagger a_{\alpha_2}^\dagger\cdots a_{\alpha_N}^\dagger|0\rangle.\]
多粒子态的对称性或反对称性蕴含了算符之间的对应关系:
\[\begin{aligned} \left[a_\alpha^\dagger,a_\beta^\dagger\right]_{-} &=0, &&\left[a_\alpha,a_\beta^\dagger\right]_{-} =\delta_{\alpha\beta}, &&\text{Bosons},\\ \left[a_\alpha^\dagger,a_\beta^\dagger\right]_{+} &=0, &&\left[a_\alpha,a_\beta^\dagger\right]_{+} =\delta_{\alpha\beta}, &&\text{Fermions}. \end{aligned}\]
其中下标 \(-\) 表示对易子, \(+\) 表示中间符号相反的反对易子.
基矢变换: 关于两组基矢 \(|\alpha\rangle\) 和 \(|\tilde\alpha\rangle\) 的产生和湮灭算符的关系为
\[a_{\tilde\alpha}^\dagger = \sum_\alpha \langle \alpha|\tilde\alpha\rangle a_\alpha^\dagger, \qquad a_{\tilde\alpha} = \sum_\alpha \langle \tilde\alpha|\alpha\rangle a_\alpha.\]

Definition Fock 空间. 由于产生和湮灭算符改变粒子数, 态空间必须包含所有粒子数扇区:

\[\mathcal{B}=\mathcal{B}_0\oplus\mathcal{B}_1\oplus\cdots, \qquad \mathcal{F}=\mathcal{F}_0\oplus\mathcal{F}_1\oplus\cdots.\]

这里 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{F}\) 分别表示 Boson 和 Fermion 的 Fock 空间. 其封闭关系为

\[|0\rangle\langle 0| +\sum_{N=1}^{\infty}\sum_{\alpha_1\ldots \alpha_N} \frac{\prod_\alpha n_\alpha!}{N!} |\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle \langle \alpha_1\ldots \alpha_N| =1.\]

Notation 数表示: 用每个单粒子态中的粒子数标记态 \(|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle \Longrightarrow |n_1n_2\ldots\rangle\).

对于 Boson,
\[\begin{aligned} a_\alpha|n_1n_2\ldots\rangle &= \sqrt{n_\alpha}\,|n_1n_2\ldots (n_\alpha-1)\ldots\rangle,\\ a_\alpha^\dagger|n_1n_2\ldots\rangle &= \sqrt{n_\alpha+1}\,|n_1n_2\ldots (n_\alpha+1)\ldots\rangle. \end{aligned}\]
对于 Fermion, 需要单粒子标记的参考排序. 符号因子计算在排序中位于 \(\alpha\) 之前的占据态数目, 因为 Fermionic 算符需要反对易来穿过这些产生算符:
\[\begin{aligned} a_\alpha|n_1n_2\ldots\rangle &= \begin{cases} (-1)^{\sum_{j=1}^{\alpha-1}n_j} |n_1n_2\ldots (n_\alpha\to 0)\ldots\rangle, & n_\alpha=1,\\ 0, & n_\alpha=0, \end{cases} \\ a_\alpha^\dagger|n_1n_2\ldots\rangle &= \begin{cases} (-1)^{\sum_{j=1}^{\alpha-1}n_j} |n_1n_2\ldots (n_\alpha\to 1)\ldots\rangle, & n_\alpha=0,\\ 0, & n_\alpha=1. \end{cases} \end{aligned}\]

Definition 场算符: 场算符是位置基矢下的产生和湮灭算符. 记 \(\phi_\alpha(\mathbf{r})\equiv\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle\), 则

\[\hat{\psi}(\mathbf{r})^\dagger = \sum_\alpha \langle \alpha|\mathbf{r}\rangle a_\alpha^\dagger =\sum_\alpha \phi_\alpha^*(\mathbf{r})a_\alpha^\dagger, \qquad \hat{\psi}(\mathbf{r}) = \sum_\alpha \langle \mathbf{r}|\alpha\rangle a_\alpha =\sum_\alpha \phi_\alpha(\mathbf{r})a_\alpha.\]

场算符满足 \[\left[\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} = \left[\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} =0,\qquad \left[\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').\]

1.4.2 Second quantization

二次量子化将物理量用产生和湮灭算符表示.

Definition 数算符 \(\hat{n}_\alpha=\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\).

Definition 单体算符: \(\hat{U}=\sum_i \hat{u}_i=\sum_{\alpha\beta}\langle \alpha|\hat{u}|\beta\rangle a_\alpha^\dagger a_\beta.\), 例如

\[\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\nabla^2\hat{\psi}(\mathbf{r}), \qquad \hat{U} = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,U(\mathbf{r}) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]

Definition 两体算符: 对交换对称的两粒子相互作用, \(\hat{V}=(1/2)\sum_{i\neq j}\hat{v}_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta\gamma\delta}(\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\,a_\alpha^\dagger a_\beta^\dagger a_\delta a_\gamma\). 第一量子化的求和排除粒子自作用; 因子 \(1/2\) 消去有序粒子对的重复计数. 注意态指标的次序, 以及矩阵元是在两粒子乘积态中计算的. 在场算符形式下, 相互作用为

\[\hat{V} = \frac{1}{2}\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}')\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]

Remark 正规序: 产生算符置于湮灭算符左侧. 满足正规序的算符记为 \(\hat{A}(a_{\alpha}^{\dagger}, a_{\alpha})\) 或 \(\hat{A}(\hat{\psi}_{\alpha}^{\dagger}, \hat{\psi}_{\alpha})\).

将一个给定算符等价地改写成正规序时, 必须保留对易关系产生的附加项及 Fermion 交换符号. 例如 \(a_\alpha a_\alpha^\dagger=1+\zeta a_\alpha^\dagger a_\alpha\); 仅重排得到的正规序操作 \(:\!\hat A\!:\) 通常不等于原算符 \(\hat A\).

1.4.3 Second Quantized Hamiltonians

从"万有 Hamiltonian"出发, 可以推导出适用于不同物理环境的各种模型 Hamiltonian. 这些模型的层次结构如下所示:

多体模型 Hamiltonian 的层次结构, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), §1.4.2, p.7. 红色式号沿用原讲义编号, 不对应本文公式编号.

Remark 图顶端的 \(\hat{K}\) 含电子化学势项, 表示 \(\hat{H}-\mu\hat{N}_{\mathrm{e}}\). 图中离子间 Coulomb 求和隐含排除 \(i=j\) 的自作用项. 模型间的箭头包含各自的投影或近似; 仅忽略 Umklapp 过程并不能自动去掉 Bloch 态的形状因子, 也不能自动恢复自由电子色散.

Remark 本节及后续章节涉及 Coulomb 和电磁相互作用时采用 Gaussian/CGS 单位制, 因此 \(v(r)=e^2/r\). 其余量仍显式保留 \(\hbar\), \(m\), \(e\), \(c\), 并非 atomic units.

Degenerate electron gas
\[\begin{aligned} \hat{H} =& -\frac{\hbar^2}{2m}\sum_\sigma \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\nabla^2\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) +\sum_\sigma \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, V_b(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})\\ &+\frac{1}{2}\sum_{\sigma\sigma'} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, \frac{e^2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_{\sigma'}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\psi}_{\sigma'}(\mathbf{r}')\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) \end{aligned}\]
这里 \(V_b(\mathbf{r})\) 表示均匀正电荷背景(jellium 模型)产生的电子势能. 在波矢基 \(\varphi_{\mathbf{k}}=\mathcal{V}^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}\) 下, 将背景势能、背景自能与电子相互作用合并, 采用中性体系去除 \(\mathbf{q}=0\) 分量的约定并略去参考能量常数后, Hamiltonian 为
\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k},\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} +\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq 0}\sum_{\mathbf{k},\sigma,\mathbf{p},\sigma'} v_q\, \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2,\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q}/2,\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q}/2,\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2,\sigma},\]
其中 \(\epsilon_{\mathbf{k}}=\hbar^2 k^2/(2m)\), \(v_q=4\pi e^2/q^2\). 去除 \(q=0\) 分量使用了整体电中性与上述能量约定.

Proof 先计算非零波矢的电子相互作用项, 背景相关项按上述中性约定处理. 对电子场作平面波展开:
\[\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}, \qquad \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger.\]
动能项给出
\[\begin{aligned} \hat{H}_0 &= \sum_\sigma\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\\ &= \sum_\sigma\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}} \frac{\hbar^2p^2}{2m} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{p}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\hbar^2k^2}{2m} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}. \end{aligned}\]
周期盒中去除零模后的 Coulomb 核使用 Fourier 展开
\[v_{\neq0}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq0} v_q\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}, \qquad v_q=\frac{4\pi e^2}{q^2}.\]
非零波矢的系数可用 Poisson 方程得到. \(v_{\neq0}\) 表示中性周期体系中的核, 不应把去零模的级数直接等同于有限周期盒中的自由空间势. 代入相互作用项后, 两个空间积分分别给出动量守恒:
\[\begin{aligned} \hat{H}_{\mathrm{int}} &= \frac{1}{2\mathcal{V}^3} \sum_{\mathbf{q}\neq0}v_q \sum_{\sigma\sigma'} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}\mathbf{k}'\mathbf{p}'} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}'\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}'\sigma} \times \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}'+\mathbf{q}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}} \int \mathrm{d}\mathbf{r}'\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{p}'-\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{r}'}\\ &= \frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq0} \sum_{\mathbf{k},\sigma,\mathbf{p},\sigma'} v_q\, \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q},\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q},\sigma}. \end{aligned}\]
最后重定义求和变量 \(\mathbf{k}\to\mathbf{k}+\mathbf{q}/2\), \(\mathbf{p}\to\mathbf{p}-\mathbf{q}/2\), 即得到上式中的对称动量形式. 有限周期盒中, 重定义后的中心动量求和格点须随 \(\mathbf{q}\) 相应平移, 以保证每个算符的动量仍是允许值.
Electrons in solids 固体中的电子感受到周期性晶格势. Bloch 态 \(\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 与 Wannier 态 \(w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i)\) 的关系为
\[w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\mathbf{k}\in \mathrm{B.Z.}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}_i}\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}), \qquad \varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\mathbf{R}_i} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}_i}w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i).\]
动量守恒律修改为 \(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1'+\mathbf{k}_2'+\mathbf{K}\), 其中 \(\mathbf{K}\) 为倒格矢. 当 \(|\mathbf{K}|\neq 0\) 时, 这导致 Umklapp 散射过程.
Quantum geometry effect 将相互作用投影到一个由归一化 Bloch 态组成的孤立能带, 选择光滑局部规范, 并在长波长近似下忽略带间过程与倒格矢局域场项时, 电子气 Hamiltonian 中的相互作用矩阵元含有形状因子:
\[\frac{4\pi e^2}{q^2} \rightarrow \frac{4\pi e^2}{q^2} \langle u_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}\rangle \langle u_{\mathbf{p}-\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{p}+\mathbf{q}/2}\rangle,\]
其中 \(u_{\mathbf{k}}\) 表示导带(能带指标 \(n\))的 Bloch 波函数 \(\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 的周期部分. 对于 \(q\to 0\),
\[\langle u_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}\rangle \approx \exp\!\left( \mathrm{i}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}\cdot \mathbf{q} -\frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta}G_{\alpha\beta}(\mathbf{k})q_\alpha q_\beta +O(q^3) \right).\]
因此, 相互作用矩阵元受到 Berry 联络和量子度量 (quantum metric) 修正
\[\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\mathrm{i}\langle u_{\mathbf{k}}|\partial_{\mathbf{k}}u_{\mathbf{k}}\rangle, \qquad G_{\alpha\beta}(\mathbf{k}) = \operatorname{Re} \left[ \langle \partial_{k_\alpha}u_{\mathbf{k}}|\partial_{k_\beta}u_{\mathbf{k}}\rangle -A_{k_\alpha}A_{k_\beta} \right].\]
Tight-binding models Tight-binding 模型是在 Wannier 基下二次量子化的 Hamiltonian. 一般的单带 tight-binding Hamiltonian 可写为
\[\hat{H} = -\sum_{ij,\sigma}t_{ij}\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{j\sigma} +\sum_{ii'jj',\sigma\sigma'} U_{ii'jj'}\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{i'\sigma'}^\dagger \hat{a}_{j'\sigma'}\hat{a}_{j\sigma}.\]
这里约定 \(U_{ii'jj'}\equiv\frac12(w_iw_{i'}|\hat v|w_jw_{j'})\), 已吸收两体算符中的 \(1/2\), 不能再把它直接当作未除以二的 Coulomb 矩阵元. 以下 direct 与 exchange 项取不同格点, 并保留有序格点对求和; 同格点项单独归入局域相互作用. 记 \(\hat{n}_i=\sum_\sigma \hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{i\sigma}\).
- Direct coupling:
  \[U_{ii'ii'}=V_{ii'}, \qquad \hat{H}_{\mathrm{direct}}=\sum_{i\neq i'}V_{ii'}\,\hat{n}_i\hat{n}_{i'}.\]
  同格点的正规序项为 \(U_{iiii}\hat n_i(\hat n_i-1)\), 不是 \(U_{iiii}\hat n_i^2\).
- Exchange coupling:
  \[J_{ij}\equiv U_{ijji}, \qquad \hat{H}_{\mathrm{exchange}} = -2\sum_{i\neq j}J_{ij} \left( \hat{\mathbf{S}}_i\cdot \hat{\mathbf{S}}_j+\frac{1}{4}\hat{n}_i\hat{n}_j \right),\]
  其中 \(\hat{\mathbf{S}}_i\) 是以 \(\hbar\) 为单位的无量纲自旋算符; 实际角动量为 \(\hbar\hat{\mathbf{S}}_i\):
  \[\hat{\mathbf{S}}_i = \frac{1}{2}\sum_{\sigma\sigma'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{\boldsymbol{\tau}}_{\sigma\sigma'} \hat{a}_{i\sigma'}, \qquad \hat{\tau}_x= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\tau}_y= \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i}\\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\tau}_z= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.\]
  Proposition 局域自旋算符在每个格点上满足与普通角动量算符相同的 \(SU(2)\) 代数.
  
  Proof 对数守恒双线性算符, 有
  \[\left[ \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'}, \hat{a}_{j\lambda}^\dagger\hat{a}_{j\lambda'} \right] = \delta_{ij} \left( \delta_{\sigma'\lambda} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} - \delta_{\lambda'\sigma} \hat{a}_{i\lambda}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'} \right).\]
  将其代入自旋算符定义, 并使用 \([\tau^\alpha,\tau^\beta]=2\mathrm{i}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\tau^\gamma\):
  \[\begin{aligned} \left[\hat{S}_i^\alpha,\hat{S}_j^\beta\right] &= \frac{1}{4}\delta_{ij} \sum_{\sigma\sigma'\lambda\lambda'} \tau^\alpha_{\sigma\sigma'}\tau^\beta_{\lambda\lambda'} [\hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'}, \hat{a}_{i\lambda}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'}] \\ &= \frac{1}{4}\delta_{ij} \sum_{\sigma\lambda'} [\tau^\alpha,\tau^\beta]_{\sigma\lambda'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} \\ &= \frac{\mathrm{i}}{2}\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} \sum_{\sigma\lambda'} \tau^\gamma_{\sigma\lambda'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} \\ &= \mathrm{i}\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\hat{S}_i^\gamma. \end{aligned}\]
  因此每个格点上的 \(\hat{\mathbf{S}}_i\) 满足 \(SU(2)\) 代数.
Hubbard model 具有良好局域原子轨道的单带 tight-binding 模型可近似为
\[\hat{H} = -t\sum_{\langle ij\rangle,\sigma} \left[\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{j\sigma}+\mathrm{H.c.}\right] +U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow}.\]
其中 \(\langle ij\rangle\) 表示每条最近邻无向键只计一次, \(\mathrm{H.c.}\) 补上反向跃迁. 按上述矩阵元约定, 同格点的两个相反自旋项给出 \(U=2U_{iiii}\). 记总电子数算符 \(\hat N_e\equiv\sum_i\hat n_i\), 相互作用部分也可写为
\[\hat{H}_U \equiv U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow} = -\frac{2U}{3}\sum_i |\hat{\mathbf{S}}_i|^2+\frac{U\hat N_e}{2}.\]
仅在固定 \(N_e\) 的粒子数扇区内, 最后一项才是可略去的能量常数; 巨正则处理中它会改变化学势的对应关系.

Proof 只需在单个格点上证明算符恒等式. 省略格点指标, 并使用 Pauli 矩阵恒等式. 这里 \(a,b,c,d\in\{\uparrow,\downarrow\}\)
\[\boldsymbol{\tau}_{ab}\cdot\boldsymbol{\tau}_{cd} = 2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}.\]
由 \(\hat{\mathbf{S}}=\frac{1}{2}\sum_{ab}\hat{a}_a^\dagger\boldsymbol{\tau}_{ab}\hat{a}_b\),
\[\begin{aligned} |\hat{\mathbf{S}}|^2 &= \frac{1}{4} \sum_{abcd} (\boldsymbol{\tau}_{ab}\cdot\boldsymbol{\tau}_{cd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_b\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_d\\ &= \frac{1}{4} \sum_{abcd} (2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}) \hat{a}_a^\dagger(\delta_{bc}-\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_b)\hat{a}_d\\ &= \frac14\sum_{abd} (2\delta_{ad}\delta_{bb}-\delta_{ab}\delta_{bd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_d - \frac14\sum_{abcd} (2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_b\hat{a}_d \\ &= \hat{n} -\frac{1}{4}\hat{n} -\frac{1}{2} \left( \hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\downarrow\hat{a}_\uparrow + \hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\uparrow\hat{a}_\downarrow \right) + \frac{1}{4} \left( \hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow\hat{a}_\downarrow + \hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow\hat{a}_\uparrow \right)\\ &= \frac{3}{4}\hat{n} -\frac{3}{2}\hat{n}_\uparrow\hat{n}_\downarrow. \end{aligned}\]
注意其中 \(\sum_a\delta_{aa} = 2\),且 \(\hat{n}\equiv \hat{n}_\uparrow+\hat{n}_\downarrow\). 因此
\[\hat{n}_\uparrow\hat{n}_\downarrow = \frac{1}{2}\hat{n}-\frac{2}{3}|\hat{\mathbf{S}}|^2.\]
Anderson impurity model Anderson 杂质模型描述导带电子与杂质之间的相互作用:
\[\hat{H} = \sum_\sigma \epsilon_f \hat{f}_\sigma^\dagger \hat{f}_\sigma +U\hat{n}_{f\uparrow}\hat{n}_{f\downarrow} +\sum_{k\sigma}\left(V_k \hat{f}_\sigma^\dagger \hat{a}_{k\sigma}+\mathrm{h.c.}\right) +\sum_{k\sigma}\epsilon_k \hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma}.\]
Kondo model Kondo 模型描述导带电子与局域自旋之间的相互作用:
\[\hat{H} = \sum_{k\sigma}\epsilon_k \hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma} -J\hat{\mathbf{S}}^{(i)}\cdot \hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}.\]
这里 \(\hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}\) 表示杂质位置的导带电子自旋. Anderson 杂质模型约化为低能 Kondo 模型需要局域矩条件 \(\epsilon_f\lt\mu\lt\epsilon_f+U\), 且杂化能量、\(k_{\mathrm B}T\) 与所考察的激发能远小于空占据及双占据的电荷激发能 \(\mu-\epsilon_f\) 与 \(\epsilon_f+U-\mu\). 此时可通过 Schrieffer–Wolff 变换消去虚电荷涨落, 得到交换项以及一般存在的势散射项; 上式只展示交换部分.

\(U\to\infty\) 本身不保证局域矩条件. 保留本节的 \(-J\hat{\mathbf{S}}^{(i)}\cdot\hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}\) 记号时, 反铁磁交换对应 \(J\lt0\). Kondo 屏蔽也是理解重 Fermion 晶格体系的重要机制, 但单杂质模型不包含完整的晶格相干效应.
Phonons 声子(phonon) 是晶格振动模式的量子. 写 \(\mathbf{R}_i=\mathbf{R}_i^{(0)}+\mathbf{u}_i\), 其中 \(\mathbf{R}_i^{(0)}\) 是总有效晶格势 \(V_{\mathrm{eff}}\) 的稳定平衡位置. \(V_{\mathrm{eff}}\) 包含建立平衡所需的电子贡献等, 不能仅用裸离子 Coulomb 排斥保证晶格稳定. 在平衡点一阶导数为零, 对小位移作展开:
\[V_{\mathrm{eff}}(\{\mathbf{R}_i^{(0)}+\mathbf{u}_i\}) = V_{\mathrm{eff}}^{(0)} +\frac{1}{2}\sum_{ij,\alpha\beta} D_{i\alpha,j\beta}u_{i\alpha}u_{j\beta}+O(u^3), \qquad D_{i\alpha,j\beta}\equiv \left.\frac{\partial^2 V_{\mathrm{eff}}}{\partial u_{i\alpha}\partial u_{j\beta}}\right|_{\mathbf{u}=0}.\]
裸离子两体势中的求和须取 \(i\neq j\) 以排除自作用. 取各原子质量均为 \(M\), 略去常数并保留二阶项, 得到可对角化的谐振 Hamiltonian:
\[\hat{H}_p = -\frac{\hbar^2}{2M}\sum_i \nabla_{\mathbf{u}_i}^2 +\frac{1}{2}\sum_{ij,\alpha\beta} D_{i\alpha,j\beta}u_{i\alpha}u_{j\beta}.\]
利用谐振子的阶梯算符,
\[\hat{H}_p = \sum_{n,\mathbf{q}}\hbar \omega_{n\mathbf{q}} \left(\hat{c}_{n\mathbf{q}}^\dagger \hat{c}_{n\mathbf{q}}+\frac{1}{2}\right).\]
阶梯算符可理解为 Bosonic 的产生和湮灭算符.
Electron-phonon coupling 电子-声子耦合来自电子-离子势对位移的一阶变化. 对这里采用的裸 Coulomb 势, 令 \(v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{s})=-Ze^2/|\mathbf{s}|\), 则
\[\hat H_{\mathrm{e-ion}} \equiv \sum_i \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}) =\hat H_{\mathrm{e-ion}}^{(0)}+\hat H_{\mathrm{el-ph}}+O(u^2).\]
静态项 \(\hat H_{\mathrm{e-ion}}^{(0)}\) 已归入平衡晶格势; 一阶耦合单独为
\[\hat H_{\mathrm{el-ph}} =\sum_i\mathbf{u}_i\cdot\int\mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat\psi^\dagger(\mathbf{r})\mathbf{M}(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i^{(0)})\hat\psi(\mathbf{r}), \qquad \mathbf{M}(\mathbf{s})\equiv-\nabla_{\mathbf{s}}v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{s}) =-\frac{Ze^2\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}.\]
利用波矢基和阶梯算符, 相互作用化为
\[\hat{H}_{\mathrm{el-ph}} = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k},\mathbf{q}} M_{\mathbf{q}}\, \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}}\hat{c}_{\mathbf{q}} +\mathrm{h.c.}\]
其中 \(M_{\mathbf{q}}\) 是电子-声子耦合的矩阵元.

1.5 Coherent States

相干态是湮灭算符的本征态:

\[\hat{a}_\alpha|\phi\rangle=\phi_\alpha|\phi\rangle.\]

对 Boson, 产生算符没有非零的、可归一化的右本征态. 单模展开 \(|\psi\rangle=\sum_n c_n|n\rangle\) 后, \(a^\dagger|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle\) 的真空分量及递推关系迫使所有 \(c_n=0\).
对 Fermion, \(a_\alpha^2=(a_\alpha^\dagger)^2=0\), 因而普通复数本征值只能为零; 例如单模 \(a^\dagger|1\rangle=0\). Fermion 相干态是在 Grassmann 系数扩展中定义的形式态, 其奇变量满足 \(\phi_\alpha\phi_\beta+\phi_\beta\phi_\alpha=0\), 不能当作带非零复数本征值的普通 Fock 态.

1.5.1 Boson Coherent States

Definition Boson 相干态. 若模式数无限, 以下 Fock 态要求 \(\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2\lt\infty\).

\[|\phi\rangle = \exp\!\left(\sum_\alpha \phi_\alpha a_\alpha^\dagger\right)|0\rangle.\]

交叠 \(\langle \phi|\phi'\rangle=\exp(\phi^*\cdot \phi')\). 本节采用未归一化的相干态, \(\langle\phi|\phi\rangle=\mathrm{e}^{\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2}\); 归一化时乘以 \(\mathrm{e}^{-\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2/2}\). 不同相干态仍不正交, 它们是过完备的.
封闭关系 \(\int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle \phi|=1\), 其中
\[\mathrm{d}\mu(\phi) = \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\phi_\alpha^*\,\mathrm{d}\phi_\alpha}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left(-\sum_\alpha |\phi_\alpha|^2\right) \equiv \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_\alpha)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_\alpha)}{\pi} \exp\!\left(-\sum_\alpha |\phi_\alpha|^2\right).\]
复测度约定 \(\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi=2\mathrm{i}\,\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi)\), 以下保持这个方向.

Proof 单模情形下,
\[|\phi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle, \qquad \mathrm{d}\mu(\phi) = \frac{\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi}{2\pi\mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-|\phi|^2}.\]
令 \(\phi=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 则
\[\begin{aligned} \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle\phi| &= \sum_{mn} \frac{|m\rangle\langle n|}{\sqrt{m!n!}} \int \frac{\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi}{2\pi\mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-|\phi|^2}\phi^m(\phi^*)^n\\ &= \sum_{mn} \frac{|m\rangle\langle n|}{\sqrt{m!n!}} \int_0^\infty \mathrm{d}(r^2)\,\mathrm{e}^{-r^2}(r^2)^{(m+n)/2} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(m-n)\theta}\\ &= \sum_n \frac{|n\rangle\langle n|}{n!} \int_0^\infty \mathrm{d}(r^2)\,\mathrm{e}^{-r^2}(r^2)^n = \sum_n |n\rangle\langle n|. \end{aligned}\]
多个相互独立的模式逐模因子化, 因而
\[\int \mathrm{d}\mu(\{\phi_\alpha\})\,|\{\phi_\alpha\}\rangle \langle\{\phi_\alpha\}| = \sum_{\{n_\alpha\}}|\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|\]
对 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_N\) 的求和计数的是有序标签. 对于固定的占据数组态 \(\{n_\alpha\}\), 同一个物理态会出现 \(N!/\prod_\alpha n_\alpha!\) 次. 固定 \(N\) 粒子完备关系中的因子 \(\prod_\alpha n_\alpha!/N!\) 正是用来消去这个简并计数. 因此固定 \(N\) 的完备关系可写为
\[\sum_{\{n_\alpha\};\sum_\alpha n_\alpha=N} |\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|=\hat 1_{\mathsf{N}}.\]
对所有 \(N\) 求和得到
\[\sum_{\{n_\alpha\}}|\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|=\hat 1\]
迹 \(\operatorname{Tr}\hat{A}=\sum_n \langle n|\hat{A}|n\rangle=\int \mathrm{d}\mu(\phi)\,\langle \phi|\hat{A}|\phi\rangle\).
相干态表示
\[|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle \phi|\psi\rangle \equiv \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle \psi(\phi^*),\]
\(\psi(\phi^*)\equiv \langle \phi|\psi\rangle\) 关于 \(\phi^*\) 是反全纯函数.
算符表示
\[a_\alpha \rightarrow \frac{\partial}{\partial \phi_\alpha^*}, \qquad a_\alpha^\dagger \rightarrow \phi_\alpha^*.\]
Proof
\[\begin{aligned} \langle \phi|a_\alpha|\psi\rangle &= \int \mathrm{d}\mu(\phi')\,\langle \phi|a_\alpha|\phi'\rangle\langle \phi'|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi')\,\phi_\alpha' \mathrm{e}^{\phi^*\cdot \phi'}\psi(\phi'^*) = \frac{\partial}{\partial \phi_\alpha^*}\psi(\phi^*)\\ \langle \phi|a_\alpha^\dagger|\psi\rangle &= \phi_\alpha^*\langle \phi|\psi\rangle \equiv \phi_\alpha^*\psi(\phi^*) \end{aligned}\]
Remark 由此可以对 \(\psi(\phi^*)\) 建立"Schrödinger 方程", 即将 \(\langle\phi|\) 左乘 \(|\psi\rangle\) 满足的 Schrödinger 方程.
由封闭关系可得再生核
\[\psi(\phi'^*) = \langle\phi^{\prime}|\psi\rangle = \int\mathrm{d}\mu(\phi)\, \langle\phi^{\prime}|\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi)\, \mathrm{e}^{\phi'^*\cdot \phi}\, \psi(\phi^*).\]
正规序算符的矩阵元 \(\langle \phi|\hat{A}(a^\dagger,a)|\phi'\rangle=A(\phi^*,\phi')\,\mathrm{e}^{\phi^*\cdot \phi'}\).

粒子数的平均值和方差

\[\bar{N} \equiv \frac{\langle \phi|\hat{N}|\phi\rangle}{\langle \phi|\phi\rangle} = \sum_\alpha |\phi_\alpha|^2, \qquad (\Delta N)^2 \equiv \frac{\langle \phi|(\hat{N}-\bar{N})^2|\phi\rangle}{\langle \phi|\phi\rangle} = \bar{N}.\]

在极限 \(\bar{N}\to \infty\) 下, \(\Delta N/\bar{N}\to0\), 总粒子数的相对涨落变小. 当所考察模式具有大占据数, 且相关场可观测量的相对涨落可忽略时, 相干态可用于描述经典场; 总粒子数很大本身不保证每个模式或任意可观测量都满足这一条件. 例如, 大振幅声子相干态可描述经典声波, 光子(photon)相干态可描述经典电磁波.

1.5.2 Grassmann Algebra

Definition Grassmann 代数: Grassmann 代数由一组生成元 \(\{\xi_\alpha\}\), \(\alpha=1,\ldots,n\) 定义, 它们反对易:

\[\xi_\alpha\xi_\beta+\xi_\beta\xi_\alpha=0.\]

显然有 \(\xi_\alpha^2=0\).

Definition Grassmann 数: Grassmann 代数中的元素是以下有序单项式的复系数线性组合, 不仅包含一次生成元:

\[\{1,\xi_\alpha,\xi_{\alpha_1}\xi_{\alpha_2},\ldots,\xi_{\alpha_1}\xi_{\alpha_2}\cdots \xi_{\alpha_n}\}.\]

各单项式的指标严格递增, 因而 \(n\) 个独立生成元张成 \(2^n\) 维代数. 按生成元个数的奇偶性区分偶元素和奇元素: 偶元素与所有元素对易, 奇元素彼此反对易; 并非任意两个 Grassmann 数都反对易.

在该 \(2^n\) 维空间上作左乘可得到一个忠实的 \(2^n\times2^n\) 矩阵表示. 对不要求忠实的表示, 不能由此推断矩阵维数下限.
共轭:
\[(\xi_\alpha)^*=\xi_\alpha^*, \qquad (\xi_\alpha^*)^*=\xi_\alpha, \qquad (\lambda \xi_\alpha)^*=\lambda^*\xi_\alpha^*, \qquad (\xi_{\alpha_1}\cdots \xi_{\alpha_n})^* = \xi_{\alpha_n}^*\cdots \xi_{\alpha_1}^*.\]
Remark 应将 \(\xi_\alpha\) 和 \(\xi_\alpha^*\) 视为两个独立的 Grassmann 变量.

Definition Grassmann 函数: 由于 \(\xi_\alpha^2=0\), 存在截断

\[f(\xi)=f_0+f_1\xi, \qquad A(\xi^*,\xi)=a_0+a_1\xi+\bar{a}_1\xi^*+a_{12}\xi^*\xi.\]

Definition Grassmann 导数: 以下均采用左导数. 它是奇算子, 对齐次奇偶性的多项式 \(F\), 以 \(|F|=0\) 表示偶元素、\(|F|=1\) 表示奇元素, 分级 Leibniz 规则为

\[\frac{\partial}{\partial\xi}(FG) =\left(\frac{\partial F}{\partial\xi}\right)G +(-1)^{|F|}F\frac{\partial G}{\partial\xi}.\]

例如

\[\frac{\partial}{\partial \xi}(\xi^*\xi)=-\xi^*, \qquad \frac{\partial}{\partial \xi^*}(\xi^*\xi)=\xi\]

Definition Grassmann 积分: 积分由以下规则定义

\[\int \mathrm{d}\xi\,1=0, \qquad \int \mathrm{d}\xi\,\xi=1, \qquad \int \mathrm{d}\xi^*\,1=0, \qquad \int \mathrm{d}\xi^*\,\xi^*=1.\]

Berezin 积分等于相应的左导数. 多重积分按固定测度顺序从右向左执行; 本节约定 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi^*\xi=-1\), 因而 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi^*\xi}=1\). 使用这些规则时须保持上述测度排序.

Remark \(\xi_\alpha\) 和 \(\xi_\alpha^*\) 是独立变量, 因而交叉积分已由上述规则确定, 例如 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\xi=0\). 不同的积分算子彼此反对易, 积分算子穿过其他奇变量时也须保留负号.
Proposition 对任意 Grassmann 多项式 \(A(\xi^*,\xi)\), 有
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, e^{-\xi^*\xi} \left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A =0.\]
Proof 按 Grassmann 多项式展开 \(A(\xi^*,\xi)=a_0+a_1\xi+\bar{a}_1\xi^*+a_{12}\xi^*\xi\). 由 \(\xi^2=(\xi^*)^2=0\) 和 \(\xi\xi^*=-\xi^*\xi\), 得
\[e^{-\xi^*\xi}\left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A = (1-\xi^*\xi)\left(\xi A-\frac{\partial A}{\partial\xi^*}\right) = -\bar{a}_1+(a_0-a_{12})\xi.\]
右边没有 \(\xi^*\xi\) 项, 因而按 Grassmann 积分规则,
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, e^{-\xi^*\xi} \left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A =0.\]

Dirac 函数 \(\delta(\xi,\xi')=-(\xi-\xi')\). 筛选性质(记得 \(\xi\) 和 \(\xi^{\prime}\) 交换反对称, 以及平方截断)

\[\int \mathrm{d}\xi'\,\delta(\xi,\xi')f(\xi')=-\int \mathrm{d}\xi'\,(\xi-\xi')(f_0+ f_1\xi')=f_0 + f_1\xi = f(\xi)\]

标量积: 积分测度 \(\mathrm{e}^{-\xi^*\xi}\)

\[\begin{aligned} \langle f|g\rangle &\equiv \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi}f^*(\xi)g(\xi^*) \\ &= \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, (1-\xi^*\xi)(f_0^*+f_1^*\xi)(g_0+g_1\xi^*) \\ &= -\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi^*\xi\,f_0^*g_0 +\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi\xi^*\,f_1^*g_1 \\ &= f_0^*g_0+f_1^*g_1. \end{aligned}\]

1.5.3 Fermion Coherent States

Definition Fermion 相干态: 令

\[|\xi\rangle = \exp\!\left(-\sum_\alpha \xi_\alpha a_\alpha^\dagger\right)|0\rangle = \prod_\alpha (1-\xi_\alpha a_\alpha^\dagger)|0\rangle.\]

取 Hermitian 共轭得到

\[\langle\xi|=\langle0|\exp\!\left(-\sum_\alpha a_\alpha\xi_\alpha^*\right) =\langle0|\prod_\alpha(1-a_\alpha\xi_\alpha^*).\]

每个乘积因子均为偶元素, 所以不同模的这些因子对易; 真空 bra 只出现一次. 结合奇变量与 Fermion 算符的反对易规则, 有

\[a_\alpha|\xi\rangle=\xi_\alpha|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|a_\alpha^\dagger=\langle \xi|\xi_\alpha^*, \qquad a_\alpha^\dagger|\xi\rangle = -\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha}|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|a_\alpha = \frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\langle \xi|.\]

Remark \(\xi\), \(\xi^*\), \(a\) 和 \(a^\dagger\) 反对易, 且 \((\xi a)^\dagger=a^\dagger \xi^*\).

交叠 \(\langle \xi|\xi'\rangle=\mathrm{e}^{\xi^*\cdot \xi'}\).
封闭关系 \(\int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\,\mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}|\xi\rangle\langle \xi|=1\).
算符的迹
\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}\hat{A} &= \sum_n \langle n|\hat{A}|n\rangle = \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} \sum_n \langle n|\xi\rangle\langle \xi|\hat{A}|n\rangle \\ &= \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} \sum_n \langle -\xi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\xi\rangle \\ &\equiv \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}\,\langle -\xi|\hat{A}|\xi\rangle. \end{aligned}\]
额外的负号来自恒等式
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi} g(\xi)f(\xi^*) = \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi} f(-\xi^*)g(\xi).\]
相干态表示
\[|\psi\rangle = \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} |\xi\rangle\langle \xi|\psi\rangle \equiv \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} |\xi\rangle \psi(\xi^*)\]
注意 \(\psi(\xi^*) = \langle\xi|\psi\rangle\). 且有 \(\langle \xi|a_\alpha|\psi\rangle=\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\psi(\xi^*),\langle \xi|a_\alpha^\dagger|\psi\rangle=\xi_\alpha^*\psi(\xi^*)\).
正规序算符的矩阵元 \(\langle \xi|\hat{A}(a^\dagger,a)|\xi'\rangle=\mathrm{e}^{\xi^*\cdot\xi'}A(\xi^*,\xi')\).

Boson 相干态和 Fermion 相干态可用统一记号总结 \(|\xi\rangle=\exp\!\left(\zeta\sum_\alpha \xi_\alpha \hat{a}_\alpha^\dagger\right)|0\rangle\). 它们的基本运算为
\[\hat{a}_\alpha|\xi\rangle=\xi_\alpha|\xi\rangle, \qquad \hat{a}_\alpha^\dagger|\xi\rangle = \zeta\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha}|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|\hat{a}_\alpha^\dagger = \langle \xi|\xi_\alpha^*, \qquad \langle \xi|\hat{a}_\alpha = \frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\langle \xi|.\]
相应封闭关系, 迹公式和相干态表示为
\[1=\int \mathrm{d}\mu(\xi)\,|\xi\rangle\langle\xi|, \qquad \operatorname{Tr}\hat{A} = \int \mathrm{d}\mu(\xi)\,\langle \zeta\xi|\hat{A}|\xi\rangle, \qquad |\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\xi)\,|\xi\rangle\psi(\xi^*)\]
其中
\[\mathrm{d}\mu(\xi) = \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\xi_\alpha^*\,\mathrm{d}\xi_\alpha}{\mathcal{N}}\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}, \qquad \mathcal{N} = \begin{cases} 2\pi\mathrm{i}, & \text{Bosons},\\ 1, & \text{Fermions}, \end{cases} \qquad \xi^*\cdot\xi'\equiv\sum_\alpha \xi_\alpha^*\xi_\alpha'\]

1.5.4 Gaussian Integrals

复变量 设 \(H\) 为具有正定 Hermitian 部分的矩阵.

\[\int \prod_i \frac{\mathrm{d}z_i^*\,\mathrm{d}z_i}{2\pi \mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-z^\dagger H z+J^\dagger z+z^\dagger J} = [\det H]^{-1}\mathrm{e}^{J^\dagger H^{-1}J}.\]

Grassmann 变量

\(\{\eta_i,\eta_i^*\}\) 和 \(\{J_i,J_i^*\}\) 都是相互反对易的 Grassmann 奇变量, \(H\) 的矩阵元为普通复数. 该含源公式要求 \(H\) 可逆, 但不必正定; 无源积分 \(J=0\) 等于 \(\det H\), 对奇异矩阵也成立.

\[\int \prod_i \mathrm{d}\eta_i^*\,\mathrm{d}\eta_i\, \mathrm{e}^{-\eta^\dagger H\eta+J^\dagger \eta+\eta^\dagger J} = [\det H]\,\mathrm{e}^{J^\dagger H^{-1}J}.\]

Grassmann 变量的线性变换 \[\int \prod_i \mathrm{d}\zeta_i^*\,\mathrm{d}\zeta_i\,P(\zeta^*,\zeta) = \frac{\partial(\eta^*,\eta)}{\partial(\zeta^*,\zeta)} \int \prod_i \mathrm{d}\eta_i^*\,\mathrm{d}\eta_i\, P\!\left(\zeta^*(\eta^*,\eta),\zeta(\eta^*,\eta)\right).\] 这里的偏导记号表示可逆线性变换的 Jacobian 行列式, 且变换前后保持相同的变量与测度排序. 例如把所有 starred/unstarred 坐标合为 \(\boldsymbol\zeta=A\boldsymbol\eta\) 时, 测度因子为 \((\det A)^{-1}\), 即上述 \(\partial(\eta^*,\eta)/\partial(\zeta^*,\zeta)\). 一变量情形 \(\zeta=a\eta\) 给出 \(\mathrm{d}\zeta=a^{-1}\mathrm{d}\eta\), 可直接用 \(\int\mathrm{d}\zeta\,\zeta=1\) 检查方向.

扩展到 Boson, 可以写为统一形式
\[\int \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\xi_\alpha^*\,\mathrm{d}\xi_\alpha}{\mathcal{N}}\, \exp\!\left[ -\sum_{\alpha\beta}\xi_\alpha^*H_{\alpha\beta}\xi_\beta +\sum_\alpha(\eta_\alpha^*\xi_\alpha+\xi_\alpha^*\eta_\alpha) \right] = [\det H]^{-\zeta} \exp\!\left[ \sum_{\alpha\beta}\eta_\alpha^* \left(H^{-1}\right)_{\alpha\beta} \eta_\beta \right].\]

2 Green’s Functions

根据平衡(equilibrium)、零温、实时与否, 选择合适的 Green 函数

Green 函数的常用计算路径, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), §2.4, p.25. 红色式号沿用原讲义编号.

Remark 此图展示常用计算路线, 不表示各类 Green 函数只在某一种温度或状态下存在. 平衡态的实时间关联函数也可定义在有限温度; 热 Green 函数经适当的频率解析延拓可给出相应的实时间响应, 而围道形式同时容纳实时间分支和初始热态的虚时间分支.

2.1 Green’s Functions and Observables

引入 Green 函数是因为准粒子谱, 谱权重以及许多实验可观测物理量都可以用它们表示. 编时(Time-ordered) Green 函数尤其方便用于微扰论和泛函积分.

2.1.1 Time-Ordered Green’s Functions

Notation 本章平衡态单粒子 Green 函数的约定如下:

采用 \(K=H-\mu N\) 生成时间演化, 频率零点位于化学势; 上标 \((H)\) 仅表示 Heisenberg 绘景.
实时间函数含前因子 \(-\mathrm{i}\), 热 Green 函数含前因子 \(-1\), 均不另除以 \(\hbar\).

因此自由传播子的频域分母为

\[\omega-(\epsilon-\mu)/\hbar,\]

后面 Dyson 方程中的能量自能须以 \(\Sigma/\hbar\) 出现.

Definition 实时间 Green 函数

\[G^{(n)}(\alpha_1 t_1,\ldots,\alpha_n t_n;\alpha_1' t_1',\ldots,\alpha_n' t_n') = (-\mathrm{i})^n \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1)\cdots \hat{a}_{\alpha_n}^{(H)}(t_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^{(H)\dagger}(t_n')\cdots \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] \right\rangle,\]

其中上标 \((H)\) 表示 Heisenberg 绘景. 零温平衡时也可用泛函积分计算: 先以带收敛因子的长时间演化投影到基态, 再对含算符插入的振幅除以无插入振幅. 初始试探态须与所选基态有非零重叠; 若基态简并, 还须明确所选态或系综, 不能仅凭形式上的长时间极限确定它.

按时间降序重排算符:
\[\hat{T}\!\left[\hat{O}^{(H)}(t_1)\hat{O}^{(H)}(t_2)\cdots \hat{O}^{(H)}(t_n)\right] = \zeta^P \hat{O}^{(H)}(t_{P1})\hat{O}^{(H)}(t_{P2})\cdots \hat{O}^{(H)}(t_{Pn}).\]
\(P\) 是一个置换, 使得时间满足 \(t_{P1}\gt t_{P2}\gt \cdots \gt t_{Pn}\), 并在等时给出正规序.
Remark 单粒子 Green 函数可以理解为添加一个粒子/空穴的传播幅:
\[\begin{aligned} G(\alpha t;\alpha' t') &= -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t') \right] \right\rangle \\ &= -\mathrm{i} \left\{ \begin{array}{ll} \langle \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t')\rangle = \sum_n \rho_n \langle \hat{a}_\alpha^\dagger \Psi_n(t)|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K}(t-t')/\hbar}|\hat{a}_{\alpha'}^\dagger \Psi_n(t')\rangle, & t\gt t',\\[6pt] \zeta\langle \hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t')\hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\rangle = \zeta\sum_n \rho_n \langle \hat{a}_{\alpha'} \Psi_n(t')|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K}(t'-t)/\hbar}|\hat{a}_\alpha \Psi_n(t)\rangle, & t\le t'. \end{array} \right. \end{aligned}\]

上述 \(\Psi_n(t)\) 也由 \(K\) 生成时间演化.

Equation of motion 对于非相互作用系统: 假设 Hamiltonian \(\hat{K}_0=\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\), 我们有

\[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}G_0(\alpha t;\alpha' t') &= \hbar \left\langle \left[\hat{a}_\alpha,\hat{a}_{\alpha'}^\dagger\right]_{-\zeta}\right\rangle \delta(t-t') +(\epsilon_\alpha-\mu)G_0(\alpha t;\alpha' t')\\ &= \hbar\delta_{\alpha\alpha'}\delta(t-t') +(\epsilon_\alpha-\mu)G_0(\alpha t;\alpha' t'), \end{aligned}\]

其中我们利用关系式 \(\mathrm{i}\hbar \partial_t \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)=\left[\hat{a}_\alpha^{(H)}(t),\hat{K}_0\right]=(\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\).

对于相互作用系统, 运动方程与高阶 Green 函数相关, 自身不封闭.
施加边界条件
\[G_0(\alpha t,\alpha' t') = -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'} \begin{cases} 1+\zeta n_\alpha & t\rightarrow t'+0^+,\\ \zeta n_\alpha & t\rightarrow t', \end{cases} ,\qquad n_\alpha\equiv \langle \hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\rangle\]
解为
\[G_0(\alpha t;\alpha' t') = -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\epsilon_\alpha-\mu)(t-t')} \left[\theta(t-t'-\eta_t)(1+\zeta n_\alpha)+\theta(t'-t+\eta_t)\zeta n_\alpha\right],\]
其中时间移位 \(\eta_t\to0^+\) 固定等时取值; 下式另用收敛率 \(\eta_\omega\to0^+\), 二者分别具有时间和频率量纲.
上一步结果 Fourier 变换为
\[\begin{aligned} \tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) &\equiv \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\,G_0(\alpha t;\alpha' t')\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(t-t')}\\ &= \delta_{\alpha\alpha'} \left[ \frac{1+\zeta n_\alpha}{\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta_\omega} -\frac{\zeta n_\alpha}{\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta_\omega} \right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}. \end{aligned}\]
Proof 记 \(s=t-t'\), \(\omega_\alpha=(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar\). 代入上一式得
\[\begin{aligned} \tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) &= -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'} \left[ (1+\zeta n_\alpha)I_+ +\zeta n_\alpha I_- \right],\\ I_+ &= \int_{\eta_t}^\infty \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)s-\eta_\omega s} = \int_{\eta_t}^\infty \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega)s} = \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)\eta_t-\eta_\omega\eta_t}} {\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega},\\ I_- &= \int_{-\infty}^{\eta_t} \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)s+\eta_\omega s} = \int_{-\infty}^{\eta_t} \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega)s} = -\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)\eta_t+\eta_\omega\eta_t}} {\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega}. \end{aligned}\]
这里 \(I_+\) 需要在 \(s\to+\infty\) 加入 \(\mathrm{e}^{-\eta_\omega s}\), 而 \(I_-\) 需要在 \(s\to-\infty\) 加入 \(\mathrm{e}^{+\eta_\omega s}\). 因为 \(\mathrm{e}^{\pm\eta_\omega\eta_t}\to1\) 且 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\alpha\eta_t}\to1\), 分别取两种调节量的零极限即得
\[\tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) = \delta_{\alpha\alpha'} \left[ \frac{1+\zeta n_\alpha}{\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega} -\frac{\zeta n_\alpha}{\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega} \right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}.\]

Definition 虚时间 Green 函数(热 Green 函数): 是虚时 \(t=-\mathrm{i}\tau\), \(\tau\in[0,\hbar\beta)\) 的 Green 函数:

\[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\ldots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\ldots,\alpha_n'\tau_n') = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(\tau_1)\cdots \hat{a}_{\alpha_n}^{(H)}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^{(H)\dagger}(\tau_n')\cdots \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(\tau_1') \right] \right\rangle,\]

其中 \(\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\equiv \mathrm{e}^{\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\hat{a}_\alpha \mathrm{e}^{-\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau},\hat{a}_\alpha^{(H)\dagger}(\tau)\equiv \mathrm{e}^{\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\hat{a}_\alpha^\dagger \mathrm{e}^{-\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\). 如此定义是因为平衡密度矩阵可视为虚时间区间 \(t=-\mathrm{i}\hbar\beta\) 上的时间演化算符.

Remark \(\hat{a}_\alpha^{(H)\dagger}(\tau)\) 与 \(\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\) 不是 Hermitian 共轭. 热 Green 函数可用有限温度平衡系统的泛函积分计算.
(反)周期性 \(\mathcal{G}|_{\tau_i=0}=\zeta \mathcal{G}|_{\tau_i=\hbar\beta}\), 其中 \(\tau_i\) 表示 Green 函数的一个时间变量. Proof
\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\alpha 0;\alpha'\tau') &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\hat{a}_\alpha\right]\\ &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\left(\mathrm{e}^{\beta \hat{K}}\hat{a}_\alpha \mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\right)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\right]\\ &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\hat{a}_\alpha^{(H)}(\hbar\beta)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\right] = \zeta \mathcal{G}(\alpha \hbar\beta;\alpha'\tau'). \end{aligned}\]
Definition Matsubara 频率: 由于周期性, 时不变系统的热 Green 函数可展开为 Fourier 级数
\[\mathcal{G}(\alpha\tau,\alpha'\tau') = \frac{1}{\hbar\beta}\sum_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}\mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\omega_n), \qquad \mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\omega_n) = \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}\mathcal{G}(\alpha\tau,\alpha'\tau').\]
离散频率集合定义为
\[\omega_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{\hbar\beta} & \text{Boson}\\[4pt] \dfrac{(2n+1)\pi}{\hbar\beta} & \text{Fermion}, \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z\]

Equation of motion 非相互作用系统的 Green 函数:

\[\left( -\frac{\partial}{\partial\tau} -\frac{\epsilon_\alpha-\mu}{\hbar} \right)\mathcal{G}_0(\alpha\tau,\alpha'\tau') = \delta_{\alpha\alpha'}\delta(\tau-\tau').\]

解为 \[\mathcal{G}_0(\alpha\tau,\alpha'\tau') = -\delta_{\alpha\alpha'}\mathrm{e}^{-(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau-\tau')/\hbar} \left[\theta(\tau-\tau'-\eta)(1+\zeta n_\alpha)+\zeta\theta(\tau'-\tau+\eta)n_\alpha\right].\]
周期性给出 \[\zeta n_\alpha = \zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}(1+\zeta n_\alpha), \qquad n_\alpha = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}-\zeta},\] 这就是 Bose-Einstein (\(\zeta=1\)) 或 Fermi-Dirac (\(\zeta=-1\)) 分布函数.
Fourier 变换为 \[\mathcal{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega_n) = \delta_{\alpha\alpha'}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta}}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar}.\]

2.1.2 Static Observables

Kinetic
\[\langle\hat{T}\rangle = \mathrm{i}\zeta\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t^+) \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r}} = \mathrm{i}\zeta \mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \frac{\hbar^2k^2}{2m}\, \tilde{G}(\mathbf{k},\omega)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta},\]
这里 \(t^+\equiv t+0^+\), 且
\[G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}' t^+) = -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'t^+) \right] \right\rangle, \qquad \tilde{G}(\mathbf{k},\omega) = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}t\, G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t')\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')+\mathrm{i}\omega(t-t')}.\]
Interaction
\[\begin{aligned} \langle\hat{V}\rangle &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ \left( \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} +\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 +\mu \right) G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r},\;t'=t^+}\\ &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} \left( \hbar\omega-\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
为推导该公式, 我们利用恒等式:
\[\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t)\, \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{\psi}(\mathbf{r}t) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2-\mu \right)\hat{\psi}(\mathbf{r}t) + \int \mathrm{d}\mathbf{r}'\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t) v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}'t)\hat{\psi}(\mathbf{r}t).\]

Total

\[\begin{aligned} E_0 = \langle\hat{T}+\hat{V}\rangle &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ \left( \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 +\mu \right) G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r},\;t'=t^+}\\ &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} \left( \hbar\omega+\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega)\\ &= -\frac{1}{2}\zeta \mathcal{V} \frac{1}{\hbar\beta} \sum_{\omega_n} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta} \left( \mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega_n) \end{aligned}\]

Remark 使用单粒子 Green 函数计算总能可能有风险: 对单粒子性质影响甚微的看似无害的近似, 可能对总能产生不可控的巨大影响.

2.1.3 Response Functions

Linear Responses 线性叠加对多个场的总响应等于各场响应之和

电导率 为计算系统的电导率, 引入外电场, 并确定电流密度的期望值:
- 外电场在 Hamiltonian 中引入微扰:
  \[\Delta \hat{H} = -e\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\hat\rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}), \qquad \hat\rho(\mathbf{r})=\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]
  这里 \(\phi(\mathbf{r})\) 是电势, \(\hat\rho(\mathbf{r})\) 是密度算符.
- 我们需要计算电流密度算符
  \[\hat{\mathbf{j}}(\mathbf{r}) = \frac{\mathrm{i}e\hbar}{2m} \left\{ \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\nabla\hat{\psi}(\mathbf{r}) -\left[\nabla\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\right]\hat{\psi}(\mathbf{r}) \right\},\]
  到电场或 \(\phi(\mathbf{r})\) 的线性阶.
线性响应公式 考虑一个含时无穷小的外场:
\[\hat{H}_U(t)=\hat{H}+\hat{O}\,U(t).\]
- 时间演化算符 \(|\psi(t_f)\rangle=\hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i)|\psi(t_i)\rangle\):
  \[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathcal{U}}(t,t_i) &= \hat{H}_U(t)\hat{\mathcal{U}}(t,t_i)\\ \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i) &= \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\,\hat{H}_U(t) \right]\\ &\equiv \lim_{M\to\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_M)/\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_{M-1})/\hbar} \cdots \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_1)/\hbar}, \\ \epsilon &\equiv \frac{t_f-t_i}{M}, \qquad t_k=t_i+(k-1)\epsilon, \qquad k=1\ldots M \end{aligned}\]
  将时间区间 \([t_i,t_f]\) 划分为无穷小时间片, 整个区间的演化算符由所有小时间片的时间演化累积得到.
- 态的响应
  \[\begin{aligned} \delta |\psi(t)\rangle &= \int_{t_i}^{t}\mathrm{d}t'\,U(t') \left. \frac{\delta \hat{\mathcal{U}}(t,t_i)}{\delta U(t')} \right|_{U\to 0} |\psi(t_i)\rangle,\\ \left. \frac{\delta \hat{\mathcal{U}}(t,t_i)}{\delta U(t')} \right|_{U\to 0} &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \hat{\mathcal{U}}(t,t')\hat{O}\hat{\mathcal{U}}(t',t_i) \bigg|_{U\to 0} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\hat{O}^{(H)}(t'),\\ \hat{O}^{(H)}(t) &\equiv \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\hat{O}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\\ \implies \delta |\psi(t)\rangle &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar} \int_{t_i}^{t}\mathrm{d}t_1\, \hat{O}^{(H)}(t_1)|\psi(t_i)\rangle\,U(t_1). \end{aligned}\]
- 期望值 可观测量 \(\hat{R}\) 在时间 \(t\) 的期望值:
  \[\begin{aligned} \delta R(t) &= \sum_n \rho_n \left[ \langle \psi_n(t)|\hat{R}|\delta\psi_n(t)\rangle +\langle \delta\psi_n(t)|\hat{R}|\psi_n(t)\rangle \right]\\ &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t_1\, \theta(t-t_1) U(t_1)\, \left\langle \left[ \hat{R}^{(H)}(t),\hat{O}^{(H)}(t_1) \right] \right\rangle\\ D_{RO}^{\mathrm{r}}(t,t') &\equiv \frac{\delta R(t)}{\delta U(t')} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t-t') \left\langle \left[ \hat{R}^{(H)}(t),\hat{O}^{(H)}(t') \right] \right\rangle. \end{aligned}\]
  这就得到了推迟响应函数(Kubo 公式) Remark 响应函数是推迟的——因果性. 它不是编时期望值.

Scattering experiments 探测粒子(如电子或中子)通过相互作用势 \(v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\) 与多体系统中的微观粒子(如电子或原子)相互作用. 例如电子能量损失谱 (EELS); 中子散射.

探测粒子被多体系统散射的截面与密度关联函数有关. 以下记 \(W\) 为约去探针平面波归一化因子后的跃迁率谱, 它与散射截面成比例; 得到绝对微分截面还须计入探针归一化、末态相空间并除以入射通量. 探测粒子从波矢 \(\mathbf{k}\) 散射到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\),

\[W(\mathbf{q},\omega) = \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger(t)\hat\rho_{\mathbf{q}}\rangle,\]

其中 \(\hat\rho_{\mathbf{q}}=\sum_i \exp(-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{r}}_i)\) 是微观粒子密度算符的 Fourier 变换, \(\hbar\omega=E_\beta-E_\alpha\) 为靶系统吸收的能量, \(v_{\mathbf{q}}\) 是相互作用的 Fourier 变换.

Proof 确定探测粒子从波矢 \(\mathbf{k}\) 散射到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\), 被探测系统从 \(|\alpha\rangle\) 跃迁到 \(|\beta\rangle\) 的跃迁矩阵元:

\[\begin{aligned} T_{\alpha\beta}(\mathbf{q}) &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\langle \beta \left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{r}} \sum_i v(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right| \alpha \right\rangle\\ &= v_{\mathbf{q}} \left\langle \beta \left| \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i} \right| \alpha \right\rangle = v_{\mathbf{q}}\langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle. \end{aligned}\]

该约定的跃迁率由 Fermi 黄金规则确定:

\[\begin{aligned} W_\alpha(\mathbf{q},\omega) =& \frac{2\pi}{\hbar}|v_{\mathbf{q}}|^2 \sum_\beta \delta(E_\beta-E_\alpha-\hbar\omega) \big|\langle \beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle\big|^2 \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \sum_\beta \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_\beta-E_\alpha)t/\hbar} \big|\langle \beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle\big|^2 \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_\beta \mathrm{e}^{\mathrm{i}E_\alpha t/\hbar} \langle\alpha|\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger|\beta\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_\beta t/\hbar} \langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_\beta \langle\alpha|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}\hat{\rho}_\mathbf{q}^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}|\beta\rangle \langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle \alpha|\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger(t)\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle. \end{aligned}\]

这里 \(H\) 是未受探针扰动的靶系统 Hamiltonian. 对初态 \(\alpha\) 求平均得到密度关联公式.

角分辨光电子能谱 (ARPES): 光子将电子激发至多体系统之外:
\[I_{\mathbf{k}}(\omega) \propto \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger(0)\hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\rangle.\]

ARPES 技术测量强度正比于 \(f(\omega)A(\mathbf{k},\omega)\), 其中 \(f(\omega)\) 是 Fermi 分布函数. 面板 (b) 和 (c) 分别展示了非相互作用系统和相互作用 Fermi 液体系统的谱函数.

2.1.4 Species of Green’s Functions

编时 Green 函数
\[G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right] \right\rangle.\]
推迟 Green 函数
\[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i}\theta(t-t') \left\langle \left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right]_{-\zeta} \right\rangle.\]
超前 Green 函数
\[G^{\mathrm{a}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = \mathrm{i}\theta(t'-t) \left\langle \left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right]_{-\zeta} \right\rangle.\]
小于 Green 函数
\[G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i}\zeta \left\langle \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t')\hat{\psi}(\mathbf{r}t) \right\rangle.\]
大于 Green 函数
\[G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i} \left\langle \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right\rangle.\]

关系

\(G^{\mathrm{r}}-G^{\mathrm{a}}=G^{>}-G^{\lt }\).
编时 Green 标准定义
\[G=\theta(t-t^{\prime})G^>+\theta(t^{\prime}-t)G^\lt\]
在不同时间取不同值.
推迟/超前 Green 函数严格定义
\[G^{\mathrm{r}} = \theta(t-t')\left[G^{>}-G^{\lt }\right], \qquad G^{\mathrm{a}} = -\theta(t'-t)\left[G^{>}-G^{\lt }\right].\]
仅在未来/过去有值.
共轭关系
\[G^{\mathrm{a}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = \left[ G^{\mathrm{r}}(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*, \qquad G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\left[ G^{\lt }(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*, \qquad G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\left[ G^{>}(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*.\]

Remark 在平衡系统中, \(G\) 具有系统的微扰论. \(G^{\mathrm{r}/\mathrm{a}}\) 具有更好的解析结构, 并与物理响应相关. \(G^{\lt ,>}\) 与可观测量和散射实验的解释相关.

2.2 Fluctuation-Dissipation Theorem

在平衡系统中, 涨落-耗散定理将不同的 Green 函数联系起来.

2.2.1 Real-Time Green’s Functions

Fourier 表示 为简单起见, 考虑具有空间平移对称性的系统. Green 函数

\[\begin{aligned} G(\mathbf{k},\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')} G(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-0)\\ &= -\mathrm{i}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger \right] \right\rangle. \end{aligned}\]

谱函数

\[\begin{aligned} A(\mathbf{k},\omega) &= \mathrm{i}\left[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)-G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega)\right] = -2\operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)\\ &= \mathrm{i}\left[G^{>}(\mathbf{k},\omega)-G^{\lt }(\mathbf{k},\omega)\right]\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle \hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger -\zeta\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}}(t) \right\rangle. \end{aligned}\]

求和规则:
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}A(\mathbf{k},\omega) = \left\langle \left[ \hat{a}_{\mathbf{k}}(t),\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger(t) \right]_{-\zeta} \right\rangle =1.\]
态密度(每单位体积、每个内部分量, 以频率为变量):
\[\rho_\omega(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}A(\mathbf{k},\omega).\]
换用能量变量 \(\epsilon=\mu+\hbar\omega\), 定义同一内部分量的能量谱态密度 \(D_\epsilon\). 同一谱测度满足
\[\begin{aligned} \rho_\omega(\omega)\,\mathrm{d}\omega &=D_\epsilon(\epsilon)\,\mathrm{d}\epsilon,\\ D_\epsilon(\epsilon) &=\frac{1}{\hbar}\rho_\omega\!\left(\frac{\epsilon-\mu}{\hbar}\right). \end{aligned}\]
在无相互作用极限, \(D_\epsilon(\epsilon)=\int\mathrm{d}^3k\,\delta(\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}})/(2\pi)^3\) 是每体积、每自旋的能量态密度. 体积为 \(\mathcal{V}\) 的整个系统每自旋态密度为 \(\mathcal{V} D_\epsilon\); 两个自旋分量简并时, 每体积的总能量态密度为 \(D_{\mathrm{tot}}=2D_\epsilon\), 整个系统则为 \(2\mathcal{V} D_\epsilon\). 比较不同归一化时须分别检查体积因子、自旋简并度和 \(\mathrm{d}\epsilon=\hbar\,\mathrm{d}\omega\) 的测度换算.
对于非相互作用系统,
\[A(\mathbf{k},\omega)=2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{\hbar}\right).\]
这给出一个能量 \(\epsilon_\mathbf{k}\), 波矢 \(\mathbf{k}\) 的粒子
在一些相互作用电子系统中, Fermi 面附近 \(\mathbf{k}\) 的 \(A(\mathbf{k},\omega)\) 可出现峰-谷-肩 (peak-dip-hump) 结构: \(\omega=0\) 附近的峰(相干峰), 一个谷, 以及高能宽肩(非相干峰). 相干峰的有限宽度对应有限衰减寿命. 一般 Fermi 液体只要求准粒子峰与非相干背景, 不保证分离的谷或肩; 洁净系统在零温 Fermi 面处的峰宽可趋于零.

涨落-耗散关系 在平衡态下, 所有 Green 函数都可以与谱函数关联.

可以建立关系
\[G^{>}(\mathbf{k},\omega) = \zeta\,\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^{\lt }(\mathbf{k},\omega).\]
Proof 对于 \(\hat{K}|n\rangle=K_n|n\rangle\),
\[\begin{aligned} G^{\lt }(\mathbf{k},\omega) &= -\zeta\frac{\mathrm{i}}{Z} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_{n,m} \mathrm{e}^{-\beta K_n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(K_m-K_n)t/\hbar} \langle n|\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger|m\rangle \langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\\ &= -\zeta\frac{\mathrm{i}}{Z} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_n} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2 \\ G^{>}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{\mathrm{i}}{Z} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_m} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2\\ &= -\frac{\mathrm{i}}{Z}\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_n} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2. \end{aligned}\]
因此 \(G^{>}(\mathbf{k},\omega)=\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^{\lt }(\mathbf{k},\omega)\).
应用上述谱函数恒等式, 在 \(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta\ne0\) 时得到以下关系. 对 Boson, 这首先要求 \(\omega\ne0\); 若谱中有零频静态项或凝聚贡献, 须从原始 Lehmann 表示单独保留, 不能在零频处直接除以 \(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1\). KMS 关系在零频仍成立, 但谱函数的差本身不确定两个共同的静态项.
\[\begin{aligned} G^{\lt }(\mathbf{k},\omega) &= -\mathrm{i}\zeta n_\zeta(\omega)A(\mathbf{k},\omega),\\ G^{>}(\mathbf{k},\omega) &= -\mathrm{i}\left[1+\zeta n_\zeta(\omega)\right]A(\mathbf{k},\omega),\\ n_\zeta(\omega) &\equiv \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta}. \end{aligned}\]
Proof 由 \(A=\mathrm{i}(G^>-G^\lt )\) 和上一条关系 \(G^>=\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^\lt \), 有
\[A(\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i} \left(\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1\right) G^\lt (\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i}\zeta \left(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta\right) G^\lt (\mathbf{k},\omega).\]
因此
\[G^\lt (\mathbf{k},\omega) = -\mathrm{i}\zeta n_\zeta(\omega)A(\mathbf{k},\omega), \qquad G^>(\mathbf{k},\omega) = \zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^\lt (\mathbf{k},\omega) = -\mathrm{i}\left[1+\zeta n_\zeta(\omega)\right]A(\mathbf{k},\omega).\]
利用 Green 函数种类之间的关系, 我们有
\[\begin{aligned} G(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} A(\mathbf{k},\omega_1) \left[ -\frac{\zeta n_\zeta(\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta} +\frac{1+\zeta n_\zeta(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta} \right],\\ G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta},\\ G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta}. \end{aligned}\]
Proof 先写出反 Fourier 变换
\[G^{>,\lt }(\mathbf{k},t) = \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_1 t} G^{>,\lt }(\mathbf{k},\omega_1).\]
对推迟 Green 函数,
\[\begin{aligned} G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \theta(t)\left[G^>(\mathbf{k},t)-G^\lt (\mathbf{k},t)\right]\\ &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega_1) \frac{1}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta}, \end{aligned}\]
其中用了 \(G^>-G^\lt =-\mathrm{i}A\) 和 \(t>0\) 半轴的收敛处理
\[\int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1)t-\eta t} = \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta)t} = \frac{\mathrm{i}}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta}.\]
等价地, 对 \(t>0\) 的部分取 \(\omega\to\omega+\mathrm{i}0^+\), 使分母的极点 \(\omega=\omega_1-\mathrm{i}0^+\) 位于下半平面, 从而在上半平面解析.

类似地, 由 \(G^{\mathrm{a}}=-\theta(-t)(G^>-G^\lt )\) 和 \(t\lt 0\) 半轴的收敛处理
\[\int_{-\infty}^0 \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1)t+\eta t} = \int_{-\infty}^0 \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta)t} = -\frac{\mathrm{i}}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta}\]
即对 \(t\lt 0\) 的部分取 \(\omega\to\omega-\mathrm{i}0^+\), 极点 \(\omega=\omega_1+\mathrm{i}0^+\) 位于上半平面. 这给出超前 Green 函数的谱表示.

对编时 Green 函数使用 \(G=\theta(t)G^>+\theta(-t)G^\lt \), 同时保留这两个半轴处方, 再代入
\[G^>=-\mathrm{i}[1+\zeta n_\zeta]A, \qquad G^\lt =-\mathrm{i}\zeta n_\zeta A\]
得到第一式.
实部和虚部:
\[\begin{aligned} \operatorname{Re}G(\mathbf{k},\omega) &= \operatorname{Re}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = \operatorname{Re}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega)\\ &= \mathcal{P} \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1}\\ \operatorname{Im}G(\mathbf{k},\omega) &= -\left[ \tanh\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \right]^{-\zeta} \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
Proof 对上一个 Proof 中确定的极点处方使用 Plemelj 公式
\[\frac{1}{x\pm\mathrm{i}\eta} = \mathcal{P}\frac{1}{x} \mp \mathrm{i}\pi\delta(x).\]
三个谱表示的实部均来自主值积分, 因而相同. 虚部由 \(\delta(\omega-\omega_1)\) 给出:
\[\begin{aligned} \operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2} \left[1+2\zeta n_\zeta(\omega)\right] A(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
最后
\[1+2\zeta n_\zeta(\omega) = \frac{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}+\zeta} {\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta} = \left[ \tanh\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \right]^{-\zeta},\]
得到所列结果.

2.2.2 Thermal Green’s Function and Analytic Continuation

热谱表示 热 Green 函数也可以与谱函数关联:

\[\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}.\]

Proof 在 \(0\lt \tau\lt \hbar\beta\) 内, 热 Green 函数可写成

\[\mathcal{G}(\mathbf{k},\tau) = -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega_1) \frac{\mathrm{e}^{-\omega_1\tau}} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}}.\]

作 Matsubara Fourier 变换,

\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega_n-\omega_1)\tau}\\ &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}} \frac{ \mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega_n-\omega_1)\hbar\beta}-1 }{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}. \end{aligned}\]

由于离散 Matsubara 频率满足 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\hbar\beta}=\zeta\), 分子为 \(-[1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}]\), 从而得到热谱表示.

解析延拓 有限温度下的实时 Green 函数可通过解析延拓从热 Green 函数得到:

这里的延拓由谱表示定义: 对实轴外的 \(z\), 取 \(\mathcal{G}(\mathbf{k},z)=\int \mathrm{d}\omega'\,A(\mathbf{k},\omega')/[2\pi(z-\omega')]\). 在谱权重可积的情形, 任意离实轴有正距离的紧集上, 被积函数及其 \(z\) 导数有可积控制, 因而可在积分号下求导. 这给出上下半平面的解析函数, 它们在 Matsubara 点与热 Green 函数一致. 取边界值并用 \((x\pm\mathrm{i}0^+)^{-1}=\operatorname{PV}(1/x)\mp\mathrm{i}\pi\delta(x)\), 即得到以下关系. 实轴极点按分布理解; 有限个含噪 Matsubara 数据并不唯一确定一个谱函数, 不能只用任意插值后作变量替换.

我们有
\[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega+\mathrm{i}\eta}, \qquad G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) = \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega-\mathrm{i}\eta}.\]
有了热 Green 函数的解析形式, 谱函数可由下式确定
\[A(\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i}\left[ \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega+\mathrm{i}\eta} -\left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega-\mathrm{i}\eta} \right].\]
在热平衡、时间平移不变且使用 \(K=H-\mu N\) 生成演化时, 令 \(n_\zeta(\omega)=[\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta]^{-1}\), 则非奇异频率部分满足 \(G^\lt=-\mathrm{i}\zeta n_\zeta A\)、\(G^>=-\mathrm{i}(1+\zeta n_\zeta)A\), 其中 Boson 取 \(\zeta=1\), Fermion 取 \(\zeta=-1\). 对 Boson 的零频静态项或凝聚贡献, 仍须从原始 Lehmann 表示单独保留, 不能仅由谱函数的差恢复.

2.3 Non-equilibrium Green’s Function

引入非平衡 (Keldysh 或时间轮廓编时) Green 函数是因为:

实时 Green 函数直接与物理可观测量相关但难以计算;
解析延拓仅在具有热 Green 函数解析表达式时有用. 数值计算时, 热 Green 函数仅定义在离散 Matsubara 频率上, 此时解析延拓在数值上不稳定;
在非平衡系统中, 例如由超出线性响应区域的强外场驱动的系统, 涨落-耗散关系不适用.

Definition 非平衡 Green 函数: 统一了所有 Green 函数.

Notation 设初始时刻 \(t_{\mathrm i}=-T_0/2\), \(H_{\mathrm i}=H(t_{\mathrm i})\), \(K_{\mathrm i}=H_{\mathrm i}-\mu N\), 初态为 \(\rho_{\mathrm i}=\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm i}}/Z_{\mathrm i}\), \(Z_{\mathrm i}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm i}}\). 初始平衡态要求 \([H_{\mathrm i},N]=0\). 本节实时间支局部改用物理 \(H(t)\) 生成演化, 后续外场不必保持平衡; 虚时支则固定使用初态 \(K_{\mathrm i}\). 轮廓生成元记为

\[\mathscr{H}_C(z)= \begin{cases} H(z), &z\in C_1\cup C_2,\\ K_{\mathrm i}, &z=t_{\mathrm i}-\mathrm{i}\tau\in C_\beta. \end{cases}\]

以下 \(\mathcal U\) 沿相应分支由该生成元定义. 在定态且守粒子数时, 以 \(K=H-\mu N\) 和 \(H\) 生成的单粒子 Green 函数满足 \(G_K(t,t')=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu(t-t')/\hbar}G_H(t,t')\); 此处下标仅区分生成元. 下面实时间 \(G\)、\(G^\gt\)、\(G_C\) 均采用本节的 \(H\) 约定.

观察到所有 Green 函数(如 \(G^{>}\))都可转化为时间轮廓(Time Contour) \(C\) 编时迹, 而后者可用泛函积分计算. 这里的(反)周期性只指初态迹在轮廓起点与虚时支末端的缝合条件, 不能据此对非平衡实时间关联使用 KMS 条件或平衡 FDT.

热 Green 函数: 这里是初态 \(K_{\mathrm i}\) 的平衡虚时函数.
\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\mathbf{r}\tau;\mathbf{r}'\tau') &= -\left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}\tau)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'\tau') \right] \right\rangle\\ &= \begin{cases} -\dfrac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\hbar\beta-\tau)/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\tau-\tau')/\hbar} \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}\tau'/\hbar} \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }, & \tau\gt \tau',\\[12pt] -\zeta\dfrac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\hbar\beta-\tau')/\hbar} \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\tau'-\tau)/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}\tau/\hbar} \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }, & \tau\le \tau', \end{cases}\\ &= -\frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_\tau \exp\!\left( -\frac{1}{\hbar}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\hat{K}_{\mathrm i} \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}\tau)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'\tau') \right] }{ \operatorname{Tr}\!\left[ \exp\!\left( -\frac{1}{\hbar}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\hat{K}_{\mathrm i} \right) \right] }. \end{aligned}\]
其中 \(\hat{\psi}(\mathbf{r}\tau)\) 和 \(\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'\tau')\) 不是 Heisenberg 算符;其时间变量表示它们在时间有序迹中的插入位置.
其他 Green 函数:
\[\begin{aligned} G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= -\mathrm{i} \left\langle \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'t') \right\rangle\\ &= -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0}{2},t\right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\mathcal{U}}(t,t') \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\mathcal{U}}\!\left(t',-\frac{T_0}{2}\right) \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }\\ &= -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0^-}{2}-\mathrm{i}\hbar\beta,-\frac{T_0^-}{2}\right) \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0^-}{2},t^-\right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\mathcal{U}}(t^-,t'^+) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\mathcal{U}}\!\left(t'^+,-\frac{T_0^+}{2}\right) \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }\\ &\equiv -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}t^-)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t'^+) \right] }{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \right] }. \end{aligned}\]
其中时间 \(t^-\) 和 \(t'^+\) 的上标指示时间所属的时间轮廓 \(C\) 的分支.

Definition 轮廓编时 Green 函数

\[G_C(\mathbf{r}t,\mathbf{r}'t') = -\frac{\mathrm{i}}{Z_{\mathrm i}} \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right].\]

轮廓 \(C\) 由两个实时间分支 \(C_1\), \(C_2\) 和一个虚时分支 \(C_\beta\) 构成. 将时间变量分配到实时间分支即可得到实时间 Green 函数:
\[\begin{aligned} G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{11}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'),\\ G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{21}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'),\\ G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{12}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'). \end{aligned}\]
当两点都位于 \(C_\beta\) 上, 用 \(t=t_{\mathrm i}-\mathrm{i}\tau\) 参数化后, \(G_C=\mathrm{i}\mathcal G\); 因子 \(\mathrm{i}\) 来自两者分别采用 \(-\mathrm{i}\) 与 \(-1\) 的定义.
\(G_C\) 的四个实时分量不独立:
\[G_C^{11}+G_C^{22}=G_C^{12}+G_C^{21}.\]

3 Functional Integrals

我们先介绍 Feynman 路径积分. 对于多体系统, 我们介绍相干态泛函积分, 它只是相干基下的"路径积分".

3.1 Feynman Path Integrals

为计算时间演化函数

\[\mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) = \left\langle x_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)/\hbar} \right|x_i\right\rangle,\]

以下以一维 \(x,p\) 推导. \(d\) 维时应同时采用 \(d\) 维积分测度和 \(dM/2\) 次方的归一化因子. 我们如下构造路径积分:

时间切片: 将有限时间区间分为无穷小切片 \(\Delta t=\epsilon\equiv (t_f-t_i)/M\), 并在时间切片之间插入封闭关系:
\[\mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) = \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left\langle x_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{M-1}\right\rangle \left\langle x_{M-1}\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{M-2}\right\rangle \cdots \left\langle x_1\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_i\right\rangle.\]
Trotter 乘积公式: 对于 \(\hat{H}=T(\hat{p})+V(\hat{x})\),
\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} = \lim_{M\to\infty} \left( \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{T}t/(M\hbar)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{V}t/(M\hbar)} \right)^M.\]
计算每个时间切片的演化函数
- 插入完整的动量基矢:
  \[\left\langle x_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle = \int \mathrm{d}p_n\, \langle x_n|p_n\rangle \left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle.\]
- 将 \(\hat{H}\) 表示为正规形式: 将所有 \(\hat{p}\) 排列在所有 \(\hat{x}\) 的左边.
- 对于充分小的 \(\epsilon\),
  \[\left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle \approx \left\langle p_n\left| 1-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \hat{H} \right|x_{n-1}\right\rangle \approx \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H(p_n,x_{n-1})/\hbar} \langle p_n|x_{n-1}\rangle +O(\epsilon^2).\]
- 对 \(p_n\) 积分: 对于 \(\hat{H}=\hat{p}^{2}/2m+V(\hat{x})\) 的系统,
  \[\begin{aligned} \int \mathrm{d}p_n\, \langle x_n|p_n\rangle \left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle &\approx \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p_n\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left[ p_n(x_n-x_{n-1}) -\epsilon\frac{p_n^2}{2m} -\epsilon V(x_{n-1}) \right] \right\}\\ &= \sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon\hbar}} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon}\right)^2 -V(x_{n-1}) \right] \right\}. \end{aligned}\]
Remark 该近似有一定的任意性:
- \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar}\) 还是 \(1-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar\)? —— \(p_n\) 积分应收敛.
- \(V(x_{n-1})\), \(V(x_n)\), 还是 \([V(x_{n-1})+V(x_n)]/2\)? —— 它们在连续极限 \(\epsilon\to 0\) 下等价, 但 \([V(x_{n-1})+V(x_n)]/2\) 对有限 \(\epsilon\) 给出更高精度.
将所有切片上的演化函数串联起来:
\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 -V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x(t)) \right) \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}, \end{aligned}\]
其中隐含 \(x_M=x_f\) 和 \(x_0=x_i\), 且
\[S[x(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t\,L[\dot{x}(t),x(t)]\]
是系统的经典作用量, \(L\) 是 Lagrangian. 连续形式只是离散形式的简记.

Hamiltonian 形式

\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \prod_{k=1}^{M}\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi\hbar}\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ p_k\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon} -\frac{p_k^2}{2m} -V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t),p(t)]\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \bigl(p(t)\dot{x}(t)-H(p(t),x(t))\bigr) \right\}. \end{aligned}\]

注意有 \(M-1\) 个中间位置和 \(M\) 个动量.

Path integral average

\[\begin{aligned} \left\langle O_1(x(t_1))O_2(x(t_2))\right\rangle_S &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, O_1(x(t_1))O_2(x(t_2)) \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}\\ &= \int \mathrm{d}x_1\,\mathrm{d}x_2 \begin{cases} \mathcal{U}(x_f t_f,x_1 t_1)\,O_1(x_1)\,\mathcal{U}(x_1 t_1,x_2 t_2)\,O_2(x_2)\,\mathcal{U}(x_2 t_2,x_i t_i), & t_1\gt t_2,\\[6pt] \mathcal{U}(x_f t_f,x_2 t_2)\,O_2(x_2)\,\mathcal{U}(x_2 t_2,x_1 t_1)\,O_1(x_1)\,\mathcal{U}(x_1 t_1,x_i t_i), & t_1\lt t_2, \end{cases}\\ &\equiv \left\langle x_f\left| \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1(t_1)\hat{O}_2(t_2) \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t\,\hat{H}(t) \right) \right] \right|x_i\right\rangle\\ &= \begin{cases} \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_1)\hat{O}_1\hat{\mathcal{U}}(t_1,t_2)\hat{O}_2\hat{\mathcal{U}}(t_2,t_i) \right|x_i\right\rangle, & t_1\gt t_2,\\[6pt] \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_2)\hat{O}_2\hat{\mathcal{U}}(t_2,t_1)\hat{O}_1\hat{\mathcal{U}}(t_1,t_i) \right|x_i\right\rangle, & t_1\lt t_2, \end{cases}\\ &= \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i) \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(t_1)\hat{O}_2^{(H)}(t_2) \right] \right|x_i\right\rangle. \end{aligned}\]

其中 \(t_f\ge t_1,t_2\ge t_i\). 我们注意到:

上述算符表达式中的 \(\hat{O}_1(t_1)\) 和 \(\hat{O}_2(t_2)\) 不是 Heisenberg 算符. 时间参数仅指示算符应插入的位置.
对还依赖于 \(\hat{p}\) 的算符, 先将算符写成正规形式, 再使用 Hamiltonian 形式的路径积分, 并应用替换 \(\hat{O}(\hat{p},\hat{x})\to O(p_{k+1},x_k)\).
平均是上述算符的矩阵元, 不是 Heisenberg 算符的编时乘积.

Commutation relation

对易关系 \([\hat{x},\hat{p}]=\mathrm{i}\hbar\) 对应路径积分恒等式
\[\mathrm{i}\hbar \langle 1\rangle_S = \langle p_\sigma x_\sigma-p_{\sigma+1}x_\sigma\rangle_S, \qquad \sigma=1,\ldots,M-1.\]
它是一般路径积分恒等式的特例
\[\left\langle \frac{\delta F}{\delta x(\sigma)} \right\rangle_S = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle F\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)} \right\rangle_S, \qquad t_i\lt \sigma\lt t_f.\]

Proof

固定端点的路径积分在 \(x(t)\to x(t)+\eta(t)\), \(\eta(t_i)=\eta(t_f)=0\) 下不变. 恒等式只针对内部时间; 以下假设受调节积分的分部积分边界项为零. 因此,
\[\begin{aligned} 0 &= \int \mathcal{D}[x(t)] \left\{ F[x(t)+\eta(t)]\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)+\eta(t)]/\hbar} -F[x(t)]\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar} \right\}\\ &= \int \mathrm{d}\sigma \int \mathcal{D}[x(t)] \left\{ \frac{\delta F}{\delta x(\sigma)} +\frac{\mathrm{i}}{\hbar}F\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)} \right\} \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}\eta(\sigma) +O(\eta^2). \end{aligned}\]
由于 \(\eta(t)\) 是任意的, 我们得到上述一般恒等式.
这一步在有限切片上取 \(F=x_\sigma\), 用普通偏导 \(\partial x_\sigma/\partial x_\sigma=1\), 而非把连续泛函导数的 \(\delta(0)\) 当成 1. 利用 Hamiltonian 形式, 我们有
\[\langle 1\rangle_S = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle x_\sigma\left[p_\sigma-p_{\sigma+1}-\epsilon V'(x_\sigma)\right] \right\rangle_S.\]
在 \(\epsilon\to 0\) 时得到上述恒等式.

3.2 Imaginary-Time Path Integrals and the Partition Function

虚时路径积分来自替换 \(t\to -\mathrm{i}\tau\).

Imaginary-Time Path Integrals 可由实时间路径积分作替换 \(t\to -\mathrm{i}\tau\) 得到:

\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f\tau_f,x_i\tau_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,\tau_i}^{x_f,\tau_f} \mathcal{D}[x(\tau)]\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right] \right\}. \end{aligned}\]

其中隐含 \(x_0=x_i\) 和 \(x_M=x_f\); 下文以 \(\mathcal U_E\) 表示这个 Euclidean 核.

配分函数 正是虚时演化算符的迹:
\[Z = \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} = \int \mathrm{d}x\, \left\langle x\left| \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} \right|x\right\rangle = \int \mathrm{d}x\, \mathcal{U}_{E}(x,\hbar\beta;x,0).\]
因此, 其路径积分对 \(\tau\in[0,\hbar\beta)\) 上的所有周期轨迹求和:
\[\begin{aligned} Z &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x(\hbar\beta)=x(0)} \mathcal{D}[x(\tau)]\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right] \right\}. \end{aligned}\]
其中隐含 \(x_0=x_M\), \(\epsilon=\hbar\beta/M\).

Path integral average 在虚时间区间 \([0,\hbar\beta)\) 上对应 Heisenberg 算符虚时有序乘积的热力学期望值:

\[\begin{aligned} \left\langle O_1(x(\tau_1))O_2(x(\tau_2))\right\rangle_S &\equiv \frac{1}{Z} \int \mathrm{d}x \int_{x,0}^{x,\hbar\beta} \mathcal{D}[x(\tau)]\, O_1(x(\tau_1))O_2(x(\tau_2)) \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar}S[x(\tau)]}\\ &= \frac{1}{Z} \int \mathrm{d}x\, \left\langle x\left| \hat{\mathcal{U}}(-\mathrm{i}\hbar\beta,0) \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right|x\right\rangle\\ &= \frac{1}{Z} \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right]\\ &\equiv \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right\rangle. \end{aligned}\]

Classical isomorphism 经典同构将量子粒子映射为具有 \(M\) 个 beads 的经典环状聚合物, 每个珠子对应虚时中一个时刻的粒子.

\[\begin{aligned} H_{\mathrm{iso}}[x(\tau)] &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right]\\ &\approx \frac{1}{M}\sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right]. \end{aligned}\]

其中 \(x_0=x_M\). 第一项成为环状聚合物的弹性能.

上图为 \(M=5\) 的情形. \(M\) 也称为 Trotter 数.

该映射是模拟量子系统的路径积分蒙特卡洛/分子动力学 (PIMC/PIMD) 方法的基础.

Exchange symmetry 全同粒子系统的交换对称性将结果修改为

\[Z = \frac{1}{N!}\sum_P \zeta^P \int_{x_i(\hbar\beta)=x_{P(i)}(0)} \prod_i \mathcal{D}[x_i(\tau)]\, \exp\!\left[ -\frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\,\left[\sum_i\frac{m_i}{2}\dot x_i(\tau)^2+V(\{x_i(\tau)\})\right] \right].\]

Remark 置换端点可以实现交换对称性; Boson PIMC 可采样交换循环. Fermion 的置换符号会导致严重的符号问题, 困难程度取决于具体模型和算法.

3.3 Coherent-State Functional Integrals

相干态泛函积分是相干基而非位置基下的"路径积分". 交换对称性的影响由 Hamiltonian 的二次量子化形式自动处理.

在相干基中, 时间演化函数定义为
\[\mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) = \left\langle \psi_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)/\hbar} \right|\psi_i\right\rangle.\]
应用时间切片并插入相干态的封闭关系:
\[\mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) = \int \prod_{k=1}^{M-1} \left[ \frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\, \mathrm{e}^{-\psi_k^*\cdot\psi_k} \right] \prod_{k=1}^{M} \left\langle \psi_k\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|\psi_{k-1}\right\rangle,\]
其中 \(\psi_M^*=\psi_f^*\), \(\psi_0=\psi_i\).
将二次量子化 Hamiltonian 表达为正规形式: 产生算符放在湮灭算符左边. 时间切片的矩阵元为
\[\left\langle \psi_k\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})/\hbar} \right|\psi_{k-1}\right\rangle \approx \exp\!\left[ \psi_k^*\cdot\psi_{k-1} -\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right].\]
演化函数为:
\[\begin{aligned} \mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ \psi_M^*\cdot \psi_{M-1} -\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}H(\psi_M^*,\psi_{M-1}) \right. \\ &\quad\ \left. +\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M-1} \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi_k^*\cdot\frac{\psi_k-\psi_{k-1}}{\epsilon} -H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \mathrm{e}^{\psi_f^*\cdot \psi_f} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}S[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) \\ S[\psi,\psi^*] &= \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi^*(t)\cdot \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} -H(\psi^*(t),\psi(t)) \right]. \end{aligned}\]
固定的边界只有 \(\psi_M^*=\psi^*(t_f)\equiv \psi_f^*\) 和 \(\psi_0=\psi(t_i)\equiv \psi_i\). 连续简写中的 \(\psi_f\) 是把末片写入一阶作用量时的辅助端点值: 外因子 \(\mathrm e^{\psi_f^*\cdot\psi_f}\) 与末片动能项中的 \(-\psi_M^*\cdot\psi_M\) 相消, 恢复上面的离散公式; 不能再把 \(\psi(t_f)=\psi_f\) 当成额外固定的边界.

Remark

连续形式由离散形式定义. 其他离散形式可能导致错误结果.
场变量 \(\psi\) 和 \(\psi^*\) 可有多个分量 \(\psi^\alpha\), \(\psi^{\alpha*}\). 根据分量指标 \(\alpha\) 的含义, 场解释为:
- 若 \(\alpha\equiv \mathbf{r}\) 表示位置: \(\psi^\alpha\to \psi(\mathbf{r},t)\), \(A\cdot B\equiv \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,A(\mathbf{r},t)B(\mathbf{r},t)\);
- 若 \(\alpha\equiv \mathbf{p}\) 表示动量: \(\psi^\alpha\to \psi_{\mathbf{p}}(t)\), \(A\cdot B\equiv \sum_{\mathbf{p}}A_{\mathbf{p}}(t)B_{\mathbf{p}}(t)\).
多粒子系统映射为量子场-Schrödinger 场:
\[S[\psi,\psi^*] = \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left[ \mathrm{i}\hbar\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \psi^*(\mathbf{r},t)\frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} -H[\psi^*,\psi] \right].\]

3.4 Partition Function and Green’s Functions

各种物理量都可以表示为泛函积分.

Partition function 配分函数正是虚时演化算符的迹. 本段为平衡态 grand canonical 配分函数, \(\epsilon=\hbar\beta/M\); \(H[\psi^*,\psi]\) 表示总 Hamiltonian 的正规序符号, 可以包含非局域空间积分. 利用相干态的迹公式:

\[\begin{aligned} Z &= \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}} = \int \left[\frac{\mathrm{d}\psi^*\,\mathrm{d}\psi}{\mathcal{N}}\right] \mathrm{e}^{-\psi^*\cdot\psi} \left\langle \zeta\psi\left| \mathrm{e}^{-\beta\hat{K}} \right|\psi\right\rangle \\ &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \hbar\psi_k^*\cdot\frac{\psi_k-\psi_{k-1}}{\epsilon} -\mu \psi_k^*\cdot\psi_{k-1} +H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) \\ S[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, \left[ \psi^*(\tau)\cdot(\hbar\partial_\tau-\mu)\psi(\tau) +H(\psi^*(\tau),\psi(\tau)) \right]. \end{aligned}\]

边界条件是相干态迹公式的结果: \(\psi_0=\zeta\psi_M\).

Thermal Green’s functions 热 Green 函数可表示为路径积分平均:

\[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\ldots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\ldots,\alpha_n'\tau_n') = \frac{(-1)^n}{Z} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left(-\frac{S[\psi,\psi^*]}{\hbar}\right)\, \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots \psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1').\]

周期性边界条件 \(\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)\) 隐含成立, \(\psi^*\) 也满足相同的(反)周期条件. 插入点重合时须按离散公式取分裂时间极限.

Contour ordered Green’s function 实时间支用物理 \(H(t)\), 虚时支用初态 \(K_{\mathrm{i}}=H(t_{\mathrm{i}})-\mu N\), 归一化为 \(Z_{\mathrm{i}}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm{i}}}\). 轮廓编时 Green 函数也可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} G_C(\mathbf{r}t,\mathbf{r}'t') &= -\frac{\mathrm{i}}{Z_{\mathrm i}} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \psi(\mathbf{r},t)\psi^*(\mathbf{r}',t') \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_C[\psi,\psi^*] \right),\\ S_C[\psi,\psi^*] &= \int_C \mathrm{d}t\, \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi^*(t)\cdot \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} -\mathscr H_C[\psi^*,\psi;t] \right]. \end{aligned}\]

时间沿轮廓 \(C\) 从 \(t_{\mathrm{i}}\) 向前至观测终点, 再返回 \(t_{\mathrm{i}}\), 最后沿虚时方向到达 \(t_{\mathrm{i}}-\mathrm{i}\hbar\beta\). 初态是 \(\rho_{\mathrm i}=\mathrm e^{-\beta K_{\mathrm i}}/Z_{\mathrm i}\), 后续实时间驱动不要求保持平衡. 在此条件下, 轮廓 \(C\) 两端的场满足(反)周期性边界条件

\[\psi\!\left(-\frac{T_0^+}{2}\right) = \zeta\, \psi\!\left(-\frac{T_0^-}{2}-\mathrm{i}\hbar\beta\right).\]

Non-interacting system

Partition function 配分函数为
\[\begin{aligned} \hat{K}_0 &= \sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\\ Z_0 &= \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{\alpha*}\,\mathrm{d}\psi_k^\alpha}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ -\sum_{k=1}^{M} \psi_k^{\alpha*} \left[ (\psi_k^\alpha-\psi_{k-1}^\alpha) +\frac{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}{M}\psi_{k-1}^\alpha \right] \right\}\\ &\equiv \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{\alpha*}\,\mathrm{d}\psi_k^\alpha}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left[ -\psi^{(\alpha)\dagger}S^{(\alpha)}\psi^{(\alpha)} \right]\\ &= \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha [\det S^{(\alpha)}]^{-\zeta} = \prod_\alpha \left( 1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)} \right)^{-\zeta}. \end{aligned}\]
对 Boson, 上述积分要求每模 \(\epsilon_\alpha-\mu>0\), 有限 \(M\) 取足够大使 \(|a|\lt 1\); 零模或凝聚模须单独处理. Fermion 没有此收敛限制. 其中
\[\begin{aligned} S^{(\alpha)} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & -\zeta a\\ -a & 1 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & -a & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{bmatrix},\\ \psi^{(\alpha)} &= \begin{bmatrix} \psi_1^\alpha\\ \psi_2^\alpha\\ \vdots\\ \psi_M^\alpha \end{bmatrix}, \qquad a = 1-\frac{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}{M}, \\ \det S^{(\alpha)} &= 1-\zeta a^M \to 1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}. \end{aligned}\]
Thermal Green’s function 热 Green 函数:
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0(\alpha\tau_q;\alpha'\tau_r) &= -\delta_{\alpha\alpha'} \frac{\zeta}{Z_0^{(\alpha)}} \left. \frac{\partial^2}{\partial J_q^*\partial J_r} \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{(\alpha)*}\,\mathrm{d}\psi_k^{(\alpha)}}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left[ -\sum_{jk}\psi_j^{(\alpha)*}S_{jk}^{(\alpha)}\psi_k^{(\alpha)} +\sum_i \left(J_i^*\psi_i^{(\alpha)}+\psi_i^{(\alpha)*}J_i\right) \right] \right|_{J=J^*=0}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'}\zeta \left. \frac{\partial^2}{\partial J_q^*\partial J_r} \exp\!\left( \sum_{jk}J_j^*\left[S^{(\alpha)}\right]^{-1}_{jk}J_k \right) \right|_{J=J^*=0}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'} \left(S^{(\alpha)}\right)^{-1}_{qr}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau_q-\tau_r)/\hbar} \left[ \theta(\tau_q-\tau_r)(1+\zeta n_\alpha) +\zeta\theta(\tau_r-\tau_q)n_\alpha \right]. \end{aligned}\]
末行是 \(M\to\infty\) 后非等时 \(q\ne r\) 的结果. 同切片逆矩阵给 \(\mathcal G_{qq}=-(1+\zeta n_\alpha)\), 即 \(0^+\); 正规序密度的插入应使用 \(\psi_k^*\psi_{k-1}\), 对应正规序关联的 \(0^-\) 极限. 其中 \(Z_0^{(\alpha)}\equiv [\det S^{(\alpha)}]^{-\zeta}\).
Matrix formula 配分函数可表示为与基矢选择无关的矩阵形式. 利用矩阵恒等式 \(\det S=\exp(\operatorname{Tr}\ln S)\) 和上述方程, 我们有
\[Z_0 = \exp\!\left[ -\zeta\,\operatorname{Tr}\ln\!\left(-\hat{\mathcal{G}}_0^{-1}\right) \right].\]
\(-\hat{\mathcal{G}}_0^{-1}\) 应解释为类似上面 \(S^{(\alpha)}\) 的矩阵, 其中 \(a\to \hat{a}\equiv 1-\beta(\hat{h}_0-\mu)/M\), 而 \(\hat{h}_0\) 表示单粒子 Hamiltonian 算符.

Quantum Many-Body Theory - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

4 Perturbation Theory

4.1 General Strategy

将 Hamiltonian 分解为两部分 \(\hat{K}=\hat{K}_0+\hat{V}\), 其中 \(\hat{K}_0\) 可解. 可对角化 \(\hat{K}_0\) 并写为
\[\hat{K}_0=\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha,\]
而 \(\hat{V}(\hat{a}^\dagger,\hat{a})\) 是 Hamiltonian 的剩余部分, 例如相互作用.

Zeroth-order Hamiltonian 恰当选择 \(\hat{K}_0\) 是求解多体问题最关键的一步. 什么才是合适的选择并不总是显而易见的. 例如, 对于具有电子动能与 Coulomb 二体相互作用、并由均匀正电背景保持中性的电子气 Hamiltonian, 至少有如下两种 \(\hat{K}_0\) 选择:
- 二次量子化 Hamiltonian 的动能部分
  \[\hat{K}_0=\sum_{k\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\mu\right)\hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma} \qquad \hat{V} = \frac{e^2}{2\mathcal{V}}\sum_{q\ne 0}\sum_{k\sigma,p\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{k+q,\sigma}^\dagger \hat{a}_{p-q,\sigma'}^\dagger \hat{a}_{p,\sigma'} \hat{a}_{k,\sigma}.\]
  这是高密度电子液体相的合适选择.
- 在低密度极限下, 电子形成固体 (Wigner 晶体). Hamiltonian 的一次量子化形式可按电子偏离平衡位置的位移展开为 Taylor 级数. 此时 \(\hat{H}_0\) 应选择为声子的 Hamiltonian, 它代表固体的简谐振动模式: \(\hat H_0=\sum_{\mathbf{q} s}\hbar\omega_{\mathbf{q} s}(\hat b^\dagger_{\mathbf{q} s}\hat b_{\mathbf{q} s}+1/2)\), 其中 \(\mathbf{q},s\) 标记波矢和振动支. 位移展开中三次及更高次的非简谐项给出声子之间的相互作用.
这两种选择代表了电子的两个不同相. 若从 \(\hat{K}_0\) 的不恰当选择出发, 单靠微扰方法永远无法得到正确答案.
将物理量表示为泛函积分:
\[Z = \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S_0[\psi,\psi^*]+S_V[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) = Z_0 \left\langle \exp\!\left( -\frac{S_V[\psi^*,\psi]}{\hbar} \right) \right\rangle_0,\]
其中
\[\begin{aligned} S_0[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \psi^*(\tau)\cdot \hbar\partial_\tau \psi(\tau) +\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\psi_\alpha^*(\tau)\psi_\alpha(\tau) \right]\\ S_V[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, V(\psi^*(\tau),\psi(\tau)), \end{aligned}\]
可观测量期望
\[\left\langle \hat{F}(\psi^*,\psi)\right\rangle_0 \equiv \frac{1}{Z_0} \int_{\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\hat{F}(\psi^*,\psi).\]
将上述相互作用指数按 \(V\) 的幂级数展开:
\[\frac{Z}{Z_0} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n\, \left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0.\]
应用公式计算展开
\[\left\langle \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_k}(\tau_k) \psi_{\beta_k}^*(\tau_k')\cdots \psi_{\beta_1}^*(\tau_1') \right\rangle_0 = (-1)^k\sum_P \zeta^P \mathcal{G}_{0\alpha_{P_k}\beta_k}(\tau_{P_k},\tau_k') \cdots \mathcal{G}_{0\alpha_{P_1}\beta_1}(\tau_{P_1},\tau_1'),\]
此式由 Gaussian 积分公式导出
\[\frac{ \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \psi_{i_1}\psi_{i_2}\cdots \psi_{i_k} \psi_{j_k}^*\cdots \psi_{j_2}^*\psi_{j_1}^*\, \mathrm{e}^{-\sum_{ij}\psi_i^*S_{ij}\psi_j} }{ \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{-\sum_{ij}\psi_i^*S_{ij}\psi_j} } = \sum_P \zeta^P S^{-1}_{i_{P_k}j_k}\cdots S^{-1}_{i_{P_1}j_1},\]
其中 \(S_{ij}^{-1}=-[\mathcal{G}_0]_{ij}\).

Wick’s theorem 本质上是上述公式的重述:
\[\left\langle \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\beta_n}^*(\tau_n')\cdots \psi_{\beta_1}^*(\tau_1') \right\rangle_0 = \sum \text{all complete contractions}.\]
- 对所有可能的 \(\psi_i\) 与 \(\psi_j^*\) 配对方式求和 (完全缩并). 每个配对代以因子 \(S_{ij}^{-1}\equiv -\mathcal{G}_0(\alpha_i\tau_i,\beta_j\tau_j')\).
- 完全缩并的符号 \(\zeta^P\) 由将配对的 \(\psi_i\) 和 \(\psi_j^*\) 移至相邻位置的置换 \(P\) 决定.

Convergency 微扰论通常给出渐近级数而非收敛级数, 如下简单示例所示:

\[Z(g) = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/2-gx^4/4} \approx \sum_n g^n Z_n.\]

该级数不收敛, 因为对固定 \(g>0\), 当 \(n\to \infty\) 时 \(|g^n Z_n|\sim (4gn/\mathrm{e})^n/\sqrt{n\pi}\to \infty\).
重整求和可为渐近级数定义有限的值, 但不保证原级数收敛. 如下非交错示例须选定主值处方, 且 \(t\to0^+\):
\[\mathcal{P}\!\int_0^\infty \mathrm{d}w\, \frac{\mathrm{e}^{-w/t}}{1-w} \simeq \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^\infty \mathrm{d}w\,w^n\mathrm{e}^{-w/t} = \sum_{n=0}^{\infty} n!t^{n+1}.\]
若无论如何都无法使展开收敛, 则应考虑 \(\hat{K}_0\) 的选择不恰当的可能性, 即存在非平庸相的可能性.

4.2 Finite Temperature Formalism

我们计算两体相互作用的展开
\[V\!\bigl(\psi^*(\tau),\psi(\tau)\bigr) = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta\gamma\delta} (\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\, \psi_\alpha^*(\tau)\psi_\beta^*(\tau)\psi_\delta(\tau)\psi_\gamma(\tau),\]
将完全缩并用图表示即得到 Feynman 图技术.

4.2.1 Labeled Feynman Diagrams

可用一组图表示 \(\left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0\).

General idea
- 每个 \(V(\tau_i)\) 由一个具有两条入线和两条出线的顶点表示, 携带矩阵元 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\).
  
  箭头指示矩阵元中态指标的顺序. 缩并, 即 Green 函数, 由传播子(propagator)线表示. 注意箭头方向并不是时序, 而是从产生到湮灭.
- 对幂级数展开
  \[\frac{Z}{Z_0} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n\, \left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0.\]
  \(n\) 阶项由具有 \(n\) 个顶点 \(\tau\) (看起来像线但其实叫点)和 \(2n\) 条传播子线(注意四个传播子在封闭图平均下来是两条线)的图表示.
- 以所有可能的方式用传播子线连接相互作用顶点. 画出所有不同的图, 并确定符号和系数.
Distinct labeled diagrams 每个顶点标注时间 \(\tau_i\) 和方向. 每条传播子标注方向. 若两个标注图不能通过变形完全重合 (包括顶点的时间标注和传播子线的方向), 则它们不同.
Signs and coefficients 每个闭合 Fermion 传播子圈贡献符号 \(-1\). \(n\) 阶图具有整体因子 \((-1/\hbar)^n/(2^n n!)\).

Rules for labeled diagrams

画出所有由 \(n\) 个顶点和 \(2n\) 条传播子线连接而成的不同标注图.
为每条传播子线分配态指标, 并包含因子

等时传播子 \(\tau=\tau'\) 解释为 \(\tau'=\tau+0^+\), 因为相互作用处于正规序, 即产生算符在左, 湮灭算符在右.
每个顶点包含因子 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\).
对所有态指标求和, 并对所有时间在区间 \([0,\hbar\beta)\) 上积分.
结果乘以因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \times \frac{1}{2^n} \times \zeta^{n_L} \times (-1)^{2n} = \frac{(-1/\hbar)^n}{2^n n!}\zeta^{n_L},\]
其中 \(n_L\) 是闭合 Fermion 圈数. \((-1/\hbar)^n/n!\) 是幂级数展开系数; \(1/2^n\) 是相互作用势中的系数; \(\zeta^{n_L}\) 是Wick 缩并的符号; \((-1)^{2n}\): 每个缩并对应一个 \(-\mathcal{G}\) 因子, 共 \(2n\) 个缩并.

4.2.2 Unlabeled Feynman Diagrams

仅因 \(\tau\) 标签和顶点箭头方向不同而异的标注图给出相同的贡献. 我们可以通过消除这些标签来简化 Feynman 规则.

Symmetry factor \(S\)

共有 \(2^n n!\) 个对称操作: \(n!\) 个时间标签的置换; \(2^n\) 个顶点方向(虚线)的翻转.
并非所有操作都产生不同的标注图. 对给定的标注图, 存在一个仅产生变形的操作子群. 对称因子 \(S\) 为该子群的阶. 因此给出相同值的不同标注图的数量为
\[\frac{2^n n!}{S}.\]
因此, 标注图只需计算一次, 再将结果乘以上述因子.
Remark Simple rule for determining \(S\):
- 移除一条传播子线得到一个自能图. 对不同传播子线重复此过程以获得 \(2n\) 个自能图.
- 并非所有得到的自能图都不同, 某个图可能出现多次. 若切开后的图没有保持外腿固定的非平凡自同构, 对称因子 \(S\) 等于该图出现的次数. 一般地, 若该次数为 \(m\), 切开图的对称因子为 \(S_{\mathrm{cut}}\), 则 \(S=mS_{\mathrm{cut}}\).

Example \(n = 2\)

这些 \(S\) 是无标号图的对称因子: 保持费米线方向与相互作用端点连接的重标号数, 不按画面中的距离或弯曲程度计数. 五幅图从左到右为 \(4,2,1,2,4\).

后面两个都要联合操作(旋转), 分别转 180 和 90 度.

Rules for unlabeled diagrams

画出所有不含时间标签和顶点方向的不同图.
乘以因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n}{2^n n!} \times \zeta^{n_L} \times \frac{2^n n!}{S} = \frac{(-1/\hbar)^n}{S}\zeta^{n_L}.\]

4.2.3 Hugenholtz Diagrams

我们可通过消除显式的虚线相互作用线进一步简化图解. 引入对称化或反对称化的矩阵元

\[\{\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta\} \equiv (\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta) + \zeta(\alpha\beta|\hat{v}|\delta\gamma).\]

注意矩阵元中 \(\alpha\beta\) 和 \(\gamma\delta\) 的顺序.

Symmetry factor

\[S=2^{n_e}S_D,\]

其中 \(S_D\) 是保持图不变的时间标签置换数, \(n_e\) 是等效传播子线对数. 等效对指两条传播子线始于同一顶点, 终于同一顶点, 指向相同方向. 前几个连通的 Hugenholtz 图为:

一阶:
二阶 (连通):
三阶 (连通):

三阶连通 Hugenholtz 图, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.38, 原讲义式(4.29). 图中 \(S_D\) 和 \(n_e\) 用于对称因子, 不能作为闭合传播子圈数 \(n_L\) 使用; 按上排、下排各从左到右的顺序, \(S=2^{n_e}S_D\) 分别为 2, 3, 2, 24, 6.
Remark Simple rule for determining \(S_D\):
- 依次移除一条非等效传播子线以生成一组自能图. 若两条传播子线构成等效对, 则只需移除一次.
- 仅当切开图没有残余的时间标签置换对称性时, \(S_D\) 等于同一图出现的次数; 一般应直接统计保持原图不变的时间标签置换.
\(n_L\) 确定方法:
- 将 Hugenholtz 图展开为任意一个对应的 Feynman 图;
- 按 Feynman 规则写出相互作用矩阵元, 再将 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\) 替换为 \(\{\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta\}\), 从而遍历所有图像;
- 数出新 Feynman 图中的闭合圈数.
\(n_L\) 按选定的 Feynman 展开计数. 若交换顶点入腿或出腿, 必须同时保留(反)对称矩阵元的排列符号; 最终图值不依赖于展开方式.

Overall factor

\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]

4.2.4 Frequency and Momentum Representation

对于空间和时间均匀的系统, 在动量/频率表象中计算更为便利. 相应对角 \(\alpha\)-基应解释为平面波基, 即 \(\alpha\to \mathbf{k}\).

Discrete momentum 假设粒子被限制在体积为 \(\mathcal{V}=L_xL_yL_z\) 的矩形盒中, 并满足周期性边界条件. 则允许的动量为

\[\mathbf{k} = 2\pi \left( \frac{n_x}{L_x}, \frac{n_y}{L_y}, \frac{n_z}{L_z} \right), \qquad n_x,n_y,n_z\in\mathbb Z.\]

在 \(\mathcal{V}\to\infty\) 极限下, \(\sum_{\mathbf{k}}\mapsto\frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3}\int \mathrm{d}^3k\).

平面波基中的相互作用矩阵元为
\[(\mathbf{k}_1\mathbf{k}_2|\hat{v}|\mathbf{k}_3\mathbf{k}_4) = \frac{1}{\mathcal{V}} \delta_{\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2,\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4}\, \tilde{v}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3).\]
这保证动量守恒.
由于虚时间上的(反)周期性, Green 函数可展开为
\[\mathcal{G}_{0\alpha}(\tau,\tau') \to \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\tau-\tau') = \frac{1}{\hbar\beta} \sum_{\omega_n} \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n)\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}, \qquad \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar}.\]
其中 \(\omega_n\) 是 Matsubara 频率.
内部时间积分导致每个顶点处频率守恒. 在具有 \(n\) 个顶点的连通图中, 仅有 \(n-1\) 个频率/动量守恒因子是独立的.

Diagram rules

为每条传播子线分配动量和频率, 使之在每个顶点处守恒, 并包含因子
对于起点和终点在同一顶点的传播子, 附加因子 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta}\).
每个顶点包含因子

动量表象的相互作用顶点, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.39, 原讲义式(4.39)–(4.40). 入射动量为 \(\mathbf{k}_1,\mathbf{k}_2\), 出射动量为 \(\mathbf{k}_3,\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3\). 上图为直接顶点, 下图为合并直接与交换项的 Hugenholtz 顶点; 图中省略守恒因子和自旋指标.

Remark 若相互作用不作用于自旋, 显式保留自旋指标时, 下图的势因子为
\[\tilde v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3)\delta_{\sigma_1\sigma_3}\delta_{\sigma_2\sigma_4} +\zeta\tilde v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)\delta_{\sigma_1\sigma_4}\delta_{\sigma_2\sigma_3}.\]
这里采用平移不变且满足 \(\tilde v(\mathbf{q})=\tilde v(-\mathbf{q})\) 的二体势, 动量守恒已令 \(\mathbf{k}_4=\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3\); 守恒因子仍按上文规则计入, 此处只写势与自旋部分. 对于 Fermion, \(\zeta=-1\); 两项的自旋选择条件不能省去后仍当作一般自旋顶点使用.
对每个独立动量/频率进行积分和求和
\[\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n}\int \frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d}.\]
乘以整体因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]
乘以额外因子 \((\hbar\beta\mathcal{V})^{n_c}\), 由整体平移不变性(冗余守恒量)给出. 其中 \(n_c\) 是图中的连通部分数.

Example 写出一阶和二阶(连通) Hugenholtz 图在动量-频率表象中的表达式.

Solution 记 \(j=(\mathbf k_j,\omega_{n_j})\)，\(\mathcal G_0(j)=\mathcal G_0(\mathbf k_j,\mathrm{i}\omega_{n_j})\). 一阶 Hugenholtz 图为

\[\mathcal{D}_1 =(\hbar\beta V) \left(-\frac{1}{2\hbar}\right) \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^2 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2}{(2\pi)^{2d}} \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{n_1}+\omega_{n_2})\eta} \left[v(\mathbf{0})+\zeta v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)\right]\]

二阶两类 Hugenholtz 图可写成

\[\begin{aligned} \mathcal{D}_{21} &=(\hbar\beta V)\frac{1}{2\hbar^2} \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^3 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2},\omega_{n_3}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_3}{(2\pi)^{3d}} \\ &\quad\times \left[v(\mathbf{0})+\zeta v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_1)\right] \left[v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)+\zeta v(\mathbf{0})\right] \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)^2\mathcal{G}_0(3) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{n_1}+\omega_{n_3})\eta} \\ \mathcal{D}_{22} &=(\hbar\beta V)\frac{1}{8\hbar^2} \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^3 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2},\omega_{n_3}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_3}{(2\pi)^{3d}} \\ &\quad\times \left[v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3)+\zeta v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)\right]^2 \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)\mathcal{G}_0(3)\mathcal{G}_0(4) \end{aligned}\]

其中 \(4=(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3,\omega_{n_1}+\omega_{n_2}-\omega_{n_3})\); 两式各有三组独立的内部动量和频率.

