Quantum Many-Body Theory on Square's Blog

Quantum Many-Body Theory - 1

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

1 Second Quantization and Coherent States

1.1 Quantum Mechanics

Hilbert 空间是完备的内积空间, 内积诱导态的范数. 可归一化的物理态具有有限范数; 连续谱的位置和动量本征态则是广义本征态, 以下涉及它们的封闭关系与交叠应按分布理解.
位置和动量本征态满足
\[\hat{\mathbf{r}}|\mathbf{r}\rangle=\mathbf{r}|\mathbf{r}\rangle, \qquad \hat{\mathbf{p}}|\mathbf{p}\rangle=\mathbf{p}|\mathbf{p}\rangle.\]
- 位置和动量基矢满足封闭关系
  \[\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|=1, \qquad \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,|\mathbf{p}\rangle\langle \mathbf{p}|=1.\]
  
  符号 \(1\) 总表示当前指定空间上的单位算符. 这里的位置基只作用于轨道空间; 若保留自旋, 完整空间为 \(\mathcal{H}_{\mathrm{orb}}\otimes\mathcal{H}_{\mathsf S}\). 对于自旋 \(1/2\) 子空间,
  \[|+\rangle\langle +|+|-\rangle\langle -|=1_{\mathsf S}, \qquad 1=1_{\mathrm{orb}}\otimes 1_{\mathsf S}\]
  因此完整态的封闭关系还须对自旋指标求和.
  
  故任意态可展开为
  \[|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|\psi\rangle \equiv \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,|\mathbf{r}\rangle\psi(\mathbf{r}), \qquad \psi(\mathbf{r})\equiv\langle\mathbf{r}|\psi\rangle\]
- 基矢之间的交叠为
  \[\langle \mathbf{r}|\mathbf{r}'\rangle=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), \qquad \langle \mathbf{p}|\mathbf{p}'\rangle=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p}'), \qquad \langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle = \left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{3/2} \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{\hbar}\right).\]
- 在位置表象中, 动量算符以微分形式作用:
  \[\begin{aligned} \langle \mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle &= \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,\langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle \langle \mathbf{p}|\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle \\ &= \left(\frac{1}{2\pi\hbar}\right)^{3/2} \int \mathrm{d}\mathbf{p}\, \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{\hbar}\right) \mathbf{p}\,\langle \mathbf{p}|\psi\rangle \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla_{\mathbf{r}} \int \mathrm{d}\mathbf{p}\,\langle \mathbf{r}|\mathbf{p}\rangle \langle \mathbf{p}|\psi\rangle \\ &= -\mathrm{i}\hbar\nabla_{\mathbf{r}}\psi(\mathbf{r}). \end{aligned}\]
对于处在势 \(V(\hat{\mathbf{r}})\) 中的单个粒子, Schrödinger 方程为
\[\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi\rangle = \left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\hat{\mathbf{r}})\right]|\psi\rangle.\]
对不显含时间的 Hamiltonian \(\hat H\), Schrödinger 绘景和 Heisenberg 绘景将相同的时间演化置于不同位置. 以下算符也不显含时间; 若 \(\hat H(t)\) 显含时间, 演化算符应改用时间有序指数.
- 在 Schrödinger 绘景中, 态随时间演化:
  \[|\psi(t)\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}|\psi(0)\rangle.\]
- 在 Heisenberg 绘景中, 算符随时间演化:
  \[\hat{\mathbf{p}}^{(\mathrm{H})}(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} \hat{\mathbf{p}}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}.\]
两者在期望值层面等价:
\[\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat{\mathbf{p}}|\psi(t)\rangle &= \langle\psi(0)| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} \hat{\mathbf{p}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} |\psi(0)\rangle \\ &= \langle \psi(0)|\hat{\mathbf{p}}^{(\mathrm{H})}(t)|\psi(0)\rangle. \end{aligned}\]

1.2 Quantum Statistical Mechanics

1.2.1 Statistical Ensembles

Micro-canonical ensemble 微正则系综描述能量、体积和粒子数固定的孤立系统, 在给定窄能量壳内对允许的微观态赋予等权重. 将长时间平均等同于系综平均还需额外的动力学假设; 固定能量本身不保证量子体系热化.
Canonical ensemble 正则系综中体积和粒子数固定, 系统与温度为 \(T\) 的热库交换能量. 密度算符正比于
\[\hat{\rho}\propto \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}}, \qquad \beta\equiv\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}.\]
算符 \(\mathrm{e}^{-\beta\hat{H}}\) 可理解为虚时演化 \(t=-\mathrm{i}\hbar\beta\).
Grand-canonical ensemble 巨正则系综中体积固定, 系统与温度和化学势分别为 \(T\) 与 \(\mu\) 的库交换能量和粒子. 对粒子数守恒的平衡 Hamiltonian, \([\hat H,\hat N]=0\), 密度算符正比于
\[\hat{\rho}\propto \mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]
巨正则 Hamilton 量为 \(\hat{K}\equiv \hat{H}-\mu\hat{N}\).

Remark 在热力学极限 \(N,\mathcal{V}\to\infty\) 且 \(N/\mathcal{V}\to\rho\) 下, 对稳定、可加且具有适当热力学极限的体系, 匹配温度、化学势与密度后, 三种系综通常给出相同的热力学势关系和体相平衡量. 这不意味着有限体系的概率分布或所有涨落相同: 正则系综的总粒子数涨落为零, 巨正则系综则一般不为零.

临界点与相共存需要分别检查极限和可观测量; 相变或对称性破缺本身不等于系综不等价. 非可加的长程体系则可能出现真正的不等价. 关于等价性的不同层次, 见 Touchette 的综述.

1.2.2 Partition Function

在巨正则系综中, 迹遍历 Fock 空间的所有允许粒子数扇区, 配分函数为

\[Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]

期望值的形式为

\[\langle \hat{R}\rangle=\operatorname{Tr}(\hat{\rho}\hat{R}), \qquad \hat{\rho} = \frac{1}{Z}\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}.\]

令巨正则势为 \(\Omega=-\frac{1}{\beta}\ln Z\). 对仅含体积功与一种粒子数的平衡体系,

\[\mathrm{d}\Omega=-S\,\mathrm{d}T-P\,\mathrm{d}\mathcal{V}-N\,\mathrm{d}\mu.\]

因此各偏导数须保持其余自然变量不变:

\[\begin{aligned} -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_{T,\mathcal{V}} &= \frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[ \hat{N}\,\mathrm{e}^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})} \right] \equiv N, \\ -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)_{\mu,\mathcal{V}} &= \frac{\langle\hat{H}-\mu\hat{N}\rangle-\Omega}{T} \equiv S, \\ -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mathcal{V}}\right)_{T,\mu} &= P. \end{aligned}\]

在均匀、可加的体相热力学极限下, 固定 \(T,\mu\) 时 \(\Omega\) 与体积成正比, 因而 \(\Omega=-P\mathcal{V}\). 有限体系的表面项等非广延贡献不能由此自动忽略.

1.3 Identical Particles

单粒子形式可推广到多粒子系统: 先构造乘积态, 再投影到物理允许的交换对称性扇区.

Definition 乘积态基矢. 给定正交归一的单粒子基 \(\{|\alpha\rangle\}\), 定义

\[|\alpha_1\ldots \alpha_N) \equiv |\alpha_1\rangle\otimes |\alpha_2\rangle\otimes\cdots\otimes |\alpha_N\rangle.\]

圆括号记法 \(|\ldots)\) 表示未对称化的乘积态基矢.

内积为
\[\begin{aligned} (\alpha_1\ldots\alpha_N|\alpha_1'\ldots\alpha_N') &= \langle \alpha_1|\alpha_1'\rangle \langle \alpha_2|\alpha_2'\rangle\cdots \langle \alpha_N|\alpha_N'\rangle, \\ \psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) &\equiv (\mathbf{r}_1\ldots\mathbf{r}_N|\alpha_1\ldots\alpha_N) = \psi_{\alpha_1}(\mathbf{r}_1) \psi_{\alpha_2}(\mathbf{r}_2)\cdots \psi_{\alpha_N}(\mathbf{r}_N). \end{aligned}\]
封闭关系
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} |\alpha_1\ldots\alpha_N)(\alpha_1\ldots\alpha_N| =1.\]
以下采用通常三维体系中的 Boson/Fermion 交换统计. 对称态和反对称态分别满足:
\[\begin{aligned} \psi(\mathbf{r}_{P1},\mathbf{r}_{P2},\ldots,\mathbf{r}_{PN}) &= \psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N), &&\text{Bosons}, \\ \psi(\mathbf{r}_{P1},\mathbf{r}_{P2},\ldots,\mathbf{r}_{PN}) &= (-1)^P\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N), &&\text{Fermions}. \end{aligned}\]

Definition 物理多体态. 物理多体态通过施加对称化或反对称化投影算符得到:

\[\hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots \alpha_N) = \frac{1}{N!}\sum_P \zeta^P |\alpha_{P1}\rangle\otimes|\alpha_{P2}\rangle\otimes\cdots\otimes|\alpha_{PN}\rangle, \qquad \zeta= \begin{cases} 1, & \text{Bosons},\\ -1, & \text{Fermions}. \end{cases}\]

归一化的投影态为

\[|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \sqrt{\frac{N!}{\prod_\alpha n_\alpha!}}\, \hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots \alpha_N),\]

其中 \(n_\alpha\) 是单粒子态 \(\alpha\) 的占据数. 对 Fermion, 该归一化公式只用于各标签互异的非零投影态; 重复占据同一个单粒子态时, 反对称投影为零. 对应的波函数为

\[\psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}^{(\zeta)}(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!\prod_\alpha n_\alpha!}} \sum_P \zeta^P \psi_{\alpha_1}(\mathbf{r}_{P1}) \psi_{\alpha_2}(\mathbf{r}_{P2})\cdots \psi_{\alpha_N}(\mathbf{r}_{PN}).\]

投影算符满足 \(\hat{\mathcal{P}}^2=\hat{\mathcal{P}}\). 物理 Hilbert 空间通过将 \(\hat{\mathcal{P}}\) 作用于乘积态 Hilbert 空间得到.
投影态之间的交叠为
\[\langle \beta_1\ldots \beta_N|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{\prod_\beta n_\beta!\prod_\alpha n_\alpha!}}\, S\!\left(\langle \beta_i|\alpha_j\rangle\right),\]
其中 \(S\) 对 Boson 为积和式 (permanent), 对 Fermion 为行列式:
\[\operatorname{Per}(M)=\sum_P M_{1,P1}M_{2,P2}\cdots M_{N,PN}, \qquad \det(M)=\sum_P (-1)^P M_{1,P1}M_{2,P2}\cdots M_{N,PN}.\]
将 \(\hat{\mathcal{P}}\) 作用于乘积空间的封闭关系得
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} \hat{\mathcal{P}}|\alpha_1\ldots\alpha_N) (\alpha_1\ldots\alpha_N|\hat{\mathcal{P}} = \hat{\mathcal{P}}.\]
等价地, 在投影 Hilbert 空间中,
\[\sum_{\alpha_1\ldots\alpha_N} \frac{\prod_\alpha n_\alpha!}{N!} |\alpha_1\ldots\alpha_N\rangle \langle \alpha_1\ldots\alpha_N| =1_{\mathsf P},\]
其中 \(1_{\mathsf P}\equiv\hat{\mathcal{P}}\) 是投影空间上的单位算符.

1.4 Creation and Annihilation Operators

1.4.1 Basics

Definition 产生算符添加一个粒子.

对于 Boson,
\[a_\alpha^\dagger|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \sqrt{n_\alpha+1}\,|\alpha\,\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle.\]
对于 Fermion,
\[a_\alpha^\dagger|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \begin{cases} |\alpha\,\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle, & \alpha\notin\{\alpha_1,\ldots,\alpha_N\},\\ 0, & \alpha\in\{\alpha_1,\ldots,\alpha_N\}. \end{cases}\]

湮灭算符 \(a_\alpha\) 是 \(a_\alpha^\dagger\) 的伴随算符, 移除一个粒子:

\[a_\alpha|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{n_\alpha}} \sum_{i=1}^{N}\zeta^{i-1}\delta_{\alpha,\alpha_i} |\alpha_1\ldots \alpha_{i-1}\alpha_{i+1}\ldots \alpha_N\rangle.\]

该式适用于 \(n_\alpha\gt0\); 若 \(n_\alpha=0\), 直接定义 \(a_\alpha|\alpha_1\ldots\alpha_N\rangle=0\), 不使用含 \(1/\sqrt{n_\alpha}\) 的表达式.

真空态 \(|0\rangle\) 是归一化的零粒子态, 满足 \(a_\alpha|0\rangle=0\), 不是零矢量. 对称化或反对称化态可由真空构造为
\[|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{\prod_\alpha n_\alpha!}} a_{\alpha_1}^\dagger a_{\alpha_2}^\dagger\cdots a_{\alpha_N}^\dagger|0\rangle.\]
多粒子态的对称性或反对称性蕴含了算符之间的对应关系:
\[\begin{aligned} \left[a_\alpha^\dagger,a_\beta^\dagger\right]_{-} &=0, &&\left[a_\alpha,a_\beta^\dagger\right]_{-} =\delta_{\alpha\beta}, &&\text{Bosons},\\ \left[a_\alpha^\dagger,a_\beta^\dagger\right]_{+} &=0, &&\left[a_\alpha,a_\beta^\dagger\right]_{+} =\delta_{\alpha\beta}, &&\text{Fermions}. \end{aligned}\]
其中下标 \(-\) 表示对易子, \(+\) 表示中间符号相反的反对易子.
基矢变换: 关于两组基矢 \(|\alpha\rangle\) 和 \(|\tilde\alpha\rangle\) 的产生和湮灭算符的关系为
\[a_{\tilde\alpha}^\dagger = \sum_\alpha \langle \alpha|\tilde\alpha\rangle a_\alpha^\dagger, \qquad a_{\tilde\alpha} = \sum_\alpha \langle \tilde\alpha|\alpha\rangle a_\alpha.\]

Definition Fock 空间. 由于产生和湮灭算符改变粒子数, 态空间必须包含所有粒子数扇区:

\[\mathcal{B}=\mathcal{B}_0\oplus\mathcal{B}_1\oplus\cdots, \qquad \mathcal{F}=\mathcal{F}_0\oplus\mathcal{F}_1\oplus\cdots.\]

这里 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{F}\) 分别表示 Boson 和 Fermion 的 Fock 空间. 其封闭关系为

\[|0\rangle\langle 0| +\sum_{N=1}^{\infty}\sum_{\alpha_1\ldots \alpha_N} \frac{\prod_\alpha n_\alpha!}{N!} |\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle \langle \alpha_1\ldots \alpha_N| =1.\]

Notation 数表示: 用每个单粒子态中的粒子数标记态 \(|\alpha_1\ldots \alpha_N\rangle \Longrightarrow |n_1n_2\ldots\rangle\).

对于 Boson,
\[\begin{aligned} a_\alpha|n_1n_2\ldots\rangle &= \sqrt{n_\alpha}\,|n_1n_2\ldots (n_\alpha-1)\ldots\rangle,\\ a_\alpha^\dagger|n_1n_2\ldots\rangle &= \sqrt{n_\alpha+1}\,|n_1n_2\ldots (n_\alpha+1)\ldots\rangle. \end{aligned}\]
对于 Fermion, 需要单粒子标记的参考排序. 符号因子计算在排序中位于 \(\alpha\) 之前的占据态数目, 因为 Fermionic 算符需要反对易来穿过这些产生算符:
\[\begin{aligned} a_\alpha|n_1n_2\ldots\rangle &= \begin{cases} (-1)^{\sum_{j=1}^{\alpha-1}n_j} |n_1n_2\ldots (n_\alpha\to 0)\ldots\rangle, & n_\alpha=1,\\ 0, & n_\alpha=0, \end{cases} \\ a_\alpha^\dagger|n_1n_2\ldots\rangle &= \begin{cases} (-1)^{\sum_{j=1}^{\alpha-1}n_j} |n_1n_2\ldots (n_\alpha\to 1)\ldots\rangle, & n_\alpha=0,\\ 0, & n_\alpha=1. \end{cases} \end{aligned}\]

Definition 场算符: 场算符是位置基矢下的产生和湮灭算符. 记 \(\phi_\alpha(\mathbf{r})\equiv\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle\), 则

\[\hat{\psi}(\mathbf{r})^\dagger = \sum_\alpha \langle \alpha|\mathbf{r}\rangle a_\alpha^\dagger =\sum_\alpha \phi_\alpha^*(\mathbf{r})a_\alpha^\dagger, \qquad \hat{\psi}(\mathbf{r}) = \sum_\alpha \langle \mathbf{r}|\alpha\rangle a_\alpha =\sum_\alpha \phi_\alpha(\mathbf{r})a_\alpha.\]

场算符满足 \[\left[\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} = \left[\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} =0,\qquad \left[\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\right]_{-\zeta} = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').\]

1.4.2 Second quantization

二次量子化将物理量用产生和湮灭算符表示.

Definition 数算符 \(\hat{n}_\alpha=\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\).

Definition 单体算符: \(\hat{U}=\sum_i \hat{u}_i=\sum_{\alpha\beta}\langle \alpha|\hat{u}|\beta\rangle a_\alpha^\dagger a_\beta.\), 例如

\[\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\nabla^2\hat{\psi}(\mathbf{r}), \qquad \hat{U} = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,U(\mathbf{r}) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]

Definition 两体算符: 对交换对称的两粒子相互作用, \(\hat{V}=(1/2)\sum_{i\neq j}\hat{v}_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta\gamma\delta}(\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\,a_\alpha^\dagger a_\beta^\dagger a_\delta a_\gamma\). 第一量子化的求和排除粒子自作用; 因子 \(1/2\) 消去有序粒子对的重复计数. 注意态指标的次序, 以及矩阵元是在两粒子乘积态中计算的. 在场算符形式下, 相互作用为

\[\hat{V} = \frac{1}{2}\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}')\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]

Remark 正规序: 产生算符置于湮灭算符左侧. 满足正规序的算符记为 \(\hat{A}(a_{\alpha}^{\dagger}, a_{\alpha})\) 或 \(\hat{A}(\hat{\psi}_{\alpha}^{\dagger}, \hat{\psi}_{\alpha})\).

将一个给定算符等价地改写成正规序时, 必须保留对易关系产生的附加项及 Fermion 交换符号. 例如 \(a_\alpha a_\alpha^\dagger=1+\zeta a_\alpha^\dagger a_\alpha\); 仅重排得到的正规序操作 \(:\!\hat A\!:\) 通常不等于原算符 \(\hat A\).

1.4.3 Second Quantized Hamiltonians

从"万有 Hamiltonian"出发, 可以推导出适用于不同物理环境的各种模型 Hamiltonian. 这些模型的层次结构如下所示:

多体模型 Hamiltonian 的层次结构, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), §1.4.2, p.7. 红色式号沿用原讲义编号, 不对应本文公式编号.

Remark 图顶端的 \(\hat{K}\) 含电子化学势项, 表示 \(\hat{H}-\mu\hat{N}_{\mathrm{e}}\). 图中离子间 Coulomb 求和隐含排除 \(i=j\) 的自作用项. 模型间的箭头包含各自的投影或近似; 仅忽略 Umklapp 过程并不能自动去掉 Bloch 态的形状因子, 也不能自动恢复自由电子色散.

Remark 本节及后续章节涉及 Coulomb 和电磁相互作用时采用 Gaussian/CGS 单位制, 因此 \(v(r)=e^2/r\). 其余量仍显式保留 \(\hbar\), \(m\), \(e\), \(c\), 并非 atomic units.

Degenerate electron gas
\[\begin{aligned} \hat{H} =& -\frac{\hbar^2}{2m}\sum_\sigma \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\nabla^2\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) +\sum_\sigma \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, V_b(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})\\ &+\frac{1}{2}\sum_{\sigma\sigma'} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, \frac{e^2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}_{\sigma'}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\psi}_{\sigma'}(\mathbf{r}')\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) \end{aligned}\]
这里 \(V_b(\mathbf{r})\) 表示均匀正电荷背景(jellium 模型)产生的电子势能. 在波矢基 \(\varphi_{\mathbf{k}}=\mathcal{V}^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}\) 下, 将背景势能、背景自能与电子相互作用合并, 采用中性体系去除 \(\mathbf{q}=0\) 分量的约定并略去参考能量常数后, Hamiltonian 为
\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k},\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} +\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq 0}\sum_{\mathbf{k},\sigma,\mathbf{p},\sigma'} v_q\, \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2,\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q}/2,\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q}/2,\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2,\sigma},\]
其中 \(\epsilon_{\mathbf{k}}=\hbar^2 k^2/(2m)\), \(v_q=4\pi e^2/q^2\). 去除 \(q=0\) 分量使用了整体电中性与上述能量约定.

Proof 先计算非零波矢的电子相互作用项, 背景相关项按上述中性约定处理. 对电子场作平面波展开:
\[\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}, \qquad \hat{\psi}_\sigma^\dagger(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger.\]
动能项给出
\[\begin{aligned} \hat{H}_0 &= \sum_\sigma\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\\ &= \sum_\sigma\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}} \frac{\hbar^2p^2}{2m} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{p}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\hbar^2k^2}{2m} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}. \end{aligned}\]
周期盒中去除零模后的 Coulomb 核使用 Fourier 展开
\[v_{\neq0}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq0} v_q\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}, \qquad v_q=\frac{4\pi e^2}{q^2}.\]
非零波矢的系数可用 Poisson 方程得到. \(v_{\neq0}\) 表示中性周期体系中的核, 不应把去零模的级数直接等同于有限周期盒中的自由空间势. 代入相互作用项后, 两个空间积分分别给出动量守恒:
\[\begin{aligned} \hat{H}_{\mathrm{int}} &= \frac{1}{2\mathcal{V}^3} \sum_{\mathbf{q}\neq0}v_q \sum_{\sigma\sigma'} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{p}\mathbf{k}'\mathbf{p}'} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}'\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}'\sigma} \times \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}'+\mathbf{q}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}} \int \mathrm{d}\mathbf{r}'\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{p}'-\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{r}'}\\ &= \frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\neq0} \sum_{\mathbf{k},\sigma,\mathbf{p},\sigma'} v_q\, \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q},\sigma'} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q},\sigma}. \end{aligned}\]
最后重定义求和变量 \(\mathbf{k}\to\mathbf{k}+\mathbf{q}/2\), \(\mathbf{p}\to\mathbf{p}-\mathbf{q}/2\), 即得到上式中的对称动量形式. 有限周期盒中, 重定义后的中心动量求和格点须随 \(\mathbf{q}\) 相应平移, 以保证每个算符的动量仍是允许值.
Electrons in solids 固体中的电子感受到周期性晶格势. Bloch 态 \(\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 与 Wannier 态 \(w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i)\) 的关系为
\[w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\mathbf{k}\in \mathrm{B.Z.}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}_i}\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}), \qquad \varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\mathbf{R}_i} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}_i}w_n(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i).\]
动量守恒律修改为 \(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1'+\mathbf{k}_2'+\mathbf{K}\), 其中 \(\mathbf{K}\) 为倒格矢. 当 \(|\mathbf{K}|\neq 0\) 时, 这导致 Umklapp 散射过程.
Quantum geometry effect 将相互作用投影到一个由归一化 Bloch 态组成的孤立能带, 选择光滑局部规范, 并在长波长近似下忽略带间过程与倒格矢局域场项时, 电子气 Hamiltonian 中的相互作用矩阵元含有形状因子:
\[\frac{4\pi e^2}{q^2} \rightarrow \frac{4\pi e^2}{q^2} \langle u_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}\rangle \langle u_{\mathbf{p}-\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{p}+\mathbf{q}/2}\rangle,\]
其中 \(u_{\mathbf{k}}\) 表示导带(能带指标 \(n\))的 Bloch 波函数 \(\varphi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 的周期部分. 对于 \(q\to 0\),
\[\langle u_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}|u_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}\rangle \approx \exp\!\left( \mathrm{i}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}\cdot \mathbf{q} -\frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta}G_{\alpha\beta}(\mathbf{k})q_\alpha q_\beta +O(q^3) \right).\]
因此, 相互作用矩阵元受到 Berry 联络和量子度量 (quantum metric) 修正
\[\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\mathrm{i}\langle u_{\mathbf{k}}|\partial_{\mathbf{k}}u_{\mathbf{k}}\rangle, \qquad G_{\alpha\beta}(\mathbf{k}) = \operatorname{Re} \left[ \langle \partial_{k_\alpha}u_{\mathbf{k}}|\partial_{k_\beta}u_{\mathbf{k}}\rangle -A_{k_\alpha}A_{k_\beta} \right].\]
Tight-binding models Tight-binding 模型是在 Wannier 基下二次量子化的 Hamiltonian. 一般的单带 tight-binding Hamiltonian 可写为
\[\hat{H} = -\sum_{ij,\sigma}t_{ij}\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{j\sigma} +\sum_{ii'jj',\sigma\sigma'} U_{ii'jj'}\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{i'\sigma'}^\dagger \hat{a}_{j'\sigma'}\hat{a}_{j\sigma}.\]
这里约定 \(U_{ii'jj'}\equiv\frac12(w_iw_{i'}|\hat v|w_jw_{j'})\), 已吸收两体算符中的 \(1/2\), 不能再把它直接当作未除以二的 Coulomb 矩阵元. 以下 direct 与 exchange 项取不同格点, 并保留有序格点对求和; 同格点项单独归入局域相互作用. 记 \(\hat{n}_i=\sum_\sigma \hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{i\sigma}\).
- Direct coupling:
  \[U_{ii'ii'}=V_{ii'}, \qquad \hat{H}_{\mathrm{direct}}=\sum_{i\neq i'}V_{ii'}\,\hat{n}_i\hat{n}_{i'}.\]
  同格点的正规序项为 \(U_{iiii}\hat n_i(\hat n_i-1)\), 不是 \(U_{iiii}\hat n_i^2\).
- Exchange coupling:
  \[J_{ij}\equiv U_{ijji}, \qquad \hat{H}_{\mathrm{exchange}} = -2\sum_{i\neq j}J_{ij} \left( \hat{\mathbf{S}}_i\cdot \hat{\mathbf{S}}_j+\frac{1}{4}\hat{n}_i\hat{n}_j \right),\]
  其中 \(\hat{\mathbf{S}}_i\) 是以 \(\hbar\) 为单位的无量纲自旋算符; 实际角动量为 \(\hbar\hat{\mathbf{S}}_i\):
  \[\hat{\mathbf{S}}_i = \frac{1}{2}\sum_{\sigma\sigma'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{\boldsymbol{\tau}}_{\sigma\sigma'} \hat{a}_{i\sigma'}, \qquad \hat{\tau}_x= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\tau}_y= \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i}\\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\tau}_z= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.\]
  Proposition 局域自旋算符在每个格点上满足与普通角动量算符相同的 \(SU(2)\) 代数.
  
  Proof 对数守恒双线性算符, 有
  \[\left[ \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'}, \hat{a}_{j\lambda}^\dagger\hat{a}_{j\lambda'} \right] = \delta_{ij} \left( \delta_{\sigma'\lambda} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} - \delta_{\lambda'\sigma} \hat{a}_{i\lambda}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'} \right).\]
  将其代入自旋算符定义, 并使用 \([\tau^\alpha,\tau^\beta]=2\mathrm{i}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\tau^\gamma\):
  \[\begin{aligned} \left[\hat{S}_i^\alpha,\hat{S}_j^\beta\right] &= \frac{1}{4}\delta_{ij} \sum_{\sigma\sigma'\lambda\lambda'} \tau^\alpha_{\sigma\sigma'}\tau^\beta_{\lambda\lambda'} [\hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\sigma'}, \hat{a}_{i\lambda}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'}] \\ &= \frac{1}{4}\delta_{ij} \sum_{\sigma\lambda'} [\tau^\alpha,\tau^\beta]_{\sigma\lambda'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} \\ &= \frac{\mathrm{i}}{2}\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} \sum_{\sigma\lambda'} \tau^\gamma_{\sigma\lambda'} \hat{a}_{i\sigma}^\dagger\hat{a}_{i\lambda'} \\ &= \mathrm{i}\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\hat{S}_i^\gamma. \end{aligned}\]
  因此每个格点上的 \(\hat{\mathbf{S}}_i\) 满足 \(SU(2)\) 代数.
Hubbard model 具有良好局域原子轨道的单带 tight-binding 模型可近似为
\[\hat{H} = -t\sum_{\langle ij\rangle,\sigma} \left[\hat{a}_{i\sigma}^\dagger \hat{a}_{j\sigma}+\mathrm{H.c.}\right] +U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow}.\]
其中 \(\langle ij\rangle\) 表示每条最近邻无向键只计一次, \(\mathrm{H.c.}\) 补上反向跃迁. 按上述矩阵元约定, 同格点的两个相反自旋项给出 \(U=2U_{iiii}\). 记总电子数算符 \(\hat N_e\equiv\sum_i\hat n_i\), 相互作用部分也可写为
\[\hat{H}_U \equiv U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow} = -\frac{2U}{3}\sum_i |\hat{\mathbf{S}}_i|^2+\frac{U\hat N_e}{2}.\]
仅在固定 \(N_e\) 的粒子数扇区内, 最后一项才是可略去的能量常数; 巨正则处理中它会改变化学势的对应关系.

Proof 只需在单个格点上证明算符恒等式. 省略格点指标, 并使用 Pauli 矩阵恒等式. 这里 \(a,b,c,d\in\{\uparrow,\downarrow\}\)
\[\boldsymbol{\tau}_{ab}\cdot\boldsymbol{\tau}_{cd} = 2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}.\]
由 \(\hat{\mathbf{S}}=\frac{1}{2}\sum_{ab}\hat{a}_a^\dagger\boldsymbol{\tau}_{ab}\hat{a}_b\),
\[\begin{aligned} |\hat{\mathbf{S}}|^2 &= \frac{1}{4} \sum_{abcd} (\boldsymbol{\tau}_{ab}\cdot\boldsymbol{\tau}_{cd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_b\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_d\\ &= \frac{1}{4} \sum_{abcd} (2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}) \hat{a}_a^\dagger(\delta_{bc}-\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_b)\hat{a}_d\\ &= \frac14\sum_{abd} (2\delta_{ad}\delta_{bb}-\delta_{ab}\delta_{bd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_d - \frac14\sum_{abcd} (2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}) \hat{a}_a^\dagger\hat{a}_c^\dagger\hat{a}_b\hat{a}_d \\ &= \hat{n} -\frac{1}{4}\hat{n} -\frac{1}{2} \left( \hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\downarrow\hat{a}_\uparrow + \hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\uparrow\hat{a}_\downarrow \right) + \frac{1}{4} \left( \hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow\hat{a}_\downarrow + \hat{a}_\downarrow^\dagger\hat{a}_\uparrow^\dagger\hat{a}_\downarrow\hat{a}_\uparrow \right)\\ &= \frac{3}{4}\hat{n} -\frac{3}{2}\hat{n}_\uparrow\hat{n}_\downarrow. \end{aligned}\]
注意其中 \(\sum_a\delta_{aa} = 2\),且 \(\hat{n}\equiv \hat{n}_\uparrow+\hat{n}_\downarrow\). 因此
\[\hat{n}_\uparrow\hat{n}_\downarrow = \frac{1}{2}\hat{n}-\frac{2}{3}|\hat{\mathbf{S}}|^2.\]
Anderson impurity model Anderson 杂质模型描述导带电子与杂质之间的相互作用:
\[\hat{H} = \sum_\sigma \epsilon_f \hat{f}_\sigma^\dagger \hat{f}_\sigma +U\hat{n}_{f\uparrow}\hat{n}_{f\downarrow} +\sum_{k\sigma}\left(V_k \hat{f}_\sigma^\dagger \hat{a}_{k\sigma}+\mathrm{h.c.}\right) +\sum_{k\sigma}\epsilon_k \hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma}.\]
Kondo model Kondo 模型描述导带电子与局域自旋之间的相互作用:
\[\hat{H} = \sum_{k\sigma}\epsilon_k \hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma} -J\hat{\mathbf{S}}^{(i)}\cdot \hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}.\]
这里 \(\hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}\) 表示杂质位置的导带电子自旋. Anderson 杂质模型约化为低能 Kondo 模型需要局域矩条件 \(\epsilon_f\lt\mu\lt\epsilon_f+U\), 且杂化能量、\(k_{\mathrm B}T\) 与所考察的激发能远小于空占据及双占据的电荷激发能 \(\mu-\epsilon_f\) 与 \(\epsilon_f+U-\mu\). 此时可通过 Schrieffer–Wolff 变换消去虚电荷涨落, 得到交换项以及一般存在的势散射项; 上式只展示交换部分.

\(U\to\infty\) 本身不保证局域矩条件. 保留本节的 \(-J\hat{\mathbf{S}}^{(i)}\cdot\hat{\mathbf{S}}_0^{(e)}\) 记号时, 反铁磁交换对应 \(J\lt0\). Kondo 屏蔽也是理解重 Fermion 晶格体系的重要机制, 但单杂质模型不包含完整的晶格相干效应.
Phonons 声子(phonon) 是晶格振动模式的量子. 写 \(\mathbf{R}_i=\mathbf{R}_i^{(0)}+\mathbf{u}_i\), 其中 \(\mathbf{R}_i^{(0)}\) 是总有效晶格势 \(V_{\mathrm{eff}}\) 的稳定平衡位置. \(V_{\mathrm{eff}}\) 包含建立平衡所需的电子贡献等, 不能仅用裸离子 Coulomb 排斥保证晶格稳定. 在平衡点一阶导数为零, 对小位移作展开:
\[V_{\mathrm{eff}}(\{\mathbf{R}_i^{(0)}+\mathbf{u}_i\}) = V_{\mathrm{eff}}^{(0)} +\frac{1}{2}\sum_{ij,\alpha\beta} D_{i\alpha,j\beta}u_{i\alpha}u_{j\beta}+O(u^3), \qquad D_{i\alpha,j\beta}\equiv \left.\frac{\partial^2 V_{\mathrm{eff}}}{\partial u_{i\alpha}\partial u_{j\beta}}\right|_{\mathbf{u}=0}.\]
裸离子两体势中的求和须取 \(i\neq j\) 以排除自作用. 取各原子质量均为 \(M\), 略去常数并保留二阶项, 得到可对角化的谐振 Hamiltonian:
\[\hat{H}_p = -\frac{\hbar^2}{2M}\sum_i \nabla_{\mathbf{u}_i}^2 +\frac{1}{2}\sum_{ij,\alpha\beta} D_{i\alpha,j\beta}u_{i\alpha}u_{j\beta}.\]
利用谐振子的阶梯算符,
\[\hat{H}_p = \sum_{n,\mathbf{q}}\hbar \omega_{n\mathbf{q}} \left(\hat{c}_{n\mathbf{q}}^\dagger \hat{c}_{n\mathbf{q}}+\frac{1}{2}\right).\]
阶梯算符可理解为 Bosonic 的产生和湮灭算符.
Electron-phonon coupling 电子-声子耦合来自电子-离子势对位移的一阶变化. 对这里采用的裸 Coulomb 势, 令 \(v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{s})=-Ze^2/|\mathbf{s}|\), 则
\[\hat H_{\mathrm{e-ion}} \equiv \sum_i \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}) =\hat H_{\mathrm{e-ion}}^{(0)}+\hat H_{\mathrm{el-ph}}+O(u^2).\]
静态项 \(\hat H_{\mathrm{e-ion}}^{(0)}\) 已归入平衡晶格势; 一阶耦合单独为
\[\hat H_{\mathrm{el-ph}} =\sum_i\mathbf{u}_i\cdot\int\mathrm{d}\mathbf{r}\, \hat\psi^\dagger(\mathbf{r})\mathbf{M}(\mathbf{r}-\mathbf{R}_i^{(0)})\hat\psi(\mathbf{r}), \qquad \mathbf{M}(\mathbf{s})\equiv-\nabla_{\mathbf{s}}v_{\mathrm{e-ion}}(\mathbf{s}) =-\frac{Ze^2\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}.\]
利用波矢基和阶梯算符, 相互作用化为
\[\hat{H}_{\mathrm{el-ph}} = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\mathbf{k},\mathbf{q}} M_{\mathbf{q}}\, \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}}\hat{c}_{\mathbf{q}} +\mathrm{h.c.}\]
其中 \(M_{\mathbf{q}}\) 是电子-声子耦合的矩阵元.

1.5 Coherent States

相干态是湮灭算符的本征态:

\[\hat{a}_\alpha|\phi\rangle=\phi_\alpha|\phi\rangle.\]

对 Boson, 产生算符没有非零的、可归一化的右本征态. 单模展开 \(|\psi\rangle=\sum_n c_n|n\rangle\) 后, \(a^\dagger|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle\) 的真空分量及递推关系迫使所有 \(c_n=0\).
对 Fermion, \(a_\alpha^2=(a_\alpha^\dagger)^2=0\), 因而普通复数本征值只能为零; 例如单模 \(a^\dagger|1\rangle=0\). Fermion 相干态是在 Grassmann 系数扩展中定义的形式态, 其奇变量满足 \(\phi_\alpha\phi_\beta+\phi_\beta\phi_\alpha=0\), 不能当作带非零复数本征值的普通 Fock 态.

1.5.1 Boson Coherent States

Definition Boson 相干态. 若模式数无限, 以下 Fock 态要求 \(\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2\lt\infty\).

\[|\phi\rangle = \exp\!\left(\sum_\alpha \phi_\alpha a_\alpha^\dagger\right)|0\rangle.\]

交叠 \(\langle \phi|\phi'\rangle=\exp(\phi^*\cdot \phi')\). 本节采用未归一化的相干态, \(\langle\phi|\phi\rangle=\mathrm{e}^{\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2}\); 归一化时乘以 \(\mathrm{e}^{-\sum_\alpha|\phi_\alpha|^2/2}\). 不同相干态仍不正交, 它们是过完备的.
封闭关系 \(\int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle \phi|=1\), 其中
\[\mathrm{d}\mu(\phi) = \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\phi_\alpha^*\,\mathrm{d}\phi_\alpha}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left(-\sum_\alpha |\phi_\alpha|^2\right) \equiv \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_\alpha)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_\alpha)}{\pi} \exp\!\left(-\sum_\alpha |\phi_\alpha|^2\right).\]
复测度约定 \(\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi=2\mathrm{i}\,\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi)\), 以下保持这个方向.

Proof 单模情形下,
\[|\phi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle, \qquad \mathrm{d}\mu(\phi) = \frac{\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi}{2\pi\mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-|\phi|^2}.\]
令 \(\phi=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), 则
\[\begin{aligned} \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle\phi| &= \sum_{mn} \frac{|m\rangle\langle n|}{\sqrt{m!n!}} \int \frac{\mathrm{d}\phi^*\,\mathrm{d}\phi}{2\pi\mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-|\phi|^2}\phi^m(\phi^*)^n\\ &= \sum_{mn} \frac{|m\rangle\langle n|}{\sqrt{m!n!}} \int_0^\infty \mathrm{d}(r^2)\,\mathrm{e}^{-r^2}(r^2)^{(m+n)/2} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(m-n)\theta}\\ &= \sum_n \frac{|n\rangle\langle n|}{n!} \int_0^\infty \mathrm{d}(r^2)\,\mathrm{e}^{-r^2}(r^2)^n = \sum_n |n\rangle\langle n|. \end{aligned}\]
多个相互独立的模式逐模因子化, 因而
\[\int \mathrm{d}\mu(\{\phi_\alpha\})\,|\{\phi_\alpha\}\rangle \langle\{\phi_\alpha\}| = \sum_{\{n_\alpha\}}|\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|\]
对 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_N\) 的求和计数的是有序标签. 对于固定的占据数组态 \(\{n_\alpha\}\), 同一个物理态会出现 \(N!/\prod_\alpha n_\alpha!\) 次. 固定 \(N\) 粒子完备关系中的因子 \(\prod_\alpha n_\alpha!/N!\) 正是用来消去这个简并计数. 因此固定 \(N\) 的完备关系可写为
\[\sum_{\{n_\alpha\};\sum_\alpha n_\alpha=N} |\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|=\hat 1_{\mathsf{N}}.\]
对所有 \(N\) 求和得到
\[\sum_{\{n_\alpha\}}|\{n_\alpha\}\rangle\langle\{n_\alpha\}|=\hat 1\]
迹 \(\operatorname{Tr}\hat{A}=\sum_n \langle n|\hat{A}|n\rangle=\int \mathrm{d}\mu(\phi)\,\langle \phi|\hat{A}|\phi\rangle\).
相干态表示
\[|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle\langle \phi|\psi\rangle \equiv \int \mathrm{d}\mu(\phi)\,|\phi\rangle \psi(\phi^*),\]
\(\psi(\phi^*)\equiv \langle \phi|\psi\rangle\) 关于 \(\phi^*\) 是反全纯函数.
算符表示
\[a_\alpha \rightarrow \frac{\partial}{\partial \phi_\alpha^*}, \qquad a_\alpha^\dagger \rightarrow \phi_\alpha^*.\]
Proof
\[\begin{aligned} \langle \phi|a_\alpha|\psi\rangle &= \int \mathrm{d}\mu(\phi')\,\langle \phi|a_\alpha|\phi'\rangle\langle \phi'|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi')\,\phi_\alpha' \mathrm{e}^{\phi^*\cdot \phi'}\psi(\phi'^*) = \frac{\partial}{\partial \phi_\alpha^*}\psi(\phi^*)\\ \langle \phi|a_\alpha^\dagger|\psi\rangle &= \phi_\alpha^*\langle \phi|\psi\rangle \equiv \phi_\alpha^*\psi(\phi^*) \end{aligned}\]
Remark 由此可以对 \(\psi(\phi^*)\) 建立"Schrödinger 方程", 即将 \(\langle\phi|\) 左乘 \(|\psi\rangle\) 满足的 Schrödinger 方程.
由封闭关系可得再生核
\[\psi(\phi'^*) = \langle\phi^{\prime}|\psi\rangle = \int\mathrm{d}\mu(\phi)\, \langle\phi^{\prime}|\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\phi)\, \mathrm{e}^{\phi'^*\cdot \phi}\, \psi(\phi^*).\]
正规序算符的矩阵元 \(\langle \phi|\hat{A}(a^\dagger,a)|\phi'\rangle=A(\phi^*,\phi')\,\mathrm{e}^{\phi^*\cdot \phi'}\).

粒子数的平均值和方差

\[\bar{N} \equiv \frac{\langle \phi|\hat{N}|\phi\rangle}{\langle \phi|\phi\rangle} = \sum_\alpha |\phi_\alpha|^2, \qquad (\Delta N)^2 \equiv \frac{\langle \phi|(\hat{N}-\bar{N})^2|\phi\rangle}{\langle \phi|\phi\rangle} = \bar{N}.\]

在极限 \(\bar{N}\to \infty\) 下, \(\Delta N/\bar{N}\to0\), 总粒子数的相对涨落变小. 当所考察模式具有大占据数, 且相关场可观测量的相对涨落可忽略时, 相干态可用于描述经典场; 总粒子数很大本身不保证每个模式或任意可观测量都满足这一条件. 例如, 大振幅声子相干态可描述经典声波, 光子(photon)相干态可描述经典电磁波.