Example 求均匀体系中直接环图(\(S = 2n\))之和在频率-动量表象中的表达式

Solution 定义单个bubble, 他们共享差值 \((\mathbf{q},\nu_m)\)

\[\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) =\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}}{(2\pi)^d} \mathcal{G}_0(\mathbf{k}+\mathbf{q},\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\nu_m) \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)\]

第 \(n\) 阶直接环图

\[\begin{aligned} \mathcal{D}^{(n)}_{\mathrm{ring}} &=\hbar\beta V \cdot \frac{(-1/\hbar)^n\zeta^n}{2n} \cdot \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \left[ v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]^n \\ &=V\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \frac{1}{2n} \left[ -\frac{\zeta}{\hbar}v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]^n. \end{aligned}\]

按微扰阶数先作形式幂级数求和, 得到 (将其视为通常数项级数时, 要求 \(|\zeta v\Pi_0/\hbar|\lt1\); 交换求和与频率、动量积分还需可积控制)

\[\mathcal{D}_{\mathrm{ring}} =-\frac{V}{2}\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \ln\left[ 1+\frac{\zeta}{\hbar}v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]\]

对数分支从零耦合处连续选定. 超出级数收敛范围时, 此式是指定分支的延拓或重求和, 不能仅凭形式求和断言收敛; 频率和动量迹仍须按模型所需的正则化处理. 等价地, 利用平移不变性, \(\hat{v}\hat{\Pi}_0\) 在 \((\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m)\) 表象中为对角算符:

\[\langle \mathbf{q},\nu_m|\hat{v}\hat{\Pi}_0|\mathbf{q}',\nu_m'\rangle = v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \delta_{\mathbf{q}\mathbf{q}'}\delta_{\nu_m\nu_m'}.\]

因此可将环图和写成 trace-log:

\[\mathcal{D}_{\mathrm{ring}} = -\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathbf{q},\nu_m} \ln\left[ 1+\frac{\zeta}{\hbar}\hat{v}\hat{\Pi}_0 \right],\]

其中 trace 包含动量态计数:

\[\operatorname{Tr}_{\mathbf{q},\nu_m}F(\hat{v}\hat{\Pi}_0) = V\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d}\, F\!\left(v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m)\right).\]

Lemma Matsubara 频率求和公式

\[S(x) =\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n}\frac{e^{\mathrm{i}\omega_n\epsilon}}{\mathrm{i}\omega_n-x} =-\frac{\zeta e^{\epsilon x}}{e^{\hbar\beta x}-\zeta},\qquad 0\lt \epsilon\lt \hbar\beta.\]

Proof 取避开 Matsubara 极点和 \(x\) 的大矩形围道, 对

\[f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\epsilon z}}{(z-x)(\mathrm{e}^{\hbar\beta z}-\zeta)}\]

应用留数定理. Matsubara 极点的留数为 \(\zeta\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\epsilon}/[\hbar\beta(\mathrm{i}\omega_n-x)]\), 因为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\hbar\beta}=\zeta\) 且 \(1/\zeta=\zeta\). 另一极点的留数为 \(\mathrm{e}^{\epsilon x}/(\mathrm{e}^{\hbar\beta x}-\zeta)\).

取矩形上下边位于相邻 Matsubara 极点的中间. 由于 \(0\lt \epsilon\lt \hbar\beta\), 右半平面有 \(\mathrm{e}^{-(\hbar\beta-\epsilon)\operatorname{Re}z}\) 衰减, 左半平面有 \(\mathrm{e}^{\epsilon\operatorname{Re}z}\) 衰减. 上下边沿实部方向的绝对积分一致有界, 再乘 \(1/(z-x)\) 给出随围道高度趋零的贡献. 因而围道积分趋于零, 得

\[\zeta S(x)+\frac{\mathrm{e}^{\epsilon x}}{\mathrm{e}^{\hbar\beta x}-\zeta}=0.\]

乘以 \(\zeta\) 即得结论. \(x\) 不得与求和极点重合; 例如 Bose 情形的 \(x=0\) 须另行处理零模.

4.2.5 The Linked Cluster Theorem

巨势由所有连通图之和决定:

\[\Omega = -\frac{1}{\beta}\ln Z = \Omega_0 -\frac{1}{\beta}\sum(\text{all connected graphs}).\]

Proof 将每种连通真空图的完整权重(含顶点展开系数和内部对称因子)记为 \(C_\gamma\). 任意真空图唯一分解成连通分量. 若同一连通图出现 \(m_\gamma\) 次, 交换这些相同分量给出 \(1/m_\gamma!\), 因而按微扰阶数逐阶有

\[\frac{Z}{Z_0} =\prod_\gamma\sum_{m_\gamma=0}^{\infty}\frac{C_\gamma^{m_\gamma}}{m_\gamma!} =\exp\!\left(\sum_\gamma C_\gamma\right).\]

取对数即得 \(\ln Z=\ln Z_0+\sum_\gamma C_\gamma\). 这是形式幂级数恒等式, 不要求证明整个微扰级数收敛, 也无需假设整数复制数的任意解析延拓. 对带外腿的归一化平均, 不接触任何外腿的真空分量同样指数化, 并与分母 \(Z/Z_0\) 抵消.

4.2.6 Green’s Functions

Green 函数可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} &\mathcal{G}^{(n)} (\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n; \alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') \\ &\quad = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\hat{a}_{\alpha_n}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^\dagger(\tau_n')\cdots\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(\tau_1') \right] \right\rangle \\ &\quad = (-1)^n \frac{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]

Green 函数的计算与 \(\ln Z\) 类似:

只有连通图对 Green 函数有贡献. 此处 “连通” 指图的每一部分都与外顶点相连.
外腿带固定标签, 会去掉可交换外腿带来的因子; 内部仍可能有保持外腿不动的图自同构, 因而一般不能断言对称因子恒为 1. 以下图规则仍需按所用顶点和缩并计数约定计算权重.

Diagram rules 对于 \(r\) 阶图:

画出所有不同的连通图, 由 \(n\) 条外向传播子 \(\alpha_i\tau_i\), \(n\) 条内向传播子 \(\alpha_i^{\prime}\tau_i^{\prime}\) 和 \(r\) 个相互作用顶点组成. 总共 \(n+2r\) 条传播子.

单粒子 Green 函数的连通图展开, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.41, 原讲义式(4.46). 带箭头实线为传播子, 虚线为二体相互作用. 图下 1 为一阶项, \(2^{\prime}\) 为两个一阶正规自能的串接, 2 为二阶正规自能项; 这些分组标记不是对称因子.
赋予顶点和传播子通常的因子.
对所有内部单粒子指标求和, 并将 \(r\) 个内部时间在区间 \([0,\hbar\beta]\) 上积分.
结果乘以因子
\[\frac{1}{S}\left(-\frac{1}{\hbar}\right)^r \zeta^P \zeta^{n_L},\]
其中 \(S\) 为保持外腿固定的图对称因子, \(n_L\) 为闭合传播子圈数, \(P\) 为外向粒子相对于内向粒子的置换. 对于两粒子 Green 函数, 因子 \(\zeta^P\) 生成通常的直接项和交换项.

Proper self-energy 单粒子 Green 函数的图可组织成正规自能插入的链. 记 \(\Sigma\) 为正规自能,

\[\mathcal{G} = \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar^2}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0 + \cdots = \mathcal{G}_0+\frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}.\]

以上乘积应理解为矩阵乘积或卷积. 所得方程为 Dyson 方程, 其解为

\[\mathcal{G} = \left(I-\frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\right)^{-1}\mathcal{G}_0.\]

这是重整求和的一个例子.

4.3 Zero Temperature Formalism

当多体基态与非相互作用基态有非零重叠时, 可以对零温度 Fermion 系统发展实时间形式体系.

对具有 Bose-Einstein 凝聚的零温 Boson 系统, 必须显式处理凝聚场和反常传播子, 不能直接套用这里的正常态 Fermi 海展开. 是否凝聚取决于维数、相互作用和模型.

4.3.1 Ground-State Energy and Green’s Function

我们寻找以下量的零温度对应物:

基态能表达式 \[Z = \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S_0[\psi,\psi^*]+S_V[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) = Z_0 \left\langle \exp\!\left( -\frac{S_V[\psi^*,\psi]}{\hbar} \right) \right\rangle_0,\]
Green 函数 \[\begin{aligned} &\mathcal{G}^{(n)} (\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n; \alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') \\ &\quad = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\hat{a}_{\alpha_n}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^\dagger(\tau_n')\cdots\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(\tau_1') \right] \right\rangle \\ &\quad = (-1)^n \frac{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]

Ground-state energy 在同一固定粒子数 \(N_0\) 的扇区内, 令 \(|\Phi_n\rangle\) 和 \(W_n\) 为 \(\hat{H}_0\) 的本征态和本征能量, \(|\Psi_n\rangle\) 和 \(E_n\) 为完整 Hamiltonian \(\hat{H}\) 的本征态和本征能量. 基本关系为

\[\frac{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}_0 T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } = \sum_n |\langle\Phi_0|\Psi_n\rangle|^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_n-W_0)T_0/\hbar} \xrightarrow [\operatorname{Im}T_0\to -\infty]{} |\langle\Phi_0|\Psi_0\rangle|^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_0-W_0)T_0/\hbar}.\]

该关系仅当 \(|\Phi_0\rangle\) 不与 \(|\Psi_0\rangle\) 正交, 且 \(|\Psi_0\rangle\) 非简并时成立.

Gell-Mann and Low theorem 对于 Hamiltonian

\[\hat{H}_\eta(t)=\hat{H}_0+\mathrm{e}^{-\eta |t|}\hat{V}\]

它绝热地开启和关闭相互作用, 若 \(\eta\to 0^+\) 时极限

\[|\Psi_\eta^{(\pm)}\rangle = \frac{U_{\eta I}(0,\pm\infty)|\Phi_0\rangle} {\langle \Phi_0|U_{\eta I}(0,\pm\infty)|\Phi_0\rangle}\]

存在, 则极限态 \(\lim_{\eta\to0^+}|\Psi_\eta^{(\pm)}\rangle\) 是 \(\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}\) 的本征态. 要将其认作基态, 还须排除绝热路径上的能级交叉. 其中

\[U_{\eta I}(t_1,t_2) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}_0t_1/\hbar} U_\eta(t_1,t_2) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}_0t_2/\hbar}\]

是相互作用绘景中的时间演化算符.

时间域重新定义为:
- \(C_\beta\): \(t=-\mathrm{i}\tau\), \(\tau\in[0,\hbar\beta)\), 用于有限温度形式体系;
- \(C_t\): \(t=(1-\mathrm{i}\eta)t_R\), \(\eta=0^+\), \(t_R\in[-T_0/2,T_0/2]\), 用于零温度实时间形式体系.
基态能移为
\[E_0-W_0 = \lim_{T_0\to (1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\ln\frac{\mathcal{Z}}{\mathcal{Z}_0}, \qquad \mathcal{Z} = \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle.\]

Notation 下文的平衡 Green 函数采用 \(K=H-\mu N\) 生成时间演化, \(K_0=H_0-\mu N\). 在固定粒子数 \(N_0\) 的投影振幅中, \(\mathcal{Z}_K=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu N_0T_0/\hbar}\mathcal{Z}_H\), 因而 \(\mathcal{Z}_K/\mathcal{Z}_{K0}=\mathcal{Z}_H/\mathcal{Z}_{H0}\), 基态能移仍为 \(E_0-W_0\). 以下泛函积分中的 \(\mathcal{Z}\)、\(\mathcal{Z}_0\) 和 \(\mathcal{U}\) 均采用 \(K\)、\(K_0\) 生成演化; 上标 \((H)\) 只表示 Heisenberg 绘景.

Functional integrals “配分函数” 可用实时间泛函积分计算:

\[\begin{aligned} \mathcal{Z} &= \langle \Phi_0|\hat{\mathcal{U}}(T_0/2,-T_0/2)|\Phi_0\rangle \\ &= \int \mathrm{d}\mu(\psi_f)\,\mathrm{d}\mu(\psi_i)\, \mathcal{U}\!\left( \psi_f^*,\frac{T_0}{2}; \psi_i,-\frac{T_0}{2} \right) \langle \Phi_0|\psi_f\rangle \langle \psi_i|\Phi_0\rangle \\ &= \mathcal{U}\!\left( 0,\frac{T_0}{2}; 0,-\frac{T_0}{2} \right). \end{aligned}\]

为得到最后一行, 须将未占据轨道取 \(b_\alpha=a_\alpha\)、已占据轨道取 \(b_\alpha=a_\alpha^\dagger\), 用这些粒子-空穴算符构造以 \(|\Phi_0\rangle\) 为真空的相干态. 此时两端重叠均为 1, 但 Hamiltonian、粒子数和相互作用也必须改写为 \(b^\dagger,b\) 的正规序多项式, 不能保留原电子场的形式不变. 下文插入原电子算符时, 粒子子空间的 \(a\) 对应 \(b\), 空穴子空间的 \(a\) 对应 \(b^\dagger\).

Perturbative expansion 微扰展开变为

\[\begin{aligned} \mathcal{Z} &= \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left[ \frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_0[\psi^*,\psi] - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \\ &= \mathcal{Z}_0 \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0}, \end{aligned}\]

其中

\[\begin{aligned} S_0[\psi^*,\psi] &\equiv \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \Bigl[ \psi^*(t)\cdot\mathrm{i}\hbar\partial_t\psi(t) - K_0(\psi^*,\psi) \Bigr], \\ \mathcal{Z}_0 &\equiv \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S_0[\psi^*,\psi]/\hbar}, \\ \left\langle F\bigl(\hat{a}^\dagger(t_\alpha),\hat{a}(t_\beta)\bigr) \right\rangle_{K_0} &= \frac{1}{\mathcal{Z}_0} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S_0[\psi^*,\psi]/\hbar} F(\psi^*,\psi). \end{aligned}\]

这里 \(K_0(\psi^*,\psi)\)、\(V(\psi^*,\psi)\) 和 \(F(\psi^*,\psi)\) 均指完成粒子-空穴重写后的多项式; 例如 \(K_0=(W_0-\mu N_0)+\sum_\alpha|\epsilon_\alpha-\mu|\psi_\alpha^*\psi_\alpha\). 边界条件为 \(\psi^*(T_0/2)=\psi(-T_0/2)=0\).

Green 函数 零温度 \(n\)-粒子 Green 函数为

\[\begin{aligned} &G^{(n)} (\alpha_1t_1,\cdots,\alpha_nt_n; \alpha_1't_1',\cdots,\alpha_n't_n') \\ &\quad = (-\mathrm{i})^n \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(t_n) \psi_{\alpha_n'}^*(t_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_{K_0} }{ \left\langle \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \hat{V}\!\bigl(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0} }. \end{aligned}\]

Proof 对于单粒子 Green 函数, 可显式证明

\[\begin{aligned} &-\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_{K_0} }{ \left\langle \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \hat{V}\!\bigl(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0} } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \langle\Phi_0| \hat{T}\!\left[ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\,\hat{K}(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t))} \hat{a}_{\alpha_1}(t_1)\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(t_1') \right] |\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \langle\Phi_0| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/(2\hbar)} \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/(2\hbar)} |\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \sum_{lm} \frac{\langle\Phi_0|\Psi_l\rangle\langle\Psi_m|\Phi_0\rangle} {|\langle\Phi_0|\Psi_0\rangle|^2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_l+E_m-2E_0)T_0/(2\hbar)} \langle\Psi_l| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_m\rangle \\ &\quad = -\mathrm{i}\langle \Psi_0| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_0\rangle. \end{aligned}\]

所有 \(l\neq 0\) 或 \(m\neq 0\) 的项在倾斜时间极限下被指数压低. 单粒子情形下的最终结果为

\[G^{(1)}_{\alpha_1\alpha_1'}(t_1,t_1') = -\mathrm{i}\langle \Psi_0| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_0\rangle.\]

4.3.2 Diagram Rules

通过以下替换, 可将有限温度 Feynman 图规则适用于零温度实时间形式体系.

Time substitutions

\[\begin{aligned} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau &\rightarrow \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t, & \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} &\rightarrow \int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}, & \hbar\beta &\rightarrow T_0. \end{aligned}\]

Overall factor

\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S} \rightarrow \frac{(-\mathrm{i}/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]

Green 函数

\[-\mathcal{G}_{0\alpha}(\tau-\tau') \rightarrow \mathrm{i}G_{0\alpha}(t-t'), \qquad -\tilde{\mathcal{G}}_{0\alpha}(\omega_n) \rightarrow \mathrm{i}\tilde{G}_{0\alpha}(\omega),\]

其中 \(G_0\) 是实时间自由 Green 函数.

基态能的期望值可从所有连通图得到:

\[E_0-W_0 = \lim_{T_0\to\infty} \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0} \sum(\text{all connected diagrams}).\]

4.3.3 Free Fermion Propagators

引入粒子-空穴算符是因为电子湮灭算符并不湮灭非相互作用基态.

对于 \(\epsilon_\alpha\le\mu\), \(\hat{a}_\alpha|\Phi_0\rangle\neq 0\), 因为 \(|\Phi_0\rangle\) 是填充的 Fermi 海而非空态. 定义

\[\hat{b}_\alpha = \begin{cases} \hat{a}_\alpha, & \epsilon_\alpha\gt\mu,\\ \hat{a}_\alpha^\dagger, & \epsilon_\alpha\le\mu. \end{cases}\]

则

\[\hat{K}_0 \equiv \hat{H}_0-\mu\hat{N} = \sum_{\epsilon_\alpha\le\mu}(\epsilon_\alpha-\mu) + \sum_\alpha |\epsilon_\alpha-\mu|\,\hat{b}_\alpha^\dagger\hat{b}_\alpha.\]

算符 \(\hat{b}_\alpha\) 满足通常的正则代数并湮灭非相互作用基态: \(\hat{b}_\alpha|\Phi_0\rangle=0\).

Generating functional 对于自由 Fermion 传播子,

\[\mathscr{G}_0[J^*,J] = \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{a}_\alpha(t)+\hat{a}_\alpha^\dagger(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0},\]

其中对重复的单粒子标签求和. 实时间传播子由下式生成

\[\mathrm{i}G_0(\alpha t;\alpha't') = -\left. \frac{\delta^2\mathscr{G}_0[J^*,J]} {\delta J_\alpha^*(t)\delta J_{\alpha'}(t')} \right|_{J^*=J=0}.\]

Particle and hole sectors 生成泛函分解为粒子部分和空穴部分

\[\begin{aligned} \mathscr{G}_0[J^*,J] &= \mathscr{G}_0^{(+)}[J^*,J]\, \mathscr{G}_0^{(-)}[J^*,J] \\ \mathscr{G}_0^{(+)}[J^*,J] &= \prod_{\epsilon_\alpha\gt\mu} \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{b}_\alpha(t)+\hat{b}_\alpha^\dagger(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0} = \prod_{\epsilon_\alpha\gt\mu} \exp\!\left[ \sum_{jk}J_{\alpha,j}^*(S^{(\alpha)})^{-1}_{jk}J_{\alpha,k} \right], \\ \mathscr{G}_0^{(-)}[J^*,J] &= \prod_{\epsilon_\alpha\le\mu} \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{b}_\alpha^\dagger(t)+\hat{b}_\alpha(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0} = \prod_{\epsilon_\alpha\le\mu} \exp\!\left[ \sum_{jk}J_{\alpha,j}(S^{(\alpha)})^{-1}_{jk}J_{\alpha,k}^* \right]. \end{aligned}\]

Gaussian 积分中使用的离散时间二次型矩阵的形式为

\[S^{(\alpha)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{pmatrix}, \qquad a=1-\mathrm{i}\frac{T_0|\epsilon_\alpha-\mu|}{\hbar M}.\]

对于 \(\epsilon_\alpha\gt\mu\),
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t_q;\alpha't_r) = \delta_{\alpha\alpha'}(S^{(\alpha)})^{-1}_{qr} = \delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t_q-t_r)/\hbar} \theta(t_q-t_r-0^+).\]
对于 \(\epsilon_\alpha\le\mu\),
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t_q;\alpha't_r) = -\delta_{\alpha\alpha'}(S^{(\alpha)})^{-1}_{rq} = -\delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t_q-t_r)/\hbar} \theta(t_r-t_q+0^+).\]
额外的负号来自交换空穴部分中的 \(J^*\) 和 \(J\).
合并两部分给出完整的时间域传播子
\[\begin{aligned} \mathrm{i}G_0(\alpha t;\alpha't') &= \delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t-t')/\hbar} \left[ \theta(t-t'-\eta_t)(1-n_\alpha) - \theta(t'-t+\eta_t)n_\alpha \right], \\ n_\alpha &= \theta(\mu-\epsilon_\alpha). \end{aligned}\]
Fourier 变换为
\[\tilde{G}_{0\alpha}(\omega) = \int\mathrm{d}t\,G_0(\alpha t;\alpha 0)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}} {\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta_\omega\operatorname{sgn}(\epsilon_\alpha-\mu)}.\]
这里 \(\eta_t\to0^+\) 的量纲是时间, \(\eta_\omega\to0^+\) 的量纲是频率. 推导极点约定时用到的阶跃函数 Fourier 表示为
\[\theta(\pm t) = \mp\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega\pm\mathrm{i}\eta_\omega}.\]

4.4 Contour Formalism

围线编时 Green 函数也可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} &G_C^{(n)} (\alpha_1t_1,\cdots,\alpha_nt_n; \alpha_1't_1',\cdots,\alpha_n't_n') \\ &\quad = (-\mathrm{i})^n \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(t_n) \psi_{\alpha_n'}^*(t_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]

顶点和缩并计数采用围线上的编时规则, 时间积分沿 Keldysh 围线 \(C=C_1\cup C_2\cup C_\beta\):

\(C_1\) 从初始时刻 \(t_{\mathrm{i}}\) 向前至观测终点;
\(C_2\) 返回 \(t_{\mathrm{i}}\);
\(C_\beta\) 再向下至 \(t_{\mathrm{i}}-\mathrm{i}\hbar\beta\).

各分支的演化生成元为:

实时间支由物理 \(H(t)\) 生成演化;
虚时支由 \(K_{\mathrm i}=H_{\mathrm i}-\mu N\) 生成.

从而编码初态 \(\rho_{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm{i}}}/Z_{\mathrm{i}}\); 初始平衡态取 \([H_{\mathrm{i}},N]=0\).

因而不能将以 \(K=H-\mu N\) 演化得到的 \(\epsilon-\mu\) 频率零点不加转换地用于非平衡实时间支.

Adiabatic assumption 假设相互作用在 \(t=-T_0/2\to -\infty\) 处为零, 沿 \(C_1\) 绝热开启, 并沿 \(C_2\) 绝热关闭. 若初态为无相互作用系综, 垂直段上的相互作用顶点可省去. 若初态有关联, 仅令相互作用在遥远过去趋零并不自动证明垂直段或初始关联记忆消失; 还需绝热制备和所取极限的条件, 特别是对瞬态问题.

Keldysh space 函数 \(A(t,t')\) 属于 Keldysh 空间, 若可写为
\[A(t,t') = A_\delta(t)\delta(t,t') + \theta(t,t')A^>(t,t') + \theta(t',t)A^\lt (t,t').\]
此处 \(t\) 和 \(t'\) 都是围线时间, 而 \(A_\delta(t)\), \(A^>(t,t')\), \(A^\lt (t,t')\) 不依赖于其自变量的围线分支. 函数 \(\delta(t,t')\) 和 \(\theta(t,t')\) 分别为围线 delta-函数和围线 Heaviside 函数. 围线 delta-函数仅当两个时间位于同一分支时非零; 特别地, \(\delta(t^{\pm},t'^{\mp})=0\). 推迟和超前分量定义为
\[\begin{aligned} A^r(t,t') &= A_\delta(t)\delta(t-t') + \theta(t-t')\bigl[A^>(t,t')-A^\lt (t,t')\bigr], \\ A^a(t,t') &= A_\delta(t)\delta(t-t') - \theta(t'-t)\bigl[A^>(t,t')-A^\lt (t,t')\bigr]. \end{aligned}\]
Convolution 若 \(A(t,t')\) 和 \(B(t,t')\) 属于 Keldysh 空间, 则其围线卷积
\[C(t,t') = \int_C\mathrm{d}t_1\,A(t,t_1)B(t_1,t')\]
也属于 Keldysh 空间.
Product 若 \(A(t,t')\) 和 \(B(t,t')\) 属于 Keldysh 空间且其 \(\delta\)-分量恒为零, 则乘积
\[C(t,t') = A(t,t')B(t,t'), \qquad D(t,t') = A(t,t')B(t',t)\]
也属于 Keldysh 空间.

Langreth theorem 将围线定义的量用实时间 Green 函数表示. 以下关系忽略了垂直段 \(C_\beta\) 的贡献, 并假设所有量都属于 Keldysh 空间. 围线定义量的 Langreth 平移规则

Contour	Real axis
\(C=\int_C AB\)	\(C^\lt = \int_t [A^r B^\lt + A^\lt B^a]\) \(C^> = \int_t [A^r B^> + A^> B^a]\) \(C^r = \int_t A^r B^r\) \(C^a = \int_t A^a B^a\)
\(D=\int_C ABC\)	\(D^\lt = \int_t [A^r B^r C^\lt + A^r B^\lt C^a + A^\lt B^a C^a]\) \(D^> = \int_t [A^r B^r C^> + A^r B^> C^a + A^> B^a C^a]\) \(D^r = \int_t A^r B^r C^r\) \(D^a = \int_t A^a B^a C^a\)
\(C(t,t') = A(t,t')B(t,t')\)	\(C^\lt (t,t') = A^\lt (t,t')B^\lt (t,t')\) \(C^>(t,t') = A^>(t,t')B^>(t,t')\) \(C^r(t,t') = A^>(t,t')B^r(t,t') + A^r(t,t')B^\lt (t,t')\) \(C^a(t,t') = A^>(t,t')B^a(t,t') + A^a(t,t')B^\lt (t,t')\)
\(D(t,t') = A(t,t')B(t',t)\)	\(D^\lt (t,t') = A^\lt (t,t')B^>(t',t)\) \(D^>(t,t') = A^>(t,t')B^\lt (t',t)\) \(D^r(t,t') = A^\lt (t,t')B^a(t',t) + A^r(t,t')B^\lt (t',t)\) \(D^a(t,t') = A^\lt (t,t')B^r(t',t) + A^a(t,t')B^\lt (t',t)\)

前两行对应二重和三重围线卷积, 后两行对应点态乘积. 前两行的围线积分解释为

\[C(t,t') = \int \mathrm{d}t_1\,A(t,t_1)B(t_1,t'), \qquad D(t,t') = \int \mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2\, A(t,t_1)B(t_1,t_2)C(t_2,t').\]

4.4.1 Dyson Equation in Keldysh’s Formalism

Dyson 方程可推广到围线 Green 函数:

\[G_C = G_{C0} + \frac{1}{\hbar}G_{C0}\Sigma_C G_C.\]

此处所有量应解释为矩阵, 乘法应解释为矩阵乘法和卷积. 通过应用 Langreth 规则, 该方程可用实时间 Green 函数表达.

以下采用无初始相互作用关联的实时间轮廓, 或从遥远过去绝热制备的情形. 若初态带有关联并保留虚时支, 还需混合实虚时分量给出的初始关联项. 下式中含 \(G_0^\lt\) 的项保留了初始占据; 只有证明这些记忆项在所取稳态极限消失后, 才可简化为 \(G^\lt=G^r\Sigma^\lt G^a/\hbar\).

Retarded/Advanced Green 函数

\[G^{r/a} = G_0^{r/a} + \frac{1}{\hbar}G_0^{r/a}\Sigma^{r/a}G^{r/a}, \qquad G^{r/a} = \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^{r/a}\Sigma^{r/a}\right)^{-1}G_0^{r/a},\]

Lesser Green 函数

\[G^\lt = G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r\right) G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right).\]

Proof

应用 Langreth 规则:
\[G^\lt = G_0^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^r}{\hbar}G^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + G_0^\lt \frac{\Sigma^a}{\hbar}G^a,\]
求解方程:
\[\begin{aligned} G^\lt &= \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} \left( G_0^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + G_0^\lt \frac{\Sigma^a}{\hbar}G^a \right) \\ &= G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right). \end{aligned}\]
有
\[\left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} = G^r(G_0^r)^{-1} = \left(G_0^r+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^rG_0^r\right)(G_0^r)^{-1} = I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r.\]

代入该恒等式后达到最终形式

\[G^\lt = G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r\right) G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right).\]

4.5 Summary

为统一虚时间有限温度形式体系和实时间零温度形式体系, 引入
\[\iota= \begin{cases} -1, & \text{热/虚时间}\\ \mathrm{i}, & \text{实时} \end{cases} \implies \iota \mathcal{G}_{0\alpha} = \exp\!\left[ \frac{(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau-\tau')}{\iota\hbar} \right] \left[ (1+\zeta n_\alpha)\theta(\tau-\tau') + \zeta n_\alpha\theta(\tau'-\tau) \right]\]
自由 Green 函数写为统一形式. 其中 \(n_\alpha\) 是态 \(\alpha\) 的占据数. 在实时间形式体系中, \(\mathcal{G}_0\) 解释为实时间 \(G_0\), \(\tau\) 解释为 \(t\).
在频率/动量域,
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n) &= \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar}, \qquad \omega_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{\hbar\beta}, & \text{Bosons},\\[4pt] \dfrac{(2n+1)\pi}{\hbar\beta}, & \text{Fermions}. \end{cases} \\ G_0(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1+\zeta n_{\mathbf{k}}} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta} - \frac{\zeta n_{\mathbf{k}}} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta} \\ &= \frac{1} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta\,\operatorname{sgn}(k-k_F)} \qquad (T=0). \end{aligned}\]
传播子线/顶点和求和因子汇总

对于零温度形式体系, \(\mathcal{G}_0\) 解释为 \(G_0\), \(\omega_n\) 为连续 \(\omega\), \(\tau\) 为 \(t\).
\(n\) 阶图具有整体因子
\[\frac{1}{S} \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^n \zeta^{n_L},\]
其中 \(S\) 为图的对称因子, \(n_L\) 为 Fermion 圈数. 对于 Green 函数, 包含额外因子 \(\zeta^P\), 其中 \(P\) 为外向粒子线相对于内向粒子线的置换. 对称因子的确定方法如下:
- Feynman diagrams: 按图标记的轨道-稳定子计数, 切线得到同一图的次数须与切开图的残余对称因子相乘.
- Hugenholtz diagrams: \(S=2^{n_e}S_D\), 其中 \(n_e\) 为等效传播子线对数, \(S_D\) 为保持图不变的时间标签置换数.
- Green 函数: 固定外腿, 只统计保持这些外腿不动的内部自同构; 对称因子并不普遍等于 1.
在频率/动量表象中, 巨势或基态能的连通闭合图带有额外因子 \(\mathcal{T}_0\mathcal{V}\). 其中时间域跨度为
\[\mathcal{T}_0= \begin{cases} \hbar\beta, & \text{imaginary time},\\ T_0, & \text{real time}. \end{cases}\]
巨势或基态能由所有连通图通过下式得到
\[\begin{Bmatrix} \Omega-\Omega_0\\ E_0-W_0 \end{Bmatrix} = \frac{\iota\hbar}{\mathcal{T}_0} \sum(\text{all connected diagrams}).\]

5 Theory of Electron Liquid

5.1 Energy

均匀电子气 (jellium 模型) 的二次量子化 Hamiltonian 为

\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{e^2}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne 0}\sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{p}\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}.\]

无量纲形式: 选取长度单位为电子间平均距离 \(r_0\) (\(\frac{4\pi}{3}r_0^3N=\mathcal{V}\)), 无量纲密度参数为 \(r_s=\frac{r_0}{a_0}\), 其中 \(a_0=\hbar^2/me^2\) 是 Bohr 半径. \[\hat{H} = \frac{e^2}{2a_0r_s^2} \left[ \sum_{\mathbf{k}\sigma}k^2\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{r_s}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne 0}\sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{p}\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma} \right],\] 体积和动量已按新长度单位缩放: \[\mathcal{V}\to\frac{\mathcal{V}}{r_0^3}=\frac{4\pi N}{3}, \qquad \mathbf{k},\mathbf{p},\mathbf{q}\to \mathbf{k} r_0,\mathbf{p} r_0,\mathbf{q} r_0.\] 反直觉的是, 高密度极限 \(r_s\to 0\) 是非相互作用极限.

5.1.1 Hartree-Fock Approximation

计算 Hamiltonian 关于理想非相互作用电子气基态 (即填充的 Fermi 海) 的期望值, 其中

\[k_F r_0=\frac{1}{\alpha}, \qquad \alpha=\left(\frac{4}{9\pi}\right)^{1/3}.\]

Kinetic energy 有

\[\begin{aligned} n_{\mathbf{k}\sigma}^0 &= \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}\right\rangle_0 = \theta(k_F-|\mathbf{k}|),\\ E_0 &= \frac{e^2}{2a_0r_s^2} \sum_{\mathbf{k}\sigma}k^2 n_{\mathbf{k}\sigma}^0 = 2\times\frac{e^2}{2a_0r_s^2} \mathcal{V}\int_0^{1/\alpha}\frac{4\pi k^2\,\mathrm{d}k}{(2\pi)^3}k^2 = \frac{3N}{5\alpha^2r_s^2}\,\mathrm{Ry}. \end{aligned}\]

其中 \(\mathrm{Ry}\equiv e^2/2a_0\). 平均电子动能为 \(\epsilon_0=\frac{E_0}{N}\approx\frac{2.21}{r_s^2}\,\mathrm{Ry}\).

Exchange energy 计算第二项期望值时, 有

\[\begin{aligned} \left\langle \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma} \right\rangle_0 & = \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}\right\rangle_0 \left\langle\hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\right\rangle_0 - \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\right\rangle_0 \left\langle\hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}\right\rangle_0 \\ &\quad = \delta_{\mathbf{q},0}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{p}\sigma'}^0 - \delta_{\mathbf{q},\mathbf{p}-\mathbf{k}}\delta_{\sigma\sigma'}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^0. \end{aligned}\]

以及

\[\begin{aligned} E_x &= -\frac{e^2}{2a_0r_s} \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne 0}\frac{4\pi}{q^2} \sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^0 = -\frac{3}{2\pi\alpha r_s}N\,\mathrm{Ry} \\ \epsilon_x &= \frac{E_x}{N} \approx -\frac{0.916}{r_s}\,\mathrm{Ry}. \end{aligned}\]

注意相互作用中的求和排除 \(q=0\).

Perturbative approach 应用零温度形式体系. 交换能对应于一阶交换图,

应用恒等式
\[\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G_0(\mathbf{k},\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} = \mathrm{i}n_{\mathbf{k}}^0,\]
得到前面的 \(E_x\).

Self energy

在本节均匀电子气的 Fourier 约定 \(v(q)=4\pi e^2/q^2\) 下, 正背景抵消 Hartree 项. 交换只发生在同自旋电子之间, 因而自能按自旋对角且不另乘自旋简并因子 2. 记 \(k=|\mathbf k|\)、\(x=k/k_F\), 零温交换自能为

\[\begin{aligned} \Sigma_{\sigma\sigma'}(\mathbf k) &=\delta_{\sigma\sigma'}\Sigma_x(k),\\ \Sigma_x(k) &=-\int_{|\mathbf p|\le k_F}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3} \frac{4\pi e^2}{|\mathbf p-\mathbf k|^2}\\ &=-\frac{e^2}{\pi k}\int_0^{k_F}p\,\mathrm{d}p \ln\left|\frac{p+k}{p-k}\right| =\frac{e^2k_F}{\pi}S(x),\\ S(x)&=-\left[1+\frac{1-x^2}{2x} \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right]. \end{aligned}\]

\(p=k\) 处的对数奇点可积. 连续极限给出

\[S(0)=-2,\qquad S(1)=-1,\qquad S(x)\sim-\frac{2}{3x^2}\quad(x\to\infty).\]

该自能不依赖频率. 原课程截图的对数项漏写 \(1/2\), 因而不再作为公式嵌图.

自能重整化电子色散:
\[G_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta\operatorname{sgn}(k-k_F)} \mapsto \frac{1} {\omega-[\epsilon_{\mathbf{k}}+\Sigma(\mathbf{k})-\mu]/\hbar+\mathrm{i}\eta\operatorname{sgn}(k-k_F)}.\]
该修正不改变 \(n_{\mathbf{k}}\):
\[n_{\mathbf{k}} = -\mathrm{i}\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G(\mathbf{k},\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} = \theta(k_F-|\mathbf{k}|).\]
\(S'(x)\to+\infty\) 当 \(x\to1^\pm\). 这导致 Fermi 速度发散 \(v_F=\left.\hbar^{-1}\frac{\mathrm{d}\tilde{\epsilon}_{\mathbf{k}}}{\mathrm{d}k}\right|_{k=k_F}\to\infty\).

5.1.2 High-Order Contributions

自能的二阶图

\((a)\) 是收敛的; 对三维、零温、未极化 Coulomb 气体, 在 Fermi 面 \(k=k_F\)、\(\omega=0\) 的壳上值与密度无关.

Proof 取两条相互作用线的动量频率为 \((\mathbf{q}_1,\nu_1)\) 和 \((\mathbf{q}_2,\nu_2)\), 并记
\[\mathbf{p}_1=\mathbf{k}-\mathbf{q}_1,\qquad \mathbf{p}_2=\mathbf{k}-\mathbf{q}_1-\mathbf{q}_2,\qquad \mathbf{p}_3=\mathbf{k}-\mathbf{q}_2.\]
图 (a) 可写为
\[\begin{aligned} \hbar\Sigma_{a,\sigma\sigma'}^{(2)}(\mathbf{k},\omega) &=\delta_{\sigma\sigma'}\mathrm{i}^2 \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}_1}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\nu_1}{2\pi} \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}_2}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\nu_2}{2\pi} v(q_1)v(q_2) \\ &\quad\times G_0(\mathbf{p}_1,\omega-\nu_1) G_0(\mathbf{p}_2,\omega-\nu_1-\nu_2) G_0(\mathbf{p}_3,\omega-\nu_2). \end{aligned}\]
取 \(|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}\) 且 \(\hbar\omega=\xi_{\mathbf{k}}\). 频率积分后, 能量分母只含组合
\[\xi_{\mathbf{k}}-\xi_{\mathbf{p}_1}-\xi_{\mathbf{p}_3}+\xi_{\mathbf{p}_2} =\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{p}_1}-\epsilon_{\mathbf{p}_3}+\epsilon_{\mathbf{p}_2}=\frac{\hbar^2}{m}\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{q}_2.\]
令 \(\mathbf{q}_i=k_{\mathrm{F}}\tilde{\mathbf{q}}_i\), \(\mathbf{k}=k_{\mathrm{F}}\tilde{\mathbf{k}}\). 占据数只依赖无量纲变量, 而其余标度为
\[\Sigma_a^{(2)} \sim k_{\mathrm{F}}^6 \left(\frac{e^2}{k_{\mathrm{F}}^2}\right)^2 \left(\frac{m}{\hbar^2 k_{\mathrm{F}}^2}\right) \times I =\frac{me^4}{\hbar^2}I,\]
这里 \(k_{\mathrm{F}}^6\) 来自两个动量积分, \((e^2/k_{\mathrm{F}}^2)^2\) 来自两个 Coulomb 势, \(m/(\hbar^2k_{\mathrm{F}}^2)\) 来自能量分母. 因此 \(I\) 只依赖无量纲变量和占据限制, 图 (a) 的 on-shell 值不含 \(k_{\mathrm{F}}\), 从而不含电子密度 \(n=k_{\mathrm{F}}^3/(3\pi^2)\):
\[\Sigma_a^{(2)}(k_{\mathrm{F}},0)\propto \frac{me^4}{\hbar^2}\times \mathrm{const}\]
\((b)\) 可解释为对 \(\Sigma(\mathbf{k}, \omega)\) 中传播子线的自能修正. 该修正与 \(\omega\) 无关. 由于不改变 \(n_{\mathbf{k}}\), 它没有影响.
\((c)\) 发散:

这里 \(\chi_0(\mathbf{q},\nu)\) 表示极化气泡:

包含更多极化气泡的高阶图, 例如更长的直接环图 , 发散得更严重.

Re-summation 该发散可通过求和所有直接环图来消除:

这里 \(W(\mathbf{q},\nu)\equiv\frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)}\) 可解释为屏蔽的电子-电子相互作用, 其中介电函数为

\[\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)=1-v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\nu).\]

Ground state energy 通过对发散最严重的图进行重整求和来近似:

注意该能量包含交换能 \(E_{\mathrm{x}}\). 总基态能可写为 (单位为 \(\mathrm{Ry}\))

\[\epsilon(r_s) = \frac{E}{N} \approx \frac{2.21}{r_s^2} -\frac{0.916}{r_s} +0.0622\ln r_s -0.094 +O(r_s\ln r_s)+\cdots.\]

常数项包含 (a) 的贡献. 奇异展开 (即 \(\propto \ln r_s\)) 是 (c) 中观察到的发散的结果.

5.2 Density Response Function

5.2.1 Basic Properties

Notation

本章的外势耦合为 \(H'=\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi(\mathbf{r},t)\hat\rho(\mathbf{r})\), 即正号密度源.
若将同一物理扰动写成 \(H'=-\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,f(\mathbf{r},t)\hat\rho(\mathbf{r})\), 则 \(f=-\phi\), 故 \(\delta\langle\hat\rho\rangle/\delta f=-\delta\langle\hat\rho\rangle/\delta\phi\).
本章时间 Fourier 正变换采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\); 在保持此变换约定时, 两种响应核的符号差异完全来自外场耦合.

Density response function 描述密度如何响应无穷小的外标量势而变化:

\[\delta\rho(\mathbf{r} t) = \int\mathrm{d}\mathbf{r}' \int\mathrm{d}t'\, \chi^r(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t')\phi(\mathbf{r}' t'), \qquad \chi^r(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t') = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t-t') \langle[\hat{\rho}(\mathbf{r} t),\hat{\rho}(\mathbf{r}' t')]\rangle.\]

对于空间和时间均匀的系统, 使用 Fourier 变换形式更为方便

\[\chi^r(\mathbf{q},\omega) = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar\mathcal{V}} \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle[\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t),\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}]\rangle, \qquad \hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t) \equiv \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{r}}_i(t)} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q},\sigma}^\dagger(t)\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}(t).\]

Dielectric function 是外势与总屏蔽势之比:

\[\phi_{\mathrm{sc}}(\mathbf{q},\omega) \equiv \phi(\mathbf{q},\omega)+\phi_{\mathrm{ind}}(\mathbf{q},\omega) = \frac{\phi(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)},\]

其中 \(\phi_{\mathrm{ind}}(\mathbf{q},\omega)=v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\) 是由受扰电子密度感生的 Coulomb 势:

\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega)=\chi^r(\mathbf{q},\omega)\phi(\mathbf{q},\omega),\]

其中 \(\chi^r\) 为密度响应函数. 因此, 消去 \(\phi(\mathbf{q},\omega)\) 得到

\[\frac{1}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}=1+v(\mathbf{q})\chi^r(\mathbf{q},\omega).\]

Time-ordered density correlation function 定义为

\[\chi(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t') = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle \hat{T}\bigl[ \Delta\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}' t') \bigr] \right\rangle,\]

其中 \(\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\equiv \hat{\rho}(\mathbf{r} t)-\langle\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\rangle\). 热虚时形式为

\[\chi^T(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}' \tau') = -\frac{1}{\hbar} \left\langle \hat{T}_\tau\bigl[ \Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}\tau)\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}' \tau') \bigr] \right\rangle.\]

Fluctuation-dissipation theorem 适用于密度关联函数和响应函数.

对 \(\mathbf{q}\ne0\), 均匀系统的密度结构因子为
\[S(\mathbf{q},\omega) = \mathrm{i}\hbar\,\rho_0^{-1}\chi^{>}(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{N} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t)\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}\rangle.\]
等价地,
\[S(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{ZN} \sum_{m,n} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_m} \left|\langle m|\hat{\rho}_{\mathbf{q}}|n\rangle\right|^2,\]
其中 \(\rho_0\) 为电子密度.
谱函数定义为
\[B(\mathbf{q},\omega) = -2\operatorname{Im}\chi^r(\mathbf{q},\omega) = \mathrm{i}\bigl[\chi^{>}(\mathbf{q},\omega)-\chi^{\lt }(\mathbf{q},\omega)\bigr] = \frac{\rho_0}{\hbar} \bigl(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}\bigr) S(\mathbf{q},\omega),\]
满足 \(B(\mathbf{q},\omega)=-B(-\mathbf{q},-\omega)\).
密度响应函数与谱函数的关系为
\[\begin{aligned} \chi(\mathbf{q},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} B(\mathbf{q},\omega_1) \left[ -\frac{n_B(\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta} +\frac{1+n_B(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta} \right], \\ \chi^{r/a}(\mathbf{q},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\omega-\omega_1\pm \mathrm{i}\eta}, \\ \chi^T(\mathbf{q},\omega_n) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}, \\ \operatorname{Re}\chi(\mathbf{q},\omega) &= \operatorname{Re}\chi^{r/a}(\mathbf{q},\omega) = \mathcal{P}\!\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\omega-\omega_1}, \\ \operatorname{Im}\chi(\mathbf{q},\omega) &= -\frac{1}{2} \coth\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) B(\mathbf{q},\omega), \\ \operatorname{Im}\chi^r(\mathbf{q},\omega) &= -\frac{1}{2}B(\mathbf{q},\omega), \qquad \operatorname{Im}\chi^a(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{2}B(\mathbf{q},\omega). \end{aligned}\]
其中 \(n_B(\omega)=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)\) 为 Bose 分布函数.

f-sum rules

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\, \omega B(\mathbf{q},\omega) = \frac{\rho_0 q^2}{m}.\]

推导该求和规则需要使用连续性方程和流-密度对易子: \[\partial_t\hat{\rho}_{\mathbf{q}} +\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{j}}_{\mathbf{q}}=0, \qquad \bigl[\hat{\mathbf{j}}_{\mathbf{q}},\hat{\rho}_{-\mathbf{q}'}\bigr] = \frac{\hbar\mathbf{q}'}{m}\hat{\rho}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'}.\] 也可以建立高阶求和规则.

Stiffness theorem 具有非均匀密度的系统的能量或巨势为

\[E[\rho_{\mathbf{q}}] = E_0 -\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0} \frac{|\delta\rho_{\mathbf{q}}|^2}{2\chi^r(\mathbf{q})} +O(\delta\rho^3),\]

其中 \(\chi^r(\mathbf{q})\equiv \chi^r(\mathbf{q},\omega=0)\).

Proof

考虑受外势扰动的系统 \(\hat{H}_\phi=\hat{H}+\frac{1}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}}\delta\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}\phi_{\mathbf{q}}\).
扰动引起密度变化 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}\). 反之, 要产生给定的密度分布 \(\phi_{\mathbf{q}}=\frac{\delta\rho_{\mathbf{q}}}{\chi^r(\mathbf{q})}\).
用 \(\lambda\) 标度扰动并应用 Hellmann-Feynman 定理:
\[E_\phi = E_0 +\int_0^1 \mathrm{d}\lambda \left\langle \frac{\partial \hat{H}_\phi(\lambda)}{\partial\lambda} \right\rangle \approx E_0 +\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}} \chi^r(\mathbf{q})|\phi_{\mathbf{q}}|^2.\]
内能则为
\[E[\rho_{\mathbf{q}}] = \langle \hat{H}\rangle = E_\phi -\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}} \chi^r(\mathbf{q})|\phi_{\mathbf{q}}|^2,\]
消去 \(\phi_{\mathbf{q}}\) 后即得上述刚度定理.

Proper density response function 表示电子所感受到的总标量势 (包括外势和密度变化产生的 Coulomb 势) 下的本征密度响应:

\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega) \bigl[\phi(\mathbf{q},\omega)+v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\bigr] \equiv \tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)\phi_{\mathrm{sc}}(\mathbf{q},\omega).\]

它满足

\[\frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)} = \frac{1}{\chi^r(\mathbf{q},\omega)}+v(\mathbf{q}), \qquad \epsilon(\mathbf{q},\omega)=1-v(\mathbf{q})\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega), \qquad \chi^r(\mathbf{q},\omega)=\frac{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}.\]

Compressibility sum rule

\[\lim_{q\to 0}\frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q})} = -\frac{\partial^2[\rho_0\varepsilon_{\mathrm{gs}}(\rho_0)]}{\partial\rho_0^2} = -\frac{1}{\rho_0^2 K},\]

其中 \(K\) 为压缩率, \(\varepsilon_{\mathrm{gs}}(\rho_0)\) 为每粒子的基态能. 在二维电子气中, \(K\) 可通过量子电容实验测量, 且可能为负.

Proof 引入长波长密度调制 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}\). 从刚度定理计算 \(\delta E\). 再从局域能量变化加静电能量计算 \(\delta E\):

\[\delta E = \delta\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\varepsilon[\rho(\mathbf{r})] + \frac{1}{2\mathcal{V}}v(\mathbf{q})|\delta\rho_{\mathbf{q}}|^2.\]

令两者相等并取 \(q\to 0\) 极限.

5.2.2 Random Phase Approximation (RPA)

随机相位近似假设

\[\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)\approx \chi_0^r(\mathbf{q},\omega),\]

其中 \(\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)\) 是理想无相互作用电子气的密度响应函数.

Intuitive picture 将电子视为独立粒子, 并用平均感生势 (即 Hartree 近似) 来近似电子-电子相互作用效应:

\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \chi_0^r(\mathbf{q},\omega) \bigl[ \phi(\mathbf{q},\omega)+v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega) \bigr].\]

因此介电函数和密度响应函数近似为

\[\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\omega) = 1-v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega), \qquad \chi_{\mathrm{RPA}}^r(\mathbf{q},\omega) = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\omega)} = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}{1-v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}.\]

在图形上, RPA 对极化气泡的几何级数求和.

Lindhard function 是无相互作用电子气的密度响应函数:

粒子-空穴气泡由方向相反的两条传播子组成, 图解响应的整体因子为 \(\mathrm{i}/\hbar\). 合并 Fermion 闭圈的负号后, 实时间 Green 函数形式为

\[\chi_0^r(\mathbf{q},\omega) =-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_\sigma \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \int\frac{\mathrm{d}\nu}{2\pi} \left[ G_\sigma^{\lt}(\mathbf{k}+\mathbf{q},\nu+\omega)G_\sigma^a(\mathbf{k},\nu) +G_\sigma^r(\mathbf{k}+\mathbf{q},\nu+\omega)G_\sigma^{\lt}(\mathbf{k},\nu) \right].\]

此处各 \(G_\sigma\) 均取无相互作用值. 对于无磁化、自旋简并为 2 的三维电子气, 频率积分给出

\[\chi_0^r(\mathbf{q},\omega) =2\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\hbar(\omega+\mathrm{i}\eta)+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}, \qquad \eta\to0^+.\]

因子 2 来自两个相同的自旋分量; 自旋分裂时应分别求和, 不能直接乘 2. 这里 \(\nu,\omega,\eta\) 均采用角频率量纲, 与下文的解析延拓一致.

以上对应 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.57, 原讲义式(5.71)–(5.73). 保留的原始截图右侧式号有裁切, 完整公式以正文为准.

其中 \(f(\epsilon)=1/[\exp[\beta(\epsilon-\mu)]+1]\) 为 Fermi-Dirac 分布函数.

对于各向同性的三维气体, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 则零温 Lindhard 函数可解析求得.
\[\begin{aligned} \chi_0^r(q,\omega) &= N(0)\frac{k_F}{q} \left[ \Psi_3\!\left(\frac{\omega+\mathrm{i}\eta}{qv_F}-\frac{q}{2k_F}\right) -\Psi_3\!\left(\frac{\omega+\mathrm{i}\eta}{qv_F}+\frac{q}{2k_F}\right) \right],\\ \Psi_3(z) &= \frac{z}{2}+\frac{1-z^2}{4}\ln\!\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \longrightarrow_{|z|\to\infty} \frac{1}{3z}+\frac{1}{15z^3}+O(z^{-5}) \end{aligned}\]
其中 \(N(0)=mk_F/(\pi\hbar)^2\) 是单位体积、单位能量、包含两个自旋分量的 Fermi 面态密度, 等于单自旋态密度的两倍; \(v_F=\hbar k_F/m\) 为 Fermi 速度. 这里 \(\eta>0\) 具有角频率量纲. 更明确地,
\[\begin{aligned} \frac{\operatorname{Re}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\frac{1}{2} + \frac{1-\nu_-^2}{4\tilde{q}} \ln\!\left|\frac{\nu_--1}{\nu_-+1}\right| - \frac{1-\nu_+^2}{4\tilde{q}} \ln\!\left|\frac{\nu_+-1}{\nu_++1}\right|,\\ \frac{\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= \frac{\pi}{4\tilde{q}} \left[ \theta(1-\nu_+^2)(1-\nu_+^2) -\theta(1-\nu_-^2)(1-\nu_-^2) \right], \\ \tilde{q}&\equiv \frac{q}{k_F}, \qquad \nu_\pm\equiv \frac{\omega}{qv_F}\pm \frac{q}{2k_F}. \end{aligned}\]
在有限温度下,
\[\begin{aligned} \frac{\operatorname{Re}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{F(x,T)}{2\tilde{q}} \left[ \ln\!\left|\frac{x-\nu_-}{x+\nu_-}\right| - \ln\!\left|\frac{x-\nu_+}{x+\nu_+}\right| \right],\\ \frac{\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\frac{\pi k_B T}{4\epsilon_F\tilde{q}} \ln\!\left( \frac{1+\exp[\beta(\mu-\nu_-^2\epsilon_F)]} {1+\exp[\beta(\mu-\nu_+^2\epsilon_F)]} \right),\\ F(x,T)&=\frac{x}{\exp[\beta(x^2\epsilon_F-\mu)]+1}, \qquad \epsilon_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}. \end{aligned}\]

虚部也可直接从谱分母的 delta 函数得到. 对三维抛物色散, 先做沿 \(\mathbf{q}\) 方向的角积分, 再令 \(y=k^2/k_F^2\), 有

\[\frac{\operatorname{Im}\chi_0^r}{N(0)} =-\frac{\pi}{4\tilde q}\int_{\nu_-^2}^{\nu_+^2}\frac{\mathrm{d}y}{\exp[\beta(\epsilon_F y-\mu)]+1}.\]

用 \(-k_BT\ln[1+\exp(\beta(\mu-\epsilon_F y))]/\epsilon_F\) 作原函数即得上式. \(T\to0\) 时它退化为前面的分段表达式, 且 \(\omega>0\) 时虚部非正, 与本节密度响应的耗散约定一致.

Proof 用热 Green 函数的标准微扰技术推导 Lindhard 函数. 对均匀体系

\[\chi_0^{\mathrm{T}}(x,x') =-\frac{1}{\hbar} \left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}(x)\Delta\hat{\rho}(x') \right\rangle_0 \implies \chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q}, \tau) =-\frac{1}{\hbar V} \left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(\tau) \Delta\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}(0) \right\rangle_0.\]

在自由电子基下, disconnected 部分被 \(\Delta\hat{\rho}\) 扣掉. Wick 收缩给出连通部分

\[\left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}(x)\Delta\hat{\rho}(x') \right\rangle_0 =-\sum_\sigma G_0(x,x')G_0(x',x).\]

因此只剩粒子-空穴 bubble. 将外部玻色 Matsubara 频率记为 \(\Omega_m\), Fourier 变换得到

\[\chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q}, \mathrm{i}\Omega_m) = \frac{1}{\hbar V}\sum_{\mathbf{k},\sigma} \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} G_0(\mathbf{k}+\mathbf{q},\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\Omega_m) G_0(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)\]

代入 \(\mathcal{G}_0=(\mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}}/\hbar)^{-1}\), 记 \(n_F(x)=1/[\mathrm{e}^{\hbar\beta x}+1]\), 利用 Matsubara 频率求和公式

\[\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} \frac{1}{(\mathrm{i}\omega_n-x)(\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\Omega_m-y)} = \frac{n_F(x)-n_F(y)}{\mathrm{i}\Omega_m-(y-x)}.\]

于是

\[\chi_0^T(\mathbf{q},\mathrm{i}\Omega_m) = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\mathrm{i}\hbar\Omega_m+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}.\]

其中 \(\xi_{\mathbf{k}}=\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu\), 且 \(f(\epsilon)=1/[\mathrm{e}^{\beta(\epsilon-\mu)}+1]\). 解析延拓 \(\mathrm{i}\hbar\Omega_m\to \hbar(\omega+\mathrm{i}\eta)\), \(\eta\to0^+\), 即得上式的 \(\chi_0^r\).

Long-wavelength and static limit Lindhard 函数在 \(q\to 0\) 和 \(\omega\to 0\) 时具有奇异性. 极限值依赖于比值 \(\omega/v_Fq\). 根据取极限的顺序,

\[\lim_{q\to 0}\lim_{\omega\to 0}\chi_0^r(q,\omega) = -N(0), \qquad \lim_{\omega\to 0}\lim_{q\to 0}\chi_0^r(q,\omega)=0.\]

在有限但足够小的 \(q\), 动态长波展开为

\[\chi_0^r(q,\omega)\simeq \frac{\rho_0 q^2}{m\omega^2} \left[ 1+\frac{3}{5}\frac{q^2v_F^2}{\omega^2} \right] \qquad \text{for } v_Fq\ll \omega.\]

这分别对应于静态极限和动态极限. 在实际中, 非平衡响应计算 (例如电导率) 需要动态极限; 孤立体系的零频响应可能与允许重新热平衡的热力学响应不同.

静态后取长波的极限还可由 \(\delta\rho_0=(\partial\rho_0/\partial\mu)(-\phi)\) 核对: 零温理想电子气有 \(\partial\rho_0/\partial\mu=N(0)\), 其中两个自旋分量已计入, 因而得到 \(-N(0)\).

区分孤立(\(\mathrm{iso}\)), 等温(\(T\)) 和等熵(\(\mathrm{ad}\))响应, 并采用本节外势 \(+\phi\rho\) 的负密度响应约定: \[\chi^{\mathrm{iso}} \equiv \lim_{\omega\to 0}\chi^r(\omega), \qquad \chi^T \equiv -\left(\frac{\partial \rho}{\partial \mu}\right)_T, \qquad \chi^{\mathrm{ad}} \equiv -\left(\frac{\partial \rho}{\partial \mu}\right)_S,\] 在相应稳定平衡态和相同热力学约束下, 负响应满足 \(\chi^T\le \chi^{\mathrm{ad}}\le \chi^{\mathrm{iso}}\). 若改定义正响应 \(-\chi\), 不等号反向.

RPA 密度响应与 Lindhard 函数的比较. 左图实线为 RPA, 短虚线为 Lindhard, 长虚线为局域场修正. 右图虚线 Lindhard 曲线按图内标记放大 10 倍以便比较, 实线为 RPA; 实心三角标出 \(\delta\)-函数等离激元峰的位置, 三角高度不是有限的物理峰高. 右图不能按显示高度直接比较两种响应的绝对大小.

Friedel oscillation 屏蔽外势的电子受限于 \(|\mathbf{k}|\le k_F\). 动量空间中的尖锐截断在实空间产生振荡尾部. 对于各向同性静态响应, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 于是

\[\chi_{\mathrm{RPA}}^r(q) = -\frac{N(0)(q/k_F)^2g(q/k_F)} {(q/k_F)^2+[4\pi e^2N(0)/k_F^2]g(q/k_F)}, \qquad g(x) \equiv \frac{1}{2} -\frac{1}{2x} \left(1-\frac{x^2}{4}\right) \ln\!\left|\frac{1-x/2}{1+x/2}\right|.\]

对于试探电荷 \(-Ze\), \(\phi_{\mathbf{q}}=4\pi Ze^2/q^2\) 且 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}=\chi_{\mathrm{RPA}}^r(q)\phi_{\mathbf{q}}\). 在实空间中,
\[\delta\rho(\mathbf{r}) = -Z \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}}{(2\pi)^3} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}} \frac{(q_{TF}/k_F)^2g(q/k_F)} {(q/k_F)^2+(q_{TF}/k_F)^2g(q/k_F)} \longrightarrow_{r\equiv |\mathbf{r}|\to\infty} \frac{Z}{\pi}\frac{2\xi}{(4+\xi)^2}\frac{\cos(2k_Fr)}{r^3},\]
其中
\[q_{TF} \equiv \sqrt{4\pi e^2N(0)} = \left(\frac{4\alpha r_s}{\pi}\right)^{1/2}k_F, \qquad \xi\equiv \frac{q_{TF}^2}{2k_F^2}.\]
这与 Thomas-Fermi 近似不同, 后者预测径向分布为
\[\delta\rho(r)=-\frac{Zq_{TF}^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_{TF}r}.\]
低温简并气体中, Fermi 面的热展宽抑制 Friedel 振荡的远距离振幅, 不能一般地将其等同于 Debye 尾部. 在非简并、弱耦合气体的静态长波近似下, 有 Debye 屏蔽形式
\[\delta\rho(r)\simeq -\frac{Zq_D^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_D r}, \qquad q_D\equiv \sqrt{4\pi \rho_0 e^2\beta},\]
其中 \(q_D\) 为 Debye 屏蔽波数.

Critique of the RPA

RPA 完全忽略了交换关联效应, 因为它假设电子只感受到平均场 Hartree 势.
它不满足下列将静态长波响应与热力学压缩率联系起来的相互作用求和规则. 在 RPA 中,
\[\frac{1}{\rho_0^2K} = -\lim_{q\to 0}\frac{1}{\tilde{\chi}^r(q)} \approx -\lim_{q\to 0}\frac{1}{\chi_0^r(q)} = \frac{1}{N(0)}.\]
这可能与通过对相互作用基态能求导得到的压缩率有较大偏差.

5.2.3 Local Field Correction

密度响应函数的精确图级数可表示为

引入不可约电子-空穴相互作用 \(I\). 在均匀各向同性情形下, 局域场因子依赖于模 \(q\equiv |\mathbf{q}|\).

与 RPA 相比:

精确(粗体) Green 函数取代了自由 Green 函数.
不可约相互作用 \(I\) 取代了裸相互作用 \(v(\mathbf{q})\).

Remark \(I_{\mathbf{k}\omega\sigma,\mathbf{k}'\omega'\sigma'}(\mathbf{q},\nu)\) 通常不是局域相互作用, 因此不能在实空间中写为 \(I(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\).

Local field approximation 包含两个激进的近似:

将不可约电子-空穴相互作用近似为
\[I_{\mathbf{k}\omega\sigma,\mathbf{k}'\omega'\sigma'}(\mathbf{q},\nu) \approx \bigl[1-G_{\sigma\sigma'}(q)\bigr]v(\mathbf{q}).\]
对 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 的依赖被忽略, 因此不可约有效相互作用被近似为局域相互作用. 对频率的依赖也被忽略, 因此这是一个静态近似.
用无相互作用的 Lindhard 函数代替电子-空穴气泡. 其依据在于精确 Green 函数接近无相互作用 Green 函数, 仅存在小的重整化效应.

因此,

\[\chi^r(\mathbf{q},\omega) \approx \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}, \qquad G_\pm(q)\equiv \frac{G_{\uparrow\uparrow}(q)\pm G_{\uparrow\downarrow}(q)}{2}.\]

Example 采用局域密度近似, 并在动态线性响应中采用绝热局域密度近似, 电子满足 Kohn-Sham 方程

\[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})+V_{\mathrm{H}}(\mathbf{r})+V_{\mathrm{xc}}[\rho](\mathbf{r})\right]\psi_i(\mathbf{r}) =\epsilon_i\psi_i(\mathbf{r}),\]

其中 \(V(\mathbf{r})\) 是外势, \(V_{\mathrm{H}}(\mathbf{r})\) 是 RPA 中考虑的 Hartree 势, \(V_{\mathrm{xc}}[\rho]\) 是电子密度 \(\rho(\mathbf{r})=\sum_i f_i|\psi_i(\mathbf{r})|^2\) 的交换关联势泛函(需自洽确定), \(f_i\) 为态 \(i\) 的占据数.

由 Kohn-Sham 方程描述的均匀电子液体 (\(V=0\)) 的密度响应函数是什么?
对应的局域场修正因子 \(G_+(q)\) 是什么?

Solution

均匀电子液体中 \(V=0\), 基态密度为常数 \(\rho_0\). 相应的 Hartree 势与交换关联势在空间中都是常数, 只造成能量零点或化学势的平移, 因而 Kohn-Sham 单粒子谱与自由电子气相同. 对有效势扰动有
\[\delta\rho(\mathbf{q}, \omega) = \chi_{\mathrm{KS}}(\mathbf{q}, \omega) \delta V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q}, \omega)\]
故 Kohn-Sham 系统的密度响应就是无相互作用电子气的 Lindhard 函数:
\[\chi_{\mathrm{KS}}(\mathbf{q},\omega)=\chi_0(\mathbf{q},\omega) =2\int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\hbar\omega+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}+\mathrm{i}\eta}.\]
对密度涨落 \(\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\), Kohn-Sham 有效势的一阶变化为
\[\delta V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\omega) =\delta V_{\mathrm{ext}}(\mathbf{q},\omega)+v(q)\delta\rho(\mathbf{q},\omega)+\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega).\]
均匀体系中线性化交换关联势:
\[\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega) =\frac{\partial V_{\mathrm{xc}}}{\partial\rho}\delta\rho(\mathbf{q},\omega).\]
局域场修正定义为
\[\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega) \equiv -v(q)G_+(q)\delta\rho(\mathbf{q},\omega).\]
比较两式, 得到
\[G_+(q) =-\frac{q^2}{4\pi e^2} \frac{\partial V_{\mathrm{xc}}}{\partial\rho}.\]

Physical interpretation 电子所感受到的有效势与平均场 Hartree 势不同, 因为电子感受到的静电场必须排除自身的贡献, 而Pauli 不相容原理在电子周围产生交换空穴, 同时Coulomb 排斥产生额外的关联空穴.

为纳入这些效应, 引入自旋为 \(\sigma\) 的电子所感受到的局域有效势:

\[\phi_{\mathrm{eff},\sigma}(\mathbf{q},\omega) = \phi_\sigma(\mathbf{q},\omega) + \sum_{\sigma'} v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\sigma\sigma'}(q)\bigr]\delta\rho_{\sigma'}(\mathbf{q},\omega).\]

Determination of \(G(q)\) 人们已发展出多种方法来计算局域场修正因子.

\(r_s=4,10\) 的局域场修正 \(G_+(q)\); 实线为 Ichimaru–Utsumi 插值. 上方 \(r_s=10\) 曲线为展示而作纵向平移, 应读括号内的纵轴刻度; 下方 \(r_s=4\) 曲线读括号外刻度. 两组曲线在画面上的高度差不等于 \(G_+\) 的物理差值.

\(G(q)\) 的渐近行为已知.
一种成功的方法是 Singwi-Tosi-Land-Sjolander 方案, 通常称为 STLS.
Ichimaru 和 Utsumi 给出了 \(G(q)\) 的插值公式.

Effective interactions 局域场修正引入了超越 RPA 的顶点修正. 在 RPA 中, 两粒子间的有效相互作用总是 \(W(\mathbf{q},\nu)\equiv v(\mathbf{q})/\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)\), 与粒子的性质无关. 引入局域场修正后不再成立.

Test charge-test charge interaction 试探电荷只感受到静电势, 因此两个试探电荷之间的相互作用被介电函数屏蔽:
\[\begin{aligned} W_{tt}(\mathbf{q},\omega) &= \frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}\\ \frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)} &= \frac{1}{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}+v(\mathbf{q})G_+(q)\\ \epsilon(\mathbf{q},\omega) &= 1-v(\mathbf{q})\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega) = 1-\frac{v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1+v(\mathbf{q})G_+(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}. \end{aligned}\]
Electron-test charge interaction 试探电荷密度 \(\rho_t(\mathbf{q},\omega)\) 感生出扰动势 \(\phi(\mathbf{q},\omega)=v(\mathbf{q})\rho_t(\mathbf{q},\omega)\) 和电子密度变化 \(\delta\rho(\mathbf{q},\omega)=\chi^r(\mathbf{q},\omega)\phi(\mathbf{q},\omega)\). 电子所感受到的势包含交换关联修正:
\[\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\omega) = \phi(\mathbf{q},\omega) + v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \frac{\phi(\mathbf{q},\omega)} {1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}.\]
因此
\[W_{et}(\mathbf{q},\omega) = \frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon_{et}(\mathbf{q},\omega)}, \qquad \epsilon_{et}(\mathbf{q},\omega) = 1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega).\]
相应图级数
Electron-electron interaction 定义为不可约电子-电子相互作用, 即在粒子-粒子道中所有不可约图之和.
- 自旋 \(\uparrow\) 的电子密度 \(\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 对系统施加有效外势:
  \[\phi_\uparrow(\mathbf{q},\omega) = v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\uparrow\uparrow}(q)\bigr]\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega), \qquad \phi_\downarrow(\mathbf{q},\omega) = v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\downarrow\uparrow}(q)\bigr]\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega).\]
- 它们产生局域有效势
  \[\begin{aligned} \phi_{\mathrm{eff},\downarrow}(\mathbf{q},\omega) &= \left[ \frac{1}{1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} - \frac{1}{1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} \right] \frac{\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)}{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}\\ \phi_{\mathrm{eff},\uparrow}(\mathbf{q},\omega) &= \phi_{\mathrm{eff},\downarrow}(\mathbf{q},\omega) - \frac{2v(\mathbf{q})G_-(q)} {1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} \rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega). \end{aligned}\]
- 上述有效外势已经包含了来自所有其他电子构成的多体介质的交换关联修正. 这些贡献应从有效相互作用中排除. 这相当于分别减去 \(-v(\mathbf{q})G_{\uparrow\uparrow}(q)\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 和 \(-v(\mathbf{q})G_{\downarrow\uparrow}(q)\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\).
- 在上述局域场近似下, 将得到的有效势除以 \(\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 得到
  \[\begin{aligned} W_{\uparrow\uparrow}(\mathbf{q},\omega) &= v(\mathbf{q}) + \bigl[v(\mathbf{q})(1-G_+(q))\bigr]^2\chi^r(\mathbf{q},\omega) + \bigl[v(\mathbf{q})G_-(q)\bigr]^2\chi_s^r(\mathbf{q},\omega), \\ W_{\uparrow\downarrow}(\mathbf{q},\omega) &= v(\mathbf{q}) + \bigl[v(\mathbf{q})(1-G_+(q))\bigr]^2\chi^r(\mathbf{q},\omega) - \bigl[v(\mathbf{q})G_-(q)\bigr]^2\chi_s^r(\mathbf{q},\omega), \end{aligned}\]
其中
\[\chi_s^r(\mathbf{q},\omega) = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}\]
是自旋密度算符 \(\hat{S}_z=\hat{\rho}_\uparrow-\hat{\rho}_\downarrow\) 对应的自旋密度响应函数. 这就是 Kukkonen-Overhauser 电子-电子有效相互作用公式.

Kukkonen-Overhauser 有效相互作用的图级数. 第一项是原始相互作用而非不可约相互作用.

5.3 Plasmon

5.3.1 Collective Excitation

对于均匀各向同性电子液体, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 在无外势的情况下, 自持密度模满足

\[\epsilon(q,\omega)\phi_{\mathrm{sc}}(q,\omega)=0.\]

应用 RPA 近似和长波长极限给出波方程

\[(\omega^2-\omega_p^2)\phi_{\mathrm{sc}}(q,\omega)=0, \qquad \omega_p=\sqrt{\frac{4\pi \rho_0 e^2}{m}}\]

更一般地, 密度波的色散由 \(\epsilon(q,\Omega_q)=0\) 确定.
在小 \(q\) 下, \(\Omega_q\approx \sqrt{\omega_p^2+\frac{3}{5}q^2v_F^2}\).
介电函数的零点也是密度响应函数的极点, 因此它们定义了一种新的准粒子: 等离激元 (plasmon).

Classical picture \(q=0\) 处的等离子体模是电子液体相对于固定正电荷背景的振荡.

位移 \(x\) 在系统两端产生两层平行, 符号相反的电荷, \(\rho_{\mathrm{layer}}=\rho_0 x\).
这些电荷层产生体电场 \(E=4\pi e\rho_0 x\), 提供回复力.
运动方程 \(m\ddot x=-eE=-4\pi e^2\rho_0 x\), 给出频率为 \(\omega_p\) 的振荡.

Electron-hole continuum and damping 当等离激元能激发粒子-空穴对时, 它将受到阻尼. 相关的运动学约束来自能动量守恒.

将一个电子从 \(\mathbf{k}\) 激发到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\) 需要
\[\hbar\Omega_q = \frac{\hbar^2|\mathbf{k}+\mathbf{q}|^2}{2m} -\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} = \frac{\hbar^2q^2}{2m}+\frac{\hbar^2}{m}\mathbf{k}\cdot\mathbf{q}.\]
因最大占据动量满足 \(|\mathbf{k}|\le k_F\), 这种激发仅在以下条件成立时可能
\[\max\!\bigl(0,\omega_-(q)\bigr)\le \Omega_q\le \omega_+(q), \qquad \omega_\pm(q)=\frac{\hbar q^2}{2m}\pm v_F q.\]
该不等式定义的区域是电子-空穴连续区. 等离激元在其内受到阻尼.
对零温三维抛物色散电子气, 连续区的内部对应 \(\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)\neq 0\), 边界上谱权重可能为零. 非零谱权重意味着波矢和频率为 \((q,\omega)\) 的扰动可通过在非相互作用系统中激发粒子-空穴对被吸收.

5.3.2 Auxiliary Field Approach and Functional Integrals of Plasmons

相互作用电子系统中等离激元的出现也可直接从泛函积分推导. 这提供了对微扰重整求和方法的替代方案.

Action of electrons 引入组合的 Matsubara-动量标签

\[k\equiv (\omega_n,\mathbf{k}), \qquad q\equiv (\nu_m,\mathbf{q}), \qquad \sum_k\equiv \sum_{\omega_n}\sum_{\mathbf{k}}.\]

本节所有 \(\sum_q\) 均包含 \(\nu_m\), 并排除空间零模 \(\mathbf{q}=0\).

相互作用电子的作用量为
\[S[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-\mu \right) \psi_{k\sigma} + \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_{kk'q\sigma\sigma'} v(\mathbf{q})\psi_{k+q,\sigma}^*\psi_{k'-q,\sigma'}^*\psi_{k'\sigma'}\psi_{k\sigma},\]
Fourier 约定为
\[\psi_{k\sigma} = (\hbar\beta\mathcal{V})^{-1/2} \int \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau).\]
相互作用部分可重组为
\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}}\sum_{\nu_m,\mathbf{q}\ne 0} v(\mathbf{q})\rho_{-q}\rho_q, \qquad \rho_q\equiv \sum_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^*\psi_{k+q,\sigma}, \qquad \rho_q=\rho_{-q}^*.\]
注意 \(\psi\) 是 Grassmann 变量; 此连续时间简写须继承正规序 Hamiltonian 的时间格点处方. 它不能直接替换为无正规序的等时算符乘积. 在保留完整单粒子空间的有限周期空间格点上, 令 \(\hat n_{\mathbf{q}}\) 为密度的 Fourier 分量, 则
\[\hat H_{\mathrm{int}} =\frac{1}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) :\hat n_{-\mathbf{q}}\hat n_{\mathbf{q}}: =\frac{1}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) \left[\hat n_{-\mathbf{q}}\hat n_{\mathbf{q}}-\hat N\right].\]
冒号表示真空正规序. 空间截断先使自作用项有限, 创建场的时间保持比湮灭场晚 \(0^+\), 最后再取连续时间和空间极限. 若改用普通密度乘积做 HS 变换, 须同时保留上式的单体反项.

Hubbard-Stratonovich transformation 将相互作用系统映射为粒子与涨落辅助场耦合的等效系统. 对于排斥相互作用, 使用 Gaussian 恒等式

\[\exp\!\left(-\frac{\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho\right) = [\det(2V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left[ -\frac{\epsilon}{2}\phi^\dagger V^{-1}\phi -\frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \right],\]

其中 \(\epsilon>0\), \(V\) 为正定 Hermitian 矩阵. 复测度取 \(\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i=2\mathrm{i}\,\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_i)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_i)\), 因而每个复平面的归一化测度为 \(\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_i)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_i)/\pi\). 右边出现因子 \(\mathrm{i}\) 是为了重现左边排斥相互作用的负号.

对于吸引相互作用, 即 \(V\) 负定, 恒等式变为
\[\exp\!\left(-\frac{\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho\right) = [\det(-2V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left[ \frac{1}{2}\epsilon\phi^\dagger V^{-1}\phi -\frac{1}{2}\epsilon\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \right].\]
这种情况下 \(\rho\) 与不含额外 \(\mathrm{i}\) 因子的辅助势耦合.
实时间对应形式由带无穷小收敛因子的 Gaussian 解析延拓定义:
\[\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho} = [\det(2\mathrm{i}V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi\mathrm{i}} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon \bigl[ \phi^\dagger V^{-1}\phi -\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \bigr] \right\}.\]
也可使用广义的 Hubbard-Stratonovich 恒等式. 例如,
\[\mathrm{e}^{-\epsilon U(\hat{n}_{i\uparrow}-\frac{1}{2})(\hat{n}_{i\downarrow}-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\epsilon U/4}\sum_{s=\pm} \mathrm{e}^{\alpha s(\hat{n}_{i\uparrow}-\hat{n}_{i\downarrow})}, \qquad U\gt 0, \qquad \cosh \alpha=\mathrm{e}^{\epsilon U/2},\]
它将 Hubbard 模型映射为电子与 Ising 辅助场耦合.

Electron-auxiliary field coupling action 通过应用 Hubbard-Stratonovich 变换, 得到

\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{int}}/\hbar} &= \frac{1}{Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta\mathcal{V}} \sum_q \left[ \frac{1}{2}\phi_{-q}v^{-1}(\mathbf{q})\phi_q + \mathrm{i}\rho_{-q}\phi_q \right] \right\}, \\ Z_{\phi 0} &\equiv \int \mathcal{D}\phi\,\mathrm{e}^{-S_{\phi 0}[\phi]/\hbar}, \\ S_{\phi 0}[\phi] &\equiv \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q |\mathbf{q}|^2|\phi_q|^2 \equiv \frac{1}{8\pi e^2} \int \mathrm{d}\mathbf{r} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, |\nabla \phi(\mathbf{r},\tau)|^2. \end{aligned}\]

其中 \(\phi(\mathbf{r},\tau)\equiv (\hbar\beta\mathcal{V})^{-1}\sum_q \phi_q\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\nu_m\tau+\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}\), \(q\equiv (\nu_m,\mathbf{q})\). 注意因 \(\phi\) 为实数, \(\phi_{-q}=\phi_q^*\), 仅一半 \(\phi_q\) 独立.

作用量变换为
\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*,\phi] &= \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}}\sum_q |\mathbf{q}|^2|\phi_q|^2 + \sum_{kk'\sigma} \psi_{k\sigma}^* \left[ \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-\mu \right)\delta_{kk'} + \frac{\mathrm{i}}{\hbar\beta\mathcal{V}}\phi_{k-k'} \right] \psi_{k'\sigma} \\ &= \int \mathrm{d}\mathbf{r} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \left[ \frac{1}{8\pi e^2}|\nabla\phi(\mathbf{r},\tau)|^2 + \sum_\sigma \psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau) \left( \hbar\partial_\tau-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-\mu+\mathrm{i}\phi \right) \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau) \right] \\ &\equiv S_{\phi 0}[\phi]+S_e[\psi,\psi^*,\phi]. \end{aligned}\]
第一项是辅助场的能量, 第二项描述非相互作用电子系统与虚势 \(\mathrm{i}\phi\) 的耦合.

Action of plasmons 可完成关于电子场的泛函积分, 并将配分函数仅表示为辅助场的泛函积分:

\[\begin{aligned} \frac{Z}{Z_0} &= \frac{1}{Z_0Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\mathcal{D}\phi\, \exp\!\left[ -\frac{S_{\phi 0}[\phi]+S_e[\psi,\psi^*,\phi]}{\hbar} \right] \equiv \frac{1}{Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left[ -\frac{S_{\phi 0}[\phi]-\hbar W_0[\mathrm{i}\phi]}{\hbar} \right].\\ \mathrm{e}^{W_0[\mathrm{i}\phi]} &= \frac{1}{Z_0} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp\!\left[-\frac{S_e[\psi,\psi^*,\phi]}{\hbar}\right] \equiv \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \rho(\mathbf{r},\tau)\phi(\mathbf{r},\tau) \right] \right\rangle_0. \end{aligned}\]

对于静态 \(\phi\), \(-\beta^{-1}W_0[\mathrm{i}\phi]\) 是非相互作用系统相对 \(\phi=0\) 的巨势变化; 一般虚时依赖 \(\phi\) 时, \(W_0\) 是连通生成泛函.

可将 \(W_0[\mathrm{i}\phi]\) 在 \(\phi=0\) 附近展开:
\[W_0[\mathrm{i}\phi] = \sum_{n=1}^{\infty} \int \mathrm{d}1\cdots \mathrm{d}n \frac{1}{n!} \left. \frac{\delta^nW_0[\mathrm{i}\phi]} {\delta\phi(1)\cdots\delta\phi(n)} \right|_{\phi\to 0} \phi(1)\cdots \phi(n),\]
其中 \(\phi(i)\equiv \phi(\mathbf{r}_i,\tau_i)\).
- 一阶:
  \[\left. \frac{\delta W_0[\mathrm{i}\phi]}{\delta\phi(1)} \right|_{\phi\to 0} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle \rho(1)\rangle_0.\]
  此为时空常数, 因此仅组合零模 \(q=(0,\mathbf{0})\) 有贡献; 它已包含在电荷中性所排除的全部空间零模 \(\mathbf{q}=0\) 中.
- 二阶:
  \[\begin{aligned} \left. \frac{\delta^2W_0[\mathrm{i}\phi]}{\delta\phi(1)\delta\phi(2)} \right|_{\phi\to 0} &= \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\right)^2 \langle(\rho(1)-\rho_0)(\rho(2)-\rho_0)\rangle_0 \\ &\equiv \frac{1}{\hbar}\chi_0^T(1,2). \end{aligned}\]
  到 \(\phi\) 的二阶, 有非相互作用等离激元的作用量:
  \[S_p \equiv S_{\phi 0}[\phi]-\hbar W_0[\mathrm{i}\phi] = \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q |\mathbf{q}|^2 \bigl[1-v(\mathbf{q})\chi_0^T(q)\bigr] |\phi_q|^2 +\cdots.\]
  对非零 \(\nu_m\) 且 \(v_Fq\ll|\nu_m|\) 的动态长波模式, 应用 \(\chi_0^T(\mathbf{q},\nu_m)\simeq -\rho_0 q^2/(m\nu_m^2)\). 在仅含这些模式的二次作用量中得到
  \[S_p \simeq \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q \frac{1}{v(\mathbf{q})\nu_m^2} \bigl[\nu_m^2+\omega_p^2\bigr] |\phi_q|^2.\]

Gaussian determinant 在有限空间和 Matsubara 模式截断下, 二次辅助场核可写为

\[S_{\mathrm{p}}[\phi]=\frac12\sum_q\phi_{-q}A_q\phi_q, \qquad \frac{A_q}{A_{0q}}=1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q).\]

这里 \(A_{0q}=v^{-1}(\mathbf{q})/(\hbar\beta\mathcal{V})\). 实场的独立变量是各 Fourier 模式的实、虚分量, 每对 \(q,-q\) 只计一次. 对这些独立实变量作 Gaussian 积分, 再把和写回全部 \(q\), 得到密度涨落行列式

\[\frac{Z_{\mathrm{G}}^{\mathrm{dens}}}{Z_0} =\prod_q\left[\frac{A_q}{A_{0q}}\right]^{-1/2}, \qquad D_{\mathrm{G}} \equiv-\frac1\beta\ln\frac{Z_{\mathrm{G}}^{\mathrm{dens}}}{Z_0} =\frac{1}{2\beta}\sum_q\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right].\]

对数分支从 \(v=0\) 连续选取. 这是普通密度涨落核的结果; 要得到原正规序相互作用的修正, 还须核对其一阶项.

Proof 将 \(\chi_0^{\mathrm{T}}\) 按本章密度响应的约定作 Matsubara 反变换. 对非零空间模式, 用独立的密度时间分离 \(\eta>0\) 取等时极限, 得

\[-\frac1\beta\sum_{\nu_m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\nu_m\eta}\chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q},\nu_m) \longrightarrow \frac{1}{\mathcal{V}}C_0(\mathbf{q},0^+), \qquad C_0(\mathbf{q},0^+) =\sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma} \left(1-n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}\right).\]

其中 \(n_{\mathbf{k}\sigma}=n_{\mathrm{F}}(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)\), \(N_0=\sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma}\). 先求和再取 \(\eta\to0^+\), 且同一空间截断用于密度关联和自作用项. 因而行列式的一阶贡献为

\[\begin{aligned} D_{\mathrm{G}}^{(1)} &=-\frac{1}{2\beta}\sum_q v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\\ &=\frac{N_0}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) -\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0,\mathbf{k}\sigma} v(\mathbf{q})n_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}. \end{aligned}\]

第一项是普通密度乘积中的自作用, 由正规序单体反项在一阶抵消; 第二项就是 Fock 巨势修正

\[\Delta\Omega_{\mathrm{F}}^{(1)} =-\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0,\mathbf{k}\sigma} v(\mathbf{q})n_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}.\]

均匀电子气的 Hartree 零模已由电中性背景处理, 不再计入.

因此, 以同一 \(G_0\) 为参照的“完整一阶项 + 二阶起直接环图”RPA 近似应写为

\[\begin{aligned} \Delta\Omega_{\mathrm{RPA}} &=\Delta\Omega_{\mathrm{F}}^{(1)}+\Omega_{\mathrm{ring},c},\\ \Omega_{\mathrm{ring},c} &=\frac{1}{2\beta}\sum_q \left\{\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right] +v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right\}. \end{aligned}\]

环关联项从二阶开始, 因为 \(\ln(1-x)+x=-\sum_{n=2}^{\infty}x^n/n\) 在 \(|x|\lt1\) 内成立. 它与未扣除一阶项的 trace-log 不是同一个量, 也不包含所有二阶及更高阶交换图.

在固定密度的组织方式下, 自作用与反项须在同一调节下相消. 若在巨正则 HS 积分中把单体反项吸收到化学势, 相应电子行列式和响应函数也要用平移后的化学势; 不能只在最后从一个使用原 \(\mu\) 的行列式中减去 \(\langle N\rangle_0\), 便把它当作所有阶的精确等式.

零温、固定粒子数时, 对应的直接环关联能可沿虚频轴写为

\[E_{\mathrm{ring},c} =\frac{\hbar\mathcal{V}}{2} \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\nu}{2\pi} \left\{\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu)\right] +v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu)\right\}.\]

频率 \(\nu\) 具有角频率量纲, 所以保留 \(\hbar\). 该扣除形式也见 GPAW 的 RPA 关联能定义; 其原子单位表达式需相应恢复 \(\hbar\). 辅助场作用量的三阶及以上项可解释为等离激元之间的相互作用.

5.3.3 Other Collective Excitations

分解相互作用并应用 Hubbard-Stratonovich 变换的方式有多种. 不同的分解对应不同的集体激发.

Direct channel 即上面已写出的密度通道分解, 描述等离激元.

Exchange channel 将相互作用分解为

\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = -\frac{1}{2\mathcal{V}\hbar\beta} \sum_{qkk'\sigma\sigma'} v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\rho_{k'q,\sigma\sigma'}^\dagger \rho_{kq,\sigma\sigma'}, \qquad \rho_{kq,\sigma\sigma'} \equiv \psi_{k\sigma'}^*\psi_{k+q,\sigma}.\]

这可进一步重组为自旋密度通道. 在适当磁有序相中可描述自旋波或 magnon; 在顺磁相中通常得到自旋涨落.

Pairing channel 将相互作用分解为

\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\mathcal{V}\hbar\beta} \sum_{qkk'\sigma\sigma'} v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\Phi_{k'q,\sigma\sigma'}^\dagger \Phi_{kq,\sigma\sigma'}, \qquad \Phi_{kq,\sigma\sigma'} \equiv \psi_{k+q,\sigma}\psi_{-k,\sigma'}.\]

描述超导体中的 Cooper 对.

Multi-field decomposition 系统在长波区域可能具有多种稳定集体激发. 此时可同时引入多个辅助场, 但须先将原相互作用分配到这些通道, 再对各部分解耦; 不能将同一相互作用的几种完整 HS 表示直接相加.

辅助场应在长波极限下给出有意义的低能集体激发, 其特征是具有明确的色散和长寿命.
若假设 \(|\mathbf{q}|\) 很小 (长波极限), 不同分解对应的项在原始相互作用作用量中不重叠, 则不同分解的相加不会导致重复计数.

Quantum Many-Body Theory - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

6 Effective Action Theory and Functional Approaches

6.1 Effective Action

以下以热 Green 函数为主, 取虚时 \(0\le\tau\le\hbar\beta\)、\(\iota=-1\), 泛函权重为 \(\mathrm{e}^{-S/\hbar}\); \(\zeta=1\) 表示 Boson, \(\zeta=-1\) 表示 Fermion, 场满足 \(\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)\). 实时间或围线形式取 \(\iota=\mathrm{i}\)、权重 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}S/\hbar}\), 同时须相应选择时间路径、编时规则和初态边界条件, 不能只替换 \(\iota\) 而保留虚时边界条件.

Definition of the effective action

引入与系统耦合的外源 \(\phi\):
\[S_{\mathrm{ext}}[\psi] = \iota^{-2} \sum_{\alpha\beta} \int \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2\, \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta(\tau_2)\phi_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2).\]
定义生成泛函和连通生成泛函:

生成泛函基本上是在存在外源时的归一化配分函数:
\[\begin{aligned} \mathscr{G}[\phi] &= \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\, \exp\!\left[\frac{\iota}{\hbar}(S+S_{\mathrm{ext}})\right] \\ &= \left\langle \exp\!\left[ \frac{1}{\iota\hbar} \int \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2 \sum_{\alpha\beta} \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta(\tau_2)\phi_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2) \right] \right\rangle, \end{aligned}\]
其中平均定义为
\[\langle F(\psi^*,\psi)\rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\,F(\psi^*,\psi)\exp\!\left(\frac{\iota}{\hbar}S\right).\]
连通生成泛函以相对于无相互作用参考系统的巨势差定义:
\[W[\phi] \equiv \ln \mathscr{G}[\phi] + C \equiv -\beta\bigl(\Omega[\phi]-\Omega_0\bigr),\]
其中 \(C\equiv \ln Z-\ln Z_0\), \(\Omega_0\) (\(Z_0\)) 是系统在相同温度、化学势和体积下、无相互作用且无外源时的巨势(配分函数). 因而 \(W[\phi]=\ln[Z[\phi]/Z_0]\); \(C\) 与 \(\phi\) 无关, 但一般依赖热力学参数.
- Green 函数可以通过生成泛函生成:
  \[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = (\zeta\hbar)^n \frac{\delta^n \mathscr{G}[\phi]} {\delta\phi_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta\phi_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \biggr|_{\phi\to 0}.\]
- 连通生成泛函生成连通 Green 函数:
  \[\mathcal{G}_c^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = (\zeta\hbar)^n \frac{\delta^n W[\phi]} {\delta\phi_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta\phi_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \biggr|_{\phi\to 0}.\]
两组 Green 函数可以通过累积量展开相关联:
\[\begin{aligned} \mathcal{G}^{(1)}(12) &= \mathcal{G}_c^{(1)}(12), \\ \mathcal{G}^{(2)}(12;1'2') &= \mathcal{G}_c^{(2)}(12;1'2') + \mathcal{G}(11')\mathcal{G}(22'), \end{aligned}\]
其中 \(\mathcal{G}(11')\equiv \mathcal{G}^{(1)}(1;1')\), 使用了简写记号 \(1\equiv \alpha_1\tau_1\), \(1'\equiv \alpha_1'\tau_1'\).

此处对双线性源求导, “连通”按密度双线性块之间的连接定义; 它不同于对单场线性源求导得到的完全连通多粒子函数. 因而上式只减去指定双线性分组的乘积, 不能据此漏掉后续计算中的交换项.
定义与 \(\phi\) 共轭的场:
\[\mathcal{G}[\phi](11') = \zeta\hbar \frac{\delta W[\phi]}{\delta\phi(1'1)},\]
这是在存在外源 \(\phi\) 时的单粒子 Green 函数.
有效作用量(Baym-Kadanoff 泛函)通过 Legendre 变换定义:
\[\begin{aligned} \Gamma[\mathcal{G}] &= -\left\{ W[\phi] - \sum_{11'} \frac{\delta W[\phi]}{\delta\phi(1'1)}\phi(1'1) \right\} = -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar}\operatorname{Tr}[\mathcal{G}\phi] \\ &\equiv -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar} \sum_{\alpha\alpha'} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \mathrm{d}\tau'\, \mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\tau,\tau')\phi_{\alpha'\alpha}(\tau',\tau). \end{aligned}\]
下面在共轭场映射 \(\phi\to \mathcal{G}[\phi]\) 的局部可逆分支上使用 Legendre 变换. 若选定实源域上 \(W\) 是凸泛函且迹配对为实数, 可进一步采用 Legendre-Fenchel 定义:
\[\Gamma[\mathcal{G}] = \sup_\phi \left[ -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar}\operatorname{Tr}[\mathcal{G}\phi] \right],\]
其中 \(\sup\) 表示上确界. 对一般双时源, 上述凸性和全局单值性不能自动保证; 后续方程以选定物理分支上的驻值变换为准.

有效作用量为系统的物理态赋予一个巨势/自由能, 并导出一个变分原理. 它比 \(W[\phi]\) 具有更好的解析性质, 因此更适合近似. 它为一致地构造各种近似提供了统一基础. 可以设计非微扰或经验方法来构造该泛函.

Variational principle 将有效作用量对 \(\mathcal{G}\) 求导, 我们得到

\[\frac{\delta \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \frac{\zeta}{\hbar}\phi(11').\]

在没有外源的情况下, 它给出变分原理 \(\delta\Gamma[\mathcal{G}] = 0\), 即物理 Green 函数是有效作用量的驻点.

Notation 记零源平衡支上的值为 \(\Gamma_{\mathrm{eq}}(\beta,\mu)\equiv\Gamma[\mathcal{G}_{\mathrm{eq}}]\). 此处 \(\Gamma\) 无量纲, \(\Gamma/\beta\) 具有能量量纲. 由零源时 Legendre 配对项为零,

\[\Omega=\Omega_0+\frac{\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\beta}.\]

参考项只对源和共轭场是常数. 固定体积, 对热力学参数求导时须一并保留它:

\[\begin{aligned} N&=N_0-\frac{1}{\beta} \left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\mu}\right)_\beta,\\ E-\mu N&=E_0-\mu N_0+ \left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\beta}\right)_\mu,\\ S&=S_0+k_{\mathrm{B}}\left[ \beta\left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\beta}\right)_\mu -\Gamma_{\mathrm{eq}}\right]. \end{aligned}\]

这里 \(N_0,E_0,S_0\) 为同一参考系统的平衡量, 导数沿零源平衡支取值. 这些关系直接来自 \(\beta\Omega=-\ln Z\), \(N=-\partial_\mu\Omega\), \(E-\mu N=\partial_\beta(\beta\Omega)\) 和 \(S=-\partial_T\Omega\); 驻值条件消去共轭场变化带来的链式项.

Free effective action 对于无相互作用系统:

\[\begin{aligned} W_0[\phi] &= -\zeta\operatorname{Tr}\bigl[\ln(-\mathcal{G}^{-1})-\ln(-\mathcal{G}_0^{-1})\bigr] \\ &= \zeta\operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}), \end{aligned}\]

其中 \(\mathcal{G}_0\) 和 \(\mathcal{G}\) 分别是在不存在和存在外源 \(\phi\) 时的 Green 函数. 外源是场的双线性项, 因而 Gaussian 泛函积分的二次核由 \(\hbar\mathcal{G}_0^{-1}\) 改为 \(\hbar\mathcal{G}_0^{-1}-\phi\); 对该核求逆得到

\[\mathcal{G}^{-1}=\mathcal{G}_0^{-1}-\frac{\phi}{\hbar}.\]

因此我们有 \(\phi[\mathcal{G}]=\hbar(\mathcal{G}_0^{-1}-\mathcal{G}^{-1})\). 将其代入 Legendre 变换, 我们得到无相互作用系统的有效作用量泛函:

\[\begin{aligned} \zeta\Gamma_0[\mathcal{G}] &= -\operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}) + \operatorname{Tr}(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}-I). \end{aligned}\]

Luttinger-Ward 泛函 我们可以将泛函分解为

\[\Gamma[\mathcal{G}] = \Gamma_0[\mathcal{G}]-\Phi[\mathcal{G}],\]

其中 Luttinger-Ward 泛函 \(\Phi[\mathcal{G}]\) 表征相互作用效应.

Energy functional 与有效作用量泛函成正比:

\[\begin{aligned} \Omega[\mathcal{G}]-\Omega_0 &\equiv \frac{1}{\beta}\Gamma \\ &= -\frac{\zeta}{\beta} \left\{ \operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G})-\operatorname{Tr}(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}-I) \right\} -\frac{1}{\beta}\Phi[\mathcal{G}] \\ &\to -\frac{\zeta}{\beta} \sum_{\mathbf{k}}\sum_{\omega_n} \left\{ \ln\!\bigl[\mathcal{G}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega_n)\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\bigr] -\mathcal{G}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega_n)\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)+1 \right\} -\frac{1}{\beta}\Phi[\mathcal{G}]. \end{aligned}\]

在零温下, 基态能量可以类似地定义为实时 Green 函数的泛函:

\[\begin{aligned} E[G]-W_0 &= \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0} \left\{ \zeta\operatorname{Tr}\ln(G_0^{-1}G)-\zeta\operatorname{Tr}(G_0^{-1}G-I)+\Phi[G] \right\} \\ &\to \mathrm{i}\hbar\zeta \sum_{\mathbf{k}} \int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \left\{ \ln\!\bigl[G_0^{-1}(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega)\bigr] -G_0^{-1}(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega)+1 \right\} + \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\Phi[G], \end{aligned}\]

其中 \(W_0\) 是系统在无相互作用极限下的基态能量.

6.2 Irreducible Diagrams and Integral Equations

基于该泛函, 可以推导出一组精确的自洽积分方程. Luttinger-Ward 泛函可以通过求和选定的骨架 Feynman 图来近似构造. 这产生了诸如 GW 近似之类的实用计算方法.

Vertex functions 顶点函数定义为

\[\Pi^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = \zeta^n \left. \frac{\delta^n \Gamma[\mathcal{G}]} {\delta \mathcal{G}_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta \mathcal{G}_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \right|_{\mathcal{G}\to \mathcal{G}_{\mathrm{phy}}}.\]

这组自洽积分方程可以通过逐阶分析顶点函数来推导.

6.2.1 Self-Energy and Dyson Equation

在没有外源时,

\[\Pi^{(1)} = \zeta\frac{\delta\Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}} = 0,\]

其中已经隐含了 \(\mathcal{G}\to \mathcal{G}_{\mathrm{phy}}\). 利用分解 \(\Gamma[\mathcal{G}]=\Gamma_0[\mathcal{G}]-\Phi[\mathcal{G}]\), 我们得到

\[\Pi^{(1)}(11') = \zeta\frac{\delta \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \mathcal{G}_0^{-1}(11')-\mathcal{G}^{-1}(11')-\zeta\frac{\delta \Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = 0.\]

这里使用了矩阵导数恒等式

\[\frac{\delta\,\operatorname{Tr}\ln \mathcal{G}}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \frac{\delta \ln(\det \mathcal{G})}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \mathcal{G}^{-1}(11').\]

Proper self energy functional 正规自能泛函定义为

\[\frac{\Sigma[\mathcal{G}](11')}{\hbar} \equiv \zeta\frac{\delta \Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)}.\]

Dyson 方程

\[\mathcal{G}^{-1} = \mathcal{G}_0^{-1}-\frac{\Sigma[\mathcal{G}]}{\hbar} \implies \mathcal{G} = \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar^2}\mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0 + \cdots.\]

正规自能图是单粒子不可约的, 即不能通过切割一条粒子线分成两部分:

正规自能 \(\Sigma/\hbar\) 的低阶图, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.72, 原讲义式(6.31). 带箭头实线为裸传播子 \(\mathcal{G}_0\), 虚线为相互作用; (a)–(d) 不含自能插入, (e)–(h) 含自能插入. 骨架展开以完整传播子替代裸传播子, 见下图.

Skeleton diagrams 自能骨架图是不含自能插入的正规自能图, 即不能通过向低阶图的传播子线插入自能子图而生成. 上图前四项是骨架图, 后四项含自能插入.

自能图具有两个固定外腿, 按单粒子不可约性和无自能插入来筛选. 不能笼统地把这些开图定义为“切任意两条粒子线均不可分”.
\(\Phi[\mathcal{G}]\) 则由闭合的两粒子不可约(2PI, two-particle irreducible)真空图组成: 保持相互作用顶点及虚线连接, 切两条内部粒子传播子不能把图分成两个各含相互作用顶点的部分. 对 \(\Phi\) 求导截开一条线, 才生成自能骨架图. 闭合 2PI 图与自能变分的关系可参见 Berges 的非平衡量子场论综述, §2.
利用自洽骨架展开, 我们可以构建 \(\Sigma\)(或 \(\mathcal{G}\))的自洽方程.

粗线代表 Green 函数 \(\mathcal{G}\)(而非 \(\mathcal{G}_0\)).

6.2.2 Perturbative Construction of the Luttinger-Ward Functional

Luttinger-Ward 泛函的图可以通过应用自能的 Luttinger-Ward 定义从自能骨架图构造. 它们是闭合, 粗线, 两粒子不可约(骨架)图.

泛函导数逐条截开粒子传播子, 外腿次序由 \(\delta/\delta\mathcal{G}(1'1)\) 固定. 本文已在 \(\Sigma/\hbar=\zeta\,\delta\Phi/\delta\mathcal{G}\) 中写出统计因子 \(\zeta\), 不再额外重复乘一次. 将闭环截为开链使闭合 Fermion 圈数减少一, 与此约定相容.
对称因子由未标记 Feynman 图的标签等价类计算. 对 \(n\) 条对称二体相互作用虚线, 有 \(2^n n!\) 个标签置换及虚线端点交换; 保持有向粒子线、线种类和连接关系的稳定子群的阶为 \(S_\gamma\), 因而不同标记数为 \(2^n n!/S_\gamma\). 开图还须逐个固定外腿. 这里不使用已合并直接/交换顶点的 Hugenholtz 图计数规则.
若某类等价截线构成大小为 \(m\) 的轨道, 截开图的外腿固定对称因子为 \(S_{\mathrm{cut}}\), 轨道-稳定子关系给出 \[m=\frac{S_\gamma}{S_{\mathrm{cut}}}, \qquad \frac{m}{S_\gamma}=\frac{1}{S_{\mathrm{cut}}}.\] 因而求导产生的是开图所需的正确因子, 而不是一般地把所有对称因子变成 1. 只有 \(S_{\mathrm{cut}}=1\) 时才完全抵消.

Example 第一阶交换图和直接环图满足 \(S=2n\), 但任意闭合骨架图不必如此. 下图为三阶反例:

沿左侧有向圈标记 \(a\to b\to a\), 沿右侧有向圈标记 \(c\to d\to e\to f\to c\); 令虚线连接为 \((a,c),(b,e),(d,f)\). 其中 \(c,e\) 分别为右圈的上、下连接点. 保持箭头的自同构只有恒等和同时交换 \(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow e,\ d\leftrightarrow f\), 所以 \(S=2\), 而 \(2n=6\). 六条粒子线分为三个大小为 2 的截线轨道; 每种开图均有 \(S_{\mathrm{cut}}=1\). 这一计数使用原图的箭头与虚线, 不能把右圈反射后逆转粒子箭头也算作对称.

低阶图的系数可据此逐图核对; 高阶展开仍须按各图的稳定子计算, 不能套用统一的 \(2n\).
由自能的 Luttinger-Ward 定义, \(\Phi[\mathcal{G}]\) 仅确定到与 \(\mathcal{G}\) 无关的常数. 结合 GV (A13.9, A13.14), 可以证明该常数与相互作用无关. 为方便起见, 可将其设为零.

Conserving approximation 对保留相应对称性的近似 Luttinger-Ward 泛函, 用其导数构造自能和响应顶点, 并自洽求解 Dyson 方程, 才能保持原 Hamiltonian 所具有的粒子数, 动量和能量守恒律. 仅在固定 \(\mathcal{G}_0\) 上做一次计算并不自动满足这一结论.

GW approximation 用图的一个子集来近似 Luttinger-Ward 泛函:

GW 泛函的图解, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.73, 原讲义式(6.34)–(6.35). 外侧双环为 Hartree 项, 方括号内第一项为一阶 Fock 图, 其余为直接环图; 原图的完整迹对数已包含 Fock 项.

近似为 Hartree-Fock 项加上直接环图.

\[\Phi_{\mathrm{GW}}[\mathcal{G}] = \Phi_{\mathrm{H}}[\mathcal{G}]+\Phi_{\mathrm{F}}[\mathcal{G}]+\Phi_{\mathrm{ring}}[\mathcal{G}], \qquad \Phi_{\mathrm{ring}}[\mathcal{G}] = -\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \ln\!\left(1-\frac{\iota\zeta}{\hbar}v\mathcal{G}\mathcal{G}\right) +\frac{\iota\zeta}{\hbar}v\mathcal{G}\mathcal{G} \right].\]

这里环项从二阶开始, 一阶交换项由 \(\Phi_{\mathrm{F}}\) 单独计入. 将原图的 \(\iota\zeta v\mathcal{G}\mathcal{G}/\hbar\) 记为 \(A\), 作为形式幂级数,

\[-\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\ln(1-A) =\frac{1}{2}\operatorname{Tr}A +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2n}\operatorname{Tr}A^n.\]

线性项即原图中的 Fock 项. 正文将它单列, 因此在 \(\Phi_{\mathrm{ring}}\) 的括号内加上 \(A\) 以扣除这一项; 两种拆分给出同一个 \(\Phi_{\mathrm{GW}}\), 不能再次把原图的完整迹对数加到 Hartree-Fock 项上. 除了 Hartree 和 Fock 项外, 该近似还包括 Coulomb 相互作用系统中长波发散最严重的直接环图.

6.2.3 Second-Order Vertex Function

应用式 Vertex function 和无外源正规自能的性质, 我们得到

\[\zeta\Pi^{(2)}(12;1'2') = \frac{\delta \Pi^{(1)}(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)} = \mathcal{G}^{-1}(12')\mathcal{G}^{-1}(21') -\zeta\frac{\delta^2\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\delta \mathcal{G}(2'2)}.\]

其中第一项来自 \(-\delta \mathcal{G}^{-1}(11')/\delta \mathcal{G}(2'2)\), 我们利用了矩阵导数恒等式

\[\frac{\delta \mathcal{G}^{-1}(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)} = -\mathcal{G}^{-1}(12')\mathcal{G}^{-1}(21').\]

Irreducible electron-hole interaction 我们定义直接粒子-空穴道中的不可约相互作用 \(I\):

\[I(12;1'2') = \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^{-1} \frac{\delta^2\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\delta \mathcal{G}(2'2)} = \frac{\zeta}{\iota}\frac{\delta \Sigma(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)}.\]

它包括直接粒子-空穴道中两粒子不可约的散射图: 切开承载该道转移动量的粒子、空穴传播子, 不能把图分成该道的两个散射块. 这是指定道的不可约性, 不等于闭合真空图对任意两条线的 2PI 性质; 同一顶点可能在其他道中可约.

它可以解释为粒子与空穴之间的有效相互作用. 注意在涉及奇数次粒子交换的图前有额外的符号 \(\zeta\). 这是由于求导时 Fermi 环数目的变化.

Identity 联系两粒子 Green 函数与二阶顶点的恒等式:

\[\begin{aligned} \delta(12)\delta(1'2') &= \frac{\delta \mathcal{G}(11')}{\delta \mathcal{G}(22')} = \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \frac{\delta \mathcal{G}(11')}{\delta \phi(3'3)} \frac{\delta \phi(3'3)}{\delta \mathcal{G}(22')} \\ &= \hbar^2 \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \frac{\delta^2 W[\phi]}{\delta\phi(3'3)\delta\phi(1'1)} \frac{\delta^2 \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(22')\delta \mathcal{G}(33')} \\ &\equiv \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \mathcal{G}_c^{(2)}(13;1'3')\, \Pi^{(2)}(3'2',32). \end{aligned}\]

这表明顶点是 Green 函数的(矩阵)逆.

Two particle Dyson Equation 将恒等式与本节最开始给出的式子结合, 我们得到

\[\begin{aligned} \mathcal{G}_c^{(2)}(12;1'2') =& \zeta \mathcal{G}(12')\mathcal{G}(21') \\ &+ \frac{\iota}{\hbar}\zeta \!\int\! \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\,\mathrm{d}4\,\mathrm{d}4'\, \mathcal{G}_c^{(2)}(13;1'3')\, I(3'4';34)\, \mathcal{G}(24')\mathcal{G}(42'). \end{aligned}\]

Scattering amplitude 一对粒子与空穴之间的散射振幅 \(\mathcal{T}\) 通过图关系定义.

Bethe-Salpeter equation 粒子-空穴道中的 Bethe-Salpeter 方程将散射振幅与不可约相互作用 \(I\) 联系起来:

\[\begin{aligned} T(12;1'2') =& I(12;1'2') \\ &+ \frac{\iota}{\hbar}\zeta \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\,\mathrm{d}4\,\mathrm{d}4'\, T(13;1'3')\, \mathcal{G}(4'3)\, \mathcal{G}(3'4)\, I(42;4'2'). \end{aligned}\]

6.2.4 Higher-Order Equations

高阶方程可以通过对二体 Dyson 方程连续应用导数 \(\delta/\delta\phi\) 得到. 有用的恒等式:

\[\zeta\hbar\frac{\delta \mathcal{G}_c^{(n)}}{\delta\phi} = \mathcal{G}_c^{(n+1)}, \qquad \zeta\hbar\frac{\delta I^{(n)}}{\delta\phi} = I^{(n+1)}\star \mathcal{G}_c^{(2)}\]

其中

\[I^{(n)} \equiv \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^{-1} \frac{\delta^n\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\cdots\delta \mathcal{G}(n'n)}\]

表示 \(n\) 体有效相互作用.

6.2.5 Other Sources

根据物理情境, 其他选择也是可行的:

线性源 \[S_{\mathrm{ext}} = \iota^{-2}\sum_\alpha\int \mathrm{d}\tau\, \left[ J_\alpha^*(\tau)\psi_\alpha(\tau) + \psi_\alpha^*(\tau)J_\alpha(\tau) \right],\] 对于 Fermions, \(J(\tau)\) 是一个 Grassmann 函数. 这将产生关于 \(\langle\psi_\alpha\rangle\) 和单粒子不可约顶点的泛函. 在可重整化理论中, 这有助于将需要重整化的发散组织到有限种低阶顶点中.
配对源 \[S_{\mathrm{ext}} = \iota^{-2}\sum_{\alpha\beta}\int \mathrm{d}\tau_1\mathrm{d}\tau_2\, \left[ \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta^*(\tau_2)\Delta_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2) + \mathrm{c.c.} \right],\] 该源可能出现在超导系统中. 它将产生关于反常 Green 函数的泛函 \[\mathcal{F}(\alpha\tau,\alpha'\tau') = -\langle\hat{T}[\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)}(\tau')]\rangle,\] 可以类似地定义粒子-粒子道中的不可约有效相互作用. 这一推广对于处理超导系统是必要的.
混合源不同类型的源可以混合使用. 例如, 为了描述超导系统, 需要同时引入普通源和配对源.

6.3 Density Functional Theory

密度泛函理论可以理解为一种有效作用量理论. 在密度泛函理论中, 我们只关心系统的平衡密度分布. 因此, 我们选择一个与时间无关的局域势 \(\phi(\mathbf{r})\) 作为外源:

\[S_{\mathrm{ext}} = \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \psi^*(\mathbf{r}\tau)\psi(\mathbf{r}\tau)\,\phi(\mathbf{r}).\]

对外源生成泛函作 Legendre 变换可以定义局域密度的无量纲有效作用量 \(\Gamma[\rho]\). 本节恢复未减去参考项的巨势泛函:

\[\Omega[\rho]\equiv\Omega_0+\frac{\Gamma[\rho]}{\beta}.\]

这里不带密度自变量的 \(\Omega_0=-\beta^{-1}\ln Z_0\) 是给定温度、化学势和体积下的参考标量; 它与下面的无相互作用密度泛函 \(\Omega_0[\rho]\) 不同. 二者在参考系统的零源平衡密度处相等. 局域密度定义为

\[\rho(\mathbf{r}) = \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, \langle \psi^*(\mathbf{r}\tau)\psi(\mathbf{r}\tau)\rangle.\]

Hohenberg-Kohn theorem 在零温、固定粒子数的通常基态密度泛函理论中, 密度确定外势到一个加法常数. 这里使用的有限温度巨正则推广是 Mermin 定理: 在给定 \(T>0\) 和 \(\mu\) 时, 不同局域外势不能产生相同的平衡密度.

在允许的密度域上, 巨势泛函 \(\Omega[\rho]\) 是凸的; 有限体系、有限温度及可逆响应等条件下可进一步讨论严格凸性:
\[\Omega[\alpha\rho_1+(1-\alpha)\rho_2] \le \alpha\,\Omega[\rho_1]+(1-\alpha)\,\Omega[\rho_2], \qquad 0\le \alpha \le 1.\]

Identities 恒等式

\[\frac{\delta \Omega[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})} = -\phi(\mathbf{r}), \qquad \int \mathrm{d}\mathbf{r}_1\, \chi(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\, \frac{\delta^2\Omega[\rho]} {\delta\rho(\mathbf{r}_1)\delta\rho(\mathbf{r}')} = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').\]

其中 \(\chi(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\equiv \delta\rho(\mathbf{r})/\delta\phi(\mathbf{r}_1)\) 是密度响应函数.

Kohn-Sham 方法

对可由局域无相互作用势表示的密度, 有效作用量可以分解为
\[\Omega[\rho]=\Omega_0[\rho]+\Omega_I[\rho],\]
其中 \(\Omega_0[\rho]\) 是无相互作用系统的泛函, \(\Omega_I[\rho]\) 表征相互作用效应.
\(\Omega_0[\rho]\) 可以通过求解波动方程来构造
\[\left[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\right]\psi_i(\mathbf{r}) = \epsilon_i\psi_i(\mathbf{r})\]
得到本征能量和本征波函数. 巨势为
\[\Omega_0[\rho] = -\frac{1}{\beta}\sum_i \ln\!\left(1+\mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}\right) -\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}).\]
\(\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\) 应当是给出给定 \(\rho(\mathbf{r})\) 的那个, 即 \(\sum_i |\psi_i(\mathbf{r})|^2 n_{\mathrm{F}}(\epsilon_i-\mu)=\rho(\mathbf{r})\). 我们有
\[\frac{\delta \Omega_0[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})} = -\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r}).\]
应用上面给出的第一个恒等式, 我们得到
\[\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r}) = \phi(\mathbf{r})+\frac{\delta \Omega_I[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})}.\]
将其代入波动方程, 我们得到 Kohn-Sham 方程.

6.4 FRG-DFT Theory

将密度泛函理论推广到虚时依赖的密度时, 引入局域源

\[S_{\mathrm{ext}}=\int\mathrm{d}X\,\phi(X)n_\psi(X), \qquad X=(\mathbf{r},\tau), \qquad \int\mathrm{d}X=\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\int\mathrm{d}\mathbf{r}.\]

本节使用自旋求和密度

\[\hat n(X)=\sum_\sigma\hat\psi_\sigma^\dagger(X)\hat\psi_\sigma(X), \qquad n_\psi(X)=\sum_\sigma\psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau+\epsilon) \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau), \qquad \epsilon>0.\]

创建场的微小时间后移继承原 Hamiltonian 的真空正规序. 最终定义 \(\rho(X)=\langle\hat n(X)\rangle\).

Notation 生成泛函与归一化: 取无量纲的 \(W,\Gamma\), 且使用与 \(\lambda\) 无关的参考配分函数 \(Z_0[0]\):

\[\begin{aligned} W_\lambda[\phi]&=\ln\frac{Z_\lambda[\phi]}{Z_0[0]}, &\rho(X)&=-\hbar\frac{\delta W_\lambda}{\delta\phi(X)},\\ \Gamma_\lambda[\rho]&=-W_\lambda[\phi] -\frac1\hbar\int\mathrm{d}X\,\phi(X)\rho(X), &\frac{\delta\Gamma_\lambda}{\delta\rho(X)}&=-\frac{\phi(X)}{\hbar}. \end{aligned}\]

固定 \(\rho\) 对 \(\lambda\) 求导时, \(\partial_\lambda\phi\) 的两项相消, 因而 \(\partial_\lambda\Gamma_\lambda=-\partial_\lambda W_\lambda\). 若把 \(W\) 每次归一化为 \(\ln[Z_\lambda[\phi]/Z_\lambda[0]]\), 则必须补回依赖 \(\lambda\) 的常数才能保留能量流.