1.5.2 Grassmann Algebra

Definition Grassmann 代数: Grassmann 代数由一组生成元 \(\{\xi_\alpha\}\), \(\alpha=1,\ldots,n\) 定义, 它们反对易:

\[\xi_\alpha\xi_\beta+\xi_\beta\xi_\alpha=0.\]

显然有 \(\xi_\alpha^2=0\).

Definition Grassmann 数: Grassmann 代数中的元素是以下有序单项式的复系数线性组合, 不仅包含一次生成元:

\[\{1,\xi_\alpha,\xi_{\alpha_1}\xi_{\alpha_2},\ldots,\xi_{\alpha_1}\xi_{\alpha_2}\cdots \xi_{\alpha_n}\}.\]

各单项式的指标严格递增, 因而 \(n\) 个独立生成元张成 \(2^n\) 维代数. 按生成元个数的奇偶性区分偶元素和奇元素: 偶元素与所有元素对易, 奇元素彼此反对易; 并非任意两个 Grassmann 数都反对易.

在该 \(2^n\) 维空间上作左乘可得到一个忠实的 \(2^n\times2^n\) 矩阵表示. 对不要求忠实的表示, 不能由此推断矩阵维数下限.
共轭:
\[(\xi_\alpha)^*=\xi_\alpha^*, \qquad (\xi_\alpha^*)^*=\xi_\alpha, \qquad (\lambda \xi_\alpha)^*=\lambda^*\xi_\alpha^*, \qquad (\xi_{\alpha_1}\cdots \xi_{\alpha_n})^* = \xi_{\alpha_n}^*\cdots \xi_{\alpha_1}^*.\]
Remark 应将 \(\xi_\alpha\) 和 \(\xi_\alpha^*\) 视为两个独立的 Grassmann 变量.

Definition Grassmann 函数: 由于 \(\xi_\alpha^2=0\), 存在截断

\[f(\xi)=f_0+f_1\xi, \qquad A(\xi^*,\xi)=a_0+a_1\xi+\bar{a}_1\xi^*+a_{12}\xi^*\xi.\]

Definition Grassmann 导数: 以下均采用左导数. 它是奇算子, 对齐次奇偶性的多项式 \(F\), 以 \(|F|=0\) 表示偶元素、\(|F|=1\) 表示奇元素, 分级 Leibniz 规则为

\[\frac{\partial}{\partial\xi}(FG) =\left(\frac{\partial F}{\partial\xi}\right)G +(-1)^{|F|}F\frac{\partial G}{\partial\xi}.\]

例如

\[\frac{\partial}{\partial \xi}(\xi^*\xi)=-\xi^*, \qquad \frac{\partial}{\partial \xi^*}(\xi^*\xi)=\xi\]

Definition Grassmann 积分: 积分由以下规则定义

\[\int \mathrm{d}\xi\,1=0, \qquad \int \mathrm{d}\xi\,\xi=1, \qquad \int \mathrm{d}\xi^*\,1=0, \qquad \int \mathrm{d}\xi^*\,\xi^*=1.\]

Berezin 积分等于相应的左导数. 多重积分按固定测度顺序从右向左执行; 本节约定 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi^*\xi=-1\), 因而 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi^*\xi}=1\). 使用这些规则时须保持上述测度排序.

Remark \(\xi_\alpha\) 和 \(\xi_\alpha^*\) 是独立变量, 因而交叉积分已由上述规则确定, 例如 \(\int\mathrm{d}\xi^*\,\xi=0\). 不同的积分算子彼此反对易, 积分算子穿过其他奇变量时也须保留负号.
Proposition 对任意 Grassmann 多项式 \(A(\xi^*,\xi)\), 有
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, e^{-\xi^*\xi} \left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A =0.\]
Proof 按 Grassmann 多项式展开 \(A(\xi^*,\xi)=a_0+a_1\xi+\bar{a}_1\xi^*+a_{12}\xi^*\xi\). 由 \(\xi^2=(\xi^*)^2=0\) 和 \(\xi\xi^*=-\xi^*\xi\), 得
\[e^{-\xi^*\xi}\left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A = (1-\xi^*\xi)\left(\xi A-\frac{\partial A}{\partial\xi^*}\right) = -\bar{a}_1+(a_0-a_{12})\xi.\]
右边没有 \(\xi^*\xi\) 项, 因而按 Grassmann 积分规则,
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, e^{-\xi^*\xi} \left(\xi-\frac{\partial}{\partial\xi^*}\right)A =0.\]

Dirac 函数 \(\delta(\xi,\xi')=-(\xi-\xi')\). 筛选性质(记得 \(\xi\) 和 \(\xi^{\prime}\) 交换反对称, 以及平方截断)

\[\int \mathrm{d}\xi'\,\delta(\xi,\xi')f(\xi')=-\int \mathrm{d}\xi'\,(\xi-\xi')(f_0+ f_1\xi')=f_0 + f_1\xi = f(\xi)\]

标量积: 积分测度 \(\mathrm{e}^{-\xi^*\xi}\)

\[\begin{aligned} \langle f|g\rangle &\equiv \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi}f^*(\xi)g(\xi^*) \\ &= \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, (1-\xi^*\xi)(f_0^*+f_1^*\xi)(g_0+g_1\xi^*) \\ &= -\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi^*\xi\,f_0^*g_0 +\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\,\xi\xi^*\,f_1^*g_1 \\ &= f_0^*g_0+f_1^*g_1. \end{aligned}\]

1.5.3 Fermion Coherent States

Definition Fermion 相干态: 令

\[|\xi\rangle = \exp\!\left(-\sum_\alpha \xi_\alpha a_\alpha^\dagger\right)|0\rangle = \prod_\alpha (1-\xi_\alpha a_\alpha^\dagger)|0\rangle.\]

取 Hermitian 共轭得到

\[\langle\xi|=\langle0|\exp\!\left(-\sum_\alpha a_\alpha\xi_\alpha^*\right) =\langle0|\prod_\alpha(1-a_\alpha\xi_\alpha^*).\]

每个乘积因子均为偶元素, 所以不同模的这些因子对易; 真空 bra 只出现一次. 结合奇变量与 Fermion 算符的反对易规则, 有

\[a_\alpha|\xi\rangle=\xi_\alpha|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|a_\alpha^\dagger=\langle \xi|\xi_\alpha^*, \qquad a_\alpha^\dagger|\xi\rangle = -\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha}|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|a_\alpha = \frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\langle \xi|.\]

Remark \(\xi\), \(\xi^*\), \(a\) 和 \(a^\dagger\) 反对易, 且 \((\xi a)^\dagger=a^\dagger \xi^*\).

交叠 \(\langle \xi|\xi'\rangle=\mathrm{e}^{\xi^*\cdot \xi'}\).
封闭关系 \(\int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\,\mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}|\xi\rangle\langle \xi|=1\).
算符的迹
\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}\hat{A} &= \sum_n \langle n|\hat{A}|n\rangle = \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} \sum_n \langle n|\xi\rangle\langle \xi|\hat{A}|n\rangle \\ &= \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} \sum_n \langle -\xi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\xi\rangle \\ &\equiv \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}\,\langle -\xi|\hat{A}|\xi\rangle. \end{aligned}\]
额外的负号来自恒等式
\[\int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi} g(\xi)f(\xi^*) = \int \mathrm{d}\xi^*\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{e}^{-\xi^*\xi} f(-\xi^*)g(\xi).\]
相干态表示
\[|\psi\rangle = \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} |\xi\rangle\langle \xi|\psi\rangle \equiv \int \prod_\alpha \mathrm{d}\xi_\alpha^*\mathrm{d}\xi_\alpha\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi} |\xi\rangle \psi(\xi^*)\]
注意 \(\psi(\xi^*) = \langle\xi|\psi\rangle\). 且有 \(\langle \xi|a_\alpha|\psi\rangle=\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\psi(\xi^*),\langle \xi|a_\alpha^\dagger|\psi\rangle=\xi_\alpha^*\psi(\xi^*)\).
正规序算符的矩阵元 \(\langle \xi|\hat{A}(a^\dagger,a)|\xi'\rangle=\mathrm{e}^{\xi^*\cdot\xi'}A(\xi^*,\xi')\).

Boson 相干态和 Fermion 相干态可用统一记号总结 \(|\xi\rangle=\exp\!\left(\zeta\sum_\alpha \xi_\alpha \hat{a}_\alpha^\dagger\right)|0\rangle\). 它们的基本运算为
\[\hat{a}_\alpha|\xi\rangle=\xi_\alpha|\xi\rangle, \qquad \hat{a}_\alpha^\dagger|\xi\rangle = \zeta\frac{\partial}{\partial \xi_\alpha}|\xi\rangle, \qquad \langle \xi|\hat{a}_\alpha^\dagger = \langle \xi|\xi_\alpha^*, \qquad \langle \xi|\hat{a}_\alpha = \frac{\partial}{\partial \xi_\alpha^*}\langle \xi|.\]
相应封闭关系, 迹公式和相干态表示为
\[1=\int \mathrm{d}\mu(\xi)\,|\xi\rangle\langle\xi|, \qquad \operatorname{Tr}\hat{A} = \int \mathrm{d}\mu(\xi)\,\langle \zeta\xi|\hat{A}|\xi\rangle, \qquad |\psi\rangle = \int \mathrm{d}\mu(\xi)\,|\xi\rangle\psi(\xi^*)\]
其中
\[\mathrm{d}\mu(\xi) = \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\xi_\alpha^*\,\mathrm{d}\xi_\alpha}{\mathcal{N}}\, \mathrm{e}^{-\xi^*\cdot\xi}, \qquad \mathcal{N} = \begin{cases} 2\pi\mathrm{i}, & \text{Bosons},\\ 1, & \text{Fermions}, \end{cases} \qquad \xi^*\cdot\xi'\equiv\sum_\alpha \xi_\alpha^*\xi_\alpha'\]

1.5.4 Gaussian Integrals

复变量 设 \(H\) 为具有正定 Hermitian 部分的矩阵.

\[\int \prod_i \frac{\mathrm{d}z_i^*\,\mathrm{d}z_i}{2\pi \mathrm{i}}\, \mathrm{e}^{-z^\dagger H z+J^\dagger z+z^\dagger J} = [\det H]^{-1}\mathrm{e}^{J^\dagger H^{-1}J}.\]

Grassmann 变量

\(\{\eta_i,\eta_i^*\}\) 和 \(\{J_i,J_i^*\}\) 都是相互反对易的 Grassmann 奇变量, \(H\) 的矩阵元为普通复数. 该含源公式要求 \(H\) 可逆, 但不必正定; 无源积分 \(J=0\) 等于 \(\det H\), 对奇异矩阵也成立.

\[\int \prod_i \mathrm{d}\eta_i^*\,\mathrm{d}\eta_i\, \mathrm{e}^{-\eta^\dagger H\eta+J^\dagger \eta+\eta^\dagger J} = [\det H]\,\mathrm{e}^{J^\dagger H^{-1}J}.\]

Grassmann 变量的线性变换 \[\int \prod_i \mathrm{d}\zeta_i^*\,\mathrm{d}\zeta_i\,P(\zeta^*,\zeta) = \frac{\partial(\eta^*,\eta)}{\partial(\zeta^*,\zeta)} \int \prod_i \mathrm{d}\eta_i^*\,\mathrm{d}\eta_i\, P\!\left(\zeta^*(\eta^*,\eta),\zeta(\eta^*,\eta)\right).\] 这里的偏导记号表示可逆线性变换的 Jacobian 行列式, 且变换前后保持相同的变量与测度排序. 例如把所有 starred/unstarred 坐标合为 \(\boldsymbol\zeta=A\boldsymbol\eta\) 时, 测度因子为 \((\det A)^{-1}\), 即上述 \(\partial(\eta^*,\eta)/\partial(\zeta^*,\zeta)\). 一变量情形 \(\zeta=a\eta\) 给出 \(\mathrm{d}\zeta=a^{-1}\mathrm{d}\eta\), 可直接用 \(\int\mathrm{d}\zeta\,\zeta=1\) 检查方向.

扩展到 Boson, 可以写为统一形式
\[\int \prod_\alpha \frac{\mathrm{d}\xi_\alpha^*\,\mathrm{d}\xi_\alpha}{\mathcal{N}}\, \exp\!\left[ -\sum_{\alpha\beta}\xi_\alpha^*H_{\alpha\beta}\xi_\beta +\sum_\alpha(\eta_\alpha^*\xi_\alpha+\xi_\alpha^*\eta_\alpha) \right] = [\det H]^{-\zeta} \exp\!\left[ \sum_{\alpha\beta}\eta_\alpha^* \left(H^{-1}\right)_{\alpha\beta} \eta_\beta \right].\]

2 Green’s Functions

根据平衡(equilibrium)、零温、实时与否, 选择合适的 Green 函数

Green 函数的常用计算路径, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), §2.4, p.25. 红色式号沿用原讲义编号.

Remark 此图展示常用计算路线, 不表示各类 Green 函数只在某一种温度或状态下存在. 平衡态的实时间关联函数也可定义在有限温度; 热 Green 函数经适当的频率解析延拓可给出相应的实时间响应, 而围道形式同时容纳实时间分支和初始热态的虚时间分支.

2.1 Green’s Functions and Observables

引入 Green 函数是因为准粒子谱, 谱权重以及许多实验可观测物理量都可以用它们表示. 编时(Time-ordered) Green 函数尤其方便用于微扰论和泛函积分.

2.1.1 Time-Ordered Green’s Functions

Notation 本章平衡态单粒子 Green 函数的约定如下:

采用 \(K=H-\mu N\) 生成时间演化, 频率零点位于化学势; 上标 \((H)\) 仅表示 Heisenberg 绘景.
实时间函数含前因子 \(-\mathrm{i}\), 热 Green 函数含前因子 \(-1\), 均不另除以 \(\hbar\).

因此自由传播子的频域分母为

\[\omega-(\epsilon-\mu)/\hbar,\]

后面 Dyson 方程中的能量自能须以 \(\Sigma/\hbar\) 出现.

Definition 实时间 Green 函数

\[G^{(n)}(\alpha_1 t_1,\ldots,\alpha_n t_n;\alpha_1' t_1',\ldots,\alpha_n' t_n') = (-\mathrm{i})^n \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1)\cdots \hat{a}_{\alpha_n}^{(H)}(t_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^{(H)\dagger}(t_n')\cdots \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] \right\rangle,\]

其中上标 \((H)\) 表示 Heisenberg 绘景. 零温平衡时也可用泛函积分计算: 先以带收敛因子的长时间演化投影到基态, 再对含算符插入的振幅除以无插入振幅. 初始试探态须与所选基态有非零重叠; 若基态简并, 还须明确所选态或系综, 不能仅凭形式上的长时间极限确定它.

按时间降序重排算符:
\[\hat{T}\!\left[\hat{O}^{(H)}(t_1)\hat{O}^{(H)}(t_2)\cdots \hat{O}^{(H)}(t_n)\right] = \zeta^P \hat{O}^{(H)}(t_{P1})\hat{O}^{(H)}(t_{P2})\cdots \hat{O}^{(H)}(t_{Pn}).\]
\(P\) 是一个置换, 使得时间满足 \(t_{P1}\gt t_{P2}\gt \cdots \gt t_{Pn}\), 并在等时给出正规序.
Remark 单粒子 Green 函数可以理解为添加一个粒子/空穴的传播幅:
\[\begin{aligned} G(\alpha t;\alpha' t') &= -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t') \right] \right\rangle \\ &= -\mathrm{i} \left\{ \begin{array}{ll} \langle \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t')\rangle = \sum_n \rho_n \langle \hat{a}_\alpha^\dagger \Psi_n(t)|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K}(t-t')/\hbar}|\hat{a}_{\alpha'}^\dagger \Psi_n(t')\rangle, & t\gt t',\\[6pt] \zeta\langle \hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(t')\hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\rangle = \zeta\sum_n \rho_n \langle \hat{a}_{\alpha'} \Psi_n(t')|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K}(t'-t)/\hbar}|\hat{a}_\alpha \Psi_n(t)\rangle, & t\le t'. \end{array} \right. \end{aligned}\]

上述 \(\Psi_n(t)\) 也由 \(K\) 生成时间演化.

Equation of motion 对于非相互作用系统: 假设 Hamiltonian \(\hat{K}_0=\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\), 我们有

\[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}G_0(\alpha t;\alpha' t') &= \hbar \left\langle \left[\hat{a}_\alpha,\hat{a}_{\alpha'}^\dagger\right]_{-\zeta}\right\rangle \delta(t-t') +(\epsilon_\alpha-\mu)G_0(\alpha t;\alpha' t')\\ &= \hbar\delta_{\alpha\alpha'}\delta(t-t') +(\epsilon_\alpha-\mu)G_0(\alpha t;\alpha' t'), \end{aligned}\]

其中我们利用关系式 \(\mathrm{i}\hbar \partial_t \hat{a}_\alpha^{(H)}(t)=\left[\hat{a}_\alpha^{(H)}(t),\hat{K}_0\right]=(\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^{(H)}(t)\).

对于相互作用系统, 运动方程与高阶 Green 函数相关, 自身不封闭.
施加边界条件
\[G_0(\alpha t,\alpha' t') = -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'} \begin{cases} 1+\zeta n_\alpha & t\rightarrow t'+0^+,\\ \zeta n_\alpha & t\rightarrow t', \end{cases} ,\qquad n_\alpha\equiv \langle \hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\rangle\]
解为
\[G_0(\alpha t;\alpha' t') = -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\epsilon_\alpha-\mu)(t-t')} \left[\theta(t-t'-\eta_t)(1+\zeta n_\alpha)+\theta(t'-t+\eta_t)\zeta n_\alpha\right],\]
其中时间移位 \(\eta_t\to0^+\) 固定等时取值; 下式另用收敛率 \(\eta_\omega\to0^+\), 二者分别具有时间和频率量纲.
上一步结果 Fourier 变换为
\[\begin{aligned} \tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) &\equiv \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\,G_0(\alpha t;\alpha' t')\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(t-t')}\\ &= \delta_{\alpha\alpha'} \left[ \frac{1+\zeta n_\alpha}{\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta_\omega} -\frac{\zeta n_\alpha}{\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta_\omega} \right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}. \end{aligned}\]
Proof 记 \(s=t-t'\), \(\omega_\alpha=(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar\). 代入上一式得
\[\begin{aligned} \tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) &= -\mathrm{i}\delta_{\alpha\alpha'} \left[ (1+\zeta n_\alpha)I_+ +\zeta n_\alpha I_- \right],\\ I_+ &= \int_{\eta_t}^\infty \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)s-\eta_\omega s} = \int_{\eta_t}^\infty \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega)s} = \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)\eta_t-\eta_\omega\eta_t}} {\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega},\\ I_- &= \int_{-\infty}^{\eta_t} \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)s+\eta_\omega s} = \int_{-\infty}^{\eta_t} \mathrm{d}s\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega)s} = -\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_\alpha)\eta_t+\eta_\omega\eta_t}} {\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega}. \end{aligned}\]
这里 \(I_+\) 需要在 \(s\to+\infty\) 加入 \(\mathrm{e}^{-\eta_\omega s}\), 而 \(I_-\) 需要在 \(s\to-\infty\) 加入 \(\mathrm{e}^{+\eta_\omega s}\). 因为 \(\mathrm{e}^{\pm\eta_\omega\eta_t}\to1\) 且 \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\alpha\eta_t}\to1\), 分别取两种调节量的零极限即得
\[\tilde{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega) = \delta_{\alpha\alpha'} \left[ \frac{1+\zeta n_\alpha}{\omega-\omega_\alpha+\mathrm{i}\eta_\omega} -\frac{\zeta n_\alpha}{\omega-\omega_\alpha-\mathrm{i}\eta_\omega} \right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}.\]

Definition 虚时间 Green 函数(热 Green 函数): 是虚时 \(t=-\mathrm{i}\tau\), \(\tau\in[0,\hbar\beta)\) 的 Green 函数:

\[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\ldots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\ldots,\alpha_n'\tau_n') = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(\tau_1)\cdots \hat{a}_{\alpha_n}^{(H)}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^{(H)\dagger}(\tau_n')\cdots \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(\tau_1') \right] \right\rangle,\]

其中 \(\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\equiv \mathrm{e}^{\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\hat{a}_\alpha \mathrm{e}^{-\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau},\hat{a}_\alpha^{(H)\dagger}(\tau)\equiv \mathrm{e}^{\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\hat{a}_\alpha^\dagger \mathrm{e}^{-\frac{\hat{K}}{\hbar}\tau}\). 如此定义是因为平衡密度矩阵可视为虚时间区间 \(t=-\mathrm{i}\hbar\beta\) 上的时间演化算符.

Remark \(\hat{a}_\alpha^{(H)\dagger}(\tau)\) 与 \(\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\) 不是 Hermitian 共轭. 热 Green 函数可用有限温度平衡系统的泛函积分计算.
(反)周期性 \(\mathcal{G}|_{\tau_i=0}=\zeta \mathcal{G}|_{\tau_i=\hbar\beta}\), 其中 \(\tau_i\) 表示 Green 函数的一个时间变量. Proof
\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\alpha 0;\alpha'\tau') &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\hat{a}_\alpha\right]\\ &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\left(\mathrm{e}^{\beta \hat{K}}\hat{a}_\alpha \mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\right)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\right]\\ &= -\frac{\zeta}{Z}\operatorname{Tr}\!\left[\mathrm{e}^{-\beta \hat{K}}\hat{a}_\alpha^{(H)}(\hbar\beta)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)\dagger}(\tau')\right] = \zeta \mathcal{G}(\alpha \hbar\beta;\alpha'\tau'). \end{aligned}\]
Definition Matsubara 频率: 由于周期性, 时不变系统的热 Green 函数可展开为 Fourier 级数
\[\mathcal{G}(\alpha\tau,\alpha'\tau') = \frac{1}{\hbar\beta}\sum_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}\mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\omega_n), \qquad \mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\omega_n) = \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}\mathcal{G}(\alpha\tau,\alpha'\tau').\]
离散频率集合定义为
\[\omega_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{\hbar\beta} & \text{Boson}\\[4pt] \dfrac{(2n+1)\pi}{\hbar\beta} & \text{Fermion}, \end{cases} \qquad n\in\mathbb Z\]

Equation of motion 非相互作用系统的 Green 函数:

\[\left( -\frac{\partial}{\partial\tau} -\frac{\epsilon_\alpha-\mu}{\hbar} \right)\mathcal{G}_0(\alpha\tau,\alpha'\tau') = \delta_{\alpha\alpha'}\delta(\tau-\tau').\]

解为 \[\mathcal{G}_0(\alpha\tau,\alpha'\tau') = -\delta_{\alpha\alpha'}\mathrm{e}^{-(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau-\tau')/\hbar} \left[\theta(\tau-\tau'-\eta)(1+\zeta n_\alpha)+\zeta\theta(\tau'-\tau+\eta)n_\alpha\right].\]
周期性给出 \[\zeta n_\alpha = \zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}(1+\zeta n_\alpha), \qquad n_\alpha = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}-\zeta},\] 这就是 Bose-Einstein (\(\zeta=1\)) 或 Fermi-Dirac (\(\zeta=-1\)) 分布函数.
Fourier 变换为 \[\mathcal{G}_{0\alpha\alpha'}(\omega_n) = \delta_{\alpha\alpha'}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta}}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar}.\]

2.1.2 Static Observables

Kinetic
\[\langle\hat{T}\rangle = \mathrm{i}\zeta\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t^+) \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r}} = \mathrm{i}\zeta \mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \frac{\hbar^2k^2}{2m}\, \tilde{G}(\mathbf{k},\omega)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta},\]
这里 \(t^+\equiv t+0^+\), 且
\[G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}' t^+) = -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'t^+) \right] \right\rangle, \qquad \tilde{G}(\mathbf{k},\omega) = \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}t\, G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t')\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')+\mathrm{i}\omega(t-t')}.\]
Interaction
\[\begin{aligned} \langle\hat{V}\rangle &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ \left( \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} +\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 +\mu \right) G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r},\;t'=t^+}\\ &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} \left( \hbar\omega-\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
为推导该公式, 我们利用恒等式:
\[\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t)\, \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{\psi}(\mathbf{r}t) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2-\mu \right)\hat{\psi}(\mathbf{r}t) + \int \mathrm{d}\mathbf{r}'\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t) v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}'t)\hat{\psi}(\mathbf{r}t).\]

Total

\[\begin{aligned} E_0 = \langle\hat{T}+\hat{V}\rangle &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\int \mathrm{d}^3\mathbf{r}\, \left[ \left( \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\mathbf{r}}^2 +\mu \right) G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') \right]_{\mathbf{r}'=\mathbf{r},\;t'=t^+}\\ &= \frac{\mathrm{i}\zeta}{2}\mathcal{V} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}\,\mathrm{d}\omega}{(2\pi)^4}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} \left( \hbar\omega+\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega)\\ &= -\frac{1}{2}\zeta \mathcal{V} \frac{1}{\hbar\beta} \sum_{\omega_n} \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta} \left( \mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\mu \right)\tilde{G}(\mathbf{k},\omega_n) \end{aligned}\]

Remark 使用单粒子 Green 函数计算总能可能有风险: 对单粒子性质影响甚微的看似无害的近似, 可能对总能产生不可控的巨大影响.

2.1.3 Response Functions

Linear Responses 线性叠加对多个场的总响应等于各场响应之和

电导率 为计算系统的电导率, 引入外电场, 并确定电流密度的期望值:
- 外电场在 Hamiltonian 中引入微扰:
  \[\Delta \hat{H} = -e\int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\hat\rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}), \qquad \hat\rho(\mathbf{r})=\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r}).\]
  这里 \(\phi(\mathbf{r})\) 是电势, \(\hat\rho(\mathbf{r})\) 是密度算符.
- 我们需要计算电流密度算符
  \[\hat{\mathbf{j}}(\mathbf{r}) = \frac{\mathrm{i}e\hbar}{2m} \left\{ \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\nabla\hat{\psi}(\mathbf{r}) -\left[\nabla\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\right]\hat{\psi}(\mathbf{r}) \right\},\]
  到电场或 \(\phi(\mathbf{r})\) 的线性阶.
线性响应公式 考虑一个含时无穷小的外场:
\[\hat{H}_U(t)=\hat{H}+\hat{O}\,U(t).\]
- 时间演化算符 \(|\psi(t_f)\rangle=\hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i)|\psi(t_i)\rangle\):
  \[\begin{aligned} \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathcal{U}}(t,t_i) &= \hat{H}_U(t)\hat{\mathcal{U}}(t,t_i)\\ \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i) &= \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\,\hat{H}_U(t) \right]\\ &\equiv \lim_{M\to\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_M)/\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_{M-1})/\hbar} \cdots \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}_U(t_1)/\hbar}, \\ \epsilon &\equiv \frac{t_f-t_i}{M}, \qquad t_k=t_i+(k-1)\epsilon, \qquad k=1\ldots M \end{aligned}\]
  将时间区间 \([t_i,t_f]\) 划分为无穷小时间片, 整个区间的演化算符由所有小时间片的时间演化累积得到.
- 态的响应
  \[\begin{aligned} \delta |\psi(t)\rangle &= \int_{t_i}^{t}\mathrm{d}t'\,U(t') \left. \frac{\delta \hat{\mathcal{U}}(t,t_i)}{\delta U(t')} \right|_{U\to 0} |\psi(t_i)\rangle,\\ \left. \frac{\delta \hat{\mathcal{U}}(t,t_i)}{\delta U(t')} \right|_{U\to 0} &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \hat{\mathcal{U}}(t,t')\hat{O}\hat{\mathcal{U}}(t',t_i) \bigg|_{U\to 0} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\hat{O}^{(H)}(t'),\\ \hat{O}^{(H)}(t) &\equiv \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\hat{O}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar}\\ \implies \delta |\psi(t)\rangle &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t-t_i)/\hbar} \int_{t_i}^{t}\mathrm{d}t_1\, \hat{O}^{(H)}(t_1)|\psi(t_i)\rangle\,U(t_1). \end{aligned}\]
- 期望值 可观测量 \(\hat{R}\) 在时间 \(t\) 的期望值:
  \[\begin{aligned} \delta R(t) &= \sum_n \rho_n \left[ \langle \psi_n(t)|\hat{R}|\delta\psi_n(t)\rangle +\langle \delta\psi_n(t)|\hat{R}|\psi_n(t)\rangle \right]\\ &= -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t_1\, \theta(t-t_1) U(t_1)\, \left\langle \left[ \hat{R}^{(H)}(t),\hat{O}^{(H)}(t_1) \right] \right\rangle\\ D_{RO}^{\mathrm{r}}(t,t') &\equiv \frac{\delta R(t)}{\delta U(t')} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t-t') \left\langle \left[ \hat{R}^{(H)}(t),\hat{O}^{(H)}(t') \right] \right\rangle. \end{aligned}\]
  这就得到了推迟响应函数(Kubo 公式) Remark 响应函数是推迟的——因果性. 它不是编时期望值.

Scattering experiments 探测粒子(如电子或中子)通过相互作用势 \(v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\) 与多体系统中的微观粒子(如电子或原子)相互作用. 例如电子能量损失谱 (EELS); 中子散射.

探测粒子被多体系统散射的截面与密度关联函数有关. 以下记 \(W\) 为约去探针平面波归一化因子后的跃迁率谱, 它与散射截面成比例; 得到绝对微分截面还须计入探针归一化、末态相空间并除以入射通量. 探测粒子从波矢 \(\mathbf{k}\) 散射到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\),

\[W(\mathbf{q},\omega) = \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger(t)\hat\rho_{\mathbf{q}}\rangle,\]

其中 \(\hat\rho_{\mathbf{q}}=\sum_i \exp(-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{r}}_i)\) 是微观粒子密度算符的 Fourier 变换, \(\hbar\omega=E_\beta-E_\alpha\) 为靶系统吸收的能量, \(v_{\mathbf{q}}\) 是相互作用的 Fourier 变换.

Proof 确定探测粒子从波矢 \(\mathbf{k}\) 散射到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\), 被探测系统从 \(|\alpha\rangle\) 跃迁到 \(|\beta\rangle\) 的跃迁矩阵元:

\[\begin{aligned} T_{\alpha\beta}(\mathbf{q}) &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\langle \beta \left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathbf{k}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{r}} \sum_i v(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right| \alpha \right\rangle\\ &= v_{\mathbf{q}} \left\langle \beta \left| \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i} \right| \alpha \right\rangle = v_{\mathbf{q}}\langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle. \end{aligned}\]

该约定的跃迁率由 Fermi 黄金规则确定:

\[\begin{aligned} W_\alpha(\mathbf{q},\omega) =& \frac{2\pi}{\hbar}|v_{\mathbf{q}}|^2 \sum_\beta \delta(E_\beta-E_\alpha-\hbar\omega) \big|\langle \beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle\big|^2 \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \sum_\beta \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_\beta-E_\alpha)t/\hbar} \big|\langle \beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle\big|^2 \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_\beta \mathrm{e}^{\mathrm{i}E_\alpha t/\hbar} \langle\alpha|\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger|\beta\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_\beta t/\hbar} \langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_\beta \langle\alpha|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}\hat{\rho}_\mathbf{q}^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar}|\beta\rangle \langle\beta|\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle \\ =& \frac{|v_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar^2} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle \alpha|\hat\rho_{\mathbf{q}}^\dagger(t)\hat\rho_{\mathbf{q}}|\alpha\rangle. \end{aligned}\]

这里 \(H\) 是未受探针扰动的靶系统 Hamiltonian. 对初态 \(\alpha\) 求平均得到密度关联公式.

角分辨光电子能谱 (ARPES): 光子将电子激发至多体系统之外:
\[I_{\mathbf{k}}(\omega) \propto \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger(0)\hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\rangle.\]

ARPES 技术测量强度正比于 \(f(\omega)A(\mathbf{k},\omega)\), 其中 \(f(\omega)\) 是 Fermi 分布函数. 面板 (b) 和 (c) 分别展示了非相互作用系统和相互作用 Fermi 液体系统的谱函数.

2.1.4 Species of Green’s Functions

编时 Green 函数
\[G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right] \right\rangle.\]
推迟 Green 函数
\[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i}\theta(t-t') \left\langle \left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right]_{-\zeta} \right\rangle.\]
超前 Green 函数
\[G^{\mathrm{a}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = \mathrm{i}\theta(t'-t) \left\langle \left[ \hat{\psi}(\mathbf{r}t),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right]_{-\zeta} \right\rangle.\]
小于 Green 函数
\[G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i}\zeta \left\langle \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t')\hat{\psi}(\mathbf{r}t) \right\rangle.\]
大于 Green 函数
\[G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\mathrm{i} \left\langle \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right\rangle.\]

关系

\(G^{\mathrm{r}}-G^{\mathrm{a}}=G^{>}-G^{\lt }\).
编时 Green 标准定义
\[G=\theta(t-t^{\prime})G^>+\theta(t^{\prime}-t)G^\lt\]
在不同时间取不同值.
推迟/超前 Green 函数严格定义
\[G^{\mathrm{r}} = \theta(t-t')\left[G^{>}-G^{\lt }\right], \qquad G^{\mathrm{a}} = -\theta(t'-t)\left[G^{>}-G^{\lt }\right].\]
仅在未来/过去有值.
共轭关系
\[G^{\mathrm{a}}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = \left[ G^{\mathrm{r}}(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*, \qquad G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\left[ G^{\lt }(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*, \qquad G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') = -\left[ G^{>}(\mathbf{r}'t';\mathbf{r}t) \right]^*.\]

Remark 在平衡系统中, \(G\) 具有系统的微扰论. \(G^{\mathrm{r}/\mathrm{a}}\) 具有更好的解析结构, 并与物理响应相关. \(G^{\lt ,>}\) 与可观测量和散射实验的解释相关.

2.2 Fluctuation-Dissipation Theorem

在平衡系统中, 涨落-耗散定理将不同的 Green 函数联系起来.

2.2.1 Real-Time Green’s Functions

Fourier 表示 为简单起见, 考虑具有空间平移对称性的系统. Green 函数

\[\begin{aligned} G(\mathbf{k},\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')} G(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-0)\\ &= -\mathrm{i}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger \right] \right\rangle. \end{aligned}\]

谱函数

\[\begin{aligned} A(\mathbf{k},\omega) &= \mathrm{i}\left[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)-G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega)\right] = -2\operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)\\ &= \mathrm{i}\left[G^{>}(\mathbf{k},\omega)-G^{\lt }(\mathbf{k},\omega)\right]\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left\langle \hat{a}_{\mathbf{k}}(t)\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger -\zeta\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}}(t) \right\rangle. \end{aligned}\]

求和规则:
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}A(\mathbf{k},\omega) = \left\langle \left[ \hat{a}_{\mathbf{k}}(t),\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger(t) \right]_{-\zeta} \right\rangle =1.\]
态密度(每单位体积、每个内部分量, 以频率为变量):
\[\rho_\omega(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}A(\mathbf{k},\omega).\]
换用能量变量 \(\epsilon=\mu+\hbar\omega\), 定义同一内部分量的能量谱态密度 \(D_\epsilon\). 同一谱测度满足
\[\begin{aligned} \rho_\omega(\omega)\,\mathrm{d}\omega &=D_\epsilon(\epsilon)\,\mathrm{d}\epsilon,\\ D_\epsilon(\epsilon) &=\frac{1}{\hbar}\rho_\omega\!\left(\frac{\epsilon-\mu}{\hbar}\right). \end{aligned}\]
在无相互作用极限, \(D_\epsilon(\epsilon)=\int\mathrm{d}^3k\,\delta(\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}})/(2\pi)^3\) 是每体积、每自旋的能量态密度. 体积为 \(\mathcal{V}\) 的整个系统每自旋态密度为 \(\mathcal{V} D_\epsilon\); 两个自旋分量简并时, 每体积的总能量态密度为 \(D_{\mathrm{tot}}=2D_\epsilon\), 整个系统则为 \(2\mathcal{V} D_\epsilon\). 比较不同归一化时须分别检查体积因子、自旋简并度和 \(\mathrm{d}\epsilon=\hbar\,\mathrm{d}\omega\) 的测度换算.
对于非相互作用系统,
\[A(\mathbf{k},\omega)=2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{\hbar}\right).\]
这给出一个能量 \(\epsilon_\mathbf{k}\), 波矢 \(\mathbf{k}\) 的粒子
在一些相互作用电子系统中, Fermi 面附近 \(\mathbf{k}\) 的 \(A(\mathbf{k},\omega)\) 可出现峰-谷-肩 (peak-dip-hump) 结构: \(\omega=0\) 附近的峰(相干峰), 一个谷, 以及高能宽肩(非相干峰). 相干峰的有限宽度对应有限衰减寿命. 一般 Fermi 液体只要求准粒子峰与非相干背景, 不保证分离的谷或肩; 洁净系统在零温 Fermi 面处的峰宽可趋于零.

涨落-耗散关系 在平衡态下, 所有 Green 函数都可以与谱函数关联.

可以建立关系
\[G^{>}(\mathbf{k},\omega) = \zeta\,\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^{\lt }(\mathbf{k},\omega).\]
Proof 对于 \(\hat{K}|n\rangle=K_n|n\rangle\),
\[\begin{aligned} G^{\lt }(\mathbf{k},\omega) &= -\zeta\frac{\mathrm{i}}{Z} \int \mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \sum_{n,m} \mathrm{e}^{-\beta K_n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(K_m-K_n)t/\hbar} \langle n|\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger|m\rangle \langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\\ &= -\zeta\frac{\mathrm{i}}{Z} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_n} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2 \\ G^{>}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{\mathrm{i}}{Z} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_m} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2\\ &= -\frac{\mathrm{i}}{Z}\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega} \sum_{n,m} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_n} \big|\langle m|\hat{a}_{\mathbf{k}}|n\rangle\big|^2. \end{aligned}\]
因此 \(G^{>}(\mathbf{k},\omega)=\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^{\lt }(\mathbf{k},\omega)\).
应用上述谱函数恒等式, 在 \(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta\ne0\) 时得到以下关系. 对 Boson, 这首先要求 \(\omega\ne0\); 若谱中有零频静态项或凝聚贡献, 须从原始 Lehmann 表示单独保留, 不能在零频处直接除以 \(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1\). KMS 关系在零频仍成立, 但谱函数的差本身不确定两个共同的静态项.
\[\begin{aligned} G^{\lt }(\mathbf{k},\omega) &= -\mathrm{i}\zeta n_\zeta(\omega)A(\mathbf{k},\omega),\\ G^{>}(\mathbf{k},\omega) &= -\mathrm{i}\left[1+\zeta n_\zeta(\omega)\right]A(\mathbf{k},\omega),\\ n_\zeta(\omega) &\equiv \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta}. \end{aligned}\]
Proof 由 \(A=\mathrm{i}(G^>-G^\lt )\) 和上一条关系 \(G^>=\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^\lt \), 有
\[A(\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i} \left(\zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1\right) G^\lt (\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i}\zeta \left(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta\right) G^\lt (\mathbf{k},\omega).\]
因此
\[G^\lt (\mathbf{k},\omega) = -\mathrm{i}\zeta n_\zeta(\omega)A(\mathbf{k},\omega), \qquad G^>(\mathbf{k},\omega) = \zeta\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}G^\lt (\mathbf{k},\omega) = -\mathrm{i}\left[1+\zeta n_\zeta(\omega)\right]A(\mathbf{k},\omega).\]
利用 Green 函数种类之间的关系, 我们有
\[\begin{aligned} G(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} A(\mathbf{k},\omega_1) \left[ -\frac{\zeta n_\zeta(\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta} +\frac{1+\zeta n_\zeta(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta} \right],\\ G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta},\\ G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta}. \end{aligned}\]
Proof 先写出反 Fourier 变换
\[G^{>,\lt }(\mathbf{k},t) = \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_1 t} G^{>,\lt }(\mathbf{k},\omega_1).\]
对推迟 Green 函数,
\[\begin{aligned} G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \theta(t)\left[G^>(\mathbf{k},t)-G^\lt (\mathbf{k},t)\right]\\ &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega_1) \frac{1}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta}, \end{aligned}\]
其中用了 \(G^>-G^\lt =-\mathrm{i}A\) 和 \(t>0\) 半轴的收敛处理
\[\int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1)t-\eta t} = \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta)t} = \frac{\mathrm{i}}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta}.\]
等价地, 对 \(t>0\) 的部分取 \(\omega\to\omega+\mathrm{i}0^+\), 使分母的极点 \(\omega=\omega_1-\mathrm{i}0^+\) 位于下半平面, 从而在上半平面解析.

类似地, 由 \(G^{\mathrm{a}}=-\theta(-t)(G^>-G^\lt )\) 和 \(t\lt 0\) 半轴的收敛处理
\[\int_{-\infty}^0 \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1)t+\eta t} = \int_{-\infty}^0 \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta)t} = -\frac{\mathrm{i}}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta}\]
即对 \(t\lt 0\) 的部分取 \(\omega\to\omega-\mathrm{i}0^+\), 极点 \(\omega=\omega_1+\mathrm{i}0^+\) 位于上半平面. 这给出超前 Green 函数的谱表示.

对编时 Green 函数使用 \(G=\theta(t)G^>+\theta(-t)G^\lt \), 同时保留这两个半轴处方, 再代入
\[G^>=-\mathrm{i}[1+\zeta n_\zeta]A, \qquad G^\lt =-\mathrm{i}\zeta n_\zeta A\]
得到第一式.
实部和虚部:
\[\begin{aligned} \operatorname{Re}G(\mathbf{k},\omega) &= \operatorname{Re}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = \operatorname{Re}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega)\\ &= \mathcal{P} \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\omega-\omega_1}\\ \operatorname{Im}G(\mathbf{k},\omega) &= -\left[ \tanh\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \right]^{-\zeta} \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
Proof 对上一个 Proof 中确定的极点处方使用 Plemelj 公式
\[\frac{1}{x\pm\mathrm{i}\eta} = \mathcal{P}\frac{1}{x} \mp \mathrm{i}\pi\delta(x).\]
三个谱表示的实部均来自主值积分, 因而相同. 虚部由 \(\delta(\omega-\omega_1)\) 给出:
\[\begin{aligned} \operatorname{Im}G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1}{2}A(\mathbf{k},\omega),\\ \operatorname{Im}G(\mathbf{k},\omega) &= -\frac{1}{2} \left[1+2\zeta n_\zeta(\omega)\right] A(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]
最后
\[1+2\zeta n_\zeta(\omega) = \frac{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}+\zeta} {\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta} = \left[ \tanh\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \right]^{-\zeta},\]
得到所列结果.