对静态密度, 恢复绝对巨势泛函并转为固定密度的自由能泛函:

\[\begin{aligned} \Omega_\lambda[\rho]&=\Omega_0[0]+\frac{\Gamma_\lambda[\rho]}{\beta},\\ F_\lambda[\rho]&=\Omega_\lambda[\rho] +\mu\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

其中 \(\Omega_0[0]=-\beta^{-1}\ln Z_0[0]\), 此处 \([0]\) 表示零外源. 固定 \(\beta,\mu,\rho\) 时, \(\partial_\lambda F_\lambda=\beta^{-1}\partial_\lambda\Gamma_\lambda\), 所以流方程给出 \(F_1[\rho]-F_0[\rho]=(\Gamma_1[\rho]-\Gamma_0[\rho])/\beta\). 零温基态能量来自恢复参考项及 \(\mu N\) 后的 \(F\), 而 \(\Gamma/\beta\) 单独给出相对参考的巨势.

Definition 密度连通核: 对分离的时间, 定义

\[C_\lambda(X,Y) =\left\langle T_\tau\,\delta\hat n(X)\delta\hat n(Y)\right\rangle_{\lambda,\phi} =\hbar^2\frac{\delta^2W_\lambda}{\delta\phi(X)\delta\phi(Y)} =-\hbar\chi_\lambda^{\mathrm{T}}(X,Y).\]

这里 \(\chi_\lambda^{\mathrm{T}}(X,Y)=\delta\rho(X)/\delta\phi(Y)\), 平均取产生指定 \(\rho\) 的外源. 在响应映射可逆的源/密度子空间中, 对 \(\rho=-\hbar W_\lambda^{(1)}\) 求导可得

\[\int\mathrm{d}Y\,C_\lambda(X,Y) \frac{\delta^2\Gamma_\lambda}{\delta\rho(Y)\delta\rho(Z)} =\delta(X-Z).\]

所以 \(C_\lambda=(\Gamma_\lambda^{(2)})^{-1}\). 密度响应的零模须先约束或投影, 再在剩余子空间取逆.

Proposition 等时配对密度: 正规序两体算符满足

\[\sum_{\sigma\sigma'} \hat\psi_\sigma^\dagger(\mathbf{r}) \hat\psi_{\sigma'}^\dagger(\mathbf{r}') \hat\psi_{\sigma'}(\mathbf{r}') \hat\psi_\sigma(\mathbf{r}) =\hat n(\mathbf{r})\hat n(\mathbf{r}') -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\hat n(\mathbf{r}).\]

接触项来自正则反对易关系中的 \(\delta_{\sigma\sigma'}\), 自旋求和后为总密度 \(\rho\), 不再乘自旋简并度. 因而

\[P_\lambda(X,Y) =\rho(X)\rho(Y)+C_\lambda(X^+,Y) -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X), \qquad \tau_Y=\tau_X.\]

其中 \(X^+=(\mathbf{r},\tau+\eta)\), \(\eta>\epsilon>0\); 先在固定 \(\eta\) 下取 \(\epsilon\to0^+\), 再取 \(\eta\to0^+\), 保证得到密度乘积的时间顺序. \(P_\lambda\) 是正规序配对密度, \(C_\lambda\) 是密度连通关联; 两者的等时值不能共用一个未注明处方的 \(\mathcal{G}_c^{(2)}\). 以两个密度双线性项分组, 正规序等时的连通配对部分为 \(P_\lambda-\rho\rho=C_\lambda(X^+,Y)-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X)\).

Proposition 流方程: 用 \(\lambda\) 标度正规序相互作用,

\[S_{\mathrm{int},\lambda} =\frac{\lambda}{2} \sum_{\sigma\sigma'} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau+\epsilon) \psi_{\sigma'}^*(\mathbf{r}',\tau+\epsilon) \psi_{\sigma'}(\mathbf{r}',\tau)\psi_\sigma(\mathbf{r},\tau).\]

固定密度下, \(-\partial_\lambda W_\lambda=\langle\partial_\lambda S_{\mathrm{int},\lambda}\rangle/\hbar\). 将配对密度关系与逆 Hessian 代入, 得到闭合的密度流方程

\[\partial_\lambda\Gamma_\lambda[\rho] =\frac{1}{2\hbar} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \left[ \rho(X)\rho(Y) +(\Gamma_\lambda^{(2)})^{-1}(X^+,Y) -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X) \right], \qquad Y=(\mathbf{r}',\tau).\]

空间接触项与其余两项使用同一空间调节, 在相消之后再取连续空间极限, 尤其不能单独计算 Coulomb 的 \(v(0)\).

单个自旋轨道给出一个直接核对: \(\hat n^2=\hat n\), \(C(0^+)=\rho(1-\rho)\), 所以 \(P=\rho^2+C-\rho=0\), 与该轨道不能容纳两个 Fermion 一致. 省略接触项便会得到错误的自作用.

这称为密度泛函的 FRG 流方程. 原则上从 \(\Gamma_0\) 积分到 \(\Gamma_1\) 可得相互作用密度泛函; 实际求解还需选择受控的截断. 这里的源号、\(\hbar\) 和正规序时间处方均已显式给出. 可对照 Yokota 与 Naito 的 FRG-DFT 推导, §II.A, 式 (2)–(8); 该文使用原子单位及与本文相反符号的密度源.

6.5 Landau Fermi-Liquid Theory

Motivation 金属 / Helium III 液体的物理性质表明, 即使这些系统中的相互作用相当强, 电子 / Helium III 原子的行为也类似于独立粒子.

Basic idea 相互作用 Fermion 系统的低激发态可以通过以下方式构造:

制备无相互作用理想 Fermi 液体的低激发态, 例如在 Fermi 能级以上/以下添加一个电子/空穴;
以足够慢的速度开启相互作用: 必须在态被完全衰减之前开启. 这是可能的, 因为 Fermi 面附近的电子/空穴衰减非常慢;对于 3D 系统, 衰减率正比于 \((|\mathbf{k}|-k_{\mathrm{F}})^2\).

Energy functional 相互作用 Fermion 系统的能量是无相互作用理想系统的占据数 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 的泛函:

根据 6.1 末尾, 能量是实时 \(G\) 的泛函.
假设 \(G\) 可以通过从无相互作用基态 \(|\Phi_0\rangle\) 出发的绝热微扰展开确定, 该基态为填充的 Fermi 海. 为了建立 Landau Fermi 液体理论, 还需要假设此绝热对应对于低激发态也有效, 即 \(|\Phi_0\rangle\to|\Phi_n\rangle\); 这不是基态展开自动保证的结论.
无相互作用系统中低激发态的 Green 函数 \(G_0\) 可以写为
\[G_0(\mathbf{k},\omega) = \begin{cases} \dfrac{1}{\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta}, & \mathcal{N}_{\mathbf{k}}=1,\\[0.8ex] \dfrac{1}{\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta}, & \mathcal{N}_{\mathbf{k}}=0. \end{cases}\]
其中 \(\{\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\}\) 是低激发态的动量占据数. 注意 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\neq n_{\mathbf{k}}\equiv \langle \hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}}\rangle\) 不是相互作用系统的动量占据数.
\(G\) 是 \(G_0\) 的泛函, 前提是微扰展开收敛. 因此, 能量是 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 的泛函.

6.5.1 Phenomenological Approach

对于基态组态 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}=\theta(k_{\mathrm{F}}-|\mathbf{k}|)\) 的小偏离, 能量泛函可以按 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}\) 展开为 Taylor 级数. 至二阶:

\[E[\mathcal{N}] = E_0 + \sum_{\mathbf{k}\sigma} \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\,\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\, \delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

Effective mass \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 是准粒子能量, 即向系统基态添加/从系统基态移除一个粒子所需的能量. 在费米面附近, 它可以参数化为:

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\approx \mu+\hbar v_{\mathrm{F}}^*(|\mathbf{k}|-k_{\mathrm{F}}), \qquad v_{\mathrm{F}}^* = \frac{\hbar k_{\mathrm{F}}}{m^*}.\]

其中 \(v_{\mathrm{F}}^*\) 是有效 Fermi 速度. 有效质量可能与裸电子质量差别很大.

Local quasiparticle energy 是在存在其他激发的情况下添加/移除一个粒子所需的能量

\[\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma} = \frac{\delta E}{\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}} = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

准粒子的能量因其他激发的存在而改变.

Quasiparticle density of states 由有效质量修正 \(N^*(0)=\frac{m^*}{m}N(0)\). 它可以通过测量低温热容来确定:

\[c_{\mathrm{v}}(T) = \frac{\pi^2}{3}N^*(0)k_{\mathrm{B}}^2T.\]

Proof

首先需要将理论推广到有限温度. 无相互作用系统的熵为
\[S = -k_{\mathrm{B}}\sum_{\mathbf{k}\sigma} \left[ \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\ln \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} + \bigl(1-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\bigr)\ln\bigl(1-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\bigr) \right],\]
在绝热开启相互作用时保持不变. 通过极小化巨势
\[\Omega[\mathcal{N}] = E[\mathcal{N}]-TS-\mu\sum_{\mathbf{k}\sigma}\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma},\]
我们得到
\[\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} = \left\{\exp\!\left[\beta\bigl(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}-\mu\bigr)\right]+1\right\}^{-1}.\]
注意它由 \(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}\) 而非 \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 决定. \(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}\) 由于 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}\) 而有一个修正.
在固定粒子数、各向同性三维 Landau 模型中, 若态密度及相互作用函数在 Fermi 面附近光滑且采用常规 Sommerfeld 展开, \(\delta\mathcal N\) 的积分矩从 \(O(T^2)\) 开始. 因而能量泛函中显式的二次相互作用项为 \(O(T^4)\), 得到:
\[E[\mathcal{N}]\approx E_0+\sum_{\mathbf{k}\sigma}\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}+O(T^4).\]
因此在求线性热容主项时可以忽略该高阶项. 这里的 \(T^4\) 并非任意相互作用 Fermi 液体的普遍修正阶数; 非解析低能修正可能包含对数因子, 参见 Chubukov、Maslov 与 Millis 的原始研究.
因此, 在线性热容主项上可视为自由准粒子气体, 但使用的是有效质量决定的 \(N^*(0)\), 相互作用对这一主项的影响并未消失.

Landau Fermi-liquid parameters 对于各向同性系统, \(f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}=f_{\sigma\sigma'}(\cos\theta)\), 其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 之间的夹角(\(|\mathbf{k}|\approx |\mathbf{k}'|\approx k_{\mathrm{F}}\)). 系统可以用一组离散参数表征:

\[F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}} = \frac{\mathcal{V} N^*(0)}{4} \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x\, \bigl[f_{\uparrow\uparrow}(x)\pm f_{\uparrow\downarrow}(x)\bigr]P_l(x).\]

其中 \(P_l(x)\) 是 Legendre 多项式, \(N^*(0)\) 为单位体积、包含两个自旋分量的准粒子态密度. 本文的 \(F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}}\) 未乘 \(2l+1\); 若用展开系数定义的常见约定, 相应参数为 \((2l+1)F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}}\).

Compressibility

\[\frac{1}{K} = \rho^2 \frac{\partial \mu}{\partial \rho} = \frac{\rho k_{\mathrm{F}}}{3}\frac{\partial \mu}{\partial k_{\mathrm{F}}},\]

当 Fermi 波矢从 \(k_{\mathrm{F}}\) 变为 \(k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}}\) 时, Fermi 能量改变为

\[\delta\mu = \tilde{\mathcal{E}}_{k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}},\sigma}-\mathcal{E}_{k_{\mathrm{F}},\sigma} = v_{\mathrm{F}}^*\hbar\delta k_{\mathrm{F}}+\sum_{\mathbf{k}'\sigma'}f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'},\]

其中在 \(k_{\mathrm{F}}\) 和 \(k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}}\) 之间的薄壳层中 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=1\). 这导致:

\[\frac{K}{K_0} = \frac{m^*/m}{1+F_0^{\mathrm{s}}}.\]

压缩率可以通过测量声速 \(v_{\mathrm{s}}=1/\sqrt{nmK}\) 来确定.

Spin susceptibility

\[\chi = \frac{1}{2}g\mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial (n_\uparrow-n_\downarrow)}{\partial B},\]

在存在外磁场时, 准粒子能量变为

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}(B) = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{1}{2}g\mu_{\mathrm{B}} B \sigma.\]

我们有

\[\frac{\chi}{\chi_0} = \frac{m^*/m}{1+F_0^{\mathrm{a}}}.\]

Mass renormalization 对于具有 Galilean 不变性的各向同性连续体系:

\[\frac{m^*}{m} = 1+F_1^{\mathrm{s}}.\]

Proof

从一个系统具有无穷小速度 \(\mathbf{v}\) 的参考系观察. 根据 Galilean 变换, 准粒子的能量为 \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\hbar\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}\).
也可以视为 Fermi 海移动了波矢 \(m\mathbf{v}/\hbar\) 的系统. 准粒子能量的变化包括:

\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 随 \(\mathbf{k}\to \mathbf{k}+m\mathbf{v}/\hbar\) 的变化:
\[(\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma})_1 = \frac{\hbar^2\mathbf{k}}{m^*}\cdot \delta\mathbf{k} = \hbar\frac{m}{m^*}\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}.\]
移动的分布诱导了 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\), 从而产生相互作用修正:
\[(\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma})_2 = \sum_{\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

移动的分布在零温 Fermi 面上有 \[\delta\mathcal N_{\mathbf k'\sigma'}=\frac m\hbar\,\mathbf v\cdot\hat{\mathbf k}'\,\delta(k'-k_{\mathrm F}).\] 角积分仅保留 \(l=1\) 的自旋对称分量. 按本节未乘 \(2l+1\) 的参数约定, 得 \[(\delta\mathcal E_{\mathbf k\sigma})_2=\hbar\frac m{m^*}F_1^{\mathrm s}\,\mathbf v\cdot\mathbf k, \qquad |\mathbf k|=k_{\mathrm F}.\] 令两种考虑的总能量变化相等, 即 \[\hbar\mathbf v\cdot\mathbf k=\hbar\frac m{m^*}(1+F_1^{\mathrm s})\mathbf v\cdot\mathbf k,\] 对任意小 \(\mathbf v\) 成立, 从而 \(m^*/m=1+F_1^{\mathrm s}\). 若采用含 \(2l+1\) 的展开系数约定, 右侧相应为 \(1+F_1^{\mathrm s}/3\).

6.5.2 Microscopic Underpinning

Notation 本小节采用绝对能量频率: 自由极点在 \(\hbar\omega=\epsilon_{\mathbf{k}}\), 占据积分上限为 \(\mu/\hbar\). 与前面以化学势为零点的频率相差 \(\mu/\hbar\); 比较传播子和自能时须同时平移频率参数. \(\Sigma\) 仍具有能量量纲, 且 Fermion 的 \(G^\lt=\mathrm{i}fA\), 因而粒子数由 \(-\mathrm{i}G^\lt\) 积分得到.

Spectral function 相互作用系统中的准粒子没有确定的能量-动量关系. 相反, 它由谱函数描述

\[A_\sigma(\mathbf{k},\omega) = -2\,\operatorname{Im} G_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = -2\hbar\, \frac{\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)} {[\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)]^2+[\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)]^2}.\]

它给出添加或移除动量为 \(\hbar\mathbf{k}\) 的粒子的谱权重密度. 对单个自旋态有 \(\int\mathrm{d}\omega\,A_\sigma/(2\pi)=1\); 实际添加和移除的权重还分别包含占据因子 \(1-f\) 和 \(f\).

Quasiparticle energy 由方程确定

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = \epsilon_{\mathbf{k}\sigma} + \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

Coherent peak 谱函数在准粒子能量附近有一个尖锐的峰(相干峰):

\[A_\sigma(\mathbf{k},\omega) = Z_{\mathbf{k}\sigma}\, \frac{\tau_{\mathbf{k}\sigma}^{-1}} {(\omega-\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar)^2+(2\tau_{\mathbf{k}\sigma})^{-2}} + A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega),\]\[\frac{1}{Z_{\mathbf{k}\sigma}} = 1-\frac{1}{\hbar} \left.\frac{\partial \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)}{\partial \omega}\right|_{\hbar\omega=\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}, \qquad \frac{\hbar}{2\tau_{\mathbf{k}\sigma}} = Z_{\mathbf{k}\sigma} \left| \operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) \right|.\]

\(Z_{\mathbf{k}\sigma}\) 称为准粒子权重. 在费米面附近, 有 \(\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right)\propto (\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}-\mu)^2\).

Fermi surface Fermi 液体具有存在 Fermi 面的性质, 该面由方程定义:

\[\mu-\epsilon_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}-\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k}_{\mathrm{F}},\frac{\mu}{\hbar}\right) = 0,\]

其中 Fermi 能量 \(E_{\mathrm{F}}=\mu\) 由总粒子数确定:

\[N = \sum_{\mathbf{k}}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega)\theta\!\left(\frac{\mu}{\hbar}-\omega\right).\]

粒子数公式中 \(A=\sum_\sigma A_\sigma\) 包含全部自旋分量. 这些方程在动量空间中定义了一个 \(d-1\) 维曲面.

Luttinger theorem Fermi 面(Fermi 海)所包围的体积与相同密度的无相互作用 Fermi 液体的相同.

该体积计数用于零温、粒子数守恒且保持平移对称性的常规 Fermi 液体, 并须计入全部自旋或能带分量; 在晶格中还涉及满带的整数计数. 时间反演对称性不是一般的必要前提. 外轨道磁场、对称性破缺或分数化相需要另行分析, 不能仅用 Berry 曲率修正来否定通常的零场计数.

Effective mass

\[\left.\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\mathrm{d}k}\right|_{|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}\sigma}} = \frac{\hbar^2 k_{\mathrm{F}\sigma}}{m^*}, \qquad \frac{m}{m^*} = Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma} \left( 1+\frac{m}{\hbar^2 k_{\mathrm{F}\sigma}} \left.\frac{\partial \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\mu/\hbar)}{\partial k}\right|_{|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}} \right).\]

动量占据数 \(n_{\mathbf{k}\sigma}\) 在 \(|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}\) 处有一个大小为 \(Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\) 的不连续跳跃.

Proof 在费米面附近, \(\operatorname{Im}\Sigma^{\mathrm{r}}\to 0\), 我们有

\[\begin{aligned} A_\sigma(\mathbf{k},\omega) &\to 2\pi\delta\!\left[ \omega-\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}+\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)}{\hbar} \right] +A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega) \\ &= 2\pi Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\delta\!\left(\omega-\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) +A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]

动量占据数由下式确定

\[n_{\mathbf{k}\sigma} = -\mathrm{i}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}G_\sigma^\lt (\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^{\mu/\hbar}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,A_\sigma(\mathbf{k},\omega).\]

对于位于 Fermi 海内 (\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}}\le \mu\)) 和外 (\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}}\gt \mu\)) 的两个 \(\mathbf{k}\), \(A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega)\) 的差异可忽略, 积分的差值为 \(Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\).

Landau energy functional: 基态能量泛函式可以重写为

\[E[\mathcal{N}_{\mathbf{k}}]-E_0 = \mathrm{i}\hbar\sum_{\mathbf{k}}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \left[ \ln\!\left(1-\frac{1}{\hbar}G_0(\mathbf{k},\omega)\Sigma(\mathbf{k},\omega)\right) +\frac{1}{\hbar}\Sigma(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega) \right] +\frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\Phi[G],\]

其中 \(\Sigma\) 是 \(G\) 的泛函, \(G=G[G_0]\) 被视为 \(G_0\) 的泛函. \(G_0\) 由 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 确定.

Quasiparticle energy 我们可以证明本节开始定义的准粒子能量正是总能量对离散准粒子占据数的导数 \(\epsilon_\alpha=\partial E/\partial n_\alpha\):

考虑 Fermi 面附近的一个 \(\mathbf{k}\), 将其 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 从 \(0\) 变为 \(1\). 这引起了 Green 函数 \(G_0(\mathbf{k},\omega)\) 的变化
\[\frac{\hbar}{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}+\mathrm{i}\hbar\eta} \to \frac{\hbar}{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i}\hbar\eta}.\]
能量的变化:
\[\begin{aligned} \delta E &= \delta E_0 -\hbar\sum_{\mathbf{k}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}}\, \delta\ln\!\left[ 1-\frac{1}{\hbar}G_0(\mathbf{k},\omega)\Sigma(\mathbf{k},\omega) \right] \\ &= \epsilon_{\mathbf{k}} -\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{\pi}\, \operatorname{Im}\ln\!\left[ \frac{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\Sigma(\mathbf{k},\omega)-\mathrm{i}\hbar\eta} {\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i}\hbar\eta} \right], \end{aligned}\]
其中我们使用了变分原理 \(\delta E[G]/\delta G=0\), 这意味着能量的变化完全来自 \(G_0\) 的变化.
在费米面附近, \(\Sigma\) 近似为实数. 注意 \(\operatorname{Im}\ln(x-\mathrm{i}\eta)=-\pi\theta(-x)\), 我们有
\[\delta E \approx \epsilon_{\mathbf{k}} +\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega \left[ \theta\!\left(\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}}}{\hbar}-\omega\right) -\theta\!\left(\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}}{\hbar}-\omega\right) \right] = \mathcal{E}_{\mathbf{k}}.\]

Interaction parameters \(f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\) 可以通过考察局域准粒子能量随 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\) 的变化来确定. 以下自能及其占据数变分取准粒子壳上的实部; 在 Fermi 面极限中虚部消失.

\[\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma} = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = \epsilon_{\mathbf{k}\sigma}+\Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) +\delta \Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

这导致:
\[\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = Z_{\mathbf{k}\sigma}\delta\Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]
与局域准粒子能量的变化式比较, 我们得到
\[f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} = Z_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\delta\Sigma_\sigma(\mathbf{k},\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar)}{\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}}.\]

Notation 前向顶点的两个极限: 上面的占据数变分对应具有有限前向顶点的常规 Fermi 液体的动态前向顶点. 令

\[K=(\mathbf{k},\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar,\sigma), \qquad K'=(\mathbf{k}',\mathcal{E}_{\mathbf{k}'\sigma'}/\hbar,\sigma'), \qquad Q=(\mathbf{q},\nu),\]

并将 §6.2.3 的完整、截肢粒子-空穴顶点写为

\[\mathcal{T}_{KK'}(Q) =T(K+Q/2,K'-Q/2;K-Q/2,K'+Q/2).\]

这里 \(Q\) 不改变自旋, 已除去动量-频率守恒的整体 delta 函数, 且保留本文的相互作用矩阵元约定. 费米面上外频率为 \(\mu/\hbar\); 下述动态/静态指转移频率 \(\nu\), 不改变本小节的绝对能量频率约定.

\[\begin{aligned} T^\omega(K,K')&\equiv \lim_{\nu\to0}\lim_{\mathbf{q}\to0}\mathcal{T}_{KK'}(\mathbf{q},\nu),\\ T^q(K,K')&\equiv \lim_{\mathbf{q}\to0}\lim_{\nu\to0}\mathcal{T}_{KK'}(\mathbf{q},\nu). \end{aligned}\]

动态极限先令 \(v_{\mathrm{F}}^*|\mathbf{q}|/|\nu|\to0\), 再令 \(\nu\to0\); 静态极限先令 \(|\nu|/(v_{\mathrm{F}}^*|\mathbf{q}|)\to0\), 再令 \(\mathbf{q}\to0\). 两者一般不交换. 费米面上的低能粒子-空穴传播子在静态极限留下有限贡献, 在动态极限消失.

Proposition Landau 相互作用与散射幅: 取离散占据数和总能量归一化, \(f\) 具有能量量纲并按 \(1/\mathcal{V}\) 缩放:

\[f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} =\frac{Z_{\mathbf{k}\sigma}Z_{\mathbf{k}'\sigma'}}{\mathcal{V}} T^\omega(K,K'), \qquad |\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}\sigma}, \qquad |\mathbf{k}'|=k_{\mathrm{F}\sigma'}.\]

若用单位体积能量与连续动量积分, 常写为 \(\mathfrak{f}=\mathcal{V} f=ZZ'T^\omega\). 同样归一化的静态准粒子前向散射幅为

\[\mathfrak{a}_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} =Z_{\mathbf{k}\sigma}Z_{\mathbf{k}'\sigma'}T^q(K,K').\]

它由动态顶点继续重求和费米面上的粒子-空穴传播得到, 因而一般不同于 \(\mathfrak{f}\). 两个极限的微观关系可参见 Chubukov、Klein 与 Maslov, §II.A, 式 (2.4)–(2.6).

\(I=\zeta\,\delta\Sigma/(\iota\,\delta G)\) 是粒子-空穴道不可约核, \(T\) 是其 Bethe-Salpeter 方程的完整解. 动态极限只去掉该道的低能奇异粒子-空穴部分, 仍含高能重求和, 所以不能一般地把 \(T^\omega\) 换成 \(I\). 一阶、对称且自旋无关的相互作用给出 \(\mathfrak{f}_{\sigma\sigma'}=v(0)-\delta_{\sigma\sigma'}v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')+O(v^2)\), 可核对直接项、交换项和体积因子. 长程 Coulomb 的宏观 Hartree 部分须按电中性约定单独处理.

7 Phase Transitions and Spontaneous Symmetry Breaking

7.1 General Theory

7.1.1 Landau Theory

Landau 理论假设一个序参量 \(m(\mathbf{r})\) 和一个泛函 \(\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T]\), 使得

\[Z = \int \mathcal{D}[m(\mathbf{r})]\,\mathrm{e}^{-\beta \mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T]}.\]

\(\mathcal{L}\) 的形式受系统对称性约束: 它必须在对称操作下不变. 相变发生在 \(\mathcal{L}\) 具有多个简并最小值时.

在临界点附近, \(m(\mathbf{r})\to 0\), 可将泛函按 \(m(\mathbf{r})\) 展开为 Taylor 级数. 例如:
\[\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T] \approx \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{a}{2}|\nabla m(\mathbf{r})|^2 + c_1hm + d_2tm^2 + c_3hm^3 + b_4m^4 \right].\]
其中 \(t\equiv T-T_{\mathrm{c}}\), \(h\equiv H-H_{\mathrm{c}}\).
Universality: 由于在临界点附近只有展开式中的少数几项是相关的, 且形式受对称性约束, 因此期望不同物理系统类别共享普适行为.

量子系统的虚时路径积分有 \(d\) 个空间坐标和一个虚时坐标, 但尺度计数一般使用 \(d+z\), 其中动力学指数 \(z\) 由 \(\omega\sim q^z\) 定义; 只有 \(z=1\) 时才有各向同性的 \(d+1\) 维经典类比. 在通常的有限温度静态临界问题中, 非零 Matsubara 模可被积分掉, 长距离行为由零频模控制, 对应 \(d\) 维经典体系. 零温时虚时长度发散, 时间涨落不能这样消去.

Effective action vs. Landau functional 对均匀外场, 明确采用 Hamiltonian 耦合 \(-HM\). 令 \(W(H)=\ln Z(H)\), 则 \(W'(H)=\beta M\). 在可逆的单相区, Legendre 变换为

\[\Gamma(M)=\beta H(M)M-W(H(M)),\qquad F_{\mathrm{eff}}(M)=\Gamma(M)/\beta.\]

直接求导可见含 \(H'(M)\) 的项抵消, 因而

\[\frac{\mathrm{d}F_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}M}=H(M),\qquad \frac{\mathrm{d}^2F_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}M^2} =\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}M}=\frac{1}{\chi},\qquad \chi=\frac{\partial M}{\partial H}\ge0.\]

在固定外场 \(H_0\) 下, 平衡态由 \(F_{\mathrm{eff}}(M)-H_0M\) 的极小值确定. 精确的 \(F_{\mathrm{eff}}\) 是凸的: 共存区须用 Legendre-Fenchel 变换, 热力学极限下可出现线性平段, 而不是平均场双阱. 双阱 Landau 泛函是尚待对序参量涨落积分的粗粒化输入, 不能与已包含这些涨落的精确有效自由能混同. 连续相变中 \(\chi\to\infty\) 对应曲率趋零; 该曲率的符号为正.

Symmetry breaking 尽管 Landau 泛函 \(\mathcal{L}\) 具有全部对称性, 但其最小值可能破缺部分对称性.

最小值的稳定子群是系统对称群的一个子群 \(G'\subset G\). 对称操作相连的简并态形成陪集空间 \(G''\equiv G/G'\); 只有 \(G'\) 为正规子群时它才是商群.
对称性破缺是热力学极限的结果:
\[M = \lim_{H\to 0}\lim_{N\to \infty}M(H) \neq \lim_{N\to \infty}\lim_{H\to 0}M(H) = 0.\]
极限顺序至关重要.
对于离散的 \(G''\), 系统被囚禁在其中一个最小值, 隧穿到其他最小值的概率在热力学极限下趋于零. 系统变为非遍历的. 对于连续的 \(G''\), 涨落 (通过集体 Goldstone 模式) 可能破坏也可能不破坏序. 这取决于空间维度和序参量的张量性质.

表中列出代表性的序参量与共轭场. 超流的 \(U(1)\) 指全局相位对称性; 超导的复序参量是固定规范或忽略动力学规范场的 Landau 描述. 表中的“gauge”不能解读为局域规范冗余发生可观测的自发破缺; 参见 Caudy 与 Greensite 关于 Elitzur 定理与剩余规范对称性的讨论.

7.1.2 Mean field theory

平均场近似即是对配分函数的稳相近似:

\[\left. \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta m(\mathbf{r})} \right|_{m(\mathbf{r})\to \bar m} = 0,\qquad Z \sim \mathrm{e}^{-\beta \mathcal{L}[\bar m,H,T]}.\]

假设空间均匀的稳态解, 可得

\[m \propto \begin{cases} \pm (-t)^{1/2}, & T\lt T_{\mathrm{c}},\ h=0, \\ h^{1/3}, & T=T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]

Correlation function Landau 泛函可在稳态解附近展开为二次型:

\[\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H=H_{\mathrm{c}},T] \approx \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{a}{2}|\nabla \delta m(\mathbf{r})|^2 + b|t|\,[\delta m(\mathbf{r})]^2 \right], \qquad b = \begin{cases} d_2, & T\gt T_{\mathrm{c}}, \\ 2d_2, & T\lt T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]

关联函数可确定为

\[\chi_{mm}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \beta\langle \delta m(\mathbf{r})\delta m(\mathbf{r}')\rangle \sim \frac{\mathrm{e}^{-|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/\xi}} {|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{(D-1)/2}} \quad (|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\gg\xi), \qquad \chi_{mm}(\mathbf{q}) \sim \frac{1}{q^2+\xi^{-2}}, \qquad \xi = \sqrt{\frac{a}{2b}}\,|t|^{-1/2}.\]

在临界点, 关联长度发散. 对 \(D>2\) 的 Gaussian 理论, 且在微观截断尺度之外, 有

\[\chi_{mm}(\mathbf{r}) \sim \int \frac{\mathrm{d}^D \mathbf{q}}{(2\pi)^D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}}{q^2} \sim \frac{1}{r^{D-2}}.\]

7.1.3 Fluctuations

\(D_{\mathrm{c}}\) 和 \(D_\ell\) 分别称为 upper critical dimension 和 lower critical dimension.

平均场近似的有效性关键取决于维度 \(D\):

\(D\gt D_{\mathrm{c}}\): 平均场给出通常的热力学临界指数.
\(D=D_{\mathrm{c}}\): 非线性项为边缘项; 对通常的 \(\phi^4\) 理论, 平均场幂律伴随对数修正.
\(D_\ell\lt D\lt D_{\mathrm{c}}\): 临界涨落不可忽略, 平均场临界指数通常不正确.
\(D\le D_\ell\): 相应的有限温度常规长程序不能由平均场正确判断; 在边界维度还须区分零温转变或二维连续对称性的拓扑相变.

Upper critical dimension 我们考察系统接近临界点时 \(\mathcal{L}\) 中不同项的相对重要性. 将 Landau 泛函重标度为

\[\beta\mathcal{L}[\phi] = \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{1}{2}|\nabla \phi(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2\xi^2}|\phi(\mathbf{r})|^2 + \frac{u_0}{4}|\phi(\mathbf{r})|^4 \right],\]

其中 \(\xi\) 为关联长度, 在临界点发散. 由 \(\beta\mathcal{L}\sim 1\) 可得

\[[\phi] = \xi^{-\frac{D-2}{2}}, \qquad [u_0] = \xi^{D-4}.\]

为考察涨落 \((\phi^4)\) 项的相对重要性, 我们通过以下变换 (当 \(T\gt T_{\mathrm{c}}\) 时) 将泛函化为无量纲形式:

\[\mathbf{r} = \mathbf{x}\xi, \qquad \phi = \tilde{\phi}\,\xi^{-\frac{D-2}{2}}, \qquad u = g\xi^{D-4}\]\[\beta\mathcal{L}[\phi] \to \beta\mathcal{L}[\tilde{\phi}] = \int \mathrm{d}^D x\, \left[ \frac{1}{2}|\nabla \tilde{\phi}(\mathbf{x})|^2 + \frac{1}{2}\tilde{\phi}^2(\mathbf{x}) + \frac{g}{4}\tilde{\phi}^4(\mathbf{x}) \right].\]

对于固定的物理参数 \(u\), 有 \(g=u\xi^{4-D}\). 当系统接近临界点时, \(\xi\to \infty\):

\(D\gt 4\): \(g\to 0\). \(\tilde{\phi}^4\) 项无关. 平均场理论准确描述临界行为.
\(D\lt 4\): \(g\to \infty\). \(\tilde{\phi}^4\) 项相关. 平均场理论给出错误的临界行为.
\(D=4\): 该情形是临界的, 应有修正.

这表明对于 \(\phi^4\) 项, \(D_{\mathrm{c}}=4\), 高于此维度该项无关. 对于其他可能的项:

\(\phi^n\): \(D_{\mathrm{c}}=\frac{2n}{n-2}\).
\((\nabla\phi)^n\) 和 \(\phi\nabla^n\phi\) 当 \(n\gt 2\) 时无关.

Lower critical dimension 在低维中, 由于 Goldstone 模式产生的涨落, 平均场近似可能完全失效.

Mermin-Wagner theorem: 对于有限温度、足够短程相互作用且具有连续内部对称性的体系, 在空间维度 \(d\le2\) 时不存在相应的常规自发长程序. 下述经典泛函中 \(D=d\); 不能直接把此结论套用于零温量子体系或长程相互作用体系.

一个例子是前面二分量场的系统, 其中 \(\phi\) 是复场, 且当 \(T\lt T_{\mathrm{c}}\) 时:
\[\phi(\mathbf{r}) \approx |\bar{\phi}|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\mathbf{r})},\]
在有序侧, 将局域势写为 \(r_0|\phi|^2/2+u_0|\phi|^4/4\), 其中 \(r_0\lt 0\), \(u_0>0\). 极小条件给出 \(|\bar{\phi}|=\sqrt{-r_0/u_0}\). 在远离临界点的长波极限, 振幅模有能隙, 可先忽略其变化; 无能隙的是下面保留的相位模. 泛函变为
\[\beta\mathcal{L}[\varphi] = \frac{|\bar{\phi}|^2}{2} \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\,|\nabla \varphi(\mathbf{r})|^2 + \mathrm{constant},\]
即 \(\varphi(\mathbf{r})\) 的激发是无能隙的. 静态泛函仅确定相位梯度的能量代价; 具体动力学色散还需时间导数项. 对具有通常压缩率项的中性超流体才得到线性色散. 这是 Goldstone 模式的特征.

\(\varphi\) 的涨落为
\[\chi_{\varphi\varphi}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \sim \int \frac{\mathrm{d}^D \mathbf{q}}{(2\pi)^D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{q^2}.\]
它在 \(D\le 2\) 时发散.
Topological excitations 二分量模型可以在二维中存在拓扑激发, 因为 \(\varphi\) 仅定义在模 \(2\pi\) 下. 在 \(\mathbf{r}=0\) 处的拓扑涡旋激发可由如下场描述
\[\varphi(r,\theta) = \theta,\]
其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{r}\) 的极角. 由于序参量 \(\phi(\mathbf{r})\) 是单值的, \(|\phi(\mathbf{r})|\) 必须在 \(\mathbf{r}=0\) 处为零. 为最小化能量代价, 除了 \(r\lesssim a\) 的小核区域外 (其中 \(a\) 是由底层微观模型设定的长度尺度), 必须有 \(|\phi(\mathbf{r})|=|\bar{\phi}|\). 更一般地, 简并状态空间的同伦群决定了可以出现何种拓扑激发.
Kosterlitz-Thouless transition 结果发现, 这个特定的二分量系统在二维中存在相变. 但该相变是拓扑相变: 它没有常规的非零局域序参量; 低温相具有准长程序和有限相位刚度, 高温相为短程无序相. 它们的区别在于关联函数随距离的衰减方式, 是指数衰减还是幂律衰减. 在微观上, 它们的区别在于拓扑涡旋激发是否在系统中增殖:
- 产生一个涡旋的能量代价为
  \[E_{\mathrm{v}} = \pi J\ln \frac{L}{a},\]
  其中 \(J\equiv |\bar{\phi}|^2/\beta\), \(L\) 是系统大小.
- 涡旋可在系统任意位置产生. 这导致配分函数中的一个前置因子, 或等价地, 一个熵
  \[S = 2k_{\mathrm{B}} \ln \frac{L}{a}.\]
- 产生一个涡旋的自由能代价为
  \[F_{\mathrm{v}} = E_{\mathrm{v}}-TS = (\pi J-2k_{\mathrm{B}} T)\ln \frac{L}{a}.\]
  该能量-熵估算给出涡旋解束缚的温度尺度. 裸刚度 \(J\) 会被自旋波和束缚涡旋对重整化; 精确的普适跳变关系使用长尺度刚度 \(J_{\mathrm{R}}(T_{\mathrm{KT}}^-)=2k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{KT}}/\pi\), 不能把裸参数估算当成精确转变温度.

7.2 Bose-Einstein Condensation and Superfluidity

7.2.1 Phase Transition

Non-interacting Boson system 对均匀三维理想 Bose 气体, Bose-Einstein 凝聚 (BEC) 指热力学极限下最低能量态 \(\epsilon_a=0\) 的占据满足 \(N_0/N>0\). 在 \(T\lt T_{\mathrm{c}}\) 时:

\[N_0 = N-\sum_{\epsilon_a\gt 0} n_{\mathrm{B}}(\epsilon_a)\to \infty,\]

其中在 \(n_{\mathrm{B}}(\epsilon_a)\) 中化学势 \(\mu\) 设为零. 凝聚体密度为

\[\rho_{\mathrm{c}}(T) = \rho \left[ 1-\left(\frac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right)^{3/2} \right].\]

Interacting Boson system 考虑具有排斥接触相互作用 \(v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=g\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\) 且 \(g\gt 0\) 的 Boson 系统:

\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*] &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ \psi^*(\mathbf{r},\tau) \left( \hbar\partial_\tau-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-\mu \right) \psi(\mathbf{r},\tau) + \frac{g}{2} \bigl[\psi^*(\mathbf{r},\tau)\psi(\mathbf{r},\tau)\bigr]^2 \right]\\ &= \sum_k \psi_k^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} - \mu \right)\psi_k + \frac{g}{2V\hbar\beta} \sum_{kk'q} \psi_{k+q}^*\psi_{k'-q}^*\psi_{k'}\psi_k. \end{aligned}\]

Phase transition 该作用量含 \(d\) 个空间坐标和一个虚时坐标, 但不能据此直接使用各向同性 \(d+1\) 维经典临界指数. 在 \(\mu=0\) 的零温稀薄气体临界点, \(\omega\sim k^2\) 给出 \(z=2\); 通常的有限温度静态转变则由零 Matsubara 模控制. 对于均匀场 \(\psi(\mathbf{r})=\varphi\), 作用量简化为

\[S[\varphi,\varphi^*] = \hbar\beta V \left[ -\mu|\varphi|^2 + \frac{g}{2}|\varphi|^4 \right],\]

它预言了 \(\mu=0\) 处的平均场临界点, 且当 \(\mu\gt 0\) 时有 \(|\bar{\varphi}|^2=\mu/g\).

注意化学势应由总粒子数 \(N\) 自洽确定. 因此它是 \(N\) 和 \(T\) 的函数: \(\mu(T,N)\).

7.2.2 Superfluidity

Goldstone mode 中性 BEC 态在热力学极限的破缺对称表述中破坏全局 \(U(1)\) 对称性, 即变换 \(\psi\to \psi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\) 下的不变性. Goldstone 模式是相位 \(\phi\) 的空间调制. 我们引入场的极坐标表示

\[\psi(\mathbf{r},\tau) = \bigl[\rho_{\mathrm{c}}+\rho_1(\mathbf{r},\tau)\bigr]^{1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{r},\tau)},\]

其中 \(\rho_{\mathrm{c}}\equiv |\bar{\varphi}|^2\). 作用量变换为

\[\begin{aligned} S[\rho_1,\phi] &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ -\mu\rho + \frac{g}{2}\rho^2 + \frac{\hbar^2}{8m\rho}|\nabla \rho_1|^2 + \mathrm{i}\hbar\rho\partial_\tau \phi + \frac{\hbar^2 \rho}{2m}|\nabla \phi|^2 \right] \\ &\approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ \frac{g}{2}\rho_1^2 + \frac{\hbar^2}{8m\rho_{\mathrm{c}}}|\nabla \rho_1|^2 + \mathrm{i}\hbar\rho_1\partial_\tau \phi + \frac{\hbar^2 \rho_{\mathrm{c}}}{2m}|\nabla \phi|^2 \right] - \frac{1}{2}\hbar\beta\mu N_{\mathrm{c}} + 2\pi \mathrm{i}\hbar N_{\mathrm{c}} n_\tau, \end{aligned}\]

其中 \(n_\tau\) 是所取空间均匀绕数扇区中相位的时间卷绕数: \(\phi(\mathbf{r},\hbar\beta)=\phi(\mathbf{r},0)+2\pi n_\tau\). 绕数求和约束的是相位共轭的总粒子数; 不能在固定背景且略去密度零模涨落后, 据此断言平均凝聚数 \(N_{\mathrm{c}}\) 必须为整数.

完成对 \(\rho_1\) 的积分后, 作用量变换为

\[S[\phi] = \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{k}}\int \mathrm{d}\tau\, \left[ \left( g+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{4m\rho_{\mathrm{c}}} \right)^{-1} |\hbar \partial_\tau \phi_{\mathbf{k}}(\tau)|^2 + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{m}\rho_{\mathrm{c}} |\phi_{\mathbf{k}}(\tau)|^2 \right],\]

它描述了具有色散关系的集体激发

\[\omega_{\mathbf{k}} = \sqrt{\frac{g\rho_{\mathrm{c}}}{m}|\mathbf{k}|^2+\left(\frac{\hbar|\mathbf{k}|^2}{2m}\right)^2},\]

注意在 \(|\mathbf{k}|\to 0\) 时 \(\omega_{\mathbf{k}}\to 0\).

Remark 虽然该变换看起来无害, 但它实际上是非平凡的. 这是因为泛函积分由其离散时间形式定义. 在泛函积分中直接进行变量替换会导致复杂的离散形式.

单个 Boson 模的精确极分解为

\[\begin{gathered} \hat a=\hat E\sqrt{\hat\rho} \\ \hat E=\sum_{n\ge1}|n-1\rangle\langle n| \end{gathered}\]

由于

\[\hat E^\dagger\hat E=I-|0\rangle\langle0|\]

它不是酉算符. 在数谱 \(n\ge0\) 的整个 Hilbert 空间中, 不能同时假定自伴相位算符和全域正则关系 \([\hat\phi,\hat\rho]=\mathrm{i}\).

在大占据数、可忽略真空边界的量子转子近似中, 可用整数数涨落与周期相位互为 Fourier 共轭,

\[\langle\phi|n\rangle=(2\pi)^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}\]

必须先建立离散时间路径积分并保留正规序和绕数扇区, 再取连续密度近似; 不能把非负整数求和直接视为从零到无穷的连续积分.

Superfluidity 如果凝聚体维持 \(\bar{\phi}(\mathbf{r})\) 的空间梯度, 则流密度为

\[\begin{aligned} \mathbf{j}_s(\mathbf{r}) &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \left( -\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m} \right) \langle \psi^*(\mathbf{r},\tau)\nabla \psi(\mathbf{r},\tau) -[\nabla \psi^*(\mathbf{r},\tau)]\psi(\mathbf{r},\tau) \rangle\\ &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \left\langle \left( \frac{\hbar \rho}{m} \right)\nabla \phi(\mathbf{r}) \right\rangle \approx \frac{\hbar \rho}{m}\nabla \bar{\phi}(\mathbf{r}) \end{aligned}\]

其中我们忽略了涨落效应 (\(T\to 0\)). 流密度由场位形的形变诱导产生. 它类似于弹性力, 即由固体形变诱导的"动量流". 该流是无耗散的, 因此称为超流.

Critical velocity 当 BEC 以均匀速度 \(\mathbf{V}\) 流经管道时, 流体中波矢 \(\mathbf{k}\), 频率 \(\omega_{\mathbf{k}}\) 的激发在实验室系(管道静止)中观测到的频率为

\[\omega_{\mathbf{k}}' = \omega_{\mathbf{k}}+\mathbf{k}\cdot \mathbf{V},\]

管壁可与流体交换动量. 若某个激发满足 \(\omega_{\mathbf{k}}'\lt0\), 产生它可以降低流动能量, 因而该流动出现能量不稳定性. 所有这些单激发频率为正只是相应耗散通道被禁止的条件, 并不排除涡旋成核等其他过程, 也不保证最终流速为零. 这称为 Landau 判据, 给出一个临界速度

\[V_{\mathrm{c}} = \min \left( \frac{\omega_{\mathbf{k}}}{|\mathbf{k}|} \right).\]

对于上述色散关系, 临界速度 \(V_{\mathrm{c}}=\sqrt{g\rho_{\mathrm{c}}/m}\).

Landau 判据给出的临界速度应视为上限. 实验临界速度通常低得多. 一般认为超流性是由涡环激发破坏的.

7.2.3 Bogoliubov Transformation

该问题也可以使用原始场变量处理. 上述作用量近似为 \(k\neq 0\) 时 \(\psi_k\) 和 \(\psi_k^*\) 的双线性形式:

\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*] &\approx -\mu\psi_0^*\psi_0 + \frac{g}{2V\hbar\beta} |\psi_0^*\psi_0|^2 + \sum_{k\neq 0} \psi_k^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} - \mu \right)\psi_k \\ &\quad\ + \frac{g}{2V\hbar\beta} \sum_{k\neq 0} \left[ \psi_k^*\psi_{-k}^*\psi_0^2 + \psi_k\psi_{-k}\psi_0^{*2} + 4\psi_k^*\psi_k|\psi_0|^2 \right]. \end{aligned}\]

平均场近似给出 \(\rho_{\mathrm{c}}\equiv\frac{1}{V\hbar\beta}\psi_0^*\psi_0=\frac{\mu}{g}\).

虽然直接应用 Gauss 积分公式即可, 但我们可以显式进行:

将作用量重写为:
\[S[\psi,\psi^*] \approx S_0 + \frac{1}{2} \sum_{k\neq 0} \Psi_k^\dagger \begin{bmatrix} -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} & g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \\ g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} & \mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} \end{bmatrix} \Psi_k, \qquad \Psi_k \equiv \begin{bmatrix} \psi_k \\ \psi_{-k}^* \end{bmatrix}.\]
其中设 \(\psi_0=\sqrt{V\hbar\beta\rho_{\mathrm{c}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi/2}\), \(S_0\equiv -\hbar\beta gN_{\mathrm{c}}\rho_{\mathrm{c}}/2\).
应用 Bogoliubov 变换以对角化
\[\Psi_k = \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}}^* \end{bmatrix} \Phi_k \equiv \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}}^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_k \\ \phi_{-k}^* \end{bmatrix}, \qquad |u_{\mathbf{k}}|^2-|v_{\mathbf{k}}|^2=1\]
- 该变换确保 \(\psi^*\partial_\tau \psi\) 变换为 \(\phi^*\partial_\tau \phi\), 即正则结构不变. 在二次量子化语言中, 该变换保持 Boson 产生和湮灭算符的对易关系.
- 系数通过求解广义本征值问题得到:
  \[\begin{bmatrix} \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} & g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \\ g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} & \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = E_{\mathbf{k}}\tau_{\mathrm{z}} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]
  结果
  \[E_{\mathbf{k}} = \hbar\omega_{\mathbf{k}} = \hbar \sqrt{ \frac{g\rho_{\mathrm{c}}}{m}|\mathbf{k}|^2 + \left( \frac{\hbar|\mathbf{k}|^2}{2m} \right)^2 }, \qquad \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{ \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2/2m+g\rho_{\mathrm{c}}}{2E_{\mathbf{k}}} + \frac{1}{2} } \\ -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} \sqrt{ \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2/2m+g\rho_{\mathrm{c}}}{2E_{\mathbf{k}}} - \frac{1}{2} } \end{bmatrix}.\]
- 按准粒子的正规序构造离散时间路径积分, 再取连续极限, 作用量为
  \[S[\psi,\psi^*] \approx S_0 +\frac{\hbar\beta}{2}\sum_{\mathbf{k}\neq0} \left(E_{\mathbf{k}}-\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-g\rho_{\mathrm{c}}\right) + \sum_{k\neq 0} (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+E_{\mathbf{k}})|\phi_k|^2.\]
  接触相互作用的零点和须使用与 \(g\) 的定义一致的紫外正则化. 只讨论激发谱时可暂略该常数, 计算配分函数或基态能量时不能略去.

7.3 Superconductivity

7.3.1 Introduction

超导态是传导电子的有序态, 表现为无耗散导电和完全抗磁性(Meissner 效应). \( {}^3\mathrm{He} \) 的超流性可视为电中性 Fermion 的"超导".

Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) 理论表明, 超导电性由 Cooper 对(电子的束缚对)的形成诱导. 电子配对的原因是 Fermi 面附近电子间的有效相互作用是吸引的.

Attractive interaction 在常规超导体中由 phonon 媒介:

电子-phonon 耦合系统的作用量为
\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*,c,c^*] &= \sum_q c_q^*(-\mathrm{i}\hbar\nu_m+\hbar\omega_{\mathbf{q}})c_q \\ &\qquad + \frac{1}{\sqrt{\hbar\beta V}} \sum_q (M_{\mathbf{q}}\rho_{-q}c_q+M_{\mathbf{q}}^*\rho_q c_q^*) + S_e[\psi,\psi^*], \end{aligned}\]
其中 \(\omega_{\mathbf{q}}\) 是 phonon 色散, \(q\equiv (\mathbf{q},\nu_m)\), \(\rho_q\equiv \sum_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^*\psi_{k+q,\sigma}\), \(S_e\) 表示电子的作用量.
完成对 \(c_q\) 和 \(c_q^*\) 的泛函积分:
\[S[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\hbar\beta V} \sum_q |M_{\mathbf{q}}|^2 D_q \rho_{-q}\rho_q + S_e[\psi,\psi^*],\]
其中
\[D_q = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar\nu_n-\hbar\omega_{\mathbf{q}}} + \frac{1}{-\mathrm{i}\hbar\nu_n-\hbar\omega_{\mathbf{q}}} = -\frac{1}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{\omega_{\mathbf{q}}^2+\nu_n^2}.\]
这给出了由 phonon 媒介的有效 e-e 相互作用
\[V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\nu_n) = -\frac{|M_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{\omega_{\mathbf{q}}^2+\nu_n^2} \overset{\mathrm{i}\nu_n\to\nu+\mathrm{i}0^+}{\longrightarrow} \frac{|M_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{(\nu+\mathrm{i}0^+)^2-\omega_{\mathbf{q}}^2},\]
该相互作用在以下条件下为吸引的
\[\omega_{\mathbf{q}} \gt |\nu| \simeq \frac{|\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}-\epsilon_{\mathbf{k}}|}{\hbar},\]
即在 Fermi 面附近的一个薄壳层内.
在常规 BCS 模型中, 假设声子媒介的有效吸引在 Fermi 面附近宽度 \(\sim\hbar\omega_{\mathrm{D}}\) 的薄壳层内克服屏蔽后的 Coulomb 排斥. \(\omega_{\mathrm{D}}\) 是 Debye 频率. 在通常的绝热金属、远离奇异能带和强非绝热效应的条件下, Migdal 近似用小参数 \(\lambda\hbar\omega_{\mathrm{D}}/\epsilon_{\mathrm{F}}\) 抑制顶点修正, 其中 \(\lambda\) 是无量纲电子-声子耦合强度. 小的声子频率比本身不等同于弱的 BCS 配对耦合; 后面的弱耦合能隙公式还要求 \(gN_1(0)\ll1\).
BCS 机制可由一个简化的有效模型演示:
\[\begin{aligned} \hat{H} &= \sum_{\mathbf{k}\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{g}{V} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{k}'\mathbf{q}} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\uparrow}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k},\downarrow}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k}',\downarrow} \hat{a}_{\mathbf{k}'+\mathbf{q},\uparrow}\\ &\equiv \sum_{\mathbf{k}\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{g}{V}\sum_{\mathbf{q}} \hat{\Phi}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{\Phi}_{\mathbf{q}}, && \hat{\Phi}_{\mathbf{q}} \equiv \sum_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\uparrow}\hat{a}_{-\mathbf{k},\downarrow} \end{aligned}\]
\(\hat{\Phi}_{\mathbf{q}}\) 湮灭一对电子(Cooper 对), 求和 \(\sum_{\mathbf{k}}\) 假定限制在 Fermi 面附近的薄壳层内.

Cooper 对也是非常规超导(如高 \(T_{\mathrm{c}}\) 铜氧化物)的成因. 然而, 许多人认为在这些系统中吸引相互作用直接来自电子-电子相互作用, 而非电子-phonon 耦合.

7.3.2 Mean-Field Theory

The Landau functional

对应于前面的 \(\hat{H}\) 的作用量为
\[S[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} - \frac{g}{\hbar\beta V} \sum_q \Phi_q^*\Phi_q.\]
对吸引配对通道使用复 Gaussian 恒等式. 对 \(g>0\) 和正的离散时间权重 \(a\),
\[\exp(a g\Phi^*\Phi) =\frac{a}{\pi g}\int\mathrm{d}\operatorname{Re}\Delta\,\mathrm{d}\operatorname{Im}\Delta\, \exp\!\left[-a\left(\frac{|\Delta|^2}{g}+\Phi^*\Delta+\Delta^*\Phi\right)\right].\]
配方 \(|\Delta+g\Phi|^2/g-g\Phi^*\Phi\) 即证明此式; 归一化由无源二维 Gaussian 积分确定. \(\Phi\) 是偶 Grassmann 配对双线性, 移位可按有限 Grassmann 多项式展开理解. 对每个时空离散点应用此恒等式, 场无关归一化吸收到积分测度中, 得到
\[S[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*) + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2.\]
它转化为与配对场耦合的无相互作用电子系统.
配分函数可写为
\[Z = \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\},\]
其中
\[\begin{aligned} S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] &\equiv \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*)\\ Z_{\Delta 0} &\equiv \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 \right]. \end{aligned}\]
积分掉 \(\psi,\psi^*\):
\[\begin{aligned} Z &= \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 \right] \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\}\\ &\equiv \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 + W[\Delta,\Delta^*] \right\} \end{aligned}\]
其中
\[\begin{aligned} W[\Delta,\Delta^*] &\equiv \ln Z_{\mathrm{e}}, \\ Z_{\mathrm{e}} &= \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\}= Z_0 \left\langle \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*) \right] \right\rangle_0. \end{aligned}\]
Landau 泛函可定义为
\[\mathcal{L} = \frac{1}{\hbar^2\beta^2 V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 - \frac{1}{\beta}W[\Delta,\Delta^*].\]

Nambu representation \(S_e\) 描述与配对场 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)\) 耦合的电子系统. 我们引入一个旋量

\[\Psi_k = \begin{bmatrix} \psi_{k\uparrow} \\ \psi_{-k\downarrow}^* \end{bmatrix}.\]

对于均匀配对势 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)=\Delta\equiv |\Delta|\exp(\mathrm{i}\varphi)\), 作用量可重写为

\[S_e[\psi,\psi^*] = -\hbar\sum_k \Psi_k^\dagger \mathscr{G}_k^{-1}\Psi_k, \qquad \mathscr{G}_k^{-1} \equiv \begin{bmatrix} \mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}} & \Delta/\hbar \\ \Delta^*/\hbar & \mathrm{i}\omega_n+\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix},\]

故 Nambu 表示中的 Green 函数.

\[\mathscr{G}_k = -\langle \Psi_k\Psi_k^*\rangle = -\frac{1}{\omega_n^2+\xi_{\mathbf{k}}^2+|\Delta/\hbar|^2} \begin{bmatrix} \mathrm{i}\omega_n+\xi_{\mathbf{k}} & -\Delta/\hbar \\ -\Delta^*/\hbar & \mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]

更一般地, Nambu 表示中的 Green 函数定义为

\[\mathscr{G}(\mathbf{x}\tau,\mathbf{x}'\tau') = -\left\langle \hat{T}_\tau \left[ \hat{\Psi}(\mathbf{x}\tau)\hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x}'\tau') \right] \right\rangle = \begin{bmatrix} -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{x}'\tau')]\rangle & -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{x}'\tau')]\rangle \\ -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{x}'\tau')]\rangle & -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{x}'\tau')]\rangle \end{bmatrix}.\]

非对角元称为反常 Green 函数.

Mean-field approximation 是稳相近似: \(\delta \mathcal{L}/\delta \Delta_q^*=0\). 将 Landau 泛函对均匀 \(\Delta=\Delta_{q=0}/(\hbar\beta V)\) 求导, 我们得到

\[\frac{1}{g}\Delta = \frac{1}{\beta V}\frac{\partial W[\Delta,\Delta^*]}{\partial \Delta^*},\]\[\frac{\partial W[\Delta,\Delta^*]}{\partial \Delta^*} = -\frac{1}{Z_{\mathrm{e}}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \frac{\Phi_{q=0}}{\hbar} \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\} \equiv -\frac{1}{\hbar} \sum_k\langle \psi_{k\uparrow}\psi_{-k\downarrow}\rangle_e = \frac{1}{\hbar}\sum_k [\mathscr{G}_k]_{12}\]

因此, 确定 \(\Delta\) 的自洽方程如下. 这里 \(N_1(0)\) 是单位体积、单个自旋分量在 Fermi 面处的态密度:

\[\frac{1}{g} = \frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_k \frac{1}{\omega_n^2+\xi_{\mathbf{k}}^2+|\Delta/\hbar|^2} \approx N_1(0)\int_0^{\hbar\omega_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}\epsilon\, \frac{\tanh\!\left(\beta\sqrt{\epsilon^2+|\Delta|^2}/2\right)} {\sqrt{\epsilon^2+|\Delta|^2}}.\]

在临界温度下, \(\Delta=0\), 方程简化为
\[\frac{1}{g} = N_1(0)\int_0^{\hbar\omega_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}\epsilon\, \frac{\tanh (\beta\epsilon/2)}{\epsilon} \approx N_1(0)\ln \left( \frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}} \right),\]
它预言相变发生在
\[k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}} = \frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\omega_{\mathrm{D}} \mathrm{e}^{-1/N_1(0)g} \approx 1.13\hbar\omega_{\mathrm{D}} \mathrm{e}^{-1/N_1(0)g}.\]
也可确定超导能隙的温度依赖关系:
\[|\Delta(T)| \approx \begin{cases} \Delta(0)-\sqrt{2\pi\Delta(0)k_{\mathrm{B}} T}\,\mathrm{e}^{-\Delta(0)/k_{\mathrm{B}} T}, & T\ll T_{\mathrm{c}}, \\ \pi\left[\dfrac{8}{7\zeta(3)}\right]^{1/2}k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}\left(1-\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right)^{1/2}, & T_{\mathrm{c}}-T\ll T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]\[\frac{\Delta(0)}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}} = \pi \mathrm{e}^{-\gamma} \approx 1.76.\]
注意零温能隙与临界温度之比是普适常数, 这是弱耦合 BCS 理论的独特预言.

Bogoliubov transformation \(\mathcal{G}_k^{-1}\) 可通过酉变换对角化

\[\Psi_k = \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & -v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} \tilde{\Psi}_k, \qquad |u_{\mathbf{k}}|^2+|v_{\mathbf{k}}|^2=1.\]

它等价于本征值问题

\[\begin{bmatrix} \hbar\xi_{\mathbf{k}} & -\Delta \\ -\Delta^* & -\hbar\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = E_{\mathbf{k}} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]\[E_{\mathbf{k}} = \sqrt{(\hbar\xi_{\mathbf{k}})^2+|\Delta|^2}, \qquad u_{\mathbf{k}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left( 1+\frac{\hbar\xi_{\mathbf{k}}}{E_{\mathbf{k}}} \right) }, \qquad v_{\mathbf{k}} = -\sqrt{ \frac{1}{2} \left( 1-\frac{\hbar\xi_{\mathbf{k}}}{E_{\mathbf{k}}} \right) }\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}.\]

将负能 Nambu 分支重写为正能准粒子并保留正规序常数后, 作用量为

\[S_\Delta[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma}\tilde{\psi}_{k\sigma}^*(-\mathrm{i}\hbar\omega_n+E_{\mathbf{k}})\tilde{\psi}_{k\sigma} + \hbar\beta\left[ V\frac{|\Delta|^2}{g} +\sum_{\mathbf{k}}(\hbar\xi_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}}) \right].\]

它描述了具有能隙谱 \(E_{\mathbf{k}}\) 的 Fermionic 准粒子. \(|\Delta|\) 称为超导能隙.

7.3.3 Effective Field Theory and Anderson-Higgs Mechanism

Landau-Ginzburg theory 可从微观作用量构造有效 Landau 泛函, 按序参量及其空间梯度展开来描述相变. 在极限 \(T\to T_{\mathrm{c}}\), \(\Delta_q=\hbar\beta\Delta_{\mathbf{q}}\delta_{\nu_m,0}\), \(\Delta_q\to 0\) 下, 寻找经典 Landau 泛函:

\[\mathcal{L}[\Delta,\Delta^*] = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{q}} \frac{1}{g}|\Delta_{\mathbf{q}}|^2 -\frac{1}{\beta}W[\Delta,\Delta^*].\]

Gradient expansion 将 \(W[\Delta,\Delta^*]\) 展开为 \(|\Delta_q|^2\) 的幂级数. 至二阶:
\[W[\Delta,\Delta^*] \approx W_0 -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \chi_{\Phi\Phi^*}^0(q)|\Delta_q|^2.\]
Pair correlation function
\[\begin{aligned} \chi_{\Phi\Phi^*}^0(q) &= -\hbar^2\beta V \frac{\delta^2 W[\Delta,\Delta^*]}{\delta\Delta_q\delta\Delta_q^*}\biggr|_{\Delta\to 0} = -\frac{1}{\hbar^2\beta V}\langle \Delta\Phi_q\Delta\Phi_q^*\rangle_0\\ &= -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_{kk'} \langle \psi_{k+q,\uparrow}^*\psi_{-k,\downarrow}^* \psi_{-k',\downarrow}\psi_{k'+q,\uparrow} \rangle_0. \end{aligned}\]
这是对关联函数的"Lindhard 函数".
\[\chi_{\Phi\Phi^*}^0(q,\nu_m) = \frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_k [\mathscr{G}_{k+q}]_{11}[\mathscr{G}_k]_{22} = \frac{1}{\hbar V}\sum_{\mathbf{k}} \frac{1-f(\xi_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2})-f(\xi_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2})} {\mathrm{i}\nu_m-\xi_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}-\xi_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}}.\]
其中 \(\xi_{\mathbf{k}}\equiv (\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar\), 本式的频率变量分布函数为 \(f(x)=[\mathrm{e}^{\beta\hbar x}+1]^{-1}\). \(N_1(0)=N(0)/2\) 是单位体积、每自旋分量的态密度, \(\nu_m\) 为玻色型 Matsubara 频率.
Long-wavelength expansion 对于小 \(|\mathbf{q}|\),
\[\chi_{\Phi\Phi^*}^0(q,0) \approx -N_1(0)\ln\!\left(\frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}}\right) + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}N_1(0)(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2.\]
Landau-Ginzburg functional 对于 \(\Delta_q=\hbar\beta\Delta_{\mathbf{q}}\delta_{\nu_m,0}\), 有
\[\frac{1}{\beta}\bigl(W[\Delta,\Delta^*]-W_0\bigr) \approx \frac{N_1(0)}{V} \sum_{\mathbf{q}} \left\{ \ln\!\left(\frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}}\right) - \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2 \right\} |\Delta_{\mathbf{q}}|^2.\]\[\begin{aligned} \mathcal{L}[\Delta,\Delta^*] &\approx \frac{N_1(0)}{V} \sum_{\mathbf{q}} \left\{ \ln\!\frac{T}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2 \right\} |\Delta_{\mathbf{q}}|^2 + \cdots\\ &\approx N_1(0) \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\{ \ln\!\frac{T}{T_{\mathrm{c}}}|\Delta(\mathbf{r})|^2 + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\nabla\Delta(\mathbf{r})|^2 + b|\Delta(\mathbf{r})|^4 \right\}, \end{aligned}\]
其中第二行添加了非线性项 \(|\Delta(\mathbf{r})|^4\). 系数 \(b\) 可由 \(T\to T_{\mathrm{c}}\) 处能隙的温度依赖确定: \(b=\frac{7\zeta(3)}{16\pi^2}\beta^2\).
以下重标度采用均匀三维、各向同性抛物能带的弱耦合模型, 并在系数中取 \(T\simeq T_{\mathrm{c}}\). 习惯上定义"波函数"
\[F(\mathbf{r}) \equiv \left[ \frac{7\zeta(3)\rho_0}{8\pi^2} \right]^{1/2} \frac{\Delta(\mathbf{r})}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}}.\]
Landau-Ginzburg 泛函定义为
\[\mathcal{L}[F,F^*] \approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\{ \frac{\hbar^2}{4m}|\nabla F(\mathbf{r})|^2 + a\frac{(k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}})^2}{\epsilon_{\mathrm{F}0}} \left( \frac{T}{T_{\mathrm{c}}}-1 \right)|F(\mathbf{r})|^2 + \frac{a(k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{c}})^2}{2\epsilon_{\mathrm{F}0}\rho_0}|F(\mathbf{r})|^4 \right\}, \qquad a \equiv \frac{6\pi^2}{7\zeta(3)} \approx 7.04.\]
Gauge symmetry 在 Nambu 表象下, 该作用量描述了一个具有如下有效 Hamilton 量的系统:
\[\begin{aligned} \hat{H} &= \begin{bmatrix} \hat{H}_\uparrow-\mu & -\Delta(\mathbf{r}\tau) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}\tau) & -\hat{H}_\downarrow^*+\mu \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2m}\left(-\mathrm{i}\hbar\nabla+\dfrac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2-\mathrm{i}e\varphi-\mu & -\Delta(\mathbf{r}\tau) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}\tau) & -\dfrac{1}{2m}\left(-\mathrm{i}\hbar\nabla-\dfrac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2+\mathrm{i}e\varphi+\mu \end{bmatrix}. \end{aligned}\]

其中系统与 Euclidean 电磁 (EM) 场 \((\mathrm{i}\varphi,\mathbf{A})\) 耦合.

Remark 在 Euclidean 时空下, 电磁场的标量分量为虚数.
Hamiltonian 在整体 \(U(1)\) 规范变换下不变
\[\Delta(\mathbf{r}\tau)\to \Delta(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}, \qquad \Psi(\mathbf{r}\tau)\to \exp\!\left( \mathrm{i}\frac{\phi}{2}\hat{\tau}_3 \right)\Psi(\mathbf{r}\tau).\]
在局域 \(U(1)\) 规范变换下也不变
\[\begin{aligned} \Delta(\mathbf{r}\tau) &\to \Delta(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{r}\tau)},\\ \Psi(\mathbf{r}\tau) &\to \exp\!\left( \mathrm{i}\frac{\phi(\mathbf{r}\tau)}{2}\hat{\tau}_3 \right)\Psi(\mathbf{r}\tau),\\ \varphi(\mathbf{r}\tau) &\to \varphi(\mathbf{r}\tau)-\frac{\hbar}{2e}\partial_\tau \phi(\mathbf{r}\tau),\\ \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau) &\to \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau)-\frac{\hbar c}{2e}\nabla \phi(\mathbf{r}\tau). \end{aligned}\]
为使上面的 Landau-Ginzburg 泛函对局域规范变换不变, 需将梯度算符替换为 \(\nabla\to \nabla + (\mathrm{i}2e/\hbar c)\mathbf{A}\), 因为
\[\left( \nabla+\mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)\Delta(\mathbf{r}) \to \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left[ (\nabla+\mathrm{i}\nabla\phi) + \mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c} \left( \mathbf{A}-\frac{\hbar c}{2e}\nabla\phi \right) \right]\Delta(\mathbf{r}) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left( \nabla+\mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)\Delta(\mathbf{r}).\]

Supercurrent 超导体在长波极限下具有超流响应:

\[\mathbf{j}_s = -\frac{e\hbar}{2m}\rho_{\mathrm{s}} \left( \nabla\phi+\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right).\]

这与前面的超流表达式类似. 由规范对称性, 它必须正比于 \(\nabla\phi+\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A}\).

Superfluid density \(\rho_{\mathrm{s}}\) 可如下确定:

电流密度定义为
\[\begin{aligned} \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau) &= -c\frac{\delta S}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau)} = \frac{\mathrm{i}e\hbar}{2m} \Psi^\dagger(\mathbf{r}\tau)(\overrightarrow\nabla-\overleftarrow\nabla)\Psi(\mathbf{r}\tau) -\frac{e^2}{mc}\rho(\mathbf{r}\tau)\mathbf{A}(\mathbf{r}\tau), \\ \mathbf{j}_q &= -\frac{e\hbar}{m} \sum_k \left( \mathbf{k}+\frac{\mathbf{q}}{2} \right) \Psi_k^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta\hat{\tau}_3}\Psi_{k+q} -\frac{e^2\rho_0}{mc}\mathbf{A}_q. \end{aligned}\]
Remark 等时乘积如 \(\Psi^\dagger(\mathbf{r}\tau)\Psi(\mathbf{r}\tau)\) 需恰当理解: 为定义物理电流, \(\psi_{\uparrow(\downarrow)}^*\) 的时间应始终比 \(\psi_{\uparrow(\downarrow)}\) 超前无穷小量.
电流密度对 \(\mathbf{A}\) 的响应为
\[\mathbf{j}_s(\mathbf{r}) \equiv \langle \mathbf{j}(\mathbf{r})\rangle \approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathbf{A}(\mathbf{r}').\]
先写时间分辨响应核 \(K(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}'\tau')\); 上式静态核为对 \(\tau'\) 从零到 \(\hbar\beta\) 的积分:
\[\begin{aligned} K(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}'\tau') &\equiv \frac{\delta}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}'\tau')} \left[ \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{-S/\hbar} \right]\\ &= \left( \left\langle \frac{\delta \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}'\tau')} \right\rangle + \frac{1}{\hbar c} \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\mathbf{j}(\mathbf{r}'\tau')\rangle - \frac{1}{\hbar c} \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\rangle \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}'\tau')\rangle \right)_{A\to 0}\\ K_q &= -\frac{e^2\langle \rho\rangle}{mc} + \frac{1}{\hbar^2 c\beta V} \langle (\Delta \mathbf{j}_q)(\Delta \mathbf{j}_{-q})\rangle_{A=0}. \end{aligned}\]
超流密度由静态横向响应定义: 先取 \(\nu_m=0\), 再令 \(\mathbf{q}\to0\), 并使用垂直于 \(\mathbf{q}\) 的矢量势. 在该弱耦合、均匀三维模型中应用 Wick 定理, 有
\[\begin{aligned} K_{q\to 0} &= -\frac{e^2}{mc}\rho_{\mathrm{s}}\\ \rho_{\mathrm{s}} &= \rho_0 + \frac{2}{3\hbar^2\beta V} \sum_k \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}\operatorname{Tr}[\mathscr{G}_k \mathscr{G}_k] = \rho_0 - \frac{4}{3\beta V} \sum_k (\mu+\hbar\xi_{\mathbf{k}}) \frac{(\hbar\omega_n)^2-E_{\mathbf{k}}^2}{[(\hbar\omega_n)^2+E_{\mathbf{k}}^2]^2}\\ &= \rho_0 - \frac{\beta\mu N(0)}{3} \int_0^\infty \mathrm{d}\epsilon\, \frac{1}{\cosh^2(\beta E/2)} \approx \rho_0 \begin{cases} 1-\sqrt{2\pi\beta\Delta(0)}\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta(0)}, & T\to 0, \\ 2\left(1-\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right), & T\to T_{\mathrm{c}}. \end{cases} \end{aligned}\]

Effective action of the Goldstone mode 为描述 Goldstone 模的动力学, 设 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)=|\Delta|\exp[\mathrm{i}\phi(\mathbf{r}\tau)]\). 积分掉所有不需要的变量后, 可得 Goldstone 模的作用量:

\[\exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] \right\} \equiv \int \mathcal{D}[|\Delta|,\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*,\mathbf{A},\varphi] \right\}.\]

下面保留低温、各向同性弱耦合模型的长波局域二次项, 并取频率低于破对阈值. 有限温度的热准粒子还可产生非局域和耗散响应; 在 \(T\to T_{\mathrm{c}}\) 时不能直接用这些低温常数描述全部动力学. 此近似下作用量的形式可如下确定:

由规范对称性, 作用量必须为以下量的泛函
\[\tilde{\varphi}(\mathbf{r}\tau) = \frac{\hbar}{2e}\partial_\tau \phi+\varphi, \qquad \tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{r}\tau) = \frac{\hbar c}{2e}\nabla \phi+\mathbf{A}.\]
在长波极限下, 有
\[\begin{aligned} S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] &= \frac{1}{2} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ c_1 \left( \frac{1}{2}\partial_\tau \phi+\frac{e}{\hbar}\varphi \right)^2 + c_2 \left( \frac{1}{2}\nabla\phi+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)^2 +\cdots \right]\\ &= \frac{1}{2\hbar\beta V} \sum_q \left[ c_1 \left( -\frac{\mathrm{i}\nu_m}{2}\phi_q+\frac{e}{\hbar}\varphi_q \right) \left( \frac{\mathrm{i}\nu_m}{2}\phi_{-q}+\frac{e}{\hbar}\varphi_{-q} \right) + c_2 \left( \frac{\mathrm{i}\mathbf{q}}{2}\phi_q+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A}_q \right)\cdot \left( -\frac{\mathrm{i}\mathbf{q}}{2}\phi_{-q}+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A}_{-q} \right) +\cdots \right]. \end{aligned}\]
- 系数可确定如下:
  \[c_1(q) = \left( \frac{\hbar}{e} \right)^2 (\hbar\beta V)\frac{\delta^2 S_G}{\delta\varphi_q\delta\varphi_{-q}} = \mathrm{i}\frac{\hbar^2}{e}\frac{\delta \rho_q}{\delta\varphi_q} = \frac{1}{\beta V}\langle (\Delta \rho_q)(\Delta \rho_{-q})\rangle_0 \equiv -\hbar^2 \chi_{\rho\rho}(q),\]
  其中 \(\chi_{\rho\rho}(q)\) 是超导系统的密度关联函数, \(\rho_q\equiv \sum_k \Psi_k^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n \eta \hat{\tau}_3}\hat{\tau}_3\Psi_{k+q}\). 在长波极限下, \(\chi_{\rho\rho}(0)\approx -N(0)\), 于是有
  \[c_1 \equiv \lim_{q\to 0} c_1(q) = \hbar^2 N(0).\]
- 类似地:
  \[c_2(q) = (\hbar\beta V) \left( \frac{\hbar c}{e} \right)^2 \frac{\delta^2 S_G}{\delta \mathbf{A}_q\delta \mathbf{A}_{-q}} = -\left( \frac{\hbar}{e} \right)^2 c\frac{\delta \mathbf{j}_q}{\delta \mathbf{A}_q}.\]
  应用前面的超流表达式, 有
  \[c_2 \equiv \lim_{q\to 0} c_2(q) = \frac{\hbar^2}{m}\rho_{\mathrm{s}}.\]

Anderson-Higgs mechanism 当 Goldstone 模与无质量 (长程) 规范场 (如 EM 场) 耦合时, 它消失并赋予规范场有限质量.

超导体与 EM 场耦合的总作用量为
\[S[\phi,\mathbf{A},\varphi] = S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] + \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \left( \nabla\varphi-\frac{1}{c}\partial_\tau \mathbf{A} \right)^2 + |\nabla\times \mathbf{A}|^2 \right].\]
由于 EM 场的作用量是规范不变的, 可进行规范变换. 变换后的作用量不依赖于 \(\phi\), Goldstone 模消失:
\[S[\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\varphi}] = \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \left( \nabla\tilde{\varphi}-\frac{1}{c}\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}} \right)^2 + |\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}|^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}|^2 + 4\pi e^2 N(0)\tilde{\varphi}^2 \right].\]
可将 \(\tilde{\mathbf{A}}\) 分解为横场和纵场分量: \(\tilde{\mathbf{A}}=\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\), 其中 \(\nabla\cdot \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=0\), \(\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}=0\).
\[\begin{aligned} S[\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\varphi}] = \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \Bigg[ &c^{-2}(\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})^2 + |\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|^2 \\ &+ \left( \nabla\tilde{\varphi}-c^{-1}\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}} \right)^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}|^2 + 4\pi e^2 N(0)\tilde{\varphi}^2 \Bigg]. \end{aligned}\]
横场分量 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\) 获得质量, 将被屏蔽, 即 Meissner 效应. 纵场分量 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\) 与标量场耦合. 积分掉 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\) 后, 产生类等离子体激元 (plasmon) 模——这就是 Goldstone 模转变而成的模式.

Meissner effect 在无涡旋的平衡 Meissner 态中, 静态磁场向体内指数衰减; 距表面远大于穿透深度时可近似取零. 这不是对混合态或任意外场强度的断言. 对 \(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\) 变分作用量, 得

\[\nabla\times \mathbf{B} \equiv -\nabla^2 \mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s = -\frac{4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}}{mc^2}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \Rightarrow \left( \frac{4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}}{mc^2}-\nabla^2 \right)\mathbf{B}(\mathbf{r}) = 0.\]

这预言了穿透深度 \(\lambda=c(4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}/m)^{-1/2}\).

Solid-State Physics - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

1 Early Solid-State Theory

1.1 Drude Free Electron Model

1.1.1 Assumptions and Equation of Motion

Assumption Drude 将传导电子视为经典带电粒子, 电子电荷为 \(-e\), 其中 \(e>0\). 模型采用以下假设:

两次散射之间, 电子在外场下遵循 Newton 运动定律, 忽略电子间及电子-离子相互作用.
随机散射事件用单一弛豫时间 \(\tau\) 描述.
散射后电子立刻回到局域热平衡, 平均漂移动量为 \(\mathbf{p}_{\mathrm{eq}}=0\).

记 \(\mathbf{p}(t)\) 为对随机散射事件平均后的电子动量, \(\mathbf{f}\) 为外场力. 上述假设给出 Drude 运动方程

\[\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{f} - \frac{\mathbf{p}}{\tau}\]

第一项表示外场驱动, 第二项表示散射导致的动量弛豫.

推演时, 在短时间 \(\mathrm{d}t\) 内按未散射和已散射两种情况取统计平均:

\[\mathbf{p}(t+\mathrm{d}t)=\left(1-\frac{\mathrm{d}t}\tau\right)(\mathbf{p}(t)+\mathbf{f}\mathrm{d}t)+\frac{\mathrm{d}t}\tau \mathbf{p}_{\mathrm{eq}}+O((\mathrm{d}t)^2)\]

代入 \(\mathbf{p}_{\mathrm{eq}}=0\), 移项并取 \(\mathrm{d}t\to0\), 即得上述运动方程.

1.1.2 DC Conductivity

Definition 对于局域线性电响应, 电阻率张量 \(\boldsymbol{\rho}\) 与电导率张量 \(\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\rho}^{-1}\) 是下列关系中的响应系数:

\[\mathbf{E} = \boldsymbol{\rho}\mathbf{j} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{j} = \boldsymbol{\sigma}\mathbf{E}\]

记 \(n\) 为电子数密度, \(m\) 为电子质量. 对于无磁场的均匀直流电场, Drude 模型在稳态 \(\dot{\mathbf{p}}=0\) 下预测

\[\sigma_0 = n e^2\tau/m\]

具体地, 电流密度与电场力为

\[\mathbf{j} = -n e\mathbf{v}, \qquad \mathbf{f}=-e\mathbf{E}\]

把 \(\mathbf{p}=m\mathbf{v}\) 代入稳态运动方程, 得到

\[\mathbf{v} = -\frac{e\tau}{m}\mathbf{E}, \qquad \mathbf{j} = \frac{n e^2\tau}{m}\mathbf{E}\]

这就得到 Ohm 定律的局域形式; 与响应系数的定义比较, 即得 \(\sigma_0\).

1.1.3 AC Response and Plasma Oscillations

交流电导. 本节采用 SI 单位与 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\) 约定. 设外场为 \(\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\mathrm{c.c.}\), 线性响应写作

\[\mathbf{j}(t)=\mathbf{j}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\mathrm{c.c.}=\sigma \mathbf{E}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\mathrm{c.c.}\]

Drude 模型给出的交流电导率为

\[\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-\mathrm{i}\omega\tau}\]

这是将 \(\mathbf{j}=-ne\mathbf{p}/m\) 代入频域运动方程 \(-\mathrm{i}\omega\mathbf{p}=-e\mathbf{E}-\mathbf{p}/\tau\) 得到的结果. 对于非均匀电场, 若电场在平均自由程尺度上变化不明显, 可推广为局域响应

\[\mathbf{j}(\mathbf{r}, \omega)=\sigma(\omega)\mathbf{E}(\mathbf{r}, \omega)\]

平均耗散. 在上述复振幅约定下, 电导率实部与平均功率密度为

\[\mathrm{Re}\,\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1+\omega^2\tau^2}, \qquad \langle P \rangle = \frac{2\sigma_0}{1+\omega^2\tau^2}|\mathbf{E}|^2\]

平均耗散只由 \(\mathrm{Re}\,\sigma\) 决定. \(\mathrm{Im}\,\sigma\) 对应电流与电场的相位滞后, 反映可逆储能, 不贡献净耗散.

这一结果可由瞬时功率密度

\[P(t)=\mathbf{E}(t)\cdot\mathbf{j}(t)\]

对一周期取平均得到. 振荡频率为 \(2\omega\) 的项平均后为零, 因而

\[\langle P \rangle = \langle \mathbf{E}(t)\cdot\mathbf{j}(t) \rangle = 2\,\mathrm{Re}\!\left[\mathbf{E}\cdot\mathbf{j}^*\right] = 2\,\mathrm{Re}\,\sigma(\omega)\,|\mathbf{E}|^2\]

代入 Drude 电导率, 即得上述耗散结果.

低频极限 \(\omega\tau\ll1\): 电流与电场几乎同相, 恢复直流极限下的焦耳热, \[\langle P \rangle\approx 2\sigma_0|\mathbf{E}|^2\]
高频极限 \(\omega\tau\gg1\): 平均耗散按 \(\omega^{-2}\) 衰减, \[\langle P \rangle\approx \frac{2\sigma_0}{\omega^2\tau^2}|\mathbf{E}|^2\] 此时 \(\mathrm{Im}\,\sigma\) 主导响应, 电流与电场接近相差 \(\pi/2\), 电子主要做可逆振荡. 这与高频下更接近无耗散等离子体振荡的图像一致.

横向电磁波. 考虑无外加静磁场时电磁波在金属中的线性响应, 并满足上述局域响应条件. 波的磁场与诱导漂移速度均为一阶扰动, 其平均 Lorentz 力为二阶, 此处忽略.

Remark 自由空间平面波的单粒子磁力与电力之比可估为 \(v/c\). 该估计不能无条件用于介质内部场或外加静磁场.

对于横波 \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\), 用频率依赖的相对介电函数

\[\epsilon_{\mathrm{r}}(\omega)=\frac{\epsilon(\omega)}{\epsilon_0}=1+\frac{\mathrm{i}\sigma(\omega)}{\epsilon_0\omega}\]

可将波动方程写成

\[\left(\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon_{\mathrm{r}}(\omega)+\nabla^2\right)\mathbf{E}=0\]

具体地, Ampere-Maxwell 定律结合横波条件给出

\[\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\nabla^2\mathbf{E}=\mathrm{i}\omega(\mu_0\mathbf{j}-\mathrm{i}\omega\mu_0\epsilon_0\mathbf{E})\]

代入局域电流响应关系, 即得上述波动方程.

在高频极限 \(\omega\tau\gg1\) 下, 相对介电函数近似为

\[\epsilon_{\mathrm{r}}(\omega)\approx 1-\frac{\omega_{\mathrm{p}}^2}{\omega^2}, \qquad \omega_{\mathrm{p}}^2=\frac{n e^2}{\epsilon_0 m}\]

其中 \(\omega_{\mathrm{p}}\) 是等离子频率. 在无阻尼、无束缚电子与带间响应的 Drude 近似下:

\(\omega\lt\omega_{\mathrm{p}}\): 横波在体内为倏逝波.
\(\omega\gt\omega_{\mathrm{p}}\): 横波允许传播.

Remark 有限 \(\tau\) 使介电函数变为复数. 实际金属的透明程度还取决于吸收和其他电子响应.

纵向密度振荡. 在忽略阻尼的高频极限下, 电荷密度扰动 \(\rho\) 满足

\[\partial_t^2\rho+\omega_{\mathrm{p}}^2\rho=0 \qquad \omega_{\mathrm{p}}^2=\frac{ne^2}{\epsilon_0 m}\]

这对应电子密度的集体振荡, 即等离子体振荡.

该结果需要用连续性方程、Drude 响应和 Gauss 定律闭合:

\[\partial_t\rho+\nabla\cdot\mathbf{j}=0 \qquad \partial_t\mathbf{j}=\frac{ne^2}{m}\mathbf{E} \qquad \nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\]

对连续性方程再取一次时间导数, 依次代入后两式, 即得上述振荡方程.

1.1.4 Hall Effect

考虑垂直于 \(z\) 的金属薄片, 驱动电场为 \(E_x\), 外加磁场为 \(\mathbf{B}=B\mathbf{e}_z\). 在单带、各向同性、单一弛豫时间的 Drude 模型中, 稳态 Hall bar 的横向开路条件为 \(j_y=0\). 在这一测量条件下, 模型预测纵向电阻率

\[\rho_{xx}(B)\equiv \frac{E_x}{j_x}=\rho_0=\frac{m}{n e^2\tau}\]

与磁场无关. 以横向电场定义 Hall 系数, 模型给出

\[R_{\mathrm{H}}\equiv \frac{E_y}{j_x B} = -\frac{1}{n e}\]

Drude 理论由此对普通金属的 Hall 效应给出一阶近似.

为得到这些结果, 保留外加静磁场的 Lorentz 力, 运动方程为

\[\dot{\mathbf{p}} = -e\left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{p}}{m}\times\mathbf{B}\right) - \frac{\mathbf{p}}{\tau}\]

稳态下有

\[\begin{bmatrix} 1/\tau&\omega_{\mathrm{c}}\\ -\omega_{\mathrm{c}}&1/\tau \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x\\ p_y \end{bmatrix} = -e \begin{bmatrix} E_x\\ E_y \end{bmatrix} ,\qquad \omega_{\mathrm{c}}=\frac{e B}{m}\]

利用 \(\mathbf{j}=-ne\mathbf{p}/m\), 将其改写为电导率张量形式:

\[\begin{bmatrix} j_x\\ j_y \end{bmatrix} = \frac{\sigma_0}{1+\omega_{\mathrm{c}}^2\tau^2} \begin{bmatrix} 1&-\omega_{\mathrm{c}}\tau\\ \omega_{\mathrm{c}}\tau&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x\\ E_y \end{bmatrix} ,\qquad \sigma_0=\frac{n e^2\tau}{m}\]

取逆得到电阻率张量

\[\boldsymbol{\rho}(B)=\boldsymbol{\sigma}^{-1}(B) = \begin{bmatrix} \rho_0&\dfrac{B}{n e}\\ -\dfrac{B}{n e}&\rho_0 \end{bmatrix} ,\qquad \rho_0=\frac{m}{n e^2\tau}\]

在 Hall bar 的 \(j_y=0\) 条件下, 两个分量分别为

\[E_x=\rho_0 j_x, \qquad E_y=-\frac{B}{n e}j_x\]

由此得到上述纵向电阻率与 Hall 系数.

Remark 电导率张量元

\[\sigma_{xx}(B)=\frac{\sigma_0}{1+\omega_{\mathrm{c}}^2\tau^2}\]

随 \(B\) 变化.

在 \(j_y=0\) 的测量条件下, Hall 电场补偿 Lorentz 偏转, 测得的 \(j_x/E_x=1/\rho_{xx}=\sigma_0\) 仍与 \(B\) 无关.
因此, 上述 Drude 模型给出 Hall 响应, 却不给出纵向磁阻. 不能把 \(\sigma_{xx}(B)\) 的倒数当作该条件下实测的纵向电阻率.

1.1.5 Thermal Transport

这里 \(u\) 和 \(c_{\mathrm{V}}\) 分别表示单电子内能和单电子定容比热.

采用以下模型与近似条件:

各向同性的经典 Drude 图像.
对温度梯度取一阶近似.
经典均分值 \(mv^2=3k_{\mathrm{B}}T\) 和 \(c_{\mathrm{V}}=3k_{\mathrm{B}}/2\).

在这些条件下, 热输运满足 Fourier 定律 \(\mathbf{j}_{\mathrm{Q}}=-\kappa\nabla T\), 热导率为

\[\kappa = \frac{1}{3} n v^2 \tau c_{\mathrm{V}} = \frac{3}{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{e}\right)^2\sigma_0 T\]

推演时, 考虑沿 \(x\) 方向的热输运, 取 \(\ell_x=v_x\tau\). 比较从两侧上一次散射位置带来的能量, 并对温度作一阶展开:

\[j_{\mathrm{Q},x} = \frac{1}{2}nv_x[u(x-\ell_x)-u(x+\ell_x)] \simeq -nv_x^2\tau c_{\mathrm{V}}\partial_x T\]

各向同性平均后, 与 Fourier 定律比较即得 \(\kappa=nv^2\tau c_{\mathrm{V}}/3\). 再代入经典均分值和直流电导率, 得到 \(\kappa\) 与 \(\sigma_0T\) 的关系.

Remark 经典 Drude 与简并自由电子给出的 Lorenz 数不同:

经典 Drude: \(L_{\mathrm{D}}=3(k_{\mathrm{B}}/e)^2/2\).
简并自由电子在弹性散射、低温极限下: \(L_0=\pi^2(k_{\mathrm{B}}/e)^2/3\).

两者之比为 \(L_0/L_{\mathrm{D}}=2\pi^2/9\approx2.19\). 与具体金属实验比较还要考虑模型的适用条件.

1.2 Sommerfeld Free Electron Gas Model

Sommerfeld 用 F.D. 统计修正 Drude 的经典电子气, 得到更合理的热学与磁学结论.

1.2.1 States and Density of States

在体积 \(\mathcal{V}=L^d\) 的盒子中, 对无相互作用电子采用 BvK(Born-von Karman) 周期边界条件, 本征态写为轨道平面波与自旋态的直积

\[|\mathbf{k}s\rangle=|\mathbf{k}\rangle\otimes|s\rangle, \qquad \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}, \qquad \varepsilon_{\mathbf{k}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\]

每个能级都有二重自旋简并. BvK 周期边界条件要求 \(\psi(\mathbf{r}+L\mathbf{e}_i)=\psi(\mathbf{r})\), 则波矢满足

\[k_i=\frac{2\pi n_i}{L}, \qquad n_i\in \mathbb{Z}\]

可以验证

\[\begin{aligned} \langle \mathbf{k}|\mathbf{k}^{\prime}\rangle &= \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\psi_{\mathbf{k}}^*(\mathbf{r})\psi_{\mathbf{k}^{\prime}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\mathcal{V}}\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}^{\prime}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}}\\ &= \frac{1}{\mathcal{V}}\prod_{j=1}^d\int_0^L\mathrm{d}x_j\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_j^{\prime}-k_j)x_j} = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}^{\prime}} && \text{离散表象, 严格} \\ &\simeq \frac{(2\pi)^d}{\mathcal{V}}\delta^d(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}) && \text{宏观极限} \end{aligned}\]

右侧是 Kronecker delta (无量纲, 可与 Dirac delta 相互转换). 平衡态能级占据数是 F.D. 分布, 记为 \(f^0\):

\[f^0(\varepsilon)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1}\]

零温极限下

\[\lim_{T\to 0}f^0(\varepsilon)=\theta(\varepsilon_{\mathrm{F}}-\varepsilon), \qquad \varepsilon_{\mathrm{F}} = \mu(T=0)\]

宏观极限下, 利用 BvK 条件, 可以得到单个态的 \(k\) 空间体积 \(\Delta\mathbf{k}=(\frac{2\pi}{L})^d\), 故

\[\sum_{\mathbf{k}} F(\mathbf{k}) = \sum_{\mathbf{k}}F(\mathbf{k})\frac{\Delta\mathbf{k}}{\Delta\mathbf{k}} = \frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^d}\sum_{\mathbf{k}}F(\mathbf{k})\Delta\mathbf{k}\]

因而

\[\sum_{\mathbf{k}} F(\mathbf{k}) \longrightarrow \mathcal{V}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\,F(\mathbf{k}) \equiv \mathcal{V}\int [\mathrm{d}\mathbf{k}]\,F(\mathbf{k})\]

零温下, 电子占据 Fermi 球, 电子密度为

\[n = \frac{1}{\mathcal{V}}\sum_{|\mathbf{k}|\leq k_{\mathrm{F}}}g_{\mathrm{s}} = g_{\mathrm{s}}\int_{|\mathbf{k}|\leq k_{\mathrm{F}}}[\mathrm{d}\mathbf{k}] = g_{\mathrm{s}}\alpha_dk_{\mathrm{F}}^d\]

其中

\[g_{\mathrm{s}}=2, \qquad \alpha_d \equiv \frac{\Omega_d}{d(2\pi)^d}, \qquad \Omega_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\]

\(\alpha_d\) 中的 \(\Omega_d/d\) 即 \(d\) 维单位球的体积. 即 \(n = g_{\mathrm{s}}\mathcal{V}_d(k_{\mathrm{F}})/(2\pi)^d\).

对于一般的温度

\[n = \frac1{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{k}} g_{\mathrm{s}}f^0(\varepsilon_{\mathbf{k}}) = g_{\mathrm{s}}\int[\mathrm{d}\mathbf{k}]\,f^0(\varepsilon_{\mathbf{k}})\]

对形如后一项的积分, 进行变形

\[\begin{aligned} \int[\mathrm{d}\mathbf{k}]\,F(\varepsilon_{\mathbf{k}}) &= \frac{\Omega_d}{(2\pi)^d}\int_0^\infty\mathrm{d}k\,k^{d-1}F(\varepsilon_{\mathbf{k}})\\ &= \frac{\Omega_d}{(2\pi)^d}\int_0^\infty\mathrm{d}\varepsilon\,\frac{m}{\hbar^2}\left(\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}\right)^{d/2-1}F(\varepsilon)\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\varepsilon\,g(\varepsilon)F(\varepsilon) \end{aligned}\]

其中

\[\begin{aligned} g(\varepsilon) &= \frac{\Omega_d}{2(2\pi)^d}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{d/2}\varepsilon^{d/2-1}\theta(\varepsilon)\\ &= \frac{d}{4}\frac{n}{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\right)^{d/2-1}\theta(\varepsilon) \end{aligned}\]

这里 \(g(\varepsilon)\) 是每单位体积、每个自旋分量的态密度, 可以理解为能谱(能级数对能量的分布)的密度. 那么

\[\frac{N[\varepsilon,\varepsilon+\mathrm{d}\varepsilon]}{\mathcal{V}} =\text{自旋简并}\times\text{布居数}\times\text{能级数} =f^0(\varepsilon)g_{\mathrm{s}}g(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon\]

三维体系下有 \[g(\varepsilon) = \frac{1}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon}\theta(\varepsilon)\]

1.2.2 Sommerfeld Expansion

假定 \(F\) 在化学势附近足够光滑, 在热展宽 \(k_{\mathrm{B}}T\) 内没有带边或奇点, 且下述分部积分的边界项消失. 展开按 \(T\to0\) 的渐近级数理解, 不要求无限 Taylor 级数在整个积分区间收敛. 考虑形如

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\varepsilon\,F(\varepsilon)f^0(\varepsilon) &= [Kf^0]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\varepsilon\,K(\varepsilon)\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon} \\ &= \int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\varepsilon\,K(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right) \end{aligned}\]

其中

\[[Kf^0]_{-\infty}^\infty = 0,\qquad K(\varepsilon) = \int_{-\infty}^{\varepsilon}\mathrm{d}\varepsilon^{\prime}\,F(\varepsilon^{\prime})\]

的积分, 可以在 \(\mu\) 附近形式地展开原函数 \(K\)

\[K(\varepsilon) \sim \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}K^{(n)}(\mu)(\varepsilon-\mu)^n\]

代入得到

\[\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\varepsilon\,F(\varepsilon)f^0(\varepsilon) \sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}K^{(n)}(\mu)\int\mathrm{d}\varepsilon\,(\varepsilon-\mu)^{n}\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)\]

注意到 \(\partial_\varepsilon f^0\) 是关于 \(\varepsilon - \mu\) 的偶函数, 可知所有奇数阶为 0.

0 阶项
\[K(\mu)=\int_{-\infty}^\mu\mathrm{d}\varepsilon\, F(\varepsilon)\]
2 阶项
\[\frac{F^{\prime}(\mu)}{2}\int\mathrm{d}\varepsilon\,(\varepsilon-\mu)^2\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right) =\frac{F^{\prime}(\mu)}{2\beta^2}\int\mathrm{d}x\,\frac{x^2\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2} =\frac{\pi^2}{6}(k_{\mathrm{B}}T)^2F^{\prime}(\mu)\]
无量纲积分的被积函数为偶函数. 在正半轴展开 \(\mathrm{e}^x/(1+\mathrm{e}^x)^2=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}m\mathrm{e}^{-mx}\), 利用 \(\int_0^\infty x^2\mathrm{e}^{-mx}\,\mathrm{d}x=2/m^3\), 得到全轴积分 \(4\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}/m^2=4\eta(2)=\pi^2/3\). 各项绝对积分之和为 \(4\sum_m m^{-2}\lt \infty\), 因而这里交换求和与积分是合法的.

综合得到

\[\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}\varepsilon\,F(\varepsilon)f^0(\varepsilon)=\int_{-\infty}^\mu\mathrm{d}\varepsilon\,F(\varepsilon)+\frac{\pi^2}{6}(k_{\mathrm{B}}T)^2F^{\prime}(\mu)+O(T^4)\]

考虑 \(T \ll T_{\mathrm{F}} = \varepsilon_{\mathrm{F}}/k_{\mathrm{B}}\) 的情况, 还可以对偏离 \(\varepsilon_{\mathrm{F}}\) 的 \(\mu\) 引入进一步近似 \[\int_{-\infty}^\mu\mathrm{d}\varepsilon\,F(\varepsilon) \approx \int_{-\infty}^{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\mathrm{d}\varepsilon\,F(\varepsilon)+(\mu-\varepsilon_{\mathrm{F}})F(\varepsilon_{\mathrm{F}})\]

1.2.3 Thermodynamics

零温内能密度
\[\begin{aligned} u &= \frac{g_{\mathrm{s}}}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{k}}f^0(\varepsilon_{\mathbf{k}})\varepsilon_{\mathbf{k}}|_{T=0} = g_{\mathrm{s}}\int\mathrm{d}\varepsilon\, g(\varepsilon)\theta(\varepsilon_{\mathrm{F}}-\varepsilon)\varepsilon\\ &= \frac{d}{2}n\int_0^{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\mathrm{d}\varepsilon\,\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\right)^{d/2} = \frac{d}{d+2}n\varepsilon_{\mathrm{F}} \end{aligned}\]
\(T\ll T_{\mathrm{F}}\) 的电子密度
\[n \simeq \int_{-\infty}^{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\mathrm{d}\varepsilon\,g_{\mathrm{s}}g(\varepsilon)+(\mu-\varepsilon_{\mathrm{F}})g_{\mathrm{s}}g(\varepsilon_{\mathrm{F}})+\frac{\pi^2}{6}(k_{\mathrm{B}}T)^2g_{\mathrm{s}}g^{\prime}(\varepsilon_{\mathrm{F}})\]
由于第一项就是零温的电子数密度, 可以得到化学势
\[\mu(T) \approx \varepsilon_{\mathrm{F}}-\frac{\pi^2}{6}\frac{g^{\prime}(\varepsilon_{\mathrm{F}})}{g(\varepsilon_{\mathrm{F}})}(k_{\mathrm{B}}T)^2\]
对 \(d\) 维自由电子气, 利用态密度公式得到
\[\mu(T)=\varepsilon_{\mathrm{F}}\left[1-\frac{(d-2)\pi^2}{12}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\right)^2+O\!\left((T/T_{\mathrm{F}})^4\right)\right]\]
有限温度内能密度
\[\begin{aligned} u(T) &= g_{\mathrm{s}}\int_{-\infty}^{\mu}\mathrm{d}\varepsilon\,\varepsilon g(\varepsilon) +g_{\mathrm{s}}\frac{\pi^{2}}{6}(k_{\mathrm{B}}T)^{2}\left[g(\varepsilon_{\mathrm{F}})+\varepsilon_{\mathrm{F}}g^{\prime}(\varepsilon_{\mathrm{F}})\right]+O(T^{4})\\ &= u(0)+g_{\mathrm{s}}\varepsilon_{\mathrm{F}}\left[(\mu-\varepsilon_{\mathrm{F}})g(\varepsilon_{\mathrm{F}})+\frac{\pi^{2}}{6}(k_{\mathrm{B}}T)^{2}g^{\prime}(\varepsilon_{\mathrm{F}})\right]\\ &+ g_{\mathrm{s}}\frac{\pi^2}{6}(k_{\mathrm{B}}T)^2g(\varepsilon_{\mathrm{F}})+O(T^4)\\ &= u(0)+\frac{\pi^2}{3}(k_{\mathrm{B}}T)^2g(\varepsilon_{\mathrm{F}})+O(T^4) \end{aligned}\]
其中最后一步用到有限温度的化学势展开. 进而可以得到电子气的比热为
\[c_{\mathrm{V}}=\frac{2\pi^2}{3}k_{\mathrm{B}}^2Tg(\varepsilon_{\mathrm{F}})+O(T^3)=\frac{\pi^2}{6}(dnk_{\mathrm{B}})\frac{T}{T_{\mathrm{F}}}+O(T^3)\]

1.2.4 Pauli Paramagnetism

考虑外加磁场下电子气由于自旋导致的磁响应. 内禀磁矩

\[\boldsymbol{\mu}_{\mathrm{e}}=-g_{\mathrm{e}}\frac{e}{2m_{\mathrm{e}}}\mathbf{s}, \qquad g_{\mathrm{e}}\approx2.002, \quad \mathbf{s}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}\]

其中

\[\begin{aligned} \boldsymbol{\sigma}&=[\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z}]\\ \sigma_x&= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}, \qquad \sigma_y= \begin{bmatrix} 0&-\mathrm{i}\\ \mathrm{i}&0 \end{bmatrix}, \qquad \sigma_z=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} \end{aligned}\]

从而 Zeeman 耦合

\[-\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\mu}_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}g_{\mathrm{e}}\mu_{\mathrm{B}}\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\sigma}\]

对于施加 \(z\) 向磁场, 仅考虑耦合, 忽略矢势带来的轨道效应

\[H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}\nu\sigma_z = \begin{bmatrix} \frac{p^2}{2m}+\frac{\nu}{2}&0\\ 0&\frac{p^2}{2m}-\frac{\nu}{2} \end{bmatrix} ,\qquad \nu(B)=g_{\mathrm{e}}\mu_{\mathrm{B}}B\]

\(\nu(B)\) 为 Zeeman 劈裂能. 考虑到和动量/自旋对易, 故此 Hamiltonian 的本征态可以是动量和自旋的本征态. \(\sigma_z\) 的本征态记为 \(|\alpha_s\rangle, s = \pm 1\), 对应

\[|\alpha_\uparrow\rangle = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad |\alpha_\downarrow\rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\]

则本征态波函数和色散关系

\[|\psi_{\mathbf{k}s}\rangle = |\mathbf{k}\rangle\otimes|\alpha_s\rangle\]

对应的坐标表象为

\[\psi_{\mathbf{k}s}(\mathbf{r}) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}}{\sqrt{\mathcal{V}}}|\alpha_{s}\rangle\]

\[\varepsilon_{\mathbf{k}s}=\varepsilon_{\mathbf{k}}+\frac{1}{2}s\nu\]

对零温情形, 非零磁场下 Zeeman 劈裂改变两个自旋支的占据数密度. 固定总密度时记化学势为 \(\mu(B)\), 弱场下 \(\mu(B)-\varepsilon_{\mathrm{F}}=O(\nu^2/\varepsilon_{\mathrm{F}})\):

\[n_s=\int[\mathrm{d}\mathbf{k}]\,\theta(\mu(B)-\varepsilon_{\mathbf{k}s})=\int\mathrm{d}\varepsilon\, g(\varepsilon)\theta\left(\mu(B)-\left(\varepsilon+\frac{1}{2}s\nu\right)\right)\]

考虑弱劈裂, 定义自旋极化数密度 \(\mathfrak{m}=n_\uparrow-n_\downarrow\):

\[\mathfrak{m} = n_\uparrow-n_\downarrow = \int_{\mu(B)+\frac{1}{2}\nu}^{\mu(B)-\frac{1}{2}\nu}g(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon \approx -g(\varepsilon_{\mathrm{F}})\nu\]

磁化强度

\[\mathcal{M}=n_\uparrow\mu_{z,\uparrow}+n_\downarrow\mu_{z,\downarrow}=\left(-\frac{1}{2}g_{\mathrm{e}}\mu_{\mathrm{B}}\right)(n_\uparrow-n_\downarrow)=\left(-\frac{1}{2}g_{\mathrm{e}}\mu_{\mathrm{B}}\right)\mathfrak{m}=\frac{1}{2}g_{\mathrm{e}}^2\mu_{\mathrm{B}}^2g(\varepsilon_{\mathrm{F}})B\]

从而得到相对于 \(B\) 的 Pauli 顺磁响应系数

\[\chi_{\mathrm{P}} = \frac{\partial \mathcal{M}}{\partial B} = \frac{1}{2}(g_{\mathrm{e}}\mu_{\mathrm{B}})^2 g(\varepsilon_{\mathrm{F}})\]

这里取 \(B\to0\) 的线性响应, \(g\) 仍是每个自旋分量的态密度. 在弱磁化的 SI 约定下, 通常无量纲磁化率 \(\partial\mathcal{M}/\partial H\simeq\mu_0\chi_{\mathrm{P}}\).

1.3 Atomic Specific Heat of Solids

本节讨论限于三维体系 (\(d=3\))

1.3.1 Classical Harmonic Solid and Dulong-Petit Law

将固体中 \(N\) 个原子的微小振动近似为 \(3N\) 个独立简谐振子, 总能量写为

\[E=\sum_{i=1}^{3N}\left(\frac{p_i^2}{2m_i}+\frac12 k_i q_i^2\right).\]

经典统计力学中, 能均分定理说明每个独立二次项对平均能量贡献 \(\frac12 k_{\mathrm{B}} T\). 上式中每个振动模包含一个动能二次项和一个势能二次项, 因而每个模贡献 \(k_{\mathrm{B}} T\), 总内能为

\[U=\langle E\rangle = 3N k_{\mathrm{B}} T\]

于是每原子定容比热为

\[c_{\mathrm{V}} = \frac{C_{\mathrm{V}}}{N} = \frac{1}{N}\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{\mathrm{V}} = 3k_{\mathrm{B}}\]

这就是 Dulong-Petit 定律. 经典理论的问题在于无法解释低温下比热迅速下降的事实.

1.3.2 Einstein Model

Einstein 的想法是保留每个原子在势阱附近做简谐振动的图像, 但将振动能级量子化. 设每个原子都等效为同一频率 \(\omega_{\mathrm{E}}\) 的三维各向同性谐振子, 则单原子的能级为

\[\varepsilon_{n_1,n_2,n_3} = \hbar\omega_{\mathrm{E}}\left(n_1+n_2+n_3+\frac{3}{2}\right), \qquad n_1,n_2,n_3=0,1,2,\cdots\]

单原子的配分函数为

\[Z = \sum_{n_1,n_2,n_3} \mathrm{e}^{-\beta\varepsilon_{n_1,n_2,n_3}} = \left(Z_1\right)^3, \qquad \beta=\frac{1}{k_{\mathrm{B}} T}\]

其中 \(Z_1\) 是一维谐振子的配分函数

\[Z_1 = \sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}(n+1/2)} = \frac{\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}/2}}{1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}}} = \mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}/2}f_{\mathrm{B}}(\hbar\omega_{\mathrm{E}}), \qquad f_{\mathrm{B}}(\varepsilon)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\varepsilon}-1}\]

后者是 Bose-Einstein 分布. 这里的激发量子就是声子; 由于声子数不要求守恒, 其化学势取 \(\mu=0\). 容易得到单原子的平均能量

\[\langle\varepsilon\rangle = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} = -3\frac{\partial\ln Z_1}{\partial\beta} = 3\hbar\omega_{\mathrm{E}}\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}}-1}+\frac12\right) = 3\hbar\omega_{\mathrm{E}}\left[f_{\mathrm{B}}(\hbar\omega_{\mathrm{E}})+\frac12\right]\]

其中 \(\frac12\hbar\omega_{\mathrm{E}}\) 对应每个一维振子的零点能. 进一步可得到比热

\[c_{\mathrm{V}} = \frac{\partial\langle\varepsilon\rangle}{\partial T} = 3\hbar\omega_{\mathrm{E}}\frac{\partial f_{\mathrm{B}}(\hbar\omega_{\mathrm{E}})}{\partial T} = 3k_{\mathrm{B}}\frac{(\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}})^2\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}}} {(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}}-1)^2} = 3k_{\mathrm{B}}\frac{x^2\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2}\]

其中 \(x=\Theta_{\mathrm{E}}/T\), \(\Theta_{\mathrm{E}}=\hbar\omega_{\mathrm{E}}/k_{\mathrm{B}}\) 为 Einstein 温度.

在高温极限 \(x=\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}\ll 1\) 下, 展开得
\[c_{\mathrm{V}} = 3k_{\mathrm{B}}-\frac{(\hbar\omega_{\mathrm{E}})^2}{4k_{\mathrm{B}} T^2}+O(T^{-4})\]
因此 \(T\gg \Theta_{\mathrm{E}}\) 时恢复到 Dulong-Petit 定律.
在低温极限 \(x=\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}\gg 1\) 下
\[f_{\mathrm{B}}(\hbar\omega_{\mathrm{E}})\approx \mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}}\]
从而
\[c_{\mathrm{V}} \sim 3k_{\mathrm{B}}(\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}})^2\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_{\mathrm{E}}}, \qquad T\to 0\]
比热在低温下指数衰减. 它成功解释了经典理论为何在低温失效, 但不能给出实验中常见的 \(T^3\) 律.

1.3.3 Debye Model

Debye 模型不再把每个原子看成彼此独立的同频谐振子, 而是把整个晶体的振动看成连续弹性介质中的声波并进行量子化. 最简模型用三个线性声学支近似全部 \(3N\) 个振动模, 并取相同声速 \(v_{\mathrm{s}}\); 对多原子基元的实际晶体, 光学支不在这一声学近似中逐支描述. 在最简近似下:

固体中有三个声学支, 对应三个独立偏振模式, 各模式在低能区都满足线性色散
\[\varepsilon(q)=\hbar v_{\mathrm{s}} q\]
用一个截止 Debye 波矢 \(q_{\mathrm{D}}\) 限制允许的模数. Debye 截断 \(q_{\mathrm{D}}\) 不是任意取的, 而是应该满足
\[3\sum_{q\lt q_{\mathrm{D}}}1=3N\]
在连续极限下,
\[3\cdot \frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3}\int_{q\lt q_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}^3 q = 3\cdot \frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3}\frac{4\pi q_{\mathrm{D}}^3}{3} = 3N\]
这保证了模型中的独立振动模总数仍然是 \(3N\).

对每个原子, 平均振动能量写为

\[\langle\varepsilon\rangle = \frac{3}{N}\sum_{q\lt q_{\mathrm{D}}} \varepsilon(q)\left[f_{\mathrm{B}}(\varepsilon(q))+\frac12\right]\]

这里前面的因子 \(3\) 表示三种声学模. 定义 Debye 温度

\[\Theta_{\mathrm{D}}=\frac{\hbar v_{\mathrm{s}} q_{\mathrm{D}}}{k_{\mathrm{B}}}\]

比热是平均能量对温度的导数. 由于零点能项与温度无关, 求导后自动消失, 因而

\[\begin{aligned} c_{\mathrm{V}} &= \frac{3}{N}\sum_{q\lt q_{\mathrm{D}}} \varepsilon(q)\frac{\partial f_{\mathrm{B}}(\varepsilon(q))}{\partial T} \\ &= \frac{3\mathcal{V}}{N(2\pi)^3} \int_{q\lt q_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}^3q\, \varepsilon(q) \frac{\varepsilon(q)\mathrm{e}^{\beta\varepsilon(q)}} {k_{\mathrm{B}} T^2(\mathrm{e}^{\beta\varepsilon(q)}-1)^2} \end{aligned}\]

转到球坐标

\[c_{\mathrm{V}} = \frac{9}{q_{\mathrm{D}}^3} \int_0^{q_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}q\, q^2 \frac{\varepsilon(q)^2\mathrm{e}^{\beta\varepsilon(q)}} {k_{\mathrm{B}} T^2(\mathrm{e}^{\beta\varepsilon(q)}-1)^2}.\]

再令

\[x=\beta\varepsilon(q)=\frac{\hbar v_{\mathrm{s}} q}{k_{\mathrm{B}} T}, \qquad x_{\max}=\frac{\Theta_{\mathrm{D}}}{T}\]

代入后可化为

\[c_{\mathrm{V}} = 9k_{\mathrm{B}}\left(\frac{T}{\Theta_{\mathrm{D}}}\right)^3 \int_0^{\Theta_{\mathrm{D}}/T}\mathrm{d}x\, \frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2}\]

高温极限 \(T\gg \Theta_{\mathrm{D}}\) 时, 上限 \(\Theta_{\mathrm{D}}/T\ll 1\). 由于
\[\frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2} \approx x^2, \qquad x\ll 1\]
所以
\[\int_0^{\Theta_{\mathrm{D}}/T}\mathrm{d}x\, \frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2} \approx \int_0^{\Theta_{\mathrm{D}}/T}\mathrm{d}x\,x^2 = \frac13\left(\frac{\Theta_{\mathrm{D}}}{T}\right)^3\]
于是
\[c_{\mathrm{V}}\approx 3k_{\mathrm{B}}, \qquad T\gg \Theta_{\mathrm{D}}\]
低温极限 \(T\ll \Theta_{\mathrm{D}}\) 时, 可以把积分上限延至 \(+\infty\):
\[\int_0^{\Theta_{\mathrm{D}}/T}\mathrm{d}x\, \frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2} \approx \int_0^{\infty}\mathrm{d}x\, \frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2}\]
将被积函数改写为
\[\frac{\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2} = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{(1-\mathrm{e}^{-x})^2} = \sum_{n=1}^{\infty}n\mathrm{e}^{-nx}\]
于是
\[\int_0^{\infty}\mathrm{d}x\, \frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}n\int_0^{\infty}\mathrm{d}x\,x^4\mathrm{e}^{-nx} = \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot \frac{4!}{n^5} = 24\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = 24\zeta(4)\]
所以
\[\int_0^{\infty}\mathrm{d}x\, \frac{x^4\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2} = \frac{4\pi^4}{15}\]
最终得到低温极限
\[c_{\mathrm{V}} \approx \frac{12\pi^4}{5}k_{\mathrm{B}}\left(\frac{T}{\Theta_{\mathrm{D}}}\right)^3, \qquad T\to 0\]
对其他维度的低温极限, 由 \(g(\omega) \propto \omega^{d-1}\) (利用 \(\omega = v_{\mathrm{s}} k\), 注意色散关系形式), 代入
\[U = \int \frac{\hbar \omega}{\mathrm{e}^{\beta \hbar \omega} - 1} g(\omega)\,\mathrm{d}\omega\]
得到
\[U \propto \int (Tx)^{d-1} \frac{Tx}{\mathrm{e}^x - 1} T \,\mathrm{d}x = T^{d+1} \int \frac{x^d}{\mathrm{e}^x - 1} \,\mathrm{d}x\propto T^{d+1} ,\qquad x = \frac{\hbar \omega}{k_{\mathrm{B}} T}\]
椭球色散特例 若色散关系各向异性, 先考虑第 \(i\) 个声学支, 沿主轴声速为 \(v_{i,1}, v_{i,2}, v_{i,3}\):
\[\omega_i(\mathbf{q}) = \sqrt{(v_{i,1}q_x)^2+(v_{i,2}q_y)^2+(v_{i,3}q_z)^2}\]
则可以代换
\[Q_x=\frac{v_{i,1}}{v_0}q_x, \qquad Q_y=\frac{v_{i,2}}{v_0}q_y, \qquad Q_z=\frac{v_{i,3}}{v_0}q_z\]
使得
\[\mathrm{d}^3 q = \frac{v_0^3}{v_{i,1}v_{i,2}v_{i,3}} \,\mathrm{d}^3 Q, \qquad \omega_i=v_0Q\]
因此该声学支中频率不超过 \(\omega\) 的模数为
\[\begin{aligned} N_i(\omega) &= \frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3}\int_{\omega_i(\mathbf{q})\le \omega}\mathrm{d}^3q\\ &= \frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3} \frac{v_0^3}{v_{i,1}v_{i,2}v_{i,3}} \int_{Q\le \omega/v_0}\mathrm{d}^3Q\\ &= \frac{\mathcal{V}}{6\pi^2}\left(\frac{\omega}{\bar{v}_i}\right)^3, \qquad \bar{v}_i=(v_{i,1}v_{i,2}v_{i,3})^{1/3} \end{aligned}\]
利用
\[\sum_{i=1}^3N_i(\omega_{\mathrm{D}})=3N\]
得到
\[\omega_{\mathrm{D}}=\left(\frac{6\pi^2N}{\mathcal{V}}\right)^{1/3}v_{\mathrm{D}},\qquad \frac{3}{v_{\mathrm{D}}^3}=\sum_{i=1}^3\frac{1}{\bar{v}_i^3}\]

对一般方向依赖的线性色散 \(\omega_i(\mathbf{q})=v_i(\hat{\mathbf{q}})q\), 径向积分给出 \(N_i(\omega)=\mathcal{V}\omega^3\int\mathrm{d}\Omega\,v_i(\hat{\mathbf{q}})^{-3}/[3(2\pi)^3]\). 因此应以角平均 \(\bar v_i^{-3}=(4\pi)^{-1}\int\mathrm{d}\Omega\,v_i(\hat{\mathbf{q}})^{-3}\) 代入模数与 Debye 声速关系; 主轴声速的几何平均只适用于上述椭球色散特例.