2.2.2 Thermal Green’s Function and Analytic Continuation

热谱表示 热 Green 函数也可以与谱函数关联:

\[\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)}{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}.\]

Proof 在 \(0\lt \tau\lt \hbar\beta\) 内, 热 Green 函数可写成

\[\mathcal{G}(\mathbf{k},\tau) = -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega_1) \frac{\mathrm{e}^{-\omega_1\tau}} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}}.\]

作 Matsubara Fourier 变换,

\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega_n-\omega_1)\tau}\\ &= -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\, \frac{A(\mathbf{k},\omega_1)} {1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}} \frac{ \mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega_n-\omega_1)\hbar\beta}-1 }{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}. \end{aligned}\]

由于离散 Matsubara 频率满足 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\hbar\beta}=\zeta\), 分子为 \(-[1-\zeta\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_1}]\), 从而得到热谱表示.

解析延拓 有限温度下的实时 Green 函数可通过解析延拓从热 Green 函数得到:

这里的延拓由谱表示定义: 对实轴外的 \(z\), 取 \(\mathcal{G}(\mathbf{k},z)=\int \mathrm{d}\omega'\,A(\mathbf{k},\omega')/[2\pi(z-\omega')]\). 在谱权重可积的情形, 任意离实轴有正距离的紧集上, 被积函数及其 \(z\) 导数有可积控制, 因而可在积分号下求导. 这给出上下半平面的解析函数, 它们在 Matsubara 点与热 Green 函数一致. 取边界值并用 \((x\pm\mathrm{i}0^+)^{-1}=\operatorname{PV}(1/x)\mp\mathrm{i}\pi\delta(x)\), 即得到以下关系. 实轴极点按分布理解; 有限个含噪 Matsubara 数据并不唯一确定一个谱函数, 不能只用任意插值后作变量替换.

我们有
\[G^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega+\mathrm{i}\eta}, \qquad G^{\mathrm{a}}(\mathbf{k},\omega) = \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega-\mathrm{i}\eta}.\]
有了热 Green 函数的解析形式, 谱函数可由下式确定
\[A(\mathbf{k},\omega) = \mathrm{i}\left[ \left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega+\mathrm{i}\eta} -\left.\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\right|_{\mathrm{i}\omega_n\to \omega-\mathrm{i}\eta} \right].\]
在热平衡、时间平移不变且使用 \(K=H-\mu N\) 生成演化时, 令 \(n_\zeta(\omega)=[\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-\zeta]^{-1}\), 则非奇异频率部分满足 \(G^\lt=-\mathrm{i}\zeta n_\zeta A\)、\(G^>=-\mathrm{i}(1+\zeta n_\zeta)A\), 其中 Boson 取 \(\zeta=1\), Fermion 取 \(\zeta=-1\). 对 Boson 的零频静态项或凝聚贡献, 仍须从原始 Lehmann 表示单独保留, 不能仅由谱函数的差恢复.

2.3 Non-equilibrium Green’s Function

引入非平衡 (Keldysh 或时间轮廓编时) Green 函数是因为:

实时 Green 函数直接与物理可观测量相关但难以计算;
解析延拓仅在具有热 Green 函数解析表达式时有用. 数值计算时, 热 Green 函数仅定义在离散 Matsubara 频率上, 此时解析延拓在数值上不稳定;
在非平衡系统中, 例如由超出线性响应区域的强外场驱动的系统, 涨落-耗散关系不适用.

Definition 非平衡 Green 函数: 统一了所有 Green 函数.

Notation 设初始时刻 \(t_{\mathrm i}=-T_0/2\), \(H_{\mathrm i}=H(t_{\mathrm i})\), \(K_{\mathrm i}=H_{\mathrm i}-\mu N\), 初态为 \(\rho_{\mathrm i}=\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm i}}/Z_{\mathrm i}\), \(Z_{\mathrm i}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm i}}\). 初始平衡态要求 \([H_{\mathrm i},N]=0\). 本节实时间支局部改用物理 \(H(t)\) 生成演化, 后续外场不必保持平衡; 虚时支则固定使用初态 \(K_{\mathrm i}\). 轮廓生成元记为

\[\mathscr{H}_C(z)= \begin{cases} H(z), &z\in C_1\cup C_2,\\ K_{\mathrm i}, &z=t_{\mathrm i}-\mathrm{i}\tau\in C_\beta. \end{cases}\]

以下 \(\mathcal U\) 沿相应分支由该生成元定义. 在定态且守粒子数时, 以 \(K=H-\mu N\) 和 \(H\) 生成的单粒子 Green 函数满足 \(G_K(t,t')=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu(t-t')/\hbar}G_H(t,t')\); 此处下标仅区分生成元. 下面实时间 \(G\)、\(G^\gt\)、\(G_C\) 均采用本节的 \(H\) 约定.

观察到所有 Green 函数(如 \(G^{>}\))都可转化为时间轮廓(Time Contour) \(C\) 编时迹, 而后者可用泛函积分计算. 这里的(反)周期性只指初态迹在轮廓起点与虚时支末端的缝合条件, 不能据此对非平衡实时间关联使用 KMS 条件或平衡 FDT.

热 Green 函数: 这里是初态 \(K_{\mathrm i}\) 的平衡虚时函数.
\[\begin{aligned} \mathcal{G}(\mathbf{r}\tau;\mathbf{r}'\tau') &= -\left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}\tau)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'\tau') \right] \right\rangle\\ &= \begin{cases} -\dfrac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\hbar\beta-\tau)/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\tau-\tau')/\hbar} \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}\tau'/\hbar} \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }, & \tau\gt \tau',\\[12pt] -\zeta\dfrac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\hbar\beta-\tau')/\hbar} \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}(\tau'-\tau)/\hbar} \hat{\psi}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\hat{K}_{\mathrm i}\tau/\hbar} \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }, & \tau\le \tau', \end{cases}\\ &= -\frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_\tau \exp\!\left( -\frac{1}{\hbar}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\hat{K}_{\mathrm i} \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}\tau)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'\tau') \right] }{ \operatorname{Tr}\!\left[ \exp\!\left( -\frac{1}{\hbar}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,\hat{K}_{\mathrm i} \right) \right] }. \end{aligned}\]
其中 \(\hat{\psi}(\mathbf{r}\tau)\) 和 \(\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'\tau')\) 不是 Heisenberg 算符;其时间变量表示它们在时间有序迹中的插入位置.
其他 Green 函数:
\[\begin{aligned} G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= -\mathrm{i} \left\langle \hat{\psi}^{(H)}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^{(H)\dagger}(\mathbf{r}'t') \right\rangle\\ &= -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0}{2},t\right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\mathcal{U}}(t,t') \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\mathcal{U}}\!\left(t',-\frac{T_0}{2}\right) \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }\\ &= -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0^-}{2}-\mathrm{i}\hbar\beta,-\frac{T_0^-}{2}\right) \hat{\mathcal{U}}\!\left(-\frac{T_0^-}{2},t^-\right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) \hat{\mathcal{U}}(t^-,t'^+) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') \hat{\mathcal{U}}\!\left(t'^+,-\frac{T_0^+}{2}\right) \right] }{ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}_{\mathrm i}} }\\ &\equiv -\mathrm{i} \frac{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}t^-)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t'^+) \right] }{ \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \right] }. \end{aligned}\]
其中时间 \(t^-\) 和 \(t'^+\) 的上标指示时间所属的时间轮廓 \(C\) 的分支.

Definition 轮廓编时 Green 函数

\[G_C(\mathbf{r}t,\mathbf{r}'t') = -\frac{\mathrm{i}}{Z_{\mathrm i}} \operatorname{Tr}\!\left[ \hat{T}_C \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C \mathrm{d}t\,\hat{\mathscr H}_C(t) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}t)\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}'t') \right].\]

轮廓 \(C\) 由两个实时间分支 \(C_1\), \(C_2\) 和一个虚时分支 \(C_\beta\) 构成. 将时间变量分配到实时间分支即可得到实时间 Green 函数:
\[\begin{aligned} G(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{11}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'),\\ G^{>}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{21}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'),\\ G^{\lt }(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t') &= G_C^{12}(\mathbf{r}t;\mathbf{r}'t'). \end{aligned}\]
当两点都位于 \(C_\beta\) 上, 用 \(t=t_{\mathrm i}-\mathrm{i}\tau\) 参数化后, \(G_C=\mathrm{i}\mathcal G\); 因子 \(\mathrm{i}\) 来自两者分别采用 \(-\mathrm{i}\) 与 \(-1\) 的定义.
\(G_C\) 的四个实时分量不独立:
\[G_C^{11}+G_C^{22}=G_C^{12}+G_C^{21}.\]

3 Functional Integrals

我们先介绍 Feynman 路径积分. 对于多体系统, 我们介绍相干态泛函积分, 它只是相干基下的"路径积分".

3.1 Feynman Path Integrals

为计算时间演化函数

\[\mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) = \left\langle x_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)/\hbar} \right|x_i\right\rangle,\]

以下以一维 \(x,p\) 推导. \(d\) 维时应同时采用 \(d\) 维积分测度和 \(dM/2\) 次方的归一化因子. 我们如下构造路径积分:

时间切片: 将有限时间区间分为无穷小切片 \(\Delta t=\epsilon\equiv (t_f-t_i)/M\), 并在时间切片之间插入封闭关系:
\[\mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) = \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left\langle x_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{M-1}\right\rangle \left\langle x_{M-1}\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{M-2}\right\rangle \cdots \left\langle x_1\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_i\right\rangle.\]
Trotter 乘积公式: 对于 \(\hat{H}=T(\hat{p})+V(\hat{x})\),
\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}t/\hbar} = \lim_{M\to\infty} \left( \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{T}t/(M\hbar)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{V}t/(M\hbar)} \right)^M.\]
计算每个时间切片的演化函数
- 插入完整的动量基矢:
  \[\left\langle x_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle = \int \mathrm{d}p_n\, \langle x_n|p_n\rangle \left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle.\]
- 将 \(\hat{H}\) 表示为正规形式: 将所有 \(\hat{p}\) 排列在所有 \(\hat{x}\) 的左边.
- 对于充分小的 \(\epsilon\),
  \[\left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle \approx \left\langle p_n\left| 1-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \hat{H} \right|x_{n-1}\right\rangle \approx \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H(p_n,x_{n-1})/\hbar} \langle p_n|x_{n-1}\rangle +O(\epsilon^2).\]
- 对 \(p_n\) 积分: 对于 \(\hat{H}=\hat{p}^{2}/2m+V(\hat{x})\) 的系统,
  \[\begin{aligned} \int \mathrm{d}p_n\, \langle x_n|p_n\rangle \left\langle p_n\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|x_{n-1}\right\rangle &\approx \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p_n\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left[ p_n(x_n-x_{n-1}) -\epsilon\frac{p_n^2}{2m} -\epsilon V(x_{n-1}) \right] \right\}\\ &= \sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon\hbar}} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon}\right)^2 -V(x_{n-1}) \right] \right\}. \end{aligned}\]
Remark 该近似有一定的任意性:
- \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar}\) 还是 \(1-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar\)? —— \(p_n\) 积分应收敛.
- \(V(x_{n-1})\), \(V(x_n)\), 还是 \([V(x_{n-1})+V(x_n)]/2\)? —— 它们在连续极限 \(\epsilon\to 0\) 下等价, 但 \([V(x_{n-1})+V(x_n)]/2\) 对有限 \(\epsilon\) 给出更高精度.
将所有切片上的演化函数串联起来:
\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 -V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x(t)) \right) \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}, \end{aligned}\]
其中隐含 \(x_M=x_f\) 和 \(x_0=x_i\), 且
\[S[x(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t\,L[\dot{x}(t),x(t)]\]
是系统的经典作用量, \(L\) 是 Lagrangian. 连续形式只是离散形式的简记.

Hamiltonian 形式

\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f t_f,x_i t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \prod_{k=1}^{M}\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi\hbar}\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ p_k\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon} -\frac{p_k^2}{2m} -V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t),p(t)]\, \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \bigl(p(t)\dot{x}(t)-H(p(t),x(t))\bigr) \right\}. \end{aligned}\]

注意有 \(M-1\) 个中间位置和 \(M\) 个动量.

Path integral average

\[\begin{aligned} \left\langle O_1(x(t_1))O_2(x(t_2))\right\rangle_S &\equiv \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal{D}[x(t)]\, O_1(x(t_1))O_2(x(t_2)) \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}\\ &= \int \mathrm{d}x_1\,\mathrm{d}x_2 \begin{cases} \mathcal{U}(x_f t_f,x_1 t_1)\,O_1(x_1)\,\mathcal{U}(x_1 t_1,x_2 t_2)\,O_2(x_2)\,\mathcal{U}(x_2 t_2,x_i t_i), & t_1\gt t_2,\\[6pt] \mathcal{U}(x_f t_f,x_2 t_2)\,O_2(x_2)\,\mathcal{U}(x_2 t_2,x_1 t_1)\,O_1(x_1)\,\mathcal{U}(x_1 t_1,x_i t_i), & t_1\lt t_2, \end{cases}\\ &\equiv \left\langle x_f\left| \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1(t_1)\hat{O}_2(t_2) \exp\!\left( -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t\,\hat{H}(t) \right) \right] \right|x_i\right\rangle\\ &= \begin{cases} \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_1)\hat{O}_1\hat{\mathcal{U}}(t_1,t_2)\hat{O}_2\hat{\mathcal{U}}(t_2,t_i) \right|x_i\right\rangle, & t_1\gt t_2,\\[6pt] \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_2)\hat{O}_2\hat{\mathcal{U}}(t_2,t_1)\hat{O}_1\hat{\mathcal{U}}(t_1,t_i) \right|x_i\right\rangle, & t_1\lt t_2, \end{cases}\\ &= \left\langle x_f\left| \hat{\mathcal{U}}(t_f,t_i) \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(t_1)\hat{O}_2^{(H)}(t_2) \right] \right|x_i\right\rangle. \end{aligned}\]

其中 \(t_f\ge t_1,t_2\ge t_i\). 我们注意到:

上述算符表达式中的 \(\hat{O}_1(t_1)\) 和 \(\hat{O}_2(t_2)\) 不是 Heisenberg 算符. 时间参数仅指示算符应插入的位置.
对还依赖于 \(\hat{p}\) 的算符, 先将算符写成正规形式, 再使用 Hamiltonian 形式的路径积分, 并应用替换 \(\hat{O}(\hat{p},\hat{x})\to O(p_{k+1},x_k)\).
平均是上述算符的矩阵元, 不是 Heisenberg 算符的编时乘积.

Commutation relation

对易关系 \([\hat{x},\hat{p}]=\mathrm{i}\hbar\) 对应路径积分恒等式
\[\mathrm{i}\hbar \langle 1\rangle_S = \langle p_\sigma x_\sigma-p_{\sigma+1}x_\sigma\rangle_S, \qquad \sigma=1,\ldots,M-1.\]
它是一般路径积分恒等式的特例
\[\left\langle \frac{\delta F}{\delta x(\sigma)} \right\rangle_S = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle F\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)} \right\rangle_S, \qquad t_i\lt \sigma\lt t_f.\]

Proof

固定端点的路径积分在 \(x(t)\to x(t)+\eta(t)\), \(\eta(t_i)=\eta(t_f)=0\) 下不变. 恒等式只针对内部时间; 以下假设受调节积分的分部积分边界项为零. 因此,
\[\begin{aligned} 0 &= \int \mathcal{D}[x(t)] \left\{ F[x(t)+\eta(t)]\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)+\eta(t)]/\hbar} -F[x(t)]\mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar} \right\}\\ &= \int \mathrm{d}\sigma \int \mathcal{D}[x(t)] \left\{ \frac{\delta F}{\delta x(\sigma)} +\frac{\mathrm{i}}{\hbar}F\frac{\delta S}{\delta x(\sigma)} \right\} \mathrm{e}^{\mathrm{i}S[x(t)]/\hbar}\eta(\sigma) +O(\eta^2). \end{aligned}\]
由于 \(\eta(t)\) 是任意的, 我们得到上述一般恒等式.
这一步在有限切片上取 \(F=x_\sigma\), 用普通偏导 \(\partial x_\sigma/\partial x_\sigma=1\), 而非把连续泛函导数的 \(\delta(0)\) 当成 1. 利用 Hamiltonian 形式, 我们有
\[\langle 1\rangle_S = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle x_\sigma\left[p_\sigma-p_{\sigma+1}-\epsilon V'(x_\sigma)\right] \right\rangle_S.\]
在 \(\epsilon\to 0\) 时得到上述恒等式.

3.2 Imaginary-Time Path Integrals and the Partition Function

虚时路径积分来自替换 \(t\to -\mathrm{i}\tau\).

Imaginary-Time Path Integrals 可由实时间路径积分作替换 \(t\to -\mathrm{i}\tau\) 得到:

\[\begin{aligned} \mathcal{U}(x_f\tau_f,x_i\tau_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x_i,\tau_i}^{x_f,\tau_f} \mathcal{D}[x(\tau)]\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right] \right\}. \end{aligned}\]

其中隐含 \(x_0=x_i\) 和 \(x_M=x_f\); 下文以 \(\mathcal U_E\) 表示这个 Euclidean 核.

配分函数 正是虚时演化算符的迹:
\[Z = \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} = \int \mathrm{d}x\, \left\langle x\left| \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} \right|x\right\rangle = \int \mathrm{d}x\, \mathcal{U}_{E}(x,\hbar\beta;x,0).\]
因此, 其路径积分对 \(\tau\in[0,\hbar\beta)\) 上的所有周期轨迹求和:
\[\begin{aligned} Z &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M}\mathrm{d}x_k \left(\frac{m}{2\pi\epsilon\hbar}\right)^{M/2} \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{x(\hbar\beta)=x(0)} \mathcal{D}[x(\tau)]\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right] \right\}. \end{aligned}\]
其中隐含 \(x_0=x_M\), \(\epsilon=\hbar\beta/M\).

Path integral average 在虚时间区间 \([0,\hbar\beta)\) 上对应 Heisenberg 算符虚时有序乘积的热力学期望值:

\[\begin{aligned} \left\langle O_1(x(\tau_1))O_2(x(\tau_2))\right\rangle_S &\equiv \frac{1}{Z} \int \mathrm{d}x \int_{x,0}^{x,\hbar\beta} \mathcal{D}[x(\tau)]\, O_1(x(\tau_1))O_2(x(\tau_2)) \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar}S[x(\tau)]}\\ &= \frac{1}{Z} \int \mathrm{d}x\, \left\langle x\left| \hat{\mathcal{U}}(-\mathrm{i}\hbar\beta,0) \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right|x\right\rangle\\ &= \frac{1}{Z} \operatorname{Tr}\!\left[ \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right]\\ &\equiv \left\langle \hat{T}\!\left[ \hat{O}_1^{(H)}(\tau_1)\hat{O}_2^{(H)}(\tau_2) \right] \right\rangle. \end{aligned}\]

Classical isomorphism 经典同构将量子粒子映射为具有 \(M\) 个 beads 的经典环状聚合物, 每个珠子对应虚时中一个时刻的粒子.

\[\begin{aligned} H_{\mathrm{iso}}[x(\tau)] &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \frac{m}{2}(\dot{x}(\tau))^2+V(x(\tau)) \right]\\ &\approx \frac{1}{M}\sum_{k=1}^{M} \left[ \frac{1}{2}m\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon}\right)^2 +V(x_{k-1}) \right]. \end{aligned}\]

其中 \(x_0=x_M\). 第一项成为环状聚合物的弹性能.

上图为 \(M=5\) 的情形. \(M\) 也称为 Trotter 数.

该映射是模拟量子系统的路径积分蒙特卡洛/分子动力学 (PIMC/PIMD) 方法的基础.

Exchange symmetry 全同粒子系统的交换对称性将结果修改为

\[Z = \frac{1}{N!}\sum_P \zeta^P \int_{x_i(\hbar\beta)=x_{P(i)}(0)} \prod_i \mathcal{D}[x_i(\tau)]\, \exp\!\left[ -\frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\,\left[\sum_i\frac{m_i}{2}\dot x_i(\tau)^2+V(\{x_i(\tau)\})\right] \right].\]

Remark 置换端点可以实现交换对称性; Boson PIMC 可采样交换循环. Fermion 的置换符号会导致严重的符号问题, 困难程度取决于具体模型和算法.

3.3 Coherent-State Functional Integrals

相干态泛函积分是相干基而非位置基下的"路径积分". 交换对称性的影响由 Hamiltonian 的二次量子化形式自动处理.

在相干基中, 时间演化函数定义为
\[\mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) = \left\langle \psi_f\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)/\hbar} \right|\psi_i\right\rangle.\]
应用时间切片并插入相干态的封闭关系:
\[\mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) = \int \prod_{k=1}^{M-1} \left[ \frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\, \mathrm{e}^{-\psi_k^*\cdot\psi_k} \right] \prod_{k=1}^{M} \left\langle \psi_k\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}/\hbar} \right|\psi_{k-1}\right\rangle,\]
其中 \(\psi_M^*=\psi_f^*\), \(\psi_0=\psi_i\).
将二次量子化 Hamiltonian 表达为正规形式: 产生算符放在湮灭算符左边. 时间切片的矩阵元为
\[\left\langle \psi_k\left| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})/\hbar} \right|\psi_{k-1}\right\rangle \approx \exp\!\left[ \psi_k^*\cdot\psi_{k-1} -\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right].\]
演化函数为:
\[\begin{aligned} \mathcal{U}(\psi_f^*,t_f;\psi_i,t_i) &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M-1} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ \psi_M^*\cdot \psi_{M-1} -\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}H(\psi_M^*,\psi_{M-1}) \right. \\ &\quad\ \left. +\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M-1} \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi_k^*\cdot\frac{\psi_k-\psi_{k-1}}{\epsilon} -H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \mathrm{e}^{\psi_f^*\cdot \psi_f} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}S[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) \\ S[\psi,\psi^*] &= \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi^*(t)\cdot \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} -H(\psi^*(t),\psi(t)) \right]. \end{aligned}\]
固定的边界只有 \(\psi_M^*=\psi^*(t_f)\equiv \psi_f^*\) 和 \(\psi_0=\psi(t_i)\equiv \psi_i\). 连续简写中的 \(\psi_f\) 是把末片写入一阶作用量时的辅助端点值: 外因子 \(\mathrm e^{\psi_f^*\cdot\psi_f}\) 与末片动能项中的 \(-\psi_M^*\cdot\psi_M\) 相消, 恢复上面的离散公式; 不能再把 \(\psi(t_f)=\psi_f\) 当成额外固定的边界.

Remark

连续形式由离散形式定义. 其他离散形式可能导致错误结果.
场变量 \(\psi\) 和 \(\psi^*\) 可有多个分量 \(\psi^\alpha\), \(\psi^{\alpha*}\). 根据分量指标 \(\alpha\) 的含义, 场解释为:
- 若 \(\alpha\equiv \mathbf{r}\) 表示位置: \(\psi^\alpha\to \psi(\mathbf{r},t)\), \(A\cdot B\equiv \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,A(\mathbf{r},t)B(\mathbf{r},t)\);
- 若 \(\alpha\equiv \mathbf{p}\) 表示动量: \(\psi^\alpha\to \psi_{\mathbf{p}}(t)\), \(A\cdot B\equiv \sum_{\mathbf{p}}A_{\mathbf{p}}(t)B_{\mathbf{p}}(t)\).
多粒子系统映射为量子场-Schrödinger 场:
\[S[\psi,\psi^*] = \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}t \left[ \mathrm{i}\hbar\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \psi^*(\mathbf{r},t)\frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} -H[\psi^*,\psi] \right].\]

3.4 Partition Function and Green’s Functions

各种物理量都可以表示为泛函积分.

Partition function 配分函数正是虚时演化算符的迹. 本段为平衡态 grand canonical 配分函数, \(\epsilon=\hbar\beta/M\); \(H[\psi^*,\psi]\) 表示总 Hamiltonian 的正规序符号, 可以包含非局域空间积分. 利用相干态的迹公式:

\[\begin{aligned} Z &= \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat{K}} = \int \left[\frac{\mathrm{d}\psi^*\,\mathrm{d}\psi}{\mathcal{N}}\right] \mathrm{e}^{-\psi^*\cdot\psi} \left\langle \zeta\psi\left| \mathrm{e}^{-\beta\hat{K}} \right|\psi\right\rangle \\ &= \lim_{M\to\infty} \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^*\,\mathrm{d}\psi_k}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ -\frac{\epsilon}{\hbar} \sum_{k=1}^{M} \left[ \hbar\psi_k^*\cdot\frac{\psi_k-\psi_{k-1}}{\epsilon} -\mu \psi_k^*\cdot\psi_{k-1} +H(\psi_k^*,\psi_{k-1}) \right] \right\}\\ &\equiv \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) \\ S[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, \left[ \psi^*(\tau)\cdot(\hbar\partial_\tau-\mu)\psi(\tau) +H(\psi^*(\tau),\psi(\tau)) \right]. \end{aligned}\]

边界条件是相干态迹公式的结果: \(\psi_0=\zeta\psi_M\).

Thermal Green’s functions 热 Green 函数可表示为路径积分平均:

\[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\ldots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\ldots,\alpha_n'\tau_n') = \frac{(-1)^n}{Z} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left(-\frac{S[\psi,\psi^*]}{\hbar}\right)\, \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots \psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1').\]

周期性边界条件 \(\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)\) 隐含成立, \(\psi^*\) 也满足相同的(反)周期条件. 插入点重合时须按离散公式取分裂时间极限.

Contour ordered Green’s function 实时间支用物理 \(H(t)\), 虚时支用初态 \(K_{\mathrm{i}}=H(t_{\mathrm{i}})-\mu N\), 归一化为 \(Z_{\mathrm{i}}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm{i}}}\). 轮廓编时 Green 函数也可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} G_C(\mathbf{r}t,\mathbf{r}'t') &= -\frac{\mathrm{i}}{Z_{\mathrm i}} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \psi(\mathbf{r},t)\psi^*(\mathbf{r}',t') \exp\!\left( \frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_C[\psi,\psi^*] \right),\\ S_C[\psi,\psi^*] &= \int_C \mathrm{d}t\, \left[ \mathrm{i}\hbar\,\psi^*(t)\cdot \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} -\mathscr H_C[\psi^*,\psi;t] \right]. \end{aligned}\]

时间沿轮廓 \(C\) 从 \(t_{\mathrm{i}}\) 向前至观测终点, 再返回 \(t_{\mathrm{i}}\), 最后沿虚时方向到达 \(t_{\mathrm{i}}-\mathrm{i}\hbar\beta\). 初态是 \(\rho_{\mathrm i}=\mathrm e^{-\beta K_{\mathrm i}}/Z_{\mathrm i}\), 后续实时间驱动不要求保持平衡. 在此条件下, 轮廓 \(C\) 两端的场满足(反)周期性边界条件

\[\psi\!\left(-\frac{T_0^+}{2}\right) = \zeta\, \psi\!\left(-\frac{T_0^-}{2}-\mathrm{i}\hbar\beta\right).\]

Non-interacting system

Partition function 配分函数为
\[\begin{aligned} \hat{K}_0 &= \sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha\\ Z_0 &= \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{\alpha*}\,\mathrm{d}\psi_k^\alpha}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left\{ -\sum_{k=1}^{M} \psi_k^{\alpha*} \left[ (\psi_k^\alpha-\psi_{k-1}^\alpha) +\frac{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}{M}\psi_{k-1}^\alpha \right] \right\}\\ &\equiv \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{\alpha*}\,\mathrm{d}\psi_k^\alpha}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left[ -\psi^{(\alpha)\dagger}S^{(\alpha)}\psi^{(\alpha)} \right]\\ &= \lim_{M\to\infty} \prod_\alpha [\det S^{(\alpha)}]^{-\zeta} = \prod_\alpha \left( 1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)} \right)^{-\zeta}. \end{aligned}\]
对 Boson, 上述积分要求每模 \(\epsilon_\alpha-\mu>0\), 有限 \(M\) 取足够大使 \(|a|\lt 1\); 零模或凝聚模须单独处理. Fermion 没有此收敛限制. 其中
\[\begin{aligned} S^{(\alpha)} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & -\zeta a\\ -a & 1 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & -a & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{bmatrix},\\ \psi^{(\alpha)} &= \begin{bmatrix} \psi_1^\alpha\\ \psi_2^\alpha\\ \vdots\\ \psi_M^\alpha \end{bmatrix}, \qquad a = 1-\frac{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}{M}, \\ \det S^{(\alpha)} &= 1-\zeta a^M \to 1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}. \end{aligned}\]
Thermal Green’s function 热 Green 函数:
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0(\alpha\tau_q;\alpha'\tau_r) &= -\delta_{\alpha\alpha'} \frac{\zeta}{Z_0^{(\alpha)}} \left. \frac{\partial^2}{\partial J_q^*\partial J_r} \int \prod_{k=1}^{M} \left[\frac{\mathrm{d}\psi_k^{(\alpha)*}\,\mathrm{d}\psi_k^{(\alpha)}}{\mathcal{N}}\right] \exp\!\left[ -\sum_{jk}\psi_j^{(\alpha)*}S_{jk}^{(\alpha)}\psi_k^{(\alpha)} +\sum_i \left(J_i^*\psi_i^{(\alpha)}+\psi_i^{(\alpha)*}J_i\right) \right] \right|_{J=J^*=0}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'}\zeta \left. \frac{\partial^2}{\partial J_q^*\partial J_r} \exp\!\left( \sum_{jk}J_j^*\left[S^{(\alpha)}\right]^{-1}_{jk}J_k \right) \right|_{J=J^*=0}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'} \left(S^{(\alpha)}\right)^{-1}_{qr}\\ &= -\delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau_q-\tau_r)/\hbar} \left[ \theta(\tau_q-\tau_r)(1+\zeta n_\alpha) +\zeta\theta(\tau_r-\tau_q)n_\alpha \right]. \end{aligned}\]
末行是 \(M\to\infty\) 后非等时 \(q\ne r\) 的结果. 同切片逆矩阵给 \(\mathcal G_{qq}=-(1+\zeta n_\alpha)\), 即 \(0^+\); 正规序密度的插入应使用 \(\psi_k^*\psi_{k-1}\), 对应正规序关联的 \(0^-\) 极限. 其中 \(Z_0^{(\alpha)}\equiv [\det S^{(\alpha)}]^{-\zeta}\).
Matrix formula 配分函数可表示为与基矢选择无关的矩阵形式. 利用矩阵恒等式 \(\det S=\exp(\operatorname{Tr}\ln S)\) 和上述方程, 我们有
\[Z_0 = \exp\!\left[ -\zeta\,\operatorname{Tr}\ln\!\left(-\hat{\mathcal{G}}_0^{-1}\right) \right].\]
\(-\hat{\mathcal{G}}_0^{-1}\) 应解释为类似上面 \(S^{(\alpha)}\) 的矩阵, 其中 \(a\to \hat{a}\equiv 1-\beta(\hat{h}_0-\mu)/M\), 而 \(\hat{h}_0\) 表示单粒子 Hamiltonian 算符.

Quantum Many-Body Theory - 2

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

4 Perturbation Theory

4.1 General Strategy

将 Hamiltonian 分解为两部分 \(\hat{K}=\hat{K}_0+\hat{V}\), 其中 \(\hat{K}_0\) 可解. 可对角化 \(\hat{K}_0\) 并写为
\[\hat{K}_0=\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\hat{a}_\alpha^\dagger \hat{a}_\alpha,\]
而 \(\hat{V}(\hat{a}^\dagger,\hat{a})\) 是 Hamiltonian 的剩余部分, 例如相互作用.

Zeroth-order Hamiltonian 恰当选择 \(\hat{K}_0\) 是求解多体问题最关键的一步. 什么才是合适的选择并不总是显而易见的. 例如, 对于具有电子动能与 Coulomb 二体相互作用、并由均匀正电背景保持中性的电子气 Hamiltonian, 至少有如下两种 \(\hat{K}_0\) 选择:
- 二次量子化 Hamiltonian 的动能部分
  \[\hat{K}_0=\sum_{k\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\mu\right)\hat{a}_{k\sigma}^\dagger \hat{a}_{k\sigma} \qquad \hat{V} = \frac{e^2}{2\mathcal{V}}\sum_{q\ne 0}\sum_{k\sigma,p\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{k+q,\sigma}^\dagger \hat{a}_{p-q,\sigma'}^\dagger \hat{a}_{p,\sigma'} \hat{a}_{k,\sigma}.\]
  这是高密度电子液体相的合适选择.
- 在低密度极限下, 电子形成固体 (Wigner 晶体). Hamiltonian 的一次量子化形式可按电子偏离平衡位置的位移展开为 Taylor 级数. 此时 \(\hat{H}_0\) 应选择为声子的 Hamiltonian, 它代表固体的简谐振动模式: \(\hat H_0=\sum_{\mathbf{q} s}\hbar\omega_{\mathbf{q} s}(\hat b^\dagger_{\mathbf{q} s}\hat b_{\mathbf{q} s}+1/2)\), 其中 \(\mathbf{q},s\) 标记波矢和振动支. 位移展开中三次及更高次的非简谐项给出声子之间的相互作用.
这两种选择代表了电子的两个不同相. 若从 \(\hat{K}_0\) 的不恰当选择出发, 单靠微扰方法永远无法得到正确答案.
将物理量表示为泛函积分:
\[Z = \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S_0[\psi,\psi^*]+S_V[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) = Z_0 \left\langle \exp\!\left( -\frac{S_V[\psi^*,\psi]}{\hbar} \right) \right\rangle_0,\]
其中
\[\begin{aligned} S_0[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \left[ \psi^*(\tau)\cdot \hbar\partial_\tau \psi(\tau) +\sum_\alpha (\epsilon_\alpha-\mu)\psi_\alpha^*(\tau)\psi_\alpha(\tau) \right]\\ S_V[\psi,\psi^*] &\equiv \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, V(\psi^*(\tau),\psi(\tau)), \end{aligned}\]
可观测量期望
\[\left\langle \hat{F}(\psi^*,\psi)\right\rangle_0 \equiv \frac{1}{Z_0} \int_{\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\hat{F}(\psi^*,\psi).\]
将上述相互作用指数按 \(V\) 的幂级数展开:
\[\frac{Z}{Z_0} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n\, \left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0.\]
应用公式计算展开
\[\left\langle \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_k}(\tau_k) \psi_{\beta_k}^*(\tau_k')\cdots \psi_{\beta_1}^*(\tau_1') \right\rangle_0 = (-1)^k\sum_P \zeta^P \mathcal{G}_{0\alpha_{P_k}\beta_k}(\tau_{P_k},\tau_k') \cdots \mathcal{G}_{0\alpha_{P_1}\beta_1}(\tau_{P_1},\tau_1'),\]
此式由 Gaussian 积分公式导出
\[\frac{ \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \psi_{i_1}\psi_{i_2}\cdots \psi_{i_k} \psi_{j_k}^*\cdots \psi_{j_2}^*\psi_{j_1}^*\, \mathrm{e}^{-\sum_{ij}\psi_i^*S_{ij}\psi_j} }{ \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{-\sum_{ij}\psi_i^*S_{ij}\psi_j} } = \sum_P \zeta^P S^{-1}_{i_{P_k}j_k}\cdots S^{-1}_{i_{P_1}j_1},\]
其中 \(S_{ij}^{-1}=-[\mathcal{G}_0]_{ij}\).

Wick’s theorem 本质上是上述公式的重述:
\[\left\langle \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots \psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\beta_n}^*(\tau_n')\cdots \psi_{\beta_1}^*(\tau_1') \right\rangle_0 = \sum \text{all complete contractions}.\]
- 对所有可能的 \(\psi_i\) 与 \(\psi_j^*\) 配对方式求和 (完全缩并). 每个配对代以因子 \(S_{ij}^{-1}\equiv -\mathcal{G}_0(\alpha_i\tau_i,\beta_j\tau_j')\).
- 完全缩并的符号 \(\zeta^P\) 由将配对的 \(\psi_i\) 和 \(\psi_j^*\) 移至相邻位置的置换 \(P\) 决定.

Convergency 微扰论通常给出渐近级数而非收敛级数, 如下简单示例所示:

\[Z(g) = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/2-gx^4/4} \approx \sum_n g^n Z_n.\]

该级数不收敛, 因为对固定 \(g>0\), 当 \(n\to \infty\) 时 \(|g^n Z_n|\sim (4gn/\mathrm{e})^n/\sqrt{n\pi}\to \infty\).
重整求和可为渐近级数定义有限的值, 但不保证原级数收敛. 如下非交错示例须选定主值处方, 且 \(t\to0^+\):
\[\mathcal{P}\!\int_0^\infty \mathrm{d}w\, \frac{\mathrm{e}^{-w/t}}{1-w} \simeq \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^\infty \mathrm{d}w\,w^n\mathrm{e}^{-w/t} = \sum_{n=0}^{\infty} n!t^{n+1}.\]
若无论如何都无法使展开收敛, 则应考虑 \(\hat{K}_0\) 的选择不恰当的可能性, 即存在非平庸相的可能性.

4.2 Finite Temperature Formalism

我们计算两体相互作用的展开
\[V\!\bigl(\psi^*(\tau),\psi(\tau)\bigr) = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta\gamma\delta} (\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\, \psi_\alpha^*(\tau)\psi_\beta^*(\tau)\psi_\delta(\tau)\psi_\gamma(\tau),\]
将完全缩并用图表示即得到 Feynman 图技术.

4.2.1 Labeled Feynman Diagrams

可用一组图表示 \(\left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0\).

General idea
- 每个 \(V(\tau_i)\) 由一个具有两条入线和两条出线的顶点表示, 携带矩阵元 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\).
  
  箭头指示矩阵元中态指标的顺序. 缩并, 即 Green 函数, 由传播子(propagator)线表示. 注意箭头方向并不是时序, 而是从产生到湮灭.
- 对幂级数展开
  \[\frac{Z}{Z_0} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n\, \left\langle V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right\rangle_0.\]
  \(n\) 阶项由具有 \(n\) 个顶点 \(\tau\) (看起来像线但其实叫点)和 \(2n\) 条传播子线(注意四个传播子在封闭图平均下来是两条线)的图表示.
- 以所有可能的方式用传播子线连接相互作用顶点. 画出所有不同的图, 并确定符号和系数.
Distinct labeled diagrams 每个顶点标注时间 \(\tau_i\) 和方向. 每条传播子标注方向. 若两个标注图不能通过变形完全重合 (包括顶点的时间标注和传播子线的方向), 则它们不同.
Signs and coefficients 每个闭合 Fermion 传播子圈贡献符号 \(-1\). \(n\) 阶图具有整体因子 \((-1/\hbar)^n/(2^n n!)\).

Rules for labeled diagrams

画出所有由 \(n\) 个顶点和 \(2n\) 条传播子线连接而成的不同标注图.
为每条传播子线分配态指标, 并包含因子

等时传播子 \(\tau=\tau'\) 解释为 \(\tau'=\tau+0^+\), 因为相互作用处于正规序, 即产生算符在左, 湮灭算符在右.
每个顶点包含因子 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\).
对所有态指标求和, 并对所有时间在区间 \([0,\hbar\beta)\) 上积分.
结果乘以因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n}{n!} \times \frac{1}{2^n} \times \zeta^{n_L} \times (-1)^{2n} = \frac{(-1/\hbar)^n}{2^n n!}\zeta^{n_L},\]
其中 \(n_L\) 是闭合 Fermion 圈数. \((-1/\hbar)^n/n!\) 是幂级数展开系数; \(1/2^n\) 是相互作用势中的系数; \(\zeta^{n_L}\) 是Wick 缩并的符号; \((-1)^{2n}\): 每个缩并对应一个 \(-\mathcal{G}\) 因子, 共 \(2n\) 个缩并.

4.2.2 Unlabeled Feynman Diagrams

仅因 \(\tau\) 标签和顶点箭头方向不同而异的标注图给出相同的贡献. 我们可以通过消除这些标签来简化 Feynman 规则.

Symmetry factor \(S\)

共有 \(2^n n!\) 个对称操作: \(n!\) 个时间标签的置换; \(2^n\) 个顶点方向(虚线)的翻转.
并非所有操作都产生不同的标注图. 对给定的标注图, 存在一个仅产生变形的操作子群. 对称因子 \(S\) 为该子群的阶. 因此给出相同值的不同标注图的数量为
\[\frac{2^n n!}{S}.\]
因此, 标注图只需计算一次, 再将结果乘以上述因子.
Remark Simple rule for determining \(S\):
- 移除一条传播子线得到一个自能图. 对不同传播子线重复此过程以获得 \(2n\) 个自能图.
- 并非所有得到的自能图都不同, 某个图可能出现多次. 若切开后的图没有保持外腿固定的非平凡自同构, 对称因子 \(S\) 等于该图出现的次数. 一般地, 若该次数为 \(m\), 切开图的对称因子为 \(S_{\mathrm{cut}}\), 则 \(S=mS_{\mathrm{cut}}\).

Example \(n = 2\)

这些 \(S\) 是无标号图的对称因子: 保持费米线方向与相互作用端点连接的重标号数, 不按画面中的距离或弯曲程度计数. 五幅图从左到右为 \(4,2,1,2,4\).

后面两个都要联合操作(旋转), 分别转 180 和 90 度.

Rules for unlabeled diagrams

画出所有不含时间标签和顶点方向的不同图.
乘以因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n}{2^n n!} \times \zeta^{n_L} \times \frac{2^n n!}{S} = \frac{(-1/\hbar)^n}{S}\zeta^{n_L}.\]

4.2.3 Hugenholtz Diagrams

我们可通过消除显式的虚线相互作用线进一步简化图解. 引入对称化或反对称化的矩阵元

\[\{\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta\} \equiv (\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta) + \zeta(\alpha\beta|\hat{v}|\delta\gamma).\]

注意矩阵元中 \(\alpha\beta\) 和 \(\gamma\delta\) 的顺序.