相对于 Einstein 模型

相同点

晶格振动量子化, 能量量子为 \(\hbar\omega\) ; 声子服从 Bose 分布, 用于计算内能和比热. 高温极限均恢复 Dulong–Petit 定律.

不同点

Einstein 模型 Debye 模型

频谱假设单一频率 \(\omega_{\mathrm{E}}\) 连续分布 \([0, \omega_{\mathrm{D}}]\)，低频 \(\omega \approx v q\)

低温比热行为指数衰减 \(C_{\mathrm{V}} \sim \mathrm{e}^{-\hbar\omega_{\mathrm{E}}/k_{\mathrm{B}}T}\) 幂律 \(C_{\mathrm{V}} \propto T^3\) (3D)，\(C_{\mathrm{V}} \propto T^2\) (2D)

原因: 对线性色散的声学支, 低温仅激发长波声子, 低频态密度决定 \(d\) 维的 \(T^d\) 渐近律; 系数须使用实际声速. 上表二维结论限于线性色散, 自由薄膜的弯曲支可具有二次色散, 因而不能无条件套用 \(T^2\).

	Einstein 模型	Debye 模型
频谱假设	单一频率 \(\omega_{\mathrm{E}}\)	连续分布 \([0, \omega_{\mathrm{D}}]\)，低频 \(\omega \approx v q\)
低温比热行为	指数衰减 \(C_{\mathrm{V}} \sim \mathrm{e}^{-\hbar\omega_{\mathrm{E}}/k_{\mathrm{B}}T}\)	幂律 \(C_{\mathrm{V}} \propto T^3\) (3D)，\(C_{\mathrm{V}} \propto T^2\) (2D)

2 Crystal Structure

2.1 Symmetry, Bravais Lattices, and Crystals

2.1.1 Symmetry and Point Groups

对称变换是空间中的保距映射: 变换前后任意两点间距离不变.

线性的对称变换被称为正交变换. 对称变换可以被唯一分解为一个正交变换加上一个平移.
若物体在变换下与原像重合, 则具有该对称性. 使体系变换后与原状完全重合的操作被称为对称操作, 如旋转、反射、反演
本章讨论的对称操作包括: 平移, 旋转, 空间反演, 镜面反射及其复合变换.

Definition Rotations

纯旋转(Proper Rotation, \(C_p\)):
\[\begin{aligned} C_p(\hat{\mathbf{n}})&=C(\hat{\mathbf{n}},2\pi/p),\qquad p=1,2,\cdots\\ C_p^k(\hat{\mathbf{n}})&=C(\hat{\mathbf{n}},2\pi k/p),\qquad p=1,2,\cdots \end{aligned}\]
- 不改变物体的手性(Chirality)
- \(C_p^p = e\) 恒等变换
瑕旋转 (Improper Rotation):
- 会改变体系手性
- 包括镜面反射 \(\sigma\) 和中心反演 \(i\)
纯旋转可通过实际运动实现, 瑕旋转不能

Remark 对称操作的合成

对物体依次进行两次或多次对称变换, 其合成操作仍是保距映射, 因此也是对称变换. 例如

\[C_6(\hat{\mathbf{z}})C_6(\hat{\mathbf{z}}) = C_6^2(\hat{\mathbf{z}}) = C_3(\hat{\mathbf{z}}) ,\qquad C_2(\hat{\mathbf{x}})C_2(\hat{\mathbf{y}}) = C_2(\hat{\mathbf{z}})\]

对称操作的合成不一定对易

旋转反射(Rotation-Reflection, \(S_{2m}\)): 纯旋转与瑕旋转的复合(也是瑕旋转)

\[S_{2m}(\hat{\mathbf{n}}) = \sigma(\hat{\mathbf{n}}) C_{2m}(\hat{\mathbf{n}})\]

\(S_{2m}^2 = C_m\).

Remark 矩阵表示保持一点不动的几何变换可(在特定坐标下)表示为线性变换

\[\mathbf{r}' = M(\alpha) \mathbf{r}\]

线性的对称变换(正交变换)要求有

正交性: 保距条件要求 \[\sum_i M_{ij} M_{ik} = \delta_{jk} \implies M^{-1} = M^{\mathsf{T}}\] 由此可以推出 \[\det(M) = \pm1\] \(\pm\) 分别对应 proper/improper.

旋转就是一种正交变换.

Definition 对称群与点群对称群(Symmetry Group): 几何物体所有对称变换的集合点群(Point Group): 所有保持至少一个公共不动点的对称操作构成的群(不含平移)

例如 \(\mathrm{NH}_3\) 分子的 \(6\) 阶 \(C_{3v}\) 对称群元素 \[e, C_3, C_3^2,\sigma_{v1}, \sigma_{v2}, \sigma_{v3}\]

2.1.2 Bravais Lattices

理想晶体具有空间周期性, 在空间中无限延伸, 具有离散平移对称性. 平移变换记作

\[T_{\mathbf{t}} A = \{ \mathbf{r} + \mathbf{t} \mid \mathbf{r} \in A \}\]

Definition Bravais lattice 是周期排列的离散点阵, 是具有离散平移对称性的最基本结构. \(d\) 维 Bravais lattice 由整系数基向量 \(\{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_d \}\) 指定, 格子上任意两点由格矢(Lattice Vector)连接

\[\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + n_d \mathbf{a}_d\]

晶格(lattice)与 Bravais 格子(Bravais lattice)
- 虽然 lattice 常被用作 Bravais lattice 的简称, 但许多被称为 lattice 的结构不是 Bravais lattice, 比如蜂窝晶格应该用格子+基元描述, 因为并不满足每个格点环境完全相同, 应该取双原子的基元.
- 判据: Bravais lattice 上每一个格点都可以通过格矢平移相互联系. 因此每一个格点的周边环境应完全相同, 且环境的取向也完全相同.

Definition 单位晶胞/晶胞/单胞(Unit Cell) & 原胞(Primitive Cell) 单位晶胞是一个空间区域, 可以通过格矢(或其子集)平移操作, 不重不漏地铺满整个空间. 原胞是体积最小的晶胞.

原胞只包含 1 个 Bravais lattice point. 其体积等于初基矢混合积的绝对值(3维). 原胞的基矢称为初基矢(Primitive basis vector).

原胞只含一个 Bravais lattice point, 但不是只能含一个原子(一个格点可以有多个原子)
单胞和原胞都不是唯一的. 单胞的形状在满足定义的前提下是任意的, 甚至不必是一个连通的空间区域, 只要满足不重不漏铺满空间即可. 多数情况使用平行六面体(3维)作为晶胞.
Definition Wigner-Seitz primitive cell 一种特定原胞: 选定一个格点, 对它与其他格点的连线作垂直平分面, 取各平分面靠近该格点一侧的半空间交集.
- 具有以该格点为不动点的 Bravais 格子全部点群对称性

Definition 超胞(Super Cell) 通过复制原晶胞或多个晶胞, 在空间中构造出的一个扩大的周期性重复单元.

超胞基矢为原胞基矢的非退化整系数线性组合
超胞也对应一套 Bravais lattice, 为原胞 Bravais lattice 的一个子格子
超胞包含多个格点, 其体积是原胞的整数倍

2.2 Crystal Structure

2.2.1 Examples of Crystal Structures

Definition 晶体结构在 Bravais lattice 每个格点上装配相同的基元(Basis)形成的周期性结构, 即晶体结构 = Bravais lattice \(\times\) 基元.

基元是晶体结构的基本单元, 包含晶胞内原子或离子的位置信息(物理内容).
例如 \(\mathrm{NaCl}\) 结构 = 面心立方 Bravais lattice + 基元(\(\mathrm{Na}^+\) 和 \(\mathrm{Cl}^-\))
基元的装配, 可能破坏 Bravais lattice 原有的对称性, 比如反演.

Definition 惯用晶胞 (Conventional Unit Cell) 为了更直观地体现晶体的宏观对称性而选取的晶胞, 通常不是体积最小的原胞.

立方晶系: 立方体; 六方晶系: 六方柱; 正交晶系: 长方体; 三方晶系: 菱形六面体

优势: 比原胞更能体现晶体的宏观对称性, 通常具有更高对称性的形状; 可包含多个原子/格点, 反映真实结构; 约定俗成的晶体学表示方法.
原则:
- 对称性优先: 形状符合晶体点群对称性
- 高对称轴: 基矢尽量沿高对称方向
- 直角优先: 如可能, 夹角尽量接近 \(90^\circ\)
- 最小重复: 在满足对称性前提下, 体积尽可能小

Example

面心立方 FCC(face-centered cubic)

FCC 惯用晶胞与原胞.
- 惯用晶胞为立方体, 基矢
  \[\mathbf{a}_1 = [a, 0, 0]^{\mathsf{T}},\qquad \mathbf{a}_2 = [0, a, 0]^{\mathsf{T}},\qquad \mathbf{a}_3 = [0, 0, a]^{\mathsf{T}}\]
  基元
  \[(0,0,0),\quad (1/2, 1/2, 0),\quad (1/2, 0, 1/2),\quad (0, 1/2, 1/2)\]
  体积
  \[\mathcal{V}_{\mathrm{conv}} = \det A_{\mathrm{conv}}=a^{3},\qquad A_{\mathrm{conv}} = [\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3]\]
  位置与坐标
  \[\mathbf{r}_\alpha=\sum_{i=1,2,3}\mathbf{a}_ix_{i\alpha}=A_{\mathrm{conv}}\mathbf{x}_\alpha\]
- 原胞为菱方体, 基矢 \(\mathbf{a}'_i\) 是惯用基矢的线性组合：
  \[\mathbf{a}'_1 = \frac{1}{2}(\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_3), \qquad \mathbf{a}'_2 = \frac{1}{2}(\mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3), \qquad \mathbf{a}'_3 = \frac{1}{2}(\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2)\]
  变换矩阵关系: \(A_{\mathrm{prim}} = A_{\mathrm{conv}} P\), 其中
  \[P = \begin{bmatrix} 1/2&0&1/2\\ 0&1/2&1/2\\ 1/2&1/2&0 \end{bmatrix}\]
  这里 \(\det P=-1/4\), 给定初基矢为左手系. 原胞体积为 \(\mathcal{V}_{\mathrm{prim}} = |\det(A_{\mathrm{prim}})| = \frac{1}{4}|\det(A_{\mathrm{conv}})| = \frac{1}{4}a^3\).
  
  密堆面族为 \(\{111\}\).
体心立方 BCC(body-centered cubic)

BCC 惯用晶胞与原胞.
- 惯用晶胞为立方体, 基矢
  \[\mathbf{a}_1 = a\hat{\mathbf{x}},\qquad \mathbf{a}_2 = a\hat{\mathbf{y}},\qquad \mathbf{a}_3 = a\hat{\mathbf{z}}\]
  基元
  \[(0,0,0),\quad (1/2, 1/2, 1/2)\]
- 原胞基矢:
  \[\mathbf{a}'_1 = \frac{1}{2}(\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_3), \qquad \mathbf{a}'_2 = \frac{1}{2}(\mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3), \qquad \mathbf{a}'_3 = \frac{1}{2}(-\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3)\]
密堆积(Close Packing): 将相同大小的球体在空间中排列, 使其占据最大体积分数的排列方式.
- 二维密堆积: 二维六方晶格, 每个格点上有一个小球, 基矢
  \[\mathbf{a}_1 = \frac{a}{2}\hat{\mathbf{x}} - \frac{\sqrt{3}a}{2}\hat{\mathbf{y}},\qquad \mathbf{a}_2 = \frac{a}{2}\hat{\mathbf{x}} + \frac{\sqrt{3}a}{2}\hat{\mathbf{y}}\]
- 三维堆叠: 为了最小化间隙, 下一层原子对齐第一层的空隙位, 每层满足二维密堆积. 出现三个特殊位置: \(a\) (第一层), \(b\) (第二层), \(c\) (第三层空隙)
  - 堆叠方式: 六方密堆 HCP(hexagonal close-packed, \(aba\) 堆叠); 立方密堆 CCP(cubic close-packed, \(abc\) 堆叠)
  HCP 属于六方晶系, 为六方 Bravais 格子加双原子基元. 其空间群含 \(6_3\) 螺旋轴, 晶体点群含六重旋转; 不能把螺旋操作直接当成原子排列的纯 \(C_6\) 旋转. 其原胞为四棱柱, 含 2 原子. CCP 具有立方对称性, 为立方密堆结构. 几何上等同于面心立方(FCC)晶格, 密排面沿对角线方向. 其原胞同 FCC, 含 1 个原子.
氯化钠结构(Sodium Chloride Structure, \(\mathrm{NaCl}\)): \(\mathrm{NaCl}\) 为离子晶体

NaCl 晶体结构.
- 晶格类型: FCC
- 基元: \(\mathrm{Cl}^-\) 构成 FCC 格子, \(\mathrm{Na}^+\) 占据所有八面体间隙
- 配位数: 6 (正八面体配位)
- 惯用晶胞含 4 个 \(\mathrm{NaCl}\) 单元
氯化铯结构(Cesium Chloride Structure, \(\mathrm{CsCl}\)): \(\mathrm{CsCl}\) 为离子晶体

CsCl 晶体结构及八配位示意; 左侧展示多个晶胞.
- 晶格类型: Simple Cubic
  
  顶角和体心原子不同, 环境不等价, 不能认为是 BCC Bravais lattice.
- 基元: \(\mathrm{Cs}^+\) 在 \((0,0,0)\), \(\mathrm{Cl}^-\) 在 \((1/2, 1/2, 1/2)\).
- 配位数: 8 (正立方体配位)
- 惯用晶胞含 1 个 \(\mathrm{CsCl}\) 单元.
金刚石结构(Diamond Structure, C/Si/Ge)

金刚石晶体结构.
- 晶格类型: FCC
  
  视作两套 FCC 子晶格, 通过位移 \(a[1/4, 1/4, 1/4]^{\mathsf{T}}\) 相互嵌套, 即惯用晶胞中的分数坐标差为 \((1/4,1/4,1/4)\).
- 基元: 惯用晶胞含 8 个碳原子.
  - 第一套 FCC: \((0,0,0)\), \((0, 1/2, 1/2)\), \((1/2, 0, 1/2)\), \((1/2, 1/2, 0)\)
  - 第二套 FCC: 上述坐标加上 \((1/4, 1/4, 1/4)\)
- 配位数: 4 (四面体配位)
- 空间群: \(Fd\bar{3}m\).
金刚石有立方/六方两种类型, 其惯用晶胞:

金刚石与六方金刚石的惯用晶胞.

其原胞按 CCP/HCP 来, 分别有 2/4 个原子.
闪锌矿结构(Zinc Blende Structure, \(\mathrm{ZnS}/\mathrm{GaAs}/\mathrm{CdTe}\))

闪锌矿晶体结构.
- 晶系: 立方; Bravais 格子: FCC
  
  与金刚石结构几何骨架相同, 但两套 FCC 子晶格由不同元素占据. 相比金刚石, 无中心反演.
- 结构描述: 惯用晶胞含 8 个离子
  - 阴离子(如 S, As): 占据一套 FCC 位置
  - 阳离子(如 Zn, Ga): 占据另一套 FCC 位置(位移 \(1/4, 1/4, 1/4\))
- 配位数: 4 (四面体配位)
- 空间群: \(F\bar{4}3m\).

2.2.2 Crystallographic Point Groups and Space Groups

Definition 几何对称变换晶体具有平移对称性, 从而对于晶体对称性, 需要考虑更一般的保距变换

\[[\alpha,\mathbf{t}]\mathbf{r}=\alpha(\mathbf{r})+\mathbf{t}\]

合成
\[[\alpha,\mathbf{t}][\beta,\mathbf{s}]=[\alpha\beta,\alpha\mathbf{s}+\mathbf{t}]\]
逆变换
\[[\alpha,\mathbf{t}]^{-1}=[\alpha^{-1},-\alpha^{-1}\mathbf{t}]\]
特别地, 平移对称性形成一个平移群
\[[e,\mathbf{R}_1][e,\mathbf{R}_2] = [e,\mathbf{R}_1+\mathbf{R}_2]\]
满足交换律, 构成 Abelian group.

Theorem 晶体学限制定理: 晶体的旋转轴只能为 1, 2, 3, 4, 6 重 Proof 对任意纯旋转 \(\alpha\), 相应

\[\operatorname{tr}M(\alpha)=1+2\cos\phi\]

\(\phi\) 为转角. 为保证 Lattice 在转动下保持不变, 应有

\[\tilde{R}^{\prime}=\tilde{M}(\alpha)\tilde{R},\qquad \tilde{R}=[n_1,n_2,n_3]^{\mathsf{T}}\]

因此在格矢基下, 旋转矩阵为整数矩阵, 相应 trace 也要求为整数, 则

\[\phi=\frac{2\pi}{p},\qquad p=1,2,3,4,6\]

瑕旋转的晶体学限制由其旋转部分给出. Definition 非点式对称性: 空间群操作中的分数平移不能通过重新选择原点化为晶格平移的对称性

\[g=[\alpha,\mathbf{t}],\qquad \alpha\neq e,\qquad \mathbf{t}\not\equiv\mathbf{R}\]

改变原点会使平移部分改变一个 \((\alpha-e)\mathbf{x}_0\) 形式的量:

\[[\alpha,\mathbf{t}] \sim [\alpha,\mathbf{t}+(\alpha-e)\mathbf{x}_0]\]

因此 \(\mathbf{t}\) 中可写成 \((\alpha-e)\mathbf{x}_0\) 的部分可以被消去, 真正保留下来的是满足 \(\alpha\mathbf{t}_{\mathrm{inv}}=\mathbf{t}_{\mathrm{inv}}\) 的分数平移分量.

纯反演不产生独立的非点式对称性, 因为 \(e-i=2e\) 可逆, 平移部分总可以通过移动反演中心消去. 晶体中保留下来的典型非点式操作是滑移面和螺旋轴. 令 \(p\) 为 \(\alpha\) 的阶数, 则

\[g^p=[e,p\mathbf{t}_{\mathrm{inv}}]\]

为了让 \(g^p\) 仍为晶体的平移对称操作, 要求

\[p\mathbf{t}_{\mathrm{inv}}=\mathbf{R} \implies \mathbf{t}_{\mathrm{inv}}=\mathbf{R}/p\]

上式只是闭合的必要条件: 分数平移还须与给定晶格及其他空间群操作相容, 并按晶格平移取等价类. 对整个空间群 \(G\), 若能选一个共同原点使每个平移陪集都含纯点操作, 称为点式空间群(symmorphic space group); 否则称为非点式空间群(non-symmorphic space group). 单个操作含滑移或螺旋分量不应替代这一整体判据.¹

\(\alpha = m\) (镜像), 且不可消去的平移位于镜面内, 则为滑移反射. 常用的滑移面记号包括:
- a/b/c: 沿位于镜面内的相应晶轴平移半个晶格周期.
- n: 沿镜面内的对角线平移, 如 \((\mathbf{a}+\mathbf{b})/2\).
- d: 加心格子中沿镜面内对角线的四分之一平移, 如 \((\mathbf{a}\pm\mathbf{b})/4\), 相应两次操作给出加心格矢.
- e: 双滑移面; 同一镜面允许两种沿面内晶轴的半周期滑移. 上述记号不穷尽所有取向的命名.²
\(\alpha = C_p, p=2,3,4,6\), 沿轴的本征平移为 \(n\mathbf{c}_{\mathrm{axis}}/p\) 时, 记螺旋轴为 \(p_n\), 其中 \(n=1,\ldots,p-1\), \(\mathbf{c}_{\mathrm{axis}}\) 是该轴方向的最短晶格周期.

滑移面与螺旋轴对称操作.

Definition 晶体学点群(Crystallographic Point Groups) 空间群 \(G\) 的平移子群记作 \(T\); 模去平移后得到的晶体点群 \(G/T\) 等同于所有空间群操作的正交部分所构成的群. 它不要求空间群中的这些操作共享一个不动点. 对三维周期晶体, 共有 32 类晶体学点群. 两套命名体系:

Schoenflies notation: 常用于分子和光谱学, 记号如 \(C_{3v}, D_{3h}, T_d, O_h\).

Hermann-Mauguin notation: 是晶体学(特别是空间群)的标准, 记号如 \(3m, \bar{6}m2, \bar{4}3m, m\bar{3}m\) (与上述 Schoenflies notation 对应)

记号:

符号	几何操作
\(p=1,2,3\cdots\)	纯旋转
\(m\)	镜面
\(\bar{1}\)	反演中心
\(\bar{p} = i\circ C_p\)	反演轴

受晶体学限制, \(p=1,2,3,4,6\).
其中 \(\bar 1=i\), \(\bar 2=m\), 非平凡反演轴通常为 \(\bar 3,\bar 4,\bar 6\).

组合规则 \(pm\): 旋转轴与镜面平行, 如 \(2mm, 3m\); \(p/m\): 旋转轴与镜面垂直, 如 \(2/m, 4/m\);
举例: \(C_{nv}\) 含一个 \(n\) 重旋转轴和 \(n\) 个包含该轴的镜面, 相邻镜面夹角为 \(180^\circ/n\); 晶体学中 \(n=2,3,4,6\) 分别常记作 \(mm2,3m,4mm,6mm\), 不能对所有 \(n\) 一律写成 \(nmm\).

Definition 七大晶系

常见晶胞形状示意; 图中菱方体只展示三方晶系的一种选胞, 不穷尽三方晶体.

晶系 (学名)	允许的晶体学点群	对称性简述	晶格常数描述	格子
三斜 (Triclinic)	\(1, \bar{1}\)	对称性最低, 无限制	\(a \neq b \neq c\), \(\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^\circ\)	P
单斜 (Monoclinic)	\(2, m, 2/m\)	一个 2 重轴或镜面	\(a \neq b \neq c\), \(\alpha = \gamma = 90^\circ \neq \beta\)	P, C/I
正交 (Orthorhombic)	\(222, mm2, mmm\)	三个互相垂直的 2 重轴或镜面	\(a \neq b \neq c\), \(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)	P, I, C, F
四方 (Tetragonal)	\(4, \bar{4}, 4/m, 422, 4mm, \bar{4}2m, 4/mmm\)	一个 4 重轴	\(a = b \neq c\), \(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)	P, I/F
三方 (Trigonal)	\(3, \bar{3}, 32, 3m, \bar{3}m\)	主轴为 3 重轴	六方轴: \(a=b\), \(\alpha=\beta=90^\circ\), \(\gamma=120^\circ\); 菱方初基轴: \(a=b=c\), \(\alpha=\beta=\gamma\)	P, R
六方 (Hexagonal)	\(6, \bar{6}, 6/m, 622, 6mm, \bar{6}m2, 6/mmm\)	一个 6 重轴	\(a = b \neq c\), \(\alpha = \beta = 90^\circ, \gamma = 120^\circ\)	P
立方 (Cubic)	\(23, m\bar{3}, 432, \bar{4}3m, m\bar{3}m\)	四个 3 重轴(沿体对角线)	\(a = b = c\), \(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)	P, I, F

表中的不等号表示参数之间一般没有被对称性强制的相等关系, 不排除偶然相等; 晶系由对称性确定, 不能只凭晶胞边长分类. 三方晶系的 P 指六方格子, R 指菱方格子; R 可取菱方初基胞或三倍体积的六方加心胞.³ 四方晶系中的 F-centered 选胞可通过改选惯用晶胞转写为 I-centered 四方格子; 表中的 I/F 用来提醒这种等价描述. 单斜的 C/I 同样表示选胞差别, 不是额外的 Bravais 类型.

Definition 14 Bravais lattices 在七大晶系的基础上, 根据加心方式(Centering), 共有 14 种不等价的 Bravais lattice.

常见晶胞符号: 初基(P), 体心(I), 底心(A,B,C), 面心(F), 以及以六方轴描述的菱方加心(R). 14 种 Bravais 类型按格子体系计数为 \(1+2+4+2+1+1+3\); 六方和菱方各计一种, 三方晶系可使用这两种格子.

14 种 Bravais 格子.

六方 P 格子的平行六面体晶胞是以夹角 \(120^\circ\) 的两条基面轴为底边的四棱柱; 常画的正六棱柱包含三个这样的原胞.

Theorem Neumann’s Principle 晶体的任何宏观物理性质必须至少具有该晶体点群 \(G\) 的全部对称性

2.3 Crystal Directions, Planes, and Reciprocal Space

2.3.1 Crystal Directions and Planes

Definition 晶列(Crystal Rows): Bravais lattice 的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线族上, 这些直线族称为晶列.

Definition 晶向(Crystallographic Direction): 每个非零格矢定义一个晶向. 若某方向上的最短非零格矢为

\[\mathbf{R} = u_1 \mathbf{a}_1 + u_2 \mathbf{a}_2 + u_3 \mathbf{a}_3\]

则该晶向记作有序数组

\[[u_1 u_2 u_3]\]

其中 \(u_i\) 为互质整数.

若 \(u_i \lt 0\), 写作 \([\bar{u}_i]\). 例如 \([1\bar{2}0] = \mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2\).
晶向族 (family of directions): 由晶体对称性联系起来的等效方向集合, 记作 \(\langle u_1 u_2 u_3 \rangle\).
- 例如在简单立方中, \(\langle 100 \rangle\) 包含 \([100], [010], [001], [\bar{1}00], [0\bar{1}0], [00\bar{1}]\).

Definition 六方晶向指标(hexagonal directional indices) 六方晶系(或采用六方晶胞的菱方结构)通常引入三个共面的基面轴(basal axes) \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\) 与 \(c\) 轴的四轴记号, 其中基面轴满足线性约束, 晶向记号需 4 个指标 \([uvtw]\).

六方晶系四指标晶向.

转换关系 (从 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{c}\) 构成的 3 指标 \([u_1 u_2 u_3]\) 到 4 指标 \([uvtw]\)): \[u = \frac{1}{3}(2u_1 - u_2), \quad v = \frac{1}{3}(2u_2 - u_1), \quad t = -(u+v), \quad w = u_3\]
约束: \(u + v + t = 0\).
简化: 最后通分简化, 得到整数晶向指标 \([uvtw]\).

Definition 晶面 (Crystal Planes): 任选三个不共线的格点, 通过这些点的平面称为晶面. 为了构建不依赖于具体晶胞参数的统一记号, 引入 Miller indices: 给定晶格基矢 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\), 晶面的 Miller indices \((hkl)\) 对应的晶面在三个基矢上的截距为:

\[\mathbf{a}_1/h, \quad \mathbf{a}_2/k, \quad \mathbf{a}_3/l, \quad h, k, l \in \mathbb{Z}\]

Miller 指数与晶面截距.

零指标: 如果 \(h, k, l\) 其中之一为零, 则该晶面平行于对应基矢.
Remark How to determine Miller indices
1. 如果晶面通过原点, 平移到不过原点.
2. 确定晶面在三个基矢上的截距 \(\alpha \mathbf{a}_1, \beta \mathbf{a}_2, \gamma \mathbf{a}_3\).
3. 取倒数有序数组 \((\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma})\), 其中 \(\frac{1}{\infty} \to 0\).
4. 约化到最小整数比 \((hkl)\). 负号写头顶.
Remark Properties of Miller indices
- 面间距由倒空间长度决定; 对同一取向, 指数同时扩大 \(n\) 倍会使所标记的间距缩小为 \(1/n\). 不同取向不能仅凭某个指数的大小比较.
- \((hkl)\) 指定了一组等间距的平行晶面.
- 虽然构造过程得到的 \(h, k, l\) 互质, 但将其同时扩大整数倍 \(h'=nh, k'=nk, l'=nl\) 仍有物理意义 (涉及面间距).
Remark Coprimality and scaling of Miller indices

与晶向指数必须互质不同, Miller indices 有时保留非互质形式以体现物理意义, 特别是在惯用晶胞中.
- 原胞基矢: 互质 \((hkl)\) 给出该取向下相邻格点平面的基本间距; 非互质指标也可标记高阶衍射, 但引入的中间平面不一定含格点.
- 惯用晶胞 (加心): 指标是相对于惯用轴给出的, 是否对应真倒格矢须另外满足加心条件, 不能仅凭互质性判断.
  - 例如 FCC 的 \((200)\) 中间平面 \(x=a/2\) 含面心格点; 简单立方的同一坐标平面不含格点. \((100)\) 和 \((200)\) 取向相同, 但前者不满足 FCC 的反射条件.
  - 面间距关系: \(d_{nh, nk, nl} = \frac{1}{n} d_{hkl}\).

Definition Miller-Bravais indices for hexagonal cells 对于六方晶胞, 同样使用 4 基矢体系, 对应的 Miller-Bravais indices 为 \((hkil)\). \(h, k, l\) 与通常 Miller indices 一样, 第三个指数 \(i\) 满足:

\[i = -(h + k)\]

示例: \((10\bar{1}1), (01\bar{1}2)\).

Definition Plane families 由晶体对称性等价的一系列晶面组成晶面族, 记作 \(\{hkl\}\).

简并度 (multiplicity): 一个晶面族包含的独立晶面数量. 一般而言, 对称性越高, 简并度越高.
示例:
- 体心立方单原子晶体: \(\{222\}\) 包含 \((222), (\bar{2}22), (2\bar{2}2), \cdots\).
- 简单六方晶胞: \(\{11\bar{2}0\}\) 包含 \((11\bar{2}0), (1\bar{2}10), (\bar{2}110), \cdots\).

Remark Interpretation of Miller indices Miller indices \((hkl)\) 描述晶面的取向. 有序数组 \((hkl)\) 可以看作一个向量吗? 如果可以, 它和法向量有什么关系? (答案将在倒格子部分讨论: 倒格矢 \(\mathbf{G}_{hkl}\) 垂直于 \((hkl)\) 晶面).

2.3.2 Reciprocal Lattice and Reciprocal Space

Definition 倒格子 (Reciprocal Lattice) 一组与正格子基矢正交配对的基矢张成的格子, 倒格子基矢 \(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\) 满足关系

\[\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2\pi \delta_{ij}, \quad i,j = 1,2,3.\]

用原胞基矢的整数线性组合得到真倒格子. 对惯用晶胞也可定义其对偶基矢以标记 \((hkl)\), 但此时须另加加心反射条件, 才得到真倒格矢.

显式表达式为 (记有向混合积 \(D=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)\neq0\), 正原胞体积 \(\mathcal{V}_c=|D|\)):
\[\begin{aligned} \mathbf{b}_1 &= 2\pi \frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{D}, \\ \mathbf{b}_2 &= 2\pi \frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{D}, \\ \mathbf{b}_3 &= 2\pi \frac{\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{D}. \end{aligned}\]
所有倒格矢 \(\mathbf{G}\) 构成的点集即为倒格子:
\[\mathbf{G} = h \mathbf{b}_1 + k \mathbf{b}_2 + l \mathbf{b}_3, \quad h,k,l \in \mathbb{Z}.\]
倒格子存在的空间称为倒空间 (reciprocal space), 也称为波矢空间或 \(\mathbf{k}\)-空间.
Remark Matrix representation 引入基矢矩阵 \(A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3]\) 和 \(B = [\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3]\), 正交关系可写为:
\[A^{\mathsf{T}} B = B^{\mathsf{T}} A = 2\pi I_{3\times3} \implies B^{\mathsf{T}} = 2\pi A^{-1}.\]
Theorem Unit-cell volume relation 倒格子原胞体积 \(\mathcal{V}_c^*\) 与正格子原胞体积 \(\mathcal{V}_c\) 互为倒数关系 (相差 \((2\pi)^3\) 因子):
\[\mathcal{V}_c^* = \left|\mathbf{b}_1 \cdot (\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3)\right| = \frac{(2\pi)^3}{\mathcal{V}_c}.\]
Remark 常见倒格子对应
- 简单立方 \(\Longleftrightarrow\) 简单立方
- 面心立方 (FCC) \(\Longleftrightarrow\) 体心立方 (BCC)
- 体心立方 (BCC) \(\Longleftrightarrow\) 面心立方 (FCC)
正格子与倒格子具有相同的正交点群对称性, 但惯用胞的加心方式和轴长可以变化. 上述立方对应为 I 与 F 互换; 其他晶系不能不加说明地沿用这一加心口诀. 特别地, 四方 F 选胞等价于 I 选胞.

对应 Bravais lattice 的晶面族 \((hkl)\) 的方程可写为:

\[\mathbf{r} \cdot \mathbf{G} = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z},\]

其中 \(\mathbf{G} = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3\). 因此, 倒格矢 \(\mathbf{G}\) 垂直于晶面 \((hkl)\). 两个相邻晶面 (对应 \(n\) 和 \(n+1\)) 的间距 \(d_{hkl}\) 为:

\[d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}.\]

计算 \(|\mathbf{G}|\) 需引入倒格子基矢的度规张量 \(\omega_{ij} = \mathbf{b}_i \cdot \mathbf{b}_j\):

\[|\mathbf{G}| = \sqrt{\mathbf{G} \cdot \mathbf{G}} = \sqrt{\sum_{ij} G_i G_j \omega_{ij}}.\]

Remark 倒空间为什么有用

矢量内积简化: 在非正交基下, 若矢量分别用正基矢 (\(\mathbf{r} = \sum x_i \mathbf{a}_i\)) 和倒基矢 (\(\mathbf{k} = \sum k_i \mathbf{b}_i\)) 展开, 内积可简化为: \[\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} = 2\pi \sum_i k_i x_i.\]
周期性函数的 Fourier 展开: 理想晶体具有空间周期性, 物理量 \(f(\mathbf{r})\) 可展开为 Fourier 级数(Fourier series): \[f(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{G}} f_{\mathbf{G}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G} \cdot \mathbf{r}}\] 即周期函数的 Fourier 分量(Fourier component)仅在 \(\mathbf{k}= \mathbf{G}\) 时非零, 且 \[f_{\mathbf{G}} = \frac{1}{\mathcal{V}_c} \int_{\text{cell}} \mathrm{d}\mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G} \cdot \mathbf{r}} f(\mathbf{r}).\] Remark Why one unit cell is enough 若 \(\mathbf{R} = \sum_i n_i \mathbf{a}_i\) 是任意正格矢, \(\mathbf{G} = \sum_i m_i \mathbf{b}_i\) 是任意倒格矢, 则 \[\mathbf{G} \cdot \mathbf{R} = 2\pi \sum_i m_i n_i\] 从而 \[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}} = 1.\] 因此对满足 \(f(\mathbf{r}+\mathbf{R}) = f(\mathbf{r})\) 的周期函数, 若总体积 \(\mathcal{V} = N\mathcal{V}_c\), 可将总体积拆成 \(N\) 个原胞并平移积分变量: \[\begin{aligned} f_{\mathbf{G}} &= \frac{1}{\mathcal{V}} \int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}\mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) \\ &= \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{R}} \int_{\text{cell}} \mathrm{d}\mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot(\mathbf{r}+\mathbf{R})} f(\mathbf{r}+\mathbf{R}) \\ &= \frac{N}{\mathcal{V}} \int_{\text{cell}} \mathrm{d}\mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) \\ &= \frac{1}{\mathcal{V}_c} \int_{\text{cell}} \mathrm{d}\mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} f(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

Definition 第一 Brillouin 区(first Brillouin zone) 倒格子的 WS(Wigner-Seitz) 原胞称为第一 Brillouin 区.

不过一般说 WS 还是默认指实空间, 这里只是一个说法, 严格定义还要用垂直平分.

边界: Bragg plane, 即原点与倒格点 \(\mathbf{G}\) 连线的垂直平分面.
\[\mathbf{k} \cdot \mathbf{G} = \frac{1}{2} G^2.\]
FCC 的第一 Brillouin 区是截角八面体; BCC 的第一 Brillouin 区是菱形十二面体.
Higher Brillouin zones: 第 \(n\) Brillouin zone 是从倒空间原点出发需要跨越 \(n-1\) 个 Bragg planes 才能到达的点的集合.

高阶 Brillouin 区.

2.4 Determination of Crystal Structure: Diffraction Theory and Experiments

2.4.1 Bragg and von Laue Theory

晶体中原子间距为埃 (\(\text{\AA}\)) 数量级, 因而常用波长同量级的 X 射线研究晶体结构. 晶体衍射讨论主要基于弹性散射.

Theorem Bragg’s law: 把晶体视为一组平行晶面时, 增强干涉的条件是相邻晶面的反射光程差为波长的整数倍.

\[2d \sin\theta = n\lambda\]

Bragg 衍射几何.

Bragg equation 是 von Laue equation 的特殊形式, 物理图像更直观.

Theorem 衍射条件: 从波的干涉角度更严格地推导衍射条件. 考虑两个相同的散射源, 连接两点之间的矢量为格矢 \(\mathbf{R}\). 经过这两个格点的散射光子的相位差需满足

\[\mathbf{R} \cdot (\mathbf{k}' - \mathbf{k}) = 2\pi n\]

对于弹性散射, \(k = k' = 2\pi/\lambda\). 定义散射波矢 (scattering vector) \(\mathbf{q}=\mathbf{k}'-\mathbf{k}\), 对应物理转移动量为 \(\hbar\mathbf{q}\). 对所有格矢同时满足相位条件, 得到 von Laue equation:

\[\mathbf{q} \cdot \mathbf{R} = n 2\pi\]

当散射波矢 \(\mathbf{q}\) 为倒格矢 \(\mathbf{G}\) 时, 满足晶格干涉的必要条件; 还须满足弹性散射几何且结构因子非零, 才出现相应衍射峰.
一个推论是: 能满足弹性 Bragg 散射几何的入射波矢位于某个 Bragg plane 上; 这些平面形成各阶 Brillouin 区的分界, 并不限于第一 Brillouin 区的边界. Proof
\[\mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{k}+\mathbf{G}, \qquad |\mathbf{k}+\mathbf{G}|^2=|\mathbf{k}|^2\]
因此
\[2\mathbf{k}\cdot\mathbf{G}+G^2=0\]
即 \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{G}=-\frac{1}{2}G^2\). 等价地把倒格矢记为 \(-\mathbf{G}\), 即得到前述 Bragg plane 条件.

Definition Bragg plane: 在倒空间, 原点与非零倒格点 \(\mathbf{G}\) 连线的垂直平分面. 第一 Brillouin 区由所有这些平面朝原点一侧的半空间交集给出, 其边界只占相关平面的一部分.

2.4.2 Diffraction Experimental Methods

Definition Ewald 作图(Ewald construction) 在倒空间几何作图确定衍射方向的方法.

任选倒格点为原点 \(O\).
画入射波矢 \(\mathbf{k}\), 使其终点落在 \(O\). 其起点记为 \(C\).
以 \(C\) 为球心、半径 \(k=2\pi/\lambda\) 画球面, 称为 Ewald 球 (Ewald sphere).
若倒格点落在球面上, 则满足衍射条件. 衍射波矢 \(\mathbf{k}'\) 从 \(C\) 指向该倒格点.

相应倒格矢

\[\mathbf{G} = \mathbf{k}' - \mathbf{k}\]

其中 \(\mathbf{G}\) 为倒格矢. 确定了 \(\mathbf{k}'\) 就确定了对应 \(\mathbf{G}\) 的衍射方向. 此法可帮助快速确定给定单色光入射方向和波长下, 可以发生探测到的衍射方向.

Laue 方法(Laue method): 单色光下满足衍射条件的倒格点很少, 因而常使用连续谱 X 光; 可理解为一簇不同半径的 Ewald 球(Ewald sphere)共同扫过倒空间, 从而记录固定单晶样品的衍射方向.
转晶法(rotating crystal method): 保持单色入射, 通过转动单晶使原本不与 Ewald 球相交的倒格点划过球面, 从而依次产生衍射信号.
Debye-Scherrer 粉末衍射(Debye-Scherrer powder diffraction): 对粉末样品, 总有部分微晶取向满足 Bragg 条件(Bragg condition); 对应衍射光束与入射方向成散射角 \(2\theta\), 绕入射轴形成半角为 \(2\theta\) 的锥面, 探测上表现为一系列衍射环.

2.4.3 Kinematic Theory of Diffraction

干涉的运动学理论基于以下假设:

考虑弹性散射. 入射波为平面波, 出射波 (在远处) 为球面波.
干涉条纹隐含了干涉器的几何信息.

忽略多重散射效应, 只考虑单次散射. 考虑处于原点 \(O\) 的样品和处于远处 \(\mathbf{R}\) 的探测器. 从样品内 \(\mathbf{r}\) 处散射的波幅 \(A(\mathbf{r})\) 为:

\[A(\mathbf{r}) = A_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)} \times f(\mathbf{r}) \times \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k|\mathbf{R}-\mathbf{r}|}}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}|}\]

其中:

\(A\) 为电场 (对于物质波如电子、中子, 则是波函数).
\(f(\mathbf{r})\) 是 \(\mathbf{r}\) 处的物质散射能力密度.

进行近似

\[k|\mathbf{R}-\mathbf{r}| \approx \mathbf{k}' \cdot (\mathbf{R} - \mathbf{r}) \approx kR - \mathbf{k}' \cdot \mathbf{r}\]

散射波幅近似为

\[A(\mathbf{r}) \sim A_0 \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kR - \omega t)}}{R} \times f(\mathbf{r}) \times \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\]

其中散射波矢 \(\mathbf{q}=\mathbf{k}'-\mathbf{k}\), 物理转移动量为 \(\hbar\mathbf{q}\).

进入探测器的光子数正比于探测器处的场强平方. 对整个样品积分后, 微分散射截面为:

\[\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\hat{k}'} \sim \left| \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,f(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} \right|^2\]

对于晶体, 电子密度主要集中在原子核附近. 忽略原子核的运动, \(f(\mathbf{r})\) 可以写为原子贡献的叠加. 令 \(f_a(\mathbf{r})\) 为原子 \(a\) 的实空间散射密度, \(a\) 是原胞基元中原子指标; 其 Fourier 变换 \(f_a(\mathbf{q})\) 才称为原子形状因子(atomic form factor):

\[f(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{R}, a} f_a(\mathbf{r} - \mathbf{R} - \mathbf{d}_a)\]

先考虑含 \(N\) 个原胞的有限理想晶体, 令 \(S_N(\mathbf{q})=\sum_{\mathbf{R}\in\text{sample}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\). 引入 Fourier transform

\[\begin{aligned} f(\mathbf{q}) &= \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\left[\sum_{\mathbf{R},a}f_a(\mathbf{r}-\mathbf{R}-\mathbf{d}_a)\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\\ &= \sum_{\mathbf{R}}\sum_a\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,f_a(\mathbf{r}-\mathbf{R}-\mathbf{d}_a)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\\ &=\sum_{\mathbf{R}}\sum_a\left[\int\mathrm{d}\mathbf{r}^{\prime}\,f_a(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{d}_a} &&\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}-\mathbf{R}-\mathbf{d}_a\\ &=\left(\sum_{\mathbf{R}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\right)\cdot\left(\sum_af_a(\mathbf{q})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{d}_a}\right)\\ &=S_N(\mathbf{q})F(\mathbf{q}) \end{aligned}\]

其中结构因子定义为

\[F(\mathbf{q})=\sum_af_a(\mathbf{q})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{d}_a}\]

在倒格点处 \(S_N(\mathbf{G})=N\). 无限晶格极限则按分布理解 Poisson 求和式

\[\sum_{\mathbf{R}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} =\frac{(2\pi)^3}{\mathcal{V}_c}\sum_{\mathbf{G}}\delta^3(\mathbf{q}-\mathbf{G})\]

连续散射波矢的 Dirac comb 不能与有限样品的 Kronecker delta 混用, 也不直接对该分布取平方; 衍射强度应从有限样品或峰的积分极限得到.

衍射条件: 无限理想晶体的峰集中在 \(\mathbf{q}=\mathbf{G}\) 处; 有限样品的峰有宽度, 由 \(S_N\) 决定.
衍射强度: 在本节运动学近似下, 除公共散射及几何因子外 \[I(\mathbf{q}) \propto |S_N(\mathbf{q})|^2|F(\mathbf{q})|^2,\qquad F(\mathbf{q}) = \sum_{a} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{d}_a} f_a(\mathbf{q})\]
物理意义: 由于弹性散射中 X 射线主要和电子相互作用, 所以 \(f(\mathbf{r})\) 正比于电子的电荷密度. 这里 \(a\) 遍历基元中的原子, \(f_a(\mathbf{r})\) 正比于原子 \(a\) 的电子密度.

特定几何结构因子因对称性因素为零, 从而导致的衍射信号缺失称为系统性消光 (systematic extinction).

点阵消光: 用惯用晶胞标记反射时, 体心、面心等加心平移引起的结构因子为零.
结构消光: 源于滑移面、螺旋轴等微观结构对称性.

下面的 \(F_{\mathrm{FCC}}\) 仅表示无量纲的 FCC 加心和 \(1+(-1)^{h+k}+(-1)^{h+l}+(-1)^{k+l}\); 原子形状因子单独写出. \(f\) 在相同原子的例子中表示共同的 \(f(\mathbf{G})\). 除特别说明外, 以下取形状因子为实数, 忽略吸收边附近的复异常散射修正.⁴

Example
- BCC Bravais lattice
  - 散射矢量: \(\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}[h, k, l]^{\mathsf{T}}\).
  - 基元:
    \[\mathbf{x}_1 = [0,0,0]^{\mathsf{T}},\mathbf{x}_2 = [1/2, 1/2, 1/2]^{\mathsf{T}}\]
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(\mathbf{G}) &= f + f \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi(h+k+l)} = f[1 + (-1)^{h+k+l}]\\ &= \begin{cases} 0, & h+k+l\text{ 奇} \\ 2f, & h+k+l\text{ 偶} \end{cases} \end{aligned}\]
    前者发生时出现消光.
- FCC Bravais lattice
  - 散射矢量: \(\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}[h, k, l]^{\mathsf{T}}\).
  - 基元:
    \[\mathbf{x}_1 = [0,0,0]^{\mathsf{T}}, \mathbf{x}_2 = [1/2, 1/2, 0]^{\mathsf{T}}, \mathbf{x}_3 = [1/2, 0, 1/2]^{\mathsf{T}}, \mathbf{x}_4 = [0, 1/2, 1/2]^{\mathsf{T}}\]
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(\mathbf{G}) &= f \left[ 1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi(h+k)} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi(h+l)} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi(k+l)} \right] \\ &= f \left[ 1 + (-1)^{h+k} + (-1)^{h+l} + (-1)^{k+l} \right] \\ &= \begin{cases} 4f, & h,k,l\text{ 全偶或全奇}\\ 0, & h,k,l\text{ 奇偶混杂} \end{cases} \end{aligned}\]
    当指数 \(h, k, l\) 奇偶混杂(如 100, 110)时发生消光.
- HCP Structure (Hexagonal lattice with basis)
  - 倒格矢: \(\mathbf{G} = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3\).
  - 基元:
    \[\mathbf{x}_1 = [0,0,0]^{\mathsf{T}}, \mathbf{x}_2 = [2/3, 1/3, 1/2]^{\mathsf{T}}\]
    第二组落在第一组的三角形中心处. 按 a1, a2, c 轴展开.
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(hkl) &= f \left[ 1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi(\frac{2}{3}h + \frac{1}{3}k + \frac{1}{2}l)} \right] \\ |F|^2 &= |f|^2 \left[ 2 + 2\cos\left[ 2\pi \left(\frac{2h+k}{3} + \frac{l}{2}\right) \right] \right] \end{aligned}\]
    结构消光(对于 \(00l\) 反射): 当 \(h=k=0\) 时, \(F(00l) = f[1 + (-1)^l]\).
    \[F(00l) = \begin{cases} 0, & l\text{ 奇}\\ 2f, & l\text{ 偶} \end{cases}\]
    起源于沿 \(c\) 轴方向的 \(6_3\) 螺旋轴对称性.
- \(\mathrm{NaCl}\) Structure (Two interpenetrating FCC)
  - 散射矢量: \(\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}[h, k, l]^{\mathsf{T}}\).
  - 基元:
    \[\mathrm{Na}^+ \text{ 位于 } [0,0,0]^{\mathsf{T}}, \mathrm{Cl}^- \text{ 位于 } [1/2, 0, 0]^{\mathsf{T}}\]
    均带有 FCC 对称性.
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(\mathbf{G}) &= F_{\mathrm{FCC}}\cdot [f_{\mathrm{Na}}+f_{\mathrm{Cl}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi h}]\\ &= \begin{cases} 4(f_{\mathrm{Na}}+f_{\mathrm{Cl}}), & h,k,l\text{ 全偶}\\ 4(f_{\mathrm{Na}}-f_{\mathrm{Cl}}), & h,k,l\text{ 全奇}\\ 0, & h,k,l\text{ 奇偶混杂} \end{cases} \end{aligned}\]
  注意: 全奇反射(如 111)的强度与 \(16|f_{\mathrm{Na}}-f_{\mathrm{Cl}}|^2\) 成正比; 它不因 FCC 对称性必然消光, 但若两个形状因子相等仍会抵消.
- \(\mathrm{CsCl}\) Structure (Simple Cubic with basis)
  - 散射矢量: \(\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}[h, k, l]^{\mathsf{T}}\).
  - 基元:
    \[\mathrm{Cs}^+ \text{ 位于 } [0,0,0]^{\mathsf{T}}, \mathrm{Cl}^- \text{ 位于 } [1/2, 1/2, 1/2]^{\mathsf{T}}\]
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(\mathbf{G}) &= f_{\mathrm{Cs}} + f_{\mathrm{Cl}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi(h+k+l)} \\ &= f_{\mathrm{Cs}} + f_{\mathrm{Cl}} (-1)^{h+k+l} \\ &= \begin{cases} f_{\mathrm{Cs}} + f_{\mathrm{Cl}}, & h+k+l\text{ 偶}\\ f_{\mathrm{Cs}} - f_{\mathrm{Cl}}, & h+k+l\text{ 奇} \end{cases} \end{aligned}\]
- Diamond Structure (FCC with basis)
  - 散射矢量: \(\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}[h, k, l]^{\mathsf{T}}\).
  - 基元 (相对于 FCC 顶点):
    \[\mathbf{d}_1 = a[0,0,0]^{\mathsf{T}}, \mathbf{d}_2 = a[1/4, 1/4, 1/4]^{\mathsf{T}}\]
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(\mathbf{G}) &= F_{\mathrm{FCC}} \times S_{\mathrm{basis}} \\ &= fF_{\mathrm{FCC}} \cdot [1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}(h+k+l)}] \\ &= \begin{cases} 8f, & h,k,l\text{ 全偶},\ h+k+l = 4n\\ 4f(1 \pm \mathrm{i}), & h,k,l\text{ 全奇}\\ 0, & h,k,l\text{ 全偶},\ h+k+l = 4n+2\\ 0, & h,k,l\text{ 奇偶混杂} \end{cases} \end{aligned}\]
    特殊消光: 即便满足 FCC 的全偶条件, 若 \(h+k+l = 4n+2\)(如 222 反射), 也会因基元干涉而消光.
- \(\mathrm{ZnS}\) (Zinc Blende) Structure (FCC with basis)
  - 散射矢量: \(\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}[h, k, l]^{\mathsf{T}}\).
  - 基元:
    \[\mathrm{Zn} \text{ 位于 } [0,0,0]^{\mathsf{T}}, \mathrm{S} \text{ 位于 } [1/4, 1/4, 1/4]^{\mathsf{T}}\]
    均带有 FCC 对称性.
  - 结构因子:
    \[\begin{aligned} F(\mathbf{G}) &= F_{\mathrm{FCC}} \cdot [f_{\mathrm{Zn}} + f_{\mathrm{S}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}(h+k+l)}] \\ &= F_{\mathrm{FCC}} \cdot [f_{\mathrm{Zn}} + f_{\mathrm{S}} (-\mathrm{i})^{h+k+l}] \end{aligned}\]
    消光规律 (需先满足 FCC 条件: \(h,k,l\) 全奇或全偶):
    1. 若奇偶混杂: \(F = 0\) (点阵消光).
    2. 若全奇数: 在忽略反常色散、原子形状因子为实数时, \(|F|^2 = 16(f_{\mathrm{Zn}}^2 + f_{\mathrm{S}}^2)\) (几何相位差为 \(\pm90^\circ\)); 一般复形状因子应直接计算 \(16|f_{\mathrm{Zn}}+(-\mathrm{i})^{h+k+l}f_{\mathrm{S}}|^2\), 交叉项不一定消失.
    3. 若全偶数且 \(h+k+l = 4n\): \(F = 4(f_{\mathrm{Zn}} + f_{\mathrm{S}})\).
    4. 若全偶数且 \(h+k+l = 4n+2\): \(F = 4(f_{\mathrm{Zn}} - f_{\mathrm{S}})\).
    物理意义: 在理想的相同球对称原子形状因子模型中, 金刚石的 222 反射消光; ZnS 的同一反射不受此消光约束, 强度取决于 \(16|f_{\mathrm{Zn}}-f_{\mathrm{S}}|^2\), 不能仅由几何断言一定微弱. 实际金刚石的成键电荷密度偏离独立球形原子模型, 也可能产生弱的禁戒反射.⁵

Remark 粉末衍射(powder diffraction) 对粉末衍射给出的散射角 \(2\theta\), 先取 Bragg 角 \(\theta\). 将衍射级数并入反射指标后, 对立方晶系由 Bragg 条件得到

\[\sin^2\theta = \frac{\lambda^2}{4d^2_{hkl}}, \qquad d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{N}}\]

\[\sin^2\theta\propto N\]

这里 \(N=h^2+k^2+l^2\). 对非立方晶系应改用倒空间度规计算 \(d_{hkl}\), 不能仍用同一个立方公式. 哪些反射出现须同时核对 Bravais 加心条件、空间群的螺旋/滑移消光以及基元结构因子; 基元原子种类互不相同也不能保证结构因子处处非零.

References

B. Souvignier, Symmorphic and non-symmorphic space groups, International Tables for Crystallography A, Section 1.3.3.3. ↩︎
IUCr, Symbols for symmetry elements and symmetry operations, Section 1, Table 3; Introduction for nonspecialists, Section 3, Figure 11 附近的滑移面定义. ↩︎
IUCr, Crystal system 与 Metric specialization: 晶系、格子体系与偶然度规相等的区分. ↩︎
IUCr, Structure factor, 定义与推导. 此处 Fourier 相位取负号, 与该来源的正号约定互为复共轭, 不改变强度. ↩︎
J. Beyer 等, Electron density and thermal motion of diamond at elevated temperatures, Section 3 和 Figure 2: 实际金刚石中的弱 222 反射与成键电荷密度. ↩︎

Solid-State Physics - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

3 Lattice Dynamics

3.1 Crystal Potential Energy

3.1.1 Adiabatic Approximation

固体物理关心的物质主要由原子核与电子构成. 暂不考虑 SOC (spin-orbit coupling) 及外电磁场, 认为总 Hamiltonian 有如下结构

\[H_{\mathrm{total}} = \sum_I \frac{P_I^2}{2M_I} + H_{\mathrm{e}}(x;R) \equiv T(P) + H_{\mathrm{e}}(x;R)\]

其中 \(x=\{ \mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i \}\) 表示电子自由度, \(R=\{ \mathbf{R}_I \}\) 表示原子核坐标. 第一项是所有原子核的动能, 电子 Hamiltonian 依次包含电子动能、电子-电子相互作用、电子-核相互作用以及核-核静电能:

\[H_{\mathrm{e}} = \sum_i \frac{p_i^2}{2m_i} + \frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\frac{k_{\mathrm{e}} e^2}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|} - \sum_{i,I}\frac{k_{\mathrm{e}} Z_I e^2}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{R}_I|} + \frac{1}{2}\sum_{I\neq J}\frac{k_{\mathrm{e}} Z_I Z_J e^2}{|\mathbf{R}_I-\mathbf{R}_J|}, \qquad k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\]

给定原子核位形 \(R\), 电子定态 Schrödinger 方程

\[H_{\mathrm{e}}(x;R)\psi_n(r;R) = E_n(R)\psi_n(r;R)\]

引入 Born ansätze, 把完整体系的波函数展开为

\[\Psi(r,R,t) = \sum_n \psi_n(r;R)\chi_n(R,t)\]

其中 \(\chi_n(R,t)\) 称为原子核波函数. 代入含时 Schrödinger 方程后, 得到

\[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \chi_n}{\partial t} &= \left[T(P)+E_n(R)\right]\chi_n + \sum_l C_{nl}\chi_l\\ C_{nl} &= \sum_I \left[ \frac{1}{2M_I}\langle \psi_n|P_I^2|\psi_l\rangle + \frac{1}{M_I}\langle \psi_n|P_I|\psi_l\rangle \cdot P_I \right] \end{aligned}\]

非绝热耦合算符矩阵 \(C_{nl}\) 描述电子态对原子核动力学的反馈, 包括对角的几何耦合; 在完备电子态基下, 此时理论仍是严格的. 随后可以做两种不同层次的绝热近似:

Born-Huang approximation: 只保留对角项. 以下进一步假定非简并电子态可在所考察的核位形区域取实规范, 使 \(\langle\psi_n|P_I|\psi_n\rangle=0\); 否则对角耦合还含 Berry 矢势, 不能只写成标量势修正. \[C_{nn}(R) \approx \sum_I \frac{1}{2M_I}\langle \psi_n|P_I^2|\psi_n\rangle\] 给出电子态对核动能的量子修正.
Born-Oppenheimer approximation: 完全忽略非绝热耦合, 即取 \[C_{nl}=0\] 此时原子核在单一绝热势能面上运动.

无论采用哪一种近似, 对于每个电子量子数 \(n\), 原子核都感受到一个有效势能面:

\[V(R)=E_n(R)+C_{nn}(R) \qquad \text{or} \qquad V(R)=E_n(R)\]

于是原子核 Hamiltonian 统一写为

\[H(P,R)=T(P)+V(R)\]

在绝热近似下, 晶体势能 \(V(R)\) 可以完全看作原子位置的函数.

原子核运动通常远慢于电子响应. 若电子初始处于与相关激发分离的基态, 且核运动引起的跃迁可忽略, 则近似随核位形绝热演化, 基态晶体势能取 \(E_0(R)\). 这不等同于假设封闭电子体系不断弛豫; 金属、能级交叉附近等情形还需另行判断非绝热效应.

不同势能面的电子跃迁属于非绝热过程. 如果体系中这种效应显著, 绝热近似就会失效, 晶格振动不再被视为单一势能面附近的小振动.

3.1.2 Crystal Potential Expansion

理想晶体结构应理解为原子核的平均位形. 这一平均位形必须是稳定的, 即原子只在其附近作远小于原子间距的小振幅振动, 从而势能可以在平衡位形附近做展开. 这一假设允许通过简谐近似严格求解晶格动力学. 但对于扩散、结构相变等, 小位移近似不再适用.

晶体平衡位置由格矢 \(\mathbf{R}\) 和原胞内原子指标 \(i\) 标记, 第 \(i\) 个原子的平衡位置为 \(\mathbf{R} + \mathbf{d}_i\) 其瞬时位置

\[\mathbf{r}_i(\mathbf{R}) = \mathbf{R} + \mathbf{d}_i + \mathbf{u}_i(\mathbf{R})\]

在小振幅近似下, 势能在平衡位形附近对位移 \(\{u_i\}\) 做 Taylor 展开

\[\begin{aligned} V = V_0 &+ \frac{1}{2!}\sum_{\mathbf{R}_1 i,\mathbf{R}_2 j}\sum_{\alpha\beta} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) u_i^\alpha(\mathbf{R}_1)u_j^\beta(\mathbf{R}_2) \\ &+ \frac{1}{3!}\sum_{\mathbf{R}_1 i,\mathbf{R}_2 j,\mathbf{R}_3 k}\sum_{\alpha\beta\gamma} V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3) u_i^\alpha(\mathbf{R}_1)u_j^\beta(\mathbf{R}_2)u_k^\gamma(\mathbf{R}_3) + \cdots \end{aligned}\]

\(\alpha,\beta\) 为坐标分量. 平衡位置处一阶导数为零以保证净力为零, 二阶与三阶系数分别为

\[\begin{aligned} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) &= \left. \frac{\partial^2 V}{\partial u_i^\alpha(\mathbf{R}_1)\partial u_j^\beta(\mathbf{R}_2)} \right|_0 \\ V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3) &= \left. \frac{\partial^3 V} {\partial u_i^\alpha(\mathbf{R}_1)\partial u_j^\beta(\mathbf{R}_2)\partial u_k^\gamma(\mathbf{R}_3)} \right|_0 \end{aligned}\]

Definition \(V_{ij}^{\alpha\beta}\) 称为力常数张量, 它描述 \((\mathbf{R}_1,i)\) 处原子在 \(\alpha\) 方向的位移如何对 \((\mathbf{R}_2,j)\) 处原子在 \(\beta\) 方向产生恢复力.

半正定: 稳定平衡要求二次型非负; 整体平移必然是零模. 排除平移等对称零模后, 非软化的稳定振动子空间才要求正定
\[\sum_{\mathbf{R}_1 i,\mathbf{R}_2 j}\sum_{\alpha\beta} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) \zeta_i^\alpha(\mathbf{R}_1) \zeta_j^\beta(\mathbf{R}_2) \ge 0, \qquad \forall\, \{ \zeta_i^\alpha(\mathbf{R}) \}\]
交换对称: 势能的解析性要求系数在指标交换下对称, 对力常数
\[V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) = V_{ji}^{\beta\alpha}(\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_1) \implies V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R})=V_{ji}^{\beta\alpha}(-\mathbf{R})\]
声学求和规则: 对任意整体平移 \(\mathbf{u}_i(\mathbf{R}) \to \mathbf{u}_i(\mathbf{R}) + \boldsymbol{\xi}\), 势能必须不变. 在二阶近似下
\[\Delta V = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}_1 i,\mathbf{R}_2 j} \sum_{\alpha\beta} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) \left[ \xi^\alpha u_j^\beta(\mathbf{R}_2) + u_i^\alpha(\mathbf{R}_1)\xi^\beta + \xi^\alpha\xi^\beta \right]\]
由于 \(\Delta V\) 对任意 \(\boldsymbol{\xi}\) 和位移场都必须为零, 分离 \(\xi\) 的线性项后得到
\[\sum_{\mathbf{R}_2,j,\beta}\left[\sum_{\mathbf{R}_1,i,\alpha}V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2)\xi^\alpha\right]u_j^\beta(\mathbf{R}_2)=0\]
由于任意性, 方括号内的项应该为 0. 又由平移矢量的任意性得到声学求和规则
\[\sum_{\mathbf{R}_1,i} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) = 0, \qquad \forall\, \mathbf{R}_2,j,\alpha,\beta\]
类似地, 三阶系数满足扩展求和规则
\[\sum_{\mathbf{R}_1,i} V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3) = 0, \qquad \forall\, \mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3,j,k,\alpha,\beta,\gamma\]
保证刚性平动不改变势能值, 在简谐近似下对应 \(\mathbf{q}=0\) 处的零频声学模.
除平移不变性外, 晶体势能还应满足连续旋转对称性. 对无穷小整体转动
\[\mathbf{u}_i(\mathbf{R}) \to \mathbf{u}_i(\mathbf{R}) + \boldsymbol{\theta}\times(\mathbf{R}+\mathbf{d}_i)\]
势能不变要求力常数满足
\[\sum_{\mathbf{R}_2,j} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) \bigl(R_2^\gamma + d_j^\gamma\bigr) = (\beta \leftrightarrow \gamma)\]
三阶条件还涉及二阶力常数. 记 \(r_k^\eta=R_3^\eta+d_k^\eta\), 并省略右侧二阶系数的 \((\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2)\) 参量, 则
\[\begin{aligned} &\sum_{\mathbf{R}_3,k}V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3)r_k^\eta + V_{ij}^{\gamma\beta}\delta^{\alpha\eta} + V_{ij}^{\alpha\gamma}\delta^{\beta\eta} \\ ={}&\sum_{\mathbf{R}_3,k}V_{ijk}^{\alpha\beta\eta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3)r_k^\gamma + V_{ij}^{\eta\beta}\delta^{\alpha\gamma} + V_{ij}^{\alpha\eta}\delta^{\beta\gamma} \end{aligned}\]
它来自对旋转不变性继续求导, 不能把二阶求和规则直接照搬为纯三阶对称式.¹

保证原子间耦合产生的总力矩必须彼此抵消, 从而整体转动不引起恢复力.
晶格周期性: 为确保晶体能量在晶格格矢离散平移下保持不变, 也就是说各阶展开系数需要有晶格周期性. 由此可得周期性条件
\[V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2) = V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2,0) \equiv V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2)\]
对于三阶及更高阶展开系数, 晶格周期性同样存在. 例如三阶系数满足
\[V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma}(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\mathbf{R}_3) = V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma} \bigl( \mathbf{R}_1-\mathbf{R}_3, \mathbf{R}_2-\mathbf{R}_3, 0 \bigr) \equiv V_{ijk}^{\alpha\beta\gamma} \bigl( \mathbf{R}_1-\mathbf{R}_3, \mathbf{R}_2-\mathbf{R}_3 \bigr)\]

离散平移对称性允许对势能做 Fourier 变换, 使实空间耦合问题转化成倒空间动力学矩阵问题.

3.1.3 Harmonic Approximation

保留势能展开的二阶项, 得到简谐近似:

\[V_{\mathrm{harm}} = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R} i \alpha,\mathbf{R}' j \beta} u_i^\alpha(\mathbf{R}) V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}-\mathbf{R}') u_j^\beta(\mathbf{R}')\]

对应的拉格朗日量为

\[L = \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{R} i \alpha} M_i \dot{u}_i^\alpha(\mathbf{R})^2 - V_{\mathrm{harm}}\]

由 Euler-Lagrange 方程得到运动方程

\[M_i \ddot{u}_i^\alpha(\mathbf{R}) = - \sum_{\mathbf{R}' j \beta} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}-\mathbf{R}') u_j^\beta(\mathbf{R}')\]

简谐近似下, 晶体振动问题是严格可解的线性问题; 非谐项则会带来模间耦合、热膨胀与有限热导率等效应.

3.2 Classical Theory of Harmonic Crystals

3.2.1 One-Dimensional Monatomic Chain

考虑包含 \(N\) 个原子的有限链, 最后再取热力学极限 \(N\to\infty\). 考虑一维单原子链. 设每个原子质量为 \(M\), 晶格常数为 \(a\), 最近邻弹簧常数为 \(K\), 位移记为 \(u(x_j,t)\), 其中 \(x_j=ja\). 势能为

\[V = \sum_j \frac{K}{2}\bigl[u(x_j+a)-u(x_j)\bigr]^2\]

于是运动方程为

\[M \ddot{u}(x_j) = K\bigl[u(x_j+a)-2u(x_j)+u(x_j-a)\bigr]\]

该离散运动方程并不显含晶格常数 \(a\). 这种形式已经暗示体系的本征模会呈现波动特征, 而这一点将在下面通过行波解得到严格确认.

求解运动方程需要边界条件. 由于宏观材料的体性质通常不敏感于表面, 最常用的选择是 BvK(Born-von Karman) 周期边界条件

\[u(x+Na) = u(x)\]

把有限链首尾相接, 消除了表面效应, 并允许行波解在链上传播. 代入平面波试探解

\[u_q(x_j,t) = A_q \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(qx_j-\omega_q t)}\]

得到

\[-M\omega_q^2u(x_j)=-2K[1-\cos(qa)]u(x_j)\]

进而得到色散关系以及波矢量子化

\[\omega_q = 2\sqrt{\frac{K}{M}} \left| \sin \frac{aq}{2} \right|,\qquad q = \frac{2\pi n}{Na}, \quad n\in\mathbb{Z}\]

单原子链色散关系示意, 蓝色区域为第一 BZ.

尽管 \(q\) 与 \(q+2\pi/a\) 对应的复函数形式不同, 但它们在所有格点位置给出的位移完全相同, 因而实际上描述同一个物理模式, 只需讨论第一 BZ, 如取 \(q\in[-\pi/a,\pi/a)\), 以免把等价的两个边界点重复计数.
长波极限 \(q\to 0\) 时,
\[\omega_q \approx c|q|, \qquad c = a\sqrt{\frac{K}{M}}\]
对应连续介质中的声波. 此时离散差分
\[u(x+a)-2u(x)+u(x-a)\]
可近似为 \(a^2\partial_x^2 u\), 从而运动方程退化为经典波动方程
\[\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u.\]
\(q=0\) 时 \(\omega=0\), 表示整体平移; 因此该分支是声学支.
\(q=\pm\pi/a\) , 即在 Brillouin 区边界时, 相邻原子反相振动, 模式退化为驻波
\[u_q(x,t)\propto (-1)^{x/a}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_q t}\]
对于单一模的情况, 复数解本身并不是直接可观测的位移, 实际位移应取其实部:
\[\mathrm{Re}\,u_q(x,t) = |A_q|\cos(qx-\omega_q t+\phi_q)\]
其中 \(\phi_q\) 由初始条件决定. 这说明单原子链中的简正模是沿链传播的行波. 相应地, 相速度与群速度分别为
\[v_p = \frac{\omega_q}{q}, \qquad v_g = \frac{\mathrm{d}\omega_q}{\mathrm{d}q}\]
前者描述波峰传播速度, 后者描述能量传播速度.

满足运动方程的一般位移写为简正模叠加:

\[\begin{aligned} u(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{q\in \mathrm{BZ}} Q_q(t) \hat{e}_q(x) \\ Q_q(t) &= \sqrt{NM}\left[A_q\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_qt}+A_{-q}^*\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_qt}\right] \quad \hat{e}_q(x)= \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}qx}}{\sqrt{N}} \end{aligned}\]

这里 \(A_q\) 是一般实解的频率分量系数; 若从上面的单个复行波取实部构造解, 对应系数应取该行波复振幅的一半. 由于位移是实量, 应有 \(Q_{-q}=Q_q^*\). 振动基矢是正交归一的(下述为 Kronecker delta)

\[\sum_x \hat{e}_q(x)^* \hat{e}_{q'}(x) = \delta_{qq'}, \qquad \sum_{q\in \mathrm{BZ}} \hat{e}_q(x)\hat{e}_q(x')^* = \delta_{xx'}\]

这表明复杂的多体运动能够分解为一组彼此独立的简正模. 相应 Hamiltonian 可化成独立谐振子之和

\[H = \sum_q \left[ \frac{1}{2} |\dot{Q}_q|^2 + \frac{1}{2}\omega_q^2 |Q_q|^2 \right]\]

3.2.2 Harmonic Lattice Dynamics

将单原子链的简正模方法推广到一般晶体: 先用 Fourier 变换按波矢分块, 再对每一块的原胞内部自由度作本征分解.

在 \(d\) 维晶体中, 若沿每个原始格矢方向分别重复 \(L_h\) 个原胞并施加 BvK 周期边界条件, 则允许的晶体动量取为
\[\mathbf{q} = \sum_{h=1}^d \frac{l_h}{L_h}\mathbf{b}_h, \qquad l_h = 0,1,\cdots,L_h-1\]
因此倒空间中的独立 \(\mathbf{q}\) 点数与实空间原胞数 \(N_c=L_1\cdots L_d\) 完全相同.

与前面一维链的讨论一样, 后续对 \(\mathbf{q}\) 的求和都默认只在第一 Brillouin 区内进行. 为处理一般三维晶体, 对位移做质量加权 Fourier 变换(引入质量因子 \(\sqrt{M_i}\) 使动力学矩阵成为厄米的质量加权形式, 其量纲为频率平方)

\[u_i^\alpha(\mathbf{q}) = \sum_{\mathbf{R}} \sqrt{M_i}u_i^\alpha(\mathbf{R}) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}}{\sqrt{N_c}} \Longleftrightarrow u_i^\alpha(\mathbf{R}) = \sum_{\mathbf{q}} \frac{u_i^\alpha(\mathbf{q})}{\sqrt{M_i}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}}{\sqrt{N_c}}\]

Remark 由于实空间位移 \(u_i^\alpha(\mathbf{R})\) 是实数, 其 Fourier 分量满足 \(u_i^\alpha(\mathbf{q})^* = u_i^\alpha(-\mathbf{q})\).

把上述变换代入简谐势能

\[\begin{aligned} V_{\mathrm{harm}} =& \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}_1 i\alpha,\mathbf{R}_2 j\beta} u_i^\alpha(\mathbf{R}_1) V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2) u_j^\beta(\mathbf{R}_2)\\ =& \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}_1 i,\mathbf{R}_2 j}\sum_{\alpha\beta} u_i^\alpha(\mathbf{R}_1)u_j^\beta(\mathbf{R}_2) \frac{\sqrt{M_iM_j}}{N_c} \sum_{\mathbf{q}} D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2)} \\ =& \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{q}} \sum_{ij,\alpha\beta} u_i^\alpha(\mathbf{q})^* D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q}) u_j^\beta(\mathbf{q}) \end{aligned}\]

其中第二步引入了动力学矩阵, 其定义为力常数的(质量加权) Fourier 变换

\[D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q}) = \frac{1}{\sqrt{M_i M_j}} \sum_{\mathbf{R}} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} \Longleftrightarrow V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}) = \frac{\sqrt{M_iM_j}}{N_c} \sum_{\mathbf{q}} D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\]

由此, 不同 \(\mathbf{q}\) 的位移分量之间完全解耦. 实空间相互关联的简谐势能形式在倒空间分解成一系列彼此独立的 \(\mathbf{q}\)-块; 每个 \(\mathbf{q}\)-块只在原胞内部的自由度之间耦合, 而不会再和其他 \(\mathbf{q}'\neq\mathbf{q}\) 混合.

对应地, 运动方程在倒空间中变为
\[-\omega^2 u_i^\alpha(\mathbf{q}) = -\sum_{j,\beta} D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q}) u_j^\beta(\mathbf{q}),\]
若把原子指标 \(i\) 和空间分量 \(\alpha\) 合并成复合指标 \((i\alpha)\), 那么 \(D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q})\) 就可以视为一个 \(dN_a \times dN_a\) 的矩阵.

例如, 对三维双原子原胞, \(dN_a=6\), 所以每个 \(\mathbf{q}\) 对应一个 \(6\times 6\) 的动力学矩阵.

力常数的交换对称性 \(V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R})=V_{ji}^{\beta\alpha}(-\mathbf{R})\) 和实值性可以分别导出动力学矩阵的厄米性和转置对称性

\[D_{ij}^{\beta\alpha}(\mathbf{q})^*=D_{ji}^{\alpha\beta}(\mathbf{q})=D_{ij}^{\beta\alpha}(-\mathbf{q}) \implies D(\mathbf{q})^\dagger = D(\mathbf{q}) = D(-\mathbf{q})^T\]

厄米性使 \(D(\mathbf{q})\) 的本征值 \(\omega^2\) 为实数; 只有稳定性所要求的半正定性才保证 \(\omega^2\ge0\). 负本征值仍会给出虚频, 表示结构不稳定. 转置对称性反映了系统在时间反演下的不变性, 波矢的反向等同于动力学矩阵复共轭.

对厄米的动力学矩阵, 可以进行本征分解. 设

\[\sum_{j,\beta} D_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{q}) \hat{\epsilon}_j^\beta(\mathbf{q}s) = \omega_{\mathbf{q}s}^2 \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s) \implies D(\mathbf{q})=\sum_{s=1}^{dN_a}\omega_{\mathbf{q}s}^2\hat{\epsilon}(\mathbf{q}s)\hat{\epsilon}(\mathbf{q}s)^\dagger\]

则 \(\omega_{\mathbf{q}s}\) 给出色散关系, \(\hat{\epsilon}(\mathbf{q}s)\) 给出极化矢量.

对每个 \(\mathbf{q}\), 原胞含 \(N_a\) 个原子的 \(d\) 维晶体共有 \(dN_a\) 个本征模(对应 \(dN_a\) 个自由度). 平移对称性至少保证 \(d\) 个 \(\mathbf{q}=0\) 零模. 对没有额外软模、内部自由度稳定的晶体, 它们构成 \(d\) 条声学支, 其余 \(dN_a-d\) 条为光学支.
从矩阵语言看, \(\hat{\epsilon}(\mathbf{q}s)\) 就是 \(D(\mathbf{q})\) 的本征列矢量. 它的每一个分量 \(\hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)\) 指定了固定模式 \((\mathbf{q},s)\) 中, 原胞内第 \(i\) 个原子沿 \(\alpha\) 方向的相对振幅与相位. 因而本征值问题不仅给出频率 \(\omega_{\mathbf{q}s}\), 也给出整个模式的极化结构.
极化矢量满足正交归一与完备性条件
\[ \sum_{i,\alpha} \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)^* \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s') = \delta_{ss'}, \qquad \sum_s \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s) \hat{\epsilon}_j^\beta(\mathbf{q}s)^* = \delta_{ij}\delta^{\alpha\beta} \]
再利用时间反演关系 \(D(-\mathbf{q})=D(\mathbf{q})^*\), 可以选取允许的规范
\[\hat{\epsilon}(-\mathbf{q}s) = \hat{\epsilon}(\mathbf{q}s)^*\]
非简并模可逐对取这种规范; 简并子空间需相应配对正交基. 在此规范下, 配合 \(Q(-\mathbf{q}s)=Q(\mathbf{q}s)^*\), 实空间位移为实函数.

本征分解的结果代入简谐势能得到

\[\begin{aligned} V_{\mathrm{harm}} &= \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{q},s}\omega_{\mathbf{q}s}^2Q(-\mathbf{q}s)Q(\mathbf{q}s) \\ Q(\mathbf{q}s) &= \sum_{i,\alpha} \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)^* u_i^\alpha(\mathbf{q}) = \frac{1}{\sqrt{N_c}} \sum_{\mathbf{R},i,\alpha} \sqrt{M_i}\, \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)^* u_i^\alpha(\mathbf{R}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} \end{aligned}\]

反演得到位移的简正坐标分解

\[u_i^\alpha(\mathbf{q}) = \sum_{s} \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s) Q(\mathbf{q}s) ,\qquad u_i^\alpha(\mathbf{R}) = \frac{1}{\sqrt{N_c M_i}} \sum_{\mathbf{q},s} Q(\mathbf{q}s) \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\]

Lagrangian 对角化为

\[L = \sum_{\mathbf{q},s} \left[ \frac{1}{2}\dot{Q}(-\mathbf{q}s)\dot{Q}(\mathbf{q}s) - \frac{1}{2}\omega_{\mathbf{q}s}^2 Q(-\mathbf{q}s)Q(\mathbf{q}s) \right]\]

所有交叉项都因极化矢量的正交关系而消失. 因此每个 \((\mathbf{q},s)\) 模都等价于一个独立谐振子, 每个简正坐标都满足独立谐振子方程

\[\ddot{Q}(\mathbf{q}s) + \omega_{\mathbf{q}s}^2 Q(\mathbf{q}s) = 0\]

其通解可写为

\[Q(\mathbf{q}s,t) = A(\mathbf{q}s)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathbf{q}s}t} + A(-\mathbf{q}s)^*\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathbf{q}s}t}\]

再反变换回实空间, 得到一般经典波动解

\[u_i^\alpha(\mathbf{R},t) = \frac{1}{\sqrt{N_c M_i}} \sum_{\mathbf{q},s} \left[ A(\mathbf{q}s)\hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}+\omega_{\mathbf{q}s}t)} + \mathrm{c.c.} \right]\]

简正坐标量子化后, 每个非零频独立模式成为能级间隔为 \(\hbar\omega\) 的谐振子, 其激发量子称为声子.

平移零模与极化分类 在 \(d\) 维晶体中, 声学求和规则意味着

\[\sum_i \sqrt{M_i}\, D_{ij}^{\alpha\beta}(0) = \sum_j \sqrt{M_j}\, D_{ij}^{\alpha\beta}(0) = 0\]

与 \(\mathbf{q}=0\) 的本征值问题对比

\[\sum_{j,\beta} \sqrt{M_j}\, D_{ij}^{\alpha\beta}(0) \frac{\hat{\epsilon}_j^\beta(0,s)}{\sqrt{M_j}} = \omega(0,s)^2 \hat{\epsilon}_i^\alpha(0,s)\]

对任意空间方向单位矢量 \(\mathbf{e}_s\), 取

\[\hat{\epsilon}_j^\beta(0,s) =\frac{\sqrt{M_j}\,e_s^\beta}{\sqrt{\sum_l M_l}}, \qquad u_j^\beta(\mathbf{R}) =Q\,\frac{e_s^\beta}{\sqrt{\sum_l M_l}}\]

即所有原子作同一位移, 质量加权求和规则才直接给出零频. 取 \(d\) 个独立方向, 就得到 \(d\) 个平移零模; 任意光学极化矢量并不满足这一结论.

这说明, 声学支在 \(q\to 0\) 时趋于零频是平移对称性的直接后果. 此时声学支对应于整个原胞作为整体的平移运动, 是晶体平移对称性自发破缺所伴随的 Goldstone 模.

这些长波声学模在低温下主导晶体的比热与弹性响应, 为 Debye 模型提供了微观基础.

在三维中, 极化矢量还可以相对于波矢方向进一步区分为纵向与横向模式. 沿高对称方向时, 常见分类为

LA(longitudinal acoustic): 纵声学模
TA(transverse acoustic): 横声学模
LO(longitudinal optical): 纵光学模
TO(transverse optical): 横光学模

实际晶体常具有各向异性, 因此严格的纵/横划分往往只在高对称方向上最清楚, 但这一分类在分析光-声子耦合、中子散射和热输运时仍然非常重要.

3.2.3 One-Dimensional Diatomic Chain

一维双原子链及其色散关系.

考虑每个原胞含质量分别为 \(M\) 与 \(m\) 的两个原子的一维双原子链, 最近邻弹簧常数为 \(K\), 原胞长度为 \(a\), 取 \(M\gt m\). 对应的动力学矩阵是 \(2\times 2\) 矩阵

\[D(q)=\left[ \frac{1}{\sqrt{M_i M_j}} \sum_{\mathbf{R}} V_{ij}(\mathbf{R}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} \right] = \begin{bmatrix} \frac{2K}{M}&-\frac{K}{\sqrt{Mm}}(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}qa})\\ -\frac{K}{\sqrt{Mm}}(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}qa})&\frac{2K}{m} \end{bmatrix}\]

其中用到声学求和规则 \(V_{ii}=-\sum_{j\neq i}V_{ij}\), 位移方向与恢复力方向相反为正(\(F_i=-V_{ij}u_j\)), 注意对 \(\mathbf{R}\) 的求和对整个原胞进行(以便厘清相位). 求本征值得

\[\omega_{q\pm}^2 = K\left(\frac{1}{M}+\frac{1}{m}\right) \pm K\sqrt{ \left(\frac{1}{M}+\frac{1}{m}\right)^2 - \frac{4}{Mm}\sin^2\frac{qa}{2} }\]

这给出两条分支:

低频分支 \(\omega_{q-}\) 为声学支(acoustic branch), 在长波极限 \(q\to 0\) 时频率线性趋于0, 即满足 \(\omega\propto |q|\).
高频分支 \(\omega_{q+}\) 为光学支(optical branch), 在 \(q=0\) 时有有限频率.
在 \(\mathbf{q}=0\) 处, 两种本征运动的物理图像:
- 声学模中两种原子同向运动, 对应原胞整体平移.
- 光学模中两种原子反向运动, 原胞质心不动; 只有该相对位移具有非零有效电荷时才产生电偶极振荡.
更具体地, 在 \(q=0\) 处两支模式的极化矢量可取为
\[\hat{\epsilon}(0,\mathrm{A}) = \frac{1}{\sqrt{M+m}} \begin{bmatrix} \sqrt{M}\\ \sqrt{m} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\epsilon}(0,\mathrm{O}) = \frac{1}{\sqrt{M+m}} \begin{bmatrix} \sqrt{m}\\ -\sqrt{M} \end{bmatrix}.\]
在 Brillouin 区边界 \(q=\pm \pi/a\) 处, 两支模都退化成驻波. 当 \(M\neq m\) 时, 两支频率分别取为
\[\omega_-(\pm \pi/a) = \sqrt{\frac{2K}{M}}, \qquad \omega_+(\pm \pi/a) = \sqrt{\frac{2K}{m}}\]
因此声学支与光学支之间存在一段没有本征模的频率区间, 它通常称为禁带或带隙, 这是复式晶格声子谱最典型的特征之一.
为了理解长波极限下声学支为什么一定趋于零频, 考察 \(q=0\) 时动力学矩阵的质量加权求和. 由于声学求和规则成立, 对当前双原子链模型
\[\begin{aligned} \sum_i \sqrt{M_i} D_{i1}(0) &= \sqrt{M}\,\frac{2K}{M} - \sqrt{m}\,\frac{2K}{\sqrt{Mm}} = 0 \\ \sum_i \sqrt{M_i} D_{i2}(0) &= -\sqrt{M}\,\frac{2K}{\sqrt{Mm}} + \sqrt{m}\,\frac{2K}{m} = 0 \end{aligned}\]
这说明 \(D(0)\) 必然有零本征值, 对应的本征矢正是全体原子同相平移的模式. 对一般晶体, 整体平移不改变势能, 因而力常数矩阵对被平移原子的求和为零; 质量加权后, 零模分量正比于 \(\sqrt{M_i}\mathbf{e}\), 其中 \(\mathbf{e}\) 为共同平移方向.

3.3 Quantum Theory of Harmonic Crystals

3.3.1 Second Quantization of the One-Dimensional Harmonic Oscillator

在经典力学中, 一维谐振子的运动由 Hamiltonian

\[H = \frac{P^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2 Q^2\]

完全描述. 量子化时, 把经典变量 \(Q\) 与 \(P\) 提升为算符, 并要求它们满足正则对易关系

\[[Q,P] = \mathrm{i}\hbar.\]

这一关系体现了位置与动量在量子层面不能同时精确确定.

为求解量子谐振子的本征态, 最方便的方法是构造阶梯算符. 定义

\[a = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}Q + \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2M\hbar\omega}}P, \qquad a^\dagger = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}Q - \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2M\hbar\omega}}P\]

对易关系
\[[a,a^\dagger] = 1\]
代回 Hamiltonian
\[H = \hbar\omega\left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)\]
还可以定义 Bose 型激发的数算符 \(N = a^\dagger a\), 使得 \(H = \hbar\omega\left(N + 1/2\right)\). \(\hbar\omega/2\) 是零点能. Remark 零点能的存在纯粹来源于算符的非对易性, 是量子效应而不是经典效应. 同时, 能级间隔始终等于 \(\hbar\omega\), 这保证了量子谐振子具有等间距谱结构. 当 \(n\) 很大时, 相邻能级相对稠密, 体系又逐渐回到经典连续极限.
反过来表示
\[Q = \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}}(a+a^\dagger), \qquad P = -\mathrm{i}\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}}(a-a^\dagger)\]

3.3.2 Second Quantization of Crystal Vibrations and Phonons

对晶格振动做正则量子化时, 把位移和动量提升为算符:

\[[\hat{u}_i^\alpha(\mathbf{R}),\hat{p}_j^\beta(\mathbf{R}')] = \mathrm{i}\hbar\,\delta_{ij}\delta^{\alpha\beta}\delta_{\mathbf{R}\mathbf{R}'}\]

其中正则动量由简正坐标形式的拉格朗日量直接导出, 并可利用简正坐标分解展开

\[\hat{p}_i^\alpha(\mathbf{R}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{u}_i^\alpha(\mathbf{R})} = M_i \dot{\hat{u}}_i^\alpha(\mathbf{R}) = \sqrt{\frac{M_i}{N_c}}\sum_{\mathbf{q}s}\hat{P}(-\mathbf{q}s)\hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\]

其中广义动量则定义为

\[\hat{P}(\mathbf{q}s) = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}(\mathbf{q}s)} = \dot{\hat{Q}}(-\mathbf{q}s) = \frac{1}{\sqrt{N_c}}\sum_{\mathbf{R}i\alpha}\frac{1}{\sqrt{M_i}}\hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)\hat{p}_i^\alpha(\mathbf{R})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}\]

相应的简正坐标与共轭动量满足

\[[\hat{Q}(\mathbf{q}s),\hat{P}(\mathbf{q}'s')] = \mathrm{i}\hbar\,\delta_{\mathbf{q}\mathbf{q}'}\delta_{ss'}, \qquad [\hat{Q}(\mathbf{q}s),\hat{Q}(\mathbf{q}'s')] = [\hat{P}(\mathbf{q}s),\hat{P}(\mathbf{q}'s')] = 0\]

量子 Hamiltonian 由 Legendre 变换得到:

\[\begin{aligned} \hat{H} =& \sum_{\mathbf{R},i,\alpha} \dot{\hat{u}}_i^\alpha(\mathbf{R})\hat{p}_i^\alpha(\mathbf{R}) - L \\ =& \sum_{\mathbf{R},i,\alpha} \frac{\hat{p}_i^\alpha(\mathbf{R})^2}{2M_i} + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}_1,i,\mathbf{R}_2,j} \sum_{\alpha,\beta} V_{ij}^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2) \hat{u}_i^\alpha(\mathbf{R}_1)\hat{u}_j^\beta(\mathbf{R}_2) \\ =& \sum_{\mathbf{q},s} \left[ \frac{1}{2}\hat{P}(-\mathbf{q}s)\hat{P}(\mathbf{q}s) + \frac{1}{2}\omega_{\mathbf{q}s}^2 \hat{Q}(-\mathbf{q}s)\hat{Q}(\mathbf{q}s) \right] \end{aligned}\]

简谐晶体在量子化之后仍然分解为一组彼此独立的模, 只是每个模都从经典谐振子提升成了量子谐振子. 定义声子产生与湮灭算符时取 \(\omega_{\mathbf{q}s}\gt0\). 精确的整体平移零模是质心自由运动, 应单独处理(或固定质心), 不能代入含 \(1/\sqrt{\omega}\) 的谐振子公式. 后续声子 Hamiltonian、真空态及热力学求和只计正频振动模, 自由质心项另行保留.

\[\begin{aligned} \hat{a}(\mathbf{q}s) &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega_{\mathbf{q}s}}} \left[ \omega_{\mathbf{q}s}\hat{Q}(\mathbf{q}s) + \mathrm{i}\hat{P}(-\mathbf{q}s) \right]\\ \hat{a}^\dagger(\mathbf{q}s) &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega_{\mathbf{q}s}}} \left[ \omega_{\mathbf{q}s}\hat{Q}(-\mathbf{q}s) - \mathrm{i}\hat{P}(\mathbf{q}s) \right] \end{aligned}\]

Bose 对易关系 \[[\hat{a}(\mathbf{q}s),\hat{a}^\dagger(\mathbf{q}'s')] = \delta_{\mathbf{q}\mathbf{q}'}\delta_{ss'}, \qquad [\hat{a}(\mathbf{q}s),\hat{a}(\mathbf{q}'s')] = [\hat{a}^\dagger(\mathbf{q}s),\hat{a}^\dagger(\mathbf{q}'s')] = 0\]

从而 Hamiltonian 可写为

\[\boxed{ \hat{H} = \sum_{\mathbf{q},s} \hbar\omega_{\mathbf{q}s} \left( \hat{a}^\dagger(\mathbf{q}s)\hat{a}(\mathbf{q}s) + \frac{1}{2} \right) }\]

说明每个振动模都是一个独立量子谐振子, 其激发量子即为声子, 可以视为晶格位移场(格波)的能量量子, 具有能量 \(\hbar\omega_{\mathbf{q}s}\), 满足 Bose 统计.

注意本文的反 Fourier 因子与时间演化分别为:

\[\begin{gathered} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} \\ a(\mathbf{q}s,t)\propto\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \end{gathered}\]

因而这里的模式标签 \(\mathbf{q}\) 对应通常行波 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}-\omega t)}\) 的 \(\mathbf{k}=-\mathbf{q}\), 声子的晶体动量为 \(-\hbar\mathbf{q}\) (模倒格矢).

也可把算符重标为 \(b(\mathbf{k}s)=a(-\mathbf{k}s)\), 此时晶体动量就是 \(\hbar\mathbf{k}\).

Remark 声子不是真空中存在的基本粒子, 而是晶体中原子集体振动的量子化准粒子.

真空态对应没有任何声子激发的状态:
\[|0\rangle = \bigotimes_{\mathbf{q},s} |0_{\mathbf{q}s}\rangle, \qquad \hat{a}(\mathbf{q}s)|0\rangle = 0\]
一个单声子激发态写作
\[|1_{\mathbf{q}s}\rangle = \hat{a}^\dagger(\mathbf{q}s)|0\rangle\]
它相对于真空增加一个模式 \((\mathbf{q},s)\) 的量子, 其能量增量为 \(\hbar\omega_{\mathbf{q}s}\), 按本节模式标签约定, 晶体动量为 \(-\hbar\mathbf{q}\).

位移算符可用声子算符表示为

\[\hat{u}_i^\alpha(\mathbf{R}) = \frac{1}{\sqrt{N_c M_i}} \sum_{\mathbf{q},s} \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_{\mathbf{q}s}}} \left[ \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)\hat{a}(\mathbf{q}s)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} + \hat{\epsilon}_i^\alpha(\mathbf{q}s)^*\hat{a}^\dagger(\mathbf{q}s)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} \right]\]

3.4 Long-Wave Limit and Continuum Elasticity

在长波极限 \(qa \ll 1\) 下, 晶格的离散结构不再显著, 体系可近似为连续介质.

单原子链 用 Taylor 展开

\[u(x\pm a) = u(x) \pm a \partial_x u + \frac{a^2}{2}\partial_x^2 u + \cdots\]

代回离散运动方程得

\[\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u, \qquad c = a\sqrt{\frac{K}{M}}\]

这说明低频声学模就是连续介质中的弹性波.

三维单原子 Bravais 晶体 以下先取每原胞一个原子, 讨论无预应力的声学连续介质. 原胞内没有独立相对位移, 可先利用力常数的交换对称性与声学求和规则, 把简谐势能改写成差分形式

\[V_{\mathrm{harm}} = -\frac{1}{4} \sum_{\mathbf{R},\alpha} \sum_{\mathbf{R}',\beta} \left[ u^\alpha(\mathbf{R}) - u^\alpha(\mathbf{R}') \right] V^{\alpha\beta}(\mathbf{R}-\mathbf{R}') \left[ u^\beta(\mathbf{R}) - u^\beta(\mathbf{R}') \right]\]

在长波极限下, 位移场在晶格尺度上变化缓慢, 因而可作一阶展开

\[u^\alpha(\mathbf{R}') \approx u^\alpha(\mathbf{R}) + \left[ (\mathbf{R}'-\mathbf{R})\cdot\nabla \right] u^\alpha(\mathbf{r})\big|_{\mathbf{r}=\mathbf{R}}\]

代回上式后, 势能变成位移梯度的二次型

\[V_{\mathrm{harm}} \simeq \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}} \frac{\partial u^\alpha(\mathbf{R})}{\partial r_\gamma} E^{\gamma\alpha\eta\beta} \frac{\partial u^\beta(\mathbf{R})}{\partial r_\eta}, \qquad E^{\gamma\alpha\eta\beta} = -\frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}} R^\gamma R^\eta V^{\alpha\beta}(\mathbf{R})\]

\(E^{\gamma\alpha\eta\beta}\) 是力常数张量的二阶矩. 这一步隐含着力常数在实空间中足够短程, 从而上述求和收敛.

当位移场在空间中变化足够平滑时, 对晶胞的离散求和可近似成体积分:

\[V \simeq \frac{1}{2} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \tilde{E}^{\gamma\alpha\eta\beta} \frac{\partial u^\alpha(\mathbf{r})}{\partial r_\gamma} \frac{\partial u^\beta(\mathbf{r})}{\partial r_\eta}, \qquad \tilde{E}^{\gamma\alpha\eta\beta} = \frac{1}{\mathcal{V}_c}E^{\gamma\alpha\eta\beta}\]

其中 \(\mathcal{V}_c\) 为晶胞体积. 连续介质在刚体旋转下能量不应改变, 因而势能只能依赖于位移梯度的对称部分. 由此, 定义应变张量

\[\phi^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u^\beta}{\partial r_\alpha} + \frac{\partial u^\alpha}{\partial r_\beta} \right)\]

从而连续弹性介质的势能可写为

\[V = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, C^{\alpha\beta\mu\nu} \phi^{\alpha\beta} \phi^{\mu\nu}\]

在无预应力并满足旋转与 Huang 不变性条件的情况下,¹ 弹性常数张量 \(C^{\alpha\beta\mu\nu}\) 由微观力常数给出

\[C^{\alpha\beta\mu\nu} = -\frac{1}{8\mathcal{V}_c}\sum_{\mathbf{R}} \Big[ R^\alpha R^\mu V^{\beta\nu}(\mathbf{R}) + R^\beta R^\mu V^{\alpha\nu}(\mathbf{R}) + R^\alpha R^\nu V^{\beta\mu}(\mathbf{R}) + R^\beta R^\nu V^{\alpha\mu}(\mathbf{R}) \Big]\]

指标交换不变性要求 \[C^{\alpha\beta\mu\nu} = C^{\beta\alpha\mu\nu} = C^{\alpha\beta\nu\mu} = C^{\mu\nu\alpha\beta}\] 因此虽然名义上是四阶张量, 独立分量会被对称性大幅减少.

若再引入质量密度 \(\rho\), 连续介质的 Lagrangian 为

\[L = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left[ \frac{1}{2}\rho |\dot{\mathbf{u}}|^2 - \frac{1}{2}C^{\alpha\beta\mu\nu} \phi^{\alpha\beta}\phi^{\mu\nu} \right]\]

由 Euler-Lagrange 方程得到弹性波的运动方程

\[\rho \ddot{u}^\alpha = C^{\alpha\beta\mu\nu} \frac{\partial^2 u^\mu}{\partial r^\nu \partial r^\beta}\]

设平面波解 \(u^\alpha(\mathbf{r},t)\propto\epsilon^\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\), 则得到长波色散的本征值问题

\[\rho \omega^2 \epsilon^\alpha = \left( C^{\alpha\beta\mu\nu} k^\nu k^\beta \right) \epsilon^\mu\]

它给出 \(d\) 条长波声学支. 这里 \(\rho=M/\mathcal{V}_c\), \(C\) 是单位体积的弹性常数, 上述离散至连续替换取长波近似.

Remark 对多原子原胞, 声学求和规则只约束所有原子一起平移, 不允许分别平移每个子格. 连续能量还须保留原胞内相对位移的零阶恢复力与应变耦合. 例如双原子链在 \(q=0\) 仍有每原胞 \(K(u_M-u_m)^2\) 的光学势能, 纯梯度能量会错误地把它删去. 消去这些稳定内部自由度后可以得到宏观声学弹性理论, 但弹性常数还含内部弛豫修正; 光学支的有限频率应由完整 \(D(0)\) 求得.

对单原子、各向同性连续介质, 位移场可记为 \(\mathbf{u}(\mathbf{r},t)\), 此时标准应变张量为 \[\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \partial_i u_j + \partial_j u_i \right)\] 弹性能密度在各向同性近似下写为 \[f = \frac{\lambda}{2}(\nabla\cdot\mathbf{u})^2 + \mu \sum_{ij}\epsilon_{ij}^2\] 其中 \(\lambda,\mu\) 为 Lamé 常数. 由此可以得到纵波和横波声速: \[v_L = \sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}}, \qquad v_T = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}\] 其中 \(\rho\) 为质量密度.

Remark 连续介质理论精确保留的是长波极限中的声学结构; 高 \(q\) 区域的 Brillouin 区边界效应与具体光学支色散仍必须回到离散晶格动力学中处理.

4.1 Crystal Thermodynamics

4.1.1 Specific Heat of Harmonic Crystals

以下设原胞数为 \(N_c\), 每原胞原子数为 \(N_a\), 原子总数为 \(N=N_cN_a\), 原子数密度为 \(n=N/\mathcal{V}\). 热平衡时, 正频声子模的占据数服从 Bose-Einstein 分布:

\[n(\mathbf{q}s) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)}-1}\]

于是晶格振动的内能为

\[E = E_0 + \sum_{\mathbf{q},s} \frac{\hbar\omega(\mathbf{q}s)}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)}-1} ,\qquad E_0 = V_0 + \sum_{\mathbf{q},s}\frac{1}{2}\hbar\omega(\mathbf{q}s)\]

\(E_0\) 为零温基态能量, 包含平衡位形的静态势能 \(V_0\) 与零点振动能; \(E_T\) 为热激发贡献.

晶格振动对应的等容比热为

\[\begin{aligned} c_{\mathrm{V}} =& \frac{1}{\mathcal{V}}\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_{\mathcal{V}} = \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q},s} \frac{\partial}{\partial T} \frac{\hbar\omega(\mathbf{q}s)} {\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)}-1} \\ =& \frac{k_{\mathrm{B}}}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q},s} \frac{\bigl(\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)\bigr)^2 \mathrm{e}^{\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)}} {\bigl(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)}-1\bigr)^2} \end{aligned}\]

也可以把它看成各个模贡献的和 \(c_{\mathrm{V}}=\frac{1}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q},s} c_{\mathrm{V},\mathbf{q}s}\).

高温极限 \(k_{\mathrm{B}}T \gg \hbar\omega_{\max}\) 下, 展开
\[\frac{1}{\mathrm{e}^x-1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} + \frac{x}{12} + \cdots\]
可得领头阶 \(c_{\mathrm{V}}^0 \to ndk_{\mathrm{B}}\), 即 Dulong-Petit 定律. 有趣的是, 这里 \(-1/2\) 项在内能中恰与零点能项抵消, 因而不会出现在经典极限的热容里. 若保留更高阶修正, 则可得到
\[c_{\mathrm{V}} \approx ndk_{\mathrm{B}} \left[ 1 - \frac{\bigl(\beta\hbar\langle\omega\rangle\bigr)^2}{12} \right], \qquad \langle\omega\rangle = \sqrt{ \frac{1}{N_c N_a d} \sum_{\mathbf{q},s}\omega(\mathbf{q}s)^2 }\]
低温极限下, 只有长波声学模显著贡献. 以下保留一般方向依赖的声速; 等声速模型是 \(v_s\) 与方向无关的特例. 若声学色散近似为
\[\omega(\mathbf{q}s) = v_s(\hat{\mathbf{q}})\, q\]
则 Brillouin 区求和可近似改写为积分
\[c_{\mathrm{V}} \approx \sum_{s=1}^3 \int_{\mathrm{BZ}} \frac{\mathrm{d}^3 q}{(2\pi)^3}\, \frac{\partial}{\partial T} \left[ \frac{\hbar v_s(\hat{\mathbf{q}})q} {\mathrm{e}^{\beta\hbar v_s(\hat{\mathbf{q}})q}-1} \right]\]
令无量纲变量 \(\varepsilon=\beta\hbar v_s(\hat{\mathbf{q}})q\), 并定义平均声速
\[\frac{1}{\bar{v}^3} = \frac{1}{3} \sum_{s=1}^3 \int \frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{q}}}{4\pi}\, \frac{1}{v_s(\hat{\mathbf{q}})^3}\]
得到 Debye \(T^3\) 律
\[c_{\mathrm{V}} \approx k_{\mathrm{B}} \frac{3}{2\pi^2} \left( \frac{k_{\mathrm{B}}T}{\hbar \bar{v}} \right)^3 \int_0^\infty \frac{\varepsilon^4 \mathrm{e}^{\varepsilon}} {(\mathrm{e}^{\varepsilon}-1)^2} \,\mathrm{d}\varepsilon = \frac{12\pi^4}{5} nk_{\mathrm{B}} \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3, \qquad \Theta_D = \frac{\hbar \bar{v} q_D}{k_{\mathrm{B}}}\]
其中三维 Debye 模型用 \(q_D=(6\pi^2n)^{1/3}\) 把三条等效线性支的总模数归一为 \(3N\). 单原子原胞时 Debye 球体积才与实际 BZ 体积相等; 多原子晶体不能把这三条等效支同时当作实际 BZ 内全部声学支. 在这个极限下, 只有长波声学模参与热激发, 光学支因其有限能隙而被指数压低.

因此 Debye 描述并不是对所有温区都同样精确: 低温下它抓住了长波声学模主导的本质, 高温下则恢复 Dulong-Petit 定律, 但在中间温区通常只能通过一个有效的 \(\Theta_D\) 来拟合真实材料的态密度细节. 实验上提取的 Debye 温度往往随温度缓慢变化, 反映的正是这种有效参数而非严格常数.

4.1.2 Equation of State of Crystals

晶体的状态方程描述压强 \(P\)、体积 \(\mathcal{V}\) 与温度 \(T\) 之间的约束关系. 与之直接相关的热膨胀系数定义为

\[\alpha = \frac{1}{\mathcal{V}}\left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial T}\right)_P = -\frac{1}{\mathcal{V}} \left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial P}\right)_T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{\mathcal{V}}\]

这说明热膨胀既可以直接看作定压下体积对温度的响应, 也可以通过等温压缩率与热压系数来间接表征(分别对应实验上的直接测量和间接测量).

简谐声子体系的配分函数为

\[\begin{aligned} Z &= \mathrm{Tr}\,\mathrm{e}^{-\beta H} = \mathrm{e}^{-\beta V_0}\prod_{\mathbf{q}s}\sum_{n(\mathbf{q}s)=0}^\infty \mathrm{e}^{-\beta(n(\mathbf{q}s)+1/2)\hbar\omega(\mathbf{q}s)} \\ &=\mathrm{e}^{-\beta V_0} \prod_{\mathbf{q},s} \frac{ \mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)/2} }{ 1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega(\mathbf{q}s)} } \end{aligned}\]

因此 Helmholtz 自由能为

\[F = -k_{\mathrm{B}}T\ln Z = V_0 + \sum_{\mathbf{q},s} \left[ \frac{1}{2}\hbar\omega(\mathbf{q}s) + k_{\mathrm{B}}T \ln\left(1-\mathrm{e}^{-\hbar\omega(\mathbf{q}s)/k_{\mathrm{B}}T}\right) \right]\]

压强由热力学关系给出

\[P = -\left(\frac{\partial F}{\partial \mathcal{V}}\right)_T = -\frac{\partial E_0}{\partial \mathcal{V}} - \sum_{\mathbf{q},s} \frac{\partial[\hbar\omega(\mathbf{q}s)]}{\partial \mathcal{V}} \frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar\omega(\mathbf{q}s)/k_{\mathrm{B}}T}-1}\]

第一项来自静态晶格能与零点能的体积依赖;
第二项则是热声子贡献. 只要声子频率依赖于体积, 升温就会通过声子占据数的变化改变平衡压强, 从而推动平衡体积偏移.

现在考虑严格简谐近似下的均匀各向同性形变. 对单原子晶体, 简谐势能写成

\[V = V_0 + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2} \sum_{\alpha,\beta} V^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2) u^\alpha(\mathbf{R}_1)u^\beta(\mathbf{R}_2).\]

这里形变视作边界施加的静态应变, 并把涨落取为周期零均值场, 从而静态应变与涨落的交叉项不贡献体相能量. 若晶格发生均匀伸缩 \(\mathbf{R}'=(1+\epsilon)\mathbf{R}\), 同一个原子的位置既可写作 \(\mathbf{r}(\mathbf{R})=\mathbf{R}+\mathbf{u}(\mathbf{R})\), 也可写作 \(\mathbf{r}(\mathbf{R}')=\mathbf{R}'+\mathbf{u}'(\mathbf{R}')\), 因而有 \(\mathbf{u}(\mathbf{R})=\epsilon \mathbf{R} + \mathbf{u}'(\mathbf{R}')\). 代回势能表达式, 可得形变后的势能

\[V = V_0 + \frac{\epsilon^2}{2} \sum_{\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2} V^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2) R_1^\alpha R_2^\beta + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2} V^{\alpha\beta}(\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2) \bigl(u'\bigr)^\alpha(\mathbf{R}_1) \bigl(u'\bigr)^\beta(\mathbf{R}_2)\]

这表明在严格简谐近似中, 均匀形变只会给出一个静态形变能修正, 而振动部分仍保留原来的二次型, 力常数在固定参考位形的严格二次模型中不随应变改变. 保持模式的约化波矢(如 \(qa\))不变时, 声子频率满足

\[\frac{\partial \omega(\mathbf{q}s)}{\partial \mathcal{V}} = 0\]

代回压强公式可知热声子项完全消失, 即

\[P = -\frac{\partial E_0}{\partial \mathcal{V}}\]

因此严格简谐晶体的平衡体积不随温度变化, 热膨胀系数 \(\alpha\) 为零.

同样地, 在这种极限下也有 \(c_P=c_{\mathrm{V}}\). 真实晶体中观测到的热膨胀以及 \(c_P\neq c_{\mathrm{V}}\), 都说明必须超出严格简谐近似.

4.1.3 Anharmonic Effects and Gruneisen Parameter

上一节得到严格简谐晶体满足 \(\partial\omega/\partial \mathcal{V}=0\), 因而不会发生热膨胀. 真实晶体的热膨胀来自非谐效应: 原子间相互作用势中存在三阶及更高阶项, 同时声子-声子相互作用也会引起声子频率的重整化.

为刻画声子模对体积变化的敏感性, 定义模式 Gruneisen 参数

\[\gamma(\mathbf{q}s) = -\frac{\partial \ln \omega(\mathbf{q}s)}{\partial \ln \mathcal{V}} = -\frac{\mathcal{V}}{\omega(\mathbf{q}s)} \frac{\partial \omega(\mathbf{q}s)}{\partial \mathcal{V}}\]

此处体积导数保持约化波矢和模式标签不变. 在准简谐近似下, 频率由各体积处的简谐谱给出, 非零 \(\gamma(\mathbf{q}s)\) 表征频率对应变的响应; 它不能单独决定完整的声子散射强度或寿命.

为了把微观模式参数与宏观热力学量联系起来, 对各模式做比热加权平均:

\[\bar{\gamma} = \frac{\sum_{\mathbf{q},s} c_{\mathrm{V}}(\mathbf{q}s)\gamma(\mathbf{q}s)} {\sum_{\mathbf{q},s} c_{\mathrm{V}}(\mathbf{q}s)}\]

热声子压强的准简谐表达式是 \(P_T=\mathcal{V}^{-1}\sum_{\mathbf{q}s}\gamma(\mathbf{q}s)E_{T,\mathbf{q}s}\), 权重为各模热能. 若各模式 \(\gamma\) 近似相同, 才可用上述比热平均代替热能平均, 近似写成 Gruneisen 状态方程

\[P \approx -\frac{\partial E_0}{\partial \mathcal{V}} + \bar{\gamma}\frac{E_T}{\mathcal{V}}\]

其中第一项是零温基态压强, 第二项是热声子压强. 在常见的 \(\bar{\gamma}\gt 0\) 情形下, 升温会推动平衡体积增大; 若有效 \(\bar{\gamma}\lt 0\), 则可能出现反常负热膨胀.

另一方面, 设等温压缩率

\[\kappa_T = -\frac{1}{\mathcal{V}}\left(\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial P}\right)_T\]

并结合热膨胀系数与 Maxwell 关系, 可得

\[\frac{\alpha}{\kappa_T} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{\mathcal{V}} = \left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{V}}\right)_T\]

声子熵写成

\[S = -(\partial_T F)_{\mathcal{V}} = -k_{\mathrm{B}} \sum_{\mathbf{q},s} \left[ n(\mathbf{q}s)\ln n(\mathbf{q}s) - (1+n(\mathbf{q}s))\ln(1+n(\mathbf{q}s)) \right]\]

再利用链式法则

\[\left(\frac{\partial n(\mathbf{q}s)}{\partial \mathcal{V}}\right)_T = -\frac{T}{\omega(\mathbf{q}s)} \frac{\partial \omega(\mathbf{q}s)}{\partial \mathcal{V}} \left(\frac{\partial n(\mathbf{q}s)}{\partial T}\right)_{\mathcal{V}}\]

可得

\[\left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{V}}\right)_T = \sum_{\mathbf{q},s} \frac{\hbar\omega(\mathbf{q}s)}{T} \left(\frac{\partial n(\mathbf{q}s)}{\partial \mathcal{V}}\right)_T = \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q},s} c_{\mathrm{V}}(\mathbf{q}s)\gamma(\mathbf{q}s) = \bar{\gamma} c_{\mathrm{V}}\]

因此

\[\frac{\alpha}{\kappa_T} = \bar{\gamma} c_{\mathrm{V}} \implies \alpha = \frac{\bar{\gamma} \kappa_T C_{\mathrm{V}}}{\mathcal{V}}, \qquad C_{\mathrm{V}}=\mathcal{V}c_{\mathrm{V}}\]

这是把微观非谐性与宏观热膨胀、压缩率、比热联系起来的核心公式.

若 \(\kappa_T\) 与 \(\bar{\gamma}\) 对温度变化不敏感, 则 \(\alpha\) 将继承 \(c_{\mathrm{V}}\) 的温度依赖: 对绝缘体, 低温下 \(\alpha\sim T^3\), 高温下趋于常数. 对金属, 还需计入电子压强与电子比热贡献, 因而低温常出现 \(\alpha\sim T\) 的电子主导行为.

Remark \(\bar{\gamma}\) 表征比热加权的频率体积响应. 在压缩率与单位体积比热可比时, 其绝对值越大, 热膨胀响应幅度越大. 平均值接近零既可能来自各模响应较弱, 也可能来自不同模式正负贡献的抵消, 不能据此断言所有模式的非谐响应都弱.

结构是否松散、完整非谐散射是否强及声子寿命仍需独立判断; 热导率的压力响应还依赖散射矩阵元和寿命, 不能仅由这一平均参数推出.

4.2 Electromagnetic Coupling and Polaritons

4.2.1 Long-Wavelength Optical Phonons, Huang Equations, and LST(Lyddane-Sachs-Teller) Relation

以下采用各向同性、单一红外活性光学振子、无耗散且无自由载流子的介质模型. \(\epsilon(0)\) 与 \(\epsilon(\infty)\) 都是相对介电常数; 后者指高于声子频率但低于电子共振的背景响应, 并非数学上无限频率的真空极限. 在离子晶体中, 长波光学声子会伴随正负离子的相对位移, 因而不可避免地与宏观电场耦合. 这一耦合最直接的结果就是 \(\mathbf{q}\to 0\) 处的 LO-TO 劈裂: 横光学模不产生退极化场, 而纵光学模会因为偶极矩沿波矢方向积累而受到额外恢复力.