Symmetry factor

\[S=2^{n_e}S_D,\]

其中 \(S_D\) 是保持图不变的时间标签置换数, \(n_e\) 是等效传播子线对数. 等效对指两条传播子线始于同一顶点, 终于同一顶点, 指向相同方向. 前几个连通的 Hugenholtz 图为:

一阶:
二阶 (连通):
三阶 (连通):

三阶连通 Hugenholtz 图, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.38, 原讲义式(4.29). 图中 \(S_D\) 和 \(n_e\) 用于对称因子, 不能作为闭合传播子圈数 \(n_L\) 使用; 按上排、下排各从左到右的顺序, \(S=2^{n_e}S_D\) 分别为 2, 3, 2, 24, 6.
Remark Simple rule for determining \(S_D\):
- 依次移除一条非等效传播子线以生成一组自能图. 若两条传播子线构成等效对, 则只需移除一次.
- 仅当切开图没有残余的时间标签置换对称性时, \(S_D\) 等于同一图出现的次数; 一般应直接统计保持原图不变的时间标签置换.
\(n_L\) 确定方法:
- 将 Hugenholtz 图展开为任意一个对应的 Feynman 图;
- 按 Feynman 规则写出相互作用矩阵元, 再将 \((\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta)\) 替换为 \(\{\alpha\beta|\hat{v}|\gamma\delta\}\), 从而遍历所有图像;
- 数出新 Feynman 图中的闭合圈数.
\(n_L\) 按选定的 Feynman 展开计数. 若交换顶点入腿或出腿, 必须同时保留(反)对称矩阵元的排列符号; 最终图值不依赖于展开方式.

Overall factor

\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]

4.2.4 Frequency and Momentum Representation

对于空间和时间均匀的系统, 在动量/频率表象中计算更为便利. 相应对角 \(\alpha\)-基应解释为平面波基, 即 \(\alpha\to \mathbf{k}\).

Discrete momentum 假设粒子被限制在体积为 \(\mathcal{V}=L_xL_yL_z\) 的矩形盒中, 并满足周期性边界条件. 则允许的动量为

\[\mathbf{k} = 2\pi \left( \frac{n_x}{L_x}, \frac{n_y}{L_y}, \frac{n_z}{L_z} \right), \qquad n_x,n_y,n_z\in\mathbb Z.\]

在 \(\mathcal{V}\to\infty\) 极限下, \(\sum_{\mathbf{k}}\mapsto\frac{\mathcal{V}}{(2\pi)^3}\int \mathrm{d}^3k\).

平面波基中的相互作用矩阵元为
\[(\mathbf{k}_1\mathbf{k}_2|\hat{v}|\mathbf{k}_3\mathbf{k}_4) = \frac{1}{\mathcal{V}} \delta_{\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2,\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4}\, \tilde{v}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3).\]
这保证动量守恒.
由于虚时间上的(反)周期性, Green 函数可展开为
\[\mathcal{G}_{0\alpha}(\tau,\tau') \to \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\tau-\tau') = \frac{1}{\hbar\beta} \sum_{\omega_n} \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n)\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n(\tau-\tau')}, \qquad \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar}.\]
其中 \(\omega_n\) 是 Matsubara 频率.
内部时间积分导致每个顶点处频率守恒. 在具有 \(n\) 个顶点的连通图中, 仅有 \(n-1\) 个频率/动量守恒因子是独立的.

Diagram rules

为每条传播子线分配动量和频率, 使之在每个顶点处守恒, 并包含因子
对于起点和终点在同一顶点的传播子, 附加因子 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta}\).
每个顶点包含因子

动量表象的相互作用顶点, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.39, 原讲义式(4.39)–(4.40). 入射动量为 \(\mathbf{k}_1,\mathbf{k}_2\), 出射动量为 \(\mathbf{k}_3,\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3\). 上图为直接顶点, 下图为合并直接与交换项的 Hugenholtz 顶点; 图中省略守恒因子和自旋指标.

Remark 若相互作用不作用于自旋, 显式保留自旋指标时, 下图的势因子为
\[\tilde v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3)\delta_{\sigma_1\sigma_3}\delta_{\sigma_2\sigma_4} +\zeta\tilde v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)\delta_{\sigma_1\sigma_4}\delta_{\sigma_2\sigma_3}.\]
这里采用平移不变且满足 \(\tilde v(\mathbf{q})=\tilde v(-\mathbf{q})\) 的二体势, 动量守恒已令 \(\mathbf{k}_4=\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3\); 守恒因子仍按上文规则计入, 此处只写势与自旋部分. 对于 Fermion, \(\zeta=-1\); 两项的自旋选择条件不能省去后仍当作一般自旋顶点使用.
对每个独立动量/频率进行积分和求和
\[\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n}\int \frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d}.\]
乘以整体因子
\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]
乘以额外因子 \((\hbar\beta\mathcal{V})^{n_c}\), 由整体平移不变性(冗余守恒量)给出. 其中 \(n_c\) 是图中的连通部分数.

Example 写出一阶和二阶(连通) Hugenholtz 图在动量-频率表象中的表达式.

Solution 记 \(j=(\mathbf k_j,\omega_{n_j})\)，\(\mathcal G_0(j)=\mathcal G_0(\mathbf k_j,\mathrm{i}\omega_{n_j})\). 一阶 Hugenholtz 图为

\[\mathcal{D}_1 =(\hbar\beta V) \left(-\frac{1}{2\hbar}\right) \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^2 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2}{(2\pi)^{2d}} \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{n_1}+\omega_{n_2})\eta} \left[v(\mathbf{0})+\zeta v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)\right]\]

二阶两类 Hugenholtz 图可写成

\[\begin{aligned} \mathcal{D}_{21} &=(\hbar\beta V)\frac{1}{2\hbar^2} \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^3 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2},\omega_{n_3}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_3}{(2\pi)^{3d}} \\ &\quad\times \left[v(\mathbf{0})+\zeta v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_1)\right] \left[v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)+\zeta v(\mathbf{0})\right] \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)^2\mathcal{G}_0(3) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{n_1}+\omega_{n_3})\eta} \\ \mathcal{D}_{22} &=(\hbar\beta V)\frac{1}{8\hbar^2} \left(\frac{1}{\hbar\beta}\right)^3 \sum_{\omega_{n_1},\omega_{n_2},\omega_{n_3}} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}_1\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_2\,\mathrm{d}^d\mathbf{k}_3}{(2\pi)^{3d}} \\ &\quad\times \left[v(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_3)+\zeta v(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3)\right]^2 \mathcal{G}_0(1)\mathcal{G}_0(2)\mathcal{G}_0(3)\mathcal{G}_0(4) \end{aligned}\]

其中 \(4=(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_3,\omega_{n_1}+\omega_{n_2}-\omega_{n_3})\); 两式各有三组独立的内部动量和频率.

Example 求均匀体系中直接环图(\(S = 2n\))之和在频率-动量表象中的表达式

Solution 定义单个bubble, 他们共享差值 \((\mathbf{q},\nu_m)\)

\[\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) =\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} \int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{k}}{(2\pi)^d} \mathcal{G}_0(\mathbf{k}+\mathbf{q},\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\nu_m) \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)\]

第 \(n\) 阶直接环图

\[\begin{aligned} \mathcal{D}^{(n)}_{\mathrm{ring}} &=\hbar\beta V \cdot \frac{(-1/\hbar)^n\zeta^n}{2n} \cdot \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \left[ v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]^n \\ &=V\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \frac{1}{2n} \left[ -\frac{\zeta}{\hbar}v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]^n. \end{aligned}\]

按微扰阶数先作形式幂级数求和, 得到 (将其视为通常数项级数时, 要求 \(|\zeta v\Pi_0/\hbar|\lt1\); 交换求和与频率、动量积分还需可积控制)

\[\mathcal{D}_{\mathrm{ring}} =-\frac{V}{2}\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d} \ln\left[ 1+\frac{\zeta}{\hbar}v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \right]\]

对数分支从零耦合处连续选定. 超出级数收敛范围时, 此式是指定分支的延拓或重求和, 不能仅凭形式求和断言收敛; 频率和动量迹仍须按模型所需的正则化处理. 等价地, 利用平移不变性, \(\hat{v}\hat{\Pi}_0\) 在 \((\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m)\) 表象中为对角算符:

\[\langle \mathbf{q},\nu_m|\hat{v}\hat{\Pi}_0|\mathbf{q}',\nu_m'\rangle = v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m) \delta_{\mathbf{q}\mathbf{q}'}\delta_{\nu_m\nu_m'}.\]

因此可将环图和写成 trace-log:

\[\mathcal{D}_{\mathrm{ring}} = -\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathbf{q},\nu_m} \ln\left[ 1+\frac{\zeta}{\hbar}\hat{v}\hat{\Pi}_0 \right],\]

其中 trace 包含动量态计数:

\[\operatorname{Tr}_{\mathbf{q},\nu_m}F(\hat{v}\hat{\Pi}_0) = V\sum_{\nu_m}\int\frac{\mathrm{d}^d\mathbf{q}}{(2\pi)^d}\, F\!\left(v(\mathbf{q})\Pi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu_m)\right).\]

Lemma Matsubara 频率求和公式

\[S(x) =\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n}\frac{e^{\mathrm{i}\omega_n\epsilon}}{\mathrm{i}\omega_n-x} =-\frac{\zeta e^{\epsilon x}}{e^{\hbar\beta x}-\zeta},\qquad 0\lt \epsilon\lt \hbar\beta.\]

Proof 取避开 Matsubara 极点和 \(x\) 的大矩形围道, 对

\[f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\epsilon z}}{(z-x)(\mathrm{e}^{\hbar\beta z}-\zeta)}\]

应用留数定理. Matsubara 极点的留数为 \(\zeta\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\epsilon}/[\hbar\beta(\mathrm{i}\omega_n-x)]\), 因为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\hbar\beta}=\zeta\) 且 \(1/\zeta=\zeta\). 另一极点的留数为 \(\mathrm{e}^{\epsilon x}/(\mathrm{e}^{\hbar\beta x}-\zeta)\).

取矩形上下边位于相邻 Matsubara 极点的中间. 由于 \(0\lt \epsilon\lt \hbar\beta\), 右半平面有 \(\mathrm{e}^{-(\hbar\beta-\epsilon)\operatorname{Re}z}\) 衰减, 左半平面有 \(\mathrm{e}^{\epsilon\operatorname{Re}z}\) 衰减. 上下边沿实部方向的绝对积分一致有界, 再乘 \(1/(z-x)\) 给出随围道高度趋零的贡献. 因而围道积分趋于零, 得

\[\zeta S(x)+\frac{\mathrm{e}^{\epsilon x}}{\mathrm{e}^{\hbar\beta x}-\zeta}=0.\]

乘以 \(\zeta\) 即得结论. \(x\) 不得与求和极点重合; 例如 Bose 情形的 \(x=0\) 须另行处理零模.

4.2.5 The Linked Cluster Theorem

巨势由所有连通图之和决定:

\[\Omega = -\frac{1}{\beta}\ln Z = \Omega_0 -\frac{1}{\beta}\sum(\text{all connected graphs}).\]

Proof 将每种连通真空图的完整权重(含顶点展开系数和内部对称因子)记为 \(C_\gamma\). 任意真空图唯一分解成连通分量. 若同一连通图出现 \(m_\gamma\) 次, 交换这些相同分量给出 \(1/m_\gamma!\), 因而按微扰阶数逐阶有

\[\frac{Z}{Z_0} =\prod_\gamma\sum_{m_\gamma=0}^{\infty}\frac{C_\gamma^{m_\gamma}}{m_\gamma!} =\exp\!\left(\sum_\gamma C_\gamma\right).\]

取对数即得 \(\ln Z=\ln Z_0+\sum_\gamma C_\gamma\). 这是形式幂级数恒等式, 不要求证明整个微扰级数收敛, 也无需假设整数复制数的任意解析延拓. 对带外腿的归一化平均, 不接触任何外腿的真空分量同样指数化, 并与分母 \(Z/Z_0\) 抵消.

4.2.6 Green’s Functions

Green 函数可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} &\mathcal{G}^{(n)} (\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n; \alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') \\ &\quad = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\hat{a}_{\alpha_n}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^\dagger(\tau_n')\cdots\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(\tau_1') \right] \right\rangle \\ &\quad = (-1)^n \frac{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]

Green 函数的计算与 \(\ln Z\) 类似:

只有连通图对 Green 函数有贡献. 此处 “连通” 指图的每一部分都与外顶点相连.
外腿带固定标签, 会去掉可交换外腿带来的因子; 内部仍可能有保持外腿不动的图自同构, 因而一般不能断言对称因子恒为 1. 以下图规则仍需按所用顶点和缩并计数约定计算权重.

Diagram rules 对于 \(r\) 阶图:

画出所有不同的连通图, 由 \(n\) 条外向传播子 \(\alpha_i\tau_i\), \(n\) 条内向传播子 \(\alpha_i^{\prime}\tau_i^{\prime}\) 和 \(r\) 个相互作用顶点组成. 总共 \(n+2r\) 条传播子.

单粒子 Green 函数的连通图展开, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.41, 原讲义式(4.46). 带箭头实线为传播子, 虚线为二体相互作用. 图下 1 为一阶项, \(2^{\prime}\) 为两个一阶正规自能的串接, 2 为二阶正规自能项; 这些分组标记不是对称因子.
赋予顶点和传播子通常的因子.
对所有内部单粒子指标求和, 并将 \(r\) 个内部时间在区间 \([0,\hbar\beta]\) 上积分.
结果乘以因子
\[\frac{1}{S}\left(-\frac{1}{\hbar}\right)^r \zeta^P \zeta^{n_L},\]
其中 \(S\) 为保持外腿固定的图对称因子, \(n_L\) 为闭合传播子圈数, \(P\) 为外向粒子相对于内向粒子的置换. 对于两粒子 Green 函数, 因子 \(\zeta^P\) 生成通常的直接项和交换项.

Proper self-energy 单粒子 Green 函数的图可组织成正规自能插入的链. 记 \(\Sigma\) 为正规自能,

\[\mathcal{G} = \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar^2}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}_0 + \cdots = \mathcal{G}_0+\frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\mathcal{G}.\]

以上乘积应理解为矩阵乘积或卷积. 所得方程为 Dyson 方程, 其解为

\[\mathcal{G} = \left(I-\frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma\right)^{-1}\mathcal{G}_0.\]

这是重整求和的一个例子.

4.3 Zero Temperature Formalism

当多体基态与非相互作用基态有非零重叠时, 可以对零温度 Fermion 系统发展实时间形式体系.

对具有 Bose-Einstein 凝聚的零温 Boson 系统, 必须显式处理凝聚场和反常传播子, 不能直接套用这里的正常态 Fermi 海展开. 是否凝聚取决于维数、相互作用和模型.

4.3.1 Ground-State Energy and Green’s Function

我们寻找以下量的零温度对应物:

基态能表达式 \[Z = \int_{\psi(0)=\zeta\psi(\hbar\beta)} \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left( -\frac{S_0[\psi,\psi^*]+S_V[\psi,\psi^*]}{\hbar} \right) = Z_0 \left\langle \exp\!\left( -\frac{S_V[\psi^*,\psi]}{\hbar} \right) \right\rangle_0,\]
Green 函数 \[\begin{aligned} &\mathcal{G}^{(n)} (\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n; \alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') \\ &\quad = (-1)^n \left\langle T\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\hat{a}_{\alpha_n}(\tau_n) \hat{a}_{\alpha_n'}^\dagger(\tau_n')\cdots\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(\tau_1') \right] \right\rangle \\ &\quad = (-1)^n \frac{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \psi_{\alpha_1}(\tau_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(\tau_n) \psi_{\alpha_n'}^*(\tau_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(\tau_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \mathrm{e}^{-\hbar^{-1}\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\,V(\psi^*(\tau),\psi(\tau))} \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]

Ground-state energy 在同一固定粒子数 \(N_0\) 的扇区内, 令 \(|\Phi_n\rangle\) 和 \(W_n\) 为 \(\hat{H}_0\) 的本征态和本征能量, \(|\Psi_n\rangle\) 和 \(E_n\) 为完整 Hamiltonian \(\hat{H}\) 的本征态和本征能量. 基本关系为

\[\frac{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}_0 T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } = \sum_n |\langle\Phi_0|\Psi_n\rangle|^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_n-W_0)T_0/\hbar} \xrightarrow [\operatorname{Im}T_0\to -\infty]{} |\langle\Phi_0|\Psi_0\rangle|^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_0-W_0)T_0/\hbar}.\]

该关系仅当 \(|\Phi_0\rangle\) 不与 \(|\Psi_0\rangle\) 正交, 且 \(|\Psi_0\rangle\) 非简并时成立.

Gell-Mann and Low theorem 对于 Hamiltonian

\[\hat{H}_\eta(t)=\hat{H}_0+\mathrm{e}^{-\eta |t|}\hat{V}\]

它绝热地开启和关闭相互作用, 若 \(\eta\to 0^+\) 时极限

\[|\Psi_\eta^{(\pm)}\rangle = \frac{U_{\eta I}(0,\pm\infty)|\Phi_0\rangle} {\langle \Phi_0|U_{\eta I}(0,\pm\infty)|\Phi_0\rangle}\]

存在, 则极限态 \(\lim_{\eta\to0^+}|\Psi_\eta^{(\pm)}\rangle\) 是 \(\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}\) 的本征态. 要将其认作基态, 还须排除绝热路径上的能级交叉. 其中

\[U_{\eta I}(t_1,t_2) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}_0t_1/\hbar} U_\eta(t_1,t_2) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H}_0t_2/\hbar}\]

是相互作用绘景中的时间演化算符.

时间域重新定义为:
- \(C_\beta\): \(t=-\mathrm{i}\tau\), \(\tau\in[0,\hbar\beta)\), 用于有限温度形式体系;
- \(C_t\): \(t=(1-\mathrm{i}\eta)t_R\), \(\eta=0^+\), \(t_R\in[-T_0/2,T_0/2]\), 用于零温度实时间形式体系.
基态能移为
\[E_0-W_0 = \lim_{T_0\to (1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\ln\frac{\mathcal{Z}}{\mathcal{Z}_0}, \qquad \mathcal{Z} = \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{H} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle.\]

Notation 下文的平衡 Green 函数采用 \(K=H-\mu N\) 生成时间演化, \(K_0=H_0-\mu N\). 在固定粒子数 \(N_0\) 的投影振幅中, \(\mathcal{Z}_K=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu N_0T_0/\hbar}\mathcal{Z}_H\), 因而 \(\mathcal{Z}_K/\mathcal{Z}_{K0}=\mathcal{Z}_H/\mathcal{Z}_{H0}\), 基态能移仍为 \(E_0-W_0\). 以下泛函积分中的 \(\mathcal{Z}\)、\(\mathcal{Z}_0\) 和 \(\mathcal{U}\) 均采用 \(K\)、\(K_0\) 生成演化; 上标 \((H)\) 只表示 Heisenberg 绘景.

Functional integrals “配分函数” 可用实时间泛函积分计算:

\[\begin{aligned} \mathcal{Z} &= \langle \Phi_0|\hat{\mathcal{U}}(T_0/2,-T_0/2)|\Phi_0\rangle \\ &= \int \mathrm{d}\mu(\psi_f)\,\mathrm{d}\mu(\psi_i)\, \mathcal{U}\!\left( \psi_f^*,\frac{T_0}{2}; \psi_i,-\frac{T_0}{2} \right) \langle \Phi_0|\psi_f\rangle \langle \psi_i|\Phi_0\rangle \\ &= \mathcal{U}\!\left( 0,\frac{T_0}{2}; 0,-\frac{T_0}{2} \right). \end{aligned}\]

为得到最后一行, 须将未占据轨道取 \(b_\alpha=a_\alpha\)、已占据轨道取 \(b_\alpha=a_\alpha^\dagger\), 用这些粒子-空穴算符构造以 \(|\Phi_0\rangle\) 为真空的相干态. 此时两端重叠均为 1, 但 Hamiltonian、粒子数和相互作用也必须改写为 \(b^\dagger,b\) 的正规序多项式, 不能保留原电子场的形式不变. 下文插入原电子算符时, 粒子子空间的 \(a\) 对应 \(b\), 空穴子空间的 \(a\) 对应 \(b^\dagger\).

Perturbative expansion 微扰展开变为

\[\begin{aligned} \mathcal{Z} &= \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \exp\!\left[ \frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_0[\psi^*,\psi] - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \\ &= \mathcal{Z}_0 \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0}, \end{aligned}\]

其中

\[\begin{aligned} S_0[\psi^*,\psi] &\equiv \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \Bigl[ \psi^*(t)\cdot\mathrm{i}\hbar\partial_t\psi(t) - K_0(\psi^*,\psi) \Bigr], \\ \mathcal{Z}_0 &\equiv \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S_0[\psi^*,\psi]/\hbar}, \\ \left\langle F\bigl(\hat{a}^\dagger(t_\alpha),\hat{a}(t_\beta)\bigr) \right\rangle_{K_0} &= \frac{1}{\mathcal{Z}_0} \int \mathcal{D}[\psi^*,\psi]\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}S_0[\psi^*,\psi]/\hbar} F(\psi^*,\psi). \end{aligned}\]

这里 \(K_0(\psi^*,\psi)\)、\(V(\psi^*,\psi)\) 和 \(F(\psi^*,\psi)\) 均指完成粒子-空穴重写后的多项式; 例如 \(K_0=(W_0-\mu N_0)+\sum_\alpha|\epsilon_\alpha-\mu|\psi_\alpha^*\psi_\alpha\). 边界条件为 \(\psi^*(T_0/2)=\psi(-T_0/2)=0\).

Green 函数 零温度 \(n\)-粒子 Green 函数为

\[\begin{aligned} &G^{(n)} (\alpha_1t_1,\cdots,\alpha_nt_n; \alpha_1't_1',\cdots,\alpha_n't_n') \\ &\quad = (-\mathrm{i})^n \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(t_n) \psi_{\alpha_n'}^*(t_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_{K_0} }{ \left\langle \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \hat{V}\!\bigl(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0} }. \end{aligned}\]

Proof 对于单粒子 Green 函数, 可显式证明

\[\begin{aligned} &-\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_{K_0} }{ \left\langle \hat{T}\exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\, \hat{V}\!\bigl(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t)\bigr) \right] \right\rangle_{K_0} } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \langle\Phi_0| \hat{T}\!\left[ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t\,\hat{K}(\hat{a}^\dagger(t),\hat{a}(t))} \hat{a}_{\alpha_1}(t_1)\hat{a}_{\alpha_1'}^\dagger(t_1') \right] |\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \frac{ \langle\Phi_0| \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/(2\hbar)} \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/(2\hbar)} |\Phi_0\rangle }{ \langle\Phi_0|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{K} T_0/\hbar}|\Phi_0\rangle } \\ &\quad = -\mathrm{i} \lim_{T_0\to(1-\mathrm{i}\eta)\infty} \sum_{lm} \frac{\langle\Phi_0|\Psi_l\rangle\langle\Psi_m|\Phi_0\rangle} {|\langle\Phi_0|\Psi_0\rangle|^2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_l+E_m-2E_0)T_0/(2\hbar)} \langle\Psi_l| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_m\rangle \\ &\quad = -\mathrm{i}\langle \Psi_0| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_0\rangle. \end{aligned}\]

所有 \(l\neq 0\) 或 \(m\neq 0\) 的项在倾斜时间极限下被指数压低. 单粒子情形下的最终结果为

\[G^{(1)}_{\alpha_1\alpha_1'}(t_1,t_1') = -\mathrm{i}\langle \Psi_0| \hat{T}\!\left[ \hat{a}_{\alpha_1}^{(H)}(t_1) \hat{a}_{\alpha_1'}^{(H)\dagger}(t_1') \right] |\Psi_0\rangle.\]

4.3.2 Diagram Rules

通过以下替换, 可将有限温度 Feynman 图规则适用于零温度实时间形式体系.

Time substitutions

\[\begin{aligned} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau &\rightarrow \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t, & \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} &\rightarrow \int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}, & \hbar\beta &\rightarrow T_0. \end{aligned}\]

Overall factor

\[\frac{(-1/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S} \rightarrow \frac{(-\mathrm{i}/\hbar)^n\zeta^{n_L}}{S}.\]

Green 函数

\[-\mathcal{G}_{0\alpha}(\tau-\tau') \rightarrow \mathrm{i}G_{0\alpha}(t-t'), \qquad -\tilde{\mathcal{G}}_{0\alpha}(\omega_n) \rightarrow \mathrm{i}\tilde{G}_{0\alpha}(\omega),\]

其中 \(G_0\) 是实时间自由 Green 函数.

基态能的期望值可从所有连通图得到:

\[E_0-W_0 = \lim_{T_0\to\infty} \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0} \sum(\text{all connected diagrams}).\]

4.3.3 Free Fermion Propagators

引入粒子-空穴算符是因为电子湮灭算符并不湮灭非相互作用基态.

对于 \(\epsilon_\alpha\le\mu\), \(\hat{a}_\alpha|\Phi_0\rangle\neq 0\), 因为 \(|\Phi_0\rangle\) 是填充的 Fermi 海而非空态. 定义

\[\hat{b}_\alpha = \begin{cases} \hat{a}_\alpha, & \epsilon_\alpha\gt\mu,\\ \hat{a}_\alpha^\dagger, & \epsilon_\alpha\le\mu. \end{cases}\]

则

\[\hat{K}_0 \equiv \hat{H}_0-\mu\hat{N} = \sum_{\epsilon_\alpha\le\mu}(\epsilon_\alpha-\mu) + \sum_\alpha |\epsilon_\alpha-\mu|\,\hat{b}_\alpha^\dagger\hat{b}_\alpha.\]

算符 \(\hat{b}_\alpha\) 满足通常的正则代数并湮灭非相互作用基态: \(\hat{b}_\alpha|\Phi_0\rangle=0\).

Generating functional 对于自由 Fermion 传播子,

\[\mathscr{G}_0[J^*,J] = \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{a}_\alpha(t)+\hat{a}_\alpha^\dagger(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0},\]

其中对重复的单粒子标签求和. 实时间传播子由下式生成

\[\mathrm{i}G_0(\alpha t;\alpha't') = -\left. \frac{\delta^2\mathscr{G}_0[J^*,J]} {\delta J_\alpha^*(t)\delta J_{\alpha'}(t')} \right|_{J^*=J=0}.\]

Particle and hole sectors 生成泛函分解为粒子部分和空穴部分

\[\begin{aligned} \mathscr{G}_0[J^*,J] &= \mathscr{G}_0^{(+)}[J^*,J]\, \mathscr{G}_0^{(-)}[J^*,J] \\ \mathscr{G}_0^{(+)}[J^*,J] &= \prod_{\epsilon_\alpha\gt\mu} \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{b}_\alpha(t)+\hat{b}_\alpha^\dagger(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0} = \prod_{\epsilon_\alpha\gt\mu} \exp\!\left[ \sum_{jk}J_{\alpha,j}^*(S^{(\alpha)})^{-1}_{jk}J_{\alpha,k} \right], \\ \mathscr{G}_0^{(-)}[J^*,J] &= \prod_{\epsilon_\alpha\le\mu} \left\langle \hat{T}\exp\!\int\mathrm{d}t\, \bigl[J_\alpha^*(t)\hat{b}_\alpha^\dagger(t)+\hat{b}_\alpha(t)J_\alpha(t)\bigr] \right\rangle_{K_0} = \prod_{\epsilon_\alpha\le\mu} \exp\!\left[ \sum_{jk}J_{\alpha,j}(S^{(\alpha)})^{-1}_{jk}J_{\alpha,k}^* \right]. \end{aligned}\]

Gaussian 积分中使用的离散时间二次型矩阵的形式为

\[S^{(\alpha)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{pmatrix}, \qquad a=1-\mathrm{i}\frac{T_0|\epsilon_\alpha-\mu|}{\hbar M}.\]

对于 \(\epsilon_\alpha\gt\mu\),
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t_q;\alpha't_r) = \delta_{\alpha\alpha'}(S^{(\alpha)})^{-1}_{qr} = \delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t_q-t_r)/\hbar} \theta(t_q-t_r-0^+).\]
对于 \(\epsilon_\alpha\le\mu\),
\[\mathrm{i}G_0(\alpha t_q;\alpha't_r) = -\delta_{\alpha\alpha'}(S^{(\alpha)})^{-1}_{rq} = -\delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t_q-t_r)/\hbar} \theta(t_r-t_q+0^+).\]
额外的负号来自交换空穴部分中的 \(J^*\) 和 \(J\).
合并两部分给出完整的时间域传播子
\[\begin{aligned} \mathrm{i}G_0(\alpha t;\alpha't') &= \delta_{\alpha\alpha'} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\epsilon_\alpha-\mu)(t-t')/\hbar} \left[ \theta(t-t'-\eta_t)(1-n_\alpha) - \theta(t'-t+\eta_t)n_\alpha \right], \\ n_\alpha &= \theta(\mu-\epsilon_\alpha). \end{aligned}\]
Fourier 变换为
\[\tilde{G}_{0\alpha}(\omega) = \int\mathrm{d}t\,G_0(\alpha t;\alpha 0)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta_t}} {\omega-(\epsilon_\alpha-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta_\omega\operatorname{sgn}(\epsilon_\alpha-\mu)}.\]
这里 \(\eta_t\to0^+\) 的量纲是时间, \(\eta_\omega\to0^+\) 的量纲是频率. 推导极点约定时用到的阶跃函数 Fourier 表示为
\[\theta(\pm t) = \mp\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega\pm\mathrm{i}\eta_\omega}.\]

4.4 Contour Formalism

围线编时 Green 函数也可表示为泛函积分:

\[\begin{aligned} &G_C^{(n)} (\alpha_1t_1,\cdots,\alpha_nt_n; \alpha_1't_1',\cdots,\alpha_n't_n') \\ &\quad = (-\mathrm{i})^n \frac{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \psi_{\alpha_1}(t_1)\cdots\psi_{\alpha_n}(t_n) \psi_{\alpha_n'}^*(t_n')\cdots\psi_{\alpha_1'}^*(t_1') \right\rangle_0 }{ \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_C\mathrm{d}t\, V\!\bigl(\psi^*(t),\psi(t)\bigr) \right] \right\rangle_0 }. \end{aligned}\]

顶点和缩并计数采用围线上的编时规则, 时间积分沿 Keldysh 围线 \(C=C_1\cup C_2\cup C_\beta\):

\(C_1\) 从初始时刻 \(t_{\mathrm{i}}\) 向前至观测终点;
\(C_2\) 返回 \(t_{\mathrm{i}}\);
\(C_\beta\) 再向下至 \(t_{\mathrm{i}}-\mathrm{i}\hbar\beta\).

各分支的演化生成元为:

实时间支由物理 \(H(t)\) 生成演化;
虚时支由 \(K_{\mathrm i}=H_{\mathrm i}-\mu N\) 生成.

从而编码初态 \(\rho_{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{-\beta K_{\mathrm{i}}}/Z_{\mathrm{i}}\); 初始平衡态取 \([H_{\mathrm{i}},N]=0\).

因而不能将以 \(K=H-\mu N\) 演化得到的 \(\epsilon-\mu\) 频率零点不加转换地用于非平衡实时间支.

Adiabatic assumption 假设相互作用在 \(t=-T_0/2\to -\infty\) 处为零, 沿 \(C_1\) 绝热开启, 并沿 \(C_2\) 绝热关闭. 若初态为无相互作用系综, 垂直段上的相互作用顶点可省去. 若初态有关联, 仅令相互作用在遥远过去趋零并不自动证明垂直段或初始关联记忆消失; 还需绝热制备和所取极限的条件, 特别是对瞬态问题.

Keldysh space 函数 \(A(t,t')\) 属于 Keldysh 空间, 若可写为
\[A(t,t') = A_\delta(t)\delta(t,t') + \theta(t,t')A^>(t,t') + \theta(t',t)A^\lt (t,t').\]
此处 \(t\) 和 \(t'\) 都是围线时间, 而 \(A_\delta(t)\), \(A^>(t,t')\), \(A^\lt (t,t')\) 不依赖于其自变量的围线分支. 函数 \(\delta(t,t')\) 和 \(\theta(t,t')\) 分别为围线 delta-函数和围线 Heaviside 函数. 围线 delta-函数仅当两个时间位于同一分支时非零; 特别地, \(\delta(t^{\pm},t'^{\mp})=0\). 推迟和超前分量定义为
\[\begin{aligned} A^r(t,t') &= A_\delta(t)\delta(t-t') + \theta(t-t')\bigl[A^>(t,t')-A^\lt (t,t')\bigr], \\ A^a(t,t') &= A_\delta(t)\delta(t-t') - \theta(t'-t)\bigl[A^>(t,t')-A^\lt (t,t')\bigr]. \end{aligned}\]
Convolution 若 \(A(t,t')\) 和 \(B(t,t')\) 属于 Keldysh 空间, 则其围线卷积
\[C(t,t') = \int_C\mathrm{d}t_1\,A(t,t_1)B(t_1,t')\]
也属于 Keldysh 空间.
Product 若 \(A(t,t')\) 和 \(B(t,t')\) 属于 Keldysh 空间且其 \(\delta\)-分量恒为零, 则乘积
\[C(t,t') = A(t,t')B(t,t'), \qquad D(t,t') = A(t,t')B(t',t)\]
也属于 Keldysh 空间.

Langreth theorem 将围线定义的量用实时间 Green 函数表示. 以下关系忽略了垂直段 \(C_\beta\) 的贡献, 并假设所有量都属于 Keldysh 空间. 围线定义量的 Langreth 平移规则

Contour	Real axis
\(C=\int_C AB\)	\(C^\lt = \int_t [A^r B^\lt + A^\lt B^a]\) \(C^> = \int_t [A^r B^> + A^> B^a]\) \(C^r = \int_t A^r B^r\) \(C^a = \int_t A^a B^a\)
\(D=\int_C ABC\)	\(D^\lt = \int_t [A^r B^r C^\lt + A^r B^\lt C^a + A^\lt B^a C^a]\) \(D^> = \int_t [A^r B^r C^> + A^r B^> C^a + A^> B^a C^a]\) \(D^r = \int_t A^r B^r C^r\) \(D^a = \int_t A^a B^a C^a\)
\(C(t,t') = A(t,t')B(t,t')\)	\(C^\lt (t,t') = A^\lt (t,t')B^\lt (t,t')\) \(C^>(t,t') = A^>(t,t')B^>(t,t')\) \(C^r(t,t') = A^>(t,t')B^r(t,t') + A^r(t,t')B^\lt (t,t')\) \(C^a(t,t') = A^>(t,t')B^a(t,t') + A^a(t,t')B^\lt (t,t')\)
\(D(t,t') = A(t,t')B(t',t)\)	\(D^\lt (t,t') = A^\lt (t,t')B^>(t',t)\) \(D^>(t,t') = A^>(t,t')B^\lt (t',t)\) \(D^r(t,t') = A^\lt (t,t')B^a(t',t) + A^r(t,t')B^\lt (t',t)\) \(D^a(t,t') = A^\lt (t,t')B^r(t',t) + A^a(t,t')B^\lt (t',t)\)

前两行对应二重和三重围线卷积, 后两行对应点态乘积. 前两行的围线积分解释为

\[C(t,t') = \int \mathrm{d}t_1\,A(t,t_1)B(t_1,t'), \qquad D(t,t') = \int \mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2\, A(t,t_1)B(t_1,t_2)C(t_2,t').\]

4.4.1 Dyson Equation in Keldysh’s Formalism

Dyson 方程可推广到围线 Green 函数:

\[G_C = G_{C0} + \frac{1}{\hbar}G_{C0}\Sigma_C G_C.\]

此处所有量应解释为矩阵, 乘法应解释为矩阵乘法和卷积. 通过应用 Langreth 规则, 该方程可用实时间 Green 函数表达.

以下采用无初始相互作用关联的实时间轮廓, 或从遥远过去绝热制备的情形. 若初态带有关联并保留虚时支, 还需混合实虚时分量给出的初始关联项. 下式中含 \(G_0^\lt\) 的项保留了初始占据; 只有证明这些记忆项在所取稳态极限消失后, 才可简化为 \(G^\lt=G^r\Sigma^\lt G^a/\hbar\).

Retarded/Advanced Green 函数

\[G^{r/a} = G_0^{r/a} + \frac{1}{\hbar}G_0^{r/a}\Sigma^{r/a}G^{r/a}, \qquad G^{r/a} = \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^{r/a}\Sigma^{r/a}\right)^{-1}G_0^{r/a},\]

Lesser Green 函数

\[G^\lt = G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r\right) G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right).\]

Proof

应用 Langreth 规则:
\[G^\lt = G_0^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^r}{\hbar}G^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + G_0^\lt \frac{\Sigma^a}{\hbar}G^a,\]
求解方程:
\[\begin{aligned} G^\lt &= \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} \left( G_0^\lt + G_0^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + G_0^\lt \frac{\Sigma^a}{\hbar}G^a \right) \\ &= G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right). \end{aligned}\]
有
\[\left(I-\frac{1}{\hbar}G_0^r\Sigma^r\right)^{-1} = G^r(G_0^r)^{-1} = \left(G_0^r+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^rG_0^r\right)(G_0^r)^{-1} = I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r.\]

代入该恒等式后达到最终形式

\[G^\lt = G^r\frac{\Sigma^\lt }{\hbar}G^a + \left(I+\frac{1}{\hbar}G^r\Sigma^r\right) G_0^\lt \left(I+\frac{1}{\hbar}\Sigma^a G^a\right).\]

4.5 Summary

为统一虚时间有限温度形式体系和实时间零温度形式体系, 引入
\[\iota= \begin{cases} -1, & \text{热/虚时间}\\ \mathrm{i}, & \text{实时} \end{cases} \implies \iota \mathcal{G}_{0\alpha} = \exp\!\left[ \frac{(\epsilon_\alpha-\mu)(\tau-\tau')}{\iota\hbar} \right] \left[ (1+\zeta n_\alpha)\theta(\tau-\tau') + \zeta n_\alpha\theta(\tau'-\tau) \right]\]
自由 Green 函数写为统一形式. 其中 \(n_\alpha\) 是态 \(\alpha\) 的占据数. 在实时间形式体系中, \(\mathcal{G}_0\) 解释为实时间 \(G_0\), \(\tau\) 解释为 \(t\).
在频率/动量域,
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega_n) &= \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar}, \qquad \omega_n= \begin{cases} \dfrac{2\pi n}{\hbar\beta}, & \text{Bosons},\\[4pt] \dfrac{(2n+1)\pi}{\hbar\beta}, & \text{Fermions}. \end{cases} \\ G_0(\mathbf{k},\omega) &= \frac{1+\zeta n_{\mathbf{k}}} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta} - \frac{\zeta n_{\mathbf{k}}} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta} \\ &= \frac{1} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta\,\operatorname{sgn}(k-k_F)} \qquad (T=0). \end{aligned}\]
传播子线/顶点和求和因子汇总

对于零温度形式体系, \(\mathcal{G}_0\) 解释为 \(G_0\), \(\omega_n\) 为连续 \(\omega\), \(\tau\) 为 \(t\).
\(n\) 阶图具有整体因子
\[\frac{1}{S} \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^n \zeta^{n_L},\]
其中 \(S\) 为图的对称因子, \(n_L\) 为 Fermion 圈数. 对于 Green 函数, 包含额外因子 \(\zeta^P\), 其中 \(P\) 为外向粒子线相对于内向粒子线的置换. 对称因子的确定方法如下:
- Feynman diagrams: 按图标记的轨道-稳定子计数, 切线得到同一图的次数须与切开图的残余对称因子相乘.
- Hugenholtz diagrams: \(S=2^{n_e}S_D\), 其中 \(n_e\) 为等效传播子线对数, \(S_D\) 为保持图不变的时间标签置换数.
- Green 函数: 固定外腿, 只统计保持这些外腿不动的内部自同构; 对称因子并不普遍等于 1.
在频率/动量表象中, 巨势或基态能的连通闭合图带有额外因子 \(\mathcal{T}_0\mathcal{V}\). 其中时间域跨度为
\[\mathcal{T}_0= \begin{cases} \hbar\beta, & \text{imaginary time},\\ T_0, & \text{real time}. \end{cases}\]
巨势或基态能由所有连通图通过下式得到
\[\begin{Bmatrix} \Omega-\Omega_0\\ E_0-W_0 \end{Bmatrix} = \frac{\iota\hbar}{\mathcal{T}_0} \sum(\text{all connected diagrams}).\]

5 Theory of Electron Liquid

5.1 Energy

均匀电子气 (jellium 模型) 的二次量子化 Hamiltonian 为

\[\hat{H} = \sum_{\mathbf{k}\sigma}\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{e^2}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne 0}\sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{p}\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}.\]

无量纲形式: 选取长度单位为电子间平均距离 \(r_0\) (\(\frac{4\pi}{3}r_0^3N=\mathcal{V}\)), 无量纲密度参数为 \(r_s=\frac{r_0}{a_0}\), 其中 \(a_0=\hbar^2/me^2\) 是 Bohr 半径. \[\hat{H} = \frac{e^2}{2a_0r_s^2} \left[ \sum_{\mathbf{k}\sigma}k^2\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{r_s}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne 0}\sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{p}\sigma'} \frac{4\pi}{q^2} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma} \right],\] 体积和动量已按新长度单位缩放: \[\mathcal{V}\to\frac{\mathcal{V}}{r_0^3}=\frac{4\pi N}{3}, \qquad \mathbf{k},\mathbf{p},\mathbf{q}\to \mathbf{k} r_0,\mathbf{p} r_0,\mathbf{q} r_0.\] 反直觉的是, 高密度极限 \(r_s\to 0\) 是非相互作用极限.

5.1.1 Hartree-Fock Approximation

计算 Hamiltonian 关于理想非相互作用电子气基态 (即填充的 Fermi 海) 的期望值, 其中

\[k_F r_0=\frac{1}{\alpha}, \qquad \alpha=\left(\frac{4}{9\pi}\right)^{1/3}.\]

Kinetic energy 有

\[\begin{aligned} n_{\mathbf{k}\sigma}^0 &= \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}\right\rangle_0 = \theta(k_F-|\mathbf{k}|),\\ E_0 &= \frac{e^2}{2a_0r_s^2} \sum_{\mathbf{k}\sigma}k^2 n_{\mathbf{k}\sigma}^0 = 2\times\frac{e^2}{2a_0r_s^2} \mathcal{V}\int_0^{1/\alpha}\frac{4\pi k^2\,\mathrm{d}k}{(2\pi)^3}k^2 = \frac{3N}{5\alpha^2r_s^2}\,\mathrm{Ry}. \end{aligned}\]

其中 \(\mathrm{Ry}\equiv e^2/2a_0\). 平均电子动能为 \(\epsilon_0=\frac{E_0}{N}\approx\frac{2.21}{r_s^2}\,\mathrm{Ry}\).

Exchange energy 计算第二项期望值时, 有

\[\begin{aligned} \left\langle \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma} \right\rangle_0 & = \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}\right\rangle_0 \left\langle\hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\right\rangle_0 - \left\langle\hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p},\sigma'}\right\rangle_0 \left\langle\hat{a}_{\mathbf{p}-\mathbf{q},\sigma'}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{k},\sigma}\right\rangle_0 \\ &\quad = \delta_{\mathbf{q},0}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{p}\sigma'}^0 - \delta_{\mathbf{q},\mathbf{p}-\mathbf{k}}\delta_{\sigma\sigma'}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^0. \end{aligned}\]

以及

\[\begin{aligned} E_x &= -\frac{e^2}{2a_0r_s} \frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne 0}\frac{4\pi}{q^2} \sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma}^0n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^0 = -\frac{3}{2\pi\alpha r_s}N\,\mathrm{Ry} \\ \epsilon_x &= \frac{E_x}{N} \approx -\frac{0.916}{r_s}\,\mathrm{Ry}. \end{aligned}\]

注意相互作用中的求和排除 \(q=0\).