离子晶体中的长波纵向与横向光学模.

忽略电子极化的简化模型

设二元离子晶体中阳离子与阴离子的位移分别为 \(\mathbf{u}_+\) 和 \(\mathbf{u}_-\), 定义约化位移

\[\mathbf{w} = \sqrt{\frac{M}{\mathcal{V}_c}}(\mathbf{u}_+ - \mathbf{u}_-), \qquad M=\frac{M_+M_-}{M_+ + M_-}.\]

对应的极化强度在最简单近似下可写成

\[\mathbf{P} = \frac{Q}{\sqrt{M\mathcal{V}_c}}\mathbf{w}.\]

若暂时忽略电子极化, 取背景相对介电常数为 1, 且 \(Q\) 为该模型的离子有效电荷, 离子相对运动满足

\[\begin{aligned} M_+\ddot{\mathbf{u}}_+ &= -K(\mathbf{u}_+ - \mathbf{u}_-) + Q\mathbf{E}_{\mathrm{L}}\\ M_-\ddot{\mathbf{u}}_- &= K(\mathbf{u}_+ - \mathbf{u}_-) - Q\mathbf{E}_{\mathrm{L}} \end{aligned}\]

从而

\[\ddot{\mathbf{w}} = -\omega_{\mathrm{T}}^2 \mathbf{w} + \frac{Q}{\sqrt{M\mathcal{V}_c}}\mathbf{E}_{\mathrm{L}}, \qquad \omega_{\mathrm{T}}^2 = \frac{K}{M}.\]

对于横向振动, \(\mathbf{P}\perp \mathbf{q}\), 因而 \(\nabla\cdot\mathbf{P}=0\), 不产生退极化场; 对于纵向振动, \(\mathbf{P}\parallel \mathbf{q}\), 会激发宏观退极化场

\[\mathbf{E}_{\mathrm{L}} = -\frac{\mathbf{P}}{\epsilon_0} = -\frac{Q}{\epsilon_0\sqrt{M\mathcal{V}_c}}\mathbf{w}.\]

代回运动方程可得

\[\ddot{\mathbf{w}} = -\left( \omega_{\mathrm{T}}^2 + \frac{Q^2}{\epsilon_0 M \mathcal{V}_c} \right)\mathbf{w},\]

于是纵模频率满足

\[\omega_{\mathrm{L}}^2 = \omega_{\mathrm{T}}^2 + \Omega_Q^2, \qquad \Omega_Q^2 = \frac{Q^2}{\epsilon_0 M \mathcal{V}_c}.\]

这说明 LO-TO 劈裂的本质就是纵向退极化场提供的额外恢复力.

含电子极化的 Huang 模型

为了把上述初等图像推广到包含电子极化响应的长波理论, 引入 Huang 方程. 其中极化强度写成

\[\mathbf{P} = b_{12}\mathbf{w} + b_{22}\mathbf{E}.\]

与晶格振动方程一起, 这给出 Huang 方程:

\[\ddot{\mathbf{w}} = -b_{11}\mathbf{w} + b_{12}\mathbf{E},\qquad \mathbf{P} = b_{12}\mathbf{w} + b_{22}\mathbf{E}.\]

第一式描述光学声子坐标在恢复力与电场耦合作用下的动力学, 第二式则把总极化拆成离子位移贡献与高频电子极化贡献.

为了把这组微观方程与实验可测量的介电响应联系起来, 分别考察静态极限与高频极限. 当 \(\omega=0\) 时,

\[\mathbf{w} = \frac{b_{12}}{b_{11}}\mathbf{E},\]

于是

\[\mathbf{P}(0) = \left( \frac{b_{12}^2}{b_{11}} + b_{22} \right)\mathbf{E} = [\epsilon(0)-1]\epsilon_0 \mathbf{E}.\]

而在高频极限下, 离子位移来不及响应, 只剩电子极化贡献:

\[\mathbf{P}(\infty) = b_{22}\mathbf{E} = [\epsilon(\infty)-1]\epsilon_0 \mathbf{E}.\]

因此 Huang 方程中的参数与可观测量满足

\[b_{11} = \omega_{\mathrm{T}}^2, \qquad b_{22} = \epsilon_0[\epsilon(\infty)-1], \qquad b_{12} = \omega_{\mathrm{T}} \sqrt{[\epsilon(0)-\epsilon(\infty)]\epsilon_0}.\]

对纵向模, 没有自由电荷时有

\[\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P} = 0 \implies b_{12}\mathbf{w} + \epsilon(\infty)\epsilon_0 \mathbf{E} = 0\]

用它消去 \(\mathbf{E}\), 再代回运动方程, 得到纵模频率

\[\omega_{\mathrm{L}}^2 = \omega_{\mathrm{T}}^2 + \frac{b_{12}^2}{\epsilon(\infty)\epsilon_0}.\]

整理后即得 Lyddane-Sachs-Teller 关系

\[\boxed{ \frac{\omega_{\mathrm{L}}^2}{\omega_{\mathrm{T}}^2} = \frac{\epsilon(0)}{\epsilon(\infty)}. }\]

该关系说明 LO-TO 劈裂本质上是宏观电场提供的额外恢复力. 在 \(\mathrm{NaCl}\)、\(\mathrm{GaAs}\) 等典型离子晶体中, \(\omega_{\mathrm{L}}/\omega_{\mathrm{T}}\) 与 \(\sqrt{\epsilon(0)/\epsilon(\infty)}\) 的实验符合度很高, 这也是 Huang 方程有效性的直接验证.

4.2.2 Polaritons

极化激元是光子与横光学声子耦合形成的混合激发. 为求其色散关系, 需要把 Huang 方程与 Maxwell 方程联立. 在无自由电荷、无自由电流时,

\[\nabla\cdot\mathbf{D}=0, \qquad \nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0, \qquad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.\]

只考虑横场解 \( \mathbf{E}\perp \mathbf{k} \), 不失一般性令波沿 \(z\) 方向传播, 取

\[E_x,\; H_y,\; w_x,\; P_x \propto \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}.\]

于是得到方程组

\[\mathrm{i}k H_y = \mathrm{i}\omega(\epsilon_0 E_x + P_x), \qquad \mathrm{i}k E_x = \mathrm{i}\omega\mu_0 H_y,\]

\[(-\omega^2+b_{11})w_x = b_{12}E_x, \qquad P_x = b_{12}w_x + b_{22}E_x.\]

也可把它们写成矩阵方程

\[\begin{bmatrix} \epsilon_0\omega & -k & 0 & \omega \\ -k & \mu_0\omega & 0 & 0 \\ b_{12} & 0 & \omega^2-b_{11} & 0 \\ b_{22} & 0 & b_{12} & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ H_y \\ w_x \\ P_x \end{bmatrix} = 0.\]

存在非零解的条件是系数矩阵行列式为零, 从而得到色散方程

\[\epsilon(\infty)\omega^4 - [\epsilon(0)\omega_{\mathrm{T}}^2 + c^2 k^2]\omega^2 + \omega_{\mathrm{T}}^2 c^2 k^2 = 0.\]

求解得两支混合模

\[\omega^2 = \frac{ \epsilon(0)\omega_{\mathrm{T}}^2 + c^2 k^2 \pm \sqrt{ [\epsilon(0)\omega_{\mathrm{T}}^2+c^2k^2]^2 - 4\epsilon(\infty)\omega_{\mathrm{T}}^2 c^2 k^2 } }{ 2\epsilon(\infty) }.\]

这两支模式就是极化激元, 即光子与横光学声子的混合激发. 其极限行为为:

\(k\to 0\) 时, 下支趋向 \(\omega = ck/\sqrt{\epsilon(0)}\) 的光子型模式, 上支趋向 \(\omega=\omega_{\mathrm{L}}\).
\(k\to \infty\) 时, 上支渐近于 \(\omega = ck/\sqrt{\epsilon(\infty)}\), 下支渐近于 \(\omega=\omega_{\mathrm{T}}\).
每一支在垂直于传播方向的平面内都有两种独立偏振, 因而是二重简并的横模.
在 \(\omega_{\mathrm{T}} \lt \omega \lt \omega_{\mathrm{L}}\) 区间内不存在可传播横波, 从而形成剩余射线带(Reststrahlen).

光子与横光学声子的耦合示意.

图中光子虚线写作 \(ck\), 对应背景介电常数为 1 的标度; 一般背景中的斜率为 \(c/\sqrt{\epsilon(\infty)}\).

从物理上看, 这条禁带来自光子与横光学声子的强耦合: 当入射电磁波频率接近晶格振动本征频率时, 电磁场与离子位移之间发生强烈能量交换, 结果不是形成普通传播模, 而是表现为强反射与异常介电响应.

4.3 Experimental Detection of Phonons

4.3.1 Scattering Theory of Crystals

散射实验通过测量微分散射截面来探测材料内部激发. 它定义为单位时间内散射到立体角 \(\mathrm{d}\Omega\) 与能量区间 \(\mathrm{d}E\) 的粒子数除以入射通量, 总截面的量纲为面积; \(\mathrm{d}^2\sigma/(\mathrm{d}E\,\mathrm{d}\Omega)\) 则为面积除以能量和立体角.

对于入射与散射粒子动量分别为 \(\hbar\mathbf{k}\) 和 \(\hbar\mathbf{k}'\) 的过程, 根据 Fermi 黄金规则, 双微分散射截面可写为

\[\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}E\,\mathrm{d}\Omega} \;=\; \frac{k'}{k} \left( \frac{m\mathcal{V}}{2\pi\hbar^2} \right)^2 \sum_{i,f} p_i \left| \langle f,\mathbf{k}'|V|i,\mathbf{k}\rangle \right|^2 \delta(E-E_f+E_i),\]

以下采用非相对论有质量探测粒子与体积 \(\mathcal{V}\) 归一的平面波. 其中 \(V\) 是探测粒子与样品的相互作用, \(p_i\) 是样品初态的热平衡概率, \(\hbar\mathbf{Q}=\hbar(\mathbf{k}'-\mathbf{k})\) 是探测粒子的动量变化, 样品获得的动量为 \(-\hbar\mathbf{Q}\); \(E=E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}\prime}=\hbar\omega\) 为样品获得的能量. 该公式的物理意义很直接: \(k'/k\) 是相空间雅可比因子, 矩阵元平方给出跃迁概率, \(\delta\) 函数保证能量守恒 \(E=E_f-E_i\).

若只考虑入射粒子与晶体原子的两体相互作用, 可写

\[V=\sum_j \nu_j(\mathbf{r}-\mathbf{r}_j)\]

其中 \(\mathbf{r}\) 是入射粒子坐标, \(\mathbf{r}_j\) 是样品中第 \(j\) 个散射中心的位置. 定义相互作用势的 Fourier 分量

\[\nu_j(\mathbf{Q}) = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} \nu_j(\mathbf{r}),\]

则跃迁矩阵元化为

\[\langle f,\mathbf{k}'|V|i,\mathbf{k}\rangle = \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_j \nu_j(\mathbf{Q}) \langle f| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_j} |i\rangle.\]

把这一结果代回散射截面

\[\begin{aligned} \left|\langle f,\mathbf{k}^{\prime}|V|i,\mathbf{k}\rangle\right|^2 &= \frac{1}{\mathcal{V}^2}\sum_{j,j^{\prime}}\nu_{j^{\prime}}^*(\mathbf{Q})\nu_j(\mathbf{Q})\langle i|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{j^{\prime}}}|f\rangle\langle f|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_j}|i\rangle \\ \frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d}\Omega} &= \hbar\frac{k^{\prime}}{k}\left(\frac{m}{2\pi\hbar^2}\right)^2\sum_{i,f}p_i\sum_{j,j^{\prime}}\nu_{j^{\prime}}^*(\mathbf{Q})\nu_j(\mathbf{Q})\langle i|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{j^{\prime}}}|f\rangle\langle f|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_j}|i\rangle\delta(\hbar\omega+E_i-E_f) \end{aligned}\]

用 \(\delta\) 函数的积分表示
\[\delta(\hbar\omega+E_i-E_f)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_i-E_f)t/\hbar}\]
算符的时间演化给出
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}E_it/\hbar}\langle i| = \langle i|\mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0t/\hbar}, \quad \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_ft/\hbar}|f\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_0t/\hbar}|f\rangle\]

\[\langle i|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{j^{\prime}}}|f\rangle\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_i-E_f)t/\hbar} = \langle i|\mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0t/\hbar}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{j^{\prime}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_0t/\hbar}|f\rangle = \langle i|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{j^{\prime}}(t)}|f\rangle\]
及完备关系 \(\sum_f |f\rangle\langle f|=1\).
和系综平均
\[\sum_ip_i\langle i|\cdots|i\rangle=\langle\langle\cdots\rangle\rangle\]

可将散射写成时间相关函数形式

\[\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d}\Omega} = \frac{k'}{2\pi k} \left( \frac{m}{2\pi\hbar^2} \right)^2 \sum_{j,j^{\prime}} \nu_{j^{\prime}}^*(\mathbf{Q})\nu_j(\mathbf{Q}) \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle\!\left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{j^{\prime}}(t)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_j(0)} \right\rangle\!\right\rangle,\]

其中 \(\mathbf{r}_j(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0 t/\hbar}\mathbf{r}_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_0 t/\hbar}\), 系综平均定义为

\[\langle\!\langle A\rangle\!\rangle = \sum_i p_i \langle i|A|i\rangle.\]

对于晶体, 原子位置由格矢 \(\mathbf{R}\) 与原胞指标 \(j\) 标记, 上式推广为

\[\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d}\Omega} = \frac{k'}{2\pi k} \left( \frac{m}{2\pi\hbar^2} \right)^2 \sum_{\mathbf{R}j,\mathbf{R}^{\prime}j^{\prime}} \nu_{j^{\prime}}^*(\mathbf{Q})\nu_j(\mathbf{Q}) \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle\!\left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{\mathbf{R}^{\prime}j^{\prime}}(t)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}_{\mathbf{R}j}(0)} \right\rangle\!\right\rangle.\]

到这一步为止, 只用了两个基本近似:

Born 近似(一阶微扰论): 探测粒子与样品耦合足够弱, 入射波在样品内只发生一次散射;
相互作用势的加和性(两体势近似).

这个表达式说明, 散射实验本质上测量的是原子位置算符的时空关联函数.

对于理想周期晶体, 若进一步把原子固定在平衡位置, 即取静态晶格极限, 位置不随时间变化. 等时位置本来就对易, 但仅有这一点不能使时间关联静止. 此时时间相关函数退化为空间相关, 时间积分给出 \(\delta(\omega)\), 对应弹性散射 \((k=k')\). 此时只有当动量转移等于倒格矢时截面才非零:

\[\left[ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} \right]_{\mathrm{el}}(\mathbf{Q}) = \left( \frac{mN}{2\pi\hbar^2} \right)^2 \sum_{\mathbf{G}} \delta_{\mathbf{Q},\mathbf{G}} |F(\mathbf{G})|^2,\]

这就是 Bragg 条件 \( \mathbf{Q}=\mathbf{G} \). 这里 \(N=N_c\) 为原胞数, Kronecker 选择规则按兼容 BvK 的离散 \(\mathbf{Q}\) 写出; 连续入射波矢下, 有限晶体应保留 \(\left|\sum_{\mathbf{R}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{R}}\right|^2\) 的有限宽衍射峰. 其中结构因子为

\[F(\mathbf{G}) = \sum_j \nu_j(\mathbf{G}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{d}_j}\]

它包含了原胞内各原子的相对相位信息. 因而弹性衍射的两个核心结论是:

选择定则由 \( \mathbf{Q}=\mathbf{G} \) 决定
衍射强度则由结构因子模方控制.

不同探测粒子对应不同的 \(\nu_j(\mathbf{G})\), 这也是中子散射与 X 射线散射实验对同一晶体给出不同对比度的原因.

4.3.2 Dynamic Structure Factor and One-Phonon Scattering

把散射强度写成动态结构因子 \(S(\mathbf{Q},\omega)\) 的形式后, 晶格动力学信息就集中在原子位移的时空关联函数里.

动态结构因子定量描述体系在动量-能量空间中激发响应的时域演化

\[S(\mathbf{Q},t)=\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}j}\sum_{\mathbf{R}^{\prime}j^{\prime}}\nu_j^*(\mathbf{Q})\nu_{j^{\prime}}(\mathbf{Q})\langle\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot \mathbf{r}_{\mathbf{R}j}(t)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot \mathbf{r}_{\mathbf{R}^{\prime}j^{\prime}}(0)}\rangle\rangle\]

对单原子基元晶体, \(j\) 指标约化

\[S(\mathbf{Q},t) = \frac{|\nu(\mathbf{Q})|^2}{N} \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}')} \left\langle\!\left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0)} \right\rangle\!\right\rangle,\]

其中 \(\mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\) 是格点 \(\mathbf{R}\) 处原子的位移算符. 在小振幅振动近似下对指数作展开, 先有

\[\begin{aligned} \left\langle\!\left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0)} \right\rangle\!\right\rangle \approx\; &1 + \mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)-\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0) \rangle\!\rangle \\ &-\frac{1}{2}\mathbf{Q}\cdot \Bigl[ \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\rangle\!\rangle + \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0)\rangle\!\rangle -2\langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0)\rangle\!\rangle \Bigr]\cdot\mathbf{Q} \end{aligned}\]

平衡态下 \(\langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}\rangle\!\rangle=0\), 且同一格点的均方涨落与时间、位置无关, 因而一阶项消失. 对简谐热态, 位移是 Gaussian 算符, 对易子为 c-number; 使用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式和 Gaussian 累积量展开, 才能把以下含正确算符次序的表达式写为精确指数形式:

\[S(\mathbf{Q},t) = \mathrm{e}^{-2W(\mathbf{Q})} \frac{|\nu(\mathbf{Q})|^2}{N} \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}')} \exp\!\Bigl[ \mathbf{Q}\cdot \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0) \rangle\!\rangle \cdot\mathbf{Q} \Bigr].\]

这里

\[\mathrm{e}^{-2W(\mathbf{Q})} = \exp\!\bigl[ -\langle\!\langle(\mathbf{Q}\cdot\mathbf{u})^2\rangle\!\rangle \bigr]\]

就是 Debye-Waller 因子. 它量化热振动对散射, 特别是衍射峰强度的抑制.

本文采用 \(S(\mathbf{Q},\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}S(\mathbf{Q},t)\), 不含额外 \(1/(2\pi)\) 因子. 对 \(S(\mathbf{Q},t)\) 做时间 Fourier 变换, 并展开指数中的位移关联函数, 得到

\[\begin{aligned} S(\mathbf{Q},\omega) =& \sum_{n=0}^{\infty}S_n(\mathbf{Q},\omega) \\ S_n(\mathbf{Q},\omega) =& \mathrm{e}^{-2W(\mathbf{Q})} \frac{|\nu(\mathbf{Q})|^2}{N} \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}')} \times \frac{1}{n!} \int\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \Bigl[ \mathbf{Q}\cdot \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0) \rangle\!\rangle \cdot\mathbf{Q} \Bigr]^n \end{aligned}\]

其中 \(S_n\) 对应 \(n\) 声子过程. 按此势能加权且每原胞归一的定义, 截面满足 \(\mathrm{d}^2\sigma/(\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d}\Omega)=N[k\prime/(2\pi k)] [m/(2\pi\hbar^2)]^2S(\mathbf{Q},\omega)\).

特别地, \(S_0\) 是零声子弹性散射项, 它在 \(\omega=0\) 处给出 \(\delta\) 峰, 并再次导出 \( \mathbf{Q}=\mathbf{G} \) 的 Bragg 选择定则:

\[S_0(\mathbf{Q},\omega) = 2\pi\delta(\omega)\, N\sum_{\mathbf{G}} \delta_{\mathbf{Q},\mathbf{G}}\, \mathrm{e}^{-2W(\mathbf{G})}|\nu(\mathbf{G})|^2.\]

这不仅再次说明只有满足 Bragg 条件的动量转移才会产生弹性峰, 还说明衍射强度会被 Debye-Waller 因子系统压低.

物理上, 这可以理解为原子并非固定在理想晶格点上, 而是因热振动产生了 \(\sqrt{\langle u^2\rangle}\) 量级的位置模糊, 倒空间分辨率越高, 这种模糊对高阶衍射峰的削弱越明显.

因此, Debye-Waller 因子不只是一个形式上的修正项, 也是实验上提取原子热涨落信息的依据. 通过测量不同倒格矢上的衍射峰强度 \(I(\mathbf{G})\propto \mathrm{e}^{-2W(\mathbf{G})}\), 可以反推出均方位移张量; 在各向异性晶体中, 这进一步提供了不同方向上振动强弱的直接信息.

考虑单声子过程 \(n=1\). 在简谐近似下, 位移算符展开为

\[\mathbf{u}_{\mathbf{R}} = \frac{1}{\sqrt{NM}} \sum_{\mathbf{q},s} \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega(\mathbf{q}s)}} \left[ a(\mathbf{q}s)+a^\dagger(-\mathbf{q}s) \right] \hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{q}s) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}},\]

其中 \(\hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{q}s)\) 为声子极化矢量. 结合海森堡绘景中的时间演化

\[a(\mathbf{q}s,t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(\mathbf{q}s)t}a(\mathbf{q}s),\]

以及热平衡平均

\[\langle\!\langle a^\dagger(\mathbf{q}s)a(\mathbf{q}'s') \rangle\!\rangle = n(\mathbf{q}s)\delta_{\mathbf{q}\mathbf{q}'}\delta_{ss'},\]

先可写成双模求和形式

\[\begin{aligned} \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0) \rangle\!\rangle =& \frac{1}{NM} \sum_{\mathbf{q}s,\mathbf{q}'s'} \sqrt{\frac{\hbar^2}{4\omega(\mathbf{q}s)\omega(\mathbf{q}'s')}} \\ &\times \left\langle\!\left\langle \bigl[a(\mathbf{q}s,t)+a^\dagger(-\mathbf{q}s,t)\bigr] \bigl[a(\mathbf{q}'s')+a^\dagger(-\mathbf{q}'s')\bigr] \right\rangle\!\right\rangle \\ &\times \hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{q}s)\hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{q}'s') \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}'\cdot\mathbf{R}'} . \end{aligned}\]

再利用平移对称性和热平均的对角性, 只有 \(\mathbf{q}'=-\mathbf{q}\) 且 \(s'=s\) 的项保留下来, 才得到

\[\begin{aligned} \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0) \rangle\!\rangle =& \frac{1}{NM} \sum_{\mathbf{q},s} \frac{\hbar}{2\omega(\mathbf{q}s)} \hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{q}s)\hat{\boldsymbol{\epsilon}}^*(\mathbf{q}s) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}')} \\ &\times \left[ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(\mathbf{q}s)t}\bigl(n(\mathbf{q}s)+1\bigr) + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(\mathbf{q}s)t}n(\mathbf{q}s) \right]. \end{aligned}\]

把它代回

\[S_1(\mathbf{Q},\omega) = \mathrm{e}^{-2W(\mathbf{Q})} \frac{|\nu(\mathbf{Q})|^2}{N} \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}')} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \mathbf{Q}\cdot \langle\!\langle \mathbf{u}_{\mathbf{R}}(t)\mathbf{u}_{\mathbf{R}'}(0) \rangle\!\rangle \cdot\mathbf{Q},\]

就能清楚看到两步关键约化: 时间积分把 \(\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}\omega(\mathbf{q}s)t}\) 变成 \(\delta[\omega\mp\omega(\mathbf{q}s)]\), 而晶格求和把相位因子约化成动量选择定则. 完成这两步后, 单声子动态结构因子为

\[\begin{aligned} S_1(\mathbf{Q},\omega) =& \mathrm{e}^{-2W(\mathbf{Q})} |\nu(\mathbf{Q})|^2 \sum_s \frac{\hbar\, \mathbf{Q}\cdot \hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{Q}s)\hat{\boldsymbol{\epsilon}}^*(\mathbf{Q}s) \cdot\mathbf{Q}} {2M\omega(\mathbf{Q}s)} \\ &\times 2\pi \left[ \delta\bigl(\omega-\omega(\mathbf{Q}s)\bigr)\bigl(n(\mathbf{Q}s)+1\bigr) + \delta\bigl(\omega+\omega(\mathbf{Q}s)\bigr)n(\mathbf{Q}s) \right]. \end{aligned}\]

这个表达式直接展示了两种过程:

\(\delta\bigl(\omega-\omega(\mathbf{Q}s)\bigr)\) 对应试探粒子损失能量、激发一个声子的 Stokes 过程;
\(\delta\bigl(\omega+\omega(\mathbf{Q}s)\bigr)\) 对应试探粒子吸收样品中已有声子的 anti-Stokes 过程.

Stokes 与 anti-Stokes 单声子散射过程.

前者带有 \(n+1\) 因子, 因而即使在 \(T=0\) 也保留由零点涨落带来的有限强度; 后者则只与热激发声子数 \(n\) 成正比.

这里还可以把与极化矢量有关的因子理解成一个模式相关的“有效逆质量张量”
\[M_*^{-1}(\mathbf{Q}s) = \frac{ \hat{\boldsymbol{\epsilon}}(\mathbf{Q}s)\hat{\boldsymbol{\epsilon}}^*(\mathbf{Q}s) }{M}\]
它说明散射并不是对所有声子模式一视同仁的: 信号强度取决于探测动量 \(\mathbf{Q}\) 在该模式极化方向上的投影. 因而在最直观的情形下, 纵向声子由于 \(\mathbf{Q}\cdot\hat{\boldsymbol{\epsilon}}\neq 0\) 更容易被直接看到, 而严格横向模若与 \(\mathbf{Q}\) 正交, 则耦合会被显著压低.
将 \(\mathbf{Q}\) 约化到第一 BZ 后使用上式的 \(\omega(\mathbf{Q}s)\) 和极化矢量; \(\nu(\mathbf{Q})\)、Debye-Waller 因子及极化投影中的 \(\mathbf{Q}\) 则仍是实际探测波矢. 按本文 \(\mathbf{Q}=\mathbf{k}\prime-\mathbf{k}\) 及声子模式标签约定, 产生声子时 \(\mathbf{Q}=\mathbf{G}+\mathbf{q}\), 湮灭声子时 \(\mathbf{Q}=\mathbf{G}-\mathbf{q}\); 样品获得的动量分别为 \(-\hbar\mathbf{q}\) 与 \(\hbar\mathbf{q}\) (模倒格矢). 合写为单声子过程的动量选择定则
\[\mathbf{Q} = \mathbf{G} \pm \mathbf{q}.\]
其中 \(\mathbf{G}=0\) 为正常过程, \(\mathbf{G}\neq 0\) 为倒逆过程(Umklapp).

这里的关键是: 声子本征模本来只需在第一 Brillouin 区中标记, 但动力学矩阵对 \(\mathbf{q}\to \mathbf{q}+\mathbf{G}\) 具有周期性, 因而极化矢量也可延拓到整个倒空间. 这意味着即便某个模式在约化区中看起来是横向的, 到了高阶 Brillouin 区后, \((\mathbf{q}+\mathbf{G})\cdot\hat{\boldsymbol{\epsilon}}\) 仍可能非零, 从而在散射实验里变得可见.

因此, 倒逆过程在散射问题中的角色不是简单的高阶修正, 而是决定哪些模式能够被某个给定实验几何探测到的真正选择规则的一部分. 从实验谱的角度看, 弹性峰 \(S_0\) 描述静态晶体结构, 单声子峰 \(S_1\) 直接映射声子色散和极化, 更高阶的 \(S_{n\geq 2}\) 则形成多声子连续背景. 正是这种分层结构, 使得非弹性散射成为把显微晶格动力学直接转化为可测谱线的核心手段.

5 Electronic Band Structure

5.1 Basic Framework of Band Theory

5.1.1 Basic Approximations of Band Theory

Born-Oppenheimer 近似下, 电子 Hamiltonian 化为有效势 \(V(\mathbf{r})\) 下的运动. 但真实晶体中的原子核会因热涨落和量子零点运动持续偏离平衡位置, 因而电子实际感受到的势场并非严格静态.

引入静态晶格近似: 假定原子核冻结在统计平均的平衡位形上, 且这些位形构成具有 Bravais 平移格子的周期结构, 允许原胞内含多个原子. 这样外势具有严格周期性

\[V(\mathbf{r}+\mathbf{R}) = V(\mathbf{r})\]

然而此时电子之间仍存在长程力, 体系依旧是一个量子多体问题.

能带论采用独立电子近似, 把电子-电子相互作用的主要效应吸收到自洽平均场势 \(V_{\mathrm{scf}}(\mathbf{r})\) 中, 从而进一步约化为周期势中的单粒子问题. 这在描述基态结构、低能谱以及许多输运性质时往往是成功的:

基态电子密度具有晶格周期性, 因而自洽平均势 \(V_{\mathrm{scf}}(\mathbf{r})\) 也继承这一周期结构. Hartree 或局域 Kohn-Sham 密度泛函近似可构造这种有效势; Hartree-Fock 的交换一般是非局域算符, 不能不加说明地写成局域 \(V_{\mathrm{scf}}(\mathbf{r})\).
对 Fermi 面附近的低能激发, 电子-电子散射率在低温下会迅速减小. 按 Landau Fermi 液体理论 \[\frac{1}{\tau} = a(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{F}})^2 + bT^2\] 当 \(T\to 0\) 且只关注 Fermi 面附近时 \(1/\tau\to 0\), 即准粒子激发寿命很长, 可作低能准粒子描述; 剩余相互作用和参数重整化仍存在, 长寿命本身不证明独立电子近似.

超出平均场的动态关联效应并未消失, 而是被推迟到更高层次的方法中去处理.

5.1.2 Bloch Theorem

在绝热近似和独立电子近似下, 晶体中 \(N\) 电子 Hamiltonian 分解为单粒子 Hamiltonian 之和

\[\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N H_i = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{p_i^2}{2m}+V(\mathbf{r}_i) \right]\]

\(V(\mathbf{r})\) 包含原子静电势和电子-电子相互作用的平均场修正. 满足周期性 \(V(\mathbf{r}+\mathbf{R})=V(\mathbf{r})\).

近独立体系的量子态可由单粒子态占据描述, 多体波函数由单粒子波函数构成 Slater 行列式. 问题归结为求解单粒子定态 Schrödinger 方程

\[H\psi(\mathbf{r})=\varepsilon\psi(\mathbf{r}), \qquad H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{r})\]

在不考虑 SOC 和磁性交换作用时, 每个单粒子本征态可容纳两个自旋相反的电子.

Theorem Bloch 定理: 周期势中的单粒子能量本征态可以选为 Bloch 函数. 简并能量子空间内的任意线性组合未必仍有确定的晶格动量.

\[\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}), \qquad u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R})=u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\]

通常 \(u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 称为 Bloch 函数的原胞周期部分.

Definition 如果函数满足 \(\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\), 就是 Bloch 函数.

构造 \(u_\mathbf{k}(\mathbf{r})\equiv e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\psi_\mathbf{k}(\mathbf{r})\) 得到
\[u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R}) =e^{-i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}+\mathbf{R})}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R}) =e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\]
从而 Bloch 函数必然可取上述形式.

Remark Bloch 函数不必是 Hamiltonian 的本征函数.

Proof 格矢平移算符 \(T_{\mathbf{R}}\) 在坐标表象中的作用为

\[T_{\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r}) = \psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})\]

由于势能具有晶格周期性, 有

\[T_{\mathbf{R}}V(\mathbf{r})T_{\mathbf{R}}^{-1}=V(\mathbf{r}+\mathbf{R})=V(\mathbf{r}) \implies [T_{\mathbf{R}},H] = 0\]

先取有限的 Born-von Karman 周期边界条件. 平移算符保持每个能量本征子空间, 且这些幺正算符彼此对易, 因而可在各能量子空间内同时对角化. 选择这样的共同本征态 \(|\psi\rangle\), 有

\[T_{\mathbf{R}} |\psi\rangle = c(\mathbf{R}) |\psi\rangle\]

因为 \(T_{\mathbf{R}}\) 是幺正算符, 其本征值模长必须为 1, 故可写成

\[c(\mathbf{R})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(\mathbf{R})}\]

\(\chi(\mathbf{R})\) 是格矢的实函数. 又由平移群性质 \(T_{\mathbf{R}}T_{\mathbf{R}'} = T_{\mathbf{R}+\mathbf{R}'}\) 可知

\[c(\mathbf{R}+\mathbf{R}') = c(\mathbf{R})c(\mathbf{R}')\]

对原始格矢取 \(c(\mathbf{a}_j)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_j}\), 并定义 \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_j=\theta_j\). 对任意 \(\mathbf{R}=\sum_j n_j\mathbf{a}_j\), 群乘法给出 \(c(\mathbf{R})=\prod_j c(\mathbf{a}_j)^{n_j}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\). 相位只在模 \(2\pi\) 意义下确定, 因此 \(\mathbf{k}\) 只确定到一个倒格矢. 于是有平移性质

\[T_{\mathbf{R}}|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} |\psi_{\mathbf{k}}\rangle\]

从而可选取 Bloch 形式的能量本征态基. 无限晶体的表述可由周期系统的热力学极限得到, 此时单个 Bloch 态按广义本征态理解.

Remark 尽管平移算符在量子力学中往往写为

\[T_{\mathbf{R}} = \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{R} \right)\]

但平移性质

\[T_{\mathbf{R}}|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} |\psi_{\mathbf{k}}\rangle\]

并不意味着 \(\mathbf{p}|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = \hbar\mathbf{k}|\psi_{\mathbf{k}}\rangle\), 即 Bloch 态通常不是动量算符 \(\mathbf{p}\) 的本征态, 同时晶格准动量 \(\hbar\mathbf{k}\) 一般不是电子的真实动量.

Remark 考察两个不同波矢 Bloch 函数的内积

\[\langle \psi_{\mathbf{k}}|\psi_{\mathbf{k}'}\rangle = \langle \psi_{\mathbf{k}}|T_{-\mathbf{R}}T_{\mathbf{R}}|\psi_{\mathbf{k}'}\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{R}} \langle \psi_{\mathbf{k}}|\psi_{\mathbf{k}'}\rangle\]

因此只有 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{R}}=1\) 时内积才非零. 也就是说, 分属于 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 的 Bloch 函数彼此正交, 除非 \(\mathbf{k}-\mathbf{k}'=\mathbf{G}\) 为倒格矢.

在平移群表示论的语言中, 不同 \(\mathbf{k}\) 对应于平移群的不同不可约表示, 因而根据群表示的正交定理必然正交.

5.1.3 Band Structure

为确定波矢 \(\mathbf{k}\) 的允许取值, 通常引入 BvK 周期边界条件, 得到离散的可取波矢

\[\psi(\mathbf{r}+N_i\mathbf{a}_i) = \psi(\mathbf{r}) \implies \mathbf{k} = \sum_i \frac{l_i}{N_i}\mathbf{b}_i\]

对应倒空间中的规则网格. 第一 Brillouin 区(1BZ)内的总点数等于晶体中的原胞总数. 宏观晶体极限下, 允许 \(\mathbf{k}\) 点稠密, 因而能谱近似连续.

Definition 对于固定的 \(\mathbf{k}\), 单电子方程有一系列分立本征值

\[\varepsilon_{n\mathbf{k}}, \qquad n=1,2,\cdots\]

它们随 \(\mathbf{k}\) 变化连成一系列分支, 这就是能带. 能带并不是单个能级, 而是由能带指标 \(n\) 与晶体准动量 \(\mathbf{k}\) 共同标记的一族单粒子本征值.

\(\mathbf{k}\) 与 \(\mathbf{k}+\mathbf{G}\) 描述同一 Bloch 表示, 它们在物理上是等价的. 同时能带满足倒格矢周期性
\[\varepsilon_n(\mathbf{k}+\mathbf{G}) = \varepsilon_n(\mathbf{k})\]
对选定的非简并能带, 此时 \(\mathbf{k}\) 与 \(\mathbf{k}+\mathbf{G}\) 对应的波函数仍可能相差一个整体相位
\[|\psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}\rangle = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{G})} |\psi_{\mathbf{k}}\rangle\]
这对应倒空间中的 \(\mathrm{U}(1)\) 规范自由度. 可以选择周期规范, 把波函数也取成倒格矢周期函数
\[|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = |\psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}\rangle\]
这固定边界处的相位匹配, 仍有 BZ 内的规范自由度; 简并能带一般允许子空间内的幺正混合. 周期规范不自动意味着全局光滑, 非零 Chern 数可阻碍光滑周期规范.² 只需在 1BZ 枚举一次 \(\mathbf{k}\), 并遍历所有能带指标, 即可穷尽单电子态.
热力学极限: \(\mathbf{k}\) 点分布准连续, 晶体电子态求和可以转化为 1BZ 积分
\[\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} \;\to\; \int_{\mathrm{BZ}}\frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d}\]
其中 \(\mathcal{V}\) 表示宏观晶体体积. 事实上对任一倒空间原胞积分都会得到相同结果.

在这一能带结构理论下, 无相互作用电子体系的热力学量可直接用 Fermi-Dirac 占据数表示. 已知

\[f^0(\varepsilon) = \frac{1}{\mathrm{e}^{(\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm{B}}T)}+1}\]

体系总能量和电子数分别为

\[E = g_{\mathrm{s}}\sum_{n,\mathbf{k}} \varepsilon_{n\mathbf{k}}f^0(\varepsilon_{n\mathbf{k}}), \qquad N_{\mathrm{e}} = g_{\mathrm{s}}\sum_{n,\mathbf{k}} f^0(\varepsilon_{n\mathbf{k}})\]

其中 \(g_{\mathrm{s}}=2\) 为自旋简并度.

5.2 Bloch-State Formalism

5.2.1 Eigenproblem for the Cell-Periodic Part

对于晶体中的单电子方程 \(H|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle=\varepsilon_{n\mathbf{k}}|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle\), 把 Bloch 波函数写成 \(\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\), 可得等价形式

\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} H \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} |u_{n\mathbf{k}}\rangle = \varepsilon_{n\mathbf{k}} |u_{n\mathbf{k}}\rangle\]

设 \(H=\mathbf{p}^2/(2m)+V(\mathbf{r})\), \(\mathbf{p}=-\mathrm{i}\hbar\nabla\). 对任意周期函数 \(u(\mathbf{r})\) 有

\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathbf{p} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u &= \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \left[ -\mathrm{i}\hbar\nabla \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u \right) \right] \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla u+\hbar\mathbf{k}u \\ &= (\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k})u \end{aligned}\]

因此

\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathbf{p} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = \mathbf{p}+\hbar\mathbf{k}\]

而 \(V(\mathbf{r})\) 与 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\) 对易. 于是通过共轭变换定义动量依赖的等效 Hamiltonian

\[H_{\mathbf{k}} \equiv \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} H \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = \frac{1}{2m}(\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k})^2 + V(\mathbf{r})\]

从而

\[H_{\mathbf{k}} |u_{n\mathbf{k}}\rangle = \varepsilon_{n\mathbf{k}} |u_{n\mathbf{k}}\rangle\]

此方程只需在单个原胞内求解, 因为 \(u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 是周期函数.

Bloch 波函数的归一化需要特别注意晶格周期性. 在当前约定

\[\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\]

下, Bloch 分解本身不含额外 \(1/\sqrt{N_{\mathrm{c}}}\) 因子, 因而整体尺度由 \(u_{n\mathbf{k}}\) 的归一化决定. 把全空间积分拆成对各个原胞的求和, 并把胞内坐标记为 \(\boldsymbol{\rho}\), 得到

\[\begin{aligned} \langle \psi_{n\mathbf{k}}|\psi_{n'\mathbf{k}'}\rangle &= \sum_{\mathbf{R}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{R}} \int_{\mathrm{cell}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\boldsymbol{\rho}} u_{n\mathbf{k}}^*(\boldsymbol{\rho}) u_{n'\mathbf{k}'}(\boldsymbol{\rho}) \,\mathrm{d}\boldsymbol{\rho} \\ &= N_{\mathrm{c}}\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}}\rangle_{\mathrm{cell}} \end{aligned}\]

因此实际计算时需明确选择哪一种归一化约定:

若取晶胞周期部分归一, 即 \[\langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}}\rangle_{\mathrm{cell}} = \delta_{nn'}\] 则对应 \[\langle \psi_{n\mathbf{k}} | \psi_{n'\mathbf{k}'} \rangle = N_{\mathrm{c}}\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\delta_{nn'}\]
若取全空间 Bloch 态归一, 即 \[\langle \psi_{n\mathbf{k}} | \psi_{n'\mathbf{k}'} \rangle = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\delta_{nn'}\] 则对应 \[\langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}}\rangle_{\mathrm{cell}} = \frac{1}{N_{\mathrm{c}}}\delta_{nn'}\]

5.2.2 Operators and Matrix Elements

本节选择全空间归一的 Bloch 态. 为避免遗漏 \(N_c\), 周期部分的矩阵元统一记作

\[\langle u|O|u'\rangle_c \equiv N_c\int_{\mathrm{cell}}\mathrm{d}\mathbf{r}\,u^*(\mathbf{r})O u'(\mathbf{r}), \qquad \langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}}\rangle_c=\delta_{nn'}\]

先看动量算符. 由于动量算符与晶体 Hamiltonian 并不对易, 对 Bloch 态有

\[\mathbf{p}\, |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle = \hbar\mathbf{k} |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathbf{p}\, |u_{n\mathbf{k}}\rangle\]

因此 Bloch 态并非动量的本征态. 动量矩阵元为

\[\langle \psi_{n\mathbf{k}}|\mathbf{p}|\psi_{n'\mathbf{k}'}\rangle = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \left[ \delta_{nn'}\hbar\mathbf{k} + \langle u_{n\mathbf{k}}|\mathbf{p}|u_{n'\mathbf{k}}\rangle_c \right]\]

说明 \(\hbar\mathbf{k}\) 不是 Bloch 态的真实动量期望值. 尽管如此, 它在与外场或晶格激发相互作用时仍起到类似守恒量的作用, 因而通常称为晶体准动量.

位置算符在 Bloch 表象中具有特殊形式. 以下 \(\nabla_{\mathbf{k}}\) 与分部积分在热力学极限的连续 \(\mathbf{k}\) 波包表示中理解, 不把有限周期环上的位置直接视作周期算符. 若把一般波函数展开为

\[|\Psi\rangle = \sum_{n,\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} f_{n\mathbf{k}} |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle\]

利用 \(\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}=-\mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\), 位置算符作用在一般波函数上的结果为

\[\begin{aligned} \mathbf{r}|\Psi\rangle = &\sum_{n,\mathbf{k}} f_{n\mathbf{k}}\, \mathbf{r}|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle \\ = &\sum_{n,\mathbf{k}} \left[ -\mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}} |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}} |u_{n\mathbf{k}}\rangle \right] f_{n\mathbf{k}} \\ = &\sum_{n,\mathbf{k}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}} \bigl( f_{n\mathbf{k}}|u_{n\mathbf{k}}\rangle \bigr) \end{aligned}\]

最后一步对 \(\mathbf{k}\) 做了分部积分: 在连续 \(\mathbf{k}\) 记号下, 对每个能带分量有

\[\begin{aligned} -\mathrm{i} \int_{\mathrm{BZ}}\mathrm{d}\mathbf{k}\, f_{n\mathbf{k}} \nabla_{\mathbf{k}}|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle &= -\mathrm{i} \int_{\mathrm{BZ}}\mathrm{d}\mathbf{k}\, \nabla_{\mathbf{k}} \left( f_{n\mathbf{k}}|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle \right) + \mathrm{i} \int_{\mathrm{BZ}}\mathrm{d}\mathbf{k}\, \bigl(\nabla_{\mathbf{k}}f_{n\mathbf{k}}\bigr) |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle \\ &= \mathrm{i} \int_{\mathrm{BZ}}\mathrm{d}\mathbf{k}\, \bigl(\nabla_{\mathbf{k}}f_{n\mathbf{k}}\bigr) |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle \end{aligned}\]

其中波包系数与 Bloch 基的边界匹配使 BZ 边界项相互抵消; 若使用规范分片, 还需包含片间的匹配关系. 上式左乘 \(\langle \psi_{m\mathbf{k}}|\) 可得

\[(\mathbf{r}f)_{m\mathbf{k}} = \mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}} f_{m\mathbf{k}} + \sum_{n'} A_{mn'}(\mathbf{k})f_{n'\mathbf{k}}\]

因此位置算符在 Bloch 表象中可写成

\[\mathbf{r} = \mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}} + \mathbf{A}(\mathbf{k})\]

其中非 Abelian Berry 联络 (non-Abelian Berry connection) 定义为

\[A_{mn'}(\mathbf{k}) = \left\langle u_{m\mathbf{k}} \middle| \mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}} \middle| u_{n'\mathbf{k}} \right\rangle_c\]

Berry 联络矩阵反映了不同能带之间的几何相位关联.

实空间速度算符为 \(\mathbf{v}=(\mathrm{i}/\hbar)[H,\mathbf{r}]\). 把它变换到原胞周期表示, 对当前局域势有

\[\mathbf{v}_{\mathbf{k}} =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\mathbf{v}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} =\frac{\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k}}{m} =\frac{1}{\hbar}\frac{\partial H_{\mathbf{k}}}{\partial \mathbf{k}}\]

对可微的孤立能带, 用归一矩阵元与 Hellmann-Feynman 定理可得到能带群速度

\[\mathbf{v}_{n\mathbf{k}} = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \varepsilon_{n\mathbf{k}}}{\partial \mathbf{k}}\]

这成为准经典电子动力学的基础.

5.3 Plane-Wave and Nearly-Free-Electron Methods

Bloch 形式建立后, 具体求解能带问题的核心在于选择基函数. 平面波法适用于弱周期势和离域电子, 近自由电子近似则把晶格势视作自由电子气的微扰.

5.3.1 Plane Wave Expansion

平面波自然适配周期性边界条件, 构成求解晶体 Schrödinger 方程的标准基底. 由于 \(u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 是周期函数, 可按倒格矢展开. 等价地, 直接把 Bloch 波函数写成平面波和

\[|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = \sum_{\mathbf{G}} c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} |\mathbf{k}-\mathbf{G}\rangle, \qquad \langle \mathbf{r}|\mathbf{k}\rangle = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}}{\sqrt{\mathcal{V}}}\]

将展开式代入动能项, 得
\[\frac{\mathbf{p}^2}{2m}|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = \sum_{\mathbf{G}} \frac{\hbar^2|\mathbf{k}-\mathbf{G}|^2}{2m} c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} |\mathbf{k}-\mathbf{G}\rangle \equiv \sum_{\mathbf{G}} \varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} |\mathbf{k}-\mathbf{G}\rangle\]
其中 \(\varepsilon^0_{\mathbf{q}}=\hbar^2|\mathbf{q}|^2/(2m)\) 是自由电子色散.
对周期势作 Fourier 展开
\[V(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{G}} V_{\mathbf{G}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} \Longleftrightarrow V_{\mathbf{G}} = \frac{1}{\mathcal{V}_{\mathrm{c}}} \int_{\mathrm{cell}} \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}V(\mathbf{r})\]
\(\mathcal{V}_{\mathrm{c}}\) 为晶胞体积. 利用平面波正交性
\[\frac{1}{\mathcal{V}_{\mathrm{c}}} \int_{\mathrm{cell}} \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{G}-\mathbf{G}')\cdot\mathbf{r}} = \delta_{\mathbf{G}\mathbf{G}'}\]
得到周期势作用
\[V(\mathbf{r})|\psi_{\mathbf{k}}\rangle = \sum_{\mathbf{G},\mathbf{G}'} V_{\mathbf{G}'-\mathbf{G}} c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}'} |\mathbf{k}-\mathbf{G}\rangle\]
代入 Schrödinger 方程后得到矩阵本征方程
\[\sum_{\mathbf{G}'} \left[ \varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}^0 \delta_{\mathbf{G}\mathbf{G}'} + V_{\mathbf{G}'-\mathbf{G}} \right] c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}'} = \varepsilon_{\mathbf{k}} c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}\]
\(\mathbf{k}\) 能带问题化为倒格矢空间中的矩阵对角化问题. 其 Hamiltonian 矩阵
\[[h(\mathbf{k})]_{\mathbf{G}\mathbf{G}'} = \varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}\delta_{\mathbf{G}\mathbf{G}'} + V_{\mathbf{G}'-\mathbf{G}}\]
对角元给出自由电子动能, 非对角元描述晶格势引起的散射与耦合. 可以看到
平移对称性使得不同 \(\mathbf{k}\) 子空间彼此完全解耦, 或者说整个 Hamiltonian 在 \(\mathbf{k}\) 空间是分块对角的. 实际计算选取 \(N_{\mathrm{b}}\) 个倒格矢后, 每个 \(\mathbf{k}\) 点都对应一个 \(N_{\mathrm{b}}\times N_{\mathrm{b}}\) 矩阵.
当 \(|\mathbf{G}|\) 增大时, 对角动能迅速升高. 数值上可截断 \(|\mathbf{G}|\le G_{\max}\) 得到有限维特征值问题. 随着截断基底数增大, 计算得到的能带会逐步收敛到真实结果.

空晶格模型 取 \(V_{\mathbf{G}}=0\), 给出后续讨论的基准. 此时 Hamiltonian 矩阵完全对角化

\[[h(\mathbf{k})]_{\mathbf{G}\mathbf{G}'} = \varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}\delta_{\mathbf{G}\mathbf{G}'}\]

每个 \(\mathbf{G}\) 对应一条抛物线 \(\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}\). 它们的简并条件 \(\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{G}}=|\mathbf{G}|/2\) 给出倒空间中 Bragg 面.

空晶格能带结构, 左图为扩展区方案, 右图为简约区方案.

余弦周期势 简并在加入非零周期势后通常会被解除, 导致能隙打开. 以一维晶体为例, 取周期势

\[V(x)=2U\cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\]

倒格矢间距 \(b=2\pi/a\), 且仅有 \(G=\pm b\) 处的 Fourier 分量非零, \(V_{\pm b}=U\). 平面波展开下的 Hamiltonian 矩阵退化为三对角矩阵

\[h(k)= \begin{bmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ & U & \varepsilon_{k-b}^0 & U & & \\ & & U & \varepsilon_k^0 & U & \\ & & & U & \varepsilon_{k+b}^0 & \ddots \\ & & & & \ddots & \ddots \end{bmatrix}\]

相比空晶格, 原本在 Bragg 面位置简并的自由电子能带不再穿过彼此, 而是裂开为禁带. 这说明平面波基下的少量局域耦合就足以在能谱中产生全局可见的带隙结构.

周期晶格中一维电子气的能带.

5.3.2 Nearly Free Electron Approximation

早期的 Drude-Sommerfeld 金属电子论表明, 金属中的电子在零阶近似下可视为自由电子. 对于具有 \(s/p\) 价电子的简单金属, 晶格周期势通常相对较弱, 因而可以把它视为对自由电子气的微扰, 这就是近自由电子近似.

近自由电子近似下, 将上一节的平面波矩阵方程移项写为

\[\left( \varepsilon_{\mathbf{k}}-\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} \right) c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} = \sum_{\mathbf{G}'} V_{\mathbf{G}'-\mathbf{G}} c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}'}\]

远离 Bragg 面 考察 \(\mathbf{k}\) 下由 \(|\mathbf{k}-\mathbf{K}\rangle\) 演化产生的能带, 其原本的自由电子能带为 \(\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}\). 远离 Bragg 面时有

\[\left| \varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{K}} -\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} \right| \gg |V|, \qquad \forall\,\mathbf{G}\neq \mathbf{K}\]

故对于近自由电子近似下, 可以使用非简并微扰论, 对此条能带可取

\[\varepsilon_{\mathbf{k}} \approx \varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}+\delta\varepsilon, \qquad c_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}\approx 1, \qquad c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}\neq \mathbf{K}}\approx 0\]

晶格势引起的能量修正 \(\delta\varepsilon=V_0+\mathcal{O}(V^2)\), 通常可把平均势 \(V_0\) 吸收到能量零点中, 此时非简并区域的首个非平凡能量修正为二阶.

在最低阶可忽略 \(\delta\varepsilon\) 和其他小分量 \(c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}'\neq\mathbf{K}}\), 只保留右边的主导项 \(V_{\mathbf{K}-\mathbf{G}}c_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}\), 得到

\[c_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} = \frac{ V_{\mathbf{K}-\mathbf{G}}\,c_{\mathbf{k}-\mathbf{K}} }{ \varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{K}} -\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} } + \mathcal{O}(V^2)\]

表示主平面波 \(|\mathbf{k}-\mathbf{K}\rangle\) 会混入少量 \( |\mathbf{k}-\mathbf{G}\rangle \) 耦合, 强度正比于连接二者的势能 Fourier 分量, 反比于二者的自由电子能量差. 类似于高能态通过虚跃迁对低能态的影响.

再代回 \(\mathbf{G}=\mathbf{K}\) 的矩阵方程并消去 \(c_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}\), 得到

\[\varepsilon_{\mathbf{k}} = \varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}^0 + V_0 + \sum_{\mathbf{G}\neq\mathbf{K}} \frac{|V_{\mathbf{G}-\mathbf{K}}|^2} {\varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}^0-\varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}^0} + \mathcal{O}(V^3)\]

若已把 \(V_0\) 吸收到能量零点, 上式的首个势能引起的非零修正就是二阶项. 从符号上看, 高能中间态把参考能量向下修正, 低能中间态把参考能量向上推, 这就是能级排斥在近自由电子能带中的表现.

Bragg 面附近 电子态近简并, 非简并微扰论失效. 若

\[\left| \varepsilon^0_{\mathbf{k}} -\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}} \right| \sim |V_{\mathbf{G}}| \ll \left| \varepsilon^0_{\mathbf{k}} -\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}'} \right| \qquad \forall\,\mathbf{G}'\notin\{0,\mathbf{G}\}\]

则只需保留 \( |\mathbf{k}\rangle \) 和 \( |\mathbf{k}-\mathbf{G}\rangle \) 两个近简并平面波态. 有效 Hamiltonian 为

\[H_{\mathrm{eff}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{\mathbf{k}}^0 & V_{\mathbf{G}} \\ V_{\mathbf{G}}^* & \varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}^0 \end{bmatrix} =h_0+\mathbf{h}\cdot\boldsymbol{\sigma}\]

其中

\[h_0=\frac{\varepsilon^0_{\mathbf{k}}+\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}}{2}, \qquad \mathbf{h} = \left( \operatorname{Re}V_{\mathbf{G}}, -\operatorname{Im}V_{\mathbf{G}}, \frac{\varepsilon^0_{\mathbf{k}}-\varepsilon^0_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}}{2} \right)\]

其本征值为

\[\varepsilon_{\mathbf{k}}^{(\pm)} = h_0\pm|\mathbf{h}| = \frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}^0+\varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}^0}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}^0-\varepsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{G}}^0}{2} \right)^2 + |V_{\mathbf{G}}|^2 }\]

因此在 Bragg 面上能带反交叉, 打开能隙 \(\Delta E = 2|V_{\mathbf{G}}|\). 能隙附近能带曲率的改变会进一步影响电子的有效质量和输运性质.

Bragg 面附近的能隙打开.

若记 \(\mathbf{h}/|\mathbf{h}| = (\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi, \cos\theta)^{\mathsf{T}}\), 本征矢量

\[|\psi_{-}\rangle = \begin{pmatrix} -\sin\frac{\theta}{2}\\ \cos\frac{\theta}{2}e^{\mathrm{i}\phi} \end{pmatrix}, \qquad |\psi_{+}\rangle = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}e^{\mathrm{i}\phi} \end{pmatrix}\]

Bragg 面对应 \(\theta = \pi/2, \phi = -\arg(V_{\mathbf{G}})\). 以下进一步取 \(\mathbf{k}=\mathbf{G}/2\) (一般 Bragg 面上的态还带切向平面波相位), 按本征矢给出的系数组合相应平面波得到驻波形式

\[\psi^{(-)}(\mathbf{r}) = -\mathrm{i}\sqrt{\frac{2}{\mathcal{V}}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi/2} \sin\!\left(\frac{\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}-\phi}{2}\right), \qquad \psi^{(+)}(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{2}{\mathcal{V}}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi/2} \cos\!\left(\frac{\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}-\phi}{2}\right)\]

其物理图像是当 \(\mathbf{k}=\mathbf{G}/2\) 时, Bragg 反射导致两个零能量差简并态重组为驻波, Bloch 态退化为两种驻波组合.

进一步考察二者给出的电荷密度
\[n^{(-)}(\mathbf{r}) = \frac{2}{\mathcal{V}}\sin^{2}\left[\frac{\mathbf{G}\cdot \mathbf{r}-\phi}{2}\right], \qquad n^{(+)}(\mathbf{r}) = \frac{2}{\mathcal{V}}\cos^{2}\left[\frac{\mathbf{G}\cdot \mathbf{r}-\phi}{2}\right]\]
以余弦周期势为例, 沿用上一节 \(V=2U\cos(\mathbf{G}\cdot\mathbf{r})\), 此时 \(V_{\mathbf{G}}=U\) 为实数, 考虑 \(U\lt 0\) 即 \(\phi = \pi\) 的情况. \(\psi^{(-)}\) 把电子密度集中在核附近(势能较低); \(\psi^{(+)}\) 集中在离子间(势能较高). 这就是能隙打开的微观来源.

两种驻波的互补密度示意.

图中 \(n^{(-)}\) 在核间增强, 按核位于 \(\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}=2\pi l\) 的约定对应 \(U\gt0\), 不对应上段 \(U\lt0\) 的低能密度分布.

在 Bragg 面上且 \(V_{\mathbf{G}}\neq0\) 为常数时, 两支群速度满足

\[\mathbf{v}_{n\mathbf{k}} = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \varepsilon_{n\mathbf{k}}}{\partial \mathbf{k}} = \frac{\hbar}{m}\left(\mathbf{k} - \frac{\mathbf{G}}{2}\right)\]

此时 \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{G}=G^2/2\), 群速度平行于面; 非零群速度处等能面与该面正交. 离开 Bragg 面后, 群速度一般还含法向分量. 在外场下, 电子运动受此能带曲率调制.

弱周期势也会重塑 Fermi 面(满足 \(\varepsilon_{n\mathbf{k}}=\varepsilon_{\mathrm{F}}\) 的等能面). 对二维方格子近自由电子体系, 若电子浓度恰使空晶格 Fermi 面过 1BZ 边界, 则在扩展区图像中, 圆形 Fermi 面会被切割和弯曲; 折叠回简约区后, 可重新解释为电子口袋与空穴口袋.

二维方格子近自由电子模型中的 Fermi 面重构.

当 \(\varepsilon_{\mathrm{F}}\) 接近能隙时, 这些口袋会收缩; 当 \(\varepsilon_{\mathrm{F}}\) 深入能带时, Fermi 面又逐渐恢复类自由电子特征.

5.4 Tight-Binding and Wannier Description

5.4.1 Linear Combination of Atomic Orbitals

氢分子离子 \(\mathrm{H}_2^+\) 的电子结构研究为理解化学键本质提供了理想模型. 孤立氢原子基态结合能远高于激发态. 在质子间距远大于轨道尺度的弱交叠极限(\(R_0\gg a_0\))下, 体系基态电子波函数由两个原子轨道叠加 + 轨道交叠产生微扰修正得到.

在 Born-Oppenheimer 近似下, 电子 Hamiltonian 为

\[H = \frac{p^2}{2m} -\frac{k_{\mathrm{e}} e^2}{|\mathbf{r}-\mathbf{R}_1|} -\frac{k_{\mathrm{e}} e^2}{|\mathbf{r}-\mathbf{R}_2|}\]

这一双中心势问题解析处理并不方便, 因而自然引向原子轨道线性组合方法.

取两个孤立氢原子的基态轨道 \(|\phi_1\rangle\)、\(|\phi_2\rangle\) 为基底, 构造分子轨道

\[|\psi\rangle = c_1|\phi_1\rangle+c_2|\phi_2\rangle\]

代入定态 Schrödinger 方程后, 得到广义本征值问题

\[\begin{bmatrix} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \varepsilon \begin{bmatrix} 1 & \mathcal{O} \\ \mathcal{O} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}, \qquad \mathcal{O}=\langle \phi_1|\phi_2\rangle\]

Hamiltonian 非对角元反映电子隧穿强度, 交叠积分 \(\mathcal{O}\) 对应原子轨道重叠程度.
同核双原子体系有 \(H_{11}=H_{22}\), 且 Hamiltonian 形式允许轨道取实函数. 故 \(H_{12}=H_{21}\) 与 \(\mathcal{O}\) 都应该为实数.

为了得到更标准的两能级形式, 进一步构造正交归一基组

\[|\tilde{\phi}_1\rangle = \frac{|\phi_1\rangle+x|\phi_2\rangle} {\sqrt{1+x^2+2\mathcal{O}x}} \qquad |\tilde{\phi}_2\rangle = \frac{x|\phi_1\rangle+|\phi_2\rangle} {\sqrt{1+x^2+2\mathcal{O}x}}\]

正交条件给出 \(\mathcal{O}x^2+2x+\mathcal{O}=0\). 当 \(|\mathcal{O}|\lt 1\) 时, 取在零交叠极限连续趋于零的根 \(x=-\mathcal{O}/(1+\sqrt{1-\mathcal{O}^2})\), 即得到标准正交基组问题; \(|\mathcal{O}|=1\) 对应原轨道线性相关, 不能构成两维基组. Hamiltonian 化为

\[\begin{bmatrix} E & V \\ V & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{c}_1 \\ \tilde{c}_2 \end{bmatrix} = \varepsilon \begin{bmatrix} \tilde{c}_1 \\ \tilde{c}_2 \end{bmatrix}\]

\(E=\langle\tilde{\phi}_1|H|\tilde{\phi}_1\rangle\) 为在位能量, \(V=\langle\tilde{\phi}_1|H|\tilde{\phi}_2\rangle\) 为有效跃迁积分. 特征方程 \((E-\varepsilon)^2-V^2=0\) 给出 \(\varepsilon^{(\pm)} = E \pm |V|\), 其中负号标记低能级.

在通常实正的氢原子轨道规范下有效 \(V\lt0\), 因而:

成键态 \(\varepsilon^{(-)}\) 对应两个轨道相位相干叠加, 核间区域电子密度增强
反键态 \(\varepsilon^{(+)}\) 对应相位相反的叠加, 核间出现节点.

电子离域化降低动能, 同时核间电荷聚集增强吸引势能, 两者共同决定化学键的形成.

上述讨论表明局域轨道的量子叠加会产生能级展宽. 这一效应在晶体中便进一步发展成能带.

当原子间距远大于轨道特征尺度时, 邻近原子的存在可视为对孤立原子轨道的弱微扰, 从而电子态近似写成原子轨道的线性组合就具有明确的物理合理性.

在分子问题中, 这叫做 LCAO(linear combination of atomic orbitals) 方法; 在晶体能带问题的应用中, 往往通过物理洞察选取少数特征原子轨道来有效描述低能电子态, 此时该方法退化为紧束缚近似(Tight-Binding Approximation, TB).

5.4.2 Tight-Binding Approximation

Bloch 提出晶体中局域化的轨道(不一定必须是原子轨道)可以通过相位相干叠加构造满足平移对称性的 Bloch 波函数.

单原子晶格 每个格点 \(\mathbf{R}\) 处定义局域轨道 \(|\phi_{\mathbf{R}}\rangle\), 其空间分布满足强局域性 \(\langle \mathbf{r}|\phi_{\mathbf{R}}\rangle \sim \phi(\mathbf{r}-\mathbf{R})\). 选取 Brillouin 区中的波矢 \(\mathbf{k}\), 通过离散 Fourier 变换构造扩展态

\[|\phi_{\mathbf{k}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{c}}}} \sum_{\mathbf{R}} |\phi_{\mathbf{R}}\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \Longleftrightarrow |\phi_{\mathbf{R}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{c}}}} \sum_{\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} |\phi_{\mathbf{k}}\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

容易验证 \(T_{\mathbf{R}'} |\phi_{\mathbf{k}}\rangle=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}'}|\phi_{\mathbf{k}}\rangle\), 说明 \(|\phi_{\mathbf{k}}\rangle\) 是 Bloch 函数.

Proposition 正交局域基组在 Fourier 变换下自然地过渡到正交扩展态基组. Proof 若局域轨道满足正交归一 \(\langle \phi_{\mathbf{R}} | \phi_{\mathbf{R}'} \rangle=\delta_{\mathbf{R}\mathbf{R}'}\), 则
\[\langle \phi_{\mathbf{k}} | \phi_{\mathbf{k}'} \rangle = \frac{1}{N_{\mathrm{c}}} \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}-\mathbf{k}'\cdot\mathbf{R}')} \langle \phi_{\mathbf{R}} | \phi_{\mathbf{R}'} \rangle = \frac{1}{N_{\mathrm{c}}} \sum_{\mathbf{R}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{R}} = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\]
其中最后一步利用了晶格点阵的完备性关系
\[\frac{1}{N_{\mathrm{c}}} \sum_{\mathbf{R}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} = \sum_{\mathbf{G}} \delta_{\mathbf{q},\mathbf{G}}\]
Remark 原子轨道基组 \(\phi_{\mathbf{R}}\) 的不完备性意味着 TB 模型本质上是低能有效理论: 它通过截断高能轨道来简化计算, 以描述低能量过程.

由于晶体 Hamiltonian 与格矢平移算符对易, \(H|\phi_{\mathbf{k}'}\rangle\) 仍是波矢为 \(\mathbf{k}'\) 的 Bloch 函数(并未假设 \(|\phi_{\mathbf{k}}\rangle\) 是 \(H\) 的本征态). 因此 \(H\) 的矩阵元在波矢空间严格对角

\[\langle \phi_{\mathbf{k}}|H|\phi_{\mathbf{k}'}\rangle = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}H_{\mathbf{k}}\]

对角元可由 Fourier 变换导出

\[H_{\mathbf{k}} = \langle \phi_{\mathbf{k}}|H|\phi_{\mathbf{k}}\rangle = \frac{1}{N_{\mathrm{c}}} \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}')} \langle \phi_{\mathbf{R}}|H|\phi_{\mathbf{R}'}\rangle = \sum_{\mathbf{R}} t_{\mathbf{R}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

其中跃迁积分 \(t_{\mathbf{R}}=\langle \phi_{\mathbf{R}}|H|\phi_{\mathbf{0}}\rangle\). 因此TB Hamiltonian 在 \(\mathbf{k}\) 空间和实空间中分别可以写为

\[H = \sum_{\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} H_{\mathbf{k}} |\phi_{\mathbf{k}}\rangle\langle \phi_{\mathbf{k}}| \Longleftrightarrow H = \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} t_{\mathbf{R}-\mathbf{R}'} |\phi_{\mathbf{R}}\rangle\langle \phi_{\mathbf{R}'}|\]

Proposition 由晶体平移不变性保证跃迁积分 \(t_{\mathbf{R}}=\langle \phi_{\mathbf{R}}|H|\phi_{\mathbf{0}}\rangle\) 仅依赖于相对格矢 \(\mathbf{R}\). Proof 局域轨道在平移下满足 \[T_\mathbf{a}|\phi_\mathbf{R}\rangle=|\phi_{\mathbf{R}-\mathbf{a}}\rangle\] Hamiltonian 满足平移不变, 即 \(T_{\mathbf{a}}^{-1}HT_{\mathbf{a}}=H\). 从而矩阵元 \[\langle\phi_{\mathbf{R}}|H|\phi_{\mathbf{R}^{\prime}}\rangle=\langle\phi_{\mathbf{0}}|H|\phi_{\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}}\rangle\] 从而矩阵元只依赖格点相对位矢. 于是可以定义 \[t_{\mathbf{R}-\mathbf{R}^{\prime}}=\langle\phi_{\mathbf{R}-\mathbf{R}^{\prime}}|H|\phi_0\rangle \implies t_\mathbf{R}=\langle\phi_\mathbf{R}|H|\phi_\mathbf{0}\rangle\]

多原子/多轨道原胞体系. 每个原胞内含多个原子, 各原子贡献多个局域轨道. 用双重指标 \((i,\mathbf{R})\) 标记位于格点 \(\mathbf{R}\) 处的第 \(i\) 个轨道.

正方晶格上的多轨道 TB 模型.

轨道正交归一条件推广为

\[\langle \phi_{i\mathbf{R}} | \phi_{j\mathbf{R}'} \rangle = \delta_{ij}\delta_{\mathbf{R}\mathbf{R}'}\]

此时 TB Hamiltonian 的一般形式为

\[H = \sum_{i,\mathbf{R};j,\mathbf{R}'} t_{ij}(\mathbf{R}-\mathbf{R}') |\phi_{i\mathbf{R}}\rangle\langle \phi_{j\mathbf{R}'}|\]

其中跃迁积分需满足厄米条件 \(t_{ij}(\mathbf{R}-\mathbf{R}')=t_{ji}(\mathbf{R}'-\mathbf{R})^*\), 且仍仅依赖相对格矢.

仍可通过推广的 Fourier 变换构造 Bloch 基组

\[|\phi_{i\mathbf{k}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{c}}}} \sum_{\mathbf{R}} |\phi_{i\mathbf{R}}\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \Longleftrightarrow |\phi_{i\mathbf{R}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{c}}}} \sum_{\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} |\phi_{i\mathbf{k}}\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

Hamiltonian 在波矢空间退化为分块对角形式

\[H = \sum_{\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} \sum_{i,j} |\phi_{i\mathbf{k}}\rangle H_{ij}(\mathbf{k}) \langle \phi_{j\mathbf{k}}|, \qquad H_{ij}(\mathbf{k}) = \sum_{\mathbf{R}} t_{ij}(\mathbf{R}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

TB 模型的能带结构本质是不同轨道间量子隧穿过程的相干叠加. 对于含 \(n\) 个轨道的原胞, 每个 \(\mathbf{k}\) 点对应一个 \(n\times n\) 厄米矩阵; 其本征值给出 \(n\) 条能带, 本征矢则描述轨道杂化模式.

5.4.3 Second Quantization

基于 TB model, 可以把单电子跃迁过程改写成多体 Fock 空间中的算符.

\(|y\rangle\langle x|\) 表示电子从轨道 \(x\) 跃迁到轨道 \(y\), 其二次量子化形式为 \(c_y^\dagger c_x\).

二次量子化中的跃迁过程.

引入由占据数标记的多体基矢

\[|n_1 n_2 \cdots n_L\rangle = \left(c_1^\dagger\right)^{n_1} \left(c_2^\dagger\right)^{n_2} \cdots \left(c_L^\dagger\right)^{n_L} |0\rangle\]

真空态满足 \(c_x|0\rangle=0\). 下面考虑 Fermion, \(n_x=0,1\). 其多体态可展开为

\[|\Psi(t)\rangle = \sum_{n_1,\cdots,n_L} C(n_1,\cdots,n_L,t) |n_1\cdots n_L\rangle\]

在 Fock 空间中, Fermi 子产生与湮灭算符满足 \[\{ c_x, c_y^\dagger \} = \delta_{xy} \qquad \{ c_x, c_y \} = 0\] 因此 \((c_x^\dagger)^2=0\)(即同一轨道禁止双占据). 更具体地 \[c_x^\dagger |\cdots 0_x \cdots\rangle = (-1)^{N_{\lt x}} |\cdots 1_x \cdots\rangle \qquad c_x |\cdots 1_x \cdots\rangle = (-1)^{N_{\lt x}} |\cdots 0_x \cdots\rangle\] 其中 \(N_{\lt x}=\sum_{y\lt x}n_y\) 统计排序中位于 \(x\) 左侧的占据数, 该相位保证多体波函数的反对称性.

无相互作用体系 粒子数守恒

\[\hat{H} = \sum_{x,y} H_{xy} c_x^\dagger c_y\]

由于单粒子矩阵 \(H\) 是厄米的, 可写成

\[H = U E U^\dagger \implies H_{xy} = \sum_n \varepsilon_n U_{xn}U_{yn}^*\]

从而可定义新的 Fermi 算符

\[a_n^\dagger = \sum_x c_x^\dagger U_{xn} \qquad a_n = \sum_x c_x U_{xn}^*\]

使得 Hamiltonian 对角化为

\[\hat{H} = \sum_n \varepsilon_n a_n^\dagger a_n\]

无论体系是否守恒粒子数, Hamiltonian 每一项都须包含偶数个 Fermi 算符. 这是因为可观测量必须是 Bose 型算符, 而奇数个 Fermi 算符的乘积无法满足此要求. 因此即使在超导中出现 \(c_{x\uparrow}^\dagger c_{x\downarrow}^\dagger+\mathrm{H.c.}\) 这类配对项, 每一项仍然只含两个产生或两个湮灭算符.

对平移不变的 Bravais Lattice, 各格点 \(\mathbf{R}\) 处定义正交归一局域轨道, 则 TB 的二次量子化 Hamiltonian

\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{R},\mathbf{R}'} t(\mathbf{R}-\mathbf{R}') c_{\mathbf{R}}^\dagger c_{\mathbf{R}'}\]

这里 \(N=N_c\) 为所选单轨道模型的格点数. 作 Fourier 变换

\[c_{\mathbf{k}}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R}} c_{\mathbf{R}}^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \Longleftrightarrow c_{\mathbf{R}}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} c_{\mathbf{k}}^\dagger \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

Hamiltonian 对角化为

\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k}} \varepsilon_{\mathbf{k}} c_{\mathbf{k}}^\dagger c_{\mathbf{k}}, \qquad \varepsilon_{\mathbf{k}} = \sum_{\mathbf{R}} t(\mathbf{R})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

\(\mathbf{k}\) 空间中的每个模都对应一个独立的 Fermi 子单粒子态, 因而零温基态由所有能量低于 Fermi 能的 \(\mathbf{k}\) 态依次填充得到, 即 Fermi 海

\[|\Phi\rangle = \prod_{\varepsilon_{\mathbf{k}}\lt\varepsilon_{\mathrm{F}}} c_{\mathbf{k}}^\dagger |0\rangle\]

其中乘积顺序需要固定, 以避免由 Fermi 反对易关系引起的整体相位歧义.

Remark 二次量子化对无相互作用问题只是改写, 但对后续加入电子-电子相互作用、超导配对和多体理论至关重要.

5.4.4 Wannier Functions

在 TB 近似中, 局域轨道基组的正交归一性通常作为 ansätze 直接引入. 对全空间归一的晶体本征态, Wannier 变换严格给出正交基; 良好空间局域性还取决于能带子空间及规范的光滑性.

若 \(|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle\) 是满足周期规范的 Bloch 本征态, 则 Wannier 函数定义为

\[|w_{n\mathbf{R}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{c}}}} \sum_{\mathbf{k}} |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

容易证明它们满足正交归一

\[\langle w_{n\mathbf{R}} | w_{n'\mathbf{R}'} \rangle = \frac{1}{N_c}\sum_\mathbf{k}e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{R}-\mathbf{R}^{\prime})}\delta_{nn^{\prime}} = \delta_{nn'}\delta_{\mathbf{R}\mathbf{R}'}\]

Remark 形式上与 Bloch 求和构造相似, 但这里的 \(|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle\) 是晶体 Hamiltonian 的本征态, 而 \(|\phi_{i\mathbf{k}}\rangle\) 一般只是由局域轨道构造出的试探基组, 并不一定是本征函数.
对良好局域的规范, \( |w_{n\mathbf{R}}(\mathbf{r})|^2 \) 描述相应 Wannier 轨道的密度分布; Wannier 中心可位于胞内原子或键中心, 不必恰在 Bravais 格点.

更一般地, 可引入满足 \(U(\mathbf{k}+\mathbf{G})=U(\mathbf{k})\) 的周期幺正变换, 定义

\[|w_{a\mathbf{R}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{c}}}} \sum_{n,\mathbf{k}} U_{na}(\mathbf{k}) |\psi_{n\mathbf{k}}\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\]

这种变换保持正交归一性, 但引入了规范自由度. 通过适当选择 \(U(\mathbf{k})\), 可以进一步优化 Wannier 函数的空间局域性, 例如构造最大局域化 Wannier 函数.

对二维或三维、与其他能带由隙隔离的能带组, Chern 数消失允许选择光滑规范并构造指数局域的 Wannier 基; 非零 Chern 数则构成障碍.² 周期但不光滑的任意规范并不保证局域性. 某些其他拓扑体系的障碍还取决于是否要求 Wannier 基保持额外对称性.

5.5 Model Examples

5.5.1 Single-Orbital Tight-Binding Models and Density of States

一维单原子链 以下取实跃迁幅度 \(t\gt0\), 最近邻 TB Hamiltonian

\[H = -t\sum_x \bigl( |x\rangle\langle x+a| + |x+a\rangle\langle x| \bigr)\]

通过 Bloch 基组可将其对角化为

\[H = \sum_k \varepsilon_k |k\rangle\langle k|, \qquad \varepsilon_k = -2t\cos(ak)\]

一维单原子 TB 模型.

零温时单位长度电子数密度(\(L=N_ca\))
\[\frac{N_{\mathrm{e}}}{L} = \frac{g_{\mathrm{s}}}{L} \sum_{\varepsilon_k\le\varepsilon_{\mathrm{F}}} 1 = \frac{2}{\pi}|k_{\mathrm{F}}|, \qquad g_{\mathrm{s}}=2\]
每个原子恰贡献一个电子时, 体系处于半填充状态, 相应
\[k_{\mathrm{F}} = \pm \frac{\pi}{2a}, \qquad \varepsilon_{\mathrm{F}}=0\]
此时 Fermi 能级位于能带中央.
任意温度下单位长度电子数密度
\[\frac{N_{\mathrm{e}}}{L} = g_{\mathrm{s}} \int_{-\pi/a}^{\pi/a} \frac{\mathrm{d}k}{2\pi} f^0(\varepsilon_k) = g_{\mathrm{s}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\varepsilon\, g(\varepsilon)f^0(\varepsilon)\]
\(f^0(\varepsilon)\) 为 F.D. 分布函数. 态密度由 \(\delta\)-函数换元得到
\[g(\varepsilon) = \int \frac{\mathrm{d}k}{2\pi} \delta(\varepsilon-\varepsilon_k) = \frac{\theta(2t-|\varepsilon|)} {\pi a \sqrt{4t^2-\varepsilon^2}}\]
- Remark 该表达式也可由变量替换直接得到, 关键是保留 Jacobian \( |\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}k|^{-1} \). 在 \(\varepsilon=\pm 2t\) 处出现 van Hove 奇点, 是因为带边 \(\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}k=0\), 使态密度因 Jacobian 而发散.
- Remark 一维体系 van Hove 奇点表现为真正发散, 高维时会转化为对数发散或导数不连续等其他临界行为, 进一步影响材料的热容、输运与光学响应等物理性质.

视 TB model 为连续 Schrödinger 方程的格点离散化. 记 \(|\psi\rangle=\sum_x \psi(x)|x\rangle\), 则

\[H|\psi\rangle = -2t\sum_x \psi(x)|x\rangle - t\sum_x \bigl[ \psi(x+a)-2\psi(x)+\psi(x-a) \bigr]|x\rangle\]

在长波极限下近似得到等效连续方程

\[\left( -2t - \frac{\hbar^2}{2m_*}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \right)\psi(x) = \varepsilon \psi(x), \qquad m_*^{-1} = \frac{2a^2 t}{\hbar^2}\]

跃迁参数 \(t\) 在低能极限下直接决定了电子的有效质量 \(m_{*}\).

\(d\) 维简单立方晶格 最近邻 TB 色散关系为

\[\varepsilon_{\mathbf{k}} = -2t\sum_{l=1}^d \cos(ak_l)\]

二维 van Hove 奇点: 以二维正方晶格为例
\[g(\varepsilon) = \frac{ K\!\left(\sqrt{1-(\varepsilon/4t)^2}\right) }{2\pi^2 a^2 t}\]
此式在 \(|\varepsilon|\lt4t\) 内成立, 带外态密度为 0. \(K(k)=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\, [1-k^2\sin^2\theta]^{-1/2}\) 为以模量 \(k\) 为参量的第一类完全椭圆积分, \(g\) 不含自旋简并因子. \(\varepsilon\to 0\) 时 \(g(\varepsilon)\) 对数发散.
三维 van Hove 奇点: 以三维简单立方晶格为例
\[g(\varepsilon) = \frac{1}{\pi a} \int_0^\pi\mathrm{d}\phi\, g_{2\mathrm{D}}(\varepsilon+2t\cos\phi)\]
其中 \(g_{2\mathrm{D}}\) 是上一条给出的单位面积态密度, 并在带外取 0. 此卷积在 \(|\varepsilon|\gt6t\) 时为 0, 总积分为 \(1/a^3\); 三维鞍点处态密度本身有限, 导数具有非解析临界行为.

单轨道 TB 模型的态密度示意, 上图为二维方格子, 下图为三维简单立方格子.

图中跃迁标度 \(t_{\mathrm{fig}}=2t\), 故其带边标作 \(\pm2t_{\mathrm{fig}}\)、\(\pm3t_{\mathrm{fig}}\); 本文 \(\varepsilon=-2t\sum_l\cos(ak_l)\) 的带边则是 \(\pm4t\)、\(\pm6t\).

5.5.2 One-Dimensional Diatomic Chain

一维双原子链. 设原胞长度为 \(2a\), 每个原胞包含两个不同轨道.

一维双原子链 TB 模型.

把 \(p_y\) 轨道放在 \(x=2na\), 把 \(d_{xy}\) 轨道放在奇数格点附近. 由于 \(p_y\) 为奇宇称而 \(d_{xy}\) 为偶宇称, 最近邻跃迁矩阵元应该具有中心反演对称性

\[t = \int p_y(\mathbf{r}-\mathbf{a}) H d_{xy}(\mathbf{r}) \mathrm{d}\mathbf{r} = -\int p_y(\mathbf{r}+\mathbf{a}) H d_{xy}(\mathbf{r}) \mathrm{d}\mathbf{r}\]

\(H\) 是单电子 Hamiltonian. 作 \(\mathbf{r}\mapsto-\mathbf{r}\) 后, \(p_y\) 轨道变号, 因而 \(d_{xy}\) 向左、向右的最近邻跃迁振幅相差一个负号. 因此实空间 Hamiltonian 可写为

\[\hat{H} = \sum_x \Delta \left( p_x^\dagger p_x - d_x^\dagger d_x \right) + t\left( p_x^\dagger d_x - p_{x+2a}^\dagger d_x + \mathrm{H.c.} \right)\]

\(x=2na\) 标记原胞, \(d_x\) 位于该原胞内的 \(x+a\), 并取实 \(t\). \(\Delta\) 是两种轨道在位能差的一半, 轨道奇偶性体现为正负号交替的跃迁结构. 以下 Fourier 归一化中的 \(L\) 表示原胞数, 而非上一小节的物理长度. 引入 Fourier 变换, 定义旋量 \(\psi_k= [p_k, d_k]^T\), 动量空间 Hamiltonian 写成

\[p_k^\dagger = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}k2na} p_{2na}^\dagger \qquad d_k^\dagger = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}k2na} d_{2na}^\dagger\]

\[\hat{H} = \sum_k \psi_k^\dagger \begin{bmatrix} \Delta & t_k \\ t_k^* & -\Delta \end{bmatrix} \psi_k \qquad t_k = t\left(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2ak}\right)\]

其本征值为

\[\varepsilon_k^\pm = \pm \sqrt{ \Delta^2 + |t_k|^2 } = \pm \sqrt{ \Delta^2 + 4t^2 \sin^2(ka) }\]

\(k=0\) 处两支能带之间存在 \(2|\Delta|\) 的能隙(\(\Delta\neq0\)). 原胞内部自由度与在位能差共同把能带分裂成两支.

双原子链的能带和态密度.

计入自旋简并 \(g_{\mathrm{s}}=2\) 且 \(\Delta\neq0\) 时, 每个原胞两个电子恰填满下带, Fermi 能级落在带隙中, 低能激发必须跨越有限能隙, 因而体系表现为绝缘体; 当 \(\Delta=0\) 时, 能隙闭合, 可发生金属-绝缘体转变.

5.5.3 Tight-Binding Model of Graphene

石墨烯的蜂窝格子 A、B 两个三角子格子组成. 碳原子 \(p_z\) 轨道形成的 \(\pi\) 键体系, 由于对称性选择规则, \(p_z\) 轨道与 \(s\)、\(p_x\)、\(p_y\) 轨道之间可以近似忽略有效杂化, 因而低能电子结构主要由 \(p_z\) 轨道决定.

石墨烯 TB 模型.

以下省略自旋标签, 取 \(t\gt0\). 两个子格在位能为 \(\pm\Delta\); 理想本征石墨烯取 \(\Delta=0\). 只保留最近邻跃迁时, 实空间 Hamiltonian 可写为

\[H = \sum_{\mathbf{R}} \Delta \left( a_{\mathbf{R}}^\dagger a_{\mathbf{R}} - b_{\mathbf{R}}^\dagger b_{\mathbf{R}} \right) - t \sum_{\mathbf{R}} \sum_{i=1}^3 \left( a_{\mathbf{R}}^\dagger b_{\mathbf{R}+\mathbf{R}_i} + \mathrm{H.c.} \right)\]

与 A 原子相连的三个 B 原子所在原胞的最近邻位移可取为

\[\mathbf{R}_1 = 0 \qquad \mathbf{R}_2 = -\mathbf{a}_1 \qquad \mathbf{R}_3 = -\mathbf{a}_2\]

定义 Bloch 旋量, 动量空间 Hamiltonian 写为

\[H = \sum_{\mathbf{k}} \psi_{\mathbf{k}}^\dagger \begin{bmatrix} \Delta & t_{\mathbf{k}} \\ t_{\mathbf{k}}^* & -\Delta \end{bmatrix} \psi_{\mathbf{k}} \qquad \psi_{\mathbf{k}} = \begin{bmatrix} a_{\mathbf{k}} \\ b_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}\]

\[t_{\mathbf{k}} = -t \left( 1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_1} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_2} \right)\]

对应能带为

\[\varepsilon_{\mathbf{k}}^\pm = \pm\sqrt{\Delta^2 + |t_{\mathbf{k}}|^2}\]

在本征石墨烯 \(\Delta=0\) 的情况下

\[\varepsilon_{\mathbf{k}}^\pm = \pm t \sqrt{ 3 + 2\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_1) + 2\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_2) + 2\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot(\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2)\bigr) }\]

同时在 Brillouin 区不等价顶角 \(\mathrm{K}\) 与 \(\mathrm{K}'\) 有 \(t_{\mathbf{k}}=0\). 可取 \(\mathbf{K}=(\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2)/3\), 而 \(\mathbf{K}'=-\mathbf{K}\) 在模倒格矢意义下等价. 能带在这些点闭合.

石墨烯 p_z 轨道的能带结构和态密度.

零能处态密度满足 \(g(\varepsilon)\propto |\varepsilon|\), 因而本征石墨烯并非常规金属, 而是 Fermi 面退化为离散点的半金属. 这种粒子-空穴对称且零能态密度消失的结构, 正是蜂窝格子双子格自由度的直接结果.

在 \(\mathrm{K}\) 点附近令 \(\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{K}\). 记 \(a=|\mathbf{a}_1|=|\mathbf{a}_2|\) 为三角 Bravais 格子的原始格矢长度, 碳-碳最近邻距离为 \(a/\sqrt{3}\). 在 \(\Delta=0\) 且 \(a|\mathbf{q}|\ll1\) 时, 低能展开得到

\[\varepsilon_{\mathbf{q}}^\pm \simeq \pm \hbar v_{\mathrm{F}} |\mathbf{q}| \qquad v_{\mathrm{F}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{at}{\hbar}\]

这就是无质量 Dirac 锥. 它得名于低能 Hamiltonian 与二维无质量 Dirac 方程同构: 两个子格自由度充当赝自旋, 能量随 \(|\mathbf{q}|\) 线性变化, 上下两支能带在 Dirac 点形成锥形接触.

在 \(K'\) 点附近也会得到等价的低能展开, 因而石墨烯的低能激发整体上表现出二维 Dirac Fermi 子的动力学特征, 成为凝聚态体系中研究相对论型量子效应的典型平台.

石墨烯低能 Dirac 色散.

References

TDEP, extract forceconstants, “Force constant symmetries” 小节: 二阶、三阶旋转不变性与 Huang 条件. ↩︎ ↩︎
N. Marzari et al., Maximally localized Wannier functions: Theory and applications, Sections II.A, II.G, 光滑规范与 Chern 障碍. ↩︎ ↩︎

Solid-State Physics - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

6 Boltzmann Transport Theory

6.1 Bloch Electron Dynamics

考虑处于态 \(|\mathbf{k}\rangle\) 的电子, 其本征能量为 \(\varepsilon_{\mathbf{k}}^0\), 动量为 \(\hbar\mathbf{k}\). 当施加外势场 \(V(\mathbf{r})\) 时, 位置和动量期望值的时间演化

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\langle \mathbf{r}\rangle}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle \left[ H, \mathbf{r} \right] \right\rangle = \frac{\langle \mathbf{p}\rangle}{m}\\ \frac{\mathrm{d}\langle \mathbf{p}\rangle}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle \left[ H, \mathbf{p} \right] \right\rangle = -\langle \nabla V(\mathbf{r})\rangle \end{aligned}\]

若波包中心位于实空间 \(\mathbf{r}\) 与动量空间 \(\mathbf{k}\), 其运动方程可写为

\[\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}_{\mathbf{k}}^0, \qquad \hbar\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}(\mathbf{r})\]

其中 \(\mathbf{v}_{\mathbf{k}}^0=\hbar\mathbf{k}/m\) 为自由电子群速度, \(\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r})\) 为外场作用力.

推广到晶格中的 Bloch 电子时, \(\hbar\mathbf{k}\) 不再是真实动量, 而是晶体准动量. 因此, 它是否仍满足类似的加速规律需要重新论证.
更重要的是, 周期性晶格势会修正电子速度, 使速度不再简单正比于准动量.

6.1.1 Effective Mass Theory

为建立外场中 Bloch 电子的运动方程, 需要先构造缓变外势下的有效 Hamiltonian, 引入有效质量理论.

考虑无相互作用晶体 Hamiltonian \(H\) 与外势场 \(V(\mathbf{r})\) 共同作用的体系, 电子态满足

\[\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = (H+V)|\psi(t)\rangle\]

以 Bloch 态 \(\{|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle\}\) 为基底展开
\[|\psi(t)\rangle = \sum_{n\mathbf{k}} f_{n\mathbf{k}}(t)|\psi_{n\mathbf{k}}\rangle\]
这里采用原胞内归一化约定
\[\langle\psi_{n\mathbf{k}}|\psi_{n'\mathbf{k}'}\rangle_{\mathrm{full}} = N_{\mathrm{c}}\delta_{nn'}\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}, \qquad \langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}}\rangle_{\mathrm{cell}} = \delta_{nn'}\]
展开系数满足
\[\mathrm{i}\hbar\frac{\partial f_{n\mathbf{k}}}{\partial t} = \varepsilon_{n\mathbf{k}}f_{n\mathbf{k}} + \frac{1}{N_{\mathrm{c}}} \sum_{n'\mathbf{k}'} \langle\psi_{n\mathbf{k}}|V|\psi_{n'\mathbf{k}'}\rangle f_{n'\mathbf{k}'}\]
有效质量近似 要求外势 \(V(\mathbf{r})\) 在晶格尺度上缓慢变化, 即其傅里叶分量 \(V(\mathbf{q})\) 只在 \(|\mathbf{q}|\) 远小于倒格矢模长时有显著强度. 外势矩阵元为
\[\begin{aligned} \langle\psi_{n\mathbf{k}}|V|\psi_{n'\mathbf{k}'}\rangle &= \int_{\mathrm{full}}\mathrm{d}\mathbf{r}\, u_{n\mathbf{k}}^*(\mathbf{r}) u_{n'\mathbf{k}'}(\mathbf{r}) V(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{r}}\\ &= \sum_{\mathbf{G},\mathbf{G}'} u_{n\mathbf{k}}^*(\mathbf{G}) u_{n'\mathbf{k}'}(\mathbf{G}') \int_{\mathrm{full}}\mathrm{d}\mathbf{r}\, V(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}'+\mathbf{G}-\mathbf{G}')\cdot\mathbf{r}}\\ &= \sum_{\mathbf{G},\mathbf{G}'} u_{n\mathbf{k}}^*(\mathbf{G}) u_{n'\mathbf{k}'}(\mathbf{G}') V(\mathbf{k}-\mathbf{k}'+\mathbf{G}-\mathbf{G}') \end{aligned}\]
在弱场或短时演化条件下, 只需考虑 \(\mathbf{k}'\) 接近 \(\mathbf{k}\) 的贡献. 此时 \(|\mathbf{k}-\mathbf{k}'|\ll|\mathbf{G}|\), 有效质量近似给出
\[\left|V(\mathbf{k}-\mathbf{k}'+\mathbf{G})\right| \ll \left|V(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\right|, \qquad \mathbf{G}\neq 0\]
因此可以忽略倒逆散射(Umklapp scattering)过程, 得到
\[\begin{aligned} \langle\psi_{n\mathbf{k}}|V|\psi_{n'\mathbf{k}'}\rangle &\approx \sum_{\mathbf{G}} u_{n\mathbf{k}}^*(\mathbf{G}) u_{n'\mathbf{k}'}(\mathbf{G}) V(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\\ &= \frac{1}{\mathcal{V}_{\mathrm{c}}} \langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}'}\rangle V(\mathbf{k}-\mathbf{k}') \end{aligned}\]
其中 \(\mathcal{V}_{\mathrm{c}}\) 为原胞体积. 代回系数方程, 可得
\[\mathrm{i}\hbar\frac{\partial f_{n\mathbf{k}}}{\partial t} = \varepsilon_{n\mathbf{k}}f_{n\mathbf{k}} + \sum_{n'} \int\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}'}{(2\pi)^d}\, V(\mathbf{k}-\mathbf{k}') \langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}'}\rangle f_{n'\mathbf{k}'}\]
若外势导致的 \(\mathbf{k}\) 空间涨落有限, 可把相邻 \(\mathbf{k}\) 点处的周期部分内积展开到一阶:
\[\langle u_{n\mathbf{k}}|u_{n'\mathbf{k}'}\rangle = \delta_{nn'} + \mathrm{i}\mathbf{A}_{nn'}(\mathbf{k}')\cdot(\mathbf{k}-\mathbf{k}') +O(|\mathbf{k}-\mathbf{k}'|^2), \qquad \mathbf{A}_{nn'}(\mathbf{k}) = \mathrm{i} \langle u_{n\mathbf{k}}|\nabla_{\mathbf{k}}u_{n'\mathbf{k}}\rangle\]
令 \(\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{k}'\), 上式改写为
\[\mathrm{i}\hbar\frac{\partial f_{n\mathbf{k}}}{\partial t} = \varepsilon_{n\mathbf{k}}f_{n\mathbf{k}} + \sum_{n'} \int\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{(2\pi)^d}\, V(\mathbf{q}) \left[ \delta_{nn'} + \mathrm{i}\mathbf{A}_{nn'}(\mathbf{k}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{q} \right] f_{n',\mathbf{k}-\mathbf{q}}\]
通过傅里叶变换
\[f_{n\mathbf{k}}(t) = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} f_n(\mathbf{r},t)\]
并使用对应关系 \(g(\mathbf{k})f(\mathbf{k})\leftrightarrow g(-\mathrm{i}\nabla)f(\mathbf{r})\), 得到实空间动力学方程
\[\mathrm{i}\hbar\partial_t f_n(\mathbf{r}) = \left[ \varepsilon_n(-\mathrm{i}\nabla) + V(\mathbf{r}) \right]f_n(\mathbf{r}) + \nabla V(\mathbf{r})\cdot \sum_{n'} \mathbf{A}_{nn'}(-\mathrm{i}\nabla) f_{n'}(\mathbf{r})\]

因此, 外场中 Bloch 电子的有效 Hamiltonian 可写为

\[H_{nn'}(-\mathrm{i}\nabla,\mathbf{r}) = \left[ \varepsilon_n(-\mathrm{i}\nabla) + V(\mathbf{r}) \right]\delta_{nn'} + \nabla V(\mathbf{r})\cdot \mathbf{A}_{nn'}(-\mathrm{i}\nabla)\]

这里仅保留外势梯度的一阶项, 并在局域光滑的 Bloch 规范中使用包络表象. 对非均匀外势, 可将梯度耦合写成对称算符乘积; 与当前写法的差别属于被忽略的更高阶梯度. 忽略带间耦合还要求外场诱导的跃迁远小于带隙, 不能只凭外势缓变便断言单带近似成立.

这个多带 Hamiltonian 仍然很复杂.

若也忽略第二项中的带间耦合, 则第 \(n\) 条能带的单带 Hamiltonian 为
\[H_n(-\mathrm{i}\nabla,\mathbf{r}) = \varepsilon_n(-\mathrm{i}\nabla) + V(\mathbf{r}) + \nabla V(\mathbf{r})\cdot \mathbf{A}_n(-\mathrm{i}\nabla)\]
其中 \(\mathbf{A}_n(\mathbf{k})\equiv\mathbf{A}_{nn}(\mathbf{k})\). 但 \(\mathbf{A}_n\) 并非规范不变量. 在规范变换下
\[|u_{n\mathbf{k}}\rangle \to \mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi_n(\mathbf{k})}|u_{n\mathbf{k}}\rangle \qquad \mathbf{A}_n(\mathbf{k}) \to \mathbf{A}_n(\mathbf{k}) - \nabla_{\mathbf{k}}\chi_n(\mathbf{k})\]
这反映了电极化与电场耦合中的规范自由度; 周期规范 \(\chi_n(\mathbf{k}+\mathbf{G})=\chi_n(\mathbf{k})\) 保证晶格平移对称性.
标量有效质量近似 下面只考虑单能带并省略能带指标. 将能带色散 \(\varepsilon_{\mathbf{k}}\) 在极值点 \(\mathbf{k}_0\) 附近 Taylor 展开, 令 \(\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{k}_0\), 有
\[\varepsilon_{\mathbf{k}} \approx \varepsilon_{\mathbf{k}_0} + \frac{\hbar^2}{2} [m_*^{-1}]_{\alpha\beta}q_\alpha q_\beta, \qquad [m_*^{-1}]_{\alpha\beta} = \frac{1}{\hbar^2} \left. \frac{\partial^2\varepsilon_{\mathbf{k}}} {\partial k_\alpha\partial k_\beta} \right|_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}\]
为消除局域展开中的规范依赖, 选取规范变换
\[\chi(\mathbf{q}) = \sum_\alpha A_\alpha(\mathbf{k}_0)q_\alpha + \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta} \left. \frac{\partial A_\alpha}{\partial k_\beta} \right|_{\mathbf{k}_0} q_\alpha q_\beta\]
变换后 Berry 连接的局域线性项成为规范不变形式:
\[\begin{aligned} A_\alpha(\mathbf{q}) &\approx A_\alpha(\mathbf{k}_0) + \sum_\beta \left. \frac{\partial A_\alpha}{\partial k_\beta} \right|_{\mathbf{k}_0} q_\beta\\ &\mapsto - \frac{1}{2} \sum_\beta \left[ \partial_{k_\alpha}A_\beta(\mathbf{k}_0) - \partial_{k_\beta}A_\alpha(\mathbf{k}_0) \right]q_\beta\\ &= - \frac{1}{2} \sum_{\beta\gamma} \epsilon_{\alpha\beta\gamma} \Omega_\gamma(\mathbf{k}_0)q_\beta\\ &= \frac{1}{2} \left[\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k}_0)\times\mathbf{q}\right]_\alpha \end{aligned}\]
其中 Berry 曲率定义为
\[\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k}) = \nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}(\mathbf{k})\]
对于具有立方对称性的 \(\Gamma\) 点附近体系, \(\mathbf{k}_0=0\), 可取标量有效质量近似, 得到单带有效质量 Hamiltonian
\[H = \frac{p^2}{2m_*} + V(\mathbf{r}) + \frac{1}{2\hbar} \nabla V(\mathbf{r})\cdot \left[ \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{p} \right]\]
其中 \(\mathbf{p}=-\mathrm{i}\hbar\nabla\), \(m_*\) 与 \(\boldsymbol{\Omega}\) 均取在 \(\mathbf{k}_0\).

因为 \(\nabla V/e\) 对应外电场, 最后一项形式上类似 SOC(spin-orbit coupling), 但其物理来源是能带几何而非真实自旋; 这种几何耦合会导致后文的反常输运现象.

6.1.2 Equations of Motion

基于外场下第 \(n\) 条能带的单带 Hamiltonian , 先推导均匀电场 \(\mathbf{E}\) 下的运动方程. 考虑

\[H(\mathbf{p},\mathbf{r}) = \varepsilon(\mathbf{p}/\hbar) + e\mathbf{E}\cdot(\mathbf{r}+\mathbf{A}(\mathbf{p}/\hbar))\]

其中 \(\mathbf{r}\) 为正则位置算符而非物理位置算符.

原始 Schrödinger 方程为 \(\mathrm{i}\hbar\partial_t|\psi\rangle=(H_0+e\mathbf{E}\cdot\mathbf{r})|\psi\rangle\). 在规范变换 \(|\psi\rangle=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi}|\tilde{\psi}\rangle\) 下, 演化方程变为
\[\mathrm{i}\hbar\partial_t|\tilde{\psi}\rangle = \left( \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\chi}H_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi} + e\mathbf{E}\cdot\mathbf{r} + \hbar\dot{\chi} \right) |\tilde{\psi}\rangle\]
选取 \(\chi=e\mathbf{a}\cdot\mathbf{r}/\hbar\), 其中矢势 \(\mathbf{a}\) 满足 \(\mathbf{E}=-\partial\mathbf{a}/\partial t\), 即可消去静电势项. 新 Hamiltonian 为
\[\tilde{H} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}e\mathbf{a}\cdot\mathbf{r}/\hbar} H_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}e\mathbf{a}\cdot\mathbf{r}/\hbar}\]
于是有效 Hamiltonian 可重写为规范不变形式
\[\tilde{H} = \varepsilon\!\left(\frac{\mathbf{p}+e\mathbf{a}}{\hbar}\right) + e\mathbf{E}\cdot \mathbf{A}\!\left(\frac{\mathbf{p}+e\mathbf{a}}{\hbar}\right)\]
平面波解对应的规范不变波矢为 \(\mathbf{k}=\mathbf{q}+\frac{e}{\hbar}\mathbf{a}(t)\). 因此得到均匀电场下的波矢演化方程
\[\dot{\mathbf{k}}=-\frac{e}{\hbar}\mathbf{E}\]
为计算电子速度, 引入辅助规范变换
\[\tilde{H}_{\mathbf{k}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} H \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\]
正则位置部分的速度算符为 \(\hat{v}_\alpha(\mathbf{k})=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial\tilde{H}_{\mathbf{k}}}{\partial k_\alpha}\). 取期望值得到
\[\langle\hat{v}_\alpha\rangle(\mathbf{k}) = v_\alpha(\mathbf{k}) - \sum_\beta \dot{k}_\beta \frac{\partial A_\beta(\mathbf{k})}{\partial k_\alpha}\]
但这还不是完整的物理速度.

在 Bloch 表象中, 物理位置算符为 \(\mathbf{r}=\mathrm{i}\partial_{\mathbf{k}}+\mathbf{A}(\mathbf{k})\), 它作用在包络函数 \(f_{\mathbf{k}}\) 上时满足
\[\left[ \mathrm{i}\partial_{\mathbf{k}} + \mathbf{A}(\mathbf{k}) \right]f_{\mathbf{k}} = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \left[ \mathbf{r} + \mathbf{A}(-\mathrm{i}\nabla) \right]f(\mathbf{r})\]
因此完整的单带位置算符为 \(\mathbf{r}+\mathbf{A}(-\mathrm{i}\nabla)\).

前面算出的速度是 \(\mathbf{r}\) 部分的速度; 额外的 Berry 连接部分贡献
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle\mathbf{k}(t)| A_\alpha(-\mathrm{i}\nabla) |\mathbf{k}(t)\rangle = \frac{\mathrm{d}A_\alpha(\mathbf{k}(t))}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial A_\alpha(\mathbf{k})}{\partial k_\beta} \dot{k}_\beta\]
加入这一项后, 得到
\[\dot{r}_\alpha(\mathbf{k}) = v_\alpha(\mathbf{k}) - \dot{k}_\beta \left[ \frac{\partial A_\beta(\mathbf{k})}{\partial k_\alpha} - \frac{\partial A_\alpha(\mathbf{k})}{\partial k_\beta} \right]\]
故均匀电场下的 Bloch 电子运动方程写为
\[\dot{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) = \mathbf{v}(\mathbf{k}) - \dot{\mathbf{k}}\times\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})\]
其中 \(\mathbf{v}(\mathbf{k})=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon(\mathbf{k})\) 是常规群速度.

相较于自由电子, 速度中多出由能带几何决定的修正项 \(\mathbf{v}_{\mathrm{ano}}=-\dot{\mathbf{k}}\times\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})\), 称为反常速度.

只施加电场时, 该速度方向始终垂直于电场方向; 因此即使不存在外磁场, 它也会诱导类 Hall 横向响应, 即反常霍尔效应.

反常速度的物理根源是 Berry 曲率. 在 \(\mathbf{k}\) 空间中, Berry 曲率与 Berry 连接的关系类似实空间中磁场与矢势的关系. 对规范变换 \(|u_{\mathbf{k}}\rangle\mapsto\exp[\mathrm{i}\chi(\mathbf{k})]|u_{\mathbf{k}}\rangle\), Berry 连接的变换为
\[\mathbf{A}(\mathbf{k}) \mapsto \mathbf{A}(\mathbf{k}) - \nabla_{\mathbf{k}}\chi(\mathbf{k})\]
其中 \(\chi(\mathbf{k})\) 是可微周期函数. 因此 \(\mathbf{A}(\mathbf{k})\) 本身不是规范不变量, 但 \(\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}(\mathbf{k})\) 因梯度场旋度为零而保持规范不变.

Berry 相位模 \(2\pi\) 具有规范不变的物理意义. 若能带在曲面 \(\Sigma\) 上孤立, 且可选取覆盖整张曲面的光滑规范, Stokes 定理给出其边界 \(\partial\Sigma\) 上的 Berry 相位. 需要多个规范片时, 还要包含规范片交界的相位跃迁, 不能直接对任意曲面使用单片公式:
\[\gamma = \oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\mathbf{k}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{k}) = \int_\Sigma \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})\]

动量空间中 Berry 相位的 Stokes 定理几何图像.

加入外磁场对应的 Lorentz 力后, 准经典运动方程为

\[\hbar\dot{\mathbf{k}} = - e\mathbf{E} - e\dot{\mathbf{r}}(\mathbf{k})\times\mathbf{B}\]

以上含磁场方程暂忽略波包轨道磁矩与自旋 Zeeman 能. 一阶磁场修正通常还需将色散替换为 \(\varepsilon_M(\mathbf{k})=\varepsilon(\mathbf{k})-\mathbf{m}_{\mathrm{orb}}(\mathbf{k})\cdot\mathbf{B}\), 并用它计算群速度. 磁场会破坏普通空间平移对称性, 因此严格推导含磁场情形需要更细致的处理.¹

一个简化理解是: 将上面的有效 Hamiltonian 中 \(\mathbf{p}/\hbar\) 视作经典变量 \(\mathbf{k}\), 得到 \[\tilde{H}(\mathbf{k},\mathbf{r}) = \varepsilon(\mathbf{k}) + V(\mathbf{r}) + \nabla V\cdot\mathbf{A}(\mathbf{k})\] 再引入电磁矢势 \(\boldsymbol{\mathcal{A}}(\mathbf{r})\), 并对受力项做 Legendre 变换, Hamiltonian 体系可转成 Lagrangian 形式 \[L = \hbar\mathbf{k}\cdot\dot{\mathbf{r}} - \varepsilon(\mathbf{k}) - V(\mathbf{r}) + \hbar\dot{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{k}) - e\dot{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}(\mathbf{r})\] 相应 Euler-Lagrange 方程给出前面的准经典运动方程.

6.2 Semiclassical Motion of Band Electrons

Bloch 电子的准经典运动方程本质上描述能带波包的动力学. 该理论成立的关键条件是外加电磁势在晶格尺度上缓变, 典型约束可写为
\[eEa\ll\frac{E_{\mathrm{gap}}^2}{\varepsilon_{\mathrm{F}}}, \qquad \hbar\omega_{\mathrm{c}} \ll \frac{E_{\mathrm{gap}}^2}{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\]
这里的能隙约束是避免相邻能带间非绝热跃迁的典型估计, 不是任意能带的通用充分条件; \(E_{\mathrm{gap}}\) 应取波包沿途与其他能带的最小分离. 还要求波包窄于外场变化尺度, \(a\ll\ell_B\), 并避开单带简并点. 当前近似保留能带色散 \(\varepsilon(\mathbf{k})\) 与 Berry 曲率 \(\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})\); 若计算磁矩等响应, 还需相应的波包几何信息.

这种用经典相空间轨道描述量子波包动力学的框架称为准经典理论.

6.2.1 Constant Electric Field

处于恒定电场中时, 电子准动量随时间线性演化:

\[\mathbf{k}(t) = \mathbf{k}(0) - \frac{e}{\hbar}\mathbf{E}t\]

电子速度为

\[\dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{v}(\mathbf{k}(t)) + \frac{e}{\hbar} \mathbf{E}\times \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k}(t))\]

第二项是电场诱导的横向速度分量.

先看有效质量的动力学意义, 暂时令 \(\boldsymbol{\Omega}=0\), 只保留群速度项. 电子加速度由链式法则给出
\[\ddot{r}_\alpha = \frac{\partial v_\alpha}{\partial k_\beta}\dot{k}_\beta = \sum_\beta [m_*^{-1}]_{\alpha\beta}(-eE_\beta)\]
这说明有效质量张量 \([m_*^{-1}]_{\alpha\beta}\) 在动力学方程中扮演质量倒数的角色, 对应经典关系 \(\mathbf{a}=\mathbf{F}/m\).

由 \(\dot\varepsilon=(\nabla_\mathbf{k}\varepsilon)\cdot\dot{\mathbf{k}}=-e\mathbf{E}\cdot\dot{\mathbf{r}}\), 在恒定电场下积分得到
\[\mathbf{E}\cdot[\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0)] =-\frac{\varepsilon(\mathbf{k}(t))-\varepsilon(\mathbf{k}_0)}{e}.\]
对于非零电场, 该关系只约束沿电场方向的位移, 不能据此确定横向位移. Remark 有效质量张量不一定正定. 由于 \(m_*\) 是对称张量, 可通过正交变换对角化为
\[M^{\mathsf{T}}m_*^{-1}M = \begin{pmatrix} m_1^{-1} & 0 & 0\\ 0 & m_2^{-1} & 0\\ 0 & 0 & m_3^{-1} \end{pmatrix}\]
其中 \(m_i\) 是沿局域主轴方向的有效质量分量. 在这些主轴坐标下, 能带色散的二次展开式为
\[\varepsilon_{\mathbf{k}}-\varepsilon_{\mathbf{k}_0} \approx \sum_{i=1}^3 \frac{\hbar^2(k_i-k_{0i})^2}{2m_i}\]
- 当各有效质量分量同号时, 等能面为椭球等能面, 如 Si 导带六个能谷附近的电子口袋.
- 若有效质量分量异号, 例如 \(m_1,m_2>0\) 而 \(m_3\lt 0\), 等能面会变成双曲面等能面. 这种情形常见于费米面与 Brillouin 区边界相交的位置.
- 对于负质量, 外场产生反常加速. 物理上对应电子接近 Bragg 面(Bragg plane) 时经历强 Bragg 反射(Bragg reflection), 动量反转概率增加.
- 某方向有效质量趋向无穷大时, 该方向的局域二阶曲率为零, 群速度对该方向外力的线性加速度响应消失. 单点曲率为零不代表整条能带是平带(flat band); Berry 反常速度也不由有效质量决定.
Bloch 振荡 若电场足够强且散射可忽略, 电子会在倒空间跨越整个 Brillouin 区; 由于能带色散在倒空间周期重复, 实空间电流出现周期性振荡, 即 Bloch 振荡(Bloch oscillation).

恒定电场下能带中的 Bloch 振荡.

以下取一维能带, 或电场沿周期为 \(2\pi/a\) 的倒空间方向. 观测 Bloch 振荡需要散射时间长于振荡周期, 同时仍需避免带间 Zener 跃迁. 利用带宽 \(W\), 可以估计典型尺度
\[v\sim \frac{Wa}{\hbar}, \qquad T_{\mathrm{B}}=\frac{k_0}{|\dot k|}=\frac{2\pi/a}{eE/\hbar}, \qquad \Delta x\sim \frac{W}{eE}\]
速率, 周期, 往返范围.
恒定电场下的准经典运动也给出空穴的动力学定义.

考虑某条能带被电子完全占据的情形. 满带中所有电子按各自群速度 \(\mathbf{v}_n(\mathbf{k})=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon_n(\mathbf{k})\) 运动, 并在电场驱动下发生周期性倒空间运动. 但满带总电流为
\[-2e \sum_{\mathbf{k}\in\mathrm{BZ}} \mathbf{v}_n(\mathbf{k}) = 0\]
这是因为 \(\mathbf{v}_n(\mathbf{k})\) 是周期函数 \(\varepsilon_n(\mathbf{k})\) 的梯度, 对整个 Brillouin 区求和后相消. 即使考虑电场作用, Liouville 定理也保证满带的相空间占据保持均匀, 因而不会产生净输运电流.

若考虑 Berry 曲率贡献的反常速度, 满带电流结论需要另行修正. 从满带中移去一个电子时, 缺失态形成空穴准粒子.

初始满带总晶格动量为零; 若移除位于 \(\mathbf{k}\) 态的电子, 体系总晶格动量变为 \(-\hbar\mathbf{k}\), 因而定义空穴动量 \(\hbar\mathbf{k}^{\mathrm{h}}=-\hbar\mathbf{k}\), 空穴能量为 \(\varepsilon^{\mathrm{h}}(\mathbf{k}^{\mathrm{h}})=-\varepsilon(\mathbf{k})\). 空穴群速度与被移除电子的群速度相同:
\[\mathbf{v}^{\mathrm{h}}(\mathbf{k}^{\mathrm{h}}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}^{\mathrm{h}}} \varepsilon^{\mathrm{h}} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon = \mathbf{v}(\mathbf{k})\]
但空穴的 \(\mathbf{k}\) 空间运动方向与电子相反: \(\dot{\mathbf{k}}^{\mathrm{h}}=-\dot{\mathbf{k}}=\frac{e}{\hbar}\mathbf{E}\). 这表明空穴在外场中表现为携带正电荷 \(+e\) 的粒子.

空穴概念解释了正 Hall 系数的来源: 当主要载流子为空穴时, Lorentz 力造成的霍尔电压(Hall voltage) 极性相对电子载流子反转, 与实验观测相符.

6.2.2 Constant Magnetic Field

考虑能带电子在均匀恒定磁场 \(\mathbf{B}\) 中的运动, 且无外电场、Berry 曲率可忽略. 此时准经典运动方程简化为

\[\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v}_{\mathbf{k}}, \qquad \dot{\mathbf{k}} = - \frac{e}{\hbar} \dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\]

磁场不对电子做功, 因而能量守恒:
\[\frac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t} = \nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon\cdot\dot{\mathbf{k}} = -e (\mathbf{v}_{\mathbf{k}}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}_{\mathbf{k}} = 0\]
沿磁场方向的波矢分量 \(k_\parallel=\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{B}}\) 也保持恒定. 因此电子在 \(\mathbf{k}\) 空间中的轨道被限制在两个几何条件的交线上:
\[\varepsilon(\mathbf{k}) = \varepsilon_0, \qquad \mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{B}} = k_\parallel\]

均匀磁场下 k 空间中的半经典闭合轨道.
- 等能面的几何形态决定轨道类型. 对封闭等能面, 例如电子口袋或空穴口袋, 横截面为闭合曲线; 对开放等能面, 例如柱状费米面, 横截面可能形成跨越 Brillouin 区的开放轨道.
- 当电子沿闭合轨道运动时, 运动具有周期性. 令轨道微元为 \(\mathrm{d}\xi=\|\mathrm{d}\mathbf{k}\|\), 并定义垂直磁场的速度分量 \(\mathbf{v}_\perp=\mathbf{v}_{\mathbf{k}}-(\mathbf{v}_{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{B}})\hat{\mathbf{B}}\). 由运动方程可得 \(\mathrm{d}\xi=\frac{eB}{\hbar}v_\perp\,\mathrm{d}t\), 因而闭合轨道 \(\partial S\) 的周期为
  \[T = \ell_B^2 \oint_{\partial S} \frac{\mathrm{d}\xi}{v_\perp}, \qquad \ell_B = \sqrt{\frac{\hbar}{eB}}\]
  \(\ell_B\) 称为磁长(magnetic length), 表征磁场对电子轨道量子化的长度尺度. 这个几何周期公式也是后续量子振荡(quantum oscillation)的基础.
- 设 \(S(\varepsilon,k_\parallel)\) 为固定磁场方向时, 等能面 \(\varepsilon\) 与平面 \(\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{B}}=k_\parallel\) 相交形成的闭合轨道所包围面积.
  
  对相邻等能面, 在固定 \(k_\parallel\) 平面内沿法线方向的距离取正值. 以下先取 \(\mathrm{d}\varepsilon>0\):
  \[\mathrm{d}k_\perp = \frac{\mathrm{d}\varepsilon} {|\partial\varepsilon/\partial k_\perp|} = \frac{\mathrm{d}\varepsilon} {\hbar v_\perp}\]
  因此环形区域的微分面积为
  \[|\mathrm{d}S| = \oint_{\partial S} \mathrm{d}k_\perp\,\mathrm{d}\xi = \frac{\mathrm{d}\varepsilon}{\hbar} \oint_{\partial S} \frac{\mathrm{d}\xi}{v_\perp}\]
  将这个面积微分关系与闭合轨道周期表达式合并, 得到周期与轨道面积的关系
  \[T = \hbar\ell_B^2 \left|\frac{\partial S}{\partial\varepsilon}\right|\]
- 定义回旋频率(cyclotron frequency)和回旋质量(cyclotron mass):
  \[\omega_{\mathrm{c}} = \frac{2\pi}{T} = \frac{eB}{m_{\mathrm{c}}}, \qquad m_{\mathrm{c}}(\varepsilon,k_\parallel) = \frac{\hbar^2}{2\pi} \left|\frac{\partial S}{\partial\varepsilon}\right|\]
  这里 \(B=|\mathbf{B}|\), \(S\) 是轨道包围的正面积. 对类电子口袋, \(\partial S/\partial\varepsilon\gt0\); 对按电子能量 \(\varepsilon\) 描述的类空穴口袋, 该导数为负, 故须取绝对值. 若改用空穴能量, 面积导数恢复正值. 电子与空穴的轨道旋向相反, 旋向不应混入周期和质量的正值定义.
- 实空间轨迹也可由磁场中的 \(\mathbf{k}\) 空间运动方程导出. 对 \(\dot{\mathbf{k}}\) 方程两边与 \(\hat{\mathbf{B}}\) 做叉乘, 得
  \[\hat{\mathbf{B}}\times\dot{\mathbf{k}} = - \frac{1}{\ell_B^2} \dot{\mathbf{r}}_\perp, \qquad \dot{\mathbf{r}}_\perp = \dot{\mathbf{r}} - (\dot{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{B}}) \hat{\mathbf{B}}\]
  积分后得到横向位移关系
  \[\mathbf{r}_\perp(t) - \mathbf{r}_\perp(0) = - \ell_B^2 \hat{\mathbf{B}}\times \left[ \mathbf{k}(t)-\mathbf{k}(0) \right]\]
  
  实空间轨迹在垂直磁场的平面内相对 \(\mathbf{k}\) 空间轨迹旋转 \(90^\circ\), 并由 \(\ell_B^2\) 因子缩放.
  
  当 \(\mathbf{k}\) 空间轨道闭合时, 实空间横向轨迹也闭合; 只有沿磁场方向存在净速度时才叠加纵向漂移, 各向异性能带中的轨迹也未必是均匀螺旋. 若 \(\mathbf{k}\) 空间轨道开放, 实空间横向投影可延伸到很远.

对于正交恒定电磁场 \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\), 上述分析可以通过漂移参考系自然推广. 运动方程可改写为

\[\begin{aligned} \dot{\mathbf{k}} &= - \frac{e}{\hbar} \left( \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B} \right)\\ &= - \frac{e}{\hbar} \left[ B^{-1}(\hat{\mathbf{B}}\times\mathbf{E}) + \mathbf{v} \right]\times\mathbf{B}. \end{aligned}\]

引入漂移速度 \(\mathbf{w}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2}\), 并定义修正色散

\[\tilde{\varepsilon}_{\mathbf{k}} = \varepsilon_{\mathbf{k}} - \hbar\mathbf{k}\cdot\mathbf{w}\]

则运动方程可重写为

\[\dot{\mathbf{k}} = - \frac{e}{\hbar} \tilde{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}\times\mathbf{B}, \qquad \tilde{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}\tilde{\varepsilon}_{\mathbf{k}}\]

在 \(\mathbf{w}\) 参考系中, 电子仍沿修正后能带的等能面与垂直磁场平面的交线运动; 回到实验室系时, 实空间轨迹是在原来的磁场螺旋运动上叠加漂移速度 \(\mathbf{w}\).

若修正色散对应的横向轨道闭合, 对一周期平均后 \(\langle\mathbf{v}_\perp-\mathbf{w}\rangle=0\). 在这一无散射轨道平均, 或 \(\omega_{\mathrm{c}}\tau\gg1\) 的单口袋极限下, 载流子浓度为 \(n\) 时的横向漂移电流密度为 \[\mathbf{j} = - ne\mathbf{w} = - \frac{ne}{B^2} \mathbf{E}\times\mathbf{B}\] 这就是 Hall 电流的微观表达式. 当磁场沿 \(z\) 方向、电场沿 \(y\) 方向时, 横向电流满足 \(j_x=-\frac{ne}{B}E_y\), 对应的 Hall 电导率为 \(\sigma_{xy}=-\frac{ne}{B}\).

6.2.3 Quantum Oscillations

量子振荡是指材料的热力学量与输运量随逆磁场呈近似周期调制的现象. 观测轨道量子化通常要求 \(k_{\mathrm{B}}T,\hbar/\tau_{\mathrm{q}}\ll\hbar\omega_{\mathrm{c}}\), 其中 \(\tau_{\mathrm{q}}\) 是量子寿命; 以下半经典面积量子化同时要求相关 Landau 指数足够大, 不宜直接用于量子极限. 其根源在于磁场诱导电子轨道量子化, 使朗道能级周期性穿越费米面, 从而使态密度发生振荡.

这种振荡直接代表了费米面的几何与拓扑信息. 在电子运动层面, 当磁场迫使电子在倒空间形成闭合回旋轨道时, 玻尔-索末菲量子化条件会导致随 \(1/B\) 周期变化的响应.

典型表现包括:

dHvA(de Haas-van Alphen) 振荡, 即磁化强度振荡;

SdH(Shubnikov-de Haas) 振荡, 即电导率振荡.

它们不仅给出费米面形状, 还可以提取载流子有效质量和散射时间.

基于恒定磁场下的准经典运动, 考虑闭合轨道量子化条件. 以下 \(S\) 沿用前节的正面积定义, 所有回路积分均取以 \(\hat{\mathbf{B}}\) 为正法向的边界方向, 即 \(\frac{1}{2}\hat{\mathbf{B}}\cdot\oint\mathbf{k}\times\mathrm{d}\mathbf{k}=S>0\). 玻尔-索末菲量子化规则为

\[\oint \mathbf{p}\cdot\mathrm{d}\mathbf{q} = \left(n+\frac{\nu}{4}\right)2\pi\hbar\]

其中 \(\nu\) 是 Maslov 指数. 对于远离奇点、横向速度非零的简单闭合轨道, 通常取 \(\nu=2\).

取 \(\mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}-e\boldsymbol{\mathcal{A}}(\mathbf{r})\), 在忽略 Berry 曲率修正时, \(\mathbf{r}\) 可视为正则坐标. 因而量子化条件可写成
\[\oint \hbar\mathbf{k}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} - e\oint \boldsymbol{\mathcal{A}}(\mathbf{r})\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \left(n+\frac{\nu}{4}\right)2\pi\hbar\]
第一项对应倒空间轨道面积, 第二项对应实空间磁通量. 于是得到倒空间轨道面积的量子化条件
\[S(\varepsilon,k_\parallel) = \left(n+\frac{\nu}{4}\right)\frac{2\pi}{\ell_B^2}\]
等价地, 磁通量满足 \(\Phi_B=\left(n+\frac{\nu}{4}\right)2\Phi_0\), 其中 \(\Phi_0=\frac{h}{2e}\).
在暂忽略轨道磁矩和 Zeeman 修正的单带近似中, 还可把 Berry 相位纳入量子化条件. 这里 \(S\) 始终取正面积, \(\gamma\) 按上述以 \(\hat{\mathbf{B}}\) 为正法向的固定边界方向定义, 而不一定按电子实际运动方向定义. 对类空穴口袋, 电子的回旋方向与该边界方向相反; 不能直接把实际运动方向的 Berry 相位代入同一正面积公式. 若沿固定边界方向的 Berry 相位为 \(\gamma=\oint_{\partial S}\mathbf{A}(\mathbf{k})\cdot\mathrm{d}\mathbf{k}\), 则面积量子化条件修正为
\[S(\varepsilon,k_\parallel) = \left(n+\frac{\nu}{4}-\frac{\gamma}{2\pi}\right)\frac{2\pi}{\ell_B^2}\]
相应地, \(\Phi_B=\left(n+\frac{\nu}{4}-\frac{\gamma}{2\pi}\right)2\Phi_0\). 这说明强磁场中的闭合轨道面积是量子化的.
- 若相邻轨道间 Berry 相位变化可忽略, 有 \(\Delta S\approx\frac{2\pi}{\ell_B^2}\). 把面积在该能量附近线性化, 得到正的能级间隔
  \[|\Delta\varepsilon| \approx \frac{|\Delta S|}{|\partial S/\partial\varepsilon|} = \hbar\omega_{\mathrm{c}}\]
- 对于简单闭合型费米面, 当满足 \(S(\varepsilon_n)=S(\varepsilon_{\mathrm{F}})\) 时, 费米能级处出现增强的态密度响应. 对应磁场 \(B_n\) 的逆磁场序列满足
  \[\frac{1}{B_n} = \frac{2\pi^2}{\Phi_0 S(\varepsilon_{\mathrm{F}})} \left(n+\delta\right), \qquad \delta=\frac{\nu}{4}-\frac{\gamma}{2\pi}\]
  若费米面截面积和相位偏移在所考察场区近似不变, 则相邻轨道穿越费米能级的逆磁场间隔为
  \[\Delta\!\left(\frac{1}{B}\right) =\frac{1}{B_{n+1}}-\frac{1}{B_n} =\frac{2\pi^2}{\Phi_0 S(\varepsilon_{\mathrm{F}})}.\]
  这是磁量子振荡的逆磁场周期, 与前文 Bloch 振荡的时间周期 \(T_B\) 不同. 不同观测量的峰谷相位可不同, 不能把它们的峰位都直接等同于能级穿越位置.
- 三维体系的独特之处在于, 不同 \(k_\parallel\) 对应的闭合轨道面积连续变化, 如果直接叠加会导致振荡信号衰减. 但实验仍可观测到清晰振荡, 这是因为极值条件
  \[\left. \frac{\partial S}{\partial k_\parallel} \right|_{k_\parallel^*} = 0\]
  起主导作用. 各极值面积 \(S(\varepsilon_{\mathrm{F}},k_\parallel^*)\) 决定相应的逆磁场频率, 但不能只把二维信号直接相加来重构完整三维信号. 对非简并极值, 驻相积分还引入由面积曲率决定的权重及 \(\pm\pi/4\) 相位; 温度、散射、Zeeman 劈裂与观测量本身也会改变振幅和峰谷相位.

6.3 Semiclassical Transport Theory

准经典理论把电子的量子行为近似为局域波包, 并在相空间 \((\mathbf{k},\mathbf{r})\) 中描述其在外场和温度梯度下的集体运动.

但宏观输运涉及 \(10^{23}\) 量级电子, 单粒子轨道本身还不能直接给出电导率、热导率等响应系数. 因此需要引入非平衡统计理论, 用分布函数描述多电子体系的演化.

本节以 Boltzmann 输运方程(Boltzmann transport equation)为核心, 将前面的准经典运动方程与散射过程结合起来, 建立常规输运理论.

6.3.1 Boltzmann Equation

对于宏观粒子系统, 完整相空间需要记录所有粒子的 \((\mathbf{p}_1,\cdots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_N)\), 直接追踪这些自由度不可行.
因此引入约化相空间分布函数 \(f(\mathbf{p},\mathbf{r},t)\), 表示粒子处于 \((\mathbf{p},\mathbf{r})\) 附近的几率密度. 对 Bloch 电子, 自然的相空间坐标是 \((\mathbf{k},\mathbf{r})\).
在普通相体积元 \(\mathrm{d}^d\mathbf{k}\,\mathrm{d}^d\mathbf{r}/(2\pi)^d\) 中, 每条非简并能带的平均电子数为 \(f(\mathbf{k},\mathbf{r},t)\mathrm{d}^d\mathbf{k}\,\mathrm{d}^d\mathbf{r}/(2\pi)^d\). 若存在两重且分布相同的自旋简并, 总数再乘 \(g_{\mathrm{s}}=2\); 以下未显式写简并因子的积分按单个能带、自旋分量计算.

粒子数守恒要求分布函数满足连续性方程

\[\frac{\partial f}{\partial t} + \nabla_{\mathbf{r}}\cdot(\dot{\mathbf{r}}f) + \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\dot{\mathbf{k}}f) = 0\]

展开后有

\[\frac{\partial f}{\partial t} + \dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f + \dot{\mathbf{k}}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f = - \left( \nabla_{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}} + \nabla_{\mathbf{k}}\cdot\dot{\mathbf{k}} \right)f\]

在 Hamiltonian 动力学中, 相空间流散度为零, 即

\[\nabla_{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}} + \nabla_{\mathbf{k}}\cdot\dot{\mathbf{k}} = 0\]

于是无碰撞情形下

\[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f + \dot{\mathbf{k}}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f = 0\]

这就是 Liouville 定理: 沿无碰撞相空间流线运动时, 占据数保持不变. 对本章仅含动量空间 Berry 曲率的电磁问题, 物理相空间测度的修正因子为 \(D=1+(e/\hbar)\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\Omega}\), 应对 \(Df\) 写连续性方程. 只有 \(\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\Omega}\neq0\) 才有这项修正, 并非磁场或 Berry 曲率单独存在便必然改变测度. 本节先取 \(D=1\) 建立常规 Boltzmann 方程.¹

真实材料中, 电子会经历杂质散射、声子散射等未包含在准经典运动方程中的过程. 这些过程改变分布函数, 因而引入碰撞项 \(\mathcal{C}[f]\), 即 \(\mathrm{d}f/\mathrm{d}t=\mathcal{C}[f]\). 显式写出漂移项和碰撞项, 得
\[\frac{\partial f}{\partial t} + \dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f + \dot{\mathbf{k}}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f = \mathcal{C}[f]\]
Boltzmann 方程的左侧描述外场和准经典运动造成的相空间漂移, 右侧描述散射导致的分布函数重排.
设杂质势较弱, 可用微扰理论处理, 写作 \(V(\mathbf{r})=\sum_i v(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i)\). 本小节的 Bloch 态按整个体积 \(L^d\) 归一化, \(v_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\) 按下式最后一行定义. 为把每个杂质的矩阵元提出为同一因子, 假设它们随机占据等价 Bravais 格点; 若位于不等价位置, 还需对位置依赖的周期波函数重叠做平均. 在单带近似下忽略带间跃迁, 散射矩阵元为
\[\begin{aligned} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} &= \langle\psi_{\mathbf{k}}|V|\psi_{\mathbf{k}'}\rangle\\ &= \sum_i \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, v(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}^*(\mathbf{r}) u_{\mathbf{k}'}(\mathbf{r})\\ &= \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{R}_i} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, v(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}^*(\mathbf{r}+\mathbf{R}_i) u_{\mathbf{k}'}(\mathbf{r}+\mathbf{R}_i)\\ &= \frac{1}{L^d} v_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{R}_i}. \end{aligned}\]
杂质构型破坏晶格平移对称性, 因而允许不同 \(\mathbf{k}\) 态之间发生弹性散射.
在一阶 Born 近似(first Born approximation)下, Fermi 黄金法则(Fermi golden rule)给出跃迁率
\[W^{\mathrm{disc}}_{\mathbf{k}\leftarrow\mathbf{k}'} = \frac{2\pi}{\hbar} \left| V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \right|^2 \delta(\varepsilon_{\mathbf{k}}-\varepsilon_{\mathbf{k}'})\]
这里还需要对随机杂质构型做系综平均. 对无关联均匀分布的杂质,
\[\overline{ \sum_{ij} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot(\mathbf{R}_i-\mathbf{R}_j)} } = N_i + N_i(N_i-1)\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \approx N_i\]
这里考虑 \(\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'\) 的跃迁; 正向散射的平均势不造成态间弛豫. 无关联位置使非对角相位项平均相消, 但有限程 \(v(\mathbf{r})\) 并不因此自动成为高斯白噪声. 由 \(V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\propto L^{-d}\) 得到离散跃迁率 \(\overline{W^{\mathrm{disc}}_{\mathbf{k}\leftarrow\mathbf{k}'}}=(2\pi/\hbar)(n_i/L^d)|v_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}|^2\delta(\varepsilon_{\mathbf{k}}-\varepsilon_{\mathbf{k}'})\). 以下把 \(\sum_{\mathbf{k}'}\) 换为 \(L^d\int\mathrm{d}\mathbf{k}'/(2\pi)^d\), 并定义供连续积分使用的核 \(W=L^d\overline{W^{\mathrm{disc}}}\):
\[W_{\mathbf{k}\leftarrow\mathbf{k}'} = \frac{2\pi}{\hbar} n_i \left| v_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \right|^2 \delta(\varepsilon_{\mathbf{k}}-\varepsilon_{\mathbf{k}'})\]
其中 \(n_i=N_i/L^d\) 为杂质密度.
- 由此定义单粒子弛豫时间 \(1/\tau_0(\mathbf{k})=\int W_{\mathbf{k}'\leftarrow\mathbf{k}}\,\mathrm{d}\mathbf{k}'/(2\pi)^d\), 等价于对离散率 \(W^{\mathrm{disc}}\) 求和. 它表示 \(\mathbf{k}\) 态电子离开该态的平均散射速率.

上述只是单个电子的散射率. 在能带体系中, 还必须考虑初末态占据概率. 只有初态 \(\mathbf{k}\) 被占据且末态 \(\mathbf{k}'\) 未被占据时, \(\mathbf{k}\to\mathbf{k}'\) 散射才可发生. 因此, 在均匀外场下, 碰撞积分写成“迁入 \(\mathbf{k}\) 态”与“迁出 \(\mathbf{k}\) 态”之差:

\[\begin{aligned} \mathcal{C}[f](\mathbf{k}) = \int \big[ &f(\mathbf{k}')[1-f(\mathbf{k})] W_{\mathbf{k}\leftarrow\mathbf{k}'} - f(\mathbf{k})[1-f(\mathbf{k}')] W_{\mathbf{k}'\leftarrow\mathbf{k}} \big] \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}'}{(2\pi)^d}. \end{aligned}\]

对当前静态 Hermitian 杂质势的一阶 Born 弹性散射, \(W_{\mathbf{k}\leftarrow\mathbf{k}'}=W_{\mathbf{k}'\leftarrow\mathbf{k}}\), 上式化为

\[\mathcal{C}[f](\mathbf{k}) = \frac{2\pi}{\hbar}n_i \int \left[ f(\mathbf{k}') - f(\mathbf{k}) \right] \left| v_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \right|^2 \delta(\varepsilon_{\mathbf{k}}-\varepsilon_{\mathbf{k}'}) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}'}{(2\pi)^d}\]

若体系近似各向同性, 例如立方对称点附近的有效质量模型, 弹性散射要求 \(|\mathbf{k}|=|\mathbf{k}'|\), 散射矩阵元只依赖夹角 \(\theta\). 下面的 \(v(\theta)\) 表示杂质势矩阵元的角度部分. 引入态密度 \(g(\varepsilon)=\int\delta(\varepsilon-\varepsilon_{\mathbf{k}})\mathrm{d}\mathbf{k}/(2\pi)^d\), 以及 \(d\) 维单位球面的面积 \(\Omega_d\), 碰撞积分可写成角平均形式:

\[\begin{aligned} \mathcal{C}[f](\mathbf{k}) &= \frac{2\pi}{\hbar}n_i \int \left[ f(\mathbf{k}') - f(\mathbf{k}) \right] |v(\theta)|^2 \frac{\mathrm{d}S'}{\hbar|\mathbf{v}(\mathbf{k}')|(2\pi)^d}\\ &= \frac{2\pi}{\hbar}n_i g(\varepsilon) \int \left[ f(\mathbf{k}') - f(\mathbf{k}) \right] |v(\theta)|^2 \frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{k}}'}{\Omega_d}\\ &= \int W(\theta) \left[ f(\mathbf{k}') - f(\mathbf{k}) \right] \frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{k}}'}{\Omega_d}, \end{aligned}\]

其中 \(W(\theta)=(2\pi/\hbar)n_i g(\varepsilon)|v(\theta)|^2\) 是角度散射率函数.

Remark 在线性响应中, 将分布函数展开为 \(f=f_0+f_1+f_2+\cdots\), 其中 \(f_0\) 是平衡 Fermi-Dirac 分布(Fermi-Dirac distribution).

一阶修正 \(f_1(\mathbf{k})\) 必须与外电场 \(\mathbf{E}\) 线性相关. 对各向同性体系, 唯一的标量结构为 \(f_1=\alpha\,\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}\), 其中 \(\alpha\) 只依赖能量.
代入碰撞积分时, 利用
\[\mathbf{k}'\cdot\mathbf{E} = (\mathbf{k}'\cdot\hat{\mathbf{k}}) (\hat{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{E}) + \mathbf{k}'_\perp\cdot\mathbf{E}_\perp\]
角平均后, 垂直项消失, 得
\[\left. \mathbf{k}'\cdot\mathbf{E} \right|_{\mathrm{avg}} = \cos\theta\, (\mathbf{k}\cdot\mathbf{E})\]
因此碰撞积分退化为
\[\mathcal{C}[f](\mathbf{k}) = \alpha(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}) \int W(\theta)(\cos\theta-1) \frac{\mathrm{d}\Omega}{\Omega_d} = - \frac{f_1}{\tau}\]
定义输运弛豫时间(transport relaxation time):
\[\frac{1}{\tau} = \int W(\theta)(1-\cos\theta) \frac{\mathrm{d}\Omega}{\Omega_d}\]
它不同于单粒子弛豫时间 \(\tau_0\): \(\tau\) 通过 \(1-\cos\theta\) 因子计入散射角对动量弛豫的权重. 小角散射虽然会频繁改变单粒子态, 但对电流衰减贡献较小.

Remark 上述推导基于均匀外场、各向同性和弹性散射. 在空间缓变的非均匀外场下, 若忽略各向异性散射, Boltzmann 方程常写成弛豫时间近似:

\[\frac{\partial f}{\partial t} + \dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f + \dot{\mathbf{k}}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f = - \frac{f-f_0}{\tau}\]

这个近似假定散射总是以特征时间 \(\tau\) 把分布函数拉回局域平衡分布 \(f_0\), 是后续推导 Drude 电导率(Drude conductivity)、热输运和热电响应的基础.

6.3.2 DC Conductivity

考虑均匀直流电场 \(\mathbf{E}\) 作用下的稳态输运. 此时分布函数不显含时间和空间坐标, 只依赖波矢 \(\mathbf{k}\).

在弛豫时间近似下, Boltzmann 方程化为
\[- \frac{e}{\hbar} \mathbf{E}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f = - \frac{f-f_0}{\tau}\]
弱电场线性响应中, 方程左侧只需保留平衡分布 \(f_0\), 因而
\[f_1 \approx \frac{e\tau}{\hbar} \mathbf{E}\cdot \frac{\partial f_0}{\partial\mathbf{k}} = - e\tau \left[ \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}(\mathbf{k}) \right] \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right),\]
其中 \(\mathbf{v}(\mathbf{k})=(1/\hbar)\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon_{\mathbf{k}}\) 为群速度.
电流密度由所有占据态的速度贡献给出:
\[\mathbf{j} = - e \int \dot{\mathbf{r}}(\mathbf{k})f(\mathbf{k}) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\]
将 \(f=f_0+f_1\) 代入并展开到 \(\mathbf{E}\) 的一阶, 得
\[\begin{aligned} \mathbf{j} &= \underbrace{ - e \int \mathbf{v}(\mathbf{k})f_0 \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d} }_{\mathrm{eq}} \\ &\quad + \underbrace{ e^2 \int \left[ \tau \left( \mathbf{v}\cdot\mathbf{E} \right) \mathbf{v} \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) - \frac{1}{\hbar} \mathbf{E}\times\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})f_0 \right] \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d} }_{\mathrm{lin}} + O(E^2). \end{aligned}\]
平衡项在无外场时为零. 线性响应项包含两部分:
- 与群速度相关的常规纵向输运, 主导 Hall 效应(纵向电流在外磁场中发生横向偏转).
- 由 Berry 曲率诱导的反常速度贡献, 主导反常 Hall 效应(在无外磁场下给出横向速度)
下面重点考虑前者.

平衡分布只依赖能量, 故 \(\mathbf{v}f_0=(1/\hbar)\nabla_{\mathbf{k}}\mathcal{F}(\varepsilon_{\mathbf{k}})\), 其中 \(\mathcal{F}'(\varepsilon)=f_0(\varepsilon)\). 对这个周期函数的梯度作 Brillouin 区积分为零, 因而没有平衡净流. 暂时忽略 Berry 曲率后, 纵向电导率张量为

\[\sigma_{\alpha\beta} = e^2 \int \tau(\varepsilon) v_\alpha(\mathbf{k}) v_\beta(\mathbf{k}) \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\]

这个表达式给出单能带贡献; 实际材料还要对能带、自旋和谷自由度求和.

张量的对称性 \(\sigma_{\alpha\beta}=\sigma_{\beta\alpha}\) 来自速度分量乘积的交换对称.
对于各向同性抛物能带 \(\varepsilon_{\mathbf{k}}=\hbar^2k^2/(2m^*)\), 电导率张量退化为 \(\sigma_{\alpha\beta}=\sigma\delta_{\alpha\beta}\), 且
\[\begin{aligned} \sigma &= e^2 \int \tau(\varepsilon) \frac{v^2}{d} \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d} \\ &= e^2 \int \tau(\varepsilon) \frac{v^2}{d} \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) g(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon. \end{aligned}\]
这里 \(g(\varepsilon)=\int\delta(\varepsilon-\varepsilon_{\mathbf{k}})\mathrm{d}\mathbf{k}/(2\pi)^d\) 是无自旋态密度(spinless density of states). 低温极限 \(k_{\mathrm{B}}T\ll\varepsilon_{\mathrm{F}}\) 下, \(-\partial f_0/\partial\varepsilon\approx\delta(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{F}})\). 计入自旋简并度 \(g_{\mathrm{s}}=2\) 后,
\[\sigma = g_{\mathrm{s}}e^2 \tau(\varepsilon_{\mathrm{F}}) \frac{v_{\mathrm{F}}^2}{d} g(\varepsilon_{\mathrm{F}}) = \frac{ne^2\tau}{m^*}\]
最后一步使用抛物能带中 \(g_{\mathrm{s}}g(\varepsilon_{\mathrm{F}})v_{\mathrm{F}}^2/d=n/m^*\) 的关系. 因此, 半经典 Boltzmann 理论在量子散射时间和有效质量重整化的基础上重新得到 Drude 公式.

这个结果包含三层物理修正: \(\tau\) 是输运弛豫时间; \(m^*\) 反映周期势对惯性的重整化; \(n\) 是所考虑口袋的总载流子密度, 含已计入的简并度. 线性占据变化集中在费米面附近, 但 Drude 公式中的 \(n\) 不是仅对 \(k_{\mathrm{B}}T\) 能量薄壳计数的密度.
对于多谷半导体或多口袋费米面, 各口袋的贡献需要叠加. 当费米面几何复杂或各向异性显著时, 上述单一标量 Drude 形式不再成立, 必须用全 Brillouin 区的张量积分计算. 在极端各向异性材料中, 有效质量应推广为张量 \((m^{*-1})_{\alpha\beta}\), 对应电导率也具有明显方向依赖.

把电流表达式中的平衡项和常规线性响应项合并, 等价于把平衡分布写成一个倒空间平移后的 Taylor 展开:

\[\mathbf{j} \approx - e \int \mathbf{v}(\mathbf{k}) f_0 \left[ \varepsilon \left( \mathbf{k} + \frac{e\tau}{\hbar}\mathbf{E} \right) \right] \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\]

若 \(\tau\) 可近似为常数, 其物理图像是电场使占据分布在倒空间平移 \(\Delta\mathbf{k}=-(e\tau/\hbar)\mathbf{E}\); 若 \(\tau\) 随能量变化, 上式只能逐态作为一阶 Taylor 表示, 不是整个 Fermi 海的统一刚性平移. 费米面附近的占据态因此不再关于速度对称. 沿电场方向的一侧出现等效空穴载流子, 反方向一侧出现额外电子载流子, 从而产生净电流.

这个图像也给出 Wilson 绝缘体分类的直观判据: 导电要求费米面穿过能带, 即存在部分占据态. 若零温下只有满带和空带, 则对满带作同样的倒空间平移仍保持所有态全占据, 群速度贡献相互抵消, 不能形成常规纵向电流. 因而理想能带绝缘体在 \(T=0\) 时纵向电导率为零; Chern 绝缘体仍可具有量子化横向响应.
金属与绝缘体的电阻率温度依赖也来自这一能带占据差异. 对金属, 杂质散射时间 \(\tau_i\) 对温度依赖较弱, 电子-声子散射率 \(1/\tau_{\mathrm{e-ph}}\) 随温度升高而增强. 因此金属电阻率在低温趋于残余电阻率(residual resistivity) \(\rho_0\), 随温度升高通常单调增大.
对普通能带绝缘体, 零温时价带完全占据而导带全空, 常规纵向电导率为零. 有限温度下, 本征热激发在导带底部产生电子, 同时在价带顶部留下空穴, 典型激活型行为为 \(\sigma\propto\exp[-E_{\mathrm{gap}}/(2k_{\mathrm{B}}T)]\), 其中 \(E_{\mathrm{gap}}\) 是带隙. 因而绝缘体电阻率随温度升高而下降; 掺杂半导体还会出现低温杂质电离导电和高温本征导电之间的交叉过渡(crossover).
最后, 电场对载流子持续做功, 单位体积功率为 \(P=\mathbf{E}\cdot\mathbf{j}=\sigma E^2\). 若只有纯弹性散射, 这部分能量不能真正耗散, 会导致电子体系持续升温并破坏稳态. 实际弱场输运实验中, 输入功率很小, 少量非弹性散射或边界热交换就足以建立热平衡; 典型耗散通道包括电子-声子相互作用和边界热交换.

6.3.3 Electron-Dominated Thermal Transport Mechanism

晶体中的热传导可由电子、声子等多种载流子承担. 本小节只讨论电子贡献的热导率 \(\kappa_{\mathrm{el}}\).

在普通金属中, 除极低温或强无序情形外, 电子热输运通常占主导地位.

小温度梯度且开路时, 电子热流密度满足傅里叶定律 \(\mathbf{j}_{\mathrm{Q}}=-\kappa_T\nabla T\), 本小节的 \(\kappa_T\) 指电子贡献, 不包含声子热导率.

但温度梯度不仅驱动热流, 也会改变载流子分布并诱导电流; 反过来, 电场驱动的电流也携带能量. 因此电荷输运与热输运要放在线性响应矩阵中一起处理:

\[\begin{aligned} \mathbf{j} &= L_{11}\mathbf{F}+L_{12}(-\nabla T),\\ \mathbf{j}_{\mathrm{Q}} &= L_{21}\mathbf{F}+L_{22}(-\nabla T), \end{aligned}\]

其中 \(\mathbf{F}=\mathbf{E}+(1/e)\nabla\mu\) 是包含电场和化学势梯度的广义电动力.

热流密度可由热力学关系 \(T\,\mathrm{d}S=\mathrm{d}E-\mu\,\mathrm{d}N\) 理解: 热流等于能量流减去化学势携带的粒子流, 即 \(\mathbf{j}_{\mathrm{Q}}=\mathbf{j}^E-\mu\mathbf{j}^N\). 对应单能带表达式
\[\mathbf{j}_{\mathrm{Q}} = \int \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\, (\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu) \dot{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) f(\mathbf{k})\]
弱外场和缓变温度梯度下, 局域平衡分布为
\[f_0(\mathbf{k},\mathbf{r}) = \left[ \exp \left( \frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu(\mathbf{r})}{k_{\mathrm{B}}T(\mathbf{r})} \right) + 1 \right]^{-1}\]
忽略反常速度, 弛豫时间近似给出一阶修正
\[f_1 = - \tau \left[ \mathbf{v}(\mathbf{k})\cdot\nabla f_0 - \frac{e}{\hbar}\mathbf{E}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f_0 \right]\]
空间梯度可展开为
\[\nabla f_0 = \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) \left[ \nabla\mu - \frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{T} (-\nabla T) \right]\]
代入后,
\[f_1 = \tau \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) \left[ -e\mathbf{F} + \frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{T} (-\nabla T) \right] \cdot\mathbf{v}(\mathbf{k})\]
接下来只保留群速度贡献, 用 \(\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}(\mathbf{k})\). 定义矩生成张量
\[K^{(n)} = e^2 \int \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\, \tau \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) (\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu)^n \mathbf{v}(\mathbf{k})\mathbf{v}(\mathbf{k})\]
则输运系数为
\[\begin{aligned} L_{11} &= K^{(0)},& L_{12} &= -\frac{1}{eT}K^{(1)},\\ L_{21} &= TL_{12}=-\frac{1}{e}K^{(1)},& L_{22} &= \frac{1}{e^2T}K^{(2)}. \end{aligned}\]
其中 \(L_{11}\) 就是常规电导张量. 本节忽略磁场和反常横向输运, 且矩生成张量对称, 因而有 \(L_{21}=TL_{12}\). 一般的 Onsager-Casimir 互易关系需要同时转置空间指标并反转磁场、磁化等时间反演奇变量, 例如
\[L_{21}(\mathbf{B},\mathbf{M}) =T L_{12}^{\mathsf{T}}(-\mathbf{B},-\mathbf{M}).\]
量纲一致是必要检查, 不是互易关系的证明. 对三维体输运, \(L_{12}\) 的 SI 单位为 \(\mathrm{A}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})\), \(L_{21}\) 和 \(TL_{12}\) 的单位为 \(\mathrm{A}/\mathrm{m}\). 单位 \(\mathrm{V}/\mathrm{K}\) 属于 Seebeck 系数, 即由开路条件得到的电场与温度梯度之比.
实验测热导率时常取开路条件 \(\mathbf{j}=0\). 此时温度梯度诱导补偿电场 \(\mathbf{F}=-L_{11}^{-1}L_{12}(-\nabla T)\). 代回热流方程得到
\[\kappa_T = L_{22} - L_{21}L_{11}^{-1}L_{12}\]
若热电耦合项相对较小, 可近似取 \(\kappa_T\approx L_{22}\); 对简并半导体或强热电材料, 修正项不能忽略.
为了计算低温极限, 定义能量分辨电导率
\[\sigma(\varepsilon) = e^2\tau(\varepsilon) \int \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\, \delta(\varepsilon-\varepsilon_{\mathbf{k}}) \mathbf{v}(\mathbf{k})\mathbf{v}(\mathbf{k})\]
于是
\[K^{(n)} = \int \mathrm{d}\varepsilon\, \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) (\varepsilon-\mu)^n \sigma(\varepsilon)\]
Sommerfeld 展开表明, 在 \(T\ll T_{\mathrm{F}}\) 且 \(\tau\) 的能量依赖较弱时,
\[K^{(2)} \approx \sigma(\mu) \int \mathrm{d}\varepsilon\, \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) (\varepsilon-\mu)^2 = \frac{\pi^2}{3}(k_{\mathrm{B}}T)^2\sigma(\mu)\]
忽略热电耦合修正后,
\[\frac{\kappa}{\sigma T} = \frac{\pi^2}{3} \left( \frac{k_{\mathrm{B}}}{e} \right)^2, \qquad k_{\mathrm{B}}T\ll\varepsilon_{\mathrm{F}}\]
这就是 Wiedemann-Franz 定律的微观 Boltzmann 推导形式.
热传导的微观图像可直接从温度梯度驱动的非平衡分布读出:
\[f_1 = \tau \left( - \frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon} \right) \frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{T} (-\nabla T)\cdot\mathbf{v}(\mathbf{k})\]
这相当于把局域平衡分布的温度作小幅位移:
\[f \approx f_0 \left[ T-\tau\nabla T\cdot\mathbf{v}(\mathbf{k}) \right]\]
顺温度梯度方向运动的电子来自较冷一侧, 等效温度较低; 逆梯度方向运动的电子来自较热一侧, 等效温度较高. 相对于局域平衡分布, 后者在费米能级以上的占据增多、以下的占据减少, 前者则相反.

图中箭头沿 \(-\nabla T\), 右侧对应顺箭头运动的热侧来流, 左侧对应反向运动的冷侧来流; “冷/热”标注表示来流分布的等效温度.

这种不对称分布产生净热流, 其大小由速度和激发能 \(\varepsilon-\mu\) 共同决定.

Seebeck 效应. 考虑由金属 A 与 B 构成的热电偶回路, 两个接触点温度分别为 \(T_1\) 和 \(T_2\), 开口端温度为 \(T_0\) 并接伏特表. 总电动势为(利用 \(\mathbf{j} = 0\))
\[\Delta V = \left( \int_0^1+\int_1^2+\int_2^0 \right) \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = \int_{T_1}^{T_2} \left( Q_A-Q_B \right) \mathrm{d}T\]
其中 \(Q=L_{11}^{-1}L_{12}\) 称为绝对 Seebeck 系数或热电势. 该装置可以把热能转化为电能, 也可以通过电压反推温度.
Peltier 效应. 在 Seebeck 装置中接入外电源驱动电流, 并保持体系内 \(\nabla T = 0\) 时, 电流诱导热流
\[\mathbf{j}_{\mathrm{Q}} = L_{21}L_{11}^{-1}\mathbf{j} = \Pi\mathbf{j}\]
其中 \(\Pi\) 是 Peltier 系数.
- 当电流穿过由金属 A 和 B 构成的异质结时, 若 \(\Pi_A\neq\Pi_B\), 热流在界面处发生不连续跃变.
- 取界面法向 \(\hat{\mathbf{n}}\) 从 A 指向 B, 法向电流密度 \(j_n=\mathbf{j}\cdot\hat{\mathbf{n}}>0\). 单位界面面积的吸热功率为 \(j_n(\Pi_B-\Pi_A)\). 若 \(\Pi_B>\Pi_A\), 界面吸热; 反之则放热.

6.4 Anomalous Hall Effect

6.4.1 Anomalous Hall Conductivity

沿用电子电荷为 \(-e\) 且 \(e>0\) 的约定. 由 \(\hbar\dot{\mathbf{k}}=-e\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{v}_{\mathrm{ano}}=-\dot{\mathbf{k}}\times\boldsymbol{\Omega}\), Berry 曲率带来的反常速度项为
\[\mathbf{v}_{\mathrm{ano}} = \frac{e}{\hbar} \mathbf{E}\times\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})\]
它即使在没有外磁场时也能产生横向电流响应, 这就是反常霍尔效应.

在二维磁性绝缘体中, 若 Berry 曲率在整个 Brillouin 区上的积分给出非零整数 Chern 数,

\[C = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathrm{BZ}} \Omega_{xy}\,\mathrm{d}^2\mathbf{k}\]

按 \(j_\alpha=\sum_\beta\sigma_{\alpha\beta}E_\beta\) 定义电导率, 则横向电导率会量子化为

\[\sigma_{xy} = - C\frac{e^2}{h}\]

这种量子化版本就是量子反常霍尔效应; 具有非零 Chern 数的绝缘体称为 Chern 绝缘体.

现在先讨论一般反常霍尔电导率.

定义 Berry 曲率的反对称张量形式 \(\Omega_{\alpha\beta}(\mathbf{k})=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\Omega_\gamma(\mathbf{k})\). 反常电流为 \(\mathbf{j}_{\mathrm{ano}}=-e\int f_0\mathbf{v}_{\mathrm{ano}}\,\mathrm{d}\mathbf{k}/(2\pi)^d\), 因此横向电导率为
\[\sigma_{\alpha\beta}^{\mathrm{AHE}} = - \frac{e^2}{\hbar} \int f_0(\varepsilon_{\mathbf{k}}) \Omega_{\alpha\beta}(\mathbf{k}) \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{(2\pi)^d}\]
多带体系中需要对所有占据能带求和. 这个表达式描述内禀反常霍尔效应: 它直接由能带 Berry 曲率决定, 与散射时间无关, 因而和常规纵向电导有本质区别.
Berry 曲率是动量空间中的赝矢量. 在空间反演 \(\mathcal{P}\) 与时间反演 \(\mathcal{T}\) 下,
\[\begin{aligned} \mathcal{P}:&\quad \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k}) \to \boldsymbol{\Omega}(-\mathbf{k}),\\ \mathcal{T}:&\quad \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k}) \to - \boldsymbol{\Omega}(-\mathbf{k}). \end{aligned}\]
对被这些对称性映射到自身的孤立非简并能带, 若体系同时具有 \(\mathcal{P}\) 和 \(\mathcal{T}\), 则必须有 \(\boldsymbol{\Omega}(\mathbf{k})=0\). 若只有时间反演对称性, Berry 曲率在 \(\mathbf{k}\) 与 \(-\mathbf{k}\) 处相反, 对整个 Brillouin 区的积分相互抵消. 因此非零反常霍尔响应通常要求时间反演对称性破缺, 典型平台是磁性材料. 存在自旋 Kramers 简并时应使用简并子空间的矩阵值 Berry 曲率; 上述单带论证不能逐分量套用, 但时间反演对称性仍使平衡电荷 Hall 响应为零.¹

在典型 Hall 实验几何中, 令磁场沿 \(z\) 方向、电流沿 \(x\) 方向.

对磁性金属, 取 \(j_y=0\), 并按 \(E_\alpha=\sum_\beta\rho_{\alpha\beta}j_\beta\) 定义电阻率. 采用 SI 单位制, 横向电阻率可用经验关系写成
\[\rho_{yx}=\frac{E_y}{j_x}=R_0B_z+\mu_0R_sM_z.\]
其中 \(B_z\) 是样品中的磁感应强度, \(M_z\) 是磁化强度; \(R_0B_z\) 是普通霍尔贡献, \(\mu_0R_sM_z\) 是反常霍尔贡献. 在此定义下, \(R_0\) 和 \(R_s\) 的单位均为 \(\mathrm{m}^3/\mathrm{C}\). 若改用 \(H_z\) 作场变量, 必须同时处理 \(\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})\) 及样品退磁场, 不能直接混用两种写法的拟合系数.
若高场区磁化已饱和且普通 Hall 项近似线性, 可由斜率拟合 \(R_0\), 再分离出 \(\mu_0R_sM_z\), 以表征磁性材料的输运性质.

铁磁 Ni 的反常霍尔电阻率.

图中的 Ni 曲线随温度明显变化; 在磁化趋于饱和后, 反常贡献趋于饱和, 总响应仍可保留普通 Hall 项的斜率. \(R_s\) 与温度和散射机制有关, 不应视为 Ni 的固定材料常数. 该经验分解本身不能区分内禀 Berry 曲率贡献与外禀散射贡献.

6.4.2 Quantum Anomalous Hall Effect *

在二维晶体或三维晶体的某个二维动量截面上, Berry 曲率的全局积分具有拓扑量子化性质:

\[\int_{\mathrm{BZ}} \Omega_{xy}(k_x,k_y)\, \mathrm{d}k_x\,\mathrm{d}k_y = 2\pi c, \qquad c\in\mathbb{Z}\]

整数 \(c\) 称为 Chern 数, 它反映占据能带整体波函数结构的拓扑类型. 当 \(c\neq0\) 且费米能级落在体能隙中时, 二维绝缘体在零温下仍可具有量子化横向电导

\[\sigma_{xy} = - c\frac{e^2}{h}\]

这种无外磁场的量子化霍尔响应称为量子反常霍尔效应, 对应材料称为 Chern 绝缘体.

这一现象改变了传统能带论中“满带不导电”的朴素判断. 对普通能带绝缘体, 满带中所有态的速度贡献相互抵消; 但在拓扑非平庸能带中, 占据态的 Berry 曲率全局积分可以产生受拓扑保护的横向响应.

下面对一条处处与其他能带分离的非简并能带证明量子化. 能隙保证本征投影光滑; 将环面沿两条周期方向切开后, 方形区域可缩, 因而可以选取光滑归一化本征矢, 但不要求它在对边周期相等. 多条占据带的推广使用占据子空间的 Berry 曲率之迹, 不能在交叉点强行把简并带逐条分开.

取二维 Brillouin 区的基矢坐标 \(\mathbf{k}=k_1\mathbf{b}_1+k_2\mathbf{b}_2\), \((k_1,k_2)\in[0,1]\times[0,1]\). 由于 \(\mathbf{k}\equiv\mathbf{k}+\mathbf{G}\), 这个方形区域的对边相互粘合, 拓扑上是环面 \(T^2\). 在 \((k_1,k_2)\) 坐标中,
\[\Omega_{k_1k_2} = \frac{\partial A_2}{\partial k_1} - \frac{\partial A_1}{\partial k_2}, \qquad A_i = \mathrm{i} \left\langle u \middle| \partial_{k_i}u \right\rangle\]
记切开的方形基本区域为 \(Q=[0,1]^2\). 对 \(Q\) 使用 Stokes 定理; 环面本身没有边界, 以下积分路径是切口的四条边:
\[\begin{aligned} \int_{T^2}\Omega_{k_1k_2}\, \mathrm{d}k_1\,\mathrm{d}k_2 &= \oint_{\partial Q} \left( A_1\,\mathrm{d}k_1 + A_2\,\mathrm{d}k_2 \right)\\ &= \int_0^1 \left[ A_1(k_1,0)-A_1(k_1,1) \right]\,\mathrm{d}k_1\\ &\quad + \int_0^1 \left[ A_2(1,k_2)-A_2(0,k_2) \right]\,\mathrm{d}k_2. \end{aligned}\]
将相差倒格矢的 Bloch 空间按标准周期关系识别后, 对边本征矢只需相差一个规范相位. 若直接使用连续坐标中的胞周期函数, 这种识别还包含固定的 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}\); 它与沿边坐标无关, 不改变下述 Berry 连接的相位变换:
\[\begin{aligned} \left|u(1,k_2)\right\rangle &= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(k_2)} \left|u(0,k_2)\right\rangle,\\ \left|u(k_1,1)\right\rangle &= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(k_1)} \left|u(k_1,0)\right\rangle. \end{aligned}\]
因此 Berry 连接在边界上的变换为
\[\begin{aligned} A_1(k_1,1) &= A_1(k_1,0) - \phi'(k_1),\\ A_2(1,k_2) &= A_2(0,k_2) - \chi'(k_2). \end{aligned}\]
代回边界积分得到
\[\int_{T^2}\Omega_{k_1k_2}\, \mathrm{d}k_1\,\mathrm{d}k_2 = \phi(1)-\phi(0)-\chi(1)+\chi(0)\]
另一方面, 在方形四个角点绕行一圈后, 波函数必须回到同一个物理态. 因而相位不一定逐点相等, 但总相位差只能是 \(2\pi\) 的整数倍:
\[\phi(1)-\phi(0)-\chi(1)+\chi(0) = 2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}\]
于是
\[\frac{1}{2\pi} \int_{T^2}\Omega_{k_1k_2}\, \mathrm{d}k_1\,\mathrm{d}k_2 = n\]
即 Chern 数是整数.

Remark 只要 Hamiltonian 连续变化且能隙不闭合, Chern 数不会改变, 量子化 Hall 电导也保持稳定. 只有在拓扑相变中体能隙闭合并重新打开时, Chern 数才能跳变.

6.4.3 Chern Insulator Model *

一个最小 Chern 绝缘体图像可以从石墨烯的两个能谷出发. 在 \(K\) 与 \(K'\) 点附近, 忽略自旋后, 低能有效 Hamiltonian 可写为

\[H_\tau = v_{\mathrm{F}} \left( \tau p_x\sigma_x + p_y\sigma_y \right) + m_\tau\sigma_z, \qquad \tau=\pm1\]

这里 \(\tau\) 标记能谷, \(\sigma_i\) 作用在子格自由度上, \(m_\tau\) 是打开 Dirac 点能隙的质量项.

能谱为
\[\varepsilon_{\mathbf{k}}^\tau = \pm \sqrt{ \left( \hbar v_{\mathrm{F}}k \right)^2 + m_\tau^2 }\]
因此每个能谷在 \(k=0\) 处打开大小为 \(2|m_\tau|\) 的能隙. 当费米能级位于能隙内、价带完全占据时, 体系是绝缘体; 但其拓扑性质取决于两个能谷质量项的相对符号.
对占据态计算 Berry 曲率, 二维情形只有 \(\Omega_{xy}\) 分量. 单能谷的曲率可写为
\[\Omega_\tau(\mathbf{k}) = \frac{ \tau\hbar^2v_{\mathrm{F}}^2m_\tau }{ 2 \left( \hbar^2v_{\mathrm{F}}^2k^2+m_\tau^2 \right)^{3/2} }\]
Berry 曲率高度集中在能谷附近, 因而总曲率积分可以近似为 \(K\) 与 \(K'\) 两个能谷的贡献之和. 对单能谷作极坐标积分,
\[\begin{aligned} \gamma_\tau &= \frac{\tau m_\tau}{2\hbar v_{\mathrm{F}}} \int_0^\infty \frac{k\,\mathrm{d}k}{ \left[ k^2+ \left( m_\tau/\hbar v_{\mathrm{F}} \right)^2 \right]^{3/2} } \cdot 2\pi \\ &= \tau\,\operatorname{sign}(m_\tau)\pi. \end{aligned}\]
这里 \(\gamma_\tau\) 表示低能连续 Dirac 模型延伸到无限动量后的 Berry 通量(Berry flux). 单个能谷给出的 \(\gamma_\tau/(2\pi)=\pm1/2\) 不是独立二维晶格能带的整数 Chern 数. 对石墨烯的双能谷模型, 若没有其他能隙闭合且使用同一完整晶格延拓, 两谷质量符号给出下述相对分类; 整数拓扑数最终属于完整 Brillouin 区.

能谷质量符号改变与 Chern 绝缘体相变.

以下两谷质量项均非零, 对应有隙情形:
- 若两个能谷的质量项同号, 例如 \(m_K=m_{K'}\), 则由于能谷指标 \(\tau\) 相反, \(\gamma_K+\gamma_{K'}=0\), 体系是 Chern 数为零的平庸绝缘体.
- 若质量项反号, 例如 \(m_K=-m_{K'}\), 两个能谷的贡献同向相加, \(\gamma_K+\gamma_{K'}=\pm2\pi\), 对应 \(C=\pm1\) 的量子反常霍尔态.
两侧绝缘体的能带都可以有能隙, 但由于 Chern 数不同, 它们不能通过保持能隙的连续形变相互连接.

拓扑相变必须经过能隙闭合. 在调节 \(m_K\) 的过程中, 临界点为 \(m_K=0\): 此时 \(K\) 能谷的 Dirac 锥能隙闭合, Chern 数暂时不定义; 能隙重新打开后, 质量符号改变, 拓扑数随之跳变.

同样的逻辑也解释体-边对应. 若空间左侧为 \(C=1\) 的 Chern 绝缘体, 右侧为 \(C=0\) 的普通绝缘体或真空, 则界面处的质量项必须从拓扑相连续过渡到平庸相. 由于两侧 Chern 数不同, 过渡区域不可避免地出现无能隙边界态. 这些边缘态受拓扑保护, 是量子化反常霍尔输运的物理通道.

由此, Chern 绝缘体给出了能带拓扑分类的基本范式: 局域能带色散本身不足以区分所有绝缘体; Berry 曲率的全局积分, 即 Chern 数, 才决定了体系是否具有受拓扑保护的量子化横向输运和边界态.

7 Superfluidity and Superconductivity

7.1 Superfluidity of Helium-4

实验室中常见的超流体主要有两类: \(^4\mathrm{He}\) 和 \(^3\mathrm{He}\), 分别在 \(2.17\,\mathrm{K}\) 和 \(2\,\mathrm{mK}\) 以下呈现超流特性.

两者电子结构相同, 但原子核总自旋分别为 0 和 1/2, 即分别是玻色子和费米子. 因而 \(^4\mathrm{He}\) 的超流可直接联系到 Bose 凝聚与宏观相干, 而 \(^3\mathrm{He}\) 的超流涉及费米子配对, 与非常规超导更接近. 本节只讨论 \(^4\mathrm{He}\) 的超流现象.

7.1.1 Lambda Transition

常压 \(^4\mathrm{He}\) 在温度降到 \(T_\lambda\simeq2.17\,\mathrm{K}\) 附近时, 从正常液体 He I 转变为超流 He II. He II 穿过微米级毛细管时呈现近似无粘滞流动; 同时具有异常高的热导率和一系列非常规热力学响应.

He-4 相图与 lambda 转变比热异常.

低温区的比热偏离 \(T^{3/2}\)
\[C_{\mathrm{V}}\propto T^3, \qquad T\ll T_\lambda\]
说明 He II 的低能激发不同于理想 Bose-Einstein 凝聚体系统, 而是由声子主导.
He I 与 He II 的相界处比热出现尖锐非解析异常, 因而称为 \(\lambda\) 转变(lambda transition). 在定压临界温度附近, 比热可写为光滑背景和领先奇异标度项之和:
\[C_{\mathrm{P}}(T) \simeq C_{\mathrm{reg}}(T) + a_\pm |t|^{-\alpha}, \qquad t=\frac{T-T_\lambda}{T_\lambda}\]
\(C_{\mathrm{reg}}\) 是非奇异背景项, \(a_+\) 与 \(a_-\) 分别对应两侧的临界振幅. 比热指数通常记为 \(\alpha\), 与关联长度指数 \(\nu\) 不同; 氦的 \(\alpha\) 略小于零, 例如实验给出 \(\alpha=-0.0127\pm0.0003\), 因而是有限尖点型非解析性, 不是正指数幂律发散. 上图的比热曲线仅作示意.²
超流氦的临界行为属于三维 XY 普适类. 这表明相变由 \(O(2)\) 连续相位自由度的长程相干主导. 对 XY 型序参量, 局域相位可用复标量
\[\phi(\mathbf{r}) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\mathbf{r})}\]
表示. 当 \(T\lt T_c\) 时, 体系进入对称性破缺相, 相位关联在长距离上保持相干; 理想均匀极限中可取 \(\theta(\mathbf{r})=\mathrm{const}\).

为描述这一宏观相干性, 可把超流组分写成有效宏观波函数

\[\psi(\mathbf{r}) = \sqrt{n_s(\mathbf{r})}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\mathbf{r})}\]

这里的 \(\psi\) 是以超流响应密度 \(n_s\) 归一化的水动力学有效波函数, 用于下述数流关系; 微观凝聚密度由单体密度矩阵的广延本征值定义, 一般不等于决定流动响应的 \(n_s\). \(\theta(\mathbf{r})\) 是共同相位:

He I 中 \(|\psi|=0\), 相位自由度没有长程相干;
He II 中 \(|\psi|>0\), 相位关联长度在临界点发散.

Definition 超流数流密度与超流速度

对称速度算符
\[f\overleftrightarrow{\mathbf{v}}g = \frac{1}{2} \left[ f\mathbf{v}g - (\mathbf{v}f)g \right], \qquad \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{M}\]
宏观波函数的数流密度: 为保证数流是实量, 速度算符应以对称双边作用的形式夹在 \(\psi^*\) 与 \(\psi\) 之间:
\[\mathbf{j}_s = \psi^*(\mathbf{r}) \overleftrightarrow{\mathbf{v}} \psi(\mathbf{r}) = n_s\mathbf{v}_s, \qquad \mathbf{v}_s = \frac{\hbar}{M}\nabla\theta(\mathbf{r})\]
\(M\) 是 \(^4\mathrm{He}\) 原子质量, \(\mathbf{v}_s\) 是凝聚体相位的共轭速度: 相位均匀时无超流, 相位缓慢扭转时产生无耗散流动. 在单连通且无相位奇点的区域中,
\[\nabla\times\mathbf{v}_s = \frac{\hbar}{M} \nabla\times\nabla\theta = 0\]
说明超流体的无旋流动是宏观量子相位带来的约束.

环流量子化 相位相干性意味着整个连通超流组分共享同一个可连续追踪的相位场 \(\theta(\mathbf{r})\). 因此闭合路径绕行一周后, 宏观波函数只能回到同一个复数值, 这直接带来环流量子化:

对闭合路径 \(\mathcal{C}\), 利用 \(\psi\) 的单值性, 超流环流为

\[\kappa = \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{v}_s\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = \frac{\hbar}{M} \oint_{\mathcal{C}} \nabla\theta\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = s\frac{h}{M}, \qquad s\in\mathbb{Z}\]

只要闭合路径在连续变形中不跨过相位奇点或不可穿透区域, \(s\) 不会改变.

Remark 在单连通且无奇点的区域, Stokes 定理给出
\[\kappa = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{v}_s\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = \int_\Sigma (\nabla\times\mathbf{v}_s)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma} = 0\]
因此非零环流必须依赖多连通几何或涡旋奇点. 涡旋奇点是序参量幅值在涡核处压低甚至趋零的区域; 相位在涡核处不再有良好定义, 闭合路径才能绕出非零相位绕数.
环形容器中可先在 \(T>T_\lambda\) 的正常液体中制备环流, 再冷却到 \(T\lt T_\lambda\), 得到无耗散的持久环流. 由于 \(\kappa\) 只能以 \(h/M\) 为单位变化, 改变环流需要局域破坏序参量, 使相位发生相位滑移.

7.1.2 Two-Fluid Model

单一宏观相位图像不能解释旋转碟片实验中的阻尼和异常热输运.

二流体模型将 He II 视为超流组分与正常组分的动态混合体系: 超流组分可无黏滞地穿过微米通道, 正常组分则带有经典粘滞耗散并会被固体边界拖曳.

\(T\lt T_\lambda\) 时, 总粒子数密度和数流密度分解为

\[n = n_s+n_n,\qquad \mathbf{j} = \mathbf{j}_s+\mathbf{j}_n,\qquad \mathbf{j}_s = n_s\mathbf{v}_s,\qquad \mathbf{j}_n = n_n\mathbf{v}_n\]

超流速度在没有涡核的区域满足 \(\nabla\times\mathbf{v}_s=0\); 正常组分遵循常规 Navier-Stokes 方程, 是旋转碟片阻尼的来源.

旋转圆柱容器中的 He II 表面可呈弯月面, 表面上似乎与 \(\nabla\times\mathbf{v}_s=0\) 冲突. 因为若流体整体以角速度 \(\boldsymbol{\Omega}\) 刚体旋转, 速度场满足 \(\nabla\times\mathbf{v}=2\boldsymbol{\Omega}\), 而并非无旋.

旋转 He II 中的涡旋阵列与弯月面.

He II 的解决方式不是让整个超流组分连续刚体旋转, 而是形成涡旋阵列. 每个涡核是序参量幅值压低、相位不再有良好定义的区域; 在穿过涡核的曲面上,

\[\kappa = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{v}_s\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = \int_\Sigma (\nabla\times\mathbf{v}_s)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma} = s\frac{h}{M}\]

因此 \(\nabla\times\mathbf{v}_s\) 在涡核处以奇异形式集中, 而涡核外仍可保持局域无旋.

对单根柱对称涡旋, 速度场沿方位角方向: \[\mathbf{v}_s(\mathbf{r}) = v_s(r)\hat{\boldsymbol{\phi}}\] 取半径 \(r\) 的圆形路径, 有 \(\kappa=2\pi r\,v_s(r)\). 结合 \(\kappa=s h/M\), 得到 \[v_s(r) = \frac{s\hbar}{Mr}\] 写成角动量形式: \[L_z = M(\mathbf{r}\times\mathbf{v}_s)\cdot\hat{\mathbf{z}} = s\hbar\]

喷泉效应(Fountain effect) 两个区域由超漏连接, 只允许超流组分通过. 超流组分可以交换, 平衡要求

\[\mu_s^{(1)}=\mu_s^{(2)}\]

这里使用的是两流体处于局域热平衡时共同的热力学化学势. 超流组分与正常组分不是两个可相互独立定温定压的相, 而是同一 He II 中的两个流体组分; 平衡时可对总液体写 Gibbs-Duhem 型关系

\[\mathrm{d}\mu = -\frac{S}{N}\mathrm{d}T + \frac{V}{N}\mathrm{d}P\]

由于超流组分不携带熵, 故 \(S=S_n\). 定义总液体的熵密度 \(s_n=S_n/V\); 在共同化学势保持不变的准静态路径上,

\[\mathrm{d}P=s_n(T,P)\,\mathrm{d}T, \qquad P_2-P_1=\int_{T_1}^{T_2}s_n(T,P(T))\,\mathrm{d}T\]

只有温差较小、熵密度可视为常数时, 才有 \(P_2-P_1\approx s_n(T_2-T_1)\).

局域加热使正常组分携带的熵产生温度差. 为了保持超流相平衡, 系统必须建立相应的压强差, 于是超流组分从低温端流向高温端并产生压强升高.

7.1.3 Off-Diagonal Long-Range Order

超流与超导都体现宏观量子相干. 一个刻画这种相干性的判据是非对角长程序, 即 ODLRO(off-diagonal long-range order).

与晶体中的对角长程序不同, ODLRO 不是空间密度周期性, 而是多体波函数的相位相干性. 它通常出现在自发对称性破缺和量子简并共同作用的低温量子流体中.

下面先用理想 Bose 气体建立判据, 再回到强相互作用的 He II.

以自旋为零的理想 Bose 气体为例. 单粒子态占据数为 Bose-Einstein 分布:

\[f_{\mathrm{B}}(\varepsilon_{\mathbf{k}}) = \frac{1}{ \mathrm{e}^{\beta(\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu)} - 1 }\]

化学势不能超过基态能量. 取基态能量为零时, \(\mu\leq0\). 当温度降低到临界点时, \(\mu\to0^-\), 激发态可容纳的粒子数达到上限:

\[n = \frac{N}{\mathcal{V}} = \int \frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\, \frac{1}{ \mathrm{e}^{\varepsilon_{\mathbf{k}}/k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{BEC}}} - 1 }\]

对自由粒子色散 \(\varepsilon_{\mathbf{k}}=\hbar^2k^2/(2m)\), 可得

\[T_{\mathrm{BEC}} = \frac{2\pi\hbar^2}{k_{\mathrm{B}}m} \left[ \frac{n}{\zeta(3/2)} \right]^{2/3}\]

当 \(T\lt T_{\mathrm{BEC}}\) 时, 额外粒子不能继续进入激发态, 而是宏观占据 \(\mathbf{k}=0\) 基态. 从波动图像看, 此时热 de Broglie 波长超过平均粒子间距, 不同粒子的量子相位开始在宏观尺度上相干.

对 \(N\) 个玻色子, 多体波函数满足交换对称性:
\[\Psi( \mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_N ) = \Psi( \mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_N )\]
单粒子约化密度矩阵定义为
\[\gamma(\mathbf{r},\mathbf{r}') = N \int \Psi(\mathbf{r},\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_N) \Psi^*(\mathbf{r}',\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_N) \,\mathrm{d}\mathbf{r}_2\cdots\mathrm{d}\mathbf{r}_N\]
它是半正定算符, 对角元 \(\gamma(\mathbf{r},\mathbf{r})\) 给出粒子密度, 且 \(\operatorname{tr}\gamma=\int\gamma(\mathbf{r},\mathbf{r})\,\mathrm{d}\mathbf{r}=N\).
若有限温度下有 \(N_{\mathrm{c}}=\alpha(T)N\) 个粒子凝聚到同一单粒子态 \(\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\), 则 \(\alpha(T)\in[0,1]\) 称为凝聚分数. 凝聚体贡献使约化密度矩阵可分解为
\[\gamma(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \alpha(T)N \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \psi_{\mathbf{k}}^*(\mathbf{r}') + \gamma_{\mathrm{th}}(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\]
其中 \(\gamma_{\mathrm{th}}\) 是热激发粒子的贡献.

当 \(T\to0\) 时, \(\alpha\to1\), \(\gamma_{\mathrm{th}}\to0\); 对有限温度的热激发部分, 长距离极限仍满足 \(\gamma_{\mathrm{th}}(R\to\infty)=0\). 因此只要存在非零凝聚分数, 单粒子密度矩阵在 \(R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\to\infty\) 时不会衰减到零.
对扩展态可忽略包络密度的微小空间变化, 写成
\[\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\mathbf{r})}\]
弱排斥 Bose 气体中若凝聚于有限动量 \(\mathbf{k}\neq0\) 的均匀平面波态, 则相位可写为 \(\theta(\mathbf{r})\approx\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\), 超流速度为
\[\mathbf{v}_s = \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}\]
热密度矩阵的渐近行为可概括为
\[\gamma_{\mathrm{th}}(R) \sim \begin{cases} \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{th}}^2R}, & T\lt T_{\mathrm{BEC}},\\[6pt] \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{th}}^2R} \mathrm{e}^{-k(\mu)R}, & T>T_{\mathrm{BEC}}, \end{cases}\]
其中
\[\lambda_{\mathrm{th}} = \sqrt{\frac{2\pi\hbar^2}{mk_{\mathrm{B}}T}}, \qquad k(\mu) = \sqrt{\frac{2m|\mu|}{\hbar^2}}\]
上式说明凝聚改变了长距离关联的衰减方式: 临界温度以下, 密度矩阵的长程部分由凝聚项主导; 临界温度以上, 关联出现指数衰减.
由此得到 ODLRO 的判据:
\[\gamma(\mathbf{r},\mathbf{r}') \simeq n_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}[\theta(\mathbf{r})-\theta(\mathbf{r}')]} \neq0\]
这里取热力学极限中的 \(R\to\infty\), \(n_0\) 是凝聚密度.
- 均匀静止态的相位可取常数, 因而 \(\gamma\to n_0\);
- 有流动相位时应以该不衰减项或宏观本征值表述, 不要求复数核本身收敛.
对两类体系分别有:
- 对静止理想 Bose 气体, 这个判据与 \(\mathbf{k}=0\) 宏观占据等价.
- 对均匀三维 He II, 理想气体的凝聚分数公式不再适用, 但 Penrose-Onsager 判据仍以单粒子密度矩阵的宏观本征值定义凝聚; 在这一均匀情形中对应不衰减的长程部分.
Remark 这刻画凝聚而非对任意维数、任意体系都与超流性等价: 理想 Bose 气体有凝聚却没有正的 Landau 临界速度, 二维有限温超流也可只有代数长程序.³

Remark 需要区分凝聚密度 \(n_0\) 与超流密度 \(n_s\).

在均匀静止态中, \(n_0\) 由 \(\gamma(\mathbf{r},\mathbf{r}')\) 的长距离极限定义, 对应动量分布中 \(\delta(\mathbf{k})\) 项的权重; 更一般地用宏观本征值定义凝聚密度. 它反映单粒子层面的量子简并.
\(n_s\) 由动力学响应定义, 即 \[\mathbf{j}_s = n_s\mathbf{v}_s\] 反映体系参与无耗散流动和拓扑响应的比例.

在三维理想 Bose 气体的静态横向响应定义下可形式上得到 \(n_s=n_0\), 但其自由粒子激发给出 \(v_c=\inf_{p>0}\varepsilon(p)/p=0\), 所以不能据此断言存在稳定无耗散流动; 在强相互作用液氦-4 中二者明显不同. 例如 \(T=0\) 时几乎所有粒子都参与超流响应, \(n_s\simeq n\), 在饱和蒸气压下, 低温凝聚密度只有约 \(n_0\simeq0.08n\), 且凝聚分数随压力而变化.⁴

7.2 Superconducting Phenomena

超导性是宏观量子相干在电磁响应中的直接表现.

7.2.1 Zero Resistance and Meissner Effect

超导体最直接的特征是 \(T\lt T_c\) 时直流电阻率可降为零. 在无涡旋运动等耗散机制的定态直流超流中, 电场为零, 于是焦耳热也为零; 瞬态或交流超电流可以有加速载流子的电场, 零电阻不等于所有过程都满足 \(\mathbf{E}=0\).

Remark 超导电流也不是无限大: 当电流密度超过临界电流密度 \(j_c\) 时, 超导态会被破坏.
超导转变还伴随比热异常. 低温正常金属可写为
\[C_{\mathrm{V}} = aT+bT^3\]
其中 \(aT\) 来自电子, \(bT^3\) 来自晶格振动. 进入超导态后, \(C_{\mathrm{V}}\) 在 \(T_c\) 处发生跳变; 更低温下, 电子贡献呈近似激活型行为:
\[C_{\mathrm{V}}^{\mathrm{e}} \propto \exp\left( - \frac{\Delta}{k_{\mathrm{B}}T} \right)\]
这里假定完全有隙的超导态: 单个准粒子的最小激发能为 \(\Delta\), 拆散一个 Cooper 对所需的阈值能量为 \(2\Delta\). 有节点的超导能隙一般导致低温幂律行为, 不能直接套用上述指数律.
零电阻可通过超导环中的持久电流直观看出. 设闭合超导环包围曲面 \(\Sigma\), Stokes 定理给出
\[\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = \int_\Sigma (\nabla\times\mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\]
在电流已经稳定的超导环中, \(\mathbf{E}=0\), 因而磁通不变. 外场变化期间可有瞬态电场; 无相位滑移时守恒并量子化的是包含超流动量项的磁通子(fluxoid), 只有沿厚环深处超流速度可忽略的路径才近似等于磁通. 如果先在 \(T>T_c\) 时让外磁场穿过金属环, 再冷却进入超导态并撤去外场, 环中可形成维持所俘获磁通的电流. 由于没有电阻耗散, 该环形电流可以长时间存在, 形成持久电流.
超导体还具有 Meissner 效应: 若先在 \(T>T_c\) 的正常金属中施加外磁场, 再保持外场并冷却到 \(T\lt T_c\), 磁场会被排出超导体内部. 此处指足够弱的场下达到平衡的 Meissner 态, 场仅侵入表面附近的穿透深度. 实际样品的涡旋钉扎和亚稳态可造成磁通俘获与磁滞, 不能把路径无关推广到所有实验过程. Remark Meissner 态内部 \(\mathbf{B}=0\), 因而磁化率 \(\xi = M/H = -1\), 对应完全抗磁性; 这里的 \(H\) 是内部磁场, 与外加场的关系还受退磁效应影响

Example 设计一个实验来区分零电阻的理想导体和真正的超导体, 并说明为什么仅凭零电阻不能完成区分.

Solution

在 \(T>T_c\) 的正常态施加外磁场, 使磁场穿过样品; 再保持外场不变并降温到零电阻态, 测量样品内部或近场磁场.
理想导体只冻结已有磁通, 不主动排出降温前的磁场. 超导体会发生 Meissner 效应, 内部磁场被排到 London 穿透深度内. 因此零电阻本身不够, 关键观测是排磁.

7.2.2 Critical Fields and Superconductor Types

根据有限磁场中的行为, 常规超导体可分成 I 类与 II 类两类.

II 类超导体的 \(H\)–\(T\) 相图在 \(T\lt T_c\) 时应满足 \(H_{c1}(T)\lt H_{c2}(T)\): 下曲线为 \(H_{c1}(T)\), 上曲线为 \(H_{c2}(T)\), 两曲线之间为涡旋态.

超导体的磁化曲线与临界场. 来源: 课程讲义.

原课程截图右下图的 \(H_{c1}(0)\)、\(H_{c2}(0)\) 标签互换, 上方修正版已纠正这两个标签.

以下先取退磁效应可忽略的均匀体样品. I 类超导体只有一个热力学临界场 \(H_c(T)\); 有限形状样品还可出现正常/超导畴共存的中间态. 当 \(H\lt H_c(T)\) 时, 样品保持 Meissner 态, 内部 \(B=0\); 当 \(H>H_c(T)\) 时, 超导性消失并转入正常态. 许多 I 类材料近似满足
\[H_c(T) \simeq H_c(0) \left[ 1- \left( \frac{T}{T_c} \right)^2 \right]\]
II 类超导体有两个临界场: 下临界场 \(H_{c1}\) 与上临界场 \(H_{c2}\).
- 当 \(H\lt H_{c1}\) 时, 体系仍处于 Meissner 态; 当 \(H>H_{c2}\) 时, 体系转为正常态; 在 \(H_{c1}\lt H\lt H_{c2}\) 间, 磁通可进入样品; 涡旋被钉扎且驱动电流足够小时仍可有零电阻, 涡旋运动则可产生耗散, 磁化强度满足 \(-H\lt M\lt 0\), 因而不再是完全抗磁体.
- 该中间区域称为涡旋态或 Abrikosov 态. Abrikosov 图像中, 每根磁通涡旋的核心序参量被压低至零, 常近似称为正常核; 它不是边界锐利的独立正常相. 周围由环形超导电流包围, 磁场在核外按穿透深度屏蔽. 每根涡旋携带一个磁通量子 \(\Phi_0=\frac{h}{2e}\), 这里的 \(2e\) 指向超导凝聚体的基本电荷单位是 Cooper 对.

7.2.3 Magnetic Thermodynamics

忽略自由空间磁能变化, 有热力学关系
\[\begin{aligned} \mathrm{d}E(S,\mathbf{M}) &= T\,\mathrm{d}S + \mu_0\mathcal{V}\mathbf{H}\cdot\mathrm{d}\mathbf{M}, \\ \mathrm{d}F(T,\mathbf{M}) &= -S\,\mathrm{d}T + \mu_0\mathcal{V}\mathbf{H}\cdot\mathrm{d}\mathbf{M}, \\ \mathrm{d}G(T,\mathbf{H}) &= -S\,\mathrm{d}T - \mu_0\mathcal{V}\mathbf{M}\cdot\mathrm{d}\mathbf{H}. \end{aligned}\]
对 I 类超导体, 在 Meissner 态中 \(\mathbf{M}=-\mathbf{H}\), 得到
\[G_{\mathrm{s}}(T,H_c)-G_{\mathrm{s}}(T,0) = \mu_0\mathcal{V} \int_0^{H_c}H\,\mathrm{d}H = \frac{1}{2}\mu_0\mathcal{V}H_c^2\]
若把正常态延拓到零场, 其磁响应通常满足 \(|M|\ll H\), 因而 \(G_{\mathrm{n}}(T,H_c)-G_{\mathrm{n}}(T,0)\simeq0\). 在 \(H=H_c\) 处两相平衡给出 Gibbs 自由能密度差
\[g_{\mathrm{s}}(T,0)-g_{\mathrm{n}}(T,0) = f_{\mathrm{s}}(T,0)-f_{\mathrm{n}}(T,0) = -\frac{1}{2}\mu_0H_c^2(T)\]
因此超导凝聚能密度为 \(f_c=\frac{1}{2}\mu_0H_c^2(T)\). 传统超导体的凝聚能通常约为 \(\mu\mathrm{eV}\)/电子的量级.
由熵密度 \(s=-\frac{\partial g}{\partial T}\) 可得
\[s_s-s_n=\mu_0H_c(T)\frac{\mathrm{d}H_c(T)}{\mathrm{d}T}\]
在 \(T=T_c\) 处 \(H_c=0\), 因而零场转变时 \(s_s(T_c)=s_n(T_c)\); 但在有限低温区, 通常 \(\mathrm{d}H_c/\mathrm{d}T\lt 0\), 所以 \(s_s\lt s_n\), 说明超导态是更有序的低熵态.
对温度微分, 热容密度的差为
\[c_s-c_n = \mu_0T \left[ H_cH_c'' + (H_c')^2 \right]\]
因此零场超导转变没有潜热, 但热容在 \(T_c\) 处发生跳变, 是二级相变; 对 I 类超导体, 有限磁场下在 \(H_c(T)\) 穿过相边界时熵不连续, 对应一级相变.

7.2.4 London Electrodynamics

若超导载流子数密度为 \(n\), 电荷为 \(q\), 速度为 \(\mathbf{v}\), 超导电流 \(\mathbf{j}=nq\mathbf{v}\). 在电场作用下
\[\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}=\frac{nq^2}{m}\mathbf{E}\]
结合 Faraday 定律 \(\nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=0\), 得到
\[\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla\times\mathbf{j} + \frac{nq^2}{m}\mathbf{B} \right) = 0\]
对理想导体而言, \(\mathbf{E}=0\) 只推出磁场不随时间变化, 不能推出 Meissner 效应.
London 兄弟的关键假设是把括号内常数取为零, 利用 \(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\), 得到 London 方程
\[\nabla\times \left( \mathbf{j} + \frac{nq^2}{m}\mathbf{A} \right) = 0\]
因此局域地 \(\mathbf{j}=-\frac{nq^2}{m}\mathbf{A}+\nabla\chi\).

定态下, 电荷守恒给出 \(\nabla\cdot\mathbf{j}=0\). 若选取 London 规范 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\), 并用边界条件排除无穷远处不消失的谐函数梯度项, 可得到第二 London 方程
\[\mathbf{j} = -\frac{nq^2}{m}\mathbf{A}\]
在定态下忽略位移电流, Ampere 定律为 \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\). 两边取旋度并代入 London 方程:
\[\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{\lambda^2}\mathbf{B}, \qquad \lambda=\sqrt{\frac{m}{\mu_0nq^2}}\]
其中 \(\lambda\) 称为 London 穿透深度(London penetration depth).
在相位均匀的 London 规范中, \(\mathbf{j}=-(nq^2/m)\mathbf{A}\) 可理解为正则相位动量保持不变, 而机械动量因矢势改变. 正则动量本身依赖规范; 物理刚性是相位扭转的能量代价及有限的横向屏蔽响应. London 方程不能单独推出所有低能激发都有能隙, 也适用于存在节点准粒子的超导体.

7.3 Fundamentals of Ginzburg-Landau Theory

Ginzburg-Landau 理论, 简写为 GL, 用复数序参量 \(\psi(\mathbf{r})=|\psi(\mathbf{r})|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\mathbf{r})}\) 描述超导态.

它把超导性作为 \(U(1)\) 相位对称性破缺态来处理, 同时允许 \(\psi(\mathbf{r})\) 有空间涨落, 因而能把热力学、Meissner 屏蔽、涡旋与 I 类/II 类分类放在同一套宏观框架中.

从微观理论看, Gor’kov 后来证明 GL 方程可由 BCS 理论在 \(T\) 接近 \(T_c\) 的区域导出. 在这里, \(\psi\) 可看作与超导能隙 \(\Delta\) 成比例的宏观序参量, 其归一化可使 \(|\psi|^2\) 表征有效对超流密度; 该量不应无条件等同于两粒子密度矩阵的凝聚对密度.

7.3.1 Bulk Superconducting Transition

先忽略外加电磁场. GL 自由能泛函取为超导态与正常态的自由能差:

\[F[\psi] = F_{\mathrm{s}}-F_{\mathrm{n}} = \int\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \frac{1}{2m^*} \left| \mathbf{p}\psi \right|^2 + a(T)|\psi|^2 + \frac{1}{2}b(T)|\psi|^4 \right]\]

这里采用各向同性连续模型及 \(m^*=2m_{\mathrm{e}}\) 的序参量归一化约定; 一般晶体的 GL 梯度系数可有各向异性, 不能仅由电子数目断言有效质量必为该值. \(\mathbf{p}=-\mathrm{i}\hbar\nabla\). 参数 \(a(T)\)、\(b(T)\) 在 \(T_c\) 附近解析; 稳定性要求 \(b(T)>0\). 梯度项描述 \(\psi\) 的空间不均匀性. 下面先讨论均匀体相极限, 因而令 \(\nabla\psi=0\).

均匀体相中, 自由能密度为

\[f = f_{\mathrm{s}}-f_{\mathrm{n}} = a(T)|\psi|^2 + \frac{1}{2}b(T)|\psi|^4 = a(T)x+\frac{1}{2}b(T)x^2, \qquad x=|\psi|^2\]

极小值点给出

\[|\psi_0|^2 = \begin{cases} 0, & a(T)>0,\\ -\dfrac{a(T)}{b(T)}, & a(T)\lt 0. \end{cases}\]

高温正常相对应 \(a(T)>0\), 唯一极小值在 \(\psi=0\);
低温超导相对应 \(a(T)\lt 0\), 自由能极小值移到 \(|\psi|=|\psi_0|\neq0\).

于是 \(a(T_c)=0\) 定义了平均场转变温度. 在 \(T_c\) 附近展开

\[a(T) \simeq a'(T-T_c), \qquad b(T) \simeq b + \mathcal{O}(T-T_c)\]

其中 \(a'>0\)、\(b>0\). 因而

\[|\psi_0(T)| = \begin{cases} \sqrt{-\dfrac{a(T)}{b(T)}} \simeq \sqrt{\dfrac{a'}{b}}\,(T_c-T)^{1/2}, &T\lt T_c,\\ 0, &T\geq T_c. \end{cases}\]

序参量在 \(T_c\) 处连续从零长出, 平均场临界指数为 \(1/2\).

相位自由度给出了连续简并的能谷:
\[\psi_0 = |\psi_0| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, \qquad 0\leq\theta\lt 2\pi\]
在固定电磁规范的有效描述中, 自由能不依赖于均匀相位, 可用选定相干相位的对称性破缺表象描述超导态. 局域电磁规范变换是同一物理态的冗余表述, 不应当成可观测的自发对称性破缺; 可观测的是相位刚性、规范不变的相位差和 Meissner 响应.⁵

把平衡值代回自由能密度, 对 \(T\lt T_c\) 有

\[f_{\mathrm{s}}-f_{\mathrm{n}} = a(T)|\psi_0|^2 + \frac{1}{2}b|\psi_0|^4 = -\frac{a^2(T)}{2b}.\]

它正是超导凝聚能密度的负值.

与热力学关系 \(f_{\mathrm{s}}-f_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}\mu_0[H_c(T)]^2\) 比较, 得到适用于 \(T\to T_c^-\) 的 GL 临界区域的磁场 \[H_c(T) = \frac{a'}{\sqrt{\mu_0b}} (T_c-T), \qquad T\lt T_c.\]

进一步可由 \(s=-\frac{\partial f}{\partial T}\) 得到熵密度差. 对 \(T\lt T_c\),

\[s_s-s_n = -\frac{\partial}{\partial T} \left( -\frac{a'^2(T-T_c)^2}{2b} \right) = -\frac{a'^2}{b}(T_c-T)\]

因此 \(T_c\) 处熵连续, 潜热 \(L=T_c\Delta s=0\), 符合二级相变的特征. 单位体积热容密度差为

\[c_s-c_n = T\frac{\partial(s_s-s_n)}{\partial T} = \begin{cases} \dfrac{Ta'^2}{b}, & T\lt T_c,\\ 0, & T>T_c. \end{cases}\]

在临界点处的跳变为 \(\Delta c=c_s(T_c^-)-c_n(T_c^+)=\frac{T_ca'^2}{b}\).

7.3.2 Nonuniform Superconductors

对 \(F[\psi]\) 关于 \(\psi^*\) 变分, 平衡条件为 \(\frac{\delta F}{\delta\psi^*}=0\). 利用 \(\delta\left|\nabla\psi\right|^2=\nabla\psi\cdot\nabla\delta\psi^*\)(对 \(\psi^*\) 变分时只保留含 \(\delta\psi^*\) 的项). 分部积分后可得无磁场 GL 方程

\[-\frac{\hbar^2}{2m^*} \nabla^2\psi + \left[ a(T) + b(T)|\psi|^2 \right]\psi = 0\]

它形式上类似 Schrödinger 方程, 但 \(|\psi|^2\psi\) 使方程非线性, 因而一般不满足线性叠加原理.

Example 超导体-正常金属界面. 设半无限超导体占据 \(z>0\), 正常金属占据 \(z\lt 0\), 并假设 \(\psi=\psi(z)\) 可取实数.

Solution 方程化为

\[-\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}z^2} + \left[ a(T) + b(T)|\psi|^2 \right]\psi = 0\]

采用理想边界条件 \(\psi(0)=0,\psi(z\to+\infty)=\psi_0=\sqrt{-\frac{a(T)}{b(T)}}\).

在 \(T\lt T_c\) 时 \(a(T)\lt 0\). GL 方程变为

\[\xi^2\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} + f - f^3 = 0, \qquad \xi = \sqrt{ \frac{\hbar^2}{2m^*|a(T)|} }, \qquad f(z) = \frac{\psi(z)}{\psi_0}\]

满足上述边界条件的特解为

\[\psi(z) = \psi_0 \tanh \left( \frac{z}{\sqrt{2}\xi} \right)\]

Remark \(\xi\) 称为 Ginzburg-Landau 相干长度(Ginzburg-Landau coherence length), 表征序参量从局部扰动中恢复到体相平衡值的空间尺度. \(\xi\) 越小, 序参量越快恢复, 局域扰动越难影响远处超导态. 代入 \(a(T)\simeq a'(T-T_c)\) 可得

\[\xi(T) \sim \left| t \right|^{-1/2}, \qquad t = \frac{T-T_c}{T_c}\]

因此在 \(T_c\) 附近, GL 相干长度发散, 其平均场临界指数为 \(-1/2\). 这也说明 GL 理论在临界温区具有长尺度、缓变场论的性质.

7.3.3 Superconductors in a Magnetic Field

要把 GL 理论用于 Meissner 效应和 I 类/II 类分类, 需要引入矢势 \(\mathbf{A}\).

取 Cooper 对电荷为 \(-e^*=-2e\). 动量替换为 \(\mathbf{p}\to\mathbf{p}+e^*\mathbf{A}\), 于是磁场中的 GL 自由能密度写为

\[f \equiv f_{\mathrm{s}}^{\mathrm{matter}}-f_{\mathrm{n}}^{\mathrm{matter}}(0) + \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2m^*} \left| \left( \mathbf{p} + e^*\mathbf{A} \right)\psi \right|^2 + a(T)|\psi|^2 + \frac{1}{2}b(T)|\psi|^4 + \frac{B^2}{2\mu_0}\]

其中 \(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\). 最后一项是磁场能量密度. 正常态物质的零场自由能作为参考常数被扣除; 若固定外加场 \(\mathbf{H}\), 应使用含 \(-\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\) 的 Gibbs 泛函并施加相应边界条件.

自由能在规范变换下应保持不变: \[\mathbf{A} \mapsto \mathbf{A} + \nabla\chi, \qquad \psi \mapsto \exp \left( -\frac{\mathrm{i}e^*}{\hbar}\chi \right)\psi\]

把 \(\psi,\psi^*,\mathbf{A}\) 看成独立变量并对自由能泛函取极值.

对 \(\psi^*\) 变分得到第一 GL 方程:
\[\frac{1}{2m^*} \left( \mathbf{p} + e^*\mathbf{A} \right)^2\psi = - \left[ a(T) + b(T)|\psi|^2 \right]\psi\]
对 \(\mathbf{A}\) 变分可得到 Ampere 定律 \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\). 其中超导电流密度为
\[\mathbf{j} = -\frac{e^*}{2m^*} \left[ \psi^*(\mathbf{p}\psi) + (\mathbf{p}\psi)^*\psi \right] - \frac{e^{*2}}{m^*} |\psi|^2\mathbf{A} = -e^*\psi^*(\mathbf{r}) \overleftrightarrow{\mathbf{v}} \psi(\mathbf{r}) - \frac{e^{*2}}{m^*} |\psi|^2\mathbf{A}\]
对该式取散度可得 \(\nabla\cdot\mathbf{j}=0\), 反映静态电荷守恒.

静态超导问题中, 忽略了位移电流项.

Remark GL 理论在缓变、弱场极限下自然退化为 London 电动力学.

在弱磁场下, 可忽略 \(\mathbf{B}\) 对 \(|\psi|^2\) 的影响, 近似令 \(|\psi|^2=n_s\simeq\frac{|a(T)|}{b(T)}\). 这等价于把有效对超流密度取为零场体相平衡值. 若相位近似均匀, 超导电流退化为 \(\mathbf{j}\simeq-\frac{e^{*2}n_s}{m^*}\mathbf{A}\). 靠近 \(T_c\) 时, 与 London 方程比较可得
\[\lambda(T) \simeq \sqrt{ \frac{m^*b} {\mu_0e^{*2}a'} } |T_c-T|^{-1/2}, \qquad T\lt T_c\]
按平均场指数 \(-1/2\) 发散.
更一般地写 \(\psi=\sqrt{n_s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\). 代入电流公式得到规范不变的机械超流速度
\[\mathbf{j}=-e^*n_s\mathbf{v}_s, \qquad \mathbf{v}_s= \frac{\hbar\nabla\theta+e^*\mathbf{A}}{m^*}\]
幅值梯度在对称电流中相消, 因而这个局域电流表达式本身不要求 \(n_s\) 均匀; 后续取常数穿透深度时才需近似固定 \(n_s\). 利用 \(\frac{1}{\mu_0\lambda^2}=\frac{e^{*2}n_s}{m^*}\), 可写成
\[\mathbf{j} = - \frac{1}{\mu_0\lambda^2} \left( \mathbf{A} + \frac{\hbar}{e^*}\nabla\theta \right)\]
在无涡旋、可取单值相位的局部区域中, 做规范变换 \(\chi=\hbar\theta/e^*\), 可令相位为零并把相位梯度吸收到矢势中. 对均匀 \(n_s\) 的定态屏蔽问题, 电荷守恒进一步给出 London 横向规范. 绕涡旋的多连通区域不能用一个全局单值变换消去相位绕数.

在 \(T_c\) 附近把 \(b\) 与梯度系数取为常数的领先 GL 近似中, \(\lambda(T)\) 与 \(\xi(T)\) 的比值给出近似温度无关的 Ginzburg-Landau 参数:

\[\kappa = \frac{\lambda(T)}{\xi(T)} \simeq \frac{m^*}{\hbar e^*} \sqrt{ \frac{2b}{\mu_0} }\]

它控制超导体的电磁响应类型. 当 \(\kappa\lt \kappa_c\), 即 \(\lambda\) 相对较小, 体系为 I 类超导体; 当 \(\kappa>\kappa_c\), 即 \(\lambda\) 相对较大, 体系为 II 类超导体. 界面能分析可以给出精确分界 \(\kappa_c=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

7.4 Applications of Ginzburg-Landau Theory

GL 理论的主要应用是把前面得到的两个长度尺度 \(\xi\) 与 \(\lambda\) 用于真实空间结构.

7.4.1 Interface Free-Energy Balance

当外加磁场达到热力学临界场 \(H_c\) 时, 超导相与正常相可在界面处共存. 考虑一维界面:

\(y-z\) 平面为相界面, 超导侧占据 \(x\lt 0\), 正常侧占据 \(x>0\).
边界条件
\[x\to-\infty: \psi=\psi_0, B=0 \qquad x\to+\infty: \psi=0, B=B_c=\mu_0H_c\]
界面区域中 \(\psi(x)\) 与 \(B(x)\) 都随 \(x\) 变化. 忽略正常金属的微弱磁响应.

由于 \(H=H_c\) 是外加场, 应考察界面 Gibbs 自由能密度, 界面张力定义为

\[\gamma = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\, \left[ g(x)-g_{\mathrm{n}} \right]\]

正常侧的参考 Gibbs 自由能密度为
\[\begin{aligned} g_{\mathrm{n}}(H_c) &= f_{\mathrm{n}}(B_c)-H_cB_c\\ &\simeq f_{\mathrm{n}} + \frac{1}{2}\mu_0H_c^2 - \mu_0H_c^2 && \frac{1}{2}\mu_0H_c^2=\frac{a^2(T)}{2b(T)}\\ &= f_{\mathrm{n}} - \frac{a^2(T)}{2b(T)}. \end{aligned}\]
因而 \(g_{\mathrm{n}}(H_c)\) 与 \(x\to-\infty\) 的超导相 Gibbs 自由能密度相等, 这正是两相共存条件.
令 \(\mathbf{H}\) 与 \(\mathbf{B}\) 都沿 \(z\) 方向, 取
\[\mathbf{A} = \hat{\mathbf{e}}_y A(x), \qquad B(x) = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x}\]
此时 \(\mathbf{p}\) 与 \(\mathbf{A}\) 在动能项中解耦, 界面张力泛函为
\[\begin{aligned} \gamma = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\, \bigg[ & \frac{\hbar^2}{2m^*} \left| \psi' \right|^2 + \frac{e^{*2}}{2m^*} A^2|\psi|^2 + a(T)|\psi|^2 + \frac{1}{2}b(T)|\psi|^4\\ &+ \frac{B^2(x)}{2\mu_0} - H_cB(x) + \frac{\mu_0H_c^2}{2} \bigg]. \end{aligned}\]
在 \(x\to\pm\infty\) 的体相区域, 该被积函数都为零.
1. 对 \(A(x)\) 变分得到界面电流的 London 形式 \(\mathbf{j}=-\frac{e^{*2}}{m^*}|\psi|^2\mathbf{A}(x)\). 该电流沿界面方向流动, 与外磁场正交.
2. 对 \(\psi^*(x)\) 变分得到一维 GL 方程:
  \[- \frac{\hbar^2}{2m^*} \psi'' + \frac{e^{*2}}{2m^*} A^2\psi + a(T)\psi + b(T)|\psi|^2\psi = 0\]
  在这个一维问题中可取 \(\psi(x)\) 为实函数.
引入无量纲变量
\[x = \lambda u, \qquad \psi = \psi_0\varphi, \qquad A = \mu_0H_c\lambda\alpha, \qquad B = \mu_0H_c\beta\]
- 代入一维 GL 方程得到
  \[\frac{1}{\kappa^2}\varphi'' = \left( \frac{1}{2}\alpha^2 - 1 \right)\varphi + \varphi^3\]
- 由 Ampere 定律和 London 方程得到 \(\alpha''=\varphi^2\alpha\).
- 边界条件变为 \(u\to-\infty: \varphi=1,\alpha'=0\) 与 \(u\to+\infty: \varphi=0,\alpha'=1\).
界面张力可写为
\[\gamma = \frac{\lambda |a(T)|^2}{2b(T)} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}u\, \left[ \frac{2}{\kappa^2}(\varphi')^2 + (\alpha^2-2)\varphi^2 + \varphi^4 + (\alpha'-1)^2 \right]\]
利用 GL 方程进行积分化简
\[\gamma = \frac{\lambda}{2} \mu_0H_c^2 \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}u\, \left[ -\varphi^4 + (\alpha'-1)^2 \right] \equiv \delta g_c(T)\]
\(g_c\) 为凝聚能密度, \(\delta\) 具有长度量纲. 该式说明界面张力源于超导凝聚能和抗磁能的竞争.
- 当 \(\lambda\ll\xi\) 时界面张力为正, 形成界面不利, 体系倾向保持完整 Meissner 态, 对应 I 类超导体.
- 当 \(\lambda\gg\xi\) 时界面张力为负, 增加超导-正常相界面反而降低自由能, 体系可让磁通以涡核的形式进入, 对应 II 类超导体.

Remark 精确分解: 当界面张力积分中 \(\alpha'=1-\varphi^2\), 则 \(\gamma=0\)(这里选择负号是因为物理上 \(0\leq\alpha'\leq1\)).

将该式代入 \(\alpha''=\varphi^2\alpha\) 可得 \(\varphi'=-\frac{1}{2}\alpha\varphi\). 对其微分并使用 \(\alpha'=1-\varphi^2\), 得到

\[2\varphi'' = \left( \frac{1}{2}\alpha^2 - 1 \right)\varphi + \varphi^3\]

这正是 \(\kappa=1/\sqrt{2}\) 时的无量纲 GL 方程. 因此 I 类与 II 类的精确分界为 \(\kappa_c=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

7.4.2 Type-II Superconductors

现在集中讨论 \(\kappa>1/\sqrt{2}\) 的 II 类超导体. 它们在 \(H_{c1}\lt H\lt H_{c2}\) 之间处于混合态, 磁通以涡旋的形式穿过样品. 平衡态无驱动本身不能证明零电阻; 在小电流下涡旋被钉扎、没有相位滑移时可有零电阻, 涡旋运动则可产生磁通流动电阻.

上临界场 \(H_{c2}\) 当 \(H\) 略低于 \(H_{c2}\) 时, 序参量很小, 可忽略 GL 自由能中的 \(|\psi|^4\) 项, 得到线性化方程
\[\frac{1}{2m^*} \left( \mathbf{p} + e^*\mathbf{A} \right)^2\psi = -a(T)\psi\]
此时 \(\mathbf{A}\) 可看作均匀磁通密度 \(B=\mu_0H\) 对应的矢势.

化为均匀磁场中粒子的 Landau 能级问题. 沿磁场方向的动量 \(k\) 是好量子数, 垂直方向给出 Landau 能级:
\[-a(T) = \hbar\omega_{\mathrm{c}}^* \left( n+\frac{1}{2} \right) + \frac{\hbar^2k^2}{2m^*}, \qquad n=0,1,2,\cdots\]
临界场对应最先出现的非零 \(\psi\), 即 \(n=0\)、\(k=0\) 的最低 Landau 能级, 满足 \(|a(T)|=\frac{\hbar e^*B_{c2}}{2m^*}\). 因此
\[H_{c2} = \frac{B_{c2}}{\mu_0} = \frac{2m^*|a(T)|}{\mu_0\hbar e^*}\]
利用前面的 \(H_c=\frac{|a(T)|}{\sqrt{\mu_0b}},\kappa=\frac{m^*}{\hbar e^*}\sqrt{\frac{2b}{\mu_0}}\), 可得 \(H_{c2}=\sqrt{2}\kappa H_c\). 对 II 类超导体, \(\kappa>1/\sqrt{2}\), 因而 \(H_{c2}>H_c\).
下临界场 \(H_{c1}\) 当 \(H\) 刚超过 \(H_{c1}\) 时, 第一个 Abrikosov 涡旋进入样品. 设单位长度涡线的自由能密度为 \(\sigma\), 其中包括真空场能, 样品厚度为 \(L\). 单个涡旋造成的 Gibbs 自由能变化为
\[G-G_{\mathrm{s}} = L\sigma - \int \mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\, \mathrm{d}\mathbf{r}\]
在 \(H=H_{c1}\) 处, 涡旋刚好无能量代价, 因而 \(H_{c1}=\frac{\sigma}{\Phi}\), 其中 \(\Phi\) 是该涡旋携带的总磁通.
- 为了确定 \(\Phi\), 联立电流表达式与 Ampere 定律.
  \[- \frac{\hbar}{e^*} \nabla\theta = \mathbf{A} + \lambda^2\nabla\times\mathbf{B}\]
  利用绕数 \(s\) 的定义
  \[s = - \frac{1}{2\pi} \oint_C \mathrm{d}\mathbf{l}\cdot\nabla\theta, \qquad s\in\mathbb{Z}\]
  对上式积分可以得到
  \[s\Phi_0 = \Phi + \lambda^2 \oint_C \mathrm{d}\mathbf{l}\cdot \nabla\times\mathbf{B}, \qquad \Phi_0=\frac{h}{e^*}=\frac{h}{2e}\]
  对孤立涡旋取远离涡核、边界且电流可忽略的回路, 总磁通满足 \(\Phi=s\Phi_0\), 不要求 \(\kappa\gg1\). 上面的常数 \(\lambda\) 形式适用于密度已恢复的核外区域; 有限回路电流不可忽略时量子化的是磁通子, 不能直接把实际磁通等同于 \(s\Phi_0\).
- 为了估计 \(\sigma\), 只需要抓住涡核与 London 区域的两个 cutoff.
  - 涡核半径约为 \(\xi\), 因而 \(\rho\lt \xi\) 的细节不由 London 方程描述; \(\rho>\lambda\) 后磁场和电流指数衰减, 对数积分自然截断.
  - 在中间区域 \(\xi\ll\rho\ll\lambda\), 围道内实际磁通仍可忽略, 上面的环路方程给出
    \[\lambda^2 \oint_C \mathrm{d}\mathbf{l}\cdot \nabla\times\mathbf{B} \simeq s\Phi_0\]
    对柱对称单涡旋, \(\mathbf{B}(\rho)=\hat{\mathbf{z}}B(\rho)\), 且 \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\), 因此
    \[j_\phi(\rho) \simeq \frac{s\Phi_0}{2\pi\mu_0\lambda^2\rho}, \qquad \xi\ll\rho\ll\lambda\]
  涡线单位长度能量可写成磁场能与超流动能之和:
  \[\sigma = \frac{1}{2\mu_0} \int\mathrm{d}^2\mathbf{r}_\perp\, \left[ \lambda^2 (\nabla\times\mathbf{B})^2 + B^2 \right]\]
  在 \(\kappa\gg1\) 时, 对数精度主要来自 \(\xi\ll\rho\ll\lambda\) 的电流项:
  \[\begin{aligned} \sigma &\simeq \int_\xi^\lambda 2\pi\rho\,\mathrm{d}\rho\, \frac{\mu_0\lambda^2}{2} \left( \frac{s\Phi_0}{2\pi\mu_0\lambda^2\rho} \right)^2 \\ &= \frac{s^2\Phi_0^2}{4\pi\mu_0\lambda^2} \log\frac{\lambda}{\xi} = \frac{s^2\Phi_0^2}{4\pi\mu_0\lambda^2} \log\kappa \end{aligned}\]
外场使一条涡线获得磁通能收益. 单位长度 Gibbs 自由能变化为
\[\frac{\Delta G}{L} = \sigma - Hs\Phi_0\]
下临界场由 \(\Delta G=0\) 给出. 对最低能量的单量子涡旋 \(s=1\),
\[H_{c1} \simeq \frac{\sigma}{\Phi_0} \simeq \frac{\Phi_0}{4\pi\mu_0\lambda^2} \log\kappa\]
当 \(H>H_{c1}\) 后, 涡旋数量随外场增加, 并在垂直于磁场的平面上形成 Abrikosov 磁通晶格. 若涡旋间距仍大于 \(\xi\), 平均磁感应强度可看成单个涡旋磁通的叠加: \(B=\nu\Phi_0\), 其中 \(\nu\) 是涡旋面密度.
当磁场接近 \(H_{c2}\) 时, 涡旋间距降到 \(\xi\) 量级, 核区强烈重叠. 间距图像只能估计 \(B_{c2}\sim\Phi_0/\xi^2\); 由前面的线性化 GL 最低 Landau 能级可得精确的 GL 系数:
\[B_{c2} = \frac{\Phi_0}{2\pi\xi^2}, \qquad H_{c2} = \frac{B_{c2}}{\mu_0}\]
这与前面由最低 Landau 能级得到的 \(H_{c2}\) 一致. 因而 \(H_{c1}\lt H\lt H_{c2}\) 是混合态区域, 两端分别由涡线能量平衡和 GL 线性化方程确定.

7.4.3 Josephson Effect

Josephson 效应描述两个超导体通过弱连接耦合时的相位相干输运. 以下考虑常规弱隧穿的 0 结, Cooper 对电荷为 \(-e^*\), 其中 \(e^*=2e>0\).

Definition 两侧序参量相位为 \(\theta_1,\theta_2\), 沿固定路径从 1 到 2 定义

\[\phi=\theta_2-\theta_1+\frac{e^*}{\hbar}\int_1^2\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}.\]

在规范变换 \(\mathbf{A}\mapsto\mathbf{A}+\nabla\chi\), \(V_i\mapsto V_i-\partial_t\chi_i\), \(\theta_i\mapsto\theta_i-e^*\chi_i/\hbar\) 下, 相位与线积分的变化抵消, 因而 \(\phi\) 不变.

Theorem 取常规电流正方向为从 2 到 1. 当两侧内部 Cooper 对化学势相同、结两侧保持局域平衡时, 定义结电压

\[V_{\mathrm{J}}=V_2-V_1+\frac{\partial}{\partial t}\int_1^2\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =-\int_1^2\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}.\]

Josephson 关系为

\[I_s=I_c\sin\phi,\qquad \hbar\dot\phi=e^*V_{\mathrm{J}}.\]

电压为零时可维持非零超电流; 恒定电压产生频率 \(\nu=e^*|V_{\mathrm{J}}|/h\) 的交流超电流.

Proof

弱隧穿的最低阶耦合能来自两侧序参量的双线性项. 对时间反演对称的普通 0 结, 它可写为
\[F_{\mathrm{J}}=-E_{\mathrm{J}}\cos\phi,\qquad E_{\mathrm{J}}>0.\]
令 \(N_2\) 为第二侧 Cooper 对数. 凝聚态作用量中的相位项为 \(-\hbar\sum_i N_i\dot\theta_i\), 对 \(\theta_2\) 变分给出 \(\hbar\dot N_2=\partial F_{\mathrm{J}}/\partial\theta_2\). 负电荷流入第二侧对应从 2 到 1 的正电流, 所以
\[I_s=e^*\dot N_2 =\frac{e^*}{\hbar}\frac{\partial F_{\mathrm{J}}}{\partial\phi} =\frac{e^*E_{\mathrm{J}}}{\hbar}\sin\phi, \qquad I_c=\frac{e^*E_{\mathrm{J}}}{\hbar}.\]
正弦关系是弱隧穿的首谐波近似; 高透明度结可有更高谐波, 磁性结也可能具有不同的平衡相位.
两侧体相的相位演化满足 \(\hbar\dot\theta_i=-\mu_i+e^*V_i\), 其中 \(\mu_i\) 是不含静电势能的 Cooper 对化学势. 这可由同一作用量对 \(N_i\) 变分得到, 因为增加一对粒子的能量为 \(\mu_i-e^*V_i\). 两侧相减并对线积分求导得
\[\hbar\dot\phi=\mu_1-\mu_2+e^*V_{\mathrm{J}}.\]
在定理的 \(\mu_1=\mu_2\) 条件下即得第二关系. 若内部化学势不同, 应将其差一并计入电化学电压, 不能只用静电势差代替.
积分得 \(\phi(t)=\phi(0)+(e^*/\hbar)\int_0^t V_{\mathrm{J}}(t')\,\mathrm{d}t'\). 代回第一关系即得到交流频率. 两式还给出 \(\dot F_{\mathrm{J}}=I_sV_{\mathrm{J}}\), 与所选电流、电压方向的功率约定一致.⁶

References

A. Gurevich, General aspects of superconductivity, SRF 2007 tutorial, 临界场与 Meissner 态.

D. Xiao, M.-C. Chang and Q. Niu, Berry Phase Effects on Electronic Properties, Rev. Mod. Phys. 82, 1959 (2010). ↩︎ ↩︎ ↩︎
J. A. Lipa et al., Specific Heat of Liquid Helium in Zero Gravity very near the Lambda Point, Phys. Rev. B 68, 174518 (2003), Eq. (1) 与临界指数分析. ↩︎
C. J. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Chapter 10: Superfluidity, 凝聚与超流性的区别. ↩︎
T. R. Prisk et al., The Momentum Distribution of Liquid 4He, 低温饱和蒸气压下的凝聚分数; H. R. Glyde et al., Bose-Einstein condensation in liquid 4He under pressure, 凝聚分数的压力依赖. ↩︎
M. Greiter, Is electromagnetic gauge invariance spontaneously violated in superconductors?, Ann. Phys. 319, 217–249 (2005), Sections 2–4. ↩︎
R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, III, Chapter 21, Sections 21-8 and 21-9. 本节显式采用负的 Cooper 对电荷, 电流与电压方向按正文定义. ↩︎

Classical Mechanics - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

1 Lagrangian Mechanics

优势: Lagrangian 是一个标量; 动力学方程形式不受坐标影响; 处理约束系统简便; 便于说明对称性与守恒律之间的联系.

1.1 Constraints, Degrees of Freedom, and Generalized Coordinates

1.1.1 Constraints and Their Classification

Definition 位形: 物理系统在空间中的分布,形状

Definition 约束(constraint): 限制系统位形及其变化

可解约束/不可解约束

可解约束: 可部分解脱,又称单侧约束不可解约束: 不可解脱,又称双侧约束
完整约束(holonomic constraint)/非完整约束(几何约束+可积微分约束/不可积微分约束)

线性微分约束(Pfaffian constraint)
\[f_i\,\mathrm{d}x_i=0,\quad i=0,\cdots ,n,\quad x_0=t\]
在三维局部坐标中, 对处处非零且至少 \(C^1\) 光滑的 Pfaff 1-form \(\omega=f_i\,\mathrm{d}x_i\), 存在非零积分因子 \(\mu\) 使 \(\mu\omega=\mathrm{d}U\), 当且仅当
\[\mathbf{f}·(\nabla\times\mathbf{f})=0\]
Proof¹ 若 \(\mu\omega=\mathrm{d}U\), 则 \(\nabla\times(\mu\mathbf{f})=0\). 展开并点乘 \(\mathbf{f}\) 得 \(\mu\mathbf{f}\cdot(\nabla\times\mathbf{f})=0\), 因而必要性成立. 反之, \(\omega\wedge\mathrm{d}\omega=0\) 在三维中恰好等价于 \(\mathbf{f}\cdot(\nabla\times\mathbf{f})=0\). 局部 Frobenius 定理于是保证 \(\omega=h\,\mathrm{d}U\), 其中 \(h\ne0\); 取 \(\mu=h^{-1}\) 即得充分性.
定常(scleronomous constraint)/非定常约束(rheonomous constraint)(是否含时)

1.1.2 Degrees of Freedom and Generalized Coordinates

Definition 自由度: 对完整约束系统, 指局部确定位形所需的独立坐标数, 记为 \(n_f\). 运动状态还需给定相应速度; 对非完整系统, 应另外区分位形维数与允许速度空间的维数.

Definition 广义坐标: 能唯一确定系统位形的独立坐标 \(\{q_\alpha\mid \alpha=1,2,\cdots,s\}\)

完整系统的位形流形局部为 \(s\) 维, 无额外速度约束时其位置与速度组成 \(2s\) 维状态空间. 若有 \(m\) 个独立的非完整仿射速度约束, 每点允许速度空间的维数为 \(s-m\), 但不能因此把位形流形降为 \(s-m\) 维; 所有位形是否可达还取决于约束的具体结构.

\(N\) 质点系统, \(k\) 个约束

\[f_m(\mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_N,t)=0,m=1,\cdots,k\]

引入 \(\{q_\alpha\}\) 得到坐标变换方程

\[\dot{\mathbf{r}}_i=\dot{\mathbf{r}}_i(q,\dot q,t)=\sum_\alpha\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial t}\]

进而得到两个 Lagrange 关系

\[\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial\dot{ q_\alpha}}=\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\\ &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}=\left.\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial q_\alpha}\right|_{\dot q,t} \end{aligned}\right.\]

Proof 后一式证明左右都等于 \(\partial_\alpha\partial_\beta\mathbf{r}_i\dot q_\beta+\partial_t\partial_\alpha\mathbf{r}_i\).(左侧对 \(\partial_\alpha\mathbf{r}_i\) 求全导数, 右侧利用上式中 \(\dot{\mathbf{r}}_i(q,\dot q,t)\)).

对定常约束,总可找到 \(\{q_\alpha\}\),使 \(\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1,\cdots,q_s),i=1,\cdots,N\).

1.2 Principle of Virtual Work, d’Alembert’s Principle, and Lagrange Equations

1.2.1 Principle of Virtual Work

考虑 \(N\) 个质点组成的系统, 受 \(k\) 个局部独立的完整约束, \(n_f=s=3N-k\).

Definition 虚位移: 瞬时约束所允许的所有假想位移 \(\delta\mathbf{r}_i=\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\)(\(\delta t=0\),为等时变分)

变分无穷小, 需要满足体系的瞬时约束, 无需满足运动方程. 定常约束 \(\mathrm{d}\mathbf{r}_i\in M=\{\delta\mathbf{r}_i\}\)(非定常系统一般 \(\mathrm{d}\mathbf{r}_i\notin M=\{\delta\mathbf{r}_i\}\))

Definition 理想约束: 约束力的虚功和为 0(光滑的刚性平面,不可伸长绳,刚性杆,纯滚动约束等).

静力平衡时, Newton 方程给出 \(\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i^a+\mathbf{F}_i^c=0,\forall i(=1,\cdots,N)\) 静力平衡要求合力虚功为 0:

\[\sum\limits_{i=1}^N(\mathbf{F}_i^a+\mathbf{F}_i^c)·\delta \mathbf{r}_i=0\]

Theorem 理想系统在静力平衡时, 由理想约束消去约束力的虚功, 得虚功原理: \(\sum\limits_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\delta \mathbf{r}_i=0\)

Definition 广义力 \(Q_\alpha=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\).

Corollary 对完整理想系统, 虚功原理写为:

\[0=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\delta \mathbf{r}_i=\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\sum_{\alpha=1}^{s}\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha=\sum_{\alpha=1}^{s}Q_\alpha·\delta q_\alpha\]

由 \(\delta q_\alpha\) 各自独立, 故 \(\forall\alpha,Q_\alpha=0\).

Remark 完整理想保守系统的虚功原理

\[0=Q_\alpha=\sum_{i=1}^N(-\frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_i})·\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}=-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}\]

Remark 在平衡点, 刚度矩阵 \(\mathbf{K}\) 正定是局部稳定的充分条件, 其中 \(k_{ij}=\partial^2 V/(\partial q_i\partial q_j)\). 退化极小值的 Hessian 可以仅半正定, 此时还需考察高阶项.

1.2.2 Method of Lagrange Multipliers

Example 在约束 \(g(x,y)=x^2+y^2-1=0\) 下, 求 \(f(x,y)=x+y\) 的极值.

Solution 取极值时两图线相切

\[\nabla f=\lambda\nabla g\]

\(\lambda\) 称为 Lagrange 乘子(对微分性质良好的图线一般有此结论) 引入 \(h=h(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)\),取极值要求

\[\begin{cases} \partial_x h=\partial_x f-\lambda\partial_x g=0\\ \partial_y h=\partial_y f-\lambda\partial_y g=0\\ \partial_\lambda h=-g=0(已满足) \end{cases}\]

1.2.3 d’Alembert’s Principle and Lagrange Equations

以 Newton 运动方程为起点, 将惯性项移到力的一侧:

\[\mathbf{F}_i^a+\mathbf{F}_i^c-m_i\ddot{\mathbf{r}}_i=0\]

最后一项称 D’Alembert 惯性力

Theorem d’Alembert 原理: 对理想系统, 将上述方程投影到允许的虚位移上, 约束力的虚功和为零, 得到 Lagrange-d’Alembert 方程(理想系统的动力学普遍方程):

\[\sum\limits_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i^a-m_i\ddot{\mathbf{r}_i})·\delta\mathbf{r}_i=0\]

Corollary 对完整理想系统, 取独立广义坐标, 得到 Lagrange 方程:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}=Q_\alpha,\ \ \alpha=1,\cdots,s\]

Proof 已知 \(\sum\limits_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i^a-m_i\ddot{\mathbf{r}_i})·\delta\mathbf{r}_i=0,\delta\mathbf{r}_i=\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\),只需考察

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\right)-\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\right) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\sum_{i=1}^N m_i \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial q_\alpha} \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\]

以及

\[\sum_{i=1}^N\mathbf{F}_i^a·\delta \mathbf{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{s}Q_\alpha·\delta q_\alpha\]

代入得(第二类)Lagrange 方程,Q.E.D. Remark 若主动力均为保守力, 有 \(Q_\alpha=-\partial_\alpha V\), 此时的 Lagrange 方程:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0,\ \ \alpha=1,\cdots,s\]

其中 \(L=T-V\) 称 Lagrangian.