Perturbative approach 应用零温度形式体系. 交换能对应于一阶交换图,

应用恒等式
\[\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G_0(\mathbf{k},\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} = \mathrm{i}n_{\mathbf{k}}^0,\]
得到前面的 \(E_x\).

Self energy

在本节均匀电子气的 Fourier 约定 \(v(q)=4\pi e^2/q^2\) 下, 正背景抵消 Hartree 项. 交换只发生在同自旋电子之间, 因而自能按自旋对角且不另乘自旋简并因子 2. 记 \(k=|\mathbf k|\)、\(x=k/k_F\), 零温交换自能为

\[\begin{aligned} \Sigma_{\sigma\sigma'}(\mathbf k) &=\delta_{\sigma\sigma'}\Sigma_x(k),\\ \Sigma_x(k) &=-\int_{|\mathbf p|\le k_F}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3} \frac{4\pi e^2}{|\mathbf p-\mathbf k|^2}\\ &=-\frac{e^2}{\pi k}\int_0^{k_F}p\,\mathrm{d}p \ln\left|\frac{p+k}{p-k}\right| =\frac{e^2k_F}{\pi}S(x),\\ S(x)&=-\left[1+\frac{1-x^2}{2x} \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right]. \end{aligned}\]

\(p=k\) 处的对数奇点可积. 连续极限给出

\[S(0)=-2,\qquad S(1)=-1,\qquad S(x)\sim-\frac{2}{3x^2}\quad(x\to\infty).\]

该自能不依赖频率. 原课程截图的对数项漏写 \(1/2\), 因而不再作为公式嵌图.

自能重整化电子色散:
\[G_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1} {\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta\operatorname{sgn}(k-k_F)} \mapsto \frac{1} {\omega-[\epsilon_{\mathbf{k}}+\Sigma(\mathbf{k})-\mu]/\hbar+\mathrm{i}\eta\operatorname{sgn}(k-k_F)}.\]
该修正不改变 \(n_{\mathbf{k}}\):
\[n_{\mathbf{k}} = -\mathrm{i}\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G(\mathbf{k},\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\eta} = \theta(k_F-|\mathbf{k}|).\]
\(S'(x)\to+\infty\) 当 \(x\to1^\pm\). 这导致 Fermi 速度发散 \(v_F=\left.\hbar^{-1}\frac{\mathrm{d}\tilde{\epsilon}_{\mathbf{k}}}{\mathrm{d}k}\right|_{k=k_F}\to\infty\).

5.1.2 High-Order Contributions

自能的二阶图

\((a)\) 是收敛的; 对三维、零温、未极化 Coulomb 气体, 在 Fermi 面 \(k=k_F\)、\(\omega=0\) 的壳上值与密度无关.

Proof 取两条相互作用线的动量频率为 \((\mathbf{q}_1,\nu_1)\) 和 \((\mathbf{q}_2,\nu_2)\), 并记
\[\mathbf{p}_1=\mathbf{k}-\mathbf{q}_1,\qquad \mathbf{p}_2=\mathbf{k}-\mathbf{q}_1-\mathbf{q}_2,\qquad \mathbf{p}_3=\mathbf{k}-\mathbf{q}_2.\]
图 (a) 可写为
\[\begin{aligned} \hbar\Sigma_{a,\sigma\sigma'}^{(2)}(\mathbf{k},\omega) &=\delta_{\sigma\sigma'}\mathrm{i}^2 \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}_1}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\nu_1}{2\pi} \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}_2}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\nu_2}{2\pi} v(q_1)v(q_2) \\ &\quad\times G_0(\mathbf{p}_1,\omega-\nu_1) G_0(\mathbf{p}_2,\omega-\nu_1-\nu_2) G_0(\mathbf{p}_3,\omega-\nu_2). \end{aligned}\]
取 \(|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}\) 且 \(\hbar\omega=\xi_{\mathbf{k}}\). 频率积分后, 能量分母只含组合
\[\xi_{\mathbf{k}}-\xi_{\mathbf{p}_1}-\xi_{\mathbf{p}_3}+\xi_{\mathbf{p}_2} =\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{p}_1}-\epsilon_{\mathbf{p}_3}+\epsilon_{\mathbf{p}_2}=\frac{\hbar^2}{m}\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{q}_2.\]
令 \(\mathbf{q}_i=k_{\mathrm{F}}\tilde{\mathbf{q}}_i\), \(\mathbf{k}=k_{\mathrm{F}}\tilde{\mathbf{k}}\). 占据数只依赖无量纲变量, 而其余标度为
\[\Sigma_a^{(2)} \sim k_{\mathrm{F}}^6 \left(\frac{e^2}{k_{\mathrm{F}}^2}\right)^2 \left(\frac{m}{\hbar^2 k_{\mathrm{F}}^2}\right) \times I =\frac{me^4}{\hbar^2}I,\]
这里 \(k_{\mathrm{F}}^6\) 来自两个动量积分, \((e^2/k_{\mathrm{F}}^2)^2\) 来自两个 Coulomb 势, \(m/(\hbar^2k_{\mathrm{F}}^2)\) 来自能量分母. 因此 \(I\) 只依赖无量纲变量和占据限制, 图 (a) 的 on-shell 值不含 \(k_{\mathrm{F}}\), 从而不含电子密度 \(n=k_{\mathrm{F}}^3/(3\pi^2)\):
\[\Sigma_a^{(2)}(k_{\mathrm{F}},0)\propto \frac{me^4}{\hbar^2}\times \mathrm{const}\]
\((b)\) 可解释为对 \(\Sigma(\mathbf{k}, \omega)\) 中传播子线的自能修正. 该修正与 \(\omega\) 无关. 由于不改变 \(n_{\mathbf{k}}\), 它没有影响.
\((c)\) 发散:

这里 \(\chi_0(\mathbf{q},\nu)\) 表示极化气泡:

包含更多极化气泡的高阶图, 例如更长的直接环图 , 发散得更严重.

Re-summation 该发散可通过求和所有直接环图来消除:

这里 \(W(\mathbf{q},\nu)\equiv\frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)}\) 可解释为屏蔽的电子-电子相互作用, 其中介电函数为

\[\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)=1-v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\nu).\]

Ground state energy 通过对发散最严重的图进行重整求和来近似:

注意该能量包含交换能 \(E_{\mathrm{x}}\). 总基态能可写为 (单位为 \(\mathrm{Ry}\))

\[\epsilon(r_s) = \frac{E}{N} \approx \frac{2.21}{r_s^2} -\frac{0.916}{r_s} +0.0622\ln r_s -0.094 +O(r_s\ln r_s)+\cdots.\]

常数项包含 (a) 的贡献. 奇异展开 (即 \(\propto \ln r_s\)) 是 (c) 中观察到的发散的结果.

5.2 Density Response Function

5.2.1 Basic Properties

Notation

本章的外势耦合为 \(H'=\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi(\mathbf{r},t)\hat\rho(\mathbf{r})\), 即正号密度源.
若将同一物理扰动写成 \(H'=-\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,f(\mathbf{r},t)\hat\rho(\mathbf{r})\), 则 \(f=-\phi\), 故 \(\delta\langle\hat\rho\rangle/\delta f=-\delta\langle\hat\rho\rangle/\delta\phi\).
本章时间 Fourier 正变换采用 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\); 在保持此变换约定时, 两种响应核的符号差异完全来自外场耦合.

Density response function 描述密度如何响应无穷小的外标量势而变化:

\[\delta\rho(\mathbf{r} t) = \int\mathrm{d}\mathbf{r}' \int\mathrm{d}t'\, \chi^r(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t')\phi(\mathbf{r}' t'), \qquad \chi^r(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t') = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t-t') \langle[\hat{\rho}(\mathbf{r} t),\hat{\rho}(\mathbf{r}' t')]\rangle.\]

对于空间和时间均匀的系统, 使用 Fourier 变换形式更为方便

\[\chi^r(\mathbf{q},\omega) = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar\mathcal{V}} \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle[\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t),\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}]\rangle, \qquad \hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t) \equiv \sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{r}}_i(t)} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \hat{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q},\sigma}^\dagger(t)\hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}(t).\]

Dielectric function 是外势与总屏蔽势之比:

\[\phi_{\mathrm{sc}}(\mathbf{q},\omega) \equiv \phi(\mathbf{q},\omega)+\phi_{\mathrm{ind}}(\mathbf{q},\omega) = \frac{\phi(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)},\]

其中 \(\phi_{\mathrm{ind}}(\mathbf{q},\omega)=v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\) 是由受扰电子密度感生的 Coulomb 势:

\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega)=\chi^r(\mathbf{q},\omega)\phi(\mathbf{q},\omega),\]

其中 \(\chi^r\) 为密度响应函数. 因此, 消去 \(\phi(\mathbf{q},\omega)\) 得到

\[\frac{1}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}=1+v(\mathbf{q})\chi^r(\mathbf{q},\omega).\]

Time-ordered density correlation function 定义为

\[\chi(\mathbf{r} t,\mathbf{r}' t') = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \left\langle \hat{T}\bigl[ \Delta\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}' t') \bigr] \right\rangle,\]

其中 \(\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\equiv \hat{\rho}(\mathbf{r} t)-\langle\hat{\rho}(\mathbf{r} t)\rangle\). 热虚时形式为

\[\chi^T(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}' \tau') = -\frac{1}{\hbar} \left\langle \hat{T}_\tau\bigl[ \Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}\tau)\Delta\hat{\rho}(\mathbf{r}' \tau') \bigr] \right\rangle.\]

Fluctuation-dissipation theorem 适用于密度关联函数和响应函数.

对 \(\mathbf{q}\ne0\), 均匀系统的密度结构因子为
\[S(\mathbf{q},\omega) = \mathrm{i}\hbar\,\rho_0^{-1}\chi^{>}(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{N} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \langle\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(t)\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}\rangle.\]
等价地,
\[S(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{ZN} \sum_{m,n} 2\pi\delta\!\left(\omega-\frac{K_n-K_m}{\hbar}\right) \mathrm{e}^{-\beta K_m} \left|\langle m|\hat{\rho}_{\mathbf{q}}|n\rangle\right|^2,\]
其中 \(\rho_0\) 为电子密度.
谱函数定义为
\[B(\mathbf{q},\omega) = -2\operatorname{Im}\chi^r(\mathbf{q},\omega) = \mathrm{i}\bigl[\chi^{>}(\mathbf{q},\omega)-\chi^{\lt }(\mathbf{q},\omega)\bigr] = \frac{\rho_0}{\hbar} \bigl(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}\bigr) S(\mathbf{q},\omega),\]
满足 \(B(\mathbf{q},\omega)=-B(-\mathbf{q},-\omega)\).
密度响应函数与谱函数的关系为
\[\begin{aligned} \chi(\mathbf{q},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} B(\mathbf{q},\omega_1) \left[ -\frac{n_B(\omega_1)}{\omega-\omega_1-\mathrm{i}\eta} +\frac{1+n_B(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}\eta} \right], \\ \chi^{r/a}(\mathbf{q},\omega) &= \int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\omega-\omega_1\pm \mathrm{i}\eta}, \\ \chi^T(\mathbf{q},\omega_n) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\mathrm{i}\omega_n-\omega_1}, \\ \operatorname{Re}\chi(\mathbf{q},\omega) &= \operatorname{Re}\chi^{r/a}(\mathbf{q},\omega) = \mathcal{P}\!\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi} \frac{B(\mathbf{q},\omega_1)}{\omega-\omega_1}, \\ \operatorname{Im}\chi(\mathbf{q},\omega) &= -\frac{1}{2} \coth\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) B(\mathbf{q},\omega), \\ \operatorname{Im}\chi^r(\mathbf{q},\omega) &= -\frac{1}{2}B(\mathbf{q},\omega), \qquad \operatorname{Im}\chi^a(\mathbf{q},\omega) = \frac{1}{2}B(\mathbf{q},\omega). \end{aligned}\]
其中 \(n_B(\omega)=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)\) 为 Bose 分布函数.

f-sum rules

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\, \omega B(\mathbf{q},\omega) = \frac{\rho_0 q^2}{m}.\]

推导该求和规则需要使用连续性方程和流-密度对易子: \[\partial_t\hat{\rho}_{\mathbf{q}} +\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \hat{\mathbf{j}}_{\mathbf{q}}=0, \qquad \bigl[\hat{\mathbf{j}}_{\mathbf{q}},\hat{\rho}_{-\mathbf{q}'}\bigr] = \frac{\hbar\mathbf{q}'}{m}\hat{\rho}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'}.\] 也可以建立高阶求和规则.

Stiffness theorem 具有非均匀密度的系统的能量或巨势为

\[E[\rho_{\mathbf{q}}] = E_0 -\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0} \frac{|\delta\rho_{\mathbf{q}}|^2}{2\chi^r(\mathbf{q})} +O(\delta\rho^3),\]

其中 \(\chi^r(\mathbf{q})\equiv \chi^r(\mathbf{q},\omega=0)\).

Proof

考虑受外势扰动的系统 \(\hat{H}_\phi=\hat{H}+\frac{1}{\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}}\delta\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}\phi_{\mathbf{q}}\).
扰动引起密度变化 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}\). 反之, 要产生给定的密度分布 \(\phi_{\mathbf{q}}=\frac{\delta\rho_{\mathbf{q}}}{\chi^r(\mathbf{q})}\).
用 \(\lambda\) 标度扰动并应用 Hellmann-Feynman 定理:
\[E_\phi = E_0 +\int_0^1 \mathrm{d}\lambda \left\langle \frac{\partial \hat{H}_\phi(\lambda)}{\partial\lambda} \right\rangle \approx E_0 +\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}} \chi^r(\mathbf{q})|\phi_{\mathbf{q}}|^2.\]
内能则为
\[E[\rho_{\mathbf{q}}] = \langle \hat{H}\rangle = E_\phi -\frac{1}{\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}} \chi^r(\mathbf{q})|\phi_{\mathbf{q}}|^2,\]
消去 \(\phi_{\mathbf{q}}\) 后即得上述刚度定理.

Proper density response function 表示电子所感受到的总标量势 (包括外势和密度变化产生的 Coulomb 势) 下的本征密度响应:

\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega) \bigl[\phi(\mathbf{q},\omega)+v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\bigr] \equiv \tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)\phi_{\mathrm{sc}}(\mathbf{q},\omega).\]

它满足

\[\frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)} = \frac{1}{\chi^r(\mathbf{q},\omega)}+v(\mathbf{q}), \qquad \epsilon(\mathbf{q},\omega)=1-v(\mathbf{q})\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega), \qquad \chi^r(\mathbf{q},\omega)=\frac{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}.\]

Compressibility sum rule

\[\lim_{q\to 0}\frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q})} = -\frac{\partial^2[\rho_0\varepsilon_{\mathrm{gs}}(\rho_0)]}{\partial\rho_0^2} = -\frac{1}{\rho_0^2 K},\]

其中 \(K\) 为压缩率, \(\varepsilon_{\mathrm{gs}}(\rho_0)\) 为每粒子的基态能. 在二维电子气中, \(K\) 可通过量子电容实验测量, 且可能为负.

Proof 引入长波长密度调制 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}\). 从刚度定理计算 \(\delta E\). 再从局域能量变化加静电能量计算 \(\delta E\):

\[\delta E = \delta\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\varepsilon[\rho(\mathbf{r})] + \frac{1}{2\mathcal{V}}v(\mathbf{q})|\delta\rho_{\mathbf{q}}|^2.\]

令两者相等并取 \(q\to 0\) 极限.

5.2.2 Random Phase Approximation (RPA)

随机相位近似假设

\[\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)\approx \chi_0^r(\mathbf{q},\omega),\]

其中 \(\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)\) 是理想无相互作用电子气的密度响应函数.

Intuitive picture 将电子视为独立粒子, 并用平均感生势 (即 Hartree 近似) 来近似电子-电子相互作用效应:

\[\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \chi_0^r(\mathbf{q},\omega) \bigl[ \phi(\mathbf{q},\omega)+v(\mathbf{q})\delta\rho(\mathbf{q},\omega) \bigr].\]

因此介电函数和密度响应函数近似为

\[\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\omega) = 1-v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega), \qquad \chi_{\mathrm{RPA}}^r(\mathbf{q},\omega) = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}{\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\omega)} = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}{1-v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}.\]

在图形上, RPA 对极化气泡的几何级数求和.

Lindhard function 是无相互作用电子气的密度响应函数:

粒子-空穴气泡由方向相反的两条传播子组成, 图解响应的整体因子为 \(\mathrm{i}/\hbar\). 合并 Fermion 闭圈的负号后, 实时间 Green 函数形式为

\[\chi_0^r(\mathbf{q},\omega) =-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_\sigma \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \int\frac{\mathrm{d}\nu}{2\pi} \left[ G_\sigma^{\lt}(\mathbf{k}+\mathbf{q},\nu+\omega)G_\sigma^a(\mathbf{k},\nu) +G_\sigma^r(\mathbf{k}+\mathbf{q},\nu+\omega)G_\sigma^{\lt}(\mathbf{k},\nu) \right].\]

此处各 \(G_\sigma\) 均取无相互作用值. 对于无磁化、自旋简并为 2 的三维电子气, 频率积分给出

\[\chi_0^r(\mathbf{q},\omega) =2\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\hbar(\omega+\mathrm{i}\eta)+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}, \qquad \eta\to0^+.\]

因子 2 来自两个相同的自旋分量; 自旋分裂时应分别求和, 不能直接乘 2. 这里 \(\nu,\omega,\eta\) 均采用角频率量纲, 与下文的解析延拓一致.

以上对应 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.57, 原讲义式(5.71)–(5.73). 保留的原始截图右侧式号有裁切, 完整公式以正文为准.

其中 \(f(\epsilon)=1/[\exp[\beta(\epsilon-\mu)]+1]\) 为 Fermi-Dirac 分布函数.

对于各向同性的三维气体, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 则零温 Lindhard 函数可解析求得.
\[\begin{aligned} \chi_0^r(q,\omega) &= N(0)\frac{k_F}{q} \left[ \Psi_3\!\left(\frac{\omega+\mathrm{i}\eta}{qv_F}-\frac{q}{2k_F}\right) -\Psi_3\!\left(\frac{\omega+\mathrm{i}\eta}{qv_F}+\frac{q}{2k_F}\right) \right],\\ \Psi_3(z) &= \frac{z}{2}+\frac{1-z^2}{4}\ln\!\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \longrightarrow_{|z|\to\infty} \frac{1}{3z}+\frac{1}{15z^3}+O(z^{-5}) \end{aligned}\]
其中 \(N(0)=mk_F/(\pi\hbar)^2\) 是单位体积、单位能量、包含两个自旋分量的 Fermi 面态密度, 等于单自旋态密度的两倍; \(v_F=\hbar k_F/m\) 为 Fermi 速度. 这里 \(\eta>0\) 具有角频率量纲. 更明确地,
\[\begin{aligned} \frac{\operatorname{Re}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\frac{1}{2} + \frac{1-\nu_-^2}{4\tilde{q}} \ln\!\left|\frac{\nu_--1}{\nu_-+1}\right| - \frac{1-\nu_+^2}{4\tilde{q}} \ln\!\left|\frac{\nu_+-1}{\nu_++1}\right|,\\ \frac{\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= \frac{\pi}{4\tilde{q}} \left[ \theta(1-\nu_+^2)(1-\nu_+^2) -\theta(1-\nu_-^2)(1-\nu_-^2) \right], \\ \tilde{q}&\equiv \frac{q}{k_F}, \qquad \nu_\pm\equiv \frac{\omega}{qv_F}\pm \frac{q}{2k_F}. \end{aligned}\]
在有限温度下,
\[\begin{aligned} \frac{\operatorname{Re}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{F(x,T)}{2\tilde{q}} \left[ \ln\!\left|\frac{x-\nu_-}{x+\nu_-}\right| - \ln\!\left|\frac{x-\nu_+}{x+\nu_+}\right| \right],\\ \frac{\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)}{N(0)} &= -\frac{\pi k_B T}{4\epsilon_F\tilde{q}} \ln\!\left( \frac{1+\exp[\beta(\mu-\nu_-^2\epsilon_F)]} {1+\exp[\beta(\mu-\nu_+^2\epsilon_F)]} \right),\\ F(x,T)&=\frac{x}{\exp[\beta(x^2\epsilon_F-\mu)]+1}, \qquad \epsilon_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}. \end{aligned}\]

虚部也可直接从谱分母的 delta 函数得到. 对三维抛物色散, 先做沿 \(\mathbf{q}\) 方向的角积分, 再令 \(y=k^2/k_F^2\), 有

\[\frac{\operatorname{Im}\chi_0^r}{N(0)} =-\frac{\pi}{4\tilde q}\int_{\nu_-^2}^{\nu_+^2}\frac{\mathrm{d}y}{\exp[\beta(\epsilon_F y-\mu)]+1}.\]

用 \(-k_BT\ln[1+\exp(\beta(\mu-\epsilon_F y))]/\epsilon_F\) 作原函数即得上式. \(T\to0\) 时它退化为前面的分段表达式, 且 \(\omega>0\) 时虚部非正, 与本节密度响应的耗散约定一致.

Proof 用热 Green 函数的标准微扰技术推导 Lindhard 函数. 对均匀体系

\[\chi_0^{\mathrm{T}}(x,x') =-\frac{1}{\hbar} \left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}(x)\Delta\hat{\rho}(x') \right\rangle_0 \implies \chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q}, \tau) =-\frac{1}{\hbar V} \left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}_{\mathbf{q}}(\tau) \Delta\hat{\rho}_{-\mathbf{q}}(0) \right\rangle_0.\]

在自由电子基下, disconnected 部分被 \(\Delta\hat{\rho}\) 扣掉. Wick 收缩给出连通部分

\[\left\langle \mathrm{T}_\tau \Delta\hat{\rho}(x)\Delta\hat{\rho}(x') \right\rangle_0 =-\sum_\sigma G_0(x,x')G_0(x',x).\]

因此只剩粒子-空穴 bubble. 将外部玻色 Matsubara 频率记为 \(\Omega_m\), Fourier 变换得到

\[\chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q}, \mathrm{i}\Omega_m) = \frac{1}{\hbar V}\sum_{\mathbf{k},\sigma} \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} G_0(\mathbf{k}+\mathbf{q},\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\Omega_m) G_0(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)\]

代入 \(\mathcal{G}_0=(\mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}}/\hbar)^{-1}\), 记 \(n_F(x)=1/[\mathrm{e}^{\hbar\beta x}+1]\), 利用 Matsubara 频率求和公式

\[\frac{1}{\hbar\beta}\sum_{\omega_n} \frac{1}{(\mathrm{i}\omega_n-x)(\mathrm{i}\omega_n+\mathrm{i}\Omega_m-y)} = \frac{n_F(x)-n_F(y)}{\mathrm{i}\Omega_m-(y-x)}.\]

于是

\[\chi_0^T(\mathbf{q},\mathrm{i}\Omega_m) = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}\sigma} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\mathrm{i}\hbar\Omega_m+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}.\]

其中 \(\xi_{\mathbf{k}}=\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu\), 且 \(f(\epsilon)=1/[\mathrm{e}^{\beta(\epsilon-\mu)}+1]\). 解析延拓 \(\mathrm{i}\hbar\Omega_m\to \hbar(\omega+\mathrm{i}\eta)\), \(\eta\to0^+\), 即得上式的 \(\chi_0^r\).

Long-wavelength and static limit Lindhard 函数在 \(q\to 0\) 和 \(\omega\to 0\) 时具有奇异性. 极限值依赖于比值 \(\omega/v_Fq\). 根据取极限的顺序,

\[\lim_{q\to 0}\lim_{\omega\to 0}\chi_0^r(q,\omega) = -N(0), \qquad \lim_{\omega\to 0}\lim_{q\to 0}\chi_0^r(q,\omega)=0.\]

在有限但足够小的 \(q\), 动态长波展开为

\[\chi_0^r(q,\omega)\simeq \frac{\rho_0 q^2}{m\omega^2} \left[ 1+\frac{3}{5}\frac{q^2v_F^2}{\omega^2} \right] \qquad \text{for } v_Fq\ll \omega.\]

这分别对应于静态极限和动态极限. 在实际中, 非平衡响应计算 (例如电导率) 需要动态极限; 孤立体系的零频响应可能与允许重新热平衡的热力学响应不同.

静态后取长波的极限还可由 \(\delta\rho_0=(\partial\rho_0/\partial\mu)(-\phi)\) 核对: 零温理想电子气有 \(\partial\rho_0/\partial\mu=N(0)\), 其中两个自旋分量已计入, 因而得到 \(-N(0)\).

区分孤立(\(\mathrm{iso}\)), 等温(\(T\)) 和等熵(\(\mathrm{ad}\))响应, 并采用本节外势 \(+\phi\rho\) 的负密度响应约定: \[\chi^{\mathrm{iso}} \equiv \lim_{\omega\to 0}\chi^r(\omega), \qquad \chi^T \equiv -\left(\frac{\partial \rho}{\partial \mu}\right)_T, \qquad \chi^{\mathrm{ad}} \equiv -\left(\frac{\partial \rho}{\partial \mu}\right)_S,\] 在相应稳定平衡态和相同热力学约束下, 负响应满足 \(\chi^T\le \chi^{\mathrm{ad}}\le \chi^{\mathrm{iso}}\). 若改定义正响应 \(-\chi\), 不等号反向.

RPA 密度响应与 Lindhard 函数的比较. 左图实线为 RPA, 短虚线为 Lindhard, 长虚线为局域场修正. 右图虚线 Lindhard 曲线按图内标记放大 10 倍以便比较, 实线为 RPA; 实心三角标出 \(\delta\)-函数等离激元峰的位置, 三角高度不是有限的物理峰高. 右图不能按显示高度直接比较两种响应的绝对大小.

Friedel oscillation 屏蔽外势的电子受限于 \(|\mathbf{k}|\le k_F\). 动量空间中的尖锐截断在实空间产生振荡尾部. 对于各向同性静态响应, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 于是

\[\chi_{\mathrm{RPA}}^r(q) = -\frac{N(0)(q/k_F)^2g(q/k_F)} {(q/k_F)^2+[4\pi e^2N(0)/k_F^2]g(q/k_F)}, \qquad g(x) \equiv \frac{1}{2} -\frac{1}{2x} \left(1-\frac{x^2}{4}\right) \ln\!\left|\frac{1-x/2}{1+x/2}\right|.\]

对于试探电荷 \(-Ze\), \(\phi_{\mathbf{q}}=4\pi Ze^2/q^2\) 且 \(\delta\rho_{\mathbf{q}}=\chi_{\mathrm{RPA}}^r(q)\phi_{\mathbf{q}}\). 在实空间中,
\[\delta\rho(\mathbf{r}) = -Z \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}}{(2\pi)^3} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}} \frac{(q_{TF}/k_F)^2g(q/k_F)} {(q/k_F)^2+(q_{TF}/k_F)^2g(q/k_F)} \longrightarrow_{r\equiv |\mathbf{r}|\to\infty} \frac{Z}{\pi}\frac{2\xi}{(4+\xi)^2}\frac{\cos(2k_Fr)}{r^3},\]
其中
\[q_{TF} \equiv \sqrt{4\pi e^2N(0)} = \left(\frac{4\alpha r_s}{\pi}\right)^{1/2}k_F, \qquad \xi\equiv \frac{q_{TF}^2}{2k_F^2}.\]
这与 Thomas-Fermi 近似不同, 后者预测径向分布为
\[\delta\rho(r)=-\frac{Zq_{TF}^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_{TF}r}.\]
低温简并气体中, Fermi 面的热展宽抑制 Friedel 振荡的远距离振幅, 不能一般地将其等同于 Debye 尾部. 在非简并、弱耦合气体的静态长波近似下, 有 Debye 屏蔽形式
\[\delta\rho(r)\simeq -\frac{Zq_D^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_D r}, \qquad q_D\equiv \sqrt{4\pi \rho_0 e^2\beta},\]
其中 \(q_D\) 为 Debye 屏蔽波数.

Critique of the RPA

RPA 完全忽略了交换关联效应, 因为它假设电子只感受到平均场 Hartree 势.
它不满足下列将静态长波响应与热力学压缩率联系起来的相互作用求和规则. 在 RPA 中,
\[\frac{1}{\rho_0^2K} = -\lim_{q\to 0}\frac{1}{\tilde{\chi}^r(q)} \approx -\lim_{q\to 0}\frac{1}{\chi_0^r(q)} = \frac{1}{N(0)}.\]
这可能与通过对相互作用基态能求导得到的压缩率有较大偏差.

5.2.3 Local Field Correction

密度响应函数的精确图级数可表示为

引入不可约电子-空穴相互作用 \(I\). 在均匀各向同性情形下, 局域场因子依赖于模 \(q\equiv |\mathbf{q}|\).

与 RPA 相比:

精确(粗体) Green 函数取代了自由 Green 函数.
不可约相互作用 \(I\) 取代了裸相互作用 \(v(\mathbf{q})\).

Remark \(I_{\mathbf{k}\omega\sigma,\mathbf{k}'\omega'\sigma'}(\mathbf{q},\nu)\) 通常不是局域相互作用, 因此不能在实空间中写为 \(I(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\).

Local field approximation 包含两个激进的近似:

将不可约电子-空穴相互作用近似为
\[I_{\mathbf{k}\omega\sigma,\mathbf{k}'\omega'\sigma'}(\mathbf{q},\nu) \approx \bigl[1-G_{\sigma\sigma'}(q)\bigr]v(\mathbf{q}).\]
对 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 的依赖被忽略, 因此不可约有效相互作用被近似为局域相互作用. 对频率的依赖也被忽略, 因此这是一个静态近似.
用无相互作用的 Lindhard 函数代替电子-空穴气泡. 其依据在于精确 Green 函数接近无相互作用 Green 函数, 仅存在小的重整化效应.

因此,

\[\chi^r(\mathbf{q},\omega) \approx \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}, \qquad G_\pm(q)\equiv \frac{G_{\uparrow\uparrow}(q)\pm G_{\uparrow\downarrow}(q)}{2}.\]

Example 采用局域密度近似, 并在动态线性响应中采用绝热局域密度近似, 电子满足 Kohn-Sham 方程

\[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})+V_{\mathrm{H}}(\mathbf{r})+V_{\mathrm{xc}}[\rho](\mathbf{r})\right]\psi_i(\mathbf{r}) =\epsilon_i\psi_i(\mathbf{r}),\]

其中 \(V(\mathbf{r})\) 是外势, \(V_{\mathrm{H}}(\mathbf{r})\) 是 RPA 中考虑的 Hartree 势, \(V_{\mathrm{xc}}[\rho]\) 是电子密度 \(\rho(\mathbf{r})=\sum_i f_i|\psi_i(\mathbf{r})|^2\) 的交换关联势泛函(需自洽确定), \(f_i\) 为态 \(i\) 的占据数.

由 Kohn-Sham 方程描述的均匀电子液体 (\(V=0\)) 的密度响应函数是什么?
对应的局域场修正因子 \(G_+(q)\) 是什么?

Solution

均匀电子液体中 \(V=0\), 基态密度为常数 \(\rho_0\). 相应的 Hartree 势与交换关联势在空间中都是常数, 只造成能量零点或化学势的平移, 因而 Kohn-Sham 单粒子谱与自由电子气相同. 对有效势扰动有
\[\delta\rho(\mathbf{q}, \omega) = \chi_{\mathrm{KS}}(\mathbf{q}, \omega) \delta V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q}, \omega)\]
故 Kohn-Sham 系统的密度响应就是无相互作用电子气的 Lindhard 函数:
\[\chi_{\mathrm{KS}}(\mathbf{q},\omega)=\chi_0(\mathbf{q},\omega) =2\int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \frac{f(\epsilon_{\mathbf{k}})-f(\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}})} {\hbar\omega+\epsilon_{\mathbf{k}}-\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}+\mathrm{i}\eta}.\]
对密度涨落 \(\delta\rho(\mathbf{q},\omega)\), Kohn-Sham 有效势的一阶变化为
\[\delta V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\omega) =\delta V_{\mathrm{ext}}(\mathbf{q},\omega)+v(q)\delta\rho(\mathbf{q},\omega)+\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega).\]
均匀体系中线性化交换关联势:
\[\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega) =\frac{\partial V_{\mathrm{xc}}}{\partial\rho}\delta\rho(\mathbf{q},\omega).\]
局域场修正定义为
\[\delta V_{\mathrm{xc}}(\mathbf{q},\omega) \equiv -v(q)G_+(q)\delta\rho(\mathbf{q},\omega).\]
比较两式, 得到
\[G_+(q) =-\frac{q^2}{4\pi e^2} \frac{\partial V_{\mathrm{xc}}}{\partial\rho}.\]

Physical interpretation 电子所感受到的有效势与平均场 Hartree 势不同, 因为电子感受到的静电场必须排除自身的贡献, 而Pauli 不相容原理在电子周围产生交换空穴, 同时Coulomb 排斥产生额外的关联空穴.

为纳入这些效应, 引入自旋为 \(\sigma\) 的电子所感受到的局域有效势:

\[\phi_{\mathrm{eff},\sigma}(\mathbf{q},\omega) = \phi_\sigma(\mathbf{q},\omega) + \sum_{\sigma'} v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\sigma\sigma'}(q)\bigr]\delta\rho_{\sigma'}(\mathbf{q},\omega).\]

Determination of \(G(q)\) 人们已发展出多种方法来计算局域场修正因子.

\(r_s=4,10\) 的局域场修正 \(G_+(q)\); 实线为 Ichimaru–Utsumi 插值. 上方 \(r_s=10\) 曲线为展示而作纵向平移, 应读括号内的纵轴刻度; 下方 \(r_s=4\) 曲线读括号外刻度. 两组曲线在画面上的高度差不等于 \(G_+\) 的物理差值.

\(G(q)\) 的渐近行为已知.
一种成功的方法是 Singwi-Tosi-Land-Sjolander 方案, 通常称为 STLS.
Ichimaru 和 Utsumi 给出了 \(G(q)\) 的插值公式.

Effective interactions 局域场修正引入了超越 RPA 的顶点修正. 在 RPA 中, 两粒子间的有效相互作用总是 \(W(\mathbf{q},\nu)\equiv v(\mathbf{q})/\epsilon_{\mathrm{RPA}}(\mathbf{q},\nu)\), 与粒子的性质无关. 引入局域场修正后不再成立.

Test charge-test charge interaction 试探电荷只感受到静电势, 因此两个试探电荷之间的相互作用被介电函数屏蔽:
\[\begin{aligned} W_{tt}(\mathbf{q},\omega) &= \frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon(\mathbf{q},\omega)}\\ \frac{1}{\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega)} &= \frac{1}{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}+v(\mathbf{q})G_+(q)\\ \epsilon(\mathbf{q},\omega) &= 1-v(\mathbf{q})\tilde{\chi}^r(\mathbf{q},\omega) = 1-\frac{v(\mathbf{q})\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1+v(\mathbf{q})G_+(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}. \end{aligned}\]
Electron-test charge interaction 试探电荷密度 \(\rho_t(\mathbf{q},\omega)\) 感生出扰动势 \(\phi(\mathbf{q},\omega)=v(\mathbf{q})\rho_t(\mathbf{q},\omega)\) 和电子密度变化 \(\delta\rho(\mathbf{q},\omega)=\chi^r(\mathbf{q},\omega)\phi(\mathbf{q},\omega)\). 电子所感受到的势包含交换关联修正:
\[\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\omega) = \phi(\mathbf{q},\omega) + v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\delta\rho(\mathbf{q},\omega) = \frac{\phi(\mathbf{q},\omega)} {1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}.\]
因此
\[W_{et}(\mathbf{q},\omega) = \frac{v(\mathbf{q})}{\epsilon_{et}(\mathbf{q},\omega)}, \qquad \epsilon_{et}(\mathbf{q},\omega) = 1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega).\]
相应图级数
Electron-electron interaction 定义为不可约电子-电子相互作用, 即在粒子-粒子道中所有不可约图之和.
- 自旋 \(\uparrow\) 的电子密度 \(\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 对系统施加有效外势:
  \[\phi_\uparrow(\mathbf{q},\omega) = v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\uparrow\uparrow}(q)\bigr]\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega), \qquad \phi_\downarrow(\mathbf{q},\omega) = v(\mathbf{q})\bigl[1-G_{\downarrow\uparrow}(q)\bigr]\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega).\]
- 它们产生局域有效势
  \[\begin{aligned} \phi_{\mathrm{eff},\downarrow}(\mathbf{q},\omega) &= \left[ \frac{1}{1-v(\mathbf{q})\bigl[1-G_+(q)\bigr]\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} - \frac{1}{1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} \right] \frac{\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)}{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}\\ \phi_{\mathrm{eff},\uparrow}(\mathbf{q},\omega) &= \phi_{\mathrm{eff},\downarrow}(\mathbf{q},\omega) - \frac{2v(\mathbf{q})G_-(q)} {1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} \rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega). \end{aligned}\]
- 上述有效外势已经包含了来自所有其他电子构成的多体介质的交换关联修正. 这些贡献应从有效相互作用中排除. 这相当于分别减去 \(-v(\mathbf{q})G_{\uparrow\uparrow}(q)\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 和 \(-v(\mathbf{q})G_{\downarrow\uparrow}(q)\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\).
- 在上述局域场近似下, 将得到的有效势除以 \(\rho_\uparrow(\mathbf{q},\omega)\) 得到
  \[\begin{aligned} W_{\uparrow\uparrow}(\mathbf{q},\omega) &= v(\mathbf{q}) + \bigl[v(\mathbf{q})(1-G_+(q))\bigr]^2\chi^r(\mathbf{q},\omega) + \bigl[v(\mathbf{q})G_-(q)\bigr]^2\chi_s^r(\mathbf{q},\omega), \\ W_{\uparrow\downarrow}(\mathbf{q},\omega) &= v(\mathbf{q}) + \bigl[v(\mathbf{q})(1-G_+(q))\bigr]^2\chi^r(\mathbf{q},\omega) - \bigl[v(\mathbf{q})G_-(q)\bigr]^2\chi_s^r(\mathbf{q},\omega), \end{aligned}\]
其中
\[\chi_s^r(\mathbf{q},\omega) = \frac{\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)} {1+v(\mathbf{q})G_-(q)\chi_0^r(\mathbf{q},\omega)}\]
是自旋密度算符 \(\hat{S}_z=\hat{\rho}_\uparrow-\hat{\rho}_\downarrow\) 对应的自旋密度响应函数. 这就是 Kukkonen-Overhauser 电子-电子有效相互作用公式.

Kukkonen-Overhauser 有效相互作用的图级数. 第一项是原始相互作用而非不可约相互作用.

5.3 Plasmon

5.3.1 Collective Excitation

对于均匀各向同性电子液体, 记 \(q\equiv |\mathbf{q}|\). 在无外势的情况下, 自持密度模满足

\[\epsilon(q,\omega)\phi_{\mathrm{sc}}(q,\omega)=0.\]

应用 RPA 近似和长波长极限给出波方程

\[(\omega^2-\omega_p^2)\phi_{\mathrm{sc}}(q,\omega)=0, \qquad \omega_p=\sqrt{\frac{4\pi \rho_0 e^2}{m}}\]

更一般地, 密度波的色散由 \(\epsilon(q,\Omega_q)=0\) 确定.
在小 \(q\) 下, \(\Omega_q\approx \sqrt{\omega_p^2+\frac{3}{5}q^2v_F^2}\).
介电函数的零点也是密度响应函数的极点, 因此它们定义了一种新的准粒子: 等离激元 (plasmon).

Classical picture \(q=0\) 处的等离子体模是电子液体相对于固定正电荷背景的振荡.

位移 \(x\) 在系统两端产生两层平行, 符号相反的电荷, \(\rho_{\mathrm{layer}}=\rho_0 x\).
这些电荷层产生体电场 \(E=4\pi e\rho_0 x\), 提供回复力.
运动方程 \(m\ddot x=-eE=-4\pi e^2\rho_0 x\), 给出频率为 \(\omega_p\) 的振荡.

Electron-hole continuum and damping 当等离激元能激发粒子-空穴对时, 它将受到阻尼. 相关的运动学约束来自能动量守恒.

将一个电子从 \(\mathbf{k}\) 激发到 \(\mathbf{k}+\mathbf{q}\) 需要
\[\hbar\Omega_q = \frac{\hbar^2|\mathbf{k}+\mathbf{q}|^2}{2m} -\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} = \frac{\hbar^2q^2}{2m}+\frac{\hbar^2}{m}\mathbf{k}\cdot\mathbf{q}.\]
因最大占据动量满足 \(|\mathbf{k}|\le k_F\), 这种激发仅在以下条件成立时可能
\[\max\!\bigl(0,\omega_-(q)\bigr)\le \Omega_q\le \omega_+(q), \qquad \omega_\pm(q)=\frac{\hbar q^2}{2m}\pm v_F q.\]
该不等式定义的区域是电子-空穴连续区. 等离激元在其内受到阻尼.
对零温三维抛物色散电子气, 连续区的内部对应 \(\operatorname{Im}\chi_0^r(q,\omega)\neq 0\), 边界上谱权重可能为零. 非零谱权重意味着波矢和频率为 \((q,\omega)\) 的扰动可通过在非相互作用系统中激发粒子-空穴对被吸收.

5.3.2 Auxiliary Field Approach and Functional Integrals of Plasmons

相互作用电子系统中等离激元的出现也可直接从泛函积分推导. 这提供了对微扰重整求和方法的替代方案.

Action of electrons 引入组合的 Matsubara-动量标签

\[k\equiv (\omega_n,\mathbf{k}), \qquad q\equiv (\nu_m,\mathbf{q}), \qquad \sum_k\equiv \sum_{\omega_n}\sum_{\mathbf{k}}.\]

本节所有 \(\sum_q\) 均包含 \(\nu_m\), 并排除空间零模 \(\mathbf{q}=0\).