1.2.4 Properties of the Lagrangian

任意性
- 可相差任意非零的常数乘子, 对应于运动方程关于 \(L\) 线性齐次. 零乘子会抹去运动方程; 负乘子则会交换作用量的极大与极小.
- 可相差任意作为时间全导数的求和项,即进行规范变换(gauge transformation): \(L\implies L'=L+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(q,t)\) 后,运动方程不发生变化(即 Lagrangian 具有规范不变性)
可加性

两个独立的封闭体系 \(A,B\) 组成的体系的 Lagrangian 为 \(L=L_A+L_B\)

1.2.5 Free Particle

惯性系 S 中,选择笛卡尔坐标为广义坐标.时空的均匀性要求 Lagrangian 仅依赖于质点速度 \(\mathbf{v}\),而空间的各向同性要求 Lagrangian 仅会依赖于速度大小 \(v\),即 \(L=L(v^2)\) 考虑另一个惯性系 S’相对 S 以无穷小速度 \(\boldsymbol{\epsilon}\) 运动,则 \(\mathbf{v}'=\mathbf{v}-\boldsymbol{\epsilon}\),于是

\[L'=L(v'^2)=L(v^2-2\mathbf{v}·\boldsymbol{\epsilon}+\epsilon^2)\cong L(v^2)-2\frac{\partial L}{\partial(v^2)}\mathbf{v}·\boldsymbol{\epsilon}\]

由力学规律在 Galileo 变换下不变,\(L'\) 与 \( L(v^2)\) 等价,故有

\[L'-L(v^2)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\mathbf{r},t)=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}·\mathbf{v}+\frac{\partial f}{\partial t}\]

上式微分展开对 \(\mathbf{v}\) 线性依赖,故 \(\frac{\partial L}{\partial(v^2)}=\text{const}\implies L=\frac m 2v^2\),\(m\) 被定义为质点质量. 代入 Lagrange 方程 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v})=0\implies\mathbf{v}=\text{const}\)(惯性定律)

1.2.6 Noninertial Frames

考虑自由质点在非惯性参考系中的运动考虑惯性系 \(S_0\), 质点速度记为 \(\mathbf{v}_0\), \(L=\frac m 2v_0^2\).

考虑平动非惯性系 S, 相对 \(S_0\) 的速度为 \(\mathbf{V}(t)\),\(\mathbf{v}=\mathbf{v}_0-\mathbf{V}\),则

\[\begin{aligned} L=&\frac m 2(v^2+2\mathbf{v}·\mathbf{V}+V^2)\\ \cong&\frac m 2v^2-m\dot{\mathbf{V}}·\mathbf{r}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{r}·\mathbf{V}+\int^t\frac12mV^2\,\mathrm{d}t) \end{aligned}\]

最后一项可由规范变换舍去,以 \(S\) 系中参量为广义坐标,Lagrange 方程为

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v})=-m\dot{\mathbf{V}}\]

方程右侧项即为平移惯性力

考虑相对 S 以 \(\boldsymbol{\Omega}(t)\) 定点转动的转动非惯性系 S’,将两个参考系的公共参考点选在转轴上,\(\mathbf{v}=\mathbf{v}'+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}'\),代入 S 系参量表示的 Lagrangian 中

\[L=\frac{m}{2} v^2-m \dot{\mathbf{V}} \cdot \mathbf{r}=\frac{m}{2} v^{\prime 2}+m \mathbf{v}' \cdot(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}')+\frac{m}{2}(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}')^2-m \dot{\mathbf{V}} \cdot \mathbf{r}'\]\[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}'}&=m\mathbf{v}'+m\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}'\\ \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}'}&=m\mathbf{v}'\times\boldsymbol{\Omega}+m(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}')\times\boldsymbol{\Omega}-m\dot{\mathbf{V}} \end{aligned}\]

以 \(\mathbf{r}'\) 为广义坐标,Lagrange 方程:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v}')=-2m\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}'-m\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times \mathbf{r}')-m\dot{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{r}'-m\dot{\mathbf{V}}\]

方程右边的四项分别为:科氏力,惯性离心力,切向惯性力和平移惯性力, 为转动非惯性系下的有效力.

1.2.7 Systems of Particles

存在相互作用的质点系:\(L=\sum_i\frac 12m_iv_i^2-V(\mathbf{r}_1,\cdots)\) Lagrange 方程:\(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_i}\)

上述模型用同一时刻的位置决定、与速度无关的势能描述相互作用, 由此得到 Newton 力学的运动方程. 这是额外的模型假设, 不能仅由 Galileo 相对性原理推出: 相对位置和相对速度在共同 Galileo boost 下均不变, 因而 Galileo 不变性本身也允许依赖相对速度的相互作用.

考虑约束存在,引入坐标变换之后,动能函数

\[\begin{aligned} T & =\frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta} a_{\alpha \beta}(q,t) \dot{q}_\alpha \dot{q}_\beta+\sum_\alpha a_\alpha(q,t) \dot{q}_\alpha+\frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\partial_t \mathbf{r}_i\right)^2 \\ & =T^{(2)}+T^{(1)}+T^{(0)} \end{aligned}\]

几项分别为广义速度的二次,一次和零次齐次函数,其中

\[a_{\alpha\beta}=\sum\limits_i m_i\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\beta},a_\alpha=\sum\limits_i m_i\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial t}\]

考虑外场存在: 稳定约束下整体封闭的系统 \(A+B\),且其 Lagrangian:\(L=T_A+T_B-V(q_A,q_B)\) 若已知 \(q_B(t)\),\(A\) 在给定外场下:\(L_A=T_A(q_A,\dot q_A)-V(q_A,t)\)

2 Symmetry and Conservation Laws

2.1 Hamilton’s Principle

2.1.1 Calculus of Variations

变分法主要用于处理泛函(:函数 \(\implies\) 实数)极值问题(常可通过泛函的类似性简化问题)

Theorem 泛函极值问题的 Euler-Lagrange 方程(以下暂且讨论单自由度) 为使泛函积分 \(I=\int_{x_A}^{x_B}f(y,y',x)\,\mathrm{d}x\) 在固定 \(y_A=y(x_A),y_B=y(x_B)\) 时取极值

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

此即 Euler-Lagrange 方程 Proof 采用等 \(x\) 变分方法

以下仅作一阶变分,极值的存在及其属性(极大还是极小)还取决于二阶变分的符号,这一般会对应复杂的计算.很多情形我们可以由物理情况判断极值的属性(极大或极小),从而作出简化.

定义试探函数族 \(\overline y=\overline y(x,\epsilon)=y(x)+\delta y(x)\),其中 \(\delta y\) 为函数的等 \(x\) 变分,满足

\(\delta y(x_A)=\delta y(x_B)=0\)(端点固定)
\(\delta(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(\delta y)\)(\(\mathrm{d}\) 为与 \(\mathrm{d}x\) 对应的微分)
\(\overline y(x,0)=y(x)\)(\(\epsilon=0\) 对应极值路径)
\(\overline y(x,\epsilon)\in C^2\)(直到二阶导存在且连续)

极值条件为

\[\begin{aligned} 0=\delta I=&\int_{x_A}^{x_B}[\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)]\,\mathrm{d}x\\ =&\left.\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right|_{x_A}^{x_B}+\int_{x_A}^{x_B}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\,\mathrm{d}x \\ =&\int_{x_A}^{x_B}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

对任意的 \(\delta 𝑦\) 如上等式都成立,故要求有

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

Remark 对多自由度体系采用固定的端点的等 \(x\) 变分,极值条件为对各项的求和,又由 \(\delta y_\alpha\) 两两独立,故有 Euler-Lagrange 方程组

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y_\alpha'}-\frac{\partial f}{\partial y_\alpha}=0,\forall\alpha=1,2,\cdots,s\]

积分号与一阶变分的交换是积分号下求导的问题. 例如, 在固定有限区间内, 若 \(f\in C^2\), 路径族 \(\overline y(x,\epsilon)\) 对 \((x,\epsilon)\) 足够光滑, 并在共同紧集内取值, 则 \(\epsilon\) 导数受可积函数控制, 因而可交换积分与一阶变分. 仅有每条路径连续可微不足以保证交换; 完整约束或保守性也不是这个分析条件的替代.

2.1.2 Principle of Least Action

严格地讲, 应该为作用量极值原理. 一般我们认为可以有两种等价的表述:

Postulate Hamilton 原理对于可由 Lagrangian \(L(q,\dot q,t)\) 描述的完整理想体系, 真实的运动使得给定初末态位形 \((t_1,q^{(1)})\) 和 \((t_2,q^{(2)})\) 的路径作用量(action):

\[S[q(t)]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)\,\mathrm{d}t\]

取驻值, 故也常称最小作用量原理. 驻值不保证极小: 对具有正定速度 Hessian 的通常自然 Lagrangian, 足够短且无共轭点的区段可取局部极小; 更长区间或一般 Lagrangian 则需检查二阶变分.

从而对完整理想系统, 可以用 Euler–Lagrange 方程给出力学体系的运动方程(Lagrange 方程):

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0,\forall\alpha=1,2,\cdots,s\]

在速度无关势能模型中, Lagrangian 为 \(L=T-V\), 可在惯性系中给出 Newton 力学的运动方程. 对于不能由该势能描述的广义力, 对作用量有相应要求
\[\delta S+\int_{t_1}^{t_2}\sum_\alpha Q_\alpha\delta q_\alpha\,\mathrm{d}t=0\]
其中 \(Q_\alpha\) 给出尚未包含在 \(L\) 中的广义力. 分部积分后得到 \(\mathrm{d}(\partial L/\partial\dot q_\alpha)/\mathrm{d}t-\partial L/\partial q_\alpha=Q_\alpha\), 因而外力虚功前取正号.

Lagrangian 是广义坐标及广义速度的函数,而相应的运动方程是时间相关的二阶微分方程,这反映了: 当速度 Hessian 非奇异时, 给定 \(q,\dot q\) 与时间, 运动方程可局部解出加速度 \(\ddot q\). 还需通常的光滑性条件保证初值问题的局部唯一性; 奇异 Lagrangian 则需另外处理约束.

选取光滑、单调且 \(\mathrm{d}t/\mathrm{d}\lambda\ne0\) 的新参数 \(\lambda=\lambda(t)\) 可以建立等价变分问题, 但须同时变换速度与积分测度:
\[L_\lambda=L\!\left(q,\frac{\mathrm{d}q/\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}t/\mathrm{d}\lambda},t\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}.\]

Postulate Maupertuis 原理对于能量守恒的系统(同时要求约束是完整且理想的), 真实运动使得路径的简约作用量的在 \(\Delta\) 变分意义下取驻值, 即

\[\Delta I[C]\equiv\Delta\int_Cp_i\,\mathrm{d}q_i=\Delta\int_{t_1}^{t_2}p_i\dot{q}_i\,\mathrm{d}t=0\]

\(\Delta\) 变分与等时变分 \(\delta\) 的关系为

\[\Delta q(t)=q(t+\Delta t,\alpha) - q(t,0)\simeq\dot{q}(t,0)\Delta t+\delta q(t)\]

Maupertuis 原理中变分与端点移动的几何示意.

Proof 考虑作用量的 \(\Delta\) 变分:

\[\begin{aligned} \Delta\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t &=\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2}L[t,q(t,\alpha),\dot{q}(t,\alpha)]\,\mathrm{d}t-\int_{t_1}^{t_2}L[t,q(t,0),\dot{q}(t,0)]\,\mathrm{d}t\\ &=L[t_2,\alpha]\Delta t_2-L[t_1,\alpha]\Delta t_1+\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t\\ &=L[t_2,0]\Delta t_2-L[t_1,0]\Delta t_1+\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

最后一步由一阶近似得到. 利用

\[\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)\right\}\delta q_i\,\mathrm{d}t+\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\delta q_i\right]_{t_1}^{t_2}\]

代入作用量变分, 并把等时变分变为 \(\Delta\) 变分得到

\[\Delta\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t=\int_{t_1}^{t_2}\left\{\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)\right\}\delta q_i\,\mathrm{d}t+\left[p_i\Delta q_i-H\Delta t\right]\bigg|_{t_1}^{t_2}\]

考虑限制条件:

\(H(q,p)=E=\mathrm{const}\) 守恒在真实路径上成立
所取变分使得所有变化路径上 \(H(q+\Delta q,p+\Delta p)=E\)
变化路径在初末端点 \(\Delta q(t_{1/2})=0\)(不要求 \(\Delta t=0\))

从而

\[\Delta\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t=\Delta\int_{t_1}^{t_2}\left(p_i\dot{q}_i-H\right)\,\mathrm{d}t=\Delta\int_{t_1}^{t_2}p_i\,\mathrm{d}q_i-H(\Delta t_2-\Delta t_1)\]

根据 Hamiltonian 的定义, 可以得到简约作用量变分为 0 的结论:

\[\Delta\int_{t_1}^{t_2}p_i\,\mathrm{d}q_i=0\]

最短路径原理: 约束与时间无关、势场与速度无关时, 动能可表为 \[2T=2(E-V)=\sum_{ij}A_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j=\sum_ip_i\dot{q}_i\] 定义路径长度(位形流形上) \[(\mathrm{d}s)^2=A_{ij}\mathrm{d}q_i\mathrm{d}q_j\] 根据 Maupertuis 原理有 \[\Delta\int_Cp_i\,\mathrm{d}q_i=\Delta\int_{t_1}^{t_2}2T\,\mathrm{d}t=\Delta\int_{s_1}^{s_2}\sqrt{2(E-V)}\,\mathrm{d}s=0\] 与 Fermat 原理类比可以得到粒子的等效折射率 \(n=\sqrt{2(E-V)}\), 粒子运动路径为变折射率介质中的光线路径.

2.1.3 Least Action Principle for Nonholonomic Systems

设有 \(s\) 个广义坐标及 \(m\) 个独立的仿射速度约束

\[f_l(q,\dot q,t)=\sum_{\alpha=1}^s a_{l\alpha}(q,t)\dot q_\alpha+a_{lt}(q,t)=0,\qquad l=1,\cdots,m\]

约束矩阵在所讨论区域秩为 \(m\), 因而每一点允许速度的仿射空间维数为 \(s-m\); 对不可积约束, 这不等于把构型空间降为 \(s-m\) 维.

对完整约束 \(F_l(q,t)=0\), 可将路径限制在约束面上, 或对作用量加入乘子 \(\mu_l F_l\) 并变分, 得到约束力方程. 若用速度形式, 应先取等价的恰当表达 \(f_l=\mathrm{d}F_l/\mathrm{d}t\). 此时
\[\frac{\partial f_l}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial f_l}{\partial\dot q_\alpha}=0\]
对 \(L+\sum_l\lambda_l f_l\) 作独立变分后, 可通过重新定义乘子与完整约束的结果对应. 对一般 Pfaffian 表达, 不能未经等价变换就认定此恒等式成立.
对理想非完整约束, 采用 Lagrange–d’Alembert 原理: 实际速度满足 \(f_l=0\), 固定时间的虚位移满足
\[\sum_\alpha a_{l\alpha}\delta q_\alpha=0,\qquad \delta q_\alpha(t_1)=\delta q_\alpha(t_2)=0\]
这些虚位移通常不是一族都满足速度约束的路径的变分. 在允许虚位移下令 \(\delta\int L\,\mathrm{d}t=0\), 得
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}+\sum_{l=1}^m\lambda_l a_{l\alpha}=0,\qquad f_l=0\]
这里沿用广义约束力 \(Q_\alpha^{\mathrm c}=-\sum_l\lambda_l a_{l\alpha}\) 的符号. 约束力对允许虚位移不作功, 不代表对实际位移一定不作功.

Remark 若直接对增广作用量 \(\int(L+\sum_l\lambda_l f_l)\,\mathrm{d}t\) 作独立变分, 则得到变分约束(vakonomic)方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha} =\sum_l\lambda_l\left(\frac{\partial f_l}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial f_l}{\partial\dot q_\alpha}\right)-\sum_l\dot\lambda_l\frac{\partial f_l}{\partial\dot q_\alpha}\]

它一般不同于理想非完整系统的 Lagrange–d’Alembert 方程. 应区分两种变分问题, 而不是笼统断言非完整系统没有变分表述; 相关讨论另见².

2.2 Symmetry and Conservation Laws

2.2.1 Generalized Momentum and Its Conservation Law

Definition 广义动量

\[p_\alpha=\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha},\alpha=1,2,\cdots,s\]

这样 Lagrange 方程写作

\[\dot{p_\alpha}=\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\]

因此, 如 \(L\) 不显含某个 \(q_\alpha\), 即在对应的(相)空间平移操作下不变. 则称其为循环坐标, 此时对应的 \(p_\alpha=\mathrm{const}\).

循环坐标的产生一般和某种对称性相联系. e.g.

外场轴对称 \(V=V(r,\theta)\),可以得出 \(\varphi\) 为循环坐标,广义动量 \(p_\varphi=J_z=\mathrm{const}\)

外场球对称,角动量 \(\mathbf{J}\) 守恒

根据对称性选取广义坐标,使得循环坐标尽可能多,可以方便地给出运动积分.

2.2.2 Energy Conservation

Theorem 能量守恒定律若体系具有时间平移不变性, 即 \(\partial_tL=0\), 则有能量守恒:

\[E=\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha-L=\mathrm{const}\]

Proof 由 \(\partial_tL=0\)

\[\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}= \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\ddot q_\alpha= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\right)\dot q_\alpha+\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\ddot q_\alpha= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha\right)\]

移项发现守恒量

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha-L\right)=0\]

\(E\) 对 \(L\) 线性依赖, 故 \(E\) 也具有可加性

考虑稳定约束下的保守系的 Lagrangian, 动能项只有 \[T^{(2)}=\frac{1}{2} \sum\limits_{\alpha, \beta} a_{\alpha \beta}(q) \dot{q}_\alpha \dot{q}_\beta\] 利用 Euler 齐次函数定理得到 \[\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha=2T\] 守恒量 \(E=2T-(T-V)=T+V\), 即为牛顿力学中的机械能
考虑不稳定约束下的保守系, 动能 \[T=T^{(2)}+T^{(1)}+T^{(0)}\] 此时 \[\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}\dot q_\alpha=2T^{(2)}+T^{(1)}\] \(E=T^{(2)}-T^{(0)}+V\) 为广义能量, 但含时约束下不一定守恒. 沿运动方程有 \(\mathrm{d}E/\mathrm{d}t=-\partial L/\partial t\); 只有右侧为零时才得到守恒量.

Definition Hamilton 函数假设速度 Hessian \(\partial^2L/(\partial\dot q_\alpha\partial\dot q_\beta)\) 非奇异, 可局部由 \(p_\alpha=\partial L/\partial\dot q_\alpha\) 解出速度. 将 \(p_\alpha,q_\alpha\) 看作独立变量, 定义 Hamiltonian

\[H=H(p,q,t)=\sum_\alpha p_\alpha\dot q_\alpha-L\]

\[\begin{aligned} \mathrm{d}H=&\dot q_\alpha\,\mathrm{d}p_\alpha+p_\alpha\,\mathrm{d}\dot q_\alpha-(p_\alpha\,\mathrm{d}\dot q_\alpha+\dot p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha+\partial_tL\,\mathrm{d}t)\\ =&\dot q_\alpha\,\mathrm{d}p_\alpha-\dot p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-\partial_tL\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

故有一组 Hamilton 正则方程

\[\dot q_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad \dot p_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha},\quad \partial_tH=-\partial_tL\]

Remark 能量守恒定律(另一表述) 若哈密顿量不显含时间, 则其本身为体系的运动积分, 即能量 \(E=H(q,p,t)\).

2.2.3 Linear and Angular Momentum Conservation

Theorem 动量守恒定律若体系具有空间平移不变性(空间的均匀性), 则有系统总动量守恒

\[\mathbf{P}=\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i=\sum_i\mathbf{p}_i=\mathrm{const}\]

Proof 无穷小变换记作

\[\begin{aligned} \mathbf{r}_i&\to\mathbf{r}_i+\delta\mathbf{r}_i\\ (\delta\mathbf{r}_i)_\text{平移}&=\delta\mathbf{r}_0,\delta t=0 \end{aligned}\]

其中 \(\delta\mathbf{r}_0\) 是与 \(\mathbf{r}_i\) 无关的全局性无穷小平移变量. 相应真实轨道 Lagrangian 的变分为

\[\begin{aligned} \delta L& =\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha+\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\delta\dot{q}_\alpha \\ &=\sum_\alpha\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)\delta q_\alpha+\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\Big(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha\Big) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\delta q_\alpha\right)} \end{aligned}\]

对于速度无关势 \(V=V(q,t)\) 情形

\[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}=\frac\partial{\partial\dot{q}_\alpha}\left(\sum_i\frac12m_i\dot{\mathbf{r}}_i^2\right)=\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}{\partial\dot{q}_\alpha}=\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\]

无穷小平移变换下, Lagrangian 不变, 对应于(下式对变换不含 \(t\),速度无关势均成立)

\[\delta L=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\right)}\cdot\delta\mathbf{r}_0= \frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}\cdot\delta\mathbf{r}_0 =0\]

Theorem 角动量守恒定律若体系具有空间转动不变性(空间的各向同性), 则有系统总角动量守恒

\[\mathbf{J}=\sum_im_i\mathbf{r}_i\times\dot{\mathbf{r}}_i=\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i=\mathrm{const}\]

Proof \(\left(\delta\mathbf{r}_i\right)_\text{转动}=\delta\mathbf{\varphi}\times\mathbf{r}_i,\left(\delta\mathbf{v}_i\right)_\text{转动}=\delta\mathbf{\varphi}\times\mathbf{v}_i\),相应真实轨道 Lagrangian 在速度无关势情形下的变分同上无穷小转动变换下,Lagrangian 不变,对应于

\[\begin{aligned} \delta L =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl(\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i\cdot(\delta\mathbf{\varphi}\times\mathbf{r}_i)\biggr)\\ =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl(\sum_im_i\mathbf{r}_i\times\dot{\mathbf{r}}_i\biggr)\cdot\delta\mathbf{\varphi}\\ =&\frac{\mathrm{d}\mathbf{J}}{\mathrm{d}t}\cdot\delta\mathbf{\varphi}=0 \end{aligned}\]

2.2.4 Scale Transformations

Definition 尺度变换: \(\mathbf{r}'=\lambda_1\mathbf{r}\ ,\ t'=\lambda_2t\)

尺度变换下齐次函数意义非凡, 如果力学系统的势能正好是各个粒子坐标的 \(k\) 次齐次函数, 则

\[V(\lambda_i\mathbf{r}_i)=\lambda_1^kV(\mathbf{r}_i)\]

那么可以选取 \(\lambda_2=\lambda_1^{1-\frac k2}\), 使系统的 Lagrangian 整体乘一个因子 \(\lambda_1^k\),从而运动方程不变, 与原先有几何上类似的轨道, 运行的特征时间与轨道尺度的比例也是固定的, 具体来说为 \(\frac{t'}{t}=\left(\frac{l'}{l}\right)^{1-\frac k2}\).

Kepler 第三定律行星运动中有 \(k=-1\), 代入得到 \(\mathrm{Kepler}\) 第三定律 \(\frac{t'}{t}=\left(\frac{l'}{l}\right)^{\frac 32}\)
位力定理(Virial theorem) 考虑一个多粒子体系在有限的空间范围内运动, 对
\[2T=\sum_i\mathbf{v}_i\cdot\mathbf{p}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_i\mathbf{p}_i\cdot\mathbf{r}_i\right)-\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\dot{\mathbf{p}}_i\]
假设端点项 \([\sum_i\mathbf p_i\cdot\mathbf r_i]_0^{\mathcal T}/\mathcal T\to0\), 再取长时间平均得到
\[2\langle T\rangle=\left\langle\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\frac{\partial U}{\partial\mathbf{r}_i}\right\rangle\]
对 \(k\) 次齐次势能,得到
\[2\langle T\rangle=k\left\langle U\right\rangle\]

2.2.5 Discrete Symmetries

以上讨论的是连续时空变换下的对称性. 以下讨论分立对称变换. 一个系统允许的这些变换可组成相应的时空对称群; 是否具有共形对称性需另行检验, 不能由平移、转动、宇称和时间反演直接推出.

空间反射变换(宇称变换): \(\mathbf{r}\to -\mathbf{r}\) 两次宇称变换等效于没有变换, 故物理量在空间反射变换下往往只能不变(具有正宇称)或者变一个符号(具有负宇称). 由此, 可以对物理量进行分类:

标量: 在空间转动和空间反射下都不变(\(S\),\(L\),\(T\),\(V\) 等)
赝标量: 在空间转动下不变, 在空间反射下变号(取赝矢量与矢量点乘)
矢量: 在空间转动下按照直角坐标一样变换, 在空间反射下变号(\(\mathbf{r}\),\(\mathbf{v}\),\(\mathbf{p}\) 等)
轴矢量(赝矢量): 在空间转动下按照直角坐标一样变换, 在空间反射下不变(\(\mathbf\omega\),\(\mathbf{J}\),\(\mathbf{B}\) 等)

时间反演变换: \(t\to -t\) 如果系统的 Lagrangian 在时间反演变换下不变(\(L(q,\dot{q},t)=L(q,-\dot{q},-t)\)), 则运动方程形式不变. (e.g. Lagrangian 本身并不显含时间且只包含广义速度的偶数次幂) 时间反演对称性意味着系统的运动完全是可逆的.

含广义速度的一次幂本身不证明时间反演破缺或耗散.

Example 例如 \(L=L_0+\mathrm{d}f(q)/\mathrm{d}t\) 含线性速度项, 却与 \(L_0\) 有相同的运动方程.

判断时间反演时还需考虑全导数项及外场的变换; 阻尼须由具体耗散力判断.

2.2.6 Energy-Momentum Relations from Endpoint Variations

把满足运动方程的作用量看作末态时空坐标的函数 \(S=S(t,q)\), 其中 \(t=t_2,q=q(t_2)\), 并固定初始端点. 先在固定积分区间上作等时变分:

\[\begin{aligned} \delta S &=\delta\int_{t_1}^{t}L(q,\dot q,t)\,\mathrm{d}t\\ &=\int_{t_1}^t\sum_\alpha\left(\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha +\frac{\partial L}{\partial\dot q_\alpha}\delta\dot q_\alpha\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\left(\sum_\alpha\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\delta q_\alpha\right)\Bigg|_1^2+\int_{t_1}^t\sum_\alpha\left[\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\Big)\right]\delta q_\alpha\,\mathrm{d}t \\ &=\left(\sum_\alpha p_\alpha\delta q_\alpha\right)\Bigg|_1^2 \end{aligned}\]

末端时间再改变 \(\Delta t\) 时, 总端点位移满足 \(\Delta q_\alpha=\delta q_\alpha+\dot q_\alpha\Delta t\). 因而在真实轨道上

\[\Delta S=p_\alpha\delta q_\alpha+L\Delta t =p_\alpha\Delta q_\alpha-H\Delta t,\]

即

\[\frac{\partial S}{\partial q_\alpha}=p_\alpha,\qquad \frac{\partial S}{\partial t}=-H.\]

若体系具有时间平移不变性, 则 \(H=E\) 守恒. 对多粒子笛卡尔坐标, \(\nabla_{\mathbf r_i}S=\mathbf p_i\); 若体系在整体平移 \(\mathbf r_i\mapsto\mathbf r_i+\mathbf a\) 下不变, 则 \(\partial S/\partial\mathbf a=\sum_i\mathbf p_i\) 守恒.

Remark 固定末端时间时只保留 \(p_\alpha\delta q_\alpha\); 能量关系来自同时允许末端时间变化的完整端点变分.

2.2.7 Noether’s Theorem

Noether 定理中原轨道与变换后轨道的几何关系.

将 \(\Gamma\) 平移为 \(\Gamma'\), 产生相应时空变换 \(q_\alpha^\prime=q_\alpha^\prime(q,t),t^\prime=t^\prime(q,t)\)(坐标变换的主动观点) 前后两个坐标系统的作用量分别为

\[\begin{aligned} S&=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t),\dot{q}(t),t)\,\mathrm{d}t\\ S^{\prime}&=\int_{t_1^{\prime}}^{t_2^{\prime}}L(q^{\prime}(t^{\prime}),\dot{q}^{\prime}(t^{\prime}),t^{\prime})\,\mathrm{d}t^{\prime}=\int_{t_1}^{t_2}L(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t^{\prime})\frac{\mathrm{d}t^{\prime}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

以下讨论作用量的连续变分对称性: 要求作用量不变或者至多相差一个表面项. 仅有运动方程不变并不足以保证这一条件.

\[\Delta S=S^{\prime}-S=\left.F(q,t)\right|_{t_1}^{t_2}\]

则

\[L(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t^{\prime})\frac{\mathrm{d}t^{\prime}}{\mathrm{d}t}-L(q,\dot{q},t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(q,t)\]

若为连续性对称变换, 即该变换可以用连续性参量加以表征, 可以定义无穷小变换(其中 \(\epsilon\) 为无穷小的变换参数,不依赖时间与各坐标)

\[\begin{cases}q_\alpha^\prime(t^\prime)=q_\alpha(t)+\delta q_\alpha(t)=q_\alpha(t)+\epsilon\cdot\xi_\alpha(q,t)\\t^\prime=t+\delta t=t+\epsilon\cdot\eta(q,t)&\end{cases}\]

故前一式左侧为 \(L(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t^{\prime})-L(q,\dot{q},t)+L(q,\dot{q},t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t\). 由无穷小变换的形式,右侧可以预期 \(F(q,t)=\epsilon\cdot\phi(q,t)\).注意到

\[\begin{aligned} \dot{q}_\alpha^{\prime} &=\frac{\mathrm{d}q_\alpha^{\prime}(t^{\prime})}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t^{\prime}} =\left(\dot{q}_\alpha+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha\right)\left(1-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t\right)\\ &=\dot{q}_\alpha+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha-\dot{q}_\alpha\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t \end{aligned}\]

这样前一式变为

\[\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_\alpha+\left(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\dot{q}_\alpha\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta t+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(q,t)\]

注意到 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\dot{q}_\alpha-L\Big)=-\frac{\partial L}{\partial t}-\Big(\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\Big)\dot{q}_\alpha \), 消去 \(\frac{\partial L}{\partial t}\) 得

\[\left(\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)(\delta q_\alpha-\dot{q}_\alpha\delta t)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathcal Q,\quad\mathcal Q=p_\alpha\delta q_\alpha-E\delta t-F\]

因为连续性对称变换是整体的, 故守恒量为(对应动力学对称性)

\[Q=\frac1\epsilon \mathcal Q=p_\alpha\xi_\alpha-E\eta-\phi\]

Theorem Noether 定理: 对上述作用量至多改变一个表面项的无穷小整体变换, \(Q\) 沿运动轨道守恒. \(\xi_\alpha,\eta\) 是相应对称变换的生成元.

Remark 上述一阶变分等式可用于判断变换是否为作用量的对称性, 并确定表面项 \(F=\epsilon\phi\). 若变换不涉及时间, 且 Lagrangian 严格不变, 可取 \(\phi=0\), 从而 \(Q=p_\alpha\xi_\alpha\).

Example 常见连续对称性

考虑存在循环坐标 \(q_\gamma\), 其对应的无穷小整体对称性变换 \(\delta q_\alpha=\epsilon\cdot\delta_{\alpha\gamma},\delta t=0\). 代入判别式, 并注意到 \(\frac{\partial L}{\partial q_\gamma}=0\), 可确定 \(F=0\), 即 Lagrangian 不变, 上述是对称性变换, 守恒量
\[Q=p_\alpha\delta_{\alpha\gamma}=p_\gamma\]
定义无穷小整体时间平移变换 \(\delta t=\epsilon ,\delta q_\alpha=0\). 代入判别式, 若 Lagrangian 不显含时间(\(\frac{\partial L}{\partial t}=0\)), 则有 \(F=0\), 上述是对称性变换, 守恒量
\[Q=-E=-\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\dot{q}_\alpha-L\right)\]
整体乘以 \(-1\) 仍为守恒量, 因而通常称 \(E\) 为守恒能量.
对于 \(N\) 个相互作用的粒子组成的孤立保守系, 选取笛卡尔坐标为广义坐标,
\[L=\sum\limits_i\frac12m_iv_i^2-V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_N)\]
\(V\) 仅依赖各粒子间距 \(r_{ij}=|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|\)
- 定义无穷小整体空间平移变换 \(\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_{i}=\epsilon\cdot\mathbf{\tau},\delta t=0\)(\(\mathbf\tau\) 为给定方向向量). \(F=0\), 故变化下 Lagrangian 不变, 守恒量
  \[Q=\left(\sum_i\mathbf{p}_i\right)\cdot\mathbf{\tau}\]
  \(\mathbf\tau\) 是任意的, 故总动量守恒
- 定义无穷小整体空间转动变换 \(\delta_{\mathbf{n}}\mathbf{r}_i=\epsilon\cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{r}_i),\delta t=0\)(\(\mathbf{n}\) 为给定转轴方向向量). \(F=0\), 相应守恒量
  \[Q=\sum_i\mathbf{p}_i\cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{r}_i)=\left(\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i\right)\cdot\mathbf{n}\]
  由 \(\mathbf{n}\) 的任意性可知系统角动量守恒
- 考虑无穷小 Galileo 变换 \(\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_i=-\epsilon\cdot\mathbf{\tau}t ,\delta t=0\)(\(\mathbf{\tau}\) 为参考系变换速度的方向向量). 势能函数在 Galileo 变换下不变, 故
  \[\frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}\cdot\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_i=0\]
  但动能发生变化, 相应
  \[\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf{r}}_i}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta_{\mathbf{\tau}}\mathbf{r}_i=-m_i\mathbf{v}_i\cdot\epsilon\mathbf{\tau}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(-\left(\sum_im_i\mathbf{r}_i\right)\cdot\epsilon\mathbf{\tau}\right)}\]
  因此 \(\phi=-(\sum_im_i\mathbf{r}_i)\cdot\mathbf{\tau}\), 守恒量
  \[Q=p_\alpha\xi_\alpha-\phi=\left(\sum_im_i\mathbf{r}_i-\sum_im_i\mathbf{v}_it\right)\cdot\mathbf{\tau}\]
  引入质心的定义, 上面的括号内
  \[\sum_im_i\mathbf{r}_i-\sum_im_i\mathbf{v}_it=m\mathbf{r}_C-m\mathbf{v}_Ct=\mathrm{const}\]
  即 \(\mathbf{v}_C=\dot{\mathbf{r}}_C=\mathrm{const}\).

References

陈滨,《高等动力学》中证明 ↩︎
American Journal of Physics 34, 1202 (1966) ↩︎

Classical Mechanics - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

3 Central Force Fields

3.1 Central Force Fields

3.1.1 Description in the Center-of-Mass Frame

Question 孤立两体 \(m_1,m_2\), 相互作用势能 \(V=V(|\mathbf{r}|),\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\) Answer Lagrangian:

\[L=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{R}}^2+\frac12\mu\dot{\mathbf{r}}^2-V(r)\]

\[M=m_1+m_2,\quad \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\]

质心位矢 \(\mathbf{R}\) 可遗, 不妨取质心系消去对应的动能项, 仅保留相对位矢项, 由 Lagrangian 可以看出体系具有旋转不变性, \(\mathbf{J}=\text{const}\), 轨迹应为平面曲线. 取轨道平面内的极坐标, 令平面法向与非零 \(\mathbf{J}\) 同向, 极轴在轨道平面内选取, Lagrangian 约化为

\[L=\frac12\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)\]

得到运动积分(可由有效势能 \(V_{\text{eff}}(r)\) 判断径向运动特征)

\[J=\mu r^2\dot\theta\]

\[E=\frac12\mu\big(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\big)+V(r)=\frac12\mu\dot{r}^2+\frac{J^2}{2\mu r^2}+V(r)=\frac12\mu\dot{r}^2+V_{\text{eff}}(r)\]

两个速率

\[\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac J{\mu r^2},\quad \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\pm\sqrt{\frac2\mu[E-V(r)]-\frac{J^2}{\mu^2r^2}}\]

正负号分别对应向外与向内的径向运动, 在转向点换支. 运动方程为

\[\mu\ddot{r}=\frac{J^2}{\mu r^3}-V'(r)\]

固定角动量后, 径向 Routh 函数 \(R=L-J\dot\theta=\frac12\mu\dot r^2-V_{\mathrm{eff}}\) 可作为约化 Lagrangian. 不能仅把 \(\dot\theta=J/(\mu r^2)\) 直接代回原 \(L\) 再变分, 否则会得到错误的离心项符号. 关注轨迹, 利用两个速率消去 \(\mathrm{d}t\). 以下两式取向外支; 向内支的右端应乘以 \(-1\), 跨越转向点时须分段积分:

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\theta&=\frac{\frac{J}{r^2}}{\sqrt{2\mu[E-V(r)]-\frac{J^2}{r^2}}}\,\mathrm{d}r\\ \theta-\theta_0&=\int^r\frac{\frac{J}{r^2}}{\sqrt{2\mu[E-V(r)]-\frac{J^2}{r^2}}}\,\mathrm{d}r \end{aligned}\]

运动形式取决于 \(V(r)\) 形式.

3.1.2 Binet Equation

Theorem 对极坐标下运动方程的径向分量

\[\mu(\ddot r-r\dot\theta^2)=F(r)=-V'(r)\]

引入辅助变量 \(u=r^{-1}\), 并作替换

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac J\mu u^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\]

消去 \(t\), 得到 Binet 方程

\[-\frac{J^2}\mu u^2\left(\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u\right)=F\left(\frac{1}{u}\right)\]

方程关于 \(\theta\) 是对称的. 在对称的初始条件下, 方程的解 \(u(\theta)\) 一定是对称的. 在其他初始条件下, 轨迹在满足 \(\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta = \theta_0}=0\) 的 \(\theta_0\) 处是对称的. 这些地方为运动轨迹的拱点, 轨迹在绕拱点矢量的反射下保持不变. 从而求得一对拱点之间的轨迹, 就可以得到全部轨迹.

在这一变量替换下, 相应一阶的速率表达式变为

\[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=\mp\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2}-u^2-\frac{2\mu V(1/u)}{J^2}}\]

并不总能解析积分, 对于幂律力 \(F\propto r^n\), 即 \(V\propto u^{-n-1}\), 解析解存在于:

\(n = 1, -2, -3\), 简单函数积分. 其中前两者分别对应简谐振子和 Kepler 问题.
\(n = 5, 3, 0, -4, -5, -7\), 椭圆函数积分.

3.2 Kepler Problem

Kepler 问题: 质点在有心力下运动, 对应的势能函数 \(V(r)=-\frac\alpha r\)

3.2.1 Orbital Equation of the Kepler Problem

直接积分法:对一般的 \(\alpha\) 由
\[\begin{aligned} \theta-\theta_0 =&\int \mathrm{d}r\,\frac{\frac J{r^2}}{\sqrt{2\mu\left[E+\frac{\alpha}{r}\right]-\frac{J^2}{r^2}}} \\ =&-\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{\mu^2\alpha^2}{J^4}\left(1+\frac{2EJ^2}{\mu\alpha^2}\right)-\left(u-\frac{\mu\alpha}{J^2}\right)^2}}\quad,\quad u=\frac{1}{r}\\ =&\cos^{-1}\frac{p\cdot u-\frac{\alpha}{|\alpha|}}{e} \end{aligned}\]
通解
\[r=\frac p{\frac\alpha{|\alpha|}+e\cos(\theta-\theta_0)}\ ,\ p=\frac{J^2}{\mu|\alpha|}\ ,\ e=\sqrt{1+\frac{2EJ^{2}}{\mu\alpha^{2}}}\]
其中 \(\theta_0\) 可通过选取近日点为极轴方向消去
Binet 方程法
\[-\frac{J^2}\mu u^2\left(\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u\right)=F(r)=-\alpha u^2\implies\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u=\frac{\alpha}{|\alpha|}p^{-1}\]
通解 \(u=\frac ep\cos(\theta-\theta_0)+\frac{\alpha}{|\alpha|p}\), 整理同上. 这里取 \(\alpha\ne0\) 与 \(J\ne0\).

万有引力场:给定 \(\alpha=GMm>0\),有轨道方程 \(r=\frac p{1+e\cos\theta}\)

\(E>0(e>1)\) \(E=0(e=1)\) \(E\lt0(e\lt1)\)

双曲线的一支抛物线椭圆

不闭合不闭合闭合有周期
- 椭圆轨道给定轨道能量 \(E\lt0\) 时,\(J\) 的极大值对应匀速圆周运动
- 椭圆轨道:设其几何参量 \(A,B,C=\sqrt{A^2-B^2}\),由几何关系得到
  \[\begin{cases}A-C=\frac{p}{1+e}\\A+C=\frac{p}{1-e}\end{cases} \implies \begin{cases}e=\frac{C}{A}\\p=\frac{B^2}{A}=A(1-e^2)\end{cases} \implies \begin{cases} E=-\frac{\alpha}{2A}=-\frac{GMm}{2A}\\J=B\sqrt{\frac{\mu \alpha}{A}} =B\sqrt{\frac{Gm^2M^2}{(m+M)A}}\end{cases}\]
- 双曲线轨道:\(C-A=\frac p{1+e},e=\frac CA\implies A=\frac p{e^2-1}=\frac{GMm}{2E}\)
- Kepler 三定律:
  1. 质心为圆锥曲线轨道焦点之一
  2. 面积速度 \(K=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac J{2\mu}\) 恒定,特别地对椭圆有 \(K=\frac B2\sqrt{\frac{G(m+M)}{A}}\)(可由短轴顶点快速导出)
  3. 椭圆轨道周期 \(T=\frac{\pi AB}{K}=\frac{2\pi A^{\frac32}}{\sqrt{G(m+M)}}\)
Coulomb 排斥力场:给定 \(\alpha=-kQq\lt0\),有轨道方程 \(r=\frac p{-1+e\cos\theta}\),为双曲线轨道. 几何关系 \(A+C=\frac p{e-1}\implies A=\frac p{e^2-1}=\frac{kQq}{2E}\)

\(E>0(e>1)\)	\(E=0(e=1)\)	\(E\lt0(e\lt1)\)
双曲线的一支	抛物线	椭圆
不闭合	不闭合	闭合有周期

3.2.2 Laplace-Runge-Lenz Vector

以下取吸引势 \(\alpha\gt0\). 已知角动量守恒, 沿实际轨道考虑如下位移

\[\delta\mathbf{r}=\boldsymbol{\epsilon}\times\mathbf{J},\quad \delta t=0\]

由于 \(\mathbf J\) 依赖速度, 这不是仅依赖 \(q,t\) 的点变换. 以下用运动方程给出沿轨道的守恒量构造, 不能把 \(\dot{\mathbf J}=0\) 当作任意试探路径上的恒等式. 沿实际轨道, Lagrangian 的一阶变化量为

\[\begin{aligned} \delta L &=\mu\dot{\mathbf{r}}\delta\dot{\mathbf{r}}-\frac{\alpha}{r^3}\mathbf{r}\cdot\delta\mathbf{r} =-\frac{\alpha}{r^3}\boldsymbol{\epsilon}\cdot(\mathbf{J}\times\mathbf{r})\\ &=-\frac{\mu \alpha}{r^3}\boldsymbol{\epsilon}\cdot((\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}})\times\mathbf{r})\\ &=-\mu \alpha \boldsymbol{\epsilon}\cdot\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}t} \end{aligned}\]

仅相差一个规范项, 故守恒量

\[\begin{aligned} \mathbf{p}\cdot\delta\mathbf{r}-\left(-\mu \alpha\boldsymbol{\epsilon}\cdot\hat{\mathbf{r}}\right)&=-\boldsymbol{\epsilon}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\mu \alpha\hat{\mathbf{r}})\\ \mathbf{A}&=\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\mu\alpha\hat{\mathbf{r}} \end{aligned}\]

\(\mathbf{A}\) 即 Laplace-Runge-Lenz 矢量. 也可直接用 \(\dot{\mathbf p}=-\alpha\hat{\mathbf r}/r^2\)、\(\dot{\mathbf J}=0\) 与 \(\mu\,\mathrm{d}\hat{\mathbf r}/\mathrm{d}t=-\hat{\mathbf r}\times\mathbf J/r^2\) 验证 \(\dot{\mathbf A}=0\). 这体现平方反比力的动力学对称性. \(\mathbf{A}\) 的方向规定非圆轨道的近拱点位矢, 有界非碰撞轨道的闭合也与此相关.

Laplace-Runge-Lenz 向量与 Kepler 轨道几何的关系示意图.

可由
\[\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=J^2-\mu\alpha r\]
得出轨道方程
\[r=\frac{J^2}{\mu\alpha+A\cos\theta}\]
从而 \(A=\mu\alpha e\), 即其大小与轨道偏心率成正比. 又由
\[\begin{aligned} A^2 &=(\mathbf{p}\times\mathbf{J})^2-2\mu\alpha(\mathbf{p}\times\mathbf{J})\cdot\hat{\mathbf{r}}+\mu^2\alpha^2\\ &=\mu^2\alpha^2+2\mu E J^2 \end{aligned}\]
可得偏心率
\[e=\sqrt{1+\frac{2EJ^{2}}{\mu\alpha^{2}}}\]
若干扰项 \(V(r)= -\frac{\alpha}{r}+\delta V(r)\), 则 \(\mathbf{A}\) 不守恒, 有较小变化率
\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{J}-\mu\alpha\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}(\delta V)}{\mathrm{d}r}\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{J}\]
可用于计算近拱点进动等现象.

3.3 Scattering

Question 相互作用势能 \(V(r)\),且有 \(m_2\gg m_1\),故可认为 \(m_2\) 固定.无穷远处 \(m_1\) 速度为 \(v_0\),瞄准距离 \(b\) Answer

\[E=\frac12m_1v_0^2\]

\[J=m_1v_0b\]

中心力散射中的冲量参数、最近接距离与散射角示意图.

散射角 \(\theta=\pi-2\varphi_0\)(\(r_{\text{min}}\) 由 \(E=\frac{J^2}{2m_1r_{\min}^2}+V(r_{\min})\) 给出)

\[\varphi_0=\int_{r_{\min}}^{+\infty}\mathrm{d}r\,\frac{\frac J{r^2}}{\sqrt{2m_1[E-V(r)]-\frac{J^2}{r^2}}}=\int_{r_{\min}}^{+\infty}\mathrm{d}r\,\frac{\frac b{r^2}}{\sqrt{1-\frac{b^2}{r^2}-\frac{2V(r)}{m_1v_0^2}}}\]

粒子束流入射:令束流强度为常量 \(I\),定义微分散射截面 \(\sigma(\theta)=\frac{\mathrm{d}N}{I\mathrm{d}\Omega\mathrm{d} t}=2\pi b\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\Omega}\right|=\frac b{\sin\theta}|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}|\).

代入 Coulomb 排斥力场,由几何关系 \(\varphi_0=\arccos(e^{-1})\).则有关系 \[\cot\frac\theta2=\tan\varphi_0=\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{2EJ^2}{m_1\alpha^2}}=\frac{m_1v_0^2}{|\alpha|}b\] \[\sigma(\theta)=\frac14{\left(\frac{|\alpha|}{m_1v_0^2}\right)^2}\frac1{\sin^4(\theta/2)}=\frac14{\left(\frac{kQq}{m_1v_0^2}\right)^2}\frac1{\sin^4(\theta/2)}\] 即为 Rutherford 微分散射截面

3.4 Restricted Three-Body Problem

考虑三体系统, 有 \(m_1, m_2\gg m \). 认为两个大质量质点的相对运动应该由二者之间的万有引力决定, 小质量质点的影响可以忽略. 进一步假设:

大质量质点的轨道近似为正圆
三个质点在同一个平面内做二维运动

3.4.1 Equilibrium Points

选择与两大质点同步旋转的非惯性质心系:

\[\Omega^2=\frac{G(m_1+m_2)}{R^3},\quad r_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}R,\quad r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}R\]

本节 \(V\) 与 \(V_{\mathrm{eff}}\) 均表示单位质量的势, 即测试粒子的势能为 \(mV\). 惯性系速度写成 \(\dot{\mathbf{x}}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{x}\), 代入动能, 再用 Lagrange 方程得到

\[L=m\left[\frac{1}{2}\left(\dot{\mathbf{x}}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{x}\right)^2-V(\mathbf{x})\right]\]

\[\ddot{\mathbf{x}}=-2\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf{x}}-\nabla V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x}),\quad V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x})=-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\Omega}\times \mathbf{x})^2+V(\mathbf{x})\]

讨论平衡点, 将 \(V_{\text{eff}}\) 展开得到

\[V_\mathrm{eff}(x,y)=-\frac{1}{2}\Omega^2(x^2+y^2)-\frac{Gm_1}{\sqrt{(x-r_1)^2+y^2}}-\frac{Gm_2}{\sqrt{(x+r_2)^2+y^2}}\]

平衡点 \(\nabla V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x})=0\) 要求

\[\left\{\begin{gathered} \frac{Gm_1(x_L-r_1)}{[(x_L-r_1)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}+\frac{Gm_2(x_L+r_2)}{[(x_L+r_2)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}={\Omega}^2{x}_L\\\frac{Gm_1{y}_L}{[(x_L-r_1)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}+\frac{Gm_2{y}_L}{[(x_L+r_2)^2+y_L^2]^{\frac{3}{2}}}={\Omega}^2{y}_L \end{gathered}\right.\]

\(y_L = 0\), 得到 L1, L2. L3: \[r_2\frac{R^2(x_L-r_1)}{|x_L-r_1|^3}+r_1\frac{R^2(x_L+r_2)}{|x_L+r_2|^3}=x_L\]

共线 Lagrange 点的图解示意图.

\(y_L\ne 0 \), 得到 L4, L5: 将第二式两边同时除以 \(y_L\), 并乘以 \(x_L\) 与第一式相减, 消去 \(\boldsymbol{\Omega}\) 得到 \[(x_L-r_1)^2+y_L^2=1,\quad (x_L+r_2)^2+y_L^2=1\] 已经取单位长度 \(R = 1\). 从而可以看出在 L4, L5 下, 三个质点构成等边三角形.

3.4.2 Small Mass Ratio

\(\frac{m_2}{m_1} = \epsilon\ll 1\): 取单位长度 \(R=1\),

\[r_1=\frac{\epsilon}{1+\epsilon},\quad r_2=\frac{1}{1+\epsilon}\]

L1, L2: 统一设为
\[x_{L_\pm}=-r_2+\delta_\pm\]
从而
\[-\frac{r_2}{(1-\delta_\pm)^2}\pm\frac{r_1}{\delta_\pm^2}=-r_2+\delta_\pm\]
展开到最低阶解出
\[\delta_\pm=\pm\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{1/3}\implies r_\mathrm{H}=R\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}\]
得到小质量质点的 Hill 半径. 在共转局部动力学中, 这一尺度比较小质量体的引力与大质量体的潮汐作用; 位于 Hill 区域内不等于只受小质量体引力, 也不保证任意卫星轨道长期稳定.
L3:
\[x_{L_3}=1+\delta_3\]
从而
\[\frac{r_2}{(r_2+\delta_3)^2}+\frac{r_1}{(1+r_2+\delta_3)^2}=1+\delta_3\]
展开到最低阶解出
\[\delta_3=\frac{5\epsilon}{12}\]
L4, L5: 仍为等边三角形顶点.

3.4.3 Linear Stability

平衡点附近 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_0+\boldsymbol{\delta}\)

\[V_\mathrm{eff}(\mathbf{x})=V_\mathrm{eff}(\mathbf{x}_0)+\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{K}\cdot\boldsymbol{\delta},\quad \nabla V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{x}_0)=0\]

\[\ddot{\boldsymbol{\delta}}+2\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\boldsymbol{\delta}}+\mathbf{K}\cdot\boldsymbol{\delta}=0\]

代入试探解

\[\boldsymbol{\delta}(t)=\mathbf{A}\mathrm{e}^{\kappa t}\]

得到

\[\mathbf{K}^{\prime}\cdot\mathbf{A}=0,\quad \mathbf{K}^{\prime}=\begin{bmatrix}\kappa^2&-2\kappa\Omega\\2\kappa\Omega&\kappa^2\end{bmatrix}+\mathbf{K}\]

为得到非平庸的解, 要求 \(|\mathbf{K}'|=0\). 分别讨论:

L1, L2, L3: 由
\[\left\{\begin{aligned} \partial_x^2V_{\mathrm{eff}}&=\frac{Gm_1[y^2-2(x-r_1)^2]}{[(x-r_1)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}+\frac{Gm_2[y^2-2(x+r_2)^2]}{[(x+r_2)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}-\Omega^2\\ \partial_y^2V_{\mathrm{eff}}&=\frac{Gm_1[(x-r_1)^2-2y^2]}{[(x-r_1)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}+\frac{Gm_2[(x+r_2)^2-2y^2]}{[(x+r_2)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}-\Omega^2\\ \partial_x\partial_yV_{\mathrm{eff}}&=\frac{3Gm_1y(r_1-x)}{[(x-r_1)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}}-\frac{3Gm_2y(r_2+x)}{[(x+r_2)^2+y^2]^{\frac{5}{2}}} \end{aligned}\right.\]
对于 \(y = 0\) 的 L1~3, 通过结果正负可以设
\[\mathbf{K}= \begin{bmatrix} -\omega_x^2&0\\ 0&\omega_y^2 \end{bmatrix}\]
从而
\[\kappa^4+\kappa^2(4\Omega^2-\omega_x^2+\omega_y^2)-\omega_x^2\omega_y^2=0\]
有 \(\kappa^2>0\) 的发散解.
L4, L5: \(x_L=r_1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-r_2,y_L=\pm\frac{\sqrt3}{2}\), 代入得到
\[\mathbf{K}= -\frac{3\Omega^2}{4} \begin{bmatrix} 1&\pm\sqrt{3}\lambda\\ \pm\sqrt{3}\lambda&3 \end{bmatrix},\quad \lambda=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\]
从而
\[\kappa^4+\kappa^2\Omega^2+\frac{27}{16}(1-\lambda^2)\Omega^4=0\]
当 \(27m_1m_2/(m_1+m_2)^2\lt1\) 时, 两个 \(\kappa^2\) 均为不同的负实数, 得到线性稳定的振动. 先前 \(m_2/m_1\ll1\) 的情形满足这一条件; 等号处的简并情形须另行分析.

4 Small Oscillations

4.1 Small Oscillations of Multi-Degree-of-Freedom Systems

考虑 \(n\) 自由度保守体系在稳定平衡位置附近的小振动, 取定常约束. 设 Lagrangian: \(L=\frac12a_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j-V(q)\), 平衡位形 \(\{q_{i0}\}\), 位移 \(x_{i}=q_{i}-q_{i0}\). 定义质量矩阵和刚度矩阵

\[m_{ij}=m_{ji}=a_{ij}(q_0)\approx a_{ij}(q),\quad k_{ij}=\partial_i\partial_jV(q_0)=k_{ji}\]

以下先假设:

质量矩阵 \(\mathbf m\) 正定;
平衡点为势能的非退化局部极小值, 从而刚度矩阵 \(\mathbf k\) 正定.

小振动近似下的 Lagrangian 为

\[L=\frac12m_{ij}\dot{x}_i\dot{x}_j-\frac12k_{ij}x_ix_j\]

线性化运动方程为 \(m_{ij}\ddot{x}_j+k_{ij}x_j=0\).

Remark 上述正定性条件与稳定性的关系:

仅有稳定性不保证 Hessian 正定: 退化极小值可以具有零频模式, 需要保留高阶势能判断.
简要判断是否正定: 惯量矩阵和刚度矩阵的所有顺序主子式均大于 0.

取简谐试探解 \(x_j=\eta_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\),代入得特征方程:

\[(\mathbf{k}-\omega^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}=0\]

为使 \(\boldsymbol{\eta}\) 非 0,要求 \(\det(\mathbf{k}-\omega^2\mathbf{m})=0\),根为 \(\omega_i^2\).

Proposition 在上述两个矩阵均正定的条件下, \(\omega_i^2\) 均为正实数. 能量守恒本身不能排除指数增长, 例如倒置谐振子的能量守恒但平衡点不稳定. Proof 由上可知 \(\boldsymbol{\eta}^{*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega^{2}\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}=0\),故 \(\omega^2=\frac{k_{ij}\eta_i^*\eta_j}{m_{ij}\eta_i^*\eta_j}\).由 \(k_{ij}\) 为实对称矩阵容易得到 \(\left(k_{ij}\eta_i^*\eta_j\right)^*=k_{ij}\eta_i\eta_j^*=k_{ij}\eta_i^*\eta_j\),故分子为实数;同理分母也为实数.故 \(\omega^2\) 为实数.又由 \(\mathbf{k},\mathbf{m}\) 实正定,\(\omega^2>0\).

非简并情形,即特征方程的实根各不相同,对某一 \(\omega_i\),对应的本征矢量由 \((\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(i)}=0\) 给出

Proposition \(\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{m}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=m_i\delta^{ij}\ ,\ \boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{k}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=m_i\omega_i^2\delta^{ij}\),其中 \(m_i>0,i=1,2,...,n\) Proof 由 \((\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(i)}=0\) 转置得到 \(\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})=0\),两式联立得到
\[\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega_i^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(j)}=0\ ,\ \boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}(\mathbf{k}-\omega_j^2\mathbf{m})\boldsymbol{\eta}^{(j)}=0\]
故 \((\omega_j^2-\omega_i^2)\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{m}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=0,i\neq j\),第一式得证.将 \(\boldsymbol{\eta}^{(i)*\mathsf{T}}\mathbf{m}\boldsymbol{\eta}^{(j)}=m_i\delta^{ij}\) 代回上式得到第二式

不同本征值对应的本征矢量线性无关(且在上一个 proposition 的意义下正交)则通解为
\[\mathbf{x}=\operatorname{Re}\sum_i\tilde A_i\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_it}\]
实向量 \(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}\) 满足归一化条件 \(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)T}\mathbf{m}\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(j)}=\delta^{ij}\).
简正模式与简正坐标:由上面的 proposition,可知 \(\mathbf{m},\mathbf{k}\) 可同时被对角化.考虑到归一化条件,设模态矩阵
\[\mathbf{A}=(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(1)},\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(2)},\cdots,\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(n)})\]
满足 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{A}=\mathbb 1,\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{k}\mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\omega_1^2,\omega_2^2,\cdots,\omega_n^2\}\)

第一个式子是归一化条件的另一形式,用于求出 \(\tilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}\) 形式后快速得出归一化系数

作坐标变换 \(\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{Q},\)(\(\mathbf{Q}= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{x}\))得到一组简正坐标 \(Q_i\) 使得
\[L=\sum_i\frac12(\dot{Q}_i^2-\omega_i^2Q_i^2)\ ,\ \ddot{Q}_i+\omega_i^2Q_i=0\]
属于不同特征频率的振动完全变成相互独立的单个自由度的振动
- 第 \(i\) 个简正频率 \(\omega_i\) 对应第 \(i\) 个简正模式,其特解 \(Q_j=A_i\cos(\omega_it+\varphi_i)\delta_{ij}\)
  
  对于简并情形,仍可以证明存在非退化的模态矩阵 \(\mathbf{A}\) 使得可以以 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{A}=\mathbb 1,\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{k}\mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\omega_1^2,\omega_2^2,\cdots,\omega_n^2\}\) 的形式同时对角化 \(\mathbf{m},\mathbf{k}\).
初值问题的求解:给定初值
\[\mathbf{x}_0=(x_1(0),x_2(0),\cdots,x_n(0))^{\mathsf{T}}\]

\[\mathbf{v}_0=(\dot{x}_1(0),\dot{x}_2(0),\cdots,\dot{x}_n(0))^{\mathsf{T}}\]
改写通解为 \(\mathbf{x}(t)=\sum_i\widetilde{\boldsymbol{\eta}}^{(i)}(C_i\cos\omega_it+D_i\sin\omega_it)\),则初值代入得到
\[\mathbf{x}_0=\mathbf{A}\mathbf{C}\ ,\ \mathbf{C}=(C_1,C_2,\cdots,C_n)^{\mathsf{T}}\]

\[\mathbf{v}_0=\mathbf{A}\boldsymbol{\Omega} \mathbf{D}\ ,\ \mathbf{D}=(D_1,D_2,\cdots,D_n)^{\mathsf{T}}\ ,\ \boldsymbol{\Omega}=\mathrm{diag}\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}\]
则可解出待定系数
\[\mathbf{C}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{x}_0=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{x}_0\]

\[\mathbf{D}=\boldsymbol{\Omega}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}_0=\boldsymbol{\Omega}^{-1}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{m}\mathbf{v}_0\ ,\ \boldsymbol{\Omega}^{-1}=\mathrm{diag}\{\frac{1}{\omega_1},\frac{1}{\omega_2},\cdots,\frac{1}{\omega_n}\}\]

若 \(\mathbf k\) 仅半正定, 零频模式的线性化解为 \(Q_i(t)=Q_i(0)+\dot Q_i(0)t\), 不能代入上文含 \(1/\omega_i\) 的式子. 非零频模式仍按上述方法求解; 零频模式的实际稳定性须结合约束、对称性或高阶项分析.

4.2 Anharmonic Effects

Question 同上,考虑更高阶的修正 Answer 将 Lagrangian 展开至三阶,得到非谐项(微扰项)

\[L=\frac12(m_{ij}\dot{x}_i\dot{x}_j-k_{ij}x_ix_j)+\frac12n_{ijk}\dot{x}_i\dot{x}_jx_k-\frac13l_{ijk}x_ix_jx_k\]

采用线性近似下得到的简正坐标,得到 Lagrangian 和运动方程(\(f_i(Q,\dot{Q},\ddot{Q})\) 是 \(Q,\dot Q,\ddot Q\) 的二次齐次函数)

\[L=\frac12\big(\dot{Q}_i\dot{Q}_i-\omega_i^2Q_iQ_i\big)+\frac12\lambda_{ijk}\dot{Q}_i\dot{Q}_jQ_k-\frac13\mu_{ijk}Q_iQ_jQ_k\ ,\ \ddot{Q}_i+\omega_i^2Q_i=f_i(Q,\dot{Q},\ddot{Q})\]

猜微扰展开解:\(Q_i=Q_i^{(1)}+Q_i^{(2)}\),使得一阶的 \(Q_i^{(1)}=A_i\cos(\omega_it+\phi_i)\)(\(A_i\) 为展开意义下的"小量") \(A^2\) 阶下二阶的 \(Q_i^{(2)}\) 满足

\[\ddot{Q}_i^{(2)}+\omega_i^2Q_i^{(2)}=f_i(Q^{(1)},\dot{Q}^{(1)},\ddot{Q}^{(1)})\]

由于 \(f_i\) 二次齐次,右侧会出现组合频率 \(\omega_j\pm\omega_k\),故二阶下除简正频率外还会出现组合频率(含零频和倍频)的振动.

若组合频率与某个简正频率重合, 扰动解可能出现随时间增长的长期项. 多模系统的内共振可在二阶已出现; 不应仅按微扰阶数排除这种情形. 对非共振的单模周期运动, 长期项通常反映未计入的频率修正. 由
\[\cos(\omega_i+\Delta\omega_i)t\approx\cos(\omega_it)-t\Delta\omega_i\sin(\omega_it)\]
可通过消去相应共振项确定频率修正 \(\Delta\omega_i^{(k)}\). 多模内共振还可能导致模式间能量交换, 一般需引入缓变振幅或多尺度方程, 不能只用频率修正处理.

非线性方程的解一般不具有线性叠加性.

5 Rigid-Body Dynamics

5.1 Description of Rigid-Body Motion

5.1.1 Rotation Matrices

Definition 正常三维转动矩阵是行列式为 1 的三阶正交方阵(\(\det \mathbf{A}=\det \mathbf{A}^{\mathsf{T}}=1, \mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}=\mathbb 1\))

Theorem Euler 定理: 一个正常转动(rotation)的三维转动矩阵一定存在本征值 \(+1\), 其对应的本征矢量给出不变的转轴方向.

Proof 对正常转动矩阵有 \((\mathbf{A}-\mathbb 1)\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbb 1-\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\),故

\[\det(A-\mathbb 1)=\det(\mathbb 1-A^{\mathsf{T}})=\det(\mathbb 1-A)\]

又由三维矩阵有 \(\det(\mathbf{A}-\mathbb 1)\equiv(-1)^3\det(\mathbb 1- \mathbf{A})\),两者对比得 \(\det(\mathbf{A}-\mathbb 1)=0\),故有本征值 1

Definition 无穷小转动矩阵(属于正常转动)\(\mathbf{A}=\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon}\), 其中 \(\epsilon\) 为无穷小反对称矩阵,反对称性证明:

\[\mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbb 1\implies\mathbb 1=(\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon})(\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon})^{\mathsf{T}}=\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon}+\boldsymbol{\epsilon}^{\mathsf{T}}\implies\boldsymbol{\epsilon}^{\mathsf{T}}=-\boldsymbol{\epsilon}\]

有限大转动一般不满足交换律,而无穷小转动矩阵的乘积在一阶小的水平上可交换:
\[\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2=\mathbb 1+\boldsymbol{\epsilon}_1+\boldsymbol{\epsilon}_2=\mathbf{A}_2\mathbf{A}_1\]
\(\mathrm{d}\mathbf{\theta}=(\mathrm{d}\theta_1,\mathrm{d}\theta_2,\mathrm{d}\theta_3)=\mathrm{d}\theta\,\mathbf{n}\) 为无穷小角位移. 矢量 \(\mathbf{x}\) 在无穷小转动下的变化量 \(\delta\mathbf{x}=\mathrm{d}\mathbf{\theta}\times\mathbf{x}=-\epsilon_{ijk}\mathrm{d}\theta_kx_j\mathbf{e}_i\). 时间演化下,引入角速度与角加速度 \(\mathbf{\omega}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{\theta}}{\mathrm{d}t}\ ,\ \mathbf{\beta}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}\)(是三维线性空间的赝矢量),则刚体上点有
\[\mathbf{v}=\mathbf{v}_C+\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\ ,\ \mathbf{a}=\mathbf{a}_C+\mathbf{\beta}\times\mathbf{r}+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})\]
任选基点也可以得到相同形式
\(3\times 3\) 的反对称矩阵有三个独立元素,可由 \(\epsilon_{ij}=-\epsilon_{ijk}\mathrm{d}\theta_k\) 进行参量化.
考虑到上式,也可将无穷小转动矩阵表示为 \(\mathbf{A}=\mathbb 1+\mathrm{d}\mathbf{\theta}\cdot\mathbf{K}\),\(\mathbf{K}=(K_1,K_2,K_3)\),其中
\[K_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&+1&0\end{pmatrix},\quad K_2=\begin{pmatrix}0&0&+1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\quad K_3=\begin{pmatrix}0&-1&0\\+1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]
为 \(SO(3)\) 的生成元(generator),有对易关系
\[[K_{i},K_{j}] = \varepsilon_{ijk}K_{k}\]

Notation 可将正常转动矩阵写作 \(\mathbf{R}_{\mathbf{n}(\theta)}=\mathrm{e}^{\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}}\). Proof 固定 \(\mathbf{n}\) 的无穷小转动 \(\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\mathrm{d}\theta)=1+\mathrm{d}\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}\).由 \(SO(2)\) 为阿贝尔群

\[\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta+\mathrm{d}\theta)=\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\mathrm{d}\theta)=\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)+\mathrm{d}\theta\, \mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}\]

故

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_{\mathbf{n}}}{\mathrm{d}\theta}=\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}.\]

由 \(\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(0)=\mathbb 1\) 积分得出

\[\mathbf{R}_{\mathbf{n}}(\theta)=\mathrm{e}^{\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}}=\mathbb 1+\theta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}+\frac1{2!}\left(\theta\,\mathbf{n}\cdot\mathbf{K}\right)^2+\cdots\]

特别地,\(\mathbf{R}_z(\theta)=\mathrm{e}^{\theta K_3}=\cdots=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).

5.1.2 Euler Angles

Definition Euler 角本体坐标系 \(O-xyz\) 方便描述刚体几何参量, 惯性坐标系 \(O-XYZ\) 坐标轴固定,方便描述矢量的微商等. 两者的关系可由一三参量矩阵描述,三个参量称为 Euler 角(以下采用 \(ZXZ\) 约定) Notation 通过如下步骤由 \(O-XYZ\) 转变到 \(O-xyz\)

\[XYZ\overset{R_{\mathbf{Z}}(\phi\in[0,2\pi))}{\implies} X_1Y_1Z_1(X_1Y_1Z)\overset{R_{\mathbf{X}_1}(\theta\in[0,\pi])}{\implies} X_2Y_2Z_2(X_1Y_2Z_2)\overset{R_{\mathbf{Z}_2}(\psi\in[0,2\pi))}{\implies} xyz(xyZ_2)\]

Euler 角对应的坐标系旋转序列示意图.

转动矩阵(被动观点,坐标架旋转)\(\mathbf{A}:(\hat{\mathbf{X}},\hat{\mathbf{Y}},\hat{\mathbf{Z}})'\implies(\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}})\)

\[\begin{aligned}\mathbf{A}=&\begin{pmatrix}\cos\psi&\sin\psi&0\\-\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta\\0&-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}\cos\psi\cos\phi-\cos\theta\sin\phi\sin\psi&\cos\psi\sin\phi+\cos\theta\cos\phi\sin\psi&\sin\theta\sin\psi\\-\sin\psi\cos\phi-\cos\theta\sin\phi\cos\psi&-\sin\psi\sin\phi+\cos\theta\cos\phi\cos\psi&\sin\theta\cos\psi\\\sin\theta\sin\phi&-\sin\theta\cos\phi&\cos\theta\end{pmatrix} \end{aligned}\]\[\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}=\mathbf{A}(\phi\to-\psi,\theta\to-\theta,\psi\to-\phi)\]

描述刚体运动时,取 \(\mathbf{J}\) 的方向为惯性坐标系的 \(Z\) 轴,通常称 \(\psi\) 为自转(spin)角,\(\theta\) 为章动(nutation)角,\(\phi\) 为进动(precession)角

Theorem Euler 运动学方程: 刚体的角速度可视为三个欧拉角独立变化的线性叠加

\[\mathbf{\omega}=\dot{\phi}\hat{\mathbf{Z}}+\dot{\theta}\hat{\mathbf{X}}_1+\dot{\psi}\hat{\mathbf{z}}\]

利用 \(\hat{\mathbf{Z}}=\sin\theta\sin\psi\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta\cos\psi\hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}}\ ,\ \hat{\mathbf{X}}_1=\cos\psi\hat{x}-\sin\psi\hat{y}\),得到 Euler 刚体运动方程

\[\begin{cases}\omega_x=\sin\theta\sin\psi\dot{\phi}+\cos\psi\dot{\theta}\\\omega_y=\sin\theta\cos\psi\dot{\phi}-\sin\psi\dot{\theta}\\\omega_z=\cos\theta\dot{\phi}+\dot{\psi}\end{cases}\]

可将惯性坐标系中得到的角速度投影到本体坐标系上

5.1.3 Unit Quaternions and Double Cover

当 \(\theta=0\) 时, 上述转动矩阵只依赖于 \(\phi+\psi\), 两个 Euler 角不再独立; 这就是 Euler 角坐标的万向节锁死. 它是参数化的坐标奇点, 不是刚体转动本身的奇点.

为得到无此坐标奇点的表示, 引入 Pauli 矩阵

\[\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\\\mathrm{i}&0\end{pmatrix},\quad \sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\]

并把三维矢量写成 Hermitian 无迹矩阵

\[X=\mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\sigma},\]

并取单位四元数对应的 \(SU(2)\) 矩阵

\[U=q_0\mathbb 1-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\boldsymbol{\sigma},\qquad q_0^2+\mathbf{q}^2=1.\]

变换

\[X\mapsto X'=UXU^\dagger\]

保持 Hermitian 性、无迹性和 \(\det X=-|\mathbf{x}|^2\), 因而在 \(\mathbf{x}\) 空间诱导正交变换. 由 \(SU(2)\) 的连通性且恒等元对应 \(\det R=1\), 该变换属于 \(SO(3)\). 若转轴为 \(\mathbf{n}\)、转角为 \(\vartheta\), 可取

\[q_0=\cos\frac{\vartheta}{2},\qquad \mathbf{q}=\mathbf{n}\sin\frac{\vartheta}{2}.\]

每个三维转动都有轴角表示, 所以上式也给出映射的满射性. \(U\) 与 \(-U\) 诱导同一个转动. 若 \(UXU^\dagger=X\) 对所有无迹 Hermitian 矩阵成立, 则 \(U\) 与三个 Pauli 矩阵都对易, 只能是标量矩阵; 再由 \(\det U=1\) 得 \(U=\pm\mathbb1\). 因而核恰有两个元素, \(SU(2)\to SO(3)\) 是二重覆盖. 单位四元数用四个参数和一个归一化约束描述三个独立转动自由度, 适合跨越 Euler 角的坐标奇点.

5.2 Kinetic Energy, Angular Momentum, and Inertia Tensor of a Rigid Body

刚体的转动动能 \(T_{\text{rot}}=\frac 12\sum\limits_\alpha m_\alpha(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_\alpha)^2=\frac 12\sum\limits_{i,j\in\{1,2,3\}} I_{ij}\omega_i\omega_j\) Definition (质心参考点)转动惯量张量 \(I_{ij}=\sum\limits_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2\delta_{ij}-r_{\alpha,i}r_{\alpha,j})\),为二阶对称张量,其矩阵形式

\[\sum_{\alpha} m_\alpha \begin{pmatrix} y_{\alpha}^2 + z_{\alpha}^2 & -x_{\alpha} y_{\alpha} & -x_{\alpha} z_{\alpha} \\ -x_{\alpha} y_{\alpha} & x_{\alpha}^2 + z_{\alpha}^2 & -y_{\alpha} z_{\alpha} \\ -x_{\alpha} z_{\alpha} & -y_{\alpha} z_{\alpha} & x_{\alpha}^2 + y_{\alpha}^2 \end{pmatrix}\]

对角元称为对应轴的转动惯量.

(质心参考点)角动量 \(\mathbf{J}=\sum\limits_\alpha m_\alpha\mathbf{r}_\alpha\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_\alpha)=\mathbf{I}\cdot\mathbf{\omega}\),如此可将转动动能记为 \(T_{\text{rot}}=\frac12\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{J}=\frac12\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{\omega}\) 对刚体上一般参考点 \(Q\), 若角动量与动能仅取相对 \(Q\) 的转动部分, 可相应使用 \(\mathbf I_Q\). 总动能还包含基点平动及交叉项; 总角动量也不总等于 \(\mathbf I_Q\boldsymbol\omega\). 质心分解时交叉项消失, 得到柯尼希定理.
平行轴定理: 对相对质心位矢为 \(\mathbf{R}\) 的点 \(Q\) 的转动惯量 \(I_{Q,ij}=I_{C,ij}+m_{\text{tot}}(R^2\delta_{ij}-R_iR_j)\)
总可通过正常转动 \(\mathbf{A}\) 实现惯量张量的对角化, 即 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}} \mathbf{I}\mathbf{A}=\mathbf{D}=\mathrm{diag}\{I_1,I_2,I_3\}\) 原坐标系通过转动 \(\mathbf{A}\)(主轴变换)使坐标轴变为惯量主轴(彼此垂直),对应主转动惯量.
- 主轴对刚体固定,对应于本体坐标系.选择质心为参考点得到中心惯量主轴:
  \[T_{\text{rot}}=\frac12\sum_iI_i\omega_i^2,\quad \mathbf{J}=\sum_{i}I_{i}\omega_{i}\mathbf{e}_{i}\]
- \(\mathbf{I}\) 的对角化步骤: 求解特征方程 \(\mathbf{I}\mathbf{X}_i=I_i\mathbf{X}_i\),特征值即为主转动惯量; 将特征向量正交归一化 \(\mathbf{X}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{X}_j=\delta_{ij}\); 得到主轴变换 \(\mathbf{A}=(\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3)\)
- 刚体的对称面的法线为主轴
- 刚体的旋转对称轴为主轴 Proof 设 \(z\) 轴为刚体的 \(n\ge2\) 次旋转对称轴,对给定的 \(z\),在平面内取 \(n\) 个质量均为 \(\delta m\) 的对称质元,第 \(l\) 个坐标 \((\rho,\varphi+\frac{2l\pi}{n},z)\),由 \(\sum_{l=1}^n\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\varphi+\frac{2l\pi}{n}\right)}=0\),则 \(\sum x_lz=\sum y_lz=0\),故 \(z\) 轴为主轴
- 对方向余弦为 \((\alpha,\beta,\gamma)\) 的转轴 \(OX\) 的转动惯量: 由 \(\mathbf{r}=(x,y,z)\) 处质元到转轴的距离为 \(R=\sqrt{r^2-(\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}\),则有
  \[\begin{aligned} I_X &=\sum\delta mR^2=\sum\delta m[(x^2+y^2+z^2)-(\alpha x+\beta y+\gamma z)^2]\\ &=\alpha^2I_{11}+\beta^2I_{22}+\gamma^2I_{33}+2\alpha\beta I_{12}+2\beta\gamma I_{23}+2\alpha\gamma I_{13} \end{aligned}\]
  取 \(OX\) 上 \(Q\) 点使得 \(\overline{OQ}=\frac 1{\sqrt{I_{X}}}\),则 \(Q\) 点的方程构成惯量椭球(取主轴坐标可看出椭球主轴即为惯量主轴):
  \[x^2I_{11}+y^2I_{22}+z^2I_{33}+2xyI_{12}+2yzI_{23}+2xzI_{13}=1\]
  任一过 \(O\) 点转轴在椭球上半径 \(\overline{OQ}\) 的平方倒数即为过此轴的转动惯量若刚体存在 \(n\ge 3\) 次对称 \(z\) 轴,则惯量椭球旋转对称,\(x,y\) 可在保证正交的前提下任意选取.

5.3 Dynamics of Rigid Bodies

选取中心惯量主轴组成的本体坐标系,由角动量定理 \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{J}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}\ ,\ \mathbf{J}=\sum_{i}I_{i}\omega_{i}\mathbf{e}_{i}\),利用 \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}_i}{\mathrm{d}t}=\mathbf{\omega}\times\mathbf{e}_i\) 推出 Euler 动力学方程

\[\begin{cases}I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=M_1\\I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1=M_2\\I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2=M_3\end{cases}\]

由动力学方程中起决定性作用的仅有主转动惯量,故等效为均质椭球,或陀螺 \(I_i\) 两两不相等的陀螺为不对称陀螺;有两个相等的被称为对称陀螺;三个均相等的被称为球形陀螺(匀质正四面体,匀质正方体等)

5.4 Free Asymmetric Top (Euler Top)

欧拉方程

\[\begin{cases}I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=0\\I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1=0\\I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2=0\end{cases}\]

运动积分

\[\begin{cases}T=\frac12(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2)=\frac{J_1^2}{2I_1}+\frac{J_2^2}{2I_2}+\frac{J_3^2}{2I_3}\\J^2=J_1^2+J_2^2+J_3^2\end{cases}\]

假定 \(I_1\lt I_2\lt I_3\),\(\mathbf{J}\) 的端点在球面(角动量)与椭球面(动能)的交线上运动(显然有 \(2TI_1\leq J^2\leq2TI_3\))

体坐标角动量空间中, 固定角动量平方的球面与固定动能的椭球面相交.

图中 \(\Pi_i\) 对应正文的 \(J_i\), 图中 \(E\) 对应正文的 \(T\).

Theorem 网球拍定理(Dzhanibekov effect) 绕主轴 \(1,3\) 的转动稳定,而绕主轴 \(2\) 的转动不稳定(\(J^2\) 接近 \(2TI_2\) 时,\(J_2\) 在 \(\left(-\sqrt{2TI_2},\sqrt{2TI_2}\right)\) 不断变化). 无外力矩时, 角动量在惯性系中守恒, 但这并不意味着瞬时转轴方向固定. 中间轴转动的小扰动不稳定性由下述线性化证明给出.

Proof 图中的交线提供几何解释; 稳定性可直接由 Euler 方程线性化验证.

线性化时取以下条件:

无外力矩;
\(I_1\lt I_2\lt I_3\);
在第 \(i\) 主轴匀速转动 \(\omega_i=\Omega\ne0\) 附近加入小的横向扰动.

其余两轴记为 \(j,k\), 消去一个扰动分量得

\[\delta\ddot\omega_j= \Omega^2\frac{(I_i-I_j)(I_k-I_i)}{I_jI_k}\,\delta\omega_j.\]

对 \(i=1,3\), 系数为负, 横向扰动作振荡; 对 \(i=2\), 系数为正, 存在指数增长模, 故中间轴转动不稳定. 这里的线性稳定性结论针对小扰动; 翻转的完整运动仍由守恒量交线或下述椭圆积分描述.

约化为单积分 由运动积分的表达式得到

\[\begin{cases}\omega_1=\pm\sqrt{\frac{(2TI_3-J^2)-I_2(I_3-I_2)\omega_2^2}{I_1(I_3-I_1)}}\triangleq f_1(\omega_2)\\\omega_3=\pm\sqrt{\frac{(J^2-2TI_1)-I_2(I_2-I_1)\omega_2^2}{I_3(I_3-I_1)}}\triangleq f_3(\omega_2)\end{cases}\]

在 \(f_1,f_3\) 符号固定的一段轨道上, 代入 Euler 方程并分离变量得到

\[t-t_0=\frac{I_2}{I_3-I_1} \int_{\omega_2(t_0)}^{\omega_2(t)} \frac{\mathrm{d}\omega_2}{f_1(\omega_2)f_3(\omega_2)}.\]

该椭圆积分的反函数给出 \(\omega_2(t)\), 再代回得到 \(\omega_1(t),\omega_3(t)\); 显式形式可写成 Jacobi 椭圆函数.

考虑对称欧拉陀螺 \(I_1=I_2\lt I_3\),由运动方程得 \(\omega_3\) 不变,令 \(\Omega=\frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}}\omega_{3}=\mathrm{const}\),有 \[\begin{cases}\omega_1=A\cos(\Omega t+\varphi_0)\\\omega_2=A\sin(\Omega t+\varphi_0)\end{cases}\] 总角速度大小 \(\omega=\sqrt{A^2+\omega_3^2}=\mathrm{const}\),进行规则进动(由 \(\cos\theta=\frac{I_3\omega_3}J=\mathrm{const}\),没有章动) 此外可由 \(\mathbf{\omega}=\dot{\phi}\hat{\mathbf{Z}}+\dot{\psi}\hat{\mathbf{z}}\) 得到 \(\mathbf{J},\mathbf{\omega},\hat{\mathbf{z}}\) 共面. 由 \(I_1\dot{\phi}\sin\theta=J\sin\theta\), 对 \(\sin\theta\ne0\) 的情形有进动角速度 \(\dot{\phi}=J/I_1\).

5.5 Fixed-Point Motion of a Symmetric Top

Lagrange 陀螺: 均匀外场下作定点转动的对称陀螺(\(O\) 点处完整理想陀螺 \(l=\overline{OC}\))

Lagrange 陀螺的几何、 Euler 角与受力方向示意图.

\[\begin{aligned} L &=\frac12I_1^{\prime}(\omega_1^2+\omega_2^2)+\frac12I_3\omega_3^2-mgl\cos\theta\\ &=\frac12I_1^{\prime}\big(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\sin^2\theta\big)+\frac12I_3\big(\dot{\phi}\cos\theta+\dot{\psi}\big)^2-mgl\cos\theta\quad,I_1^\prime=I_1+ml^2. \end{aligned}\]

运动积分有

\[\begin{cases} p_\psi=\frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}=I_3(\dot{\phi}\cos\theta+\dot{\psi})=J_3\\ p_\phi=\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}=(I_1^{\prime}\sin^2\theta+I_3\cos^2\theta)\dot{\phi}+I_3\cos\theta\dot{\psi}=J_Z\\ E=\frac12I_1^{\prime}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\sin^2\theta)+\frac12I_3(\dot{\phi}\cos\theta+\dot{\psi})^2+mgl\cos\theta \end{cases}\]

由前两式解出

\[\begin{cases}\dot{\phi}=\frac{J_Z-J_3\cos\theta}{I_1^{\prime}\sin^2\theta}\\\dot{\psi}=\frac{J_3}{I_3}-\frac{J_Z-J_3\cos\theta}{I_1^{\prime}\sin^2\theta}\cos\theta\end{cases}\]

代入 \(E\) 消去 \(\dot\phi,\dot\psi\),得到 \(E=\frac12I_1^{\prime}\dot{\theta}^2+\frac{(J_Z-J_3\cos\theta)^2}{2I_1^{\prime}\sin^2\theta}+\frac{J_3^2}{2I_3}+mgl\cos\theta\).改写为

\[E^{\prime}=\frac12I_1^{\prime}\dot{\theta}^2+V_{\mathrm{eff}}(\theta)\ ,\ V_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{(J_Z-J_3\cos\theta)^2}{2I_1^{\prime}\sin^2\theta}-mgl(1-\cos\theta)\]

由 \(V_{\text{eff}}\) 的形式看出 \(\theta\in[\theta_1,\theta_2]\),极值由 \(E^\prime=V_{\text{eff}}(\theta)\) 给出.如运动过程中 \(\dot\phi\) 不变号,则称为正常章动.结果仍有 Jacobi 椭圆函数.

快速陀螺(回转仪):自转角速度很大,设初始 \(\theta=\theta_1,\dot{\theta}_1=0\text{ , }\dot{\phi}_1=0=\frac{J_Z-J_3\cos\theta_1}{I_1^{\prime}\sin^2\theta_1}\), 且 \(\theta_2\) 有
\[\frac{(J_Z-J_3\cos\theta_2)^2}{2I_1^{\prime}\sin^2\theta_2}-mgl(1-\cos\theta_2)=-mgl(1-\cos\theta_1)\]
运动积分
\[J_3=I_3\dot{\psi}_1\ ,\ J_Z=I_3\cos\theta_1\dot{\psi}_1\]
则有角度变化范围与 \(J_3^2\) 成反比:
\[\cos\theta_1-\cos\theta_2=\frac{2I_1^{\prime}mgl\sin^2\theta_2}{I_3^2\dot{\psi}_1^2}\approx\frac{2I_1^{\prime}mgl\sin^2\theta_1}{I_3^2\dot{\psi}_1^2}\ll1\]
进动角速度与 \(J_3\) 成反比:
\[\dot{\phi}_2=\frac{J_Z-J_3\cos\theta_2}{I_1^{\prime}\sin^2\theta_2}=\frac{I_3\dot{\psi}_1(\cos\theta_1-\cos\theta_2)}{I_1^{\prime}\sin^2\theta_2}\approx\frac{2mgl}{I_3\dot{\psi}_1}\]
考虑无章动的纯进动解, 即 \(\dot\theta = 0, \dot\phi = \mathrm{const}\). 无章动要求:
\[\frac{\mathrm{d}V_{\text{eff}}}{\mathrm{d}\theta}=0\implies mgl=\dot{\phi}(I_3\omega_3-I_1^{\prime}\dot{\phi}\cos\theta_0)\]
以下取 \(0\lt\theta_0\lt\pi/2\) 与 \(\omega_3\gt0\). 有两个不同的实数解要求
\[\omega_3\gt\frac{2}{I_3}\sqrt{mglI_1^{\prime}\cos\theta_0}\]
在 \((I_3\omega_3)^2\gg4mglI_1^{\prime}\cos\theta_0\) 的快陀螺极限下, 慢进动的近似解为
\[\dot{\phi}\simeq\frac{mgl}{I_3\omega_3}\ll\frac{I_3\omega_3}{I_1^{\prime}\cos\theta_0}\]
快进动的近似解为
\[\dot{\phi}\simeq\frac{I_3\omega_3}{I_1^{\prime}\cos\theta_0}\gg \frac{mgl}{I_3\omega_3}\]
稳定性须在固定 \(J_Z,J_3\) 下由 \(V_{\mathrm{eff}}''(\theta_0)\) 判断, 不能仅凭进动快慢把快分支判为不稳定.
磁偶极子的进动: \(m = \gamma L\), 从而
\[V = -\gamma LB\cos\theta\]
与重力势能对比, 得到
\[\dot{\phi}\simeq-\frac{\gamma LB}{L}=-\gamma B\]
取慢进动解, 得到 Larmor 进动.

Classical Mechanics - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

6 Hamilton’s Canonical Equations

6.1 Hamilton’s Canonical Equations

6.1.1 Time Evolution of Canonical Coordinates

以下先限于速度 Hessian \(\det(\partial^2L/\partial\dot q_\alpha\partial\dot q_\beta)\ne0\) 的局部正则区域. 从 Lagrange 力学出发, 引入广义动量

\[p_\alpha=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\implies\dot{q}_\alpha=\dot{q}_\alpha(p,q,t)\]

以用 \(\{p_\alpha\}\),\(\{q_\alpha\}\) 为独立变量构建力学体系, 从而使要求解的动力学方程变为一阶. 通过 Legendre 变换构造 Hamilton 函数

\[H(q,p,t)=p_\alpha\dot{q}_\alpha(p,q,t)-L(q,\dot q(p,q,t),t)\]

这样给出的函数不会丢失动力学信息(直接给出一个 \(\overline L(q,p,t)=L(q,\dot q,t)\) 反倒可能丢失信息). 全微分

\[\begin{aligned} \mathrm{d}H& =p_\alpha \mathrm{d}\dot{q}_\alpha+\dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\mathrm{d}q_\alpha-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\mathrm{d}\dot{q}_\alpha-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \\ &=\dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha-\dot{p}_\alpha \mathrm{d}q_\alpha-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

得到 Hamilton 正则方程

\[\left\{\begin{aligned} &\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\\ &\dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\right. ,\quad \partial_tH=-\partial_tL\]

这是 \((q, p)\) 的一阶微分方程, 等价于 Lagrange 方程(\(q\) 的二阶微分方程). 这里 \(p_\alpha,q_\alpha\) 形式对称, 被称为一组共轭正则变量.

对 \(N\) 个三维质点, 施加独立完整约束后的 \(s\) 维位形空间, 在固定时刻可局部视为 \(3N\) 维位置空间中的 \(s\) 维微分流形. 每一个点上都有一个 \(s\) 维切空间(广义速度)以及 \(s\) 维余切空间(广义动量), 二者互为对偶空间(dual space)
- \(s\) 维位形空间的所有点上的切空间构成一个 \(2s\) 维切丛(\(s\) 个坐标表示点的位置, \(s\) 个坐标表示切矢量分量)
- \(s\) 维位形空间的所有点上的余切空间构成一个 \(2s\) 维余切丛, 即相空间或称相流形(phase manifold). 相流形是一种光滑流形, 称为辛流形(Symplectic manifold): “点"对应系统的"状态”; “几何结构"对应系统的"运动规律”. \(\{p_\alpha\},\{q_\alpha\}\) 为 \(2s\) 维相流形上的坐标.
若给定初值, 由演化方程(正则方程), 即可完全确定运动解 \(\{q(t),p(t)\}\)(代表点的相轨道). 在 \(H\) 足够光滑、满足局部解唯一性的区域, 同一时刻和同一相点的初值确定同一个解. 对自治系统, 不同相轨道不相交; 显含时间时, 不同时刻的轨迹投影仍可能经过同一个相点.
- 若 Hamiltonian 不显含时间, 则轨迹被束缚在一个"能量曲面"上
- 若 Hamiltonian 显含时间, 可以给出固定时刻的等 \(H\) 面法向量和相流速度
  \[\nabla H=\left(\frac{\partial H}{\partial q_\alpha},\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right),\quad \mathbf{v}=(\dot q_\alpha,\dot p_\alpha)\]
  对相空间变量的内积为 0, 即相流在每一时刻与瞬时等 \(H\) 面相切. 但沿轨道 \(\mathrm{d}H/\mathrm{d}t=\partial_tH\), 因而显含时间时轨道一般不限制在某个固定等 \(H\) 面上.
由正则方程得出
\[\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}\]
因此当 \(H\) 不显含时间(即 \(L\) 也不显含时间)时, 体系的 Hamilton 守恒(但不一定代表能量守恒).

在广义坐标的变化下, \(L(q,\dot{q},t)=T-V\) 的形式可能改变, 但值不会变化; 而 \(H(p,q,t)=\dot{q}_ip_i-L\) 的形式和量值都可以变化. 因此, Hamiltonian 可以是能量, 也可以不是; 可以守恒, 也可以不守恒–描述同样的物理.
按 \(H\) 与 \(L\) 的变换式, Lagrangian 中不显含的坐标对于 Hamiltonian 也是不显含的可遗坐标, 仍导出守恒的动量.
非完整约束、非(广义上的)保守力的情况, 正则方程应变为
\[\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad \dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}+Q_\alpha+\sum_l\lambda_la_{l\alpha}\]
注意广义上的保守力只要求能从某个 \(V(q, \dot q,t)\) 导出, 比如电磁势尽管不仅仅依赖于 \(q\), 但仍不破坏原本的正则方程.

6.1.2 General Procedure for Obtaining the Hamiltonian from the Lagrangian

先求 \(p(q,\dot q,t)\), 反解出 \(\dot q(q,p,t)\), 再代入 \(H(q,p,t)=p_\alpha\dot{q}_\alpha(q,p,t)-L(q,\dot q(q,p,t),t)\) 计算起来往往相当繁琐.

Question 我们希望对于形如

\[L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)-V(\mathbf{q},t)\]

的 Lagrangian, 在不涉及具体 \(\mathbf{p}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\) 结构的情况下快速得到 \(H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) 的形式(注意只是绕过反解代入步骤, 一般性的得到形式)

Answer 对由非相对论质点动能及随时间变化的点坐标变换得到的 \(T\), 其速度依赖至多为二次式. 以下假设对称质量矩阵 \(\mathbf M\) 可逆, 写成

\[T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=c(\mathbf{q},t)+\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b}+\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

\[L_0(\mathbf{q}, t) = c(\mathbf{q}, t)-V(\mathbf{q}, t)\]

\[\dot{\mathbf{q}}= \begin{pmatrix} \dot{q}_1\\ \vdots\\ \dot{q}_s \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_s\end{pmatrix},\quad \mathbf{M}= \begin{pmatrix} 2a_{11}&\cdots&2a_{1s}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ 2a_{s1}&\cdots&2a_{ss}\end{pmatrix}\]

满足 \(\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b} = {\mathbf{b}}^{\mathsf{T}}\cdot\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{M}^{\mathsf{T}} = \mathbf{M}\). 得到

\[L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)=L_0(\mathbf{q}, t)+\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{b}+\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

\[p_{\alpha}=\frac{\partial L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)}{\partial\dot{q}_{\alpha}}\implies \mathbf{p}=\mathbf{b}+\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}\]

从而

\[\begin{aligned} H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) &=\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{p}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\\ &=\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{b})-\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{q}}-L_0(\mathbf{q}, t)\\ &=\frac{1}{2}(\mathbf{p}-\mathbf{b})^{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{M}^{-1}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{b})-L_0(\mathbf{q}, t) \end{aligned}\]

由此可以看出为什么不能直接令 \(H=T+V\): 若动能含速度一次项或常数项, 或广义势含速度, 一般不满足此式. 单独显含时间并不破坏这一等式; 例如 \(T=\frac12m\dot q^2\)、\(V=V(q,t)\) 仍给出 \(H=T+V\).

6.2 Hamilton’s Principle on Phase Manifolds

6.2.1 Deriving the Canonical Equations from Hamilton’s Principle

考虑直接从作用量平稳性质作为第一性原理, 导出 Hamilton 力学的正则方程

Definition 作用量(相轨道泛函):

\[S[q(t),p(t)]=\int_{t_1}^{t_2}[p_\alpha\dot{q}_\alpha-H(q,p,t)]\,\mathrm{d}t=\int_1^2(p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H\,\mathrm{d}t)\]

由 \(\delta S=0\) 导出正则方程时, 作等时变分, 变分范围为:

初末态位形 \(\left(t_1,q^{(1)}\right)\) 和 \(\left(t_2,q^{(2)}\right)\) 给定;
Hamilton 力学中, 变分 \(\delta q\) 与 \(\delta p\) 相互独立.

Remark 在 Lagrange 力学中, 作为衍生变量的 \(\dot{q}\) 的变分 \(\delta\dot{q}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q\), 因此不能视作独立变分.

Theorem 作用量取平稳值给出的相轨道方程便是 \(\mathrm{Hamilton}\) 正则方程.

Proof 等时变分法

\[\begin{aligned} \delta[p_\alpha\dot{q}_\alpha-H(q,p,t)] &=p_\alpha\delta\dot{q}_\alpha+\dot{q}_\alpha\delta p_\alpha-\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\delta p_\alpha-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(p_\alpha\delta q_\alpha)+\left(\dot{q}_\alpha-\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right)\delta p_\alpha-\left(\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha \end{aligned}\]

取平稳值要求 \(\delta S=0\). 利用端点固定及两组变分的独立性, 得到正则方程

\[\left\{\begin{aligned} &\dot{q}_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\\ &\dot{p}_\alpha=-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \end{aligned}\right.\]

在 Legendre 变换局部正则的条件下, Lagrange 力学中"位形流形上的平稳作用量原理"与"相流形上的平稳作用量原理"等价. 想要将后者转化为前者, 可认为由变分为 0 解出一个 \(p_\alpha=p_\alpha(q,\dot{q},t)\), 进一步代回作用量得出.
正则变量的独立性会给出更大的坐标变换的自由度, 即在一定的所谓正则变换
\[\begin{cases}q_\alpha^{\prime}=q_\alpha^{\prime}(q,p,t)\\p_\alpha^{\prime}=p_\alpha^{\prime}(q,p,t)\end{cases}\]
下正则方程仍成立, 甚至可能能由正则变换得到求解运动方程所需的 2s 个运动积分. 将在之后予以讨论.

6.2.2 Canonical Equations and the Symplectic Structure of Phase Space

正则方程的负号, 从哈密顿原理看来, 应该与被积函数第一项的辛势有关

\[\delta\int_{t_1}^{t_2}\left[p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H(q,p,t)\,\mathrm{d}t\right]=0,\quad \Theta=p_\alpha\,\mathrm{d}q^\alpha\]

辛势 \(\Theta\) 是一个 1-form. 其外微分是一个辛形式(一种闭非退化 2-form):

\[\omega=\mathrm{d}\Theta=\mathrm{d}p_\alpha\wedge \mathrm{d}q^\alpha\]

Notation \(\xi\) 符号为体现正则共轭变量对偶的性质,可以把它们重新编排为 2s 个坐标 \[(\xi^1,\xi^2,...,\xi^{2s})=(q_1,q_2,...,q_s,p_1,p_2,...,p_s)\] 采用 \(\xi\) 符号将 \(q, p\) 集合在一个变量下, 正则方程记作 \[\dot{\xi}^i=\omega^{ij}\partial_jH,\quad \boldsymbol{\omega}= \begin{pmatrix} \omega^{ij} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{s\times s}&\mathbf1_{s\times s}\\ -\mathbf{1}_{s\times s}&\mathbf{0}_{s\times s} \end{pmatrix}\] 有性质 \(\boldsymbol{\omega}^{-1}=-\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{\mathsf{T}}\). 此处 \((\omega^{ij})\) 是 Poisson 张量的矩阵; 对本节 \(\omega=\mathrm{d}\Theta\) 的约定, \[\omega=\frac12\omega_{ij}\,\mathrm{d}\xi^i\wedge\mathrm{d}\xi^j,\quad (\omega_{ij})=\boldsymbol{\omega}^{-1}.\] 从而也可以将正则方程表示为 \[\omega_{ji}\dot{\xi}^i=\frac{\partial H}{\partial\xi^j}.\]

Definition Hamilton 矢量场: \(\dot{\xi}^i\) 表征了相空间某一点的流速, 可以将其与相应的切方向组合得到一个矢量场

\[X_H = \dot{\xi}^i \partial_i = (\omega^{ij}\partial_j H)\partial_i\]

以下关于一参数群和保能性的陈述先假设 \(H\) 不显含时间. 若 \(X_H\) 在相流形 \((M, \omega)\) 上光滑且完备, 则其积分曲线定义相空间的相流 \(\phi_t:M\to M,t\in\mathbb{R}\)

\[\phi_t(z_0)=z_0+\int_0^tX_H(\phi_\tau(z_0))\,\mathrm{d}\tau,\quad z = (q, p)\]

其微分形式为流方程

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi_t(z)=X_H\left(\phi_t(z)\right),\quad\phi_0=\mathrm{id}_M\]

可加性
\[\forall s,t\in\mathbb{R},\quad \phi_{s+t}=\phi_s\circ\phi_t,\quad\phi_{-t}=(\phi_t)^{-1}\]
因此 \(\{\phi_t\mid t\in\mathbb{R}\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 在 \(M\) 上的平滑群作用.
生成元: \(X_H\) 即为这一单参数群的生成元
\[X_H(z)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}\phi_t(z)\]
若 \(X_H\) 的积分曲线对任意初值都在整个 \(t\in\mathbb{R}\) 上有定义, 则称其为完备(complete)向量场. 显含时间的 Hamiltonian 一般给出二参数演化映射 \(\phi_{t,t_0}\), 而不是上述一参数群.
保辛性: 利用内积符号
\[\iota_X:\Omega^k(M)\to\Omega^{k-1}(M)\implies (\iota_X\omega)(v)=\omega(X,v)\]
可以重述 Hamilton 矢量场的定义为
\[\iota_{X_H}\omega=-\mathrm{d}H\]
进而有沿 Hamilton 矢量场的 Lie 导数(用到了任意微分形式的二阶外微分为 0 的性质)
\[\mathcal{L}_{X_H}\omega=\mathrm{d}(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}\mathrm{d}\omega=-\mathrm{d}^2H+0=0\]
从而沿流的拉回不随时间变化. 对于初值 \(\omega\), 有
\[\phi_t^*\omega=\omega\]
保能性: 对不显含时间的 Hamiltonian,
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H\left(\phi_t(z)\right)=X_H(H)=\iota_{X_H}\mathrm{d}H=-\omega(X_H,X_H)=0\]
即 \(H\circ\phi_t=H\).

7 Time Evolution and Poisson Brackets

7.1 Poisson Bracket

经典力学: Poisson Bracket\(\implies\) 量子力学: 共轭括号/对易子, 对运动积分的讨论是一致的

Definition Poisson 括号定义为(属于一种辛内积):

\[[A,B]=\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\frac{\partial B}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\frac{\partial B}{\partial q_\alpha}=(\partial_iA)\omega^{ij}(\partial_jB)\]

Hamilton 力学中力学量 \(A=A(q,p,t)\) 对时间的全导数

\[\dot{A} =\partial_tA+\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} =\partial_tA+\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\dot q_\alpha+\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\dot p_\alpha =\partial_tA+[A,H]\]

这一结构也可以利用矢量场的记号写为

\[X_B(A)=[A,B]=\omega(X_B,X_A)=\omega^{ij}(\partial_jB)\partial_i A\]

7.2 Properties of Poisson Brackets

常数 Poisson 括号为零: \([A,c]=0,\forall c=\mathrm{const}\).
反交换: \([A,B]=-[B,A]\)(特例:\([A,A]=0\))
双线性: \(\forall a,b=\mathrm{const}\)
\[[aA+bB,C] = a[A, C] + b[B, C]\]
莱布尼兹法则: \([A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\)
时间偏导法则: \(\partial_t[A,B]=[\partial_tA,B]+[A,\partial_tB]\)
基本 Poisson 括号:
\[[q_\alpha,q_\beta]=0,\quad [p^\alpha,p^\beta]=0,\quad [q^\alpha,p_\beta]=\delta_\beta^\alpha \implies [\xi^i,\xi^j]=\omega^{ij}\]
正则坐标与力学量的 Poisson 括号:
\[[q_\alpha,A]=\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}\ ,\ [p_\alpha,A]=-\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}\]
Jacobi 恒等式:
\[[A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0\]
Proof 在正则坐标中记常数反对称 Poisson 矩阵为 \(\mathbf J=(\omega^{ij})\), 则 \([B,C]=(\nabla B)^{\mathsf T}\mathbf J\nabla C\)、\(X_A=\mathbf J\nabla A\). 对 \(A\in C^2\), 记 \(\mathbf M=DX_A=\mathbf J\operatorname{Hess}A\), 有
\[\mathbf M\mathbf J+\mathbf J\mathbf M^{\mathsf T}=0.\]
对括号直接求导, 此恒等式消去导数作用到 \(X_A\) 的额外项, 得
\[X_A([B,C])=[X_A(B),C]+[B,X_A(C)]\]
即
\[[[B,C],A]=[[B,A],C]+[B,[C,A]]\]
利用反交换律容易得到结果.

8 Canonical Transformations

8.1 Canonical Transformations

8.1.1 Four Types of Canonical Transformations

Hamilton 力学下, 广义坐标和广义动量视为独立变量, 完全可以独立选择

Question 寻找变换 \((q,p)\implies(Q(q,p,t),P(q,p,t))\),使得正则方程形式不变(\(H\mapsto H'=H'(P,Q,t)\)):

\[\dot{Q}_{\alpha}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial P_{\alpha}}\ ,\ \dot{P}_{\alpha}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial Q_{\alpha}}\]

Answer 从平稳作用量出发, 在局部可用生成函数表示的区域有:

\[\delta S=\delta\int\left(p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-H\,\mathrm{d}t\right)=0,\quad \delta S'=\delta\int\left(P_\alpha\,\mathrm{d}Q_\alpha-H^{\prime}\,\mathrm{d}t\right)=0\]

一般的标度变换(即被积函数成倍数关系)导出的变换形式较为平庸(尺度变换, 仅改变变量尺度而不改变物理本质), 例如平方反比有心力下的尺度变换:

\[r\mapsto\lambda r,\quad p_r\mapsto\lambda^\alpha p_r,\quad\theta\mapsto\theta,\quad p_\theta\mapsto\lambda^\beta p_\theta,\quad t\mapsto\lambda^\gamma t\]

可以导出

\[K=\frac{1}{2m}\left(\lambda^{2\alpha}p_r^2+\frac{\lambda^{2\beta}p_\theta^2}{\lambda^2r^2}\right)-\frac{k}{\lambda r}\propto H\]

进而有 \(\alpha = -1/2, \beta = 1/2, \gamma = 3/2\).

对于正则变换, 即两个被积函数之差为函数全微分的形式:

\[\begin{aligned} P_\alpha\dot Q_\alpha-H^\prime+\dot F_1&=p_\alpha \dot q_\alpha-H\\ \mathrm{d}F_1&=p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha-P_\alpha\,\mathrm{d}Q_\alpha+(H^{\prime}-H)\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]

这样的变换称为 Type 1 正则变换, \(F_1=F_1(q,Q,t)\) 被称为 Type 1 正则变换的生成函数(母函数)

也可等价的写为 \(p_\alpha=\frac{\partial F_1}{\partial q_\alpha} , P_\alpha=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_\alpha} , H^{\prime}=H+\frac{\partial F_1}{\partial t}\)(生成函数形式已知, 推未知的坐标)

Type 1	Type2	Type3	Type4
\(F_1=F_1(q,Q,t)\)	\(F_2=F_2(q,P,t)\)	\(F_3=F_3(p,Q,t)\)	\(F_4=F_4(p,P,t)\)
\(p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i},P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}\)	\(p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i},Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i}\)	\(q_i=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i},P_i=-\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}\)	\(q_i=-\frac{\partial F_4}{\partial p_i},Q_i=\frac{\partial F_4}{\partial P_i}\)

几种形式可通过 Legendre 变换互相转化,如 Type 1 到 Type 2:

\[\mathrm{d}F_2=\mathrm{d}(F_1+P_\alpha Q_\alpha)=p_\alpha\,\mathrm{d}q_\alpha+Q_\alpha\,\mathrm{d}P_\alpha+(H^{\prime}-H)\,\mathrm{d}t\]

生成函数变为 \(F_2(q,P,t)=F_1+Q_\alpha P_\alpha\), 变换方式不变.

不是所有正则变换都有四类生成函数对应, 例如 \(F_1,F_4\) 为保证变量的独立性, 不可能导出恒等变换, 而相应 \(F_2=q_\alpha P_\alpha\)、\(F_3=-p_\alpha Q_\alpha\) 则可以导出恒等变换. 但这并不改变正则变换的等价性: 由于坐标和动量本质上是对偶的, 总可以通过
- 交换坐标和动量: \(Q_\alpha=p_\alpha, P_\alpha=-q_\alpha\)
- 引入平庸标度变换: \(Q_\alpha=\pm q_\alpha, P_\alpha=\pm p_\alpha\)
来选择适合的生成函数坐标片. 但这可能改变所表示变换的组合, 并不保证同一个变换在同一坐标片中具有全部四类母函数; 每次 Legendre 变换还要求相应变量投影局部可逆.
正则变换构成一个群: 存在单位元(恒等变换), 逆元(须交换新旧变量, 并选取相应类型的生成函数), 闭合性(两个正则变换的复合仍为正则变换), 结合律(复合运算满足结合律).

Example 设有一个简单谐振子, Hamiltonian 为

\[H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2\]

尝试将其通过正则变换转化为一个自由粒子系统, 即

\[H' = \frac{P^2}{2m}\]

Solution 选择 Type 2 变换, 尝试不含时间的生成函数 \(F_2(q,P)\). 以下取 \(P>0\)、\(p>0\) 且 \(|m\omega q|\lt P\) 的局部支. 谐振子的闭合轨道不能由全局一一的、与时间无关的正则变换映为自由粒子的非闭合轨道. 利用 \(H\) 和 \(H'\) 的关系, 解出 \(p(q,P)\)

\[\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2q^2 = \frac{P^2}{2m} \implies p = \sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}\]

则生成函数

\[F_2(q, P) = \int \sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q\]

无需积分, 直接写出

\[Q = \frac{\partial F_2}{\partial P} = \int \frac{P}{\sqrt{P^2 - m^2\omega^2q^2}}\,\mathrm{d}q= \frac{P}{m\omega} \arcsin\left(\frac{m\omega q}{P}\right)\]

从而可以反解出

\[q = \frac{P}{m\omega} \sin\left(\frac{m\omega Q}{P}\right)\]

进而得到

\[p = P \cos\left(\frac{m\omega Q}{P}\right)\]

8.1.2 Properties of Canonical Transformations

Remark 生成函数的任意性

生成函数可以附加一个以时间为变量的任意函数 \(g(t)\), 而不改变相应变换. (Hamiltonian 也有同样的任意性)

Proposition 正则变换的保辛性

先考虑不显含时间的变换 \(\boldsymbol{\xi}\to\boldsymbol{\eta}\); 下面的链式法则中 \(H\) 在新变量下只是同一函数的重写:

\[\dot{\eta}^i =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\dot{\xi}^j =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\omega^{jk}\frac{\partial H}{\partial\xi^k} =\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\omega^{jk}\frac{\partial\eta^l}{\partial\xi^k}\frac{\partial H}{\partial\eta^l} ={\mathcal{J}^i}_{j}\omega^{jk}(\mathcal J^{\mathsf T})_k{}^l\frac{\partial H}{\partial\eta^l}\]

由于变换保证 Hamilton 方程不变, 则

\[\dot{\eta}^i =\omega^{il}\frac{\partial H}{\partial\eta^l}\]

二者比较给出

\[\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}},\quad \mathcal{J}^i{}_j:=\frac{\partial\eta^i}{\partial\xi^j}\]

这说明正则变换是一个保辛的映射, 在流形结构上体现为自同胚映射(通过一个光滑函数建立的一一映射映射到自身).

Corollary 正则变换的直接条件

保辛性条件等价于

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}^{-1}=\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\omega}^{-1} = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}(-\boldsymbol{\omega})\]

若将 Jacobian 和辛形式分块为

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}= \begin{pmatrix} \nabla_{\mathbf{q}}\mathbf{Q}&\nabla_{\mathbf{p}}\mathbf{Q}\\ \nabla_{\mathbf{q}}\mathbf{P}&\nabla_{\mathbf{p}}\mathbf{P} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathcal{J}}^{-1}= \begin{pmatrix} \nabla_{\mathbf{Q}}\mathbf{q}&\nabla_{\mathbf{P}}\mathbf{q}\\ \nabla_{\mathbf{Q}}\mathbf{p}&\nabla_{\mathbf{P}}\mathbf{p} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\omega}= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{s\times s}&\mathbf1_{s\times s}\\ -\mathbf{1}_{s\times s}&\mathbf{0}_{s\times s} \end{pmatrix}\]

并代入, 各部分分别得到的就是正则变换的充要条件, 或者称为直接条件.

\[\begin{aligned} \left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right)_{q,p}&=\left(\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right)_{Q,P},& \left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right)_{q,p}&=-\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i}\right)_{Q,P}\\ \left(\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\right)_{q,p}&=-\left(\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}\right)_{Q,P},& \left(\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right)_{q,p}&=\left(\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right)_{Q,P} \end{aligned}\]

Proposition Poisson 括号在正则变换下的性质

正则变换不改变 Poisson 括号的结果

\[[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}\]

故反过来, 也可以直接利用

\[[Q_\alpha,Q_\beta]_{q,p}=0,\quad [P_\alpha,P_\beta]_{q,p}=0,\quad [Q_\alpha,P_\beta]_{q,p}=\delta_{\alpha\beta}\]

来判断局部可逆的变换是否为正则变换. 单自由度时才简化为 \([Q,P]_{q,p}=1\); 含时变换在每个固定时刻也满足上述保辛条件.

Proof 考虑正则变换 \(\boldsymbol{\xi}\to\boldsymbol{\eta}\), 任意两个函数 \(u,v\) 在旧坐标下的 Poisson 括号为

\[\begin{aligned} {[u,v]}_{\boldsymbol{\xi}} &=\frac{\partial u}{\partial\xi^m}\omega^{mn}\frac{\partial v}{\partial\xi^n}\\ &=\left(\frac{\partial u}{\partial\eta^i}{\mathcal{J}^i}_{m}\right)\omega^{mn}\left((\mathcal{J}^{\mathsf{T}})_{n}{}^{k}\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\right)\\ &=\frac{\partial u}{\partial\eta^i}\left({\mathcal{J}^i}_{m}\omega^{mn}(\mathcal{J}^{\mathsf{T}})_{n}{}^{k}\right)\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\\ &=\frac{\partial u}{\partial\eta^i}\omega^{ik}\frac{\partial v}{\partial\eta^k}\quad(\because\;\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}})\\ &={[u,v]}_{\boldsymbol{\eta}} \end{aligned}\]

因此对任意力学量 \(u,v\) 都有 \({[u,v]}_{q,p}={[u,v]}_{Q,P}\), Poisson 括号在正则变换下完全不变, 故没必要指定所用变量组.
特别地, 取 \(u=\eta^a\) 、 \(v=\eta^b\), 立即得到基本 Poisson 括号在旧坐标下也等于新坐标下的标准值 \(\omega^{ab}(\boldsymbol{\eta})\).

8.2 Infinitesimal Canonical Transformations

8.2.1 Infinitesimal Canonical Transformations

无穷小正则变换(Infinitesimal Canonical Transformation, ICT)是一种正则变换, 但是 \(p, q\) 改变很小:

\[Q_\alpha=q_\alpha+\delta q_\alpha,\quad P_\alpha=p_\alpha+\delta p_\alpha\]

相应生成函数(以第二类为例)是恒等变换生成函数和一很小量的叠加

\[F_2(q,P,t)=q_\alpha P_\alpha + \epsilon G(q,P,t)\]

相应变化量

\[\begin{aligned} \delta q_\alpha&=\epsilon\frac{\partial G}{\partial P_\alpha}\simeq\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_\alpha}=\epsilon\left[q_\alpha,G\right]\\ \delta p_\alpha&=-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_\alpha}\simeq-\epsilon\frac{\partial G}{\partial Q_\alpha}=\epsilon\left[p_\alpha,G\right] \end{aligned}\]

故某种意义下可以称 \(G\) 为 ICT 的生成元, 使得

\[Q_\alpha=q_\alpha+\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_\alpha}+O(\epsilon^2),\quad P_\alpha=p_\alpha-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_\alpha}+O(\epsilon^2)\]

8.2.2 Time Evolution and Infinitesimal Canonical Transformations

若令 \(G = H(q,p,t)\), \(\epsilon = \delta t\), 可以得到

\[\delta q_\alpha=\epsilon[q_\alpha,H]=\dot{q}_\alpha\delta t,\quad \delta p_\alpha=\epsilon[p_\alpha,H]=\dot{p}_\alpha\delta t\]

Hamiltonian 生成 ICT, 将坐标变换为 \(t+\epsilon\) 时的坐标. 也就是说可以把一个随时间演化的系统在相空间内的移动视作一个连续正则变换. 力学量在无穷小时间演化下有

\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\xi^\alpha}\frac{\mathrm{d}\xi^\alpha}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\xi^\alpha}\left[\xi^\alpha,H\right]=\frac{\partial A}{\partial t}+\left[A,H\right]\]

力学量在 \(t\) 时刻的值 \(f(t)\), 变换为 \(t+ \mathrm{d}t\) 时刻的值 \(f(t+\mathrm{d}t)\).

正则变换的绘景 静态绘景(static view)下, 正则变换视作在相空间中对坐标系的变换. 动态绘景(dynamic view)下, 正则变换将相空间中的点映射其他的点, 认为系统在"主动"地运动.