相互作用电子的作用量为
\[S[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-\mu \right) \psi_{k\sigma} + \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_{kk'q\sigma\sigma'} v(\mathbf{q})\psi_{k+q,\sigma}^*\psi_{k'-q,\sigma'}^*\psi_{k'\sigma'}\psi_{k\sigma},\]
Fourier 约定为
\[\psi_{k\sigma} = (\hbar\beta\mathcal{V})^{-1/2} \int \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau).\]
相互作用部分可重组为
\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}}\sum_{\nu_m,\mathbf{q}\ne 0} v(\mathbf{q})\rho_{-q}\rho_q, \qquad \rho_q\equiv \sum_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^*\psi_{k+q,\sigma}, \qquad \rho_q=\rho_{-q}^*.\]
注意 \(\psi\) 是 Grassmann 变量; 此连续时间简写须继承正规序 Hamiltonian 的时间格点处方. 它不能直接替换为无正规序的等时算符乘积. 在保留完整单粒子空间的有限周期空间格点上, 令 \(\hat n_{\mathbf{q}}\) 为密度的 Fourier 分量, 则
\[\hat H_{\mathrm{int}} =\frac{1}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) :\hat n_{-\mathbf{q}}\hat n_{\mathbf{q}}: =\frac{1}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) \left[\hat n_{-\mathbf{q}}\hat n_{\mathbf{q}}-\hat N\right].\]
冒号表示真空正规序. 空间截断先使自作用项有限, 创建场的时间保持比湮灭场晚 \(0^+\), 最后再取连续时间和空间极限. 若改用普通密度乘积做 HS 变换, 须同时保留上式的单体反项.

Hubbard-Stratonovich transformation 将相互作用系统映射为粒子与涨落辅助场耦合的等效系统. 对于排斥相互作用, 使用 Gaussian 恒等式

\[\exp\!\left(-\frac{\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho\right) = [\det(2V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left[ -\frac{\epsilon}{2}\phi^\dagger V^{-1}\phi -\frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \right],\]

其中 \(\epsilon>0\), \(V\) 为正定 Hermitian 矩阵. 复测度取 \(\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i=2\mathrm{i}\,\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_i)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_i)\), 因而每个复平面的归一化测度为 \(\mathrm{d}(\operatorname{Re}\phi_i)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\phi_i)/\pi\). 右边出现因子 \(\mathrm{i}\) 是为了重现左边排斥相互作用的负号.

对于吸引相互作用, 即 \(V\) 负定, 恒等式变为
\[\exp\!\left(-\frac{\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho\right) = [\det(-2V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi \mathrm{i}} \exp\!\left[ \frac{1}{2}\epsilon\phi^\dagger V^{-1}\phi -\frac{1}{2}\epsilon\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \right].\]
这种情况下 \(\rho\) 与不含额外 \(\mathrm{i}\) 因子的辅助势耦合.
实时间对应形式由带无穷小收敛因子的 Gaussian 解析延拓定义:
\[\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{2}\rho^\dagger V\rho} = [\det(2\mathrm{i}V/\epsilon)]^{-1} \int \prod_i \frac{\mathrm{d}\phi_i^*\,\mathrm{d}\phi_i}{2\pi\mathrm{i}} \exp\!\left\{ \frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon \bigl[ \phi^\dagger V^{-1}\phi -\bigl(\rho^\dagger\phi+\phi^\dagger\rho\bigr) \bigr] \right\}.\]
也可使用广义的 Hubbard-Stratonovich 恒等式. 例如,
\[\mathrm{e}^{-\epsilon U(\hat{n}_{i\uparrow}-\frac{1}{2})(\hat{n}_{i\downarrow}-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\epsilon U/4}\sum_{s=\pm} \mathrm{e}^{\alpha s(\hat{n}_{i\uparrow}-\hat{n}_{i\downarrow})}, \qquad U\gt 0, \qquad \cosh \alpha=\mathrm{e}^{\epsilon U/2},\]
它将 Hubbard 模型映射为电子与 Ising 辅助场耦合.

Electron-auxiliary field coupling action 通过应用 Hubbard-Stratonovich 变换, 得到

\[\begin{aligned} \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{int}}/\hbar} &= \frac{1}{Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta\mathcal{V}} \sum_q \left[ \frac{1}{2}\phi_{-q}v^{-1}(\mathbf{q})\phi_q + \mathrm{i}\rho_{-q}\phi_q \right] \right\}, \\ Z_{\phi 0} &\equiv \int \mathcal{D}\phi\,\mathrm{e}^{-S_{\phi 0}[\phi]/\hbar}, \\ S_{\phi 0}[\phi] &\equiv \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q |\mathbf{q}|^2|\phi_q|^2 \equiv \frac{1}{8\pi e^2} \int \mathrm{d}\mathbf{r} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, |\nabla \phi(\mathbf{r},\tau)|^2. \end{aligned}\]

其中 \(\phi(\mathbf{r},\tau)\equiv (\hbar\beta\mathcal{V})^{-1}\sum_q \phi_q\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\nu_m\tau+\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}\), \(q\equiv (\nu_m,\mathbf{q})\). 注意因 \(\phi\) 为实数, \(\phi_{-q}=\phi_q^*\), 仅一半 \(\phi_q\) 独立.

作用量变换为
\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*,\phi] &= \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}}\sum_q |\mathbf{q}|^2|\phi_q|^2 + \sum_{kk'\sigma} \psi_{k\sigma}^* \left[ \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-\mu \right)\delta_{kk'} + \frac{\mathrm{i}}{\hbar\beta\mathcal{V}}\phi_{k-k'} \right] \psi_{k'\sigma} \\ &= \int \mathrm{d}\mathbf{r} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \left[ \frac{1}{8\pi e^2}|\nabla\phi(\mathbf{r},\tau)|^2 + \sum_\sigma \psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau) \left( \hbar\partial_\tau-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-\mu+\mathrm{i}\phi \right) \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau) \right] \\ &\equiv S_{\phi 0}[\phi]+S_e[\psi,\psi^*,\phi]. \end{aligned}\]
第一项是辅助场的能量, 第二项描述非相互作用电子系统与虚势 \(\mathrm{i}\phi\) 的耦合.

Action of plasmons 可完成关于电子场的泛函积分, 并将配分函数仅表示为辅助场的泛函积分:

\[\begin{aligned} \frac{Z}{Z_0} &= \frac{1}{Z_0Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\mathcal{D}\phi\, \exp\!\left[ -\frac{S_{\phi 0}[\phi]+S_e[\psi,\psi^*,\phi]}{\hbar} \right] \equiv \frac{1}{Z_{\phi 0}} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left[ -\frac{S_{\phi 0}[\phi]-\hbar W_0[\mathrm{i}\phi]}{\hbar} \right].\\ \mathrm{e}^{W_0[\mathrm{i}\phi]} &= \frac{1}{Z_0} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp\!\left[-\frac{S_e[\psi,\psi^*,\phi]}{\hbar}\right] \equiv \left\langle \exp\!\left[ -\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \rho(\mathbf{r},\tau)\phi(\mathbf{r},\tau) \right] \right\rangle_0. \end{aligned}\]

对于静态 \(\phi\), \(-\beta^{-1}W_0[\mathrm{i}\phi]\) 是非相互作用系统相对 \(\phi=0\) 的巨势变化; 一般虚时依赖 \(\phi\) 时, \(W_0\) 是连通生成泛函.

可将 \(W_0[\mathrm{i}\phi]\) 在 \(\phi=0\) 附近展开:
\[W_0[\mathrm{i}\phi] = \sum_{n=1}^{\infty} \int \mathrm{d}1\cdots \mathrm{d}n \frac{1}{n!} \left. \frac{\delta^nW_0[\mathrm{i}\phi]} {\delta\phi(1)\cdots\delta\phi(n)} \right|_{\phi\to 0} \phi(1)\cdots \phi(n),\]
其中 \(\phi(i)\equiv \phi(\mathbf{r}_i,\tau_i)\).
- 一阶:
  \[\left. \frac{\delta W_0[\mathrm{i}\phi]}{\delta\phi(1)} \right|_{\phi\to 0} = -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle \rho(1)\rangle_0.\]
  此为时空常数, 因此仅组合零模 \(q=(0,\mathbf{0})\) 有贡献; 它已包含在电荷中性所排除的全部空间零模 \(\mathbf{q}=0\) 中.
- 二阶:
  \[\begin{aligned} \left. \frac{\delta^2W_0[\mathrm{i}\phi]}{\delta\phi(1)\delta\phi(2)} \right|_{\phi\to 0} &= \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\right)^2 \langle(\rho(1)-\rho_0)(\rho(2)-\rho_0)\rangle_0 \\ &\equiv \frac{1}{\hbar}\chi_0^T(1,2). \end{aligned}\]
  到 \(\phi\) 的二阶, 有非相互作用等离激元的作用量:
  \[S_p \equiv S_{\phi 0}[\phi]-\hbar W_0[\mathrm{i}\phi] = \frac{1}{8\pi e^2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q |\mathbf{q}|^2 \bigl[1-v(\mathbf{q})\chi_0^T(q)\bigr] |\phi_q|^2 +\cdots.\]
  对非零 \(\nu_m\) 且 \(v_Fq\ll|\nu_m|\) 的动态长波模式, 应用 \(\chi_0^T(\mathbf{q},\nu_m)\simeq -\rho_0 q^2/(m\nu_m^2)\). 在仅含这些模式的二次作用量中得到
  \[S_p \simeq \frac{1}{2\hbar\beta\mathcal{V}} \sum_q \frac{1}{v(\mathbf{q})\nu_m^2} \bigl[\nu_m^2+\omega_p^2\bigr] |\phi_q|^2.\]

Gaussian determinant 在有限空间和 Matsubara 模式截断下, 二次辅助场核可写为

\[S_{\mathrm{p}}[\phi]=\frac12\sum_q\phi_{-q}A_q\phi_q, \qquad \frac{A_q}{A_{0q}}=1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q).\]

这里 \(A_{0q}=v^{-1}(\mathbf{q})/(\hbar\beta\mathcal{V})\). 实场的独立变量是各 Fourier 模式的实、虚分量, 每对 \(q,-q\) 只计一次. 对这些独立实变量作 Gaussian 积分, 再把和写回全部 \(q\), 得到密度涨落行列式

\[\frac{Z_{\mathrm{G}}^{\mathrm{dens}}}{Z_0} =\prod_q\left[\frac{A_q}{A_{0q}}\right]^{-1/2}, \qquad D_{\mathrm{G}} \equiv-\frac1\beta\ln\frac{Z_{\mathrm{G}}^{\mathrm{dens}}}{Z_0} =\frac{1}{2\beta}\sum_q\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right].\]

对数分支从 \(v=0\) 连续选取. 这是普通密度涨落核的结果; 要得到原正规序相互作用的修正, 还须核对其一阶项.

Proof 将 \(\chi_0^{\mathrm{T}}\) 按本章密度响应的约定作 Matsubara 反变换. 对非零空间模式, 用独立的密度时间分离 \(\eta>0\) 取等时极限, 得

\[-\frac1\beta\sum_{\nu_m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\nu_m\eta}\chi_0^{\mathrm{T}}(\mathbf{q},\nu_m) \longrightarrow \frac{1}{\mathcal{V}}C_0(\mathbf{q},0^+), \qquad C_0(\mathbf{q},0^+) =\sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma} \left(1-n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}\right).\]

其中 \(n_{\mathbf{k}\sigma}=n_{\mathrm{F}}(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)\), \(N_0=\sum_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}\sigma}\). 先求和再取 \(\eta\to0^+\), 且同一空间截断用于密度关联和自作用项. 因而行列式的一阶贡献为

\[\begin{aligned} D_{\mathrm{G}}^{(1)} &=-\frac{1}{2\beta}\sum_q v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\\ &=\frac{N_0}{2\mathcal{V}}\sum_{\mathbf{q}\ne0}v(\mathbf{q}) -\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0,\mathbf{k}\sigma} v(\mathbf{q})n_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}. \end{aligned}\]

第一项是普通密度乘积中的自作用, 由正规序单体反项在一阶抵消; 第二项就是 Fock 巨势修正

\[\Delta\Omega_{\mathrm{F}}^{(1)} =-\frac{1}{2\mathcal{V}} \sum_{\mathbf{q}\ne0,\mathbf{k}\sigma} v(\mathbf{q})n_{\mathbf{k}\sigma}n_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}.\]

均匀电子气的 Hartree 零模已由电中性背景处理, 不再计入.

因此, 以同一 \(G_0\) 为参照的“完整一阶项 + 二阶起直接环图”RPA 近似应写为

\[\begin{aligned} \Delta\Omega_{\mathrm{RPA}} &=\Delta\Omega_{\mathrm{F}}^{(1)}+\Omega_{\mathrm{ring},c},\\ \Omega_{\mathrm{ring},c} &=\frac{1}{2\beta}\sum_q \left\{\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right] +v(\mathbf{q})\chi_0^{\mathrm{T}}(q)\right\}. \end{aligned}\]

环关联项从二阶开始, 因为 \(\ln(1-x)+x=-\sum_{n=2}^{\infty}x^n/n\) 在 \(|x|\lt1\) 内成立. 它与未扣除一阶项的 trace-log 不是同一个量, 也不包含所有二阶及更高阶交换图.

在固定密度的组织方式下, 自作用与反项须在同一调节下相消. 若在巨正则 HS 积分中把单体反项吸收到化学势, 相应电子行列式和响应函数也要用平移后的化学势; 不能只在最后从一个使用原 \(\mu\) 的行列式中减去 \(\langle N\rangle_0\), 便把它当作所有阶的精确等式.

零温、固定粒子数时, 对应的直接环关联能可沿虚频轴写为

\[E_{\mathrm{ring},c} =\frac{\hbar\mathcal{V}}{2} \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{q}}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\nu}{2\pi} \left\{\ln\!\left[1-v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu)\right] +v(\mathbf{q})\chi_0(\mathbf{q},\mathrm{i}\nu)\right\}.\]

频率 \(\nu\) 具有角频率量纲, 所以保留 \(\hbar\). 该扣除形式也见 GPAW 的 RPA 关联能定义; 其原子单位表达式需相应恢复 \(\hbar\). 辅助场作用量的三阶及以上项可解释为等离激元之间的相互作用.

5.3.3 Other Collective Excitations

分解相互作用并应用 Hubbard-Stratonovich 变换的方式有多种. 不同的分解对应不同的集体激发.

Direct channel 即上面已写出的密度通道分解, 描述等离激元.

Exchange channel 将相互作用分解为

\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = -\frac{1}{2\mathcal{V}\hbar\beta} \sum_{qkk'\sigma\sigma'} v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\rho_{k'q,\sigma\sigma'}^\dagger \rho_{kq,\sigma\sigma'}, \qquad \rho_{kq,\sigma\sigma'} \equiv \psi_{k\sigma'}^*\psi_{k+q,\sigma}.\]

这可进一步重组为自旋密度通道. 在适当磁有序相中可描述自旋波或 magnon; 在顺磁相中通常得到自旋涨落.

Pairing channel 将相互作用分解为

\[S_{\mathrm{int}}[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\mathcal{V}\hbar\beta} \sum_{qkk'\sigma\sigma'} v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\Phi_{k'q,\sigma\sigma'}^\dagger \Phi_{kq,\sigma\sigma'}, \qquad \Phi_{kq,\sigma\sigma'} \equiv \psi_{k+q,\sigma}\psi_{-k,\sigma'}.\]

描述超导体中的 Cooper 对.

Multi-field decomposition 系统在长波区域可能具有多种稳定集体激发. 此时可同时引入多个辅助场, 但须先将原相互作用分配到这些通道, 再对各部分解耦; 不能将同一相互作用的几种完整 HS 表示直接相加.

辅助场应在长波极限下给出有意义的低能集体激发, 其特征是具有明确的色散和长寿命.
若假设 \(|\mathbf{q}|\) 很小 (长波极限), 不同分解对应的项在原始相互作用作用量中不重叠, 则不同分解的相加不会导致重复计数.

Quantum Many-Body Theory - 3

Mon, 14 Sep 2026 00:00:00 +0000

6 Effective Action Theory and Functional Approaches

6.1 Effective Action

以下以热 Green 函数为主, 取虚时 \(0\le\tau\le\hbar\beta\)、\(\iota=-1\), 泛函权重为 \(\mathrm{e}^{-S/\hbar}\); \(\zeta=1\) 表示 Boson, \(\zeta=-1\) 表示 Fermion, 场满足 \(\psi(\hbar\beta)=\zeta\psi(0)\). 实时间或围线形式取 \(\iota=\mathrm{i}\)、权重 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}S/\hbar}\), 同时须相应选择时间路径、编时规则和初态边界条件, 不能只替换 \(\iota\) 而保留虚时边界条件.

Definition of the effective action

引入与系统耦合的外源 \(\phi\):
\[S_{\mathrm{ext}}[\psi] = \iota^{-2} \sum_{\alpha\beta} \int \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2\, \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta(\tau_2)\phi_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2).\]
定义生成泛函和连通生成泛函:

生成泛函基本上是在存在外源时的归一化配分函数:
\[\begin{aligned} \mathscr{G}[\phi] &= \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\, \exp\!\left[\frac{\iota}{\hbar}(S+S_{\mathrm{ext}})\right] \\ &= \left\langle \exp\!\left[ \frac{1}{\iota\hbar} \int \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2 \sum_{\alpha\beta} \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta(\tau_2)\phi_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2) \right] \right\rangle, \end{aligned}\]
其中平均定义为
\[\langle F(\psi^*,\psi)\rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\,F(\psi^*,\psi)\exp\!\left(\frac{\iota}{\hbar}S\right).\]
连通生成泛函以相对于无相互作用参考系统的巨势差定义:
\[W[\phi] \equiv \ln \mathscr{G}[\phi] + C \equiv -\beta\bigl(\Omega[\phi]-\Omega_0\bigr),\]
其中 \(C\equiv \ln Z-\ln Z_0\), \(\Omega_0\) (\(Z_0\)) 是系统在相同温度、化学势和体积下、无相互作用且无外源时的巨势(配分函数). 因而 \(W[\phi]=\ln[Z[\phi]/Z_0]\); \(C\) 与 \(\phi\) 无关, 但一般依赖热力学参数.
- Green 函数可以通过生成泛函生成:
  \[\mathcal{G}^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = (\zeta\hbar)^n \frac{\delta^n \mathscr{G}[\phi]} {\delta\phi_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta\phi_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \biggr|_{\phi\to 0}.\]
- 连通生成泛函生成连通 Green 函数:
  \[\mathcal{G}_c^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = (\zeta\hbar)^n \frac{\delta^n W[\phi]} {\delta\phi_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta\phi_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \biggr|_{\phi\to 0}.\]
两组 Green 函数可以通过累积量展开相关联:
\[\begin{aligned} \mathcal{G}^{(1)}(12) &= \mathcal{G}_c^{(1)}(12), \\ \mathcal{G}^{(2)}(12;1'2') &= \mathcal{G}_c^{(2)}(12;1'2') + \mathcal{G}(11')\mathcal{G}(22'), \end{aligned}\]
其中 \(\mathcal{G}(11')\equiv \mathcal{G}^{(1)}(1;1')\), 使用了简写记号 \(1\equiv \alpha_1\tau_1\), \(1'\equiv \alpha_1'\tau_1'\).

此处对双线性源求导, “连通”按密度双线性块之间的连接定义; 它不同于对单场线性源求导得到的完全连通多粒子函数. 因而上式只减去指定双线性分组的乘积, 不能据此漏掉后续计算中的交换项.
定义与 \(\phi\) 共轭的场:
\[\mathcal{G}[\phi](11') = \zeta\hbar \frac{\delta W[\phi]}{\delta\phi(1'1)},\]
这是在存在外源 \(\phi\) 时的单粒子 Green 函数.
有效作用量(Baym-Kadanoff 泛函)通过 Legendre 变换定义:
\[\begin{aligned} \Gamma[\mathcal{G}] &= -\left\{ W[\phi] - \sum_{11'} \frac{\delta W[\phi]}{\delta\phi(1'1)}\phi(1'1) \right\} = -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar}\operatorname{Tr}[\mathcal{G}\phi] \\ &\equiv -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar} \sum_{\alpha\alpha'} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \mathrm{d}\tau'\, \mathcal{G}_{\alpha\alpha'}(\tau,\tau')\phi_{\alpha'\alpha}(\tau',\tau). \end{aligned}\]
下面在共轭场映射 \(\phi\to \mathcal{G}[\phi]\) 的局部可逆分支上使用 Legendre 变换. 若选定实源域上 \(W\) 是凸泛函且迹配对为实数, 可进一步采用 Legendre-Fenchel 定义:
\[\Gamma[\mathcal{G}] = \sup_\phi \left[ -W[\phi] + \frac{\zeta}{\hbar}\operatorname{Tr}[\mathcal{G}\phi] \right],\]
其中 \(\sup\) 表示上确界. 对一般双时源, 上述凸性和全局单值性不能自动保证; 后续方程以选定物理分支上的驻值变换为准.

有效作用量为系统的物理态赋予一个巨势/自由能, 并导出一个变分原理. 它比 \(W[\phi]\) 具有更好的解析性质, 因此更适合近似. 它为一致地构造各种近似提供了统一基础. 可以设计非微扰或经验方法来构造该泛函.

Variational principle 将有效作用量对 \(\mathcal{G}\) 求导, 我们得到

\[\frac{\delta \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \frac{\zeta}{\hbar}\phi(11').\]

在没有外源的情况下, 它给出变分原理 \(\delta\Gamma[\mathcal{G}] = 0\), 即物理 Green 函数是有效作用量的驻点.

Notation 记零源平衡支上的值为 \(\Gamma_{\mathrm{eq}}(\beta,\mu)\equiv\Gamma[\mathcal{G}_{\mathrm{eq}}]\). 此处 \(\Gamma\) 无量纲, \(\Gamma/\beta\) 具有能量量纲. 由零源时 Legendre 配对项为零,

\[\Omega=\Omega_0+\frac{\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\beta}.\]

参考项只对源和共轭场是常数. 固定体积, 对热力学参数求导时须一并保留它:

\[\begin{aligned} N&=N_0-\frac{1}{\beta} \left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\mu}\right)_\beta,\\ E-\mu N&=E_0-\mu N_0+ \left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\beta}\right)_\mu,\\ S&=S_0+k_{\mathrm{B}}\left[ \beta\left(\frac{\partial\Gamma_{\mathrm{eq}}}{\partial\beta}\right)_\mu -\Gamma_{\mathrm{eq}}\right]. \end{aligned}\]

这里 \(N_0,E_0,S_0\) 为同一参考系统的平衡量, 导数沿零源平衡支取值. 这些关系直接来自 \(\beta\Omega=-\ln Z\), \(N=-\partial_\mu\Omega\), \(E-\mu N=\partial_\beta(\beta\Omega)\) 和 \(S=-\partial_T\Omega\); 驻值条件消去共轭场变化带来的链式项.

Free effective action 对于无相互作用系统:

\[\begin{aligned} W_0[\phi] &= -\zeta\operatorname{Tr}\bigl[\ln(-\mathcal{G}^{-1})-\ln(-\mathcal{G}_0^{-1})\bigr] \\ &= \zeta\operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}), \end{aligned}\]

其中 \(\mathcal{G}_0\) 和 \(\mathcal{G}\) 分别是在不存在和存在外源 \(\phi\) 时的 Green 函数. 外源是场的双线性项, 因而 Gaussian 泛函积分的二次核由 \(\hbar\mathcal{G}_0^{-1}\) 改为 \(\hbar\mathcal{G}_0^{-1}-\phi\); 对该核求逆得到

\[\mathcal{G}^{-1}=\mathcal{G}_0^{-1}-\frac{\phi}{\hbar}.\]

因此我们有 \(\phi[\mathcal{G}]=\hbar(\mathcal{G}_0^{-1}-\mathcal{G}^{-1})\). 将其代入 Legendre 变换, 我们得到无相互作用系统的有效作用量泛函:

\[\begin{aligned} \zeta\Gamma_0[\mathcal{G}] &= -\operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}) + \operatorname{Tr}(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}-I). \end{aligned}\]

Luttinger-Ward 泛函 我们可以将泛函分解为

\[\Gamma[\mathcal{G}] = \Gamma_0[\mathcal{G}]-\Phi[\mathcal{G}],\]

其中 Luttinger-Ward 泛函 \(\Phi[\mathcal{G}]\) 表征相互作用效应.

Energy functional 与有效作用量泛函成正比:

\[\begin{aligned} \Omega[\mathcal{G}]-\Omega_0 &\equiv \frac{1}{\beta}\Gamma \\ &= -\frac{\zeta}{\beta} \left\{ \operatorname{Tr}\ln(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G})-\operatorname{Tr}(\mathcal{G}_0^{-1}\mathcal{G}-I) \right\} -\frac{1}{\beta}\Phi[\mathcal{G}] \\ &\to -\frac{\zeta}{\beta} \sum_{\mathbf{k}}\sum_{\omega_n} \left\{ \ln\!\bigl[\mathcal{G}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega_n)\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)\bigr] -\mathcal{G}_0^{-1}(\mathbf{k},\omega_n)\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n)+1 \right\} -\frac{1}{\beta}\Phi[\mathcal{G}]. \end{aligned}\]

在零温下, 基态能量可以类似地定义为实时 Green 函数的泛函:

\[\begin{aligned} E[G]-W_0 &= \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0} \left\{ \zeta\operatorname{Tr}\ln(G_0^{-1}G)-\zeta\operatorname{Tr}(G_0^{-1}G-I)+\Phi[G] \right\} \\ &\to \mathrm{i}\hbar\zeta \sum_{\mathbf{k}} \int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \left\{ \ln\!\bigl[G_0^{-1}(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega)\bigr] -G_0^{-1}(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega)+1 \right\} + \frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\Phi[G], \end{aligned}\]

其中 \(W_0\) 是系统在无相互作用极限下的基态能量.

6.2 Irreducible Diagrams and Integral Equations

基于该泛函, 可以推导出一组精确的自洽积分方程. Luttinger-Ward 泛函可以通过求和选定的骨架 Feynman 图来近似构造. 这产生了诸如 GW 近似之类的实用计算方法.

Vertex functions 顶点函数定义为

\[\Pi^{(n)}(\alpha_1\tau_1,\cdots,\alpha_n\tau_n;\alpha_1'\tau_1',\cdots,\alpha_n'\tau_n') = \zeta^n \left. \frac{\delta^n \Gamma[\mathcal{G}]} {\delta \mathcal{G}_{\alpha_1'\alpha_1}(\tau_1',\tau_1)\cdots\delta \mathcal{G}_{\alpha_n'\alpha_n}(\tau_n',\tau_n)} \right|_{\mathcal{G}\to \mathcal{G}_{\mathrm{phy}}}.\]

这组自洽积分方程可以通过逐阶分析顶点函数来推导.

6.2.1 Self-Energy and Dyson Equation

在没有外源时,

\[\Pi^{(1)} = \zeta\frac{\delta\Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}} = 0,\]

其中已经隐含了 \(\mathcal{G}\to \mathcal{G}_{\mathrm{phy}}\). 利用分解 \(\Gamma[\mathcal{G}]=\Gamma_0[\mathcal{G}]-\Phi[\mathcal{G}]\), 我们得到

\[\Pi^{(1)}(11') = \zeta\frac{\delta \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \mathcal{G}_0^{-1}(11')-\mathcal{G}^{-1}(11')-\zeta\frac{\delta \Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = 0.\]

这里使用了矩阵导数恒等式

\[\frac{\delta\,\operatorname{Tr}\ln \mathcal{G}}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \frac{\delta \ln(\det \mathcal{G})}{\delta \mathcal{G}(1'1)} = \mathcal{G}^{-1}(11').\]

Proper self energy functional 正规自能泛函定义为

\[\frac{\Sigma[\mathcal{G}](11')}{\hbar} \equiv \zeta\frac{\delta \Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)}.\]

Dyson 方程

\[\mathcal{G}^{-1} = \mathcal{G}_0^{-1}-\frac{\Sigma[\mathcal{G}]}{\hbar} \implies \mathcal{G} = \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar}\mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0 + \frac{1}{\hbar^2}\mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0\Sigma \mathcal{G}_0 + \cdots.\]

正规自能图是单粒子不可约的, 即不能通过切割一条粒子线分成两部分:

正规自能 \(\Sigma/\hbar\) 的低阶图, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.72, 原讲义式(6.31). 带箭头实线为裸传播子 \(\mathcal{G}_0\), 虚线为相互作用; (a)–(d) 不含自能插入, (e)–(h) 含自能插入. 骨架展开以完整传播子替代裸传播子, 见下图.

Skeleton diagrams 自能骨架图是不含自能插入的正规自能图, 即不能通过向低阶图的传播子线插入自能子图而生成. 上图前四项是骨架图, 后四项含自能插入.

自能图具有两个固定外腿, 按单粒子不可约性和无自能插入来筛选. 不能笼统地把这些开图定义为“切任意两条粒子线均不可分”.
\(\Phi[\mathcal{G}]\) 则由闭合的两粒子不可约(2PI, two-particle irreducible)真空图组成: 保持相互作用顶点及虚线连接, 切两条内部粒子传播子不能把图分成两个各含相互作用顶点的部分. 对 \(\Phi\) 求导截开一条线, 才生成自能骨架图. 闭合 2PI 图与自能变分的关系可参见 Berges 的非平衡量子场论综述, §2.
利用自洽骨架展开, 我们可以构建 \(\Sigma\)(或 \(\mathcal{G}\))的自洽方程.

粗线代表 Green 函数 \(\mathcal{G}\)(而非 \(\mathcal{G}_0\)).

6.2.2 Perturbative Construction of the Luttinger-Ward Functional

Luttinger-Ward 泛函的图可以通过应用自能的 Luttinger-Ward 定义从自能骨架图构造. 它们是闭合, 粗线, 两粒子不可约(骨架)图.

泛函导数逐条截开粒子传播子, 外腿次序由 \(\delta/\delta\mathcal{G}(1'1)\) 固定. 本文已在 \(\Sigma/\hbar=\zeta\,\delta\Phi/\delta\mathcal{G}\) 中写出统计因子 \(\zeta\), 不再额外重复乘一次. 将闭环截为开链使闭合 Fermion 圈数减少一, 与此约定相容.
对称因子由未标记 Feynman 图的标签等价类计算. 对 \(n\) 条对称二体相互作用虚线, 有 \(2^n n!\) 个标签置换及虚线端点交换; 保持有向粒子线、线种类和连接关系的稳定子群的阶为 \(S_\gamma\), 因而不同标记数为 \(2^n n!/S_\gamma\). 开图还须逐个固定外腿. 这里不使用已合并直接/交换顶点的 Hugenholtz 图计数规则.
若某类等价截线构成大小为 \(m\) 的轨道, 截开图的外腿固定对称因子为 \(S_{\mathrm{cut}}\), 轨道-稳定子关系给出 \[m=\frac{S_\gamma}{S_{\mathrm{cut}}}, \qquad \frac{m}{S_\gamma}=\frac{1}{S_{\mathrm{cut}}}.\] 因而求导产生的是开图所需的正确因子, 而不是一般地把所有对称因子变成 1. 只有 \(S_{\mathrm{cut}}=1\) 时才完全抵消.

Example 第一阶交换图和直接环图满足 \(S=2n\), 但任意闭合骨架图不必如此. 下图为三阶反例:

沿左侧有向圈标记 \(a\to b\to a\), 沿右侧有向圈标记 \(c\to d\to e\to f\to c\); 令虚线连接为 \((a,c),(b,e),(d,f)\). 其中 \(c,e\) 分别为右圈的上、下连接点. 保持箭头的自同构只有恒等和同时交换 \(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow e,\ d\leftrightarrow f\), 所以 \(S=2\), 而 \(2n=6\). 六条粒子线分为三个大小为 2 的截线轨道; 每种开图均有 \(S_{\mathrm{cut}}=1\). 这一计数使用原图的箭头与虚线, 不能把右圈反射后逆转粒子箭头也算作对称.

低阶图的系数可据此逐图核对; 高阶展开仍须按各图的稳定子计算, 不能套用统一的 \(2n\).
由自能的 Luttinger-Ward 定义, \(\Phi[\mathcal{G}]\) 仅确定到与 \(\mathcal{G}\) 无关的常数. 结合 GV (A13.9, A13.14), 可以证明该常数与相互作用无关. 为方便起见, 可将其设为零.

Conserving approximation 对保留相应对称性的近似 Luttinger-Ward 泛函, 用其导数构造自能和响应顶点, 并自洽求解 Dyson 方程, 才能保持原 Hamiltonian 所具有的粒子数, 动量和能量守恒律. 仅在固定 \(\mathcal{G}_0\) 上做一次计算并不自动满足这一结论.

GW approximation 用图的一个子集来近似 Luttinger-Ward 泛函:

GW 泛函的图解, 引自 Junren Shi, Quantum Theory of Many Particle Systems (2026-04-01 版), p.73, 原讲义式(6.34)–(6.35). 外侧双环为 Hartree 项, 方括号内第一项为一阶 Fock 图, 其余为直接环图; 原图的完整迹对数已包含 Fock 项.

近似为 Hartree-Fock 项加上直接环图.

\[\Phi_{\mathrm{GW}}[\mathcal{G}] = \Phi_{\mathrm{H}}[\mathcal{G}]+\Phi_{\mathrm{F}}[\mathcal{G}]+\Phi_{\mathrm{ring}}[\mathcal{G}], \qquad \Phi_{\mathrm{ring}}[\mathcal{G}] = -\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \ln\!\left(1-\frac{\iota\zeta}{\hbar}v\mathcal{G}\mathcal{G}\right) +\frac{\iota\zeta}{\hbar}v\mathcal{G}\mathcal{G} \right].\]

这里环项从二阶开始, 一阶交换项由 \(\Phi_{\mathrm{F}}\) 单独计入. 将原图的 \(\iota\zeta v\mathcal{G}\mathcal{G}/\hbar\) 记为 \(A\), 作为形式幂级数,

\[-\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\ln(1-A) =\frac{1}{2}\operatorname{Tr}A +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2n}\operatorname{Tr}A^n.\]

线性项即原图中的 Fock 项. 正文将它单列, 因此在 \(\Phi_{\mathrm{ring}}\) 的括号内加上 \(A\) 以扣除这一项; 两种拆分给出同一个 \(\Phi_{\mathrm{GW}}\), 不能再次把原图的完整迹对数加到 Hartree-Fock 项上. 除了 Hartree 和 Fock 项外, 该近似还包括 Coulomb 相互作用系统中长波发散最严重的直接环图.

6.2.3 Second-Order Vertex Function

应用式 Vertex function 和无外源正规自能的性质, 我们得到

\[\zeta\Pi^{(2)}(12;1'2') = \frac{\delta \Pi^{(1)}(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)} = \mathcal{G}^{-1}(12')\mathcal{G}^{-1}(21') -\zeta\frac{\delta^2\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\delta \mathcal{G}(2'2)}.\]

其中第一项来自 \(-\delta \mathcal{G}^{-1}(11')/\delta \mathcal{G}(2'2)\), 我们利用了矩阵导数恒等式

\[\frac{\delta \mathcal{G}^{-1}(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)} = -\mathcal{G}^{-1}(12')\mathcal{G}^{-1}(21').\]

Irreducible electron-hole interaction 我们定义直接粒子-空穴道中的不可约相互作用 \(I\):

\[I(12;1'2') = \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^{-1} \frac{\delta^2\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\delta \mathcal{G}(2'2)} = \frac{\zeta}{\iota}\frac{\delta \Sigma(11')}{\delta \mathcal{G}(2'2)}.\]

它包括直接粒子-空穴道中两粒子不可约的散射图: 切开承载该道转移动量的粒子、空穴传播子, 不能把图分成该道的两个散射块. 这是指定道的不可约性, 不等于闭合真空图对任意两条线的 2PI 性质; 同一顶点可能在其他道中可约.

它可以解释为粒子与空穴之间的有效相互作用. 注意在涉及奇数次粒子交换的图前有额外的符号 \(\zeta\). 这是由于求导时 Fermi 环数目的变化.

Identity 联系两粒子 Green 函数与二阶顶点的恒等式:

\[\begin{aligned} \delta(12)\delta(1'2') &= \frac{\delta \mathcal{G}(11')}{\delta \mathcal{G}(22')} = \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \frac{\delta \mathcal{G}(11')}{\delta \phi(3'3)} \frac{\delta \phi(3'3)}{\delta \mathcal{G}(22')} \\ &= \hbar^2 \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \frac{\delta^2 W[\phi]}{\delta\phi(3'3)\delta\phi(1'1)} \frac{\delta^2 \Gamma[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(22')\delta \mathcal{G}(33')} \\ &\equiv \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\, \mathcal{G}_c^{(2)}(13;1'3')\, \Pi^{(2)}(3'2',32). \end{aligned}\]

这表明顶点是 Green 函数的(矩阵)逆.

Two particle Dyson Equation 将恒等式与本节最开始给出的式子结合, 我们得到

\[\begin{aligned} \mathcal{G}_c^{(2)}(12;1'2') =& \zeta \mathcal{G}(12')\mathcal{G}(21') \\ &+ \frac{\iota}{\hbar}\zeta \!\int\! \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\,\mathrm{d}4\,\mathrm{d}4'\, \mathcal{G}_c^{(2)}(13;1'3')\, I(3'4';34)\, \mathcal{G}(24')\mathcal{G}(42'). \end{aligned}\]

Scattering amplitude 一对粒子与空穴之间的散射振幅 \(\mathcal{T}\) 通过图关系定义.

Bethe-Salpeter equation 粒子-空穴道中的 Bethe-Salpeter 方程将散射振幅与不可约相互作用 \(I\) 联系起来:

\[\begin{aligned} T(12;1'2') =& I(12;1'2') \\ &+ \frac{\iota}{\hbar}\zeta \int \mathrm{d}3\,\mathrm{d}3'\,\mathrm{d}4\,\mathrm{d}4'\, T(13;1'3')\, \mathcal{G}(4'3)\, \mathcal{G}(3'4)\, I(42;4'2'). \end{aligned}\]

6.2.4 Higher-Order Equations

高阶方程可以通过对二体 Dyson 方程连续应用导数 \(\delta/\delta\phi\) 得到. 有用的恒等式:

\[\zeta\hbar\frac{\delta \mathcal{G}_c^{(n)}}{\delta\phi} = \mathcal{G}_c^{(n+1)}, \qquad \zeta\hbar\frac{\delta I^{(n)}}{\delta\phi} = I^{(n+1)}\star \mathcal{G}_c^{(2)}\]

其中

\[I^{(n)} \equiv \left(\frac{\iota}{\hbar}\right)^{-1} \frac{\delta^n\Phi[\mathcal{G}]}{\delta \mathcal{G}(1'1)\cdots\delta \mathcal{G}(n'n)}\]

表示 \(n\) 体有效相互作用.

6.2.5 Other Sources

根据物理情境, 其他选择也是可行的:

线性源 \[S_{\mathrm{ext}} = \iota^{-2}\sum_\alpha\int \mathrm{d}\tau\, \left[ J_\alpha^*(\tau)\psi_\alpha(\tau) + \psi_\alpha^*(\tau)J_\alpha(\tau) \right],\] 对于 Fermions, \(J(\tau)\) 是一个 Grassmann 函数. 这将产生关于 \(\langle\psi_\alpha\rangle\) 和单粒子不可约顶点的泛函. 在可重整化理论中, 这有助于将需要重整化的发散组织到有限种低阶顶点中.
配对源 \[S_{\mathrm{ext}} = \iota^{-2}\sum_{\alpha\beta}\int \mathrm{d}\tau_1\mathrm{d}\tau_2\, \left[ \psi_\alpha^*(\tau_1)\psi_\beta^*(\tau_2)\Delta_{\alpha\beta}(\tau_1,\tau_2) + \mathrm{c.c.} \right],\] 该源可能出现在超导系统中. 它将产生关于反常 Green 函数的泛函 \[\mathcal{F}(\alpha\tau,\alpha'\tau') = -\langle\hat{T}[\hat{a}_\alpha^{(H)}(\tau)\hat{a}_{\alpha'}^{(H)}(\tau')]\rangle,\] 可以类似地定义粒子-粒子道中的不可约有效相互作用. 这一推广对于处理超导系统是必要的.
混合源不同类型的源可以混合使用. 例如, 为了描述超导系统, 需要同时引入普通源和配对源.

6.3 Density Functional Theory

密度泛函理论可以理解为一种有效作用量理论. 在密度泛函理论中, 我们只关心系统的平衡密度分布. 因此, 我们选择一个与时间无关的局域势 \(\phi(\mathbf{r})\) 作为外源:

\[S_{\mathrm{ext}} = \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \psi^*(\mathbf{r}\tau)\psi(\mathbf{r}\tau)\,\phi(\mathbf{r}).\]

对外源生成泛函作 Legendre 变换可以定义局域密度的无量纲有效作用量 \(\Gamma[\rho]\). 本节恢复未减去参考项的巨势泛函:

\[\Omega[\rho]\equiv\Omega_0+\frac{\Gamma[\rho]}{\beta}.\]

这里不带密度自变量的 \(\Omega_0=-\beta^{-1}\ln Z_0\) 是给定温度、化学势和体积下的参考标量; 它与下面的无相互作用密度泛函 \(\Omega_0[\rho]\) 不同. 二者在参考系统的零源平衡密度处相等. 局域密度定义为

\[\rho(\mathbf{r}) = \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau\, \langle \psi^*(\mathbf{r}\tau)\psi(\mathbf{r}\tau)\rangle.\]

Hohenberg-Kohn theorem 在零温、固定粒子数的通常基态密度泛函理论中, 密度确定外势到一个加法常数. 这里使用的有限温度巨正则推广是 Mermin 定理: 在给定 \(T>0\) 和 \(\mu\) 时, 不同局域外势不能产生相同的平衡密度.

在允许的密度域上, 巨势泛函 \(\Omega[\rho]\) 是凸的; 有限体系、有限温度及可逆响应等条件下可进一步讨论严格凸性:
\[\Omega[\alpha\rho_1+(1-\alpha)\rho_2] \le \alpha\,\Omega[\rho_1]+(1-\alpha)\,\Omega[\rho_2], \qquad 0\le \alpha \le 1.\]

Identities 恒等式

\[\frac{\delta \Omega[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})} = -\phi(\mathbf{r}), \qquad \int \mathrm{d}\mathbf{r}_1\, \chi(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\, \frac{\delta^2\Omega[\rho]} {\delta\rho(\mathbf{r}_1)\delta\rho(\mathbf{r}')} = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').\]

其中 \(\chi(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\equiv \delta\rho(\mathbf{r})/\delta\phi(\mathbf{r}_1)\) 是密度响应函数.

Kohn-Sham 方法

对可由局域无相互作用势表示的密度, 有效作用量可以分解为
\[\Omega[\rho]=\Omega_0[\rho]+\Omega_I[\rho],\]
其中 \(\Omega_0[\rho]\) 是无相互作用系统的泛函, \(\Omega_I[\rho]\) 表征相互作用效应.
\(\Omega_0[\rho]\) 可以通过求解波动方程来构造
\[\left[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\right]\psi_i(\mathbf{r}) = \epsilon_i\psi_i(\mathbf{r})\]
得到本征能量和本征波函数. 巨势为
\[\Omega_0[\rho] = -\frac{1}{\beta}\sum_i \ln\!\left(1+\mathrm{e}^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}\right) -\int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}).\]
\(\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r})\) 应当是给出给定 \(\rho(\mathbf{r})\) 的那个, 即 \(\sum_i |\psi_i(\mathbf{r})|^2 n_{\mathrm{F}}(\epsilon_i-\mu)=\rho(\mathbf{r})\). 我们有
\[\frac{\delta \Omega_0[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})} = -\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r}).\]
应用上面给出的第一个恒等式, 我们得到
\[\phi_{\mathrm{eff}}(\mathbf{r}) = \phi(\mathbf{r})+\frac{\delta \Omega_I[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r})}.\]
将其代入波动方程, 我们得到 Kohn-Sham 方程.

6.4 FRG-DFT Theory

将密度泛函理论推广到虚时依赖的密度时, 引入局域源

\[S_{\mathrm{ext}}=\int\mathrm{d}X\,\phi(X)n_\psi(X), \qquad X=(\mathbf{r},\tau), \qquad \int\mathrm{d}X=\int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\int\mathrm{d}\mathbf{r}.\]

本节使用自旋求和密度

\[\hat n(X)=\sum_\sigma\hat\psi_\sigma^\dagger(X)\hat\psi_\sigma(X), \qquad n_\psi(X)=\sum_\sigma\psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau+\epsilon) \psi_\sigma(\mathbf{r},\tau), \qquad \epsilon>0.\]

创建场的微小时间后移继承原 Hamiltonian 的真空正规序. 最终定义 \(\rho(X)=\langle\hat n(X)\rangle\).

Notation 生成泛函与归一化: 取无量纲的 \(W,\Gamma\), 且使用与 \(\lambda\) 无关的参考配分函数 \(Z_0[0]\):

\[\begin{aligned} W_\lambda[\phi]&=\ln\frac{Z_\lambda[\phi]}{Z_0[0]}, &\rho(X)&=-\hbar\frac{\delta W_\lambda}{\delta\phi(X)},\\ \Gamma_\lambda[\rho]&=-W_\lambda[\phi] -\frac1\hbar\int\mathrm{d}X\,\phi(X)\rho(X), &\frac{\delta\Gamma_\lambda}{\delta\rho(X)}&=-\frac{\phi(X)}{\hbar}. \end{aligned}\]

固定 \(\rho\) 对 \(\lambda\) 求导时, \(\partial_\lambda\phi\) 的两项相消, 因而 \(\partial_\lambda\Gamma_\lambda=-\partial_\lambda W_\lambda\). 若把 \(W\) 每次归一化为 \(\ln[Z_\lambda[\phi]/Z_\lambda[0]]\), 则必须补回依赖 \(\lambda\) 的常数才能保留能量流.

对静态密度, 恢复绝对巨势泛函并转为固定密度的自由能泛函:

\[\begin{aligned} \Omega_\lambda[\rho]&=\Omega_0[0]+\frac{\Gamma_\lambda[\rho]}{\beta},\\ F_\lambda[\rho]&=\Omega_\lambda[\rho] +\mu\int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r}). \end{aligned}\]

其中 \(\Omega_0[0]=-\beta^{-1}\ln Z_0[0]\), 此处 \([0]\) 表示零外源. 固定 \(\beta,\mu,\rho\) 时, \(\partial_\lambda F_\lambda=\beta^{-1}\partial_\lambda\Gamma_\lambda\), 所以流方程给出 \(F_1[\rho]-F_0[\rho]=(\Gamma_1[\rho]-\Gamma_0[\rho])/\beta\). 零温基态能量来自恢复参考项及 \(\mu N\) 后的 \(F\), 而 \(\Gamma/\beta\) 单独给出相对参考的巨势.

Definition 密度连通核: 对分离的时间, 定义

\[C_\lambda(X,Y) =\left\langle T_\tau\,\delta\hat n(X)\delta\hat n(Y)\right\rangle_{\lambda,\phi} =\hbar^2\frac{\delta^2W_\lambda}{\delta\phi(X)\delta\phi(Y)} =-\hbar\chi_\lambda^{\mathrm{T}}(X,Y).\]

这里 \(\chi_\lambda^{\mathrm{T}}(X,Y)=\delta\rho(X)/\delta\phi(Y)\), 平均取产生指定 \(\rho\) 的外源. 在响应映射可逆的源/密度子空间中, 对 \(\rho=-\hbar W_\lambda^{(1)}\) 求导可得

\[\int\mathrm{d}Y\,C_\lambda(X,Y) \frac{\delta^2\Gamma_\lambda}{\delta\rho(Y)\delta\rho(Z)} =\delta(X-Z).\]

所以 \(C_\lambda=(\Gamma_\lambda^{(2)})^{-1}\). 密度响应的零模须先约束或投影, 再在剩余子空间取逆.

Proposition 等时配对密度: 正规序两体算符满足

\[\sum_{\sigma\sigma'} \hat\psi_\sigma^\dagger(\mathbf{r}) \hat\psi_{\sigma'}^\dagger(\mathbf{r}') \hat\psi_{\sigma'}(\mathbf{r}') \hat\psi_\sigma(\mathbf{r}) =\hat n(\mathbf{r})\hat n(\mathbf{r}') -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\hat n(\mathbf{r}).\]

接触项来自正则反对易关系中的 \(\delta_{\sigma\sigma'}\), 自旋求和后为总密度 \(\rho\), 不再乘自旋简并度. 因而

\[P_\lambda(X,Y) =\rho(X)\rho(Y)+C_\lambda(X^+,Y) -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X), \qquad \tau_Y=\tau_X.\]

其中 \(X^+=(\mathbf{r},\tau+\eta)\), \(\eta>\epsilon>0\); 先在固定 \(\eta\) 下取 \(\epsilon\to0^+\), 再取 \(\eta\to0^+\), 保证得到密度乘积的时间顺序. \(P_\lambda\) 是正规序配对密度, \(C_\lambda\) 是密度连通关联; 两者的等时值不能共用一个未注明处方的 \(\mathcal{G}_c^{(2)}\). 以两个密度双线性项分组, 正规序等时的连通配对部分为 \(P_\lambda-\rho\rho=C_\lambda(X^+,Y)-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X)\).

Proposition 流方程: 用 \(\lambda\) 标度正规序相互作用,

\[S_{\mathrm{int},\lambda} =\frac{\lambda}{2} \sum_{\sigma\sigma'} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \psi_\sigma^*(\mathbf{r},\tau+\epsilon) \psi_{\sigma'}^*(\mathbf{r}',\tau+\epsilon) \psi_{\sigma'}(\mathbf{r}',\tau)\psi_\sigma(\mathbf{r},\tau).\]

固定密度下, \(-\partial_\lambda W_\lambda=\langle\partial_\lambda S_{\mathrm{int},\lambda}\rangle/\hbar\). 将配对密度关系与逆 Hessian 代入, 得到闭合的密度流方程

\[\partial_\lambda\Gamma_\lambda[\rho] =\frac{1}{2\hbar} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau \int\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\mathbf{r}'\, v(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \left[ \rho(X)\rho(Y) +(\Gamma_\lambda^{(2)})^{-1}(X^+,Y) -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\rho(X) \right], \qquad Y=(\mathbf{r}',\tau).\]

空间接触项与其余两项使用同一空间调节, 在相消之后再取连续空间极限, 尤其不能单独计算 Coulomb 的 \(v(0)\).

单个自旋轨道给出一个直接核对: \(\hat n^2=\hat n\), \(C(0^+)=\rho(1-\rho)\), 所以 \(P=\rho^2+C-\rho=0\), 与该轨道不能容纳两个 Fermion 一致. 省略接触项便会得到错误的自作用.

这称为密度泛函的 FRG 流方程. 原则上从 \(\Gamma_0\) 积分到 \(\Gamma_1\) 可得相互作用密度泛函; 实际求解还需选择受控的截断. 这里的源号、\(\hbar\) 和正规序时间处方均已显式给出. 可对照 Yokota 与 Naito 的 FRG-DFT 推导, §II.A, 式 (2)–(8); 该文使用原子单位及与本文相反符号的密度源.

6.5 Landau Fermi-Liquid Theory

Motivation 金属 / Helium III 液体的物理性质表明, 即使这些系统中的相互作用相当强, 电子 / Helium III 原子的行为也类似于独立粒子.

Basic idea 相互作用 Fermion 系统的低激发态可以通过以下方式构造:

制备无相互作用理想 Fermi 液体的低激发态, 例如在 Fermi 能级以上/以下添加一个电子/空穴;
以足够慢的速度开启相互作用: 必须在态被完全衰减之前开启. 这是可能的, 因为 Fermi 面附近的电子/空穴衰减非常慢;对于 3D 系统, 衰减率正比于 \((|\mathbf{k}|-k_{\mathrm{F}})^2\).

Energy functional 相互作用 Fermion 系统的能量是无相互作用理想系统的占据数 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 的泛函:

根据 6.1 末尾, 能量是实时 \(G\) 的泛函.
假设 \(G\) 可以通过从无相互作用基态 \(|\Phi_0\rangle\) 出发的绝热微扰展开确定, 该基态为填充的 Fermi 海. 为了建立 Landau Fermi 液体理论, 还需要假设此绝热对应对于低激发态也有效, 即 \(|\Phi_0\rangle\to|\Phi_n\rangle\); 这不是基态展开自动保证的结论.
无相互作用系统中低激发态的 Green 函数 \(G_0\) 可以写为
\[G_0(\mathbf{k},\omega) = \begin{cases} \dfrac{1}{\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar-\mathrm{i}\eta}, & \mathcal{N}_{\mathbf{k}}=1,\\[0.8ex] \dfrac{1}{\omega-(\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar+\mathrm{i}\eta}, & \mathcal{N}_{\mathbf{k}}=0. \end{cases}\]
其中 \(\{\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\}\) 是低激发态的动量占据数. 注意 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\neq n_{\mathbf{k}}\equiv \langle \hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}}\rangle\) 不是相互作用系统的动量占据数.
\(G\) 是 \(G_0\) 的泛函, 前提是微扰展开收敛. 因此, 能量是 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 的泛函.

6.5.1 Phenomenological Approach

对于基态组态 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}=\theta(k_{\mathrm{F}}-|\mathbf{k}|)\) 的小偏离, 能量泛函可以按 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}\) 展开为 Taylor 级数. 至二阶:

\[E[\mathcal{N}] = E_0 + \sum_{\mathbf{k}\sigma} \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\,\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\, \delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

Effective mass \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 是准粒子能量, 即向系统基态添加/从系统基态移除一个粒子所需的能量. 在费米面附近, 它可以参数化为:

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\approx \mu+\hbar v_{\mathrm{F}}^*(|\mathbf{k}|-k_{\mathrm{F}}), \qquad v_{\mathrm{F}}^* = \frac{\hbar k_{\mathrm{F}}}{m^*}.\]

其中 \(v_{\mathrm{F}}^*\) 是有效 Fermi 速度. 有效质量可能与裸电子质量差别很大.

Local quasiparticle energy 是在存在其他激发的情况下添加/移除一个粒子所需的能量

\[\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma} = \frac{\delta E}{\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}} = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

准粒子的能量因其他激发的存在而改变.

Quasiparticle density of states 由有效质量修正 \(N^*(0)=\frac{m^*}{m}N(0)\). 它可以通过测量低温热容来确定:

\[c_{\mathrm{v}}(T) = \frac{\pi^2}{3}N^*(0)k_{\mathrm{B}}^2T.\]

Proof

首先需要将理论推广到有限温度. 无相互作用系统的熵为
\[S = -k_{\mathrm{B}}\sum_{\mathbf{k}\sigma} \left[ \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\ln \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} + \bigl(1-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\bigr)\ln\bigl(1-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\bigr) \right],\]
在绝热开启相互作用时保持不变. 通过极小化巨势
\[\Omega[\mathcal{N}] = E[\mathcal{N}]-TS-\mu\sum_{\mathbf{k}\sigma}\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma},\]
我们得到
\[\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma} = \left\{\exp\!\left[\beta\bigl(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}-\mu\bigr)\right]+1\right\}^{-1}.\]
注意它由 \(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}\) 而非 \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 决定. \(\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma}\) 由于 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}-\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}^{(0)}\) 而有一个修正.
在固定粒子数、各向同性三维 Landau 模型中, 若态密度及相互作用函数在 Fermi 面附近光滑且采用常规 Sommerfeld 展开, \(\delta\mathcal N\) 的积分矩从 \(O(T^2)\) 开始. 因而能量泛函中显式的二次相互作用项为 \(O(T^4)\), 得到:
\[E[\mathcal{N}]\approx E_0+\sum_{\mathbf{k}\sigma}\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}+O(T^4).\]
因此在求线性热容主项时可以忽略该高阶项. 这里的 \(T^4\) 并非任意相互作用 Fermi 液体的普遍修正阶数; 非解析低能修正可能包含对数因子, 参见 Chubukov、Maslov 与 Millis 的原始研究.
因此, 在线性热容主项上可视为自由准粒子气体, 但使用的是有效质量决定的 \(N^*(0)\), 相互作用对这一主项的影响并未消失.

Landau Fermi-liquid parameters 对于各向同性系统, \(f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}=f_{\sigma\sigma'}(\cos\theta)\), 其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}'\) 之间的夹角(\(|\mathbf{k}|\approx |\mathbf{k}'|\approx k_{\mathrm{F}}\)). 系统可以用一组离散参数表征:

\[F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}} = \frac{\mathcal{V} N^*(0)}{4} \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x\, \bigl[f_{\uparrow\uparrow}(x)\pm f_{\uparrow\downarrow}(x)\bigr]P_l(x).\]

其中 \(P_l(x)\) 是 Legendre 多项式, \(N^*(0)\) 为单位体积、包含两个自旋分量的准粒子态密度. 本文的 \(F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}}\) 未乘 \(2l+1\); 若用展开系数定义的常见约定, 相应参数为 \((2l+1)F_l^{\mathrm{s},\mathrm{a}}\).

Compressibility

\[\frac{1}{K} = \rho^2 \frac{\partial \mu}{\partial \rho} = \frac{\rho k_{\mathrm{F}}}{3}\frac{\partial \mu}{\partial k_{\mathrm{F}}},\]

当 Fermi 波矢从 \(k_{\mathrm{F}}\) 变为 \(k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}}\) 时, Fermi 能量改变为

\[\delta\mu = \tilde{\mathcal{E}}_{k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}},\sigma}-\mathcal{E}_{k_{\mathrm{F}},\sigma} = v_{\mathrm{F}}^*\hbar\delta k_{\mathrm{F}}+\sum_{\mathbf{k}'\sigma'}f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'},\]

其中在 \(k_{\mathrm{F}}\) 和 \(k_{\mathrm{F}}+\delta k_{\mathrm{F}}\) 之间的薄壳层中 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}=1\). 这导致:

\[\frac{K}{K_0} = \frac{m^*/m}{1+F_0^{\mathrm{s}}}.\]

压缩率可以通过测量声速 \(v_{\mathrm{s}}=1/\sqrt{nmK}\) 来确定.

Spin susceptibility

\[\chi = \frac{1}{2}g\mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial (n_\uparrow-n_\downarrow)}{\partial B},\]

在存在外磁场时, 准粒子能量变为

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}(B) = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{1}{2}g\mu_{\mathrm{B}} B \sigma.\]

我们有

\[\frac{\chi}{\chi_0} = \frac{m^*/m}{1+F_0^{\mathrm{a}}}.\]

Mass renormalization 对于具有 Galilean 不变性的各向同性连续体系:

\[\frac{m^*}{m} = 1+F_1^{\mathrm{s}}.\]

Proof

从一个系统具有无穷小速度 \(\mathbf{v}\) 的参考系观察. 根据 Galilean 变换, 准粒子的能量为 \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\hbar\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}\).
也可以视为 Fermi 海移动了波矢 \(m\mathbf{v}/\hbar\) 的系统. 准粒子能量的变化包括:

\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}\) 随 \(\mathbf{k}\to \mathbf{k}+m\mathbf{v}/\hbar\) 的变化:
\[(\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma})_1 = \frac{\hbar^2\mathbf{k}}{m^*}\cdot \delta\mathbf{k} = \hbar\frac{m}{m^*}\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}.\]
移动的分布诱导了 \(\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\), 从而产生相互作用修正:
\[(\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma})_2 = \sum_{\mathbf{k}'\sigma'} f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}.\]

移动的分布在零温 Fermi 面上有 \[\delta\mathcal N_{\mathbf k'\sigma'}=\frac m\hbar\,\mathbf v\cdot\hat{\mathbf k}'\,\delta(k'-k_{\mathrm F}).\] 角积分仅保留 \(l=1\) 的自旋对称分量. 按本节未乘 \(2l+1\) 的参数约定, 得 \[(\delta\mathcal E_{\mathbf k\sigma})_2=\hbar\frac m{m^*}F_1^{\mathrm s}\,\mathbf v\cdot\mathbf k, \qquad |\mathbf k|=k_{\mathrm F}.\] 令两种考虑的总能量变化相等, 即 \[\hbar\mathbf v\cdot\mathbf k=\hbar\frac m{m^*}(1+F_1^{\mathrm s})\mathbf v\cdot\mathbf k,\] 对任意小 \(\mathbf v\) 成立, 从而 \(m^*/m=1+F_1^{\mathrm s}\). 若采用含 \(2l+1\) 的展开系数约定, 右侧相应为 \(1+F_1^{\mathrm s}/3\).

6.5.2 Microscopic Underpinning

Notation 本小节采用绝对能量频率: 自由极点在 \(\hbar\omega=\epsilon_{\mathbf{k}}\), 占据积分上限为 \(\mu/\hbar\). 与前面以化学势为零点的频率相差 \(\mu/\hbar\); 比较传播子和自能时须同时平移频率参数. \(\Sigma\) 仍具有能量量纲, 且 Fermion 的 \(G^\lt=\mathrm{i}fA\), 因而粒子数由 \(-\mathrm{i}G^\lt\) 积分得到.

Spectral function 相互作用系统中的准粒子没有确定的能量-动量关系. 相反, 它由谱函数描述

\[A_\sigma(\mathbf{k},\omega) = -2\,\operatorname{Im} G_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega) = -2\hbar\, \frac{\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)} {[\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)]^2+[\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)]^2}.\]

它给出添加或移除动量为 \(\hbar\mathbf{k}\) 的粒子的谱权重密度. 对单个自旋态有 \(\int\mathrm{d}\omega\,A_\sigma/(2\pi)=1\); 实际添加和移除的权重还分别包含占据因子 \(1-f\) 和 \(f\).

Quasiparticle energy 由方程确定

\[\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = \epsilon_{\mathbf{k}\sigma} + \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

Coherent peak 谱函数在准粒子能量附近有一个尖锐的峰(相干峰):

\[A_\sigma(\mathbf{k},\omega) = Z_{\mathbf{k}\sigma}\, \frac{\tau_{\mathbf{k}\sigma}^{-1}} {(\omega-\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar)^2+(2\tau_{\mathbf{k}\sigma})^{-2}} + A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega),\]\[\frac{1}{Z_{\mathbf{k}\sigma}} = 1-\frac{1}{\hbar} \left.\frac{\partial \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)}{\partial \omega}\right|_{\hbar\omega=\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}, \qquad \frac{\hbar}{2\tau_{\mathbf{k}\sigma}} = Z_{\mathbf{k}\sigma} \left| \operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) \right|.\]

\(Z_{\mathbf{k}\sigma}\) 称为准粒子权重. 在费米面附近, 有 \(\operatorname{Im}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right)\propto (\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}-\mu)^2\).

Fermi surface Fermi 液体具有存在 Fermi 面的性质, 该面由方程定义:

\[\mu-\epsilon_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}-\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}\!\left(\mathbf{k}_{\mathrm{F}},\frac{\mu}{\hbar}\right) = 0,\]

其中 Fermi 能量 \(E_{\mathrm{F}}=\mu\) 由总粒子数确定:

\[N = \sum_{\mathbf{k}}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\, A(\mathbf{k},\omega)\theta\!\left(\frac{\mu}{\hbar}-\omega\right).\]

粒子数公式中 \(A=\sum_\sigma A_\sigma\) 包含全部自旋分量. 这些方程在动量空间中定义了一个 \(d-1\) 维曲面.

Luttinger theorem Fermi 面(Fermi 海)所包围的体积与相同密度的无相互作用 Fermi 液体的相同.

该体积计数用于零温、粒子数守恒且保持平移对称性的常规 Fermi 液体, 并须计入全部自旋或能带分量; 在晶格中还涉及满带的整数计数. 时间反演对称性不是一般的必要前提. 外轨道磁场、对称性破缺或分数化相需要另行分析, 不能仅用 Berry 曲率修正来否定通常的零场计数.

Effective mass

\[\left.\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\mathrm{d}k}\right|_{|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}\sigma}} = \frac{\hbar^2 k_{\mathrm{F}\sigma}}{m^*}, \qquad \frac{m}{m^*} = Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma} \left( 1+\frac{m}{\hbar^2 k_{\mathrm{F}\sigma}} \left.\frac{\partial \operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\mu/\hbar)}{\partial k}\right|_{|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}} \right).\]

动量占据数 \(n_{\mathbf{k}\sigma}\) 在 \(|\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}}\) 处有一个大小为 \(Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\) 的不连续跳跃.

Proof 在费米面附近, \(\operatorname{Im}\Sigma^{\mathrm{r}}\to 0\), 我们有

\[\begin{aligned} A_\sigma(\mathbf{k},\omega) &\to 2\pi\delta\!\left[ \omega-\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}+\operatorname{Re}\Sigma_\sigma^{\mathrm{r}}(\mathbf{k},\omega)}{\hbar} \right] +A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega) \\ &= 2\pi Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\delta\!\left(\omega-\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) +A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega). \end{aligned}\]

动量占据数由下式确定

\[n_{\mathbf{k}\sigma} = -\mathrm{i}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}G_\sigma^\lt (\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^{\mu/\hbar}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,A_\sigma(\mathbf{k},\omega).\]

对于位于 Fermi 海内 (\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}}\le \mu\)) 和外 (\(\mathcal{E}_{\mathbf{k}}\gt \mu\)) 的两个 \(\mathbf{k}\), \(A_{\mathrm{incoh}}(\mathbf{k},\omega)\) 的差异可忽略, 积分的差值为 \(Z_{\mathbf{k}_{\mathrm{F}}\sigma}\).

Landau energy functional: 基态能量泛函式可以重写为

\[E[\mathcal{N}_{\mathbf{k}}]-E_0 = \mathrm{i}\hbar\sum_{\mathbf{k}}\int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \left[ \ln\!\left(1-\frac{1}{\hbar}G_0(\mathbf{k},\omega)\Sigma(\mathbf{k},\omega)\right) +\frac{1}{\hbar}\Sigma(\mathbf{k},\omega)G(\mathbf{k},\omega) \right] +\frac{\mathrm{i}\hbar}{T_0}\Phi[G],\]

其中 \(\Sigma\) 是 \(G\) 的泛函, \(G=G[G_0]\) 被视为 \(G_0\) 的泛函. \(G_0\) 由 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 确定.

Quasiparticle energy 我们可以证明本节开始定义的准粒子能量正是总能量对离散准粒子占据数的导数 \(\epsilon_\alpha=\partial E/\partial n_\alpha\):

考虑 Fermi 面附近的一个 \(\mathbf{k}\), 将其 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}}\) 从 \(0\) 变为 \(1\). 这引起了 Green 函数 \(G_0(\mathbf{k},\omega)\) 的变化
\[\frac{\hbar}{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}+\mathrm{i}\hbar\eta} \to \frac{\hbar}{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i}\hbar\eta}.\]
能量的变化:
\[\begin{aligned} \delta E &= \delta E_0 -\hbar\sum_{\mathbf{k}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi\mathrm{i}}\, \delta\ln\!\left[ 1-\frac{1}{\hbar}G_0(\mathbf{k},\omega)\Sigma(\mathbf{k},\omega) \right] \\ &= \epsilon_{\mathbf{k}} -\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{\pi}\, \operatorname{Im}\ln\!\left[ \frac{\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\Sigma(\mathbf{k},\omega)-\mathrm{i}\hbar\eta} {\hbar\omega-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i}\hbar\eta} \right], \end{aligned}\]
其中我们使用了变分原理 \(\delta E[G]/\delta G=0\), 这意味着能量的变化完全来自 \(G_0\) 的变化.
在费米面附近, \(\Sigma\) 近似为实数. 注意 \(\operatorname{Im}\ln(x-\mathrm{i}\eta)=-\pi\theta(-x)\), 我们有
\[\delta E \approx \epsilon_{\mathbf{k}} +\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega \left[ \theta\!\left(\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}}}{\hbar}-\omega\right) -\theta\!\left(\frac{\epsilon_{\mathbf{k}}}{\hbar}-\omega\right) \right] = \mathcal{E}_{\mathbf{k}}.\]

Interaction parameters \(f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'}\) 可以通过考察局域准粒子能量随 \(\mathcal{N}_{\mathbf{k}\sigma}\) 的变化来确定. 以下自能及其占据数变分取准粒子壳上的实部; 在 Fermi 面极限中虚部消失.

\[\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbf{k}\sigma} = \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = \epsilon_{\mathbf{k}\sigma}+\Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}+\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right) +\delta \Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]

这导致:
\[\delta \mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma} = Z_{\mathbf{k}\sigma}\delta\Sigma_\sigma\!\left(\mathbf{k},\frac{\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}}{\hbar}\right).\]
与局域准粒子能量的变化式比较, 我们得到
\[f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} = Z_{\mathbf{k}\sigma} \frac{\delta\Sigma_\sigma(\mathbf{k},\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar)}{\delta \mathcal{N}_{\mathbf{k}'\sigma'}}.\]

Notation 前向顶点的两个极限: 上面的占据数变分对应具有有限前向顶点的常规 Fermi 液体的动态前向顶点. 令

\[K=(\mathbf{k},\mathcal{E}_{\mathbf{k}\sigma}/\hbar,\sigma), \qquad K'=(\mathbf{k}',\mathcal{E}_{\mathbf{k}'\sigma'}/\hbar,\sigma'), \qquad Q=(\mathbf{q},\nu),\]

并将 §6.2.3 的完整、截肢粒子-空穴顶点写为

\[\mathcal{T}_{KK'}(Q) =T(K+Q/2,K'-Q/2;K-Q/2,K'+Q/2).\]

这里 \(Q\) 不改变自旋, 已除去动量-频率守恒的整体 delta 函数, 且保留本文的相互作用矩阵元约定. 费米面上外频率为 \(\mu/\hbar\); 下述动态/静态指转移频率 \(\nu\), 不改变本小节的绝对能量频率约定.

\[\begin{aligned} T^\omega(K,K')&\equiv \lim_{\nu\to0}\lim_{\mathbf{q}\to0}\mathcal{T}_{KK'}(\mathbf{q},\nu),\\ T^q(K,K')&\equiv \lim_{\mathbf{q}\to0}\lim_{\nu\to0}\mathcal{T}_{KK'}(\mathbf{q},\nu). \end{aligned}\]

动态极限先令 \(v_{\mathrm{F}}^*|\mathbf{q}|/|\nu|\to0\), 再令 \(\nu\to0\); 静态极限先令 \(|\nu|/(v_{\mathrm{F}}^*|\mathbf{q}|)\to0\), 再令 \(\mathbf{q}\to0\). 两者一般不交换. 费米面上的低能粒子-空穴传播子在静态极限留下有限贡献, 在动态极限消失.

Proposition Landau 相互作用与散射幅: 取离散占据数和总能量归一化, \(f\) 具有能量量纲并按 \(1/\mathcal{V}\) 缩放:

\[f_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} =\frac{Z_{\mathbf{k}\sigma}Z_{\mathbf{k}'\sigma'}}{\mathcal{V}} T^\omega(K,K'), \qquad |\mathbf{k}|=k_{\mathrm{F}\sigma}, \qquad |\mathbf{k}'|=k_{\mathrm{F}\sigma'}.\]

若用单位体积能量与连续动量积分, 常写为 \(\mathfrak{f}=\mathcal{V} f=ZZ'T^\omega\). 同样归一化的静态准粒子前向散射幅为

\[\mathfrak{a}_{\mathbf{k}\sigma,\mathbf{k}'\sigma'} =Z_{\mathbf{k}\sigma}Z_{\mathbf{k}'\sigma'}T^q(K,K').\]

它由动态顶点继续重求和费米面上的粒子-空穴传播得到, 因而一般不同于 \(\mathfrak{f}\). 两个极限的微观关系可参见 Chubukov、Klein 与 Maslov, §II.A, 式 (2.4)–(2.6).

\(I=\zeta\,\delta\Sigma/(\iota\,\delta G)\) 是粒子-空穴道不可约核, \(T\) 是其 Bethe-Salpeter 方程的完整解. 动态极限只去掉该道的低能奇异粒子-空穴部分, 仍含高能重求和, 所以不能一般地把 \(T^\omega\) 换成 \(I\). 一阶、对称且自旋无关的相互作用给出 \(\mathfrak{f}_{\sigma\sigma'}=v(0)-\delta_{\sigma\sigma'}v(\mathbf{k}-\mathbf{k}')+O(v^2)\), 可核对直接项、交换项和体积因子. 长程 Coulomb 的宏观 Hartree 部分须按电中性约定单独处理.

7 Phase Transitions and Spontaneous Symmetry Breaking

7.1 General Theory

7.1.1 Landau Theory

Landau 理论假设一个序参量 \(m(\mathbf{r})\) 和一个泛函 \(\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T]\), 使得

\[Z = \int \mathcal{D}[m(\mathbf{r})]\,\mathrm{e}^{-\beta \mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T]}.\]

\(\mathcal{L}\) 的形式受系统对称性约束: 它必须在对称操作下不变. 相变发生在 \(\mathcal{L}\) 具有多个简并最小值时.

在临界点附近, \(m(\mathbf{r})\to 0\), 可将泛函按 \(m(\mathbf{r})\) 展开为 Taylor 级数. 例如:
\[\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H,T] \approx \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{a}{2}|\nabla m(\mathbf{r})|^2 + c_1hm + d_2tm^2 + c_3hm^3 + b_4m^4 \right].\]
其中 \(t\equiv T-T_{\mathrm{c}}\), \(h\equiv H-H_{\mathrm{c}}\).
Universality: 由于在临界点附近只有展开式中的少数几项是相关的, 且形式受对称性约束, 因此期望不同物理系统类别共享普适行为.

量子系统的虚时路径积分有 \(d\) 个空间坐标和一个虚时坐标, 但尺度计数一般使用 \(d+z\), 其中动力学指数 \(z\) 由 \(\omega\sim q^z\) 定义; 只有 \(z=1\) 时才有各向同性的 \(d+1\) 维经典类比. 在通常的有限温度静态临界问题中, 非零 Matsubara 模可被积分掉, 长距离行为由零频模控制, 对应 \(d\) 维经典体系. 零温时虚时长度发散, 时间涨落不能这样消去.

Effective action vs. Landau functional 对均匀外场, 明确采用 Hamiltonian 耦合 \(-HM\). 令 \(W(H)=\ln Z(H)\), 则 \(W'(H)=\beta M\). 在可逆的单相区, Legendre 变换为

\[\Gamma(M)=\beta H(M)M-W(H(M)),\qquad F_{\mathrm{eff}}(M)=\Gamma(M)/\beta.\]

直接求导可见含 \(H'(M)\) 的项抵消, 因而

\[\frac{\mathrm{d}F_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}M}=H(M),\qquad \frac{\mathrm{d}^2F_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}M^2} =\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}M}=\frac{1}{\chi},\qquad \chi=\frac{\partial M}{\partial H}\ge0.\]

在固定外场 \(H_0\) 下, 平衡态由 \(F_{\mathrm{eff}}(M)-H_0M\) 的极小值确定. 精确的 \(F_{\mathrm{eff}}\) 是凸的: 共存区须用 Legendre-Fenchel 变换, 热力学极限下可出现线性平段, 而不是平均场双阱. 双阱 Landau 泛函是尚待对序参量涨落积分的粗粒化输入, 不能与已包含这些涨落的精确有效自由能混同. 连续相变中 \(\chi\to\infty\) 对应曲率趋零; 该曲率的符号为正.

Symmetry breaking 尽管 Landau 泛函 \(\mathcal{L}\) 具有全部对称性, 但其最小值可能破缺部分对称性.

最小值的稳定子群是系统对称群的一个子群 \(G'\subset G\). 对称操作相连的简并态形成陪集空间 \(G''\equiv G/G'\); 只有 \(G'\) 为正规子群时它才是商群.
对称性破缺是热力学极限的结果:
\[M = \lim_{H\to 0}\lim_{N\to \infty}M(H) \neq \lim_{N\to \infty}\lim_{H\to 0}M(H) = 0.\]
极限顺序至关重要.
对于离散的 \(G''\), 系统被囚禁在其中一个最小值, 隧穿到其他最小值的概率在热力学极限下趋于零. 系统变为非遍历的. 对于连续的 \(G''\), 涨落 (通过集体 Goldstone 模式) 可能破坏也可能不破坏序. 这取决于空间维度和序参量的张量性质.

表中列出代表性的序参量与共轭场. 超流的 \(U(1)\) 指全局相位对称性; 超导的复序参量是固定规范或忽略动力学规范场的 Landau 描述. 表中的“gauge”不能解读为局域规范冗余发生可观测的自发破缺; 参见 Caudy 与 Greensite 关于 Elitzur 定理与剩余规范对称性的讨论.

7.1.2 Mean field theory

平均场近似即是对配分函数的稳相近似:

\[\left. \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta m(\mathbf{r})} \right|_{m(\mathbf{r})\to \bar m} = 0,\qquad Z \sim \mathrm{e}^{-\beta \mathcal{L}[\bar m,H,T]}.\]

假设空间均匀的稳态解, 可得

\[m \propto \begin{cases} \pm (-t)^{1/2}, & T\lt T_{\mathrm{c}},\ h=0, \\ h^{1/3}, & T=T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]

Correlation function Landau 泛函可在稳态解附近展开为二次型:

\[\mathcal{L}[m(\mathbf{r}),H=H_{\mathrm{c}},T] \approx \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{a}{2}|\nabla \delta m(\mathbf{r})|^2 + b|t|\,[\delta m(\mathbf{r})]^2 \right], \qquad b = \begin{cases} d_2, & T\gt T_{\mathrm{c}}, \\ 2d_2, & T\lt T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]

关联函数可确定为

\[\chi_{mm}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \beta\langle \delta m(\mathbf{r})\delta m(\mathbf{r}')\rangle \sim \frac{\mathrm{e}^{-|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/\xi}} {|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{(D-1)/2}} \quad (|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\gg\xi), \qquad \chi_{mm}(\mathbf{q}) \sim \frac{1}{q^2+\xi^{-2}}, \qquad \xi = \sqrt{\frac{a}{2b}}\,|t|^{-1/2}.\]

在临界点, 关联长度发散. 对 \(D>2\) 的 Gaussian 理论, 且在微观截断尺度之外, 有

\[\chi_{mm}(\mathbf{r}) \sim \int \frac{\mathrm{d}^D \mathbf{q}}{(2\pi)^D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}}{q^2} \sim \frac{1}{r^{D-2}}.\]

7.1.3 Fluctuations

\(D_{\mathrm{c}}\) 和 \(D_\ell\) 分别称为 upper critical dimension 和 lower critical dimension.

平均场近似的有效性关键取决于维度 \(D\):

\(D\gt D_{\mathrm{c}}\): 平均场给出通常的热力学临界指数.
\(D=D_{\mathrm{c}}\): 非线性项为边缘项; 对通常的 \(\phi^4\) 理论, 平均场幂律伴随对数修正.
\(D_\ell\lt D\lt D_{\mathrm{c}}\): 临界涨落不可忽略, 平均场临界指数通常不正确.
\(D\le D_\ell\): 相应的有限温度常规长程序不能由平均场正确判断; 在边界维度还须区分零温转变或二维连续对称性的拓扑相变.

Upper critical dimension 我们考察系统接近临界点时 \(\mathcal{L}\) 中不同项的相对重要性. 将 Landau 泛函重标度为

\[\beta\mathcal{L}[\phi] = \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\, \left[ \frac{1}{2}|\nabla \phi(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2\xi^2}|\phi(\mathbf{r})|^2 + \frac{u_0}{4}|\phi(\mathbf{r})|^4 \right],\]

其中 \(\xi\) 为关联长度, 在临界点发散. 由 \(\beta\mathcal{L}\sim 1\) 可得

\[[\phi] = \xi^{-\frac{D-2}{2}}, \qquad [u_0] = \xi^{D-4}.\]

为考察涨落 \((\phi^4)\) 项的相对重要性, 我们通过以下变换 (当 \(T\gt T_{\mathrm{c}}\) 时) 将泛函化为无量纲形式:

\[\mathbf{r} = \mathbf{x}\xi, \qquad \phi = \tilde{\phi}\,\xi^{-\frac{D-2}{2}}, \qquad u = g\xi^{D-4}\]\[\beta\mathcal{L}[\phi] \to \beta\mathcal{L}[\tilde{\phi}] = \int \mathrm{d}^D x\, \left[ \frac{1}{2}|\nabla \tilde{\phi}(\mathbf{x})|^2 + \frac{1}{2}\tilde{\phi}^2(\mathbf{x}) + \frac{g}{4}\tilde{\phi}^4(\mathbf{x}) \right].\]

对于固定的物理参数 \(u\), 有 \(g=u\xi^{4-D}\). 当系统接近临界点时, \(\xi\to \infty\):

\(D\gt 4\): \(g\to 0\). \(\tilde{\phi}^4\) 项无关. 平均场理论准确描述临界行为.
\(D\lt 4\): \(g\to \infty\). \(\tilde{\phi}^4\) 项相关. 平均场理论给出错误的临界行为.
\(D=4\): 该情形是临界的, 应有修正.

这表明对于 \(\phi^4\) 项, \(D_{\mathrm{c}}=4\), 高于此维度该项无关. 对于其他可能的项:

\(\phi^n\): \(D_{\mathrm{c}}=\frac{2n}{n-2}\).
\((\nabla\phi)^n\) 和 \(\phi\nabla^n\phi\) 当 \(n\gt 2\) 时无关.

Lower critical dimension 在低维中, 由于 Goldstone 模式产生的涨落, 平均场近似可能完全失效.

Mermin-Wagner theorem: 对于有限温度、足够短程相互作用且具有连续内部对称性的体系, 在空间维度 \(d\le2\) 时不存在相应的常规自发长程序. 下述经典泛函中 \(D=d\); 不能直接把此结论套用于零温量子体系或长程相互作用体系.

一个例子是前面二分量场的系统, 其中 \(\phi\) 是复场, 且当 \(T\lt T_{\mathrm{c}}\) 时:
\[\phi(\mathbf{r}) \approx |\bar{\phi}|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\mathbf{r})},\]
在有序侧, 将局域势写为 \(r_0|\phi|^2/2+u_0|\phi|^4/4\), 其中 \(r_0\lt 0\), \(u_0>0\). 极小条件给出 \(|\bar{\phi}|=\sqrt{-r_0/u_0}\). 在远离临界点的长波极限, 振幅模有能隙, 可先忽略其变化; 无能隙的是下面保留的相位模. 泛函变为
\[\beta\mathcal{L}[\varphi] = \frac{|\bar{\phi}|^2}{2} \int \mathrm{d}^D \mathbf{r}\,|\nabla \varphi(\mathbf{r})|^2 + \mathrm{constant},\]
即 \(\varphi(\mathbf{r})\) 的激发是无能隙的. 静态泛函仅确定相位梯度的能量代价; 具体动力学色散还需时间导数项. 对具有通常压缩率项的中性超流体才得到线性色散. 这是 Goldstone 模式的特征.

\(\varphi\) 的涨落为
\[\chi_{\varphi\varphi}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \sim \int \frac{\mathrm{d}^D \mathbf{q}}{(2\pi)^D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{q^2}.\]
它在 \(D\le 2\) 时发散.
Topological excitations 二分量模型可以在二维中存在拓扑激发, 因为 \(\varphi\) 仅定义在模 \(2\pi\) 下. 在 \(\mathbf{r}=0\) 处的拓扑涡旋激发可由如下场描述
\[\varphi(r,\theta) = \theta,\]
其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{r}\) 的极角. 由于序参量 \(\phi(\mathbf{r})\) 是单值的, \(|\phi(\mathbf{r})|\) 必须在 \(\mathbf{r}=0\) 处为零. 为最小化能量代价, 除了 \(r\lesssim a\) 的小核区域外 (其中 \(a\) 是由底层微观模型设定的长度尺度), 必须有 \(|\phi(\mathbf{r})|=|\bar{\phi}|\). 更一般地, 简并状态空间的同伦群决定了可以出现何种拓扑激发.
Kosterlitz-Thouless transition 结果发现, 这个特定的二分量系统在二维中存在相变. 但该相变是拓扑相变: 它没有常规的非零局域序参量; 低温相具有准长程序和有限相位刚度, 高温相为短程无序相. 它们的区别在于关联函数随距离的衰减方式, 是指数衰减还是幂律衰减. 在微观上, 它们的区别在于拓扑涡旋激发是否在系统中增殖:
- 产生一个涡旋的能量代价为
  \[E_{\mathrm{v}} = \pi J\ln \frac{L}{a},\]
  其中 \(J\equiv |\bar{\phi}|^2/\beta\), \(L\) 是系统大小.
- 涡旋可在系统任意位置产生. 这导致配分函数中的一个前置因子, 或等价地, 一个熵
  \[S = 2k_{\mathrm{B}} \ln \frac{L}{a}.\]
- 产生一个涡旋的自由能代价为
  \[F_{\mathrm{v}} = E_{\mathrm{v}}-TS = (\pi J-2k_{\mathrm{B}} T)\ln \frac{L}{a}.\]
  该能量-熵估算给出涡旋解束缚的温度尺度. 裸刚度 \(J\) 会被自旋波和束缚涡旋对重整化; 精确的普适跳变关系使用长尺度刚度 \(J_{\mathrm{R}}(T_{\mathrm{KT}}^-)=2k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{KT}}/\pi\), 不能把裸参数估算当成精确转变温度.