9 Symmetry and Conservation Laws Revisited

9.1 Continuous Symmetries and Conservation Laws in Hamiltonian Mechanics

9.1.1 Conserved Quantities

物理量的守恒

一般物理量的运动方程

\[\dot{A}=\partial_tA+[A,H]\]

若物理量 \(A=A(q,p)\) 不显含时间, 则作为运动积分的充要条件为 \([A,H]=0\).

Theorem Poisson 定理如 \(A\),\(B\) 是力学系统的运动积分,则 \(C=[A,B]\) 也是该力学系统的运动积分 Proof 用时间偏导法则和 Jacobi 恒等式,

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[A,B]=[\dot A,B]+[A,\dot B]=0.\]

其中 \(\dot A=\partial_tA+[A,H]\)、\(\dot B=\partial_tB+[B,H]\). 因而也覆盖显含时间的运动积分.

对于 Hamiltonian 本身, \(\dot{H}=\partial_tH+[H,H]=\partial_tH\), 故不显含时间的 Hamiltonian 守恒.

构造显含时间的守恒量

令 \(A = A(q, p), H = H(q, p)\), 且有

\[[A,H]\neq0,\quad [[A,H],H]=0\]

可以构造显含时间的

\[B(q,p,t)=A(q,p)-t[A(q,p),H(q,p)]\]

为时间的守恒量

\[\begin{aligned} \dot{B} &=\partial_tB+[B,H]\\ &=[A,H]-[t[A,H],H]-[A,H]\\ &=-t[[A,H],H]=0 \end{aligned}\]

这样的构造对于 \(A(q,p)\) 的限制比较强. 对于不显含时间的 Hamiltonian, 我们可以更一般地构造显含时间的守恒量.

对于任一非守恒的 \(A = A(q,p)\), 可以给出形式化的守恒量

\[B(q,p,t):=\mathrm{e}^{-t\hat H}(A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}(-\hat H)^n(A),\quad\hat H:=[\cdot,H]\]

若某阶嵌套 Poisson 括号为零, 级数才会截断; 一般不会自动截断. 在逆流存在的时间区间内, 几何定义 \(B=A\circ\phi_{-t}\) 直接给出守恒量. 将它表示为上述幂级数时, 还需级数及相关导数适当地收敛, 以允许逐项微分. Proof

\[\dot{B}=\partial_tB+[B,H]=-\hat H\left(\mathrm{e}^{-t\hat H}A\right)+\hat H\left(\mathrm{e}^{-t\hat H}A\right)=0\]

在上述允许逐项微分的条件下, \(B\) 沿系统相轨道保持恒定.

\(B(q, p, t)\) 代表了演化到时刻 \(t\) 时处于状态 \((q, p)\) 的系统, 在初始时刻 \((t=0)\) 时物理量 \(A\) 的取值, 即
\[B(q, p, t) = \mathrm{e}^{-t\hat H} A(q, p) = A(q_{\mathrm{init}}, p_{\mathrm{init}})\]
因为系统沿轨道演化时, 其"初始状态的属性"显然是不随时间改变的, 所以 \(B\) 必然是一个守恒量.

9.1.2 Symmetry-Induced Canonical Transformations

物理量的演化

生成元定义了正则变量的"变换率". 物理量 \(f(q,p,t)\) 在无穷小正则变换前后

\[\delta f=\frac{\partial f}{\partial\xi^{\alpha}}\delta\xi^{\alpha}=\epsilon\frac{\partial f}{\partial\xi^{\alpha}}\left[\xi^{\alpha},G\right]=\epsilon\left[f,G\right]\implies\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda}=\left[f,G\right]\]

从而可以得到形式解

\[f(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda\hat G}f(0),\quad\hat G:=[\cdot,G]\]

这是经典正则流对函数的拉回演化.

Example 自由落体

\[H=\frac{p^2}{2m}+mgz\]

Solution 位置

\[\begin{aligned} z(t) &= \mathrm{e}^{t\hat H}z_0\\ &= z_0 + t[z_0,H]_0 + \frac{t^2}{2!}[[z_0,H],H]_0 + \frac{t^3}{3!}[[[z_0,H],H],H]_0 + \cdots \\ &= z_0 + \frac{p_0}{m}t - \frac{1}{2}gt^2 \end{aligned}\]

高阶项截断.

Remark 这里取 \(G=H\)、\(\lambda=t\), 得到正向 Hamilton 流对物理量的演化. 守恒量 \(B(t)=A\circ\phi_{-t}\) 则是 \(A\) 沿逆 Hamilton 流的拉回; 守恒性来自正、逆流复合为恒等映射.

Hamilton 量的隐式变化与对称正则变换

Hamiltonian 形式上的变化量(只考虑隐式变化)

\[\begin{aligned} H(Q,P,t) - H^\prime(Q,P,t) =&(H(Q,P,t) - H(q,p,t))-(H^\prime(Q,P,t)-H(q,p,t))\\ =&\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i+\frac{\partial H}{\partial t}\cdot0-\epsilon\frac{\partial G}{\partial t}\\ =&-\epsilon\left(\frac{\partial G}{\partial t}+[G,H]\right) =-\epsilon\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G \end{aligned}\]

表示"在新坐标下, \(H\) 需要进行多少修正才能得到能够正确描述物理规律的 \(H^\prime\)". 简单记为

\[\delta_{\mathrm{func}}H=-\epsilon\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}\]

又因为一个使 Hamiltonian 形式不变的 ICT 必然保证物理规律形式和含义不变, 从而为体系的对称连续变换, 反之亦然.

这里把 Hamiltonian 的“形式不变”按严格相等理解. 若两式只相差时间函数, 运动方程仍相同; 可相应调整生成元的时间函数项. 固定这一自由度后, 以下三个关于 ICT 的命题等价:

ICT 为系统的对称变换
ICT 使得 Hamiltonian 形式不变
ICT 的生成元 \(G = G(q, P,t)\simeq G(q,p,t)\) 为系统的守恒量.

空间平移对称性与动量守恒: 使生成元为 \(p_\alpha\), 则相应的变换为空间平移变换
\[\delta q_\beta=\epsilon[q_\beta,p_\alpha]=\epsilon\delta_{\alpha\beta},\quad\delta p_\beta=\epsilon[p_\beta,p_\alpha]=0\]
如果哈密顿量在空间平移下不变
\[[H,p_\alpha]=0\]
这就得到动量守恒
空间旋转对称性与角动量守恒: 绕 \(z\) 轴的空间转动
\[x_i^{\prime}=x_i-\epsilon y_i,\quad y_i^{\prime}=y_i+\epsilon x_i,\quad p_{ix}^\prime=p_{ix}-\epsilon p_{iy},\quad p_{iy}^\prime=p_{iy}+\epsilon p_{ix}\]
可以验证得到生成元 \(G=x_ip_{iy}-y_ip_{ix}=J_z\). 同理, 如果哈密顿量在绕 \(z\) 转动下不变
\[[H,J_z]=0\]
这就得到角动量守恒.
- 进一步可以验证物理量 \(x\) 在 \(\hat J_z\) 诱导下的连续变化
  \[\begin{aligned} x(\theta) &=\mathrm{e}^{\theta\hat J_z}x(0)\\ &=x_0+\theta[x,J_z]_0+\frac{\theta^2}{2!}[[x,J_z],J_z]_0+\frac{\theta^3}{3!}[[[x,J_z],J_z],J_z]_0+\cdots\\ &=x_0-\theta y_0-\frac{\theta^2}{2!}x_0+\frac{\theta^3}{3!}y_0+\frac{\theta^4}{4!}x_0-\cdots\\ &=x_0\cos\theta-y_0\sin\theta\\ y(\theta) &=\mathrm{e}^{\theta\hat{J}_z}y(0)=y_0\cos\theta+x_0\sin\theta \end{aligned}\]
- 对于任意无穷小转动, 生成元 \(G = \mathbf{n}\cdot\mathbf{J}\), 相应空间转动变换
  \[\begin{aligned} \delta\mathbf{r} &=\epsilon[\mathbf{r},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]\\ &=\epsilon(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\cdot [\mathbf{r},\mathbf{p}]\\ &=\epsilon \mathbf{n}\times\mathbf{r}\\ \delta\mathbf{p} &=\epsilon[\mathbf{p},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]\\ &=\epsilon(\mathbf{p}\times\mathbf{n})\cdot [\mathbf{p},\mathbf{r}]\\ &=\epsilon \mathbf{n}\times\mathbf{p} \end{aligned}\]
  从而对任何随系统转动的矢量 \(\mathbf{a} = \mathbf{a}(\mathbf{r},\mathbf{p},t)\) 都应该有
  \[\delta\mathbf{a} = \epsilon[\mathbf{a},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]\]
  另外, 对于标量积
  \[\begin{aligned} \left[\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}\right] &=\mathbf{a}\cdot[\mathbf{b},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]+\mathbf{b}\cdot[\mathbf{a},\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]\\ &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{b})+\mathbf{b}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{a})\\ &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{n}\times \mathbf{b})+\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{n})\\ &=0 \end{aligned}\]
  在该空间转动下不变.
时间平移对称性与哈密顿量守恒: 如果 \(\partial_t H=0\), 那么时间平移变换
\[\delta q_\alpha=\dot{q}_\alpha\delta t=\epsilon[q_\alpha,H],\quad \delta p_\alpha=\dot{p}_\alpha\delta t=\epsilon[p_\alpha,H]\]
为体系的对称性变换, 从而可以得到对应的生成元 \(H\) 是守恒的.

9.2 Symmetry and Conservation Laws in the Kepler Problem Revisited

9.2.1 Angular Momentum and Its Involution Properties

由
\[[p_i,J_j]=[p_i,\epsilon_{lmj}x_lp_m]=\epsilon_{lmj}[p_i,x_l]p_m=-\epsilon_{lmj}\delta_{il}p_m=\epsilon_{ijm}p_m\]
可以得到
\[[p_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}p_k\]
与 \(x_i\) 的 Poisson 括号
\[[x_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}x_k\]
也可以类似地证明
利用矢量在转动下的性质
\[[\mathbf{J},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]=\mathbf{n}\times\mathbf{J}\]
容易证明
\[[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k\]
利用 Poisson 定理, 可以得到, 如果角动量的两个分量是守恒的, 那么总角动量也守恒.
利用标量积在转动下的性质
\[[J^2,\mathbf{n}\cdot \mathbf{J}]=0\]
可以得到 \(J^2\) 与任何一个分量对易. 角动量的两个分量一般不能直接组成一对共轭正则变量, 因为其括号不是常数 1. 在函数独立的局部区域, \(J^2\) 与 \(J_z\) 可选作两个对合的正则动量; 它们彼此的括号为零, 并不是一对共轭变量.

9.2.2 LRL Vector and Its Properties

对于生成 LRL 矢量时用到的、依赖速度的试探变换
\[\delta\mathbf{r} = \boldsymbol{\epsilon}\times \mathbf{J},\quad \delta t =0\]
若直接在相空间中补以 \(\delta\mathbf p=0\), 得到的变换并不保 Poisson 括号; 沿 Kepler 运动由 \(\dot{\mathbf J}=0\) 得到的速度变分不能自动替代一般相空间变换:
\[[\mathbf{r}^{\prime},\mathbf{p}^{\prime}] =[\mathbf{r},\mathbf{p}]+[\boldsymbol{\epsilon}\times \mathbf{J},\mathbf{p}] =[\mathbf{r},\mathbf{p}]+\boldsymbol{\epsilon}\times[\mathbf{J},\mathbf{p}]+[\boldsymbol{\epsilon},\mathbf{p}]\times \mathbf{J} \neq[\mathbf{r},\mathbf{p}]\]
从而不是正则变换. 我们尝试通过 LRL 矢量
\[\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{J} - \frac{m\alpha}{r}\mathbf{r}\]
给出相应的对称性正则变换. 取 \(H=p^2/(2m)-\alpha/r\)、\(r\ne0\), 首先在 Hamilton 力学框架下验证 \(\mathbf A\) 是守恒量:
\[\begin{aligned} \left[A_{k},H\right] &=\left[\epsilon_{ijk}p_iJ_j-\frac{m\alpha x_k}{r},H\right]\\ &=\epsilon_{ijk}\left[p_i,H\right]J_j-m\alpha\left[\frac{x_k}{r},H\right]\\ &=-\alpha\epsilon_{ijk}\left[p_i,\frac{1}{r}\right]J_j-\alpha\left[\frac{x_k}{r},p_i\right]p_i\\ &=\alpha\epsilon_{ikj}\frac{x_i}{r^3}\cdot \epsilon_{lmj}x_lp_m+\alpha\left(x_k\cdot\frac{x_i}{r^3}-\frac{1}{r}\delta_{ik}\right)p_i\\ &=\alpha\left(\delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl}\right)\frac{x_i}{r^3}x_lp_m+\alpha\left(\frac{x_ix_k}{r^3}-\frac{1}{r}\delta_{ik}\right)p_i\\ &=\alpha\left(\frac{x_ix_i}{r^3}p_k-\frac{x_ip_i}{r^3}x_k\right)+\alpha\left(\frac{x_ip_i}{r^3}x_k-\frac{1}{r}p_k\right)\\ &=0 \end{aligned}\]
令生成元
\[\mathcal{G} = \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{A} = \boldsymbol{\epsilon} \cdot \left( \mathbf{p}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) - \frac{m\alpha}{r}\mathbf{r} \right) = p^2(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) - \frac{m\alpha}{r}(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})\]
相应正则变换
\[\begin{aligned} \delta \mathbf{r} &= \frac{\partial \mathcal{G}}{\partial \mathbf{p}} = 2\mathbf{p}(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})-\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r}\\ \delta \mathbf{p} &= -\frac{\partial \mathcal{G}}{\partial \mathbf{q}} = (\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{p})\mathbf{p} - \left(p^2 - \frac{m\alpha}{r}\right)\boldsymbol{\epsilon} - \frac{m\alpha(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\mathbf{r})}{r^3}\mathbf{r} \end{aligned}\]
由矢量在转动下的性质
\[[\mathbf{A},\mathbf{n}\cdot\mathbf{J}]=\mathbf{n}\times\mathbf{A}\]
容易得到分量
\[[A_i,J_j]=\epsilon_{ijk}A_k\]
LRL 分量之间的 Poisson 括号
\[[A_i,A_j]=-2mH\epsilon_{ijk}J_k\]
LRL 分量单独不构成闭合 Lie 代数. 在固定非零能量上适当归一化后, 它们与 \(\mathbf J\) 的分量共同构成闭合 Lie 代数; 未归一化的括号包含函数 \(H\). Proof 最后一个
\[\begin{aligned} \left[A_i,A_j\right] &=\underbrace{[(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_i,(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_j]}_{\mathrm{Part}~\mathrm{I}}\\ &\underbrace{-m\alpha\left([(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_i,\frac{x_j}{r}]-[(\mathbf{p}\times\mathbf{J})_j,\frac{x_i}{r}]\right)}_{\mathrm{Part}~\mathrm{II}}\\ &+\underbrace{m^2\alpha^2[\frac{x_i}{r},\frac{x_j}{r}]}_{0} \end{aligned}\]
1. 第一项, 令 \(\mathbf{X} = \mathbf{p}\times\mathbf{J}\), 则
  \[\begin{aligned} \left[X_i, X_j\right] &= \epsilon_{lmj} [X_i, p_l J_m] \\ &= \epsilon_{lmj} \left( p_l [X_i, J_m] + [X_i, p_l] J_m \right) \\ &= \epsilon_{lmj} \left( p_l \epsilon_{imn} X_n + (\delta_{il} p^2 - p_i p_l) J_m \right) \\ &= \epsilon_{ljm} \epsilon_{inm} p_l X_n + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= (\delta_{li} \delta_{jn} - \delta_{ln} \delta_{ji}) p_l X_n + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= p_i X_j - \delta_{ji} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{X}) + \epsilon_{imj} p^2 J_m - \epsilon_{lmj} p_i p_l J_m \\ &= p_i X_j + \epsilon_{imj} p^2 J_m - p_i X_j \\ &= -\epsilon_{ijm} p^2 J_m \end{aligned}\]
  其中第二行到第三行
  - 用到了之前证明过的 \([X_i,J_j]=\epsilon_{ijk}X_k\), 即旋转性质.
  - 还用到了
    \[[X_i,p_l] = [\epsilon_{iab} p_a J_b, p_l] = \epsilon_{iab} p_a [J_b, p_l] = \epsilon_{iab} p_a \epsilon_{blc} p_c = \delta_{il} p^2 - p_i p_l\]
  第六行到第七行用到了 \(\mathbf{X} = \mathbf{p} \times \mathbf{J}\) 的定义, 从而得到 \(\mathbf{p} \cdot \mathbf{X} = 0\).
2. 第二项, 我们令 \(\mathbf{f} = \frac{\mathbf{x}}{r}\), 则
  \[[X_i, f_j] = [\epsilon_{ikl} p_k J_l, f_j] = \epsilon_{ikl} \left( p_k [J_l, f_j] + [p_k, f_j] J_l \right)\]
  - 前一项: 利用旋转性质
    \[\begin{aligned} \epsilon_{ikl} p_k [J_l, f_j] &= \epsilon_{ikl} \epsilon_{ljm} p_k f_m \\ &= (\delta_{ij} \delta_{km} - \delta_{im} \delta_{kj}) p_k f_m \\ &= \delta_{ij} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{f}) - p_j f_i \end{aligned}\]
  - 后一项: 利用基本 Poisson 括号
    \[\begin{aligned} \epsilon_{ikl} [p_k, f_j] J_l &= -\epsilon_{ikl} \left( \frac{\delta_{kj}}{r} - \frac{x_k x_j}{r^3} \right) J_l \\ &= -\frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} + \frac{x_j}{r^3} (\mathbf{r} \times \mathbf{J})_i \end{aligned}\]
    利用
    \[\mathbf{r} \times \mathbf{J} = \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \mathbf{r}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}) - \mathbf{p} r^2\]
    故后一项为
    \[-\frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} + \frac{x_j x_i (\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})}{r^3} - \frac{p_i x_j}{r}\]
  相减, 对称项 \(\delta_{ij} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{f})\), \(\frac{x_i x_j (\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})}{r^3}\) 显然可消去, 余下部分得到
  \[[X_i, f_j] - [X_j, f_i] = \left( - \frac{p_j x_i}{r} - \frac{\epsilon_{ijl} J_l}{r} - \frac{p_i x_j}{r} \right) - (i \leftrightarrow j) = -\frac{2\epsilon_{ijm} J_m}{r}\]
  其中 \((i \leftrightarrow j)\) 表示交换 \(i\) 和 \(j\) 后的一项.
综合得到结果
\[[A_i,A_j] = -\epsilon_{ijk}(p^2-2m\alpha/r)J_k = -2mH \epsilon_{ijk} J_k\]
与动量、角动量等不同, LRL 矢量的生成函数不属于基本型, 事实上也不是点变换, 不体现点对称性或者说是几何对称性, 而是体现 Kepler 体系的动力学对称性–这一系统满足更高的对称性. LRL 矢量本质上对应了这一体系在四维空间下的旋转对称性. 对于束缚系统, 这体现 \(SO(4)\) 对称性–保证欧式四维向量长度不变: 定义
\[\mathbf{D} = \frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m|E|}}\]
容易证明对于 \(E\lt0\) 的束缚系统
\[[J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k,\quad [D_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}D_k,\quad [D_i,D_j]=\varepsilon_{ijk}J_k\]
这就是四维欧式空间中, 6 个独立的旋转平面分别对应的生成元, 它们构成封闭的 6 维 Lie 代数(进一步讲为 \(SO(4)\) 代数). 对于 \(E>0\) 的非束缚系统, 归一化后体现 \(\mathfrak{so}(1,3)\) 动力学代数: 最后一式的 Poisson 括号变为
\[[D_i,D_j]=-\varepsilon_{ijk}J_k\]
容易看出后者与 Lorentz 群的 Lie 代数同构. 相应的对称群是六维相空间中的对称性正则变换群, 其生成元为 \(\mathbf{J}\) 和 \(\mathbf{A}\) 的分量. 进一步对于束缚轨道, 可以定义
\[\mathbf{B}^{\pm} = \frac{\mathbf{J}\pm\mathbf{D}}{2}\]
从而得到两个独立的 \(SU(2)\) 代数
\[\left[B_i^\pm,B_j^\pm\right]=\epsilon_{ijk}B_k^\pm,\quad\left[B_i^+,B_j^-\right]=0\]
这给出 Lie 代数分解 \(\mathfrak{so}(4)\cong\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\). 两组三分量生成元描述相空间上的动力学变换, 不由此得到一个四维向量表示. 在 \(E=0\) 时不能使用上述归一化, 而 \([A_i,A_j]=0\), 与 \(\mathbf J\) 构成 \(\mathfrak e(3)\) 代数.

9.3 Liouville’s Theorem

9.3.1 Canonical Variables and Liouville’s Theorem

坐标是人为引入的, 而物理意义不依赖于坐标的选取. Hamilton 力学下, 正则变换下的正则不变量(canonical invariants)格外有意义. 我们已经知道正则方程和 Poisson 括号, 作为两个重要的正则不变量. Liouville 定理说明了这样一个事实: 相空间的体元(volume element)也是正则不变量.

Proposition 正则变换下的相空间体元不变. 正则变换下, 相空间坐标的 Jacobian 矩阵为

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}=\frac{\partial(Q,P)}{\partial(q,p)}.\]

由保辛条件

\[\boldsymbol{\mathcal{J}}\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\mathcal{J}}^{\mathsf{T}}=\boldsymbol{\omega}\]

取行列式先得 \((\det\boldsymbol{\mathcal{J}})^2=1\). 实辛群与恒等矩阵连通, 故辛矩阵的行列式为 \(+1\), 因而

\[\mathrm{d}^s Q\,\mathrm{d}^s P =\det\boldsymbol{\mathcal{J}}\,\mathrm{d}^s q\,\mathrm{d}^s p =\mathrm{d}^s q\,\mathrm{d}^s p.\]

即正则变换下, 相空间体积保持不变. 利用 ICT 的观点, 系统按照 Hamilton 方程的演化也可以被认为是发生连续正则变换, 从而也保证相空间体积元不变–这就得到 Liouville 定理的结论.

也可以利用微分形式, 定义相空间体积元为
\[\Omega \equiv \mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 \wedge \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2 \wedge ... \wedge \mathrm{d}p_s \wedge \mathrm{d}q_s =\bigwedge_{i=1}^s \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q_i\]
注意到
\[\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 \wedge \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2 = \frac{1}{2}(\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 + \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2) \wedge (\mathrm{d}p_1 \wedge \mathrm{d}q_1 + \mathrm{d}p_2 \wedge \mathrm{d}q_2) = \frac{1}{2!}\omega^{\wedge 2}\]
故一般地有
\[\Omega = \frac{1}{s!}\omega^{\wedge s},\quad \omega = \sum_{\alpha=1}^s \mathrm{d}p_\alpha \wedge \mathrm{d}q_\alpha\]
由正则变换的保辛性, 直接可以得到相空间体元的不变性.
\(2k\) 维面积元也可以由微分形式定义
\[S=\frac{1}{k!}\omega^{\wedge k}\]
故相应 \(2k\) 维曲面上的辛形式积分在正则变换下保持不变. 以下取相空间中的二维曲面 \(D\), 并让它随 Hamilton 流演化. 从而其边缘回路对辛势的积分
\[I= \oint_{\partial D} \Theta = \int_{D} \mathrm{d}\Theta = \int_{D} \omega\]
也不随时间变化.

Theorem Liouville 定理的散度表述

\[\nabla\cdot X_H = 0\]

Proof 正则坐标证明. 利用

\[\mathcal J^i{}_j(t)=\frac{\partial\xi^i(t)}{\partial\xi_0^j},\quad \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mathcal J}}{\mathrm{d}t} =\mathbf A(t)\boldsymbol{\mathcal J},\quad A^i{}_j(t)=\left.\frac{\partial\dot\xi^i}{\partial\xi^j}\right|_{\xi(t)}\]

得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln\mathcal{J}=\mathrm{tr}\left(\frac{\partial \dot{\xi}^k}{\partial\xi^i}\right)=\partial_j\dot{\xi}^j=\nabla\cdot X_H\]

直接由正则方程及 \(H\in C^2\) 得

\[\nabla\cdot X_H=\sum_\alpha\left( \frac{\partial^2H}{\partial q_\alpha\partial p_\alpha} -\frac{\partial^2H}{\partial p_\alpha\partial q_\alpha}\right)=0.\]

再由 \(\mathcal J(0)=1\) 及上述 Jacobian 演化方程得到 \(\mathcal J(t)=1\). 这样先证明散度为零, 再推出体积守恒, 无须预先引用待证结论.

Proof 辛几何证明. 利用辛几何的记号, 对 \(\omega^{\wedge s} = s!\Omega\) 作 Lie 导数, 得到

\[\mathcal{L}_{X_H}(\omega^{\wedge s})=s\omega^{\wedge(s-1)}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega=s\omega^{\wedge(s-1)}\wedge0=0\]

第二个等号用到了保辛性质. 对于处处非 0 的体积形式 \(\Omega\), 向量场的散度定义为

\[\mathcal{L}_X\Omega=\left(\operatorname{div}_\Omega X\right)\Omega\]

故 \(\operatorname{div}_\Omega X_H=0\).

与流体对比, Liouville 定理可以被认为是在等价地说明–Hamilton 流是不可压缩的.

9.3.2 Liouville Equation

考虑系统的大量副本(Hamiltonian 相同)组成的系综, 在 Hamiltonian 诱导的 ICT 下发生演化. 我们可以视其密度为相空间上的一个连续的概率分布

\[\int \rho(q,p,t)\,\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p = 1\]

Theorem Liouville 方程前面给出的系综图景中,有概率守恒的连续性方程:

\[\partial_t\rho+{\nabla}\cdot(\rho\mathbf{v})=0\]

或者记作

\[\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\partial_t\rho+[\rho,H]=0\]

二者是等价的:

\[\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=\partial_i(\rho\dot{\xi}^i)=\partial_i(\rho\omega^{ij}\partial_jH)=\partial_i\rho\omega^{ij}\partial_jH=[\rho,H]\]

Proof 对任意随 Hamilton 流演化的区域 \(D(t)=\phi_t(D_0)\), 概率守恒给出

\[0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{D(t)}\rho\,\mathrm{d}^{2s}\xi =\int_{D(t)}\left[\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)\right] \mathrm{d}^{2s}\xi.\]

由于区域任意, 被积函数处处为零, 得到连续性方程. 再利用 \(\nabla\cdot\mathbf v=0\), 可得沿相流 \(\mathrm{D}\rho/\mathrm{D}t=\partial_t\rho+[\rho,H]=0\).

Remark 非 Hamilton 流的加权不变测度. 流映射 Jacobian 满足 \(\dot{\mathcal{J}}=(\nabla\cdot\dot\xi)\mathcal{J}\)、\(\mathcal{J}(0)=1\). 对自治非 Hamilton 流, 记 \(\kappa(\xi)=\nabla\cdot\dot\xi\). 若存在光滑单值函数 \(W\) 满足 \(\dot\xi\cdot\nabla W=\kappa\), 则 \[\mathcal J=\exp\left(\int_0^t\mathrm{d}\tau\,\kappa(\xi(\tau))\right) =\exp\left(W(\xi(t))-W(\xi(0))\right).\] \[\sqrt{g(t)}\mathrm{d}^{2s}\xi(t)=\sqrt{g(0)}\mathrm{d}^{2s}\xi(0),\quad \sqrt{g(t)}\equiv \mathrm{e}^{-W(\xi(t))}\] 这里 \(\sqrt g=\mathrm e^{-W}\) 表示权密度, 得到的是加权不变测度. 全局单值 \(W\) 的存在并非任意非 Hamilton 系统都满足, 也不能仅由这一密度推断度规曲率.

9.3.3 Stationary Ensembles

若系综分布达到定态, \(\partial_t\rho=0\), 则 \(\rho(q,p)\) 沿 Hamilton 流守恒. 这是定态条件; 热平衡还需相应的统计与物理条件.

将此系综分为两个独立的子系 1+2, \(\rho\,\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p=\rho_1\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}p_1\cdot\rho_2\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}p_2\),得到可加性运动积分

\[\ln\rho=\ln\rho_1+\ln\rho_2\]
若进一步假定相关的独立可加运动积分只需总能量、总动量和总角动量, 并采用相应的热平衡分布, 第 \(i\) 个子系可写为
\[\ln\rho_i=\alpha_i-\beta E_i+\boldsymbol{\gamma}\cdot\mathbf{p}_i+\boldsymbol{\delta}\cdot\mathbf{J}_i\]
\(\alpha_i,\beta,\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\) 为常系数, 且对于给定稳定闭合系统, 所有子系统的 \(\beta,\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\) 应相同. 在不施加总动量、总角动量约束的静止热平衡系综中, 可取 \(\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\delta=0\), 从而
\[\rho=\mathrm e^{\alpha-\beta E}.\]
非零总角动量不能只靠转动坐标轴置零; 旋转平衡一般仍保留相应约束项.

9.3.4 Poincaré Recurrence

Theorem Poincaré 回归定理: 对具有有限不变测度的、演化在该区域内完备的自治 Hamilton 系统, 几乎处处的初始相点会无限多次回到自身任意邻域. 结论是“几乎处处”, 且需要有限测度的不变区域; 仅给出一个有界但可逃出的区域不够.

Proof 固定步长 \(\tau>0\), 令 \(T=\phi_\tau\). 对任意可测集 \(D\), 记 \(R\subset D\) 为从不再返回 \(D\) 的点集. 集合 \(T^nR\) 两两不交, 且保测度, 因此在总测度有限时只能有 \(\mu(R)=0\). 只返回有限次的点按最后一次返回时间分成可数个 \(T^{-n}R\), 也为零测度. 再对流形的一组可数邻域基应用此结论, 得到几乎处处的初值无限次回到自身任意邻域.

Remark 回归定理与热力学第二定律:

回归定理不提供一个普遍的回归时间或它关于粒子数的增长律. 宏观平衡体系中显著涨落的回返通常极慢, 但具体时间依赖模型和回返邻域.
热力学规律是统计规律; 取热力学极限与取无限长时间的次序也不能任意交换.

10 Integrable Systems

10.1 Action-Angle Variables

对自治系统, 如果能够确定一组不显含时间的正则变换, 使得所有正则动量均为运动积分, 所有正则坐标均为循环坐标(积分变量)

\[(q^\alpha,p_\alpha) \to (\phi^\alpha,I_\alpha)\]

这样就可以简单地求解系统的运动

\[\dot{\phi}^\alpha = \frac{\partial H}{\partial I_\alpha} = \omega^\alpha \implies I_\alpha(t) = I_\alpha(0), \quad \phi^\alpha(t) = \phi^\alpha(0) + \omega^\alpha t\]

系统在"拉直"的相流上做简单的"匀速直线运动". 后面的一对正则变量即作用-角变量 \(\{\boldsymbol{\phi},\mathbf{I}\}\). 此时系统的 Hamiltonian 具有简单的形式 \(K=K(\mathbf{I})\), 因为不会显含循环坐标.

10.2 Action-Angle Variables for One-Degree-of-Freedom Systems

作用–角变量的相图.

单自由度系统的振动、转动与作用–角相图. 图中的作用变量 \(J\) 即正文的 \(I\); 角变量周期取 \(2\pi\), 全周期有向面积为 \(2\pi I\).

考虑自治单自由度系统的正则周期轨道, 避开平衡点与分离曲线. 给定 \(H(q,p)=E\), 在各局部动量支上反解 \(p=p(q,E)\), 并沿全周期连续拼接. 对摆动情形, 相流围成的有向面积为

\[A\left(E\right)=\oint p\left(q,E\right)\,\mathrm{d}q\]

由于正则变换保相空间面积, 设角变量 \(\phi\) 的周期为 \(2\pi\), 故相应作用变量为

\[I=I\left(E\right):=\frac{A\left(E\right)}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d}q\]

\[\dot\phi = \frac{\partial H}{\partial I}=\omega(I)=\text{const}\]

\(\omega(I)\) 为周期运动的角频率, 也称为"基本频率". 这时我们已经得到了作用变量, 还需要得到生成函数

相邻轨道间的局部有向面积增量.

图中 \(J\) 即正文的 \(I\). 阴影表示从参考截面到 \(q\) 的局部有向面积增量 \(\delta A_q=\phi\delta I\); 绕完整周期才得到 \(2\pi\delta I\).

考虑两条相近能量曲线从参考截面到 \(q\) 所夹的有向面积 \(\delta A_q\).

\[\delta A_q=\int_0^q\left(p+\delta p\right)\,\mathrm{d}q-\int_0^q p\,\mathrm{d}q=\int_0^q\delta p\,\mathrm{d}q\]

由于 \(E = E(I)\)

\[\delta p=\delta p\left(q,E\left(I\right)\right)\equiv\delta p\left(q,I\right)=\frac{\partial p\left(q,I\right)}{\partial I}\delta I\]

进而

\[\delta A_q=\int_0^q\frac{\partial p\left(q^{\prime},I\right)}{\partial I}\delta I\,\mathrm{d}q^{\prime}=\delta I\frac{\partial}{\partial I}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

在作用–角坐标中同一面积为 \(\delta A_q=\phi\delta I\), 从而

\[\phi=\phi\left(q,I\right)=\frac{\partial}{\partial I}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

与

\[p \equiv \frac{\partial}{\partial q}\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\]

结合, 并与 Type 2 生成函数的变换关系对比, 得到生成函数就是简约作用量.

\[F_2\left(q,I\right):=\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}=W(q,I)\]

利用 Legendre 变换, 还可以得到 Type I 生成函数

\[F_1\left(q,\phi\right)=F_2\left(q,I\right)-\phi I=\int_0^q p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}-\phi I\]

一个周期下

\[\Delta F_2=\oint p\left(q^{\prime},I\right)\,\mathrm{d}q^{\prime}\equiv2\pi I,\quad \Delta F_1=2\pi I-2\pi I=0\]

Example 谐振子

\[H = \frac{1}{2m}(p^2 + m^2\omega^2q^2),\quad \omega^2 \equiv \frac{k}{m}\]

Solution 作用量变量

\[I=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d}q =\frac{4}{2\pi}\int_0^{q_{\max}}\sqrt{2m E-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q =\frac{E}{\omega}\]

这里闭合积分沿相轨道定向进行; 第二式已改在上半支取正根. 容易得到

\[H(I) = \omega I\]

进而有基本频率

\[\dot\phi = \frac{\partial H}{\partial I}=\omega\]

在 \(p=p_+(q)\) 的局部支上, 角变量由简约作用量 \(W(q,I)\) 求导得到

\[\phi(q,I) = \frac{\partial}{\partial I}\int^q \sqrt{2m\omega I-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q =\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m\omega}{2I}}\right)+C\]

跨过转点时应切换动量支并连续拼接 \(\phi\), 才得到模 \(2\pi\) 的全周期角变量.

反解得到

\[\begin{aligned} q(t) &= \sqrt{\frac{2I}{m \omega}} \sin \left( \omega t + \delta \right)\\ p(t) &= \sqrt{2Im\omega} \cos \left( \omega t + \delta \right) \end{aligned}\]

10.3 Liouville-Integrable Systems

可积系统

Definition 以下讨论 \(2s\) 维辛相空间上的自治 Hamilton 系统, 并在所需函数独立的正则区域内陈述结论.

若存在 \(s\) 个两两 Poisson 对易的守恒量 \(C_1=H,C_2,\cdots,C_s\), 且 \(\mathrm{d}C_1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}C_s\ne0\), 则称为 Liouville 可积. 只有 \(s\) 个独立守恒量而不对合, 不足以据此应用 Liouville–Arnold 定理.
对合(involution)即 \([C_\alpha,C_\beta]=0\). 这保证各 Hamilton 流相互交换并保持共同等值面.

对 \(m\le s\) 个独立对合函数, 正则共同等值面满足:
- 维数为 \(2s-m\);
- 限制的辛形式有 \(m\) 维零方向, 由这些函数的 Hamilton 向量场张成.
因此它一般不继承非退化辛结构; 在 \(m=s\) 时, 共同等值面是 Lagrangian 子流形, 辛形式在其上恒为零.
在已具备 Liouville 可积性的基础上, 若还有额外的独立守恒量, 称为超可积. 在非平衡正则点附近, 最多有 \(2s-1\) 个独立守恒量; 达到此数目时称为最大超可积. 各种文献的命名可能不同, 本节采用上述约定.

Proposition \(2s\) 维相空间中,最多存在 \(s\) 个泊松对易的独立守恒量(类比欧氏空间的基矢量). Proof (辛线性代数的简单事实)设相空间为 \(2s\) 维的辛流形, 在某一点考察. 若 \(C_1,\cdots,C_m\) 是 \(m\) 个两两泊松对易的独立函数,则它们相应的哈密顿向量场 \(\{X_{C_a}\}\) 满足

\[\omega(X_{C_\alpha},X_{C_\beta})=-[C_\alpha,C_\beta]=0\]

也就是说, \(\{X_{C_\alpha}\}\) 在该点张成了一个关于辛形式 \(\omega\) 的各向同性子空间(isotropic subspace). 辛空间中任一各向同性子空间的维数上界为 s. 这是辛形式在向量空间上的标准事实:对子空间 \(W\):

\[\omega|_{W}=0\implies \dim W\le s\]

因此 \(m\le s\).

直观地讲, 辛形式将向量与其余切空间配对, 互相对易的守恒量所产生的向量场两两辛正交, 无法超过既定最大各向同性维数.

Remark 仅在一个切空间中选取各向同性子空间, 不能证明其向量基可在邻域内写成两两对易的 Hamilton 向量场, 更不能推出全局单值的独立对合积分. 点依赖线性组合的系数还会给函数的微分带来额外项. 因此不由这一线性代数论证断言全局可积性; 对具体系统应直接核验一组独立对合积分. 下述 Kepler 示例采用这种做法.

Example Kepler 问题的可积性

Solution 自由度 \(s=3\), 相空间维度 \(2s=6\), 故最多可以有 \(2s-1=5\) 个独立的运动常数以保证运动轨迹是一维曲线. \(H, \mathbf{A},\mathbf{J}\) 共 7 个守恒量, 考虑到约束关系

\[\mathbf{A}\cdot\mathbf{J}=0,\quad H = \frac{\mathbf{A}^2-m^2\alpha^2}{2m\mathbf{J}^2}\]

故总共只有 5 个独立分量, 可以选取为

\[\{H,\; J^2,\; J_z,\; A_x,\; A_y\}\]

此外, 要说明 Kepler 系统是 Liouville 可积的, 只需找出 \(s=3\) 个对合的守恒量. 一个常见且自然的选取是

\[\{H, J^2, J_z\}\]

满足对合性质. 故 Kepler 问题描述的系统为最大超可积系统.

10.4 Action-Angle Variables for Liouville-Integrable Systems

10.4.1 Invariant Tori

Theorem Liouville–Arnold 定理: 若 \(s\) 个独立对合积分的一个正则共同等值面的连通分支是紧致的, 则该分支微分同胚于 \(s\) 维环面; 在其邻域可引入作用–角变量. 正则性、连通性和紧致性是这里环面结论的条件, 不能仅由运动有界推出. 角变量一般只在模 \(2\pi\) 的意义下全局定义.

Proof 要点是独立、对易且在紧致分支上完备的 Hamilton 向量场给出局部自由的 \(\mathbb R^s\) 作用, 其离散稳定子形成满秩格点, 从而共同等值面为 \(\mathbb R^s/\Gamma\cong\mathbb T^s\). 单个生成流不必闭合, 该结论也不是由相体积守恒直接推出.

在环面上取 \(2\pi\) 周期角变量, 有 \(\phi(t)=\phi(0)+\boldsymbol\omega t\):

轨道具有公共周期, 当且仅当存在 \(T>0\) 使 \(T\omega^a\in2\pi\mathbb Z\) 对所有分量成立; 非零频率需可公度, 不必互为整数倍.
若不存在非零整数向量 \(\mathbf m\) 使 \(\mathbf m\cdot\boldsymbol\omega=0\), 则轨道在整个环面稠密. 仅有某对频率之比为无理数不足以保证高维环面上的这一性质.
若存在整数共振, 轨道闭包通常是较低维子环面, 维数由频率的有理独立数决定. 全部频率为零时为静止轨道.

不变环面上的辛势积分 不变环面的切空间由守恒量 \(C_a\) 生成的哈密顿矢量场 \(X_{C_\alpha}\) 给出, 且满足:
\[\omega(X_{C_\alpha},X_{C_\beta}) = 0\]
不变环面上的任意切向量 \(u=u^\alpha X_{C_\alpha},v=v^\beta X_{C_\beta}\) 满足 \(\omega(u,v)=0\), 所以辛势的限制是闭形式. 只有对环面内可缩、能围成曲面 \(D\) 的回路, 才能推出以下积分为零. 非平凡回路的周期积分一般非零, 正是作用变量的来源; 路径无关性仅在局部或固定同伦类下成立.
\[I= \oint_{\partial D} \Theta = \int_{D} \mathrm{d}\Theta = \int_{D} \omega = 0\]

10.4.2 Local Canonical Coordinates

Proof 考虑到系统运动总是限制在 \(C_\alpha(q,p)=\text{const}\) 的超曲面, 在满足 \(\det(\partial C/\partial p)\ne0\) 的局部坐标片上, 可由隐函数定理反解得到

\[p_\alpha=p_\alpha(C,q)\]

在该局部坐标片内固定积分路径的同伦类, 对辛势积分

\[W(C,q)=\int_{q_0}^qp_\alpha(C,q)\mathrm{d}q^\alpha\]

显然 \(W(C,q)\) 满足 \(p_\alpha=\frac{\partial W}{\partial q^\alpha}\), 可以定义 \(\phi^{\alpha} = \frac{\partial W}{\partial C_{\alpha}}\), 即认为 \(W(C,q)\) 作为一个 Type 2 生成函数生成正则变换

\[(q^{\alpha},p_{\alpha})\to(\phi^{\alpha},C_{\alpha})\]

得到局部正则共轭变量. 一般守恒量 \(C_\alpha\) 还不是按周期归一化的作用变量, 相应共轭坐标也不必有 \(2\pi\) 周期; 需要下述回路积分定义作用变量.

10.4.3 Action-Angle Construction

对环面 \(\mathbb{T}^s\), 取 s 个独立非平凡回路 \(\{\gamma_a\}\), 定义作用变量

\[I_a = \oint_{\gamma_a}\frac{\Theta}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_a}p_{\alpha}\mathrm{d}q^{\alpha}\]

可以证明其为守恒量

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \oint_{\gamma_a(t)} p\,\mathrm{d}q = \oint_{\gamma_a} \mathcal{L}_{X_{H}}(p\,\mathrm{d}q) = \oint_{\gamma_a} \mathrm{d}(p\,\mathrm{d}q(X_{H})) + \oint_{\gamma_a} \iota_{X_{H}} \omega = 0 + 0\]

进而可以定义角变量

\[F_2(q,I) = W(q, I) = \int^q p_\alpha(q^{\prime},I)\,\mathrm{d}{q^{\prime}}^{\alpha}\implies \phi^a = \frac{\partial F_2}{\partial I_a}\]

有性质

\[\oint_{\gamma_a}\mathrm{d}\phi^b =\oint_{\gamma_a}\frac{\partial^2F_2}{\partial q^\alpha\partial I_b}\,\mathrm{d}q^\alpha =\frac{\partial}{\partial I_b}\oint_{\gamma_a}\frac{\partial F_2}{\partial q^\alpha}\,\mathrm{d}q^\alpha =\frac{\partial}{\partial I_b}\oint_{\gamma_a}p_\alpha\,\mathrm{d}q^\alpha=(2\pi)\frac{\partial I_a}{\partial I_b}=(2\pi)\delta_a{}^b\]

即 \(\phi^a\) 在 \(\gamma_a\) 上以 \(2\pi\) 为一个周期. 由

\[\dot{I}_a = [I_a,H] = 0,\quad \dot{\phi}^a = [\phi^a,H] = \frac{\partial H}{\partial I_a} = \omega^a(I)\]

Example Kepler 问题

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}\]

Solution 以下限于 \(E\lt 0\) 的束缚、非碰撞轨道, 并取相应作用–角坐标正则的局部区域. 采用本节 \(I_a=(2\pi)^{-1}\oint p\,\mathrm{d}q\) 的归一化约定, 并选择 \(z\) 轴方向使 \(J_z\ge0\). 闭合积分均沿相轨道定向; 例如径向积分等于在正动量支上从 \(r_{\min}\) 到 \(r_{\max}\) 积分的两倍. 利用各守恒量和广义动量的表达式, 得到

\[\begin{aligned} I_r &=\frac{1}{2\pi}\oint p_r\,\mathrm{d}r =\frac{1}{\pi}\int_{r_{\min}}^{r_{\max}}\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r =k\sqrt{\frac{m}{-2E}}-J\\ I_\theta &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\theta\,\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\pi}\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta =J-J_z\\ I_\varphi &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\varphi\,\mathrm{d}\varphi =\frac{1}{2\pi}\oint J_z\,\mathrm{d}\varphi =J_z \end{aligned}\]

反过来可以得到

\[E=-\frac{mk^2}{2(I_r+I_\theta+I_\varphi)^2}\]

进而得到简并的基本频率

\[\omega_{r,\theta,\varphi} =\frac{\partial H}{\partial I_r}=\frac{\partial H}{\partial I_\theta}=\frac{\partial H}{\partial I_\varphi}=\frac{mk^2}{(I_r+I_\theta+I_\varphi)^3} =\frac{1}{k}\sqrt{\frac{(-2E)^3}{m}}\]

考虑生成函数

\[F=(\phi_\varphi-\phi_\theta)I_1+(\phi_\theta-\phi_r)I_2+\phi_rI_3\]

诱导的变换 \((\phi_{r,\theta,\varphi},I_{r,\theta,\varphi})\mapsto(\phi_{1,2,3},I_{1,2,3})\), 变换得到的

\[\begin{aligned} &\phi_1 = \frac{\partial F}{\partial I_1} = \phi_{\varphi} - \phi_{\theta} = \text{const}, &&\phi_2 = \frac{\partial F}{\partial I_2} = \phi_{\theta} - \phi_{r} = \text{const},\\ &&\phi_3 = \frac{\partial F}{\partial I_3} = \phi_{r}\\ &I_r = \frac{\partial F}{\partial\phi_r}=I_3-I_2, &&I_{\theta} = \frac{\partial F}{\partial\phi_\theta}=I_2-I_1, &&I_{\varphi} = \frac{\partial F}{\partial\phi_\varphi}=I_1\implies\\ &I_1=I_\varphi, &&I_2=I_\varphi+I_\theta, &&I_3=I_\varphi+I_\theta+I_r \end{aligned}\]

1,2,3 中则只有一个频率非 0 的方向, 即做平面周期运动. 可以得到

\[E(I) = -\frac{mk^2}{2I_3^2}\]

量子化: 在上述半经典作用量量子化下, 取 Coulomb 强度 \(k=Ze^2\) 的 Gaussian 单位约定, 并以 \(m\) 为约化质量, 尝试量子化条件 \[I_3 = \hbar n\implies E = - \frac{mZ^2 e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\] 得到正确的单电子原子能级. 考虑相对论修正和磁场后分别解除 \(2,1\) 方向的简并度.

10.5 Adiabatic Invariants

绝热变化: 如果一个系统依赖的外参数, 在系统运动的特征时间内变化很小, 则可以认为系统进行绝热变化.

绝热不变量: 慢参数变化下在相应近似阶数内保持不变的量, 称为绝热不变量; 它一般不是严格运动积分.

Proposition 对远离分离曲线、周期保持有限的单自由度正则周期运动, 外参数在一个周期内只发生小变化时, 作用变量是绝热不变量. 下述平均保留慢变的一阶主导贡献.

\[I := \frac{1}{2\pi}\oint p(q;E,\lambda)\mathrm{d}q = I(E,\lambda)\]

Proof 计算变化率

\[\dot{I} = \frac{\partial I}{\partial E}\dot{E} + \frac{\partial I}{\partial \lambda}\dot{\lambda} = (\frac{\partial I}{\partial E}\frac{\partial H}{\partial \lambda} + \frac{\partial I}{\partial \lambda})\dot{\lambda}\]

其中

\[\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial E} &= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial p}{\partial E}\,\mathrm{d}q = \frac{1}{2\pi}\int_0^{T} \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial E}\mathrm{d}t = \frac{T}{2\pi}\\ \frac{\partial I}{\partial \lambda} &= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda}\,\mathrm{d}q = -\frac{1}{2\pi}\int_0^{T} \frac{\partial H}{\partial \lambda}\mathrm{d}t \end{aligned}\]

故

\[\dot{I} = (\frac{T}{2\pi}\frac{\partial H}{\partial \lambda} - \frac{1}{2\pi}\int_0^T \frac{\partial H}{\partial \lambda}\mathrm{d}t)\dot{\lambda}\]

在足够长的时间尺度下, 取周期平均得到

\[\left\langle\dot I\right\rangle \simeq\left(\frac{T}{2\pi}\left\langle\frac{\partial H}{\partial\lambda}\right\rangle-\frac{T}{2\pi}\left\langle\frac{\partial H}{\partial\lambda}\right\rangle\right)\dot\lambda = 0\]

即作用变量在一个周期之内的平均变化率为零, 因此作用变量在参数变化的时间尺度上近似不变.

对于 Liouville 可积系统, 下述推广限于所需作用–角坐标保持正则, 且相关频率不进入共振或分离曲线的慢变区间. 多自由度时采用角变量的环面平均. 此时 \(H=H(q,p;\lambda(t))\). 可以进行连续正则变换, 不断的生成新的作用-角变量. 由于此时 \(F(q,I;\lambda(t))\) 变为含时的, 故变换后的 Hamiltonian
\[\begin{aligned} K(\phi,I;\lambda(t)) &=H(I;\lambda(t))+\frac{\partial F(q,I;\lambda(t))}{\partial t}\\ &=H(I; \lambda(t))+\frac{\partial F(q,I;\lambda(t))}{\partial\lambda}\dot\lambda\\ &=H(I; \lambda(t))+\Lambda(\phi, I; \lambda(t))\dot \lambda \end{aligned}\]

\[\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right) :=\left.\frac{\partial F\left(q,I,\lambda\right)}{\partial\lambda}\right|_{q=q(\phi,I,\lambda)} =\frac{\partial F(q(\phi,I;\lambda),I;\lambda)}{\partial\lambda}-\frac{\partial F(q,I;\lambda)}{\partial q}\frac{\partial q(\phi,I;\lambda)}{\partial\lambda}\]
这里可以再给出 \(I\) 的运动方程
\[\dot{I}=-\frac{\partial K\left(\phi,I,t\right)}{\partial\phi}=-\dot{\lambda}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\]
说明 \(I\) 本身不是运动常数, 但是只要 \(\lambda\) 绝热变化, 则其周期平均近似不变:
\[\begin{aligned} \left\langle\dot{I}\right\rangle &=-\left\langle\dot{\lambda}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\right\rangle \approx-\dot{\lambda}\left\langle\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi}\right\rangle\\ & =-\frac{\dot{\lambda}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial\phi} =-\frac{\dot{\lambda}}{2\pi}\left(\left.\Lambda\right|_{\phi=2\pi}-\left.\Lambda\right|_{\phi=0}\right)=0 \end{aligned}\]
其中用到的是 \(\Lambda\) 对角变量的周期性. \(F_2=W\) 本身沿一周增加 \(2\pi I\); 固定 \(I\) 后对慢参数求导, 才得到这里所需的周期函数.
环面 \(\mathbb T^s\) 的形状和位置随慢参数演化; 在上述条件和近似阶数内, 回路定义的作用变量近似不变.
- “形状"变化源自哈密顿量对慢参量的依赖(如谐振子频率变化导致相轨道扁率改变)
- “位置"变化反映了局部坐标系在慢参数空间中的回旋, 积累出几何相位. 在经典系统中, 这对应于 Hannay 角(Hannay, Journal of Physics, A18(1985) 221); 在量子系统中, 对应于 Berry 相位(Berry, Journal of Physics, A18(1985) 15).

Hannay 角

下面的 \(\lambda\) 可代表一组慢参数; 多参数时 \(A\,\mathrm d\lambda\) 理解为各联络分量与 \(\mathrm d\lambda^a\) 的缩并.

角变量在绝热变换下的运动方程:

\[\dot{\phi} =\frac{\partial K}{\partial I} =\omega\left(I,\lambda\right)+\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\dot{\lambda}\]

右侧也有 \(\phi\), 难以直接求解. 仍然考虑周期平均. 令

\[A\left(I,\lambda\right) =\left\langle\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\right\rangle\equiv\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial\Lambda\left(\phi,I,\lambda\right)}{\partial I}\mathrm{d}\phi\]

得到

\[\left\langle\dot{\phi}\right\rangle=\omega\left(I,\lambda\right)+A\left(I,\lambda\right)\dot{\lambda}\]

在一段时间的演化后, 若 \(\lambda\left(\tau\right)=\lambda\left(0\right)\), 角变量平均变化为

\[\langle\Delta\phi\rangle=\int_0^\tau\omega\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}t+\oint_{\mathcal{C}_\lambda}A\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}\lambda\]

第一项来自直接的时间演化, \(\lambda = \text{const}\) 时也存在; 第二项为 Hannay 角

\[\Delta_\mathrm{H}\phi =\oint_{\mathcal{C}_\lambda}A\left(I,\lambda\right)\mathrm{d}\lambda =\frac{\partial}{\partial I}\oint\langle \Lambda(I,\lambda)\rangle \mathrm{d}\lambda =-\frac{\partial}{\partial I}\oint\langle p\,\mathrm{d}_{\lambda}q\rangle\]

10.6 Nearly Integrable Systems and Chaotic Systems

Definition 近可积系统考虑可积系统 \(H_0(I)\), 施加微扰使得

\[H(I,\phi) = H_0(I) + \epsilon H_1(I,\phi)\]

Theorem KAM 定理的一个常用版本: 在正则作用域内, 若 \(H_0,H_1\) 为实解析函数, \(\det(\partial^2H_0/\partial I_a\partial I_b)\ne0\), 且所考察频率满足 Diophantine 条件 \[|\mathbf m\cdot\boldsymbol\omega|\ge\gamma|\mathbf m|^{-\tau}, \quad \mathbf m\in\mathbb Z^s\setminus\{\mathbf0\},\quad \gamma>0,\quad\tau>s-1,\] 则在足够小、阈值依赖上述条件的扰动下, 相应的准周期不变环面经变形后仍存在. 在合适的作用域内, 扰动趋零时保留环面的测度可趋近全部体积. 共振环面不受这一版本保证, 可能分裂或出现其他结构, 但并非任意扰动都必然破坏它们.¹

故此系统被称为近可积系统.

在不变环面被扰动破坏的相空间区域, 系统的相空间轨迹可能会对初始条件有极端的敏感性, 甚至出现混沌行为.

对于一般的哈密顿系统, 如果其既不是 Liouville 可积系统或近可积系统, 其对合的守恒量的数目少于自由度数目 s, 那这时候系统的动力学行为往往不再规则, 而是常常会表现出混沌.

11 Hamilton-Jacobi Equation

11.1 Hamilton-Jacobi Equation

求解运动方程 本质上是由 2s 个初始条件

\[\{\bar{q}^1,\bar{q}^2,\cdots,\bar{q}^s,\bar{p}_1,\bar{p}_2,\cdots,\bar{p}_s\}\]

表示任意时刻的坐标和动量

\[q^\alpha\left(t\right)=q^\alpha\left(t,\bar{q},\bar{p}\right),\quad p_\alpha\left(t\right)=p_\alpha\left(t,\bar{q},\bar{p}\right)\]

既然时间演化是正则演化, 可以通过逆演化, 把坐标变化为 2s 个常数.

Question 能否找到一组恰当的正则变换, 使得 Hamiltonian 为不依赖于变换后的相空间坐标, 或者干脆为常数? 此时, 相轨道退化为一个点. 比如说有 Type 2 生成函数使得

\[H(q^\alpha,p_\alpha,t)+\frac{\partial S(q^\alpha,P_\alpha,t)}{\partial t}=0\]

这一方程被称为 Hamilton-Jacobi 方程, \(S\) 称为 Hamilton 主函数. 此时各个坐标都是常数

\[P_\alpha=a_{\alpha},\quad Q^{\alpha} = \frac{\partial S}{\partial P_{\alpha}} = b^{\alpha}\]

可以直接由 \(\bar q,\bar p\) 得到. 从而可以反演得到原坐标的运动

\[q=q(t,a,b)\quad p=p(t,a,b)\]

Answer 考虑主函数的微分. 由于

\[H\left(t,q,\frac{\partial S}{\partial q}\right)+\frac{\partial S(t,q,a)}{\partial t}=0\]

代入全微分得到

\[\mathrm{d}S=\frac{\partial S}{\partial q_\alpha}\mathrm{d}q_\alpha+\frac{\partial S}{\partial t}\mathrm{d}t=p_\alpha\mathrm{d}q_\alpha-H\mathrm{d}t\]

在固定参数与初始数据、并选定光滑轨道分支的局部区域内, 这给出以 \((q,t)\) 为终点的经典作用量. 不同初始数据确定不同解, 但满足同一 H-J 方程

\[S(q,t)=\int^t[p_\alpha(\tau)\dot q_\alpha(\tau)-H(q_\alpha(\tau),p_\alpha(\tau),\tau)]\,\mathrm{d}\tau\]

物理意义: 哈密顿主函数是从终态逆时间演化到初态的有限时间演化生成函数
假设已经求得某个特解 \(S\left(t,q\right)\). 由隐函数定理, 能够从
\[b = \frac{\partial S(t,q,a)}{\partial a}\]
中反解出所有广义坐标的前提是上式对于 \(\{q^\alpha\}\) 是 s 个独立的方程, 这要求
\[\det\left(\frac{\partial^2S\left(t,q,a\right)}{\partial q^\alpha\partial a_\beta}\right)\neq0\]
即满足可逆性条件. 含有这 \(s\) 个独立参数并满足上述条件的解才称为 H-J 方程的完全积分; 单个无参特解没有这一性质.

11.2 Separation-of-Variables Solutions

哈密顿-雅可比方程是 \(S\left(t,q\right)\) 的非线性方程, 通解往往难以求得. 求解运动所需的是完全积分: 它含有 \(s\) 个独立参数, 且满足混合 Hessian 的非退化条件. 任意单个特解一般不足以反演出系统的全部运动.

如果能够将主函数分离为

\[S(t,q^1,\cdots,q^s,a)=S_1(q^1,a)+S_2(t,q^2,\cdots,q^s,a)\]

代入 H-J 方程得到

\[\frac{\partial S_2}{\partial t} + H\left(q^1, \frac{\partial S_1}{\partial q^1},\ q^\alpha, \frac{\partial S_2}{\partial q^\alpha},\ t\right) = 0,\quad \alpha\ne 1\]

尝试提取出所有只依赖于 \(q^1\) 的项, 得到

\[H_1\left(q^1,\frac{\partial S_1}{\partial q^1}\right)=H^\prime\left(q^{\alpha},\frac{\partial S_2}{\partial q^\alpha},\frac{\partial S_2}{\partial t},t\right)\]

由于右侧不依赖于 \(q^1\), 所以左右两侧都应该是常数–可分离的变量导致了守恒量. 守恒量可为选择分离变量或正则坐标提供线索, 但不保证原坐标中的加法分离.

若某个坐标 \(q^1\) 为循环坐标, 令
\[p_1=H_1\left(q^1,\frac{\partial S_1}{\partial q^1}\right)\]
由于 \(p_1=\partial_1 S = a_1\), 相应主函数的变量分离
\[S =a_1q^1+S_2\]
当 \(H\) 不显含时间时, \(S\) 可将时间分离(考察 \(S\) 作为作用量的性质容易看出)
\[S(t,q^\alpha,a_\alpha)=W(q^\alpha,a_\alpha)-E t\]
代入 H-J 方程得
\[H\left(q^\alpha,\frac{\partial W}{\partial q^\alpha}\right)=E\]
若还能在当前坐标中进行完全的加法变量分离, 可写为(仅有 Liouville 可积性并不保证这组坐标具有此形式)
\[W(q^\alpha,a_\alpha)=\sum_{\beta=1}^s W_\beta(q^\beta,a_1,\cdots,a_s)\]
考察 \(W\) 作为简约作用量的性质, 容易看出
\[p_\beta=\frac{\partial W}{\partial q^\beta}=\frac{\partial W_\beta}{\partial q^\beta}\]
- 相应作用变量和角变量 \[I_\beta= \frac{1}{2\pi}\oint \frac{\partial W_\beta}{\partial q^\beta}\mathrm{d}q^\beta,\quad \phi^\beta=\frac{\partial W}{\partial I_\beta}=\sum_{\gamma=1}^s\frac{\partial W_\gamma}{\partial I_\beta}\]

Example 1 谐振子

\[H = \frac{1}{2m}(p^2 + m^2\omega^2q^2),\quad \omega^2 \equiv \frac{k}{m}\]

Solution 由于 \(H\) 不含 \(t\), 主函数可以表示为

\[S(q,a,t) = W(q,a) - a t\]

代入 H-J 方程得到

\[\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^2 + m^2\omega^2q^2\right] = a\]

在 \(a>0\) 的正动量局部支上有

\[W=\int\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q\]

广义动量和变换后的广义坐标

\[p=\frac{\partial S}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial q}\left(\int\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2}\,\mathrm{d}q-at\right)=\sqrt{2ma-m^2\omega^2q^2} \tag{1}\]\[Q=b=\frac{\partial S}{\partial a}=\sqrt{\frac{m}{2 a}}\int\frac{\mathrm{d}q}{\sqrt{1-m\omega^2q^2/2 a}}-t=\frac{1}{\omega}\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{m}{2 a}}\omega q\right) - t \tag{2}\]

(2)反解得到

\[q(t)=\sqrt{\frac{2 a}{m\omega^2}}\sin(\omega (t+b))\]

代入(1)得到

\[p(t)=\sqrt{2ma}\cos(\omega (t+b))\]

利用初始条件得到

\[a=E=\frac{1}{2m}\left(\bar{p}^2+m^2\omega^2\bar{q}^2\right),\quad b=\frac{1}{\omega}\operatorname{atan2}(m\omega\bar q,\bar p)\pmod{\frac{2\pi}{\omega}}\]

这里 \(\operatorname{atan2}(y,x)\) 按 \((x,y)\) 所在象限取角. \(a\) 是能量, \(\omega b\) 是初始相位; 跨过转点时切换主函数的动量支并连续拼接相位.

Example 2 Kepler 问题

\[H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\right) - \frac{k}{r}\]

Solution 由于 \(H\) 不显含 \(t\), 故

\[\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2\right]-\frac{k}{r}=a_t\]

又由于 \(H\) 不显含 \(\varphi\), 令

\[W(r,\theta,\varphi) = W_1(r)+W_2(\theta)+a_\varphi\varphi\]

代入并整理

\[r^2\left(\frac{\partial W_1}{\partial r}\right)^2+2mr^2\left(-\frac{k}{r}-a_t\right)=-\left(\frac{\partial W_2}{\partial\theta}\right)^2-\frac{1}{\sin^2\theta}a_\varphi^2\]

左侧仅为 \(r\) 的函数, 右侧仅为 \(\theta\) 的函数, 故均为常数, 令其为 \(-a_\theta^2\), 从而可以得到

\[S(q,a,t) = \int\sqrt{2m\left(a_t+\frac{k}{r}\right)-\frac{a_\theta^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r+ \int\sqrt{a_\theta^2-\frac{a_\varphi^2}{\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta+ a_\varphi\varphi-a_tt\]

显然 \(a_t = E, a_\varphi = p_\varphi = J_z\), 利用

\[p_\theta = \frac{\partial S}{\partial\theta}=\sqrt{a_\theta^2-\frac{a_\varphi^2}{\sin^2\theta}}\]

得到 \(a_\theta = \sqrt{p_\theta^2+\frac{p_\varphi^2}{\sin^2\theta}} = J\).

\[\begin{aligned} b_t &=\frac{\partial S}{\partial a_t}=\frac{\partial}{\partial E}\int\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\,\mathrm{d}r-t\\ b_\theta &=\frac{\partial S}{\partial a_\theta}=\frac{\partial}{\partial J}\int\sqrt{2m\left(E+\frac{k}{r}\right)-\frac{J^2}{r^2}}\mathrm{d}r+\frac{\partial}{\partial J}\int\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta\\ b_\varphi &=\frac{\partial S}{\partial a_\varphi}= \frac{\partial}{\partial J_z}\int\sqrt{J^2-\frac{J_z^2}{\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta+\varphi \end{aligned}\]

上述正根表达式限于 \(r\ne0\)、\(\sin\theta\ne0\) 的正动量局部支; 跨径向或极角转点时须切换相应符号并连续拼接. 对于指定的轨道性质, 可以反解得到运动方程的解.

只记录 \(J\) 和 \(J_z\) 两个常数不足以确定轨道平面. 完整分离解的其他积分常数也记录轨道取向; 还可由中心力直接验证 \(\dot{\mathbf J}=0\), 得到固定的运动平面.

11.3 Wave Mechanics

主函数的波动行为 考虑二维自由质点

\[S(q,a,t) = W(q,a) - a_1t = a_2 x+\sqrt{2mE - a_2^2}\,y-a_1t =\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et\]

等 \(W\) 面与质点运动方向垂直.

波动光学的短波极限 波动方程

\[\nabla^2\phi - \frac{n(\mathbf{r})^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = 0\]

试探解为

\[\phi = \mathrm{e}^{A(\mathbf{r})}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_0[L(\mathbf{r})-ct]},\quad L(\mathbf{r})=\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s\]

\(L(\mathbf{r})\) 为光程. 代入波动方程可以得到关系

\[\begin{gathered} \nabla^2A+(\nabla A)^2+k_0^2[n^2-(\nabla L)^2]=0\\ \nabla^2L+2\nabla A\cdot\nabla L=0 \end{gathered}\]

在折射率及振幅都足够缓变、避开焦散的短波区域, \(\nabla^2A+(\nabla A)^2\) 相对 \(k_0^2n^2\) 可忽略, 从而 \((\nabla L)^2=n^2\).

考虑势场 \(V\) 下的单粒子, 其简约作用量满足 \[(\nabla W)^2=2m(E-V)\] 如果我们把光波相位写作 \[k_0[L-ct] =\frac{2\pi}{\lambda_0}(L-ct) =\frac{1}{\hbar}\left(\frac{h}{\lambda_0}L-{h\nu t}\right)\] 从而可以建立对应 \[\begin{aligned} \hbar k_0\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s &\Longleftrightarrow \int p\,\mathrm{d}q\\ \hbar k_0[L-ct] &\Longleftrightarrow S=W-Et\\ \end{aligned}\] 从而启发我们–找出这样一个"波动力学”, 使得其"短波极限"为经典力学.

波动力学 引入物质波函数

\[\psi(\mathbf r,t)=A(\mathbf r,t)\mathrm e^{\mathrm iS(\mathbf r,t)/\hbar},\quad A,S\in\mathbb R\]

对时间无关的实势, 单频定态可取 \(A=A(\mathbf r)\)、\(S=W-Et\). 在局部非相对论色散及 \(p=|\nabla W|\ne0\) 的区域,

\[u_p=\frac{E}{p},\quad u_g=\frac{p}{m}.\]

对于等 \(S\) 面 \(S = \text{const}\): \[\mathrm{d}S=\nabla W\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}-E\mathrm{d}t=0\] 这就得到了粒子的相速 \[u_n=\frac{E}{|\nabla W|}\] 这里 \(u_n\) 是等相位面沿法线的有向速度; 等相位面本身就是物质波的波前.

以单频定态作波动光学类比, 写下

\[\nabla^2\psi - \frac{1}{u_p^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = 0\]

代入 \(u_p = E/p\), 以及 \(p = \sqrt{2m(E-V)}\), 得到

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi=\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}\]

上述单频类比给出定态 Schrödinger 方程. 一般含时 Schrödinger 方程还需作为量子动力学方程采用, 不能仅由经典 H-J 方程推出. 下面将一般相位–振幅分解代入该方程, 检查其经典极限:

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2A-\frac{1}{\hbar^2}A(\nabla S)^2+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(2\nabla A\cdot\nabla S+A\nabla^2S\right)\right)+VA =\mathrm{i}\hbar\frac{\partial A}{\partial t}-A\frac{\partial S}{\partial t}\]

其实部得到
\[\frac{1}{2m}(\nabla S)^2+V+\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2A}{A}\]
在 \(A\ne0\)、振幅足够缓变且右侧量子势相对所考察能量尺度可忽略的区域, 避开节点和转点, 得到
\[H(q,\nabla S,t)+\partial_t S = 0\]
即 H-J 方程.
其虚部得到
\[\frac{\partial A^2}{\partial t}=-\nabla\cdot\left(A^2\frac{\nabla S}{m}\right)\]
视 \(A\) 为概率幅, 则得到概率密度守恒
\[\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot(\rho v)\]

Appendix

A.1 Exterior Differential

流形上的微分形式

将二重积分时引入的外代数乘法, 即外积 \(\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x\), 推广到对 n-form 的积分:

\[A=\int f(x^1,x^2,...,x^n)\mathrm{d}x^1\wedge \mathrm{d}x^2\wedge...\wedge \mathrm{d}x^n=\int\omega\]

对于 n 个变量, 还可以推广到 k-form

\[\alpha=\frac{1}{k!}\alpha_{i_1i_2...i_k}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_k}\]

任何 k>n 的 k-form 为 0
0-form 是一个 n 元标量函数
2-form 只由系数的反对称部分决定. 对任意系数 \(c_{ij}\),
\[c_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j =\frac12(c_{ij}-c_{ji})\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j.\]
因而可把 2-form 写成 \(\alpha=\frac12\alpha_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge\mathrm{d}x^j\), 其中 \(\alpha_{ji}=-\alpha_{ij}\). 被消去的是系数的对称部分, 一般的 2-form 本身并不为零.
给定非退化度规与定向后, \(k\)-form 与 \((n-k)\)-form 之间由 Hodge 对偶形成一一映射. 这一对应依赖所选度规与定向.

外微分

对于 \(n\) 维空间的一个 \((k-1)\)-form

\[\alpha=\frac{1}{(k-1)!}\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge...\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}\]

定义其外微分

\[\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{(k-1)!}(\partial_j\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}})\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}\]

为 k-form.

对于任意微分形式, 其二阶外微分 \[\mathrm{d}^2\alpha=\frac{1}{(k-1)!}(\partial_i\partial_j\alpha_{i_1i_2...i_{k-1}})\mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \mathrm{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_{k-1}}=0\] 总是为 0. (指标交换得到 \(\mathrm{d}^2\alpha = -\mathrm{d}^2\alpha=0\) 证明)

Stokes 公式

考虑 2 元 1-form 的外微分

\[\begin{aligned} \mathrm{d}a &=\mathrm{d}a_x\wedge \mathrm{d}x+\mathrm{d}a_y\wedge \mathrm{d}y\\ &=(\partial_xa_x\mathrm{d}x+\partial_ya_x\mathrm{d}y)\wedge \mathrm{d}x+(\partial_xa_y\mathrm{d}x+\partial_ya_y\mathrm{d}y)\wedge \mathrm{d}y\\ &=\partial_ya_x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x+\partial_xa_y\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\\ &=(\partial_xa_y-\partial_ya_x)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \end{aligned}\]

从而有二维旋度定理的 Green 公式

\[\oint_{\partial D}\left(a_x\mathrm{d}x+a_y\mathrm{d}y\right)=\int_D\left(\partial_xa_y-\partial_ya_x\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

推广到 \(n\) 维空间得到 Stokes 公式

\[\int_{\partial D}a=\int_D\mathrm{d}a\]

保守力与外微分

对于保守力, 其表达式可以认为是一个 1-form, 且它是另一个 0-形式的外微分:

\[F_\mu \mathrm{d}x^\mu=-\mathrm{d}V(x^1,\cdots,x^{3N})\]

通过二阶外微分为 0 可以得到

\[-\mathrm{d}^2V=0=(\partial_\mu F_\nu)\mathrm{d}x^\mu\wedge \mathrm{d}x^\nu=\left[\frac{1}{2}(\partial_\mu F_\nu-\partial_\nu F_\mu)+\frac{1}{2}(\partial_\mu F_\nu+\partial_\nu F_\mu)\right]\mathrm{d}x^\mu\wedge \mathrm{d}x^\nu\]

第二项对指标求和后为 0. 从而有 \(\nabla\times\mathbf{F}=0\), 即旋度为 0. 从而

\[\int_{\partial D}F=\int_D\mathrm{d}F=0\]

保守力回路积分为 0, 即保守力做功与路径无关.

References

Othmane Islah, Kolmogorov–Arnold–Moser theorem. ↩︎

Classical Mechanics - 4

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0800

12 Relativistic Analytical Mechanics

12.1 Space-Time in Special Relativity

力学规律与时空观相联系, 不同时空背景(参照系)下物理规律一致. 相对论力学以狭义相对论的时空观为基础, 建立在相对性原理与光速不变原理之上, 其中时空统一在一起构成 Minkowski 时空(Minkowski space-time)

用微分流形(differentiable manifold)的说法重新描述分析力学的空间结构:

力学体系的广义坐标构成位形流形(configuration manifold), 其维数等于广义坐标的个数, 完整约束下就等于自由度数. 位形流形一般非平直, 其拓扑结构也可能不是平庸的.
每个位形处的广义速度属于该点的切空间; 位形与广义速度的二元组构成位形流形的切丛(tangent bundle).

12.1.1 Minkowski Space-Time

以下采取 \(c=1\) 的单位制,记 \(\gamma_{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{1-|\mathbf{v}|^2}}\).

Definition Minkowski 空间中的时空坐标

逆变矢量
\[x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(x^0,\mathbf{x})=(t,x,y,z)\]
协变矢量(对偶矢量)
\[x_\mu=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(-x^0,\mathbf{x})=(-t,x,y,z)\]

两者矢量空间对偶, 可通过升高/降低指标来转换:

\[x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu,x^\mu=\eta^{\mu\nu}x_\nu\]

其中 \(\eta_{\mu\nu}\) 为 Minkowski 时空的度规张量, \(\eta^{\mu\nu}\) 为度规张量的逆

\[\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}\{-1,1,1,1\}\]

有性质

\[\eta^{\mu\nu}=(\eta^{-1})_{\mu\nu},\quad \eta_{\mu\beta}\eta^{\beta\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}\]

其中 \(\delta_{\nu}^{\mu}\) 称为 Kronecker 符号

\[\delta_{\nu}^{\mu}= \left\{\begin{aligned} &1,&&\mu=\nu\\ &0,&&\mu\ne\nu \end{aligned}\right.\]

将符号相同的一组协变逆变指标按 Einstein 求和规则求和的操作称为指标的缩并(contraction). 被缩并的指标称为傀标. 由此可定义矢量的内积 \[A\cdot B =\eta^{\mu\nu}A_{\mu}B_{\nu} =-A^0B^0+\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\]

Definition 时空间隔 interval

\[\mathrm{d}s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu= -(\mathrm{d}t)^2+(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2)\]

称为无穷小时空间隔, 对于

\(\mathrm{d}s^2>0\): 称为类空间隔
\(\mathrm{d}s^2\lt0\): 称为类时间隔
\(\mathrm{d}s^2 = 0\): 称为类光间隔

12.1.2 Lorentz Transformations

我们希望得到一个任意可逆光滑的坐标变换

\[x^\mu \mapsto x'^\mu\]

作为同一物理系统的坐标重写. 用张量方程表示物理规律时, 方程具有一般协变性(general covariance); 这不表示任意坐标变换都是物理对称性. 此时, 度规分量发生变换

\[g'_{\mu\nu}(x')= \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x)\]

若进一步要求度规的形式不变

\[g'_{\mu\nu}(x') = g_{\mu\nu}(x')\]

则该变换是时空的等距变换(isometry). 在 Minkowski 时空下, 我们已经给出

\[g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}\{-1,1,1,1\}\]

为常数矩阵. 此时全局等距变换可以写为 Poincaré 变换

\[x^{\prime\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}+ a^\mu\]

如果仅进行齐次变换就得到 Lorentz 变换

\[x^{\prime\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}\]

在这一时空下, 等距变换需要保证四维间隔及其形式在 Lorentz 变换下保持不变, 即要求

\[\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \alpha}\Lambda^\nu_{\ \beta} = \eta_{\alpha\beta}\implies \mathbf{\Lambda}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\eta}\mathbf{\Lambda} = \boldsymbol{\eta}\]

这等价于一个保度规变换. 满足上述条件的变换矩阵构成广义/齐次/正交 Lorentz 群 \(O(1,3)\). \(O(1,3)\) 不是连通的, 而是具有四个连通分支, 可以按照以下两个标准进行分类:

\[\det\Lambda=\pm1,\qquad \Lambda^0{}_{0}\ge1\ \text{或}\ \Lambda^0{}_{0}\le-1\]

恰当 Lorentz 群 \(SO(1,3)\) 满足
\[\det\Lambda = +1\]
它仍有两个连通分支. 若进一步要求
\[\Lambda^{0}{}_{0} \geq 1\]
则得到保持时间方向(orthochronous)的恒等连通分支 \(SO^+(1,3)\), 即物理常用的恰当正时 Lorentz 群. 其群元可以由六类基本变换的生成元构成:
1. 1 - 2, 1 - 3, 2 - 3 平面内的转动, 即三维转动, 可以构成转动变换群.
2. 0 - 1, 0 - 2, 0 - 3 平面内的推促(boost). 固定轴的 boost 构成一参数子群, 但所有方向的纯 boost 合在一起不对乘法封闭.
对于后者, 常见的形式为 0 - 1 boost
\[\mathbf{\Lambda} = \mathbf{L}_1(\mathbf{v})= \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma v&0&0\\ -\gamma v&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},\quad \gamma = \gamma_{\mathbf{v}}\]
这是一个对称矩阵. 沿任意速度方向的单个纯 boost 可写为
\[\mathbf{L}(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\mathbf{v}^{\mathsf T}\\ -\gamma\mathbf{v}&(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}}{v^2}+\mathbf{I} \end{pmatrix}\]
由 \(-\gamma^2+(-\gamma v)^2\equiv -1\), 可以看出这一矩阵表示保证了间隔不变, 且满足
\[\mathbf{L}(-\mathbf{v}) = \mathbf{L}^{-1}(\mathbf{v}),\quad \mathbf{L}(\mathbf{0})=\mathbf{I}\]
一般来讲, boost 是非对易的(转动也不是):
\[\mathbf{L}_1\mathbf{L}_2\ne\mathbf{L}_2\mathbf{L}_1\]
且两个 boost 的有序组合往往不再是一个 boost 的形式, 但是可以写成一个 rot + boost:
\[\mathbf{L}_2\mathbf{L}_1 = \mathbf{A}_W\mathbf{L}_{\mathrm{eff}}\]
前者被称为 Wigner 转动; 沿加速轨迹连续组合 boost 所产生的转动对应 Thomas 进动. 由于空间转动是齐次 Lorentz 变换的一个子集, 总可以对变换前后的坐标架进行转动, 使得它们的 1 轴方向与相对的常数速度 \(\mathbf{v}\) 平行.
- 从表示论角度看, 恰当正时 Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) 与 \(SL(2,\mathbb{C})\) 局部同构, 这也是相对论性量子力学下, 自旋表示与 Dirac 旋量结构自然出现的根本原因.
- 0 - 1 boost 可以改写为(\(\psi\) 为快度)
  \[\Lambda= \begin{pmatrix} \cosh\psi&-\sinh\psi&0&0\\ -\sinh\psi&\cosh\psi&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\]
  其中 \(\psi\) 被称为快度
  \[\psi=\tanh^{-1}v=\frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\]
其余三个连通分支可分别用以下离散变换乘以 \(SO^+(1,3)\) 中的群元表示:
1. 时间反演(Time reversal)
  \[\mathbf{T} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \det \mathbf{T} = -1,\quad \mathbf{T}^0{}_{0}=-1\]
2. 空间反射(Parity)
  \[\mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad \det \mathbf{P} = -1,\quad \mathbf{P}^0{}_{0}=1\]
3. 时空全反演
  \[\mathbf{PT} = -\mathbf{I},\quad \det(\mathbf{PT})=+1,\quad (\mathbf{PT})^0{}_{0}=-1\]
行列式和 \(\Lambda^0{}_{0}\) 的符号标记四个连通分支; 通过恰当正时 Lorentz 变换和以上三个变换组合就可以构成整个 \(O(1,3)\).

12.1.3 Tensors and Fields

在齐次 Lorentz 变换下具有"确定"变换规则的物理量称为张量(Tensor), 其独立指标的个数称为张量的阶数. 其中, 按照变换性质, 又可以分类:
- 张量: 变换规则
  \[T_{\nu_1\cdots\nu_q}^{\prime\mu_1\cdots\mu_p}=\frac{\partial x^{\prime\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}}\cdots\frac{\partial x^{\prime\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}}\frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\prime\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x^{\prime\nu_q}}T_{\beta_1\cdots\beta_q}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}\]
  比如 \(F^{\mu\nu},T^{\mu\nu}\).
- 赝张量: 变换规则
  \[P_{\nu_1\cdots\nu_q}^{\prime\mu_1\cdots\mu_p}=\operatorname{sign}(\det\mathbf{\Lambda})\frac{\partial x^{\prime\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}}\cdots\frac{\partial x^{\prime\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}}\frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\prime\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x^{\prime\nu_q}}P_{\beta_1\cdots\beta_q}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}\]
  比如 \(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\).
对下列低阶例子, 可观察空间反射下的宇称. 表中的 \(\mathbf{J}\) 和 \(\mathbf{B}\) 是三维轴矢量, 并非单独的 Lorentz 四矢量:

Pseudo	阶数	Parity	说明 / 例子
标量	0	偶(不变)	\(m\)
赝标量	0	奇(取反)	\(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\)
向量	1	奇(空间分量取反)	\(x^\mu = (t, \mathbf{x}),p^\mu\)
赝矢量	1	偶(空间分量不变)	\(\mathbf{J},\mathbf{B}\)

如果一个物理量是时空点的函数, 则称之为场. 按照其在 Lorentz 变换下的性质, 可分为标量场、矢量场及更高阶张量场等.
将对时空的偏微商算符可作用在场上, 构成多指标场. 逆变梯度和协变梯度的算符记作
\[\partial^\mu=\frac{\partial}{\partial x_\mu}=\left(-\partial_t ,\nabla \right),\quad \partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left(\partial_t ,\nabla \right)\]

在后面, 如无特殊说明, 一般认为 Lorentz 变换仅考虑 boost.

12.1.4 Proper Time and Four-Velocity

四维时空坐标下, 粒子运动线上的无穷小间隔不变量

\[\mathrm{d}s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu= -(\mathrm{d}t)^2+(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2) = -(\mathrm{d}\tau)^2\]

对有质量粒子的类时世界线, \(\mathrm{d}\tau\) 称为固有时间隔, 等于瞬时静止惯性系测得的时间间隔.

4 - 速度

\[u^\mu=\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=\gamma_{\mathbf{u}}(1,\mathbf{u}),\quad \mathbf{u}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\tau}\cdot \frac{1}{\gamma_{\mathbf{u}}}\]

得到 Lorentz 不变量

\[u_{\mu}u^{\mu}=-(\gamma_{\mathbf{u}})^{2}+(\gamma_{\mathbf{u}})^{2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\frac{-1+\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{1-|\mathbf{u}|^{2}}=-1\]

12.2 Motion of Relativistic Particles in External Fields

12.2.1 Free Relativistic Particles

狭义相对论时空观下, Hamilton 原理仍应在任意惯性参考系成立, 故相对论性粒子的作用量为洛伦兹标量.

以下考虑 \(m>0\) 的自由粒子与类时世界线, 取仅依赖一阶速度且重参数化不变的作用量

\[S=-\alpha\int \left|\,\mathrm{d}s\right|\]

其中 \(\alpha(>0)\) 为 Lorentz 标量.

三维形式

对于指定参考系, 显然有

\[S =-\int\alpha\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,\mathrm{d}t\]

\(\mathbf{v}\) 为粒子在指定参考系中的速度. 可看出 Lagrangian(三维)

\[L=-\alpha\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\]

由经验可认定 \(\alpha=m\), 则对相对论性自由粒子有

相对论性动量
\[\mathbf{p} =\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}\]
运动方程
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^{2}}}\right) =0 \implies \mathbf{p}=\mathrm{const}\]
\(\partial_t L=0\), 故有能量守恒
\[E=\mathbf{p}\cdot\mathbf{v}-L =\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} =\mathrm{const}\]

四维协变形式

对有质量粒子取任意沿未来方向单调增加的参数 \(\tau\), 定义 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau\). 固有时另记为 \(\sigma\), 满足 \(\mathrm{d}\sigma=\sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau\). 将作用量写为

\[S = -m \int \sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau\]

定义四维 Lagrangian

\[L_\tau(x,u) \equiv -m\sqrt{-u^\mu u_\mu},\quad L_\tau = L\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\]

它关于 \(u^{\mu}\) 一次齐次, 保证了重参数化不变性, 满足约束

\[L_\tau - u_\mu\frac{\partial L_\tau}{\partial u_\mu} = 0\]

共轭动量与 Euler–Lagrange 方程为

\[p_\mu=\frac{\partial L_\tau}{\partial u^\mu}=\frac{m u_\mu}{\sqrt{-u^\nu u_\nu}},\qquad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=0\]

得到协变的运动方程

\[\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\sigma^2}=0\]

只有在固有时规范 \(\tau=\sigma\) 下才有 \(u^\mu u_\mu=-1\)、\(p^\mu=mu^\mu\). 用三维速度 \(\mathbf v=\mathrm{d}\mathbf x/\mathrm{d}t\) 表示四动量,

\[p^\mu=m\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\sigma}=(E,\mathbf p),\qquad E=\gamma_{\mathbf v}m,\quad \mathbf p=\gamma_{\mathbf v}m\mathbf v\]

得到 Lorentz 不变量

\[p_\mu p^\mu=-E^2+\mathbf{p}^2=-m^2\]

\(m\) 为粒子的静质量.

一次齐次性使正则 Hamiltonian 为零:
\[H_\tau = p_\mu u^\mu - L_\tau = 0\]
此时 Legendre 变换退化, 动量受质量壳约束 \(\phi=(p_\mu p^\mu+m^2)/2=0\). 不能先将 Hamiltonian 置零再套普通正则方程. 采用总 Hamiltonian 和一阶作用量
\[H_{\mathrm T}=e(\tau)\phi,\qquad S_1=\int\left[p_\mu\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}-e(\tau)\phi\right]\,\mathrm{d}\tau\]
变分得到
\[\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=e p^\mu,\qquad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=0,\qquad \phi=0\]
乘子 \(e\) 表示参数选择的自由度; 固有时规范取 \(e=1/m\). 对正能量分支取坐标时规范 \(x^0=t\), 解约束得 \(p_0=-\sqrt{m^2+\mathbf p^2}\), 从而约化 Hamiltonian 为 \(H=-p_0=\sqrt{m^2+\mathbf p^2}\). 零正则 Hamiltonian 不表示物理运动或能量为零.

动量中心系(CoM)

以总四动量为未来类时的二体碰撞为例
\[P^\mu\equiv p_1^\mu+p_2^\mu=(E_{\mathrm{tot}},\mathbf{P}),\quad s\equiv P^\mu P_\mu=-E_{\mathrm{tot}}^2+\mathbf{P}^2\]
考虑到 \(s\) 为 Lorentz 不变量, 所以在 CoM 下应该有
\[P^{\prime\mu}=(\sqrt{-s},\mathbf{0})\]
原参考系到 CoM 的 boost 要求有
\[\mathbf{V} = \frac{\mathbf{P}}{E_{\mathrm{tot}}}\]
- 对于撞击固定靶粒子: \[p_1^\mu=\left(E_1,\mathbf{p}_1\right),\quad p_2^\mu=(m_2,\mathbf{0})\] CoM 质量 \[s\equiv P_\mu P^\mu=-(E_1+m_2)^2+|\mathbf{p}_1|^2=-(m_1^2+m_2^2+2m_2E_1)\] 考虑到 CoM 系要求 \(\mathbf{P}^{\prime} = 0\), 故 \[P^{\prime x}=\gamma_{\mathbf{V}}\left(P^x-VP^0\right)=0\implies V = \frac{P^x}{P^0}=\frac{|\mathbf{p}_1|}{E_1+m_2}\] 若末态只有一个静质量为 \(m_3\) 的粒子, 四动量守恒要求 \[m_3^2=m_1^2+m_2^2+2m_2E_1\] 这一单粒子末态要求的入射总能量为 \[E_1=\frac{m_3^2-m_1^2-m_2^2}{2m_2},\qquad E_1\ge m_1.\] 对多粒子末态, 若其静质量之和为 \(M\), 由末态不变质量至少为 \(M\) 得到运动学阈值 \[E_{1,\mathrm{th}}=\max\left(m_1,\frac{M^2-m_1^2-m_2^2}{2m_2}\right).\] 当 \(M\ge m_1+m_2\) 时, 阈值处末态在 CoM 中无相对运动.

12.2.2 Coupling of Relativistic Particles to Scalar Fields

标量场 \(\Phi=\Phi(x)\) 下, 不考虑偏导数耦合, 可取正的有效质量 \(M(x)=m\mathrm{e}^{\Phi(x)}\), 并采用作用量

\[S=-m\int \mathrm{e}^{\Phi(x)}\,|\,\mathrm{d}s|\]

若耦合项为 \(\int\partial_\mu\Phi\,\mathrm{d}x^\mu\), 它等于 \(\Phi\) 的端点差, 不影响固定端点下的运动方程.

先用任意参数 \(\lambda\) 写 \(L=-m\mathrm e^\Phi\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\), 其中点表示对 \(\lambda\) 求导. 对坐标变分后再取固有时 \(s\), 得到

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(\mathrm e^\Phi u_\mu)=-\mathrm e^\Phi\partial_\mu\Phi,\qquad u^\mu=\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm ds},\quad u_\mu u^\mu=-1.\]

展开导数并升指标, 得

\[\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d}s^2} =-\left(\eta^{\mu\nu}+u^\mu u^\nu\right)\partial_\nu\Phi,\]

即加速度是场梯度在四速度正交方向上的负投影. 在静态弱场的低速极限下, 其空间分量给出 \(\mathrm{d}^2\mathbf x/\mathrm{d}t^2\simeq-\nabla\Phi\), 与下述 \(V=m\Phi\) 的约定一致.

非相对论极限 记 \[\Phi(t,\mathbf{r})=\frac{V(t,\mathbf{r})}{m}\] \[|\mathbf{v}|^2\ll1,\quad |V(t,\mathbf{r})|\ll m\implies \mathrm{e}^{\Phi(t,\mathbf{r})}\approx1+\frac{V(t,\mathbf{r})}{m}\] 去除无关常量, 有 Lagrangian \[L\approx\frac12m\mathbf{v}^2-V(t,\mathbf{r})\]

12.2.3 Relativistic Particles in Electromagnetic Fields

Definition 4 - 矢量场

\[A^\mu=A^\mu(x)=\left(\phi,\mathbf{A}\right)\]

其中 \(\phi, \mathbf{A}\) 分别称为标量势和矢量势.

相对论性带电粒子与电磁场的耦合 相应的作用量应为洛伦兹标量. 这里的耦合为规范耦合(最简单的耦合方式), 其对应的作用量形式为

\[S=-m\int \left|\,\mathrm{d}s\right|+q\int A^\mu\,\mathrm{d}x_\mu\]

其中洛伦兹标量 \(q\) 称电量, 代表粒子与电磁场的耦合强度.

三维形式

指定参考系下, 可以得到 Lagrangian

\[L=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-m\sqrt{1-\mathbf{v}^2}-qU\]

其中标量积

\[U = -\frac{1}{\gamma_{\mathbf{v}}} A^{\mu}u_{\mu} = \phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}\]

为广义势.

\[\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}} =\mathbf{p}+q\mathbf{A},\quad \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}} =-q\nabla\phi +q\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A}) +q(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}\]

用到

\[\nabla\left(\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\right)=\left(\mathbf{g}\cdot\nabla\right)\mathbf{f}+\mathbf{g}\times\left(\nabla\times\mathbf{f}\right)+\left(\mathbf{f}\cdot\nabla\right)\mathbf{g}+\mathbf{f}\times\left(\nabla\times\mathbf{g}\right)\]

又由

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} =\partial_t\mathbf{A} +(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}\]

利用 Lagrange 方程, 得到运动方程

\[\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\]

\[\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial_t\mathbf{A},\quad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\]

其中 \(\mathbf{E}\) 称电场强度, \(\mathbf{B}\) 称磁感应强度.

广义动量
\[\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=\mathbf{p}+q\mathbf{A}(x)\]
若为恒定场(\(\partial_tL=0\)), 广义能量守恒
\[E=\mathbf{P}\cdot\mathbf{v}-L=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}+q\phi\]
一般情形下体系的 Hamiltonian
\[H=H(\mathbf{P},\mathbf{r},t)=\mathbf{P}\cdot\mathbf{v}-L=\sqrt{\left(\mathbf{P}-q\mathbf{A}\right)^2+m^2}+q\phi\]
规范对称性 对矢量场作规范变换
\[A^\mu\mapsto A^{\prime\mu}=A^\mu+\partial^\mu\chi\]
其中 \(\chi=\chi(x)\) 是任意标量场, 则
\[S\mapsto S'=S+\left.[q\chi(x)]\right|_1^2,\quad \mathbf{E}'=\mathbf{E},\quad \mathbf{B}'=\mathbf{B}\]
运动方程也不变.
非相对论极限 去掉无关常量后有 Lagrangian
\[L\simeq\frac12mv^2-\left(q\phi(x)-q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(x)\right)\]
电磁耦合项没有变化,说明电磁场以及电磁相互作用是相对论性的.记后一项括号内为速度相关势:
\[V=q\phi(t,\mathbf{r})-q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(t,\mathbf{r})\]
- 正则动量
  \[\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}(t,\mathbf{r})\]
- 运动方程
  \[m\dot{\mathbf{v}}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\ ,\ \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\phi-\partial_{t}\mathbf{A} \ ,\ \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}\]

四维协变形式

\[S=-m \int \sqrt{-u^\mu u_\mu}\,\mathrm{d}\tau+q\int A^\mu\left(x\right)u_\mu\,\mathrm{d}\tau\]

四维 Lagrangian

\[L_\tau(x,u) \equiv -m\sqrt{-u^\mu u_\mu}+qA^{\mu}u_{\mu}\]

对任意参数 \(\tau\), 记 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau\), 得到

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{m u^\mu}{\sqrt{-u^\nu u_\nu}}+qA^\mu\right)-qu_\nu\partial^\mu A^\nu=0.\]

变分后取固有时 \(s\) 为参数, 重新记 \(u^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}s\), 则 \(u^\mu u_\mu=-1\), 方程化为

\[m\frac{\mathrm{d}u^\mu}{\mathrm{d}s}+qu_\nu(\partial^\nu A^\mu-\partial^\mu A^\nu)=0.\]

定义场强张量后得到协变形式的运动方程

\[m\frac{\mathrm{d}u^\mu}{\mathrm{d}s}=qF^{\mu\nu}u_\nu,\quad F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\]

其中

\[F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0&E_x&E_y&E_z\\ -E_x&0&B_z&-B_y\\ -E_y&-B_z&0&B_x\\ -E_z&B_y&-B_x&0 \end{pmatrix}\]

为电磁场强张量.

广义 4 - 动量
\[P^{\mu} = p^{\mu}+qA^{\mu}\]
规范对称性 变换
\[A^\mu\mapsto A^{\prime\mu}=A^\mu+\partial^\mu\chi\]
耦合变为
\[q\int A^\mu u_\mu\,\mathrm{d}\tau\mapsto q\int(A^\mu+\partial^\mu\chi)u_\mu\,\mathrm{d}\tau=q\int A^\mu u_\mu\,\mathrm{d}\tau+q\int\frac{\mathrm{d}\chi}{\mathrm{d}\tau}\,\mathrm{d}\tau\]
产生表面项, 不影响运动方程. 同时, 场强张量变化量
\[\partial^{\mu}(\partial^{\nu}\chi)-\partial^{\nu}(\partial^{\mu}\chi)=0\]
电磁场本身不受规范变换影响.

Remark 两种度规: 另外一种 Minkowski 度规

\[\eta^{\prime\mu\nu} = \mathrm{diag}\{1, -1, -1 , -1\}\]

也经常使用. 对于电磁场强张量, 由于

\[A^{\prime\mu}=A^\mu,\quad A_\mu^{\prime}=-A_\mu,\quad \partial^{\prime\mu}=-\partial^\mu\]

所以

\[F^{\prime\mu\nu} =\begin{pmatrix} 0&-E_x&-E_y&-E_z\\ E_x&0&-B_z&B_y\\ E_y&B_z&0&-B_x\\ E_z&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}\]

整体取了负号.

13 Introduction to Field Theory

13.1 Classical Field Theory¹

13.1.1 Scalar Fields

一维无限长悬珠链

珠子质量为 \(m\), 平衡位形间距为弹簧原长 \(a\), 弹性系数 \(k\). 以各珠沿链方向相对平衡位置的位移 \(\{q_i\}\) 为广义坐标, 引入势能项 \(V_i(q_i)\), 有 Lagrangian

\[\begin{aligned} L =&\sum_i\frac12m\dot{q}_i^2-\sum_i\frac12k(q_{i+1}-q_i)^2-\sum_iV_i(q_i)\\ =&\sum_ia\left[\frac12\frac ma\dot{q}_i^2-\frac12ka\left(\frac{q_{i+1}-q_i}a\right)^2-\frac{V_i}a\right] \end{aligned}\]

取 \(a\to0\) 的极限, 则

\[\begin{aligned} q_i&\to q(t,x),& \dot{q}_i&\to\partial_tq,\\ \frac{q_{i+1}-q_i}{a}&\to\partial_xq,& \sum_i a&\to\int \,\mathrm{d}x\,\\ \frac{m}{a}&\to\lambda,& ka&\to\kappa,\\ \frac{V_i(q_i)}{a}&\to\lambda_V(q) \end{aligned}\]

此极限保持 \(m/a\) 与 \(ka\) 有限. \(\lambda\) 为未形变时的质量线密度, \(\kappa\) 为位移梯度项的弹性系数; 对细杆纵波, 它等于 Young 模量与横截面积的乘积, 对弦的微小横波则等于预张力. \(\lambda_V\) 为仅依赖 \(q\) 的能量线密度. Lagrangian 化为

\[L =\int\left(\frac{1}{2}\lambda(\partial_tq)^2-\frac{1}{2}\kappa(\partial_xq)^2-\lambda_V(q)\right)\,\mathrm{d}x\]

类似地, 对三维均匀各向同性的标量位移模型, 可取

\[L=\iiint\mathcal{L}\,\mathrm{d}^3\mathbf{r},\qquad \mathcal{L}=\frac{1}{2}\rho(\partial_tq)^2-\frac{1}{2}Y(\nabla q)^2-\rho_V(q)\]

\(\mathcal{L}\) 为 Lagrangian 密度.

四维标量场

仅考虑标量场及其一阶导数时, Lagrangian 可写为

\[L=\int\mathcal{L}(\phi,\partial^\mu\phi)\,\mathrm{d}^3\mathbf{r}\]

其中 \(\phi\) 为标量场. 拉氏密度 \(\mathcal L(\phi,\partial^\mu\phi)\) 是 Lorentz 标量, 因为作用量

\[S = \int L\,\mathrm{d}t = \int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x\]

中的四维体积元在 Lorentz 变换下不变. 选取具有正则二次动能项的实标量场模型

\[\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-V(\phi)\]

此处仅使得势能项依赖 \(\phi\).

13.1.2 Field Equations of Motion

连续作用量变分时, 令变分在时空积分区域的整个边界上为零(或空间边界项因足够快的衰减而消失).

Proposition 标量场的平稳作用量条件给出 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} =0\]

Proof 离散悬珠链的连续极限.

由连续性变换

\[L=\sum_i a\left[ \frac12\frac{m}{a}\dot{q}_i^2 -\frac12 k a\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2 -\frac{V_i}{a} \right] \;\longrightarrow\; \int \,\mathrm{d}x\, \left[ \frac12\lambda(\partial_t q)^2 -\frac12\kappa(\partial_x q)^2 -\lambda_V(q) \right]\]

则 Lagrange 方程里相应的项

\[\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) = a\frac{m}{a}\ddot q_i \;\longrightarrow\; \mathrm{d}x\,\lambda\,\partial_t^2 q = \mathrm{d}x\cdot \partial_t\!\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t q)} \right) \\[6pt] &\frac{\partial L}{\partial q_i} = -a\frac{\partial V_i/\partial q_i}{a} + a\cdot k a \frac{(q_{i+1}-q_i)-(q_i-q_{i-1})}{a^2} \\ &\phantom{\frac{\partial L}{\partial q_i}} \;\longrightarrow\; -\mathrm{d}x\, \frac{\partial \lambda_V}{\partial q} + \mathrm{d}x\cdot \kappa\,\partial_x^2 q = \mathrm{d}x\cdot \left[ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q} - \partial_x\!\left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_x q)} \right) \right] \end{aligned}\]

由此得到上述 Euler-Lagrange 方程在悬珠链连续极限下的形式.

Proof 连续作用量变分. 场的 Euler-Lagrange 方程还可以基于连续场论的平稳作用量原理得到

\[S = \int \,\mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}\big(\phi,\partial_\mu\phi\big)\]

\[\delta S = \int \,\mathrm{d}^4x \left[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \delta(\partial_\mu\phi) \right] =0\]

分部积分得

\[0= \int \,\mathrm{d}^4x\, \left\{ \left[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \right) \right] \delta\phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \delta\phi \right) \right\}\]

由上述边界条件, 表面项对积分值无贡献, 故得到 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} =0\]

Definition 连续系统的 Hamilton 量密度

\[\mathcal{H} = \pi\partial_t\phi - \mathcal{L},\quad \pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\phi)}\]

Proposition 当 \(\mathcal{L}\) 不显含 \(x^\mu\) 时, 平移对称性给出应力能量张量. 在本册的 \((-+++)\) 度规下, 取能量密度与 Hamiltonian 密度一致的约定

\[T^{\mu\nu}=-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi+\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}.\]

对上述实标量场,

\[T^{\mu\nu}=\partial^\mu\phi\partial^\nu\phi+\eta^{\mu\nu}\mathcal{L},\qquad T^{00}=\frac12(\partial_t\phi)^2+\frac12(\nabla\phi)^2+V(\phi)=\mathcal{H}.\]

其分量

00: 对应 Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\)
\[E=\int \,\mathrm{d}^3x\,T^{00}\]
0i:
\[P^i=\int \,\mathrm{d}^3x\,T^{0i}\]
ij: 空间动量流(应力)的分量. 对电磁场, 通常定义的 Maxwell 应力张量与动量流张量相差一个负号.

其守恒律

\[\begin{aligned} \partial_\mu T^{\mu\nu} &=-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi\right)+\partial^\nu\mathcal{L}\\ &=-\left[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\right]\partial^\nu\phi -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\partial_\mu\partial^\nu\phi-\partial^\nu\partial_\mu\phi\right)\\ &=0. \end{aligned}\]

\(\nu = 0\): 能量连续性方程
\[\partial_tT^{00}+\partial_iT^{i0}=0\]
\(\nu = i\): 动量连续性方程
\[\partial_tT^{0i}+\partial_jT^{ji}=0\]

Example 对于形如

\[\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-\frac12\mu^2\phi^2\]

的拉氏密度,有运动方程

\[\partial^\mu\partial_\mu\phi-\mu^2\phi=0\quad\iff\quad \partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+\mu^2\phi=0\]

即为 Klein-Gordon 方程.

13.1.3 Field Equations of Electromagnetism

从 Lorentz 变换角度, 电磁场 \(A^\mu(x)\) 是一个矢量场, 类比可得矢量场的 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}, \qquad \nu = 0,1,2,3\]

其中 \(\mathcal{L}\) 应满足

为 Lorentz 标量
规范不变
对 \(A^\mu\) 和 \(\partial^\nu A^\mu\) 的依赖最高到二次, 使上述场方程线性, 以保证叠加原理

自由电磁场(真空电磁场): 无源, 忽略常系数拓扑项及全散度后, 取标准 Maxwell 拉氏密度
\[\mathcal{L} = \alpha F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2\alpha(\mathbf{B}^2-\mathbf{E}^2)\]
代入矢量场场方程, 注意到
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = 2\alpha F^{\rho\sigma} \frac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = 2\alpha F^{\rho\sigma} (\delta^\rho_{\ \mu}\delta^\sigma_{\ \nu} - \delta^\rho_{\ \nu}\delta^\sigma_{\ \mu}) = 4\alpha F^{\mu\nu}\]
故真空电磁场的场方程为
\[4\alpha \, \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\]
含源电磁场先仅考虑单个运动点电荷作为源, 作用量的耦合部分
\[S_{fm} = \int q A_\mu \,\mathrm{d}x^\mu = \int \rho_0 u^\mu A_\mu \,\mathrm{d}V_0 \,\mathrm{d}\tau\]
在 Lorentz 变换下不变, 规范变换仅产生世界线端点项. 对具有单一局域速度的电荷流, \(\rho_0\) 是局部静止系中的电荷密度, 为 Lorentz 标量. \(\mathrm{d}V_0\) 为随动惯性系中的电荷体元. 引入电流密度四矢
\[J^\mu = \rho_0 u^\mu \xrightarrow{S\text{系}} (\rho,\mathbf{J}) = \left( \frac{\rho_0}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}, \frac{\rho_0\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} \right)\]
对连续电荷分布, 电荷守恒是四维连续性方程
\[\partial_\mu J^\mu =\partial_\mu(\rho_0u^\mu) =u^\mu\partial_\mu\rho_0+\rho_0\partial_\mu u^\mu =0.\]
这不是由 \(\partial_\mu u^\mu=0\) 单独推出的. 对源耦合作规范变换并忽略边界项,
\[\delta_\chi S_{fm} =\int J^\mu\partial_\mu\chi\,\mathrm{d}^4x =-\int\chi\,\partial_\mu J^\mu\,\mathrm{d}^4x.\]
因而对任意 \(\chi\) 的规范不变性要求 \(\partial_\mu J^\mu=0\). 利用四维体元的 Lorentz 不变性, 有
\[S_{fm} = \int \mathcal{L}_{fm}\,\mathrm{d}^3\mathbf{r}\,\mathrm{d}t, \qquad \mathcal{L}_{fm} = J^\mu A_\mu\]
因此, 总拉氏密度为
\[\mathcal{L} = \alpha F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + J^\mu A_\mu\]
含源电磁场的场方程(运动方程)为
\[4\alpha\,\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\]
- SI 单位制中恢复 \(c\), 改用
  \[x^0=ct,\qquad A^\mu=(\phi/c,\mathbf{A}),\qquad J^\mu=(c\rho,\mathbf{J}),\qquad F^{0i}=E_i/c.\]
  四维作用量写为 \(S=c^{-1}\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x\), 源项仍为 \(J^\mu A_\mu\). 取
  \[\alpha=-\frac1{4\mu_0}\]
  场方程
  \[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu\]
  这里仍用 \(\eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)\); 结合 \(\mu_0\epsilon_0=c^{-2}\), 前式的负号给出下列 Gauss 定律与 Ampere–Maxwell 定律. 三维形式
  \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \partial_t \mathbf{E} \end{aligned}\]
  另一组 Maxwell 方程由 Bianchi 恒等式
  \[\partial_\rho F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\rho} + \partial_\nu F_{\rho\mu} = 0\]
  推出, 其三维形式为
  \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 \\ \nabla\times\mathbf{E} &= -\partial_t \mathbf{B} \end{aligned}\]
- Gauss 单位制中, 同样恢复 \(x^0=ct\), 但四势与场强取
  \[A^\mu=(\phi,\mathbf{A}),\quad J^\mu=(c\rho,\mathbf{J}),\quad F^{0i}=E_i,\qquad \mathbf{E}=-\nabla\phi-\frac1c\partial_t\mathbf{A},\quad\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.\]
  源项改为 \(\mathcal{L}_{fm}=J^\mu A_\mu/c\), 取
  \[\alpha = -\frac{1}{16\pi}\]
  场方程为
  \[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\frac{4\pi}{c}J^\nu\]
  三维形式为
  \[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= 4\pi\rho \\ \nabla\times\mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} + \frac{1}{c}\partial_t \mathbf{E} \end{aligned}\]

Lorenz 规范与自由电磁波 以下回到 \(c=1\) 的单位制. 在无源区域, 场方程为

\[\partial_\mu F^{\mu\nu}=0.\]

代入 \(F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\) 得

\[\Box A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=0, \qquad \Box\equiv\partial_\mu\partial^\mu.\]

规范变换 \(A^\mu\mapsto A^\mu+\partial^\mu\chi\) 下, 取 \(\chi\) 满足 \(\Box\chi=-\partial_\mu A^\mu\), 即可达到 Lorenz 规范

\[\partial_\mu A^\mu=0,\]

于是四势的每个分量满足

\[\Box A^\mu=0.\]

这就是以光速传播的自由电磁波方程. Lorenz 规范仍保留满足 \(\Box\chi=0\) 的剩余规范自由度.

13.2 One-Dimensional Waves

13.2.1 One-Dimensional Wave Equation and Its General Solution

考虑一维位移波, 取以下模型条件:

小振幅、均匀、无耗散, 不考虑外场;
平衡态的质量线密度为 \(\lambda>0\), 梯度项系数为 \(\kappa>0\).

对弦的横波, \(\kappa\) 为预张力; 对细杆的纵波, \(\kappa\) 为 Young 模量与横截面积的乘积. Lagrangian 为

\[L=\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}x=\int\,\mathrm{d}x\,\left[\frac12\lambda(\partial_tq)^2-\frac12\kappa(\partial_xq)^2\right]\]

则其运动方程(波动方程):令 \(u=\sqrt{\frac{\kappa}{\lambda}}\),运用标量场的 Euler-Lagrange 方程

\[\partial_t\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_tq)}\right)+\partial_x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_xq)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\implies\partial_t^2q-u^2\partial_x^2q=0\]

能量线密度:
\[\lambda_e=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\frac12\lambda(\partial_tq)^2+\frac12 \kappa(\partial_xq)^2\]
引入平衡态横截面积 \(S_0\), 质量密度 \(\rho=\lambda/S_0\), 以及 \(K=\kappa/S_0\).
- 对纵向杆波, \(K\) 是 Young 模量, \(P\) 是附加纵向应力;
- 对弦横波, \(K\) 是预张力除以截面积, \(P\) 表示对应的横向牵引.
能量体密度与牵引为
\[\epsilon=\frac{\lambda_e}{S_0}=\frac{1}{2}\rho(\partial_tq)^2+\frac{1}{2}K(\partial_xq)^2 \ ,\ P=K\cdot\partial_xq\]
令 \(v=\partial_tq\) 为介质振动速度(不同于传播速度 \(u\)), 沿 \(x\) 正向计的能流密度为
\[S=-(K\cdot\partial_x q)\cdot\partial_t q=-Pv\]

求解波动方程:

通解(通积分):将微商算符"分解"
\[(\partial_t^2-u^2\partial_x^2)q=(\partial_t-u\partial_x)(\partial_t+u\partial_x)q=0\]
作变换
\[\begin{cases}\xi=x-ut\\\eta=x+ut\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}x=\frac{1}{2}(\xi+\eta)\\t=\frac{1}{2u}(\eta-\xi) \end{cases}\]\[\partial_\xi q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=\partial_tq\cdot\partial_\xi t+\partial_xq\cdot\partial_\xi x=-\frac1{2u}(\partial_t-u\partial_x)q\]

\[\partial_\eta q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=\partial_tq\cdot\partial_\eta t+\partial_xq\cdot\partial_\eta x=\frac1{2u}(\partial_t+u\partial_x)q\]
与分解式对比有 \(\partial_\xi\partial_\eta\left.q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta)\right)=0\) 依次进行两次不定积分可得
\[q(x,t)=q(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))=f(\xi)+g(\eta)=f(x-ut)+g(x+ut)\]
第一项为携带振动 \(f\) 以 \(u\) 沿 \(x\) 正向传播的波动,第二项为携带震动 \(g\) 以 \(u\) 沿 \(x\) 负向传播的波动
D’Alembert 解:定解问题需要给出边界条件和初始条件对无界的弦,给出初始条件 \(q(x,0)=\varphi(x)\ ,\ \partial_tq(x,0)=\psi(x)\) 通解代入初始条件得
\[\begin{aligned} f(x)+g(x)=&\varphi(x)\\ g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)=&\frac1u \psi(x)\implies g(x)-f(x)=\frac1u\int_0^x\psi(x^{\prime})\,\mathrm{d}x^{\prime}+c \end{aligned}\]
解出 D’Alembert 解
\[q(x,t)=\frac12[\varphi(x-ut)+\varphi(x+ut)]+\frac1{2u}\int_{x-ut}^{x+ut}\psi(x^{\prime})\,\mathrm{d}x^{\prime}\]
直接代入 \(t=0\) 可得 \(q(x,0)=\varphi(x)\) 与 \(\partial_tq(x,0)=\psi(x)\).
单频谐波解: 取试探解 \(q(x,t)=\tilde{A}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}\ ,\ \tilde{A}=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\)
- 色散关系: \(\omega^2=u^2k^2\). 对向右传播的正频率分支取 \(k>0,\ \omega=uk\).
- 波阻抗:应力波和速度波分别为
  \[P(x,t)=K\cdot\partial_xq=\mathrm{i}kKq(x,t)\ ,\ v(x,t)=\partial_t q =-\mathrm{i}\omega q(x,t)\]
  定义波的复阻抗
  \[Z=-\frac{P(x,t)}{v(x,t)}=\frac{kK}\omega=\frac Ku=\rho u\]
  相应的(实)能流
  \[S(x,t)=\mathrm{Re}\,v\cdot\mathrm{Re}(Zv)=Z(\mathrm{Re}\,v)^2=\omega^2A^2Z\sin^2(kx-\omega t+\varphi)\]
  波的强度即为能流的平均值
  \[I=\bar{S}=\frac12\omega^2A^2Z\]

13.2.2 Reflection and Transmission

两段一维波动介质连接处反射与透射的几何示意.

两段半无限长的无耗散介质相接, 取以下条件:

\(S_0\) 相同, \(\rho_{1,2}\) 与有效系数 \(K_{1,2}>0\) 可不同;
忽略界面薄层的体元质量, 界面不储存能量且无外加横向或纵向集中力;
若为弦横波, 还须满足平衡张力的平衡条件.

令相接处 \(x=0\), 界面上的边界条件为振动连续、应力连续:

\[q(0^-,t)=q(0^+,t)\ ,\ K_1\partial_xq(0^-,t)=K_2\partial_xq(0^+,t)\]

从左侧入射的简谐波在界面上受到反射. 不妨设弦线上的叠加波场为(\(k_{1,2}=\frac{\omega}{u_{1,2}}\))

\[q(x,t)=\begin{cases}\tilde{A}_I\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1x-\omega t)}+\tilde{A}_R\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-k_1x-\omega t)}&\quad x\lt0\\\tilde{A}_T\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_2x-\omega t)}&\quad x>0\end{cases}\]

再将试探解代入得

\[\begin{aligned} \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}&=\tilde{A}_{T}\\ \mathrm{i}K_{1}k_{1}(\tilde{A}_{I}-\tilde{A}_{R})&=\mathrm{i}K_{2}k_{2}\tilde{A}_{T}\implies Z_{1}(\tilde{A}_{I}-\tilde{A}_{R})=Z_{2}\tilde{A}_{T}\end{aligned}\]

定义复振幅比 \(r_R=\tilde A_R/\tilde A_I\)、\(r_T=\tilde A_T/\tilde A_I\), 并以时间平均能流定义反射率与透射率, 得到(\(Z_2>Z_1\) 时,出现半波损失;有能量守恒 \(R+T=1\))

\[\begin{cases} r_R=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\\ r_T=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2} \end{cases} \ ,\ \begin{cases} R=\frac{Z_1|\tilde{A}_R|^2}{Z_1|\tilde{A}_I|^2}=\left(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\right)^2\\ T=\frac{Z_2|\tilde{A}_T|^2}{Z_1|\tilde{A}_I|^2}=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2} \end{cases}\]

References

参考阅读: Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, 第 11、12 章.

Goldstein 《 Classical Mechanics 》最后一章. ↩︎