7.2 Bose-Einstein Condensation and Superfluidity

7.2.1 Phase Transition

Non-interacting Boson system 对均匀三维理想 Bose 气体, Bose-Einstein 凝聚 (BEC) 指热力学极限下最低能量态 \(\epsilon_a=0\) 的占据满足 \(N_0/N>0\). 在 \(T\lt T_{\mathrm{c}}\) 时:

\[N_0 = N-\sum_{\epsilon_a\gt 0} n_{\mathrm{B}}(\epsilon_a)\to \infty,\]

其中在 \(n_{\mathrm{B}}(\epsilon_a)\) 中化学势 \(\mu\) 设为零. 凝聚体密度为

\[\rho_{\mathrm{c}}(T) = \rho \left[ 1-\left(\frac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right)^{3/2} \right].\]

Interacting Boson system 考虑具有排斥接触相互作用 \(v(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=g\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\) 且 \(g\gt 0\) 的 Boson 系统:

\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*] &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ \psi^*(\mathbf{r},\tau) \left( \hbar\partial_\tau-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-\mu \right) \psi(\mathbf{r},\tau) + \frac{g}{2} \bigl[\psi^*(\mathbf{r},\tau)\psi(\mathbf{r},\tau)\bigr]^2 \right]\\ &= \sum_k \psi_k^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} - \mu \right)\psi_k + \frac{g}{2V\hbar\beta} \sum_{kk'q} \psi_{k+q}^*\psi_{k'-q}^*\psi_{k'}\psi_k. \end{aligned}\]

Phase transition 该作用量含 \(d\) 个空间坐标和一个虚时坐标, 但不能据此直接使用各向同性 \(d+1\) 维经典临界指数. 在 \(\mu=0\) 的零温稀薄气体临界点, \(\omega\sim k^2\) 给出 \(z=2\); 通常的有限温度静态转变则由零 Matsubara 模控制. 对于均匀场 \(\psi(\mathbf{r})=\varphi\), 作用量简化为

\[S[\varphi,\varphi^*] = \hbar\beta V \left[ -\mu|\varphi|^2 + \frac{g}{2}|\varphi|^4 \right],\]

它预言了 \(\mu=0\) 处的平均场临界点, 且当 \(\mu\gt 0\) 时有 \(|\bar{\varphi}|^2=\mu/g\).

注意化学势应由总粒子数 \(N\) 自洽确定. 因此它是 \(N\) 和 \(T\) 的函数: \(\mu(T,N)\).

7.2.2 Superfluidity

Goldstone mode 中性 BEC 态在热力学极限的破缺对称表述中破坏全局 \(U(1)\) 对称性, 即变换 \(\psi\to \psi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\) 下的不变性. Goldstone 模式是相位 \(\phi\) 的空间调制. 我们引入场的极坐标表示

\[\psi(\mathbf{r},\tau) = \bigl[\rho_{\mathrm{c}}+\rho_1(\mathbf{r},\tau)\bigr]^{1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{r},\tau)},\]

其中 \(\rho_{\mathrm{c}}\equiv |\bar{\varphi}|^2\). 作用量变换为

\[\begin{aligned} S[\rho_1,\phi] &= \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ -\mu\rho + \frac{g}{2}\rho^2 + \frac{\hbar^2}{8m\rho}|\nabla \rho_1|^2 + \mathrm{i}\hbar\rho\partial_\tau \phi + \frac{\hbar^2 \rho}{2m}|\nabla \phi|^2 \right] \\ &\approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau\, \left[ \frac{g}{2}\rho_1^2 + \frac{\hbar^2}{8m\rho_{\mathrm{c}}}|\nabla \rho_1|^2 + \mathrm{i}\hbar\rho_1\partial_\tau \phi + \frac{\hbar^2 \rho_{\mathrm{c}}}{2m}|\nabla \phi|^2 \right] - \frac{1}{2}\hbar\beta\mu N_{\mathrm{c}} + 2\pi \mathrm{i}\hbar N_{\mathrm{c}} n_\tau, \end{aligned}\]

其中 \(n_\tau\) 是所取空间均匀绕数扇区中相位的时间卷绕数: \(\phi(\mathbf{r},\hbar\beta)=\phi(\mathbf{r},0)+2\pi n_\tau\). 绕数求和约束的是相位共轭的总粒子数; 不能在固定背景且略去密度零模涨落后, 据此断言平均凝聚数 \(N_{\mathrm{c}}\) 必须为整数.

完成对 \(\rho_1\) 的积分后, 作用量变换为

\[S[\phi] = \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{k}}\int \mathrm{d}\tau\, \left[ \left( g+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{4m\rho_{\mathrm{c}}} \right)^{-1} |\hbar \partial_\tau \phi_{\mathbf{k}}(\tau)|^2 + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{m}\rho_{\mathrm{c}} |\phi_{\mathbf{k}}(\tau)|^2 \right],\]

它描述了具有色散关系的集体激发

\[\omega_{\mathbf{k}} = \sqrt{\frac{g\rho_{\mathrm{c}}}{m}|\mathbf{k}|^2+\left(\frac{\hbar|\mathbf{k}|^2}{2m}\right)^2},\]

注意在 \(|\mathbf{k}|\to 0\) 时 \(\omega_{\mathbf{k}}\to 0\).

Remark 虽然该变换看起来无害, 但它实际上是非平凡的. 这是因为泛函积分由其离散时间形式定义. 在泛函积分中直接进行变量替换会导致复杂的离散形式.

单个 Boson 模的精确极分解为

\[\begin{gathered} \hat a=\hat E\sqrt{\hat\rho} \\ \hat E=\sum_{n\ge1}|n-1\rangle\langle n| \end{gathered}\]

由于

\[\hat E^\dagger\hat E=I-|0\rangle\langle0|\]

它不是酉算符. 在数谱 \(n\ge0\) 的整个 Hilbert 空间中, 不能同时假定自伴相位算符和全域正则关系 \([\hat\phi,\hat\rho]=\mathrm{i}\).

在大占据数、可忽略真空边界的量子转子近似中, 可用整数数涨落与周期相位互为 Fourier 共轭,

\[\langle\phi|n\rangle=(2\pi)^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}\]

必须先建立离散时间路径积分并保留正规序和绕数扇区, 再取连续密度近似; 不能把非负整数求和直接视为从零到无穷的连续积分.

Superfluidity 如果凝聚体维持 \(\bar{\phi}(\mathbf{r})\) 的空间梯度, 则流密度为

\[\begin{aligned} \mathbf{j}_s(\mathbf{r}) &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \left( -\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m} \right) \langle \psi^*(\mathbf{r},\tau)\nabla \psi(\mathbf{r},\tau) -[\nabla \psi^*(\mathbf{r},\tau)]\psi(\mathbf{r},\tau) \rangle\\ &= \frac{1}{\hbar\beta} \int_0^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\, \left\langle \left( \frac{\hbar \rho}{m} \right)\nabla \phi(\mathbf{r}) \right\rangle \approx \frac{\hbar \rho}{m}\nabla \bar{\phi}(\mathbf{r}) \end{aligned}\]

其中我们忽略了涨落效应 (\(T\to 0\)). 流密度由场位形的形变诱导产生. 它类似于弹性力, 即由固体形变诱导的"动量流". 该流是无耗散的, 因此称为超流.

Critical velocity 当 BEC 以均匀速度 \(\mathbf{V}\) 流经管道时, 流体中波矢 \(\mathbf{k}\), 频率 \(\omega_{\mathbf{k}}\) 的激发在实验室系(管道静止)中观测到的频率为

\[\omega_{\mathbf{k}}' = \omega_{\mathbf{k}}+\mathbf{k}\cdot \mathbf{V},\]

管壁可与流体交换动量. 若某个激发满足 \(\omega_{\mathbf{k}}'\lt0\), 产生它可以降低流动能量, 因而该流动出现能量不稳定性. 所有这些单激发频率为正只是相应耗散通道被禁止的条件, 并不排除涡旋成核等其他过程, 也不保证最终流速为零. 这称为 Landau 判据, 给出一个临界速度

\[V_{\mathrm{c}} = \min \left( \frac{\omega_{\mathbf{k}}}{|\mathbf{k}|} \right).\]

对于上述色散关系, 临界速度 \(V_{\mathrm{c}}=\sqrt{g\rho_{\mathrm{c}}/m}\).

Landau 判据给出的临界速度应视为上限. 实验临界速度通常低得多. 一般认为超流性是由涡环激发破坏的.

7.2.3 Bogoliubov Transformation

该问题也可以使用原始场变量处理. 上述作用量近似为 \(k\neq 0\) 时 \(\psi_k\) 和 \(\psi_k^*\) 的双线性形式:

\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*] &\approx -\mu\psi_0^*\psi_0 + \frac{g}{2V\hbar\beta} |\psi_0^*\psi_0|^2 + \sum_{k\neq 0} \psi_k^* \left( -\mathrm{i}\hbar\omega_n + \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m} - \mu \right)\psi_k \\ &\quad\ + \frac{g}{2V\hbar\beta} \sum_{k\neq 0} \left[ \psi_k^*\psi_{-k}^*\psi_0^2 + \psi_k\psi_{-k}\psi_0^{*2} + 4\psi_k^*\psi_k|\psi_0|^2 \right]. \end{aligned}\]

平均场近似给出 \(\rho_{\mathrm{c}}\equiv\frac{1}{V\hbar\beta}\psi_0^*\psi_0=\frac{\mu}{g}\).

虽然直接应用 Gauss 积分公式即可, 但我们可以显式进行:

将作用量重写为:
\[S[\psi,\psi^*] \approx S_0 + \frac{1}{2} \sum_{k\neq 0} \Psi_k^\dagger \begin{bmatrix} -\mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} & g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \\ g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} & \mathrm{i}\hbar\omega_n+\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} \end{bmatrix} \Psi_k, \qquad \Psi_k \equiv \begin{bmatrix} \psi_k \\ \psi_{-k}^* \end{bmatrix}.\]
其中设 \(\psi_0=\sqrt{V\hbar\beta\rho_{\mathrm{c}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi/2}\), \(S_0\equiv -\hbar\beta gN_{\mathrm{c}}\rho_{\mathrm{c}}/2\).
应用 Bogoliubov 变换以对角化
\[\Psi_k = \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}}^* \end{bmatrix} \Phi_k \equiv \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}}^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_k \\ \phi_{-k}^* \end{bmatrix}, \qquad |u_{\mathbf{k}}|^2-|v_{\mathbf{k}}|^2=1\]
- 该变换确保 \(\psi^*\partial_\tau \psi\) 变换为 \(\phi^*\partial_\tau \phi\), 即正则结构不变. 在二次量子化语言中, 该变换保持 Boson 产生和湮灭算符的对易关系.
- 系数通过求解广义本征值问题得到:
  \[\begin{bmatrix} \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} & g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \\ g\rho_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} & \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}+g\rho_{\mathrm{c}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = E_{\mathbf{k}}\tau_{\mathrm{z}} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]
  结果
  \[E_{\mathbf{k}} = \hbar\omega_{\mathbf{k}} = \hbar \sqrt{ \frac{g\rho_{\mathrm{c}}}{m}|\mathbf{k}|^2 + \left( \frac{\hbar|\mathbf{k}|^2}{2m} \right)^2 }, \qquad \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{ \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2/2m+g\rho_{\mathrm{c}}}{2E_{\mathbf{k}}} + \frac{1}{2} } \\ -\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi} \sqrt{ \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2/2m+g\rho_{\mathrm{c}}}{2E_{\mathbf{k}}} - \frac{1}{2} } \end{bmatrix}.\]
- 按准粒子的正规序构造离散时间路径积分, 再取连续极限, 作用量为
  \[S[\psi,\psi^*] \approx S_0 +\frac{\hbar\beta}{2}\sum_{\mathbf{k}\neq0} \left(E_{\mathbf{k}}-\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}-g\rho_{\mathrm{c}}\right) + \sum_{k\neq 0} (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+E_{\mathbf{k}})|\phi_k|^2.\]
  接触相互作用的零点和须使用与 \(g\) 的定义一致的紫外正则化. 只讨论激发谱时可暂略该常数, 计算配分函数或基态能量时不能略去.

7.3 Superconductivity

7.3.1 Introduction

超导态是传导电子的有序态, 表现为无耗散导电和完全抗磁性(Meissner 效应). \( {}^3\mathrm{He} \) 的超流性可视为电中性 Fermion 的"超导".

Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) 理论表明, 超导电性由 Cooper 对(电子的束缚对)的形成诱导. 电子配对的原因是 Fermi 面附近电子间的有效相互作用是吸引的.

Attractive interaction 在常规超导体中由 phonon 媒介:

电子-phonon 耦合系统的作用量为
\[\begin{aligned} S[\psi,\psi^*,c,c^*] &= \sum_q c_q^*(-\mathrm{i}\hbar\nu_m+\hbar\omega_{\mathbf{q}})c_q \\ &\qquad + \frac{1}{\sqrt{\hbar\beta V}} \sum_q (M_{\mathbf{q}}\rho_{-q}c_q+M_{\mathbf{q}}^*\rho_q c_q^*) + S_e[\psi,\psi^*], \end{aligned}\]
其中 \(\omega_{\mathbf{q}}\) 是 phonon 色散, \(q\equiv (\mathbf{q},\nu_m)\), \(\rho_q\equiv \sum_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^*\psi_{k+q,\sigma}\), \(S_e\) 表示电子的作用量.
完成对 \(c_q\) 和 \(c_q^*\) 的泛函积分:
\[S[\psi,\psi^*] = \frac{1}{2\hbar\beta V} \sum_q |M_{\mathbf{q}}|^2 D_q \rho_{-q}\rho_q + S_e[\psi,\psi^*],\]
其中
\[D_q = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar\nu_n-\hbar\omega_{\mathbf{q}}} + \frac{1}{-\mathrm{i}\hbar\nu_n-\hbar\omega_{\mathbf{q}}} = -\frac{1}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{\omega_{\mathbf{q}}^2+\nu_n^2}.\]
这给出了由 phonon 媒介的有效 e-e 相互作用
\[V_{\mathrm{eff}}(\mathbf{q},\nu_n) = -\frac{|M_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{\omega_{\mathbf{q}}^2+\nu_n^2} \overset{\mathrm{i}\nu_n\to\nu+\mathrm{i}0^+}{\longrightarrow} \frac{|M_{\mathbf{q}}|^2}{\hbar}\frac{2\omega_{\mathbf{q}}}{(\nu+\mathrm{i}0^+)^2-\omega_{\mathbf{q}}^2},\]
该相互作用在以下条件下为吸引的
\[\omega_{\mathbf{q}} \gt |\nu| \simeq \frac{|\epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}-\epsilon_{\mathbf{k}}|}{\hbar},\]
即在 Fermi 面附近的一个薄壳层内.
在常规 BCS 模型中, 假设声子媒介的有效吸引在 Fermi 面附近宽度 \(\sim\hbar\omega_{\mathrm{D}}\) 的薄壳层内克服屏蔽后的 Coulomb 排斥. \(\omega_{\mathrm{D}}\) 是 Debye 频率. 在通常的绝热金属、远离奇异能带和强非绝热效应的条件下, Migdal 近似用小参数 \(\lambda\hbar\omega_{\mathrm{D}}/\epsilon_{\mathrm{F}}\) 抑制顶点修正, 其中 \(\lambda\) 是无量纲电子-声子耦合强度. 小的声子频率比本身不等同于弱的 BCS 配对耦合; 后面的弱耦合能隙公式还要求 \(gN_1(0)\ll1\).
BCS 机制可由一个简化的有效模型演示:
\[\begin{aligned} \hat{H} &= \sum_{\mathbf{k}\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{g}{V} \sum_{\mathbf{k}\mathbf{k}'\mathbf{q}} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\uparrow}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k},\downarrow}^\dagger \hat{a}_{-\mathbf{k}',\downarrow} \hat{a}_{\mathbf{k}'+\mathbf{q},\uparrow}\\ &\equiv \sum_{\mathbf{k}\sigma}\epsilon_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\sigma} - \frac{g}{V}\sum_{\mathbf{q}} \hat{\Phi}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{\Phi}_{\mathbf{q}}, && \hat{\Phi}_{\mathbf{q}} \equiv \sum_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\uparrow}\hat{a}_{-\mathbf{k},\downarrow} \end{aligned}\]
\(\hat{\Phi}_{\mathbf{q}}\) 湮灭一对电子(Cooper 对), 求和 \(\sum_{\mathbf{k}}\) 假定限制在 Fermi 面附近的薄壳层内.

Cooper 对也是非常规超导(如高 \(T_{\mathrm{c}}\) 铜氧化物)的成因. 然而, 许多人认为在这些系统中吸引相互作用直接来自电子-电子相互作用, 而非电子-phonon 耦合.

7.3.2 Mean-Field Theory

The Landau functional

对应于前面的 \(\hat{H}\) 的作用量为
\[S[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} - \frac{g}{\hbar\beta V} \sum_q \Phi_q^*\Phi_q.\]
对吸引配对通道使用复 Gaussian 恒等式. 对 \(g>0\) 和正的离散时间权重 \(a\),
\[\exp(a g\Phi^*\Phi) =\frac{a}{\pi g}\int\mathrm{d}\operatorname{Re}\Delta\,\mathrm{d}\operatorname{Im}\Delta\, \exp\!\left[-a\left(\frac{|\Delta|^2}{g}+\Phi^*\Delta+\Delta^*\Phi\right)\right].\]
配方 \(|\Delta+g\Phi|^2/g-g\Phi^*\Phi\) 即证明此式; 归一化由无源二维 Gaussian 积分确定. \(\Phi\) 是偶 Grassmann 配对双线性, 移位可按有限 Grassmann 多项式展开理解. 对每个时空离散点应用此恒等式, 场无关归一化吸收到积分测度中, 得到
\[S[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] = \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*) + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2.\]
它转化为与配对场耦合的无相互作用电子系统.
配分函数可写为
\[Z = \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\},\]
其中
\[\begin{aligned} S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] &\equiv \sum_{k\sigma} \psi_{k\sigma}^* (-\mathrm{i}\hbar\omega_n+\hbar\xi_{\mathbf{k}})\psi_{k\sigma} + \frac{1}{\hbar\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*)\\ Z_{\Delta 0} &\equiv \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 \right]. \end{aligned}\]
积分掉 \(\psi,\psi^*\):
\[\begin{aligned} Z &= \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 \right] \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\}\\ &\equiv \frac{1}{Z_{\Delta 0}} \int \mathcal{D}[\Delta,\Delta^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 + W[\Delta,\Delta^*] \right\} \end{aligned}\]
其中
\[\begin{aligned} W[\Delta,\Delta^*] &\equiv \ln Z_{\mathrm{e}}, \\ Z_{\mathrm{e}} &= \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\}= Z_0 \left\langle \exp \left[ -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q (\Phi_q^*\Delta_q+\Phi_q\Delta_q^*) \right] \right\rangle_0. \end{aligned}\]
Landau 泛函可定义为
\[\mathcal{L} = \frac{1}{\hbar^2\beta^2 V} \sum_q \frac{1}{g}|\Delta_q|^2 - \frac{1}{\beta}W[\Delta,\Delta^*].\]

Nambu representation \(S_e\) 描述与配对场 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)\) 耦合的电子系统. 我们引入一个旋量

\[\Psi_k = \begin{bmatrix} \psi_{k\uparrow} \\ \psi_{-k\downarrow}^* \end{bmatrix}.\]

对于均匀配对势 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)=\Delta\equiv |\Delta|\exp(\mathrm{i}\varphi)\), 作用量可重写为

\[S_e[\psi,\psi^*] = -\hbar\sum_k \Psi_k^\dagger \mathscr{G}_k^{-1}\Psi_k, \qquad \mathscr{G}_k^{-1} \equiv \begin{bmatrix} \mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}} & \Delta/\hbar \\ \Delta^*/\hbar & \mathrm{i}\omega_n+\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix},\]

故 Nambu 表示中的 Green 函数.

\[\mathscr{G}_k = -\langle \Psi_k\Psi_k^*\rangle = -\frac{1}{\omega_n^2+\xi_{\mathbf{k}}^2+|\Delta/\hbar|^2} \begin{bmatrix} \mathrm{i}\omega_n+\xi_{\mathbf{k}} & -\Delta/\hbar \\ -\Delta^*/\hbar & \mathrm{i}\omega_n-\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]

更一般地, Nambu 表示中的 Green 函数定义为

\[\mathscr{G}(\mathbf{x}\tau,\mathbf{x}'\tau') = -\left\langle \hat{T}_\tau \left[ \hat{\Psi}(\mathbf{x}\tau)\hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x}'\tau') \right] \right\rangle = \begin{bmatrix} -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{x}'\tau')]\rangle & -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{x}'\tau')]\rangle \\ -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\uparrow^\dagger(\mathbf{x}'\tau')]\rangle & -\langle \hat{T}_\tau[\hat{\psi}_\downarrow^\dagger(\mathbf{x}\tau)\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{x}'\tau')]\rangle \end{bmatrix}.\]

非对角元称为反常 Green 函数.

Mean-field approximation 是稳相近似: \(\delta \mathcal{L}/\delta \Delta_q^*=0\). 将 Landau 泛函对均匀 \(\Delta=\Delta_{q=0}/(\hbar\beta V)\) 求导, 我们得到

\[\frac{1}{g}\Delta = \frac{1}{\beta V}\frac{\partial W[\Delta,\Delta^*]}{\partial \Delta^*},\]\[\frac{\partial W[\Delta,\Delta^*]}{\partial \Delta^*} = -\frac{1}{Z_{\mathrm{e}}} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*] \frac{\Phi_{q=0}}{\hbar} \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_e[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*] \right\} \equiv -\frac{1}{\hbar} \sum_k\langle \psi_{k\uparrow}\psi_{-k\downarrow}\rangle_e = \frac{1}{\hbar}\sum_k [\mathscr{G}_k]_{12}\]

因此, 确定 \(\Delta\) 的自洽方程如下. 这里 \(N_1(0)\) 是单位体积、单个自旋分量在 Fermi 面处的态密度:

\[\frac{1}{g} = \frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_k \frac{1}{\omega_n^2+\xi_{\mathbf{k}}^2+|\Delta/\hbar|^2} \approx N_1(0)\int_0^{\hbar\omega_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}\epsilon\, \frac{\tanh\!\left(\beta\sqrt{\epsilon^2+|\Delta|^2}/2\right)} {\sqrt{\epsilon^2+|\Delta|^2}}.\]

在临界温度下, \(\Delta=0\), 方程简化为
\[\frac{1}{g} = N_1(0)\int_0^{\hbar\omega_{\mathrm{D}}}\mathrm{d}\epsilon\, \frac{\tanh (\beta\epsilon/2)}{\epsilon} \approx N_1(0)\ln \left( \frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}} \right),\]
它预言相变发生在
\[k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}} = \frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\omega_{\mathrm{D}} \mathrm{e}^{-1/N_1(0)g} \approx 1.13\hbar\omega_{\mathrm{D}} \mathrm{e}^{-1/N_1(0)g}.\]
也可确定超导能隙的温度依赖关系:
\[|\Delta(T)| \approx \begin{cases} \Delta(0)-\sqrt{2\pi\Delta(0)k_{\mathrm{B}} T}\,\mathrm{e}^{-\Delta(0)/k_{\mathrm{B}} T}, & T\ll T_{\mathrm{c}}, \\ \pi\left[\dfrac{8}{7\zeta(3)}\right]^{1/2}k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}\left(1-\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right)^{1/2}, & T_{\mathrm{c}}-T\ll T_{\mathrm{c}}. \end{cases}\]\[\frac{\Delta(0)}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}} = \pi \mathrm{e}^{-\gamma} \approx 1.76.\]
注意零温能隙与临界温度之比是普适常数, 这是弱耦合 BCS 理论的独特预言.

Bogoliubov transformation \(\mathcal{G}_k^{-1}\) 可通过酉变换对角化

\[\Psi_k = \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} & -v_{\mathbf{k}}^* \\ v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} \tilde{\Psi}_k, \qquad |u_{\mathbf{k}}|^2+|v_{\mathbf{k}}|^2=1.\]

它等价于本征值问题

\[\begin{bmatrix} \hbar\xi_{\mathbf{k}} & -\Delta \\ -\Delta^* & -\hbar\xi_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix} = E_{\mathbf{k}} \begin{bmatrix} u_{\mathbf{k}} \\ v_{\mathbf{k}} \end{bmatrix}.\]\[E_{\mathbf{k}} = \sqrt{(\hbar\xi_{\mathbf{k}})^2+|\Delta|^2}, \qquad u_{\mathbf{k}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left( 1+\frac{\hbar\xi_{\mathbf{k}}}{E_{\mathbf{k}}} \right) }, \qquad v_{\mathbf{k}} = -\sqrt{ \frac{1}{2} \left( 1-\frac{\hbar\xi_{\mathbf{k}}}{E_{\mathbf{k}}} \right) }\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}.\]

将负能 Nambu 分支重写为正能准粒子并保留正规序常数后, 作用量为

\[S_\Delta[\psi,\psi^*] = \sum_{k\sigma}\tilde{\psi}_{k\sigma}^*(-\mathrm{i}\hbar\omega_n+E_{\mathbf{k}})\tilde{\psi}_{k\sigma} + \hbar\beta\left[ V\frac{|\Delta|^2}{g} +\sum_{\mathbf{k}}(\hbar\xi_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}}) \right].\]

它描述了具有能隙谱 \(E_{\mathbf{k}}\) 的 Fermionic 准粒子. \(|\Delta|\) 称为超导能隙.

7.3.3 Effective Field Theory and Anderson-Higgs Mechanism

Landau-Ginzburg theory 可从微观作用量构造有效 Landau 泛函, 按序参量及其空间梯度展开来描述相变. 在极限 \(T\to T_{\mathrm{c}}\), \(\Delta_q=\hbar\beta\Delta_{\mathbf{q}}\delta_{\nu_m,0}\), \(\Delta_q\to 0\) 下, 寻找经典 Landau 泛函:

\[\mathcal{L}[\Delta,\Delta^*] = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{q}} \frac{1}{g}|\Delta_{\mathbf{q}}|^2 -\frac{1}{\beta}W[\Delta,\Delta^*].\]

Gradient expansion 将 \(W[\Delta,\Delta^*]\) 展开为 \(|\Delta_q|^2\) 的幂级数. 至二阶:
\[W[\Delta,\Delta^*] \approx W_0 -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_q \chi_{\Phi\Phi^*}^0(q)|\Delta_q|^2.\]
Pair correlation function
\[\begin{aligned} \chi_{\Phi\Phi^*}^0(q) &= -\hbar^2\beta V \frac{\delta^2 W[\Delta,\Delta^*]}{\delta\Delta_q\delta\Delta_q^*}\biggr|_{\Delta\to 0} = -\frac{1}{\hbar^2\beta V}\langle \Delta\Phi_q\Delta\Phi_q^*\rangle_0\\ &= -\frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_{kk'} \langle \psi_{k+q,\uparrow}^*\psi_{-k,\downarrow}^* \psi_{-k',\downarrow}\psi_{k'+q,\uparrow} \rangle_0. \end{aligned}\]
这是对关联函数的"Lindhard 函数".
\[\chi_{\Phi\Phi^*}^0(q,\nu_m) = \frac{1}{\hbar^2\beta V} \sum_k [\mathscr{G}_{k+q}]_{11}[\mathscr{G}_k]_{22} = \frac{1}{\hbar V}\sum_{\mathbf{k}} \frac{1-f(\xi_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2})-f(\xi_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2})} {\mathrm{i}\nu_m-\xi_{\mathbf{k}+\mathbf{q}/2}-\xi_{\mathbf{k}-\mathbf{q}/2}}.\]
其中 \(\xi_{\mathbf{k}}\equiv (\epsilon_{\mathbf{k}}-\mu)/\hbar\), 本式的频率变量分布函数为 \(f(x)=[\mathrm{e}^{\beta\hbar x}+1]^{-1}\). \(N_1(0)=N(0)/2\) 是单位体积、每自旋分量的态密度, \(\nu_m\) 为玻色型 Matsubara 频率.
Long-wavelength expansion 对于小 \(|\mathbf{q}|\),
\[\chi_{\Phi\Phi^*}^0(q,0) \approx -N_1(0)\ln\!\left(\frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}}\right) + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}N_1(0)(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2.\]
Landau-Ginzburg functional 对于 \(\Delta_q=\hbar\beta\Delta_{\mathbf{q}}\delta_{\nu_m,0}\), 有
\[\frac{1}{\beta}\bigl(W[\Delta,\Delta^*]-W_0\bigr) \approx \frac{N_1(0)}{V} \sum_{\mathbf{q}} \left\{ \ln\!\left(\frac{2\mathrm{e}^\gamma}{\pi}\hbar\beta\omega_{\mathrm{D}}\right) - \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2 \right\} |\Delta_{\mathbf{q}}|^2.\]\[\begin{aligned} \mathcal{L}[\Delta,\Delta^*] &\approx \frac{N_1(0)}{V} \sum_{\mathbf{q}} \left\{ \ln\!\frac{T}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\mathbf{q}|^2 \right\} |\Delta_{\mathbf{q}}|^2 + \cdots\\ &\approx N_1(0) \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\{ \ln\!\frac{T}{T_{\mathrm{c}}}|\Delta(\mathbf{r})|^2 + \frac{7\zeta(3)}{48\pi^2}(\hbar\beta v_{\mathrm{F}})^2|\nabla\Delta(\mathbf{r})|^2 + b|\Delta(\mathbf{r})|^4 \right\}, \end{aligned}\]
其中第二行添加了非线性项 \(|\Delta(\mathbf{r})|^4\). 系数 \(b\) 可由 \(T\to T_{\mathrm{c}}\) 处能隙的温度依赖确定: \(b=\frac{7\zeta(3)}{16\pi^2}\beta^2\).
以下重标度采用均匀三维、各向同性抛物能带的弱耦合模型, 并在系数中取 \(T\simeq T_{\mathrm{c}}\). 习惯上定义"波函数"
\[F(\mathbf{r}) \equiv \left[ \frac{7\zeta(3)\rho_0}{8\pi^2} \right]^{1/2} \frac{\Delta(\mathbf{r})}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}}.\]
Landau-Ginzburg 泛函定义为
\[\mathcal{L}[F,F^*] \approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}\, \left\{ \frac{\hbar^2}{4m}|\nabla F(\mathbf{r})|^2 + a\frac{(k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}})^2}{\epsilon_{\mathrm{F}0}} \left( \frac{T}{T_{\mathrm{c}}}-1 \right)|F(\mathbf{r})|^2 + \frac{a(k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{c}})^2}{2\epsilon_{\mathrm{F}0}\rho_0}|F(\mathbf{r})|^4 \right\}, \qquad a \equiv \frac{6\pi^2}{7\zeta(3)} \approx 7.04.\]
Gauge symmetry 在 Nambu 表象下, 该作用量描述了一个具有如下有效 Hamilton 量的系统:
\[\begin{aligned} \hat{H} &= \begin{bmatrix} \hat{H}_\uparrow-\mu & -\Delta(\mathbf{r}\tau) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}\tau) & -\hat{H}_\downarrow^*+\mu \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2m}\left(-\mathrm{i}\hbar\nabla+\dfrac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2-\mathrm{i}e\varphi-\mu & -\Delta(\mathbf{r}\tau) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}\tau) & -\dfrac{1}{2m}\left(-\mathrm{i}\hbar\nabla-\dfrac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2+\mathrm{i}e\varphi+\mu \end{bmatrix}. \end{aligned}\]

其中系统与 Euclidean 电磁 (EM) 场 \((\mathrm{i}\varphi,\mathbf{A})\) 耦合.

Remark 在 Euclidean 时空下, 电磁场的标量分量为虚数.
Hamiltonian 在整体 \(U(1)\) 规范变换下不变
\[\Delta(\mathbf{r}\tau)\to \Delta(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}, \qquad \Psi(\mathbf{r}\tau)\to \exp\!\left( \mathrm{i}\frac{\phi}{2}\hat{\tau}_3 \right)\Psi(\mathbf{r}\tau).\]
在局域 \(U(1)\) 规范变换下也不变
\[\begin{aligned} \Delta(\mathbf{r}\tau) &\to \Delta(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\mathbf{r}\tau)},\\ \Psi(\mathbf{r}\tau) &\to \exp\!\left( \mathrm{i}\frac{\phi(\mathbf{r}\tau)}{2}\hat{\tau}_3 \right)\Psi(\mathbf{r}\tau),\\ \varphi(\mathbf{r}\tau) &\to \varphi(\mathbf{r}\tau)-\frac{\hbar}{2e}\partial_\tau \phi(\mathbf{r}\tau),\\ \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau) &\to \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau)-\frac{\hbar c}{2e}\nabla \phi(\mathbf{r}\tau). \end{aligned}\]
为使上面的 Landau-Ginzburg 泛函对局域规范变换不变, 需将梯度算符替换为 \(\nabla\to \nabla + (\mathrm{i}2e/\hbar c)\mathbf{A}\), 因为
\[\left( \nabla+\mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)\Delta(\mathbf{r}) \to \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left[ (\nabla+\mathrm{i}\nabla\phi) + \mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c} \left( \mathbf{A}-\frac{\hbar c}{2e}\nabla\phi \right) \right]\Delta(\mathbf{r}) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left( \nabla+\mathrm{i}\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)\Delta(\mathbf{r}).\]

Supercurrent 超导体在长波极限下具有超流响应:

\[\mathbf{j}_s = -\frac{e\hbar}{2m}\rho_{\mathrm{s}} \left( \nabla\phi+\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A} \right).\]

这与前面的超流表达式类似. 由规范对称性, 它必须正比于 \(\nabla\phi+\frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A}\).

Superfluid density \(\rho_{\mathrm{s}}\) 可如下确定:

电流密度定义为
\[\begin{aligned} \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau) &= -c\frac{\delta S}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}\tau)} = \frac{\mathrm{i}e\hbar}{2m} \Psi^\dagger(\mathbf{r}\tau)(\overrightarrow\nabla-\overleftarrow\nabla)\Psi(\mathbf{r}\tau) -\frac{e^2}{mc}\rho(\mathbf{r}\tau)\mathbf{A}(\mathbf{r}\tau), \\ \mathbf{j}_q &= -\frac{e\hbar}{m} \sum_k \left( \mathbf{k}+\frac{\mathbf{q}}{2} \right) \Psi_k^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\eta\hat{\tau}_3}\Psi_{k+q} -\frac{e^2\rho_0}{mc}\mathbf{A}_q. \end{aligned}\]
Remark 等时乘积如 \(\Psi^\dagger(\mathbf{r}\tau)\Psi(\mathbf{r}\tau)\) 需恰当理解: 为定义物理电流, \(\psi_{\uparrow(\downarrow)}^*\) 的时间应始终比 \(\psi_{\uparrow(\downarrow)}\) 超前无穷小量.
电流密度对 \(\mathbf{A}\) 的响应为
\[\mathbf{j}_s(\mathbf{r}) \equiv \langle \mathbf{j}(\mathbf{r})\rangle \approx \int \mathrm{d}\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathbf{A}(\mathbf{r}').\]
先写时间分辨响应核 \(K(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}'\tau')\); 上式静态核为对 \(\tau'\) 从零到 \(\hbar\beta\) 的积分:
\[\begin{aligned} K(\mathbf{r}\tau,\mathbf{r}'\tau') &\equiv \frac{\delta}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}'\tau')} \left[ \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}[\psi,\psi^*]\mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\mathrm{e}^{-S/\hbar} \right]\\ &= \left( \left\langle \frac{\delta \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)}{\delta \mathbf{A}(\mathbf{r}'\tau')} \right\rangle + \frac{1}{\hbar c} \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\mathbf{j}(\mathbf{r}'\tau')\rangle - \frac{1}{\hbar c} \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}\tau)\rangle \langle \mathbf{j}(\mathbf{r}'\tau')\rangle \right)_{A\to 0}\\ K_q &= -\frac{e^2\langle \rho\rangle}{mc} + \frac{1}{\hbar^2 c\beta V} \langle (\Delta \mathbf{j}_q)(\Delta \mathbf{j}_{-q})\rangle_{A=0}. \end{aligned}\]
超流密度由静态横向响应定义: 先取 \(\nu_m=0\), 再令 \(\mathbf{q}\to0\), 并使用垂直于 \(\mathbf{q}\) 的矢量势. 在该弱耦合、均匀三维模型中应用 Wick 定理, 有
\[\begin{aligned} K_{q\to 0} &= -\frac{e^2}{mc}\rho_{\mathrm{s}}\\ \rho_{\mathrm{s}} &= \rho_0 + \frac{2}{3\hbar^2\beta V} \sum_k \frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m}\operatorname{Tr}[\mathscr{G}_k \mathscr{G}_k] = \rho_0 - \frac{4}{3\beta V} \sum_k (\mu+\hbar\xi_{\mathbf{k}}) \frac{(\hbar\omega_n)^2-E_{\mathbf{k}}^2}{[(\hbar\omega_n)^2+E_{\mathbf{k}}^2]^2}\\ &= \rho_0 - \frac{\beta\mu N(0)}{3} \int_0^\infty \mathrm{d}\epsilon\, \frac{1}{\cosh^2(\beta E/2)} \approx \rho_0 \begin{cases} 1-\sqrt{2\pi\beta\Delta(0)}\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta(0)}, & T\to 0, \\ 2\left(1-\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}}\right), & T\to T_{\mathrm{c}}. \end{cases} \end{aligned}\]

Effective action of the Goldstone mode 为描述 Goldstone 模的动力学, 设 \(\Delta(\mathbf{r}\tau)=|\Delta|\exp[\mathrm{i}\phi(\mathbf{r}\tau)]\). 积分掉所有不需要的变量后, 可得 Goldstone 模的作用量:

\[\exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] \right\} \equiv \int \mathcal{D}[|\Delta|,\psi,\psi^*] \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar}S[\psi,\psi^*,\Delta,\Delta^*,\mathbf{A},\varphi] \right\}.\]

下面保留低温、各向同性弱耦合模型的长波局域二次项, 并取频率低于破对阈值. 有限温度的热准粒子还可产生非局域和耗散响应; 在 \(T\to T_{\mathrm{c}}\) 时不能直接用这些低温常数描述全部动力学. 此近似下作用量的形式可如下确定:

由规范对称性, 作用量必须为以下量的泛函
\[\tilde{\varphi}(\mathbf{r}\tau) = \frac{\hbar}{2e}\partial_\tau \phi+\varphi, \qquad \tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{r}\tau) = \frac{\hbar c}{2e}\nabla \phi+\mathbf{A}.\]
在长波极限下, 有
\[\begin{aligned} S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] &= \frac{1}{2} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ c_1 \left( \frac{1}{2}\partial_\tau \phi+\frac{e}{\hbar}\varphi \right)^2 + c_2 \left( \frac{1}{2}\nabla\phi+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A} \right)^2 +\cdots \right]\\ &= \frac{1}{2\hbar\beta V} \sum_q \left[ c_1 \left( -\frac{\mathrm{i}\nu_m}{2}\phi_q+\frac{e}{\hbar}\varphi_q \right) \left( \frac{\mathrm{i}\nu_m}{2}\phi_{-q}+\frac{e}{\hbar}\varphi_{-q} \right) + c_2 \left( \frac{\mathrm{i}\mathbf{q}}{2}\phi_q+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A}_q \right)\cdot \left( -\frac{\mathrm{i}\mathbf{q}}{2}\phi_{-q}+\frac{e}{\hbar c}\mathbf{A}_{-q} \right) +\cdots \right]. \end{aligned}\]
- 系数可确定如下:
  \[c_1(q) = \left( \frac{\hbar}{e} \right)^2 (\hbar\beta V)\frac{\delta^2 S_G}{\delta\varphi_q\delta\varphi_{-q}} = \mathrm{i}\frac{\hbar^2}{e}\frac{\delta \rho_q}{\delta\varphi_q} = \frac{1}{\beta V}\langle (\Delta \rho_q)(\Delta \rho_{-q})\rangle_0 \equiv -\hbar^2 \chi_{\rho\rho}(q),\]
  其中 \(\chi_{\rho\rho}(q)\) 是超导系统的密度关联函数, \(\rho_q\equiv \sum_k \Psi_k^\dagger \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n \eta \hat{\tau}_3}\hat{\tau}_3\Psi_{k+q}\). 在长波极限下, \(\chi_{\rho\rho}(0)\approx -N(0)\), 于是有
  \[c_1 \equiv \lim_{q\to 0} c_1(q) = \hbar^2 N(0).\]
- 类似地:
  \[c_2(q) = (\hbar\beta V) \left( \frac{\hbar c}{e} \right)^2 \frac{\delta^2 S_G}{\delta \mathbf{A}_q\delta \mathbf{A}_{-q}} = -\left( \frac{\hbar}{e} \right)^2 c\frac{\delta \mathbf{j}_q}{\delta \mathbf{A}_q}.\]
  应用前面的超流表达式, 有
  \[c_2 \equiv \lim_{q\to 0} c_2(q) = \frac{\hbar^2}{m}\rho_{\mathrm{s}}.\]

Anderson-Higgs mechanism 当 Goldstone 模与无质量 (长程) 规范场 (如 EM 场) 耦合时, 它消失并赋予规范场有限质量.

超导体与 EM 场耦合的总作用量为
\[S[\phi,\mathbf{A},\varphi] = S_G[\phi,\mathbf{A},\varphi] + \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \left( \nabla\varphi-\frac{1}{c}\partial_\tau \mathbf{A} \right)^2 + |\nabla\times \mathbf{A}|^2 \right].\]
由于 EM 场的作用量是规范不变的, 可进行规范变换. 变换后的作用量不依赖于 \(\phi\), Goldstone 模消失:
\[S[\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\varphi}] = \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \left[ \left( \nabla\tilde{\varphi}-\frac{1}{c}\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}} \right)^2 + |\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}|^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}|^2 + 4\pi e^2 N(0)\tilde{\varphi}^2 \right].\]
可将 \(\tilde{\mathbf{A}}\) 分解为横场和纵场分量: \(\tilde{\mathbf{A}}=\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\), 其中 \(\nabla\cdot \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=0\), \(\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}=0\).
\[\begin{aligned} S[\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\varphi}] = \frac{1}{8\pi} \int \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\mathbf{r} \Bigg[ &c^{-2}(\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})^2 + |\nabla\times \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|^2 \\ &+ \left( \nabla\tilde{\varphi}-c^{-1}\partial_\tau \tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}} \right)^2 + \frac{4\pi e^2}{mc^2}\rho_{\mathrm{s}} |\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}|^2 + 4\pi e^2 N(0)\tilde{\varphi}^2 \Bigg]. \end{aligned}\]
横场分量 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\) 获得质量, 将被屏蔽, 即 Meissner 效应. 纵场分量 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\) 与标量场耦合. 积分掉 \(\tilde{\mathbf{A}}^{\mathrm{L}}\) 后, 产生类等离子体激元 (plasmon) 模——这就是 Goldstone 模转变而成的模式.

Meissner effect 在无涡旋的平衡 Meissner 态中, 静态磁场向体内指数衰减; 距表面远大于穿透深度时可近似取零. 这不是对混合态或任意外场强度的断言. 对 \(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\) 变分作用量, 得

\[\nabla\times \mathbf{B} \equiv -\nabla^2 \mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s = -\frac{4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}}{mc^2}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \Rightarrow \left( \frac{4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}}{mc^2}-\nabla^2 \right)\mathbf{B}(\mathbf{r}) = 0.\]

这预言了穿透深度 \(\lambda=c(4\pi e^2\rho_{\mathrm{s}}/m)^{-1/2}\).